Wikiversity betawikiversity https://beta.wikiversity.org/wiki/Main_Page MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Media Special Talk User User talk Wikiversity Wikiversity talk File File talk MediaWiki MediaWiki talk Template Template talk Help Help talk Category Category talk TimedText TimedText talk Module Module talk Translations Translations talk Event Event talk 0 51070 386553 386550 2026-11-09T12:27:45Z Profev 36331 /* Proposta de resum fins a taula de signes */ + 386553 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> <math>a^x >0</math> per qualsevol <math>x\in\mathbb{R}</math> === Propietat === {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> on <math>a\in(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>y=x+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^x=a^{x+\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^x}=\cancel{a^x}\cdot a^{\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow 1=a^\varepsilon</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>x=y.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>x=y</math> llavors <math>a^x=a^x</math>. Per tant queda provat que <math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |Donat <math>x<y</math> es té: Si <math>a>1</math> llavors <math>a^x<a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció creixent. Si <math>0<a<1</math> llavors <math>a^x>a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció decreixent. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' S'ha d'aplicar que si <math>a>1</math> llavors <math>a^x>1</math> amb qualsevol <math>x>0.</math> :Si <math>a^x<a^y</math> <math>\Leftrightarrow 1<a^{y-x}</math> cert si <math>a>1</math> ja que <math>0<y-x</math>. Fent el canvi <math>b=a^{-1}</math> llavors <math>b>1</math> i es fa el mateix: :<math>b^x<b^y</math> <math>\Leftrightarrow\frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}</math> <math>\Leftrightarrow a^y<a^x</math> <math>\Leftrightarrow a^x>a^y.</math> |} ==== Exemples d'equacions ==== [[File:Exponente de bases racionales 01.svg|right|800px]] 1) Representa les funcions exponencials donades: Cas: <math>a>1</math> :a) <math>f(x)=10^x</math> :b) <math>f(x)=2^x</math> :c) <math>f(x)=1,5^x</math> :d) <math>f(x)=1,05^x</math> Cas: <math>a\in(0,1)</math> :e) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{10}\right)^x</math> :f) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x</math> :g) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,5}\right)^x</math> :h) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,05}\right)^x</math> 2) Troba la solució de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3^x=9</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>9=3^2</math> :<math>3^x=3^2</math> Apliquem la primera propietat :<math>3^x=3^2</math> <math>\Leftrightarrow x=2.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>7^{3x}=7^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la primera propietat :<math>7^{3x}=7^2</math> <math>\Leftrightarrow 3x=2</math> Aïllant la x tenim que <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>2^{1-x}=8</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>8=2^3</math> :<math>2^{1-x}=2^3</math> Apliquem la primera propietat :<math>2^{1-x}=2^3</math> <math>\Leftrightarrow 1-x=3</math> Aïllant la x s'obté que <math>x=-2.</math> |} 2) Fent el canvi <math>t=a^x</math> troba la solució de {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>5^{2x}+5^x=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Arreglem la visibilitat de <math>5^x</math> :<math>\left(5^x\right)^2+5^x=2</math> Sigui <math>t=5^x</math> llavors es substitueix i queda :<math>t^2+t=2</math> <math>\Rightarrow t_1=1,\;t_2=-2</math> ;cas t=1: Si <math>5^x=1</math> per la propietat <math>a^0 =1</math> tenim que :<math>5^x=5^0</math> <math>\Leftrightarrow x=0.</math> ;cas t=-2 Si <math>5^x=-2</math> per la propietat <math>a^x >0</math> per tant '''no''' és possible. |} ==== Exercicis ==== 1) Resol cada apartat. :a) <math>10^x=1</math> :b) <math>3^{1+x}=27</math> :c) <math>7^{x^2-x}=1</math> :d) <math>2^{12}-2^{3x}=0</math> :e) <math>2^{x^2}-2^{-2x+1}=0</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Proposta de resum fins a taula de signes == Tot el tema de [[Polinomi adaptació Ll1|polinomis]] (4t ESO) amb resolució d'equacions: 1) S'ha de calcular i comprovar totes les possibles solucions deixant tots els passos de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\frac{x}{x+1}+3=\frac{2}{x-1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució: 1r.- S'agrupa a un cantó de la igualtat: :<math>\frac{x}{x+1}+3-\frac{2}{x-1}=0</math> 2r.- Es calcula el màxim comú denominador més conegut com mínim comú múltiple de denominadors, llavors <math>mcm=(x+1)(x-1)</math> i agrupant en una sola fracció queda: :<math>\frac{x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0</math> 3r.- Es mira ara el numerador: :<math>x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3(x^2-1)-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3x^2-3-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow 4x^2-3x-5=0</math> <math>\Rightarrow x_1=\tfrac{3+\sqrt{89}}{8}\;i\;x_2=\tfrac{3-\sqrt{89}}{8}</math> 4t.- Es comprova a la primera equació i surt que és correcte les dues solucions. |} 2) S'ha de factoritzar completament els polinomis donats deixant tots els passos: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>P(x) = x^5-2x^4+x^3</math> b) <math>Q(x) = x^4+5x^3+5x^2-5x-6</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: a) Es treu factor comú <math>x^3</math> quedant <math>P(x)=x^3(x^2-2x+1)</math> Ara podem utilitzar Ruffini a <math>x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=(x-1)^2</math> per tant ja està tot factoritzat: :<math>P(x) = x^3(x-1)^2.</math> b) Es fa Ruffini successiu i surt que es pot factoritzar amb <math>1,\;-1,\;-2,\;-3</math> llavors: :<math>Q(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3).</math> |} 3) S'ha de resoldre cada equació amb el mètode de equacions biquadràtiques enterament amb canvi de variable. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>2x^4+3x^2-5=0</math> b) <math>x^4-5x^2+6=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Amb el canvi <math>z=x^2</math> es fan tots dos: a) <math>2z^2+3z-5=0</math> amb Ruffini tenim que <math>2z^2+3z-5=(z-1)(2z+5)</math> per tant <math>z_1=1\;i\;z_2=-\tfrac{5}{2}</math> Desfent el canvi de variable amb <math>x=\pm\sqrt{z}</math> per tant: :<math>x_1=+\sqrt{1}=1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{1}=-1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. :<math>x_1=-\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. b) <math>z^2-5z+6=0</math> amb una equació de 2n grau tenim que <math>z_1=2\;i\;z_2=3</math> i desfent el canvi: :<math>x_1=+\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. |} 4) Simplificació de fraccions algèbriques utilitzant factorització, s'ha de deixar constància de tots els passos. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\frac{x^4+8x^3+14x^2-8x-15}{x^3+10x^2+31x+30}</math> b) <math>g(x)=\frac{-x^2+(x-1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;solució: a) Amb Ruffini es factoritza numerador amb 1, -1, -5 o -3, i denominador amb 2, 5 o 3 resultant: :<math>f(x)=\frac{(x+1)(x-1)(x+5)(x+3)}{(x+2)(x+5)(x+3)}</math> <math>=\frac{(x+1)(x-1)}{x+2}</math> b) S'arregla numerador i es veu la si simplifica o queda igual :<math>g(x)=\frac{-x^2+x^2+2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{1}{(x+1)(x+2)}</math> |} 5) S'ha de resoldre l'equació de 2n grau amb un gràfic correcte: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=-x^2+7x-6</math> b) <math>g(x)=x^2+x+1</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució a) Es mira el tall amb l'eix de coordenades '''x''' factoritzant-lo i tot seguit es mira els signes o la orientació segons '''a''': Per Ruffini <math>f(x)=(x-1)(-x+6)</math> i per tant talla a '''x''' en els punts 1 i 6. Amb la taula de signes surt que <math>f(x)\rightarrow |-|0|+|0|-|</math> per tant té forma arrodonida i fa muntanya creuant l'eix '''x''' pels punts (1,0) i (6,0). b) En aquest cas Ruffini no pot i per tant fel l'equació de segon grau per veure el per què, però el discriminant surt <math>\triangle=b^2-4ac=1-4\cdot 1\cdot 1 =-3 <0 </math> i no té solució perquè el discriminant no pos ser negatiu, per tant no talla a l'eix '''x'''. Ara només cal saber si és positiu o negatiu amb qualsevol nombre(també serveix taula de signes però és molt simple), si es positiu és una '''U''' si es negatiu és invertit com una muntanya i no toca mai l'eix '''x'''. Dibuixeu-lo!. |} 6) Resoldre i comprova l'equació irracional {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\sqrt{x}=\sqrt{1-x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució <math>\color{red}\left(\color{black}\sqrt{x}\color{red}\right)^2\color{black}=\color{red}\left(\color{black}\sqrt{1-x}\color{red}\right)^2\color{black}\;</math> <math>\Rightarrow \;x=1-x</math> <math>\Rightarrow 2x=1</math> <math>\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}</math> Comprovació <math>\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{1-\tfrac{1}{2}}</math> i dona bé, per tant <math>x=\tfrac{1}{2}</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>\sqrt{\;x+1\;}\;+1=\sqrt{2-x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució <math>\color{red}\left(\color{black}\sqrt{\;x+1\;}\;+1\color{red}\right)^2\color{black}=\color{red}\left(\color{black}\sqrt{2-x}\color{red}\right)^2\color{black}\;</math> <math>\Rightarrow\;\left(\sqrt{x+1}\right)^2+2\sqrt{x+2}+1^2=2-x\;</math> <math>\Rightarrow\;x+1+2\sqrt{x+2}+1=2-x</math> <math>\Rightarrow\;x+2\sqrt{x+2}=-x</math> <math>\Rightarrow\;2\sqrt{x+2}=-2x</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x+2}=-x</math> <math>\Rightarrow\;\color{red}\left(\color{black}\sqrt{x+2}\color{red}\right)^2\color{black}=\color{red}\left(\color{black}-x\color{red}\right)^2\color{black}</math> <math>\Rightarrow\;x+2=x^2</math> <math>\Rightarrow\;0=x^2-x-2</math> |} 7) S'ha de construir la taula de signes completa amb les columnes de més que fem a classe( en un futur es pot simplificar amb risc ) a) <math>f(x)=\frac{x^2-9}{(x-5)(x^2-1)}</math> b) <math>g(x)=\frac{(x-1)^2(x+2)^4}{x-2}</math> El 8, 9 o 10 són sorpresa, pot barrejar els exercicis anterior o sortir coses fetes a classe però que s'ha dit que no entren al exercicis anteriors, això és perquè el que vol nota es miri tot. == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] rtvtea3cij8066idf9c7klfhz2n7kd5 386554 386553 2026-11-09T17:55:20Z Profev 36331 /* Proposta de resum fins a taula de signes */ 386554 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> <math>a^x >0</math> per qualsevol <math>x\in\mathbb{R}</math> === Propietat === {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> on <math>a\in(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>y=x+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^x=a^{x+\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^x}=\cancel{a^x}\cdot a^{\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow 1=a^\varepsilon</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>x=y.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>x=y</math> llavors <math>a^x=a^x</math>. Per tant queda provat que <math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |Donat <math>x<y</math> es té: Si <math>a>1</math> llavors <math>a^x<a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció creixent. Si <math>0<a<1</math> llavors <math>a^x>a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció decreixent. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' S'ha d'aplicar que si <math>a>1</math> llavors <math>a^x>1</math> amb qualsevol <math>x>0.</math> :Si <math>a^x<a^y</math> <math>\Leftrightarrow 1<a^{y-x}</math> cert si <math>a>1</math> ja que <math>0<y-x</math>. Fent el canvi <math>b=a^{-1}</math> llavors <math>b>1</math> i es fa el mateix: :<math>b^x<b^y</math> <math>\Leftrightarrow\frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}</math> <math>\Leftrightarrow a^y<a^x</math> <math>\Leftrightarrow a^x>a^y.</math> |} ==== Exemples d'equacions ==== [[File:Exponente de bases racionales 01.svg|right|800px]] 1) Representa les funcions exponencials donades: Cas: <math>a>1</math> :a) <math>f(x)=10^x</math> :b) <math>f(x)=2^x</math> :c) <math>f(x)=1,5^x</math> :d) <math>f(x)=1,05^x</math> Cas: <math>a\in(0,1)</math> :e) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{10}\right)^x</math> :f) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x</math> :g) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,5}\right)^x</math> :h) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,05}\right)^x</math> 2) Troba la solució de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3^x=9</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>9=3^2</math> :<math>3^x=3^2</math> Apliquem la primera propietat :<math>3^x=3^2</math> <math>\Leftrightarrow x=2.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>7^{3x}=7^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la primera propietat :<math>7^{3x}=7^2</math> <math>\Leftrightarrow 3x=2</math> Aïllant la x tenim que <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>2^{1-x}=8</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>8=2^3</math> :<math>2^{1-x}=2^3</math> Apliquem la primera propietat :<math>2^{1-x}=2^3</math> <math>\Leftrightarrow 1-x=3</math> Aïllant la x s'obté que <math>x=-2.</math> |} 2) Fent el canvi <math>t=a^x</math> troba la solució de {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>5^{2x}+5^x=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Arreglem la visibilitat de <math>5^x</math> :<math>\left(5^x\right)^2+5^x=2</math> Sigui <math>t=5^x</math> llavors es substitueix i queda :<math>t^2+t=2</math> <math>\Rightarrow t_1=1,\;t_2=-2</math> ;cas t=1: Si <math>5^x=1</math> per la propietat <math>a^0 =1</math> tenim que :<math>5^x=5^0</math> <math>\Leftrightarrow x=0.</math> ;cas t=-2 Si <math>5^x=-2</math> per la propietat <math>a^x >0</math> per tant '''no''' és possible. |} ==== Exercicis ==== 1) Resol cada apartat. :a) <math>10^x=1</math> :b) <math>3^{1+x}=27</math> :c) <math>7^{x^2-x}=1</math> :d) <math>2^{12}-2^{3x}=0</math> :e) <math>2^{x^2}-2^{-2x+1}=0</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Proposta de resum fins a taula de signes == Tot el tema de [[Polinomi adaptació Ll1|polinomis]] (4t ESO) amb resolució d'equacions: 1) S'ha de calcular i comprovar totes les possibles solucions deixant tots els passos de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\frac{x}{x+1}+3=\frac{2}{x-1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució: 1r.- S'agrupa a un cantó de la igualtat: :<math>\frac{x}{x+1}+3-\frac{2}{x-1}=0</math> 2r.- Es calcula el màxim comú denominador més conegut com mínim comú múltiple de denominadors, llavors <math>mcm=(x+1)(x-1)</math> i agrupant en una sola fracció queda: :<math>\frac{x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0</math> 3r.- Es mira ara el numerador: :<math>x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3(x^2-1)-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3x^2-3-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow 4x^2-3x-5=0</math> <math>\Rightarrow x_1=\tfrac{3+\sqrt{89}}{8}\;i\;x_2=\tfrac{3-\sqrt{89}}{8}</math> 4t.- Es comprova a la primera equació i surt que és correcte les dues solucions. |} 2) S'ha de factoritzar completament els polinomis donats deixant tots els passos: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>P(x) = x^5-2x^4+x^3</math> b) <math>Q(x) = x^4+5x^3+5x^2-5x-6</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: a) Es treu factor comú <math>x^3</math> quedant <math>P(x)=x^3(x^2-2x+1)</math> Ara podem utilitzar Ruffini a <math>x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=(x-1)^2</math> per tant ja està tot factoritzat: :<math>P(x) = x^3(x-1)^2.