Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.10 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 48167 385261 385260 2026-07-09T17:36:07Z Profev 36331 + 385261 wikitext text/x-wiki Aquesta secció analitza com s'efectuen els repartiments en general a la vida diària i les eines que podem utilitzar per millorar la eficiència descriptiva i analítica per a una acció comunicativa. '''Objectius:''' * Utilitzar diverses estratègies per repartir unitats o quantitats. * Utilitzar mètodes d'aproximació decimal. * Utilitzar diversos procediments per presentar els resultats. * Utilitzar els múltiples i divisors de forma natural per abordar diversos problemes. * Mostrar l'ampli us i aplicació de les matemàtiques a la vida quotidiana. * Animar a la investigació amb totes aquestes eines. * Conèixer fets històrics més rellevants adequant anècdotes. * Apreciar i valorar cadascun dels objectius. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Temporització per al docent" data-collapsetext="Amaga" |- | |- |Es deixen plegats els possibles comentaris o explicacions que es poden fer, o determinades solucions que poden ser interessants. Es recomana no fer totes les explicacions plegades ja que moltes són elementals o redundants amb perill d'avorriment alt. Gradualment s'introduiran enllaços a noves direccions necessàries per accedir a nou coneixement. La següent temporització està basat en que el material web s'hagi finalitzat amb tota la seva amplitud. La diferència entre les hores depèn del tipus d'alumnat, l'estratègia del docent i la suma d'hores esperada. * Introducció: repàs de primaria si escau segons el tipus de classe de 0 a 1h. * Història: amb una llegida i que l'interessat pugui preguntar o analitzar ½h a 1h. :* Algunes activitats pràctiques dins l'esperit creatiu de l'alumne inspirat en els antics, lliure segons el docent. * Repartiments d'unitats: sobre les fraccions unitàries de 0 a 1h. * Utilització de la notació de fracció entera <math>\tfrac{a}{b}</math>, de 1h a 3h. :* Fraccions enteres: recordar, entendre i reforçar conceptes amb connexions diverses. * Producte i divisió de fraccions enteres: amb fraccions equivalents de 2h a 3h. * Sumes i restes de fraccions enteres de 2h a 4h. -en construcció-. El mínim de temes anteriors: :L'aritmètica decimal és estructural del nostre sistema decimal i s'hauria de saber abans de l'ESO, es recomana fer un repàs els primers dies de classe, veureu que alguns encara gaudeixen. ::Han de distingir divisions enteres i decimals del tipus <math>123\div 11</math> i saber quan s'han d'aturar o no, i les raons per fer-ho. :Els enters: mínim comú múltiple ni de màxim comú divisor. En cas que falti alguns del temes mencionats, s'ha d'analitzar els efectes a cada secció i es pot o bé introduir-los(amb cura) o evitar-los(no recomanat). |} == Introducció == Recordatori o bases intuïtiva de les operacions inverses. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Donada la suma 4+3=7. A partir del 7 i el 3, quina operació permet recuperar el 4? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|De fet es pot suposar que s'ha esborrat el 4 quedant <math>\text{¿ ?} + 3 =7.</math> Llavors per recuperar la xifra esborrada amb resta <math>\text{¿ ?}=7-3</math> donant 4 i ja està. Es pot considerar i recordar el canvi de lloc del 3 com un '''moviment'''. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Donada la resta <math>5-2=3.</math> A partir del 3 i el 2, quina operació permet recuperar el 5? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Es pot suposar que s'ha esborrat el 5 quedant <math>\text{¿ ?}-2=3.</math> Llavors per recuperar la xifra esborrada amb la suma <math>\text{¿ ?}=3+2</math> donant 5 i ja està. En cas que s'esborri el 2: <math>5-\text{¿ ?}=3</math> podem fer que <math>5=\text{¿ ?}+3</math> i per tant que <math>5-3=\text{¿ ?}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Podem concloure que ''la resta desfà la suma'' i ''que la suma desfà la resta''? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Sí clarament, només cal respectar l'ordre de les operacions. '''Nota''': si jo sumo una quantitat per desfer-ho he de restar la mateixa quantitat i a l'invers. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Donada la multiplicació <math>4\cdot 3=12.</math> A partir del 12 i el 4 quina operació permet recuperar el 3? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Es pot suposar que s'ha esborrat el 3 quedant <math>4\cdot\text{¿ ?}=12.</math> Llavors l'operació és la divisió <math>\text{¿ ?}=12\div 4</math> donant 3 i ja està. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |Donada la divisió <math>6\div 3=2.</math> A partir del 2 i el 3 quina operació permet recuperar el 6 inicial? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Es pot suposar que s'ha esborrat el 6 quedant <math>\text{¿ ?}\div 3=2.</math> Llavors l'operació és la multiplicació <math>\text{¿ ?}=2\cdot 3</math> donant 6 i ja està. Pel cas <math>6\div\text{¿ ?}=2</math> s'escriu com <math>6=2\cdot\text{¿ ?}</math> i a la vegada com <math>6\div 2=\text{¿ ?}</math> donant 3 i ja està. |} '''Mostres i exemples:''' 1.-Cal repartir 5 pomes per a cada una de les 8 persones d'una reunió. *Quantes pomes hem repartit en total? Doncs en total són <math>5\times 8=40</math> pomes. Visualment: {| cellpadding="5" align="center" style="border: 0px solid black;" cellpadding="5" cellspacing="0" |- | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|[[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|30px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times</math>[[File:CincoManzanas1.svg|30px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times 5\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|20px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>40\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|20px]] |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" align="right" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- | |- |Pluja d'idees d'adaptacions didàctiques. Nivell de primaria. *Literalment, el dibuix mostra que 8 agrupacions idèntiques es poden canviar per un 8 que multiplica a la agrupació de 5 pomes. En un segon pas mostra com la agrupació de 5 pomes es pot canviar per un 5 que multiplica a una poma. Finalment observem que només hem de multiplicar 8 per 5 que dona 40 que és la quantitat de pomes que hem repartit en total. *Es pot entendre com el primer factor comú que es pot fer intuïtivament: {| cellpadding="5" align="center" style="border: 0px solid black;" cellpadding="5" cellspacing="0" |- | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|[[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] + [[File:CincoManzanas1.svg|20px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>(1+1+1+1+1+1+1+1)\times</math>[[File:CincoManzanas1.svg|20px]] |} {| cellpadding="5" align="center" style="border: 