Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.47.0-wmf.24 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 4 1703 386457 386296 2026-10-26T14:00:34Z MediaWiki message delivery 22278 /* Server switch - Your wiki will be read-only for a short time soon */ new section 386457 wikitext text/x-wiki {{Wikiversity:Babel/Header}} <div style="float:right;"> {{shortcut|WV:BABEL|WV:B|WV:VP}} ;Discussion archive: [[/archive]]</div> <!-- INTERWIKIA --> <!--========== PLEASE EDIT BELOW ===========--> __TOC__ {{clear}} __NEWSECTIONLINK__ == Thank You for Last Year – Join Wiki Loves Ramadan 2026 == Dear Wikimedia communities, We hope you are doing well, and we wish you a happy New Year. ''Last year, we captured light. This year, we’ll capture legacy.'' In 2025, communities around the world shared the glow of Ramadan nights and the warmth of collective iftars. In 2026, ''Wiki Loves Ramadan'' is expanding, bringing more stories, more cultures, and deeper global connections across Wikimedia projects. We invite you to explore the ''Wiki Loves Ramadan 2026'' [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026|Meta page]] to learn how you can participate and [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan 2026/Participating communities|sign up]] your community. 📷 ''Photo campaign on '' [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan 2026|Wikimedia Commons]] If you have questions about the project, please refer to the FAQs: * [[m:Special:MyLanguage/Wiki Loves Ramadan/FAQ/|Meta-Wiki]] * [[c:Special:MyLanguage/Commons:Wiki Loves Ramadan/FAQ|Wikimedia Commons]] ''Early registration for updates is now open via the '''[[m:Special:RegisterForEvent/2710|Event page]]''''' ''Stay connected and receive updates:'' * [https://t.me/WikiLovesRamadan Telegram channel] * [https://lists.wikimedia.org/postorius/lists/wikilovesramadan.lists.wikimedia.org/ Mailing list] We look forward to collaborating with you and your community. '''The Wiki Loves Ramadan 2026 Organizing Team''' 19:44, 16 January 2026 (UTC) <!-- Message sent by User:ZI Jony@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29879549 --> == Annual review of the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines == <section begin="announcement-content" /> I am writing to you to let you know the annual review period for the Universal Code of Conduct and Enforcement Guidelines is open now. You can make suggestions for changes through 9 February 2026. This is the first step of several to be taken for the annual review. [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Annual review/2026|Read more information and find a conversation to join on the UCoC page on Meta]]. The [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] (U4C) is a global group dedicated to providing an equitable and consistent implementation of the UCoC. This annual review was planned and implemented by the U4C. For more information and the responsibilities of the U4C, [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Coordinating Committee/Charter|you may review the U4C Charter]]. Please share this information with other members in your community wherever else might be appropriate. -- In cooperation with the U4C, [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]])<section end="announcement-content" /> 21:02, 19 January 2026 (UTC) <!-- Message sent by User:Keegan (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=29905753 --> == Global ban for Faster than Thunder == Hello, this message is to notify that [[User:Faster than Thunder|Faster than Thunder]] has been nominated for a global ban at [[m:Requests for comment/Global ban for Faster than Thunder]]. You are receiving this notification as required per the [[m:global ban|global ban]] policy as they have made at least 1 edit on this wiki. Thanks, --[[User:SHB2000|SHB2000]] ([[User talk:SHB2000|talk]]) 02:04, 22 March 2026 (UTC) == Action Required: Update templates/modules for electoral maps (Migrating from P1846 to P14226) == Hello everyone, This is a notice regarding an ongoing data migration on Wikidata that may affect your election-related templates and Lua modules (such as <code>Module:Itemgroup/list</code>). '''The Change:'''<br /> Currently, many templates pull electoral maps from Wikidata using the property [[:d:Property:P1846|P1846]], combined with the qualifier [[:d:Property:P180|P180]]: [[:d:Q19571328|Q19571328]]. We are migrating this data (across roughly 4,000 items) to a newly created, dedicated property: '''[[:d:Property:P14226|P14226]]'''. '''What You Need To Do:'''<br /> To ensure your templates and infoboxes do not break or lose their maps, please update your local code to fetch data from [[:d:Property:P14226|P14226]] instead of the old [[:d:Property:P1846|P1846]] + [[:d:Property:P180|P180]] structure. A [[m:Wikidata/Property Migration: P1846 to P14226/List|list of pages]] was generated using Wikimedia Global Search. '''Deadline:'''<br /> We are temporarily retaining the old data on [[:d:Property:P1846|P1846]] to allow for a smooth transition. However, to complete the data cleanup on Wikidata, the old [[:d:Property:P1846|P1846]] statements will be removed after '''May 1, 2026'''. Please update your modules and templates before this date to prevent any disruption to your wiki's election articles. Let us know if you have any questions or need assistance with the query logic. Thank you for your help! [[User:ZI Jony|ZI Jony]] using [[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[User talk:MediaWiki message delivery|talk]]) 17:11, 3 April 2026 (UTC) <!-- Message sent by User:ZI Jony@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=29941252 --> == Request for comment (global AI policy) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> A [[:m:Requests for comment/Artificial intelligence policy|request for comment]] is currently being held to decide on a global AI policy. {{int:Feedback-thanks-title}} [[User:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[User talk:MediaWiki message delivery|talk]]) 00:58, 26 April 2026 (UTC) </bdi> <!-- Message sent by User:Codename Noreste@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30424282 --> == Vote now in the 2026 U4C election == <section begin="announcement-content" /> Eligible voters are asked to participate in the 2026 [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee|Universal Code of Conduct Coordinating Committee]] election. More information–including an eligibility check, voting process information, candidate information, and a link to the vote–are available on Meta at the [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Coordinating_Committee/Election/2026|2026 Election information page]]. The vote closes on 2 June 2026 at [https://zonestamp.toolforge.org/1780358400 00:00 UTC]. Please vote if your account is eligible. Results will be available by 14 June 2026. -- In cooperation with the U4C,<section end="announcement-content" /> [[m:User:Keegan (WMF)|Keegan (WMF)]] ([[m:User talk:Keegan (WMF)|talk]]) 17:15, 27 May 2026 (UTC) <!-- Message sent by User:Keegan (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == RFC about AI-generated content in Wikimedia Commons == <bdi lang="en" dir="ltr"> You are invited to participate in a [[c:Commons:Requests for comment/Policy update for AI content|request for comment on Wikimedia Commons about a policy update for AI content]]. This may affect files that are uploaded to Wikimedia Commons for use on this project. Thank you. [[m:User:Codename Noreste|Codename Noreste]] ([[m:User talk:Codename Noreste|talk]])</bdi> 17:12, 23 June 2026 (UTC) <!-- Message sent by User:Codename Noreste@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == Deployment of Legal and Safety Contacts Link in the Footer of Your Wiki == <section begin="Message"/> '''Legal & Safety Contacts''' Hello community, the Wikimedia Foundation has provided a [[wmf:Special:MyLanguage/Legal:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contact Information|single legal and safety contact page]], to be linked in the footer of your wiki, to ensure access to accurate legal information. This is a regulatory requirement. We have already rolled out links to English, German, Italian, Spanish and other wikis and we will deploy to your wiki soon. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Legal_and_Safety_Contacts_FAQ|Please read more on the project page]] and leave any comments in this thread or on the [[m:Special:MyLanguage/Talk:Wikimedia Foundation Legal and Safety Contacts FAQ|talk page]]. <section end="Message"/> -- [[User:Sannita (WMF)|User:Sannita (WMF)]] ([[User talk:Sannita (WMF)|talk]]) 13:31, 25 June 2026 (UTC) <!-- Message sent by User:Sannita (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Sannita_(WMF)/Mass_sending_test&oldid=30731267 --> == Request for comment (the future of Abstract Wikipedia) == <bdi lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> You are invited to voice your opinions in a [[:m:Requests for comment/The future of Abstract Wikipedia|request for comment about the future of Abstract Wikipedia]]. {{Int:Feedback-thanks-title}} [[:m:User:Kowal2701|Kowal2701]] ([[:m:User talk:Kowal2701|talk]]) 12:25, 24 July 2026 (UTC) </bdi> <!