</math> b) Es fa Ruffini successiu i surt que es pot factoritzar amb <math>1,\;-1,\;-2,\;-3</math> llavors: :<math>Q(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3).</math> |} 3) S'ha de resoldre cada equació amb el mètode de equacions biquadràtiques enterament amb canvi de variable. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>2x^4+3x^2-5=0</math> b) <math>x^4-5x^2+6=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Amb el canvi <math>z=x^2</math> es fan tots dos: a) <math>2z^2+3z-5=0</math> amb Ruffini tenim que <math>2z^2+3z-5=(z-1)(2z+5)</math> per tant <math>z_1=1\;i\;z_2=-\tfrac{5}{2}</math> Desfent el canvi de variable amb <math>x=\pm\sqrt{z}</math> per tant: :<math>x_1=+\sqrt{1}=1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{1}=-1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. :<math>x_1=-\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. b) <math>z^2-5z+6=0</math> amb una equació de 2n grau tenim que <math>z_1=2\;i\;z_2=3</math> i desfent el canvi: :<math>x_1=+\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. |} 4) Simplificació de fraccions algèbriques utilitzant factorització, s'ha de deixar constància de tots els passos. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\frac{x^4+8x^3+14x^2-8x-15}{x^3+10x^2+31x+30}</math> b) <math>g(x)=\frac{-x^2+(x-1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;solució: a) Amb Ruffini es factoritza numerador amb 1, -1, -5 o -3, i denominador amb 2, 5 o 3 resultant: :<math>f(x)=\frac{(x+1)(x-1)(x+5)(x+3)}{(x+2)(x+5)(x+3)}</math> <math>=\frac{(x+1)(x-1)}{x+2}</math> b) S'arregla numerador i es veu la si simplifica o queda igual :<math>g(x)=\frac{-x^2+x^2+2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{1}{(x+1)(x+2)}</math> |} 5) S'ha de resoldre l'equació de 2n grau amb un gràfic correcte: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=-x^2+7x-6</math> b) <math>g(x)=x^2+x+1</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució a) Es mira el tall amb l'eix de coordenades '''x''' factoritzant-lo i tot seguit es mira els signes o la orientació segons '''a''': Per Ruffini <math>f(x)=(x-1)(-x+6)</math> i per tant talla a '''x''' en els punts 1 i 6. Amb la taula de signes surt que <math>f(x)\rightarrow |-|0|+|0|-|</math> per tant té forma arrodonida i fa muntanya creuant l'eix '''x''' pels punts (1,0) i (6,0). b) En aquest cas Ruffini no pot i per tant fel l'equació de segon grau per veure el per què, però el discriminant surt <math>\triangle=b^2-4ac=1-4\cdot 1\cdot 1 =-3 <0 </math> i no té solució perquè el discriminant no pos ser negatiu, per tant no talla a l'eix '''x'''. Ara només cal saber si és positiu o negatiu amb qualsevol nombre(també serveix taula de signes però és molt simple), si es positiu és una '''U''' si es negatiu és invertit com una muntanya i no toca mai l'eix '''x'''. Dibuixeu-lo!. |} 6) Resoldre i comprova l'equació irracional {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\sqrt{x}=\sqrt{1-x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució <math>\color{red}\left(\color{black}\sqrt{x}\color{red}\right)^2\color{black}=\color{red}\left(\color{black}\sqrt{1-x}\color{red}\right)^2\color{black}\;</math> <math>\Rightarrow \;x=1-x</math> <math>\Rightarrow 2x=1</math> <math>\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}</math> Comprovació <math>\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{1-\tfrac{1}{2}}</math> i dona bé, per tant <math>x=\tfrac{1}{2}</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>\sqrt{\;x+1\;}\;+1=\sqrt{2-x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució <math>\color{red}\left(\color{black}\sqrt{\;x+1\;}\;+1\color{red}\right)^2\color{black}=\color{red}\left(\color{black}\sqrt{2-x}\color{red}\right)^2\color{black}\;</math> <math>\Rightarrow\;\left(\sqrt{x+1}\right)^2+2\sqrt{x+2}+1^2=2-x\;</math> <math>\Rightarrow\;x+1+2\sqrt{x+2}+1=2-x</math> <math>\Rightarrow\;x+2\sqrt{x+2}=-x</math> <math>\Rightarrow\;2\sqrt{x+2}=-2x</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x+2}=-x</math> <math>\Rightarrow\;\color{red}\left(\color{black}\sqrt{x+2}\color{red}\right)^2\color{black}=\color{red}\left(\color{black}-x\color{red}\right)^2\color{black}</math> <math>\Rightarrow\;x+2=x^2</math> <math>\Rightarrow\;0=x^2-x-2</math> |} 7) S'ha de construir la taula de signes completa amb les columnes de més que fem a classe( en un futur es pot simplificar amb risc ) {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\frac{x^2-9}{(x-5)(x^2-1)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució Es factoritza per identitats notables :<math>\frac{x^2-9}{(x-5)(x^2-1)}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-5)(x-1)(x+1)}</math> :{|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|-3 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|-1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|3 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|5 |- |3 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x-3</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | -3 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x+3</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | 5 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x-5}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x-1}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | -1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x+1}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>f(x)</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |} |} b) <math>g(x)=\frac{(x-1)^2(x+2)^4}{x-2}</math> El 8, 9 o 10 són sorpresa, pot barrejar els exercicis anterior o sortir coses fetes a classe però que s'ha dit que no entren al exercicis anteriors, això és perquè el que vol nota es miri tot. == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] h0zpv9ittzvyb3cyksuftve7gd5ckiv 386555 386554 2026-11-09T18:18:04Z Profev 36331 /* Proposta de resum fins a taula de signes */ + 386555 wikitext text/x-wiki Material orientat a 1r de batxillerat connectat amb els temes d'inequacions a programació lineal, i de funcions a límits i derivades arribant a optimització. Rigorositat orientat a didàctica donant la idea més intuïtiva oberta al vertader rigor de la matèria. = Introducció = En aquesta secció es treballen equacions d'una variable i equacions de dos variables i les analitzarem interpretant-les com a funcions. Es veuran equacions d'una sola variable de la forma <math>f(x)=0.</math> Com a mètode de connexió s'introdueix les funcions de la forma <math>y=f(x)</math> on aquesta variable de més, <math>y,</math> permet l'estudi gràfic en el pla, millora la interpretació gràfica, la resolució de l'equació i dominant el sentit de l'equació, per poder fer conjectures sobre les solucions. Es veuran equacions de dos variables de la forma <math>f(x,y)=0.</math> Aquestes equacions no tenen una interpretació funcional en general, ja que la seva representació és més complexa que una funció amb aquest objectiu s'utilitzen eines per representar-les. També es veuran sistemes de dos equacions de dos variables. == Equacions d'una variable == [[File:Función ejemplo 01.svg|right]] Es resoldran equacions del tipus: :<math>f(x)=0</math> I les solucions són de la forma: :<math>x_1=a,\; x_2=b,\; x_3=c,\; x_4=d,\;\dots\;.</math> També hi ha equacions que no tenen cap solució. Paral·lelament farem la representació de les funcions del tipus <math>y=f(x)</math> per fer connexió amb comparacions, en aquest cas les solucions buscades coincideix amb la intersecció de l'eix <math>x</math> i el gràfic de la funció, és a dir <math>y=0.