Wikibooks dewikibooks https://de.wikibooks.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.8 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikibooks Wikibooks Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Regal Regal Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 28084 1088509 1064748 2026-06-30T08:32:15Z Mjchael 2222 [[en:b:Guitar/Campfire Diploma]] 1088509 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Gitarre/ Navi_Bände}} {{:Gitarre/ Navi|Lagerfeuerdiplom |<br> {{:Gitarre: Lagerfeuerdiplom/ Navi}} |<br> {{:Gitarre:_Lagerfeuerdiplom/ Navi_Einführung}} |<br> {{:Gitarre:_Lagerfeuerdiplom/ Navi_Lektionen}} |<br> {{:Gitarre:_Lagerfeuerdiplom/ Navi_Repertoire}} |<br> {{:Gitarre:_Lagerfeuerdiplom/ Navi_Anhang}} |img=Lagerfeuer.gif }} <noinclude> {{PDF-Hinweis|Gitarre Lagerfeuerdiplom|Gitarre_Lagerfeuerdiplom.pdf}} {{Sammlungshinweis|Das Lagerfeuerdiplom}} {{Buchsuche|Gitarre}} {{clear}} {{Vorlage:Auszeichnung BdM|Dezember&nbsp;2009}} {{clear}} <div class="noprint"> {{Notiz| ;Das Lagerfeuerdiplom auf 2 HTML-Seiten Wegen der Dateigröße (je ca. 5 Mb) ggf. ungeeignet für Handys. * [[Benutzer:Mjchael/Sammlungen/Lagerfeuerdiplom|Lagerfeuerdiplom - Nur die Lektionen]] * [[Benutzer:Mjchael/Sammlungen/Lagerfeuerdiplom/Lieder Teil 1|Lieder Teil 1]] * [[Benutzer:Mjchael/Sammlungen/Lagerfeuerdiplom/Lieder Teil 2|Lieder Teil 2]] * [[Benutzer:Mjchael/Sammlungen/Lagerfeuerdiplom_Vorwort_und_Anhang|Lagerfeuerdiplom - Vorwort und Anhänge]] }} </div> </noinclude> * Das Lagerfeuerdiplom hat 100% {{:Gitarre: Lagerfeuerdiplom/ Status}} erreicht. Dennoch gibt es immer etwas zu tun. Rechtschreibung und Stil bedürfen Lektorendienste für die Druckreife. Seitdem das Lilypond-Plugin zuverlässig funktioniert, werden Noten- Akkord- und Tabulatur-Darstellung nebst Hörbeispiele schrittweise neu erstellt. Die Liedbeispiele sind ständig zu ergänzen und zu aktualisieren. {{Korrekturlesen}} :Siehe: {{todolink|Lagerfeuerdiplom|Todo-Liste für das Lagerfeuerdiplom}} <div class="noprint"> {{Navigation Thema Start|hochlink=Gitarre: Inhaltsübersicht|vorlink=Gitarre: Bevor wir beginnen}}</noinclude>__TOC__ </div> =Das Lagerfeuerdiplom= Das '''Lagerfeuerdiplom''' ist der erste Teil einer mehrbändigen Gitarrenschule im Wikibooks-Buchprojekt „[[Gitarre]]“. Der erste Band vermittelt Grundlagen des Gitarrespielens für Hobbygitarristen, auf die man nicht verzichten kann. Das Lagerfeuerdiplom darf inklusive aller Lieder, Noten und Tabulaturen für den Gitarrenunterricht frei und kostenlos kopiert und verwendet werden. == Lernziele für 8 Lektionen == * 6 Akkorde: A-Dur, D-Dur, G-Dur, C-Dur, E-Moll, A-Moll * 5 Schlagrhythmen: 4/4-, Eisenbahn-, Western-, 3/4- und Lagerfeuerschlag * schneller Griffwechsel (d.&#8239;h. Akkordwechsel innerhalb eines Taktes bzw. innerhalb eines Schlagmusters) Trotz des sehr begrenzten Lernstoffs bist du nach erfolgreichem Abschluss in der Lage, hunderte von Liedern zu begleiten. * Über 70 copyright-freie Lieder sind mit Texten und Akkorden vorhanden. * Weiterhin werden über 100 populäre Lieder vorgeschlagen. (Zwar ohne Text, aber mit Akkorden<span class="noprint">&nbsp;und Links zu Youtube</span>) Du wirst in der Lage sein, neben den typischen Pfadfinderliedern auch viele populäre Songs zu begleiten. * Breakfast at Tiffany's – Deep Blue Something * American Pie – Don McLean * Country Roads – John Denver * Father and Son – Cat Stevens * Knockin on Heavens Door – Bob Dylan * Let It Be – Beatles * Someone Like You (Adele) * 80 Millionen(Max Giesinger) * Viva La Vida (Coldplay) * Und, und, und ... Durch das strenge Copyright ist es hier leider nicht möglich, populäre Liedtexte mit der entsprechenden Begleitung zu veröffentlichen, doch die Beispiele findest du in vielen Liederbüchern. Wir geben dir Tipps, mit welchen Akkorden du bekannte Lieder begleiten kannst. Das hilft, wenn die Bearbeitungen in den Liederbüchern nicht so günstig für den Gitarrenanfänger sind. Was du hier lernst, wird dich dein ganzes Gitarristenleben begleiten. Auf diese Grundtechniken kannst du aufbauen, und du wirst immer wieder darauf zurückgreifen. * Im anschließenden [[Gitarre: Folkdiplom|Folkdiplom]] wirst du weitere Grundakkorde und Begleittechniken lernen. * Im [[Gitarre: Rockdiplom|Rockdiplom]] lernst du Powerchords und Barré-Akkorde, und das Thema Rhythmus wird vertieft. * Im [[Gitarre: Balladendiplom|Balladendiplom]] werden die Harmonien erweitert und weitere Zupftechniken vermittelt. * Im [[Gitarre: Rockballadendiplom|Rockballadendiplom]] überträgst du die erweiterten Harmonien auch auf die Barré-Akkorde und schnupperst ein wenig in Jazz hinein. * Weitere Bände wie [[Gitarre: Einführung in die Sologitarre|Sologitarre]] * oder [[Gitarre: Einführung in das Melodiepicking|Melodiepicking]] ergänzen das Ganze. <div class="noprint">Lies dir am besten vorher noch einmal die [[Gitarre:_Inhaltsübersicht#Wie_gebraucht_man_das_Gitarrenbuch|"Gebrauchsanleitung"]] zu diesem Gitarrenbuch durch.</div> = Lektionen = Eine Lektion ist für eine Unterrichtsstunde pro Woche gedacht (die Zeit, um die Lektion zu üben und vertiefen, ist nicht mit eingerechnet). Es gibt insgesamt 8 Lektionen, in denen Akkorde, Rhythmen und ein wenig Harmonielehre vermittelt werden, so dass eine Lektion mehrere Kapitel haben kann. Wenn man im Unterricht mehr auf einzelne Lieder eingeht, werden in der Praxis manche Lektion auch auf zwei oder drei Wochen verteilt. Die Lektionen sind so aufgebaut, dass der Stoff (also die Akkorde und Schlagmuster) der vorhergehenden Lektionen wiederholt wird. Von daher kann man ruhig mit den Lektionen voranschreiten, auch wenn die letzte noch nicht ganz fehlerfrei ist. Selbst wenn man in der Gruppe mal eine Lektion versäumt hat, ist die Lernkurve so flach, das man das Versäumte leicht aufholen kann. Damit die Wiederholungen für die anderen Schüler nicht langweilig wird, sind diese in neuen Liedern verpackt. Die 8 Lektionen des Lagerfeuerdiplom sind also auf zwei Monate ausgelegt.<ref>Die zwei Monate sind nur ein Mittelwert. Eifrige Schüler können das Lernziel auch schneller erreichen (insbesondere wenn sie z.&nbsp;B. Ferien und damit viel Zeit zum Üben haben oder schon ein anderes Instrument spielen). Doch nicht die schnelle Auffassungsgabe zählt, sondern Ausdauer und Kontinuität, sowie der Spaß am Singen.</ref> Selbstlerner sollten jedoch ruhig ein wenig mehr Zeit einplanen. ;Hauptkapitel {{:Gitarre: Lagerfeuerdiplom/ Navi}} <br><br> ;Unterkapitel Das Wichtigste zu Anfang<br /> {{:Gitarre:_Lagerfeuerdiplom/ Navi_Einführung}}<br><br> ;Voranschreitende Lektionen {{:Gitarre:_Lagerfeuerdiplom/ Navi_Lektionen}}<br><br> ;Wie kann man singen, was kann man singen {{:Gitarre:_Lagerfeuerdiplom/ Navi_Repertoire}}<br><br> ;Alle Übungsbeispiele nach Lektionen sortiert (siehe auch: [[Gitarre: Lagerfeuerdiplom Liedbeispiele|Liedbeispiele]])<br /> {{:Gitarre:_Lagerfeuerdiplom/ Navi_Liedbeispiele}}<br><br> ;Weitere nützliche Informationen {{:Gitarre:_Lagerfeuerdiplom/ Navi_Anhang}}<br /> = Was ist das „Lagerfeuerdiplom“? = Die Gitarrenkurse auf den Wikibooks richten sich an Hobbymusiker. In Anlehnung an das Bauerndiplom (nebst Turmdiplom und Königsdiplom) des [[w:Deutscher Schachbund|Deutschen Schachbundes]] bieten die Diplome der Wikibooks (Lagerfeuerdiplom, Folkdiplom, Rockdiplom, Balladendiplom, u. a.) Anfängern die Möglichkeit, zu bekunden, dass sie ein bestimmtes Level des Gitarrespielens erreicht haben. Man erreicht ein Diplom, indem man eine Sammlung von Liedern spielen kann, die alle Lernziele abdecken. Die Diplome können ohne Prüfung von jedem Gitarrenlehrer (auch ehrenamtliche) ausgestellt werden, der von einer öffentlichen Einrichtung oder Organisation (Gemeinden, Schulen, kirchlichen Einrichtungen, Musikschulen, Volkshochschulen o.ä.) den Auftrag dazu erhalten hat und der das Diplom mit einem Stempel der Organisation beglaubigen lassen kann. Die Lieder müssen weder auswendig gespielt werden noch muss alles 100 % fehlerfrei sein. Jedoch sollte man in puncto Rhythmus und Griffwechsel ein Mindestmaß an Sicherheit besitzen. Mit dem „Lagerfeuerdiplom“<ref>Das bestandene „Lagerfeuerdiplom“ ist eigentlich ein '''Zertifikat''' – aber „Lagerfeuerzertifikat“ hört sich - ehrlich gesagt - blöd an.</ref> verfügt man über ausreichend Akkorde und Schlagtechniken, um weit über drei Stunden (am Lagerfeuer) Lieder zu begleiten, ohne sich zu wiederholen. Man erreicht nicht irgendein Lagerfeuerdiplom, sondern ''Das Lagerfeuerdiplom''<br /> <small>Der Begriff ''Lagerfeuerdiplom'' sowie die weiteren Diplome sind Wortneuschöpfungen vom Autor [[Benutzer:Mjchael|Mjchael]] und wurden speziell für die Wikibooks übernommen. Jede Verwendung dieses Begriffes bezieht sich von daher auf die hier vermittelten Lerninhalte und Lernziele. Jeder Gitarrenlehrer darf gerne mit dem Begriff "Lagerfeuerdiplom" werben, sofern er sich auf diesen Wikibooks-Lehrgang bezieht und als Quelle einen gut lesbaren Link zum Lagerfeuerdiplom oder zumindest des Gitarrenbuches mit angibt, so dass klar wird, dass es sich um ein Buch der Wikibooks handelt.</small> == Von einer Idee zum Konzept== In einem Pfadfinderlager gab es folgende Regel: Wer nicht ein Mindestmaß an Fähigkeiten mitbrachte, der durfte keine Gitarre anfassen. Damit wollte man sowohl die Gitarren als auch die Nerven bzw. Ohren aller Beteiligten schonen. So ist die Idee zum Lagerfeuerdiplom entstanden. Dieser Kurs vermittelt solch ein Minimum an Wissen und Können. Das Lagerfeuerdiplom stellt so etwas wie einen 'Freischwimmer des Gitarrespielens' dar. Das vermittelte Wissen ist ein „Muss“ für jeden Gitarristen. Dabei ist es unerheblich, ob man E-Gitarre, Westerngitarre oder klassische Gitarre spielen möchte. ==Vom Konzept in die Praxis== Bevor das Lagerfeuerdiplom als Buch für Wikibooks eingeführt wurde, ist das Unterrichtskonzept schon mehrere Jahre eingesetzt, getestet und weiterentwickelt worden. Erzieherinnen, Lehrerinnen und Leiter von Jugendgruppen haben sich mit dem bestandenen '''Lagerfeuerdiplom''' getraut, ihre neu erworbenen Fähigkeiten in der Liedbegleitung bei ihren Gruppen in die Praxis umzusetzen. Zudem wurde und wird der Online-Kurs ständig durch Mitglieder aus verschiedenen Gitarrenforen und Facebook-Gruppen gelesen und verbessert. Fehler, die auffallen, werden meist umgehend berichtigt. Allen Schülern, die das Konzept getestet haben, allen Mitgliedern der www.wikibooks.de sowie des [http://www.gitarrenboard.de/main.php www.gitarrenboard.de] und ehemalige gitarre-spielen-lernen<ref>Bei dem ehemaligen Forum Gitarre-Spielen-Lernen ist die Datenbank zerschossen. Vermutlich bei dem Versuch immer neuere Sicherheitsstandards der großen Browser-Giganten zu erfüllen.</ref> Forum diversen Facebook-Gruppen (insbesondere der Gruppe "Gitarre lernen") und auch allen Personen, die hier einen Diskussionsbeitrag geleistet haben oder eine E-Mail geschrieben haben - also allen, die mit konstruktiver Kritik, Korrekturen, Informationen, Rat und Tat dieses Konzept vorangebracht haben - sei an dieser Stelle ein herzliches Dankeschön ausgesprochen. ==Weitere Tipps== Die Kurse (Lagerfeuerdiplom und folgende) sind zwar für Selbstlernende gedacht und entsprechend ausführlich formuliert worden<ref>Vor allem in den ersten Lektionen wird es viel Lesestoff für euch geben. Leider sitze ich euch nicht gegenüber und kann euch nicht zeigen, wie das eine oder andere gemeint ist. Kurze vereinzelte Bemerkungen während dem Unterricht lesen sich ungleich länger, wenn sie für ein Buch aufbereitet werden. Fortgeschrittene Gitarrenspieler mögen mir verzeihen, wenn ich an einigen Stellen Themen, die möglicherweise trivial erscheinen, ausführlich erkläre. Bitte bedenkt, dass es auch einmal Zeiten gab, in denen ihr für Hilfe dankbar wart. Aus den Reaktionen und Diskussionen der Leser weiß ich, dass sie zwar von der Faszination der Gitarre angesteckt worden sind, aber sich aus Zeitmangel und vielleicht auch aus Geldmangel keinen Lehrer leisten können, oder dass in ihrer Nähe kein geeigneter Lehrer zu finden ist. Im Forum des [http://www.gitarrenboard.de www.Gitarrenboard.de] sowie [http://www.gitarre-spielen-lernen.de/forum/forum18.html www.Gitarre-spielen-lernen.de] konnte man sehen, dass selbst die einfachsten Themen für Anfänger ein Problem darstellen können. Also gebe ich auf alle üblichen Fragen und Probleme, die bei meinen Schülern immer wieder aufgetaucht sind, eine hoffentlich leicht verständliche Antwort. Die Bemerkungen, die während eines Unterrichts kommen, habe ich jeweils in einem eigenen Kapitel zusammengefasst. Ich hoffe, du nimmst es nicht persönlich, wenn ich erst einmal davon ausgehe, dass du (wie ich am Anfang auch) alle Fehler machst, die man anfangs machen kann. Solltest du jedoch ein Naturtalent sein und weniger oder gar keine Fehler machen, dann sieh die vielleicht zu ausführlichen Darstellungen als Tipp oder Hilfe an, wenn du selbst einem Normalsterblichen Gitarrenunterricht geben willst. Also nur nicht abschrecken lassen, wenn irgendwo vieeel steht. Das heißt nicht unbedingt, dass es auch schwer ist.</ref>, dennoch sollte erwähnt werden, dass man mit einem Lehrer schneller lernt. Sollte keiner zur Verfügung stehen, helfen auch Tipps von einem geübten Gitarrenspieler. Ebenfalls lohnt es sich, einen Blick in das eine oder andere Gitarrenbuch zu werfen. Bücher haben den Vorteil, dass man nicht vor dem PC sitzen muss, sondern dort, wo es einem beliebt. Zudem sind Bücher sowie Lehrer nicht auf copyright-freie Übungsbeispiele beschränkt, so dass sie eventuell eine größere Liederauswahl bieten. Wer mit den Beschreibungen hier Probleme haben sollte oder darüber hinaus noch Fragen hat, der sollte sich ruhig in einem Gitarrenforum anmelden. ;Beispiele * [http://www.gitarrenboard.de www.Gitarrenboard.de] * Weitere Online-Foren und interessante Link-Tipps findet ihr in der [http://de.wikibooks.org/wiki/Gitarre:_Inhalts%C3%BCbersicht#Linkliste http://de.wikibooks.org/wiki/Gitarre:_Inhaltsübersicht#Linkliste] <!-- nicht in einen internen Link umschreiben. Der Link ist für externe Leser (PDF oder Buchform) gedacht --> {{Fußnoten}} <noinclude> <br><br><br> <div class="noprint" style="background:#fffdd0 ;"> <small>Dieser Abschnitt wird nicht mit ausgedruckt</small> = (Anhang bzw. Vorschau) = (wird auch nicht mit ausgedruckt. Für den Ausdruck siehe [[Gitarre: Lagerfeuerdiplom Liedbeispiele|Anhang]].) == Folgende Lieder kannst du bald spielen == Folgende Übungsbeispiele zeigen dir, was du mit dem Lagerfeuerdiplom innerhalb von zwei Monaten auf einem einfachen Niveau spielen kannst. {{:Gitarre: Lagerfeuerdiplom Liedbeispiele}} == Copyright-freie Lieder im Kurs == <categorytree mode="pages" showcount="on">Liederbuch/ Lagerfeuerdiplom</categorytree> </div> {{:Vorlage:Navigation hoch}} {{Navigation Thema Start|hochlink=Gitarre: Inhaltsübersicht|vorlink=Gitarre: Bevor wir beginnen}}</noinclude><noinclude> [[Kategorie:Gitarre/_Kurse|Lagerfeuerdiplom]] [[Kategorie:Fertiges Buch|Gitarre: Lagerfeuerdiplom]] [[Kategorie:Buch]] </noinclude> [[en:b:Guitar/Campfire Diploma]] 0hv9dy4zdh4s4tei8k3uy8fnyls2j05 0 81695 1088493 959046 2026-06-29T12:02:36Z Bautsch 35687 PDF veraltet 1088493 wikitext text/x-wiki {{Infoleiste|Physik|Studium|S|Technik}} {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} {{Druckversion}} {{Überschriftensimulation 1|Zusammenfassung des Projekts}} {{StatusBuch|10}} * '''Zielgruppe und Lernziele:''' siehe [[Digitale bildgebende Verfahren: Vorwort|Vorwort]]. * '''Ansprechperson:''' Ansprechpartner ist [[Benutzer:Bautsch]]. * '''Co-Autoren:''' Mitarbeit und Kommunikation mit Sie-Form sind erwünscht, vernünftige Orthographie und nicht kategorisch neue Schulschreibung. * '''Verwendete Vorlagen:''' [[Digitale bildgebende Verfahren/ Navigation]] [[Kategorie:Buch]] [[Kategorie:Studium]] edxpbiysl9pmcgsayd74b5eigyab31t 2 82416 1088502 1087629 2026-06-29T15:16:29Z Bautsch 35687 Pyttagrische_Schmitdts_Fuencklein_Titelseite.png 1088502 wikitext text/x-wiki __INDEXIEREN__ '''Markus Bautsch''' (*1964 in Berlin-Zehlendorf) ist Diplom-Physiker, promovierter Ingenieur und planmäßiger Professor für Optomechatronik. Näheres siehe {{w|Benutzer:Bautsch}}. == Wikibook-Beiträge == <gallery caption="Ausgewählte Beiträge von Bautsch" widths=360 heights=240> Hortus Deliciarum, Die Philosophie mit den sieben freien Künsten.JPG|Zu den [[Datei:Qsicon Exzellent.svg|15px|]] [[Quadriviale Kuriositäten|quadrivialen Kuriositäten]] in der Philosophie. Die-fuenf-Balmer-Toene-c-f-g-gis-a-des-Till-Eulenspiegel-Motivs-von-Richard-Strauss.png|Zu [[Datei:Qsicon Exzellent.svg|15px|]] [[Till Eulenspiegels lustige Serie|Till Eulenspiegels lustiger Balmer-Serie]] von Richard Strauss. Goldener.Henkel.9.6.2022.P1139248.jpg|Zur [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit]]. Beugungsscheibchen.k.720.jpg|Zu [[Digitale bildgebende Verfahren|digitalen bildgebenden Verfahren]]. Anteus.und.Tiro.png|Zu den [[Quadriviale Kuriositäten/ Zahlen/ Anteus|Dialogen zwischen Anteus und Tiro]]. Moving.star.in.dark.shell.png|Zu [[:en:Moving objects in retarded gravitational potentials of an expanding spherical shell|schnell bewegten Objekten in retardierten Gravitationspotentialen]]. Himmelstafel-Tal-Qadi.Logo.png|Zur [[Die Himmelstafel von Tal-Qadi|Himmelstafel von Tal-Qadi]]. Kalenderstein.Mnajdra.labelled.png|Zum [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Der_Kalenderstein_vom_Tempel_Mnajdra|Kalenderstein von Mnajdra]]. CodexSang.342.p.128.png|Zu den Königen aus [[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Tarxien|Tarschisch]]. Pyttagrische_Schmitdts_Fuencklein_Titelseite.png|Zur Legende von [[Pythagoras in der Schmiede]]. Fragment-de-STELE_8210.jpg|Zur [[Quadriviale Kuriositäten/ Die Stele vom Rocher des Doms|Stele vom Rocher des Doms]]. NUN.KI.4000BC.Eridu.Mesopotamia.png|Zur Bezeichnung des [[Quadriviale Kuriositäten/ Die Stele vom Rocher des Doms#Canopus|Sterns der Stadt Eridu]]. Stabdolch.Bronzezeit.Halle-Kanena,Sachsen-Anhalt.P1068175.jpg|Zur astronomischen Verwendung von [[Quadriviale Kuriositäten/ Stabdolche|Stabdolchen]]. Vollmond.Gruendonnerstag.2023.P1162584.jpg|Zur Bestimmung des [[Quadriviale Kuriositäten/ Osterdatum|Osterdatums]] mit dem Frühlingsvollmond. Belchen-System.png|Zum prähistorischen Observatorium [[Das_Belchen-System|Belchen-System]]. Plejaden.VAT.7851.Umzeichnung.png|Zum [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden|Siebengestirn]]. VAT7647.Jupiter.Loewe.Wasserschlange.P1151457.jpg|Zu [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Historische_Konjunktionen|historischen Konjunktionen in der Astronomie]]. DasGoldeneTorSDerEkliptik.png|Zum [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der_Ekliptik|Goldenen Tor der Ekliptik]]. Heptagramm.Pergament.png|Zum Ursprung der [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Die_Siebentagewoche|Siebentagewoche]]. Ekliptik.Zodiak.helle.Sterne.png|Zu einem Geheimnis der [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Bedeutung_der_Vier_in_Religionen|vier Evangelisten]]. BlumeDesLebens19.png|Zur [[Quadriviale Kuriositäten/ Zahlen|Symbolik von Zahlen]]. Stiersymbol.Magura.png|Zur [[Die Höhlenmalerei in der Magura-Höhle|Höhlenmalerei in der Magura-Höhle]]. Lichtbringer.Magura.1.Station.png|Zur [[Die Höhlenmalerei in der Magura-Höhle/ Nacherzählung|Nacherzählung der Schöpfungsgeschichte aus Magura]]. Face_de_chapiteau_figurant_la_Multiplication_des_pains,_choeur_de_l%27église_de_Saint-Nectaire,_Puy-de-Dôme.jpg|Zu den [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Gedanken_zur_wundersamen_Brotvermehrung|Gedanken zur wundersamen Brotvermehrung]]. Caspar_David_Friedrich_-_Zwei_Männer_in_Betrachtung_des_Mondes.jpg|[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|Zu den Kontrastverhältnissen bei aschgrauem Mondlicht]]. Unterprogrammaufruf.png|Zur [[Strukturierte Programmierung|strukturierten Programmierung]]. Workflow.Capsula.png|Zur strukturierten [[:en:User:Bautsch/Capsula|Programmiersprache Capsula]]. Mandelbrot-Menge.png|Zum [[Das Apfelmännchen|Apfelmännchen]] von Mandelbrot. Maze_32x32.coloured.png|Zu [[Rekursive Labyrinthe|rekursiv berechneten Labyrinthen]]. SimForest.1200x720.D.png|Zur [[Waldbrandsimulation|Simulation von Waldbränden]]. Campingplatz_10_x_10_s_1697742610314_solution.png|Zu [[Campingplatzrätsel|rätselhaften Campingplätzen]] mit verborgenen Zelten. GameOfLifeHello.webm|mini|Zur Simulation vom [[Game of Life]]. Transmissionline.Lautsprecherbox.ohne.Daempfung.png|Zur [[Berechnung einer akustischen Transmissionline]]. Wikigolfball.hybrid.webm|Vom hybriden Wikigolfball zum [[Hybridlied]]. Einsiedeln.Codex366.p39.Veni.redemptor.gentium.png|Zu den [[Kontrafakturen gregorianischen Repertoires|Kontrafakturen des gregorianischen Repertoires]]. Heptachord.png|Zur Vier, Sieben und Zwölf in den [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Tonsysteme|Tonsystemen]] der Musik. </gallery> ==Siehe auch== * [[Benutzer:Bautsch/ Erkenntnisse|Bautsch / Erkenntnisse]] [[en:User:Bautsch]] 9qk1ge1rwhiuj8d5225jsoezfn0m6p1 0 88415 1088494 1083141 2026-06-29T12:04:39Z Bautsch 35687 /* Brechung */ Oberflächenlote 1088494 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> Dieses Kapitel beschäftigt sich mit prinzipiellen Eigenschaften von optischen Abbildungen. In den folgenden Abschnitten sind einige grundlegende Aspekte aufgeführt, die bei der Aufnahme und Registrierung von Bildern eine Rolle spielen. ==Optik== Die '''Optik''' (von altgriechisch ὀπτική τέχνη (optikḗ téchnē), zu Deutsch: „Lehre vom Sehen“) beschäftigt sich mit der Ausbreitung von '''Licht''' unter Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie. Im engeren Sinne werden in der Optik optische Systeme behandelt, mit denen Objekte abgebildet werden können. '''Reelle Bilder''' können beispielsweise mit Bildwänden, photographischen Filmen oder elektronischen Bildsensoren aufgefangen werden, wohingegen '''virtuelle Bilder''' direkt durch das menschliche Auge gesehen werden können. Lichtquellen haben immer eine endliche Ausdehnung. Wenn die leuchtende Fläche im Vergleich zu einem ausgedehnten optischen System klein ist, wird die entsprechende Lichtquelle als '''punktförmig''' bezeichnet. In der Praxis kann ein Fixstern als eine solche punktförmige Lichtquelle betrachtet werden. Im Labor kann eine punktförmige Lichtquelle durch die Beleuchtung einer kleinen Kreislochblende aus einer hinreichend großen Entfernung erzeugt werden. Das aus der Blende austretende Licht bildet ein '''Lichtbündel'''. Ein '''Lichtstrahl''' kann durch ein paralleles Lichtbündel mit kleinem Durchmesser angenähert werden. Lichtstrahlen werden in der '''geometrischen Optik''' verwendet, um die Richtung des Flusses der Lichtenergie anzugeben. [[Datei:EM-Wave.gif|mini|rechts|Die elektrische Feldstärke <math>\vec E</math> (blau in y-Richtung) und die magnetische Feldstärke <math>\vec B</math> (rot in z-Richtung) bei einer elektromagnetischen Welle mit Ausbreitung in x-Richtung.]] Beugungseffekte sind durch die Welleneigenschaften des Lichtes bedingt und treten immer auf, wenn es auf Kanten trifft. Die Beugung wird in der '''Wellenoptik''' behandelt und wird in der geometrischen Optik nicht berücksichtigt. Alle elektromagnetischen Wellen –&nbsp;also auch das Licht&nbsp;– breiten sich in allen optischen Medien mit Lichtgeschwindigkeit aus. Dies konnte der Physiker {{w|Heinrich Hertz}} (1857–1894) durch die künstliche Erzeugung elektromagnetischer Wellen im Ultrakurzwellenbereich bei 80&nbsp;Megahertz im Jahr 1886 nachweisen. Die '''Lichtgeschwindigkeit im Vakuum''' <math>c_0</math> ist inzwischen eine festgelegte Größe, die für alle Arten elektromagnetischer Strahlung gilt: :<math>c_0 = 299792458 \frac {\text {m}} {\text {s}}</math> Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit für elektromagnetische Wellen. Sie kann von Objekten mit einer Ruhemasse nicht erreicht werden, also auch nicht von Elektronen oder Atomen beziehungsweise Ionen. Die '''Vakuumwellenlänge''' <math>\lambda_0</math> der mit der Frequenz <math>f</math> transversal schwingenden, elektromagnetischen Welle beträgt hierbei: :<math>\lambda_0 = \frac {c_0} {f}</math> Die Frequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle weicht beim Durchgang durch verschiedene Medien nicht von der Frequenz im Vakuum ab. Die Vektoren der elektrischen und der magnetischen Feldstärke stehen bei elektromagnetischen Wellen stets senkrecht zueinander und außerdem beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. ==Brechung== [[Datei:Refraction animation.gif|mini|rechts|hochkant=1.5|Die von links aus dem Vakuum einfallende ebene Welle trifft unter dem Einfallswinkel von 56&nbsp;Bogengrad auf eine Grenzfläche zu einem optischen Medium mit der Brechzahl&nbsp;1,5. Die ebene Welle wird aufgrund der geringeren Ausbreitungsgeschwindigkeit im optischen Medium zum Lot der Grenzfläche hin gebrochen und breitet sich dort ebenfalls als ebene Welle aus. Die Schwingungsfrequenz der Welle bleibt erhalten, im optischen Medium ist die Wellenlänge jedoch verkürzt.]] [[Datei:Brechungsgesetz.Einheitskreis.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zum Snelliusschen Brechungsgesetz mit Einheitskreis an der Grenzfläche zwischen zwei optischen Medien mit den Brechzahlen <math>n_1</math> und <math>n_2</math>. Die Oberflächenlote in den beiden optischen Medien sind gestrichelt dargestellt.]] In allen '''optischen Medien''' bleibt die Schwingungsfrequenz <math>f</math> elektromagnetischer Wellen im Vergleich zu derjenigen im Vakuum erhalten, aber die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> und die Wellenlänge <math>\lambda</math> sind kleiner. Dies kann durch den maßeinheitenlosen '''Brechungsindex''' <math>n</math> (auch '''Brechzahl''' genannt) des optischen Mediums beschrieben werden: :<math>c = \frac {c_0} {n}</math> :<math>\lambda = \frac {\lambda_0} {n}</math> Beziehungsweise: :<math>n = \frac {\lambda_0} {\lambda} = \frac {c_0} {c}</math> Für alle optische Medien beziehungsweise für alle Brechzahlen gilt die folgende Beziehung für die Schwingungsfrequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle: :<math>f = \frac {c} {\lambda} = \frac {c_0} {\lambda_0} = \text{const.}</math> Der Brechungsindex des Vakuums ist demzufolge gleich Eins, und bei allen anderen optischen Medien ist der Brechungsindex größer als Eins. Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist nicht nur von der Wellenlänge abhängig, sondern bei Festkörpern und Flüssigkeiten insbesondere auch von der Temperatur <math>T</math> und bei Gasen vom Druck <math>p</math>: :<math>n = n(\lambda, T, p)</math> Bei Gasen ist der Brechungsindex bei normalem Luftdruck nur geringfügig größer als Eins. Die meisten optischen Medien aus flüssigem oder festem Material haben typische Brechungsindices zwischen 1,3 und 2,0. Wasser hat bei Zimmertemperatur einen Brechungsindex von 1,333. Besondere Materialien haben Brechungsindices, die größer als Zwei sind, wie zum Beispiel Diamant (Kohlenstoffkristall) mit rund 2,4 oder Rutil (Titandioxid) mit rund 3,1. Beim Übergang von Lichtstrahlen von einem optischen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisches Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math> wird ein einfallender Lichtstrahl (in der Abbildung rechts weiß) zu einem Teil in das Einfallsmedium zurück gespiegelt ('''Reflexion''', in der Abbildung rechts dunkelgrau) und zu einem anderen Teil in das Ausfallsmedium gebrochen ('''Refraktion''', in der Abbildung rechts hellgrau). Die Richtungen der Reflexion und der Refraktion werden über die Winkel zur Flächennormalen (Lot) an der Stelle des Übergangs der beiden optischen Medien bestimmt. Für die Reflexion gilt das '''Reflexionsgesetz''': :Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\alpha</math>. Für die Refraktion gilt das '''Snelliussche Brechungsgesetz''': :<math>n_1 \cdot \sin \alpha = n_2 \cdot \sin \beta</math> Ist <math>n_2</math> größer als <math>n_1</math>, wird der Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen, und ist <math>n_1</math> größer als <math>n_2</math>, wird der Lichtstrahl vom Lot weggebrochen. Am Einheitskreis (Radius gleich Eins) gilt: :<math>\sin \alpha = a</math> und: :<math>\sin \beta = b</math> Das Snelliussche Brechungsgesetz geht damit in die folgende Form über: :<math>n_1 \cdot a = n_2 \cdot b</math> Es gilt entsprechend: :<math>\frac {n_1} {n_2} = \frac {\sin \beta} {\sin \alpha} = \frac {c_2} {c_1} = \frac {b} {a}</math> Zur Herleitung des Brechungsgesetzes unter Berücksichtigung der Ausbreitung mit '''Huygensschen Elementarwellen''' mit der jeweiligen Lichtgeschwindigkeit auf dem schnellsten Weg entsprechend dem '''Fermatschen Prinzip''' siehe auch: '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Ablenkung_von_Lichtstrahlen|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Ablenkung von Lichtstrahlen"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Dispersion=== Die Brechzahl aller optischen Medien hängt von der Wellenlänge des Lichts ab. Hierbei gilt, dass blaues Licht mit kurzer Wellenlänge stärker gebrochen wird als rotes Licht mit langer Wellenlänge. Die Dispersion eines bestimmten optischen Mediums kann durch dessen '''Abbe-Zahl''' <math>\nu_e</math> beschrieben werden: :<math>\nu_{e} = \frac {n_{e} - 1} {n_{F'} - n_{C'}}</math> Hierbei stehen die Indizes C', e und F' am Brechungsindex für die folgenden Lichtwellenlängen: * Rot: <math>n_{C'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{C'} = 643,8469 \text { nm}</math> * Grün: <math>n_{e}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{e} = 546,0740 \text { nm}</math> * Blau: <math>n_{F'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{F'} = 479,9914 \text { nm}</math> Eine große Abbe-Zahl steht also für ein optisches Medium mit geringer Dispersion, und eine kleine Abbe-Zahl steht für ein optisches Medium mit starker Dispersion. <div style="clear:both"></div> ===Optische Medien mit variabler Brechzahl === Bei optischen Medien mit asymmetrischen Kristallgitterstrukturen, wie zum Beispiel Kalkspat (Calcit), hängt die Brechzahl von der Schwingungsrichtung des Lichts in Bezug auf die Gitterebenen ab. In solchen optisch anisotropen Kristallen hängt der Brechungsindex sowohl von der Polarisationsrichtung als auch von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes ab. Bei dieser '''Doppelbrechung''' wird in der Regel zwischen einem ordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\perp</math> und einem außerordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\parallel</math> unterschieden. Je nach Struktur eines bestimmten Kristalls kann sowohl der ordentliche als auch der außerordentliche Strahl eine größere Brechkraft erfahren. Manche Kristalle haben einen sehr deutlichen Unterschied bei diesen beiden Brechzahlen, wie zum Beispiel Kalomel (Quecksilber(I)-chlorid), dass bei einer Massendichte von rund 7,2 Gramm pro Kubikzentimeter eine Brechzahl von knapp 2,0 für den ordentlichen und eine Brechzahl von über 2,6 für den außerordentlichen Strahl aufweist. '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Doppelbrechung|Abschnitt "Doppelbrechung"]]''' Im Allgemeinen sind optische Medien aus amorphen, lichtdurchlässigen Festkörpern, wie zum Beispiel stark brechendes '''Flintglas''', schwach dispergierendes '''Kronglas''', für ultraviolettes Licht durchlässiges '''Quarzglas''' oder leichtes '''Acrylglas''' (Polymethylmethacrylat (PMMA)), isotrop und homogen, so dass die Brechkraft für Licht einer bestimmten Wellenlänge für alle Polarisations- und Ausbreitungsrichtungen überall im Medium gleich ist. In Flüssigkeiten oder in Gasen kann es passieren, dass der Brechungsindex durch Dichteschwankungen im optischen Medium nicht konstant ist. Als Ursache für solche Dichteschwankungen kommt insbesondere die Gravitation in Frage. Das Gas der Atmosphäre hat im Schwerefeld der Erde nach der Bernoullischen Höhengleichung mit zunehmender Höhe einen immer weiter abnehmen Druck und somit eine immer geringer werdende Dichte. Demzufolge nimmt die Brechkraft der atmosphärischen Gase (im Wesentlichen bestehend aus Stickstoff- und Sauerstoffmolekülen sowie Argonatomen) mit zunehmender Höhe immer weiter ab. Diese '''atmosphärische Refraktion''' wirkt sich zum Beispiel bei der Brechung des Sonnenlichts bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang aus, wo die Lichtstrahlen beim Eintritt in die Atmosphäre kontinuierlich stärker in Richtung Erdoberfläche gebrochen werden. [[Datei:Dichte.Brechungsindex.Zuckerloesung.png|mini|rechts|hochkant=1.2|Dichte und Brechungsindex in Abhängigkeit von der Konzentration von Zucker in Wasser in Prozent.]] Auch in Flüssigkeiten mit gelösten Feststoffen kann es im Schwerefeld der Erde mit größer werdender Tiefe unter der Flüssigkeitsoberfläche zu einer Zunahme der Massendichte und somit auch der optischen Dichte kommen. Dies ist zum Beispiel bei in Wasser gelöstem Zucker der Fall, bei den die Zuckerkonzentration in der wässrigen Lösung mit größerer Wassertiefe immer weiter zunimmt. <gallery caption="Beispiele für variable Brechungsindizes" perrow=2 widths=640 heights=480> Sonnenuntergang - Verschiebung.png|Durch einen Beobachter auf der Erdoberfläche wahrgenommene und die tatsächliche Form und Position der Sonne aufgrund der atmosphärischen Refraktion bei Sonnenaufgang beziehungsweise bei Sonnenuntergang. Kuevette.Zuckerloesung.Laserstrahl.P1033789.jpg|Roter Laserstrahl auf einer Zykloidenbahn in einer Küvette mit Zuckerlösung, die nach unten hin eine immer größere Massendichte und optische Dichte aufweist, so dass der Brechungsindex auf dem Lichtweg stetig größer wird. </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Optische Achse== [[Datei:Optische.Achse.png|mini|hochkant=2|Optische Achse]] Die '''optische Achse''' beschreibt in der geometrischen Optik die Rotationsachse aller rotationssymmetrischen Bestandteile einer optischen Abbildung oder eines optischen Systems. Schnittebene von zweidimensionalen Skizzen werden üblicherweise durch die optische Achse gelegt, so dass die Schnitte der rotationssymmetrischen optischen Elemente an dieser Achse gespiegelt dargestellt werden. Die optische Achse wird in solchen Skizzen immer als Strichpunktlinie dargestellt. <div style="clear:both"></div> ==Hauptebenen== [[Datei:Hauptebene.png|mini|hochkant=1.5|Ein aus dem Objektraum links der Hauptebene kommender Lichtstrahl (gestrichelte Linie) wird an der Hauptebene H (blau) in den Bildraum rechts der Hauptebene abgelenkt]] '''Hauptebenen''' stehen in der Regel senkrecht zur optischen Achse. Sie beschreiben vereinfacht betrachtet Flächen, an denen alle Strahlen in einem optischen Strahlengang gebrochen oder gespiegelt werden, und sie teilen den '''Objektraum''' links der Hauptebene vom '''Bildraum''' rechts der Hauptebene. In der Praxis gilt dies mit hinreichender Genauigkeit häufig nur für achsnahe Strahlen ('''paraxialer''' Strahlengang mit '''Gaußschen Strahlen'''). Bei '''konvergenten''' Systemen werden die Strahlen zur optischen Achse abgelenkt, und bei '''divergenten''' Systemen werden die Strahlen von der optischen Achse weggelenkt. Von den Hauptebenen werden in Richtung der optischen Achse '''Brennweiten''', '''Objektweiten''' und '''Bildweiten''' gemessen. Die Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse werden als '''Hauptpunkte''' bezeichnet. Lichtstrahlen, die durch einen Hauptpunkt gehen, heißen '''Hauptstrahlen''' und werden nicht abgelenkt. <div style="clear:both"></div> ==Optische Flächen== [[Datei:Lens shapes 2.svg|mini|hochkant=1.5|Verschiedene Linsenformen mit ihren beiden Hauptebenen:<br/> 1: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 2: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 3: plankonvexe Sammellinse mit <math>r_2 = \infty</math><br/> 4: konvex-konkave Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 5: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 6: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math><br/> 7: plankonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 = \infty</math><br/> 8: konvex-konkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math>]] Licht kann an den Flächen zwischen optischen Medien durch '''Lichtbrechung''' ('''Refraktion''') oder an Oberflächen durch '''Spiegelung''' ('''Reflexion''') abgelenkt werden. Optische '''Linsen''' sind lichtdurchlässig (transparent) und haben zwei optisch aktive Oberflächen, und '''Spiegel''' haben eine reflektierende Oberfläche. Linsen- und Spiegeloberflächen können eben ('''plan'''), nach außen gewölbt ('''konvex''') oder nach innen gewölbt ('''konkav''') sein. Bei Linsen können die beiden optisch aktiven Oberflächen verschiedene Wölbungen und Formen haben. Beidseitig konvexe ('''bikonvexe''') sowie '''plankonvexe''' Linsen sammeln das einfallende Licht und werden deswegen '''Sammellinsen''' genannt. Beidseitig konkave ('''bikonkave''') sowie '''plankonkave''' Linsen zerstreuen einfallendes Licht und werden deswegen '''Zerstreuungslinsen''' genannt. Bei konvex-konkaven und konkav-konvexen Linsen wird die Gesamtwirkung des Sammelns oder Zerstreuens durch die Oberfläche mit der stärkeren Krümmung bestimmt: ist diese konvex, handelt es sich um eine Sammellinse, ist diese konkav, handelt es sich um eine Zerstreuungslinse. Bei Spiegeloberflächen verhält es sich umgekehrt: ist die Spiegeloberfläche konkav, handelt es sich um einen lichtsammelnden Spiegel (auch '''konkaver Spiegel''' oder '''Hohlspiegel'''), ist die Spiegeloberfläche konvex, handelt es sich um einen lichtzerstreuenden Spiegel (auch '''konvexer Spiegel''',''' Wölbspiegel''' oder '''Zerstreuungsspiegel'''). Ein Spiegel mit ebener Oberfläche wird als '''Planspiegel''' bezeichnet, bei dem die Hauptebene mit der Oberfläche identisch ist. Linsen haben stets zwei Hauptebenen, die in der Regel mit H und H' bezeichnet werden. Deren Hauptpunkte können insbesondere bei plankonvexen oder plankonkaven Linsen mit den Scheitelpunkten der Linsenoberflächen auf der optischen Achse übereinstimmen. Bei bikonvexen und bikonkaven Linsen liegen die Hauptpunkte jedoch zwischen den Scheitelpunkten der Linse. Bei konkav-konvexen beziehungsweise konvex-konkaven Linsen können eine oder sogar beide Hauptpunkte außerhalb der Linse liegen. Zwischen den beiden Hauptebenen einer Linse verlaufen alle Strahlen parallel zur optischen Achse, wie zum im folgenden Beispiel einer Sammellinse: [[Datei:Strahlengang.Hauptebenen.Sammellinse.png|mini|zentriert|Strahlengang über die beiden Hauptebenen H und H' bei einer Sammellinse.]] Bei hinreichend '''dünnen Linsen''' fallen die beiden Hauptebenen annähernd zu einer einzigen Hauptebene in der Mitte der Linse zusammen, so dass sich Berechnungen und graphische Darstellungen mit nur einer Hauptebene deutlich vereinfachen lassen. Von dünnen Linsen wird gesprochen, wenn die Brennweite <math>f</math> und somit auch die Radien der Linsenoberflächen <math>R_1</math> und <math>R_2</math> deutlich größer sind als die entlang der optischen Achse gemessene Dicke <math>d</math> einer Linse: :<math>R_1, R_2 > f \gg d</math> Optische Systeme, wie zum Beispiel ein Objektiv mit zahlreichen Linsen, können sehr viele Hauptebenen haben, die nicht notwendigerweise alle im optischen System liegen müssen, wie zum Beispiel bei [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Retrofokusobjektiv|Retrofokusobjektiven]] oder [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telefokusobjektiv|teleskopischen Objektiven]]. Messtechnisch können von außen unmittelbar nur die Lagen der beiden äußersten Hauptebenen eines optischen Systems bestimmt werden. Bei Zoomobjektiven, also bei Objektiven mit variabler Brennweite, variiert die Lage der Hauptebenen mit der Einstellung der Brennweite. Auch bei Objektiven mit innenliegender Fokussierung verändert sich beim Scharfstellen von Objekten in der Bildebene die Lage von Hauptebenen zueinander. '''Schnittweiten''' werden ebenfalls entlang der optischen Achse gemessen, in der Regel jedoch nicht von einer Hauptebene aus, sondern vom Scheitelpunkt der nächstgelegenen untersuchten optischen Fläche. Dieser Scheitelpunkt befindet sich im Schnittpunkt der optischen Achse mit der optischen Fläche. <div style="clear:both"></div> ==Bildwinkel== [[Datei:Bildwinkel.png|hochkant=2|miniatur|Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildweite <math>b</math> und Bilddiagonale <math>d</math> mit Berücksichtigung der Objektgröße <math>G</math> und der Bildgröße <math>B</math>]] Der '''Bildwinkel''' <math>\alpha</math> ist der ebene Winkel, innerhalb dessen das reelle Bild des Objektes in der '''Bildebene''' vom bildseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann. Er wird durch die äußeren zur Abbildung beitragenden Hauptstrahlen gebildet, die durch den Hauptpunkt gehen. Mathematisch ist der Bildwinkel wie folgt definiert, wenn die '''Bildgröße''' (sie wird manchmal auch als Bildhöhe bezeichnet) <math>B</math> beziehungsweise der Radius des '''Bildkreises''' <math>r</math> von der optischen Achse aus gemessen ist und <math>b</math> die '''Bildweite''' zwischen Hauptebene und Bildebene darstellt: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {B}{b} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{b}</math>, wobei der Radius des Bildkreises <math>r</math> gleich dem halben Bildkreisdurchmesser <math>d</math> ist: :<math>r = B = \frac {d}{2}</math> Die Bildweite ergibt sich daraus folgendermaßen: :<math>b = \frac {r}{\tan \frac {\alpha}{2}} = \frac {d}{2 \cdot \tan \frac {\alpha}{2}}</math> Der '''Objektwinkel''' ist der ebene Winkel, innerhalb dessen ein abgebildetes Objekt in der '''Objektebene''' (respektive in der '''Schärfeebene''') vom objektseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann, und er ist mit dem Bildwinkel <math>\alpha</math> identisch. Daher können unter Berücksichtigung des [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Abbildungsma.C3.9Fstab|Abbildungsmaßstabs]] auch die '''Objektgröße''' (sie wird auch als '''Gegenstandshöhe''' oder '''Gegenstandsgröße''' bezeichnet) <math>G</math> beziehungsweise der Radius des '''Objektkreises''' von der optischen Achse aus gemessen und die '''Objektweite''' (sie wird auch als '''Gegenstandsweite''' bezeichnet) <math>g</math> zwischen Hauptebene und Objektebene zur Berechnung des Bildwinkels herangezogen werden: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {G}{g}</math> Wegen der ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke gilt, dass die Verhältnisse der Katheten gleich sind: :<math>\frac {B} {b} = \frac {G} {g}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {B} {G} = \frac {b} {g}</math> <div style="clear:both"></div> ==Brennweite== [[Datei:Brennweite.png|mini|hochkant=2|Brennweite f zwischen einer Hauptebene H und dem Brennpunkt F bei einer optischen Abbildung]] [[Datei:Objektweite.unendlich.png|mini|hochkant=2|Bildhöhe c in der Brennebene in Abhängigkeit der Richtung γ eines unendlich entfernten Objektes zur optischen Achse]] Die '''Brennweite''' <math>f</math> ist bei einer optischen Abbildung mit lichtsammelnden Elementen definiert als die von der letzten Hauptebene gemessene Schnittweite paraxialer Lichtstrahlen bei unendlicher '''Objektweite''' <math>a</math>. In diesem Fall schneiden sich die Strahlen im bildseitigen '''Brennpunkt''' und die '''Bildweite''' <math>b</math> ist identisch mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>f = b_{a=\infty}</math> Die Brennweite kann also als Bildweite gemessen werden, wenn die Objektweite unendlich ist. Der Kehrwert der Brennweite wird '''Brechkraft''' <math>D</math> genannt: :<math>D = \frac {1} {f}</math> Die Maßeinheit der Brechkraft ist eine Dioptrie, die identisch ist mit der Maßeinheit <math>\frac {1} {\text{m}}</math> (Eins durch Meter). Die Brechkraft wird häufig in der Augenoptik verwendet, um die Brechkraft von Sehhilfen zu charakterisieren. Sammellinsen wie auch Hohlspiegel haben eine positive Brechkraft und können eine Weitsichtigkeit (Hyperopie) kompensieren. Zerstreuungslinsen wie auch Wölbspiegel haben eine negative Brechkraft und können eine Kurzsichtigkeit (Myopie) kompensieren. Liegt das Objekt außerhalb der optischen Achse, wird es nicht in den Brennpunkt abgebildet, sondern in die '''Brennebene''', die durch den Brennpunkt geht und senkrecht auf der optischen Achse steht. Für ein Objekt mit unendlicher Objektweite, das zur optischen Achse unter dem Winkel <math>\gamma</math> erscheint, ergibt sich bei gegebener bildseitiger Brennweite <math>f'</math> die von der optischen Achse gemessene Bildhöhe <math>c</math> wie folgt: :<math>c = f' \tan \gamma</math> Oder nach Umstellung aufgelöst nach dem Winkel <math>\gamma</math> in Abhängigkeit der beiden Längen: :<math>\gamma = \arctan \frac {c} {f'}</math> Wenn die Bilddiagonale eines Rechteckes beziehungsweise der Bildkreisdurchmesser <math>d</math> bekannt sind, ergibt sich die Brennweite als Funktion des (diagonalen) Bildwinkels <math>\alpha</math> zu: :<math>f = \frac {d} {2 \cdot \tan \frac {\alpha} {2}}</math> Beziehungsweise umgekehrt, der Bildwinkel <math>\alpha</math> als Funktion der Brennweite <math>f'</math>: :<math>\alpha = 2 \arctan {\frac {d} {2 \cdot f'}}</math> Ein Objekt, das in der Brennebene liegt, wird ins Unendliche abgebildet, und der objektseitige Brennpunkt wird bildseitig daher auf der optischen Achse ins Unendliche abgebildet. Wegen der '''Dispersion''' kann die Brennweite bei der Verwendung von brechenden Materialien von der Wellenlänge der abbildenden Strahlen abhängen: → Siehe hierzu auch '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Chromatische_Aberration|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Chromatische Aberration"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Normalbrennweite=== Die Brennweite ist bei einer optischen Abbildung nicht ausreichend, um die Größe einer Aufnahme zu kennzeichnen. In einigen Fällen ist die Bildgröße standardisiert, wie zum Beispiel beim rechteckigen Format des Kleinbildfilms, so dass aus der Angabe einer beliebigen Brennweite auch auf den maximal möglichen Bildwinkel der '''Bilddiagonale''' beziehungsweise des '''Bildkreisdurchmessers''' geschlossen werden kann. Es kann eine empirisch zu bestimmende '''Normalbrennweite''' definiert werden, bei der ein Bild mit dem Bildwinkel aufgenommen wird, mit dem das abgebildete Objekt mit bloßem Auge bei hinreichender Auflösung gesehen werden kann. Dies ist der Fall, wenn der Bildwinkel des Auges wegen der physiologischen Schwankungsbreite ungefähr zwischen 40° und 55° liegt. Brennweiten, die kürzer als die Normalbrennweite sind, erzeugen weitwinklige Aufnahmen mit größeren Bildwinkeln, und Brennweiten, die länger als die Normalbrennweite sind, erzeugen teleskopische Aufnahmen mit kleineren Bildwinkeln. Die Größenverhältnisse der in unterschiedlichen Entfernungen aufgenommenen Gegenstände innerhalb einer Aufnahme ändern sich deutlich mit der Brennweite. Beim durch den 35-Millimeter-Film (Kleinbildfilm) im 20.&nbsp;Jahrhundert sehr weit verbreiteten Kleinbildformat mit einer Bildbreite <math>b</math> von 36 Millimetern und einer Bildhöhe <math>h</math> von 24 Millimetern hat sich eine Normalbrennweite <math>f_\text{norm, Kleinbild}</math> von :<math>f_\text{norm, Kleinbild} = 50 \, \text{mm}</math> etabliert. Bei diesem Format ergibt sich rechnerisch eine Bilddiagonale beziehungsweise ein Bildkreisdurchmesser <math>d</math> von: :<math>d_\text{Kleinbild} = \sqrt {b_\text{Kleinbild}^2 + h_\text{Kleinbild}^2} = \sqrt {{(36 \, \text{mm})}^2 + {(24 \, \text{mm})}^2} \approx 43{,}3 \, \text{mm}</math> [[Datei:Sensorformate.svg|hochkant=2|miniatur|Bildsensorgrößen im Vergleich]] Da alle Hersteller von Kleinbildkameras dieselbe, fest vorgegebene Bildgröße verwenden, ist dem Photographen bei diesem Bildformat bekannt, dass ein Objektiv mit Normalbrennweite eine Brennweite von 50&nbsp;Millimetern hat. Bei anderen Bildformaten und -größen, wie sie zum Beispiel in der digitalen Photographie verwendet werden, ergeben sich zwangsläufig andere Normalbrennweiten, so dass aus der Angabe der Brennweite allein noch nicht folgt, welche Bildgröße oder welcher Bildwinkel bei der optischen Abbildung berücksichtigt wurde. Abgesehen von einigen digitalen Systemkameras mit Bildsensoren im Kleinbildformat gibt es viele verschiedene Bildsensorgrößen und damit Normalbrennweiten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Lichtwandlung#Bildsensoren|Bildsensoren]]). Zur Bestimmung von Normalbrennweiten kann das Verhältnis <math>c</math> zwischen Normalbrennweite und Bildkreisdurchmesser verwendet werden, das sich beim Kleinbildfilm ergibt: :<math>c = \frac {f_\text{norm, Kleinbild}}{d_\text{Kleinbild}} \approx 1{,}16</math> Anhand der effektiven Bilddiagonalen <math>d</math> kann somit die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> berechnet werden: :<math>f_\text{norm} = c \cdot d</math> Beim Sonderfall '''unendlicher Objektweite''' <math>a</math> sind Bildweite <math>a'</math> und Brennweite <math>f</math> identisch, und der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> kann leicht aus der Brennweite <math>f</math> und dem Radius des Bildkreises <math>r</math> berechnet werden: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{f}</math> Am Beispiel des Kleinbildformates ergibt sich der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> also wie folgt: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {21{,}63 \, \text{mm}} {50 \, \text{mm}} = 46{,}8^\circ</math> Dieser Bildwinkel kann auch bei alle anderen Bildformaten eingesetzt werden. Die Normalbrennweite kann mithilfe des Bildwinkels bei der Normalbrennweite bei unendlicher Objektweite auch aus der Brennweite und dem dazugehörigen Bildwinkel bestimmt werden: :<math>f_\text{norm} = f \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Ferner lässt sich auch die Bilddiagonale berechnen, wenn die Brennweite bekannt ist und der Bildwinkel gemessen werden kann: :<math>d = \frac {f_\text{norm}} {c} = \frac {f} {c} \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Für einige gängige Bildsensorformate resultieren die folgenden Bilddiagonalen und Normalbrennweiten, sowie die entsprechenden Schärfentiefebereiche (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sch.C3.A4rfentiefe|Schärfentiefe]]) für menschliche Betrachter beispielsweise bei einer Blendenzahl von 2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Blendenzahl|Blendenzahl]]) und einer Objektweite von einem Meter. Ferner die Bildpunktgröße bei 16&nbsp;Millionen quadratischen Bildpunkten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Punktabstand|Punktabstand]]), der dazugehörige tolerierbare Fokussierungsfehler in der Bildebene bei der Blendenzahl&nbsp;2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Fokussierungsfehler|Fokussierungsfehler]]) und der Durchmesser des entsprechenden Beugungsscheibchens für grünes Licht mit der Wellenlänge 550 Nanometer (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]): {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Bildsensorgröße<br />Bezeichnung !Bilddiagonale<br /><math>d</math> in Millimetern !Normalbrennweite<br /><math>f_\text{norm}</math> in Millimetern !Schärfentiefe in mm<br />bei Blendenzahl 2,0 und<br />Objektweite 1 m !Bildpunktgröße<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei 16 Millionen Bildpunkten !Maximal zulässiger Fokussierungsfehler<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei Blendenzahl 2,0 !Maximale Blendenzahl<br />ohne Beugungsbegrenzung<br />auf dem Bildsensor |- | 1/3,2″ || 5,6 || 6,5 || 360 || 0,99 || 2,0 || 0,74 |- | 1/2,7″ || 6,0 || 7,0 || 330 || 1,06 || 2,1 || 0,79 |- | 1/2,5″ || 6,4 || 7,5 || 310 || 1,13 || 2,3 || 0,84 |- | 1/2,3″ || 7,7 || 8,9 || 260 || 1,4 || 2,7 || 1,0 |- | 1/1,8″ || 8,9 || 10 || 240 || 1,57 || 3,1 || 1,2 |- | 2/3″ || 11,0 || 13 || 170 || 1,94 || 3,9 || 1,4 |- | 1" || 15,9 || 18 || 130 || 2,8 || 5,6 || 2,0 |- | 4/3″ || 21,6 || 25 || 90 || 3,8 || 7,6 || 2,8 |- | APS-C || 26,8 bis 28,4 || 31 bis 33 || 70 || 5 || 10 || 3,5 |- | Kleinbildformat || 43,3 || 50 || 44 || 8 || 15 || 5,6 |- | Mittelformat || 50 bis 70 || 60 bis 80 || 30 || 11 || 20 || 8,0 |} Wesentliche Unterschiede von Bildsensoren ergeben sich indirekt durch eine unterschiedliche Schärfentiefe <math>\Delta_d</math> bei gleichem Bildwinkel und gleicher Blendenzahl. Dabei gilt näherungsweise bei gleicher Anzahl der Bildpunkte (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildauflösung|Bildauflösung]]): :<math>\Delta_d \propto \frac {1} {d}</math> Es ergibt sich bei der Verdopplung der Bilddiagonale <math>d</math> also in etwa eine Halbierung der Schärfetiefe. Bei großen Bildsensorformaten ist die Schärfentiefe bei offener Blende möglicherweise so stark eingeschränkt, dass abgeblendet werden muss. Ferner kann es bei der Verwendung von zusätzlichen Einstellhilfen für die Bildschärfe wie zum Beispiel Einstellscheiben oder Autofokussystemen bei kleinen Bildsensoren leicht zu Fokussierungsfehlern kommen, so dass das Bild auf dem Sensor nicht hinreichend scharf aufgenommen werden kann. ==Abbildungsmaßstab== [[Datei:Abbildungsgleichung.png|hochkant=2.5|miniatur|Parameter der Abbildungsgleichung bei einem konvergenten Strahlengang]] [[Datei:Lens and wavefronts rotated.gif|mini|Die Ausbreitungsrichtung der von einem Objektpunkt in unendlicher Objektentfernung ausgehenden, ebenen Wellenfronten steht überall senkrecht auf diesen Wellenfronten. Dies ist auch nach dem Passieren eines optischen Systems der Fall, so dass sich die Wellenfronten bei einer optischen Abbildung im Bild zu einem Punkt vereinigen.]] [[Datei:Virtuelle.Abbildung.png|thumb|hochkant=2|miniatur|Geometrische Verhältnisse bei einer '''virtuellen Abbildung''':<br/> Das virtuelle Bild eines zwischen der objektseitigen Brennebene und der Hauptebene befindlichen Objekts kann von rechts der Hauptebene aus betrachtet werden und entsteht von dort aus gesehen hinter dem Objekt vergrößert im Objektraum. Anders als ein reelles Bild kann es in der Bildebene '''nicht''' mit einem Schirm aufgefangen werden. Der objektseitige Brennpunkt (nicht dargestellt) befindet sich bei einer virtuellen Abbildung immer vor der Objektebene auf der optischen Achse.]] Bei photographischen Aufnahmen mit gegebener Brennweite <math>f</math> gilt die '''Abbildungsgleichung''' (umgangssprachlich auch "Linsenformel"), die den Zusammenhang zwischen Objektweite <math>a</math> und Bildweite <math>a'</math> herstellt: :<math>\frac {1} {f} = \frac {1} {a} + \frac {1} {a'}</math> oder anders ausgedrückt: :<math>f = \frac {a \cdot a'} {a + a'}</math> Aus diesen Längen lässt sich der '''Abbildungsmaßstab''' <math>\beta</math> berechnen. Dieser kann bei sowohl aus dem Verhältnis von Bildweite <math>a'</math> zu Objektweite <math>a</math> (auch Gegenstandsweite genannt), als auch aus dem Verhältnis von Bildgröße <math>y'</math> zu Objektgröße <math>y</math> (auch Gegenstandsgröße genannt) berechnet werden: :<math>\beta = \frac {a'} {a}= \frac {y'} {y} = \frac {a'} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a} {f} - 1}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {1} {\beta} = \frac {a} {a'}= \frac {y} {y'} = \frac {a} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a'} {f} - 1}</math> Hieraus ergibt sich unmittelbar, dass der Abbildungsmaßstab genau dann den Betrag Eins annimmt, wenn sowohl Objektweite als auch Bildweite doppelt so groß sind wie die Brennweite: :<math>a = 2 \cdot f \rightarrow a' = 2 \cdot f' \rightarrow | \beta | = 1</math> Bei reellen Abbildungen aus dem Unendlichen, also mit unendlicher Objektweite (<math>a = \infty</math>), ist der Abbildungsmaßstab in der Brennebene Null (<math>a' = f'</math>). Die Größe des abgebildeten Punkts hat in der Brennweite <math>f'</math> dann allerdings nicht den geometrisch sich ergebenen Durchmesser Null, sondern wird durch den Durchmesser des Beugungsscheibchens begrenzt (siehe hierzu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]). Wegen der Umkehrbarkeit der Lichtwege in einem optischen System ergeben sich die entsprechenden Verhältnisse auch bei der Abbildung eines Objektpunkts in der Brennebene bei der Objektweite <math>a = f</math> nach Unendlich (<math>a' = \infty</math>). Umgeformt nach der Bildweite <math>a'</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a'} = \frac {y'} {y} \cdot a = \beta \cdot a = \frac {1} {\frac {1}{f} - \frac {1} {a}} = ({\beta} + 1) \cdot f</math> Und umgeformt nach der Objektweite <math>a</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a} = \frac {y} {y'} \cdot a' = \frac {a'}{\beta} = \frac {1} {\frac {1} {f} - \frac {1} {a'}} = \left( \frac {1} {\beta} + 1 \right) \cdot f</math> Desgleichen können die Objektröße <math>y</math> und die Bildgröße <math>y'</math> ausgerechnet werden: :<math>{y} = \frac {y'} {\beta} = \frac {y'} {\frac {a'} {f} - 1} = \left( \frac {a} {f} - 1 \right) \cdot y'</math> :<math>{y'} = \beta \cdot y = \left( \frac {a'} {f} - 1 \right) \cdot y = \frac {y} {\frac {a} {f} - 1}</math> Bei der gleichzeitigen Aufnahme von Objekten mit verschiedener Objektweite (innerhalb des hinreichend scharf abgebildeten Schärfentiefebereiches) ergeben sich also zwangsläufig unterschiedliche Abbildungsmaßstäbe. Dieser Effekt kann bei Aufnahmen, bei denen es auf Maßhaltigkeit ankommt (zum Beispiel bei einer Industrieanlagenüberwachung, in der Photogrammetrie oder bei der Portraitphotographie), dadurch reduziert werden, dass eine größere Brennweite und entsprechend größere Objektweiten gewählt werden. Alternativ ist der Einsatz von beidseitig telezentrischen Objektiven möglich, bei denen der Abbildungsmaßstab weder von der Objektweite noch von der Bildweite abhängt (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telezentrie|Telezentrie]]). Für zwei Gegenstände mit einem Abstand von zehn Einheiten ergeben sich bei drei verschiedenen Brennweiten beispielsweise die folgenden Abbildungsmaßstäbe: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Brennweite<br/><math>f</math> !Objektweite<br/><math>a</math> !Abbildungsmaßstab<br/><math>\beta</math> !Abweichung der<br/>Abbildungsmaßstäbe |- | rowspan="2" | 10 | 100 | 0,1111 | rowspan="2" | 11,1% |- | 110 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 100 | 1090 | 0,1010 | rowspan="2" | 1,0% |- | 1100 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 1000 | 10990 | 0,1001 | rowspan="2" | 0,1% |- | 11000 | 0,1000 |} <div style="clear:both"></div> ===Abbildung über zwei Hauptebenen=== [[Datei:Optische Abbildung.mit.zwei.Hauptebenen.png|mini|rechts|hochkant=2|Optische Abbildung eines Objekts in der Gegenstandsebene G in der Objektweite a mit der Objektgröße y über zwei Hauptebenen H und H' mit dem Abstand x in die Bildebene B in der Bildweite a' mit der Bildgröße y'. Der objektseitige Brennpunkt F befindet sich in der Brennweite f vor der Hauptebene H, und der bildseitige Brennpunkt befindet sich in der Brennweite f' hinter der Hauptebene H'. Die Gesamtlänge s des Strahlengangs ist durch den Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B bestimmt.]] Optische Systeme, die für die Erzeugung von reellen Bildern von Objekten eingesetzt werden, bestehen in der Regel aus Objektiven mit mehreren Linsen. Jede Linse hat zwei Hauptebenen, an denen die Lichtstrahlen abgelenkt werden können. Von außen sind jedoch nur die objektseitige Hauptebene H und die bildseitige Hauptebene H' des gesamten optischen Systems relevant. Zwischen den Hauptebenen verlaufen alle abgelenkten Strahlen parallel zur optischen Achse. Deswegen reicht es häufig, ein optisches System nur durch diese beiden im Abstand <math>x</math> voneinander befindlichen Hauptebenen H und H' zu beschreiben und zu untersuchen. Der Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B ist dann die Summe <math>s</math> von Objektweite <math>a</math>, Abstand der Hauptebenen <math>x</math> und der Bildweite <math>a'</math>: :<math>s = a + x + a'</math> Aus den geometrischen Verhältnissen ergibt sich mit den oben genannten Größen für die Brennweite <math>f</math> und für den Abbildungsmaßstab <math>\beta</math>: :<math>s = x + f \cdot \left( \beta + \frac {1} {\beta} + 2 \right) \ge x + 4 \cdot f</math> <div style="clear:both"></div> ===Relativer Abbildungsmaßstab=== Um ein von der Brennweite und der Bildgröße unabhängiges Maß zu gewinnen, kann das Verhältnis des tatsächlichen Abbildungsmaßstabes <math>\beta</math> zum entsprechenden Abbildungsmaßstab bei der Normalbrennweite <math>\beta_\text{norm}</math> gebildet werden, der sogenannte '''relative Abbildungsmaßstab''' <math>\beta_\text{rel}</math>: :<math>\beta_\text{rel} = \frac {\beta}{\beta_\text{norm}}</math> Bei der Normalbrennweite ist der relative Abbildungsmaßstab eins, bei weitwinkligen Aufnahmen ist er kleiner als eins und bei teleskopischen Aufnahmen ist er größer als eins. <div style="clear:both"></div> ==Zoomfaktor== [[Datei:Standardzoom.png|mini|rechts|hochkant=2|Standardzoom mit Bildwinkeln zwischen leicht weitwinkliger und leicht teleskopischer Wirkung. Bei mittlerer Brennweite sind in etwa die Normalbrennweite und der Normalwinkel eingestellt.]] Der '''Zoomfaktor''' <math>z</math> von Objektiven, die in der Brennweite variabel sind, wird traditionell als Verhältnis der Extrembrennweiten angegeben: :<math>z = \frac {f_\text{tele}} {f_\text{weit}}</math> Dieser Wert ist bei '''unendlicher Objektweite''' identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise relativen Abbildungsmaßstäbe: :<math>z = \frac {\beta_\text{weit}} {\beta_\text{tele}} = \frac {\beta_\text{rel, weit}} {\beta_\text{rel, tele}}</math> Dies ist zwar ein einfacher Ansatz, da die Brennweiten als Kenndaten des Zoomobjektivs in der Regel angegeben werden, dieser lässt jedoch unbeachtet, dass die perspektivische Wirkung einer optischen Abbildung nicht von der Brennweite, sondern vom Bildwinkel bestimmt wird und bei Vergrößerungen der Abbildungsmaßstab einen viel entscheidenderen Einfluss hat. Bei einer Verdopplung der Brennweite ist es bei hinreichend geringer Objektweite ohne weiteres möglich, einen zehn Mal größeren Abbildungsmaßstab respektive einen zehn Mal kleineren Bildwinkel zu erreichen. Der Zoomfaktor ist also nur eine Kenngröße, die die Verhältnisse der Abbildungsmaßstäbe bei unendlicher Objektweite angeben. Für Objektweiten in der Größenordnung der Brennweite <math>f</math> ist das Verhältnis der Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise der Bildwinkel erheblich aussagekräftiger als der Zoomfaktor. Die folgende Tabelle gibt für eine Objektweite von <math>g = 1000</math> Längeneinheiten die Verhältnisse der Brennweiten, Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel bei verschiedenen Brennweiten bezogen auf die Bezugsbrennweite <math>f_{0} = 10</math> (dies entspricht einem Abbildungsmaßstab von <math>\beta_{0} = \frac {1} {99}</math>, einer Bildweite von <math>b_{0} = 10{,}101</math>, einer Bilddiagonale von <math>d = 8{,}7</math>, wenn <math>f_{0}</math> die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> des Systems ist, und einem Bildwinkel von <math>\alpha_{0} = \alpha_{\text{norm},\,\infty} = 46{,}8^\circ</math>) an: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" |+ Abbildungsverhältnisse bei konstanter Objektweite g = 1000 !<br/>Brennweite<br/><math>f</math> !<br/>Bildweite<br/><math>b</math> !Abbildungs-<br/>maßstab<br /><math>\beta</math> !<br/>Bildwinkel<br/><math>\alpha</math> in ° !Verhältnis der<br/>Brennweiten<br /><math>f / f_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Abbildungsmaßstäbe<br /><math>\beta / \beta_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Bildwinkel<br /><math>\alpha_{0} / \alpha</math> |- | 0,999 || 1,000 || 1/1000 || 154 || 0,100 || 0,099 || 0,303 |- | 1,996 || 2,000 || 1/500 || 131 || 0,200 || 0,198 || 0,358 |- | 4,975 || 5,000 || 1/200 || 82,3 || 0,498 || 0,495 || 0,568 |- | 9,901 || 10,00 || 1/100 || 47,2 || 0,990 || 0,990 || 0,991 |- | '''10,00''' <math>= f_{0}</math> || 10,10 || 1/99 <math>= \beta_{0}</math> || 46,8 <math>= \alpha_{0}</math> || '''1,00''' || '''1,00''' || '''1,00''' |- | 19,61 || 20,00 || 1/50 || 24,7 || 1,96 || 1,98 || 1,90 |- | 38,46 || 40,00 || 1/25 || 12,5 || 3,85 || 3,96 || 3,75 |- | 100 || 111,1 || 1/9 || 4,51 || 10 || 11 || 10,4 |- | 200 || 250,0 || 1/4 || 2,00 || 20 || 24,75 || 23,4 |- | 250 || 333,3 || 1/3 || 1,50 || 25 || 33 || 31,1 |- | 333 || 500,0 || 1/2 || 1,00 || 33,3 || 49,5 || 46,7 |- | 400 || 666,7 || 2/3 || 0,751 || 40 || 66 || 62,3 |- | 500 || '''1000''' <math>= g</math> || '''1''' || 0,501 || 50 || 99 || 93,4 |- | 667 || 2000 || 2 || 0,250 || 66,7 || 198 || 187 |- | 750 || 3000 || 3 || 0,167 || 75 || 297 || 280 |- | 833 || 5000 || 5 || 0,100 || 83,3 || 495 || 467 |- | '''1000''' <math>= g</math> || ∞ || ∞ || 0,000 || 100 || ∞ || ∞ |} Hier ist zu erkennen, dass bei zunehmenden Bildweiten die Verhältnisse der Brennweiten von denen der Abbildungsmaßstäbe und denen der Bildwinkel deutlich auseinanderlaufen; die Unterschiede der Abbildungsmaßstäbe und der Bildwinkel werden im Vergleich zu den Unterschieden der Brennweiten immer größer und gehen gegen Unendlich. Anders bei kurzen Bildweiten: hier stimmen die Verhältnisse der Brennweiten gut mit denen der Abbildungsmaßstäbe überein, jedoch ist die Zunahme der Bildwinkel hierbei begrenzt, weil der maximale Bildwinkel auf 180° begrenzt ist. Das minimale Verhältnis der Bildwinkel ergibt sich folglich zu: :<math>\frac {\alpha_{0}} {\alpha_\text{max}} = \frac {46{,}8^\circ} {180^\circ} = 0{,}260</math> Ferner ist unbedingt zu beachten, dass sich insbesondere bei kompakten Objektiven mit innenliegender Fokussierung der Abbildungsmaßstab bei der Scharfstellung ändern kann, auch ohne dass die Brennweite gegebenenfalls variiert wird. <div style="clear:both"></div> ==Öffnung== [[Datei:Blendenlagen.png|mini|hochkant=2|Lage von Eintrittsluke, Aperturblende und Austrittsluke bei einer optischen Abbildung einer Objektebene (G) über eine Hauptebene (H) auf eine Bildebene (B)]] [[Datei:Einfallshoehe.png|mini|hochkant=2|Zur Definition der Einfallshöhe <math>H</math> eines Lichtstrahls, der parallel zur optischen Achse auf eine optische Fläche trifft. Ein Strahl mit der Einfallshöhe Null befindet sich auf der optischen Achse. Der maximale Wert der Einfallshöhe ist durch die Apertur begrenzt. Die Öffnungsweite <math>D</math> ist bei rotationssymmetrischen optischen Komponenten exakt doppelt so groß wie die maximale Einfallshöhe.]] Die '''Öffnung''' (oder auch '''Apertur''') eines rotationssymmetrisch konstruierten Objektivs wird durch den freien Durchmesser beschrieben, der nicht durch mechanische Vorrichtungen wie beispielsweise Kanten, Linsenfassungen oder Blenden begrenzt ist und welcher auch als '''Öffnungsweite''' <math>D</math> bezeichnet wird. Die virtuelle Öffnung von Objektiven kann durch das objektseitige und das bildseitige virtuelle Bild der '''Aperturblende''' beschrieben werden, die auch wirksame '''Eintrittspupille''' beziehungsweise wirksame '''Austrittspupille''' genannt wird. Liegt die Aperturblende vor der ersten Hauptebene der Abbildung (objektseitig) ist die wirksame Eintrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Liegt die Aperturblende hinter der letzten Hauptebene der Abbildung (bildseitig) ist die wirksame Austrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Idealerweise werden Aperturblenden in die Hauptebenen des Strahlengangs gelegt, damit sie den Bildausschnitt respektive den Bildwinkel der optischen Abbildung nicht beeinflussen. Mit einer solchen Aperturblende kann der Lichtstrom durch ein optisches System begrenzt werden. Mit variablen Aperturblenden (beispielsweise Irisblenden) kann der Lichtstrom in einem optischen System verändert werden. Befindet sich eine Blende in der Nähe der Objektebene oder der Bildebene, handelt es sich nicht um eine Aperturblende, sondern um eine '''Feldblende''', die den Bildausschnitt beziehungsweise den erfassten Bildwinkel unmittelbar auf die sogenannte '''Eintrittsluke''' (objektseitig) beziehungsweise '''Austrittsluke''' (bildseitig) begrenzt. Befinden sich solche Feldblenden nicht in der Nähe der Objekt- oder Bildebene, werden die entsprechenden Bilder dieser Feldblenden in der jeweiligen Ebene zur Bestimmung der effektiven Lukendurchmesser herangezogen. <div style="clear:both"></div> ===Blendenzahl=== Die dimensionslose '''Blendenzahl''' <math>k</math> eines Objektivs mit der Brennweite <math>f</math> und der Öffnungsweite <math>D</math> ist wie folgt definiert: :<math>k = \frac {f} {D}</math> Der Kehrwert der Blendenzahl wird als das '''Öffnungsverhältnis''' <math>V</math> bezeichnet: :<math>V = \frac {D} {f} = \frac {1} {k}</math> <gallery caption="Objektiv mit Irisblende zur Einstellung der Apertur (Brennweite 42,5 Millimeter)" perrow="2" widths="256" heights="256"> Datei:Objektiv.Blendenzahl.1.2.jpg|Maximale Apertur (Blendenzahl 1,2) Datei:Objektiv.Blendenzahl.16.jpg|Minimale Apertur (Blendenzahl 16) </gallery> Die Änderung der Blendenzahl um eine '''Blendenstufe''' kann sowohl durch Auf- als auch durch Abblenden erreicht werden, wobei sich die Blendenzahl um den Faktor Wurzel von zwei und der Lichtstrom im Objektiv um den Faktor zwei ändert. Je kleiner die Blendenzahl, desto mehr Licht trägt zur Abbildung bei und umgekehrt. Nach der Halbierung der Blendenzahl kommt vier Mal so viel Licht durch das Objektiv, bei der Verdopplung der Blendenzahl nur ein Viertel des Lichtes. Zwei Blendenzahlen <math>k_2</math> und <math>k_1</math> unterscheiden sich um die folgende Anzahl von Blendenstufen <math>\Delta n_k</math>: :<math>\Delta n_k = \log_{\sqrt{2}} {\frac {k_2} {k_1}} = \frac {\log {\frac {k_2} {k_1}}} {\log {\sqrt {2}}} = \frac {\log {k_2} - \log {k_1}} {\log {\sqrt {2}}}</math> Blendenzahlen werden häufig mit den folgenden elf Vorzugswerten angegeben, die sich jeweils um zirka eine Blendenstufe unterscheiden und demzufolge insgesamt zehn Blendenstufen umfassen: :1,0 - 1,4 - 2,0 - 2,8 - 4,0 - 5,6 - 8,0 - 11 - 16 - 22 - 32 [[Datei:Image.Size.png|miniatur|hochkant=2|rechts|Zum Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> bei konstanter Öffnungsweite <math>D</math>]] Hierbei ist zu beachten, dass die Blendenzahl <math>k</math> ohne die Angabe der gewählten Bildgröße <math>B</math> wenig Aussagekraft hat. Bei konstantem Bildwinkel <math>\alpha</math> und konstanter Öffnungsweite <math>D</math> ist nicht nur die zur optischen Abbildung beitragende Lichtmenge, sondern ist auch das Verhältnis zwischen Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> konstant, obwohl die Abbildungen mit unterschiedlichem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> beziehungsweise unterschiedlicher Brennweite <math>f</math> und somit auch mit unterschiedlicher Blendenzahl <math>k</math> gemacht werden. Für die Gegebenheiten in der Abbildung rechts gilt: :<math>\alpha = \text{const.}</math> :<math>D = \text{const.}</math> :<math>\frac {b_{1}} {B_{1}} = \frac {b_{2}} {B_{2}} = \text{const.}</math> Aber: :<math>k_{1} > k_{2}</math> :<math>\beta_{1} < \beta_{2}</math> :<math>f_{1} < f_{2}</math> <div style="clear:both"></div> ===Öffnungswinkel=== [[Datei:gegenstandsseitiger.und.bildseitiger.Oeffnungswinkel.png|mini|hochkant=2|Objektseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_g</math> und bildseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_b</math> in Abhängigkeit von Objektweite <math>g</math> beziehungsweise Bildweite <math>b</math> zur Öffnungsweite <math>D</math>]] Der '''Öffnungswinkel''' ist der Winkel unter dem die wirksame Öffnung mit der Öffnungsweite <math>D</math> eines Objektivs erscheint. Von einem Objektpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''objektseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_g</math>: :<math>\omega_g = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 g}</math> Der halbe objektseitige Öffnungswinkel wird auch '''Aperturwinkel''' genannt. Von einem Bildpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''bildseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_b</math>: :<math>\omega_b = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 b}</math> Der halbe bildseitige Öffnungswinkel wird auch '''Feldwinkel''' genannt. Die Öffnungswinkel dürfen nicht mit dem Bildwinkel verwechselt werden (siehe dazu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Bildwinkel|Bildwinkel]]). Bei unendlicher Objektweite ist die Bildweite <math>b</math> identisch mit der Brennweite <math>f</math>, so dass die Blendenzahl <math>k</math> folgendermaßen ausgedrückt werden kann: :<math>g \rarr \infty : k = \frac {f} {D} = \frac {b} {D} = \frac {1} {2 \tan {\frac {\omega_b} {2}}}</math> <div style="clear:both"></div> ===Sinusbedingungen=== [[Datei:Sinusbedingung.Interferenz.Hauptebene.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Interferenz der beiden Randstrahlen bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung eines Punktes P über eine Hauptebene H in die Bildebene B. Die Randstrahlen werden mit ebenen Wellen dargestellt, deren Maxima durch die Punkte und deren Minima durch die dünnen Linien senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gekennzeichnet sind. Auf der optischen Achse treffen im Bildpunkt zwei Maxima der beiden Randstrahlen aufeinander. Die Intensität in der Bildebene B nimmt seitlich zur optischen Achse bis zu den Stellen ab, wo zwei Minima der Randstrahlen aufeinandertreffen.]] [[Datei:Sinusbedingung.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Sinusbedingung bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung.]] Die beiden Öffnungswinkel stehen für Abbildungen, bei denen Öffnungsfehler (siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sphärische_Aberration|sphärische Aberration]]) keine Rolle spielen, über '''Sinusbedingungen''' in Beziehung. Im Folgenden wird etwas vereinfachend davon ausgegangen, dass die optische Abbildung eines Gegenstands mit der Objektgröße <math>G</math> in ein reelles Bild mit der Bildgröße <math>B</math> außerhalb des optischen Systems, das durch die Hauptebene <math>\text{H}</math> repräsentiert wird, vom gleichen optischen Medium (zum Beispiel Vakuum, Luft oder Flüssigkeit) mit konstanter Brechkraft umgeben ist. Ein kleiner flächenhafter Gegenstand mit der Objektgröße <math>G</math>, der senkrecht zur optischen Achse steht, kann nur dann hinreichend scharf mit der Bildgröße <math>B</math> senkrecht zur optischen Achse abgebildet werden, wenn alle Punkte des Gegenstands beim halben objektseitigen Öffnungswinkel innerhalb einer Wellenlänge <math>\lambda</math> einer ebenen Welle erfasst und alle Bildpunkte beim halben bildseitigen Öffnungswinkel ebenfalls innerhalb einer Wellenlänge einer ebenen Welle zu einem Bild zusammengesetzt werden können. Durch diese Voraussetzung kann vermieden werden, dass es im Bild Interferenzen gibt, die Kontraste erzeugen, die nicht dem Aussehen des abgebildeten Gegenstands entsprechen. Die daraus resultierende '''Abbesche Sinusbedingung''' gilt für eine in Bezug auf den Öffnungsfehler korrigierte Abbildung mit dem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> sowie für eine bestimmte Wellenlänge <math>\lambda</math> ('''monochromatisches Licht'''). Sie lautet wie folgt: :<math>\beta = \frac {B} {G} = \frac {b} {g} = \frac {\sin \frac {\omega_g} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> Diese Sinusbedingung kann auch in der Form der '''Helmholtz-Lagrange-Invariante''' geschrieben werden: :<math>B \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} = G \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} = \lambda</math> Mit dem halben bildseitigen Öffnungswinkel <math>\alpha_b = \frac {\omega_b} {2}</math> folgt aus dieser Beziehung die häufig angegebene Formulierung des maximalen Auflösungsvermögens respektive der kleinsten abzubildenden Struktur <math>B_{min}</math> nach Ernst Abbe: :<math>B_{min} = \frac {\lambda} {\sin \alpha_b}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Paraxiale Strahlengänge ==== Für paraxiale Strahlengänge können sehr kleine Öffnungswinkel angenommen werden, so dass dann die Sinūs durch die Argumente (im Bogenmaß) ersetzt werden können: :<math>\frac {B} {G} = \frac {\omega_g} {\omega_b}</math> Daraus folgt: :<math>B \cdot \omega_b = G \cdot \omega_g</math> Die '''paraxiale Optik''', die auch '''gaußsche Optik''' genannt wird, verwendet in der geometrischen Optik diese Näherung, bei der für eine optische Abbildung nur '''paraxiale Strahlen''' berücksichtigt werden. Diese haben lediglich kleine Winkel zur optischen Achse und befinden sich deswegen in der Regel in der Nähe der optischen Achse. <div style="clear:both"></div> ==== Schnittweite ==== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.png|mini|rechts|hochkant=2||Zur Schnittweite an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n < n'</math>.]] Die auf der optischen Achse gemessenen '''Schnittweiten''' <math>s</math> und <math>s'</math> beim Übergang an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n</math> und <math>n'</math> kann für paraxiale Strahlen leicht abgeschätzt werden. Hierbei gelten für den Grenzwert der Pfeilhöhe <math>p \rarr 0</math> (siehe nebenstehende Abbildung) die folgenden Näherungsgleichungen: :<math>\sin \alpha \approx \alpha</math> :<math>\sin \beta \approx \beta</math> :<math>\tan \gamma \approx \gamma \approx \frac {h} {s}</math> :<math>\tan (\alpha - \beta - \gamma) \approx \alpha - \beta - \gamma \approx \frac {h} {s'}</math> :<math>\tan (\alpha - \gamma) \approx \alpha - \gamma \approx \frac {h} {r}</math> Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt für achsnahe Strahlen die Näherung: :<math>n \, \alpha \approx n' \, \beta</math> Sowie: :<math>n' (\alpha - \beta - \gamma) = n' \, \alpha - n' \, \beta - n' \, \gamma \approx n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma</math> :<math>n \, \gamma + n' (\alpha - \beta - \gamma) \approx n \, \gamma + n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma = (n - n') \, (\gamma - \alpha) = (n' - n) \, (\alpha - \gamma)</math> :<math>n \, \frac {h} {s} + n' \, \frac {h} {s'} \approx (n' - n) \, \frac {h} {r}</math> Durch Kürzen der Höhe <math>h</math> ergibt sich schließlich eine Näherungsgleichung, die die '''Schnittweitengleichung''' einer sphärischen Fläche für paraxiale Strahlen darstellt: :<math>\frac {n} {s} + \frac {n'} {s'} \approx \frac {n' - n} {r}</math> Sie kann auch in Form der '''Abbeschen Invariante''' geschrieben werden: :<math>n \, \left( \frac {1} {r} + \frac {1} {s} \right) = n' \, \left( \frac {1} {r} - \frac {1} {s'} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt: :<math>s = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n'} {n' - n} \, r</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt: :<math>s' = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> <div style="clear:both"></div> ===== Dünne Linsen ===== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.bikonvex.png|mini|rechts|hochkant=2||Zu den Schnittweiten bei einer dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinse mit den Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> sowie dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem optisch dünneren Medium mit dem Brechungsindex <math>n < n'</math>.]] Bei einer '''dünnen Linse''' ist die Dicke zwischen den Scheitelpunkten ihrer brechenden sphärischen Oberflächen auf der optischen Achse im Vergleich zu den beiden Radien dieser Oberflächen sehr klein. Für eine '''dünne bikonvexe sphärische Sammellinse''' mit den beiden Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> und dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem die Linse umgebenden Medium mit dem Brechungsindex <math>n</math> ergibt sich die folgende entsprechende Beziehung für die Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx (n' - n) \, \left( \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt damit für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt entsprechend für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' wie Luft (<math>n \gtrapprox 1</math>) oder im Vakuum (<math>n = 1</math>), vereinfacht sich diese Näherungsformel für die Schnittweiten weiter zu: :<math>s' = s \approx \frac {1} {n' - 1} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Bei '''dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinsen''' kann das harmonische Mittel <math>\bar{r}_\text{harm}</math> der beiden Radien verwendet werden: :<math>\bar{r}_\text{harm} = \frac {2} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = 2 \cdot \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Daraus folgt für den für beide Linsenoberflächen gleichen Radius <math>r</math>, dass dieser halb so groß ist wie der harmonische Mittelwert: :<math>r = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2} = \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Beziehungsweise: :<math>\frac {1} {r} = \frac {2} {\bar{r}_\text{harm}} = \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}</math> Für dünne bikonvexe Linsen mit zwei gleichen Oberflächenradien <math>r</math>, dem Durchmesser <math>D</math> und der Dicke <math>x</math> gilt: :<math>r = r_1 = r_2 = \frac {x^2 + D^2} {4 \, x}</math> :<math>s' = s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {r} {2} = \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {x^2 + D^2} {8 \, x}</math> Dünne '''plankonvexe''' sphärische Sammellinsen mit dem Radius <math>r = 2 \, r_1 = 2 \, r_2</math> verhalten sich demnach genauso wie dünne bikonvexe Linsen mit den beiden identischen Radien <math>r_1 = r_2 = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2}</math>. Wenn einer der beiden Radien <math>r_1</math> oder <math>r_2</math> unendlich groß wird, also eine Ebene beschreibt, nimmt der zu berücksichtigende Radius <math>r</math> den Wert des anderen Radius an: :<math>r = \lim_{r_1 \to \infty} r (r_2) = r_2</math> :<math>r = \lim_{r_2 \to \infty} r (r_1) = r_1</math> Mit dem Brechungsindex <math>n'</math> ergibt sich für die entsprechenden Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx \frac {n' - n} {r}</math> Die Schnittweiten entsprechen bei '''paraxialen Strahlen''' dann den Brennweiten <math>f'</math> (bildseitig bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit <math>s \rarr \infty</math>) beziehungsweise <math>f</math> (objektseitig bei der Abbildung ins Unendliche mit <math>s' \rarr \infty</math>): :<math>s \rarr \infty : f' \approx s' \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> :<math>s' \rarr \infty : f \approx s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' mit <math>n \gtrapprox 1</math>, vereinfachen sich diese Näherungsformeln weiter zu: :<math>f = f' \approx \frac {r} {n' - 1}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Große Objektweiten ==== Bei großer Objektweite <math>g</math> ist die Bildweite <math>b</math> annähernd gleich der Brennweite <math>f</math>, und der Sinus des halben objektseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_g} {2}</math> kann in guter Näherung durch das Verhältnis der Hälfte der Öffnungsweite <math>\frac {D} {2}</math> und Objektweite <math>g</math> ausgedrückt werden: :<math>\sin \frac {\omega_g} {2} = \frac {b} {g} \sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {\frac {D} {2}} {g} \approx \frac {f} {g} \sin \frac {\omega_b} {2}</math> Daraus folgt mit Verwendung des halben bildseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_b} {2}</math> und der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>f \approx \frac {\frac {D} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {1} {2k}</math> Aus der Beziehung :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \le 1</math> folgt: :<math>f \ge \frac {D} {2}</math> Diese Ungleichung kann auch wieder unter Verwendung der Blendenzahl <math>k</math> ausgedrückt werden: :<math>k \ge \frac {1} {2}</math> In Worten ausgedrückt: Die Blendenzahl kann bei der öffnungsfehlerfreien Abbildung von Flächen aus dem Unendlichen minimal den Wert 0,5 annehmen. Die Strecke <math>x</math> vom Schnittpunkt der Randstrahlen mit der Hauptebene zum Bildpunkt auf der optischen Achse beträgt bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>g = \infty</math> :<math>b = f</math> :<math>x = \sqrt {f^2 + \frac {D^2} {4}} = \sqrt {f^2 + \frac {f^2} {(2k)^2}} = f \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}}</math> Mit den geometrischen Ähnlichkeiten der Dreiecke bei der Sinusbedingung ergibt sich das folgende Verhältnis aus Bildgröße <math>B</math> und betrachteter Wellenlänge <math>\lambda</math>: :<math>\frac {B} {\lambda} = \frac {x} {\frac {D} {2}}</math> :<math>B = \frac {2 \cdot \lambda \cdot x} {D} = \frac {\lambda \cdot x \cdot 2 k} {f} = \lambda \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}} \cdot 2 k = \lambda \cdot \sqrt {4k^2 + 1}</math> Da die Blendenzahl k nicht kleiner als 0,5 werden kann, gilt als Abschätzung für die erreichbare, durch wellenoptische Beugungseffekte begrenzte Bildgröße demzufolge: :<math>B \ge \sqrt {2} \lambda</math> <div style="clear:both"></div> ====Zwei dünne Linsen==== Für zwei im Abstand <math>d</math> hintereinander angeordnete dünne Linsen mit den Brennweiten <math>f_1</math> und <math>f_2</math> kann die Gesamtbrennweite <math>f_g</math> folgendermaßen bestimmt werden: :<math>f_g = \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2} + \frac {d} {f_1 \cdot f_2}</math> Wenn der Abstand zwischen den Linsen sehr viel kleiner als die beiden Brennweiten ist (<math>d \ll f_1 , f_2 </math>), kann der letzte Term vernachlässigt werden: :<math>f_g \approx \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2}</math> Mit den Brechkräften (<math>D</math> in Dioptrien) ergibt sich dann entsprechend: :<math>D_g \approx D_1 + D_2</math> ====Numerische Apertur==== Die '''numerische Apertur''' <math>A_N</math> dient zur Einschätzung des Auflösungsvermögens von optischen Geräten, bei denen die Objektweite dicht bei der objektseitigen Brennweite beziehungsweise bei denen die Bildweite dicht bei der bildseitigen Brennweite liegt. Ein Anwendungsbeispiel sind '''Immersionsobjektive''' (insbesondere bei Mikroskopen), die bei der optischen Abbildung in eine hochbrechende Flüssigkeit (zum Beispiel Immersionsöl) eingetaucht werden. Die numerische Apertur bezieht sich auf den halben Öffnungswinkel <math>\frac {\omega} {2}</math> und die Brechzahl <math>n</math> des optischen Mediums außerhalb des Objektivs. Je höher die dimensionslose Zahl der numerischen Apertur sich dem Brechungsindex des umgebenden Mediums von unten nähert, desto lichtstärker ist das verwendete Objektiv und desto höher wird bei optisch korrigierten Objektiven das optische Auflösungsvermögen. [[Datei:Numerische.Apertur.png|mini|rechts|hochkant=2|Skizze zur numerischen Apertur.]] Für die objektseitige numerische Apertur ergibt sich: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} \le n</math> Für die bildseitige numerische Apertur ergibt sich entsprechend: :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} \le n</math> Die numerische Apertur kann also nicht größer werden als der Brechungsindex des umgebenden Mediums. Die Sinūs der halben Öffnungswinkel <math>\omega</math> können hierbei mit Hilfe der rechtwinkligen Dreiecke (siehe Skizze rechts) und des Satzes des Pythagoras sowohl objektseitig als auch bildseitig wie folgt aus dem Verhältnis der Gegenkatheten zu den Hypotenusen bestimmt werden: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin {\frac {\omega_g} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {g^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 g^2} {D^2} + 1}}</math> :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin {\frac {\omega_b} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {b^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 b^2} {D^2} + 1}}</math> <div style="clear:both"></div> =====Grenzfälle===== Bei einer Abbildung ins Unendliche (<math>b = \infty \Rightarrow g = f</math>) oder wird die Abbildung aus dem Unendlichen gemacht (<math>g = \infty \Rightarrow b = f</math>), kann jeweils die Blendenzahl <math>k = \frac {f} {D}</math> eingesetzt werden, und dann vereinfachen sich beide Gleichungen wie folgt: :<math>A_{N,g=f} = A_{N,b=f} = \frac {n} {\sqrt {4 {k^2} + 1}}</math> Aufgelöst nach der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>k = \frac {\sqrt {\frac {n^2} {A_{N}^2} - 1}} {2}</math> Für große Blendenzahlen (<math>k \gg 1</math>) respektive für kleine numerische Aperturen (<math>A_{N} \ll 1</math>) gilt dann näherungsweise: :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Für hinreichend große Objektweiten (<math>g \gg D</math>) beziehungsweise hinreichend große Bildweiten (<math>b \gg D</math>) gelten die folgende Näherungen: :<math>A_{N,g} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot g}</math> :<math>A_{N,b} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot b}</math> Ist zudem auch noch die Brennweite <math>f</math> hinreichend nah an der Objektweite (<math>f \approx g</math>) oder an der Bildweite (<math>f \approx b</math>), dann gilt <math>f \gg D \Rightarrow k \gg 1</math> und wiederum die Näherung (siehe auch oben): :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Bei einem Abbildungsmaßstab von eins (siehe unten) sind Objektweite <math>g</math> und Bildweite <math>b</math> identisch und genau doppelt so groß wie die verwendete Brennweite <math>f</math>. In diesem Fall sind auch die objektseitige und die bildseitige numerische Apertur sowie der objektseitige und der bildseitige Öffnungswinkel identisch: :<math>f = 2 \cdot g = 2 \cdot b</math> :<math>A_{N,g} = A_{N,b} = A_{N}</math> :<math>\omega_{g} = \omega_{g} = \omega</math> :<math>A_{N} = n \cdot \sin \frac {\omega} {2}</math> Bei Aufnahmen mit kurzen Objektweiten, wie mit Mikroskopen oder mit Makroobjektiven, muss berücksichtigt werden, dass es durch den großen Abbildungsmaßstab zu einer im Vergleich zur Abbildung aus dem Unendlichen verminderten Lichtausbeute kommt. Siehe hierzu auch: '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Lichtausbeute|Kapitel Bildaufnahme, Abschnitt Lichtausbeute]]'''. <div style="clear:both"></div> ==Modulationsübertragung== ===Modulation=== [[Datei:Modulation.ueber.Schwarzwert.png|miniatur|rechts|hochkant=2|Die Modulation in Abhängigkeit vom Schwarzwert. Der Schwarzwert ist einheitenlos in Anteilen des Weißwertes angegeben.]] Die '''Modulation''' (auch ''Michelson-Kontrast'' genannt) <math>M</math> ist ein Maß (lateinisch: ''modulatio'') für '''relative''' Helligkeitsschwankungen zwischen zwei Bildpunkten mit den vom Menschen als Helligkeiten empfundenen Leuchtdichten <math>L_1</math> und <math>L_2</math> (siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Leuchtdichte|Leuchtdichte]]), das unter den Voraussetzungen <math>L_2 \ge L_1</math> und <math>L_2 > 0</math> wie folgt berechnet werden kann: :<math>M = \frac {{L_2} - {L_1}} {{L_2} + {L_1}} = \frac {\Delta_L} {\Sigma_L}</math> Die Modulation gibt also keineswegs den Helligkeitsunterschied :<math>\Delta_L = L_2 - L_1</math> zwischen zwei Bildpunkten an, sondern setzt diesen in Bezug auf die Summe <math>\Sigma_L</math> dieser beiden Helligkeiten, die auch als der doppelte Mittelwert, also :<math>2 \cdot \overline L = L_2 + L_1</math>, der beiden Helligkeiten interpretiert werden kann: :<math>\Sigma_L = {2} \cdot {\overline L} = {2} \cdot {\frac {L_2 + L_1} {2}}</math> Dies bedeutet, dass die maximale Modulation den Wert '''eins''' hat, die genau dann erreicht wird, wenn <math>L_1 = 0</math> ist und der dunklere Punkt also keine Helligkeit (die Leuchtdichte null) hat. Die absolute Helligkeit des helleren Bildpunktes hat in diesem Fall keinen Einfluss auf die Modulation. Die Helligkeitsdifferenz <math>\Delta_L</math> zwischen diesen beiden Bildpunkten ist in Bezug auf die Helligkeit <math>L_2</math> des helleren Punktes dann maximal und exakt genauso groß wie diese. Wenn beide Bildpunkte die gleiche Helligkeit größer als null haben <math>L_1 = L_2 > 0</math>, so ergibt sich immer eine Modulation von '''null''' (wenn beide Punkte keine Helligkeit haben, ist die Modulation nicht definiert). Werden beide Helligkeiten um denselben Faktor <math>c</math> verändert, bleibt die Modulation erhalten: :<math>M = \frac {{c} \cdot {L_2} - {c} \cdot {L_1}} {{c} \cdot {L_2} + {c} \cdot {L_1}} = \frac {c \cdot (L_2 - L_1)} {c \cdot (L_2 + L_1)} = \frac {L_2 - L_1} {L_2 + L_1}</math> Da innerhalb eines Bildes üblicherweise mehr als zwei Bildpunkte vorhanden sind, ist es meist von Interesse, in welchem Verhältnis der hellste Bildpunkt <math>L_\text{max}</math> ('''Weißwert''') und der dunkelste Bildpunkt <math>L_\text{min}</math> ('''Schwarzwert''') zueinander stehen, was durch die maximale Modulation bestimmt werden kann: :<math>M_\text{max} = \frac {L_\text{max} - L_\text{min}} {L_\text{max} + L_\text{min}}</math> Es gilt zu beachten, dass bei einem Schwarzwert von einem Drittel des Weißwertes die Modulation nur noch 50&nbsp;Prozent und bei einem Schwarzwert von der Hälfte des Weißwertes nur noch 33&nbsp;Prozent beträgt. <div style="clear:both"></div> ====Farbwahrnehmung==== [[Datei:Emmetropia.png|mini|hochkant=2|Optischer Strahlengang bei einem auf Unendlich eingestellten Auge eines Normalsichtigen. Die parallelen Strahlen treten aus der Umwelt durch die '''Hornhaut '''(Cornea) ins Auge ein, passieren die lichte Öffnung der '''Pupille''' (Pupilla) der '''Regenbogenhaut''' (Iris), werden in der '''Augenlinse''' (Lens) gebrochen, durchqueren den großen inneren '''Glaskörper''' (Corpus vitreum) und vereinigen sich schließlich im Bildpunkt auf der '''Netzhaut''' (Retina).]] [[Datei:Cone-absorbance-de.svg|mini|hochkant=2|Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen und der Stäbchen in der menschlichen Netzhaut über der Lichtwellenlänge in Nanometern (nm). Die relative Empfindlichkeit der Stäbchen ist gestrichelt dargestellt und hat ihr Maximum bei zirka 500 Nanometern (<span style="color:#00ffd5">⬤</span>). Die maximale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen liegt bei den Farben <span style="color:#2F00DD">⬤</span> (420&nbsp;nm, violett), <span style="color:#00ff6c">⬤</span> (534&nbsp;nm, grün) und <span style="color:#cbff00">⬤</span> (564&nbsp;nm, gelbgrün).]] <big>'''Farbe ist eine subjektive Wahrnehmung, die nicht gemessen werden kann.'''</big> Messtechnisch kann für alle Wellenlängen eine Intensitätsmessung durchgeführt werden, so dass ein vollständiges Lichtspektrum ermittelt werden kann. Wie ein solches Lichtspektrum von einem Menschen farblich empfunden wird, kann daraus nicht eindeutig abgelesen werden. Bestenfalls ist es möglich, eine Intensitätsverteilung einer wahrscheinlichen, üblichen beziehungsweise durchschnittlichen Farbwahrnehmung zuzuordnen. Optische Sinnesreize werden im menschlichen Auge durch Photorezeptoren in der '''Netzhaut''' (Retina) zwischen der stark durchbluteten Aderhaut (Chorioidea) und dem Glaskörper (Corpus vitreum) ausgelöst und durch die Sehnerven ins Gehirn geleitet. Bei den Sinneszellen der Netzhaut ist zwischen den '''Stäbchen''' und den drei verschiedenen '''Zapfen'''arten zu unterscheiden. Während die Stäbchen sehr empfindlich sind und deswegen das Nachtsehen ermöglichen, sind die weniger empfindlichen drei Zapfenarten beim Tagsehen für die Wahrnehmung von Farben maßgeblich. Für farbige Bilder wird bei der Bildgebung in der Regel zwischen '''drei Primärfarben''' unterschieden. Im für einfache Bildschirme deutlich reduzierten standardisierten Farbraum '''sRGB''' ('''s'''tandard '''R'''ed '''G'''reen '''B'''lue) werden hierbei Farbwerte für die folgenden drei Primärfarben verwendet, deren Intensität jeweils die Werte 0 bis 255 annehmen können: {| class="wikitable" |+ Primärfarben im sRGB-Farbraum ! Primärfarbe !! Hexadezimale<br/>Kodierung<br/>der drei Farbanteile !! Darstellung !! Ungefähre Wellenlänge<br/>der maximalen spektralen Intensität<br/>im angezeigten Bild<br/>in Nanometer |- | Rot || FF0000 || <span style="color:#ff0000">⬤</span> || 610 |- | Grün || 00FF00 || <span style="color:#00ff00">⬤</span> || 555 |- | Blau || 0000FF || <span style="color:#0000ff">⬤</span> || 465 |} [[Datei:SRGB chromaticity CIE1931.svg|mini|hochkant=2|Farbdiagramm in dem nach dem '''Standard CIE 1931''' festgelegten Farbkoordinaten x und y mit Angabe der Lichtwellenlängen und den im Farbraum '''sRGB''' darstellbaren Farbwerten. Die reinen Spektralfarben befinden sich auf der gekrümmten Begrenzungslinie der äußeren Fläche, die Verbindungslinie zwischen der minimalen und der maximalen wahrnehmbaren Wellenlänge wird '''Purpurlinie''' genannt. Durch die additive Mischung mehrerer Spektralfarben ergeben sich beliebige Punkte innerhalb der Fläche. Bildgebende Geräte können meistens nur einen kleinen Teil des Farbraums darstellen, der im Fall von sRGB durch das innere Dreieck begrenzt ist. Der farbneutrale '''Weißpunkt''' ist als "'''D65'''" für einen Hohlraum mit der Temperatur '''65'''00&nbsp;Kelvin angegeben. Die Tangente an der Begrenzungslinie für die langen Wellenlängen schneidet die Koordinatenachsen links oben beim Punkt (0, 1) und rechts unten beim Punkt (1, 0).]] Durch die voneinander unabhängige Einstellung der Farbwerte für diese drei Primärfarben können insgesamt <math>256^3 = 16\,777\,216</math> verschiedene gemischte Farbwerte reproduziert werden. Wenn alle drei Primärfarben auf 0 gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Schwarz''', und wenn alle drei Primärfarben auf den maximalen Wert gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Weiß'''. In Farbdiagrammen wird die entsprechende Stelle als Weißpunkt angegeben, der auf die Farbtemperatur eines festgelegten Hohlraumstrahlers (auch Schwarzer Körper oder Planckscher Strahler genannt) abgestimmt ist. Die Modulation kann in farbigen Bildern für jede einzelne Primärfarbe unabhängig bestimmt werden. Bei den drei Primärfarben Rot, Grün und Blau (R, G, B) eines Bildpunktes ergeben sich dann also entsprechend: :<math>M_R = \frac {R_2 - R_1} {R_2 + R_1}</math> :<math>M_G = \frac {G_2 - G_1} {G_2 + G_1}</math> :<math>M_B = \frac {B_2 - B_1} {B_2 + B_1}</math> Die Verteilung der Photorezeptoren in der Netzhaut ist nicht homogen. Im ungefähr nur anderthalb Millimeter großen Sehzentrum (Fovea) ist die Dichte der Sehzellen besonders hoch, und deswegen ist hier das Sehvermögen in Bezug auf die Wahrnehmung von Kontrasten und Farben am größten. Beim peripheren Sehen sind sowohl die Wahrnehmung von Kontrasten als auch die Wahrnehmung von Farben erheblich eingeschränkt, so dass hier vor allem Änderungen der Helligkeit und somit Bewegte Objekte wahrgenommen werden können. Die Wahrnehmung von Farbeindrücken ist eine sehr subjektive Angelegenheit und von Mensch zu Mensch verschieden. Manche Menschen haben erbliche Störungen bei der Farbwahrnehmung, die durch Abweichungen bei der Verteilung der Farbzapfen in der Netzhaut bedingt ist. Eine Rot-Grün-Sehschwäche trifft hierbei wesentlich häufiger auf als eine Gelb-Blau-Sehschwäche oder als die vollständige Farbblindheit (Achromasie). Die folgende Tabelle zeigt simulierte Bilder, die von Farbsichtigen mit drei funktionierenden Zapfentypen (Trichromaten), von Farbenfehlsichtigen mit fehlender Unterscheidung zwischen Rot- und Grüntönen (Dichromaten) sowie von Farbenblinden (Achromaten) wahrgenommen werden können. Diese Simulation erfolgte bei den dichromatischen Bildern durch die Gleichsetzung des roten und grünen Farbkanals der digitalen Bilder auf einen Wert, der dem Mittelwert der beiden Farbwerte entspricht. {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" ! style="width:25%" | Motiv ! style="width:25%" style="text-align:center" | Trichromatisches Bild ! style="width:25%" style="text-align:center" | Dichromatisches Bild<br />ohne Rot-Grün-Unterscheidung ! style="width:25%" style="text-align:center" | Achromatisches Bild<br />in Graustufen |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Pseudoisochromatische<br />Farbtafel | [[Datei:47-rg12.jpg| 200px]] | [[Datei:RG47-rg12.png| 200px]] | [[Datei:BW47-rg12.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Obststand | [[Datei:TCFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:RGFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:BWFruits.jpg| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Lichtspektrum | [[Datei:Lichtspektrum.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.gelb-blau.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.farblos.P1128463.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Regenbogen mit Interferenzbogen | [[Datei:Interferenzbogen.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.gelb-blau.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.farblos.P1150723.png| 200px]] |} <div style="clear:both"></div> ===Ortsfrequenz=== Die '''Ortsauflösung''' entspricht der maximalen Anzahl von räumlichen Informationseinheiten, die entlang einer Strecke, meist der Bildhöhe beziehungsweise der Bildbreite, erfasst werden können. Zur Darstellung einer räumlichen Information, also eines Helligkeitswechsels, ist mindestens ein Bildpunktpaar erforderlich, damit eine Modulation vorhanden sein kann. Die Bezugslänge kann eine absolute Länge sein, bei der die Bildpunktpaare zum Beispiel pro Millimeter ermittelt werden. Bei Filmmaterial wurde diese Informationsdichte meist richtungsunabhängig in Linienpaaren pro Millimeter ermittelt und angegeben. Auf der anderen Seite kann statt einer metrischen Bezugslänge auch eine relative Bezugslänge gewählt werden, wie zum Beispiel die Bilddiagonale, die Bildbreite oder die Bildhöhe. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass unabhängig von der Gesamtzahl der Bildpunkte, der Größe der Reproduktion des Bildes und dem Bildseitenverhältnis ein einheitliches und somit leicht vergleichbares Maß für die Ortsauflösung zur Verfügung steht. Dieses Maß ist insbesondere unabhängig von der Größe und vom Bildseitenverhältnis des verwendeten Bildsensors. Bei digitalen Bildern hat es sich daher durchgesetzt, '''Linienpaare pro Bildhöhe''' (horizontale Linien) als Bezugsgröße zu verwenden. Diese Bezugsgröße wird dann ebenfalls für die Informationseinheiten in horizontaler Richtung (vertikale Linienpaare) oder für jeden beliebigen anderen Azimut (also schräg liegende Linienpaare) verwendet, obwohl bei rechteckigen Bildformaten in horizontaler Richtung mehr oder weniger Informationseinheiten zur Verfügung stehen können. Rechnerisch ergibt sich die maximal darstellbare Linienauflösung <math>L_{\text{max},y}</math> durch die Halbierung der Anzahl der Punkte in der Bildhöhe <math>N_y</math>: :<math>L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Für die maximale Anzahl vertikaler Linienpaare in horizontaler Richtung ergibt sich mit dem Bildseitenverhältnis <math>q</math> dann entsprechend: :<math>L_{\text{max},x} = q \cdot L_{\text{max},y} = \frac {N_x} {2}</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildseitenverhältnis|Bildseitenverhältnis]] Dieser Wert entspricht genau der Grenze nach dem '''Nyquist-Shannon-Abtasttheorem''' (auch '''Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem''') für die maximal darstellbaren '''Ortsfrequenzen''' <math>f_\text{r,max}</math>, wonach diese innerhalb einer Periode mindestens zwei abgetastete Stützstellen haben müssen: :<math>f_{r,\text{max}} = L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Aus einer beliebigen kleineren Ortsfrequenz <math>f_r \leq f_{r,\text{max}}</math> ergibt sich die maximal mögliche Häufigkeit von Helligkeitsunterschieden auf einer bestimmten Bezugslänge im Bild (also in der Regel auf der Bildhöhe). Eine Ortsfrequenz von null entspricht einer konstanten Helligkeit über das gesamte Bild, die selbst nicht notwendigerweise den Wert null haben muss. <div style="clear:both"></div> ===Modulation in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz=== [[Datei:Modulation.Transfer.Function.Comparison.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich der Modulationsübertragungsfunktionen von zwei verschiedenen Objektiven. Bei der Ortsfrequenz null haben alle Objektive die maximale Kontrastübertragung von eins, und bei der maximal dargestellten Ortsfrequenz haben beide hier dargestellten Objektive eine Kontrastübertragung von zirka zehn Prozent. Dennoch ist das blau dargestellte Objektiv deutlich besser als das dunkelgelb dargestellte, da es mittlere Ortsfrequenzen besser überträgt.]] Eine Modulation mit geringer Ortsfrequenz entspricht also groben Strukturen im Bild, und eine Modulation mit großer Ortsfrequenz entspricht feinen Strukturen im Bild. Jeder Struktur mit einer bestimmten Größe kann in jeder azimutalen Richtung (nicht nur horizontal oder vertikal, sondern auch in beliebiger schräg liegender Richtung) eine Ortsfrequenz mit einer bestimmten Modulation zugeordnet werden. Beim '''Siemensstern''' wird beispielsweise die Ortsfrequenz entlang der um den Mittelpunkt liegenden konzentrischen Kreise linear mit deren Radius größer. Die Modulation beträgt für jede Ortsfrequenz eins, wenn idealisiert davon ausgegangen wird, dass die dunklen Streifen keine Helligkeit aufweisen. Wird eine photographische Aufnahme von einem solchen Siemensstern als Objekt auf einer Testtafel gemacht, reduzieren sich im Bild die Modulationen für alle Ortsfrequenzen größer als null auf Werte kleiner als eins. Dies beruht auf einer Verminderung der Modulationen im Bild gegenüber der optimalen Modulation im Objektraum, die durch Abbildungsfehler bedingt ist. Neben der immer wirkenden Beugungsbegrenzung ergeben sich in optischen Abbildungen vor allem durch die sphärische Aberration, aber zum Beispiel auch durch Falschlicht Einbußen bei der Modulation im Bildraum. In der Regel führt dies dazu, dass die Modulation von rein optischen Abbildungen mit zunehmender Ortsfrequenz streng monoton und stetig abnimmt. Das Verhältnis der Modulation im Bildraum <math>M_\text{Bild}</math> zur Modulation im Objektraum <math>M_\text{Objekt}</math> in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_r</math> wird '''Modulationsübertragungsfunktion''' (englisch: ''modulation transfer function'' = '''MTF''') oder auch '''Kontrastübertragungsfunktion''' <math>T</math> genannt: :<math>T (f_r) = \frac {M_\text{Bild} (f_r)} {M_\text{Objekt} (f_r)}</math> Das Maximum der Modulationsübertragungsfunktion liegt bei optischen Systemen bei der kleinsten Ortsfrequenz, also null, und hat dort den Wert eins. Die Modulationsübertragung ist dabei immer der Betrag der komplexwertigen optischen Übertragungsfunktion, die nicht nur die Amplitude, sondern auch die Phase der übertragenen Lichtwellen berücksichtigt. Ist die Modulation im Objektraum für alle untersuchten Ortsfrequenzen gleich eins, wie zum Beispiel bei hochwertig hergestellten Testtafeln, sind die Modulationsübertragungsfunktion und die Modulation im Bildraum identisch: :<math>T (f_r) = {M_\text{Bild} (f_r)}\ </math>, wenn <math>{M_\text{Objekt} (f_r) = 1}\ </math> Der Betrag der komplexwertigen, zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der spektralen Dichte der Modulationsübertragungsfunktion im Ortsfrequenzraum herangezogen werden. In der digitalen Signalverarbeitung wird hierfür häufig die sehr effiziente Fast-Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt. Das Leistungsdichtespektrum der Fourier-Transformierten entspricht hierbei dem Beugungsbild der Bilddaten, das mit einer Bildwand aufgefangen werden kann. <gallery caption="Auflösungskeile mit 3 bis 72 Linienpaaren pro Bildhöhe mit verschiedenen Kontrastübertragungen, die Bildhöhe wird zwischen den beiden dünnen horizontalen Linien ober- und unterhalb des Auflösungskeils gemessen." widths=1024 heights=256 perrow=1> Aufloesungskeil.png|Maximaler Kontrast (852 Linienpaare pro Bildhöhe). Aufloesungskeil.72.png|Kontrast bis 72 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.36.png|Kontrast bis 36 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.18.png|Kontrast bis 18 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.09.png|Kontrast bis 9 Linienpaare pro Bildhöhe. </gallery> Weitere Beispiele siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Transformationen#Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]]. <div style="clear:both"></div> ===Kontrastempfindlichkeitsfunktion=== [[Datei:Vollmond.P1080516.jpg|miniatur|Vollmond mit einer Kamera mit Teleobjektiv von der Erdoberfläche aus aufgenommen.<br/>Zu den Kontrastverhältnissen beim durch den Erdschein beleuchteten aschgrauen Mondlicht siehe auch hier: '''[[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht]]''']] [[Datei:Vollmond.180x180.png|gerahmt|Der Vollmond hat von der Erde aus gesehen einen Winkeldurchmesser von zirka einem halben Grad. Der Mensch kann auf diesem Winkeldurchmesser bei einem Kontrast von mindestens zehn Prozent 36 nebeneinanderliegende Punkte unterscheiden. Die Mondscheibe hat somit für das unbewaffnete Auge insgesamt rund 1000 unterscheidbare Bildpunkte.<br/>Oben:fünffache Vergrößerung (500 Prozent)<br/>Unten: einfache Vergrößerung (100 Prozent)<br/>[[Datei:Vollmond.36x36.png|zentriert]]]] Für die Betrachtung der optischen Abbildungen durch Menschen ist nur der Bereich der Ortsfrequenzen interessant, der entsprechend der '''Contrast Sensitivity Function''' (CSF, zu Deutsch: '''Kontrastempfindlichkeitsfunktion''') überhaupt wahrgenommen werden kann. Oft wird jedoch die Modulation an der Nyquist-Frequenz als Maß für die wahrnehmbare Qualität einer optischen Abbildung herangezogen. Dieses Vorgehen trägt jedoch nicht dem Umstand Rechnung, dass die vom Betrachter empfundene Qualität einer optischen Abbildung im Sinne der Modulationen bei verschieden feinen Strukturen im Allgemeinen gar nicht von der Modulation bei der Nyquist-Frequenz bestimmt ist, insbesondere wenn die feinsten Strukturen mit bloßem Auge gar nicht aufgelöst werden können. Vielmehr kommt es meist auf eine möglichst große Modulation bei Ortsfrequenzen im mittleren Bereich an. Dies kann zu der zunächst paradox scheinenden Situation führen, dass die optische Abbildung mit einem Objektiv, dass bei der Nyquist-Frequenz die gleiche oder gar eine höhere Modulation aufweist als ein anderes Objektiv, subjektiv dennoch als schlechter beurteilt wird (vergleiche Abbildung rechts). Daher ist es empfehlenswert, die integrale Summe der Modulationen aller Ortsfrequenzen bis zu einer sinnvollen maximalen Ortsfrequenz zu bilden. Dieser Wert wird auch '''Heynacher-Zahl''' genannt, die seit den 1970er Jahren nach dem Optiker Erich Heynacher benannt ist. Gegebenenfalls kann diese integrale Summe auch noch bei verschiedenen Ortsfrequenzen mit einer geeigneten Empfindlichkeitsfunktion gewichtet werden (mathematisch also eine Faltung). Je größer das Integral der Modulationsübertragungsfunktion, desto besser die Bildqualität. Der Betrag der komplexwertigen Spektralfunktion der zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der Modulationsübertragungsfunktion im Ortfrequenzraum herangezogen werden. Die einheitenlose Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>A</math> kann nach Kresimir Matkovic (1997) in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad mit einer analytischen Funktion angegeben werden: :<math>CSF (f_a) = {2,6} \cdot {(0{,}0192 + 0{,}114 \cdot {f_a})} \cdot e^{-{(0{,}114 \cdot f_a)}^{1{,}1}}</math> Der vertikale Bildwinkel beträgt bei Normalbrennweite und einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2 (wie zum Beispiel beim Kleinbildfilm) 27 Grad. Die Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Bildhöhe <math>f_y</math> ergibt sich dann aus dem vertikalen Bildwinkel und der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Grad wie folgt: :<math>f_y = 27^\circ \cdot f_a</math> <gallery perrow="2" widths="400" heights="230" caption="Kontrastempfindlichkeitsfunktion (englisch: Contrast Sensitivity Function) CSF des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz"> Datei:CSF.against.angular.frequency.in.cycles.per.degree.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad Datei:CSF.against.spatial.frequency.in.cycles.per.image.height.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe bei Normalbrennweite (vertikaler Bildwinkel = 27° bei einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2) </gallery> [[Datei:CSF-Diagramm.png|miniatur|hochkant=2|Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges über Ortsfrequenzen zur Basis 2]] <gallery perrow="2" widths="480" heights="270" caption="Zur Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges mit den Ortsfrequenzen von 2 sinusmodulierten Linienpaaren pro Bildbreite (linke Bildhälfte) bis hin zu 1024 Linienpaaren pro Bildbreite (rechts am Bildrand), Bildgröße 3860 mal 2160 Bildpunkte (16:9)"> Datei:CSF.UHD.png|Mit maximalem Kontrast unten, ohne Kontrast oben Datei:CSF.UHD.lowM.png|Mit reduziertem Kontrast unten, ohne Kontrast oben </gallery> [[Datei:CSF.MTF.png|hochkant=2|miniatur|Bewertung der Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> eines guten Objektives mit der Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe durch die effektive Kontrastübertragungsfunktion <math>T_\text{eff} (f_y)</math>. Etwa die Hälfte des Auflösungsvermögens dieses Objektives kann demnach vom Menschen bei der Betrachtung der optischen Abbildung unter dem Normalwinkel gar nicht wahrgenommen werden.]] Hierbei ist festzuhalten, dass bei einer Ortsfrequenz von 1000 Linienpaaren pro Bildhöhe der wahrgenommene Kontrast deutlich unter zehn Prozent liegt und somit praktisch kaum noch relevant ist. Die maximale Kontrastempfindlichkeit liegt beim menschlichen Auge bei zirka 200 Linienpaaren pro Bildhöhe und zwischen 50 und 550 Linienpaaren pro Bildhöhe beträgt die Kontrastempfindlichkeit mindestens 50 Prozent. Für Aufnahmen mit guter Kontrastübertragung ist daher genau dieser Bereich von besonderer Wichtigkeit. Zur Auswertung der effektiven Kontrastübertragungsfunktion bei Betrachtung mit dem menschlichen Auge <math>T_\text{eff} (f_y)</math> können die Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> und die Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> miteinander multipliziert werden: :<math>T_\text{eff} (f_y) = T (f_y) \cdot CSF (f_y)</math> Wird dieses Produkt über alle Ortsfrequenzen integriert, ergibt sich - ähnlich wie bei und als Verallgemeinerung der Heynacher-Zahl - eine Größe für die totale effektive Kontrastübertragung <math>T_\text{eff,tot}</math> : :<math>T_\text{eff,tot} = \int_0^\infty T_\text{eff} (f_y)\,\mathrm df_y</math> Siehe auch [[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|'''Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht''']]. <div style="clear:both"></div> ====Hybridbilder==== Je nach den Bedingungen bei der Betrachtung eines Hybridbildes sind aus größerer Entfernung eher die groben geometrischen Strukturen des einen Bildes mit großen Ortsfrequenzen und bei näherer Betrachtung eher die feinen Strukturen eines anderen Bildes mit kleinen Ortsfrequenzen zu sehen. Vergrößert der Betrachter den Abstand von einem sehfeldfüllenden Hybridbild, verschwinden die feinen Strukturen zunehmend wieder, und nur die größeren Ortsfrequenzen bleiben erkennbar. Hybridbilder können hergestellt werden, indem zwei Aufnahmen mit Modulation bei verschiedenen Ortsfrequenzen überlagert werden. <gallery caption="Hybridbild" perrow=2 widths=480 heights=240> MTF.Hybridbild.png|Hybridbilder haben im Kontrastverlauf zwei Maxima. Das Diagramm zeigt die Kontrastverläufe bei demselben Hybridbild mit großem (braun) und kleinem (blau) Betrachtungsabstand. Bei großem Betrachtungsabstand werden eher die Kontraste bei den kleinen Ortsfrequenzen und bei kleinem Betrachtungsabstand eher die Kontraste bei den großen Ortsfrequenzen wahrgenommen. Wikigolfball.hybrid.webm|mini|links|180px|Beispiel für ein Hybridbild, bei welchem bei kleinem Betrachtungswinkel ein Golfball mit groben Strukturen zu erkennen ist. Beim Vergrößern des Betrachtungswinkels während der Wiedergabe des Videos erscheint zunehmend eine andere kugelförmige Figur mit feinen geometrischen Strukturen, die höhere Ortsfrequenzen aufweisen. </gallery> Siehe auch '''[[Hybridlied]]'''. <div style="clear:both"></div> === Digitalzoom === Beim Digitalzoom, das heißt also bei der softwaretechnischen Vergrößerung von digitalen Bildern zum Beispiel durch Zeilen- und Spaltenverdopplung, wird die Bildinformation im Sinne der Kontrastübertragung nicht vermehrt, da es sich lediglich um das Kopieren bereits vorhandener Bildinformation handelt. Es gibt also keinen Informationsgewinn. Wenn das digitale Bild zu klein dargestellt wird, so dass ein menschlicher Betrachter das Bild nicht voll auflösen kann, kann durch den Digitalzoom das Bild insgesamt vergrößert werden, oder ein beliebiger Ausschnitt des originalen Bildes kann auf die maximal darstellbare Größe gebracht werden, die beispielsweise durch ein Anzeigegerät oder ein Druckformat vorgegeben ist. Dadurch wird zwar nicht die Bildinformation vergrößert, aber der Betrachter kann mehr von der existierenden Bildinformation erkennen. Die Frage, welcher Digitalzoomfaktor noch sinnvoll und angebracht ist, hängt bei menschlichen Betrachtern allein von der möglichst guten Ausschöpfung der erkennbaren Modulationen ab, die durch die Kontrastempfindlichkeitsfunktion repräsentiert wird. Bei digitaler maschineller Auswertung besteht diese Problematik nicht, da ein digitaler Algorithmus in der Regel immer die gesamte Bildinformation auswerten kann. In Unterkapitel [[Digitale bildgebende Verfahren: Grundlagen/MTF-Simulation|MTF-Simulation]] wird der Effekt des Digitalzooms simuliert und bildlich verdeutlicht. Siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Digitalzoom_-_Softwarelupe|Digitale Bilder: Digitalzoom - Softwarelupe]]. <div style="clear:both"></div> ===Kantenüberhöhung=== [[Datei:Enhancing.Modulation.Transfer.Function.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich von Modulationsübertragungsfunktionen einer optischen Abbildung mit nachträglicher, rechnerischer Kontrastanhebung bei mittleren Ortsfrequenzen: Originalaufnahme (blau, durchgezogen), modifizierte Modulation mit Kantenüberhöhung (grün, gestrichelt). Der als grüne Fläche dargestellte Bereich stellt einen Kontrastgewinn dar, der in der Regel viel mehr wahrgenommen wird als der orangefarben dargestellte Bereich mit Kontrastverlust.]] Bei digitalen Bildern, die nicht im Rohdatenformat, also ohne rechnerische Eingriffe in die Bilddaten, aufgezeichnet werden, wird die Modulation unmittelbar nach der Aufnahme und vor dem Speichern der Bilddaten oft durch die Firmware der Kamera insgesamt oder insbesondere bei bestimmten Ortsfrequenzen erhöht. In Maßen angewendet führt dies bei digitalen Bildern in der Regel zu einem verbesserten visuellen Bildeindruck. Dies trifft dann zu, wenn die maximale Modulation auf eins erhöht wird und die Modulation entsprechend der Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges bei den wichtigsten Ortsfrequenzen angehoben wird. In der Modulationsübertragungsfunktion spiegelt sich dies durch die Tatsache wider, dass die maximale Modulation nicht mehr bei der Ortsfrequenz null, sondern bei positiven Ortsfrequenzen auftritt (siehe Abbildung rechts). Dies kann auch so interpretiert werden, dass die Modulation an Kanten in einem günstigen Ortsfrequenzbereich künstlich überhöht wird. Aus einem in der unbearbeiteten optischen Abbildung kontinuierlichen Anstieg der Helligkeit an einer im Original beliebig scharfen Objektkante ergibt sich nach der Optimierung bei einer bestimmten Ortsfrequenz eine deutlich stärkere Modulation. Wird dieses Prinzip so stark angewendet, dass die Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen dominiert, führt dies unter Umständen zu künstlich wirkenden Bildern, bei denen ein Überschwingen des Helligkeitsverlaufs an Kanten mit der entsprechenden Ortsfrequenz erkannt werden kann: <gallery perrow="3" widths="260" heights="184" caption="Vergleich mit unterschiedlichen gerechneten Kontrastübertragungsfunktionen"> Datei:Image.modulation.original.jpg|Unbearbeitetes Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.jpg|Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.overkill.jpg|Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.original.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom unbearbeiteten Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat außen einen kleinen hellen und innen einen kleinen dunklen Saum Datei:Image.modulation.overkill.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat einen großen hellen Saum, und der innere Rand des Buchstabens ist stark abgedunkelt Datei:FFT.Image.modulation.original.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom unbearbeiteten Originalbild (die Ortsfrequenz null befindet sich in der Bildmitte, und sie nimmt radial in alle Richtungen zu) Datei:FFT.Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:FFT.Image.modulation.overkill.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Farbauflösung== {| class="float-right" style="text-align: center" |+ '''Oben''': Weißlichtinterferogramm, darunter '''Rot'''-, '''Grün'''- und '''Blau'''kanal des oben dargestellten Weißlichtinterferogramms mit abnehmender Weite der Maxima. |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.R.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.G.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.B.jpg|240px]] |} Durch die im Vergleich zur Dichte der für die Helligkeitsrezeption zuständigen Stäbchen geringere Dichte von Farbzäpfchen auf der menschlichen Netzhaut ist die Farbauflösung, die für das Betrachten von farbigen Bildern erforderlich ist, geringer als die Auflösung, die durch die Kontrastübertragungsfunktion beschrieben wird. In einem digitalen Bild kann ein Mensch bei Betrachtung des gesamten Bildes zwar maximal vier Millionen Bildpunkte in der Helligkeit unterscheiden, jedoch nur etwa eine Million verschiedener Farbpunkte. Bei technischen Anwendungen mit digitaler Auswertung der Bilder, kann die Anforderung an die Farbauflösung je nach Aufgabenstellung jedoch erheblich höher sein. Eine Möglichkeit, die Farbauflösung eines Kamerasensors zu messen, ohne dass es durch das für die optische Abbildung verwendete Objektiv zu einer Verringerung derselben kommt, ist die Verwendung eines direkt auf den Bildsensor projizierten Weißlichtinterferogramms. Dieses Verfahren wurde 2006 von Karsten Zoellner vom Institut für angewandte Optik an der Universität Jena entwickelt. Der Linienabstand <math>d</math> des Beugungsbilds eines Spaltes hängt von der Wellenlänge <math>\lambda</math> des verwendeten Lichtes sowie vom bildseitigen Öffnungswinkel <math>\omega_B</math> des verwendeten Interferometers ab: :<math>d \propto \frac {\lambda} {\sin \omega_B}</math> Wenn für die Primärfarben Rot, Grün und Blau (RGB) die mit abnehmender Wellenlänge kleiner werdenden Linienabstände <math>d_R</math>, <math>d_G</math> und <math>d_B</math> bestimmt werden, kann daraus eine für die Farbauflösung repräsentative Größe <math>\delta_{RGB}</math>, die '''Farbstrukturtreue''' (englisch: ''coloured structure fidelity''), bestimmt werden: :<math>\delta_{RGB} = \frac {d_R - d_B} {d_G}</math> <div style="clear:both"></div> == Polarisation == [[Datei:偏振片.png|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''linear''' polarisierter Strahlung durch die Filterung elektromagnetischen Wellen mit unerwünschter Polarisationsrichtung (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] [[Datei:Polaryzacja_kołowa.gif|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''zirkular''' polarisierter Strahlung durch die Überlagerung von zwei um den Phasenwinkel 90° verschobenen elektromagnetischen Wellen (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] Natürliche elektromagnetische Strahlung aus thermischen Strahlungsquellen ist unpolarisiert, das heißt, dass die Richtungen der Feldstärken senkrecht zur Ausbreitungsrichtung zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort zufällig ausgerichtet und verteilt sind. Aus unpolarisierten elektromagnetischen Wellen können durch geeignete Mittel in polarisierte Wellen mit definierter Schwingungsrichtung erzeugt werden. Grundsätzlich werden zwei Arten von Polarisation unterschieden: * Liegt die Schwingungsrichtung in einer ortsfesten Raumebene, spricht man von '''linear polarisierter Strahlung'''. * Dreht sich die Raumebene der Schwingungsrichtung gleichmäßig und periodisch um die Ausbreitungsachse, spricht man von '''zirkular polarisierter Strahlung'''. Zirkular polarisierte Strahlung kann mit Blick in die Ausbreitungsrichtung rechts- oder linksdrehend sein: <gallery caption="Drehsinn zirkular polarisierter Strahlung" perrow=2 widths=360 heights=240> Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Rechtsdrehend (im Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Right.Handed.Animation.305x190.255Colors.gif|Linksdrehend (entgegen dem Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. </gallery> Polarisierte Strahlung kann auf verschiedene Art und Weise erzeugt werden. Beispiele hierfür sind: * Durch optische Filter: Ein elektrisches Feld in einer ausgewählten Richtung kann beispielsweise durch geradlinige, parallel und voneinander isoliert angebrachte elektrische Leiter in einem '''Drahtgitterpolarisator''' unterdrückt werden, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen. Nur die senkrecht zu den Leitern schwingenden elektrischen Feldkomponenten können dann das Filter passieren. * Durch Streuung an Partikeln, wie zum Beispiel bei der '''Rayleigh-Streuung''' von Licht an Luftmolekülen. * Durch '''schräge Reflexion''' an Grenzflächen zu elektrisch nichtleitenden Medien, wie zum Beispiel Glasflächen. * Durch spezielle Lichtquellen, wie zum Beispiel '''Laser'''. * Durch '''dichroitische''' Materialien (vom altgriechischen Wort „dichroos“ für „zweifarbig“), die Licht in Abhängigkeit von der Polarisation unterschiedlich stark absorbieren. <div style="clear:both"></div> ===Gesetz von Malus=== [[Datei:Animation polariseur.gif|mini|rechts|Polfilter für photographische Objektive in verschiedenen Orientierungen vor einer flächenhaften Lichtquelle, der linear polarisiertes Licht abgibt.]] Die Intensität <math>I</math> einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle mit der Anfangsintensität <math>I_0</math> schwächt sich nach dem Durchgang durch einen idealen Polarisator in Abhängigkeit vom Winkel <math>\alpha</math>, um den die Polarisationsachse des Polarisators gegen die Polarisationsrichtung der Welle verdreht ist, nach dem '''Gesetz von Malus''' folgendermaßen ab: :<math>I = I_0 \cdot \cos^2 \alpha</math> Ausgehend von unpolarisiertem Licht mit einer gleichmäßigen Verteilung aller Polarisationsrichtungen <math>0 \le \alpha \le 2 \pi</math> in Bezug auf die Polarisationsrichtung eines Polarisationsfilters, kann der Transmissionsgrad <math>T</math> wie folgt bestimmt werden: :<math>T = I_0 \cdot \frac {\int\limits_{0}^{2\pi} \cos^2 \alpha \, \mathrm d\alpha} {\int\limits_{0}^{2\pi} \alpha \, \mathrm d\alpha} = I_0 \cdot \frac {\frac {2 \pi} {2}} {2 \pi} = \frac {I_0} {2} </math> Dies bedeutet, dass ein Polfilter abgesehen von einer gewissen Absorption die Hälfte eines unpolarisierten Strahls passieren lässt. <div style="clear:both"></div> ===Brewster-Winkel=== [[Datei:Brechungsgesetz.Brewster-Bedingung.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zur Brewster-Bedingung an optischen Grenzflächen.]] Es handelt sich beim '''Brewster-Winkel''' um den Einfallswinkel <math>\epsilon</math> von einem optisch dünnen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisch dichteres Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math>, bei dem das elektrische Feld der reflektierten elektromagnetischen Welle nur senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Polarisationsrichtungen des reflektierten und des gebrochenen Strahls stehen beim Erreichen des Brewster-Winkels senkrecht aufeinander: :<math>\epsilon_{Brewster} + \epsilon_{Brewster}' = 90^\circ</math> beziehungsweise: :<math>\sin \epsilon_{Brewster}' = \sin (90^\circ - \epsilon_{Brewster}) = \cos \epsilon_{Brewster}</math> Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt daraus: :<math>n_1 \cdot \sin \epsilon_{Brewster} = n_2 \cdot \cos \epsilon_{Brewster}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {\sin \epsilon_{Brewster}} {\cos \epsilon_{Brewster}} = \tan \epsilon_{Brewster} = \frac {n_2} {n_1}</math> Die reflektierte Welle ist beim Brewster-Winkel <math>\epsilon_{Brewster}</math> demnach linear polarisiert, und es gilt die Beziehung: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan \frac {n_2} {n_1}</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = n_1 \cdot \tan \epsilon_{Brewster}</math> Kommt der Lichtstrahl aus dem Vakuum (<math>n_1 = 1</math>) oder in erster Näherung aus Luft (<math>n_1 \gtrsim 1</math>), dann vereinfacht sich die Gleichung für den Brewster-Winkel zu: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan n_2</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = \tan \epsilon_{Brewster}</math> [[Datei:Brewster-polarizer-de.svg|mini|rechts|hochkant=1.5|Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium zur Verstärkung der Polarisation des transmittierten Lichts.]] Der gebrochene Strahl ist allerdings nicht vollständig in der Einfallsebene polarisiert, da nur ein Teil der Strahlung reflektiert wird, die senkrecht zur Einfallsebene polarisiert wird. Durch eine Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium kann der Effekt der Polarisation des transmittierten Lichts jedoch verstärkt werden. <div style="clear:both"></div> ===Doppelbrechung=== Doppelbrechende optische Medien sind spezielle Materialien, wie zum Beispiel Doppelspat (auch Kalkspat oder Calcit genannt), Glimmer oder Flüssigkristalle. Oft handelt es sich dabei um asymmetrisch aufgebaute Kristalle. Bei solchen anisotropen Medien hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>c</math> und somit auch der Brechungsindex <math>n</math> und die Vakuumwellenlänge <math>\lambda_0</math> von der Schwingungsrichtung ab. Es wird zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl unterschieden. Der ordentliche Strahl steht senkrecht (Symbol <math>\perp</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters, und der außerordentliche Strahl steht parallel (Symbol <math>\parallel</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters. Die dazugehörigen Brechzahlen werden durch das entsprechende Symbol im Index gekennzeichnet: * Für den ordentlichen Strahl: <math>n_\perp</math> * Für den außerordentlichen Strahl: <math>n_\parallel</math> Doppelbrechung kann auch durch Nichtlinearitäten in isotropen Medien hervorgerufen werden, wie zum Beispiel durch mechanische Spannungen oder durch sehr hohe elektrisch oder magnetische Feldstärken. <gallery caption="Doppelbrechung am Doppelspat mit dem Text „Berlin“ im Hintergrund" perrow=2 widths=450 heights=300> Doppelbrechung.P1033771.jpg|Doppelbrechung in horizontaler Richtung. Doppelbrechung.P1033772.jpg|Doppelbrechung in vertikaler Richtung bei um 90° im Uhrzeigersinn gedrehtem Kristall. </gallery> <div style="clear:both"></div> ====Verzögerungsplatten==== '''Verzögerungsplatten''' bestehen aus doppelbrechenden optischen Medien mit konstanter Dicke <math>d</math>. Die Frequenz <math>f</math> der elektromagnetischen Welle bleibt sowohl außerhalb als auch innerhalb der Verzögerungsplatte sowie in allen Ausbreitungsrichtungen gleich. Die Phasenverschiebung <math>\Delta \varphi</math> der beiden sich in der Platte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten <math>c_\perp</math> und <math>c_\parallel</math> ausbreitenden Teilstrahlen ergibt sich beim Austritt hinter der Verzögerungsplatte dann wie folgt: :<math>\Delta \varphi = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot (n_\perp - n_\parallel) = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot c_0 \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right) = 2 \pi \cdot d \cdot f \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right)</math> =====λ/2-Plättchen===== Beim '''λ/2-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen der Hälfte der Vakuumlichtwellenlänge, und es dreht die Polarisationsrichtung eines einfallenden Lichtstrahls um einen bestimmten Winkel. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 180°: :<math>\Delta \varphi = \pi</math> Für die Dicke eines λ/2-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 2} = \frac {\lambda_0} {2} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> Je nach axialer Ausrichtung eines λ/2-Plättchens zur Polarisationsrichtung eines einfallenden, linear polarisierten Lichtstrahls ergibt sich eine Drehung der Polarisationsrichtung zwischen 0° und 90°. =====λ/4-Plättchen===== Beim '''λ/4-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen des Viertels der Vakuumlichtwellenlänge, und es wird auch als '''Zirkularpolarisator''' bezeichnet, weil es aus einem linear polarisierten Lichtstrahl einen zirkular polarisierten Strahl erzeugen kann. Zirkular polarisiertes Licht wandelt es umgekehrt in linear polarisiertes Licht um. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 90°: :<math>\Delta \varphi = \frac {\pi} {2}</math> Für die Dicke eines λ/4-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 4} = \frac {\lambda_0} {4} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> <div style="clear:both"></div> ====Flüssigkristalle==== '''Flüssigkristalle''' sind flüssige Substanzen, die wie Kristalle im festen Aggregatzustand richtungsabhängige (anisotrope) optische Eigenschaften aufweisen können. Die Ausrichtung der Moleküle und damit die Polarisationswirkung kann durch elektrische Felder beeinflusst werden. Die Geschwindigkeit der Auslenkung hängt von der Stärke der elektrischen Felder ab. Bei modernen Flüssigkristallanzeigen und -bildschirmen kann eine Umschaltzeit bis hinunter zu einer Millisekunde erreicht werden. → Siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Fl%C3%BCssigkristallanzeigen|Flüssigkristallanzeigen]]. <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> o7wik34dyoamvkvij8xsmpmadqmcx2h 1088496 1088494 2026-06-29T12:15:30Z Bautsch 35687 /* Optische Flächen */ Hauptpunkt / Hauptstrahl 1088496 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> Dieses Kapitel beschäftigt sich mit prinzipiellen Eigenschaften von optischen Abbildungen. In den folgenden Abschnitten sind einige grundlegende Aspekte aufgeführt, die bei der Aufnahme und Registrierung von Bildern eine Rolle spielen. ==Optik== Die '''Optik''' (von altgriechisch ὀπτική τέχνη (optikḗ téchnē), zu Deutsch: „Lehre vom Sehen“) beschäftigt sich mit der Ausbreitung von '''Licht''' unter Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie. Im engeren Sinne werden in der Optik optische Systeme behandelt, mit denen Objekte abgebildet werden können. '''Reelle Bilder''' können beispielsweise mit Bildwänden, photographischen Filmen oder elektronischen Bildsensoren aufgefangen werden, wohingegen '''virtuelle Bilder''' direkt durch das menschliche Auge gesehen werden können. Lichtquellen haben immer eine endliche Ausdehnung. Wenn die leuchtende Fläche im Vergleich zu einem ausgedehnten optischen System klein ist, wird die entsprechende Lichtquelle als '''punktförmig''' bezeichnet. In der Praxis kann ein Fixstern als eine solche punktförmige Lichtquelle betrachtet werden. Im Labor kann eine punktförmige Lichtquelle durch die Beleuchtung einer kleinen Kreislochblende aus einer hinreichend großen Entfernung erzeugt werden. Das aus der Blende austretende Licht bildet ein '''Lichtbündel'''. Ein '''Lichtstrahl''' kann durch ein paralleles Lichtbündel mit kleinem Durchmesser angenähert werden. Lichtstrahlen werden in der '''geometrischen Optik''' verwendet, um die Richtung des Flusses der Lichtenergie anzugeben. [[Datei:EM-Wave.gif|mini|rechts|Die elektrische Feldstärke <math>\vec E</math> (blau in y-Richtung) und die magnetische Feldstärke <math>\vec B</math> (rot in z-Richtung) bei einer elektromagnetischen Welle mit Ausbreitung in x-Richtung.]] Beugungseffekte sind durch die Welleneigenschaften des Lichtes bedingt und treten immer auf, wenn es auf Kanten trifft. Die Beugung wird in der '''Wellenoptik''' behandelt und wird in der geometrischen Optik nicht berücksichtigt. Alle elektromagnetischen Wellen –&nbsp;also auch das Licht&nbsp;– breiten sich in allen optischen Medien mit Lichtgeschwindigkeit aus. Dies konnte der Physiker {{w|Heinrich Hertz}} (1857–1894) durch die künstliche Erzeugung elektromagnetischer Wellen im Ultrakurzwellenbereich bei 80&nbsp;Megahertz im Jahr 1886 nachweisen. Die '''Lichtgeschwindigkeit im Vakuum''' <math>c_0</math> ist inzwischen eine festgelegte Größe, die für alle Arten elektromagnetischer Strahlung gilt: :<math>c_0 = 299792458 \frac {\text {m}} {\text {s}}</math> Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit für elektromagnetische Wellen. Sie kann von Objekten mit einer Ruhemasse nicht erreicht werden, also auch nicht von Elektronen oder Atomen beziehungsweise Ionen. Die '''Vakuumwellenlänge''' <math>\lambda_0</math> der mit der Frequenz <math>f</math> transversal schwingenden, elektromagnetischen Welle beträgt hierbei: :<math>\lambda_0 = \frac {c_0} {f}</math> Die Frequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle weicht beim Durchgang durch verschiedene Medien nicht von der Frequenz im Vakuum ab. Die Vektoren der elektrischen und der magnetischen Feldstärke stehen bei elektromagnetischen Wellen stets senkrecht zueinander und außerdem beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. ==Brechung== [[Datei:Refraction animation.gif|mini|rechts|hochkant=1.5|Die von links aus dem Vakuum einfallende ebene Welle trifft unter dem Einfallswinkel von 56&nbsp;Bogengrad auf eine Grenzfläche zu einem optischen Medium mit der Brechzahl&nbsp;1,5. Die ebene Welle wird aufgrund der geringeren Ausbreitungsgeschwindigkeit im optischen Medium zum Lot der Grenzfläche hin gebrochen und breitet sich dort ebenfalls als ebene Welle aus. Die Schwingungsfrequenz der Welle bleibt erhalten, im optischen Medium ist die Wellenlänge jedoch verkürzt.]] [[Datei:Brechungsgesetz.Einheitskreis.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zum Snelliusschen Brechungsgesetz mit Einheitskreis an der Grenzfläche zwischen zwei optischen Medien mit den Brechzahlen <math>n_1</math> und <math>n_2</math>. Die Oberflächenlote in den beiden optischen Medien sind gestrichelt dargestellt.]] In allen '''optischen Medien''' bleibt die Schwingungsfrequenz <math>f</math> elektromagnetischer Wellen im Vergleich zu derjenigen im Vakuum erhalten, aber die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> und die Wellenlänge <math>\lambda</math> sind kleiner. Dies kann durch den maßeinheitenlosen '''Brechungsindex''' <math>n</math> (auch '''Brechzahl''' genannt) des optischen Mediums beschrieben werden: :<math>c = \frac {c_0} {n}</math> :<math>\lambda = \frac {\lambda_0} {n}</math> Beziehungsweise: :<math>n = \frac {\lambda_0} {\lambda} = \frac {c_0} {c}</math> Für alle optische Medien beziehungsweise für alle Brechzahlen gilt die folgende Beziehung für die Schwingungsfrequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle: :<math>f = \frac {c} {\lambda} = \frac {c_0} {\lambda_0} = \text{const.}</math> Der Brechungsindex des Vakuums ist demzufolge gleich Eins, und bei allen anderen optischen Medien ist der Brechungsindex größer als Eins. Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist nicht nur von der Wellenlänge abhängig, sondern bei Festkörpern und Flüssigkeiten insbesondere auch von der Temperatur <math>T</math> und bei Gasen vom Druck <math>p</math>: :<math>n = n(\lambda, T, p)</math> Bei Gasen ist der Brechungsindex bei normalem Luftdruck nur geringfügig größer als Eins. Die meisten optischen Medien aus flüssigem oder festem Material haben typische Brechungsindices zwischen 1,3 und 2,0. Wasser hat bei Zimmertemperatur einen Brechungsindex von 1,333. Besondere Materialien haben Brechungsindices, die größer als Zwei sind, wie zum Beispiel Diamant (Kohlenstoffkristall) mit rund 2,4 oder Rutil (Titandioxid) mit rund 3,1. Beim Übergang von Lichtstrahlen von einem optischen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisches Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math> wird ein einfallender Lichtstrahl (in der Abbildung rechts weiß) zu einem Teil in das Einfallsmedium zurück gespiegelt ('''Reflexion''', in der Abbildung rechts dunkelgrau) und zu einem anderen Teil in das Ausfallsmedium gebrochen ('''Refraktion''', in der Abbildung rechts hellgrau). Die Richtungen der Reflexion und der Refraktion werden über die Winkel zur Flächennormalen (Lot) an der Stelle des Übergangs der beiden optischen Medien bestimmt. Für die Reflexion gilt das '''Reflexionsgesetz''': :Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\alpha</math>. Für die Refraktion gilt das '''Snelliussche Brechungsgesetz''': :<math>n_1 \cdot \sin \alpha = n_2 \cdot \sin \beta</math> Ist <math>n_2</math> größer als <math>n_1</math>, wird der Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen, und ist <math>n_1</math> größer als <math>n_2</math>, wird der Lichtstrahl vom Lot weggebrochen. Am Einheitskreis (Radius gleich Eins) gilt: :<math>\sin \alpha = a</math> und: :<math>\sin \beta = b</math> Das Snelliussche Brechungsgesetz geht damit in die folgende Form über: :<math>n_1 \cdot a = n_2 \cdot b</math> Es gilt entsprechend: :<math>\frac {n_1} {n_2} = \frac {\sin \beta} {\sin \alpha} = \frac {c_2} {c_1} = \frac {b} {a}</math> Zur Herleitung des Brechungsgesetzes unter Berücksichtigung der Ausbreitung mit '''Huygensschen Elementarwellen''' mit der jeweiligen Lichtgeschwindigkeit auf dem schnellsten Weg entsprechend dem '''Fermatschen Prinzip''' siehe auch: '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Ablenkung_von_Lichtstrahlen|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Ablenkung von Lichtstrahlen"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Dispersion=== Die Brechzahl aller optischen Medien hängt von der Wellenlänge des Lichts ab. Hierbei gilt, dass blaues Licht mit kurzer Wellenlänge stärker gebrochen wird als rotes Licht mit langer Wellenlänge. Die Dispersion eines bestimmten optischen Mediums kann durch dessen '''Abbe-Zahl''' <math>\nu_e</math> beschrieben werden: :<math>\nu_{e} = \frac {n_{e} - 1} {n_{F'} - n_{C'}}</math> Hierbei stehen die Indizes C', e und F' am Brechungsindex für die folgenden Lichtwellenlängen: * Rot: <math>n_{C'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{C'} = 643,8469 \text { nm}</math> * Grün: <math>n_{e}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{e} = 546,0740 \text { nm}</math> * Blau: <math>n_{F'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{F'} = 479,9914 \text { nm}</math> Eine große Abbe-Zahl steht also für ein optisches Medium mit geringer Dispersion, und eine kleine Abbe-Zahl steht für ein optisches Medium mit starker Dispersion. <div style="clear:both"></div> ===Optische Medien mit variabler Brechzahl === Bei optischen Medien mit asymmetrischen Kristallgitterstrukturen, wie zum Beispiel Kalkspat (Calcit), hängt die Brechzahl von der Schwingungsrichtung des Lichts in Bezug auf die Gitterebenen ab. In solchen optisch anisotropen Kristallen hängt der Brechungsindex sowohl von der Polarisationsrichtung als auch von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes ab. Bei dieser '''Doppelbrechung''' wird in der Regel zwischen einem ordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\perp</math> und einem außerordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\parallel</math> unterschieden. Je nach Struktur eines bestimmten Kristalls kann sowohl der ordentliche als auch der außerordentliche Strahl eine größere Brechkraft erfahren. Manche Kristalle haben einen sehr deutlichen Unterschied bei diesen beiden Brechzahlen, wie zum Beispiel Kalomel (Quecksilber(I)-chlorid), dass bei einer Massendichte von rund 7,2 Gramm pro Kubikzentimeter eine Brechzahl von knapp 2,0 für den ordentlichen und eine Brechzahl von über 2,6 für den außerordentlichen Strahl aufweist. '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Doppelbrechung|Abschnitt "Doppelbrechung"]]''' Im Allgemeinen sind optische Medien aus amorphen, lichtdurchlässigen Festkörpern, wie zum Beispiel stark brechendes '''Flintglas''', schwach dispergierendes '''Kronglas''', für ultraviolettes Licht durchlässiges '''Quarzglas''' oder leichtes '''Acrylglas''' (Polymethylmethacrylat (PMMA)), isotrop und homogen, so dass die Brechkraft für Licht einer bestimmten Wellenlänge für alle Polarisations- und Ausbreitungsrichtungen überall im Medium gleich ist. In Flüssigkeiten oder in Gasen kann es passieren, dass der Brechungsindex durch Dichteschwankungen im optischen Medium nicht konstant ist. Als Ursache für solche Dichteschwankungen kommt insbesondere die Gravitation in Frage. Das Gas der Atmosphäre hat im Schwerefeld der Erde nach der Bernoullischen Höhengleichung mit zunehmender Höhe einen immer weiter abnehmen Druck und somit eine immer geringer werdende Dichte. Demzufolge nimmt die Brechkraft der atmosphärischen Gase (im Wesentlichen bestehend aus Stickstoff- und Sauerstoffmolekülen sowie Argonatomen) mit zunehmender Höhe immer weiter ab. Diese '''atmosphärische Refraktion''' wirkt sich zum Beispiel bei der Brechung des Sonnenlichts bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang aus, wo die Lichtstrahlen beim Eintritt in die Atmosphäre kontinuierlich stärker in Richtung Erdoberfläche gebrochen werden. [[Datei:Dichte.Brechungsindex.Zuckerloesung.png|mini|rechts|hochkant=1.2|Dichte und Brechungsindex in Abhängigkeit von der Konzentration von Zucker in Wasser in Prozent.]] Auch in Flüssigkeiten mit gelösten Feststoffen kann es im Schwerefeld der Erde mit größer werdender Tiefe unter der Flüssigkeitsoberfläche zu einer Zunahme der Massendichte und somit auch der optischen Dichte kommen. Dies ist zum Beispiel bei in Wasser gelöstem Zucker der Fall, bei den die Zuckerkonzentration in der wässrigen Lösung mit größerer Wassertiefe immer weiter zunimmt. <gallery caption="Beispiele für variable Brechungsindizes" perrow=2 widths=640 heights=480> Sonnenuntergang - Verschiebung.png|Durch einen Beobachter auf der Erdoberfläche wahrgenommene und die tatsächliche Form und Position der Sonne aufgrund der atmosphärischen Refraktion bei Sonnenaufgang beziehungsweise bei Sonnenuntergang. Kuevette.Zuckerloesung.Laserstrahl.P1033789.jpg|Roter Laserstrahl auf einer Zykloidenbahn in einer Küvette mit Zuckerlösung, die nach unten hin eine immer größere Massendichte und optische Dichte aufweist, so dass der Brechungsindex auf dem Lichtweg stetig größer wird. </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Optische Achse== [[Datei:Optische.Achse.png|mini|hochkant=2|Optische Achse]] Die '''optische Achse''' beschreibt in der geometrischen Optik die Rotationsachse aller rotationssymmetrischen Bestandteile einer optischen Abbildung oder eines optischen Systems. Schnittebene von zweidimensionalen Skizzen werden üblicherweise durch die optische Achse gelegt, so dass die Schnitte der rotationssymmetrischen optischen Elemente an dieser Achse gespiegelt dargestellt werden. Die optische Achse wird in solchen Skizzen immer als Strichpunktlinie dargestellt. <div style="clear:both"></div> ==Hauptebenen== [[Datei:Hauptebene.png|mini|hochkant=1.5|Ein aus dem Objektraum links der Hauptebene kommender Lichtstrahl (gestrichelte Linie) wird an der Hauptebene H (blau) in den Bildraum rechts der Hauptebene abgelenkt]] '''Hauptebenen''' stehen in der Regel senkrecht zur optischen Achse. Sie beschreiben vereinfacht betrachtet Flächen, an denen alle Strahlen in einem optischen Strahlengang gebrochen oder gespiegelt werden, und sie teilen den '''Objektraum''' links der Hauptebene vom '''Bildraum''' rechts der Hauptebene. In der Praxis gilt dies mit hinreichender Genauigkeit häufig nur für achsnahe Strahlen ('''paraxialer''' Strahlengang mit '''Gaußschen Strahlen'''). Bei '''konvergenten''' Systemen werden die Strahlen zur optischen Achse abgelenkt, und bei '''divergenten''' Systemen werden die Strahlen von der optischen Achse weggelenkt. Von den Hauptebenen werden in Richtung der optischen Achse '''Brennweiten''', '''Objektweiten''' und '''Bildweiten''' gemessen. Die Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse werden als '''Hauptpunkte''' bezeichnet. Lichtstrahlen, die durch einen Hauptpunkt gehen, heißen '''Hauptstrahlen''' und werden nicht abgelenkt. <div style="clear:both"></div> ==Optische Flächen== [[Datei:Lens shapes 2.svg|mini|hochkant=1.5|Verschiedene Linsenformen mit ihren beiden Hauptebenen H und H':<br/> 1: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 2: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 3: plankonvexe Sammellinse mit <math>r_2 = \infty</math><br/> 4: konvex-konkave Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 5: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 6: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math><br/> 7: plankonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 = \infty</math><br/> 8: konvex-konkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math>]] Licht kann an den Flächen zwischen optischen Medien durch '''Lichtbrechung''' ('''Refraktion''') oder an Oberflächen durch '''Spiegelung''' ('''Reflexion''') abgelenkt werden. Optische '''Linsen''' sind lichtdurchlässig (transparent) und haben zwei optisch aktive Oberflächen, und '''Spiegel''' haben eine reflektierende Oberfläche. Linsen- und Spiegeloberflächen können eben ('''plan'''), nach außen gewölbt ('''konvex''') oder nach innen gewölbt ('''konkav''') sein. Bei Linsen können die beiden optisch aktiven Oberflächen verschiedene Wölbungen und Formen haben. Beidseitig konvexe ('''bikonvexe''') sowie '''plankonvexe''' Linsen sammeln das einfallende Licht und werden deswegen '''Sammellinsen''' genannt. Beidseitig konkave ('''bikonkave''') sowie '''plankonkave''' Linsen zerstreuen einfallendes Licht und werden deswegen '''Zerstreuungslinsen''' genannt. Bei konvex-konkaven und konkav-konvexen Linsen wird die Gesamtwirkung des Sammelns oder Zerstreuens durch die Oberfläche mit der stärkeren Krümmung bestimmt: ist diese konvex, handelt es sich um eine Sammellinse, ist diese konkav, handelt es sich um eine Zerstreuungslinse. Bei Spiegeloberflächen verhält es sich umgekehrt: ist die Spiegeloberfläche konkav, handelt es sich um einen lichtsammelnden Spiegel (auch '''konkaver Spiegel''' oder '''Hohlspiegel'''), ist die Spiegeloberfläche konvex, handelt es sich um einen lichtzerstreuenden Spiegel (auch '''konvexer Spiegel''',''' Wölbspiegel''' oder '''Zerstreuungsspiegel'''). Ein Spiegel mit ebener Oberfläche wird als '''Planspiegel''' bezeichnet, bei dem die Hauptebene mit der Oberfläche identisch ist. Linsen haben stets zwei '''Hauptebenen''', die in der Regel objektseitig mit '''H''' und bildseitig mit '''H'''' bezeichnet werden. Die entsprechenden '''Hauptpunkte''' können insbesondere bei plankonvexen oder plankonkaven Linsen mit den Scheitelpunkten der Linsenoberflächen auf der optischen Achse übereinstimmen. Bei bikonvexen und bikonkaven Linsen liegen die Hauptpunkte jedoch zwischen den Scheitelpunkten der Linse. Bei konkav-konvexen beziehungsweise konvex-konkaven Linsen kann ein Hauptpunkt oder können sogar beide Hauptpunkte außerhalb des Linsenkörpers liegen. Zwischen den beiden Hauptebenen einer Linse verlaufen alle Strahlen rechnerisch betrachtet parallel zur optischen Achse. Die Hauptstrahlen verlaufen zwischen den beiden Hauptebenen entlang der optischen Achse. Im folgenden Beispiel für eine Sammellinse wird dieses Verhalten verdeutlicht: [[Datei:Strahlengang.Hauptebenen.Sammellinse.png|mini|zentriert|Strahlengang über die beiden Hauptebenen H und H' bei einer Sammellinse.]] Bei hinreichend '''dünnen Linsen''' fallen die beiden Hauptebenen annähernd zu einer einzigen Hauptebene in der Mitte der Linse zusammen, so dass sich Berechnungen und graphische Darstellungen mit nur einer Hauptebene deutlich vereinfachen lassen. Von dünnen Linsen wird gesprochen, wenn die Brennweite <math>f</math> und somit auch die Radien der Linsenoberflächen <math>R_1</math> und <math>R_2</math> deutlich größer sind als die entlang der optischen Achse zwischen den beiden Linsenscheitelpunkten gemessene Dicke <math>d</math> einer Linse: :<math>R_1, R_2 > f \gg d</math> Optische Systeme, wie zum Beispiel ein Objektiv mit zahlreichen Linsen, können sehr viele Hauptebenen haben, die nicht notwendigerweise alle im optischen System liegen müssen, wie zum Beispiel bei [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Retrofokusobjektiv|Retrofokusobjektiven]] oder [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telefokusobjektiv|teleskopischen Objektiven]]. Messtechnisch können von außen unmittelbar nur die Lagen der beiden äußersten Hauptebenen eines optischen Systems bestimmt werden. Bei Zoomobjektiven, also bei Objektiven mit variabler Brennweite, variiert die Lage der Hauptebenen mit der Einstellung der Brennweite. Auch bei Objektiven mit innenliegender Fokussierung verändert sich beim Scharfstellen von Objekten in der Bildebene die Lage von Hauptebenen zueinander. '''Schnittweiten''' werden ebenfalls entlang der optischen Achse gemessen, in der Regel jedoch nicht von einer Hauptebene aus, sondern vom Scheitelpunkt der nächstgelegenen gekrümmten und zu untersuchenden optischen Fläche. Dieser Scheitelpunkt befindet sich im Schnittpunkt der optischen Achse mit der gekrümmten optischen Fläche. <div style="clear:both"></div> ==Bildwinkel== [[Datei:Bildwinkel.png|hochkant=2|miniatur|Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildweite <math>b</math> und Bilddiagonale <math>d</math> mit Berücksichtigung der Objektgröße <math>G</math> und der Bildgröße <math>B</math>]] Der '''Bildwinkel''' <math>\alpha</math> ist der ebene Winkel, innerhalb dessen das reelle Bild des Objektes in der '''Bildebene''' vom bildseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann. Er wird durch die äußeren zur Abbildung beitragenden Hauptstrahlen gebildet, die durch den Hauptpunkt gehen. Mathematisch ist der Bildwinkel wie folgt definiert, wenn die '''Bildgröße''' (sie wird manchmal auch als Bildhöhe bezeichnet) <math>B</math> beziehungsweise der Radius des '''Bildkreises''' <math>r</math> von der optischen Achse aus gemessen ist und <math>b</math> die '''Bildweite''' zwischen Hauptebene und Bildebene darstellt: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {B}{b} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{b}</math>, wobei der Radius des Bildkreises <math>r</math> gleich dem halben Bildkreisdurchmesser <math>d</math> ist: :<math>r = B = \frac {d}{2}</math> Die Bildweite ergibt sich daraus folgendermaßen: :<math>b = \frac {r}{\tan \frac {\alpha}{2}} = \frac {d}{2 \cdot \tan \frac {\alpha}{2}}</math> Der '''Objektwinkel''' ist der ebene Winkel, innerhalb dessen ein abgebildetes Objekt in der '''Objektebene''' (respektive in der '''Schärfeebene''') vom objektseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann, und er ist mit dem Bildwinkel <math>\alpha</math> identisch. Daher können unter Berücksichtigung des [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Abbildungsma.C3.9Fstab|Abbildungsmaßstabs]] auch die '''Objektgröße''' (sie wird auch als '''Gegenstandshöhe''' oder '''Gegenstandsgröße''' bezeichnet) <math>G</math> beziehungsweise der Radius des '''Objektkreises''' von der optischen Achse aus gemessen und die '''Objektweite''' (sie wird auch als '''Gegenstandsweite''' bezeichnet) <math>g</math> zwischen Hauptebene und Objektebene zur Berechnung des Bildwinkels herangezogen werden: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {G}{g}</math> Wegen der ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke gilt, dass die Verhältnisse der Katheten gleich sind: :<math>\frac {B} {b} = \frac {G} {g}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {B} {G} = \frac {b} {g}</math> <div style="clear:both"></div> ==Brennweite== [[Datei:Brennweite.png|mini|hochkant=2|Brennweite f zwischen einer Hauptebene H und dem Brennpunkt F bei einer optischen Abbildung]] [[Datei:Objektweite.unendlich.png|mini|hochkant=2|Bildhöhe c in der Brennebene in Abhängigkeit der Richtung γ eines unendlich entfernten Objektes zur optischen Achse]] Die '''Brennweite''' <math>f</math> ist bei einer optischen Abbildung mit lichtsammelnden Elementen definiert als die von der letzten Hauptebene gemessene Schnittweite paraxialer Lichtstrahlen bei unendlicher '''Objektweite''' <math>a</math>. In diesem Fall schneiden sich die Strahlen im bildseitigen '''Brennpunkt''' und die '''Bildweite''' <math>b</math> ist identisch mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>f = b_{a=\infty}</math> Die Brennweite kann also als Bildweite gemessen werden, wenn die Objektweite unendlich ist. Der Kehrwert der Brennweite wird '''Brechkraft''' <math>D</math> genannt: :<math>D = \frac {1} {f}</math> Die Maßeinheit der Brechkraft ist eine Dioptrie, die identisch ist mit der Maßeinheit <math>\frac {1} {\text{m}}</math> (Eins durch Meter). Die Brechkraft wird häufig in der Augenoptik verwendet, um die Brechkraft von Sehhilfen zu charakterisieren. Sammellinsen wie auch Hohlspiegel haben eine positive Brechkraft und können eine Weitsichtigkeit (Hyperopie) kompensieren. Zerstreuungslinsen wie auch Wölbspiegel haben eine negative Brechkraft und können eine Kurzsichtigkeit (Myopie) kompensieren. Liegt das Objekt außerhalb der optischen Achse, wird es nicht in den Brennpunkt abgebildet, sondern in die '''Brennebene''', die durch den Brennpunkt geht und senkrecht auf der optischen Achse steht. Für ein Objekt mit unendlicher Objektweite, das zur optischen Achse unter dem Winkel <math>\gamma</math> erscheint, ergibt sich bei gegebener bildseitiger Brennweite <math>f'</math> die von der optischen Achse gemessene Bildhöhe <math>c</math> wie folgt: :<math>c = f' \tan \gamma</math> Oder nach Umstellung aufgelöst nach dem Winkel <math>\gamma</math> in Abhängigkeit der beiden Längen: :<math>\gamma = \arctan \frac {c} {f'}</math> Wenn die Bilddiagonale eines Rechteckes beziehungsweise der Bildkreisdurchmesser <math>d</math> bekannt sind, ergibt sich die Brennweite als Funktion des (diagonalen) Bildwinkels <math>\alpha</math> zu: :<math>f = \frac {d} {2 \cdot \tan \frac {\alpha} {2}}</math> Beziehungsweise umgekehrt, der Bildwinkel <math>\alpha</math> als Funktion der Brennweite <math>f'</math>: :<math>\alpha = 2 \arctan {\frac {d} {2 \cdot f'}}</math> Ein Objekt, das in der Brennebene liegt, wird ins Unendliche abgebildet, und der objektseitige Brennpunkt wird bildseitig daher auf der optischen Achse ins Unendliche abgebildet. Wegen der '''Dispersion''' kann die Brennweite bei der Verwendung von brechenden Materialien von der Wellenlänge der abbildenden Strahlen abhängen: → Siehe hierzu auch '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Chromatische_Aberration|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Chromatische Aberration"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Normalbrennweite=== Die Brennweite ist bei einer optischen Abbildung nicht ausreichend, um die Größe einer Aufnahme zu kennzeichnen. In einigen Fällen ist die Bildgröße standardisiert, wie zum Beispiel beim rechteckigen Format des Kleinbildfilms, so dass aus der Angabe einer beliebigen Brennweite auch auf den maximal möglichen Bildwinkel der '''Bilddiagonale''' beziehungsweise des '''Bildkreisdurchmessers''' geschlossen werden kann. Es kann eine empirisch zu bestimmende '''Normalbrennweite''' definiert werden, bei der ein Bild mit dem Bildwinkel aufgenommen wird, mit dem das abgebildete Objekt mit bloßem Auge bei hinreichender Auflösung gesehen werden kann. Dies ist der Fall, wenn der Bildwinkel des Auges wegen der physiologischen Schwankungsbreite ungefähr zwischen 40° und 55° liegt. Brennweiten, die kürzer als die Normalbrennweite sind, erzeugen weitwinklige Aufnahmen mit größeren Bildwinkeln, und Brennweiten, die länger als die Normalbrennweite sind, erzeugen teleskopische Aufnahmen mit kleineren Bildwinkeln. Die Größenverhältnisse der in unterschiedlichen Entfernungen aufgenommenen Gegenstände innerhalb einer Aufnahme ändern sich deutlich mit der Brennweite. Beim durch den 35-Millimeter-Film (Kleinbildfilm) im 20.