0px solid black;" cellpadding="5" cellspacing="0" |- |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times</math>[[File:CincoManzanas1.svg|20px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times (1+1+1+1+1)\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|15px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>8\times 5\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|15px]] |= | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef" colspan="2"|<math>40\times</math>[[File:UnaManzana1.svg|15px]] |} *Quan es pot fer això? :a) Quan multipliquem xifres diferents :b) Quan els elements a agrupar són iguals :c) Per operar xifres petites :d) Per operar xifres grans :e) No importa les quantitats implicades *Quines característiques es poden comparar per trobar aquesta simplificació? :Forma, volum, pes, disposició, composició, olor, quantitat o nombre, color, textura, lluentor, pertinença, ... i qualsevol detall identificable per fer una comparació. |} 2.-Tenim un espai rectangular de 6&nbsp;m d'amplada i 7&nbsp;m de llarg. *Quants metres quadrats té aquest espai? Doncs en total tenim <math>6\times 7=42\,\,m^2.</math> {|align="center" style="border: 0px solid black;" cellpadding="3" cellspacing="0" |- | {| |- | |align="center"|<math>7</math> |- |<math>6</math> |[[File:Cuadricula6x7simple.svg|98px]] |} |= | {| |- |align="center"|<math>6</math> |[[File:Filas6x7cuadrados.svg|98px]] |} |= | {| |align="center"|<math>6\times</math>[[File:Fila7cuadrados.svg|98px]] |} |= <math>6\times 7\times</math>[[File:Cuadrado20x20unico.svg|14px]] | |= |<math>42\times</math> |[[File:Cuadrado20x20unico.svg|14px]] |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" align="right" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- | |- |Pluja d'idees d'adaptacions didàctiques. Nivell de primaria. *Literalment, es vol veure quants quadradets té aquest rectangle. Així: :*Es pot identificar que hi ha 6 tires idèntiques, llavors fem el recompte amb 6 multiplicat per una tira, però llavors com cada tira té 7 quadradets, llavors és el mateix que 6 multiplicat per 7 donant el nombre total de quadradets. :*Aquest és el procediment més fàcil per calcular àrees rectangulars. |} ;Pràctica immediata: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |1.-S'ha repartit 40 pomes entre 8 persones. Quantes pomes toca a cadascú? |- |Doncs <math>40\div 8=5</math> pomes a cada persona. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Orientació" data-collapsetext="Amaga" |- |2.-Tenim un espai amb un àrea de <math>42\,\,m^2</math> i 7&nbsp;m de llarg. Quina és l'amplada de l'espai? |- |Doncs <math>42\div 7=6\,\,m.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" |- |width="500"|3.-Càlcul aritmètic ràpid sense efectuar operacions: ||a) <math>8\times 327\div 8=</math> |rowspan="2" align="right"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- | |- |width="250px"|<math>a=327\;\; i\;\; b=138.</math> |} |- |||b) <math>138\div 3\times 3=</math> |} És important connectar tots els termes relacionats amb aquest tema.<ref group="note">Tot parteix de la mateixa necessitat: de partir o fer parts, trossejar, dividir o fraccionar, en peces iguals o en valors iguals, diverses quantitats idealment per distribuir-les o repartir-les, i inversament també porten a ajuntar, agrupar, unir, encaixar o reconstruir objectes diversos; de fet en un negoci es busquen formes d'assignar valors economics a parts diverses d'un producte divisible com els kilograms de farina, els metres de fil groc o volum de gra d'ordi.</ref> Aquesta necessitat també té com a conseqüència la introducció dels '''múltiples''', '''divisors''', '''fraccions''' i '''aproximacions''' com a eines necessàries per abordar diferents problemes de la vida diària. == Història == Les fraccions apareix amb naturalitat amb el llenguatge. Hi ha registres d'aquestes fraccions a les primeres escriptures de les antigues civilitzacions. Els registres més coneguts són els quantitatius, on s'utilitzen diversos objectes amb valors fixos per anotar la mesura, permetent considerar unes mides com a fraccions d'unes altres gràcies a la relació exacta que té un objecte amb un altre. Els primers registres es van fer sobre diferents suports ja sigui en fang, escultures, escrits en papirs o altres mètodes de registre. *Els sumeris, que ja escrivien entorn del 5000 a.c. i va anar evolucionant a la cuneïforme, van utilitzar peces de fang amb diferents formes i també inscripcions al fang amb dibuixos que és el nom del valor del recompte que feien. ::[[File:Clay accounting ball with calculi, counters, and evolution of cuneiform - Oriental Institute Museum, University of Chicago - DSC07070.JPG|400px]] * Els protoelamites veïns dels sumeris ja comerciaven amb aquestes fraccions: ::[[File:NumeraciónProtoelamita.svg|500px]] * Els babilonis, que es van apropiar de l'escriptura sumèria, van utilitzar fraccions de 60 parts d'una unitat que més tard va acabar en un sistema sexagesimal molt potent. ::[[File:NumeraciónBabilónica.svg|500px]] *Els egipcis van utilitzar fraccions d'una unitat amb una especie de quocient arbitrari. També van utilitzar símbols concrets com l'ull d'Horus per fer fraccions de potències de 2. ::[[File:Eye of Ra (fractions).svg|130px]] *En altres latituds els Asteques havien registrat longituds de terrenys, utilitzant mitjos i cinquenes parts de la unitat de forma reduïda. ::[[File:NumeraciónAzteca.svg|230px]] == Repartiments d'unitats == [[File:Queso fresco.JPG|200px|right]] Donat un formatge sencer es vol repartir entre 6 persones. :{|style="border: 1px solid grey;" |- | * Acció demanada: dividir aquesta unitat de formatge en 6 parts iguals. Possibles solucions: * Fer una divisió radial del formatge en 6 parts iguals. * Si el formatge pesa 600 grams llavors només cal donar 100 grams a cadascú sense importar la forma, però els seu pes serà la característica que ha de ser igual. El símbol ideal que s'utilitza és la fracció <math>\frac{1}{6}</math>, on l'u al numerador fa referència a un formatge sencer i el sis del denominador indica les parts en que s'ha dividit. |} ==== Notació de fracció entera unitària ==== [[File:Numerador y denominador.svg|200px|right]] Per escriure que ''una unitat es divideix en una quantitat de parts iguals'' s'ha d'utilitzar nombres sense decimals al denominador, es a dir nombres enters i diferents de zero, i fem servir la notació: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\frac{1}{n}</math>, on '''1''' és el '''numerador''', dividend o valor a dividir, i '''n''' és el '''denominador''', divisor o valor enter que divideix però <math>n\neq 0.