Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 46018 386547 386519 2026-11-06T10:15:46Z Profev 36331 + 386547 wikitext text/x-wiki Línia de presentació de les derivades nivell bàsic. És important haver assolit una bona comprensió del tema de funció contínua, rectes i límits. == Introducció == [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|right|150px]] Les derivades introduïdes per [https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton] s'utilitzen bàsicament per trobar pendents a nivell local sobre les corbes de les funcions. === Taxa de variació mitjana === Amb dos punts sobre un gràfic, <math>A = (a, f(a))</math> i <math>B = (b, f(b))</math>, el pendent entre aquests dos punts s'anomena '''taxa de variació mitjana''' entre '''a''' i '''b''': <math>TVM_{[a,b]} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> Aquesta taxa no requereix els successos intermedis només mesura el pendent de la recta hipotètica que passa per aquest dos punts és, per tant, una relació donada per una divisió entre dues mesures <math>\frac{unitat\;\;vertical}{unitat\;\;horitzontal}</math>: === Derivada === [[File:Derivative.svg|400px|right]] La '''taxa de variació instantània''' o '''derivada''' ha de ser una funció <math>f'(x)</math> que en <math>x_1</math> dona el pendent de la única recta tangent en el punt <math>(x_1,\;f(x_1)).</math> La intensió és que <math>a=x</math> i que '''b''' s'aproxima molt a '''a''' i que només hi ha una diferència de '''h''' entre ells, tan petita com es vulgui <math>b=x+h.</math> L'anterior expressió ha de ser: <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}</math> <math>=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> Es necessita que només hi hagi una es a dir que '''h''' sigui zero amb un límit, és a dir: <math>f'(x^-)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> En resum, per a que una funció <math>f(x)</math> sigui derivable en <math>x_1</math> ha de complir: *Que <math>x_1</math> sigui del domini de <math>f(x)</math> *Que <math>f(x)</math> sigui contínua en un entorn del punt <math>x_1</math> *Que la derivada sigui continua a <math>x_1,</math> és a dir <math>f'(x_1^-)=f'(x_1^+).</math> i no a l'invers. ;Funcions derivables: {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" |Tota funció polinòmica <math>P(x)</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Totes les arrels <math>\sqrt[n]{x}</math> són derivables al seu domini que depèn de '''n'''. |- |Tota exponencial <math>a^x</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Tot logaritme <math>\log_a x</math> és derivable a tota <math>(0,\;\infty).</math> |- |Les funcions <math>\sin(x)</math> i <math>\cos(x)</math> són derivables a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Composicions de funcions derivables és derivable amb les restriccions del domini que requereixen: |- |Tota inversa de funcions derivables és derivable, excepte als zeros de les funcions <math>\frac{1}{f(x)}.</math> |} Aquests resums permet treballar les funcions a trossos que per al batxillerat són les que tenen les patologies a tractar. ==== Exercicis ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades a cada apartat: :a) <math>f(x)=|x|=\begin{cases} x & \text{ si } x>0 \\ -x & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :b) <math>f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ si } x<0 \\ x & \text{ si } x\geq 0 \end{cases}</math> :c) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ -(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> :d) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x>1 \\ 2x-a & \text{ si } x\leq 1 \end{cases}</math> :e) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x+1\;} & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :f) <math>f(x)=\begin{cases} e^x & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :g) <math>f(x)=\begin{cases} ln(x) & \text{ si } x>2 \\ ax^2+bx & \text{ si } x\leq 2\end{cases}</math> ==== Càlcul de derivades ==== Construcció de la [[Taula derivades-batx|taula de derivades]] i [[Exercicis derivades 01|exercicis]]. ===== Derivada de la funció constant ===== 1) Donada una funció constant genèrica del tipus <math>f(x)=k</math> on <math>k\in\mathbb{R}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0\;</math> <math>\Rightarrow\; f'(x)=0</math> ===== Derivada d'una potència de x ===== 2) Donada una funció del tipus <math>f(x)=x^n</math> on <math>n\in\mathbb{N}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\;</math> Considerant que :<math>(x+h)^n</math> <math>=x^n+nhx^{n-1}+{n \choose 2}h^2x^{n-2}+{n \choose 3}h^3x^{n-3}+\dots {n \choose n-2}h^{n-2}x^2+nh^{n-1}x+h^{n}</math> :<math>(x+h)^n</math> <math>\sim x^n+nhx^{n-1}+ o(h^2)</math> on aquest terme <math>o(h^2)</math> indica que tots són potències d'ordre més grans o iguals que <math>h^2</math> i de fet no ens farà falta. Retornant al límit tenim el següent :<math>\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{x^n}+nhx^{n-1}+ o(h^2)-\cancel{x^n}}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{nhx^{n-1}+ o(h^2)}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\left(\frac{nhx^{n-1}}{h}+\frac{o(h^2)}{h}\right)</math> <math>=\lim_{h \to 0} \big(\;nx^{n-1}+o(h)\big)</math> <math>=nx^{n-1}+\lim_{h \to 0}o(h)</math> <math>=nx^{n-1}+0</math> <math>=nx^{n-1}</math> Ja el tenim ja que de fet <math>\lim_{h \to 0}\;h^n=0</math> per un <math>n\in\mathbb{N}</math> i per tant: :<math>f'(x)=nx^{n-1}</math> ===== Rectes tangents ===== Definició: Una recta tangent en un punt <math>x_0</math> de la corba que descriu la gràfica d'una funció derivable <math>f(x)</math> és una recta del tipus <math>r(x)=mx+n</math> que passa pel punt <math>x_0</math> i que almenys localment té la mateixa direcció de que la corba de <math>f(x).</math> Fórmula per construir la recta tangent en un punt com <math>x_0</math> a una funció derivable <math>f(x)</math>: :{|cellspacing="6" cellpadding="3" style="border: 2px solid #77d; background:#fff" |<math>y=r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> |} ;Exemples de rectes tangents 1) Recta tangent a <math>f(x)=x^2-x</math> en el punt <math>x_0=3.</math> Solució: :1r) <math>f'(x)=2x-1</math> :2n) Valoració <math>f(x_0)</math> i <math>f'(x_0)</math>: <math>f(3)=(3)^2-(3)=6</math> i <math>f'(3)=2(3)-1=5</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=5(x-3)+6</math> ::Arreglant una mica amb propietat distributiva la recta és: <math>y=5x-9</math> 2) Recta tangent a <math>f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}</math> en el punt <math>x_0=0.</math> Solució: :1r) Amb la regla de la cadena podem derivar-la: ::<math>f'(x)=\big( (x^2-2x+2)^{-1} \big)</math> <math>=-1(x^2-2x+2)^{-2}(2x-2)</math> <math>=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+2)^{2}}</math> :2n) Valoració: ::<math>f(0)=\frac{1}{(0)^2-2(0)+2}=\frac{1}{2}</math> ::<math>f'(0)=-\frac{2(0)-2}{((0)^2-2(0)+2)^2}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=\tfrac{1}{2}(x-0)+\tfrac{1}{2}</math> ::Arreglant una mica la recta és: <math>y=\frac{x+1}{2}</math> ;Exercicis de construcció de rectes tangents 1) Calcula i representa manualment, copiat i amb claredat utilitzant el GeoGebra(Clàssic) les rectes tangents a les funcions donades en el punt demanat. :a) <math>f(x)=\frac{x}{x-1}</math> en el punt <math>x_0=1.