&nbsp;Jahrhundert sehr weit verbreiteten Kleinbildformat mit einer Bildbreite <math>b</math> von 36 Millimetern und einer Bildhöhe <math>h</math> von 24 Millimetern hat sich eine Normalbrennweite <math>f_\text{norm, Kleinbild}</math> von :<math>f_\text{norm, Kleinbild} = 50 \, \text{mm}</math> etabliert. Bei diesem Format ergibt sich rechnerisch eine Bilddiagonale beziehungsweise ein Bildkreisdurchmesser <math>d</math> von: :<math>d_\text{Kleinbild} = \sqrt {b_\text{Kleinbild}^2 + h_\text{Kleinbild}^2} = \sqrt {{(36 \, \text{mm})}^2 + {(24 \, \text{mm})}^2} \approx 43{,}3 \, \text{mm}</math> [[Datei:Sensorformate.svg|hochkant=2|miniatur|Bildsensorgrößen im Vergleich]] Da alle Hersteller von Kleinbildkameras dieselbe, fest vorgegebene Bildgröße verwenden, ist dem Photographen bei diesem Bildformat bekannt, dass ein Objektiv mit Normalbrennweite eine Brennweite von 50&nbsp;Millimetern hat. Bei anderen Bildformaten und -größen, wie sie zum Beispiel in der digitalen Photographie verwendet werden, ergeben sich zwangsläufig andere Normalbrennweiten, so dass aus der Angabe der Brennweite allein noch nicht folgt, welche Bildgröße oder welcher Bildwinkel bei der optischen Abbildung berücksichtigt wurde. Abgesehen von einigen digitalen Systemkameras mit Bildsensoren im Kleinbildformat gibt es viele verschiedene Bildsensorgrößen und damit Normalbrennweiten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Lichtwandlung#Bildsensoren|Bildsensoren]]). Zur Bestimmung von Normalbrennweiten kann das Verhältnis <math>c</math> zwischen Normalbrennweite und Bildkreisdurchmesser verwendet werden, das sich beim Kleinbildfilm ergibt: :<math>c = \frac {f_\text{norm, Kleinbild}}{d_\text{Kleinbild}} \approx 1{,}16</math> Anhand der effektiven Bilddiagonalen <math>d</math> kann somit die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> berechnet werden: :<math>f_\text{norm} = c \cdot d</math> Beim Sonderfall '''unendlicher Objektweite''' <math>a</math> sind Bildweite <math>a'</math> und Brennweite <math>f</math> identisch, und der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> kann leicht aus der Brennweite <math>f</math> und dem Radius des Bildkreises <math>r</math> berechnet werden: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{f}</math> Am Beispiel des Kleinbildformates ergibt sich der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> also wie folgt: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {21{,}63 \, \text{mm}} {50 \, \text{mm}} = 46{,}8^\circ</math> Dieser Bildwinkel kann auch bei alle anderen Bildformaten eingesetzt werden. Die Normalbrennweite kann mithilfe des Bildwinkels bei der Normalbrennweite bei unendlicher Objektweite auch aus der Brennweite und dem dazugehörigen Bildwinkel bestimmt werden: :<math>f_\text{norm} = f \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Ferner lässt sich auch die Bilddiagonale berechnen, wenn die Brennweite bekannt ist und der Bildwinkel gemessen werden kann: :<math>d = \frac {f_\text{norm}} {c} = \frac {f} {c} \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Für einige gängige Bildsensorformate resultieren die folgenden Bilddiagonalen und Normalbrennweiten, sowie die entsprechenden Schärfentiefebereiche (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sch.C3.A4rfentiefe|Schärfentiefe]]) für menschliche Betrachter beispielsweise bei einer Blendenzahl von 2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Blendenzahl|Blendenzahl]]) und einer Objektweite von einem Meter. Ferner die Bildpunktgröße bei 16&nbsp;Millionen quadratischen Bildpunkten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Punktabstand|Punktabstand]]), der dazugehörige tolerierbare Fokussierungsfehler in der Bildebene bei der Blendenzahl&nbsp;2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Fokussierungsfehler|Fokussierungsfehler]]) und der Durchmesser des entsprechenden Beugungsscheibchens für grünes Licht mit der Wellenlänge 550 Nanometer (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]): {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Bildsensorgröße<br />Bezeichnung !Bilddiagonale<br /><math>d</math> in Millimetern !Normalbrennweite<br /><math>f_\text{norm}</math> in Millimetern !Schärfentiefe in mm<br />bei Blendenzahl 2,0 und<br />Objektweite 1 m !Bildpunktgröße<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei 16 Millionen Bildpunkten !Maximal zulässiger Fokussierungsfehler<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei Blendenzahl 2,0 !Maximale Blendenzahl<br />ohne Beugungsbegrenzung<br />auf dem Bildsensor |- | 1/3,2″ || 5,6 || 6,5 || 360 || 0,99 || 2,0 || 0,74 |- | 1/2,7″ || 6,0 || 7,0 || 330 || 1,06 || 2,1 || 0,79 |- | 1/2,5″ || 6,4 || 7,5 || 310 || 1,13 || 2,3 || 0,84 |- | 1/2,3″ || 7,7 || 8,9 || 260 || 1,4 || 2,7 || 1,0 |- | 1/1,8″ || 8,9 || 10 || 240 || 1,57 || 3,1 || 1,2 |- | 2/3″ || 11,0 || 13 || 170 || 1,94 || 3,9 || 1,4 |- | 1" || 15,9 || 18 || 130 || 2,8 || 5,6 || 2,0 |- | 4/3″ || 21,6 || 25 || 90 || 3,8 || 7,6 || 2,8 |- | APS-C || 26,8 bis 28,4 || 31 bis 33 || 70 || 5 || 10 || 3,5 |- | Kleinbildformat || 43,3 || 50 || 44 || 8 || 15 || 5,6 |- | Mittelformat || 50 bis 70 || 60 bis 80 || 30 || 11 || 20 || 8,0 |} Wesentliche Unterschiede von Bildsensoren ergeben sich indirekt durch eine unterschiedliche Schärfentiefe <math>\Delta_d</math> bei gleichem Bildwinkel und gleicher Blendenzahl. Dabei gilt näherungsweise bei gleicher Anzahl der Bildpunkte (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildauflösung|Bildauflösung]]): :<math>\Delta_d \propto \frac {1} {d}</math> Es ergibt sich bei der Verdopplung der Bilddiagonale <math>d</math> also in etwa eine Halbierung der Schärfetiefe. Bei großen Bildsensorformaten ist die Schärfentiefe bei offener Blende möglicherweise so stark eingeschränkt, dass abgeblendet werden muss. Ferner kann es bei der Verwendung von zusätzlichen Einstellhilfen für die Bildschärfe wie zum Beispiel Einstellscheiben oder Autofokussystemen bei kleinen Bildsensoren leicht zu Fokussierungsfehlern kommen, so dass das Bild auf dem Sensor nicht hinreichend scharf aufgenommen werden kann. ==Abbildungsmaßstab== [[Datei:Abbildungsgleichung.png|hochkant=2.5|miniatur|Parameter der Abbildungsgleichung bei einem konvergenten Strahlengang]] [[Datei:Lens and wavefronts rotated.gif|mini|Die Ausbreitungsrichtung der von einem Objektpunkt in unendlicher Objektentfernung ausgehenden, ebenen Wellenfronten steht überall senkrecht auf diesen Wellenfronten. Dies ist auch nach dem Passieren eines optischen Systems der Fall, so dass sich die Wellenfronten bei einer optischen Abbildung im Bild zu einem Punkt vereinigen.]] [[Datei:Virtuelle.Abbildung.png|thumb|hochkant=2|miniatur|Geometrische Verhältnisse bei einer '''virtuellen Abbildung''':<br/> Das virtuelle Bild eines zwischen der objektseitigen Brennebene und der Hauptebene befindlichen Objekts kann von rechts der Hauptebene aus betrachtet werden und entsteht von dort aus gesehen hinter dem Objekt vergrößert im Objektraum. Anders als ein reelles Bild kann es in der Bildebene '''nicht''' mit einem Schirm aufgefangen werden. Der objektseitige Brennpunkt (nicht dargestellt) befindet sich bei einer virtuellen Abbildung immer vor der Objektebene auf der optischen Achse.]] Bei photographischen Aufnahmen mit gegebener Brennweite <math>f</math> gilt die '''Abbildungsgleichung''' (umgangssprachlich auch "Linsenformel"), die den Zusammenhang zwischen Objektweite <math>a</math> und Bildweite <math>a'</math> herstellt: :<math>\frac {1} {f} = \frac {1} {a} + \frac {1} {a'}</math> oder anders ausgedrückt: :<math>f = \frac {a \cdot a'} {a + a'}</math> Aus diesen Längen lässt sich der '''Abbildungsmaßstab''' <math>\beta</math> berechnen. Dieser kann bei sowohl aus dem Verhältnis von Bildweite <math>a'</math> zu Objektweite <math>a</math> (auch Gegenstandsweite genannt), als auch aus dem Verhältnis von Bildgröße <math>y'</math> zu Objektgröße <math>y</math> (auch Gegenstandsgröße genannt) berechnet werden: :<math>\beta = \frac {a'} {a}= \frac {y'} {y} = \frac {a'} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a} {f} - 1}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {1} {\beta} = \frac {a} {a'}= \frac {y} {y'} = \frac {a} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a'} {f} - 1}</math> Hieraus ergibt sich unmittelbar, dass der Abbildungsmaßstab genau dann den Betrag Eins annimmt, wenn sowohl Objektweite als auch Bildweite doppelt so groß sind wie die Brennweite: :<math>a = 2 \cdot f \rightarrow a' = 2 \cdot f' \rightarrow | \beta | = 1</math> Bei reellen Abbildungen aus dem Unendlichen, also mit unendlicher Objektweite (<math>a = \infty</math>), ist der Abbildungsmaßstab in der Brennebene Null (<math>a' = f'</math>). Die Größe des abgebildeten Punkts hat in der Brennweite <math>f'</math> dann allerdings nicht den geometrisch sich ergebenen Durchmesser Null, sondern wird durch den Durchmesser des Beugungsscheibchens begrenzt (siehe hierzu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]). Wegen der Umkehrbarkeit der Lichtwege in einem optischen System ergeben sich die entsprechenden Verhältnisse auch bei der Abbildung eines Objektpunkts in der Brennebene bei der Objektweite <math>a = f</math> nach Unendlich (<math>a' = \infty</math>). Umgeformt nach der Bildweite <math>a'</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a'} = \frac {y'} {y} \cdot a = \beta \cdot a = \frac {1} {\frac {1}{f} - \frac {1} {a}} = ({\beta} + 1) \cdot f</math> Und umgeformt nach der Objektweite <math>a</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a} = \frac {y} {y'} \cdot a' = \frac {a'}{\beta} = \frac {1} {\frac {1} {f} - \frac {1} {a'}} = \left( \frac {1} {\beta} + 1 \right) \cdot f</math> Desgleichen können die Objektröße <math>y</math> und die Bildgröße <math>y'</math> ausgerechnet werden: :<math>{y} = \frac {y'} {\beta} = \frac {y'} {\frac {a'} {f} - 1} = \left( \frac {a} {f} - 1 \right) \cdot y'</math> :<math>{y'} = \beta \cdot y = \left( \frac {a'} {f} - 1 \right) \cdot y = \frac {y} {\frac {a} {f} - 1}</math> Bei der gleichzeitigen Aufnahme von Objekten mit verschiedener Objektweite (innerhalb des hinreichend scharf abgebildeten Schärfentiefebereiches) ergeben sich also zwangsläufig unterschiedliche Abbildungsmaßstäbe. Dieser Effekt kann bei Aufnahmen, bei denen es auf Maßhaltigkeit ankommt (zum Beispiel bei einer Industrieanlagenüberwachung, in der Photogrammetrie oder bei der Portraitphotographie), dadurch reduziert werden, dass eine größere Brennweite und entsprechend größere Objektweiten gewählt werden. Alternativ ist der Einsatz von beidseitig telezentrischen Objektiven möglich, bei denen der Abbildungsmaßstab weder von der Objektweite noch von der Bildweite abhängt (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telezentrie|Telezentrie]]). Für zwei Gegenstände mit einem Abstand von zehn Einheiten ergeben sich bei drei verschiedenen Brennweiten beispielsweise die folgenden Abbildungsmaßstäbe: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Brennweite<br/><math>f</math> !Objektweite<br/><math>a</math> !Abbildungsmaßstab<br/><math>\beta</math> !Abweichung der<br/>Abbildungsmaßstäbe |- | rowspan="2" | 10 | 100 | 0,1111 | rowspan="2" | 11,1% |- | 110 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 100 | 1090 | 0,1010 | rowspan="2" | 1,0% |- | 1100 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 1000 | 10990 | 0,1001 | rowspan="2" | 0,1% |- | 11000 | 0,1000 |} <div style="clear:both"></div> ===Abbildung über zwei Hauptebenen=== [[Datei:Optische Abbildung.mit.zwei.Hauptebenen.png|mini|rechts|hochkant=2|Optische Abbildung eines Objekts in der Gegenstandsebene G in der Objektweite a mit der Objektgröße y über zwei Hauptebenen H und H' mit dem Abstand x in die Bildebene B in der Bildweite a' mit der Bildgröße y'. Der objektseitige Brennpunkt F befindet sich in der Brennweite f vor der Hauptebene H, und der bildseitige Brennpunkt befindet sich in der Brennweite f' hinter der Hauptebene H'. Die Gesamtlänge s des Strahlengangs ist durch den Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B bestimmt.]] Optische Systeme, die für die Erzeugung von reellen Bildern von Objekten eingesetzt werden, bestehen in der Regel aus Objektiven mit mehreren Linsen. Jede Linse hat zwei Hauptebenen, an denen die Lichtstrahlen abgelenkt werden können. Von außen sind jedoch nur die objektseitige Hauptebene H und die bildseitige Hauptebene H' des gesamten optischen Systems relevant. Zwischen den Hauptebenen verlaufen alle abgelenkten Strahlen parallel zur optischen Achse. Deswegen reicht es häufig, ein optisches System nur durch diese beiden im Abstand <math>x</math> voneinander befindlichen Hauptebenen H und H' zu beschreiben und zu untersuchen. Der Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B ist dann die Summe <math>s</math> von Objektweite <math>a</math>, Abstand der Hauptebenen <math>x</math> und der Bildweite <math>a'</math>: :<math>s = a + x + a'</math> Aus den geometrischen Verhältnissen ergibt sich mit den oben genannten Größen für die Brennweite <math>f</math> und für den Abbildungsmaßstab <math>\beta</math>: :<math>s = x + f \cdot \left( \beta + \frac {1} {\beta} + 2 \right) \ge x + 4 \cdot f</math> <div style="clear:both"></div> ===Relativer Abbildungsmaßstab=== Um ein von der Brennweite und der Bildgröße unabhängiges Maß zu gewinnen, kann das Verhältnis des tatsächlichen Abbildungsmaßstabes <math>\beta</math> zum entsprechenden Abbildungsmaßstab bei der Normalbrennweite <math>\beta_\text{norm}</math> gebildet werden, der sogenannte '''relative Abbildungsmaßstab''' <math>\beta_\text{rel}</math>: :<math>\beta_\text{rel} = \frac {\beta}{\beta_\text{norm}}</math> Bei der Normalbrennweite ist der relative Abbildungsmaßstab eins, bei weitwinkligen Aufnahmen ist er kleiner als eins und bei teleskopischen Aufnahmen ist er größer als eins. <div style="clear:both"></div> ==Zoomfaktor== [[Datei:Standardzoom.png|mini|rechts|hochkant=2|Standardzoom mit Bildwinkeln zwischen leicht weitwinkliger und leicht teleskopischer Wirkung. Bei mittlerer Brennweite sind in etwa die Normalbrennweite und der Normalwinkel eingestellt.]] Der '''Zoomfaktor''' <math>z</math> von Objektiven, die in der Brennweite variabel sind, wird traditionell als Verhältnis der Extrembrennweiten angegeben: :<math>z = \frac {f_\text{tele}} {f_\text{weit}}</math> Dieser Wert ist bei '''unendlicher Objektweite''' identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise relativen Abbildungsmaßstäbe: :<math>z = \frac {\beta_\text{weit}} {\beta_\text{tele}} = \frac {\beta_\text{rel, weit}} {\beta_\text{rel, tele}}</math> Dies ist zwar ein einfacher Ansatz, da die Brennweiten als Kenndaten des Zoomobjektivs in der Regel angegeben werden, dieser lässt jedoch unbeachtet, dass die perspektivische Wirkung einer optischen Abbildung nicht von der Brennweite, sondern vom Bildwinkel bestimmt wird und bei Vergrößerungen der Abbildungsmaßstab einen viel entscheidenderen Einfluss hat. Bei einer Verdopplung der Brennweite ist es bei hinreichend geringer Objektweite ohne weiteres möglich, einen zehn Mal größeren Abbildungsmaßstab respektive einen zehn Mal kleineren Bildwinkel zu erreichen. Der Zoomfaktor ist also nur eine Kenngröße, die die Verhältnisse der Abbildungsmaßstäbe bei unendlicher Objektweite angeben. Für Objektweiten in der Größenordnung der Brennweite <math>f</math> ist das Verhältnis der Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise der Bildwinkel erheblich aussagekräftiger als der Zoomfaktor. Die folgende Tabelle gibt für eine Objektweite von <math>g = 1000</math> Längeneinheiten die Verhältnisse der Brennweiten, Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel bei verschiedenen Brennweiten bezogen auf die Bezugsbrennweite <math>f_{0} = 10</math> (dies entspricht einem Abbildungsmaßstab von <math>\beta_{0} = \frac {1} {99}</math>, einer Bildweite von <math>b_{0} = 10{,}101</math>, einer Bilddiagonale von <math>d = 8{,}7</math>, wenn <math>f_{0}</math> die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> des Systems ist, und einem Bildwinkel von <math>\alpha_{0} = \alpha_{\text{norm},\,\infty} = 46{,}8^\circ</math>) an: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" |+ Abbildungsverhältnisse bei konstanter Objektweite g = 1000 !<br/>Brennweite<br/><math>f</math> !<br/>Bildweite<br/><math>b</math> !Abbildungs-<br/>maßstab<br /><math>\beta</math> !<br/>Bildwinkel<br/><math>\alpha</math> in ° !Verhältnis der<br/>Brennweiten<br /><math>f / f_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Abbildungsmaßstäbe<br /><math>\beta / \beta_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Bildwinkel<br /><math>\alpha_{0} / \alpha</math> |- | 0,999 || 1,000 || 1/1000 || 154 || 0,100 || 0,099 || 0,303 |- | 1,996 || 2,000 || 1/500 || 131 || 0,200 || 0,198 || 0,358 |- | 4,975 || 5,000 || 1/200 || 82,3 || 0,498 || 0,495 || 0,568 |- | 9,901 || 10,00 || 1/100 || 47,2 || 0,990 || 0,990 || 0,991 |- | '''10,00''' <math>= f_{0}</math> || 10,10 || 1/99 <math>= \beta_{0}</math> || 46,8 <math>= \alpha_{0}</math> || '''1,00''' || '''1,00''' || '''1,00''' |- | 19,61 || 20,00 || 1/50 || 24,7 || 1,96 || 1,98 || 1,90 |- | 38,46 || 40,00 || 1/25 || 12,5 || 3,85 || 3,96 || 3,75 |- | 100 || 111,1 || 1/9 || 4,51 || 10 || 11 || 10,4 |- | 200 || 250,0 || 1/4 || 2,00 || 20 || 24,75 || 23,4 |- | 250 || 333,3 || 1/3 || 1,50 || 25 || 33 || 31,1 |- | 333 || 500,0 || 1/2 || 1,00 || 33,3 || 49,5 || 46,7 |- | 400 || 666,7 || 2/3 || 0,751 || 40 || 66 || 62,3 |- | 500 || '''1000''' <math>= g</math> || '''1''' || 0,501 || 50 || 99 || 93,4 |- | 667 || 2000 || 2 || 0,250 || 66,7 || 198 || 187 |- | 750 || 3000 || 3 || 0,167 || 75 || 297 || 280 |- | 833 || 5000 || 5 || 0,100 || 83,3 || 495 || 467 |- | '''1000''' <math>= g</math> || ∞ || ∞ || 0,000 || 100 || ∞ || ∞ |} Hier ist zu erkennen, dass bei zunehmenden Bildweiten die Verhältnisse der Brennweiten von denen der Abbildungsmaßstäbe und denen der Bildwinkel deutlich auseinanderlaufen; die Unterschiede der Abbildungsmaßstäbe und der Bildwinkel werden im Vergleich zu den Unterschieden der Brennweiten immer größer und gehen gegen Unendlich. Anders bei kurzen Bildweiten: hier stimmen die Verhältnisse der Brennweiten gut mit denen der Abbildungsmaßstäbe überein, jedoch ist die Zunahme der Bildwinkel hierbei begrenzt, weil der maximale Bildwinkel auf 180° begrenzt ist. Das minimale Verhältnis der Bildwinkel ergibt sich folglich zu: :<math>\frac {\alpha_{0}} {\alpha_\text{max}} = \frac {46{,}8^\circ} {180^\circ} = 0{,}260</math> Ferner ist unbedingt zu beachten, dass sich insbesondere bei kompakten Objektiven mit innenliegender Fokussierung der Abbildungsmaßstab bei der Scharfstellung ändern kann, auch ohne dass die Brennweite gegebenenfalls variiert wird. <div style="clear:both"></div> ==Öffnung== [[Datei:Blendenlagen.png|mini|hochkant=2|Lage von Eintrittsluke, Aperturblende und Austrittsluke bei einer optischen Abbildung einer Objektebene (G) über eine Hauptebene (H) auf eine Bildebene (B)]] [[Datei:Einfallshoehe.png|mini|hochkant=2|Zur Definition der Einfallshöhe <math>H</math> eines Lichtstrahls, der parallel zur optischen Achse auf eine optische Fläche trifft. Ein Strahl mit der Einfallshöhe Null befindet sich auf der optischen Achse. Der maximale Wert der Einfallshöhe ist durch die Apertur begrenzt. Die Öffnungsweite <math>D</math> ist bei rotationssymmetrischen optischen Komponenten exakt doppelt so groß wie die maximale Einfallshöhe.]] Die '''Öffnung''' (oder auch '''Apertur''') eines rotationssymmetrisch konstruierten Objektivs wird durch den freien Durchmesser beschrieben, der nicht durch mechanische Vorrichtungen wie beispielsweise Kanten, Linsenfassungen oder Blenden begrenzt ist und welcher auch als '''Öffnungsweite''' <math>D</math> bezeichnet wird. Die virtuelle Öffnung von Objektiven kann durch das objektseitige und das bildseitige virtuelle Bild der '''Aperturblende''' beschrieben werden, die auch wirksame '''Eintrittspupille''' beziehungsweise wirksame '''Austrittspupille''' genannt wird. Liegt die Aperturblende vor der ersten Hauptebene der Abbildung (objektseitig) ist die wirksame Eintrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Liegt die Aperturblende hinter der letzten Hauptebene der Abbildung (bildseitig) ist die wirksame Austrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Idealerweise werden Aperturblenden in die Hauptebenen des Strahlengangs gelegt, damit sie den Bildausschnitt respektive den Bildwinkel der optischen Abbildung nicht beeinflussen. Mit einer solchen Aperturblende kann der Lichtstrom durch ein optisches System begrenzt werden. Mit variablen Aperturblenden (beispielsweise Irisblenden) kann der Lichtstrom in einem optischen System verändert werden. Befindet sich eine Blende in der Nähe der Objektebene oder der Bildebene, handelt es sich nicht um eine Aperturblende, sondern um eine '''Feldblende''', die den Bildausschnitt beziehungsweise den erfassten Bildwinkel unmittelbar auf die sogenannte '''Eintrittsluke''' (objektseitig) beziehungsweise '''Austrittsluke''' (bildseitig) begrenzt. Befinden sich solche Feldblenden nicht in der Nähe der Objekt- oder Bildebene, werden die entsprechenden Bilder dieser Feldblenden in der jeweiligen Ebene zur Bestimmung der effektiven Lukendurchmesser herangezogen. <div style="clear:both"></div> ===Blendenzahl=== Die dimensionslose '''Blendenzahl''' <math>k</math> eines Objektivs mit der Brennweite <math>f</math> und der Öffnungsweite <math>D</math> ist wie folgt definiert: :<math>k = \frac {f} {D}</math> Der Kehrwert der Blendenzahl wird als das '''Öffnungsverhältnis''' <math>V</math> bezeichnet: :<math>V = \frac {D} {f} = \frac {1} {k}</math> <gallery caption="Objektiv mit Irisblende zur Einstellung der Apertur (Brennweite 42,5 Millimeter)" perrow="2" widths="256" heights="256"> Datei:Objektiv.Blendenzahl.1.2.jpg|Maximale Apertur (Blendenzahl 1,2) Datei:Objektiv.Blendenzahl.16.jpg|Minimale Apertur (Blendenzahl 16) </gallery> Die Änderung der Blendenzahl um eine '''Blendenstufe''' kann sowohl durch Auf- als auch durch Abblenden erreicht werden, wobei sich die Blendenzahl um den Faktor Wurzel von zwei und der Lichtstrom im Objektiv um den Faktor zwei ändert. Je kleiner die Blendenzahl, desto mehr Licht trägt zur Abbildung bei und umgekehrt. Nach der Halbierung der Blendenzahl kommt vier Mal so viel Licht durch das Objektiv, bei der Verdopplung der Blendenzahl nur ein Viertel des Lichtes. Zwei Blendenzahlen <math>k_2</math> und <math>k_1</math> unterscheiden sich um die folgende Anzahl von Blendenstufen <math>\Delta n_k</math>: :<math>\Delta n_k = \log_{\sqrt{2}} {\frac {k_2} {k_1}} = \frac {\log {\frac {k_2} {k_1}}} {\log {\sqrt {2}}} = \frac {\log {k_2} - \log {k_1}} {\log {\sqrt {2}}}</math> Blendenzahlen werden häufig mit den folgenden elf Vorzugswerten angegeben, die sich jeweils um zirka eine Blendenstufe unterscheiden und demzufolge insgesamt zehn Blendenstufen umfassen: :1,0 - 1,4 - 2,0 - 2,8 - 4,0 - 5,6 - 8,0 - 11 - 16 - 22 - 32 [[Datei:Image.Size.png|miniatur|hochkant=2|rechts|Zum Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> bei konstanter Öffnungsweite <math>D</math>]] Hierbei ist zu beachten, dass die Blendenzahl <math>k</math> ohne die Angabe der gewählten Bildgröße <math>B</math> wenig Aussagekraft hat. Bei konstantem Bildwinkel <math>\alpha</math> und konstanter Öffnungsweite <math>D</math> ist nicht nur die zur optischen Abbildung beitragende Lichtmenge, sondern ist auch das Verhältnis zwischen Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> konstant, obwohl die Abbildungen mit unterschiedlichem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> beziehungsweise unterschiedlicher Brennweite <math>f</math> und somit auch mit unterschiedlicher Blendenzahl <math>k</math> gemacht werden. Für die Gegebenheiten in der Abbildung rechts gilt: :<math>\alpha = \text{const.}</math> :<math>D = \text{const.}</math> :<math>\frac {b_{1}} {B_{1}} = \frac {b_{2}} {B_{2}} = \text{const.}</math> Aber: :<math>k_{1} > k_{2}</math> :<math>\beta_{1} < \beta_{2}</math> :<math>f_{1} < f_{2}</math> <div style="clear:both"></div> ===Öffnungswinkel=== [[Datei:gegenstandsseitiger.und.bildseitiger.Oeffnungswinkel.png|mini|hochkant=2|Objektseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_g</math> und bildseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_b</math> in Abhängigkeit von Objektweite <math>g</math> beziehungsweise Bildweite <math>b</math> zur Öffnungsweite <math>D</math>]] Der '''Öffnungswinkel''' ist der Winkel unter dem die wirksame Öffnung mit der Öffnungsweite <math>D</math> eines Objektivs erscheint. Von einem Objektpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''objektseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_g</math>: :<math>\omega_g = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 g}</math> Der halbe objektseitige Öffnungswinkel wird auch '''Aperturwinkel''' genannt. Von einem Bildpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''bildseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_b</math>: :<math>\omega_b = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 b}</math> Der halbe bildseitige Öffnungswinkel wird auch '''Feldwinkel''' genannt. Die Öffnungswinkel dürfen nicht mit dem Bildwinkel verwechselt werden (siehe dazu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Bildwinkel|Bildwinkel]]). Bei unendlicher Objektweite ist die Bildweite <math>b</math> identisch mit der Brennweite <math>f</math>, so dass die Blendenzahl <math>k</math> folgendermaßen ausgedrückt werden kann: :<math>g \rarr \infty : k = \frac {f} {D} = \frac {b} {D} = \frac {1} {2 \tan {\frac {\omega_b} {2}}}</math> <div style="clear:both"></div> ===Sinusbedingungen=== [[Datei:Sinusbedingung.Interferenz.Hauptebene.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Interferenz der beiden Randstrahlen bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung eines Punktes P über eine Hauptebene H in die Bildebene B. Die Randstrahlen werden mit ebenen Wellen dargestellt, deren Maxima durch die Punkte und deren Minima durch die dünnen Linien senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gekennzeichnet sind. Auf der optischen Achse treffen im Bildpunkt zwei Maxima der beiden Randstrahlen aufeinander. Die Intensität in der Bildebene B nimmt seitlich zur optischen Achse bis zu den Stellen ab, wo zwei Minima der Randstrahlen aufeinandertreffen.]] [[Datei:Sinusbedingung.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Sinusbedingung bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung.]] Die beiden Öffnungswinkel stehen für Abbildungen, bei denen Öffnungsfehler (siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sphärische_Aberration|sphärische Aberration]]) keine Rolle spielen, über '''Sinusbedingungen''' in Beziehung. Im Folgenden wird etwas vereinfachend davon ausgegangen, dass die optische Abbildung eines Gegenstands mit der Objektgröße <math>G</math> in ein reelles Bild mit der Bildgröße <math>B</math> außerhalb des optischen Systems, das durch die Hauptebene <math>\text{H}</math> repräsentiert wird, vom gleichen optischen Medium (zum Beispiel Vakuum, Luft oder Flüssigkeit) mit konstanter Brechkraft umgeben ist. Ein kleiner flächenhafter Gegenstand mit der Objektgröße <math>G</math>, der senkrecht zur optischen Achse steht, kann nur dann hinreichend scharf mit der Bildgröße <math>B</math> senkrecht zur optischen Achse abgebildet werden, wenn alle Punkte des Gegenstands beim halben objektseitigen Öffnungswinkel innerhalb einer Wellenlänge <math>\lambda</math> einer ebenen Welle erfasst und alle Bildpunkte beim halben bildseitigen Öffnungswinkel ebenfalls innerhalb einer Wellenlänge einer ebenen Welle zu einem Bild zusammengesetzt werden können. Durch diese Voraussetzung kann vermieden werden, dass es im Bild Interferenzen gibt, die Kontraste erzeugen, die nicht dem Aussehen des abgebildeten Gegenstands entsprechen. Die daraus resultierende '''Abbesche Sinusbedingung''' gilt für eine in Bezug auf den Öffnungsfehler korrigierte Abbildung mit dem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> sowie für eine bestimmte Wellenlänge <math>\lambda</math> ('''monochromatisches Licht'''). Sie lautet wie folgt: :<math>\beta = \frac {B} {G} = \frac {b} {g} = \frac {\sin \frac {\omega_g} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> Diese Sinusbedingung kann auch in der Form der '''Helmholtz-Lagrange-Invariante''' geschrieben werden: :<math>B \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} = G \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} = \lambda</math> Mit dem halben bildseitigen Öffnungswinkel <math>\alpha_b = \frac {\omega_b} {2}</math> folgt aus dieser Beziehung die häufig angegebene Formulierung des maximalen Auflösungsvermögens respektive der kleinsten abzubildenden Struktur <math>B_{min}</math> nach Ernst Abbe: :<math>B_{min} = \frac {\lambda} {\sin \alpha_b}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Paraxiale Strahlengänge ==== Für paraxiale Strahlengänge können sehr kleine Öffnungswinkel angenommen werden, so dass dann die Sinūs durch die Argumente (im Bogenmaß) ersetzt werden können: :<math>\frac {B} {G} = \frac {\omega_g} {\omega_b}</math> Daraus folgt: :<math>B \cdot \omega_b = G \cdot \omega_g</math> Die '''paraxiale Optik''', die auch '''gaußsche Optik''' genannt wird, verwendet in der geometrischen Optik diese Näherung, bei der für eine optische Abbildung nur '''paraxiale Strahlen''' berücksichtigt werden. Diese haben lediglich kleine Winkel zur optischen Achse und befinden sich deswegen in der Regel in der Nähe der optischen Achse. <div style="clear:both"></div> ==== Schnittweite ==== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.png|mini|rechts|hochkant=2||Zur Schnittweite an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n < n'</math>.]] Die auf der optischen Achse gemessenen '''Schnittweiten''' <math>s</math> und <math>s'</math> beim Übergang an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n</math> und <math>n'</math> kann für paraxiale Strahlen leicht abgeschätzt werden. Hierbei gelten für den Grenzwert der Pfeilhöhe <math>p \rarr 0</math> (siehe nebenstehende Abbildung) die folgenden Näherungsgleichungen: :<math>\sin \alpha \approx \alpha</math> :<math>\sin \beta \approx \beta</math> :<math>\tan \gamma \approx \gamma \approx \frac {h} {s}</math> :<math>\tan (\alpha - \beta - \gamma) \approx \alpha - \beta - \gamma \approx \frac {h} {s'}</math> :<math>\tan (\alpha - \gamma) \approx \alpha - \gamma \approx \frac {h} {r}</math> Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt für achsnahe Strahlen die Näherung: :<math>n \, \alpha \approx n' \, \beta</math> Sowie: :<math>n' (\alpha - \beta - \gamma) = n' \, \alpha - n' \, \beta - n' \, \gamma \approx n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma</math> :<math>n \, \gamma + n' (\alpha - \beta - \gamma) \approx n \, \gamma + n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma = (n - n') \, (\gamma - \alpha) = (n' - n) \, (\alpha - \gamma)</math> :<math>n \, \frac {h} {s} + n' \, \frac {h} {s'} \approx (n' - n) \, \frac {h} {r}</math> Durch Kürzen der Höhe <math>h</math> ergibt sich schließlich eine Näherungsgleichung, die die '''Schnittweitengleichung''' einer sphärischen Fläche für paraxiale Strahlen darstellt: :<math>\frac {n} {s} + \frac {n'} {s'} \approx \frac {n' - n} {r}</math> Sie kann auch in Form der '''Abbeschen Invariante''' geschrieben werden: :<math>n \, \left( \frac {1} {r} + \frac {1} {s} \right) = n' \, \left( \frac {1} {r} - \frac {1} {s'} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt: :<math>s = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n'} {n' - n} \, r</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt: :<math>s' = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> <div style="clear:both"></div> ===== Dünne Linsen ===== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.bikonvex.png|mini|rechts|hochkant=2||Zu den Schnittweiten bei einer dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinse mit den Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> sowie dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem optisch dünneren Medium mit dem Brechungsindex <math>n < n'</math>.]] Bei einer '''dünnen Linse''' ist die Dicke zwischen den Scheitelpunkten ihrer brechenden sphärischen Oberflächen auf der optischen Achse im Vergleich zu den beiden Radien dieser Oberflächen sehr klein. Für eine '''dünne bikonvexe sphärische Sammellinse''' mit den beiden Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> und dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem die Linse umgebenden Medium mit dem Brechungsindex <math>n</math> ergibt sich die folgende entsprechende Beziehung für die Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx (n' - n) \, \left( \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt damit für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt entsprechend für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' wie Luft (<math>n \gtrapprox 1</math>) oder im Vakuum (<math>n = 1</math>), vereinfacht sich diese Näherungsformel für die Schnittweiten weiter zu: :<math>s' = s \approx \frac {1} {n' - 1} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Bei '''dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinsen''' kann das harmonische Mittel <math>\bar{r}_\text{harm}</math> der beiden Radien verwendet werden: :<math>\bar{r}_\text{harm} = \frac {2} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = 2 \cdot \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Daraus folgt für den für beide Linsenoberflächen gleichen Radius <math>r</math>, dass dieser halb so groß ist wie der harmonische Mittelwert: :<math>r = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2} = \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Beziehungsweise: :<math>\frac {1} {r} = \frac {2} {\bar{r}_\text{harm}} = \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}</math> Für dünne bikonvexe Linsen mit zwei gleichen Oberflächenradien <math>r</math>, dem Durchmesser <math>D</math> und der Dicke <math>x</math> gilt: :<math>r = r_1 = r_2 = \frac {x^2 + D^2} {4 \, x}</math> :<math>s' = s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {r} {2} = \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {x^2 + D^2} {8 \, x}</math> Dünne '''plankonvexe''' sphärische Sammellinsen mit dem Radius <math>r = 2 \, r_1 = 2 \, r_2</math> verhalten sich demnach genauso wie dünne bikonvexe Linsen mit den beiden identischen Radien <math>r_1 = r_2 = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2}</math>. Wenn einer der beiden Radien <math>r_1</math> oder <math>r_2</math> unendlich groß wird, also eine Ebene beschreibt, nimmt der zu berücksichtigende Radius <math>r</math> den Wert des anderen Radius an: :<math>r = \lim_{r_1 \to \infty} r (r_2) = r_2</math> :<math>r = \lim_{r_2 \to \infty} r (r_1) = r_1</math> Mit dem Brechungsindex <math>n'</math> ergibt sich für die entsprechenden Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx \frac {n' - n} {r}</math> Die Schnittweiten entsprechen bei '''paraxialen Strahlen''' dann den Brennweiten <math>f'</math> (bildseitig bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit <math>s \rarr \infty</math>) beziehungsweise <math>f</math> (objektseitig bei der Abbildung ins Unendliche mit <math>s' \rarr \infty</math>): :<math>s \rarr \infty : f' \approx s' \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> :<math>s' \rarr \infty : f \approx s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' mit <math>n \gtrapprox 1</math>, vereinfachen sich diese Näherungsformeln weiter zu: :<math>f = f' \approx \frac {r} {n' - 1}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Große Objektweiten ==== Bei großer Objektweite <math>g</math> ist die Bildweite <math>b</math> annähernd gleich der Brennweite <math>f</math>, und der Sinus des halben objektseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_g} {2}</math> kann in guter Näherung durch das Verhältnis der Hälfte der Öffnungsweite <math>\frac {D} {2}</math> und Objektweite <math>g</math> ausgedrückt werden: :<math>\sin \frac {\omega_g} {2} = \frac {b} {g} \sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {\frac {D} {2}} {g} \approx \frac {f} {g} \sin \frac {\omega_b} {2}</math> Daraus folgt mit Verwendung des halben bildseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_b} {2}</math> und der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>f \approx \frac {\frac {D} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {1} {2k}</math> Aus der Beziehung :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \le 1</math> folgt: :<math>f \ge \frac {D} {2}</math> Diese Ungleichung kann auch wieder unter Verwendung der Blendenzahl <math>k</math> ausgedrückt werden: :<math>k \ge \frac {1} {2}</math> In Worten ausgedrückt: Die Blendenzahl kann bei der öffnungsfehlerfreien Abbildung von Flächen aus dem Unendlichen minimal den Wert 0,5 annehmen. Die Strecke <math>x</math> vom Schnittpunkt der Randstrahlen mit der Hauptebene zum Bildpunkt auf der optischen Achse beträgt bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>g = \infty</math> :<math>b = f</math> :<math>x = \sqrt {f^2 + \frac {D^2} {4}} = \sqrt {f^2 + \frac {f^2} {(2k)^2}} = f \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}}</math> Mit den geometrischen Ähnlichkeiten der Dreiecke bei der Sinusbedingung ergibt sich das folgende Verhältnis aus Bildgröße <math>B</math> und betrachteter Wellenlänge <math>\lambda</math>: :<math>\frac {B} {\lambda} = \frac {x} {\frac {D} {2}}</math> :<math>B = \frac {2 \cdot \lambda \cdot x} {D} = \frac {\lambda \cdot x \cdot 2 k} {f} = \lambda \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}} \cdot 2 k = \lambda \cdot \sqrt {4k^2 + 1}</math> Da die Blendenzahl k nicht kleiner als 0,5 werden kann, gilt als Abschätzung für die erreichbare, durch wellenoptische Beugungseffekte begrenzte Bildgröße demzufolge: :<math>B \ge \sqrt {2} \lambda</math> <div style="clear:both"></div> ====Zwei dünne Linsen==== Für zwei im Abstand <math>d</math> hintereinander angeordnete dünne Linsen mit den Brennweiten <math>f_1</math> und <math>f_2</math> kann die Gesamtbrennweite <math>f_g</math> folgendermaßen bestimmt werden: :<math>f_g = \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2} + \frac {d} {f_1 \cdot f_2}</math> Wenn der Abstand zwischen den Linsen sehr viel kleiner als die beiden Brennweiten ist (<math>d \ll f_1 , f_2 </math>), kann der letzte Term vernachlässigt werden: :<math>f_g \approx \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2}</math> Mit den Brechkräften (<math>D</math> in Dioptrien) ergibt sich dann entsprechend: :<math>D_g \approx D_1 + D_2</math> ====Numerische Apertur==== Die '''numerische Apertur''' <math>A_N</math> dient zur Einschätzung des Auflösungsvermögens von optischen Geräten, bei denen die Objektweite dicht bei der objektseitigen Brennweite beziehungsweise bei denen die Bildweite dicht bei der bildseitigen Brennweite liegt. Ein Anwendungsbeispiel sind '''Immersionsobjektive''' (insbesondere bei Mikroskopen), die bei der optischen Abbildung in eine hochbrechende Flüssigkeit (zum Beispiel Immersionsöl) eingetaucht werden. Die numerische Apertur bezieht sich auf den halben Öffnungswinkel <math>\frac {\omega} {2}</math> und die Brechzahl <math>n</math> des optischen Mediums außerhalb des Objektivs. Je höher die dimensionslose Zahl der numerischen Apertur sich dem Brechungsindex des umgebenden Mediums von unten nähert, desto lichtstärker ist das verwendete Objektiv und desto höher wird bei optisch korrigierten Objektiven das optische Auflösungsvermögen. [[Datei:Numerische.Apertur.png|mini|rechts|hochkant=2|Skizze zur numerischen Apertur.]] Für die objektseitige numerische Apertur ergibt sich: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} \le n</math> Für die bildseitige numerische Apertur ergibt sich entsprechend: :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} \le n</math> Die numerische Apertur kann also nicht größer werden als der Brechungsindex des umgebenden Mediums. Die Sinūs der halben Öffnungswinkel <math>\omega</math> können hierbei mit Hilfe der rechtwinkligen Dreiecke (siehe Skizze rechts) und des Satzes des Pythagoras sowohl objektseitig als auch bildseitig wie folgt aus dem Verhältnis der Gegenkatheten zu den Hypotenusen bestimmt werden: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin {\frac {\omega_g} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {g^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 g^2} {D^2} + 1}}</math> :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin {\frac {\omega_b} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {b^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 b^2} {D^2} + 1}}</math> <div style="clear:both"></div> =====Grenzfälle===== Bei einer Abbildung ins Unendliche (<math>b = \infty \Rightarrow g = f</math>) oder wird die Abbildung aus dem Unendlichen gemacht (<math>g = \infty \Rightarrow b = f</math>), kann jeweils die Blendenzahl <math>k = \frac {f} {D}</math> eingesetzt werden, und dann vereinfachen sich beide Gleichungen wie folgt: :<math>A_{N,g=f} = A_{N,b=f} = \frac {n} {\sqrt {4 {k^2} + 1}}</math> Aufgelöst nach der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>k = \frac {\sqrt {\frac {n^2} {A_{N}^2} - 1}} {2}</math> Für große Blendenzahlen (<math>k \gg 1</math>) respektive für kleine numerische Aperturen (<math>A_{N} \ll 1</math>) gilt dann näherungsweise: :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Für hinreichend große Objektweiten (<math>g \gg D</math>) beziehungsweise hinreichend große Bildweiten (<math>b \gg D</math>) gelten die folgende Näherungen: :<math>A_{N,g} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot g}</math> :<math>A_{N,b} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot b}</math> Ist zudem auch noch die Brennweite <math>f</math> hinreichend nah an der Objektweite (<math>f \approx g</math>) oder an der Bildweite (<math>f \approx b</math>), dann gilt <math>f \gg D \Rightarrow k \gg 1</math> und wiederum die Näherung (siehe auch oben): :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Bei einem Abbildungsmaßstab von eins (siehe unten) sind Objektweite <math>g</math> und Bildweite <math>b</math> identisch und genau doppelt so groß wie die verwendete Brennweite <math>f</math>. In diesem Fall sind auch die objektseitige und die bildseitige numerische Apertur sowie der objektseitige und der bildseitige Öffnungswinkel identisch: :<math>f = 2 \cdot g = 2 \cdot b</math> :<math>A_{N,g} = A_{N,b} = A_{N}</math> :<math>\omega_{g} = \omega_{g} = \omega</math> :<math>A_{N} = n \cdot \sin \frac {\omega} {2}</math> Bei Aufnahmen mit kurzen Objektweiten, wie mit Mikroskopen oder mit Makroobjektiven, muss berücksichtigt werden, dass es durch den großen Abbildungsmaßstab zu einer im Vergleich zur Abbildung aus dem Unendlichen verminderten Lichtausbeute kommt. Siehe hierzu auch: '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Lichtausbeute|Kapitel Bildaufnahme, Abschnitt Lichtausbeute]]'''. <div style="clear:both"></div> ==Modulationsübertragung== ===Modulation=== [[Datei:Modulation.ueber.Schwarzwert.png|miniatur|rechts|hochkant=2|Die Modulation in Abhängigkeit vom Schwarzwert. Der Schwarzwert ist einheitenlos in Anteilen des Weißwertes angegeben.]] Die '''Modulation''' (auch ''Michelson-Kontrast'' genannt) <math>M</math> ist ein Maß (lateinisch: ''modulatio'') für '''relative''' Helligkeitsschwankungen zwischen zwei Bildpunkten mit den vom Menschen als Helligkeiten empfundenen Leuchtdichten <math>L_1</math> und <math>L_2</math> (siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Leuchtdichte|Leuchtdichte]]), das unter den Voraussetzungen <math>L_2 \ge L_1</math> und <math>L_2 > 0</math> wie folgt berechnet werden kann: :<math>M = \frac {{L_2} - {L_1}} {{L_2} + {L_1}} = \frac {\Delta_L} {\Sigma_L}</math> Die Modulation gibt also keineswegs den Helligkeitsunterschied :<math>\Delta_L = L_2 - L_1</math> zwischen zwei Bildpunkten an, sondern setzt diesen in Bezug auf die Summe <math>\Sigma_L</math> dieser beiden Helligkeiten, die auch als der doppelte Mittelwert, also :<math>2 \cdot \overline L = L_2 + L_1</math>, der beiden Helligkeiten interpretiert werden kann: :<math>\Sigma_L = {2} \cdot {\overline L} = {2} \cdot {\frac {L_2 + L_1} {2}}</math> Dies bedeutet, dass die maximale Modulation den Wert '''eins''' hat, die genau dann erreicht wird, wenn <math>L_1 = 0</math> ist und der dunklere Punkt also keine Helligkeit (die Leuchtdichte null) hat. Die absolute Helligkeit des helleren Bildpunktes hat in diesem Fall keinen Einfluss auf die Modulation. Die Helligkeitsdifferenz <math>\Delta_L</math> zwischen diesen beiden Bildpunkten ist in Bezug auf die Helligkeit <math>L_2</math> des helleren Punktes dann maximal und exakt genauso groß wie diese. Wenn beide Bildpunkte die gleiche Helligkeit größer als null haben <math>L_1 = L_2 > 0</math>, so ergibt sich immer eine Modulation von '''null''' (wenn beide Punkte keine Helligkeit haben, ist die Modulation nicht definiert). Werden beide Helligkeiten um denselben Faktor <math>c</math> verändert, bleibt die Modulation erhalten: :<math>M = \frac {{c} \cdot {L_2} - {c} \cdot {L_1}} {{c} \cdot {L_2} + {c} \cdot {L_1}} = \frac {c \cdot (L_2 - L_1)} {c \cdot (L_2 + L_1)} = \frac {L_2 - L_1} {L_2 + L_1}</math> Da innerhalb eines Bildes üblicherweise mehr als zwei Bildpunkte vorhanden sind, ist es meist von Interesse, in welchem Verhältnis der hellste Bildpunkt <math>L_\text{max}</math> ('''Weißwert''') und der dunkelste Bildpunkt <math>L_\text{min}</math> ('''Schwarzwert''') zueinander stehen, was durch die maximale Modulation bestimmt werden kann: :<math>M_\text{max} = \frac {L_\text{max} - L_\text{min}} {L_\text{max} + L_\text{min}}</math> Es gilt zu beachten, dass bei einem Schwarzwert von einem Drittel des Weißwertes die Modulation nur noch 50&nbsp;Prozent und bei einem Schwarzwert von der Hälfte des Weißwertes nur noch 33&nbsp;Prozent beträgt. <div style="clear:both"></div> ====Farbwahrnehmung==== [[Datei:Emmetropia.png|mini|hochkant=2|Optischer Strahlengang bei einem auf Unendlich eingestellten Auge eines Normalsichtigen. Die parallelen Strahlen treten aus der Umwelt durch die '''Hornhaut '''(Cornea) ins Auge ein, passieren die lichte Öffnung der '''Pupille''' (Pupilla) der '''Regenbogenhaut''' (Iris), werden in der '''Augenlinse''' (Lens) gebrochen, durchqueren den großen inneren '''Glaskörper''' (Corpus vitreum) und vereinigen sich schließlich im Bildpunkt auf der '''Netzhaut''' (Retina).]] [[Datei:Cone-absorbance-de.svg|mini|hochkant=2|Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen und der Stäbchen in der menschlichen Netzhaut über der Lichtwellenlänge in Nanometern (nm). Die relative Empfindlichkeit der Stäbchen ist gestrichelt dargestellt und hat ihr Maximum bei zirka 500 Nanometern (<span style="color:#00ffd5">⬤</span>). Die maximale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen liegt bei den Farben <span style="color:#2F00DD">⬤</span> (420&nbsp;nm, violett), <span style="color:#00ff6c">⬤</span> (534&nbsp;nm, grün) und <span style="color:#cbff00">⬤</span> (564&nbsp;nm, gelbgrün).]] <big>'''Farbe ist eine subjektive Wahrnehmung, die nicht gemessen werden kann.'''</big> Messtechnisch kann für alle Wellenlängen eine Intensitätsmessung durchgeführt werden, so dass ein vollständiges Lichtspektrum ermittelt werden kann. Wie ein solches Lichtspektrum von einem Menschen farblich empfunden wird, kann daraus nicht eindeutig abgelesen werden. Bestenfalls ist es möglich, eine Intensitätsverteilung einer wahrscheinlichen, üblichen beziehungsweise durchschnittlichen Farbwahrnehmung zuzuordnen. Optische Sinnesreize werden im menschlichen Auge durch Photorezeptoren in der '''Netzhaut''' (Retina) zwischen der stark durchbluteten Aderhaut (Chorioidea) und dem Glaskörper (Corpus vitreum) ausgelöst und durch die Sehnerven ins Gehirn geleitet. Bei den Sinneszellen der Netzhaut ist zwischen den '''Stäbchen''' und den drei verschiedenen '''Zapfen'''arten zu unterscheiden. Während die Stäbchen sehr empfindlich sind und deswegen das Nachtsehen ermöglichen, sind die weniger empfindlichen drei Zapfenarten beim Tagsehen für die Wahrnehmung von Farben maßgeblich. Für farbige Bilder wird bei der Bildgebung in der Regel zwischen '''drei Primärfarben''' unterschieden. Im für einfache Bildschirme deutlich reduzierten standardisierten Farbraum '''sRGB''' ('''s'''tandard '''R'''ed '''G'''reen '''B'''lue) werden hierbei Farbwerte für die folgenden drei Primärfarben verwendet, deren Intensität jeweils die Werte 0 bis 255 annehmen können: {| class="wikitable" |+ Primärfarben im sRGB-Farbraum ! Primärfarbe !! Hexadezimale<br/>Kodierung<br/>der drei Farbanteile !! Darstellung !! Ungefähre Wellenlänge<br/>der maximalen spektralen Intensität<br/>im angezeigten Bild<br/>in Nanometer |- | Rot || FF0000 || <span style="color:#ff0000">⬤</span> || 610 |- | Grün || 00FF00 || <span style="color:#00ff00">⬤</span> || 555 |- | Blau || 0000FF || <span style="color:#0000ff">⬤</span> || 465 |} [[Datei:SRGB chromaticity CIE1931.svg|mini|hochkant=2|Farbdiagramm in dem nach dem '''Standard CIE 1931''' festgelegten Farbkoordinaten x und y mit Angabe der Lichtwellenlängen und den im Farbraum '''sRGB''' darstellbaren Farbwerten. Die reinen Spektralfarben befinden sich auf der gekrümmten Begrenzungslinie der äußeren Fläche, die Verbindungslinie zwischen der minimalen und der maximalen wahrnehmbaren Wellenlänge wird '''Purpurlinie''' genannt. Durch die additive Mischung mehrerer Spektralfarben ergeben sich beliebige Punkte innerhalb der Fläche. Bildgebende Geräte können meistens nur einen kleinen Teil des Farbraums darstellen, der im Fall von sRGB durch das innere Dreieck begrenzt ist. Der farbneutrale '''Weißpunkt''' ist als "'''D65'''" für einen Hohlraum mit der Temperatur '''65'''00&nbsp;Kelvin angegeben. Die Tangente an der Begrenzungslinie für die langen Wellenlängen schneidet die Koordinatenachsen links oben beim Punkt (0, 1) und rechts unten beim Punkt (1, 0).]] Durch die voneinander unabhängige Einstellung der Farbwerte für diese drei Primärfarben können insgesamt <math>256^3 = 16\,777\,216</math> verschiedene gemischte Farbwerte reproduziert werden. Wenn alle drei Primärfarben auf 0 gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Schwarz''', und wenn alle drei Primärfarben auf den maximalen Wert gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Weiß'''. In Farbdiagrammen wird die entsprechende Stelle als Weißpunkt angegeben, der auf die Farbtemperatur eines festgelegten Hohlraumstrahlers (auch Schwarzer Körper oder Planckscher Strahler genannt) abgestimmt ist. Die Modulation kann in farbigen Bildern für jede einzelne Primärfarbe unabhängig bestimmt werden. Bei den drei Primärfarben Rot, Grün und Blau (R, G, B) eines Bildpunktes ergeben sich dann also entsprechend: :<math>M_R = \frac {R_2 - R_1} {R_2 + R_1}</math> :<math>M_G = \frac {G_2 - G_1} {G_2 + G_1}</math> :<math>M_B = \frac {B_2 - B_1} {B_2 + B_1}</math> Die Verteilung der Photorezeptoren in der Netzhaut ist nicht homogen. Im ungefähr nur anderthalb Millimeter großen Sehzentrum (Fovea) ist die Dichte der Sehzellen besonders hoch, und deswegen ist hier das Sehvermögen in Bezug auf die Wahrnehmung von Kontrasten und Farben am größten. Beim peripheren Sehen sind sowohl die Wahrnehmung von Kontrasten als auch die Wahrnehmung von Farben erheblich eingeschränkt, so dass hier vor allem Änderungen der Helligkeit und somit Bewegte Objekte wahrgenommen werden können. Die Wahrnehmung von Farbeindrücken ist eine sehr subjektive Angelegenheit und von Mensch zu Mensch verschieden. Manche Menschen haben erbliche Störungen bei der Farbwahrnehmung, die durch Abweichungen bei der Verteilung der Farbzapfen in der Netzhaut bedingt ist. Eine Rot-Grün-Sehschwäche trifft hierbei wesentlich häufiger auf als eine Gelb-Blau-Sehschwäche oder als die vollständige Farbblindheit (Achromasie). Die folgende Tabelle zeigt simulierte Bilder, die von Farbsichtigen mit drei funktionierenden Zapfentypen (Trichromaten), von Farbenfehlsichtigen mit fehlender Unterscheidung zwischen Rot- und Grüntönen (Dichromaten) sowie von Farbenblinden (Achromaten) wahrgenommen werden können. Diese Simulation erfolgte bei den dichromatischen Bildern durch die Gleichsetzung des roten und grünen Farbkanals der digitalen Bilder auf einen Wert, der dem Mittelwert der beiden Farbwerte entspricht. {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" ! style="width:25%" | Motiv ! style="width:25%" style="text-align:center" | Trichromatisches Bild ! style="width:25%" style="text-align:center" | Dichromatisches Bild<br />ohne Rot-Grün-Unterscheidung ! style="width:25%" style="text-align:center" | Achromatisches Bild<br />in Graustufen |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Pseudoisochromatische<br />Farbtafel | [[Datei:47-rg12.jpg| 200px]] | [[Datei:RG47-rg12.png| 200px]] | [[Datei:BW47-rg12.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Obststand | [[Datei:TCFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:RGFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:BWFruits.jpg| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Lichtspektrum | [[Datei:Lichtspektrum.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.gelb-blau.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.farblos.P1128463.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Regenbogen mit Interferenzbogen | [[Datei:Interferenzbogen.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.gelb-blau.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.farblos.P1150723.png| 200px]] |} <div style="clear:both"></div> ===Ortsfrequenz=== Die '''Ortsauflösung''' entspricht der maximalen Anzahl von räumlichen Informationseinheiten, die entlang einer Strecke, meist der Bildhöhe beziehungsweise der Bildbreite, erfasst werden können. Zur Darstellung einer räumlichen Information, also eines Helligkeitswechsels, ist mindestens ein Bildpunktpaar erforderlich, damit eine Modulation vorhanden sein kann. Die Bezugslänge kann eine absolute Länge sein, bei der die Bildpunktpaare zum Beispiel pro Millimeter ermittelt werden. Bei Filmmaterial wurde diese Informationsdichte meist richtungsunabhängig in Linienpaaren pro Millimeter ermittelt und angegeben. Auf der anderen Seite kann statt einer metrischen Bezugslänge auch eine relative Bezugslänge gewählt werden, wie zum Beispiel die Bilddiagonale, die Bildbreite oder die Bildhöhe. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass unabhängig von der Gesamtzahl der Bildpunkte, der Größe der Reproduktion des Bildes und dem Bildseitenverhältnis ein einheitliches und somit leicht vergleichbares Maß für die Ortsauflösung zur Verfügung steht. Dieses Maß ist insbesondere unabhängig von der Größe und vom Bildseitenverhältnis des verwendeten Bildsensors. Bei digitalen Bildern hat es sich daher durchgesetzt, '''Linienpaare pro Bildhöhe''' (horizontale Linien) als Bezugsgröße zu verwenden. Diese Bezugsgröße wird dann ebenfalls für die Informationseinheiten in horizontaler Richtung (vertikale Linienpaare) oder für jeden beliebigen anderen Azimut (also schräg liegende Linienpaare) verwendet, obwohl bei rechteckigen Bildformaten in horizontaler Richtung mehr oder weniger Informationseinheiten zur Verfügung stehen können. Rechnerisch ergibt sich die maximal darstellbare Linienauflösung <math>L_{\text{max},y}</math> durch die Halbierung der Anzahl der Punkte in der Bildhöhe <math>N_y</math>: :<math>L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Für die maximale Anzahl vertikaler Linienpaare in horizontaler Richtung ergibt sich mit dem Bildseitenverhältnis <math>q</math> dann entsprechend: :<math>L_{\text{max},x} = q \cdot L_{\text{max},y} = \frac {N_x} {2}</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildseitenverhältnis|Bildseitenverhältnis]] Dieser Wert entspricht genau der Grenze nach dem '''Nyquist-Shannon-Abtasttheorem''' (auch '''Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem''') für die maximal darstellbaren '''Ortsfrequenzen''' <math>f_\text{r,max}</math>, wonach diese innerhalb einer Periode mindestens zwei abgetastete Stützstellen haben müssen: :<math>f_{r,\text{max}} = L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Aus einer beliebigen kleineren Ortsfrequenz <math>f_r \leq f_{r,\text{max}}</math> ergibt sich die maximal mögliche Häufigkeit von Helligkeitsunterschieden auf einer bestimmten Bezugslänge im Bild (also in der Regel auf der Bildhöhe). Eine Ortsfrequenz von null entspricht einer konstanten Helligkeit über das gesamte Bild, die selbst nicht notwendigerweise den Wert null haben muss. <div style="clear:both"></div> ===Modulation in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz=== [[Datei:Modulation.Transfer.Function.Comparison.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich der Modulationsübertragungsfunktionen von zwei verschiedenen Objektiven. Bei der Ortsfrequenz null haben alle Objektive die maximale Kontrastübertragung von eins, und bei der maximal dargestellten Ortsfrequenz haben beide hier dargestellten Objektive eine Kontrastübertragung von zirka zehn Prozent. Dennoch ist das blau dargestellte Objektiv deutlich besser als das dunkelgelb dargestellte, da es mittlere Ortsfrequenzen besser überträgt.]] Eine Modulation mit geringer Ortsfrequenz entspricht also groben Strukturen im Bild, und eine Modulation mit großer Ortsfrequenz entspricht feinen Strukturen im Bild. Jeder Struktur mit einer bestimmten Größe kann in jeder azimutalen Richtung (nicht nur horizontal oder vertikal, sondern auch in beliebiger schräg liegender Richtung) eine Ortsfrequenz mit einer bestimmten Modulation zugeordnet werden. Beim '''Siemensstern''' wird beispielsweise die Ortsfrequenz entlang der um den Mittelpunkt liegenden konzentrischen Kreise linear mit deren Radius größer. Die Modulation beträgt für jede Ortsfrequenz eins, wenn idealisiert davon ausgegangen wird, dass die dunklen Streifen keine Helligkeit aufweisen. Wird eine photographische Aufnahme von einem solchen Siemensstern als Objekt auf einer Testtafel gemacht, reduzieren sich im Bild die Modulationen für alle Ortsfrequenzen größer als null auf Werte kleiner als eins. Dies beruht auf einer Verminderung der Modulationen im Bild gegenüber der optimalen Modulation im Objektraum, die durch Abbildungsfehler bedingt ist. Neben der immer wirkenden Beugungsbegrenzung ergeben sich in optischen Abbildungen vor allem durch die sphärische Aberration, aber zum Beispiel auch durch Falschlicht Einbußen bei der Modulation im Bildraum. In der Regel führt dies dazu, dass die Modulation von rein optischen Abbildungen mit zunehmender Ortsfrequenz streng monoton und stetig abnimmt. Das Verhältnis der Modulation im Bildraum <math>M_\text{Bild}</math> zur Modulation im Objektraum <math>M_\text{Objekt}</math> in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_r</math> wird '''Modulationsübertragungsfunktion''' (englisch: ''modulation transfer function'' = '''MTF''') oder auch '''Kontrastübertragungsfunktion''' <math>T</math> genannt: :<math>T (f_r) = \frac {M_\text{Bild} (f_r)} {M_\text{Objekt} (f_r)}</math> Das Maximum der Modulationsübertragungsfunktion liegt bei optischen Systemen bei der kleinsten Ortsfrequenz, also null, und hat dort den Wert eins. Die Modulationsübertragung ist dabei immer der Betrag der komplexwertigen optischen Übertragungsfunktion, die nicht nur die Amplitude, sondern auch die Phase der übertragenen Lichtwellen berücksichtigt. Ist die Modulation im Objektraum für alle untersuchten Ortsfrequenzen gleich eins, wie zum Beispiel bei hochwertig hergestellten Testtafeln, sind die Modulationsübertragungsfunktion und die Modulation im Bildraum identisch: :<math>T (f_r) = {M_\text{Bild} (f_r)}\ </math>, wenn <math>{M_\text{Objekt} (f_r) = 1}\ </math> Der Betrag der komplexwertigen, zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der spektralen Dichte der Modulationsübertragungsfunktion im Ortsfrequenzraum herangezogen werden. In der digitalen Signalverarbeitung wird hierfür häufig die sehr effiziente Fast-Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt. Das Leistungsdichtespektrum der Fourier-Transformierten entspricht hierbei dem Beugungsbild der Bilddaten, das mit einer Bildwand aufgefangen werden kann. <gallery caption="Auflösungskeile mit 3 bis 72 Linienpaaren pro Bildhöhe mit verschiedenen Kontrastübertragungen, die Bildhöhe wird zwischen den beiden dünnen horizontalen Linien ober- und unterhalb des Auflösungskeils gemessen." widths=1024 heights=256 perrow=1> Aufloesungskeil.png|Maximaler Kontrast (852 Linienpaare pro Bildhöhe). Aufloesungskeil.72.png|Kontrast bis 72 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.36.png|Kontrast bis 36 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.18.png|Kontrast bis 18 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.09.png|Kontrast bis 9 Linienpaare pro Bildhöhe. </gallery> Weitere Beispiele siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Transformationen#Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]]. <div style="clear:both"></div> ===Kontrastempfindlichkeitsfunktion=== [[Datei:Vollmond.P1080516.jpg|miniatur|Vollmond mit einer Kamera mit Teleobjektiv von der Erdoberfläche aus aufgenommen.<br/>Zu den Kontrastverhältnissen beim durch den Erdschein beleuchteten aschgrauen Mondlicht siehe auch hier: '''[[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht]]''']] [[Datei:Vollmond.180x180.png|gerahmt|Der Vollmond hat von der Erde aus gesehen einen Winkeldurchmesser von zirka einem halben Grad. Der Mensch kann auf diesem Winkeldurchmesser bei einem Kontrast von mindestens zehn Prozent 36 nebeneinanderliegende Punkte unterscheiden. Die Mondscheibe hat somit für das unbewaffnete Auge insgesamt rund 1000 unterscheidbare Bildpunkte.<br/>Oben:fünffache Vergrößerung (500 Prozent)<br/>Unten: einfache Vergrößerung (100 Prozent)<br/>[[Datei:Vollmond.36x36.png|zentriert]]]] Für die Betrachtung der optischen Abbildungen durch Menschen ist nur der Bereich der Ortsfrequenzen interessant, der entsprechend der '''Contrast Sensitivity Function''' (CSF, zu Deutsch: '''Kontrastempfindlichkeitsfunktion''') überhaupt wahrgenommen werden kann. Oft wird jedoch die Modulation an der Nyquist-Frequenz als Maß für die wahrnehmbare Qualität einer optischen Abbildung herangezogen. Dieses Vorgehen trägt jedoch nicht dem Umstand Rechnung, dass die vom Betrachter empfundene Qualität einer optischen Abbildung im Sinne der Modulationen bei verschieden feinen Strukturen im Allgemeinen gar nicht von der Modulation bei der Nyquist-Frequenz bestimmt ist, insbesondere wenn die feinsten Strukturen mit bloßem Auge gar nicht aufgelöst werden können. Vielmehr kommt es meist auf eine möglichst große Modulation bei Ortsfrequenzen im mittleren Bereich an. Dies kann zu der zunächst paradox scheinenden Situation führen, dass die optische Abbildung mit einem Objektiv, dass bei der Nyquist-Frequenz die gleiche oder gar eine höhere Modulation aufweist als ein anderes Objektiv, subjektiv dennoch als schlechter beurteilt wird (vergleiche Abbildung rechts). Daher ist es empfehlenswert, die integrale Summe der Modulationen aller Ortsfrequenzen bis zu einer sinnvollen maximalen Ortsfrequenz zu bilden. Dieser Wert wird auch '''Heynacher-Zahl''' genannt, die seit den 1970er Jahren nach dem Optiker Erich Heynacher benannt ist. Gegebenenfalls kann diese integrale Summe auch noch bei verschiedenen Ortsfrequenzen mit einer geeigneten Empfindlichkeitsfunktion gewichtet werden (mathematisch also eine Faltung). Je größer das Integral der Modulationsübertragungsfunktion, desto besser die Bildqualität. Der Betrag der komplexwertigen Spektralfunktion der zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der Modulationsübertragungsfunktion im Ortfrequenzraum herangezogen werden. Die einheitenlose Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>A</math> kann nach Kresimir Matkovic (1997) in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad mit einer analytischen Funktion angegeben werden: :<math>CSF (f_a) = {2,6} \cdot {(0{,}0192 + 0{,}114 \cdot {f_a})} \cdot e^{-{(0{,}114 \cdot f_a)}^{1{,}1}}</math> Der vertikale Bildwinkel beträgt bei Normalbrennweite und einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2 (wie zum Beispiel beim Kleinbildfilm) 27 Grad. Die Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Bildhöhe <math>f_y</math> ergibt sich dann aus dem vertikalen Bildwinkel und der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Grad wie folgt: :<math>f_y = 27^\circ \cdot f_a</math> <gallery perrow="2" widths="400" heights="230" caption="Kontrastempfindlichkeitsfunktion (englisch: Contrast Sensitivity Function) CSF des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz"> Datei:CSF.against.angular.frequency.in.cycles.per.degree.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad Datei:CSF.against.spatial.frequency.in.cycles.per.image.height.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe bei Normalbrennweite (vertikaler Bildwinkel = 27° bei einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2) </gallery> [[Datei:CSF-Diagramm.png|miniatur|hochkant=2|Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges über Ortsfrequenzen zur Basis 2]] <gallery perrow="2" widths="480" heights="270" caption="Zur Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges mit den Ortsfrequenzen von 2 sinusmodulierten Linienpaaren pro Bildbreite (linke Bildhälfte) bis hin zu 1024 Linienpaaren pro Bildbreite (rechts am Bildrand), Bildgröße 3860 mal 2160 Bildpunkte (16:9)"> Datei:CSF.UHD.png|Mit maximalem Kontrast unten, ohne Kontrast oben Datei:CSF.UHD.lowM.png|Mit reduziertem Kontrast unten, ohne Kontrast oben </gallery> [[Datei:CSF.MTF.png|hochkant=2|miniatur|Bewertung der Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> eines guten Objektives mit der Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe durch die effektive Kontrastübertragungsfunktion <math>T_\text{eff} (f_y)</math>. Etwa die Hälfte des Auflösungsvermögens dieses Objektives kann demnach vom Menschen bei der Betrachtung der optischen Abbildung unter dem Normalwinkel gar nicht wahrgenommen werden.]] Hierbei ist festzuhalten, dass bei einer Ortsfrequenz von 1000 Linienpaaren pro Bildhöhe der wahrgenommene Kontrast deutlich unter zehn Prozent liegt und somit praktisch kaum noch relevant ist. Die maximale Kontrastempfindlichkeit liegt beim menschlichen Auge bei zirka 200 Linienpaaren pro Bildhöhe und zwischen 50 und 550 Linienpaaren pro Bildhöhe beträgt die Kontrastempfindlichkeit mindestens 50 Prozent. Für Aufnahmen mit guter Kontrastübertragung ist daher genau dieser Bereich von besonderer Wichtigkeit. Zur Auswertung der effektiven Kontrastübertragungsfunktion bei Betrachtung mit dem menschlichen Auge <math>T_\text{eff} (f_y)</math> können die Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> und die Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> miteinander multipliziert werden: :<math>T_\text{eff} (f_y) = T (f_y) \cdot CSF (f_y)</math> Wird dieses Produkt über alle Ortsfrequenzen integriert, ergibt sich - ähnlich wie bei und als Verallgemeinerung der Heynacher-Zahl - eine Größe für die totale effektive Kontrastübertragung <math>T_\text{eff,tot}</math> : :<math>T_\text{eff,tot} = \int_0^\infty T_\text{eff} (f_y)\,\mathrm df_y</math> Siehe auch [[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|'''Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht''']]. <div style="clear:both"></div> ====Hybridbilder==== Je nach den Bedingungen bei der Betrachtung eines Hybridbildes sind aus größerer Entfernung eher die groben geometrischen Strukturen des einen Bildes mit großen Ortsfrequenzen und bei näherer Betrachtung eher die feinen Strukturen eines anderen Bildes mit kleinen Ortsfrequenzen zu sehen. Vergrößert der Betrachter den Abstand von einem sehfeldfüllenden Hybridbild, verschwinden die feinen Strukturen zunehmend wieder, und nur die größeren Ortsfrequenzen bleiben erkennbar. Hybridbilder können hergestellt werden, indem zwei Aufnahmen mit Modulation bei verschiedenen Ortsfrequenzen überlagert werden. <gallery caption="Hybridbild" perrow=2 widths=480 heights=240> MTF.Hybridbild.png|Hybridbilder haben im Kontrastverlauf zwei Maxima. Das Diagramm zeigt die Kontrastverläufe bei demselben Hybridbild mit großem (braun) und kleinem (blau) Betrachtungsabstand. Bei großem Betrachtungsabstand werden eher die Kontraste bei den kleinen Ortsfrequenzen und bei kleinem Betrachtungsabstand eher die Kontraste bei den großen Ortsfrequenzen wahrgenommen. Wikigolfball.hybrid.webm|mini|links|180px|Beispiel für ein Hybridbild, bei welchem bei kleinem Betrachtungswinkel ein Golfball mit groben Strukturen zu erkennen ist. Beim Vergrößern des Betrachtungswinkels während der Wiedergabe des Videos erscheint zunehmend eine andere kugelförmige Figur mit feinen geometrischen Strukturen, die höhere Ortsfrequenzen aufweisen. </gallery> Siehe auch '''[[Hybridlied]]'''. <div style="clear:both"></div> === Digitalzoom === Beim Digitalzoom, das heißt also bei der softwaretechnischen Vergrößerung von digitalen Bildern zum Beispiel durch Zeilen- und Spaltenverdopplung, wird die Bildinformation im Sinne der Kontrastübertragung nicht vermehrt, da es sich lediglich um das Kopieren bereits vorhandener Bildinformation handelt. Es gibt also keinen Informationsgewinn. Wenn das digitale Bild zu klein dargestellt wird, so dass ein menschlicher Betrachter das Bild nicht voll auflösen kann, kann durch den Digitalzoom das Bild insgesamt vergrößert werden, oder ein beliebiger Ausschnitt des originalen Bildes kann auf die maximal darstellbare Größe gebracht werden, die beispielsweise durch ein Anzeigegerät oder ein Druckformat vorgegeben ist. Dadurch wird zwar nicht die Bildinformation vergrößert, aber der Betrachter kann mehr von der existierenden Bildinformation erkennen. Die Frage, welcher Digitalzoomfaktor noch sinnvoll und angebracht ist, hängt bei menschlichen Betrachtern allein von der möglichst guten Ausschöpfung der erkennbaren Modulationen ab, die durch die Kontrastempfindlichkeitsfunktion repräsentiert wird. Bei digitaler maschineller Auswertung besteht diese Problematik nicht, da ein digitaler Algorithmus in der Regel immer die gesamte Bildinformation auswerten kann. In Unterkapitel [[Digitale bildgebende Verfahren: Grundlagen/MTF-Simulation|MTF-Simulation]] wird der Effekt des Digitalzooms simuliert und bildlich verdeutlicht. Siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Digitalzoom_-_Softwarelupe|Digitale Bilder: Digitalzoom - Softwarelupe]]. <div style="clear:both"></div> ===Kantenüberhöhung=== [[Datei:Enhancing.Modulation.Transfer.Function.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich von Modulationsübertragungsfunktionen einer optischen Abbildung mit nachträglicher, rechnerischer Kontrastanhebung bei mittleren Ortsfrequenzen: Originalaufnahme (blau, durchgezogen), modifizierte Modulation mit Kantenüberhöhung (grün, gestrichelt). Der als grüne Fläche dargestellte Bereich stellt einen Kontrastgewinn dar, der in der Regel viel mehr wahrgenommen wird als der orangefarben dargestellte Bereich mit Kontrastverlust.]] Bei digitalen Bildern, die nicht im Rohdatenformat, also ohne rechnerische Eingriffe in die Bilddaten, aufgezeichnet werden, wird die Modulation unmittelbar nach der Aufnahme und vor dem Speichern der Bilddaten oft durch die Firmware der Kamera insgesamt oder insbesondere bei bestimmten Ortsfrequenzen erhöht. In Maßen angewendet führt dies bei digitalen Bildern in der Regel zu einem verbesserten visuellen Bildeindruck. Dies trifft dann zu, wenn die maximale Modulation auf eins erhöht wird und die Modulation entsprechend der Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges bei den wichtigsten Ortsfrequenzen angehoben wird. In der Modulationsübertragungsfunktion spiegelt sich dies durch die Tatsache wider, dass die maximale Modulation nicht mehr bei der Ortsfrequenz null, sondern bei positiven Ortsfrequenzen auftritt (siehe Abbildung rechts). Dies kann auch so interpretiert werden, dass die Modulation an Kanten in einem günstigen Ortsfrequenzbereich künstlich überhöht wird. Aus einem in der unbearbeiteten optischen Abbildung kontinuierlichen Anstieg der Helligkeit an einer im Original beliebig scharfen Objektkante ergibt sich nach der Optimierung bei einer bestimmten Ortsfrequenz eine deutlich stärkere Modulation. Wird dieses Prinzip so stark angewendet, dass die Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen dominiert, führt dies unter Umständen zu künstlich wirkenden Bildern, bei denen ein Überschwingen des Helligkeitsverlaufs an Kanten mit der entsprechenden Ortsfrequenz erkannt werden kann: <gallery perrow="3" widths="260" heights="184" caption="Vergleich mit unterschiedlichen gerechneten Kontrastübertragungsfunktionen"> Datei:Image.modulation.original.jpg|Unbearbeitetes Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.jpg|Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.overkill.jpg|Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.original.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom unbearbeiteten Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat außen einen kleinen hellen und innen einen kleinen dunklen Saum Datei:Image.modulation.overkill.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat einen großen hellen Saum, und der innere Rand des Buchstabens ist stark abgedunkelt Datei:FFT.Image.modulation.original.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom unbearbeiteten Originalbild (die Ortsfrequenz null befindet sich in der Bildmitte, und sie nimmt radial in alle Richtungen zu) Datei:FFT.Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:FFT.Image.modulation.overkill.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Farbauflösung== {| class="float-right" style="text-align: center" |+ '''Oben''': Weißlichtinterferogramm, darunter '''Rot'''-, '''Grün'''- und '''Blau'''kanal des oben dargestellten Weißlichtinterferogramms mit abnehmender Weite der Maxima. |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.R.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.G.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.B.jpg|240px]] |} Durch die im Vergleich zur Dichte der für die Helligkeitsrezeption zuständigen Stäbchen geringere Dichte von Farbzäpfchen auf der menschlichen Netzhaut ist die Farbauflösung, die für das Betrachten von farbigen Bildern erforderlich ist, geringer als die Auflösung, die durch die Kontrastübertragungsfunktion beschrieben wird. In einem digitalen Bild kann ein Mensch bei Betrachtung des gesamten Bildes zwar maximal vier Millionen Bildpunkte in der Helligkeit unterscheiden, jedoch nur etwa eine Million verschiedener Farbpunkte. Bei technischen Anwendungen mit digitaler Auswertung der Bilder, kann die Anforderung an die Farbauflösung je nach Aufgabenstellung jedoch erheblich höher sein. Eine Möglichkeit, die Farbauflösung eines Kamerasensors zu messen, ohne dass es durch das für die optische Abbildung verwendete Objektiv zu einer Verringerung derselben kommt, ist die Verwendung eines direkt auf den Bildsensor projizierten Weißlichtinterferogramms. Dieses Verfahren wurde 2006 von Karsten Zoellner vom Institut für angewandte Optik an der Universität Jena entwickelt. Der Linienabstand <math>d</math> des Beugungsbilds eines Spaltes hängt von der Wellenlänge <math>\lambda</math> des verwendeten Lichtes sowie vom bildseitigen Öffnungswinkel <math>\omega_B</math> des verwendeten Interferometers ab: :<math>d \propto \frac {\lambda} {\sin \omega_B}</math> Wenn für die Primärfarben Rot, Grün und Blau (RGB) die mit abnehmender Wellenlänge kleiner werdenden Linienabstände <math>d_R</math>, <math>d_G</math> und <math>d_B</math> bestimmt werden, kann daraus eine für die Farbauflösung repräsentative Größe <math>\delta_{RGB}</math>, die '''Farbstrukturtreue''' (englisch: ''coloured structure fidelity''), bestimmt werden: :<math>\delta_{RGB} = \frac {d_R - d_B} {d_G}</math> <div style="clear:both"></div> == Polarisation == [[Datei:偏振片.png|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''linear''' polarisierter Strahlung durch die Filterung elektromagnetischen Wellen mit unerwünschter Polarisationsrichtung (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] [[Datei:Polaryzacja_kołowa.gif|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''zirkular''' polarisierter Strahlung durch die Überlagerung von zwei um den Phasenwinkel 90° verschobenen elektromagnetischen Wellen (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] Natürliche elektromagnetische Strahlung aus thermischen Strahlungsquellen ist unpolarisiert, das heißt, dass die Richtungen der Feldstärken senkrecht zur Ausbreitungsrichtung zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort zufällig ausgerichtet und verteilt sind. Aus unpolarisierten elektromagnetischen Wellen können durch geeignete Mittel in polarisierte Wellen mit definierter Schwingungsrichtung erzeugt werden. Grundsätzlich werden zwei Arten von Polarisation unterschieden: * Liegt die Schwingungsrichtung in einer ortsfesten Raumebene, spricht man von '''linear polarisierter Strahlung'''. * Dreht sich die Raumebene der Schwingungsrichtung gleichmäßig und periodisch um die Ausbreitungsachse, spricht man von '''zirkular polarisierter Strahlung'''. Zirkular polarisierte Strahlung kann mit Blick in die Ausbreitungsrichtung rechts- oder linksdrehend sein: <gallery caption="Drehsinn zirkular polarisierter Strahlung" perrow=2 widths=360 heights=240> Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Rechtsdrehend (im Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Right.Handed.Animation.305x190.255Colors.gif|Linksdrehend (entgegen dem Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. </gallery> Polarisierte Strahlung kann auf verschiedene Art und Weise erzeugt werden. Beispiele hierfür sind: * Durch optische Filter: Ein elektrisches Feld in einer ausgewählten Richtung kann beispielsweise durch geradlinige, parallel und voneinander isoliert angebrachte elektrische Leiter in einem '''Drahtgitterpolarisator''' unterdrückt werden, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen. Nur die senkrecht zu den Leitern schwingenden elektrischen Feldkomponenten können dann das Filter passieren. * Durch Streuung an Partikeln, wie zum Beispiel bei der '''Rayleigh-Streuung''' von Licht an Luftmolekülen. * Durch '''schräge Reflexion''' an Grenzflächen zu elektrisch nichtleitenden Medien, wie zum Beispiel Glasflächen. * Durch spezielle Lichtquellen, wie zum Beispiel '''Laser'''. * Durch '''dichroitische''' Materialien (vom altgriechischen Wort „dichroos“ für „zweifarbig“), die Licht in Abhängigkeit von der Polarisation unterschiedlich stark absorbieren. <div style="clear:both"></div> ===Gesetz von Malus=== [[Datei:Animation polariseur.gif|mini|rechts|Polfilter für photographische Objektive in verschiedenen Orientierungen vor einer flächenhaften Lichtquelle, der linear polarisiertes Licht abgibt.]] Die Intensität <math>I</math> einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle mit der Anfangsintensität <math>I_0</math> schwächt sich nach dem Durchgang durch einen idealen Polarisator in Abhängigkeit vom Winkel <math>\alpha</math>, um den die Polarisationsachse des Polarisators gegen die Polarisationsrichtung der Welle verdreht ist, nach dem '''Gesetz von Malus''' folgendermaßen ab: :<math>I = I_0 \cdot \cos^2 \alpha</math> Ausgehend von unpolarisiertem Licht mit einer gleichmäßigen Verteilung aller Polarisationsrichtungen <math>0 \le \alpha \le 2 \pi</math> in Bezug auf die Polarisationsrichtung eines Polarisationsfilters, kann der Transmissionsgrad <math>T</math> wie folgt bestimmt werden: :<math>T = I_0 \cdot \frac {\int\limits_{0}^{2\pi} \cos^2 \alpha \, \mathrm d\alpha} {\int\limits_{0}^{2\pi} \alpha \, \mathrm d\alpha} = I_0 \cdot \frac {\frac {2 \pi} {2}} {2 \pi} = \frac {I_0} {2} </math> Dies bedeutet, dass ein Polfilter abgesehen von einer gewissen Absorption die Hälfte eines unpolarisierten Strahls passieren lässt. <div style="clear:both"></div> ===Brewster-Winkel=== [[Datei:Brechungsgesetz.Brewster-Bedingung.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zur Brewster-Bedingung an optischen Grenzflächen.]] Es handelt sich beim '''Brewster-Winkel''' um den Einfallswinkel <math>\epsilon</math> von einem optisch dünnen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisch dichteres Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math>, bei dem das elektrische Feld der reflektierten elektromagnetischen Welle nur senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Polarisationsrichtungen des reflektierten und des gebrochenen Strahls stehen beim Erreichen des Brewster-Winkels senkrecht aufeinander: :<math>\epsilon_{Brewster} + \epsilon_{Brewster}' = 90^\circ</math> beziehungsweise: :<math>\sin \epsilon_{Brewster}' = \sin (90^\circ - \epsilon_{Brewster}) = \cos \epsilon_{Brewster}</math> Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt daraus: :<math>n_1 \cdot \sin \epsilon_{Brewster} = n_2 \cdot \cos \epsilon_{Brewster}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {\sin \epsilon_{Brewster}} {\cos \epsilon_{Brewster}} = \tan \epsilon_{Brewster} = \frac {n_2} {n_1}</math> Die reflektierte Welle ist beim Brewster-Winkel <math>\epsilon_{Brewster}</math> demnach linear polarisiert, und es gilt die Beziehung: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan \frac {n_2} {n_1}</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = n_1 \cdot \tan \epsilon_{Brewster}</math> Kommt der Lichtstrahl aus dem Vakuum (<math>n_1 = 1</math>) oder in erster Näherung aus Luft (<math>n_1 \gtrsim 1</math>), dann vereinfacht sich die Gleichung für den Brewster-Winkel zu: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan n_2</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = \tan \epsilon_{Brewster}</math> [[Datei:Brewster-polarizer-de.svg|mini|rechts|hochkant=1.5|Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium zur Verstärkung der Polarisation des transmittierten Lichts.]] Der gebrochene Strahl ist allerdings nicht vollständig in der Einfallsebene polarisiert, da nur ein Teil der Strahlung reflektiert wird, die senkrecht zur Einfallsebene polarisiert wird. Durch eine Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium kann der Effekt der Polarisation des transmittierten Lichts jedoch verstärkt werden. <div style="clear:both"></div> ===Doppelbrechung=== Doppelbrechende optische Medien sind spezielle Materialien, wie zum Beispiel Doppelspat (auch Kalkspat oder Calcit genannt), Glimmer oder Flüssigkristalle. Oft handelt es sich dabei um asymmetrisch aufgebaute Kristalle. Bei solchen anisotropen Medien hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>c</math> und somit auch der Brechungsindex <math>n</math> und die Vakuumwellenlänge <math>\lambda_0</math> von der Schwingungsrichtung ab. Es wird zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl unterschieden. Der ordentliche Strahl steht senkrecht (Symbol <math>\perp</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters, und der außerordentliche Strahl steht parallel (Symbol <math>\parallel</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters. Die dazugehörigen Brechzahlen werden durch das entsprechende Symbol im Index gekennzeichnet: * Für den ordentlichen Strahl: <math>n_\perp</math> * Für den außerordentlichen Strahl: <math>n_\parallel</math> Doppelbrechung kann auch durch Nichtlinearitäten in isotropen Medien hervorgerufen werden, wie zum Beispiel durch mechanische Spannungen oder durch sehr hohe elektrisch oder magnetische Feldstärken. <gallery caption="Doppelbrechung am Doppelspat mit dem Text „Berlin“ im Hintergrund" perrow=2 widths=450 heights=300> Doppelbrechung.P1033771.jpg|Doppelbrechung in horizontaler Richtung. Doppelbrechung.P1033772.jpg|Doppelbrechung in vertikaler Richtung bei um 90° im Uhrzeigersinn gedrehtem Kristall. </gallery> <div style="clear:both"></div> ====Verzögerungsplatten==== '''Verzögerungsplatten''' bestehen aus doppelbrechenden optischen Medien mit konstanter Dicke <math>d</math>. Die Frequenz <math>f</math> der elektromagnetischen Welle bleibt sowohl außerhalb als auch innerhalb der Verzögerungsplatte sowie in allen Ausbreitungsrichtungen gleich. Die Phasenverschiebung <math>\Delta \varphi</math> der beiden sich in der Platte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten <math>c_\perp</math> und <math>c_\parallel</math> ausbreitenden Teilstrahlen ergibt sich beim Austritt hinter der Verzögerungsplatte dann wie folgt: :<math>\Delta \varphi = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot (n_\perp - n_\parallel) = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot c_0 \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right) = 2 \pi \cdot d \cdot f \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right)</math> =====λ/2-Plättchen===== Beim '''λ/2-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen der Hälfte der Vakuumlichtwellenlänge, und es dreht die Polarisationsrichtung eines einfallenden Lichtstrahls um einen bestimmten Winkel. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 180°: :<math>\Delta \varphi = \pi</math> Für die Dicke eines λ/2-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 2} = \frac {\lambda_0} {2} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> Je nach axialer Ausrichtung eines λ/2-Plättchens zur Polarisationsrichtung eines einfallenden, linear polarisierten Lichtstrahls ergibt sich eine Drehung der Polarisationsrichtung zwischen 0° und 90°. =====λ/4-Plättchen===== Beim '''λ/4-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen des Viertels der Vakuumlichtwellenlänge, und es wird auch als '''Zirkularpolarisator''' bezeichnet, weil es aus einem linear polarisierten Lichtstrahl einen zirkular polarisierten Strahl erzeugen kann. Zirkular polarisiertes Licht wandelt es umgekehrt in linear polarisiertes Licht um. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 90°: :<math>\Delta \varphi = \frac {\pi} {2}</math> Für die Dicke eines λ/4-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 4} = \frac {\lambda_0} {4} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> <div style="clear:both"></div> ====Flüssigkristalle==== '''Flüssigkristalle''' sind flüssige Substanzen, die wie Kristalle im festen Aggregatzustand richtungsabhängige (anisotrope) optische Eigenschaften aufweisen können. Die Ausrichtung der Moleküle und damit die Polarisationswirkung kann durch elektrische Felder beeinflusst werden. Die Geschwindigkeit der Auslenkung hängt von der Stärke der elektrischen Felder ab. Bei modernen Flüssigkristallanzeigen und -bildschirmen kann eine Umschaltzeit bis hinunter zu einer Millisekunde erreicht werden. → Siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Fl%C3%BCssigkristallanzeigen|Flüssigkristallanzeigen]]. <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> ab30ahjnwvev13csljge8h0u62rjpp3 1088497 1088496 2026-06-29T12:25:06Z Bautsch 35687 /* Zoomfaktor */ focus breathing 1088497 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> Dieses Kapitel beschäftigt sich mit prinzipiellen Eigenschaften von optischen Abbildungen. In den folgenden Abschnitten sind einige grundlegende Aspekte aufgeführt, die bei der Aufnahme und Registrierung von Bildern eine Rolle spielen. ==Optik== Die '''Optik''' (von altgriechisch ὀπτική τέχνη (optikḗ téchnē), zu Deutsch: „Lehre vom Sehen“) beschäftigt sich mit der Ausbreitung von '''Licht''' unter Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie. Im engeren Sinne werden in der Optik optische Systeme behandelt, mit denen Objekte abgebildet werden können. '''Reelle Bilder''' können beispielsweise mit Bildwänden, photographischen Filmen oder elektronischen Bildsensoren aufgefangen werden, wohingegen '''virtuelle Bilder''' direkt durch das menschliche Auge gesehen werden können. Lichtquellen haben immer eine endliche Ausdehnung. Wenn die leuchtende Fläche im Vergleich zu einem ausgedehnten optischen System klein ist, wird die entsprechende Lichtquelle als '''punktförmig''' bezeichnet. In der Praxis kann ein Fixstern als eine solche punktförmige Lichtquelle betrachtet werden. Im Labor kann eine punktförmige Lichtquelle durch die Beleuchtung einer kleinen Kreislochblende aus einer hinreichend großen Entfernung erzeugt werden. Das aus der Blende austretende Licht bildet ein '''Lichtbündel'''. Ein '''Lichtstrahl''' kann durch ein paralleles Lichtbündel mit kleinem Durchmesser angenähert werden. Lichtstrahlen werden in der '''geometrischen Optik''' verwendet, um die Richtung des Flusses der Lichtenergie anzugeben. [[Datei:EM-Wave.gif|mini|rechts|Die elektrische Feldstärke <math>\vec E</math> (blau in y-Richtung) und die magnetische Feldstärke <math>\vec B</math> (rot in z-Richtung) bei einer elektromagnetischen Welle mit Ausbreitung in x-Richtung.]] Beugungseffekte sind durch die Welleneigenschaften des Lichtes bedingt und treten immer auf, wenn es auf Kanten trifft. Die Beugung wird in der '''Wellenoptik''' behandelt und wird in der geometrischen Optik nicht berücksichtigt. Alle elektromagnetischen Wellen –&nbsp;also auch das Licht&nbsp;– breiten sich in allen optischen Medien mit Lichtgeschwindigkeit aus. Dies konnte der Physiker {{w|Heinrich Hertz}} (1857–1894) durch die künstliche Erzeugung elektromagnetischer Wellen im Ultrakurzwellenbereich bei 80&nbsp;Megahertz im Jahr 1886 nachweisen. Die '''Lichtgeschwindigkeit im Vakuum''' <math>c_0</math> ist inzwischen eine festgelegte Größe, die für alle Arten elektromagnetischer Strahlung gilt: :<math>c_0 = 299792458 \frac {\text {m}} {\text {s}}</math> Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit für elektromagnetische Wellen. Sie kann von Objekten mit einer Ruhemasse nicht erreicht werden, also auch nicht von Elektronen oder Atomen beziehungsweise Ionen. Die '''Vakuumwellenlänge''' <math>\lambda_0</math> der mit der Frequenz <math>f</math> transversal schwingenden, elektromagnetischen Welle beträgt hierbei: :<math>\lambda_0 = \frac {c_0} {f}</math> Die Frequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle weicht beim Durchgang durch verschiedene Medien nicht von der Frequenz im Vakuum ab. Die Vektoren der elektrischen und der magnetischen Feldstärke stehen bei elektromagnetischen Wellen stets senkrecht zueinander und außerdem beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. ==Brechung== [[Datei:Refraction animation.gif|mini|rechts|hochkant=1.5|Die von links aus dem Vakuum einfallende ebene Welle trifft unter dem Einfallswinkel von 56&nbsp;Bogengrad auf eine Grenzfläche zu einem optischen Medium mit der Brechzahl&nbsp;1,5. Die ebene Welle wird aufgrund der geringeren Ausbreitungsgeschwindigkeit im optischen Medium zum Lot der Grenzfläche hin gebrochen und breitet sich dort ebenfalls als ebene Welle aus. Die Schwingungsfrequenz der Welle bleibt erhalten, im optischen Medium ist die Wellenlänge jedoch verkürzt.]] [[Datei:Brechungsgesetz.Einheitskreis.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zum Snelliusschen Brechungsgesetz mit Einheitskreis an der Grenzfläche zwischen zwei optischen Medien mit den Brechzahlen <math>n_1</math> und <math>n_2</math>. Die Oberflächenlote in den beiden optischen Medien sind gestrichelt dargestellt.]] In allen '''optischen Medien''' bleibt die Schwingungsfrequenz <math>f</math> elektromagnetischer Wellen im Vergleich zu derjenigen im Vakuum erhalten, aber die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> und die Wellenlänge <math>\lambda</math> sind kleiner. Dies kann durch den maßeinheitenlosen '''Brechungsindex''' <math>n</math> (auch '''Brechzahl''' genannt) des optischen Mediums beschrieben werden: :<math>c = \frac {c_0} {n}</math> :<math>\lambda = \frac {\lambda_0} {n}</math> Beziehungsweise: :<math>n = \frac {\lambda_0} {\lambda} = \frac {c_0} {c}</math> Für alle optische Medien beziehungsweise für alle Brechzahlen gilt die folgende Beziehung für die Schwingungsfrequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle: :<math>f = \frac {c} {\lambda} = \frac {c_0} {\lambda_0} = \text{const.}</math> Der Brechungsindex des Vakuums ist demzufolge gleich Eins, und bei allen anderen optischen Medien ist der Brechungsindex größer als Eins. Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist nicht nur von der Wellenlänge abhängig, sondern bei Festkörpern und Flüssigkeiten insbesondere auch von der Temperatur <math>T</math> und bei Gasen vom Druck <math>p</math>: :<math>n = n(\lambda, T, p)</math> Bei Gasen ist der Brechungsindex bei normalem Luftdruck nur geringfügig größer als Eins. Die meisten optischen Medien aus flüssigem oder festem Material haben typische Brechungsindices zwischen 1,3 und 2,0. Wasser hat bei Zimmertemperatur einen Brechungsindex von 1,333. Besondere Materialien haben Brechungsindices, die größer als Zwei sind, wie zum Beispiel Diamant (Kohlenstoffkristall) mit rund 2,4 oder Rutil (Titandioxid) mit rund 3,1. Beim Übergang von Lichtstrahlen von einem optischen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisches Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math> wird ein einfallender Lichtstrahl (in der Abbildung rechts weiß) zu einem Teil in das Einfallsmedium zurück gespiegelt ('''Reflexion''', in der Abbildung rechts dunkelgrau) und zu einem anderen Teil in das Ausfallsmedium gebrochen ('''Refraktion''', in der Abbildung rechts hellgrau). Die Richtungen der Reflexion und der Refraktion werden über die Winkel zur Flächennormalen (Lot) an der Stelle des Übergangs der beiden optischen Medien bestimmt. Für die Reflexion gilt das '''Reflexionsgesetz''': :Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\alpha</math>. Für die Refraktion gilt das '''Snelliussche Brechungsgesetz''': :<math>n_1 \cdot \sin \alpha = n_2 \cdot \sin \beta</math> Ist <math>n_2</math> größer als <math>n_1</math>, wird der Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen, und ist <math>n_1</math> größer als <math>n_2</math>, wird der Lichtstrahl vom Lot weggebrochen. Am Einheitskreis (Radius gleich Eins) gilt: :<math>\sin \alpha = a</math> und: :<math>\sin \beta = b</math> Das Snelliussche Brechungsgesetz geht damit in die folgende Form über: :<math>n_1 \cdot a = n_2 \cdot b</math> Es gilt entsprechend: :<math>\frac {n_1} {n_2} = \frac {\sin \beta} {\sin \alpha} = \frac {c_2} {c_1} = \frac {b} {a}</math> Zur Herleitung des Brechungsgesetzes unter Berücksichtigung der Ausbreitung mit '''Huygensschen Elementarwellen''' mit der jeweiligen Lichtgeschwindigkeit auf dem schnellsten Weg entsprechend dem '''Fermatschen Prinzip''' siehe auch: '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Ablenkung_von_Lichtstrahlen|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Ablenkung von Lichtstrahlen"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Dispersion=== Die Brechzahl aller optischen Medien hängt von der Wellenlänge des Lichts ab. Hierbei gilt, dass blaues Licht mit kurzer Wellenlänge stärker gebrochen wird als rotes Licht mit langer Wellenlänge. Die Dispersion eines bestimmten optischen Mediums kann durch dessen '''Abbe-Zahl''' <math>\nu_e</math> beschrieben werden: :<math>\nu_{e} = \frac {n_{e} - 1} {n_{F'} - n_{C'}}</math> Hierbei stehen die Indizes C', e und F' am Brechungsindex für die folgenden Lichtwellenlängen: * Rot: <math>n_{C'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{C'} = 643,8469 \text { nm}</math> * Grün: <math>n_{e}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{e} = 546,0740 \text { nm}</math> * Blau: <math>n_{F'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{F'} = 479,9914 \text { nm}</math> Eine große Abbe-Zahl steht also für ein optisches Medium mit geringer Dispersion, und eine kleine Abbe-Zahl steht für ein optisches Medium mit starker Dispersion. <div style="clear:both"></div> ===Optische Medien mit variabler Brechzahl === Bei optischen Medien mit asymmetrischen Kristallgitterstrukturen, wie zum Beispiel Kalkspat (Calcit), hängt die Brechzahl von der Schwingungsrichtung des Lichts in Bezug auf die Gitterebenen ab. In solchen optisch anisotropen Kristallen hängt der Brechungsindex sowohl von der Polarisationsrichtung als auch von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes ab. Bei dieser '''Doppelbrechung''' wird in der Regel zwischen einem ordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\perp</math> und einem außerordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\parallel</math> unterschieden. Je nach Struktur eines bestimmten Kristalls kann sowohl der ordentliche als auch der außerordentliche Strahl eine größere Brechkraft erfahren. Manche Kristalle haben einen sehr deutlichen Unterschied bei diesen beiden Brechzahlen, wie zum Beispiel Kalomel (Quecksilber(I)-chlorid), dass bei einer Massendichte von rund 7,2 Gramm pro Kubikzentimeter eine Brechzahl von knapp 2,0 für den ordentlichen und eine Brechzahl von über 2,6 für den außerordentlichen Strahl aufweist. '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Doppelbrechung|Abschnitt "Doppelbrechung"]]''' Im Allgemeinen sind optische Medien aus amorphen, lichtdurchlässigen Festkörpern, wie zum Beispiel stark brechendes '''Flintglas''', schwach dispergierendes '''Kronglas''', für ultraviolettes Licht durchlässiges '''Quarzglas''' oder leichtes '''Acrylglas''' (Polymethylmethacrylat (PMMA)), isotrop und homogen, so dass die Brechkraft für Licht einer bestimmten Wellenlänge für alle Polarisations- und Ausbreitungsrichtungen überall im Medium gleich ist. In Flüssigkeiten oder in Gasen kann es passieren, dass der Brechungsindex durch Dichteschwankungen im optischen Medium nicht konstant ist. Als Ursache für solche Dichteschwankungen kommt insbesondere die Gravitation in Frage. Das Gas der Atmosphäre hat im Schwerefeld der Erde nach der Bernoullischen Höhengleichung mit zunehmender Höhe einen immer weiter abnehmen Druck und somit eine immer geringer werdende Dichte. Demzufolge nimmt die Brechkraft der atmosphärischen Gase (im Wesentlichen bestehend aus Stickstoff- und Sauerstoffmolekülen sowie Argonatomen) mit zunehmender Höhe immer weiter ab. Diese '''atmosphärische Refraktion''' wirkt sich zum Beispiel bei der Brechung des Sonnenlichts bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang aus, wo die Lichtstrahlen beim Eintritt in die Atmosphäre kontinuierlich stärker in Richtung Erdoberfläche gebrochen werden. [[Datei:Dichte.Brechungsindex.Zuckerloesung.png|mini|rechts|hochkant=1.2|Dichte und Brechungsindex in Abhängigkeit von der Konzentration von Zucker in Wasser in Prozent.]] Auch in Flüssigkeiten mit gelösten Feststoffen kann es im Schwerefeld der Erde mit größer werdender Tiefe unter der Flüssigkeitsoberfläche zu einer Zunahme der Massendichte und somit auch der optischen Dichte kommen. Dies ist zum Beispiel bei in Wasser gelöstem Zucker der Fall, bei den die Zuckerkonzentration in der wässrigen Lösung mit größerer Wassertiefe immer weiter zunimmt. <gallery caption="Beispiele für variable Brechungsindizes" perrow=2 widths=640 heights=480> Sonnenuntergang - Verschiebung.png|Durch einen Beobachter auf der Erdoberfläche wahrgenommene und die tatsächliche Form und Position der Sonne aufgrund der atmosphärischen Refraktion bei Sonnenaufgang beziehungsweise bei Sonnenuntergang. Kuevette.Zuckerloesung.Laserstrahl.P1033789.jpg|Roter Laserstrahl auf einer Zykloidenbahn in einer Küvette mit Zuckerlösung, die nach unten hin eine immer größere Massendichte und optische Dichte aufweist, so dass der Brechungsindex auf dem Lichtweg stetig größer wird. </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Optische Achse== [[Datei:Optische.Achse.png|mini|hochkant=2|Optische Achse]] Die '''optische Achse''' beschreibt in der geometrischen Optik die Rotationsachse aller rotationssymmetrischen Bestandteile einer optischen Abbildung oder eines optischen Systems. Schnittebene von zweidimensionalen Skizzen werden üblicherweise durch die optische Achse gelegt, so dass die Schnitte der rotationssymmetrischen optischen Elemente an dieser Achse gespiegelt dargestellt werden. Die optische Achse wird in solchen Skizzen immer als Strichpunktlinie dargestellt. <div style="clear:both"></div> ==Hauptebenen== [[Datei:Hauptebene.png|mini|hochkant=1.5|Ein aus dem Objektraum links der Hauptebene kommender Lichtstrahl (gestrichelte Linie) wird an der Hauptebene H (blau) in den Bildraum rechts der Hauptebene abgelenkt]] '''Hauptebenen''' stehen in der Regel senkrecht zur optischen Achse. Sie beschreiben vereinfacht betrachtet Flächen, an denen alle Strahlen in einem optischen Strahlengang gebrochen oder gespiegelt werden, und sie teilen den '''Objektraum''' links der Hauptebene vom '''Bildraum''' rechts der Hauptebene. In der Praxis gilt dies mit hinreichender Genauigkeit häufig nur für achsnahe Strahlen ('''paraxialer''' Strahlengang mit '''Gaußschen Strahlen'''). Bei '''konvergenten''' Systemen werden die Strahlen zur optischen Achse abgelenkt, und bei '''divergenten''' Systemen werden die Strahlen von der optischen Achse weggelenkt. Von den Hauptebenen werden in Richtung der optischen Achse '''Brennweiten''', '''Objektweiten''' und '''Bildweiten''' gemessen. Die Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse werden als '''Hauptpunkte''' bezeichnet. Lichtstrahlen, die durch einen Hauptpunkt gehen, heißen '''Hauptstrahlen''' und werden nicht abgelenkt. <div style="clear:both"></div> ==Optische Flächen== [[Datei:Lens shapes 2.svg|mini|hochkant=1.5|Verschiedene Linsenformen mit ihren beiden Hauptebenen H und H':<br/> 1: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 2: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 3: plankonvexe Sammellinse mit <math>r_2 = \infty</math><br/> 4: konvex-konkave Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 5: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 6: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math><br/> 7: plankonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 = \infty</math><br/> 8: konvex-konkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math>]] Licht kann an den Flächen zwischen optischen Medien durch '''Lichtbrechung''' ('''Refraktion''') oder an Oberflächen durch '''Spiegelung''' ('''Reflexion''') abgelenkt werden. Optische '''Linsen''' sind lichtdurchlässig (transparent) und haben zwei optisch aktive Oberflächen, und '''Spiegel''' haben eine reflektierende Oberfläche. Linsen- und Spiegeloberflächen können eben ('''plan'''), nach außen gewölbt ('''konvex''') oder nach innen gewölbt ('''konkav''') sein. Bei Linsen können die beiden optisch aktiven Oberflächen verschiedene Wölbungen und Formen haben. Beidseitig konvexe ('''bikonvexe''') sowie '''plankonvexe''' Linsen sammeln das einfallende Licht und werden deswegen '''Sammellinsen''' genannt. Beidseitig konkave ('''bikonkave''') sowie '''plankonkave''' Linsen zerstreuen einfallendes Licht und werden deswegen '''Zerstreuungslinsen''' genannt. Bei konvex-konkaven und konkav-konvexen Linsen wird die Gesamtwirkung des Sammelns oder Zerstreuens durch die Oberfläche mit der stärkeren Krümmung bestimmt: ist diese konvex, handelt es sich um eine Sammellinse, ist diese konkav, handelt es sich um eine Zerstreuungslinse. Bei Spiegeloberflächen verhält es sich umgekehrt: ist die Spiegeloberfläche konkav, handelt es sich um einen lichtsammelnden Spiegel (auch '''konkaver Spiegel''' oder '''Hohlspiegel'''), ist die Spiegeloberfläche konvex, handelt es sich um einen lichtzerstreuenden Spiegel (auch '''konvexer Spiegel''',''' Wölbspiegel''' oder '''Zerstreuungsspiegel'''). Ein Spiegel mit ebener Oberfläche wird als '''Planspiegel''' bezeichnet, bei dem die Hauptebene mit der Oberfläche identisch ist. Linsen haben stets zwei '''Hauptebenen''', die in der Regel objektseitig mit '''H''' und bildseitig mit '''H'''' bezeichnet werden. Die entsprechenden '''Hauptpunkte''' können insbesondere bei plankonvexen oder plankonkaven Linsen mit den Scheitelpunkten der Linsenoberflächen auf der optischen Achse übereinstimmen. Bei bikonvexen und bikonkaven Linsen liegen die Hauptpunkte jedoch zwischen den Scheitelpunkten der Linse. Bei konkav-konvexen beziehungsweise konvex-konkaven Linsen kann ein Hauptpunkt oder können sogar beide Hauptpunkte außerhalb des Linsenkörpers liegen. Zwischen den beiden Hauptebenen einer Linse verlaufen alle Strahlen rechnerisch betrachtet parallel zur optischen Achse. Die Hauptstrahlen verlaufen zwischen den beiden Hauptebenen entlang der optischen Achse. Im folgenden Beispiel für eine Sammellinse wird dieses Verhalten verdeutlicht: [[Datei:Strahlengang.Hauptebenen.Sammellinse.png|mini|zentriert|Strahlengang über die beiden Hauptebenen H und H' bei einer Sammellinse.]] Bei hinreichend '''dünnen Linsen''' fallen die beiden Hauptebenen annähernd zu einer einzigen Hauptebene in der Mitte der Linse zusammen, so dass sich Berechnungen und graphische Darstellungen mit nur einer Hauptebene deutlich vereinfachen lassen. Von dünnen Linsen wird gesprochen, wenn die Brennweite <math>f</math> und somit auch die Radien der Linsenoberflächen <math>R_1</math> und <math>R_2</math> deutlich größer sind als die entlang der optischen Achse zwischen den beiden Linsenscheitelpunkten gemessene Dicke <math>d</math> einer Linse: :<math>R_1, R_2 > f \gg d</math> Optische Systeme, wie zum Beispiel ein Objektiv mit zahlreichen Linsen, können sehr viele Hauptebenen haben, die nicht notwendigerweise alle im optischen System liegen müssen, wie zum Beispiel bei [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Retrofokusobjektiv|Retrofokusobjektiven]] oder [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telefokusobjektiv|teleskopischen Objektiven]]. Messtechnisch können von außen unmittelbar nur die Lagen der beiden äußersten Hauptebenen eines optischen Systems bestimmt werden. Bei Zoomobjektiven, also bei Objektiven mit variabler Brennweite, variiert die Lage der Hauptebenen mit der Einstellung der Brennweite. Auch bei Objektiven mit innenliegender Fokussierung verändert sich beim Scharfstellen von Objekten in der Bildebene die Lage von Hauptebenen zueinander. '''Schnittweiten''' werden ebenfalls entlang der optischen Achse gemessen, in der Regel jedoch nicht von einer Hauptebene aus, sondern vom Scheitelpunkt der nächstgelegenen gekrümmten und zu untersuchenden optischen Fläche. Dieser Scheitelpunkt befindet sich im Schnittpunkt der optischen Achse mit der gekrümmten optischen Fläche. <div style="clear:both"></div> ==Bildwinkel== [[Datei:Bildwinkel.png|hochkant=2|miniatur|Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildweite <math>b</math> und Bilddiagonale <math>d</math> mit Berücksichtigung der Objektgröße <math>G</math> und der Bildgröße <math>B</math>]] Der '''Bildwinkel''' <math>\alpha</math> ist der ebene Winkel, innerhalb dessen das reelle Bild des Objektes in der '''Bildebene''' vom bildseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann. Er wird durch die äußeren zur Abbildung beitragenden Hauptstrahlen gebildet, die durch den Hauptpunkt gehen. Mathematisch ist der Bildwinkel wie folgt definiert, wenn die '''Bildgröße''' (sie wird manchmal auch als Bildhöhe bezeichnet) <math>B</math> beziehungsweise der Radius des '''Bildkreises''' <math>r</math> von der optischen Achse aus gemessen ist und <math>b</math> die '''Bildweite''' zwischen Hauptebene und Bildebene darstellt: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {B}{b} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{b}</math>, wobei der Radius des Bildkreises <math>r</math> gleich dem halben Bildkreisdurchmesser <math>d</math> ist: :<math>r = B = \frac {d}{2}</math> Die Bildweite ergibt sich daraus folgendermaßen: :<math>b = \frac {r}{\tan \frac {\alpha}{2}} = \frac {d}{2 \cdot \tan \frac {\alpha}{2}}</math> Der '''Objektwinkel''' ist der ebene Winkel, innerhalb dessen ein abgebildetes Objekt in der '''Objektebene''' (respektive in der '''Schärfeebene''') vom objektseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann, und er ist mit dem Bildwinkel <math>\alpha</math> identisch. Daher können unter Berücksichtigung des [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Abbildungsma.C3.9Fstab|Abbildungsmaßstabs]] auch die '''Objektgröße''' (sie wird auch als '''Gegenstandshöhe''' oder '''Gegenstandsgröße''' bezeichnet) <math>G</math> beziehungsweise der Radius des '''Objektkreises''' von der optischen Achse aus gemessen und die '''Objektweite''' (sie wird auch als '''Gegenstandsweite''' bezeichnet) <math>g</math> zwischen Hauptebene und Objektebene zur Berechnung des Bildwinkels herangezogen werden: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {G}{g}</math> Wegen der ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke gilt, dass die Verhältnisse der Katheten gleich sind: :<math>\frac {B} {b} = \frac {G} {g}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {B} {G} = \frac {b} {g}</math> <div style="clear:both"></div> ==Brennweite== [[Datei:Brennweite.png|mini|hochkant=2|Brennweite f zwischen einer Hauptebene H und dem Brennpunkt F bei einer optischen Abbildung]] [[Datei:Objektweite.unendlich.png|mini|hochkant=2|Bildhöhe c in der Brennebene in Abhängigkeit der Richtung γ eines unendlich entfernten Objektes zur optischen Achse]] Die '''Brennweite''' <math>f</math> ist bei einer optischen Abbildung mit lichtsammelnden Elementen definiert als die von der letzten Hauptebene gemessene Schnittweite paraxialer Lichtstrahlen bei unendlicher '''Objektweite''' <math>a</math>. In diesem Fall schneiden sich die Strahlen im bildseitigen '''Brennpunkt''' und die '''Bildweite''' <math>b</math> ist identisch mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>f = b_{a=\infty}</math> Die Brennweite kann also als Bildweite gemessen werden, wenn die Objektweite unendlich ist. Der Kehrwert der Brennweite wird '''Brechkraft''' <math>D</math> genannt: :<math>D = \frac {1} {f}</math> Die Maßeinheit der Brechkraft ist eine Dioptrie, die identisch ist mit der Maßeinheit <math>\frac {1} {\text{m}}</math> (Eins durch Meter). Die Brechkraft wird häufig in der Augenoptik verwendet, um die Brechkraft von Sehhilfen zu charakterisieren. Sammellinsen wie auch Hohlspiegel haben eine positive Brechkraft und können eine Weitsichtigkeit (Hyperopie) kompensieren. Zerstreuungslinsen wie auch Wölbspiegel haben eine negative Brechkraft und können eine Kurzsichtigkeit (Myopie) kompensieren. Liegt das Objekt außerhalb der optischen Achse, wird es nicht in den Brennpunkt abgebildet, sondern in die '''Brennebene''', die durch den Brennpunkt geht und senkrecht auf der optischen Achse steht. Für ein Objekt mit unendlicher Objektweite, das zur optischen Achse unter dem Winkel <math>\gamma</math> erscheint, ergibt sich bei gegebener bildseitiger Brennweite <math>f'</math> die von der optischen Achse gemessene Bildhöhe <math>c</math> wie folgt: :<math>c = f' \tan \gamma</math> Oder nach Umstellung aufgelöst nach dem Winkel <math>\gamma</math> in Abhängigkeit der beiden Längen: :<math>\gamma = \arctan \frac {c} {f'}</math> Wenn die Bilddiagonale eines Rechteckes beziehungsweise der Bildkreisdurchmesser <math>d</math> bekannt sind, ergibt sich die Brennweite als Funktion des (diagonalen) Bildwinkels <math>\alpha</math> zu: :<math>f = \frac {d} {2 \cdot \tan \frac {\alpha} {2}}</math> Beziehungsweise umgekehrt, der Bildwinkel <math>\alpha</math> als Funktion der Brennweite <math>f'</math>: :<math>\alpha = 2 \arctan {\frac {d} {2 \cdot f'}}</math> Ein Objekt, das in der Brennebene liegt, wird ins Unendliche abgebildet, und der objektseitige Brennpunkt wird bildseitig daher auf der optischen Achse ins Unendliche abgebildet. Wegen der '''Dispersion''' kann die Brennweite bei der Verwendung von brechenden Materialien von der Wellenlänge der abbildenden Strahlen abhängen: → Siehe hierzu auch '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Chromatische_Aberration|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Chromatische Aberration"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Normalbrennweite=== Die Brennweite ist bei einer optischen Abbildung nicht ausreichend, um die Größe einer Aufnahme zu kennzeichnen. In einigen Fällen ist die Bildgröße standardisiert, wie zum Beispiel beim rechteckigen Format des Kleinbildfilms, so dass aus der Angabe einer beliebigen Brennweite auch auf den maximal möglichen Bildwinkel der '''Bilddiagonale''' beziehungsweise des '''Bildkreisdurchmessers''' geschlossen werden kann. Es kann eine empirisch zu bestimmende '''Normalbrennweite''' definiert werden, bei der ein Bild mit dem Bildwinkel aufgenommen wird, mit dem das abgebildete Objekt mit bloßem Auge bei hinreichender Auflösung gesehen werden kann. Dies ist der Fall, wenn der Bildwinkel des Auges wegen der physiologischen Schwankungsbreite ungefähr zwischen 40° und 55° liegt. Brennweiten, die kürzer als die Normalbrennweite sind, erzeugen weitwinklige Aufnahmen mit größeren Bildwinkeln, und Brennweiten, die länger als die Normalbrennweite sind, erzeugen teleskopische Aufnahmen mit kleineren Bildwinkeln. Die Größenverhältnisse der in unterschiedlichen Entfernungen aufgenommenen Gegenstände innerhalb einer Aufnahme ändern sich deutlich mit der Brennweite. Beim durch den 35-Millimeter-Film (Kleinbildfilm) im 20.&nbsp;Jahrhundert sehr weit verbreiteten Kleinbildformat mit einer Bildbreite <math>b</math> von 36 Millimetern und einer Bildhöhe <math>h</math> von 24 Millimetern hat sich eine Normalbrennweite <math>f_\text{norm, Kleinbild}</math> von :<math>f_\text{norm, Kleinbild} = 50 \, \text{mm}</math> etabliert. Bei diesem Format ergibt sich rechnerisch eine Bilddiagonale beziehungsweise ein Bildkreisdurchmesser <math>d</math> von: :<math>d_\text{Kleinbild} = \sqrt {b_\text{Kleinbild}^2 + h_\text{Kleinbild}^2} = \sqrt {{(36 \, \text{mm})}^2 + {(24 \, \text{mm})}^2} \approx 43{,}3 \, \text{mm}</math> [[Datei:Sensorformate.svg|hochkant=2|miniatur|Bildsensorgrößen im Vergleich]] Da alle Hersteller von Kleinbildkameras dieselbe, fest vorgegebene Bildgröße verwenden, ist dem Photographen bei diesem Bildformat bekannt, dass ein Objektiv mit Normalbrennweite eine Brennweite von 50&nbsp;Millimetern hat. Bei anderen Bildformaten und -größen, wie sie zum Beispiel in der digitalen Photographie verwendet werden, ergeben sich zwangsläufig andere Normalbrennweiten, so dass aus der Angabe der Brennweite allein noch nicht folgt, welche Bildgröße oder welcher Bildwinkel bei der optischen Abbildung berücksichtigt wurde. Abgesehen von einigen digitalen Systemkameras mit Bildsensoren im Kleinbildformat gibt es viele verschiedene Bildsensorgrößen und damit Normalbrennweiten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Lichtwandlung#Bildsensoren|Bildsensoren]]). Zur Bestimmung von Normalbrennweiten kann das Verhältnis <math>c</math> zwischen Normalbrennweite und Bildkreisdurchmesser verwendet werden, das sich beim Kleinbildfilm ergibt: :<math>c = \frac {f_\text{norm, Kleinbild}}{d_\text{Kleinbild}} \approx 1{,}16</math> Anhand der effektiven Bilddiagonalen <math>d</math> kann somit die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> berechnet werden: :<math>f_\text{norm} = c \cdot d</math> Beim Sonderfall '''unendlicher Objektweite''' <math>a</math> sind Bildweite <math>a'</math> und Brennweite <math>f</math> identisch, und der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> kann leicht aus der Brennweite <math>f</math> und dem Radius des Bildkreises <math>r</math> berechnet werden: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{f}</math> Am Beispiel des Kleinbildformates ergibt sich der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> also wie folgt: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {21{,}63 \, \text{mm}} {50 \, \text{mm}} = 46{,}8^\circ</math> Dieser Bildwinkel kann auch bei alle anderen Bildformaten eingesetzt werden. Die Normalbrennweite kann mithilfe des Bildwinkels bei der Normalbrennweite bei unendlicher Objektweite auch aus der Brennweite und dem dazugehörigen Bildwinkel bestimmt werden: :<math>f_\text{norm} = f \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Ferner lässt sich auch die Bilddiagonale berechnen, wenn die Brennweite bekannt ist und der Bildwinkel gemessen werden kann: :<math>d = \frac {f_\text{norm}} {c} = \frac {f} {c} \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Für einige gängige Bildsensorformate resultieren die folgenden Bilddiagonalen und Normalbrennweiten, sowie die entsprechenden Schärfentiefebereiche (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sch.C3.A4rfentiefe|Schärfentiefe]]) für menschliche Betrachter beispielsweise bei einer Blendenzahl von 2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Blendenzahl|Blendenzahl]]) und einer Objektweite von einem Meter. Ferner die Bildpunktgröße bei 16&nbsp;Millionen quadratischen Bildpunkten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Punktabstand|Punktabstand]]), der dazugehörige tolerierbare Fokussierungsfehler in der Bildebene bei der Blendenzahl&nbsp;2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Fokussierungsfehler|Fokussierungsfehler]]) und der Durchmesser des entsprechenden Beugungsscheibchens für grünes Licht mit der Wellenlänge 550 Nanometer (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]): {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Bildsensorgröße<br />Bezeichnung !Bilddiagonale<br /><math>d</math> in Millimetern !Normalbrennweite<br /><math>f_\text{norm}</math> in Millimetern !Schärfentiefe in mm<br />bei Blendenzahl 2,0 und<br />Objektweite 1 m !Bildpunktgröße<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei 16 Millionen Bildpunkten !Maximal zulässiger Fokussierungsfehler<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei Blendenzahl 2,0 !Maximale Blendenzahl<br />ohne Beugungsbegrenzung<br />auf dem Bildsensor |- | 1/3,2″ || 5,6 || 6,5 || 360 || 0,99 || 2,0 || 0,74 |- | 1/2,7″ || 6,0 || 7,0 || 330 || 1,06 || 2,1 || 0,79 |- | 1/2,5″ || 6,4 || 7,5 || 310 || 1,13 || 2,3 || 0,84 |- | 1/2,3″ || 7,7 || 8,9 || 260 || 1,4 || 2,7 || 1,0 |- | 1/1,8″ || 8,9 || 10 || 240 || 1,57 || 3,1 || 1,2 |- | 2/3″ || 11,0 || 13 || 170 || 1,94 || 3,9 || 1,4 |- | 1" || 15,9 || 18 || 130 || 2,8 || 5,6 || 2,0 |- | 4/3″ || 21,6 || 25 || 90 || 3,8 || 7,6 || 2,8 |- | APS-C || 26,8 bis 28,4 || 31 bis 33 || 70 || 5 || 10 || 3,5 |- | Kleinbildformat || 43,3 || 50 || 44 || 8 || 15 || 5,6 |- | Mittelformat || 50 bis 70 || 60 bis 80 || 30 || 11 || 20 || 8,0 |} Wesentliche Unterschiede von Bildsensoren ergeben sich indirekt durch eine unterschiedliche Schärfentiefe <math>\Delta_d</math> bei gleichem Bildwinkel und gleicher Blendenzahl. Dabei gilt näherungsweise bei gleicher Anzahl der Bildpunkte (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildauflösung|Bildauflösung]]): :<math>\Delta_d \propto \frac {1} {d}</math> Es ergibt sich bei der Verdopplung der Bilddiagonale <math>d</math> also in etwa eine Halbierung der Schärfetiefe. Bei großen Bildsensorformaten ist die Schärfentiefe bei offener Blende möglicherweise so stark eingeschränkt, dass abgeblendet werden muss. Ferner kann es bei der Verwendung von zusätzlichen Einstellhilfen für die Bildschärfe wie zum Beispiel Einstellscheiben oder Autofokussystemen bei kleinen Bildsensoren leicht zu Fokussierungsfehlern kommen, so dass das Bild auf dem Sensor nicht hinreichend scharf aufgenommen werden kann. ==Abbildungsmaßstab== [[Datei:Abbildungsgleichung.png|hochkant=2.5|miniatur|Parameter der Abbildungsgleichung bei einem konvergenten Strahlengang]] [[Datei:Lens and wavefronts rotated.gif|mini|Die Ausbreitungsrichtung der von einem Objektpunkt in unendlicher Objektentfernung ausgehenden, ebenen Wellenfronten steht überall senkrecht auf diesen Wellenfronten. Dies ist auch nach dem Passieren eines optischen Systems der Fall, so dass sich die Wellenfronten bei einer optischen Abbildung im Bild zu einem Punkt vereinigen.]] [[Datei:Virtuelle.Abbildung.png|thumb|hochkant=2|miniatur|Geometrische Verhältnisse bei einer '''virtuellen Abbildung''':<br/> Das virtuelle Bild eines zwischen der objektseitigen Brennebene und der Hauptebene befindlichen Objekts kann von rechts der Hauptebene aus betrachtet werden und entsteht von dort aus gesehen hinter dem Objekt vergrößert im Objektraum. Anders als ein reelles Bild kann es in der Bildebene '''nicht''' mit einem Schirm aufgefangen werden. Der objektseitige Brennpunkt (nicht dargestellt) befindet sich bei einer virtuellen Abbildung immer vor der Objektebene auf der optischen Achse.]] Bei photographischen Aufnahmen mit gegebener Brennweite <math>f</math> gilt die '''Abbildungsgleichung''' (umgangssprachlich auch "Linsenformel"), die den Zusammenhang zwischen Objektweite <math>a</math> und Bildweite <math>a'</math> herstellt: :<math>\frac {1} {f} = \frac {1} {a} + \frac {1} {a'}</math> oder anders ausgedrückt: :<math>f = \frac {a \cdot a'} {a + a'}</math> Aus diesen Längen lässt sich der '''Abbildungsmaßstab''' <math>\beta</math> berechnen. Dieser kann bei sowohl aus dem Verhältnis von Bildweite <math>a'</math> zu Objektweite <math>a</math> (auch Gegenstandsweite genannt), als auch aus dem Verhältnis von Bildgröße <math>y'</math> zu Objektgröße <math>y</math> (auch Gegenstandsgröße genannt) berechnet werden: :<math>\beta = \frac {a'} {a}= \frac {y'} {y} = \frac {a'} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a} {f} - 1}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {1} {\beta} = \frac {a} {a'}= \frac {y} {y'} = \frac {a} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a'} {f} - 1}</math> Hieraus ergibt sich unmittelbar, dass der Abbildungsmaßstab genau dann den Betrag Eins annimmt, wenn sowohl Objektweite als auch Bildweite doppelt so groß sind wie die Brennweite: :<math>a = 2 \cdot f \rightarrow a' = 2 \cdot f' \rightarrow | \beta | = 1</math> Bei reellen Abbildungen aus dem Unendlichen, also mit unendlicher Objektweite (<math>a = \infty</math>), ist der Abbildungsmaßstab in der Brennebene Null (<math>a' = f'</math>). Die Größe des abgebildeten Punkts hat in der Brennweite <math>f'</math> dann allerdings nicht den geometrisch sich ergebenen Durchmesser Null, sondern wird durch den Durchmesser des Beugungsscheibchens begrenzt (siehe hierzu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]). Wegen der Umkehrbarkeit der Lichtwege in einem optischen System ergeben sich die entsprechenden Verhältnisse auch bei der Abbildung eines Objektpunkts in der Brennebene bei der Objektweite <math>a = f</math> nach Unendlich (<math>a' = \infty</math>). Umgeformt nach der Bildweite <math>a'</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a'} = \frac {y'} {y} \cdot a = \beta \cdot a = \frac {1} {\frac {1}{f} - \frac {1} {a}} = ({\beta} + 1) \cdot f</math> Und umgeformt nach der Objektweite <math>a</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a} = \frac {y} {y'} \cdot a' = \frac {a'}{\beta} = \frac {1} {\frac {1} {f} - \frac {1} {a'}} = \left( \frac {1} {\beta} + 1 \right) \cdot f</math> Desgleichen können die Objektröße <math>y</math> und die Bildgröße <math>y'</math> ausgerechnet werden: :<math>{y} = \frac {y'} {\beta} = \frac {y'} {\frac {a'} {f} - 1} = \left( \frac {a} {f} - 1 \right) \cdot y'</math> :<math>{y'} = \beta \cdot y = \left( \frac {a'} {f} - 1 \right) \cdot y = \frac {y} {\frac {a} {f} - 1}</math> Bei der gleichzeitigen Aufnahme von Objekten mit verschiedener Objektweite (innerhalb des hinreichend scharf abgebildeten Schärfentiefebereiches) ergeben sich also zwangsläufig unterschiedliche Abbildungsmaßstäbe. Dieser Effekt kann bei Aufnahmen, bei denen es auf Maßhaltigkeit ankommt (zum Beispiel bei einer Industrieanlagenüberwachung, in der Photogrammetrie oder bei der Portraitphotographie), dadurch reduziert werden, dass eine größere Brennweite und entsprechend größere Objektweiten gewählt werden. Alternativ ist der Einsatz von beidseitig telezentrischen Objektiven möglich, bei denen der Abbildungsmaßstab weder von der Objektweite noch von der Bildweite abhängt (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telezentrie|Telezentrie]]). Für zwei Gegenstände mit einem Abstand von zehn Einheiten ergeben sich bei drei verschiedenen Brennweiten beispielsweise die folgenden Abbildungsmaßstäbe: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Brennweite<br/><math>f</math> !Objektweite<br/><math>a</math> !Abbildungsmaßstab<br/><math>\beta</math> !Abweichung der<br/>Abbildungsmaßstäbe |- | rowspan="2" | 10 | 100 | 0,1111 | rowspan="2" | 11,1% |- | 110 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 100 | 1090 | 0,1010 | rowspan="2" | 1,0% |- | 1100 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 1000 | 10990 | 0,1001 | rowspan="2" | 0,1% |- | 11000 | 0,1000 |} <div style="clear:both"></div> ===Abbildung über zwei Hauptebenen=== [[Datei:Optische Abbildung.mit.zwei.Hauptebenen.png|mini|rechts|hochkant=2|Optische Abbildung eines Objekts in der Gegenstandsebene G in der Objektweite a mit der Objektgröße y über zwei Hauptebenen H und H' mit dem Abstand x in die Bildebene B in der Bildweite a' mit der Bildgröße y'. Der objektseitige Brennpunkt F befindet sich in der Brennweite f vor der Hauptebene H, und der bildseitige Brennpunkt befindet sich in der Brennweite f' hinter der Hauptebene H'. Die Gesamtlänge s des Strahlengangs ist durch den Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B bestimmt.]] Optische Systeme, die für die Erzeugung von reellen Bildern von Objekten eingesetzt werden, bestehen in der Regel aus Objektiven mit mehreren Linsen. Jede Linse hat zwei Hauptebenen, an denen die Lichtstrahlen abgelenkt werden können. Von außen sind jedoch nur die objektseitige Hauptebene H und die bildseitige Hauptebene H' des gesamten optischen Systems relevant. Zwischen den Hauptebenen verlaufen alle abgelenkten Strahlen parallel zur optischen Achse. Deswegen reicht es häufig, ein optisches System nur durch diese beiden im Abstand <math>x</math> voneinander befindlichen Hauptebenen H und H' zu beschreiben und zu untersuchen. Der Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B ist dann die Summe <math>s</math> von Objektweite <math>a</math>, Abstand der Hauptebenen <math>x</math> und der Bildweite <math>a'</math>: :<math>s = a + x + a'</math> Aus den geometrischen Verhältnissen ergibt sich mit den oben genannten Größen für die Brennweite <math>f</math> und für den Abbildungsmaßstab <math>\beta</math>: :<math>s = x + f \cdot \left( \beta + \frac {1} {\beta} + 2 \right) \ge x + 4 \cdot f</math> <div style="clear:both"></div> ===Relativer Abbildungsmaßstab=== Um ein von der Brennweite und der Bildgröße unabhängiges Maß zu gewinnen, kann das Verhältnis des tatsächlichen Abbildungsmaßstabes <math>\beta</math> zum entsprechenden Abbildungsmaßstab bei der Normalbrennweite <math>\beta_\text{norm}</math> gebildet werden, der sogenannte '''relative Abbildungsmaßstab''' <math>\beta_\text{rel}</math>: :<math>\beta_\text{rel} = \frac {\beta}{\beta_\text{norm}}</math> Bei der Normalbrennweite ist der relative Abbildungsmaßstab eins, bei weitwinkligen Aufnahmen ist er kleiner als eins und bei teleskopischen Aufnahmen ist er größer als eins. <div style="clear:both"></div> ==Zoomfaktor== [[Datei:Standardzoom.png|mini|rechts|hochkant=2|Standardzoom mit Bildwinkeln zwischen leicht weitwinkliger und leicht teleskopischer Wirkung. Bei mittlerer Brennweite sind in etwa die Normalbrennweite und der Normalwinkel eingestellt.]] Der '''Zoomfaktor''' <math>z</math> von Objektiven, die in der Brennweite variabel sind, wird traditionell als Verhältnis der Extrembrennweiten angegeben: :<math>z = \frac {f_\text{tele}} {f_\text{weit}}</math> Dieser Wert ist bei '''unendlicher Objektweite''' identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise relativen Abbildungsmaßstäbe: :<math>z = \frac {\beta_\text{weit}} {\beta_\text{tele}} = \frac {\beta_\text{rel, weit}} {\beta_\text{rel, tele}}</math> Dies ist zwar ein einfacher Ansatz, da die Brennweiten als Kenndaten des Zoomobjektivs in der Regel angegeben werden, dieser lässt jedoch unbeachtet, dass die perspektivische Wirkung einer optischen Abbildung nicht von der Brennweite, sondern vom Bildwinkel bestimmt wird und bei Vergrößerungen der Abbildungsmaßstab einen viel entscheidenderen Einfluss hat. Bei einer Verdopplung der Brennweite ist es bei hinreichend geringer Objektweite ohne weiteres möglich, einen zehn Mal größeren Abbildungsmaßstab respektive einen zehn Mal kleineren Bildwinkel zu erreichen. Der Zoomfaktor ist also nur eine Kenngröße, die die Verhältnisse der Abbildungsmaßstäbe bei unendlicher Objektweite angeben. Für Objektweiten in der Größenordnung der Brennweite <math>f</math> ist das Verhältnis der Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise der Bildwinkel erheblich aussagekräftiger als der Zoomfaktor. Die folgende Tabelle gibt für eine Objektweite von <math>g = 1000</math> Längeneinheiten die Verhältnisse der Brennweiten, Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel bei verschiedenen Brennweiten bezogen auf die Bezugsbrennweite <math>f_{0} = 10</math> (dies entspricht einem Abbildungsmaßstab von <math>\beta_{0} = \frac {1} {99}</math>, einer Bildweite von <math>b_{0} = 10{,}101</math>, einer Bilddiagonale von <math>d = 8{,}7</math>, wenn <math>f_{0}</math> die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> des Systems ist, und einem Bildwinkel von <math>\alpha_{0} = \alpha_{\text{norm}} = 46{,}8^\circ</math>) an: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" |+ Abbildungsverhältnisse bei konstanter Objektweite g = 1000 !<br/>Brennweite<br/><math>f</math> !<br/>Bildweite<br/><math>b</math> !Abbildungs-<br/>maßstab<br /><math>\beta</math> !<br/>Bildwinkel<br/><math>\alpha</math> in ° !Verhältnis der<br/>Brennweiten<br /><math>f / f_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Abbildungsmaßstäbe<br /><math>\beta / \beta_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Bildwinkel<br /><math>\alpha_{0} / \alpha</math> |- | 0,999 || 1,000 || 1/1000 || 154 || 0,100 || 0,099 || 0,303 |- | 1,996 || 2,000 || 1/500 || 131 || 0,200 || 0,198 || 0,358 |- | 4,975 || 5,000 || 1/200 || 82,3 || 0,498 || 0,495 || 0,568 |- | 9,901 || 10,00 || 1/100 || 47,2 || 0,990 || 0,990 || 0,991 |- | '''10,00''' <math>= f_{0}</math> || 10,10 || 1/99 <math>= \beta_{0}</math> || 46,8 <math>= \alpha_{0}</math> || '''1,00''' || '''1,00''' || '''1,00''' |- | 19,61 || 20,00 || 1/50 || 24,7 || 1,96 || 1,98 || 1,90 |- | 38,46 || 40,00 || 1/25 || 12,5 || 3,85 || 3,96 || 3,75 |- | 100 || 111,1 || 1/9 || 4,51 || 10 || 11 || 10,4 |- | 200 || 250,0 || 1/4 || 2,00 || 20 || 24,75 || 23,4 |- | 250 || 333,3 || 1/3 || 1,50 || 25 || 33 || 31,1 |- | 333 || 500,0 || 1/2 || 1,00 || 33,3 || 49,5 || 46,7 |- | 400 || 666,7 || 2/3 || 0,751 || 40 || 66 || 62,3 |- | 500 || '''1000''' <math>= g</math> || '''1''' || 0,501 || 50 || 99 || 93,4 |- | 667 || 2000 || 2 || 0,250 || 66,7 || 198 || 187 |- | 750 || 3000 || 3 || 0,167 || 75 || 297 || 280 |- | 833 || 5000 || 5 || 0,100 || 83,3 || 495 || 467 |- | '''1000''' <math>= g</math> || ∞ || ∞ || 0,000 || 100 || ∞ || ∞ |} Hier ist zu erkennen, dass bei zunehmenden Bildweiten die Verhältnisse der Brennweiten von denen der Abbildungsmaßstäbe und denen der Bildwinkel deutlich auseinanderlaufen; die Unterschiede der Abbildungsmaßstäbe und der Bildwinkel werden im Vergleich zu den Unterschieden der Brennweiten immer größer und gehen gegen Unendlich. Anders bei kurzen Bildweiten: hier stimmen die Verhältnisse der Brennweiten gut mit denen der Abbildungsmaßstäbe überein, jedoch ist die Zunahme der Bildwinkel hierbei begrenzt, weil der maximale Bildwinkel nur 180&nbsp;Bogengrad erreichen kann. Das minimale Verhältnis der Bildwinkel ergibt sich folglich zu: :<math>\frac {\alpha_{0}} {\alpha_\text{max}} = \frac {46{,}8^\circ} {180^\circ} = 0{,}260</math> Ferner ist zu beachten, dass sich insbesondere bei kompakten Objektiven mit innenliegender Fokussierung der Abbildungsmaßstab bei der Scharfstellung ändern kann, auch ohne dass bei Zoomobjektiven die Brennweite verstellt wird (im Englischen: "focus breathing", wörtlich übersetzt "Brennpunktatmen"). <div style="clear:both"></div> ==Öffnung== [[Datei:Blendenlagen.png|mini|hochkant=2|Lage von Eintrittsluke, Aperturblende und Austrittsluke bei einer optischen Abbildung einer Objektebene (G) über eine Hauptebene (H) auf eine Bildebene (B)]] [[Datei:Einfallshoehe.png|mini|hochkant=2|Zur Definition der Einfallshöhe <math>H</math> eines Lichtstrahls, der parallel zur optischen Achse auf eine optische Fläche trifft. Ein Strahl mit der Einfallshöhe Null befindet sich auf der optischen Achse. Der maximale Wert der Einfallshöhe ist durch die Apertur begrenzt. Die Öffnungsweite <math>D</math> ist bei rotationssymmetrischen optischen Komponenten exakt doppelt so groß wie die maximale Einfallshöhe.]] Die '''Öffnung''' (oder auch '''Apertur''') eines rotationssymmetrisch konstruierten Objektivs wird durch den freien Durchmesser beschrieben, der nicht durch mechanische Vorrichtungen wie beispielsweise Kanten, Linsenfassungen oder Blenden begrenzt ist und welcher auch als '''Öffnungsweite''' <math>D</math> bezeichnet wird. Die virtuelle Öffnung von Objektiven kann durch das objektseitige und das bildseitige virtuelle Bild der '''Aperturblende''' beschrieben werden, die auch wirksame '''Eintrittspupille''' beziehungsweise wirksame '''Austrittspupille''' genannt wird. Liegt die Aperturblende vor der ersten Hauptebene der Abbildung (objektseitig) ist die wirksame Eintrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Liegt die Aperturblende hinter der letzten Hauptebene der Abbildung (bildseitig) ist die wirksame Austrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Idealerweise werden Aperturblenden in die Hauptebenen des Strahlengangs gelegt, damit sie den Bildausschnitt respektive den Bildwinkel der optischen Abbildung nicht beeinflussen. Mit einer solchen Aperturblende kann der Lichtstrom durch ein optisches System begrenzt werden. Mit variablen Aperturblenden (beispielsweise Irisblenden) kann der Lichtstrom in einem optischen System verändert werden. Befindet sich eine Blende in der Nähe der Objektebene oder der Bildebene, handelt es sich nicht um eine Aperturblende, sondern um eine '''Feldblende''', die den Bildausschnitt beziehungsweise den erfassten Bildwinkel unmittelbar auf die sogenannte '''Eintrittsluke''' (objektseitig) beziehungsweise '''Austrittsluke''' (bildseitig) begrenzt. Befinden sich solche Feldblenden nicht in der Nähe der Objekt- oder Bildebene, werden die entsprechenden Bilder dieser Feldblenden in der jeweiligen Ebene zur Bestimmung der effektiven Lukendurchmesser herangezogen. <div style="clear:both"></div> ===Blendenzahl=== Die dimensionslose '''Blendenzahl''' <math>k</math> eines Objektivs mit der Brennweite <math>f</math> und der Öffnungsweite <math>D</math> ist wie folgt definiert: :<math>k = \frac {f} {D}</math> Der Kehrwert der Blendenzahl wird als das '''Öffnungsverhältnis''' <math>V</math> bezeichnet: :<math>V = \frac {D} {f} = \frac {1} {k}</math> <gallery caption="Objektiv mit Irisblende zur Einstellung der Apertur (Brennweite 42,5 Millimeter)" perrow="2" widths="256" heights="256"> Datei:Objektiv.Blendenzahl.1.2.jpg|Maximale Apertur (Blendenzahl 1,2) Datei:Objektiv.Blendenzahl.16.jpg|Minimale Apertur (Blendenzahl 16) </gallery> Die Änderung der Blendenzahl um eine '''Blendenstufe''' kann sowohl durch Auf- als auch durch Abblenden erreicht werden, wobei sich die Blendenzahl um den Faktor Wurzel von zwei und der Lichtstrom im Objektiv um den Faktor zwei ändert. Je kleiner die Blendenzahl, desto mehr Licht trägt zur Abbildung bei und umgekehrt. Nach der Halbierung der Blendenzahl kommt vier Mal so viel Licht durch das Objektiv, bei der Verdopplung der Blendenzahl nur ein Viertel des Lichtes. Zwei Blendenzahlen <math>k_2</math> und <math>k_1</math> unterscheiden sich um die folgende Anzahl von Blendenstufen <math>\Delta n_k</math>: :<math>\Delta n_k = \log_{\sqrt{2}} {\frac {k_2} {k_1}} = \frac {\log {\frac {k_2} {k_1}}} {\log {\sqrt {2}}} = \frac {\log {k_2} - \log {k_1}} {\log {\sqrt {2}}}</math> Blendenzahlen werden häufig mit den folgenden elf Vorzugswerten angegeben, die sich jeweils um zirka eine Blendenstufe unterscheiden und demzufolge insgesamt zehn Blendenstufen umfassen: :1,0 - 1,4 - 2,0 - 2,8 - 4,0 - 5,6 - 8,0 - 11 - 16 - 22 - 32 [[Datei:Image.Size.png|miniatur|hochkant=2|rechts|Zum Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> bei konstanter Öffnungsweite <math>D</math>]] Hierbei ist zu beachten, dass die Blendenzahl <math>k</math> ohne die Angabe der gewählten Bildgröße <math>B</math> wenig Aussagekraft hat. Bei konstantem Bildwinkel <math>\alpha</math> und konstanter Öffnungsweite <math>D</math> ist nicht nur die zur optischen Abbildung beitragende Lichtmenge, sondern ist auch das Verhältnis zwischen Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> konstant, obwohl die Abbildungen mit unterschiedlichem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> beziehungsweise unterschiedlicher Brennweite <math>f</math> und somit auch mit unterschiedlicher Blendenzahl <math>k</math> gemacht werden. Für die Gegebenheiten in der Abbildung rechts gilt: :<math>\alpha = \text{const.}</math> :<math>D = \text{const.}</math> :<math>\frac {b_{1}} {B_{1}} = \frac {b_{2}} {B_{2}} = \text{const.}</math> Aber: :<math>k_{1} > k_{2}</math> :<math>\beta_{1} < \beta_{2}</math> :<math>f_{1} < f_{2}</math> <div style="clear:both"></div> ===Öffnungswinkel=== [[Datei:gegenstandsseitiger.und.bildseitiger.Oeffnungswinkel.png|mini|hochkant=2|Objektseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_g</math> und bildseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_b</math> in Abhängigkeit von Objektweite <math>g</math> beziehungsweise Bildweite <math>b</math> zur Öffnungsweite <math>D</math>]] Der '''Öffnungswinkel''' ist der Winkel unter dem die wirksame Öffnung mit der Öffnungsweite <math>D</math> eines Objektivs erscheint. Von einem Objektpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''objektseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_g</math>: :<math>\omega_g = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 g}</math> Der halbe objektseitige Öffnungswinkel wird auch '''Aperturwinkel''' genannt. Von einem Bildpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''bildseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_b</math>: :<math>\omega_b = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 b}</math> Der halbe bildseitige Öffnungswinkel wird auch '''Feldwinkel''' genannt. Die Öffnungswinkel dürfen nicht mit dem Bildwinkel verwechselt werden (siehe dazu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Bildwinkel|Bildwinkel]]). Bei unendlicher Objektweite ist die Bildweite <math>b</math> identisch mit der Brennweite <math>f</math>, so dass die Blendenzahl <math>k</math> folgendermaßen ausgedrückt werden kann: :<math>g \rarr \infty : k = \frac {f} {D} = \frac {b} {D} = \frac {1} {2 \tan {\frac {\omega_b} {2}}}</math> <div style="clear:both"></div> ===Sinusbedingungen=== [[Datei:Sinusbedingung.Interferenz.Hauptebene.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Interferenz der beiden Randstrahlen bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung eines Punktes P über eine Hauptebene H in die Bildebene B. Die Randstrahlen werden mit ebenen Wellen dargestellt, deren Maxima durch die Punkte und deren Minima durch die dünnen Linien senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gekennzeichnet sind. Auf der optischen Achse treffen im Bildpunkt zwei Maxima der beiden Randstrahlen aufeinander. Die Intensität in der Bildebene B nimmt seitlich zur optischen Achse bis zu den Stellen ab, wo zwei Minima der Randstrahlen aufeinandertreffen.]] [[Datei:Sinusbedingung.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Sinusbedingung bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung.]] Die beiden Öffnungswinkel stehen für Abbildungen, bei denen Öffnungsfehler (siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sphärische_Aberration|sphärische Aberration]]) keine Rolle spielen, über '''Sinusbedingungen''' in Beziehung. Im Folgenden wird etwas vereinfachend davon ausgegangen, dass die optische Abbildung eines Gegenstands mit der Objektgröße <math>G</math> in ein reelles Bild mit der Bildgröße <math>B</math> außerhalb des optischen Systems, das durch die Hauptebene <math>\text{H}</math> repräsentiert wird, vom gleichen optischen Medium (zum Beispiel Vakuum, Luft oder Flüssigkeit) mit konstanter Brechkraft umgeben ist. Ein kleiner flächenhafter Gegenstand mit der Objektgröße <math>G</math>, der senkrecht zur optischen Achse steht, kann nur dann hinreichend scharf mit der Bildgröße <math>B</math> senkrecht zur optischen Achse abgebildet werden, wenn alle Punkte des Gegenstands beim halben objektseitigen Öffnungswinkel innerhalb einer Wellenlänge <math>\lambda</math> einer ebenen Welle erfasst und alle Bildpunkte beim halben bildseitigen Öffnungswinkel ebenfalls innerhalb einer Wellenlänge einer ebenen Welle zu einem Bild zusammengesetzt werden können. Durch diese Voraussetzung kann vermieden werden, dass es im Bild Interferenzen gibt, die Kontraste erzeugen, die nicht dem Aussehen des abgebildeten Gegenstands entsprechen. Die daraus resultierende '''Abbesche Sinusbedingung''' gilt für eine in Bezug auf den Öffnungsfehler korrigierte Abbildung mit dem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> sowie für eine bestimmte Wellenlänge <math>\lambda</math> ('''monochromatisches Licht'''). Sie lautet wie folgt: :<math>\beta = \frac {B} {G} = \frac {b} {g} = \frac {\sin \frac {\omega_g} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> Diese Sinusbedingung kann auch in der Form der '''Helmholtz-Lagrange-Invariante''' geschrieben werden: :<math>B \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} = G \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} = \lambda</math> Mit dem halben bildseitigen Öffnungswinkel <math>\alpha_b = \frac {\omega_b} {2}</math> folgt aus dieser Beziehung die häufig angegebene Formulierung des maximalen Auflösungsvermögens respektive der kleinsten abzubildenden Struktur <math>B_{min}</math> nach Ernst Abbe: :<math>B_{min} = \frac {\lambda} {\sin \alpha_b}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Paraxiale Strahlengänge ==== Für paraxiale Strahlengänge können sehr kleine Öffnungswinkel angenommen werden, so dass dann die Sinūs durch die Argumente (im Bogenmaß) ersetzt werden können: :<math>\frac {B} {G} = \frac {\omega_g} {\omega_b}</math> Daraus folgt: :<math>B \cdot \omega_b = G \cdot \omega_g</math> Die '''paraxiale Optik''', die auch '''gaußsche Optik''' genannt wird, verwendet in der geometrischen Optik diese Näherung, bei der für eine optische Abbildung nur '''paraxiale Strahlen''' berücksichtigt werden. Diese haben lediglich kleine Winkel zur optischen Achse und befinden sich deswegen in der Regel in der Nähe der optischen Achse. <div style="clear:both"></div> ==== Schnittweite ==== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.png|mini|rechts|hochkant=2||Zur Schnittweite an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n < n'</math>.]] Die auf der optischen Achse gemessenen '''Schnittweiten''' <math>s</math> und <math>s'</math> beim Übergang an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n</math> und <math>n'</math> kann für paraxiale Strahlen leicht abgeschätzt werden. Hierbei gelten für den Grenzwert der Pfeilhöhe <math>p \rarr 0</math> (siehe nebenstehende Abbildung) die folgenden Näherungsgleichungen: :<math>\sin \alpha \approx \alpha</math> :<math>\sin \beta \approx \beta</math> :<math>\tan \gamma \approx \gamma \approx \frac {h} {s}</math> :<math>\tan (\alpha - \beta - \gamma) \approx \alpha - \beta - \gamma \approx \frac {h} {s'}</math> :<math>\tan (\alpha - \gamma) \approx \alpha - \gamma \approx \frac {h} {r}</math> Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt für achsnahe Strahlen die Näherung: :<math>n \, \alpha \approx n' \, \beta</math> Sowie: :<math>n' (\alpha - \beta - \gamma) = n' \, \alpha - n' \, \beta - n' \, \gamma \approx n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma</math> :<math>n \, \gamma + n' (\alpha - \beta - \gamma) \approx n \, \gamma + n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma = (n - n') \, (\gamma - \alpha) = (n' - n) \, (\alpha - \gamma)</math> :<math>n \, \frac {h} {s} + n' \, \frac {h} {s'} \approx (n' - n) \, \frac {h} {r}</math> Durch Kürzen der Höhe <math>h</math> ergibt sich schließlich eine Näherungsgleichung, die die '''Schnittweitengleichung''' einer sphärischen Fläche für paraxiale Strahlen darstellt: :<math>\frac {n} {s} + \frac {n'} {s'} \approx \frac {n' - n} {r}</math> Sie kann auch in Form der '''Abbeschen Invariante''' geschrieben werden: :<math>n \, \left( \frac {1} {r} + \frac {1} {s} \right) = n' \, \left( \frac {1} {r} - \frac {1} {s'} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt: :<math>s = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n'} {n' - n} \, r</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt: :<math>s' = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> <div style="clear:both"></div> ===== Dünne Linsen ===== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.bikonvex.png|mini|rechts|hochkant=2||Zu den Schnittweiten bei einer dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinse mit den Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> sowie dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem optisch dünneren Medium mit dem Brechungsindex <math>n < n'</math>.]] Bei einer '''dünnen Linse''' ist die Dicke zwischen den Scheitelpunkten ihrer brechenden sphärischen Oberflächen auf der optischen Achse im Vergleich zu den beiden Radien dieser Oberflächen sehr klein. Für eine '''dünne bikonvexe sphärische Sammellinse''' mit den beiden Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> und dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem die Linse umgebenden Medium mit dem Brechungsindex <math>n</math> ergibt sich die folgende entsprechende Beziehung für die Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx (n' - n) \, \left( \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt damit für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt entsprechend für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' wie Luft (<math>n \gtrapprox 1</math>) oder im Vakuum (<math>n = 1</math>), vereinfacht sich diese Näherungsformel für die Schnittweiten weiter zu: :<math>s' = s \approx \frac {1} {n' - 1} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Bei '''dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinsen''' kann das harmonische Mittel <math>\bar{r}_\text{harm}</math> der beiden Radien verwendet werden: :<math>\bar{r}_\text{harm} = \frac {2} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = 2 \cdot \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Daraus folgt für den für beide Linsenoberflächen gleichen Radius <math>r</math>, dass dieser halb so groß ist wie der harmonische Mittelwert: :<math>r = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2} = \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Beziehungsweise: :<math>\frac {1} {r} = \frac {2} {\bar{r}_\text{harm}} = \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}</math> Für dünne bikonvexe Linsen mit zwei gleichen Oberflächenradien <math>r</math>, dem Durchmesser <math>D</math> und der Dicke <math>x</math> gilt: :<math>r = r_1 = r_2 = \frac {x^2 + D^2} {4 \, x}</math> :<math>s' = s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {r} {2} = \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {x^2 + D^2} {8 \, x}</math> Dünne '''plankonvexe''' sphärische Sammellinsen mit dem Radius <math>r = 2 \, r_1 = 2 \, r_2</math> verhalten sich demnach genauso wie dünne bikonvexe Linsen mit den beiden identischen Radien <math>r_1 = r_2 = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2}</math>. Wenn einer der beiden Radien <math>r_1</math> oder <math>r_2</math> unendlich groß wird, also eine Ebene beschreibt, nimmt der zu berücksichtigende Radius <math>r</math> den Wert des anderen Radius an: :<math>r = \lim_{r_1 \to \infty} r (r_2) = r_2</math> :<math>r = \lim_{r_2 \to \infty} r (r_1) = r_1</math> Mit dem Brechungsindex <math>n'</math> ergibt sich für die entsprechenden Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx \frac {n' - n} {r}</math> Die Schnittweiten entsprechen bei '''paraxialen Strahlen''' dann den Brennweiten <math>f'</math> (bildseitig bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit <math>s \rarr \infty</math>) beziehungsweise <math>f</math> (objektseitig bei der Abbildung ins Unendliche mit <math>s' \rarr \infty</math>): :<math>s \rarr \infty : f' \approx s' \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> :<math>s' \rarr \infty : f \approx s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' mit <math>n \gtrapprox 1</math>, vereinfachen sich diese Näherungsformeln weiter zu: :<math>f = f' \approx \frac {r} {n' - 1}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Große Objektweiten ==== Bei großer Objektweite <math>g</math> ist die Bildweite <math>b</math> annähernd gleich der Brennweite <math>f</math>, und der Sinus des halben objektseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_g} {2}</math> kann in guter Näherung durch das Verhältnis der Hälfte der Öffnungsweite <math>\frac {D} {2}</math> und Objektweite <math>g</math> ausgedrückt werden: :<math>\sin \frac {\omega_g} {2} = \frac {b} {g} \sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {\frac {D} {2}} {g} \approx \frac {f} {g} \sin \frac {\omega_b} {2}</math> Daraus folgt mit Verwendung des halben bildseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_b} {2}</math> und der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>f \approx \frac {\frac {D} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {1} {2k}</math> Aus der Beziehung :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \le 1</math> folgt: :<math>f \ge \frac {D} {2}</math> Diese Ungleichung kann auch wieder unter Verwendung der Blendenzahl <math>k</math> ausgedrückt werden: :<math>k \ge \frac {1} {2}</math> In Worten ausgedrückt: Die Blendenzahl kann bei der öffnungsfehlerfreien Abbildung von Flächen aus dem Unendlichen minimal den Wert 0,5 annehmen. Die Strecke <math>x</math> vom Schnittpunkt der Randstrahlen mit der Hauptebene zum Bildpunkt auf der optischen Achse beträgt bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>g = \infty</math> :<math>b = f</math> :<math>x = \sqrt {f^2 + \frac {D^2} {4}} = \sqrt {f^2 + \frac {f^2} {(2k)^2}} = f \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}}</math> Mit den geometrischen Ähnlichkeiten der Dreiecke bei der Sinusbedingung ergibt sich das folgende Verhältnis aus Bildgröße <math>B</math> und betrachteter Wellenlänge <math>\lambda</math>: :<math>\frac {B} {\lambda} = \frac {x} {\frac {D} {2}}</math> :<math>B = \frac {2 \cdot \lambda \cdot x} {D} = \frac {\lambda \cdot x \cdot 2 k} {f} = \lambda \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}} \cdot 2 k = \lambda \cdot \sqrt {4k^2 + 1}</math> Da die Blendenzahl k nicht kleiner als 0,5 werden kann, gilt als Abschätzung für die erreichbare, durch wellenoptische Beugungseffekte begrenzte Bildgröße demzufolge: :<math>B \ge \sqrt {2} \lambda</math> <div style="clear:both"></div> ====Zwei dünne Linsen==== Für zwei im Abstand <math>d</math> hintereinander angeordnete dünne Linsen mit den Brennweiten <math>f_1</math> und <math>f_2</math> kann die Gesamtbrennweite <math>f_g</math> folgendermaßen bestimmt werden: :<math>f_g = \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2} + \frac {d} {f_1 \cdot f_2}</math> Wenn der Abstand zwischen den Linsen sehr viel kleiner als die beiden Brennweiten ist (<math>d \ll f_1 , f_2 </math>), kann der letzte Term vernachlässigt werden: :<math>f_g \approx \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2}</math> Mit den Brechkräften (<math>D</math> in Dioptrien) ergibt sich dann entsprechend: :<math>D_g \approx D_1 + D_2</math> ====Numerische Apertur==== Die '''numerische Apertur''' <math>A_N</math> dient zur Einschätzung des Auflösungsvermögens von optischen Geräten, bei denen die Objektweite dicht bei der objektseitigen Brennweite beziehungsweise bei denen die Bildweite dicht bei der bildseitigen Brennweite liegt. Ein Anwendungsbeispiel sind '''Immersionsobjektive''' (insbesondere bei Mikroskopen), die bei der optischen Abbildung in eine hochbrechende Flüssigkeit (zum Beispiel Immersionsöl) eingetaucht werden. Die numerische Apertur bezieht sich auf den halben Öffnungswinkel <math>\frac {\omega} {2}</math> und die Brechzahl <math>n</math> des optischen Mediums außerhalb des Objektivs. Je höher die dimensionslose Zahl der numerischen Apertur sich dem Brechungsindex des umgebenden Mediums von unten nähert, desto lichtstärker ist das verwendete Objektiv und desto höher wird bei optisch korrigierten Objektiven das optische Auflösungsvermögen. [[Datei:Numerische.Apertur.png|mini|rechts|hochkant=2|Skizze zur numerischen Apertur.]] Für die objektseitige numerische Apertur ergibt sich: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} \le n</math> Für die bildseitige numerische Apertur ergibt sich entsprechend: :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} \le n</math> Die numerische Apertur kann also nicht größer werden als der Brechungsindex des umgebenden Mediums. Die Sinūs der halben Öffnungswinkel <math>\omega</math> können hierbei mit Hilfe der rechtwinkligen Dreiecke (siehe Skizze rechts) und des Satzes des Pythagoras sowohl objektseitig als auch bildseitig wie folgt aus dem Verhältnis der Gegenkatheten zu den Hypotenusen bestimmt werden: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin {\frac {\omega_g} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {g^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 g^2} {D^2} + 1}}</math> :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin {\frac {\omega_b} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {b^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 b^2} {D^2} + 1}}</math> <div style="clear:both"></div> =====Grenzfälle===== Bei einer Abbildung ins Unendliche (<math>b = \infty \Rightarrow g = f</math>) oder wird die Abbildung aus dem Unendlichen gemacht (<math>g = \infty \Rightarrow b = f</math>), kann jeweils die Blendenzahl <math>k = \frac {f} {D}</math> eingesetzt werden, und dann vereinfachen sich beide Gleichungen wie folgt: :<math>A_{N,g=f} = A_{N,b=f} = \frac {n} {\sqrt {4 {k^2} + 1}}</math> Aufgelöst nach der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>k = \frac {\sqrt {\frac {n^2} {A_{N}^2} - 1}} {2}</math> Für große Blendenzahlen (<math>k \gg 1</math>) respektive für kleine numerische Aperturen (<math>A_{N} \ll 1</math>) gilt dann näherungsweise: :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Für hinreichend große Objektweiten (<math>g \gg D</math>) beziehungsweise hinreichend große Bildweiten (<math>b \gg D</math>) gelten die folgende Näherungen: :<math>A_{N,g} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot g}</math> :<math>A_{N,b} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot b}</math> Ist zudem auch noch die Brennweite <math>f</math> hinreichend nah an der Objektweite (<math>f \approx g</math>) oder an der Bildweite (<math>f \approx b</math>), dann gilt <math>f \gg D \Rightarrow k \gg 1</math> und wiederum die Näherung (siehe auch oben): :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Bei einem Abbildungsmaßstab von eins (siehe unten) sind Objektweite <math>g</math> und Bildweite <math>b</math> identisch und genau doppelt so groß wie die verwendete Brennweite <math>f</math>. In diesem Fall sind auch die objektseitige und die bildseitige numerische Apertur sowie der objektseitige und der bildseitige Öffnungswinkel identisch: :<math>f = 2 \cdot g = 2 \cdot b</math> :<math>A_{N,g} = A_{N,b} = A_{N}</math> :<math>\omega_{g} = \omega_{g} = \omega</math> :<math>A_{N} = n \cdot \sin \frac {\omega} {2}</math> Bei Aufnahmen mit kurzen Objektweiten, wie mit Mikroskopen oder mit Makroobjektiven, muss berücksichtigt werden, dass es durch den großen Abbildungsmaßstab zu einer im Vergleich zur Abbildung aus dem Unendlichen verminderten Lichtausbeute kommt. Siehe hierzu auch: '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Lichtausbeute|Kapitel Bildaufnahme, Abschnitt Lichtausbeute]]'''. <div style="clear:both"></div> ==Modulationsübertragung== ===Modulation=== [[Datei:Modulation.ueber.Schwarzwert.png|miniatur|rechts|hochkant=2|Die Modulation in Abhängigkeit vom Schwarzwert. Der Schwarzwert ist einheitenlos in Anteilen des Weißwertes angegeben.]] Die '''Modulation''' (auch ''Michelson-Kontrast'' genannt) <math>M</math> ist ein Maß (lateinisch: ''modulatio'') für '''relative''' Helligkeitsschwankungen zwischen zwei Bildpunkten mit den vom Menschen als Helligkeiten empfundenen Leuchtdichten <math>L_1</math> und <math>L_2</math> (siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Leuchtdichte|Leuchtdichte]]), das unter den Voraussetzungen <math>L_2 \ge L_1</math> und <math>L_2 > 0</math> wie folgt berechnet werden kann: :<math>M = \frac {{L_2} - {L_1}} {{L_2} + {L_1}} = \frac {\Delta_L} {\Sigma_L}</math> Die Modulation gibt also keineswegs den Helligkeitsunterschied :<math>\Delta_L = L_2 - L_1</math> zwischen zwei Bildpunkten an, sondern setzt diesen in Bezug auf die Summe <math>\Sigma_L</math> dieser beiden Helligkeiten, die auch als der doppelte Mittelwert, also :<math>2 \cdot \overline L = L_2 + L_1</math>, der beiden Helligkeiten interpretiert werden kann: :<math>\Sigma_L = {2} \cdot {\overline L} = {2} \cdot {\frac {L_2 + L_1} {2}}</math> Dies bedeutet, dass die maximale Modulation den Wert '''eins''' hat, die genau dann erreicht wird, wenn <math>L_1 = 0</math> ist und der dunklere Punkt also keine Helligkeit (die Leuchtdichte null) hat. Die absolute Helligkeit des helleren Bildpunktes hat in diesem Fall keinen Einfluss auf die Modulation. Die Helligkeitsdifferenz <math>\Delta_L</math> zwischen diesen beiden Bildpunkten ist in Bezug auf die Helligkeit <math>L_2</math> des helleren Punktes dann maximal und exakt genauso groß wie diese. Wenn beide Bildpunkte die gleiche Helligkeit größer als null haben <math>L_1 = L_2 > 0</math>, so ergibt sich immer eine Modulation von '''null''' (wenn beide Punkte keine Helligkeit haben, ist die Modulation nicht definiert). Werden beide Helligkeiten um denselben Faktor <math>c</math> verändert, bleibt die Modulation erhalten: :<math>M = \frac {{c} \cdot {L_2} - {c} \cdot {L_1}} {{c} \cdot {L_2} + {c} \cdot {L_1}} = \frac {c \cdot (L_2 - L_1)} {c \cdot (L_2 + L_1)} = \frac {L_2 - L_1} {L_2 + L_1}</math> Da innerhalb eines Bildes üblicherweise mehr als zwei Bildpunkte vorhanden sind, ist es meist von Interesse, in welchem Verhältnis der hellste Bildpunkt <math>L_\text{max}</math> ('''Weißwert''') und der dunkelste Bildpunkt <math>L_\text{min}</math> ('''Schwarzwert''') zueinander stehen, was durch die maximale Modulation bestimmt werden kann: :<math>M_\text{max} = \frac {L_\text{max} - L_\text{min}} {L_\text{max} + L_\text{min}}</math> Es gilt zu beachten, dass bei einem Schwarzwert von einem Drittel des Weißwertes die Modulation nur noch 50&nbsp;Prozent und bei einem Schwarzwert von der Hälfte des Weißwertes nur noch 33&nbsp;Prozent beträgt. <div style="clear:both"></div> ====Farbwahrnehmung==== [[Datei:Emmetropia.png|mini|hochkant=2|Optischer Strahlengang bei einem auf Unendlich eingestellten Auge eines Normalsichtigen. Die parallelen Strahlen treten aus der Umwelt durch die '''Hornhaut '''(Cornea) ins Auge ein, passieren die lichte Öffnung der '''Pupille''' (Pupilla) der '''Regenbogenhaut''' (Iris), werden in der '''Augenlinse''' (Lens) gebrochen, durchqueren den großen inneren '''Glaskörper''' (Corpus vitreum) und vereinigen sich schließlich im Bildpunkt auf der '''Netzhaut''' (Retina).]] [[Datei:Cone-absorbance-de.svg|mini|hochkant=2|Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen und der Stäbchen in der menschlichen Netzhaut über der Lichtwellenlänge in Nanometern (nm). Die relative Empfindlichkeit der Stäbchen ist gestrichelt dargestellt und hat ihr Maximum bei zirka 500 Nanometern (<span style="color:#00ffd5">⬤</span>). Die maximale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen liegt bei den Farben <span style="color:#2F00DD">⬤</span> (420&nbsp;nm, violett), <span style="color:#00ff6c">⬤</span> (534&nbsp;nm, grün) und <span style="color:#cbff00">⬤</span> (564&nbsp;nm, gelbgrün).]] <big>'''Farbe ist eine subjektive Wahrnehmung, die nicht gemessen werden kann.'''</big> Messtechnisch kann für alle Wellenlängen eine Intensitätsmessung durchgeführt werden, so dass ein vollständiges Lichtspektrum ermittelt werden kann. Wie ein solches Lichtspektrum von einem Menschen farblich empfunden wird, kann daraus nicht eindeutig abgelesen werden. Bestenfalls ist es möglich, eine Intensitätsverteilung einer wahrscheinlichen, üblichen beziehungsweise durchschnittlichen Farbwahrnehmung zuzuordnen. Optische Sinnesreize werden im menschlichen Auge durch Photorezeptoren in der '''Netzhaut''' (Retina) zwischen der stark durchbluteten Aderhaut (Chorioidea) und dem Glaskörper (Corpus vitreum) ausgelöst und durch die Sehnerven ins Gehirn geleitet. Bei den Sinneszellen der Netzhaut ist zwischen den '''Stäbchen''' und den drei verschiedenen '''Zapfen'''arten zu unterscheiden. Während die Stäbchen sehr empfindlich sind und deswegen das Nachtsehen ermöglichen, sind die weniger empfindlichen drei Zapfenarten beim Tagsehen für die Wahrnehmung von Farben maßgeblich. Für farbige Bilder wird bei der Bildgebung in der Regel zwischen '''drei Primärfarben''' unterschieden. Im für einfache Bildschirme deutlich reduzierten standardisierten Farbraum '''sRGB''' ('''s'''tandard '''R'''ed '''G'''reen '''B'''lue) werden hierbei Farbwerte für die folgenden drei Primärfarben verwendet, deren Intensität jeweils die Werte 0 bis 255 annehmen können: {| class="wikitable" |+ Primärfarben im sRGB-Farbraum ! Primärfarbe !! Hexadezimale<br/>Kodierung<br/>der drei Farbanteile !! Darstellung !! Ungefähre Wellenlänge<br/>der maximalen spektralen Intensität<br/>im angezeigten Bild<br/>in Nanometer |- | Rot || FF0000 || <span style="color:#ff0000">⬤</span> || 610 |- | Grün || 00FF00 || <span style="color:#00ff00">⬤</span> || 555 |- | Blau || 0000FF || <span style="color:#0000ff">⬤</span> || 465 |} [[Datei:SRGB chromaticity CIE1931.svg|mini|hochkant=2|Farbdiagramm in dem nach dem '''Standard CIE 1931''' festgelegten Farbkoordinaten x und y mit Angabe der Lichtwellenlängen und den im Farbraum '''sRGB''' darstellbaren Farbwerten. Die reinen Spektralfarben befinden sich auf der gekrümmten Begrenzungslinie der äußeren Fläche, die Verbindungslinie zwischen der minimalen und der maximalen wahrnehmbaren Wellenlänge wird '''Purpurlinie''' genannt. Durch die additive Mischung mehrerer Spektralfarben ergeben sich beliebige Punkte innerhalb der Fläche. Bildgebende Geräte können meistens nur einen kleinen Teil des Farbraums darstellen, der im Fall von sRGB durch das innere Dreieck begrenzt ist. Der farbneutrale '''Weißpunkt''' ist als "'''D65'''" für einen Hohlraum mit der Temperatur '''65'''00&nbsp;Kelvin angegeben. Die Tangente an der Begrenzungslinie für die langen Wellenlängen schneidet die Koordinatenachsen links oben beim Punkt (0, 1) und rechts unten beim Punkt (1, 0).]] Durch die voneinander unabhängige Einstellung der Farbwerte für diese drei Primärfarben können insgesamt <math>256^3 = 16\,777\,216</math> verschiedene gemischte Farbwerte reproduziert werden. Wenn alle drei Primärfarben auf 0 gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Schwarz''', und wenn alle drei Primärfarben auf den maximalen Wert gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Weiß'''. In Farbdiagrammen wird die entsprechende Stelle als Weißpunkt angegeben, der auf die Farbtemperatur eines festgelegten Hohlraumstrahlers (auch Schwarzer Körper oder Planckscher Strahler genannt) abgestimmt ist. Die Modulation kann in farbigen Bildern für jede einzelne Primärfarbe unabhängig bestimmt werden. Bei den drei Primärfarben Rot, Grün und Blau (R, G, B) eines Bildpunktes ergeben sich dann also entsprechend: :<math>M_R = \frac {R_2 - R_1} {R_2 + R_1}</math> :<math>M_G = \frac {G_2 - G_1} {G_2 + G_1}</math> :<math>M_B = \frac {B_2 - B_1} {B_2 + B_1}</math> Die Verteilung der Photorezeptoren in der Netzhaut ist nicht homogen. Im ungefähr nur anderthalb Millimeter großen Sehzentrum (Fovea) ist die Dichte der Sehzellen besonders hoch, und deswegen ist hier das Sehvermögen in Bezug auf die Wahrnehmung von Kontrasten und Farben am größten. Beim peripheren Sehen sind sowohl die Wahrnehmung von Kontrasten als auch die Wahrnehmung von Farben erheblich eingeschränkt, so dass hier vor allem Änderungen der Helligkeit und somit Bewegte Objekte wahrgenommen werden können. Die Wahrnehmung von Farbeindrücken ist eine sehr subjektive Angelegenheit und von Mensch zu Mensch verschieden. Manche Menschen haben erbliche Störungen bei der Farbwahrnehmung, die durch Abweichungen bei der Verteilung der Farbzapfen in der Netzhaut bedingt ist. Eine Rot-Grün-Sehschwäche trifft hierbei wesentlich häufiger auf als eine Gelb-Blau-Sehschwäche oder als die vollständige Farbblindheit (Achromasie). Die folgende Tabelle zeigt simulierte Bilder, die von Farbsichtigen mit drei funktionierenden Zapfentypen (Trichromaten), von Farbenfehlsichtigen mit fehlender Unterscheidung zwischen Rot- und Grüntönen (Dichromaten) sowie von Farbenblinden (Achromaten) wahrgenommen werden können. Diese Simulation erfolgte bei den dichromatischen Bildern durch die Gleichsetzung des roten und grünen Farbkanals der digitalen Bilder auf einen Wert, der dem Mittelwert der beiden Farbwerte entspricht. {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" ! style="width:25%" | Motiv ! style="width:25%" style="text-align:center" | Trichromatisches Bild ! style="width:25%" style="text-align:center" | Dichromatisches Bild<br />ohne Rot-Grün-Unterscheidung ! style="width:25%" style="text-align:center" | Achromatisches Bild<br />in Graustufen |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Pseudoisochromatische<br />Farbtafel | [[Datei:47-rg12.jpg| 200px]] | [[Datei:RG47-rg12.png| 200px]] | [[Datei:BW47-rg12.