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|[[File:Solar-calculator.jpg|90px|right]] Tota fracció és un nombre decimal. Per calcular el seu valor decimal amb la calculadora s'ha d'escriure: :<math>\begin{array}{|c|}\hline 1\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline /\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline n\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline =\\ \hline \end{array}</math> :També :<math>\begin{array}{|c|}\hline 1\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline \div \\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline n\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline =\\ \hline \end{array}</math>. '''Exemple''': <math>\frac{1}{6}=0,166666666666666666666...=0,1\widehat{6}</math> Els egipcis van desenvolupar un altra notació que indica les parts d'una unitat arbitràriament: {| align="center" border=0 |<span style="font-size:35px;">𓐝</span> <math>= \frac{1}{2},</math> |width="30px"| |<span style="font-size:35px;">𓏼𓂋</span> <math>= \frac{1}{3},</math> |width="30px"| |<span style="font-size:35px;">𓏽𓂋</span> <math>= \frac{1}{4},</math> |width="30px"| |<span style="font-size:35px;">𓐃𓂋</span> <math>= \frac{1}{5},</math> |width="30px"| |<span style="font-size:35px;">𓏿𓂋</span> <math>= \frac{1}{6},</math> |width="30px"|... |<span style="font-size:35px;">𓎆𓂋</span> <math>= \frac{1}{10}</math> |} A el regla de la imatge teniu escrites i detallades les fraccions sobre una vara de fusta especial i sota les fraccions es pot apreciar l'esforç artesà de dividir la unitat fixada. [[file:Measuring ruler-N 1538-IMG 4492-transparent.png.jpeg|900px]] |} ===== Exemples de fracció unitària ===== {| align="center" style="border: 1px solid grey;" bgcolor="#ffe" cellpadding="5" cellspacing="0" |- | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf" colspan="3"|'''Nombres''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf"|'''Cercle''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf" rowspan="2"|'''Ortoedre''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf" colspan="2"|'''Rectangle''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf"|'''Mètric''' | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#ddf"|'''Conjunt''' |- | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Fracció | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Decimal | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|<math>60^\circ</math> | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Radial | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Grup | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Tires | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Longituds | style="border: 1px solid grey;" align="center" bgcolor="#eef"|Unitats |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>\frac{1}{2}</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>0,5</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>30'</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoMitadMedio1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:MedioOrtoedro1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoMedioRec1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:MediaParteTira.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:MediaUnidad1.svg|250px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:UnaMitad.svg|100px|center]] |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>\frac{1}{4}</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>0,25</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>15'</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoCuarto1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:CuartoOrtoedro1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoCuartoRec1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:CuartaParteTira.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:CuartaUnidad1.svg|250px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:UnaCuartaParte.svg|100px|center]] |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>\frac{1}{5}</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>0,2</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>12'</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoQuinto1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:QuintoOrtoedro1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoQuintoRec1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:QuintaParteTira.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:QuintaUnidad1.svg|250px|center]] |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>\frac{1}{8}</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>0,125</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>7'30''</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoOctavo1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:OctavoOrtoedro1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:IconoOctavaRec1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:OctavaParteTira.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:OctavaUnidad1.svg|250px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:UnaOctavaParte.svg|100px|center]] |- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>\frac{1}{100}</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>0,01</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<span style="font-size:150%"><math>0'36''</math></span> |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoCentesima1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[file:centavoOrtoedro1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:IconoCentesimaRec1.svg|90px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"| |style="border: 1px solid #aaf;"|[[File:CentesimaUnidad1.svg|250px|center]] |style="border: 1px solid #aaf;"| |- |colspan="8"| {|cellspacing="0" align="center" cellpadding="0" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Tanca" |- |Detallat per columnes <math>\Rightarrow</math> |- | Sense oblidar de demanar mai quina és la unitat seleccionada a dividir amb fraccions tenim el següent: *La 1a columna mostra les fraccions, a la següent columna el seu valor decimal i seguidament les fraccions de graus/hores com '''unitat''' del sistema sexagesimal; de fet aritmèticament les dues primeres són el mateix, però una fracció té més informació i indica la procedència d'aquest valor decimal. *La 4a columna mostra les fraccions com una divisió radial on el cercle és la '''unitat''', també té moltes variants una d'aquestes és la divisió radial del semicercle com a '''unitat''' utilitzat a les eleccions al parlament per la semblança amb aquest físicament. *La 5a columna mostra divisions dins d'un ortoedre(les cares fan 90 graus amb les veïnes com un maó o un bric sense cares inclinades) o també un cub. Un cop donada la '''unitat'' a tallar els talls es poden fer de diverses maneres sempre que el producte de dividir siguin figures de igual volum. *La 6a columna mostra divisions dins d'una figura