Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 46018 386548 386547 2026-11-07T12:07:00Z Profev 36331 /* Mig resum */ + 386548 wikitext text/x-wiki Línia de presentació de les derivades nivell bàsic. És important haver assolit una bona comprensió del tema de funció contínua, rectes i límits. == Introducció == [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|right|150px]] Les derivades introduïdes per [https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton] s'utilitzen bàsicament per trobar pendents a nivell local sobre les corbes de les funcions. === Taxa de variació mitjana === Amb dos punts sobre un gràfic, <math>A = (a, f(a))</math> i <math>B = (b, f(b))</math>, el pendent entre aquests dos punts s'anomena '''taxa de variació mitjana''' entre '''a''' i '''b''': <math>TVM_{[a,b]} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> Aquesta taxa no requereix els successos intermedis només mesura el pendent de la recta hipotètica que passa per aquest dos punts és, per tant, una relació donada per una divisió entre dues mesures <math>\frac{unitat\;\;vertical}{unitat\;\;horitzontal}</math>: === Derivada === [[File:Derivative.svg|400px|right]] La '''taxa de variació instantània''' o '''derivada''' ha de ser una funció <math>f'(x)</math> que en <math>x_1</math> dona el pendent de la única recta tangent en el punt <math>(x_1,\;f(x_1)).</math> La intensió és que <math>a=x</math> i que '''b''' s'aproxima molt a '''a''' i que només hi ha una diferència de '''h''' entre ells, tan petita com es vulgui <math>b=x+h.</math> L'anterior expressió ha de ser: <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}</math> <math>=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> Es necessita que només hi hagi una es a dir que '''h''' sigui zero amb un límit, és a dir: <math>f'(x^-)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> En resum, per a que una funció <math>f(x)</math> sigui derivable en <math>x_1</math> ha de complir: *Que <math>x_1</math> sigui del domini de <math>f(x)</math> *Que <math>f(x)</math> sigui contínua en un entorn del punt <math>x_1</math> *Que la derivada sigui continua a <math>x_1,</math> és a dir <math>f'(x_1^-)=f'(x_1^+).</math> i no a l'invers. ;Funcions derivables: {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" |Tota funció polinòmica <math>P(x)</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Totes les arrels <math>\sqrt[n]{x}</math> són derivables al seu domini que depèn de '''n'''. |- |Tota exponencial <math>a^x</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Tot logaritme <math>\log_a x</math> és derivable a tota <math>(0,\;\infty).</math> |- |Les funcions <math>\sin(x)</math> i <math>\cos(x)</math> són derivables a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Composicions de funcions derivables és derivable amb les restriccions del domini que requereixen: |- |Tota inversa de funcions derivables és derivable, excepte als zeros de les funcions <math>\frac{1}{f(x)}.</math> |} Aquests resums permet treballar les funcions a trossos que per al batxillerat són les que tenen les patologies a tractar. ==== Exercicis ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades a cada apartat: :a) <math>f(x)=|x|=\begin{cases} x & \text{ si } x>0 \\ -x & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :b) <math>f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ si } x<0 \\ x & \text{ si } x\geq 0 \end{cases}</math> :c) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ -(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> :d) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x>1 \\ 2x-a & \text{ si } x\leq 1 \end{cases}</math> :e) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x+1\;} & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :f) <math>f(x)=\begin{cases} e^x & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :g) <math>f(x)=\begin{cases} ln(x) & \text{ si } x>2 \\ ax^2+bx & \text{ si } x\leq 2\end{cases}</math> ==== Càlcul de derivades ==== Construcció de la [[Taula derivades-batx|taula de derivades]] i [[Exercicis derivades 01|exercicis]]. ===== Derivada de la funció constant ===== 1) Donada una funció constant genèrica del tipus <math>f(x)=k</math> on <math>k\in\mathbb{R}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0\;</math> <math>\Rightarrow\; f'(x)=0</math> ===== Derivada d'una potència de x ===== 2) Donada una funció del tipus <math>f(x)=x^n</math> on <math>n\in\mathbb{N}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\;</math> Considerant que :<math>(x+h)^n</math> <math>=x^n+nhx^{n-1}+{n \choose 2}h^2x^{n-2}+{n \choose 3}h^3x^{n-3}+\dots {n \choose n-2}h^{n-2}x^2+nh^{n-1}x+h^{n}</math> :<math>(x+h)^n</math> <math>\sim x^n+nhx^{n-1}+ o(h^2)</math> on aquest terme <math>o(h^2)</math> indica que tots són potències d'ordre més grans o iguals que <math>h^2</math> i de fet no ens farà falta. Retornant al límit tenim el següent :<math>\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{x^n}+nhx^{n-1}+ o(h^2)-\cancel{x^n}}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{nhx^{n-1}+ o(h^2)}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\left(\frac{nhx^{n-1}}{h}+\frac{o(h^2)}{h}\right)</math> <math>=\lim_{h \to 0} \big(\;nx^{n-1}+o(h)\big)</math> <math>=nx^{n-1}+\lim_{h \to 0}o(h)</math> <math>=nx^{n-1}+0</math> <math>=nx^{n-1}</math> Ja el tenim ja que de fet <math>\lim_{h \to 0}\;h^n=0</math> per un <math>n\in\mathbb{N}</math> i per tant: :<math>f'(x)=nx^{n-1}</math> ===== Rectes tangents ===== Definició: Una recta tangent en un punt <math>x_0</math> de la corba que descriu la gràfica d'una funció derivable <math>f(x)</math> és una recta del tipus <math>r(x)=mx+n</math> que passa pel punt <math>x_0</math> i que almenys localment té la mateixa direcció de que la corba de <math>f(x).</math> Fórmula per construir la recta tangent en un punt com <math>x_0</math> a una funció derivable <math>f(x)</math>: :{|cellspacing="6" cellpadding="3" style="border: 2px solid #77d; background:#fff" |<math>y=r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> |} ;Exemples de rectes tangents 1) Recta tangent a <math>f(x)=x^2-x</math> en el punt <math>x_0=3.</math> Solució: :1r) <math>f'(x)=2x-1</math> :2n) Valoració <math>f(x_0)</math> i <math>f'(x_0)</math>: <math>f(3)=(3)^2-(3)=6</math> i <math>f'(3)=2(3)-1=5</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=5(x-3)+6</math> ::Arreglant una mica amb propietat distributiva la recta és: <math>y=5x-9</math> 2) Recta tangent a <math>f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}</math> en el punt <math>x_0=0.