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Obststand | [[Datei:TCFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:RGFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:BWFruits.jpg| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Lichtspektrum | [[Datei:Lichtspektrum.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.gelb-blau.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.farblos.P1128463.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Regenbogen mit Interferenzbogen | [[Datei:Interferenzbogen.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.gelb-blau.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.farblos.P1150723.png| 200px]] |} <div style="clear:both"></div> ===Ortsfrequenz=== Die '''Ortsauflösung''' entspricht der maximalen Anzahl von räumlichen Informationseinheiten, die entlang einer Strecke, meist der Bildhöhe beziehungsweise der Bildbreite, erfasst werden können. Zur Darstellung einer räumlichen Information, also eines Helligkeitswechsels, ist mindestens ein Bildpunktpaar erforderlich, damit eine Modulation vorhanden sein kann. Die Bezugslänge kann eine absolute Länge sein, bei der die Bildpunktpaare zum Beispiel pro Millimeter ermittelt werden. Bei Filmmaterial wurde diese Informationsdichte meist richtungsunabhängig in Linienpaaren pro Millimeter ermittelt und angegeben. Auf der anderen Seite kann statt einer metrischen Bezugslänge auch eine relative Bezugslänge gewählt werden, wie zum Beispiel die Bilddiagonale, die Bildbreite oder die Bildhöhe. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass unabhängig von der Gesamtzahl der Bildpunkte, der Größe der Reproduktion des Bildes und dem Bildseitenverhältnis ein einheitliches und somit leicht vergleichbares Maß für die Ortsauflösung zur Verfügung steht. Dieses Maß ist insbesondere unabhängig von der Größe und vom Bildseitenverhältnis des verwendeten Bildsensors. Bei digitalen Bildern hat es sich daher durchgesetzt, '''Linienpaare pro Bildhöhe''' (horizontale Linien) als Bezugsgröße zu verwenden. Diese Bezugsgröße wird dann ebenfalls für die Informationseinheiten in horizontaler Richtung (vertikale Linienpaare) oder für jeden beliebigen anderen Azimut (also schräg liegende Linienpaare) verwendet, obwohl bei rechteckigen Bildformaten in horizontaler Richtung mehr oder weniger Informationseinheiten zur Verfügung stehen können. Rechnerisch ergibt sich die maximal darstellbare Linienauflösung <math>L_{\text{max},y}</math> durch die Halbierung der Anzahl der Punkte in der Bildhöhe <math>N_y</math>: :<math>L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Für die maximale Anzahl vertikaler Linienpaare in horizontaler Richtung ergibt sich mit dem Bildseitenverhältnis <math>q</math> dann entsprechend: :<math>L_{\text{max},x} = q \cdot L_{\text{max},y} = \frac {N_x} {2}</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildseitenverhältnis|Bildseitenverhältnis]] Dieser Wert entspricht genau der Grenze nach dem '''Nyquist-Shannon-Abtasttheorem''' (auch '''Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem''') für die maximal darstellbaren '''Ortsfrequenzen''' <math>f_\text{r,max}</math>, wonach diese innerhalb einer Periode mindestens zwei abgetastete Stützstellen haben müssen: :<math>f_{r,\text{max}} = L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Aus einer beliebigen kleineren Ortsfrequenz <math>f_r \leq f_{r,\text{max}}</math> ergibt sich die maximal mögliche Häufigkeit von Helligkeitsunterschieden auf einer bestimmten Bezugslänge im Bild (also in der Regel auf der Bildhöhe). Eine Ortsfrequenz von null entspricht einer konstanten Helligkeit über das gesamte Bild, die selbst nicht notwendigerweise den Wert null haben muss. <div style="clear:both"></div> ===Modulation in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz=== [[Datei:Modulation.Transfer.Function.Comparison.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich der Modulationsübertragungsfunktionen von zwei verschiedenen Objektiven. Bei der Ortsfrequenz null haben alle Objektive die maximale Kontrastübertragung von eins, und bei der maximal dargestellten Ortsfrequenz haben beide hier dargestellten Objektive eine Kontrastübertragung von zirka zehn Prozent. Dennoch ist das blau dargestellte Objektiv deutlich besser als das dunkelgelb dargestellte, da es mittlere Ortsfrequenzen besser überträgt.]] Eine Modulation mit geringer Ortsfrequenz entspricht also groben Strukturen im Bild, und eine Modulation mit großer Ortsfrequenz entspricht feinen Strukturen im Bild. Jeder Struktur mit einer bestimmten Größe kann in jeder azimutalen Richtung (nicht nur horizontal oder vertikal, sondern auch in beliebiger schräg liegender Richtung) eine Ortsfrequenz mit einer bestimmten Modulation zugeordnet werden. Beim '''Siemensstern''' wird beispielsweise die Ortsfrequenz entlang der um den Mittelpunkt liegenden konzentrischen Kreise linear mit deren Radius größer. Die Modulation beträgt für jede Ortsfrequenz eins, wenn idealisiert davon ausgegangen wird, dass die dunklen Streifen keine Helligkeit aufweisen. Wird eine photographische Aufnahme von einem solchen Siemensstern als Objekt auf einer Testtafel gemacht, reduzieren sich im Bild die Modulationen für alle Ortsfrequenzen größer als null auf Werte kleiner als eins. Dies beruht auf einer Verminderung der Modulationen im Bild gegenüber der optimalen Modulation im Objektraum, die durch Abbildungsfehler bedingt ist. Neben der immer wirkenden Beugungsbegrenzung ergeben sich in optischen Abbildungen vor allem durch die sphärische Aberration, aber zum Beispiel auch durch Falschlicht Einbußen bei der Modulation im Bildraum. In der Regel führt dies dazu, dass die Modulation von rein optischen Abbildungen mit zunehmender Ortsfrequenz streng monoton und stetig abnimmt. Das Verhältnis der Modulation im Bildraum <math>M_\text{Bild}</math> zur Modulation im Objektraum <math>M_\text{Objekt}</math> in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_r</math> wird '''Modulationsübertragungsfunktion''' (englisch: ''modulation transfer function'' = '''MTF''') oder auch '''Kontrastübertragungsfunktion''' <math>T</math> genannt: :<math>T (f_r) = \frac {M_\text{Bild} (f_r)} {M_\text{Objekt} (f_r)}</math> Das Maximum der Modulationsübertragungsfunktion liegt bei optischen Systemen bei der kleinsten Ortsfrequenz, also null, und hat dort den Wert eins. Die Modulationsübertragung ist dabei immer der Betrag der komplexwertigen optischen Übertragungsfunktion, die nicht nur die Amplitude, sondern auch die Phase der übertragenen Lichtwellen berücksichtigt. Ist die Modulation im Objektraum für alle untersuchten Ortsfrequenzen gleich eins, wie zum Beispiel bei hochwertig hergestellten Testtafeln, sind die Modulationsübertragungsfunktion und die Modulation im Bildraum identisch: :<math>T (f_r) = {M_\text{Bild} (f_r)}\ </math>, wenn <math>{M_\text{Objekt} (f_r) = 1}\ </math> Der Betrag der komplexwertigen, zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der spektralen Dichte der Modulationsübertragungsfunktion im Ortsfrequenzraum herangezogen werden. In der digitalen Signalverarbeitung wird hierfür häufig die sehr effiziente Fast-Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt. Das Leistungsdichtespektrum der Fourier-Transformierten entspricht hierbei dem Beugungsbild der Bilddaten, das mit einer Bildwand aufgefangen werden kann. <gallery caption="Auflösungskeile mit 3 bis 72 Linienpaaren pro Bildhöhe mit verschiedenen Kontrastübertragungen, die Bildhöhe wird zwischen den beiden dünnen horizontalen Linien ober- und unterhalb des Auflösungskeils gemessen." widths=1024 heights=256 perrow=1> Aufloesungskeil.png|Maximaler Kontrast (852 Linienpaare pro Bildhöhe). Aufloesungskeil.72.png|Kontrast bis 72 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.36.png|Kontrast bis 36 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.18.png|Kontrast bis 18 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.09.png|Kontrast bis 9 Linienpaare pro Bildhöhe. </gallery> Weitere Beispiele siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Transformationen#Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]]. <div style="clear:both"></div> ===Kontrastempfindlichkeitsfunktion=== [[Datei:Vollmond.P1080516.jpg|miniatur|Vollmond mit einer Kamera mit Teleobjektiv von der Erdoberfläche aus aufgenommen.<br/>Zu den Kontrastverhältnissen beim durch den Erdschein beleuchteten aschgrauen Mondlicht siehe auch hier: '''[[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht]]''']] [[Datei:Vollmond.180x180.png|gerahmt|Der Vollmond hat von der Erde aus gesehen einen Winkeldurchmesser von zirka einem halben Grad. Der Mensch kann auf diesem Winkeldurchmesser bei einem Kontrast von mindestens zehn Prozent 36 nebeneinanderliegende Punkte unterscheiden. Die Mondscheibe hat somit für das unbewaffnete Auge insgesamt rund 1000 unterscheidbare Bildpunkte.<br/>Oben:fünffache Vergrößerung (500 Prozent)<br/>Unten: einfache Vergrößerung (100 Prozent)<br/>[[Datei:Vollmond.36x36.png|zentriert]]]] Für die Betrachtung der optischen Abbildungen durch Menschen ist nur der Bereich der Ortsfrequenzen interessant, der entsprechend der '''Contrast Sensitivity Function''' (CSF, zu Deutsch: '''Kontrastempfindlichkeitsfunktion''') überhaupt wahrgenommen werden kann. Oft wird jedoch die Modulation an der Nyquist-Frequenz als Maß für die wahrnehmbare Qualität einer optischen Abbildung herangezogen. Dieses Vorgehen trägt jedoch nicht dem Umstand Rechnung, dass die vom Betrachter empfundene Qualität einer optischen Abbildung im Sinne der Modulationen bei verschieden feinen Strukturen im Allgemeinen gar nicht von der Modulation bei der Nyquist-Frequenz bestimmt ist, insbesondere wenn die feinsten Strukturen mit bloßem Auge gar nicht aufgelöst werden können. Vielmehr kommt es meist auf eine möglichst große Modulation bei Ortsfrequenzen im mittleren Bereich an. Dies kann zu der zunächst paradox scheinenden Situation führen, dass die optische Abbildung mit einem Objektiv, dass bei der Nyquist-Frequenz die gleiche oder gar eine höhere Modulation aufweist als ein anderes Objektiv, subjektiv dennoch als schlechter beurteilt wird (vergleiche Abbildung rechts). Daher ist es empfehlenswert, die integrale Summe der Modulationen aller Ortsfrequenzen bis zu einer sinnvollen maximalen Ortsfrequenz zu bilden. Dieser Wert wird auch '''Heynacher-Zahl''' genannt, die seit den 1970er Jahren nach dem Optiker Erich Heynacher benannt ist. Gegebenenfalls kann diese integrale Summe auch noch bei verschiedenen Ortsfrequenzen mit einer geeigneten Empfindlichkeitsfunktion gewichtet werden (mathematisch also eine Faltung). Je größer das Integral der Modulationsübertragungsfunktion, desto besser die Bildqualität. Der Betrag der komplexwertigen Spektralfunktion der zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der Modulationsübertragungsfunktion im Ortfrequenzraum herangezogen werden. Die einheitenlose Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>A</math> kann nach Kresimir Matkovic (1997) in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad mit einer analytischen Funktion angegeben werden: :<math>CSF (f_a) = {2,6} \cdot {(0{,}0192 + 0{,}114 \cdot {f_a})} \cdot e^{-{(0{,}114 \cdot f_a)}^{1{,}1}}</math> Der vertikale Bildwinkel beträgt bei Normalbrennweite und einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2 (wie zum Beispiel beim Kleinbildfilm) 27 Grad. Die Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Bildhöhe <math>f_y</math> ergibt sich dann aus dem vertikalen Bildwinkel und der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Grad wie folgt: :<math>f_y = 27^\circ \cdot f_a</math> <gallery perrow="2" widths="400" heights="230" caption="Kontrastempfindlichkeitsfunktion (englisch: Contrast Sensitivity Function) CSF des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz"> Datei:CSF.against.angular.frequency.in.cycles.per.degree.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad Datei:CSF.against.spatial.frequency.in.cycles.per.image.height.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe bei Normalbrennweite (vertikaler Bildwinkel = 27° bei einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2) </gallery> [[Datei:CSF-Diagramm.png|miniatur|hochkant=2|Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges über Ortsfrequenzen zur Basis 2]] <gallery perrow="2" widths="480" heights="270" caption="Zur Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges mit den Ortsfrequenzen von 2 sinusmodulierten Linienpaaren pro Bildbreite (linke Bildhälfte) bis hin zu 1024 Linienpaaren pro Bildbreite (rechts am Bildrand), Bildgröße 3860 mal 2160 Bildpunkte (16:9)"> Datei:CSF.UHD.png|Mit maximalem Kontrast unten, ohne Kontrast oben Datei:CSF.UHD.lowM.png|Mit reduziertem Kontrast unten, ohne Kontrast oben </gallery> [[Datei:CSF.MTF.png|hochkant=2|miniatur|Bewertung der Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> eines guten Objektives mit der Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe durch die effektive Kontrastübertragungsfunktion <math>T_\text{eff} (f_y)</math>. Etwa die Hälfte des Auflösungsvermögens dieses Objektives kann demnach vom Menschen bei der Betrachtung der optischen Abbildung unter dem Normalwinkel gar nicht wahrgenommen werden.]] Hierbei ist festzuhalten, dass bei einer Ortsfrequenz von 1000 Linienpaaren pro Bildhöhe der wahrgenommene Kontrast deutlich unter zehn Prozent liegt und somit praktisch kaum noch relevant ist. Die maximale Kontrastempfindlichkeit liegt beim menschlichen Auge bei zirka 200 Linienpaaren pro Bildhöhe und zwischen 50 und 550 Linienpaaren pro Bildhöhe beträgt die Kontrastempfindlichkeit mindestens 50 Prozent. Für Aufnahmen mit guter Kontrastübertragung ist daher genau dieser Bereich von besonderer Wichtigkeit. Zur Auswertung der effektiven Kontrastübertragungsfunktion bei Betrachtung mit dem menschlichen Auge <math>T_\text{eff} (f_y)</math> können die Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> und die Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> miteinander multipliziert werden: :<math>T_\text{eff} (f_y) = T (f_y) \cdot CSF (f_y)</math> Wird dieses Produkt über alle Ortsfrequenzen integriert, ergibt sich - ähnlich wie bei und als Verallgemeinerung der Heynacher-Zahl - eine Größe für die totale effektive Kontrastübertragung <math>T_\text{eff,tot}</math> : :<math>T_\text{eff,tot} = \int_0^\infty T_\text{eff} (f_y)\,\mathrm df_y</math> Siehe auch [[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|'''Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht''']]. <div style="clear:both"></div> ====Hybridbilder==== Je nach den Bedingungen bei der Betrachtung eines Hybridbildes sind aus größerer Entfernung eher die groben geometrischen Strukturen des einen Bildes mit großen Ortsfrequenzen und bei näherer Betrachtung eher die feinen Strukturen eines anderen Bildes mit kleinen Ortsfrequenzen zu sehen. Vergrößert der Betrachter den Abstand von einem sehfeldfüllenden Hybridbild, verschwinden die feinen Strukturen zunehmend wieder, und nur die größeren Ortsfrequenzen bleiben erkennbar. Hybridbilder können hergestellt werden, indem zwei Aufnahmen mit Modulation bei verschiedenen Ortsfrequenzen überlagert werden. <gallery caption="Hybridbild" perrow=2 widths=480 heights=240> MTF.Hybridbild.png|Hybridbilder haben im Kontrastverlauf zwei Maxima. Das Diagramm zeigt die Kontrastverläufe bei demselben Hybridbild mit großem (braun) und kleinem (blau) Betrachtungsabstand. Bei großem Betrachtungsabstand werden eher die Kontraste bei den kleinen Ortsfrequenzen und bei kleinem Betrachtungsabstand eher die Kontraste bei den großen Ortsfrequenzen wahrgenommen. Wikigolfball.hybrid.webm|mini|links|180px|Beispiel für ein Hybridbild, bei welchem bei kleinem Betrachtungswinkel ein Golfball mit groben Strukturen zu erkennen ist. Beim Vergrößern des Betrachtungswinkels während der Wiedergabe des Videos erscheint zunehmend eine andere kugelförmige Figur mit feinen geometrischen Strukturen, die höhere Ortsfrequenzen aufweisen. </gallery> Siehe auch '''[[Hybridlied]]'''. <div style="clear:both"></div> === Digitalzoom === Beim Digitalzoom, das heißt also bei der softwaretechnischen Vergrößerung von digitalen Bildern zum Beispiel durch Zeilen- und Spaltenverdopplung, wird die Bildinformation im Sinne der Kontrastübertragung nicht vermehrt, da es sich lediglich um das Kopieren bereits vorhandener Bildinformation handelt. Es gibt also keinen Informationsgewinn. Wenn das digitale Bild zu klein dargestellt wird, so dass ein menschlicher Betrachter das Bild nicht voll auflösen kann, kann durch den Digitalzoom das Bild insgesamt vergrößert werden, oder ein beliebiger Ausschnitt des originalen Bildes kann auf die maximal darstellbare Größe gebracht werden, die beispielsweise durch ein Anzeigegerät oder ein Druckformat vorgegeben ist. Dadurch wird zwar nicht die Bildinformation vergrößert, aber der Betrachter kann mehr von der existierenden Bildinformation erkennen. Die Frage, welcher Digitalzoomfaktor noch sinnvoll und angebracht ist, hängt bei menschlichen Betrachtern allein von der möglichst guten Ausschöpfung der erkennbaren Modulationen ab, die durch die Kontrastempfindlichkeitsfunktion repräsentiert wird. Bei digitaler maschineller Auswertung besteht diese Problematik nicht, da ein digitaler Algorithmus in der Regel immer die gesamte Bildinformation auswerten kann. In Unterkapitel [[Digitale bildgebende Verfahren: Grundlagen/MTF-Simulation|MTF-Simulation]] wird der Effekt des Digitalzooms simuliert und bildlich verdeutlicht. Siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Digitalzoom_-_Softwarelupe|Digitale Bilder: Digitalzoom - Softwarelupe]]. <div style="clear:both"></div> ===Kantenüberhöhung=== [[Datei:Enhancing.Modulation.Transfer.Function.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich von Modulationsübertragungsfunktionen einer optischen Abbildung mit nachträglicher, rechnerischer Kontrastanhebung bei mittleren Ortsfrequenzen: Originalaufnahme (blau, durchgezogen), modifizierte Modulation mit Kantenüberhöhung (grün, gestrichelt). Der als grüne Fläche dargestellte Bereich stellt einen Kontrastgewinn dar, der in der Regel viel mehr wahrgenommen wird als der orangefarben dargestellte Bereich mit Kontrastverlust.]] Bei digitalen Bildern, die nicht im Rohdatenformat, also ohne rechnerische Eingriffe in die Bilddaten, aufgezeichnet werden, wird die Modulation unmittelbar nach der Aufnahme und vor dem Speichern der Bilddaten oft durch die Firmware der Kamera insgesamt oder insbesondere bei bestimmten Ortsfrequenzen erhöht. In Maßen angewendet führt dies bei digitalen Bildern in der Regel zu einem verbesserten visuellen Bildeindruck. Dies trifft dann zu, wenn die maximale Modulation auf eins erhöht wird und die Modulation entsprechend der Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges bei den wichtigsten Ortsfrequenzen angehoben wird. In der Modulationsübertragungsfunktion spiegelt sich dies durch die Tatsache wider, dass die maximale Modulation nicht mehr bei der Ortsfrequenz null, sondern bei positiven Ortsfrequenzen auftritt (siehe Abbildung rechts). Dies kann auch so interpretiert werden, dass die Modulation an Kanten in einem günstigen Ortsfrequenzbereich künstlich überhöht wird. Aus einem in der unbearbeiteten optischen Abbildung kontinuierlichen Anstieg der Helligkeit an einer im Original beliebig scharfen Objektkante ergibt sich nach der Optimierung bei einer bestimmten Ortsfrequenz eine deutlich stärkere Modulation. Wird dieses Prinzip so stark angewendet, dass die Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen dominiert, führt dies unter Umständen zu künstlich wirkenden Bildern, bei denen ein Überschwingen des Helligkeitsverlaufs an Kanten mit der entsprechenden Ortsfrequenz erkannt werden kann: <gallery perrow="3" widths="260" heights="184" caption="Vergleich mit unterschiedlichen gerechneten Kontrastübertragungsfunktionen"> Datei:Image.modulation.original.jpg|Unbearbeitetes Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.jpg|Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.overkill.jpg|Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.original.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom unbearbeiteten Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat außen einen kleinen hellen und innen einen kleinen dunklen Saum Datei:Image.modulation.overkill.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat einen großen hellen Saum, und der innere Rand des Buchstabens ist stark abgedunkelt Datei:FFT.Image.modulation.original.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom unbearbeiteten Originalbild (die Ortsfrequenz null befindet sich in der Bildmitte, und sie nimmt radial in alle Richtungen zu) Datei:FFT.Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:FFT.Image.modulation.overkill.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Farbauflösung== {| class="float-right" style="text-align: center" |+ '''Oben''': Weißlichtinterferogramm, darunter '''Rot'''-, '''Grün'''- und '''Blau'''kanal des oben dargestellten Weißlichtinterferogramms mit abnehmender Weite der Maxima. |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.R.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.G.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.B.jpg|240px]] |} Durch die im Vergleich zur Dichte der für die Helligkeitsrezeption zuständigen Stäbchen geringere Dichte von Farbzäpfchen auf der menschlichen Netzhaut ist die Farbauflösung, die für das Betrachten von farbigen Bildern erforderlich ist, geringer als die Auflösung, die durch die Kontrastübertragungsfunktion beschrieben wird. In einem digitalen Bild kann ein Mensch bei Betrachtung des gesamten Bildes zwar maximal vier Millionen Bildpunkte in der Helligkeit unterscheiden, jedoch nur etwa eine Million verschiedener Farbpunkte. Bei technischen Anwendungen mit digitaler Auswertung der Bilder, kann die Anforderung an die Farbauflösung je nach Aufgabenstellung jedoch erheblich höher sein. Eine Möglichkeit, die Farbauflösung eines Kamerasensors zu messen, ohne dass es durch das für die optische Abbildung verwendete Objektiv zu einer Verringerung derselben kommt, ist die Verwendung eines direkt auf den Bildsensor projizierten Weißlichtinterferogramms. Dieses Verfahren wurde 2006 von Karsten Zoellner vom Institut für angewandte Optik an der Universität Jena entwickelt. Der Linienabstand <math>d</math> des Beugungsbilds eines Spaltes hängt von der Wellenlänge <math>\lambda</math> des verwendeten Lichtes sowie vom bildseitigen Öffnungswinkel <math>\omega_B</math> des verwendeten Interferometers ab: :<math>d \propto \frac {\lambda} {\sin \omega_B}</math> Wenn für die Primärfarben Rot, Grün und Blau (RGB) die mit abnehmender Wellenlänge kleiner werdenden Linienabstände <math>d_R</math>, <math>d_G</math> und <math>d_B</math> bestimmt werden, kann daraus eine für die Farbauflösung repräsentative Größe <math>\delta_{RGB}</math>, die '''Farbstrukturtreue''' (englisch: ''coloured structure fidelity''), bestimmt werden: :<math>\delta_{RGB} = \frac {d_R - d_B} {d_G}</math> <div style="clear:both"></div> == Polarisation == [[Datei:偏振片.png|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''linear''' polarisierter Strahlung durch die Filterung elektromagnetischen Wellen mit unerwünschter Polarisationsrichtung (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] [[Datei:Polaryzacja_kołowa.gif|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''zirkular''' polarisierter Strahlung durch die Überlagerung von zwei um den Phasenwinkel 90° verschobenen elektromagnetischen Wellen (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] Natürliche elektromagnetische Strahlung aus thermischen Strahlungsquellen ist unpolarisiert, das heißt, dass die Richtungen der Feldstärken senkrecht zur Ausbreitungsrichtung zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort zufällig ausgerichtet und verteilt sind. Aus unpolarisierten elektromagnetischen Wellen können durch geeignete Mittel in polarisierte Wellen mit definierter Schwingungsrichtung erzeugt werden. Grundsätzlich werden zwei Arten von Polarisation unterschieden: * Liegt die Schwingungsrichtung in einer ortsfesten Raumebene, spricht man von '''linear polarisierter Strahlung'''. * Dreht sich die Raumebene der Schwingungsrichtung gleichmäßig und periodisch um die Ausbreitungsachse, spricht man von '''zirkular polarisierter Strahlung'''. Zirkular polarisierte Strahlung kann mit Blick in die Ausbreitungsrichtung rechts- oder linksdrehend sein: <gallery caption="Drehsinn zirkular polarisierter Strahlung" perrow=2 widths=360 heights=240> Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Rechtsdrehend (im Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Right.Handed.Animation.305x190.255Colors.gif|Linksdrehend (entgegen dem Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. </gallery> Polarisierte Strahlung kann auf verschiedene Art und Weise erzeugt werden. Beispiele hierfür sind: * Durch optische Filter: Ein elektrisches Feld in einer ausgewählten Richtung kann beispielsweise durch geradlinige, parallel und voneinander isoliert angebrachte elektrische Leiter in einem '''Drahtgitterpolarisator''' unterdrückt werden, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen. Nur die senkrecht zu den Leitern schwingenden elektrischen Feldkomponenten können dann das Filter passieren. * Durch Streuung an Partikeln, wie zum Beispiel bei der '''Rayleigh-Streuung''' von Licht an Luftmolekülen. * Durch '''schräge Reflexion''' an Grenzflächen zu elektrisch nichtleitenden Medien, wie zum Beispiel Glasflächen. * Durch spezielle Lichtquellen, wie zum Beispiel '''Laser'''. * Durch '''dichroitische''' Materialien (vom altgriechischen Wort „dichroos“ für „zweifarbig“), die Licht in Abhängigkeit von der Polarisation unterschiedlich stark absorbieren. <div style="clear:both"></div> ===Gesetz von Malus=== [[Datei:Animation polariseur.gif|mini|rechts|Polfilter für photographische Objektive in verschiedenen Orientierungen vor einer flächenhaften Lichtquelle, der linear polarisiertes Licht abgibt.]] Die Intensität <math>I</math> einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle mit der Anfangsintensität <math>I_0</math> schwächt sich nach dem Durchgang durch einen idealen Polarisator in Abhängigkeit vom Winkel <math>\alpha</math>, um den die Polarisationsachse des Polarisators gegen die Polarisationsrichtung der Welle verdreht ist, nach dem '''Gesetz von Malus''' folgendermaßen ab: :<math>I = I_0 \cdot \cos^2 \alpha</math> Ausgehend von unpolarisiertem Licht mit einer gleichmäßigen Verteilung aller Polarisationsrichtungen <math>0 \le \alpha \le 2 \pi</math> in Bezug auf die Polarisationsrichtung eines Polarisationsfilters, kann der Transmissionsgrad <math>T</math> wie folgt bestimmt werden: :<math>T = I_0 \cdot \frac {\int\limits_{0}^{2\pi} \cos^2 \alpha \, \mathrm d\alpha} {\int\limits_{0}^{2\pi} \alpha \, \mathrm d\alpha} = I_0 \cdot \frac {\frac {2 \pi} {2}} {2 \pi} = \frac {I_0} {2} </math> Dies bedeutet, dass ein Polfilter abgesehen von einer gewissen Absorption die Hälfte eines unpolarisierten Strahls passieren lässt. <div style="clear:both"></div> ===Brewster-Winkel=== [[Datei:Brechungsgesetz.Brewster-Bedingung.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zur Brewster-Bedingung an optischen Grenzflächen.]] Es handelt sich beim '''Brewster-Winkel''' um den Einfallswinkel <math>\epsilon</math> von einem optisch dünnen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisch dichteres Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math>, bei dem das elektrische Feld der reflektierten elektromagnetischen Welle nur senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Polarisationsrichtungen des reflektierten und des gebrochenen Strahls stehen beim Erreichen des Brewster-Winkels senkrecht aufeinander: :<math>\epsilon_{Brewster} + \epsilon_{Brewster}' = 90^\circ</math> beziehungsweise: :<math>\sin \epsilon_{Brewster}' = \sin (90^\circ - \epsilon_{Brewster}) = \cos \epsilon_{Brewster}</math> Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt daraus: :<math>n_1 \cdot \sin \epsilon_{Brewster} = n_2 \cdot \cos \epsilon_{Brewster}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {\sin \epsilon_{Brewster}} {\cos \epsilon_{Brewster}} = \tan \epsilon_{Brewster} = \frac {n_2} {n_1}</math> Die reflektierte Welle ist beim Brewster-Winkel <math>\epsilon_{Brewster}</math> demnach linear polarisiert, und es gilt die Beziehung: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan \frac {n_2} {n_1}</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = n_1 \cdot \tan \epsilon_{Brewster}</math> Kommt der Lichtstrahl aus dem Vakuum (<math>n_1 = 1</math>) oder in erster Näherung aus Luft (<math>n_1 \gtrsim 1</math>), dann vereinfacht sich die Gleichung für den Brewster-Winkel zu: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan n_2</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = \tan \epsilon_{Brewster}</math> [[Datei:Brewster-polarizer-de.svg|mini|rechts|hochkant=1.5|Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium zur Verstärkung der Polarisation des transmittierten Lichts.]] Der gebrochene Strahl ist allerdings nicht vollständig in der Einfallsebene polarisiert, da nur ein Teil der Strahlung reflektiert wird, die senkrecht zur Einfallsebene polarisiert wird. Durch eine Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium kann der Effekt der Polarisation des transmittierten Lichts jedoch verstärkt werden. <div style="clear:both"></div> ===Doppelbrechung=== Doppelbrechende optische Medien sind spezielle Materialien, wie zum Beispiel Doppelspat (auch Kalkspat oder Calcit genannt), Glimmer oder Flüssigkristalle. Oft handelt es sich dabei um asymmetrisch aufgebaute Kristalle. Bei solchen anisotropen Medien hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>c</math> und somit auch der Brechungsindex <math>n</math> und die Vakuumwellenlänge <math>\lambda_0</math> von der Schwingungsrichtung ab. Es wird zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl unterschieden. Der ordentliche Strahl steht senkrecht (Symbol <math>\perp</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters, und der außerordentliche Strahl steht parallel (Symbol <math>\parallel</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters. Die dazugehörigen Brechzahlen werden durch das entsprechende Symbol im Index gekennzeichnet: * Für den ordentlichen Strahl: <math>n_\perp</math> * Für den außerordentlichen Strahl: <math>n_\parallel</math> Doppelbrechung kann auch durch Nichtlinearitäten in isotropen Medien hervorgerufen werden, wie zum Beispiel durch mechanische Spannungen oder durch sehr hohe elektrisch oder magnetische Feldstärken. <gallery caption="Doppelbrechung am Doppelspat mit dem Text „Berlin“ im Hintergrund" perrow=2 widths=450 heights=300> Doppelbrechung.P1033771.jpg|Doppelbrechung in horizontaler Richtung. Doppelbrechung.P1033772.jpg|Doppelbrechung in vertikaler Richtung bei um 90° im Uhrzeigersinn gedrehtem Kristall. </gallery> <div style="clear:both"></div> ====Verzögerungsplatten==== '''Verzögerungsplatten''' bestehen aus doppelbrechenden optischen Medien mit konstanter Dicke <math>d</math>. Die Frequenz <math>f</math> der elektromagnetischen Welle bleibt sowohl außerhalb als auch innerhalb der Verzögerungsplatte sowie in allen Ausbreitungsrichtungen gleich. Die Phasenverschiebung <math>\Delta \varphi</math> der beiden sich in der Platte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten <math>c_\perp</math> und <math>c_\parallel</math> ausbreitenden Teilstrahlen ergibt sich beim Austritt hinter der Verzögerungsplatte dann wie folgt: :<math>\Delta \varphi = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot (n_\perp - n_\parallel) = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot c_0 \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right) = 2 \pi \cdot d \cdot f \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right)</math> =====λ/2-Plättchen===== Beim '''λ/2-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen der Hälfte der Vakuumlichtwellenlänge, und es dreht die Polarisationsrichtung eines einfallenden Lichtstrahls um einen bestimmten Winkel. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 180°: :<math>\Delta \varphi = \pi</math> Für die Dicke eines λ/2-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 2} = \frac {\lambda_0} {2} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> Je nach axialer Ausrichtung eines λ/2-Plättchens zur Polarisationsrichtung eines einfallenden, linear polarisierten Lichtstrahls ergibt sich eine Drehung der Polarisationsrichtung zwischen 0° und 90°. =====λ/4-Plättchen===== Beim '''λ/4-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen des Viertels der Vakuumlichtwellenlänge, und es wird auch als '''Zirkularpolarisator''' bezeichnet, weil es aus einem linear polarisierten Lichtstrahl einen zirkular polarisierten Strahl erzeugen kann. Zirkular polarisiertes Licht wandelt es umgekehrt in linear polarisiertes Licht um. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 90°: :<math>\Delta \varphi = \frac {\pi} {2}</math> Für die Dicke eines λ/4-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 4} = \frac {\lambda_0} {4} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> <div style="clear:both"></div> ====Flüssigkristalle==== '''Flüssigkristalle''' sind flüssige Substanzen, die wie Kristalle im festen Aggregatzustand richtungsabhängige (anisotrope) optische Eigenschaften aufweisen können. Die Ausrichtung der Moleküle und damit die Polarisationswirkung kann durch elektrische Felder beeinflusst werden. Die Geschwindigkeit der Auslenkung hängt von der Stärke der elektrischen Felder ab. Bei modernen Flüssigkristallanzeigen und -bildschirmen kann eine Umschaltzeit bis hinunter zu einer Millisekunde erreicht werden. → Siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Fl%C3%BCssigkristallanzeigen|Flüssigkristallanzeigen]]. <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> beluzf2r7mzu4hkak2q2woqyqqr03r0 1088498 1088497 2026-06-29T12:32:13Z Bautsch 35687 /* Paraxiale Strahlengänge */ Limes 1088498 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> Dieses Kapitel beschäftigt sich mit prinzipiellen Eigenschaften von optischen Abbildungen. In den folgenden Abschnitten sind einige grundlegende Aspekte aufgeführt, die bei der Aufnahme und Registrierung von Bildern eine Rolle spielen. ==Optik== Die '''Optik''' (von altgriechisch ὀπτική τέχνη (optikḗ téchnē), zu Deutsch: „Lehre vom Sehen“) beschäftigt sich mit der Ausbreitung von '''Licht''' unter Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie. Im engeren Sinne werden in der Optik optische Systeme behandelt, mit denen Objekte abgebildet werden können. '''Reelle Bilder''' können beispielsweise mit Bildwänden, photographischen Filmen oder elektronischen Bildsensoren aufgefangen werden, wohingegen '''virtuelle Bilder''' direkt durch das menschliche Auge gesehen werden können. Lichtquellen haben immer eine endliche Ausdehnung. Wenn die leuchtende Fläche im Vergleich zu einem ausgedehnten optischen System klein ist, wird die entsprechende Lichtquelle als '''punktförmig''' bezeichnet. In der Praxis kann ein Fixstern als eine solche punktförmige Lichtquelle betrachtet werden. Im Labor kann eine punktförmige Lichtquelle durch die Beleuchtung einer kleinen Kreislochblende aus einer hinreichend großen Entfernung erzeugt werden. Das aus der Blende austretende Licht bildet ein '''Lichtbündel'''. Ein '''Lichtstrahl''' kann durch ein paralleles Lichtbündel mit kleinem Durchmesser angenähert werden. Lichtstrahlen werden in der '''geometrischen Optik''' verwendet, um die Richtung des Flusses der Lichtenergie anzugeben. [[Datei:EM-Wave.gif|mini|rechts|Die elektrische Feldstärke <math>\vec E</math> (blau in y-Richtung) und die magnetische Feldstärke <math>\vec B</math> (rot in z-Richtung) bei einer elektromagnetischen Welle mit Ausbreitung in x-Richtung.]] Beugungseffekte sind durch die Welleneigenschaften des Lichtes bedingt und treten immer auf, wenn es auf Kanten trifft. Die Beugung wird in der '''Wellenoptik''' behandelt und wird in der geometrischen Optik nicht berücksichtigt. Alle elektromagnetischen Wellen –&nbsp;also auch das Licht&nbsp;– breiten sich in allen optischen Medien mit Lichtgeschwindigkeit aus. Dies konnte der Physiker {{w|Heinrich Hertz}} (1857–1894) durch die künstliche Erzeugung elektromagnetischer Wellen im Ultrakurzwellenbereich bei 80&nbsp;Megahertz im Jahr 1886 nachweisen. Die '''Lichtgeschwindigkeit im Vakuum''' <math>c_0</math> ist inzwischen eine festgelegte Größe, die für alle Arten elektromagnetischer Strahlung gilt: :<math>c_0 = 299792458 \frac {\text {m}} {\text {s}}</math> Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit für elektromagnetische Wellen. Sie kann von Objekten mit einer Ruhemasse nicht erreicht werden, also auch nicht von Elektronen oder Atomen beziehungsweise Ionen. Die '''Vakuumwellenlänge''' <math>\lambda_0</math> der mit der Frequenz <math>f</math> transversal schwingenden, elektromagnetischen Welle beträgt hierbei: :<math>\lambda_0 = \frac {c_0} {f}</math> Die Frequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle weicht beim Durchgang durch verschiedene Medien nicht von der Frequenz im Vakuum ab. Die Vektoren der elektrischen und der magnetischen Feldstärke stehen bei elektromagnetischen Wellen stets senkrecht zueinander und außerdem beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. ==Brechung== [[Datei:Refraction animation.gif|mini|rechts|hochkant=1.5|Die von links aus dem Vakuum einfallende ebene Welle trifft unter dem Einfallswinkel von 56&nbsp;Bogengrad auf eine Grenzfläche zu einem optischen Medium mit der Brechzahl&nbsp;1,5. Die ebene Welle wird aufgrund der geringeren Ausbreitungsgeschwindigkeit im optischen Medium zum Lot der Grenzfläche hin gebrochen und breitet sich dort ebenfalls als ebene Welle aus. Die Schwingungsfrequenz der Welle bleibt erhalten, im optischen Medium ist die Wellenlänge jedoch verkürzt.]] [[Datei:Brechungsgesetz.Einheitskreis.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zum Snelliusschen Brechungsgesetz mit Einheitskreis an der Grenzfläche zwischen zwei optischen Medien mit den Brechzahlen <math>n_1</math> und <math>n_2</math>. Die Oberflächenlote in den beiden optischen Medien sind gestrichelt dargestellt.]] In allen '''optischen Medien''' bleibt die Schwingungsfrequenz <math>f</math> elektromagnetischer Wellen im Vergleich zu derjenigen im Vakuum erhalten, aber die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> und die Wellenlänge <math>\lambda</math> sind kleiner. Dies kann durch den maßeinheitenlosen '''Brechungsindex''' <math>n</math> (auch '''Brechzahl''' genannt) des optischen Mediums beschrieben werden: :<math>c = \frac {c_0} {n}</math> :<math>\lambda = \frac {\lambda_0} {n}</math> Beziehungsweise: :<math>n = \frac {\lambda_0} {\lambda} = \frac {c_0} {c}</math> Für alle optische Medien beziehungsweise für alle Brechzahlen gilt die folgende Beziehung für die Schwingungsfrequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle: :<math>f = \frac {c} {\lambda} = \frac {c_0} {\lambda_0} = \text{const.}</math> Der Brechungsindex des Vakuums ist demzufolge gleich Eins, und bei allen anderen optischen Medien ist der Brechungsindex größer als Eins. Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist nicht nur von der Wellenlänge abhängig, sondern bei Festkörpern und Flüssigkeiten insbesondere auch von der Temperatur <math>T</math> und bei Gasen vom Druck <math>p</math>: :<math>n = n(\lambda, T, p)</math> Bei Gasen ist der Brechungsindex bei normalem Luftdruck nur geringfügig größer als Eins. Die meisten optischen Medien aus flüssigem oder festem Material haben typische Brechungsindices zwischen 1,3 und 2,0. Wasser hat bei Zimmertemperatur einen Brechungsindex von 1,333. Besondere Materialien haben Brechungsindices, die größer als Zwei sind, wie zum Beispiel Diamant (Kohlenstoffkristall) mit rund 2,4 oder Rutil (Titandioxid) mit rund 3,1. Beim Übergang von Lichtstrahlen von einem optischen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisches Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math> wird ein einfallender Lichtstrahl (in der Abbildung rechts weiß) zu einem Teil in das Einfallsmedium zurück gespiegelt ('''Reflexion''', in der Abbildung rechts dunkelgrau) und zu einem anderen Teil in das Ausfallsmedium gebrochen ('''Refraktion''', in der Abbildung rechts hellgrau). Die Richtungen der Reflexion und der Refraktion werden über die Winkel zur Flächennormalen (Lot) an der Stelle des Übergangs der beiden optischen Medien bestimmt. Für die Reflexion gilt das '''Reflexionsgesetz''': :Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\alpha</math>. Für die Refraktion gilt das '''Snelliussche Brechungsgesetz''': :<math>n_1 \cdot \sin \alpha = n_2 \cdot \sin \beta</math> Ist <math>n_2</math> größer als <math>n_1</math>, wird der Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen, und ist <math>n_1</math> größer als <math>n_2</math>, wird der Lichtstrahl vom Lot weggebrochen. Am Einheitskreis (Radius gleich Eins) gilt: :<math>\sin \alpha = a</math> und: :<math>\sin \beta = b</math> Das Snelliussche Brechungsgesetz geht damit in die folgende Form über: :<math>n_1 \cdot a = n_2 \cdot b</math> Es gilt entsprechend: :<math>\frac {n_1} {n_2} = \frac {\sin \beta} {\sin \alpha} = \frac {c_2} {c_1} = \frac {b} {a}</math> Zur Herleitung des Brechungsgesetzes unter Berücksichtigung der Ausbreitung mit '''Huygensschen Elementarwellen''' mit der jeweiligen Lichtgeschwindigkeit auf dem schnellsten Weg entsprechend dem '''Fermatschen Prinzip''' siehe auch: '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Ablenkung_von_Lichtstrahlen|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Ablenkung von Lichtstrahlen"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Dispersion=== Die Brechzahl aller optischen Medien hängt von der Wellenlänge des Lichts ab. Hierbei gilt, dass blaues Licht mit kurzer Wellenlänge stärker gebrochen wird als rotes Licht mit langer Wellenlänge. Die Dispersion eines bestimmten optischen Mediums kann durch dessen '''Abbe-Zahl''' <math>\nu_e</math> beschrieben werden: :<math>\nu_{e} = \frac {n_{e} - 1} {n_{F'} - n_{C'}}</math> Hierbei stehen die Indizes C', e und F' am Brechungsindex für die folgenden Lichtwellenlängen: * Rot: <math>n_{C'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{C'} = 643,8469 \text { nm}</math> * Grün: <math>n_{e}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{e} = 546,0740 \text { nm}</math> * Blau: <math>n_{F'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{F'} = 479,9914 \text { nm}</math> Eine große Abbe-Zahl steht also für ein optisches Medium mit geringer Dispersion, und eine kleine Abbe-Zahl steht für ein optisches Medium mit starker Dispersion. <div style="clear:both"></div> ===Optische Medien mit variabler Brechzahl === Bei optischen Medien mit asymmetrischen Kristallgitterstrukturen, wie zum Beispiel Kalkspat (Calcit), hängt die Brechzahl von der Schwingungsrichtung des Lichts in Bezug auf die Gitterebenen ab. In solchen optisch anisotropen Kristallen hängt der Brechungsindex sowohl von der Polarisationsrichtung als auch von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes ab. Bei dieser '''Doppelbrechung''' wird in der Regel zwischen einem ordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\perp</math> und einem außerordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\parallel</math> unterschieden. Je nach Struktur eines bestimmten Kristalls kann sowohl der ordentliche als auch der außerordentliche Strahl eine größere Brechkraft erfahren. Manche Kristalle haben einen sehr deutlichen Unterschied bei diesen beiden Brechzahlen, wie zum Beispiel Kalomel (Quecksilber(I)-chlorid), dass bei einer Massendichte von rund 7,2 Gramm pro Kubikzentimeter eine Brechzahl von knapp 2,0 für den ordentlichen und eine Brechzahl von über 2,6 für den außerordentlichen Strahl aufweist. '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Doppelbrechung|Abschnitt "Doppelbrechung"]]''' Im Allgemeinen sind optische Medien aus amorphen, lichtdurchlässigen Festkörpern, wie zum Beispiel stark brechendes '''Flintglas''', schwach dispergierendes '''Kronglas''', für ultraviolettes Licht durchlässiges '''Quarzglas''' oder leichtes '''Acrylglas''' (Polymethylmethacrylat (PMMA)), isotrop und homogen, so dass die Brechkraft für Licht einer bestimmten Wellenlänge für alle Polarisations- und Ausbreitungsrichtungen überall im Medium gleich ist. In Flüssigkeiten oder in Gasen kann es passieren, dass der Brechungsindex durch Dichteschwankungen im optischen Medium nicht konstant ist. Als Ursache für solche Dichteschwankungen kommt insbesondere die Gravitation in Frage. Das Gas der Atmosphäre hat im Schwerefeld der Erde nach der Bernoullischen Höhengleichung mit zunehmender Höhe einen immer weiter abnehmen Druck und somit eine immer geringer werdende Dichte. Demzufolge nimmt die Brechkraft der atmosphärischen Gase (im Wesentlichen bestehend aus Stickstoff- und Sauerstoffmolekülen sowie Argonatomen) mit zunehmender Höhe immer weiter ab. Diese '''atmosphärische Refraktion''' wirkt sich zum Beispiel bei der Brechung des Sonnenlichts bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang aus, wo die Lichtstrahlen beim Eintritt in die Atmosphäre kontinuierlich stärker in Richtung Erdoberfläche gebrochen werden. [[Datei:Dichte.Brechungsindex.Zuckerloesung.png|mini|rechts|hochkant=1.2|Dichte und Brechungsindex in Abhängigkeit von der Konzentration von Zucker in Wasser in Prozent.]] Auch in Flüssigkeiten mit gelösten Feststoffen kann es im Schwerefeld der Erde mit größer werdender Tiefe unter der Flüssigkeitsoberfläche zu einer Zunahme der Massendichte und somit auch der optischen Dichte kommen. Dies ist zum Beispiel bei in Wasser gelöstem Zucker der Fall, bei den die Zuckerkonzentration in der wässrigen Lösung mit größerer Wassertiefe immer weiter zunimmt. <gallery caption="Beispiele für variable Brechungsindizes" perrow=2 widths=640 heights=480> Sonnenuntergang - Verschiebung.png|Durch einen Beobachter auf der Erdoberfläche wahrgenommene und die tatsächliche Form und Position der Sonne aufgrund der atmosphärischen Refraktion bei Sonnenaufgang beziehungsweise bei Sonnenuntergang. Kuevette.Zuckerloesung.Laserstrahl.P1033789.jpg|Roter Laserstrahl auf einer Zykloidenbahn in einer Küvette mit Zuckerlösung, die nach unten hin eine immer größere Massendichte und optische Dichte aufweist, so dass der Brechungsindex auf dem Lichtweg stetig größer wird. </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Optische Achse== [[Datei:Optische.Achse.png|mini|hochkant=2|Optische Achse]] Die '''optische Achse''' beschreibt in der geometrischen Optik die Rotationsachse aller rotationssymmetrischen Bestandteile einer optischen Abbildung oder eines optischen Systems. Schnittebene von zweidimensionalen Skizzen werden üblicherweise durch die optische Achse gelegt, so dass die Schnitte der rotationssymmetrischen optischen Elemente an dieser Achse gespiegelt dargestellt werden. Die optische Achse wird in solchen Skizzen immer als Strichpunktlinie dargestellt. <div style="clear:both"></div> ==Hauptebenen== [[Datei:Hauptebene.png|mini|hochkant=1.5|Ein aus dem Objektraum links der Hauptebene kommender Lichtstrahl (gestrichelte Linie) wird an der Hauptebene H (blau) in den Bildraum rechts der Hauptebene abgelenkt]] '''Hauptebenen''' stehen in der Regel senkrecht zur optischen Achse. Sie beschreiben vereinfacht betrachtet Flächen, an denen alle Strahlen in einem optischen Strahlengang gebrochen oder gespiegelt werden, und sie teilen den '''Objektraum''' links der Hauptebene vom '''Bildraum''' rechts der Hauptebene. In der Praxis gilt dies mit hinreichender Genauigkeit häufig nur für achsnahe Strahlen ('''paraxialer''' Strahlengang mit '''Gaußschen Strahlen'''). Bei '''konvergenten''' Systemen werden die Strahlen zur optischen Achse abgelenkt, und bei '''divergenten''' Systemen werden die Strahlen von der optischen Achse weggelenkt. Von den Hauptebenen werden in Richtung der optischen Achse '''Brennweiten''', '''Objektweiten''' und '''Bildweiten''' gemessen. Die Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse werden als '''Hauptpunkte''' bezeichnet. Lichtstrahlen, die durch einen Hauptpunkt gehen, heißen '''Hauptstrahlen''' und werden nicht abgelenkt. <div style="clear:both"></div> ==Optische Flächen== [[Datei:Lens shapes 2.svg|mini|hochkant=1.5|Verschiedene Linsenformen mit ihren beiden Hauptebenen H und H':<br/> 1: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 2: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 3: plankonvexe Sammellinse mit <math>r_2 = \infty</math><br/> 4: konvex-konkave Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 5: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 6: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math><br/> 7: plankonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 = \infty</math><br/> 8: konvex-konkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math>]] Licht kann an den Flächen zwischen optischen Medien durch '''Lichtbrechung''' ('''Refraktion''') oder an Oberflächen durch '''Spiegelung''' ('''Reflexion''') abgelenkt werden. Optische '''Linsen''' sind lichtdurchlässig (transparent) und haben zwei optisch aktive Oberflächen, und '''Spiegel''' haben eine reflektierende Oberfläche. Linsen- und Spiegeloberflächen können eben ('''plan'''), nach außen gewölbt ('''konvex''') oder nach innen gewölbt ('''konkav''') sein. Bei Linsen können die beiden optisch aktiven Oberflächen verschiedene Wölbungen und Formen haben. Beidseitig konvexe ('''bikonvexe''') sowie '''plankonvexe''' Linsen sammeln das einfallende Licht und werden deswegen '''Sammellinsen''' genannt. Beidseitig konkave ('''bikonkave''') sowie '''plankonkave''' Linsen zerstreuen einfallendes Licht und werden deswegen '''Zerstreuungslinsen''' genannt. Bei konvex-konkaven und konkav-konvexen Linsen wird die Gesamtwirkung des Sammelns oder Zerstreuens durch die Oberfläche mit der stärkeren Krümmung bestimmt: ist diese konvex, handelt es sich um eine Sammellinse, ist diese konkav, handelt es sich um eine Zerstreuungslinse. Bei Spiegeloberflächen verhält es sich umgekehrt: ist die Spiegeloberfläche konkav, handelt es sich um einen lichtsammelnden Spiegel (auch '''konkaver Spiegel''' oder '''Hohlspiegel'''), ist die Spiegeloberfläche konvex, handelt es sich um einen lichtzerstreuenden Spiegel (auch '''konvexer Spiegel''',''' Wölbspiegel''' oder '''Zerstreuungsspiegel'''). Ein Spiegel mit ebener Oberfläche wird als '''Planspiegel''' bezeichnet, bei dem die Hauptebene mit der Oberfläche identisch ist. Linsen haben stets zwei '''Hauptebenen''', die in der Regel objektseitig mit '''H''' und bildseitig mit '''H'''' bezeichnet werden. Die entsprechenden '''Hauptpunkte''' können insbesondere bei plankonvexen oder plankonkaven Linsen mit den Scheitelpunkten der Linsenoberflächen auf der optischen Achse übereinstimmen. Bei bikonvexen und bikonkaven Linsen liegen die Hauptpunkte jedoch zwischen den Scheitelpunkten der Linse. Bei konkav-konvexen beziehungsweise konvex-konkaven Linsen kann ein Hauptpunkt oder können sogar beide Hauptpunkte außerhalb des Linsenkörpers liegen. Zwischen den beiden Hauptebenen einer Linse verlaufen alle Strahlen rechnerisch betrachtet parallel zur optischen Achse. Die Hauptstrahlen verlaufen zwischen den beiden Hauptebenen entlang der optischen Achse. Im folgenden Beispiel für eine Sammellinse wird dieses Verhalten verdeutlicht: [[Datei:Strahlengang.Hauptebenen.Sammellinse.png|mini|zentriert|Strahlengang über die beiden Hauptebenen H und H' bei einer Sammellinse.]] Bei hinreichend '''dünnen Linsen''' fallen die beiden Hauptebenen annähernd zu einer einzigen Hauptebene in der Mitte der Linse zusammen, so dass sich Berechnungen und graphische Darstellungen mit nur einer Hauptebene deutlich vereinfachen lassen. Von dünnen Linsen wird gesprochen, wenn die Brennweite <math>f</math> und somit auch die Radien der Linsenoberflächen <math>R_1</math> und <math>R_2</math> deutlich größer sind als die entlang der optischen Achse zwischen den beiden Linsenscheitelpunkten gemessene Dicke <math>d</math> einer Linse: :<math>R_1, R_2 > f \gg d</math> Optische Systeme, wie zum Beispiel ein Objektiv mit zahlreichen Linsen, können sehr viele Hauptebenen haben, die nicht notwendigerweise alle im optischen System liegen müssen, wie zum Beispiel bei [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Retrofokusobjektiv|Retrofokusobjektiven]] oder [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telefokusobjektiv|teleskopischen Objektiven]]. Messtechnisch können von außen unmittelbar nur die Lagen der beiden äußersten Hauptebenen eines optischen Systems bestimmt werden. Bei Zoomobjektiven, also bei Objektiven mit variabler Brennweite, variiert die Lage der Hauptebenen mit der Einstellung der Brennweite. Auch bei Objektiven mit innenliegender Fokussierung verändert sich beim Scharfstellen von Objekten in der Bildebene die Lage von Hauptebenen zueinander. '''Schnittweiten''' werden ebenfalls entlang der optischen Achse gemessen, in der Regel jedoch nicht von einer Hauptebene aus, sondern vom Scheitelpunkt der nächstgelegenen gekrümmten und zu untersuchenden optischen Fläche. Dieser Scheitelpunkt befindet sich im Schnittpunkt der optischen Achse mit der gekrümmten optischen Fläche. <div style="clear:both"></div> ==Bildwinkel== [[Datei:Bildwinkel.png|hochkant=2|miniatur|Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildweite <math>b</math> und Bilddiagonale <math>d</math> mit Berücksichtigung der Objektgröße <math>G</math> und der Bildgröße <math>B</math>]] Der '''Bildwinkel''' <math>\alpha</math> ist der ebene Winkel, innerhalb dessen das reelle Bild des Objektes in der '''Bildebene''' vom bildseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann. Er wird durch die äußeren zur Abbildung beitragenden Hauptstrahlen gebildet, die durch den Hauptpunkt gehen. Mathematisch ist der Bildwinkel wie folgt definiert, wenn die '''Bildgröße''' (sie wird manchmal auch als Bildhöhe bezeichnet) <math>B</math> beziehungsweise der Radius des '''Bildkreises''' <math>r</math> von der optischen Achse aus gemessen ist und <math>b</math> die '''Bildweite''' zwischen Hauptebene und Bildebene darstellt: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {B}{b} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{b}</math>, wobei der Radius des Bildkreises <math>r</math> gleich dem halben Bildkreisdurchmesser <math>d</math> ist: :<math>r = B = \frac {d}{2}</math> Die Bildweite ergibt sich daraus folgendermaßen: :<math>b = \frac {r}{\tan \frac {\alpha}{2}} = \frac {d}{2 \cdot \tan \frac {\alpha}{2}}</math> Der '''Objektwinkel''' ist der ebene Winkel, innerhalb dessen ein abgebildetes Objekt in der '''Objektebene''' (respektive in der '''Schärfeebene''') vom objektseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann, und er ist mit dem Bildwinkel <math>\alpha</math> identisch. Daher können unter Berücksichtigung des [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Abbildungsma.C3.9Fstab|Abbildungsmaßstabs]] auch die '''Objektgröße''' (sie wird auch als '''Gegenstandshöhe''' oder '''Gegenstandsgröße''' bezeichnet) <math>G</math> beziehungsweise der Radius des '''Objektkreises''' von der optischen Achse aus gemessen und die '''Objektweite''' (sie wird auch als '''Gegenstandsweite''' bezeichnet) <math>g</math> zwischen Hauptebene und Objektebene zur Berechnung des Bildwinkels herangezogen werden: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {G}{g}</math> Wegen der ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke gilt, dass die Verhältnisse der Katheten gleich sind: :<math>\frac {B} {b} = \frac {G} {g}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {B} {G} = \frac {b} {g}</math> <div style="clear:both"></div> ==Brennweite== [[Datei:Brennweite.png|mini|hochkant=2|Brennweite f zwischen einer Hauptebene H und dem Brennpunkt F bei einer optischen Abbildung]] [[Datei:Objektweite.unendlich.png|mini|hochkant=2|Bildhöhe c in der Brennebene in Abhängigkeit der Richtung γ eines unendlich entfernten Objektes zur optischen Achse]] Die '''Brennweite''' <math>f</math> ist bei einer optischen Abbildung mit lichtsammelnden Elementen definiert als die von der letzten Hauptebene gemessene Schnittweite paraxialer Lichtstrahlen bei unendlicher '''Objektweite''' <math>a</math>. In diesem Fall schneiden sich die Strahlen im bildseitigen '''Brennpunkt''' und die '''Bildweite''' <math>b</math> ist identisch mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>f = b_{a=\infty}</math> Die Brennweite kann also als Bildweite gemessen werden, wenn die Objektweite unendlich ist. Der Kehrwert der Brennweite wird '''Brechkraft''' <math>D</math> genannt: :<math>D = \frac {1} {f}</math> Die Maßeinheit der Brechkraft ist eine Dioptrie, die identisch ist mit der Maßeinheit <math>\frac {1} {\text{m}}</math> (Eins durch Meter). Die Brechkraft wird häufig in der Augenoptik verwendet, um die Brechkraft von Sehhilfen zu charakterisieren. Sammellinsen wie auch Hohlspiegel haben eine positive Brechkraft und können eine Weitsichtigkeit (Hyperopie) kompensieren. Zerstreuungslinsen wie auch Wölbspiegel haben eine negative Brechkraft und können eine Kurzsichtigkeit (Myopie) kompensieren. Liegt das Objekt außerhalb der optischen Achse, wird es nicht in den Brennpunkt abgebildet, sondern in die '''Brennebene''', die durch den Brennpunkt geht und senkrecht auf der optischen Achse steht. Für ein Objekt mit unendlicher Objektweite, das zur optischen Achse unter dem Winkel <math>\gamma</math> erscheint, ergibt sich bei gegebener bildseitiger Brennweite <math>f'</math> die von der optischen Achse gemessene Bildhöhe <math>c</math> wie folgt: :<math>c = f' \tan \gamma</math> Oder nach Umstellung aufgelöst nach dem Winkel <math>\gamma</math> in Abhängigkeit der beiden Längen: :<math>\gamma = \arctan \frac {c} {f'}</math> Wenn die Bilddiagonale eines Rechteckes beziehungsweise der Bildkreisdurchmesser <math>d</math> bekannt sind, ergibt sich die Brennweite als Funktion des (diagonalen) Bildwinkels <math>\alpha</math> zu: :<math>f = \frac {d} {2 \cdot \tan \frac {\alpha} {2}}</math> Beziehungsweise umgekehrt, der Bildwinkel <math>\alpha</math> als Funktion der Brennweite <math>f'</math>: :<math>\alpha = 2 \arctan {\frac {d} {2 \cdot f'}}</math> Ein Objekt, das in der Brennebene liegt, wird ins Unendliche abgebildet, und der objektseitige Brennpunkt wird bildseitig daher auf der optischen Achse ins Unendliche abgebildet. Wegen der '''Dispersion''' kann die Brennweite bei der Verwendung von brechenden Materialien von der Wellenlänge der abbildenden Strahlen abhängen: → Siehe hierzu auch '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Chromatische_Aberration|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Chromatische Aberration"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Normalbrennweite=== Die Brennweite ist bei einer optischen Abbildung nicht ausreichend, um die Größe einer Aufnahme zu kennzeichnen. In einigen Fällen ist die Bildgröße standardisiert, wie zum Beispiel beim rechteckigen Format des Kleinbildfilms, so dass aus der Angabe einer beliebigen Brennweite auch auf den maximal möglichen Bildwinkel der '''Bilddiagonale''' beziehungsweise des '''Bildkreisdurchmessers''' geschlossen werden kann. Es kann eine empirisch zu bestimmende '''Normalbrennweite''' definiert werden, bei der ein Bild mit dem Bildwinkel aufgenommen wird, mit dem das abgebildete Objekt mit bloßem Auge bei hinreichender Auflösung gesehen werden kann. Dies ist der Fall, wenn der Bildwinkel des Auges wegen der physiologischen Schwankungsbreite ungefähr zwischen 40° und 55° liegt. Brennweiten, die kürzer als die Normalbrennweite sind, erzeugen weitwinklige Aufnahmen mit größeren Bildwinkeln, und Brennweiten, die länger als die Normalbrennweite sind, erzeugen teleskopische Aufnahmen mit kleineren Bildwinkeln. Die Größenverhältnisse der in unterschiedlichen Entfernungen aufgenommenen Gegenstände innerhalb einer Aufnahme ändern sich deutlich mit der Brennweite. Beim durch den 35-Millimeter-Film (Kleinbildfilm) im 20.&nbsp;Jahrhundert sehr weit verbreiteten Kleinbildformat mit einer Bildbreite <math>b</math> von 36 Millimetern und einer Bildhöhe <math>h</math> von 24 Millimetern hat sich eine Normalbrennweite <math>f_\text{norm, Kleinbild}</math> von :<math>f_\text{norm, Kleinbild} = 50 \, \text{mm}</math> etabliert. Bei diesem Format ergibt sich rechnerisch eine Bilddiagonale beziehungsweise ein Bildkreisdurchmesser <math>d</math> von: :<math>d_\text{Kleinbild} = \sqrt {b_\text{Kleinbild}^2 + h_\text{Kleinbild}^2} = \sqrt {{(36 \, \text{mm})}^2 + {(24 \, \text{mm})}^2} \approx 43{,}3 \, \text{mm}</math> [[Datei:Sensorformate.svg|hochkant=2|miniatur|Bildsensorgrößen im Vergleich]] Da alle Hersteller von Kleinbildkameras dieselbe, fest vorgegebene Bildgröße verwenden, ist dem Photographen bei diesem Bildformat bekannt, dass ein Objektiv mit Normalbrennweite eine Brennweite von 50&nbsp;Millimetern hat. Bei anderen Bildformaten und -größen, wie sie zum Beispiel in der digitalen Photographie verwendet werden, ergeben sich zwangsläufig andere Normalbrennweiten, so dass aus der Angabe der Brennweite allein noch nicht folgt, welche Bildgröße oder welcher Bildwinkel bei der optischen Abbildung berücksichtigt wurde. Abgesehen von einigen digitalen Systemkameras mit Bildsensoren im Kleinbildformat gibt es viele verschiedene Bildsensorgrößen und damit Normalbrennweiten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Lichtwandlung#Bildsensoren|Bildsensoren]]). Zur Bestimmung von Normalbrennweiten kann das Verhältnis <math>c</math> zwischen Normalbrennweite und Bildkreisdurchmesser verwendet werden, das sich beim Kleinbildfilm ergibt: :<math>c = \frac {f_\text{norm, Kleinbild}}{d_\text{Kleinbild}} \approx 1{,}16</math> Anhand der effektiven Bilddiagonalen <math>d</math> kann somit die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> berechnet werden: :<math>f_\text{norm} = c \cdot d</math> Beim Sonderfall '''unendlicher Objektweite''' <math>a</math> sind Bildweite <math>a'</math> und Brennweite <math>f</math> identisch, und der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> kann leicht aus der Brennweite <math>f</math> und dem Radius des Bildkreises <math>r</math> berechnet werden: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{f}</math> Am Beispiel des Kleinbildformates ergibt sich der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> also wie folgt: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {21{,}63 \, \text{mm}} {50 \, \text{mm}} = 46{,}8^\circ</math> Dieser Bildwinkel kann auch bei alle anderen Bildformaten eingesetzt werden. Die Normalbrennweite kann mithilfe des Bildwinkels bei der Normalbrennweite bei unendlicher Objektweite auch aus der Brennweite und dem dazugehörigen Bildwinkel bestimmt werden: :<math>f_\text{norm} = f \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Ferner lässt sich auch die Bilddiagonale berechnen, wenn die Brennweite bekannt ist und der Bildwinkel gemessen werden kann: :<math>d = \frac {f_\text{norm}} {c} = \frac {f} {c} \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Für einige gängige Bildsensorformate resultieren die folgenden Bilddiagonalen und Normalbrennweiten, sowie die entsprechenden Schärfentiefebereiche (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sch.C3.A4rfentiefe|Schärfentiefe]]) für menschliche Betrachter beispielsweise bei einer Blendenzahl von 2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Blendenzahl|Blendenzahl]]) und einer Objektweite von einem Meter. Ferner die Bildpunktgröße bei 16&nbsp;Millionen quadratischen Bildpunkten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Punktabstand|Punktabstand]]), der dazugehörige tolerierbare Fokussierungsfehler in der Bildebene bei der Blendenzahl&nbsp;2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Fokussierungsfehler|Fokussierungsfehler]]) und der Durchmesser des entsprechenden Beugungsscheibchens für grünes Licht mit der Wellenlänge 550 Nanometer (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]): {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Bildsensorgröße<br />Bezeichnung !Bilddiagonale<br /><math>d</math> in Millimetern !Normalbrennweite<br /><math>f_\text{norm}</math> in Millimetern !Schärfentiefe in mm<br />bei Blendenzahl 2,0 und<br />Objektweite 1 m !Bildpunktgröße<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei 16 Millionen Bildpunkten !Maximal zulässiger Fokussierungsfehler<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei Blendenzahl 2,0 !Maximale Blendenzahl<br />ohne Beugungsbegrenzung<br />auf dem Bildsensor |- | 1/3,2″ || 5,6 || 6,5 || 360 || 0,99 || 2,0 || 0,74 |- | 1/2,7″ || 6,0 || 7,0 || 330 || 1,06 || 2,1 || 0,79 |- | 1/2,5″ || 6,4 || 7,5 || 310 || 1,13 || 2,3 || 0,84 |- | 1/2,3″ || 7,7 || 8,9 || 260 || 1,4 || 2,7 || 1,0 |- | 1/1,8″ || 8,9 || 10 || 240 || 1,57 || 3,1 || 1,2 |- | 2/3″ || 11,0 || 13 || 170 || 1,94 || 3,9 || 1,4 |- | 1" || 15,9 || 18 || 130 || 2,8 || 5,6 || 2,0 |- | 4/3″ || 21,6 || 25 || 90 || 3,8 || 7,6 || 2,8 |- | APS-C || 26,8 bis 28,4 || 31 bis 33 || 70 || 5 || 10 || 3,5 |- | Kleinbildformat || 43,3 || 50 || 44 || 8 || 15 || 5,6 |- | Mittelformat || 50 bis 70 || 60 bis 80 || 30 || 11 || 20 || 8,0 |} Wesentliche Unterschiede von Bildsensoren ergeben sich indirekt durch eine unterschiedliche Schärfentiefe <math>\Delta_d</math> bei gleichem Bildwinkel und gleicher Blendenzahl. Dabei gilt näherungsweise bei gleicher Anzahl der Bildpunkte (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildauflösung|Bildauflösung]]): :<math>\Delta_d \propto \frac {1} {d}</math> Es ergibt sich bei der Verdopplung der Bilddiagonale <math>d</math> also in etwa eine Halbierung der Schärfetiefe. Bei großen Bildsensorformaten ist die Schärfentiefe bei offener Blende möglicherweise so stark eingeschränkt, dass abgeblendet werden muss. Ferner kann es bei der Verwendung von zusätzlichen Einstellhilfen für die Bildschärfe wie zum Beispiel Einstellscheiben oder Autofokussystemen bei kleinen Bildsensoren leicht zu Fokussierungsfehlern kommen, so dass das Bild auf dem Sensor nicht hinreichend scharf aufgenommen werden kann. ==Abbildungsmaßstab== [[Datei:Abbildungsgleichung.png|hochkant=2.5|miniatur|Parameter der Abbildungsgleichung bei einem konvergenten Strahlengang]] [[Datei:Lens and wavefronts rotated.gif|mini|Die Ausbreitungsrichtung der von einem Objektpunkt in unendlicher Objektentfernung ausgehenden, ebenen Wellenfronten steht überall senkrecht auf diesen Wellenfronten. Dies ist auch nach dem Passieren eines optischen Systems der Fall, so dass sich die Wellenfronten bei einer optischen Abbildung im Bild zu einem Punkt vereinigen.]] [[Datei:Virtuelle.Abbildung.png|thumb|hochkant=2|miniatur|Geometrische Verhältnisse bei einer '''virtuellen Abbildung''':<br/> Das virtuelle Bild eines zwischen der objektseitigen Brennebene und der Hauptebene befindlichen Objekts kann von rechts der Hauptebene aus betrachtet werden und entsteht von dort aus gesehen hinter dem Objekt vergrößert im Objektraum. Anders als ein reelles Bild kann es in der Bildebene '''nicht''' mit einem Schirm aufgefangen werden. Der objektseitige Brennpunkt (nicht dargestellt) befindet sich bei einer virtuellen Abbildung immer vor der Objektebene auf der optischen Achse.]] Bei photographischen Aufnahmen mit gegebener Brennweite <math>f</math> gilt die '''Abbildungsgleichung''' (umgangssprachlich auch "Linsenformel"), die den Zusammenhang zwischen Objektweite <math>a</math> und Bildweite <math>a'</math> herstellt: :<math>\frac {1} {f} = \frac {1} {a} + \frac {1} {a'}</math> oder anders ausgedrückt: :<math>f = \frac {a \cdot a'} {a + a'}</math> Aus diesen Längen lässt sich der '''Abbildungsmaßstab''' <math>\beta</math> berechnen. Dieser kann bei sowohl aus dem Verhältnis von Bildweite <math>a'</math> zu Objektweite <math>a</math> (auch Gegenstandsweite genannt), als auch aus dem Verhältnis von Bildgröße <math>y'</math> zu Objektgröße <math>y</math> (auch Gegenstandsgröße genannt) berechnet werden: :<math>\beta = \frac {a'} {a}= \frac {y'} {y} = \frac {a'} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a} {f} - 1}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {1} {\beta} = \frac {a} {a'}= \frac {y} {y'} = \frac {a} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a'} {f} - 1}</math> Hieraus ergibt sich unmittelbar, dass der Abbildungsmaßstab genau dann den Betrag Eins annimmt, wenn sowohl Objektweite als auch Bildweite doppelt so groß sind wie die Brennweite: :<math>a = 2 \cdot f \rightarrow a' = 2 \cdot f' \rightarrow | \beta | = 1</math> Bei reellen Abbildungen aus dem Unendlichen, also mit unendlicher Objektweite (<math>a = \infty</math>), ist der Abbildungsmaßstab in der Brennebene Null (<math>a' = f'</math>). Die Größe des abgebildeten Punkts hat in der Brennweite <math>f'</math> dann allerdings nicht den geometrisch sich ergebenen Durchmesser Null, sondern wird durch den Durchmesser des Beugungsscheibchens begrenzt (siehe hierzu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]). Wegen der Umkehrbarkeit der Lichtwege in einem optischen System ergeben sich die entsprechenden Verhältnisse auch bei der Abbildung eines Objektpunkts in der Brennebene bei der Objektweite <math>a = f</math> nach Unendlich (<math>a' = \infty</math>). Umgeformt nach der Bildweite <math>a'</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a'} = \frac {y'} {y} \cdot a = \beta \cdot a = \frac {1} {\frac {1}{f} - \frac {1} {a}} = ({\beta} + 1) \cdot f</math> Und umgeformt nach der Objektweite <math>a</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a} = \frac {y} {y'} \cdot a' = \frac {a'}{\beta} = \frac {1} {\frac {1} {f} - \frac {1} {a'}} = \left( \frac {1} {\beta} + 1 \right) \cdot f</math> Desgleichen können die Objektröße <math>y</math> und die Bildgröße <math>y'</math> ausgerechnet werden: :<math>{y} = \frac {y'} {\beta} = \frac {y'} {\frac {a'} {f} - 1} = \left( \frac {a} {f} - 1 \right) \cdot y'</math> :<math>{y'} = \beta \cdot y = \left( \frac {a'} {f} - 1 \right) \cdot y = \frac {y} {\frac {a} {f} - 1}</math> Bei der gleichzeitigen Aufnahme von Objekten mit verschiedener Objektweite (innerhalb des hinreichend scharf abgebildeten Schärfentiefebereiches) ergeben sich also zwangsläufig unterschiedliche Abbildungsmaßstäbe. Dieser Effekt kann bei Aufnahmen, bei denen es auf Maßhaltigkeit ankommt (zum Beispiel bei einer Industrieanlagenüberwachung, in der Photogrammetrie oder bei der Portraitphotographie), dadurch reduziert werden, dass eine größere Brennweite und entsprechend größere Objektweiten gewählt werden. Alternativ ist der Einsatz von beidseitig telezentrischen Objektiven möglich, bei denen der Abbildungsmaßstab weder von der Objektweite noch von der Bildweite abhängt (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telezentrie|Telezentrie]]). Für zwei Gegenstände mit einem Abstand von zehn Einheiten ergeben sich bei drei verschiedenen Brennweiten beispielsweise die folgenden Abbildungsmaßstäbe: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Brennweite<br/><math>f</math> !Objektweite<br/><math>a</math> !Abbildungsmaßstab<br/><math>\beta</math> !Abweichung der<br/>Abbildungsmaßstäbe |- | rowspan="2" | 10 | 100 | 0,1111 | rowspan="2" | 11,1% |- | 110 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 100 | 1090 | 0,1010 | rowspan="2" | 1,0% |- | 1100 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 1000 | 10990 | 0,1001 | rowspan="2" | 0,1% |- | 11000 | 0,1000 |} <div style="clear:both"></div> ===Abbildung über zwei Hauptebenen=== [[Datei:Optische Abbildung.mit.zwei.Hauptebenen.png|mini|rechts|hochkant=2|Optische Abbildung eines Objekts in der Gegenstandsebene G in der Objektweite a mit der Objektgröße y über zwei Hauptebenen H und H' mit dem Abstand x in die Bildebene B in der Bildweite a' mit der Bildgröße y'. Der objektseitige Brennpunkt F befindet sich in der Brennweite f vor der Hauptebene H, und der bildseitige Brennpunkt befindet sich in der Brennweite f' hinter der Hauptebene H'. Die Gesamtlänge s des Strahlengangs ist durch den Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B bestimmt.]] Optische Systeme, die für die Erzeugung von reellen Bildern von Objekten eingesetzt werden, bestehen in der Regel aus Objektiven mit mehreren Linsen. Jede Linse hat zwei Hauptebenen, an denen die Lichtstrahlen abgelenkt werden können. Von außen sind jedoch nur die objektseitige Hauptebene H und die bildseitige Hauptebene H' des gesamten optischen Systems relevant. Zwischen den Hauptebenen verlaufen alle abgelenkten Strahlen parallel zur optischen Achse. Deswegen reicht es häufig, ein optisches System nur durch diese beiden im Abstand <math>x</math> voneinander befindlichen Hauptebenen H und H' zu beschreiben und zu untersuchen. Der Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B ist dann die Summe <math>s</math> von Objektweite <math>a</math>, Abstand der Hauptebenen <math>x</math> und der Bildweite <math>a'</math>: :<math>s = a + x + a'</math> Aus den geometrischen Verhältnissen ergibt sich mit den oben genannten Größen für die Brennweite <math>f</math> und für den Abbildungsmaßstab <math>\beta</math>: :<math>s = x + f \cdot \left( \beta + \frac {1} {\beta} + 2 \right) \ge x + 4 \cdot f</math> <div style="clear:both"></div> ===Relativer Abbildungsmaßstab=== Um ein von der Brennweite und der Bildgröße unabhängiges Maß zu gewinnen, kann das Verhältnis des tatsächlichen Abbildungsmaßstabes <math>\beta</math> zum entsprechenden Abbildungsmaßstab bei der Normalbrennweite <math>\beta_\text{norm}</math> gebildet werden, der sogenannte '''relative Abbildungsmaßstab''' <math>\beta_\text{rel}</math>: :<math>\beta_\text{rel} = \frac {\beta}{\beta_\text{norm}}</math> Bei der Normalbrennweite ist der relative Abbildungsmaßstab eins, bei weitwinkligen Aufnahmen ist er kleiner als eins und bei teleskopischen Aufnahmen ist er größer als eins. <div style="clear:both"></div> ==Zoomfaktor== [[Datei:Standardzoom.png|mini|rechts|hochkant=2|Standardzoom mit Bildwinkeln zwischen leicht weitwinkliger und leicht teleskopischer Wirkung. Bei mittlerer Brennweite sind in etwa die Normalbrennweite und der Normalwinkel eingestellt.]] Der '''Zoomfaktor''' <math>z</math> von Objektiven, die in der Brennweite variabel sind, wird traditionell als Verhältnis der Extrembrennweiten angegeben: :<math>z = \frac {f_\text{tele}} {f_\text{weit}}</math> Dieser Wert ist bei '''unendlicher Objektweite''' identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise relativen Abbildungsmaßstäbe: :<math>z = \frac {\beta_\text{weit}} {\beta_\text{tele}} = \frac {\beta_\text{rel, weit}} {\beta_\text{rel, tele}}</math> Dies ist zwar ein einfacher Ansatz, da die Brennweiten als Kenndaten des Zoomobjektivs in der Regel angegeben werden, dieser lässt jedoch unbeachtet, dass die perspektivische Wirkung einer optischen Abbildung nicht von der Brennweite, sondern vom Bildwinkel bestimmt wird und bei Vergrößerungen der Abbildungsmaßstab einen viel entscheidenderen Einfluss hat. Bei einer Verdopplung der Brennweite ist es bei hinreichend geringer Objektweite ohne weiteres möglich, einen zehn Mal größeren Abbildungsmaßstab respektive einen zehn Mal kleineren Bildwinkel zu erreichen. Der Zoomfaktor ist also nur eine Kenngröße, die die Verhältnisse der Abbildungsmaßstäbe bei unendlicher Objektweite angeben. Für Objektweiten in der Größenordnung der Brennweite <math>f</math> ist das Verhältnis der Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise der Bildwinkel erheblich aussagekräftiger als der Zoomfaktor. Die folgende Tabelle gibt für eine Objektweite von <math>g = 1000</math> Längeneinheiten die Verhältnisse der Brennweiten, Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel bei verschiedenen Brennweiten bezogen auf die Bezugsbrennweite <math>f_{0} = 10</math> (dies entspricht einem Abbildungsmaßstab von <math>\beta_{0} = \frac {1} {99}</math>, einer Bildweite von <math>b_{0} = 10{,}101</math>, einer Bilddiagonale von <math>d = 8{,}7</math>, wenn <math>f_{0}</math> die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> des Systems ist, und einem Bildwinkel von <math>\alpha_{0} = \alpha_{\text{norm}} = 46{,}8^\circ</math>) an: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" |+ Abbildungsverhältnisse bei konstanter Objektweite g = 1000 !<br/>Brennweite<br/><math>f</math> !<br/>Bildweite<br/><math>b</math> !Abbildungs-<br/>maßstab<br /><math>\beta</math> !<br/>Bildwinkel<br/><math>\alpha</math> in ° !Verhältnis der<br/>Brennweiten<br /><math>f / f_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Abbildungsmaßstäbe<br /><math>\beta / \beta_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Bildwinkel<br /><math>\alpha_{0} / \alpha</math> |- | 0,999 || 1,000 || 1/1000 || 154 || 0,100 || 0,099 || 0,303 |- | 1,996 || 2,000 || 1/500 || 131 || 0,200 || 0,198 || 0,358 |- | 4,975 || 5,000 || 1/200 || 82,3 || 0,498 || 0,495 || 0,568 |- | 9,901 || 10,00 || 1/100 || 47,2 || 0,990 || 0,990 || 0,991 |- | '''10,00''' <math>= f_{0}</math> || 10,10 || 1/99 <math>= \beta_{0}</math> || 46,8 <math>= \alpha_{0}</math> || '''1,00''' || '''1,00''' || '''1,00''' |- | 19,61 || 20,00 || 1/50 || 24,7 || 1,96 || 1,98 || 1,90 |- | 38,46 || 40,00 || 1/25 || 12,5 || 3,85 || 3,96 || 3,75 |- | 100 || 111,1 || 1/9 || 4,51 || 10 || 11 || 10,4 |- | 200 || 250,0 || 1/4 || 2,00 || 20 || 24,75 || 23,4 |- | 250 || 333,3 || 1/3 || 1,50 || 25 || 33 || 31,1 |- | 333 || 500,0 || 1/2 || 1,00 || 33,3 || 49,5 || 46,7 |- | 400 || 666,7 || 2/3 || 0,751 || 40 || 66 || 62,3 |- | 500 || '''1000''' <math>= g</math> || '''1''' || 0,501 || 50 || 99 || 93,4 |- | 667 || 2000 || 2 || 0,250 || 66,7 || 198 || 187 |- | 750 || 3000 || 3 || 0,167 || 75 || 297 || 280 |- | 833 || 5000 || 5 || 0,100 || 83,3 || 495 || 467 |- | '''1000''' <math>= g</math> || ∞ || ∞ || 0,000 || 100 || ∞ || ∞ |} Hier ist zu erkennen, dass bei zunehmenden Bildweiten die Verhältnisse der Brennweiten von denen der Abbildungsmaßstäbe und denen der Bildwinkel deutlich auseinanderlaufen; die Unterschiede der Abbildungsmaßstäbe und der Bildwinkel werden im Vergleich zu den Unterschieden der Brennweiten immer größer und gehen gegen Unendlich. Anders bei kurzen Bildweiten: hier stimmen die Verhältnisse der Brennweiten gut mit denen der Abbildungsmaßstäbe überein, jedoch ist die Zunahme der Bildwinkel hierbei begrenzt, weil der maximale Bildwinkel nur 180&nbsp;Bogengrad erreichen kann. Das minimale Verhältnis der Bildwinkel ergibt sich folglich zu: :<math>\frac {\alpha_{0}} {\alpha_\text{max}} = \frac {46{,}8^\circ} {180^\circ} = 0{,}260</math> Ferner ist zu beachten, dass sich insbesondere bei kompakten Objektiven mit innenliegender Fokussierung der Abbildungsmaßstab bei der Scharfstellung ändern kann, auch ohne dass bei Zoomobjektiven die Brennweite verstellt wird (im Englischen: "focus breathing", wörtlich übersetzt "Brennpunktatmen"). <div style="clear:both"></div> ==Öffnung== [[Datei:Blendenlagen.png|mini|hochkant=2|Lage von Eintrittsluke, Aperturblende und Austrittsluke bei einer optischen Abbildung einer Objektebene (G) über eine Hauptebene (H) auf eine Bildebene (B)]] [[Datei:Einfallshoehe.png|mini|hochkant=2|Zur Definition der Einfallshöhe <math>H</math> eines Lichtstrahls, der parallel zur optischen Achse auf eine optische Fläche trifft. Ein Strahl mit der Einfallshöhe Null befindet sich auf der optischen Achse. Der maximale Wert der Einfallshöhe ist durch die Apertur begrenzt. Die Öffnungsweite <math>D</math> ist bei rotationssymmetrischen optischen Komponenten exakt doppelt so groß wie die maximale Einfallshöhe.]] Die '''Öffnung''' (oder auch '''Apertur''') eines rotationssymmetrisch konstruierten Objektivs wird durch den freien Durchmesser beschrieben, der nicht durch mechanische Vorrichtungen wie beispielsweise Kanten, Linsenfassungen oder Blenden begrenzt ist und welcher auch als '''Öffnungsweite''' <math>D</math> bezeichnet wird. Die virtuelle Öffnung von Objektiven kann durch das objektseitige und das bildseitige virtuelle Bild der '''Aperturblende''' beschrieben werden, die auch wirksame '''Eintrittspupille''' beziehungsweise wirksame '''Austrittspupille''' genannt wird. Liegt die Aperturblende vor der ersten Hauptebene der Abbildung (objektseitig) ist die wirksame Eintrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Liegt die Aperturblende hinter der letzten Hauptebene der Abbildung (bildseitig) ist die wirksame Austrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Idealerweise werden Aperturblenden in die Hauptebenen des Strahlengangs gelegt, damit sie den Bildausschnitt respektive den Bildwinkel der optischen Abbildung nicht beeinflussen. Mit einer solchen Aperturblende kann der Lichtstrom durch ein optisches System begrenzt werden. Mit variablen Aperturblenden (beispielsweise Irisblenden) kann der Lichtstrom in einem optischen System verändert werden. Befindet sich eine Blende in der Nähe der Objektebene oder der Bildebene, handelt es sich nicht um eine Aperturblende, sondern um eine '''Feldblende''', die den Bildausschnitt beziehungsweise den erfassten Bildwinkel unmittelbar auf die sogenannte '''Eintrittsluke''' (objektseitig) beziehungsweise '''Austrittsluke''' (bildseitig) begrenzt. Befinden sich solche Feldblenden nicht in der Nähe der Objekt- oder Bildebene, werden die entsprechenden Bilder dieser Feldblenden in der jeweiligen Ebene zur Bestimmung der effektiven Lukendurchmesser herangezogen. <div style="clear:both"></div> ===Blendenzahl=== Die dimensionslose '''Blendenzahl''' <math>k</math> eines Objektivs mit der Brennweite <math>f</math> und der Öffnungsweite <math>D</math> ist wie folgt definiert: :<math>k = \frac {f} {D}</math> Der Kehrwert der Blendenzahl wird als das '''Öffnungsverhältnis''' <math>V</math> bezeichnet: :<math>V = \frac {D} {f} = \frac {1} {k}</math> <gallery caption="Objektiv mit Irisblende zur Einstellung der Apertur (Brennweite 42,5 Millimeter)" perrow="2" widths="256" heights="256"> Datei:Objektiv.Blendenzahl.1.2.jpg|Maximale Apertur (Blendenzahl 1,2) Datei:Objektiv.Blendenzahl.16.jpg|Minimale Apertur (Blendenzahl 16) </gallery> Die Änderung der Blendenzahl um eine '''Blendenstufe''' kann sowohl durch Auf- als auch durch Abblenden erreicht werden, wobei sich die Blendenzahl um den Faktor Wurzel von zwei und der Lichtstrom im Objektiv um den Faktor zwei ändert. Je kleiner die Blendenzahl, desto mehr Licht trägt zur Abbildung bei und umgekehrt. Nach der Halbierung der Blendenzahl kommt vier Mal so viel Licht durch das Objektiv, bei der Verdopplung der Blendenzahl nur ein Viertel des Lichtes. Zwei Blendenzahlen <math>k_2</math> und <math>k_1</math> unterscheiden sich um die folgende Anzahl von Blendenstufen <math>\Delta n_k</math>: :<math>\Delta n_k = \log_{\sqrt{2}} {\frac {k_2} {k_1}} = \frac {\log {\frac {k_2} {k_1}}} {\log {\sqrt {2}}} = \frac {\log {k_2} - \log {k_1}} {\log {\sqrt {2}}}</math> Blendenzahlen werden häufig mit den folgenden elf Vorzugswerten angegeben, die sich jeweils um zirka eine Blendenstufe unterscheiden und demzufolge insgesamt zehn Blendenstufen umfassen: :1,0 - 1,4 - 2,0 - 2,8 - 4,0 - 5,6 - 8,0 - 11 - 16 - 22 - 32 [[Datei:Image.Size.png|miniatur|hochkant=2|rechts|Zum Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> bei konstanter Öffnungsweite <math>D</math>]] Hierbei ist zu beachten, dass die Blendenzahl <math>k</math> ohne die Angabe der gewählten Bildgröße <math>B</math> wenig Aussagekraft hat. Bei konstantem Bildwinkel <math>\alpha</math> und konstanter Öffnungsweite <math>D</math> ist nicht nur die zur optischen Abbildung beitragende Lichtmenge, sondern ist auch das Verhältnis zwischen Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> konstant, obwohl die Abbildungen mit unterschiedlichem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> beziehungsweise unterschiedlicher Brennweite <math>f</math> und somit auch mit unterschiedlicher Blendenzahl <math>k</math> gemacht werden. Für die Gegebenheiten in der Abbildung rechts gilt: :<math>\alpha = \text{const.}</math> :<math>D = \text{const.}</math> :<math>\frac {b_{1}} {B_{1}} = \frac {b_{2}} {B_{2}} = \text{const.}</math> Aber: :<math>k_{1} > k_{2}</math> :<math>\beta_{1} < \beta_{2}</math> :<math>f_{1} < f_{2}</math> <div style="clear:both"></div> ===Öffnungswinkel=== [[Datei:gegenstandsseitiger.und.bildseitiger.Oeffnungswinkel.png|mini|hochkant=2|Objektseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_g</math> und bildseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_b</math> in Abhängigkeit von Objektweite <math>g</math> beziehungsweise Bildweite <math>b</math> zur Öffnungsweite <math>D</math>]] Der '''Öffnungswinkel''' ist der Winkel unter dem die wirksame Öffnung mit der Öffnungsweite <math>D</math> eines Objektivs erscheint. Von einem Objektpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''objektseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_g</math>: :<math>\omega_g = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 g}</math> Der halbe objektseitige Öffnungswinkel wird auch '''Aperturwinkel''' genannt. Von einem Bildpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''bildseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_b</math>: :<math>\omega_b = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 b}</math> Der halbe bildseitige Öffnungswinkel wird auch '''Feldwinkel''' genannt. Die Öffnungswinkel dürfen nicht mit dem Bildwinkel verwechselt werden (siehe dazu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Bildwinkel|Bildwinkel]]). Bei unendlicher Objektweite ist die Bildweite <math>b</math> identisch mit der Brennweite <math>f</math>, so dass die Blendenzahl <math>k</math> folgendermaßen ausgedrückt werden kann: :<math>g \rarr \infty : k = \frac {f} {D} = \frac {b} {D} = \frac {1} {2 \tan {\frac {\omega_b} {2}}}</math> <div style="clear:both"></div> ===Sinusbedingungen=== [[Datei:Sinusbedingung.Interferenz.Hauptebene.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Interferenz der beiden Randstrahlen bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung eines Punktes P über eine Hauptebene H in die Bildebene B. Die Randstrahlen werden mit ebenen Wellen dargestellt, deren Maxima durch die Punkte und deren Minima durch die dünnen Linien senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gekennzeichnet sind. Auf der optischen Achse treffen im Bildpunkt zwei Maxima der beiden Randstrahlen aufeinander. Die Intensität in der Bildebene B nimmt seitlich zur optischen Achse bis zu den Stellen ab, wo zwei Minima der Randstrahlen aufeinandertreffen.]] [[Datei:Sinusbedingung.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Sinusbedingung bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung.]] Die beiden Öffnungswinkel stehen für Abbildungen, bei denen Öffnungsfehler (siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sphärische_Aberration|sphärische Aberration]]) keine Rolle spielen, über '''Sinusbedingungen''' in Beziehung. Im Folgenden wird etwas vereinfachend davon ausgegangen, dass die optische Abbildung eines Gegenstands mit der Objektgröße <math>G</math> in ein reelles Bild mit der Bildgröße <math>B</math> außerhalb des optischen Systems, das durch die Hauptebene <math>\text{H}</math> repräsentiert wird, vom gleichen optischen Medium (zum Beispiel Vakuum, Luft oder Flüssigkeit) mit konstanter Brechkraft umgeben ist. Ein kleiner flächenhafter Gegenstand mit der Objektgröße <math>G</math>, der senkrecht zur optischen Achse steht, kann nur dann hinreichend scharf mit der Bildgröße <math>B</math> senkrecht zur optischen Achse abgebildet werden, wenn alle Punkte des Gegenstands beim halben objektseitigen Öffnungswinkel innerhalb einer Wellenlänge <math>\lambda</math> einer ebenen Welle erfasst und alle Bildpunkte beim halben bildseitigen Öffnungswinkel ebenfalls innerhalb einer Wellenlänge einer ebenen Welle zu einem Bild zusammengesetzt werden können. Durch diese Voraussetzung kann vermieden werden, dass es im Bild Interferenzen gibt, die Kontraste erzeugen, die nicht dem Aussehen des abgebildeten Gegenstands entsprechen. Die daraus resultierende '''Abbesche Sinusbedingung''' gilt für eine in Bezug auf den Öffnungsfehler korrigierte Abbildung mit dem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> sowie für eine bestimmte Wellenlänge <math>\lambda</math> ('''monochromatisches Licht'''). Sie lautet wie folgt: :<math>\beta = \frac {B} {G} = \frac {b} {g} = \frac {\sin \frac {\omega_g} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> Diese Sinusbedingung kann auch in der Form der '''Helmholtz-Lagrange-Invariante''' geschrieben werden: :<math>B \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} = G \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} = \lambda</math> Mit dem halben bildseitigen Öffnungswinkel <math>\alpha_b = \frac {\omega_b} {2}</math> folgt aus dieser Beziehung die häufig angegebene Formulierung des maximalen Auflösungsvermögens respektive der kleinsten abzubildenden Struktur <math>B_{min}</math> nach Ernst Abbe: :<math>B_{min} = \frac {\lambda} {\sin \alpha_b}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Paraxiale Strahlengänge ==== Für paraxiale Strahlengänge können sehr kleine Öffnungswinkel angenommen werden, so dass dann die Sinūs durch die Argumente (im Bogenmaß) ersetzt werden können: :<math>\frac {\omega}{2} = \lim_{\omega \rarr 0} \sin \frac {\omega}{2}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {B} {G} = \frac {\omega_g} {\omega_b}</math> :<math>B \cdot \omega_b = G \cdot \omega_g</math> Die '''paraxiale Optik''', die auch '''gaußsche Optik''' genannt wird, verwendet in der geometrischen Optik diese Näherung, bei der für eine optische Abbildung nur '''paraxiale Strahlen''' berücksichtigt werden. Diese haben lediglich kleine Winkel zur optischen Achse und befinden sich deswegen in der Regel in der Nähe der optischen Achse. <div style="clear:both"></div> ==== Schnittweite ==== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.png|mini|rechts|hochkant=2||Zur Schnittweite an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n < n'</math>.]] Die auf der optischen Achse gemessenen '''Schnittweiten''' <math>s</math> und <math>s'</math> beim Übergang an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n</math> und <math>n'</math> kann für paraxiale Strahlen leicht abgeschätzt werden. Hierbei gelten für den Grenzwert der Pfeilhöhe <math>p \rarr 0</math> (siehe nebenstehende Abbildung) die folgenden Näherungsgleichungen: :<math>\sin \alpha \approx \alpha</math> :<math>\sin \beta \approx \beta</math> :<math>\tan \gamma \approx \gamma \approx \frac {h} {s}</math> :<math>\tan (\alpha - \beta - \gamma) \approx \alpha - \beta - \gamma \approx \frac {h} {s'}</math> :<math>\tan (\alpha - \gamma) \approx \alpha - \gamma \approx \frac {h} {r}</math> Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt für achsnahe Strahlen die Näherung: :<math>n \, \alpha \approx n' \, \beta</math> Sowie: :<math>n' (\alpha - \beta - \gamma) = n' \, \alpha - n' \, \beta - n' \, \gamma \approx n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma</math> :<math>n \, \gamma + n' (\alpha - \beta - \gamma) \approx n \, \gamma + n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma = (n - n') \, (\gamma - \alpha) = (n' - n) \, (\alpha - \gamma)</math> :<math>n \, \frac {h} {s} + n' \, \frac {h} {s'} \approx (n' - n) \, \frac {h} {r}</math> Durch Kürzen der Höhe <math>h</math> ergibt sich schließlich eine Näherungsgleichung, die die '''Schnittweitengleichung''' einer sphärischen Fläche für paraxiale Strahlen darstellt: :<math>\frac {n} {s} + \frac {n'} {s'} \approx \frac {n' - n} {r}</math> Sie kann auch in Form der '''Abbeschen Invariante''' geschrieben werden: :<math>n \, \left( \frac {1} {r} + \frac {1} {s} \right) = n' \, \left( \frac {1} {r} - \frac {1} {s'} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt: :<math>s = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n'} {n' - n} \, r</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt: :<math>s' = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> <div style="clear:both"></div> ===== Dünne Linsen ===== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.bikonvex.png|mini|rechts|hochkant=2||Zu den Schnittweiten bei einer dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinse mit den Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> sowie dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem optisch dünneren Medium mit dem Brechungsindex <math>n < n'</math>.]] Bei einer '''dünnen Linse''' ist die Dicke zwischen den Scheitelpunkten ihrer brechenden sphärischen Oberflächen auf der optischen Achse im Vergleich zu den beiden Radien dieser Oberflächen sehr klein. Für eine '''dünne bikonvexe sphärische Sammellinse''' mit den beiden Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> und dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem die Linse umgebenden Medium mit dem Brechungsindex <math>n</math> ergibt sich die folgende entsprechende Beziehung für die Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx (n' - n) \, \left( \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt damit für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt entsprechend für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' wie Luft (<math>n \gtrapprox 1</math>) oder im Vakuum (<math>n = 1</math>), vereinfacht sich diese Näherungsformel für die Schnittweiten weiter zu: :<math>s' = s \approx \frac {1} {n' - 1} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Bei '''dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinsen''' kann das harmonische Mittel <math>\bar{r}_\text{harm}</math> der beiden Radien verwendet werden: :<math>\bar{r}_\text{harm} = \frac {2} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = 2 \cdot \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Daraus folgt für den für beide Linsenoberflächen gleichen Radius <math>r</math>, dass dieser halb so groß ist wie der harmonische Mittelwert: :<math>r = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2} = \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Beziehungsweise: :<math>\frac {1} {r} = \frac {2} {\bar{r}_\text{harm}} = \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}</math> Für dünne bikonvexe Linsen mit zwei gleichen Oberflächenradien <math>r</math>, dem Durchmesser <math>D</math> und der Dicke <math>x</math> gilt: :<math>r = r_1 = r_2 = \frac {x^2 + D^2} {4 \, x}</math> :<math>s' = s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {r} {2} = \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {x^2 + D^2} {8 \, x}</math> Dünne '''plankonvexe''' sphärische Sammellinsen mit dem Radius <math>r = 2 \, r_1 = 2 \, r_2</math> verhalten sich demnach genauso wie dünne bikonvexe Linsen mit den beiden identischen Radien <math>r_1 = r_2 = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2}</math>. Wenn einer der beiden Radien <math>r_1</math> oder <math>r_2</math> unendlich groß wird, also eine Ebene beschreibt, nimmt der zu berücksichtigende Radius <math>r</math> den Wert des anderen Radius an: :<math>r = \lim_{r_1 \to \infty} r (r_2) = r_2</math> :<math>r = \lim_{r_2 \to \infty} r (r_1) = r_1</math> Mit dem Brechungsindex <math>n'</math> ergibt sich für die entsprechenden Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx \frac {n' - n} {r}</math> Die Schnittweiten entsprechen bei '''paraxialen Strahlen''' dann den Brennweiten <math>f'</math> (bildseitig bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit <math>s \rarr \infty</math>) beziehungsweise <math>f</math> (objektseitig bei der Abbildung ins Unendliche mit <math>s' \rarr \infty</math>): :<math>s \rarr \infty : f' \approx s' \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> :<math>s' \rarr \infty : f \approx s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' mit <math>n \gtrapprox 1</math>, vereinfachen sich diese Näherungsformeln weiter zu: :<math>f = f' \approx \frac {r} {n' - 1}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Große Objektweiten ==== Bei großer Objektweite <math>g</math> ist die Bildweite <math>b</math> annähernd gleich der Brennweite <math>f</math>, und der Sinus des halben objektseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_g} {2}</math> kann in guter Näherung durch das Verhältnis der Hälfte der Öffnungsweite <math>\frac {D} {2}</math> und Objektweite <math>g</math> ausgedrückt werden: :<math>\sin \frac {\omega_g} {2} = \frac {b} {g} \sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {\frac {D} {2}} {g} \approx \frac {f} {g} \sin \frac {\omega_b} {2}</math> Daraus folgt mit Verwendung des halben bildseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_b} {2}</math> und der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>f \approx \frac {\frac {D} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {1} {2k}</math> Aus der Beziehung :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \le 1</math> folgt: :<math>f \ge \frac {D} {2}</math> Diese Ungleichung kann auch wieder unter Verwendung der Blendenzahl <math>k</math> ausgedrückt werden: :<math>k \ge \frac {1} {2}</math> In Worten ausgedrückt: Die Blendenzahl kann bei der öffnungsfehlerfreien Abbildung von Flächen aus dem Unendlichen minimal den Wert 0,5 annehmen. Die Strecke <math>x</math> vom Schnittpunkt der Randstrahlen mit der Hauptebene zum Bildpunkt auf der optischen Achse beträgt bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>g = \infty</math> :<math>b = f</math> :<math>x = \sqrt {f^2 + \frac {D^2} {4}} = \sqrt {f^2 + \frac {f^2} {(2k)^2}} = f \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}}</math> Mit den geometrischen Ähnlichkeiten der Dreiecke bei der Sinusbedingung ergibt sich das folgende Verhältnis aus Bildgröße <math>B</math> und betrachteter Wellenlänge <math>\lambda</math>: :<math>\frac {B} {\lambda} = \frac {x} {\frac {D} {2}}</math> :<math>B = \frac {2 \cdot \lambda \cdot x} {D} = \frac {\lambda \cdot x \cdot 2 k} {f} = \lambda \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}} \cdot 2 k = \lambda \cdot \sqrt {4k^2 + 1}</math> Da die Blendenzahl k nicht kleiner als 0,5 werden kann, gilt als Abschätzung für die erreichbare, durch wellenoptische Beugungseffekte begrenzte Bildgröße demzufolge: :<math>B \ge \sqrt {2} \lambda</math> <div style="clear:both"></div> ====Zwei dünne Linsen==== Für zwei im Abstand <math>d</math> hintereinander angeordnete dünne Linsen mit den Brennweiten <math>f_1</math> und <math>f_2</math> kann die Gesamtbrennweite <math>f_g</math> folgendermaßen bestimmt werden: :<math>f_g = \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2} + \frac {d} {f_1 \cdot f_2}</math> Wenn der Abstand zwischen den Linsen sehr viel kleiner als die beiden Brennweiten ist (<math>d \ll f_1 , f_2 </math>), kann der letzte Term vernachlässigt werden: :<math>f_g \approx \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2}</math> Mit den Brechkräften (<math>D</math> in Dioptrien) ergibt sich dann entsprechend: :<math>D_g \approx D_1 + D_2</math> ====Numerische Apertur==== Die '''numerische Apertur''' <math>A_N</math> dient zur Einschätzung des Auflösungsvermögens von optischen Geräten, bei denen die Objektweite dicht bei der objektseitigen Brennweite beziehungsweise bei denen die Bildweite dicht bei der bildseitigen Brennweite liegt. Ein Anwendungsbeispiel sind '''Immersionsobjektive''' (insbesondere bei Mikroskopen), die bei der optischen Abbildung in eine hochbrechende Flüssigkeit (zum Beispiel Immersionsöl) eingetaucht werden. Die numerische Apertur bezieht sich auf den halben Öffnungswinkel <math>\frac {\omega} {2}</math> und die Brechzahl <math>n</math> des optischen Mediums außerhalb des Objektivs. Je höher die dimensionslose Zahl der numerischen Apertur sich dem Brechungsindex des umgebenden Mediums von unten nähert, desto lichtstärker ist das verwendete Objektiv und desto höher wird bei optisch korrigierten Objektiven das optische Auflösungsvermögen. [[Datei:Numerische.Apertur.png|mini|rechts|hochkant=2|Skizze zur numerischen Apertur.]] Für die objektseitige numerische Apertur ergibt sich: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} \le n</math> Für die bildseitige numerische Apertur ergibt sich entsprechend: :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} \le n</math> Die numerische Apertur kann also nicht größer werden als der Brechungsindex des umgebenden Mediums. Die Sinūs der halben Öffnungswinkel <math>\omega</math> können hierbei mit Hilfe der rechtwinkligen Dreiecke (siehe Skizze rechts) und des Satzes des Pythagoras sowohl objektseitig als auch bildseitig wie folgt aus dem Verhältnis der Gegenkatheten zu den Hypotenusen bestimmt werden: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin {\frac {\omega_g} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {g^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 g^2} {D^2} + 1}}</math> :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin {\frac {\omega_b} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {b^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 b^2} {D^2} + 1}}</math> <div style="clear:both"></div> =====Grenzfälle===== Bei einer Abbildung ins Unendliche (<math>b = \infty \Rightarrow g = f</math>) oder wird die Abbildung aus dem Unendlichen gemacht (<math>g = \infty \Rightarrow b = f</math>), kann jeweils die Blendenzahl <math>k = \frac {f} {D}</math> eingesetzt werden, und dann vereinfachen sich beide Gleichungen wie folgt: :<math>A_{N,g=f} = A_{N,b=f} = \frac {n} {\sqrt {4 {k^2} + 1}}</math> Aufgelöst nach der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>k = \frac {\sqrt {\frac {n^2} {A_{N}^2} - 1}} {2}</math> Für große Blendenzahlen (<math>k \gg 1</math>) respektive für kleine numerische Aperturen (<math>A_{N} \ll 1</math>) gilt dann näherungsweise: :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Für hinreichend große Objektweiten (<math>g \gg D</math>) beziehungsweise hinreichend große Bildweiten (<math>b \gg D</math>) gelten die folgende Näherungen: :<math>A_{N,g} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot g}</math> :<math>A_{N,b} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot b}</math> Ist zudem auch noch die Brennweite <math>f</math> hinreichend nah an der Objektweite (<math>f \approx g</math>) oder an der Bildweite (<math>f \approx b</math>), dann gilt <math>f \gg D \Rightarrow k \gg 1</math> und wiederum die Näherung (siehe auch oben): :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Bei einem Abbildungsmaßstab von eins (siehe unten) sind Objektweite <math>g</math> und Bildweite <math>b</math> identisch und genau doppelt so groß wie die verwendete Brennweite <math>f</math>. In diesem Fall sind auch die objektseitige und die bildseitige numerische Apertur sowie der objektseitige und der bildseitige Öffnungswinkel identisch: :<math>f = 2 \cdot g = 2 \cdot b</math> :<math>A_{N,g} = A_{N,b} = A_{N}</math> :<math>\omega_{g} = \omega_{g} = \omega</math> :<math>A_{N} = n \cdot \sin \frac {\omega} {2}</math> Bei Aufnahmen mit kurzen Objektweiten, wie mit Mikroskopen oder mit Makroobjektiven, muss berücksichtigt werden, dass es durch den großen Abbildungsmaßstab zu einer im Vergleich zur Abbildung aus dem Unendlichen verminderten Lichtausbeute kommt. Siehe hierzu auch: '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Lichtausbeute|Kapitel Bildaufnahme, Abschnitt Lichtausbeute]]'''. <div style="clear:both"></div> ==Modulationsübertragung== ===Modulation=== [[Datei:Modulation.ueber.Schwarzwert.png|miniatur|rechts|hochkant=2|Die Modulation in Abhängigkeit vom Schwarzwert. Der Schwarzwert ist einheitenlos in Anteilen des Weißwertes angegeben.]] Die '''Modulation''' (auch ''Michelson-Kontrast'' genannt) <math>M</math> ist ein Maß (lateinisch: ''modulatio'') für '''relative''' Helligkeitsschwankungen zwischen zwei Bildpunkten mit den vom Menschen als Helligkeiten empfundenen Leuchtdichten <math>L_1</math> und <math>L_2</math> (siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Leuchtdichte|Leuchtdichte]]), das unter den Voraussetzungen <math>L_2 \ge L_1</math> und <math>L_2 > 0</math> wie folgt berechnet werden kann: :<math>M = \frac {{L_2} - {L_1}} {{L_2} + {L_1}} = \frac {\Delta_L} {\Sigma_L}</math> Die Modulation gibt also keineswegs den Helligkeitsunterschied :<math>\Delta_L = L_2 - L_1</math> zwischen zwei Bildpunkten an, sondern setzt diesen in Bezug auf die Summe <math>\Sigma_L</math> dieser beiden Helligkeiten, die auch als der doppelte Mittelwert, also :<math>2 \cdot \overline L = L_2 + L_1</math>, der beiden Helligkeiten interpretiert werden kann: :<math>\Sigma_L = {2} \cdot {\overline L} = {2} \cdot {\frac {L_2 + L_1} {2}}</math> Dies bedeutet, dass die maximale Modulation den Wert '''eins''' hat, die genau dann erreicht wird, wenn <math>L_1 = 0</math> ist und der dunklere Punkt also keine Helligkeit (die Leuchtdichte null) hat. Die absolute Helligkeit des helleren Bildpunktes hat in diesem Fall keinen Einfluss auf die Modulation. Die Helligkeitsdifferenz <math>\Delta_L</math> zwischen diesen beiden Bildpunkten ist in Bezug auf die Helligkeit <math>L_2</math> des helleren Punktes dann maximal und exakt genauso groß wie diese. Wenn beide Bildpunkte die gleiche Helligkeit größer als null haben <math>L_1 = L_2 > 0</math>, so ergibt sich immer eine Modulation von '''null''' (wenn beide Punkte keine Helligkeit haben, ist die Modulation nicht definiert). Werden beide Helligkeiten um denselben Faktor <math>c</math> verändert, bleibt die Modulation erhalten: :<math>M = \frac {{c} \cdot {L_2} - {c} \cdot {L_1}} {{c} \cdot {L_2} + {c} \cdot {L_1}} = \frac {c \cdot (L_2 - L_1)} {c \cdot (L_2 + L_1)} = \frac {L_2 - L_1} {L_2 + L_1}</math> Da innerhalb eines Bildes üblicherweise mehr als zwei Bildpunkte vorhanden sind, ist es meist von Interesse, in welchem Verhältnis der hellste Bildpunkt <math>L_\text{max}</math> ('''Weißwert''') und der dunkelste Bildpunkt <math>L_\text{min}</math> ('''Schwarzwert''') zueinander stehen, was durch die maximale Modulation bestimmt werden kann: :<math>M_\text{max} = \frac {L_\text{max} - L_\text{min}} {L_\text{max} + L_\text{min}}</math> Es gilt zu beachten, dass bei einem Schwarzwert von einem Drittel des Weißwertes die Modulation nur noch 50&nbsp;Prozent und bei einem Schwarzwert von der Hälfte des Weißwertes nur noch 33&nbsp;Prozent beträgt. <div style="clear:both"></div> ====Farbwahrnehmung==== [[Datei:Emmetropia.png|mini|hochkant=2|Optischer Strahlengang bei einem auf Unendlich eingestellten Auge eines Normalsichtigen. Die parallelen Strahlen treten aus der Umwelt durch die '''Hornhaut '''(Cornea) ins Auge ein, passieren die lichte Öffnung der '''Pupille''' (Pupilla) der '''Regenbogenhaut''' (Iris), werden in der '''Augenlinse''' (Lens) gebrochen, durchqueren den großen inneren '''Glaskörper''' (Corpus vitreum) und vereinigen sich schließlich im Bildpunkt auf der '''Netzhaut''' (Retina).]] [[Datei:Cone-absorbance-de.svg|mini|hochkant=2|Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen und der Stäbchen in der menschlichen Netzhaut über der Lichtwellenlänge in Nanometern (nm). Die relative Empfindlichkeit der Stäbchen ist gestrichelt dargestellt und hat ihr Maximum bei zirka 500 Nanometern (<span style="color:#00ffd5">⬤</span>). Die maximale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen liegt bei den Farben <span style="color:#2F00DD">⬤</span> (420&nbsp;nm, violett), <span style="color:#00ff6c">⬤</span> (534&nbsp;nm, grün) und <span style="color:#cbff00">⬤</span> (564&nbsp;nm, gelbgrün).]] <big>'''Farbe ist eine subjektive Wahrnehmung, die nicht gemessen werden kann.'''</big> Messtechnisch kann für alle Wellenlängen eine Intensitätsmessung durchgeführt werden, so dass ein vollständiges Lichtspektrum ermittelt werden kann. Wie ein solches Lichtspektrum von einem Menschen farblich empfunden wird, kann daraus nicht eindeutig abgelesen werden. Bestenfalls ist es möglich, eine Intensitätsverteilung einer wahrscheinlichen, üblichen beziehungsweise durchschnittlichen Farbwahrnehmung zuzuordnen. Optische Sinnesreize werden im menschlichen Auge durch Photorezeptoren in der '''Netzhaut''' (Retina) zwischen der stark durchbluteten Aderhaut (Chorioidea) und dem Glaskörper (Corpus vitreum) ausgelöst und durch die Sehnerven ins Gehirn geleitet. Bei den Sinneszellen der Netzhaut ist zwischen den '''Stäbchen''' und den drei verschiedenen '''Zapfen'''arten zu unterscheiden. Während die Stäbchen sehr empfindlich sind und deswegen das Nachtsehen ermöglichen, sind die weniger empfindlichen drei Zapfenarten beim Tagsehen für die Wahrnehmung von Farben maßgeblich. Für farbige Bilder wird bei der Bildgebung in der Regel zwischen '''drei Primärfarben''' unterschieden. Im für einfache Bildschirme deutlich reduzierten standardisierten Farbraum '''sRGB''' ('''s'''tandard '''R'''ed '''G'''reen '''B'''lue) werden hierbei Farbwerte für die folgenden drei Primärfarben verwendet, deren Intensität jeweils die Werte 0 bis 255 annehmen können: {| class="wikitable" |+ Primärfarben im sRGB-Farbraum ! Primärfarbe !! Hexadezimale<br/>Kodierung<br/>der drei Farbanteile !! Darstellung !! Ungefähre Wellenlänge<br/>der maximalen spektralen Intensität<br/>im angezeigten Bild<br/>in Nanometer |- | Rot || FF0000 || <span style="color:#ff0000">⬤</span> || 610 |- | Grün || 00FF00 || <span style="color:#00ff00">⬤</span> || 555 |- | Blau || 0000FF || <span style="color:#0000ff">⬤</span> || 465 |} [[Datei:SRGB chromaticity CIE1931.svg|mini|hochkant=2|Farbdiagramm in dem nach dem '''Standard CIE 1931''' festgelegten Farbkoordinaten x und y mit Angabe der Lichtwellenlängen und den im Farbraum '''sRGB''' darstellbaren Farbwerten. Die reinen Spektralfarben befinden sich auf der gekrümmten Begrenzungslinie der äußeren Fläche, die Verbindungslinie zwischen der minimalen und der maximalen wahrnehmbaren Wellenlänge wird '''Purpurlinie''' genannt. Durch die additive Mischung mehrerer Spektralfarben ergeben sich beliebige Punkte innerhalb der Fläche. Bildgebende Geräte können meistens nur einen kleinen Teil des Farbraums darstellen, der im Fall von sRGB durch das innere Dreieck begrenzt ist. Der farbneutrale '''Weißpunkt''' ist als "'''D65'''" für einen Hohlraum mit der Temperatur '''65'''00&nbsp;Kelvin angegeben. Die Tangente an der Begrenzungslinie für die langen Wellenlängen schneidet die Koordinatenachsen links oben beim Punkt (0, 1) und rechts unten beim Punkt (1, 0).]] Durch die voneinander unabhängige Einstellung der Farbwerte für diese drei Primärfarben können insgesamt <math>256^3 = 16\,777\,216</math> verschiedene gemischte Farbwerte reproduziert werden. Wenn alle drei Primärfarben auf 0 gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Schwarz''', und wenn alle drei Primärfarben auf den maximalen Wert gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Weiß'''. In Farbdiagrammen wird die entsprechende Stelle als Weißpunkt angegeben, der auf die Farbtemperatur eines festgelegten Hohlraumstrahlers (auch Schwarzer Körper oder Planckscher Strahler genannt) abgestimmt ist. Die Modulation kann in farbigen Bildern für jede einzelne Primärfarbe unabhängig bestimmt werden. Bei den drei Primärfarben Rot, Grün und Blau (R, G, B) eines Bildpunktes ergeben sich dann also entsprechend: :<math>M_R = \frac {R_2 - R_1} {R_2 + R_1}</math> :<math>M_G = \frac {G_2 - G_1} {G_2 + G_1}</math> :<math>M_B = \frac {B_2 - B_1} {B_2 + B_1}</math> Die Verteilung der Photorezeptoren in der Netzhaut ist nicht homogen. Im ungefähr nur anderthalb Millimeter großen Sehzentrum (Fovea) ist die Dichte der Sehzellen besonders hoch, und deswegen ist hier das Sehvermögen in Bezug auf die Wahrnehmung von Kontrasten und Farben am größten. Beim peripheren Sehen sind sowohl die Wahrnehmung von Kontrasten als auch die Wahrnehmung von Farben erheblich eingeschränkt, so dass hier vor allem Änderungen der Helligkeit und somit Bewegte Objekte wahrgenommen werden können. Die Wahrnehmung von Farbeindrücken ist eine sehr subjektive Angelegenheit und von Mensch zu Mensch verschieden. Manche Menschen haben erbliche Störungen bei der Farbwahrnehmung, die durch Abweichungen bei der Verteilung der Farbzapfen in der Netzhaut bedingt ist. Eine Rot-Grün-Sehschwäche trifft hierbei wesentlich häufiger auf als eine Gelb-Blau-Sehschwäche oder als die vollständige Farbblindheit (Achromasie). Die folgende Tabelle zeigt simulierte Bilder, die von Farbsichtigen mit drei funktionierenden Zapfentypen (Trichromaten), von Farbenfehlsichtigen mit fehlender Unterscheidung zwischen Rot- und Grüntönen (Dichromaten) sowie von Farbenblinden (Achromaten) wahrgenommen werden können. Diese Simulation erfolgte bei den dichromatischen Bildern durch die Gleichsetzung des roten und grünen Farbkanals der digitalen Bilder auf einen Wert, der dem Mittelwert der beiden Farbwerte entspricht. {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" ! style="width:25%" | Motiv ! style="width:25%" style="text-align:center" | Trichromatisches Bild ! style="width:25%" style="text-align:center" | Dichromatisches Bild<br />ohne Rot-Grün-Unterscheidung ! style="width:25%" style="text-align:center" | Achromatisches Bild<br />in Graustufen |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Pseudoisochromatische<br />Farbtafel | [[Datei:47-rg12.jpg| 200px]] | [[Datei:RG47-rg12.png| 200px]] | [[Datei:BW47-rg12.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Obststand | [[Datei:TCFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:RGFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:BWFruits.jpg| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Lichtspektrum | [[Datei:Lichtspektrum.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.gelb-blau.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.farblos.P1128463.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Regenbogen mit Interferenzbogen | [[Datei:Interferenzbogen.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.gelb-blau.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.farblos.P1150723.png| 200px]] |} <div style="clear:both"></div> ===Ortsfrequenz=== Die '''Ortsauflösung''' entspricht der maximalen Anzahl von räumlichen Informationseinheiten, die entlang einer Strecke, meist der Bildhöhe beziehungsweise der Bildbreite, erfasst werden können. Zur Darstellung einer räumlichen Information, also eines Helligkeitswechsels, ist mindestens ein Bildpunktpaar erforderlich, damit eine Modulation vorhanden sein kann. Die Bezugslänge kann eine absolute Länge sein, bei der die Bildpunktpaare zum Beispiel pro Millimeter ermittelt werden. Bei Filmmaterial wurde diese Informationsdichte meist richtungsunabhängig in Linienpaaren pro Millimeter ermittelt und angegeben. Auf der anderen Seite kann statt einer metrischen Bezugslänge auch eine relative Bezugslänge gewählt werden, wie zum Beispiel die Bilddiagonale, die Bildbreite oder die Bildhöhe. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass unabhängig von der Gesamtzahl der Bildpunkte, der Größe der Reproduktion des Bildes und dem Bildseitenverhältnis ein einheitliches und somit leicht vergleichbares Maß für die Ortsauflösung zur Verfügung steht. Dieses Maß ist insbesondere unabhängig von der Größe und vom Bildseitenverhältnis des verwendeten Bildsensors. Bei digitalen Bildern hat es sich daher durchgesetzt, '''Linienpaare pro Bildhöhe''' (horizontale Linien) als Bezugsgröße zu verwenden. Diese Bezugsgröße wird dann ebenfalls für die Informationseinheiten in horizontaler Richtung (vertikale Linienpaare) oder für jeden beliebigen anderen Azimut (also schräg liegende Linienpaare) verwendet, obwohl bei rechteckigen Bildformaten in horizontaler Richtung mehr oder weniger Informationseinheiten zur Verfügung stehen können. Rechnerisch ergibt sich die maximal darstellbare Linienauflösung <math>L_{\text{max},y}</math> durch die Halbierung der Anzahl der Punkte in der Bildhöhe <math>N_y</math>: :<math>L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Für die maximale Anzahl vertikaler Linienpaare in horizontaler Richtung ergibt sich mit dem Bildseitenverhältnis <math>q</math> dann entsprechend: :<math>L_{\text{max},x} = q \cdot L_{\text{max},y} = \frac {N_x} {2}</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildseitenverhältnis|Bildseitenverhältnis]] Dieser Wert entspricht genau der Grenze nach dem '''Nyquist-Shannon-Abtasttheorem''' (auch '''Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem''') für die maximal darstellbaren '''Ortsfrequenzen''' <math>f_\text{r,max}</math>, wonach diese innerhalb einer Periode mindestens zwei abgetastete Stützstellen haben müssen: :<math>f_{r,\text{max}} = L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Aus einer beliebigen kleineren Ortsfrequenz <math>f_r \leq f_{r,\text{max}}</math> ergibt sich die maximal mögliche Häufigkeit von Helligkeitsunterschieden auf einer bestimmten Bezugslänge im Bild (also in der Regel auf der Bildhöhe). Eine Ortsfrequenz von null entspricht einer konstanten Helligkeit über das gesamte Bild, die selbst nicht notwendigerweise den Wert null haben muss. <div style="clear:both"></div> ===Modulation in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz=== [[Datei:Modulation.Transfer.Function.Comparison.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich der Modulationsübertragungsfunktionen von zwei verschiedenen Objektiven. Bei der Ortsfrequenz null haben alle Objektive die maximale Kontrastübertragung von eins, und bei der maximal dargestellten Ortsfrequenz haben beide hier dargestellten Objektive eine Kontrastübertragung von zirka zehn Prozent. Dennoch ist das blau dargestellte Objektiv deutlich besser als das dunkelgelb dargestellte, da es mittlere Ortsfrequenzen besser überträgt.]] Eine Modulation mit geringer Ortsfrequenz entspricht also groben Strukturen im Bild, und eine Modulation mit großer Ortsfrequenz entspricht feinen Strukturen im Bild. Jeder Struktur mit einer bestimmten Größe kann in jeder azimutalen Richtung (nicht nur horizontal oder vertikal, sondern auch in beliebiger schräg liegender Richtung) eine Ortsfrequenz mit einer bestimmten Modulation zugeordnet werden. Beim '''Siemensstern''' wird beispielsweise die Ortsfrequenz entlang der um den Mittelpunkt liegenden konzentrischen Kreise linear mit deren Radius größer. Die Modulation beträgt für jede Ortsfrequenz eins, wenn idealisiert davon ausgegangen wird, dass die dunklen Streifen keine Helligkeit aufweisen. Wird eine photographische Aufnahme von einem solchen Siemensstern als Objekt auf einer Testtafel gemacht, reduzieren sich im Bild die Modulationen für alle Ortsfrequenzen größer als null auf Werte kleiner als eins. Dies beruht auf einer Verminderung der Modulationen im Bild gegenüber der optimalen Modulation im Objektraum, die durch Abbildungsfehler bedingt ist. Neben der immer wirkenden Beugungsbegrenzung ergeben sich in optischen Abbildungen vor allem durch die sphärische Aberration, aber zum Beispiel auch durch Falschlicht Einbußen bei der Modulation im Bildraum. In der Regel führt dies dazu, dass die Modulation von rein optischen Abbildungen mit zunehmender Ortsfrequenz streng monoton und stetig abnimmt. Das Verhältnis der Modulation im Bildraum <math>M_\text{Bild}</math> zur Modulation im Objektraum <math>M_\text{Objekt}</math> in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_r</math> wird '''Modulationsübertragungsfunktion''' (englisch: ''modulation transfer function'' = '''MTF''') oder auch '''Kontrastübertragungsfunktion''' <math>T</math> genannt: :<math>T (f_r) = \frac {M_\text{Bild} (f_r)} {M_\text{Objekt} (f_r)}</math> Das Maximum der Modulationsübertragungsfunktion liegt bei optischen Systemen bei der kleinsten Ortsfrequenz, also null, und hat dort den Wert eins. Die Modulationsübertragung ist dabei immer der Betrag der komplexwertigen optischen Übertragungsfunktion, die nicht nur die Amplitude, sondern auch die Phase der übertragenen Lichtwellen berücksichtigt. Ist die Modulation im Objektraum für alle untersuchten Ortsfrequenzen gleich eins, wie zum Beispiel bei hochwertig hergestellten Testtafeln, sind die Modulationsübertragungsfunktion und die Modulation im Bildraum identisch: :<math>T (f_r) = {M_\text{Bild} (f_r)}\ </math>, wenn <math>{M_\text{Objekt} (f_r) = 1}\ </math> Der Betrag der komplexwertigen, zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der spektralen Dichte der Modulationsübertragungsfunktion im Ortsfrequenzraum herangezogen werden. In der digitalen Signalverarbeitung wird hierfür häufig die sehr effiziente Fast-Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt. Das Leistungsdichtespektrum der Fourier-Transformierten entspricht hierbei dem Beugungsbild der Bilddaten, das mit einer Bildwand aufgefangen werden kann. <gallery caption="Auflösungskeile mit 3 bis 72 Linienpaaren pro Bildhöhe mit verschiedenen Kontrastübertragungen, die Bildhöhe wird zwischen den beiden dünnen horizontalen Linien ober- und unterhalb des Auflösungskeils gemessen." widths=1024 heights=256 perrow=1> Aufloesungskeil.png|Maximaler Kontrast (852 Linienpaare pro Bildhöhe). Aufloesungskeil.72.png|Kontrast bis 72 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.36.png|Kontrast bis 36 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.18.png|Kontrast bis 18 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.09.png|Kontrast bis 9 Linienpaare pro Bildhöhe. </gallery> Weitere Beispiele siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Transformationen#Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]]. <div style="clear:both"></div> ===Kontrastempfindlichkeitsfunktion=== [[Datei:Vollmond.P1080516.jpg|miniatur|Vollmond mit einer Kamera mit Teleobjektiv von der Erdoberfläche aus aufgenommen.<br/>Zu den Kontrastverhältnissen beim durch den Erdschein beleuchteten aschgrauen Mondlicht siehe auch hier: '''[[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht]]''']] [[Datei:Vollmond.180x180.png|gerahmt|Der Vollmond hat von der Erde aus gesehen einen Winkeldurchmesser von zirka einem halben Grad. Der Mensch kann auf diesem Winkeldurchmesser bei einem Kontrast von mindestens zehn Prozent 36 nebeneinanderliegende Punkte unterscheiden. Die Mondscheibe hat somit für das unbewaffnete Auge insgesamt rund 1000 unterscheidbare Bildpunkte.<br/>Oben:fünffache Vergrößerung (500 Prozent)<br/>Unten: einfache Vergrößerung (100 Prozent)<br/>[[Datei:Vollmond.36x36.png|zentriert]]]] Für die Betrachtung der optischen Abbildungen durch Menschen ist nur der Bereich der Ortsfrequenzen interessant, der entsprechend der '''Contrast Sensitivity Function''' (CSF, zu Deutsch: '''Kontrastempfindlichkeitsfunktion''') überhaupt wahrgenommen werden kann. Oft wird jedoch die Modulation an der Nyquist-Frequenz als Maß für die wahrnehmbare Qualität einer optischen Abbildung herangezogen. Dieses Vorgehen trägt jedoch nicht dem Umstand Rechnung, dass die vom Betrachter empfundene Qualität einer optischen Abbildung im Sinne der Modulationen bei verschieden feinen Strukturen im Allgemeinen gar nicht von der Modulation bei der Nyquist-Frequenz bestimmt ist, insbesondere wenn die feinsten Strukturen mit bloßem Auge gar nicht aufgelöst werden können. Vielmehr kommt es meist auf eine möglichst große Modulation bei Ortsfrequenzen im mittleren Bereich an. Dies kann zu der zunächst paradox scheinenden Situation führen, dass die optische Abbildung mit einem Objektiv, dass bei der Nyquist-Frequenz die gleiche oder gar eine höhere Modulation aufweist als ein anderes Objektiv, subjektiv dennoch als schlechter beurteilt wird (vergleiche Abbildung rechts). Daher ist es empfehlenswert, die integrale Summe der Modulationen aller Ortsfrequenzen bis zu einer sinnvollen maximalen Ortsfrequenz zu bilden. Dieser Wert wird auch '''Heynacher-Zahl''' genannt, die seit den 1970er Jahren nach dem Optiker Erich Heynacher benannt ist. Gegebenenfalls kann diese integrale Summe auch noch bei verschiedenen Ortsfrequenzen mit einer geeigneten Empfindlichkeitsfunktion gewichtet werden (mathematisch also eine Faltung). Je größer das Integral der Modulationsübertragungsfunktion, desto besser die Bildqualität. Der Betrag der komplexwertigen Spektralfunktion der zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der Modulationsübertragungsfunktion im Ortfrequenzraum herangezogen werden. Die einheitenlose Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>A</math> kann nach Kresimir Matkovic (1997) in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad mit einer analytischen Funktion angegeben werden: :<math>CSF (f_a) = {2,6} \cdot {(0{,}0192 + 0{,}114 \cdot {f_a})} \cdot e^{-{(0{,}114 \cdot f_a)}^{1{,}1}}</math> Der vertikale Bildwinkel beträgt bei Normalbrennweite und einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2 (wie zum Beispiel beim Kleinbildfilm) 27 Grad. Die Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Bildhöhe <math>f_y</math> ergibt sich dann aus dem vertikalen Bildwinkel und der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Grad wie folgt: :<math>f_y = 27^\circ \cdot f_a</math> <gallery perrow="2" widths="400" heights="230" caption="Kontrastempfindlichkeitsfunktion (englisch: Contrast Sensitivity Function) CSF des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz"> Datei:CSF.against.angular.frequency.in.cycles.per.degree.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad Datei:CSF.against.spatial.frequency.in.cycles.per.image.height.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe bei Normalbrennweite (vertikaler Bildwinkel = 27° bei einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2) </gallery> [[Datei:CSF-Diagramm.png|miniatur|hochkant=2|Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges über Ortsfrequenzen zur Basis 2]] <gallery perrow="2" widths="480" heights="270" caption="Zur Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges mit den Ortsfrequenzen von 2 sinusmodulierten Linienpaaren pro Bildbreite (linke Bildhälfte) bis hin zu 1024 Linienpaaren pro Bildbreite (rechts am Bildrand), Bildgröße 3860 mal 2160 Bildpunkte (16:9)"> Datei:CSF.UHD.png|Mit maximalem Kontrast unten, ohne Kontrast oben Datei:CSF.UHD.lowM.png|Mit reduziertem Kontrast unten, ohne Kontrast oben </gallery> [[Datei:CSF.MTF.png|hochkant=2|miniatur|Bewertung der Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> eines guten Objektives mit der Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe durch die effektive Kontrastübertragungsfunktion <math>T_\text{eff} (f_y)</math>. Etwa die Hälfte des Auflösungsvermögens dieses Objektives kann demnach vom Menschen bei der Betrachtung der optischen Abbildung unter dem Normalwinkel gar nicht wahrgenommen werden.]] Hierbei ist festzuhalten, dass bei einer Ortsfrequenz von 1000 Linienpaaren pro Bildhöhe der wahrgenommene Kontrast deutlich unter zehn Prozent liegt und somit praktisch kaum noch relevant ist. Die maximale Kontrastempfindlichkeit liegt beim menschlichen Auge bei zirka 200 Linienpaaren pro Bildhöhe und zwischen 50 und 550 Linienpaaren pro Bildhöhe beträgt die Kontrastempfindlichkeit mindestens 50 Prozent. Für Aufnahmen mit guter Kontrastübertragung ist daher genau dieser Bereich von besonderer Wichtigkeit. Zur Auswertung der effektiven Kontrastübertragungsfunktion bei Betrachtung mit dem menschlichen Auge <math>T_\text{eff} (f_y)</math> können die Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> und die Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> miteinander multipliziert werden: :<math>T_\text{eff} (f_y) = T (f_y) \cdot CSF (f_y)</math> Wird dieses Produkt über alle Ortsfrequenzen integriert, ergibt sich - ähnlich wie bei und als Verallgemeinerung der Heynacher-Zahl - eine Größe für die totale effektive Kontrastübertragung <math>T_\text{eff,tot}</math> : :<math>T_\text{eff,tot} = \int_0^\infty T_\text{eff} (f_y)\,\mathrm df_y</math> Siehe auch [[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|'''Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht''']]. <div style="clear:both"></div> ====Hybridbilder==== Je nach den Bedingungen bei der Betrachtung eines Hybridbildes sind aus größerer Entfernung eher die groben geometrischen Strukturen des einen Bildes mit großen Ortsfrequenzen und bei näherer Betrachtung eher die feinen Strukturen eines anderen Bildes mit kleinen Ortsfrequenzen zu sehen. Vergrößert der Betrachter den Abstand von einem sehfeldfüllenden Hybridbild, verschwinden die feinen Strukturen zunehmend wieder, und nur die größeren Ortsfrequenzen bleiben erkennbar. Hybridbilder können hergestellt werden, indem zwei Aufnahmen mit Modulation bei verschiedenen Ortsfrequenzen überlagert werden. <gallery caption="Hybridbild" perrow=2 widths=480 heights=240> MTF.Hybridbild.png|Hybridbilder haben im Kontrastverlauf zwei Maxima. Das Diagramm zeigt die Kontrastverläufe bei demselben Hybridbild mit großem (braun) und kleinem (blau) Betrachtungsabstand. Bei großem Betrachtungsabstand werden eher die Kontraste bei den kleinen Ortsfrequenzen und bei kleinem Betrachtungsabstand eher die Kontraste bei den großen Ortsfrequenzen wahrgenommen. Wikigolfball.hybrid.webm|mini|links|180px|Beispiel für ein Hybridbild, bei welchem bei kleinem Betrachtungswinkel ein Golfball mit groben Strukturen zu erkennen ist. Beim Vergrößern des Betrachtungswinkels während der Wiedergabe des Videos erscheint zunehmend eine andere kugelförmige Figur mit feinen geometrischen Strukturen, die höhere Ortsfrequenzen aufweisen. </gallery> Siehe auch '''[[Hybridlied]]'''. <div style="clear:both"></div> === Digitalzoom === Beim Digitalzoom, das heißt also bei der softwaretechnischen Vergrößerung von digitalen Bildern zum Beispiel durch Zeilen- und Spaltenverdopplung, wird die Bildinformation im Sinne der Kontrastübertragung nicht vermehrt, da es sich lediglich um das Kopieren bereits vorhandener Bildinformation handelt. Es gibt also keinen Informationsgewinn. Wenn das digitale Bild zu klein dargestellt wird, so dass ein menschlicher Betrachter das Bild nicht voll auflösen kann, kann durch den Digitalzoom das Bild insgesamt vergrößert werden, oder ein beliebiger Ausschnitt des originalen Bildes kann auf die maximal darstellbare Größe gebracht werden, die beispielsweise durch ein Anzeigegerät oder ein Druckformat vorgegeben ist. Dadurch wird zwar nicht die Bildinformation vergrößert, aber der Betrachter kann mehr von der existierenden Bildinformation erkennen. Die Frage, welcher Digitalzoomfaktor noch sinnvoll und angebracht ist, hängt bei menschlichen Betrachtern allein von der möglichst guten Ausschöpfung der erkennbaren Modulationen ab, die durch die Kontrastempfindlichkeitsfunktion repräsentiert wird. Bei digitaler maschineller Auswertung besteht diese Problematik nicht, da ein digitaler Algorithmus in der Regel immer die gesamte Bildinformation auswerten kann. In Unterkapitel [[Digitale bildgebende Verfahren: Grundlagen/MTF-Simulation|MTF-Simulation]] wird der Effekt des Digitalzooms simuliert und bildlich verdeutlicht. Siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Digitalzoom_-_Softwarelupe|Digitale Bilder: Digitalzoom - Softwarelupe]]. <div style="clear:both"></div> ===Kantenüberhöhung=== [[Datei:Enhancing.Modulation.Transfer.Function.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich von Modulationsübertragungsfunktionen einer optischen Abbildung mit nachträglicher, rechnerischer Kontrastanhebung bei mittleren Ortsfrequenzen: Originalaufnahme (blau, durchgezogen), modifizierte Modulation mit Kantenüberhöhung (grün, gestrichelt). Der als grüne Fläche dargestellte Bereich stellt einen Kontrastgewinn dar, der in der Regel viel mehr wahrgenommen wird als der orangefarben dargestellte Bereich mit Kontrastverlust.]] Bei digitalen Bildern, die nicht im Rohdatenformat, also ohne rechnerische Eingriffe in die Bilddaten, aufgezeichnet werden, wird die Modulation unmittelbar nach der Aufnahme und vor dem Speichern der Bilddaten oft durch die Firmware der Kamera insgesamt oder insbesondere bei bestimmten Ortsfrequenzen erhöht. In Maßen angewendet führt dies bei digitalen Bildern in der Regel zu einem verbesserten visuellen Bildeindruck. Dies trifft dann zu, wenn die maximale Modulation auf eins erhöht wird und die Modulation entsprechend der Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges bei den wichtigsten Ortsfrequenzen angehoben wird. In der Modulationsübertragungsfunktion spiegelt sich dies durch die Tatsache wider, dass die maximale Modulation nicht mehr bei der Ortsfrequenz null, sondern bei positiven Ortsfrequenzen auftritt (siehe Abbildung rechts). Dies kann auch so interpretiert werden, dass die Modulation an Kanten in einem günstigen Ortsfrequenzbereich künstlich überhöht wird. Aus einem in der unbearbeiteten optischen Abbildung kontinuierlichen Anstieg der Helligkeit an einer im Original beliebig scharfen Objektkante ergibt sich nach der Optimierung bei einer bestimmten Ortsfrequenz eine deutlich stärkere Modulation. Wird dieses Prinzip so stark angewendet, dass die Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen dominiert, führt dies unter Umständen zu künstlich wirkenden Bildern, bei denen ein Überschwingen des Helligkeitsverlaufs an Kanten mit der entsprechenden Ortsfrequenz erkannt werden kann: <gallery perrow="3" widths="260" heights="184" caption="Vergleich mit unterschiedlichen gerechneten Kontrastübertragungsfunktionen"> Datei:Image.modulation.original.jpg|Unbearbeitetes Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.jpg|Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.overkill.jpg|Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.original.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom unbearbeiteten Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat außen einen kleinen hellen und innen einen kleinen dunklen Saum Datei:Image.modulation.overkill.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat einen großen hellen Saum, und der innere Rand des Buchstabens ist stark abgedunkelt Datei:FFT.Image.modulation.original.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom unbearbeiteten Originalbild (die Ortsfrequenz null befindet sich in der Bildmitte, und sie nimmt radial in alle Richtungen zu) Datei:FFT.Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:FFT.Image.modulation.overkill.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Farbauflösung== {| class="float-right" style="text-align: center" |+ '''Oben''': Weißlichtinterferogramm, darunter '''Rot'''-, '''Grün'''- und '''Blau'''kanal des oben dargestellten Weißlichtinterferogramms mit abnehmender Weite der Maxima. |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.R.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.G.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.B.jpg|240px]] |} Durch die im Vergleich zur Dichte der für die Helligkeitsrezeption zuständigen Stäbchen geringere Dichte von Farbzäpfchen auf der menschlichen Netzhaut ist die Farbauflösung, die für das Betrachten von farbigen Bildern erforderlich ist, geringer als die Auflösung, die durch die Kontrastübertragungsfunktion beschrieben wird. In einem digitalen Bild kann ein Mensch bei Betrachtung des gesamten Bildes zwar maximal vier Millionen Bildpunkte in der Helligkeit unterscheiden, jedoch nur etwa eine Million verschiedener Farbpunkte. Bei technischen Anwendungen mit digitaler Auswertung der Bilder, kann die Anforderung an die Farbauflösung je nach Aufgabenstellung jedoch erheblich höher sein. Eine Möglichkeit, die Farbauflösung eines Kamerasensors zu messen, ohne dass es durch das für die optische Abbildung verwendete Objektiv zu einer Verringerung derselben kommt, ist die Verwendung eines direkt auf den Bildsensor projizierten Weißlichtinterferogramms. Dieses Verfahren wurde 2006 von Karsten Zoellner vom Institut für angewandte Optik an der Universität Jena entwickelt. Der Linienabstand <math>d</math> des Beugungsbilds eines Spaltes hängt von der Wellenlänge <math>\lambda</math> des verwendeten Lichtes sowie vom bildseitigen Öffnungswinkel <math>\omega_B</math> des verwendeten Interferometers ab: :<math>d \propto \frac {\lambda} {\sin \omega_B}</math> Wenn für die Primärfarben Rot, Grün und Blau (RGB) die mit abnehmender Wellenlänge kleiner werdenden Linienabstände <math>d_R</math>, <math>d_G</math> und <math>d_B</math> bestimmt werden, kann daraus eine für die Farbauflösung repräsentative Größe <math>\delta_{RGB}</math>, die '''Farbstrukturtreue''' (englisch: ''coloured structure fidelity''), bestimmt werden: :<math>\delta_{RGB} = \frac {d_R - d_B} {d_G}</math> <div style="clear:both"></div> == Polarisation == [[Datei:偏振片.png|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''linear''' polarisierter Strahlung durch die Filterung elektromagnetischen Wellen mit unerwünschter Polarisationsrichtung (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] [[Datei:Polaryzacja_kołowa.gif|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''zirkular''' polarisierter Strahlung durch die Überlagerung von zwei um den Phasenwinkel 90° verschobenen elektromagnetischen Wellen (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] Natürliche elektromagnetische Strahlung aus thermischen Strahlungsquellen ist unpolarisiert, das heißt, dass die Richtungen der Feldstärken senkrecht zur Ausbreitungsrichtung zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort zufällig ausgerichtet und verteilt sind. Aus unpolarisierten elektromagnetischen Wellen können durch geeignete Mittel in polarisierte Wellen mit definierter Schwingungsrichtung erzeugt werden. Grundsätzlich werden zwei Arten von Polarisation unterschieden: * Liegt die Schwingungsrichtung in einer ortsfesten Raumebene, spricht man von '''linear polarisierter Strahlung'''. * Dreht sich die Raumebene der Schwingungsrichtung gleichmäßig und periodisch um die Ausbreitungsachse, spricht man von '''zirkular polarisierter Strahlung'''. Zirkular polarisierte Strahlung kann mit Blick in die Ausbreitungsrichtung rechts- oder linksdrehend sein: <gallery caption="Drehsinn zirkular polarisierter Strahlung" perrow=2 widths=360 heights=240> Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Rechtsdrehend (im Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Right.Handed.Animation.305x190.255Colors.gif|Linksdrehend (entgegen dem Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. </gallery> Polarisierte Strahlung kann auf verschiedene Art und Weise erzeugt werden. Beispiele hierfür sind: * Durch optische Filter: Ein elektrisches Feld in einer ausgewählten Richtung kann beispielsweise durch geradlinige, parallel und voneinander isoliert angebrachte elektrische Leiter in einem '''Drahtgitterpolarisator''' unterdrückt werden, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen. Nur die senkrecht zu den Leitern schwingenden elektrischen Feldkomponenten können dann das Filter passieren. * Durch Streuung an Partikeln, wie zum Beispiel bei der '''Rayleigh-Streuung''' von Licht an Luftmolekülen. * Durch '''schräge Reflexion''' an Grenzflächen zu elektrisch nichtleitenden Medien, wie zum Beispiel Glasflächen. * Durch spezielle Lichtquellen, wie zum Beispiel '''Laser'''. * Durch '''dichroitische''' Materialien (vom altgriechischen Wort „dichroos“ für „zweifarbig“), die Licht in Abhängigkeit von der Polarisation unterschiedlich stark absorbieren. <div style="clear:both"></div> ===Gesetz von Malus=== [[Datei:Animation polariseur.gif|mini|rechts|Polfilter für photographische Objektive in verschiedenen Orientierungen vor einer flächenhaften Lichtquelle, der linear polarisiertes Licht abgibt.]] Die Intensität <math>I</math> einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle mit der Anfangsintensität <math>I_0</math> schwächt sich nach dem Durchgang durch einen idealen Polarisator in Abhängigkeit vom Winkel <math>\alpha</math>, um den die Polarisationsachse des Polarisators gegen die Polarisationsrichtung der Welle verdreht ist, nach dem '''Gesetz von Malus''' folgendermaßen ab: :<math>I = I_0 \cdot \cos^2 \alpha</math> Ausgehend von unpolarisiertem Licht mit einer gleichmäßigen Verteilung aller Polarisationsrichtungen <math>0 \le \alpha \le 2 \pi</math> in Bezug auf die Polarisationsrichtung eines Polarisationsfilters, kann der Transmissionsgrad <math>T</math> wie folgt bestimmt werden: :<math>T = I_0 \cdot \frac {\int\limits_{0}^{2\pi} \cos^2 \alpha \, \mathrm d\alpha} {\int\limits_{0}^{2\pi} \alpha \, \mathrm d\alpha} = I_0 \cdot \frac {\frac {2 \pi} {2}} {2 \pi} = \frac {I_0} {2} </math> Dies bedeutet, dass ein Polfilter abgesehen von einer gewissen Absorption die Hälfte eines unpolarisierten Strahls passieren lässt. <div style="clear:both"></div> ===Brewster-Winkel=== [[Datei:Brechungsgesetz.Brewster-Bedingung.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zur Brewster-Bedingung an optischen Grenzflächen.]] Es handelt sich beim '''Brewster-Winkel''' um den Einfallswinkel <math>\epsilon</math> von einem optisch dünnen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisch dichteres Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math>, bei dem das elektrische Feld der reflektierten elektromagnetischen Welle nur senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Polarisationsrichtungen des reflektierten und des gebrochenen Strahls stehen beim Erreichen des Brewster-Winkels senkrecht aufeinander: :<math>\epsilon_{Brewster} + \epsilon_{Brewster}' = 90^\circ</math> beziehungsweise: :<math>\sin \epsilon_{Brewster}' = \sin (90^\circ - \epsilon_{Brewster}) = \cos \epsilon_{Brewster}</math> Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt daraus: :<math>n_1 \cdot \sin \epsilon_{Brewster} = n_2 \cdot \cos \epsilon_{Brewster}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {\sin \epsilon_{Brewster}} {\cos \epsilon_{Brewster}} = \tan \epsilon_{Brewster} = \frac {n_2} {n_1}</math> Die reflektierte Welle ist beim Brewster-Winkel <math>\epsilon_{Brewster}</math> demnach linear polarisiert, und es gilt die Beziehung: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan \frac {n_2} {n_1}</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = n_1 \cdot \tan \epsilon_{Brewster}</math> Kommt der Lichtstrahl aus dem Vakuum (<math>n_1 = 1</math>) oder in erster Näherung aus Luft (<math>n_1 \gtrsim 1</math>), dann vereinfacht sich die Gleichung für den Brewster-Winkel zu: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan n_2</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = \tan \epsilon_{Brewster}</math> [[Datei:Brewster-polarizer-de.svg|mini|rechts|hochkant=1.5|Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium zur Verstärkung der Polarisation des transmittierten Lichts.]] Der gebrochene Strahl ist allerdings nicht vollständig in der Einfallsebene polarisiert, da nur ein Teil der Strahlung reflektiert wird, die senkrecht zur Einfallsebene polarisiert wird. Durch eine Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium kann der Effekt der Polarisation des transmittierten Lichts jedoch verstärkt werden. <div style="clear:both"></div> ===Doppelbrechung=== Doppelbrechende optische Medien sind spezielle Materialien, wie zum Beispiel Doppelspat (auch Kalkspat oder Calcit genannt), Glimmer oder Flüssigkristalle. Oft handelt es sich dabei um asymmetrisch aufgebaute Kristalle. Bei solchen anisotropen Medien hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>c</math> und somit auch der Brechungsindex <math>n</math> und die Vakuumwellenlänge <math>\lambda_0</math> von der Schwingungsrichtung ab. Es wird zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl unterschieden. Der ordentliche Strahl steht senkrecht (Symbol <math>\perp</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters, und der außerordentliche Strahl steht parallel (Symbol <math>\parallel</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters. Die dazugehörigen Brechzahlen werden durch das entsprechende Symbol im Index gekennzeichnet: * Für den ordentlichen Strahl: <math>n_\perp</math> * Für den außerordentlichen Strahl: <math>n_\parallel</math> Doppelbrechung kann auch durch Nichtlinearitäten in isotropen Medien hervorgerufen werden, wie zum Beispiel durch mechanische Spannungen oder durch sehr hohe elektrisch oder magnetische Feldstärken. <gallery caption="Doppelbrechung am Doppelspat mit dem Text „Berlin“ im Hintergrund" perrow=2 widths=450 heights=300> Doppelbrechung.P1033771.jpg|Doppelbrechung in horizontaler Richtung. Doppelbrechung.P1033772.jpg|Doppelbrechung in vertikaler Richtung bei um 90° im Uhrzeigersinn gedrehtem Kristall. </gallery> <div style="clear:both"></div> ====Verzögerungsplatten==== '''Verzögerungsplatten''' bestehen aus doppelbrechenden optischen Medien mit konstanter Dicke <math>d</math>. Die Frequenz <math>f</math> der elektromagnetischen Welle bleibt sowohl außerhalb als auch innerhalb der Verzögerungsplatte sowie in allen Ausbreitungsrichtungen gleich. Die Phasenverschiebung <math>\Delta \varphi</math> der beiden sich in der Platte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten <math>c_\perp</math> und <math>c_\parallel</math> ausbreitenden Teilstrahlen ergibt sich beim Austritt hinter der Verzögerungsplatte dann wie folgt: :<math>\Delta \varphi = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot (n_\perp - n_\parallel) = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot c_0 \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right) = 2 \pi \cdot d \cdot f \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right)</math> =====λ/2-Plättchen===== Beim '''λ/2-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen der Hälfte der Vakuumlichtwellenlänge, und es dreht die Polarisationsrichtung eines einfallenden Lichtstrahls um einen bestimmten Winkel. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 180°: :<math>\Delta \varphi = \pi</math> Für die Dicke eines λ/2-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 2} = \frac {\lambda_0} {2} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> Je nach axialer Ausrichtung eines λ/2-Plättchens zur Polarisationsrichtung eines einfallenden, linear polarisierten Lichtstrahls ergibt sich eine Drehung der Polarisationsrichtung zwischen 0° und 90°. =====λ/4-Plättchen===== Beim '''λ/4-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen des Viertels der Vakuumlichtwellenlänge, und es wird auch als '''Zirkularpolarisator''' bezeichnet, weil es aus einem linear polarisierten Lichtstrahl einen zirkular polarisierten Strahl erzeugen kann. Zirkular polarisiertes Licht wandelt es umgekehrt in linear polarisiertes Licht um. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 90°: :<math>\Delta \varphi = \frac {\pi} {2}</math> Für die Dicke eines λ/4-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 4} = \frac {\lambda_0} {4} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> <div style="clear:both"></div> ====Flüssigkristalle==== '''Flüssigkristalle''' sind flüssige Substanzen, die wie Kristalle im festen Aggregatzustand richtungsabhängige (anisotrope) optische Eigenschaften aufweisen können. Die Ausrichtung der Moleküle und damit die Polarisationswirkung kann durch elektrische Felder beeinflusst werden. Die Geschwindigkeit der Auslenkung hängt von der Stärke der elektrischen Felder ab. Bei modernen Flüssigkristallanzeigen und -bildschirmen kann eine Umschaltzeit bis hinunter zu einer Millisekunde erreicht werden. → Siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Fl%C3%BCssigkristallanzeigen|Flüssigkristallanzeigen]]. <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> ixvhd5eyvzrll7qot22y7ewj4pj55e8 1088499 1088498 2026-06-29T12:47:54Z Bautsch 35687 /* Große Objektweiten */ big / Einschränkung 1088499 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> Dieses Kapitel beschäftigt sich mit prinzipiellen Eigenschaften von optischen Abbildungen. In den folgenden Abschnitten sind einige grundlegende Aspekte aufgeführt, die bei der Aufnahme und Registrierung von Bildern eine Rolle spielen. ==Optik== Die '''Optik''' (von altgriechisch ὀπτική τέχνη (optikḗ téchnē), zu Deutsch: „Lehre vom Sehen“) beschäftigt sich mit der Ausbreitung von '''Licht''' unter Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie. Im engeren Sinne werden in der Optik optische Systeme behandelt, mit denen Objekte abgebildet werden können. '''Reelle Bilder''' können beispielsweise mit Bildwänden, photographischen Filmen oder elektronischen Bildsensoren aufgefangen werden, wohingegen '''virtuelle Bilder''' direkt durch das menschliche Auge gesehen werden können. Lichtquellen haben immer eine endliche Ausdehnung. Wenn die leuchtende Fläche im Vergleich zu einem ausgedehnten optischen System klein ist, wird die entsprechende Lichtquelle als '''punktförmig''' bezeichnet. In der Praxis kann ein Fixstern als eine solche punktförmige Lichtquelle betrachtet werden. Im Labor kann eine punktförmige Lichtquelle durch die Beleuchtung einer kleinen Kreislochblende aus einer hinreichend großen Entfernung erzeugt werden. Das aus der Blende austretende Licht bildet ein '''Lichtbündel'''. Ein '''Lichtstrahl''' kann durch ein paralleles Lichtbündel mit kleinem Durchmesser angenähert werden. Lichtstrahlen werden in der '''geometrischen Optik''' verwendet, um die Richtung des Flusses der Lichtenergie anzugeben. [[Datei:EM-Wave.gif|mini|rechts|Die elektrische Feldstärke <math>\vec E</math> (blau in y-Richtung) und die magnetische Feldstärke <math>\vec B</math> (rot in z-Richtung) bei einer elektromagnetischen Welle mit Ausbreitung in x-Richtung.]] Beugungseffekte sind durch die Welleneigenschaften des Lichtes bedingt und treten immer auf, wenn es auf Kanten trifft. Die Beugung wird in der '''Wellenoptik''' behandelt und wird in der geometrischen Optik nicht berücksichtigt. Alle elektromagnetischen Wellen –&nbsp;also auch das Licht&nbsp;– breiten sich in allen optischen Medien mit Lichtgeschwindigkeit aus. Dies konnte der Physiker {{w|Heinrich Hertz}} (1857–1894) durch die künstliche Erzeugung elektromagnetischer Wellen im Ultrakurzwellenbereich bei 80&nbsp;Megahertz im Jahr 1886 nachweisen. Die '''Lichtgeschwindigkeit im Vakuum''' <math>c_0</math> ist inzwischen eine festgelegte Größe, die für alle Arten elektromagnetischer Strahlung gilt: :<math>c_0 = 299792458 \frac {\text {m}} {\text {s}}</math> Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit für elektromagnetische Wellen. Sie kann von Objekten mit einer Ruhemasse nicht erreicht werden, also auch nicht von Elektronen oder Atomen beziehungsweise Ionen. Die '''Vakuumwellenlänge''' <math>\lambda_0</math> der mit der Frequenz <math>f</math> transversal schwingenden, elektromagnetischen Welle beträgt hierbei: :<math>\lambda_0 = \frac {c_0} {f}</math> Die Frequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle weicht beim Durchgang durch verschiedene Medien nicht von der Frequenz im Vakuum ab. Die Vektoren der elektrischen und der magnetischen Feldstärke stehen bei elektromagnetischen Wellen stets senkrecht zueinander und außerdem beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. ==Brechung== [[Datei:Refraction animation.gif|mini|rechts|hochkant=1.5|Die von links aus dem Vakuum einfallende ebene Welle trifft unter dem Einfallswinkel von 56&nbsp;Bogengrad auf eine Grenzfläche zu einem optischen Medium mit der Brechzahl&nbsp;1,5. Die ebene Welle wird aufgrund der geringeren Ausbreitungsgeschwindigkeit im optischen Medium zum Lot der Grenzfläche hin gebrochen und breitet sich dort ebenfalls als ebene Welle aus. Die Schwingungsfrequenz der Welle bleibt erhalten, im optischen Medium ist die Wellenlänge jedoch verkürzt.]] [[Datei:Brechungsgesetz.Einheitskreis.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zum Snelliusschen Brechungsgesetz mit Einheitskreis an der Grenzfläche zwischen zwei optischen Medien mit den Brechzahlen <math>n_1</math> und <math>n_2</math>. Die Oberflächenlote in den beiden optischen Medien sind gestrichelt dargestellt.]] In allen '''optischen Medien''' bleibt die Schwingungsfrequenz <math>f</math> elektromagnetischer Wellen im Vergleich zu derjenigen im Vakuum erhalten, aber die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> und die Wellenlänge <math>\lambda</math> sind kleiner. Dies kann durch den maßeinheitenlosen '''Brechungsindex''' <math>n</math> (auch '''Brechzahl''' genannt) des optischen Mediums beschrieben werden: :<math>c = \frac {c_0} {n}</math> :<math>\lambda = \frac {\lambda_0} {n}</math> Beziehungsweise: :<math>n = \frac {\lambda_0} {\lambda} = \frac {c_0} {c}</math> Für alle optische Medien beziehungsweise für alle Brechzahlen gilt die folgende Beziehung für die Schwingungsfrequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle: :<math>f = \frac {c} {\lambda} = \frac {c_0} {\lambda_0} = \text{const.}</math> Der Brechungsindex des Vakuums ist demzufolge gleich Eins, und bei allen anderen optischen Medien ist der Brechungsindex größer als Eins. Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist nicht nur von der Wellenlänge abhängig, sondern bei Festkörpern und Flüssigkeiten insbesondere auch von der Temperatur <math>T</math> und bei Gasen vom Druck <math>p</math>: :<math>n = n(\lambda, T, p)</math> Bei Gasen ist der Brechungsindex bei normalem Luftdruck nur geringfügig größer als Eins. Die meisten optischen Medien aus flüssigem oder festem Material haben typische Brechungsindices zwischen 1,3 und 2,0. Wasser hat bei Zimmertemperatur einen Brechungsindex von 1,333. Besondere Materialien haben Brechungsindices, die größer als Zwei sind, wie zum Beispiel Diamant (Kohlenstoffkristall) mit rund 2,4 oder Rutil (Titandioxid) mit rund 3,1. Beim Übergang von Lichtstrahlen von einem optischen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisches Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math> wird ein einfallender Lichtstrahl (in der Abbildung rechts weiß) zu einem Teil in das Einfallsmedium zurück gespiegelt ('''Reflexion''', in der Abbildung rechts dunkelgrau) und zu einem anderen Teil in das Ausfallsmedium gebrochen ('''Refraktion''', in der Abbildung rechts hellgrau). Die Richtungen der Reflexion und der Refraktion werden über die Winkel zur Flächennormalen (Lot) an der Stelle des Übergangs der beiden optischen Medien bestimmt. Für die Reflexion gilt das '''Reflexionsgesetz''': :Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\alpha</math>. Für die Refraktion gilt das '''Snelliussche Brechungsgesetz''': :<math>n_1 \cdot \sin \alpha = n_2 \cdot \sin \beta</math> Ist <math>n_2</math> größer als <math>n_1</math>, wird der Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen, und ist <math>n_1</math> größer als <math>n_2</math>, wird der Lichtstrahl vom Lot weggebrochen. Am Einheitskreis (Radius gleich Eins) gilt: :<math>\sin \alpha = a</math> und: :<math>\sin \beta = b</math> Das Snelliussche Brechungsgesetz geht damit in die folgende Form über: :<math>n_1 \cdot a = n_2 \cdot b</math> Es gilt entsprechend: :<math>\frac {n_1} {n_2} = \frac {\sin \beta} {\sin \alpha} = \frac {c_2} {c_1} = \frac {b} {a}</math> Zur Herleitung des Brechungsgesetzes unter Berücksichtigung der Ausbreitung mit '''Huygensschen Elementarwellen''' mit der jeweiligen Lichtgeschwindigkeit auf dem schnellsten Weg entsprechend dem '''Fermatschen Prinzip''' siehe auch: '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Ablenkung_von_Lichtstrahlen|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Ablenkung von Lichtstrahlen"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Dispersion=== Die Brechzahl aller optischen Medien hängt von der Wellenlänge des Lichts ab. Hierbei gilt, dass blaues Licht mit kurzer Wellenlänge stärker gebrochen wird als rotes Licht mit langer Wellenlänge. Die Dispersion eines bestimmten optischen Mediums kann durch dessen '''Abbe-Zahl''' <math>\nu_e</math> beschrieben werden: :<math>\nu_{e} = \frac {n_{e} - 1} {n_{F'} - n_{C'}}</math> Hierbei stehen die Indizes C', e und F' am Brechungsindex für die folgenden Lichtwellenlängen: * Rot: <math>n_{C'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{C'} = 643,8469 \text { nm}</math> * Grün: <math>n_{e}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{e} = 546,0740 \text { nm}</math> * Blau: <math>n_{F'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{F'} = 479,9914 \text { nm}</math> Eine große Abbe-Zahl steht also für ein optisches Medium mit geringer Dispersion, und eine kleine Abbe-Zahl steht für ein optisches Medium mit starker Dispersion. <div style="clear:both"></div> ===Optische Medien mit variabler Brechzahl === Bei optischen Medien mit asymmetrischen Kristallgitterstrukturen, wie zum Beispiel Kalkspat (Calcit), hängt die Brechzahl von der Schwingungsrichtung des Lichts in Bezug auf die Gitterebenen ab. In solchen optisch anisotropen Kristallen hängt der Brechungsindex sowohl von der Polarisationsrichtung als auch von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes ab. Bei dieser '''Doppelbrechung''' wird in der Regel zwischen einem ordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\perp</math> und einem außerordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\parallel</math> unterschieden. Je nach Struktur eines bestimmten Kristalls kann sowohl der ordentliche als auch der außerordentliche Strahl eine größere Brechkraft erfahren. Manche Kristalle haben einen sehr deutlichen Unterschied bei diesen beiden Brechzahlen, wie zum Beispiel Kalomel (Quecksilber(I)-chlorid), dass bei einer Massendichte von rund 7,2 Gramm pro Kubikzentimeter eine Brechzahl von knapp 2,0 für den ordentlichen und eine Brechzahl von über 2,6 für den außerordentlichen Strahl aufweist. '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Doppelbrechung|Abschnitt "Doppelbrechung"]]''' Im Allgemeinen sind optische Medien aus amorphen, lichtdurchlässigen Festkörpern, wie zum Beispiel stark brechendes '''Flintglas''', schwach dispergierendes '''Kronglas''', für ultraviolettes Licht durchlässiges '''Quarzglas''' oder leichtes '''Acrylglas''' (Polymethylmethacrylat (PMMA)), isotrop und homogen, so dass die Brechkraft für Licht einer bestimmten Wellenlänge für alle Polarisations- und Ausbreitungsrichtungen überall im Medium gleich ist. In Flüssigkeiten oder in Gasen kann es passieren, dass der Brechungsindex durch Dichteschwankungen im optischen Medium nicht konstant ist. Als Ursache für solche Dichteschwankungen kommt insbesondere die Gravitation in Frage. Das Gas der Atmosphäre hat im Schwerefeld der Erde nach der Bernoullischen Höhengleichung mit zunehmender Höhe einen immer weiter abnehmen Druck und somit eine immer geringer werdende Dichte. Demzufolge nimmt die Brechkraft der atmosphärischen Gase (im Wesentlichen bestehend aus Stickstoff- und Sauerstoffmolekülen sowie Argonatomen) mit zunehmender Höhe immer weiter ab. Diese '''atmosphärische Refraktion''' wirkt sich zum Beispiel bei der Brechung des Sonnenlichts bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang aus, wo die Lichtstrahlen beim Eintritt in die Atmosphäre kontinuierlich stärker in Richtung Erdoberfläche gebrochen werden. [[Datei:Dichte.Brechungsindex.Zuckerloesung.png|mini|rechts|hochkant=1.2|Dichte und Brechungsindex in Abhängigkeit von der Konzentration von Zucker in Wasser in Prozent.]] Auch in Flüssigkeiten mit gelösten Feststoffen kann es im Schwerefeld der Erde mit größer werdender Tiefe unter der Flüssigkeitsoberfläche zu einer Zunahme der Massendichte und somit auch der optischen Dichte kommen. Dies ist zum Beispiel bei in Wasser gelöstem Zucker der Fall, bei den die Zuckerkonzentration in der wässrigen Lösung mit größerer Wassertiefe immer weiter zunimmt. <gallery caption="Beispiele für variable Brechungsindizes" perrow=2 widths=640 heights=480> Sonnenuntergang - Verschiebung.png|Durch einen Beobachter auf der Erdoberfläche wahrgenommene und die tatsächliche Form und Position der Sonne aufgrund der atmosphärischen Refraktion bei Sonnenaufgang beziehungsweise bei Sonnenuntergang. Kuevette.Zuckerloesung.Laserstrahl.P1033789.jpg|Roter Laserstrahl auf einer Zykloidenbahn in einer Küvette mit Zuckerlösung, die nach unten hin eine immer größere Massendichte und optische Dichte aufweist, so dass der Brechungsindex auf dem Lichtweg stetig größer wird. </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Optische Achse== [[Datei:Optische.Achse.png|mini|hochkant=2|Optische Achse]] Die '''optische Achse''' beschreibt in der geometrischen Optik die Rotationsachse aller rotationssymmetrischen Bestandteile einer optischen Abbildung oder eines optischen Systems. Schnittebene von zweidimensionalen Skizzen werden üblicherweise durch die optische Achse gelegt, so dass die Schnitte der rotationssymmetrischen optischen Elemente an dieser Achse gespiegelt dargestellt werden. Die optische Achse wird in solchen Skizzen immer als Strichpunktlinie dargestellt. <div style="clear:both"></div> ==Hauptebenen== [[Datei:Hauptebene.png|mini|hochkant=1.5|Ein aus dem Objektraum links der Hauptebene kommender Lichtstrahl (gestrichelte Linie) wird an der Hauptebene H (blau) in den Bildraum rechts der Hauptebene abgelenkt]] '''Hauptebenen''' stehen in der Regel senkrecht zur optischen Achse. Sie beschreiben vereinfacht betrachtet Flächen, an denen alle Strahlen in einem optischen Strahlengang gebrochen oder gespiegelt werden, und sie teilen den '''Objektraum''' links der Hauptebene vom '''Bildraum''' rechts der Hauptebene. In der Praxis gilt dies mit hinreichender Genauigkeit häufig nur für achsnahe Strahlen ('''paraxialer''' Strahlengang mit '''Gaußschen Strahlen'''). Bei '''konvergenten''' Systemen werden die Strahlen zur optischen Achse abgelenkt, und bei '''divergenten''' Systemen werden die Strahlen von der optischen Achse weggelenkt. Von den Hauptebenen werden in Richtung der optischen Achse '''Brennweiten''', '''Objektweiten''' und '''Bildweiten''' gemessen. Die Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse werden als '''Hauptpunkte''' bezeichnet. Lichtstrahlen, die durch einen Hauptpunkt gehen, heißen '''Hauptstrahlen''' und werden nicht abgelenkt. <div style="clear:both"></div> ==Optische Flächen== [[Datei:Lens shapes 2.svg|mini|hochkant=1.5|Verschiedene Linsenformen mit ihren beiden Hauptebenen H und H':<br/> 1: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 2: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 3: plankonvexe Sammellinse mit <math>r_2 = \infty</math><br/> 4: konvex-konkave Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 5: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 6: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math><br/> 7: plankonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 = \infty</math><br/> 8: konvex-konkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math>]] Licht kann an den Flächen zwischen optischen Medien durch '''Lichtbrechung''' ('''Refraktion''') oder an Oberflächen durch '''Spiegelung''' ('''Reflexion''') abgelenkt werden. Optische '''Linsen''' sind lichtdurchlässig (transparent) und haben zwei optisch aktive Oberflächen, und '''Spiegel''' haben eine reflektierende Oberfläche. Linsen- und Spiegeloberflächen können eben ('''plan'''), nach außen gewölbt ('''konvex''') oder nach innen gewölbt ('''konkav''') sein. Bei Linsen können die beiden optisch aktiven Oberflächen verschiedene Wölbungen und Formen haben. Beidseitig konvexe ('''bikonvexe''') sowie '''plankonvexe''' Linsen sammeln das einfallende Licht und werden deswegen '''Sammellinsen''' genannt. Beidseitig konkave ('''bikonkave''') sowie '''plankonkave''' Linsen zerstreuen einfallendes Licht und werden deswegen '''Zerstreuungslinsen''' genannt. Bei konvex-konkaven und konkav-konvexen Linsen wird die Gesamtwirkung des Sammelns oder Zerstreuens durch die Oberfläche mit der stärkeren Krümmung bestimmt: ist diese konvex, handelt es sich um eine Sammellinse, ist diese konkav, handelt es sich um eine Zerstreuungslinse. Bei Spiegeloberflächen verhält es sich umgekehrt: ist die Spiegeloberfläche konkav, handelt es sich um einen lichtsammelnden Spiegel (auch '''konkaver Spiegel''' oder '''Hohlspiegel'''), ist die Spiegeloberfläche konvex, handelt es sich um einen lichtzerstreuenden Spiegel (auch '''konvexer Spiegel''',''' Wölbspiegel''' oder '''Zerstreuungsspiegel'''). Ein Spiegel mit ebener Oberfläche wird als '''Planspiegel''' bezeichnet, bei dem die Hauptebene mit der Oberfläche identisch ist. Linsen haben stets zwei '''Hauptebenen''', die in der Regel objektseitig mit '''H''' und bildseitig mit '''H'''' bezeichnet werden. Die entsprechenden '''Hauptpunkte''' können insbesondere bei plankonvexen oder plankonkaven Linsen mit den Scheitelpunkten der Linsenoberflächen auf der optischen Achse übereinstimmen. Bei bikonvexen und bikonkaven Linsen liegen die Hauptpunkte jedoch zwischen den Scheitelpunkten der Linse. Bei konkav-konvexen beziehungsweise konvex-konkaven Linsen kann ein Hauptpunkt oder können sogar beide Hauptpunkte außerhalb des Linsenkörpers liegen. Zwischen den beiden Hauptebenen einer Linse verlaufen alle Strahlen rechnerisch betrachtet parallel zur optischen Achse. Die Hauptstrahlen verlaufen zwischen den beiden Hauptebenen entlang der optischen Achse. Im folgenden Beispiel für eine Sammellinse wird dieses Verhalten verdeutlicht: [[Datei:Strahlengang.Hauptebenen.Sammellinse.png|mini|zentriert|Strahlengang über die beiden Hauptebenen H und H' bei einer Sammellinse.]] Bei hinreichend '''dünnen Linsen''' fallen die beiden Hauptebenen annähernd zu einer einzigen Hauptebene in der Mitte der Linse zusammen, so dass sich Berechnungen und graphische Darstellungen mit nur einer Hauptebene deutlich vereinfachen lassen. Von dünnen Linsen wird gesprochen, wenn die Brennweite <math>f</math> und somit auch die Radien der Linsenoberflächen <math>R_1</math> und <math>R_2</math> deutlich größer sind als die entlang der optischen Achse zwischen den beiden Linsenscheitelpunkten gemessene Dicke <math>d</math> einer Linse: :<math>R_1, R_2 > f \gg d</math> Optische Systeme, wie zum Beispiel ein Objektiv mit zahlreichen Linsen, können sehr viele Hauptebenen haben, die nicht notwendigerweise alle im optischen System liegen müssen, wie zum Beispiel bei [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Retrofokusobjektiv|Retrofokusobjektiven]] oder [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telefokusobjektiv|teleskopischen Objektiven]]. Messtechnisch können von außen unmittelbar nur die Lagen der beiden äußersten Hauptebenen eines optischen Systems bestimmt werden. Bei Zoomobjektiven, also bei Objektiven mit variabler Brennweite, variiert die Lage der Hauptebenen mit der Einstellung der Brennweite. Auch bei Objektiven mit innenliegender Fokussierung verändert sich beim Scharfstellen von Objekten in der Bildebene die Lage von Hauptebenen zueinander. '''Schnittweiten''' werden ebenfalls entlang der optischen Achse gemessen, in der Regel jedoch nicht von einer Hauptebene aus, sondern vom Scheitelpunkt der nächstgelegenen gekrümmten und zu untersuchenden optischen Fläche. Dieser Scheitelpunkt befindet sich im Schnittpunkt der optischen Achse mit der gekrümmten optischen Fläche. <div style="clear:both"></div> ==Bildwinkel== [[Datei:Bildwinkel.png|hochkant=2|miniatur|Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildweite <math>b</math> und Bilddiagonale <math>d</math> mit Berücksichtigung der Objektgröße <math>G</math> und der Bildgröße <math>B</math>]] Der '''Bildwinkel''' <math>\alpha</math> ist der ebene Winkel, innerhalb dessen das reelle Bild des Objektes in der '''Bildebene''' vom bildseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann. Er wird durch die äußeren zur Abbildung beitragenden Hauptstrahlen gebildet, die durch den Hauptpunkt gehen. Mathematisch ist der Bildwinkel wie folgt definiert, wenn die '''Bildgröße''' (sie wird manchmal auch als Bildhöhe bezeichnet) <math>B</math> beziehungsweise der Radius des '''Bildkreises''' <math>r</math> von der optischen Achse aus gemessen ist und <math>b</math> die '''Bildweite''' zwischen Hauptebene und Bildebene darstellt: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {B}{b} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{b}</math>, wobei der Radius des Bildkreises <math>r</math> gleich dem halben Bildkreisdurchmesser <math>d</math> ist: :<math>r = B = \frac {d}{2}</math> Die Bildweite ergibt sich daraus folgendermaßen: :<math>b = \frac {r}{\tan \frac {\alpha}{2}} = \frac {d}{2 \cdot \tan \frac {\alpha}{2}}</math> Der '''Objektwinkel''' ist der ebene Winkel, innerhalb dessen ein abgebildetes Objekt in der '''Objektebene''' (respektive in der '''Schärfeebene''') vom objektseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann, und er ist mit dem Bildwinkel <math>\alpha</math> identisch. Daher können unter Berücksichtigung des [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Abbildungsma.C3.9Fstab|Abbildungsmaßstabs]] auch die '''Objektgröße''' (sie wird auch als '''Gegenstandshöhe''' oder '''Gegenstandsgröße''' bezeichnet) <math>G</math> beziehungsweise der Radius des '''Objektkreises''' von der optischen Achse aus gemessen und die '''Objektweite''' (sie wird auch als '''Gegenstandsweite''' bezeichnet) <math>g</math> zwischen Hauptebene und Objektebene zur Berechnung des Bildwinkels herangezogen werden: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {G}{g}</math> Wegen der ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke gilt, dass die Verhältnisse der Katheten gleich sind: :<math>\frac {B} {b} = \frac {G} {g}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {B} {G} = \frac {b} {g}</math> <div style="clear:both"></div> ==Brennweite== [[Datei:Brennweite.png|mini|hochkant=2|Brennweite f zwischen einer Hauptebene H und dem Brennpunkt F bei einer optischen Abbildung]] [[Datei:Objektweite.unendlich.png|mini|hochkant=2|Bildhöhe c in der Brennebene in Abhängigkeit der Richtung γ eines unendlich entfernten Objektes zur optischen Achse]] Die '''Brennweite''' <math>f</math> ist bei einer optischen Abbildung mit lichtsammelnden Elementen definiert als die von der letzten Hauptebene gemessene Schnittweite paraxialer Lichtstrahlen bei unendlicher '''Objektweite''' <math>a</math>. In diesem Fall schneiden sich die Strahlen im bildseitigen '''Brennpunkt''' und die '''Bildweite''' <math>b</math> ist identisch mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>f = b_{a=\infty}</math> Die Brennweite kann also als Bildweite gemessen werden, wenn die Objektweite unendlich ist. Der Kehrwert der Brennweite wird '''Brechkraft''' <math>D</math> genannt: :<math>D = \frac {1} {f}</math> Die Maßeinheit der Brechkraft ist eine Dioptrie, die identisch ist mit der Maßeinheit <math>\frac {1} {\text{m}}</math> (Eins durch Meter). Die Brechkraft wird häufig in der Augenoptik verwendet, um die Brechkraft von Sehhilfen zu charakterisieren. Sammellinsen wie auch Hohlspiegel haben eine positive Brechkraft und können eine Weitsichtigkeit (Hyperopie) kompensieren. Zerstreuungslinsen wie auch Wölbspiegel haben eine negative Brechkraft und können eine Kurzsichtigkeit (Myopie) kompensieren. Liegt das Objekt außerhalb der optischen Achse, wird es nicht in den Brennpunkt abgebildet, sondern in die '''Brennebene''', die durch den Brennpunkt geht und senkrecht auf der optischen Achse steht. Für ein Objekt mit unendlicher Objektweite, das zur optischen Achse unter dem Winkel <math>\gamma</math> erscheint, ergibt sich bei gegebener bildseitiger Brennweite <math>f'</math> die von der optischen Achse gemessene Bildhöhe <math>c</math> wie folgt: :<math>c = f' \tan \gamma</math> Oder nach Umstellung aufgelöst nach dem Winkel <math>\gamma</math> in Abhängigkeit der beiden Längen: :<math>\gamma = \arctan \frac {c} {f'}</math> Wenn die Bilddiagonale eines Rechteckes beziehungsweise der Bildkreisdurchmesser <math>d</math> bekannt sind, ergibt sich die Brennweite als Funktion des (diagonalen) Bildwinkels <math>\alpha</math> zu: :<math>f = \frac {d} {2 \cdot \tan \frac {\alpha} {2}}</math> Beziehungsweise umgekehrt, der Bildwinkel <math>\alpha</math> als Funktion der Brennweite <math>f'</math>: :<math>\alpha = 2 \arctan {\frac {d} {2 \cdot f'}}</math> Ein Objekt, das in der Brennebene liegt, wird ins Unendliche abgebildet, und der objektseitige Brennpunkt wird bildseitig daher auf der optischen Achse ins Unendliche abgebildet. Wegen der '''Dispersion''' kann die Brennweite bei der Verwendung von brechenden Materialien von der Wellenlänge der abbildenden Strahlen abhängen: → Siehe hierzu auch '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Chromatische_Aberration|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Chromatische Aberration"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Normalbrennweite=== Die Brennweite ist bei einer optischen Abbildung nicht ausreichend, um die Größe einer Aufnahme zu kennzeichnen. In einigen Fällen ist die Bildgröße standardisiert, wie zum Beispiel beim rechteckigen Format des Kleinbildfilms, so dass aus der Angabe einer beliebigen Brennweite auch auf den maximal möglichen Bildwinkel der '''Bilddiagonale''' beziehungsweise des '''Bildkreisdurchmessers''' geschlossen werden kann. Es kann eine empirisch zu bestimmende '''Normalbrennweite''' definiert werden, bei der ein Bild mit dem Bildwinkel aufgenommen wird, mit dem das abgebildete Objekt mit bloßem Auge bei hinreichender Auflösung gesehen werden kann. Dies ist der Fall, wenn der Bildwinkel des Auges wegen der physiologischen Schwankungsbreite ungefähr zwischen 40° und 55° liegt. Brennweiten, die kürzer als die Normalbrennweite sind, erzeugen weitwinklige Aufnahmen mit größeren Bildwinkeln, und Brennweiten, die länger als die Normalbrennweite sind, erzeugen teleskopische Aufnahmen mit kleineren Bildwinkeln. Die Größenverhältnisse der in unterschiedlichen Entfernungen aufgenommenen Gegenstände innerhalb einer Aufnahme ändern sich deutlich mit der Brennweite. Beim durch den 35-Millimeter-Film (Kleinbildfilm) im 20.&nbsp;Jahrhundert sehr weit verbreiteten Kleinbildformat mit einer Bildbreite <math>b</math> von 36 Millimetern und einer Bildhöhe <math>h</math> von 24 Millimetern hat sich eine Normalbrennweite <math>f_\text{norm, Kleinbild}</math> von :<math>f_\text{norm, Kleinbild} = 50 \, \text{mm}</math> etabliert. Bei diesem Format ergibt sich rechnerisch eine Bilddiagonale beziehungsweise ein Bildkreisdurchmesser <math>d</math> von: :<math>d_\text{Kleinbild} = \sqrt {b_\text{Kleinbild}^2 + h_\text{Kleinbild}^2} = \sqrt {{(36 \, \text{mm})}^2 + {(24 \, \text{mm})}^2} \approx 43{,}3 \, \text{mm}</math> [[Datei:Sensorformate.svg|hochkant=2|miniatur|Bildsensorgrößen im Vergleich]] Da alle Hersteller von Kleinbildkameras dieselbe, fest vorgegebene Bildgröße verwenden, ist dem Photographen bei diesem Bildformat bekannt, dass ein Objektiv mit Normalbrennweite eine Brennweite von 50&nbsp;Millimetern hat. Bei anderen Bildformaten und -größen, wie sie zum Beispiel in der digitalen Photographie verwendet werden, ergeben sich zwangsläufig andere Normalbrennweiten, so dass aus der Angabe der Brennweite allein noch nicht folgt, welche Bildgröße oder welcher Bildwinkel bei der optischen Abbildung berücksichtigt wurde. Abgesehen von einigen digitalen Systemkameras mit Bildsensoren im Kleinbildformat gibt es viele verschiedene Bildsensorgrößen und damit Normalbrennweiten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Lichtwandlung#Bildsensoren|Bildsensoren]]). Zur Bestimmung von Normalbrennweiten kann das Verhältnis <math>c</math> zwischen Normalbrennweite und Bildkreisdurchmesser verwendet werden, das sich beim Kleinbildfilm ergibt: :<math>c = \frac {f_\text{norm, Kleinbild}}{d_\text{Kleinbild}} \approx 1{,}16</math> Anhand der effektiven Bilddiagonalen <math>d</math> kann somit die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> berechnet werden: :<math>f_\text{norm} = c \cdot d</math> Beim Sonderfall '''unendlicher Objektweite''' <math>a</math> sind Bildweite <math>a'</math> und Brennweite <math>f</math> identisch, und der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> kann leicht aus der Brennweite <math>f</math> und dem Radius des Bildkreises <math>r</math> berechnet werden: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{f}</math> Am Beispiel des Kleinbildformates ergibt sich der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> also wie folgt: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {21{,}63 \, \text{mm}} {50 \, \text{mm}} = 46{,}8^\circ</math> Dieser Bildwinkel kann auch bei alle anderen Bildformaten eingesetzt werden. Die Normalbrennweite kann mithilfe des Bildwinkels bei der Normalbrennweite bei unendlicher Objektweite auch aus der Brennweite und dem dazugehörigen Bildwinkel bestimmt werden: :<math>f_\text{norm} = f \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Ferner lässt sich auch die Bilddiagonale berechnen, wenn die Brennweite bekannt ist und der Bildwinkel gemessen werden kann: :<math>d = \frac {f_\text{norm}} {c} = \frac {f} {c} \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Für einige gängige Bildsensorformate resultieren die folgenden Bilddiagonalen und Normalbrennweiten, sowie die entsprechenden Schärfentiefebereiche (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sch.C3.A4rfentiefe|Schärfentiefe]]) für menschliche Betrachter beispielsweise bei einer Blendenzahl von 2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Blendenzahl|Blendenzahl]]) und einer Objektweite von einem Meter. Ferner die Bildpunktgröße bei 16&nbsp;Millionen quadratischen Bildpunkten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Punktabstand|Punktabstand]]), der dazugehörige tolerierbare Fokussierungsfehler in der Bildebene bei der Blendenzahl&nbsp;2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Fokussierungsfehler|Fokussierungsfehler]]) und der Durchmesser des entsprechenden Beugungsscheibchens für grünes Licht mit der Wellenlänge 550 Nanometer (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]): {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Bildsensorgröße<br />Bezeichnung !Bilddiagonale<br /><math>d</math> in Millimetern !Normalbrennweite<br /><math>f_\text{norm}</math> in Millimetern !Schärfentiefe in mm<br />bei Blendenzahl 2,0 und<br />Objektweite 1 m !Bildpunktgröße<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei 16 Millionen Bildpunkten !Maximal zulässiger Fokussierungsfehler<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei Blendenzahl 2,0 !Maximale Blendenzahl<br />ohne Beugungsbegrenzung<br />auf dem Bildsensor |- | 1/3,2″ || 5,6 || 6,5 || 360 || 0,99 || 2,0 || 0,74 |- | 1/2,7″ || 6,0 || 7,0 || 330 || 1,06 || 2,1 || 0,79 |- | 1/2,5″ || 6,4 || 7,5 || 310 || 1,13 || 2,3 || 0,84 |- | 1/2,3″ || 7,7 || 8,9 || 260 || 1,4 || 2,7 || 1,0 |- | 1/1,8″ || 8,9 || 10 || 240 || 1,57 || 3,1 || 1,2 |- | 2/3″ || 11,0 || 13 || 170 || 1,94 || 3,9 || 1,4 |- | 1" || 15,9 || 18 || 130 || 2,8 || 5,6 || 2,0 |- | 4/3″ || 21,6 || 25 || 90 || 3,8 || 7,6 || 2,8 |- | APS-C || 26,8 bis 28,4 || 31 bis 33 || 70 || 5 || 10 || 3,5 |- | Kleinbildformat || 43,3 || 50 || 44 || 8 || 15 || 5,6 |- | Mittelformat || 50 bis 70 || 60 bis 80 || 30 || 11 || 20 || 8,0 |} Wesentliche Unterschiede von Bildsensoren ergeben sich indirekt durch eine unterschiedliche Schärfentiefe <math>\Delta_d</math> bei gleichem Bildwinkel und gleicher Blendenzahl. Dabei gilt näherungsweise bei gleicher Anzahl der Bildpunkte (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildauflösung|Bildauflösung]]): :<math>\Delta_d \propto \frac {1} {d}</math> Es ergibt sich bei der Verdopplung der Bilddiagonale <math>d</math> also in etwa eine Halbierung der Schärfetiefe. Bei großen Bildsensorformaten ist die Schärfentiefe bei offener Blende möglicherweise so stark eingeschränkt, dass abgeblendet werden muss. Ferner kann es bei der Verwendung von zusätzlichen Einstellhilfen für die Bildschärfe wie zum Beispiel Einstellscheiben oder Autofokussystemen bei kleinen Bildsensoren leicht zu Fokussierungsfehlern kommen, so dass das Bild auf dem Sensor nicht hinreichend scharf aufgenommen werden kann. ==Abbildungsmaßstab== [[Datei:Abbildungsgleichung.png|hochkant=2.5|miniatur|Parameter der Abbildungsgleichung bei einem konvergenten Strahlengang]] [[Datei:Lens and wavefronts rotated.gif|mini|Die Ausbreitungsrichtung der von einem Objektpunkt in unendlicher Objektentfernung ausgehenden, ebenen Wellenfronten steht überall senkrecht auf diesen Wellenfronten. Dies ist auch nach dem Passieren eines optischen Systems der Fall, so dass sich die Wellenfronten bei einer optischen Abbildung im Bild zu einem Punkt vereinigen.]] [[Datei:Virtuelle.Abbildung.png|thumb|hochkant=2|miniatur|Geometrische Verhältnisse bei einer '''virtuellen Abbildung''':<br/> Das virtuelle Bild eines zwischen der objektseitigen Brennebene und der Hauptebene befindlichen Objekts kann von rechts der Hauptebene aus betrachtet werden und entsteht von dort aus gesehen hinter dem Objekt vergrößert im Objektraum. Anders als ein reelles Bild kann es in der Bildebene '''nicht''' mit einem Schirm aufgefangen werden. Der objektseitige Brennpunkt (nicht dargestellt) befindet sich bei einer virtuellen Abbildung immer vor der Objektebene auf der optischen Achse.]] Bei photographischen Aufnahmen mit gegebener Brennweite <math>f</math> gilt die '''Abbildungsgleichung''' (umgangssprachlich auch "Linsenformel"), die den Zusammenhang zwischen Objektweite <math>a</math> und Bildweite <math>a'</math> herstellt: :<math>\frac {1} {f} = \frac {1} {a} + \frac {1} {a'}</math> oder anders ausgedrückt: :<math>f = \frac {a \cdot a'} {a + a'}</math> Aus diesen Längen lässt sich der '''Abbildungsmaßstab''' <math>\beta</math> berechnen. Dieser kann bei sowohl aus dem Verhältnis von Bildweite <math>a'</math> zu Objektweite <math>a</math> (auch Gegenstandsweite genannt), als auch aus dem Verhältnis von Bildgröße <math>y'</math> zu Objektgröße <math>y</math> (auch Gegenstandsgröße genannt) berechnet werden: :<math>\beta = \frac {a'} {a}= \frac {y'} {y} = \frac {a'} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a} {f} - 1}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {1} {\beta} = \frac {a} {a'}= \frac {y} {y'} = \frac {a} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a'} {f} - 1}</math> Hieraus ergibt sich unmittelbar, dass der Abbildungsmaßstab genau dann den Betrag Eins annimmt, wenn sowohl Objektweite als auch Bildweite doppelt so groß sind wie die Brennweite: :<math>a = 2 \cdot f \rightarrow a' = 2 \cdot f' \rightarrow | \beta | = 1</math> Bei reellen Abbildungen aus dem Unendlichen, also mit unendlicher Objektweite (<math>a = \infty</math>), ist der Abbildungsmaßstab in der Brennebene Null (<math>a' = f'</math>). Die Größe des abgebildeten Punkts hat in der Brennweite <math>f'</math> dann allerdings nicht den geometrisch sich ergebenen Durchmesser Null, sondern wird durch den Durchmesser des Beugungsscheibchens begrenzt (siehe hierzu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]). Wegen der Umkehrbarkeit der Lichtwege in einem optischen System ergeben sich die entsprechenden Verhältnisse auch bei der Abbildung eines Objektpunkts in der Brennebene bei der Objektweite <math>a = f</math> nach Unendlich (<math>a' = \infty</math>). Umgeformt nach der Bildweite <math>a'</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a'} = \frac {y'} {y} \cdot a = \beta \cdot a = \frac {1} {\frac {1}{f} - \frac {1} {a}} = ({\beta} + 1) \cdot f</math> Und umgeformt nach der Objektweite <math>a</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a} = \frac {y} {y'} \cdot a' = \frac {a'}{\beta} = \frac {1} {\frac {1} {f} - \frac {1} {a'}} = \left( \frac {1} {\beta} + 1 \right) \cdot f</math> Desgleichen können die Objektröße <math>y</math> und die Bildgröße <math>y'</math> ausgerechnet werden: :<math>{y} = \frac {y'} {\beta} = \frac {y'} {\frac {a'} {f} - 1} = \left( \frac {a} {f} - 1 \right) \cdot y'</math> :<math>{y'} = \beta \cdot y = \left( \frac {a'} {f} - 1 \right) \cdot y = \frac {y} {\frac {a} {f} - 1}</math> Bei der gleichzeitigen Aufnahme von Objekten mit verschiedener Objektweite (innerhalb des hinreichend scharf abgebildeten Schärfentiefebereiches) ergeben sich also zwangsläufig unterschiedliche Abbildungsmaßstäbe. Dieser Effekt kann bei Aufnahmen, bei denen es auf Maßhaltigkeit ankommt (zum Beispiel bei einer Industrieanlagenüberwachung, in der Photogrammetrie oder bei der Portraitphotographie), dadurch reduziert werden, dass eine größere Brennweite und entsprechend größere Objektweiten gewählt werden. Alternativ ist der Einsatz von beidseitig telezentrischen Objektiven möglich, bei denen der Abbildungsmaßstab weder von der Objektweite noch von der Bildweite abhängt (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telezentrie|Telezentrie]]). Für zwei Gegenstände mit einem Abstand von zehn Einheiten ergeben sich bei drei verschiedenen Brennweiten beispielsweise die folgenden Abbildungsmaßstäbe: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Brennweite<br/><math>f</math> !Objektweite<br/><math>a</math> !Abbildungsmaßstab<br/><math>\beta</math> !Abweichung der<br/>Abbildungsmaßstäbe |- | rowspan="2" | 10 | 100 | 0,1111 | rowspan="2" | 11,1% |- | 110 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 100 | 1090 | 0,1010 | rowspan="2" | 1,0% |- | 1100 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 1000 | 10990 | 0,1001 | rowspan="2" | 0,1% |- | 11000 | 0,1000 |} <div style="clear:both"></div> ===Abbildung über zwei Hauptebenen=== [[Datei:Optische Abbildung.mit.zwei.Hauptebenen.png|mini|rechts|hochkant=2|Optische Abbildung eines Objekts in der Gegenstandsebene G in der Objektweite a mit der Objektgröße y über zwei Hauptebenen H und H' mit dem Abstand x in die Bildebene B in der Bildweite a' mit der Bildgröße y'. Der objektseitige Brennpunkt F befindet sich in der Brennweite f vor der Hauptebene H, und der bildseitige Brennpunkt befindet sich in der Brennweite f' hinter der Hauptebene H'. Die Gesamtlänge s des Strahlengangs ist durch den Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B bestimmt.]] Optische Systeme, die für die Erzeugung von reellen Bildern von Objekten eingesetzt werden, bestehen in der Regel aus Objektiven mit mehreren Linsen. Jede Linse hat zwei Hauptebenen, an denen die Lichtstrahlen abgelenkt werden können. Von außen sind jedoch nur die objektseitige Hauptebene H und die bildseitige Hauptebene H' des gesamten optischen Systems relevant. Zwischen den Hauptebenen verlaufen alle abgelenkten Strahlen parallel zur optischen Achse. Deswegen reicht es häufig, ein optisches System nur durch diese beiden im Abstand <math>x</math> voneinander befindlichen Hauptebenen H und H' zu beschreiben und zu untersuchen. Der Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B ist dann die Summe <math>s</math> von Objektweite <math>a</math>, Abstand der Hauptebenen <math>x</math> und der Bildweite <math>a'</math>: :<math>s = a + x + a'</math> Aus den geometrischen Verhältnissen ergibt sich mit den oben genannten Größen für die Brennweite <math>f</math> und für den Abbildungsmaßstab <math>\beta</math>: :<math>s = x + f \cdot \left( \beta + \frac {1} {\beta} + 2 \right) \ge x + 4 \cdot f</math> <div style="clear:both"></div> ===Relativer Abbildungsmaßstab=== Um ein von der Brennweite und der Bildgröße unabhängiges Maß zu gewinnen, kann das Verhältnis des tatsächlichen Abbildungsmaßstabes <math>\beta</math> zum entsprechenden Abbildungsmaßstab bei der Normalbrennweite <math>\beta_\text{norm}</math> gebildet werden, der sogenannte '''relative Abbildungsmaßstab''' <math>\beta_\text{rel}</math>: :<math>\beta_\text{rel} = \frac {\beta}{\beta_\text{norm}}</math> Bei der Normalbrennweite ist der relative Abbildungsmaßstab eins, bei weitwinkligen Aufnahmen ist er kleiner als eins und bei teleskopischen Aufnahmen ist er größer als eins. <div style="clear:both"></div> ==Zoomfaktor== [[Datei:Standardzoom.png|mini|rechts|hochkant=2|Standardzoom mit Bildwinkeln zwischen leicht weitwinkliger und leicht teleskopischer Wirkung. Bei mittlerer Brennweite sind in etwa die Normalbrennweite und der Normalwinkel eingestellt.]] Der '''Zoomfaktor''' <math>z</math> von Objektiven, die in der Brennweite variabel sind, wird traditionell als Verhältnis der Extrembrennweiten angegeben: :<math>z = \frac {f_\text{tele}} {f_\text{weit}}</math> Dieser Wert ist bei '''unendlicher Objektweite''' identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise relativen Abbildungsmaßstäbe: :<math>z = \frac {\beta_\text{weit}} {\beta_\text{tele}} = \frac {\beta_\text{rel, weit}} {\beta_\text{rel, tele}}</math> Dies ist zwar ein einfacher Ansatz, da die Brennweiten als Kenndaten des Zoomobjektivs in der Regel angegeben werden, dieser lässt jedoch unbeachtet, dass die perspektivische Wirkung einer optischen Abbildung nicht von der Brennweite, sondern vom Bildwinkel bestimmt wird und bei Vergrößerungen der Abbildungsmaßstab einen viel entscheidenderen Einfluss hat. Bei einer Verdopplung der Brennweite ist es bei hinreichend geringer Objektweite ohne weiteres möglich, einen zehn Mal größeren Abbildungsmaßstab respektive einen zehn Mal kleineren Bildwinkel zu erreichen. Der Zoomfaktor ist also nur eine Kenngröße, die die Verhältnisse der Abbildungsmaßstäbe bei unendlicher Objektweite angeben. Für Objektweiten in der Größenordnung der Brennweite <math>f</math> ist das Verhältnis der Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise der Bildwinkel erheblich aussagekräftiger als der Zoomfaktor. Die folgende Tabelle gibt für eine Objektweite von <math>g = 1000</math> Längeneinheiten die Verhältnisse der Brennweiten, Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel bei verschiedenen Brennweiten bezogen auf die Bezugsbrennweite <math>f_{0} = 10</math> (dies entspricht einem Abbildungsmaßstab von <math>\beta_{0} = \frac {1} {99}</math>, einer Bildweite von <math>b_{0} = 10{,}101</math>, einer Bilddiagonale von <math>d = 8{,}7</math>, wenn <math>f_{0}</math> die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> des Systems ist, und einem Bildwinkel von <math>\alpha_{0} = \alpha_{\text{norm}} = 46{,}8^\circ</math>) an: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" |+ Abbildungsverhältnisse bei konstanter Objektweite g = 1000 !<br/>Brennweite<br/><math>f</math> !<br/>Bildweite<br/><math>b</math> !Abbildungs-<br/>maßstab<br /><math>\beta</math> !<br/>Bildwinkel<br/><math>\alpha</math> in ° !Verhältnis der<br/>Brennweiten<br /><math>f / f_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Abbildungsmaßstäbe<br /><math>\beta / \beta_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Bildwinkel<br /><math>\alpha_{0} / \alpha</math> |- | 0,999 || 1,000 || 1/1000 || 154 || 0,100 || 0,099 || 0,303 |- | 1,996 || 2,000 || 1/500 || 131 || 0,200 || 0,198 || 0,358 |- | 4,975 || 5,000 || 1/200 || 82,3 || 0,498 || 0,495 || 0,568 |- | 9,901 || 10,00 || 1/100 || 47,2 || 0,990 || 0,990 || 0,991 |- | '''10,00''' <math>= f_{0}</math> || 10,10 || 1/99 <math>= \beta_{0}</math> || 46,8 <math>= \alpha_{0}</math> || '''1,00''' || '''1,00''' || '''1,00''' |- | 19,61 || 20,00 || 1/50 || 24,7 || 1,96 || 1,98 || 1,90 |- | 38,46 || 40,00 || 1/25 || 12,5 || 3,85 || 3,96 || 3,75 |- | 100 || 111,1 || 1/9 || 4,51 || 10 || 11 || 10,4 |- | 200 || 250,0 || 1/4 || 2,00 || 20 || 24,75 || 23,4 |- | 250 || 333,3 || 1/3 || 1,50 || 25 || 33 || 31,1 |- | 333 || 500,0 || 1/2 || 1,00 || 33,3 || 49,5 || 46,7 |- | 400 || 666,7 || 2/3 || 0,751 || 40 || 66 || 62,3 |- | 500 || '''1000''' <math>= g</math> || '''1''' || 0,501 || 50 || 99 || 93,4 |- | 667 || 2000 || 2 || 0,250 || 66,7 || 198 || 187 |- | 750 || 3000 || 3 || 0,167 || 75 || 297 || 280 |- | 833 || 5000 || 5 || 0,100 || 83,3 || 495 || 467 |- | '''1000''' <math>= g</math> || ∞ || ∞ || 0,000 || 100 || ∞ || ∞ |} Hier ist zu erkennen, dass bei zunehmenden Bildweiten die Verhältnisse der Brennweiten von denen der Abbildungsmaßstäbe und denen der Bildwinkel deutlich auseinanderlaufen; die Unterschiede der Abbildungsmaßstäbe und der Bildwinkel werden im Vergleich zu den Unterschieden der Brennweiten immer größer und gehen gegen Unendlich. Anders bei kurzen Bildweiten: hier stimmen die Verhältnisse der Brennweiten gut mit denen der Abbildungsmaßstäbe überein, jedoch ist die Zunahme der Bildwinkel hierbei begrenzt, weil der maximale Bildwinkel nur 180&nbsp;Bogengrad erreichen kann. Das minimale Verhältnis der Bildwinkel ergibt sich folglich zu: :<math>\frac {\alpha_{0}} {\alpha_\text{max}} = \frac {46{,}8^\circ} {180^\circ} = 0{,}260</math> Ferner ist zu beachten, dass sich insbesondere bei kompakten Objektiven mit innenliegender Fokussierung der Abbildungsmaßstab bei der Scharfstellung ändern kann, auch ohne dass bei Zoomobjektiven die Brennweite verstellt wird (im Englischen: "focus breathing", wörtlich übersetzt "Brennpunktatmen"). <div style="clear:both"></div> ==Öffnung== [[Datei:Blendenlagen.png|mini|hochkant=2|Lage von Eintrittsluke, Aperturblende und Austrittsluke bei einer optischen Abbildung einer Objektebene (G) über eine Hauptebene (H) auf eine Bildebene (B)]] [[Datei:Einfallshoehe.png|mini|hochkant=2|Zur Definition der Einfallshöhe <math>H</math> eines Lichtstrahls, der parallel zur optischen Achse auf eine optische Fläche trifft. Ein Strahl mit der Einfallshöhe Null befindet sich auf der optischen Achse. Der maximale Wert der Einfallshöhe ist durch die Apertur begrenzt. Die Öffnungsweite <math>D</math> ist bei rotationssymmetrischen optischen Komponenten exakt doppelt so groß wie die maximale Einfallshöhe.]] Die '''Öffnung''' (oder auch '''Apertur''') eines rotationssymmetrisch konstruierten Objektivs wird durch den freien Durchmesser beschrieben, der nicht durch mechanische Vorrichtungen wie beispielsweise Kanten, Linsenfassungen oder Blenden begrenzt ist und welcher auch als '''Öffnungsweite''' <math>D</math> bezeichnet wird. Die virtuelle Öffnung von Objektiven kann durch das objektseitige und das bildseitige virtuelle Bild der '''Aperturblende''' beschrieben werden, die auch wirksame '''Eintrittspupille''' beziehungsweise wirksame '''Austrittspupille''' genannt wird. Liegt die Aperturblende vor der ersten Hauptebene der Abbildung (objektseitig) ist die wirksame Eintrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Liegt die Aperturblende hinter der letzten Hauptebene der Abbildung (bildseitig) ist die wirksame Austrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Idealerweise werden Aperturblenden in die Hauptebenen des Strahlengangs gelegt, damit sie den Bildausschnitt respektive den Bildwinkel der optischen Abbildung nicht beeinflussen. Mit einer solchen Aperturblende kann der Lichtstrom durch ein optisches System begrenzt werden. Mit variablen Aperturblenden (beispielsweise Irisblenden) kann der Lichtstrom in einem optischen System verändert werden. Befindet sich eine Blende in der Nähe der Objektebene oder der Bildebene, handelt es sich nicht um eine Aperturblende, sondern um eine '''Feldblende''', die den Bildausschnitt beziehungsweise den erfassten Bildwinkel unmittelbar auf die sogenannte '''Eintrittsluke''' (objektseitig) beziehungsweise '''Austrittsluke''' (bildseitig) begrenzt. Befinden sich solche Feldblenden nicht in der Nähe der Objekt- oder Bildebene, werden die entsprechenden Bilder dieser Feldblenden in der jeweiligen Ebene zur Bestimmung der effektiven Lukendurchmesser herangezogen. <div style="clear:both"></div> ===Blendenzahl=== Die dimensionslose '''Blendenzahl''' <math>k</math> eines Objektivs mit der Brennweite <math>f</math> und der Öffnungsweite <math>D</math> ist wie folgt definiert: :<math>k = \frac {f} {D}</math> Der Kehrwert der Blendenzahl wird als das '''Öffnungsverhältnis''' <math>V</math> bezeichnet: :<math>V = \frac {D} {f} = \frac {1} {k}</math> <gallery caption="Objektiv mit Irisblende zur Einstellung der Apertur (Brennweite 42,5 Millimeter)" perrow="2" widths="256" heights="256"> Datei:Objektiv.Blendenzahl.1.2.jpg|Maximale Apertur (Blendenzahl 1,2) Datei:Objektiv.Blendenzahl.16.jpg|Minimale Apertur (Blendenzahl 16) </gallery> Die Änderung der Blendenzahl um eine '''Blendenstufe''' kann sowohl durch Auf- als auch durch Abblenden erreicht werden, wobei sich die Blendenzahl um den Faktor Wurzel von zwei und der Lichtstrom im Objektiv um den Faktor zwei ändert. Je kleiner die Blendenzahl, desto mehr Licht trägt zur Abbildung bei und umgekehrt. Nach der Halbierung der Blendenzahl kommt vier Mal so viel Licht durch das Objektiv, bei der Verdopplung der Blendenzahl nur ein Viertel des Lichtes. Zwei Blendenzahlen <math>k_2</math> und <math>k_1</math> unterscheiden sich um die folgende Anzahl von Blendenstufen <math>\Delta n_k</math>: :<math>\Delta n_k = \log_{\sqrt{2}} {\frac {k_2} {k_1}} = \frac {\log {\frac {k_2} {k_1}}} {\log {\sqrt {2}}} = \frac {\log {k_2} - \log {k_1}} {\log {\sqrt {2}}}</math> Blendenzahlen werden häufig mit den folgenden elf Vorzugswerten angegeben, die sich jeweils um zirka eine Blendenstufe unterscheiden und demzufolge insgesamt zehn Blendenstufen umfassen: :1,0 - 1,4 - 2,0 - 2,8 - 4,0 - 5,6 - 8,0 - 11 - 16 - 22 - 32 [[Datei:Image.Size.png|miniatur|hochkant=2|rechts|Zum Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> bei konstanter Öffnungsweite <math>D</math>]] Hierbei ist zu beachten, dass die Blendenzahl <math>k</math> ohne die Angabe der gewählten Bildgröße <math>B</math> wenig Aussagekraft hat. Bei konstantem Bildwinkel <math>\alpha</math> und konstanter Öffnungsweite <math>D</math> ist nicht nur die zur optischen Abbildung beitragende Lichtmenge, sondern ist auch das Verhältnis zwischen Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> konstant, obwohl die Abbildungen mit unterschiedlichem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> beziehungsweise unterschiedlicher Brennweite <math>f</math> und somit auch mit unterschiedlicher Blendenzahl <math>k</math> gemacht werden. Für die Gegebenheiten in der Abbildung rechts gilt: :<math>\alpha = \text{const.}</math> :<math>D = \text{const.}</math> :<math>\frac {b_{1}} {B_{1}} = \frac {b_{2}} {B_{2}} = \text{const.}</math> Aber: :<math>k_{1} > k_{2}</math> :<math>\beta_{1} < \beta_{2}</math> :<math>f_{1} < f_{2}</math> <div style="clear:both"></div> ===Öffnungswinkel=== [[Datei:gegenstandsseitiger.und.bildseitiger.Oeffnungswinkel.png|mini|hochkant=2|Objektseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_g</math> und bildseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_b</math> in Abhängigkeit von Objektweite <math>g</math> beziehungsweise Bildweite <math>b</math> zur Öffnungsweite <math>D</math>]] Der '''Öffnungswinkel''' ist der Winkel unter dem die wirksame Öffnung mit der Öffnungsweite <math>D</math> eines Objektivs erscheint. Von einem Objektpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''objektseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_g</math>: :<math>\omega_g = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 g}</math> Der halbe objektseitige Öffnungswinkel wird auch '''Aperturwinkel''' genannt. Von einem Bildpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''bildseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_b</math>: :<math>\omega_b = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 b}</math> Der halbe bildseitige Öffnungswinkel wird auch '''Feldwinkel''' genannt. Die Öffnungswinkel dürfen nicht mit dem Bildwinkel verwechselt werden (siehe dazu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Bildwinkel|Bildwinkel]]). Bei unendlicher Objektweite ist die Bildweite <math>b</math> identisch mit der Brennweite <math>f</math>, so dass die Blendenzahl <math>k</math> folgendermaßen ausgedrückt werden kann: :<math>g \rarr \infty : k = \frac {f} {D} = \frac {b} {D} = \frac {1} {2 \tan {\frac {\omega_b} {2}}}</math> <div style="clear:both"></div> ===Sinusbedingungen=== [[Datei:Sinusbedingung.Interferenz.Hauptebene.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Interferenz der beiden Randstrahlen bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung eines Punktes P über eine Hauptebene H in die Bildebene B. Die Randstrahlen werden mit ebenen Wellen dargestellt, deren Maxima durch die Punkte und deren Minima durch die dünnen Linien senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gekennzeichnet sind. Auf der optischen Achse treffen im Bildpunkt zwei Maxima der beiden Randstrahlen aufeinander. Die Intensität in der Bildebene B nimmt seitlich zur optischen Achse bis zu den Stellen ab, wo zwei Minima der Randstrahlen aufeinandertreffen.]] [[Datei:Sinusbedingung.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Sinusbedingung bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung.]] Die beiden Öffnungswinkel stehen für Abbildungen, bei denen Öffnungsfehler (siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sphärische_Aberration|sphärische Aberration]]) keine Rolle spielen, über '''Sinusbedingungen''' in Beziehung. Im Folgenden wird etwas vereinfachend davon ausgegangen, dass die optische Abbildung eines Gegenstands mit der Objektgröße <math>G</math> in ein reelles Bild mit der Bildgröße <math>B</math> außerhalb des optischen Systems, das durch die Hauptebene <math>\text{H}</math> repräsentiert wird, vom gleichen optischen Medium (zum Beispiel Vakuum, Luft oder Flüssigkeit) mit konstanter Brechkraft umgeben ist. Ein kleiner flächenhafter Gegenstand mit der Objektgröße <math>G</math>, der senkrecht zur optischen Achse steht, kann nur dann hinreichend scharf mit der Bildgröße <math>B</math> senkrecht zur optischen Achse abgebildet werden, wenn alle Punkte des Gegenstands beim halben objektseitigen Öffnungswinkel innerhalb einer Wellenlänge <math>\lambda</math> einer ebenen Welle erfasst und alle Bildpunkte beim halben bildseitigen Öffnungswinkel ebenfalls innerhalb einer Wellenlänge einer ebenen Welle zu einem Bild zusammengesetzt werden können. Durch diese Voraussetzung kann vermieden werden, dass es im Bild Interferenzen gibt, die Kontraste erzeugen, die nicht dem Aussehen des abgebildeten Gegenstands entsprechen. Die daraus resultierende '''Abbesche Sinusbedingung''' gilt für eine in Bezug auf den Öffnungsfehler korrigierte Abbildung mit dem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> sowie für eine bestimmte Wellenlänge <math>\lambda</math> ('''monochromatisches Licht'''). Sie lautet wie folgt: :<math>\beta = \frac {B} {G} = \frac {b} {g} = \frac {\sin \frac {\omega_g} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> Diese Sinusbedingung kann auch in der Form der '''Helmholtz-Lagrange-Invariante''' geschrieben werden: :<math>B \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} = G \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} = \lambda</math> Mit dem halben bildseitigen Öffnungswinkel <math>\alpha_b = \frac {\omega_b} {2}</math> folgt aus dieser Beziehung die häufig angegebene Formulierung des maximalen Auflösungsvermögens respektive der kleinsten abzubildenden Struktur <math>B_{min}</math> nach Ernst Abbe: :<math>B_{min} = \frac {\lambda} {\sin \alpha_b}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Paraxiale Strahlengänge ==== Für paraxiale Strahlengänge können sehr kleine Öffnungswinkel angenommen werden, so dass dann die Sinūs durch die Argumente (im Bogenmaß) ersetzt werden können: :<math>\frac {\omega}{2} = \lim_{\omega \rarr 0} \sin \frac {\omega}{2}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {B} {G} = \frac {\omega_g} {\omega_b}</math> :<math>B \cdot \omega_b = G \cdot \omega_g</math> Die '''paraxiale Optik''', die auch '''gaußsche Optik''' genannt wird, verwendet in der geometrischen Optik diese Näherung, bei der für eine optische Abbildung nur '''paraxiale Strahlen''' berücksichtigt werden. Diese haben lediglich kleine Winkel zur optischen Achse und befinden sich deswegen in der Regel in der Nähe der optischen Achse. <div style="clear:both"></div> ==== Schnittweite ==== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.png|mini|rechts|hochkant=2||Zur Schnittweite an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n < n'</math>.]] Die auf der optischen Achse gemessenen '''Schnittweiten''' <math>s</math> und <math>s'</math> beim Übergang an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n</math> und <math>n'</math> kann für paraxiale Strahlen leicht abgeschätzt werden. Hierbei gelten für den Grenzwert der Pfeilhöhe <math>p \rarr 0</math> (siehe nebenstehende Abbildung) die folgenden Näherungsgleichungen: :<math>\sin \alpha \approx \alpha</math> :<math>\sin \beta \approx \beta</math> :<math>\tan \gamma \approx \gamma \approx \frac {h} {s}</math> :<math>\tan (\alpha - \beta - \gamma) \approx \alpha - \beta - \gamma \approx \frac {h} {s'}</math> :<math>\tan (\alpha - \gamma) \approx \alpha - \gamma \approx \frac {h} {r}</math> Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt für achsnahe Strahlen die Näherung: :<math>n \, \alpha \approx n' \, \beta</math> Sowie: :<math>n' (\alpha - \beta - \gamma) = n' \, \alpha - n' \, \beta - n' \, \gamma \approx n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma</math> :<math>n \, \gamma + n' (\alpha - \beta - \gamma) \approx n \, \gamma + n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma = (n - n') \, (\gamma - \alpha) = (n' - n) \, (\alpha - \gamma)</math> :<math>n \, \frac {h} {s} + n' \, \frac {h} {s'} \approx (n' - n) \, \frac {h} {r}</math> Durch Kürzen der Höhe <math>h</math> ergibt sich schließlich eine Näherungsgleichung, die die '''Schnittweitengleichung''' einer sphärischen Fläche für paraxiale Strahlen darstellt: :<math>\frac {n} {s} + \frac {n'} {s'} \approx \frac {n' - n} {r}</math> Sie kann auch in Form der '''Abbeschen Invariante''' geschrieben werden: :<math>n \, \left( \frac {1} {r} + \frac {1} {s} \right) = n' \, \left( \frac {1} {r} - \frac {1} {s'} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt: :<math>s = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n'} {n' - n} \, r</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt: :<math>s' = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> <div style="clear:both"></div> ===== Dünne Linsen ===== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.bikonvex.png|mini|rechts|hochkant=2||Zu den Schnittweiten bei einer dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinse mit den Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> sowie dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem optisch dünneren Medium mit dem Brechungsindex <math>n < n'</math>.]] Bei einer '''dünnen Linse''' ist die Dicke zwischen den Scheitelpunkten ihrer brechenden sphärischen Oberflächen auf der optischen Achse im Vergleich zu den beiden Radien dieser Oberflächen sehr klein. Für eine '''dünne bikonvexe sphärische Sammellinse''' mit den beiden Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> und dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem die Linse umgebenden Medium mit dem Brechungsindex <math>n</math> ergibt sich die folgende entsprechende Beziehung für die Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx (n' - n) \, \left( \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt damit für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt entsprechend für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' wie Luft (<math>n \gtrapprox 1</math>) oder im Vakuum (<math>n = 1</math>), vereinfacht sich diese Näherungsformel für die Schnittweiten weiter zu: :<math>s' = s \approx \frac {1} {n' - 1} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Bei '''dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinsen''' kann das harmonische Mittel <math>\bar{r}_\text{harm}</math> der beiden Radien verwendet werden: :<math>\bar{r}_\text{harm} = \frac {2} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = 2 \cdot \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Daraus folgt für den für beide Linsenoberflächen gleichen Radius <math>r</math>, dass dieser halb so groß ist wie der harmonische Mittelwert: :<math>r = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2} = \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Beziehungsweise: :<math>\frac {1} {r} = \frac {2} {\bar{r}_\text{harm}} = \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}</math> Für dünne bikonvexe Linsen mit zwei gleichen Oberflächenradien <math>r</math>, dem Durchmesser <math>D</math> und der Dicke <math>x</math> gilt: :<math>r = r_1 = r_2 = \frac {x^2 + D^2} {4 \, x}</math> :<math>s' = s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {r} {2} = \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {x^2 + D^2} {8 \, x}</math> Dünne '''plankonvexe''' sphärische Sammellinsen mit dem Radius <math>r = 2 \, r_1 = 2 \, r_2</math> verhalten sich demnach genauso wie dünne bikonvexe Linsen mit den beiden identischen Radien <math>r_1 = r_2 = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2}</math>. Wenn einer der beiden Radien <math>r_1</math> oder <math>r_2</math> unendlich groß wird, also eine Ebene beschreibt, nimmt der zu berücksichtigende Radius <math>r</math> den Wert des anderen Radius an: :<math>r = \lim_{r_1 \to \infty} r (r_2) = r_2</math> :<math>r = \lim_{r_2 \to \infty} r (r_1) = r_1</math> Mit dem Brechungsindex <math>n'</math> ergibt sich für die entsprechenden Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx \frac {n' - n} {r}</math> Die Schnittweiten entsprechen bei '''paraxialen Strahlen''' dann den Brennweiten <math>f'</math> (bildseitig bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit <math>s \rarr \infty</math>) beziehungsweise <math>f</math> (objektseitig bei der Abbildung ins Unendliche mit <math>s' \rarr \infty</math>): :<math>s \rarr \infty : f' \approx s' \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> :<math>s' \rarr \infty : f \approx s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' mit <math>n \gtrapprox 1</math>, vereinfachen sich diese Näherungsformeln weiter zu: :<math>f = f' \approx \frac {r} {n' - 1}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Große Objektweiten ==== Bei großer Objektweite <math>g</math> ist die Bildweite <math>b</math> annähernd gleich der Brennweite <math>f</math>, und der Sinus des halben objektseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_g} {2}</math> kann in guter Näherung durch das Verhältnis der Hälfte der Öffnungsweite <math>\frac {D} {2}</math> und Objektweite <math>g</math> ausgedrückt werden: :<math>\sin \frac {\omega_g} {2} = \frac {b} {g} \sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {\frac {D} {2}} {g} \approx \frac {f} {g} \sin \frac {\omega_b} {2}</math> Daraus folgt mit Verwendung des halben bildseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_b} {2}</math> und der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>f \approx \frac {\frac {D} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {1} {2k}</math> Aus der Beziehung :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \le 1</math> folgt: :<math>f \ge \frac {D} {2}</math> Diese Ungleichung kann auch wieder unter Verwendung der Blendenzahl <math>k</math> ausgedrückt werden: :<math>k \ge \frac {1} {2}</math> In Worten ausgedrückt: <big>'''Die Blendenzahl kann bei einer öffnungsfehlerfreien Abbildung aus dem Unendlichen auf der optischen Achse minimal den Wert <math>\frac {1} {2}</math> annehmen.'''</big> Dieser Wert ist jedoch rein theoretisch, da bei einer entsprechend großen Öffnungsweite alle Objekt- und Bildpunkte außerhalb der optischen Achse notwendigerweise von Abbildungsfehlern beeinträchtigt werden. Die Strecke <math>x</math> vom Schnittpunkt der Randstrahlen mit der Hauptebene zum Bildpunkt auf der optischen Achse beträgt bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>g = \infty</math> :<math>b = f</math> :<math>x = \sqrt {f^2 + \frac {D^2} {4}} = \sqrt {f^2 + \frac {f^2} {(2k)^2}} = f \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}}</math> Mit den geometrischen Ähnlichkeiten der Dreiecke bei der Sinusbedingung ergibt sich das folgende Verhältnis aus Bildgröße <math>B</math> und betrachteter Wellenlänge <math>\lambda</math>: :<math>\frac {B} {\lambda} = \frac {x} {\frac {D} {2}}</math> :<math>B = \frac {2 \cdot \lambda \cdot x} {D} = \frac {\lambda \cdot x \cdot 2 k} {f} = \lambda \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}} \cdot 2 k = \lambda \cdot \sqrt {4k^2 + 1}</math> Da die Blendenzahl k nicht kleiner als 0,5 werden kann, gilt als Abschätzung für die erreichbare, durch wellenoptische Beugungseffekte begrenzte Bildgröße demzufolge: :<math>B \ge \sqrt {2} \lambda</math> In Worten ausgedrückt: <big>'''Die Bildgröße eines Objektpunkts kann bei einer öffnungsfehlerfreien Abbildung aus dem Unendlichen auf der optischen Achse nicht kleiner werden als das <math>\sqrt 2</math>-fache der Wellenlänge des verwendeten Lichts.'''</big> <div style="clear:both"></div> ====Zwei dünne Linsen==== Für zwei im Abstand <math>d</math> hintereinander angeordnete dünne Linsen mit den Brennweiten <math>f_1</math> und <math>f_2</math> kann die Gesamtbrennweite <math>f_g</math> folgendermaßen bestimmt werden: :<math>f_g = \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2} + \frac {d} {f_1 \cdot f_2}</math> Wenn der Abstand zwischen den Linsen sehr viel kleiner als die beiden Brennweiten ist (<math>d \ll f_1 , f_2 </math>), kann der letzte Term vernachlässigt werden: :<math>f_g \approx \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2}</math> Mit den Brechkräften (<math>D</math> in Dioptrien) ergibt sich dann entsprechend: :<math>D_g \approx D_1 + D_2</math> ====Numerische Apertur==== Die '''numerische Apertur''' <math>A_N</math> dient zur Einschätzung des Auflösungsvermögens von optischen Geräten, bei denen die Objektweite dicht bei der objektseitigen Brennweite beziehungsweise bei denen die Bildweite dicht bei der bildseitigen Brennweite liegt. Ein Anwendungsbeispiel sind '''Immersionsobjektive''' (insbesondere bei Mikroskopen), die bei der optischen Abbildung in eine hochbrechende Flüssigkeit (zum Beispiel Immersionsöl) eingetaucht werden. Die numerische Apertur bezieht sich auf den halben Öffnungswinkel <math>\frac {\omega} {2}</math> und die Brechzahl <math>n</math> des optischen Mediums außerhalb des Objektivs. Je höher die dimensionslose Zahl der numerischen Apertur sich dem Brechungsindex des umgebenden Mediums von unten nähert, desto lichtstärker ist das verwendete Objektiv und desto höher wird bei optisch korrigierten Objektiven das optische Auflösungsvermögen. [[Datei:Numerische.Apertur.png|mini|rechts|hochkant=2|Skizze zur numerischen Apertur.]] Für die objektseitige numerische Apertur ergibt sich: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} \le n</math> Für die bildseitige numerische Apertur ergibt sich entsprechend: :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} \le n</math> Die numerische Apertur kann also nicht größer werden als der Brechungsindex des umgebenden Mediums. Die Sinūs der halben Öffnungswinkel <math>\omega</math> können hierbei mit Hilfe der rechtwinkligen Dreiecke (siehe Skizze rechts) und des Satzes des Pythagoras sowohl objektseitig als auch bildseitig wie folgt aus dem Verhältnis der Gegenkatheten zu den Hypotenusen bestimmt werden: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin {\frac {\omega_g} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {g^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 g^2} {D^2} + 1}}</math> :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin {\frac {\omega_b} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {b^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 b^2} {D^2} + 1}}</math> <div style="clear:both"></div> =====Grenzfälle===== Bei einer Abbildung ins Unendliche (<math>b = \infty \Rightarrow g = f</math>) oder wird die Abbildung aus dem Unendlichen gemacht (<math>g = \infty \Rightarrow b = f</math>), kann jeweils die Blendenzahl <math>k = \frac {f} {D}</math> eingesetzt werden, und dann vereinfachen sich beide Gleichungen wie folgt: :<math>A_{N,g=f} = A_{N,b=f} = \frac {n} {\sqrt {4 {k^2} + 1}}</math> Aufgelöst nach der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>k = \frac {\sqrt {\frac {n^2} {A_{N}^2} - 1}} {2}</math> Für große Blendenzahlen (<math>k \gg 1</math>) respektive für kleine numerische Aperturen (<math>A_{N} \ll 1</math>) gilt dann näherungsweise: :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Für hinreichend große Objektweiten (<math>g \gg D</math>) beziehungsweise hinreichend große Bildweiten (<math>b \gg D</math>) gelten die folgende Näherungen: :<math>A_{N,g} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot g}</math> :<math>A_{N,b} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot b}</math> Ist zudem auch noch die Brennweite <math>f</math> hinreichend nah an der Objektweite (<math>f \approx g</math>) oder an der Bildweite (<math>f \approx b</math>), dann gilt <math>f \gg D \Rightarrow k \gg 1</math> und wiederum die Näherung (siehe auch oben): :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Bei einem Abbildungsmaßstab von eins (siehe unten) sind Objektweite <math>g</math> und Bildweite <math>b</math> identisch und genau doppelt so groß wie die verwendete Brennweite <math>f</math>. In diesem Fall sind auch die objektseitige und die bildseitige numerische Apertur sowie der objektseitige und der bildseitige Öffnungswinkel identisch: :<math>f = 2 \cdot g = 2 \cdot b</math> :<math>A_{N,g} = A_{N,b} = A_{N}</math> :<math>\omega_{g} = \omega_{g} = \omega</math> :<math>A_{N} = n \cdot \sin \frac {\omega} {2}</math> Bei Aufnahmen mit kurzen Objektweiten, wie mit Mikroskopen oder mit Makroobjektiven, muss berücksichtigt werden, dass es durch den großen Abbildungsmaßstab zu einer im Vergleich zur Abbildung aus dem Unendlichen verminderten Lichtausbeute kommt. Siehe hierzu auch: '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Lichtausbeute|Kapitel Bildaufnahme, Abschnitt Lichtausbeute]]'''. <div style="clear:both"></div> ==Modulationsübertragung== ===Modulation=== [[Datei:Modulation.ueber.Schwarzwert.png|miniatur|rechts|hochkant=2|Die Modulation in Abhängigkeit vom Schwarzwert. Der Schwarzwert ist einheitenlos in Anteilen des Weißwertes angegeben.]] Die '''Modulation''' (auch ''Michelson-Kontrast'' genannt) <math>M</math> ist ein Maß (lateinisch: ''modulatio'') für '''relative''' Helligkeitsschwankungen zwischen zwei Bildpunkten mit den vom Menschen als Helligkeiten empfundenen Leuchtdichten <math>L_1</math> und <math>L_2</math> (siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Leuchtdichte|Leuchtdichte]]), das unter den Voraussetzungen <math>L_2 \ge L_1</math> und <math>L_2 > 0</math> wie folgt berechnet werden kann: :<math>M = \frac {{L_2} - {L_1}} {{L_2} + {L_1}} = \frac {\Delta_L} {\Sigma_L}</math> Die Modulation gibt also keineswegs den Helligkeitsunterschied :<math>\Delta_L = L_2 - L_1</math> zwischen zwei Bildpunkten an, sondern setzt diesen in Bezug auf die Summe <math>\Sigma_L</math> dieser beiden Helligkeiten, die auch als der doppelte Mittelwert, also :<math>2 \cdot \overline L = L_2 + L_1</math>, der beiden Helligkeiten interpretiert werden kann: :<math>\Sigma_L = {2} \cdot {\overline L} = {2} \cdot {\frac {L_2 + L_1} {2}}</math> Dies bedeutet, dass die maximale Modulation den Wert '''eins''' hat, die genau dann erreicht wird, wenn <math>L_1 = 0</math> ist und der dunklere Punkt also keine Helligkeit (die Leuchtdichte null) hat. Die absolute Helligkeit des helleren Bildpunktes hat in diesem Fall keinen Einfluss auf die Modulation. Die Helligkeitsdifferenz <math>\Delta_L</math> zwischen diesen beiden Bildpunkten ist in Bezug auf die Helligkeit <math>L_2</math> des helleren Punktes dann maximal und exakt genauso groß wie diese. Wenn beide Bildpunkte die gleiche Helligkeit größer als null haben <math>L_1 = L_2 > 0</math>, so ergibt sich immer eine Modulation von '''null''' (wenn beide Punkte keine Helligkeit haben, ist die Modulation nicht definiert). Werden beide Helligkeiten um denselben Faktor <math>c</math> verändert, bleibt die Modulation erhalten: :<math>M = \frac {{c} \cdot {L_2} - {c} \cdot {L_1}} {{c} \cdot {L_2} + {c} \cdot {L_1}} = \frac {c \cdot (L_2 - L_1)} {c \cdot (L_2 + L_1)} = \frac {L_2 - L_1} {L_2 + L_1}</math> Da innerhalb eines Bildes üblicherweise mehr als zwei Bildpunkte vorhanden sind, ist es meist von Interesse, in welchem Verhältnis der hellste Bildpunkt <math>L_\text{max}</math> ('''Weißwert''') und der dunkelste Bildpunkt <math>L_\text{min}</math> ('''Schwarzwert''') zueinander stehen, was durch die maximale Modulation bestimmt werden kann: :<math>M_\text{max} = \frac {L_\text{max} - L_\text{min}} {L_\text{max} + L_\text{min}}</math> Es gilt zu beachten, dass bei einem Schwarzwert von einem Drittel des Weißwertes die Modulation nur noch 50&nbsp;Prozent und bei einem Schwarzwert von der Hälfte des Weißwertes nur noch 33&nbsp;Prozent beträgt. <div style="clear:both"></div> ====Farbwahrnehmung==== [[Datei:Emmetropia.png|mini|hochkant=2|Optischer Strahlengang bei einem auf Unendlich eingestellten Auge eines Normalsichtigen. Die parallelen Strahlen treten aus der Umwelt durch die '''Hornhaut '''(Cornea) ins Auge ein, passieren die lichte Öffnung der '''Pupille''' (Pupilla) der '''Regenbogenhaut''' (Iris), werden in der '''Augenlinse''' (Lens) gebrochen, durchqueren den großen inneren '''Glaskörper''' (Corpus vitreum) und vereinigen sich schließlich im Bildpunkt auf der '''Netzhaut''' (Retina).]] [[Datei:Cone-absorbance-de.svg|mini|hochkant=2|Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen und der Stäbchen in der menschlichen Netzhaut über der Lichtwellenlänge in Nanometern (nm). Die relative Empfindlichkeit der Stäbchen ist gestrichelt dargestellt und hat ihr Maximum bei zirka 500 Nanometern (<span style="color:#00ffd5">⬤</span>). Die maximale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen liegt bei den Farben <span style="color:#2F00DD">⬤</span> (420&nbsp;nm, violett), <span style="color:#00ff6c">⬤</span> (534&nbsp;nm, grün) und <span style="color:#cbff00">⬤</span> (564&nbsp;nm, gelbgrün).]] <big>'''Farbe ist eine subjektive Wahrnehmung, die nicht gemessen werden kann.'''</big> Messtechnisch kann für alle Wellenlängen eine Intensitätsmessung durchgeführt werden, so dass ein vollständiges Lichtspektrum ermittelt werden kann. Wie ein solches Lichtspektrum von einem Menschen farblich empfunden wird, kann daraus nicht eindeutig abgelesen werden. Bestenfalls ist es möglich, eine Intensitätsverteilung einer wahrscheinlichen, üblichen beziehungsweise durchschnittlichen Farbwahrnehmung zuzuordnen. Optische Sinnesreize werden im menschlichen Auge durch Photorezeptoren in der '''Netzhaut''' (Retina) zwischen der stark durchbluteten Aderhaut (Chorioidea) und dem Glaskörper (Corpus vitreum) ausgelöst und durch die Sehnerven ins Gehirn geleitet. Bei den Sinneszellen der Netzhaut ist zwischen den '''Stäbchen''' und den drei verschiedenen '''Zapfen'''arten zu unterscheiden. Während die Stäbchen sehr empfindlich sind und deswegen das Nachtsehen ermöglichen, sind die weniger empfindlichen drei Zapfenarten beim Tagsehen für die Wahrnehmung von Farben maßgeblich. Für farbige Bilder wird bei der Bildgebung in der Regel zwischen '''drei Primärfarben''' unterschieden. Im für einfache Bildschirme deutlich reduzierten standardisierten Farbraum '''sRGB''' ('''s'''tandard '''R'''ed '''G'''reen '''B'''lue) werden hierbei Farbwerte für die folgenden drei Primärfarben verwendet, deren Intensität jeweils die Werte 0 bis 255 annehmen können: {| class="wikitable" |+ Primärfarben im sRGB-Farbraum ! Primärfarbe !! Hexadezimale<br/>Kodierung<br/>der drei Farbanteile !! Darstellung !! Ungefähre Wellenlänge<br/>der maximalen spektralen Intensität<br/>im angezeigten Bild<br/>in Nanometer |- | Rot || FF0000 || <span style="color:#ff0000">⬤</span> || 610 |- | Grün || 00FF00 || <span style="color:#00ff00">⬤</span> || 555 |- | Blau || 0000FF || <span style="color:#0000ff">⬤</span> || 465 |} [[Datei:SRGB chromaticity CIE1931.svg|mini|hochkant=2|Farbdiagramm in dem nach dem '''Standard CIE 1931''' festgelegten Farbkoordinaten x und y mit Angabe der Lichtwellenlängen und den im Farbraum '''sRGB''' darstellbaren Farbwerten. Die reinen Spektralfarben befinden sich auf der gekrümmten Begrenzungslinie der äußeren Fläche, die Verbindungslinie zwischen der minimalen und der maximalen wahrnehmbaren Wellenlänge wird '''Purpurlinie''' genannt. Durch die additive Mischung mehrerer Spektralfarben ergeben sich beliebige Punkte innerhalb der Fläche. Bildgebende Geräte können meistens nur einen kleinen Teil des Farbraums darstellen, der im Fall von sRGB durch das innere Dreieck begrenzt ist. Der farbneutrale '''Weißpunkt''' ist als "'''D65'''" für einen Hohlraum mit der Temperatur '''65'''00&nbsp;Kelvin angegeben. Die Tangente an der Begrenzungslinie für die langen Wellenlängen schneidet die Koordinatenachsen links oben beim Punkt (0, 1) und rechts unten beim Punkt (1, 0).]] Durch die voneinander unabhängige Einstellung der Farbwerte für diese drei Primärfarben können insgesamt <math>256^3 = 16\,777\,216</math> verschiedene gemischte Farbwerte reproduziert werden. Wenn alle drei Primärfarben auf 0 gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Schwarz''', und wenn alle drei Primärfarben auf den maximalen Wert gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Weiß'''. In Farbdiagrammen wird die entsprechende Stelle als Weißpunkt angegeben, der auf die Farbtemperatur eines festgelegten Hohlraumstrahlers (auch Schwarzer Körper oder Planckscher Strahler genannt) abgestimmt ist. Die Modulation kann in farbigen Bildern für jede einzelne Primärfarbe unabhängig bestimmt werden. Bei den drei Primärfarben Rot, Grün und Blau (R, G, B) eines Bildpunktes ergeben sich dann also entsprechend: :<math>M_R = \frac {R_2 - R_1} {R_2 + R_1}</math> :<math>M_G = \frac {G_2 - G_1} {G_2 + G_1}</math> :<math>M_B = \frac {B_2 - B_1} {B_2 + B_1}</math> Die Verteilung der Photorezeptoren in der Netzhaut ist nicht homogen. Im ungefähr nur anderthalb Millimeter großen Sehzentrum (Fovea) ist die Dichte der Sehzellen besonders hoch, und deswegen ist hier das Sehvermögen in Bezug auf die Wahrnehmung von Kontrasten und Farben am größten. Beim peripheren Sehen sind sowohl die Wahrnehmung von Kontrasten als auch die Wahrnehmung von Farben erheblich eingeschränkt, so dass hier vor allem Änderungen der Helligkeit und somit Bewegte Objekte wahrgenommen werden können. Die Wahrnehmung von Farbeindrücken ist eine sehr subjektive Angelegenheit und von Mensch zu Mensch verschieden. Manche Menschen haben erbliche Störungen bei der Farbwahrnehmung, die durch Abweichungen bei der Verteilung der Farbzapfen in der Netzhaut bedingt ist. Eine Rot-Grün-Sehschwäche trifft hierbei wesentlich häufiger auf als eine Gelb-Blau-Sehschwäche oder als die vollständige Farbblindheit (Achromasie). Die folgende Tabelle zeigt simulierte Bilder, die von Farbsichtigen mit drei funktionierenden Zapfentypen (Trichromaten), von Farbenfehlsichtigen mit fehlender Unterscheidung zwischen Rot- und Grüntönen (Dichromaten) sowie von Farbenblinden (Achromaten) wahrgenommen werden können. Diese Simulation erfolgte bei den dichromatischen Bildern durch die Gleichsetzung des roten und grünen Farbkanals der digitalen Bilder auf einen Wert, der dem Mittelwert der beiden Farbwerte entspricht. {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" ! style="width:25%" | Motiv ! style="width:25%" style="text-align:center" | Trichromatisches Bild ! style="width:25%" style="text-align:center" | Dichromatisches Bild<br />ohne Rot-Grün-Unterscheidung ! style="width:25%" style="text-align:center" | Achromatisches Bild<br />in Graustufen |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Pseudoisochromatische<br />Farbtafel | [[Datei:47-rg12.jpg| 200px]] | [[Datei:RG47-rg12.png| 200px]] | [[Datei:BW47-rg12.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Obststand | [[Datei:TCFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:RGFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:BWFruits.jpg| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Lichtspektrum | [[Datei:Lichtspektrum.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.gelb-blau.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.farblos.P1128463.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Regenbogen mit Interferenzbogen | [[Datei:Interferenzbogen.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.gelb-blau.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.farblos.P1150723.png| 200px]] |} <div style="clear:both"></div> ===Ortsfrequenz=== Die '''Ortsauflösung''' entspricht der maximalen Anzahl von räumlichen Informationseinheiten, die entlang einer Strecke, meist der Bildhöhe beziehungsweise der Bildbreite, erfasst werden können. Zur Darstellung einer räumlichen Information, also eines Helligkeitswechsels, ist mindestens ein Bildpunktpaar erforderlich, damit eine Modulation vorhanden sein kann. Die Bezugslänge kann eine absolute Länge sein, bei der die Bildpunktpaare zum Beispiel pro Millimeter ermittelt werden. Bei Filmmaterial wurde diese Informationsdichte meist richtungsunabhängig in Linienpaaren pro Millimeter ermittelt und angegeben. Auf der anderen Seite kann statt einer metrischen Bezugslänge auch eine relative Bezugslänge gewählt werden, wie zum Beispiel die Bilddiagonale, die Bildbreite oder die Bildhöhe. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass unabhängig von der Gesamtzahl der Bildpunkte, der Größe der Reproduktion des Bildes und dem Bildseitenverhältnis ein einheitliches und somit leicht vergleichbares Maß für die Ortsauflösung zur Verfügung steht. Dieses Maß ist insbesondere unabhängig von der Größe und vom Bildseitenverhältnis des verwendeten Bildsensors. Bei digitalen Bildern hat es sich daher durchgesetzt, '''Linienpaare pro Bildhöhe''' (horizontale Linien) als Bezugsgröße zu verwenden. Diese Bezugsgröße wird dann ebenfalls für die Informationseinheiten in horizontaler Richtung (vertikale Linienpaare) oder für jeden beliebigen anderen Azimut (also schräg liegende Linienpaare) verwendet, obwohl bei rechteckigen Bildformaten in horizontaler Richtung mehr oder weniger Informationseinheiten zur Verfügung stehen können. Rechnerisch ergibt sich die maximal darstellbare Linienauflösung <math>L_{\text{max},y}</math> durch die Halbierung der Anzahl der Punkte in der Bildhöhe <math>N_y</math>: :<math>L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Für die maximale Anzahl vertikaler Linienpaare in horizontaler Richtung ergibt sich mit dem Bildseitenverhältnis <math>q</math> dann entsprechend: :<math>L_{\text{max},x} = q \cdot L_{\text{max},y} = \frac {N_x} {2}</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildseitenverhältnis|Bildseitenverhältnis]] Dieser Wert entspricht genau der Grenze nach dem '''Nyquist-Shannon-Abtasttheorem''' (auch '''Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem''') für die maximal darstellbaren '''Ortsfrequenzen''' <math>f_\text{r,max}</math>, wonach diese innerhalb einer Periode mindestens zwei abgetastete Stützstellen haben müssen: :<math>f_{r,\text{max}} = L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Aus einer beliebigen kleineren Ortsfrequenz <math>f_r \leq f_{r,\text{max}}</math> ergibt sich die maximal mögliche Häufigkeit von Helligkeitsunterschieden auf einer bestimmten Bezugslänge im Bild (also in der Regel auf der Bildhöhe). Eine Ortsfrequenz von null entspricht einer konstanten Helligkeit über das gesamte Bild, die selbst nicht notwendigerweise den Wert null haben muss. <div style="clear:both"></div> ===Modulation in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz=== [[Datei:Modulation.Transfer.Function.Comparison.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich der Modulationsübertragungsfunktionen von zwei verschiedenen Objektiven. Bei der Ortsfrequenz null haben alle Objektive die maximale Kontrastübertragung von eins, und bei der maximal dargestellten Ortsfrequenz haben beide hier dargestellten Objektive eine Kontrastübertragung von zirka zehn Prozent. Dennoch ist das blau dargestellte Objektiv deutlich besser als das dunkelgelb dargestellte, da es mittlere Ortsfrequenzen besser überträgt.]] Eine Modulation mit geringer Ortsfrequenz entspricht also groben Strukturen im Bild, und eine Modulation mit großer Ortsfrequenz entspricht feinen Strukturen im Bild. Jeder Struktur mit einer bestimmten Größe kann in jeder azimutalen Richtung (nicht nur horizontal oder vertikal, sondern auch in beliebiger schräg liegender Richtung) eine Ortsfrequenz mit einer bestimmten Modulation zugeordnet werden. Beim '''Siemensstern''' wird beispielsweise die Ortsfrequenz entlang der um den Mittelpunkt liegenden konzentrischen Kreise linear mit deren Radius größer. Die Modulation beträgt für jede Ortsfrequenz eins, wenn idealisiert davon ausgegangen wird, dass die dunklen Streifen keine Helligkeit aufweisen. Wird eine photographische Aufnahme von einem solchen Siemensstern als Objekt auf einer Testtafel gemacht, reduzieren sich im Bild die Modulationen für alle Ortsfrequenzen größer als null auf Werte kleiner als eins. Dies beruht auf einer Verminderung der Modulationen im Bild gegenüber der optimalen Modulation im Objektraum, die durch Abbildungsfehler bedingt ist. Neben der immer wirkenden Beugungsbegrenzung ergeben sich in optischen Abbildungen vor allem durch die sphärische Aberration, aber zum Beispiel auch durch Falschlicht Einbußen bei der Modulation im Bildraum. In der Regel führt dies dazu, dass die Modulation von rein optischen Abbildungen mit zunehmender Ortsfrequenz streng monoton und stetig abnimmt. Das Verhältnis der Modulation im Bildraum <math>M_\text{Bild}</math> zur Modulation im Objektraum <math>M_\text{Objekt}</math> in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_r</math> wird '''Modulationsübertragungsfunktion''' (englisch: ''modulation transfer function'' = '''MTF''') oder auch '''Kontrastübertragungsfunktion''' <math>T</math> genannt: :<math>T (f_r) = \frac {M_\text{Bild} (f_r)} {M_\text{Objekt} (f_r)}</math> Das Maximum der Modulationsübertragungsfunktion liegt bei optischen Systemen bei der kleinsten Ortsfrequenz, also null, und hat dort den Wert eins. Die Modulationsübertragung ist dabei immer der Betrag der komplexwertigen optischen Übertragungsfunktion, die nicht nur die Amplitude, sondern auch die Phase der übertragenen Lichtwellen berücksichtigt. Ist die Modulation im Objektraum für alle untersuchten Ortsfrequenzen gleich eins, wie zum Beispiel bei hochwertig hergestellten Testtafeln, sind die Modulationsübertragungsfunktion und die Modulation im Bildraum identisch: :<math>T (f_r) = {M_\text{Bild} (f_r)}\ </math>, wenn <math>{M_\text{Objekt} (f_r) = 1}\ </math> Der Betrag der komplexwertigen, zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der spektralen Dichte der Modulationsübertragungsfunktion im Ortsfrequenzraum herangezogen werden. In der digitalen Signalverarbeitung wird hierfür häufig die sehr effiziente Fast-Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt. Das Leistungsdichtespektrum der Fourier-Transformierten entspricht hierbei dem Beugungsbild der Bilddaten, das mit einer Bildwand aufgefangen werden kann. <gallery caption="Auflösungskeile mit 3 bis 72 Linienpaaren pro Bildhöhe mit verschiedenen Kontrastübertragungen, die Bildhöhe wird zwischen den beiden dünnen horizontalen Linien ober- und unterhalb des Auflösungskeils gemessen." widths=1024 heights=256 perrow=1> Aufloesungskeil.png|Maximaler Kontrast (852 Linienpaare pro Bildhöhe). Aufloesungskeil.72.png|Kontrast bis 72 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.36.png|Kontrast bis 36 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.18.png|Kontrast bis 18 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.09.png|Kontrast bis 9 Linienpaare pro Bildhöhe. </gallery> Weitere Beispiele siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Transformationen#Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]]. <div style="clear:both"></div> ===Kontrastempfindlichkeitsfunktion=== [[Datei:Vollmond.P1080516.jpg|miniatur|Vollmond mit einer Kamera mit Teleobjektiv von der Erdoberfläche aus aufgenommen.<br/>Zu den Kontrastverhältnissen beim durch den Erdschein beleuchteten aschgrauen Mondlicht siehe auch hier: '''[[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht]]''']] [[Datei:Vollmond.180x180.png|gerahmt|Der Vollmond hat von der Erde aus gesehen einen Winkeldurchmesser von zirka einem halben Grad. Der Mensch kann auf diesem Winkeldurchmesser bei einem Kontrast von mindestens zehn Prozent 36 nebeneinanderliegende Punkte unterscheiden. Die Mondscheibe hat somit für das unbewaffnete Auge insgesamt rund 1000 unterscheidbare Bildpunkte.<br/>Oben:fünffache Vergrößerung (500 Prozent)<br/>Unten: einfache Vergrößerung (100 Prozent)<br/>[[Datei:Vollmond.36x36.png|zentriert]]]] Für die Betrachtung der optischen Abbildungen durch Menschen ist nur der Bereich der Ortsfrequenzen interessant, der entsprechend der '''Contrast Sensitivity Function''' (CSF, zu Deutsch: '''Kontrastempfindlichkeitsfunktion''') überhaupt wahrgenommen werden kann. Oft wird jedoch die Modulation an der Nyquist-Frequenz als Maß für die wahrnehmbare Qualität einer optischen Abbildung herangezogen. Dieses Vorgehen trägt jedoch nicht dem Umstand Rechnung, dass die vom Betrachter empfundene Qualität einer optischen Abbildung im Sinne der Modulationen bei verschieden feinen Strukturen im Allgemeinen gar nicht von der Modulation bei der Nyquist-Frequenz bestimmt ist, insbesondere wenn die feinsten Strukturen mit bloßem Auge gar nicht aufgelöst werden können. Vielmehr kommt es meist auf eine möglichst große Modulation bei Ortsfrequenzen im mittleren Bereich an. Dies kann zu der zunächst paradox scheinenden Situation führen, dass die optische Abbildung mit einem Objektiv, dass bei der Nyquist-Frequenz die gleiche oder gar eine höhere Modulation aufweist als ein anderes Objektiv, subjektiv dennoch als schlechter beurteilt wird (vergleiche Abbildung rechts). Daher ist es empfehlenswert, die integrale Summe der Modulationen aller Ortsfrequenzen bis zu einer sinnvollen maximalen Ortsfrequenz zu bilden. Dieser Wert wird auch '''Heynacher-Zahl''' genannt, die seit den 1970er Jahren nach dem Optiker Erich Heynacher benannt ist. Gegebenenfalls kann diese integrale Summe auch noch bei verschiedenen Ortsfrequenzen mit einer geeigneten Empfindlichkeitsfunktion gewichtet werden (mathematisch also eine Faltung). Je größer das Integral der Modulationsübertragungsfunktion, desto besser die Bildqualität. Der Betrag der komplexwertigen Spektralfunktion der zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der Modulationsübertragungsfunktion im Ortfrequenzraum herangezogen werden. Die einheitenlose Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>A</math> kann nach Kresimir Matkovic (1997) in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad mit einer analytischen Funktion angegeben werden: :<math>CSF (f_a) = {2,6} \cdot {(0{,}0192 + 0{,}114 \cdot {f_a})} \cdot e^{-{(0{,}114 \cdot f_a)}^{1{,}1}}</math> Der vertikale Bildwinkel beträgt bei Normalbrennweite und einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2 (wie zum Beispiel beim Kleinbildfilm) 27 Grad. Die Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Bildhöhe <math>f_y</math> ergibt sich dann aus dem vertikalen Bildwinkel und der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Grad wie folgt: :<math>f_y = 27^\circ \cdot f_a</math> <gallery perrow="2" widths="400" heights="230" caption="Kontrastempfindlichkeitsfunktion (englisch: Contrast Sensitivity Function) CSF des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz"> Datei:CSF.against.angular.frequency.in.cycles.per.degree.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad Datei:CSF.against.spatial.frequency.in.cycles.per.image.height.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe bei Normalbrennweite (vertikaler Bildwinkel = 27° bei einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2) </gallery> [[Datei:CSF-Diagramm.png|miniatur|hochkant=2|Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges über Ortsfrequenzen zur Basis 2]] <gallery perrow="2" widths="480" heights="270" caption="Zur Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges mit den Ortsfrequenzen von 2 sinusmodulierten Linienpaaren pro Bildbreite (linke Bildhälfte) bis hin zu 1024 Linienpaaren pro Bildbreite (rechts am Bildrand), Bildgröße 3860 mal 2160 Bildpunkte (16:9)"> Datei:CSF.UHD.png|Mit maximalem Kontrast unten, ohne Kontrast oben Datei:CSF.UHD.lowM.png|Mit reduziertem Kontrast unten, ohne Kontrast oben </gallery> [[Datei:CSF.MTF.png|hochkant=2|miniatur|Bewertung der Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> eines guten Objektives mit der Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe durch die effektive Kontrastübertragungsfunktion <math>T_\text{eff} (f_y)</math>. Etwa die Hälfte des Auflösungsvermögens dieses Objektives kann demnach vom Menschen bei der Betrachtung der optischen Abbildung unter dem Normalwinkel gar nicht wahrgenommen werden.]] Hierbei ist festzuhalten, dass bei einer Ortsfrequenz von 1000 Linienpaaren pro Bildhöhe der wahrgenommene Kontrast deutlich unter zehn Prozent liegt und somit praktisch kaum noch relevant ist. Die maximale Kontrastempfindlichkeit liegt beim menschlichen Auge bei zirka 200 Linienpaaren pro Bildhöhe und zwischen 50 und 550 Linienpaaren pro Bildhöhe beträgt die Kontrastempfindlichkeit mindestens 50 Prozent. Für Aufnahmen mit guter Kontrastübertragung ist daher genau dieser Bereich von besonderer Wichtigkeit. Zur Auswertung der effektiven Kontrastübertragungsfunktion bei Betrachtung mit dem menschlichen Auge <math>T_\text{eff} (f_y)</math> können die Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> und die Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> miteinander multipliziert werden: :<math>T_\text{eff} (f_y) = T (f_y) \cdot CSF (f_y)</math> Wird dieses Produkt über alle Ortsfrequenzen integriert, ergibt sich - ähnlich wie bei und als Verallgemeinerung der Heynacher-Zahl - eine Größe für die totale effektive Kontrastübertragung <math>T_\text{eff,tot}</math> : :<math>T_\text{eff,tot} = \int_0^\infty T_\text{eff} (f_y)\,\mathrm df_y</math> Siehe auch [[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|'''Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht''']]. <div style="clear:both"></div> ====Hybridbilder==== Je nach den Bedingungen bei der Betrachtung eines Hybridbildes sind aus größerer Entfernung eher die groben geometrischen Strukturen des einen Bildes mit großen Ortsfrequenzen und bei näherer Betrachtung eher die feinen Strukturen eines anderen Bildes mit kleinen Ortsfrequenzen zu sehen. Vergrößert der Betrachter den Abstand von einem sehfeldfüllenden Hybridbild, verschwinden die feinen Strukturen zunehmend wieder, und nur die größeren Ortsfrequenzen bleiben erkennbar. Hybridbilder können hergestellt werden, indem zwei Aufnahmen mit Modulation bei verschiedenen Ortsfrequenzen überlagert werden. <gallery caption="Hybridbild" perrow=2 widths=480 heights=240> MTF.Hybridbild.png|Hybridbilder haben im Kontrastverlauf zwei Maxima. Das Diagramm zeigt die Kontrastverläufe bei demselben Hybridbild mit großem (braun) und kleinem (blau) Betrachtungsabstand. Bei großem Betrachtungsabstand werden eher die Kontraste bei den kleinen Ortsfrequenzen und bei kleinem Betrachtungsabstand eher die Kontraste bei den großen Ortsfrequenzen wahrgenommen. Wikigolfball.hybrid.webm|mini|links|180px|Beispiel für ein Hybridbild, bei welchem bei kleinem Betrachtungswinkel ein Golfball mit groben Strukturen zu erkennen ist. Beim Vergrößern des Betrachtungswinkels während der Wiedergabe des Videos erscheint zunehmend eine andere kugelförmige Figur mit feinen geometrischen Strukturen, die höhere Ortsfrequenzen aufweisen. </gallery> Siehe auch '''[[Hybridlied]]'''. <div style="clear:both"></div> === Digitalzoom === Beim Digitalzoom, das heißt also bei der softwaretechnischen Vergrößerung von digitalen Bildern zum Beispiel durch Zeilen- und Spaltenverdopplung, wird die Bildinformation im Sinne der Kontrastübertragung nicht vermehrt, da es sich lediglich um das Kopieren bereits vorhandener Bildinformation handelt. Es gibt also keinen Informationsgewinn. Wenn das digitale Bild zu klein dargestellt wird, so dass ein menschlicher Betrachter das Bild nicht voll auflösen kann, kann durch den Digitalzoom das Bild insgesamt vergrößert werden, oder ein beliebiger Ausschnitt des originalen Bildes kann auf die maximal darstellbare Größe gebracht werden, die beispielsweise durch ein Anzeigegerät oder ein Druckformat vorgegeben ist. Dadurch wird zwar nicht die Bildinformation vergrößert, aber der Betrachter kann mehr von der existierenden Bildinformation erkennen. Die Frage, welcher Digitalzoomfaktor noch sinnvoll und angebracht ist, hängt bei menschlichen Betrachtern allein von der möglichst guten Ausschöpfung der erkennbaren Modulationen ab, die durch die Kontrastempfindlichkeitsfunktion repräsentiert wird. Bei digitaler maschineller Auswertung besteht diese Problematik nicht, da ein digitaler Algorithmus in der Regel immer die gesamte Bildinformation auswerten kann. In Unterkapitel [[Digitale bildgebende Verfahren: Grundlagen/MTF-Simulation|MTF-Simulation]] wird der Effekt des Digitalzooms simuliert und bildlich verdeutlicht. Siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Digitalzoom_-_Softwarelupe|Digitale Bilder: Digitalzoom - Softwarelupe]]. <div style="clear:both"></div> ===Kantenüberhöhung=== [[Datei:Enhancing.Modulation.Transfer.Function.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich von Modulationsübertragungsfunktionen einer optischen Abbildung mit nachträglicher, rechnerischer Kontrastanhebung bei mittleren Ortsfrequenzen: Originalaufnahme (blau, durchgezogen), modifizierte Modulation mit Kantenüberhöhung (grün, gestrichelt). Der als grüne Fläche dargestellte Bereich stellt einen Kontrastgewinn dar, der in der Regel viel mehr wahrgenommen wird als der orangefarben dargestellte Bereich mit Kontrastverlust.]] Bei digitalen Bildern, die nicht im Rohdatenformat, also ohne rechnerische Eingriffe in die Bilddaten, aufgezeichnet werden, wird die Modulation unmittelbar nach der Aufnahme und vor dem Speichern der Bilddaten oft durch die Firmware der Kamera insgesamt oder insbesondere bei bestimmten Ortsfrequenzen erhöht. In Maßen angewendet führt dies bei digitalen Bildern in der Regel zu einem verbesserten visuellen Bildeindruck. Dies trifft dann zu, wenn die maximale Modulation auf eins erhöht wird und die Modulation entsprechend der Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges bei den wichtigsten Ortsfrequenzen angehoben wird. In der Modulationsübertragungsfunktion spiegelt sich dies durch die Tatsache wider, dass die maximale Modulation nicht mehr bei der Ortsfrequenz null, sondern bei positiven Ortsfrequenzen auftritt (siehe Abbildung rechts). Dies kann auch so interpretiert werden, dass die Modulation an Kanten in einem günstigen Ortsfrequenzbereich künstlich überhöht wird. Aus einem in der unbearbeiteten optischen Abbildung kontinuierlichen Anstieg der Helligkeit an einer im Original beliebig scharfen Objektkante ergibt sich nach der Optimierung bei einer bestimmten Ortsfrequenz eine deutlich stärkere Modulation. Wird dieses Prinzip so stark angewendet, dass die Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen dominiert, führt dies unter Umständen zu künstlich wirkenden Bildern, bei denen ein Überschwingen des Helligkeitsverlaufs an Kanten mit der entsprechenden Ortsfrequenz erkannt werden kann: <gallery perrow="3" widths="260" heights="184" caption="Vergleich mit unterschiedlichen gerechneten Kontrastübertragungsfunktionen"> Datei:Image.modulation.original.jpg|Unbearbeitetes Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.jpg|Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.overkill.jpg|Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.original.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom unbearbeiteten Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat außen einen kleinen hellen und innen einen kleinen dunklen Saum Datei:Image.modulation.overkill.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat einen großen hellen Saum, und der innere Rand des Buchstabens ist stark abgedunkelt Datei:FFT.Image.modulation.original.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom unbearbeiteten Originalbild (die Ortsfrequenz null befindet sich in der Bildmitte, und sie nimmt radial in alle Richtungen zu) Datei:FFT.Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:FFT.Image.modulation.overkill.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Farbauflösung== {| class="float-right" style="text-align: center" |+ '''Oben''': Weißlichtinterferogramm, darunter '''Rot'''-, '''Grün'''- und '''Blau'''kanal des oben dargestellten Weißlichtinterferogramms mit abnehmender Weite der Maxima. |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.R.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.G.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.B.jpg|240px]] |} Durch die im Vergleich zur Dichte der für die Helligkeitsrezeption zuständigen Stäbchen geringere Dichte von Farbzäpfchen auf der menschlichen Netzhaut ist die Farbauflösung, die für das Betrachten von farbigen Bildern erforderlich ist, geringer als die Auflösung, die durch die Kontrastübertragungsfunktion beschrieben wird. In einem digitalen Bild kann ein Mensch bei Betrachtung des gesamten Bildes zwar maximal vier Millionen Bildpunkte in der Helligkeit unterscheiden, jedoch nur etwa eine Million verschiedener Farbpunkte. Bei technischen Anwendungen mit digitaler Auswertung der Bilder, kann die Anforderung an die Farbauflösung je nach Aufgabenstellung jedoch erheblich höher sein. Eine Möglichkeit, die Farbauflösung eines Kamerasensors zu messen, ohne dass es durch das für die optische Abbildung verwendete Objektiv zu einer Verringerung derselben kommt, ist die Verwendung eines direkt auf den Bildsensor projizierten Weißlichtinterferogramms. Dieses Verfahren wurde 2006 von Karsten Zoellner vom Institut für angewandte Optik an der Universität Jena entwickelt. Der Linienabstand <math>d</math> des Beugungsbilds eines Spaltes hängt von der Wellenlänge <math>\lambda</math> des verwendeten Lichtes sowie vom bildseitigen Öffnungswinkel <math>\omega_B</math> des verwendeten Interferometers ab: :<math>d \propto \frac {\lambda} {\sin \omega_B}</math> Wenn für die Primärfarben Rot, Grün und Blau (RGB) die mit abnehmender Wellenlänge kleiner werdenden Linienabstände <math>d_R</math>, <math>d_G</math> und <math>d_B</math> bestimmt werden, kann daraus eine für die Farbauflösung repräsentative Größe <math>\delta_{RGB}</math>, die '''Farbstrukturtreue''' (englisch: ''coloured structure fidelity''), bestimmt werden: :<math>\delta_{RGB} = \frac {d_R - d_B} {d_G}</math> <div style="clear:both"></div> == Polarisation == [[Datei:偏振片.png|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''linear''' polarisierter Strahlung durch die Filterung elektromagnetischen Wellen mit unerwünschter Polarisationsrichtung (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] [[Datei:Polaryzacja_kołowa.gif|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''zirkular''' polarisierter Strahlung durch die Überlagerung von zwei um den Phasenwinkel 90° verschobenen elektromagnetischen Wellen (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] Natürliche elektromagnetische Strahlung aus thermischen Strahlungsquellen ist unpolarisiert, das heißt, dass die Richtungen der Feldstärken senkrecht zur Ausbreitungsrichtung zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort zufällig ausgerichtet und verteilt sind. Aus unpolarisierten elektromagnetischen Wellen können durch geeignete Mittel in polarisierte Wellen mit definierter Schwingungsrichtung erzeugt werden. Grundsätzlich werden zwei Arten von Polarisation unterschieden: * Liegt die Schwingungsrichtung in einer ortsfesten Raumebene, spricht man von '''linear polarisierter Strahlung'''. * Dreht sich die Raumebene der Schwingungsrichtung gleichmäßig und periodisch um die Ausbreitungsachse, spricht man von '''zirkular polarisierter Strahlung'''. Zirkular polarisierte Strahlung kann mit Blick in die Ausbreitungsrichtung rechts- oder linksdrehend sein: <gallery caption="Drehsinn zirkular polarisierter Strahlung" perrow=2 widths=360 heights=240> Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Rechtsdrehend (im Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Right.Handed.Animation.305x190.255Colors.gif|Linksdrehend (entgegen dem Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. </gallery> Polarisierte Strahlung kann auf verschiedene Art und Weise erzeugt werden. Beispiele hierfür sind: * Durch optische Filter: Ein elektrisches Feld in einer ausgewählten Richtung kann beispielsweise durch geradlinige, parallel und voneinander isoliert angebrachte elektrische Leiter in einem '''Drahtgitterpolarisator''' unterdrückt werden, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen. Nur die senkrecht zu den Leitern schwingenden elektrischen Feldkomponenten können dann das Filter passieren. * Durch Streuung an Partikeln, wie zum Beispiel bei der '''Rayleigh-Streuung''' von Licht an Luftmolekülen. * Durch '''schräge Reflexion''' an Grenzflächen zu elektrisch nichtleitenden Medien, wie zum Beispiel Glasflächen. * Durch spezielle Lichtquellen, wie zum Beispiel '''Laser'''. * Durch '''dichroitische''' Materialien (vom altgriechischen Wort „dichroos“ für „zweifarbig“), die Licht in Abhängigkeit von der Polarisation unterschiedlich stark absorbieren. <div style="clear:both"></div> ===Gesetz von Malus=== [[Datei:Animation polariseur.gif|mini|rechts|Polfilter für photographische Objektive in verschiedenen Orientierungen vor einer flächenhaften Lichtquelle, der linear polarisiertes Licht abgibt.]] Die Intensität <math>I</math> einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle mit der Anfangsintensität <math>I_0</math> schwächt sich nach dem Durchgang durch einen idealen Polarisator in Abhängigkeit vom Winkel <math>\alpha</math>, um den die Polarisationsachse des Polarisators gegen die Polarisationsrichtung der Welle verdreht ist, nach dem '''Gesetz von Malus''' folgendermaßen ab: :<math>I = I_0 \cdot \cos^2 \alpha</math> Ausgehend von unpolarisiertem Licht mit einer gleichmäßigen Verteilung aller Polarisationsrichtungen <math>0 \le \alpha \le 2 \pi</math> in Bezug auf die Polarisationsrichtung eines Polarisationsfilters, kann der Transmissionsgrad <math>T</math> wie folgt bestimmt werden: :<math>T = I_0 \cdot \frac {\int\limits_{0}^{2\pi} \cos^2 \alpha \, \mathrm d\alpha} {\int\limits_{0}^{2\pi} \alpha \, \mathrm d\alpha} = I_0 \cdot \frac {\frac {2 \pi} {2}} {2 \pi} = \frac {I_0} {2} </math> Dies bedeutet, dass ein Polfilter abgesehen von einer gewissen Absorption die Hälfte eines unpolarisierten Strahls passieren lässt. <div style="clear:both"></div> ===Brewster-Winkel=== [[Datei:Brechungsgesetz.Brewster-Bedingung.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zur Brewster-Bedingung an optischen Grenzflächen.]] Es handelt sich beim '''Brewster-Winkel''' um den Einfallswinkel <math>\epsilon</math> von einem optisch dünnen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisch dichteres Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math>, bei dem das elektrische Feld der reflektierten elektromagnetischen Welle nur senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Polarisationsrichtungen des reflektierten und des gebrochenen Strahls stehen beim Erreichen des Brewster-Winkels senkrecht aufeinander: :<math>\epsilon_{Brewster} + \epsilon_{Brewster}' = 90^\circ</math> beziehungsweise: :<math>\sin \epsilon_{Brewster}' = \sin (90^\circ - \epsilon_{Brewster}) = \cos \epsilon_{Brewster}</math> Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt daraus: :<math>n_1 \cdot \sin \epsilon_{Brewster} = n_2 \cdot \cos \epsilon_{Brewster}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {\sin \epsilon_{Brewster}} {\cos \epsilon_{Brewster}} = \tan \epsilon_{Brewster} = \frac {n_2} {n_1}</math> Die reflektierte Welle ist beim Brewster-Winkel <math>\epsilon_{Brewster}</math> demnach linear polarisiert, und es gilt die Beziehung: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan \frac {n_2} {n_1}</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = n_1 \cdot \tan \epsilon_{Brewster}</math> Kommt der Lichtstrahl aus dem Vakuum (<math>n_1 = 1</math>) oder in erster Näherung aus Luft (<math>n_1 \gtrsim 1</math>), dann vereinfacht sich die Gleichung für den Brewster-Winkel zu: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan n_2</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = \tan \epsilon_{Brewster}</math> [[Datei:Brewster-polarizer-de.svg|mini|rechts|hochkant=1.5|Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium zur Verstärkung der Polarisation des transmittierten Lichts.]] Der gebrochene Strahl ist allerdings nicht vollständig in der Einfallsebene polarisiert, da nur ein Teil der Strahlung reflektiert wird, die senkrecht zur Einfallsebene polarisiert wird. Durch eine Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium kann der Effekt der Polarisation des transmittierten Lichts jedoch verstärkt werden. <div style="clear:both"></div> ===Doppelbrechung=== Doppelbrechende optische Medien sind spezielle Materialien, wie zum Beispiel Doppelspat (auch Kalkspat oder Calcit genannt), Glimmer oder Flüssigkristalle. Oft handelt es sich dabei um asymmetrisch aufgebaute Kristalle. Bei solchen anisotropen Medien hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>c</math> und somit auch der Brechungsindex <math>n</math> und die Vakuumwellenlänge <math>\lambda_0</math> von der Schwingungsrichtung ab. Es wird zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl unterschieden. Der ordentliche Strahl steht senkrecht (Symbol <math>\perp</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters, und der außerordentliche Strahl steht parallel (Symbol <math>\parallel</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters. Die dazugehörigen Brechzahlen werden durch das entsprechende Symbol im Index gekennzeichnet: * Für den ordentlichen Strahl: <math>n_\perp</math> * Für den außerordentlichen Strahl: <math>n_\parallel</math> Doppelbrechung kann auch durch Nichtlinearitäten in isotropen Medien hervorgerufen werden, wie zum Beispiel durch mechanische Spannungen oder durch sehr hohe elektrisch oder magnetische Feldstärken. <gallery caption="Doppelbrechung am Doppelspat mit dem Text „Berlin“ im Hintergrund" perrow=2 widths=450 heights=300> Doppelbrechung.P1033771.jpg|Doppelbrechung in horizontaler Richtung. Doppelbrechung.P1033772.jpg|Doppelbrechung in vertikaler Richtung bei um 90° im Uhrzeigersinn gedrehtem Kristall. </gallery> <div style="clear:both"></div> ====Verzögerungsplatten==== '''Verzögerungsplatten''' bestehen aus doppelbrechenden optischen Medien mit konstanter Dicke <math>d</math>. Die Frequenz <math>f</math> der elektromagnetischen Welle bleibt sowohl außerhalb als auch innerhalb der Verzögerungsplatte sowie in allen Ausbreitungsrichtungen gleich. Die Phasenverschiebung <math>\Delta \varphi</math> der beiden sich in der Platte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten <math>c_\perp</math> und <math>c_\parallel</math> ausbreitenden Teilstrahlen ergibt sich beim Austritt hinter der Verzögerungsplatte dann wie folgt: :<math>\Delta \varphi = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot (n_\perp - n_\parallel) = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot c_0 \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right) = 2 \pi \cdot d \cdot f \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right)</math> =====λ/2-Plättchen===== Beim '''λ/2-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen der Hälfte der Vakuumlichtwellenlänge, und es dreht die Polarisationsrichtung eines einfallenden Lichtstrahls um einen bestimmten Winkel. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 180°: :<math>\Delta \varphi = \pi</math> Für die Dicke eines λ/2-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 2} = \frac {\lambda_0} {2} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> Je nach axialer Ausrichtung eines λ/2-Plättchens zur Polarisationsrichtung eines einfallenden, linear polarisierten Lichtstrahls ergibt sich eine Drehung der Polarisationsrichtung zwischen 0° und 90°. =====λ/4-Plättchen===== Beim '''λ/4-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen des Viertels der Vakuumlichtwellenlänge, und es wird auch als '''Zirkularpolarisator''' bezeichnet, weil es aus einem linear polarisierten Lichtstrahl einen zirkular polarisierten Strahl erzeugen kann. Zirkular polarisiertes Licht wandelt es umgekehrt in linear polarisiertes Licht um. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 90°: :<math>\Delta \varphi = \frac {\pi} {2}</math> Für die Dicke eines λ/4-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 4} = \frac {\lambda_0} {4} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> <div style="clear:both"></div> ====Flüssigkristalle==== '''Flüssigkristalle''' sind flüssige Substanzen, die wie Kristalle im festen Aggregatzustand richtungsabhängige (anisotrope) optische Eigenschaften aufweisen können. Die Ausrichtung der Moleküle und damit die Polarisationswirkung kann durch elektrische Felder beeinflusst werden. Die Geschwindigkeit der Auslenkung hängt von der Stärke der elektrischen Felder ab. Bei modernen Flüssigkristallanzeigen und -bildschirmen kann eine Umschaltzeit bis hinunter zu einer Millisekunde erreicht werden. → Siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Fl%C3%BCssigkristallanzeigen|Flüssigkristallanzeigen]]. <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> 3wti2gu8v6i99nagt40zsneva73sas6 1088501 1088499 2026-06-29T15:07:12Z Bautsch 35687 /* Hauptebenen */ Diagramm 1088501 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> Dieses Kapitel beschäftigt sich mit prinzipiellen Eigenschaften von optischen Abbildungen. In den folgenden Abschnitten sind einige grundlegende Aspekte aufgeführt, die bei der Aufnahme und Registrierung von Bildern eine Rolle spielen. ==Optik== Die '''Optik''' (von altgriechisch ὀπτική τέχνη (optikḗ téchnē), zu Deutsch: „Lehre vom Sehen“) beschäftigt sich mit der Ausbreitung von '''Licht''' unter Berücksichtigung der Wechselwirkung zwischen Licht und Materie. Im engeren Sinne werden in der Optik optische Systeme behandelt, mit denen Objekte abgebildet werden können. '''Reelle Bilder''' können beispielsweise mit Bildwänden, photographischen Filmen oder elektronischen Bildsensoren aufgefangen werden, wohingegen '''virtuelle Bilder''' direkt durch das menschliche Auge gesehen werden können. Lichtquellen haben immer eine endliche Ausdehnung. Wenn die leuchtende Fläche im Vergleich zu einem ausgedehnten optischen System klein ist, wird die entsprechende Lichtquelle als '''punktförmig''' bezeichnet. In der Praxis kann ein Fixstern als eine solche punktförmige Lichtquelle betrachtet werden. Im Labor kann eine punktförmige Lichtquelle durch die Beleuchtung einer kleinen Kreislochblende aus einer hinreichend großen Entfernung erzeugt werden. Das aus der Blende austretende Licht bildet ein '''Lichtbündel'''. Ein '''Lichtstrahl''' kann durch ein paralleles Lichtbündel mit kleinem Durchmesser angenähert werden. Lichtstrahlen werden in der '''geometrischen Optik''' verwendet, um die Richtung des Flusses der Lichtenergie anzugeben. [[Datei:EM-Wave.gif|mini|rechts|Die elektrische Feldstärke <math>\vec E</math> (blau in y-Richtung) und die magnetische Feldstärke <math>\vec B</math> (rot in z-Richtung) bei einer elektromagnetischen Welle mit Ausbreitung in x-Richtung.]] Beugungseffekte sind durch die Welleneigenschaften des Lichtes bedingt und treten immer auf, wenn es auf Kanten trifft. Die Beugung wird in der '''Wellenoptik''' behandelt und wird in der geometrischen Optik nicht berücksichtigt. Alle elektromagnetischen Wellen –&nbsp;also auch das Licht&nbsp;– breiten sich in allen optischen Medien mit Lichtgeschwindigkeit aus. Dies konnte der Physiker {{w|Heinrich Hertz}} (1857–1894) durch die künstliche Erzeugung elektromagnetischer Wellen im Ultrakurzwellenbereich bei 80&nbsp;Megahertz im Jahr 1886 nachweisen. Die '''Lichtgeschwindigkeit im Vakuum''' <math>c_0</math> ist inzwischen eine festgelegte Größe, die für alle Arten elektromagnetischer Strahlung gilt: :<math>c_0 = 299792458 \frac {\text {m}} {\text {s}}</math> Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist die maximal erreichbare Geschwindigkeit für elektromagnetische Wellen. Sie kann von Objekten mit einer Ruhemasse nicht erreicht werden, also auch nicht von Elektronen oder Atomen beziehungsweise Ionen. Die '''Vakuumwellenlänge''' <math>\lambda_0</math> der mit der Frequenz <math>f</math> transversal schwingenden, elektromagnetischen Welle beträgt hierbei: :<math>\lambda_0 = \frac {c_0} {f}</math> Die Frequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle weicht beim Durchgang durch verschiedene Medien nicht von der Frequenz im Vakuum ab. Die Vektoren der elektrischen und der magnetischen Feldstärke stehen bei elektromagnetischen Wellen stets senkrecht zueinander und außerdem beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. ==Brechung== [[Datei:Refraction animation.gif|mini|rechts|hochkant=1.5|Die von links aus dem Vakuum einfallende ebene Welle trifft unter dem Einfallswinkel von 56&nbsp;Bogengrad auf eine Grenzfläche zu einem optischen Medium mit der Brechzahl&nbsp;1,5. Die ebene Welle wird aufgrund der geringeren Ausbreitungsgeschwindigkeit im optischen Medium zum Lot der Grenzfläche hin gebrochen und breitet sich dort ebenfalls als ebene Welle aus. Die Schwingungsfrequenz der Welle bleibt erhalten, im optischen Medium ist die Wellenlänge jedoch verkürzt.]] [[Datei:Brechungsgesetz.Einheitskreis.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zum Snelliusschen Brechungsgesetz mit Einheitskreis an der Grenzfläche zwischen zwei optischen Medien mit den Brechzahlen <math>n_1</math> und <math>n_2</math>. Die Oberflächenlote in den beiden optischen Medien sind gestrichelt dargestellt.]] In allen '''optischen Medien''' bleibt die Schwingungsfrequenz <math>f</math> elektromagnetischer Wellen im Vergleich zu derjenigen im Vakuum erhalten, aber die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> und die Wellenlänge <math>\lambda</math> sind kleiner. Dies kann durch den maßeinheitenlosen '''Brechungsindex''' <math>n</math> (auch '''Brechzahl''' genannt) des optischen Mediums beschrieben werden: :<math>c = \frac {c_0} {n}</math> :<math>\lambda = \frac {\lambda_0} {n}</math> Beziehungsweise: :<math>n = \frac {\lambda_0} {\lambda} = \frac {c_0} {c}</math> Für alle optische Medien beziehungsweise für alle Brechzahlen gilt die folgende Beziehung für die Schwingungsfrequenz <math>f</math> einer elektromagnetischen Welle: :<math>f = \frac {c} {\lambda} = \frac {c_0} {\lambda_0} = \text{const.}</math> Der Brechungsindex des Vakuums ist demzufolge gleich Eins, und bei allen anderen optischen Medien ist der Brechungsindex größer als Eins. Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist nicht nur von der Wellenlänge abhängig, sondern bei Festkörpern und Flüssigkeiten insbesondere auch von der Temperatur <math>T</math> und bei Gasen vom Druck <math>p</math>: :<math>n = n(\lambda, T, p)</math> Bei Gasen ist der Brechungsindex bei normalem Luftdruck nur geringfügig größer als Eins. Die meisten optischen Medien aus flüssigem oder festem Material haben typische Brechungsindices zwischen 1,3 und 2,0. Wasser hat bei Zimmertemperatur einen Brechungsindex von 1,333. Besondere Materialien haben Brechungsindices, die größer als Zwei sind, wie zum Beispiel Diamant (Kohlenstoffkristall) mit rund 2,4 oder Rutil (Titandioxid) mit rund 3,1. Beim Übergang von Lichtstrahlen von einem optischen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisches Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math> wird ein einfallender Lichtstrahl (in der Abbildung rechts weiß) zu einem Teil in das Einfallsmedium zurück gespiegelt ('''Reflexion''', in der Abbildung rechts dunkelgrau) und zu einem anderen Teil in das Ausfallsmedium gebrochen ('''Refraktion''', in der Abbildung rechts hellgrau). Die Richtungen der Reflexion und der Refraktion werden über die Winkel zur Flächennormalen (Lot) an der Stelle des Übergangs der beiden optischen Medien bestimmt. Für die Reflexion gilt das '''Reflexionsgesetz''': :Einfallswinkel <math>\alpha</math> gleich Ausfallswinkel <math>\alpha</math>. Für die Refraktion gilt das '''Snelliussche Brechungsgesetz''': :<math>n_1 \cdot \sin \alpha = n_2 \cdot \sin \beta</math> Ist <math>n_2</math> größer als <math>n_1</math>, wird der Lichtstrahl zum Lot hin gebrochen, und ist <math>n_1</math> größer als <math>n_2</math>, wird der Lichtstrahl vom Lot weggebrochen. Am Einheitskreis (Radius gleich Eins) gilt: :<math>\sin \alpha = a</math> und: :<math>\sin \beta = b</math> Das Snelliussche Brechungsgesetz geht damit in die folgende Form über: :<math>n_1 \cdot a = n_2 \cdot b</math> Es gilt entsprechend: :<math>\frac {n_1} {n_2} = \frac {\sin \beta} {\sin \alpha} = \frac {c_2} {c_1} = \frac {b} {a}</math> Zur Herleitung des Brechungsgesetzes unter Berücksichtigung der Ausbreitung mit '''Huygensschen Elementarwellen''' mit der jeweiligen Lichtgeschwindigkeit auf dem schnellsten Weg entsprechend dem '''Fermatschen Prinzip''' siehe auch: '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Ablenkung_von_Lichtstrahlen|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Ablenkung von Lichtstrahlen"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Dispersion=== Die Brechzahl aller optischen Medien hängt von der Wellenlänge des Lichts ab. Hierbei gilt, dass blaues Licht mit kurzer Wellenlänge stärker gebrochen wird als rotes Licht mit langer Wellenlänge. Die Dispersion eines bestimmten optischen Mediums kann durch dessen '''Abbe-Zahl''' <math>\nu_e</math> beschrieben werden: :<math>\nu_{e} = \frac {n_{e} - 1} {n_{F'} - n_{C'}}</math> Hierbei stehen die Indizes C', e und F' am Brechungsindex für die folgenden Lichtwellenlängen: * Rot: <math>n_{C'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{C'} = 643,8469 \text { nm}</math> * Grün: <math>n_{e}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{e} = 546,0740 \text { nm}</math> * Blau: <math>n_{F'}</math>: Brechzahl bei <math>\lambda_{F'} = 479,9914 \text { nm}</math> Eine große Abbe-Zahl steht also für ein optisches Medium mit geringer Dispersion, und eine kleine Abbe-Zahl steht für ein optisches Medium mit starker Dispersion. <div style="clear:both"></div> ===Optische Medien mit variabler Brechzahl === Bei optischen Medien mit asymmetrischen Kristallgitterstrukturen, wie zum Beispiel Kalkspat (Calcit), hängt die Brechzahl von der Schwingungsrichtung des Lichts in Bezug auf die Gitterebenen ab. In solchen optisch anisotropen Kristallen hängt der Brechungsindex sowohl von der Polarisationsrichtung als auch von der Ausbreitungsrichtung des Lichtes ab. Bei dieser '''Doppelbrechung''' wird in der Regel zwischen einem ordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\perp</math> und einem außerordentlichen Strahl mit der Brechzahl <math>n_\parallel</math> unterschieden. Je nach Struktur eines bestimmten Kristalls kann sowohl der ordentliche als auch der außerordentliche Strahl eine größere Brechkraft erfahren. Manche Kristalle haben einen sehr deutlichen Unterschied bei diesen beiden Brechzahlen, wie zum Beispiel Kalomel (Quecksilber(I)-chlorid), dass bei einer Massendichte von rund 7,2 Gramm pro Kubikzentimeter eine Brechzahl von knapp 2,0 für den ordentlichen und eine Brechzahl von über 2,6 für den außerordentlichen Strahl aufweist. '''→ [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Doppelbrechung|Abschnitt "Doppelbrechung"]]''' Im Allgemeinen sind optische Medien aus amorphen, lichtdurchlässigen Festkörpern, wie zum Beispiel stark brechendes '''Flintglas''', schwach dispergierendes '''Kronglas''', für ultraviolettes Licht durchlässiges '''Quarzglas''' oder leichtes '''Acrylglas''' (Polymethylmethacrylat (PMMA)), isotrop und homogen, so dass die Brechkraft für Licht einer bestimmten Wellenlänge für alle Polarisations- und Ausbreitungsrichtungen überall im Medium gleich ist. In Flüssigkeiten oder in Gasen kann es passieren, dass der Brechungsindex durch Dichteschwankungen im optischen Medium nicht konstant ist. Als Ursache für solche Dichteschwankungen kommt insbesondere die Gravitation in Frage. Das Gas der Atmosphäre hat im Schwerefeld der Erde nach der Bernoullischen Höhengleichung mit zunehmender Höhe einen immer weiter abnehmen Druck und somit eine immer geringer werdende Dichte. Demzufolge nimmt die Brechkraft der atmosphärischen Gase (im Wesentlichen bestehend aus Stickstoff- und Sauerstoffmolekülen sowie Argonatomen) mit zunehmender Höhe immer weiter ab. Diese '''atmosphärische Refraktion''' wirkt sich zum Beispiel bei der Brechung des Sonnenlichts bei Sonnenaufgang und Sonnenuntergang aus, wo die Lichtstrahlen beim Eintritt in die Atmosphäre kontinuierlich stärker in Richtung Erdoberfläche gebrochen werden. [[Datei:Dichte.Brechungsindex.Zuckerloesung.png|mini|rechts|hochkant=1.2|Dichte und Brechungsindex in Abhängigkeit von der Konzentration von Zucker in Wasser in Prozent.]] Auch in Flüssigkeiten mit gelösten Feststoffen kann es im Schwerefeld der Erde mit größer werdender Tiefe unter der Flüssigkeitsoberfläche zu einer Zunahme der Massendichte und somit auch der optischen Dichte kommen. Dies ist zum Beispiel bei in Wasser gelöstem Zucker der Fall, bei den die Zuckerkonzentration in der wässrigen Lösung mit größerer Wassertiefe immer weiter zunimmt. <gallery caption="Beispiele für variable Brechungsindizes" perrow=2 widths=640 heights=480> Sonnenuntergang - Verschiebung.png|Durch einen Beobachter auf der Erdoberfläche wahrgenommene und die tatsächliche Form und Position der Sonne aufgrund der atmosphärischen Refraktion bei Sonnenaufgang beziehungsweise bei Sonnenuntergang. Kuevette.Zuckerloesung.Laserstrahl.P1033789.jpg|Roter Laserstrahl auf einer Zykloidenbahn in einer Küvette mit Zuckerlösung, die nach unten hin eine immer größere Massendichte und optische Dichte aufweist, so dass der Brechungsindex auf dem Lichtweg stetig größer wird. </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Optische Achse== [[Datei:Optische.Achse.png|mini|hochkant=2|Optische Achse]] Die '''optische Achse''' beschreibt in der geometrischen Optik die Rotationsachse aller rotationssymmetrischen Bestandteile einer optischen Abbildung oder eines optischen Systems. Schnittebene von zweidimensionalen Skizzen werden üblicherweise durch die optische Achse gelegt, so dass die Schnitte der rotationssymmetrischen optischen Elemente an dieser Achse gespiegelt dargestellt werden. Die optische Achse wird in solchen Skizzen immer als Strichpunktlinie dargestellt. <div style="clear:both"></div> ==Hauptebenen== [[Datei:Hauptebene.png|mini|hochkant=1.5|Ein aus dem Objektraum links der Hauptebene kommender Lichtstrahl (gestrichelte Linie) wird an der Hauptebene H (blau) in den Bildraum rechts der Hauptebene abgelenkt]] '''Hauptebenen''' stehen in der Regel senkrecht zur optischen Achse. Sie beschreiben vereinfacht betrachtet Flächen, an denen alle Strahlen in einem optischen Strahlengang gebrochen oder gespiegelt werden, und sie teilen den '''Objektraum''' links der Hauptebene vom '''Bildraum''' rechts der Hauptebene. In der Praxis gilt dies mit hinreichender Genauigkeit häufig nur für achsnahe Strahlen ('''paraxialer''' Strahlengang mit '''Gaußschen Strahlen'''). Bei '''konvergenten''' Systemen werden die Strahlen zur optischen Achse abgelenkt, und bei '''divergenten''' Systemen werden die Strahlen von der optischen Achse weggelenkt. Von den Hauptebenen werden in Richtung der optischen Achse '''Brennweiten''', '''Objektweiten''' und '''Bildweiten''' gemessen. Die Schnittpunkte der Hauptebenen mit der optischen Achse werden als '''Hauptpunkte''' bezeichnet. Lichtstrahlen, die durch einen Hauptpunkt gehen, heißen '''Hauptstrahlen''' und werden nicht abgelenkt: [[Datei:Hauptstrahlen.png|mini|zentriert|hochkant=2|Alle Hauptstraßen gehen durch den Hauptpunkt im Schnittpunkt der Hauptebene H mit der optischen Achse.]] Da alle Hauptstrahlen den geometrischen Mittelpunkt einer um die optische Achse rotationssymmetrisch zentrierten dünnen Linse treffen, werden sie auch '''Mittelpunktstrahlen''' oder '''Zentralstrahlen''' genannt. <div style="clear:both"></div> ==Optische Flächen== [[Datei:Lens shapes 2.svg|mini|hochkant=1.5|Verschiedene Linsenformen mit ihren beiden Hauptebenen H und H':<br/> 1: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 2: bikonvexe Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 3: plankonvexe Sammellinse mit <math>r_2 = \infty</math><br/> 4: konvex-konkave Sammellinse mit <math>r_ 1 < r_2</math><br/> 5: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 \approx r_2</math><br/> 6: bikonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math><br/> 7: plankonkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 = \infty</math><br/> 8: konvex-konkave Zerstreuungslinse mit <math>r_ 1 > r_2</math>]] Licht kann an den Flächen zwischen optischen Medien durch '''Lichtbrechung''' ('''Refraktion''') oder an Oberflächen durch '''Spiegelung''' ('''Reflexion''') abgelenkt werden. Optische '''Linsen''' sind lichtdurchlässig (transparent) und haben zwei optisch aktive Oberflächen, und '''Spiegel''' haben eine reflektierende Oberfläche. Linsen- und Spiegeloberflächen können eben ('''plan'''), nach außen gewölbt ('''konvex''') oder nach innen gewölbt ('''konkav''') sein. Bei Linsen können die beiden optisch aktiven Oberflächen verschiedene Wölbungen und Formen haben. Beidseitig konvexe ('''bikonvexe''') sowie '''plankonvexe''' Linsen sammeln das einfallende Licht und werden deswegen '''Sammellinsen''' genannt. Beidseitig konkave ('''bikonkave''') sowie '''plankonkave''' Linsen zerstreuen einfallendes Licht und werden deswegen '''Zerstreuungslinsen''' genannt. Bei konvex-konkaven und konkav-konvexen Linsen wird die Gesamtwirkung des Sammelns oder Zerstreuens durch die Oberfläche mit der stärkeren Krümmung bestimmt: ist diese konvex, handelt es sich um eine Sammellinse, ist diese konkav, handelt es sich um eine Zerstreuungslinse. Bei Spiegeloberflächen verhält es sich umgekehrt: ist die Spiegeloberfläche konkav, handelt es sich um einen lichtsammelnden Spiegel (auch '''konkaver Spiegel''' oder '''Hohlspiegel'''), ist die Spiegeloberfläche konvex, handelt es sich um einen lichtzerstreuenden Spiegel (auch '''konvexer Spiegel''',''' Wölbspiegel''' oder '''Zerstreuungsspiegel'''). Ein Spiegel mit ebener Oberfläche wird als '''Planspiegel''' bezeichnet, bei dem die Hauptebene mit der Oberfläche identisch ist. Linsen haben stets zwei '''Hauptebenen''', die in der Regel objektseitig mit '''H''' und bildseitig mit '''H'''' bezeichnet werden. Die entsprechenden '''Hauptpunkte''' können insbesondere bei plankonvexen oder plankonkaven Linsen mit den Scheitelpunkten der Linsenoberflächen auf der optischen Achse übereinstimmen. Bei bikonvexen und bikonkaven Linsen liegen die Hauptpunkte jedoch zwischen den Scheitelpunkten der Linse. Bei konkav-konvexen beziehungsweise konvex-konkaven Linsen kann ein Hauptpunkt oder können sogar beide Hauptpunkte außerhalb des Linsenkörpers liegen. Zwischen den beiden Hauptebenen einer Linse verlaufen alle Strahlen rechnerisch betrachtet parallel zur optischen Achse. Die Hauptstrahlen verlaufen zwischen den beiden Hauptebenen entlang der optischen Achse. Im folgenden Beispiel für eine Sammellinse wird dieses Verhalten verdeutlicht: [[Datei:Strahlengang.Hauptebenen.Sammellinse.png|mini|zentriert|Strahlengang über die beiden Hauptebenen H und H' bei einer Sammellinse.]] Bei hinreichend '''dünnen Linsen''' fallen die beiden Hauptebenen annähernd zu einer einzigen Hauptebene in der Mitte der Linse zusammen, so dass sich Berechnungen und graphische Darstellungen mit nur einer Hauptebene deutlich vereinfachen lassen. Von dünnen Linsen wird gesprochen, wenn die Brennweite <math>f</math> und somit auch die Radien der Linsenoberflächen <math>R_1</math> und <math>R_2</math> deutlich größer sind als die entlang der optischen Achse zwischen den beiden Linsenscheitelpunkten gemessene Dicke <math>d</math> einer Linse: :<math>R_1, R_2 > f \gg d</math> Optische Systeme, wie zum Beispiel ein Objektiv mit zahlreichen Linsen, können sehr viele Hauptebenen haben, die nicht notwendigerweise alle im optischen System liegen müssen, wie zum Beispiel bei [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Retrofokusobjektiv|Retrofokusobjektiven]] oder [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telefokusobjektiv|teleskopischen Objektiven]]. Messtechnisch können von außen unmittelbar nur die Lagen der beiden äußersten Hauptebenen eines optischen Systems bestimmt werden. Bei Zoomobjektiven, also bei Objektiven mit variabler Brennweite, variiert die Lage der Hauptebenen mit der Einstellung der Brennweite. Auch bei Objektiven mit innenliegender Fokussierung verändert sich beim Scharfstellen von Objekten in der Bildebene die Lage von Hauptebenen zueinander. '''Schnittweiten''' werden ebenfalls entlang der optischen Achse gemessen, in der Regel jedoch nicht von einer Hauptebene aus, sondern vom Scheitelpunkt der nächstgelegenen gekrümmten und zu untersuchenden optischen Fläche. Dieser Scheitelpunkt befindet sich im Schnittpunkt der optischen Achse mit der gekrümmten optischen Fläche. <div style="clear:both"></div> ==Bildwinkel== [[Datei:Bildwinkel.png|hochkant=2|miniatur|Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildweite <math>b</math> und Bilddiagonale <math>d</math> mit Berücksichtigung der Objektgröße <math>G</math> und der Bildgröße <math>B</math>]] Der '''Bildwinkel''' <math>\alpha</math> ist der ebene Winkel, innerhalb dessen das reelle Bild des Objektes in der '''Bildebene''' vom bildseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann. Er wird durch die äußeren zur Abbildung beitragenden Hauptstrahlen gebildet, die durch den Hauptpunkt gehen. Mathematisch ist der Bildwinkel wie folgt definiert, wenn die '''Bildgröße''' (sie wird manchmal auch als Bildhöhe bezeichnet) <math>B</math> beziehungsweise der Radius des '''Bildkreises''' <math>r</math> von der optischen Achse aus gemessen ist und <math>b</math> die '''Bildweite''' zwischen Hauptebene und Bildebene darstellt: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {B}{b} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{b}</math>, wobei der Radius des Bildkreises <math>r</math> gleich dem halben Bildkreisdurchmesser <math>d</math> ist: :<math>r = B = \frac {d}{2}</math> Die Bildweite ergibt sich daraus folgendermaßen: :<math>b = \frac {r}{\tan \frac {\alpha}{2}} = \frac {d}{2 \cdot \tan \frac {\alpha}{2}}</math> Der '''Objektwinkel''' ist der ebene Winkel, innerhalb dessen ein abgebildetes Objekt in der '''Objektebene''' (respektive in der '''Schärfeebene''') vom objektseitigen Hauptpunkt eines optischen Systems aus gesehen werden kann, und er ist mit dem Bildwinkel <math>\alpha</math> identisch. Daher können unter Berücksichtigung des [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Abbildungsma.C3.9Fstab|Abbildungsmaßstabs]] auch die '''Objektgröße''' (sie wird auch als '''Gegenstandshöhe''' oder '''Gegenstandsgröße''' bezeichnet) <math>G</math> beziehungsweise der Radius des '''Objektkreises''' von der optischen Achse aus gemessen und die '''Objektweite''' (sie wird auch als '''Gegenstandsweite''' bezeichnet) <math>g</math> zwischen Hauptebene und Objektebene zur Berechnung des Bildwinkels herangezogen werden: :<math>\alpha = 2 \cdot \arctan \frac {G}{g}</math> Wegen der ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke gilt, dass die Verhältnisse der Katheten gleich sind: :<math>\frac {B} {b} = \frac {G} {g}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {B} {G} = \frac {b} {g}</math> <div style="clear:both"></div> ==Brennweite== [[Datei:Brennweite.png|mini|hochkant=2|Brennweite f zwischen einer Hauptebene H und dem Brennpunkt F bei einer optischen Abbildung]] [[Datei:Objektweite.unendlich.png|mini|hochkant=2|Bildhöhe c in der Brennebene in Abhängigkeit der Richtung γ eines unendlich entfernten Objektes zur optischen Achse]] Die '''Brennweite''' <math>f</math> ist bei einer optischen Abbildung mit lichtsammelnden Elementen definiert als die von der letzten Hauptebene gemessene Schnittweite paraxialer Lichtstrahlen bei unendlicher '''Objektweite''' <math>a</math>. In diesem Fall schneiden sich die Strahlen im bildseitigen '''Brennpunkt''' und die '''Bildweite''' <math>b</math> ist identisch mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>f = b_{a=\infty}</math> Die Brennweite kann also als Bildweite gemessen werden, wenn die Objektweite unendlich ist. Der Kehrwert der Brennweite wird '''Brechkraft''' <math>D</math> genannt: :<math>D = \frac {1} {f}</math> Die Maßeinheit der Brechkraft ist eine Dioptrie, die identisch ist mit der Maßeinheit <math>\frac {1} {\text{m}}</math> (Eins durch Meter). Die Brechkraft wird häufig in der Augenoptik verwendet, um die Brechkraft von Sehhilfen zu charakterisieren. Sammellinsen wie auch Hohlspiegel haben eine positive Brechkraft und können eine Weitsichtigkeit (Hyperopie) kompensieren. Zerstreuungslinsen wie auch Wölbspiegel haben eine negative Brechkraft und können eine Kurzsichtigkeit (Myopie) kompensieren. Liegt das Objekt außerhalb der optischen Achse, wird es nicht in den Brennpunkt abgebildet, sondern in die '''Brennebene''', die durch den Brennpunkt geht und senkrecht auf der optischen Achse steht. Für ein Objekt mit unendlicher Objektweite, das zur optischen Achse unter dem Winkel <math>\gamma</math> erscheint, ergibt sich bei gegebener bildseitiger Brennweite <math>f'</math> die von der optischen Achse gemessene Bildhöhe <math>c</math> wie folgt: :<math>c = f' \tan \gamma</math> Oder nach Umstellung aufgelöst nach dem Winkel <math>\gamma</math> in Abhängigkeit der beiden Längen: :<math>\gamma = \arctan \frac {c} {f'}</math> Wenn die Bilddiagonale eines Rechteckes beziehungsweise der Bildkreisdurchmesser <math>d</math> bekannt sind, ergibt sich die Brennweite als Funktion des (diagonalen) Bildwinkels <math>\alpha</math> zu: :<math>f = \frac {d} {2 \cdot \tan \frac {\alpha} {2}}</math> Beziehungsweise umgekehrt, der Bildwinkel <math>\alpha</math> als Funktion der Brennweite <math>f'</math>: :<math>\alpha = 2 \arctan {\frac {d} {2 \cdot f'}}</math> Ein Objekt, das in der Brennebene liegt, wird ins Unendliche abgebildet, und der objektseitige Brennpunkt wird bildseitig daher auf der optischen Achse ins Unendliche abgebildet. Wegen der '''Dispersion''' kann die Brennweite bei der Verwendung von brechenden Materialien von der Wellenlänge der abbildenden Strahlen abhängen: → Siehe hierzu auch '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Chromatische_Aberration|Kapitel "Bildaufnahme" / Abschnitt "Chromatische Aberration"]]''' <div style="clear:both"></div> ===Normalbrennweite=== Die Brennweite ist bei einer optischen Abbildung nicht ausreichend, um die Größe einer Aufnahme zu kennzeichnen. In einigen Fällen ist die Bildgröße standardisiert, wie zum Beispiel beim rechteckigen Format des Kleinbildfilms, so dass aus der Angabe einer beliebigen Brennweite auch auf den maximal möglichen Bildwinkel der '''Bilddiagonale''' beziehungsweise des '''Bildkreisdurchmessers''' geschlossen werden kann. Es kann eine empirisch zu bestimmende '''Normalbrennweite''' definiert werden, bei der ein Bild mit dem Bildwinkel aufgenommen wird, mit dem das abgebildete Objekt mit bloßem Auge bei hinreichender Auflösung gesehen werden kann. Dies ist der Fall, wenn der Bildwinkel des Auges wegen der physiologischen Schwankungsbreite ungefähr zwischen 40° und 55° liegt. Brennweiten, die kürzer als die Normalbrennweite sind, erzeugen weitwinklige Aufnahmen mit größeren Bildwinkeln, und Brennweiten, die länger als die Normalbrennweite sind, erzeugen teleskopische Aufnahmen mit kleineren Bildwinkeln. Die Größenverhältnisse der in unterschiedlichen Entfernungen aufgenommenen Gegenstände innerhalb einer Aufnahme ändern sich deutlich mit der Brennweite. Beim durch den 35-Millimeter-Film (Kleinbildfilm) im 20.&nbsp;Jahrhundert sehr weit verbreiteten Kleinbildformat mit einer Bildbreite <math>b</math> von 36 Millimetern und einer Bildhöhe <math>h</math> von 24 Millimetern hat sich eine Normalbrennweite <math>f_\text{norm, Kleinbild}</math> von :<math>f_\text{norm, Kleinbild} = 50 \, \text{mm}</math> etabliert. Bei diesem Format ergibt sich rechnerisch eine Bilddiagonale beziehungsweise ein Bildkreisdurchmesser <math>d</math> von: :<math>d_\text{Kleinbild} = \sqrt {b_\text{Kleinbild}^2 + h_\text{Kleinbild}^2} = \sqrt {{(36 \, \text{mm})}^2 + {(24 \, \text{mm})}^2} \approx 43{,}3 \, \text{mm}</math> [[Datei:Sensorformate.svg|hochkant=2|miniatur|Bildsensorgrößen im Vergleich]] Da alle Hersteller von Kleinbildkameras dieselbe, fest vorgegebene Bildgröße verwenden, ist dem Photographen bei diesem Bildformat bekannt, dass ein Objektiv mit Normalbrennweite eine Brennweite von 50&nbsp;Millimetern hat. Bei anderen Bildformaten und -größen, wie sie zum Beispiel in der digitalen Photographie verwendet werden, ergeben sich zwangsläufig andere Normalbrennweiten, so dass aus der Angabe der Brennweite allein noch nicht folgt, welche Bildgröße oder welcher Bildwinkel bei der optischen Abbildung berücksichtigt wurde. Abgesehen von einigen digitalen Systemkameras mit Bildsensoren im Kleinbildformat gibt es viele verschiedene Bildsensorgrößen und damit Normalbrennweiten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Lichtwandlung#Bildsensoren|Bildsensoren]]). Zur Bestimmung von Normalbrennweiten kann das Verhältnis <math>c</math> zwischen Normalbrennweite und Bildkreisdurchmesser verwendet werden, das sich beim Kleinbildfilm ergibt: :<math>c = \frac {f_\text{norm, Kleinbild}}{d_\text{Kleinbild}} \approx 1{,}16</math> Anhand der effektiven Bilddiagonalen <math>d</math> kann somit die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> berechnet werden: :<math>f_\text{norm} = c \cdot d</math> Beim Sonderfall '''unendlicher Objektweite''' <math>a</math> sind Bildweite <math>a'</math> und Brennweite <math>f</math> identisch, und der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> kann leicht aus der Brennweite <math>f</math> und dem Radius des Bildkreises <math>r</math> berechnet werden: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {r}{f}</math> Am Beispiel des Kleinbildformates ergibt sich der Bildwinkel bei der Normalbrennweite <math>\alpha_\text{norm}</math> also wie folgt: :<math>\alpha_\text{norm} = 2 \cdot \arctan \frac {21{,}63 \, \text{mm}} {50 \, \text{mm}} = 46{,}8^\circ</math> Dieser Bildwinkel kann auch bei alle anderen Bildformaten eingesetzt werden. Die Normalbrennweite kann mithilfe des Bildwinkels bei der Normalbrennweite bei unendlicher Objektweite auch aus der Brennweite und dem dazugehörigen Bildwinkel bestimmt werden: :<math>f_\text{norm} = f \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Ferner lässt sich auch die Bilddiagonale berechnen, wenn die Brennweite bekannt ist und der Bildwinkel gemessen werden kann: :<math>d = \frac {f_\text{norm}} {c} = \frac {f} {c} \cdot \frac {\tan \frac {\alpha}{2}} {{\tan \frac {\alpha_\text{norm}}{2}}}</math> Für einige gängige Bildsensorformate resultieren die folgenden Bilddiagonalen und Normalbrennweiten, sowie die entsprechenden Schärfentiefebereiche (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sch.C3.A4rfentiefe|Schärfentiefe]]) für menschliche Betrachter beispielsweise bei einer Blendenzahl von 2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Blendenzahl|Blendenzahl]]) und einer Objektweite von einem Meter. Ferner die Bildpunktgröße bei 16&nbsp;Millionen quadratischen Bildpunkten (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Punktabstand|Punktabstand]]), der dazugehörige tolerierbare Fokussierungsfehler in der Bildebene bei der Blendenzahl&nbsp;2,0 (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Fokussierungsfehler|Fokussierungsfehler]]) und der Durchmesser des entsprechenden Beugungsscheibchens für grünes Licht mit der Wellenlänge 550 Nanometer (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]): {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Bildsensorgröße<br />Bezeichnung !Bilddiagonale<br /><math>d</math> in Millimetern !Normalbrennweite<br /><math>f_\text{norm}</math> in Millimetern !Schärfentiefe in mm<br />bei Blendenzahl 2,0 und<br />Objektweite 1 m !Bildpunktgröße<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei 16 Millionen Bildpunkten !Maximal zulässiger Fokussierungsfehler<br />auf dem Bildsensor in µm<br />bei Blendenzahl 2,0 !Maximale Blendenzahl<br />ohne Beugungsbegrenzung<br />auf dem Bildsensor |- | 1/3,2″ || 5,6 || 6,5 || 360 || 0,99 || 2,0 || 0,74 |- | 1/2,7″ || 6,0 || 7,0 || 330 || 1,06 || 2,1 || 0,79 |- | 1/2,5″ || 6,4 || 7,5 || 310 || 1,13 || 2,3 || 0,84 |- | 1/2,3″ || 7,7 || 8,9 || 260 || 1,4 || 2,7 || 1,0 |- | 1/1,8″ || 8,9 || 10 || 240 || 1,57 || 3,1 || 1,2 |- | 2/3″ || 11,0 || 13 || 170 || 1,94 || 3,9 || 1,4 |- | 1" || 15,9 || 18 || 130 || 2,8 || 5,6 || 2,0 |- | 4/3″ || 21,6 || 25 || 90 || 3,8 || 7,6 || 2,8 |- | APS-C || 26,8 bis 28,4 || 31 bis 33 || 70 || 5 || 10 || 3,5 |- | Kleinbildformat || 43,3 || 50 || 44 || 8 || 15 || 5,6 |- | Mittelformat || 50 bis 70 || 60 bis 80 || 30 || 11 || 20 || 8,0 |} Wesentliche Unterschiede von Bildsensoren ergeben sich indirekt durch eine unterschiedliche Schärfentiefe <math>\Delta_d</math> bei gleichem Bildwinkel und gleicher Blendenzahl. Dabei gilt näherungsweise bei gleicher Anzahl der Bildpunkte (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildauflösung|Bildauflösung]]): :<math>\Delta_d \propto \frac {1} {d}</math> Es ergibt sich bei der Verdopplung der Bilddiagonale <math>d</math> also in etwa eine Halbierung der Schärfetiefe. Bei großen Bildsensorformaten ist die Schärfentiefe bei offener Blende möglicherweise so stark eingeschränkt, dass abgeblendet werden muss. Ferner kann es bei der Verwendung von zusätzlichen Einstellhilfen für die Bildschärfe wie zum Beispiel Einstellscheiben oder Autofokussystemen bei kleinen Bildsensoren leicht zu Fokussierungsfehlern kommen, so dass das Bild auf dem Sensor nicht hinreichend scharf aufgenommen werden kann. ==Abbildungsmaßstab== [[Datei:Abbildungsgleichung.png|hochkant=2.5|miniatur|Parameter der Abbildungsgleichung bei einem konvergenten Strahlengang]] [[Datei:Lens and wavefronts rotated.gif|mini|Die Ausbreitungsrichtung der von einem Objektpunkt in unendlicher Objektentfernung ausgehenden, ebenen Wellenfronten steht überall senkrecht auf diesen Wellenfronten. Dies ist auch nach dem Passieren eines optischen Systems der Fall, so dass sich die Wellenfronten bei einer optischen Abbildung im Bild zu einem Punkt vereinigen.]] [[Datei:Virtuelle.Abbildung.png|thumb|hochkant=2|miniatur|Geometrische Verhältnisse bei einer '''virtuellen Abbildung''':<br/> Das virtuelle Bild eines zwischen der objektseitigen Brennebene und der Hauptebene befindlichen Objekts kann von rechts der Hauptebene aus betrachtet werden und entsteht von dort aus gesehen hinter dem Objekt vergrößert im Objektraum. Anders als ein reelles Bild kann es in der Bildebene '''nicht''' mit einem Schirm aufgefangen werden. Der objektseitige Brennpunkt (nicht dargestellt) befindet sich bei einer virtuellen Abbildung immer vor der Objektebene auf der optischen Achse.]] Bei photographischen Aufnahmen mit gegebener Brennweite <math>f</math> gilt die '''Abbildungsgleichung''' (umgangssprachlich auch "Linsenformel"), die den Zusammenhang zwischen Objektweite <math>a</math> und Bildweite <math>a'</math> herstellt: :<math>\frac {1} {f} = \frac {1} {a} + \frac {1} {a'}</math> oder anders ausgedrückt: :<math>f = \frac {a \cdot a'} {a + a'}</math> Aus diesen Längen lässt sich der '''Abbildungsmaßstab''' <math>\beta</math> berechnen. Dieser kann bei sowohl aus dem Verhältnis von Bildweite <math>a'</math> zu Objektweite <math>a</math> (auch Gegenstandsweite genannt), als auch aus dem Verhältnis von Bildgröße <math>y'</math> zu Objektgröße <math>y</math> (auch Gegenstandsgröße genannt) berechnet werden: :<math>\beta = \frac {a'} {a}= \frac {y'} {y} = \frac {a'} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a} {f} - 1}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {1} {\beta} = \frac {a} {a'}= \frac {y} {y'} = \frac {a} {f} - 1 = \frac {1} {\frac {a'} {f} - 1}</math> Hieraus ergibt sich unmittelbar, dass der Abbildungsmaßstab genau dann den Betrag Eins annimmt, wenn sowohl Objektweite als auch Bildweite doppelt so groß sind wie die Brennweite: :<math>a = 2 \cdot f \rightarrow a' = 2 \cdot f' \rightarrow | \beta | = 1</math> Bei reellen Abbildungen aus dem Unendlichen, also mit unendlicher Objektweite (<math>a = \infty</math>), ist der Abbildungsmaßstab in der Brennebene Null (<math>a' = f'</math>). Die Größe des abgebildeten Punkts hat in der Brennweite <math>f'</math> dann allerdings nicht den geometrisch sich ergebenen Durchmesser Null, sondern wird durch den Durchmesser des Beugungsscheibchens begrenzt (siehe hierzu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Beugungsbegrenzung|Beugungsbegrenzung]]). Wegen der Umkehrbarkeit der Lichtwege in einem optischen System ergeben sich die entsprechenden Verhältnisse auch bei der Abbildung eines Objektpunkts in der Brennebene bei der Objektweite <math>a = f</math> nach Unendlich (<math>a' = \infty</math>). Umgeformt nach der Bildweite <math>a'</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a'} = \frac {y'} {y} \cdot a = \beta \cdot a = \frac {1} {\frac {1}{f} - \frac {1} {a}} = ({\beta} + 1) \cdot f</math> Und umgeformt nach der Objektweite <math>a</math> lautet der Formelzusammenhang: :<math>{a} = \frac {y} {y'} \cdot a' = \frac {a'}{\beta} = \frac {1} {\frac {1} {f} - \frac {1} {a'}} = \left( \frac {1} {\beta} + 1 \right) \cdot f</math> Desgleichen können die Objektröße <math>y</math> und die Bildgröße <math>y'</math> ausgerechnet werden: :<math>{y} = \frac {y'} {\beta} = \frac {y'} {\frac {a'} {f} - 1} = \left( \frac {a} {f} - 1 \right) \cdot y'</math> :<math>{y'} = \beta \cdot y = \left( \frac {a'} {f} - 1 \right) \cdot y = \frac {y} {\frac {a} {f} - 1}</math> Bei der gleichzeitigen Aufnahme von Objekten mit verschiedener Objektweite (innerhalb des hinreichend scharf abgebildeten Schärfentiefebereiches) ergeben sich also zwangsläufig unterschiedliche Abbildungsmaßstäbe. Dieser Effekt kann bei Aufnahmen, bei denen es auf Maßhaltigkeit ankommt (zum Beispiel bei einer Industrieanlagenüberwachung, in der Photogrammetrie oder bei der Portraitphotographie), dadurch reduziert werden, dass eine größere Brennweite und entsprechend größere Objektweiten gewählt werden. Alternativ ist der Einsatz von beidseitig telezentrischen Objektiven möglich, bei denen der Abbildungsmaßstab weder von der Objektweite noch von der Bildweite abhängt (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Telezentrie|Telezentrie]]). Für zwei Gegenstände mit einem Abstand von zehn Einheiten ergeben sich bei drei verschiedenen Brennweiten beispielsweise die folgenden Abbildungsmaßstäbe: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" !Brennweite<br/><math>f</math> !Objektweite<br/><math>a</math> !Abbildungsmaßstab<br/><math>\beta</math> !Abweichung der<br/>Abbildungsmaßstäbe |- | rowspan="2" | 10 | 100 | 0,1111 | rowspan="2" | 11,1% |- | 110 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 100 | 1090 | 0,1010 | rowspan="2" | 1,0% |- | 1100 | 0,1000 |- | rowspan="2" | 1000 | 10990 | 0,1001 | rowspan="2" | 0,1% |- | 11000 | 0,1000 |} <div style="clear:both"></div> ===Abbildung über zwei Hauptebenen=== [[Datei:Optische Abbildung.mit.zwei.Hauptebenen.png|mini|rechts|hochkant=2|Optische Abbildung eines Objekts in der Gegenstandsebene G in der Objektweite a mit der Objektgröße y über zwei Hauptebenen H und H' mit dem Abstand x in die Bildebene B in der Bildweite a' mit der Bildgröße y'. Der objektseitige Brennpunkt F befindet sich in der Brennweite f vor der Hauptebene H, und der bildseitige Brennpunkt befindet sich in der Brennweite f' hinter der Hauptebene H'. Die Gesamtlänge s des Strahlengangs ist durch den Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B bestimmt.]] Optische Systeme, die für die Erzeugung von reellen Bildern von Objekten eingesetzt werden, bestehen in der Regel aus Objektiven mit mehreren Linsen. Jede Linse hat zwei Hauptebenen, an denen die Lichtstrahlen abgelenkt werden können. Von außen sind jedoch nur die objektseitige Hauptebene H und die bildseitige Hauptebene H' des gesamten optischen Systems relevant. Zwischen den Hauptebenen verlaufen alle abgelenkten Strahlen parallel zur optischen Achse. Deswegen reicht es häufig, ein optisches System nur durch diese beiden im Abstand <math>x</math> voneinander befindlichen Hauptebenen H und H' zu beschreiben und zu untersuchen. Der Abstand zwischen Gegenstandsebene G und Bildebene B ist dann die Summe <math>s</math> von Objektweite <math>a</math>, Abstand der Hauptebenen <math>x</math> und der Bildweite <math>a'</math>: :<math>s = a + x + a'</math> Aus den geometrischen Verhältnissen ergibt sich mit den oben genannten Größen für die Brennweite <math>f</math> und für den Abbildungsmaßstab <math>\beta</math>: :<math>s = x + f \cdot \left( \beta + \frac {1} {\beta} + 2 \right) \ge x + 4 \cdot f</math> <div style="clear:both"></div> ===Relativer Abbildungsmaßstab=== Um ein von der Brennweite und der Bildgröße unabhängiges Maß zu gewinnen, kann das Verhältnis des tatsächlichen Abbildungsmaßstabes <math>\beta</math> zum entsprechenden Abbildungsmaßstab bei der Normalbrennweite <math>\beta_\text{norm}</math> gebildet werden, der sogenannte '''relative Abbildungsmaßstab''' <math>\beta_\text{rel}</math>: :<math>\beta_\text{rel} = \frac {\beta}{\beta_\text{norm}}</math> Bei der Normalbrennweite ist der relative Abbildungsmaßstab eins, bei weitwinkligen Aufnahmen ist er kleiner als eins und bei teleskopischen Aufnahmen ist er größer als eins. <div style="clear:both"></div> ==Zoomfaktor== [[Datei:Standardzoom.png|mini|rechts|hochkant=2|Standardzoom mit Bildwinkeln zwischen leicht weitwinkliger und leicht teleskopischer Wirkung. Bei mittlerer Brennweite sind in etwa die Normalbrennweite und der Normalwinkel eingestellt.]] Der '''Zoomfaktor''' <math>z</math> von Objektiven, die in der Brennweite variabel sind, wird traditionell als Verhältnis der Extrembrennweiten angegeben: :<math>z = \frac {f_\text{tele}} {f_\text{weit}}</math> Dieser Wert ist bei '''unendlicher Objektweite''' identisch mit dem Verhältnis der entsprechenden Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise relativen Abbildungsmaßstäbe: :<math>z = \frac {\beta_\text{weit}} {\beta_\text{tele}} = \frac {\beta_\text{rel, weit}} {\beta_\text{rel, tele}}</math> Dies ist zwar ein einfacher Ansatz, da die Brennweiten als Kenndaten des Zoomobjektivs in der Regel angegeben werden, dieser lässt jedoch unbeachtet, dass die perspektivische Wirkung einer optischen Abbildung nicht von der Brennweite, sondern vom Bildwinkel bestimmt wird und bei Vergrößerungen der Abbildungsmaßstab einen viel entscheidenderen Einfluss hat. Bei einer Verdopplung der Brennweite ist es bei hinreichend geringer Objektweite ohne weiteres möglich, einen zehn Mal größeren Abbildungsmaßstab respektive einen zehn Mal kleineren Bildwinkel zu erreichen. Der Zoomfaktor ist also nur eine Kenngröße, die die Verhältnisse der Abbildungsmaßstäbe bei unendlicher Objektweite angeben. Für Objektweiten in der Größenordnung der Brennweite <math>f</math> ist das Verhältnis der Abbildungsmaßstäbe beziehungsweise der Bildwinkel erheblich aussagekräftiger als der Zoomfaktor. Die folgende Tabelle gibt für eine Objektweite von <math>g = 1000</math> Längeneinheiten die Verhältnisse der Brennweiten, Abbildungsmaßstäbe und Bildwinkel bei verschiedenen Brennweiten bezogen auf die Bezugsbrennweite <math>f_{0} = 10</math> (dies entspricht einem Abbildungsmaßstab von <math>\beta_{0} = \frac {1} {99}</math>, einer Bildweite von <math>b_{0} = 10{,}101</math>, einer Bilddiagonale von <math>d = 8{,}7</math>, wenn <math>f_{0}</math> die Normalbrennweite <math>f_\text{norm}</math> des Systems ist, und einem Bildwinkel von <math>\alpha_{0} = \alpha_{\text{norm}} = 46{,}8^\circ</math>) an: {| class="wikitable zebra" | style="text-align:center" |+ Abbildungsverhältnisse bei konstanter Objektweite g = 1000 !<br/>Brennweite<br/><math>f</math> !<br/>Bildweite<br/><math>b</math> !Abbildungs-<br/>maßstab<br /><math>\beta</math> !<br/>Bildwinkel<br/><math>\alpha</math> in ° !Verhältnis der<br/>Brennweiten<br /><math>f / f_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Abbildungsmaßstäbe<br /><math>\beta / \beta_{0}</math> !Verhältnis der<br/>Bildwinkel<br /><math>\alpha_{0} / \alpha</math> |- | 0,999 || 1,000 || 1/1000 || 154 || 0,100 || 0,099 || 0,303 |- | 1,996 || 2,000 || 1/500 || 131 || 0,200 || 0,198 || 0,358 |- | 4,975 || 5,000 || 1/200 || 82,3 || 0,498 || 0,495 || 0,568 |- | 9,901 || 10,00 || 1/100 || 47,2 || 0,990 || 0,990 || 0,991 |- | '''10,00''' <math>= f_{0}</math> || 10,10 || 1/99 <math>= \beta_{0}</math> || 46,8 <math>= \alpha_{0}</math> || '''1,00''' || '''1,00''' || '''1,00''' |- | 19,61 || 20,00 || 1/50 || 24,7 || 1,96 || 1,98 || 1,90 |- | 38,46 || 40,00 || 1/25 || 12,5 || 3,85 || 3,96 || 3,75 |- | 100 || 111,1 || 1/9 || 4,51 || 10 || 11 || 10,4 |- | 200 || 250,0 || 1/4 || 2,00 || 20 || 24,75 || 23,4 |- | 250 || 333,3 || 1/3 || 1,50 || 25 || 33 || 31,1 |- | 333 || 500,0 || 1/2 || 1,00 || 33,3 || 49,5 || 46,7 |- | 400 || 666,7 || 2/3 || 0,751 || 40 || 66 || 62,3 |- | 500 || '''1000''' <math>= g</math> || '''1''' || 0,501 || 50 || 99 || 93,4 |- | 667 || 2000 || 2 || 0,250 || 66,7 || 198 || 187 |- | 750 || 3000 || 3 || 0,167 || 75 || 297 || 280 |- | 833 || 5000 || 5 || 0,100 || 83,3 || 495 || 467 |- | '''1000''' <math>= g</math> || ∞ || ∞ || 0,000 || 100 || ∞ || ∞ |} Hier ist zu erkennen, dass bei zunehmenden Bildweiten die Verhältnisse der Brennweiten von denen der Abbildungsmaßstäbe und denen der Bildwinkel deutlich auseinanderlaufen; die Unterschiede der Abbildungsmaßstäbe und der Bildwinkel werden im Vergleich zu den Unterschieden der Brennweiten immer größer und gehen gegen Unendlich. Anders bei kurzen Bildweiten: hier stimmen die Verhältnisse der Brennweiten gut mit denen der Abbildungsmaßstäbe überein, jedoch ist die Zunahme der Bildwinkel hierbei begrenzt, weil der maximale Bildwinkel nur 180&nbsp;Bogengrad erreichen kann. Das minimale Verhältnis der Bildwinkel ergibt sich folglich zu: :<math>\frac {\alpha_{0}} {\alpha_\text{max}} = \frac {46{,}8^\circ} {180^\circ} = 0{,}260</math> Ferner ist zu beachten, dass sich insbesondere bei kompakten Objektiven mit innenliegender Fokussierung der Abbildungsmaßstab bei der Scharfstellung ändern kann, auch ohne dass bei Zoomobjektiven die Brennweite verstellt wird (im Englischen: "focus breathing", wörtlich übersetzt "Brennpunktatmen"). <div style="clear:both"></div> ==Öffnung== [[Datei:Blendenlagen.png|mini|hochkant=2|Lage von Eintrittsluke, Aperturblende und Austrittsluke bei einer optischen Abbildung einer Objektebene (G) über eine Hauptebene (H) auf eine Bildebene (B)]] [[Datei:Einfallshoehe.png|mini|hochkant=2|Zur Definition der Einfallshöhe <math>H</math> eines Lichtstrahls, der parallel zur optischen Achse auf eine optische Fläche trifft. Ein Strahl mit der Einfallshöhe Null befindet sich auf der optischen Achse. Der maximale Wert der Einfallshöhe ist durch die Apertur begrenzt. Die Öffnungsweite <math>D</math> ist bei rotationssymmetrischen optischen Komponenten exakt doppelt so groß wie die maximale Einfallshöhe.]] Die '''Öffnung''' (oder auch '''Apertur''') eines rotationssymmetrisch konstruierten Objektivs wird durch den freien Durchmesser beschrieben, der nicht durch mechanische Vorrichtungen wie beispielsweise Kanten, Linsenfassungen oder Blenden begrenzt ist und welcher auch als '''Öffnungsweite''' <math>D</math> bezeichnet wird. Die virtuelle Öffnung von Objektiven kann durch das objektseitige und das bildseitige virtuelle Bild der '''Aperturblende''' beschrieben werden, die auch wirksame '''Eintrittspupille''' beziehungsweise wirksame '''Austrittspupille''' genannt wird. Liegt die Aperturblende vor der ersten Hauptebene der Abbildung (objektseitig) ist die wirksame Eintrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Liegt die Aperturblende hinter der letzten Hauptebene der Abbildung (bildseitig) ist die wirksame Austrittspupille identisch mit der realen Öffnung. Idealerweise werden Aperturblenden in die Hauptebenen des Strahlengangs gelegt, damit sie den Bildausschnitt respektive den Bildwinkel der optischen Abbildung nicht beeinflussen. Mit einer solchen Aperturblende kann der Lichtstrom durch ein optisches System begrenzt werden. Mit variablen Aperturblenden (beispielsweise Irisblenden) kann der Lichtstrom in einem optischen System verändert werden. Befindet sich eine Blende in der Nähe der Objektebene oder der Bildebene, handelt es sich nicht um eine Aperturblende, sondern um eine '''Feldblende''', die den Bildausschnitt beziehungsweise den erfassten Bildwinkel unmittelbar auf die sogenannte '''Eintrittsluke''' (objektseitig) beziehungsweise '''Austrittsluke''' (bildseitig) begrenzt. Befinden sich solche Feldblenden nicht in der Nähe der Objekt- oder Bildebene, werden die entsprechenden Bilder dieser Feldblenden in der jeweiligen Ebene zur Bestimmung der effektiven Lukendurchmesser herangezogen. <div style="clear:both"></div> ===Blendenzahl=== Die dimensionslose '''Blendenzahl''' <math>k</math> eines Objektivs mit der Brennweite <math>f</math> und der Öffnungsweite <math>D</math> ist wie folgt definiert: :<math>k = \frac {f} {D}</math> Der Kehrwert der Blendenzahl wird als das '''Öffnungsverhältnis''' <math>V</math> bezeichnet: :<math>V = \frac {D} {f} = \frac {1} {k}</math> <gallery caption="Objektiv mit Irisblende zur Einstellung der Apertur (Brennweite 42,5 Millimeter)" perrow="2" widths="256" heights="256"> Datei:Objektiv.Blendenzahl.1.2.jpg|Maximale Apertur (Blendenzahl 1,2) Datei:Objektiv.Blendenzahl.16.jpg|Minimale Apertur (Blendenzahl 16) </gallery> Die Änderung der Blendenzahl um eine '''Blendenstufe''' kann sowohl durch Auf- als auch durch Abblenden erreicht werden, wobei sich die Blendenzahl um den Faktor Wurzel von zwei und der Lichtstrom im Objektiv um den Faktor zwei ändert. Je kleiner die Blendenzahl, desto mehr Licht trägt zur Abbildung bei und umgekehrt. Nach der Halbierung der Blendenzahl kommt vier Mal so viel Licht durch das Objektiv, bei der Verdopplung der Blendenzahl nur ein Viertel des Lichtes. Zwei Blendenzahlen <math>k_2</math> und <math>k_1</math> unterscheiden sich um die folgende Anzahl von Blendenstufen <math>\Delta n_k</math>: :<math>\Delta n_k = \log_{\sqrt{2}} {\frac {k_2} {k_1}} = \frac {\log {\frac {k_2} {k_1}}} {\log {\sqrt {2}}} = \frac {\log {k_2} - \log {k_1}} {\log {\sqrt {2}}}</math> Blendenzahlen werden häufig mit den folgenden elf Vorzugswerten angegeben, die sich jeweils um zirka eine Blendenstufe unterscheiden und demzufolge insgesamt zehn Blendenstufen umfassen: :1,0 - 1,4 - 2,0 - 2,8 - 4,0 - 5,6 - 8,0 - 11 - 16 - 22 - 32 [[Datei:Image.Size.png|miniatur|hochkant=2|rechts|Zum Zusammenhang zwischen Bildwinkel <math>\alpha</math>, Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> bei konstanter Öffnungsweite <math>D</math>]] Hierbei ist zu beachten, dass die Blendenzahl <math>k</math> ohne die Angabe der gewählten Bildgröße <math>B</math> wenig Aussagekraft hat. Bei konstantem Bildwinkel <math>\alpha</math> und konstanter Öffnungsweite <math>D</math> ist nicht nur die zur optischen Abbildung beitragende Lichtmenge, sondern ist auch das Verhältnis zwischen Bildgröße <math>B</math> und Bildweite <math>b</math> konstant, obwohl die Abbildungen mit unterschiedlichem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> beziehungsweise unterschiedlicher Brennweite <math>f</math> und somit auch mit unterschiedlicher Blendenzahl <math>k</math> gemacht werden. Für die Gegebenheiten in der Abbildung rechts gilt: :<math>\alpha = \text{const.}</math> :<math>D = \text{const.}</math> :<math>\frac {b_{1}} {B_{1}} = \frac {b_{2}} {B_{2}} = \text{const.}</math> Aber: :<math>k_{1} > k_{2}</math> :<math>\beta_{1} < \beta_{2}</math> :<math>f_{1} < f_{2}</math> <div style="clear:both"></div> ===Öffnungswinkel=== [[Datei:gegenstandsseitiger.und.bildseitiger.Oeffnungswinkel.png|mini|hochkant=2|Objektseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_g</math> und bildseitiger Öffnungswinkel <math>\omega_b</math> in Abhängigkeit von Objektweite <math>g</math> beziehungsweise Bildweite <math>b</math> zur Öffnungsweite <math>D</math>]] Der '''Öffnungswinkel''' ist der Winkel unter dem die wirksame Öffnung mit der Öffnungsweite <math>D</math> eines Objektivs erscheint. Von einem Objektpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''objektseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_g</math>: :<math>\omega_g = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 g}</math> Der halbe objektseitige Öffnungswinkel wird auch '''Aperturwinkel''' genannt. Von einem Bildpunkt auf der optischen Achse aus betrachtet handelt es sich um den '''bildseitigen Öffnungswinkel''' <math>\omega_b</math>: :<math>\omega_b = 2 \cdot \arctan \frac {D} {2 b}</math> Der halbe bildseitige Öffnungswinkel wird auch '''Feldwinkel''' genannt. Die Öffnungswinkel dürfen nicht mit dem Bildwinkel verwechselt werden (siehe dazu auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Bildwinkel|Bildwinkel]]). Bei unendlicher Objektweite ist die Bildweite <math>b</math> identisch mit der Brennweite <math>f</math>, so dass die Blendenzahl <math>k</math> folgendermaßen ausgedrückt werden kann: :<math>g \rarr \infty : k = \frac {f} {D} = \frac {b} {D} = \frac {1} {2 \tan {\frac {\omega_b} {2}}}</math> <div style="clear:both"></div> ===Sinusbedingungen=== [[Datei:Sinusbedingung.Interferenz.Hauptebene.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Interferenz der beiden Randstrahlen bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung eines Punktes P über eine Hauptebene H in die Bildebene B. Die Randstrahlen werden mit ebenen Wellen dargestellt, deren Maxima durch die Punkte und deren Minima durch die dünnen Linien senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gekennzeichnet sind. Auf der optischen Achse treffen im Bildpunkt zwei Maxima der beiden Randstrahlen aufeinander. Die Intensität in der Bildebene B nimmt seitlich zur optischen Achse bis zu den Stellen ab, wo zwei Minima der Randstrahlen aufeinandertreffen.]] [[Datei:Sinusbedingung.png|mini|rechts|hochkant=2|Zur Sinusbedingung bei einer hinreichend scharfen optischen Abbildung.]] Die beiden Öffnungswinkel stehen für Abbildungen, bei denen Öffnungsfehler (siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Sphärische_Aberration|sphärische Aberration]]) keine Rolle spielen, über '''Sinusbedingungen''' in Beziehung. Im Folgenden wird etwas vereinfachend davon ausgegangen, dass die optische Abbildung eines Gegenstands mit der Objektgröße <math>G</math> in ein reelles Bild mit der Bildgröße <math>B</math> außerhalb des optischen Systems, das durch die Hauptebene <math>\text{H}</math> repräsentiert wird, vom gleichen optischen Medium (zum Beispiel Vakuum, Luft oder Flüssigkeit) mit konstanter Brechkraft umgeben ist. Ein kleiner flächenhafter Gegenstand mit der Objektgröße <math>G</math>, der senkrecht zur optischen Achse steht, kann nur dann hinreichend scharf mit der Bildgröße <math>B</math> senkrecht zur optischen Achse abgebildet werden, wenn alle Punkte des Gegenstands beim halben objektseitigen Öffnungswinkel innerhalb einer Wellenlänge <math>\lambda</math> einer ebenen Welle erfasst und alle Bildpunkte beim halben bildseitigen Öffnungswinkel ebenfalls innerhalb einer Wellenlänge einer ebenen Welle zu einem Bild zusammengesetzt werden können. Durch diese Voraussetzung kann vermieden werden, dass es im Bild Interferenzen gibt, die Kontraste erzeugen, die nicht dem Aussehen des abgebildeten Gegenstands entsprechen. Die daraus resultierende '''Abbesche Sinusbedingung''' gilt für eine in Bezug auf den Öffnungsfehler korrigierte Abbildung mit dem Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> sowie für eine bestimmte Wellenlänge <math>\lambda</math> ('''monochromatisches Licht'''). Sie lautet wie folgt: :<math>\beta = \frac {B} {G} = \frac {b} {g} = \frac {\sin \frac {\omega_g} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> Diese Sinusbedingung kann auch in der Form der '''Helmholtz-Lagrange-Invariante''' geschrieben werden: :<math>B \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} = G \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} = \lambda</math> Mit dem halben bildseitigen Öffnungswinkel <math>\alpha_b = \frac {\omega_b} {2}</math> folgt aus dieser Beziehung die häufig angegebene Formulierung des maximalen Auflösungsvermögens respektive der kleinsten abzubildenden Struktur <math>B_{min}</math> nach Ernst Abbe: :<math>B_{min} = \frac {\lambda} {\sin \alpha_b}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Paraxiale Strahlengänge ==== Für paraxiale Strahlengänge können sehr kleine Öffnungswinkel angenommen werden, so dass dann die Sinūs durch die Argumente (im Bogenmaß) ersetzt werden können: :<math>\frac {\omega}{2} = \lim_{\omega \rarr 0} \sin \frac {\omega}{2}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {B} {G} = \frac {\omega_g} {\omega_b}</math> :<math>B \cdot \omega_b = G \cdot \omega_g</math> Die '''paraxiale Optik''', die auch '''gaußsche Optik''' genannt wird, verwendet in der geometrischen Optik diese Näherung, bei der für eine optische Abbildung nur '''paraxiale Strahlen''' berücksichtigt werden. Diese haben lediglich kleine Winkel zur optischen Achse und befinden sich deswegen in der Regel in der Nähe der optischen Achse. <div style="clear:both"></div> ==== Schnittweite ==== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.png|mini|rechts|hochkant=2||Zur Schnittweite an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n < n'</math>.]] Die auf der optischen Achse gemessenen '''Schnittweiten''' <math>s</math> und <math>s'</math> beim Übergang an einer sphärischen Fläche mit dem Radius <math>r</math> zwischen zwei optischen Medien mit den Brechungsindices <math>n</math> und <math>n'</math> kann für paraxiale Strahlen leicht abgeschätzt werden. Hierbei gelten für den Grenzwert der Pfeilhöhe <math>p \rarr 0</math> (siehe nebenstehende Abbildung) die folgenden Näherungsgleichungen: :<math>\sin \alpha \approx \alpha</math> :<math>\sin \beta \approx \beta</math> :<math>\tan \gamma \approx \gamma \approx \frac {h} {s}</math> :<math>\tan (\alpha - \beta - \gamma) \approx \alpha - \beta - \gamma \approx \frac {h} {s'}</math> :<math>\tan (\alpha - \gamma) \approx \alpha - \gamma \approx \frac {h} {r}</math> Aus dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt für achsnahe Strahlen die Näherung: :<math>n \, \alpha \approx n' \, \beta</math> Sowie: :<math>n' (\alpha - \beta - \gamma) = n' \, \alpha - n' \, \beta - n' \, \gamma \approx n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma</math> :<math>n \, \gamma + n' (\alpha - \beta - \gamma) \approx n \, \gamma + n' \, \alpha - n \, \alpha - n' \, \gamma = (n - n') \, (\gamma - \alpha) = (n' - n) \, (\alpha - \gamma)</math> :<math>n \, \frac {h} {s} + n' \, \frac {h} {s'} \approx (n' - n) \, \frac {h} {r}</math> Durch Kürzen der Höhe <math>h</math> ergibt sich schließlich eine Näherungsgleichung, die die '''Schnittweitengleichung''' einer sphärischen Fläche für paraxiale Strahlen darstellt: :<math>\frac {n} {s} + \frac {n'} {s'} \approx \frac {n' - n} {r}</math> Sie kann auch in Form der '''Abbeschen Invariante''' geschrieben werden: :<math>n \, \left( \frac {1} {r} + \frac {1} {s} \right) = n' \, \left( \frac {1} {r} - \frac {1} {s'} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt: :<math>s = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n'} {n' - n} \, r</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt: :<math>s' = \infty</math> In diesem Fall ergibt sich für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> <div style="clear:both"></div> ===== Dünne Linsen ===== [[Datei:Schnittweite.sphaerisch.bikonvex.png|mini|rechts|hochkant=2||Zu den Schnittweiten bei einer dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinse mit den Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> sowie dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem optisch dünneren Medium mit dem Brechungsindex <math>n < n'</math>.]] Bei einer '''dünnen Linse''' ist die Dicke zwischen den Scheitelpunkten ihrer brechenden sphärischen Oberflächen auf der optischen Achse im Vergleich zu den beiden Radien dieser Oberflächen sehr klein. Für eine '''dünne bikonvexe sphärische Sammellinse''' mit den beiden Radien <math>r_1</math> und <math>r_2</math> und dem Brechungsindex <math>n'</math> in einem die Linse umgebenden Medium mit dem Brechungsindex <math>n</math> ergibt sich die folgende entsprechende Beziehung für die Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx (n' - n) \, \left( \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2} \right)</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher objektseitiger Schnittweite''' <math>s</math> gilt damit für die '''bildseitige Schnittweite''' <math>s'</math>: :<math>s' \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Für Objekte auf der optischen Achse mit '''unendlicher bildseitiger Schnittweite''' <math>s'</math> gilt entsprechend für die '''objektseitige Schnittweite''' <math>s</math>: :<math>s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' wie Luft (<math>n \gtrapprox 1</math>) oder im Vakuum (<math>n = 1</math>), vereinfacht sich diese Näherungsformel für die Schnittweiten weiter zu: :<math>s' = s \approx \frac {1} {n' - 1} \cdot \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}}</math> Bei '''dünnen bikonvexen sphärischen Sammellinsen''' kann das harmonische Mittel <math>\bar{r}_\text{harm}</math> der beiden Radien verwendet werden: :<math>\bar{r}_\text{harm} = \frac {2} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = 2 \cdot \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Daraus folgt für den für beide Linsenoberflächen gleichen Radius <math>r</math>, dass dieser halb so groß ist wie der harmonische Mittelwert: :<math>r = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2} = \frac {1} {\frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}} = \frac {r_1 \cdot r_2} {r_1 + r_2}</math> Beziehungsweise: :<math>\frac {1} {r} = \frac {2} {\bar{r}_\text{harm}} = \frac {1} {r_1} + \frac {1} {r_2}</math> Für dünne bikonvexe Linsen mit zwei gleichen Oberflächenradien <math>r</math>, dem Durchmesser <math>D</math> und der Dicke <math>x</math> gilt: :<math>r = r_1 = r_2 = \frac {x^2 + D^2} {4 \, x}</math> :<math>s' = s \approx \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {r} {2} = \frac {n} {n' - n} \cdot \frac {x^2 + D^2} {8 \, x}</math> Dünne '''plankonvexe''' sphärische Sammellinsen mit dem Radius <math>r = 2 \, r_1 = 2 \, r_2</math> verhalten sich demnach genauso wie dünne bikonvexe Linsen mit den beiden identischen Radien <math>r_1 = r_2 = \frac {\bar{r}_\text{harm}} {2}</math>. Wenn einer der beiden Radien <math>r_1</math> oder <math>r_2</math> unendlich groß wird, also eine Ebene beschreibt, nimmt der zu berücksichtigende Radius <math>r</math> den Wert des anderen Radius an: :<math>r = \lim_{r_1 \to \infty} r (r_2) = r_2</math> :<math>r = \lim_{r_2 \to \infty} r (r_1) = r_1</math> Mit dem Brechungsindex <math>n'</math> ergibt sich für die entsprechenden Schnittweiten: :<math>n \, \left( \frac {1} {s} + \frac {1} {s'} \right) \approx \frac {n' - n} {r}</math> Die Schnittweiten entsprechen bei '''paraxialen Strahlen''' dann den Brennweiten <math>f'</math> (bildseitig bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit <math>s \rarr \infty</math>) beziehungsweise <math>f</math> (objektseitig bei der Abbildung ins Unendliche mit <math>s' \rarr \infty</math>): :<math>s \rarr \infty : f' \approx s' \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> :<math>s' \rarr \infty : f \approx s \approx \frac {n} {n' - n} \, r</math> Befindet sich eine solche Linse in einem optisch '''sehr dünnen Medium''' mit <math>n \gtrapprox 1</math>, vereinfachen sich diese Näherungsformeln weiter zu: :<math>f = f' \approx \frac {r} {n' - 1}</math> <div style="clear:both"></div> ==== Große Objektweiten ==== Bei großer Objektweite <math>g</math> ist die Bildweite <math>b</math> annähernd gleich der Brennweite <math>f</math>, und der Sinus des halben objektseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_g} {2}</math> kann in guter Näherung durch das Verhältnis der Hälfte der Öffnungsweite <math>\frac {D} {2}</math> und Objektweite <math>g</math> ausgedrückt werden: :<math>\sin \frac {\omega_g} {2} = \frac {b} {g} \sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {\frac {D} {2}} {g} \approx \frac {f} {g} \sin \frac {\omega_b} {2}</math> Daraus folgt mit Verwendung des halben bildseitigen Öffnungswinkels <math>\frac {\omega_b} {2}</math> und der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>f \approx \frac {\frac {D} {2}} {\sin \frac {\omega_b} {2}}</math> :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \approx \frac {1} {2k}</math> Aus der Beziehung :<math>\sin \frac {\omega_b} {2} \le 1</math> folgt: :<math>f \ge \frac {D} {2}</math> Diese Ungleichung kann auch wieder unter Verwendung der Blendenzahl <math>k</math> ausgedrückt werden: :<math>k \ge \frac {1} {2}</math> In Worten ausgedrückt: <big>'''Die Blendenzahl kann bei einer öffnungsfehlerfreien Abbildung aus dem Unendlichen auf der optischen Achse minimal den Wert <math>\frac {1} {2}</math> annehmen.'''