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2026-05-06T03:29:16Z
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51302
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text/x-wiki
<noinclude>{{Delete|1=En moved to own domain}}</noinclude>
<div class="boilerplate metadata plainlinks">
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</div>
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Kantu ruse: kurso por infanoj kaj iliaj gepatroj/Антошка
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2026-05-06T10:18:06Z
ThomasPusch
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wikitext
text/x-wiki
== Senco de la kanto ==
Tiu kanto unuafoje aperis en la samtitola animaciaĵo en 1969. Ĝia heroo estas rufhara knabeto – ludema, manĝema kaj... mallaborema. Samaĝuloj dufoje vokas lin fari ion – unue fosi terpomojn, poste ludi harmonikon, sed li ĉiam rifuzas iun ajn aktivadon sub la sama preteksto: oni ne instruis al li fari tion. Fine ili diras ke li preparu sin tagmanĝi kaj li ĝoje akceptas (en la animaciaĵo videblas ke tio estis ŝerco kaj la infanoj nur mokis la pigrulon).
== Teksto ==
{| cellpadding=6
! Rusa originalo
! Esperanto-traduko
|- style="vertical-align:top; white-space:nowrap;"
|
Антошка, Антошка, пойдём копать картошку, <br />
Антошка, Антошка, пойдём копать картошку, <br />
Тили-тили трали-вали <br />
Это мы не проходили, это нам не задавали <br />
Тили-тили, трали-вали <br />
Это мы не проходили, это нам не задавали <br />
Па-рам-пам-пам, Па-рам-пам-пам <br />
Антошка, Антошка, сыграй нам на гармошке, <br />
Антошка, Антошка, сыграй нам на гармошке, <br />
Тили-тили трали-вали <br />
Это мы не проходили, это нам не задавали <br />
Тили-тили, трали-вали <br />
Это мы не проходили, это нам не задавали <br />
Па-рам-пам-пам, Па-рам-пам-пам <br />
Антошка, Антошка, готовь к обеду ложку <br />
Антошка, Антошка, готовь к обеду ложку <br />
Тили-тили трали-вали <br />
Это братцы мне по силе, откажусь теперь едва ли <br />
Тили-тили, трали-вали <br />
Это братцы мне по силе, откажусь теперь едва ли <br />
Па-рам-пам-пам, Па-рам-пам-пам <br />
|
Antoĉjo, Antoĉjo, iru fosi terpomojn, <br />
Antoĉjo, Antoĉjo, iru fosi terpomojn, <br />
Tili-tili trali-vali<br />
Tion ni ne lernis, tio ne estis en hejmaj taskoj<br />
Tili-tili trali-vali<br />
Tion ni ne lernis, tio ne estis en hejmaj taskoj<br />
Pa-ram-pam-pam, Pa-ram-pam-pam<br />
Antoĉjo, Antoĉjo, ludu por ni per harmoniko, <br />
Antoĉjo, Antoĉjo, ludu por ni per harmoniko, <br />
Tili-tili trali-vali<br />
Tion ni ne lernis, tio ne estis en hejmaj taskoj<br />
Tili-tili trali-vali<br />
Tion ni ne lernis, tio ne estis en hejmaj taskoj<br />
Pa-ram-pam-pam, Pa-ram-pam-pam<br />
Antoĉjo, Antoĉjo, pretigu kuleron por tagmanĝi, <br />
Antoĉjo, Antoĉjo, pretigu kuleron por tagmanĝi, <br />
Tili-tili trali-vali<br />
Tion, fraĉjoj, mi povas, nun mi apenaŭ rifuzos<br />
Tili-tili trali-vali<br />
Tion, fraĉjoj, mi povas, nun mi apenaŭ rifuzos<br />
Pa-ram-pam-pam, Pa-ram-pam-pam<br />
|}
== Klarigoj ==
'''копать картошку''' (fosi terpomojn)
En Rusio ekde la 18a jarcento estas kultivataj terpomoj. Unue la kamparanoj kontraŭis ĝin, foje eĉ ribelis kaj la cara registaro sendis armeajn trupojn por subigi ilin. Tamen poste la terpomo iĝis la plej populara legomo, kiu nun estas nomata en Rusio la “dua pano”. Aŭtune ĉiuj kamparanoj (kaj ofte ankaŭ urbanoj kiuj havas agrikulturajn terenojn) okupiĝas pri elfosado de jam maturiĝintaj terpomoj. Oni devas fari tion ĝustatempe, ĉar poste komenciĝos abundaj pluvoj, do elfosado iĝos pli komplika kaj la neelfositaj tuberoj putros.
