Wikibooks dewikibooks https://de.wikibooks.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikibooks Wikibooks Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Regal Regal Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion Bogenbau/ Holz/ Liste von Hölzern/ Haselnuss 0 68075 1093218 847957 2026-11-02T14:07:52Z LivingShadow 3012 Ergänzung Schnellbau 1093218 wikitext text/x-wiki {{:Bogenbau/ Vorlagen/ Holz |name=Haselnuss |bild=File:Corylus avellana shrub.jpg }} Haselholz ist wie Ahorn sehr hell und ausserdem angenehm zu bearbeiten. Hasel ist in Wäldern kein «Nutzholz», denn er bildet viele lange Ruten, wird aber nicht sehr gross. Für den Bogenbau eignen sich Stämmchen bis 10&nbsp;cm Durchmesser; älteres Holz ist manchmal brüchig. Das Holz trocknet sehr schnell und kann bereits nach einer Woche bearbeitet werden. Vor dem Trocknen sollte Haselnuss entrindet werden, da es sonst spröde werden kann.<ref>[http://www.fletchers-corner.de/viewtopic.php?f=15&t=13881&start=15#p232267 Hasel wird spröde], wenn er in der Rinde getrocknet wird (Forenthread)</ref> Schnelle Verarbeitung und ein Finish schützen nach bisheriger Erkenntnis vor Brüchen durch Versprödung. Um einen Haselbogen rasch ohne lange Trocknungszeit zu bauen, entrindet man ihn direkt nach dem direkt nach dem Fällen und bringt ihn ''ohne Biegen'' grob in Bogenform. So trocknet er schneller und kann bereits nach ein bis zwei Wochen weiterbearbeitet werden. Gebogen darf er erst dann werden, wenn er fertig getrocknet ist, also nicht mehr täglich Gewicht in Form von Wasser verliert. Aus den dünneren zwei- bis vierjährigen Schösslingen lassen sich gut Pfeile herstellen. [[File:TurkHazel.jpg|thumb|Nuss vom Baumhasel]] Baumhasel ''(Corylus colurna)'' gilt als weniger gut geeignet für den Bogenbau. Zur Unterscheidung: Baumhasel bildet schon früh eine Borke, wächst nicht strauchartig, und die Fruchthülle sieht beinahe haarig aus durch die feinen Lappen. Die Gemeine Hasel ''(Corylus avellana)'' bildet wie zum Beispiel die Buche nie eine Borke. Hasel wächst häufig mit Drehwuchs. Dieser kann weitgehend ignoriert werden; bei den Wurfarmen muss jedoch auf der einen Hälfte des Markkanals zum Griff hin gearbeitet werden, wenn man merkt, dass das Holz dort einreisst. Durch den Drehwuchs zeigen die Fasern auf der einen Markkanalhälfte gegen die normale Schnittrichtung. == Links == <references/> {{clear}} {{Navigation zurückhochvor| zurücktext=Hartriegel| zurücklink=Bogenbau/ Holz/ Liste von Hölzern/ Hartriegel| hochtext=Liste von Hölzern| hochlink=Bogenbau/ Holz/ Liste von Hölzern| vortext=Holunder| vorlink=Bogenbau/ Holz/ Liste von Hölzern/ Holunder}} [[Kategorie:Bogenbau/ Pfeilholz|Hasel]] [[Kategorie:Bogenbau/ Bogenholz|Hasel]] ob55rw1c0ihka4oomft9pjuusidkunt 1093234 1093218 2026-11-02T16:11:23Z Intruder 1513 Doppelung entfernt 1093234 wikitext text/x-wiki {{:Bogenbau/ Vorlagen/ Holz |name=Haselnuss |bild=File:Corylus avellana shrub.jpg }} Haselholz ist wie Ahorn sehr hell und ausserdem angenehm zu bearbeiten. Hasel ist in Wäldern kein «Nutzholz», denn er bildet viele lange Ruten, wird aber nicht sehr gross. Für den Bogenbau eignen sich Stämmchen bis 10&nbsp;cm Durchmesser; älteres Holz ist manchmal brüchig. Das Holz trocknet sehr schnell und kann bereits nach einer Woche bearbeitet werden. Vor dem Trocknen sollte Haselnuss entrindet werden, da es sonst spröde werden kann.<ref>[http://www.fletchers-corner.de/viewtopic.php?f=15&t=13881&start=15#p232267 Hasel wird spröde], wenn er in der Rinde getrocknet wird (Forenthread)</ref> Schnelle Verarbeitung und ein Finish schützen nach bisheriger Erkenntnis vor Brüchen durch Versprödung. Um einen Haselbogen rasch ohne lange Trocknungszeit zu bauen, entrindet man ihn direkt nach dem Fällen und bringt ihn ''ohne Biegen'' grob in Bogenform. So trocknet er schneller und kann bereits nach ein bis zwei Wochen weiterbearbeitet werden. Gebogen darf er erst dann werden, wenn er fertig getrocknet ist, also nicht mehr täglich Gewicht in Form von Wasser verliert. Aus den dünneren zwei- bis vierjährigen Schösslingen lassen sich gut Pfeile herstellen. [[File:TurkHazel.jpg|thumb|Nuss vom Baumhasel]] Baumhasel ''(Corylus colurna)'' gilt als weniger gut geeignet für den Bogenbau. Zur Unterscheidung: Baumhasel bildet schon früh eine Borke, wächst nicht strauchartig, und die Fruchthülle sieht beinahe haarig aus durch die feinen Lappen. Die Gemeine Hasel ''(Corylus avellana)'' bildet wie zum Beispiel die Buche nie eine Borke. Hasel wächst häufig mit Drehwuchs. Dieser kann weitgehend ignoriert werden; bei den Wurfarmen muss jedoch auf der einen Hälfte des Markkanals zum Griff hin gearbeitet werden, wenn man merkt, dass das Holz dort einreisst. Durch den Drehwuchs zeigen die Fasern auf der einen Markkanalhälfte gegen die normale Schnittrichtung. == Links == <references/> {{clear}} {{Navigation zurückhochvor| zurücktext=Hartriegel| zurücklink=Bogenbau/ Holz/ Liste von Hölzern/ Hartriegel| hochtext=Liste von Hölzern| hochlink=Bogenbau/ Holz/ Liste von Hölzern| vortext=Holunder| vorlink=Bogenbau/ Holz/ Liste von Hölzern/ Holunder}} [[Kategorie:Bogenbau/ Pfeilholz|Hasel]] [[Kategorie:Bogenbau/ Bogenholz|Hasel]] 6rf9pmkx28jgwq4yrbu0lgl1rubwbjj Strukturierte Programmierung 0 84057 1093236 1088780 2026-11-03T09:00:10Z Bautsch 35687 /* Sichtbarkeiten */ C-Beispiele 1093236 wikitext text/x-wiki {{Regal | ort=Programmierung}} [[Datei:Programmierung.Java.Julia-Menge.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des mit Tastatursteuerung interaktiven Java-Programms [[Das Apfelmännchen/ FraktaleMengeAusgabe|FraktaleMengeAusgabe]] zur Berechnung und Darstellung von Julia-Mengen oder der Mandelbrot-Menge. Siehe auch '''Wikibook [[Das Apfelmännchen]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.Maze.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms [[Rekursive Labyrinthe/ MazeGraphs|Maze]] zur rekursiven Erstellung und Darstellung von Labyrinthen. Siehe auch '''Wikibook [[Rekursive Labyrinthe]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.SimForestFrame.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms [[Waldbrandsimulation/ SimForestFrame|SimForestFrame]] zur Simulation und Darstellung von sich ausbreitenden Waldbränden. Siehe auch '''Wikibook [[Waldbrandsimulation]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.Campingplatzraetsel.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des mit Maussteuerung interaktiven Java-Programms [[Campingplatzrätsel/ CampingplatzGraphs|CampingplatzGraphs]] zur Erstellung und Darstellung von Campingplatzrätseln. Siehe auch '''Wikibook [[Campingplatzrätsel]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.GameOfLife.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms "GameOfLife" zur Anzeige von Conways Spiel des Lebens. Siehe auch '''Wikibook [[Game of Life]]'''.]] ==Einleitung== Das Buch '''Strukturierte Programmierung''' ist kein Lehrbuch zum Erlernen einer Programmiersprache, sondern soll als kleiner Leitfaden dazu dienen, besser strukturierte Programme erstellen zu können, selbst wenn die eingesetzten Programmiersprachen die strukturierte Programmierung weniger stark unterstützen. <big>Warum lohnt es sich überhaupt, strukturiert zu programmieren&nbsp;?</big> Es gibt eine ganze Reihe von naheliegenden Gründen, aber auch einige Vorteile, die nicht auf der Hand liegen oder jedermann sofort ersichtlich sind. Anfänger und Fortgeschrittene profitieren gleichermaßen von gut strukturierter Programmierung. Die Vorteile sind so erheblich, dass es unbedingt sinnvoll ist, gut strukturiert zu programmieren. Im Folgenden werden einige wichtige Vorteile aufgeführt und erläutert: *'''Strukturierte Programme sind leichter nachvollziehbar.''' Dies erleichtert die Arbeit im Team und vereinfacht die Wartung, wenn der Quellcode ergänzt, geändert oder korrigiert werden muss. *'''Strukturierte Programme haben weniger Programmierfehler.''' Dies reduziert die Entwicklungszeiten und erhöht die Akzeptanz bei den Auftraggebern und Nutzern der Software. *'''Strukturierte Programme können ohne Laufzeit-Debugger erstellt werden.''' Dies spart enorm viel Zeit und Nerven bei der Entwicklung von Software. Die geringen Laufzeiteinbußen, die bei hoch strukturierter Programmierung von Anwendungssoftware gegenüber laufzeitoptimiertem Code entstehen können, spielen –&nbsp;sofern sie überhaupt existieren sollten&nbsp;– bei den heutzutage zur Verfügung stehenden modernen und schnellen Rechenmaschinen praktisch keine Rolle mehr. Programmcode wegzulassen, der der inhärenten Betriebssicherheit von Software oder der inhärenten Datenintegrität dient, macht nur in sehr wenigen, extrem zeitkritischen Anwendungen Sinn, keineswegs jedoch bei herkömmlichen oder gar sicherheitskritischen Anwendungsprogrammen. Die Ratschläge aus diesem Buch beruhen auf jahrzehntelanger Erfahrung mit der Softwareentwicklung komplexer Systeme und dem Hochschulunterricht im Fach Programmierung mit verschiedenen Programmiersprachen. Die folgende Check-Liste enthalt eine Reihe von wichtigen Kriterien, die bei strukturierter Programmierung berücksichtigt werden sollten: * <big><big>'''[[Strukturierte Programmierung/ Checkliste|Checkliste]]'''</big></big> Übrigens: ''In der Kürze der Quelltextdatei liegt nicht die wahre Würze des Programmierens&nbsp;!'' Und noch wichtiger: :''So ists mit aller Bildung auch beschaffen:'' :''Vergebens werden ungebundne Geister'' :''Nach der Vollendung reiner Höhe streben.'' :''Wer Großes will, muß sich zusammenraffen;'' :''In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister,'' :''Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben.'' ::Johann Wolfgang von Goethe, Ende von ''Das Sonett'' Viel Erfolg beim strukturierten Programmieren wünscht [[Benutzer:Bautsch]]&nbsp;! <div style="clear:both"></div> ==Quelltextgestaltung== In diesem Abschnitt stehen einige Vorschläge zur allgemeinen Gestaltung der Quelltexte, die keine unmittelbare Auswirkung auf die Lauffähigkeit und die Funktion der Programme haben, aber dazu führen, dass der Quelltext besser verständlich und nachvollziehbar ist. ===Anweisungen=== Der Quelltext wird bei imperativen Programmiersprachen durch Anweisungen gestaltet, die ganz unterschiedlich geartet sein können. Zu den typischen und wichtigen Anweisungen gehören: * Deklaration (declaration) * Blockanweisung (block, begin / end) * Zuweisung (assignment) * Aufruf (call) * Rücksprung (return) * Verzweigung (branch) * Schleife (loop) * Sicherstellung (assertion) Bei Kommentaren und Leerräumen (Leerzeichen, Tabulatoren, Zeilenumbrüche, ...) in Quelltexten handelt es sich nicht um Anweisungen, da sie vom Übersetzer (compiler) beziehungsweise Interpreter des Programmcodes ignoriert werden. ===Kommentare=== Jeder Quelltext sollte zu Beginn der Datei in einem von Compiler zu ignorierenden '''Kommentar''' für die Klarstellung des Inhalts einige Mindestangaben zum Inhalt und Ursprung machen. Dazu gehören beispielsweise die Autoren, Urheber oder Rechteinhaber, deren beabsichtigte Nutzungsarten/-rechte und Nutzungsbedingungen und weitere Angaben zur Lizenzierung, das Datum der Erstellung oder Veränderung, eine Versionsangabe und Angaben zur verwendeten Programmiersprache und gegebenenfalls zu den eingesetzten Programmbibliotheken (gegebenenfalls ebenfalls mit Versionsangaben). Ferner soll beschrieben werden, für welchen Zweck oder für welche Aufgabenstellungen das Programm eingesetzt werden kann. Darüber hinaus können und sollen auch weitere sinnvolle oder nützliche Angaben in diesem '''Kopfkommentar''' festgehalten werden. Der Kommentartext wird bei vielen Programmiersprachen im Quelltext mit dem Symbolpaar "/*" und "*/" oder dem Symbolpaar "(*" und "*)" eingeschlossen. Beispiel: /* Program: generation of pseudorandom numbers Author: Bautsch License: public domain Date: 7th January 2011 Version: 1.0 Programming language: Java Description: This program uses a primitive polynomial sequence with large prime coefficients to efficiently generate uniformly distributed pseudorandom numbers. */ Alle Methoden und Variablen werden ausreichend kommentiert, sofern sie nicht durch die Wahl „sprechender” Bezeichner selbsterklärend sind. Bei Methoden werden insbesondere die Bedeutung aller Parameter und Rückgabewerte dokumentiert: /* The method "add" computes and returns the sum of "summand1" and "summand2" */ double add (double summand1, double summand2) { double sum ← summand1 + summand2 return sum } Viele Entwicklungssysteme bieten Funktionen, die die Dokumentation der Quelltexte mit Kommentaren unterstützen. Bei einigen Programmiersprachen ist Aufmerksamkeit geboten, wenn in der Sprachdefinition geschachtelte Kommentare nicht vorgesehen sind. Wird zum Beispiel während der Programmentwicklung Quelltext auskommentiert, um das Verhalten des modifizierten Programms zu überprüfen, und enthält dieser Quelltext einen Kommentar, ist dann nicht sofort erkennbar, welcher Abschnitt des Quelltextes tatsächlich auskommentiert werden soll. Dabei kann es auch vorkommen, dass einige Compiler die geschachtelten Kommentare erkennen und im eigentlichen Sinne des Programmierers berücksichtigen; andere Compiler, die sich streng an die standardisierten Sprachdefinitionen halten, jedoch nicht, so dass es bei der Portierung von Quellcode unweigerlich zu Übersetzungsfehlern kommt. Das folgende Beispiel zeigt einen Programmabschnitt, bei dem hinter der letzten Anweisung zwischen den Zeichenfolgen "/*" und "*/" ein Textkommentar hinzugefügt wurde, der vom Compiler ignoriert werden soll. int i ← 1 i ← i * i /* die Variable i wird quadriert. */ Wird zusätzlich mit den gleichen Zeichenfolgen "/*" und "*/" die gesamte Programmzeile auskommentiert, gibt es einen Übersetzungsfehler, wenn der Compiler die allerletzte Zeichenfolge "*/" als Kommentarende ohne Kommentaranfang interpretiert, sofern der zweite und nunmehr auskommentierte Kommentaranfang "/*" in der Zeile mit dem Textkommentar ignoriert wurde und die erste auftretende Zeichenfolge "*/" bereits als Kommentarende interpretiert wurde: int i ← 1 /* i ← i * i /* die Variable i wird quadriert. */ */ ===Leerräume=== '''Leerräume''', also zum Beispiel Leerzeichen, Zeilen- und Seitenumbrüche oder Tabulatoren, werden - genauso wie Kommentare - von vielen Compilern überlesen und dienen in diesen Fällen ausschließlich zur Verbesserung der Lesbarkeit für die Programmierer. Daher sollten diese Leerräume sorgfältig eingesetzt werden, um die Nachvollziehbarkeit des Quellcodes für Programmierer zu erleichtern. Bei einigen Programmiersprachen werden allerdings bestimmte Formatierungen in der Sprachdefinition gefordert und müssen dann natürlich den Vorgaben entsprechend eingehalten werden. Viele Entwicklungssysteme bieten sehr nützliche, unterstützende Funktionen zur einheitlichen Formatierung der Quelltexte, die sehr einfach anzuwenden sind und benutzt werden sollten. So ist es zum Beispiel allgemein üblich, Programmblöcke so zu formatieren, dass die Inhalte gegenüber dem Kopf und dem Fuß etwas eingerückt und durch Zeilenumbrüche voneinander getrennt werden: Blockkopf eingerückter Inhalt 1 eingerückter Inhalt 2 Blockfuß Für die Einrückungen werden heute meist mehrere Leerzeichen oder ein Tabulatorzeichen verwendet. Neuerdings wird in manchen Programmiersprachen empfohlen, vier Leerzeichen zu verwenden. Manche Editoren fügen bei der Betätigung der Tabulatortaste eine gewünschte Anzahl von Leerzeichen ein. Das Mischen von mehreren Leerzeichen und Tabulatorzeichen für die Einrückungen kann nicht empfohlen werden, da dies bei der Bearbeitung mit verschiedenen Editoren zur uneinheitlichen Darstellung der Einrückungen führen kann. Moderne Editoren haben Funktionen, mit denen der gesamte Programmcode oder Teile davon einheitlich und korrekt eingerückt werden können (Englisch: "correct indentation"). Siehe hierzu auch [[Strukturierte Programmierung#Blockanweisungen|Blockanweisungen]]. ===Bezeichner=== In den meisten Programmiersprachen gibt es '''Bezeichner''' (oder '''Identifikatoren''', englisch: '''identifier''') für ganz unterschiedliche Dinge, wie für symbolische '''Konstanten''', für '''Variablen''', für '''Parameter''' oder '''Attribute''', für '''Unterprogramme''' (respektive für '''Methoden''', '''Prozeduren''' oder für '''Funktionen'''), für '''Module''' (respektive für '''Klassen''') oder für '''Bibliotheken'''. Zur Strukturierung von Daten werden auch '''Pakete''' (englisch: '''packages''') eingesetzt. In der Regel stehen alle Buchstaben ohne Diakritika zur Verfügung. Oft sind auch noch Ziffern und der Unterstrich "_" erlaubt. Das erste Zeichen muss üblicherweise immer ein Buchstabe sein. Leerzeichen sind innerhalb von Bezeichnern im Allgemeinen nicht zulässig. Beim Lesen und Analysieren von Quelltexten ist es sehr hilfreich, wenn einem Bezeichner nicht nur beim ersten Auftauchen bei der Deklaration, sondern an jeder Stelle im Programm sofort angesehen werden kann, wofür er steht. Meist bildet sich für eine Gruppe von Programmiersprachen ein bestimmter Usus aus, wie die entsprechenden Bezeichner gestaltet werden sollen. Der Compiler stellt in der Regel keine Ansprüche an die Schreibweise von Bezeichnern, solange der definierte Zeichenvorrat verwendet wird. Eine Ausnahme stellen die vorgegebenen Schlüsselwörter dar, die häufig und je nach Programmiersprache nur aus Großbuchstaben oder nur aus Kleinbuchstaben bestehen, wie zum Beispiel: * '''IMPORT''', '''CONST''', '''TYPE''', '''VAR''', '''PROCEDURE''', '''NIL''', '''LONG''', '''REAL''', '''BEGIN''', '''END''', '''WHILE''' versus * '''import''', '''final''', '''void''', '''static''', '''null''', '''long''', '''double''', '''while''' In vielen Programmiersprachen haben sich für die frei definierbaren Bezeichner bestimmte Praktiken herausgebildet, damit die Bedeutung der Bezeichner im Quelltext von den beteiligten Programmierern leichter erkannt werden kann. Dieses Vorgehen ist allerdings nicht immer einheitlich gestaltet, wie anhand der folgenden, beispielhaften Liste gesehen werden kann: * Die Bezeichner von übergeordnet verfügbaren Konstanten, Variablen, Datentypen, Klassen oder Modulen beginnen mit '''einem Großbuchstaben'''. * Die Bezeichner von Konstanten werden '''vollständig mit Großbuchstaben''' geschrieben. * Die Bezeichner von lokal verfügbaren Variablen, Attributen oder Parametern werden '''vollständig mit Kleinbuchstaben''' geschrieben. * Die Bezeichner von Methoden werden '''vollständig mit Kleinbuchstaben''' geschrieben. ====Variablen und Methoden==== So ist es zum Beispiel üblich, Variablen und Methoden mit Kleinbuchstaben zu benennen. Dabei ist der Unterschied zwischen Variable und Methode immer und einfach anhand der obligatorischen Parameterliste von Methoden zu erkennen, die beim Fehlen von Parametern leer ist und in vielen Programmiersprachen durch runde Klammern begrenzt ist und direkt hinter dem Methodennamen steht: /* "diameter" is variable of the data type integer */ int diameter /* "radius" is variable (parameter of the function "calcDiameter") of the data type integer */ /* "calcDiameter" is a function */ /* the result of the function call has the data type integer */ int calcDiameter (int radius) "calcDiameter" ist hierbei mit dem Binnenmajuskel "D" versehen (umgangssprachlich auch "Kamelhöcker-Notation" genannt, englisch "camel case"), um den Anfang eines neuen Wortes ohne die Verwendung eines Leerzeichens erkennbar zu machen. Es ist im Sinne der guten Lesbarkeit des Quelltextes allgemein hilfreich, in Bezeichnern immer passende grammatische Formen zu verwenden, wie zum Beispiel: * für booleschen Variablen und Funktionen: Partizipien oder Adjektive * für andere Variablen und Funktionen: Substantive * für Methoden und Kommandos: Verben im Imperativ In manchen Programmiersprachen ist es üblich, lokale Variablen mit einem Kleinbuchstaben zu beginnen und globale Variablen - also in mehreren Programmodulen, Klassen oder Methoden sichtbare Variablen - mit einem Großbuchstaben zu beginnen, um deren Sichtbarkeiten unmittelbar erkennbar zu machen. ====Konstanten==== Die Werte von Konstanten können zur Laufzeit nicht mehr verändert werden. Dieser Umstand wird dem Compiler bei der Deklaration der Konstanten durch entsprechende Deklarationen (wie zum Beispiel "CONST") oder Modifikatoren (wie zum Beispiel "final") mitgeteilt. Damit an jeder Stelle des Quelltextes, also auch nach der Deklaration, erkannt werden kann, dass es sich um eine Konstante handelt, ist es hilfreich Konstanten mit einem '''Großbuchstaben''' beginnen zu lassen; manchmal werden für Konstanten sogar ausschließlich Großbuchstaben verwendet. Es ist empfehlenswert, die Initialisierung einer Konstanten immer unmittelbar im Kontext der Deklaration vorzunehmen, damit es keine Mehrdeutigkeiten und somit auch keine Verwechslungen durch undefinierte Werte geben kann. Wenn dies nicht sinnvoll erscheint, sollte vorzugsweise keine Konstante verwendet werden. In vielen modernen Programmiersprachen ist es möglich, Klassenvariablen beziehungsweise globale Variablen zu schützen, indem diese nur innerhalb einer Klasse beziehungsweise innerhalb eines Moduls verändert werden dürfen. In diesem Fall gibt es von Außerhalb nur einen Lesezugriff auf den Wert der Variablen ("read-only"), oder der aktuelle Wert der Variablen kann durch den Aufruf eines Unterprogramms zurückgegeben werden ("get"-Methoden). <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Zahlen; (* Auf die globale ganzzahlige Konstante "Konstante" kann nur lesend zugegriffen werden. *) (* Die globale Konstante "Konstante" ist durch Deklaration und Initialisierung vollständig definiert. *) CONST Konstante = 7; (* Auf die globale ganzzahlige Variable "zahl" kann von außerhalb des Moduls "Zahlen" nur lesend zugegriffen werden. *) (* Die globale Variable "zahl" wird mit dem Zusatz "-" als "read-only" deklariert. *) VAR zahl-: LONGINT; BEGIN (* Die globale Variable "zahl" wird mit einem Wert initialisiert. *) zahl := 8; END Zahlen. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Zahlen; { // Auf die öffentliche ganzzahlige Klassenkonstante "Konstante" kann nur lesend zugegriffen werden. // Die Klassenkonstante "Konstante" ist durch Deklaration und Initialisierung vollständig definiert. // Die Klassenkonstante "Konstante" wird mit dem Zusatz "final" deklariert. public static final long Konstante = 7; // Auf die nicht-öffentliche ganzzahlige Klassenvariable "zahl" kann von außerhalb der Klasse // nur über die öffentliche Methode "getZahl ()" lesend zugegriffen werden. // Die Klassenvariable "zahl" wird mit dem Zusatz "private" deklariert. private static long zahl = 8; public static long getZahl () { return zahl; } } </syntaxhighlight> Im folgenden Java-Beispiel wird eine als konstant deklarierte lokale Variable erst innerhalb einer Fallunterscheidung (if-Anweisung) und zudem mit zwei verschiedenen optionalen Werten initialisiert. Wenn die Deklaration und die optionalen Initialisierungen im Quelltext weiter auseinanderliegen, ist es schwierig, den definierten Zustand der vermeintlich eindeutig definierten Variablen vollständig zu erfassen. <syntaxhighlight lang="Java"> private static boolean boolescherAusdruck () { java.util.Random zufall = new java.util.Random (); boolean zufaelligerBoolescherWert = zufall.nextBoolean (); return zufaelligerBoolescherWert; } public static void main (java.lang.String [] arguments) { // Deklaration der lokalen Konstante "Zahl", // die wegen fehlender Initialisierung nicht definiert ist. final long Zahl; if (boolescherAusdruck ()) { Zahl = 7; } else { Zahl = 8; } java.lang.System.out.println ("Konstante Zahl = " + Zahl); } </syntaxhighlight> ====Klassen und Module==== Auch Unterprogrammeinheiten wie '''Module''' oder '''Klassen''' werden in der Regel mit eindeutigen Bezeichnern benannt, die üblicherweise mit einem '''Großbuchstaben''' beginnen. Im Kontext eines Quellcodes ist es immer möglich, diese Unterprogrammeinheiten von anderen zu unterscheiden, die ebenfalls mit einem Großbuchstaben beginnen (beispielsweise Konstanten), weil die Bezeichner von Unterprogrammeinheiten von einer Blockanweisung (zum Beispiel geschweifte Klammern) für die Implementation von Programmcode oder von einem Separator (beispielsweise ".") zur qualifizierten Bezeichnung von Teilen der Unterprogrammeinheiten gefolgt werden. Das Konzept von Unterprogrammeinheiten ist, dass mehrere Unterprogramme (Methoden, Prozeduren, Funktionen, Kommandos) sowie mehrere Konstanten, Variablen oder Datenstrukturen (Verbunde (struct, record), Arrays) in einer speicherbaren Datei zusammengefasst werden. Insofern handelt es sich bei solchen Unterprogrammeinheiten um die '''kleinsten dauerhaft speicherbaren Einheiten''' in einem Software-Projekten. Unterprogrammeinheiten werden in strukturierten Programmiersprachen unter der Verwendung von Schlüsselwörtern wie zum Beispiel "program", "MODULE" oder "class" '''deklariert''': <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in der Programmiersprache Pascal *) program Programmeinheit; begin end. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="modula2"> (* Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in den Programmiersprachen Modula-2, Oberon oder Component Pascal *) MODULE Programmeinheit; BEGIN END Programmeinheit. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="Java"> // Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in der Programmiersprache Java public class Programmeinheit; { } </syntaxhighlight> ====„Sprechende” Bezeichner==== Die Wahl '''„sprechender“ Bezeichner''' hilft beim Lesen, Verstehen und Nachvollziehen von Quelltext ungemein. Häufig erübrigt sich sogar ein erläuternder Kommentar, wenn mit hinreichend „sprechenden“ Variablen- beziehungsweise Methodennamen gearbeitet wird. Also nicht eine solche Anweisung: h ← (t – b) Sondern besser: height ← (top - bottom) Die verpasste Chance, einen Bezeichner sprechend zu benennen, kann in vielen Entwicklungssystemen durch sogenanntes ''Refactoring'' zentral für den gesamten Quelltext durch Umbenennung geheilt werden. ====Parameter==== Bei Methodenaufrufen werden '''alle Parameter''' mit Variablen oder mit Konstanten übergeben, also nicht mit '''komplexen Ausdrücken''' (beispielsweise arithmetische Berechnungen und Aufrufe von Unterprogrammen) oder mit '''Literalen''' (also direkt eingegebene Werte, wie 100 oder "Text"). Hier ein schlechtes Beispiel mit dem Aufruf des Java-Unterprogramms "zeichneRechteck" mit fünf kryptischen Parameterausdrücken in den runden Klammern. Jedes der fünf Literalen 50 hat eine eigene unabhängige Bedeutung, die bei dieser Schreibweise nicht unterschieden oder nachvollzogen werden können, was deswegen schnell zu Verwechslungen führen kann: <syntaxhighlight lang="Java"> zeichneRechteck (50, 50, 50, berechneHoehe (50), 50); </syntaxhighlight> Ein strukturiertes Programm weist die Werte für alle fünf Parameter vor dem Aufruf des Unterprogramms an eigene Variablen mit sprechenden Bezeichnern zu: <syntaxhighlight lang="Java"> int x = 50; int y = 50; int breite = 50; int hoehe = berechneHoehe (breite); int helligkeitProzent = 50; zeichneRechteck (x, y, breite, hoehe, helligkeitProzent); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge ist im Gegensatz zu der Anweisung darüber auch ohne die explizite Kenntnisnahme der '''Deklaration des Unterprogramms''' verständlich: <syntaxhighlight lang="Java"> /** * Zeichnet ein Rechteck in das Bildschirmfenster * @param x: x-Koordinate vom linken Bildschirmfensterrand nach rechts * @param y: y-Koordinate vom oberen Bildschirmfensterrand nach unten * @param breite: Breite des Rechtecks von x nach rechts * @param hoehe: Hoehe des Rechtecks von y nach unten * @param helligkeitProzent: Helligkeit des Rechtecks in Prozent (0 = schwarz, 100 = weiss) */ public static void zeichneRechteck (int x, int y, int breite, int hoehe, int helligkeitProzent) </syntaxhighlight> ====Qualifizierte Bezeichner==== =====Programmeinheiten===== Damit der sich hinter einem Bezeichner verborgene Inhalt eindeutig einer Programmeinheit zugeordnet werden kann, muss dieser '''qualifiziert bezeichnet''' werden. In manchen Programmiersprachen geschieht dies für bestimmte Bezeichner inhärent, obwohl es eine explizite import-Anweisung für die entsprechenden Bezeichner gibt, so dass die Programmierer in diesen Sonderfällen also wissen müssen, worauf sich der unqualifizierte Bezeichner bezieht. In der Programmiersprache Java dürfen häufig verwendete Bezeichner wie beispielsweise die zur Textausgabe verwendete Methode "print" aus der Klasse "System" oder die für Zeichenketten verwendete Klasse "String" ohne eine vollständige und qualifizierte Bezeichnung in den Programmtext geschrieben werden: <syntaxhighlight lang="Java"> String text = "Hallo Welt!"; System.out.print (text); </syntaxhighlight> In der Variablen "text" der Klasse "String" wird die Zeichenkette "Hallo Welt!" gespeichert und mit der klassengebundenen Methode "print" der Klassenvariablen "out" aus der Klasse "System" ausgegeben. Hier ist allerdings nicht ohne weiteres ersichtlich, wo sich die Deklarationen oder die Implementierungen beiden Klassen "String" und "System" befinden. Die '''qualifizierte Bezeichnung''' dieser beiden Anweisungen hat folgendes Aussehen: <syntaxhighlight lang="Java"> java.lang.String text = "Hallo Welt!"; java.lang.System.out.print (text); </syntaxhighlight> Durch die qualifizierte Bezeichnung wird klar, dass sich beide Klassen im Programmpaket "java.lang" des Programmmoduls "java.base" befinden. Jedes Modul (englisch "module") und jedes Paket (englisch "package") kann in der Systembibliothek der Programmiersprache beziehungsweise in der Programmbibliothek der Laufzeitumgebung eindeutig zugeordnet werden. Alternativ wird die Qualifikation von bestimmten Bezeichnern durch eine Import-Anweisung zu Beginn des Programms vorgenommen: <syntaxhighlight lang="Java"> import java.lang.String; import java.lang.System; //... String text = "Hallo Welt!"; System.out.print (text); </syntaxhighlight> Dieses Vorgehen erlaubt innerhalb einer Programmdatei zwar grundsätzlich eine korrekte und eindeutige Zuordnung der weiter unten im Programmtext verwendeten '''unqualifizierten''' Bezeichner, bei der Analyse des Programmtextes sind sämtliche Import-Anweisungen jedoch stets und vollständig zu berücksichtigen, was die Sache für die Programmierer insbesondere bei langen oder komplexen Quelltexten sehr erschweren kann. Dies kann durch die ausschließliche und obligatorische Verwendung von qualifizierten Bezeichnern ausgeschlossen werden, und deswegen wird von streng strukturierten Programmiersprachen überall und immer eine qualifizierte Bezeichnung gefordert. Leider dürfen diese qualifizierten Importe beziehungsweise Bezeichnungen in manchen Programmiersprachen für gängige Unterprogrammeinheiten weggelassen werden, wie im folgenden Beispiel in der Programmiersprache Java: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Test { public static void main (String [] args) { } } </syntaxhighlight> Ein Aufruf des formal korrekt deklarierten Hauptprogramms "main" kann zu folgender völlig irritierender Fehlermeldung führen, wenn gar nicht die dafür vorgesehene Standard-Java-Klasse "java.lang.String" referenziert wird, weil sich im Software-Projekt, in dem sich das Hauptprogramm befindet, eine gleichnamige Klasse "String" definiert ist, die durch die Regeln der Programmiersprache vorrangig referenziert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> Error: Main method not found in class Test, please define the main method as: public static void main (String [] args) </syntaxhighlight> =====Datenstrukturen===== Auch bei Datenstrukturen müssen qualifizierte Bezeichner verwendet werden, damit eindeutig auf bestimmte Datenfelder zugegriffen werden kann. Im folgenden Beispiel in der Syntax der '''Pascal'''-Programmiersprachenfamilie wird dies anhand des komplexen Datentyps "Postadresse" mit den sechs Attributen "vorname", "nachname", "strasse", "hausnummer", "postleitzahl" und "ort" dargestellt: <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Datentyp "Postadresse" *) TYPE Postadresse = RECORD vorname: ARRAY OF CHAR; nachname: ARRAY OF CHAR; strasse: ARRAY OF CHAR; hausnummer: ARRAY OF CHAR; postleitzahl: LONGINT; ort: ARRAY OF CHAR; END; </syntaxhighlight> In den Deklarationen der Attribute steht "ARRAY OF CHAR" für den Datentyp Zeichenkette, der zur Speicherung von Zeichenfolgen verwendet wird. Der Datentyp "LONGINT" dient zur Speicherung ganzer Zahlen. Eine Instanz "adresse" dieses Datentyps "Postadresse" kann wie folgt mit der NEW-Prozedur erzeugt werden, wobei der dafür erforderliche Speicherplatz festgelegt und für andere Verwendungen gesperrt wird. Auf die sechs einzelnen Datenfelder der in "adresse" gespeicherten sechs Attribute des Datentyps "Postadresse" kann danach im Programm mit den entsprechenden qualifizierten Bezeichnern beispielsweise zugegriffen werden, indem die jeweiligen initialen Werte mithilfe des Zuweisungsoperators := zugewiesen werden. Auf die Prozeduren "String" und "Int" aus dem Modul "Out" wird über "Out.String" und "Out.Int" ebenfalls qualifiziert zugegriffen: <syntaxhighlight lang="Pascal"> IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" mit den Textausgabe-Prozeduren "String" für Zeichenketten und "Int" für ganze Zahlen *) VAR adresse: Postadresse; (* globale Variable "adresse" *) BEGIN NEW (adresse); (* Speicherreservierung für den Bezeichner "adresse" *) adresse.vorname := "Irgend"; adresse.nachname := "Jemand"; adresse.strasse := "Allee"; adresse.hausnummer := "100"; adresse.postleitzahl := 10000; adresse.ort := "Irgendwo"; Out.String (adresse.vorname); Out.String (adresse.nachname); Out.String (adresse.strasse); Out.String (adresse.hausnummer); Out.Int (adresse.postleitzahl); Out.String (adresse.ort); END; </syntaxhighlight> In einem weiteren Beispiel mit der Syntax der Programmiersprache '''Java''' wird die Datenstruktur dieses komplexen Datentyps als Klasse "Postadresse" mit den sechs Instanzvariablen "vorname", "nachname", "strasse", "hausnummer", "postleitzahl" und "ort" für diese sechs Attribute gebildet. Eine Instanz dieses Datentyps kann hier mit dem new-Operator erzeugt werden. Der öffentliche Konstruktor "Postadresse ()" ist eine Methode mit derselben Bezeichnung wie die Klasse selbst, die aufgerufen werden muss, um die sechs Datenfelder der jeweiligen Instanz "this" zu initialisieren. Auf die einzelnen Datenfelder der in der nicht-öffentlichen Klassenvariable "adresse" gespeicherten sechs Attribute des Datentyps "Postadresse" kann danach über die entsprechenden sechs qualifizierten Bezeichner zugegriffen werden. In der Methode "main" werden die Attribute zwischen den runden Klammern über die qualifizierten Bezeichner als Parameter bei den Aufrufen der allgemeinen Textausgabe-Methode "println" verwendet, die zur Klassenvariable "out" der Klasse "System" im Programmpaket "java.lang" gehört: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Postadresse // Klasse "Postadresse" { // Instanzvariablen java.lang.String vorname; java.lang.String nachname; java.lang.String strasse; java.lang.String hausnummer; long postleitzahl; java.lang.String ort; private static Postadresse adresse = new Postadresse (); // Klassenvariable "adresse" public Postadresse () // Konstruktor der Klasse "Postadresse" { this.vorname = "Irgend"; this.nachname = "Jemand"; this.strasse = "Allee"; this.hausnummer = "100"; this.postleitzahl = 10000; this.ort = "Irgendwo"; } public static void main (java.lang.String [] argumente) // main-Methode der Klasse "Postadresse" { java.lang.System.out.println (adresse.vorname); java.lang.System.out.println (adresse.nachname); java.lang.System.out.println (adresse.strasse); java.lang.System.out.println (adresse.hausnummer); java.lang.System.out.println (adresse.postleitzahl); java.lang.System.out.println (adresse.ort); } } </syntaxhighlight> ====Komplexe Anweisungen==== In der Programmiersprache Java kann die Gestaltung eines softwaretechnischen Containers "host" beispielsweise mit der Variablen "layout" realisiert werden. Hierzu werden Instanzen von Objekten der Klassen "Container" und "GroupLayout" erzeugt: <syntaxhighlight lang="Java"> java.awt.Container host = new java.awt.Container (); javax.swing.GroupLayout layout = new javax.swing.GroupLayout (host); </syntaxhighlight> Eine multiple qualifizierte Bezeichnung zur Referenzierung von Datenfeldern mit diversen Aufrufen typengebundener Methoden (Unterprogramme) kann dann mit einer einzigen hyperkomplexen Anweisung in einer Zeile zusammengefasst werden: <syntaxhighlight lang="Java"> layout.setVerticalGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING).addGroup (layout.createSequentialGroup ().addContainerGap ().addGroup(layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING).addGroup (layout.createSequentialGroup().addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE)))))); </syntaxhighlight> Mit Zeilenumbrüchen wird der inhaltlich identische Quelltext schon besser nachvollziehbar: <syntaxhighlight lang="Java"> layout.setVerticalGroup ( layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING) .addGroup (layout.createSequentialGroup () .addContainerGap () .addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING) .addGroup (layout.createSequentialGroup() .addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE))))) ); </syntaxhighlight> Durch Verwendung von Hilfsvariablen mit sprechenden Bezeichnern wird der Quelltext zwar etwas länger, aber noch verständlicher. Die Komplexität ist deutlich reduziert, und die Anweisungsfolge kann viel einfacher nachvollzogen, überprüft oder angepasst werden: <syntaxhighlight lang="Java"> javax.swing.GroupLayout.SequentialGroup sequentialGroup2 = layout.createSequentialGroup (); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelBaselineGroup = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE); sequentialGroup2 = sequentialGroup2.addGroup (parallelBaselineGroup); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelLeadingGroup2 = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING); parallelLeadingGroup2 = parallelLeadingGroup2.addGroup (sequentialGroup2); javax.swing.GroupLayout.SequentialGroup sequentialGroup1 = layout.createSequentialGroup (); sequentialGroup1 = sequentialGroup1.addContainerGap (); sequentialGroup1 = sequentialGroup1.addGroup (parallelLeadingGroup2); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelLeadingGroup1 = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING); parallelLeadingGroup1 = parallelLeadingGroup1.addGroup (sequentialGroup1); layout.setVerticalGroup (parallelLeadingGroup1); </syntaxhighlight> ==Programmgestaltung== Idealerweise kann die kontextfreie Grammatik der verwendeten Programmiersprache mit einer strukturierten Metasprache, wie zum Beispiel der '''Erweiterten Backus-Naur-Form''' ('''EBNF''') nach der Norm ISO/IEC 14977 dargestellt werden. Jedes strukturierte Programm und jede Datenstruktur kann damit eindeutig definiert werden. Leider trifft dies für viele Programmiersprachen nicht zu. Die Darstellung beliebiger ganzer Zahlen (sowohl negative, als auch positive und die Null) mit Zeichen kann in der Erweiterten Backus-Naur-Form zum Beispiel schrittweise so definiert werden: <syntaxhighlight lang="ebnf"> NatuerlicheZiffer = "1" | "2" | "3" | "4" | "5" | "6" | "7" | "8" | "9"; Ziffer = "0" | NatuerlicheZiffer; NatuerlicheZahl = NatuerlicheZiffer{Ziffer}; GanzeZahl = "0" | ["-"]NatuerlicheZahl; </syntaxhighlight> [[Datei:Nassi-Shneiderman diagram - InsertionSort.svg|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für einen Algorithmus mit zwei geschachtelten, kopfgesteuerten Schleifen in der Darstellung als Nassi-Shneidermann-Diagramm.]] Programme können als '''Struktogramm''' (auch '''Nassi-Shneidermann-Diagramm genannt''') nach Norm DIN 66261 notiert werden. Alle Teilprogramme sind dabei so geartet, dass sie ausgehend von einem einfachen Hauptblock, der für das gesamte Programm und somit für mindestens einen Unterprogrammaufruf steht, durch schrittweise Verfeinerung hierarchisch zusammengesetzt werden können. Am Ende der Hierarchie stehen dann elementare Teilprogramme, die nicht weiter zerlegt werden können. Die zyklomatische Komplexität der Software kann zum Beispiel mit der '''McCabe-Metrik''' untersucht und analysiert werden. Hierbei sollte darauf geachtet werden, dass die Komplexität beschränkt bleibt, damit der Quelltext überschaubar bleibt und gut nachvollzogen werden kann. Durch geeignete Strukturierung ist dies in modernen Programmiersprachen immer möglich, und mit einer McCabe-Metrik bis maximal 10 ist die Komplexität meist hinreichend niedrig. Dies gilt nicht nur für den prozeduralen Programmablauf, sondern gleichermaßen für Datenstrukturen, bei denen komplexe Datentypen aus elementaren Datentypen übersichtlich und hierarchisch zusammengesetzt werden können. Wichtig ist, dass die Anzahl der Programmzeilen ('''lines of code''') zwar gut als Maß für das zeitliche Wachstum einer bestimmten Software herangezogen werden kann, dies jedoch nicht geeignet ist, um eine Aussage über die Qualität oder Strukturiertheit des Programmcodes zu treffen. Weder eine besonders kleine noch eine besonders große Anzahl von Programmzeilen sind ein Garant für guten oder strukturierten Code. Das Optimum ist nicht erreicht, wenn nichts mehr hinzugefügt werden kann, weil schon alles implementiert ist, sondern wenn nichts mehr entfernt werden kann, ohne dass die Implementierung hiervon beeinträchtigt wird (frei nach Antoine de Saint-Exupéry in ''Wind, Sand und Sterne - Terre des Hommes'' (1939)). Programmieren ist nicht nur ein einfaches Handwerk, sondern eine anspruchsvolle Kunstfertigkeit (vergleiche auch Donald E. Knuth: ''The Art of Computer Programming''). <div style="clear:both"></div> ===Sichtbarkeiten=== Grundsätzlich gilt immer das '''Prinzip der Lokalität'''. Dies bedeutet, dass auf Programmkonstrukte nur dort zugegriffen werden kann und darf, wo es unbedingt erforderlich ist. Zum Datenaustausch zwischen verschiedenen Programmteilen dienen unter diesen Voraussetzungen Schnittstellen, die in der strukturierten Programmierung exakt definiert sein müssen. Alle Klassenvariablen, Instanzvariablen und Parametervariablen sowie Rückgabewerte werden in Bezug auf ihre Teilprogramme zum Beispiel als '''lokale Variablen''' behandelt, so dass sie nur innerhalb dieser Teilprogramme aufgerufen und verändert werden können. Auf diese Weise können unbeabsichtigte und unerwünschte Seiteneffekte nachhaltig vermieden werden. Je weniger lokal eine Variable definiert ist, desto größer ist die Gefahr, dass diese unbeabsichtigt oder sogar zuwider den Absichten des Programmierers verändert werden kann, was dann zu entsprechend dramatischen und schwer identifizierbaren Programmfehlern führen kann, die zudem erst zur Laufzeit auftreten und oft nur zufällig und somit umso schwerer zu entdecken sind. Variablen sollen also immer so '''lokal''' wie möglich definiert werden. Am besten sind Variablen lokalisiert, wenn sie innerhalb der Teilstruktur definiert werden, wo die Variablen üblicherweise „sichtbar” (und demzufolge verwendbar) sind. Außerhalb der Blöcke sind diese Variablen dann „unsichtbar” und somit auch nicht benutzbar. Für Programmiersprachen die keine explizite Blockanweisung für Teilprogramme haben, ist die am stärksten lokalisierte Definition in der Regel innerhalb einer Methode respektive einer Prozedur oder einer Funktion. Die nächsthöhere Strukturebene ist dann - sofern möglich - das Modul beziehungsweise die Klasse (dies ist zwar häufig eine vom Compiler zu übersetzende Einheit, ist jedoch nicht unbedingt identisch mit einer Quelltextdatei). Innerhalb von Programmstrukturen sollten Variablen möglichst mit dem Sichtbarkeitsmodifikator für die ausschließlich interne Verwendbarkeit (zum Beispiel mit dem Modifikator ''private'' oder ''limited'') deklariert werden. Solche internen Variablen können dann gegebenenfalls mit entsprechend zu implementierenden Konstruktoren initialisiert, mit sogenannten Getter-Methoden abgefragt und mit Setter-Methoden verändert werden. Falls diese exportiert werden (beispielsweise mit dem Modifikator ''public'' oder ''export''), ist auch außerhalb der Deklarationsstruktur ein definierter indirekter Zugriff auf die internen Variablen möglich. Manche Programmiersprachen erlauben eine Deklaration, die außerhalb des Deklarationsbereiches nur gesehen respektive gelesen werden können (zum Beispiel mit dem Modifikator ''read-only'' für Variablen oder ''implement-only'' für Methoden). In diesem Fall können die entsprechenden Variablen oder Methoden außerhalb der Deklarationsstruktur also nicht verändert, aber zumindest abgefragt oder aufgerufen werden. '''Globale Variablen''', die überall innerhalb von großen Programmeinheiten verändert werden können, sind immer vermeidbar, erhöhen die Gefahr von Programmfehlern und erleichtern unter Umständen Cyber-Attacken. Besondere Probleme ergeben sich, wenn innerhalb eines Sichtbarkeitsbereiches für verschiedene Dinge gleichlautende '''Bezeichner''' verwendet werden dürfen. Dies kann wegen der Wahlfreiheit bei der Benennung sehr leicht vermieden werden, indem einfach keine gleichlautenden Bezeichner benutzt werden. Im folgenden Beispiel wird verdeutlicht, wie in einem Java-Programm zwischen den Bezeichnern von lokalen und globalen Variablen sowie von Methoden formal dennoch eindeutig unterschieden werden kann: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Bezeichner { // globale Variable "bezeichner" (Klassenvariable) private static long bezeichner = 1; // Methode "bezeichner" (Unterprogramm) private static long bezeichner () { // lokale Variable "bezeichner" in der Methode "bezeichner" long bezeichner = 3; return bezeichner; } // Hauptprogramm (Methode "main") public static void main (java.lang.String [] argumente) { // Ausgabe der globalen Variable aus der Klasse "Bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert der globalen Variable = " + Bezeichner.bezeichner); // lokale Variable "bezeichner" in der Methode "main" long bezeichner = 2; // Ausgabe der lokalen Variable aus der Methode "main" java.lang.System.out.println ("Wert der lokalen Variable = " + bezeichner); // Ausgabe des Ergebnisses des Aufrufs der Methode "bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert des Unterprogramms = " + bezeichner ()); } } </syntaxhighlight> In dieser Java-Klasse "Bezeichner" gibt es vier gleichlautende Bezeichner "bezeichner": * Der Name einer '''globalen Klassenvariable'''. * Der Name einer '''Methode'''. * Der Name einer '''lokalen Variable''' in der Methode "bezeichner". * Der Name einer '''lokalen Variable''' in der Methode "main". Nach den Regeln der Programmiersprache Java haben lokale Bezeichner bei der Referenzierung innerhalb einer Blockanweisung Vorrang, so dass bei der Verwendung dieser Bezeichner immer auf die lokale Variable zugegriffen wird. Im obigen Beispiel haben die beiden lokalen Variablen "'''bezeichner'''" nichts miteinander zu tun und können nur in ihrer entsprechenden Methode referenziert werden. Soll in einem lokalen Sichtbarkeitsbereich auf die globale Klassenvariable referenziert werden, so kann dies durch einen expliziten und '''qualifizierten Bezeichner''' erwirkt und sichergestellt werden, im obigen Beispiel mit "'''Bezeichner.bezeichner'''". Der Bezeichner einer Methode kann durch das stets folgende runde Klammerpaar identifiziert werden, im obigen Beispiel "'''bezeichner ()'''". In älteren, schlecht strukturierten Programmiersprachen kann es bei der mehrfachen Verwendung von gleichen Bezeichnern für Variablen sehr leicht zu Programmierfehlern kommen, die nur mit Aufwand entdeckt und behoben werden können. Die Programmiersprache C erlaubt beispielsweise die Verwendung von lokalen und globalen Variablen mit dem gleichen Bezeichner. Im folgenden Beispiel wird die Variable x zweimal deklariert, einmal global außerhalb der beiden Funktionen f () und g (), und einmal lokal innerhalb der Funktion g (). Beide Funktionen geben einen ganzzahligen Wert von Datentyp "int" zurück, und die Funktion f () gibt mit der Return-Anweisung den Wert der globalen Variable x zurück, die mit dem Wert 0 initialisiert wurde. Die Funktion g () hat ihre eigene, lokale Variable x, die auf den Wert 1 gesetzt, aber nicht den Wert der globalen Variable x verändert, da es sich um zwei verschiedene Variablen handelt. Wird die doppelte Deklaration beim Programmieren versehentlich übersehen, kommt es zu einem unerwarteten Programmverhalten, da beim Aufruf der Funktion g () nicht der lokale x-Wert 1, sondern der globale x-Wert 0 zurückgegeben wird: <syntaxhighlight lang="c"> int x = 0; int f () { return x; } int g () { int x = 1; return f (); } </syntaxhighlight> Die kann vermeiden werden, indem keine doppelten Bezeichner verwendet werden, was in großen Programmen unter Umständen gar nicht ohne weiteres ersichtlich ist. Wenn der Quellcode übersichtlicher gestaltet wird, ohne die Rückgabeanweisung mit einem Funktionsaufruf f () zu kombinieren, ist das potentielle Problem leichter zu identifizieren, Hierbei wird die überflüssige Initialisierung der im obigen Beispiel gar nicht verwendeten lokalen Variablen x mit dem Wert 1 weggelassen, und die lokale Variable wird direkt mit dem Rückgabewert der Funktion f () initialisiert: <syntaxhighlight lang="c"> int x = 0; int f () { return x; } int g () { int x = f (); return x; } </syntaxhighlight> ===Modularisierung=== Teilprogramme können Methoden oder ganze Sammlungen von Datenstrukturen und Methoden sein. Diese werden oft '''Klassen''' oder '''Module''' genannt und können in '''Paketen''' gruppiert werden. Alle Teilprogramme sollen eindeutige und sprechende Bezeichner und streng definierte Signaturen und Schnittstellen für die Namen und die Datentypen aller Parameter beziehungsweise Klassen- und Instanzvariablen haben. Bei diesen Teilprogrammen handelt es sich in der Regel um die kleinsten dauerhaft speicherbaren Programmeinheiten, die zum Beispiel in einer Datenbank oder einem Dateisystem zu größeren Einheiten wie Verzeichnissen, Paketen oder Bibliotheken zusammengefasst werden. Solche Programmeinheiten werden durch ihre '''Signatur''' eindeutig gekennzeichnet. Die Signatur besteht zunächst aus dem '''Namen''' der Programmeinheit. Ferner kann mit einem Modifikator explizit definiert werden, dass diese Programmeinheit allgemein, also von allen und beliebigen anderen Programmeinheiten, verfügbar sein soll (Modifikator ''public'' / ''öffentlich''). Für eine Beschränkung nur auf die nächst höhere Programmeinheit, wie beispielsweise einem Paket (englisch "package"), kann der Modifikator ''private'' verwendet werden. Eine typische Programmbibliothek hat in der Programmiersprache Java am Beispiel des Moduls "java.base" und der beiden Pakete "java.io" und "java.lang" folgende ausschnittsweise Struktur und Hierarchie: <syntaxhighlight lang="Java"> module java.base; package java.io; class Reader; { // Implementation der Klasse Reader } class Writer; { // Implementation der Klasse Writer } package java.lang; class String; { // Implementation der Klasse String } class System; { // Implementation der Klasse System } </syntaxhighlight> ===Unterprogramme=== Unterprogramme werden in Programmiersprachen ganz unterschiedlich genannt. Meistens werden die Begriffe '''Methode''', '''Prozedur''', '''Funktion''' oder '''Kommando''' verwendet. Unterprogramme werden durch ihre '''Signatur''' eindeutig deklariert, und alle Unterprogrammaufrufe müssen sich streng an diese Deklaration halten. Die Signatur besteht zunächst aus dem '''Namen''' des Unterprogramms. Unterprogramme haben optional einen '''Rückgabewert''', für die der Datentyp ebenfalls festgelegt werden muss und der in streng strukturierten Programmiersprachen ebenfalls zur Signatur des Unterprogramms gehört und verwendet werden muss. Solche Unterprogramme mit Rückgabewert werden in Anlehnung an die mathematischen Funktionen in manchen Programmiersprache explizit '''Funktion''' genannt. Leider ist es in manchen Programmiersprachen erlaubt, Rückgabewerte von solchen Funktionen zu ignorieren und diese nicht in einer Variablen zu speichern oder im Rahmen eines Ausdrucks auszuwerten, was zu leicht zu übersehenden Programmierfehlern führen kann. Ferner gibt es innerhalb der Signatur optionale '''Modifikatoren''', die die Regeln für die Sichtbarkeit (zum Beispiel ''öffentlich'' / ''privat'' / ''eingeschränkt'', englisch: ''public'' / ''private'' / ''limited'') festlegen. In der objektorientierten Programmierung werden Unterprogramme oft als '''Methoden''' bezeichnet, da sie keine konkreten oder vollständigen Anweisungen enthalten müssen und durch Überschreiben erweitert oder angepasst werden dürfen. Die Überschreibbarkeit einer Methode wird mit einem weiteren Modifikator festgelegt (wie zum Beispiel mit ''statisch'' / ''erweiterbar'' / ''abstrakt'' / ''abgeschlossen'', englisch: ''static'' / ''extensible'' / ''abstract'' / ''final''). Unterprogramme haben keinen, einen oder mehrere '''Parameter'''. Unterprogramme ohne Parameter werden auch parameterlose Unterprogramme genannt. Parameter verhalten sich innerhalb des Unterprogramms wie lokale Variablen, nur dass sie beim Aufruf der Unterprogramme angegeben werden müssen und gegebenenfalls zusammen mit dem Rückgabewert die Schnittstelle für den Datenaustausch zum aufrufenden Programm darstellen. Die Anzahl, die Namen, die Datentypen und die Reihenfolge der '''Parameter''' gehören ebenfalls zur Signatur einer Unterprogramms. Beim Aufruf eines Unterprogramms müssen alle Parameter in der richtigen Reihenfolge und zuweisungskompatibel angegeben werden. Parameter können unterschieden werden in: * '''Eingangsparameter''' ('''in'''), die als Wert (englisch ''value'') übergeben (kopiert) und nur innerhalb des jeweiligen Unterprogramms verwendet werden. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind sie ungültig und dürfen beziehungsweise können nicht mehr referenziert werden. * '''Ausgangsparameter''' ('''out'''), die als Referenzen (Zeiger auf einen Speicherbereich, englisch ''pointer'') übergeben und deren Werte erst innerhalb des Unterprogramms ermittelt und zugewiesen werden. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind die jeweiligen Werte über ihre Referenzen abrufbar. Die referenzierten Speicherbereiche müssen vor dem Unterprogrammaufruf allokiert worden sein (der Speicherort und die Speichergröße sind dadurch festgelegt), aber der Speicherinhalt muss noch nicht definiert worden sein, da er innerhalb des Unterprogramms nicht verwendet, sondern erst bestimmt und dann zugewiesen wird. Beim Programmieren ist große Sorgfalt darauf zu legen, dass die entsprechenden Zuweisungen innerhalb des Unterprogramms in jedem Fall erfolgen, falls die verwendete Programmiersprache dies nicht sowieso vorschreibt und erzwingt. * '''Durchgangsparameter''' ('''var'''iable), die als Referenzen mit definierten Speicheradressen (Zeigern) an das Unterprogramm übergeben, innerhalb des Unterprogramms verwendet und nach einer möglichen Veränderung (respektive '''Var'''iation) während des Unterprogrammaufrufs weiterverwendet werden können. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind ihre aktuellen Werte in den aufrufenden Programmteilen über die Referenzen abrufbar. ===Grundlegende Anweisungen=== Grundsätzlich kommt die strukturierte Programmierung in imperativen Programmiersprachen mit folgenden grundlegenden Anweisungen aus: * '''Deklaration''', zum Beispiel bei Klassen, Methoden, Variablen oder Konstanten mit einer eindeutigen Signatur: ** '''Modifikatoren''' für die Sichtbarkeit, Verwendbarkeit oder Veränderbarkeit ** '''Bezeichner''' ** Optional (bei Methoden, Funktionen, Prozeduren): '''Parameter''' mit Deklaration der Bezeichner, der Veränderbarkeiten und der Datentypen ** Optional (bei Funktionen): Datentyp des '''Rückgabewertes''' * '''Blockanweisung''', zum Beispiel BEGIN ... END oder { ... } * '''Zuweisung''', zum Beispiel a := b - c; (das Gleichheitseichen ist nicht zu verwechseln mit einem Vergleichsoperator) * '''Aufruf von Unterprogrammen''': ** '''Kommandos''' (ohne Parameter und ohne Rückgabewert) ** '''Prozeduren''' oder Methoden (ohne Rückgabewert) ** '''Funktionen''' (mit Rückgabewert) * '''Rückgabe''' bei Funktionen, zum Beispiel return x; Anweisungen werden häufig durch ein reserviertes Zeichen abgeschlossen, wie zum Beispiel mit einem Semikolon. Das folgende Beispiel zeigt eine Java-Klasse mit 15 grundlegenden Anweisungen: <syntaxhighlight lang="Java"> // Deklaration der oeffentlichen Klasse "Anweisungen" public class Anweisungen // Implementation der Klasse mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der privaten, globalen Klassenvariable "flaeche" vom Datentyp "double" private static double flaeche; // Deklaration der privaten statischen Methode "kreisflaeche" (Unterprogramm) zur Berechnung der Flaeche eines Kreises mit dem Radius "radius" // mit dem Parameter "radius" vom Datentyp "double" // und mit einer Gleitkommazahl vom Datentyp "double" als Rueckgabewert private static double kreisflaeche (double radius) // Implementation der Methode "kreisflaeche" mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der lokalen Variable "ergebnis" vom Datentyp "double" double ergebnis; // Zuweisung eines Ausdrucks an die Variable "ergebnis" mit dem Zuweisungsoperator "=" // Syntax: "Variablenname Zuweisungsoperator Ausdruck Semikolon" // Der arithmetische Ausdruck verwendet zwei Multiplikationsoperatoren "*" // Die Kreiszahl pi aus der Klasse "java.lang.Math" wird qualifiziert bezeichnet: "java.lang.Math.PI" ergebnis = java.lang.Math.PI * radius * radius; // Ruecksprunganweisung "return" mit der Rueckgabe der Gleitkommazahl "ergebnis" return ergebnis; } // Deklaration der oeffentlichen statischen Methode main (Hauptprogramm) public static void main (java.lang.String [] arguments) // Implementation der Methode "main" mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der lokalen Variable "raddurchmesser" vom Datentyp double double raddurchmesser; // Initialisierung der lokalen Variable "raddurchmesser" durch Zuweisung des konstanten arithmetischen Zahlenausdrucks "1.5" raddurchmesser = 1.5; // Aufruf der Methode "kreisflaeche" mit dem arithmetischen Ausdruck "raddurchmesser / 2" als Parameter // Der Rueckgabewert des Methodenaufrufs ist ein Ausdruck und wird der globalen Klassenvariablen "flaeche" zugewiesen flaeche = kreisflaeche (raddurchmesser / 2); // Aufruf der Methode "println" mit dem Parameter "flaeche" zur Ausgabe der berechneten Kreisflaeche // Die Methode aus der Klasse "java.lang.System" wird qualifiziert bezeichnet: "java.lang.System.out.println" java.lang.System.out.println (flaeche); } } </syntaxhighlight> Diese Anweisungen sind in der Reihenfolge des Auftretens: # '''Deklaration''' der Klasse "Anweisungen" # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Klasse "Anweisungen" # '''Deklaration''' der Klassenvariable "flaeche" # '''Deklaration''' der Methode "kreisflaeche" (Unterprogramm) # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Methode "kreisflaeche" # '''Deklaration''' einer lokalen Variable "ergebnis" in der Methode "kreisflaeche" # '''Zuweisung''' an die lokale Variable "ergebnis" in der Methode "kreisflaeche" # '''Rücksprung''' vom Unterprogramm "kreisflaeche" zum Hauptprogramm "main" # '''Deklaration''' der Methode "main" (Hauptprogramm) # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Methode "main" # '''Deklaration''' der lokalen Variable "raddurchmesser" # '''Zuweisung''' an die lokale Variable "raddurchmesser" # '''Aufruf''' des Unterprogramms "kreisflaeche" # '''Zuweisung''' an die globale Klassenvariable "flaeche" # '''Aufruf''' des Unterprogramms "println" ===Anweisungsstrukturen=== Anweisungesstrukturen setzen sich aus mehreren Anweisungen zusammen. Eine Methode besteht zum Beispiel aus einer Deklaration mit der Definition der Schnittstelle, der unmittelbar eine Blockanweisung mit der Implementierung folgt. Zu den weiteren elementaren Anweisungsstrukturen für Teilprogramme gehören: * '''Anweisungsfolgen''' * '''Kontrollstrukturen''' ** '''Fallunterscheidungen''' *** bedingte Anweisungen (if - then) *** einfache Verzweigungen (if - then - else) *** mehrfache Verzweigungen (switch - case - else) ** '''Wiederholungen (Schleifen)''' *** kopfgesteuerte Schleifen (while-Schleifen, for-Anweisungen) *** fußgesteuerte Schleifen (repeat - until, do - while) Bei jedem elementaren Teilprogramm (respektive jeder Methode, Prozedur oder Funktion, aber auch bei jeder Definition von Datenstrukturen) sollte der Quelltext bequem und vollständig auf einer Bildschirmseite gelesen werden können, ohne dass der Text im Betrachtungsfenster verschoben werden muss. Dabei empfiehlt es sich, Methodenaufrufe und übersichtliche Blockanweisungen zu verwenden, mit denen der Quellcode in Unterabschnitte gegliedert werden kann (Verfeinerung). Im folgenden Beispiel werden drei geschachtelte Blockanweisungen durch jeweils ein Paar geschweifter Klammern begrenzt. Die äußersten Klammern dienen zur Begrenzung der Implementation der Methode "printMonth", die inneren Blockanweisungen sind ebenso wie alle anderen Anweisungen nach rechts eingerückt: printMonth () { const int NumberOfWeekdays ← 7 const int LastDay ← 31 int column int day ← 1 while (day <= LastDay) { printInt (day) column ← day modulo NumberOfWeekdays if (column = 0) { printLine () } day ← day + 1 } } Wächst die Länge einer Methode zu sehr an, können und sollen einzelne Blockanweisungen unter Berücksichtigung der entsprechenden Übergabeparameter in eigene, aufzurufende Methoden ausgelagert werden, wodurch der Code geringfügig länger, aber wesentlich besser verständlich wird: optionalNewLine (int day) { const int NumberOfWeekdays ← 7 int column ← day modulo NumberOfWeekdays if (column = 0) { printLine () } } void printMonth () { const int LastDay ← 31 int day ← 1 while (day <= LastDay) { printInt (day) optionalNewLine (day) day ← day + 1 } } Hierbei ist es hilfreich, wenn die aufzurufenden Programmteile vor ihrer ersten Verwendung implementiert werden, im Quelltext also zuerst definiert (also deklariert und implementiert) und erst weiter unten benutzt (respektive aufgerufen oder referenziert) werden. Häufig wird behauptet, dass die Performanz der ausgeführten Programme durch die Aufteilung in solche Unterprogramme leiden würde, da die zahlreichen Aufrufe und Rücksprünge Rechenzeit und Speicherressourcen kosten. In den allermeisten Fällen ist dies auf modernen Rechenmaschinen jedoch zu vernachlässigen. Bei den meisten Anwendungen wird am Speicherbedarf und an der Rechenzeit nicht bemerkt werden können, ob ein strukturiertes oder ein unstrukturiertes Programm vorliegt. Bestenfalls bei extrem rechenintensiven Aufgaben (wie zum Beispiel beim sogenannten "number crunching" ("Zahlenfressen"), bei Monte-Carlo-Simulationen oder Big-Data-Analysen) kann dies bei den extrem häufig aufgerufenen Unterprogrammen einen nennenswerten Effekt haben. Hierbei kann eine wohlstrukturierte Parallelisierung von Programmen oder die Ausgliederung von Rechenaufgaben in spezialisierte Hardware (Graphikprozessoren, digitale Signalprozessoren (DSP), Field Programmable Gate Arrays (FPGA) oder Quantencomputer) wesentlich zu einer Beschleunigung der Programmabläufe beitragen. Eine Software, die von den Anwendern als zu langsam empfunden wird, ist meist nur schlecht programmiert. Ferner kann gar nicht häufig genug betont werden, dass die Entwicklung und Wartung unstrukturierter Programme erheblich länger dauert und wesentlich fehleranfälliger ist. === Schrittweise Verfeinerung === Die Implementierung von Software geschieht in der Regel vom Großen ins Kleine. Grob entworfene Anweisungsfolgen und Datenstrukturen werden dabei im Rahmen einer '''schrittweisen Verfeinerung''' immer genauer den Anforderungen angepasst. Die folgenden Aspekte sind bei der schrittweisen Verfeinerung nach wie vor typisch:<ref>Niklaus Wirth: [http://sunnyday.mit.edu/16.355/wirth-refinement.html Program Development by Stepwise Refinement], Communications of the Association for Computing Machinery, Band 14, Nummer 4, April 1971, Seiten 221 bis 227</ref> * In jedem Schritt wird eine Aufgabe (ein Programmteil / ein Datensatz) in Unteraufgaben (in Unterprogramme / in Unterdatensätze) aufgeteilt. * Der Grad der Abkapselung von Unteraufgaben bestimmt, wie leicht oder schwer Programme und Datenstrukturen angepasst oder übertragen werden können. * Die Notation für Programme und Daten sollte stets so weit wie möglich sowohl der natürlichen Sprache und der Natur der Sache als auch der Hardware und den Software-Werkzeugen angepasst sein. * Die Berücksichtigung der Kriterien Laufzeiteffizienz und Speichereffizienz sowie Klarheit und Regelmäßigkeit der Strukturen ist in allen Entwicklungsschritten bis zur Fertigstellung relevant. * Es muss immer erwogen werden, dass ein korrekt funktionierendes Programm durch eine bessere Version ersetzt werden kann und dass frühere Entscheidungen aus allen Entwicklungsschritten revidiert werden können. * Die Entwicklung und Wartung guter Programme ist alles andere als trivial, wird aber durch den Einsatz streng strukturierter Programmiersprachen deutlich erleichtert. == Datenstrukturen == Nicht nur der Programmcode, sondern auch die zu verarbeitenden Daten müssen gut strukturiert werden, um die Entwicklungszeiten zu reduzieren, die Qualität der Programme zu erhöhen und die Wartung der Quelltexte zu erleichtern. Gehören zum Beispiel ganz verschiedene Attribute zu einer Sache, sollen diese Attribute zu einer Datenstruktur zusammengefasst werden. Datenstrukturen können auch geschachtelt eingesetzt werden, so dass sehr umfangreiche und komplexe Datenstrukturen abgebildet werden können. ===Aufzählungen=== Eine '''Aufzählung''' (englisch "enumeration") wird verwendet, wenn bestimmte Eigenschaften von Datenstrukturen abzählbar und endlich sind. Mit diesen thematisch zusammengehörigen Aufzählungen können im Programmtext an allen entsprechenden Stellen statt abstrakt zugeordneter Zahlen konkret zugeordnete symbolische Konstanten mit sprechenden und selbsterklärenden Bezeichnern verwendet werden. Manche Programmiersprachen bieten dafür sogar die Möglichkeit an, dafür eigene Datentypen zu erstellen, in vielen Programmiersprachen wird das jedoch auf sehr simple Weise mit ganzzahligen Basisdaten nachgebildet. Im folgenden Beispiel wird erläutert, wie verschiedene Kalendersysteme als Aufzählung behandelt werden können. Hierbei werden die folgenden vier Kalendersysteme zu Auswahl: * Jüdisches Kalendersystem, Kennzahl = 1 * Julianisches Kalendersystem, Kennzahl = 2 * Gregorianisches Kalendersystem, Kennzahl = 3 * Islamisches Kalendersystem, Kennzahl = 4 <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Kalendersystem { public final static long JUEDISCH = 1; // Lunisolarkalender public final static long JULIANISCH = 2; // Solarkalender bis 4. Oktober 1582 (Donnerstag) public final static long GREGORIANISCH = 3; // Solarkalender seit 15. Oktober 1582 (Freitag) public final static long ISLAMISCH = 4; // Lunarkalender } </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Oberon *) MODULE Kalendersystem; CONST JUEDISCH = 1; (* Lunisolarkalender *) JULIANISCH = 2; (* Solarkalender bis 4. Oktober 1582 (Donnerstag) *) GREGORIANISCH = 3; (* Solarkalender seit 15. Oktober 1582 (Freitag) *) ISLAMISCH = 4; (* Lunarkalender *) </syntaxhighlight> In manchen, meist älteren Programmiersprachen gibt es explizite Aufzählungstypen, bei denen der Compiler automatisch die dazugehörigen ganzen Kennzahlen festlegt, ohne dass diese im Quelltext auftauchen, weil ausschließlich die symbolischen Konstanten aus der Deklaration des Aufzählungstyps verwendet werden. Variablen des Datentyps "Kalendersystem" im folgenden Beispiel dürfen nur die vier zwischen den runden Klammern explizit angegebenen respektive aufgezählten symbolischen Konstanten und keine beliebigen ganzen Zahlen verwenden: <syntaxhighlight lang="modula2"> (* Programmiersprache Modula-2 *) TYPE Kalendersystem = (JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH); </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="cpp"> /* Programmiersprache C++ */ enum Kalendersystem = {JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH}; </syntaxhighlight> ===Verbunde=== Gehören mehrere verschiede Attribute zu einer Datenstruktur, spricht man auch von einem '''Verbund'''. Diese Datenstrukturen werden je nach Programmiersprache häufig "struct" oder "record" genannt. Alle Attribute können und müssen über einen zentralen Zugang adressiert werden. Dies soll im Folgenden anhand der Datenstruktur "Kalenderdatum" beispielhaft erläutert werden. Ein Kalenderdatum möge aus einem '''Tag''', einem '''Monat''', einem '''Jahr''' und einem '''Kalendersystem''' bestehen: Alle vier Attribute werden in vier unabhängigen Datenfeldern gespeichert. Im vorliegenden Beispiel sind zwar alle vier Datenfelder vom Basisdatentyp "ganze Zahl" ("long" oder "INTEGER"), die Bedeutung und die gültige Zahlenbereiche unterscheiden sich jedoch: * Tag: ganze Zahl im Intervall [1..31] * Monat: ganze Zahl im Intervall [1..12] * Jahr: ganze Zahl * Kalendersystem. ganze Zahl des Aufzählungstyps "Kalendersystem" mit den vier Optionen (JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH) <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Kalenderdatum { // Instanzvariablen private long tag; private long monat; private long jahr; private long kalendersystem; public Kalenderdatum (long tag, long monat, long jahr, long kalendersystem) // Konstruktor zur Initialisierung von Instanzvariablen der Klasse Kalenderdatum { this.tag = tag; this.monat = monat; this.jahr = jahr; this.kalendersystem = kalendersystem; } public static void main (java.lang.String [] argumente) // main-Methode der Klasse "Kalenderdatum" { Kalenderdatum kalenderdatum = new Kalenderdatum (10, 4, 2023, Kalendersystem.GREGORIANISCH); // Eine neue Instanz wird erzeugt und durch den Aufruf des Konstruktors initialisiert java.lang.System.out.print (kalenderdatum.tag); java.lang.System.out.print ("."); java.lang.System.out.print (kalendekalenderdatum.monat); java.lang.System.out.print ("."); java.lang.System.out.print (kalenderdatum.jahr); java.lang.System.out.println (); // Zeilenumbruch } } </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Oberon *) IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) TYPE Kalenderdatum = RECORD tag: INTEGER; monat: INTEGER; jahr: INTEGER; kalendersystem: INTEGER; END; VAR kalenderdatum; (* Variable *) BEGIN kalenderdatum.tag = 10; kalenderdatum.monat = 4; kalenderdatum.jahr = 2023; kalenderdatum.kalendersystem = Kalendersystem.GREGORIANISCH; Out.Int (kalenderdatum.tag); Out.String ("."); Out.Int (kalenderdatum.monat); Out.String ("."); Out.Int (kalenderdatum.jahr); Out.Ln; (* Zeilenumbruch *) END; </syntaxhighlight> Die Textausgabe lautet jeweils: <syntaxhighlight lang="text"> 23.4.2023 </syntaxhighlight> ===Arrays=== In Arrays werden endlich viele und abzählbare Elemente eines bestimmten Datentyps in einer geordneten Reihe gespeichert. Die einzelnen Elemente können über einen ganzzahligen Index angesprochen werden. Der niedrigste Index ist meistens der Index Null, und dieser zeigt auf die erste Speicheradresse des Arrays. Da alle Elemente vom gleichen Datentyp sind, wird für jedes Element immer der gleiche Speicherplatz benötigt. Elemente mit komplexen Datentypen, werden nicht direkt im Array gespeichert, sondern dieses enthält als Verweise Zeiger mit den Speicheradressen der Inhalte der Elemente. Wenn der Speicherbedarf für ein Element (oder dessen Zeiger) <math>S_E</math> Bytes beträgt und das Array insgesamt <math>N</math> Elemente hat, dann berechnet sich der Speicherbedarf <math>S</math> für das ganze Array aus dem Produkt: <math>S = S_E \cdot N</math> Die Speicheradresse <math>A_i</math> des i-ten Elements des Arrays berechnet sich dann mit einfacher und effizient ausführbarer Arithmetik aus der Speicheradresse des Arrays <math>A</math>, dem Speicherbedarf für ein Element (oder dessen Zeiger) <math>S_E</math> und dem Index <math>i</math> : <math>A_i = A + S_E \cdot i</math> mit <math>0 \le i < N</math> Die Speicheradresse des ersten Elements mit dem Index Null <math>A_0</math> ist also stets identisch mit der Speicheradresse des Arrays <math>A</math>. Im folgenden Beispiel wird ein Array mit acht zufällig verteilten Gleitkommazahlen dargestellt, bei denen jede Gleitkommazahl einen Speicherplatz von '''8&nbsp;Bytes''' (Datentyp '''double''' mit 64&nbsp;Bits) belegt: {| class="wikitable" |'''Länge des Arrays <math>N</math>''' |'''Speicheradresse des Arrays (dezimal) <math>A</math>''' |'''Speicheradresse des Arrays (hexadezimal) <math>A</math>''' |'''Speicherbedarf für eine Gleitkommazahl in Bytes <math>S_E</math>''' |- |8 |10000000 |98 96 80 |8 |- |'''Index <math>i</math>''' |'''Speicheradresse des Elements im Array (dezimal) <math>A_i = A + S_E \cdot i</math>''' |'''Speicheradresse des Elements im Array (hexadezimal) <math>A_i = A + S_E \cdot i</math>''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Gleitkommazahl)''' |- |0 |10000000 |98 96 80 |678,1495238 |- |1 |10000008 |98 96 88 |317,4610959 |- |2 |10000016 |98 96 90 |574,3131347 |- |3 |10000024 |98 96 98 |673,9323679 |- |4 |10000032 |98 96 A0 |854,6637912 |- |5 |10000040 |98 96 A8 |764,4845853 |- |6 |10000048 |98 96 B0 |335,5146962 |- |7 |10000056 |98 96 B8 |545,0787382 |} Das folgende Java-Programm implementiert ein solches Array mit acht Gleitkommazahlen: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Array { // Klassenvariable zufallszahlen als Array mit acht Gleitkommazahlen private static double zufallszahlen [] = new double [8]; public static void setzeZufallszahlen (long startwert) // Methode zur Bestimmung aller Gleitkommazahlen { // Variable zufallszahl java.util.Random zufallszahl = new java.util.Random (startwert); // Startwert für erste Zufallszahl long anzahl = zufallszahlen.length; int zaehler = 0; // der Index von Arrays darf nicht vom Datentyp long sein while (zaehler < anzahl) { zufallszahlen [zaehler] = zufallszahl.nextDouble (); zaehler++; } } public static void ausgabeZufallszahlen () // Methode zur Ausgabe aller Gleitkommazahlen { long anzahl = zufallszahlen.length; int zaehler = 0; // der Index von Arrays darf nicht vom Datentyp long sein while (zaehler < anzahl) { java.lang.System.out.println (zufallszahlen [zaehler]); zaehler++; } } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der beiden Unterprogramme { setzeZufallszahlen (1000); // Aufruf des Unterprogramms setzeZufallszahlen mit dem Parameter 1000 als Startwert ausgabeZufallszahlen (); // Aufruf des Unterprogramms ausgabeMonatsname ohne Parameter } }</syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe von acht Pseudozufallszahlen: <syntaxhighlight> 0.7101849056320707 0.574836350385667 0.9464192094792073 0.039405954311386604 0.4864098780914311 0.4457367367074283 0.6008140654988429 0.550376169584217 </syntaxhighlight> Im nächsten Beispiel mit einem Array für die zwölf Monatsnamen ist der Datentyp eines Arrayelements jeweils eine Zeichenkette, die je nach ihrer Länge verschieden große Speicherbereiche belegen: {| class="wikitable" |'''Länge des Arrays''' |'''Speicheradresse des Arrays''' |'''Speicherbedarf für eine Speicheradresse''' |'''Speicherbedarf für ein Zeichen''' | | |- |13 |10000000 |4 |2 | | |- |Index |'''Speicheradresse des Elements im Array''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Speicheradresse)''' |'''Länge der Zeichenkette''' |'''Speicherbedarf der Zeichenkette''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Zeichenkette)''' |- |0 |10000000 |20000000 |8 |16 |"deutsch" |- |1 |10000004 |20000016 |7 |14 |"Januar" |- |2 |10000008 |20000030 |8 |16 |"Februar" |- |3 |10000012 |20000046 |5 |10 |"März" |- |4 |10000016 |20000056 |6 |12 |"April" |- |5 |10000020 |20000068 |4 |8 |"Mai" |- |6 |10000024 |20000076 |5 |10 |"Juni" |- |7 |10000028 |20000086 |5 |10 |"Juli" |- |8 |10000032 |20000096 |7 |14 |"August" |- |9 |10000036 |20000110 |10 |20 |"September" |- |10 |10000040 |20000130 |8 |16 |"Oktober" |- |11 |10000044 |20000146 |9 |18 |"November" |- |12 |10000048 |20000164 |9 |18 |"Dezember" |} In den folgenden Beispielen in der Programmiersprache werden die zwölf Monatsnamen in Arrays mit Zeichenketten gespeichert. Hierzu wird die Sprache der Monatsnamen im ersten Arrayfeld mit dem Index 0 und die zwölf Monatsnamen in den folgenden Arrayfeldern mit den Indizes 1 bis 12 gespeichert: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Monatsnamen { // Klassenvariable private static java.lang.String monatsnamen [] = {"deutsch", "Januar", "Februar", "März", "April", "Mai", "Juni", "Juli", "August", "September", "Oktober", "November", "Dezember"}; public static void ausgabeMonatsname (int monat) // Methode zur Textausgabe von Monatsnamen { java.lang.System.out.println (monatsnamen [monat]); } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der Methode ausgabeMonatsname { ausgabeMonatsname (1); // Aufruf des Unterprogramms ausgabeMonatsname mit dem Parameter 1 } } </syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe mit dem ersten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Januar </syntaxhighlight> In einigen Programmiersprachen muss die Größe der Array vor der Initialisierung festgelegt werden, und die Zuordnung zwischen den Indizes und den Arrayfeldern ist dann auch bei der Initialisierung explizit erkennbar: <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Monatsnamen; IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) TYPE Monatsnamen = POINTER TO ARRAY OF ARRAY OF CHAR; VAR monatsnamen: Monatsnamen; PROCEDURE InittialisiereMonatsnamen (); (* Prozedur zur Initialisierung von Monatsnamen *) BEGIN NEW (monatsnamen, 13, 10); (* Reservierung von 13 Zeichenketten mit je 10 Zeichen) *) monatsnamen [0] := "deutsch"; monatsnamen [1] := "Januar"; monatsnamen [2] := "Februar"; monatsnamen [3] := "März"; monatsnamen [4] := "April"; monatsnamen [5] := "Mai"; monatsnamen [6] := "Juni"; monatsnamen [7] := "Juli"; monatsnamen [8] := "August"; monatsnamen [9] := "September"; monatsnamen [10] := "Oktober"; monatsnamen [11] := "November"; monatsnamen [12] := "Dezember"; END InittialisiereMonatsnamen; PROCEDURE AusgabeMonatsname (monat: INTEGER); (* Prozedur zur Textausgabe von Monatsnamen *) BEGIN Out.String (monatsnamen [monat]); END AusgabeMonatsname; PROCEDURE Hauptprogramm*; BEGIN InittialisiereMonatsnamen (); (* Initialisierung beim Laden des Moduls "Monatsnamen" *) AusgabeMonatsname (1); (* Aufruf des Unterprogramms AusgabeMonatsname mit dem Parameter 1 *) END Hauptprogramm; END Monatsnamen. </syntaxhighlight> Durch den Aufruf von ''Monatsnamen.Hauptprogramm'' erfolgt die Ausgabe mit dem ersten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Januar </syntaxhighlight> Arrays können mehrdimensional gestaltet werden. Um zum Beispiel zwei Sprachen mit Monatsnamen zu speichern, kann eine weitere Dimension mit einem Index für die gewünschte Sprache implementiert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Monatsnamen { // Konstanten für Sprachaufzählung public final static int DEUTSCH = 0; public final static int ENGLISCH = 1; // Klassenvariablen private static java.lang.String monatsnamen [] [] = { {"deutsch", "Januar", "Februar", "März", "April", "Mai", "Juni", "Juli", "August", "September", "Oktober", "November", "Dezember"}, {"english", "January", "February", "March", "April", "May", "June", "July", "August", "September", "October", "November", "December"} }; public static void ausgabeMonatsname (int monat) // Methode zur Textausgabe von Monatsnamen { java.lang.System.out.println ("Deutschsprachiger Monatsname = " + monatsnamen [DEUTSCH] [monat]); java.lang.System.out.println ("Englischsprachiger Monatsname = " + monatsnamen [ENGLISCH] [monat]); } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der Methode ausgabeMonatsname { ausgabeMonatsname (2); } } </syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe mit den beiden zweiten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Deutschsprachiger Monatsname = Februar Englischsprachiger Monatsname = February </syntaxhighlight> Bei anderen Programmiersprachen ist durch die obligatorische Verwendung von symbolischen Konstanten (im Beispiel unten "DEUTSCH" und "ENGLISCH") bei jeder erforderlichen, also auch bei allen initialen Zuweisungen zu Array-Elementen übersichtlich und klar erkennbar, welches Feld angesprochen wird: <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Monatsnamen; IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) CONST DEUTSCH = 0; ENGLISCH = 1; TYPE Monatsnamen = POINTER TO ARRAY OF ARRAY OF ARRAY OF CHAR; VAR monatsnamen: Monatsnamen; PROCEDURE InittialisiereMonatsnamen (); (* Prozedur zur Initialisierung von Monatsnamen *) BEGIN NEW (monatsnamen, 2, 13, 10); (* Reservierung von 2 mal 13 Zeichenketten mit je 10 Zeichen) *) monatsnamen [DEUTSCH, 0] := "deutsch"; monatsnamen [DEUTSCH, 1] := "Januar"; monatsnamen [DEUTSCH, 2] := "Februar"; monatsnamen [DEUTSCH, 3] := "März"; monatsnamen [DEUTSCH, 4] := "April"; monatsnamen [DEUTSCH, 5] := "Mai"; monatsnamen [DEUTSCH, 6] := "Juni"; monatsnamen [DEUTSCH, 7] := "Juli"; monatsnamen [DEUTSCH, 8] := "August"; monatsnamen [DEUTSCH, 9] := "September"; monatsnamen [DEUTSCH, 10] := "Oktober"; monatsnamen [DEUTSCH, 11] := "November"; monatsnamen [DEUTSCH, 12] := "Dezember"; monatsnamen [ENGLISCH, 0] := "english"; monatsnamen [ENGLISCH, 1] := "January"; monatsnamen [ENGLISCH, 2] := "February"; monatsnamen [ENGLISCH, 3] := "March"; monatsnamen [ENGLISCH, 4] := "April"; monatsnamen [ENGLISCH, 5] := "May"; monatsnamen [ENGLISCH, 6] := "June"; monatsnamen [ENGLISCH, 7] := "July"; monatsnamen [ENGLISCH, 8] := "August"; monatsnamen [ENGLISCH, 9] := "September"; monatsnamen [ENGLISCH, 10] := "October"; monatsnamen [ENGLISCH, 11] := "November"; monatsnamen [ENGLISCH, 12] := "December"; END InittialisiereMonatsnamen; PROCEDURE AusgabeMonatsname (monat: INTEGER); (* Prozedur zur Textausgabe von Monatsnamen *) BEGIN Out.String ("Sprache = " + monatsnamen [DEUTSCH, 0] + ": " + monatsnamen [DEUTSCH, monat]); Out.Ln; Out.String ("Sprache = " + monatsnamen [ENGLISCH, 0] + ": " + monatsnamen [ENGLISCH, monat]); Out.Ln; END AusgabeMonatsname; PROCEDURE Hauptprogramm*; BEGIN InittialisiereMonatsnamen (); (* Initialisierung beim Laden des Moduls "Monatsnamen" *) AusgabeMonatsname (2); END Hauptprogramm; END Monatsnamen. </syntaxhighlight> Durch den Aufruf von ''Monatsnamen.Hauptprogramm'' erfolgt die Ausgabe mit den beiden zweiten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Sprache = deutsch: Februar Sprache = english: February </syntaxhighlight> Die Verwendung von Indizes außerhalb der deklarierten oder angeforderten Array-Größen verursachen in streng strukturierten Programmiersprachen zur Laufzeit einen Programmabbruch. Bei sorgfältiger Programmierung ist deswegen darauf zu achten, dass nur gültige Indizes zur Anwendung kommen können. In schlecht strukturierten Programmiersprachen wie C oder C++ werden die Indizes von Arrays in der Regel nicht automatisch geprüft, so dass unbemerkt auf ungültige Speicheradressen zugegriffen werden kann und bei entsprechenden Angriffen Daten verfälscht und schadhafter Binärcode in die Programme eingeschleust sowie zur Ausführung gebracht werden kann. ==Kontrollstrukturen== Kontrollstrukturen dienen dazu, den Programmablauf in wohlstrukturierter Weise im Sinne eines Algorithmus zu beeinflussen. Hierfür können '''Unterprogramme''' aufgerufen, '''Fallunterscheidungen''' vorgenommen oder Programmteile mehrfach durchlaufen werden ('''Schleifen'''). ===Sprunganweisungen=== Sprünge an andere Programmstellen ergeben sich inhärent beim Aufruf von Unterprogrammen. Geschieht ein solcher Sprung durch eine explizite Sprunganweisung im Programmcode, wie zum Beispiel mit Goto-, Break- oder Continue-Anweisungen, ist dies unstrukturiert und im Übrigen auch völlig überflüssig, denn Programme mit Sprunganweisungen können immer und ohne großen Aufwand durch Kontrollstrukturen, also mit Hilfe von '''Unterprogrammen''', '''Schleifen''' oder '''Fallunterscheidungen''', gestaltet werden. Explizite Sprunganweisungen stellen eine "Programmiertechnik mit dem Holzhammer" und wegen der daraus resultierenden verschlungenen Pfade während des Programmablaufs einen sogenannten '''Spaghetti-Code''' dar. Im Quellcode ist der Programmablauf nicht mehr ohne weiteres nachvollziehbar, beispielsweise bei der Untersuchung, von welchen Stellen des Programms an welche anderen Stellen gesprungen werden soll oder worden sein kann. Im Falle der Switch-Case-Anweisung handelt es sich bei der in manchen Programmiersprachen verwendeten Break-Anweisung eigentlich nicht um eine Sprunganweisung, sondern um einen obligatorischen Begrenzer (englisch: ''delimiter''), der zur Herstellung der Programmstruktur erforderlich ist. In einigen Programmiersprachen darf dieser Begrenzer (''break'') jedoch weggelassen werden, um den Code in bestimmten aber vereinzelten Fällen etwas kürzer gestalten zu können, was aber gleichzeitig und unabdingbar zu unstrukturierter Programmierung führt, die Programmabläufe unübersichtlich macht und dazu führen kann, dass die Programme gegebenenfalls nur noch schwierig nachzuvollziehen und zu warten sind. ====Unterprogramme==== [[Datei:Unterprogrammaufruf.png|mini|rechts|hochkant=1|Von der Hauptroutine "Procedure main" eines gestarteten Programms wird nach Ausführung der Anweisungen "Instructions&nbsp;1" ein Unterprogramm "Procedure sub" aufgerufen ("Call sub"), und der Programmablauf wird mit den dortigen Anweisungen "Instructions" fortgeführt. Wenn die letzte Anweisung "Return" des Unterprogramms erreicht worden ist, wird in das Hauptprogramm zurückgesprungen und der Programmablauf an der Stelle direkt hinter dem Aufruf des Unterprogramms mit den Anweisungen "Instructions&nbsp;2" fortgesetzt.]] Eine besonders häufig angewendete Programmiertechnik ist der Aufruf von Unterprogrammen. Unterprogramme stellen im Sinne des Quelltextes eines Programmes üblicherweise Prozeduren, Methoden oder Funktionen dar. Mit der Programmanweisung des Aufrufs kann der Programmablauf zum entsprechenden Unterprogramm verzweigt werden. Hierbei können in der Regel auch Parameter übergeben werden, um zwischen dem aufrufenden Programmteil und dem Unterprogramm Daten austauschen zu können. Ist das Unterprogramm vollständig abgearbeitet worden, wird der Programmablauf hinter der Stelle des Unterprogrammaufrufs fortgesetzt. Unterprogramme können mehrfach und von allen Stellen des Programcodes aufgerufen werden, in dem das Unterprogramm sichtbar ist. Die Unterscheidung zwischen Prozeduren und Methoden ist nicht einheitlich. Etliche Programmiersprachen verwenden kategorisch nur einen der beiden Begriffe. Hierbei kann zwischen traditionellen (statischen) Prozeduren und objektorientierten (typengebunden oder dynamischen) Prozeduren unterschieden werden. Letztere werden als Methoden einer Klasse oder aber auch als typengebundene Prozeduren eines Programmoduls bezeichnet. ====Rücksprunganweisungen==== Nach Ablauf des Unterprogramms kann ein Rückgabewert an das aufrufende Programm zurückgegeben werden, der im aufrufenden Programmteil dann zur Verfügung steht und als Ausdruck zum Beispiel an eine Variable zugewiesen werden kann. In diesem Fall wird ein Unterprogramm auch '''Funktion''' genannt, da als Ergebnis des Unterprogrammaufrufs ein Funktionswert berechnet wurde und dann zurückgegeben wird. Jedes Unterprogramm hat daher exakt eine Rücksprunganweisung (oft mit dem Schlüsselwort '''return''' gekennzeichnet), die logischerweise die letzte Anweisung sein muss, damit alle Anweisungen vorher durchgeführt werden können. Der Rücksprung erfolgt immer zur Stelle des Unterprogrammaufrufs, wo die Programmausführung anschließend fortgeführt wird. Hat das Unterprogramm keinen Rückgabewert, der an den aufrufenden Programmteil zurückgegeben werden muss, wird in vielen Programmiersprachen auf eine explizite Rücksprunganweisung verzichtet; in diesem Fall wird sie also implizit ausgeführt. Ist das Hauptprogramm vollständig durchlaufen, wird das Programm nach dessen Rücksprunganweisung beendet, und die Kontrolle an das Laufzeitsystem oder das Betriebssystem zurückgegeben, von wo aus das Hauptprogramm aufgerufen worden war. Mehrfache und insbesondere vorzeitige Rücksprunganweisungen in einem Unterprogramm sind unstrukturiert und daher zu unterlassen, auch wenn die Programmiersprache dies nicht zwingend fordert. Vorzeitige Unterprogrammabbrüche ('''Break'''-Anweisungen) verhindern, dass nachfolgende Programmsequenzen ausgeführt werden können, obwohl sie bei einer Ausführung das Ergebnis für den Rückgabewert beeinflussen würden. Dies kann zur Verwirrung führen, weil das Unterprogramm