Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 46018 386552 386551 2026-11-08T12:58:55Z Profev 36331 /* Exercicis */+ 386552 wikitext text/x-wiki Línia de presentació de les derivades nivell bàsic. És important haver assolit una bona comprensió del tema de funció contínua, rectes i límits. == Introducció == [[File:Portrait of Sir Isaac Newton, 1689.jpg|right|150px]] Les derivades introduïdes per [https://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton Isaac Newton] s'utilitzen bàsicament per trobar pendents a nivell local sobre les corbes de les funcions. === Taxa de variació mitjana === Amb dos punts sobre un gràfic, <math>A = (a, f(a))</math> i <math>B = (b, f(b))</math>, el pendent entre aquests dos punts s'anomena '''taxa de variació mitjana''' entre '''a''' i '''b''': <math>TVM_{[a,b]} =\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> Aquesta taxa no requereix els successos intermedis només mesura el pendent de la recta hipotètica que passa per aquest dos punts és, per tant, una relació donada per una divisió entre dues mesures <math>\frac{unitat\;\;vertical}{unitat\;\;horitzontal}</math>: === Derivada === [[File:Derivative.svg|400px|right]] La '''taxa de variació instantània''' o '''derivada''' ha de ser una funció <math>f'(x)</math> que en <math>x_1</math> dona el pendent de la única recta tangent en el punt <math>(x_1,\;f(x_1)).</math> La intensió és que <math>a=x</math> i que '''b''' s'aproxima molt a '''a''' i que només hi ha una diferència de '''h''' entre ells, tan petita com es vulgui <math>b=x+h.</math> L'anterior expressió ha de ser: <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}</math> <math>=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> Es necessita que només hi hagi una es a dir que '''h''' sigui zero amb un límit, és a dir: <math>f'(x^-)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x)-f(x-h)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x^+)</math> En resum, per a que una funció <math>f(x)</math> sigui derivable en <math>x_1</math> ha de complir: *Que <math>x_1</math> sigui del domini de <math>f(x)</math> *Que <math>f(x)</math> sigui contínua en un entorn del punt <math>x_1</math> *Que la derivada sigui continua a <math>x_1,</math> és a dir <math>f'(x_1^-)=f'(x_1^+).</math> i no a l'invers. ;Funcions derivables: {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" |Tota funció polinòmica <math>P(x)</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Totes les arrels <math>\sqrt[n]{x}</math> són derivables al seu domini que depèn de '''n'''. |- |Tota exponencial <math>a^x</math> és derivable a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Tot logaritme <math>\log_a x</math> és derivable a tota <math>(0,\;\infty).</math> |- |Les funcions <math>\sin(x)</math> i <math>\cos(x)</math> són derivables a tot <math>\mathbb{R}.</math> |- |Composicions de funcions derivables és derivable amb les restriccions del domini que requereixen: |- |Tota inversa de funcions derivables és derivable, excepte als zeros de les funcions <math>\frac{1}{f(x)}.</math> |} Aquests resums permet treballar les funcions a trossos que per al batxillerat són les que tenen les patologies a tractar. ==== Exercicis ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades a cada apartat: :a) <math>f(x)=|x|=\begin{cases} x & \text{ si } x>0 \\ -x & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :b) <math>f(x)=\begin{cases} 0 & \text{ si } x<0 \\ x & \text{ si } x\geq 0 \end{cases}</math> :c) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ -(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> :d) <math>f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{ si } x>1 \\ 2x-a & \text{ si } x\leq 1 \end{cases}</math> :e) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x+1\;} & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :f) <math>f(x)=\begin{cases} e^x & \text{ si } x>0 \\ ax+b & \text{ si } x\leq 0 \end{cases}</math> :g) <math>f(x)=\begin{cases} ln(x) & \text{ si } x>2 \\ ax^2+bx & \text{ si } x\leq 2\end{cases}</math> ==== Càlcul de derivades ==== Construcció de la [[Taula derivades-batx|taula de derivades]] i [[Exercicis derivades 01|exercicis]]. ===== Derivada de la funció constant ===== 1) Donada una funció constant genèrica del tipus <math>f(x)=k</math> on <math>k\in\mathbb{R}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0\;</math> <math>\Rightarrow\; f'(x)=0</math> ===== Derivada d'una potència de x ===== 2) Donada una funció del tipus <math>f(x)=x^n</math> on <math>n\in\mathbb{N}</math> és un valor fixat. Per derivar-la apliquem la definició :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}\;</math> Considerant que :<math>(x+h)^n</math> <math>=x^n+nhx^{n-1}+{n \choose 2}h^2x^{n-2}+{n \choose 3}h^3x^{n-3}+\dots {n \choose n-2}h^{n-2}x^2+nh^{n-1}x+h^{n}</math> :<math>(x+h)^n</math> <math>\sim x^n+nhx^{n-1}+ o(h^2)</math> on aquest terme <math>o(h^2)</math> indica que tots són potències d'ordre més grans o iguals que <math>h^2</math> i de fet no ens farà falta. Retornant al límit tenim el següent :<math>\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^n-x^n}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{\cancel{x^n}+nhx^{n-1}+ o(h^2)-\cancel{x^n}}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\frac{nhx^{n-1}+ o(h^2)}{h}</math> <math>=\lim_{h \to 0}\left(\frac{nhx^{n-1}}{h}+\frac{o(h^2)}{h}\right)</math> <math>=\lim_{h \to 0} \big(\;nx^{n-1}+o(h)\big)</math> <math>=nx^{n-1}+\lim_{h \to 0}o(h)</math> <math>=nx^{n-1}+0</math> <math>=nx^{n-1}</math> Ja el tenim ja que de fet <math>\lim_{h \to 0}\;h^n=0</math> per un <math>n\in\mathbb{N}</math> i per tant: :<math>f'(x)=nx^{n-1}</math> ===== Rectes tangents ===== Definició: Una recta tangent en un punt <math>x_0</math> de la corba que descriu la gràfica d'una funció derivable <math>f(x)</math> és una recta del tipus <math>r(x)=mx+n</math> que passa pel punt <math>x_0</math> i que almenys localment té la mateixa direcció de que la corba de <math>f(x).</math> Fórmula per construir la recta tangent en un punt com <math>x_0</math> a una funció derivable <math>f(x)</math>: :{|cellspacing="6" cellpadding="3" style="border: 2px solid #77d; background:#fff" |<math>y=r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> |} ;Exemples de rectes tangents 1) Recta tangent a <math>f(x)=x^2-x</math> en el punt <math>x_0=3.</math> Solució: :1r) <math>f'(x)=2x-1</math> :2n) Valoració <math>f(x_0)</math> i <math>f'(x_0)</math>: <math>f(3)=(3)^2-(3)=6</math> i <math>f'(3)=2(3)-1=5</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=5(x-3)+6</math> ::Arreglant una mica amb propietat distributiva la recta és: <math>y=5x-9</math> 2) Recta tangent a <math>f(x)=\frac{1}{x^2-2x+2}</math> en el punt <math>x_0=0.</math> Solució: :1r) Amb la regla de la cadena podem derivar-la: ::<math>f'(x)=\big( (x^2-2x+2)^{-1} \big)</math> <math>=-1(x^2-2x+2)^{-2}(2x-2)</math> <math>=-\frac{2x-2}{(x^2-2x+2)^{2}}</math> :2n) Valoració: ::<math>f(0)=\frac{1}{(0)^2-2(0)+2}=\frac{1}{2}</math> ::<math>f'(0)=-\frac{2(0)-2}{((0)^2-2(0)+2)^2}=-\frac{-2}{4}=\frac{1}{2}</math> :3r) Construcció: <math>y=r(x)=\tfrac{1}{2}(x-0)+\tfrac{1}{2}</math> ::Arreglant una mica la recta és: <math>y=\frac{x+1}{2}</math> ;Exercicis de construcció de rectes tangents 1) Calcula i representa manualment, copiat i amb claredat utilitzant el GeoGebra(Clàssic) les rectes tangents a les funcions donades en el punt demanat. :a) <math>f(x)=\frac{x}{x-1}</math> en el punt <math>x_0=1.</math> :b) <math>f(x)=\ln (x^3-x+3)</math> en el punt <math>x_0=0.</math> :c) <math>f(x)=e^{-x^2}</math> en el punt <math>x_0=-1.