'''тили-тили''' (tili-tili)
Tiuj vortoj havas neniun signifon, kutime ilin uzas etaj infanoj por inciti iun. Ekzemple ili povas kanti moke al knabo kaj knabino, kiuj pasigas kune multe da tempo: ''тили-тили тесто — жених и невеста!'' (tili-tili pasto — fianĉo kaj fianĉino!).
'''трали-вали''' (trali-vali)
Vortoj sen speciala signifo, foje uzataj en la senco “bagatelaĵo”. Pri senzorgema ulo oni povas diri: ''ему всё трали-вали'' (al li ĉio estas bagatelaĵo).
''Па-рам-пам-пам'' (Pa-ram-pam-pam)
Sensignifaj silaboj, uzataj por esprimi bonan, iom ludeman-petoleman humoron.
'''это мы не [[:wikt:eo:проходить|проходили]]''' (tion ni ne lernis)
''Проходить'' kutime estas uzata en signifo “pasi, trapasi”. Tamen se temas pri lernado aŭ studado ĝi uzeblas ankaŭ en la senco “lerni/studi”. Instruisto povas diri: ''мы пройдём это на следующем уроке'' (ni lernos tion en sekva leciono).
'''это нам не задавали''' (tio ne estis en hejmaj taskoj)
''Задавать'' plejparte estas uzata en signifo “doni”. Se temas pri lernado aŭ instruado ĝi uzeblas en sigifo “doni hejman taskon al lernantoj”. Hejma tasko en la rusa vortumeblas kiel ''домашнее задание''. Tamen oni povas ankaŭ diri ''задать жару'' (laŭvorte: doni varmegon), kio signifas ke iu estis batita, skoldita ktp, kio devos doni al li bonan lecionon. Ekzemple futbalisto, rakontanta pri venko de sia teamo super kontraŭuloj, povas diri: ''мы вчера задали им жару'' (ni hieraŭ donis al ili bonan lecionon). En brutobredado tiu vorto estas uzata en la senco "doni furaĝon" al brutoj, ekzemple: ''я задал корм свинье'' (mi donis furaĝon al porkino).
'''братцы''' (fraĉjoj)
Tiu vorto estas uzata en amikema medio por alparoli kamaradojn, ĉefe virojn. Singularo: ''братец''. Ne konfuzu ĝin kun ''брат'' (frato), per kiu oni nomas parencon, ''братан'' (familiara alparolo, uzata en simpleca medio) kaj ''братва'' (frataro), uzata en krima ĵargono por nomi aŭ alparoli krimularon.
'''по силе''' (laŭ fortoj)
Foje uzeblas plurala formo (''по силам'') kun la sama signifo: “oni povas tion fari, niaj fortoj sufiĉas por tio”.
== Eksteraj ligiloj ==
* [https://www.youtube.com/watch?v=9-rIgUtfwyo Animaciaĵo "Antoĉjo"]
{{ĉapitrnavigo|sekvanta=Kantu ruse: kurso por infanoj kaj iliaj gepatroj/Два весёлых гуся|sevantetikedo=Два весёлых гуся}}
[[category:Kantu ruse: kurso por infanoj kaj iliaj gepatroj|Антошка]]
cog4gft4dz7u6zs97ebv4gloq7s3oe4
Exercicis derivades 01
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383986
377546
2026-05-05T16:30:38Z
Profev
36331
/* Divisió de funcions */
383986
wikitext
text/x-wiki
Exercicis de derivades destinat a batxillerat.