bei einer Überprüfung oder einer Analyse immer vollständig auf potentielle vorzeitige Unterprogrammabbrüche durchsucht werden muss. Der folgende unstrukturierte Java-Code, der den in der Variablen '''ergebnis''' gespeicherten Wert vor dessen Rückgabe als Text ausgeben soll, verdeutlicht dies: <syntaxhighlight lang="java"> private static double unterprogramm (double parameter) { double ergebnis = parameter; boolean ganzzahlig = (parameter % 1 == 0); if (ganzzahlig) return ergebnis; ergebnis = ergebnis + 1; java.lang.System.out.println ("Ergebnis = " + ergebnis); return ergebnis; } </syntaxhighlight> Die Erhöhung des Wertes der Variablen '''ergebnis''' sowie die Textausgabe mit dem Aufruf der Methode '''println''' unmittelbar vor der Rücksprunganweisung erfolgen wegen der beiden vorhandenen Rücksprunganweisungen nur, wenn der Wert des Parameters '''parameter''' nicht ganzzahlig ist. Demzufolge erzeugen die folgenden beiden Unterprogrammaufrufe <syntaxhighlight lang="java"> unterprogramm (0); unterprogramm (0.5); </syntaxhighlight> die Textausgabe: <syntaxhighlight lang="text"> Ergebnis = 1.5 </syntaxhighlight> Dieses formal korrekte, aber unerwünschte Verhalten wird nur nachvollziehbar, wenn der gesamte Code des Unterprogramms analysiert wird, was bei komplexeren Unterprogrammen und beim Vorhandensein mehrerer Rücksprunganweisungen sehr aufwendig werden kann.. Das folgende Unterprogramm implementiert den eigentlich gewünschten Algorithmus in strukturierter Form mit einer einzigen Rücksprunganweisung am Ende des Unterprogramms: <syntaxhighlight lang="java"> private static double unterprogramm (double parameter) { double ergebnis = parameter; boolean ganzzahlig = (parameter % 1 == 0); if (! ganzzahlig) { ergebnis = ergebnis + 1; } java.lang.System.out.println ("Ergebnis = " + ergebnis); return ergebnis; } </syntaxhighlight> Die Textausgabe bei den oben angegebenen Aufrufen des Unterprogramms erfolgt nun wie gewünscht: <syntaxhighlight lang="text"> Ergebnis = 0.0 Ergebnis = 1.5 </syntaxhighlight> Es empfiehlt sich grundsätzlich ebenfalls immer, innerhalb von Rücksprunganweisungen keine komplexen Ausdrücke, Kontrollstrukturen oder Unterprogrammaufrufe zu verwenden, um einfache und eindeutige Rückgabewerte zu erhalten sowie diese gegebenenfalls mit einer Textausgabe oder einem Debugger kontrollieren zu können. Im Idealfall wird in der Rücksprunganweisung nur der Wert einer zuvor berechneten lokalen Variable mit einem sprechenden Bezeichner zurückgegeben: <syntaxhighlight lang="text"> ergebnis ← f (a, b, c); return ergebnis; </syntaxhighlight> In der Regel ergeben sich durch die zusätzliche explizite Zuweisung an die lokale Variable '''ergebnis''' keine Laufzeiteinbußen, da im übersetzten Maschinencode implizit für den Rückgabewert sowieso eine Zuweisung ausgeführt werden muss. Moderne Übersetzer berücksichtigen diesen Kontext automatisch, so dass in beiden Fällen derselbe Maschinencode erzeugt wird. <div style="clear:both"></div> ===Fallunterscheidungen=== Die einfachste Fallunterscheidung ist die bedingte Anweisung. Verzweigungen enthalten mindestens zwei alternative Programmpfade. ====Bedingte Anweisung==== [[Datei:einfAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer bedingten Anweisung.]] Im folgenden Beispiel mit einer bedingten Anweisung (zum Beispiel if - then - end) wird die Dekrement-Anweisung a-- (der Wert der numerischen Variablen a soll um eins erniedrigt werden) nur dann ausgeführt, falls der boolesche Ausdruck a > b wahr ist, die entsprechende Bedingung also erfüllt ist: falls a > b dann a-- ende Hier wird der Wert der Variablen a also nur dann dekrementiert, wenn der Wert der Variablen a größer ist als der Wert der Variable b. Ansonsten wird der Programmablauf sofort hinter der ende-Marke fortgeführt. ====Einfache Verzweigung==== [[Datei:zweifAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer einfachen Verzweigung.]] Die einfachste Verzweigung (zum Beispiel if - then - else - end) enthält genau zwei alternative Pfade, von denen in Abhängigkeit eines booleschen Ausdrucks nur einer ausgeführt wird, wie in diesem Beispiel: falls a > b dann a-- ansonsten b-- ende Je nachdem die entsprechende Bedingung erfüllt ist oder nicht, wird die eine oder die andere Anweisung ausgeführt. Im obigen Beispiel wird der Wert der Variablen a nur dann dekrementiert, falls der Wert der Variablen a größer ist als der Wert der Variable b, ansonsten wird hier im Vergleich zur bedingten Anweisung allerdings der Wert der Variablen b um eins erniedrigt. In beiden Fällen wird das Programm anschließend hinter der ende-Marke fortgeführt. ====Mehrfache Verzweigung==== [[Datei:Mehrseitige Auswahl.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer mehrfachen Verzweigung.]] Eine mehrfache Verzweigung (zum Beispiel switch - case - else - end) enthält mehr als zwei alternative Programmpfade, die meist, wie auch im folgenden Beispiel, von ganzzahligen Ausdrücken gesteuert werden: verzweige mit dem Wert von a falls 1 : unterprogramm_A () falls 2 : unterprogramm_B () falls 3 : unterprogramm_C () ansonsten unterprogramm_D () ende In Abhängigkeit des in der ganzzahligen Variablen a gespeicherten Zahlenwertes wird genau eines der vier angegebenen Unterprogramme aufgerufen; beim Wert 1 unterprogramm_A, beim Wert 2 unterprogramm_B, beim Wert 3 unterprogramm_C und ansonsten unterprogramm_D. Danach wird der Programmablauf hinter den ende-Marke fortgeführt. In manchen weniger stakt strukturierten Programmiersprachen wie C sind Vorsicht und Aufmerksamkeit geboten, weil beispielsweise dort die verschiedenen Fälle der entsprechenden switch-Anweisung nur optional mit einer break-Anweisung und nicht immer und obligatorisch abgeschlossen werden. Dies nutzen einige Programmierer, um in bestimmten Situationen mehrere Fälle hintereinander abarbeiten zu lassen. Dieses Vorgehen ist jedoch hochgradig unstrukturiert und führt sehr schnell und unübersichtlichem Programmcode und somit sehr leicht zu Programmierfehlern. Dies kann vermieden werden, wenn in diesen Programmiersprachen hinter jedem unterschiedenem Fall kategorisch die break-Anweisung implementiert wird, auch wenn die Programmiersprache oder der Übersetzer dies nicht fordern. [[Datei:MehrfAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm mit verschachtelten einfachen Verzweigungen, um eine mehrfache Verzweigung zu implementieren.]] Mehrfache Verzweigungen mit aufeinanderfolgenden numerischen oder aufzählbaren Werten, wie im obigen Beispiel 1, 2 und 3, können rechnerintern unter Umständen effizient genutzt werden, weil die Sprungadressen arithmetisch berechnet werden können. Dies ist bei modernen Laufzeitsystemen in der Regel aber nicht mehr so relevant, und diese mehrfachen Verzweigungen können auch immer durch mehrfache Fallunterscheidungen programmiert werden. Durch eine eigene Anweisung für die mehrfache Verzweigung kann die Übersichtlichkeit des Quelltextes allerdings oft gesteigert werden. Auf der anderen Seite können die Übersichtlichkeit und die Nachvollziehbarkeit in der Regel auch hier mit entsprechenden Unterprogrammaufrufen gesteigert werden. ===Schleifen=== Bei Schleifen wird eine Anweisungsfolge nur dann ausgeführt, wenn die entsprechende boolesche, im Sinne der Schleife lokale Laufvariable den Wert "wahr" hat. Alle Schleifen können auf eine grundlegende Form zurückgeführt werden, bei der ein wesentliches Merkmal ist, ob die Laufvariable '''zu Beginn''' der Schleifenanweisungen den initialen Wert "wahr" erhält (fußgesteuert) oder in der Anfangsbedingung durch einen variablen booleschen Ausdruck bestimmt ist (kopfgesteuert). Es ist sinnvoll, dass diese Laufvariable nur zum Zwischenspeichern der Abbruchbedingung dient und ausschließlich im Zusammenhang mit der Schleife verwendet wird. Bei wohlstrukturierter Programmierung mit zählenden Schleifen können numerische Laufvariablen verwendet werden, die innerhalb der Schleife vorzugsweise erst in der letzten Anweisung der Schleife aktualisiert werden, damit es innerhalb des Schleifendurchlaufs nicht zu Inkonsistenzen, Verwechslungen oder Mehrdeutigkeiten kommen kann. Ferner gibt es in der strukturierten Programmierung keine expliziten Sprunganweisungen, die irgendwo innerhalb einer Schleife zum Beispiel mit dem Kommando '''continue''' den Rest der Schleife überspringen und sofort die nächstfolgende Abbruchbedingung der Schleife prüfen lassen. Innerhalb von Schleifen ist es ohne Weiteres möglich, alle Zwischenschritte mit Verzweigungen zu steuern beziehungsweise alle Zwischenergebnisse in lokalen Variablen zu speichern, ohne dass es in modernen Computersystemen zu längeren Ausführungszeiten kommt. Im Folgenden soll dies mit der Programmiersprache Java an sehr einfachen Schleifen, die alle Zahlen außer der Fünf von Eins bis Zehn ausgeben sollen, erläutert werden. Unstrukturiertes Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> long i = 1; do { if (i == 5) { i++; // Die Schleifenendanweisung zum Hochzaehlen der Laufvariable muss hier dupliziert werden, damit es nicht zu einer Fehlfunktion kommt. continue; // Die Schleife wird durch diese explizite Sprunganweisung unstrukturiert abgebrochen. } java.lang.System.out.println (i); i++; } while (i <= 10); </syntaxhighlight> Strukturiertes Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> long i = 1; do { if (i != 5) { java.lang.System.out.println (i); } i++; } while (i <= 10); </syntaxhighlight> ====Kopfgesteuerte Schleifen==== [[Datei:KopfgesteuerteSchleife.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer kopfgesteuerten Schleife.]] Kopfgesteuerte Schleifen werden auch als '''While'''-Anweisungen bezeichnet. {| class="wikitable" style="text-align:center" | rowspan="4" | Kopfgesteuerte Schleife | colspan="2" | Setze Laufvariable auf boolesche Anfangsbedingung |- | rowspan="3" | Solange wie die Laufvariable den Wert "wahr" hat führe aus |- |Anweisungsfolge |- | Setze Laufvariable auf boolesche Endbedingung |} Wenn die boolesche Anfangsbedingung zu Beginn den Wert "falsch" hat, wird die Schleife '''nicht durchlaufen'''. ====Fußgesteuerte Schleifen==== [[Datei:FussgesteuerteSchleife.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer fußgesteuerten Schleife.]] Die fußgesteuerte Schleife, die auch '''Repeat'''-Anweisung genannt wird, ist ein Sonderfall der kopfgesteuerten Schleife, bei der die boolesche Anfangsbedingung immer auf "wahr" gesetzt wird. Daher wird eine fußgesteuerte Schleife '''immer mindestens einmal durchlaufen'''. {| class="wikitable" style="text-align:center" | rowspan="4" | Fußgesteuerte Schleife | colspan="2" | Setze Laufvariable auf "wahr" |- | rowspan="3" | Solange wie die Laufvariable den Wert "wahr" hat führe aus |- |Anweisungsfolge |- | Setze Laufvariable auf boolesche Endbedingung |} Da der Ausdruck der booleschen Anfangs- und Endbedingung oft identisch formuliert ist, bietet es sich an, dafür einen Funktionsaufruf zu verwenden, um eine Codewiederholung zu vermeiden. Aus Gründen der Laufzeiteffizienz wird das Setzen der Laufvariablen zu Beginn und die erstmalige Überprüfung der Laufvariablen oft weggelassen, was für die allermeisten Anwendungen heute jedoch unwesentlich ist. Da die Laufvariable in diesem Fall zu Beginn jedoch nicht definiert werden muss und daher gegebenenfalls auch gar nicht definiert wird, birgt dieses Vorgehen die Gefahr in sich, dass die Laufvariable ihren undefinierten Zustand behält. Insbesondere tritt dies ein, wenn das Setzen der Laufvariable auf eine boolesche Endbedingung nicht erfolgt, weil dies in der verwendeten Programmiersprache nicht obligatorisch ist beziehungsweise vom Programmierer vergessen wurde, oder weil dies wegen eines zwangsläufig unstrukturierten Abbruchs innerhalb der Schleife (zum Beispiel mit einer Break-Anweisung) gar nicht erfolgen kann. ====Endlosschleifen==== '''Endlosschleifen''' sind unstrukturiert, da das Programm nicht regelgerecht beendet werden kann. Daher sind diese sogenannten Loop-Anweisungen, wie zum Beispiel for (;;) { ... } while (true) { ... } repeat { ... } until (false) beziehungsweise do { ... } while (true) oder loop { ... } zu unterlassen. Insbesondere das Verlassen von Endlosschleifen mit einer '''Sprunganweisung''' oder gar mehreren potentiellen Sprunganweisungen, wie zum Beispiel ''break'' oder ''exit'', ist hochgradig unstrukturierte Programmierung, da der Ausstiegszeitpunkt oder die Stelle des Ausstiegs aus der Schleife (wenn überhaupt) nur schwierig nachzuvollziehen oder zu bestimmen ist. ====For-Schleifen==== Die For-Schleifen-Anweisung int i for (i ← 0; i < max; i++) { ... } ist identisch mit der kopfgesteuerten while-Anweisung: int i i ← 0 while (i < max) { ... i = i + 1 } Es ist im Sinne eines einfachen Sprachumfangs und eines einheitlichen Sprachstils unter Umständen nützlich, für kopfgesteuerte Schleifen keine For-Schleifen, sondern ausschließlich While-Schleifen zu benutzen. Wenn die Programmiersprache es erlaubt, Zählvariablen ausschließlich für eine Schleife zu definieren, dann hat dies den Vorteil, dass das Prinzip der Lokalität für diese Zählvariablen sehr gut erfüllt ist, da die Zählvariable dann außerhalb der Schleife nicht sichtbar ist und somit auch nicht verwendet werden kann: for (int i ← 0; i < max; i++) { ... } Die äquivalente Schreibweise mit einer while-Schleife sieht wie folgt aus, wobei die äußere Blockanweisung dafür sorgt, dass die Zählvariable "i" innerhalb der Blockanweisung deklariert ist und nur in Verbindung mit der Schleife sichtbar respektive verwendbar ist: { int i i ← 0 while (i < max) { ... i++ } } Bei Algorithmen, die aus mehreren Kontrollstrukturen bestehen, ist es im Sinne der besseren Strukturierung vorzuziehen, alle Schleifen in eigene Methoden auszulagern, die aufgerufen werden und deren Schnittstellen über ihre Parameter eindeutig festgelegt sind. Hierbei können die Schleifen verschachtelt sein (innere und äußere Schleife) oder hintereinander ausgeführt werden. In jedem Fall sind alle Parameter und Variablen (also auch die jeweiligen Zählvariablen) innerhalb der entsprechenden Methoden lokal verfügbar. ==Codewiederholungen== Codewiederholungen gehören insbesondere bei Anfängern sehr häufig zu den kapitalen Fehlern beim Softwareentwurf. Es ist nur scheinbar bequem, bereits vorhandenen Quelltext zu kopieren und für eine ähnliche Aufgabe geringfügig anzupassen. Es ist Größenordnungen besser, den bereits vorhandenen Quelltext so anzupassen, dass er für alle ähnlichen oder zumindest mehrere ähnliche Aufgabenstellungen eingesetzt werden kann. Erfahrene Programmierer wittern schon von Anfang an, dass eine bestimmte Methode auch in einem ähnlichen Kontext eingesetzt werden könnte und entwerfen den Code von vornherein so allgemein wie möglich. ===Symbolische Konstanten=== Konstante Ausdrücke werden in der Regel als '''symbolische Konstanten''' definiert, wie zum Beispiel mit der symbolischen Konstante "Pi" für die Kreiszahl oder die symbolische Konstante "Title" für den Text "Programmierung": const double Pi ← 3.141592654 const String Title ← "Programmierung" Statt konstante Ausdrücke zu wiederholen – und sei es nur eine ganze Zahl – ist es erheblich besser, stattdessen eine symbolische Konstante mit einem „sprechenden“ Bezeichner zu verwenden. Also nicht mit der ganzen Zahl 3: int inputNumber ← 3 ... if (inputNumber = 3) ... Sondern besser mit der symbolischen Konstante "Exit" mit dem unveränderlichen, ganzzahligen Wert 3: const int Exit ← 3 int inputNumber ← Exit ... if (inputNumber = Exit) ... Oder nicht zweimal mit derselben ganzen Zahl 3: if (a > 3) and (b > 3) ... Sondern besser mit zwei verschiedenen symbolischen Konstanten "Limit_a" und "Limit_b": const int Limit_a ← 3 const int Limit_b ← 3 if (a > Limit_a) and (b > Limit_b) ... Auf diese Weise kann auch leicht vermieden werden, dass gleichlautende Ausdrücke mit unterschiedlicher Bedeutung verwechselt werden können, insbesondere wenn sie später einmal geändert werden müssen: if (numberOfConstellation > 12) { Ausgabe ("Diese Sternbildnummer ist ungültig.") } if (numberOfHalftones > 12) { Ausgabe ("Das Intervall ist größer als eine Oktave.") } Die beiden konstanten Zahlensymbole "12" haben nichts außer ihrem Zahlenwert gemeinsam, und daher ist der folgende Code erheblich besser nachvollziehbar: const int Number_Of_Constellations ← 12 const int Number_Of_Halftones_Per_Octave ← 12 ... if (numberOfConstellation > Number_Of_Constellations) { Ausgabe ("Diese Sternbildnummer ist ungültig.") } if (numberOfHalftones > Number_Of_Halftones_Per_Octave) { Ausgabe ("Das Intervall ist größer als eine Oktave.") } ===Aufruf von Unterprogrammen=== [[Datei:Aufruf.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm eines Unterprogrammaufrufs.]] Unterprogramme, die in vielen Programmiersprachen auch Methoden, Prozeduren oder Funktionen genannt werden, beinhalten sequenzielle Rechenvorschriften (Algorithmen) zum Bearbeiten von Daten, die zu einer Einheit zusammengefasst sind. So kann zum Beispiel die Rechenvorschrift für die Berechnung des Kreisumfangs aus dem Kreisradius als Folge von Programmanweisungen formuliert werden, aber auch in eine Methode ausgelagert werden. Dieses Unterprogramm kann dann irgendwo im Programmcode aufgerufen werden. Dies gewinnt besonders dann Bedeutung, wenn das Unterprogramm an verschiedenen Stellen aufgerufen werden soll, so dass dann diese Programmanweisungen nicht mehrfach programmiert oder kopiert werden müssen. Insbesondere wenn die ursprünglichen, an mehreren Stellen auftauchenden Programmanweisungen einen Fehler enthalten, muss dieser nach dem Entdecken des Fehlers - also möglicherweise zu einem viel späteren Zeitpunkt - zur Fehlerbehebung zwangsweise an mehreren Stellen im Programmcode korrigiert werden. Das ist nicht nur mühsam, sondern einzelne relevante Stellen können leicht übersehen werden, so dass der entdeckte Fehler gar nicht vollständig ausgemerzt wird. Die mehrfach eingegebenen Programmanweisungen zur Berechnung des Kreisumfangs werden beim Auftreten von '''Codewiederholung''' an drei Stellen des Quelltextes programmiert: const double Pi ← 3.141592654 double perimeter1 ← radius1 * 2 * Pi double perimeter2 ← radius2 * 2 * Pi double perimeter3 ← radius3 * 2 * Pi Mithilfe des im Unterprogramm "perimeter" nur einmal implementierten Algorithmus' zur Ermittlung des Kreisumfangs und dessen dreimaligem Aufruf kann die Wiederholung der Implementierung der Rechenvorschrift leicht vermieden werden: /* "perimeter" computes and returns the perimeter of a circle with radius "radius" */ double perimeter (radius) { const double Pi ← 3.141592654 double perimeter ← radius * 2 * Pi return perimeter } double perimeter1 ← perimeter (radius1) double perimeter2 ← perimeter (radius2) double perimeter3 ← perimeter (radius3) ==Zuweisungskompatibilität== '''Zuweisungskompatibilität''' liegt vor, wenn Ausdrücke und Variablen aufgrund hinreichend kompatibler Datentypen einander zugewiesen, miteinander verglichen oder eindeutig miteinander verknüpft werden können. Es kann bereits im Quelltext überprüft werden, ob eine hinreichende Zuweisungskompatibilität vorliegt. Liegt diese nicht vor, handelt es sich um eine Typverletzung, und es muss eine explizite Typumwandlung programmiert werden. In diesem Fall kann es sehr leicht zu Programmfehlern kommen. Programmiersprachen, die für die maschinennahe Programmierung konzipiert wurden, wie zum Beispiel Assemblersprachen oder die Programmiersprache C, haben oft gar keine oder nur eine sehr schwache Typprüfung, was sehr leicht zu Programmfehlern führen kann. In manchen Programmiersprachen, wie zum Beispiel C, ist es sogar erlaubt, beliebige Zeiger einer Zeigervariablen zuzuweisen, ohne dass geprüft wird oder überhaupt geprüft werden kann, ob die Datentypen der referenzierten Daten kompatibel sind. ===Zeichenketten=== Ein weiteres schwerwiegendes Problem kann sich bei der Verwendung von Zeichenketten (englisch: string) ergeben, die in der Regel zum Speichern von Texten Verwendung finden und die aus einer Sequenz von einzelnen Zeichen respektive Buchstaben (englisch: character) bestehen. Eine strukturierte Programmiersprache, die Zeichenkettenverarbeitung und einen entsprechenden Datentyp zur Verfügung stellt, sollte fordern, dass jede Zeichenkette mit einem Zeichen abgeschlossen wird, das das Ende der Zeichenkette markiert (englisch: string terminator). Hierfür wird allgemein das Zeichen mit dem numerischen Wert null verwendet, das keinen Buchstaben repräsentiert und in Quelltexten häufig mit den Symbolen NUL, 0X oder \0 kodiert wird. Manche unstrukturierte Programmiersprachen fordern nicht, dass eine solche Kennzeichnung des Endes der Zeichenkette verwendet werden muss. Bei der Implementation von Zeichenkettenfunktionen in Programmbibliotheken, insbesondere wenn die dazugehörige Programmiersprache gar keinen Datentyp für Zeichenketten zur Verfügung stellt, ist auch bei strukturierten Programmiersprachen nicht unbedingt gewährleistet, dass eine entsprechende Kennzeichnung des Zeichenkettenendes obligatorisch ist. Bei der Implementierung von Vergleichsfunktionen oder Zeichenkettenmanipulationen in unstrukturierten Programmiersprachen oder Programmbibliotheken muss die Tatsache, ob das Nullzeichen vorhanden ist oder nicht, regelmäßig untersucht und berücksichtigt werden. Einfacher und sicherer ist es, mit einer strukturierten Programmiersprache oder einer entsprechenden Programmbibliothek zu arbeiten, bei der immer gewährleistet ist und vorausgesetzt werden kann, dass alle Zeichenketten mit einem Endezeichen abgeschlossen sind. Die den Zeichenketten zugrunde liegenden Zeichen (englisch: character) sind grundsätzlich positive ganze Zahlen, die Null repräsentiert gegebenenfalls das Ende eine Zeichenkette (englisch: end of string (EOS)). Nichtsdestoweniger muss der gültige Wertebereich beachtet werden, also der Zahlenraum, der entsprechend der Zuordnungstabellen (beispielsweise ASCII oder Unicode) als Zeichen interpretiert werden kann. Hierbei gibt es große Unterschiede zwischen den Programmiersprachen, wie anhand der folgenden Beispiele verdeutlicht werden soll: {| class="wikitable" |+ Datentypen für Zeichen ! Programmiersprache !! Bezeichnung !! Anzahl der kodierbaren Zeichen !! Bittiefe |- | C || (unsigned) char || 0..255 || 8 |- | C || signed char || -128..127 || 8 |- | C || (unsigned) int || 0..65535 || 16 |- | C || signed int || -32768..32767 || 16 |- | Java || char || 0..65535 || 16 |- | C# || char || 0..65535 || 16 |- | Component Pascal || SHORTCHAR || 0..255 || 8 |- | Component Pascal || CHAR || 0..65535 || 16 |} ===Strenge Zuweisungskompatibilität=== Zuweisungen sind uneingeschränkt zulässig, wenn eine strenge Zuweisungskompatibilität gegeben ist. Dazu müssen die Datentypen eines zuzuweisenden Ausdrucks und einer Variable exakt übereinstimmen, wie in folgendem Beispiel mit dem Datentyp "Mann" und den beiden Instanzen "otto" und "emil": TYPE Mann = Verbund von alter und groesse VARIABLE otto, emil: Mann otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 emil ← otto Alle Attribute von „otto“, nämlich „alter“ und „groesse“, können „emil“ eindeutig zugewiesen werden. Zwei Instanzen sind streng zuweisungskompatibel, wenn sie derselben Klasse angehören, wie in diesem Beispiel die beiden Objekte "fenster1" und "fenster2" aus der Klasse "Rechteck": TYPE Rechteck = Klasse mit breite, hoehe und mit Methode flaechenberechnung&nbsp;() VARIABLE fenster1, fenster2: Rechteck fenster1.breite ← 200 fenster1.hoehe ← 100 fenster1.flaechenberechnung&nbsp;() (Flächenberechnung für „fenster1“ ausführen) fenster2 ← fenster1 fenster2.flaechenberechnung&nbsp;() (Flächenberechnung für „fenster2“ ausführen) Die Zuweisung in der vorletzten Programmzeile ist möglich, da beide Instanzvariablen "fenster1" und "fenster2" derselben Klasse "Rechteck" angehören, und daher liefert auch der Methodenaufruf in der letzten Programmzeile ein korrektes Ergebnis. ====Logische Kompatibilität==== Zwei übereinstimmende Definitionen von zwei Datentypen sind nicht zuweisungskompatibel. Die Daten können zwar eindeutig überführt werden (technische Kompatibilität), es liegen zwei formal zwar identische, aber dennoch verschiedene Definitionen vor, so dass diese keine logische Kompatibilität aufweisen. Folgendes Beispiel wäre demzufolge formal korrekt, aber nicht logisch: TYPE Mann = Verbund von alter und groesse TYPE Frau = Verbund von alter und groesse VARIABLE otto: Mann VARIABLE anna: Frau otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 anna ← otto Die Zuweisung in der letzten Programmzeile ist technisch zwar ohne Probleme möglich, aber logisch nicht korrekt, und sie birgt daher die Gefahr der Entstehung von Programmierfehlern. Um solche Fehler zu vermeiden, sind Zuweisungen mit impliziter Typumwandlung in einigen Programmiersprachen mit starker Typisierung nicht zulässig, und der Compiler verweigert die Übersetzung dieser Zuweisung. In der objektorientierten Programmierung kann durch die Vererbung der gemeinsamen Eigenschaften von Datentypen leicht eine logische Kompatibilität hergestellt werden: TYPE Mensch = Verbund von alter und groesse TYPE Mann = Mensch TYPE Frau = Mensch VARIABLE otto: Mann VARIABLE anna: Frau otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 anna ← otto Die Objekteigenschaften "alter" und "groesse" sind hierbei Eigenschaften von Objekten des Datentyps "Mensch" und daher sowohl zuweisungskompatibel, als auch logisch korrekt; bei der Zuweisung können und werden nur die Attribute "alter" und "groesse" der gemeinsamen Basisklasse "Mensch" übertragen. ====Wahrheitswerte==== In einigen älteren Programmiersprachen, wie zum Beispiel C, gibt es keinen eigenen Datentyp für zweiwertige boolesche Variablen. Zur Behandlung und Verarbeitung entsprechender Information wird dann häufig der ganzzahlige Datentyp mit dem kleinsten Speicherbedarf verwendet, wobei der Zahlenwert null für den Wahrheitswert „Falsch“ und alle anderen Zahlenwerte für den Wahrheitswert „Wahr“ Verwendung finden. Auch hier ergeben sich logische Inkompatibilitäten und somit ein gefährliches Potential für Komplikationen, da mit binären Werten keine Arithmetik und mit Zahlen keine logischen Verknüpfungen oder logischen Operationen durchgeführt werden können. Im folgenden Beispiel wird dieser Missbrauch verdeutlicht: VARIABLE schlechteWahrheit1, schlechteWahrheit2, ergebnisWahrheit: INTEGER schlechteWahrheit1 ← 0 schlechteWahrheit2 ← 1 ergebnisWahrheit ← (schlechteWahrheit1 + schlechteWahrheit2) ergebnisWahrheit ← (schlechteWahrheit2 + schlechteWahrheit2) Das Ergebnis der ersten arithmetischen Addition ist 1, was fälschlich als der Wahrheitswert „Wahr“ missinterpretiert werden könnte, der nicht dem Ergebnis der logischen Und-Verknüpfung entspricht. Noch offensichtlicher ist das Problem in der zweiten arithmetischen Addition, wo das Ergebnis 2 erzielt wird. Somit existieren ohne Not mehr als zwei Zustände für die binären (also zweiwertigen) Variablen, was schnell zu Missverständnissen und Programmierfehlern führen kann. Eine eindeutige und korrekte Implementierung wird erreicht, wenn die Programmiersprache oder eine dazugehörige Programmbibliothek einen zweiwertigen Datentyp, wie zum Beispiel „BOOLEAN“ oder „bool“, zwei entsprechende Ausprägungen, wie zum Beispiel "false" und "true", und die dazugehörigen eindeutigen booleschen Operatoren und Funktionen (beispielsweise "and", "or" oder "not") anbietet. VARIABLE richtigeWahrheit1, richtigeWahrheit2, ergebnisWahrheit: BOOLEAN richtigeWahrheit1 ← falsch richtigeWahrheit2 ← wahr ergebnisWahrheit ← (richtigeWahrheit1 und richtigeWahrheit2) ergebnisWahrheit ← (richtigeWahrheit2 und richtigeWahrheit2) Sinngemäß gilt das Gleiche für die Verknüpfungen von Mengen. Wenn hier bei den Datentypen und zulässigen Operatoren nicht zwischen Bitmengen (englisch: (bit) sets) und Zahlen unterschieden wird, kommt es wie zum Beispiel bei der Bestimmung von Vereinigungs- oder Differenzmengen zu Interpretationsproblemen. Eine eindeutige und korrekte Implementierung verwendet Datentypen, die für Mengen und Mengenoperationen definiert sind. In einigen Programmiersprachen werden solche Datentypen im Sprachumfang implizit angeboten, in anderen gibt es dafür standardisierte Programmbibliotheken, auf die über Unterprogrammaufrufe zugegriffen werden kann. ===Zuweisungskompatibilität ohne Informationsverlust=== In einigen Fällen kann die Information, die mit einem Datentyp dargestellt werden kann, eindeutig und ohne Informationsverlust in einen anderen Datentyp überführt werden. Typische Beispiele sind ganze Zahlen mit unterschiedlicher Speichergröße. So kann ein Integer mit 16&nbsp;Bit Speichergröße eindeutig in einer vorzeichenbehafteten Integer-Variablen mit 32&nbsp;Bit Speichergröße abgelegt werden, ohne dass die ursprünglich nur mit 16&nbsp;Bit gespeicherte Zahl verändert wird. Umgekehrt ist dies jedoch nicht allgemein möglich, insbesondere unter der Beachtung von Vorzeichen und großen Zahlen. Der folgende Programmierabschnitt zeigt ein Beispiel ohne Zuweisungskompatibilität, da der Datentyp „BYTE“ nur 8&nbsp;Bit Speichertiefe hat und nur Werte zwischen -128 bis +127 und somit nicht die Zahl 555 repräsentieren kann, wohingegen der Datentyp „SHORTINT“ eine Speichertiefe von 16&nbsp;Bit hat und ganze Zahlen von -32768 bis +32767 repräsentieren kann: zahl1: BYTE zahl2: SHORTINT zahl2 ← 555 zahl1 ← zahl2 Die letzte Programmzeile stellt einen ungültigen Versuch der Zuweisung der ganzen Zahl&nbsp;555 aus der Variablen „zahl2“ an die Variable „zahl1“ dar. Bei einer solchen Programmanweisung kann bei typsicheren Programmiersprachen bereits der Compiler verhindern, dass ausführbarer Maschinencode erzeugt wird. Bei fehlender