</math> :d) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-2)</math> en el punt <math>x_0=2.</math> === Aplicacions === És bàsic recordar que: *Si <math>f(x)</math> és derivable llavors la seva derivada, <math>f'(x),</math> és contínua. ==== Monotonia de les funcions ==== Ara amb la derivada podem examinar el creixement i decreixement de les funcions i com es connecten en màxims i mínims. ¿Què esperem de funcions creixents? :Si hi ha un punt <math>x_0</math> on el valor de la funció és <math>f(x_0)</math> llavors és creixent si per un valor més gran <math>x_1</math> és segur que el valor <math>f(x_1)</math> és més gran que <math>f(x_0).</math> Llavors com que <math>f'(x_0)</math> ens indica el pendent de la recta tangent, podem escriure sintèticament: *Una funció és creixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\leqslant f(x_1)</math> El mateix per funcions decreixents *Una funció es decreixent en un interval <math>(a,b)</math> si per <math>x_0 \;\;i\;\; x_1 \in (a,b)</math> amb <math>x_0<x_1</math> llavors <math>f(x_0)\geqslant f(x_1)</math> Es vol conèixer aquests intervals directament i no estar provant amb valors arbitraris que no justificarien res encara. ;Mètode amb derivades per estudiar la monotonia de les funcions Donada una funció derivable en un interval <math>(a,b)</math> llavors: *Direm que és creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\geqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament creixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)>0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)\leqslant 0</math> a tot <math>(a,b)</math> *Direm que és estrictament decreixent a <math>(a,b)</math> si <math>f'(x)<0</math> a tot <math>(a,b)</math> Ara l'únic que queda és determinar què passa als punts on s'anul·la: *Direm que <math>x_0</math> és un punt crític si <math>f'(x_0)=0</math> :*Podrien ser mínims, màxims o una simple inflexió puntual. ;Exemples: 1) Sigui <math>f(x)</math> una funció derivable a <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(-2)>0</math> i <math>f'(4)<0,</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un màxim a l'interval <math>[-2,4].</math> Solució: La funció <math>f'(x)</math> és contínua, llavors per Bolzano si <math>a=-2</math>, <math>b=4</math> i també <math>f'(a)>0</math> i <math>f'(b)<0</math> llavors hi ha almenys un punt <math>c</math> dins del interval <math>[-2,4]</math> amb <math>f'(c)=0.</math> 2) Sigui <math>f(x)</math> una funció no constant i derivable a <math>[3,10]</math> amb <math>f(3)=f(10),</math> llavors es vol demostrar que existeix almenys un punt <math>c</math> on <math>f'(c)=0.</math> Solució: Per Weierstrass prenent <math>a=3</math> i <math>b=10</math> llavors hi ha màxims <math>c</math> i mínims <math>d,</math> i per tant per ser derivable segur que almenys <math>f'(c)=0</math> o bé <math>f'(d)=0.</math> 3) Determina els intervals de creixement de les funcions donades i fes un dibuix :a) <math>f(x)=x^4-x^2</math> :b) <math>f(x)=x+\frac{x^3}{3!}</math> :c) <math>f(x)=(x^2-1)(x^2-4)</math> === Exercicis === ==== Mig resum ==== 1) Estudia la derivabilitat de les funcions donades trobant les constants desconegudes per a que sigui derivable aquestes funcions: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x^2+1} & \text{ si } x\geq 0 \\ a & \text{ si } x\in(-2,0)\\ 1-(x+2)^2 & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Afirmar la derivabilitat de les funcions al domini que tenen assignat: * <math>\frac{1}{x^2+1}</math> al domini <math> x\geq 0</math> no hi ha zeros al denominador per tant és derivable i la derivada és <math>\frac{-2x}{(x^2+1)^2}</math> * <math>a</math> al domini <math>x\in(-2,0)</math> és constant i com a tal té derivada 0. * <math>1-(x+2)^2</math> al domini <math>x\leq -2</math> és derivable perquè en fer les operacions queda