</math> :b) <math>f(x)=\ln (x^3-x+3)</math> en el punt <math>x_0=0.</math> :c) <math>f(x)=e^{-x^2}</math> en el punt <math>x_0=-1.</math> :d) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-2)</math> en el punt <math>x_0=2.</math> === Aplicacions === És bàsic recordar que: *Si <math>f(x)</math> és derivable llavors la seva derivada, <math>f'(x),</math> és contínua. ==== Monotonia de les funcions ==== Ara amb la derivada podem examinar el creixement i decreixement de les funcions i com es connecten en màxims i mínims. ¿Què esperem de funcions creixents? :Si hi ha un punt <math>x_0</math> on el valor de la funció és <math>f(x_0)</math> llavors és creixent si per un valor més gran <math>x_1</math> és segur que el valor <math>f(x_1)</math> és més gran que <math>f(x_0).</math> Llavors com que <math>f'(x_0)</math> ens indica el pendent de la recta tangent, podem escriure sintèticament: *Una funció és creixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\leqslant f(x_1)</math> El mateix per funcions decreixents *Una funció es decreixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\geqslant f(x_1)</math> Es vol conèixer aquests intervals directament i no estar provant amb valors arbitraris que no justificarien res encara. ;Mètode amb derivades per estudiar la monotonia de les funcions Donada una funció derivable en un interval <math>(a,b)</math> llavors: *Direm que és creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\geqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)>0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\leqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)<0</math> a tot <math>(a,b)</math> Ara l'únic que queda és determinar què passa als punts on s'anul·la: *Direm que <math>x_0</math> és un punt crític si <math>f'(x_0)=0</math> :*Podrien ser mínims, màxims o una simple inflexió puntual. ;Exemples: 1) Sigui <math>f(x)</math> una funció derivable a <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(-2)>0</math> i <math>f'(4)<0,</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un màxim a l'interval <math>[-2,4].</math> Solució: La funció <math>f'(x)</math> és contínua, llavors per Bolzano si <math>a=-2</math>, <math>b=4</math> i també <math>f'(a)>0</math> i <math>f'(b)<0</math> llavors hi ha almenys un punt <math>c</math> dins del interval <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(c)=0.</math> 2) Sigui <math>f(x)</math> una funció no constant i derivable a <math>[3,10]</math> amb <math>f(3)=f(10),</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un punt <math>c</math> on <math>f'(c)=0.</math> Solució: Per Weierstrass prenent <math>a=3</math> i <math>b=10</math> llavors hi ha màxims <math>c</math> i mínims <math>d,</math> i per tant per ser derivable segur que almenys <math>f'(c)=0</math> o bé <math>f'(d)=0.</math> 3) Determina els intervals de creixement de les funcions donades i fes un dibuix :a) <math>f(x)=x^4-x^2</math> :b) <math>f(x)=x+\frac{x^3}{3!}</math> :c) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-4)</math> === Exercicis === ==== Mig resum ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades trobant les constants desconegudes per a que sigui derivable aquestes funcions: a) <math>f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x^2+1} & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ 1-(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> Solució:a=1. b) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x-1} & \text{ si } x\geq 2 \\ ax^2+b & \text{ si } x\in(-2,2)\\ \sqrt{-1-x} & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> Solució:<math>a=\tfrac{1}{8}\;i\;b=\tfrac{1}{2}</math> 2) ==== Concavitat i convexitat ==== :e) Ens donen directament <math>f''(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)(x-2)}</math> ---- ===== Regla de l'Hôpital ===== [[File:Guillaume de l'Hôpital.jpg|thumb|180px|Matemàtic francès del segle XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)]] La '''regla de l'Hôpital''' no és més que un mètode per comparar o resoldre la '''raó''' del límit entre dues funcions en un punt del tipus <math>\tfrac{0}{0},</math> <math>0\cdot\infty</math> i <math>\tfrac{\infty}{\infty},</math> i diu: cont... [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] b0o6o93xii5nmxmb82iq5g0b26gvdtv 0 49556 386532 386520 2026-11-05T17:43:46Z Profev 36331 /* Principis i axiomes */ + 386532 wikitext text/x-wiki Conjunt d'anotacions temporals interpretades '''arbitràriament''' de les lliçons dels elements d'Euclides. Si es vol una traducció de bona font llavors aquest no és el text, aquest text s'ha creat aprofitant l'existència de paraules que permeten definir millor o de forma molt diferent els axiomes. El recull de lliçons d'Euclides són descripcions temàtiques de les àrees que es volien explicar, i com tota explicació requeria un lèxic previ i artificial molt precís, és a dir, molt ideal, molt concret i per tant no tenia ambigüitats i sense especificar diferents interpretacions com fan els diccionaris. == Principis i axiomes == Definicions elementals: '''El punt''': Element geomètric bàsic que no té parts. A partir del punt es construeixen la resta d'elements geomètrics. :''La línia'': Element geomètric definida com una línia de punts longitudinal no té ample ni ramificacions. :''Extrem d'una línia'': Si una línia acaba en un sentit i té extrem, llavors l'extrem queda definit per un únic punt. '''La recta''': Element geomètric consistent en una línia recta i que és la línia que no es desvia del seu curs en cap dels seus punts. :''La superfície'': Element geomètric que té llargada i amplada però no té gruix. :''La vora'': Si una superfície té un extrem no puntual, llavors aquest es diu vora i és una línia. '''El pla''': Element geomètric de tots els punts alineats amb 3 punts a l'espai. '''L'angle''': Element geomètric format per dos semirectes que es creuen en un punt anomenat vèrtex. === Mesura === ==== Longituds ==== Les longituds es mesuren en el SI amb metres, els seus múltiples i submúltiples, si no es diu res posarem una <math>u</math> per indicar unitats de longituds. ==== Àrees ==== Les àrees es mesuren en el SI amb metres quadrats, els seus múltiples i submúltiples, si no es diu res posarem una <math>u^2</math> per indicar les unitats de mesura de superfície. ==== Els angles ==== Només s'utilitzen els angles sexagesimals i els radiants preferentment. :Una volta = gir de <math>360^\circ</math> = gir de <math>2\pi</math> '''Rad'''. Per fer conversió només cal una regla de tres. [[File:Ejercicio de geometría en triángulos v001.svg|180px|right]] === Exercicis === 1) Donat l'esquema adjunt dibuixat a ma alçada, es demana justificar la respostes: :a) Quant sumem els angles α i β :b) Quin tipus de triangle és segons el que hem estudiat. {{clear}} {| |[[File:Ejercicio de geometría de ángulos v001.svg|200px|left]] |valign="top"|2) Donat l'esquema adjunt dels angles entre dos rectes paral·leles horitzontals, sabem que <math>\gamma =\beta</math> i que <math>\alpha = 40^\circ.