* [[Taula derivades-batx|Taula de derivades de funcions del 1 fins al 6, i totes les operacions]]
Per treballar autònomament es pot fer servir aquestes dues eines:[[File:Symbolab logo.png|100px|right]][[File:PhotoMath Logo.png|100px|right]]
*La [https://es.symbolab.com/ web de Symbolab] que treballa amb notació LaTeX:
:Per enganxar una fórmula s'ha de activar editar i buscar al fórmula, seleccionar-la i enganxar-la a la web Symbolab, no seleccioneu les dues capsules seguents <nowiki><math></math></nowiki> pròpies de "wikipedia", només lo que està dins d'elles.
:: <nowiki><math>\left(frac{1}{x}+x^3-4x^2+5\right)'</math></nowiki>
*També es pot utilitzar l'aplicació [https://es.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Alpha Wolfram Alpha] que fa el mateix.
*També es pot utilitzar l'aplicació [https://es.wikipedia.org/wiki/Photomath Photomath] que permet amb una càmera resoldre problemes enunciats físicament que es puguin veure.
== Bàsic ==
;Exemple:
Derivada segons la taula de [[Taula_derivades-batx| derivades]] P1, P2, P2.1 i P3.
1) <math>f(x)=\frac{\sqrt{3}\log_2 7^2}{ 2^{172}+2^{\frac{5}{3}} }-e^{\sqrt{5}}</math> aplicant P1 és zero, ja que no té cap x en absolut.
2) <math>f(x)= x^3</math> aplicant P2. <math>\rightarrow f'(x)=( x^3)'=3\cdot x^{3-1}=3x^2</math>
3) <math>f(x)= \sqrt[3]{x}</math> aplicant P3. <math>\rightarrow f'(x)=( \sqrt[3]{x})'=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^{3-1}}}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}</math>
4) <math>f(x)= \sqrt[5]{x}</math> aplicant P3. <math>\rightarrow f'(x)=( \sqrt[5]{x})'=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^{5-1}}}=\frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}</math>
5) <math>f(x)= x^5</math> aplicant P2. <math>\rightarrow f'(x)=( x^5)'=5\cdot x^{5-1}=5x^4</math>
6) <math>f(x)= x^{\frac{5}{2}}</math> aplicant P2. <math>\rightarrow f'(x)=(x^{\frac{5}{2}})'=\frac{5}{2}x^{\frac{5}{2}-1}=\frac{5}{2}x^\frac{2}{2}</math>
=== Linealitat de la derivada ===
:<math>\left(a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\right)'</math> <math>=a\cdot f\,'(x)+b\cdot g\,'(x),</math> on <math>a\in\mathbb{R}\,i\,b\in\mathbb{R}</math>
=== Multiplicació de funcions ===
A partir d'ara per aplicar els mètodes omplireu el requadre fg que teniu a la dreta.
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right"
|-
|width=150px|<math>f(x)=</math>
|width=150px|<math>f\,'(x)=</math>
|-
|<math>g(x)=</math>||<math>g\,'(x)=</math>
|}
:<math>\left(f(x)\cdot g(x)\right)'</math> <math>=f\,'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g\,'(x)</math>
;Exemples:
=== Divisió de funcions ===
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right"
|-
|width=150px|<math>f(x)=</math>
|width=150px|<math>f\,'(x)=</math>
|-
|<math>g(x)=</math>||<math>g\,'(x)=</math>
|}
:<math>\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'</math> <math>=\frac{f\,'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g\,'(x)}{g(x)^2}</math>
;Exemples:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%"
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|1) <math>h(x)=\frac{x-3}{x^2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|width=180px|<math>f(x)=x-3</math>
|width=120px|<math>f\,'(x)=1</math>
|-
|<math>g(x)=x^2</math>||<math>g\,'(x)=2x</math>
|}