-- Message sent by User:DreamRimmer@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=30513860 --> == Server switch - Your wiki will be read-only for a short time soon == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|Read this message in another language]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] The [[foundation:|Wikimedia Foundation]] will switch the traffic between its data centers. This will make sure that Wikipedia and the other Wikimedia wikis can stay online even after a disaster. All traffic will switch on '''{{#time:j xg|2026-09-23|en}}'''. The switch will start at '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-09-23T14:00|en}} {{#time:H:i e|2026-09-23T14:00}}]'''. Unfortunately, because of some limitations in [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]], all editing must stop while the switch is made. We apologize for this disruption, and we are working to minimize it in the future. A banner will be displayed on all wikis 30 minutes before this operation happens. This banner will remain visible until the end of the operation. You can contribute to the [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate translation or proofreading] of this banner text. '''You will be able to read, but not edit, all wikis for a short period of time.''' * You will not be able to edit for up to an hour on {{#time:l j xg Y|2026-09-23|en}}. * If you try to edit or save during these times, you will see an error message. We hope that no edits will be lost during these minutes, but we can't guarantee it. If you see the error message, then please wait until everything is back to normal. Then you should be able to save your edit. But, we recommend that you make a copy of your changes first, just in case. ''Other effects'': * Background jobs will be slower and some may be dropped. Red links might not be updated as quickly as normal. If you create an article that is already linked somewhere else, the link will stay red longer than usual. Some long-running scripts will have to be stopped. * We expect the code deployments to happen as any other week. However, some case-by-case code freezes could punctually happen if the operation require them afterwards. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] will be unavailable for about 90 minutes. This project may be postponed if necessary. You can [[wikitech:Switch_Datacenter|read the schedule at wikitech.wikimedia.org]]. Any changes will be announced in the schedule. '''Please share this information with your community.'''</div><section end="server-switch"/> [[m:user:Trizek (WMF)|Trizek (WMF)]] 12:58, 15 September 2026 (UTC) <!-- Message sent by User:Trizek (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=30513874 --> == Your feedback wanted: Remove ''(Language link added:) and similar'' edits from Special:RecentChanges == ''(Apologies for posting in English. You can help by translating it)'' Hello, I’m Danny from [[:en:w:Wikimedia_Deutschland|Wikimedia Deutschland’s]] [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects|Wikidata For Wikimedia Projects]] team.<br/> We have been investigating and examining how Wikidata’s use in the [[Special:RecentChanges]] and [[Special:Watchlist]] pages can be made to be more useful, or less ‘noisy’ (fewer edits that have little value to the reader). We are currently exploring to make a change in the volume and the type of Wikidata edits that appear in these pages, and '''we need your feedback''' to help us ensure this is a positive change for the Wikis and won’t disrupt your workflows.<br/> Language links are also known as sitelinks or interlanguage links and describe when a Wikidata item is connected to a Wiki, adding it to the language dropdown tool for other connected Wikis. [[File:Types of Lang Link changes.png|x350px|frame|A variety of "Language Link" edits as seen in the Recent Changes feed]] The request for feedback is whether you support the removal of these language link edits from the Recent Changes and Watchlist feed, or would you oppose such a change and if so, why? Please share you thoughts on the dedicated '''[[m:Talk:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|metawiki Talk page]]'''. Further information about this change: [[m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Clearer_Wikidata_Edit_Summaries/Hide_Language_Link_edits|m:Wikidata_For_Wikimedia_Projects/Hide_Language_Link_edits]] Thank you for any participation or feedback you give, -- [[m:User:Danny_Benjafield_(WMDE)|User:Danny Benjafield (WMDE)]] 12:23, 25 September 2026 (UTC) <!-- Message sent by User:Danny Benjafield (WMDE)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Danny_Benjafield_(WMDE)/MassMessage_test_list&oldid=31080985 --> == Server switch - Your wiki will be read-only for a short time soon == <section begin="server-switch"/><div class="plainlinks"> [[:m:Special:MyLanguage/Tech/Server switch|Read this message in another language]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-Tech%2FServer+switch&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}] The [[foundation:|Wikimedia Foundation]] will switch the traffic between its data centers. This will make sure that Wikipedia and the other Wikimedia wikis can stay online even after a disaster. All traffic will switch on '''{{#time:j xg|2026-10-28|en}}'''. The switch will start at '''[https://zonestamp.toolforge.org/{{#time:U|2026-10-28T15:00|en}} {{#time:H:i e|2026-10-28T15:00}}]'''. Unfortunately, because of some limitations in [[mw:Special:MyLanguage/Manual:What is MediaWiki?|MediaWiki]], all editing must stop while the switch is made. We apologize for this disruption, and we are working to minimize it in the future. A banner will be displayed on all wikis 30 minutes before this operation happens. This banner will remain visible until the end of the operation. You can contribute to the [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ATranslate&group=Centralnotice-tgroup-read_only_banner&task=view&language=&filter=&action=translate translation or proofreading] of this banner text. '''You will be able to read, but not edit, all wikis for a short period of time.''' * You will not be able to edit for up to an hour on {{#time:l j xg Y|2026-10-28|en}}. * If you try to edit or save during these times, you will see an error message. We hope that no edits will be lost during these minutes, but we can't guarantee it. If you see the error message, then please wait until everything is back to normal. Then you should be able to save your edit. But, we recommend that you make a copy of your changes first, just in case. ''Other effects'': * Background jobs will be slower and some may be dropped. Red links might not be updated as quickly as normal. If you create an article that is already linked somewhere else, the link will stay red longer than usual. Some long-running scripts will have to be stopped. * We expect the code deployments to happen as any other week. However, some case-by-case code freezes could punctually happen if the operation require them afterwards. * [[mw:Special:MyLanguage/GitLab|GitLab]] will be unavailable for about 90 minutes. This project may be postponed if necessary. You can [[wikitech:Switch_Datacenter|read the schedule at wikitech.wikimedia.org]]. Any changes will be announced in the schedule. '''Please share this information with your community.'''</div><section end="server-switch"/> [[user:Trizek_(WMF)|Trizek_(WMF)]] 14:00, 26 October 2026 (UTC) <!-- Message sent by User:Trizek (WMF)@metawiki using the list at https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=30513874 --> 00j6hbp3pz3v8kowjr8lvg41tu483rq 0 46018 386456 386441 2026-10-26T12:30:52Z Profev 36331 /* Derivada d'una potència de x */ 386456 wikitext text/x-wiki Línia de presentació de les derivades nivell bàsic. És important haver assolit una bona comprensió del tema de funció contínua, rectes i límits. == Introducció == [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|right|150px]] Les derivades introduïdes per [https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton] s'utilitzen bàsicament per trobar pendents a nivell local sobre les corbes de les funcions. === Taxa de variació mitjana === Amb dos punts sobre un gràfic, <math>A = (a, f(a))</math> i <math>B = (b, f(b))</math>, el pendent entre aquests dos punts s'anomena '''taxa de variació mitjana''' entre '''a''' i '''b''': <math>TVM_{[a,b]} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> Aquesta taxa no requereix els successos intermedis només mesura el pendent de la recta hipotètica que passa per aquest dos punts és, per tant, una relació donada per una divisió entre dues mesures <math>\frac{unitat\;\;vertical}{unitat\;\;horitzontal}</math>: === Derivada === [[File:Derivative.svg|400px|right]] La '''taxa de variació instantània''' o '''derivada''' ha de ser una funció <math>f'(x)</math> que en <math>x_1</math> dona el pendent de la única recta tangent en el punt <math>(x_1,\;f(x_1)).</math> La intensió és que <math>a=x</math> i que '''b''' s'aproxima molt a '''a''' i que només hi ha una diferència de '''h''' entre ells, tan petita com es vulgui <math>b=x+h.