</math> === Equacions polinòmiques === Les '''equacions polinòmiques''' en general es poden sintetitzar de la forma: :<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\;\dots\;+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x^1+a_0=0</math> On els coeficients de cada terme és <math>a_i\in\mathbb{R}.</math> El grau del polinomi ens indica la quantitat màxima de solucions que té l'equació, la mínima sempre és '''cap solució'''.<ref>De fet hi ha exactament les mateixes solucions que el grau indica, '''però''' utilitzant nombres complexos, segons el teorema fonamental de l'àlgebra i considerant les solucions idèntiques duplicades o superposades que habitualment es prenen com a una de sola.</ref> ==== Equacions lineals ==== [[File:GráficaEjercicio.svg|right|400px]] Les '''equacions lineals''' són les equacions que es poden sintetitzar en la forma: :<math>ax+b=0</math> on <math>a,b\in\mathbb{R}.</math> De fet és un polinomi de primer grau igualat a zero i que si construïm la funció f(x)=ax+b pot representar totes les rectes al pla, menys les rectes verticals que són equacions del tipus <math>x=k.</math><ref><math>x=k</math> no són cap funció amb terme independent x però es pot fer una funció f(y)=k on el terme independent és y, no el necessitem en aquest curs.</ref> Les equacions com <math>y=ax+b</math> formen part de les equacions de la forma <math>ax+by+c=0,</math> que si són totes les rectes possibles en el pla i que en realitat són equacions del tipus <math>f(x,y)=0,</math> és a dir, té les variables <math>x</math> i <math>y.</math> ===== Exemples comparatius ===== 1) <math>f(x)=3x-2</math> és una recta no horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic creua l'eix <math>x</math> al punt solució <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> :¿Quan es creua el gràfic amb l'eix <math>y</math>? només s'ha de fer que <math>x=0</math> i, a partir de <math>y=3\cdot(0)-2,</math> s'obté que <math>y=-2.</math> També es pot dir que la solució és el punt <math>(\;x,\;y\;)=(\;0,\;-2\;).</math> 2) <math>f(x)=5</math> és una recta horitzontal i, per tant, com a funció <math>y=f(x)</math> el seu gràfic no creua l'eix <math>x.</math> 3) <math>x=5</math> com a equació és una recta vertical. ==== Equacions de segon grau ==== {|cellpadding="0" cellspacing="0" | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Exemple" data-collapsetext="Amaga" |- |Les [[Equacions de segon grau IV|'''equacions de segon grau''']] són equacions que en simplificar-les són del tipus <math>ax^2+bx+c=0</math> on almenys '''a''' sigui diferent de zero amb resolució <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2\phantom{l}}-4ac}}{2a}.</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| Les dues solucions sense ordre fixat en realitat són: :<math>x_1=\frac{-b+\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}\;\;</math> i <math>\;\;x_2=\frac{-b-\sqrt{b^{2^\phantom{l}}-4ac}}{2a}</math> Això és degut al signe de <math>\pm</math> que informa de dues possibilitats una de positiva i un altre de negativa. '''Exemple i resolució:''' :<math>x^2+5x-6=0</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2\phantom{l}}-4\cdot 1\cdot (-6)}}{2\cdot 1}</math> <math>\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm 7}{2}</math> <math>\Rightarrow \begin{cases}x_1=\;\;\; 1 \\ x_2=-6. \end{cases}</math> |} |width="205px" valign="top" rowspan="3"|[[File:Al-Khwarizmi portrait.jpg|200px|thumb|'''Al-Juarismi''' va introduir la resolució per quadratura al voltant de l'any 820&nbsp;d.C.]] |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Més" data-collapsetext="Amaga" |- |'''Nota:''' Quan el discriminant de la resolució de la equació de 2n grau <math>\triangle =b^2-4ac<0,</math> llavors no té solució en els nombres reals, però existeix o es pot construir de forma natural un conjunt més gran anomenat '''nombres complexos''' <math>\mathbb{C},</math> i és a dir, té els nombres reals amb una dimensió més anomenada imaginària <math>\mathbb{I},</math> i on aquests polinomis factoritzen sempre. |- |Els nombre complexos es construeixen amb la següent '''notació''': <math>z=a+bi\in\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{I}</math> |} |- | {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Veure més" data-collapsetext="Amaga" | ;Interpretació gràfica Una conseqüència del sistema de resolució és la factorització immediata sempre que tingui solucions als nombres reals: :<math>ax^2+bx+c=0</math> <math>\Leftrightarrow a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|Tot i que es factoritza perfectament si l'equació té solucions dins dels nombres reals, <math>\mathbb{R}</math>, no hem de oblidar la constant '''a''' a la seva factorització. ;Observació sobre el discriminant <math>\Delta=b^2-4ac</math>: Què passa si el discriminant fos positiu: <math>\pm\sqrt{\Delta}?</math> * Té 2 solucions diferents. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2)</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla dos cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos zero: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{0}=0?</math> * Té una solució. * El polinomi factoritza: <math>ax^2+bx+c</math> <math>=a\cdot (x-x_1)^2</math> * El seu gràfic és una paràbola que talla un sol cops l'eix '''X'''. Què passa si el discriminant fos negatiu: <math>\pm\sqrt{\Delta} =\pm\sqrt{-|\Delta|}=?</math> * No té una solució als nombres reals, però en cursos determinats es pot considerar que són dos solucions amb nombres complexos. * El polinomi per tant no factoritza als nombres reals. * El seu gràfic és una paràbola que no talla mai l'eix '''X'''. Què passa en modificar les constants '''a''' i '''c'''? * Si a>0 llavors les branques de la paràbola van cap amunt. :* Mentre més gran és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. * Si a<0 llavors les branques de la paràbola van cap avall. :* Mentre més petita és '''a''' llavors més allargada o més estreta és la paràbola. : El valors de '''c''' fa desplaçaments verticals de les paràboles: :* Mentre més gran és, puja més la paràbola. :* Mentre més petit és, baixa més la paràbola. |} |} === Equacions racionals === Les '''equacions irracionals''' en general es poden sintetitzar en la forma: :<math>\tfrac{P(x)}{Q(x)}=0</math> on <math>P(x)\;i\;Q(x)</math> són polinomis. El grau del polinomi del numerador ens indica la quantitat màxima de solucions que pot haver-hi a l'equació com si fos una equació polinòmica. === Equacions irracionals === {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="0" cellpadding="0" |style="border: 1px solid #bbf" width="400px"| {|cellspacing="3" |'''Propietats''' |} |- || {|width="100%" height="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> |- |Si la hipòtesi és que <math>f(x)^2=g(x)</math> vol dir que només busquem solucions de <math>x</math> de <math>\mathbb{R}</math> on <math>g(x)\geqslant 0,</math> ja que <math>f(x)^2</math> sempre és positiva per culpa del quadrat. *no hi ha cap problema en fer la arrel de <math>g(x)</math> doncs l'arrel té el domini a <math>[0,\infty)</math> que és on estan totes les possibles solucions. *Hi ha la possibilitat que <math>f(x)<0</math> per alguna <math>x,</math> per això es considera la possibilitat que l'arrel <math>\sqrt{g(x)}</math> sigui negativa. Amb aquestes dues casuístiques assegurem una recerca exhaustivitat per arribar a les solucions, es a dir, que no es perden possibles solucions per aquest camí. Per provar que <math>f(x)=\pm\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)^2=g(x)</math> cal observar: *Si tenim el cas <math>f(x)=\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre positiva. *Si tenim el cas <math>f(x)=-\sqrt{g(x)}</math> les solucions d'<math>x</math> són valors reals on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\leqslant 0,</math> aquesta darrera equació és perquè l'arrel és sempre negativa. Llavors o un o l'altre impliquen la segona igualtat exhaustivament. ;Observació: Si s'escriu <math>f^2(x)</math> vol dir que és <math>(f(x))^2</math> i si s'escriu <math>fx^2</math> vol dir que és <math>f(x^2).