Überprüfung durch den Compiler kann unbemerkt Information verloren gehen, so dass bei nachfolgenden Berechnungen unter Umständen grobe Berechnungsfehler auftreten, die relativ schwierig zu analysieren sind. ===Zuweisungskompatibilität mit geringem Informationsverlust=== Ein Sonderfall ist die Zuweisung von ganzen Zahlen an Variablen, die Gleitkommazahlen repräsentieren. In der Regel kann ohne die Gefahr von Programmfehlern toleriert werden, große ganze Zahlen implizit in Gleitkommazahlen umzuwandeln, da der Rechenfehler (wenn überhaupt vorhanden) hierbei sehr klein ist. Auch dies kann an einem Beispiel verdeutlicht werden: ein „LONGINT“ mit 64&nbsp;Bit Speichergröße kann die Zahl 9223372036854775807 mit 19 Dezimalstellen speichern. Der folgende Programmierabschnitt zeigt ein Beispiel mit Zuweisungskompatibilität mit einem in der Regel zu vernachlässigenden Informationsverlust, da der Datentyp „REAL“ nach IEEE 754 mit 64&nbsp;Bit nur Zahlen mit einer Mantisse mit maximal 14 Nachkommastellen speichern kann: zahl1: LONGINT zahl2: REAL zahl1 ← 9223372036854775807 zahl2 ← zahl1 Die letzte Anweisung stellt in fast allen Programmiersprachen einen gültigen Versuch der Zuweisung der ganzen Zahl&nbsp;<math>{2}^{63} - 1</math> aus der Variablen „zahl1“ an die Variable „zahl2“ dar, da diese gerundeten Zahlenwert <math>9{,}22337203685478 \cdot {10}^{18}</math> enthält, und der Fehler durch das Abschneiden der letzten Nachkommastellen hier nur in einer Größenordnung von <math>{10}^{-14}</math> liegt und daher für praktisch alle Anwendungen vernachlässigt werden kann. Bei einer erneuten Datentypkonvertierung zurück zu einem geeigneten ganzzahligen Datentyp kommt es dann aber zu einer Abweichung zu der ursprünglichen ganzen Zahl. In solchen Fällen ist es daher besser, vorsichtshalber und mit Inkaufnahme etwas längerer Programmlaufzeiten ausschließlich mit Gleitkommazahlen zu operieren. ===Zuweisungskompatibilität mit definiertem Informationsverlust=== Zwei Instanzen sind mit definiertem Informationsverlust zuweisungskompatibel, wenn die zuzuweisende Klasse einer Klasse angehört, die von der zugewiesenen Klasse abgeleitet wurde. Alle Daten die in der zugewiesenen Klasse deklariert und somit erforderlich sind, können dann zugewiesen werden, jedoch werden die in der zuzuweisenden abgeleiteten Klasse möglicherweise hinzugefügten Attribute ignoriert, wie das folgende Beispiel verdeutlichen soll, in welchem der Datentyp „Mensch“ alle Eigenschaften vom Datentyp „Lebewesen“ erbt und zusätzlich das Attribut „intelligenzquotient“ bekommt: TYPE Lebewesen = Verbund von alter und gewicht TYPE Mensch = Lebewesen mit intelligenzquotient VARIABLE otto: Mensch VARIABLE eukaryot: Lebewesen otto.alter ← 50 otto.gewicht ← 75 otto.intelligenzquotient ← 100 eukaryot ← otto Die Zuweisung in der letzten Zeile ist korrekt, das Attribut „intelligenzquotient“ der Variable „otto“ vom Datentyp „Mensch“ wird jedoch nicht an die Variable „eukaryot“ zugewiesen, da es beim Datentyp „Lebewesen“ der Basisklasse nicht deklariert ist. ==Komplexe Ausdrücke== Zusammengesetzte Ausdrücke mit verschiedenartigen Operatoren können sehr unübersichtlich und somit fehleranfällig sein. Manche Programmiersprachen haben sehr viele Hierarchieebenen für Operatoren, die auch durch erfahrene Programmierer kaum durchschaut werden können, oder sogar dafür sorgen, dass bestimmte Teile des Quellcodes zur Laufzeit gar nicht erreicht werden können. Daher ist es dringend empfehlenswert, Anweisungen in kleine, überschaubare Einheiten zu untergliedern. In einigen Programmiersprachen ist es sogar möglich, die Zuweisung in andere Anweisungen zu integrieren, da sie selber als ein Ergebniswert interpretiert werden darf. Ferner ist nicht immer offensichtlich welchen Datentyp ein Ergebnis hat, was insbesondere in Ermangelung eines zweiwertigen Datentyps ''Boolean'' zu Missverständnissen führen kann. Also zum Beispiel nicht: if (a ← b – c = 0) ... In dieser bedingten Anweisung (if) ist nicht klar, in welcher Reihenfolge der Zuweisungsoperator (←), der Differenzoperator (-) und der Vergleichsoperator (=) ausgeführt werden (sollen). Es ist erheblich besser, die Anweisungen klar zu trennen: a ← (b – c) if (a = 0) ... Die folgenden beiden Beispiele mit dem Zuweisungsoperator "=" und dem Vergleichsoperator "==" zeigen Programmsequenzen in der Programmiersprache C, die zu sehr leicht zu übersehenden Programmierfehlern führen können: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int i = 0; if (i = 1) { /* Dieser Block wird immer ausgeführt, weil die Zuweisung i = 1 immer das numerische Ergebnis 1 hat, was als der boolesche Wert "wahr" interpretiert wird. */ } int i = 0; if (i == 1) { /* Dieser Block wird nie ausgeführt, weil die Vergleichsoperation i == 1 immer das numerische Ergebnis 0 hat, was als der boolesche Wert "falsch" interpretiert wird. */ } </syntaxhighlight> Die folgende Rückgabe-Anweisung ("return") in der Programmiersprache Java ist nicht nur verwirrend, sondern sinnfrei: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 2; long y = 1; return y + x--; </syntaxhighlight> Der Dekrement-Operator "- -" wird in vielen Programmiersprachen gar nicht ausgeführt, weil er hierarchisch erst nach einer Zuweisung ausgeführt wird oder nach einer die Code-Sequenz beendende Return-Anweisung noch ausgeführt werden müsste, aber de facto gar nicht mehr ausgeführt wird. Deswegen ist die folgende Anweisungsfolge nicht nur weniger komplex, gut strukturiert und korrekt, sondern auch sinnvoll und leicht sowie eindeutig nachvollziehbar: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 2; long y = 1; x--; long summe = y + x; return summe; </syntaxhighlight> Beeindruckend sinnlos, verwirrend und komplex sind Monster-Ausdrücke (nach Niklaus Wirth: ''notational monsters''), die in einigen Programmiersprachen wie zum Beispiel C erlaubt sind, wie zum Beispiel bei der Kombination einer Rücksprunganweisung ("return") mit einer Zuweisung ("="), zwei verschiedenen Inkrement-Operatoren ("++") und einem Additionsoperator ("+"). Es ist sehr schwierig durchschaubar, in welcher Reihenfolge diese fünf Anweisungen ausgeführt werden und ob diese überhaupt ausgeführt werden. Selbst wenn die Zuweisung oder die nachrangige Inkrementierung ausgeführt würden, wären sie völlig sinnlos, da auf die lokale Variable i nach der Return-Anweisung gar nicht mehr zugegriffen werden kann: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int i = 0; return i = ++i+i++; </syntaxhighlight> Auch im folgenden Java-Beispiel ist die Sachlage nicht wesentlich besser. Das Ergebnis dieser Anweisungsfolge für die Variable y ergibt den Wert 2 + 2 = 4 , weil der letzte Inkrementoperator die Variable x vor der Ausführung aller anderen Operatoren auf den Wert 2 erhöht, und der erste Inkrementoperator die Variable x erst nach der Addition und der Zuweisung auf den Wert 3 erhöht: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = x++ + ++x; </syntaxhighlight> Es ist ebenfalls nicht leicht zu durchschauen, dass das Ergebnis dieser Anweisungsfolge in Java für die Variable y den Wert 2 + 3 = 5 ergibt, weil die Variable x vor der Auswertung des arithmetischen Summe zweimal inkrementiert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = ++x + ++x; </syntaxhighlight> Ferner ist das Ergebnis der nächsten Anweisungsfolge in Java für die Variable y der Wert 2 + 2 = 4, weil die Variable x vor der Auswertung der arithmetischen Summe nur beim ersten Inkrementoperator für die Summenbildung wirksam verändert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = ++x + x++; </syntaxhighlight> Auf der anderen Seite ist das Ergebnis der nächsten Anweisungsfolge in Java für die Variable y der Wert 1 + 2 = 3, weil die Variable x während der Auswertung des arithmetischen Ausdrucks nur beim ersten Inkrementoperator für die Summenbildung wirksam verändert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = x++ + x++; </syntaxhighlight> Noch gefährlicher wird es, wenn die Reihenfolge der Auswertung von arithmetischen Ausdrücken mit gleichwertigen Operanden für den Compiler oder Interpreter nicht definiert ist: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int x = 1; long y = ++x * --x; </syntaxhighlight> Wird die Multiplikation von links nach rechts ausgewertet, ergibt sich für die Variable y der Wert 2, wird die Multiplikation von rechts nach links ausgewertet, ergibt sich für die Variable y der Wert 0. Derselbe Quelltext kann auf zwei verschiedenen Systemen also völlig andere Rechenergebnisse hervorrufen. In anderen Programmiersprachen werden die Inkremente und Dekremente von ganzzahligen Variablen daher mit Prozeduraufrufen bewerkstelligt (beispielsweise INC() und DEC()), die fester Bestandteil der Programmiersprache sind, wie zum Beispiel in Pascal, wo der Zuweisungsoperator aus zwei verschiedenen Zeichen besteht (":="), damit es keine Verwechslungen mit einem Identitätsoperator oder Vergleichsoperator geben kann: <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) VAR x, y, produkt: integer; BEGIN x := 1; INC (x); y := x; DEC (x); produkt := y * x; END; </syntaxhighlight> Die Aufrufe der Inkrement- beziehungsweise Dekrementprozeduren dürfen und können –&nbsp; genauso wie Zuweisungen&nbsp;– in der Programmiersprache Pascal also gar nicht Bestandteil eines arithmetischen Ausdrucks sein, so dass der Zeitpunkt der Ausführung immer eindeutig aus der Reihenfolge der Anweisungen hervorgeht. ===Ternäre Operatoren=== Ein '''ternärer Operator''' hat als Ergebnis einen beliebigen Wert und verknüpft hierzu drei Ausdrücke: * Der erste Ausdruck ein '''binärer Ausdruck''', der wahr oder falsch ist. * Der zweite Ausdruck beschreibt den Ergebniswert, wenn der erste Ausdruck '''wahr''' ist. * Der dritte Ausdruck beschreibt den Ergebniswert, wenn der erste Ausdruck '''falsch''' ist. In vielen Programmiersprachen werden die drei Ausdrücke mit den Begrenzungszeichen ? und : voneinander getrennt, und der binäre Ausdruck wird eingebettet in runde Klammern vorangestellt: (binärer Ausdruck) ? zweiter Ausdruck : dritter Ausdruck Jeder dieser drei Ausdrücke kann sich wiederum aus mehreren anderen Ausdrücken zusammensetzen, so dass der Überblick schnell verloren gehen kann. Die Ergebniswerte von Ausdrücken mit ternären Operatoren sollten besser nicht in andere Ausdrücke eingesetzt werden, sondern in einer lokalen Variable zwischengespeichert und erst danach weiterverwendet werden: variable ergebnis; ergebnis ← (binärer Ausdruck) ? zweiter Ausdruck : dritter Ausdruck Grundsätzlich ist es wegen der größeren Übersichtlichkeit, Transparenz und einfacheren Modifikation vorzuziehen, für das Ergebnis gar '''keine ternären Operatoren''' zu verwenden, sondern eine '''bedingte Anweisung mit Blockanweisungen''' zu verwenden: variable ergebnis; falls (binärer Ausdruck) dann Block für ergebnis ← zweiter Ausdruck ansonsten Block für ergebnis ← dritter Ausdruck ende ===Blockanweisungen=== '''Blockanweisungen''' sind ein elegantes Mittel, um Programmcode zu strukturieren sowie die Sichtbarkeit von lokalen Variablen zu begrenzen. In vielen Programmiersprachen werden eindeutige Symbole für die Kennzeichnung von Programmblöcken verwendet, wie zum Beispiel geschweifte Klammern: { ... } Die drei Punkte stehen hierbei für beliebige Anweisungsfolgen. In anderen Programmiersprachen werden Schlüsselwörter für die Begrenzung von Blockanweisungen verwendet, wie zum Beispiel "BEGIN" und "END": BEGIN ... END Der Blockinhalt mit Anweisungen -&nbsp;in beiden obenstehenden Beispielen durch die drei aufeinanderfolgenden Punkte symbolisiert&nbsp;-, wird in der Regel eingerückt, um die Lesbarkeit des Quelltextes für die Programmierer zu erleichtern. Blockanweisungen können geschachtelt, dürfen -&nbsp;sofern in der Syntax einer Programmiersprache überhaupt möglich&nbsp;- jedoch nicht verschränkt werden. Dies bedeutet, dass bei geschachtelten Blöcken ein begonnener Block immer erst vollständig abgearbeitet werden muss, bevor der nächstäußere weitergeführt und abgeschlossen werden kann: { ... /* Äußerer Block */ { ... /* Mittlerer Block */ { ... /* Innerer Block */ } ... /* Mittlerer Block */ } ... /* Äußerer Block */ } Verschränkte Blockanweisungen sind unsinnig, unstrukturiert sowie überflüssig und daher in den meisten Programmiersprachen nicht zulässig: BEGIN1 ... BEGIN2 ... ... END1 ... ... END2 Die Implementationen von allen Modulen, Klassen und Unterprogrammen sowie auch von allen Kontrollstrukturen (also Fallunterscheidungen und Schleifen) sollten '''kategorisch mit Blockanweisungen''' strukturiert werden. === Blockanweisungen bei Kontrollstrukturen === [[Datei:lineareAnw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer Anweisungsfolge.]] Auch wenn die Programmiersprache die Verwendung von Blockanweisungen für Anweisungsfolgen in einer Kontrollstruktur nicht vorschreibt, ist es sehr ratsam, die Blockanweisung kategorisch einzusetzen, um Programmierfehler zu vermeiden. Wenn zum Beispiel eine if-Anweisung so wie in den Programmiersprachen C und Java so strukturiert ist, dass genau eine Folgeanweisung ausgeführt wird, wenn die Bedingung wahr ist, kann es ohne Blockanweisungen bei der Programmentwicklung oder -wartung leicht zu übersehenden Programmierfehlern kommen. Im folgenden korrekt formulierten Java-Programmbeispiel wird die Variable v1 auf den Wert null zurückgesetzt, falls sie den gleichen Zahlenwert wie max hat: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; </syntaxhighlight> Soll zudem auch noch eine Textausgabe erfolgen, kann diese zusätzlich programmiert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); </syntaxhighlight> Die unterste Programmierzeile ist zwar eingerückt, was suggeriert, dass sie nur ausgeführt wird, wenn die darüberstehende Bedingung erfüllt ist. Ein Java-Interpreter führt jedoch nur eine einzige unmittelbar nach der Bedingung aufgeführte Anweisung aus, wenn die Bedingung wahr ist. Mit anderen Worten: die Textausgabe erfolgt im obigen Programmbeispiel immer, also insbesondere auch wenn die Variablen v1 und max nicht den gleichen Zahlenwert haben. Im Quelltext sollte das daher besser folgendermaßen formuliert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); </syntaxhighlight> Ähnlich tückisch ist die Tatsache, dass in manchen weniger streng strukturierten Programmiersprachen, auf die Bedingung der if-Anweisung eine beliebige Anweisung folgen darf, die nicht notwendigerweise eine Blockanweisung sein muss, sondern auch eine einzelne Anweisung sein darf, die zum Beispiel mit einem Semikolon abgeschlossen wird und auch eine '''leere Anweisung''' sein kann. Dies führt zu leicht zu übersehenden Programmierfehlern, wie im folgenden Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max); { v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); } </syntaxhighlight> Die Blockanweisung wird immer ausgeführt, obwohl ihre Darstellung mit korrekter Einrückung suggeriert, dass sie nur dann ausgeführt wird, wenn die boolesche Bedingung (v1 == max) erfüllt ist. Dies ist allerdings nicht der Fall, da direkt hinter den runden Klammern der if-Anweisung ein Semikolon steht, welches eine '''leere Anweisung''' implementiert, die bei der Erfüllung der Bedingung ausgeführt wird. All diese Missverständnisse können leicht vermieden werden, indem bei der Programmierung von Kontrollstrukturen '''kategorisch Blockanweisungen''' verwendet werden, selbst wenn die Programmiersprache dies nicht fordert: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) { v1 = 0; } </syntaxhighlight> Beziehungsweise: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) { v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); } else { java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde nicht erreicht."); } </syntaxhighlight> ==== Verschachtelung ==== In noch stärkerem Maße leidet die Verständlichkeit von Quellcode, wenn mehrere Kontrollstrukturen ohne die Verwendung von Blockstrukturen verschachtelt werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long v1, v2, v3; v1 = 3; v2 = 3; v3 = 7; if ((v1 > 0) && (v2 > 0)) if (v1 > v2) v3 = v1 - v2; else v3 = v2 - v1; java.lang.System.out.println ("v3 = " + v3); </syntaxhighlight> Beim Lesen des Quellcodes mit einer solchen "baumelnden" ''else''-Anweisung (englisch: ''dangling else'') kann schnell der Eindruck entstehen, dass sie zur ersten ''if''-Anweisung gehört und das Ergebnis für die Variable ''v3'' 7 bleibt, da ''v1'' und ''v2'' positive Zahlen sind. Tatsächlich wird der Quellcode jedoch so ausgeführt, so dass die Variable ''v3'' den Wert 0 erhält. Um solche Missverständnisse zu vermeiden, ist es -&nbsp;wie oben bereits erwähnt&nbsp;- dringend geboten, Blockanweisungen kategorisch einzusetzen, auch wenn sie durch die Definition der Programmiersprache nicht sowieso vorgeschrieben sind: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long v1, v2, v3; v1 = 3; v2 = 3; v3 = 7; if ((v1 > 0) && (v2 > 0)) { if (v1 > v2) { v3 = v1 - v2; } else { v3 = v2 - v1; } } java.lang.System.out.println ("v3 = " + v3); </syntaxhighlight> ==Wertebereiche== ===Division durch null=== Im Zusammenhang mit dem '''Divisionsoperator''' gibt es in allen Programmiersprachen das Problem, dass der Divisor nicht null werden darf. Die Division durch null kann und sollte kategorisch durch eine geeignete Kontrollstruktur mit dem Vergleichsoperator "<>" verhindert werden, der nur bei Ungleichheit der beiden Operanden den Ergebniswert "wahr" erzeugt: if (divisor <> 0) { quotient ← dividend / divisor } else { /* Ausnahmebehandlung / Fehlermeldung */ } ===Wertebereichsprüfung=== Bei Parametern mit eingeschränktem zulässigen Wertebereich kann eine allgemeine und an allen entsprechenden Stellen verwendbare Funktion programmiert werden, die den gültigen Wertebereich überprüft und einen entsprechenden (häufig zweiwertigen respektive booleschen) Funktionswert zurückgibt, wie zum Beispiel die folgende Funktion "waterIsLiquid ", die überprüft, ob die Wassertemperatur zwischen 0° und 100° Celsius liegt, bevor das spezifische Gewicht des Wassers berechnet werden darf: boolean waterIsLiquid (double temperature) /* temperature in degrees Celsius */ { final long freezingPoint ← 0; final long boilingPoint ← 100; boolean waterIsLiquid ← (temperature > freezingPoint) and (temperature < boilingPoint); return waterIsLiquid; } ... double temperature, density; ... if waterIsLiquid (temperature) { /* function computes an approximation of the density of air-free liquid water in kilograms per cubic metre */ density ← ( 999.83952 + (16.945176 * temperature) - (0.0079870401 * temperature * temperature) - (0.000046170461 * temperature * temperature * temperature) + (0.00000010556302 * temperature * temperature * temperature * temperature) - (0.00000000028054253 * temperature * temperature * temperature * temperature * temperature) ) / ((0.01689785 * temperature) + 1); } else { /* exception handling, because water is not liquid */ } ===Parameterkombinationen=== Es ist wichtig, dass immer alle auftretenden Parameterkombinationen berücksichtigt und vom Programmcode verarbeitet werden, wenn aus diesen Parametern valide berechnete Werte abgeleitet werden sollen. Um zum Beispiel das Argument (also den Phasenwinkel zwischen -180° und +180°) einer komplexwertigen Zahl mit den reellwertigen Komponenten x und y über den Arcustangens ("arctan") zu berechnen, muss geprüft werden, ob der Parameter x gleich null ist, und welche Vorzeichen die Parameter x und y haben: double x double y ... double argument if (x = 0) { if (y > 0) { argument ← 90 } elseif (y < 0) { argument ← -90 } else /* y is equal to 0, too */ { stop /* argument is not defined */ } } else /* x is not equal to 0 */ { argument ← arctan (y / x) if (x < 0) { if (y >= 0) { argument ← argument + 180 } else /* both, x and y are less than 0 */ { argument ← argument - 180 } } } ==Schnittstellen== Schnittstellen definieren die Sichtbarkeits- und Zugriffsregeln zwischen verschiedenen Bestandteilen eines Programms und ermöglichen so die Interaktion zwischen diesen. Dabei ist es keineswegs sinnvoll, alle Bezeichner überall sichtbar zu machen, da dadurch die Übersichtlichkeit und Nachvollziehbarkeit insgesamt drastisch eingeschränkt wird. Dies führt letztlich zu Programmfehlern, da der Programmierer wegen der großen zu berücksichtigenden Datenmenge nicht mehr in der Lage ist, alle Implikationen seiner Arbeit zu überschauen. Alle Eigenschaften (Attribute) und Methoden (Werkzeuge), die zusammengehören (aber auch nur diese), sollen in jeweils einer Einheit zusammengefasst werden, wie zum Beispiel einer Klasse oder einem Modul. Oft wird eine solche Einheit in einer Quelltextdatei zusammengefasst, was sinnvoll ist und die Nachvollziehbarkeit erleichtert. Nur diejenigen Eigenschaften und Methoden, die außerhalb dieser Einheiten benutzt werden sollen oder müssen, dürfen mit einem Modifikator versehen werden, der dies ermöglicht (zum Beispiel "public"). Alle anderen Eigenschaften und Methoden sollten explizit als intern (zum Beispiel "private") deklariert sein. ''packages'' sind wegen der unübersichtlichen Sichtbarkeitsregeln (zum Beispiel durch den Modifikator "protected") als Zwischenebene entbehrlich und eher zu vermeiden. Alternativ können ohne weiteres längere, zusammengesetzte Klassennamen verwendet werden, um die Zugehörigkeit zu einem bestimmten Themenbereich zu kennzeichnen, wie zum Beispiel mit einfachen Bezeichnern: StatisticsMyEvaluation StatisticsMyAssessment Diese Bezeichner sind in der Regel unmittelbar mit den Programmdateien im Dateisystem korreliert. Hierbei sind also keine '''qualifizierten Bezeichner''' auf verschiedene Konstrukte erforderlich, die hier im Beispiel aus mehreren Bezeichnern mit zwischengestellten Punkten zusammengesetzt sind. Links vom Punkt steht der Bezeichner der Programmbibliothek (Modulsammlung, Paket), und rechts vom Punkt steht der Bezeichner für ein Programmbaustein (Modul, Klasse): package statistics statistics.MyEvaluation statistics.MyAssessment ===Importe=== ====Import-Anweisungen==== '''Import-Anweisungen''' werden häufig nicht dazu benutzt anzumelden und anzuzeigen, welche externen Module (respektive Klassen) in einer Quelldatei verwendet werden, sondern werden als Möglichkeit missbraucht, den Quelltext möglichst kurz zu fassen. Nicht: import MyModule ... drawLine () ... Sondern eindeutig mit qualifiziertem Bezeichner: ... MyModule.drawLine () ... Mit diesen qualifizierten Bezeichnern ist es dann auch einfach und eindeutig möglich, gleichnamige Bezeichner, wie zum Beispiel für die Methode ''drawLine'', aus verschiedenen Klassen zu benutzen: ... MyModule.drawLine () YourModule.drawLine () ... Die Erkennbarkeit der Herkunft eines importierten Bezeichners an jeder Stelle des Auftretens in einem Quelltext ist in der Regel von großer Nützlichkeit, insbesondere wenn andere Programmierer den Quelltext nachvollziehen können sollen oder wenn der Quellcode nach längerer Zeit gewartet werden soll. Insbesondere Import-Anweisungen mit Wildcards sind schlecht nachvollziehbar (auch wenn viele Entwicklungssysteme Funktionen für eine gewisse Transparenz bieten), so wie zum Beispiel: import myPackage.* import yourPackage.* drawLine () /* To which package does the method "drawLine" belong? */ Class var ← new Class () /* To which package does the class "Class" belong? */ ====Zyklische Importe==== [[Datei:Zyklischer.Import.png|mini|rechts|hochkant=2|Zyklische Importe durch Aufruf ("call") des Unterprogramms ("procedure") '''sum''' aus der Klasse '''B''' in das Unterprogramm '''add''' der Klasse A sowie Aufruf des Unterprogramms '''add''' aus der Klasse '''A''' in das Unterprogramm '''sum''' der Klasse '''B'''.]] '''Zyklische Importe''' beziehungsweise Zirkelbezüge sind nicht nur unübersichtlich, sondern auch unstrukturiert und können zu Speicherüberläufen führen, da sich Programmteile immer wieder gegenseitig aufrufen, ohne beendet zu werden. Ferner kann die Funktion des übersetzten Programms bei einer Optimierung des Codes von der Reihenfolge der Übersetzung der Quelltexte abhängen. Die Schnittstellen der Klassen und Module können im Allgemeinen weder unabhängig voneinander noch eindeutig überprüft werden. '''Beispiel''': Die beiden Funktionen Funktionen ''add'' aus der Klasse ''A'' und ''sum'' aus der Klasse ''B'' rufen sich endlos gegenseitig auf, um die Summe zweier Zahlenwerte zu berechnen, bis der Speicher überlaufen würde und das Laufzeitsystem die Ausführung deswegen abbricht oder der Speicher überläuft, das Programm unkontrolliert und ohne (nachvollziehbare) Fehlermeldung abstürzt. <div style="clear:both"></div> public class A { public int procedure add (int a, int b) { int result ← B.sum (a, b); return result; } } public class B { public int procedure sum (int x, int y) { int result ← A.add (x, y); return result; } } [[Datei:Circular Reference.svg|mini|rechts|hochkant=1|Variante von Abhängigkeiten zwischen Modulen oder Klassen, in denen die zyklischen Bezüge weniger offensichtlich sind, wenn nur der nächste Nachbar betrachtet wird. Der dunkelrote Pfeil oben rechts zeigt nach unten auf ein bereits vorher definiertes Element, das sich rechts in der Mitte befindet. Die Definition dieses Elements darf bei einem strukturierten Aufbau der Programmteile allerdings nicht von dem Element ober rechts abhängig sein.]] Solche zyklischen Abhängigkeiten können durch Verzweigungen und indirekte Aufrufe wesentlich weniger offensichtlich sein, und sind dann nur sehr schwierig zu erkennen und zu beheben. Sichere Programmiersprachen überprüfen solche zyklischen Zusammenhänge daher und lassen sie nicht zu. In der Regel ist es bei der Anwendung von rekursiven Programmiertechniken mit wohldefinierten Abbruchbedingungen möglich, ohne zyklische Modulabhängigkeiten auszukommen. Ein Übersetzer kann in den Metadaten von Programm-Modulen Zeitstempel verwenden, um bei der Interpretation eines Programmteils herausfinden zu können, ob alle anderen importierten Programmteile bereits vorher gültig übersetzt wurden. <div style="clear:both"></div> ==Nebeneffekte== '''Nebeneffekte''' treten auf, wenn der Programmierer von naheliegenden, jedoch falschen Annahmen ausgeht, die die Programmiersprache betreffen. Solche Nebeneffekte sind unerwünscht und können durch ein strukturiertes Vorgehen oft leicht vermieden werden. ===Durch arithmetischen Überlauf=== Als Indiz für solche Nebeneffekte möge folgendes Beispiel in Java dienen, bei dem die Dezimalzahl 127 (die hexadezimale Repräsentation dieses Zahlenwerts ist durch die acht Ziffern 7F gegeben) um eins erhöht wird: <syntaxhighlight lang="Java"> byte zahl = 127; java.lang.System.out.println ("zahl = " + zahl); zahl++; java.lang.System.out.println ("zahl = " + zahl); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge erzeugt die Ausgabe: :zahl = 127 :zahl = -128 Wenn die größte mit dem Datentyp "byte" darstellbare Zahl 127 mit dem Inkrement-Operator ++ um eins erhöht wird, ergibt sich durch arithmetischen Überlauf als Ergebnis die kleinste darstellbare ganze Zahl 128. Dass solche Nebeneffekte auch in Standard-Bibliotheken versteckt sein können, möge das folgende Beispiel in Java zeigen, bei dem die Dezimalzahl -1 (die hexadezimale Repräsentation dieses Zahlenwerts ist durch die acht Ziffern FFFFFFFF gegeben) mit zwei verschiedenen Unterprogrammen ausgegeben werden soll (Stand 2026): <syntaxhighlight lang="Java"> long zahl = 0xFFFFFFFF; java.lang.System.out.println ("dezimal: " + zahl); java.lang.System.out.print ("hexadezimal: "); java.lang.System.out.printf ("%h\n", zahl); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge erzeugt die Ausgabe: :dezimal: -1 :hexadezimal: 0 Die Methode "printf" für die Ausgabe im hexadezimalen Format (Steuersequenz h%), ruft die statische Methode "formatUnsignedLong0" aus der Klasse "Long" aus dem package "java.lang" im Modul "java.base" der Java-Standardbibliothek auf und gibt den Wert 0 aus, obwohl der korrekte hexadezimale Wert FFFFFFFF lautet. Der Fehler entsteht bei der internen Berechnung, bei der es einen arithmetischen Überlauf gibt, der nicht explizit abgefangen wird. ===Durch Rundung=== Manchmal ist es schwierig zu erkennen, dass das Ergebnis einer Operation nicht dem exakten Ergebnis entspricht, das mathematisch zu erwarten wäre, weil es Rundungsfehler gibt. Gleitkommazahlen können nicht mit beliebig hoher Präzision gespeichert werden, und daher können sich dadurch solche Rundungsfehler auch mit einer völlig unerwarteten Wirkung ergeben. Hier ein Beispiel in der Programmiersprache Java für ein System mit einer Speichertiefe von 64 Bit: <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; java.lang.System.out.println (a - b); </syntaxhighlight> Die Ausgabe lautet nicht "1.1" wie zu erwarten wäre, sondern: :1.1000000000000005 Noch schwieriger ist es, wenn das Kommutativ-, das Distributiv- oder das Assoziativgesetz nicht zu gelten scheinen, wie in diesem Beispiel, bei dem die Variable "b" einmal zur Variable "a" und einmal zur Variable "c" assoziiert ist: <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; double c = 1.1; java.lang.System.out.println ((a - b) - c); java.lang.System.out.println (a - (b + c)); </syntaxhighlight> Mathematisch kommt in beiden Fällen exakt der Wert null heraus, die Ausgabe lautet jedoch: :4.440892098500626E-16 :0.0 Die Wirkung von derartigen Nebeneffekten sind nur sehr schwierig zu beherrschen, und daher sollte beim Vergleichen von Gleitkommawerten die Präzision respektive die Maschinengenauigkeit der gespeicherten Werte berücksichtigt werden. Manche Programmiersprachen stellen hierfür einen Wert für die kleineste relative Genauigkeit von Gleitkommazahlen <math>\epsilon</math> (epsilon) zur