</math> L'anterior expressió ha de ser: <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}</math> <math>=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> Es necessita que només hi hagi una es a dir que '''h''' sigui zero amb un límit, és a dir: <math>f'(x^-)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> En resum, per a que una funció <math>f(x)</math> sigui derivable en <math>x_1</math> ha de complir: *Que <math>x_1</math> sigui del domini de <math>f(x)</math> *Que <math>f(x)</math> sigui contínua en un entorn del punt <math>x_1</math> *Que la derivada sigui continua a <math>x_1,</math> és a dir <math>f'(x_1^-)=f'(x_1^+).</math> i no a l'invers. ;Funcions derivables: {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" |Tota funció polinòmica <math>P(x)</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Totes les arrels <math>\sqrt[n]{x}</math> són derivables al seu domini que depèn de '''n'''. |- |Tota exponencial <math>a^x</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Tot logaritme <math>\log_a x</math> és derivable a tota <math>(0,\;\infty).</math> |- |Les funcions <math>\sin(x)</math> i <math>\cos(x)</math> són derivables a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Composicions de funcions derivables és derivable amb les restriccions del domini que requereixen: |- |Tota inversa de funcions derivables és derivable, excepte als zeros de les funcions <math>\frac{1}{f(x)}.</math> |} Aquests resums permet treballar les funcions a trossos que per al batxillerat són les que tenen les patologies a tractar. ==== Exercicis ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades a cada apartat: :a) <math>f(x)=|x|=\begin{cases} x & \text{ si } x>0 \\ -x & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :b) <math>f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ si } x<0 \\ x & \text{ si } x\geq 0 \end{cases}</math> :c) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ -(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> :d) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x>1 \\ 2x-a & \text{ si } x\leq 1 \end{cases}</math> :e) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x+1\;} & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :f) <math>f(x)=\begin{cases} e^x & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :g) <math>f(x)=\begin{cases} ln(x) & \text{ si } x>2 \\ ax^2+bx & \text{ si } x\leq 2\end{cases}</math> ==== Càlcul de derivades ==== Construcció de la [[Taula derivades-batx|taula de derivades]] i [[Exercicis derivades 01|exercicis]]. ===== Derivada de la funció constant ===== 1) Donada una funció constant genèrica del tipus <math>f(x)=k</math> on <math>k\in\mathbb{R}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0\;</math> <math>\Rightarrow\; f'(x)=0</math> ===== Derivada d'una potència de x ===== 2) Donada una funció del tipus <math>f(x)=x^n</math> on <math>n\in\mathbb{N}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\;</math> Considerant que :<math>(x+h)^n</math> <math>=x^n+nhx^{n-1}+{n \choose 2}h^2x^{n-2}+{n \choose 3}h^3x^{n-3}+\dots {n \choose n-2}h^{n-2}x^2+nh^{n-1}x+h^{n}</math> :<math>(x+h)^n</math> <math>\sim x^n+nhx^{n-1}+ o(h^2)</math> on aquest terme <math>o(h^2)</math> indica que tots són potències d'ordre més grans o iguals que <math>h^2</math> i de fet no ens farà falta. Retornant al límit tenim el següent :<math>\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{x^n}+nhx^{n-1}+ o(h^2)-\cancel{x^n}}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{nhx^{n-1}+ o(h^2)}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\left(\frac{nhx^{n-1}}{h}+\frac{o(h^2)}{h}\right)</math> <math>=\lim_{h \to 0} \big(\;nx^{n-1}+o(h)\big)</math> <math>=nx^{n-1}+\lim_{h \to 0}o(h)</math> <math>=nx^{n-1}+0</math> <math>=nx^{n-1}</math> Ja el tenim ja que de fet <math>\lim_{h \to 0}\;h^n=0</math> per un <math>n\in\mathbb{N}</math> i per tant: :<math>f'(x)=nx^{n-1}</math> === Aplicacions === ===== Regla de l'Hôpital ===== [[File:Guillaume de l'Hôpital.jpg|thumb|180px|Matemàtic francès del segle XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)]] La '''regla de l'Hôpital''' no és més que un mètode per comparar o resoldre la '''raó''' del límit entre dues funcions en un punt del tipus <math>\tfrac{0}{0},</math> <math>0\cdot\infty</math> i <math>\tfrac{\infty}{\infty},</math> i diu: cont... [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] targhfoa79290vfej71wd4h4wj1vf0f 386460 386456 2026-10-26T19:34:09Z Profev 36331 /* Càlcul de derivades */ 386460 wikitext text/x-wiki Línia de presentació de les derivades nivell bàsic. És important haver assolit una bona comprensió del tema de funció contínua, rectes i límits. == Introducció == [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|right|150px]] Les derivades introduïdes per [https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton] s'utilitzen bàsicament per trobar pendents a nivell local sobre les corbes de les funcions. === Taxa de variació mitjana === Amb dos punts sobre un gràfic, <math>A = (a, f(a))</math> i <math>B = (b, f(b))</math>, el pendent entre aquests dos punts s'anomena '''taxa de variació mitjana''' entre '''a''' i '''b''': <math>TVM_{[a,b]} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> Aquesta taxa no requereix els successos intermedis només mesura el pendent de la recta hipotètica que passa per aquest dos punts és, per tant, una relació donada per una divisió entre dues mesures <math>\frac{unitat\;\;vertical}{unitat\;\;horitzontal}</math>: === Derivada === [[File:Derivative.svg|400px|right]] La '''taxa de variació instantània''' o '''derivada''' ha de ser una funció <math>f'(x)</math> que en <math>x_1</math> dona el pendent de la única recta tangent en el punt <math>(x_1,\;f(x_1)).</math> La intensió és que <math>a=x</math> i que '''b''' s'aproxima molt a '''a''' i que només hi ha una diferència de '''h''' entre ells, tan petita com es vulgui <math>b=x+h.</math> L'anterior expressió ha de ser: <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}</math> <math>=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> Es necessita que només hi hagi una es a dir que '''h''' sigui zero amb un límit, és a dir: <math>f'(x^-)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> En resum, per a que una funció <math>f(x)</math> sigui derivable en <math>x_1</math> ha de complir: *Que <math>x_1</math> sigui del domini de <math>f(x)</math> *Que <math>f(x)</math> sigui contínua en un entorn del punt <math>x_1</math> *Que la derivada sigui continua a <math>x_1,</math> és a dir <math>f'(x_1^-)=f'(x_1^+).</math> i no a l'invers. ;Funcions derivables: {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" |Tota funció polinòmica <math>P(x)</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Totes les arrels <math>\sqrt[n]{x}</math> són derivables al seu domini que depèn de '''n'''. |- |Tota exponencial <math>a^x</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Tot logaritme <math>\log_a x</math> és derivable a tota <math>(0,\;\infty).</math> |- |Les funcions <math>\sin(x)</math> i <math>\cos(x)</math> són derivables a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Composicions de funcions derivables és derivable amb les restriccions del domini que requereixen: |- |Tota inversa de funcions derivables és derivable, excepte als zeros de les funcions <math>\frac{1}{f(x)}.</math> |} Aquests resums permet treballar les funcions a trossos que per al batxillerat són les que tenen les patologies a tractar. ==== Exercicis ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades a cada apartat: :a) <math>f(x)=|x|=\begin{cases} x & \text{ si } x>0 \\ -x & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :b) <math>f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ si } x<0 \\ x & \text{ si } x\geq 0 \end{cases}</math> :c) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ -(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> :d) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x>1 \\ 2x-a & \text{ si } x\leq 1 \end{cases}</math> :e) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x+1\;} & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :f) <math>f(x)=\begin{cases} e^x & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :g) <math>f(x)=\begin{cases} ln(x) & \text{ si } x>2 \\ ax^2+bx & \text{ si } x\leq 2\end{cases}</math> ==== Càlcul de derivades ==== Construcció de la [[Taula derivades-batx|taula de derivades]] i [[Exercicis derivades 01|exercicis]]. ===== Derivada de la funció constant ===== 1) Donada una funció constant genèrica del tipus <math>f(x)=k</math> on <math>k\in\mathbb{R}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0\;</math> <math>\Rightarrow\; f'(x)=0</math> ===== Derivada d'una potència de x ===== 2) Donada una funció del tipus <math>f(x)=x^n</math> on <math>n\in\mathbb{N}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\;</math> Considerant que :<math>(x+h)^n</math> <math>=x^n+nhx^{n-1}+{n \choose 2}h^2x^{n-2}+{n \choose 3}h^3x^{n-3}+\dots {n \choose n-2}h^{n-2}x^2+nh^{n-1}x+h^{n}</math> :<math>(x+h)^n</math> <math>\sim x^n+nhx^{n-1}+ o(h^2)</math> on aquest terme <math>o(h^2)</math> indica que tots són potències d'ordre més grans o iguals que <math>h^2</math> i de fet no ens farà falta. Retornant al límit tenim el següent :<math>\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{x^n}+nhx^{n-1}+ o(h^2)-\cancel{x^n}}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{nhx^{n-1}+ o(h^2)}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\left(\frac{nhx^{n-1}}{h}+\frac{o(h^2)}{h}\right)</math> <math>=\lim_{h \to 0} \big(\;nx^{n-1}+o(h)\big)</math> <math>=nx^{n-1}+\lim_{h \to 0}o(h)</math> <math>=nx^{n-1}+0</math> <math>=nx^{n-1}</math> Ja el tenim ja que de fet <math>\lim_{h \to 0}\;h^n=0</math> per un <math>n\in\mathbb{N}</math> i per tant: :<math>f'(x)=nx^{n-1}</math> ===== Rectes tangents ===== Definició: Una recta tangent en un punt <math>x_0</math> de la corba que descriu la gràfica d'una funció derivable <math>f(x)</math> és una recta del tipus <math>r(x)=mx+n</math> que passa pel punt <math>x_0</math> i que almenys localment té la mateixa direcció de que la corba de <math>f(x).