un polinomi. Aquests tres trams del gràfic de la funció es connecten al punt 0 i -2, mirem si tenen mateixa derivada i mateixa alçada. Cas <math>x_0=-2</math> als trams afectats: :Es mira la continuïtat: :*Es valora directament <math>1-(x+2)^2</math> al punt <math>x_0=-2^-</math> donant <math>1-(-2+2)^2=1</math> :*Es valora ara <math>a</math> al punt <math>x_0=-2^+</math> com que és constant no li afecta donant novament <math>a</math> :Es mira la derivada: :*Es valora la derivada <math>-2(x+2)\cdot 1</math> al punt <math>x_0=-2^-</math> donant <math>-2(-2+2)\cdot 1=0</math> :*Es valora ara la derivada <math>a</math> que per ser constant és zero sempre a tot arreu. En resum, si volem que sigui derivable al punt <math>x_0=-2</math> cal que sigui contínua per tant <math>a=1</math> i ja té mateixa derivada zero, només llavors és derivable. Cas <math>x_0=0</math> als trams afectats: :Es mira la continuïtat: :*Es valora directament <math>\frac{1}{x^2+1}</math> al punt <math>x_0=0^+</math> donant <math>\frac{1}{x^2+1}</math> :*Es valora ara <math>a</math> al punt <math>x_0=0^-</math> com que és constant no li afecta donant novament <math>a</math> :Es mira la derivada: :*Es valora la derivada <math>-\frac{-2x}{(x^2+1)^2}</math> al punt <math>x_0=0^+</math> donant <math>\frac{-2\cdot 0}{(0^2+1)^2}=0</math> :*Es valora ara la derivada <math>a</math> que per ser constant és zero sempre a tot arreu. En resum; si volem que sigui derivable al punt <math>x_0=0</math> cal que sigui contínua per tant <math>a=1</math> i ja té mateixa derivada zero, només llavors és derivable. Ara parlant de la funció total <math>f(x)</math> podem afirmar que aquesta funció és '''derivable''' només si <math>a=1.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>f(x)=\begin{cases} \sqrt{x-1} & \text{ si } x\geq 2 \\ ax^2+b & \text{ si } x\in(-2,2)\\ \sqrt{-1-x} & \text{ si } x\leq -2 \end{cases}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: fet a classe. <math>a=\tfrac{1}{8}\;i\;b=\tfrac{1}{2}</math> |} 2) S'ha de construir la recta tangent a cada funció on s'indica: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=x^2</math> al punt <math>x_0=3.</math> b) <math>f(x)=\tfrac{2}{3}\sqrt{x}</math> al punt <math>x_0=9.</math> c) <math>f(x)=\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}</math> al punt <math>x_0=-1</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la fórmula de la recta tangent <math>r(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> que requereix derivades: a) <math>f'(x)=2x</math> Llavors <math>f(3)=(3)^2=9</math> i <math>f'(3)=2(3)=6,</math> substituint dona la recta tangent: :<math>r(x)=6(x-3)+9</math> b) <math>f'(x)=\frac{2}{3}\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{3\sqrt{x}}</math> Llavors <math>f(9)=\tfrac{2}{3}\sqrt{9}=2</math> i <math>f'(9)=\frac{1}{3\sqrt{9}}=\frac{1}{9},</math> substituint dona la recta tangent: :<math>r(x)=\tfrac{1}{9}(x-9)+2</math> c) <math>f'(x)=x^3+x^2+x</math> Llavors <math>f(-1)=\frac{(-1)^4}{4}+\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}=\frac{5}{12}</math> i <math>f'(-1)=(-1)^3+(-1)^2+(-1)=-1,</math> substituint dona la recta tangent: :<math>r(x)=-1(x-(-1))+\tfrac{5}{12}</math> i simplificant els signes: :<math>r(x)=-(x+1)+\tfrac{5}{12}</math> |} 3) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>\left( \frac{2e^x-3x}{x-2} \right)'=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució L'esquema és: {|style="border: 1px solid #77d" |<math>f(x)=2e^x-3x</math> |width="60px" align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>f'(x)=2e^x-3</math> |- |<math>g(x)=x-2</math> |align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>g'(x)=1</math> |} Per tant, divisió de funcions diu: <math>=\frac{(2e^x-3)(x-2)-(2e^x-3x)(1)}{(x-2)^2}</math> Es pot treure una o mitja dècimes