Verfügung. Das folgende Beispiel für den Datentyp double mit 64 Bit Speichertiefe nach dem Standard IEEE 754 in der Programmiersprache Java mit einem Wert für <math>\epsilon = 10^{-15}</math> nach der Formel: :<math>\Bigg| {\frac {differenzBerechnet - differenzErwartet} {differenzErwartet}} \Bigg| < \epsilon</math> <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; double differenzBerechnet = a - b; double differenzErwartet = 1.1; boolean gleichheit1 = (differenzBerechnet == differenzErwartet); java.lang.System.out.println (gleichheit1); double epsilon = 1.0E-15; boolean gleichheit2 = java.lang.Math.abs ((differenzBerechnet - differenzErwartet) / differenzErwartet) < epsilon; java.lang.System.out.println (gleichheit2); </syntaxhighlight> Die Ausgabe lautet hier: :false :true ===Durch Reihenfolge=== In einigen Programmiersprachen ist die Reihenfolge der Abarbeitung von kombinierten Ausdrücken nicht explizit definiert und führt daher zu einem solchen Nebeneffekt. Die Anweisungen h ← f (x) + g (x) oder h ← g (x) + f (x) können je nach Compiler zu unterschiedlichen Ergebnissen für die Summe h führen. Die Methodenaufrufe f oder g können nämlich unter Umständen die als Parameter verwendete (lokale) Variable x verändern und somit gegebenenfalls verschiedene Werte für h erzeugen, je nachdem, ob zuerst f&nbsp;(x) oder g&nbsp;(x) ausgewertet wird. In solchen Programmiersprachen sind sogenannte Durchgangsparameter in kombinierten Ausdrücken zu vermeiden. Ferner ist es denkbar, dass durch den ersten Funktionsaufruf globale Variablen oder Instanzen verändert und beim zweiten Funktionsaufruf verwendet werden. Die erwünschte Reihenfolge von Funktionsaufrufen kann leicht durch entsprechende Code-Sequenzen mit sequentiellen Anweisungen erzwungen werden: result_f ← f (x) result_g ← g (x) h ← result_f + result_g Dieses Vorgehen erzeugt darüberhinaus den günstigen Umstand, dass die Zwischenergebnisse in lokalen Variablen gespeichert und somit abgefragt werden können. Diese sind nach einem Programmabbruch dann auch mit einem Post-Mortem-Debugger analysierbar. ===Durch Kombination von Operatoren=== Manche Programmiersprachen -&nbsp;insbesondere in der C-Sprachfamilie&nbsp;- erlauben die Kombination von Zuweisungsoperatoren und arithmetischen Operatoren. Zuweisungsoperator: = Arithmetische Operatoren: + - * / Kombinierte Operatoren: += -= *= /= Die kombinierten Operatoren sollen für die scheinbar äquivalenten Formulierungen mit getrenntem Zuweisungsoperator und arithmetischem Operator stehen: a += 1; steht für a = a + 1; a -= 1; steht für a = a - 1; a *= 1; steht für a = a * 1; a /= 1; steht für a = a / 1; Diese Schreibweisen sollen wohl vor allem ein wenig Schreibarbeit bei der Programmierung ersparen, können aber zu schwer zu identifizierenden Programmierfehlern führen, wie das folgende Java-Beispiel verdeutlichen soll: <syntaxhighlight lang="Java"> long a = 1; double b = 1.5; a *= b; java.lang.System.out.println (a); a += b; java.lang.System.out.println (a); a -= b; java.lang.System.out.println (a); </syntaxhighlight> Dieser Code erzeugt die Ausgabe: 1 2 0 Die nur scheinbar äquivalenten Formulierungen für die kombinierten Operatoren <syntaxhighlight lang="Java"> a = a * b; a = a + b; a = a - b; </syntaxhighlight> werden in Java wegen der mangelnden Zuweisungskompatibilität der arithmetischen Ausdrücke hinter dem Zuweisungsoperator vom Datentyp "double" zum Datentyp "long" der Variable "a" gar nicht übersetzt. Die tatsächlichen äquivalenten Formulierungen für die kombinierten Operatoren lauten nämlich wie folgt: <syntaxhighlight lang="Java"> a = (long) (a * b); a = (long) (a + b); a = (long) (a - b); </syntaxhighlight> Durch die impliziten Datentypumwandlungen erklären sich auch die falschen numerischen und gegebenenfalls nicht erwarteten ganzzahligen Ergebnisse. Wenn bei der Programmierung diese Tatsachen nicht bewusst sind oder übersehen werden, ergeben sich numerische Fehler in den arithmetischen Berechnungen. Dies kann einfach vermieden werden, indem kombinierte Operatoren zugunsten der expliziten sowie transparenten Formulierungen mit separaten Operatoren nicht verwendet werden. === Durch Sprachdefinition === Als Beispiel dient hier die scheinbar falsche Ausgabe eines Java-Programms, weil die Definition der Programmiersprache der Intuition widerspricht: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long i = 01234567; java.lang.System.out.println (i); </syntaxhighlight> Dieser Code erzeugt die Ausgabe: 342391 Das Literal "01234567" wird trotz der ausschließlichen Verwendung von gültigen dezimalen Ziffern nicht als die Dezimalzahl 1234567<sub>10</sub> interpretiert und ausgegeben, sondern entsprechend der Definition der Programmiersprache Java wegen der einleitenden Null als Oktalzahl zur Basis Acht, also als 1234567<sub>8</sub> = 342391<sub>10</sub>. === Durch Überladen === Eine Überladung liegt vor, wenn eine Operator oder ein Bezeichner mehrfach in verschiedenen Bedeutungen auftritt, die leicht zu Verwechslungen führen können. Streng strukturierte Programmiersprachen erlauben das polymorphe Überladen nicht, wenn es dadurch zu Programmierfehlern kommen kann. Das '''Überladen''' muss in der objektorientierten Programmierung vom '''Überschreiben''' unterschieden werden, wobei auch überschriebene Methoden in weniger strukturierten Programmiersprachen überladen werden dürfen, was ebenfalls zu unübersichtlichem Programmcode und schnell zu übersehenden Programmierfehlern führen kann. Siehe hierzu unten unter [[Strukturierte Programmierung#Überladung|Überladung]]. ==== Überladung von Divisionsoperatoren ==== Die Divisionsoperatoren sind in vielen Programmiersprachen leider überladen, wenn nämlich formal keine Unterscheidung zwischen Division mit ganzen Zahlen (Datentyp zum Beispiel "long" oder "int") und Gleitkommazahlen (Datentyp zum Beispiel "real" oder "double") gemacht wird. In diesen Fällen muss der Divisionsoperator sehr aufmerksam verwendet werden: int i ← 2; int j ← 1; real k ← j / i; /* Ueberladener Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden */ Verwendet die Programmiersprache im arithmetischen Ausdruck die ganzzahlige Division, hat dies zur Folge, dass die Variable k den Wert '''0''' erhält. Verwendet die Programmiersprache stattdessen die reelwertige Division, bekommt die Variable k den Wert 0,5 zugewiesen. Einige Programmiersprachen unterscheiden daher sinnvollerweise explizit zwischen einem Operator für die ganzzahlige Division ("div" oder "DIV") und einem Operator für die Gleitkommadivision ("/"). <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) i, j : integer; k : real; i := 2; j := 1; k := j / i; (* Gleitkommazahliger Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden *) </syntaxhighlight> In der letzten Anweisung wird der Variablen "k" der Zahlenwert der reellwertigen Division '''0,5''' zugewiesen. <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) i, j, k : integer; i := 2; j := 1; k := j div i; (* Ganzzahliger Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden *) </syntaxhighlight> In der letzten Anweisung wird der Variablen "k" der Zahlenwert der ganzzahligen Division '''0''' zugewiesen. Bei Programmiersprachen, die die Unterscheidung der Divisionsoperatoren nicht unterstützen, ist die Verwendung der expliziten und zuweisungskompatiblen Datentypumwandlung (englisch: ''type cast'') nicht nur sinnvoll, sondern sogar zwingend erforderlich: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long i = 2; long j = 1; double k = ((double) j) / ((double) i) /* Ueberladener Divisionsoperator mit zwei gleitkommazahligen Operanden */ </syntaxhighlight> In der Regel ist es für eine Gleitkommadivision hierbei ausreichend, wenn nur einer der beiden Operanden, also nur der Nenner (Dividend) oder der nur Zähler (Divisor) der Division, eine Gleitkommazahl darstellt. Entsprechende Überlegungen gelten auch für alle '''Modulo-Operatoren''' (wie zum Beispiel "%", "mod" oder "MOD"). ==== Überladung von Variablen ==== Oft ist es in einer Programmiersprache erlaubt, dieselben Bezeichner für Variablen mit verschiedenen Sichtbarkeitsbereichen zu verwenden. Dies kann sehr einfach zur Verwechslung dieser Variablen führen, wie im folgenden Java-Beispiel verdeutlicht wird, wo es sowohl eine globale Klassenvariable (Sichtbarkeit in der Klasse "OverloadedVariables") als auch eine lokale Variable (Sichtbarkeit in der Methode "main") mit dem Namen "bezeichner" gibt:<syntaxhighlight lang="java"> public class OverloadedVariables { // globale Klassenvariable "bezeichner" private static long bezeichner = 1; // Hauptprogramm (Methode "main") public static void main (java.lang.String [] argumente) { // lokale Variable "bezeichner" long bezeichner = 2; // Ausgabe der globalen Klassenvariable "bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert der globalen Variable = " + OverloadedVariables.bezeichner); // Ausgabe der lokalen Variable aus der Methode "main" java.lang.System.out.println ("Wert der lokalen Variable = " + bezeichner); } } </syntaxhighlight>Falls die Klassenvariable referenziert werden soll, muss sie in Java qualifiziert bezeichnet werden, indem der Name der Klasse vorangestellt wird. ==== Überladung von Methoden ==== Viele Programmiersprachen erlauben die Deklaration von mehreren Methoden mit gleichem Bezeichner, die sich in der Anzahl oder den Datentypen ihrer Parameter unterscheiden. Das folgende Java-Beispiel mit zwei Methoden demselben Namens, von denen die mit der passenden Datentyp des Parameters "zahl" aufgerufen wird, verdeutlicht dies:<syntaxhighlight lang="java"> private static long kehrwert (long zahl) { long kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } private static double kehrwert (double zahl) { double kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } public static void main (java.lang.String [] argumente) { double kehrwert1 = kehrwert (2); double kehrwert2 = kehrwert (2.0); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 1 = " + kehrwert1); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 2 = " + kehrwert2); } </syntaxhighlight>Die Ausgabe ergibt zwei verschiedene Ergebnisse für den Kehrwert der Zahl Zwei:<syntaxhighlight> Kehrwert 1 = 0.0 Kehrwert 2 = 0.5 </syntaxhighlight>Durch die kategorische Verwendung verschiedener Bezeichner für verschiedene Methoden kann die Verwechslungsgefahr leicht und ohne Probleme verhindert werden, und die Erzeugung der beiden verschiedenen Ergebnisse wird transparent:<syntaxhighlight lang="java">private static long kehrwertLong (long zahl) { long kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } private static double kehrwertDouble (double zahl) { double kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } public static void main (java.lang.String [] argumente) { double kehrwert1 = kehrwertLong (2); double kehrwert2 = kehrwertDouble (2.0); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 1 = " + kehrwert1); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 2 = " + kehrwert2); }</syntaxhighlight> ===Durch falsche Spezifikation=== In Programmiersprachen, die dynamische Variablen ausschließlich als Zeiger behandeln (wie zum Beispiel C oder C++), kann trotz exakter Übereinstimmung der referenzierten Datentypen bei einer Zuweisung des Ergebnisses einer Funktion ein Zeiger auf den lokalen Stapelspeicher der Funktion zurückgegeben werden, der nur während der Ausführung der Funktion, aber nicht mehr nach dem Rücksprung aus der Funktion gültig ist. Während der weiteren Programmausführung kann der Speicherbereich jederzeit überschrieben werden, ohne dass der Programmierer dies wünscht oder absehen kann. Im folgenden Beispiel in der Programmiersprache C wird innerhalb der Funktion ''function'' der Wert 5 dem Datenfeld ''a'' der Variablen ''data'' zwar korrekt zugewiesen, kann aber nach dem Rücksprung aus der Funktion im Stapelspeicher jederzeit unbeabsichtigt verändert werden, wie zum Beispiel beim erneuten Aufruf einer Funktion oder anderen Operationen, die den Stapelspeicher verwenden: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ struct DataType { int a }; // Definition des Datentyps ''DataType'' mit einem ganzzahligen Datenfeld ''a'' // Deklaration der Funktion ''function'' mit einem Zeiger auf eine Variable vom Datentyp ''DataType'' als Speicheradresse für den Rückgabewert DataType* function () { DataType data; // Deklaration der lokalen Variable ''data'' vom Datentyp ''DataType'' data.a = 5; // Zuweisung des Wertes ''5'' zum Datenfeld ''a'' der Variablen ''data'' return &data; // Rückgabe der lokalen, temporären Speicheradresse von ''data'', die nach der Beendigung des Funktionsaufrufs gar nicht mehr gültig ist. } </syntaxhighlight> Der Programmierer muss zur Abwendung dieses Übels darauf achten, dass Rückgabewerte durch Allokation einer entsprechenden Variablen in einem dauerhaft verfügbaren dynamischen Speicherbereich (also zum Beispiel im Heap-Speicher) auch nach dem Aufruf der Funktion noch gültig und korrekt aufrufbar sind. Bei der Verwendung von vollständig typsicheren Programmiersprachen ist die Rückgabe von lokal definierten Adressen nicht zulässig, und die Übersetzung des entsprechenden Codes wird vom Complier von vornherein verweigert, so dass es gar nicht zu einem solchen Nebeneffekt kommen kann. Alternativ kann der Datentyp ''DataType'' nicht direkt als Verbund, sondern als Zeiger auf einen entsprechenden Verbund deklariert werden. In diesem Fall muss in der Funktion zunächst eine Instanz erzeugt werden (beispielsweise mit dem Kommando ''new'' oder ''allocate''). Diese Instanz ist dann nicht mehr im lokalen Stapelspeicher (Stack) der Funktion gespeichert, sondern es kann im dynamischen Speicherbereich (Heap) global - also auch außerhalb der Funktion und nach Beendigung des Funktionsaufrufs - darauf zugegriffen werden. ===Durch Verwechslung von Speicherinhalt und Speicheradresse=== Die Werte von Variablen werden unter einer bestimmten Speicheradresse eines Computers gespeichert, wo vom Laufzeitsystem die für den entsprechenden Datentyp erforderliche Datenmenge der entsprechende Speicherplatz reserviert und bereitgehalten wird. Diese Speicheradresse wird in modernen Systemen in der Regel automatisch verwaltet, so dass sie im Allgemeinen gar nicht bekannt ist und auch gar nicht bekannt sein muss. Daraus ergeben sich unter Umständen jedoch wichtige Implikationen. In manchen Programmiersprachen, wie zum Beispiel Java, ist nämlich nicht unmittelbar erkennbar, ob bei bestimmten Operationen der Speicherinhalt oder die Speicheradresse einer Variablen verwendet wird. So werden bei bei logischen Vergleichen mit Operanden, die aus Variablen mit einfachen Datentypen bestehen (etwa boolean, long oder double), die unter der Speicheradresse gespeicherten '''Werte''' verglichen, also die Inhalte. Bei Variablen mit komplexen Datentypen (beispielsweise eine abzählbare Liste von Daten eines Datentyps (array), ein Verbund (record / struct), der sich aus verschiedenen Datentypen zusammensetzen kann, oder allgemein in der objektorientierten Programmierung die Instanz eines Objekts) werden jedoch gar nicht unbedingt die gespeicherten Inhalte, sondern lediglich die Speicheradressen der beiden Operanden verglichen. Hier wird also beim Gleichheitsoperator nur geprüft, ob es sich um dasselbe Speicherobjekt (dieselbe Instanz) handelt, und nicht, ob zwei verschiedene Speicherobjekte den gleichen Inhalt haben. Bei strenger Strukturierung wird (hoffentlich schon vor der Ausführung bereits im Quelltext) zusätzlich geprüft, ob die zu vergleichenden komplexen Datentypen überhaupt zuweisungskompatibel und somit sinnvoll vergleichbar sind. Unter welchen Umständen welche Speicheradressen für gleiche Speicherinhalte verwendet werden, ist insbesondere für unerfahrene Programmierer keineswegs immer naheliegend oder leicht nachzuvollziehen. Dies wird im Folgenden anhand des logischen Vergleichs auf Gleichheit von Zeichenketten (Java-Klasse java.lang.String) in der Programmiersprache Java verdeutlicht. Die Wirkungsweise des Gleichheitsoperators == wird der Wirkungsweise des Funktionsaufrufs der Methode '''java.lang.String.equals''' gegenübergestellt, die einen booleschen Rückgabewert hat. <syntaxhighlight lang="Java"> boolean vergleich; // Die symbolische Konstante für die Zeichenkette "abc" wird in einer Variablen mit dem Bezeichner text verwaltet // Die Zeichenkette "abc" wird von Java unter der Speicheradresse #MEM1 abgelegt // Die Variable text und die symbolische konstante Zeichenkette "abc" haben dieselbe Speicheradresse #MEM1 java.lang.String text = "abc"; // Vergleich der Speicheradresse #MEM1 mit der Speicheradresse #MEM1 vergleich = ("abc" == "abc"); java.lang.System.out.println ("1. Vergleich \"abc\" == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich der Speicheradresse #MEM1 mit der Speicheradresse #MEM1 !!! vergleich = (text == "abc"); java.lang.System.out.println ("2. Vergleich text == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich des Inhalts bei der Speicheradresse #MEM1 mit dem Inhalt bei der Speicheradresse #MEM1 vergleich = text.equals ("abc"); java.lang.System.out.println ("3. Vergleich text.equals (\"abc\"): " + vergleich); // Neue Instanz fuer die bereits oben deklarierte Zeichenkette text // Die neue Instanz wird mit dem new-Operator unter der Speicheradresse #MEM2 erzeugt // Der Speicherinhalt wird mit dem Konstruktor java.lang.String und dem Wert "abc" initialisiert // Die Variable text bekommt durch die Zuweisung die Speicheradresse #MEM2 text = new java.lang.String ("abc"); // Vergleich der Speicheradresse #MEM2 mit der Speicheradresse #MEM1 !!! vergleich = (text == "abc"); java.lang.System.out.println ("4. Vergleich text == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich des Inhalts bei der Speicheradresse #MEM2 mit dem Inhalt bei der Speicheradresse #MEM1 vergleich = text.equals ("abc"); java.lang.System.out.println ("5. Vergleich text.equals (\"abc\"): " + vergleich); </syntaxhighlight> Die Textausgabe dieses Programms sieht wie folgt aus: <syntaxhighlight lang="text"> 1. Vergleich "abc" == "abc": true 2. Vergleich text == "abc": true 3. Vergleich text.equals ("abc"): true 4. Vergleich text == "abc": false 5. Vergleich text.equals ("abc"): true </syntaxhighlight> Symbolisch konstante Zeichenketten, wie zum Beispiel der Ausdruck "abc", werden unter einer verdeckten Speicheradresse abgelegt und von Java für gleichlautende Ausdrücke automatisch wiederverwendet. Wird jedoch mit dem new-Operator eine Instanz eines Objekts erzeugt, so bekommt diese unabhängig davon, welcher Inhalt dort gespeichert wird, stets eine andere neue Speicheradresse zugeordnet. Für den Vergleich des Inhalts von Zeichenketten auf Gleichheit ist in Java also immer die generische typengebundene Methode "equals'' zu verwenden. Diese typengebundene Methode "equals" gibt es auch in vielen anderen Java-Klassen, um den Inhalt der entsprechenden Objektinstanzen auf Gleichheit vergleichen zu können. ==Strukturierte objektorientierte Programmierung== ===Vermeidung von Codewiederholung durch Vererbung=== Die Vermeidung von Codewiederholung durch Vererbung kann beispielsweise an den beiden graphischen Objekten '''Kreis''' und '''Dreieck''' deutlich gemacht werden. Diese beiden Objekte können unabhängig voneinander als Datentyp modelliert werden, wobei ihre gemeinsamen Eigenschaften '''Farbe''' und '''Strichstärke''', sowie die jeweilige Methode zum '''Zeichnen''' beide Male unabhängig behandelt werden (dies kann eindeutig durch '''Hat'''-Beziehungen ausgedrückt werden: ein Kreis oder ein Dreieck '''hat''' eine Farbe, eine Strickstärke sowie eine Methode zum Zeichnen), was eine Codewiederholung darstellt. Der '''Kreis''' hat zusätzlich das Attribut '''Radius''', und das '''Dreieck''' hat zusätzlich die drei Attribute '''SeiteA''', '''SeiteB''' und '''SeiteC''': Kreis hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen, Radius Dreieck hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen, SeiteA, SeiteB, SeiteC Mithilfe von Vererbung kann die Codewiederholung vermieden werden, indem die Attribute '''Farbe''' und '''Strichstärke''', sowie die Methode zum '''Zeichnen''' nur einmal mithilfe des abstrakten Objekts '''GraphischesObjekt''' deklariert werden. Die konkreten Objekte '''Kreis''' und '''Dreieck''' erben alle gemeinsamen Eigenschaften und Methoden (respektive typengebundenen Prozeduren) von '''GraphischesObjekt''' (dies kann eindeutig durch '''Ist'''-Beziehungen ausgedrückt werden: ein Kreis '''ist''' ein GraphischesObjekt, und ein Dreieck '''ist''' ein GraphischesObjekt) und werden nur durch die jeweils fehlenden Attribute ergänzt: GraphischesObjekt hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen Kreis ist GraphischesObjekt, hat zusätzlich: Radius Dreieck ist GraphischesObjekt, hat zusätzlich: SeiteA, SeiteB, SeiteC ===Überladung=== Das '''Überladen''' von Methoden, Konstruktoren oder Variablen ist auch bei objektorientierter Programmierung überflüssig, erschwert die Nachvollziehbarkeit vom Quellcode und birgt die Gefahr von Programmierfehlern, die unter Umständen erst lange nach der Entwicklung der Software bei deren Wartung entstehen. Das folgende Beispiel verdeutlicht einen leicht zu übersehenden Programmierfehler durch die Veränderung bei den überladenen Funktionen während der Programmentwicklung oder Programmwartung: double quotient (double a, double b) { return a / b; /* Gleitkommazahlige Division */ } long i ← 1; long j ← 2; double q ← quotient (i, j); /* q ist 0,5 da die gleitkommazahlige Definition der Funktion 'quotient' verwendet wird */ Wird die Funktion 'quotient' später mit einer ganzzahligen Variante überladen, ergibt sich beim bestehenden Aufruf der Funktion unbeabsichtigt ein anderes Ergebnis für die Variable 'q': double quotient (long a, long b) { return a DIV b; /* Ganzzahlige Division */ } double quotient (double a, double b) { return a / b; /* Gleitkommazahlige Division */ } long i ← 1; long j ← 2; double q ← quotient (i, j); /* q ist 0 da die ganzzahlige Definition der Funktion 'quotient' verwendet wird */ Noch unübersichtlicher wird die Lage, wenn zusätzlich auch noch Überladungen mit gemischten Datentypen für die Funktionsparameter definiert werden: double quotient (long a, long b) double quotient (double a, long b) double quotient (long a, double b) double quotient (double a, double b) Deswegen werden Methoden oder Attribute besser nicht überladen, auch nicht, wenn die Programmiersprache dies zulässt. Auch jede Klasse bekommt daher maximal einen einzigen '''Konstruktor''', der alle erforderlichen Parameter zur Initialisierung der Instanzvariablen enthält. Als günstige Nebeneffekte stellen sich kürzere Übersetzungszeiten ein. Wenn die ursprünglichen Deklarationen in der Basisklasse oder einer der von ihr erbenden Klassen überladen werden, indem zum Beispiel weitere gleichnamige Methoden mit abweichenden Parametern definiert werden, dann kann es zu verändertem Verhalten von Software kommen. Ohne dass die Anwendung selbst geändert wurde, kann es allein durch die Aktualisierung einer verwendeten Klasse zu völlig anderen Rechenergebnissen kommen, weil automatisch eine andere, neu überladene Methode aufgerufen wird, ohne dass dies im Quelltext des Anwendungsprogramms sichtbar wird. Die Folge können schwerwiegende Programmierfehler sein, die schwierig zu analysieren sind. Als ein Beispiel diene hier die Methode java.lang.Math.ulp zur Bestimmung der "'''u'''nits in the '''l'''ast '''p'''lace" ("Einheiten in der letzten Stelle"), die in der Klasse java.lang.Math aus historischen Gründen mit zwei Parametern deklariert und somit überladen ist: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Math; { public static double ulp​ (double d) public static float ulp​ (float f) } </syntaxhighlight> Der folgende Java-Code <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ double zahl; zahl = java.lang.Math.ulp (1L); // Datentyp long java.lang.System.out.println (zahl); zahl = java.lang.Math.ulp (1F); // Datentyp float java.lang.System.out.println (zahl); zahl = java.lang.Math.ulp (1D); // Datentyp double java.lang.System.out.println (zahl); </syntaxhighlight> erzeugt folgende Ausgabe, da die ganze Zahl Eins mit dem Datentyp long (64 Bit) in der Programmiersprache Java implizit offensichtlich nicht in den Datentyp double (64 Bit), sondern in den Datentyp float (32 Bit) umgewandelt wird, und somit die mit dem Parameter des Datentyps float deklarierte Methode aufgerufen wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ 1.1920928955078125E-7 1.1920928955078125E-7 2.220446049250313E-16 </syntaxhighlight> Falls bei einer neueren Version der Klasse java.lang.Math die Methode ulp mit einem Parameter des Datentyps long überladen würde, wäre das Ergebnis mit dem ganzzahligen Parameter des Werts "1L" (long) nicht mehr vorhersagbar, obwohl der oben angegebene Methodenaufruf sich formal gar nicht geändert hätte. <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Math; { public static double ulp ​(double d) public static float ulp​ (float f) public static double ulp ​(long l) } </syntaxhighlight> Das Ergebnis des Aufrufs <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ double zahl = java.lang.Math.ulp (1L); java.lang.System.out.println (zahl); </syntaxhighlight> würde dann allein von der tatsächlichen Implementierung der neuen überladenen Methode mit dem Parameter des Datentyps long abhängen, die mit den alten beiden ulp-Methoden nichts mehr zu tun hat, außer, dass sie den gleichen Namen hat. ===Überschreibung=== Das '''Überschreiben''' von geerbten Methoden oder Konstruktoren ist etwas völlig anderes als das Überladen und kann sehr sinnvoll sein. Beim Überschreiben muss die Signatur der Methode (oder des Konstruktors) unter strikter Beachtung der Zuweisungskompatibilität, der Anzahl und der Reihenfolge aller Parameter sowie der Rückgabewerte berücksichtigt werden. Wenn die Programmiersprache dies nicht automatisch unterstützt, sind wenigstens entsprechend aufwendige Maßnahmen im Quelltext sicherzustellen, wie zum Beispiel explizite Typenprüfungen oder hinreichend ausführliche Hinweise in Kommentaren. Wenn Methoden oder Konstruktoren einer Basisklasse von der überschreibenden Klasse aufgerufen werden (englisch ''super call'') kann es zum ''Fragile Base Class Problem'' (zu Deutsch ''Problem der anfälligen Basisklasse'') kommen, da bei der Implementierung der Basisklasse die möglichen Auswirkungen in den später implementierten, überschreibenden Klassen nicht berücksichtigt werden konnten. Zur Abwendung dieser Gefahr sind ein besonders sorgfältiger und strukturierter Programmierstil sowie eine lückenlose Dokumentation des Quelltextes sehr hilfreich. Das fehlerfreie und robuste Überschreiben von Klassen beziehungsweise die Vererbung von implementierten Klassen erfordern eine hohe Fähigkeit zum abstrakten Denken und eine umfangreiche Programmiererfahrung. ===Mehrfachvererbung=== Durch [[w:Mehrfachvererbung|Mehrfachvererbung]], also das Erben von Methoden und Instanzvariablen aus mehreren Basisklassen, führt zu komplexen, und schwierig zu durchschauenden Abhängigkeiten, die im Rahmen des [[w:Diamond-Problem|Diamond-Problems]] sogar zu unerwünschten Mehrdeutigkeiten führen kann. Die Vererbung aus zwei Basisklassen kann bei Bedarf ohne weiteres durch die Verwendung von [[w:Zwillingsklasse|Zwillingsklassen]] vermieden werden, was den Programmieraufwand ein wenig erhöht, aber dafür solche Mehrdeutigkeiten verhindert und außerdem die Übersetzungszeiten der Quelltexte reduziert. In der Programmiersprache Java ist es zum Beispiel möglich, mehrere Basisklassen zu erben. Dabei ist zwar nur eine konkrete Vererbung aus einer Basisklasse (in Java: class) zulässig, aber zusätzlich dürfen noch beliebig viele weitere Basisklassen (in Java: interface) abstrakt geerbt werden. Dabei werden alle Attribute und Methoden aller Basisklassen auf die erbende Klasse übertragen. Auch die konkret vererbte Basisklasse kann wiederum selber mehrere abstrakte Basisklassen implementieren. Falls es in mehreren Basisklassen gleichlautende öffentliche Bezeichner gibt, kommt es unweigerlich zu Konflikten. Es ist in der Implementierung insbesondere bei fehlenden entsprechenden Kommentaren nicht ohne Weiteres erkennbar, zu welchen Basisklassen die zu überschreibenden Instanzvariablen oder Methoden gehören. <syntaxhighlight lang="Java"> /** * Die Klasse Mehrfachvererbung erbt Attribute und Methoden aus drei Basisklassen: * Sie ist eine Instanz der Klasse (class = konkrete Klasse) javax.swing.JFrame. * Sie implementiert die Schnittstelle (interface = abstrakte Klasse) java.awt.event.KeyListener. * Sie implementiert die Schnittstelle (interface = abstrakte Klasse) java.awt.event.ActionListener. */ public class Mehrfachvererbung extends javax.swing.JFrame implements java.awt.event.KeyListener, java.awt.event.ActionListener { /** * Konstante serialVersionUID aus der Basisklasse java.io.Serialization fuer die Serialisation, * die in der Klasse javax.swing.JFrame implementiert ist */ private final static long serialVersionUID = 1L; /** * Instanzvariable fuer den zuletzt von einer Instanz der Klasse javax.swing.JFrame gesendeten Tastaturcode */ private int keyCode; /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Speichert den Tastaturcode der zuletzt betaetigten Taste fuer eine Instanz * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyPressed (java.awt.event.KeyEvent event) { this.keyCode = event.getKeyCode (); } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Ungenutzt * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyReleased(java.awt.event.KeyEvent event) { } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Ungenutzt * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyTyped (java.awt.event.KeyEvent event) { } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der vererbten Klasse java.awt.event.ActionListener * Der Inhalt einer Instanz der Klasse javax.swing.JFrame wird erneut dargestellt, * wenn die Eingabetaste (Enter) betaetigt wurde. * @param event: aufgetretenes Aktionsereignis aus der Klasse java.awt.event.ActionEvent */ @Override public void actionPerformed (java.awt.event.ActionEvent event) { if (this.keyCode == java.awt.event.KeyEvent.VK_ENTER) { this.repaint (); } } } </syntaxhighlight> ==Nachwort== Ein sehr häufig auftretender „Programmierfehler“ - wiederum insbesondere bei Anfängern - ist das Unterlassen der Herstellung von Sicherungskopien der Quelltexte. Noch besser ist eventuell sogar eine Versionierung der Quelldateien, damit gegebenenfalls auf beliebige ältere Versionen zurückgegriffen werden kann. Die Auswirkungen dieses Fehlers sind hinreichend naheliegend, so dass hier nicht weiter darauf eingegangen werden muss. Sollte der Leser nach der Lektüre dieser Beiträge zu dem verständlichen und naheliegenden Schluss gekommen sein, dass die Programmiersprachen C oder C++ ziemlich schlecht strukturiert sind, möge er sich auch einmal andere Programmiersprachen näher ansehen, wie zum Beispiel C#, Component Pascal oder auch Java. Mit der Beherzigung der Vorschläge aus diesem Buch möge es dem Leser in seinem Programmier-Team in jeder Programmiersprache gelingen, in kürzerer Entwicklungszeit besser strukturierte und funktionierende Programme zu schreiben. ===Vergleich=== In der folgenden Tabelle werde einige imperative, objektorientierte Programmiersprachen hinsichtlich ihrer Strukturiertheit verglichen: {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" !Veröffentlichungsdatum!!1985!!1994!!1995!!2001 |- !Programmiersprache!!C++!!Component<br/>Pascal!!Java!!C# |- | style="text-align:left"| Vollständig strukturierte Syntax || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Datentypsicherheit bei Basistypen || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Datentypsicherheit bei komplexen Datentypen || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Modulsicherheit || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Keine zyklischen Importe || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Keine mehrfache Schnittstellenvererbung || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Keine mehrfache Implementationsvererbung || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |} ==Literatur== * Niklaus Wirth: ** ''Programming in Modula 2'', Springer, 3. Auflage, 1985, ISBN 3-540-15078-1 ** Mit Martin Reiser: ''Programming in Oberon – Steps beyond Pascal and Modula'', Addison-Wesley,1992, ISBN 0-201-56543-9 ** ''Algorithmen und Datenstrukturen mit Modula - 2'', Teubner Leitfäden der Informatik, 5. Auflage, Teubner, Stuttgart, 1996, ISBN 9783519122609 * Herbert Schildt: ''Professionelles Modula-2'', McGraw-Hill, Hamburg, 1988, ISBN 3-89028-113-3 * Lászlo Böszörmény, Jürg Gutknecht, Gustav Pomberger: ''The School of Niklaus Wirth – The Art of Simplicity'', dpunkt, Heidelberg, 2000, ISBN 3-932588-85-1 * Hanspeter Mössenböck: ** ''Objektorientierte Programmierung in Oberon-2'', Springer, 1998, ISBN 9783540646495 ** ''Sprechen Sie Java?: Eine Einführung in das systematische Programmieren'', dpunkt, Heidelberg, 2005, ISBN 9783898643627 ** ''Kompaktkurs C# 4.0'', dpunkt, Heidelberg, 2009, ISBN 9783898646451 ==Weblinks== *{{w|Niklaus Wirth}}: **Interessantes Interview: [http://www.simple-talk.com/opinion/geek-of-the-week/niklaus-wirth-geek-of-the-week/ Geek of the Week] vom 2. Juli 2009 **Ein noch interessanteres Interview (2009): [http://www.youtube.com/watch?v=wrGytM2YTQY An Interview with Niklaus Emil Wirth, Part 3] *{{w|Frederick P. Brooks}}: [[w:en:The_Mythical_Man-Month|The Mythical Man-Month]] *{{w|Benutzer:Bautsch|Markus Bautsch}}: [[:en:User:Bautsch/Capsula|Draft of the graphical programming language '''Capsula''']] (Wikibooks) == Einzelnachweise == <references></references> ==Zusammenfassung des Projekts== {{Vorlage:StatusBuch|10}} * '''Zielgruppe:''' Programmierer, Software-Entwickler, Informatik-Lehrende * '''Lernziele:''' Vermeidung von Fehlern, die leicht und unbemerkt zur unstrukturierten Programmierung führen können. Schnelle und sichere Erstellung leicht zu wartender Software. * '''Buchpatenschaft/Ansprechperson:''' [[Benutzer:Bautsch]] * '''Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?''' Ja, sehr gerne. Korrekturen von offensichtlichen Fehlern direkt im Text; Inhaltliches bitte per Diskussion. * '''Richtlinien für Co-Autoren:''' Wikimedia-like. [[Kategorie:Buch]] [[Kategorie:Studium]] rlme8cjafyk59rqmejzh3v3fzcus5v8 1093240 1093236 2026-11-03T09:15:42Z Bautsch 35687 /* Sichtbarkeiten */ Formatierung 1093240 wikitext text/x-wiki {{Regal | ort=Programmierung}} [[Datei:Programmierung.Java.Julia-Menge.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des mit Tastatursteuerung interaktiven Java-Programms [[Das Apfelmännchen/ FraktaleMengeAusgabe|FraktaleMengeAusgabe]] zur Berechnung und Darstellung von Julia-Mengen oder der Mandelbrot-Menge. Siehe auch '''Wikibook [[Das Apfelmännchen]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.Maze.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms [[Rekursive Labyrinthe/ MazeGraphs|Maze]] zur rekursiven Erstellung und Darstellung von Labyrinthen. Siehe auch '''Wikibook [[Rekursive Labyrinthe]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.SimForestFrame.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms [[Waldbrandsimulation/ SimForestFrame|SimForestFrame]] zur Simulation und Darstellung von sich ausbreitenden Waldbränden. Siehe auch '''Wikibook [[Waldbrandsimulation]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.Campingplatzraetsel.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des mit Maussteuerung interaktiven Java-Programms [[Campingplatzrätsel/ CampingplatzGraphs|CampingplatzGraphs]] zur Erstellung und Darstellung von Campingplatzrätseln. Siehe auch '''Wikibook [[Campingplatzrätsel]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.GameOfLife.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms "GameOfLife" zur Anzeige von Conways Spiel des Lebens. Siehe auch '''Wikibook [[Game of Life]]'''.]] ==Einleitung== Das Buch '''Strukturierte Programmierung''' ist kein Lehrbuch zum Erlernen einer Programmiersprache, sondern soll als kleiner Leitfaden dazu dienen, besser strukturierte Programme erstellen zu können, selbst wenn die eingesetzten Programmiersprachen die strukturierte Programmierung weniger stark unterstützen. <big>Warum lohnt es sich überhaupt, strukturiert zu programmieren&nbsp;?</big> Es gibt eine ganze Reihe von naheliegenden Gründen, aber auch einige Vorteile, die nicht auf der Hand liegen oder jedermann sofort ersichtlich sind. Anfänger und Fortgeschrittene profitieren gleichermaßen von gut strukturierter Programmierung. Die Vorteile sind so erheblich, dass es unbedingt sinnvoll ist, gut strukturiert zu programmieren. Im Folgenden werden einige wichtige Vorteile aufgeführt und erläutert: *'''Strukturierte Programme sind leichter nachvollziehbar.''' Dies erleichtert die Arbeit im Team und vereinfacht die Wartung, wenn der Quellcode ergänzt, geändert oder korrigiert werden muss. *'''Strukturierte Programme haben weniger Programmierfehler.''' Dies reduziert die Entwicklungszeiten und erhöht die Akzeptanz bei den Auftraggebern und Nutzern der Software. *'''Strukturierte Programme können ohne Laufzeit-Debugger erstellt werden.''' Dies spart enorm viel Zeit und Nerven bei der Entwicklung von Software. Die geringen Laufzeiteinbußen, die bei hoch strukturierter Programmierung von Anwendungssoftware gegenüber laufzeitoptimiertem Code entstehen können, spielen –&nbsp;sofern sie überhaupt existieren sollten&nbsp;– bei den heutzutage zur Verfügung stehenden modernen und schnellen Rechenmaschinen praktisch keine Rolle mehr. Programmcode wegzulassen, der der inhärenten Betriebssicherheit von Software oder der inhärenten Datenintegrität dient, macht nur in sehr wenigen, extrem zeitkritischen Anwendungen Sinn, keineswegs jedoch bei herkömmlichen oder gar sicherheitskritischen Anwendungsprogrammen. Die Ratschläge aus diesem Buch beruhen auf jahrzehntelanger Erfahrung mit der Softwareentwicklung komplexer Systeme und dem Hochschulunterricht im Fach Programmierung mit verschiedenen Programmiersprachen. Die folgende Check-Liste enthalt eine Reihe von wichtigen Kriterien, die bei strukturierter Programmierung berücksichtigt werden sollten: * <big><big>'''[[Strukturierte Programmierung/ Checkliste|Checkliste]]'''</big></big> Übrigens: ''In der Kürze der Quelltextdatei liegt nicht die wahre Würze des Programmierens&nbsp;!'' Und noch wichtiger: :''So ists mit aller Bildung auch beschaffen:'' :''Vergebens werden ungebundne Geister'' :''Nach der Vollendung reiner Höhe streben.'' :''Wer Großes will, muß sich zusammenraffen;'' :''In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister,'' :''Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben.'' ::Johann Wolfgang von Goethe, Ende von ''Das Sonett'' Viel Erfolg beim strukturierten Programmieren wünscht [[Benutzer:Bautsch]]&nbsp;! <div style="clear:both"></div> ==Quelltextgestaltung== In diesem Abschnitt stehen einige Vorschläge zur allgemeinen Gestaltung der Quelltexte, die keine unmittelbare Auswirkung auf die Lauffähigkeit und die Funktion der Programme haben, aber dazu führen, dass der Quelltext besser verständlich und nachvollziehbar ist. ===Anweisungen=== Der Quelltext wird bei imperativen Programmiersprachen durch Anweisungen gestaltet, die ganz unterschiedlich geartet sein können. Zu den typischen und wichtigen Anweisungen gehören: * Deklaration (declaration) * Blockanweisung (block, begin / end) * Zuweisung (assignment) * Aufruf (call) * Rücksprung (return) * Verzweigung (branch) * Schleife (loop) * Sicherstellung (assertion) Bei Kommentaren und Leerräumen (Leerzeichen, Tabulatoren, Zeilenumbrüche, ...) in Quelltexten handelt es sich nicht um Anweisungen, da sie vom Übersetzer (compiler) beziehungsweise Interpreter des Programmcodes ignoriert werden. ===Kommentare=== Jeder Quelltext sollte zu Beginn der Datei in einem von Compiler zu ignorierenden '''Kommentar''' für die Klarstellung des Inhalts einige Mindestangaben zum Inhalt und Ursprung machen. Dazu gehören beispielsweise die Autoren, Urheber oder Rechteinhaber, deren beabsichtigte Nutzungsarten/-rechte und Nutzungsbedingungen und weitere Angaben zur Lizenzierung, das Datum der Erstellung oder Veränderung, eine Versionsangabe und Angaben zur verwendeten Programmiersprache und gegebenenfalls zu den eingesetzten Programmbibliotheken (gegebenenfalls ebenfalls mit Versionsangaben). Ferner soll beschrieben werden, für welchen Zweck oder für welche Aufgabenstellungen das Programm eingesetzt werden kann. Darüber hinaus können und sollen auch weitere sinnvolle oder nützliche Angaben in diesem '''Kopfkommentar''' festgehalten werden. Der Kommentartext wird bei vielen Programmiersprachen im Quelltext mit dem Symbolpaar "/*" und "*/" oder dem Symbolpaar "(*" und "*)" eingeschlossen. Beispiel: /* Program: generation of pseudorandom numbers Author: Bautsch License: public domain Date: 7th January 2011 Version: 1.0 Programming language: Java Description: This program uses a primitive polynomial sequence with large prime coefficients to efficiently generate uniformly distributed pseudorandom numbers. */ Alle Methoden und Variablen werden ausreichend kommentiert, sofern sie nicht durch die Wahl „sprechender” Bezeichner selbsterklärend sind. Bei Methoden werden insbesondere die Bedeutung aller Parameter und Rückgabewerte dokumentiert: /* The method "add" computes and returns the sum of "summand1" and "summand2" */ double add (double summand1, double summand2) { double sum ← summand1 + summand2 return sum } Viele Entwicklungssysteme bieten Funktionen, die die Dokumentation der Quelltexte mit Kommentaren unterstützen. Bei einigen Programmiersprachen ist Aufmerksamkeit geboten, wenn in der Sprachdefinition geschachtelte Kommentare nicht vorgesehen sind. Wird zum Beispiel während der Programmentwicklung Quelltext auskommentiert, um das Verhalten des modifizierten Programms zu überprüfen, und enthält dieser Quelltext einen Kommentar, ist dann nicht sofort erkennbar, welcher Abschnitt des Quelltextes tatsächlich auskommentiert werden soll. Dabei kann es auch vorkommen, dass einige Compiler die geschachtelten Kommentare erkennen und im eigentlichen Sinne des Programmierers berücksichtigen; andere Compiler, die sich streng an die standardisierten Sprachdefinitionen halten, jedoch nicht, so dass es bei der Portierung von Quellcode unweigerlich zu Übersetzungsfehlern kommt. Das folgende Beispiel zeigt einen Programmabschnitt, bei dem hinter der letzten Anweisung zwischen den Zeichenfolgen "/*" und "*/" ein Textkommentar hinzugefügt wurde, der vom Compiler ignoriert werden soll. int i ← 1 i ← i * i /* die Variable i wird quadriert. */ Wird zusätzlich mit den gleichen Zeichenfolgen "/*" und "*/" die gesamte Programmzeile auskommentiert, gibt es einen Übersetzungsfehler, wenn der Compiler die allerletzte Zeichenfolge "*/" als Kommentarende ohne Kommentaranfang interpretiert, sofern der zweite und nunmehr auskommentierte Kommentaranfang "/*" in der Zeile mit dem Textkommentar ignoriert wurde und die erste auftretende Zeichenfolge "*/" bereits als Kommentarende interpretiert wurde: int i ← 1 /* i ← i * i /* die Variable i wird quadriert. */ */ ===Leerräume=== '''Leerräume''', also zum Beispiel Leerzeichen, Zeilen- und Seitenumbrüche oder Tabulatoren, werden - genauso wie Kommentare - von vielen Compilern überlesen und dienen in diesen Fällen ausschließlich zur Verbesserung der Lesbarkeit für die Programmierer. Daher sollten diese Leerräume sorgfältig eingesetzt werden, um die Nachvollziehbarkeit des Quellcodes für Programmierer zu erleichtern. Bei einigen Programmiersprachen werden allerdings bestimmte Formatierungen in der Sprachdefinition gefordert und müssen dann natürlich den Vorgaben entsprechend eingehalten werden. Viele Entwicklungssysteme bieten sehr nützliche, unterstützende Funktionen zur einheitlichen Formatierung der Quelltexte, die sehr einfach anzuwenden sind und benutzt werden sollten. So ist es zum Beispiel allgemein üblich, Programmblöcke so zu formatieren, dass die Inhalte gegenüber dem Kopf und dem Fuß etwas eingerückt und durch Zeilenumbrüche voneinander getrennt werden: Blockkopf eingerückter Inhalt 1 eingerückter Inhalt 2 Blockfuß Für die Einrückungen werden heute meist mehrere Leerzeichen oder ein Tabulatorzeichen verwendet. Neuerdings wird in manchen Programmiersprachen empfohlen, vier Leerzeichen zu verwenden. Manche Editoren fügen bei der Betätigung der Tabulatortaste eine gewünschte Anzahl von Leerzeichen ein. Das Mischen von mehreren Leerzeichen und Tabulatorzeichen für die Einrückungen kann nicht empfohlen werden, da dies bei der Bearbeitung mit verschiedenen Editoren zur uneinheitlichen Darstellung der Einrückungen führen kann. Moderne Editoren haben Funktionen, mit denen der gesamte Programmcode oder Teile davon einheitlich und korrekt eingerückt werden können (Englisch: "correct indentation"). Siehe hierzu auch [[Strukturierte Programmierung#Blockanweisungen|Blockanweisungen]]. ===Bezeichner=== In den meisten Programmiersprachen gibt es '''Bezeichner''' (oder '''Identifikatoren''', englisch: '''identifier''') für ganz unterschiedliche Dinge, wie für symbolische '''Konstanten''', für '''Variablen''', für '''Parameter''' oder '''Attribute''', für '''Unterprogramme''' (respektive für '''Methoden''', '''Prozeduren''' oder für '''Funktionen'''), für '''Module''' (respektive für '''Klassen''') oder für '''Bibliotheken'''. Zur Strukturierung von Daten werden auch '''Pakete''' (englisch: '''packages''') eingesetzt. In der Regel stehen alle Buchstaben ohne Diakritika zur Verfügung. Oft sind auch noch Ziffern und der Unterstrich "_" erlaubt. Das erste Zeichen muss üblicherweise immer ein Buchstabe sein. Leerzeichen sind innerhalb von Bezeichnern im Allgemeinen nicht zulässig. Beim Lesen und Analysieren von Quelltexten ist es sehr hilfreich, wenn einem Bezeichner nicht nur beim ersten Auftauchen bei der Deklaration, sondern an jeder Stelle im Programm sofort angesehen werden kann, wofür er steht. Meist bildet sich für eine Gruppe von Programmiersprachen ein bestimmter Usus aus, wie die entsprechenden Bezeichner gestaltet werden sollen. Der Compiler stellt in der Regel keine Ansprüche an die Schreibweise von Bezeichnern, solange der definierte Zeichenvorrat verwendet wird. Eine Ausnahme stellen die vorgegebenen Schlüsselwörter dar, die häufig und je nach Programmiersprache nur aus Großbuchstaben oder nur aus Kleinbuchstaben bestehen, wie zum Beispiel: * '''IMPORT''', '''CONST''', '''TYPE''', '''VAR''', '''PROCEDURE''', '''NIL''', '''LONG''', '''REAL''', '''BEGIN''', '''END''', '''WHILE''' versus * '''import''', '''final''', '''void''', '''static''', '''null''', '''long''', '''double''', '''while''' In vielen Programmiersprachen haben sich für die frei definierbaren Bezeichner bestimmte Praktiken herausgebildet, damit die Bedeutung der Bezeichner im Quelltext von den beteiligten Programmierern leichter erkannt werden kann. Dieses Vorgehen ist allerdings nicht immer einheitlich gestaltet, wie anhand der folgenden, beispielhaften Liste gesehen werden kann: * Die Bezeichner von übergeordnet verfügbaren Konstanten, Variablen, Datentypen, Klassen oder Modulen beginnen mit '''einem Großbuchstaben'''. * Die Bezeichner von Konstanten werden '''vollständig mit Großbuchstaben''' geschrieben. * Die Bezeichner von lokal verfügbaren Variablen, Attributen oder Parametern werden '''vollständig mit Kleinbuchstaben''' geschrieben. * Die Bezeichner von Methoden werden '''vollständig mit Kleinbuchstaben''' geschrieben. ====Variablen und Methoden==== So ist es zum Beispiel üblich, Variablen und Methoden mit Kleinbuchstaben zu benennen. Dabei ist der Unterschied zwischen Variable und Methode immer und einfach anhand der obligatorischen Parameterliste von Methoden zu erkennen, die beim Fehlen von Parametern leer ist und in vielen Programmiersprachen durch runde Klammern begrenzt ist und direkt hinter dem Methodennamen steht: /* "diameter" is variable of the data type integer */ int diameter /* "radius" is variable (parameter of the function "calcDiameter") of the data type integer */ /* "calcDiameter" is a function */ /* the result of the function call has the data type integer */ int calcDiameter (int radius) "calcDiameter" ist hierbei mit dem Binnenmajuskel "D" versehen (umgangssprachlich auch "Kamelhöcker-Notation" genannt, englisch "camel case"), um den Anfang eines neuen Wortes ohne die Verwendung eines Leerzeichens erkennbar zu machen. Es ist im Sinne der guten Lesbarkeit des Quelltextes allgemein hilfreich, in Bezeichnern immer passende grammatische Formen zu verwenden, wie zum Beispiel: * für booleschen Variablen und Funktionen: Partizipien oder Adjektive * für andere Variablen und Funktionen: Substantive * für Methoden und Kommandos: Verben im Imperativ In manchen Programmiersprachen ist es üblich, lokale Variablen mit einem Kleinbuchstaben zu beginnen und globale Variablen - also in mehreren Programmodulen, Klassen oder Methoden sichtbare Variablen - mit einem Großbuchstaben zu beginnen, um deren Sichtbarkeiten unmittelbar erkennbar zu machen. ====Konstanten==== Die Werte von Konstanten können zur Laufzeit nicht mehr verändert werden. Dieser Umstand wird dem Compiler bei der Deklaration der Konstanten durch entsprechende Deklarationen (wie zum Beispiel "CONST") oder Modifikatoren (wie zum Beispiel "final") mitgeteilt. Damit an jeder Stelle des Quelltextes, also auch nach der Deklaration, erkannt werden kann, dass es sich um eine Konstante handelt, ist es hilfreich Konstanten mit einem '''Großbuchstaben''' beginnen zu lassen; manchmal werden für Konstanten sogar ausschließlich Großbuchstaben verwendet. Es ist empfehlenswert, die Initialisierung einer Konstanten immer unmittelbar im Kontext der Deklaration vorzunehmen, damit es keine Mehrdeutigkeiten und somit auch keine Verwechslungen durch undefinierte Werte geben kann. Wenn dies nicht sinnvoll erscheint, sollte vorzugsweise keine Konstante verwendet werden. In vielen modernen Programmiersprachen ist es möglich, Klassenvariablen beziehungsweise globale Variablen zu schützen, indem diese nur innerhalb einer Klasse beziehungsweise innerhalb eines Moduls verändert werden dürfen. In diesem Fall gibt es von Außerhalb nur einen Lesezugriff auf den Wert der Variablen ("read-only"), oder der aktuelle Wert der Variablen kann durch den Aufruf eines Unterprogramms zurückgegeben werden ("get"-Methoden). <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Zahlen; (* Auf die globale ganzzahlige Konstante "Konstante" kann nur lesend zugegriffen werden. *) (* Die globale Konstante "Konstante" ist durch Deklaration und Initialisierung vollständig definiert. *) CONST Konstante = 7; (* Auf die globale ganzzahlige Variable "zahl" kann von außerhalb des Moduls "Zahlen" nur lesend zugegriffen werden. *) (* Die globale Variable "zahl" wird mit dem Zusatz "-" als "read-only" deklariert. *) VAR zahl-: LONGINT; BEGIN (* Die globale Variable "zahl" wird mit einem Wert initialisiert. *) zahl := 8; END Zahlen. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Zahlen; { // Auf die öffentliche ganzzahlige Klassenkonstante "Konstante" kann nur lesend zugegriffen werden. // Die Klassenkonstante "Konstante" ist durch Deklaration und Initialisierung vollständig definiert. // Die Klassenkonstante "Konstante" wird mit dem Zusatz "final" deklariert. public static final long Konstante = 7; // Auf die nicht-öffentliche ganzzahlige Klassenvariable "zahl" kann von außerhalb der Klasse // nur über die öffentliche Methode "getZahl ()" lesend zugegriffen werden. // Die Klassenvariable "zahl" wird mit dem Zusatz "private" deklariert. private static long zahl = 8; public static long getZahl () { return zahl; } } </syntaxhighlight> Im folgenden Java-Beispiel wird eine als konstant deklarierte lokale Variable erst innerhalb einer Fallunterscheidung (if-Anweisung) und zudem mit zwei verschiedenen optionalen Werten initialisiert. Wenn die Deklaration und die optionalen Initialisierungen im Quelltext weiter auseinanderliegen, ist es schwierig, den definierten Zustand der vermeintlich eindeutig definierten Variablen vollständig zu erfassen. <syntaxhighlight lang="Java"> private static boolean boolescherAusdruck () { java.util.Random zufall = new java.util.Random (); boolean zufaelligerBoolescherWert = zufall.nextBoolean (); return zufaelligerBoolescherWert; } public static void main (java.lang.String [] arguments) { // Deklaration der lokalen Konstante "Zahl", // die wegen fehlender Initialisierung nicht definiert ist. final long Zahl; if (boolescherAusdruck ()) { Zahl = 7; } else { Zahl = 8; } java.lang.System.out.println ("Konstante Zahl = " + Zahl); } </syntaxhighlight> ====Klassen und Module==== Auch Unterprogrammeinheiten wie '''Module''' oder '''Klassen''' werden in der Regel mit eindeutigen Bezeichnern benannt, die üblicherweise mit einem '''Großbuchstaben''' beginnen. Im Kontext eines Quellcodes ist es immer möglich, diese Unterprogrammeinheiten von anderen zu unterscheiden, die ebenfalls mit einem Großbuchstaben beginnen (beispielsweise Konstanten), weil die Bezeichner von Unterprogrammeinheiten von einer Blockanweisung (zum Beispiel geschweifte Klammern) für die Implementation von Programmcode oder von einem Separator (beispielsweise ".") zur qualifizierten Bezeichnung von Teilen der Unterprogrammeinheiten gefolgt werden. Das Konzept von Unterprogrammeinheiten ist, dass mehrere Unterprogramme (Methoden, Prozeduren, Funktionen, Kommandos) sowie mehrere Konstanten, Variablen oder Datenstrukturen (Verbunde (struct, record), Arrays) in einer speicherbaren Datei zusammengefasst werden. Insofern handelt es sich bei solchen Unterprogrammeinheiten um die '''kleinsten dauerhaft speicherbaren Einheiten''' in einem Software-Projekten. Unterprogrammeinheiten werden in strukturierten Programmiersprachen unter der Verwendung von Schlüsselwörtern wie zum Beispiel "program", "MODULE" oder "class" '''deklariert''': <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in der Programmiersprache Pascal *) program Programmeinheit; begin end. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="modula2"> (* Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in den Programmiersprachen Modula-2, Oberon oder Component Pascal *) MODULE Programmeinheit; BEGIN END Programmeinheit. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="Java"> // Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in der Programmiersprache Java public class Programmeinheit; { } </syntaxhighlight> ====„Sprechende” Bezeichner==== Die Wahl '''„sprechender“ Bezeichner''' hilft beim Lesen, Verstehen und Nachvollziehen von Quelltext ungemein. Häufig erübrigt sich sogar ein erläuternder Kommentar, wenn mit hinreichend „sprechenden“ Variablen- beziehungsweise Methodennamen gearbeitet wird. Also nicht eine solche Anweisung: h ← (t – b) Sondern besser: height ← (top - bottom) Die verpasste Chance, einen Bezeichner sprechend zu benennen, kann in vielen Entwicklungssystemen durch sogenanntes ''Refactoring'' zentral für den gesamten Quelltext durch Umbenennung geheilt werden. ====Parameter==== Bei Methodenaufrufen werden '''alle Parameter''' mit Variablen oder mit Konstanten übergeben, also nicht mit '''komplexen Ausdrücken''' (beispielsweise arithmetische Berechnungen und Aufrufe von Unterprogrammen) oder mit '''Literalen''' (also direkt eingegebene Werte, wie 100 oder "Text"). Hier ein schlechtes Beispiel mit dem Aufruf des Java-Unterprogramms "zeichneRechteck" mit fünf kryptischen Parameterausdrücken in den runden Klammern. Jedes der fünf Literalen 50 hat eine eigene unabhängige Bedeutung, die bei dieser Schreibweise nicht unterschieden oder nachvollzogen werden können, was deswegen schnell zu Verwechslungen führen kann: <syntaxhighlight lang="Java"> zeichneRechteck (50, 50, 50, berechneHoehe (50), 50); </syntaxhighlight> Ein strukturiertes Programm weist die Werte für alle fünf Parameter vor dem Aufruf des Unterprogramms an eigene Variablen mit sprechenden Bezeichnern zu: <syntaxhighlight lang="Java"> int x = 50; int y = 50; int breite = 50; int hoehe = berechneHoehe (breite); int helligkeitProzent = 50; zeichneRechteck (x, y, breite, hoehe, helligkeitProzent); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge ist im Gegensatz zu der Anweisung darüber auch ohne die explizite Kenntnisnahme der '''Deklaration des Unterprogramms''' verständlich: <syntaxhighlight lang="Java"> /** * Zeichnet ein Rechteck in das Bildschirmfenster * @param x: x-Koordinate vom linken Bildschirmfensterrand nach rechts * @param y: y-Koordinate vom oberen Bildschirmfensterrand nach unten * @param breite: Breite des Rechtecks von x nach rechts * @param hoehe: Hoehe des Rechtecks von y nach unten * @param helligkeitProzent: Helligkeit des Rechtecks in Prozent (0 = schwarz, 100 = weiss) */ public static void zeichneRechteck (int x, int y, int breite, int hoehe, int helligkeitProzent) </syntaxhighlight> ====Qualifizierte Bezeichner==== =====Programmeinheiten===== Damit der sich hinter einem Bezeichner verborgene Inhalt eindeutig einer Programmeinheit zugeordnet werden kann, muss dieser '''qualifiziert bezeichnet''' werden. In manchen Programmiersprachen geschieht dies für bestimmte Bezeichner inhärent, obwohl es eine explizite import-Anweisung für die entsprechenden Bezeichner gibt, so dass die Programmierer in diesen Sonderfällen also wissen müssen, worauf sich der unqualifizierte Bezeichner bezieht. In der Programmiersprache Java dürfen häufig verwendete Bezeichner wie beispielsweise die zur Textausgabe verwendete Methode "print" aus der Klasse "System" oder die für Zeichenketten verwendete Klasse "String" ohne eine vollständige und qualifizierte Bezeichnung in den Programmtext geschrieben werden: <syntaxhighlight lang="Java"> String text = "Hallo Welt!"; System.out.print (text); </syntaxhighlight> In der Variablen "text" der Klasse "String" wird die Zeichenkette "Hallo Welt!" gespeichert und mit der klassengebundenen Methode "print" der Klassenvariablen "out" aus der Klasse "System" ausgegeben. Hier ist allerdings nicht ohne weiteres ersichtlich, wo sich die Deklarationen oder die Implementierungen beiden Klassen "String" und "System" befinden. Die '''qualifizierte Bezeichnung''' dieser beiden Anweisungen hat folgendes Aussehen: <syntaxhighlight lang="Java"> java.lang.String text = "Hallo Welt!"; java.lang.System.out.print (text); </syntaxhighlight> Durch die qualifizierte Bezeichnung wird klar, dass sich beide Klassen im Programmpaket "java.lang" des Programmmoduls "java.base" befinden. Jedes Modul (englisch "module") und jedes Paket (englisch "package") kann in der Systembibliothek der Programmiersprache beziehungsweise in der Programmbibliothek der Laufzeitumgebung eindeutig zugeordnet werden. Alternativ wird die Qualifikation von bestimmten Bezeichnern durch eine Import-Anweisung zu Beginn des Programms vorgenommen: <syntaxhighlight lang="Java"> import java.lang.String; import java.lang.System; //... String text = "Hallo Welt!"; System.out.print (text); </syntaxhighlight> Dieses Vorgehen erlaubt innerhalb einer Programmdatei zwar grundsätzlich eine korrekte