</math> Fórmula per construir la recta tangent en un punt com <math>x_0</math> a una funció derivable <math>f(x)</math>: :{|cellspacing="6" cellpadding="3" style="border: 2px solid #77d; background:#fff" |<math>y=r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> |} ;Exemples de rectes tangents 1) Recta tangent a <math>f(x)=x^2-x</math> en el punt <math>x_0=3.</math> Solució: :1r) <math>f'(x)=2x-1</math> :2n) Valoració <math>f(x_0)</math> i <math>f'(x_0)</math>: <math>f(3)=(3)^2-(3)=6</math> i <math>f'(3)=2(3)-1=5</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=5(x-3)+6</math> ::Arreglant una mica amb propietat distributiva la recta és: <math>y=5x-9</math> 2) Recta tangent a <math>f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}</math> en el punt <math>x_0=0.</math> Solució: :1r) Amb la regla de la cadena podem derivar-la: ::<math>f'(x)=\big( (x^2-2x+2)^{-1} \big)</math> <math>=-1(x^2-2x+2)^{-2}(2x-2)</math> <math>=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+2)^{2}}</math> :2n) Valoració: ::<math>f(0)=\frac{1}{(0)^2-2(0)+2}=\frac{1}{2}</math> ::<math>f'(0)=-\frac{2(0)-2}{((0)^2-2(0)+2)^2}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=\tfrac{1}{2}(x-0)+\tfrac{1}{2}</math> ::Arreglant una mica la recta és: <math>y=\frac{x+1}{2}</math> ;Exercicis de construcció de rectes tangents 1) Calcula i representa manualment, copiat i amb claredat utilitzant el GeoGebra(Clàssic) les rectes tangents a les funcions donades en el punt demanat. :a) <math>f(x)=\frac{x}{x-1}</math> en el punt <math>x_0=1.</math> :b) <math>f(x)=\ln (x^3-x+3)</math> en el punt <math>x_0=0.</math> :c) <math>f(x)=e^{-x^2}</math> en el punt <math>x_0=-1.</math> :d) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-2)</math> en el punt <math>x_0=2.</math> === Aplicacions === ===== Regla de l'Hôpital ===== [[File:Guillaume de l'Hôpital.jpg|thumb|180px|Matemàtic francès del segle XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)]] La '''regla de l'Hôpital''' no és més que un mètode per comparar o resoldre la '''raó''' del límit entre dues funcions en un punt del tipus <math>\tfrac{0}{0},</math> <math>0\cdot\infty</math> i <math>\tfrac{\infty}{\infty},</math> i diu: cont... [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] twd23zkci1khmt1wegitdnlyrprtbn8 0 52425 386461 385558 2026-10-27T08:20:07Z Profev 36331 /* Representació de fraccions algèbriques */ 386461 wikitext text/x-wiki [[File:Diophantus-cover-Fermat.jpg|thumb|150px|L'''Aritmètica'' de Diofant introdueix el simbolisme algebraic per resoldre equacions al segle III&nbsp;a.C.]] Aquesta secció continua amb les equacions de primer grau i segon grau, ampliant la introducció al mètode de Ruffini. S'integrarà la representació com a mètode de valoració polinòmica, comprovació i supervisió, com a connexió entre conceptes. L'ordre històric va ser diferent, doncs es va produir de forma abstracta, de vegades casual, i es va aplicar a successos molt concrets. S'inclouen algunes dades històriques per mostrar la lentitud amb què es produeixen els avenços, sobretot quan es duen a terme estudis partint de zero. S'ha procurat un llenguatge planer i accessible, amb redundàncies deliberades, per posar èmfasi en certes característiques i interpretacions. == Equacions de primer grau == {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |- |Les '''equacions de primer grau''' són equacions que un cop simplificades són del tipus <math>ax+b=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero i, és a dir, es un polinomi de grau 1 igualat a zero, amb una resolució trivial: :<math>ax+b=0</math> <math>\Leftrightarrow ax=-b</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-b}{a}</math> Per tant es pot dir que sempre té solució i és única. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Exemples amb resolució:''' 1) <math>3x+9=0</math> <math>\Leftrightarrow 3x=-9</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-9}{3}</math> <math>\Leftrightarrow x=-3.</math> 2) <math>3 + 2x-1=-5+x+4</math> <math>\Leftrightarrow x+3=0</math> <math>\Leftrightarrow x=-3.</math> |} == Equacions lineals == {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |Les [[Exercicis d'equacions lineals IV|'''equacions lineals''']] sobre 2 incògnites d'on poden sortir '''les funcions afins''', són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax+by=c</math> on almenys '''a''' o '''b''' siguin diferents de zero i com a funció afí poden ser del tipus <math>y=dx+e</math> sempre que el valors de '''b''' no sigui zero, <math>b\ne 0,</math> en cas contrari és una recta vertical. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Les solucions d'aquest tipus d'equacions és una relació entre '''x''' i '''y''', i això es pot representar al pla cartesià.[[File:GráficaEjercicio.svg|right|200px]] Representació de les equacions a) <math>x+y=0.</math> b) <math>4x+7y=5</math> c) <math>x-y=2</math> d) <math>3x=2y</math> e) <math>x=2</math> f) <math>3x+y=0</math> g) <math>y=-1</math> |} |width="205px" rowspan="2"|[[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|200px|thumb|'''René Descartes''' va introduir la geometria analítica al voltant de l'any 1630&nbsp;d.C.]] |- | ;Exercicis per representar 1) Els clavells costen 2&nbsp;€ la unitat, les roses 3&nbsp;€ la unitat i jo tinc 23&nbsp;€. :a) Quantes possibles combinacions tinc si vull gastar tot el que tinc? Representa'l. :b) Puc gastar tot en clavells? :c) Puc gastar tot en roses? 2) Els cargols d'un cert tipus es venen en capses de 3 unitats, les platines que es volen comprar es venen en capses de 5 unitats. :a)Quantes possibles compres tinc si es vol comprar 5 capses independentment del contingut? Representa'l. :b)Quantes possibles compres tinc si es vol comprar 39 unitats independentment de si són cargols o platines? Representa'l. |} == Equacions de segon grau == {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple resolt" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| S'ha de recordar que les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> i <math>x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" rowspan="2"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} == Equacions polinòmiques == Per resoldre equacions polinòmiques es pot fer servir [[Factorització_de_polinomis_IV|'''Ruffini''']], no és un mètode útil per resoldre equacions però es donen equacions arreglades per ser resoltes amb facilitat. Teniu exercicis de resolució d'equacions amb Ruffini [[Factorització_de_polinomis_IV#Exercicis|al tema de Ruffini 1 i 2.]] Només cal entendre que resoldre una equació és factoritzar-la i dir quins són els valors pels quals la factorització és zero. Exercicis: 1) Resol fent Ruffini successivament. :a) <math>x^3+5x^2-13x+7=0</math> :b) <math>x^5+3x^4+2x^3-2x^2-3x-1=0</math> :c) <math>x^3-2x^2-9x+18=0</math> :d) <math>x^3-19x+30=0</math> :e) <math>x^3-9x^2+27x-27=0</math> :f) <math>x^3-14x^2+49x-36=0</math> :g) <math>x^2+x-1=0</math> Solucions:a) 1 i -7, b) 1 i -1, c)3, -3 i 2, d)3, 2 i -5, e)3, f)1, 9 i 4 g)<math>\frac{-1-\sqrt{5}}{2}</math> i <math>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}</math> == Equacions biquadràtiques == {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i exemple resolt" data-collapsetext="Amaga" |- |Les '''equacions biquadràtiques''' són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^4+bx^2+c=0.