</math> Solució: :1r) Amb la regla de la cadena podem derivar-la: ::<math>f'(x)=\big( (x^2-2x+2)^{-1} \big)</math> <math>=-1(x^2-2x+2)^{-2}(2x-2)</math> <math>=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+2)^{2}}</math> :2n) Valoració: ::<math>f(0)=\frac{1}{(0)^2-2(0)+2}=\frac{1}{2}</math> ::<math>f'(0)=-\frac{2(0)-2}{((0)^2-2(0)+2)^2}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=\tfrac{1}{2}(x-0)+\tfrac{1}{2}</math> ::Arreglant una mica la recta és: <math>y=\frac{x+1}{2}</math> ;Exercicis de construcció de rectes tangents 1) Calcula i representa manualment, copiat i amb claredat utilitzant el GeoGebra(Clàssic) les rectes tangents a les funcions donades en el punt demanat. :a) <math>f(x)=\frac{x}{x-1}</math> en el punt <math>x_0=1.</math> :b) <math>f(x)=\ln (x^3-x+3)</math> en el punt <math>x_0=0.</math> :c) <math>f(x)=e^{-x^2}</math> en el punt <math>x_0=-1.</math> :d) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-2)</math> en el punt <math>x_0=2.</math> === Aplicacions === És bàsic recordar que: *Si <math>f(x)</math> és derivable llavors la seva derivada, <math>f'(x),</math> és contínua. ==== Monotonia de les funcions ==== Ara amb la derivada podem examinar el creixement i decreixement de les funcions i com es connecten en màxims i mínims. ¿Què esperem de funcions creixents? :Si hi ha un punt <math>x_0</math> on el valor de la funció és <math>f(x_0)</math> llavors és creixent si per un valor més gran <math>x_1</math> és segur que el valor <math>f(x_1)</math> és més gran que <math>f(x_0).</math> Llavors com que <math>f'(x_0)</math> ens indica el pendent de la recta tangent, podem escriure sintèticament: *Una funció és creixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\leqslant f(x_1)</math> El mateix per funcions decreixents *Una funció es decreixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\geqslant f(x_1)</math> Es vol conèixer aquests intervals directament i no estar provant amb valors arbitraris que no justificarien res encara. ;Mètode amb derivades per estudiar la monotonia de les funcions Donada una funció derivable en un interval <math>(a,b)</math> llavors: *Direm que és creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\geqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)>0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\leqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)<0</math> a tot <math>(a,b)</math> Ara l'únic que queda és determinar què passa als punts on s'anul·la: *Direm que <math>x_0</math> és un punt crític si <math>f'(x_0)=0</math> :*Podrien ser mínims, màxims o una simple inflexió puntual. ;Exemples: 1) Sigui <math>f(x)</math> una funció derivable a <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(-2)>0</math> i <math>f'(4)<0,</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un màxim a l'interval <math>[-2,4].</math> Solució: La funció <math>f'(x)</math> és contínua, llavors per Bolzano si <math>a=-2</math>, <math>b=4</math> i també <math>f'(a)>0</math> i <math>f'(b)<0</math> llavors hi ha almenys un punt <math>c</math> dins del interval <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(c)=0.</math> 2) Sigui <math>f(x)</math> una funció no constant i derivable a <math>[3,10]</math> amb <math>f(3)=f(10),</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un punt <math>c</math> on <math>f'(c)=0.</math> Solució: Per Weierstrass prenent <math>a=3</math> i <math>b=10</math> llavors hi ha màxims <math>c</math> i mínims <math>d,</math> i per tant per ser derivable segur que almenys <math>f'(c)=0</math> o bé <math>f'(d)=0.</math> 3) Determina els intervals de creixement de les funcions donades i fes un dibuix :a) <math>f(x)=x^4-x^2</math> :b) <math>f(x)=x+\frac{x^3}{3!}</math> :c) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-4)</math> === Exercicis === ==== Mig resum ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades trobant les constants desconegudes per a que sigui derivable aquestes funcions: a) <math>f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x^2+1} & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ 1-(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> ;Solució: a=1. b) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x-1} & \text{ si } x\geq 2 \\ ax^2+b & \text{ si } x\in(-2,2)\\ \sqrt{-1-x} & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> ;Solució: <math>a=\tfrac{1}{8}\;i\;b=\tfrac{1}{2}</math> 2) S'ha de construir la recta tangent a cada funció on s'indica: a) <math>f(x)=x^2</math> al punt <math>x_0=3.</math> b) <math>f(x)=\tfrac{2}{3}\sqrt{x}</math> al punt <math>x_0=9.</math> c) <math>f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}</math> al punt <math>x_0=-1</math> ;Solució: Apliquem la fórmula de la recta tangent <math>r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> que requereix derivades: a) <math>f'(x)=2x</math> Llavors <math>f(3)=(3)^2=9</math> i <math>f'(3)=2(3)=6,</math> substituint dona: :<math>r(x)=6(x-3)+9</math> b) <math>f'(x)=\frac{2}{3}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{3\sqrt{x}}</math> Llavors <math>f(9)=\tfrac{2}{3}\sqrt{9}=2</math> i <math>f'(9)=\frac{1}{3\sqrt{9}}=\frac{1}{9},</math> substituint dona: :<math>r(x)=\tfrac{1}{9}(x-9)+2</math> c) <math>f'(x)=x^3+x^2+x</math> ... 3) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: :<math>\left( \frac{2e^x-3x}{x-2} \right)'=</math> 4) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: :<math>\left(1+ \sqrt{ln(x)+x^2} \right)'=</math> 5) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: :<math>\left( \ln(x)\cdot\sin(x) \right)'</math> 6) S'ha d'estudiar la monotonia de la funció donada fent una taula de tots els signes: :<math>f(x)=\frac{\ln(x) (x-1)}{(x-2)^2}</math> ==== Concavitat i convexitat ==== :e) Ens donen directament <math>f''(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)(x-2)}</math> ---- ===== Regla de l'Hôpital ===== [[File:Guillaume de l'Hôpital.jpg|thumb|180px|Matemàtic francès del segle XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)]] La '''regla de l'Hôpital''' no és més que un mètode per comparar o resoldre la '''raó''' del límit entre dues funcions en un punt del tipus <math>\tfrac{0}{0},</math> <math>0\cdot\infty</math> i <math>\tfrac{\infty}{\infty},</math> i diu: cont... [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] b6gswwanu37f86eocidlytv83yopr2h 386549 386548 2026-11-07T13:32:13Z Profev 36331 /* Mig resum */ + 386549 wikitext text/x-wiki Línia de presentació de les derivades nivell bàsic. És important haver assolit una bona comprensió del tema de funció contínua, rectes i límits. == Introducció == [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|right|150px]] Les derivades introduïdes per [https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton] s'utilitzen bàsicament per trobar pendents a nivell local sobre les corbes de les funcions. === Taxa de variació mitjana === Amb dos punts sobre un gràfic, <math>A = (a, f(a))</math> i <math>B = (b, f(b))</math>, el pendent entre aquests dos punts s'anomena '''taxa de variació mitjana''' entre '''a''' i '''b''': <math>TVM_{[a,b]} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> Aquesta taxa no requereix els successos intermedis només mesura el pendent de la recta hipotètica que passa per aquest dos punts és, per tant, una relació donada per una divisió entre dues mesures <math>\frac{unitat\;\;vertical}{unitat\;\;horitzontal}</math>: === Derivada === [[File:Derivative.svg|400px|right]] La '''taxa de variació instantània''' o '''derivada''' ha de ser una funció <math>f'(x)</math> que en <math>x_1</math> dona el pendent de la única recta tangent en el punt <math>(x_1,\;f(x_1)).