<math>h'(x)=\left(\frac{x-3}{x^2}\right)'</math> <math>=\frac{1\cdot\left(x^2\right)-(x-3)\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}</math> <math>=\frac{x^2-(x-3)\cdot 2x}{x^4}</math> <math>=\frac{x-(x-3)\cdot 2}{x^3}</math> <math>=\frac{x-2x+6}{x^3}</math> <math>=\frac{-x+6}{x^3}</math>
També podem fer aquest altre procediment:
<math>h'(x)=\left(\frac{x-3}{x^2}\right)'</math> <math>=\left(\frac{x}{x^2}-\frac{3}{x^2}\right)'</math> <math>=\left(\frac{1}{x}\right)'-\left(\frac{3}{x^2}\right)'</math> <math>=-\frac{1}{x^2}+2\cdot\frac{3}{x^3}</math> <math>=-\frac{1}{x^2}+\frac{6}{x^3}</math> <math>=\frac{-x+6}{x^3}</math>
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|2) <math>h(x)=\frac{x^4-1}{x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|width=180px|<math>f(x)=x^4-1</math>
|width=120px|<math>f\,'(x)=4x^3</math>
|-
|<math>g(x)=x</math>||<math>g\,'(x)=1</math>
|}
<math>h'(x)=\left(\frac{x^4-1}{x}\right)'</math> <math>=\frac{\left(4x^3\right)\cdot x-\left(x^4-1\right)\cdot 1}{x^2}</math> <math>=\frac{4x^4-x^4+1}{x^2}</math> <math>=\frac{3x^4+1}{x^2}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|3) <math>h(x)=\frac{\sqrt{x}+x}{x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{\sqrt{x}+x}{x}\right)'=</math> <math>\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+1\right)\cdot x-\left(\sqrt{x}+x\right)\cdot 1}{x^2}=</math> <math>\frac{\frac{x}{2\sqrt{x}}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=</math> <math>\frac{\frac{x\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=</math> <math>\frac{\frac{1}{2}\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x}{x^2}=</math> <math>\frac{\left(\frac{1}{2}-1\right)\sqrt{x}+x-x}{x^2}=</math> <math>\frac{-\frac{1}{2}\sqrt{x}}{x^2}=</math> <math>-\frac{1}{2}\frac{\sqrt{x}}{x^2}</math>
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|4) <math>h(x)=\frac{x\sqrt{x}}{x^3}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x\sqrt{x}}{x^3}\right)'=</math> <math>\left(\frac{\sqrt{x}}{x^2}\right)'=</math> <math>\frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}=</math> <math>\frac{\frac{1\cdot\sqrt{x}}{2\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{\left(x^2\right)^2}=</math> <math>\frac{\frac{\sqrt{x}}{2x}\cdot x^2-\sqrt{x}\cdot 2x}{x^4}=</math> <math>\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}\cdot x-\sqrt{x}\cdot 2x}{x^4}=</math> <math>\frac{\frac{\sqrt{x}}{2}-\sqrt{x}\cdot 2}{x^3}=</math> <math>-\frac{3}{2}\frac{\sqrt{x}}{x^3}</math>
Compareu aquest altre procediment:
<math>h'(x)=\left(\frac{x\sqrt{x}}{x^3}\right)'=</math> <math>\left(x^{1+\frac{1}{2}-3}\right)'=</math> <math>\left(x^{-\frac{3}{2}}\right)'=</math> <math>-\tfrac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|5) <math>h(x)=\frac{3+x}{x^2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{3+x}{x^2}\right)'=</math> <math>\frac{(3+x)'\cdot x^2-(3+x)\cdot(x^2)'}{(x^2)^2}=</math> <math>\frac{1\cdot x^2-(3+x)\cdot2x}{x^4}=</math> <math>\frac{x-(3+x)\cdot2}{x^3}=</math> <math>\frac{x-6-2x}{x^3}=</math> <math>\frac{-x-6}{x^3}</math>
Compareu aquest altre procediment:
<math>h'(x)=\left(\frac{3}{x^2}+\frac{x}{x^2}\right)'=</math> <math>\left(\frac{3}{x^2}\right)'+\left(\frac{1}{x}\right)'=</math> <math>-\frac{6}{x^3}-\frac{1}{x^2}</math>