plana rectangular o quadrada que és la '''unitat''' dividida lliurement en parts iguals verticalment, horitzontalment o barrejant a voluntat; és important que els bocins resultat siguin trossos de igual forma. *La 7a columna mostra divisions dins una tira que és la '''unitat''', representat com a una cadena de rectangles i no deixa de ser un rectangle molt estirat. *La 8a columna mostra divisions identificant les fraccions sobre una '''unitat''' arbitrària longitudinal com si fos una tira i podria ser un metre, un mil·límetre, un kilòmetre, etc. *La 9a columna mostra '''una unitat''' de diverses figures, cada figura no afavoreix la divisió individualment, en aquest cas es fan fraccions de 8 figures que es representen una la unitat i s'encercla el que es considera una fracció de 8 figures. S'ha de deixar molt clar quina és la unitat, sense ella no hi ha manera de començar a fer particions sense caure en errors. Algunes imatges molt carregades s'han ignorat, això no vol dir que no existeixi. |} |} ===== Aplicació de les fraccions ===== L'objectiu primari de les fraccions és aplicar-les directament a les quantitats destinades. ;'''Com s'apliquen aquestes fraccions?''' :Doncs multiplicant-les pel valor a repartir: :* Si es vol repartir dos metres de cinta adhesiva entre 8 persones, llavors hi ha dos opcions equivalents: ::* Dividint <math>2\div 8</math> donant 0,25 metres o 25 centímetres. ::* Multiplicant <math>2\times\tfrac{1}{8}</math> és a dir <math>2\times 0,125</math> donant 0,25 metres o 25 centímetres. :* Si es vol repartir 350 litres de llet entre 10 persones, llavors: ::* Dividint <math>350\div 10</math> donant 35 litres. ::* Multiplicant <math>350\times\tfrac{1}{10}</math> és a dir <math>350\times 0,1</math> donant 35 litres. Que es pugui fer de dues maneres és perquè podem multiplicar 350 per l'u abans que dividir <math>350\times\tfrac{1}{10}=350\times 1\div 10= 350\div 10</math> això justifica la notació general: :::<math>a\times\tfrac{1}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}=\tfrac{1}{b}\times a</math> on estudiarem <math>a</math> i <math>b</math> sense decimals. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" |- |[[File:Accessories-calculator Faenza.svg|left|30px]]La '''inversa''' de la multiplicació de nombres per calculadores científiques és <math>n^{-1}=\tfrac{1}{n}=(1\div n)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Exemple: * Si es vol repartir 140 caramels entre 20 persones llavors multiplico per la inversa <math>140\times 20^{-1}</math> <math>=140\times (1\div 20)</math> <math>=140\times 0'05</math> = 7 caramels per cadascú. Algunes calculadores científiques poden fer directament <math>\begin{array}{|c|}\hline 1\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline 4\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline 0\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline \times\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline 2\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline 0\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline x^{-1}\\ \hline \end{array}\begin{array}{|c|}\hline =\\ \hline \end{array}</math> |} ;'''Multiplicació per augmentar o reduir?''' : En multiplicar 3 per un nombre positiu més gran que 1 com el '''10''', llavors aquest 3 creix o augmenta fins a 30. ::[[File:Lente001.jpg|300px]] <math>3\xrightarrow{\;\;\;\times 10\;\;\;}30</math> : En multiplicar 3 per un nombre positiu més petit que 1 com el '''0'2''', llavors aquest 3 decreix o disminueix fins a 0'6. ::[[File:Lente002.jpg|300px]] <math>3\xrightarrow{\;\;\;\times 0'2\;\;\;}0,6</math> == Fraccions enteres == Aquesta secció presenta la notació actual de '''fracció''' que evita o simplifica la multiplicació d'una fracció unitària per un nombre, o també evita la suma de moltes fraccions unitàries idèntiques, estalviant així temps i agilitzant operacions secundàries. === Notació de fracció entera === {|align="right" style="border: 1px solid #77d" cellspacing="0" cellpadding="3" |- |colspan="2" style="background:#ddf"|'''Tipus de fraccions''' |- |style="border: 1px solid #bbd;background:#f4f4ff"|Model |style="border: 1px solid #bbd;background:#f4f4ff"|Nom |- |style="border: 1px solid #bbd"|<math>\frac{1}{b}</math> |style="border: 1px solid #bbd"|'''unitària''' |- |style="border: 1px solid #bbd"|<math>\frac{a}{b}\,\,i\,\,a<b</math> |style="border: 1px solid #bbd"|'''pròpia''' |- |style="border: 1px solid #bbd"|<math>\frac{a}{b}\,\,i\,\,a>b</math> |style="border: 1px solid #bbd"|'''impròpia''' |} Per escriure que ''un valor arbitrari es divideix en una quantitat de parts iguals'' fem servir la notació general de fraccions: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Ocultar" |- |<math>\dfrac{a}{b}</math>, on '''ɑ''' és el '''numerador''', dividend o valor a dividir, i '''b''' és el '''denominador''', divisor o valor que divideix però no nul, es a dir, diferent de zero, <math>b\neq 0.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| {|cellspacing="0" cellpadding="5" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Nivell pro" data-collapsetext="Ocultar" |- |La fracció demana les '''vegades que el valor <math>b</math> està dins del valor <math>a</math>''' amb aquesta pregunta es pot reconstruir el mecanisme de les divisions que coneixem. |- |style="border: 1px solid #fbb"|Es vol repartir 19€ entre 8 persones, per tant, tenim la fracció <math>\frac{19}{8}</math> i vull obtenir el seu valor decimal per saber quant toca a cadascú: Es veu que 8 cap 2 vegada com a màxim dins de 19, es a dir, que <math>8\times 2< 19</math> i sobra un 3 que falta dividir entre 8 que s'escriu com:<ref group="note" name="cap"/> :<math>\frac{19}{8}=2+\frac{3}{8}</math> ::Es llegeix com que cada persona rep 2€ i falten 3€ a repartir entre les 8 persones. S'ha de descanviar 3€ en dècimes d'euro, així, 3€ = 30 dècimes per repartir-les entre 8 persones, per tant, tenim la fracció <math>\frac{30}{8}.</math> Novament es veu que 8 cap 3 vegades com a màxim dins de 30, és a dir, que <math>8\times 3< 30</math> i sobra un 6 que falta dividir entre 8 que s'escriu com: :<math>\frac{30}{8}</math> <math>=3+\frac{6}{8}</math> ::Es llegeix com que cada persona rep 3 dècimes d'euro i falta 6 dècimes a repartir entre 8 persones. S'ha de descanviar 6 dècimes d'euro, així, 6 dècimes = 60 cèntims per repartir-les entre 8 persones, per tant, tenim la fracció <math>\frac{60}{8}.</math> Novament es veu que 8 cap 7 vegades com a màxim dins de 60, és a dir, que <math>8\times 7< 60</math> i sobra un 4 que falta dividir entre 8 que s'escriu com: :<math>\frac{60}{8}</math> <math>=7+\frac{4}{8}</math> ::Es llegeix com que cada persona rep 7 cèntims i sobren 4 cèntims a repartir entre 8 persones. S'ha de descanviar 4 cèntims, així, 4 cèntims són 40 mil·lèsimes d'euro, unitat que no existeix, per tant, tenim la fracció <math>\frac{40}{8}.