</math> La intensió és que <math>a=x</math> i que '''b''' s'aproxima molt a '''a''' i que només hi ha una diferència de '''h''' entre ells, tan petita com es vulgui <math>b=x+h.</math> L'anterior expressió ha de ser: <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}</math> <math>=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> Es necessita que només hi hagi una es a dir que '''h''' sigui zero amb un límit, és a dir: <math>f'(x^-)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> En resum, per a que una funció <math>f(x)</math> sigui derivable en <math>x_1</math> ha de complir: *Que <math>x_1</math> sigui del domini de <math>f(x)</math> *Que <math>f(x)</math> sigui contínua en un entorn del punt <math>x_1</math> *Que la derivada sigui continua a <math>x_1,</math> és a dir <math>f'(x_1^-)=f'(x_1^+).</math> i no a l'invers. ;Funcions derivables: {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" |Tota funció polinòmica <math>P(x)</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Totes les arrels <math>\sqrt[n]{x}</math> són derivables al seu domini que depèn de '''n'''. |- |Tota exponencial <math>a^x</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Tot logaritme <math>\log_a x</math> és derivable a tota <math>(0,\;\infty).</math> |- |Les funcions <math>\sin(x)</math> i <math>\cos(x)</math> són derivables a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Composicions de funcions derivables és derivable amb les restriccions del domini que requereixen: |- |Tota inversa de funcions derivables és derivable, excepte als zeros de les funcions <math>\frac{1}{f(x)}.</math> |} Aquests resums permet treballar les funcions a trossos que per al batxillerat són les que tenen les patologies a tractar. ==== Exercicis ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades a cada apartat: :a) <math>f(x)=|x|=\begin{cases} x & \text{ si } x>0 \\ -x & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :b) <math>f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ si } x<0 \\ x & \text{ si } x\geq 0 \end{cases}</math> :c) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ -(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> :d) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x>1 \\ 2x-a & \text{ si } x\leq 1 \end{cases}</math> :e) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x+1\;} & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :f) <math>f(x)=\begin{cases} e^x & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :g) <math>f(x)=\begin{cases} ln(x) & \text{ si } x>2 \\ ax^2+bx & \text{ si } x\leq 2\end{cases}</math> ==== Càlcul de derivades ==== Construcció de la [[Taula derivades-batx|taula de derivades]] i [[Exercicis derivades 01|exercicis]]. ===== Derivada de la funció constant ===== 1) Donada una funció constant genèrica del tipus <math>f(x)=k</math> on <math>k\in\mathbb{R}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0\;</math> <math>\Rightarrow\; f'(x)=0</math> ===== Derivada d'una potència de x ===== 2) Donada una funció del tipus <math>f(x)=x^n</math> on <math>n\in\mathbb{N}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\;</math> Considerant que :<math>(x+h)^n</math> <math>=x^n+nhx^{n-1}+{n \choose 2}h^2x^{n-2}+{n \choose 3}h^3x^{n-3}+\dots {n \choose n-2}h^{n-2}x^2+nh^{n-1}x+h^{n}</math> :<math>(x+h)^n</math> <math>\sim x^n+nhx^{n-1}+ o(h^2)</math> on aquest terme <math>o(h^2)</math> indica que tots són potències d'ordre més grans o iguals que <math>h^2</math> i de fet no ens farà falta. Retornant al límit tenim el següent :<math>\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{x^n}+nhx^{n-1}+ o(h^2)-\cancel{x^n}}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{nhx^{n-1}+ o(h^2)}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\left(\frac{nhx^{n-1}}{h}+\frac{o(h^2)}{h}\right)</math> <math>=\lim_{h \to 0} \big(\;nx^{n-1}+o(h)\big)</math> <math>=nx^{n-1}+\lim_{h \to 0}o(h)</math> <math>=nx^{n-1}+0</math> <math>=nx^{n-1}</math> Ja el tenim ja que de fet <math>\lim_{h \to 0}\;h^n=0</math> per un <math>n\in\mathbb{N}</math> i per tant: :<math>f'(x)=nx^{n-1}</math> ===== Rectes tangents ===== Definició: Una recta tangent en un punt <math>x_0</math> de la corba que descriu la gràfica d'una funció derivable <math>f(x)</math> és una recta del tipus <math>r(x)=mx+n</math> que passa pel punt <math>x_0</math> i que almenys localment té la mateixa direcció de que la corba de <math>f(x).</math> Fórmula per construir la recta tangent en un punt com <math>x_0</math> a una funció derivable <math>f(x)</math>: :{|cellspacing="6" cellpadding="3" style="border: 2px solid #77d; background:#fff" |<math>y=r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> |} ;Exemples de rectes tangents 1) Recta tangent a <math>f(x)=x^2-x</math> en el punt <math>x_0=3.</math> Solució: :1r) <math>f'(x)=2x-1</math> :2n) Valoració <math>f(x_0)</math> i <math>f'(x_0)</math>: <math>f(3)=(3)^2-(3)=6</math> i <math>f'(3)=2(3)-1=5</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=5(x-3)+6</math> ::Arreglant una mica amb propietat distributiva la recta és: <math>y=5x-9</math> 2) Recta tangent a <math>f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}</math> en el punt <math>x_0=0.</math> Solució: :1r) Amb la regla de la cadena podem derivar-la: ::<math>f'(x)=\big( (x^2-2x+2)^{-1} \big)</math> <math>=-1(x^2-2x+2)^{-2}(2x-2)</math> <math>=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+2)^{2}}</math> :2n) Valoració: ::<math>f(0)=\frac{1}{(0)^2-2(0)+2}=\frac{1}{2}</math> ::<math>f'(0)=-\frac{2(0)-2}{((0)^2-2(0)+2)^2}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=\tfrac{1}{2}(x-0)+\tfrac{1}{2}</math> ::Arreglant una mica la recta és: <math>y=\frac{x+1}{2}</math> ;Exercicis de construcció de rectes tangents 1) Calcula i representa manualment, copiat i amb claredat utilitzant el GeoGebra(Clàssic) les rectes tangents a les funcions donades en el punt demanat. :a) <math>f(x)=\frac{x}{x-1}</math> en el punt <math>x_0=1.