</math> ¿Quin valor té <math>\delta</math>? |} {{clear}} 3) Sobre una recta es situen tres punts consecutius A, B i C, sabem que el segment AB és 12 unitats més gran que el segment BC. Calculeu la longitud del segment que té per extrems el punt B i el punt mig del segment format pel punt mig del segment AB i el punt mig del segment BC. {| |[[File:Ejercicio de geometría de ángulos v001.svg|200px|left]] |valign="top"|4) Donat l'esquema adjunt dels angles entre dos rectes paral·leles horitzontals, sabem que <math>\gamma = 20^\circ,</math> <math>\beta=30^\circ</math> i que <math>\alpha = 40^\circ.</math> ¿Quin valor té <math>\delta</math>? |} == Referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] dbfembx10ct00saxy704z7bk4his2ze 386533 386532 2026-11-05T17:45:12Z Profev 36331 /* Principis i axiomes */ 386533 wikitext text/x-wiki Conjunt d'anotacions temporals interpretades '''arbitràriament''' de les lliçons dels elements d'Euclides. Si es vol una traducció de bona font llavors aquest no és el text, aquest text s'ha creat aprofitant l'existència de paraules que permeten definir millor o de forma molt diferent els axiomes. El recull de lliçons d'Euclides són descripcions temàtiques de les àrees que es volien explicar, i com tota explicació requeria un lèxic previ i artificial molt precís, és a dir, molt ideal, molt concret i per tant no tenia ambigüitats i sense especificar diferents interpretacions com fan els diccionaris. == Principis i axiomes == Definicions elementals: '''El punt''': Element geomètric bàsic que no té parts. A partir del punt es construeixen la resta d'elements geomètrics. :''La línia'': Element geomètric definida com una línia de punts longitudinal no té ample ni ramificacions. :''Extrem d'una línia'': Si una línia acaba en un sentit i té extrem, llavors l'extrem queda definit per un únic punt. '''La recta''': Element geomètric consistent en una línia recta i que és la línia que no es desvia del seu curs en cap dels seus punts. :''La superfície'': Element geomètric que té llargada i amplada però no té gruix. :''La vora'': Si una superfície té un extrem no puntual, llavors aquest es diu vora i és una línia. '''El pla''': Element geomètric de tots els punts alineats amb 3 punts no alineats entre ells a l'espai. '''L'angle''': Element geomètric format per dos semirectes que es creuen en un punt anomenat vèrtex. === Mesura === ==== Longituds ==== Les longituds es mesuren en el SI amb metres, els seus múltiples i submúltiples, si no es diu res posarem una <math>u</math> per indicar unitats de longituds. ==== Àrees ==== Les àrees es mesuren en el SI amb metres quadrats, els seus múltiples i submúltiples, si no es diu res posarem una <math>u^2</math> per indicar les unitats de mesura de superfície. ==== Els angles ==== Només s'utilitzen els angles sexagesimals i els radiants preferentment. :Una volta = gir de <math>360^\circ</math> = gir de <math>2\pi</math> '''Rad'''. Per fer conversió només cal una regla de tres. [[File:Ejercicio de geometría en triángulos v001.svg|180px|right]] === Exercicis === 1) Donat l'esquema adjunt dibuixat a ma alçada, es demana justificar la respostes: :a) Quant sumem els angles α i β :b) Quin tipus de triangle és segons el que hem estudiat. {{clear}} {| |[[File:Ejercicio de geometría de ángulos v001.svg|200px|left]] |valign="top"|2) Donat l'esquema adjunt dels angles entre dos rectes paral·leles horitzontals, sabem que <math>\gamma =\beta</math> i que <math>\alpha = 40^\circ.</math> ¿Quin valor té <math>\delta</math>? |} {{clear}} 3) Sobre una recta es situen tres punts consecutius A, B i C, sabem que el segment AB és 12 unitats més gran que el segment BC. Calculeu la longitud del segment que té per extrems el punt B i el punt mig del segment format pel punt mig del segment AB i el punt mig del segment BC. {| |[[File:Ejercicio de geometría de ángulos v001.svg|200px|left]] |valign="top"|4) Donat l'esquema adjunt dels angles entre dos rectes paral·leles horitzontals, sabem que <math>\gamma = 20^\circ,</math> <math>\beta=30^\circ</math> i que <math>\alpha = 40^\circ.</math> ¿Quin valor té <math>\delta</math>? |} == Referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] bvi1nj7uocp3ag12qe85rkdhpkuqnug 386534 386533 2026-11-05T18:23:36Z Profev 36331 /* Principis i axiomes */ + 386534 wikitext text/x-wiki Conjunt d'anotacions temporals interpretades '''arbitràriament''' de les lliçons dels elements d'Euclides. Si es vol una traducció de bona font llavors aquest no és el text, aquest text s'ha creat aprofitant l'existència de paraules que permeten definir millor o de forma molt diferent els axiomes. El recull de lliçons d'Euclides són descripcions temàtiques de les àrees que es volien explicar, i com tota explicació requeria un lèxic previ i artificial molt precís, és a dir, molt ideal, molt concret i per tant no tenia ambigüitats i sense especificar diferents interpretacions com fan els diccionaris. == Principis i axiomes == Definicions elementals: '''El punt''': Element geomètric bàsic que no té parts. A partir del punt es construeixen la resta d'elements geomètrics. :''La línia'': Element geomètric definida com una línia de punts longitudinal no té ample ni ramificacions. :''Extrem d'una línia'': Si una línia acaba en un sentit i té extrem, llavors l'extrem queda definit per un únic punt. '''La recta''': Element geomètric consistent en una línia recta i que és la línia que no es desvia del seu curs en cap dels seus punts. :''La superfície'': Element geomètric que té llargada i amplada però no té gruix. :''La vora'': Si una superfície té un extrem no puntual, llavors aquest es diu vora i és una línia. '''El pla''': Element geomètric de tots els punts alineats en una superfície plana definida per 3 punts no alineats entre ells a l'espai. '''L'angle''': Element geomètric format per dos semirectes que es creuen en un punt anomenat vèrtex. === Mesura === La mesura s'aplica a longituds, àrees, volums i angles. La resta de mesures són derivats o múltiples i submúltiples de altres. Algunes mesures per a dimensions superiors a l'espai només és una abstracció, el que sí podem dir és que tota mesura és positiva, igualment es poden proposar mesures negatives per fer trigonometria o geometria analítica però a partir del concepte de mesures positives. ==== Longituds ==== Les longituds es mesuren en el SI amb metres, els seus múltiples i submúltiples, si no es diu res posarem una <math>u</math> per indicar unitats de longituds. ==== Àrees ==== Les àrees es mesuren en el SI amb metres quadrats, els seus múltiples i submúltiples, si no es diu res posarem una <math>u^2</math> per indicar les unitats de mesura de superfície. ==== Els angles ==== Només s'utilitzen els angles sexagesimals i els radiants preferentment. :Una volta = gir de <math>360^\circ</math> = gir de <math>2\pi</math> '''Rad'''. Per fer conversió només cal una regla de tres. [[File:Ejercicio de geometría en triángulos v001.svg|180px|right]] === Exercicis === 1) Donat l'esquema adjunt dibuixat a ma alçada, es demana justificar la respostes: :a) Quant sumem els angles α i β :b) Quin tipus de triangle és segons el que hem estudiat. {{clear}} {| |[[File:Ejercicio de geometría de ángulos v001.svg|200px|left]] |valign="top"|2) Donat l'esquema adjunt dels angles entre dos rectes paral·leles horitzontals, sabem que <math>\gamma =\beta</math> i que <math>\alpha = 40^\circ.