</big> Dieser Wert ist jedoch rein theoretisch, da bei einer entsprechend großen Öffnungsweite alle Objekt- und Bildpunkte außerhalb der optischen Achse notwendigerweise von Abbildungsfehlern beeinträchtigt werden. Die Strecke <math>x</math> vom Schnittpunkt der Randstrahlen mit der Hauptebene zum Bildpunkt auf der optischen Achse beträgt bei der Abbildung aus dem Unendlichen mit der Brennweite <math>f</math>: :<math>g = \infty</math> :<math>b = f</math> :<math>x = \sqrt {f^2 + \frac {D^2} {4}} = \sqrt {f^2 + \frac {f^2} {(2k)^2}} = f \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}}</math> Mit den geometrischen Ähnlichkeiten der Dreiecke bei der Sinusbedingung ergibt sich das folgende Verhältnis aus Bildgröße <math>B</math> und betrachteter Wellenlänge <math>\lambda</math>: :<math>\frac {B} {\lambda} = \frac {x} {\frac {D} {2}}</math> :<math>B = \frac {2 \cdot \lambda \cdot x} {D} = \frac {\lambda \cdot x \cdot 2 k} {f} = \lambda \cdot \sqrt {1 + \frac {1} {(2k)^2}} \cdot 2 k = \lambda \cdot \sqrt {4k^2 + 1}</math> Da die Blendenzahl k nicht kleiner als 0,5 werden kann, gilt als Abschätzung für die erreichbare, durch wellenoptische Beugungseffekte begrenzte Bildgröße demzufolge: :<math>B \ge \sqrt {2} \lambda</math> In Worten ausgedrückt: <big>'''Die Bildgröße eines Objektpunkts kann bei einer öffnungsfehlerfreien Abbildung aus dem Unendlichen auf der optischen Achse nicht kleiner werden als das <math>\sqrt 2</math>-fache der Wellenlänge des verwendeten Lichts.'''</big> <div style="clear:both"></div> ====Zwei dünne Linsen==== Für zwei im Abstand <math>d</math> hintereinander angeordnete dünne Linsen mit den Brennweiten <math>f_1</math> und <math>f_2</math> kann die Gesamtbrennweite <math>f_g</math> folgendermaßen bestimmt werden: :<math>f_g = \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2} + \frac {d} {f_1 \cdot f_2}</math> Wenn der Abstand zwischen den Linsen sehr viel kleiner als die beiden Brennweiten ist (<math>d \ll f_1 , f_2 </math>), kann der letzte Term vernachlässigt werden: :<math>f_g \approx \frac {1} {f_1} + \frac {1} {f_2}</math> Mit den Brechkräften (<math>D</math> in Dioptrien) ergibt sich dann entsprechend: :<math>D_g \approx D_1 + D_2</math> ====Numerische Apertur==== Die '''numerische Apertur''' <math>A_N</math> dient zur Einschätzung des Auflösungsvermögens von optischen Geräten, bei denen die Objektweite dicht bei der objektseitigen Brennweite beziehungsweise bei denen die Bildweite dicht bei der bildseitigen Brennweite liegt. Ein Anwendungsbeispiel sind '''Immersionsobjektive''' (insbesondere bei Mikroskopen), die bei der optischen Abbildung in eine hochbrechende Flüssigkeit (zum Beispiel Immersionsöl) eingetaucht werden. Die numerische Apertur bezieht sich auf den halben Öffnungswinkel <math>\frac {\omega} {2}</math> und die Brechzahl <math>n</math> des optischen Mediums außerhalb des Objektivs. Je höher die dimensionslose Zahl der numerischen Apertur sich dem Brechungsindex des umgebenden Mediums von unten nähert, desto lichtstärker ist das verwendete Objektiv und desto höher wird bei optisch korrigierten Objektiven das optische Auflösungsvermögen. [[Datei:Numerische.Apertur.png|mini|rechts|hochkant=2|Skizze zur numerischen Apertur.]] Für die objektseitige numerische Apertur ergibt sich: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin \frac {\omega_g} {2} \le n</math> Für die bildseitige numerische Apertur ergibt sich entsprechend: :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin \frac {\omega_b} {2} \le n</math> Die numerische Apertur kann also nicht größer werden als der Brechungsindex des umgebenden Mediums. Die Sinūs der halben Öffnungswinkel <math>\omega</math> können hierbei mit Hilfe der rechtwinkligen Dreiecke (siehe Skizze rechts) und des Satzes des Pythagoras sowohl objektseitig als auch bildseitig wie folgt aus dem Verhältnis der Gegenkatheten zu den Hypotenusen bestimmt werden: :<math>A_{N,g} = n \cdot \sin {\frac {\omega_g} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {g^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 g^2} {D^2} + 1}}</math> :<math>A_{N,b} = n \cdot \sin {\frac {\omega_b} {2}} = n \cdot \frac {\frac {D} {2}} {\sqrt {b^2 + \frac {D^2} {4}}} = \frac {n} {\sqrt {\frac {4 b^2} {D^2} + 1}}</math> <div style="clear:both"></div> =====Grenzfälle===== Bei einer Abbildung ins Unendliche (<math>b = \infty \Rightarrow g = f</math>) oder wird die Abbildung aus dem Unendlichen gemacht (<math>g = \infty \Rightarrow b = f</math>), kann jeweils die Blendenzahl <math>k = \frac {f} {D}</math> eingesetzt werden, und dann vereinfachen sich beide Gleichungen wie folgt: :<math>A_{N,g=f} = A_{N,b=f} = \frac {n} {\sqrt {4 {k^2} + 1}}</math> Aufgelöst nach der Blendenzahl <math>k</math>: :<math>k = \frac {\sqrt {\frac {n^2} {A_{N}^2} - 1}} {2}</math> Für große Blendenzahlen (<math>k \gg 1</math>) respektive für kleine numerische Aperturen (<math>A_{N} \ll 1</math>) gilt dann näherungsweise: :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Für hinreichend große Objektweiten (<math>g \gg D</math>) beziehungsweise hinreichend große Bildweiten (<math>b \gg D</math>) gelten die folgende Näherungen: :<math>A_{N,g} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot g}</math> :<math>A_{N,b} \approx \frac {n \cdot D} {2 \cdot b}</math> Ist zudem auch noch die Brennweite <math>f</math> hinreichend nah an der Objektweite (<math>f \approx g</math>) oder an der Bildweite (<math>f \approx b</math>), dann gilt <math>f \gg D \Rightarrow k \gg 1</math> und wiederum die Näherung (siehe auch oben): :<math>A_{N} \approx \frac {n} {2 k}</math> Bei einem Abbildungsmaßstab von eins (siehe unten) sind Objektweite <math>g</math> und Bildweite <math>b</math> identisch und genau doppelt so groß wie die verwendete Brennweite <math>f</math>. In diesem Fall sind auch die objektseitige und die bildseitige numerische Apertur sowie der objektseitige und der bildseitige Öffnungswinkel identisch: :<math>f = 2 \cdot g = 2 \cdot b</math> :<math>A_{N,g} = A_{N,b} = A_{N}</math> :<math>\omega_{g} = \omega_{g} = \omega</math> :<math>A_{N} = n \cdot \sin \frac {\omega} {2}</math> Bei Aufnahmen mit kurzen Objektweiten, wie mit Mikroskopen oder mit Makroobjektiven, muss berücksichtigt werden, dass es durch den großen Abbildungsmaßstab zu einer im Vergleich zur Abbildung aus dem Unendlichen verminderten Lichtausbeute kommt. Siehe hierzu auch: '''[[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Lichtausbeute|Kapitel Bildaufnahme, Abschnitt Lichtausbeute]]'''. <div style="clear:both"></div> ==Modulationsübertragung== ===Modulation=== [[Datei:Modulation.ueber.Schwarzwert.png|miniatur|rechts|hochkant=2|Die Modulation in Abhängigkeit vom Schwarzwert. Der Schwarzwert ist einheitenlos in Anteilen des Weißwertes angegeben.]] Die '''Modulation''' (auch ''Michelson-Kontrast'' genannt) <math>M</math> ist ein Maß (lateinisch: ''modulatio'') für '''relative''' Helligkeitsschwankungen zwischen zwei Bildpunkten mit den vom Menschen als Helligkeiten empfundenen Leuchtdichten <math>L_1</math> und <math>L_2</math> (siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Leuchtdichte|Leuchtdichte]]), das unter den Voraussetzungen <math>L_2 \ge L_1</math> und <math>L_2 > 0</math> wie folgt berechnet werden kann: :<math>M = \frac {{L_2} - {L_1}} {{L_2} + {L_1}} = \frac {\Delta_L} {\Sigma_L}</math> Die Modulation gibt also keineswegs den Helligkeitsunterschied :<math>\Delta_L = L_2 - L_1</math> zwischen zwei Bildpunkten an, sondern setzt diesen in Bezug auf die Summe <math>\Sigma_L</math> dieser beiden Helligkeiten, die auch als der doppelte Mittelwert, also :<math>2 \cdot \overline L = L_2 + L_1</math>, der beiden Helligkeiten interpretiert werden kann: :<math>\Sigma_L = {2} \cdot {\overline L} = {2} \cdot {\frac {L_2 + L_1} {2}}</math> Dies bedeutet, dass die maximale Modulation den Wert '''eins''' hat, die genau dann erreicht wird, wenn <math>L_1 = 0</math> ist und der dunklere Punkt also keine Helligkeit (die Leuchtdichte null) hat. Die absolute Helligkeit des helleren Bildpunktes hat in diesem Fall keinen Einfluss auf die Modulation. Die Helligkeitsdifferenz <math>\Delta_L</math> zwischen diesen beiden Bildpunkten ist in Bezug auf die Helligkeit <math>L_2</math> des helleren Punktes dann maximal und exakt genauso groß wie diese. Wenn beide Bildpunkte die gleiche Helligkeit größer als null haben <math>L_1 = L_2 > 0</math>, so ergibt sich immer eine Modulation von '''null''' (wenn beide Punkte keine Helligkeit haben, ist die Modulation nicht definiert). Werden beide Helligkeiten um denselben Faktor <math>c</math> verändert, bleibt die Modulation erhalten: :<math>M = \frac {{c} \cdot {L_2} - {c} \cdot {L_1}} {{c} \cdot {L_2} + {c} \cdot {L_1}} = \frac {c \cdot (L_2 - L_1)} {c \cdot (L_2 + L_1)} = \frac {L_2 - L_1} {L_2 + L_1}</math> Da innerhalb eines Bildes üblicherweise mehr als zwei Bildpunkte vorhanden sind, ist es meist von Interesse, in welchem Verhältnis der hellste Bildpunkt <math>L_\text{max}</math> ('''Weißwert''') und der dunkelste Bildpunkt <math>L_\text{min}</math> ('''Schwarzwert''') zueinander stehen, was durch die maximale Modulation bestimmt werden kann: :<math>M_\text{max} = \frac {L_\text{max} - L_\text{min}} {L_\text{max} + L_\text{min}}</math> Es gilt zu beachten, dass bei einem Schwarzwert von einem Drittel des Weißwertes die Modulation nur noch 50&nbsp;Prozent und bei einem Schwarzwert von der Hälfte des Weißwertes nur noch 33&nbsp;Prozent beträgt. <div style="clear:both"></div> ====Farbwahrnehmung==== [[Datei:Emmetropia.png|mini|hochkant=2|Optischer Strahlengang bei einem auf Unendlich eingestellten Auge eines Normalsichtigen. Die parallelen Strahlen treten aus der Umwelt durch die '''Hornhaut '''(Cornea) ins Auge ein, passieren die lichte Öffnung der '''Pupille''' (Pupilla) der '''Regenbogenhaut''' (Iris), werden in der '''Augenlinse''' (Lens) gebrochen, durchqueren den großen inneren '''Glaskörper''' (Corpus vitreum) und vereinigen sich schließlich im Bildpunkt auf der '''Netzhaut''' (Retina).]] [[Datei:Cone-absorbance-de.svg|mini|hochkant=2|Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen und der Stäbchen in der menschlichen Netzhaut über der Lichtwellenlänge in Nanometern (nm). Die relative Empfindlichkeit der Stäbchen ist gestrichelt dargestellt und hat ihr Maximum bei zirka 500 Nanometern (<span style="color:#00ffd5">⬤</span>). Die maximale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen liegt bei den Farben <span style="color:#2F00DD">⬤</span> (420&nbsp;nm, violett), <span style="color:#00ff6c">⬤</span> (534&nbsp;nm, grün) und <span style="color:#cbff00">⬤</span> (564&nbsp;nm, gelbgrün).]] <big>'''Farbe ist eine subjektive Wahrnehmung, die nicht gemessen werden kann.'''</big> Messtechnisch kann für alle Wellenlängen eine Intensitätsmessung durchgeführt werden, so dass ein vollständiges Lichtspektrum ermittelt werden kann. Wie ein solches Lichtspektrum von einem Menschen farblich empfunden wird, kann daraus nicht eindeutig abgelesen werden. Bestenfalls ist es möglich, eine Intensitätsverteilung einer wahrscheinlichen, üblichen beziehungsweise durchschnittlichen Farbwahrnehmung zuzuordnen. Optische Sinnesreize werden im menschlichen Auge durch Photorezeptoren in der '''Netzhaut''' (Retina) zwischen der stark durchbluteten Aderhaut (Chorioidea) und dem Glaskörper (Corpus vitreum) ausgelöst und durch die Sehnerven ins Gehirn geleitet. Bei den Sinneszellen der Netzhaut ist zwischen den '''Stäbchen''' und den drei verschiedenen '''Zapfen'''arten zu unterscheiden. Während die Stäbchen sehr empfindlich sind und deswegen das Nachtsehen ermöglichen, sind die weniger empfindlichen drei Zapfenarten beim Tagsehen für die Wahrnehmung von Farben maßgeblich. Für farbige Bilder wird bei der Bildgebung in der Regel zwischen '''drei Primärfarben''' unterschieden. Im für einfache Bildschirme deutlich reduzierten standardisierten Farbraum '''sRGB''' ('''s'''tandard '''R'''ed '''G'''reen '''B'''lue) werden hierbei Farbwerte für die folgenden drei Primärfarben verwendet, deren Intensität jeweils die Werte 0 bis 255 annehmen können: {| class="wikitable" |+ Primärfarben im sRGB-Farbraum ! Primärfarbe !! Hexadezimale<br/>Kodierung<br/>der drei Farbanteile !! Darstellung !! Ungefähre Wellenlänge<br/>der maximalen spektralen Intensität<br/>im angezeigten Bild<br/>in Nanometer |- | Rot || FF0000 || <span style="color:#ff0000">⬤</span> || 610 |- | Grün || 00FF00 || <span style="color:#00ff00">⬤</span> || 555 |- | Blau || 0000FF || <span style="color:#0000ff">⬤</span> || 465 |} [[Datei:SRGB chromaticity CIE1931.svg|mini|hochkant=2|Farbdiagramm in dem nach dem '''Standard CIE 1931''' festgelegten Farbkoordinaten x und y mit Angabe der Lichtwellenlängen und den im Farbraum '''sRGB''' darstellbaren Farbwerten. Die reinen Spektralfarben befinden sich auf der gekrümmten Begrenzungslinie der äußeren Fläche, die Verbindungslinie zwischen der minimalen und der maximalen wahrnehmbaren Wellenlänge wird '''Purpurlinie''' genannt. Durch die additive Mischung mehrerer Spektralfarben ergeben sich beliebige Punkte innerhalb der Fläche. Bildgebende Geräte können meistens nur einen kleinen Teil des Farbraums darstellen, der im Fall von sRGB durch das innere Dreieck begrenzt ist. Der farbneutrale '''Weißpunkt''' ist als "'''D65'''" für einen Hohlraum mit der Temperatur '''65'''00&nbsp;Kelvin angegeben. Die Tangente an der Begrenzungslinie für die langen Wellenlängen schneidet die Koordinatenachsen links oben beim Punkt (0, 1) und rechts unten beim Punkt (1, 0).]] Durch die voneinander unabhängige Einstellung der Farbwerte für diese drei Primärfarben können insgesamt <math>256^3 = 16\,777\,216</math> verschiedene gemischte Farbwerte reproduziert werden. Wenn alle drei Primärfarben auf 0 gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Schwarz''', und wenn alle drei Primärfarben auf den maximalen Wert gesetzt werden, resultiert der Farbwert für '''Weiß'''. In Farbdiagrammen wird die entsprechende Stelle als Weißpunkt angegeben, der auf die Farbtemperatur eines festgelegten Hohlraumstrahlers (auch Schwarzer Körper oder Planckscher Strahler genannt) abgestimmt ist. Die Modulation kann in farbigen Bildern für jede einzelne Primärfarbe unabhängig bestimmt werden. Bei den drei Primärfarben Rot, Grün und Blau (R, G, B) eines Bildpunktes ergeben sich dann also entsprechend: :<math>M_R = \frac {R_2 - R_1} {R_2 + R_1}</math> :<math>M_G = \frac {G_2 - G_1} {G_2 + G_1}</math> :<math>M_B = \frac {B_2 - B_1} {B_2 + B_1}</math> Die Verteilung der Photorezeptoren in der Netzhaut ist nicht homogen. Im ungefähr nur anderthalb Millimeter großen Sehzentrum (Fovea) ist die Dichte der Sehzellen besonders hoch, und deswegen ist hier das Sehvermögen in Bezug auf die Wahrnehmung von Kontrasten und Farben am größten. Beim peripheren Sehen sind sowohl die Wahrnehmung von Kontrasten als auch die Wahrnehmung von Farben erheblich eingeschränkt, so dass hier vor allem Änderungen der Helligkeit und somit Bewegte Objekte wahrgenommen werden können. Die Wahrnehmung von Farbeindrücken ist eine sehr subjektive Angelegenheit und von Mensch zu Mensch verschieden. Manche Menschen haben erbliche Störungen bei der Farbwahrnehmung, die durch Abweichungen bei der Verteilung der Farbzapfen in der Netzhaut bedingt ist. Eine Rot-Grün-Sehschwäche trifft hierbei wesentlich häufiger auf als eine Gelb-Blau-Sehschwäche oder als die vollständige Farbblindheit (Achromasie). Die folgende Tabelle zeigt simulierte Bilder, die von Farbsichtigen mit drei funktionierenden Zapfentypen (Trichromaten), von Farbenfehlsichtigen mit fehlender Unterscheidung zwischen Rot- und Grüntönen (Dichromaten) sowie von Farbenblinden (Achromaten) wahrgenommen werden können. Diese Simulation erfolgte bei den dichromatischen Bildern durch die Gleichsetzung des roten und grünen Farbkanals der digitalen Bilder auf einen Wert, der dem Mittelwert der beiden Farbwerte entspricht. {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" ! style="width:25%" | Motiv ! style="width:25%" style="text-align:center" | Trichromatisches Bild ! style="width:25%" style="text-align:center" | Dichromatisches Bild<br />ohne Rot-Grün-Unterscheidung ! style="width:25%" style="text-align:center" | Achromatisches Bild<br />in Graustufen |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Pseudoisochromatische<br />Farbtafel | [[Datei:47-rg12.jpg| 200px]] | [[Datei:RG47-rg12.png| 200px]] | [[Datei:BW47-rg12.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Obststand | [[Datei:TCFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:RGFruits.jpg| 200px]] | [[Datei:BWFruits.jpg| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Lichtspektrum | [[Datei:Lichtspektrum.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.gelb-blau.P1128463.png| 200px]] | [[Datei:Lichtspektrum.farblos.P1128463.png| 200px]] |- style="text-align:center" | style="text-align:left" | Regenbogen mit Interferenzbogen | [[Datei:Interferenzbogen.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.gelb-blau.P1150723.png| 200px]] | [[Datei:Interferenzbogen.farblos.P1150723.png| 200px]] |} <div style="clear:both"></div> ===Ortsfrequenz=== Die '''Ortsauflösung''' entspricht der maximalen Anzahl von räumlichen Informationseinheiten, die entlang einer Strecke, meist der Bildhöhe beziehungsweise der Bildbreite, erfasst werden können. Zur Darstellung einer räumlichen Information, also eines Helligkeitswechsels, ist mindestens ein Bildpunktpaar erforderlich, damit eine Modulation vorhanden sein kann. Die Bezugslänge kann eine absolute Länge sein, bei der die Bildpunktpaare zum Beispiel pro Millimeter ermittelt werden. Bei Filmmaterial wurde diese Informationsdichte meist richtungsunabhängig in Linienpaaren pro Millimeter ermittelt und angegeben. Auf der anderen Seite kann statt einer metrischen Bezugslänge auch eine relative Bezugslänge gewählt werden, wie zum Beispiel die Bilddiagonale, die Bildbreite oder die Bildhöhe. Dieses Vorgehen hat den Vorteil, dass unabhängig von der Gesamtzahl der Bildpunkte, der Größe der Reproduktion des Bildes und dem Bildseitenverhältnis ein einheitliches und somit leicht vergleichbares Maß für die Ortsauflösung zur Verfügung steht. Dieses Maß ist insbesondere unabhängig von der Größe und vom Bildseitenverhältnis des verwendeten Bildsensors. Bei digitalen Bildern hat es sich daher durchgesetzt, '''Linienpaare pro Bildhöhe''' (horizontale Linien) als Bezugsgröße zu verwenden. Diese Bezugsgröße wird dann ebenfalls für die Informationseinheiten in horizontaler Richtung (vertikale Linienpaare) oder für jeden beliebigen anderen Azimut (also schräg liegende Linienpaare) verwendet, obwohl bei rechteckigen Bildformaten in horizontaler Richtung mehr oder weniger Informationseinheiten zur Verfügung stehen können. Rechnerisch ergibt sich die maximal darstellbare Linienauflösung <math>L_{\text{max},y}</math> durch die Halbierung der Anzahl der Punkte in der Bildhöhe <math>N_y</math>: :<math>L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Für die maximale Anzahl vertikaler Linienpaare in horizontaler Richtung ergibt sich mit dem Bildseitenverhältnis <math>q</math> dann entsprechend: :<math>L_{\text{max},x} = q \cdot L_{\text{max},y} = \frac {N_x} {2}</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Bildseitenverhältnis|Bildseitenverhältnis]] Dieser Wert entspricht genau der Grenze nach dem '''Nyquist-Shannon-Abtasttheorem''' (auch '''Whittaker-Kotelnikow-Shannon-Abtasttheorem''') für die maximal darstellbaren '''Ortsfrequenzen''' <math>f_\text{r,max}</math>, wonach diese innerhalb einer Periode mindestens zwei abgetastete Stützstellen haben müssen: :<math>f_{r,\text{max}} = L_{\text{max},y} = \frac {N_y} {2}</math> Aus einer beliebigen kleineren Ortsfrequenz <math>f_r \leq f_{r,\text{max}}</math> ergibt sich die maximal mögliche Häufigkeit von Helligkeitsunterschieden auf einer bestimmten Bezugslänge im Bild (also in der Regel auf der Bildhöhe). Eine Ortsfrequenz von null entspricht einer konstanten Helligkeit über das gesamte Bild, die selbst nicht notwendigerweise den Wert null haben muss. <div style="clear:both"></div> ===Modulation in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz=== [[Datei:Modulation.Transfer.Function.Comparison.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich der Modulationsübertragungsfunktionen von zwei verschiedenen Objektiven. Bei der Ortsfrequenz null haben alle Objektive die maximale Kontrastübertragung von eins, und bei der maximal dargestellten Ortsfrequenz haben beide hier dargestellten Objektive eine Kontrastübertragung von zirka zehn Prozent. Dennoch ist das blau dargestellte Objektiv deutlich besser als das dunkelgelb dargestellte, da es mittlere Ortsfrequenzen besser überträgt.]] Eine Modulation mit geringer Ortsfrequenz entspricht also groben Strukturen im Bild, und eine Modulation mit großer Ortsfrequenz entspricht feinen Strukturen im Bild. Jeder Struktur mit einer bestimmten Größe kann in jeder azimutalen Richtung (nicht nur horizontal oder vertikal, sondern auch in beliebiger schräg liegender Richtung) eine Ortsfrequenz mit einer bestimmten Modulation zugeordnet werden. Beim '''Siemensstern''' wird beispielsweise die Ortsfrequenz entlang der um den Mittelpunkt liegenden konzentrischen Kreise linear mit deren Radius größer. Die Modulation beträgt für jede Ortsfrequenz eins, wenn idealisiert davon ausgegangen wird, dass die dunklen Streifen keine Helligkeit aufweisen. Wird eine photographische Aufnahme von einem solchen Siemensstern als Objekt auf einer Testtafel gemacht, reduzieren sich im Bild die Modulationen für alle Ortsfrequenzen größer als null auf Werte kleiner als eins. Dies beruht auf einer Verminderung der Modulationen im Bild gegenüber der optimalen Modulation im Objektraum, die durch Abbildungsfehler bedingt ist. Neben der immer wirkenden Beugungsbegrenzung ergeben sich in optischen Abbildungen vor allem durch die sphärische Aberration, aber zum Beispiel auch durch Falschlicht Einbußen bei der Modulation im Bildraum. In der Regel führt dies dazu, dass die Modulation von rein optischen Abbildungen mit zunehmender Ortsfrequenz streng monoton und stetig abnimmt. Das Verhältnis der Modulation im Bildraum <math>M_\text{Bild}</math> zur Modulation im Objektraum <math>M_\text{Objekt}</math> in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_r</math> wird '''Modulationsübertragungsfunktion''' (englisch: ''modulation transfer function'' = '''MTF''') oder auch '''Kontrastübertragungsfunktion''' <math>T</math> genannt: :<math>T (f_r) = \frac {M_\text{Bild} (f_r)} {M_\text{Objekt} (f_r)}</math> Das Maximum der Modulationsübertragungsfunktion liegt bei optischen Systemen bei der kleinsten Ortsfrequenz, also null, und hat dort den Wert eins. Die Modulationsübertragung ist dabei immer der Betrag der komplexwertigen optischen Übertragungsfunktion, die nicht nur die Amplitude, sondern auch die Phase der übertragenen Lichtwellen berücksichtigt. Ist die Modulation im Objektraum für alle untersuchten Ortsfrequenzen gleich eins, wie zum Beispiel bei hochwertig hergestellten Testtafeln, sind die Modulationsübertragungsfunktion und die Modulation im Bildraum identisch: :<math>T (f_r) = {M_\text{Bild} (f_r)}\ </math>, wenn <math>{M_\text{Objekt} (f_r) = 1}\ </math> Der Betrag der komplexwertigen, zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der spektralen Dichte der Modulationsübertragungsfunktion im Ortsfrequenzraum herangezogen werden. In der digitalen Signalverarbeitung wird hierfür häufig die sehr effiziente Fast-Fourier-Transformation (FFT) eingesetzt. Das Leistungsdichtespektrum der Fourier-Transformierten entspricht hierbei dem Beugungsbild der Bilddaten, das mit einer Bildwand aufgefangen werden kann. <gallery caption="Auflösungskeile mit 3 bis 72 Linienpaaren pro Bildhöhe mit verschiedenen Kontrastübertragungen, die Bildhöhe wird zwischen den beiden dünnen horizontalen Linien ober- und unterhalb des Auflösungskeils gemessen." widths=1024 heights=256 perrow=1> Aufloesungskeil.png|Maximaler Kontrast (852 Linienpaare pro Bildhöhe). Aufloesungskeil.72.png|Kontrast bis 72 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.36.png|Kontrast bis 36 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.18.png|Kontrast bis 18 Linienpaare pro Bildhöhe. Aufloesungskeil.09.png|Kontrast bis 9 Linienpaare pro Bildhöhe. </gallery> Weitere Beispiele siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Transformationen#Fourier-Transformation|Fourier-Transformation]]. <div style="clear:both"></div> ===Kontrastempfindlichkeitsfunktion=== [[Datei:Vollmond.P1080516.jpg|miniatur|Vollmond mit einer Kamera mit Teleobjektiv von der Erdoberfläche aus aufgenommen.<br/>Zu den Kontrastverhältnissen beim durch den Erdschein beleuchteten aschgrauen Mondlicht siehe auch hier: '''[[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht]]''']] [[Datei:Vollmond.180x180.png|gerahmt|Der Vollmond hat von der Erde aus gesehen einen Winkeldurchmesser von zirka einem halben Grad. Der Mensch kann auf diesem Winkeldurchmesser bei einem Kontrast von mindestens zehn Prozent 36 nebeneinanderliegende Punkte unterscheiden. Die Mondscheibe hat somit für das unbewaffnete Auge insgesamt rund 1000 unterscheidbare Bildpunkte.<br/>Oben:fünffache Vergrößerung (500 Prozent)<br/>Unten: einfache Vergrößerung (100 Prozent)<br/>[[Datei:Vollmond.36x36.png|zentriert]]]] Für die Betrachtung der optischen Abbildungen durch Menschen ist nur der Bereich der Ortsfrequenzen interessant, der entsprechend der '''Contrast Sensitivity Function''' (CSF, zu Deutsch: '''Kontrastempfindlichkeitsfunktion''') überhaupt wahrgenommen werden kann. Oft wird jedoch die Modulation an der Nyquist-Frequenz als Maß für die wahrnehmbare Qualität einer optischen Abbildung herangezogen. Dieses Vorgehen trägt jedoch nicht dem Umstand Rechnung, dass die vom Betrachter empfundene Qualität einer optischen Abbildung im Sinne der Modulationen bei verschieden feinen Strukturen im Allgemeinen gar nicht von der Modulation bei der Nyquist-Frequenz bestimmt ist, insbesondere wenn die feinsten Strukturen mit bloßem Auge gar nicht aufgelöst werden können. Vielmehr kommt es meist auf eine möglichst große Modulation bei Ortsfrequenzen im mittleren Bereich an. Dies kann zu der zunächst paradox scheinenden Situation führen, dass die optische Abbildung mit einem Objektiv, dass bei der Nyquist-Frequenz die gleiche oder gar eine höhere Modulation aufweist als ein anderes Objektiv, subjektiv dennoch als schlechter beurteilt wird (vergleiche Abbildung rechts). Daher ist es empfehlenswert, die integrale Summe der Modulationen aller Ortsfrequenzen bis zu einer sinnvollen maximalen Ortsfrequenz zu bilden. Dieser Wert wird auch '''Heynacher-Zahl''' genannt, die seit den 1970er Jahren nach dem Optiker Erich Heynacher benannt ist. Gegebenenfalls kann diese integrale Summe auch noch bei verschiedenen Ortsfrequenzen mit einer geeigneten Empfindlichkeitsfunktion gewichtet werden (mathematisch also eine Faltung). Je größer das Integral der Modulationsübertragungsfunktion, desto besser die Bildqualität. Der Betrag der komplexwertigen Spektralfunktion der zweidimensionalen Fourier-Transformation der Bilddaten im Bildraum kann zur Ermittlung der Modulationsübertragungsfunktion im Ortfrequenzraum herangezogen werden. Die einheitenlose Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>A</math> kann nach Kresimir Matkovic (1997) in Abhängigkeit von der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad mit einer analytischen Funktion angegeben werden: :<math>CSF (f_a) = {2,6} \cdot {(0{,}0192 + 0{,}114 \cdot {f_a})} \cdot e^{-{(0{,}114 \cdot f_a)}^{1{,}1}}</math> Der vertikale Bildwinkel beträgt bei Normalbrennweite und einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2 (wie zum Beispiel beim Kleinbildfilm) 27 Grad. Die Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Bildhöhe <math>f_y</math> ergibt sich dann aus dem vertikalen Bildwinkel und der Ortsfrequenz in Linienpaaren pro Grad wie folgt: :<math>f_y = 27^\circ \cdot f_a</math> <gallery perrow="2" widths="400" heights="230" caption="Kontrastempfindlichkeitsfunktion (englisch: Contrast Sensitivity Function) CSF des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz"> Datei:CSF.against.angular.frequency.in.cycles.per.degree.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_a</math> in Linienpaaren pro Grad Datei:CSF.against.spatial.frequency.in.cycles.per.image.height.png|Über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe bei Normalbrennweite (vertikaler Bildwinkel = 27° bei einem Bildseitenverhältnis von 3 zu 2) </gallery> [[Datei:CSF-Diagramm.png|miniatur|hochkant=2|Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges über Ortsfrequenzen zur Basis 2]] <gallery perrow="2" widths="480" heights="270" caption="Zur Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges mit den Ortsfrequenzen von 2 sinusmodulierten Linienpaaren pro Bildbreite (linke Bildhälfte) bis hin zu 1024 Linienpaaren pro Bildbreite (rechts am Bildrand), Bildgröße 3860 mal 2160 Bildpunkte (16:9)"> Datei:CSF.UHD.png|Mit maximalem Kontrast unten, ohne Kontrast oben Datei:CSF.UHD.lowM.png|Mit reduziertem Kontrast unten, ohne Kontrast oben </gallery> [[Datei:CSF.MTF.png|hochkant=2|miniatur|Bewertung der Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> eines guten Objektives mit der Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> des menschlichen Auges über der Ortsfrequenz <math>f_y</math> in Linienpaaren pro Bildhöhe durch die effektive Kontrastübertragungsfunktion <math>T_\text{eff} (f_y)</math>. Etwa die Hälfte des Auflösungsvermögens dieses Objektives kann demnach vom Menschen bei der Betrachtung der optischen Abbildung unter dem Normalwinkel gar nicht wahrgenommen werden.]] Hierbei ist festzuhalten, dass bei einer Ortsfrequenz von 1000 Linienpaaren pro Bildhöhe der wahrgenommene Kontrast deutlich unter zehn Prozent liegt und somit praktisch kaum noch relevant ist. Die maximale Kontrastempfindlichkeit liegt beim menschlichen Auge bei zirka 200 Linienpaaren pro Bildhöhe und zwischen 50 und 550 Linienpaaren pro Bildhöhe beträgt die Kontrastempfindlichkeit mindestens 50 Prozent. Für Aufnahmen mit guter Kontrastübertragung ist daher genau dieser Bereich von besonderer Wichtigkeit. Zur Auswertung der effektiven Kontrastübertragungsfunktion bei Betrachtung mit dem menschlichen Auge <math>T_\text{eff} (f_y)</math> können die Kontrastübertragungsfunktion <math>T (f_y)</math> und die Kontrastempfindlichkeitsfunktion <math>CSF (f_y)</math> miteinander multipliziert werden: :<math>T_\text{eff} (f_y) = T (f_y) \cdot CSF (f_y)</math> Wird dieses Produkt über alle Ortsfrequenzen integriert, ergibt sich - ähnlich wie bei und als Verallgemeinerung der Heynacher-Zahl - eine Größe für die totale effektive Kontrastübertragung <math>T_\text{eff,tot}</math> : :<math>T_\text{eff,tot} = \int_0^\infty T_\text{eff} (f_y)\,\mathrm df_y</math> Siehe auch [[Die_Himmelstafel_von_Tal-Qadi/_Mondzyklen#Kontrastverhältnisse_bei_aschgrauem_Mondlicht|'''Kontrastverhältnisse bei aschgrauem Mondlicht''']]. <div style="clear:both"></div> ====Hybridbilder==== Je nach den Bedingungen bei der Betrachtung eines Hybridbildes sind aus größerer Entfernung eher die groben geometrischen Strukturen des einen Bildes mit großen Ortsfrequenzen und bei näherer Betrachtung eher die feinen Strukturen eines anderen Bildes mit kleinen Ortsfrequenzen zu sehen. Vergrößert der Betrachter den Abstand von einem sehfeldfüllenden Hybridbild, verschwinden die feinen Strukturen zunehmend wieder, und nur die größeren Ortsfrequenzen bleiben erkennbar. Hybridbilder können hergestellt werden, indem zwei Aufnahmen mit Modulation bei verschiedenen Ortsfrequenzen überlagert werden. <gallery caption="Hybridbild" perrow=2 widths=480 heights=240> MTF.Hybridbild.png|Hybridbilder haben im Kontrastverlauf zwei Maxima. Das Diagramm zeigt die Kontrastverläufe bei demselben Hybridbild mit großem (braun) und kleinem (blau) Betrachtungsabstand. Bei großem Betrachtungsabstand werden eher die Kontraste bei den kleinen Ortsfrequenzen und bei kleinem Betrachtungsabstand eher die Kontraste bei den großen Ortsfrequenzen wahrgenommen. Wikigolfball.hybrid.webm|mini|links|180px|Beispiel für ein Hybridbild, bei welchem bei kleinem Betrachtungswinkel ein Golfball mit groben Strukturen zu erkennen ist. Beim Vergrößern des Betrachtungswinkels während der Wiedergabe des Videos erscheint zunehmend eine andere kugelförmige Figur mit feinen geometrischen Strukturen, die höhere Ortsfrequenzen aufweisen. </gallery> Siehe auch '''[[Hybridlied]]'''. <div style="clear:both"></div> === Digitalzoom === Beim Digitalzoom, das heißt also bei der softwaretechnischen Vergrößerung von digitalen Bildern zum Beispiel durch Zeilen- und Spaltenverdopplung, wird die Bildinformation im Sinne der Kontrastübertragung nicht vermehrt, da es sich lediglich um das Kopieren bereits vorhandener Bildinformation handelt. Es gibt also keinen Informationsgewinn. Wenn das digitale Bild zu klein dargestellt wird, so dass ein menschlicher Betrachter das Bild nicht voll auflösen kann, kann durch den Digitalzoom das Bild insgesamt vergrößert werden, oder ein beliebiger Ausschnitt des originalen Bildes kann auf die maximal darstellbare Größe gebracht werden, die beispielsweise durch ein Anzeigegerät oder ein Druckformat vorgegeben ist. Dadurch wird zwar nicht die Bildinformation vergrößert, aber der Betrachter kann mehr von der existierenden Bildinformation erkennen. Die Frage, welcher Digitalzoomfaktor noch sinnvoll und angebracht ist, hängt bei menschlichen Betrachtern allein von der möglichst guten Ausschöpfung der erkennbaren Modulationen ab, die durch die Kontrastempfindlichkeitsfunktion repräsentiert wird. Bei digitaler maschineller Auswertung besteht diese Problematik nicht, da ein digitaler Algorithmus in der Regel immer die gesamte Bildinformation auswerten kann. In Unterkapitel [[Digitale bildgebende Verfahren: Grundlagen/MTF-Simulation|MTF-Simulation]] wird der Effekt des Digitalzooms simuliert und bildlich verdeutlicht. Siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Digitale_Bilder#Digitalzoom_-_Softwarelupe|Digitale Bilder: Digitalzoom - Softwarelupe]]. <div style="clear:both"></div> ===Kantenüberhöhung=== [[Datei:Enhancing.Modulation.Transfer.Function.png|hochkant=2|miniatur|Vergleich von Modulationsübertragungsfunktionen einer optischen Abbildung mit nachträglicher, rechnerischer Kontrastanhebung bei mittleren Ortsfrequenzen: Originalaufnahme (blau, durchgezogen), modifizierte Modulation mit Kantenüberhöhung (grün, gestrichelt). Der als grüne Fläche dargestellte Bereich stellt einen Kontrastgewinn dar, der in der Regel viel mehr wahrgenommen wird als der orangefarben dargestellte Bereich mit Kontrastverlust.]] Bei digitalen Bildern, die nicht im Rohdatenformat, also ohne rechnerische Eingriffe in die Bilddaten, aufgezeichnet werden, wird die Modulation unmittelbar nach der Aufnahme und vor dem Speichern der Bilddaten oft durch die Firmware der Kamera insgesamt oder insbesondere bei bestimmten Ortsfrequenzen erhöht. In Maßen angewendet führt dies bei digitalen Bildern in der Regel zu einem verbesserten visuellen Bildeindruck. Dies trifft dann zu, wenn die maximale Modulation auf eins erhöht wird und die Modulation entsprechend der Kontrastempfindlichkeitsfunktion des menschlichen Auges bei den wichtigsten Ortsfrequenzen angehoben wird. In der Modulationsübertragungsfunktion spiegelt sich dies durch die Tatsache wider, dass die maximale Modulation nicht mehr bei der Ortsfrequenz null, sondern bei positiven Ortsfrequenzen auftritt (siehe Abbildung rechts). Dies kann auch so interpretiert werden, dass die Modulation an Kanten in einem günstigen Ortsfrequenzbereich künstlich überhöht wird. Aus einem in der unbearbeiteten optischen Abbildung kontinuierlichen Anstieg der Helligkeit an einer im Original beliebig scharfen Objektkante ergibt sich nach der Optimierung bei einer bestimmten Ortsfrequenz eine deutlich stärkere Modulation. Wird dieses Prinzip so stark angewendet, dass die Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen dominiert, führt dies unter Umständen zu künstlich wirkenden Bildern, bei denen ein Überschwingen des Helligkeitsverlaufs an Kanten mit der entsprechenden Ortsfrequenz erkannt werden kann: <gallery perrow="3" widths="260" heights="184" caption="Vergleich mit unterschiedlichen gerechneten Kontrastübertragungsfunktionen"> Datei:Image.modulation.original.jpg|Unbearbeitetes Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.jpg|Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.overkill.jpg|Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:Image.modulation.original.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom unbearbeiteten Originalbild Datei:Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat außen einen kleinen hellen und innen einen kleinen dunklen Saum Datei:Image.modulation.overkill.crop.jpg|Zentraler Ausschnitt vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen - der Buchstabe hat einen großen hellen Saum, und der innere Rand des Buchstabens ist stark abgedunkelt Datei:FFT.Image.modulation.original.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom unbearbeiteten Originalbild (die Ortsfrequenz null befindet sich in der Bildmitte, und sie nimmt radial in alle Richtungen zu) Datei:FFT.Image.modulation.enhanced.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit rechnerisch angepasster Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen Datei:FFT.Image.modulation.overkill.crop.jpg|Spektrale Leistungsdichte der Modulation des zentralen Ausschnittes vom Bild mit übertrieben verstärkter Modulation bei mittleren Ortsfrequenzen </gallery> <div style="clear:both"></div> ==Farbauflösung== {| class="float-right" style="text-align: center" |+ '''Oben''': Weißlichtinterferogramm, darunter '''Rot'''-, '''Grün'''- und '''Blau'''kanal des oben dargestellten Weißlichtinterferogramms mit abnehmender Weite der Maxima. |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.R.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.G.jpg|240px]] |- | [[Bild:Weißlichtinterferogramm.B.jpg|240px]] |} Durch die im Vergleich zur Dichte der für die Helligkeitsrezeption zuständigen Stäbchen geringere Dichte von Farbzäpfchen auf der menschlichen Netzhaut ist die Farbauflösung, die für das Betrachten von farbigen Bildern erforderlich ist, geringer als die Auflösung, die durch die Kontrastübertragungsfunktion beschrieben wird. In einem digitalen Bild kann ein Mensch bei Betrachtung des gesamten Bildes zwar maximal vier Millionen Bildpunkte in der Helligkeit unterscheiden, jedoch nur etwa eine Million verschiedener Farbpunkte. Bei technischen Anwendungen mit digitaler Auswertung der Bilder, kann die Anforderung an die Farbauflösung je nach Aufgabenstellung jedoch erheblich höher sein. Eine Möglichkeit, die Farbauflösung eines Kamerasensors zu messen, ohne dass es durch das für die optische Abbildung verwendete Objektiv zu einer Verringerung derselben kommt, ist die Verwendung eines direkt auf den Bildsensor projizierten Weißlichtinterferogramms. Dieses Verfahren wurde 2006 von Karsten Zoellner vom Institut für angewandte Optik an der Universität Jena entwickelt. Der Linienabstand <math>d</math> des Beugungsbilds eines Spaltes hängt von der Wellenlänge <math>\lambda</math> des verwendeten Lichtes sowie vom bildseitigen Öffnungswinkel <math>\omega_B</math> des verwendeten Interferometers ab: :<math>d \propto \frac {\lambda} {\sin \omega_B}</math> Wenn für die Primärfarben Rot, Grün und Blau (RGB) die mit abnehmender Wellenlänge kleiner werdenden Linienabstände <math>d_R</math>, <math>d_G</math> und <math>d_B</math> bestimmt werden, kann daraus eine für die Farbauflösung repräsentative Größe <math>\delta_{RGB}</math>, die '''Farbstrukturtreue''' (englisch: ''coloured structure fidelity''), bestimmt werden: :<math>\delta_{RGB} = \frac {d_R - d_B} {d_G}</math> <div style="clear:both"></div> == Polarisation == [[Datei:偏振片.png|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''linear''' polarisierter Strahlung durch die Filterung elektromagnetischen Wellen mit unerwünschter Polarisationsrichtung (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] [[Datei:Polaryzacja_kołowa.gif|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für die Erzeugung von '''zirkular''' polarisierter Strahlung durch die Überlagerung von zwei um den Phasenwinkel 90° verschobenen elektromagnetischen Wellen (nur die elektrischen Feldkomponenten sind dargestellt).]] Natürliche elektromagnetische Strahlung aus thermischen Strahlungsquellen ist unpolarisiert, das heißt, dass die Richtungen der Feldstärken senkrecht zur Ausbreitungsrichtung zu jedem Zeitpunkt und an jedem Ort zufällig ausgerichtet und verteilt sind. Aus unpolarisierten elektromagnetischen Wellen können durch geeignete Mittel in polarisierte Wellen mit definierter Schwingungsrichtung erzeugt werden. Grundsätzlich werden zwei Arten von Polarisation unterschieden: * Liegt die Schwingungsrichtung in einer ortsfesten Raumebene, spricht man von '''linear polarisierter Strahlung'''. * Dreht sich die Raumebene der Schwingungsrichtung gleichmäßig und periodisch um die Ausbreitungsachse, spricht man von '''zirkular polarisierter Strahlung'''. Zirkular polarisierte Strahlung kann mit Blick in die Ausbreitungsrichtung rechts- oder linksdrehend sein: <gallery caption="Drehsinn zirkular polarisierter Strahlung" perrow=2 widths=360 heights=240> Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Left.Hand.Animation.305x190.255Colors.gif|Rechtsdrehend (im Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. Circular.Polarization.Circularly.Polarized.Light Right.Handed.Animation.305x190.255Colors.gif|Linksdrehend (entgegen dem Uhrzeigersinn) bei Blickrichtung in Ausbreitungsrichtung. </gallery> Polarisierte Strahlung kann auf verschiedene Art und Weise erzeugt werden. Beispiele hierfür sind: * Durch optische Filter: Ein elektrisches Feld in einer ausgewählten Richtung kann beispielsweise durch geradlinige, parallel und voneinander isoliert angebrachte elektrische Leiter in einem '''Drahtgitterpolarisator''' unterdrückt werden, die senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen. Nur die senkrecht zu den Leitern schwingenden elektrischen Feldkomponenten können dann das Filter passieren. * Durch Streuung an Partikeln, wie zum Beispiel bei der '''Rayleigh-Streuung''' von Licht an Luftmolekülen. * Durch '''schräge Reflexion''' an Grenzflächen zu elektrisch nichtleitenden Medien, wie zum Beispiel Glasflächen. * Durch spezielle Lichtquellen, wie zum Beispiel '''Laser'''. * Durch '''dichroitische''' Materialien (vom altgriechischen Wort „dichroos“ für „zweifarbig“), die Licht in Abhängigkeit von der Polarisation unterschiedlich stark absorbieren. <div style="clear:both"></div> ===Gesetz von Malus=== [[Datei:Animation polariseur.gif|mini|rechts|Polfilter für photographische Objektive in verschiedenen Orientierungen vor einer flächenhaften Lichtquelle, der linear polarisiertes Licht abgibt.]] Die Intensität <math>I</math> einer linear polarisierten elektromagnetischen Welle mit der Anfangsintensität <math>I_0</math> schwächt sich nach dem Durchgang durch einen idealen Polarisator in Abhängigkeit vom Winkel <math>\alpha</math>, um den die Polarisationsachse des Polarisators gegen die Polarisationsrichtung der Welle verdreht ist, nach dem '''Gesetz von Malus''' folgendermaßen ab: :<math>I = I_0 \cdot \cos^2 \alpha</math> Ausgehend von unpolarisiertem Licht mit einer gleichmäßigen Verteilung aller Polarisationsrichtungen <math>0 \le \alpha \le 2 \pi</math> in Bezug auf die Polarisationsrichtung eines Polarisationsfilters, kann der Transmissionsgrad <math>T</math> wie folgt bestimmt werden: :<math>T = I_0 \cdot \frac {\int\limits_{0}^{2\pi} \cos^2 \alpha \, \mathrm d\alpha} {\int\limits_{0}^{2\pi} \alpha \, \mathrm d\alpha} = I_0 \cdot \frac {\frac {2 \pi} {2}} {2 \pi} = \frac {I_0} {2} </math> Dies bedeutet, dass ein Polfilter abgesehen von einer gewissen Absorption die Hälfte eines unpolarisierten Strahls passieren lässt. <div style="clear:both"></div> ===Brewster-Winkel=== [[Datei:Brechungsgesetz.Brewster-Bedingung.png|mini|rechts|hochkant=1.5|Zur Brewster-Bedingung an optischen Grenzflächen.]] Es handelt sich beim '''Brewster-Winkel''' um den Einfallswinkel <math>\epsilon</math> von einem optisch dünnen Medium mit der Brechzahl <math>n_1</math> in ein optisch dichteres Medium mit der Brechzahl <math>n_2</math>, bei dem das elektrische Feld der reflektierten elektromagnetischen Welle nur senkrecht zur Einfallsebene polarisiert ist. Die Polarisationsrichtungen des reflektierten und des gebrochenen Strahls stehen beim Erreichen des Brewster-Winkels senkrecht aufeinander: :<math>\epsilon_{Brewster} + \epsilon_{Brewster}' = 90^\circ</math> beziehungsweise: :<math>\sin \epsilon_{Brewster}' = \sin (90^\circ - \epsilon_{Brewster}) = \cos \epsilon_{Brewster}</math> Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz folgt daraus: :<math>n_1 \cdot \sin \epsilon_{Brewster} = n_2 \cdot \cos \epsilon_{Brewster}</math> beziehungsweise: :<math>\frac {\sin \epsilon_{Brewster}} {\cos \epsilon_{Brewster}} = \tan \epsilon_{Brewster} = \frac {n_2} {n_1}</math> Die reflektierte Welle ist beim Brewster-Winkel <math>\epsilon_{Brewster}</math> demnach linear polarisiert, und es gilt die Beziehung: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan \frac {n_2} {n_1}</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = n_1 \cdot \tan \epsilon_{Brewster}</math> Kommt der Lichtstrahl aus dem Vakuum (<math>n_1 = 1</math>) oder in erster Näherung aus Luft (<math>n_1 \gtrsim 1</math>), dann vereinfacht sich die Gleichung für den Brewster-Winkel zu: :<math>\epsilon_{Brewster} = \arctan n_2</math> beziehungsweise: :<math>n_2 = \tan \epsilon_{Brewster}</math> [[Datei:Brewster-polarizer-de.svg|mini|rechts|hochkant=1.5|Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium zur Verstärkung der Polarisation des transmittierten Lichts.]] Der gebrochene Strahl ist allerdings nicht vollständig in der Einfallsebene polarisiert, da nur ein Teil der Strahlung reflektiert wird, die senkrecht zur Einfallsebene polarisiert wird. Durch eine Reihenschaltung mehrerer parallel ausgerichteter Platten aus einem dichteren optischen Medium kann der Effekt der Polarisation des transmittierten Lichts jedoch verstärkt werden. <div style="clear:both"></div> ===Doppelbrechung=== Doppelbrechende optische Medien sind spezielle Materialien, wie zum Beispiel Doppelspat (auch Kalkspat oder Calcit genannt), Glimmer oder Flüssigkristalle. Oft handelt es sich dabei um asymmetrisch aufgebaute Kristalle. Bei solchen anisotropen Medien hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit <math>c</math> und somit auch der Brechungsindex <math>n</math> und die Vakuumwellenlänge <math>\lambda_0</math> von der Schwingungsrichtung ab. Es wird zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl unterschieden. Der ordentliche Strahl steht senkrecht (Symbol <math>\perp</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters, und der außerordentliche Strahl steht parallel (Symbol <math>\parallel</math>) zum Hauptschnitt des Kristallgitters. Die dazugehörigen Brechzahlen werden durch das entsprechende Symbol im Index gekennzeichnet: * Für den ordentlichen Strahl: <math>n_\perp</math> * Für den außerordentlichen Strahl: <math>n_\parallel</math> Doppelbrechung kann auch durch Nichtlinearitäten in isotropen Medien hervorgerufen werden, wie zum Beispiel durch mechanische Spannungen oder durch sehr hohe elektrisch oder magnetische Feldstärken. <gallery caption="Doppelbrechung am Doppelspat mit dem Text „Berlin“ im Hintergrund" perrow=2 widths=450 heights=300> Doppelbrechung.P1033771.jpg|Doppelbrechung in horizontaler Richtung. Doppelbrechung.P1033772.jpg|Doppelbrechung in vertikaler Richtung bei um 90° im Uhrzeigersinn gedrehtem Kristall. </gallery> <div style="clear:both"></div> ====Verzögerungsplatten==== '''Verzögerungsplatten''' bestehen aus doppelbrechenden optischen Medien mit konstanter Dicke <math>d</math>. Die Frequenz <math>f</math> der elektromagnetischen Welle bleibt sowohl außerhalb als auch innerhalb der Verzögerungsplatte sowie in allen Ausbreitungsrichtungen gleich. Die Phasenverschiebung <math>\Delta \varphi</math> der beiden sich in der Platte mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten <math>c_\perp</math> und <math>c_\parallel</math> ausbreitenden Teilstrahlen ergibt sich beim Austritt hinter der Verzögerungsplatte dann wie folgt: :<math>\Delta \varphi = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot (n_\perp - n_\parallel) = \frac {2 \pi} {\lambda_0} \cdot d \cdot c_0 \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right) = 2 \pi \cdot d \cdot f \cdot \left( \frac {1} {c_\perp} - \frac {1} {c_\parallel} \right)</math> =====λ/2-Plättchen===== Beim '''λ/2-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen der Hälfte der Vakuumlichtwellenlänge, und es dreht die Polarisationsrichtung eines einfallenden Lichtstrahls um einen bestimmten Winkel. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 180°: :<math>\Delta \varphi = \pi</math> Für die Dicke eines λ/2-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 2} = \frac {\lambda_0} {2} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> Je nach axialer Ausrichtung eines λ/2-Plättchens zur Polarisationsrichtung eines einfallenden, linear polarisierten Lichtstrahls ergibt sich eine Drehung der Polarisationsrichtung zwischen 0° und 90°. =====λ/4-Plättchen===== Beim '''λ/4-Plättchen''' entspricht die Dicke der Platte einem bestimmten Vielfachen des Viertels der Vakuumlichtwellenlänge, und es wird auch als '''Zirkularpolarisator''' bezeichnet, weil es aus einem linear polarisierten Lichtstrahl einen zirkular polarisierten Strahl erzeugen kann. Zirkular polarisiertes Licht wandelt es umgekehrt in linear polarisiertes Licht um. Die Phasenverschiebung beim Durchlaufen der Verzögerungsplatte beträgt zwischen dem ordentlichen und dem außerordentlichen Strahl 90°: :<math>\Delta \varphi = \frac {\pi} {2}</math> Für die Dicke eines λ/4-Plättchens ergibt sich dann: :<math>d_{\lambda / 4} = \frac {\lambda_0} {4} \cdot \frac {1} {n_\perp - n_\parallel}</math> <div style="clear:both"></div> ====Flüssigkristalle==== '''Flüssigkristalle''' sind flüssige Substanzen, die wie Kristalle im festen Aggregatzustand richtungsabhängige (anisotrope) optische Eigenschaften aufweisen können. Die Ausrichtung der Moleküle und damit die Polarisationswirkung kann durch elektrische Felder beeinflusst werden. Die Geschwindigkeit der Auslenkung hängt von der Stärke der elektrischen Felder ab. Bei modernen Flüssigkristallanzeigen und -bildschirmen kann eine Umschaltzeit bis hinunter zu einer Millisekunde erreicht werden. → Siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Fl%C3%BCssigkristallanzeigen|Flüssigkristallanzeigen]]. <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> hzbyppgz6i1lm63e7931xieu6cswqtw 0 99082 1088500 1088364 2026-06-29T12:51:06Z Bautsch 35687 /* Lichtquellen */ <div style="clear:both"></div> 1088500 wikitext text/x-wiki <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> Dieses Kapitel beschäftigt sich mit Themen, die im Zusammenhang mit der Beleuchtung von Objekten (synonym für "von Gegenständen"), die betrachtet oder photographisch abgebildet werden sollen, von Bedeutung sind. ==Photonen== '''Photonen''' sind die Ausprägung von '''elektromagnetischer Strahlung''' als Teilchen. Sie breiten sich in allen optischen Medien wellenartig aus. Das Produkt aus der '''Schwingungsfrequenz''' <math>f</math> der '''elektromagnetischen Welle''' und deren '''Wellenlänge''' <math>\lambda</math> ist die '''Lichtgeschwindigkeit''' <math>c</math> : :<math>c = \lambda \cdot f</math> Die '''Vakuumlichtgeschwindigkeit''' <math>c_0</math> hat eine festgelegte Größe: :<math>c_0 = 299792458 \frac {\text {m}} {\text {s}}</math> In allen anderen optischen Medien ist die Lichtgeschwindigkeit <math>c</math> um den Zahlenfaktor <math>n > 1</math> kleiner als im Vakuum: :<math>c = \frac {c_0} {n}</math> beziehungsweise <math>c_0 = n \cdot c</math> Der einheitenlose Zahlenfaktor <math>n</math> wird '''Brechzahl''' oder '''Brechungsindex''' genannt. Er beträgt für das Vakuum Eins. Bei elektromagnetischer Strahlung mit der Wellenlänge <math>\lambda</math> respektive der Frequenz <math>f</math> ergibt sich die '''Photonenenergie''' <math>W_{Ph}</math> (Maßeinheit Joule, abgekürzt: J) aus der Beziehung: :<math>W_{Ph} = {h} \cdot {f} = \frac {h \cdot c} {\lambda}</math>, wobei <math>h = 6,62607015 \cdot 10^{-34} \text { J s}</math> für das '''Plancksche Wirkungsquantum''' steht. Der '''mechanische Impuls''' <math>p</math> eines Photons ist umgekehrt proportional zu dessen Wellenlänge <math>\lambda</math> beziehungsweise proportional zu dessen Energie''' <math>W_{Ph}</math>: :<math>p = \frac {h} {\lambda} = \frac {W_{Ph}} {c}</math> ==Photometrische Grundbegriffe== [[Datei:Photometrische.Groessen.png|mini|rechts|hochkant=2|Beziehungen zwischen den elementaren photometrischen Größen]] Grundsätzlich muss zwischen radiometrischen und photometrischen Messungen unterschieden werden. Die '''Radiometrie''' beschäftigt sich mit der Messung elektromagnetischer Strahlung und die '''Photometrie''' mit der Messung von sichtbarem Licht. Bis zur Entdeckung durch Heinrich Hertz im Jahr 1886 war jedoch noch nicht bekannt, dass es sich bei Licht um elektromagnetische Strahlung handelt. Erschwerend kommt hinzu, dass auch die elektromagnetische Strahlung mit etwas kürzeren und etwas längeren Wellenlängen als sie bei sichtbarem Licht auftreten als '''ultraviolettes''' beziehungsweise als '''infrarotes''' Licht bezeichnet wird. Diese unsichtbare Strahlung gehört genauso wie das sichtbare Licht zur Radiometrie, wird in der Photometrie streng genommen jedoch nicht berücksichtigt. Schon bei den Versuchen mit der Brechung von Sonnenlicht an einem Glasprisma war den Forschern aufgefallen, dass es im Lichtspektrum jenseits des roten Lichts eine Wärmestrahlung gab, die mit Thermometern objektiv nachgewiesen werden konnte. Ferner konnte insbesondere bei der Verwendung von Prismen aus Quarzglas, die die ultraviolette Strahlung des Sonnenlichts nur geringfügig absorbieren, gezeigt werden, dass es im Lichtspektrum auch jenseits des violetten Lichts Strahlung gab. Mit Hilfe von fluoreszierenden Mineralien, die die ultraviolette Strahlung nach der Anregung von Elektronen in den Molekülen bei der spontanen Emission in sichtbares Licht umwandeln, konnte diese im unsichtbaren Teil des Spektrums nachgewiesen werden. Die Grenzen zwischen Radiometrie und Photometrie werden oft nicht allzu streng beachtet, so dass auch für ultraviolette und infrarote Strahlung photometrische Größen verwendet und angegeben werden. ===Photonenstrom=== Die '''Photonenmenge''' respektive '''Strahlungsmenge''' <math>Q</math> (für '''Quantität''') ist ein einheitenloses Maß für die Anzahl der Photonen mit einer bestimmten Energie (respektive mit einer bestimmten Wellenlänge oder mit einer bestimmten Frequenz). Der '''Photonenstrom''' <math>\Phi</math> (Maßeinheit 1/s) ergibt sich aus der in einer bestimmten Zeit <math>t</math> untersuchten Photonenmenge: :<math>\Phi = \frac {Q} {t}</math> ===Strahlungsleistung=== Die '''Strahlungsleistung''' <math>\Phi_e</math> (auch '''Strahlungsfluss''' genannt, Maßeinheit Watt, abgekürzt: W, Index '''e''' für "'''e'''lektromagnetisch") ergibt sich bei monochromatischer elektromagnetischer Strahlung wiederum aus dem Produkt von Photonenstrom und der Energie eines einzelnen Photons mit der Wellenlänge <math>\lambda</math>. :<math>\Phi_e = {W_{Ph}} \cdot {\Phi} = \frac {Q \cdot h \cdot c} {\lambda \cdot t}</math> Entsprechend ergibt sich für die '''Strahlungsenergie''' <math>W_e</math>: :<math>W_e = Q \cdot {W_{Ph}} = \Phi_e \cdot t = \frac {Q \cdot h \cdot c} {\lambda}</math> Sowie für die '''Strahlungsstromdichte''' <math>E_e</math> (auch '''Bestrahlungsstärke''', siehe unten) senkrecht durch eine Fläche <math>A</math>: :<math>E_e = \frac {\Phi_e} {A}</math> Photonen, die mit dem Photonenstrom <math>\Phi</math> im Winkel <math>\alpha</math> zum Oberflächenlot auf eine Fläche <math>A</math> treffen, erzeugen dort den '''mechanischen Strahlungsdruck''' <math>p_{St}</math>: :<math>p_{St} = \frac {E_e} {c} \cos^2 \alpha</math> Für monochromatisches Licht mit den Photonenstrom <math>\Phi</math> aus Photonen mit dem mechanischen Impuls <math>p</math> gilt demnach: :<math>p_{St} = \frac {p \cdot \Phi} {A} \cos^2 \alpha = h \cdot \frac {\Phi} {\lambda \cdot A} \cos^2 \alpha</math> ===Lichtstrom=== Der '''Lichtstrom''' <math>\Phi_v</math> (Index '''v''' für "'''v'''isuell", also elektromagnetische Strahlung im sichtbaren Wellenlängenbereich zwischen etwa 380 und 780 Nanometer) ergibt sich aus der Multiplikation der elektromagnetischen Strahlungsleistung <math>\Phi_e</math> mit dem entsprechenden wellenlängenabhängigen photometrischen Strahlungsäquivalent <math>K (\lambda)</math>: :<math>\Phi_v = {K (\lambda)} \cdot {\Phi_e}</math> Das '''spektrale photometrische Strahlungsäquivalent''' <math>K (\lambda)</math> hat die Maßeinheit Lumen pro Watt, so dass für den Lichtstrom die Maßeinheit '''Lumen''' (abgekürzt: lm, lateinisch: ''Leuchte'') resultiert. Bezogen auf die spektrale Empfindlichkeit der menschlichen Netzhaut müssen das farbige Tagesehen (photopisches Sehen) mit den Zapfen und das monochrome Nachtsehen (skotopisches Sehen) mit den Stäbchen unterschieden werden. Die entsprechenden photometrischen Strahlungsäquivalente sind in der DIN 5031 festgelegt: das maximale photometrische Strahlungsäquivalent für das '''Tagsehen <math>K_m</math> beträgt 683,002 Lumen pro Watt''', und das maximale photometrische Strahlungsäquivalent für das '''Nachtsehen <math>K'_m</math> beträgt 1700,13 Lumen pro Watt''' (vergleiche CIE 191:2010 ''Recommended System for Mesopic Photometry based on Visual Performance'', International Commission on Illumination (CIE), Wien). Mit der physiologischen, wellenlängenabhängigen und einheitenlosen Bewertungsfunktion des menschlichen Auges <math>0 \le V (\lambda) \le 1</math> (auch '''Hellempfindlichkeitskurve''' oder '''relativer spektraler Hellempfindlichkeitsgrad''') sowie für das '''spektrale photometrische Strahlungsäquivalent''' <math>K (\lambda)</math> in Lumen pro Watt ergibt sich für das '''Tagsehen''': :<math>\Phi_v = K_m \cdot V (\lambda) \cdot \Phi_e = K (\lambda) \cdot \Phi_e</math> Und für das '''Nachtsehen''' mit der entsprechenden Bewertungsfunktion <math>0 \le V' (\lambda) \le 1</math> beziehungsweise mit dem '''spektralen photometrischen Strahlungsäquivalent''' <math>K' (\lambda)</math> in Lumen pro Watt: :<math>\Phi_v' = K'_m \cdot V' (\lambda) \cdot \Phi_e = K' (\lambda) \cdot \Phi_e</math> Die''' Lichtmenge''' <math>Q_v</math> beim Tagsehen und <math>Q_v'</math> beim Nachtsehen kann für monochromatisches Licht der Wellenlänge <math>\lambda</math> also als Funktion des Lichtstroms <math>\Phi_v</math> ausgedrückt werden: :<math>Q_v = \frac {\Phi_v} {K (\lambda)} \cdot \frac {\lambda} {h \cdot c} \cdot t</math> :<math>Q_v' = \frac {\Phi_v} {K' (\lambda)} \cdot \frac {\lambda} {h \cdot c} \cdot t</math> '''Bei grünem Licht (<math>\lambda</math> = 550 Nanometer) mit einem Lichtstrom von einem Lumen sind in jeder Nanosekunde beim Tagsehen demzufolge rund vier Millionen Photonen beteiligt.''' Der Wirkungsgrad einer Lichtquelle kann durch das Verhältnis des Lichtstroms mit der für die Lichterzeugung aufgewendeten Leistung <math>P</math> beschrieben werden, das auch '''Lichtausbeute''' <math>\eta_v</math> genannt wird (Maßeinheit Lumen pro Watt): :<math>\eta_v = \frac {\Phi_v} {P}</math> <gallery caption="Wahrnehmung von elektromagnetischer Strahlung durch Menschen" perrow=3 mode=packed widths=360 heights=240> LuminosityCurve1.svg|Relative Hellempfindlichkeitskurven für das Tagsehen V(λ) (rot) und für das Nachtsehen V'(λ) (blau). Cone-fundamentals-with-srgb-spectrum.svg|Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen in der menschlichen Netzhaut (S, M, L) über der Lichtwellenlänge. Der Unterschied zwischen L und M liegt vor allem bei den roten und grünen Wellenlängen, und S reagiert vor allem auf die Wellenlängen im blauen Bereich. Cone-absorbance-de.svg|Spektrale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen und der Stäbchen in der menschlichen Netzhaut über der Lichtwellenlänge in Nanometern (nm). Die maximale Empfindlichkeit der drei Zapfentypen liegt bei den Farben <span style="color:#2F00DD">⬤</span> (420&nbsp;nm, violett), <span style="color:#00ff6c">⬤</span> (534&nbsp;nm, grün) und <span style="color:#cbff00">⬤</span> (564&nbsp;nm, gelbgrün). Spectral luminous efficacy 1200x1400 wcols de.png|Spektrales photometrisches Strahlungsäquivalent für Tagsehen K(λ) und für Nachtsehen K′(λ). </gallery> ===Beleuchtungsstärke=== [[Datei:Raumwinkel.Lichtstaerke.Beleuchtungsstärke.Emission.png|mini|hochkant=2|Verhältnisse bei emittierender Fläche <math>A_E</math>, emittiertem Raumwinkel <math>\Omega</math> und projizierter Fläche <math>A_P</math>]] [[Datei:Raumwinkel.Lichtstaerke.Beleuchtungsstärke.Projektion.png|mini|hochkant=2|Verhältnisse bei emittierender Fläche <math>A_E</math>, projiziertem Raumwinkel <math>\Omega</math> und projizierter Fläche <math>A_P</math>]] Wird ein Lichtstrom auf eine entsprechende definierte geometrische Fläche <math>A_P</math> projiziert, kann die '''Beleuchtungsstärke''' der Projektion <math>E_{v}</math> innerhalb dieser Fläche ermittelt werden: :<math>E_v = \frac {\Phi_v} {A_P}</math> Für eine kreisförmige Projektionsfläche mit dem Durchmesser <math>d</math> gilt demzufolge: :<math>E_v = \frac {4 \Phi_v} {\pi d^2}</math> Emittiert die definierte geometrische Fläche <math>A_E</math> einer Lichtquelle einen Lichtstrom, wird von der '''spezifischen Lichtausstrahlung''' <math>M_{v}</math> (also eigentlich eine '''Leuchtstärke''') dieser Fläche gesprochen, die sich entsprechend berechnet: :<math>M_v = \frac {\Phi_v} {A_E}</math> Für einen kreisförmigen Emitter mit dem Durchmesser <math>D</math> gilt demzufolge: :<math>M_v = \frac {4 \Phi_v} {\pi D^2}</math> Die Beleuchtungsstärke und die spezifische Lichtausstrahlung stellen also eine '''Lichtstromdichte''' dar und haben die Maßeinheit Lumen pro Quadratmeter, was meist mit der Maßeinheit '''Lux''' (lateinisch: ''Licht'', abgekürzt: lx) abgekürzt wird. Die Beleuchtungsstärke kann unmittelbar mit einem Messgerät mit definierter Messfläche, einem sogenannten '''Luxmeter''', ermittelt werden. ====Bestrahlungsstärke==== Die '''Bestrahlungsstärke''' <math>E_e</math> ist das radiometrische Äquivalent der visuellen Beleuchtungsstärke <math>E_v</math> für das gesamte elektromagnetische Spektrum. Im Gegensatz zur Beleuchtungsstärke als eine Lichtstromdichte mit der Maßeinheit Lumen pro Quadratmeter hat die Bestrahlungsstärke als eine '''Strahlungsstromdichte''' die Maßeinheit '''Watt pro Quadratmeter'''. Sie ist wie folgt definiert: :<math>E_e = \frac {\Phi_e} {A_P} = \frac {4 \Phi_e} {\pi d^2}</math> Die Bestrahlungsleistung <math>\Phi_e</math> innerhalb einer definierten Messfläche <math>A_P</math> kann unmittelbar mit einem sogenannten '''Powermeter''' (Leistungsmessgerät) ermittelt werden. Aus dem Verhältnis von gemessener Leistung und Messfläche ergibt sich dann rechnerisch die Bestrahlungsstärke. Entsprechend ergibt sich für die '''spezifische Ausstrahlung''' <math>M_e</math> einer Strahlungsquelle mit der Strahlungsleistung <math>\Phi_e</math> und der emittierenden Fläche <math>A_E</math> die folgende Beziehung: :<math>M_e = \frac {\Phi_e} {A_E} = \frac {4 \Phi_e} {\pi D^2}</math> ===Raumwinkel=== Der '''Raumwinkel''' <math>\Omega</math> (Maßeinheit Steradiant, abgekürzt: sr, Kunstwort aus griechisch ''στερεό'' für ''Körper'' und lateinisch ''radiant'' für ''sie strahlen'') ist ein Maß für die Ausdehnung eines flächenhaften Objektes in Winkelkoordinaten. In der Astronomie wird der Raumwinkel häufig in der Maßeinheit Quadratgrad (abgekürzt: deg²) angegeben: :<math>1 \ \mathrm{deg}^2 = \left( \frac{2 \pi}{360} \right)^2 \mathrm{sr}</math> ====Raumwinkel eines Kreiskegels==== [[Datei:Angle_solide_coordonnees.svg|rechts|mini|hochkant=1.5|Darstellung des Zusammenhangs zwischen dem Raumwinkel Ω im Mittelpunkt einer Kugel, der Mantelfläche A eines Kugelsegments auf der Kugeloberfläche und dem Radius r der Kugel.]] Der kanonische '''Raumwinkel''' eines geraden Kreiskegels <math>\Omega</math> kann leicht aus dem Öffnungswinkel <math>\omega</math> oder aus dem Verhältnis der bestrahlten oder strahlenden, kreisrunden Mantelfläche eines Kugelsegments <math>A</math> zu ihrem Quadratradius <math>r^2</math> berechnet werden: :<math>\Omega = 2 \pi \left( 1 - \cos \frac {\omega} {2} \right) = 4 \pi \sin^2 \frac {\omega} {4} = \frac {A} {r^2}</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Bildaufnahme#Öffnungswinkel|Öffnungswinkel]] Emittiert eine Lichtquelle in den gesamten Raumwinkel oder wird ein Punkt aus dem gesamten Raumwinkel beleuchtet (der Öffnungswinkel beträgt dann 360° beziehungsweise <math>2 \pi \,\text{rad}</math>), dann ist der Wert des Raumwinkels <math>\Omega_{max}</math> maximal, nämlich: :<math>\Omega_\text{max} = 4 \pi \, \text{sr} \approx 12{,}566 \, \text{sr}</math> Die Radien der Kugelsegmente <math>r_e</math> und <math>r_p</math> können hierbei wie folgt aus dem Durchmesser der emittierenden Fläche <math>d_e</math> beziehungsweise aus dem Durchmesser der projizierten Fläche <math>d_p</math> und dem Abstand zwischen der ebenen Grundfläche und Scheitelpunkt des Kugelsegments <math>s</math> bestimmt werden: :<math>r_e = \sqrt {\frac {d_e^2} {4} + s^2}</math> beziehungsweise :<math>r_p = \sqrt {\frac {d_p^2} {4} + s^2}</math> Die Mantelflächen der dazugehörigen Kugelsegmente <math>A_e</math> und <math>A_p</math> ergeben sich dann zu: :<math>A_e = \pi \left( \frac {d_e^2} {4} + (r_e - s)^2 \right)</math> beziehungsweise :<math>A_p = \pi \left( \frac {d_p^2} {4} + (r_p - s)^2 \right)</math> ====Raumwinkel einer rechteckigen Pyramide==== [[Datei:SolidAngle Pyramid.png|mini|Zum Raumwinkel einer Pyramide]] Falls der Raumwinkel senkrecht zur optischen Achse nicht kreisrund, sondern rechteckig begrenzt ist, kann er mit den Pyramidengrundseiten <math>w_x</math> und <math>w_y</math> sowie der Pyramidenhöhe <math>h</math> berechnet werden: :<math>\Omega = 4 \arctan \frac {w_x \cdot w_y} {2h \cdot \sqrt{4 h^2 + w_x^2 + w_y^2}}</math> Alternativ können auch die beiden senkrecht aufeinander stehenden Öffnungswinkel <math>\omega_x = 2 \varphi_x</math> und <math>\omega_y = 2 \varphi_y</math> verwendet werden, um den Raumwinkel zu berechnen: :<math>\Omega = 4 \arcsin \left( \sin \varphi_x \cdot \sin \varphi_y \right)</math> ===Lichtstärke=== Soll die Emission von einer punktförmigen Lichtquelle oder die Beleuchtung eines Punktes beschrieben werden, wird in der Photometrie der Lichtstrom auf den Raumwinkel <math>\Omega</math> des Punktes der Lichtemission beziehungsweise des Punktes des Lichteinfalls bezogen, so dass die '''Lichtstärke''' <math>I_v</math> mit der Maßeinheit Lumen pro Steradiant resultiert, die in der Regel durch die Maßeinheit '''Candela''' (lateinisch: ''Kerze'', abgekürzt: cd) ausgedrückt wird: :<math>I_v = \frac {\Phi_v} {\Omega}</math> Eine herkömmliche Haushaltskerze emittiert praktisch fast in den gesamten Raumwinkel <math>\Omega_{max}</math> und hat eine Lichtstärke von zirka einem Candela. Der Lichtstrom <math>\Phi_{Kerze}</math> einer solchen Kerze beträgt somit: :<math>\Phi_{Kerze} = I_v \cdot {\Omega_{max}} = 1 \, \text {cd} \cdot 4\pi \, \text {sr} = 4\pi \, \text {lm}</math> ===Leuchtdichte=== Soll die Emission von einer flächenhaften Lichtquelle mit der Fläche <math>A_E</math> in den Raumwinkel <math>\Omega</math> oder die Beleuchtung einer Fläche <math>A_P</math> aus dem Raumwinkel <math>\Omega</math> beschrieben werden, wird in der Photometrie die '''Leuchtdichte''' <math>L_v</math> verwendet, die gemeinhin als '''Helligkeit''' interpretiert wird. Bei senkrechter Beobachtung der zu untersuchenden Fläche ergibt sich die Leuchtdichte mit der Maßeinheit '''Candela pro Quadratmeter''' beziehungsweise '''Lux pro Steradiant''' oder im englischsprachigen Raum auch abgekürzt mit '''Nit''' (vom lateinischen Verb "nitere", zu Deutsch "leuchten"). Für emittierende Flächen gilt: :<math>L_v = \frac {\Phi_v} {A_E \cdot \Omega} = \frac {I_v} {A_E} = \frac {M_v} {\Omega}</math> Und für beleuchtete Flächen entsprechend: :<math>L_v = \frac {\Phi_v} {A_P \cdot \Omega} = \frac {I_v} {A_P} = \frac {E_v} {\Omega}</math> Bei konstantem Lichtstrom innerhalb einer optischen Abbildung nimmt die Lichtstärke mit steigendem Abbildungsmaßstab zu, wohingegen die Beleuchtungsstärke mit steigendem Abbildungsmaßstab abnimmt. Siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Abbildungsmaßstab|Abbildungsmaßstab]]. Die Leuchtdichte ändert sich durch eine geometrische Abbildung jedoch nicht, sie wird in der Regel jedoch durch die Absorption oder Zerstreuung in den dafür erforderlichen optischen Komponenten etwas vermindert. Die Invarianz der Leuchtdichte bei optischen Abbildungen wird mit Hilfe der folgenden Skizze deutlich: [[Datei:Leuchtdichte.Invarianz.png|mini|zentriert|hochkant=2|Zur Invarianz der Leuchtdichte bei einer optischen Abbildung eines in den Raumwinkel <math>\Omega</math> leuchtenden Objekts mit der Fläche <math>y^2</math> in der Objektweite <math>a</math> (Emitter, links) über eine kreisförmige Querschnittsfläche mit dem Durchmesser <math>D</math> in einen Raumwinkel mit einem Bild der Fläche <math>y'^2</math> in der Bildweite <math>a'</math> (Projektion, rechts).]] Die Flächen von Emitter <math>A_E</math> (links) und Projektion P <math>A_P</math> (rechts) ergeben sich aus ihren quadratischen Flächen, die durch die Objektgröße <math>y</math> und die Bildgröße <math>y'</math> bestimmt sind: :<math>A_E = y^2</math> :<math>A_P = y'^2</math> Die kreisförmige Querschnittsfläche <math>A</math> in der Hauptebene der optischen Abbildung (blau) ergibt sich aus deren Durchmesser <math>D</math>: :<math>A = \pi \, \frac {D^2} {4}</math> Damit können unter Berücksichtigung der Objektweite <math>a</math> und der Bildweite <math>a'</math> die beiden entsprechenden Raumwinkel bestimmt werden: :<math>\Omega = \frac {A} {a^2}</math> :<math>\Omega' = \frac {A} {a'^2}</math> Die Leuchtdichten des Emitters <math>L_E</math> und in der Projektion <math>L_P</math> lauten: :<math>L_E = \frac {\Phi_v} {y^2 \, \Omega} = \frac {\Phi_v \, a^2} {y^2 \, A}</math> :<math>L_P = \frac {\Phi_v} {y'^2 \, \Omega'} = \frac {\Phi_v \, a'^2} {y'^2 \, A}</math> Der Lichtstrom <math>\Phi_v</math> bleibt erhalten, wenn bei der optischen Abbildung kein Licht absorbiert wird. Sowohl die Bildweite <math>a'</math> als auch die Bildgröße <math>y'</math> können durch den Abbildungsmaßstab <math>\beta</math> ausgedrückt werden, wenn dieser auf die Objektweite <math>a</math> und die Objektgröße <math>y</math> angewendet wird: :<math>a' = \beta \, a</math> :<math>y' = \beta \, y</math> Eingesetzt für die Leuchtdichte in der Projektionsebene <math>L_P</math> ergibt sich schließlich: :<math>L_P = \frac {\Phi_v \, \beta^2 \, a^2} {\beta^2 \, y^2 A} = \frac {\Phi_v \, a^2} {y^2 A} = L_E</math> Die Leuchtdichte in der Projektionsebene <math>L_P</math> ist also mit der Leuchtdichte des abgebildeten Objekts <math>L_E</math> identisch, und insbesondere ist die Leuchtdichte in der Projektionsebene unabhängig vom Abbildungsmaßstab <math>\beta</math>. Aus der Beziehung zwischen zwei verschiedenen Leuchtdichten kann ein Kontrastwert bestimmt werden. Siehe auch [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Modulation|Modulation]]. ===Geometrischer Fluss=== Das Verhältnis aus Lichtstrom <math>\Phi_v</math> und Leuchtdichte <math>L_v</math> wird manchmal auch als '''geometrischer Fluss''' <math>G</math> oder als '''Lichtleitwert''' bezeichnet: :<math>G = \frac {\Phi_v} {L_v} = A \cdot \Omega</math> ===Abstandsgesetz=== Das Verhältnis einer zusammenhängenden Teilfläche <math>A</math> der Kugeloberfläche zum Quadrat des Kugelradius <math>R</math> entspricht dem Raumwinkel <math>\Omega</math> dieser Teilfläche, der von Mittelpunkt dieser Kugel umfasst wird, in der Maßeinheit Streradiant: :<math>\Omega = \frac {A} {R^2}</math> beziehungsweise <math>A = \Omega \cdot R^2</math> Die Oberfläche einer Kugel <math>A_\text{Kugel}</math> ergibt sich aus: :<math>A_\text{Kugel} = 4\pi R^2</math> Daraus folgt unmittelbar, dass die gesamte Kugel von ihrem Mittelpunkt aus gesehen den vollen Raumwinkel <math>\Omega_{max}</math> von <math>4\pi</math> Steradiant umfasst. <gallery caption="Zum Abstandsgesetz" perrow="2" widths=480 heights=400> Datei:Abstandsgesetz.png|Zwei Kugeln mit dem Verhältnis der Radien <math>2 \, R : R</math>. Datei:Abstandsgesetz.Ausschnitt.png|Zwei Kugelausschnitte unter dem Raumwinkel <math>\Omega</math> mit dem Verhältnis der Radien <math>2 \, R : R</math> und dem Verhältnis der Oberflächen <math>4 \, A : A</math>. </gallery> Wird eine beliebige Teilfläche <math>A</math> auf einer Kugel mit dem Radius <math>R</math> mit radialen Strahlen auf eine konzentrische Kugel mit doppeltem Radius <math>2 \, R</math> projiziert, ergibt sich, dass der Raumwinkel <math>\Omega</math> erhalten bleibt, die projizierte Teilfläche auf der Kugel mit dem doppelten Radius jedoch vier Mal so groß ist wie die Teilfläche auf der Kugel mit dem einfachen Radius <math>R</math>. Photometrische Größen, die sich geometrisch ausschließlich auf den Raumwinkel beziehen, sind für solche Teilflächen invariant, wie zum Beispiel die Lichtstärke <math>I_v</math>: :<math>I_v = \frac {\Phi_v} {\Omega} = const.</math> Diejenigen photometrischen Größen, die sich bei konstantem Raumwinkel <math>\Omega</math> jedoch auf eine vom Radius <math>R</math> abhängige Fläche :<math>A(R) = \Omega \cdot R^2</math> beziehen, wie zum Beispiel die Beleuchtungsstärke <math>E_{v} (R)</math>, verhalten sich bei verändertem Abstand von der Lichtquelle (und bei somit verändertem Radius) umgekehrt proportional zu den Teilflächen auf den jeweiligen Kugeloberflächen und gleichzeitig umgekehrt proportional zu den Quadraten der dazugehörigen Kugelradien. Dieser Sachverhalt wird durch das '''Abstandsgesetz''' beschrieben: :<math>E_{v} (R) = \frac {\Phi_v} {A (R)} = \frac {\Phi_v} {\Omega \cdot R^2} = \frac {I_v} {R^2}</math> ===Belichtung=== Die '''Belichtung''' <math>H_{v}</math> ist ein Maß für die Beleuchtungsstärke <math>E_{v}</math> während der '''Belichtungszeit''' <math>t</math>. Im allgemeinen Fall mit zwischen den Zeitpunkten <math>0</math> und <math>t</math> variierender Beleuchtungsstärke ergibt sich das folgende Integral: :<math>H_{v} = \int_{0}^{t} E_{v}(\tau) \, \mathrm{d}\tau</math> Die Maßeinheit der Belichtung ist demzufolge die '''Luxsekunde''' (abgekürzt: lx s). Wenn die Beleuchtungsstärke zeitlich konstant ist, also :<math>E_{v}(\tau) = E_{v} = \text{const.}</math>, dann vereinfacht sich die Berechnung der Belichtung wie folgt: :<math>H_{v} = E_{v} \cdot t</math> Die Anzahl der Photonen <math>Q_{\lambda}</math> mit einer bestimmten Wellenlänge <math>\lambda</math>, die während der Belichtung <math>H_{v}</math> auf die Fläche <math>A_P</math> fallen, ergibt sich dann wie folgt: :<math>Q_{\lambda} = \frac {H_{v} \cdot A_P \cdot \lambda} {K (\lambda) \cdot h \cdot c}</math> Beim '''Tagsehen''' kann bei einer Wellenlänge <math>\lambda</math> von 555 Nanometern zum Beispiel <math>K (\lambda) = K_m \cdot V (\lambda) = K_m \cdot V (555 \text{ nm}) = K_m = 683 \,\frac {\text{lm}} {\text{W}}</math> gewählt werden, so dass sich ergibt: :<math>Q_{\lambda} \approx 7{,}37 \cdot 10^{21} \frac {1} {\text{lx s m}^3} \cdot H_{v} \cdot A_P \cdot \lambda = 7{,}37 \cdot 10^{21} \frac {1} {\text{lm s m}} \cdot \Phi_{v} \cdot t \cdot \lambda</math> Beim '''Nachtsehen''' liegt das Empfindlichkeitsmaximum des menschlichen Auges bei einer Wellenlänge <math>\lambda</math> von 507 Nanometern, so dass sich <math>K (\lambda) = K'_m \cdot V' (\lambda) = K'_m \cdot V' (507 \text{ nm}) = K'_m = 1699 \,\frac {\text{lm}} {\text{W}}</math> ergibt: :<math>Q_{\lambda}' \approx 2{,}96 \cdot 10^{21} \frac {1} {\text{lx s m}^3} \cdot H_{v} \cdot A_P \cdot \lambda = 2{,}96 \cdot 10^{21} \frac {1} {\text{lm s m}} \cdot \Phi_{v}' \cdot t \cdot \lambda</math> ====Belichtungswert==== Im Zusammenhang mit der Photographie wird die Leuchtdichte <math>L_v</math> oft in einen einheitenlosen '''Belichtungswert''' <math>B</math> (nach DIN 19017) oder <math>EV</math> (englisch: ''exposure value'') umgerechnet. Mit dem Belichtungswert als Exponent der Basis 2 kann die Leuchtdichte auf eine Referenzleuchtdichte <math>L_{v_0}</math> bezogen werden: :<math>L_v = L_{v_0} \cdot {2^{EV}}</math> Die Referenzleuchtdichte ergibt sich aus einer empirisch zu ermittelnden Konstante <math>c_r</math>, die je nach Messverfahren beziehungsweise Vorzugswerten zwischen 10,6 und 16,9 (oft 12,5 oder 14,0, nach DIN 19017 13,3 bis 16,9) Candelasekunden pro Quadratmeter liegt: :<math>10{,}6 \frac {\text{cd s}} {\text{m²}} \leq c_r \leq 16{,}9 \frac {\text{cd s}} {\text{m²}}</math> Sie bezieht sich heute auf eine Belichtungszeit <math>t_0</math> von einhundert Sekunden (früher eine Sekunde): :<math>L_{v_0} = \frac {c_r} {t_0}</math> :mit :<math>t_0 = 100 \, \text{s}</math> Somit beträgt die entsprechende Referenzleuchtdichte je nach Messverfahren: :<math>0{,}106 \frac {\text{cd}} {\text{m²}} \leq L_{v_0} \leq 0{,}169 \frac {\text{cd}} {\text{m²}}</math> Die Leuchtdichte <math>L_v</math> kann auch mit der am Objektiv einer Kamera gegebenen beziehungsweise eingestellten Blendenzahl <math>k</math> (siehe auch Abschnitt [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Blendenzahl|Blendenzahl]]) und der Belichtungszeit <math>t</math> bestimmt werden: :<math>L_v = \frac {c_r \cdot k^2} {S_i \cdot t}</math> <math>S_i</math> steht hierbei für den maßeinheitenlosen '''Belichtungsindex''' (englisch: ''exposure index'', E.I.), der typischerweise mit den ISO-Hauptwerten …, 50, 100, 200, 400, … oder auch Zwischenwerten angegeben wird und der auf eine verwendete Filmempfindlichkeit beziehungsweise eine äquivalente Bildsensorempfindlichkeit abgestimmt werden kann. Der Belichtungsindex ist umgekehrt proportional zur Belichtung <math>H_v</math> und ist unabhängig von den Eigenschaften des verwendeten Films oder Bildsensors. Als Bezugswert für die Belichtung <math>H_0</math> wird nach ISO 2721 ein Wert von 10&nbsp;Luxsekunden angenommen: :<math>S_i = \frac {H_0} {H_v} = \frac {10 \,\text{lx s}} {H_v} = \frac {10 \,\text{lx s}} {E_v \cdot t}</math> Die Leuchtdichte <math>L_v</math> kann daher auch wie folgt zeitunabhängig über die oben definierte Beleuchtungsstärke <math>E_v</math> (trotz des ähnlichen Formelzeichens nicht zu verwechseln mit dem einheitenlosen '''Lichtwert''' des APEX-Systems <math>Ev</math> oder dem einheitenlosen Belichtungswert <math>EV</math>) berechnet werden: :<math>L_v = \frac {E_v \cdot c_r \cdot k^2} {10 \,\text{lx s}}</math> Ferner können auch die erforderliche Belichtungszeit t oder die erforderliche Blendenzahl k ermittelt werden, wenn alle anderen Parameter bekannt sind: :<math>k = \sqrt {\frac {L_v \cdot S_i \cdot t} {c_r}}</math> :<math>t = \frac {c_r \cdot k^2} {L_v \cdot S_i}</math> Der Belichtungswert <math>EV</math> kann wie folgt aus der ermittelten Leuchtdichte <math>L_{v}</math> oder bei maximal ausgenutzter Leuchtdichte aus den Aufnahmeparametern berechnet werden: :<math>EV = \log_2 \frac {L_v} {L_{v_0}} = \log_2 \frac {t_0 \cdot k^2} {{t} \cdot S_i} = \log_2 \frac {10 \cdot E_v \cdot k^2} {1 \,\text{lx}}</math> Und entsprechend: :<math>k = \sqrt {\frac {2^{EV} \cdot t \cdot S_i} {t_0}} \rightarrow \frac {E_v \cdot t \cdot S_i} {H_0} = 1</math> :<math>t = \frac {t_0 \cdot k^2} {2^{EV} \cdot S_i} = \frac {H_0} {E_v \cdot S_i}</math> :<math>S_i = \frac {t_0 \cdot k^2} {t \cdot 2^{EV}} = \frac {H_0} {E_v \cdot t}</math> <gallery caption="Extreme Belichtungswerte" mode=packed widths=600 heights=600> Sonnenflecke.spektral.P1093030.jpg|mini|rechts|Aufnahme der Sonnenscheibe mit einigen kleinen Sonnenflecken mit einem Neutraldichtefilter mit einem Promille Transmission bei einer Blendenzahl&nbsp;8, einem Belichtungsindex von ISO&nbsp;200 und einer Belichtungszeit von 1/32000&nbsp;Sekunde (der Belichtungswert der Sonnenscheibe betrug 30 EV). Internationaler.Sternenpark.Westhavelland.Hemisphaere.P1024398.jpg|Aufnahme der Milchstraße mit einem Fischaugenobjektiv bei einer Blendenzahl&nbsp;2,8, einem Belichtungsindex von ISO&nbsp;6400 und einer Belichtungszeit von 40&nbsp;Sekunden (der Belichtungswert der Himmelssphäre betrug unter -8 EV). </gallery> ====APEX-System==== Die einheitenlosen Leitwerte des APEX-Systems sind wie folgt definiert (vergleiche hierzu auch die ehemalige Norm DIN 19017, die ISO 2720 sowie das [[w:Additive_System_of_Photographic_Exposure|APEX-System ('''A'''dditive System of '''P'''hotographic '''Ex'''posure)]]): Der '''Blendenleitwert''' (englisch: ''aperture value''): :<math>Av = \log_2 {k^2}</math> Der '''Zeitleitwert''' (englisch: ''time value'') wird auf eine Sekunde bezogen: :<math>Tv = \log_2 \frac {1 \,\text{s}} {t}</math> Der '''Lichtwert''' (englisch: ''exposure value'', nicht zu verwechseln mit Beleuchtungsstärke <math>E_v</math> oder dem Belichtungswert <math>EV</math>): :<math>Ev = \log_2 \frac {k^2 \cdot 1 \,\text{s}} {t} = Av + Tv = EV - \log_2 \frac {t_0} {S_i \cdot 1 \,\text{s}} = EV - \log_2 \frac {H_v} {\frac {1} {10} \text{lx s}} = EV - \log_2 \frac {E_v \cdot {t}} {\frac {1} {10} \text{lx s}}</math> Der '''Empfindlichkeitsleitwert''' (englisch: ''sensitivity value''): :<math>Sv = \log_2 2^{-\frac {7} {4}}\cdot S_i = - 1{,}75 + \log_2 {S_i}</math> Der '''Helligkeitsleitwert''' <math>Bv</math> (englisch: ''brightness value'', umgangssprachlich auch "Helligkeitswert"): :<math>Bv = Ev - Sv = Av + Tv - Sv = EV - \log_2 -\frac {t_0} {S_i \cdot 1 \,\text{s}} + 1{,}75 - \log_2 S_i = EV + 1{,}75 - \log_2 {100} \approx EV - 4{,}89</math> Und entsprechend: :<math>Av = Ev - Tv = Bv + Sv - Tv</math> :<math>Tv = Ev - Av = Bv + Sv - Av</math> :<math>Sv = Ev - Bv = Av + Tv - Bv</math> Beziehungsweise: :<math>E_v = \frac {\frac {1} {10} \,\text{lx s}} {t} 2^{EV-Ev}</math> :<math>EV = Bv - 1{,}75 + \log_2 {100} \approx Bv + 4{,}89</math> ===Astronomie=== Wenn ein Stern den Lichtstrom <math>\Phi_S</math> erzeugt, wird dessen Licht in der Regel annähernd gleichmäßig in alle Raumrichtungen emittiert. Die Lichtstärke des Sterns <math>I_S</math> ergibt sich somit zu: :<math>I_S = \frac {\Phi_S} {4 \pi \text { sr}}</math> Wird der Stern mit einem Teleskop der Öffnungsweite <math>D</math> beobachtet, dann tritt nur ein winziger Bruchteil der Strahlung in das Teleskop mit der Querschnittsfläche <math>A_T</math>: :<math>A_T = \pi \frac {D^2} {4}</math> Der sehr kleine objektseitige Raumwinkel <math>\Omega_{T,o}</math>, den ein solches Teleskop vom Stern erfasst, der sich in der Entfernung <math>s</math> befindet, ergibt sich zu: :<math>\Omega_{T,o} = \frac {A_T} {s^2}</math> Der Anteil des Lichtstroms <math>\Phi_T</math>, der vom als punktförmig angenommenen Stern in das Teleskop eintritt, ergibt sich dann aus dem Verhältnis der Raumwinkel: :<math>\Phi_T = \Phi_S \cdot \frac {\Omega_{T,o}} {4 \pi \text { sr}} = I_S \cdot \Omega_{T,o} = I_S \cdot \frac {A_T} {s^2} = \frac {\Phi_S} {4 \pi \text { sr}} \cdot \frac {\pi \frac {D^2} {4}} {s^2} = \frac {\Phi_S \cdot D^2} {16 \cdot s^2}</math> Der bildseitig erfasste Raumwinkel <math>\Omega_{T,b}</math> ergibt sich aus der Brennweite des Teleskops <math>f</math> beziehungsweise der Blendenzahl <math>k</math>, da ein Stern wegen seiner sehr großen Entfernung in die Brennebene abgebildet wird: :<math>\Omega_{T,b} = \frac {A_T} {f^2} = \frac {\pi \, D^2} {4 \, f^2} = \frac {\pi} {4 \, k^2}</math> Somit ist die Lichtstärke <math>I_T</math> im Brennpunkt des Teleskops: :<math>I_T = \frac {\Phi_T} {\Omega_{T.b}} = \frac {I_S \cdot \frac {A_T} {s^2}} {\frac {A_T} {f^2}} = I_S \left( \frac {f} {s} \right)^2</math> Aus dem Lichtstrom <math>\Phi_T</math> im Teleskop kann dann mit dem bildseitig erfassten Raumwinkel <math>\Omega_{T,b}</math> die Leuchtdichte <math>L_v</math> des Sterns in einem Flächenelement <math>A_b</math> der Bildebene des Teleskops berechnet werden: :<math>L_v = \frac {I_T} {A_b} = \frac {\Phi_T} {\Omega_{T,b} \cdot A_b} = \frac {\Phi_T \cdot f^2} {A_T \cdot A_b} = \frac {\Phi_T \cdot f^2} {\pi \frac {D^2} {4} \cdot A_b} = \frac {4 \, \Phi_T \cdot k^2} {\pi \cdot A_b}</math> In der Bildebene eines optisch korrigierten Teleskops verteilt sich das Licht des Sterns praktisch fast vollständig auf das Beugungsscheibchen mit dem Durchmesser <math>d_B</math> und der Fläche <math>A_B</math>: :<math>d_B = 2{,}44 \cdot k \cdot \lambda</math> :<math>A_b = A_B = \pi \frac {d_B^2} {4} = \frac {\pi \cdot 2{,}44^2 \cdot k^2 \cdot \lambda^2} {4}</math> Somit ergibt sich für die Leuchtdichte <math>L_v</math> des Sterns: :<math>L_v = \frac {4 \, \Phi_T \cdot k^2} {\pi \cdot \frac {\pi \cdot 2{,}44^2 \cdot k^2 \cdot \lambda^2} {4}} = \frac {16 \, \Phi_T} {\pi^2 \cdot 2{,}44^2 \cdot \lambda^2} = \frac {16 \, \frac {\Phi_S \cdot D^2} {16 \cdot s^2}} {\pi^2 \cdot 2{,}44^2 \cdot \lambda^2} = \frac {\Phi_S \cdot D^2} {\pi^2 \cdot 2{,}44^2 \cdot \lambda^2 \cdot s^2}</math> Die Leuchtdichte eines beobachteten Sternes hängt also nur vom im Teleskop erfassten Lichtstrom <math>\Phi_T</math> des Sternes ab, welcher proportional zur Querschnittsfläche <math>A_T</math> beziehungsweise dem Quadrat des Durchmessers <math>D^2</math> der Apertur des Objektivs ist: :<math>L_v \propto A_T \propto D^2</math> Für die visuelle Beleuchtungsstärke <math>E_v</math> in der Bildebene gilt entsprechend: :<math>E_v = L_v \cdot \Omega_{T,b} = \frac {\Phi_T} {A_B} = \frac {\frac {\Phi_S \cdot D^2} {16 \cdot s^2}} {\frac {\pi \cdot 2{,}44^2 \cdot k^2 \cdot \lambda^2} {4}} = \frac {\Phi_S \cdot D^2} {4 \pi \text { sr} \cdot s^2 \cdot 2{,}44^2 \cdot k^2 \cdot \lambda^2} = \frac {\Phi_S \cdot D^4} {4 \pi \text { sr} \cdot s^2 \cdot 2{,}44^2 \cdot f^2 \cdot \lambda^2} = \frac {I_S \cdot D^4} {s^2 \cdot 2{,}44^2 \cdot f^2 \cdot \lambda^2}</math> Je kürzer die Brennweite <math>f</math> und je größer die Öffnungsweite <math>D</math> sind, desto größer ist also die Beleuchtungsstärke <math>E_v</math> im Beugungsscheibchen des Brennpunkts: :<math>E_v \propto \left( \frac {D^2} {f} \right)^2 = \left( \frac {D} {k} \right)^2</math> ====Scheinbare Helligkeit==== In der Astronomie wird die Beleuchtungsstärke in der Regel als die '''scheinbare (visuelle) Helligkeit''' <math>m_{v}</math> mit der Maßeinheit "Magnitude" (Größenklasse, abgekürzt mit "mag" oder mit einem hochgestellten "m") angegeben. Ein astronomisches Objekt in Richtung der optischen Achse mit der scheinbaren visuellen Helligkeit <math>m_{v}</math> bewirkt in der senkrecht dazu stehenden Bildebene in der Bildmitte die Beleuchtungsstärke: :<math>E_{v} = 10^{-0{,}4 \left( \frac {m_{v}} {1 \text { mag}} + 14{,}2 \right)} \text { lx}</math> Anhand der Basis <math>b</math> wird deutlich, dass sich die Beleuchtungsstärke verhundertfacht, wenn die scheinbare Helligkeit um fünf Magnituden abnimmt: :<math>b = 10^{-0{,}4} = 10^{-\frac {2} {5}} = 100^{-\frac {1} {5}} = \sqrt[-5] {100} = \frac {1} {\sqrt[5] {100}} \approx 0{,}3981</math> Damit gilt dann: :<math>E_{v} = b^{\frac {m_{v}} {1 \text { mag}} + 14{,}2} \text { lx} = b^{\frac {m_{v}} {1 \text { mag}}} \cdot b^{14{,}2} \text { lx} = 10^{-\frac {2 \cdot m_{v}} {5 \text { mag}}} \cdot 10^{-\frac {142} {25}} \text { lx} \approx 2 \cdot 10^{-\frac {2 \cdot m_{v}} {5 \text { mag}}} \text { µlx}</math> Kleine scheinbare Helligkeiten verursachen also eine größere Beleuchtungsstärke als große scheinbare Helligkeiten. Besonders helle Objekte wie die Sonne, der Mond, der Planet Venus oder der hellste Stern des Nachthimmels, Sirius, erreichen sogar negative scheinbare Helligkeiten. Umgekehrt kann auch die scheinbare visuelle Helligkeit aus der Beleuchtungsstärke berechnet werden: :<math>m_{v} = \frac {-\log_{10} {\frac {E_{v}} {1 \text { lx}}}} {0{,}4} \text { mag} - 14{,}2 \text { mag} \approx \frac {-5 \cdot \log_{10} {\frac {E_{v} } {2 \text { µlx}}}} {2} \text { mag}</math> ==Beleuchtungsstrahlengänge== Ein Objekt (Gegenstand) muss beleuchtet werden, damit er mit einem Objektiv abgebildet werden kann. Der entsprechende Strahlengang mit einem Leuchtmittel (gegebenenfalls einem Reflektor zur Ausnutzung des rückwärtig abgestrahlten Lichts) und meist auch einem Kondensor zur Bündelung der beleuchtenden Strahlen heißt Beleuchtungsstrahlengang. Im Gegensatz dazu wird bei der Abbildung des Objekts mit einem Objektiv vom Abbildungsstrahlengang gesprochen. Die beiden Strahlengänge können, wie zum Beispiel bei Projektoren üblich, '''verkettet''' werden (siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Wiedergabe#Projektoren|'''Projektoren''']]). ===Kondensor=== [[Datei:Prinzip.Kondensor.png|mini|rechts|hochkant=2|'''Prinzip eines Kondensors:''' die Lichtquelle befindet sich im Brennpunkt der Kollektorlinse F_koll im Abstand f_koll von der Hauptebene H_koll, der Wärmefilter W absorbiert die Wärmestrahlung der Lichtquelle und wird durch den kühlenden Luftstrom von oben (blau) nach unten (rot) gekühlt, und die Kondensorlinse mit der Hauptebene H_kond bündelt den Beleuchtungsstrahlengang in den Abbildungsstrahlengang nach rechts.]] Ein Kondensor besteht in der Regel aus einer Kollektorlinse, die das Licht einer Lichtquelle sammelt und einer nachfolgenden Kondensorlinse, die das gesammelte Licht in eine Kreisfläche bündelt. In Beleuchtungsstrahlengängen kann eine einfache '''Kollektorlinse''' eingesetzt werden, um ähnlich wie bei einem optisch korrigierten Kollimator eine punktförmige Lichtquelle ins Unendliche abzubilden. Eine nachfolgende lichtsammelnde '''Kondensorlinse''' kann im sich anschließenden konvergenten Strahlengang ein Objekt beleuchten und ähnlich wie bei einem optisch korrigierten Objektiv ein Bild der Lichtquelle erzeugen. Das zu beleuchtende Objekt wird in der Regel dicht hinter die Kondensorlinse gebracht, deren bildseitige Oberfläche oft plan ist. Die Lichtquelle wird im Beleuchtungsstrahlengang eines verketteten Strahlengangs in die Hauptebene des Objektivs des nachgeschalteten Abbildungsstrahlengangs abgebildet, damit die Lichtquelle in der Abbildung des Objekts nicht zu sehen ist und der Bildwinkel des Objektivs beim Abblenden in der Hauptebene des Objektivs nicht beschnitten wird. Die optische Güte solcher Kollektor- und Kondensorlinsen muss in der Regel nicht übermäßig groß sein, so dass diese relativ kostengünstig hergestellt werden können, wie zum Beispiel mit plankonvexen Linsen. Oft werden zwei solche plankonvexen Linsen verwendet, deren ebene Flächen nach außen gewandt sind, also mit den Scheitelpunkten der konvexen Flächen in der Mitte einander zugewandt. Zur Optimierung des Kondensors wird für die Kollektorlinse häufig eine asphärische Linse verwendet. Zwischen der Kollektor- und der Kondensorlinse befindet sich bei Lichtquellen, die auch im infraroten Wellenlängenbereich emittieren, zur Vermeidung von Wärme im nachfolgenden Abbildungsstrahlengang und im zu beleuchtenden Objekt häufig noch eine planparallele Platte mit wärmestrahlungsabsorbierenden Eigenschaften, die durch einen quer zur optischen Achse verlaufenden Luftstrom gekühlt werden kann, oder eine Küvette mit einer entsprechenden Flüssigkeit, die zum Beispiel in einem Kühlkreislauf kontinuierlich ausgetauscht wird. <gallery caption="Kondensor" mode=packed widths=480 heights=360> Condensor-1-de.svg|Schematische Darstellung des Beleuchtungssystems eines Diaprojektors (von links nach rechts):<br />Sphärischer Hohlspiegel, Leuchtmittel, sphärische Kollektorlinse, Wärmefilter, Kondensorlinse. Diaprojektor beleuchtungssystem IMGP1044.jpg|Doppelkondensor eines Diaprojektors mit asphärischer Kollektorlinse und sphärischer Kondensorlinse (von links nach rechts):<br />Sphärischer Hohlspiegel, Leuchtmittel (Halogenlampe mit Glühwendel), asphärische Kollektorlinse, Wärmefilter, Kondensorlinse, Aufnahme für ein Diapositiv. </gallery> <div style="clear:both"></div> ===Durchlicht=== [[Datei:Beleuchtung.Transmission.png|mini|links|hochkant=1.5|Beleuchtung durch Transmission]] Der verkettete Strahlengang kann zur Beleuchtung und Bildaufnahme von durchsichtigen Objekten in Transmission eingesetzt werden, wie zum Beispiel bei der Hellfeldmikroskopie. <div style="clear:both"></div> ===Auflicht=== [[Datei:Beleuchtung.Reflexion.png|mini|links|Beleuchtung durch Reflexion mit teildurchlässigem Spiegel]] [[Datei:Transmission.teildurchlaessiger.Spiegel.png|mini|rechts|hochkant=2|Helligkeit im Objektiv beziehungsweise im Bild des Objektes bei Beleuchtung mit teildurchlässigem Spiegel in Abhängigkeit vom Transmissionsgrad <math>t</math> des Spiegels]] Das Licht des Beleuchtungsstrahlengangs wird mit dem Transmissionsgrad <math>t</math> des teildurchlässigen Spiegels hindurchgelassen und mit dem komplementären Wert <math>1 - t</math> auf das Objekt reflektiert. Das Licht des Objektstrahlengangs wird ebenfalls mit dem Transmissionsgrad <math>t</math> des teildurchlässigen Spiegels hindurchgelassen, so dass für den verketteten Strahlengang insgesamt der folgende Transmissionsgrad <math>t_\text{total}</math> resultiert: :<math>t_\text{total}(t) = (1 - t) \cdot t = t - t^2</math> Die maximale Helligkeit ergibt sich dann aus der folgenden Bedingung: :<math>\frac {dt_\text{total}(t)} {dt} = 1 - 2 \cdot t = 0</math> Daraus folgt das Maximum bei <math>t = \frac {1} {2} = 0{,}5</math>, und für die maximale Transmission <math>t_\text{total}(t)</math> im verketteten Strahlengang gilt dann: :<math>t_\text{total} \left( \frac {1} {2} \right) = \frac {1} {2} - \frac {1} {4} = \frac {1} {4} = 0{,}25</math> Bei der Auflichtmikroskopie wird das Objekt meist von mehreren Seiten außerhalb des Bildwinkels oder bei verketteten Strahlengängen mit Hilfe von teildurchlässigen Spiegeln beleuchtet, und die am aufzunehmenden Objekt reflektierten Strahlen tragen in diesem Fall zur Bildgebung bei. In der Photographie werden zur Beleuchtung häufig Scheinwerfer oder Blitzlichter eingesetzt. Für Nahaufnahmen gibt es Klammer- oder Ringblitzgeräte, die außerhalb des Bildfeldes aber dennoch nahe am aufnehmenden Objektiv angebracht werden können. <div style="clear:both"></div> ===Streuung=== [[Datei:Beleuchtung.Diffusion.png|mini|links|Beleuchtung durch Diffusion (Streuung)]] Anders verhält es sich bei seitlicher Beleuchtung, wenn keine hindurchgelassenen oder reflektierten Strahlen zur Abbildung beitragen, sondern das Streulicht des aufzunehmenden Objekts verwendet wird, wie zum Beispiel in der Dunkelfeldmikroskopie oder bei optischen Computermäusen, die die Arbeitsfläche beleuchten und das Bild des Streulichts der Arbeitsfläche auswerten. Je nachdem wie groß die Streuzentren im Verhältnis zur Wellenlänge des verwendeten Lichtes sind, ergeben sich verschiedene Möglichkeiten der Streuung, von denen die wichtigsten in der folgende Tabelle dargestellt sind: {| class="wikitable" |+ Streuung von Licht !title="Art der Streuung"| Art der Streuung !title="Anwendungsfall"| Anwendungsfall !title="Beschreibung"| Beschreibung |- | Raman-Streuung || Wellenlänge deutlich größer als das Streuobjekt || Streuung an Molekülen oder Atomen durch Wechselwirkung mit den Elektronenhüllen |- | Mie-Streuung || Wellenlänge in der Größenordnung des Streuobjektes || Komplexe Verteilung des gestreuten Lichtes |- | Lichtbrechung in Kugel || Wellenlänge deutlich kleiner als das Streuobjekt || Vorwärtsstreuung in der Regel stärker als Rückwärtsstreuung |- | Thomson-Streuung || Streuung an freien Elektronen || Elastische Stöße zwischen Photonen und Elektronen mit Verlängerung der Photonenwellenlänge |} Bei der Raman-Streuung können drei Fälle unterschieden werden: {| class="wikitable" |+ Raman-Streuung !title="Art der Streuung"| Art der Streuung !title="Beschreibung"| Beschreibung |- | Rayleigh-Streuung || Wellenlänge, Kohärenz und Photonenenergie bleiben erhalten; Vorwärtsstreuung bei langwelligem Licht, Rückwärtsstreuung bei kurzwelligem Licht |- | Stokes-Streuung || Wellenlänge wird größer (Verschiebung nach rot); ein Teil der Photonenenergie wird an das Streuobjekt abgegeben |- | Anti-Stokes-Streuung || Wellenlänge wird kleiner (Verschiebung nach blau); die zusätzliche Photonenenergie wird vom Streuobjekt aufgenommen |} <div style="clear:both"></div> == Spektroskopie == Mit '''Spektroskopen''' kann Strahlung nach den Wellenlängen ihre spektralen Bestandteile zerlegt und betrachtet werden. Die dabei auftretenden Intensitätsverteilungen werden Spektren genannt. Mit '''Spektrometern''' können die Wellenlängen der Spektren quantitativ bestimmt und gemessen werden. Optische '''Prismen''' zeigen eine wellenlängenabhängige '''Brechung (Diffraktion)''' des einfallenden Lichtes. Die verwendeten optischen Gläser haben in der Regel keine lineare '''Dispersion''', so dass der Zusammengang zwischen Brechungswinkeln und Wellenlängen komplex ist. Dies erschwert die Quantifizierung der Ablenkwinkel bei vorgegebenen Wellenlängen. Prismen werden deswegen oft nur in Spektroskopen zur qualitativen Analyse eingesetzt. Optische '''Gitter''' nutzen die wellenlängenabhängige '''Beugung (Diffraktion)''' des einfallenden Lichtes an den Gitterlinien aus und können sowohl in '''Transmission''' als auch in '''Reflexion''' eingesetzt werden. <gallery perrow="2" widths="512" heights="512" caption="Beugung an einem Liniengitter"> Liniengitter.png|Bild eines Liniengitters. Beugungsgitter.svg|Beugung am optischen Liniengitter bei einer einfallenden ebenen Welle mit der Intensität <math>I_0</math>. Die Gitterkonstante <math>g</math> gibt den regelmäßigen Abstand zwischen den Gitterelementen an, der Ablenkwinkel <math>\varphi</math> gilt für abgelenkten Strahlen mit der Intensität <math>I(\varphi)</math>, der Gangunterschied <math>d</math> in Richtung einer Beugungsordnung ist ein ganzzahliges Vielfaches <math>n</math> der Wellenlänge <math>\lambda</math>. </gallery> Für die Intensität <math>I_{max}(\varphi)</math> der gebeugten Strahlen in Abhängigkeit vom Ablenkwinkel <math>\varphi</math> ergeben sich Extremwerte, wenn sich die Intensität mit dem Winkel nicht ändert: <math>\frac {dI_{max}(\varphi)} {d\varphi} = 0</math> Dies ist genau dann der Fall, wenn die gebeugten Wellen in der Richtung des Ablenkwinkels <math>\varphi</math> im Unendlichen destruktiv oder konstruktiv interferieren. Bei den Maxima mit '''konstruktiver Interferenz''' muss die Phasenlage der an allen Gitterlinien gebeugten Strahlen ein ganzzahliges Vielfaches <math>n</math> der Wellenlänge <math>\lambda</math> sein: :'''Maxima''' im Beugungsbild: <math>d_{max,n} = n \cdot \lambda</math> mit <math>n = 0, 1, 2, \dots</math> Das n-te Maximum entspricht hierbei der n-ten '''Beugungsordnung''' im Beugungsbild des Gitters. Bei den Minima mit '''destruktiver Interferenz''' muss die Phasenlage der an allen Gitterlinien gebeugten Strahlen ein um eine halbe Wellenlänge verschobenes ganzzahliges Vielfaches <math>n</math> der Wellenlänge <math>\lambda</math> sein: :'''Minima''' im Beugungsbild: <math>d_{min,n} = \left( n + \frac {1} {2} \right) \cdot \lambda</math> mit <math>n = 0, 1, 2, \dots</math> Bei Spektrometern mit optischen Gittern, die senkrecht zur Oberflächennormalen mit einer ebenen Welle bestrahlt werden, ist der Zusammenhang zwischen Beugungswinkel der ersten Beugungsordnung <math>\varphi_1</math> und Wellenlänge <math>\lambda</math> allein von der Gitterkonstante <math>g</math> des Gitters, also vom Abstand der benachbarten Gitterlinien abhängig: :<math>d_{max,1} = \lambda = g \cdot \sin \varphi_1</math> :<math>\varphi_1 = \arcsin \frac {\lambda} {g}</math> Für eine beliebige Beugungsordnung <math>n</math> gilt entsprechend: :<math>d_{max,n} = n \cdot \lambda = g \cdot \sin \varphi_n</math> :<math>\varphi_n = \arcsin \frac {n \cdot \lambda} {g}</math> Bei der '''nullten Beugungsordnung''' ist der Ablenkwinkel für alle Wellenlängen gleich Null, und demzufolge tritt hier keine Dispersion auf. Je mehr Linien des Gitters zur Beugung beitragen, desto ausgeprägter erscheinen die Maxima im Beugungsbild: [[Datei:Animation-Gitterbeugung-Rot-Blau.ogv|mini|center|hochkant=2|Interferenzmuster eines optischen Gitters für blaues und rotes Licht bei 2 bis 30 Gitterlinien.]] === Ausführungsbeispiele === <gallery caption="Historische Geräte zur Vermessung von Lichtspektren" widths=600 heights=400 mode=packed> Fraunhofer.Spektrometer.png|Das Spektrometer von '''Joseph Fraunhofer''' (1787–1826) von 1814 zur Bestimmung des Brechungs- und Farbzerstreuungsvermögens verschiedener Glasarten stand auf einem Goniometer und verwendete ein optisches Prisma. Oben von links nach rechts: 60°-Dreiecksprisma, Objektiv, Okular. Angstrom-Spectrometer-1868.jpg|Das Spektrometer von '''Anders Jonas Ångström''' (1814–1874) von 1868 stand auf einem Goniometer und verwendete ein Transmissionsgitter. Oben von links nach rechts: Spalt, Kollimator, Beugungsgitter, Objektiv, Okular. </gallery> [[Datei:Spektrum.Prisma.Balmer-Serie.png|mini|center|hochkant=4|Gewinnung des '''Wasserstoffemissionsspektrums''' mit einem optischen '''Dreiecksprisma''': Die '''Lichtquelle''' auf der linken Seite mit zum Leuchten angeregtem Wasserstoff wird über eine Sammellinse ('''Kondensor''') in einen '''Spalt''' abgebildet. Der Spalt wird durch eine '''Kollimatorlinse''' nach Unendlich abgebildet, und diese Strahlen werden durch ein '''Dreiecksprisma''' geschickt. Dieses Prisma '''bricht''' das einfallende Licht je nach Wellenlänge in verschiedene Richtungen ('''Dispersion'''); rotes, langwelliges Licht wird schwächer gebrochen als violettes, kurzwelliges Licht. Mit einer weiteren Linse ('''Objektiv''') werden die fünf sichtbaren Spektrallinien der '''Balmer-Serie''' auf einen '''Projektionsschirm''' (rechts unten) abgebildet, wo sie in der geometrischen Form des Spalts erkennbar werden. Je nach wellenlängenabhängigem Brechungsindex des optischen Glases, aus dem das Prisma besteht, ergeben sich für verschiedene Wellenlängen unterschiedliche Brechungswinkel.]] [[Datei:visible spectrum of hydrogen.jpg|mini|center|hochkant=4|Der sichtbare Bereich des '''Wasserstoffspektrums''' mit den Linien der '''Balmer-Serie'''. Die Wellenlängen des emittierten Lichtes werden von links (violett) nach rechts (rot) immer größer, die Frequenzen immer kleiner. Solche Lichtspektren können durch die wellenlängenabhängige Ablenkung von Licht, das aus einer Lichtquelle stammt, an einem optischen Prisma oder einem optischen Gitter gewonnen werden (siehe die beiden Bilder oben).]] [[Datei:Spektrum.Transmissionsgitter.png|mini|center|hochkant=4|Gewinnung des Emissionsspektrums mit einem '''Transmissionsgitter''': Die '''Lichtquelle''' auf der linken Seite wird über eine Sammellinse ('''Kondensor''') in einen '''Spalt''' abgebildet. Der Spalt wird durch eine '''Kollimatorlinse''' nach Unendlich abgebildet, und diese Strahlen werden durch ein '''Transmissionsgitter''' geschickt. Dieses Transmissionsgitter '''beugt''' das einfallende Licht je nach Wellenlänge in verschiedene Richtungen ('''Diffraktion'''), wobei nur die erste und die zweite Beugungsordnung beispielhaft dargestellt sind; violettes, kurzwelliges Licht wird schwächer gebeugt als rotes, langwelliges Licht. Mit einer weiteren Linse ('''Objektiv''') werden drei Spektrallinien (rot, türkis, violett) auf einen '''Projektionsschirm''' (rechts) abgebildet, wo sie in der geometrischen Form des Spalts erkennbar werden. Je nach Gitterkonstante des optischen Gitters ergeben sich für verschiedene Wellenlängen unterschiedliche Beugungswinkel.]] ==Lichtquellen== [[Datei:Lichtspektrum.G9.P1128463.jpg|mini|rechts|hochkant=2|Photographisch aufgenommenes Sonnenlichtspektrum.]] Als Lichtquellen werden im Allgemeinen sehr helle Leuchtmittel verwendet, wie zum Beispiel Kohlebogenlampen, Halogenmetalldampflampen oder Hochleistungs-Leuchtdioden. Da die Projektionen meist von Menschen betrachtet werden, die weißes Licht von thermischen Strahlern gewohnt sind, ist es hierbei wichtig, dass das weiße Lichtspektrum ungefähr dem kontinuierlichen Sonnenlichtspektrum entspricht. Sichtbare Spektrallinien, wie sie bei Leuchtdioden oder Niederdruck-Gasentladungslampen auftreten, können hierbei als sehr störend empfunden werden und werden daher mit Leuchtstoffen verändert und verbreitert. Diese Leuchtstoffe verändern dabei gegebenenfalls auch die Wellenlänge des einfallenden Lichtes, um ein mehr oder weniger kontinuierliches Spektrum zu erzeugen. Bei getakteten Lichtquellen, bei denen zu einem Zeitpunkt immer nur innerhalb eines begrenzten Längenwellenbereichs beleuchtet wird (Drehscheiben mit Farbsegmenten oder nacheinander ein- und ausgeschaltete Leuchtdioden oder Laser) können nicht nur fluoreszierende (kurzes Nachleuchten), sondern auch phosphoreszierende Leuchtstoffe (langes Nachleuchten) eingesetzt werden, um für menschlichen Betrachter eine bessere Farbmischung hervorzurufen. Manche Menschen können selbst bei mehreren Dutzend Farbwechseln pro Sekunde in bestimmten Situationen (zum Beispiel an kontrastreichen Kanten oder sich schnell bewegenden Bildern) die verschiedenen Einzelfarben unterscheiden, so dass es bei der Wahrnehmung zum sogenannten '''Regenbogeneffekt''' kommt. ===Lichtspektren=== Je nach Erzeugungsart des Lichtes gibt es eine Reihe von typischen Merkmalen der dazugehörigen Lichtspektren. Diese Spektren enthalten häufig unsichtbare Anteile im Ultravioletten (unterhalb von 380 Nanometern) oder im Infraroten (oberhalb von 780 Nanometern). Im Folgenden werden einige häufig auftretende Lichtspektren qualitativ erläutert. <gallery caption="Spektren verschiedener künstlicher Lichtquellen" widths=300 heights=200 perrow=2> Spektrum.Laser.gruen.png|Grüner Laser Spektrum.Leuchtdiode.blau.png|Blaue Leuchtdiode Spektrum.Leuchtstoff.gelb.png|Gelblicher Leuchtstoff Spektrum.Leuchtdiode.blau.mit.Leuchtstoff.gelb.png|Blaue Leuchtdiode mit einem gelblich leuchtenden Leuchtstoff Spektrum.Gasentladung.Quecksilber.png|Gasentladung mit Quecksilberdampf Spektrum.Gas.entladungslampe.mit.Leuchtstoff.png|Mit einem gelblich leuchtenden Leuchtstoff beschichtete Gasentladungslampe mit Quecksilberdampf </gallery> Die Verteilung der Intensitäten für verschiedenen Wellenlängen kann auch in den Absorptionsspektrum des Lichtes der Sterne untersucht werden. Unsere Sonne besteht zu einem sehr großen Teil aus Wasserstoff, dessen Spektrallinien im Sonnenlicht zu finden sind. Aber auch die chemischen Elemente Sauerstoff, Natrium, Kalzium, Magnesium und Eisen sind im optischen Bereich nachzuweisen. Der englische Arzt, Physiker und Chemiker '''William Hyde Wollaston''' (* 1766; † 1828) hat 1802 als erster die besonders stark ausgeprägten dunklen Linien im Sonnenspektrum entdeckt und als Trennlinien zwischen den natürlichen Farben beschrieben. Sie wurden unabhängig von ihm 1814 auch vom deutschen Optiker und Physiker '''Joseph von Fraunhofer''' (* 1787; † 1826) entdeckt und quantitativ untersucht. Ihm zu Ehren werden sie Fraunhofer-Linien genannt. Zur Unterscheidung wurden die zahlreichen Absorptionslinien mit Buchstaben gekennzeichnet – starke Linien mit Großbuchstaben und schwächere Linien mit Kleinbuchstaben. Für noch genauere Differenzierungen werden zusätzliche Ziffern verwendet: [[Datei:Fraunhofer_lines.svg|links|mini|hochkant=3|Fraunhofer-Linien im sichtbaren Bereich.]] [[Datei:Sonnenspektrum.png|links|mini|hochkant=3|Mit einem Spektrometer gemessene Fraunhofer-Linien im sichtbaren terrestrischen Sonnenspektrum zur Mittagszeit.]] {| class="wikitable" style="text-align:center;" |+ Typische Fraunhofer-Linien |- ! Linie ! Chemisches Element ! Wellenlängen in Nanometer |- | A | Sauerstoff | 759,4 |- | B | Sauerstoff | 686,7 |- | C | Wasserstoff | 656,3 |- | a | Sauerstoff | 627,7 |- | D_1,2,3 | Natrium, Helium | 587,6, 589,0, 589,6 |- | E | Eisen | 527,0 |- | b_1,2,3,4 | Magnesium, Eisen | 516,7, 516,9, 517,3, 518,4 |- | F | Wasserstoff | 486,1 |- | d | Eisen | 466,8 |- | e | Eisen | 438,4 |- | G | Eisen | 430,8 |- | h | Wasserstoff | 410,2 |- | H | Kalzium | 396,8 |} <div style="clear:both"></div> ====Schwarze Körper==== [[Datei:Hohlraumstrahlung.Temperatur.png|mini|rechts|hochkant=2|Minimale temperaturabhängige Wellenlängen mit einer Emission von Hohlraumstrahlung, die im Wellenlängenintervall von einem Nanometer geringer ist als ein Photon pro Sekunde und pro Quadratmeter emittierender Fläche. Die hellblaue Fläche repräsentiert die bei der Hohlraumstrahlung emittierten Wellenlängen.<br/>FIR = fernes Infrarot, NIR= nahes Infrarot, UV = Ultraviolett, EUV = extremes Ultraviolett.]] Schwarze Körper reflektieren kein Licht, sondern emittieren nur aufgrund ihrer Körpertemperatur Photonen. Das Licht hat eine kontinuierliche Verteilung, und sehr große Teile des kontinuierlichen Spektrums liegen im Infraroten. Die spektrale spezifische Ausstrahlung <math>M^0_{\lambda}</math> kann mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit <math>c_0</math>, dem Planckschen Wirkungsquantum <math>h</math> und der Boltzmann-Konstante <math>k</math> nach dem Planckschen Strahlungsgesetz in Abhängigkeit der Wellenlänge <math>\lambda</math> und der Temperatur <math>T</math> in Watt pro Sekunde und pro Quadratmeter emittierende Fläche sowie pro Nanometer Wellenlängenintervall berechnet werden: :<math>M^0_{\lambda}(\lambda, T) = \frac {2 \, \pi \cdot h \cdot c_0^2} {\lambda^5 \cdot \left( e^{\frac {h \cdot c_0} {\lambda \cdot k \cdot T}} - 1 \right)} \cdot 10^{-9} \frac {\text{m}} {\text{nm}}</math> Der spektrale spezifische Photonenstrom <math>\Phi^0_{\lambda}</math> kann unter Berücksichtigung der Photonenenergie <math>E_{Ph}</math> in Photonen pro Sekunde und pro Quadratmeter emittierende Fläche sowie pro Nanometer Wellenlängenintervall angegeben werden: :<math>E_{Ph}(\lambda) = \frac {h \cdot c_0} {\lambda}</math> :<math>\Phi^0_{\lambda}(\lambda, T) = \frac {M^0_{\lambda}(\lambda, T)} {E_{Ph}(\lambda)} = \frac {2 \, \pi \cdot c_0} {\lambda^4 \cdot \left( e^{\frac {h \cdot c_0} {\lambda \cdot k \cdot T}} - 1 \right)} \cdot 10^{-9} \frac {\text{m}} {\text{nm}}</math> Die Wellenlänge <math>\lambda_\mathrm{max}</math> der maximalen Emission von elektromagnetischer Strahlung eines Schwarzen Strahlers mit der Temperatur <math>T</math> kann mithilfe des Wienschen Versschiebungsgesetzes abgeschätzt werden: :<math>\lambda_\mathrm{max}(T) = \frac {b} {T} \approx \frac {2897800 \, \mathrm{nm \, K}} {T}</math> Die minimale Wellenlänge <math>\lambda_\mathrm{min}</math> der elektromagnetischen Strahlung eines Schwarzen Strahlers mit der Temperatur <math>T</math> in Kelvin, die im Wellenlängenintervall von einem Nanometer geringer ist als ein Photon pro Sekunde und pro Quadratmeter emittierender Fläche, kann mithilfe der folgenden Formel abgeschätzt werden: :<math>\lambda_\mathrm{min}(T) \approx 410 \text { µm} \cdot T^{-1,08}</math> Der Wirkungsgrad für sichtbares Licht von glühenden Leuchtmitteln aus Festkörpern (in der Regel werden in einem evakuierten Glaskolben wegen des hohen Schmelzpunktes Drähte aus Wolfram verwendet) ist demzufolge sehr gering und liegt typischerweise im Bereich von 5 bis 10 Prozent. Auch die Sonne ist näherungsweise ein Schwarzer Körper mit einem kontinuierlichen Spektrum, dessen maximale Intensität bei 555 Nanometern liegt (die Oberflächentemperatur und die entsprechende '''Farbtemperatur''' betragen knapp 5800 Kelvin). Das gleiche gilt für die Anoden von Kohlebogenlampen, die sich durch den Beschuss mit Elektronen aus dem Lichtbogen stark aufheizen und dadurch zum Leuchten angeregt werden. Durch Hinzufügung eines Halogens, wie zum Beispiel Iod oder Brom, kann das Metallgas in einer Glühlampe stabilisiert werden. Bei dem im Betrieb einsetzenden Wolfram-Halogen-Kreisprozess schlägt sich das unvermeidlich verdampfende Wolfram des Glühdrahtes dann nicht auf der Innenseite des Glaskolbens nieder, sondern auf dem heißen Wolframdraht. Die entsprechenden Leuchtmittel werden als Halogenlampen bezeichnet und haben eine größere Lebensdauer und einen höheren Wirkungsgrad als herkömmliche Wolframdrahtlampen. <gallery caption="Spektren Schwarzer Körper" widths=360 heights=240 perrow=2> Spektrum.Schwarzer.Koerper.3500K.png|Spektrum eines Schwarzen Körpers mit einer Oberflächentemperatur beziehungsweise Farbtemperatur von 3500 Kelvin. Black body visible spectrum.gif|Spektren und Farbeindruck von Schwarzen Körpern mit verschiedenen Farbtemperaturen in Kelvin beziehungsweise Mired ('''Mi'''cro'''re'''ciprocal '''d'''egrees). </gallery> ====Gasentladungen==== [[Datei:Geissler tubes.png|mini|rechts|hochkant=2|Verschiedene Geißler-Röhren aus der Anfangszeit im 19. Jahrhundert.]] Niederdruck-Kaltkathoden-Gasentladungsröhren konnten seit 1857 von Heinrich Geißler (1814–1879) gebaut werden und werden '''Geißler-Röhren''' genannt. Er fand ein Verfahren, um metallische Drähte in Glaskolben einzuschmelzen, die unter niedrigem Druck mit Gasen gefüllt sind. Gasentladungen erzeugen diskrete Lichtspektren mit mehreren Spektrallinien, die den Energieniveaudifferenzen der Gasatome oder Gasmoleküle entsprechen. Je heißer das leuchtende Gas ist, desto breiter werden die Spektrallinien. Solche Gasentladungslampen können verwendet werden, um farbiges Licht zu erzeugen. Hierbei werden oft Edelgase, wie Neon oder Krypton, oder Metalldämpfe verwendet, wie zum Beispiel Quecksilber oder Natrium. Findet die Gasentladung in einem durchsichtigen Gefäß statt, das mit einem Leuchtstoff beschichtet ist, können die kurzwelligen Lichtteilchen der Gasentladung eingesetzt werden, um im Leuchtstoff längerwellige Photonen zu generieren ('''Fluoreszenz'''). Je nach Abstimmung zwischen dem Gasentladungsspektrum und dem Emissionsspektrum des Farbstoffes können die spektralen Lichtverteilungen in einen sehr großen Bereich variiert und angepasst werden. Dieses Prinzip wird bei herkömmlichen Leuchtstofflampen angewendet. Bei Hochdruckgasentladungslampen befindet sich der Metalldampf (meist Quecksilber oder Natrium) während des Betriebs unter hohem Druck in einem Glaskolben, wobei während der Gasentladung hohe Temperaturen herrschen. Die Spektrallinien der Atome sind daher stark verbreitert, und hierdurch entsteht ein quasi-kontinuierliches Spektrum, so dass zur Erzeugung von weißlichem Licht auf den Einsatz von zusätzlichen Leuchtstoffen verzichtet werden kann. Bei Höchstdruckgasentladungslampen befindet sich das Gas (meist Argon oder Xenon) bereits bei Zimmertemperatur unter einem hohen Druck in einem dickwandigen Glaskolben. Wird die Gasentladung gezündet, steigt dieser Druck während des Betriebs noch weiter an und erreicht unter Umständen mehrere hundert Bar. Die Spektrallinien sind in diesem Fall so stark verbreitert, dass das resultierende Lichtspektrum dem kontinuierlichen Spektrum der Sonne recht ähnlich kommt. Ferner haben Höchstdruckgasentladungslampen in der Regel nur eine lichtemittierende Fläche von wenigen Quadratmillimetern, so dass sie als gute Annäherung an eine Punktlichtquelle verwendet werden können, was beispielsweise in Beleuchtungsstrahlengängen mit einem Kollimator wünschenswert ist. Höchstdruckgasentladungslampen werden daher sehr häufig in Projektoren mit hohem Lichtstrom eingesetzt. <div style="clear:both"></div> ====Leuchtstoffe==== Leuchtstoffe, die eine '''Lumineszenz''' zeigen, erzeugen je nach chemischer Zusammensetzung der beteiligten Farbstoffe verschiedene Lichtspektren, die meist einen größeren Wellenlängenbereich umfassen. Die Farbstoffmoleküle des Leuchtstoffes werden durch Licht bestimmter Wellenlänge angeregt und emittieren bedingt durch inelastische Verluste innerhalb der Moleküle Photonen größerer Wellenlänge ('''Stokes-Lumineszenz'''). Besteht die Anregung der Farbstoffmoleküle nur für kurze Zeit, wird von '''Fluoreszenz''' gesprochen. Hier finden sowohl die Anregung als auch die Emission meist innerhalb von Mikrosekunden über erlaubte Übergänge in den Elektronenniveaus statt. Die Bezeichnung leitet sich vom chemischen Stoff Calciumfluorit (CaF₂) ab, das im Mineral Fluorit (auch Flussspat)) enthalten ist, bei welchem dieser Effekt häufig durch blaues Leuchten beobachtet werden kann, wenn es mit ultraviolettem Licht bestrahlt wird. Geben die Elektronen ihre Anregungsenergie indirekt ab, dauert der Vorgang deutlich länger und kann stundenlang anhalten. In diesem Fall wird von '''Phosphoreszenz''' gesprochen. Der Name leitet sich vom chemischen Element Phosphor ab, bei dem ein solcher Effekt beobachtet werden kann, der allerdings auf der Aktivierung chemischer Reaktionen beruht. Dennoch hat sich der Begriff Phosphoreszenz allgemein für den Effekt des langen Nachleuchtens von Stoffen etabliert. Leuchtstoffe können also auch durch ultraviolettes Licht zum Leuchten im sichtbaren Bereich angeregt werden. Solche Farbstoffe werden beispielsweise eingesetzt, um weißes Papier oder weiße Textilien im Sonnenlicht heller erscheinen zu lassen. Der ultraviolette Anteil im Sonnenspektrum wird durch geeignete Farbstoffe (Aufheller) in sichtbare Anteile umgewandelt. Im Extremfall kann der von einer solchen Oberfläche reflektierte sichtbare Lichtstrom <math>\Phi_v</math> sichtbaren Lichts sogar stärker sein, als der sichtbare Lichtstrom der zur Beleuchtung verwendeten Lichtquelle, da die elektromagnetischen Strahlungsleistung <math>\Phi_e</math> unsichtbare Anteile enthält, die in sichtbare Anteile umgewandelt werden. Wird eine Lichtquelle, die im Blauen oder Ultravioletten kurzwellig emittiert, mit einem geeigneten Leuchtstoff kombiniert, der bei einer längeren Wellenlänge luminesziert, so entsteht ein Lichtspektrum, das auch längere sichtbare Wellenlängen enthält und einem menschlichen Beobachter dann je nach Leuchtstoff mehr oder weniger weißlich erscheinen kann. Dieses Prinzip wird bei zahlreichen Leuchtmitteln für die Beleuchtung von Räumen oder auch für Projektoren und Taschenlampen angewendet. Als Lichtquelle werden hierfür sehr häufig leistungsstarke, im Blauen emittierende Leuchtdioden verwendet. Für sehr lichtstarke Leuchtmittel werden zunehmend auch im Blauen emittierende Laser verwendet. Die Leistungsdichte im Leuchtmittel kann dann allerdings so groß sein, dass es nach einer gewissen Benutzungsdauer zu einer Beeinträchtigung oder gar der Zerstörung des Leuchtstoffes oder seines Trägermaterials kommen kann. Falls die Energiedichte so groß werden kann, dass eine thermische Beeinträchtigung des Leuchtstoffes droht, besteht die Möglichkeit, die im Leuchtstoff deponierte Energie räumlich zu verteilen, indem der Leuchtstoff auf einen beweglichen Träger aufgebracht und dieser während der Lichterzeugung bewegt wird, wie zum Beispiel mit einer rotierenden Trägerscheibe. Wenn das Lichtspektrum des Leuchtmittels zeitlich nicht konstant sein muss oder soll, können trotz konstanter Beleuchtung durch die Lichtquelle bei beweglichen Leuchtstoffträgern mehrere nebeneinanderliegende Leuchtstoffe mit verschiedenen Eigenschaften kombiniert werden. <div style="clear:both"></div> ====Leuchtdioden==== [[Datei:RGB LED 5mm.jpg|mini|rechts|hochkant=1.5|Beispiel eines optischen Bauelements mit drei '''Leuchtdioden''', die die Farben Rot, Grün und Blau emittieren.]] Leuchtdioden erzeugen monochromatisches Licht, dessen Verteilung sich durch eine geringe Bandbreite von typischerweise 20 bis 40 Nanometern auszeichnet. Je heißer die Leuchtdiode im Betrieb ist, desto breiter wird die Spektrallinie. Je nach Kühlung der Leuchtdiode kann diese Bandbreite begrenzt oder sogar herabgesetzt werden. Die Farbe von Leuchtdioden hängt vom verwendeten Halbleiter ab, und die verfügbaren Wellenlängen liegen im Bereich zwischen 200 und 1000 Nanometern. Bei der Wellenlänge um 555 Nanometer, im Grünen, bei der die Sonne ihre maximale Emissionsintensität erreicht, ist der Wirkungsgrad der im Markt angebotenen Leuchtdioden nur gering ("green gap"). Daher ist es schwierig, helle Lichtquellen mit den drei Primärfarben rot, grün und blau mit Leuchtdioden zu kombinieren. Aus diesem Grund ist es üblich, die langwelligen Anteile in einem Lichtspektrum, das ausschließlich mit hellen blauen Leuchtdioden erzeugt werden soll, durch die Kombination der Leuchtdioden mit einem Leuchtstoff zu generieren. <div style="clear:both"></div> ====Laser==== [[Datei:Optischer resonator.png|mini|rechts|hochkant=2|Optischer Resonator eines Lasers mit einem Lasermedium, das durch externes Licht gepumpt wird, und zwei Spiegeln.]] Laser erzeugen monochromatisches Licht, dessen Verteilung sich durch eine sehr geringe Bandbreite auszeichnet. Das Lasermedium kann beispielsweise durch von außen in das Lasermedium einfallendes Licht mit Energie versorgt werden, so dass die Elektronen der Atome oder Moleküle im Lasermedium angeregte Energiezustände einnehmen können. Wenn die Elektronen in den Atomhüllen spontan von ihren angeregten Zuständen in ihre Grundzustände zurückfallen, strahlen sie die dabei freiwerdende diskrete Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung ab (spontane Emission). Ein Photon mit dieser Energie ist in der Lage, ein weiteres angeregtes mit dieser Energie zum Zurückfallen in den Grundzustand zu zwingen (induzierte Emission). Das ursprüngliche und das neue Photon zeichnen sich durch ihre Kohärenz aus. Dies bedeutet, dass sie siech nicht nur beide mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen, sondern auch die gleiche Energie, Frequenz, Wellenlänge, Polarisationsrichtung und Phasenlage haben. Werden solche Photonen zwischen zwei gut parallel ausgerichteten Spiegeln hin und her reflektiert, verstärken sich die kohärenten Lichtwellen bei jedem Durchgang durch das angeregte Lasermedium. Ist der eine der beiden Spiegel teildurchlässig, so bildet das dort ausgekoppelte Licht einen intensiven Laserstrahl. Die Energie kann dem Lasermedium durch elektromagnetische Strahlung zugeführt werden ("pumpen"), oder das Lasermedium wird mit einer Gasentladung selbst angeregt. In Halbleiterlasern wird die Energie in elektrischer Form durch einen Stromfluss zwischen den dotierten Halbleiterschichten zugeführt. <div style="clear:both"></div> ===Divergenz=== ====Geometrische Divergenz==== [[Datei:Divergenz.geometrisch.png|mini|Zur geometrischen Divergenz]] Ohne Berücksichtigung von Beugungseffekten breiten sich die Randstrahlen eines Strahlenbündels vom Ursprung (<math>z = 0</math>, <math>w = 0</math>) entlang der optischen z-Achse geradlinig aus (siehe Abbildung). In diesem Fall kann die '''geometrische Divergenz''' des Strahlenbündels <math>\theta</math> mit HIlfe eines an der Stelle <math>z_0</math> gemessenen Strahlradius <math>w_0</math> wie folgt angegeben werden (die Näherung gilt für kleine Divergenzwinkel im Bogenmaß): :<math>\theta = \arctan \frac {w_0} {z_0} \approx \frac {w_0} {z_0}</math> <div style="clear:both"></div> ====Gaußsche Divergenz==== [[Datei:Divergenz.Gauss-Strahl.png|mini|hochkant=2|Zur Gaußschen Divergenz]] Bei kleinen Strahldurchmessern muss die Beugung berücksichtigt werden. Das Strahlprofil ist hierbei nicht mehr scharf begrenzt, sondern bildet ein Gaußsches Profil (Glockenkurve) mit dem Maximum der Lichtintensität auf der optischen Achse. Dies bedeutet jedoch, dass der Strahl senkrecht zur Ausbreitungsrichtung unendlich ausgedehnt ist. Für mathematische Berechnungen wird üblicherweise der Randstrahl verwendet, bei dem die Amplitude der Lichtwelle mit der Wellenlänge <math>\lambda</math> um den Faktor <math>\frac {1} {e}</math> beziehungsweise bei dem die Intensität um den Faktor <math>\frac {1} {e^2}</math> abgenommen hat. Befindet sich die engste Stelle eines Strahlenbündels, die sogenannte Strahltaille mit dem Durchmesser <math>2 \cdot w_0</math>, im Ursprung eines Zylinderkoordinatensystems (<math>z = 0</math>) und breitet sich das Licht in Richtung der optischen z-Achse durch ein Medium mit der Brechzahl <math>n</math> aus (siehe Abbildung), heißt die Länge entlang der optischen Achse, bei der der Lichtstrahl die doppelte Querschnittsfläche beziehungsweise das Wurzel-2-fache des Durchmessers der Strahltaille erreicht hat, '''Rayleigh-Länge''' <math>z_0</math>: :<math>z_0 = \frac {n \cdot \pi \cdot w_0^2} {\lambda}</math> Daraus ergibt sich die '''Gaußsche Divergenz''' <math>\theta (z)</math> für paraxiale Strahlen: :<math>\theta (z) = \arctan \left( \frac {w_0} {z} \sqrt {1 + \left( \frac {z} {z_0} \right) ^2} \right) = \arctan \left( \frac {w_0} {z} \sqrt {1 + \left( \frac {\lambda \cdot z} {n \cdot \pi \cdot w_0^2} \right) ^2} \right)</math> Im Fernfeld (also für <math>z \gg w_0</math>) vereinfacht sich diese Beziehung zu: :<math>\lim_{z \to \infty} \theta (z) = \theta = \arctan \frac {\lambda} {n \cdot \pi \cdot w_0}</math> Falls die Wellenlänge hinreichend klein gegenüber dem Durchmesser der Strahltaille ist (also für <math>\lambda \ll w_0</math>) und <math>\theta</math> im Bogenmaß bestimmt ist, vereinfacht sich diese Gleichung noch weiter zur folgenden Näherung: :<math>\theta \approx \frac {\lambda} {n \cdot \pi \cdot w_0}</math> <div style="clear:both"></div> ====Strahldivergenz==== Die '''Strahldivergenz''' <math>\Theta</math> ist definitionsgemäß doppelt so groß wie die Divergenz <math>\theta</math> und beschreibt den Winkel zwischen gegenüberliegenden Randstrahlen: :<math>\Theta = 2 \cdot \theta</math> ==Projektionen== ===Kontrastverhältnis=== Bei Projektoren wird häufig das einfache Verhältnis <math>K</math> zwischen der größten Leuchtdichte <math>L_{max}</math> und der kleinsten Leuchtdichte <math>L_{min}</math> angegeben (siehe auch Kapitel [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Leuchtdichte|Leuchtdichte]]), die in der Projektionsebene erreicht werden können: :<math>K = \frac {L_{max}} {L_{min}}</math> Dieses Kontrastverhältnis steht folgendermaßen in Bezug zu Modulation <math>M</math>: :<math>K = \frac {1 + M} {1 - M}</math> beziehungsweise <math>M = \frac {K - 1} {K + 1}</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Grundlagen#Modulation|Modulation]] Es ist zu beachten, ob die minimale und maximale Helligkeit gleichzeitig an verschiedenen Stellen einer Projektion oder mit verschiedenen Helligkeitseinstellungen des Gerätes in zwei verschiedenen Projektionen gemessen wurden. Manche Geräte haben im Objektiv eine gesteuerte Blende, mit denen die Gesamthelligkeiten der jeweils zu projizierenden Bilder entsprechend ihrer Bildinhalte in Echtzeit angepasst werden können, um den Kontrast aufeinanderfolgender Bilder zu erhöhen. ===Lichtstrom=== Zur Ermittlung des Lichtstroms eines Projektors <math>\Phi_v</math> werden in <math>N</math> angrenzenden Feldern die <math>N</math> Beleuchtungsstärken <math>E_{v,i}</math> an der Stelle des Projektionsschirms bestimmt, auf die dazugehörigen Flächeninhalte <math>A_{i}</math> bezogen und über die gesamte Projektionsfläche summiert. :<math>\Phi_v = \sum_{i=1}^N \left( {E_{v,i}} \cdot {A_{i}} \right)</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Lichtstrom|Lichtstrom]] [[Datei:Lichtstrommessung.Projektionsebene.png|mini|Beispiel einer Lichtstrombestimmung mit drei mal drei gleich großen, aneinandergrenzenden rechteckigen Teilflächen <math>A_{i}</math> mit neun Messpunkten in den Schwerpunkten der Teilflächen bei rechteckiger Projektion]] Werden wie in der Norm DIN EN 61947 - Teil 1 <math>N</math> '''gleich große''', angrenzende Teilflächen <math>A_{i}</math> mit der Gesamtfläche :<math>A = \sum_{i=1}^N A_{i} = N \cdot A_{i}</math> beziehungsweise <math>A_{i} = \frac {A} {N} = constans</math> betrachtet, vereinfacht sich die Formel für den Lichtstrom zu: :<math>\Phi_v = \frac {A} {N} \cdot {\sum_{i=1}^N E_{v,i}} = {A} \cdot \frac {\sum_{i=1}^N E_{v,i}} {N} = {A} \cdot \bar {E}_{v,i}</math> Siehe hierzu auch: [[Digitale_bildgebende_Verfahren:_Beleuchtung#Beleuchtungsstärke|Beleuchtungsstärke]] [[Datei:Lichtstrommessung.Kreis.png|miniatur|Beispiel einer Lichtstrombestimmung mit neun gleich großen, aneinandergrenzenden Teilflächen <math>A_{i}</math> mit neun Messpunkten in den Schwerpunkten der Teilflächen bei kreisförmiger Projektion]] Nicht nur bei rechteckigen Projektionen, sondern auch bei kreisförmigen Projektionen kann die Kreisfläche zur Lichtrommessung entsprechend in neun gleich große Teilflächen aufgeteilt werden. Die Teilflächen sind in diesem Fall gleich, wenn die Radien im Verhältnis <math>1 : \sqrt {5} : \sqrt {9}</math> stehen. Die Messungen finden dann in den Schwerpunkten der Teilflächen statt, die auf Kreisradien im Verhältnis <math>0 : \sqrt {3} : \sqrt {7}</math> liegen. ==== Erforderlicher Lichtstrom ==== Wenn eine Projektionsfläche mit dem Flächeninhalt <math>A</math> durch eine vorgegebene Hintergrundbeleuchtung mit der Beleuchtungsstärke <math>E_{v, \text{Hintergrund}}</math> erhellt ist, kann der erforderliche Lichtstrom eines Projektors <math>\Phi_v</math> aus dem gewünschten Kontrastverhältnis <math>K</math> beziehungsweise aus der gewünschten Modulation <math>M</math> berechnet werden: :<math>\Phi_v = E_{v, \text{Hintergrund}} \cdot A \cdot K = E_{v, \text{Hintergrund}} \cdot A \cdot \frac {1 + M} {1 - M}</math> <noinclude> {{:Digitale_bildgebende_Verfahren/ Navigation}} </noinclude> sm35bzkljp10kzv296tzqnrn4g1yswx 0 117878 1088507 1088490 2026-06-30T03:57:46Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ ::des:: hinzugefügt 1088507 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">(sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden)</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">(kosmologischen, teleologischen etc.)</span> Gottesbeweis“</span> — obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist.)</span> Beweisen kann man die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso bewiesen werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen Beweis für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und damit auch das Theorem ANSELMS)</span>, nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit mathematisch-logischer Evidenz —, widerspruchfrei und wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen seine Axiome und Definitionen, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, ohne jede Begrenzung gelten; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die analoge Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese analoge ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den absolute Vollkommenen, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. ,analog‘, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare Bestimmungen des Denkens und des Seins, die allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, notwendig ,analogisch‘ zukommen, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum Unendlichen ihrer selbst; und damit ,bezogen‘ auf GOTT, dem absolut Vollkommenen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich gegenseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''_ess‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden ,wesentlich analog‘ zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit Axiom-1 syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, ,analogisch‘ abgestuft, auf einen ,ultimativen‘ Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativen‘ Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Das Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, d.i. die Koinzidenz, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die Koinzidenz von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <span style="color:#00B000"><small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem absolut Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, wie alle Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass die ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10: im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein ist kein reales Prädikat“</span>. Das Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia úsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚usía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit Axiom-1 und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Theorem, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ Beweis für das Basis-Theorem-2. Somit ist Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">„eine Abneigung gegen das Gebet hatte“</span> und auch <span style="color:#FF6000">„nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte“</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang aus Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit ist dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie André FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘.]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 12</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome, wie GÖDEL sie konzipiert hat, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess'''x'''‘ — </span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief|11|6|EU}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, bzw. mit dem Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-,Annahme‘, als <span style="color:#FF6000">„Prämisse“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird zugleich mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-,Annahme‘, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia gehörig)</span>, bestimmt. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in Definition-3 als auch im Axiom-5 das Theorem des ARISTOTELES von der ontologischen ‚Identität‘, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''_ess'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">„Wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, das Wesen, <span style="color:#4C58FF">—_ess—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, GOTTES <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>”</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; und mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein ist kein reales Prädikat“</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚usía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚usía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia úsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,úsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span>, Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">„Notwendige Existenz“</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, syntaktisch formalisiert hat, wenn hier sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als auch das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span>, für den Dreifaltigen GOTT der Christen steht, was dann im Korollar-3, mit der Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der Koinzidenz beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">|</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span> »''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span>, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ — </span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''‘ — „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Definition ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span></div> Somit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(aus einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘ thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das mit Theorem-2, auch ein Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm.''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small> Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass der GOTT von Axiom-3 und Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' ,''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''‘, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem durch die Truppen des NEBUKADNEZAR II.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Dasein und Wesen in GOTT, ist die, für uns, <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, die äquivalent, bzw. koinzident ist zur <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Identität von Sein und Wesen in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> konkret ''':''' die, für uns, notwendige Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES Wesen ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-mit-uns''«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird, d.h. der uns und die Welt von der Korruption der Sünde und des Todes <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, ist der wirkliche und historische Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen in und durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> JESU CHRISTI.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal‘ notwendige, bzw. transzendentale, Voraussetzung, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Definition-3, und im Axiom-5; <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span> wird nur GOTT zugeordnet; vgl. auch Anhang, 3. Beweisgang, Anmerkung-4)</span>. Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche nichts mehr als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘ Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘ GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ eine <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„widerspruchsfrei möglich"</span> ist, dass es ihn gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist dieser GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, das <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span> für uns immer schon ‚da’ ist und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönender‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Wiederspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche‘ Setzung bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie sein ,Sein’-Konzept betrifft. Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der axiomatischen <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört zu den ,Transzendentalia’ in GOTT. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unendliche GOTT ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E_not) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen, '' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span>, ''dann existiert dieser GOTT'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (bzw. mit dem Begriff ,GOTT‘ im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (dieser GOTT), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, logisch richtig und sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit <span style="color:#00B000">(Natur)</span> GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘)</span> der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS, von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und aller Transzendentalien, ist, — nach HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den an sich notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Axiom-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(Korollar-3)</span>. Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für Korollar-3. Wenn im Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{ „aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{ die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{ Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{ „X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{ „X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{ Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{ hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{ Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{ „Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}} \text{ ::} & \text{ All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann } & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}} \text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder } & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}} \text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für ( ↔ )}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}} \text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧ )} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist, } & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist, } & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im } & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion } & \text{F folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang . <span style="color:#00B000"> (Im ersten Beweisgang gibt es keine Definition.)</span> Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E_not) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>. In der Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">„das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig”</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">„Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — _ess — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>”</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">„das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ist wesentlich göttlich”</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für den GOTT der Christen, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, steht, dann ist GOTT-Sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> das Wesen dieses GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— _ess‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span> ”</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang ''':''' ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{ ├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \ (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{Xx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{Xx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{ ├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich dann sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne im Kalkül zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird dann <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(im Sinne von ,Transzendentalia‘)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''_not‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''in GOTT''«</span>. Die ,Gleichwertigkeit‘, <span style="color:#00B000">(,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller ultimativen Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren Individuum-Variablen. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung der positiven allgemeinen Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine Eigenschafts-Variable durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘ Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten Eigenschaften in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, immer auch miteinander kompatibel sind. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert dagegen an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, im ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Dialog über die Vorsehung‘</big></span>'', dem Hauptwerk der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''ICH BIN der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>, ''du bist, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist er Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von Axiom-1 und Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \; \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{ ├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A → B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A → B,¬B├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{ ├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \; \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \; \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{ ├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \; \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A, B├ A ∧ B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{ ├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{ ├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein, GOTT-Sein, ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird mit Korollar-2 diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es auch in GOTT so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt, <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''_ess‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften“</span>; und auch Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt“</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ ableiten, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der als GOTT alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, als auch die Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' GOTT. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den GOTT der Christen, für den es ohne Widerspruch denkbar ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Mit dem 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und die <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A → B├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:= G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg bei GÖDEL über das modale Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als ,modal‘ wahr, bzw. als annehmbar verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> ,modal‘ wahr, bzw. annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch Definition-1 und Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl Axiom-5 als auch die Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind ,wahr‘ und annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zu Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— _not —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL postulierte und im Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört. Genauer ''':''' Sie ist die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Die Erklärung zum Axiom-4 entspricht der allgemeinen Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der Modal-Logik nach GÖDEL. Der Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang mit Axiom-4 und der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Das Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das Korollar-3 von der exklusiven Einzigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ dieses Theorem damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen Axiom-2. Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. in GOTT ,eins‘ sind. Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Fußnote zu Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Die paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in eins‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Cues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Korollar-1, <span style="color:#FF6000">„Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt“</span>, Theorem-2, <span style="color:#FF6000">„Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES“</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">„Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt“</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">„Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT“</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig schon als gegeben voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' Das Korollar-1 ist nur vom logischen Axiom-1 und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Axiom-2, abhängig. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{ ├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W)↔(A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist ganz sicher falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \ (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text { } & \text{Xx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A→B, A ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{Xx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{ ├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING; d.h. ohne das Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht prinzipiell von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz allein ist es nicht getan. Es muss auch seine Möglichkeit, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT aufgewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür eine Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(das im Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; was im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz der ,Transzendentalien‘ in der Welt ist ein allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Axiom-2 ,besagt‘, dass, allgemein, alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT ,unvergleichlich‘ ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :16: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 und zweimal Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Falsche und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel für die ,materiale Implikation‘, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' ,''GOTT ist nicht''‘. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' '',Es ist unmöglich, dass GOTT ist''‘. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von Axiom-1 und Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, aus dem Widerspruch des Gegenteils, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen Existenz jedoch schon, aus dem ,Glauben‘, angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die Koinzidenz auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Damit hat er, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Er verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist — nach KANT — ,kein reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. In GOTT ist ,Sein‘ hingegen ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns — aus Liebe — immer schon ,da‘ ist, in der ,Hypostatischen Union‘ als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit und als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht — sein Wesen.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein: GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt haben, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung''«</span> der Juden, Christen und Muslime, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt, wegen Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist Faktum, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und unlogisch ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL in seiner Bedeutung neben KOPERNIKUS. ---- Kurt GÖDEL ist schon deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch formallogisch abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den Gott der Christen“</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Im Theorem ANSELMS steht er jetzt, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse als notwendige Bedingung an erster Stelle vor sich, wie im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span>, der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist daher nicht mehr von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, muss er als logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das heißt also ''':''' der Glaube dieses Menschen ist widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird)</span>, sondern, das Theorem geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum, dass GOTT notwendig schon existiert, und beweist, dass diese Glaubens-Annahme widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als Theologe in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u>, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, an GOTT glauben. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' ---- ---- ;Fußnoten <references /> 1wdzxvpu47pee8lz71esqt90zr8dbgh 0 121616 1088510 1088489 2026-06-30T10:09:54Z Bautsch 35687 /* Sonnenuhren */ Korrekturen 1088510 wikitext text/x-wiki [[Datei:Nachmittagssonne.29.7.2024.P1033307.jpg|mini|hochkant=2|Die Nachmittagssonne am 29. Juli 2024 mit Sonnenflecken von Berlin aus gesehen.]] Die Erde umrundet die Sonne in einem Jahr. Die Sonnen umrundet auf ihrer von der Erde aus zu beobachtenden Bahn (Ekliptiklinie) die Erde einmal innerhalb eines Tages. == Der Meridian == Die '''Südrichtung''' ist so definiert, dass bedingt durch die Rotation der Erde jedes Himmelsobjekt in dieser Richtung seine größte Höhe über dem Horizont erreicht. Die Höhe wird hierbei senkrecht zum Horizont entlang des '''Meridians''' gemessen, der den Himmel im Zenit und im Nadir schneiden. Das ist besonders augenfällig bei unserer Sonne, die wie alle anderen Sterne jeden Tag genau in dieser Richtung ihren höchsten Stand erreicht. Der Zeitpunkt und Ort beim Erreichen der größten Höhe wird auch als die Kulmination eines Objektes auf dem südlichen Meridian bezeichnet. Da die Sonne stets mittags ihren höchsten Stand erreicht, wird der südliche Meridian auch '''Mittagsmeridian''' genannt. Anders als die Fixsterne ändert die '''Sonne''' ihre täglichen Aufgangs- und Untergangsrichtungen sowie die maximale Höhe über dem Horizont auf dem '''südlichen Meridian'''. Bei der '''Nordrichtung''' verhält es sich auf der nördlichen Halbkugel der Erde umgekehrt wie bei der Südrichtung: alle Himmelsobjekte erreichen hier ihre niedrigste Höhe unter dem Horizont, wo sie nicht beobachtbar sind. Auf der südlichen Halbkugel der Erde ist dies naturgemäß entgegengesetzt: jedes Objekt am Himmel erreicht im Norden seine größte Höhe über dem Horizont und im Süden seine niedrigste Höhe unter dem Horizont. Viele deutschsprachige Menschen kennen den folgenden sich reimenden Merksatz, von dem es auch etliche Abwandlungen gibt: <blockquote> Im Osten geht die Sonne auf,</br> im Süden hält sie Mittagslauf,</br> im Westen geht sie unter,</br> im Norden wird sie niemals munter. </blockquote> == Die Äquinoktien == Bei der '''Tag-und-Nachtgleiche''' im Frühjahr steht die Sonne im '''Frühlingspunkt''' auf der '''Ekliptiklinie''', und bei der Tag-und-Nachtgleiche im Herbst steht sie im '''Herbstpunkt'''. An diesen Tagen geht sie überall auf der Erde genau im Osten auf und im Westen unter, und während sie sich dann ebenfalls überall von 6&nbsp;Uhr '''morgens''' bis 18&nbsp;Uhr '''abends''' auf ihrer180&nbsp;Bogengrad langen Bahn oberhalb des Horizonts befindet, beschreitet sie ihren zwölfstündigen Tagbogen. Astronomisch werden die Tag-und-Nacht-Gleichen als '''Äquinoktien''' bezeichnet. Die folgenden beiden Bilder zeigen die Situation zur '''Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühjahr'''. Der Horizont ist auf seiner vollen Länge von 360&nbsp;Bogengrad von Norden (links) über Süden (Mitte) bis wieder nach Norden (rechts) in einer rechtwinkligen Mercator-Projektion dargestellt. Die Meridiane stehen in diesen Darstellungen senkrecht auf dem Horizont. Der Himmelsäquator hat stets dieselbe Lage. Die Ekliptiklinie ist morgens allerdings sehr flach und abends sehr steil. An diesem Morgen steht die Sonne beim Aufgang im '''Frühlingspunkt''' und an diesem Abend beim Untergang im '''Herbstpunkt'''. Zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Herbst verhält es sich genau umgekehrt, die Sonne steht morgens beim Aufgang im Herbstpunkt und abends beim Untergang im Frühlingspunkt. <gallery caption="Der Sternenhimmel auf 53&nbsp;Bogengrad nördlicher Breite zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühling mit Darstellung in Blickrichtung südlicher Horizont in Mercator-Projektion" perrow=2 widths=720 heights=300 style="text-align: center"> hozizontal.Morgen.Fruehling.png|Morgens beim Sonnenaufgang genau in Richtung Osten: flache Ekliptik (gelb), Himmelsäquator (hellblau), horizontales Koordinatensystem mit Meridian (grün). hozizontal.Abend.Fruehling.png|Abends bei Sonnenuntergang genau in Richtung Westen: steile Ekliptik (gelb), Himmelsäquator (hellblau), horizontales Koordinatensystem mit Meridian (grün). </gallery> An den beiden Tagen der Tag-und-Nacht-Gleiche kreuzt die Ekliptiklinie für jeden Beobachtungspunkt auf der Erde sowohl den Horizont als auch den Himmelsäquator genau im Osten und im Westen. Vom Äquator aus gesehen steht die '''Mittagssonne''' zu den Tag-und-Nachtgleichen genau im '''Zenit''', im Horizontsystem also genau senkrecht über einem Beobachter, und um '''Mitternacht''' genau senkrecht unterhalb eines Beobachters im '''Nadir'''. → Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Astronomische Bezugssysteme|'''Astronomische Bezugssysteme''']] == Die Sonnenwenden == Die Erde rotiert täglich einmal um ihre Rotationsachse, die zwischen dem geographischen '''Nordpol''' und dem '''Südpol''' liegt. Diese Erdachse ist um zirka 23,4&nbsp;Bogengrad zur Ekliptikebene geneigt. Da die Erdachse ihre Lage zum Fixsternhimmel nur sehr langsam und geringfügig ändert (Präzession der Erdachse), ist sie je nach Jahreszeit mehr oder weniger zur Sonne hin geneigt. Auf der zur Sonne hin geneigten Erdhalbkugel (Hemisphäre) herrscht das '''Sommerhalbjahr''', und auf der von der Sonne weg geneigten Erdhalbkugel herrscht das '''Winterhalbjahr'''. '''Mittags''' steht die Sonne für Beobachter zwischen den '''Polarkreisen''' stets am höchsten über dem Horizont und um '''Mitternacht''' am weitesten unter dem Horizont. Sie kreuzt in diesem Augenblick den senkrecht auf dem südlichen und nördlichen Horizont stehenden '''Meridian''' (Mittagslinie). Nördlich des nördlichen Wendekreises der Erdoberfläche steht sie für einen Beobachter dann genau in Richtung Süden, und südlich des südlichen Wendekreises der Erdoberfläche genau in Richtung Norden. Zwischen den beiden Wendekreisen ist die Sonne auf dem Meridian in der Nähe des Zenits zu sehen – je nach Jahreszeit entweder etwas nördlicher oder etwas südlicher. Ihren höchsten Stand erreicht die Sonne für jeden Ort auf der Erde am Mittag der '''Sommersonnenwende'''. Von der Nordhalbkugel aus gesehen steht sie dann genau in Richtung Süden, und an diesem Tag hat sie am Horizont ihre nördlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Nördlich vom nördlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht unter. Von der Südhalbkugel aus gesehen ist es umgekehrt: sie steht dann genau in Richtung Norden und hat am Horizont ihre südlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Südlich vom südlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht unter. Ihren niedrigsten Mittagsstand erreicht die Sonne zur '''Wintersonnenwende'''. Von der Nordhalbkugel aus gesehen steht sie dann ebenfalls genau in Richtung Süden, und an diesem Tag hat sie am Horizont jedoch ihre nördlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Nördlich vom nördlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht auf. Von der Südhalbkugel aus gesehen ist es wieder umgekehrt: sie steht dann genau in Richtung Norden und hat am Horizont ihre südlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Südlich vom südlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht auf. Astronomisch werden die Sonnenwenden als '''Solstitien''' bezeichnet. Der '''maximale Höhenwinkel''' über dem Horizont wird bei allen Himmelsobjekten grundsätzlich bei der Kulmination auf dem südlichen Meridian erreicht. Dieser Höhenwinkel ergibt sich aus dem zur Beobachtung gehörenden '''geographischen Breitengrad''' <math>\varphi</math> und der '''Deklination''' <math>\delta</math>, also die Höhe eines Himmelsobjektes über dem Himmelsäquator. Der Zusammenhang zwischen dem maximalen Höhenwinkel auf dem südlichen Meridian <math>h_{max,S}</math> und dem geographischen Breitengrad <math>\varphi</math> der Beobachtung kann mit Hilfe der Deklination <math>\delta</math> wie folgt hergestellt werden: :<math>h_{max,S} = (90^\circ - \varphi) + \delta</math> Daraus ergibt sich, dass bei bekannter Deklination <math>\delta</math> aus der Beobachtung des Höhenwinkels <math>h_{max,S}</math> der Breitengrad <math>\varphi</math> bestimmt werden kann: :<math>\varphi = 90^\circ + \delta - h_{max,S}</math> Ist der Breitengrad <math>\varphi</math> bekannt, kann anhand der Beobachtung des Höhenwinkels <math>{max,S}</math> die Deklination eines Himmelsobjekts <math>\delta</math> bestimmt werden: :<math>\delta = \varphi + h_{max,S} - 90^\circ</math> Bei den Tag-und-Nacht-Gleichen geht die Sonne genau im Osten auf und genau im Westen unter. Im Laufe eines Jahres pendeln ihre Auf- und Untergangspunkte symmetrisch um diese beiden Äquinoktialpunkte. Die Winkel der Auf- und Untergangspunkte können auf dem Horizont mit ihrem Azimut <math>a</math> angegeben werden, wobei die Azimute im horizontalen System von Norden (0&nbsp;Bogengrad) aus über Osten (90&nbsp;Bogengrad) nach Süden (180&nbsp;Bogengrad) und dann weiter nach Westen (270&nbsp;Bogengrad) gemessen werden: :<math>a = \arccos \frac {\sin \delta} {\cos \phi}</math> :'''Anmerkung:''' ''Die atmosphärische Refraktion vergrößert den von der Erdoberfläche aus beobachteten Höhenwinkel in der Nähe des Horizonts ein wenig. Dadurch gehen die Gestirne etwas früher auf und gehen etwas später unter als sich aus der hier durchgeführten, rein geometrischen Betrachtungsweise ergibt. Durch die Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion ergeben sich darüber hinaus in Abhängigkeit vom Winkel zwischen der Ekliptiklinie und der Horizontline auch geringfügig abweichende Azimute.'' Durch Einsetzen der entsprechenden Deklinationen der Sonne können die maximalen Höhenwinkel bei ihrer Kulmination auf dem südlichen Meridian berechnet werden, wobei <math>\varepsilon</math> für die '''Schiefe der Ekliptikebene''' (heute '''23,44&nbsp;Bogengrad''') in Bezug auf das äquatoriale System steht: Für die Sonne ergeben sich demnach die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte: {| class="wikitable" |+ Deklinationen, maximale Höhenwinkel sowie Auf- und Untergangsazimute der Sonne ! Ereignis !! Deklination der Sonne<br/><math>\delta_S</math> !! Maximaler Höhenwinkel der Sonne<br/><math>h_{max,S}</math> || Azimut des Sonnenaufgangs<br/><math>a_{A,S}</math> || Azimut des Sonnenuntergangs<br/><math>a_{U,S}</math> |- | Wintersonnenwende || <math>-\varepsilon</math> || <math>(90^\circ - \varphi) - \varepsilon</math> || <math>180^\circ - \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> || <math>180^\circ + \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> |- | Tag-und-Nacht-Gleiche || 0 || <math>(90^\circ - \varphi)</math> || <math>90^\circ</math> || <math>270^\circ</math> |- | Sommersonnenwende || <math>+\varepsilon</math> || <math>(90^\circ - \varphi) + \varepsilon</math> || <math>\arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> || <math>360^\circ - \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> |} == Schattenwurf == Die Schattenlängen und Schattenrichtungen variieren sowohl mit der Tageszeit als auch mit der Jahreszeit. Sie können im Sonnenlicht mit stabförmigen Zeigern gemessen werden, die einen Schatten mit einer bestimmten Länge werfen. Das Verhältnis zwischen der Zeigerlänge und der senkrecht zum ihm gemessenen Schattenlänge ist identisch mit dem Tangens des Höhenwinkels der Sonne. <gallery caption="Schattenlängen im Sonnenlicht" perrow=2 widths=480 heights=480> Thales_Theorem_6.svg|Die Zeigerlänge A im Verhältnis zu seiner Schattenlänge B stimmt mit der Höhe der Pyramide D im Verhältnis zu ihrer Schattenlänge C überein.