</math> :b) <math>f(x)=\ln (x^3-x+3)</math> en el punt <math>x_0=0.</math> :c) <math>f(x)=e^{-x^2}</math> en el punt <math>x_0=-1.</math> :d) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-2)</math> en el punt <math>x_0=2.</math> === Aplicacions === És bàsic recordar que: *Si <math>f(x)</math> és derivable llavors la seva derivada, <math>f'(x),</math> és contínua. ==== Monotonia de les funcions ==== Ara amb la derivada podem examinar el creixement i decreixement de les funcions i com es connecten en màxims i mínims. ¿Què esperem de funcions creixents? :Si hi ha un punt <math>x_0</math> on el valor de la funció és <math>f(x_0)</math> llavors és creixent si per un valor més gran <math>x_1</math> és segur que el valor <math>f(x_1)</math> és més gran que <math>f(x_0).</math> Llavors com que <math>f'(x_0)</math> ens indica el pendent de la recta tangent, podem escriure sintèticament: *Una funció és creixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\leqslant f(x_1)</math> El mateix per funcions decreixents *Una funció es decreixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\geqslant f(x_1)</math> Es vol conèixer aquests intervals directament i no estar provant amb valors arbitraris que no justificarien res encara. ;Mètode amb derivades per estudiar la monotonia de les funcions Donada una funció derivable en un interval <math>(a,b)</math> llavors: *Direm que és creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\geqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)>0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\leqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)<0</math> a tot <math>(a,b)</math> Ara l'únic que queda és determinar què passa als punts on s'anul·la: *Direm que <math>x_0</math> és un punt crític si <math>f'(x_0)=0</math> :*Podrien ser mínims, màxims o una simple inflexió puntual. ;Exemples: 1) Sigui <math>f(x)</math> una funció derivable a <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(-2)>0</math> i <math>f'(4)<0,</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un màxim a l'interval <math>[-2,4].</math> Solució: La funció <math>f'(x)</math> és contínua, llavors per Bolzano si <math>a=-2</math>, <math>b=4</math> i també <math>f'(a)>0</math> i <math>f'(b)<0</math> llavors hi ha almenys un punt <math>c</math> dins del interval <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(c)=0.</math> 2) Sigui <math>f(x)</math> una funció no constant i derivable a <math>[3,10]</math> amb <math>f(3)=f(10),</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un punt <math>c</math> on <math>f'(c)=0.</math> Solució: Per Weierstrass prenent <math>a=3</math> i <math>b=10</math> llavors hi ha màxims <math>c</math> i mínims <math>d,</math> i per tant per ser derivable segur que almenys <math>f'(c)=0</math> o bé <math>f'(d)=0.</math> 3) Determina els intervals de creixement de les funcions donades i fes un dibuix :a) <math>f(x)=x^4-x^2</math> :b) <math>f(x)=x+\frac{x^3}{3!}</math> :c) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-4)</math> === Exercicis === ==== Mig resum ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades trobant les constants desconegudes per a que sigui derivable aquestes funcions: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x^2+1} & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ 1-(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució: Afirmar la derivabilitat de les funcions al domini que tenen assignat: * <math>\frac{1}{x^2+1}</math> al domini <math> x\geq 0</math> no hi ha zeros al denominador per tant és derivable i la derivada és <math>\frac{-2x}{(x^2+1)^2}</math> * <math>a</math> al domini <math>x\in(-2,0)</math> és constant i com a tal té derivada 0. * <math>1-(x+2)^2</math> al domini <math>x\leq -2</math> és derivable perquè en fer les operacions queda un polinomi. Aquests tres trams del gràfic de la funció es connecten al punt 0 i -2, mirem si tenen mateixa derivada i mateixa alçada. Cas <math>x_0=-2</math> als trams afectats: :Es mira la continuïtat: :*Es valora directament <math>1-(x+2)^2</math> al punt <math>x_0=-2^-</math> donant <math>1-(-2+2)^2=1</math> :*Es valora ara <math>a</math> al punt <math>x_0=-2^+</math> com que és constant no li afecta donant novament <math>a</math> :Es mira la derivada: :*Es valora la derivada <math>-2(x+2)\cdot 1</math> al punt <math>x_0=-2^-</math> donant <math>-2(-2+2)\cdot 1=0</math> :*Es valora ara la derivada <math>a</math> que per ser constant és zero sempre a tot arreu. En resum, si volem que sigui derivable al punt <math>x_0=-2</math> cal que sigui contínua per tant <math>a=1</math> i ja té mateixa derivada zero, només llavors és derivable. Cas <math>x_0=0</math> als trams afectats: :Es mira la continuïtat: :*Es valora directament <math>\frac{1}{x^2+1}</math> al punt <math>x_0=0^+</math> donant <math>\frac{1}{x^2+1}</math> :*Es valora ara <math>a</math> al punt <math>x_0=0^-</math> com que és constant no li afecta donant novament <math>a</math> :Es mira la derivada: :*Es valora la derivada <math>-\frac{-2x}{(x^2+1)^2}</math> al punt <math>x_0=0^+</math> donant <math>\frac{-2\cdot 0}{(0^2+1)^2}=0</math> :*Es valora ara la derivada <math>a</math> que per ser constant és zero sempre a tot arreu. En resum; si volem que sigui derivable al punt <math>x_0=0</math> cal que sigui contínua per tant <math>a=1</math> i ja té mateixa derivada zero, només llavors és derivable. Ara parlant de la funció total <math>f(x)</math> podem afirmar que aquesta funció és '''derivable''' només si <math>a=1.</math> |} b) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x-1} & \text{ si } x\geq 2 \\ ax^2+b & \text{ si } x\in(-2,2)\\ \sqrt{-1-x} & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> ;Solució: <math>a=\tfrac{1}{8}\;i\;b=\tfrac{1}{2}</math> 2) S'ha de construir la recta tangent a cada funció on s'indica: a) <math>f(x)=x^2</math> al punt <math>x_0=3.</math> b) <math>f(x)=\tfrac{2}{3}\sqrt{x}</math> al punt <math>x_0=9.</math> c) <math>f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}</math> al punt <math>x_0=-1</math> ;Solució: Apliquem la fórmula de la recta tangent <math>r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> que requereix derivades: a) <math>f'(x)=2x</math> Llavors <math>f(3)=(3)^2=9</math> i <math>f'(3)=2(3)=6,</math> substituint dona: :<math>r(x)=6(x-3)+9</math> b) <math>f'(x)=\frac{2}{3}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{3\sqrt{x}}</math> Llavors <math>f(9)=\tfrac{2}{3}\sqrt{9}=2</math> i <math>f'(9)=\frac{1}{3\sqrt{9}}=\frac{1}{9},</math> substituint dona: :<math>r(x)=\tfrac{1}{9}(x-9)+2</math> c) <math>f'(x)=x^3+x^2+x</math> ... 3) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: :<math>\left( \frac{2e^x-3x}{x-2} \right)'=</math> 4) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: :<math>\left(1+ \sqrt{ln(x)+x^2} \right)'=</math> 5) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: :<math>\left( \ln(x)\cdot\sin(x) \right)'</math> 6) S'ha d'estudiar la monotonia de la funció donada fent una taula de tots els signes: :<math>f(x)=\frac{\ln(x) (x-1)}{(x-2)^2}</math> ==== Concavitat i convexitat ==== :e) Ens donen directament <math>f''(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)(x-2)}</math> ---- ===== Regla de l'Hôpital ===== [[File:Guillaume de l'Hôpital.jpg|thumb|180px|Matemàtic francès del segle XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)]] La '''regla de l'Hôpital''' no és més que un mètode per comparar o resoldre la '''raó''' del límit entre dues funcions en un punt del tipus <math>\tfrac{0}{0},</math> <math>0\cdot\infty</math> i <math>\tfrac{\infty}{\infty},</math> i diu: cont... [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 2ido8hbesr1tkd92gmp0ahlz3c9dg7j 386551 386549 2026-11-08T11:22:28Z Profev 36331 /* Mig resum */ + 386551 wikitext text/x-wiki Línia de presentació de les derivades nivell bàsic. És important haver assolit una bona comprensió del tema de funció contínua, rectes i límits. == Introducció == [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|right|150px]] Les derivades introduïdes per [https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton] s'utilitzen bàsicament per trobar pendents a nivell local sobre les corbes de les funcions. === Taxa de variació mitjana === Amb dos punts sobre un gràfic, <math>A = (a, f(a))</math> i <math>B = (b, f(b))</math>, el pendent entre aquests dos punts s'anomena '''taxa de variació mitjana''' entre '''a''' i '''b''': <math>TVM_{[a,b]} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> Aquesta taxa no requereix els successos intermedis només mesura el pendent de la recta hipotètica que passa per aquest dos punts és, per tant, una relació donada per una divisió entre dues mesures <math>\frac{unitat\;\;vertical}{unitat\;\;horitzontal}</math>: === Derivada === [[File:Derivative.svg|400px|right]] La '''taxa de variació instantània''' o '''derivada''' ha de ser una funció <math>f'(x)</math> que en <math>x_1</math> dona el pendent de la única recta tangent en el punt <math>(x_1,\;f(x_1)).</math> La intensió és que <math>a=x</math> i que '''b''' s'aproxima molt a '''a''' i que només hi ha una diferència de '''h''' entre ells, tan petita com es vulgui <math>b=x+h.</math> L'anterior expressió ha de ser: <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}</math> <math>=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> Es necessita que només hi hagi una es a dir que '''h''' sigui zero amb un límit, és a dir: <math>f'(x^-)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> En resum, per a que una funció <math>f(x)</math> sigui derivable en <math>x_1</math> ha de complir: *Que <math>x_1</math> sigui del domini de <math>f(x)</math> *Que <math>f(x)</math> sigui contínua en un entorn del punt <math>x_1</math> *Que la derivada sigui continua a <math>x_1,</math> és a dir <math>f'(x_1^-)=f'(x_1^+).</math> i no a l'invers. ;Funcions derivables: {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" |Tota funció polinòmica <math>P(x)</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Totes les arrels <math>\sqrt[n]{x}</math> són derivables al seu domini que depèn de '''n'''. |- |Tota exponencial <math>a^x</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Tot logaritme <math>\log_a x</math> és derivable a tota <math>(0,\;\infty).</math> |- |Les funcions <math>\sin(x)</math> i <math>\cos(x)</math> són derivables a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Composicions de funcions derivables és derivable amb les restriccions del domini que requereixen: |- |Tota inversa de funcions derivables és derivable, excepte als zeros de les funcions <math>\frac{1}{f(x)}.</math> |} Aquests resums permet treballar les funcions a trossos que per al batxillerat són les que tenen les patologies a tractar. ==== Exercicis ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades a cada apartat: :a) <math>f(x)=|x|=\begin{cases} x & \text{ si } x>0 \\ -x & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :b) <math>f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ si } x<0 \\ x & \text{ si } x\geq 0 \end{cases}</math> :c) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ -(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> :d) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x>1 \\ 2x-a & \text{ si } x\leq 1 \end{cases}</math> :e) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x+1\;} & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :f) <math>f(x)=\begin{cases} e^x & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :g) <math>f(x)=\begin{cases} ln(x) & \text{ si } x>2 \\ ax^2+bx & \text{ si } x\leq 2\end{cases}</math> ==== Càlcul de derivades ==== Construcció de la [[Taula derivades-batx|taula de derivades]] i [[Exercicis derivades 01|exercicis]]. ===== Derivada de la funció constant ===== 1) Donada una funció constant genèrica del tipus <math>f(x)=k</math> on <math>k\in\mathbb{R}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0\;</math> <math>\Rightarrow\; f'(x)=0</math> ===== Derivada d'una potència de x ===== 2) Donada una funció del tipus <math>f(x)=x^n</math> on <math>n\in\mathbb{N}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\;</math> Considerant que :<math>(x+h)^n</math> <math>=x^n+nhx^{n-1}+{n \choose 2}h^2x^{n-2}+{n \choose 3}h^3x^{n-3}+\dots {n \choose n-2}h^{n-2}x^2+nh^{n-1}x+h^{n}</math> :<math>(x+h)^n</math> <math>\sim x^n+nhx^{n-1}+ o(h^2)</math> on aquest terme <math>o(h^2)</math> indica que tots són potències d'ordre més grans o iguals que <math>h^2</math> i de fet no ens farà falta. Retornant al límit tenim el següent :<math>\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{x^n}+nhx^{n-1}+ o(h^2)-\cancel{x^n}}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{nhx^{n-1}+ o(h^2)}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\left(\frac{nhx^{n-1}}{h}+\frac{o(h^2)}{h}\right)</math> <math>=\lim_{h \to 0} \big(\;nx^{n-1}+o(h)\big)</math> <math>=nx^{n-1}+\lim_{h \to 0}o(h)</math> <math>=nx^{n-1}+0</math> <math>=nx^{n-1}</math> Ja el tenim ja que de fet <math>\lim_{h \to 0}\;h^n=0</math> per un <math>n\in\mathbb{N}</math> i per tant: :<math>f'(x)=nx^{n-1}</math> ===== Rectes tangents ===== Definició: Una recta tangent en un punt <math>x_0</math> de la corba que descriu la gràfica d'una funció derivable <math>f(x)</math> és una recta del tipus <math>r(x)=mx+n</math> que passa pel punt <math>x_0</math> i que almenys localment té la mateixa direcció de que la corba de <math>f(x).