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolucions equivalents''' '''1a''' resolució utilitzant canvi de variable: <math>z=x^2</math> d'on <math>z^2=x^4</math> i per tant l'equació biquadràtica es converteix en <math>az^2+bz+c=0</math> que és una equació de segon grau i per tant té les solucions: :<math>z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math> d'on hem de resoldre <math>z=x^2</math> que dona <math>x=\pm\sqrt{z}</math> '''2a''' resolució utilitzant la solució genèrica: <math>x=\pm_1\sqrt{\frac{-b\pm_2\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}</math> ;Exemple de cada resolució: '''1a''' resolució de l'equació amb el canvi <math>z=x^2</math> i <math>z^2=x^4</math> de <math>x^4-5x^2+4=0</math> <math>\Leftrightarrow z^2-5z+4=0</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}z_1=1 \\ z_2=4 \end{cases}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases} x_1=\;\;\;1 \\ x_2=-1\\ x_3=\;\;\;2\\ x_4=-2. \end{cases}</math> '''2a''' resolució de l'equació <math>x^4-5x^2+4=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\pm_1\sqrt{\frac{5\pm_2\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}}</math> <math>\Leftrightarrow x=\pm_1\sqrt{\frac{5\pm_23}{2}}\Rightarrow\begin{cases} \pm\sqrt{1} \Rightarrow\begin{cases} \;\;\;1\\ -1\end{cases} \\ \pm\sqrt{4} \Rightarrow\begin{cases} \;\;\;2\\ -2 \end{cases} \end{cases}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases} x_1=\;\;\;1 \\ x_2=-1\\ x_3=\;\;\;2\\ x_4=-2. \end{cases}</math> |} == Equacions en general == Una equació estableix un lligam entre dues expressions algèbriques: :<math>f(x)=g(x)</math> Aquestes expressions <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math> poden ser de molts tipus, des de polinomis fins a funcions arbitràries. En aquesta secció veurem una part molt petita de la infinitat que existeixen. Quan imposem la equació el que realment estem fent és veure per quins valors de '''x''' coincideixen, en aquest cas s'observen dos punts un anomenat <math>x_1</math> i un altre anomenat <math>x_2</math> [[File:Ecuación v001.svg|center]] '''Teatralització''': Imaginem que la funció f(x) només vol els valors blaus i la funció g(x) només vol els valors vermells. En quin llocs les funcions f(x) i g(x) es posen d'acord ? === Equacions amb fraccions algèbriques === Exercicis d'equacions racionals per practicar la seva resolució i el seu estudi. Exercicis amb fraccions algèbriques factoritzades: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |1) <math>2x=-\frac{1}{x+1}+2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució :<math>\frac{2x\cdot (x+1)}{x+1}=-\frac{1}{x+1}+\frac{2\cdot (x+1)}{x+1}</math> :<math>2x\cdot (x+1)=-1+2\cdot (x+1)</math> i <math>x\ne -1</math> :<math>2x^2+2x=-1+2x+2</math> <math>\Leftrightarrow 2x^2=1</math> <math>\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}</math> <math>\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}</math> <math>\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |2) <math>x+\frac{2}{x-2}=-\frac{x}{x-2}-2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució :<math>\frac{x\cdot (x-2)}{x-2}+\frac{2}{x-2}=-\frac{x}{x-2}-\frac{2\cdot (x-2)}{x-2}</math> :<math>x\cdot (x-2)+2=-x-2\cdot (x-2)</math> i <math>x\ne 2</math> :<math>x^2-2x+2=-x-2x+4</math> <math>\Leftrightarrow x^2+x-2=0</math> <math>\Rightarrow x_1=1, x_2=-2</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |3) <math>x^2-\frac{5x^2}{x+1}=\frac{5x}{x+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució :<math>\frac{x^2\cdot (x+1)}{x+1}-\frac{5x^2}{x+1}=\frac{5x}{x+1}</math> :<math>x^2\cdot (x+1)-5x^2=5x</math> i <math>x\ne -1</math> :<math>x^3+x^2-5x^2=5x</math> <math>\Leftrightarrow x^3-4x^2-5x=0</math> <math>\Leftrightarrow x(x^2-4x-5)=0</math> <math>\Rightarrow x_1=0, x_2=5, x_3=\cancel{-1}</math> El -1 no és solució perquè en substituir-lo dona divisió entre zero. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució explicada" data-collapsetext="Amaga" |- |4) <math>\frac{x^2}{x+2}=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Per obtenir un denominador comú primer hem de fer el mínim comú múltiple <math>mcm(\;(x+2)\;,\;(x+3)\;,\;(x+3)(x+2)\;),</math> com que els únics factors són <math>(x+3)</math> i <math>(x+2)</math> llavors només cal agafar el producte de tots dos i ja és el mcm perquè només hi ha potència 1. *<math>mcm=(x+2)(x+3)</math> que és el mínim comú denominador i ara només cal ajustar el numerador: :<math>\frac{(x+3)x^2}{(x+3)(x+2)}=\frac{1\cdot (x+2)}{(x+3)(x+2)}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}</math> {|bgcolor="#dfd" |[[File:Achtung.png|50px]] |Ara hem de simplificar denominadors d'una equació i cal apuntar-se els valors de '''x''' on és zero aquest denominador, és a dir <math>(x+3)(x+2)=0,</math> que té els zeros '''x=-3''' i '''x=-2''' que són valors '''prohibits com a solució''' a la equació original. |} :<math>(x+3)x^2=1\cdot (x+2)+1</math> <math>\Leftrightarrow x^3+3x^2=x+2+1</math> <math>\Leftrightarrow x^3+3x^2-x-3=0</math> on Ruffini diu que és el mateix que (x+3)(x+1)(x-1)=0 i que té solució -3, -1 i 1 però ja hem dit que el -3 estava prohibit, per tant la '''solució són els valors <math>x_1 = -1</math> i <math>x_2 = 1</math>'''. {|width="100%" | {|bgcolor="#dfd" |Es necessari sempre provar novament les solucions per si sobra alguna solució. |} |align="right"| <math>\Box</math> |} '''Comprovació amb eines tecnològiques''' Amb el [https://www.geogebra.org/calculator|'''GeoGebra'''] podeu representar cada extrem de la equació com a dues funcions diferents: *<math>f(x)=\frac{x^2}{x+2}</math> *<math>g(x)=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}</math> Un cop dibuixades només heu de mirar només la coordenada '''x''' dels punts on es toquen les dues funcions i observareu que només es troben als dos punts <math>x_1 = -1</math> i <math>x_2 = 1</math>. |} 5) <math>\frac{x^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}+1=\frac{4}{x-3}</math> 6) <math>\frac{x^3}{x+10}+\frac{9}{(x+1)(x+10)}=\frac{x^2}{x+1}</math> Equacions amb fraccions algèbriques sense factoritzar: a) <math>\frac{x}{x+1}=\frac{20}{x^2-1}</math> b) <math>\frac{x^3-3x-2}{x^3+3x^2-4}=0</math> c) <math>\frac{x^3}{x^3+3x^2+2x}=\frac{4}{x+1}+\frac{1-4x}{x^2+3x+2}</math> ==== Representació de fraccions algèbriques ==== Secció per representar les fraccions algèbriques especialment per trobar zeros d'aquestes. A partir de qualsevol equació de les anteriors es pot obtenir fàcilment fraccions del tipus: :<math>\frac{P(x)}{Q(x)}=0</math> Agrupant tots els termes a un cantó de la igualtat, ajuntar-los en una sola fracció i reduir el resultat. Mai enviar a dividir gratuïtament expressions perquè surt car. Ara busquem quan és '''zero, positiva o negativa''' aquestes fraccions algèbriques com a funcions sense importar el valor concret, per tant donem els quatre exemples principals en el que es basa tot i algunes curiositats: ;Exemples: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|1) <math>f(x)=(x+1)</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf"|-1|| |- |style="border: 1px solid #000"|x+1 |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |style="border: 1px solid #000" align="center"|0 |style="border: 1px solid #000"|++++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos001.svg|170px]] |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|2) <math>f(x)=(2-x)</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf"|2|| |- |style="border: 1px solid #000"|2-x |style="border: 1px solid #000"|++++++ |style="border: 1px solid #000" align="center"|0 |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos002.svg|170px]] |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|3) <math>f(x)=\frac{1}{(1-x)}</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|1|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>\tfrac{1}{1-x}</math> |style="border: 1px solid #000"|++++++ |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos003.svg|170px]] |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|4) <math>f(x)=\frac{1}{(x+2)}</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-2|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>\tfrac{1}{x+2}</math> |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000"|++++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos004.svg|170px]] |- |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|5) <math>f(x)=(x+3)^n</math> amb <math>n\in\mathbb{N}</math> i parell '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-3|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>(x+3)^n</math> |style="border: 1px solid #000"|+++++ |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000"|+++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos005.svg|170px]] |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|6) <math>f(x)=(x+3)^n</math> amb <math>n\in\mathbb{N}</math> i imparell '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-3|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>(x+3)^n</math> |style="border: 1px solid #000"|- - - - - |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000"|+++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos006.svg|170px]] |} === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"|'''Propietats''' |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Exercicis d'equacions irracionals per practicar la seva resolució i el seu estudi. 1) Exemples elementals: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3=\sqrt{x^2-7}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|No hi ha <math>x</math> fora de l'arrel, per tant només fa falta aïllar :<math>(3)^2=\left(\sqrt{x^2-7}\right)^2</math> <math>\Rightarrow 9=x^2-7</math> <math>\Rightarrow 16=x^2</math> <math>\Rightarrow x=\pm\sqrt{ 16^{\phantom{1}} }=\pm 4</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>3=\sqrt{9}</math> és correcte, Cas 1: <math>3=\sqrt{9}</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>x=\sqrt{x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Elevem al quadrat a cada costat :<math>(x)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2</math> <math>\Rightarrow x^2=x</math> Resolem amb factor comú: :<math>x^2-x=0</math> <math>\Rightarrow x(x-1)=0</math> Llavors o bé <math>x=0</math> o bé <math>x=1.