<br/>Wenn der Höhenwinkel der Sonne <math>\alpha</math> von der Schattenspitze über die Spitze des Zeigers oder der Pyramide zur Horizontalen gemessen wird, gilt: <math>\frac {A} {B} = \frac {D} {C} = \tan \alpha</math> Stabdolch.Bronzezeit.Halle-Kanena,Sachsen-Anhalt.P1068175.jpg|Bronzekopf eines Stabdolchs aus der Bronzezeit (Anfang des zweiten Jahrtausends vor Christus) im Neuen Museum in Berlin. Mit dem Schattenwurf der Dolchspitze auf den Dolchstab (beim dargestellten archäologischen Fund nicht erhalten) können die Kulmination von Sonne und Mond auf dem südlichen Meridian beobachtet werden. Auf diese Weise können die Südrichtung, die Winter- und Sommersonnenwende, die Tag-und-Nacht-Gleichen sowie der ekliptikalen Breiten des Mondes inklusive der großen und kleinen Mondwenden bestimmt werden.<br/>→ Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Stabdolche|'''Stabdolche''']]. </gallery> === Sonnenuhren === Seit der Antike sind Sonnenuhren im Einsatz, um die Tageszeit, aber auch um das Datum im Jahr bestimmen zu können. Sie erzeugen zum Beispiel mit einem Schattenstab einen auf der Sonnenuhrenfläche erkennbaren Schattenzeiger. Anhand der Lage des Schattens kann auf einem dazu passenden Ziffernblatt die wahre Ortszeit abgelesen werden. Über die Länge des Schattens kann der Zeitpunkt im Kalenderjahr bestimmt werden. Aus drei Gründen kann die wahre Ortszeit von der amtlichen Uhrzeit abweichen: [[Datei:Zeitgleichung.png|mini|rechts|hochkant=3|Diagramm mit dem jährlichen Funktionsverlauf der Zeitgleichung und ihrer beiden Anteile durch die von der Abweichung einer Kreisbahn bedingte variierende Bahngeschwindigkeit der Erde (Exzentrizität) und den durch die pendelnde Achsschiefe bedingten variierenden Winkel der Erdachse zur Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne in der Ekliptik.]] # Die Sonnenuhr befindet sich nicht auf dem '''Bezugsmeridian''', der zur geltenden Zeitzone gehört. Für die mitteleuropäische Zeit (MEZ) ist dies der Längengrad bei 15&nbsp;Grad östlicher Länge, was in Deutschland zum Beispiel nur für die ostdeutsche Stadt Görlitz zutrifft. Alle anderen deutschen Städte liegen weiter westlich, so dass sie den Mittag erst nach der amtlichen Zeit 12:00 Uhr MEZ anzeigen. # Die '''Zeitgleichung''' ZG beschreibt die Abweichungen zwischen der angezeigten wahren Ortszeit (WOZ) und der mittleren Ortszeit (MOZ): <math>\mathrm {ZG} = \mathrm {WOZ} - \mathrm {MOZ}</math>. Diese Abweichungen beruhen auf zwei Ursachen: ## Die Erde umläuft die Sonnen auf einer Ellipsenbahn mit einer entsprechenden '''Exzentrizität'''. Im Perihel befindet sie sich Anfang Januar, und dann ist sie am schnellsten, so dass der nächste Mittag in etwas weniger als 24 Stunden erreicht wird. Im Aphel befindet sie sich Anfang Juli, und dann ist sie am langsamsten, so dass der nächste Mittag in etwas mehr als 24 Stunden erreicht wird. Durch diese Schwankungen ergeben sich im Laufe eines Jahres sinusförmige Abweichungen von bis zu 7,5&nbsp;Minuten. ## Der Winkel der Erdachse zur Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne ist zeitlich nicht konstant, sondern die entsprechende '''Achsschiefe''' schwankt jahreszeitlich um die rechten Winkel bei den Tag-und-Nacht-Gleichen. Durch diese Schwankungen ergeben sich im Laufe eines Jahres sinusförmige Abweichungen von bis zu 10&nbsp;Minuten. # Aufgrund von nationalen politischen Beschlüssen kann die '''amtlich geltende Uhrzeit in Zeitzonen''' festgelegt werden, die von der wahren Ortszeit abweicht. Hierbei treten folgende beiden Fälle auf: ## Der betreffende Staat wird von gar keinem Bezugsmeridian, einem anderen Bezugsmeridian oder mehreren Bezugsmeridianen durchlaufen. '''Rechtliche Normen''' definieren, welche Zeitzonen angewendet werden. ## Die Uhrzeit bekommt im Sommerhalbjahr (meist zwischen Ende März und Ende Oktober) einen Aufschlag von genau einer Stunde. In diesem Fall spricht man von der Anwendung der '''Sommerzeit''', es gilt also die mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) anstelle der mitteleuropäischen Zeit (MEZ). Die beschriebenen Effekte können zum Beispiel dazu führen, dass in Finisterre, dem westlichsten Punkt Spaniens auf 9,25&nbsp;westlicher geographischer Breite, wo die mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) gilt, die Sonne erst gegen 13:30&nbsp;Uhr (MESZ) im Süden steht und bei 12:00&nbsp;Uhr (WOZ) ihren Höchststand erreicht. In der Folge geht die Sonne zu den Tag-und-Nacht-Gleichen, wie überall auf der Erde um 6:00&nbsp;Uhr (WOZ) auf, aber erst um 7:30&nbsp;Uhr (MESZ), und wie überall auf der Erde um 18:00&nbsp;Uhr (WOZ) unter, aber erst um 19:30&nbsp;Uhr (MESZ). <div style="clear:both"></div> <gallery caption="Sonnenuhren" perrow=2 widths=480 heights=480> Maerstetten.Sankt.Jakob.Sonnenuhr.P1047273.jpg|Unter Schweizer Bundesschutz stehende Sonnenuhr am Kirchturm von Sankt Jakob in Märstetten im Kanton Thurgau aus dem Jahr 1808 von Johannes Konrad Boltshauser mit dem Spruch "Nur die heitren Stunden weis ich". Maerstetten.Kirche.Sankt.Jakob.Sonnenuhr.P1047273.png|Erläuternde Hilfslinien und Texte für die Sonnenuhr an der nach Süden ausgerichteten Turmwand der Kirche Sankt Jakob in Märstetten (Schweiz). Die Schleifen im Diagramm in Form langgezogener Achten zeigen für ein gegebenes Datum die Abweichung der wahren Ortszeit auf der Längsachse der Schleifen von der mittleren Ortszeit auf dem Schleifenrand an, die durch die Zeitgleichung gegeben ist. Die blaue Hälften beschreiben von oben nach unten das erste Halbjahr von Januar bis Juni und die orangefarbenen Hälften von unten nach oben das zweite Halbjahr von Juli bis Dezember. </gallery> Der Sonnenhöchststand wird zur wahren Ortszeit 12:00&nbsp;Uhr erreicht, wenn die Sonne auf dem südlichen Meridian kulminiert und der Schattenzeiger somit senkrecht steht. Die Tageszeiten, an den die Sonne in den Städten '''J'''erusalem, '''W'''ien, '''P'''aris und '''L'''ondon auf dem südlichen Meridian kulminiert, sind im Ziffernblatt mit den vier Anfangsbuchstaben dieser vier Städte markiert. Das Datum kann im Liniendiagramm in der Mitte der Sonnenuhr abgelesen werden. Das Sonnenlicht, das durch die zentrale Lochblende im Stern am Schattenstab auf die Turmfläche fällt, beschreibt im Laufe eines Tages Bögen, die im Monatsabstand in horizontaler Richtung aufgetragen sind. Die dargestellten Bögen entsprechen den zwölf Tagen im Sonnenjahr, an denen sich die Sonne jeweils auf der Grenze zwischen zwei Lebewesenkreiszeichen des Zodiaks befindet, die innerhalb des Ziffernblatts als astronomische Symbole und außen als bildliche Darstellungen markiert sind. Der oberste Bogen (Tropicus Capricorni(ci) = südlicher Wendekreis des Steinbocks) beschreibt den Tagesbogen bei der Wintersonnenwende, der unterste Bogen (Tropicus Cancri = nördlicher Wendekreis des Krebses) beschreibt den Tagesbogen bei der Sommersonnenwende. Die mit "Aequator" beschriftete, exakt horizontale und gerade Linie beschreibt die Tagesbögen zu den beiden Tag-und-Nacht-Gleichen im Frühling und im Herbst, bei denen die Sonne genau im Osten aufgeht und genau im Westen untergeht. Die Aufnahme wurde am 16. August (2025) gemacht, als die Sonne eine ekliptikale Länge von 143,5&nbsp;Bogengrad hatte und somit sechs Tage vor dem Erreichen der Grenze zum Sternbild Jungfrau noch im Sternbild Löwe stand. Da im Sommer aus politischen Gründen eine Stunde hochgezählt werden musste, war die amtliche Zeit zum Zeitpunkt der Aufnahme im obenstehenden Bild bereits 10:55&nbsp;Uhr (MESZ), was der mittleren Zeit auf dem Bezugsmeridian von 9:55&nbsp;Uhr (MEZ) entspricht. Auf der Sonnenuhr konnte zu diesem Zeitpunkt auf dem Schnittpunkt des Schattenzeigers mit dem Bogen des Ziffernblatts für die Stunden des Tages für die wahre Sonnenzeit die Uhrzeit 9:37&nbsp;Uhr abgelesen werden. Märstetten befindet sich knapp sechs Grad westlich vom 15-Grad-Bezugsmeridian der mitteleuropäischen Zeitzone. Dies bedeutet, dass die Sonne beim Kirchturm in Märstetten erst 23&nbsp;Minuten später als auf dem Bezugsmeridian ihren Höchststand erreicht. Die mittlere Ortszeit betrug also 9:32&nbsp;Uhr (MOZ). Aus der Zeitgleichung ergibt sich für den 16.&nbsp;August gegenüber der mittleren Ortszeit eine Verzögerung der wahren Ortszeit um knapp fünf Minuten, so dass diese 9:37&nbsp;Uhr (WOZ) betrug, was der abgelesen Uhrzeit auf dem Ziffernblatt der Sonnenuhr entspricht. == Sonnenbeobachtung == Die Sonnenbahn wurde schon in der Steinzeit von verschiedenen Orten der Erde aus regelmäßig beobachtet. Es gibt zahllose {{w|Sonnenuhr|Sonnenuhren}}, mit denen die Ortszeit abgelesen werden kann, wenn die Sonne am Himmel zu sehen ist. Im Altertum sind aber auch viele größere Anlagen errichtet worden, mit denen die Auf- und Untergangsorte am Horizont beobachtet werden konnten. Hierzu zählen beispielsweise die zahlreichen als Sonnenobservatorium nutzbaren {{w|Kreisgrabenanlage|Kreisgrabenanlagen}} oder Ringheiligtümer in Mitteleuropa genauso wie manche Tempelanlagen auf Malta. In der folgenden Tabelle sind einige aufgeführt: {| class="wikitable" style="text-align:left" |+ Astronomische Beobachtungsstätten im Altertum !Name !Art !Ort !Datierung |- |'''[[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Kalenderführung#Goseck|Kreisgrabenanlage von Goseck]]''' |Sonnenobservatorium |Burgenlandkreis, Sachsen-Anhalt, Europa |4900 vor Christus |- |'''{{w|Nabta-Playa}}''' |Steinkreis |Nubische Wüste, Afrika |um 4000 vor Christus |- |'''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Der_Kalenderstein_vom_Tempel_Mnajdra|Mnajdra]]''' |Sonnentempel / Kalenderstein |Malta, Mittelmeer |3800 vor Christus |- |'''{{w|Kokino}}''' |Megalithische Sternwarte |Staro Nagoričane, Nordmazedonien, Europa |3800 vor Christus |- |'''{{w|Stonehenge}}''' |Megalith-Bauwerk |Amesbury, Wiltshire, Süd-England |3000 vor Christus |- |'''{{w|Santa Cristina (Brunnenheiligtum)|Santa Cristina}}''' |Brunnenheiligtum |Sardinien, Mittelmeer |18. Jahrhundert vor Christus |- |'''{{w|Yazılıkaya}}''' |Sonnenheiligtum |Çorum, Türkei, Kleinasien |13. Jahrhundert vor Christus |- |'''{{w|Chanquillo}}''' |Präkolumbischer Komplex der Prä-Inka-Kulturen |Bei Casma, Peru |3. Jahrhundert vor Christus |- |'''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Das_Belchen-System|Belchen-System]]''' |Bergsystem |Vogesen, Schwarzwald, Jura |unbekannt |} qb7c93prjgnyp3t2u3a9ev1pttb1inj 0 121622 1088511 1088484 2026-06-30T10:52:53Z Bautsch 35687 /* Zur Theologie */ Kleinkram 1088511 wikitext text/x-wiki Viele Bezeichnungen für verschiedene Lehren werden mit der aus dem Altgriechischen stammenden Endung "-logie" (altgriechisch λόγος ("logos"), zu Deutsch „Lehre“) gebildet. Die folgenden Disziplinen sind in diesem Kontext hervorzuheben, da sie insbesondere für die '''{{w|Archäoastronomie}}''' wertvolle wissenschaftliche Ergänzungen zur '''{{w|Astronomie}}''' (aus den altgriechischen Wörtern ἄστρον ("ástron", zu Deutsch „Stern“) und νόμος ("nómos, zu Deutsch „Gesetz“) zusammengesetzt also „Sterngesetz“) liefern: * Die '''{{w|Archäologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort ἀρχαῖος ("archaios"), zu Deutsch „Altertumslehre“) beschäftigt sich mit der kulturellen Entwicklung der Menschheit. * Die '''{{w|Etymologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort ἔτυμος ("etymos"), zu Deutsch „Wortherkunftslehre“) untersucht die geschichtliche Herkunft von Wörtern. * Die '''{{w|Mythologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort μῦθος ("mythos"), zu Deutsch „Erzählungslehre“), die sich wissenschaftlich mit der Sagenwelt beschäftigt. * Die '''{{w|Theologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort θεός ("theós"), zu Deutsch „Gotteslehre“) mit ihren Lehren zum religiösen Glauben und dessen Glaubensdokumenten. * Die '''{{w|Kosmologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort κόσμος ("kósmos"), zu Deutsch „Weltenlehre“) ist hingegen eine Lehre, die sich im Laufe der Jahrtausende deutlich verändert hat und sich auch heute noch erheblich weiterentwickelt, da es in der modernen Astronomie und Astrophysik mit zunehmend hohem technischem Aufwand immer wieder zu neuen Erkenntnissen kommt. * Die '''{{w|Numerologie}}''' (zusammengesetzt mit dem lateinischen Wort numerus, zu Deutsch „Zahlenlehre“) mit ihren mystischen Lehren über die symbolische Zuweisung von Bedeutungen an Zahlen. Von der Antike bis ins Mittelalter galt die Beherrschung der '''{{w|sieben freien Künste}}''' als Voraussetzung für das Betreiben von Philosophie. Zu den drei "trivialen" Künsten der {{w|Grammatik}}, der {{w|Rhetorik}} und der {{w|Dialektik}} des '''{{w|Trivium|Triviums}}''' wurden die vier Künste der {{w|Musiktheorie}}, der {{w|Arithmetik}}, der {{w|Geometrie}} und der {{w|Astronomie}} zu den Künsten des '''{{w|Quadrivium|Quadriviums}}''' gezählt → siehe hierzu auch [[Quadriviale_Kuriositäten|'''Wikibook ''Quadriviale Kuriositäten''''']]. == Zur Etymologie == Die Genesis aus dem Alten Testament greift die Thematik der Verwirrung der einheitlichen Sprache in ihrem elften Kapitel auf, und beschreibt, wie die bereits sternenkundigen Menschen im Norden Mesopotamiens übermütig geworden waren und in Babel einen Turm mit einer Spitze '''bis in den Himmel''' errichten wollten:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose11 Genesis 11], Genesis, Kapitel 11, Einheitsübersetzung</ref> <blockquote> 1 Die ganze Erde hatte eine Sprache und ein und dieselben Worte.<br/> 2 Als sie ostwärts aufbrachen, fanden sie eine Ebene im Land Schinar und siedelten sich dort an.<br/> 3 Sie sagten zueinander: Auf, formen wir Lehmziegel und brennen wir sie zu Backsteinen. So dienten ihnen gebrannte Ziegel als Steine und Erdpech als Mörtel.<br/> 4 Dann sagten sie: Auf, bauen wir uns eine Stadt und einen Turm mit einer Spitze '''bis in den Himmel'''! So wollen wir uns einen Namen machen, damit wir uns nicht über die ganze Erde zerstreuen.<br/> 5 Da stieg der HERR herab, um sich Stadt und Turm anzusehen, die die Menschenkinder bauten.<br/> 6 Und der HERR sprach: Siehe, ein Volk sind sie und eine Sprache haben sie alle. Und das ist erst der Anfang ihres Tuns. Jetzt wird ihnen nichts mehr unerreichbar sein, wenn sie es sich zu tun vornehmen.<br/> 7 Auf, steigen wir hinab und verwirren wir dort ihre Sprache, sodass keiner mehr die Sprache des anderen versteht.<br/> 8 Der HERR zerstreute sie von dort aus über die ganze Erde und sie hörten auf, an der Stadt zu bauen.<br/> 9 Darum gab man der Stadt den Namen Babel, Wirrsal, denn dort hat der HERR die Sprache der ganzen Erde verwirrt und von dort aus hat er die Menschen über die ganze Erde zerstreut. </blockquote> Es mag weniger verwunderlich sein, dass Schöpfungsmythen oder Berichte über Katastrophen nicht nur einen astronomischen Hintergrund haben, sondern in völlig verschiedenen Kulturen sehr ähnliche Merkmale zeigen, wenn man sich das Folgende bewusst macht: Einige Indizien deuten auf einen für viele Kulturen gemeinsamen Ursprung hin, der auf eine tiefsinnige Betrachtung und Beobachtung des Himmelsgeschehens hindeutet. Bei bestimmten Wörtern sind die Ähnlichkeiten in vielen lebenden und toten Sprachen so auffällig, dass sie ein gemeinsames Ursprungswort (Etymon) haben und somit Kognaten sein dürften. === "Stern" === Bei den Wörtern „Gestirn“ beziehungsweise „Stern“ sind die Ähnlichkeiten in vielen lebenden und toten Sprachen sehr auffällig, und diese Verwandtschaften mögen durch die Wörter für "Stern" in den folgenden Sprachen belegt werden: * Akkadisch "istar" * Indogermanisch "ster" * Griechisch "astro" / "asteri" * Lateinisch "astrum" / "stella" * Althochdeutsch "stern(o)" * Jiddisch "shtern" * Katalanisch und Spanisch "estrella" * Portugiesisch "estrela" * Englisch "star" * Niederländisch "ster" * Westfriesisch "stjer" * Italienisch und Korsisch "stella" * Rumänisch "stea" * Sardisch "istedda" * Maltesisch "stilla" * Französisch "étoile" aus Altfranzösisch "estoile" * Galicisch "estrela" * Walisisch "seren" * Dänisch und Norwegisch "stjerne" * Schwedisch "stjärna" * Isländisch "stjarna" * Kurdisch "stêrk" * Gujarati "Tārō" * Hindi "तारा" (taara) * Marathi "तारा" (Tārā) * Nepalesisch "तारा" (Tārā) * Punjabi "ਤਾਰਾ" (Tārā) * Singhalesisch "තරුව" (taruva) * Khmer "តារា" (tara) * Armenisch "աստղ" (astgh) * Tadschikisch "ситора" (sitora) * Hausa "tauraro" * Krio "sta" === "Stier" === Eine starke Ähnlichkeit gibt es in vielen Sprachen auch zwischen den Wörtern „Stern“ und „Stier“. Der Stier bezeichnet zudem auch ein bedeutendes und eines der ältesten Sternbilder überhaupt: → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsstier|'''Himmelsstier''']]. * Akkadisch und Assyrisch "šūru" * Aramäisch "tōra" * Hebräisch "šǒr" * Ugaritisch "twr" * Arabisch "ثور" ("thawr") * Griechisch "ταύρος" ("tauros") * Lateinisch "taurus" * Althochdeutsch "stior" * Italienisch, Katalanisch und Spanisch "toro" * Galicisch "touro" * Gallisch "tarvos" * Französisch "taureau" * Schwedisch "tjur" * Dänisch "tyr" * Irisch und Gälisch "tarbh" * Wallisisch "tarw" === "Horn" === Auch die Hörner des Stieres betreffend setzen sich die vielen Ähnlichkeiten fort: * Akkadisch "carnu" * Aramäisch "qeren" * Griechisch "κόρνο" ("korno") * Lateinisch "cornu" * Maltesisch "qrun"* * Arabisch "قرون" ("qurun") * Französisch "corne" * Italienisch "corne" * Rumänisch "corn" * Haitianisch "kòn" === "Sieben" === Die in vielen Kulturen als heilig angesehene Zahl Sieben taucht im Zusammenhang mit der Astronomie als Anzahl der mit bloßem Auge sichtbaren Wandelgestirne und als Zahl der Hauptsterne in vielen Asterismen auf: * Sieben Wandelgestirne: Sonne Mond, Merkur, Venus, Mars, Jupiter, Saturn * Siebengestirn im Himmelsstier: Alkione, Atlas, Electra, Maia, Merope, Taygeta, Pleione * Sternbild Orion: Beteigeuze, Rigel, Bellatrix, Alnilam, Alnitak, Saiph, Mintaka * Asterismus Großer Wagen: Alioth, Dubhe, Alkaid, Mizar, Merak, Phekda, Megrez → Siehe auch: * [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Sieben|'''Zur Sieben''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Der_Fixsternhimmel#Die_sieben_hellsten_Objekte_der_Ekliptik|'''Die sieben hellsten Objekte der Ekliptik''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Kalenderführung#Die_Siebentagewoche|'''Die Siebentagewoche''']]. Wegen der hohen kulturellen, rituellen oder mythischen Bedeutung gibt es in vielen Kulturen und Sprachen etymologische Übereinstimmungen: * Akkadisch "sebe" * Proto-Indoeuropäisch "septḿ̥" * Hetitisch "sipta" * Proto-Germanisch "*sebun" * Althochdeutsch "sibun" * Hebräisch "sajin" (Buchstabe) oder "scheva" (Wort) * Etruskisch "semph" * Maltesisch "sebgħa" * Arabisch "sabʿa" * Griechisch "επτά" ("(h)epta") * Lateinisch "septem" * Ungarisch "het" * Proto-Balto-slawisch "septin" * Proto-Indo-Iranisch "saptá" * Katalanisch "set" * Spanisch "siete" * Galicisch "sete" * Lettisch "septiņi" * Italienisch "sette" * Französisch "sept" * Englisch "seven" * Wallisisch "saith" * Bosnisch / Kroatisch "sedam" * Rumänisch "șapte" * Irisch "seacht" * Swahili "saba" * Haitianisch "sèt" == Zur Mythologie == Seit Jahrtausenden blicken Menschen in den Nachthimmel und versuchen, die unzähligen Lichter am Firmament zu deuten. Schon früh begannen sie, die von ihnen erfundenen Sternbilder und die unablässig durch den Himmel ziehenden Wandelgestirne durch Geschichten über Götter, Helden oder andere Wesen zu interpretieren, zu erzählen und zum Teil über Jahrhunderte hinweg zu tradieren. Die '''Mythologie''' spielte dabei eine zentrale Rolle: Sie half nicht nur, eine symbolische Ordnung in den geheimnisvollen Kosmos zu bringen, sondern prägte auch viele der Bezeichnungen und Vorstellungen, die bis heute in der beschreibenden Astronomie überlebt haben. Die Verbindung zwischen Mythologie und Astronomie ist tief verwurzelt und zeugt vom menschlichen Bedürfnis, das wahrgenommene, aber dennoch unfassbare Universum durch räumliche und zeitliche Vorstellungen sowie durch Erzählungen begreifbar zu machen. Das Geschehen am Himmel musste auf die Menschen vor der Erfindung der Bewegtbilder und des Films in der späten Neuzeit sowohl attraktiv als auch spektakulär gewirkt haben. So konnten verschiedene mythische Gestalten am Himmel durch ihre scheinbaren Handlungen wahrgenommen werden. Durch die Wiederholung solcher Deutungen konnten sich besonders beliebte Mythen im kulturellen Kontext über die Zeit verfestigen, und entsprechende Riten konnten sich etablieren. Damit war auch eine wesentliche Voraussetzung für den Glauben der Menschen an eine höhere Macht oder mehrere höhere Mächte gegeben. Der Begriff '''Religion''' stammt vom lateinischen Inifiniv "relegere" ab. Dieses Verb bedeutet wörtlich übersetzt "wieder lesen" und meint im Sinne von "überdenken" das bewusste Wahrnehmen von Prophezeiungen oder Omen sowie das nachhaltige Beachten tradierter Vorschriften. '''→ Siehe:''' * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Urozean|'''Der Urozean''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Sagenwelt|'''Die Plejaden / Sagenwelt''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Mythologie|'''Der Himmelsstier''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Babylonische_Himmelswege|'''Babylonische Himmelswege''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Mithraskult|'''Mithraskult und Tauroktonie''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Höhlenmalerei_in_der_Magura-Höhle|'''Die Höhlenmalerei in der Magura-Höhle''']]. == Zur Theologie == Die '''Theologie''' (vom Altgriechischen θεός = theós = Gott und λόγος = lógos = Lehre) ist die Lehre von einem Gott oder von mehreren Göttern. Sie lehrt einen ausgeprägten religiösen Glauben, begründet rituelle Traditionen und deutet die vorhandenen Glaubensdokumente. [[Datei:Aristoteles.Theologie.png|mini|rechts|Wahrnehmbarkeit und Vergänglichkeit nach Aristoteles]] Die Theologie des '''{{w|Aristoteles}}''' (384–322) postuliert drei mögliche Substanzen:<ref>Aristoteles: ''Metaphysik'', Kapitel XII (Λ), Philosophische Theologie, Seiten 1069a –1076a</ref> {| class="wikitable" |+ Mögliche Substanzen nach Aristoteles ! Nummer !! Substanz !! Erläuterung !! Interpretationsbeispiel |- | 1. || Die sinnlich wahrnehmbare und vergängliche Substanz || Konkrete Dinge, die nur eine begrenzte Teilhabe an der Ewigkeit haben. || Lebewesen |- | 2. || Die sinnlich wahrnehmbare und unvergängliche Substanz || Konkrete Dinge, die eine unbegrenzte Teilhabe an der Ewigkeit haben. || Die sieben Wandelgestirne und die Fixsterne |- | 3. || Die sinnlich nicht wahrnehmbare und unvergängliche Substanz || Lebendiger, unbewegter Beweger, der der Ursprung aller anderen Dinge ist. || Gott |} Dieses theologische Prinzip wurde später auch von '''{{w|Thomas van Aquin}}''' (1225-1274) in seinen ''Quinque viae ad Deum'' ("Fünf Wege zu Gott") aufgegriffen: {| class="wikitable" |+ Nach dem ''Quinque viae ad Deum'' ("Fünf Wege zu Gott") von Thomas von Aquin ! Weg !! Bezeichnung !! Voraussetzung !! Feststellung !! Folgerung |- | Via&nbsp;I || Bewegungsbeweis || In der Welt ist überall Bewegung. || Alles Bewegte muss von einem anderen in Bewegung gebracht worden sein. || Der Erstbeweger ist Gott. |- | Via&nbsp;II || Kausalitätsbeweis || In der Welt gibt es überall Ursachen und Wirkungen. || Jede Wirkung muss eine Ursache haben. || Die erste Ursache der Welt ist Gott. |- | Via&nbsp;III || Kontingenzbeweis || Alles Empirische in der Welt entsteht und vergeht wieder. || Jedes empirische Wesen muss das Sein von einem absoluten Wesen empfangen haben. || Das absolute Wesen ist Gott. |- | Via&nbsp;IV || Stufenbeweis || In der Welt gibt es abgestuft gute, wahre und schöne Dinge. || Das absolute Wesen muss die höchste Güte, Wahrheit und Schönheit haben. || Das höchste Gute, Wahre und Schöne ist Gott. |- | Via&nbsp;V || Finalitätsbeweis || In der Welt gibt es Ordnung und Gesetzmäßigkeit. || Ordnung und Gesetzmäßigkeit müssen auf einen denkenden Geist zurückgehen. || Dieser Geist kommt von Gott. |} Auch '''{{w|Gottfried Wilhelm Leibniz}}''' (1646-1717) lehnt sich in seiner Hypothese von „Gott als letztem und zureichendem Grund der Welt“ daran an. Auch im 90. Psalm wird dieser Ansatz thematisiert: <blockquote> Das vierte Buch<br/> Der '''ewige''' Gott – der '''vergängliche''' Mensch<br/><br/> 1 Ein Bittgebet des Mose, des Mannes Gottes. O Herr, du warst uns Wohnung '''von Geschlecht zu Geschlecht'''.<br/> 2 '''Ehe geboren wurden die Berge, ehe du unter Wehen hervorbrachtest Erde und Erdkreis''', bist du '''Gott von Ewigkeit zu Ewigkeit'''.<br/> 3 '''Zum Staub zurückkehren lässt du den Menschen''', du sprichst: Ihr Menschenkinder, kehrt zurück!<br/> 4 Denn tausend Jahre sind in deinen Augen wie der Tag, der gestern vergangen ist, wie eine Wache in der Nacht. </blockquote> Darüber hinaus gibt der vierte Vers einen deutlichen Hinweis auf das Verhältnis zwischen der Länge des viele Jahrtausende dauernden Präzessionszyklus und der Länge eines siderischen Monats: der Mond wandert entlang der Ekliptiklinie an einem Tag genauso weit wie der Frühlingspunkt in tausend Jahren. → Siehe hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Präzession|'''Präzession''']]. Der griechische Dichter '''{{w|Aratos von Soloi}}''' in Kilikien (≈310–245) hatte seine astronomischen Kenntnisse vom Astronomen und Mathematiker '''{{w|Eudoxos von Knidos}}''' (geboren nach 390, gestorben nach 338) erhalten. In dem in der Antike verbreiteten Lehrgedicht Φαινόμενα (Phainomena = „Himmelserscheinungen“) von Aratos wird der Sternenhimmel in zahlreichen Hexametern beschrieben. Sein monumentales sechseckiges Grab aus der antiken Stadt Pompeiopolis wurde 2020 in der türkischen Provinz Mersin wiederentdeckt.<ref>Patricia Claus: [https://greekreporter.com/2021/07/11/memorial-tomb-of-ancient-greek-astronomer-aratus-unearthed-in-turkey/ Memorial Tomb of Ancient Greek Astronomer Aratus Unearthed in Turkey], The Greek Reporter, 11. Juli 2021</ref> Hier der Beginn des Prologs des Lehrgedichts: <blockquote> Εκ Διὸς ἀρχώμεσθα , τὸν οὐδέποτ᾽ ἄνδρες ἐῶμεν<br/> ῎Αῤῥητον . Μεσταὶ δὲ Διὸς πᾶσαι μὲν ἀγυιαὶ ,<br/> Πᾶσαι δ᾽ ἀνθρώπων ἀγοραί · μεστὴ δὲ θάλασσα ,<br/> Καὶ λιμένες. πάντη δὲ Διὸς κεχρήμεθα πάντες .<br/> '''Τοῦ γὰρ καὶ γένος εἰμέν''' · ὁ δ᾽ ἤπιος ἀνθρώποισι<br/> Δεξιὰ σημαίνει · λαοὺς δ᾽ ἐπὶ ἔργον ἐγείρει ,<br/> Μιμνήσκων βιότοιο . λέγει δ᾽ , ὅτε βῶλος ἀρίστη<br/> Βουσί τε καὶ μακέλῃσι · λέγει δ᾽ , ὅτε δεξιαὶ ὧραι ,<br/> Καὶ φυτὰ γύρῶσαι , καὶ σπέρματα πάντα βαλέσθαι .<br/> Αὐτὸς γὰρ τάγε σήματ᾽ ἐν '''οὐρανῷ''' ἐστήριξεν ,<br/> '''Αστρα''' διακρίνας · ἐσκέψατο δ᾽ εἰς ἐνιαυτὸν<br/> '''᾿Αστέρας''' , οἵ κε μάλιστα τετυγμένα σημαίνοιεν<br/> ᾿Ανδράσιν ὡράων , ὄφρ᾽ ἔμπεδα πάντα φύωνται .<br/> Τῷ μιν ἀεὶ πρῶτόν τε καὶ ὕστατον ἱλάσκονται .<br/> Χαῖρε , πάτερ , μέγα θαῦμα , μέγ᾽ ἀνθρώποισιν ὄνειαρ ,<br/> Αὐτὸς καὶ προτέρη γενεή ! χαίροιτε δὲ , Μοῦσαι<br/> Μειλίχιαι , μάλα πᾶσαι ! ἐμοί γε μὲν '''ἀστέρας''' εἰπεῖν ,<br/> Ηἱ θέμις εὐχομένῳ , τεκμήρατε πᾶσαν ἀοιδήν .<br/> Οἱ μὲν ὁμῶς πολέες τε , καὶ ἄλλυδις ἄλλοι ἐόντες ,<br/> '''Οὐρανῷ''' ἕλκονται πάντ᾽ ἤματα συνεχὲς αἰεί.<br/> Αὐτὰρ ὅγ᾽ οὐδ᾽ ὀλίγον μετανίσσεται · ἀλλὰ μάλ' αὕτως<br/> '''῎Αξων''' οἱ ἐνάρηρεν · ἔχει δ᾽ ἀτάλαντον ἁπάντη<br/> '''Μεσσηγὺς γαῖαν''' , περὶ δ᾽ '''οὐρανὸν''' αὐτὸν ἀγινεῖ.<br/> Καί μιν πειραίνουσι δύω '''πόλοι''' ἀμφοτέρωθεν ·<br/> ᾿Αλλ᾽ ὁ μὲν οὐκ ἐπίοπτος · ὁ δ᾽ ἀντίος ἐκ '''Βορέαο''' ,<br/> Ὑψόθεν Ὠκεανοῖο . Δύω δὲ μιν ἀμφὶς ἔχουσαι<br/> '''Ἄρκτοι''' ἅμα τροχόωσι · τὸ δὴ καλέονται '''῞Αμαξαι''' . </blockquote> Übersetzung unter Beibehaltung der Hexameter nach dem deutschen Dichter, Übersetzer und Hochschullehrer Johann Heinrich Voss (1751–1826) von 1824:<ref>АРАТОΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΔΙΟΣΗΜΕΙΑ. Des Aratos Sternerscheinungen und Wetterzeichen. Übersetzt und erklärt von Johann Heinrich Voss. Heidelberg bei Christian Friedrich Winter. 1824.</ref> <blockquote> Zeus sei unser Beginn , und niemals bleib' er uns Männern<br/> Ungelobt. Voll wahrlich des Zeus sind alle des Wandels<br/> Weg' , und alle Versammlung der Welt ; voll jegliche Meerflut ,<br/> Jeglicher Port ; ringsum ja des Zeus bedürfen wir alle .<br/> '''Seines Geschlechts auch sind wir''' ; und Er , mildherzig den Menschen,<br/> Zeichnet, was frommt, rechtsher ; und zu Tätigkeit weckt er die Völker,<br/> Mahnend an Lebensbedarf : Er sagt , wann besser dem Pflugstier<br/> Fuge die Scholl' , und dem Karst ; er sagt , wann schickliche Jahrszeit,<br/> Dass man die Pflanze behäuf" , und einsenk' allerlei Anwachs .<br/> Denn selbst hat er die Zeichen am oberen '''Himmel''' befestigt ,<br/> Und '''Sternbilder''' verteilt ; er hat fürsehend dem Jahrlauf<br/> '''Sterne''' bestimmt , die den Menschen zumeist annahende Wechsel<br/> Deuteten jeglicher Zeit , dass in Völligkeit alles erwachse .<br/> Drum ihn immer zuerst , und zulezt ihn , sühnen sie feiernd.<br/> Heil , anstaunlicher Vater , den Sterblichen mächtiges Labsal ,<br/> Du auch , selbst des Geschlechts Ursprung ! Heil , freundliche Musen,<br/> Heil euch allen gesamt ! doch mir , der , die '''Sterne''' zu melden ,<br/> Euch , wie geziemt , anfleht , bringt allen Gesang zur Vollendung.<br/> Jene zugleich , so viele zerstreuete , andere anders ,<br/> Ziehn mit dem '''Himmel''' einher in ewigem Zuge beständig .<br/> Doch nie schwanket er selbst um ein weniges; sondern durchaus so<br/> Bleibt ihm die '''Axe''' geheftet ; die hält gleichschwebend vom Umfang<br/> Hier '''in der Mitte die Erd'''' , und umher dort dreht sie den '''Himmel''' .<br/> Sie dann hat zween '''Pol'''' an jeglichem Ende gerichtet :<br/> Unsichtbar ist jener; doch hier um den '''Boreas''' ragt er<br/> Ob dem Okeanos hoch. Zwo dem zu den Seiten gestellte<br/> '''Bärinnen''' rollen umher: drum auch '''Rollwagen''' benamet. </blockquote> '''''Hinweise:''''' * Die "Axe" beschreibt die Erdachse. * ''Mit dem "Boreas" ist der Himmelsnordpol gemeint.'' * ''Bei den beiden Bärinnen handelt es sich um die Sternbilder des Großen Bären (Ursa Maior) und des Kleinen Bären (Ursa Minor).'' * ''Die beiden Rollwagen sind bei uns heute die Asterismen Großer Wagen und Kleiner Wagen.'' Der Apostel '''{{w|Paulus von Tarsus}}''' (geboren vor 10, gestorben nach 60) war der bedeutendste Missionar des Urchristentums und kannte diesen Text offensichtlich. Im 17.&nbsp;Kapitel der Apostelgeschichte des Lukas wird ihm ein Zitat aus dem Prolog des Lehrgedichts über die Abstammung der Menschen von Gott in den Mund gelegt.<ref>[https://www.die-bibel.de/bibel/NA28,EUE/ACT.17.28 Apostelgeschichte 17,28], Abschnitt: ''Paulus in Athen'', Novum Testamentum Graece und Einheitsübersetzung</ref> <blockquote> Apostelgeschichte 17,28: '''Τοῦ γὰρ καὶ γένος ἐσμέν.''' </blockquote> <blockquote> Apostelgeschichte 17,28: '''Wir sind von seinem Geschlecht.''' </blockquote> === Zahlen in Religionen === Die '''Zwei''' steht oft für Gegensätze, wie zum Beispiel Tag und Nacht, Aufgang und Untergang, Sommerhalbjahr und Winterhalbjahr, zunehmender und abnehmender Mond oder obere und untere Kulmination. Eine solche Zweiteilung findet sich oft auch in gegensätzliche Kategorien wieder, die in vielen Disziplinen, insbesondere auch in der Ethik und in Religionen verwendet werden, wie beispielsweise gut und böse, oben und unten, Leben und Tod, Licht und Schatten, Wärme und Kälte oder Himmel und Hölle. Interessant ist auch die frühgeschichtliche astronomische Auffassung von '''zwei''' mächtigen Gegenspielern, die sich im Sternenhimmel an zwei gegenüberliegenden Seiten befinden, der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsstier|der Himmelsstier]] und der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsskorpion|der Himmelsskorpion]]. → Siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Zwei|'''Zur Zwei''']]. Die astronomischen Zahlen '''Sieben''' und '''Zwölf''' werden als heilige Zahlen angesehen. Sie werden in vielfältigen Kontexten in religiösen Texten erwähnt und für viele religiöse Symbole verwendet. Ferner spielt auch die astronomische Zahl '''Vier''' in Religionen eine bedeutende Rolle, wo sie deswegen manchmal ebenfalls als heilige Zahlen angesehen wird: * '''Vier''' Hauptsterne respektive Hauptsternbilder mit den '''vier''' Himmelsrichtungen und den '''vier''' Jahreszeiten: → siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Bedeutung_der_Vier_in_Religionen|'''Bedeutung der Vier in Religionen''']]. * '''Sieben''' Wandelgestirne mit den die '''sieben''' Tagen einer Woche beziehungsweise eines Mondviertels: → siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Bedeutung_der_Sieben_in_Religionen|'''Bedeutung der Sieben in Religionen''']]. * '''Zwölf''' Ekliptiksternbilder, '''zwölf''' Monate pro Jahr, '''zwölf''' Jahre Umlaufzeit des Planeten Jupiter, jeweils '''zwölf''' Stunden Tag und Nacht: → siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Bedeutung_der_Zwölf_in_Religionen|'''Bedeutung der Zwölf in Religionen''']]. === Altes Testament === In der Bibel wird in der Regel nicht zwischen Fixsternen und Planeten unterschieden. Eine Ausnahme gibt es im 2.&nbsp;Buch der Könige, Kapitel&nbsp;23, Vers&nbsp;5 aus dem siebenten vorchristlichen Jahrhundert, wo in der deutschsprachigen Einheitsübersetzung von "den Wandelsternen" und in der Luther-Bibel von "den Planeten" die Rede ist. Die Vulgata schreibt hier allerdings von den "duodecim signis", womit sicherlich die zwölf Sternzeichen der Ekliptik gemeint sind, durch die die sieben Wandelgestirne ziehen. Die Septuaginta spricht noch allgemeiner von den "μαζουρωθ" nach dem Hebräischen Wort "מַזָּלָה" ("mazzaroth"), womit vermutlich Sternkonstellationen und im engeren Sinne ebenfalls die zwölf Sternzeichen des Zodiaks gemeint sind: <blockquote> '''Septuaginta '''<br/> 5 καὶ κατέπαυσεν τοὺς χωμαριμ, οὓς ἔδωκαν βασιλεῖς Ιουδα καὶ ἐθυμίων ἐν τοῖς ὑψηλοῖς καὶ ἐν ταῖς πόλεσιν Ιουδα καὶ τοῖς περικύκλῳ Ιερουσαλημ, καὶ τοὺς θυμιῶντας τῷ Βααλ καὶ τῷ ἡλίῳ καὶ τῇ σελήνῃ καὶ τοῖς '''μαζουρωθ''' καὶ πάσῃ τῇ δυνάμει τοῦ οὐρανοῦ.<br/> <br/> '''Vulgata'''<br/> 5 Et delevit aedituos, quos posuerant reges Iudae ad sacrificandum in excelsis per civitates Iudae et in circuitu Ierusalem, et eos, qui adolebant Baal et soli et lunae et '''duodecim signis''' et omni militiae caeli.<br/> <br/> '''Einheitsübersetzung (2016)'''<br/> 5 Auch setzte er die Götzenpriester ab, die von den Königen von Juda bestellt worden waren und die auf den Kulthöhen, in den Städten Judas und in der Umgebung Jerusalems Opfer verbrannt sowie dem Baal, der Sonne, dem Mond, den '''Wandelsternen''' und dem ganzen Heer des Himmels geopfert hatten.<br/> <br/> '''Luther-Bibel (2017)'''<br/> 5 Und er setzte die Götzenpriester ab, die die Könige von Juda eingesetzt hatten, um auf den Höhen zu opfern in den Städten Judas und um Jerusalem her; auch die dem Baal geräuchert hatten, der Sonne und dem Mond und den '''Planeten''' und allem Heer am Himmel.<br/> </blockquote> Der Prophet Habakuk erwähnt in seinem Psalm in Kapitel&nbsp;3 aus dem siebenten vorchristlichen Jahrhundert das Konzept der Aufteilung der Ekliptik in Mondstationen respektive in Mondhäuser: <blockquote> 10 Wenn sie dich sehen, erbeben die Berge,<br/> das Tosen der Wasser rauscht vorüber; es erhebt die Urflut ihre Stimme,<br/> hoch oben vergisst die Sonne ihre Strahlen.<br/> 11 '''Der Mond bleibt in der Behausung;'''<br/> als Beleuchtung schwirren deine Pfeile,<br/> als heller Schein das Blitzen deiner Lanze. </blockquote> In den folgenden Bibelstellen aus dem Alten Testament spiegeln sich astronomische Vorstellungen in Bezug auf Gott wider: '''Genesis 1:''' <blockquote> 1 Im Anfang erschuf Gott '''Himmel''' und Erde.<br/> 2 Die '''Erde''' war wüst und wirr und '''Finsternis''' lag über der '''Urflut''' und Gottes Geist schwebte über dem '''Wasser'''.<br/> 3 Gott sprach: Es werde '''Licht'''. Und es wurde '''Licht'''. ...<br/> 5 Und Gott nannte das Licht '''Tag''' und die Finsternis nannte er '''Nacht'''. Es wurde '''Abend''' und es wurde '''Morgen''': erster Tag.<br/> ...<br/> 14 Dann sprach Gott: Lichter sollen am '''Himmelsgewölbe''' sein, um '''Tag''' und '''Nacht''' zu scheiden. Sie sollen als Zeichen für '''Festzeiten''', für '''Tage''' und '''Jahre''' dienen.<br/> 15 Sie sollen Lichter am Himmelsgewölbe sein, um über die Erde hin zu leuchten. Und so geschah es.<br/> 16 Gott machte '''die beiden großen Lichter''', das große zur Herrschaft über den '''Tag''', das kleine zur Herrschaft über die '''Nacht''', und die '''Sterne'''. </blockquote> '''Psalm 8:''' <blockquote> 4 Seh ich deine '''Himmel''', die Werke deiner Finger, '''Mond '''und '''Sterne''', die du befestigt. </blockquote> [[Datei:Johannes.Kepler.Coeli.enarrant.gloriam.Dei.png|mini|rechts|Portrait des jungen Johannes Keplers mit dem Motto "Coeli enarrant gloriam Dei." nach Psalm 19: "Die Himmel erzählen die Herrlichkeit Gottes."]] '''Psalm 19:''' <blockquote> 2 Die '''Himmel''' erzählen die Herrlichkeit Gottes und das '''Firmament''' kündet das Werk seiner Hände. </blockquote> '''Psalm 90:''' <blockquote> 2 Ehe geboren wurden die Berge, ehe du unter Wehen hervorbrachtest '''Erde''' und '''Erdkreis''', bist du Gott von Ewigkeit zu Ewigkeit. </blockquote> '''Psalm 102:''' <blockquote> 26 Vorzeiten hast du der Erde Grund gelegt, die '''Himmel''' sind das Werk deiner Hände. </blockquote> '''Psalm 103:''' <blockquote> 19 Der HERR hat seinen Thron errichtet im '''Himmel''', seine königliche Macht beherrscht '''das All'''. </blockquote> '''Psalm 104:''' <blockquote> 19 Du machst den '''Mond''' zum Maß für die Zeiten, die '''Sonne''' weiß, wann sie untergeht. </blockquote> '''Psalm 113:''' <blockquote> 3 Vom '''Aufgang der Sonne''' bis zu ihrem '''Untergang''' sei gelobt der Name des HERRN.<br/> 4 Erhaben ist der HERR über alle Völker, über den '''Himmeln''' ist seine Herrlichkeit. </blockquote> '''Psalm 136:''' <blockquote> 3 Dankt dem Herrn der Herren, denn seine Huld währt ewig!<br/> 4 Ihm, der allein große Wunder tut, denn seine Huld währt ewig,<br/> 5 der den '''Himmel''' gemacht hat in Weisheit, denn seine Huld währt ewig,<br/> 6 der die Erde gefestigt hat über den Wassern, denn seine Huld währt ewig,<br/> 7 der '''die großen Leuchten''' gemacht hat, denn seine Huld währt ewig,<br/> 8 die '''Sonne''' zur Herrschaft über den '''Tag''', denn seine Huld währt ewig,<br/> 9 den '''Mond''' und die '''Sterne''' zur Herrschaft über die '''Nacht''', denn seine Huld währt ewig. </blockquote> '''Psalm 147:''' <blockquote> 4 Er bestimmt die Zahl der '''Sterne''' und ruft sie alle mit Namen. </blockquote> '''Psalm 148:''' <blockquote> '''Lobpreis auf den Herrn, den König des Kosmos'''<br/> 1 Halleluja! Lobt den HERRN vom '''Himmel''' her, lobt ihn in den Höhen:<br/> 2 Lobt ihn, all seine Engel, lobt ihn, all seine Heerscharen,<br/> 3 lobt ihn, '''Sonne''' und '''Mond''', lobt ihn, all ihr leuchtenden '''Sterne''',<br/> 4 lobt ihn, ihr '''Himmel der Himmel''', ihr Wasser über dem '''Himmel'''! </blockquote> Mit den "Wassern über dem Himmel" können nicht die Wolken unterhalb der Sternensphäre gemeint sein. Vielmehr dürfte es sich um eine Anspielung auf den Urozean beziehungsweise die Urflut handeln (siehe hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Urozean|'''Urozean''']]). Diese Urflut existierte bereits vor der Erschaffung des Lichts und der Gestirne. Man erinnere sich an den Beginn der Schöpfungsgeschichte in den ersten drei Versen der Bibel (siehe oben). '''Buch der Weisheit (Weisheit Salomos):''' <blockquote> '''Salomos Gebet um Weisheit'''<br/> 9,1 Gott der Väter und Herr des Erbarmens, du hast '''das All''' durch dein Wort gemacht. </blockquote> '''Jesus Sirach 42:''' <blockquote> '''Lob Gottes in der Schöpfung'''<br/> 15 Nun will ich der Werke des Herrn gedenken, und was ich gesehen habe, werde ich erzählen: Durch die Worte des Herrn sind seine Werke und durch seinen Segen gab er ihnen ihre Bestimmung.<br/> 16 Die leuchtende '''Sonne''' blickt auf alles hernieder und von der Herrlichkeit des Herrn ist sein Werk erfüllt.<br/> 17 Der Herr gab es selbst den Heiligen nicht, all seine Wunder zu erzählen, der Herr der Herrscher über '''das All''', hat sie gegründet, sodass '''das All''' in seiner Herrlichkeit Bestand hat.<br/> 18 Abgrund und Herz hat er durchforscht und ihre Absichten hat er durchschaut; denn der Höchste kennt alles Wissen und er blickt auf die '''Zeichen der Zeiten'''.<br/> 19 Er tut das Vergangene und das Kommende kund und enthüllt die Spuren des Verborgenen.<br/> 20 Kein Gedanke entgeht ihm und kein einziges Wort bleibt ihm verborgen.<br/> 21 Die Großtaten seiner Weisheit hat er geordnet; wie er ist '''von Ewigkeit und in Ewigkeit'''. Ihm ist weder etwas hinzugefügt noch weggenommen worden und er hat keines Ratgebers bedurft. </blockquote> Auch im nachfolgenden Kapitel lobt Jesus Sirach die Sonne, den Mond und die Sterne in den höchsten Tönen: '''Jesus Sirach 43:''' <blockquote> 1 Der Stolz der Höhe ist ein '''Firmament''' von Reinheit, die Gestalt des '''Himmels''' beim Anblick der Herrlichkeit.<br/> 2 Die '''Sonne''' verkündet durch ihr Erscheinen beim Aufgang, ein wunderbares Geschöpf, ein Werk des Höchsten!<br/> 3 Zur '''Mittagszeit''' trocknet sie den Boden aus, wer wird bestehen vor ihrer Glut?<br/> 4 Wer in einen Ofen bläst bei Arbeiten mit Glut - dreimal so stark versengt die '''Sonne''' Berge; sie atmet Feuerdämpfe aus und blendet mit gleißenden Strahlen die Augen.<br/> 5 Groß ist der Herr, der sie gemacht hat, mit seinen Worten beschleunigt er ihren Lauf.<br/> 6 Auch der '''Mond''' hält sich in allem an seinen Zeitpunkt, zur '''Festsetzung der Zeiten''' und als Zeichen auf Dauer.<br/> 7 Vom '''Mond''' geht das Zeichen für einen Festtag aus, ein Gestirn, das abnimmt bis zur Vollendung.<br/> 8 Der Name '''Monat''' kommt vom '''Neumond''', der wunderbar zunimmt beim Wechsel, ein Geschöpf des Heeres in der Höhe, das am '''Himmelsgewölbe''' leuchtet.<br/> 9 Die Schönheit des '''Himmels''' ist der Glanz der '''Sterne''', ein strahlender Schmuck in den Höhen des Herrn.<br/> 10 Durch die Worte des Heiligen stehen sie gemäß ihrer Bestimmung und sie ermüden nie bei ihrer Wache.<br/> ...<br/> 27 Vieles werden wir sagen, aber wir kommen nie an ein Ziel und das Ende der Worte ist: Er ist '''das All'''. </blockquote> '''Jesaja 40:''' <blockquote> 26 Hebt eure Augen in die Höhe und seht: Wer hat diese '''Gestirne''' erschaffen?<br/> Der vollzählig herausführt ihr Heer, er ruft sie alle beim Namen.<br/> Wegen seiner Fülle an Kraft und mächtiger Stärke fehlt kein einziges. </blockquote> Das Buch Baruch gehört zu den späten Schriften des Alten Testaments. Im dritten Kapitel werden das Licht und die Sterne in Bezug auf Gott thematisiert: '''Baruch 3:''' <blockquote> 33 Er entsendet das '''Licht''' und es eilt dahin; er ruft es zurück und zitternd gehorcht es ihm.<br/> 34 Froh leuchten die '''Sterne''' auf ihren Posten.<br/> 35 Ruft er sie, so antworten sie: Hier sind wir. Sie leuchten mit Freude für ihren Schöpfer.<br/> 36 Das ist unser Gott; kein anderer gilt neben ihm. </blockquote> Ein Lobpreis auf die Werke, Engel und Mächte Gottes am Gewölbe des Himmels findet sich im '''Buch Daniel''' im dritten Kapitel. Der Text macht inhaltlich eine ähnliche Aussage wie der Lobpreis auf den Herrn, den König des Kosmos in Psalm 148 (siehe oben): '''Daniel 3:''' <blockquote> 56 Gepriesen bist du am Gewölbe des '''Himmels''', gerühmt und verherrlicht in Ewigkeit.<br/> 57 Preist den HERRN, all ihr Werke des HERRN; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 58 Preist den HERRN, ihr '''Himmel'''; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 59 Preist den HERRN, ihr Engel des HERRN; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 60 Preist den HERRN, all ihr '''Wasser über dem Himmel'''; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 61 Preist den HERRN, all ihr Mächte des HERRN; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 62 Preist den HERRN, '''Sonne und Mond'''; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 63 Preist den HERRN, ihr '''Sterne am Himmel'''; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit! </blockquote> === Der Himmelsthron === Der '''Himmelsthron''' wir in vielen Texten des Alten Testaments als der Sitz Gottes genannt. Hier zunächst einige Erwähnungen in den Psalmen: <blockquote> 11,4 Der HERR ist in seinem heiligen Tempel, der HERR hat seinen '''Thron im Himmel'''.<br/> Seine Augen schauen herab, seine Blicke prüfen die Menschen. </blockquote> <blockquote> 33,13 Der HERR blickt herab vom '''Himmel''', er sieht alle Menschen.<br/> 33,14 Von seinem '''Thronsitz''' schaut er nieder auf alle Bewohner der Erde. </blockquote> <blockquote> 89,37 Sein Haus soll bleiben auf ewig, sein '''Thron''' habe Bestand vor mir wie die '''Sonne'''; </blockquote> <blockquote> 103,19 Der HERR hat seinen '''Thron''' errichtet im '''Himmel''', seine königliche Macht beherrscht '''das All'''. </blockquote> Im Buch der Weisheit stehen die folgenden beiden Verse: <blockquote> 9,9 Mit dir ist die Weisheit, die deine Werke kennt und die zugegen war, als du die Welt erschufst. Sie weiß, was wohlgefällig ist in deinen Augen und was recht ist nach deinen Geboten.<br/> 9,10 Sende sie vom heiligen '''Himmel''' und schick sie vom '''Thron''' deiner Herrlichkeit, damit sie bei mir sei und alle Mühe mit mir teile und ich erkenne, was wohlgefällig ist bei dir! </blockquote> Diese Bild von Gottes Thron im Himmel wir auch im Neuen Testament aufgegriffen, wie beispielsweise beim Evangelisten Matthäus (Kapitel 5, Vers 34) oder in der Offenbarung des Johannes, wo im vierten Kapitel die eröffnende Himmelsvision mit dem Abschnitt über "Die Huldigung vor dem Thron Gottes" beginnt: <blockquote> 1 Danach sah ich und siehe, eine Tür war geöffnet am '''Himmel'''; und die erste Stimme, die ich gleich einer Posaune mit mir reden gehört hatte, sagte: Komm herauf und ich werde dir zeigen, was dann geschehen muss.<br/> 2 Sogleich wurde ich vom Geist ergriffen. Und siehe, '''ein Thron stand im Himmel'''; auf dem Thron saß einer,<br/> 3 der wie ein Jaspis und ein Karneol aussah. Und über dem '''Thron''' wölbte sich ein Regenbogen, der wie ein Smaragd aussah.<br/> 4 Und rings um den '''Thron standen vierundzwanzig Throne''' und auf den Thronen saßen vierundzwanzig Älteste, in weiße Gewänder gekleidet und mit goldenen Kränzen auf dem Haupt.<br/> 5 Von dem Thron gingen Blitze, Stimmen und Donner aus. Und '''sieben lodernde Fackeln brannten vor dem Thron; das sind die sieben Geister Gottes'''.<br/> 6 Und vor dem Thron war etwas wie ein gläsernes Meer, gleich Kristall. Und in der Mitte des Thrones und rings um den Thron waren '''vier Lebewesen''' voller Augen, vorn und hinten.<br/> 7 Das erste Lebewesen glich einem '''Löwen''', das zweite einem '''Stier''', das dritte sah aus wie ein '''Mensch''', das vierte glich einem '''fliegenden Adler'''.<br/> </blockquote> Der achtstrophige Adventshymnus ''Veni redemptor gentium'' (die deutschsprachige Kontrafaktur heißt "Nun komm, der Heiden Heiland") wird dem Kirchenvater Ambrosius von Mailand (339–397) zugeschrieben. In der fünften Strophe wird mit Bezug auf die Himmelfahrt des Messias der Sitz Gottes erwähnt: <blockquote> 5,1 Egressus eius a Patre,<br/> 5,2 Regressus eius ad Patrem;<br/> 5,3 Excursus usque ad inferos,<br/> 5,4 Recursus ad '''sedem Dei'''. </blockquote> <blockquote> 5,1 Sein Ausgang ist vom Vater,<br/> 5,2 Seine Rückkehr ist beim Vater;<br/> 5,3 Hinausgelaufen bis zu den Toten,<br/> 5,4 Zurückgelaufen bis zum '''Sitz Gottes'''. </blockquote> Es ist nicht viel Phantasie erforderlich, um den Thron Gottes im '''Himmelsstier''' wiederzuerkennen. Die vierundzwanzig Throne, die sich entlang der '''Ekliptik''' um diesen Thron herum aufreihen, stehen für die vierundzwanzig Stunden eines Tages, und sie sind je zwei für jedes der zwölf Lebewesenkreiszeichen des '''Zodiaks'''. Die als sieben lodernde Fackeln vor dem Thron sind die sieben '''Wandelgestirne''', die als die '''sieben Geister Gottes''' immer wieder durch das '''Goldene Tor der Ekliptik''' in der Sitzfläche des Thrones ziehen. Die '''vier besonderen Lebewesen''' sind die vier Evangelistensymbole bei den vier zoroastrischen '''Königssternen'''. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsstier|'''Himmelsstier''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Die_Ekliptik|'''Ekliptik''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Zodiak|'''Zodiak''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der_Ekliptik|'''Goldenes Tor der Ekliptik''']]. → Siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Bedeutung_der_Vier_in_Religionen|'''Bedeutung der Vier in Religionen''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Königssterne|'''Königssterne''']]. <gallery caption="Throne" widths=640 heights=480 perrow=2> Aachen_Cathedral_Karlsthron_02.jpg|Thron Karls des Großen aus den 790er Jahren im Aachener Dom. Himmelsthron.Taurus.Aries.png|Himmelsthron in den Sternbildern Stier (Taurus) und Widder (Aries) vor dem Untergang in Richtung Westen. </gallery> === Das Lamm === Im ersten Kapitel des Evangeliums nach Johannes wird Jesus von Nazareth explizit als "Lamm Gottes" bezeichnet:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Johannes1%2C29 Johannes 1,29], bibleserver.com, Einheitsübersetzung (2016)</ref> <blockquote> 29b Seht, das '''Lamm Gottes''', das die Sünde der Welt hinwegnimmt!<br/> ...<br/> 36b Seht, das '''Lamm Gottes'''! </blockquote> Es handelt sich beim „Lamm Gottes“ (Kirchenlatein: „Agnus Dei“) um ein seit ältester Zeit verbreitetes Symbol für Jesus Christus. Es wird auch als das Osterlamm bezeichnet, das am Ostertag, also kurz nach der Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühjahr auferstanden ist. Nach dem Evangelisten Markus wurde die Auferstehung „... am ersten Tag der Woche, früh am Morgen, als eben die Sonne aufging“, also am Ostersonntag während der Morgenröte im Osten entdeckt.<ref>[https://www.bibleserver.com/LUT/Markus16%2C2 Markus 16,2], Einheitsübersetzung, 2016</ref> Am 40.&nbsp;Tag ist Jesus Christus nach dem Zeugnis der Evangelisten Markus und Lukas in den Himmel aufgefahren. Zu Beginn der Apostelgeschichte wird dieses Ereignis folgendermaßen beschrieben:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Apostelgeschichte1 Apostelgeschichte 1], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 7 Er sagte zu ihnen: Euch steht es nicht zu, Zeiten und Fristen zu erfahren, die der Vater in seiner Macht festgesetzt hat.<br/> 8 Aber ihr werdet Kraft empfangen, wenn der Heilige Geist auf euch herabkommen wird; und ihr werdet meine Zeugen sein in Jerusalem und in ganz Judäa und Samarien und bis an die Grenzen der Erde.<br/> 9 Als er das gesagt hatte, wurde er vor ihren Augen emporgehoben und eine Wolke nahm ihn auf und entzog ihn ihren Blicken.<br/> </blockquote> Im altrömischen Glaubensbekenntnis gibt es die Textstelle: <blockquote> „ascendit in caelis, sedet ad dexteram Patris“ </blockquote> Zu Deutsch: <blockquote> „aufgefahren in den Himmel, er sitzt zur Rechten des Vaters“ </blockquote> Das '''Lamm''' (astronomisch Widder) befindet sich am nördlichen Sternenhimmel '''zur Rechten''' des Stieres (Taurus). Sowohl der mesopotamische Himmelsstier als auch das altarabische Sternbild Thuraya verbinden diese beiden neuzeitlichen Sternbilder zu einer Einheit. Der Hauptstern im Sternbild Widder (Aries) heißt Hamal, und das arabische Wort "hamal" steht für ein einjähriges Lamm.<ref name="Adams">Danielle Adams: [http://onesky.arizona.edu/arab-star-names/the-lamb/ The Lamb – A folkloric celestial complex], Two Deserts, one Sky – Arab Star Calendars</ref> Der fette Schwanz des Lammes wird durch die '''Plejaden (Siebengestirn)''' markiert.<ref name="Adams" /> Die Augen des Stieres sind die Sterne '''Aldebaran''' und '''Ain'''. Zwischen dem Kopf des Stieres und den '''Plejaden''' befindet sich das '''Goldene Tor der Ekliptik''', durch das alle Wandelgestirne regelmäßig hindurchziehen. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Bibelstellen|'''Bibelstellen zum Siebengestirn''']]. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der_Ekliptik|'''Goldenes Tor der Ekliptik''']]. Der Frühlingspunkt der Sonne, also deren Ort auf der Ekliptiklinie zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühjahr, ist von der monotheistischen Schöpfung bis zur Geburt des christlichen Gottessohns vom Kopf des Stiers (bei den Sternen '''Aldebaran''' und '''Ain''' im Goldenen Tor der Ekliptik) im heutigen Sternbild Stier (Taurus) bis zum Kopf des Lammes (beim Stern '''Hamal''') im heutigen Sternbild Widder (Aries) nach Westen gewandert. Heute befindet sich der Frühlingspunkt bereits am westlichen Ende des Sternbilds Fische (Pisces), das sich westlich an das Sternbild Widder anschließt. ==== Offenbarung des Johannes ==== In der Offenbarung des Johannes heißt es im 7.&nbsp;Kapitel: <blockquote> 10b Die Rettung kommt von unserem '''Gott''', der auf dem '''Thron''' sitzt, und von dem '''Lamm'''.<br/> 17a Denn das Lamm in der Mitte vor dem Thron wird sie weiden und zu den Quellen führen, aus denen das '''Wasser des Lebens''' strömt. </blockquote> Wird der '''Thron Gottes''' mit dem Himmelsstier identifiziert (siehe oben), dann sitzt das '''Lamm''' (Aries, Sternbild Widder) westlich und somit rechts vor diesem Thron. Im weiteren Verlauf der Ekliptik nach Westen befinden sich die zusammenhängenden '''Wassersternbilder''' des Urozeans, dem Urquell des Lebens. Es handelt ich um die heutigen Sternbilder Fluss Eridanus, Walfisch (Cetus), Fische (Pisces), Wassermann (Aquarius), Südlicher Fisch (Piscis Austrinus) und Delphin (Delphinus) sowie Steinbock (Capricornus, früher Ziegenfisch). → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Urozean|'''Urozean''']]. <gallery caption="Das Lamm zur Rechten des Stieres" mode=packed widths=800 heights=600> Himmelsstier.P1117152.jpg|Astrophotographie vom Asterismus Himmelsstier Himmelsstier.Sternbilder.P1117152.png|Beschriftete Astrophotographie vom Himmelsstier am winterlichen Abendhimmel in Richtung südlicher Meridian. Die Ekliptiklinie verläuft horizontal etwas unterhalb der Bildmitte. Haende.der.Thuraya.Vollmond.Sterne.P1079912.jpg|Astrophotographie der Himmelsregion mit dem beduinischen Sternbild "Hände der Thuraya" (grüne durchgezogene Linien, Ekliptik rot gepunktete Linie) mit arabisch bezeichneten Sternen. Der Vollmond befindet sich zwischen den Sternbildern Taurus, Aries und Cetus. Urozean.Wassersternbilder.png|Die zusammenhängenden Wassersternbilder des Urozeans am Sternenhimmel: Fluss Eridanus, Walfisch (Cetus), Fische (Pisces), Wassermann (Aquarius), Südlicher Fisch (Piscis Austrinus), Delphin (Delphinus) sowie Ziegenfisch (Steinbock, Capricornus). </gallery> Interpretiert man das Sternbild "Lamm" (Widder / Aries) als Mittler auf dem ekliptischen Weg vom finsteren kosmischen Urozean im Westen (rechts) zum strahlenden majestätischen Sternbild Stier (Taurus) im Osten (links), ergeben auch andere Bibelstellen in Bezug auf den Sternenhimmel einen tiefen symbolischen Sinn, die in den folgenden Abschnitten aufgeführt sind. ==== Evangelium nach Johannes ==== Die Rede von Jesus an den Jünger Thomas aus dem 14.&nbsp;Kapitel des Evangeliums nach Johannes ist in diesem Zusammenhang interessant: <blockquote> 6 Jesus sagte zu ihm: Ich bin der Weg und die Wahrheit und das Leben; niemand kommt zum Vater außer durch mich.<br/> 7 Wenn ihr mich erkannt habt, werdet ihr auch meinen Vater erkennen. Schon jetzt kennt ihr ihn und habt ihn gesehen. </blockquote> Alle Wandelgestirne bewegen sich entlang der Ekliptiklinie (Weg) durch das heutige Sternbild Widder (das altarabische Sternbild "Lamm") im Westen zum [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der-Ekliptik|Goldenen Tor der Ekliptik]] nach Osten im großen Himmelsstier (Vater / Thron). ==== Evangelium nach Markus ==== Im Evangelium nach Markus heißt es: <blockquote> 14,62 Jesus sagte: Ich bin es. Und ihr werdet den Menschensohn '''zur Rechten der Macht''' sitzen und mit den Wolken des '''Himmels''' kommen sehen. </blockquote> <blockquote> 16,19 Nachdem Jesus, der Herr, dies zu ihnen gesagt hatte, wurde er in den '''Himmel''' aufgenommen und setzte sich '''zur Rechten Gottes'''. </blockquote> ==== Evangelium nach Lukas ==== Im Evangelium nach Lukas ist es folgendermaßen formuliert: <blockquote> 22,69 Von nun an wird der Menschensohn '''zur Rechten der Macht Gottes''' sitzen. </blockquote> ==== Evangelium nach Matthäus ==== Auch im Evangelium nach Matthäus findet sich eine entsprechende Stelle: <blockquote> 26,64 Jesus antwortete: Du hast es gesagt. Doch ich erkläre euch: Von nun an werdet ihr den Menschensohn '''zur Rechten der Macht''' sitzen und auf den Wolken des '''Himmels''' kommen sehen. </blockquote> ==== Brief an die Hebräer ==== Im Brief an die Hebräer, dessen Autor unbekannt ist, gibt es etliche entsprechende Stellen: <blockquote> '''Gottes Rede in seinem Sohn'''<br/> 1,3 er ist der Abglanz seiner Herrlichkeit und das Abbild seines Wesens; er trägt '''das All''' durch sein machtvolles Wort, hat die Reinigung von den Sünden bewirkt und sich dann '''zur Rechten der Majestät in der Höhe''' gesetzt;<br/> 1,10 Und: Du, Herr, hast vorzeiten der Erde Grund gelegt, die '''Himmel''' sind das Werk deiner Hände.<br/> 1,11 Sie werden vergehen, '''du aber bleibst'''; sie alle veralten wie ein Gewand;<br/> 1,12 du rollst sie zusammen wie einen Mantel und wie ein Gewand werden sie gewechselt. Du aber bleibst, der du bist, und '''deine Jahre enden nie'''.<br/> 1,13 Zu welchem Engel hat er jemals gesagt: Setze dich mir '''zur Rechten''' und ich lege dir deine Feinde als Schemel unter die Füße? </blockquote> <blockquote> '''Die Liturgie des neuen Bundes'''<br/> 8,1 Die Hauptsache bei dem Gesagten aber ist: Wir haben einen solchen Hohepriester, der sich '''zur Rechten des Thrones der Majestät im Himmel''' gesetzt hat,<br/> 8,2 als Diener des Heiligtums und des '''wahren Zeltes''', das der Herr selbst aufgeschlagen hat, nicht ein Mensch. </blockquote> <blockquote> '''Christus als Mittler des neuen Bundes'''<br/> 9,24 Denn Christus ist nicht in ein von Menschenhand gemachtes Heiligtum hineingegangen, in ein Abbild des wirklichen, sondern '''in den Himmel selbst''', um jetzt '''vor Gottes Angesicht''' zu erscheinen für uns; </blockquote> <blockquote> '''Das Opfer Jesu Christi als endgültige Versöhnung mit Gott'''<br/> 10,12 Dieser aber hat nur ein einziges Opfer für die Sünden dargebracht und sich dann '''für immer zur Rechten Gottes''' gesetzt; </blockquote> <blockquote> '''Das Beispiel Jesu Christi'''<br/> 12,2 und dabei auf Jesus blicken, den Urheber und Vollender des Glaubens; er hat angesichts der vor ihm liegenden Freude das Kreuz auf sich genommen, ohne auf die Schande zu achten, und sich '''zur Rechten von Gottes Thron''' gesetzt. </blockquote> ==== Erster Brief des Petrus ==== Der erste Brief des Petrus zählt zu den katholischen Briefen des Neuen Testaments. Dort heißt es im letzten Satz über Jesus Christus: <blockquote> 22 der in den '''Himmel''' gegangen ist; dort ist er '''zur Rechten''' Gottes und Engel, Gewalten und Mächte sind ihm unterworfen. </blockquote> ==== Apostelgeschichte ==== Die Apostelgeschichte schließt an das Evangelium nach Lukas an und wird ebenfalls diesem zugeschrieben. Hier kommen der erste bekennende sowie erste berufene Apostel Petrus und der erste christliche Märtyrer Stephanus zu Wort: <blockquote> '''Die Pfingstpredigt des Petrus'''<br/> 2,33 '''Zur Rechten Gottes''' erhöht, hat er vom Vater den verheißenen Heiligen Geist empfangen und ihn ausgegossen, wie ihr seht und hört. </blockquote> <blockquote> '''Steinigung des Stephanus'''<br/> 7,55 Er aber, erfüllt vom Heiligen Geist, blickte zum '''Himmel''' empor, sah die Herrlichkeit Gottes und Jesus '''zur Rechten Gottes''' stehen<br/> 7,56 und rief: Siehe, ich sehe den Himmel offen und den Menschensohn '''zur Rechten Gottes''' stehen. </blockquote> === Gedanken zur wundersamen Brotvermehrung === ==== Evangelien ==== [[Datei:Face de chapiteau figurant la Multiplication des pains, choeur de l'église de Saint-Nectaire, Puy-de-Dôme.jpg|mini|rechts|hochkant=2|Jesus mit vier seiner Jünger mit fünf Broten und zwei Fischen an einem Säulenkapitell in der romanischen Wallfahrtskirche Saint Nectaire auf dem Mont Cornadore in Saint-Nectaire in Frankreich (Département Puy-de-Dôme in der Region Auvergne-Rhône-Alpes).]] Die wundersame Speisung der mehreren Tausend mit wenigen Broten und Fischen wird in aller vier Evangelien der Bibel erwähnt. Das Ereignis fand auf einem Berg am Ufer des Sees von Galiläa (auch als "See von Tiberias", "See Genezareth" oder "Galiläisches Meer" bekannt) statt. In der abgelegenen Gegend gab es damals sehr wenig künstliche Lichtquellen, so dass ein ungestörter Anblick des Sternenhimmels möglich war. ===== Evangelium nach Johannes ===== Im sechsten Kapitel des Evangeliums nach '''Johannes''' tauchen bei der Beschreibung der Brotvermehrung durch Jesus zum jüdischen Pessachfest neben einigen weiteren Symbolen mit astronomischer Deutungsmöglichkeit auch die expliziten Zahlen Zwei, Fünf und Zwölf auf: <blockquote> 9 Hier ist ein kleiner Junge, der hat '''fünf Gerstenbrote''' und '''zwei Fische'''; doch was ist das für so viele?<br/> 10 Jesus sagte: Lasst die Leute sich setzen! Es gab dort nämlich viel Gras. Da setzten sie sich; es waren etwa '''fünftausend''' Männer.<br/> 11 Dann nahm Jesus die '''Brote''', sprach das Dankgebet und teilte an die Leute aus, so viel sie wollten; ebenso machte er es mit den '''Fischen'''.<br/> 12 Als die Menge satt geworden war, sagte er zu seinen Jüngern: Sammelt die übrig gebliebenen Brocken, damit nichts verdirbt!<br/> 13 Sie sammelten und füllten '''zwölf Körbe''' mit den Brocken, die von den '''fünf Gerstenbroten''' nach dem Essen übrig waren.<br/> ...<br/> 31 Unsere Väter haben das '''Manna''' in der Wüste gegessen, wie es in der Schrift heißt: '''Brot vom Himmel''' gab er ihnen zu essen.<br/> 32 Jesus sagte zu ihnen: Amen, amen, ich sage euch: Nicht Mose hat euch das '''Brot vom Himmel''' gegeben, sondern mein Vater gibt euch das wahre '''Brot vom Himmel'''.<br/> 33 Denn das '''Brot''', das Gott gibt, kommt vom '''Himmel''' herab und gibt der Welt das Leben.<br/> 34 Da baten sie ihn: Herr, gib uns immer dieses '''Brot'''!<br/> 35 Jesus antwortete ihnen: Ich bin das '''Brot des Lebens'''; wer zu mir kommt, wird nie mehr hungern, und wer an mich glaubt, wird nie mehr Durst haben.<br/> ...<br/> 48 Ich bin das '''Brot des Lebens'''.<br/> 49 Eure Väter haben in der Wüste das '''Manna''' gegessen und sind gestorben.<br/> 50 So aber ist es mit dem '''Brot''', das vom '''Himmel''' herabkommt: Wenn jemand davon isst, wird er nicht sterben.<br/> 51 Ich bin das '''lebendige Brot''', das vom '''Himmel''' herabgekommen ist. Wer von diesem '''Brot''' isst, wird in Ewigkeit leben. Das '''Brot''', das ich geben werde, ist mein Fleisch für das Leben der Welt. </blockquote> ===== Evangelium nach Markus ===== Eine ähnliche Schilderung befindet sich im sechsten Kapitel des Evangeliums nach '''Markus''', wo das Ereignis an einem abgelegenen und einsamen Ort stattgefunden hat: <blockquote> 38 Er sagte zu ihnen: Wie viele '''Brote''' habt ihr? Geht und seht nach! Sie sahen nach und berichteten: '''Fünf Brote''' und außerdem '''zwei Fische'''.<br/> 39 Dann befahl er ihnen, sie sollten sich in Mahlgemeinschaften im grünen Gras lagern.<br/> 40 Und sie ließen sich in Gruppen zu hundert und zu fünfzig nieder.<br/> 41 Darauf nahm er die '''fünf Brote''' und die '''zwei Fische''', blickte zum '''Himmel''' auf, sprach den Lobpreis, brach die '''Brote''' und gab sie den Jüngern, damit sie diese an die Leute austeilten. Auch die '''zwei Fische''' ließ er unter allen verteilen.<br/> 42 Und alle aßen und wurden satt.<br/> 43 Und sie hoben Brocken auf, '''zwölf Körbe''' voll, und Reste von den '''Fischen'''.<br/> 44 Es waren '''fünftausend''' Männer, die von den '''Broten''' gegessen hatten. </blockquote> Die Brotvermehrung auch ein weiteres Mal im achten Kapitel des Evangeliums nach '''Markus''' erwähnt: <blockquote> 5 Er fragte sie: Wie viele '''Brote''' habt ihr? Sie antworteten: '''Sieben'''.<br/> 6 Da forderte er die Leute auf, sich auf den Boden zu setzen. Dann nahm er die sieben '''Brote''', sprach das Dankgebet, brach die '''Brote''' und gab sie seinen Jüngern zum Verteilen; und die Jünger teilten sie an die Leute aus.<br/> 7 Sie hatten auch noch ein paar '''Fische''' bei sich. Jesus segnete sie und ließ auch sie austeilen.<br/> 8 Die Leute aßen und wurden satt. Und sie hoben die Überreste der '''Brotstücke''' auf, '''sieben Körbe''' voll.<br/> 9 Es waren etwa '''viertausend''' Menschen beisammen. Danach schickte er sie nach Hause.<br/> ...<br/> 19 Als ich die '''fünf Brote''' für die '''Fünftausend''' brach, wie viele '''Körbe voll Brotstücke''' habt ihr da aufgehoben? Sie antworteten ihm: '''Zwölf'''.<br/> 20 Und als ich die '''sieben Brote''' für die '''Viertausend''' brach, wie viele '''Körbe''' voll habt ihr da aufgehoben? Sie antworteten: '''Sieben'''.<br/> 21 Da sagte er zu ihnen: Versteht ihr immer noch nicht? </blockquote> ===== Evangelium nach Lukas ===== Ebenso verhält es sich im neunten Kapitel des Evangeliums nach '''Lukas''', wo das Ereignis dem Ort Betsaida (zu Deutsch: „Haus des Fisches“) am See Genezareth zugeordnet ist: <blockquote> 12 Als der Tag zur Neige ging, kamen '''die Zwölf''' und sagten zu ihm: Schick die Leute weg, damit sie in die umliegenden Dörfer und Gehöfte gehen, dort Unterkunft finden und etwas zu essen bekommen; denn wir sind hier an einem abgelegenen Ort.<br/> 13 Er antwortete ihnen: Gebt ihr ihnen zu essen! Sie sagten: Wir haben nicht mehr als '''fünf Brote''' und '''zwei Fische'''; wir müssten erst weggehen und für dieses ganze Volk etwas zu essen kaufen.<br/> 14 Es waren nämlich etwa '''fünftausend''' Männer. Er aber sagte zu seinen Jüngern: Lasst sie sich in Gruppen zu ungefähr fünfzig lagern!<br/> 15 Die Jünger taten so und veranlassten, dass sich alle lagerten.<br/> 16 Jesus aber nahm die '''fünf Brote''' und die '''zwei Fische''', blickte zum '''Himmel''' auf, sprach den Lobpreis und brach sie; dann gab er sie den Jüngern, damit sie diese an die Leute austeilten.<br/> 17 Und alle aßen und wurden satt. Als man die übrig gebliebenen Brotstücke einsammelte, waren es '''zwölf Körbe''' voll. </blockquote> ===== Evangelium nach Matthäus ===== Auch im vierzehnten Kapitel des Evangeliums nach '''Matthäus''' ist von einem abgelegenen Ort in einer einsamen Gegend die Rede: <blockquote> 17 Sie sagten zu ihm: Wir haben nur '''fünf Brote''' und '''zwei Fische''' hier.<br/> 18 Er antwortete: Bringt sie mir her!<br/> 19 Dann ordnete er an, die Leute sollten sich ins Gras setzen. Und er nahm die '''fünf Brote''' und die '''zwei Fische''', blickte zum '''Himmel''' auf, sprach den Lobpreis, brach die Brote und gab sie den Jüngern; die Jünger aber gaben sie den Leuten<br/> 20 und alle aßen und wurden satt. Und sie sammelten die übrig gebliebenen Brotstücke ein, '''zwölf Körbe''' voll.<br/> 21 Es waren etwa '''fünftausend''' Männer, die gegessen hatten, dazu noch Frauen und Kinder. </blockquote> Etwas abgewandelt taucht die Brotvermehrung mit '''sieben Körben''' auch im fünfzehnten Kapitel des Evangeliums nach '''Matthäus''' auf: <blockquote> 34 Jesus sagte zu ihnen: Wie viele '''Brote''' habt ihr? Sie antworteten: '''Sieben''' - und ein paar '''Fische'''.<br/> 35 Da forderte er die Leute auf, sich auf den Boden zu setzen.<br/> 36 Und er nahm die '''sieben Brote''' und die '''Fische''', sprach das Dankgebet, brach sie und gab sie den Jüngern und die Jünger gaben sie den Menschen.<br/> 37 Und alle aßen und wurden satt. Und sie sammelten die übrig gebliebenen Stücke ein, '''sieben Körbe''' voll.<br/> 38 Es waren '''viertausend''' Männer, die gegessen hatten, dazu noch Frauen und Kinder.<br/> 39 Danach schickte er die Menge nach Hause, stieg ins Boot und fuhr in die Gegend von Magadan. </blockquote> Der Ort Magadan ist möglicherweise mit dem heutigen Ort Migdal (aramäisch: Magdala) am westlichen Ufer des Sees Genezareth gleichzusetzen. ==== Astronomische Bezüge ==== [[Datei:Dendera.03.Fische.Wassermann.jpg|mini|rechts|hochkant=2|Das Sternbild Fische (links) und das Sternbild Wassermann (rechts) im ägyptischen Zodiak von Dendera aus der Zeit kurz vor Christi Geburt.]] Zu diesen Bibelstellen sind im Folgenden einige Hinweise mit astronomischen Bezügen aufgeführt. Die [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Beobachtungen_in_der_Nähe_der_Ekliptik|Bezugspunkte]] liegen hierbei in der Nähe der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Die_Ekliptik|Ekliptik]]: * In den Versen im Evangelium nach Johannes ist mehrfach vom '''Brot, das vom Himmel herabkommt''' die Rede. * Das zur Herstellung von Brot erforderliche Getreide kann durch eine '''Kornähre''' symbolisiert werden. Am Sternenhimmel wird die Kornähre durch den hellen, ekliptiknahen Stern '''Spica''' (α Virginis) im Sternbild '''Jungfrau''' (Virgo) repräsentiert. Der Vollmond stand zum jüdischen Pessachfest beim Stern Spica. * Alle Pflanzen benötigen für das Gedeihen '''Wasser'''. Das '''Wasser''' wird am Himmel durch die drei Wassersternbilder der Ekliptik '''Fische''' (Pisces), '''Wassermann''' (Aquarius), und '''Ziegenfisch''' (Steinbock, Capricornus) westlich des [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Frühlingspunkt|Frühlingspunktes]] repräsentiert. Diese Sternbilder bilden mit einigen weiteren angrenzenden Wassersternbildern den [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Urozean|Urozean am Himmel]] (siehe hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Trichter_der_Thuraya|Der Trichter der Thuraya]]). Die Wassersternbilder waren zum Pessachfest in den drei Monaten unmittelbar zuvor von der Sonne durchlaufen worden und befanden sich beim Sonnenuntergang deshalb bereits unterhalb des westlichen Horizonts. * Das Sternbild '''Fische''' (Pisces) besteht seit der Antike aus '''zwei Fischen'''. * Zu Lebzeiten von Jesus von Nazareth war der '''Frühlingspunkt''' vom Sternbild Widder (Aries, ursprünglich das Hinterteil des großen Sternbilds [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsstier|Himmelsstier (Taurus caeli)]]) in das Sternbild '''Fische''' (Pisces) gewandert. Inzwischen ist er innerhalb dieses Sternbilds noch weiter nach Westen gewandert. Die Sonne und der Neumond standen zu Beginn des jüdischen Monats Nisan, also dem Monat des jüdischen Pessachfestes, im Sternbild '''Fische'''. Der erste Monat des Jahres Nisan hieß bereits in der mesopotamischen Tradition, als sich der Frühlingspunkt noch im Sternbild Widder (Aries) befand, auf Akkadisch "nisannu" (siehe hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Schaltregeln|Plejaden-Schaltregeln]]). In der alten jüdischen Tradition war der Nisan deswegen mit dem Sternbild Widder verbunden. Ferner wurde der Widder dem israelitischen Stamm Juda zugeordnet. * Zu Lebzeiten von Jesus von Nazareth war der '''Herbstpunkt''' vom Sternbild Waage (Libra, ursprünglich die Scheren des großen Sternbilds [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsskorpion|Himmelsskorpion (Scorpio caeli)]]) in das Sternbild Jungfrau (Virgo) gewandert. Inzwischen ist er innerhalb dieses Sternbilds noch weiter nach Westen gewandert. Um 285 nach Christi erreichte der '''Herbstpunkt''' dann die ekliptikale Länge des Sterns '''Spica''' (α Virginis). * Die '''fünf Brote''' können mit den fünf mit bloßem Auge sichtbaren Wandelgestirnen (Planeten) '''Merkur''', '''Venus''', '''Mars''', '''Jupiter '''und '''Saturn''' gleichgesetzt werden.<br/>'''''Anmerkung''': In der Bibel wird in der Regel nicht zwischen Fixsternen und Planeten unterschieden. Für eine Ausnahme siehe 2.&nbsp;Buch der Könige, Kapitel 23, Vers 5 aus dem siebenten vorchristlichen Jahrhundert, wo in der Einheitsübersetzung explizit von "den Wandelsternen" und in der Luther-Bibel von "den Planeten" die Rede ist.<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/2.K%C3%B6nige23%2C5 2.&nbsp;Buch der Könige, Kapitel 23, Vers 5], bibleserver.com, Einheitsübersetzung 2016</ref> Die Vulgata schreibt hier allerdings von den "duodecim signis" (zu Deutsch: "zwölf Zeichen"), womit die zwölf Sternzeichen der Ekliptik gemeint sind, durch die die sieben Wandelgestirne ziehen. Die Septuaginta spricht noch allgemeiner von den "μαζουρωθ" ("mazuroth") nach dem Hebräischen Wort "מַזָּלָה" ("mazzaroth"), womit allgemein eher Sternkonstellationen und nur im engeren Sinne die Sternzeichen des Zodiaks gemeint sind.'' * Die '''zwei Fische''' können mit den beiden flächenhaft wahrnehmbaren Wandelgestirnen '''Sonne''' und '''Mond '''gleichgesetzt werden. * Die Summe der '''fünf Brote''' und der '''zwei Fische''' respektive die '''sieben Brote''' (oder die '''sieben Körbe''') entsprechen der Anzahl der freiäugig sichtbaren '''sieben Wandelgestirne''', die sich entlang der Ekliptiklinie stetig gegenüber dem Fixsternhimmel bewegen. Siehe hierzu auch: ** [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Beobachtungen_in_der_Nähe_der_Ekliptik|Beobachtungen in der Nähe der Ekliptik]] ** [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Zusammenhang_mit_dem_Stier|Zu den Etyma und den Kognaten von "Sieben", "Stier", "Gestirn" und "Stern"]] * Die ausgeteilten '''Brote''' und '''Fische''' durchmaßen die gesamte versammelte Menschenmenge, die durch den vollständigen [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Zodiak|Lebewesenkreis (Zodiak)]] mit den '''zwölf Lebewesenkreiszeichen''' beziehungsweise durch die '''zwölf Körbe''' symbolisiert wird. Der Planet Jupiter, der den Zodiak in zwölf Jahren einmal durchläuft, wurde in Babylonien mit dem babylonischen Hauptgott Marduk gleichgesetzt. * Insgesamt gibt es am Fixsternhimmel gut 2800&nbsp;Sterne bis zur scheinbaren Helligkeit 5,5^m und knapp 8800&nbsp;Sterne bis zur scheinbaren Helligkeit&nbsp;6,5^m, die ohne Lichtverschmutzung mit bloßem Auge als einzelne Lichtpunkte gesehen werden können. Diese verteilen sich allerdings in der gesamten Himmelssphäre, so dass von einem Punkt auf der Erdoberfläche aus zu jedem Zeitpunkt immer nur ungefähr die Hälfte davon über dem Horizont steht. An den beiden Polen sind stets nur die Sterne der jeweiligen nördlichen oder südlichen Hemisphäre zu sehen, und am Äquator können im Laufe eines Jahres alle Sterne gesehen werden. Je nach Breitengrad und Zeitpunkt können bei Neumond (kein Streulicht) innerhalb einer wolkenlosen Nacht viertausend bis zu fast siebentausend Sterne beobachtet werden.<ref>Bob King: [https://skyandtelescope.org/astronomy-blogs/how-many-stars-night-sky-09172014/ 9,096 Stars in the Sky—Is that all? How many stars in the sky can you see?], skyandtelescope.org - The essential Guide to Astronomy, 17. September 2014</ref> Diese Spanne entspricht der Angabe der bei der Brotvermehrung versammelten Menschen, deren Anzahl in den Evangelien mit '''viertausend''' beziehungsweise '''fünftausend''' angegeben ist. ** Im ersten Buch des Alten Testaments ('''Genesis''') wird Abram aus Ur in Mesopotamien bereits das Folgende prophezeit: <blockquote> 15,5 ''Sieh doch zum Himmel hinauf und zähl die Sterne, wenn du sie zählen kannst! Und er sprach zu ihm: So zahlreich werden deine Nachkommen sein''<br/> ...<br/> 17,5 ''Man wird dich nicht mehr Abram nennen. Abraham, Vater der Menge, wird dein Name sein; denn zum Stammvater einer Menge von Völkern habe ich dich bestimmt.'' </blockquote> * Die Gruppen von (ungefähr) '''fünfzig''' oder '''hundert Männern''' entsprechen den Sternbildern, die über den gesamten Himmel verteilt sind. Nach der Festlegung der Internationalen Astronomischen Union (IAU) von 1930 gibt es heute 88&nbsp;Sternbilder, die den Himmel vollständig abdecken. Mit den maximal fast 8800&nbsp;freiäugig sichtbaren Sternen entspricht dies im Mittel also 100&nbsp;Sternen pro Sternbild. Bei 4400&nbsp;freiäugig sichtbaren Sternen wären es 50&nbsp;Sterne pro Sternbild. Dies entspricht genau der Spanne der Gruppenstärke, die im Neuen Testament angegeben sind. * Das '''Brot''' und der '''Wein''' werden nach der christlichen Lehre bei der Transsubstantiation in den Leib und das Blut des vom '''Himmel''' herabgekommenen "Brot des Lebens" (vergleiche die Rede über das Himmelsbrot von Jesus in der Synagoge von Kafarnaum in Evangelium nach Johannes 6,48–58) gewandelt, das die kosmische Ewigkeit verheißt. Die Zahlen '''Zwei''', '''Fünf''', '''Sieben''' und '''Zwölf''' stehen in einem einfachen arithmetischen Zusammenhang, bei dem die beiden jeweils vorhergehenden Zahlen der Folge addiert werden: {| class="wikitable" |+ |'''Zahl''' |'''Summe''' |'''Anmerkung''' |- |'''2''' | |Anzahl der freiäugig als '''flächenhaft wahrnehmbaren Wandelgestirne''' ('''Sonne''' und '''Mond'''), siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Zwei|Zur Zwei]] |- |'''5''' | |Anzahl der freiäugig als '''punktförmig wahrnehmbaren Wandelgestirne''' '''Merkur''', '''Venus''', '''Mars''', '''Jupiter''', '''Saturn''' |- |'''7''' |= 2 + 5 |Anzahl der freiäugig wahrnehmbaren '''Wandelgestirne''' sowie der '''Tage in der Woche''', siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Sieben|Zur Sieben]] |- |'''12''' |= 5 + 7 |Anzahl der '''Monate im Jahr''', der '''Lebewesenkreiszeichen des Zodiaks''' sowie der '''Erdenjahre pro Jupiterjahr''', siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Zwölf|Zur Zwölf]], vergleiche hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Zodiak|Der Zodiak]] |- |'''19''' |= 7 + 12 |Anzahl der '''Jahre''' mit '''zwölf Monaten''' und '''sieben Schaltmonaten''' einer '''Meton-Periode''', siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Neunzehn|Zur Neunzehn]], vergleiche hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Schaltregeln|Die Plejaden-Schaltregeln]] und [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Der_Meton-Zyklus|Der Meton-Zyklus]] |} === Weitere Bezüge === Weitere Bezüge von der Astronomie zur Theologie ergeben sich bei den folgenden Sachverhalten: → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Biblische_Erwähnungen|'''biblische Erwähnungen von Konstellationen''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Der_Stern_von_Bethlehem|'''Der Stern von Bethlehem''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Ochs_und_Esel|'''Ochs und Esel / Krippe / „Ich bin das Alpha und das Omega“''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Biblische_Bezüge|'''Biblische Bezüge zu den Mondhäusern / Mondstationen''']]. == Zur Kosmologie == [[Datei:Kosmologisches.Modell.Schwarze.Schale.Rotverschiebung.png|mini|rechts|hochkant=2.5|Ein kosmologisches Modell unseres im Zentrum isotropen und inhomogenen Universums, das von einer undurchsichtigen und massereichen schwarzen Kugelschale umgeben ist. Von der äußeren Region aus betrachtet, ist unser Universum ein gigantisches Schwarzes Loch. Zwischen dem inneren und dem äußeren Bereich der schwarzen Kugelschale ist kein Informationsaustausch möglich. Jegliche Materie, die von innen oder außen in die schwarze Kugelschale gelangt, ist von innen und von außen nicht mehr sichtbar. Sowohl die innere als auch die äußere Grenze der schwarzen Kugelschale stellen demzufolge einen Ereignishorizont dar.]] Die '''Kosmologie''' beschäftigt sich mit der Struktur, dem Ursprung und der Entwicklung des Universums. Dadurch ergeben sich zahlreiche Bezüge zur beobachtenden '''Astronomie''' und zur '''Astrophysik''', aber auch zur '''Quantenphysik'''. In der Antike gingen die Menschen noch davon aus, dass sich die Erde im Mittelpunkt der Welt und somit auch in der Mitte des sichtbaren Universums befindet. Dieses geozentrische Weltbild wurde seit dem 16.&nbsp;Jahrhundert, ausgelöst durch die kopernikanische Wende, zunehmend verworfen und durch ein heliozentrisches Weltbild ersetzt. Durch die Erfindung und Verwendung von Fernrohren konnten seit dem Beginn des 17.&nbsp;Jahrhunderts immer mehr Details im Sternenhimmel entdeckt werden. Durch astronomische Beobachtungen ergaben sich immer mehr Indizien für die Tatsache, dass die Erde einmal pro Jahr auf einer Ellipsenbahn die Sonne umrundet und nicht die Sonne die Erde umkreist. Der Philosoph Immanuel Kant (1724–1804) erkannte bereits 1755 in seiner Allgemeinen Naturgeschichte und Theorie des Himmels das innere Wesen unserer Milchstraße. Mit der ersten zuverlässigen Messung der Parallaxe von unserer Erde zum benachbarten Fixstern 61&nbsp;Cygni ("Bessel's Stern") durch Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) in Königsberg und der daraus folgenden Berechnung von dessen Entfernung von gut zehn Lichtjahren im Jahr 1838 war die Tatsache, dass die Erde um die Sonne läuft, endgültig bewiesen. Die Auswertung der astronomischen Beobachtungen hat zu der heute allgemein geteilten Auffassung geführt, dass unser Universum bei einem Urknall entstanden ist und seitdem expandiert. Die Berücksichtigung des Äquivalenzprinzips zwischen schwerer und träger Masse, das zu der von '''Albert Einstein''' (1879–1955) formulierten Allgemeinen Relativitätstheorie führt, brachte '''Alexander Friedmann''' (1888–1925) 1922 zu der theoretischen Vorhersage eines dynamischen Universums. Fünf Jahre später schlussfolgerte der belgische Astronom '''Georges Lemaître''' (1894–1966) aus den von '''Vesto Slipher''' (1875–1969) beobachteten Rotverschiebungen von fernen Galaxien und den von '''Edwin Hubble''' (1889–1953) ermittelten Entfernungen dieser Galaxien, dass das Universum expandiert. Aufgrund dieser Erkenntnis ergibt sich, dass das Universum einen Ursprung mit sehr kleinem Radius gehabt haben muss. Diesen Zustand nannte er "primordiales Atom" beziehungsweise "Uratom". In der Folgezeit etablierte sich für diesen initialen Vorgang der Begriff "'''Urknall'''" (im Englischen: "'''Big Bang'''").<ref>Markus Bautsch: ''[https://en.wikibooks.org/wiki/Moving_objects_in_retarded_gravitational_potentials_of_an_expanding_spherical_shell/Brief_historical_review Moving objects in retarded gravitational potentials of an expanding spherical shell / Brief historical review], Wikibook (englisch), 2024, abgerufen am 28. Februar 2026</ref> Viele Astrophysiker versuchen heute mit dem sogenannten '''Standardmodell der Kosmologie''' (auch '''ΛCDM-Modell''' beziehungsweise Lambda-CDM-Modell, wobei "CDM" für "cold dark matter" steht, also für "kalte, dunkle Materie") die Entwicklung des Universums nachzubilden. Hierfür wenden sie das kosmologische Prinzip an, das von zwei grundlegenden Annahmen ausgeht:<ref>Markus Bautsch: ''[https://en.wikibooks.org/wiki/Moving_objects_in_retarded_gravitational_potentials_of_an_expanding_spherical_shell/Preface Moving objects in retarded gravitational potentials of an expanding spherical shell / Preface], Wikibook (englisch), 2024, abgerufen am 28. Februar 2026</ref> # Das Weltall sei '''homogen''', was bedeutet, dass es in groben Zügen von jedem Punkt aus gleich aussieht. # Das Weltall sei '''isotrop''', was besagt, dass es in groben Zügen in jede Richtung gleich aussieht. Mit diesen Annahmen kann das Modell berechnet werden, und mit diversen zusätzlichen Annahmen stimmt es in vielerlei Hinsicht mit den astronomischen Beobachtungen überein. Zu den zusätzlichen Annahmen gehören die folgenden beiden hypothetischen Größen: * '''Kalte, dunkle Materie''', die zwar der Gravitation unterläge, aber keine Wechselwirkung mit elektromagnetischer Strahlung zeigt. * Eine '''kosmologische Konstante''' Λ, die eine '''dunkle Energie''' beschreibt und für die beschleunigte Expansion des Universums verantwortlich sei. Weder für die Homogenität noch für die Isotropie des Kosmos konnten bislang Belege gefunden werden, und auch für die kalte dunkle Materie und die dunkle Energie konnte bislang keine physikalische Interpretation geliefert werden. Ferner ist auch die Annahme, dass die Naturkonstanten unveränderliche Werte haben, nicht begründbar. Auf kosmischen Zeitskalen kann es durchaus Änderungen geben, die wir derzeit nicht messen können. Die gilt insbesondere für die Hubble-Konstante, die die Expansionsrate des Universums beschreibt, für die Gravitationskonstante, die die Anziehung zweier Massen beschreibt, oder für die kosmologische Konstante, die die beschleunigte Expansion des Universums beschreibt. In diesem Kontext sei darauf hingewiesen, dass unser Universum genauso groß ist wie ein Schwarzes Loch mit der Masse unseres Universums. Deshalb gehen einige Kosmologen davon aus, dass wir innerhalb eines Schwarzen Loches der Größe und Masse unseres Universums leben könnten. Siehe hierzu auch: [[:en:Moving_objects_in_retarded_gravitational_potentials_of_an_expanding_spherical_shell|'''Moving objects in retarded gravitational potentials of an expanding spherical shell''']]. Darüber hinaus mehren sich Anzeichen und Hinweise, die gegen die Ergebnisse des Standardmodells der Kosmologie sprechen, beziehungsweise durch weitere Hypothesen, die physikalisch nicht begründet werden können, im Standardmodell berücksichtigt werden müssen. Die folgende unvollständige Liste soll hierzu einige Anhaltspunkte liefern: * Präzise astronomische Beobachtungen zeigen, dass das Weltall auch auf großen Längenskalen '''nicht homogen''' ist, sondern Strukturen zeigt. * Präzise astronomische Beobachtungen zeigen, dass das Weltall auch auf großen Längenskalen '''nicht isotrop''' ist (Asymmetrie der kosmischen Hintergrundstrahlung). * Die Hubble-Konstante hat heute einen anderen Wert als früher ("'''Hubble tension'''"), was mit dem Standardmodell nicht im Einklang steht. * Das beobachtete Vorkommen des dritten Elements im Periodensystem, also des Alkalimetalls '''Lithium''', ist mindestens dreimal geringer als vom Standardmodell vorhergesagt. * Die '''Rotverschiebung von fernen Galaxien''' ist deutlich größer als es nach dem Standardmodell möglich wäre. * Die beobachteten '''Rotationskurven von Spiralgalaxien''' stehen im Widerspruch zu den Ergebnissen des Standardmodells. * Das Standardmodell ist nicht in der Lage, die Abwesenheit von '''Antimaterie''' im sichtbaren Teil des Universums zu erklären. * Die im frühen Universum beobachteten '''primordialen Schwarzen Löcher und Galaxien''' mit explodierende '''Supernovae''' sowie dem Vorkommen von '''Sauerstoff''' stehen im Widerspruch zu den Ergebnissen des Standardmodells. == Zur Astrologie == Eine Sonderstellung nimmt die '''{{w|Astrologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen ἄστρον ("astron"), zu Deutsch „Sternenlehre“) ein. Sie ist ein weiteres Beispiel für eine Disziplin, bei der grundlegende Kenntnisse über die Astronomie eine Voraussetzung sind. Sie versucht, Zusammenhänge zwischen den Konstellationen der Wandelgestirne oder astronomischen Ereignissen mit irdischen Geschehnissen oder Veränderungen am Sternenhimmel herzustellen, insbesondere was besonderen Konjunktionen und daraus abgeleitete Prophezeiungen betrifft. Sie wurde bereits in Mesopotamien und in anderen alten Kulturkreisen von Astronomen ausgeübt. Noch der Astronom '''{{w|Johannes Kepler}}''' (1571–1630) hat als einer der letzten Astronomen einen wesentlichen Teil seiner Einkünfte durch Horoskope bestritten. Aber schon Aristoteles hatte festgestellt und beschrieben, dass bei bestimmten Konstellationen am Himmel die vorhergesagten Ereignisse nicht eingetreten waren. Vor der Aufklärung haben astrologische Prophezeiungen noch eine große und weitreichende gesellschaftliche Bedeutung gehabt. Als Beispiel seien die Behauptungen des ersten im Kurfürstentum Brandenburg tätigen Astrologen '''{{w|Johannes Carion}}''' (1499–1537) genannt, der für 1524 eine Sintflut vorhersagte, die nicht eingetroffen ist.<ref>{{Literatur |Autor=Markus Bautsch, Friedhelm Pedde |Titel=Vor 500 Jahren: Die Sintflut von 1524 die nicht stattfand |Online=https://wfs.berlin/wp-content/uploads/2024/05/A19-BROplanetA4_40s-feb2024ff_www-rz.pdf |Sammelwerk=Dem Himmel nahe. |WerkErg=Mitteilungen der Wilhelm-Foerster-Sternwarte e.V.|Nummer=19 |Hrsg=Wilhelm-Foerster-Sternwarte e.V. / Zeiss-Planetarium am Insulaner |Ort=Berlin |Datum=2024-02 |Seiten=16–19 |Sprache=de |Abruf=2025-08-03|ISSN=2940-9330}}</ref> Der Wiener Hofastronom '''{{w|Georg Tannstetter}}''' (1482–1535) sah sich 1523 bemüßigt, die schon lange im Voraus erhitzten und besorgten Gemüter zu beruhigen:<ref>Georg Tannstetter: ''Libellus consolatorius contra opiniones de diluvio et aliis horrendis periculis anni 1523''</ref> <blockquote> Nun hat sich überall, in allen Köpfen, in allen Seelen das Gerücht eingeschlichen:<br/> die Gelehrten und Weisen sind in ständigem Streitgespräch, andere hingegen sind derart verstört, dass sie ihren Geschäften nicht mehr nachgehen können; sie verkaufen ihre Anwesen, ihre Felder und Besitztümer oder lassen davon ab, Güter zu kaufen, in der Hoffnung, ihr Geld leichter in die sicheren Berge transportieren zu können. Andere wiederum verschieben ihr Heiratsversprechen, kündigen ohne scheinbaren Grund Verträge auf, entziehen sich ihren christlichen Gelübden, arbeiten faul und missmutig auf dem Land und fragen sich, was es denn nütze, Geld und Gut anzuhäufen, wenn doch in kürzester Zeit niemand mehr davon Nutzen ziehen könne. </blockquote> '''→ Siehe auch:''' * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Definition|'''Konjunktionen''', Abschnitt '''Definition''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Historische_Konjunktionen|'''Historische Konjunktionen''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Beobachtungen_in_der_Nähe_der_Ekliptik|'''Beobachtungen in der Nähe der Ekliptik''']]. <div style="clear:both"></div> == Einzelnachweise == <references></references> 5slwd4e9uugv6icktfrbbgmmqfntct9 1088512 1088511 2026-06-30T11:01:31Z Bautsch 35687 /* Zur Astrologie */ Formulierungen 1088512 wikitext text/x-wiki Viele Bezeichnungen für verschiedene Lehren werden mit der aus dem Altgriechischen stammenden Endung "-logie" (altgriechisch λόγος ("logos"), zu Deutsch „Lehre“) gebildet. Die folgenden Disziplinen sind in diesem Kontext hervorzuheben, da sie insbesondere für die '''{{w|Archäoastronomie}}''' wertvolle wissenschaftliche Ergänzungen zur '''{{w|Astronomie}}''' (aus den altgriechischen Wörtern ἄστρον ("ástron", zu Deutsch „Stern“) und νόμος ("nómos, zu Deutsch „Gesetz“) zusammengesetzt also „Sterngesetz“) liefern: * Die '''{{w|Archäologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort ἀρχαῖος ("archaios"), zu Deutsch „Altertumslehre“) beschäftigt sich mit der kulturellen Entwicklung der Menschheit. * Die '''{{w|Etymologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort ἔτυμος ("etymos"), zu Deutsch „Wortherkunftslehre“) untersucht die geschichtliche Herkunft von Wörtern. * Die '''{{w|Mythologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort μῦθος ("mythos"), zu Deutsch „Erzählungslehre“), die sich wissenschaftlich mit der Sagenwelt beschäftigt. * Die '''{{w|Theologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort θεός ("theós"), zu Deutsch „Gotteslehre“) mit ihren Lehren zum religiösen Glauben und dessen Glaubensdokumenten. * Die '''{{w|Kosmologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen Wort κόσμος ("kósmos"), zu Deutsch „Weltenlehre“) ist hingegen eine Lehre, die sich im Laufe der Jahrtausende deutlich verändert hat und sich auch heute noch erheblich weiterentwickelt, da es in der modernen Astronomie und Astrophysik mit zunehmend hohem technischem Aufwand immer wieder zu neuen Erkenntnissen kommt. * Die '''{{w|Numerologie}}''' (zusammengesetzt mit dem lateinischen Wort numerus, zu Deutsch „Zahlenlehre“) mit ihren mystischen Lehren über die symbolische Zuweisung von Bedeutungen an Zahlen. Von der Antike bis ins Mittelalter galt die Beherrschung der '''{{w|sieben freien Künste}}''' als Voraussetzung für das Betreiben von Philosophie. Zu den drei "trivialen" Künsten der {{w|Grammatik}}, der {{w|Rhetorik}} und der {{w|Dialektik}} des '''{{w|Trivium|Triviums}}''' wurden die vier Künste der {{w|Musiktheorie}}, der {{w|Arithmetik}}, der {{w|Geometrie}} und der {{w|Astronomie}} zu den Künsten des '''{{w|Quadrivium|Quadriviums}}''' gezählt → siehe hierzu auch [[Quadriviale_Kuriositäten|'''Wikibook ''Quadriviale Kuriositäten''''']]. == Zur Etymologie == Die Genesis aus dem Alten Testament greift die Thematik der Verwirrung der einheitlichen Sprache in ihrem elften Kapitel auf, und beschreibt, wie die bereits sternenkundigen Menschen im Norden Mesopotamiens übermütig geworden waren und in Babel einen Turm mit einer Spitze '''bis in den Himmel''' errichten wollten:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/1.Mose11 Genesis 11], Genesis, Kapitel 11, Einheitsübersetzung</ref> <blockquote> 1 Die ganze Erde hatte eine Sprache und ein und dieselben Worte.<br/> 2 Als sie ostwärts aufbrachen, fanden sie eine Ebene im Land Schinar und siedelten sich dort an.<br/> 3 Sie sagten zueinander: Auf, formen wir Lehmziegel und brennen wir sie zu Backsteinen. So dienten ihnen gebrannte Ziegel als Steine und Erdpech als Mörtel.<br/> 4 Dann sagten sie: Auf, bauen wir uns eine Stadt und einen Turm mit einer Spitze '''bis in den Himmel'''! So wollen wir uns einen Namen machen, damit wir uns nicht über die ganze Erde zerstreuen.<br/> 5 Da stieg der HERR herab, um sich Stadt und Turm anzusehen, die die Menschenkinder bauten.<br/> 6 Und der HERR sprach: Siehe, ein Volk sind sie und eine Sprache haben sie alle. Und das ist erst der Anfang ihres Tuns. Jetzt wird ihnen nichts mehr unerreichbar sein, wenn sie es sich zu tun vornehmen.<br/> 7 Auf, steigen wir hinab und verwirren wir dort ihre Sprache, sodass keiner mehr die Sprache des anderen versteht.<br/> 8 Der HERR zerstreute sie von dort aus über die ganze Erde und sie hörten auf, an der Stadt zu bauen.<br/> 9 Darum gab man der Stadt den Namen Babel, Wirrsal, denn dort hat der HERR die Sprache der ganzen Erde verwirrt und von dort aus hat er die Menschen über die ganze Erde zerstreut. </blockquote> Es mag weniger verwunderlich sein, dass Schöpfungsmythen oder Berichte über Katastrophen nicht nur einen astronomischen Hintergrund haben, sondern in völlig verschiedenen Kulturen sehr ähnliche Merkmale zeigen, wenn man sich das Folgende bewusst macht: Einige Indizien deuten auf einen für viele Kulturen gemeinsamen Ursprung hin, der auf eine tiefsinnige Betrachtung und Beobachtung des Himmelsgeschehens hindeutet. Bei bestimmten Wörtern sind die Ähnlichkeiten in vielen lebenden und toten Sprachen so auffällig, dass sie ein gemeinsames Ursprungswort (Etymon) haben und somit Kognaten sein dürften. === "Stern" === Bei den Wörtern „Gestirn“ beziehungsweise „Stern“ sind die Ähnlichkeiten in vielen lebenden und toten Sprachen sehr auffällig, und diese Verwandtschaften mögen durch die Wörter für "Stern" in den folgenden Sprachen belegt werden: * Akkadisch "istar" * Indogermanisch "ster" * Griechisch "astro" / "asteri" * Lateinisch "astrum" / "stella" * Althochdeutsch "stern(o)" * Jiddisch "shtern" * Katalanisch und Spanisch "estrella" * Portugiesisch "estrela" * Englisch "star" * Niederländisch "ster" * Westfriesisch "stjer" * Italienisch und Korsisch "stella" * Rumänisch "stea" * Sardisch "istedda" * Maltesisch "stilla" * Französisch "étoile" aus Altfranzösisch "estoile" * Galicisch "estrela" * Walisisch "seren" * Dänisch und Norwegisch "stjerne" * Schwedisch "stjärna" * Isländisch "stjarna" * Kurdisch "stêrk" * Gujarati "Tārō" * Hindi "तारा" (taara) * Marathi "तारा" (Tārā) * Nepalesisch "तारा" (Tārā) * Punjabi "ਤਾਰਾ" (Tārā) * Singhalesisch "තරුව" (taruva) * Khmer "តារា" (tara) * Armenisch "աստղ" (astgh) * Tadschikisch "ситора" (sitora) * Hausa "tauraro" * Krio "sta" === "Stier" === Eine starke Ähnlichkeit gibt es in vielen Sprachen auch zwischen den Wörtern „Stern“ und „Stier“. Der Stier bezeichnet zudem auch ein bedeutendes und eines der ältesten Sternbilder überhaupt: → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsstier|'''Himmelsstier''']]. * Akkadisch und Assyrisch "šūru" * Aramäisch "tōra" * Hebräisch "šǒr" * Ugaritisch "twr" * Arabisch "ثور" ("thawr") * Griechisch "ταύρος" ("tauros") * Lateinisch "taurus" * Althochdeutsch "stior" * Italienisch, Katalanisch und Spanisch "toro" * Galicisch "touro" * Gallisch "tarvos" * Französisch "taureau" * Schwedisch "tjur" * Dänisch "tyr" * Irisch und Gälisch "tarbh" * Wallisisch "tarw" === "Horn" === Auch die Hörner des Stieres betreffend setzen sich die vielen Ähnlichkeiten fort: * Akkadisch "carnu" * Aramäisch "qeren" * Griechisch "κόρνο" ("korno") * Lateinisch "cornu" * Maltesisch "qrun"* * Arabisch "قرون" ("qurun") * Französisch "corne" * Italienisch "corne" * Rumänisch "corn" * Haitianisch "kòn" === "Sieben" === Die in vielen Kulturen als heilig angesehene Zahl Sieben taucht im Zusammenhang mit der Astronomie als Anzahl der mit bloßem Auge sichtbaren Wandelgestirne und als Zahl der Hauptsterne in vielen Asterismen auf: * Sieben Wandelgestirne: Sonne Mond, Merkur, Venus, Mars, Jupiter, Saturn * Siebengestirn im Himmelsstier: Alkione, Atlas, Electra, Maia, Merope, Taygeta, Pleione * Sternbild Orion: Beteigeuze, Rigel, Bellatrix, Alnilam, Alnitak, Saiph, Mintaka * Asterismus Großer Wagen: Alioth, Dubhe, Alkaid, Mizar, Merak, Phekda, Megrez → Siehe auch: * [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Sieben|'''Zur Sieben''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Der_Fixsternhimmel#Die_sieben_hellsten_Objekte_der_Ekliptik|'''Die sieben hellsten Objekte der Ekliptik''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Kalenderführung#Die_Siebentagewoche|'''Die Siebentagewoche''']]. Wegen der hohen kulturellen, rituellen oder mythischen Bedeutung gibt es in vielen Kulturen und Sprachen etymologische Übereinstimmungen: * Akkadisch "sebe" * Proto-Indoeuropäisch "septḿ̥" * Hetitisch "sipta" * Proto-Germanisch "*sebun" * Althochdeutsch "sibun" * Hebräisch "sajin" (Buchstabe) oder "scheva" (Wort) * Etruskisch "semph" * Maltesisch "sebgħa" * Arabisch "sabʿa" * Griechisch "επτά" ("(h)epta") * Lateinisch "septem" * Ungarisch "het" * Proto-Balto-slawisch "septin" * Proto-Indo-Iranisch "saptá" * Katalanisch "set" * Spanisch "siete" * Galicisch "sete" * Lettisch "septiņi" * Italienisch "sette" * Französisch "sept" * Englisch "seven" * Wallisisch "saith" * Bosnisch / Kroatisch "sedam" * Rumänisch "șapte" * Irisch "seacht" * Swahili "saba" * Haitianisch "sèt" == Zur Mythologie == Seit Jahrtausenden blicken Menschen in den Nachthimmel und versuchen, die unzähligen Lichter am Firmament zu deuten. Schon früh begannen sie, die von ihnen erfundenen Sternbilder und die unablässig durch den Himmel ziehenden Wandelgestirne durch Geschichten über Götter, Helden oder andere Wesen zu interpretieren, zu erzählen und zum Teil über Jahrhunderte hinweg zu tradieren. Die '''Mythologie''' spielte dabei eine zentrale Rolle: Sie half nicht nur, eine symbolische Ordnung in den geheimnisvollen Kosmos zu bringen, sondern prägte auch viele der Bezeichnungen und Vorstellungen, die bis heute in der beschreibenden Astronomie überlebt haben. Die Verbindung zwischen Mythologie und Astronomie ist tief verwurzelt und zeugt vom menschlichen Bedürfnis, das wahrgenommene, aber dennoch unfassbare Universum durch räumliche und zeitliche Vorstellungen sowie durch Erzählungen begreifbar zu machen. Das Geschehen am Himmel musste auf die Menschen vor der Erfindung der Bewegtbilder und des Films in der späten Neuzeit sowohl attraktiv als auch spektakulär gewirkt haben. So konnten verschiedene mythische Gestalten am Himmel durch ihre scheinbaren Handlungen wahrgenommen werden. Durch die Wiederholung solcher Deutungen konnten sich besonders beliebte Mythen im kulturellen Kontext über die Zeit verfestigen, und entsprechende Riten konnten sich etablieren. Damit war auch eine wesentliche Voraussetzung für den Glauben der Menschen an eine höhere Macht oder mehrere höhere Mächte gegeben. Der Begriff '''Religion''' stammt vom lateinischen Inifiniv "relegere" ab. Dieses Verb bedeutet wörtlich übersetzt "wieder lesen" und meint im Sinne von "überdenken" das bewusste Wahrnehmen von Prophezeiungen oder Omen sowie das nachhaltige Beachten tradierter Vorschriften. '''→ Siehe:''' * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Urozean|'''Der Urozean''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Sagenwelt|'''Die Plejaden / Sagenwelt''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Mythologie|'''Der Himmelsstier''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Babylonische_Himmelswege|'''Babylonische Himmelswege''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Mithraskult|'''Mithraskult und Tauroktonie''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Höhlenmalerei_in_der_Magura-Höhle|'''Die Höhlenmalerei in der Magura-Höhle''']]. == Zur Theologie == Die '''Theologie''' (vom Altgriechischen θεός = theós = Gott und λόγος = lógos = Lehre) ist die Lehre von einem Gott oder von mehreren Göttern. Sie lehrt einen ausgeprägten religiösen Glauben, begründet rituelle Traditionen und deutet die vorhandenen Glaubensdokumente. [[Datei:Aristoteles.Theologie.png|mini|rechts|Wahrnehmbarkeit und Vergänglichkeit nach Aristoteles]] Die Theologie des '''{{w|Aristoteles}}''' (384–322) postuliert drei mögliche Substanzen:<ref>Aristoteles: ''Metaphysik'', Kapitel XII (Λ), Philosophische Theologie, Seiten 1069a –1076a</ref> {| class="wikitable" |+ Mögliche Substanzen nach Aristoteles ! Nummer !! Substanz !! Erläuterung !! Interpretationsbeispiel |- | 1. || Die sinnlich wahrnehmbare und vergängliche Substanz || Konkrete Dinge, die nur eine begrenzte Teilhabe an der Ewigkeit haben. || Lebewesen |- | 2. || Die sinnlich wahrnehmbare und unvergängliche Substanz || Konkrete Dinge, die eine unbegrenzte Teilhabe an der Ewigkeit haben. || Die sieben Wandelgestirne und die Fixsterne |- | 3. || Die sinnlich nicht wahrnehmbare und unvergängliche Substanz || Lebendiger, unbewegter Beweger, der der Ursprung aller anderen Dinge ist. || Gott |} Dieses theologische Prinzip wurde später auch von '''{{w|Thomas van Aquin}}''' (1225-1274) in seinen ''Quinque viae ad Deum'' ("Fünf Wege zu Gott") aufgegriffen: {| class="wikitable" |+ Nach dem ''Quinque viae ad Deum'' ("Fünf Wege zu Gott") von Thomas von Aquin ! Weg !! Bezeichnung !! Voraussetzung !! Feststellung !! Folgerung |- | Via&nbsp;I || Bewegungsbeweis || In der Welt ist überall Bewegung. || Alles Bewegte muss von einem anderen in Bewegung gebracht worden sein. || Der Erstbeweger ist Gott. |- | Via&nbsp;II || Kausalitätsbeweis || In der Welt gibt es überall Ursachen und Wirkungen. || Jede Wirkung muss eine Ursache haben. || Die erste Ursache der Welt ist Gott. |- | Via&nbsp;III || Kontingenzbeweis || Alles Empirische in der Welt entsteht und vergeht wieder. || Jedes empirische Wesen muss das Sein von einem absoluten Wesen empfangen haben. || Das absolute Wesen ist Gott. |- | Via&nbsp;IV || Stufenbeweis || In der Welt gibt es abgestuft gute, wahre und schöne Dinge. || Das absolute Wesen muss die höchste Güte, Wahrheit und Schönheit haben. || Das höchste Gute, Wahre und Schöne ist Gott. |- | Via&nbsp;V || Finalitätsbeweis || In der Welt gibt es Ordnung und Gesetzmäßigkeit. || Ordnung und Gesetzmäßigkeit müssen auf einen denkenden Geist zurückgehen. || Dieser Geist kommt von Gott. |} Auch '''{{w|Gottfried Wilhelm Leibniz}}''' (1646-1717) lehnt sich in seiner Hypothese von „Gott als letztem und zureichendem Grund der Welt“ daran an. Auch im 90. Psalm wird dieser Ansatz thematisiert: <blockquote> Das vierte Buch<br/> Der '''ewige''' Gott – der '''vergängliche''' Mensch<br/><br/> 1 Ein Bittgebet des Mose, des Mannes Gottes. O Herr, du warst uns Wohnung '''von Geschlecht zu Geschlecht'''.<br/> 2 '''Ehe geboren wurden die Berge, ehe du unter Wehen hervorbrachtest Erde und Erdkreis''', bist du '''Gott von Ewigkeit zu Ewigkeit'''.<br/> 3 '''Zum Staub zurückkehren lässt du den Menschen''', du sprichst: Ihr Menschenkinder, kehrt zurück!<br/> 4 Denn tausend Jahre sind in deinen Augen wie der Tag, der gestern vergangen ist, wie eine Wache in der Nacht. </blockquote> Darüber hinaus gibt der vierte Vers einen deutlichen Hinweis auf das Verhältnis zwischen der Länge des viele Jahrtausende dauernden Präzessionszyklus und der Länge eines siderischen Monats: der Mond wandert entlang der Ekliptiklinie an einem Tag genauso weit wie der Frühlingspunkt in tausend Jahren. → Siehe hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Präzession|'''Präzession''']]. Der griechische Dichter '''{{w|Aratos von Soloi}}''' in Kilikien (≈310–245) hatte seine astronomischen Kenntnisse vom Astronomen und Mathematiker '''{{w|Eudoxos von Knidos}}''' (geboren nach 390, gestorben nach 338) erhalten. In dem in der Antike verbreiteten Lehrgedicht Φαινόμενα (Phainomena = „Himmelserscheinungen“) von Aratos wird der Sternenhimmel in zahlreichen Hexametern beschrieben. Sein monumentales sechseckiges Grab aus der antiken Stadt Pompeiopolis wurde 2020 in der türkischen Provinz Mersin wiederentdeckt.<ref>Patricia Claus: [https://greekreporter.com/2021/07/11/memorial-tomb-of-ancient-greek-astronomer-aratus-unearthed-in-turkey/ Memorial Tomb of Ancient Greek Astronomer Aratus Unearthed in Turkey], The Greek Reporter, 11. Juli 2021</ref> Hier der Beginn des Prologs des Lehrgedichts: <blockquote> Εκ Διὸς ἀρχώμεσθα , τὸν οὐδέποτ᾽ ἄνδρες ἐῶμεν<br/> ῎Αῤῥητον . Μεσταὶ δὲ Διὸς πᾶσαι μὲν ἀγυιαὶ ,<br/> Πᾶσαι δ᾽ ἀνθρώπων ἀγοραί · μεστὴ δὲ θάλασσα ,<br/> Καὶ λιμένες. πάντη δὲ Διὸς κεχρήμεθα πάντες .<br/> '''Τοῦ γὰρ καὶ γένος εἰμέν''' · ὁ δ᾽ ἤπιος ἀνθρώποισι<br/> Δεξιὰ σημαίνει · λαοὺς δ᾽ ἐπὶ ἔργον ἐγείρει ,<br/> Μιμνήσκων βιότοιο . λέγει δ᾽ , ὅτε βῶλος ἀρίστη<br/> Βουσί τε καὶ μακέλῃσι · λέγει δ᾽ , ὅτε δεξιαὶ ὧραι ,<br/> Καὶ φυτὰ γύρῶσαι , καὶ σπέρματα πάντα βαλέσθαι .<br/> Αὐτὸς γὰρ τάγε σήματ᾽ ἐν '''οὐρανῷ''' ἐστήριξεν ,<br/> '''Αστρα''' διακρίνας · ἐσκέψατο δ᾽ εἰς ἐνιαυτὸν<br/> '''᾿Αστέρας''' , οἵ κε μάλιστα τετυγμένα σημαίνοιεν<br/> ᾿Ανδράσιν ὡράων , ὄφρ᾽ ἔμπεδα πάντα φύωνται .<br/> Τῷ μιν ἀεὶ πρῶτόν τε καὶ ὕστατον ἱλάσκονται .<br/> Χαῖρε , πάτερ , μέγα θαῦμα , μέγ᾽ ἀνθρώποισιν ὄνειαρ ,<br/> Αὐτὸς καὶ προτέρη γενεή ! χαίροιτε δὲ , Μοῦσαι<br/> Μειλίχιαι , μάλα πᾶσαι ! ἐμοί γε μὲν '''ἀστέρας''' εἰπεῖν ,<br/> Ηἱ θέμις εὐχομένῳ , τεκμήρατε πᾶσαν ἀοιδήν .<br/> Οἱ μὲν ὁμῶς πολέες τε , καὶ ἄλλυδις ἄλλοι ἐόντες ,<br/> '''Οὐρανῷ''' ἕλκονται πάντ᾽ ἤματα συνεχὲς αἰεί.<br/> Αὐτὰρ ὅγ᾽ οὐδ᾽ ὀλίγον μετανίσσεται · ἀλλὰ μάλ' αὕτως<br/> '''῎Αξων''' οἱ ἐνάρηρεν · ἔχει δ᾽ ἀτάλαντον ἁπάντη<br/> '''Μεσσηγὺς γαῖαν''' , περὶ δ᾽ '''οὐρανὸν''' αὐτὸν ἀγινεῖ.<br/> Καί μιν πειραίνουσι δύω '''πόλοι''' ἀμφοτέρωθεν ·<br/> ᾿Αλλ᾽ ὁ μὲν οὐκ ἐπίοπτος · ὁ δ᾽ ἀντίος ἐκ '''Βορέαο''' ,<br/> Ὑψόθεν Ὠκεανοῖο . Δύω δὲ μιν ἀμφὶς ἔχουσαι<br/> '''Ἄρκτοι''' ἅμα τροχόωσι · τὸ δὴ καλέονται '''῞Αμαξαι''' . </blockquote> Übersetzung unter Beibehaltung der Hexameter nach dem deutschen Dichter, Übersetzer und Hochschullehrer Johann Heinrich Voss (1751–1826) von 1824:<ref>АРАТОΥ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΙ ΔΙΟΣΗΜΕΙΑ. Des Aratos Sternerscheinungen und Wetterzeichen. Übersetzt und erklärt von Johann Heinrich Voss. Heidelberg bei Christian Friedrich Winter. 1824.</ref> <blockquote> Zeus sei unser Beginn , und niemals bleib' er uns Männern<br/> Ungelobt. Voll wahrlich des Zeus sind alle des Wandels<br/> Weg' , und alle Versammlung der Welt ; voll jegliche Meerflut ,<br/> Jeglicher Port ; ringsum ja des Zeus bedürfen wir alle .<br/> '''Seines Geschlechts auch sind wir''' ; und Er , mildherzig den Menschen,<br/> Zeichnet, was frommt, rechtsher ; und zu Tätigkeit weckt er die Völker,<br/> Mahnend an Lebensbedarf : Er sagt , wann besser dem Pflugstier<br/> Fuge die Scholl' , und dem Karst ; er sagt , wann schickliche Jahrszeit,<br/> Dass man die Pflanze behäuf" , und einsenk' allerlei Anwachs .<br/> Denn selbst hat er die Zeichen am oberen '''Himmel''' befestigt ,<br/> Und '''Sternbilder''' verteilt ; er hat fürsehend dem Jahrlauf<br/> '''Sterne''' bestimmt , die den Menschen zumeist annahende Wechsel<br/> Deuteten jeglicher Zeit , dass in Völligkeit alles erwachse .<br/> Drum ihn immer zuerst , und zulezt ihn , sühnen sie feiernd.<br/> Heil , anstaunlicher Vater , den Sterblichen mächtiges Labsal ,<br/> Du auch , selbst des Geschlechts Ursprung ! Heil , freundliche Musen,<br/> Heil euch allen gesamt ! doch mir , der , die '''Sterne''' zu melden ,<br/> Euch , wie geziemt , anfleht , bringt allen Gesang zur Vollendung.<br/> Jene zugleich , so viele zerstreuete , andere anders ,<br/> Ziehn mit dem '''Himmel''' einher in ewigem Zuge beständig .<br/> Doch nie schwanket er selbst um ein weniges; sondern durchaus so<br/> Bleibt ihm die '''Axe''' geheftet ; die hält gleichschwebend vom Umfang<br/> Hier '''in der Mitte die Erd'''' , und umher dort dreht sie den '''Himmel''' .<br/> Sie dann hat zween '''Pol'''' an jeglichem Ende gerichtet :<br/> Unsichtbar ist jener; doch hier um den '''Boreas''' ragt er<br/> Ob dem Okeanos hoch. Zwo dem zu den Seiten gestellte<br/> '''Bärinnen''' rollen umher: drum auch '''Rollwagen''' benamet. </blockquote> '''''Hinweise:''''' * Die "Axe" beschreibt die Erdachse. * ''Mit dem "Boreas" ist der Himmelsnordpol gemeint.'' * ''Bei den beiden Bärinnen handelt es sich um die Sternbilder des Großen Bären (Ursa Maior) und des Kleinen Bären (Ursa Minor).'' * ''Die beiden Rollwagen sind bei uns heute die Asterismen Großer Wagen und Kleiner Wagen.'' Der Apostel '''{{w|Paulus von Tarsus}}''' (geboren vor 10, gestorben nach 60) war der bedeutendste Missionar des Urchristentums und kannte diesen Text offensichtlich. Im 17.&nbsp;Kapitel der Apostelgeschichte des Lukas wird ihm ein Zitat aus dem Prolog des Lehrgedichts über die Abstammung der Menschen von Gott in den Mund gelegt.<ref>[https://www.die-bibel.de/bibel/NA28,EUE/ACT.17.28 Apostelgeschichte 17,28], Abschnitt: ''Paulus in Athen'', Novum Testamentum Graece und Einheitsübersetzung</ref> <blockquote> Apostelgeschichte 17,28: '''Τοῦ γὰρ καὶ γένος ἐσμέν.''' </blockquote> <blockquote> Apostelgeschichte 17,28: '''Wir sind von seinem Geschlecht.''' </blockquote> === Zahlen in Religionen === Die '''Zwei''' steht oft für Gegensätze, wie zum Beispiel Tag und Nacht, Aufgang und Untergang, Sommerhalbjahr und Winterhalbjahr, zunehmender und abnehmender Mond oder obere und untere Kulmination. Eine solche Zweiteilung findet sich oft auch in gegensätzliche Kategorien wieder, die in vielen Disziplinen, insbesondere auch in der Ethik und in Religionen verwendet werden, wie beispielsweise gut und böse, oben und unten, Leben und Tod, Licht und Schatten, Wärme und Kälte oder Himmel und Hölle. Interessant ist auch die frühgeschichtliche astronomische Auffassung von '''zwei''' mächtigen Gegenspielern, die sich im Sternenhimmel an zwei gegenüberliegenden Seiten befinden, der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsstier|der Himmelsstier]] und der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsskorpion|der Himmelsskorpion]]. → Siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Zwei|'''Zur Zwei''']]. Die astronomischen Zahlen '''Sieben''' und '''Zwölf''' werden als heilige Zahlen angesehen. Sie werden in vielfältigen Kontexten in religiösen Texten erwähnt und für viele religiöse Symbole verwendet. Ferner spielt auch die astronomische Zahl '''Vier''' in Religionen eine bedeutende Rolle, wo sie deswegen manchmal ebenfalls als heilige Zahlen angesehen wird: * '''Vier''' Hauptsterne respektive Hauptsternbilder mit den '''vier''' Himmelsrichtungen und den '''vier''' Jahreszeiten: → siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Bedeutung_der_Vier_in_Religionen|'''Bedeutung der Vier in Religionen''']]. * '''Sieben''' Wandelgestirne mit den die '''sieben''' Tagen einer Woche beziehungsweise eines Mondviertels: → siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Bedeutung_der_Sieben_in_Religionen|'''Bedeutung der Sieben in Religionen''']]. * '''Zwölf''' Ekliptiksternbilder, '''zwölf''' Monate pro Jahr, '''zwölf''' Jahre Umlaufzeit des Planeten Jupiter, jeweils '''zwölf''' Stunden Tag und Nacht: → siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Bedeutung_der_Zwölf_in_Religionen|'''Bedeutung der Zwölf in Religionen''']]. === Altes Testament === In der Bibel wird in der Regel nicht zwischen Fixsternen und Planeten unterschieden. Eine Ausnahme gibt es im 2.&nbsp;Buch der Könige, Kapitel&nbsp;23, Vers&nbsp;5 aus dem siebenten vorchristlichen Jahrhundert, wo in der deutschsprachigen Einheitsübersetzung von "den Wandelsternen" und in der Luther-Bibel von "den Planeten" die Rede ist. Die Vulgata schreibt hier allerdings von den "duodecim signis", womit sicherlich die zwölf Sternzeichen der Ekliptik gemeint sind, durch die die sieben Wandelgestirne ziehen. Die Septuaginta spricht noch allgemeiner von den "μαζουρωθ" nach dem Hebräischen Wort "מַזָּלָה" ("mazzaroth"), womit vermutlich Sternkonstellationen und im engeren Sinne ebenfalls die zwölf Sternzeichen des Zodiaks gemeint sind: <blockquote> '''Septuaginta '''<br/> 5 καὶ κατέπαυσεν τοὺς χωμαριμ, οὓς ἔδωκαν βασιλεῖς Ιουδα καὶ ἐθυμίων ἐν τοῖς ὑψηλοῖς καὶ ἐν ταῖς πόλεσιν Ιουδα καὶ τοῖς περικύκλῳ Ιερουσαλημ, καὶ τοὺς θυμιῶντας τῷ Βααλ καὶ τῷ ἡλίῳ καὶ τῇ σελήνῃ καὶ τοῖς '''μαζουρωθ''' καὶ πάσῃ τῇ δυνάμει τοῦ οὐρανοῦ.<br/> <br/> '''Vulgata'''<br/> 5 Et delevit aedituos, quos posuerant reges Iudae ad sacrificandum in excelsis per civitates Iudae et in circuitu Ierusalem, et eos, qui adolebant Baal et soli et lunae et '''duodecim signis''' et omni militiae caeli.<br/> <br/> '''Einheitsübersetzung (2016)'''<br/> 5 Auch setzte er die Götzenpriester ab, die von den Königen von Juda bestellt worden waren und die auf den Kulthöhen, in den Städten Judas und in der Umgebung Jerusalems Opfer verbrannt sowie dem Baal, der Sonne, dem Mond, den '''Wandelsternen''' und dem ganzen Heer des Himmels geopfert hatten.<br/> <br/> '''Luther-Bibel (2017)'''<br/> 5 Und er setzte die Götzenpriester ab, die die Könige von Juda eingesetzt hatten, um auf den Höhen zu opfern in den Städten Judas und um Jerusalem her; auch die dem Baal geräuchert hatten, der Sonne und dem Mond und den '''Planeten''' und allem Heer am Himmel.<br/> </blockquote> Der Prophet Habakuk erwähnt in seinem Psalm in Kapitel&nbsp;3 aus dem siebenten vorchristlichen Jahrhundert das Konzept der Aufteilung der Ekliptik in Mondstationen respektive in Mondhäuser: <blockquote> 10 Wenn sie dich sehen, erbeben die Berge,<br/> das Tosen der Wasser rauscht vorüber; es erhebt die Urflut ihre Stimme,<br/> hoch oben vergisst die Sonne ihre Strahlen.<br/> 11 '''Der Mond bleibt in der Behausung;'''<br/> als Beleuchtung schwirren deine Pfeile,<br/> als heller Schein das Blitzen deiner Lanze. </blockquote> In den folgenden Bibelstellen aus dem Alten Testament spiegeln sich astronomische Vorstellungen in Bezug auf Gott wider: '''Genesis 1:''' <blockquote> 1 Im Anfang erschuf Gott '''Himmel''' und Erde.<br/> 2 Die '''Erde''' war wüst und wirr und '''Finsternis''' lag über der '''Urflut''' und Gottes Geist schwebte über dem '''Wasser'''.<br/> 3 Gott sprach: Es werde '''Licht'''. Und es wurde '''Licht'''. ...<br/> 5 Und Gott nannte das Licht '''Tag''' und die Finsternis nannte er '''Nacht'''. Es wurde '''Abend''' und es wurde '''Morgen''': erster Tag.<br/> ...<br/> 14 Dann sprach Gott: Lichter sollen am '''Himmelsgewölbe''' sein, um '''Tag''' und '''Nacht''' zu scheiden. Sie sollen als Zeichen für '''Festzeiten''', für '''Tage''' und '''Jahre''' dienen.<br/> 15 Sie sollen Lichter am Himmelsgewölbe sein, um über die Erde hin zu leuchten. Und so geschah es.<br/> 16 Gott machte '''die beiden großen Lichter''', das große zur Herrschaft über den '''Tag''', das kleine zur Herrschaft über die '''Nacht''', und die '''Sterne'''. </blockquote> '''Psalm 8:''' <blockquote> 4 Seh ich deine '''Himmel''', die Werke deiner Finger, '''Mond '''und '''Sterne''', die du befestigt. </blockquote> [[Datei:Johannes.Kepler.Coeli.enarrant.gloriam.Dei.png|mini|rechts|Portrait des jungen Johannes Keplers mit dem Motto "Coeli enarrant gloriam Dei." nach Psalm 19: "Die Himmel erzählen die Herrlichkeit Gottes."]] '''Psalm 19:''' <blockquote> 2 Die '''Himmel''' erzählen die Herrlichkeit Gottes und das '''Firmament''' kündet das Werk seiner Hände. </blockquote> '''Psalm 90:''' <blockquote> 2 Ehe geboren wurden die Berge, ehe du unter Wehen hervorbrachtest '''Erde''' und '''Erdkreis''', bist du Gott von Ewigkeit zu Ewigkeit. </blockquote> '''Psalm 102:''' <blockquote> 26 Vorzeiten hast du der Erde Grund gelegt, die '''Himmel''' sind das Werk deiner Hände. </blockquote> '''Psalm 103:''' <blockquote> 19 Der HERR hat seinen Thron errichtet im '''Himmel''', seine königliche Macht beherrscht '''das All'''. </blockquote> '''Psalm 104:''' <blockquote> 19 Du machst den '''Mond''' zum Maß für die Zeiten, die '''Sonne''' weiß, wann sie untergeht. </blockquote> '''Psalm 113:''' <blockquote> 3 Vom '''Aufgang der Sonne''' bis zu ihrem '''Untergang''' sei gelobt der Name des HERRN.<br/> 4 Erhaben ist der HERR über alle Völker, über den '''Himmeln''' ist seine Herrlichkeit. </blockquote> '''Psalm 136:''' <blockquote> 3 Dankt dem Herrn der Herren, denn seine Huld währt ewig!<br/> 4 Ihm, der allein große Wunder tut, denn seine Huld währt ewig,<br/> 5 der den '''Himmel''' gemacht hat in Weisheit, denn seine Huld währt ewig,<br/> 6 der die Erde gefestigt hat über den Wassern, denn seine Huld währt ewig,<br/> 7 der '''die großen Leuchten''' gemacht hat, denn seine Huld währt ewig,<br/> 8 die '''Sonne''' zur Herrschaft über den '''Tag''', denn seine Huld währt ewig,<br/> 9 den '''Mond''' und die '''Sterne''' zur Herrschaft über die '''Nacht''', denn seine Huld währt ewig. </blockquote> '''Psalm 147:''' <blockquote> 4 Er bestimmt die Zahl der '''Sterne''' und ruft sie alle mit Namen. </blockquote> '''Psalm 148:''' <blockquote> '''Lobpreis auf den Herrn, den König des Kosmos'''<br/> 1 Halleluja! Lobt den HERRN vom '''Himmel''' her, lobt ihn in den Höhen:<br/> 2 Lobt ihn, all seine Engel, lobt ihn, all seine Heerscharen,<br/> 3 lobt ihn, '''Sonne''' und '''Mond''', lobt ihn, all ihr leuchtenden '''Sterne''',<br/> 4 lobt ihn, ihr '''Himmel der Himmel''', ihr Wasser über dem '''Himmel'''! </blockquote> Mit den "Wassern über dem Himmel" können nicht die Wolken unterhalb der Sternensphäre gemeint sein. Vielmehr dürfte es sich um eine Anspielung auf den Urozean beziehungsweise die Urflut handeln (siehe hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Urozean|'''Urozean''']]). Diese Urflut existierte bereits vor der Erschaffung des Lichts und der Gestirne. Man erinnere sich an den Beginn der Schöpfungsgeschichte in den ersten drei Versen der Bibel (siehe oben). '''Buch der Weisheit (Weisheit Salomos):''' <blockquote> '''Salomos Gebet um Weisheit'''<br/> 9,1 Gott der Väter und Herr des Erbarmens, du hast '''das All''' durch dein Wort gemacht. </blockquote> '''Jesus Sirach 42:''' <blockquote> '''Lob Gottes in der Schöpfung'''<br/> 15 Nun will ich der Werke des Herrn gedenken, und was ich gesehen habe, werde ich erzählen: Durch die Worte des Herrn sind seine Werke und durch seinen Segen gab er ihnen ihre Bestimmung.<br/> 16 Die leuchtende '''Sonne''' blickt auf alles hernieder und von der Herrlichkeit des Herrn ist sein Werk erfüllt.<br/> 17 Der Herr gab es selbst den Heiligen nicht, all seine Wunder zu erzählen, der Herr der Herrscher über '''das All''', hat sie gegründet, sodass '''das All''' in seiner Herrlichkeit Bestand hat.<br/> 18 Abgrund und Herz hat er durchforscht und ihre Absichten hat er durchschaut; denn der Höchste kennt alles Wissen und er blickt auf die '''Zeichen der Zeiten'''.<br/> 19 Er tut das Vergangene und das Kommende kund und enthüllt die Spuren des Verborgenen.<br/> 20 Kein Gedanke entgeht ihm und kein einziges Wort bleibt ihm verborgen.<br/> 21 Die Großtaten seiner Weisheit hat er geordnet; wie er ist '''von Ewigkeit und in Ewigkeit'''. Ihm ist weder etwas hinzugefügt noch weggenommen worden und er hat keines Ratgebers bedurft. </blockquote> Auch im nachfolgenden Kapitel lobt Jesus Sirach die Sonne, den Mond und die Sterne in den höchsten Tönen: '''Jesus Sirach 43:''' <blockquote> 1 Der Stolz der Höhe ist ein '''Firmament''' von Reinheit, die Gestalt des '''Himmels''' beim Anblick der Herrlichkeit.<br/> 2 Die '''Sonne''' verkündet durch ihr Erscheinen beim Aufgang, ein wunderbares Geschöpf, ein Werk des Höchsten!<br/> 3 Zur '''Mittagszeit''' trocknet sie den Boden aus, wer wird bestehen vor ihrer Glut?<br/> 4 Wer in einen Ofen bläst bei Arbeiten mit Glut - dreimal so stark versengt die '''Sonne''' Berge; sie atmet Feuerdämpfe aus und blendet mit gleißenden Strahlen die Augen.<br/> 5 Groß ist der Herr, der sie gemacht hat, mit seinen Worten beschleunigt er ihren Lauf.<br/> 6 Auch der '''Mond''' hält sich in allem an seinen Zeitpunkt, zur '''Festsetzung der Zeiten''' und als Zeichen auf Dauer.<br/> 7 Vom '''Mond''' geht das Zeichen für einen Festtag aus, ein Gestirn, das abnimmt bis zur Vollendung.<br/> 8 Der Name '''Monat''' kommt vom '''Neumond''', der wunderbar zunimmt beim Wechsel, ein Geschöpf des Heeres in der Höhe, das am '''Himmelsgewölbe''' leuchtet.<br/> 9 Die Schönheit des '''Himmels''' ist der Glanz der '''Sterne''', ein strahlender Schmuck in den Höhen des Herrn.<br/> 10 Durch die Worte des Heiligen stehen sie gemäß ihrer Bestimmung und sie ermüden nie bei ihrer Wache.<br/> ...<br/> 27 Vieles werden wir sagen, aber wir kommen nie an ein Ziel und das Ende der Worte ist: Er ist '''das All'''. </blockquote> '''Jesaja 40:''' <blockquote> 26 Hebt eure Augen in die Höhe und seht: Wer hat diese '''Gestirne''' erschaffen?<br/> Der vollzählig herausführt ihr Heer, er ruft sie alle beim Namen.<br/> Wegen seiner Fülle an Kraft und mächtiger Stärke fehlt kein einziges. </blockquote> Das Buch Baruch gehört zu den späten Schriften des Alten Testaments. Im dritten Kapitel werden das Licht und die Sterne in Bezug auf Gott thematisiert: '''Baruch 3:''' <blockquote> 33 Er entsendet das '''Licht''' und es eilt dahin; er ruft es zurück und zitternd gehorcht es ihm.<br/> 34 Froh leuchten die '''Sterne''' auf ihren Posten.<br/> 35 Ruft er sie, so antworten sie: Hier sind wir. Sie leuchten mit Freude für ihren Schöpfer.<br/> 36 Das ist unser Gott; kein anderer gilt neben ihm. </blockquote> Ein Lobpreis auf die Werke, Engel und Mächte Gottes am Gewölbe des Himmels findet sich im '''Buch Daniel''' im dritten Kapitel. Der Text macht inhaltlich eine ähnliche Aussage wie der Lobpreis auf den Herrn, den König des Kosmos in Psalm 148 (siehe oben): '''Daniel 3:''' <blockquote> 56 Gepriesen bist du am Gewölbe des '''Himmels''', gerühmt und verherrlicht in Ewigkeit.<br/> 57 Preist den HERRN, all ihr Werke des HERRN; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 58 Preist den HERRN, ihr '''Himmel'''; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 59 Preist den HERRN, ihr Engel des HERRN; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 60 Preist den HERRN, all ihr '''Wasser über dem Himmel'''; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 61 Preist den HERRN, all ihr Mächte des HERRN; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 62 Preist den HERRN, '''Sonne und Mond'''; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit!<br/> 63 Preist den HERRN, ihr '''Sterne am Himmel'''; lobt und rühmt ihn in Ewigkeit! </blockquote> === Der Himmelsthron === Der '''Himmelsthron''' wir in vielen Texten des Alten Testaments als der Sitz Gottes genannt. Hier zunächst einige Erwähnungen in den Psalmen: <blockquote> 11,4 Der HERR ist in seinem heiligen Tempel, der HERR hat seinen '''Thron im Himmel'''.<br/> Seine Augen schauen herab, seine Blicke prüfen die Menschen. </blockquote> <blockquote> 33,13 Der HERR blickt herab vom '''Himmel''', er sieht alle Menschen.<br/> 33,14 Von seinem '''Thronsitz''' schaut er nieder auf alle Bewohner der Erde. </blockquote> <blockquote> 89,37 Sein Haus soll bleiben auf ewig, sein '''Thron''' habe Bestand vor mir wie die '''Sonne'''; </blockquote> <blockquote> 103,19 Der HERR hat seinen '''Thron''' errichtet im '''Himmel''', seine königliche Macht beherrscht '''das All'''. </blockquote> Im Buch der Weisheit stehen die folgenden beiden Verse: <blockquote> 9,9 Mit dir ist die Weisheit, die deine Werke kennt und die zugegen war, als du die Welt erschufst. Sie weiß, was wohlgefällig ist in deinen Augen und was recht ist nach deinen Geboten.<br/> 9,10 Sende sie vom heiligen '''Himmel''' und schick sie vom '''Thron''' deiner Herrlichkeit, damit sie bei mir sei und alle Mühe mit mir teile und ich erkenne, was wohlgefällig ist bei dir! </blockquote> Diese Bild von Gottes Thron im Himmel wir auch im Neuen Testament aufgegriffen, wie beispielsweise beim Evangelisten Matthäus (Kapitel 5, Vers 34) oder in der Offenbarung des Johannes, wo im vierten Kapitel die eröffnende Himmelsvision mit dem Abschnitt über "Die Huldigung vor dem Thron Gottes" beginnt: <blockquote> 1 Danach sah ich und siehe, eine Tür war geöffnet am '''Himmel'''; und die erste Stimme, die ich gleich einer Posaune mit mir reden gehört hatte, sagte: Komm herauf und ich werde dir zeigen, was dann geschehen muss.<br/> 2 Sogleich wurde ich vom Geist ergriffen. Und siehe, '''ein Thron stand im Himmel'''; auf dem Thron saß einer,<br/> 3 der wie ein Jaspis und ein Karneol aussah. Und über dem '''Thron''' wölbte sich ein Regenbogen, der wie ein Smaragd aussah.<br/> 4 Und rings um den '''Thron standen vierundzwanzig Throne''' und auf den Thronen saßen vierundzwanzig Älteste, in weiße Gewänder gekleidet und mit goldenen Kränzen auf dem Haupt.<br/> 5 Von dem Thron gingen Blitze, Stimmen und Donner aus. Und '''sieben lodernde Fackeln brannten vor dem Thron; das sind die sieben Geister Gottes'''.<br/> 6 Und vor dem Thron war etwas wie ein gläsernes Meer, gleich Kristall. Und in der Mitte des Thrones und rings um den Thron waren '''vier Lebewesen''' voller Augen, vorn und hinten.<br/> 7 Das erste Lebewesen glich einem '''Löwen''', das zweite einem '''Stier''', das dritte sah aus wie ein '''Mensch''', das vierte glich einem '''fliegenden Adler'''.<br/> </blockquote> Der achtstrophige Adventshymnus ''Veni redemptor gentium'' (die deutschsprachige Kontrafaktur heißt "Nun komm, der Heiden Heiland") wird dem Kirchenvater Ambrosius von Mailand (339–397) zugeschrieben. In der fünften Strophe wird mit Bezug auf die Himmelfahrt des Messias der Sitz Gottes erwähnt: <blockquote> 5,1 Egressus eius a Patre,<br/> 5,2 Regressus eius ad Patrem;<br/> 5,3 Excursus usque ad inferos,<br/> 5,4 Recursus ad '''sedem Dei'''. </blockquote> <blockquote> 5,1 Sein Ausgang ist vom Vater,<br/> 5,2 Seine Rückkehr ist beim Vater;<br/> 5,3 Hinausgelaufen bis zu den Toten,<br/> 5,4 Zurückgelaufen bis zum '''Sitz Gottes'''. </blockquote> Es ist nicht viel Phantasie erforderlich, um den Thron Gottes im '''Himmelsstier''' wiederzuerkennen. Die vierundzwanzig Throne, die sich entlang der '''Ekliptik''' um diesen Thron herum aufreihen, stehen für die vierundzwanzig Stunden eines Tages, und sie sind je zwei für jedes der zwölf Lebewesenkreiszeichen des '''Zodiaks'''. Die als sieben lodernde Fackeln vor dem Thron sind die sieben '''Wandelgestirne''', die als die '''sieben Geister Gottes''' immer wieder durch das '''Goldene Tor der Ekliptik''' in der Sitzfläche des Thrones ziehen. Die '''vier besonderen Lebewesen''' sind die vier Evangelistensymbole bei den vier zoroastrischen '''Königssternen'''. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsstier|'''Himmelsstier''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Die_Ekliptik|'''Ekliptik''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Zodiak|'''Zodiak''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der_Ekliptik|'''Goldenes Tor der Ekliptik''']]. → Siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Bedeutung_der_Vier_in_Religionen|'''Bedeutung der Vier in Religionen''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Königssterne|'''Königssterne''']]. <gallery caption="Throne" widths=640 heights=480 perrow=2> Aachen_Cathedral_Karlsthron_02.jpg|Thron Karls des Großen aus den 790er Jahren im Aachener Dom. Himmelsthron.Taurus.Aries.png|Himmelsthron in den Sternbildern Stier (Taurus) und Widder (Aries) vor dem Untergang in Richtung Westen. </gallery> === Das Lamm === Im ersten Kapitel des Evangeliums nach Johannes wird Jesus von Nazareth explizit als "Lamm Gottes" bezeichnet:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Johannes1%2C29 Johannes 1,29], bibleserver.com, Einheitsübersetzung (2016)</ref> <blockquote> 29b Seht, das '''Lamm Gottes''', das die Sünde der Welt hinwegnimmt!<br/> ...<br/> 36b Seht, das '''Lamm Gottes'''! </blockquote> Es handelt sich beim „Lamm Gottes“ (Kirchenlatein: „Agnus Dei“) um ein seit ältester Zeit verbreitetes Symbol für Jesus Christus. Es wird auch als das Osterlamm bezeichnet, das am Ostertag, also kurz nach der Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühjahr auferstanden ist. Nach dem Evangelisten Markus wurde die Auferstehung „... am ersten Tag der Woche, früh am Morgen, als eben die Sonne aufging“, also am Ostersonntag während der Morgenröte im Osten entdeckt.<ref>[https://www.bibleserver.com/LUT/Markus16%2C2 Markus 16,2], Einheitsübersetzung, 2016</ref> Am 40.&nbsp;Tag ist Jesus Christus nach dem Zeugnis der Evangelisten Markus und Lukas in den Himmel aufgefahren. Zu Beginn der Apostelgeschichte wird dieses Ereignis folgendermaßen beschrieben:<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/Apostelgeschichte1 Apostelgeschichte 1], Einheitsübersetzung, 2016</ref> <blockquote> 7 Er sagte zu ihnen: Euch steht es nicht zu, Zeiten und Fristen zu erfahren, die der Vater in seiner Macht festgesetzt hat.<br/> 8 Aber ihr werdet Kraft empfangen, wenn der Heilige Geist auf euch herabkommen wird; und ihr werdet meine Zeugen sein in Jerusalem und in ganz Judäa und Samarien und bis an die Grenzen der Erde.<br/> 9 Als er das gesagt hatte, wurde er vor ihren Augen emporgehoben und eine Wolke nahm ihn auf und entzog ihn ihren Blicken.<br/> </blockquote> Im altrömischen Glaubensbekenntnis gibt es die Textstelle: <blockquote> „ascendit in caelis, sedet ad dexteram Patris“ </blockquote> Zu Deutsch: <blockquote> „aufgefahren in den Himmel, er sitzt zur Rechten des Vaters“ </blockquote> Das '''Lamm''' (astronomisch Widder) befindet sich am nördlichen Sternenhimmel '''zur Rechten''' des Stieres (Taurus). Sowohl der mesopotamische Himmelsstier als auch das altarabische Sternbild Thuraya verbinden diese beiden neuzeitlichen Sternbilder zu einer Einheit. Der Hauptstern im Sternbild Widder (Aries) heißt Hamal, und das arabische Wort "hamal" steht für ein einjähriges Lamm.<ref name="Adams">Danielle Adams: [http://onesky.arizona.edu/arab-star-names/the-lamb/ The Lamb – A folkloric celestial complex], Two Deserts, one Sky – Arab Star Calendars</ref> Der fette Schwanz des Lammes wird durch die '''Plejaden (Siebengestirn)''' markiert.<ref name="Adams" /> Die Augen des Stieres sind die Sterne '''Aldebaran''' und '''Ain'''. Zwischen dem Kopf des Stieres und den '''Plejaden''' befindet sich das '''Goldene Tor der Ekliptik''', durch das alle Wandelgestirne regelmäßig hindurchziehen. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Bibelstellen|'''Bibelstellen zum Siebengestirn''']]. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der_Ekliptik|'''Goldenes Tor der Ekliptik''']]. Der Frühlingspunkt der Sonne, also deren Ort auf der Ekliptiklinie zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühjahr, ist von der monotheistischen Schöpfung bis zur Geburt des christlichen Gottessohns vom Kopf des Stiers (bei den Sternen '''Aldebaran''' und '''Ain''' im Goldenen Tor der Ekliptik) im heutigen Sternbild Stier (Taurus) bis zum Kopf des Lammes (beim Stern '''Hamal''') im heutigen Sternbild Widder (Aries) nach Westen gewandert. Heute befindet sich der Frühlingspunkt bereits am westlichen Ende des Sternbilds Fische (Pisces), das sich westlich an das Sternbild Widder anschließt. ==== Offenbarung des Johannes ==== In der Offenbarung des Johannes heißt es im 7.&nbsp;Kapitel: <blockquote> 10b Die Rettung kommt von unserem '''Gott''', der auf dem '''Thron''' sitzt, und von dem '''Lamm'''.<br/> 17a Denn das Lamm in der Mitte vor dem Thron wird sie weiden und zu den Quellen führen, aus denen das '''Wasser des Lebens''' strömt. </blockquote> Wird der '''Thron Gottes''' mit dem Himmelsstier identifiziert (siehe oben), dann sitzt das '''Lamm''' (Aries, Sternbild Widder) westlich und somit rechts vor diesem Thron. Im weiteren Verlauf der Ekliptik nach Westen befinden sich die zusammenhängenden '''Wassersternbilder''' des Urozeans, dem Urquell des Lebens. Es handelt ich um die heutigen Sternbilder Fluss Eridanus, Walfisch (Cetus), Fische (Pisces), Wassermann (Aquarius), Südlicher Fisch (Piscis Austrinus) und Delphin (Delphinus) sowie Steinbock (Capricornus, früher Ziegenfisch). → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Urozean|'''Urozean''']]. <gallery caption="Das Lamm zur Rechten des Stieres" mode=packed widths=800 heights=600> Himmelsstier.P1117152.jpg|Astrophotographie vom Asterismus Himmelsstier Himmelsstier.Sternbilder.P1117152.png|Beschriftete Astrophotographie vom Himmelsstier am winterlichen Abendhimmel in Richtung südlicher Meridian. Die Ekliptiklinie verläuft horizontal etwas unterhalb der Bildmitte. Haende.der.Thuraya.Vollmond.Sterne.P1079912.jpg|Astrophotographie der Himmelsregion mit dem beduinischen Sternbild "Hände der Thuraya" (grüne durchgezogene Linien, Ekliptik rot gepunktete Linie) mit arabisch bezeichneten Sternen. Der Vollmond befindet sich zwischen den Sternbildern Taurus, Aries und Cetus. Urozean.Wassersternbilder.png|Die zusammenhängenden Wassersternbilder des Urozeans am Sternenhimmel: Fluss Eridanus, Walfisch (Cetus), Fische (Pisces), Wassermann (Aquarius), Südlicher Fisch (Piscis Austrinus), Delphin (Delphinus) sowie Ziegenfisch (Steinbock, Capricornus). </gallery> Interpretiert man das Sternbild "Lamm" (Widder / Aries) als Mittler auf dem ekliptischen Weg vom finsteren kosmischen Urozean im Westen (rechts) zum strahlenden majestätischen Sternbild Stier (Taurus) im Osten (links), ergeben auch andere Bibelstellen in Bezug auf den Sternenhimmel einen tiefen symbolischen Sinn, die in den folgenden Abschnitten aufgeführt sind. ==== Evangelium nach Johannes ==== Die Rede von Jesus an den Jünger Thomas aus dem 14.&nbsp;Kapitel des Evangeliums nach Johannes ist in diesem Zusammenhang interessant: <blockquote> 6 Jesus sagte zu ihm: Ich bin der Weg und die Wahrheit und das Leben; niemand kommt zum Vater außer durch mich.<br/> 7 Wenn ihr mich erkannt habt, werdet ihr auch meinen Vater erkennen. Schon jetzt kennt ihr ihn und habt ihn gesehen. </blockquote> Alle Wandelgestirne bewegen sich entlang der Ekliptiklinie (Weg) durch das heutige Sternbild Widder (das altarabische Sternbild "Lamm") im Westen zum [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Das_Goldene_Tor_der-Ekliptik|Goldenen Tor der Ekliptik]] nach Osten im großen Himmelsstier (Vater / Thron). ==== Evangelium nach Markus ==== Im Evangelium nach Markus heißt es: <blockquote> 14,62 Jesus sagte: Ich bin es. Und ihr werdet den Menschensohn '''zur Rechten der Macht''' sitzen und mit den Wolken des '''Himmels''' kommen sehen. </blockquote> <blockquote> 16,19 Nachdem Jesus, der Herr, dies zu ihnen gesagt hatte, wurde er in den '''Himmel''' aufgenommen und setzte sich '''zur Rechten Gottes'''. </blockquote> ==== Evangelium nach Lukas ==== Im Evangelium nach Lukas ist es folgendermaßen formuliert: <blockquote> 22,69 Von nun an wird der Menschensohn '''zur Rechten der Macht Gottes''' sitzen. </blockquote> ==== Evangelium nach Matthäus ==== Auch im Evangelium nach Matthäus findet sich eine entsprechende Stelle: <blockquote> 26,64 Jesus antwortete: Du hast es gesagt. Doch ich erkläre euch: Von nun an werdet ihr den Menschensohn '''zur Rechten der Macht''' sitzen und auf den Wolken des '''Himmels''' kommen sehen. </blockquote> ==== Brief an die Hebräer ==== Im Brief an die Hebräer, dessen Autor unbekannt ist, gibt es etliche entsprechende Stellen: <blockquote> '''Gottes Rede in seinem Sohn'''<br/> 1,3 er ist der Abglanz seiner Herrlichkeit und das Abbild seines Wesens; er trägt '''das All''' durch sein machtvolles Wort, hat die Reinigung von den Sünden bewirkt und sich dann '''zur Rechten der Majestät in der Höhe''' gesetzt;<br/> 1,10 Und: Du, Herr, hast vorzeiten der Erde Grund gelegt, die '''Himmel''' sind das Werk deiner Hände.<br/> 1,11 Sie werden vergehen, '''du aber bleibst'''; sie alle veralten wie ein Gewand;<br/> 1,12 du rollst sie zusammen wie einen Mantel und wie ein Gewand werden sie gewechselt. Du aber bleibst, der du bist, und '''deine Jahre enden nie'''.<br/> 1,13 Zu welchem Engel hat er jemals gesagt: Setze dich mir '''zur Rechten''' und ich lege dir deine Feinde als Schemel unter die Füße? </blockquote> <blockquote> '''Die Liturgie des neuen Bundes'''<br/> 8,1 Die Hauptsache bei dem Gesagten aber ist: Wir haben einen solchen Hohepriester, der sich '''zur Rechten des Thrones der Majestät im Himmel''' gesetzt hat,<br/> 8,2 als Diener des Heiligtums und des '''wahren Zeltes''', das der Herr selbst aufgeschlagen hat, nicht ein Mensch. </blockquote> <blockquote> '''Christus als Mittler des neuen Bundes'''<br/> 9,24 Denn Christus ist nicht in ein von Menschenhand gemachtes Heiligtum hineingegangen, in ein Abbild des wirklichen, sondern '''in den Himmel selbst''', um jetzt '''vor Gottes Angesicht''' zu erscheinen für uns; </blockquote> <blockquote> '''Das Opfer Jesu Christi als endgültige Versöhnung mit Gott'''<br/> 10,12 Dieser aber hat nur ein einziges Opfer für die Sünden dargebracht und sich dann '''für immer zur Rechten Gottes''' gesetzt; </blockquote> <blockquote> '''Das Beispiel Jesu Christi'''<br/> 12,2 und dabei auf Jesus blicken, den Urheber und Vollender des Glaubens; er hat angesichts der vor ihm liegenden Freude das Kreuz auf sich genommen, ohne auf die Schande zu achten, und sich '''zur Rechten von Gottes Thron''' gesetzt. </blockquote> ==== Erster Brief des Petrus ==== Der erste Brief des Petrus zählt zu den katholischen Briefen des Neuen Testaments. Dort heißt es im letzten Satz über Jesus Christus: <blockquote> 22 der in den '''Himmel''' gegangen ist; dort ist er '''zur Rechten''' Gottes und Engel, Gewalten und Mächte sind ihm unterworfen. </blockquote> ==== Apostelgeschichte ==== Die Apostelgeschichte schließt an das Evangelium nach Lukas an und wird ebenfalls diesem zugeschrieben. Hier kommen der erste bekennende sowie erste berufene Apostel Petrus und der erste christliche Märtyrer Stephanus zu Wort: <blockquote> '''Die Pfingstpredigt des Petrus'''<br/> 2,33 '''Zur Rechten Gottes''' erhöht, hat er vom Vater den verheißenen Heiligen Geist empfangen und ihn ausgegossen, wie ihr seht und hört. </blockquote> <blockquote> '''Steinigung des Stephanus'''<br/> 7,55 Er aber, erfüllt vom Heiligen Geist, blickte zum '''Himmel''' empor, sah die Herrlichkeit Gottes und Jesus '''zur Rechten Gottes''' stehen<br/> 7,56 und rief: Siehe, ich sehe den Himmel offen und den Menschensohn '''zur Rechten Gottes''' stehen. </blockquote> === Gedanken zur wundersamen Brotvermehrung === ==== Evangelien ==== [[Datei:Face de chapiteau figurant la Multiplication des pains, choeur de l'église de Saint-Nectaire, Puy-de-Dôme.jpg|mini|rechts|hochkant=2|Jesus mit vier seiner Jünger mit fünf Broten und zwei Fischen an einem Säulenkapitell in der romanischen Wallfahrtskirche Saint Nectaire auf dem Mont Cornadore in Saint-Nectaire in Frankreich (Département Puy-de-Dôme in der Region Auvergne-Rhône-Alpes).]] Die wundersame Speisung der mehreren Tausend mit wenigen Broten und Fischen wird in aller vier Evangelien der Bibel erwähnt. Das Ereignis fand auf einem Berg am Ufer des Sees von Galiläa (auch als "See von Tiberias", "See Genezareth" oder "Galiläisches Meer" bekannt) statt. In der abgelegenen Gegend gab es damals sehr wenig künstliche Lichtquellen, so dass ein ungestörter Anblick des Sternenhimmels möglich war. ===== Evangelium nach Johannes ===== Im sechsten Kapitel des Evangeliums nach '''Johannes''' tauchen bei der Beschreibung der Brotvermehrung durch Jesus zum jüdischen Pessachfest neben einigen weiteren Symbolen mit astronomischer Deutungsmöglichkeit auch die expliziten Zahlen Zwei, Fünf und Zwölf auf: <blockquote> 9 Hier ist ein kleiner Junge, der hat '''fünf Gerstenbrote''' und '''zwei Fische'''; doch was ist das für so viele?<br/> 10 Jesus sagte: Lasst die Leute sich setzen! Es gab dort nämlich viel Gras. Da setzten sie sich; es waren etwa '''fünftausend''' Männer.<br/> 11 Dann nahm Jesus die '''Brote''', sprach das Dankgebet und teilte an die Leute aus, so viel sie wollten; ebenso machte er es mit den '''Fischen'''.<br/> 12 Als die Menge satt geworden war, sagte er zu seinen Jüngern: Sammelt die übrig gebliebenen Brocken, damit nichts verdirbt!<br/> 13 Sie sammelten und füllten '''zwölf Körbe''' mit den Brocken, die von den '''fünf Gerstenbroten''' nach dem Essen übrig waren.<br/> ...<br/> 31 Unsere Väter haben das '''Manna''' in der Wüste gegessen, wie es in der Schrift heißt: '''Brot vom Himmel''' gab er ihnen zu essen.<br/> 32 Jesus sagte zu ihnen: Amen, amen, ich sage euch: Nicht Mose hat euch das '''Brot vom Himmel''' gegeben, sondern mein Vater gibt euch das wahre '''Brot vom Himmel'''.<br/> 33 Denn das '''Brot''', das Gott gibt, kommt vom '''Himmel''' herab und gibt der Welt das Leben.<br/> 34 Da baten sie ihn: Herr, gib uns immer dieses '''Brot'''!<br/> 35 Jesus antwortete ihnen: Ich bin das '''Brot des Lebens'''; wer zu mir kommt, wird nie mehr hungern, und wer an mich glaubt, wird nie mehr Durst haben.<br/> ...<br/> 48 Ich bin das '''Brot des Lebens'''.<br/> 49 Eure Väter haben in der Wüste das '''Manna''' gegessen und sind gestorben.<br/> 50 So aber ist es mit dem '''Brot''', das vom '''Himmel''' herabkommt: Wenn jemand davon isst, wird er nicht sterben.<br/> 51 Ich bin das '''lebendige Brot''', das vom '''Himmel''' herabgekommen ist. Wer von diesem '''Brot''' isst, wird in Ewigkeit leben. Das '''Brot''', das ich geben werde, ist mein Fleisch für das Leben der Welt. </blockquote> ===== Evangelium nach Markus ===== Eine ähnliche Schilderung befindet sich im sechsten Kapitel des Evangeliums nach '''Markus''', wo das Ereignis an einem abgelegenen und einsamen Ort stattgefunden hat: <blockquote> 38 Er sagte zu ihnen: Wie viele '''Brote''' habt ihr? Geht und seht nach! Sie sahen nach und berichteten: '''Fünf Brote''' und außerdem '''zwei Fische'''.<br/> 39 Dann befahl er ihnen, sie sollten sich in Mahlgemeinschaften im grünen Gras lagern.<br/> 40 Und sie ließen sich in Gruppen zu hundert und zu fünfzig nieder.<br/> 41 Darauf nahm er die '''fünf Brote''' und die '''zwei Fische''', blickte zum '''Himmel''' auf, sprach den Lobpreis, brach die '''Brote''' und gab sie den Jüngern, damit sie diese an die Leute austeilten. Auch die '''zwei Fische''' ließ er unter allen verteilen.<br/> 42 Und alle aßen und wurden satt.<br/> 43 Und sie hoben Brocken auf, '''zwölf Körbe''' voll, und Reste von den '''Fischen'''.<br/> 44 Es waren '''fünftausend''' Männer, die von den '''Broten''' gegessen hatten. </blockquote> Die Brotvermehrung auch ein weiteres Mal im achten Kapitel des Evangeliums nach '''Markus''' erwähnt: <blockquote> 5 Er fragte sie: Wie viele '''Brote''' habt ihr? Sie antworteten: '''Sieben'''.<br/> 6 Da forderte er die Leute auf, sich auf den Boden zu setzen. Dann nahm er die sieben '''Brote''', sprach das Dankgebet, brach die '''Brote''' und gab sie seinen Jüngern zum Verteilen; und die Jünger teilten sie an die Leute aus.<br/> 7 Sie hatten auch noch ein paar '''Fische''' bei sich. Jesus segnete sie und ließ auch sie austeilen.<br/> 8 Die Leute aßen und wurden satt. Und sie hoben die Überreste der '''Brotstücke''' auf, '''sieben Körbe''' voll.<br/> 9 Es waren etwa '''viertausend''' Menschen beisammen. Danach schickte er sie nach Hause.<br/> ...<br/> 19 Als ich die '''fünf Brote''' für die '''Fünftausend''' brach, wie viele '''Körbe voll Brotstücke''' habt ihr da aufgehoben? Sie antworteten ihm: '''Zwölf'''.<br/> 20 Und als ich die '''sieben Brote''' für die '''Viertausend''' brach, wie viele '''Körbe''' voll habt ihr da aufgehoben? Sie antworteten: '''Sieben'''.<br/> 21 Da sagte er zu ihnen: Versteht ihr immer noch nicht? </blockquote> ===== Evangelium nach Lukas ===== Ebenso verhält es sich im neunten Kapitel des Evangeliums nach '''Lukas''', wo das Ereignis dem Ort Betsaida (zu Deutsch: „Haus des Fisches“) am See Genezareth zugeordnet ist: <blockquote> 12 Als der Tag zur Neige ging, kamen '''die Zwölf''' und sagten zu ihm: Schick die Leute weg, damit sie in die umliegenden Dörfer und Gehöfte gehen, dort Unterkunft finden und etwas zu essen bekommen; denn wir sind hier an einem abgelegenen Ort.<br/> 13 Er antwortete ihnen: Gebt ihr ihnen zu essen! Sie sagten: Wir haben nicht mehr als '''fünf Brote''' und '''zwei Fische'''; wir müssten erst weggehen und für dieses ganze Volk etwas zu essen kaufen.<br/> 14 Es waren nämlich etwa '''fünftausend''' Männer. Er aber sagte zu seinen Jüngern: Lasst sie sich in Gruppen zu ungefähr fünfzig lagern!<br/> 15 Die Jünger taten so und veranlassten, dass sich alle lagerten.<br/> 16 Jesus aber nahm die '''fünf Brote''' und die '''zwei Fische''', blickte zum '''Himmel''' auf, sprach den Lobpreis und brach sie; dann gab er sie den Jüngern, damit sie diese an die Leute austeilten.<br/> 17 Und alle aßen und wurden satt. Als man die übrig gebliebenen Brotstücke einsammelte, waren es '''zwölf Körbe''' voll. </blockquote> ===== Evangelium nach Matthäus ===== Auch im vierzehnten Kapitel des Evangeliums nach '''Matthäus''' ist von einem abgelegenen Ort in einer einsamen Gegend die Rede: <blockquote> 17 Sie sagten zu ihm: Wir haben nur '''fünf Brote''' und '''zwei Fische''' hier.<br/> 18 Er antwortete: Bringt sie mir her!<br/> 19 Dann ordnete er an, die Leute sollten sich ins Gras setzen. Und er nahm die '''fünf Brote''' und die '''zwei Fische''', blickte zum '''Himmel''' auf, sprach den Lobpreis, brach die Brote und gab sie den Jüngern; die Jünger aber gaben sie den Leuten<br/> 20 und alle aßen und wurden satt. Und sie sammelten die übrig gebliebenen Brotstücke ein, '''zwölf Körbe''' voll.<br/> 21 Es waren etwa '''fünftausend''' Männer, die gegessen hatten, dazu noch Frauen und Kinder. </blockquote> Etwas abgewandelt taucht die Brotvermehrung mit '''sieben Körben''' auch im fünfzehnten Kapitel des Evangeliums nach '''Matthäus''' auf: <blockquote> 34 Jesus sagte zu ihnen: Wie viele '''Brote''' habt ihr? Sie antworteten: '''Sieben''' - und ein paar '''Fische'''.<br/> 35 Da forderte er die Leute auf, sich auf den Boden zu setzen.<br/> 36 Und er nahm die '''sieben Brote''' und die '''Fische''', sprach das Dankgebet, brach sie und gab sie den Jüngern und die Jünger gaben sie den Menschen.<br/> 37 Und alle aßen und wurden satt. Und sie sammelten die übrig gebliebenen Stücke ein, '''sieben Körbe''' voll.<br/> 38 Es waren '''viertausend''' Männer, die gegessen hatten, dazu noch Frauen und Kinder.<br/> 39 Danach schickte er die Menge nach Hause, stieg ins Boot und fuhr in die Gegend von Magadan. </blockquote> Der Ort Magadan ist möglicherweise mit dem heutigen Ort Migdal (aramäisch: Magdala) am westlichen Ufer des Sees Genezareth gleichzusetzen. ==== Astronomische Bezüge ==== [[Datei:Dendera.03.Fische.Wassermann.jpg|mini|rechts|hochkant=2|Das Sternbild Fische (links) und das Sternbild Wassermann (rechts) im ägyptischen Zodiak von Dendera aus der Zeit kurz vor Christi Geburt.]] Zu diesen Bibelstellen sind im Folgenden einige Hinweise mit astronomischen Bezügen aufgeführt. Die [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Beobachtungen_in_der_Nähe_der_Ekliptik|Bezugspunkte]] liegen hierbei in der Nähe der [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Die_Ekliptik|Ekliptik]]: * In den Versen im Evangelium nach Johannes ist mehrfach vom '''Brot, das vom Himmel herabkommt''' die Rede. * Das zur Herstellung von Brot erforderliche Getreide kann durch eine '''Kornähre''' symbolisiert werden. Am Sternenhimmel wird die Kornähre durch den hellen, ekliptiknahen Stern '''Spica''' (α Virginis) im Sternbild '''Jungfrau''' (Virgo) repräsentiert. Der Vollmond stand zum jüdischen Pessachfest beim Stern Spica. * Alle Pflanzen benötigen für das Gedeihen '''Wasser'''. Das '''Wasser''' wird am Himmel durch die drei Wassersternbilder der Ekliptik '''Fische''' (Pisces), '''Wassermann''' (Aquarius), und '''Ziegenfisch''' (Steinbock, Capricornus) westlich des [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Frühlingspunkt|Frühlingspunktes]] repräsentiert. Diese Sternbilder bilden mit einigen weiteren angrenzenden Wassersternbildern den [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Urozean|Urozean am Himmel]] (siehe hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Trichter_der_Thuraya|Der Trichter der Thuraya]]). Die Wassersternbilder waren zum Pessachfest in den drei Monaten unmittelbar zuvor von der Sonne durchlaufen worden und befanden sich beim Sonnenuntergang deshalb bereits unterhalb des westlichen Horizonts. * Das Sternbild '''Fische''' (Pisces) besteht seit der Antike aus '''zwei Fischen'''. * Zu Lebzeiten von Jesus von Nazareth war der '''Frühlingspunkt''' vom Sternbild Widder (Aries, ursprünglich das Hinterteil des großen Sternbilds [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsstier|Himmelsstier (Taurus caeli)]]) in das Sternbild '''Fische''' (Pisces) gewandert. Inzwischen ist er innerhalb dieses Sternbilds noch weiter nach Westen gewandert. Die Sonne und der Neumond standen zu Beginn des jüdischen Monats Nisan, also dem Monat des jüdischen Pessachfestes, im Sternbild '''Fische'''. Der erste Monat des Jahres Nisan hieß bereits in der mesopotamischen Tradition, als sich der Frühlingspunkt noch im Sternbild Widder (Aries) befand, auf Akkadisch "nisannu" (siehe hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Schaltregeln|Plejaden-Schaltregeln]]). In der alten jüdischen Tradition war der Nisan deswegen mit dem Sternbild Widder verbunden. Ferner wurde der Widder dem israelitischen Stamm Juda zugeordnet. * Zu Lebzeiten von Jesus von Nazareth war der '''Herbstpunkt''' vom Sternbild Waage (Libra, ursprünglich die Scheren des großen Sternbilds [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Himmelsskorpion|Himmelsskorpion (Scorpio caeli)]]) in das Sternbild Jungfrau (Virgo) gewandert. Inzwischen ist er innerhalb dieses Sternbilds noch weiter nach Westen gewandert. Um 285 nach Christi erreichte der '''Herbstpunkt''' dann die ekliptikale Länge des Sterns '''Spica''' (α Virginis). * Die '''fünf Brote''' können mit den fünf mit bloßem Auge sichtbaren Wandelgestirnen (Planeten) '''Merkur''', '''Venus''', '''Mars''', '''Jupiter '''und '''Saturn''' gleichgesetzt werden.<br/>'''''Anmerkung''': In der Bibel wird in der Regel nicht zwischen Fixsternen und Planeten unterschieden. Für eine Ausnahme siehe 2.&nbsp;Buch der Könige, Kapitel 23, Vers 5 aus dem siebenten vorchristlichen Jahrhundert, wo in der Einheitsübersetzung explizit von "den Wandelsternen" und in der Luther-Bibel von "den Planeten" die Rede ist.<ref>[https://www.bibleserver.com/EU/2.K%C3%B6nige23%2C5 2.&nbsp;Buch der Könige, Kapitel 23, Vers 5], bibleserver.com, Einheitsübersetzung 2016</ref> Die Vulgata schreibt hier allerdings von den "duodecim signis" (zu Deutsch: "zwölf Zeichen"), womit die zwölf Sternzeichen der Ekliptik gemeint sind, durch die die sieben Wandelgestirne ziehen. Die Septuaginta spricht noch allgemeiner von den "μαζουρωθ" ("mazuroth") nach dem Hebräischen Wort "מַזָּלָה" ("mazzaroth"), womit allgemein eher Sternkonstellationen und nur im engeren Sinne die Sternzeichen des Zodiaks gemeint sind.'' * Die '''zwei Fische''' können mit den beiden flächenhaft wahrnehmbaren Wandelgestirnen '''Sonne''' und '''Mond '''gleichgesetzt werden. * Die Summe der '''fünf Brote''' und der '''zwei Fische''' respektive die '''sieben Brote''' (oder die '''sieben Körbe''') entsprechen der Anzahl der freiäugig sichtbaren '''sieben Wandelgestirne''', die sich entlang der Ekliptiklinie stetig gegenüber dem Fixsternhimmel bewegen. Siehe hierzu auch: ** [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Beobachtungen_in_der_Nähe_der_Ekliptik|Beobachtungen in der Nähe der Ekliptik]] ** [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Zusammenhang_mit_dem_Stier|Zu den Etyma und den Kognaten von "Sieben", "Stier", "Gestirn" und "Stern"]] * Die ausgeteilten '''Brote''' und '''Fische''' durchmaßen die gesamte versammelte Menschenmenge, die durch den vollständigen [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Zodiak|Lebewesenkreis (Zodiak)]] mit den '''zwölf Lebewesenkreiszeichen''' beziehungsweise durch die '''zwölf Körbe''' symbolisiert wird. Der Planet Jupiter, der den Zodiak in zwölf Jahren einmal durchläuft, wurde in Babylonien mit dem babylonischen Hauptgott Marduk gleichgesetzt. * Insgesamt gibt es am Fixsternhimmel gut 2800&nbsp;Sterne bis zur scheinbaren Helligkeit 5,5^m und knapp 8800&nbsp;Sterne bis zur scheinbaren Helligkeit&nbsp;6,5^m, die ohne Lichtverschmutzung mit bloßem Auge als einzelne Lichtpunkte gesehen werden können. Diese verteilen sich allerdings in der gesamten Himmelssphäre, so dass von einem Punkt auf der Erdoberfläche aus zu jedem Zeitpunkt immer nur ungefähr die Hälfte davon über dem Horizont steht. An den beiden Polen sind stets nur die Sterne der jeweiligen nördlichen oder südlichen Hemisphäre zu sehen, und am Äquator können im Laufe eines Jahres alle Sterne gesehen werden. Je nach Breitengrad und Zeitpunkt können bei Neumond (kein Streulicht) innerhalb einer wolkenlosen Nacht viertausend bis zu fast siebentausend Sterne beobachtet werden.<ref>Bob King: [https://skyandtelescope.org/astronomy-blogs/how-many-stars-night-sky-09172014/ 9,096 Stars in the Sky—Is that all? How many stars in the sky can you see?], skyandtelescope.org - The essential Guide to Astronomy, 17. September 2014</ref> Diese Spanne entspricht der Angabe der bei der Brotvermehrung versammelten Menschen, deren Anzahl in den Evangelien mit '''viertausend''' beziehungsweise '''fünftausend''' angegeben ist. ** Im ersten Buch des Alten Testaments ('''Genesis''') wird Abram aus Ur in Mesopotamien bereits das Folgende prophezeit: <blockquote> 15,5 ''Sieh doch zum Himmel hinauf und zähl die Sterne, wenn du sie zählen kannst! Und er sprach zu ihm: So zahlreich werden deine Nachkommen sein''<br/> ...<br/> 17,5 ''Man wird dich nicht mehr Abram nennen. Abraham, Vater der Menge, wird dein Name sein; denn zum Stammvater einer Menge von Völkern habe ich dich bestimmt.'' </blockquote> * Die Gruppen von (ungefähr) '''fünfzig''' oder '''hundert Männern''' entsprechen den Sternbildern, die über den gesamten Himmel verteilt sind. Nach der Festlegung der Internationalen Astronomischen Union (IAU) von 1930 gibt es heute 88&nbsp;Sternbilder, die den Himmel vollständig abdecken. Mit den maximal fast 8800&nbsp;freiäugig sichtbaren Sternen entspricht dies im Mittel also 100&nbsp;Sternen pro Sternbild. Bei 4400&nbsp;freiäugig sichtbaren Sternen wären es 50&nbsp;Sterne pro Sternbild. Dies entspricht genau der Spanne der Gruppenstärke, die im Neuen Testament angegeben sind. * Das '''Brot''' und der '''Wein''' werden nach der christlichen Lehre bei der Transsubstantiation in den Leib und das Blut des vom '''Himmel''' herabgekommenen "Brot des Lebens" (vergleiche die Rede über das Himmelsbrot von Jesus in der Synagoge von Kafarnaum in Evangelium nach Johannes 6,48–58) gewandelt, das die kosmische Ewigkeit verheißt. Die Zahlen '''Zwei''', '''Fünf''', '''Sieben''' und '''Zwölf''' stehen in einem einfachen arithmetischen Zusammenhang, bei dem die beiden jeweils vorhergehenden Zahlen der Folge addiert werden: {| class="wikitable" |+ |'''Zahl''' |'''Summe''' |'''Anmerkung''' |- |'''2''' | |Anzahl der freiäugig als '''flächenhaft wahrnehmbaren Wandelgestirne''' ('''Sonne''' und '''Mond'''), siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Zwei|Zur Zwei]] |- |'''5''' | |Anzahl der freiäugig als '''punktförmig wahrnehmbaren Wandelgestirne''' '''Merkur''', '''Venus''', '''Mars''', '''Jupiter''', '''Saturn''' |- |'''7''' |= 2 + 5 |Anzahl der freiäugig wahrnehmbaren '''Wandelgestirne''' sowie der '''Tage in der Woche''', siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Sieben|Zur Sieben]] |- |'''12''' |= 5 + 7 |Anzahl der '''Monate im Jahr''', der '''Lebewesenkreiszeichen des Zodiaks''' sowie der '''Erdenjahre pro Jupiterjahr''', siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Zwölf|Zur Zwölf]], vergleiche hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Zodiak|Der Zodiak]] |- |'''19''' |= 7 + 12 |Anzahl der '''Jahre''' mit '''zwölf Monaten''' und '''sieben Schaltmonaten''' einer '''Meton-Periode''', siehe [[Quadriviale_Kuriositäten/_Zahlen#Zur_Neunzehn|Zur Neunzehn]], vergleiche hierzu auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Die_Plejaden#Schaltregeln|Die Plejaden-Schaltregeln]] und [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Der_Meton-Zyklus|Der Meton-Zyklus]] |} === Weitere Bezüge === Weitere Bezüge von der Astronomie zur Theologie ergeben sich bei den folgenden Sachverhalten: → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Biblische_Erwähnungen|'''biblische Erwähnungen von Konstellationen''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Der_Stern_von_Bethlehem|'''Der Stern von Bethlehem''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Ochs_und_Esel|'''Ochs und Esel / Krippe / „Ich bin das Alpha und das Omega“''']]. → Siehe [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Biblische_Bezüge|'''Biblische Bezüge zu den Mondhäusern / Mondstationen''']]. == Zur Kosmologie == [[Datei:Kosmologisches.Modell.Schwarze.Schale.Rotverschiebung.png|mini|rechts|hochkant=2.5|Ein kosmologisches Modell unseres im Zentrum isotropen und inhomogenen Universums, das von einer undurchsichtigen und massereichen schwarzen Kugelschale umgeben ist. Von der äußeren Region aus betrachtet, ist unser Universum ein gigantisches Schwarzes Loch. Zwischen dem inneren und dem äußeren Bereich der schwarzen Kugelschale ist kein Informationsaustausch möglich. Jegliche Materie, die von innen oder außen in die schwarze Kugelschale gelangt, ist von innen und von außen nicht mehr sichtbar. Sowohl die innere als auch die äußere Grenze der schwarzen Kugelschale stellen demzufolge einen Ereignishorizont dar.]] Die '''Kosmologie''' beschäftigt sich mit der Struktur, dem Ursprung und der Entwicklung des Universums. Dadurch ergeben sich zahlreiche Bezüge zur beobachtenden '''Astronomie''' und zur '''Astrophysik''', aber auch zur '''Quantenphysik'''. In der Antike gingen die Menschen noch davon aus, dass sich die Erde im Mittelpunkt der Welt und somit auch in der Mitte des sichtbaren Universums befindet. Dieses geozentrische Weltbild wurde seit dem 16.&nbsp;Jahrhundert, ausgelöst durch die kopernikanische Wende, zunehmend verworfen und durch ein heliozentrisches Weltbild ersetzt. Durch die Erfindung und Verwendung von Fernrohren konnten seit dem Beginn des 17.