a la nota d'aquest exercici si es fa factor comú <math>2e^x</math> i simplifiqueu una miqueta: <math>=\frac{2e^x(x-2)-3(x-2)-2e^x+3x}{(x-2)^2}</math> <math>=\frac{2e^x(x-2)-3x+6-2e^x(1)+3x}{(x-2)^2}</math> <math>=\frac{2e^x(x-3)+6}{(x-2)^2}</math> |} 4) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>\Bigg(1+ \sqrt{\ln(x)+x^2} \Bigg)'=</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució L'esquema és: {|style="border: 1px solid #77d" |<math>f(x)=1+\sqrt{x}</math> |width="60px" align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>f'(x)=\frac{1}{ 2\sqrt{x} }</math> |- |<math>g(x)=\ln(x)+x^2</math> |align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>g'(x)=\frac{1}{x}+2x</math> |} Per tant, composició de funcions o Regla de la cadena diu: <math>=\frac{1}{2\sqrt{\big(\ln(x)+x^2\big)}}\cdot \bigg(\frac{1}{x}+2x\bigg).</math> |} 5) S'ha de calcular la derivada deixant els passos fets: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\left( \ln(x)\cdot\sin(x) \right)'</math> b) <math>\left( (e^x -x)\cdot (\sqrt{x}+\tfrac{2}{5}) \right)'</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució a) L'esquema és: {|style="border: 1px solid #77d" |<math>f(x)=\ln(x)</math> |width="60px" align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>f'(x)=\frac{1}{x}</math> |- |<math>g(x)=\sin(x)</math> |align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>g'(x)=\cos(x)</math> |} Per tant, producte de funcions diu: <math>=\frac{1}{x}\sin(x)+\ln(x)\cos(x).</math> b) L'esquema és: {|style="border: 1px solid #77d" |<math>f(x)=e^x -x</math> |width="60px" align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>f'(x)=e^x -1</math> |- |<math>g(x)=\sqrt{x}+\tfrac{2}{5}</math> |align="center"|<math>\longrightarrow</math> |<math>g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}</math> |} Per tant, producte de funcions diu: <math>=(e^x -1)(\sqrt{x}+\tfrac{2}{5})+(e^x -x)(\frac{1}{2\sqrt{x}}).</math> |} 6) S'ha d'estudiar la monotonia de la funció donada fent una taula de tots els signes: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Solució" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\frac{(x-1)}{(x-2)^2}</math> He tret el logaritme perquè ho fa llarg per res. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució <math>f'(x)=\frac{1(x-2)^2-(x-1)(x-2)^22}{(x-2)^4}</math> <math>=\frac{-x}{(x-2)^3}</math> {|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|2 |- |0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>-x</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |- |2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\frac{1}{x-2}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\frac{1}{x-2}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\frac{1}{x-2}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>f(x)</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |} Aquesta funció és creixent a <math>x\in (0,2)</math> Aquesta funció és decreixent a <math>x\in (-\infty, 0)\cup (2,+\infty )</math> S'observa que només té un mínim, no té màxim. |} Recordeu 7,8 i 9 són petites barreges dels anteriors, dibuixar gràfics o podrien ser preguntes per veure si heu estudiat tot. ---- ==== Concavitat i convexitat ==== :e) Ens donen directament <math>f''(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)(x-2)}</math> ---- ===== Regla de l'Hôpital ===== [[File:Guillaume de l'Hôpital.jpg|thumb|180px|Matemàtic francès del segle XVII Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)]] La '''regla de l'Hôpital''' no és més que un mètode per comparar o resoldre la '''raó''' del límit entre dues funcions en un punt del tipus <math>\tfrac{0}{0},</math> <math>0\cdot\infty</math> i <math>\tfrac{\infty}{\infty},</math> i diu: cont... [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] b1fqj0pu9c45xgrl0aq85ksyd3k3in2