</math> ¿Quin valor té <math>\delta</math>? |} {{clear}} 3) Sobre una recta es situen tres punts consecutius A, B i C, sabem que el segment AB és 12 unitats més gran que el segment BC. Calculeu la longitud del segment que té per extrems el punt B i el punt mig del segment format pel punt mig del segment AB i el punt mig del segment BC. {| |[[File:Ejercicio de geometría de ángulos v001.svg|200px|left]] |valign="top"|4) Donat l'esquema adjunt dels angles entre dos rectes paral·leles horitzontals, sabem que <math>\gamma = 20^\circ,</math> <math>\beta=30^\circ</math> i que <math>\alpha = 40^\circ.</math> ¿Quin valor té <math>\delta</math>? |} == Referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 4qnyfk6otzgd41ywwcev3vueyoiw6kk 0 51070 386535 386518 2026-11-05T19:59:37Z Profev 36331 + 386535 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> <math>a^x >0</math> per qualsevol <math>x\in\mathbb{R}</math> === Propietat === {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> on <math>a\in(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>y=x+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^x=a^{x+\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^x}=\cancel{a^x}\cdot a^{\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow 1=a^\varepsilon</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>x=y.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>x=y</math> llavors <math>a^x=a^x</math>. Per tant queda provat que <math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |Donat <math>x<y</math> es té: Si <math>a>1</math> llavors <math>a^x<a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció creixent. Si <math>0<a<1</math> llavors <math>a^x>a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció decreixent. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' S'ha d'aplicar que si <math>a>1</math> llavors <math>a^x>1</math> amb qualsevol <math>x>0.</math> :Si <math>a^x<a^y</math> <math>\Leftrightarrow 1<a^{y-x}</math> cert si <math>a>1</math> ja que <math>0<y-x</math>. Fent el canvi <math>b=a^{-1}</math> llavors <math>b>1</math> i es fa el mateix: :<math>b^x<b^y</math> <math>\Leftrightarrow\frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}</math> <math>\Leftrightarrow a^y<a^x</math> <math>\Leftrightarrow a^x>a^y.</math> |} ==== Exemples d'equacions ==== [[File:Exponente de bases racionales 01.svg|right|800px]] 1) Representa les funcions exponencials donades: Cas: <math>a>1</math> :a) <math>f(x)=10^x</math> :b) <math>f(x)=2^x</math> :c) <math>f(x)=1,5^x</math> :d) <math>f(x)=1,05^x</math> Cas: <math>a\in(0,1)</math> :e) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{10}\right)^x</math> :f) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x</math> :g) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,5}\right)^x</math> :h) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,05}\right)^x</math> 2) Troba la solució de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3^x=9</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>9=3^2</math> :<math>3^x=3^2</math> Apliquem la primera propietat :<math>3^x=3^2</math> <math>\Leftrightarrow x=2.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>7^{3x}=7^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la primera propietat :<math>7^{3x}=7^2</math> <math>\Leftrightarrow 3x=2</math> Aïllant la x tenim que <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>2^{1-x}=8</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>8=2^3</math> :<math>2^{1-x}=2^3</math> Apliquem la primera propietat :<math>2^{1-x}=2^3</math> <math>\Leftrightarrow 1-x=3</math> Aïllant la x s'obté que <math>x=-2.</math> |} 2) Fent el canvi <math>t=a^x</math> troba la solució de {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>5^{2x}+5^x=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Arreglem la visibilitat de <math>5^x</math> :<math>\left(5^x\right)^2+5^x=2</math> Sigui <math>t=5^x</math> llavors es substitueix i queda :<math>t^2+t=2</math> <math>\Rightarrow t_1=1,\;t_2=-2</math> ;cas t=1: Si <math>5^x=1</math> per la propietat <math>a^0 =1</math> tenim que :<math>5^x=5^0</math> <math>\Leftrightarrow x=0.</math> ;cas t=-2 Si <math>5^x=-2</math> per la propietat <math>a^x >0</math> per tant '''no''' és possible. |} ==== Exercicis ==== 1) Resol cada apartat. :a) <math>10^x=1</math> :b) <math>3^{1+x}=27</math> :c) <math>7^{x^2-x}=1</math> :d) <math>2^{12}-2^{3x}=0</math> :e) <math>2^{x^2}-2^{-2x+1}=0</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Proposta de resum fins a taula de signes == Tot el tema de [[Polinomi adaptació Ll1|polinomis]] (4t ESO) amb resolució d'equacions: 1) S'ha de calcular i comprovar totes les possibles solucions deixant tots els passos de: :a) <math>\frac{x}{x+1}+3=\frac{2}{x-1}</math> ;Resolució: 1r.- S'agrupa a un cantó de la igualtat: :<math>\frac{x}{x+1}+3-\frac{2}{x-1}=0</math> 2r.- Es calcula el màxim comú denominador més conegut com mínim comú múltiple de denominadors, llavors <math>mcm=(x+1)(x-1)</math> i agrupant en una sola fracció queda: :<math>\frac{x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0</math> 3r.- Es mira ara el numerador: :<math>x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3(x^2-1)-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3x^2-3-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow 4x^2-3x-5=0</math> <math>\Rightarrow x_1=\tfrac{3+\sqrt{89}}{8}\;i\;x_2=\tfrac{3-\sqrt{89}}{8}</math> 4t.- Es comprova a la primera equació i surt que és correcte les dues solucions. 2) S'ha de factoritzar completament els polinomis donats deixant tots els passos: :a) <math>P(x) = x^5-2x^4+x^3</math> :b) <math>Q(x) = x^4+5x^3+5x^2-5x-6</math> ;Solució: a) Es treu factor comú <math>x^3</math> quedant <math>P(x)=x^3(x^2-2x+1)</math> Ara podem utilitzar Ruffini a <math>x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=(x-1)^2</math> per tant ja està tot factoritzat: :<math>P(x) = x^3(x-1)^2.</math> b) Es fa Ruffini successiu i surt que es pot factoritzar amb <math>1,\;-1,\;-2,\;-3</math> llavors: :<math>Q(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3).</math> == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 7q8zao2fw72x87ye0zawuk0se3d3cc7 386536 386535 2026-11-05T21:42:01Z Profev 36331 + 386536 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> <math>a^x >0</math> per qualsevol <math>x\in\mathbb{R}</math> === Propietat === {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> on <math>a\in(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>y=x+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^x=a^{x+\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^x}=\cancel{a^x}\cdot a^{\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow 1=a^\varepsilon</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>x=y.