</math> Ara cal evitar <math>f(x)^2</math> que s'utilitza aquí i començar a escriure el que significa <math>f^2(x),</math> ja que es fàcil de confondre amb <math>f(x^2).</math> |} |- | {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |- |Aplicant l'anterior propietat, un dels quadrats passa amb arrel: :<math>f(x)^2=g(x)^2</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm \sqrt{g(x)^2\;}</math> I està ben definit, docs per definició l'arrel i el quadrat són funcions inverses a <math>[0,\infty)</math> i <math>g(x)\geqslant 0</math> llavors <math>\sqrt{g(x)^2\;}=g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}</math> <math>\Rightarrow f(x)=g(x)</math> |- |S'ha de recordar que és obligat prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>g(x)\geqslant 0</math> i <math>f(x)\geqslant 0.</math> En cas de que l'equació sigui <math>\sqrt{f(x)}=-\sqrt{g(x)}</math> Llavors només cal prendre les solucions d'<math>x</math> com a un valor real on <math>f(x)=0</math> i <math>g(x)=0.</math> Això és degut a que la primera expressió és sempre positiva i la segona expressió és sempre negativa per tant només coincideix quant totes dues expressions siguin zero al mateix temps. La implicació oposada és falsa, jo puc trobar <math>x</math> tal que <math>f(x)=g(x),</math> però amb <math>f(x)<0</math> i <math>g(x)<0</math> que queda exclosa com a solució amb l'expressió <math>\sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)}.</math> Si tot i així es vol l'altra implicació s'hauria de escriure aquesta última alternativa a la primera expressió: <math>\sqrt{\pm f(x)}=\sqrt{\pm g(x)}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=g(x)</math> Si, a més, es vol utilitzar valors absoluts llavors queda: <math>\sqrt{|f(x)|}=\sqrt{|g(x)|}</math> <math>\Leftrightarrow f(x)=\pm g(x)</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=a-b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}-\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}-\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{a}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2-\sqrt{b}^2</math> <math>=a-b</math> |} |- || {|width="100%" style="border: 1px solid #bbf" cellpadding="3" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="*" data-collapsetext="Amaga" |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |- |<math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2</math> <math>=(\sqrt{a}+\sqrt{b})\cdot (\sqrt{a}+\sqrt{b})</math> <math>=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}+2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\sqrt{b}\cdot\sqrt{b}</math> <math>=\sqrt{a}^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}+\sqrt{b}^2</math> <math>=a+2\sqrt{a\cdot b}+b</math> |} |} Les '''equacions irracionals''' són les que requereixen aplicar les arrel i les seves propietats per resoldre-les.<ref>Recomanada aquesta definició didàctica està escudada en els fets, per tant és de facto una equació irracional. Pot tindre arrels amb les x que vulguis, però, ¿i si es simplifiquen sense cap propietat abans de resoldre l'equació?. Això proposa reptes, ¿hi ha equacions irracionals que no ho són?. :Si volem '''x''' dintre d'una arrel: <math>\sqrt{x}+x=\sqrt{x}+1</math> :Si volem que les solucions siguin arrels <math>1+x=\sqrt{2}+1</math></ref> Són del tipus: :<math>\sqrt{x+1}=x</math> {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" cellspacing="0" cellpadding="3" |style="border: 1px solid #bbf" width="550px"|'''Recordatori''' [[Exercicis_d'arrels_IV|d'arrels]] |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és parell es restringeix al domini de l'arrel. |- |style="border: 1px solid #bbf"|<math>\left(\sqrt[n]{x}\right)^n=x</math> si '''n''' és imparell és cert a <math>\mathbb{R}.</math> |} ;Exemples a estudiar: {|cellspacing="0" cellpadding="0" style="border: 1px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%" |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |1) <math>\sqrt{x^2+1}=2x</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=(2x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x^2+1=2^2x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=4x^2-x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;1=3x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{1}{3}=x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x=\pm\sqrt\frac{1}{3}\;=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}.</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\frac{12}{9}}=\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{ \sqrt{3} }{3}\;</math> <math>\Rightarrow\;\text{¿} \sqrt{\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right)^2+1}=2\left(-\frac{ \sqrt{3} }{3}\right) ?\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{\left(\frac{3}{9}\right)+1}=-\frac{ 2\sqrt{3} }{3}\;</math> no és correcte, perquè aquesta arrel és positiva i a l'altre costat de la igualtat és negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |2) <math>\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}=-1 </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{x+2}\right)^2=(-1)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x-1}^2-2\sqrt{x-1}\sqrt{x+2}+\sqrt{x+2}^2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1-2\sqrt{(x-1)(x+2)}+x+2=1\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=1-x-x+1-2\;</math> <math>\Rightarrow\;-2\sqrt{(x-1)(x+2)}=-2x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}=x\;</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{(x-1)(x+2)}^2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;(x-1)(x+2)=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x^2+x-2=x^2\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x^2}+x-2=\cancel{x^2}\;</math> <math>\Rightarrow\;x-2=0\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> '''Prova''' ::<math>\text{¿}\sqrt{2-1}-\sqrt{2+2}=-1 ?\;</math> <math>\Rightarrow\;1-2=-1\;</math> <math>\Rightarrow\;-1=-1\;</math> sí és correcte. '''Raonament''' Compareu amb fer el quadrat a banda i banda de: <math>\left(\sqrt{x-1}\right)^2=\left(\sqrt{x+2}-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow\;x-1=\left(\sqrt{x+2}\right)^2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;\cancel{x}-1=\cancel{x}+2-2\sqrt{x+2}+1\;</math> <math>\Rightarrow\;-4=-2\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;2=\sqrt{x+2}\;</math> <math>\Rightarrow\;4=x+2\;</math> <math>\Rightarrow\;x=2\;</math> |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |3) <math>\sqrt{x}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x+8} </math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: <math>\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+3}\right)^2=\sqrt{x+8}^2\;</math> <math>\Rightarrow \;x+2\sqrt{x}\sqrt{x+3}+x+3=x+8\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x(x+3)}=x+8-x-x-3\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{x^2+3x}=5-x\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{x^2+3x}\right)^2=(5-x)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;2^2\sqrt{x^2+3x}^2=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(x^2+3x)=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x=25-10x+x^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4x^2+12x-25+10x-x^2=0\;</math> <math>\Rightarrow \;3x^2+22x-25=0\;</math> '''Prova''' Cas <math>x_1=1\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{1}+\sqrt{1+3}=\sqrt{1+8}?\;</math> <math>\Rightarrow \;1+2=3\;</math> <math>\Rightarrow \;3=3\;</math> sí és correcte. Cas <math>x_2=-\frac{25}{3}\;</math> <math>\Rightarrow \;\text{¿}\sqrt{-\frac{25}{3}}?