</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>0=\sqrt{0}</math> és correcte, Cas 1: <math>1=\sqrt{1}</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>x=\sqrt{x+1\;}\;+1</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Deixem sola l'arrel i elevem al quadrat :<math>(x-1)^2=\left(\sqrt{x+1\;}\right)^2</math> <math>\Rightarrow x^2-2x+1=x+1</math> <math>\Rightarrow x^2-3x=0</math> <math>\Rightarrow x(x-3)=0</math> Llavors o bé <math>x=0</math> o bé <math>x=3.</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>0=2</math> No és correcte, Cas 3: <math>3=3</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |d) <math>\sqrt{x}=x^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Elevem al quadrat :<math>(\sqrt{x})^2=(x^2)^2</math> <math>\Rightarrow x=x^4</math> <math>\Rightarrow 0=x^4-x</math> <math>\Rightarrow 0=x(x^3-1)</math> llavors o bé <math>x=0</math> o bé <math>x^3-1=0</math> <math>\Rightarrow x=\sqrt[3]{1^{\phantom{1}} }</math> <math>\Rightarrow x=1</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>0=0</math> és correcte, Cas 1: <math>1=1</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |e) <math>\sqrt{2x}=4-x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Elevem al quadrat :<math>(\sqrt{2x})^2=(4-x)^2</math> <math>\Rightarrow 2x=16-8x+x^2</math> <math>\Rightarrow 0=x^2-10x+16</math> <math>\Rightarrow x=5\pm 3</math> llavors o bé <math>x=8</math> o bé <math>x=2.</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>4=-4</math> no és correcte, Cas 1: <math>2=2</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |f) <math>\sqrt{x}=x^2-2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Elevem al quadrat :<math>(\sqrt{x})^2=(x^2-2x)^2</math> <math>\Rightarrow x=x^4-4x^3+4x^2</math> <math>\Rightarrow 0=x^4-4x^3+4x^2-x</math> <math>\Rightarrow 0=x(x^3-4x^2+4x-1)</math> Per Ruffini surt que <math>x^3-4x^2+4x-1=(x-1)(x^2-3x+1)</math> Amb una equació de 2n grau surt que <math>x^2-3x+1=\left( x-\tfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)\left( x-\tfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)</math> llavors té les solucions: <math>x=0,</math> <math>x=1,</math> <math>x=\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}</math> i <math>x=\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}.</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>0=0</math> és correcte, Cas 1: <math>1=-1</math> no és correcte. Cas <math>\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}</math>: no és correcte. Cas <math>\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}</math>: és correcte. |} 2) Exemples amb 2 arrels: a) <math>\sqrt{x}=\sqrt{2x-1}</math> b) <math>1+\sqrt{x}=\sqrt{2x-2}</math> c) <math>1=\sqrt{x}-\sqrt{5-x}</math> d) <math>\sqrt{5-x^2}=\sqrt{x^2-3}</math> e) <math>2\sqrt{5-x^2}=\sqrt{8-x^2}</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] rzc88vbnqi3bljcjja7mbgngkgb9yww 386462 386461 2026-10-27T09:40:07Z Profev 36331 386462 wikitext text/x-wiki [[File:Diophantus-cover-Fermat.jpg|thumb|150px|L'''Aritmètica'' de Diofant introdueix el simbolisme algebraic per resoldre equacions al segle III&nbsp;a.C.]] Aquesta secció continua amb les equacions de primer grau i segon grau, ampliant la introducció al mètode de Ruffini. S'integrarà la representació com a mètode de valoració polinòmica, comprovació i supervisió, com a connexió entre conceptes. L'ordre històric va ser diferent, doncs es va produir de forma abstracta, de vegades casual, i es va aplicar a successos molt concrets. S'inclouen algunes dades històriques per mostrar la lentitud amb què es produeixen els avenços, sobretot quan es duen a terme estudis partint de zero. S'ha procurat un llenguatge planer i accessible, amb redundàncies deliberades, per posar èmfasi en certes característiques i interpretacions. == Equacions de primer grau == {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |- |Les '''equacions de primer grau''' són equacions que un cop simplificades són del tipus <math>ax+b=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero i, és a dir, es un polinomi de grau 1 igualat a zero, amb una resolució trivial: :<math>ax+b=0</math> <math>\Leftrightarrow ax=-b</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-b}{a}</math> Per tant es pot dir que sempre té solució i és única. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Exemples amb resolució:''' 1) <math>3x+9=0</math> <math>\Leftrightarrow 3x=-9</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-9}{3}</math> <math>\Leftrightarrow x=-3.</math> 2) <math>3 + 2x-1=-5+x+4</math> <math>\Leftrightarrow x+3=0</math> <math>\Leftrightarrow x=-3.</math> |} == Equacions lineals == {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemples" data-collapsetext="Amaga" |Les [[Exercicis d'equacions lineals IV|'''equacions lineals''']] sobre 2 incògnites d'on poden sortir '''les funcions afins''', són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax+by=c</math> on almenys '''a''' o '''b''' siguin diferents de zero i com a funció afí poden ser del tipus <math>y=dx+e</math> sempre que el valors de '''b''' no sigui zero, <math>b\ne 0,</math> en cas contrari és una recta vertical. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Les solucions d'aquest tipus d'equacions és una relació entre '''x''' i '''y''', i això es pot representar al pla cartesià.[[File:GráficaEjercicio.svg|right|200px]] Representació de les equacions a) <math>x+y=0.</math> b) <math>4x+7y=5</math> c) <math>x-y=2</math> d) <math>3x=2y</math> e) <math>x=2</math> f) <math>3x+y=0</math> g) <math>y=-1</math> |} |width="205px" rowspan="2"|[[File:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|200px|thumb|'''René Descartes''' va introduir la geometria analítica al voltant de l'any 1630&nbsp;d.C.]] |- | ;Exercicis per representar 1) Els clavells costen 2&nbsp;€ la unitat, les roses 3&nbsp;€ la unitat i jo tinc 23&nbsp;€. :a) Quantes possibles combinacions tinc si vull gastar tot el que tinc? Representa'l. :b) Puc gastar tot en clavells? :c) Puc gastar tot en roses? 2) Els cargols d'un cert tipus es venen en capses de 3 unitats, les platines que es volen comprar es venen en capses de 5 unitats. :a)Quantes possibles compres tinc si es vol comprar 5 capses independentment del contingut? Representa'l. :b)Quantes possibles compres tinc si es vol comprar 39 unitats independentment de si són cargols o platines? Representa'l. |} == Equacions de segon grau == {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple resolt" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| S'ha de recordar que les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> i <math>x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" rowspan="2"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} == Equacions polinòmiques == Per resoldre equacions polinòmiques es pot fer servir [[Factorització_de_polinomis_IV|'''Ruffini''']], no és un mètode útil per resoldre equacions però es donen equacions arreglades per ser resoltes amb facilitat. Teniu exercicis de resolució d'equacions amb Ruffini [[Factorització_de_polinomis_IV#Exercicis|al tema de Ruffini 1 i 2.]] Només cal entendre que resoldre una equació és factoritzar-la i dir quins són els valors pels quals la factorització és zero. Exercicis: 1) Resol fent Ruffini successivament. :a) <math>x^3+5x^2-13x+7=0</math> :b) <math>x^5+3x^4+2x^3-2x^2-3x-1=0</math> :c) <math>x^3-2x^2-9x+18=0</math> :d) <math>x^3-19x+30=0</math> :e) <math>x^3-9x^2+27x-27=0</math> :f) <math>x^3-14x^2+49x-36=0</math> :g) <math>x^2+x-1=0</math> Solucions:a) 1 i -7, b) 1 i -1, c)3, -3 i 2, d)3, 2 i -5, e)3, f)1, 9 i 4 g)<math>\frac{-1-\sqrt{5}}{2}</math> i <math>\frac{-1+\sqrt{5}}{2}</math> == Equacions biquadràtiques == {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i exemple resolt" data-collapsetext="Amaga" |- |Les '''equacions biquadràtiques''' són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^4+bx^2+c=0.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolucions equivalents''' '''1a''' resolució utilitzant canvi de variable: <math>z=x^2</math> d'on <math>z^2=x^4</math> i per tant l'equació biquadràtica es converteix en <math>az^2+bz+c=0</math> que és una equació de segon grau i per tant té les solucions: :<math>z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.