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>x=y</math> llavors <math>a^x=a^x</math>. Per tant queda provat que <math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |Donat <math>x<y</math> es té: Si <math>a>1</math> llavors <math>a^x<a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció creixent. Si <math>0<a<1</math> llavors <math>a^x>a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció decreixent. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' S'ha d'aplicar que si <math>a>1</math> llavors <math>a^x>1</math> amb qualsevol <math>x>0.</math> :Si <math>a^x<a^y</math> <math>\Leftrightarrow 1<a^{y-x}</math> cert si <math>a>1</math> ja que <math>0<y-x</math>. Fent el canvi <math>b=a^{-1}</math> llavors <math>b>1</math> i es fa el mateix: :<math>b^x<b^y</math> <math>\Leftrightarrow\frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}</math> <math>\Leftrightarrow a^y<a^x</math> <math>\Leftrightarrow a^x>a^y.</math> |} ==== Exemples d'equacions ==== [[File:Exponente de bases racionales 01.svg|right|800px]] 1) Representa les funcions exponencials donades: Cas: <math>a>1</math> :a) <math>f(x)=10^x</math> :b) <math>f(x)=2^x</math> :c) <math>f(x)=1,5^x</math> :d) <math>f(x)=1,05^x</math> Cas: <math>a\in(0,1)</math> :e) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{10}\right)^x</math> :f) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x</math> :g) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,5}\right)^x</math> :h) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,05}\right)^x</math> 2) Troba la solució de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3^x=9</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>9=3^2</math> :<math>3^x=3^2</math> Apliquem la primera propietat :<math>3^x=3^2</math> <math>\Leftrightarrow x=2.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>7^{3x}=7^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la primera propietat :<math>7^{3x}=7^2</math> <math>\Leftrightarrow 3x=2</math> Aïllant la x tenim que <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>2^{1-x}=8</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>8=2^3</math> :<math>2^{1-x}=2^3</math> Apliquem la primera propietat :<math>2^{1-x}=2^3</math> <math>\Leftrightarrow 1-x=3</math> Aïllant la x s'obté que <math>x=-2.</math> |} 2) Fent el canvi <math>t=a^x</math> troba la solució de {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>5^{2x}+5^x=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Arreglem la visibilitat de <math>5^x</math> :<math>\left(5^x\right)^2+5^x=2</math> Sigui <math>t=5^x</math> llavors es substitueix i queda :<math>t^2+t=2</math> <math>\Rightarrow t_1=1,\;t_2=-2</math> ;cas t=1: Si <math>5^x=1</math> per la propietat <math>a^0 =1</math> tenim que :<math>5^x=5^0</math> <math>\Leftrightarrow x=0.</math> ;cas t=-2 Si <math>5^x=-2</math> per la propietat <math>a^x >0</math> per tant '''no''' és possible. |} ==== Exercicis ==== 1) Resol cada apartat. :a) <math>10^x=1</math> :b) <math>3^{1+x}=27</math> :c) <math>7^{x^2-x}=1</math> :d) <math>2^{12}-2^{3x}=0</math> :e) <math>2^{x^2}-2^{-2x+1}=0</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Proposta de resum fins a taula de signes == Tot el tema de [[Polinomi adaptació Ll1|polinomis]] (4t ESO) amb resolució d'equacions: 1) S'ha de calcular i comprovar totes les possibles solucions deixant tots els passos de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\frac{x}{x+1}+3=\frac{2}{x-1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució: 1r.- S'agrupa a un cantó de la igualtat: :<math>\frac{x}{x+1}+3-\frac{2}{x-1}=0</math> 2r.- Es calcula el màxim comú denominador més conegut com mínim comú múltiple de denominadors, llavors <math>mcm=(x+1)(x-1)</math> i agrupant en una sola fracció queda: :<math>\frac{x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0</math> 3r.- Es mira ara el numerador: :<math>x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3(x^2-1)-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3x^2-3-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow 4x^2-3x-5=0</math> <math>\Rightarrow x_1=\tfrac{3+\sqrt{89}}{8}\;i\;x_2=\tfrac{3-\sqrt{89}}{8}</math> 4t.- Es comprova a la primera equació i surt que és correcte les dues solucions. |} 2) S'ha de factoritzar completament els polinomis donats deixant tots els passos: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>P(x) = x^5-2x^4+x^3</math> b) <math>Q(x) = x^4+5x^3+5x^2-5x-6</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: a) Es treu factor comú <math>x^3</math> quedant <math>P(x)=x^3(x^2-2x+1)</math> Ara podem utilitzar Ruffini a <math>x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=(x-1)^2</math> per tant ja està tot factoritzat: :<math>P(x) = x^3(x-1)^2.</math> b) Es fa Ruffini successiu i surt que es pot factoritzar amb <math>1,\;-1,\;-2,\;-3</math> llavors: :<math>Q(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3).</math> |} 3) S'ha de resoldre cada equació amb el mètode de equacions biquadràtiques enterament amb canvi de variable. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>2x^4+3x^2-5=0</math> b) <math>x^4-5x^2+6=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Amb el canvi <math>z=x^2</math> es fan tots dos: a) <math>2z^2+3z-5=0</math> amb Ruffini tenim que <math>2z^2+3z-5=(z-1)(2z+5)</math> per tant <math>z_1=1\;i\;z_2=-\tfrac{5}{2}</math> Desfent el canvi de variable amb <math>x=\pm\sqrt{z}</math> per tant: :<math>x_1=+\sqrt{1}=1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{1}=-1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. :<math>x_1=-\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. b) <math>z^2-5z+6=0</math> amb una equació de 2n grau tenim que <math>z_1=2\;i\;z_2=3</math> i desfent el canvi: :<math>x_1=+\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. |} == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] njqvjqu2w1msgrr0a0cgs3etf2ed0vn 386537 386536 2026-11-05T23:47:03Z Profev 36331 /* Proposta de resum fins a taula de signes */ 386537 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> <math>a^x >0</math> per qualsevol <math>x\in\mathbb{R}</math> === Propietat === {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> on <math>a\in(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>y=x+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^x=a^{x+\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^x}=\cancel{a^x}\cdot a^{\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow 1=a^\varepsilon</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>x=y.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>x=y</math> llavors <math>a^x=a^x</math>. Per tant queda provat que <math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |Donat <math>x<y</math> es té: Si <math>a>1</math> llavors <math>a^x<a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció creixent. Si <math>0<a<1</math> llavors <math>a^x>a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció decreixent. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' S'ha d'aplicar que si <math>a>1</math> llavors <math>a^x>1</math> amb qualsevol <math>x>0.</math> :Si <math>a^x<a^y</math> <math>\Leftrightarrow 1<a^{y-x}</math> cert si <math>a>1</math> ja que <math>0<y-x</math>. Fent el canvi <math>b=a^{-1}</math> llavors <math>b>1</math> i es fa el mateix: :<math>b^x<b^y</math> <math>\Leftrightarrow\frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}</math> <math>\Leftrightarrow a^y<a^x</math> <math>\Leftrightarrow a^x>a^y.</math> |} ==== Exemples d'equacions ==== [[File:Exponente de bases racionales 01.svg|right|800px]] 1) Representa les funcions exponencials donades: Cas: <math>a>1</math> :a) <math>f(x)=10^x</math> :b) <math>f(x)=2^x</math> :c) <math>f(x)=1,5^x</math> :d) <math>f(x)=1,05^x</math> Cas: <math>a\in(0,1)</math> :e) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{10}\right)^x</math> :f) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x</math> :g) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,5}\right)^x</math> :h) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,05}\right)^x</math> 2) Troba la solució de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3^x=9</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>9=3^2</math> :<math>3^x=3^2</math> Apliquem la primera propietat :<math>3^x=3^2</math> <math>\Leftrightarrow x=2.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>7^{3x}=7^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la primera propietat :<math>7^{3x}=7^2</math> <math>\Leftrightarrow 3x=2</math> Aïllant la x tenim que <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>2^{1-x}=8</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>8=2^3</math> :<math>2^{1-x}=2^3</math> Apliquem la primera propietat :<math>2^{1-x}=2^3</math> <math>\Leftrightarrow 1-x=3</math> Aïllant la x s'obté que <math>x=-2.</math> |} 2) Fent el canvi <math>t=a^x</math> troba la solució de {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>5^{2x}+5^x=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Arreglem la visibilitat de <math>5^x</math> :<math>\left(5^x\right)^2+5^x=2</math> Sigui <math>t=5^x</math> llavors es substitueix i queda :<math>t^2+t=2</math> <math>\Rightarrow t_1=1,\;t_2=-2</math> ;cas t=1: Si <math>5^x=1</math> per la propietat <math>a^0 =1</math> tenim que :<math>5^x=5^0</math> <math>\Leftrightarrow x=0.</math> ;cas t=-2 Si <math>5^x=-2</math> per la propietat <math>a^x >0</math> per tant '''no''' és possible. |} ==== Exercicis ==== 1) Resol cada apartat. :a) <math>10^x=1</math> :b) <math>3^{1+x}=27</math> :c) <math>7^{x^2-x}=1</math> :d) <math>2^{12}-2^{3x}=0</math> :e) <math>2^{x^2}-2^{-2x+1}=0</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Proposta de resum fins a taula de signes == Tot el tema de [[Polinomi adaptació Ll1|polinomis]] (4t ESO) amb resolució d'equacions: 1) S'ha de calcular i comprovar totes les possibles solucions deixant tots els passos de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\frac{x}{x+1}+3=\frac{2}{x-1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució: 1r.- S'agrupa a un cantó de la igualtat: :<math>\frac{x}{x+1}+3-\frac{2}{x-1}=0</math> 2r.- Es calcula el màxim comú denominador més conegut com mínim comú múltiple de denominadors, llavors <math>mcm=(x+1)(x-1)</math> i agrupant en una sola fracció queda: :<math>\frac{x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0</math> 3r.- Es mira ara el numerador: :<math>x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3(x^2-1)-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3x^2-3-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow 4x^2-3x-5=0</math> <math>\Rightarrow x_1=\tfrac{3+\sqrt{89}}{8}\;i\;x_2=\tfrac{3-\sqrt{89}}{8}</math> 4t.- Es comprova a la primera equació i surt que és correcte les dues solucions. |} 2) S'ha de factoritzar completament els polinomis donats deixant tots els passos: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>P(x) = x^5-2x^4+x^3</math> b) <math>Q(x) = x^4+5x^3+5x^2-5x-6</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: a) Es treu factor comú <math>x^3</math> quedant <math>P(x)=x^3(x^2-2x+1)</math> Ara podem utilitzar Ruffini a <math>x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=(x-1)^2</math> per tant ja està tot factoritzat: :<math>P(x) = x^3(x-1)^2.</math> b) Es fa Ruffini successiu i surt que es pot factoritzar amb <math>1,\;-1,\;-2,\;-3</math> llavors: :<math>Q(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3).</math> |} 3) S'ha de resoldre cada equació amb el mètode de equacions biquadràtiques enterament amb canvi de variable. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>2x^4+3x^2-5=0</math> b) <math>x^4-5x^2+6=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Amb el canvi <math>z=x^2</math> es fan tots dos: a) <math>2z^2+3z-5=0</math> amb Ruffini tenim que <math>2z^2+3z-5=(z-1)(2z+5)</math> per tant <math>z_1=1\;i\;z_2=-\tfrac{5}{2}</math> Desfent el canvi de variable amb <math>x=\pm\sqrt{z}</math> per tant: :<math>x_1=+\sqrt{1}=1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{1}=-1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. :<math>x_1=-\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. b) <math>z^2-5z+6=0</math> amb una equació de 2n grau tenim que <math>z_1=2\;i\;z_2=3</math> i desfent el canvi: :<math>x_1=+\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. |} 4) Simplificació de fraccions algèbriques utilitzant factorització, s'ha de deixar constància de tots els passos. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\frac{x^4+8x^3+14x^2-8x-15}{x^3+10x^2+31x+30}</math> b) <math>g(x)=\frac{-x^2+(x-1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;solució: a) Amb Ruffini es factoritza numerador amb 1, -1, -5 o -3, i denominador amb 2, 5 o 3 resultant: :<math>f(x)=\frac{(x+1)(x-1)(x+5)(x+3)}{(x+2)(x+5)(x+3)}</math> <math>=\frac{(x+1)(x-1)}{x+2}</math> b) S'arregla numerador i es veu la si simplifica o queda igual :<math>g(x)=\frac{-x^2+x^2+2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{1}{(x+1)(x+2)}</math> |} == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] bm4luofnwxvgeswr8fq70jl58x6wt4p 386546 386537 2026-11-06T08:59:54Z Profev 36331 /* Proposta de resum fins a taula de signes */ + 386546 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> <math>a^x >0</math> per qualsevol <math>x\in\mathbb{R}</math> === Propietat === {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> on <math>a\in(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>y=x+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^x=a^{x+\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^x}=\cancel{a^x}\cdot a^{\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow 1=a^\varepsilon</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>x=y.