</math> Novament es veu que 8 cap exactament 5 vegades dins de 40 ja que <math>8\times 5=40.</math> :<math>\frac{40}{8}</math> <math>=5</math> ::Es llegeix com que cada persona rep 5 mil·lèsimes d'euro. El resultat és docs <math>\frac{19}{8}=2+0'3+0'07+0'005=2,375\euro</math> són les vegades que 8 està dins de 19 amb tots els decimals. |} Tota fracció impròpia es pot escriure com un nombre més una fracció pròpia <math>s+\tfrac{a}{b}</math> <math>=s\;\;^a/_b,</math> on <math>a<b</math> d'aquesta suma en diem '''nombres mixtos''': :A partir de la suma de fraccions unitàries del mateix tipus: ::<math>\underbrace{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}}_{=1}+\underbrace{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}}_{=1}+\underbrace{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}}_{=1}+\underbrace{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}}_{=3\times\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}}=3+\tfrac{3}{4}=3\;\;^3/_4</math> :Interpretació a partir de nombres decimals: ::<math>3,5=3+\tfrac{1}{2}=3\;\;^1/_2</math> es pot desfer fent <math>=\dfrac{3\times 2+1}{2}=\tfrac{7}{2}.</math> ::<math>2,75=2+\tfrac{3}{4}=2\;\;^3/_4</math> es pot desfer fent <math>=\dfrac{2\times 4+3}{4}=\tfrac{11}{4}.</math> ::<math>7,8=7+\tfrac{4}{5}=7\;\;^4/_5</math> es pot desfer fent <math>=\dfrac{7\times 5+4}{5}=\tfrac{39}{5}.</math> '''Nota''': Que una fracció sigui impròpia no la fa prohibida, una alternativa és amagar-la en la forma fracció mixta, això no impedeix la seva existència implícita. S'ha d'interpretar i conèixer bé aquesta notació, ja que, és una forma d'escriure el mateix: :<math>a\div b=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> :<math>a\times \frac{1}{b}=\frac{a\times 1}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> :<math>\frac{1}{b}\times a=\frac{1\times a}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> :<math>1=a\div a=\dfrac{a}{a}</math> '''Exemple intuïtiu:''' Si repartim 310 pans entre 310 persones hem de fer <math>\dfrac{310\,\,Pans}{310\,\,Persones}</math> <math>=\dfrac{1\,\,Pa}{1\,\,Persona}</math> <math>=1\dfrac{Pa}{Persona}</math> <math>=1\;\;^{Pa}/_{Persona}</math> que es llegeix ''un pa '''per''' cada persona''. Si multipliquem una fracció pel número '''1''' no tenim cap canvi. :<math>\frac{a}{b}\times 1=\frac{a\times 1}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> :<math>1\times\frac{a}{b}=\frac{1\times a}{b}=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{a}{b}\\ \hline \end{array}</math> |} ;Exemples d'aplicació de la notació: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="75%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |1) Sumes de fraccions iguals <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=?</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Es demana ajuntar parts o trossos iguals per tant :<math>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}</math> <math>=5\times\frac{1}{3}</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{5}{3}\\ \hline \end{array}</math> Utilitzant decimals és més elaborat: ::<math>0'\widehat{3\,}+0'\widehat{3\,}+0'\widehat{3\,}+0'\widehat{3\,}+0'\widehat{3\,}</math> <math>=5\times 0'\widehat{3\,}</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline 1'\widehat{6\,}\\ \hline \end{array}</math> és a dir que en realitat <math>5\div 3</math> <math>=1'\widehat{6\,}.</math> Quin és el millor? doncs depèn de la situació pot ser un o l'altre. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |2) Sumes de fraccions mateix denominador: <math>\frac{3}{7}+\frac{2}{7}=?</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Només cal interpretar cada fracció per separat per adonar-se que són totes iguals: :<math>\frac{3}{7}+\frac{2}{7}</math> <math>=\bigg(\frac{1}{7}+\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\bigg)+\bigg(\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\bigg)</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{5}{7}\\ \hline \end{array}</math> S'ha de recordar que com que tot són sumes llavors podem treure els parèntesis i es sumar tranquil·lament. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |3) Restes de fraccions mateix denominador: <math>\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=?</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Només cal interpretar cada fracció per separat per adonar-se que són totes iguals: :<math>\frac{4}{5}-\frac{3}{5}</math> <math>=\bigg(\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}\bigg)+\bigg(-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{5}\bigg)</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline\dfrac{1}{5}\\ \hline \end{array}</math> Podem treure els parèntesis i es resta tranquil·lament. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |4) Quants setens hi ha a l'expressió: <math>\frac{13}{7}?</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Només cal entendre que el numerador parla de quants setens tenim, en aquest cas 13 setens. |} ;Interpretacions de <math>\frac{a}{b}:</math> {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |- | *Quantitat de vegades que '''b''' cap dins de '''ɑ'''.<ref group="note" name="cap">Direm que "3 '''cap''' 4 vegades dins 13", abusant del llenguatge, es refereix a les vegades que puc '''ocupar en grup de 3 espais''' sense sobrepassar els '''13 espais donats''' </ref> ::[[File:Interpretando una fracción 001.svg|100px]] <math>\Rightarrow\frac{a}{b}=6</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Exemple 1''': Es vol fer un estudi més general sobre distribució d'espai, en primer lloc s'analitzen 13 places d'aparcament de cotxes i es vol estudiar quants '''grups de 3''' cotxes cap a dins, és a dir, omplir-lo de 3 en 3, visualment amb un dibuix ja es veu la solució: [[File:Estacionamiento en línea 001.svg|center|300]] :Amb una divisió entera també tindrem la solució <math>\begin{matrix} 13 & \begin{array}{|c} 3 \\ \hline \end{array} \\ 1 & 4 \end{matrix}</math> i el resultat diu que cap 4 grups de 3 cotxes i sobra un espai. :Amb calculadora <math>\frac{13\;places}{3\;places\;agrupades}=4,\widehat{3\,},</math> per tant, són 4 agrupacions i els decimals <math>0'\widehat{3\,}</math> només indiquen que han sobrat espais, per recuperar aquest espai residual s'ha de multiplicar per 3 donant <math>0'\widehat{3\,}\times 3=1</math> lloc. [[File:Huevera o caja de una docena de huevos 00.jpg|100px|right]] '''Exemple 2''': S'estudia una ouera per a una dotzena d'ous i 5 gallines que donen 1 ou diari cadascuna. Es vol saber en quants dies s'ocupa aquesta ouera i, per tant, necessitaré una nova ouera. Esquema on visualment ja es veu la solució: ::[[File:IconoDoceavoRecV01.svg|150px]] :Amb una divisió entera també tindrem la solució <math>\begin{matrix} 12 & \begin{array}{|c} 5 \\ \hline \end{array} \\ 2 & 2 \end{matrix}</math> i el resultat diu que en 2 dies s'omple la ouera i sobren 2 espais, i per tant necessitarem una de nova. :Amb calculadora <math>\frac{12\;espais}{5\;espais\;per\;dia\;ocupats}=2'4,</math> per tant, en 2 dies s'ocupa aquesta primera ouera i els decimals 0'4 només indiquen que han sobrat espais, en aquest cas sobren <math>0'4\times 5=2</math> llocs. '''Nota:''' Aquests exemples són expressament molt fàcils i es poden veure a ull però amb valors més grans és difícil de fer-lo a ull. Identifiqueu la idea més simple que dona. També es por fer un resum amb les pròpies paraules. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |- | *Valor de cadascuna de les '''b''' parts iguals que es poden fer del valor '''ɑ'''. ::[[File:Interpretando una fracción 002.svg|100px]] <math>\Rightarrow\frac{a}{b}=4</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Exemple 1: Es vol destinar un espai de 60 metres per a estacionament de vehicles en línia (un davant de l'altre). Quants metres tindria cada aparcament si es vol fer-ne 15? i si es vol fer-ne 18? :Si es vol 15, s'ha de fer la divisió <math>\frac{60\;m}{15\;espais}=4\frac{m}{espai},</math> per tant 4 metres per espai. :Si es vol 18, s'ha de fer la divisió <math>\frac{60\;m}{18\;espais}=3,\widehat{3\,}\frac{m}{espai},</math> per tant 3,333 metres per espai aproximadament. '''Nota:''' Evidentment si es vol anar directament a una mesura com 3 metres per aparcament s'aplica la idea anterior <math>\frac{60\;m}{3\;m}=20\;aparcaments.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Amaga" |- | *Per cada '''b''' elements d'un conjunt n'agafem '''ɑ''' elements o ,equivalentment, agafem '''ɑ''' elements per cada '''b''' elements d'un conjunt. ::[[File:Interpretando una fracción 003.svg|400px]] <math>\frac{2}{20}</math> del motiu és verd. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aquí només cal dir que es considera que el fris decoratiu és molt gran, llavors només cal identificar el '''motiu''' que es repeteix i construir una fracció a partir del que es demana sobre el motiu. També es pot fer una equivalència amb: *'''b''' és el total de elements d'un '''conjunt unitat''' divisible, i '''ɑ''' és la quantitat que es necessita. :*<math>\frac{parts\;escollides}{total\;de\;parts\;per\;escollir}</math> :*<math>\frac{elements\;seleccionats}{tots\;els\;elements\;seleccionables}</math> :*<math>\frac{parts\;pintades}{total\;de\;parts\;per\;pintar}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Amaga" |- | *A partir de '''b''' s'obté el tipus d'elements utilitzats i '''ɑ''' els elements que es necessiten. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aquesta darrera interpretació és la més general i la que produeix fraccions impròpies de forma natural. Quan es diu que a partir de '''b''' s'obté el tipus d'elements, està parlant de que els elements són <math>\frac{1}{b}</math> com a una ''unitat fraccionària''. Si es demanen 400 pans d'un quart, ¿Quant pesa?. Llavors el que es fa és <math>400\times\frac{1}{4}=</math> <math>\frac{400}{4}=</math> 100&nbsp;kg. A algunes aplicacions parlen que és necessari <math>\frac{5}{5}</math> per arribar a un objectiu, només cal observar que '''la unitat desitjada està formada per 5 elements''', llavors: * Si es diu que hi ha <math>\frac{1}{5}</math> del que es desitja, vol dir que hi ha la cinquena part de la unitat de 5 elements, és a dir, tens un sol element i es demanen 5. * Si es diu que hi ha <math>\frac{55}{5}</math> del que es desitja, vol dir que hi ha 55 cinquenes parts de la unitat de 5 elements, és a dir, sobren 50 elements. |} ==== Exemples ==== {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |1) Un comprador fa una comanda de 15 trossos d'un mateix tipus de formatge, aquest formatge es ven en mitjos de formatge. A quants formatges sencers equival la compra feta realment? escriu-lo en nombres mixtos i després en nombres decimals. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Com que 15 no es pot dividir entre 2 llavors apartem un dels 15 i obtenim 14. :Directament separem un mig dels 15 que tinc <math>15\times\frac{1}{2}</math> <math>=\frac{14}{2}+\frac{1}{2}</math> :Es calcula els 14 mitjos: <math>=\frac{14}{2}+\frac{1}{2}</math> <math>=\begin{array}{|c|}\hline 7+\dfrac{1}{2}.\\ \hline \end{array}</math> :I amb decimals <math>=7+\frac{1}{2}</math> = 7 + 0'5 <math>=\begin{array}{|c|}\hline 7'5.\\ \hline \end{array}</math> De fet la divisió entera ens diu com és el nombre, el residu 1 és l'u d'aquest un mig: :<math>\begin{matrix} 15 & \begin{array}{|c}2\\ \hline \end{array}\\ 1 & 7 \end{matrix} \;\;\;\Rightarrow\;\;\; \frac{15}{2}=7+\frac{1}{2}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |2) Un home es menja la meitat d'una pizza, després té més gana però només es menja l'equivalent a un quart de la pizza inicial. Quina fracció s'ha menjat realment respecte de la pizza unitat? |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Si es representa clarament el mig és el mateix que dos quarts [[File:Fracción suma 1 de 4 i 1 de 2.svg|200px|center]] Per tant en comptes de <math>\frac{1}{4}+\frac{1}{2}</math> el que realment tinc és <math>\frac{1}{4}+\frac{2}{4}</math> i que sumant dona <math>\begin{array}{|c|}\hline \dfrac{3}{4}\\ \hline \end{array}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |3) Suposant que el fris és indefinidament llarg. Quina fracció del fris és de color verd? [[File:Friso de triángulos equiláteros 0001.svg|600px|center]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|El patró que es repeteix és el parell verd-carbassa; de dos triangles un és verd, per tant, <math>\frac{1}{2}</math> del fris és de color verd. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |4) Suposant que el fris és indefinidament llarg. Quina fracció del fris és de color verd i quina no és de color verd? [[File:Friso de triángulos equiláteros 0002.svg|600px|center]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Doncs com que el patró que es repeteix és verd-carbassa-blau cel-carbassa; de quatre triangles un és verd, per tant, <math>\frac{1}{4}</math> del fris és verd i <math>\frac{3}{4}</math> del fris no és verd. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |5) Suposant que el fris és indefinidament llarg. Quina fracció del fris és de color verd i quina no és de color verd? [[File:Friso de triángulos equiláteros 0003.svg|600px|center]] |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Doncs com que el patró que es repeteix és verd-carbassa-carbassa; de tres triangles un és verd, per tant, <math>\frac{1}{3}</math> del fris és verd i <math>\frac{2}{3}</math> del fris no és verd. |} === Sumes i restes de fraccions enteres === {|cellspacing="0" cellpadding="5" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" |- |style="border: 2px solid #77d;" align="center"|<math>\,\,\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{a+b}{n}</math> |style="border: 1px solid #77d;" align="center"|<math>\,\,\frac{a}{n}-\frac{b}{n}=\frac{a-b}{n}</math> |- |style="border: 1px solid #77d;" align="center"|<math>-\frac{a}{n}+\frac{b}{n}=\frac{-a+b}{n}</math> |style="border: 1px solid #77d;" align="center"|<math>-\frac{a}{n}-\frac{b}{n}=\frac{-a-b}{n}</math> |- |colspan="2"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Ocultar" |- | |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Aquesta demostració val per tots, només cal repetir l'estratègia de interpretar la notació: <math>\frac{a}{n}+\frac{b}{n}</math> <math>=\underbrace{ \underbrace{\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_a+\underbrace{\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_b}_{a+b}</math> <math>=\frac{a+b}{n}</math> |} |} '''Exercicis:''' 1) Quina és la quantitat total resultant a cada cas: :a) S'ha venut els formatges indicats: <math>4+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=</math> :b) S'han repartit els següents trossos de barres de pa de 2kg: <math>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=</math> :c) En una capsa tenim un pastís dividit en 35 trossos, per repartir-la entre els seus companys, Marta agafa 5, Josep n'agafa 10, Pere n'agafa 10 i Joan es menja 3. Quina fracció de pastís queda per repartir? :d) Un restaurador suma l'àrea les fraccions de rajoles restaurades, cada rajola té 1 metre quadrats que ha restaurat: <math>\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+\frac{5}{4}=</math> :e*canviar) Un venedor de farines ven les següents quantitats en fraccions de kilograms: <math>4+\frac{2}{10}+\frac{3}{100}+\frac{7}{1000}=</math> :e) Volem saber quina és la fracció total de cada tipus de rajola de cadascun dels recobriments següents, pistes: ::* Imaginem que els dibuixos són recobriments extensos i hem dibuixat un trosset petit de com es repeteix el dibuix. ::* S'ha de prendre com a unitat un '''tros''' del dibuix, anomenat patró, amb el qual es pot fer o dibuixar tot el recobriment i deduir les fraccions de tot, només a partir d'aquest tros ben escollit. :::{|cellspacing="3" cellpadding="3" |- |c.1) [[File:Revestimiento0006.svg|200px]] |c.2) [[File:Revestimiento0005.svg|200px]] |- |c.3) [[File:Revestimiento0007.svg|200px]] |c.4) [[File:Revestimiento0001.svg|200px]] |- |c.5) [[File:Revestimiento0002.svg|200px]] |c.6) [[File:Revestimiento0004.svg|200px]] |- |c.7) [[File:Revestimiento0003.svg|200px]] |} 2) Calculeu la operació indicada: {| |width="300"| :a) <math>\frac{1}{5}+\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=</math> |width="300"| :b) <math>\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=</math> |- |width="300"| :c) <math>\frac{8}{3}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=</math> |width="300"| :d) <math>-\frac{6}{3}+\frac{5}{3}=</math> |- |width="300"| :e) <math>\frac{9}{10}+\frac{1}{10}=</math> |width="300"| :f) <math>\frac{5}{8}+\frac{1}{8}-\frac{6}{8}=</math> |} === Multiplicació de fraccions === {|class="floatright" style="border: 1px solid #08f" width="149" |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{a\cdot c}{c\cdot d}=\frac{a\cdot \color{red}{\cancel c}}{\color{red}{\cancel c} \color{black}\cdot d}=\frac{a}{d}</math> |- |style="border: 1px solid #08f"|<math>\frac{\,\,\frac{a}{b}\,\,}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}</math> <math>=\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}</math> |} {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" cellspacing="0" cellpadding="8" width="120" |- |<math>\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}</math> |} '''Exemples''' 1) <math>\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{7}=\frac{2\cdot 3}{5\cdot 7}=\frac{6}{35}</math> 2) <math>\frac{2}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{2\cdot 4}{5\cdot 3}=\frac{8}{15}</math> ==== Reducció de fraccions ==== Tenim una fracció <math>\frac{p}{q}</math> amb '''p''' i '''q''' divisibles per c, és a dir que '''p = a · c''' i '''q = b · c''', llavors es compleix que: {|style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff" cellspacing="0" cellpadding="8" width="195" |- |<math>\frac{p}{q}=\frac{a\cdot c}{b\cdot c}=\frac{a\cdot\cancel c}{b\cdot\cancel c}=\frac{a}{b}</math> |} ;Exemples: 1) <math>\frac{6}{15}=\frac{2\cdot\cancel 3}{5\cdot\cancel 3}=\frac{2}{3}</math> 2) <math>\frac{8}{6}=\frac{4\cdot\cancel 2}{3\cdot\cancel 2}=\frac{4}{3}</math> 3) <math>\frac{30}{70}=\frac{10\cdot 3}{10\cdot 7}</math> <math>=\frac{\cancel{10}\cdot 3}{\cancel{10}\cdot 7}</math> <math>=\frac{3}{7}</math> 4) <math>\frac{49}{35}=\frac{7\cdot 7}{5\cdot 7}</math> <math>=\frac{7\cdot \cancel 7}{5\cdot \cancel 7}</math> <math>=\frac{7}{5}</math> ;Exercicis de multiplicacions i divisions: {| |width="300"| 1) <math>\frac{5}{6}\cdot\frac{2}{5}=</math> |width="300"| 2) <math>\frac{8}{3}\cdot\frac{6}{4}=</math> |- |width="300"| 3) <math>\frac{4}{15}\cdot\frac{3}{12}=</math> |width="300"| 4) <math>\frac{100}{7}\cdot\frac{14}{200}=</math> |- |width="300"| 5) <math>\frac{\,\,\frac{3}{4}\,\,}{\frac{3}{4}}=</math> |width="300"| 6) <math>\frac{2}{5}\div\frac{4}{3}=</math> |- |width="300"| 7) <math>\frac{1}{3}\div\frac{4}{9}=</math> |width="300"| 8) <math>\frac{\,\,\frac{25}{3}\,\,}{\frac{5}{3}}=</math> |- |width="300"| 9) <math>\frac{\frac{1}{5}-\frac{3}{5}}{\frac{7}{5}}=</math> |} ;Exercicis de reducció: 1) <math>\frac{128}{8}=</math> 2) <math>\frac{60}{12}=</math> 3) <math>\frac{45}{18}=</math> 4) Són equivalents les fraccions següents? '''Nota:''' dues fraccions són equivalents quan en reduir-les surt la mateixa fracció. Aquest terme s'utilitza per evitar dir '''iguals''' ja que simbòlicament no ho són. :a)<math>\frac{500}{70}</math> i <math>\frac{100}{14}</math> :b)<math>\frac{42}{66}</math> i <math>\frac{21}{11}</math> :c)<math>\frac{128}{8}</math> i <math>\frac{16}{1}</math> === Sumes i restes de fraccions === ;Observació: {|width="100%" |width="40"|<math>\frac{1}{3}\rightarrow</math> |width="100"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #000" |width="20" height="86" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="20" height="86" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |width="20" height="86" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |} |width="40" rowspan="2"| <math>\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\rightarrow</math> |rowspan="2" width="95"| {| |width="20"| |width="40"|<math>\leftarrow 3\rightarrow</math> |- |width="20"| <math>\begin{matrix}\uparrow\\ 4 \\ \downarrow \end{matrix}</math> |width="70"| {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #000" |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |- |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |- |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |width="22" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |- |width="20" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |width="20" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |width="20" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |} |} |width="40" rowspan="2"|<math>=\frac{7}{12}</math> | |- |width="40"|<math>\frac{1}{4}\rightarrow</math> | {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #000" |width="64" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#00f"| |- |width="60" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |- |width="60" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |- |width="60" height="20" style="border: 1px solid #000;background:#fff"| |} |} Explicació de l'esquema: S'ha de veure que els terços casualment són divisions verticals, els quarts són divisions horitzontals i quan volem sumar tots dos l'únic que cal és fer les divisions una sobre l'altra. Es veu clarament que un terç són 4 quadradets i un quart són 3 quadradets de un total de 12, per tant el resultat és <math>\frac{7}{12}.</math> ==== Mètode de suma o resta en general ==== Sempre es pot fer aquests procediments i s'ha de reduir sempre que es pugui: 1r Mètode sense miraments: {|cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #88f;"|<math>\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}\pm\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a\cdot d\pm b\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més extensament" data-collapsetext="Ocultar"| {|bgcolor="#f0f6ff" |<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}+\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |<math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}-\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |<math>-\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=-\frac{a\cdot d}{b\cdot d}+\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{-a\cdot d+b\cdot c}{b\cdot d}</math> |- |<math>-\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=-\frac{a\cdot d}{b\cdot d}-\frac{b\cdot c}{b\cdot d}=\frac{-a\cdot d-b\cdot c}{b\cdot d}</math> |} |} 2n Mètode eficient: {|cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #88f;"|<math>\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ a\cdot\frac{mcm}{b}\pm c\cdot\frac{mcm}{d} }{mcm}</math> on '''mcm(b,d)''' és el mínim comú múltiple. |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més extensament" data-collapsetext="Ocultar"| {|bgcolor="#f0f6ff" |<math>\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ a\cdot\frac{mcm}{b}+c\cdot\frac{mcm}{d} }{mcm}</math> |- |<math>\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{ a\cdot\frac{mcm}{b}-c\cdot\frac{mcm}{d} }{mcm}</math> |} |} 3r Mètode del espavilat: Es tracta de fer expressament que tots els denominadors siguin iguals multiplicant pel numerador i denominador per un número. Si es veu difícil apliqueu l'anterior i segur que està bé. {|cellpadding="3" cellspacing="0" |style="border: 2px solid #88f;"|<math>\frac{3}{4}+\frac{3}{8}-\frac{5}{16}=\frac{3\cdot 4}{4\cdot 4}+\frac{3\cdot 2}{8\cdot 2}-\frac{5}{16}=\frac{12}{16}+\frac{6}{16}-\frac{5}{16}=\frac{13}{16}</math> |- |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Explicació" data-collapsetext="Ocultar"| {|bgcolor="#f0f6ff" |Fixem-nos en els denominadors 4, 8 i 16. *Es pot veure que el 4 l'he de multiplicar per 4 per arribar a 16. *Es pot veure que el 8 només l'he de multiplicar per 2 per arribar a 16. Ja està! és el que s'ha de fer com indica l'enunciat, he de multiplicar a numerador i denominador a la vegada per aquests nombres. Finalment es fa la suma. |} |} ;Observacions: *<math>\tfrac{a}{n}\times(b+c) =\tfrac{a\times b}{n}+\tfrac{a\times c}{n}</math> anomenada '''propietat distributiva''' respecte la suma. ;Exemple: {|style="border: 1px solid #88f;" cellpadding="3" cellspacing="0" width="100%" |valign="top" width="10px"|1) |align="center" width="120px"|<math>\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 1" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{1\cdot 3+2\cdot 1}{2\cdot 3}</math> <math>=\frac{3+2}{6}</math> <math>=\frac{5}{6}</math> |- |valign="top"|2) |align="center"|<math>\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 2" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{5\cdot 4+6\cdot 1}{6\cdot 4}</math> <math>=\frac{20+6}{24}</math> <math>=\frac{26}{24}^{\;\div 2}_{\;\div 2}</math> <math>=\frac{13}{12}</math> |- |valign="top"|3) |align="center"|<math>\frac{3}{7}+\frac{4}{3}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 3" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{3\cdot 3+4\cdot 7}{3\cdot 7}</math> <math>=\frac{9+28}{21}</math> <math>=\frac{37}{21}</math> |- |valign="top"|4) |align="center"|<math>\frac{2}{6}+\frac{3}{2}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 4" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{2\cdot 2+6\cdot 3}{6\cdot 2}</math> <math>=\frac{4+18}{12}</math> <math>=\frac{22}{12}^{\;\div 2}_{\;\div 2}</math> <math>=\frac{11}{6}</math> |- |valign="top"|5) |align="center"|<math>\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 5" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{3\cdot 6-4\cdot 1}{4\cdot 6}</math> <math>=\frac{18-4}{24}</math> <math>=\frac{14}{24}^{\;\div 2}_{\;\div 2}</math> <math>=\frac{7}{12}</math> |- |valign="top"|6) |align="center"|<math>\frac{4}{5}-\frac{1}{20}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 6" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{4\cdot 20-5\cdot 1}{5\cdot 20}</math> <math>=\frac{80-5}{100}</math> <math>=\frac{75}{100}^{\;\div 5}_{\;\div 5}</math> <math>=\frac{15}{20}^{\;\div 5}_{\;\div 5}</math> <math>=\frac{3}{4}</math> |- |valign="top"|7) |align="center"|<math>\frac{5}{4}-\frac{2}{25}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 7" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{5\cdot 25-4\cdot 2}{4\cdot 25}</math> <math>=\frac{125-8}{100}</math> <math>=\frac{117}{100}</math> |- |valign="top"|8) |align="center"|<math>-\frac{7}{8}+\frac{3}{4}=</math> |class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució 8" data-collapsetext="Ocultar"|<math>\frac{-7\cdot 4+8\cdot 3}{8\cdot 4}</math> <math>=\frac{-28+24}{32}</math> <math>=\frac{-4}{32}^{\;\div 4}_{\;\div 4}</math> <math>=-\frac{1}{8}</math> |} == Exercicis == Recull d'exercicis de tots els apartats.(en construcció) 1) Reparteix esbrinant el valor que toca a cadascú. :a) Un formatge de 800 grams repartit per a 8 persones. :b) 21 metres quadrats repartits per a 7 persones. :c) 60 maons repartits per a 4 persones. 2) Indica el valor de cada fracció... == Notes == {{reflist|group="note"}} == Referències == {{reflist}} [[Category:Matemàtiques de primer d'ESO]] [[Category:CA]] d90du42mhm8icpmmk3gwe6a7noq57cj