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|6) <math>h(x)=\frac{1}{x^8+x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{1}{x^8+x}\right)'</math> <math>=\frac{(1)'(x^8+x)-1\left(x^8+x\right)'}{(x^8+x)^2}</math> <math>=\frac{0(x^8+x)-1\left(8\cdot x^7+1\right)}{(x^8+x)^2}</math> <math>=-\frac{8x^7+1}{(x^8+x)^2}</math>
També es pot fer servir l'esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició:
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #faa"
|-
|width="120px" style="border: 1px solid #faa"|<math>f(x)=\frac{1}{x}</math>
|style="border: 1px solid #faa"|<math>f'(x)=-\frac{1}{x^2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #faa"|<math>g(x)=x^8+x</math>
|style="border: 1px solid #faa"|<math>g'(x)=8x^7+1</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'</math> <math>=f'\big(g(x)\big)g'(x)</math> <math>=-\frac{1}{(x^8+x)^2}\cdot\left(8 x^7+1\right)</math>
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|7) <math>h(x)=\frac{x^2+\ln x}{\sqrt[4]{x}}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x^2+\ln x}{\sqrt[4]{x}}\right)'</math> <math>=\frac{\left(x^2+\ln x\right)'\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\left(\sqrt[4]{x}\right)'}{(\sqrt[4]{x})^2}</math> <math>=\frac{(2x+\frac{1}{x})\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} }{(\sqrt[4]{x})^2}</math> <math>=\frac{(2x+\frac{1}{x})\sqrt[4]{x}-(x^2+\ln x)\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} }{\sqrt{x}}.</math>
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|8) <math>h(x)=\frac{x^2-xe^x}{e^x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|<math>h'(x)=\left(\frac{x^2-xe^x}{e^x}\right)'</math> <math>=\frac{\left(\color{Red}{x^2-xe^x}\right)'e^x-(x^2-xe^x)\left(e^x\right)'}{\left(e^x\right)^2}</math>
{|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #faa"
|-
|width="120px" style="border: 1px solid #faa"|<math>f(x)=x^2-x\cdot e^x</math>
|style="border: 1px solid #faa"|<math>f'(x)=2x-\left(\left(x\right)'e^x+(x)\left(e^x\right)'\right)</math> <math>=2x-(1\cdot e^x+x\cdot e^x)</math> <math>=2x-e^x-xe^x</math>
|}
<math>h'(x)=\frac{\left(2x-e^x-xe^x\right)e^x-(x^2-xe^x)e^x}{\left(e^x\right)^2}</math>
Reduint <math>e^x</math> a numerador i denominador tenim:
<math>h'(x)=\frac{\left(2x-e^x-xe^x\right)-(x^2-xe^x)}{\left(e^x\right)}</math> <math>=\frac{2x-e^x-xe^x-x^2+xe^x}{e^x}</math> <math>=\frac{2x-e^x-x^2}{e^x}</math>
----
Una forma diferent seria convertir-ho en una resta de la forma:
<math>h'(x)=\left(\frac{x^2}{e^x}-\frac{xe^x}{e^x}\right)'</math> <math>=\left(\frac{x^2}{e^x}-x\right)'</math> <math>=\left(\frac{x^2}{e^x}\right)'-1</math> <math>=\frac{\left(x^2\right)'e^x-(x^2)\left(e^x\right)'}{\left(e^x\right)^2}-1</math> <math>=\frac{2x\cdot e^x-(x^2)\cdot e^x}{\left(e^x\right)^2}-1</math> <math>=\frac{2x-x^2}{e^x}-1</math>
Que finalment és el mateix que el que havia quedat abans, comproveu-lo.
|}
|-
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|9) <math>h(x)=\frac{x^2\ln x+\ln x}{(x-1)\ln x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|
|}
|style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"|
{|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|10) <math>h(x)=\frac{2-\sqrt{2}+\pi}{1+x^2+x^3}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|
|}
|}
=== Composició de funcions ===
Exercicis per aplicar la composició de funcions directament conegut com '''regla de la cadena'''.