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>x=y</math> llavors <math>a^x=a^x</math>. Per tant queda provat que <math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |Donat <math>x<y</math> es té: Si <math>a>1</math> llavors <math>a^x<a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció creixent. Si <math>0<a<1</math> llavors <math>a^x>a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció decreixent. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' S'ha d'aplicar que si <math>a>1</math> llavors <math>a^x>1</math> amb qualsevol <math>x>0.</math> :Si <math>a^x<a^y</math> <math>\Leftrightarrow 1<a^{y-x}</math> cert si <math>a>1</math> ja que <math>0<y-x</math>. Fent el canvi <math>b=a^{-1}</math> llavors <math>b>1</math> i es fa el mateix: :<math>b^x<b^y</math> <math>\Leftrightarrow\frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}</math> <math>\Leftrightarrow a^y<a^x</math> <math>\Leftrightarrow a^x>a^y.</math> |} ==== Exemples d'equacions ==== [[File:Exponente de bases racionales 01.svg|right|800px]] 1) Representa les funcions exponencials donades: Cas: <math>a>1</math> :a) <math>f(x)=10^x</math> :b) <math>f(x)=2^x</math> :c) <math>f(x)=1,5^x</math> :d) <math>f(x)=1,05^x</math> Cas: <math>a\in(0,1)</math> :e) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{10}\right)^x</math> :f) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x</math> :g) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,5}\right)^x</math> :h) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,05}\right)^x</math> 2) Troba la solució de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3^x=9</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>9=3^2</math> :<math>3^x=3^2</math> Apliquem la primera propietat :<math>3^x=3^2</math> <math>\Leftrightarrow x=2.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>7^{3x}=7^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la primera propietat :<math>7^{3x}=7^2</math> <math>\Leftrightarrow 3x=2</math> Aïllant la x tenim que <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>2^{1-x}=8</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>8=2^3</math> :<math>2^{1-x}=2^3</math> Apliquem la primera propietat :<math>2^{1-x}=2^3</math> <math>\Leftrightarrow 1-x=3</math> Aïllant la x s'obté que <math>x=-2.</math> |} 2) Fent el canvi <math>t=a^x</math> troba la solució de {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>5^{2x}+5^x=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Arreglem la visibilitat de <math>5^x</math> :<math>\left(5^x\right)^2+5^x=2</math> Sigui <math>t=5^x</math> llavors es substitueix i queda :<math>t^2+t=2</math> <math>\Rightarrow t_1=1,\;t_2=-2</math> ;cas t=1: Si <math>5^x=1</math> per la propietat <math>a^0 =1</math> tenim que :<math>5^x=5^0</math> <math>\Leftrightarrow x=0.</math> ;cas t=-2 Si <math>5^x=-2</math> per la propietat <math>a^x >0</math> per tant '''no''' és possible. |} ==== Exercicis ==== 1) Resol cada apartat. :a) <math>10^x=1</math> :b) <math>3^{1+x}=27</math> :c) <math>7^{x^2-x}=1</math> :d) <math>2^{12}-2^{3x}=0</math> :e) <math>2^{x^2}-2^{-2x+1}=0</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Proposta de resum fins a taula de signes == Tot el tema de [[Polinomi adaptació Ll1|polinomis]] (4t ESO) amb resolució d'equacions: 1) S'ha de calcular i comprovar totes les possibles solucions deixant tots els passos de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\frac{x}{x+1}+3=\frac{2}{x-1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució: 1r.- S'agrupa a un cantó de la igualtat: :<math>\frac{x}{x+1}+3-\frac{2}{x-1}=0</math> 2r.- Es calcula el màxim comú denominador més conegut com mínim comú múltiple de denominadors, llavors <math>mcm=(x+1)(x-1)</math> i agrupant en una sola fracció queda: :<math>\frac{x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0</math> 3r.- Es mira ara el numerador: :<math>x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3(x^2-1)-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3x^2-3-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow 4x^2-3x-5=0</math> <math>\Rightarrow x_1=\tfrac{3+\sqrt{89}}{8}\;i\;x_2=\tfrac{3-\sqrt{89}}{8}</math> 4t.- Es comprova a la primera equació i surt que és correcte les dues solucions. |} 2) S'ha de factoritzar completament els polinomis donats deixant tots els passos: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>P(x) = x^5-2x^4+x^3</math> b) <math>Q(x) = x^4+5x^3+5x^2-5x-6</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: a) Es treu factor comú <math>x^3</math> quedant <math>P(x)=x^3(x^2-2x+1)</math> Ara podem utilitzar Ruffini a <math>x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=(x-1)^2</math> per tant ja està tot factoritzat: :<math>P(x) = x^3(x-1)^2.</math> b) Es fa Ruffini successiu i surt que es pot factoritzar amb <math>1,\;-1,\;-2,\;-3</math> llavors: :<math>Q(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3).</math> |} 3) S'ha de resoldre cada equació amb el mètode de equacions biquadràtiques enterament amb canvi de variable. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>2x^4+3x^2-5=0</math> b) <math>x^4-5x^2+6=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Amb el canvi <math>z=x^2</math> es fan tots dos: a) <math>2z^2+3z-5=0</math> amb Ruffini tenim que <math>2z^2+3z-5=(z-1)(2z+5)</math> per tant <math>z_1=1\;i\;z_2=-\tfrac{5}{2}</math> Desfent el canvi de variable amb <math>x=\pm\sqrt{z}</math> per tant: :<math>x_1=+\sqrt{1}=1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{1}=-1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. :<math>x_1=-\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. b) <math>z^2-5z+6=0</math> amb una equació de 2n grau tenim que <math>z_1=2\;i\;z_2=3</math> i desfent el canvi: :<math>x_1=+\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. |} 4) Simplificació de fraccions algèbriques utilitzant factorització, s'ha de deixar constància de tots els passos. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\frac{x^4+8x^3+14x^2-8x-15}{x^3+10x^2+31x+30}</math> b) <math>g(x)=\frac{-x^2+(x-1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;solució: a) Amb Ruffini es factoritza numerador amb 1, -1, -5 o -3, i denominador amb 2, 5 o 3 resultant: :<math>f(x)=\frac{(x+1)(x-1)(x+5)(x+3)}{(x+2)(x+5)(x+3)}</math> <math>=\frac{(x+1)(x-1)}{x+2}</math> b) S'arregla numerador i es veu la si simplifica o queda igual :<math>g(x)=\frac{-x^2+x^2+2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{1}{(x+1)(x+2)}</math> |} 5) S'ha de resoldre l'equació de 2n grau amb un gràfic correcte: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=-x^2+7x-6</math> b) <math>g(x)=x^2+x+1</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució a) Es mira el tall amb l'eix de coordenades '''x''' factoritzant-lo i tot seguit es mira els signes o la orientació segons '''a''': Per Ruffini <math>f(x)=(x-1)(-x+6)</math> i per tant talla a '''x''' en els punts 1 i 6. Amb la taula de signes surt que <math>f(x)\rightarrow |-|0|+|0|-|</math> per tant té forma arrodonida i fa muntanya creuant l'eix '''x''' pels