</math> Fórmula per construir la recta tangent en un punt com <math>x_0</math> a una funció derivable <math>f(x)</math>: :{|cellspacing="6" cellpadding="3" style="border: 2px solid #77d; background:#fff" |<math>y=r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> |} ;Exemples de rectes tangents 1) Recta tangent a <math>f(x)=x^2-x</math> en el punt <math>x_0=3.</math> Solució: :1r) <math>f'(x)=2x-1</math> :2n) Valoració <math>f(x_0)</math> i <math>f'(x_0)</math>: <math>f(3)=(3)^2-(3)=6</math> i <math>f'(3)=2(3)-1=5</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=5(x-3)+6</math> ::Arreglant una mica amb propietat distributiva la recta és: <math>y=5x-9</math> 2) Recta tangent a <math>f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}</math> en el punt <math>x_0=0.</math> Solució: :1r) Amb la regla de la cadena podem derivar-la: ::<math>f'(x)=\big( (x^2-2x+2)^{-1} \big)</math> <math>=-1(x^2-2x+2)^{-2}(2x-2)</math> <math>=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+2)^{2}}</math> :2n) Valoració: ::<math>f(0)=\frac{1}{(0)^2-2(0)+2}=\frac{1}{2}</math> ::<math>f'(0)=-\frac{2(0)-2}{((0)^2-2(0)+2)^2}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=\tfrac{1}{2}(x-0)+\tfrac{1}{2}</math> ::Arreglant una mica la recta és: <math>y=\frac{x+1}{2}</math> ;Exercicis de construcció de rectes tangents 1) Calcula i representa manualment, copiat i amb claredat utilitzant el GeoGebra(Clàssic) les rectes tangents a les funcions donades en el punt demanat. :a) <math>f(x)=\frac{x}{x-1}</math> en el punt <math>x_0=1.</math> :b) <math>f(x)=\ln (x^3-x+3)</math> en el punt <math>x_0=0.</math> :c) <math>f(x)=e^{-x^2}</math> en el punt <math>x_0=-1.</math> :d) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-2)</math> en el punt <math>x_0=2.</math> === Aplicacions === És bàsic recordar que: *Si <math>f(x)</math> és derivable llavors la seva derivada, <math>f'(x),</math> és contínua. ==== Monotonia de les funcions ==== Ara amb la derivada podem examinar el creixement i decreixement de les funcions i com es connecten en màxims i mínims. ¿Què esperem de funcions creixents? :Si hi ha un punt <math>x_0</math> on el valor de la funció és <math>f(x_0)</math> llavors és creixent si per un valor més gran <math>x_1</math> és segur que el valor <math>f(x_1)</math> és més gran que <math>f(x_0).</math> Llavors com que <math>f'(x_0)</math> ens indica el pendent de la recta tangent, podem escriure sintèticament: *Una funció és creixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\leqslant f(x_1)</math> El mateix per funcions decreixents *Una funció es decreixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\geqslant f(x_1)</math> Es vol conèixer aquests intervals directament i no estar provant amb valors arbitraris que no justificarien res encara. ;Mètode amb derivades per estudiar la monotonia de les funcions Donada una funció derivable en un interval <math>(a,b)</math> llavors: *Direm que és creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\geqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)>0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\leqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)<0</math> a tot <math>(a,b)</math> Ara l'únic que queda és determinar què passa als punts on s'anul·la: *Direm que <math>x_0</math> és un punt crític si <math>f'(x_0)=0</math> :*Podrien ser mínims, màxims o una simple inflexió puntual. ;Exemples: 1) Sigui <math>f(x)</math> una funció derivable a <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(-2)>0</math> i <math>f'(4)<0,</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un màxim a l'interval <math>[-2,4].</math> Solució: La funció <math>f'(x)</math> és contínua, llavors per Bolzano si <math>a=-2</math>, <math>b=4</math> i també <math>f'(a)>0</math> i <math>f'(b)<0</math> llavors hi ha almenys un punt <math>c</math> dins del interval <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(c)=0.</math> 2) Sigui <math>f(x)</math> una funció no constant i derivable a <math>[3,10]</math> amb <math>f(3)=f(10),</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un punt <math>c</math> on <math>f'(c)=0.</math> Solució: Per Weierstrass prenent <math>a=3</math> i <math>b=10</math> llavors hi ha màxims <math>c</math> i mínims <math>d,</math> i per tant per ser derivable segur que almenys <math>f'(c)=0</math> o bé <math>f'(d)=0.</math> 3) Determina els intervals de creixement de les funcions donades i fes un dibuix :a) <math>f(x)=x^4-x^2</math> :b) <math>f(x)=x+\frac{x^3}{3!}</math> :c) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-4)</math> === Exercicis === ==== Mig resum ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades trobant les constants desconegudes per a que sigui derivable aquestes funcions: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x^2+1} & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ 1-(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Afirmar la derivabilitat de les funcions al domini que tenen assignat: * <math>\frac{1}{x^2+1}</math> al domini <math> x\geq 0</math> no hi ha zeros al denominador per tant és derivable i la derivada és <math>\frac{-2x}{(x^2+1)^2}</math> * <math>a</math> al domini <math>x\in(-2,0)</math> és constant i com a tal té derivada 0. * <math>1-(x+2)^2</math> al domini <math>x\leq -2</math> és derivable perquè en fer les operacions queda un polinomi. Aquests tres trams del gràfic de la funció es connecten al punt 0 i -2, mirem si tenen mateixa derivada i mateixa alçada. Cas <math>x_0=-2</math> als trams afectats: :Es mira la continuïtat: :*Es valora directament <math>1-(x+2)^2</math> al punt <math>x_0=-2^-</math> donant <math>1-(-2+2)^2=1</math> :*Es valora ara <math>a</math> al punt <math>x_0=-2^+</math> com que és constant no li afecta donant novament <math>a</math> :Es mira la derivada: :*Es valora la derivada <math>-2(x+2)\cdot 1</math> al punt <math>x_0=-2^-</math> donant <math>-2(-2+2)\cdot 1=0</math> :*Es valora ara la derivada <math>a</math> que per ser constant és zero sempre a tot arreu. En resum, si volem que sigui derivable al punt <math>x_0=-2</math> cal que sigui contínua per tant <math>a=1</math> i ja té mateixa derivada zero, només llavors és derivable. Cas <math>x_0=0</math> als trams afectats: :Es mira la continuïtat: :*Es valora directament <math>\frac{1}{x^2+1}</math> al punt <math>x_0=0^+</math> donant <math>\frac{1}{x^2+1}</math> :*Es valora ara <math>a</math> al punt <math>x_0=0^-</math> com que és constant no li afecta donant novament <math>a</math> :Es mira la derivada: :*Es valora la derivada <math>-\frac{-2x}{(x^2+1)^2}</math> al punt <math>x_0=0^+</math> donant <math>\frac{-2\cdot 0}{(0^2+1)^2}=0</math> :*Es valora ara la derivada <math>a</math> que per ser constant és zero sempre a tot arreu. En resum; si volem que sigui derivable al punt <math>x_0=0</math> cal que sigui contínua per tant <math>a=1</math> i ja té mateixa derivada zero, només llavors és derivable. Ara parlant de la funció total <math>f(x)</math> podem afirmar que aquesta funció és '''derivable''' només si <math>a=1.