&nbsp;Jahrhunderts immer mehr Details im Sternenhimmel entdeckt werden. Durch astronomische Beobachtungen ergaben sich immer mehr Indizien für die Tatsache, dass die Erde einmal pro Jahr auf einer Ellipsenbahn die Sonne umrundet und nicht die Sonne die Erde umkreist. Der Philosoph Immanuel Kant (1724–1804) erkannte bereits 1755 in seiner Allgemeinen Naturgeschichte und Theorie des Himmels das innere Wesen unserer Milchstraße. Mit der ersten zuverlässigen Messung der Parallaxe von unserer Erde zum benachbarten Fixstern 61&nbsp;Cygni ("Bessel's Stern") durch Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846) in Königsberg und der daraus folgenden Berechnung von dessen Entfernung von gut zehn Lichtjahren im Jahr 1838 war die Tatsache, dass die Erde um die Sonne läuft, endgültig bewiesen. Die Auswertung der astronomischen Beobachtungen hat zu der heute allgemein geteilten Auffassung geführt, dass unser Universum bei einem Urknall entstanden ist und seitdem expandiert. Die Berücksichtigung des Äquivalenzprinzips zwischen schwerer und träger Masse, das zu der von '''Albert Einstein''' (1879–1955) formulierten Allgemeinen Relativitätstheorie führt, brachte '''Alexander Friedmann''' (1888–1925) 1922 zu der theoretischen Vorhersage eines dynamischen Universums. Fünf Jahre später schlussfolgerte der belgische Astronom '''Georges Lemaître''' (1894–1966) aus den von '''Vesto Slipher''' (1875–1969) beobachteten Rotverschiebungen von fernen Galaxien und den von '''Edwin Hubble''' (1889–1953) ermittelten Entfernungen dieser Galaxien, dass das Universum expandiert. Aufgrund dieser Erkenntnis ergibt sich, dass das Universum einen Ursprung mit sehr kleinem Radius gehabt haben muss. Diesen Zustand nannte er "primordiales Atom" beziehungsweise "Uratom". In der Folgezeit etablierte sich für diesen initialen Vorgang der Begriff "'''Urknall'''" (im Englischen: "'''Big Bang'''").<ref>Markus Bautsch: ''[https://en.wikibooks.org/wiki/Moving_objects_in_retarded_gravitational_potentials_of_an_expanding_spherical_shell/Brief_historical_review Moving objects in retarded gravitational potentials of an expanding spherical shell / Brief historical review], Wikibook (englisch), 2024, abgerufen am 28. Februar 2026</ref> Viele Astrophysiker versuchen heute mit dem sogenannten '''Standardmodell der Kosmologie''' (auch '''ΛCDM-Modell''' beziehungsweise Lambda-CDM-Modell, wobei "CDM" für "cold dark matter" steht, also für "kalte, dunkle Materie") die Entwicklung des Universums nachzubilden. Hierfür wenden sie das kosmologische Prinzip an, das von zwei grundlegenden Annahmen ausgeht:<ref>Markus Bautsch: ''[https://en.wikibooks.org/wiki/Moving_objects_in_retarded_gravitational_potentials_of_an_expanding_spherical_shell/Preface Moving objects in retarded gravitational potentials of an expanding spherical shell / Preface], Wikibook (englisch), 2024, abgerufen am 28. Februar 2026</ref> # Das Weltall sei '''homogen''', was bedeutet, dass es in groben Zügen von jedem Punkt aus gleich aussieht. # Das Weltall sei '''isotrop''', was besagt, dass es in groben Zügen in jede Richtung gleich aussieht. Mit diesen Annahmen kann das Modell berechnet werden, und mit diversen zusätzlichen Annahmen stimmt es in vielerlei Hinsicht mit den astronomischen Beobachtungen überein. Zu den zusätzlichen Annahmen gehören die folgenden beiden hypothetischen Größen: * '''Kalte, dunkle Materie''', die zwar der Gravitation unterläge, aber keine Wechselwirkung mit elektromagnetischer Strahlung zeigt. * Eine '''kosmologische Konstante''' Λ, die eine '''dunkle Energie''' beschreibt und für die beschleunigte Expansion des Universums verantwortlich sei. Weder für die Homogenität noch für die Isotropie des Kosmos konnten bislang Belege gefunden werden, und auch für die kalte dunkle Materie und die dunkle Energie konnte bislang keine physikalische Interpretation geliefert werden. Ferner ist auch die Annahme, dass die Naturkonstanten unveränderliche Werte haben, nicht begründbar. Auf kosmischen Zeitskalen kann es durchaus Änderungen geben, die wir derzeit nicht messen können. Die gilt insbesondere für die Hubble-Konstante, die die Expansionsrate des Universums beschreibt, für die Gravitationskonstante, die die Anziehung zweier Massen beschreibt, oder für die kosmologische Konstante, die die beschleunigte Expansion des Universums beschreibt. In diesem Kontext sei darauf hingewiesen, dass unser Universum genauso groß ist wie ein Schwarzes Loch mit der Masse unseres Universums. Deshalb gehen einige Kosmologen davon aus, dass wir innerhalb eines Schwarzen Loches der Größe und Masse unseres Universums leben könnten. Siehe hierzu auch: [[:en:Moving_objects_in_retarded_gravitational_potentials_of_an_expanding_spherical_shell|'''Moving objects in retarded gravitational potentials of an expanding spherical shell''']]. Darüber hinaus mehren sich Anzeichen und Hinweise, die gegen die Ergebnisse des Standardmodells der Kosmologie sprechen, beziehungsweise durch weitere Hypothesen, die physikalisch nicht begründet werden können, im Standardmodell berücksichtigt werden müssen. Die folgende unvollständige Liste soll hierzu einige Anhaltspunkte liefern: * Präzise astronomische Beobachtungen zeigen, dass das Weltall auch auf großen Längenskalen '''nicht homogen''' ist, sondern Strukturen zeigt. * Präzise astronomische Beobachtungen zeigen, dass das Weltall auch auf großen Längenskalen '''nicht isotrop''' ist (Asymmetrie der kosmischen Hintergrundstrahlung). * Die Hubble-Konstante hat heute einen anderen Wert als früher ("'''Hubble tension'''"), was mit dem Standardmodell nicht im Einklang steht. * Das beobachtete Vorkommen des dritten Elements im Periodensystem, also des Alkalimetalls '''Lithium''', ist mindestens dreimal geringer als vom Standardmodell vorhergesagt. * Die '''Rotverschiebung von fernen Galaxien''' ist deutlich größer als es nach dem Standardmodell möglich wäre. * Die beobachteten '''Rotationskurven von Spiralgalaxien''' stehen im Widerspruch zu den Ergebnissen des Standardmodells. * Das Standardmodell ist nicht in der Lage, die Abwesenheit von '''Antimaterie''' im sichtbaren Teil des Universums zu erklären. * Die im frühen Universum beobachteten '''primordialen Schwarzen Löcher und Galaxien''' mit explodierende '''Supernovae''' sowie dem Vorkommen von '''Sauerstoff''' stehen im Widerspruch zu den Ergebnissen des Standardmodells. == Zur Astrologie == Eine Sonderstellung nimmt die '''{{w|Astrologie}}''' (zusammengesetzt mit dem altgriechischen ἄστρον ("astron"), zu Deutsch „Sternenlehre“) ein. Sie ist ein weiteres Beispiel für eine Disziplin, bei der grundlegende Kenntnisse über die Astronomie eine Voraussetzung sind. Sie versucht, Zusammenhänge zwischen den Konstellationen der Wandelgestirne oder astronomischen Ereignissen am Sternenhimmel mit irdischen Geschehnissen oder Veränderungen herzustellen, insbesondere was bestimmte Konjunktionen und daraus abgeleitete Prophezeiungen betrifft. Sie wurde bereits in Mesopotamien und in anderen alten Kulturkreisen von Astronomen ausgeübt. Noch der Astronom '''{{w|Johannes Kepler}}''' (1571–1630) hat als einer der letzten Astronomen einen wesentlichen Teil seiner Einkünfte durch die Erstellung von Horoskopen bestritten. Aber schon Aristoteles hatte festgestellt und beschrieben, dass die bei bestimmten Konstellationen am Himmel vorhergesagten Ereignisse nicht eingetreten waren. Vor der Aufklärung haben astrologische Prophezeiungen noch eine große und weitreichende gesellschaftliche Bedeutung gehabt. Als Beispiel seien die Behauptungen des ersten im Kurfürstentum Brandenburg tätigen Astrologen '''{{w|Johannes Carion}}''' (1499–1537) genannt, der für 1524 eine Sintflut vorhersagte, die nicht eingetroffen ist.<ref>{{Literatur |Autor=Markus Bautsch, Friedhelm Pedde |Titel=Vor 500 Jahren: Die Sintflut von 1524 die nicht stattfand |Online=https://wfs.berlin/wp-content/uploads/2024/05/A19-BROplanetA4_40s-feb2024ff_www-rz.pdf |Sammelwerk=Dem Himmel nahe. |WerkErg=Mitteilungen der Wilhelm-Foerster-Sternwarte e.V.|Nummer=19 |Hrsg=Wilhelm-Foerster-Sternwarte e.V. / Zeiss-Planetarium am Insulaner |Ort=Berlin |Datum=2024-02 |Seiten=16–19 |Sprache=de |Abruf=2025-08-03|ISSN=2940-9330}}</ref> Der Wiener Hofastronom '''{{w|Georg Tannstetter}}''' (1482–1535) sah sich 1523 bemüßigt, die schon lange im Voraus erhitzten und besorgten Gemüter zu beruhigen:<ref>Georg Tannstetter: ''Libellus consolatorius contra opiniones de diluvio et aliis horrendis periculis anni 1523''</ref> <blockquote> Nun hat sich überall, in allen Köpfen, in allen Seelen das Gerücht eingeschlichen:<br/> die Gelehrten und Weisen sind in ständigem Streitgespräch, andere hingegen sind derart verstört, dass sie ihren Geschäften nicht mehr nachgehen können; sie verkaufen ihre Anwesen, ihre Felder und Besitztümer oder lassen davon ab, Güter zu kaufen, in der Hoffnung, ihr Geld leichter in die sicheren Berge transportieren zu können. Andere wiederum verschieben ihr Heiratsversprechen, kündigen ohne scheinbaren Grund Verträge auf, entziehen sich ihren christlichen Gelübden, arbeiten faul und missmutig auf dem Land und fragen sich, was es denn nütze, Geld und Gut anzuhäufen, wenn doch in kürzester Zeit niemand mehr davon Nutzen ziehen könne. </blockquote> '''→ Siehe auch:''' * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Definition|'''Konjunktionen''', Abschnitt '''Definition''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Historische_Konjunktionen|'''Historische Konjunktionen''']]. * [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Beobachtungen_in_der_Nähe_der_Ekliptik|'''Beobachtungen in der Nähe der Ekliptik''']]. <div style="clear:both"></div> == Einzelnachweise == <references></references> h3cvm53n9licsvbvgp9ptejhkdcklcq 0 121808 1088495 1073902 2026-06-29T12:10:17Z Forquett 116465 /* Bremsen */ 1088495 wikitext text/x-wiki {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Fiat |HERSTELLER= Fiat}} {{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox | HERSTELLER = FIAT-TRATTORI | MODELLREIHE = NASTRO D'ORO-Baureihe | MODELL = 480-8 (DT) | BILD = | BILDBESCHREIBUNG = | BAUWEISE = Blockbauweise | PRODUKTIONSBEGINN = 1981 | PRODUKTIONSENDE = 1982 | STÜCKZAHL = | EIGENGEWICHT = 1.810 (DT: 2.140 kg) | LÄNGE = 2.910 | BREITE = 1.790 | HÖHE = 2.225 | RADSTAND = 1.953 (DT: 1.988) | BODENFREIHEIT = 455 (DT: 330) | SPURWEITE = | SPURWEITE VORNE = 1.280-1.880 (DT: 1.400) | SPURWEITE HINTEN = 1.300-1.900 | WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = 2.950 (DT: 4.270) | WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = 3.250 (DT: 4.670) | BEREIFUNG VORNE = 6.00-16 ASF (DT: 7.50-20 AS) | BEREIFUNG HINTEN = 12.4-28 AS | LEISTUNG KW = 35,3 | LEISTUNG PS = 48 | NENNDREHZAHL = 2.600 | ZYLINDER = 3 | HUBRAUM = 2.592 | DREHMOMENTANSTIEG = | KRAFTSTOFF = Diesel | KÜHLSYSTEM = Wasserkühlung | ANTRIEBSTYP = Heck- oder Allradantrieb | GETRIEBE = 8 V/2 R oder 12 V/3 R | HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 25 | KATEGORIESORTIERUNG = }} Eine weitere Ausführung des FIAT 480, war der FIAT 480-8. ==Motor== * FIAT-IVECO, Typ: 8035.02.200 (300) stehender, wassergekühlter Viertakt-Dreizylinder-Diesel-Saugmotor mit Direkteinspritzung, obenliegende Ventile, BOSCH-Kraftstoffpumpe, Druckumlaufschmierung mittels Zahnradpumpe, C.A.V.-Reihen-Einspritzpumpe mit integriertem-mechanischem Drehzahlregler, auswechselbare Zylinderlaufbuchsen, FRAM-Ölfilter, C.A.V.-Kraftstofffilter, Vierring-Leichtmetallkolben, BOSCH-Düsenhalter, vierfach-gelagerter Kurbelwelle, BOSCH-Mehrlochdüsen, FIAT-Ölbadluftfilter, zahnradgetriebene Nockenwelle, thermostatgesteuerte Wasserumlaufkühlung mit Lamellenkühler und Lüfter. * Bohrung = 100 mm, Hub = 110 mm * Verdichtungsverhältnis = 17:1 * Max. Drehmoment = 152 Nm bei 1.600 U/min. * Mittlere Kolbengeschwindigkeit = 9,53 m/s * Öldruck = 1,47 bis 3,94 bar * Geregelter Drehzahlbereich = 650 bis 2.750 U/min. * Einspritzdruck = 225 + 5 bar * C.A.V.-Einspritzpumpe, Typ: 3233 F 330 * Bosch-Einspritzdüse, Typ: DLL 140 S 64 F * Bosch-Düsenhalter, Typ: KB 70 1 F-10 * C.A.V.-Kraftstofffilter, Typ: FAS + FS * Kühlerlüfter mit vier Blättern und 390 mm Durchmesser ==Kupplung== * Trockene FERODO-Doppelkupplung, Typ: 11" Pedal-betätigte Fahrkupplung, mit 279,4 mm Scheibendurchmesser * Handhebel-betätigte Zapfwellenkupplung, mit 279,4 mm Scheibendurchmesser ==Getriebe== * Im Ölbad laufendes teilsynchronisiertes Gruppengetriebe, mit Zweihebelbedienung * Wechselgetriebe mit vier Vorwärts- und einem Rückwärtsgang * Die Gänge 3 / 4 / 7 und 8 sind synchronisiert * Reduziergetriebe mit langsamer- und schneller Gruppe 8 Vorwärts- und 2 Rückwärtsgänge * Optional mit zusätzlicher Kriechganggruppe * Die Gänge 11 und 12 sind synchronisiert 12 Vorwärts- und 3 Rückwärtsgänge ==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts== "Geschwindigkeiten mit Bereifung 12.4-28 AS" {| class="wikitable" |- ! bei Motordrehzahl (U/min) !! 2.600 |- ! Langsame Gruppe || |- | 1.Gang || 2,27 km/h |- | 2.Gang || 3,41 km/h |- | 3.Gang || 5,00 km/h |- | 4.Gang || 6,45 km/h |- | 1.Rückwärtsgang || 3,26 km/h |- ! Schnelle Gruppe !! |- | 5.Gang || 8,16 km/h |- | 6.Gang || 12,28 km/h |- | 7.Gang || 18,00 km/h |- | 8.Gang || 23,22 km/h |- | 2.Rückwärtsgang || 11,75 km/h |- |} "Geschwindigkeiten-Kriechganggruppe mit Bereifung 12.4-28 AS" {| class="wikitable" |- ! bei Motordrehzahl (U/min) !! 2.600 |- ! Kriechganggruppe || |- | 1.Gang || 0,73 km/h |- | 2.Gang || 1,10 km/h |- | 3.Gang || 1,62 km/h |- | 4.Gang || 2,09 km/h |- | Rückwärtsgang || 1,05 km/h |- |} ==Zapfwelle== * Handhebel-betätigte, unabhängige Motorzapfwelle, als gangabhängige Zapfwelle schaltbar * Stummel = 1 3/8"- 6 Keile * Einfach-schaltbar, 540 U/min. * 540 U/min. mit 2.160 U/min.- Motordrehzahl Übertragbare Leistung = 40,9 PS * Oder 650 U/min. mit Nenndrehzahl Übertragbare Leistung = 43,2 PS * Wegzapfwelle entspricht 3,9 Zapfwellenumdrehung ein Fahrmeter "Optional" * Riemenscheibe mit 250 mm Durchmesser und 150 mm breite 1.352 U/min. mit Nenndrehzahl * Riemengeschwindigkeit = 17,7 m/s ==Bremsen== * Pedal-betätigte Band-Trommelbremse, auf die Differentialwellen wirkend, als Lenkbremse ausgebildet * Handhebel-betätigte Feststellbremse, als Bandbremse ausgebildet, auf die Hinterräder wirkend. Fiat 480-8 DT: im Ölbad des Allradgetriebes laufende (nasse) Lamellenbremse, auf Vorder- und Hinterräder wirkend. ==Achsen== * Pendelnd-gelagerte Teleskopvorderachse Siebenfach-verstellbare Spurweite = 1.280, 1.380, 1.480 und 1.580 mm, mit Radumschlag = 1.680, 1.780 und 1.880 mm * Oder pendelnd-gelagerte Lenktriebvorderachse mit seitlicher Gelenkwelle Spurweite = 1.400 mm und = 1.500 mm * Starre Hinterachse mit Kegelradgetriebe und Planetenübersetzung * Pedal-betätigte Differentialsperre Siebenfach-verstellbare Spurweite = 1.300, 1.400, 1.500 und 1.600 mm, mit Radumschlag = 1.700, 1.800 und 1.900 mm ==Lenkung== * Mechanisch-betätigte BURMAN-Lenkung "Optional:" * CALZONI-Servolenkung mit Lenkzylinder 70 mm Kolbendurchmesser und 94 mm Kolbenhub Hydraulikpumpe, Typ: A-10 X mit 10,7 l/min. bei 95 bis 100 bar ==Hydrauliksystem und Kraftheber== * Optional hydraulischer Hydroblock-Kraftheber mit CONTROL-MATIC * Einfachwirkende Hubzylinder mit 90 mm Kolbendurchmesser und 96 mm Kolbenhub * Sicherheitsventil des Zylinders auf 196 bar eingestellt * Dreipunktaufhängung der Kategorie I/II "Funktionen" * Heben, Senken, Schwimmstellung und Zugkraft- und Positionsregelung PLESSEY-Hydraulikpumpe, Typ: C-25 X mit einer Förderleistung von 26,8 l/min. bei 147 bar * Max. Hubkraft an den Koppelpunkten = 1.750 kg ==Steuergeräte== * Ein einfach- oder doppelt-wirkendes Steuergerät ==Elektrische Ausrüstung== "12 Volt-Einrichtung:" * Batterien, 12 Volt-110/120 Ah * MARELLI-Anlasser, Typ: MT 68 AA (12 V-4,1 PS) * FIAT-Lichtmaschine, Typ: A 12 M 124/12/42 X (14,5 V-42 A/610 W) * FIAT-Regler, Typ: RC 2/12 B * C.A.V.- Thermostart, Typ: 357-10 ==Maße und Abmessungen== "Abmessungen-Standardvariante" * Länge über alles = 2.910 mm * Breite bei kleinster Spurweite = 1.790 mm * Höhe über Motorhaube = 1.335 mm * Höhe über Schutzrahmen = 2.225 mm * Radstand = 1.953 mm * Bodenfreiheit unter der Vorderachse = 455 mm * Betriebsgewicht = 1.810 kg "Abmessungen-Allradvariante (DT)" * Länge über alles = 3.030 mm * Breite mit kleinster Spurweite = 1.790 mm * Höhe über Motorhaube = 1.400 mm * Höhe über Schutzrahmen = 2.225 mm * Radstand = 1.988 mm * Bodenfreiheit unter der Vorderachse = 330 mm * Betriebsgewicht = 2.140 kg ==Bereifung== "Standardbereifung" * Vorne = 6.00-16 AS Front (DT = 7.50-20 AS) * Hinten = 12.4-28 AS "Optional:" * Vorne = 6.00-19 und 7.50-16 AS Front (DT = 9.5-20 und 9.00-20 AS) * Hinten = 13.6-28, 11-28, 14.9-28, 12.4-32 und 11-32 AS ==Füllmengen== * Tankinhalt = 54,0 l * Motoröl mit Filter = 6,8 l * Ölbadluftfilter = 0,94 l * Kühlsystem = 13,0 l * Getriebe und Hydraulik = 17,6 l * Endantrieb je 1,5 l * Riemenscheibe = 0,5 l * Lenkung = 0,45 l * Lenktriebvorderachse = 4,0 l * Endantrieb je 1,75 l ==Verbrauch== * Kraftstoffverbrauch = 10,3 l/h bei 43,2 PS und Nenndrehzahl ==Kabine== * Fahrerstand mit Schutzrahmen, Parallelogramm-Fahrersitz, Manometer, Lade- Öldruckanzeige, Tankanzeige, Fernthermometer, Betriebsstundenzähler und Muschel- oder Trapezkotflügel * Optional mit Kabine ==Sonderausrüstung== * Radgewichte * Kriechganggetriebe * Riemenscheibe * Kraftheber * Kabine * Servolenkung * Vordere Kotflügel ==Literatur & Weblinks== * tracteurs.someca.free.fr * otmv.nl * Nebraska-Tractor-Test (Test-Nr. 1385/81) <references /> {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Fiat |HERSTELLER= Fiat}} 25urxyxepi85l260ta8tpyhesyywjx6 0 122425 1088503 1088461 2026-06-29T17:05:50Z Stilfehler 1981 Gliederung 1088503 wikitext text/x-wiki [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 04.jpg|thumb|Ein auf einem KI-generierten Rezept basierendes 1-Pfannen-Gericht: Marinierter Lachs und Edamame auf Blumenkohlreis, mit Pistazien und krossem Speck (Würzung: eklektisch südostasiatisch)]] '''Personalisiertes Kochen mit dem Chatbot''' – Ein Leitfaden für den KI-gestützten Küchenalltag Was wäre, wenn jemand, der deinen Kühlschrank kennt und deinen Geschmack versteht, dir täglich Anregungen und maßgeschneiderte Rezepte für das geben könnte, was heute auf den Tisch kommt, und dabei mit der Zeit immer besser wird? == 1. Der personalisierte Küchenassistent == <div style="background:powderblue";> Kochbücher und Rezeptportale bieten eine schier unerschöpfliche Auswahl an Gerichten — aber sie wissen nicht, was im Kühlschrank, im Vorratsschrank und im Gewürzregal steht, sie kennen weder die Geschmackspräferenzen noch die Küchengeräte des Benutzers, und sie können nicht auf die Frage antworten, was man mit einer angebrochenen Dose Kichererbsen, einem Rest Joghurt und einem Bund Petersilie anfangen soll, der morgen nicht mehr frisch sein wird. Genau hier setzt dieser Leitfaden an. Bei dem hier beschriebenen Ansatz wird der KI-Chatbot nicht als Nachschlagewerk benutzt, sondern als personalisierter Küchenassistent: einer, der das Vorratsregime des Benutzers kennt, mit seinen Abneigungen und Vorlieben vertraut ist, seine Küchenausstattung berücksichtigt, der weiß, wie groß die Portionen sein müssen, und — nach einer Einlernphase — zunehmend treffsichere Vorschläge macht, die tatsächlich zum Benutzer passen. Das Prinzip ist dasselbe, das Musik- und Filmstreamingdienste nutzen, um ihren Nutzern Empfehlungen zu machen: Extrapolation aus erkennbar gewordenen Vorlieben. Der Unterschied ist, dass der Benutzer hier nicht das Ziel einer Marketingstrategie ist — sondern selbst der Nutznießer. Darüber hinaus sorgt die KI auch noch dafür, dass – bevor Zutaten neu gekauft werden müssen – erst einmal das voll ausgeschöpft wird, was an Vorräten und Resten in einer Küche bereits vorhanden ist. </div> === Was diese Methode vom konventionellen Kochen unterscheidet === Die meisten Menschen kochen den Großteil ihrer Mahlzeiten ohne Rezept — aus einem festen Repertoire vertrauter Gerichte, das sich über Jahre kaum verändert. Kochbücher werden gelegentlich aufgeschlagen, meist für besondere Anlässe oder wenn der Wunsch nach etwas Neuem stark genug ist, um die Hürde des Unbekannten zu überwinden. Im Alltag dominiert das Vertraute. KI-gestütztes Kochen, so wie es dieser Leitfaden beschreibt, macht das Neue zur täglichen Normalität. Weil die KI das vorhandene Inventar kennt und aus ihm schöpft, ist der Aufwand für ein unbekanntes Gericht nicht größer als für ein vertrautes — die Hürde entfällt. Das erlaubt es, buchstäblich jeden Tag etwas zu kochen, das man so noch nie zubereitet hat. === Einige Vorteile der Methode === [[Datei:Rainbow chard for sale at the Campbell farmers market.jpg|thumb|Einfach mal spontan 1 Zutat kaufen, die interessant aussieht. Die KI wird ein Rezept finden, deren übrige Zutaten alle aus den vorhandenen Beständen (Kühlschrank, Vorratsschrank) kommen.]] Ökonomisch: * Vorräte werden systematisch und vollständig genutzt * Professionelle Problemlösungen bei logistischen Engpässen * Weniger und effizientere Einkaufsgänge * Personalisierung der Mengen: die KI berücksichtigt nicht nur die Zahl der Portionen, sondern kann auch damit umgehen, wenn die Portionen größer oder kleiner sein sollen als der Kochbuch-Standard * Wenn von Zutaten Reste bleiben, werden diese systematisch und vollständig weitergenutzt Kulinarisch: * Nur noch Gerichte, die für das eigene Geschmacksprofil optimiert sind * Tägliche Abwechslung ohne zusätzlichen Aufwand * Treffsichere Vorschläge neuer Zutaten und Küchen, die zum eigenen Profil passen * Mehr Freiheit, beim Einkaufen spontan Lebensmittel auszuwählen, die reizvoll aussehen (auch wenn man zunächst nicht weiß, was sich damit anfangen lässt) * Die KI kombiniert Zutaten und Methoden nicht beliebig, sondern nutzt tiefe Warenkunde für systematische Innovation. Sie bricht Gewohnheiten durch fundierte, algorithmische Logik und erzwingt so kreative Kombinationen, die weit jenseits menschlicher Intuition liegen. Persönlich: * Massive Vereinfachung der Küchenplanung * Selbsterkenntnis: besser verstehen, warum man bestimmte Dinge lieber isst als andere * Wachsende Kochkompetenz durch niederschwelliges Erlernen neuer Kochtechniken und -praktiken im ganz normalen Küchenalltag * Unterschiedliche Geschmäcker in Mehrpersonenhaushalten sind kein Problem, sondern ein Ausgangspunkt — die KI findet Gerichte, die verschiedene Vorlieben nicht ignorieren, sondern produktiv miteinander verbinden. === Ist das auch gesünder? === Dieser Leitfaden ist '''ernährungsphilosophisch neutral'''. Er macht keine Aussagen darüber, was eine gesunde Ernährung ausmacht — das liegt in der Verantwortung jedes Benutzers selbst. Die Methode funktioniert gleichermaßen für Veganer wie für eine mediterrane Vollwertkost wie für Menschen, die gern ''Convenience Food'' verwenden. Grundlegend tendiert diese Methode aber dazu, weitaus mehr Abwechslung auf den Tisch zu bringen, als dies beim gewöhnlichen Kochen der Fall ist, und damit einer einseitigen Ernährung entgegenzuwirken. == 2. Datenschutz und Sicherheit == [[File:Padlock infront of isolated white background 02.jpg|frameless|right]] Wer einem Chatbot mitteilt, was er im Kühlschrank hat, welche Gewürze er bevorzugt, welche Lebensmittel er nicht verträgt und ob er vielleicht Kalorien zu reduzieren versucht, gibt persönliche Daten preis — das ist eine Beobachtung, die keine Verharmlosung, sondern eine nüchterne Antwort verdient. === Was man tatsächlich preisgibt === Das Kochprofil, das dieser Leitfaden empfiehlt, enthält im Wesentlichen Lifestyle-Daten: Vorratsbestände, Geschmackspräferenzen, Küchenausstattung, lokale Einkaufsmöglichkeiten. Es enthält keine Finanzdaten, keine Identitätsdaten, keine Kommunikationsinhalte. Wer dieselbe Abwägung für die Daten vornimmt, die er Google, Amazon oder einem Supermarkt-Bonusprogramm täglich und routinemäßig übergibt — Standortdaten, Suchanfragen, vollständiges Einkaufsverhalten — wird feststellen, dass das Kochprofil typischerweise weniger sensitiv ist als das, was er anderswo längst preisgegeben hat. Das bedeutet nicht, dass die Sorge unberechtigt ist. Es bedeutet, dass sie abgewägt werden sollte. Heikler als reine Lifestyle-Daten sind Ernährungsanforderungen, die medizinische Diagnosen implizieren, ohne dass der Benutzer das explizit benennt. Eine natriumarme Ernährung verweist auf Bluthochdruck oder Herzerkrankung. Eine FODMAP-reduzierte Ernährung verweist auf Reizdarmsyndrom. Die Vermeidung von Tyramin-reichen Lebensmitteln — Hartkäse, Rotwein, Wurstwaren — verweist auf eine MAO-Hemmer-Medikation. Diese Daten fallen in Europa unter den stärksten Schutzbereich der DSGVO; in anderen Rechtsordnungen ist der Schutz schwächer oder fehlt ganz. Auch hier muss man abwägen, ob und inwieweit die Vorteile, die der personalisierte Küchenassistent bringt, die vermuteten Risiken aufzuwiegen vermögen. === Vier Optionen auf einem Sicherheitsspektrum === '''Option 1: Cloud-KI mit angepassten Datenschutzeinstellungen'''. Alle großen Anbieter erlauben es, die Verwendung von Gesprächsdaten für das Modelltraining zu deaktivieren. Das reduziert das Risiko erheblich, eliminiert es aber nicht vollständig, da Gespräche für Sicherheits- und Qualitätszwecke temporär gespeichert werden können. '''Option 2: API-Zugang'''. Wer über die Programmierschnittstelle auf einen Chatbot zugreift, hat in der Regel stärkere Garantien: Die großen Anbieter schließen API-Daten standardmäßig vom Modelltraining. Das setzt allerdings eine gewisse technische Versiertheit des Benutzers voraus. '''Option 3: Anonymisiertes Profil'''. Das Benutzerprofil enthält per se keinen zwingend identifizierenden Inhalt. Es kann konsequent ohne Namen, ohne präzise Ortsangaben und ohne andere direkt identifizierende Informationen formuliert werden. „In der Nachbarschaft gibt es einen türkischen Lebensmittelladen” ist nicht re-identifizierend. Das Profil kann als anonymes Dokument geführt werden. '''Option 4: Lokale Sprachmodelle'''. Für Benutzer, die grundsätzlich keine Daten an Cloud-Dienste senden wollen, sind lokal installierte Modelle die konsequenteste Lösung. Kein Byte verlässt das Gerät. Empfehlenswerte Werkzeuge hierfür sind '''LM Studio''' — mit grafischer Benutzeroberfläche, auch für Nicht-Techniker geeignet — sowie '''GPT4All''' und '''Jan''', beide kostenlos und auf Windows, Mac und Linux lauffähig. Als Modelle eignen sich für Kochzwecke auch kleinere Varianten (7 bis 13 Milliarden Parameter), die auf jedem modernen Laptop ohne Spezial-Hardware laufen. Die Modellqualität ist gegenüber den großen Cloud-Diensten etwas geringer, für Rezeptvorschläge jedoch vollständig ausreichend. Der einzige Vorbehalt: Die Erstinstallation erfordert etwas technisches Engagement — ist dieser Schritt aber getan, ist die Bedienung so einfach wie bei einem normalen Chatbot. === Einfache Zusatzoption: Das Profil lokal führen === Als Alternative zum plattformseitigen Speichern (in den Benutzereinstellungen der KI) empfiehlt sich das Führen des Benutzerprofils als einfache Textdatei auf dem eigenen Computer oder Smartphone — etwa in der Notizen-App, in einem Word-Dokument oder in einem beliebigen anderen Textprogramm. Das gibt dem Benutzer zusätzliche Kontrolle darüber, was er wann preisgibt — und es löst zugleich ein praktisches Problem: KI-Chatbots haben kein dauerhaftes Gedächtnis. Was in einem langen Chat weit zurückliegt, ist für die KI irgendwann schlicht nicht mehr präsent. Das Profil muss deshalb regelmäßig neu eingegeben werden — spätestens dann, wenn man merkt, dass die KI Präferenzen nicht mehr berücksichtigt, proaktiv alle zehn bis fünfzehn Kochsitzungen. Wer das Profil als Textdatei auf dem Gerät hat, erledigt das mit zwei Handgriffen: Datei öffnen, Inhalt in das Chatfenster kopieren. == 3. Das Benutzerprofil == [[Datei:Deepin Icon Theme – deepin-contacts.svg|right|rahmenlos]] Das Benutzerprofil ist das Fundament der gesamten Methode. Ohne dieses Element bleibt die KI ein generisches Nachschlagewerk — erst das Profil macht sie zum personalisierten Küchenassistenten, der weiß, womit und für wen er arbeitet. Das Benutzerprofil besteht aus zwei Teilen. Das '''Küchenprofil''' erfasst die sachlichen, objektiven Parameter: was ständig vorhanden ist, was ausgeschlossen ist, welche Geräte zur Verfügung stehen, was eingekauft werden kann. Das '''Geschmacksprofil''' erfasst die subjektiven, dynamischen Parameter: was dem Benutzer schmeckt, was nicht, und wie sich seine Vorlieben im Laufe der Zeit entfalten. === Das Küchenprofil === ==== Was ist ein Küchenprofil? ==== Unter einem Küchenprofil verstehen wir hier die Gesamtheit der Informationen, die ein Küchenassistent über die Situation in einem Haushalt braucht, damit er effizient arbeiten kann. Lediglich die Informationen über die geschmacklichen Vorlieben des Benutzers und der Mitglieder seines Haushalts werden nicht im Küchenprofil, sondern [[#Das Geschmacksprofil|anderswo]] verwaltet. Hier eine Liste von Parametern, aus denen das Küchenprofil sich zusammensetzen kann: [[File:Spice rack, 2014.jpg|thumb]] ; Dauervorräte: Zutaten, die ständig verfügbar sind, weil ihre Vorräte, wenn sie zur Neige gegen, routinemäßig wieder aufgestockt werden: : ''Gewürzinventar'': Der diagnostisch wertvollste Teil des gesamten Profils. Wer der KI mitteilt, dass er Harissa, Sumach, geräuchertes Paprikapulver, Kecap Manis und Szechuanpfeffer im Schrank hat, kommuniziert damit ein Geschmacksprofil, das die KI sofort und präzise interpretieren kann — aussagekräftiger als jede abstrakte Beschreibung von Vorlieben. : ''Fensterbank-Kräuter''; : ''Gemüsekorb'': Kartoffeln, Zwiebeln, Schalotten, Knoblauch, Ingwer, Tomaten und andere frische Zutaten, die man immer im Haus hat, die aber nicht in den Kühlschrank gehören; : ''Vorratsschrank'': Öle und Essige, Konserven, Hülsenfrüchte, Getreide und Pasta, Nüsse und Trockenfrüchte, Saucen und Pasten; : ''Dauervorrat Kühlschrank'': Milchprodukte, Eier, Condiments, Aufschnitt oder andere Kühlwaren, die regelmäßig nachgekauft werden; : ''Tiefkühlschrank'': Gemüse, Kräuter, Fleisch, Meeresfrüchte und andere Zutaten, die man tiefgekühlt ständig vorrätig hält; die KI kann ausgezeichnet auch mit Convenience Food wie z.B. tiefgefrorenem Gyros arbeiten. ; Saisonale Ressourcen: Zutaten, die nur in bestimmten Monaten leicht verfügbar sind, etwa weil sie aus dem eigenen Garten kommen. ; Ausschlusslisten: Abneigungen gegen bestimmte Zutaten, Allergien, Unverträglichkeiten, ethische, religiöse oder diätische Einschränkungen. ; Positivlisten: Zutaten, die vor anderen bevorzugt werden (z.B. „Möglichst oft etwas mit Kartoffeln oder Vollkorn.“). [[File:20051018Épicerie d'Amélie Poulain 2.jpg|thumb]] ; Einkaufsressourcen: Welche Läden sind in der Nähe, und worauf sind sie spezialisiert? Ein türkischer Lebensmittelladen ermöglicht andere Rezeptvorschläge als ein osteuropäischer, ein asiatischer Supermarkt andere als ein hispanischer Tiendita. Diese Information erlaubt der KI, bei Bedarf Zutaten in den Vorschlag einzubeziehen, die über das Standardsortiment eines Supermarkts hinausgehen — und die den Benutzer geschmacklich bereichern können. ; Küchengeräte und Utensilien: Hier genügt es, über das Basisequipment hinaus zu inventarisieren — Herd, Backofen, Messer und Töpfe darf die KI als selbstverständlich voraussetzen. Was sie wissen sollte, sind Geräte, die besondere Zubereitungsarten ermöglichen oder einschränken: Dampfgarer, Sous-vide-Gerät, Standmixer, Stabmixer, Reiskocher, Gusseisenpfanne, Wok, Tajine, Dutch Oven, Pizzastein und ähnliches. Wenn möglich, lohnt sich die Angabe relevanter Leistungsparameter — etwa die maximale Wattzahl eines Stabmixers oder die Größe des Backofens — damit die KI einschätzen kann, was ein Gerät tatsächlich leisten kann. Wenn man das Modell genau bezeichnet, ist die KI manchmal sogar schlauer als der Benutzer, was das Gerät genau leisten kann. Zweckmäßig ist es, im Küchenprofil auch auch die '''Grundeinstellungen der Sitzungsparameter''' anzugeben, also diejenigen Informationen beispielsweise zur Zahl der benötigten Portionen, mit denen die KI im Regelfall arbeiten soll. Mehr dazu [[#Sitzungsparameter|weiter unten]]. ==== Wie man das Küchenprofil erstellt und was man dann damit macht ==== Wenn man den neuen Chat, den man künftig zum Kochen verwenden wird, anlegt, ist das Küchenprofil zweckmäßigerweise eines der ersten Dokumente, die man der KI übergeben sollte. Es braucht nicht von Anfang an vollständig zu sein, sondern kann nach und nach vervollständigt werden – ein gut gepflegtes Profil macht aber den Unterschied zwischen generischen Rezeptvorschlägen und solchen, die dem Benutzer das Leben tatsächlich einfacher machen. Damit man auf das Küchenprofil stets einfach zugreifen kann, ist es zweckmäßig, es nicht direkt in die KI einzutippen, sondern es separat davon in einem Texteditor zu erstellen. Dort kann man es nach Bedarf jederzeit lesen, bearbeiten, ergänzen und aktualisieren. Dann überträgt man es entweder mit Kopieren+Einfügen oder per Hochladen in die KI. Falls das Gedächtnis der KI später, nach einigen Sitzungen zu schwächeln beginnt, übergibt man das Küchenprofil einfach erneut. === Das Geschmacksprofil === [[File:Banchans.jpg|thumb]] Das Geschmacksprofil unterscheidet sich grundlegend von allen anderen Teilen des Benutzerprofils. Während Gewürzinventar, Küchengeräte und Ausschlussliste statische Fakten sind, die einmal erfasst und gelegentlich aktualisiert werden, ist das Geschmacksprofil ein '''lebendes Dokument''' — eines, das nie wirklich abgeschlossen ist und das mit jeder Kochsitzung präziser wird. Es ist zugleich der Teil des Profils, den manche Benutzer vielleicht am schwierigsten finden werden, weil er eine Art Selbstkenntnis voraussetzt, die man oft erst im Dialog mit der KI entwickelt. ==== Dimensionen des Geschmacks ==== Hier einige Dimensionen des Geschmacks, die nach und nach ins Benutzerprofil eingehen sollten: ; Ethnische Küchen und Kochtraditionen: Welche Küchen der Welt sprechen den Benutzer an? Das muss keine erschöpfende Liste sein — oft genügt es, einige Affinitäten zu benennen und einige Abneigungen. Eine Vorliebe für japanische und peruanische Küche bei gleichzeitiger Skepsis gegenüber sehr fetthaltigen nordeuropäischen Gerichten ist bereits eine präzise und nützliche Angabe. Die KI kann daraus nicht nur Rezeptvorschläge ableiten, sondern auch Querverbindungen herstellen — etwa Techniken aus einer Küche auf Zutaten einer anderen anwenden. ; Geschmacksbalance: Die fünf Grundgeschmäcker — salzig, sauer, süß, bitter, umami — treten in jedem Gericht in einem bestimmten Verhältnis auf. Manche Benutzer bevorzugen klar dominante Profile, andere schätzen komplexe Gleichgewichte. ''Eine Vorliebe für ausgeprägte Säure, kombiniert mit Umami-Tiefe und wenig Süße'', ist eine Information, die die KI unmittelbar in die Rezeptauswahl einfließen lässt. ; Aromarichtungen: Wie intensiv darf ein Gericht gewürzt sein? Welche Rolle spielen Schärfe, Kräuterintensität, Rauchigkeit, Fermentiertes, Bitteres? Wer der KI mitteilt, dass er großzügigen Gebrauch von frischen Kräutern schätzt, Schärfe bis zu einem bestimmten Grad liebt und Rauchigkeit als willkommene Hintergrundnote empfindet, gibt ihr ein Koordinatensystem, das weit präziser ist als eine allgemeine Aussage wie „ich mag würziges Essen”. ; Texturpräferenzen: Textur ist eine der am häufigsten unterschätzten Geschmacksdimensionen. Wer knusprige Oberflächen liebt, wer cremige Konsistenzen bevorzugt, wer Bissfestigkeit schätzt oder wer bestimmte Texturen — etwa mehlige Konsistenz oder sehr weiches Fleisch — als unangenehm empfindet, sollte das im Profil festhalten. Ebenso relevant ist die Frage, ob Texturkontraste in einem Gericht willkommen sind — etwa knusprige Einlagen in einer cremigen Suppe — oder ob Homogenität bevorzugt wird. ==== Die Ermittlung des Geschmacksprofils als iterativer Prozess ==== [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 12.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Pfannengerührte Shrimps mit Ei und Spinat auf schwarzem Perlreis mit marinierten Knoblauchstengeln, gewürzt u.a. mit Gochujang und Spicy Chili Crisp]] Am Anfang wird das Geschmacksprofil zwangsläufig unvollständig und unscharf sein — das ist normal und kein Mangel. Die KI braucht vom Benutzer, um nützlich zu sein, keine perfekte Selbstbeschreibung. Sie braucht nur einen Ausgangspunkt, an dem sie ihre Arbeit beginnen kann. Die wenigsten Menschen haben Übung darin, in Worten exakt auszudrücken, warum sie bestimmte Zutaten, bestimmte Zubereitungsweisen und bestimmte Gerichte mögen oder nicht mögen. Aber auch wenn die KI das Geschmacksprofil eines Benutzers am Anfang noch nicht kennt, hat sie mehrere Mittel, um es zu erforschen: ; Rezeptauswahl als Signal: Jedes Mal, wenn der Benutzer aus mehreren Vorschlägen einen auswählt und die anderen verwirft, teilt er der KI etwas über seine Präferenzen mit — auch wenn er das nicht explizit formuliert. ; Rezept-Modifikation als Signal: Wenn die KI ein Rezept vorschlägt, wird der Nutzer manchmal eingreifen: „geht das auch ohne Knoblauch?", „lieber Zitrone als Essig", „nein, keine Sahne – lieber Kokosmilch". Auch damit verrät er der KI oft mehr über seinen Geschmack, als ihm bewusst ist. ; Post-cook-Review: Wenn ein Gericht besonders gut war, oder im Gegenteil nicht gefallen hat, sollte die KI das unbedingt erfahren. „Zu säuerlich für meinen Geschmack, die Textur war perfekt, die Kombination Koriander und Limette würde ich gerne öfter sehen” ist eine außerordentlich informationsreiche Aussage, die das Profil unmittelbar verfeinert. Im Laufe von Wochen und Monaten entsteht so ein '''kollaboratives Geschmacks-Profiling''': die KI nähert sich den tatsächlichen Präferenzen des Benutzers iterativ an, oft weitaus präziser, als es dem Benutzer selbst möglich wäre, sie von vornherein zu beschreiben. In '''Mehrpersonenhaushalten''' fällt das Urteil häufig nicht einhellig aus. Damit die KI gezielt nach Kompromissen forschen kann, sollte sie möglichst genaue Information darüber erhalten, wer was gemocht oder nicht gemocht hat: z.B. „Die Schärfe durch das Gochujang war für mich ideal, führte aber bei M. zum sofortigen Abbruch; R. schlägt vor, die Schärfe künftig über ein separates Topping zu lösen.“ ==== Beschleunigtes Geschmacksprofiling ==== [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 02.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Pacific Rim Surf & Turf Bowl, mit fein geschnittenem Steak, Jacobsmuscheln, Jicama, Anaheim-Chili, Edamame, Koriander und Avocado]] Wer ungeduldig ist und das Geschmacksprofiling nicht einfach seinem natürlichen Verlauf überlassen will, kann den Prozess durch verschiedene Maßnahmen beschleunigen: * Die '''Auswahl begründen''': Die KI bietet zu Beginn jeder Kochsitzung typischerweise drei Rezeptvorschläge zur Auswahl an, von denen man einen auswählt. Wer der KI seine Entscheidung nicht einfach nur mitteilt, sondern sie auch ''kommentiert'', liefert ihr damit wertvolle zusätzliche Profilinformation. * '''Lieblingsgerichte nennen''': Eine Liste von Gerichten, die man besonders gern mag — möglichst mit kurzer Beschreibung oder Rezept — ist für die KI ein außerordentlich ergiebiges Ausgangsmaterial, aus dem sie das Geschmacksprofil unmittelbar herausarbeiten kann. * Ein '''strukturiertes Assessment''' durchführen: Der Benutzer fordert die KI auf, ihm gezielte Fragen zu stellen, um sein Geschmacksprofil herauszuarbeiten. Das kann man entweder dialogisch machen oder mit Hilfe eines Fragebogens, den man den Chatbot erstellen lässt. ---- <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> <div style="font-weight:bold;line-height:2.6;">Hier ein Beispiel, wie so ein Fragebogen aussehen kann.</div> <div class="mw-collapsible-content"> <div style="color:purple;"> ''Die folgenden Fragen können helfen, eine Bestandsaufnahme der Vorlieben eines Benutzers für Geschmacksrichtungen, Aromen und Texturen vorzunehmen. Ob jemand Fenchel mag oder verabscheut, ob er Saures angenehm oder unangenehm findet und ob er Krosses oder Cremiges bevorzugt, ist etwas, das nur einem selbst gehört und das niemals Gegenstand eines Werturteils sein kann. In Geschmacksfragen gibt es kein Richtig und kein Falsch. Auch in einem Assessment des Geschmacksprofils gibt es darum keine richtigen oder falschen Antworten.'' ''Wer möchte, kann diesen Fragebogen gern mit Paste&Copy in eine Textverarbeitung übertragen, ausfüllen und dann – mit der Bitte um Auswertung – einem Chatbot seines Vertrauens übergeben.'' 1. Erinnere dich an die schlimmsten Gerichte deiner Kindheit (Oma, Schulkantine, Ferienlager). Was wurde dir zugemutet? Beschreibe nicht nur, was es war, sondern auch: War es das schleimige Mundgefühl? Die bittere Note? Die Zähigkeit? Die völlige Abwesenheit von Textur? Lass deiner Wut beim Schreiben freien Lauf. 2. Wenn du einen Bissen von einem Gericht in den Mund nimmst, was suchst du physiologisch? :[ ] Den harten, fast anstrengenden Widerstand (wie bei einer krustigen Brotrinde oder Nüssen). :[ ] Das zarte, schmelzende Gefühl (wie bei einer Mousse oder weichem Risotto). :[ ] Den "Snap" (wie bei einer knackigen Garnele oder einer frischen Paprika). : Was mir dazu auch noch einfällt: 3. Stell dir eine Textur vor, die glatt, weich und fast flüssig ist (z.B. eine pochierte Auster, eine weiche Okra-Schote oder ein sehr weicher Tofu). Was empfindest du: :[ ] Faszinierend, dieses schmelzende, glitschige Gefühl ist ein Highlight. :[ ] Absolutes No-Go; mein Essen braucht Struktur und darf nicht „ausweichen“. : Was mir dazu auch noch einfällt: 4. Du landest schiffbrüchig auf einer einsamen Insel. Vom sinkenden Schiff konntest du nur eine aromatische Komponente mitnehmen. Salz ist kein Thema, das gewinnen wir aus dem Meer. Was rettet deine Lebensfreude? :[ ] Die pure Hitze (Chili, scharfer Pfeffer). :[ ] Die ätherische Tiefe (Knoblauch, Zwiebelgewächse). :[ ] Die krautige Frische (Koriander, Minze, Basilikum). :[ ] Die erdige Wärme (Kreuzkümmel, Kurkuma, Zimt). : Was mir dazu auch noch einfällt: 5. Eine Zitrone wird direkt vor dir aufgeschnitten. Was passiert in deinem Kopf? :[ ] „Erfrischend, direkt ein bisschen Saft übers Essen für den nötigen Zing!“ :[ ] „Oh Gott, mir zieht’s alles zusammen, unvorstellbar, das in den Mund zu nehmen!“ : Was mir dazu auch noch einfällt: 6. Manche Menschen lieben dunkle Aromen, die durch lange Reifung oder Konzentration entstehen – man nennt das „Umami“. Denke an den intensiven Kern eines alten Parmesans, die dunkle Würze einer über Stunden eingekochten Fleischsauce (Demi-Glace), die Aromatik von Sardellen oder die Tiefe von Sojasauce und Miso. :[ ] Je intensiver und „dunkler“, desto besser. Das ist die wahre Tiefe. :[ ] Ich mag es lieber sauber, frisch und eindeutig erkennbar. : Was mir dazu auch noch einfällt: 7. Wie muss dein Teller am Ende aussehen? :[ ] Die Sauce ist ein dezenter Begleiter, der die Hauptdarsteller nur glänzen lässt. :[ ] Ich brauche eine „Suppen-Ästhetik“; die Beilagen müssen in Sauce baden. : Was mir dazu auch noch einfällt: 8. Wie darf Fett in deinem Essen vorkommen? :[ ] Sichtbar und pur (die dicke Ölschicht auf dem Pesto, das Stück Butter auf der Backkartoffel, der Fettrand am Fleisch). :[ ] Nur emulgiert und versteckt (in einer cremigen Sauce oder im Teig). : Was mir dazu auch noch einfällt: 9. Dein Essen ist knallgrün vor lauter frisch gehackten Kräutern. Dein Impuls? :[ ] „Großartig, das bringt Komplexität und Frische!“ :[ ] „Hilfe, das schmeckt bestimmt wie Rasenschnitt!“ : Was mir dazu auch noch einfällt: 10. Im Kino wandert deine Hand blind in eine Schüssel. Was hoffst du zu finden? :[ ] Etwas, das laut kracht und salzig ist (Chips, geröstete Kerne). :[ ] Etwas Klebrig-Süßes, das den Kiefer beschäftigt (Karamell, Trockenfrüchte). :[ ] Etwas Prickelnd-Saures (saure Fruchtgummis, eingelegtes Gemüse). : Was mir dazu auch noch einfällt: 11. Du nimmst einen Löffel Nutella oder Honig pur aus einem Glas. :[ ] Ich genieße die pure Befriedigung und könnte noch einen zweiten Löffel nehmen. :[ ] Ich brauche danach sofort einen starken Espresso oder ein Glas Wasser zum Neutralisieren. : Was mir dazu auch noch einfällt: 12. Vergiss Wasser – was ist dein bevorzugter „Gegenspieler“ zu einem komplexen Gericht? :[ ] Etwas mit viel Kohlensäure und Süße (Limo, Cola). :[ ] Flüssiges Obst (Apfelsaft, Karottensaft, Pfirsichnektar) :[ ] Etwas Herbes/Bitteres (Bier, Tonic Water, schwarzer Tee/Kaffee). :[ ] Etwas Säurebetontes (Wein, Schorle, Kombucha). : Was mir dazu auch noch einfällt: 13. Welches Lebensmittel oder welche Kombination hat dich in deinem Leben am meisten positiv überrascht? (Z.B. Algen, Sashimi, Chili mit Schokolade, Wassermelone mit Feta). 14. Gibt es Lebensmittel, die zwar technisch „gut“ zubereitet sind, bei denen du aber einfach körperlich streikst? 15. Was ich über meine Geschmackspräferenzen sonst noch mitteilen möchte, das ich in diesem Fragebogen bisher noch nicht habe unterbringen können. </div> </div></div> ---- In '''Mehrpersonenhaushalten''' empfiehlt es sich, das Assessment für jeden getrennt durchzuführen — denn auch wenn gemeinsam gekocht wird, sind die Geschmacksprofile der Beteiligten selten identisch. Sie können leicht abweichen oder erheblich. Eine KI, die über diese Unterschiede im Bilde ist, kann bei der Rezeptauswahl helfen, sie zu überbrücken — und schlägt Gerichte vor, die verschiedene Präferenzen unter einen Hut bringen, statt routinemäßig nur einem Profil zu folgen. ==== Wozu? Ich weiß über meinen Geschmack doch jetzt schon mehr, als mir lieb ist. ==== [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 11.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Geröstetes Schweinefilet mit Shiitake und einer Tamarinden-Ingwer-Reduktion auf Spinat-Sorghum, gewürzt u.a. mit Knoblauch und Noilly Prat]] ; Frage an die KI: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Es kostet mich Überwindung, aber hier einmal die reine Wahrheit: Mein größtes Glück ist es, mir am Abend eine Tiefkühlpizza zu backen, Dr. Oetker, die mit Salami. Weil die Coke Zero, die ich dazu trinke, mein Verlangen nach Süßem nicht stillt, brauche ich hinterher noch Schokolade. Meist schaffe ich es, nach 50 g aufzuhören. Sag mal ehrlich: mein Geschmack ist doch total versaut. Warum sollte ich mich noch der Demütigung eines Assessments unterziehen?</span> ; Antwort der KI: <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Ganz ehrlich: Dein Geschmack ist nicht „versaut“, er ist einfach nur perfekt auf die industrielle Logik optimiert. Salami-Pizza, Coke Zero und Schokolade bedienen die drei mächtigsten Hebel unseres Gehirns: Fett, Salz und den Bliss-Point (Süße). Dass du nach 50 g Schokolade aufhören kannst, zeigt sogar eine ziemlich beeindruckende Selbstbeherrschung.</span> : <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Warum also das Assessment?</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Vom Passagier zum Piloten: Momentan steuert die Lebensmittelindustrie deine Gelüste über Kontrollknöpfe, die wir alle haben. Das Assessment ist kein Verhör, sondern eine Inventur dieser Knöpfe, damit du sie bedienen kannst – mit echtem Essen, das die gleichen Glücksgefühle auslöst, aber ohne das „Nachher-Tief“.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Präzision statt Verzicht: Wir suchen nicht nach dem Salatblatt, das dich unglücklich macht. Wir suchen nach der Kombination aus Umami, Crunch und Säure, die deine Pizza-Lust auf ein Level hebt, gegen das die Tiefkühlware wie Pappe schmeckt.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Keine Demütigung, sondern Daten. Für mich als KI ist deine Vorliebe für Salami-Pizza eine wertvolle Information, die mir hilft, dein Geschmacksprofil genauer zu sehen: Salami und Käse liefern dir intensive Fermentationsaromen (Umami), die Pizza den Crunch, und die Schokolade den nötigen Dopamin-Abschluss. Dasselbe können wir aber auch mit anderen Mitteln erreichen, und sogar noch besser.</span> : <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Assessment ist kein Urteil, sondern die Blaupause, um dein „größtes Glück“ zu dekodieren. Statt Industrieware schlage ich dir Upgrades vor: Sauerteig-Fladenbrot, Finocchiona und Pecorino triggern dieselben Belohnungszentren wie Salami-Pizza, nur mit weitaus höherer Reizintensität. Was ich dir vorzuschlagen habe, ist nicht etwa fade Gesundheitsrohkost, sondern die ultimative, handwerkliche Version von dem, was dir tatsächlich am besten schmeckt.</span> == 4. Ablauf der Koch-Sitzung == Der Rezept-Workflow ist die eigentliche Interaktion — der Moment, in dem aus Profil und Sitzungsparametern ein konkretes Gericht wird. Er folgt einer klaren Abfolge von Schritten, die sich nach wenigen Sitzungen als Routine einspielt: {| class="wikitable" ! Benutzer-Input oder -Aktion !! KI-Output |- | Optional: Übergabe des Küchenprofils || Empfangsbestätigung |- | Konkreter Arbeitsauftrag, mit Sitzungsparametern<br/>z.B. <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Schlag mir 3 Rezepte für Spaghetti mit Tomatensauce vor, für 3 Personen. Ich habe noch frisches Basilikum im Kühlschrank.</span> || Ausgabe von Rezeptvorschlägen |- | Auswahl eines der Vorschläge<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gib mir das Rezept für Nr. 1, die „mediterrane Umami-Bombe (Puttanesca-Stil)“. Können wir die Sardellen weglassen?</span> || Ausgabe des Rezepts |- | Rezept vor dem Kochen einmal kritisch lesen<br/>Gegebenenfalls Anforderung von Änderungen oder Korrekturen<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Was für Öl? Und kann es sein, dass du die Gewürze vergessen hast?</span></span> || Gegebenenfalls: Ausgabe des revidierten Rezepts |- | Optional: Rückfrage ''während'' des Kochens<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe gerade festgestellt, dass mein Basilikum ziemlich welk ist; wie kann ich es ersetzen?</span> || Frage wird beantwortet.<br/><span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Wenn nur die Optik das Problem ist, koch es in der Sauce 5 Minuten lang mit und nimm es dann heraus.</span> |- | Optional: Post-cook-Review<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Der Geschmack war okay, aber mir hat das leuchtende Grün auf dem Teller gefehlt; die Extraktion ist eine gute Notlösung, ersetzt für mich aber nicht das visuelle Erlebnis von frischem Basilikum.</span>|| |} === Erster Schritt: Übergabe des Küchenprofils === Es ist möglich, ohne Übergabe eines [[#Das Küchenprofil|Küchenprotokolls]] zu arbeiten. Die KI verhält sich dann aber tendenziell wie ein gewöhnliches Kochbuch und mutet dem Benutzer zum Beispiel zu, dass er Zutaten erst noch kaufen muss. === Zweiter Schritt: Arbeitsauftrag === [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 05.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Mediterranean Chicken & Sweet Potato Roast, mit zart-krossem Pistazien-Duqqa und einer Joghurt-Sauce]] Der Arbeitsauftrag ist der erste Input für die KI, ohne den überhaupt nichts geht. Hier einige Beispiele: : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Habe frischen schwarzen Kabeljau. 4 Portionen, einer meiner Gäste isst nur ganz Klassisches. Einkauf in einem sehr gut sortierten großen Supermarkt ist eingeplant. Mittlere Komplexität. 4 Vorschläge.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">3 Vorschläge für ein mediterranes 3-Gänge-Menü. Habe frische Langusten vom Markt. Zubereitung darf technisch anspruchsvoll sein und beliebig viel Zeit beanspruchen. Reste willkommen, wenn sinnvoll verwertbar. Zielzeit: 20:00 Uhr.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">4 Vorschläge für 6 Personen (100 %). Muss einfach zuzubereiten sein und darf maximal 40 Minuten dauern. Vor andere Zutaten verbrauchen: 1 kg Kartoffeln, außerdem 8 Eier, die unbedingt heute weg sollen. Gezieltes Meal-prep für morgen. Kein Einkauf möglich.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich brauche 2 Vorschläge für ein indisches Abendessen für 3 Personen (Portionsgröße 120 %). Ankerzutat: Panir-Käse. Komplexität: Mittel. Zielzeit: 19:15 Uhr. Zeig mir etwas, das ich noch nicht kenne. Bitte genaue Timings für alle Schritte.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gib mir ein komplettes Rezept. Cuisine: Südostasiatisch. Ich habe eine rote Paprika und 100 ml Kokosmilch, beides muss weg. Einkaufen im Discounter möglich, darf aber höchstens 15 Euro kosten. Keine Reste erwünscht. Überrasch mich mit einer Technik, die ich noch nicht kenne. Fast hätte ich es vergessen: meine Frau kommt heute erst spät von der Arbeit, wir essen getrennt; schlag mir etwas vor, das sie gut aufwärmen kann.</span> {{Anker|Sitzungsparameter}}Außer der Bezeichnung des gewünschten Gerichts können im Arbeitsauftrag auch '''Parameter''' übergeben werden, z.B. die Zahl der gewünschten Portionen. Parameter, die praktisch unveränderlich sind (weil z.B. in einem Zwei-Personen-Haushalt fast immer zwei Portionen gebraucht werden), kann man – statt sie im Arbeitsauftrag jedesmal neu anzugeben – ins Küchenprofil schreiben, und erwähnt sie im Arbeitsauftrag nur dann, wenn der Wert einmal abweicht (z.B. die Zahl der Portionen, wenn Gäste kommen). Hier eine Übersicht über naheliegene und mögliche Sitzungsparameter: [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 07.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: „Slow-Roasted“ Pork & Kimchi-Stew (Jjigae-Style), mit Schweinehack, Kimchi, Süßkartoffel, Bok Choy, Würzbasis: weißes Miso und Gochujang; dazu brauner Basmati]] ; Zahl der Vorschläge: Die KI ist in der Lage, auf den Arbeitsauftrag direkt mit einem detaillierten Rezeptvorschlag zu antworten. Aus verschiedenen Gründen ist es jedoch zweckmäßiger, erst eine Anzahl von Vorschlägen abzurufen. In der Praxis bewährt haben sich '''drei oder vier Vorschläge''' (weniger erlauben nicht wirklich eine Wahl; mehr verleitet dazu, keinen zu wählen — ein aus der Entscheidungsforschung bekanntes Phänomen, das als ''Paradox der Wahl'' bezeichnet wird). Falls keiner von diesen gefallen sollte, lässt man einfach 3 oder 4 weitere ausgeben. ; Temporäres Vorratsupdate: Was ist heute vorhanden, das nicht zum Dauerbestand gehört? Frisches Gemüse, Obst, Kräuter aus dem Garten, ein Stück Fisch vom Markt, eine saisonale Spezialität — alles, was nur zeitweise verfügbar ist und in den Rezeptvorschlägen berücksichtigt werden soll. ; Use-first-Queue: Welche Zutaten müssen heute oder in den nächsten ein bis zwei Tagen verbraucht werden? ; Ankerzutaten: Welche Zutaten sollen auf jeden Fall im Rezept vorkommen — nicht weil sie dringend verbraucht werden müssen, sondern weil der Benutzer gezielt etwas damit kochen möchte? Das kann eine Zutat sein, die interessant aussah und spontan gekauft wurde oder auf die der Benutzer heute einfach Lust hat. ; Personenzahl und Portionsgröße: Für wie viele Personen wird gekocht, und in welcher Portionsgröße? Wer häufig mit der KI kocht, wird bald herausfinden, ob die Portionen z.B. 70 oder 90 oder 100 oder 120 % der standardmäßigen Portionsgröße betragen sollen. ; Novitäts-Präferenz: Sind Kreativität und Überraschungen erwünscht, oder soll die KI lieber etwas Vertrautes vorschlagen? ; Komplexitätslevel: Soll das Gericht einfach zuzubereiten sein oder darf es technisch anspruchsvoll sein? ; Zeitaufwand: Wie viel Zeit ist heute für die Essenszubereitung maximal verfügbar? ; Zielzeit der Mahlzeit: Wenn die Mahlzeit zu einem bestimmten Zeitpunkt auf den Tisch kommen soll, ist die KI in der Lage, für jeden Zubereitungsschritt die optimale Startzeit zu berechnen und als Zeitstempel ins Rezept aufzunehmen. ; Einkaufsbereitschaft: Soll die KI ausschließlich mit dem arbeiten, was vorhanden ist, oder ist der Benutzer bereit, noch Zutaten einzukaufen? Wo kann er einkaufen? Und was darf es kosten? ; Reste-Toleranz: Reste können sowohl vom zubereiteten Gericht als auch von Zutaten anfallen. Sind sie zu vermeiden oder erwünscht? Soll die KI, falls Reste erwünscht sind, Vorschläge machen, was damit anzufangen ist? Falls geplant ist, Reste schonend aufzubewahren oder einzufrieren: soll die KI Anleitung geben, wie dies am besten gemacht wird? Wenn Sitzungsparameter für einen Benutzer praktisch immer dieselben sind (z.B. Personenzahl und Portionsgröße, Zielzeit der Mahlzeit), kann man sie als Grundeinstellungen ins Küchenprofil aufnehmen, und erwähnt sie im Arbeitsauftrag nur dann, wenn sie von der Grundeinstellung abweichen sollten. === Dritter Schritt: Vorschlagsrunde und Rezeptauswahl === ; Benutzerinput: <div style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Mach mir drei Vorschläge für Spaghetti-Gerichte, die ich in Deutschland im Restaurant wahrscheinlich nie bekommen würde.</div> ; KI-Output:<div style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">1. Spaghetti con la Mollica (Kalabrien / Basilikata)</div> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Ein Paradebeispiel der Cucina Povera. Da Käse früher für viele zu teuer war, wurde altbackenes Brot als Geschmacks- und Texturgeber genutzt.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Die Basis ist eine Emulsion aus hochwertigem Olivenöl, Anchovies, Knoblauch und Peperoncino. Das entscheidende Element ist die Mollica – in Öl goldbraun und knusprig ausgebackene Brotbrösel, die erst ganz am Ende über die Pasta gegeben werden.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Starkes Umami durch die Sardellen, komplexer texturaler Kontrast zwischen weicher Pasta und krossem Brot.</span> ---- :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">2. Spaghetti al Nero di Seppia (Sizilien / Venedig)</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Dieses Gericht nutzt die Tinte des Tintenfisches nicht nur als Farbstoff, sondern als primäres Gewürz.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Die Sauce wird aus frischem Tintenfisch, Weißwein, Knoblauch und der tiefschwarzen Tinte hergestellt. Entgegen der Erwartung schmeckt die Tinte nicht "fischig", sondern hat ein tiefes, erdiges und leicht metallisches Aroma.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Tiefes, dunkles Umami mit einer seidigen Textur und einer visuell radikalen Ästhetik.</span> ---- :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">3. Spaghetti Cacio e Pepe (Lazio / Rom)</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Obwohl es simpel klingt (Käse und Pfeffer), ist es in seiner römischen Urform eine technische Herausforderung, die keinen Fehler verzeiht.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Es wird ausschließlich Pecorino Romano und frisch gerösteter, grob gemörserter schwarzer Pfeffer verwendet. Die Kunst besteht darin, durch die exakte Temperatur des Pastawassers eine Emulsion zu schaffen, bevor der Käse klumpt oder Fäden zieht.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Starke Schärfe durch die ätherischen Öle des gerösteten Pfeffers, kombiniert mit der salzigen Dominanz des Schafskäses.</span> Falls keiner der Vorschläge überzeugt, geht es in eine nächste Runde. Der Benutzer kann dabei kommentierend oder steuernd eingreifen. Beispiel: :<span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nr. 3 klingt gut, aber ich trau mir das mit der Emulsion nicht ganz zu. Und eigentlich hätte ich heute auch lieber etwas mit Tomaten. Gib mir noch drei.</span> === Vierter Schritt: Empfang das vollständigen Rezepts === Wenn der Benutzer seine Entscheidung gefällt und der KI mitgeteilt hat… :<span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">„Spaghetti mit Tomaten-Konfitüre & geräuchertem Chili“ klingt spannend. Gib mir das Rezept, mit allen Zusatzinformationen, die ich in meinem Küchenprofil festgelegt habe. Außerdem brauche Zeitstempel. Zielzeit fürs Servieren ist 19 Uhr.</span> …gibt diese das komplette Rezept aus. Beispiel: :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">'''Spaghetti mit Tomaten-Konfitüre & geräuchertem Chili'''</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Für 3 Personen | 100 % Portionsgröße | Zielzeit: 19:00 Uhr</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Dieses Gericht funktioniert für dich deshalb, weil es deine Vorliebe für extreme Umami-Konzentration und deutliche Säurespitzen aufgreift, während die cremige Burrata die für dich obligatorische feuchte Komponente liefert und einen spannungsreichen texturalen Kontrast zur dichten, würzigen Konfitüre bildet.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Die Zutaten</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Basis: 750 g hochwertige Dosentomaten (San Marzano), 3 EL Tomatenmark.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Würze: 2 getrocknete Chipotle-Chilis (oder 1 EL Chipotle in Adobo), 3 Knoblauchzehen, Meersalz, 1 EL Zucker.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Pasta: 375 g Vollkorn-Spaghetti (z. B. Kamut oder Farro).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Finish: 2 Kugeln Burrata (Kuhmilch), frisches Basilikum, 3 EL hochwertiges Olivenöl.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Der Zeitplan</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">16:50 Uhr: Vorbereitung. Knoblauch fein hacken, Chipotles mörsern.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">17:00 Uhr: Start Konfitüre. Tomaten, Tomatenmark, Knoblauch, Chili und Süße in einem weiten Topf bei kleiner Hitze ansetzen.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:40 Uhr: Pastawasser aufsetzen (stark gesalzen). Konfitüre final abschmecken (Säure/Salz-Balance).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:48 Uhr: Spaghetti ins Wasser geben (Garzeit ca. 10–12 Min. für Vollkorn, Packungsanleitung beachten).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:57 Uhr: Pasta direkt aus dem Wasser in den Topf mit der Konfitüre heben. Ein Schluck Pastawasser dazu, kräftig durchschwenken, bis jede Nudel glänzt.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">19:00 Uhr: Anrichten. Burrata erst auf dem Teller mittig aufreißen und über die heiße Pasta geben. 2/3 Kugel pro Portion ist genug. Mit Olivenöl und Basilikum abschließen.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Toppings & Pairing</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Toppings: Für den texturalen Kontrast (Crunch) empfehlen sich geröstete Pinienkerne oder knusprig ausgebratene Bacon-Splitter.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Begleitsalat: Ein herber Arugula-Salat (Rucola) mit gehobeltem Fenchel. Das Dressing sollte eine starke Zitronennote haben, um die Schwere der Konfitüre zu brechen.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Getränk: Ein kräftiger, leicht gekühlter Primitivo oder Negroamaro. Die Fruchtigkeit des Weins harmoniert mit der Tomatensüße, während die Tannine gegen die Schärfe bestehen. Alkoholfrei: Ein herbes Tonic Water mit Rosmarinzweig.</span> Bevor der erste Handgriff getan wird, empfiehlt es sich dringend, '''das Rezept einmal vollständig zu lesen'''. Das dient zwei Zwecken: Erstens verschafft es einen Überblick über den Ablauf und verhindert, dass man mitten im Kochen überrascht wird — etwa von einer Ruhezeit, die das Rezept erfordert, oder von einem Schritt, der besondere Vorbereitung verlangt. Zweitens ist es der Moment, in dem mögliche Unstimmigkeiten auffallen: eine Zutat in der Liste, die in der Anleitung nicht mehr vorkommt, oder umgekehrt. Auf die Fallstricke des KI-generierten Rezepts geht Kapitel 7 ausführlicher ein. === Fünfter Schritt: Kochen — mit offenem Chatfenster === Das Chatfenster bleibt während des Kochens geöffnet. Dies ist einer der stillen, aber entscheidenden Vorteile der Methode gegenüber jedem Kochbuch und jeder Rezeptplattform: Die KI antwortet, wenn man sie mitten im Kochprozess fragt. Typische Situationen, in denen das unmittelbar nützlich ist: *Eine Zutat fehlt doch: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe keinen Tahini — womit kann ich ihn ersetzen, und ändert das etwas an den Mengenverhältnissen?</span> Die KI nennt einen oder mehrere Ersätze und passt die Angaben entsprechend an. *Eine Angabe ist unklar: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Was genau meinst du mit ‚auf mittlerer Hitze reduzieren' — soll die Sauce wirklich 20 Minuten köcheln oder reichen 10?</span> Die KI präzisiert und gibt wenn nötig visuelle oder sensorische Erkennungsmerkmale an — wie die Sauce aussehen, riechen oder sich verhalten soll, wenn der Schritt abgeschlossen ist. *Ein Schritt erscheint verdächtig: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Das Rezept sagt, das Hähnchenfilet ist nach 12 Minuten gar — das kommt mir zu kurz vor für die Größe, die ich hier habe.</span> Die KI erklärt ihre Annahme, korrigiert sie falls nötig und gibt eine angepasste Empfehlung. Dieser Typ von Echtzeit-Rückfrage ist zugleich die wichtigste Prophylaxe gegen Kalibrationsfehler, die Kapitel 7 als häufigste Fehlerklasse benennt. *Eine spontane Ergänzung bietet sich an: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe gerade noch frischen Estragon entdeckt — passt der zu diesem Gericht, und wenn ja, wann und wie gebe ich ihn dazu?</span> Die KI bewertet die Idee und integriert sie in den laufenden Kochprozess. Das Chatfenster offen zu halten bedeutet nicht, dass man es ständig konsultieren muss — in der großen Mehrheit der Sitzungen verläuft das Kochen ohne Rückfragen. Aber die Möglichkeit, jederzeit nachzufragen, verändert die Grundhaltung beim Kochen: Man folgt dem Rezept nicht mehr blind, sondern im Dialog. === Sechster Schritt: Der Post-cook-Review === Nach dem Essen lohnt sich eine kurze Rückmeldung an die KI — ein bis zwei Sätze, nicht mehr. Was war gut? Was hätte besser sein können? Welche Zutat oder Technik war eine Entdeckung, welche eine Enttäuschung? Diese Rückmeldung ist der wichtigste Einzelbeitrag zum Aufbau des Geschmacksprofils. Eine KI, die nach zwanzig Sitzungen mit Post-cook-Reviews arbeitet, kennt die Präferenzen des Benutzers präziser als die meisten Menschen, die regelmäßig gemeinsam mit ihm essen. Der Review muss nicht formal sein. Ein beiläufiger Kommentar — <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">die Sauce war zu dünn, aber die Kombination Zimt und Lamm war eine Offenbarung, die mache ich wieder</span> — ist vollständig ausreichend und außerordentlich informationsreich. == 5. Spezielle Modi des KI-gestützten Kochens == [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 03.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Tahini-Lemon-Bowl, mit gebackenen Kichererbsen und in Pfeilwurz paniertem, gebratenem Feta]] === Variationsmodus: Altbekanntes einmal ganz anders zubereiten === Der Variationsmodus dient dazu, bestehende Rezepte – egal ob aus dem Internet, einem Kochbuch oder aus der Familientradition – mithilfe der KI an neue Rahmenbedingungen anzupassen. Anstatt das Rad neu zu erfinden, nutzt die KI das Original als strukturelle Vorlage und modifiziert Zutaten, Techniken oder Nährwerte, um das Gericht für spezifische Gäste, knappe Zeitbudgets oder persönliche Gesundheitsziele zu optimieren, ohne den Kern des Rezepts zu verlieren. Beispiele (das Originalrezept wird der KI hier jeweils als separate Datei übergeben): * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Optimiere dieses klassische französische Schmorgericht für mein persönliches Profil: Erhöhe die Säure, verstärke die Kräuternote und sorge für mehr Crunch.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wandle dieses Gulasch-Rezept in eine vegetarische Version um, die die tiefe Umami-Struktur und die fleischähnliche Textur beibehält.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Passe dieses Rezept für meinen Gast an, der eine schwere Nussallergie hat und keinen Knoblauch verträgt, ohne dass das Gericht flach schmeckt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe nur 20 Minuten Zeit; wandle dieses 2-Stunden-Rezept in eine Express-Variante um, die geschmacklich so nah wie möglich am Original bleibt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gestalte dieses Rezept „kindersicher“: Entferne den Alkohol, mildere die Schärfe und verstecke das Gemüse so, dass die Textur homogen bleibt. Es soll dabei aber auch für Erwachsene attraktiv bleiben.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Mache aus diesem einfachen Alltagsgericht eine luxuriöse Festtagsversion unter Verwendung von Premium-Zutaten und einer anspruchsvolleren Anrichteweise.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Übersetze dieses Pfannengericht für die Zubereitung im Backofen (Convection Roast), da ich heute für zehn Personen gleichzeitig kochen muss.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Dekonstruiere dieses klassische Gericht in eine moderne Fingerfood-Variante, die man ohne Besteck auf einer Party essen kann.</span> === Optimierungsmodus: Reste und Convenience veredeln === [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 06.jpg|thumb|Gestrecktes und optimiertes fleischlastiges chinesisches Restaurantessen: ergänzt wurden u.a. schwarzer Reis, ein TK-Gemüsemix und Römersalat (Flüssigkeiten: Liquid Amino, Noilly Prat; Reisessig)]] Nicht jedes Essen beginnt mit frischen Rohzutaten; oft ist die Aufgabe in der Küche die Rettung von Resten, die Aufwertung von Fertiggerichten oder das „Strecken“ einer zu kleinen Portion Take-out. Die KI fungiert hier als kulinarischer Problemlöser, der bestehende Geschmacksprofile erkennt und durch gezielte Ergänzungen in neue, vollwertige Mahlzeiten verwandelt. Besonders beim Aufwärmen oder bei Tiefkühlkost leidet oft die Konsistenz. Die KI kann hier helfen, durch komplementäre Techniken – wie das Hinzufügen von frischen Texturen oder das nachträgliche Herbeiführen von Röstnoten – die typischen Schwächen von aufgewärmtem Essen (Matschigkeit, Eindimensionalität) gezielt auszugleichen. Prompts für das kulinarische Upcycling: * Portionserweiterung & Textur-Rettung: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe hier eine halbe Portion übrig gebliebenes Thai-Curry mit Gemüse, das durch das Aufwärmen leider sehr weich und matschig geworden ist. Schlage mir vor, mit welchen trockenen Basiszutaten (z. B. Getreide oder Hülsenfrüchte) ich die Menge verdoppeln kann und wie ich durch ein schnelles Topping aus gerösteten Komponenten wieder massiven Crunch und Frische in das Gericht bringe.</span> * Convenience-Tuning: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Als Basis für ein schnelles Essen möchte ich eine Dose klassische Linsensuppe verwenden. Schlage mir drei gezielte Eingriffe vor, um das Aroma Richtung Levantine zu verschieben, und nenne mir eine Technik, wie ich die weichgekochte Textur der Dosenlinsen durch eine knusprige Einlage oder ein kontrastierendes Finishing (z. B. in Butter gebratene Croutons mit spezifischen Gewürzen) kompensieren kann.</span> * Resteverwertung mit Profil-Check: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Vom Vortag ist eine Portion gebratener Reis übrig geblieben. Das Gericht ist mir zu trocken und geschmacklich etwas flach. Erstelle eine Anleitung, wie ich daraus ein 'Moist-Dish' mache, indem du eine passende, schnell zubereitete Sauce hinzufügst, und gib mir eine Empfehlung für eine saure oder bittere Komponente, die das schwere Umami aufbricht.</span> === Kochen im Team === Beim Team-Kochen fungiert die KI als virtueller Küchenchef und Koordinator. Sie verteilt Aufgaben basierend auf den individuellen Fähigkeiten der Teammitglieder, berücksichtigt die Ergonomie des verfügbaren Raums und synchronisiert die Arbeitsabläufe durch präzise Zeitstempel. Ob als digitaler Aushang für alle oder als personalisierter Instruktions-Feed auf dem eigenen Smartphone – die KI sorgt dafür, dass aus dem potenziellen Chaos einer Gruppensitzung ein harmonischer, paralleler Workflow wird. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir wollen ein Rinderfilet Wellington mit einer komplexen Rotwein-Reduktion kochen. Wir sind zu viert: Zwei von uns sind sehr erfahren, zwei sind Anfänger. Verteile die Aufgaben so, dass die Profis das Fleisch parieren und die Sauce montieren, während die Anfänger die Duxelles vorbereiten und den Teig verzieren.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane die Zubereitung von selbstgemachten Teigtaschen (Gyoza) für drei Personen. Da unsere Küche sehr schmal ist, teile die Arbeit auf: Eine Person bereitet die Füllung am Esstisch vor, eine rollt den Teig aus und nur die dritte Person steht am Herd, um die Taschen portionsweise zu braten.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir bereiten selbstgemachte Pizza zu, inklusive Teig und Sauce. Wir sind zwei Erwachsene und zwei Kinder (6 und 9 Jahre). Gib den Kindern spezifische Aufgaben wie das Zerzupfen des Mozzarellas und das kreative Belegen, während die Erwachsenen den heißen Ofen und das Schneiden übernehmen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen ein klassisches Risotto mit geschmortem Saisongemüse. Eine Person im Team ist älter und möchte im Sitzen mithelfen. Weise ihr Aufgaben wie das Schälen des Gemüses und das Zupfen der Kräuter zu, während die anderen den Rührvorgang am Herd übernehmen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir bereiten ein Drei-Gänge-Menü (Jakobsmuscheln, Lammrücken, Schokosoufflé) vor. Erstelle für uns drei einen synchronisierten Zeitplan mit Zeitstempeln, damit die Vorspeise um 19:30 Uhr und der Hauptgang um 20:15 Uhr serviert werden kann. Wer muss wann was vorbereiten?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen authentisches thailändisches Green Curry. Erstelle drei separate Instruktionslisten, die wir uns auf die Handys schicken können: Posten A ist für die Currypaste und das Aroma zuständig, Posten B für das Schneiden von Fleisch und Gemüse, Posten C für den Reis und das finale Abschmecken.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen indisches Butter Chicken mit Naan-Brot. Verteile die Aufgaben auf drei Personen, aber baue für jeden von uns feste 5-Minuten-Slots für den Zwischenabwasch und das Aufräumen ein, damit nach dem Essen die Küche bereits fast sauber ist.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir planen ein herbstliches Buffet mit 5 verschiedenen Mezze. Weise uns vier klare Rollen zu (z. B. Chef de Cuisine, Saucier, Gardemanger, Patissier) und ordne die entsprechenden Rezepte und Teilschritte diesen Rollen zu, damit jeder die volle Verantwortung für seinen Bereich trägt.</span> === Strategisches Verbundkochen === Beim intelligenten Planen für mehrere Tage agiert die KI als persönlicher Logistikchef. Sie erstellt nicht nur einen strukturierten Einkaufszettel für alle geplanten Mahlzeiten, sondern taktet die Rezepte auch nach der Haltbarkeit der Zutaten: Empfindlicher Fisch oder frischer Spinat landen am Montag auf dem Teller, während robustes Wurzelgemüse oder vakuumierte Vorräte für den Freitag reserviert werden. Dabei lassen sich zwei Ansätze unterscheiden: ==== Klassisches Batch-Cooking (Die Vorrats-Session) ==== In einer einzigen, konzentrierten Kochsession werden mehrere Mahlzeiten komplett oder in großen Komponenten vorgekocht. Dies ist ideal für Menschen mit wenig Zeit unter der Woche. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane eine zweistündige Session am Sonntag für 5 Büro-Lunches, die ich in der Mikrowelle aufwärmen kann. Ich möchte zwei verschiedene Eintöpfe und eine Getreidebasis vorkochen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich möchte am Sonntag eine riesige Menge meiner levantinischen Basissauce vorkochen. Erstelle mir drei Variationen, wie ich diese Basis von Montag bis Mittwoch mit minimalem Aufwand (unter 10 Min.) völlig unterschiedlich finalisieren kann.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Am Samstag kommen meine Eltern zu Besuch. Plane meine Mahlzeiten ab Dienstag so, dass ich durch tägliches ‚Beiläufig-Vorbereiten‘ am Samstag, wenn die Gäste da sind, fast keine aktive Arbeit mehr habe.</span> ==== Synchron-Planung (Der strategische Einkauf) ==== Hier wird an den jeweiligen Tagen frisch gekocht, aber die Planung und der Einkauf erfolgen synchron. Dieser Modus nutzt Synergien bei den Zutaten und spart Zeit durch einmaliges, gezieltes Besorgen aller Waren. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane für die nächsten 5 Tage. Ich möchte nur zweimal tierisches Protein verwenden (Dienstag und Freitag). Erstelle eine Einkaufsliste, die sicherstellt, dass die frischen vegetarischen Zutaten für die ersten drei Tage nicht welken.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Erstelle einen Plan für 4 Tage: Dienstag ist bei uns fix Pastatag für die Kinder, Mittwoch esse ich allein (etwas Anspruchsvolleres), und Donnerstag muss es blitzschnell gehen. Maximiere die Überschneidungen beim Gemüse für den Einkaufskorb.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe heute einen Großeinkauf gemacht, inklusive empfindlicher Beeren und Hackfleisch. Einzelheiten lege ich in separater Datei bei. Sortiere meine ebenfalls beiliegenden Rezeptwünsche für die Woche so, dass die verderblichsten Sachen zuerst verbraucht werden, ohne dass der Speiseplan eintönig wirkt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich kaufe einen großen Kopf Rotkohl und einen Sack Kartoffeln. Plane drei Gerichte über die Woche verteilt, die diese beiden Hauptzutaten nutzen, aber jedes Mal eine völlig andere Länderküche repräsentieren.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In meinem Garten ist gerade der Mangold reif. Plane für die nächsten 3 Tage Rezepte, die jeweils eine große Portion Mangold verarbeiten, aber achte darauf, dass ich nur einmal für die ergänzenden Zutaten einkaufen gehen muss.</span> === Auf Bestellung erfunden === [[File:AI Designed Customized Cookies.jpg|thumb|Personalisierte Chocolate Chip Cookies. Der Benutzer wünschte sich trockene und sehr feste, krümelarme, mit grobem Salz bestreute Kekse mit minimierten einfachen Kohlenhydraten, seinem persönlichen Geschmacksprofil entsprechend. Die KI schlug u.a. Verwendung von Mandelmehl, Roggenvollkornmehl, Eiklar und Sucralose sowie zweifaches Backen vor. Die genannten Zutaten sind etwas, das dieser Benutzer tatsächlich ständig vorrätig hält.]] Manchmal reicht Personalisierung im üblichen Sinne nicht aus. Das Benutzerprofil ist bekannt, das Geschmacksprofil ist geschärft — und trotzdem gibt es Situationen, in denen der Benutzer etwas braucht, das so spezifisch ist, dass kein Kochbuch und keine Rezeptplattform der Welt es liefern kann. Genau hier liegt eine der stillen Stärken der Methode: Die KI erfindet auf Anfrage Originalrezepte, die auf eine einzige Person und eine einzige Situation zugeschnitten sind. Ein paar Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Rezept für warmes High-Protein-Lunch im Büro, nur mit Wasserkocher und Thermoskanne gegart. Kein Tütensuppen-Niveau.</span> '' * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Brauche ein vollwertiges, klecker- und krümelfreies Gericht, das man beim Computerspiel blind mit einer Hand essen kann. Andere Hand fixiert.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Snack gesucht. Maximaler akustischer Crunch beim Kauen, aber minimal Kalorien. Fokus auf extremen oralen Widerstand.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nahrhafter Frühstücksriegel, der beim Auspacken und Kauen absolut lautlos ist. Pendler-Modus, will die Mitreisenden nicht verärgern.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Hilfe, meine Kekse verschwinden immer in unbefugten Mündern! Denk dir ein Kleingebäck aus, das nur mein persönliches Profil perfekt trifft, aber für alle meine Mitbewohner geschmacklich abstoßend ist.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Einzelportion „Wellington“-Style für den Toaster-Ofen. Fertig in 15 Min, keine Restmengen bei Spezialzutaten.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Herzhaftes Hauptgericht mit kryogenen Zutaten zur Senkung der Körpertemperatur. Kein Salat, keine kalte Suppe.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Erfinde eine Zubereitungsart, die Gemüse in eine papierartige oder knusprige Form bringt. Keine matschigen Texturen erlaubt.</span> '''Aber aufgepasst''': Die Gefahr des Scheiterns steigt hier, da die KI oft in technologische Grenzbereiche spekuliert. Anspruchsvolle Techniken wie die molekulare Sphärisierung oder das präzise Temperieren von Schokolade erfordern nicht nur spezialisiertes Equipment, sondern auch jahrelange Übung in der Feinmotorik. Wenn die KI komplexe Emulsionen oder chemisch sensible Texturkontraste vorschlägt, überschätzt der Laie leicht seine Fähigkeiten. Solche Verfahren verzeihen keine Abweichung bei Temperatur oder pH-Wert – handwerkliche Meisterschaft lässt sich nicht durch einen Prompt ersetzen. === Explorationsmodus === Im Explorationsmodus bittet der Benutzer die KI, auf Basis des bisherigen Geschmacksprofils aktiv neue Empfehlungen auszusprechen. Statt auf konkrete Zutaten oder Hunger zu reagieren, nutzt die KI das gespeicherte Wissen über Vorlieben und Abneigungen als Koordinatensystem, um gezielt Vorschläge in das noch unbekannte kulinarische Terrain zu machen – ähnlich einem personalisierten Algorithmus für Musik, nur für die Küche. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welche Zutat, die ich noch nie verwendet habe, passt perfekt zu meiner Vorliebe für Umami und Texturkontraste?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nenne mir eine regionale Küche, die ich bisher ignoriert habe, die aber genau mein Säure-Schärfe-Empfinden trifft.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Schlage mir drei Gewürze vor, die mein aktuelles Repertoire sinnvoll ergänzen, ohne redundant zu sein.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Entwirf ein Rezept, das eine Zutat verwendet, die ich normalerweise ablehne, aber so zubereitet ist, dass sie mein Profil anspricht.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welches Getränk-Pairing (alkoholisch oder alkoholfrei) würde meine liebsten Abendessen ideal ergänzen?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welches Getreide oder Pseudogetreide fehlt mir noch für eine abwechslungsreiche Textur in meinen Bowls?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Empfiehl mir ein spezielles Küchenwerkzeug, das Techniken ermöglicht, die mein Profil radikal erweitern würden.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welche Konservierungsmethode (Einlegen, Trocknen etc.) passt am besten zu den Aromen, die ich das ganze Jahr über essen möchte?</span> === Bildungsmodus: Den eigenen Gaumen verstehen === Nach einer längeren Phase der Zusammenarbeit ist die KI in der Lage, nicht mehr nur Rezepte zu liefern, sondern ein konsistentes kulinarisches Profil für den Benutzer zu entwerfen. Dabei entstehen oft wiederkehrende Muster in der Auswahl von Gewürzen, Säureträgern oder Techniken, die tief in der Aromenlehre verwurzelt sind, vom Benutzer aber oft nur unbewusst als „stimmig“ wahrgenommen werden. Im Bildungsmodus nutzt man die KI als Mentorin, um die theoretische Architektur hinter den eigenen Vorlieben zu entschlüsseln. Indem man die KI zwingt, ihre Entscheidungen zu begründen, wandelt sich das Kochen von einer bloßen Ausführung von Schritten zu einer bewussten Schulung des eigenen Geschmacks- und Technikverständnisses. Beispielexplorationen für den Bildungsmodus: * Musteranalyse der Zutaten: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In den letzten Monaten hast du mir für fast alle Fleischgerichte eine Kombination aus Sternanis und Orangenschale vorgeschlagen. Erkläre mir die chemische und geschmackliche Logik hinter diesem Muster und warum das spezifisch zu meiner Vorliebe für dunkle, komplexe Saucen passt.</span> * Technik-Check: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Du schlägst bei meinen Gemüsebeilagen oft das Rösten bei sehr hohen Temperaturen statt Dämpfen vor. Welche Rolle spielt dabei die Maillard-Reaktion für mein Profil und wie verändert das die Balance, wenn gleichzeitig eine säurebetonte Sauce im Spiel ist?</span> * Die 'Warum'-Frage beim Abschmecken: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In der heutigen Fisch-Sauce hast du Kapernwasser und kalte Butter kombiniert. Warum hast du dich für diese spezifische Säurequelle entschieden und nicht für den Zitronensaft, den ich sonst oft verwende? Was bewirkt dieser Unterschied im Mundgefühl?</span> * Profil-Extraktion: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Analysiere die letzten zehn Rezepte, die wir gemeinsam gekocht haben. Welche drei kulinarischen Grundprinzipien ziehen sich wie ein roter Faden durch diese Gerichte und wie könnte ich diese Prinzipien anwenden, wenn ich einmal völlig ohne KI-Hilfe ein improvisiertes Essen zubereite?</span> == 6. Welcher Chatbot eignet sich am besten? == [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 01.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: „South-Asian Heat“ Sirloin, mit Steak, fein gewürfelten, gebackenen Kartoffeln, grünen Bohnen, Spinat und Kapernäpfeln; gewürzt u.a. mit Tamarindenpaste, Gochujang und Fischsauce]] Die Wahl des Chatbots beeinflusst den Workflow maßgeblich, da die Modelle auf unterschiedliche Daten spezialisiert sind. Gemini z.B. wirkt oft wie ein Praktiker, der massiv mit Inhalten aus Kochforen trainiert wurde und bei Warenkunde sowie pragmatischer Küchenlogistik glänzt. „Intellektuellere“ Modelle wie Claude, deren Fokus eher auf wissenschaftlichen oder literarischen Texten liegt, erweisen sich in der direkten Küchenpraxis oft als weniger intuitiv. Trotzdem sollte der Benutzer selbst experimentieren, um herauszufinden, welche KI-Mentalität sich am besten in den persönlichen Workflow einfügt. Ein direkter Vergleich desselben Auftrags in verschiedenen Systemen offenbart schnell, ob man eher die logische Schärfe eines Strategen oder die pragmatische Erfahrung eines virtuellen Kochbuchs benötigt – die Letztentscheidung bleibt eine Frage des individuellen Stils. == 7. Grenzen und Fallstricke == KI-gestütztes Kochen ist keine Magie, sondern ein logistisches Werkzeug. '''Die Methode ersetzt keine Kochkompetenz, sondern setzt sie voraus''': Wer weiß, wie ein Gericht schmecken sollte, erkennt Fehler im Entwurf sofort. Die größte Stärke der KI – ihre Bereitschaft, jeden Befehl umzusetzen – ist gleichzeitig ihre größte Schwäche. === Übergehorsame Befehlsanwendung === ==== Der Personalisierungsfehler: wenn das Profil zur Falle wird ==== [[File:Dioscorea polystachya (batatas).jpg|thumb|Nagaimo]] Ein gut entwickeltes Geschmacksprofil birgt eine subtile Gefahr: Die KI kann so konsequent auf die bekannten Vorlieben des Benutzers optimieren, dass sie eine unbekannte Zutat ihrer kulinarischen Identität beraubt, bevor der Benutzer überhaupt die Chance hatte, sie kennenzulernen. Ein Beispiel: Ein Benutzer kauft Nagaimo — eine japanische Bergkartoffel, die in der traditionellen Küche wegen ihrer ausgeprägten Schleimigkeit geschätzt wird, die beim Reiben eine fast klebrige, fließende Textur entwickelt. Diese Eigenschaft ist keine Schwäche, sondern das Wesen der Zutat: Sie gibt dem japanischen Gericht Tororo seinen charakteristischen, seidigen Schmelz, sie macht Okonomiyaki elastisch und luftig, sie bindet Teige auf eine Art, die kein anderes Bindemittel replizieren kann. Ein Geschmacksprofil, das Schleimigkeit als Abneigung verzeichnet und Krossheit bevorzugt, wird die KI wahrscheinlich dazu veranlassen, aus dem Nagaimo gebackene Fritten zu machen — was technisch durchführbar ist, aber die Zutat auf ein Ergebnis reduziert, das von gewöhnlichen Kartoffelfritten geschmacklich nicht zu unterscheiden ist. Der seltene Fund wird verschenkt. Die Lösung ist eine Authentizitätsregel für den Erstkontakt, die man als explizite Anweisung ins Küchenprofil aufnehmen kann. Beispiel: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;"> Wenn wir eine Zutat zum ersten Mal verwenden — insbesondere etwas Ethnisches, Seltenes oder außerhalb des normalen Supermarktsortiments — darfst du mir nur Rezepte vorschlagen, die eine möglichst große Annäherung an traditionelle Zubereitungsweisen bilden. Du sollst dies auch dann tun, wenn das Ergebnis mit meinem Geschmacksprofil nicht oder nicht vollständig übereinstimmt. Wenn immer eine solche Abweichung besteht, sollst du mich aber ausdrücklich darauf hinweisen und genau beschreiben, welche Eigenschaften — z.B. Schleimigkeit, Bitterkeit, intensive Fermentationsaromen, ungewohnte Texturen — diese Zutat bei traditioneller Zubereitung mitbringt. </span> === Weitere typische Fehler === ; Kalibration & Hardware: Die KI geht von Durchschnittswerten aus (Standard-Ofen, 180g-Filet). Da sie die reale Küche des Benutzers nicht sieht, sind Garzeiten immer nur Richtwerte. Der Benutzer muss sich auf sein Handwerk verlassen: Bräunung und Textur müssen eigenständig geprüft werden. ; Abschmecken und Würzdynamik: Die KI kann die Intensität von Gewürzen nur theoretisch berechnen, was besonders bei Salz, Süße und Schärfe vereinzelt zu „Würzunfällen“ führen kann. Kritisch kann es z.B. bei der Kumulation salzhaltiger Zutaten werden: Wenn die KI gleichzeitig Sojasauce, Fischsauce, Miso oder Kapern einplant, verliert sie gelegentlich den Überblick über den additiven Effekt des Gesamtsalzgehaltes. Da zudem Naturprodukte wie Chilischoten in ihrer Schärfe extrem schwanken, sind Mengenangaben in Rezepten als bloße Annäherung zu verstehen. Das schrittweise Hinzufügen und finale Abschmecken bleibt eine exklusive menschliche Aufgabe. ; Mechanische Befehlstreue: Die KI führt Anweisungen oft ohne „echtes“ Verständnis für die kulinarische Balance aus. Wenn man eine „Verdopplung der Saucenmenge“ fordert, tut sie das auch bei extrem fettigen oder scharfen Komponenten, was das Gericht ungenießbar machen kann. Ebenso kann sie fachliche Wünsche (z. B. „salzfreie Gewürzmischung“) fälschlich als generelle Diätvorgabe missverstehen. Präzision im Prompt schützt hier vor Fehlsteuerungen. ; Kontext & Konsistenz: In langen Chats kann die KI Details „vergessen“ (Kontextverlust) oder die Zutatenliste widerspricht der Anleitung (Inkonsistenz). Solche logischen Brüche fallen bei der Durchsicht vor dem Kochen sofort auf. Ein kurzes Nachhaken korrigiert das Rezept meist unmittelbar. ; Fehleinschätzung der Kochkompetenz: Die KI kann die tatsächliche Fingerfertigkeit des Benutzers nicht einschätzen und schlägt daher gelegentlich Techniken vor, deren Komplexität sie unterschätzt – etwa das Braten von paniertem Feta, was ohne Erfahrung oft zum Zerlaufen in der Pfanne führt. Sie bewertet Schwierigkeitsgrade lediglich abstrakt und erkennt nicht, ob eine spezifische Methode für den Benutzer in der Praxis ein unüberwindbares Hindernis darstellt. Die KI hat keinen Geschmackssinn und keine Augen. Sie weiß nicht, wie reif die Tomate oder wie scharf das Messer ist. Auch in Fragen der Lebensmittelsicherheit (Garzeiten bei Geflügel, Kühlketten) ist gesunder Menschenverstand obligatorisch. Ein gedrucktes Kochbuch hat dieselben Schwächen – es kennt weder den Herd des Benutzers noch seine Abneigungen. Der entscheidende Vorteil der KI ist ihre '''Interaktivität''': Sie ist korrigierbar und passt sich im Dialog an. Wer die KI als lernfähigen Assistenten begreift, statt ihr blind zu vertrauen, wird die erheblichen Vorteile der Methode schnell für sich nutzen. == Siehe auch == * [[Kochbuch]] * [[Grundlagen der Ernährung]] [[Kategorie:Buch]] kl9xeari2jo2y059olar4ac6b3d3o6i 1088504 1088503 2026-06-29T17:16:13Z Stilfehler 1981 /* Übergehorsame Befehlsanwendung */ 1088504 wikitext text/x-wiki [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 04.jpg|thumb|Ein auf einem KI-generierten Rezept basierendes 1-Pfannen-Gericht: Marinierter Lachs und Edamame auf Blumenkohlreis, mit Pistazien und krossem Speck (Würzung: eklektisch südostasiatisch)]] '''Personalisiertes Kochen mit dem Chatbot''' – Ein Leitfaden für den KI-gestützten Küchenalltag Was wäre, wenn jemand, der deinen Kühlschrank kennt und deinen Geschmack versteht, dir täglich Anregungen und maßgeschneiderte Rezepte für das geben könnte, was heute auf den Tisch kommt, und dabei mit der Zeit immer besser wird? == 1. Der personalisierte Küchenassistent == <div style="background:powderblue";> Kochbücher und Rezeptportale bieten eine schier unerschöpfliche Auswahl an Gerichten — aber sie wissen nicht, was im Kühlschrank, im Vorratsschrank und im Gewürzregal steht, sie kennen weder die Geschmackspräferenzen noch die Küchengeräte des Benutzers, und sie können nicht auf die Frage antworten, was man mit einer angebrochenen Dose Kichererbsen, einem Rest Joghurt und einem Bund Petersilie anfangen soll, der morgen nicht mehr frisch sein wird. Genau hier setzt dieser Leitfaden an. Bei dem hier beschriebenen Ansatz wird der KI-Chatbot nicht als Nachschlagewerk benutzt, sondern als personalisierter Küchenassistent: einer, der das Vorratsregime des Benutzers kennt, mit seinen Abneigungen und Vorlieben vertraut ist, seine Küchenausstattung berücksichtigt, der weiß, wie groß die Portionen sein müssen, und — nach einer Einlernphase — zunehmend treffsichere Vorschläge macht, die tatsächlich zum Benutzer passen. Das Prinzip ist dasselbe, das Musik- und Filmstreamingdienste nutzen, um ihren Nutzern Empfehlungen zu machen: Extrapolation aus erkennbar gewordenen Vorlieben. Der Unterschied ist, dass der Benutzer hier nicht das Ziel einer Marketingstrategie ist — sondern selbst der Nutznießer. Darüber hinaus sorgt die KI auch noch dafür, dass – bevor Zutaten neu gekauft werden müssen – erst einmal das voll ausgeschöpft wird, was an Vorräten und Resten in einer Küche bereits vorhanden ist. </div> === Was diese Methode vom konventionellen Kochen unterscheidet === Die meisten Menschen kochen den Großteil ihrer Mahlzeiten ohne Rezept — aus einem festen Repertoire vertrauter Gerichte, das sich über Jahre kaum verändert. Kochbücher werden gelegentlich aufgeschlagen, meist für besondere Anlässe oder wenn der Wunsch nach etwas Neuem stark genug ist, um die Hürde des Unbekannten zu überwinden. Im Alltag dominiert das Vertraute. KI-gestütztes Kochen, so wie es dieser Leitfaden beschreibt, macht das Neue zur täglichen Normalität. Weil die KI das vorhandene Inventar kennt und aus ihm schöpft, ist der Aufwand für ein unbekanntes Gericht nicht größer als für ein vertrautes — die Hürde entfällt. Das erlaubt es, buchstäblich jeden Tag etwas zu kochen, das man so noch nie zubereitet hat. === Einige Vorteile der Methode === [[Datei:Rainbow chard for sale at the Campbell farmers market.jpg|thumb|Einfach mal spontan 1 Zutat kaufen, die interessant aussieht. Die KI wird ein Rezept finden, deren übrige Zutaten alle aus den vorhandenen Beständen (Kühlschrank, Vorratsschrank) kommen.]] Ökonomisch: * Vorräte werden systematisch und vollständig genutzt * Professionelle Problemlösungen bei logistischen Engpässen * Weniger und effizientere Einkaufsgänge * Personalisierung der Mengen: die KI berücksichtigt nicht nur die Zahl der Portionen, sondern kann auch damit umgehen, wenn die Portionen größer oder kleiner sein sollen als der Kochbuch-Standard * Wenn von Zutaten Reste bleiben, werden diese systematisch und vollständig weitergenutzt Kulinarisch: * Nur noch Gerichte, die für das eigene Geschmacksprofil optimiert sind * Tägliche Abwechslung ohne zusätzlichen Aufwand * Treffsichere Vorschläge neuer Zutaten und Küchen, die zum eigenen Profil passen * Mehr Freiheit, beim Einkaufen spontan Lebensmittel auszuwählen, die reizvoll aussehen (auch wenn man zunächst nicht weiß, was sich damit anfangen lässt) * Die KI kombiniert Zutaten und Methoden nicht beliebig, sondern nutzt tiefe Warenkunde für systematische Innovation. Sie bricht Gewohnheiten durch fundierte, algorithmische Logik und erzwingt so kreative Kombinationen, die weit jenseits menschlicher Intuition liegen. Persönlich: * Massive Vereinfachung der Küchenplanung * Selbsterkenntnis: besser verstehen, warum man bestimmte Dinge lieber isst als andere * Wachsende Kochkompetenz durch niederschwelliges Erlernen neuer Kochtechniken und -praktiken im ganz normalen Küchenalltag * Unterschiedliche Geschmäcker in Mehrpersonenhaushalten sind kein Problem, sondern ein Ausgangspunkt — die KI findet Gerichte, die verschiedene Vorlieben nicht ignorieren, sondern produktiv miteinander verbinden. === Ist das auch gesünder? === Dieser Leitfaden ist '''ernährungsphilosophisch neutral'''. Er macht keine Aussagen darüber, was eine gesunde Ernährung ausmacht — das liegt in der Verantwortung jedes Benutzers selbst. Die Methode funktioniert gleichermaßen für Veganer wie für eine mediterrane Vollwertkost wie für Menschen, die gern ''Convenience Food'' verwenden. Grundlegend tendiert diese Methode aber dazu, weitaus mehr Abwechslung auf den Tisch zu bringen, als dies beim gewöhnlichen Kochen der Fall ist, und damit einer einseitigen Ernährung entgegenzuwirken. == 2. Datenschutz und Sicherheit == [[File:Padlock infront of isolated white background 02.jpg|frameless|right]] Wer einem Chatbot mitteilt, was er im Kühlschrank hat, welche Gewürze er bevorzugt, welche Lebensmittel er nicht verträgt und ob er vielleicht Kalorien zu reduzieren versucht, gibt persönliche Daten preis — das ist eine Beobachtung, die keine Verharmlosung, sondern eine nüchterne Antwort verdient. === Was man tatsächlich preisgibt === Das Kochprofil, das dieser Leitfaden empfiehlt, enthält im Wesentlichen Lifestyle-Daten: Vorratsbestände, Geschmackspräferenzen, Küchenausstattung, lokale Einkaufsmöglichkeiten. Es enthält keine Finanzdaten, keine Identitätsdaten, keine Kommunikationsinhalte. Wer dieselbe Abwägung für die Daten vornimmt, die er Google, Amazon oder einem Supermarkt-Bonusprogramm täglich und routinemäßig übergibt — Standortdaten, Suchanfragen, vollständiges Einkaufsverhalten — wird feststellen, dass das Kochprofil typischerweise weniger sensitiv ist als das, was er anderswo längst preisgegeben hat. Das bedeutet nicht, dass die Sorge unberechtigt ist. Es bedeutet, dass sie abgewägt werden sollte. Heikler als reine Lifestyle-Daten sind Ernährungsanforderungen, die medizinische Diagnosen implizieren, ohne dass der Benutzer das explizit benennt. Eine natriumarme Ernährung verweist auf Bluthochdruck oder Herzerkrankung. Eine FODMAP-reduzierte Ernährung verweist auf Reizdarmsyndrom. Die Vermeidung von Tyramin-reichen Lebensmitteln — Hartkäse, Rotwein, Wurstwaren — verweist auf eine MAO-Hemmer-Medikation. Diese Daten fallen in Europa unter den stärksten Schutzbereich der DSGVO; in anderen Rechtsordnungen ist der Schutz schwächer oder fehlt ganz. Auch hier muss man abwägen, ob und inwieweit die Vorteile, die der personalisierte Küchenassistent bringt, die vermuteten Risiken aufzuwiegen vermögen. === Vier Optionen auf einem Sicherheitsspektrum === '''Option 1: Cloud-KI mit angepassten Datenschutzeinstellungen'''. Alle großen Anbieter erlauben es, die Verwendung von Gesprächsdaten für das Modelltraining zu deaktivieren. Das reduziert das Risiko erheblich, eliminiert es aber nicht vollständig, da Gespräche für Sicherheits- und Qualitätszwecke temporär gespeichert werden können. '''Option 2: API-Zugang'''. Wer über die Programmierschnittstelle auf einen Chatbot zugreift, hat in der Regel stärkere Garantien: Die großen Anbieter schließen API-Daten standardmäßig vom Modelltraining. Das setzt allerdings eine gewisse technische Versiertheit des Benutzers voraus. '''Option 3: Anonymisiertes Profil'''. Das Benutzerprofil enthält per se keinen zwingend identifizierenden Inhalt. Es kann konsequent ohne Namen, ohne präzise Ortsangaben und ohne andere direkt identifizierende Informationen formuliert werden. „In der Nachbarschaft gibt es einen türkischen Lebensmittelladen” ist nicht re-identifizierend. Das Profil kann als anonymes Dokument geführt werden. '''Option 4: Lokale Sprachmodelle'''. Für Benutzer, die grundsätzlich keine Daten an Cloud-Dienste senden wollen, sind lokal installierte Modelle die konsequenteste Lösung. Kein Byte verlässt das Gerät. Empfehlenswerte Werkzeuge hierfür sind '''LM Studio''' — mit grafischer Benutzeroberfläche, auch für Nicht-Techniker geeignet — sowie '''GPT4All''' und '''Jan''', beide kostenlos und auf Windows, Mac und Linux lauffähig. Als Modelle eignen sich für Kochzwecke auch kleinere Varianten (7 bis 13 Milliarden Parameter), die auf jedem modernen Laptop ohne Spezial-Hardware laufen. Die Modellqualität ist gegenüber den großen Cloud-Diensten etwas geringer, für Rezeptvorschläge jedoch vollständig ausreichend. Der einzige Vorbehalt: Die Erstinstallation erfordert etwas technisches Engagement — ist dieser Schritt aber getan, ist die Bedienung so einfach wie bei einem normalen Chatbot. === Einfache Zusatzoption: Das Profil lokal führen === Als Alternative zum plattformseitigen Speichern (in den Benutzereinstellungen der KI) empfiehlt sich das Führen des Benutzerprofils als einfache Textdatei auf dem eigenen Computer oder Smartphone — etwa in der Notizen-App, in einem Word-Dokument oder in einem beliebigen anderen Textprogramm. Das gibt dem Benutzer zusätzliche Kontrolle darüber, was er wann preisgibt — und es löst zugleich ein praktisches Problem: KI-Chatbots haben kein dauerhaftes Gedächtnis. Was in einem langen Chat weit zurückliegt, ist für die KI irgendwann schlicht nicht mehr präsent. Das Profil muss deshalb regelmäßig neu eingegeben werden — spätestens dann, wenn man merkt, dass die KI Präferenzen nicht mehr berücksichtigt, proaktiv alle zehn bis fünfzehn Kochsitzungen. Wer das Profil als Textdatei auf dem Gerät hat, erledigt das mit zwei Handgriffen: Datei öffnen, Inhalt in das Chatfenster kopieren. == 3. Das Benutzerprofil == [[Datei:Deepin Icon Theme – deepin-contacts.svg|right|rahmenlos]] Das Benutzerprofil ist das Fundament der gesamten Methode. Ohne dieses Element bleibt die KI ein generisches Nachschlagewerk — erst das Profil macht sie zum personalisierten Küchenassistenten, der weiß, womit und für wen er arbeitet. Das Benutzerprofil besteht aus zwei Teilen. Das '''Küchenprofil''' erfasst die sachlichen, objektiven Parameter: was ständig vorhanden ist, was ausgeschlossen ist, welche Geräte zur Verfügung stehen, was eingekauft werden kann. Das '''Geschmacksprofil''' erfasst die subjektiven, dynamischen Parameter: was dem Benutzer schmeckt, was nicht, und wie sich seine Vorlieben im Laufe der Zeit entfalten. === Das Küchenprofil === ==== Was ist ein Küchenprofil? ==== Unter einem Küchenprofil verstehen wir hier die Gesamtheit der Informationen, die ein Küchenassistent über die Situation in einem Haushalt braucht, damit er effizient arbeiten kann. Lediglich die Informationen über die geschmacklichen Vorlieben des Benutzers und der Mitglieder seines Haushalts werden nicht im Küchenprofil, sondern [[#Das Geschmacksprofil|anderswo]] verwaltet. Hier eine Liste von Parametern, aus denen das Küchenprofil sich zusammensetzen kann: [[File:Spice rack, 2014.jpg|thumb]] ; Dauervorräte: Zutaten, die ständig verfügbar sind, weil ihre Vorräte, wenn sie zur Neige gegen, routinemäßig wieder aufgestockt werden: : ''Gewürzinventar'': Der diagnostisch wertvollste Teil des gesamten Profils. Wer der KI mitteilt, dass er Harissa, Sumach, geräuchertes Paprikapulver, Kecap Manis und Szechuanpfeffer im Schrank hat, kommuniziert damit ein Geschmacksprofil, das die KI sofort und präzise interpretieren kann — aussagekräftiger als jede abstrakte Beschreibung von Vorlieben. : ''Fensterbank-Kräuter''; : ''Gemüsekorb'': Kartoffeln, Zwiebeln, Schalotten, Knoblauch, Ingwer, Tomaten und andere frische Zutaten, die man immer im Haus hat, die aber nicht in den Kühlschrank gehören; : ''Vorratsschrank'': Öle und Essige, Konserven, Hülsenfrüchte, Getreide und Pasta, Nüsse und Trockenfrüchte, Saucen und Pasten; : ''Dauervorrat Kühlschrank'': Milchprodukte, Eier, Condiments, Aufschnitt oder andere Kühlwaren, die regelmäßig nachgekauft werden; : ''Tiefkühlschrank'': Gemüse, Kräuter, Fleisch, Meeresfrüchte und andere Zutaten, die man tiefgekühlt ständig vorrätig hält; die KI kann ausgezeichnet auch mit Convenience Food wie z.B. tiefgefrorenem Gyros arbeiten. ; Saisonale Ressourcen: Zutaten, die nur in bestimmten Monaten leicht verfügbar sind, etwa weil sie aus dem eigenen Garten kommen. ; Ausschlusslisten: Abneigungen gegen bestimmte Zutaten, Allergien, Unverträglichkeiten, ethische, religiöse oder diätische Einschränkungen. ; Positivlisten: Zutaten, die vor anderen bevorzugt werden (z.B. „Möglichst oft etwas mit Kartoffeln oder Vollkorn.“). [[File:20051018Épicerie d'Amélie Poulain 2.jpg|thumb]] ; Einkaufsressourcen: Welche Läden sind in der Nähe, und worauf sind sie spezialisiert? Ein türkischer Lebensmittelladen ermöglicht andere Rezeptvorschläge als ein osteuropäischer, ein asiatischer Supermarkt andere als ein hispanischer Tiendita. Diese Information erlaubt der KI, bei Bedarf Zutaten in den Vorschlag einzubeziehen, die über das Standardsortiment eines Supermarkts hinausgehen — und die den Benutzer geschmacklich bereichern können. ; Küchengeräte und Utensilien: Hier genügt es, über das Basisequipment hinaus zu inventarisieren — Herd, Backofen, Messer und Töpfe darf die KI als selbstverständlich voraussetzen. Was sie wissen sollte, sind Geräte, die besondere Zubereitungsarten ermöglichen oder einschränken: Dampfgarer, Sous-vide-Gerät, Standmixer, Stabmixer, Reiskocher, Gusseisenpfanne, Wok, Tajine, Dutch Oven, Pizzastein und ähnliches. Wenn möglich, lohnt sich die Angabe relevanter Leistungsparameter — etwa die maximale Wattzahl eines Stabmixers oder die Größe des Backofens — damit die KI einschätzen kann, was ein Gerät tatsächlich leisten kann. Wenn man das Modell genau bezeichnet, ist die KI manchmal sogar schlauer als der Benutzer, was das Gerät genau leisten kann. Zweckmäßig ist es, im Küchenprofil auch auch die '''Grundeinstellungen der Sitzungsparameter''' anzugeben, also diejenigen Informationen beispielsweise zur Zahl der benötigten Portionen, mit denen die KI im Regelfall arbeiten soll. Mehr dazu [[#Sitzungsparameter|weiter unten]]. ==== Wie man das Küchenprofil erstellt und was man dann damit macht ==== Wenn man den neuen Chat, den man künftig zum Kochen verwenden wird, anlegt, ist das Küchenprofil zweckmäßigerweise eines der ersten Dokumente, die man der KI übergeben sollte. Es braucht nicht von Anfang an vollständig zu sein, sondern kann nach und nach vervollständigt werden – ein gut gepflegtes Profil macht aber den Unterschied zwischen generischen Rezeptvorschlägen und solchen, die dem Benutzer das Leben tatsächlich einfacher machen. Damit man auf das Küchenprofil stets einfach zugreifen kann, ist es zweckmäßig, es nicht direkt in die KI einzutippen, sondern es separat davon in einem Texteditor zu erstellen. Dort kann man es nach Bedarf jederzeit lesen, bearbeiten, ergänzen und aktualisieren. Dann überträgt man es entweder mit Kopieren+Einfügen oder per Hochladen in die KI. Falls das Gedächtnis der KI später, nach einigen Sitzungen zu schwächeln beginnt, übergibt man das Küchenprofil einfach erneut. === Das Geschmacksprofil === [[File:Banchans.jpg|thumb]] Das Geschmacksprofil unterscheidet sich grundlegend von allen anderen Teilen des Benutzerprofils. Während Gewürzinventar, Küchengeräte und Ausschlussliste statische Fakten sind, die einmal erfasst und gelegentlich aktualisiert werden, ist das Geschmacksprofil ein '''lebendes Dokument''' — eines, das nie wirklich abgeschlossen ist und das mit jeder Kochsitzung präziser wird. Es ist zugleich der Teil des Profils, den manche Benutzer vielleicht am schwierigsten finden werden, weil er eine Art Selbstkenntnis voraussetzt, die man oft erst im Dialog mit der KI entwickelt. ==== Dimensionen des Geschmacks ==== Hier einige Dimensionen des Geschmacks, die nach und nach ins Benutzerprofil eingehen sollten: ; Ethnische Küchen und Kochtraditionen: Welche Küchen der Welt sprechen den Benutzer an? Das muss keine erschöpfende Liste sein — oft genügt es, einige Affinitäten zu benennen und einige Abneigungen. Eine Vorliebe für japanische und peruanische Küche bei gleichzeitiger Skepsis gegenüber sehr fetthaltigen nordeuropäischen Gerichten ist bereits eine präzise und nützliche Angabe. Die KI kann daraus nicht nur Rezeptvorschläge ableiten, sondern auch Querverbindungen herstellen — etwa Techniken aus einer Küche auf Zutaten einer anderen anwenden. ; Geschmacksbalance: Die fünf Grundgeschmäcker — salzig, sauer, süß, bitter, umami — treten in jedem Gericht in einem bestimmten Verhältnis auf. Manche Benutzer bevorzugen klar dominante Profile, andere schätzen komplexe Gleichgewichte. ''Eine Vorliebe für ausgeprägte Säure, kombiniert mit Umami-Tiefe und wenig Süße'', ist eine Information, die die KI unmittelbar in die Rezeptauswahl einfließen lässt. ; Aromarichtungen: Wie intensiv darf ein Gericht gewürzt sein? Welche Rolle spielen Schärfe, Kräuterintensität, Rauchigkeit, Fermentiertes, Bitteres? Wer der KI mitteilt, dass er großzügigen Gebrauch von frischen Kräutern schätzt, Schärfe bis zu einem bestimmten Grad liebt und Rauchigkeit als willkommene Hintergrundnote empfindet, gibt ihr ein Koordinatensystem, das weit präziser ist als eine allgemeine Aussage wie „ich mag würziges Essen”. ; Texturpräferenzen: Textur ist eine der am häufigsten unterschätzten Geschmacksdimensionen. Wer knusprige Oberflächen liebt, wer cremige Konsistenzen bevorzugt, wer Bissfestigkeit schätzt oder wer bestimmte Texturen — etwa mehlige Konsistenz oder sehr weiches Fleisch — als unangenehm empfindet, sollte das im Profil festhalten. Ebenso relevant ist die Frage, ob Texturkontraste in einem Gericht willkommen sind — etwa knusprige Einlagen in einer cremigen Suppe — oder ob Homogenität bevorzugt wird. ==== Die Ermittlung des Geschmacksprofils als iterativer Prozess ==== [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 12.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Pfannengerührte Shrimps mit Ei und Spinat auf schwarzem Perlreis mit marinierten Knoblauchstengeln, gewürzt u.a. mit Gochujang und Spicy Chili Crisp]] Am Anfang wird das Geschmacksprofil zwangsläufig unvollständig und unscharf sein — das ist normal und kein Mangel. Die KI braucht vom Benutzer, um nützlich zu sein, keine perfekte Selbstbeschreibung. Sie braucht nur einen Ausgangspunkt, an dem sie ihre Arbeit beginnen kann. Die wenigsten Menschen haben Übung darin, in Worten exakt auszudrücken, warum sie bestimmte Zutaten, bestimmte Zubereitungsweisen und bestimmte Gerichte mögen oder nicht mögen. Aber auch wenn die KI das Geschmacksprofil eines Benutzers am Anfang noch nicht kennt, hat sie mehrere Mittel, um es zu erforschen: ; Rezeptauswahl als Signal: Jedes Mal, wenn der Benutzer aus mehreren Vorschlägen einen auswählt und die anderen verwirft, teilt er der KI etwas über seine Präferenzen mit — auch wenn er das nicht explizit formuliert. ; Rezept-Modifikation als Signal: Wenn die KI ein Rezept vorschlägt, wird der Nutzer manchmal eingreifen: „geht das auch ohne Knoblauch?", „lieber Zitrone als Essig", „nein, keine Sahne – lieber Kokosmilch". Auch damit verrät er der KI oft mehr über seinen Geschmack, als ihm bewusst ist. ; Post-cook-Review: Wenn ein Gericht besonders gut war, oder im Gegenteil nicht gefallen hat, sollte die KI das unbedingt erfahren. „Zu säuerlich für meinen Geschmack, die Textur war perfekt, die Kombination Koriander und Limette würde ich gerne öfter sehen” ist eine außerordentlich informationsreiche Aussage, die das Profil unmittelbar verfeinert. Im Laufe von Wochen und Monaten entsteht so ein '''kollaboratives Geschmacks-Profiling''': die KI nähert sich den tatsächlichen Präferenzen des Benutzers iterativ an, oft weitaus präziser, als es dem Benutzer selbst möglich wäre, sie von vornherein zu beschreiben. In '''Mehrpersonenhaushalten''' fällt das Urteil häufig nicht einhellig aus. Damit die KI gezielt nach Kompromissen forschen kann, sollte sie möglichst genaue Information darüber erhalten, wer was gemocht oder nicht gemocht hat: z.B. „Die Schärfe durch das Gochujang war für mich ideal, führte aber bei M. zum sofortigen Abbruch; R. schlägt vor, die Schärfe künftig über ein separates Topping zu lösen.“ ==== Beschleunigtes Geschmacksprofiling ==== [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 02.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Pacific Rim Surf & Turf Bowl, mit fein geschnittenem Steak, Jacobsmuscheln, Jicama, Anaheim-Chili, Edamame, Koriander und Avocado]] Wer ungeduldig ist und das Geschmacksprofiling nicht einfach seinem natürlichen Verlauf überlassen will, kann den Prozess durch verschiedene Maßnahmen beschleunigen: * Die '''Auswahl begründen''': Die KI bietet zu Beginn jeder Kochsitzung typischerweise drei Rezeptvorschläge zur Auswahl an, von denen man einen auswählt. Wer der KI seine Entscheidung nicht einfach nur mitteilt, sondern sie auch ''kommentiert'', liefert ihr damit wertvolle zusätzliche Profilinformation. * '''Lieblingsgerichte nennen''': Eine Liste von Gerichten, die man besonders gern mag — möglichst mit kurzer Beschreibung oder Rezept — ist für die KI ein außerordentlich ergiebiges Ausgangsmaterial, aus dem sie das Geschmacksprofil unmittelbar herausarbeiten kann. * Ein '''strukturiertes Assessment''' durchführen: Der Benutzer fordert die KI auf, ihm gezielte Fragen zu stellen, um sein Geschmacksprofil herauszuarbeiten. Das kann man entweder dialogisch machen oder mit Hilfe eines Fragebogens, den man den Chatbot erstellen lässt. ---- <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> <div style="font-weight:bold;line-height:2.6;">Hier ein Beispiel, wie so ein Fragebogen aussehen kann.</div> <div class="mw-collapsible-content"> <div style="color:purple;"> ''Die folgenden Fragen können helfen, eine Bestandsaufnahme der Vorlieben eines Benutzers für Geschmacksrichtungen, Aromen und Texturen vorzunehmen. Ob jemand Fenchel mag oder verabscheut, ob er Saures angenehm oder unangenehm findet und ob er Krosses oder Cremiges bevorzugt, ist etwas, das nur einem selbst gehört und das niemals Gegenstand eines Werturteils sein kann. In Geschmacksfragen gibt es kein Richtig und kein Falsch. Auch in einem Assessment des Geschmacksprofils gibt es darum keine richtigen oder falschen Antworten.'' ''Wer möchte, kann diesen Fragebogen gern mit Paste&Copy in eine Textverarbeitung übertragen, ausfüllen und dann – mit der Bitte um Auswertung – einem Chatbot seines Vertrauens übergeben.'' 1. Erinnere dich an die schlimmsten Gerichte deiner Kindheit (Oma, Schulkantine, Ferienlager). Was wurde dir zugemutet? Beschreibe nicht nur, was es war, sondern auch: War es das schleimige Mundgefühl? Die bittere Note? Die Zähigkeit? Die völlige Abwesenheit von Textur? Lass deiner Wut beim Schreiben freien Lauf. 2. Wenn du einen Bissen von einem Gericht in den Mund nimmst, was suchst du physiologisch? :[ ] Den harten, fast anstrengenden Widerstand (wie bei einer krustigen Brotrinde oder Nüssen). :[ ] Das zarte, schmelzende Gefühl (wie bei einer Mousse oder weichem Risotto). :[ ] Den "Snap" (wie bei einer knackigen Garnele oder einer frischen Paprika). : Was mir dazu auch noch einfällt: 3. Stell dir eine Textur vor, die glatt, weich und fast flüssig ist (z.B. eine pochierte Auster, eine weiche Okra-Schote oder ein sehr weicher Tofu). Was empfindest du: :[ ] Faszinierend, dieses schmelzende, glitschige Gefühl ist ein Highlight. :[ ] Absolutes No-Go; mein Essen braucht Struktur und darf nicht „ausweichen“. : Was mir dazu auch noch einfällt: 4. Du landest schiffbrüchig auf einer einsamen Insel. Vom sinkenden Schiff konntest du nur eine aromatische Komponente mitnehmen. Salz ist kein Thema, das gewinnen wir aus dem Meer. Was rettet deine Lebensfreude? :[ ] Die pure Hitze (Chili, scharfer Pfeffer). :[ ] Die ätherische Tiefe (Knoblauch, Zwiebelgewächse). :[ ] Die krautige Frische (Koriander, Minze, Basilikum). :[ ] Die erdige Wärme (Kreuzkümmel, Kurkuma, Zimt). : Was mir dazu auch noch einfällt: 5. Eine Zitrone wird direkt vor dir aufgeschnitten. Was passiert in deinem Kopf? :[ ] „Erfrischend, direkt ein bisschen Saft übers Essen für den nötigen Zing!“ :[ ] „Oh Gott, mir zieht’s alles zusammen, unvorstellbar, das in den Mund zu nehmen!“ : Was mir dazu auch noch einfällt: 6. Manche Menschen lieben dunkle Aromen, die durch lange Reifung oder Konzentration entstehen – man nennt das „Umami“. Denke an den intensiven Kern eines alten Parmesans, die dunkle Würze einer über Stunden eingekochten Fleischsauce (Demi-Glace), die Aromatik von Sardellen oder die Tiefe von Sojasauce und Miso. :[ ] Je intensiver und „dunkler“, desto besser. Das ist die wahre Tiefe. :[ ] Ich mag es lieber sauber, frisch und eindeutig erkennbar. : Was mir dazu auch noch einfällt: 7. Wie muss dein Teller am Ende aussehen? :[ ] Die Sauce ist ein dezenter Begleiter, der die Hauptdarsteller nur glänzen lässt. :[ ] Ich brauche eine „Suppen-Ästhetik“; die Beilagen müssen in Sauce baden. : Was mir dazu auch noch einfällt: 8. Wie darf Fett in deinem Essen vorkommen? :[ ] Sichtbar und pur (die dicke Ölschicht auf dem Pesto, das Stück Butter auf der Backkartoffel, der Fettrand am Fleisch). :[ ] Nur emulgiert und versteckt (in einer cremigen Sauce oder im Teig). : Was mir dazu auch noch einfällt: 9. Dein Essen ist knallgrün vor lauter frisch gehackten Kräutern. Dein Impuls? :[ ] „Großartig, das bringt Komplexität und Frische!“ :[ ] „Hilfe, das schmeckt bestimmt wie Rasenschnitt!“ : Was mir dazu auch noch einfällt: 10. Im Kino wandert deine Hand blind in eine Schüssel. Was hoffst du zu finden? :[ ] Etwas, das laut kracht und salzig ist (Chips, geröstete Kerne). :[ ] Etwas Klebrig-Süßes, das den Kiefer beschäftigt (Karamell, Trockenfrüchte). :[ ] Etwas Prickelnd-Saures (saure Fruchtgummis, eingelegtes Gemüse). : Was mir dazu auch noch einfällt: 11. Du nimmst einen Löffel Nutella oder Honig pur aus einem Glas. :[ ] Ich genieße die pure Befriedigung und könnte noch einen zweiten Löffel nehmen. :[ ] Ich brauche danach sofort einen starken Espresso oder ein Glas Wasser zum Neutralisieren. : Was mir dazu auch noch einfällt: 12. Vergiss Wasser – was ist dein bevorzugter „Gegenspieler“ zu einem komplexen Gericht? :[ ] Etwas mit viel Kohlensäure und Süße (Limo, Cola). :[ ] Flüssiges Obst (Apfelsaft, Karottensaft, Pfirsichnektar) :[ ] Etwas Herbes/Bitteres (Bier, Tonic Water, schwarzer Tee/Kaffee). :[ ] Etwas Säurebetontes (Wein, Schorle, Kombucha). : Was mir dazu auch noch einfällt: 13. Welches Lebensmittel oder welche Kombination hat dich in deinem Leben am meisten positiv überrascht? (Z.B. Algen, Sashimi, Chili mit Schokolade, Wassermelone mit Feta). 14. Gibt es Lebensmittel, die zwar technisch „gut“ zubereitet sind, bei denen du aber einfach körperlich streikst? 15. Was ich über meine Geschmackspräferenzen sonst noch mitteilen möchte, das ich in diesem Fragebogen bisher noch nicht habe unterbringen können. </div> </div></div> ---- In '''Mehrpersonenhaushalten''' empfiehlt es sich, das Assessment für jeden getrennt durchzuführen — denn auch wenn gemeinsam gekocht wird, sind die Geschmacksprofile der Beteiligten selten identisch. Sie können leicht abweichen oder erheblich. Eine KI, die über diese Unterschiede im Bilde ist, kann bei der Rezeptauswahl helfen, sie zu überbrücken — und schlägt Gerichte vor, die verschiedene Präferenzen unter einen Hut bringen, statt routinemäßig nur einem Profil zu folgen. ==== Wozu? Ich weiß über meinen Geschmack doch jetzt schon mehr, als mir lieb ist. ==== [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 11.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Geröstetes Schweinefilet mit Shiitake und einer Tamarinden-Ingwer-Reduktion auf Spinat-Sorghum, gewürzt u.a. mit Knoblauch und Noilly Prat]] ; Frage an die KI: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Es kostet mich Überwindung, aber hier einmal die reine Wahrheit: Mein größtes Glück ist es, mir am Abend eine Tiefkühlpizza zu backen, Dr. Oetker, die mit Salami. Weil die Coke Zero, die ich dazu trinke, mein Verlangen nach Süßem nicht stillt, brauche ich hinterher noch Schokolade. Meist schaffe ich es, nach 50 g aufzuhören. Sag mal ehrlich: mein Geschmack ist doch total versaut. Warum sollte ich mich noch der Demütigung eines Assessments unterziehen?</span> ; Antwort der KI: <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Ganz ehrlich: Dein Geschmack ist nicht „versaut“, er ist einfach nur perfekt auf die industrielle Logik optimiert. Salami-Pizza, Coke Zero und Schokolade bedienen die drei mächtigsten Hebel unseres Gehirns: Fett, Salz und den Bliss-Point (Süße). Dass du nach 50 g Schokolade aufhören kannst, zeigt sogar eine ziemlich beeindruckende Selbstbeherrschung.</span> : <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Warum also das Assessment?</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Vom Passagier zum Piloten: Momentan steuert die Lebensmittelindustrie deine Gelüste über Kontrollknöpfe, die wir alle haben. Das Assessment ist kein Verhör, sondern eine Inventur dieser Knöpfe, damit du sie bedienen kannst – mit echtem Essen, das die gleichen Glücksgefühle auslöst, aber ohne das „Nachher-Tief“.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Präzision statt Verzicht: Wir suchen nicht nach dem Salatblatt, das dich unglücklich macht. Wir suchen nach der Kombination aus Umami, Crunch und Säure, die deine Pizza-Lust auf ein Level hebt, gegen das die Tiefkühlware wie Pappe schmeckt.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Keine Demütigung, sondern Daten. Für mich als KI ist deine Vorliebe für Salami-Pizza eine wertvolle Information, die mir hilft, dein Geschmacksprofil genauer zu sehen: Salami und Käse liefern dir intensive Fermentationsaromen (Umami), die Pizza den Crunch, und die Schokolade den nötigen Dopamin-Abschluss. Dasselbe können wir aber auch mit anderen Mitteln erreichen, und sogar noch besser.</span> : <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Assessment ist kein Urteil, sondern die Blaupause, um dein „größtes Glück“ zu dekodieren. Statt Industrieware schlage ich dir Upgrades vor: Sauerteig-Fladenbrot, Finocchiona und Pecorino triggern dieselben Belohnungszentren wie Salami-Pizza, nur mit weitaus höherer Reizintensität. Was ich dir vorzuschlagen habe, ist nicht etwa fade Gesundheitsrohkost, sondern die ultimative, handwerkliche Version von dem, was dir tatsächlich am besten schmeckt.</span> == 4. Ablauf der Koch-Sitzung == Der Rezept-Workflow ist die eigentliche Interaktion — der Moment, in dem aus Profil und Sitzungsparametern ein konkretes Gericht wird. Er folgt einer klaren Abfolge von Schritten, die sich nach wenigen Sitzungen als Routine einspielt: {| class="wikitable" ! Benutzer-Input oder -Aktion !! KI-Output |- | Optional: Übergabe des Küchenprofils || Empfangsbestätigung |- | Konkreter Arbeitsauftrag, mit Sitzungsparametern<br/>z.B. <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Schlag mir 3 Rezepte für Spaghetti mit Tomatensauce vor, für 3 Personen. Ich habe noch frisches Basilikum im Kühlschrank.</span> || Ausgabe von Rezeptvorschlägen |- | Auswahl eines der Vorschläge<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gib mir das Rezept für Nr. 1, die „mediterrane Umami-Bombe (Puttanesca-Stil)“. Können wir die Sardellen weglassen?</span> || Ausgabe des Rezepts |- | Rezept vor dem Kochen einmal kritisch lesen<br/>Gegebenenfalls Anforderung von Änderungen oder Korrekturen<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Was für Öl? Und kann es sein, dass du die Gewürze vergessen hast?</span></span> || Gegebenenfalls: Ausgabe des revidierten Rezepts |- | Optional: Rückfrage ''während'' des Kochens<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe gerade festgestellt, dass mein Basilikum ziemlich welk ist; wie kann ich es ersetzen?</span> || Frage wird beantwortet.<br/><span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Wenn nur die Optik das Problem ist, koch es in der Sauce 5 Minuten lang mit und nimm es dann heraus.</span> |- | Optional: Post-cook-Review<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Der Geschmack war okay, aber mir hat das leuchtende Grün auf dem Teller gefehlt; die Extraktion ist eine gute Notlösung, ersetzt für mich aber nicht das visuelle Erlebnis von frischem Basilikum.</span>|| |} === Erster Schritt: Übergabe des Küchenprofils === Es ist möglich, ohne Übergabe eines [[#Das Küchenprofil|Küchenprotokolls]] zu arbeiten. Die KI verhält sich dann aber tendenziell wie ein gewöhnliches Kochbuch und mutet dem Benutzer zum Beispiel zu, dass er Zutaten erst noch kaufen muss. === Zweiter Schritt: Arbeitsauftrag === [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 05.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Mediterranean Chicken & Sweet Potato Roast, mit zart-krossem Pistazien-Duqqa und einer Joghurt-Sauce]] Der Arbeitsauftrag ist der erste Input für die KI, ohne den überhaupt nichts geht. Hier einige Beispiele: : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Habe frischen schwarzen Kabeljau. 4 Portionen, einer meiner Gäste isst nur ganz Klassisches. Einkauf in einem sehr gut sortierten großen Supermarkt ist eingeplant. Mittlere Komplexität. 4 Vorschläge.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">3 Vorschläge für ein mediterranes 3-Gänge-Menü. Habe frische Langusten vom Markt. Zubereitung darf technisch anspruchsvoll sein und beliebig viel Zeit beanspruchen. Reste willkommen, wenn sinnvoll verwertbar. Zielzeit: 20:00 Uhr.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">4 Vorschläge für 6 Personen (100 %). Muss einfach zuzubereiten sein und darf maximal 40 Minuten dauern. Vor andere Zutaten verbrauchen: 1 kg Kartoffeln, außerdem 8 Eier, die unbedingt heute weg sollen. Gezieltes Meal-prep für morgen. Kein Einkauf möglich.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich brauche 2 Vorschläge für ein indisches Abendessen für 3 Personen (Portionsgröße 120 %). Ankerzutat: Panir-Käse. Komplexität: Mittel. Zielzeit: 19:15 Uhr. Zeig mir etwas, das ich noch nicht kenne. Bitte genaue Timings für alle Schritte.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gib mir ein komplettes Rezept. Cuisine: Südostasiatisch. Ich habe eine rote Paprika und 100 ml Kokosmilch, beides muss weg. Einkaufen im Discounter möglich, darf aber höchstens 15 Euro kosten. Keine Reste erwünscht. Überrasch mich mit einer Technik, die ich noch nicht kenne. Fast hätte ich es vergessen: meine Frau kommt heute erst spät von der Arbeit, wir essen getrennt; schlag mir etwas vor, das sie gut aufwärmen kann.</span> {{Anker|Sitzungsparameter}}Außer der Bezeichnung des gewünschten Gerichts können im Arbeitsauftrag auch '''Parameter''' übergeben werden, z.B. die Zahl der gewünschten Portionen. Parameter, die praktisch unveränderlich sind (weil z.B. in einem Zwei-Personen-Haushalt fast immer zwei Portionen gebraucht werden), kann man – statt sie im Arbeitsauftrag jedesmal neu anzugeben – ins Küchenprofil schreiben, und erwähnt sie im Arbeitsauftrag nur dann, wenn der Wert einmal abweicht (z.B. die Zahl der Portionen, wenn Gäste kommen). Hier eine Übersicht über naheliegene und mögliche Sitzungsparameter: [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 07.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: „Slow-Roasted“ Pork & Kimchi-Stew (Jjigae-Style), mit Schweinehack, Kimchi, Süßkartoffel, Bok Choy, Würzbasis: weißes Miso und Gochujang; dazu brauner Basmati]] ; Zahl der Vorschläge: Die KI ist in der Lage, auf den Arbeitsauftrag direkt mit einem detaillierten Rezeptvorschlag zu antworten. Aus verschiedenen Gründen ist es jedoch zweckmäßiger, erst eine Anzahl von Vorschlägen abzurufen. In der Praxis bewährt haben sich '''drei oder vier Vorschläge''' (weniger erlauben nicht wirklich eine Wahl; mehr verleitet dazu, keinen zu wählen — ein aus der Entscheidungsforschung bekanntes Phänomen, das als ''Paradox der Wahl'' bezeichnet wird). Falls keiner von diesen gefallen sollte, lässt man einfach 3 oder 4 weitere ausgeben. ; Temporäres Vorratsupdate: Was ist heute vorhanden, das nicht zum Dauerbestand gehört? Frisches Gemüse, Obst, Kräuter aus dem Garten, ein Stück Fisch vom Markt, eine saisonale Spezialität — alles, was nur zeitweise verfügbar ist und in den Rezeptvorschlägen berücksichtigt werden soll. ; Use-first-Queue: Welche Zutaten müssen heute oder in den nächsten ein bis zwei Tagen verbraucht werden? ; Ankerzutaten: Welche Zutaten sollen auf jeden Fall im Rezept vorkommen — nicht weil sie dringend verbraucht werden müssen, sondern weil der Benutzer gezielt etwas damit kochen möchte? Das kann eine Zutat sein, die interessant aussah und spontan gekauft wurde oder auf die der Benutzer heute einfach Lust hat. ; Personenzahl und Portionsgröße: Für wie viele Personen wird gekocht, und in welcher Portionsgröße? Wer häufig mit der KI kocht, wird bald herausfinden, ob die Portionen z.B. 70 oder 90 oder 100 oder 120 % der standardmäßigen Portionsgröße betragen sollen. ; Novitäts-Präferenz: Sind Kreativität und Überraschungen erwünscht, oder soll die KI lieber etwas Vertrautes vorschlagen? ; Komplexitätslevel: Soll das Gericht einfach zuzubereiten sein oder darf es technisch anspruchsvoll sein? ; Zeitaufwand: Wie viel Zeit ist heute für die Essenszubereitung maximal verfügbar? ; Zielzeit der Mahlzeit: Wenn die Mahlzeit zu einem bestimmten Zeitpunkt auf den Tisch kommen soll, ist die KI in der Lage, für jeden Zubereitungsschritt die optimale Startzeit zu berechnen und als Zeitstempel ins Rezept aufzunehmen. ; Einkaufsbereitschaft: Soll die KI ausschließlich mit dem arbeiten, was vorhanden ist, oder ist der Benutzer bereit, noch Zutaten einzukaufen? Wo kann er einkaufen? Und was darf es kosten? ; Reste-Toleranz: Reste können sowohl vom zubereiteten Gericht als auch von Zutaten anfallen. Sind sie zu vermeiden oder erwünscht? Soll die KI, falls Reste erwünscht sind, Vorschläge machen, was damit anzufangen ist? Falls geplant ist, Reste schonend aufzubewahren oder einzufrieren: soll die KI Anleitung geben, wie dies am besten gemacht wird? Wenn Sitzungsparameter für einen Benutzer praktisch immer dieselben sind (z.B. Personenzahl und Portionsgröße, Zielzeit der Mahlzeit), kann man sie als Grundeinstellungen ins Küchenprofil aufnehmen, und erwähnt sie im Arbeitsauftrag nur dann, wenn sie von der Grundeinstellung abweichen sollten. === Dritter Schritt: Vorschlagsrunde und Rezeptauswahl === ; Benutzerinput: <div style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Mach mir drei Vorschläge für Spaghetti-Gerichte, die ich in Deutschland im Restaurant wahrscheinlich nie bekommen würde.</div> ; KI-Output:<div style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">1. Spaghetti con la Mollica (Kalabrien / Basilikata)</div> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Ein Paradebeispiel der Cucina Povera. Da Käse früher für viele zu teuer war, wurde altbackenes Brot als Geschmacks- und Texturgeber genutzt.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Die Basis ist eine Emulsion aus hochwertigem Olivenöl, Anchovies, Knoblauch und Peperoncino. Das entscheidende Element ist die Mollica – in Öl goldbraun und knusprig ausgebackene Brotbrösel, die erst ganz am Ende über die Pasta gegeben werden.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Starkes Umami durch die Sardellen, komplexer texturaler Kontrast zwischen weicher Pasta und krossem Brot.</span> ---- :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">2. Spaghetti al Nero di Seppia (Sizilien / Venedig)</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Dieses Gericht nutzt die Tinte des Tintenfisches nicht nur als Farbstoff, sondern als primäres Gewürz.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Die Sauce wird aus frischem Tintenfisch, Weißwein, Knoblauch und der tiefschwarzen Tinte hergestellt. Entgegen der Erwartung schmeckt die Tinte nicht "fischig", sondern hat ein tiefes, erdiges und leicht metallisches Aroma.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Tiefes, dunkles Umami mit einer seidigen Textur und einer visuell radikalen Ästhetik.</span> ---- :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">3. Spaghetti Cacio e Pepe (Lazio / Rom)</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Obwohl es simpel klingt (Käse und Pfeffer), ist es in seiner römischen Urform eine technische Herausforderung, die keinen Fehler verzeiht.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Es wird ausschließlich Pecorino Romano und frisch gerösteter, grob gemörserter schwarzer Pfeffer verwendet. Die Kunst besteht darin, durch die exakte Temperatur des Pastawassers eine Emulsion zu schaffen, bevor der Käse klumpt oder Fäden zieht.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Starke Schärfe durch die ätherischen Öle des gerösteten Pfeffers, kombiniert mit der salzigen Dominanz des Schafskäses.</span> Falls keiner der Vorschläge überzeugt, geht es in eine nächste Runde. Der Benutzer kann dabei kommentierend oder steuernd eingreifen. Beispiel: :<span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nr. 3 klingt gut, aber ich trau mir das mit der Emulsion nicht ganz zu. Und eigentlich hätte ich heute auch lieber etwas mit Tomaten. Gib mir noch drei.</span> === Vierter Schritt: Empfang das vollständigen Rezepts === Wenn der Benutzer seine Entscheidung gefällt und der KI mitgeteilt hat… :<span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">„Spaghetti mit Tomaten-Konfitüre & geräuchertem Chili“ klingt spannend. Gib mir das Rezept, mit allen Zusatzinformationen, die ich in meinem Küchenprofil festgelegt habe. Außerdem brauche Zeitstempel. Zielzeit fürs Servieren ist 19 Uhr.</span> …gibt diese das komplette Rezept aus. Beispiel: :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">'''Spaghetti mit Tomaten-Konfitüre & geräuchertem Chili'''</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Für 3 Personen | 100 % Portionsgröße | Zielzeit: 19:00 Uhr</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Dieses Gericht funktioniert für dich deshalb, weil es deine Vorliebe für extreme Umami-Konzentration und deutliche Säurespitzen aufgreift, während die cremige Burrata die für dich obligatorische feuchte Komponente liefert und einen spannungsreichen texturalen Kontrast zur dichten, würzigen Konfitüre bildet.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Die Zutaten</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Basis: 750 g hochwertige Dosentomaten (San Marzano), 3 EL Tomatenmark.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Würze: 2 getrocknete Chipotle-Chilis (oder 1 EL Chipotle in Adobo), 3 Knoblauchzehen, Meersalz, 1 EL Zucker.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Pasta: 375 g Vollkorn-Spaghetti (z. B. Kamut oder Farro).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Finish: 2 Kugeln Burrata (Kuhmilch), frisches Basilikum, 3 EL hochwertiges Olivenöl.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Der Zeitplan</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">16:50 Uhr: Vorbereitung. Knoblauch fein hacken, Chipotles mörsern.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">17:00 Uhr: Start Konfitüre. Tomaten, Tomatenmark, Knoblauch, Chili und Süße in einem weiten Topf bei kleiner Hitze ansetzen.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:40 Uhr: Pastawasser aufsetzen (stark gesalzen). Konfitüre final abschmecken (Säure/Salz-Balance).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:48 Uhr: Spaghetti ins Wasser geben (Garzeit ca. 10–12 Min. für Vollkorn, Packungsanleitung beachten).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:57 Uhr: Pasta direkt aus dem Wasser in den Topf mit der Konfitüre heben. Ein Schluck Pastawasser dazu, kräftig durchschwenken, bis jede Nudel glänzt.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">19:00 Uhr: Anrichten. Burrata erst auf dem Teller mittig aufreißen und über die heiße Pasta geben. 2/3 Kugel pro Portion ist genug. Mit Olivenöl und Basilikum abschließen.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Toppings & Pairing</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Toppings: Für den texturalen Kontrast (Crunch) empfehlen sich geröstete Pinienkerne oder knusprig ausgebratene Bacon-Splitter.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Begleitsalat: Ein herber Arugula-Salat (Rucola) mit gehobeltem Fenchel. Das Dressing sollte eine starke Zitronennote haben, um die Schwere der Konfitüre zu brechen.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Getränk: Ein kräftiger, leicht gekühlter Primitivo oder Negroamaro. Die Fruchtigkeit des Weins harmoniert mit der Tomatensüße, während die Tannine gegen die Schärfe bestehen. Alkoholfrei: Ein herbes Tonic Water mit Rosmarinzweig.</span> Bevor der erste Handgriff getan wird, empfiehlt es sich dringend, '''das Rezept einmal vollständig zu lesen'''. Das dient zwei Zwecken: Erstens verschafft es einen Überblick über den Ablauf und verhindert, dass man mitten im Kochen überrascht wird — etwa von einer Ruhezeit, die das Rezept erfordert, oder von einem Schritt, der besondere Vorbereitung verlangt. Zweitens ist es der Moment, in dem mögliche Unstimmigkeiten auffallen: eine Zutat in der Liste, die in der Anleitung nicht mehr vorkommt, oder umgekehrt. Auf die Fallstricke des KI-generierten Rezepts geht Kapitel 7 ausführlicher ein. === Fünfter Schritt: Kochen — mit offenem Chatfenster === Das Chatfenster bleibt während des Kochens geöffnet. Dies ist einer der stillen, aber entscheidenden Vorteile der Methode gegenüber jedem Kochbuch und jeder Rezeptplattform: Die KI antwortet, wenn man sie mitten im Kochprozess fragt. Typische Situationen, in denen das unmittelbar nützlich ist: *Eine Zutat fehlt doch: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe keinen Tahini — womit kann ich ihn ersetzen, und ändert das etwas an den Mengenverhältnissen?</span> Die KI nennt einen oder mehrere Ersätze und passt die Angaben entsprechend an. *Eine Angabe ist unklar: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Was genau meinst du mit ‚auf mittlerer Hitze reduzieren' — soll die Sauce wirklich 20 Minuten köcheln oder reichen 10?</span> Die KI präzisiert und gibt wenn nötig visuelle oder sensorische Erkennungsmerkmale an — wie die Sauce aussehen, riechen oder sich verhalten soll, wenn der Schritt abgeschlossen ist. *Ein Schritt erscheint verdächtig: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Das Rezept sagt, das Hähnchenfilet ist nach 12 Minuten gar — das kommt mir zu kurz vor für die Größe, die ich hier habe.</span> Die KI erklärt ihre Annahme, korrigiert sie falls nötig und gibt eine angepasste Empfehlung. Dieser Typ von Echtzeit-Rückfrage ist zugleich die wichtigste Prophylaxe gegen Kalibrationsfehler, die Kapitel 7 als häufigste Fehlerklasse benennt. *Eine spontane Ergänzung bietet sich an: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe gerade noch frischen Estragon entdeckt — passt der zu diesem Gericht, und wenn ja, wann und wie gebe ich ihn dazu?</span> Die KI bewertet die Idee und integriert sie in den laufenden Kochprozess. Das Chatfenster offen zu halten bedeutet nicht, dass man es ständig konsultieren muss — in der großen Mehrheit der Sitzungen verläuft das Kochen ohne Rückfragen. Aber die Möglichkeit, jederzeit nachzufragen, verändert die Grundhaltung beim Kochen: Man folgt dem Rezept nicht mehr blind, sondern im Dialog. === Sechster Schritt: Der Post-cook-Review === Nach dem Essen lohnt sich eine kurze Rückmeldung an die KI — ein bis zwei Sätze, nicht mehr. Was war gut? Was hätte besser sein können? Welche Zutat oder Technik war eine Entdeckung, welche eine Enttäuschung? Diese Rückmeldung ist der wichtigste Einzelbeitrag zum Aufbau des Geschmacksprofils. Eine KI, die nach zwanzig Sitzungen mit Post-cook-Reviews arbeitet, kennt die Präferenzen des Benutzers präziser als die meisten Menschen, die regelmäßig gemeinsam mit ihm essen. Der Review muss nicht formal sein. Ein beiläufiger Kommentar — <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">die Sauce war zu dünn, aber die Kombination Zimt und Lamm war eine Offenbarung, die mache ich wieder</span> — ist vollständig ausreichend und außerordentlich informationsreich. == 5. Spezielle Modi des KI-gestützten Kochens == [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 03.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Tahini-Lemon-Bowl, mit gebackenen Kichererbsen und in Pfeilwurz paniertem, gebratenem Feta]] === Variationsmodus: Altbekanntes einmal ganz anders zubereiten === Der Variationsmodus dient dazu, bestehende Rezepte – egal ob aus dem Internet, einem Kochbuch oder aus der Familientradition – mithilfe der KI an neue Rahmenbedingungen anzupassen. Anstatt das Rad neu zu erfinden, nutzt die KI das Original als strukturelle Vorlage und modifiziert Zutaten, Techniken oder Nährwerte, um das Gericht für spezifische Gäste, knappe Zeitbudgets oder persönliche Gesundheitsziele zu optimieren, ohne den Kern des Rezepts zu verlieren. Beispiele (das Originalrezept wird der KI hier jeweils als separate Datei übergeben): * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Optimiere dieses klassische französische Schmorgericht für mein persönliches Profil: Erhöhe die Säure, verstärke die Kräuternote und sorge für mehr Crunch.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wandle dieses Gulasch-Rezept in eine vegetarische Version um, die die tiefe Umami-Struktur und die fleischähnliche Textur beibehält.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Passe dieses Rezept für meinen Gast an, der eine schwere Nussallergie hat und keinen Knoblauch verträgt, ohne dass das Gericht flach schmeckt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe nur 20 Minuten Zeit; wandle dieses 2-Stunden-Rezept in eine Express-Variante um, die geschmacklich so nah wie möglich am Original bleibt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gestalte dieses Rezept „kindersicher“: Entferne den Alkohol, mildere die Schärfe und verstecke das Gemüse so, dass die Textur homogen bleibt. Es soll dabei aber auch für Erwachsene attraktiv bleiben.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Mache aus diesem einfachen Alltagsgericht eine luxuriöse Festtagsversion unter Verwendung von Premium-Zutaten und einer anspruchsvolleren Anrichteweise.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Übersetze dieses Pfannengericht für die Zubereitung im Backofen (Convection Roast), da ich heute für zehn Personen gleichzeitig kochen muss.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Dekonstruiere dieses klassische Gericht in eine moderne Fingerfood-Variante, die man ohne Besteck auf einer Party essen kann.</span> === Optimierungsmodus: Reste und Convenience veredeln === [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 06.jpg|thumb|Gestrecktes und optimiertes fleischlastiges chinesisches Restaurantessen: ergänzt wurden u.a. schwarzer Reis, ein TK-Gemüsemix und Römersalat (Flüssigkeiten: Liquid Amino, Noilly Prat; Reisessig)]] Nicht jedes Essen beginnt mit frischen Rohzutaten; oft ist die Aufgabe in der Küche die Rettung von Resten, die Aufwertung von Fertiggerichten oder das „Strecken“ einer zu kleinen Portion Take-out. Die KI fungiert hier als kulinarischer Problemlöser, der bestehende Geschmacksprofile erkennt und durch gezielte Ergänzungen in neue, vollwertige Mahlzeiten verwandelt. Besonders beim Aufwärmen oder bei Tiefkühlkost leidet oft die Konsistenz. Die KI kann hier helfen, durch komplementäre Techniken – wie das Hinzufügen von frischen Texturen oder das nachträgliche Herbeiführen von Röstnoten – die typischen Schwächen von aufgewärmtem Essen (Matschigkeit, Eindimensionalität) gezielt auszugleichen. Prompts für das kulinarische Upcycling: * Portionserweiterung & Textur-Rettung: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe hier eine halbe Portion übrig gebliebenes Thai-Curry mit Gemüse, das durch das Aufwärmen leider sehr weich und matschig geworden ist. Schlage mir vor, mit welchen trockenen Basiszutaten (z. B. Getreide oder Hülsenfrüchte) ich die Menge verdoppeln kann und wie ich durch ein schnelles Topping aus gerösteten Komponenten wieder massiven Crunch und Frische in das Gericht bringe.</span> * Convenience-Tuning: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Als Basis für ein schnelles Essen möchte ich eine Dose klassische Linsensuppe verwenden. Schlage mir drei gezielte Eingriffe vor, um das Aroma Richtung Levantine zu verschieben, und nenne mir eine Technik, wie ich die weichgekochte Textur der Dosenlinsen durch eine knusprige Einlage oder ein kontrastierendes Finishing (z. B. in Butter gebratene Croutons mit spezifischen Gewürzen) kompensieren kann.</span> * Resteverwertung mit Profil-Check: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Vom Vortag ist eine Portion gebratener Reis übrig geblieben. Das Gericht ist mir zu trocken und geschmacklich etwas flach. Erstelle eine Anleitung, wie ich daraus ein 'Moist-Dish' mache, indem du eine passende, schnell zubereitete Sauce hinzufügst, und gib mir eine Empfehlung für eine saure oder bittere Komponente, die das schwere Umami aufbricht.</span> === Kochen im Team === Beim Team-Kochen fungiert die KI als virtueller Küchenchef und Koordinator. Sie verteilt Aufgaben basierend auf den individuellen Fähigkeiten der Teammitglieder, berücksichtigt die Ergonomie des verfügbaren Raums und synchronisiert die Arbeitsabläufe durch präzise Zeitstempel. Ob als digitaler Aushang für alle oder als personalisierter Instruktions-Feed auf dem eigenen Smartphone – die KI sorgt dafür, dass aus dem potenziellen Chaos einer Gruppensitzung ein harmonischer, paralleler Workflow wird. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir wollen ein Rinderfilet Wellington mit einer komplexen Rotwein-Reduktion kochen. Wir sind zu viert: Zwei von uns sind sehr erfahren, zwei sind Anfänger. Verteile die Aufgaben so, dass die Profis das Fleisch parieren und die Sauce montieren, während die Anfänger die Duxelles vorbereiten und den Teig verzieren.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane die Zubereitung von selbstgemachten Teigtaschen (Gyoza) für drei Personen. Da unsere Küche sehr schmal ist, teile die Arbeit auf: Eine Person bereitet die Füllung am Esstisch vor, eine rollt den Teig aus und nur die dritte Person steht am Herd, um die Taschen portionsweise zu braten.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir bereiten selbstgemachte Pizza zu, inklusive Teig und Sauce. Wir sind zwei Erwachsene und zwei Kinder (6 und 9 Jahre). Gib den Kindern spezifische Aufgaben wie das Zerzupfen des Mozzarellas und das kreative Belegen, während die Erwachsenen den heißen Ofen und das Schneiden übernehmen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen ein klassisches Risotto mit geschmortem Saisongemüse. Eine Person im Team ist älter und möchte im Sitzen mithelfen. Weise ihr Aufgaben wie das Schälen des Gemüses und das Zupfen der Kräuter zu, während die anderen den Rührvorgang am Herd übernehmen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir bereiten ein Drei-Gänge-Menü (Jakobsmuscheln, Lammrücken, Schokosoufflé) vor. Erstelle für uns drei einen synchronisierten Zeitplan mit Zeitstempeln, damit die Vorspeise um 19:30 Uhr und der Hauptgang um 20:15 Uhr serviert werden kann. Wer muss wann was vorbereiten?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen authentisches thailändisches Green Curry. Erstelle drei separate Instruktionslisten, die wir uns auf die Handys schicken können: Posten A ist für die Currypaste und das Aroma zuständig, Posten B für das Schneiden von Fleisch und Gemüse, Posten C für den Reis und das finale Abschmecken.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen indisches Butter Chicken mit Naan-Brot. Verteile die Aufgaben auf drei Personen, aber baue für jeden von uns feste 5-Minuten-Slots für den Zwischenabwasch und das Aufräumen ein, damit nach dem Essen die Küche bereits fast sauber ist.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir planen ein herbstliches Buffet mit 5 verschiedenen Mezze. Weise uns vier klare Rollen zu (z. B. Chef de Cuisine, Saucier, Gardemanger, Patissier) und ordne die entsprechenden Rezepte und Teilschritte diesen Rollen zu, damit jeder die volle Verantwortung für seinen Bereich trägt.</span> === Strategisches Verbundkochen === Beim intelligenten Planen für mehrere Tage agiert die KI als persönlicher Logistikchef. Sie erstellt nicht nur einen strukturierten Einkaufszettel für alle geplanten Mahlzeiten, sondern taktet die Rezepte auch nach der Haltbarkeit der Zutaten: Empfindlicher Fisch oder frischer Spinat landen am Montag auf dem Teller, während robustes Wurzelgemüse oder vakuumierte Vorräte für den Freitag reserviert werden. Dabei lassen sich zwei Ansätze unterscheiden: ==== Klassisches Batch-Cooking (Die Vorrats-Session) ==== In einer einzigen, konzentrierten Kochsession werden mehrere Mahlzeiten komplett oder in großen Komponenten vorgekocht. Dies ist ideal für Menschen mit wenig Zeit unter der Woche. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane eine zweistündige Session am Sonntag für 5 Büro-Lunches, die ich in der Mikrowelle aufwärmen kann. Ich möchte zwei verschiedene Eintöpfe und eine Getreidebasis vorkochen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich möchte am Sonntag eine riesige Menge meiner levantinischen Basissauce vorkochen. Erstelle mir drei Variationen, wie ich diese Basis von Montag bis Mittwoch mit minimalem Aufwand (unter 10 Min.) völlig unterschiedlich finalisieren kann.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Am Samstag kommen meine Eltern zu Besuch. Plane meine Mahlzeiten ab Dienstag so, dass ich durch tägliches ‚Beiläufig-Vorbereiten‘ am Samstag, wenn die Gäste da sind, fast keine aktive Arbeit mehr habe.</span> ==== Synchron-Planung (Der strategische Einkauf) ==== Hier wird an den jeweiligen Tagen frisch gekocht, aber die Planung und der Einkauf erfolgen synchron. Dieser Modus nutzt Synergien bei den Zutaten und spart Zeit durch einmaliges, gezieltes Besorgen aller Waren. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane für die nächsten 5 Tage. Ich möchte nur zweimal tierisches Protein verwenden (Dienstag und Freitag). Erstelle eine Einkaufsliste, die sicherstellt, dass die frischen vegetarischen Zutaten für die ersten drei Tage nicht welken.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Erstelle einen Plan für 4 Tage: Dienstag ist bei uns fix Pastatag für die Kinder, Mittwoch esse ich allein (etwas Anspruchsvolleres), und Donnerstag muss es blitzschnell gehen. Maximiere die Überschneidungen beim Gemüse für den Einkaufskorb.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe heute einen Großeinkauf gemacht, inklusive empfindlicher Beeren und Hackfleisch. Einzelheiten lege ich in separater Datei bei. Sortiere meine ebenfalls beiliegenden Rezeptwünsche für die Woche so, dass die verderblichsten Sachen zuerst verbraucht werden, ohne dass der Speiseplan eintönig wirkt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich kaufe einen großen Kopf Rotkohl und einen Sack Kartoffeln. Plane drei Gerichte über die Woche verteilt, die diese beiden Hauptzutaten nutzen, aber jedes Mal eine völlig andere Länderküche repräsentieren.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In meinem Garten ist gerade der Mangold reif. Plane für die nächsten 3 Tage Rezepte, die jeweils eine große Portion Mangold verarbeiten, aber achte darauf, dass ich nur einmal für die ergänzenden Zutaten einkaufen gehen muss.</span> === Auf Bestellung erfunden === [[File:AI Designed Customized Cookies.jpg|thumb|Personalisierte Chocolate Chip Cookies. Der Benutzer wünschte sich trockene und sehr feste, krümelarme, mit grobem Salz bestreute Kekse mit minimierten einfachen Kohlenhydraten, seinem persönlichen Geschmacksprofil entsprechend. Die KI schlug u.a. Verwendung von Mandelmehl, Roggenvollkornmehl, Eiklar und Sucralose sowie zweifaches Backen vor. Die genannten Zutaten sind etwas, das dieser Benutzer tatsächlich ständig vorrätig hält.]] Manchmal reicht Personalisierung im üblichen Sinne nicht aus. Das Benutzerprofil ist bekannt, das Geschmacksprofil ist geschärft — und trotzdem gibt es Situationen, in denen der Benutzer etwas braucht, das so spezifisch ist, dass kein Kochbuch und keine Rezeptplattform der Welt es liefern kann. Genau hier liegt eine der stillen Stärken der Methode: Die KI erfindet auf Anfrage Originalrezepte, die auf eine einzige Person und eine einzige Situation zugeschnitten sind. Ein paar Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Rezept für warmes High-Protein-Lunch im Büro, nur mit Wasserkocher und Thermoskanne gegart. Kein Tütensuppen-Niveau.</span> '' * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Brauche ein vollwertiges, klecker- und krümelfreies Gericht, das man beim Computerspiel blind mit einer Hand essen kann. Andere Hand fixiert.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Snack gesucht. Maximaler akustischer Crunch beim Kauen, aber minimal Kalorien. Fokus auf extremen oralen Widerstand.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nahrhafter Frühstücksriegel, der beim Auspacken und Kauen absolut lautlos ist. Pendler-Modus, will die Mitreisenden nicht verärgern.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Hilfe, meine Kekse verschwinden immer in unbefugten Mündern! Denk dir ein Kleingebäck aus, das nur mein persönliches Profil perfekt trifft, aber für alle meine Mitbewohner geschmacklich abstoßend ist.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Einzelportion „Wellington“-Style für den Toaster-Ofen. Fertig in 15 Min, keine Restmengen bei Spezialzutaten.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Herzhaftes Hauptgericht mit kryogenen Zutaten zur Senkung der Körpertemperatur. Kein Salat, keine kalte Suppe.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Erfinde eine Zubereitungsart, die Gemüse in eine papierartige oder knusprige Form bringt. Keine matschigen Texturen erlaubt.</span> '''Aber aufgepasst''': Die Gefahr des Scheiterns steigt hier, da die KI oft in technologische Grenzbereiche spekuliert. Anspruchsvolle Techniken wie die molekulare Sphärisierung oder das präzise Temperieren von Schokolade erfordern nicht nur spezialisiertes Equipment, sondern auch jahrelange Übung in der Feinmotorik. Wenn die KI komplexe Emulsionen oder chemisch sensible Texturkontraste vorschlägt, überschätzt der Laie leicht seine Fähigkeiten. Solche Verfahren verzeihen keine Abweichung bei Temperatur oder pH-Wert – handwerkliche Meisterschaft lässt sich nicht durch einen Prompt ersetzen. === Explorationsmodus === Im Explorationsmodus bittet der Benutzer die KI, auf Basis des bisherigen Geschmacksprofils aktiv neue Empfehlungen auszusprechen. Statt auf konkrete Zutaten oder Hunger zu reagieren, nutzt die KI das gespeicherte Wissen über Vorlieben und Abneigungen als Koordinatensystem, um gezielt Vorschläge in das noch unbekannte kulinarische Terrain zu machen – ähnlich einem personalisierten Algorithmus für Musik, nur für die Küche. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welche Zutat, die ich noch nie verwendet habe, passt perfekt zu meiner Vorliebe für Umami und Texturkontraste?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nenne mir eine regionale Küche, die ich bisher ignoriert habe, die aber genau mein Säure-Schärfe-Empfinden trifft.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Schlage mir drei Gewürze vor, die mein aktuelles Repertoire sinnvoll ergänzen, ohne redundant zu sein.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Entwirf ein Rezept, das eine Zutat verwendet, die ich normalerweise ablehne, aber so zubereitet ist, dass sie mein Profil anspricht.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welches Getränk-Pairing (alkoholisch oder alkoholfrei) würde meine liebsten Abendessen ideal ergänzen?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welches Getreide oder Pseudogetreide fehlt mir noch für eine abwechslungsreiche Textur in meinen Bowls?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Empfiehl mir ein spezielles Küchenwerkzeug, das Techniken ermöglicht, die mein Profil radikal erweitern würden.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welche Konservierungsmethode (Einlegen, Trocknen etc.) passt am besten zu den Aromen, die ich das ganze Jahr über essen möchte?</span> === Bildungsmodus: Den eigenen Gaumen verstehen === Nach einer längeren Phase der Zusammenarbeit ist die KI in der Lage, nicht mehr nur Rezepte zu liefern, sondern ein konsistentes kulinarisches Profil für den Benutzer zu entwerfen. Dabei entstehen oft wiederkehrende Muster in der Auswahl von Gewürzen, Säureträgern oder Techniken, die tief in der Aromenlehre verwurzelt sind, vom Benutzer aber oft nur unbewusst als „stimmig“ wahrgenommen werden. Im Bildungsmodus nutzt man die KI als Mentorin, um die theoretische Architektur hinter den eigenen Vorlieben zu entschlüsseln. Indem man die KI zwingt, ihre Entscheidungen zu begründen, wandelt sich das Kochen von einer bloßen Ausführung von Schritten zu einer bewussten Schulung des eigenen Geschmacks- und Technikverständnisses. Beispielexplorationen für den Bildungsmodus: * Musteranalyse der Zutaten: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In den letzten Monaten hast du mir für fast alle Fleischgerichte eine Kombination aus Sternanis und Orangenschale vorgeschlagen. Erkläre mir die chemische und geschmackliche Logik hinter diesem Muster und warum das spezifisch zu meiner Vorliebe für dunkle, komplexe Saucen passt.</span> * Technik-Check: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Du schlägst bei meinen Gemüsebeilagen oft das Rösten bei sehr hohen Temperaturen statt Dämpfen vor. Welche Rolle spielt dabei die Maillard-Reaktion für mein Profil und wie verändert das die Balance, wenn gleichzeitig eine säurebetonte Sauce im Spiel ist?</span> * Die 'Warum'-Frage beim Abschmecken: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In der heutigen Fisch-Sauce hast du Kapernwasser und kalte Butter kombiniert. Warum hast du dich für diese spezifische Säurequelle entschieden und nicht für den Zitronensaft, den ich sonst oft verwende? Was bewirkt dieser Unterschied im Mundgefühl?</span> * Profil-Extraktion: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Analysiere die letzten zehn Rezepte, die wir gemeinsam gekocht haben. Welche drei kulinarischen Grundprinzipien ziehen sich wie ein roter Faden durch diese Gerichte und wie könnte ich diese Prinzipien anwenden, wenn ich einmal völlig ohne KI-Hilfe ein improvisiertes Essen zubereite?</span> == 6. Welcher Chatbot eignet sich am besten? == [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 01.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: „South-Asian Heat“ Sirloin, mit Steak, fein gewürfelten, gebackenen Kartoffeln, grünen Bohnen, Spinat und Kapernäpfeln; gewürzt u.a. mit Tamarindenpaste, Gochujang und Fischsauce]] Die Wahl des Chatbots beeinflusst den Workflow maßgeblich, da die Modelle auf unterschiedliche Daten spezialisiert sind. Gemini z.B. wirkt oft wie ein Praktiker, der massiv mit Inhalten aus Kochforen trainiert wurde und bei Warenkunde sowie pragmatischer Küchenlogistik glänzt. „Intellektuellere“ Modelle wie Claude, deren Fokus eher auf wissenschaftlichen oder literarischen Texten liegt, erweisen sich in der direkten Küchenpraxis oft als weniger intuitiv. Trotzdem sollte der Benutzer selbst experimentieren, um herauszufinden, welche KI-Mentalität sich am besten in den persönlichen Workflow einfügt. Ein direkter Vergleich desselben Auftrags in verschiedenen Systemen offenbart schnell, ob man eher die logische Schärfe eines Strategen oder die pragmatische Erfahrung eines virtuellen Kochbuchs benötigt – die Letztentscheidung bleibt eine Frage des individuellen Stils. == 7. Grenzen und Fallstricke == KI-gestütztes Kochen ist keine Magie, sondern ein logistisches Werkzeug. '''Die Methode ersetzt keine Kochkompetenz, sondern setzt sie voraus''': Wer weiß, wie ein Gericht schmecken sollte, erkennt Fehler im Entwurf sofort. Die größte Stärke der KI – ihre Bereitschaft, jeden Befehl umzusetzen – ist gleichzeitig ihre größte Schwäche. === Übergehorsame Befehlsanwendung === ==== Der Personalisierungsfehler: wenn das Profil zur Falle wird ==== [[File:Dioscorea polystachya (batatas).jpg|thumb|Nagaimo]] Ein gut entwickeltes Geschmacksprofil birgt eine subtile Gefahr: Die KI kann so konsequent auf die bekannten Vorlieben des Benutzers optimieren, dass sie eine unbekannte Zutat ihrer kulinarischen Identität beraubt, bevor der Benutzer überhaupt die Chance hatte, sie kennenzulernen. Ein Beispiel: Ein Benutzer kauft Nagaimo — eine japanische Bergkartoffel, die in der traditionellen Küche wegen ihrer ausgeprägten Schleimigkeit geschätzt wird, die beim Reiben eine fast klebrige, fließende Textur entwickelt. Diese Eigenschaft ist keine Schwäche, sondern das Wesen der Zutat: Sie gibt dem japanischen Gericht Tororo seinen charakteristischen, seidigen Schmelz, sie macht Okonomiyaki elastisch und luftig, sie bindet Teige auf eine Art, die kein anderes Bindemittel replizieren kann. Ein Geschmacksprofil, das Schleimigkeit als Abneigung verzeichnet und Krossheit bevorzugt, wird die KI wahrscheinlich dazu veranlassen, aus dem Nagaimo gebackene Fritten zu machen — was technisch durchführbar ist, aber die Zutat auf ein Ergebnis reduziert, das von gewöhnlichen Kartoffelfritten geschmacklich nicht zu unterscheiden ist. Der seltene Fund wird verschenkt. Die Lösung ist eine Authentizitätsregel für den Erstkontakt, die man als explizite Anweisung ins Küchenprofil aufnehmen kann. Beispiel: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wenn wir eine Zutat zum ersten Mal verwenden — insbesondere etwas Ethnisches, Seltenes oder außerhalb des normalen Supermarktsortiments — darfst du mir nur Rezepte vorschlagen, die eine möglichst große Annäherung an traditionelle Zubereitungsweisen bilden. Du sollst dies auch dann tun, wenn das Ergebnis mit meinem Geschmacksprofil nicht oder nicht vollständig übereinstimmt. Wenn immer eine solche Abweichung besteht, sollst du mich aber ausdrücklich darauf hinweisen und genau beschreiben, welche Eigenschaften — z.B. Schleimigkeit, Bitterkeit, intensive Fermentationsaromen, ungewohnte Texturen — diese Zutat bei traditioneller Zubereitung mitbringt. </span> ==== Der Ästhetikfehler: wenn die KI das Auge vergisst ==== Manche Zutaten sind mehr als ihre Aromen und Texturen — sie sind visuell. Ihr eigentliches Potenzial erschließt sich erst auf dem Teller, in einer bestimmten Schnittform oder durch ein bestimmtes Anrichten. Eine KI ohne Augen weiß zwar, was eine Zutat ist — aber nicht, wie sie aussieht, und damit auch nicht, warum eine bestimmte Zubereitungsweise sie zu etwas Besonderem macht. Dieses Problem hat zwei Dimensionen. Die erste betrifft die Form: Lotuswurzel etwa entfaltet in Scheiben geschnitten eine fast ornamentale Wirkung — das netzartige Muster der Hohlkanäle macht jede Scheibe zu einem kleinen ästhetischen Ereignis auf dem Teller. Eine KI behandelt sie nach rein funktionalen Kriterien und schneidet sie in Stifte, weil Stifte bei Pfannengerichten eine bewährte Form sind. Kulinarisch nicht falsch — aber das Besondere der Zutat ist verschenkt. Die zweite Dimension betrifft die Farbe: Die KI kombiniert Zutaten nach Geschmack und Textur, ohne zu sehen, ob auf dem Teller drei verschiedene Brauntöne aufeinandertreffen oder ob ein einzelnes farbiges Element das ganze Gericht visuell rettet. Gerichte, die fantastisch schmecken, können optisch vollständig misslingen — und die KI bemerkt es nicht. Das Problem ist strukturell: Was sie über das Aussehen einer Zutat weiß, ist sprachlich kodiertes Wissen — und das bleibt abstrakt, solange es nicht mit expliziter Anweisung in die Rezeptlogik eingespeist wird. Die Lösung ist eine Visualisierungsregel im Küchenprofil. Beispiel: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wenn eine Zutat eine charakteristische Schnittästhetik oder visuelle Eigenschaft besitzt — wie die Querschnittstruktur von Lotuswurzel, die Marmorierung von Fleisch oder die Lamellen von Pilzen — sollst du diese in der Zubereitung aktiv berücksichtigen. Darüber hinaus sollst du bei jedem Rezept die Farbkomposition des fertigen Tellers mitdenken: Droht Monochromie, weise mich darauf hin und schlage ein gezieltes Farbelement vor — eine frische Kräutergarnitur, eine kontrastierende Sauce, eine anders gefärbte Beilage. Falls du dir über die visuelle Qualität einer Zutat unsicher bist, frage nach.