\;</math> no és correcte, perquè a la primera arrel ja surt negatiu. |} |- |style="border: 1px solid #77d;width:50%" valign="top"| {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d; background:#f8f8ff;width:100%;height:100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Resolució i prova" data-collapsetext="Ocultar" |- |4) <math>\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}=\sqrt{2x^2+1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Resolució''' Fem el quadrat a banda i banda: :<math>\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{1-x}\;\right)^2=\sqrt{2x^2+1}^{\;2}\;</math> <math>\Rightarrow \;x+1+2\sqrt{(x+1)(1-x)}+1-x=2x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;2\sqrt{(1+x)(1-x)}=2x^2-1\;</math> <math>\Rightarrow \;\left(2\sqrt{1-x^2}\right)^2=\left((2x^2-1\right)^2\;</math> <math>\Rightarrow \;4(1-x^2)=4x^4-4x^2+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4-\cancel{4x^2}=4x^4-\cancel{4x^2}+1\;</math> <math>\Rightarrow \;4=4x^4+1\;</math> <math>\Rightarrow \;3=4x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\frac{3}{4}=x^4\;</math> <math>\Rightarrow \;\pm\sqrt[4]{\frac{3}{4}}=x\;</math> '''Prova''' En aquest cas fem la comprovació amb <math>x = \pm 0,930\,605</math> i surt:<ref>Només perquè quan són expressions difícils de efectuar la prova.</ref> Cas <math>x_1 = 0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. Cas <math>x_2 = -0,930605\;</math> <math>\Rightarrow 1,652\,892 = 1,652\,892</math> sí és correcte. |} |} == Equacions exponencials == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |'''Propietats''' |- |<math>a^0 =1\;</math> i <math>\;a^1 =a\;</math> |- |<math>a^n =\underbrace{a\;\cdot\; ...\;\cdot\; a} _{\sharp a=n}</math> |- |<math>a^{-n}=\tfrac{1}{a^n}</math> i <math>a^n=\tfrac{1}{a^{-n}}</math> |- |<math>a^n\cdot a^m=a^{n+m}</math> |- |<math>\tfrac{a^n}{a^m}=a^{n+m}</math> |- |<math>(a^n)^m=a^{n\cdot m}</math> |- |<math>(a\cdot b)^n=a^n\cdot b^n</math> |- |<math>\left(\tfrac{a}{b}\right)^n=\tfrac{a^n}{b^n}</math> |} Les '''equacions exponencials''' són les que requereixen la utilització de les propietats de les funcions exponencials. ;Notació La funció exponencial amb base '''a''' i índex x amb resultat '''y''' s'escriu com: :<math>a^x =y</math> on '''x''' és un nombre real i '''a''' és un valor de <math>(0,1)\cup(1,+\infty)</math> ;Observació Si <math>a=0</math> llavors <math>a^x=0=y</math> Si <math>a=1</math> llavors <math>a^x=1=y</math> <math>a^x >0</math> per qualsevol <math>x\in\mathbb{R}</math> === Propietat === {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |<math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> on <math>a\in(0,1)\cup (1,+\infty)</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' <math>\Rightarrow</math>) Suposem que siguin iguals, llavors <math>y=x+\varepsilon</math> on per hipòtesi <math>\varepsilon \neq 0.</math> :<math>\Rightarrow a^x=a^{x+\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow \cancel{a^x}=\cancel{a^x}\cdot a^{\varepsilon}</math> <math>\Rightarrow 1=a^\varepsilon</math> Per les propietats de potències té com a conseqüència <math>\varepsilon =0</math> que contradiu la hipòtesi, llavors obligatòriament <math>x=y.</math> <math>\Leftarrow</math>) El camí invers es trivial, si <math>x=y</math> llavors <math>a^x=a^x</math>. Per tant queda provat que <math>a^x=a^y</math> <math>\Leftrightarrow x=y</math> i és a dir no hi ha pèrdua de solucions en passar d'una expressió a l'altra. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 1px solid #77d; background:#fff" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |Donat <math>x<y</math> es té: Si <math>a>1</math> llavors <math>a^x<a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció creixent. Si <math>0<a<1</math> llavors <math>a^x>a^y</math> llavors es diu que <math>a^x</math> és una funció decreixent. |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"|'''Demostració''' S'ha d'aplicar que si <math>a>1</math> llavors <math>a^x>1</math> amb qualsevol <math>x>0.</math> :Si <math>a^x<a^y</math> <math>\Leftrightarrow 1<a^{y-x}</math> cert si <math>a>1</math> ja que <math>0<y-x</math>. Fent el canvi <math>b=a^{-1}</math> llavors <math>b>1</math> i es fa el mateix: :<math>b^x<b^y</math> <math>\Leftrightarrow\frac{1}{a^x}<\frac{1}{a^y}</math> <math>\Leftrightarrow a^y<a^x</math> <math>\Leftrightarrow a^x>a^y.</math> |} ==== Exemples d'equacions ==== [[File:Exponente de bases racionales 01.svg|right|800px]] 1) Representa les funcions exponencials donades: Cas: <math>a>1</math> :a) <math>f(x)=10^x</math> :b) <math>f(x)=2^x</math> :c) <math>f(x)=1,5^x</math> :d) <math>f(x)=1,05^x</math> Cas: <math>a\in(0,1)</math> :e) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{10}\right)^x</math> :f) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^x</math> :g) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,5}\right)^x</math> :h) <math>f(x)=\left(\tfrac{1}{1,05}\right)^x</math> 2) Troba la solució de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>3^x=9</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>9=3^2</math> :<math>3^x=3^2</math> Apliquem la primera propietat :<math>3^x=3^2</math> <math>\Leftrightarrow x=2.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>7^{3x}=7^2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Apliquem la primera propietat :<math>7^{3x}=7^2</math> <math>\Leftrightarrow 3x=2</math> Aïllant la x tenim que <math>x=\tfrac{2}{3}.</math> |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |c) <math>2^{1-x}=8</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Fem que tot sigui de la mateixa potència per tant <math>8=2^3</math> :<math>2^{1-x}=2^3</math> Apliquem la primera propietat :<math>2^{1-x}=2^3</math> <math>\Leftrightarrow 1-x=3</math> Aïllant la x s'obté que <math>x=-2.</math> |} 2) Fent el canvi <math>t=a^x</math> troba la solució de {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="70%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>5^{2x}+5^x=2</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Arreglem la visibilitat de <math>5^x</math> :<math>\left(5^x\right)^2+5^x=2</math> Sigui <math>t=5^x</math> llavors es substitueix i queda :<math>t^2+t=2</math> <math>\Rightarrow t_1=1,\;t_2=-2</math> ;cas t=1: Si <math>5^x=1</math> per la propietat <math>a^0 =1</math> tenim que :<math>5^x=5^0</math> <math>\Leftrightarrow x=0.</math> ;cas t=-2 Si <math>5^x=-2</math> per la propietat <math>a^x >0</math> per tant '''no''' és possible. |} ==== Exercicis ==== 1) Resol cada apartat. :a) <math>10^x=1</math> :b) <math>3^{1+x}=27</math> :c) <math>7^{x^2-x}=1</math> :d) <math>2^{12}-2^{3x}=0</math> :e) <math>2^{x^2}-2^{-2x+1}=0</math> == Equacions logarítmiques == {|style="border: 1px solid #bbf;background:#fff" align="right" cellspacing="3" cellpadding="0" |Propietats |- |<math>\log_a x = \log_a y</math> <math>\Leftrightarrow x = y</math> |- |<math>\log_a a = 1\;</math> 𝑖 <math>\;\log_a 1 =0</math> |- |<math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a}</math> |- |<math>\log_a (xy) = \log_a x + \log_a y</math> |- |<math>\log_a \frac{x}{y} =\log_a x -\log_a y</math> |- |<math>\log_a (x^n) =n \log_a x</math> |- |<math>\log_a \sqrt[n]{x}=\tfrac{log_a x}{n}</math> |} Les '''equacions logarítmiques''' són les que requereixen utilitzar propietats dels logaritmes per ser resoltes. ;Notació El logaritme en base '''a''' de argument '''x''' i índex o resultat '''y''' s'escriu com: :<math>\log_a x=y</math> on '''x''' és un nombre real a <math>(0,+\infty)</math> Recordant que: :<math>\log x </math> serà el logaritme en base 10, és a dir <math>\log_{10} x.