</math> d'on hem de resoldre <math>z=x^2</math> que dona <math>x=\pm\sqrt{z}</math> '''2a''' resolució utilitzant la solució genèrica: <math>x=\pm_1\sqrt{\frac{-b\pm_2\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}</math> ;Exemple de cada resolució: '''1a''' resolució de l'equació amb el canvi <math>z=x^2</math> i <math>z^2=x^4</math> de <math>x^4-5x^2+4=0</math> <math>\Leftrightarrow z^2-5z+4=0</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}z_1=1 \\ z_2=4 \end{cases}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases} x_1=\;\;\;1 \\ x_2=-1\\ x_3=\;\;\;2\\ x_4=-2. \end{cases}</math> '''2a''' resolució de l'equació <math>x^4-5x^2+4=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\pm_1\sqrt{\frac{5\pm_2\sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1}}</math> <math>\Leftrightarrow x=\pm_1\sqrt{\frac{5\pm_23}{2}}\Rightarrow\begin{cases} \pm\sqrt{1} \Rightarrow\begin{cases} \;\;\;1\\ -1\end{cases} \\ \pm\sqrt{4} \Rightarrow\begin{cases} \;\;\;2\\ -2 \end{cases} \end{cases}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases} x_1=\;\;\;1 \\ x_2=-1\\ x_3=\;\;\;2\\ x_4=-2. \end{cases}</math> |} == Equacions en general == Una equació estableix un lligam entre dues expressions algèbriques: :<math>f(x)=g(x)</math> Aquestes expressions <math>f(x)</math> i <math>g(x)</math> poden ser de molts tipus, des de polinomis fins a funcions arbitràries. En aquesta secció veurem una part molt petita de la infinitat que existeixen. Quan imposem la equació el que realment estem fent és veure per quins valors de '''x''' coincideixen, en aquest cas s'observen dos punts un anomenat <math>x_1</math> i un altre anomenat <math>x_2</math> [[File:Ecuación v001.svg|center]] '''Teatralització''': Imaginem que la funció f(x) només vol els valors blaus i la funció g(x) només vol els valors vermells. En quin llocs les funcions f(x) i g(x) es posen d'acord ? === Equacions amb fraccions algèbriques === Exercicis d'equacions racionals per practicar la seva resolució i el seu estudi. Exercicis amb fraccions algèbriques factoritzades: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |1) <math>2x=-\frac{1}{x+1}+2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució :<math>\frac{2x\cdot (x+1)}{x+1}=-\frac{1}{x+1}+\frac{2\cdot (x+1)}{x+1}</math> :<math>2x\cdot (x+1)=-1+2\cdot (x+1)</math> i <math>x\ne -1</math> :<math>2x^2+2x=-1+2x+2</math> <math>\Leftrightarrow 2x^2=1</math> <math>\Leftrightarrow x^2=\frac{1}{2}</math> <math>\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}</math> <math>\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |2) <math>x+\frac{2}{x-2}=-\frac{x}{x-2}-2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució :<math>\frac{x\cdot (x-2)}{x-2}+\frac{2}{x-2}=-\frac{x}{x-2}-\frac{2\cdot (x-2)}{x-2}</math> :<math>x\cdot (x-2)+2=-x-2\cdot (x-2)</math> i <math>x\ne 2</math> :<math>x^2-2x+2=-x-2x+4</math> <math>\Leftrightarrow x^2+x-2=0</math> <math>\Rightarrow x_1=1, x_2=-2</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |3) <math>x^2-\frac{5x^2}{x+1}=\frac{5x}{x+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució :<math>\frac{x^2\cdot (x+1)}{x+1}-\frac{5x^2}{x+1}=\frac{5x}{x+1}</math> :<math>x^2\cdot (x+1)-5x^2=5x</math> i <math>x\ne -1</math> :<math>x^3+x^2-5x^2=5x</math> <math>\Leftrightarrow x^3-4x^2-5x=0</math> <math>\Leftrightarrow x(x^2-4x-5)=0</math> <math>\Rightarrow x_1=0, x_2=5, x_3=\cancel{-1}</math> El -1 no és solució perquè en substituir-lo dona divisió entre zero. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució explicada" data-collapsetext="Amaga" |- |4) <math>\frac{x^2}{x+2}=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Per obtenir un denominador comú primer hem de fer el mínim comú múltiple <math>mcm(\;(x+2)\;,\;(x+3)\;,\;(x+3)(x+2)\;),</math> com que els únics factors són <math>(x+3)</math> i <math>(x+2)</math> llavors només cal agafar el producte de tots dos i ja és el mcm perquè només hi ha potència 1. *<math>mcm=(x+2)(x+3)</math> que és el mínim comú denominador i ara només cal ajustar el numerador: :<math>\frac{(x+3)x^2}{(x+3)(x+2)}=\frac{1\cdot (x+2)}{(x+3)(x+2)}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}</math> {|bgcolor="#dfd" |[[File:Achtung.png|50px]] |Ara hem de simplificar denominadors d'una equació i cal apuntar-se els valors de '''x''' on és zero aquest denominador, és a dir <math>(x+3)(x+2)=0,</math> que té els zeros '''x=-3''' i '''x=-2''' que són valors '''prohibits com a solució''' a la equació original. |} :<math>(x+3)x^2=1\cdot (x+2)+1</math> <math>\Leftrightarrow x^3+3x^2=x+2+1</math> <math>\Leftrightarrow x^3+3x^2-x-3=0</math> on Ruffini diu que és el mateix que (x+3)(x+1)(x-1)=0 i que té solució -3, -1 i 1 però ja hem dit que el -3 estava prohibit, per tant la '''solució són els valors <math>x_1 = -1</math> i <math>x_2 = 1</math>'''. {|width="100%" | {|bgcolor="#dfd" |Es necessari sempre provar novament les solucions per si sobra alguna solució. |} |align="right"| <math>\Box</math> |} '''Comprovació amb eines tecnològiques''' Amb el [https://www.geogebra.org/calculator|'''GeoGebra'''] podeu representar cada extrem de la equació com a dues funcions diferents: *<math>f(x)=\frac{x^2}{x+2}</math> *<math>g(x)=\frac{1}{x+3}+\frac{1}{(x+3)(x+2)}</math> Un cop dibuixades només heu de mirar només la coordenada '''x''' dels punts on es toquen les dues funcions i observareu que només es troben als dos punts <math>x_1 = -1</math> i <math>x_2 = 1</math>. |} 5) <math>\frac{x^2}{x+1}-\frac{1}{x+1}+1=\frac{4}{x-3}</math> 6) <math>\frac{x^3}{x+10}+\frac{9}{(x+1)(x+10)}=\frac{x^2}{x+1}</math> Equacions amb fraccions algèbriques sense factoritzar: a) <math>\frac{x}{x+1}=\frac{20}{x^2-1}</math> b) <math>\frac{x^3-3x-2}{x^3+3x^2-4}=0</math> c) <math>\frac{x^3}{x^3+3x^2+2x}=\frac{4}{x+1}+\frac{1-4x}{x^2+3x+2}</math> ==== Representació de fraccions algèbriques ==== Secció per representar les fraccions algèbriques especialment per trobar zeros d'aquestes. A partir de qualsevol equació de les anteriors es pot obtenir fàcilment fraccions del tipus: :<math>\frac{P(x)}{Q(x)}=0</math> Agrupant tots els termes a un cantó de la igualtat, ajuntar-los en una sola fracció i reduir el resultat. Mai enviar a dividir gratuïtament expressions perquè surt car. Ara busquem quan és '''zero, positiva o negativa''' aquestes fraccions algèbriques com a funcions sense importar el valor concret, per tant donem els quatre exemples principals en el que es basa tot i algunes curiositats: ;Exemples: {|cellspacing="0" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|1) <math>f(x)=(x+1)</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf"|-1|| |- |style="border: 1px solid #000"|x+1 |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |style="border: 1px solid #000" align="center"|0 |style="border: 1px solid #000"|++++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos001.svg|170px]] |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|2) <math>f(x)=(2-x)</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf"|2|| |- |style="border: 1px solid #000"|2-x |style="border: 1px solid #000"|++++++ |style="border: 1px solid #000" align="center"|0 |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos002.svg|170px]] |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|3) <math>f(x)=\frac{1}{(1-x)}</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|1|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>\tfrac{1}{1-x}</math> |style="border: 1px solid #000"|++++++ |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos003.svg|170px]] |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|4) <math>f(x)=\frac{1}{(x+2)}</math> '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-2|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>\tfrac{1}{x+2}</math> |style="border: 1px solid #000"|- - - - - - |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000"|++++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos004.svg|170px]] |- |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|5) <math>f(x)=(x+3)^n</math> amb <math>n\in\mathbb{N}</math> i parell '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-3|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>(x+3)^n</math> |style="border: 1px solid #000"|+++++ |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000"|+++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos005.svg|170px]] |valign="top" style="border: 1px solid #77d; background:#fff"|6) <math>f(x)=(x+3)^n</math> amb <math>n\in\mathbb{N}</math> i imparell '''Taula''' de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" |||||style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-3|| |- |style="border: 1px solid #000"|<math>(x+3)^n</math> |style="border: 1px solid #000"|- - - - - |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000"|+++++ |} '''Esquema''' de representació de la funció [[File:Representación de sigonos006.svg|170px]] |} ===== Exemples ===== 1) Construcció de la taula de signes de les fraccions algèbriques donades. a) <math>f(x)=(x-1)(x+1)</math> Taula de signes {|cellspacing="0" cellpadding="2" width="300px" |Zeros | |width="30px"| |width="30px" style="border: 2px solid #aaf" align="center"|-1 |width="30px"| |width="30px" style="border: 2px solid #aaf" align="center"|1 |width="30px"| |- |1 |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>(x-1)</math> |style="border: 1px solid #000" align="center"|- |style="border: 1px solid #000" align="center"|- |style="border: 1px solid #000" align="center"|- |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000" align="center"|+ |- | -1 |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>(x+1)</math> |style="border: 1px solid #000" align="center"|- |style="border: 1px solid #000" align="center"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000" align="center"|+ |style="border: 1px solid #000" align="center"|+ |style="border: 1px solid #000" align="center"|+ |- | |style="border: 1px solid #000" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>f(x)</math> |style="border: 1px solid #000" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>0</math> |style="border: 1px solid #000" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |} ===== Exercicis ===== === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"|'''Propietats''' |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Exercicis d'equacions irracionals per practicar la seva resolució i el seu estudi. 