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x-1} & \text{ si } x\geq 2 \\ ax^2+b & \text{ si } x\in(-2,2)\\ \sqrt{-1-x} & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: fet a classe. <math>a=\tfrac{1}{8}\;i\;b=\tfrac{1}{2}</math> |} 2) S'ha de construir la recta tangent a cada funció on s'indica: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=x^2</math> al punt <math>x_0=3.</math> b) <math>f(x)=\tfrac{2}{3}\sqrt{x}</math> al punt <math>x_0=9.</math> c) <math>f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}</math> al punt <math>x_0=-1</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la fórmula de la recta tangent <math>r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> que requereix derivades: a) <math>f'(x)=2x</math> Llavors <math>f(3)=(3)^2=9</math> i <math>f'(3)=2(3)=6,</math> substituint dona la recta tangent: :<math>r(x)=6(x-3)+9</math> b) <math>f'(x)=\frac{2}{3}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{3\sqrt{x}}</math> Llavors <math>f(9)=\tfrac{2}{3}\sqrt{9}=2</math> i <math>f'(9)=\frac{1}{3\sqrt{9}}=\frac{1}{9},</math> substituint dona la recta tangent: :<math>r(x)=\tfrac{1}{9}(x-9)+2</math> c) <math>f'(x)=x^3+x^2+x</math> Llavors <math>f(-1)=\frac{(-1)^4}{4}+\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}=\frac{5}{12}</math> i <math>f'(-1)=(-1)^3+(-1)^2+(-1)=-1,</math> substituint dona la recta tangent: :<math>r(x)=-1(x-(-1))+\tfrac{5}{12}</math> i simplificant els signes: :<math>r(x)=-(x+1)+\tfrac{5}{12}</math> |} 3) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>\left( \frac{2e^x-3x}{x-2} \right)'=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució L'esquema és: {|style="border: 1px solid #77d" |<math>f(x)=2e^x-3x</math> |width="60px" align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>f'(x)=2e^x-3</math> |- |<math>g(x)=x-2</math> |align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>g'(x)=1</math> |} Per tant: <math>=\frac{(2e^x-3)(x-2)-(2e^x-3x)(1)}{(x-2)^2}</math> Es pot treure una o mitja dècimes a la nota d'aquest exercici si es fa factor comú <math>2e^x</math> i simplifiqueu una miqueta: <math>=\frac{2e^x(x-2)-3(x-2)-2e^x+3x}{(x-2)^2}</math> <math>=\frac{2e^x(x-2)-3x+6-2e^x(1)+3x}{(x-2)^2}</math> <math>=\frac{2e^x(x-3)+6}{(x-2)^2}</math> |} 4) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>\Bigg(1+ \sqrt{\ln(x)+x^2} \Bigg)'=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució L'esquema és: {|style="border: 1px solid #77d" |<math>f(x)=1+\sqrt{x}</math> |width="60px" align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>f'(x)=\frac{1}{ 2\sqrt{x} }</math> |- |<math>g(x)=\ln(x)+x^2</math> |align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>g'(x)=\frac{1}{x}+2x</math> |} <math>=\frac{1}{2\sqrt{\big(\ln(x)+x^2\big)}}\cdot \bigg(\frac{1}{x}+2x\bigg).</math> |} 5) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: :<math>\left( \ln(x)\cdot\sin(x) \right)'</math> 6) S'ha d'estudiar la monotonia de la funció donada fent una taula de tots els signes: :<math>f(x)=\frac{\ln(x) (x-1)}{(x-2)^2}</math> ==== Concavitat i convexitat ==== :e) Ens donen directament <math>f''(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)(x-2)}</math> ---- ===== Regla de l'Hôpital ===== [[File:Guillaume de l'Hôpital.jpg|thumb|180px|Matemàtic francès del segle XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)]] La '''regla de l'Hôpital''' no és més que un mètode per comparar o resoldre la '''raó''' del límit entre dues funcions en un punt del tipus <math>\tfrac{0}{0},</math> <math>0\cdot\infty</math> i <math>\tfrac{\infty}{\infty},</math> i diu: cont... [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] fk0b21vxwrd8086f5t8h9u3xatr3ms5 0 51070 386550 386546 2026-11-08T10:23:25Z Profev 36331 /* Proposta de resum fins a taula de signes */ 386550 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> <math>a^x >0</math> per qualsevol <math>x\in\mathbb{R}</math> === Propietat === {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> on <math>a\in(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>y=x+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^x=a^{x+\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^x}=\cancel{a^x}\cdot a^{\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow 1=a^\varepsilon</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>x=y.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>x=y</math> llavors <math>a^x=a^x</math>. Per tant queda provat que <math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |Donat <math>x<y</math> es té: Si <math>a>1</math> llavors <math>a^x<a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció creixent. Si <math>0<a<1</math> llavors <math>a^x>a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció decreixent. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' S'ha d'aplicar que si <math>a>1</math> llavors <math>a^x>1</math> amb qualsevol <math>x>0.</math> :Si <math>a^x<a^y</math> <math>\Leftrightarrow 1<a^{y-x}</math> cert si <math>a>1</math> ja que <math>0<y-x</math>. Fent el canvi <math>b=a^{-1}</math> llavors <math>b>1</math> i es fa el mateix: :<math>b^x<b^y</math> <math>\Leftrightarrow\frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}</math> <math>\Leftrightarrow a^y<a^x</math> <math>\Leftrightarrow a^x>a^y.</math> |} ==== Exemples d'equacions ==== [[File:Exponente de bases racionales 01.svg|right|800px]] 1) Representa les funcions exponencials donades: Cas: <math>a>1</math> :a) <math>f(x)=10^x</math> :b) <math>f(x)=2^x</math> :c) <math>f(x)=1,5^x</math> :d) <math>f(x)=1,05^x</math> Cas: <math>a\in(0,1)</math> :e) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{10}\right)^x</math> :f) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x</math> :g) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,5}\right)^x</math> :h) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,05}\right)^x</math> 2) Troba la solució de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3^x=9</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>9=3^2</math> :<math>3^x=3^2</math> Apliquem la primera propietat :<math>3^x=3^2</math> <math>\Leftrightarrow x=2.