</math> :<math>\ln x </math> serà el logaritme en base '''e''', és a dir <math>\log_e x</math> i se'n diu '''logaritme neperià''' o natural. ;Definició :<math>\log_a x=y</math> <math>\Leftrightarrow x=a^y,\;\;</math> on <math>x\in (0,+\infty)</math> En alguns països i en àmbits científics hi ha consideracions de <math>\log x</math> com a <math>\log_e x,</math> i també per defecte es pot trobar <math>\log x</math> com a <math>\log_2 x.</math> == Proposta de resum fins a taula de signes == Tot el tema de [[Polinomi adaptació Ll1|polinomis]] (4t ESO) amb resolució d'equacions: 1) S'ha de calcular i comprovar totes les possibles solucions deixant tots els passos de: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\frac{x}{x+1}+3=\frac{2}{x-1}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Resolució: 1r.- S'agrupa a un cantó de la igualtat: :<math>\frac{x}{x+1}+3-\frac{2}{x-1}=0</math> 2r.- Es calcula el màxim comú denominador més conegut com mínim comú múltiple de denominadors, llavors <math>mcm=(x+1)(x-1)</math> i agrupant en una sola fracció queda: :<math>\frac{x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)}{(x+1)(x-1)}=0</math> 3r.- Es mira ara el numerador: :<math>x(x-1)+3(x+1)(x-1)-2(x+1)=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3(x^2-1)-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow x^2-x+3x^2-3-2x-2=0</math> <math>\Leftrightarrow 4x^2-3x-5=0</math> <math>\Rightarrow x_1=\tfrac{3+\sqrt{89}}{8}\;i\;x_2=\tfrac{3-\sqrt{89}}{8}</math> 4t.- Es comprova a la primera equació i surt que és correcte les dues solucions. |} 2) S'ha de factoritzar completament els polinomis donats deixant tots els passos: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>P(x) = x^5-2x^4+x^3</math> b) <math>Q(x) = x^4+5x^3+5x^2-5x-6</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: a) Es treu factor comú <math>x^3</math> quedant <math>P(x)=x^3(x^2-2x+1)</math> Ara podem utilitzar Ruffini a <math>x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=(x-1)^2</math> per tant ja està tot factoritzat: :<math>P(x) = x^3(x-1)^2.</math> b) Es fa Ruffini successiu i surt que es pot factoritzar amb <math>1,\;-1,\;-2,\;-3</math> llavors: :<math>Q(x) = (x-1)(x+1)(x+2)(x+3).</math> |} 3) S'ha de resoldre cada equació amb el mètode de equacions biquadràtiques enterament amb canvi de variable. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>2x^4+3x^2-5=0</math> b) <math>x^4-5x^2+6=0</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució: Amb el canvi <math>z=x^2</math> es fan tots dos: a) <math>2z^2+3z-5=0</math> amb Ruffini tenim que <math>2z^2+3z-5=(z-1)(2z+5)</math> per tant <math>z_1=1\;i\;z_2=-\tfrac{5}{2}</math> Desfent el canvi de variable amb <math>x=\pm\sqrt{z}</math> per tant: :<math>x_1=+\sqrt{1}=1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{1}=-1,</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. :<math>x_1=-\sqrt{-\tfrac{5}{2} }</math> arrels de nombres negatius no es pot si treballem en els nombres reals. b) <math>z^2-5z+6=0</math> amb una equació de 2n grau tenim que <math>z_1=2\;i\;z_2=3</math> i desfent el canvi: :<math>x_1=+\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{2},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=+\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. :<math>x_1=-\sqrt{3},</math> solució bona comprovada. |} 4) Simplificació de fraccions algèbriques utilitzant factorització, s'ha de deixar constància de tots els passos. {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\frac{x^4+8x^3+14x^2-8x-15}{x^3+10x^2+31x+30}</math> b) <math>g(x)=\frac{-x^2+(x-1)(x+3)}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;solució: a) Amb Ruffini es factoritza numerador amb 1, -1, -5 o -3, i denominador amb 2, 5 o 3 resultant: :<math>f(x)=\frac{(x+1)(x-1)(x+5)(x+3)}{(x+2)(x+5)(x+3)}</math> <math>=\frac{(x+1)(x-1)}{x+2}</math> b) S'arregla numerador i es veu la si simplifica o queda igual :<math>g(x)=\frac{-x^2+x^2+2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{2x-3}{(x+1)(x+2)(2x-3)}</math> <math>=\frac{1}{(x+1)(x+2)}</math> |} 5) S'ha de resoldre l'equació de 2n grau amb un gràfic correcte: {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=-x^2+7x-6</math> b) <math>g(x)=x^2+x+1</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució a) Es mira el tall amb l'eix de coordenades '''x''' factoritzant-lo i tot seguit es mira els signes o la orientació segons '''a''': Per Ruffini <math>f(x)=(x-1)(-x+6)</math> i per tant talla a '''x''' en els punts 1 i 6. Amb la taula de signes surt que <math>f(x)\rightarrow |-|0|+|0|-|</math> per tant té forma arrodonida i fa muntanya creuant l'eix '''x''' pels punts (1,0) i (6,0). b) En aquest cas Ruffini no pot i per tant fel l'equació de segon grau per veure el per què, però el discriminant surt <math>\triangle=b^2-4ac=1-4\cdot 1\cdot 1 =-3 <0 </math> i no té solució perquè el discriminant no pos ser negatiu, per tant no talla a l'eix '''x'''. Ara només cal saber si és positiu o negatiu amb qualsevol nombre(també serveix taula de signes però és molt simple), si es positiu és una '''U''' si es negatiu és invertit com una muntanya i no toca mai l'eix '''x'''. Dibuixeu-lo!. |} 6) Resoldre i comprova l'equació irracional {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>\sqrt{x}=\sqrt{1-x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució <math>\color{red}\left(\color{black}\sqrt{x}\color{red}\right)^2\color{black}=\color{red}\left(\color{black}\sqrt{1-x}\color{red}\right)^2\color{black}\;</math> <math>\Rightarrow \;x=1-x</math> <math>\Rightarrow 2x=1</math> <math>\Rightarrow x=\tfrac{1}{2}</math> Comprovació <math>\sqrt{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{1-\tfrac{1}{2}}</math> i dona bé, per tant <math>x=\tfrac{1}{2}</math> és correcte. |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>\sqrt{\;x+1\;}\;+1=\sqrt{2-x}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució <math>\color{red}\left(\color{black}\sqrt{\;x+1\;}\;+1\color{red}\right)^2\color{black}=\color{red}\left(\color{black}\sqrt{2-x}\color{red}\right)^2\color{black}\;</math> <math>\Rightarrow\;\left(\sqrt{x+1}\right)^2+2\sqrt{x+2}+1^2=2-x\;</math> <math>\Rightarrow\;x+1+2\sqrt{x+2}+1=2-x</math> <math>\Rightarrow\;x+2\sqrt{x+2}=-x</math> <math>\Rightarrow\;2\sqrt{x+2}=-2x</math> <math>\Rightarrow\;\sqrt{x+2}=-x</math> <math>\Rightarrow\;\color{red}\left(\color{black}\sqrt{x+2}\color{red}\right)^2\color{black}=\color{red}\left(\color{black}-x\color{red}\right)^2\color{black}</math> <math>\Rightarrow\;x+2=x^2</math> <math>\Rightarrow\;0=x^2-x-2</math> |} 7) S'ha de construir la taula de signes completa amb les columnes de més que fem a classe( en un futur es pot simplificar amb risc ) {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |a) <math>f(x)=\frac{x^2-9}{(x-5)(x^2-1)}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució Es factoritza per identitats notables :<math>\frac{x^2-9}{(x-5)(x^2-1)}=\frac{(x-3)(x+3)}{(x-5)(x-1)(x+1)}</math> :{|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|-3 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|-1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|3 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|5 |- |3 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x-3</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | -3 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>x+3</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | 5 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x-5}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- |1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x-1}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | -1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x+1}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>f(x)</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |} |} {|cellspacing="3" cellpadding="3" style="border: 0px solid #77d" width="100%" class="mw-collapsible mw-collapsed" data-expandtext="Demostració" data-collapsetext="Amaga" |- |b) <math>g(x)=\frac{(x-1)^2(x+2)^4}{x-2}</math> |- |style="border: 