punts (1,0) i (6,0). b) En aquest cas Ruffini no pot i per tant fel l'equació de segon grau per veure el per què, però el discriminant surt <math>\triangle=b^2-4ac=1-4\cdot 1\cdot 1 =-3 <0 </math> i no té solució perquè el discriminant no pos ser negatiu, per tant no talla a l'eix '''x'''. Ara només cal saber si és positiu o negatiu amb qualsevol nombre(també serveix taula de signes però és molt simple), si es positiu és una '''U''' si es negatiu és invertit com una muntanya i no toca mai l'eix '''x'''. Dibuixeu-lo!. |} 6) Resoldre i comprova l'equació irracional a) <math>\sqrt{x}=\sqrt{1-x}</math> b) <math>\sqrt{\;x+1\;}\;+1=\sqrt{2-x}</math> 7) S'ha de construir la taula de dignes completa amb les columnes de més que fem a classe( en un futur es pot simplificar amb risc ) a) <math>f(x)=\frac{x^2-9}{(x-5)(x^2-1)}</math> b) <math>g(x)=\frac{(x-1)^2(x+2)^4}{x-2}</math> El 8, 9 o 10 són sorpresa, pot barrejar els exercicis anterior o sortir coses fetes a classe però que s'ha dit que no entren al exercicis anteriors, això és perquè el que vol nota es miri tot. == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] c268xq736akwyahes9xeos6hxsfcfl4 0 52737 386538 386420 2026-11-06T00:42:57Z Nightdevil 9441 /* اسامی مشارکت کنندگان */ 386538 wikitext text/x-wiki انجمن ویکی مدین های ایرانی قصد راه اندازی پروژه ویکی دانشگاه فارسی را دارد تا ایرانیان نیز از این موهبت بتوانند بهره مند شوند ، این امر نیازمند حداقل ۳ ویرایش فعال است . اگر قصد مشارکت در این پروژه را دارید یا مشارکت داشته اید ، در فهرست زیر با چهار مدک (~) در زیر آخرین امضاء ، امضاء بزنید : == اسامی مشارکت کنندگان == * [[user:The Soul Of Shadow|<b style="white-space:nowrap;text-shadow:#32cd32 0em 0em 0.6em,#32cd32 -0.6em -0.3em 0.7em,#32cd32 0.4em 0.2em 0.4em;color: #fff">The Soul Of Shadow ⌬</b>]] 15:34, 17 January 2025 (UTC) *[[User:Nightdevil|Nightdevil]] ([[User talk:Nightdevil|talk]]) 7cu4l5nr2q4cqlptf8vfulr0o9nirn8 386541 386538 2026-11-06T08:39:24Z WolfCapitan 56027 386541 wikitext text/x-wiki انجمن ویکی مدین های ایرانی قصد راه اندازی پروژه ویکی دانشگاه فارسی را دارد تا ایرانیان نیز از این موهبت بتوانند بهره مند شوند ، این امر نیازمند حداقل ۳ ویرایش فعال است . اگر قصد مشارکت در این پروژه را دارید یا مشارکت داشته اید ، در فهرست زیر با چهار مدک (~) در زیر آخرین امضاء ، امضاء بزنید : == اسامی مشارکت کنندگان == * [[user:The Soul Of Shadow|<b style="white-space:nowrap;text-shadow:#32cd32 0em 0em 0.6em,#32cd32 -0.6em -0.3em 0.7em,#32cd32 0.4em 0.2em 0.4em;color: #fff">The Soul Of Shadow ⌬</b>]] 15:34, 17 January 2025 (UTC) *[[User:Nightdevil|Nightdevil]] ([[User talk:Nightdevil|talk]]) *[[User:WolfCapitan|WolfCapitan]] ([[User talk:WolfCapitan|talk]]) hbgjd7163dd6awrfw49wai67qmfozdg 0 54021 386540 385335 2026-11-06T02:52:09Z ~2026-58962-28 56072 Created page with "." 386540 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> == Hva er Wikiversity? == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development. </div> . <span id="What_is_Wikiversity_Beta?"></span> == Hva er Wikiversity Beta? == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Separate projects == {{Wikiversity:Separate projects}} </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Sister projects == {{Sisterprojects}} </div> {{Main page interwikis}} [[Category:Main Page{{#translation:}}]] 7mdhptw85aqpqlvtgeqii7igu8rcg79 1198 56228 386539 2026-11-06T02:52:08Z ~2026-58962-28 56072 Created page with "." 386539 wikitext text/x-wiki . 6t9fg2gmch401ldtk8m7pyzz632ixbb 0 56229 386542 2026-11-06T08:43:14Z WolfCapitan 56027 Created page with "خدا اغلب به عنوان «وجود برتر» و کانون اصلی ایمان شناخته می‌شود. در خداباوری (Theism)، خدا آفریدگار و نگهدارنده‌ی جهان است. در دئیسم (Deism)، خدا آفریدگار جهان است، اما نگهدارنده‌ی آن نیست. در همه‌خدایی (Pantheism)، خدا همان جهان است. الهی‌دانان صفات گوناگونی را به تصورات..." 386542 wikitext text/x-wiki خدا اغلب به عنوان «وجود برتر» و کانون اصلی ایمان شناخته می‌شود. در خداباوری (Theism)، خدا آفریدگار و نگهدارنده‌ی جهان است. در دئیسم (Deism)، خدا آفریدگار جهان است، اما نگهدارنده‌ی آن نیست. در همه‌خدایی (Pantheism)، خدا همان جهان است. الهی‌دانان صفات گوناگونی را به تصورات مختلف از خدا نسبت داده‌اند؛ از جمله: دانایی مطلق (دانش بی‌نهایت)، توانایی مطلق (قدرت نامحدود)، حضور در همه‌جا (حضور در هر مکان) و نیک‌خواهی مطلق (نیکیِ کامل). یکتاپرستی (Monotheism) باور به وجود یک خدا یا یگانگی خداوند است. بسیاری از فیلسوفان برجسته‌ی دوران میانه و عصر جدید، استدلال‌هایی له یا علیه وجود خدا مطرح کرده‌اند. نام‌های بسیاری برای خدا وجود دارد که هر یک با دیدگاه‌های فرهنگیِ متفاوتی درباره‌ی چیستیِ خدا و صفات او پیوند خورده‌اند. [[Category: Fa]] 3ttzu66vjut6ftop5fcyrmr5cjldoqi 386543 386542 2026-11-06T08:43:48Z WolfCapitan 56027 386543 wikitext text/x-wiki خدا اغلب به عنوان «وجود برتر» و کانون اصلی ایمان شناخته می‌شود. در خداباوری (Theism)، خدا آفریدگار و نگهدارنده‌ی جهان است. در دئیسم (Deism)، خدا آفریدگار جهان است، اما نگهدارنده‌ی آن نیست. در همه‌خدایی (Pantheism)، خدا همان جهان است. الهی‌دانان صفات گوناگونی را به تصورات مختلف از خدا نسبت داده‌اند؛ از جمله: دانایی مطلق (دانش بی‌نهایت)، توانایی مطلق (قدرت نامحدود)، حضور در همه‌جا (حضور در هر مکان) و نیک‌خواهی مطلق (نیکیِ کامل). یکتاپرستی (Monotheism) باور به وجود یک خدا یا یگانگی خداوند است. بسیاری از فیلسوفان برجسته‌ی دوران میانه و عصر جدید، استدلال‌هایی له یا علیه وجود خدا مطرح کرده‌اند. نام‌های بسیاری برای خدا وجود دارد که هر یک با دیدگاه‌های فرهنگیِ متفاوتی درباره‌ی چیستیِ خدا و صفات او پیوند خورده‌اند. [[Category: FA]] i58q6bigiozk7dvfu92lh8sfv1s5xji 386544 386543 2026-11-06T08:44:12Z WolfCapitan 56027 386544 wikitext text/x-wiki خدا اغلب به عنوان «وجود برتر» و کانون اصلی ایمان شناخته می‌شود. در خداباوری ، خدا آفریدگار و نگهدارنده‌ی جهان است. در دئیسم خدا آفریدگار جهان است، اما نگهدارنده‌ی آن نیست. در همه‌خدایی ، خدا همان جهان است. الهی‌دانان صفات گوناگونی را به تصورات مختلف از خدا نسبت داده‌اند؛ از جمله: دانایی مطلق (دانش بی‌نهایت)، توانایی مطلق (قدرت نامحدود)، حضور در همه‌جا (حضور در هر مکان) و نیک‌خواهی مطلق (نیکیِ کامل). یکتاپرستی (Monotheism) باور به وجود یک خدا یا یگانگی خداوند است. بسیاری از فیلسوفان برجسته‌ی دوران میانه و عصر جدید، استدلال‌هایی له یا علیه وجود خدا مطرح کرده‌اند. نام‌های بسیاری برای خدا وجود دارد که هر یک با دیدگاه‌های فرهنگیِ متفاوتی درباره‌ی چیستیِ خدا و صفات او پیوند خورده‌اند. [[Category: FA]] 6x0v8jvd3zd1b98haqs7xr8w35ucund 386545 386544 2026-11-06T08:44:27Z WolfCapitan 56027 386545 wikitext text/x-wiki خدا اغلب به عنوان «وجود برتر» و کانون اصلی ایمان شناخته می‌شود. در خداباوری ، خدا آفریدگار و نگهدارنده‌ی جهان است. در دئیسم خدا آفریدگار جهان است، اما نگهدارنده‌ی آن نیست. در همه‌خدایی ، خدا همان جهان است. الهی‌دانان صفات گوناگونی را به تصورات مختلف از خدا نسبت داده‌اند؛ از جمله: دانایی مطلق (دانش بی‌نهایت)، توانایی مطلق (قدرت نامحدود)، حضور در همه‌جا (حضور در هر مکان) و نیک‌خواهی مطلق (نیکیِ کامل). یکتاپرستی باور به وجود یک خدا یا یگانگی خداوند است. بسیاری از فیلسوفان برجسته‌ی دوران میانه و عصر جدید، استدلال‌هایی له یا علیه وجود خدا مطرح کرده‌اند. نام‌های بسیاری برای خدا وجود دارد که هر یک با دیدگاه‌های فرهنگیِ متفاوتی درباره‌ی چیستیِ خدا و صفات او پیوند خورده‌اند. [[Category: FA]] lrt26aagio2z56wbrlxe0dlieanyysg