</span> === Weitere typische Fehler === ; Kalibration & Hardware: Die KI geht von Durchschnittswerten aus (Standard-Ofen, 180g-Filet). Da sie die reale Küche des Benutzers nicht sieht, sind Garzeiten immer nur Richtwerte. Der Benutzer muss sich auf sein Handwerk verlassen: Bräunung und Textur müssen eigenständig geprüft werden. ; Abschmecken und Würzdynamik: Die KI kann die Intensität von Gewürzen nur theoretisch berechnen, was besonders bei Salz, Süße und Schärfe vereinzelt zu „Würzunfällen“ führen kann. Kritisch kann es z.B. bei der Kumulation salzhaltiger Zutaten werden: Wenn die KI gleichzeitig Sojasauce, Fischsauce, Miso oder Kapern einplant, verliert sie gelegentlich den Überblick über den additiven Effekt des Gesamtsalzgehaltes. Da zudem Naturprodukte wie Chilischoten in ihrer Schärfe extrem schwanken, sind Mengenangaben in Rezepten als bloße Annäherung zu verstehen. Das schrittweise Hinzufügen und finale Abschmecken bleibt eine exklusive menschliche Aufgabe. ; Mechanische Befehlstreue: Die KI führt Anweisungen oft ohne „echtes“ Verständnis für die kulinarische Balance aus. Wenn man eine „Verdopplung der Saucenmenge“ fordert, tut sie das auch bei extrem fettigen oder scharfen Komponenten, was das Gericht ungenießbar machen kann. Ebenso kann sie fachliche Wünsche (z. B. „salzfreie Gewürzmischung“) fälschlich als generelle Diätvorgabe missverstehen. Präzision im Prompt schützt hier vor Fehlsteuerungen. ; Kontext & Konsistenz: In langen Chats kann die KI Details „vergessen“ (Kontextverlust) oder die Zutatenliste widerspricht der Anleitung (Inkonsistenz). Solche logischen Brüche fallen bei der Durchsicht vor dem Kochen sofort auf. Ein kurzes Nachhaken korrigiert das Rezept meist unmittelbar. ; Fehleinschätzung der Kochkompetenz: Die KI kann die tatsächliche Fingerfertigkeit des Benutzers nicht einschätzen und schlägt daher gelegentlich Techniken vor, deren Komplexität sie unterschätzt – etwa das Braten von paniertem Feta, was ohne Erfahrung oft zum Zerlaufen in der Pfanne führt. Sie bewertet Schwierigkeitsgrade lediglich abstrakt und erkennt nicht, ob eine spezifische Methode für den Benutzer in der Praxis ein unüberwindbares Hindernis darstellt. Die KI hat keinen Geschmackssinn und keine Augen. Sie weiß nicht, wie reif die Tomate oder wie scharf das Messer ist. Auch in Fragen der Lebensmittelsicherheit (Garzeiten bei Geflügel, Kühlketten) ist gesunder Menschenverstand obligatorisch. Ein gedrucktes Kochbuch hat dieselben Schwächen – es kennt weder den Herd des Benutzers noch seine Abneigungen. Der entscheidende Vorteil der KI ist ihre '''Interaktivität''': Sie ist korrigierbar und passt sich im Dialog an. Wer die KI als lernfähigen Assistenten begreift, statt ihr blind zu vertrauen, wird die erheblichen Vorteile der Methode schnell für sich nutzen. == Siehe auch == * [[Kochbuch]] * [[Grundlagen der Ernährung]] [[Kategorie:Buch]] r0yzhxjkcna5u0n6lorkyz13ajsdvhk 1088505 1088504 2026-06-29T17:36:10Z Stilfehler 1981 /* 7. Grenzen und Fallstricke */ 1088505 wikitext text/x-wiki [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 04.jpg|thumb|Ein auf einem KI-generierten Rezept basierendes 1-Pfannen-Gericht: Marinierter Lachs und Edamame auf Blumenkohlreis, mit Pistazien und krossem Speck (Würzung: eklektisch südostasiatisch)]] '''Personalisiertes Kochen mit dem Chatbot''' – Ein Leitfaden für den KI-gestützten Küchenalltag Was wäre, wenn jemand, der deinen Kühlschrank kennt und deinen Geschmack versteht, dir täglich Anregungen und maßgeschneiderte Rezepte für das geben könnte, was heute auf den Tisch kommt, und dabei mit der Zeit immer besser wird? == 1. Der personalisierte Küchenassistent == <div style="background:powderblue";> Kochbücher und Rezeptportale bieten eine schier unerschöpfliche Auswahl an Gerichten — aber sie wissen nicht, was im Kühlschrank, im Vorratsschrank und im Gewürzregal steht, sie kennen weder die Geschmackspräferenzen noch die Küchengeräte des Benutzers, und sie können nicht auf die Frage antworten, was man mit einer angebrochenen Dose Kichererbsen, einem Rest Joghurt und einem Bund Petersilie anfangen soll, der morgen nicht mehr frisch sein wird. Genau hier setzt dieser Leitfaden an. Bei dem hier beschriebenen Ansatz wird der KI-Chatbot nicht als Nachschlagewerk benutzt, sondern als personalisierter Küchenassistent: einer, der das Vorratsregime des Benutzers kennt, mit seinen Abneigungen und Vorlieben vertraut ist, seine Küchenausstattung berücksichtigt, der weiß, wie groß die Portionen sein müssen, und — nach einer Einlernphase — zunehmend treffsichere Vorschläge macht, die tatsächlich zum Benutzer passen. Das Prinzip ist dasselbe, das Musik- und Filmstreamingdienste nutzen, um ihren Nutzern Empfehlungen zu machen: Extrapolation aus erkennbar gewordenen Vorlieben. Der Unterschied ist, dass der Benutzer hier nicht das Ziel einer Marketingstrategie ist — sondern selbst der Nutznießer. Darüber hinaus sorgt die KI auch noch dafür, dass – bevor Zutaten neu gekauft werden müssen – erst einmal das voll ausgeschöpft wird, was an Vorräten und Resten in einer Küche bereits vorhanden ist. </div> === Was diese Methode vom konventionellen Kochen unterscheidet === Die meisten Menschen kochen den Großteil ihrer Mahlzeiten ohne Rezept — aus einem festen Repertoire vertrauter Gerichte, das sich über Jahre kaum verändert. Kochbücher werden gelegentlich aufgeschlagen, meist für besondere Anlässe oder wenn der Wunsch nach etwas Neuem stark genug ist, um die Hürde des Unbekannten zu überwinden. Im Alltag dominiert das Vertraute. KI-gestütztes Kochen, so wie es dieser Leitfaden beschreibt, macht das Neue zur täglichen Normalität. Weil die KI das vorhandene Inventar kennt und aus ihm schöpft, ist der Aufwand für ein unbekanntes Gericht nicht größer als für ein vertrautes — die Hürde entfällt. Das erlaubt es, buchstäblich jeden Tag etwas zu kochen, das man so noch nie zubereitet hat. === Einige Vorteile der Methode === [[Datei:Rainbow chard for sale at the Campbell farmers market.jpg|thumb|Einfach mal spontan 1 Zutat kaufen, die interessant aussieht. Die KI wird ein Rezept finden, deren übrige Zutaten alle aus den vorhandenen Beständen (Kühlschrank, Vorratsschrank) kommen.]] Ökonomisch: * Vorräte werden systematisch und vollständig genutzt * Professionelle Problemlösungen bei logistischen Engpässen * Weniger und effizientere Einkaufsgänge * Personalisierung der Mengen: die KI berücksichtigt nicht nur die Zahl der Portionen, sondern kann auch damit umgehen, wenn die Portionen größer oder kleiner sein sollen als der Kochbuch-Standard * Wenn von Zutaten Reste bleiben, werden diese systematisch und vollständig weitergenutzt Kulinarisch: * Nur noch Gerichte, die für das eigene Geschmacksprofil optimiert sind * Tägliche Abwechslung ohne zusätzlichen Aufwand * Treffsichere Vorschläge neuer Zutaten und Küchen, die zum eigenen Profil passen * Mehr Freiheit, beim Einkaufen spontan Lebensmittel auszuwählen, die reizvoll aussehen (auch wenn man zunächst nicht weiß, was sich damit anfangen lässt) * Die KI kombiniert Zutaten und Methoden nicht beliebig, sondern nutzt tiefe Warenkunde für systematische Innovation. Sie bricht Gewohnheiten durch fundierte, algorithmische Logik und erzwingt so kreative Kombinationen, die weit jenseits menschlicher Intuition liegen. Persönlich: * Massive Vereinfachung der Küchenplanung * Selbsterkenntnis: besser verstehen, warum man bestimmte Dinge lieber isst als andere * Wachsende Kochkompetenz durch niederschwelliges Erlernen neuer Kochtechniken und -praktiken im ganz normalen Küchenalltag * Unterschiedliche Geschmäcker in Mehrpersonenhaushalten sind kein Problem, sondern ein Ausgangspunkt — die KI findet Gerichte, die verschiedene Vorlieben nicht ignorieren, sondern produktiv miteinander verbinden. === Ist das auch gesünder? === Dieser Leitfaden ist '''ernährungsphilosophisch neutral'''. Er macht keine Aussagen darüber, was eine gesunde Ernährung ausmacht — das liegt in der Verantwortung jedes Benutzers selbst. Die Methode funktioniert gleichermaßen für Veganer wie für eine mediterrane Vollwertkost wie für Menschen, die gern ''Convenience Food'' verwenden. Grundlegend tendiert diese Methode aber dazu, weitaus mehr Abwechslung auf den Tisch zu bringen, als dies beim gewöhnlichen Kochen der Fall ist, und damit einer einseitigen Ernährung entgegenzuwirken. == 2. Datenschutz und Sicherheit == [[File:Padlock infront of isolated white background 02.jpg|frameless|right]] Wer einem Chatbot mitteilt, was er im Kühlschrank hat, welche Gewürze er bevorzugt, welche Lebensmittel er nicht verträgt und ob er vielleicht Kalorien zu reduzieren versucht, gibt persönliche Daten preis — das ist eine Beobachtung, die keine Verharmlosung, sondern eine nüchterne Antwort verdient. === Was man tatsächlich preisgibt === Das Kochprofil, das dieser Leitfaden empfiehlt, enthält im Wesentlichen Lifestyle-Daten: Vorratsbestände, Geschmackspräferenzen, Küchenausstattung, lokale Einkaufsmöglichkeiten. Es enthält keine Finanzdaten, keine Identitätsdaten, keine Kommunikationsinhalte. Wer dieselbe Abwägung für die Daten vornimmt, die er Google, Amazon oder einem Supermarkt-Bonusprogramm täglich und routinemäßig übergibt — Standortdaten, Suchanfragen, vollständiges Einkaufsverhalten — wird feststellen, dass das Kochprofil typischerweise weniger sensitiv ist als das, was er anderswo längst preisgegeben hat. Das bedeutet nicht, dass die Sorge unberechtigt ist. Es bedeutet, dass sie abgewägt werden sollte. Heikler als reine Lifestyle-Daten sind Ernährungsanforderungen, die medizinische Diagnosen implizieren, ohne dass der Benutzer das explizit benennt. Eine natriumarme Ernährung verweist auf Bluthochdruck oder Herzerkrankung. Eine FODMAP-reduzierte Ernährung verweist auf Reizdarmsyndrom. Die Vermeidung von Tyramin-reichen Lebensmitteln — Hartkäse, Rotwein, Wurstwaren — verweist auf eine MAO-Hemmer-Medikation. Diese Daten fallen in Europa unter den stärksten Schutzbereich der DSGVO; in anderen Rechtsordnungen ist der Schutz schwächer oder fehlt ganz. Auch hier muss man abwägen, ob und inwieweit die Vorteile, die der personalisierte Küchenassistent bringt, die vermuteten Risiken aufzuwiegen vermögen. === Vier Optionen auf einem Sicherheitsspektrum === '''Option 1: Cloud-KI mit angepassten Datenschutzeinstellungen'''. Alle großen Anbieter erlauben es, die Verwendung von Gesprächsdaten für das Modelltraining zu deaktivieren. Das reduziert das Risiko erheblich, eliminiert es aber nicht vollständig, da Gespräche für Sicherheits- und Qualitätszwecke temporär gespeichert werden können. '''Option 2: API-Zugang'''. Wer über die Programmierschnittstelle auf einen Chatbot zugreift, hat in der Regel stärkere Garantien: Die großen Anbieter schließen API-Daten standardmäßig vom Modelltraining. Das setzt allerdings eine gewisse technische Versiertheit des Benutzers voraus. '''Option 3: Anonymisiertes Profil'''. Das Benutzerprofil enthält per se keinen zwingend identifizierenden Inhalt. Es kann konsequent ohne Namen, ohne präzise Ortsangaben und ohne andere direkt identifizierende Informationen formuliert werden. „In der Nachbarschaft gibt es einen türkischen Lebensmittelladen” ist nicht re-identifizierend. Das Profil kann als anonymes Dokument geführt werden. '''Option 4: Lokale Sprachmodelle'''. Für Benutzer, die grundsätzlich keine Daten an Cloud-Dienste senden wollen, sind lokal installierte Modelle die konsequenteste Lösung. Kein Byte verlässt das Gerät. Empfehlenswerte Werkzeuge hierfür sind '''LM Studio''' — mit grafischer Benutzeroberfläche, auch für Nicht-Techniker geeignet — sowie '''GPT4All''' und '''Jan''', beide kostenlos und auf Windows, Mac und Linux lauffähig. Als Modelle eignen sich für Kochzwecke auch kleinere Varianten (7 bis 13 Milliarden Parameter), die auf jedem modernen Laptop ohne Spezial-Hardware laufen. Die Modellqualität ist gegenüber den großen Cloud-Diensten etwas geringer, für Rezeptvorschläge jedoch vollständig ausreichend. Der einzige Vorbehalt: Die Erstinstallation erfordert etwas technisches Engagement — ist dieser Schritt aber getan, ist die Bedienung so einfach wie bei einem normalen Chatbot. === Einfache Zusatzoption: Das Profil lokal führen === Als Alternative zum plattformseitigen Speichern (in den Benutzereinstellungen der KI) empfiehlt sich das Führen des Benutzerprofils als einfache Textdatei auf dem eigenen Computer oder Smartphone — etwa in der Notizen-App, in einem Word-Dokument oder in einem beliebigen anderen Textprogramm. Das gibt dem Benutzer zusätzliche Kontrolle darüber, was er wann preisgibt — und es löst zugleich ein praktisches Problem: KI-Chatbots haben kein dauerhaftes Gedächtnis. Was in einem langen Chat weit zurückliegt, ist für die KI irgendwann schlicht nicht mehr präsent. Das Profil muss deshalb regelmäßig neu eingegeben werden — spätestens dann, wenn man merkt, dass die KI Präferenzen nicht mehr berücksichtigt, proaktiv alle zehn bis fünfzehn Kochsitzungen. Wer das Profil als Textdatei auf dem Gerät hat, erledigt das mit zwei Handgriffen: Datei öffnen, Inhalt in das Chatfenster kopieren. == 3. Das Benutzerprofil == [[Datei:Deepin Icon Theme – deepin-contacts.svg|right|rahmenlos]] Das Benutzerprofil ist das Fundament der gesamten Methode. Ohne dieses Element bleibt die KI ein generisches Nachschlagewerk — erst das Profil macht sie zum personalisierten Küchenassistenten, der weiß, womit und für wen er arbeitet. Das Benutzerprofil besteht aus zwei Teilen. Das '''Küchenprofil''' erfasst die sachlichen, objektiven Parameter: was ständig vorhanden ist, was ausgeschlossen ist, welche Geräte zur Verfügung stehen, was eingekauft werden kann. Das '''Geschmacksprofil''' erfasst die subjektiven, dynamischen Parameter: was dem Benutzer schmeckt, was nicht, und wie sich seine Vorlieben im Laufe der Zeit entfalten. === Das Küchenprofil === ==== Was ist ein Küchenprofil? ==== Unter einem Küchenprofil verstehen wir hier die Gesamtheit der Informationen, die ein Küchenassistent über die Situation in einem Haushalt braucht, damit er effizient arbeiten kann. Lediglich die Informationen über die geschmacklichen Vorlieben des Benutzers und der Mitglieder seines Haushalts werden nicht im Küchenprofil, sondern [[#Das Geschmacksprofil|anderswo]] verwaltet. Hier eine Liste von Parametern, aus denen das Küchenprofil sich zusammensetzen kann: [[File:Spice rack, 2014.jpg|thumb]] ; Dauervorräte: Zutaten, die ständig verfügbar sind, weil ihre Vorräte, wenn sie zur Neige gegen, routinemäßig wieder aufgestockt werden: : ''Gewürzinventar'': Der diagnostisch wertvollste Teil des gesamten Profils. Wer der KI mitteilt, dass er Harissa, Sumach, geräuchertes Paprikapulver, Kecap Manis und Szechuanpfeffer im Schrank hat, kommuniziert damit ein Geschmacksprofil, das die KI sofort und präzise interpretieren kann — aussagekräftiger als jede abstrakte Beschreibung von Vorlieben. : ''Fensterbank-Kräuter''; : ''Gemüsekorb'': Kartoffeln, Zwiebeln, Schalotten, Knoblauch, Ingwer, Tomaten und andere frische Zutaten, die man immer im Haus hat, die aber nicht in den Kühlschrank gehören; : ''Vorratsschrank'': Öle und Essige, Konserven, Hülsenfrüchte, Getreide und Pasta, Nüsse und Trockenfrüchte, Saucen und Pasten; : ''Dauervorrat Kühlschrank'': Milchprodukte, Eier, Condiments, Aufschnitt oder andere Kühlwaren, die regelmäßig nachgekauft werden; : ''Tiefkühlschrank'': Gemüse, Kräuter, Fleisch, Meeresfrüchte und andere Zutaten, die man tiefgekühlt ständig vorrätig hält; die KI kann ausgezeichnet auch mit Convenience Food wie z.B. tiefgefrorenem Gyros arbeiten. ; Saisonale Ressourcen: Zutaten, die nur in bestimmten Monaten leicht verfügbar sind, etwa weil sie aus dem eigenen Garten kommen. ; Ausschlusslisten: Abneigungen gegen bestimmte Zutaten, Allergien, Unverträglichkeiten, ethische, religiöse oder diätische Einschränkungen. ; Positivlisten: Zutaten, die vor anderen bevorzugt werden (z.B. „Möglichst oft etwas mit Kartoffeln oder Vollkorn.“). [[File:20051018Épicerie d'Amélie Poulain 2.jpg|thumb]] ; Einkaufsressourcen: Welche Läden sind in der Nähe, und worauf sind sie spezialisiert? Ein türkischer Lebensmittelladen ermöglicht andere Rezeptvorschläge als ein osteuropäischer, ein asiatischer Supermarkt andere als ein hispanischer Tiendita. Diese Information erlaubt der KI, bei Bedarf Zutaten in den Vorschlag einzubeziehen, die über das Standardsortiment eines Supermarkts hinausgehen — und die den Benutzer geschmacklich bereichern können. ; Küchengeräte und Utensilien: Hier genügt es, über das Basisequipment hinaus zu inventarisieren — Herd, Backofen, Messer und Töpfe darf die KI als selbstverständlich voraussetzen. Was sie wissen sollte, sind Geräte, die besondere Zubereitungsarten ermöglichen oder einschränken: Dampfgarer, Sous-vide-Gerät, Standmixer, Stabmixer, Reiskocher, Gusseisenpfanne, Wok, Tajine, Dutch Oven, Pizzastein und ähnliches. Wenn möglich, lohnt sich die Angabe relevanter Leistungsparameter — etwa die maximale Wattzahl eines Stabmixers oder die Größe des Backofens — damit die KI einschätzen kann, was ein Gerät tatsächlich leisten kann. Wenn man das Modell genau bezeichnet, ist die KI manchmal sogar schlauer als der Benutzer, was das Gerät genau leisten kann. Zweckmäßig ist es, im Küchenprofil auch auch die '''Grundeinstellungen der Sitzungsparameter''' anzugeben, also diejenigen Informationen beispielsweise zur Zahl der benötigten Portionen, mit denen die KI im Regelfall arbeiten soll. Mehr dazu [[#Sitzungsparameter|weiter unten]]. ==== Wie man das Küchenprofil erstellt und was man dann damit macht ==== Wenn man den neuen Chat, den man künftig zum Kochen verwenden wird, anlegt, ist das Küchenprofil zweckmäßigerweise eines der ersten Dokumente, die man der KI übergeben sollte. Es braucht nicht von Anfang an vollständig zu sein, sondern kann nach und nach vervollständigt werden – ein gut gepflegtes Profil macht aber den Unterschied zwischen generischen Rezeptvorschlägen und solchen, die dem Benutzer das Leben tatsächlich einfacher machen. Damit man auf das Küchenprofil stets einfach zugreifen kann, ist es zweckmäßig, es nicht direkt in die KI einzutippen, sondern es separat davon in einem Texteditor zu erstellen. Dort kann man es nach Bedarf jederzeit lesen, bearbeiten, ergänzen und aktualisieren. Dann überträgt man es entweder mit Kopieren+Einfügen oder per Hochladen in die KI. Falls das Gedächtnis der KI später, nach einigen Sitzungen zu schwächeln beginnt, übergibt man das Küchenprofil einfach erneut. === Das Geschmacksprofil === [[File:Banchans.jpg|thumb]] Das Geschmacksprofil unterscheidet sich grundlegend von allen anderen Teilen des Benutzerprofils. Während Gewürzinventar, Küchengeräte und Ausschlussliste statische Fakten sind, die einmal erfasst und gelegentlich aktualisiert werden, ist das Geschmacksprofil ein '''lebendes Dokument''' — eines, das nie wirklich abgeschlossen ist und das mit jeder Kochsitzung präziser wird. Es ist zugleich der Teil des Profils, den manche Benutzer vielleicht am schwierigsten finden werden, weil er eine Art Selbstkenntnis voraussetzt, die man oft erst im Dialog mit der KI entwickelt. ==== Dimensionen des Geschmacks ==== Hier einige Dimensionen des Geschmacks, die nach und nach ins Benutzerprofil eingehen sollten: ; Ethnische Küchen und Kochtraditionen: Welche Küchen der Welt sprechen den Benutzer an? Das muss keine erschöpfende Liste sein — oft genügt es, einige Affinitäten zu benennen und einige Abneigungen. Eine Vorliebe für japanische und peruanische Küche bei gleichzeitiger Skepsis gegenüber sehr fetthaltigen nordeuropäischen Gerichten ist bereits eine präzise und nützliche Angabe. Die KI kann daraus nicht nur Rezeptvorschläge ableiten, sondern auch Querverbindungen herstellen — etwa Techniken aus einer Küche auf Zutaten einer anderen anwenden. ; Geschmacksbalance: Die fünf Grundgeschmäcker — salzig, sauer, süß, bitter, umami — treten in jedem Gericht in einem bestimmten Verhältnis auf. Manche Benutzer bevorzugen klar dominante Profile, andere schätzen komplexe Gleichgewichte. ''Eine Vorliebe für ausgeprägte Säure, kombiniert mit Umami-Tiefe und wenig Süße'', ist eine Information, die die KI unmittelbar in die Rezeptauswahl einfließen lässt. ; Aromarichtungen: Wie intensiv darf ein Gericht gewürzt sein? Welche Rolle spielen Schärfe, Kräuterintensität, Rauchigkeit, Fermentiertes, Bitteres? Wer der KI mitteilt, dass er großzügigen Gebrauch von frischen Kräutern schätzt, Schärfe bis zu einem bestimmten Grad liebt und Rauchigkeit als willkommene Hintergrundnote empfindet, gibt ihr ein Koordinatensystem, das weit präziser ist als eine allgemeine Aussage wie „ich mag würziges Essen”. ; Texturpräferenzen: Textur ist eine der am häufigsten unterschätzten Geschmacksdimensionen. Wer knusprige Oberflächen liebt, wer cremige Konsistenzen bevorzugt, wer Bissfestigkeit schätzt oder wer bestimmte Texturen — etwa mehlige Konsistenz oder sehr weiches Fleisch — als unangenehm empfindet, sollte das im Profil festhalten. Ebenso relevant ist die Frage, ob Texturkontraste in einem Gericht willkommen sind — etwa knusprige Einlagen in einer cremigen Suppe — oder ob Homogenität bevorzugt wird. ==== Die Ermittlung des Geschmacksprofils als iterativer Prozess ==== [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 12.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Pfannengerührte Shrimps mit Ei und Spinat auf schwarzem Perlreis mit marinierten Knoblauchstengeln, gewürzt u.a. mit Gochujang und Spicy Chili Crisp]] Am Anfang wird das Geschmacksprofil zwangsläufig unvollständig und unscharf sein — das ist normal und kein Mangel. Die KI braucht vom Benutzer, um nützlich zu sein, keine perfekte Selbstbeschreibung. Sie braucht nur einen Ausgangspunkt, an dem sie ihre Arbeit beginnen kann. Die wenigsten Menschen haben Übung darin, in Worten exakt auszudrücken, warum sie bestimmte Zutaten, bestimmte Zubereitungsweisen und bestimmte Gerichte mögen oder nicht mögen. Aber auch wenn die KI das Geschmacksprofil eines Benutzers am Anfang noch nicht kennt, hat sie mehrere Mittel, um es zu erforschen: ; Rezeptauswahl als Signal: Jedes Mal, wenn der Benutzer aus mehreren Vorschlägen einen auswählt und die anderen verwirft, teilt er der KI etwas über seine Präferenzen mit — auch wenn er das nicht explizit formuliert. ; Rezept-Modifikation als Signal: Wenn die KI ein Rezept vorschlägt, wird der Nutzer manchmal eingreifen: „geht das auch ohne Knoblauch?", „lieber Zitrone als Essig", „nein, keine Sahne – lieber Kokosmilch". Auch damit verrät er der KI oft mehr über seinen Geschmack, als ihm bewusst ist. ; Post-cook-Review: Wenn ein Gericht besonders gut war, oder im Gegenteil nicht gefallen hat, sollte die KI das unbedingt erfahren. „Zu säuerlich für meinen Geschmack, die Textur war perfekt, die Kombination Koriander und Limette würde ich gerne öfter sehen” ist eine außerordentlich informationsreiche Aussage, die das Profil unmittelbar verfeinert. Im Laufe von Wochen und Monaten entsteht so ein '''kollaboratives Geschmacks-Profiling''': die KI nähert sich den tatsächlichen Präferenzen des Benutzers iterativ an, oft weitaus präziser, als es dem Benutzer selbst möglich wäre, sie von vornherein zu beschreiben. In '''Mehrpersonenhaushalten''' fällt das Urteil häufig nicht einhellig aus. Damit die KI gezielt nach Kompromissen forschen kann, sollte sie möglichst genaue Information darüber erhalten, wer was gemocht oder nicht gemocht hat: z.B. „Die Schärfe durch das Gochujang war für mich ideal, führte aber bei M. zum sofortigen Abbruch; R. schlägt vor, die Schärfe künftig über ein separates Topping zu lösen.“ ==== Beschleunigtes Geschmacksprofiling ==== [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 02.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Pacific Rim Surf & Turf Bowl, mit fein geschnittenem Steak, Jacobsmuscheln, Jicama, Anaheim-Chili, Edamame, Koriander und Avocado]] Wer ungeduldig ist und das Geschmacksprofiling nicht einfach seinem natürlichen Verlauf überlassen will, kann den Prozess durch verschiedene Maßnahmen beschleunigen: * Die '''Auswahl begründen''': Die KI bietet zu Beginn jeder Kochsitzung typischerweise drei Rezeptvorschläge zur Auswahl an, von denen man einen auswählt. Wer der KI seine Entscheidung nicht einfach nur mitteilt, sondern sie auch ''kommentiert'', liefert ihr damit wertvolle zusätzliche Profilinformation. * '''Lieblingsgerichte nennen''': Eine Liste von Gerichten, die man besonders gern mag — möglichst mit kurzer Beschreibung oder Rezept — ist für die KI ein außerordentlich ergiebiges Ausgangsmaterial, aus dem sie das Geschmacksprofil unmittelbar herausarbeiten kann. * Ein '''strukturiertes Assessment''' durchführen: Der Benutzer fordert die KI auf, ihm gezielte Fragen zu stellen, um sein Geschmacksprofil herauszuarbeiten. Das kann man entweder dialogisch machen oder mit Hilfe eines Fragebogens, den man den Chatbot erstellen lässt. ---- <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> <div style="font-weight:bold;line-height:2.6;">Hier ein Beispiel, wie so ein Fragebogen aussehen kann.</div> <div class="mw-collapsible-content"> <div style="color:purple;"> ''Die folgenden Fragen können helfen, eine Bestandsaufnahme der Vorlieben eines Benutzers für Geschmacksrichtungen, Aromen und Texturen vorzunehmen. Ob jemand Fenchel mag oder verabscheut, ob er Saures angenehm oder unangenehm findet und ob er Krosses oder Cremiges bevorzugt, ist etwas, das nur einem selbst gehört und das niemals Gegenstand eines Werturteils sein kann. In Geschmacksfragen gibt es kein Richtig und kein Falsch. Auch in einem Assessment des Geschmacksprofils gibt es darum keine richtigen oder falschen Antworten.'' ''Wer möchte, kann diesen Fragebogen gern mit Paste&Copy in eine Textverarbeitung übertragen, ausfüllen und dann – mit der Bitte um Auswertung – einem Chatbot seines Vertrauens übergeben.'' 1. Erinnere dich an die schlimmsten Gerichte deiner Kindheit (Oma, Schulkantine, Ferienlager). Was wurde dir zugemutet? Beschreibe nicht nur, was es war, sondern auch: War es das schleimige Mundgefühl? Die bittere Note? Die Zähigkeit? Die völlige Abwesenheit von Textur? Lass deiner Wut beim Schreiben freien Lauf. 2. Wenn du einen Bissen von einem Gericht in den Mund nimmst, was suchst du physiologisch? :[ ] Den harten, fast anstrengenden Widerstand (wie bei einer krustigen Brotrinde oder Nüssen). :[ ] Das zarte, schmelzende Gefühl (wie bei einer Mousse oder weichem Risotto). :[ ] Den "Snap" (wie bei einer knackigen Garnele oder einer frischen Paprika). : Was mir dazu auch noch einfällt: 3. Stell dir eine Textur vor, die glatt, weich und fast flüssig ist (z.B. eine pochierte Auster, eine weiche Okra-Schote oder ein sehr weicher Tofu). Was empfindest du: :[ ] Faszinierend, dieses schmelzende, glitschige Gefühl ist ein Highlight. :[ ] Absolutes No-Go; mein Essen braucht Struktur und darf nicht „ausweichen“. : Was mir dazu auch noch einfällt: 4. Du landest schiffbrüchig auf einer einsamen Insel. Vom sinkenden Schiff konntest du nur eine aromatische Komponente mitnehmen. Salz ist kein Thema, das gewinnen wir aus dem Meer. Was rettet deine Lebensfreude? :[ ] Die pure Hitze (Chili, scharfer Pfeffer). :[ ] Die ätherische Tiefe (Knoblauch, Zwiebelgewächse). :[ ] Die krautige Frische (Koriander, Minze, Basilikum). :[ ] Die erdige Wärme (Kreuzkümmel, Kurkuma, Zimt). : Was mir dazu auch noch einfällt: 5. Eine Zitrone wird direkt vor dir aufgeschnitten. Was passiert in deinem Kopf? :[ ] „Erfrischend, direkt ein bisschen Saft übers Essen für den nötigen Zing!“ :[ ] „Oh Gott, mir zieht’s alles zusammen, unvorstellbar, das in den Mund zu nehmen!“ : Was mir dazu auch noch einfällt: 6. Manche Menschen lieben dunkle Aromen, die durch lange Reifung oder Konzentration entstehen – man nennt das „Umami“. Denke an den intensiven Kern eines alten Parmesans, die dunkle Würze einer über Stunden eingekochten Fleischsauce (Demi-Glace), die Aromatik von Sardellen oder die Tiefe von Sojasauce und Miso. :[ ] Je intensiver und „dunkler“, desto besser. Das ist die wahre Tiefe. :[ ] Ich mag es lieber sauber, frisch und eindeutig erkennbar. : Was mir dazu auch noch einfällt: 7. Wie muss dein Teller am Ende aussehen? :[ ] Die Sauce ist ein dezenter Begleiter, der die Hauptdarsteller nur glänzen lässt. :[ ] Ich brauche eine „Suppen-Ästhetik“; die Beilagen müssen in Sauce baden. : Was mir dazu auch noch einfällt: 8. Wie darf Fett in deinem Essen vorkommen? :[ ] Sichtbar und pur (die dicke Ölschicht auf dem Pesto, das Stück Butter auf der Backkartoffel, der Fettrand am Fleisch). :[ ] Nur emulgiert und versteckt (in einer cremigen Sauce oder im Teig). : Was mir dazu auch noch einfällt: 9. Dein Essen ist knallgrün vor lauter frisch gehackten Kräutern. Dein Impuls? :[ ] „Großartig, das bringt Komplexität und Frische!“ :[ ] „Hilfe, das schmeckt bestimmt wie Rasenschnitt!“ : Was mir dazu auch noch einfällt: 10. Im Kino wandert deine Hand blind in eine Schüssel. Was hoffst du zu finden? :[ ] Etwas, das laut kracht und salzig ist (Chips, geröstete Kerne). :[ ] Etwas Klebrig-Süßes, das den Kiefer beschäftigt (Karamell, Trockenfrüchte). :[ ] Etwas Prickelnd-Saures (saure Fruchtgummis, eingelegtes Gemüse). : Was mir dazu auch noch einfällt: 11. Du nimmst einen Löffel Nutella oder Honig pur aus einem Glas. :[ ] Ich genieße die pure Befriedigung und könnte noch einen zweiten Löffel nehmen. :[ ] Ich brauche danach sofort einen starken Espresso oder ein Glas Wasser zum Neutralisieren. : Was mir dazu auch noch einfällt: 12. Vergiss Wasser – was ist dein bevorzugter „Gegenspieler“ zu einem komplexen Gericht? :[ ] Etwas mit viel Kohlensäure und Süße (Limo, Cola). :[ ] Flüssiges Obst (Apfelsaft, Karottensaft, Pfirsichnektar) :[ ] Etwas Herbes/Bitteres (Bier, Tonic Water, schwarzer Tee/Kaffee). :[ ] Etwas Säurebetontes (Wein, Schorle, Kombucha). : Was mir dazu auch noch einfällt: 13. Welches Lebensmittel oder welche Kombination hat dich in deinem Leben am meisten positiv überrascht? (Z.B. Algen, Sashimi, Chili mit Schokolade, Wassermelone mit Feta). 14. Gibt es Lebensmittel, die zwar technisch „gut“ zubereitet sind, bei denen du aber einfach körperlich streikst? 15. Was ich über meine Geschmackspräferenzen sonst noch mitteilen möchte, das ich in diesem Fragebogen bisher noch nicht habe unterbringen können. </div> </div></div> ---- In '''Mehrpersonenhaushalten''' empfiehlt es sich, das Assessment für jeden getrennt durchzuführen — denn auch wenn gemeinsam gekocht wird, sind die Geschmacksprofile der Beteiligten selten identisch. Sie können leicht abweichen oder erheblich. Eine KI, die über diese Unterschiede im Bilde ist, kann bei der Rezeptauswahl helfen, sie zu überbrücken — und schlägt Gerichte vor, die verschiedene Präferenzen unter einen Hut bringen, statt routinemäßig nur einem Profil zu folgen. ==== Wozu? Ich weiß über meinen Geschmack doch jetzt schon mehr, als mir lieb ist. ==== [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 11.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Geröstetes Schweinefilet mit Shiitake und einer Tamarinden-Ingwer-Reduktion auf Spinat-Sorghum, gewürzt u.a. mit Knoblauch und Noilly Prat]] ; Frage an die KI: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Es kostet mich Überwindung, aber hier einmal die reine Wahrheit: Mein größtes Glück ist es, mir am Abend eine Tiefkühlpizza zu backen, Dr. Oetker, die mit Salami. Weil die Coke Zero, die ich dazu trinke, mein Verlangen nach Süßem nicht stillt, brauche ich hinterher noch Schokolade. Meist schaffe ich es, nach 50 g aufzuhören. Sag mal ehrlich: mein Geschmack ist doch total versaut. Warum sollte ich mich noch der Demütigung eines Assessments unterziehen?</span> ; Antwort der KI: <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Ganz ehrlich: Dein Geschmack ist nicht „versaut“, er ist einfach nur perfekt auf die industrielle Logik optimiert. Salami-Pizza, Coke Zero und Schokolade bedienen die drei mächtigsten Hebel unseres Gehirns: Fett, Salz und den Bliss-Point (Süße). Dass du nach 50 g Schokolade aufhören kannst, zeigt sogar eine ziemlich beeindruckende Selbstbeherrschung.</span> : <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Warum also das Assessment?</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Vom Passagier zum Piloten: Momentan steuert die Lebensmittelindustrie deine Gelüste über Kontrollknöpfe, die wir alle haben. Das Assessment ist kein Verhör, sondern eine Inventur dieser Knöpfe, damit du sie bedienen kannst – mit echtem Essen, das die gleichen Glücksgefühle auslöst, aber ohne das „Nachher-Tief“.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Präzision statt Verzicht: Wir suchen nicht nach dem Salatblatt, das dich unglücklich macht. Wir suchen nach der Kombination aus Umami, Crunch und Säure, die deine Pizza-Lust auf ein Level hebt, gegen das die Tiefkühlware wie Pappe schmeckt.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Keine Demütigung, sondern Daten. Für mich als KI ist deine Vorliebe für Salami-Pizza eine wertvolle Information, die mir hilft, dein Geschmacksprofil genauer zu sehen: Salami und Käse liefern dir intensive Fermentationsaromen (Umami), die Pizza den Crunch, und die Schokolade den nötigen Dopamin-Abschluss. Dasselbe können wir aber auch mit anderen Mitteln erreichen, und sogar noch besser.</span> : <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Assessment ist kein Urteil, sondern die Blaupause, um dein „größtes Glück“ zu dekodieren. Statt Industrieware schlage ich dir Upgrades vor: Sauerteig-Fladenbrot, Finocchiona und Pecorino triggern dieselben Belohnungszentren wie Salami-Pizza, nur mit weitaus höherer Reizintensität. Was ich dir vorzuschlagen habe, ist nicht etwa fade Gesundheitsrohkost, sondern die ultimative, handwerkliche Version von dem, was dir tatsächlich am besten schmeckt.</span> == 4. Ablauf der Koch-Sitzung == Der Rezept-Workflow ist die eigentliche Interaktion — der Moment, in dem aus Profil und Sitzungsparametern ein konkretes Gericht wird. Er folgt einer klaren Abfolge von Schritten, die sich nach wenigen Sitzungen als Routine einspielt: {| class="wikitable" ! Benutzer-Input oder -Aktion !! KI-Output |- | Optional: Übergabe des Küchenprofils || Empfangsbestätigung |- | Konkreter Arbeitsauftrag, mit Sitzungsparametern<br/>z.B. <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Schlag mir 3 Rezepte für Spaghetti mit Tomatensauce vor, für 3 Personen. Ich habe noch frisches Basilikum im Kühlschrank.</span> || Ausgabe von Rezeptvorschlägen |- | Auswahl eines der Vorschläge<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gib mir das Rezept für Nr. 1, die „mediterrane Umami-Bombe (Puttanesca-Stil)“. Können wir die Sardellen weglassen?</span> || Ausgabe des Rezepts |- | Rezept vor dem Kochen einmal kritisch lesen<br/>Gegebenenfalls Anforderung von Änderungen oder Korrekturen<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Was für Öl? Und kann es sein, dass du die Gewürze vergessen hast?</span></span> || Gegebenenfalls: Ausgabe des revidierten Rezepts |- | Optional: Rückfrage ''während'' des Kochens<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe gerade festgestellt, dass mein Basilikum ziemlich welk ist; wie kann ich es ersetzen?</span> || Frage wird beantwortet.<br/><span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Wenn nur die Optik das Problem ist, koch es in der Sauce 5 Minuten lang mit und nimm es dann heraus.</span> |- | Optional: Post-cook-Review<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Der Geschmack war okay, aber mir hat das leuchtende Grün auf dem Teller gefehlt; die Extraktion ist eine gute Notlösung, ersetzt für mich aber nicht das visuelle Erlebnis von frischem Basilikum.</span>|| |} === Erster Schritt: Übergabe des Küchenprofils === Es ist möglich, ohne Übergabe eines [[#Das Küchenprofil|Küchenprotokolls]] zu arbeiten. Die KI verhält sich dann aber tendenziell wie ein gewöhnliches Kochbuch und mutet dem Benutzer zum Beispiel zu, dass er Zutaten erst noch kaufen muss. === Zweiter Schritt: Arbeitsauftrag === [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 05.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Mediterranean Chicken & Sweet Potato Roast, mit zart-krossem Pistazien-Duqqa und einer Joghurt-Sauce]] Der Arbeitsauftrag ist der erste Input für die KI, ohne den überhaupt nichts geht. Hier einige Beispiele: : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Habe frischen schwarzen Kabeljau. 4 Portionen, einer meiner Gäste isst nur ganz Klassisches. Einkauf in einem sehr gut sortierten großen Supermarkt ist eingeplant. Mittlere Komplexität. 4 Vorschläge.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">3 Vorschläge für ein mediterranes 3-Gänge-Menü. Habe frische Langusten vom Markt. Zubereitung darf technisch anspruchsvoll sein und beliebig viel Zeit beanspruchen. Reste willkommen, wenn sinnvoll verwertbar. Zielzeit: 20:00 Uhr.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">4 Vorschläge für 6 Personen (100 %). Muss einfach zuzubereiten sein und darf maximal 40 Minuten dauern. Vor andere Zutaten verbrauchen: 1 kg Kartoffeln, außerdem 8 Eier, die unbedingt heute weg sollen. Gezieltes Meal-prep für morgen. Kein Einkauf möglich.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich brauche 2 Vorschläge für ein indisches Abendessen für 3 Personen (Portionsgröße 120 %). Ankerzutat: Panir-Käse. Komplexität: Mittel. Zielzeit: 19:15 Uhr. Zeig mir etwas, das ich noch nicht kenne. Bitte genaue Timings für alle Schritte.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gib mir ein komplettes Rezept. Cuisine: Südostasiatisch. Ich habe eine rote Paprika und 100 ml Kokosmilch, beides muss weg. Einkaufen im Discounter möglich, darf aber höchstens 15 Euro kosten. Keine Reste erwünscht. Überrasch mich mit einer Technik, die ich noch nicht kenne. Fast hätte ich es vergessen: meine Frau kommt heute erst spät von der Arbeit, wir essen getrennt; schlag mir etwas vor, das sie gut aufwärmen kann.</span> {{Anker|Sitzungsparameter}}Außer der Bezeichnung des gewünschten Gerichts können im Arbeitsauftrag auch '''Parameter''' übergeben werden, z.B. die Zahl der gewünschten Portionen. Parameter, die praktisch unveränderlich sind (weil z.B. in einem Zwei-Personen-Haushalt fast immer zwei Portionen gebraucht werden), kann man – statt sie im Arbeitsauftrag jedesmal neu anzugeben – ins Küchenprofil schreiben, und erwähnt sie im Arbeitsauftrag nur dann, wenn der Wert einmal abweicht (z.B. die Zahl der Portionen, wenn Gäste kommen). Hier eine Übersicht über naheliegene und mögliche Sitzungsparameter: [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 07.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: „Slow-Roasted“ Pork & Kimchi-Stew (Jjigae-Style), mit Schweinehack, Kimchi, Süßkartoffel, Bok Choy, Würzbasis: weißes Miso und Gochujang; dazu brauner Basmati]] ; Zahl der Vorschläge: Die KI ist in der Lage, auf den Arbeitsauftrag direkt mit einem detaillierten Rezeptvorschlag zu antworten. Aus verschiedenen Gründen ist es jedoch zweckmäßiger, erst eine Anzahl von Vorschlägen abzurufen. In der Praxis bewährt haben sich '''drei oder vier Vorschläge''' (weniger erlauben nicht wirklich eine Wahl; mehr verleitet dazu, keinen zu wählen — ein aus der Entscheidungsforschung bekanntes Phänomen, das als ''Paradox der Wahl'' bezeichnet wird). Falls keiner von diesen gefallen sollte, lässt man einfach 3 oder 4 weitere ausgeben. ; Temporäres Vorratsupdate: Was ist heute vorhanden, das nicht zum Dauerbestand gehört? Frisches Gemüse, Obst, Kräuter aus dem Garten, ein Stück Fisch vom Markt, eine saisonale Spezialität — alles, was nur zeitweise verfügbar ist und in den Rezeptvorschlägen berücksichtigt werden soll. ; Use-first-Queue: Welche Zutaten müssen heute oder in den nächsten ein bis zwei Tagen verbraucht werden? ; Ankerzutaten: Welche Zutaten sollen auf jeden Fall im Rezept vorkommen — nicht weil sie dringend verbraucht werden müssen, sondern weil der Benutzer gezielt etwas damit kochen möchte? Das kann eine Zutat sein, die interessant aussah und spontan gekauft wurde oder auf die der Benutzer heute einfach Lust hat. ; Personenzahl und Portionsgröße: Für wie viele Personen wird gekocht, und in welcher Portionsgröße? Wer häufig mit der KI kocht, wird bald herausfinden, ob die Portionen z.B. 70 oder 90 oder 100 oder 120 % der standardmäßigen Portionsgröße betragen sollen. ; Novitäts-Präferenz: Sind Kreativität und Überraschungen erwünscht, oder soll die KI lieber etwas Vertrautes vorschlagen? ; Komplexitätslevel: Soll das Gericht einfach zuzubereiten sein oder darf es technisch anspruchsvoll sein? ; Zeitaufwand: Wie viel Zeit ist heute für die Essenszubereitung maximal verfügbar? ; Zielzeit der Mahlzeit: Wenn die Mahlzeit zu einem bestimmten Zeitpunkt auf den Tisch kommen soll, ist die KI in der Lage, für jeden Zubereitungsschritt die optimale Startzeit zu berechnen und als Zeitstempel ins Rezept aufzunehmen. ; Einkaufsbereitschaft: Soll die KI ausschließlich mit dem arbeiten, was vorhanden ist, oder ist der Benutzer bereit, noch Zutaten einzukaufen? Wo kann er einkaufen? Und was darf es kosten? ; Reste-Toleranz: Reste können sowohl vom zubereiteten Gericht als auch von Zutaten anfallen. Sind sie zu vermeiden oder erwünscht? Soll die KI, falls Reste erwünscht sind, Vorschläge machen, was damit anzufangen ist? Falls geplant ist, Reste schonend aufzubewahren oder einzufrieren: soll die KI Anleitung geben, wie dies am besten gemacht wird? Wenn Sitzungsparameter für einen Benutzer praktisch immer dieselben sind (z.B. Personenzahl und Portionsgröße, Zielzeit der Mahlzeit), kann man sie als Grundeinstellungen ins Küchenprofil aufnehmen, und erwähnt sie im Arbeitsauftrag nur dann, wenn sie von der Grundeinstellung abweichen sollten. === Dritter Schritt: Vorschlagsrunde und Rezeptauswahl === ; Benutzerinput: <div style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Mach mir drei Vorschläge für Spaghetti-Gerichte, die ich in Deutschland im Restaurant wahrscheinlich nie bekommen würde.</div> ; KI-Output:<div style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">1. Spaghetti con la Mollica (Kalabrien / Basilikata)</div> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Ein Paradebeispiel der Cucina Povera. Da Käse früher für viele zu teuer war, wurde altbackenes Brot als Geschmacks- und Texturgeber genutzt.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Die Basis ist eine Emulsion aus hochwertigem Olivenöl, Anchovies, Knoblauch und Peperoncino. Das entscheidende Element ist die Mollica – in Öl goldbraun und knusprig ausgebackene Brotbrösel, die erst ganz am Ende über die Pasta gegeben werden.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Starkes Umami durch die Sardellen, komplexer texturaler Kontrast zwischen weicher Pasta und krossem Brot.</span> ---- :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">2. Spaghetti al Nero di Seppia (Sizilien / Venedig)</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Dieses Gericht nutzt die Tinte des Tintenfisches nicht nur als Farbstoff, sondern als primäres Gewürz.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Die Sauce wird aus frischem Tintenfisch, Weißwein, Knoblauch und der tiefschwarzen Tinte hergestellt. Entgegen der Erwartung schmeckt die Tinte nicht "fischig", sondern hat ein tiefes, erdiges und leicht metallisches Aroma.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Tiefes, dunkles Umami mit einer seidigen Textur und einer visuell radikalen Ästhetik.</span> ---- :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">3. Spaghetti Cacio e Pepe (Lazio / Rom)</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Obwohl es simpel klingt (Käse und Pfeffer), ist es in seiner römischen Urform eine technische Herausforderung, die keinen Fehler verzeiht.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Es wird ausschließlich Pecorino Romano und frisch gerösteter, grob gemörserter schwarzer Pfeffer verwendet. Die Kunst besteht darin, durch die exakte Temperatur des Pastawassers eine Emulsion zu schaffen, bevor der Käse klumpt oder Fäden zieht.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Starke Schärfe durch die ätherischen Öle des gerösteten Pfeffers, kombiniert mit der salzigen Dominanz des Schafskäses.</span> Falls keiner der Vorschläge überzeugt, geht es in eine nächste Runde. Der Benutzer kann dabei kommentierend oder steuernd eingreifen. Beispiel: :<span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nr. 3 klingt gut, aber ich trau mir das mit der Emulsion nicht ganz zu. Und eigentlich hätte ich heute auch lieber etwas mit Tomaten. Gib mir noch drei.</span> === Vierter Schritt: Empfang das vollständigen Rezepts === Wenn der Benutzer seine Entscheidung gefällt und der KI mitgeteilt hat… :<span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">„Spaghetti mit Tomaten-Konfitüre & geräuchertem Chili“ klingt spannend. Gib mir das Rezept, mit allen Zusatzinformationen, die ich in meinem Küchenprofil festgelegt habe. Außerdem brauche Zeitstempel. Zielzeit fürs Servieren ist 19 Uhr.</span> …gibt diese das komplette Rezept aus. Beispiel: :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">'''Spaghetti mit Tomaten-Konfitüre & geräuchertem Chili'''</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Für 3 Personen | 100 % Portionsgröße | Zielzeit: 19:00 Uhr</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Dieses Gericht funktioniert für dich deshalb, weil es deine Vorliebe für extreme Umami-Konzentration und deutliche Säurespitzen aufgreift, während die cremige Burrata die für dich obligatorische feuchte Komponente liefert und einen spannungsreichen texturalen Kontrast zur dichten, würzigen Konfitüre bildet.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Die Zutaten</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Basis: 750 g hochwertige Dosentomaten (San Marzano), 3 EL Tomatenmark.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Würze: 2 getrocknete Chipotle-Chilis (oder 1 EL Chipotle in Adobo), 3 Knoblauchzehen, Meersalz, 1 EL Zucker.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Pasta: 375 g Vollkorn-Spaghetti (z. B. Kamut oder Farro).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Finish: 2 Kugeln Burrata (Kuhmilch), frisches Basilikum, 3 EL hochwertiges Olivenöl.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Der Zeitplan</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">16:50 Uhr: Vorbereitung. Knoblauch fein hacken, Chipotles mörsern.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">17:00 Uhr: Start Konfitüre. Tomaten, Tomatenmark, Knoblauch, Chili und Süße in einem weiten Topf bei kleiner Hitze ansetzen.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:40 Uhr: Pastawasser aufsetzen (stark gesalzen). Konfitüre final abschmecken (Säure/Salz-Balance).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:48 Uhr: Spaghetti ins Wasser geben (Garzeit ca. 10–12 Min. für Vollkorn, Packungsanleitung beachten).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:57 Uhr: Pasta direkt aus dem Wasser in den Topf mit der Konfitüre heben. Ein Schluck Pastawasser dazu, kräftig durchschwenken, bis jede Nudel glänzt.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">19:00 Uhr: Anrichten. Burrata erst auf dem Teller mittig aufreißen und über die heiße Pasta geben. 2/3 Kugel pro Portion ist genug. Mit Olivenöl und Basilikum abschließen.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Toppings & Pairing</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Toppings: Für den texturalen Kontrast (Crunch) empfehlen sich geröstete Pinienkerne oder knusprig ausgebratene Bacon-Splitter.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Begleitsalat: Ein herber Arugula-Salat (Rucola) mit gehobeltem Fenchel. Das Dressing sollte eine starke Zitronennote haben, um die Schwere der Konfitüre zu brechen.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Getränk: Ein kräftiger, leicht gekühlter Primitivo oder Negroamaro. Die Fruchtigkeit des Weins harmoniert mit der Tomatensüße, während die Tannine gegen die Schärfe bestehen. Alkoholfrei: Ein herbes Tonic Water mit Rosmarinzweig.</span> Bevor der erste Handgriff getan wird, empfiehlt es sich dringend, '''das Rezept einmal vollständig zu lesen'''. Das dient zwei Zwecken: Erstens verschafft es einen Überblick über den Ablauf und verhindert, dass man mitten im Kochen überrascht wird — etwa von einer Ruhezeit, die das Rezept erfordert, oder von einem Schritt, der besondere Vorbereitung verlangt. Zweitens ist es der Moment, in dem mögliche Unstimmigkeiten auffallen: eine Zutat in der Liste, die in der Anleitung nicht mehr vorkommt, oder umgekehrt. Auf die Fallstricke des KI-generierten Rezepts geht Kapitel 7 ausführlicher ein. === Fünfter Schritt: Kochen — mit offenem Chatfenster === Das Chatfenster bleibt während des Kochens geöffnet. Dies ist einer der stillen, aber entscheidenden Vorteile der Methode gegenüber jedem Kochbuch und jeder Rezeptplattform: Die KI antwortet, wenn man sie mitten im Kochprozess fragt. Typische Situationen, in denen das unmittelbar nützlich ist: *Eine Zutat fehlt doch: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe keinen Tahini — womit kann ich ihn ersetzen, und ändert das etwas an den Mengenverhältnissen?</span> Die KI nennt einen oder mehrere Ersätze und passt die Angaben entsprechend an. *Eine Angabe ist unklar: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Was genau meinst du mit ‚auf mittlerer Hitze reduzieren' — soll die Sauce wirklich 20 Minuten köcheln oder reichen 10?</span> Die KI präzisiert und gibt wenn nötig visuelle oder sensorische Erkennungsmerkmale an — wie die Sauce aussehen, riechen oder sich verhalten soll, wenn der Schritt abgeschlossen ist. *Ein Schritt erscheint verdächtig: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Das Rezept sagt, das Hähnchenfilet ist nach 12 Minuten gar — das kommt mir zu kurz vor für die Größe, die ich hier habe.</span> Die KI erklärt ihre Annahme, korrigiert sie falls nötig und gibt eine angepasste Empfehlung. Dieser Typ von Echtzeit-Rückfrage ist zugleich die wichtigste Prophylaxe gegen Kalibrationsfehler, die Kapitel 7 als häufigste Fehlerklasse benennt. *Eine spontane Ergänzung bietet sich an: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe gerade noch frischen Estragon entdeckt — passt der zu diesem Gericht, und wenn ja, wann und wie gebe ich ihn dazu?</span> Die KI bewertet die Idee und integriert sie in den laufenden Kochprozess. Das Chatfenster offen zu halten bedeutet nicht, dass man es ständig konsultieren muss — in der großen Mehrheit der Sitzungen verläuft das Kochen ohne Rückfragen. Aber die Möglichkeit, jederzeit nachzufragen, verändert die Grundhaltung beim Kochen: Man folgt dem Rezept nicht mehr blind, sondern im Dialog. === Sechster Schritt: Der Post-cook-Review === Nach dem Essen lohnt sich eine kurze Rückmeldung an die KI — ein bis zwei Sätze, nicht mehr. Was war gut? Was hätte besser sein können? Welche Zutat oder Technik war eine Entdeckung, welche eine Enttäuschung? Diese Rückmeldung ist der wichtigste Einzelbeitrag zum Aufbau des Geschmacksprofils. Eine KI, die nach zwanzig Sitzungen mit Post-cook-Reviews arbeitet, kennt die Präferenzen des Benutzers präziser als die meisten Menschen, die regelmäßig gemeinsam mit ihm essen. Der Review muss nicht formal sein. Ein beiläufiger Kommentar — <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">die Sauce war zu dünn, aber die Kombination Zimt und Lamm war eine Offenbarung, die mache ich wieder</span> — ist vollständig ausreichend und außerordentlich informationsreich. == 5. Spezielle Modi des KI-gestützten Kochens == [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 03.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Tahini-Lemon-Bowl, mit gebackenen Kichererbsen und in Pfeilwurz paniertem, gebratenem Feta]] === Variationsmodus: Altbekanntes einmal ganz anders zubereiten === Der Variationsmodus dient dazu, bestehende Rezepte – egal ob aus dem Internet, einem Kochbuch oder aus der Familientradition – mithilfe der KI an neue Rahmenbedingungen anzupassen. Anstatt das Rad neu zu erfinden, nutzt die KI das Original als strukturelle Vorlage und modifiziert Zutaten, Techniken oder Nährwerte, um das Gericht für spezifische Gäste, knappe Zeitbudgets oder persönliche Gesundheitsziele zu optimieren, ohne den Kern des Rezepts zu verlieren. Beispiele (das Originalrezept wird der KI hier jeweils als separate Datei übergeben): * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Optimiere dieses klassische französische Schmorgericht für mein persönliches Profil: Erhöhe die Säure, verstärke die Kräuternote und sorge für mehr Crunch.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wandle dieses Gulasch-Rezept in eine vegetarische Version um, die die tiefe Umami-Struktur und die fleischähnliche Textur beibehält.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Passe dieses Rezept für meinen Gast an, der eine schwere Nussallergie hat und keinen Knoblauch verträgt, ohne dass das Gericht flach schmeckt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe nur 20 Minuten Zeit; wandle dieses 2-Stunden-Rezept in eine Express-Variante um, die geschmacklich so nah wie möglich am Original bleibt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gestalte dieses Rezept „kindersicher“: Entferne den Alkohol, mildere die Schärfe und verstecke das Gemüse so, dass die Textur homogen bleibt. Es soll dabei aber auch für Erwachsene attraktiv bleiben.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Mache aus diesem einfachen Alltagsgericht eine luxuriöse Festtagsversion unter Verwendung von Premium-Zutaten und einer anspruchsvolleren Anrichteweise.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Übersetze dieses Pfannengericht für die Zubereitung im Backofen (Convection Roast), da ich heute für zehn Personen gleichzeitig kochen muss.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Dekonstruiere dieses klassische Gericht in eine moderne Fingerfood-Variante, die man ohne Besteck auf einer Party essen kann.</span> === Optimierungsmodus: Reste und Convenience veredeln === [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 06.jpg|thumb|Gestrecktes und optimiertes fleischlastiges chinesisches Restaurantessen: ergänzt wurden u.a. schwarzer Reis, ein TK-Gemüsemix und Römersalat (Flüssigkeiten: Liquid Amino, Noilly Prat; Reisessig)]] Nicht jedes Essen beginnt mit frischen Rohzutaten; oft ist die Aufgabe in der Küche die Rettung von Resten, die Aufwertung von Fertiggerichten oder das „Strecken“ einer zu kleinen Portion Take-out. Die KI fungiert hier als kulinarischer Problemlöser, der bestehende Geschmacksprofile erkennt und durch gezielte Ergänzungen in neue, vollwertige Mahlzeiten verwandelt. Besonders beim Aufwärmen oder bei Tiefkühlkost leidet oft die Konsistenz. Die KI kann hier helfen, durch komplementäre Techniken – wie das Hinzufügen von frischen Texturen oder das nachträgliche Herbeiführen von Röstnoten – die typischen Schwächen von aufgewärmtem Essen (Matschigkeit, Eindimensionalität) gezielt auszugleichen. Prompts für das kulinarische Upcycling: * Portionserweiterung & Textur-Rettung: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe hier eine halbe Portion übrig gebliebenes Thai-Curry mit Gemüse, das durch das Aufwärmen leider sehr weich und matschig geworden ist. Schlage mir vor, mit welchen trockenen Basiszutaten (z. B. Getreide oder Hülsenfrüchte) ich die Menge verdoppeln kann und wie ich durch ein schnelles Topping aus gerösteten Komponenten wieder massiven Crunch und Frische in das Gericht bringe.</span> * Convenience-Tuning: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Als Basis für ein schnelles Essen möchte ich eine Dose klassische Linsensuppe verwenden. Schlage mir drei gezielte Eingriffe vor, um das Aroma Richtung Levantine zu verschieben, und nenne mir eine Technik, wie ich die weichgekochte Textur der Dosenlinsen durch eine knusprige Einlage oder ein kontrastierendes Finishing (z. B. in Butter gebratene Croutons mit spezifischen Gewürzen) kompensieren kann.</span> * Resteverwertung mit Profil-Check: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Vom Vortag ist eine Portion gebratener Reis übrig geblieben. Das Gericht ist mir zu trocken und geschmacklich etwas flach. Erstelle eine Anleitung, wie ich daraus ein 'Moist-Dish' mache, indem du eine passende, schnell zubereitete Sauce hinzufügst, und gib mir eine Empfehlung für eine saure oder bittere Komponente, die das schwere Umami aufbricht.</span> === Kochen im Team === Beim Team-Kochen fungiert die KI als virtueller Küchenchef und Koordinator. Sie verteilt Aufgaben basierend auf den individuellen Fähigkeiten der Teammitglieder, berücksichtigt die Ergonomie des verfügbaren Raums und synchronisiert die Arbeitsabläufe durch präzise Zeitstempel. Ob als digitaler Aushang für alle oder als personalisierter Instruktions-Feed auf dem eigenen Smartphone – die KI sorgt dafür, dass aus dem potenziellen Chaos einer Gruppensitzung ein harmonischer, paralleler Workflow wird. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir wollen ein Rinderfilet Wellington mit einer komplexen Rotwein-Reduktion kochen. Wir sind zu viert: Zwei von uns sind sehr erfahren, zwei sind Anfänger. Verteile die Aufgaben so, dass die Profis das Fleisch parieren und die Sauce montieren, während die Anfänger die Duxelles vorbereiten und den Teig verzieren.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane die Zubereitung von selbstgemachten Teigtaschen (Gyoza) für drei Personen. Da unsere Küche sehr schmal ist, teile die Arbeit auf: Eine Person bereitet die Füllung am Esstisch vor, eine rollt den Teig aus und nur die dritte Person steht am Herd, um die Taschen portionsweise zu braten.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir bereiten selbstgemachte Pizza zu, inklusive Teig und Sauce. Wir sind zwei Erwachsene und zwei Kinder (6 und 9 Jahre). Gib den Kindern spezifische Aufgaben wie das Zerzupfen des Mozzarellas und das kreative Belegen, während die Erwachsenen den heißen Ofen und das Schneiden übernehmen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen ein klassisches Risotto mit geschmortem Saisongemüse. Eine Person im Team ist älter und möchte im Sitzen mithelfen. Weise ihr Aufgaben wie das Schälen des Gemüses und das Zupfen der Kräuter zu, während die anderen den Rührvorgang am Herd übernehmen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir bereiten ein Drei-Gänge-Menü (Jakobsmuscheln, Lammrücken, Schokosoufflé) vor. Erstelle für uns drei einen synchronisierten Zeitplan mit Zeitstempeln, damit die Vorspeise um 19:30 Uhr und der Hauptgang um 20:15 Uhr serviert werden kann. Wer muss wann was vorbereiten?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen authentisches thailändisches Green Curry. Erstelle drei separate Instruktionslisten, die wir uns auf die Handys schicken können: Posten A ist für die Currypaste und das Aroma zuständig, Posten B für das Schneiden von Fleisch und Gemüse, Posten C für den Reis und das finale Abschmecken.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen indisches Butter Chicken mit Naan-Brot. Verteile die Aufgaben auf drei Personen, aber baue für jeden von uns feste 5-Minuten-Slots für den Zwischenabwasch und das Aufräumen ein, damit nach dem Essen die Küche bereits fast sauber ist.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir planen ein herbstliches Buffet mit 5 verschiedenen Mezze. Weise uns vier klare Rollen zu (z. B. Chef de Cuisine, Saucier, Gardemanger, Patissier) und ordne die entsprechenden Rezepte und Teilschritte diesen Rollen zu, damit jeder die volle Verantwortung für seinen Bereich trägt.</span> === Strategisches Verbundkochen === Beim intelligenten Planen für mehrere Tage agiert die KI als persönlicher Logistikchef. Sie erstellt nicht nur einen strukturierten Einkaufszettel für alle geplanten Mahlzeiten, sondern taktet die Rezepte auch nach der Haltbarkeit der Zutaten: Empfindlicher Fisch oder frischer Spinat landen am Montag auf dem Teller, während robustes Wurzelgemüse oder vakuumierte Vorräte für den Freitag reserviert werden. Dabei lassen sich zwei Ansätze unterscheiden: ==== Klassisches Batch-Cooking (Die Vorrats-Session) ==== In einer einzigen, konzentrierten Kochsession werden mehrere Mahlzeiten komplett oder in großen Komponenten vorgekocht. Dies ist ideal für Menschen mit wenig Zeit unter der Woche. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane eine zweistündige Session am Sonntag für 5 Büro-Lunches, die ich in der Mikrowelle aufwärmen kann. Ich möchte zwei verschiedene Eintöpfe und eine Getreidebasis vorkochen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich möchte am Sonntag eine riesige Menge meiner levantinischen Basissauce vorkochen. Erstelle mir drei Variationen, wie ich diese Basis von Montag bis Mittwoch mit minimalem Aufwand (unter 10 Min.) völlig unterschiedlich finalisieren kann.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Am Samstag kommen meine Eltern zu Besuch. Plane meine Mahlzeiten ab Dienstag so, dass ich durch tägliches ‚Beiläufig-Vorbereiten‘ am Samstag, wenn die Gäste da sind, fast keine aktive Arbeit mehr habe.</span> ==== Synchron-Planung (Der strategische Einkauf) ==== Hier wird an den jeweiligen Tagen frisch gekocht, aber die Planung und der Einkauf erfolgen synchron. Dieser Modus nutzt Synergien bei den Zutaten und spart Zeit durch einmaliges, gezieltes Besorgen aller Waren. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane für die nächsten 5 Tage. Ich möchte nur zweimal tierisches Protein verwenden (Dienstag und Freitag). Erstelle eine Einkaufsliste, die sicherstellt, dass die frischen vegetarischen Zutaten für die ersten drei Tage nicht welken.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Erstelle einen Plan für 4 Tage: Dienstag ist bei uns fix Pastatag für die Kinder, Mittwoch esse ich allein (etwas Anspruchsvolleres), und Donnerstag muss es blitzschnell gehen. Maximiere die Überschneidungen beim Gemüse für den Einkaufskorb.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe heute einen Großeinkauf gemacht, inklusive empfindlicher Beeren und Hackfleisch. Einzelheiten lege ich in separater Datei bei. Sortiere meine ebenfalls beiliegenden Rezeptwünsche für die Woche so, dass die verderblichsten Sachen zuerst verbraucht werden, ohne dass der Speiseplan eintönig wirkt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich kaufe einen großen Kopf Rotkohl und einen Sack Kartoffeln. Plane drei Gerichte über die Woche verteilt, die diese beiden Hauptzutaten nutzen, aber jedes Mal eine völlig andere Länderküche repräsentieren.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In meinem Garten ist gerade der Mangold reif. Plane für die nächsten 3 Tage Rezepte, die jeweils eine große Portion Mangold verarbeiten, aber achte darauf, dass ich nur einmal für die ergänzenden Zutaten einkaufen gehen muss.</span> === Auf Bestellung erfunden === [[File:AI Designed Customized Cookies.jpg|thumb|Personalisierte Chocolate Chip Cookies. Der Benutzer wünschte sich trockene und sehr feste, krümelarme, mit grobem Salz bestreute Kekse mit minimierten einfachen Kohlenhydraten, seinem persönlichen Geschmacksprofil entsprechend. Die KI schlug u.a. Verwendung von Mandelmehl, Roggenvollkornmehl, Eiklar und Sucralose sowie zweifaches Backen vor. Die genannten Zutaten sind etwas, das dieser Benutzer tatsächlich ständig vorrätig hält.]] Manchmal reicht Personalisierung im üblichen Sinne nicht aus. Das Benutzerprofil ist bekannt, das Geschmacksprofil ist geschärft — und trotzdem gibt es Situationen, in denen der Benutzer etwas braucht, das so spezifisch ist, dass kein Kochbuch und keine Rezeptplattform der Welt es liefern kann. Genau hier liegt eine der stillen Stärken der Methode: Die KI erfindet auf Anfrage Originalrezepte, die auf eine einzige Person und eine einzige Situation zugeschnitten sind. Ein paar Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Rezept für warmes High-Protein-Lunch im Büro, nur mit Wasserkocher und Thermoskanne gegart. Kein Tütensuppen-Niveau.</span> '' * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Brauche ein vollwertiges, klecker- und krümelfreies Gericht, das man beim Computerspiel blind mit einer Hand essen kann. Andere Hand fixiert.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Snack gesucht. Maximaler akustischer Crunch beim Kauen, aber minimal Kalorien. Fokus auf extremen oralen Widerstand.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nahrhafter Frühstücksriegel, der beim Auspacken und Kauen absolut lautlos ist. Pendler-Modus, will die Mitreisenden nicht verärgern.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Hilfe, meine Kekse verschwinden immer in unbefugten Mündern! Denk dir ein Kleingebäck aus, das nur mein persönliches Profil perfekt trifft, aber für alle meine Mitbewohner geschmacklich abstoßend ist.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Einzelportion „Wellington“-Style für den Toaster-Ofen. Fertig in 15 Min, keine Restmengen bei Spezialzutaten.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Herzhaftes Hauptgericht mit kryogenen Zutaten zur Senkung der Körpertemperatur. Kein Salat, keine kalte Suppe.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Erfinde eine Zubereitungsart, die Gemüse in eine papierartige oder knusprige Form bringt. Keine matschigen Texturen erlaubt.</span> '''Aber aufgepasst''': Die Gefahr des Scheiterns steigt hier, da die KI oft in technologische Grenzbereiche spekuliert. Anspruchsvolle Techniken wie die molekulare Sphärisierung oder das präzise Temperieren von Schokolade erfordern nicht nur spezialisiertes Equipment, sondern auch jahrelange Übung in der Feinmotorik. Wenn die KI komplexe Emulsionen oder chemisch sensible Texturkontraste vorschlägt, überschätzt der Laie leicht seine Fähigkeiten. Solche Verfahren verzeihen keine Abweichung bei Temperatur oder pH-Wert – handwerkliche Meisterschaft lässt sich nicht durch einen Prompt ersetzen. === Explorationsmodus === Im Explorationsmodus bittet der Benutzer die KI, auf Basis des bisherigen Geschmacksprofils aktiv neue Empfehlungen auszusprechen. Statt auf konkrete Zutaten oder Hunger zu reagieren, nutzt die KI das gespeicherte Wissen über Vorlieben und Abneigungen als Koordinatensystem, um gezielt Vorschläge in das noch unbekannte kulinarische Terrain zu machen – ähnlich einem personalisierten Algorithmus für Musik, nur für die Küche. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welche Zutat, die ich noch nie verwendet habe, passt perfekt zu meiner Vorliebe für Umami und Texturkontraste?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nenne mir eine regionale Küche, die ich bisher ignoriert habe, die aber genau mein Säure-Schärfe-Empfinden trifft.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Schlage mir drei Gewürze vor, die mein aktuelles Repertoire sinnvoll ergänzen, ohne redundant zu sein.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Entwirf ein Rezept, das eine Zutat verwendet, die ich normalerweise ablehne, aber so zubereitet ist, dass sie mein Profil anspricht.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welches Getränk-Pairing (alkoholisch oder alkoholfrei) würde meine liebsten Abendessen ideal ergänzen?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welches Getreide oder Pseudogetreide fehlt mir noch für eine abwechslungsreiche Textur in meinen Bowls?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Empfiehl mir ein spezielles Küchenwerkzeug, das Techniken ermöglicht, die mein Profil radikal erweitern würden.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welche Konservierungsmethode (Einlegen, Trocknen etc.) passt am besten zu den Aromen, die ich das ganze Jahr über essen möchte?</span> === Bildungsmodus: Den eigenen Gaumen verstehen === Nach einer längeren Phase der Zusammenarbeit ist die KI in der Lage, nicht mehr nur Rezepte zu liefern, sondern ein konsistentes kulinarisches Profil für den Benutzer zu entwerfen. Dabei entstehen oft wiederkehrende Muster in der Auswahl von Gewürzen, Säureträgern oder Techniken, die tief in der Aromenlehre verwurzelt sind, vom Benutzer aber oft nur unbewusst als „stimmig“ wahrgenommen werden. Im Bildungsmodus nutzt man die KI als Mentorin, um die theoretische Architektur hinter den eigenen Vorlieben zu entschlüsseln. Indem man die KI zwingt, ihre Entscheidungen zu begründen, wandelt sich das Kochen von einer bloßen Ausführung von Schritten zu einer bewussten Schulung des eigenen Geschmacks- und Technikverständnisses. Beispielexplorationen für den Bildungsmodus: * Musteranalyse der Zutaten: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In den letzten Monaten hast du mir für fast alle Fleischgerichte eine Kombination aus Sternanis und Orangenschale vorgeschlagen. Erkläre mir die chemische und geschmackliche Logik hinter diesem Muster und warum das spezifisch zu meiner Vorliebe für dunkle, komplexe Saucen passt.</span> * Technik-Check: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Du schlägst bei meinen Gemüsebeilagen oft das Rösten bei sehr hohen Temperaturen statt Dämpfen vor. Welche Rolle spielt dabei die Maillard-Reaktion für mein Profil und wie verändert das die Balance, wenn gleichzeitig eine säurebetonte Sauce im Spiel ist?</span> * Die 'Warum'-Frage beim Abschmecken: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In der heutigen Fisch-Sauce hast du Kapernwasser und kalte Butter kombiniert. Warum hast du dich für diese spezifische Säurequelle entschieden und nicht für den Zitronensaft, den ich sonst oft verwende? Was bewirkt dieser Unterschied im Mundgefühl?</span> * Profil-Extraktion: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Analysiere die letzten zehn Rezepte, die wir gemeinsam gekocht haben. Welche drei kulinarischen Grundprinzipien ziehen sich wie ein roter Faden durch diese Gerichte und wie könnte ich diese Prinzipien anwenden, wenn ich einmal völlig ohne KI-Hilfe ein improvisiertes Essen zubereite?</span> == 6. Welcher Chatbot eignet sich am besten? == [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 01.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: „South-Asian Heat“ Sirloin, mit Steak, fein gewürfelten, gebackenen Kartoffeln, grünen Bohnen, Spinat und Kapernäpfeln; gewürzt u.a. mit Tamarindenpaste, Gochujang und Fischsauce]] Die Wahl des Chatbots beeinflusst den Workflow maßgeblich, da die Modelle auf unterschiedliche Daten spezialisiert sind. Gemini z.B. wirkt oft wie ein Praktiker, der massiv mit Inhalten aus Kochforen trainiert wurde und bei Warenkunde sowie pragmatischer Küchenlogistik glänzt. „Intellektuellere“ Modelle wie Claude, deren Fokus eher auf wissenschaftlichen oder literarischen Texten liegt, erweisen sich in der direkten Küchenpraxis oft als weniger intuitiv. Trotzdem sollte der Benutzer selbst experimentieren, um herauszufinden, welche KI-Mentalität sich am besten in den persönlichen Workflow einfügt. Ein direkter Vergleich desselben Auftrags in verschiedenen Systemen offenbart schnell, ob man eher die logische Schärfe eines Strategen oder die pragmatische Erfahrung eines virtuellen Kochbuchs benötigt – die Letztentscheidung bleibt eine Frage des individuellen Stils. == 7. Grenzen und Fallstricke == KI-gestütztes Kochen ist keine Magie, sondern ein logistisches Werkzeug. '''Die Methode ersetzt keine Kochkompetenz, sondern setzt sie voraus''': Wer weiß, wie ein Gericht schmecken sollte, erkennt Fehler im Entwurf sofort. Die größte Stärke der KI – ihre Bereitschaft, jeden Befehl umzusetzen – ist gleichzeitig ihre größte Schwäche. === Übergehorsame Befehlsanwendung === ==== Der Würzfehler: wenn Präzision zur Kumulation wird ==== Die KI führt Skalierungsanweisungen ohne kulinarisches Urteil aus. Wer „verdopple die Sauce" sagt, bekommt die doppelte Menge — auch wenn die Sauce extrem salzig, scharf oder fettig ist und die Balance des Gerichts dabei kippt. Dasselbe Muster zeigt sich bei der Kombination mehrerer intensiver Komponenten: Wenn der Benutzer gleichzeitig Gochujang, Chipotle und frische Chilischoten anfordert, setzt die KI alle drei um, ohne zu prüfen, ob das Ergebnis noch genießbar ist. Sie optimiert auf Befehlstreue, nicht auf Geschmack. Die Lösung ist eine Würzdisziplin-Regel im Küchenprofil, die der KI eine konkrete Obergrenze setzt und sie zur aktiven Kumulations-Kontrolle verpflichtet. Beispiel: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Bei jedem Rezept darfst du den Salzgehalt — summiert über alle salzhaltigen Zutaten wie Sojasauce, Fischsauce, Miso, Kapern, Sardellen und Salz selbst — 1,5 g Natrium pro Portion nicht überschreiten. Wenn mehrere scharfe, salzige oder fettreiche Komponenten zusammenkommen, weise mich auf den kumulativen Effekt hin und schlage vor, welche Komponente reduziert oder weggelassen werden sollte. Skalierungsanfragen für einzelne Zutaten oder Saucen führe nicht mechanisch aus, sondern prüfe, ob die Balance des Gerichts dabei erhalten bleibt.</span> ==== Der Personalisierungsfehler: wenn das Profil zur Falle wird ==== [[File:Dioscorea polystachya (batatas).jpg|thumb|Nagaimo]] Ein gut entwickeltes Geschmacksprofil birgt eine subtile Gefahr: Die KI kann so konsequent auf die bekannten Vorlieben des Benutzers optimieren, dass sie eine unbekannte Zutat ihrer kulinarischen Identität beraubt, bevor der Benutzer überhaupt die Chance hatte, sie kennenzulernen. Ein Beispiel: Ein Benutzer kauft Nagaimo — eine japanische Bergkartoffel, die in der traditionellen Küche wegen ihrer ausgeprägten Schleimigkeit geschätzt wird, die beim Reiben eine fast klebrige, fließende Textur entwickelt. Diese Eigenschaft ist keine Schwäche, sondern das Wesen der Zutat: Sie gibt dem japanischen Gericht Tororo seinen charakteristischen, seidigen Schmelz, sie macht Okonomiyaki elastisch und luftig, sie bindet Teige auf eine Art, die kein anderes Bindemittel replizieren kann. Ein Geschmacksprofil, das Schleimigkeit als Abneigung verzeichnet und Krossheit bevorzugt, wird die KI wahrscheinlich dazu veranlassen, aus dem Nagaimo gebackene Fritten zu machen — was technisch durchführbar ist, aber die Zutat auf ein Ergebnis reduziert, das von gewöhnlichen Kartoffelfritten geschmacklich nicht zu unterscheiden ist. Der seltene Fund wird verschenkt. Die Lösung ist eine Authentizitätsregel für den Erstkontakt, die man als explizite Anweisung ins Küchenprofil aufnehmen kann. Beispiel: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wenn wir eine Zutat zum ersten Mal verwenden — insbesondere etwas Ethnisches, Seltenes oder außerhalb des normalen Supermarktsortiments — darfst du mir nur Rezepte vorschlagen, die eine möglichst große Annäherung an traditionelle Zubereitungsweisen bilden. Du sollst dies auch dann tun, wenn das Ergebnis mit meinem Geschmacksprofil nicht oder nicht vollständig übereinstimmt. Wenn immer eine solche Abweichung besteht, sollst du mich aber ausdrücklich darauf hinweisen und genau beschreiben, welche Eigenschaften — z.B. Schleimigkeit, Bitterkeit, intensive Fermentationsaromen, ungewohnte Texturen — diese Zutat bei traditioneller Zubereitung mitbringt. </span> ==== Der Ästhetikfehler: wenn die KI das Auge vergisst ==== Manche Zutaten sind mehr als ihre Aromen und Texturen — sie sind visuell. Ihr eigentliches Potenzial erschließt sich erst auf dem Teller, in einer bestimmten Schnittform oder durch ein bestimmtes Anrichten. Eine KI ohne Augen weiß zwar, was eine Zutat ist — aber nicht, wie sie aussieht, und damit auch nicht, warum eine bestimmte Zubereitungsweise sie zu etwas Besonderem macht. Dieses Problem hat zwei Dimensionen. Die erste betrifft die Form: Lotuswurzel etwa entfaltet in Scheiben geschnitten eine fast ornamentale Wirkung — das netzartige Muster der Hohlkanäle macht jede Scheibe zu einem kleinen ästhetischen Ereignis auf dem Teller. Eine KI behandelt sie nach rein funktionalen Kriterien und schneidet sie in Stifte, weil Stifte bei Pfannengerichten eine bewährte Form sind. Kulinarisch nicht falsch — aber das Besondere der Zutat ist verschenkt. Die zweite Dimension betrifft die Farbe: Die KI kombiniert Zutaten nach Geschmack und Textur, ohne zu sehen, ob auf dem Teller drei verschiedene Brauntöne aufeinandertreffen oder ob ein einzelnes farbiges Element das ganze Gericht visuell rettet. Gerichte, die fantastisch schmecken, können optisch vollständig misslingen — und die KI bemerkt es nicht. Das Problem ist strukturell: Was sie über das Aussehen einer Zutat weiß, ist sprachlich kodiertes Wissen — und das bleibt abstrakt, solange es nicht mit expliziter Anweisung in die Rezeptlogik eingespeist wird. Die Lösung ist eine Visualisierungsregel im Küchenprofil. Beispiel: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wenn eine Zutat eine charakteristische Schnittästhetik oder visuelle Eigenschaft besitzt — wie die Querschnittstruktur von Lotuswurzel, die Marmorierung von Fleisch oder die Lamellen von Pilzen — sollst du diese in der Zubereitung aktiv berücksichtigen. Darüber hinaus sollst du bei jedem Rezept die Farbkomposition des fertigen Tellers mitdenken: Droht Monochromie, weise mich darauf hin und schlage ein gezieltes Farbelement vor — eine frische Kräutergarnitur, eine kontrastierende Sauce, eine anders gefärbte Beilage. Falls du dir über die visuelle Qualität einer Zutat unsicher bist, frage nach.</span> === Weitere typische Fehler === ; Kalibration & Hardware: Die KI geht von Durchschnittswerten aus (Standard-Ofen, 180g-Filet). Da sie die reale Küche des Benutzers nicht sieht, sind Garzeiten immer nur Richtwerte. Der Benutzer muss sich auf sein Handwerk verlassen: Bräunung und Textur müssen eigenständig geprüft werden. ; Abschmecken: Die KI kalkuliert Würzintensität theoretisch, schmeckt aber nicht ab. Da Naturprodukte wie Chilischoten in ihrer Schärfe stark schwanken und salzhaltige Zutaten sich kumulativ addieren, sind alle Mengenangaben Richtwerte. Das schrittweise Hinzufügen und finale Abschmecken bleibt eine exklusive menschliche Aufgabe. ; Diätische und kulinarische Regeln: Die KI neigt dazu, rezeptspezifische Wünsche als generelle Profileigenschaften zu verbuchen. Wer für ein einzelnes Gericht „ohne Salz" oder „ohne Fett" anfordert, riskiert, dass die KI diese Vorgabe auf alle folgenden Rezepte überträgt. Im Zweifel den Geltungsbereich explizit benennen: „nur für dieses Rezept". ; Kontext & Konsistenz: In langen Chats kann die KI Details „vergessen“ (Kontextverlust) oder die Zutatenliste widerspricht der Anleitung (Inkonsistenz). Solche logischen Brüche fallen bei der Durchsicht vor dem Kochen sofort auf. Ein kurzes Nachhaken korrigiert das Rezept meist unmittelbar. ; Fehleinschätzung der Kochkompetenz: Die KI kann die tatsächliche Fingerfertigkeit des Benutzers nicht einschätzen und schlägt daher gelegentlich Techniken vor, deren Komplexität sie unterschätzt – etwa das Braten von paniertem Feta, was ohne Erfahrung oft zum Zerlaufen in der Pfanne führt. Sie bewertet Schwierigkeitsgrade lediglich abstrakt und erkennt nicht, ob eine spezifische Methode für den Benutzer in der Praxis ein unüberwindbares Hindernis darstellt. Die KI hat keinen Geschmackssinn und keine Augen. Sie weiß nicht, wie reif die Tomate oder wie scharf das Messer ist. Auch in Fragen der Lebensmittelsicherheit (Garzeiten bei Geflügel, Kühlketten) ist gesunder Menschenverstand obligatorisch. Ein gedrucktes Kochbuch hat dieselben Schwächen – es kennt weder den Herd des Benutzers noch seine Abneigungen. Der entscheidende Vorteil der KI ist ihre '''Interaktivität''': Sie ist korrigierbar und passt sich im Dialog an. Wer die KI als lernfähigen Assistenten begreift, statt ihr blind zu vertrauen, wird die erheblichen Vorteile der Methode schnell für sich nutzen. == Siehe auch == * [[Kochbuch]] * [[Grundlagen der Ernährung]] [[Kategorie:Buch]] 92tto4yixhu41jesf9k68m5u5yjvym8 1088506 1088505 2026-06-29T17:45:46Z Stilfehler 1981 /* Weitere typische Fehler */ 1088506 wikitext text/x-wiki [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 04.jpg|thumb|Ein auf einem KI-generierten Rezept basierendes 1-Pfannen-Gericht: Marinierter Lachs und Edamame auf Blumenkohlreis, mit Pistazien und krossem Speck (Würzung: eklektisch südostasiatisch)]] '''Personalisiertes Kochen mit dem Chatbot''' – Ein Leitfaden für den KI-gestützten Küchenalltag Was wäre, wenn jemand, der deinen Kühlschrank kennt und deinen Geschmack versteht, dir täglich Anregungen und maßgeschneiderte Rezepte für das geben könnte, was heute auf den Tisch kommt, und dabei mit der Zeit immer besser wird? == 1. Der personalisierte Küchenassistent == <div style="background:powderblue";> Kochbücher und Rezeptportale bieten eine schier unerschöpfliche Auswahl an Gerichten — aber sie wissen nicht, was im Kühlschrank, im Vorratsschrank und im Gewürzregal steht, sie kennen weder die Geschmackspräferenzen noch die Küchengeräte des Benutzers, und sie können nicht auf die Frage antworten, was man mit einer angebrochenen Dose Kichererbsen, einem Rest Joghurt und einem Bund Petersilie anfangen soll, der morgen nicht mehr frisch sein wird. Genau hier setzt dieser Leitfaden an. Bei dem hier beschriebenen Ansatz wird der KI-Chatbot nicht als Nachschlagewerk benutzt, sondern als personalisierter Küchenassistent: einer, der das Vorratsregime des Benutzers kennt, mit seinen Abneigungen und Vorlieben vertraut ist, seine Küchenausstattung berücksichtigt, der weiß, wie groß die Portionen sein müssen, und — nach einer Einlernphase — zunehmend treffsichere Vorschläge macht, die tatsächlich zum Benutzer passen. Das Prinzip ist dasselbe, das Musik- und Filmstreamingdienste nutzen, um ihren Nutzern Empfehlungen zu machen: Extrapolation aus erkennbar gewordenen Vorlieben. Der Unterschied ist, dass der Benutzer hier nicht das Ziel einer Marketingstrategie ist — sondern selbst der Nutznießer. Darüber hinaus sorgt die KI auch noch dafür, dass – bevor Zutaten neu gekauft werden müssen – erst einmal das voll ausgeschöpft wird, was an Vorräten und Resten in einer Küche bereits vorhanden ist. </div> === Was diese Methode vom konventionellen Kochen unterscheidet === Die meisten Menschen kochen den Großteil ihrer Mahlzeiten ohne Rezept — aus einem festen Repertoire vertrauter Gerichte, das sich über Jahre kaum verändert. Kochbücher werden gelegentlich aufgeschlagen, meist für besondere Anlässe oder wenn der Wunsch nach etwas Neuem stark genug ist, um die Hürde des Unbekannten zu überwinden. Im Alltag dominiert das Vertraute. KI-gestütztes Kochen, so wie es dieser Leitfaden beschreibt, macht das Neue zur täglichen Normalität. Weil die KI das vorhandene Inventar kennt und aus ihm schöpft, ist der Aufwand für ein unbekanntes Gericht nicht größer als für ein vertrautes — die Hürde entfällt. Das erlaubt es, buchstäblich jeden Tag etwas zu kochen, das man so noch nie zubereitet hat. === Einige Vorteile der Methode === [[Datei:Rainbow chard for sale at the Campbell farmers market.jpg|thumb|Einfach mal spontan 1 Zutat kaufen, die interessant aussieht. Die KI wird ein Rezept finden, deren übrige Zutaten alle aus den vorhandenen Beständen (Kühlschrank, Vorratsschrank) kommen.]] Ökonomisch: * Vorräte werden systematisch und vollständig genutzt * Professionelle Problemlösungen bei logistischen Engpässen * Weniger und effizientere Einkaufsgänge * Personalisierung der Mengen: die KI berücksichtigt nicht nur die Zahl der Portionen, sondern kann auch damit umgehen, wenn die Portionen größer oder kleiner sein sollen als der Kochbuch-Standard * Wenn von Zutaten Reste bleiben, werden diese systematisch und vollständig weitergenutzt Kulinarisch: * Nur noch Gerichte, die für das eigene Geschmacksprofil optimiert sind * Tägliche Abwechslung ohne zusätzlichen Aufwand * Treffsichere Vorschläge neuer Zutaten und Küchen, die zum eigenen Profil passen * Mehr Freiheit, beim Einkaufen spontan Lebensmittel auszuwählen, die reizvoll aussehen (auch wenn man zunächst nicht weiß, was sich damit anfangen lässt) * Die KI kombiniert Zutaten und Methoden nicht beliebig, sondern nutzt tiefe Warenkunde für systematische Innovation. Sie bricht Gewohnheiten durch fundierte, algorithmische Logik und erzwingt so kreative Kombinationen, die weit jenseits menschlicher Intuition liegen. Persönlich: * Massive Vereinfachung der Küchenplanung * Selbsterkenntnis: besser verstehen, warum man bestimmte Dinge lieber isst als andere * Wachsende Kochkompetenz durch niederschwelliges Erlernen neuer Kochtechniken und -praktiken im ganz normalen Küchenalltag * Unterschiedliche Geschmäcker in Mehrpersonenhaushalten sind kein Problem, sondern ein Ausgangspunkt — die KI findet Gerichte, die verschiedene Vorlieben nicht ignorieren, sondern produktiv miteinander verbinden. === Ist das auch gesünder? === Dieser Leitfaden ist '''ernährungsphilosophisch neutral'''. Er macht keine Aussagen darüber, was eine gesunde Ernährung ausmacht — das liegt in der Verantwortung jedes Benutzers selbst. Die Methode funktioniert gleichermaßen für Veganer wie für eine mediterrane Vollwertkost wie für Menschen, die gern ''Convenience Food'' verwenden. Grundlegend tendiert diese Methode aber dazu, weitaus mehr Abwechslung auf den Tisch zu bringen, als dies beim gewöhnlichen Kochen der Fall ist, und damit einer einseitigen Ernährung entgegenzuwirken. == 2. Datenschutz und Sicherheit == [[File:Padlock infront of isolated white background 02.jpg|frameless|right]] Wer einem Chatbot mitteilt, was er im Kühlschrank hat, welche Gewürze er bevorzugt, welche Lebensmittel er nicht verträgt und ob er vielleicht Kalorien zu reduzieren versucht, gibt persönliche Daten preis — das ist eine Beobachtung, die keine Verharmlosung, sondern eine nüchterne Antwort verdient. === Was man tatsächlich preisgibt === Das Kochprofil, das dieser Leitfaden empfiehlt, enthält im Wesentlichen Lifestyle-Daten: Vorratsbestände, Geschmackspräferenzen, Küchenausstattung, lokale Einkaufsmöglichkeiten. Es enthält keine Finanzdaten, keine Identitätsdaten, keine Kommunikationsinhalte. Wer dieselbe Abwägung für die Daten vornimmt, die er Google, Amazon oder einem Supermarkt-Bonusprogramm täglich und routinemäßig übergibt — Standortdaten, Suchanfragen, vollständiges Einkaufsverhalten — wird feststellen, dass das Kochprofil typischerweise weniger sensitiv ist als das, was er anderswo längst preisgegeben hat. Das bedeutet nicht, dass die Sorge unberechtigt ist. Es bedeutet, dass sie abgewägt werden sollte. Heikler als reine Lifestyle-Daten sind Ernährungsanforderungen, die medizinische Diagnosen implizieren, ohne dass der Benutzer das explizit benennt. Eine natriumarme Ernährung verweist auf Bluthochdruck oder Herzerkrankung. Eine FODMAP-reduzierte Ernährung verweist auf Reizdarmsyndrom. Die Vermeidung von Tyramin-reichen Lebensmitteln — Hartkäse, Rotwein, Wurstwaren — verweist auf eine MAO-Hemmer-Medikation. Diese Daten fallen in Europa unter den stärksten Schutzbereich der DSGVO; in anderen Rechtsordnungen ist der Schutz schwächer oder fehlt ganz. Auch hier muss man abwägen, ob und inwieweit die Vorteile, die der personalisierte Küchenassistent bringt, die vermuteten Risiken aufzuwiegen vermögen. === Vier Optionen auf einem Sicherheitsspektrum === '''Option 1: Cloud-KI mit angepassten Datenschutzeinstellungen'''. Alle großen Anbieter erlauben es, die Verwendung von Gesprächsdaten für das Modelltraining zu deaktivieren. Das reduziert das Risiko erheblich, eliminiert es aber nicht vollständig, da Gespräche für Sicherheits- und Qualitätszwecke temporär gespeichert werden können. '''Option 2: API-Zugang'''. Wer über die Programmierschnittstelle auf einen Chatbot zugreift, hat in der Regel stärkere Garantien: Die großen Anbieter schließen API-Daten standardmäßig vom Modelltraining. Das setzt allerdings eine gewisse technische Versiertheit des Benutzers voraus. '''Option 3: Anonymisiertes Profil'''. Das Benutzerprofil enthält per se keinen zwingend identifizierenden Inhalt. Es kann konsequent ohne Namen, ohne präzise Ortsangaben und ohne andere direkt identifizierende Informationen formuliert werden. „In der Nachbarschaft gibt es einen türkischen Lebensmittelladen” ist nicht re-identifizierend. Das Profil kann als anonymes Dokument geführt werden. '''Option 4: Lokale Sprachmodelle'''. Für Benutzer, die grundsätzlich keine Daten an Cloud-Dienste senden wollen, sind lokal installierte Modelle die konsequenteste Lösung. Kein Byte verlässt das Gerät. Empfehlenswerte Werkzeuge hierfür sind '''LM Studio''' — mit grafischer Benutzeroberfläche, auch für Nicht-Techniker geeignet — sowie '''GPT4All''' und '''Jan''', beide kostenlos und auf Windows, Mac und Linux lauffähig. Als Modelle eignen sich für Kochzwecke auch kleinere Varianten (7 bis 13 Milliarden Parameter), die auf jedem modernen Laptop ohne Spezial-Hardware laufen. Die Modellqualität ist gegenüber den großen Cloud-Diensten etwas geringer, für Rezeptvorschläge jedoch vollständig ausreichend. Der einzige Vorbehalt: Die Erstinstallation erfordert etwas technisches Engagement — ist dieser Schritt aber getan, ist die Bedienung so einfach wie bei einem normalen Chatbot. === Einfache Zusatzoption: Das Profil lokal führen === Als Alternative zum plattformseitigen Speichern (in den Benutzereinstellungen der KI) empfiehlt sich das Führen des Benutzerprofils als einfache Textdatei auf dem eigenen Computer oder Smartphone — etwa in der Notizen-App, in einem Word-Dokument oder in einem beliebigen anderen Textprogramm. Das gibt dem Benutzer zusätzliche Kontrolle darüber, was er wann preisgibt — und es löst zugleich ein praktisches Problem: KI-Chatbots haben kein dauerhaftes Gedächtnis. Was in einem langen Chat weit zurückliegt, ist für die KI irgendwann schlicht nicht mehr präsent. Das Profil muss deshalb regelmäßig neu eingegeben werden — spätestens dann, wenn man merkt, dass die KI Präferenzen nicht mehr berücksichtigt, proaktiv alle zehn bis fünfzehn Kochsitzungen. Wer das Profil als Textdatei auf dem Gerät hat, erledigt das mit zwei Handgriffen: Datei öffnen, Inhalt in das Chatfenster kopieren. == 3. Das Benutzerprofil == [[Datei:Deepin Icon Theme – deepin-contacts.svg|right|rahmenlos]] Das Benutzerprofil ist das Fundament der gesamten Methode. Ohne dieses Element bleibt die KI ein generisches Nachschlagewerk — erst das Profil macht sie zum personalisierten Küchenassistenten, der weiß, womit und für wen er arbeitet. Das Benutzerprofil besteht aus zwei Teilen. Das '''Küchenprofil''' erfasst die sachlichen, objektiven Parameter: was ständig vorhanden ist, was ausgeschlossen ist, welche Geräte zur Verfügung stehen, was eingekauft werden kann. Das '''Geschmacksprofil''' erfasst die subjektiven, dynamischen Parameter: was dem Benutzer schmeckt, was nicht, und wie sich seine Vorlieben im Laufe der Zeit entfalten. === Das Küchenprofil === ==== Was ist ein Küchenprofil? ==== Unter einem Küchenprofil verstehen wir hier die Gesamtheit der Informationen, die ein Küchenassistent über die Situation in einem Haushalt braucht, damit er effizient arbeiten kann. Lediglich die Informationen über die geschmacklichen Vorlieben des Benutzers und der Mitglieder seines Haushalts werden nicht im Küchenprofil, sondern [[#Das Geschmacksprofil|anderswo]] verwaltet. Hier eine Liste von Parametern, aus denen das Küchenprofil sich zusammensetzen kann: [[File:Spice rack, 2014.jpg|thumb]] ; Dauervorräte: Zutaten, die ständig verfügbar sind, weil ihre Vorräte, wenn sie zur Neige gegen, routinemäßig wieder aufgestockt werden: : ''Gewürzinventar'': Der diagnostisch wertvollste Teil des gesamten Profils. Wer der KI mitteilt, dass er Harissa, Sumach, geräuchertes Paprikapulver, Kecap Manis und Szechuanpfeffer im Schrank hat, kommuniziert damit ein Geschmacksprofil, das die KI sofort und präzise interpretieren kann — aussagekräftiger als jede abstrakte Beschreibung von Vorlieben. : ''Fensterbank-Kräuter''; : ''Gemüsekorb'': Kartoffeln, Zwiebeln, Schalotten, Knoblauch, Ingwer, Tomaten und andere frische Zutaten, die man immer im Haus hat, die aber nicht in den Kühlschrank gehören; : ''Vorratsschrank'': Öle und Essige, Konserven, Hülsenfrüchte, Getreide und Pasta, Nüsse und Trockenfrüchte, Saucen und Pasten; : ''Dauervorrat Kühlschrank'': Milchprodukte, Eier, Condiments, Aufschnitt oder andere Kühlwaren, die regelmäßig nachgekauft werden; : ''Tiefkühlschrank'': Gemüse, Kräuter, Fleisch, Meeresfrüchte und andere Zutaten, die man tiefgekühlt ständig vorrätig hält; die KI kann ausgezeichnet auch mit Convenience Food wie z.B. tiefgefrorenem Gyros arbeiten. ; Saisonale Ressourcen: Zutaten, die nur in bestimmten Monaten leicht verfügbar sind, etwa weil sie aus dem eigenen Garten kommen. ; Ausschlusslisten: Abneigungen gegen bestimmte Zutaten, Allergien, Unverträglichkeiten, ethische, religiöse oder diätische Einschränkungen. ; Positivlisten: Zutaten, die vor anderen bevorzugt werden (z.B. „Möglichst oft etwas mit Kartoffeln oder Vollkorn.“). [[File:20051018Épicerie d'Amélie Poulain 2.jpg|thumb]] ; Einkaufsressourcen: Welche Läden sind in der Nähe, und worauf sind sie spezialisiert? Ein türkischer Lebensmittelladen ermöglicht andere Rezeptvorschläge als ein osteuropäischer, ein asiatischer Supermarkt andere als ein hispanischer Tiendita. Diese Information erlaubt der KI, bei Bedarf Zutaten in den Vorschlag einzubeziehen, die über das Standardsortiment eines Supermarkts hinausgehen — und die den Benutzer geschmacklich bereichern können. ; Küchengeräte und Utensilien: Hier genügt es, über das Basisequipment hinaus zu inventarisieren — Herd, Backofen, Messer und Töpfe darf die KI als selbstverständlich voraussetzen. Was sie wissen sollte, sind Geräte, die besondere Zubereitungsarten ermöglichen oder einschränken: Dampfgarer, Sous-vide-Gerät, Standmixer, Stabmixer, Reiskocher, Gusseisenpfanne, Wok, Tajine, Dutch Oven, Pizzastein und ähnliches. Wenn möglich, lohnt sich die Angabe relevanter Leistungsparameter — etwa die maximale Wattzahl eines Stabmixers oder die Größe des Backofens — damit die KI einschätzen kann, was ein Gerät tatsächlich leisten kann. Wenn man das Modell genau bezeichnet, ist die KI manchmal sogar schlauer als der Benutzer, was das Gerät genau leisten kann. Zweckmäßig ist es, im Küchenprofil auch auch die '''Grundeinstellungen der Sitzungsparameter''' anzugeben, also diejenigen Informationen beispielsweise zur Zahl der benötigten Portionen, mit denen die KI im Regelfall arbeiten soll. Mehr dazu [[#Sitzungsparameter|weiter unten]]. ==== Wie man das Küchenprofil erstellt und was man dann damit macht ==== Wenn man den neuen Chat, den man künftig zum Kochen verwenden wird, anlegt, ist das Küchenprofil zweckmäßigerweise eines der ersten Dokumente, die man der KI übergeben sollte. Es braucht nicht von Anfang an vollständig zu sein, sondern kann nach und nach vervollständigt werden – ein gut gepflegtes Profil macht aber den Unterschied zwischen generischen Rezeptvorschlägen und solchen, die dem Benutzer das Leben tatsächlich einfacher machen. Damit man auf das Küchenprofil stets einfach zugreifen kann, ist es zweckmäßig, es nicht direkt in die KI einzutippen, sondern es separat davon in einem Texteditor zu erstellen. Dort kann man es nach Bedarf jederzeit lesen, bearbeiten, ergänzen und aktualisieren. Dann überträgt man es entweder mit Kopieren+Einfügen oder per Hochladen in die KI. Falls das Gedächtnis der KI später, nach einigen Sitzungen zu schwächeln beginnt, übergibt man das Küchenprofil einfach erneut. === Das Geschmacksprofil === [[File:Banchans.jpg|thumb]] Das Geschmacksprofil unterscheidet sich grundlegend von allen anderen Teilen des Benutzerprofils. Während Gewürzinventar, Küchengeräte und Ausschlussliste statische Fakten sind, die einmal erfasst und gelegentlich aktualisiert werden, ist das Geschmacksprofil ein '''lebendes Dokument''' — eines, das nie wirklich abgeschlossen ist und das mit jeder Kochsitzung präziser wird. Es ist zugleich der Teil des Profils, den manche Benutzer vielleicht am schwierigsten finden werden, weil er eine Art Selbstkenntnis voraussetzt, die man oft erst im Dialog mit der KI entwickelt. ==== Dimensionen des Geschmacks ==== Hier einige Dimensionen des Geschmacks, die nach und nach ins Benutzerprofil eingehen sollten: ; Ethnische Küchen und Kochtraditionen: Welche Küchen der Welt sprechen den Benutzer an? Das muss keine erschöpfende Liste sein — oft genügt es, einige Affinitäten zu benennen und einige Abneigungen. Eine Vorliebe für japanische und peruanische Küche bei gleichzeitiger Skepsis gegenüber sehr fetthaltigen nordeuropäischen Gerichten ist bereits eine präzise und nützliche Angabe. Die KI kann daraus nicht nur Rezeptvorschläge ableiten, sondern auch Querverbindungen herstellen — etwa Techniken aus einer Küche auf Zutaten einer anderen anwenden. ; Geschmacksbalance: Die fünf Grundgeschmäcker — salzig, sauer, süß, bitter, umami — treten in jedem Gericht in einem bestimmten Verhältnis auf. Manche Benutzer bevorzugen klar dominante Profile, andere schätzen komplexe Gleichgewichte. ''Eine Vorliebe für ausgeprägte Säure, kombiniert mit Umami-Tiefe und wenig Süße'', ist eine Information, die die KI unmittelbar in die Rezeptauswahl einfließen lässt. ; Aromarichtungen: Wie intensiv darf ein Gericht gewürzt sein? Welche Rolle spielen Schärfe, Kräuterintensität, Rauchigkeit, Fermentiertes, Bitteres? Wer der KI mitteilt, dass er großzügigen Gebrauch von frischen Kräutern schätzt, Schärfe bis zu einem bestimmten Grad liebt und Rauchigkeit als willkommene Hintergrundnote empfindet, gibt ihr ein Koordinatensystem, das weit präziser ist als eine allgemeine Aussage wie „ich mag würziges Essen”. ; Texturpräferenzen: Textur ist eine der am häufigsten unterschätzten Geschmacksdimensionen. Wer knusprige Oberflächen liebt, wer cremige Konsistenzen bevorzugt, wer Bissfestigkeit schätzt oder wer bestimmte Texturen — etwa mehlige Konsistenz oder sehr weiches Fleisch — als unangenehm empfindet, sollte das im Profil festhalten. Ebenso relevant ist die Frage, ob Texturkontraste in einem Gericht willkommen sind — etwa knusprige Einlagen in einer cremigen Suppe — oder ob Homogenität bevorzugt wird. ==== Die Ermittlung des Geschmacksprofils als iterativer Prozess ==== [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 12.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Pfannengerührte Shrimps mit Ei und Spinat auf schwarzem Perlreis mit marinierten Knoblauchstengeln, gewürzt u.a. mit Gochujang und Spicy Chili Crisp]] Am Anfang wird das Geschmacksprofil zwangsläufig unvollständig und unscharf sein — das ist normal und kein Mangel. Die KI braucht vom Benutzer, um nützlich zu sein, keine perfekte Selbstbeschreibung. Sie braucht nur einen Ausgangspunkt, an dem sie ihre Arbeit beginnen kann. Die wenigsten Menschen haben Übung darin, in Worten exakt auszudrücken, warum sie bestimmte Zutaten, bestimmte Zubereitungsweisen und bestimmte Gerichte mögen oder nicht mögen. Aber auch wenn die KI das Geschmacksprofil eines Benutzers am Anfang noch nicht kennt, hat sie mehrere Mittel, um es zu erforschen: ; Rezeptauswahl als Signal: Jedes Mal, wenn der Benutzer aus mehreren Vorschlägen einen auswählt und die anderen verwirft, teilt er der KI etwas über seine Präferenzen mit — auch wenn er das nicht explizit formuliert. ; Rezept-Modifikation als Signal: Wenn die KI ein Rezept vorschlägt, wird der Nutzer manchmal eingreifen: „geht das auch ohne Knoblauch?", „lieber Zitrone als Essig", „nein, keine Sahne – lieber Kokosmilch". Auch damit verrät er der KI oft mehr über seinen Geschmack, als ihm bewusst ist. ; Post-cook-Review: Wenn ein Gericht besonders gut war, oder im Gegenteil nicht gefallen hat, sollte die KI das unbedingt erfahren. „Zu säuerlich für meinen Geschmack, die Textur war perfekt, die Kombination Koriander und Limette würde ich gerne öfter sehen” ist eine außerordentlich informationsreiche Aussage, die das Profil unmittelbar verfeinert. Im Laufe von Wochen und Monaten entsteht so ein '''kollaboratives Geschmacks-Profiling''': die KI nähert sich den tatsächlichen Präferenzen des Benutzers iterativ an, oft weitaus präziser, als es dem Benutzer selbst möglich wäre, sie von vornherein zu beschreiben. In '''Mehrpersonenhaushalten''' fällt das Urteil häufig nicht einhellig aus. Damit die KI gezielt nach Kompromissen forschen kann, sollte sie möglichst genaue Information darüber erhalten, wer was gemocht oder nicht gemocht hat: z.B. „Die Schärfe durch das Gochujang war für mich ideal, führte aber bei M. zum sofortigen Abbruch; R. schlägt vor, die Schärfe künftig über ein separates Topping zu lösen.“ ==== Beschleunigtes Geschmacksprofiling ==== [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 02.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Pacific Rim Surf & Turf Bowl, mit fein geschnittenem Steak, Jacobsmuscheln, Jicama, Anaheim-Chili, Edamame, Koriander und Avocado]] Wer ungeduldig ist und das Geschmacksprofiling nicht einfach seinem natürlichen Verlauf überlassen will, kann den Prozess durch verschiedene Maßnahmen beschleunigen: * Die '''Auswahl begründen''': Die KI bietet zu Beginn jeder Kochsitzung typischerweise drei Rezeptvorschläge zur Auswahl an, von denen man einen auswählt. Wer der KI seine Entscheidung nicht einfach nur mitteilt, sondern sie auch ''kommentiert'', liefert ihr damit wertvolle zusätzliche Profilinformation. * '''Lieblingsgerichte nennen''': Eine Liste von Gerichten, die man besonders gern mag — möglichst mit kurzer Beschreibung oder Rezept — ist für die KI ein außerordentlich ergiebiges Ausgangsmaterial, aus dem sie das Geschmacksprofil unmittelbar herausarbeiten kann. * Ein '''strukturiertes Assessment''' durchführen: Der Benutzer fordert die KI auf, ihm gezielte Fragen zu stellen, um sein Geschmacksprofil herauszuarbeiten. Das kann man entweder dialogisch machen oder mit Hilfe eines Fragebogens, den man den Chatbot erstellen lässt. ---- <div class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed"> <div style="font-weight:bold;line-height:2.6;">Hier ein Beispiel, wie so ein Fragebogen aussehen kann.</div> <div class="mw-collapsible-content"> <div style="color:purple;"> ''Die folgenden Fragen können helfen, eine Bestandsaufnahme der Vorlieben eines Benutzers für Geschmacksrichtungen, Aromen und Texturen vorzunehmen. Ob jemand Fenchel mag oder verabscheut, ob er Saures angenehm oder unangenehm findet und ob er Krosses oder Cremiges bevorzugt, ist etwas, das nur einem selbst gehört und das niemals Gegenstand eines Werturteils sein kann. In Geschmacksfragen gibt es kein Richtig und kein Falsch. Auch in einem Assessment des Geschmacksprofils gibt es darum keine richtigen oder falschen Antworten.'' ''Wer möchte, kann diesen Fragebogen gern mit Paste&Copy in eine Textverarbeitung übertragen, ausfüllen und dann – mit der Bitte um Auswertung – einem Chatbot seines Vertrauens übergeben.'' 1. Erinnere dich an die schlimmsten Gerichte deiner Kindheit (Oma, Schulkantine, Ferienlager). Was wurde dir zugemutet? Beschreibe nicht nur, was es war, sondern auch: War es das schleimige Mundgefühl? Die bittere Note? Die Zähigkeit? Die völlige Abwesenheit von Textur? Lass deiner Wut beim Schreiben freien Lauf. 2. Wenn du einen Bissen von einem Gericht in den Mund nimmst, was suchst du physiologisch? :[ ] Den harten, fast anstrengenden Widerstand (wie bei einer krustigen Brotrinde oder Nüssen). :[ ] Das zarte, schmelzende Gefühl (wie bei einer Mousse oder weichem Risotto). :[ ] Den "Snap" (wie bei einer knackigen Garnele oder einer frischen Paprika). : Was mir dazu auch noch einfällt: 3. Stell dir eine Textur vor, die glatt, weich und fast flüssig ist (z.B. eine pochierte Auster, eine weiche Okra-Schote oder ein sehr weicher Tofu). Was empfindest du: :[ ] Faszinierend, dieses schmelzende, glitschige Gefühl ist ein Highlight. :[ ] Absolutes No-Go; mein Essen braucht Struktur und darf nicht „ausweichen“. : Was mir dazu auch noch einfällt: 4. Du landest schiffbrüchig auf einer einsamen Insel. Vom sinkenden Schiff konntest du nur eine aromatische Komponente mitnehmen. Salz ist kein Thema, das gewinnen wir aus dem Meer. Was rettet deine Lebensfreude? :[ ] Die pure Hitze (Chili, scharfer Pfeffer). :[ ] Die ätherische Tiefe (Knoblauch, Zwiebelgewächse). :[ ] Die krautige Frische (Koriander, Minze, Basilikum). :[ ] Die erdige Wärme (Kreuzkümmel, Kurkuma, Zimt). : Was mir dazu auch noch einfällt: 5. Eine Zitrone wird direkt vor dir aufgeschnitten. Was passiert in deinem Kopf? :[ ] „Erfrischend, direkt ein bisschen Saft übers Essen für den nötigen Zing!“ :[ ] „Oh Gott, mir zieht’s alles zusammen, unvorstellbar, das in den Mund zu nehmen!“ : Was mir dazu auch noch einfällt: 6. Manche Menschen lieben dunkle Aromen, die durch lange Reifung oder Konzentration entstehen – man nennt das „Umami“. Denke an den intensiven Kern eines alten Parmesans, die dunkle Würze einer über Stunden eingekochten Fleischsauce (Demi-Glace), die Aromatik von Sardellen oder die Tiefe von Sojasauce und Miso. :[ ] Je intensiver und „dunkler“, desto besser. Das ist die wahre Tiefe. :[ ] Ich mag es lieber sauber, frisch und eindeutig erkennbar. : Was mir dazu auch noch einfällt: 7. Wie muss dein Teller am Ende aussehen? :[ ] Die Sauce ist ein dezenter Begleiter, der die Hauptdarsteller nur glänzen lässt. :[ ] Ich brauche eine „Suppen-Ästhetik“; die Beilagen müssen in Sauce baden. : Was mir dazu auch noch einfällt: 8. Wie darf Fett in deinem Essen vorkommen? :[ ] Sichtbar und pur (die dicke Ölschicht auf dem Pesto, das Stück Butter auf der Backkartoffel, der Fettrand am Fleisch). :[ ] Nur emulgiert und versteckt (in einer cremigen Sauce oder im Teig). : Was mir dazu auch noch einfällt: 9. Dein Essen ist knallgrün vor lauter frisch gehackten Kräutern. Dein Impuls? :[ ] „Großartig, das bringt Komplexität und Frische!“ :[ ] „Hilfe, das schmeckt bestimmt wie Rasenschnitt!“ : Was mir dazu auch noch einfällt: 10. Im Kino wandert deine Hand blind in eine Schüssel. Was hoffst du zu finden? :[ ] Etwas, das laut kracht und salzig ist (Chips, geröstete Kerne). :[ ] Etwas Klebrig-Süßes, das den Kiefer beschäftigt (Karamell, Trockenfrüchte). :[ ] Etwas Prickelnd-Saures (saure Fruchtgummis, eingelegtes Gemüse). : Was mir dazu auch noch einfällt: 11. Du nimmst einen Löffel Nutella oder Honig pur aus einem Glas. :[ ] Ich genieße die pure Befriedigung und könnte noch einen zweiten Löffel nehmen. :[ ] Ich brauche danach sofort einen starken Espresso oder ein Glas Wasser zum Neutralisieren. : Was mir dazu auch noch einfällt: 12. Vergiss Wasser – was ist dein bevorzugter „Gegenspieler“ zu einem komplexen Gericht? :[ ] Etwas mit viel Kohlensäure und Süße (Limo, Cola). :[ ] Flüssiges Obst (Apfelsaft, Karottensaft, Pfirsichnektar) :[ ] Etwas Herbes/Bitteres (Bier, Tonic Water, schwarzer Tee/Kaffee). :[ ] Etwas Säurebetontes (Wein, Schorle, Kombucha). : Was mir dazu auch noch einfällt: 13. Welches Lebensmittel oder welche Kombination hat dich in deinem Leben am meisten positiv überrascht? (Z.B. Algen, Sashimi, Chili mit Schokolade, Wassermelone mit Feta). 14. Gibt es Lebensmittel, die zwar technisch „gut“ zubereitet sind, bei denen du aber einfach körperlich streikst? 15. Was ich über meine Geschmackspräferenzen sonst noch mitteilen möchte, das ich in diesem Fragebogen bisher noch nicht habe unterbringen können. </div> </div></div> ---- In '''Mehrpersonenhaushalten''' empfiehlt es sich, das Assessment für jeden getrennt durchzuführen — denn auch wenn gemeinsam gekocht wird, sind die Geschmacksprofile der Beteiligten selten identisch. Sie können leicht abweichen oder erheblich. Eine KI, die über diese Unterschiede im Bilde ist, kann bei der Rezeptauswahl helfen, sie zu überbrücken — und schlägt Gerichte vor, die verschiedene Präferenzen unter einen Hut bringen, statt routinemäßig nur einem Profil zu folgen. ==== Wozu? Ich weiß über meinen Geschmack doch jetzt schon mehr, als mir lieb ist. ==== [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 11.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Geröstetes Schweinefilet mit Shiitake und einer Tamarinden-Ingwer-Reduktion auf Spinat-Sorghum, gewürzt u.a. mit Knoblauch und Noilly Prat]] ; Frage an die KI: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Es kostet mich Überwindung, aber hier einmal die reine Wahrheit: Mein größtes Glück ist es, mir am Abend eine Tiefkühlpizza zu backen, Dr. Oetker, die mit Salami. Weil die Coke Zero, die ich dazu trinke, mein Verlangen nach Süßem nicht stillt, brauche ich hinterher noch Schokolade. Meist schaffe ich es, nach 50 g aufzuhören. Sag mal ehrlich: mein Geschmack ist doch total versaut. Warum sollte ich mich noch der Demütigung eines Assessments unterziehen?</span> ; Antwort der KI: <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Ganz ehrlich: Dein Geschmack ist nicht „versaut“, er ist einfach nur perfekt auf die industrielle Logik optimiert. Salami-Pizza, Coke Zero und Schokolade bedienen die drei mächtigsten Hebel unseres Gehirns: Fett, Salz und den Bliss-Point (Süße). Dass du nach 50 g Schokolade aufhören kannst, zeigt sogar eine ziemlich beeindruckende Selbstbeherrschung.</span> : <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Warum also das Assessment?</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Vom Passagier zum Piloten: Momentan steuert die Lebensmittelindustrie deine Gelüste über Kontrollknöpfe, die wir alle haben. Das Assessment ist kein Verhör, sondern eine Inventur dieser Knöpfe, damit du sie bedienen kannst – mit echtem Essen, das die gleichen Glücksgefühle auslöst, aber ohne das „Nachher-Tief“.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Präzision statt Verzicht: Wir suchen nicht nach dem Salatblatt, das dich unglücklich macht. Wir suchen nach der Kombination aus Umami, Crunch und Säure, die deine Pizza-Lust auf ein Level hebt, gegen das die Tiefkühlware wie Pappe schmeckt.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Keine Demütigung, sondern Daten. Für mich als KI ist deine Vorliebe für Salami-Pizza eine wertvolle Information, die mir hilft, dein Geschmacksprofil genauer zu sehen: Salami und Käse liefern dir intensive Fermentationsaromen (Umami), die Pizza den Crunch, und die Schokolade den nötigen Dopamin-Abschluss. Dasselbe können wir aber auch mit anderen Mitteln erreichen, und sogar noch besser.</span> : <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Assessment ist kein Urteil, sondern die Blaupause, um dein „größtes Glück“ zu dekodieren. Statt Industrieware schlage ich dir Upgrades vor: Sauerteig-Fladenbrot, Finocchiona und Pecorino triggern dieselben Belohnungszentren wie Salami-Pizza, nur mit weitaus höherer Reizintensität. Was ich dir vorzuschlagen habe, ist nicht etwa fade Gesundheitsrohkost, sondern die ultimative, handwerkliche Version von dem, was dir tatsächlich am besten schmeckt.</span> == 4. Ablauf der Koch-Sitzung == Der Rezept-Workflow ist die eigentliche Interaktion — der Moment, in dem aus Profil und Sitzungsparametern ein konkretes Gericht wird. Er folgt einer klaren Abfolge von Schritten, die sich nach wenigen Sitzungen als Routine einspielt: {| class="wikitable" ! Benutzer-Input oder -Aktion !! KI-Output |- | Optional: Übergabe des Küchenprofils || Empfangsbestätigung |- | Konkreter Arbeitsauftrag, mit Sitzungsparametern<br/>z.B. <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Schlag mir 3 Rezepte für Spaghetti mit Tomatensauce vor, für 3 Personen. Ich habe noch frisches Basilikum im Kühlschrank.</span> || Ausgabe von Rezeptvorschlägen |- | Auswahl eines der Vorschläge<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gib mir das Rezept für Nr. 1, die „mediterrane Umami-Bombe (Puttanesca-Stil)“. Können wir die Sardellen weglassen?</span> || Ausgabe des Rezepts |- | Rezept vor dem Kochen einmal kritisch lesen<br/>Gegebenenfalls Anforderung von Änderungen oder Korrekturen<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Was für Öl? Und kann es sein, dass du die Gewürze vergessen hast?</span></span> || Gegebenenfalls: Ausgabe des revidierten Rezepts |- | Optional: Rückfrage ''während'' des Kochens<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe gerade festgestellt, dass mein Basilikum ziemlich welk ist; wie kann ich es ersetzen?</span> || Frage wird beantwortet.<br/><span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Wenn nur die Optik das Problem ist, koch es in der Sauce 5 Minuten lang mit und nimm es dann heraus.</span> |- | Optional: Post-cook-Review<br/><span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Der Geschmack war okay, aber mir hat das leuchtende Grün auf dem Teller gefehlt; die Extraktion ist eine gute Notlösung, ersetzt für mich aber nicht das visuelle Erlebnis von frischem Basilikum.</span>|| |} === Erster Schritt: Übergabe des Küchenprofils === Es ist möglich, ohne Übergabe eines [[#Das Küchenprofil|Küchenprotokolls]] zu arbeiten. Die KI verhält sich dann aber tendenziell wie ein gewöhnliches Kochbuch und mutet dem Benutzer zum Beispiel zu, dass er Zutaten erst noch kaufen muss. === Zweiter Schritt: Arbeitsauftrag === [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 05.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Mediterranean Chicken & Sweet Potato Roast, mit zart-krossem Pistazien-Duqqa und einer Joghurt-Sauce]] Der Arbeitsauftrag ist der erste Input für die KI, ohne den überhaupt nichts geht. Hier einige Beispiele: : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Habe frischen schwarzen Kabeljau. 4 Portionen, einer meiner Gäste isst nur ganz Klassisches. Einkauf in einem sehr gut sortierten großen Supermarkt ist eingeplant. Mittlere Komplexität. 4 Vorschläge.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">3 Vorschläge für ein mediterranes 3-Gänge-Menü. Habe frische Langusten vom Markt. Zubereitung darf technisch anspruchsvoll sein und beliebig viel Zeit beanspruchen. Reste willkommen, wenn sinnvoll verwertbar. Zielzeit: 20:00 Uhr.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">4 Vorschläge für 6 Personen (100 %). Muss einfach zuzubereiten sein und darf maximal 40 Minuten dauern. Vor andere Zutaten verbrauchen: 1 kg Kartoffeln, außerdem 8 Eier, die unbedingt heute weg sollen. Gezieltes Meal-prep für morgen. Kein Einkauf möglich.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich brauche 2 Vorschläge für ein indisches Abendessen für 3 Personen (Portionsgröße 120 %). Ankerzutat: Panir-Käse. Komplexität: Mittel. Zielzeit: 19:15 Uhr. Zeig mir etwas, das ich noch nicht kenne. Bitte genaue Timings für alle Schritte.</span> : <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gib mir ein komplettes Rezept. Cuisine: Südostasiatisch. Ich habe eine rote Paprika und 100 ml Kokosmilch, beides muss weg. Einkaufen im Discounter möglich, darf aber höchstens 15 Euro kosten. Keine Reste erwünscht. Überrasch mich mit einer Technik, die ich noch nicht kenne. Fast hätte ich es vergessen: meine Frau kommt heute erst spät von der Arbeit, wir essen getrennt; schlag mir etwas vor, das sie gut aufwärmen kann.</span> {{Anker|Sitzungsparameter}}Außer der Bezeichnung des gewünschten Gerichts können im Arbeitsauftrag auch '''Parameter''' übergeben werden, z.B. die Zahl der gewünschten Portionen. Parameter, die praktisch unveränderlich sind (weil z.B. in einem Zwei-Personen-Haushalt fast immer zwei Portionen gebraucht werden), kann man – statt sie im Arbeitsauftrag jedesmal neu anzugeben – ins Küchenprofil schreiben, und erwähnt sie im Arbeitsauftrag nur dann, wenn der Wert einmal abweicht (z.B. die Zahl der Portionen, wenn Gäste kommen). Hier eine Übersicht über naheliegene und mögliche Sitzungsparameter: [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 07.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: „Slow-Roasted“ Pork & Kimchi-Stew (Jjigae-Style), mit Schweinehack, Kimchi, Süßkartoffel, Bok Choy, Würzbasis: weißes Miso und Gochujang; dazu brauner Basmati]] ; Zahl der Vorschläge: Die KI ist in der Lage, auf den Arbeitsauftrag direkt mit einem detaillierten Rezeptvorschlag zu antworten. Aus verschiedenen Gründen ist es jedoch zweckmäßiger, erst eine Anzahl von Vorschlägen abzurufen. In der Praxis bewährt haben sich '''drei oder vier Vorschläge''' (weniger erlauben nicht wirklich eine Wahl; mehr verleitet dazu, keinen zu wählen — ein aus der Entscheidungsforschung bekanntes Phänomen, das als ''Paradox der Wahl'' bezeichnet wird). Falls keiner von diesen gefallen sollte, lässt man einfach 3 oder 4 weitere ausgeben. ; Temporäres Vorratsupdate: Was ist heute vorhanden, das nicht zum Dauerbestand gehört? Frisches Gemüse, Obst, Kräuter aus dem Garten, ein Stück Fisch vom Markt, eine saisonale Spezialität — alles, was nur zeitweise verfügbar ist und in den Rezeptvorschlägen berücksichtigt werden soll. ; Use-first-Queue: Welche Zutaten müssen heute oder in den nächsten ein bis zwei Tagen verbraucht werden? ; Ankerzutaten: Welche Zutaten sollen auf jeden Fall im Rezept vorkommen — nicht weil sie dringend verbraucht werden müssen, sondern weil der Benutzer gezielt etwas damit kochen möchte? Das kann eine Zutat sein, die interessant aussah und spontan gekauft wurde oder auf die der Benutzer heute einfach Lust hat. ; Personenzahl und Portionsgröße: Für wie viele Personen wird gekocht, und in welcher Portionsgröße? Wer häufig mit der KI kocht, wird bald herausfinden, ob die Portionen z.B. 70 oder 90 oder 100 oder 120 % der standardmäßigen Portionsgröße betragen sollen. ; Novitäts-Präferenz: Sind Kreativität und Überraschungen erwünscht, oder soll die KI lieber etwas Vertrautes vorschlagen? ; Komplexitätslevel: Soll das Gericht einfach zuzubereiten sein oder darf es technisch anspruchsvoll sein? ; Zeitaufwand: Wie viel Zeit ist heute für die Essenszubereitung maximal verfügbar? ; Zielzeit der Mahlzeit: Wenn die Mahlzeit zu einem bestimmten Zeitpunkt auf den Tisch kommen soll, ist die KI in der Lage, für jeden Zubereitungsschritt die optimale Startzeit zu berechnen und als Zeitstempel ins Rezept aufzunehmen. ; Einkaufsbereitschaft: Soll die KI ausschließlich mit dem arbeiten, was vorhanden ist, oder ist der Benutzer bereit, noch Zutaten einzukaufen? Wo kann er einkaufen? Und was darf es kosten? ; Reste-Toleranz: Reste können sowohl vom zubereiteten Gericht als auch von Zutaten anfallen. Sind sie zu vermeiden oder erwünscht? Soll die KI, falls Reste erwünscht sind, Vorschläge machen, was damit anzufangen ist? Falls geplant ist, Reste schonend aufzubewahren oder einzufrieren: soll die KI Anleitung geben, wie dies am besten gemacht wird? Wenn Sitzungsparameter für einen Benutzer praktisch immer dieselben sind (z.B. Personenzahl und Portionsgröße, Zielzeit der Mahlzeit), kann man sie als Grundeinstellungen ins Küchenprofil aufnehmen, und erwähnt sie im Arbeitsauftrag nur dann, wenn sie von der Grundeinstellung abweichen sollten. === Dritter Schritt: Vorschlagsrunde und Rezeptauswahl === ; Benutzerinput: <div style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Mach mir drei Vorschläge für Spaghetti-Gerichte, die ich in Deutschland im Restaurant wahrscheinlich nie bekommen würde.</div> ; KI-Output:<div style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">1. Spaghetti con la Mollica (Kalabrien / Basilikata)</div> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Ein Paradebeispiel der Cucina Povera. Da Käse früher für viele zu teuer war, wurde altbackenes Brot als Geschmacks- und Texturgeber genutzt.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Die Basis ist eine Emulsion aus hochwertigem Olivenöl, Anchovies, Knoblauch und Peperoncino. Das entscheidende Element ist die Mollica – in Öl goldbraun und knusprig ausgebackene Brotbrösel, die erst ganz am Ende über die Pasta gegeben werden.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Starkes Umami durch die Sardellen, komplexer texturaler Kontrast zwischen weicher Pasta und krossem Brot.</span> ---- :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">2. Spaghetti al Nero di Seppia (Sizilien / Venedig)</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Dieses Gericht nutzt die Tinte des Tintenfisches nicht nur als Farbstoff, sondern als primäres Gewürz.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Die Sauce wird aus frischem Tintenfisch, Weißwein, Knoblauch und der tiefschwarzen Tinte hergestellt. Entgegen der Erwartung schmeckt die Tinte nicht "fischig", sondern hat ein tiefes, erdiges und leicht metallisches Aroma.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Tiefes, dunkles Umami mit einer seidigen Textur und einer visuell radikalen Ästhetik.</span> ---- :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">3. Spaghetti Cacio e Pepe (Lazio / Rom)</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Obwohl es simpel klingt (Käse und Pfeffer), ist es in seiner römischen Urform eine technische Herausforderung, die keinen Fehler verzeiht.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Das Besondere: Es wird ausschließlich Pecorino Romano und frisch gerösteter, grob gemörserter schwarzer Pfeffer verwendet. Die Kunst besteht darin, durch die exakte Temperatur des Pastawassers eine Emulsion zu schaffen, bevor der Käse klumpt oder Fäden zieht.</span> :* <span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Profil: Starke Schärfe durch die ätherischen Öle des gerösteten Pfeffers, kombiniert mit der salzigen Dominanz des Schafskäses.</span> Falls keiner der Vorschläge überzeugt, geht es in eine nächste Runde. Der Benutzer kann dabei kommentierend oder steuernd eingreifen. Beispiel: :<span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nr. 3 klingt gut, aber ich trau mir das mit der Emulsion nicht ganz zu. Und eigentlich hätte ich heute auch lieber etwas mit Tomaten. Gib mir noch drei.</span> === Vierter Schritt: Empfang das vollständigen Rezepts === Wenn der Benutzer seine Entscheidung gefällt und der KI mitgeteilt hat… :<span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">„Spaghetti mit Tomaten-Konfitüre & geräuchertem Chili“ klingt spannend. Gib mir das Rezept, mit allen Zusatzinformationen, die ich in meinem Küchenprofil festgelegt habe. Außerdem brauche Zeitstempel. Zielzeit fürs Servieren ist 19 Uhr.</span> …gibt diese das komplette Rezept aus. Beispiel: :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">'''Spaghetti mit Tomaten-Konfitüre & geräuchertem Chili'''</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Für 3 Personen | 100 % Portionsgröße | Zielzeit: 19:00 Uhr</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Dieses Gericht funktioniert für dich deshalb, weil es deine Vorliebe für extreme Umami-Konzentration und deutliche Säurespitzen aufgreift, während die cremige Burrata die für dich obligatorische feuchte Komponente liefert und einen spannungsreichen texturalen Kontrast zur dichten, würzigen Konfitüre bildet.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Die Zutaten</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Basis: 750 g hochwertige Dosentomaten (San Marzano), 3 EL Tomatenmark.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Würze: 2 getrocknete Chipotle-Chilis (oder 1 EL Chipotle in Adobo), 3 Knoblauchzehen, Meersalz, 1 EL Zucker.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Pasta: 375 g Vollkorn-Spaghetti (z. B. Kamut oder Farro).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Finish: 2 Kugeln Burrata (Kuhmilch), frisches Basilikum, 3 EL hochwertiges Olivenöl.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Der Zeitplan</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">16:50 Uhr: Vorbereitung. Knoblauch fein hacken, Chipotles mörsern.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">17:00 Uhr: Start Konfitüre. Tomaten, Tomatenmark, Knoblauch, Chili und Süße in einem weiten Topf bei kleiner Hitze ansetzen.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:40 Uhr: Pastawasser aufsetzen (stark gesalzen). Konfitüre final abschmecken (Säure/Salz-Balance).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:48 Uhr: Spaghetti ins Wasser geben (Garzeit ca. 10–12 Min. für Vollkorn, Packungsanleitung beachten).</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">18:57 Uhr: Pasta direkt aus dem Wasser in den Topf mit der Konfitüre heben. Ein Schluck Pastawasser dazu, kräftig durchschwenken, bis jede Nudel glänzt.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">19:00 Uhr: Anrichten. Burrata erst auf dem Teller mittig aufreißen und über die heiße Pasta geben. 2/3 Kugel pro Portion ist genug. Mit Olivenöl und Basilikum abschließen.</span> :<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Toppings & Pairing</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Toppings: Für den texturalen Kontrast (Crunch) empfehlen sich geröstete Pinienkerne oder knusprig ausgebratene Bacon-Splitter.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Begleitsalat: Ein herber Arugula-Salat (Rucola) mit gehobeltem Fenchel. Das Dressing sollte eine starke Zitronennote haben, um die Schwere der Konfitüre zu brechen.</span> :*<span style="color:MidnightBlue; font-family: 'Courier New', Courier, monospace;">Getränk: Ein kräftiger, leicht gekühlter Primitivo oder Negroamaro. Die Fruchtigkeit des Weins harmoniert mit der Tomatensüße, während die Tannine gegen die Schärfe bestehen. Alkoholfrei: Ein herbes Tonic Water mit Rosmarinzweig.</span> Bevor der erste Handgriff getan wird, empfiehlt es sich dringend, '''das Rezept einmal vollständig zu lesen'''. Das dient zwei Zwecken: Erstens verschafft es einen Überblick über den Ablauf und verhindert, dass man mitten im Kochen überrascht wird — etwa von einer Ruhezeit, die das Rezept erfordert, oder von einem Schritt, der besondere Vorbereitung verlangt. Zweitens ist es der Moment, in dem mögliche Unstimmigkeiten auffallen: eine Zutat in der Liste, die in der Anleitung nicht mehr vorkommt, oder umgekehrt. Auf die Fallstricke des KI-generierten Rezepts geht Kapitel 7 ausführlicher ein. === Fünfter Schritt: Kochen — mit offenem Chatfenster === Das Chatfenster bleibt während des Kochens geöffnet. Dies ist einer der stillen, aber entscheidenden Vorteile der Methode gegenüber jedem Kochbuch und jeder Rezeptplattform: Die KI antwortet, wenn man sie mitten im Kochprozess fragt. Typische Situationen, in denen das unmittelbar nützlich ist: *Eine Zutat fehlt doch: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe keinen Tahini — womit kann ich ihn ersetzen, und ändert das etwas an den Mengenverhältnissen?</span> Die KI nennt einen oder mehrere Ersätze und passt die Angaben entsprechend an. *Eine Angabe ist unklar: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Was genau meinst du mit ‚auf mittlerer Hitze reduzieren' — soll die Sauce wirklich 20 Minuten köcheln oder reichen 10?</span> Die KI präzisiert und gibt wenn nötig visuelle oder sensorische Erkennungsmerkmale an — wie die Sauce aussehen, riechen oder sich verhalten soll, wenn der Schritt abgeschlossen ist. *Ein Schritt erscheint verdächtig: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Das Rezept sagt, das Hähnchenfilet ist nach 12 Minuten gar — das kommt mir zu kurz vor für die Größe, die ich hier habe.</span> Die KI erklärt ihre Annahme, korrigiert sie falls nötig und gibt eine angepasste Empfehlung. Dieser Typ von Echtzeit-Rückfrage ist zugleich die wichtigste Prophylaxe gegen Kalibrationsfehler, die Kapitel 7 als häufigste Fehlerklasse benennt. *Eine spontane Ergänzung bietet sich an: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe gerade noch frischen Estragon entdeckt — passt der zu diesem Gericht, und wenn ja, wann und wie gebe ich ihn dazu?</span> Die KI bewertet die Idee und integriert sie in den laufenden Kochprozess. Das Chatfenster offen zu halten bedeutet nicht, dass man es ständig konsultieren muss — in der großen Mehrheit der Sitzungen verläuft das Kochen ohne Rückfragen. Aber die Möglichkeit, jederzeit nachzufragen, verändert die Grundhaltung beim Kochen: Man folgt dem Rezept nicht mehr blind, sondern im Dialog. === Sechster Schritt: Der Post-cook-Review === Nach dem Essen lohnt sich eine kurze Rückmeldung an die KI — ein bis zwei Sätze, nicht mehr. Was war gut? Was hätte besser sein können? Welche Zutat oder Technik war eine Entdeckung, welche eine Enttäuschung? Diese Rückmeldung ist der wichtigste Einzelbeitrag zum Aufbau des Geschmacksprofils. Eine KI, die nach zwanzig Sitzungen mit Post-cook-Reviews arbeitet, kennt die Präferenzen des Benutzers präziser als die meisten Menschen, die regelmäßig gemeinsam mit ihm essen. Der Review muss nicht formal sein. Ein beiläufiger Kommentar — <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">die Sauce war zu dünn, aber die Kombination Zimt und Lamm war eine Offenbarung, die mache ich wieder</span> — ist vollständig ausreichend und außerordentlich informationsreich. == 5. Spezielle Modi des KI-gestützten Kochens == [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 03.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: Tahini-Lemon-Bowl, mit gebackenen Kichererbsen und in Pfeilwurz paniertem, gebratenem Feta]] === Variationsmodus: Altbekanntes einmal ganz anders zubereiten === Der Variationsmodus dient dazu, bestehende Rezepte – egal ob aus dem Internet, einem Kochbuch oder aus der Familientradition – mithilfe der KI an neue Rahmenbedingungen anzupassen. Anstatt das Rad neu zu erfinden, nutzt die KI das Original als strukturelle Vorlage und modifiziert Zutaten, Techniken oder Nährwerte, um das Gericht für spezifische Gäste, knappe Zeitbudgets oder persönliche Gesundheitsziele zu optimieren, ohne den Kern des Rezepts zu verlieren. Beispiele (das Originalrezept wird der KI hier jeweils als separate Datei übergeben): * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Optimiere dieses klassische französische Schmorgericht für mein persönliches Profil: Erhöhe die Säure, verstärke die Kräuternote und sorge für mehr Crunch.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wandle dieses Gulasch-Rezept in eine vegetarische Version um, die die tiefe Umami-Struktur und die fleischähnliche Textur beibehält.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Passe dieses Rezept für meinen Gast an, der eine schwere Nussallergie hat und keinen Knoblauch verträgt, ohne dass das Gericht flach schmeckt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe nur 20 Minuten Zeit; wandle dieses 2-Stunden-Rezept in eine Express-Variante um, die geschmacklich so nah wie möglich am Original bleibt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Gestalte dieses Rezept „kindersicher“: Entferne den Alkohol, mildere die Schärfe und verstecke das Gemüse so, dass die Textur homogen bleibt. Es soll dabei aber auch für Erwachsene attraktiv bleiben.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Mache aus diesem einfachen Alltagsgericht eine luxuriöse Festtagsversion unter Verwendung von Premium-Zutaten und einer anspruchsvolleren Anrichteweise.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Übersetze dieses Pfannengericht für die Zubereitung im Backofen (Convection Roast), da ich heute für zehn Personen gleichzeitig kochen muss.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Dekonstruiere dieses klassische Gericht in eine moderne Fingerfood-Variante, die man ohne Besteck auf einer Party essen kann.</span> === Optimierungsmodus: Reste und Convenience veredeln === [[File:Dish based on an AI-generated cooking recipe 06.jpg|thumb|Gestrecktes und optimiertes fleischlastiges chinesisches Restaurantessen: ergänzt wurden u.a. schwarzer Reis, ein TK-Gemüsemix und Römersalat (Flüssigkeiten: Liquid Amino, Noilly Prat; Reisessig)]] Nicht jedes Essen beginnt mit frischen Rohzutaten; oft ist die Aufgabe in der Küche die Rettung von Resten, die Aufwertung von Fertiggerichten oder das „Strecken“ einer zu kleinen Portion Take-out. Die KI fungiert hier als kulinarischer Problemlöser, der bestehende Geschmacksprofile erkennt und durch gezielte Ergänzungen in neue, vollwertige Mahlzeiten verwandelt. Besonders beim Aufwärmen oder bei Tiefkühlkost leidet oft die Konsistenz. Die KI kann hier helfen, durch komplementäre Techniken – wie das Hinzufügen von frischen Texturen oder das nachträgliche Herbeiführen von Röstnoten – die typischen Schwächen von aufgewärmtem Essen (Matschigkeit, Eindimensionalität) gezielt auszugleichen. Prompts für das kulinarische Upcycling: * Portionserweiterung & Textur-Rettung: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe hier eine halbe Portion übrig gebliebenes Thai-Curry mit Gemüse, das durch das Aufwärmen leider sehr weich und matschig geworden ist. Schlage mir vor, mit welchen trockenen Basiszutaten (z. B. Getreide oder Hülsenfrüchte) ich die Menge verdoppeln kann und wie ich durch ein schnelles Topping aus gerösteten Komponenten wieder massiven Crunch und Frische in das Gericht bringe.</span> * Convenience-Tuning: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Als Basis für ein schnelles Essen möchte ich eine Dose klassische Linsensuppe verwenden. Schlage mir drei gezielte Eingriffe vor, um das Aroma Richtung Levantine zu verschieben, und nenne mir eine Technik, wie ich die weichgekochte Textur der Dosenlinsen durch eine knusprige Einlage oder ein kontrastierendes Finishing (z. B. in Butter gebratene Croutons mit spezifischen Gewürzen) kompensieren kann.</span> * Resteverwertung mit Profil-Check: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Vom Vortag ist eine Portion gebratener Reis übrig geblieben. Das Gericht ist mir zu trocken und geschmacklich etwas flach. Erstelle eine Anleitung, wie ich daraus ein 'Moist-Dish' mache, indem du eine passende, schnell zubereitete Sauce hinzufügst, und gib mir eine Empfehlung für eine saure oder bittere Komponente, die das schwere Umami aufbricht.</span> === Kochen im Team === Beim Team-Kochen fungiert die KI als virtueller Küchenchef und Koordinator. Sie verteilt Aufgaben basierend auf den individuellen Fähigkeiten der Teammitglieder, berücksichtigt die Ergonomie des verfügbaren Raums und synchronisiert die Arbeitsabläufe durch präzise Zeitstempel. Ob als digitaler Aushang für alle oder als personalisierter Instruktions-Feed auf dem eigenen Smartphone – die KI sorgt dafür, dass aus dem potenziellen Chaos einer Gruppensitzung ein harmonischer, paralleler Workflow wird. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir wollen ein Rinderfilet Wellington mit einer komplexen Rotwein-Reduktion kochen. Wir sind zu viert: Zwei von uns sind sehr erfahren, zwei sind Anfänger. Verteile die Aufgaben so, dass die Profis das Fleisch parieren und die Sauce montieren, während die Anfänger die Duxelles vorbereiten und den Teig verzieren.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane die Zubereitung von selbstgemachten Teigtaschen (Gyoza) für drei Personen. Da unsere Küche sehr schmal ist, teile die Arbeit auf: Eine Person bereitet die Füllung am Esstisch vor, eine rollt den Teig aus und nur die dritte Person steht am Herd, um die Taschen portionsweise zu braten.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir bereiten selbstgemachte Pizza zu, inklusive Teig und Sauce. Wir sind zwei Erwachsene und zwei Kinder (6 und 9 Jahre). Gib den Kindern spezifische Aufgaben wie das Zerzupfen des Mozzarellas und das kreative Belegen, während die Erwachsenen den heißen Ofen und das Schneiden übernehmen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen ein klassisches Risotto mit geschmortem Saisongemüse. Eine Person im Team ist älter und möchte im Sitzen mithelfen. Weise ihr Aufgaben wie das Schälen des Gemüses und das Zupfen der Kräuter zu, während die anderen den Rührvorgang am Herd übernehmen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir bereiten ein Drei-Gänge-Menü (Jakobsmuscheln, Lammrücken, Schokosoufflé) vor. Erstelle für uns drei einen synchronisierten Zeitplan mit Zeitstempeln, damit die Vorspeise um 19:30 Uhr und der Hauptgang um 20:15 Uhr serviert werden kann. Wer muss wann was vorbereiten?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen authentisches thailändisches Green Curry. Erstelle drei separate Instruktionslisten, die wir uns auf die Handys schicken können: Posten A ist für die Currypaste und das Aroma zuständig, Posten B für das Schneiden von Fleisch und Gemüse, Posten C für den Reis und das finale Abschmecken.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir kochen indisches Butter Chicken mit Naan-Brot. Verteile die Aufgaben auf drei Personen, aber baue für jeden von uns feste 5-Minuten-Slots für den Zwischenabwasch und das Aufräumen ein, damit nach dem Essen die Küche bereits fast sauber ist.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wir planen ein herbstliches Buffet mit 5 verschiedenen Mezze. Weise uns vier klare Rollen zu (z. B. Chef de Cuisine, Saucier, Gardemanger, Patissier) und ordne die entsprechenden Rezepte und Teilschritte diesen Rollen zu, damit jeder die volle Verantwortung für seinen Bereich trägt.</span> === Strategisches Verbundkochen === Beim intelligenten Planen für mehrere Tage agiert die KI als persönlicher Logistikchef. Sie erstellt nicht nur einen strukturierten Einkaufszettel für alle geplanten Mahlzeiten, sondern taktet die Rezepte auch nach der Haltbarkeit der Zutaten: Empfindlicher Fisch oder frischer Spinat landen am Montag auf dem Teller, während robustes Wurzelgemüse oder vakuumierte Vorräte für den Freitag reserviert werden. Dabei lassen sich zwei Ansätze unterscheiden: ==== Klassisches Batch-Cooking (Die Vorrats-Session) ==== In einer einzigen, konzentrierten Kochsession werden mehrere Mahlzeiten komplett oder in großen Komponenten vorgekocht. Dies ist ideal für Menschen mit wenig Zeit unter der Woche. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane eine zweistündige Session am Sonntag für 5 Büro-Lunches, die ich in der Mikrowelle aufwärmen kann. Ich möchte zwei verschiedene Eintöpfe und eine Getreidebasis vorkochen.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich möchte am Sonntag eine riesige Menge meiner levantinischen Basissauce vorkochen. Erstelle mir drei Variationen, wie ich diese Basis von Montag bis Mittwoch mit minimalem Aufwand (unter 10 Min.) völlig unterschiedlich finalisieren kann.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Am Samstag kommen meine Eltern zu Besuch. Plane meine Mahlzeiten ab Dienstag so, dass ich durch tägliches ‚Beiläufig-Vorbereiten‘ am Samstag, wenn die Gäste da sind, fast keine aktive Arbeit mehr habe.</span> ==== Synchron-Planung (Der strategische Einkauf) ==== Hier wird an den jeweiligen Tagen frisch gekocht, aber die Planung und der Einkauf erfolgen synchron. Dieser Modus nutzt Synergien bei den Zutaten und spart Zeit durch einmaliges, gezieltes Besorgen aller Waren. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Plane für die nächsten 5 Tage. Ich möchte nur zweimal tierisches Protein verwenden (Dienstag und Freitag). Erstelle eine Einkaufsliste, die sicherstellt, dass die frischen vegetarischen Zutaten für die ersten drei Tage nicht welken.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Erstelle einen Plan für 4 Tage: Dienstag ist bei uns fix Pastatag für die Kinder, Mittwoch esse ich allein (etwas Anspruchsvolleres), und Donnerstag muss es blitzschnell gehen. Maximiere die Überschneidungen beim Gemüse für den Einkaufskorb.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich habe heute einen Großeinkauf gemacht, inklusive empfindlicher Beeren und Hackfleisch. Einzelheiten lege ich in separater Datei bei. Sortiere meine ebenfalls beiliegenden Rezeptwünsche für die Woche so, dass die verderblichsten Sachen zuerst verbraucht werden, ohne dass der Speiseplan eintönig wirkt.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Ich kaufe einen großen Kopf Rotkohl und einen Sack Kartoffeln. Plane drei Gerichte über die Woche verteilt, die diese beiden Hauptzutaten nutzen, aber jedes Mal eine völlig andere Länderküche repräsentieren.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In meinem Garten ist gerade der Mangold reif. Plane für die nächsten 3 Tage Rezepte, die jeweils eine große Portion Mangold verarbeiten, aber achte darauf, dass ich nur einmal für die ergänzenden Zutaten einkaufen gehen muss.</span> === Auf Bestellung erfunden === [[File:AI Designed Customized Cookies.jpg|thumb|Personalisierte Chocolate Chip Cookies. Der Benutzer wünschte sich trockene und sehr feste, krümelarme, mit grobem Salz bestreute Kekse mit minimierten einfachen Kohlenhydraten, seinem persönlichen Geschmacksprofil entsprechend. Die KI schlug u.a. Verwendung von Mandelmehl, Roggenvollkornmehl, Eiklar und Sucralose sowie zweifaches Backen vor. Die genannten Zutaten sind etwas, das dieser Benutzer tatsächlich ständig vorrätig hält.]] Manchmal reicht Personalisierung im üblichen Sinne nicht aus. Das Benutzerprofil ist bekannt, das Geschmacksprofil ist geschärft — und trotzdem gibt es Situationen, in denen der Benutzer etwas braucht, das so spezifisch ist, dass kein Kochbuch und keine Rezeptplattform der Welt es liefern kann. Genau hier liegt eine der stillen Stärken der Methode: Die KI erfindet auf Anfrage Originalrezepte, die auf eine einzige Person und eine einzige Situation zugeschnitten sind. Ein paar Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Rezept für warmes High-Protein-Lunch im Büro, nur mit Wasserkocher und Thermoskanne gegart. Kein Tütensuppen-Niveau.</span> '' * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Brauche ein vollwertiges, klecker- und krümelfreies Gericht, das man beim Computerspiel blind mit einer Hand essen kann. Andere Hand fixiert.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Snack gesucht. Maximaler akustischer Crunch beim Kauen, aber minimal Kalorien. Fokus auf extremen oralen Widerstand.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nahrhafter Frühstücksriegel, der beim Auspacken und Kauen absolut lautlos ist. Pendler-Modus, will die Mitreisenden nicht verärgern.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Hilfe, meine Kekse verschwinden immer in unbefugten Mündern! Denk dir ein Kleingebäck aus, das nur mein persönliches Profil perfekt trifft, aber für alle meine Mitbewohner geschmacklich abstoßend ist.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Einzelportion „Wellington“-Style für den Toaster-Ofen. Fertig in 15 Min, keine Restmengen bei Spezialzutaten.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Herzhaftes Hauptgericht mit kryogenen Zutaten zur Senkung der Körpertemperatur. Kein Salat, keine kalte Suppe.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Erfinde eine Zubereitungsart, die Gemüse in eine papierartige oder knusprige Form bringt. Keine matschigen Texturen erlaubt.</span> '''Aber aufgepasst''': Die Gefahr des Scheiterns steigt hier, da die KI oft in technologische Grenzbereiche spekuliert. Anspruchsvolle Techniken wie die molekulare Sphärisierung oder das präzise Temperieren von Schokolade erfordern nicht nur spezialisiertes Equipment, sondern auch jahrelange Übung in der Feinmotorik. Wenn die KI komplexe Emulsionen oder chemisch sensible Texturkontraste vorschlägt, überschätzt der Laie leicht seine Fähigkeiten. Solche Verfahren verzeihen keine Abweichung bei Temperatur oder pH-Wert – handwerkliche Meisterschaft lässt sich nicht durch einen Prompt ersetzen. === Explorationsmodus === Im Explorationsmodus bittet der Benutzer die KI, auf Basis des bisherigen Geschmacksprofils aktiv neue Empfehlungen auszusprechen. Statt auf konkrete Zutaten oder Hunger zu reagieren, nutzt die KI das gespeicherte Wissen über Vorlieben und Abneigungen als Koordinatensystem, um gezielt Vorschläge in das noch unbekannte kulinarische Terrain zu machen – ähnlich einem personalisierten Algorithmus für Musik, nur für die Küche. Beispiele: * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welche Zutat, die ich noch nie verwendet habe, passt perfekt zu meiner Vorliebe für Umami und Texturkontraste?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Nenne mir eine regionale Küche, die ich bisher ignoriert habe, die aber genau mein Säure-Schärfe-Empfinden trifft.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Schlage mir drei Gewürze vor, die mein aktuelles Repertoire sinnvoll ergänzen, ohne redundant zu sein.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Entwirf ein Rezept, das eine Zutat verwendet, die ich normalerweise ablehne, aber so zubereitet ist, dass sie mein Profil anspricht.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welches Getränk-Pairing (alkoholisch oder alkoholfrei) würde meine liebsten Abendessen ideal ergänzen?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welches Getreide oder Pseudogetreide fehlt mir noch für eine abwechslungsreiche Textur in meinen Bowls?</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Empfiehl mir ein spezielles Küchenwerkzeug, das Techniken ermöglicht, die mein Profil radikal erweitern würden.</span> * <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Welche Konservierungsmethode (Einlegen, Trocknen etc.) passt am besten zu den Aromen, die ich das ganze Jahr über essen möchte?</span> === Bildungsmodus: Den eigenen Gaumen verstehen === Nach einer längeren Phase der Zusammenarbeit ist die KI in der Lage, nicht mehr nur Rezepte zu liefern, sondern ein konsistentes kulinarisches Profil für den Benutzer zu entwerfen. Dabei entstehen oft wiederkehrende Muster in der Auswahl von Gewürzen, Säureträgern oder Techniken, die tief in der Aromenlehre verwurzelt sind, vom Benutzer aber oft nur unbewusst als „stimmig“ wahrgenommen werden. Im Bildungsmodus nutzt man die KI als Mentorin, um die theoretische Architektur hinter den eigenen Vorlieben zu entschlüsseln. Indem man die KI zwingt, ihre Entscheidungen zu begründen, wandelt sich das Kochen von einer bloßen Ausführung von Schritten zu einer bewussten Schulung des eigenen Geschmacks- und Technikverständnisses. Beispielexplorationen für den Bildungsmodus: * Musteranalyse der Zutaten: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In den letzten Monaten hast du mir für fast alle Fleischgerichte eine Kombination aus Sternanis und Orangenschale vorgeschlagen. Erkläre mir die chemische und geschmackliche Logik hinter diesem Muster und warum das spezifisch zu meiner Vorliebe für dunkle, komplexe Saucen passt.</span> * Technik-Check: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Du schlägst bei meinen Gemüsebeilagen oft das Rösten bei sehr hohen Temperaturen statt Dämpfen vor. Welche Rolle spielt dabei die Maillard-Reaktion für mein Profil und wie verändert das die Balance, wenn gleichzeitig eine säurebetonte Sauce im Spiel ist?</span> * Die 'Warum'-Frage beim Abschmecken: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">In der heutigen Fisch-Sauce hast du Kapernwasser und kalte Butter kombiniert. Warum hast du dich für diese spezifische Säurequelle entschieden und nicht für den Zitronensaft, den ich sonst oft verwende? Was bewirkt dieser Unterschied im Mundgefühl?</span> * Profil-Extraktion: <span style="color: #2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Analysiere die letzten zehn Rezepte, die wir gemeinsam gekocht haben. Welche drei kulinarischen Grundprinzipien ziehen sich wie ein roter Faden durch diese Gerichte und wie könnte ich diese Prinzipien anwenden, wenn ich einmal völlig ohne KI-Hilfe ein improvisiertes Essen zubereite?</span> == 6. Welcher Chatbot eignet sich am besten? == [[Datei:Dish based on an AI-generated cooking recipe 01.jpg|thumb|Nach einem Chatbot-Rezept gekocht: „South-Asian Heat“ Sirloin, mit Steak, fein gewürfelten, gebackenen Kartoffeln, grünen Bohnen, Spinat und Kapernäpfeln; gewürzt u.a. mit Tamarindenpaste, Gochujang und Fischsauce]] Die Wahl des Chatbots beeinflusst den Workflow maßgeblich, da die Modelle auf unterschiedliche Daten spezialisiert sind. Gemini z.B. wirkt oft wie ein Praktiker, der massiv mit Inhalten aus Kochforen trainiert wurde und bei Warenkunde sowie pragmatischer Küchenlogistik glänzt. „Intellektuellere“ Modelle wie Claude, deren Fokus eher auf wissenschaftlichen oder literarischen Texten liegt, erweisen sich in der direkten Küchenpraxis oft als weniger intuitiv. Trotzdem sollte der Benutzer selbst experimentieren, um herauszufinden, welche KI-Mentalität sich am besten in den persönlichen Workflow einfügt. Ein direkter Vergleich desselben Auftrags in verschiedenen Systemen offenbart schnell, ob man eher die logische Schärfe eines Strategen oder die pragmatische Erfahrung eines virtuellen Kochbuchs benötigt – die Letztentscheidung bleibt eine Frage des individuellen Stils. == 7. Grenzen und Fallstricke == KI-gestütztes Kochen ist keine Magie, sondern ein logistisches Werkzeug. '''Die Methode ersetzt keine Kochkompetenz, sondern setzt sie voraus''': Wer weiß, wie ein Gericht schmecken sollte, erkennt Fehler im Entwurf sofort. Die größte Stärke der KI – ihre Bereitschaft, jeden Befehl umzusetzen – ist gleichzeitig ihre größte Schwäche. === Übergehorsame Befehlsanwendung === ==== Der Würzfehler: wenn Präzision zur Kumulation wird ==== Die KI führt Skalierungsanweisungen ohne kulinarisches Urteil aus. Wer „verdopple die Sauce" sagt, bekommt die doppelte Menge — auch wenn die Sauce extrem salzig, scharf oder fettig ist und die Balance des Gerichts dabei kippt. Dasselbe Muster zeigt sich bei der Kombination mehrerer intensiver Komponenten: Wenn der Benutzer gleichzeitig Gochujang, Chipotle und frische Chilischoten anfordert, setzt die KI alle drei um, ohne zu prüfen, ob das Ergebnis noch genießbar ist. Sie optimiert auf Befehlstreue, nicht auf Geschmack. Die Lösung ist eine Würzdisziplin-Regel im Küchenprofil, die der KI eine konkrete Obergrenze setzt und sie zur aktiven Kumulations-Kontrolle verpflichtet. Beispiel: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Bei jedem Rezept darfst du den Salzgehalt — summiert über alle salzhaltigen Zutaten wie Sojasauce, Fischsauce, Miso, Kapern, Sardellen und Salz selbst — 1,5 g Natrium pro Portion nicht überschreiten. Wenn mehrere scharfe, salzige oder fettreiche Komponenten zusammenkommen, weise mich auf den kumulativen Effekt hin und schlage vor, welche Komponente reduziert oder weggelassen werden sollte. Skalierungsanfragen für einzelne Zutaten oder Saucen führe nicht mechanisch aus, sondern prüfe, ob die Balance des Gerichts dabei erhalten bleibt.</span> ==== Der Personalisierungsfehler: wenn das Profil zur Falle wird ==== [[File:Dioscorea polystachya (batatas).jpg|thumb|Nagaimo]] Ein gut entwickeltes Geschmacksprofil birgt eine subtile Gefahr: Die KI kann so konsequent auf die bekannten Vorlieben des Benutzers optimieren, dass sie eine unbekannte Zutat ihrer kulinarischen Identität beraubt, bevor der Benutzer überhaupt die Chance hatte, sie kennenzulernen. Ein Beispiel: Ein Benutzer kauft Nagaimo — eine japanische Bergkartoffel, die in der traditionellen Küche wegen ihrer ausgeprägten Schleimigkeit geschätzt wird, die beim Reiben eine fast klebrige, fließende Textur entwickelt. Diese Eigenschaft ist keine Schwäche, sondern das Wesen der Zutat: Sie gibt dem japanischen Gericht Tororo seinen charakteristischen, seidigen Schmelz, sie macht Okonomiyaki elastisch und luftig, sie bindet Teige auf eine Art, die kein anderes Bindemittel replizieren kann. Ein Geschmacksprofil, das Schleimigkeit als Abneigung verzeichnet und Krossheit bevorzugt, wird die KI wahrscheinlich dazu veranlassen, aus dem Nagaimo gebackene Fritten zu machen — was technisch durchführbar ist, aber die Zutat auf ein Ergebnis reduziert, das von gewöhnlichen Kartoffelfritten geschmacklich nicht zu unterscheiden ist. Der seltene Fund wird verschenkt. Die Lösung ist eine Authentizitätsregel für den Erstkontakt, die man als explizite Anweisung ins Küchenprofil aufnehmen kann. Beispiel: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wenn wir eine Zutat zum ersten Mal verwenden — insbesondere etwas Ethnisches, Seltenes oder außerhalb des normalen Supermarktsortiments — darfst du mir nur Rezepte vorschlagen, die eine möglichst große Annäherung an traditionelle Zubereitungsweisen bilden. Du sollst dies auch dann tun, wenn das Ergebnis mit meinem Geschmacksprofil nicht oder nicht vollständig übereinstimmt. Wenn immer eine solche Abweichung besteht, sollst du mich aber ausdrücklich darauf hinweisen und genau beschreiben, welche Eigenschaften — z.B. Schleimigkeit, Bitterkeit, intensive Fermentationsaromen, ungewohnte Texturen — diese Zutat bei traditioneller Zubereitung mitbringt. </span> ==== Der Ästhetikfehler: wenn die KI das Auge vergisst ==== Manche Zutaten sind mehr als ihre Aromen und Texturen — sie sind visuell. Ihr eigentliches Potenzial erschließt sich erst auf dem Teller, in einer bestimmten Schnittform oder durch ein bestimmtes Anrichten. Eine KI ohne Augen weiß zwar, was eine Zutat ist — aber nicht, wie sie aussieht, und damit auch nicht, warum eine bestimmte Zubereitungsweise sie zu etwas Besonderem macht. Dieses Problem hat zwei Dimensionen. Die erste betrifft die Form: Lotuswurzel etwa entfaltet in Scheiben geschnitten eine fast ornamentale Wirkung — das netzartige Muster der Hohlkanäle macht jede Scheibe zu einem kleinen ästhetischen Ereignis auf dem Teller. Eine KI behandelt sie nach rein funktionalen Kriterien und schneidet sie in Stifte, weil Stifte bei Pfannengerichten eine bewährte Form sind. Kulinarisch nicht falsch — aber das Besondere der Zutat ist verschenkt. Die zweite Dimension betrifft die Farbe: Die KI kombiniert Zutaten nach Geschmack und Textur, ohne zu sehen, ob auf dem Teller drei verschiedene Brauntöne aufeinandertreffen oder ob ein einzelnes farbiges Element das ganze Gericht visuell rettet. Gerichte, die fantastisch schmecken, können optisch vollständig misslingen — und die KI bemerkt es nicht. Das Problem ist strukturell: Was sie über das Aussehen einer Zutat weiß, ist sprachlich kodiertes Wissen — und das bleibt abstrakt, solange es nicht mit expliziter Anweisung in die Rezeptlogik eingespeist wird. Die Lösung ist eine Visualisierungsregel im Küchenprofil. Beispiel: <span style="color:#2e2ed1; font-family: 'Comic Sans MS', 'Comic Sans', cursive;">Wenn eine Zutat eine charakteristische Schnittästhetik oder visuelle Eigenschaft besitzt — wie die Querschnittstruktur von Lotuswurzel, die Marmorierung von Fleisch oder die Lamellen von Pilzen — sollst du diese in der Zubereitung aktiv berücksichtigen. Darüber hinaus sollst du bei jedem Rezept die Farbkomposition des fertigen Tellers mitdenken: Droht Monochromie, weise mich darauf hin und schlage ein gezieltes Farbelement vor — eine frische Kräutergarnitur, eine kontrastierende Sauce, eine anders gefärbte Beilage. Falls du dir über die visuelle Qualität einer Zutat unsicher bist, frage nach.</span> === Weitere typische Fehler === ; Zutatengewicht und -größe: Die KI rechnet mit Standardgrößen — ein „Ei" ist für sie ein Ei mittlerer Größe, eine „Zwiebel" eine mittelgroße Zwiebel, eine „Kartoffel" eine von etwa 150 g. Was „mittlere Größe" konkret bedeutet, variiert jedoch je nach Land und Einkaufsquelle erheblich: Eiergrößen sind in Nordamerika, in Europa, in Australien und in Asien unterschiedlich klassifiziert und unterschiedlich bemessen. Wer gewohnheitsmäßig große Eier kauft, kleine Schalotten verwendet oder besonders schwere Kartoffeln vorrätig hält, bekommt Rezepte, deren Mengenverhältnisse still vom Tatsächlichen abweichen. Besonders anfällig sind Zutaten, bei denen Größe und Gewicht stark variieren: Eier, Kartoffeln, Zwiebeln und Schalotten, Zucchini, Auberginen, Äpfel und Birnen, Hähnchenteile sowie Fischfilets. Die Lösung ist einfach: diese Zutaten einmal wiegen — jeweils ein typisches Exemplar aus dem eigenen Einkauf — und die Werte als Standardangaben ins Küchenprofil aufnehmen. ; Kalibration & Hardware: Die KI geht von Durchschnittswerten aus (Standard-Ofen, 180g-Filet). Da sie die reale Küche des Benutzers nicht sieht, sind Garzeiten immer nur Richtwerte. Der Benutzer muss sich auf sein Handwerk verlassen: Bräunung und Textur müssen eigenständig geprüft werden. ; Abschmecken: Die KI kalkuliert Würzintensität theoretisch, schmeckt aber nicht ab. Da Naturprodukte wie Chilischoten in ihrer Schärfe stark schwanken und salzhaltige Zutaten sich kumulativ addieren, sind alle Mengenangaben Richtwerte. Das schrittweise Hinzufügen und finale Abschmecken bleibt eine exklusive menschliche Aufgabe. ; Diätische und kulinarische Regeln: Die KI neigt dazu, rezeptspezifische Wünsche als generelle Profileigenschaften zu verbuchen. Wer für ein einzelnes Gericht „ohne Salz" oder „ohne Fett" anfordert, riskiert, dass die KI diese Vorgabe auf alle folgenden Rezepte überträgt. Im Zweifel den Geltungsbereich explizit benennen: „nur für dieses Rezept". ; Kontext & Konsistenz: In langen Chats kann die KI Details „vergessen“ (Kontextverlust) oder die Zutatenliste widerspricht der Anleitung (Inkonsistenz). Solche logischen Brüche fallen bei der Durchsicht vor dem Kochen sofort auf. Ein kurzes Nachhaken korrigiert das Rezept meist unmittelbar. ; Fehleinschätzung der Kochkompetenz: Die KI kann die tatsächliche Fingerfertigkeit des Benutzers nicht einschätzen und schlägt daher gelegentlich Techniken vor, deren Komplexität sie unterschätzt – etwa das Braten von paniertem Feta, was ohne Erfahrung oft zum Zerlaufen in der Pfanne führt. Sie bewertet Schwierigkeitsgrade lediglich abstrakt und erkennt nicht, ob eine spezifische Methode für den Benutzer in der Praxis ein unüberwindbares Hindernis darstellt. Die KI hat keinen Geschmackssinn und keine Augen. Sie weiß nicht, wie reif die Tomate oder wie scharf das Messer ist. Auch in Fragen der Lebensmittelsicherheit (Garzeiten bei Geflügel, Kühlketten) ist gesunder Menschenverstand obligatorisch. Ein gedrucktes Kochbuch hat dieselben Schwächen – es kennt weder den Herd des Benutzers noch seine Abneigungen. Der entscheidende Vorteil der KI ist ihre '''Interaktivität''': Sie ist korrigierbar und passt sich im Dialog an. Wer die KI als lernfähigen Assistenten begreift, statt ihr blind zu vertrauen, wird die erheblichen Vorteile der Methode schnell für sich nutzen. == Siehe auch == * [[Kochbuch]] * [[Grundlagen der Ernährung]] [[Kategorie:Buch]] pg1n9x7pm0hdeb4y43tt1dj2inqimqe 0 122897 1088508 1088439 2026-06-30T07:07:52Z Juetho 15246 Antwort zum SLA 1088508 wikitext text/x-wiki Bitte zur Löschankündigung ändern oder gar entfernen. Das Geschriebene ist zwar zu kurz, könnte aber wohl im Buch über Imkerei und zwar im Kapitel [[Einführung in die Imkerei/ Beuten|Beuten]] passen. LG! -- [[Spezial:Contributions/Yomomo|Yomomo]] 22:48, 26. Jun. 2026 <small>(Signatur nachgetragen von: [[Benutzer Diskussion:Juetho|Jürgen]] 12:09, 27. Jun. 2026 (CEST)-- bitte signiere deine künftigen Beiträge selbst mit 4 Tilden <nowiki>~~~~</nowiki>)</small> : Der/Die Autor/in hat nicht reagiert, also sehe ich kein Interesse an diesem Text. Ich halte SLA aufrecht. -- [[Benutzer Diskussion:Juetho|Jürgen]] 12:09, 27. Jun. 2026 (CEST) ::„Neue Buchprojekte können als Buchkandidaten gekennzeichnet werden und sollen damit drei Monate von Löschanträgen verschont werden. Wenn '''[[Hilfe:Was Wikibooks ist]]''' erfüllt ist und sich das Buchprojekt entwickelt, ist ein Löschantrag unwahrscheinlich.“ (Siehe [[Hilfe:Löschregeln#Schnelllöschung#Kurzfassung|Hilfe]], dritte Regel in der Kurzfassung...) LG! [[Benutzer:Yomomo|Yomomo]] 15:54, 27. Jun. 2026 (CEST) ::: „können als Buchkandidaten gekennzeichnet werden (usw.)“. Aber wenn der/die Autor/in sich nicht mit den Grundsätzen von Wikibooks befasst und trotz Aufforderung sich nicht um die Entwicklung des „Buchs“ kümmert, warum sollten wir uns an seiner/ihrer Stelle Gedanken machen und aktiv werden? Nein, besser wird eine Ruine gebaut und bleibt als Bruchstück stehen. -- [[Benutzer Diskussion:Juetho|Jürgen]] 09:07, 30. Jun. 2026 (CEST) {{Löschen|Vom Inhalt und Umfang her kein Buch, allenfalls als Anfang für einen Wikipedia-Artikel geeignet; aber dort gab es keine entsprechende Aktivität. Löschankündigung bei [[Benutzer Diskussion:Apiculturenaturelle]] per 21:26, 14. Jun. 2026 (CEST) sowie 09:52, 18. Jun. 2026 (CEST) notiert – ohne jede Reaktion. Deshalb Schnelllöschung angemessen. -- [[Benutzer Diskussion:Juetho|Jürgen]] 08:56, 25. Jun. 2026 (CEST)}} Einfachbeuten sind ökologische Bienenbehausungen, die nach dem Grundsatz der Einfachheit entwickelt wurden: möglichst wenige Bauteile, robuste Konstruktion und möglichst geringe Störungen des Bienenvolkes.Eine Einfachbeute hat idealer weise einen quadratischen Innenraum mit 8 vertikalen [https://apiculturenaturelle.fr/de/rahmen-einfachbeute/ Mellifera-Hochrahmen] und einem Volumen von etwa 45 Litern und wird vorrangig im Mobilbau kann aber auch im Stabilbau betrieben werden. Der Begriff wird nicht einheitlich verwendet, bezeichnet aber meist Beuten, die sich an den natürlichen Bedürfnissen der Bienen orientieren und dem Imker eine unkomplizierte Betriebsweise ermöglichen wie zum Beispiel die vom Französischen Imker Emile Warré entwickelte Volksbeute nun als Warré Beute weltweit bekannt die wohl auch den Prinzipien einer Einfachbeute entspricht. Typische Merkmale einer Einfachbeute sind: Ein großer, zusammenhängender Brutraum in dem sich das Volk natürlich entwickeln kann nach dem Vorbild einer natürlichen Bienenwohnung in Bäumen,wo Bienen bevorzugt seit Millionen von Jahren leben. Einfache und stabile Bauweise mit wenigen Einzelteilen. Gute Wärmedämmung durch dicke Holzwände wie zum Beispiel die [https://apiculturenaturelle.fr/de/poeplaubeute/ 45 mm Dicke Bretterbeute] des Biodynamischen Imkers Norbert Poeplau. Wenige Eingriffe in das Brutnest, wodurch Stress für die Bienen reduziert wird. Langlebigkeit und Reparaturfreundlichkeit. Häufig eine Betriebsweise mit Schwerpunkt auf Bienengesundheit und Volksentwicklung statt auf maximalen Honigertrag. Die Idee dahinter ist, dass ein Bienenvolk umso stabiler und widerstandsfähiger bleibt, je weniger seine innere Organisation gestört wird. Jede Durchsicht des Brutraums verändert Temperatur, Luftfeuchtigkeit, Duftordnung und die Organisation der Arbeitsbienen. Eine Einfachbeute soll deshalb dem Volk ermöglichen, weitgehend ungestört zu leben und dennoch vom Imker betreut werden zu können. he0ijx29jg3p64g9malul46op3ablb8