1px solid #bbf;background:#fff"| ;Solució Si no es té suficient pràctica heu de fer-la sencera, recomanat. Ara practiquem tal com està per intentar estalviar taula recordeu que les potències parells queden sempre positives: :{|style="border: 0px solid #aaf;" cellpadding="3" cellspacing="0" |Zeros | | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|-2 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|1 | |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|2 | |- | 1 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>(x-1)^2</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | -2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>(x+2)^4</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|0 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | 2 |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\tfrac{1}{x-2}</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|- |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #aaf;" align="center"|+ |- | |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>f(x)</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|0 |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|- |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|<math>\infty</math> |style="border: 1px solid #000;" align="center" bgcolor="#fb6"|+ |} |} El 8, 9 o 10 són sorpresa, pot barrejar els exercicis anterior o sortir coses fetes a classe però que s'ha dit que no entren al exercicis anteriors, això és perquè el que vol nota es miri tot. == Notes i referències == [[Category:Matemàtiques de batxillerat]] [[Category:CA]] 7k1r7utmcbozsa3ps7at7zdkb80235w 0 56201 386556 386458 2026-11-09T21:59:30Z Dušan Kreheľ 45022 + category 386556 wikitext text/x-wiki Dostupné sú nasledujúce články: * o obciach a mestách: ** [[Pomenovanie/Fintice|Fintice]], ** [[Pomenovanie/Prešov|Prešov]], ** [[Pomenovanie/Sekčov|Sekčov]], ** [[Pomenovanie/Slavkov|Slavkov]], ** [[Pomenovanie/Šváby|Šváby]]. * o priezviskách: ** [[Pomenovanie/Kreheľ|Kreheľ]]. [[Category:SK]] [[Category:SK/Pomenovanie|SK/Pomenovanie]] 1y5k5wrvhhq182174gheo4cd2uteuun 386557 386556 2026-11-09T22:04:44Z Dušan Kreheľ 45022 typo 386557 wikitext text/x-wiki Dostupné sú nasledujúce články: * o obciach a mestách: ** [[Pomenovanie/Fintice|Fintice]], ** [[Pomenovanie/Prešov|Prešov]], ** [[Pomenovanie/Sekčov|Sekčov]], ** [[Pomenovanie/Slavkov|Slavkov]], ** [[Pomenovanie/Šváby|Šváby]], * o priezviskách: ** [[Pomenovanie/Kreheľ|Kreheľ]]. [[Category:SK]] [[Category:SK/Pomenovanie|SK/Pomenovanie]] 779r8hsl6fzfo5vwfx51f3b2djlpkvl 386558 386557 2026-11-09T22:04:57Z Dušan Kreheľ 45022 cat 386558 wikitext text/x-wiki Dostupné sú nasledujúce články: * o obciach a mestách: ** [[Pomenovanie/Fintice|Fintice]], ** [[Pomenovanie/Prešov|Prešov]], ** [[Pomenovanie/Sekčov|Sekčov]], ** [[Pomenovanie/Slavkov|Slavkov]], ** [[Pomenovanie/Šváby|Šváby]], * o priezviskách: ** [[Pomenovanie/Kreheľ|Kreheľ]]. [[Category:SK]] [[Category:SK/Pomenovanie|*]] g8il8z0ulrfgo4mxfuy23qi2x5kl2ej 0 56231 386560 2026-11-10T08:34:15Z ~2026-59640-28 56088 Created page with "fasil" 386560 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__ <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Separate projects == {{Wikiversity:Separate projects}} </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Sister projects == {{Sisterprojects}} </div> {{Main page interwikis}} [[Category:Main Page{{#translation:}}]] s798m847n64nfav87aj5bw4t9o7z5z0 386562 386560 2026-11-10T08:34:35Z ~2026-59640-28 56088 Created page with "fasil" 386562 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__ <span id="What_is_Wikiversity?"></span> fasil <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Separate projects == {{Wikiversity:Separate projects}} </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Sister projects == {{Sisterprojects}} </div> {{Main page interwikis}} [[Category:Main Page{{#translation:}}]] qpd3otdjorjoh78q5mmbt0lfhkqeizd 386563 386562 2026-11-10T08:35:31Z NDG 54417 Vandalism (global sysop action) 386563 wikitext text/x-wiki <languages /> {{:Main Page/Top}} {{Frame|Wikiversity:Announcements}}__NOTOC__ <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity is a [[foundationsite:our-work/wikimedia-projects|project]] of the [[w:Wikimedia Foundation|Wikimedia Foundation]]. It is a centre for the creation and use of free learning materials and activities. We host [[w:Free content|free]] education resources and scholarly projects. We also aim to collaborate with other Wikimedia projects and support their content development. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Many projects have already graduated from Beta Wikiversity and now have their own [[Wikiversity:Separate projects|separate projects]]. In Beta Wikiversity, contributors are currently working on the [[:Category:CA|Catalan]], [[:Category:SK|Slovak]], [[:Category:SYL|Sylheti]], [[:Category:VI|Vietnamese]] and [[States of Wikiversities|many other]] incubating language versions of Wikiversity projects. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == What is Wikiversity Beta? == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta is a [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Multilingualism|multilingual]] hub for the coordination of Wikiversity projects in different languages, to further our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Mission|mission]] as in the [[Wikiversity:Approved Wikiversity project proposal|Wikiversity project proposal]]. This website hosts discussions about Wikiversity [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policy]] for [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Wikiversity Beta also serves as an [[:Category:Wikiversity incubator|incubator]] for Wikiversities that have not yet got their own sites. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> '''To have a new Wikiversity site''', you need three active participants for the project. Then you can [[m:Requests for new languages#Wikiversity|request]] (at [[m:|Meta]]) for a new language domain to be set up. Meanwhile, please add your project's main page to [[Template:Main page]]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> ''See also: [[Special:MyLanguage/Help:FAQ|Frequently Asked Questions]].'' </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Works in progress == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Develop (and translate) our [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Policies|policies and guidelines]] that will apply to Wikiversity projects in all languages. ** Should Wikiversity allow all types of [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research|research]], including [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Original research|original research]]. ** [[Special:MyLanguage/Wikiversity:Research guidelines|Research guidelines]] — what rules are needed to assure that only high quality, scholarly research activities take place. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Have your say == </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> * Feedback for Wikiversity: [[Wikiversity:Feedback]] * For custodial help: [[Wikiversity:Request custodian action]]. * General comments, suggestions, and proposals for the site: [[Wikiversity:Babel]] * [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/{{CURRENTYEAR}}-{{CURRENTMONTHNAME}}/thread.html New threads] from the [http://lists.wikimedia.org/pipermail/wikiversity-l/ Wikiversity mailing list]. </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Separate projects == {{Wikiversity:Separate projects}} </div> <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> == Sister projects == {{Sisterprojects}} </div> {{Main page interwikis}} [[Category:Main Page{{#translation:}}]] s798m847n64nfav87aj5bw4t9o7z5z0