1) Exemples elementals: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3=\sqrt{x^2-7}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|No hi ha <math>x</math> fora de l'arrel, per tant només fa falta aïllar :<math>(3)^2=\left(\sqrt{x^2-7}\right)^2</math> <math>\Rightarrow 9=x^2-7</math> <math>\Rightarrow 16=x^2</math> <math>\Rightarrow x=\pm\sqrt{ 16^{\phantom{1}} }=\pm 4</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>3=\sqrt{9}</math> és correcte, Cas 1: <math>3=\sqrt{9}</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>x=\sqrt{x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Elevem al quadrat a cada costat :<math>(x)^2=\left(\sqrt{x}\right)^2</math> <math>\Rightarrow x^2=x</math> Resolem amb factor comú: :<math>x^2-x=0</math> <math>\Rightarrow x(x-1)=0</math> Llavors o bé <math>x=0</math> o bé <math>x=1.</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>0=\sqrt{0}</math> és correcte, Cas 1: <math>1=\sqrt{1}</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>x=\sqrt{x+1\;}\;+1</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Deixem sola l'arrel i elevem al quadrat :<math>(x-1)^2=\left(\sqrt{x+1\;}\right)^2</math> <math>\Rightarrow x^2-2x+1=x+1</math> <math>\Rightarrow x^2-3x=0</math> <math>\Rightarrow x(x-3)=0</math> Llavors o bé <math>x=0</math> o bé <math>x=3.</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>0=2</math> No és correcte, Cas 3: <math>3=3</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |d) <math>\sqrt{x}=x^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Elevem al quadrat :<math>(\sqrt{x})^2=(x^2)^2</math> <math>\Rightarrow x=x^4</math> <math>\Rightarrow 0=x^4-x</math> <math>\Rightarrow 0=x(x^3-1)</math> llavors o bé <math>x=0</math> o bé <math>x^3-1=0</math> <math>\Rightarrow x=\sqrt[3]{1^{\phantom{1}} }</math> <math>\Rightarrow x=1</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>0=0</math> és correcte, Cas 1: <math>1=1</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |e) <math>\sqrt{2x}=4-x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Elevem al quadrat :<math>(\sqrt{2x})^2=(4-x)^2</math> <math>\Rightarrow 2x=16-8x+x^2</math> <math>\Rightarrow 0=x^2-10x+16</math> <math>\Rightarrow x=5\pm 3</math> llavors o bé <math>x=8</math> o bé <math>x=2.</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>4=-4</math> no és correcte, Cas 1: <math>2=2</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="50%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |f) <math>\sqrt{x}=x^2-2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Elevem al quadrat :<math>(\sqrt{x})^2=(x^2-2x)^2</math> <math>\Rightarrow x=x^4-4x^3+4x^2</math> <math>\Rightarrow 0=x^4-4x^3+4x^2-x</math> <math>\Rightarrow 0=x(x^3-4x^2+4x-1)</math> Per Ruffini surt que <math>x^3-4x^2+4x-1=(x-1)(x^2-3x+1)</math> Amb una equació de 2n grau surt que <math>x^2-3x+1=\left( x-\tfrac{3+\sqrt{5}}{2} \right)\left( x-\tfrac{3-\sqrt{5}}{2} \right)</math> llavors té les solucions: <math>x=0,</math> <math>x=1,</math> <math>x=\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}</math> i <math>x=\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}.</math> ;Comprovació: Cas 0: <math>0=0</math> és correcte, Cas 1: <math>1=-1</math> no és correcte. Cas <math>\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}</math>: no és correcte. Cas <math>\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}</math>: és correcte. |} 2) Exemples amb 2 arrels: a) <math>\sqrt{x}=\sqrt{2x-1}</math> b) <math>1+\sqrt{x}=\sqrt{2x-2}</math> c) <math>1=\sqrt{x}-\sqrt{5-x}</math> d) <math>\sqrt{5-x^2}=\sqrt{x^2-3}</math> e) <math>2\sqrt{5-x^2}=\sqrt{8-x^2}</math> == Vegis també == [[Escola secundària]] *[[Matemàtiques 4 ESO]] == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de quart d'ESO]] [[Category:CA]] 90rjaawpd0hfjc6mshc17rpx1i19a8h 0 52739 386459 386446 2026-10-26T19:24:42Z Dušan Kreheľ 45022 Typo. 386459 wikitext text/x-wiki == Varianty mien == * Krehel * Kreheli * Krehelij * Krechiv * Krechov == Etymológia == *Zložené slovo: ''Kreh''+''eľ''. === Kreh === Odvodené z praindouropského ''*krewh₂'' („krv mimo tela (povrchová krv)“,<ref>[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-Slavic/krъxa|*krъxa]].</ref>) z praslovanského ''*krъxa'' (krїcha) znamenajúc ''hrudka''/''kúsok'',<ref>[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-Slavic/krъxa|*krъxa]].</ref> súvisiaci s praslovanským ''*krъxa'' (''krehký'', ''fragilný'').<ref>[[:wikt:en:Reconstruction:Reconstruction:Proto-Slavic/krъxa|*krъxa]].</ref> Mimo slovanských jazykov došlo k zmene ''chr-'' na ''kr-''.<ref>{{Cite web | last = Eichler | first = Ernst | title = Slovanské prvky v bývalém německém nářečí města Mimon | url = http://nase-rec.ujc.cas.cz/archiv.php?art=5078 | access-date = 2025-05-15 }}</ref> === -eľ === Z praslovančiny *-ьlъ (prvá význam: „Z prídavných mien alebo príčastí tvoria podstatné mená (zvyčajne zvieratá alebo rastliny)“, druhý význam: „Zo základných koreňov alebo slovies tvorí nástrojové podstatné mená“).<ref>[[:wikt:en:Reconstruction:Proto-Slavic/-ьlъ|Proto-Slavic/-ьlъ]] (po anglicky).</ref> == Významy == Významy (môžu sa vzájomne prelínať): * '''kus(ky)''':<ref>poľsky [[:wikt:pl:kręgiel|kręgiel]] – bowlingová guľa.</ref> ** podobné slová: krehký, kryha, krach; ** ''kreheľ'' – v šarišskom nárečí označuje predmet (napr. pri hre), ktorý je určený k spadnutiu,<ref>Slovník slovenských nárečí. I. A – K. Ved. red. I. Ripka. Bratislava: Veda 1994. 936 s. ISBN 80-224-0183-8; heslo [https://slovnik.juls.savba.sk/?w=Krehe%C4%BE kreheľ].</ref> ** slovenský ''krhľa'' – nádoba na polievanie vodou, kt. nemusí byť ukončená polievacou ružicou, ** český [[:w:cs:Krecht|krecht]], ** chorvátsky ''krhati'',<ref>https://hjp.znanje.hr/index.php?show=search_by_id&id=elhlXRg%3D.</ref> *'''slivka''': ** slovinský ''krehelj'',<ref>hrsg. auf Kosten des Hochwürdigsten Herrn Fürstbischofs von Laibach, Anton Alois Wolf ... von M. Cigale: [https://www.digitale-sammlungen.de/de/view/bsb10810722?q=krehel&page=916,917 Deutsch-slovenisches Wörterbuch. 1: 1, A - L]; Laibach : Blasnik, 1860.</ref> ** '''kréhelj''', hlja = kreha – ''slovenský'' [[:w:sk:Slivka guľatoplodá ringlotová|slivka guľatoplodá ringlotová]],<ref name="v1894">M. Pletešnik, Slovensko-nemški Slovar, strana 462 ([https://archive.org/stream/slovenskonemkisl01pletuoft#page/462/ online]).</ref> * '''sviňa''': ** slovinsky '''krę́helj''', hlja – ''slovensky'' [[:w:sk:Sviňa|sviňa (zviera)]],<ref name="v1894"/> * '''vydáva zvuk''':<ref>aachenská nemčína [https://archive.org/details/dictionnairedt00scheuoft/page/130/mode/2up?q=CR%C3%89CELLE kreckel] – [[:w:sk:Cvrčkovití|cvrček]].</ref><ref>anglické ''[https://www.ancestry.com/name-origin?surname=kreh Krah]'' s nemeckým pôvodom.</ref><ref>slovinský [https://archive.org/details/slovenskonemkisl01pletuoft/page/462/mode/2up kreh*].</ref><ref>nemecky [https://slovnik.aktuality.sk/preklad/nemecko-slovensky/?q=kr%C3%A4hen krähen] – vrana.</ref><ref>nemecký [https://slovnik.aktuality.sk/preklad/nemecko-slovensky/?q=Kr%C3%A4he vrana].</ref><ref>ukrajinský [[:uk:w:Крех|potápač]] (zvierací rod).</ref> ** podobné slová: krochká, kričí, kráča, chrápe; ** porovnaj: *** kréheljc – po slovensky káčer [[:w:sk:Kačica chrapka|kačice chrapky]]<ref>Slovar slovenskega knjižnega jezika, druga, dopolnjena in deloma prenovljena izdaja, www.fran.si, dostop 27. 12. 2020. ([https://fran.si/133/sskj2-slovar-slovenskega-knjiznega-jezika-2/4488655/kreheljc# online]).</ref> *** Krähe – po nemecký ''vrana''.<ref>https://slovnik.aktuality.sk/preklad/nemecko-slovensky/?q=Kr%C3%A4he.</ref> *** krähen – po nemecký ''krákať''.<ref>https://slovnik.aktuality.sk/preklad/nemecko-slovensky/?q=kr%C3%A4hen.</ref> * '''česať''' (hrebeň) alebo <ref>[[:wikt:en:kreh#Albanian|kreh]] (po anglicky).</ref> '''hrabať''' (zem).<ref>[[:wikt:en:krehër#Albanian|krehër]] (po anglicky).</ref> Termín je odvedený alebo príbuzný od slova '''kráľ''', prípadne s jeho rolou alebo jeho korunou (na hlave). == Referencie == [[Category:SK]] [[Category:SK/Etymológia]] byds366e6ip4by9dzkw7zdd5gmky977 0 56201 386458 2026-10-26T19:23:19Z Dušan Kreheľ 45022 Vytvorenie. 386458 wikitext text/x-wiki Dostupné sú nasledujúce články: * o obciach a mestách: ** [[Pomenovanie/Fintice|Fintice]], ** [[Pomenovanie/Prešov|Prešov]], ** [[Pomenovanie/Sekčov|Sekčov]], ** [[Pomenovanie/Slavkov|Slavkov]], ** [[Pomenovanie/Šváby|Šváby]]. * o priezviskách: ** [[Pomenovanie/Kreheľ|Kreheľ]]. [[Category:SK]] mqsaqslxtktjlpoj143mgaxbo8ntglh