{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right"
|-
|width=150px|<math>f(x)=</math>
|width=150px|<math>f\,'(x)=</math>
|-
|<math>g(x)=</math>||<math>g\,'(x)=</math>
|}
:<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f\,'\big(g(x)\big)\cdot g\,'(x)</math>
;Exemples:
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|1) <math>h(x)=e^{x^2+1}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema, deixant els parèntesis intencionadament per donar força a la composició:
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f(x)=e^{(x)}</math>
|width=20px|
|<math>f'(x)=e^{(x)}</math>
|-
|<math>g(x)=x^2+1</math>
|width=20px|
|<math>g'(x)=\left(x^2+1\right)'=2x</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=e^{x^2+1}\cdot 2x</math>
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|2) <math>h(x)=(3x^2-4)^2</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema, deixant els parèntesis intencionadament per donar força a la composició:
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f(x)=(x)^2</math>
|width=20px|
|<math>f'(x)=2(x)</math>
|-
|<math>g(x)=3x^2-4</math>
|width=20px|
|<math>g'(x)=\left(3x^2-4\right)'=6x</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=2(3x^2-4)\cdot 6x=12x(3x^2-4)</math>
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|3) <math>h(x)=\frac{1}{x^3-x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f(x)=\frac{1}{(x)}</math>
|width=20px|
|<math>f'(x)=-\frac{1}{(x)^2}</math>
|-
|<math>g(x)=x^3-x</math>
|width=20px|
|<math>g'(x)=\left(x^3-x\right)'=3x^2-1</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=-\frac{1}{(x^3-x)^2}\cdot (3x^2-1)</math>
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|4) <math>h(x)=\ln(x^4+x)</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f(x)=\ln(x)</math>
|width=20px|
|<math>f'(x)=\frac{1}{(x)}</math>
|-
|<math>g(x)=x^4+x</math>
|width=20px|
|<math>g'(x)=\left(x^4+x\right)'=4x^3+1</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=-\frac{1}{(x^4+x)}\cdot (4x^3+1)</math>
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|5) <math>h(x)=\sqrt[3]{x+2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|6) <math>h(x)= \sqrt[5]{e^x}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|7) <math>h(x)=\ln(\sqrt{x})</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|8) <math>h(x)=\frac{1}{(x+1)^2}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|9) <math>h(x)=\sqrt{\ln x+1}</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|...
|}
{|cellspacing="1" cellpadding="1" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució *" data-collapsetext="Ocultar"
|-
|10) <math>h(x)=(3x^2-5x)^3</math>
|-
|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Esquema, deixant parèntesis intencionadament per donar força a la composició:
:{|
|-
|width=200px|<math>f(x)=(x)^3</math>
|<math>f'(x)=3(x)^2</math>
|-
|<math>g(x)=3x^2-5x</math>
|<math>g'(x)=3\cdot 2\cdot x-5=6x-5</math>
|}
<math>\Big(f\big(g(x)\big)\Big)'=f'\big(g(x)\big)g'(x)=3(3x^2-5x)^2 (6x-5)</math>
[https://www.youtube.com/watch?v=m_5-WS9Nd68 Tutorial]
|}
=== Autoservei d'exercicis ===
A continuació es donen dues taules per servir-nos els nostres propis exercicis que volem practicar, recordant que hi ha eines online per resoldre'ls.
{|class="wikitable" style="background:#fff;" cellspacing="0" cellpadding="3"
|-
|colspan="6" style="background:#ddf" align="center"|'''Funcions <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math>'''
|-
|colspan="2" rowspan="2"|
|colspan="4" align="center" style="background:#def"|<math>f(x)</math>
|-
|<math>P(x)</math>||<math>\sqrt[n]{x}</math>||<math>a^x</math>||<math>\log_a{x}</math>
|-
|rowspan="4" style="background:#def"|<math>g(x)</math>
|<math>P(x)</math>
|align="center"|1,1
|align="center"|1,2
|align="center"|1,3
|align="center"|1,4
|-
|<math>\sqrt[n]{x}</math>
|align="center"|2,1
|align="center"|2,2
|align="center"|2,3
|align="center"|2,4
|-
|<math>a^x</math>
|align="center"|3,1
|align="center"|3,2
|align="center"|3,3
|align="center"|3,4
|-
|<math>\log_a{x}</math>
|align="center"|4,1
|align="center"|4,2
|align="center"|4,3
|align="center"|4,4
|}
Desprès de decidir les funcions corresponents a '''f''' i '''g''' heu de escollir una de les operacions següents i derivar-la per practicar totes les possibles derivades existents, de fet es poden ajuntar '''moltes''' funcions i després derivar-les, però millor a poc a poc.