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>7^{3x}=7^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la primera propietat :<math>7^{3x}=7^2</math> <math>\Leftrightarrow 3x=2</math> Aïllant la x tenim que <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>2^{1-x}=8</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>8=2^3</math> :<math>2^{1-x}=2^3</math> Apliquem la primera propietat :<math>2^{1-x}=2^3</math> <math>\Leftrightarrow 1-x=3</math> Aïllant la x s'obté que <math>x=-2.</math> |} 2) Fent el canvi <math>t=a^x</math> troba la solució de {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>5^{2x}+5^x=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Arreglem la visibilitat de <math>5^x</math> :<math>\left(5^x\right)^2+5^x=2</math> Sigui <math>t=5^x</math> llavors es substitueix i queda :<math>t^2+t=2</math> <math>\Rightarrow t_1=1,\;t_2=-2</math> ;cas t=1: Si <math>5^x=1</math> per la propietat <math>a^0 =1</math> tenim que :<math>5^x=5^0</math> <math>\Leftrightarrow x=0.</math> ;cas t=-2 Si <math>5^x=-2</math> per la propietat <math>a^x >0</math> per tant '''no''' és possible. |} ==== Exercicis ==== 1) Resol cada apartat. :a) <math>10^x=1</math> :b) <math>3^{1+x}=27</math> :c) <math>7^{x^2-x}=1</math> :d) <math>2^{12}-2^{3x}=0</math> :e) <math>2^{x^2}-2^{-2x+1}=0</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Proposta de resum fins a taula de signes == Tot el tema de [[Polinomi adaptació Ll1|polinomis]] (4t ESO) amb resolució d'equacions: 1) S'ha de calcular i comprovar totes les possibles solucions deixant tots els passos de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\frac{x}{x+1}+3=\frac{2}{x-1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució: 1r.- S'agrupa a un cantó de la igualtat: :<math>\frac{x}{x+1}+3-\frac{2}{x-1}=0</math> 2r.- Es calcula el màxim comú denominador més conegut com mínim comú múltiple de denominadors, llavors <math>mcm=(x+1)(x-1)</math> i agrupant en una sola fracció queda: :<math>\frac{x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0</math> 3r.- Es mira ara el numerador: :<math>x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3(x^2-1)-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3x^2-3-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow 4x^2-3x-5=0</math> <math>\Rightarrow x_1=\tfrac{3+\sqrt{89}}{8}\;i\;x_2=\tfrac{3-\sqrt{89}}{8}</math> 4t.- Es comprova a la primera equació i surt que és correcte les dues solucions. |} 2) S'ha de factoritzar completament els polinomis donats deixant tots els passos: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>P(x) = x^5-2x^4+x^3</math> b) <math>Q(x) = x^4+5x^3+5x^2-5x-6</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: a) Es treu factor comú <math>x^3</math> quedant <math>P(x)=x^3(x^2-2x+1)</math> Ara podem utilitzar Ruffini a <math>x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=(x-1)^2</math> per tant ja està tot factoritzat: :<math>P(x) = x^3(x-1)^2.</math> b) Es fa Ruffini successiu i surt que es pot factoritzar amb <math>1,\;-1,\;-2,\;-3</math> llavors: :<math>Q(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3).</math> |} 3) S'ha de resoldre cada equació amb el mètode de equacions biquadràtiques enterament amb canvi de variable. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>2x^4+3x^2-5=0</math> b) <math>x^4-5x^2+6=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Amb el canvi <math>z=x^2</math> es fan tots dos: a) <math>2z^2+3z-5=0</math> amb Ruffini tenim que <math>2z^2+3z-5=(z-1)(2z+5)</math> per tant <math>z_1=1\;i\;z_2=-\tfrac{5}{2}</math> Desfent el canvi de variable amb <math>x=\pm\sqrt{z}</math> per tant: :<math>x_1=+\sqrt{1}=1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{1}=-1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. :<math>x_1=-\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. b) <math>z^2-5z+6=0</math> amb una equació de 2n grau tenim que <math>z_1=2\;i\;z_2=3</math> i desfent el canvi: :<math>x_1=+\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. |} 4) Simplificació de fraccions algèbriques utilitzant factorització, s'ha de deixar constància de tots els passos. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\frac{x^4+8x^3+14x^2-8x-15}{x^3+10x^2+31x+30}</math> b) <math>g(x)=\frac{-x^2+(x-1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;solució: a) Amb Ruffini es factoritza numerador amb 1, -1, -5 o -3, i denominador amb 2, 5 o 3 resultant: :<math>f(x)=\frac{(x+1)(x-1)(x+5)(x+3)}{(x+2)(x+5)(x+3)}</math> <math>=\frac{(x+1)(x-1)}{x+2}</math> b) S'arregla numerador i es veu la si simplifica o queda igual :<math>g(x)=\frac{-x^2+x^2+2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{1}{(x+1)(x+2)}</math> |} 5) S'ha de resoldre l'equació de 2n grau amb un gràfic correcte: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=-x^2+7x-6</math> b) <math>g(x)=x^2+x+1</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució a) Es mira el tall amb l'eix de coordenades '''x''' factoritzant-lo i tot seguit es mira els signes o la orientació segons '''a''': Per Ruffini <math>f(x)=(x-1)(-x+6)</math> i per tant talla a '''x''' en els punts 1 i 6. Amb la taula de signes surt que <math>f(x)\rightarrow |-|0|+|0|-|</math> per tant té forma arrodonida i fa muntanya creuant l'eix '''x''' pels punts (1,0) i (6,0). b) En aquest cas Ruffini no pot i per tant fel l'equació de segon grau per veure el per què, però el discriminant surt <math>\triangle=b^2-4ac=1-4\cdot 1\cdot 1 =-3 <0 </math> i no té solució perquè el discriminant no pos ser negatiu, per tant no talla a l'eix '''x'''. Ara només cal saber si és positiu o negatiu amb qualsevol nombre(també serveix taula de signes però és molt simple), si es positiu és una '''U''' si es negatiu és invertit com una muntanya i no toca mai l'eix '''x'''. Dibuixeu-lo!. |} 6) Resoldre i comprova l'equació irracional a) <math>\sqrt{x}=\sqrt{1-x}</math> b) <math>\sqrt{\;x+1\;}\;+1=\sqrt{2-x}</math> 7) S'ha de construir la taula de signes completa amb les columnes de més que fem a classe( en un futur es pot simplificar amb risc ) a) <math>f(x)=\frac{x^2-9}{(x-5)(x^2-1)}</math> b) <math>g(x)=\frac{(x-1)^2(x+2)^4}{x-2}</math> El 8, 9 o 10 són sorpresa, pot barrejar els exercicis anterior o sortir coses fetes a classe però que s'ha dit que no entren al exercicis anteriors, això és perquè el que vol nota es miri tot. == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 5e4t9qm88b5zfrazx8uwxgoa69lrjye