{|class="wikitable" style="background:#fff;" cellspacing="0" cellpadding="3"
|-
|1.||<math>f(x)+g(x)</math>
|-
|2.||<math>f(x)\cdot g(x)</math>
|-
|3.||<math>\frac{f(x)}{g(x)}</math>
|-
|4.||<math>f\circ g (x)=f\big(g(x)\big)</math>
|}
'''Exemple:'''
1.- A la primera taula agafen el requadre 2,3 per tant pot ser <math>f(x)=\sqrt[3]{x}</math> i <math>g(x)=e^x.</math>
Per tant si a la segona taula escollim el número 3, la nostra [[Taula_derivades-batx|derivada]] a fer és:
:<math>\frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{e^x}\right)=\left(\frac{\sqrt[3]{x}}{e^x}\right)'.</math>
2.- A la primera taula agafen el requadre 3,4 per tant pot ser <math>f(x)=2^x</math> i <math>g(x)=\log_5 x.</math>
Per tant si a la segona taula escollim el número 4, la nostra [[Taula_derivades-batx|derivada]] a fer és:
:<math>\frac{d}{dx}\left(2^{\log_5 x}\right)=\left(2^{\log_5 x}\right)'.</math>
==== Composicions de funcions successives ====
=== Derivada de la funció potencial-exponencial ===
Es vol calcular la derivada d'una funció del tipus:
:<math>h(x)=f(x)^{g(x)}</math>, on <math>f(x)>0</math> per a qualsevol x.
Solució:
Primer de tot cal recordar que <math>e^{\ln(x)}=x</math> amb domini <math>(0,\infty)</math> i, per tant escau a <math>f(x)</math>.<ref>Cal recordar també que <math>\ln\left(e^{(x)}\right)=x</math> que té com a domini tots els reals.</ref>
Aplicant això tenim <math>h(x)=f(x)^{g(x)}=e^{\ln\left( f(x)^{g(x)} \right)}</math> i aplicant propietat del logaritme queda una funció còmodament derivable però no trivial:
<math>h(x)=e^{g(x)\cdot \ln\big( f(x) \big)}</math>
Esquema
:{|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"
|-
|<math>f_1(x)=e^x</math>
|width=20px|
|<math>f_1'(x)=e^x</math>
|-
|<math>g_1(x)=g(x)\cdot \ln\big( f(x) \big)</math>
|width=20px|
|<math>g_1'(x)=g'(x)\cdot \ln f(x) + g(x)\cdot\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)</math>
|}
<math>\Big(f_1\big(g_1(x)\big)\Big)'=f_1'\big(g_1(x)\big)g_1'(x)=e^{g(x) \ln f(x) }\left(g'(x)\cdot \ln f(x) +\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)</math>
Resumidament: <math>h'(x)=f(x)^{g(x)}\left(g'(x)\cdot \ln f(x) +\tfrac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right)</math>
== Notes i referències ==
[[Category:Matemàtiques de batxillerat]]
[[Category:CA]]
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Talk:Kantu ruse: kurso por infanoj kaj iliaj gepatroj/Антошка
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2026-05-06T10:21:03Z
ThomasPusch
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La malnova ekstera ligilo https://my.mail.ru/mail/ljailja62/video/244/397.html ne plu funkcias - ĉu nur ekster Rusio??? Cxiukaze mi metas anstataúan filmeton el Jutubo, kiu en mia komputilo perfekte funkcias: https://www.youtube.com/watch?v=9-rIgUtfwyo ... [[User:ThomasPusch|ThomasPusch]] ([[User talk:ThomasPusch|talk]]) 10:21, 6 May 2026 (UTC)
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ThomasPusch
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La malnova ekstera ligilo https://my.mail.ru/mail/ljailja62/video/244/397.html ne plu funkcias - ĉu nur ekster Rusio??? Ĉiukaze mi metas anstataŭan filmeton el Jutubo, kiu en mia komputilo perfekte funkcias: https://www.youtube.com/watch?v=9-rIgUtfwyo ... [[User:ThomasPusch|ThomasPusch]] ([[User talk:ThomasPusch|talk]]) 10:21, 6 May 2026 (UTC)
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Mereard
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