und eindeutige Zuordnung der weiter unten im Programmtext verwendeten '''unqualifizierten''' Bezeichner, bei der Analyse des Programmtextes sind sämtliche Import-Anweisungen jedoch stets und vollständig zu berücksichtigen, was die Sache für die Programmierer insbesondere bei langen oder komplexen Quelltexten sehr erschweren kann. Dies kann durch die ausschließliche und obligatorische Verwendung von qualifizierten Bezeichnern ausgeschlossen werden, und deswegen wird von streng strukturierten Programmiersprachen überall und immer eine qualifizierte Bezeichnung gefordert. Leider dürfen diese qualifizierten Importe beziehungsweise Bezeichnungen in manchen Programmiersprachen für gängige Unterprogrammeinheiten weggelassen werden, wie im folgenden Beispiel in der Programmiersprache Java: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Test { public static void main (String [] args) { } } </syntaxhighlight> Ein Aufruf des formal korrekt deklarierten Hauptprogramms "main" kann zu folgender völlig irritierender Fehlermeldung führen, wenn gar nicht die dafür vorgesehene Standard-Java-Klasse "java.lang.String" referenziert wird, weil sich im Software-Projekt, in dem sich das Hauptprogramm befindet, eine gleichnamige Klasse "String" definiert ist, die durch die Regeln der Programmiersprache vorrangig referenziert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> Error: Main method not found in class Test, please define the main method as: public static void main (String [] args) </syntaxhighlight> =====Datenstrukturen===== Auch bei Datenstrukturen müssen qualifizierte Bezeichner verwendet werden, damit eindeutig auf bestimmte Datenfelder zugegriffen werden kann. Im folgenden Beispiel in der Syntax der '''Pascal'''-Programmiersprachenfamilie wird dies anhand des komplexen Datentyps "Postadresse" mit den sechs Attributen "vorname", "nachname", "strasse", "hausnummer", "postleitzahl" und "ort" dargestellt: <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Datentyp "Postadresse" *) TYPE Postadresse = RECORD vorname: ARRAY OF CHAR; nachname: ARRAY OF CHAR; strasse: ARRAY OF CHAR; hausnummer: ARRAY OF CHAR; postleitzahl: LONGINT; ort: ARRAY OF CHAR; END; </syntaxhighlight> In den Deklarationen der Attribute steht "ARRAY OF CHAR" für den Datentyp Zeichenkette, der zur Speicherung von Zeichenfolgen verwendet wird. Der Datentyp "LONGINT" dient zur Speicherung ganzer Zahlen. Eine Instanz "adresse" dieses Datentyps "Postadresse" kann wie folgt mit der NEW-Prozedur erzeugt werden, wobei der dafür erforderliche Speicherplatz festgelegt und für andere Verwendungen gesperrt wird. Auf die sechs einzelnen Datenfelder der in "adresse" gespeicherten sechs Attribute des Datentyps "Postadresse" kann danach im Programm mit den entsprechenden qualifizierten Bezeichnern beispielsweise zugegriffen werden, indem die jeweiligen initialen Werte mithilfe des Zuweisungsoperators := zugewiesen werden. Auf die Prozeduren "String" und "Int" aus dem Modul "Out" wird über "Out.String" und "Out.Int" ebenfalls qualifiziert zugegriffen: <syntaxhighlight lang="Pascal"> IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" mit den Textausgabe-Prozeduren "String" für Zeichenketten und "Int" für ganze Zahlen *) VAR adresse: Postadresse; (* globale Variable "adresse" *) BEGIN NEW (adresse); (* Speicherreservierung für den Bezeichner "adresse" *) adresse.vorname := "Irgend"; adresse.nachname := "Jemand"; adresse.strasse := "Allee"; adresse.hausnummer := "100"; adresse.postleitzahl := 10000; adresse.ort := "Irgendwo"; Out.String (adresse.vorname); Out.String (adresse.nachname); Out.String (adresse.strasse); Out.String (adresse.hausnummer); Out.Int (adresse.postleitzahl); Out.String (adresse.ort); END; </syntaxhighlight> In einem weiteren Beispiel mit der Syntax der Programmiersprache '''Java''' wird die Datenstruktur dieses komplexen Datentyps als Klasse "Postadresse" mit den sechs Instanzvariablen "vorname", "nachname", "strasse", "hausnummer", "postleitzahl" und "ort" für diese sechs Attribute gebildet. Eine Instanz dieses Datentyps kann hier mit dem new-Operator erzeugt werden. Der öffentliche Konstruktor "Postadresse ()" ist eine Methode mit derselben Bezeichnung wie die Klasse selbst, die aufgerufen werden muss, um die sechs Datenfelder der jeweiligen Instanz "this" zu initialisieren. Auf die einzelnen Datenfelder der in der nicht-öffentlichen Klassenvariable "adresse" gespeicherten sechs Attribute des Datentyps "Postadresse" kann danach über die entsprechenden sechs qualifizierten Bezeichner zugegriffen werden. In der Methode "main" werden die Attribute zwischen den runden Klammern über die qualifizierten Bezeichner als Parameter bei den Aufrufen der allgemeinen Textausgabe-Methode "println" verwendet, die zur Klassenvariable "out" der Klasse "System" im Programmpaket "java.lang" gehört: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Postadresse // Klasse "Postadresse" { // Instanzvariablen java.lang.String vorname; java.lang.String nachname; java.lang.String strasse; java.lang.String hausnummer; long postleitzahl; java.lang.String ort; private static Postadresse adresse = new Postadresse (); // Klassenvariable "adresse" public Postadresse () // Konstruktor der Klasse "Postadresse" { this.vorname = "Irgend"; this.nachname = "Jemand"; this.strasse = "Allee"; this.hausnummer = "100"; this.postleitzahl = 10000; this.ort = "Irgendwo"; } public static void main (java.lang.String [] argumente) // main-Methode der Klasse "Postadresse" { java.lang.System.out.println (adresse.vorname); java.lang.System.out.println (adresse.nachname); java.lang.System.out.println (adresse.strasse); java.lang.System.out.println (adresse.hausnummer); java.lang.System.out.println (adresse.postleitzahl); java.lang.System.out.println (adresse.ort); } } </syntaxhighlight> ====Komplexe Anweisungen==== In der Programmiersprache Java kann die Gestaltung eines softwaretechnischen Containers "host" beispielsweise mit der Variablen "layout" realisiert werden. Hierzu werden Instanzen von Objekten der Klassen "Container" und "GroupLayout" erzeugt: <syntaxhighlight lang="Java"> java.awt.Container host = new java.awt.Container (); javax.swing.GroupLayout layout = new javax.swing.GroupLayout (host); </syntaxhighlight> Eine multiple qualifizierte Bezeichnung zur Referenzierung von Datenfeldern mit diversen Aufrufen typengebundener Methoden (Unterprogramme) kann dann mit einer einzigen hyperkomplexen Anweisung in einer Zeile zusammengefasst werden: <syntaxhighlight lang="Java"> layout.setVerticalGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING).addGroup (layout.createSequentialGroup ().addContainerGap ().addGroup(layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING).addGroup (layout.createSequentialGroup().addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE)))))); </syntaxhighlight> Mit Zeilenumbrüchen wird der inhaltlich identische Quelltext schon besser nachvollziehbar: <syntaxhighlight lang="Java"> layout.setVerticalGroup ( layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING) .addGroup (layout.createSequentialGroup () .addContainerGap () .addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING) .addGroup (layout.createSequentialGroup() .addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE))))) ); </syntaxhighlight> Durch Verwendung von Hilfsvariablen mit sprechenden Bezeichnern wird der Quelltext zwar etwas länger, aber noch verständlicher. Die Komplexität ist deutlich reduziert, und die Anweisungsfolge kann viel einfacher nachvollzogen, überprüft oder angepasst werden: <syntaxhighlight lang="Java"> javax.swing.GroupLayout.SequentialGroup sequentialGroup2 = layout.createSequentialGroup (); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelBaselineGroup = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE); sequentialGroup2 = sequentialGroup2.addGroup (parallelBaselineGroup); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelLeadingGroup2 = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING); parallelLeadingGroup2 = parallelLeadingGroup2.addGroup (sequentialGroup2); javax.swing.GroupLayout.SequentialGroup sequentialGroup1 = layout.createSequentialGroup (); sequentialGroup1 = sequentialGroup1.addContainerGap (); sequentialGroup1 = sequentialGroup1.addGroup (parallelLeadingGroup2); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelLeadingGroup1 = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING); parallelLeadingGroup1 = parallelLeadingGroup1.addGroup (sequentialGroup1); layout.setVerticalGroup (parallelLeadingGroup1); </syntaxhighlight> ==Programmgestaltung== Idealerweise kann die kontextfreie Grammatik der verwendeten Programmiersprache mit einer strukturierten Metasprache, wie zum Beispiel der '''Erweiterten Backus-Naur-Form''' ('''EBNF''') nach der Norm ISO/IEC 14977 dargestellt werden. Jedes strukturierte Programm und jede Datenstruktur kann damit eindeutig definiert werden. Leider trifft dies für viele Programmiersprachen nicht zu. Die Darstellung beliebiger ganzer Zahlen (sowohl negative, als auch positive und die Null) mit Zeichen kann in der Erweiterten Backus-Naur-Form zum Beispiel schrittweise so definiert werden: <syntaxhighlight lang="ebnf"> NatuerlicheZiffer = "1" | "2" | "3" | "4" | "5" | "6" | "7" | "8" | "9"; Ziffer = "0" | NatuerlicheZiffer; NatuerlicheZahl = NatuerlicheZiffer{Ziffer}; GanzeZahl = "0" | ["-"]NatuerlicheZahl; </syntaxhighlight> [[Datei:Nassi-Shneiderman diagram - InsertionSort.svg|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für einen Algorithmus mit zwei geschachtelten, kopfgesteuerten Schleifen in der Darstellung als Nassi-Shneidermann-Diagramm.]] Programme können als '''Struktogramm''' (auch '''Nassi-Shneidermann-Diagramm genannt''') nach Norm DIN 66261 notiert werden. Alle Teilprogramme sind dabei so geartet, dass sie ausgehend von einem einfachen Hauptblock, der für das gesamte Programm und somit für mindestens einen Unterprogrammaufruf steht, durch schrittweise Verfeinerung hierarchisch zusammengesetzt werden können. Am Ende der Hierarchie stehen dann elementare Teilprogramme, die nicht weiter zerlegt werden können. Die zyklomatische Komplexität der Software kann zum Beispiel mit der '''McCabe-Metrik''' untersucht und analysiert werden. Hierbei sollte darauf geachtet werden, dass die Komplexität beschränkt bleibt, damit der Quelltext überschaubar bleibt und gut nachvollzogen werden kann. Durch geeignete Strukturierung ist dies in modernen Programmiersprachen immer möglich, und mit einer McCabe-Metrik bis maximal 10 ist die Komplexität meist hinreichend niedrig. Dies gilt nicht nur für den prozeduralen Programmablauf, sondern gleichermaßen für Datenstrukturen, bei denen komplexe Datentypen aus elementaren Datentypen übersichtlich und hierarchisch zusammengesetzt werden können. Wichtig ist, dass die Anzahl der Programmzeilen ('''lines of code''') zwar gut als Maß für das zeitliche Wachstum einer bestimmten Software herangezogen werden kann, dies jedoch nicht geeignet ist, um eine Aussage über die Qualität oder Strukturiertheit des Programmcodes zu treffen. Weder eine besonders kleine noch eine besonders große Anzahl von Programmzeilen sind ein Garant für guten oder strukturierten Code. Das Optimum ist nicht erreicht, wenn nichts mehr hinzugefügt werden kann, weil schon alles implementiert ist, sondern wenn nichts mehr entfernt werden kann, ohne dass die Implementierung hiervon beeinträchtigt wird (frei nach Antoine de Saint-Exupéry in ''Wind, Sand und Sterne - Terre des Hommes'' (1939)). Programmieren ist nicht nur ein einfaches Handwerk, sondern eine anspruchsvolle Kunstfertigkeit (vergleiche auch Donald E. Knuth: ''The Art of Computer Programming''). <div style="clear:both"></div> ===Sichtbarkeiten=== Grundsätzlich gilt immer das '''Prinzip der Lokalität'''. Dies bedeutet, dass auf Programmkonstrukte nur dort zugegriffen werden kann und darf, wo es unbedingt erforderlich ist. Zum Datenaustausch zwischen verschiedenen Programmteilen dienen unter diesen Voraussetzungen Schnittstellen, die in der strukturierten Programmierung exakt definiert sein müssen. Alle Klassenvariablen, Instanzvariablen und Parametervariablen sowie Rückgabewerte werden in Bezug auf ihre Teilprogramme zum Beispiel als '''lokale Variablen''' behandelt, so dass sie nur innerhalb dieser Teilprogramme aufgerufen und verändert werden können. Auf diese Weise können unbeabsichtigte und unerwünschte Seiteneffekte nachhaltig vermieden werden. Je weniger lokal eine Variable definiert ist, desto größer ist die Gefahr, dass diese unbeabsichtigt oder sogar zuwider den Absichten des Programmierers verändert werden kann, was dann zu entsprechend dramatischen und schwer identifizierbaren Programmfehlern führen kann, die zudem erst zur Laufzeit auftreten und oft nur zufällig und somit umso schwerer zu entdecken sind. Variablen sollen also immer so '''lokal''' wie möglich definiert werden. Am besten sind Variablen lokalisiert, wenn sie innerhalb der Teilstruktur definiert werden, wo die Variablen üblicherweise „sichtbar” (und demzufolge verwendbar) sind. Außerhalb der Blöcke sind diese Variablen dann „unsichtbar” und somit auch nicht benutzbar. Für Programmiersprachen die keine explizite Blockanweisung für Teilprogramme haben, ist die am stärksten lokalisierte Definition in der Regel innerhalb einer Methode respektive einer Prozedur oder einer Funktion. Die nächsthöhere Strukturebene ist dann - sofern möglich - das Modul beziehungsweise die Klasse (dies ist zwar häufig eine vom Compiler zu übersetzende Einheit, ist jedoch nicht unbedingt identisch mit einer Quelltextdatei). Innerhalb von Programmstrukturen sollten Variablen möglichst mit dem Sichtbarkeitsmodifikator für die ausschließlich interne Verwendbarkeit (zum Beispiel mit dem Modifikator ''private'' oder ''limited'') deklariert werden. Solche internen Variablen können dann gegebenenfalls mit entsprechend zu implementierenden Konstruktoren initialisiert, mit sogenannten Getter-Methoden abgefragt und mit Setter-Methoden verändert werden. Falls diese exportiert werden (beispielsweise mit dem Modifikator ''public'' oder ''export''), ist auch außerhalb der Deklarationsstruktur ein definierter indirekter Zugriff auf die internen Variablen möglich. Manche Programmiersprachen erlauben eine Deklaration, die außerhalb des Deklarationsbereiches nur gesehen respektive gelesen werden können (zum Beispiel mit dem Modifikator ''read-only'' für Variablen oder ''implement-only'' für Methoden). In diesem Fall können die entsprechenden Variablen oder Methoden außerhalb der Deklarationsstruktur also nicht verändert, aber zumindest abgefragt oder aufgerufen werden. '''Globale Variablen''', die überall innerhalb von großen Programmeinheiten verändert werden können, sind immer vermeidbar, erhöhen die Gefahr von Programmfehlern und erleichtern unter Umständen Cyber-Attacken. Besondere Probleme ergeben sich, wenn innerhalb eines Sichtbarkeitsbereiches für verschiedene Dinge gleichlautende '''Bezeichner''' verwendet werden dürfen. Dies kann wegen der Wahlfreiheit bei der Benennung sehr leicht vermieden werden, indem einfach keine gleichlautenden Bezeichner benutzt werden. Im folgenden Beispiel wird verdeutlicht, wie in einem Java-Programm zwischen den Bezeichnern von lokalen und globalen Variablen sowie von Methoden formal dennoch eindeutig unterschieden werden kann: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Bezeichner { // globale Variable "bezeichner" (Klassenvariable) private static long bezeichner = 1; // Methode "bezeichner" (Unterprogramm) private static long bezeichner { // lokale Variable "bezeichner" in der Methode "bezeichner" long bezeichner = 3; return bezeichner; } // Hauptprogramm (Methode "main") public static void main (java.lang.String [] argumente) { // Ausgabe der globalen Variable aus der Klasse "Bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert der globalen Variable = " + Bezeichner.bezeichner); // lokale Variable "bezeichner" in der Methode "main" long bezeichner = 2; // Ausgabe der lokalen Variable aus der Methode "main" java.lang.System.out.println ("Wert der lokalen Variable = " + bezeichner); // Ausgabe des Ergebnisses des Aufrufs der Methode "bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert des Unterprogramms = " + bezeichner ()); } } </syntaxhighlight> In dieser Java-Klasse "Bezeichner" gibt es vier gleichlautende Bezeichner "bezeichner": * Der Name einer '''globalen Klassenvariable'''. * Der Name einer '''Methode'''. * Der Name einer '''lokalen Variable''' in der Methode "bezeichner". * Der Name einer '''lokalen Variable''' in der Methode "main". Nach den Regeln der Programmiersprache Java haben lokale Bezeichner bei der Referenzierung innerhalb einer Blockanweisung Vorrang, so dass bei der Verwendung dieser Bezeichner immer auf die lokale Variable zugegriffen wird. Im obigen Beispiel haben die beiden lokalen Variablen "'''bezeichner'''" nichts miteinander zu tun und können nur in ihrer entsprechenden Methode referenziert werden. Soll in einem lokalen Sichtbarkeitsbereich auf die globale Klassenvariable referenziert werden, so kann dies durch einen expliziten und '''qualifizierten Bezeichner''' erwirkt und sichergestellt werden, im obigen Beispiel mit "'''Bezeichner.bezeichner'''". Der Bezeichner einer Methode kann durch das stets folgende runde Klammerpaar identifiziert werden, im obigen Beispiel "'''bezeichner&nbsp;()'''". In älteren, schlecht strukturierten Programmiersprachen kann es bei der mehrfachen Verwendung von gleichen Bezeichnern für Variablen sehr leicht zu Programmierfehlern kommen, die nur mit Aufwand entdeckt und behoben werden können. Die Programmiersprache C erlaubt beispielsweise die Verwendung von lokalen und globalen Variablen mit dem gleichen Bezeichner. Im folgenden Beispiel wird die Variable x zweimal deklariert, einmal global außerhalb der beiden Funktionen f&nbsp;() und g&nbsp;(), und einmal lokal innerhalb der Funktion g&nbsp;(). Beide Funktionen geben einen ganzzahligen Wert von Datentyp "int" zurück, und die Funktion f&nbsp;() gibt mit der Return-Anweisung den Wert der globalen Variable x zurück, die mit dem Wert&nbsp;0 initialisiert wurde. Die Funktion g&nbsp;() hat ihre eigene, lokale Variable&nbsp;x, die auf den Wert&nbsp;1 gesetzt, aber nicht den Wert der globalen Variable x verändert, da es sich um zwei verschiedene Variablen handelt. Wird die doppelte Deklaration beim Programmieren versehentlich übersehen, kommt es zu einem unerwarteten Programmverhalten, da beim Aufruf der Funktion g&nbsp;() nicht der lokale x-Wert&nbsp;1, sondern der globale x-Wert&nbsp;0 zurückgegeben wird: <syntaxhighlight lang="c"> int x = 0; int f () { return x; } int g () { int x; x = 1; return f (); } </syntaxhighlight> Die kann vermeiden werden, indem keine doppelten Bezeichner verwendet werden, was in großen Programmen unter Umständen gar nicht ohne weiteres ersichtlich ist. Wenn der Quellcode übersichtlicher gestaltet wird, ohne die Rückgabeanweisung mit einem Funktionsaufruf f&nbsp;() zu kombinieren, ist das potentielle Problem leichter zu identifizieren, Hierbei wird die überflüssige Initialisierung der im obigen Beispiel gar nicht verwendeten lokalen Variablen&nbsp;x mit dem Wert&nbsp;1 weggelassen, und die lokale Variable wird direkt mit dem Rückgabewert der Funktion f&nbsp;() initialisiert: <syntaxhighlight lang="c"> int x = 0; int f () { return x; } int g () { int x; x = f (); return x; } </syntaxhighlight> ===Modularisierung=== Teilprogramme können Methoden oder ganze Sammlungen von Datenstrukturen und Methoden sein. Diese werden oft '''Klassen''' oder '''Module''' genannt und können in '''Paketen''' gruppiert werden. Alle Teilprogramme sollen eindeutige und sprechende Bezeichner und streng definierte Signaturen und Schnittstellen für die Namen und die Datentypen aller Parameter beziehungsweise Klassen- und Instanzvariablen haben. Bei diesen Teilprogrammen handelt es sich in der Regel um die kleinsten dauerhaft speicherbaren Programmeinheiten, die zum Beispiel in einer Datenbank oder einem Dateisystem zu größeren Einheiten wie Verzeichnissen, Paketen oder Bibliotheken zusammengefasst werden. Solche Programmeinheiten werden durch ihre '''Signatur''' eindeutig gekennzeichnet. Die Signatur besteht zunächst aus dem '''Namen''' der Programmeinheit. Ferner kann mit einem Modifikator explizit definiert werden, dass diese Programmeinheit allgemein, also von allen und beliebigen anderen Programmeinheiten, verfügbar sein soll (Modifikator ''public'' / ''öffentlich''). Für eine Beschränkung nur auf die nächst höhere Programmeinheit, wie beispielsweise einem Paket (englisch "package"), kann der Modifikator ''private'' verwendet werden. Eine typische Programmbibliothek hat in der Programmiersprache Java am Beispiel des Moduls "java.base" und der beiden Pakete "java.io" und "java.lang" folgende ausschnittsweise Struktur und Hierarchie: <syntaxhighlight lang="Java"> module java.base; package java.io; class Reader; { // Implementation der Klasse Reader } class Writer; { // Implementation der Klasse Writer } package java.lang; class String; { // Implementation der Klasse String } class System; { // Implementation der Klasse System } </syntaxhighlight> ===Unterprogramme=== Unterprogramme werden in Programmiersprachen ganz unterschiedlich genannt. Meistens werden die Begriffe '''Methode''', '''Prozedur''', '''Funktion''' oder '''Kommando''' verwendet. Unterprogramme werden durch ihre '''Signatur''' eindeutig deklariert, und alle Unterprogrammaufrufe müssen sich streng an diese Deklaration halten. Die Signatur besteht zunächst aus dem '''Namen''' des Unterprogramms. Unterprogramme haben optional einen '''Rückgabewert''', für die der Datentyp ebenfalls festgelegt werden muss und der in streng strukturierten Programmiersprachen ebenfalls zur Signatur des Unterprogramms gehört und verwendet werden muss. Solche Unterprogramme mit Rückgabewert werden in Anlehnung an die mathematischen Funktionen in manchen Programmiersprache explizit '''Funktion''' genannt. Leider ist es in manchen Programmiersprachen erlaubt, Rückgabewerte von solchen Funktionen zu ignorieren und diese nicht in einer Variablen zu speichern oder im Rahmen eines Ausdrucks auszuwerten, was zu leicht zu übersehenden Programmierfehlern führen kann. Ferner gibt es innerhalb der Signatur optionale '''Modifikatoren''', die die Regeln für die Sichtbarkeit (zum Beispiel ''öffentlich'' / ''privat'' / ''eingeschränkt'', englisch: ''public'' / ''private'' / ''limited'') festlegen. In der objektorientierten Programmierung werden Unterprogramme oft als '''Methoden''' bezeichnet, da sie keine konkreten oder vollständigen Anweisungen enthalten müssen und durch Überschreiben erweitert oder angepasst werden dürfen. Die Überschreibbarkeit einer Methode wird mit einem weiteren Modifikator festgelegt (wie zum Beispiel mit ''statisch'' / ''erweiterbar'' / ''abstrakt'' / ''abgeschlossen'', englisch: ''static'' / ''extensible'' / ''abstract'' / ''final''). Unterprogramme haben keinen, einen oder mehrere '''Parameter'''. Unterprogramme ohne Parameter werden auch parameterlose Unterprogramme genannt. Parameter verhalten sich innerhalb des Unterprogramms wie lokale Variablen, nur dass sie beim Aufruf der Unterprogramme angegeben werden müssen und gegebenenfalls zusammen mit dem Rückgabewert die Schnittstelle für den Datenaustausch zum aufrufenden Programm darstellen. Die Anzahl, die Namen, die Datentypen und die Reihenfolge der '''Parameter''' gehören ebenfalls zur Signatur einer Unterprogramms. Beim Aufruf eines Unterprogramms müssen alle Parameter in der richtigen Reihenfolge und zuweisungskompatibel angegeben werden. Parameter können unterschieden werden in: * '''Eingangsparameter''' ('''in'''), die als Wert (englisch ''value'') übergeben (kopiert) und nur innerhalb des jeweiligen Unterprogramms verwendet werden. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind sie ungültig und dürfen beziehungsweise können nicht mehr referenziert werden. * '''Ausgangsparameter''' ('''out'''), die als Referenzen (Zeiger auf einen Speicherbereich, englisch ''pointer'') übergeben und deren Werte erst innerhalb des Unterprogramms ermittelt und zugewiesen werden. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind die jeweiligen Werte über ihre Referenzen abrufbar. Die referenzierten Speicherbereiche müssen vor dem Unterprogrammaufruf allokiert worden sein (der Speicherort und die Speichergröße sind dadurch festgelegt), aber der Speicherinhalt muss noch nicht definiert worden sein, da er innerhalb des Unterprogramms nicht verwendet, sondern erst bestimmt und dann zugewiesen wird. Beim Programmieren ist große Sorgfalt darauf zu legen, dass die entsprechenden Zuweisungen innerhalb des Unterprogramms in jedem Fall erfolgen, falls die verwendete Programmiersprache dies nicht sowieso vorschreibt und erzwingt. * '''Durchgangsparameter''' ('''var'''iable), die als Referenzen mit definierten Speicheradressen (Zeigern) an das Unterprogramm übergeben, innerhalb des Unterprogramms verwendet und nach einer möglichen Veränderung (respektive '''Var'''iation) während des Unterprogrammaufrufs weiterverwendet werden können. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind ihre aktuellen Werte in den aufrufenden Programmteilen über die Referenzen abrufbar. ===Grundlegende Anweisungen=== Grundsätzlich kommt die strukturierte Programmierung in imperativen Programmiersprachen mit folgenden grundlegenden Anweisungen aus: * '''Deklaration''', zum Beispiel bei Klassen, Methoden, Variablen oder Konstanten mit einer eindeutigen Signatur: ** '''Modifikatoren''' für die Sichtbarkeit, Verwendbarkeit oder Veränderbarkeit ** '''Bezeichner''' ** Optional (bei Methoden, Funktionen, Prozeduren): '''Parameter''' mit Deklaration der Bezeichner, der Veränderbarkeiten und der Datentypen ** Optional (bei Funktionen): Datentyp des '''Rückgabewertes''' * '''Blockanweisung''', zum Beispiel BEGIN ... END oder { ... } * '''Zuweisung''', zum Beispiel a := b - c; (das Gleichheitseichen ist nicht zu verwechseln mit einem Vergleichsoperator) * '''Aufruf von Unterprogrammen''': ** '''Kommandos''' (ohne Parameter und ohne Rückgabewert) ** '''Prozeduren''' oder Methoden (ohne Rückgabewert) ** '''Funktionen''' (mit Rückgabewert) * '''Rückgabe''' bei Funktionen, zum Beispiel return x; Anweisungen werden häufig durch ein reserviertes Zeichen abgeschlossen, wie zum Beispiel mit einem Semikolon. Das folgende Beispiel zeigt eine Java-Klasse mit 15 grundlegenden Anweisungen: <syntaxhighlight lang="Java"> // Deklaration der oeffentlichen Klasse "Anweisungen" public class Anweisungen // Implementation der Klasse mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der privaten, globalen Klassenvariable "flaeche" vom Datentyp "double" private static double flaeche; // Deklaration der privaten statischen Methode "kreisflaeche" (Unterprogramm) zur Berechnung der Flaeche eines Kreises mit dem Radius "radius" // mit dem Parameter "radius" vom Datentyp "double" // und mit einer Gleitkommazahl vom Datentyp "double" als Rueckgabewert private static double kreisflaeche (double radius) // Implementation der Methode "kreisflaeche" mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der lokalen Variable "ergebnis" vom Datentyp "double" double ergebnis; // Zuweisung eines Ausdrucks an die Variable "ergebnis" mit dem Zuweisungsoperator "=" // Syntax: "Variablenname Zuweisungsoperator Ausdruck Semikolon" // Der arithmetische Ausdruck verwendet zwei Multiplikationsoperatoren "*" // Die Kreiszahl pi aus der Klasse "java.lang.Math" wird qualifiziert bezeichnet: "java.lang.Math.PI" ergebnis = java.lang.Math.PI * radius * radius; // Ruecksprunganweisung "return" mit der Rueckgabe der Gleitkommazahl "ergebnis" return ergebnis; } // Deklaration der oeffentlichen statischen Methode main (Hauptprogramm) public static void main (java.lang.String [] arguments) // Implementation der Methode "main" mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der lokalen Variable "raddurchmesser" vom Datentyp double double raddurchmesser; // Initialisierung der lokalen Variable "raddurchmesser" durch Zuweisung des konstanten arithmetischen Zahlenausdrucks "1.5" raddurchmesser = 1.5; // Aufruf der Methode "kreisflaeche" mit dem arithmetischen Ausdruck "raddurchmesser / 2" als Parameter // Der Rueckgabewert des Methodenaufrufs ist ein Ausdruck und wird der globalen Klassenvariablen "flaeche" zugewiesen flaeche = kreisflaeche (raddurchmesser / 2); // Aufruf der Methode "println" mit dem Parameter "flaeche" zur Ausgabe der berechneten Kreisflaeche // Die Methode aus der Klasse "java.lang.System" wird qualifiziert bezeichnet: "java.lang.System.out.println" java.lang.System.out.println (flaeche); } } </syntaxhighlight> Diese Anweisungen sind in der Reihenfolge des Auftretens: # '''Deklaration''' der Klasse "Anweisungen" # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Klasse "Anweisungen" # '''Deklaration''' der Klassenvariable "flaeche" # '''Deklaration''' der Methode "kreisflaeche" (Unterprogramm) # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Methode "kreisflaeche" # '''Deklaration''' einer lokalen Variable "ergebnis" in der Methode "kreisflaeche" # '''Zuweisung''' an die lokale Variable "ergebnis" in der Methode "kreisflaeche" # '''Rücksprung''' vom Unterprogramm "kreisflaeche" zum Hauptprogramm "main" # '''Deklaration''' der Methode "main" (Hauptprogramm) # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Methode "main" # '''Deklaration''' der lokalen Variable "raddurchmesser" # '''Zuweisung''' an die lokale Variable "raddurchmesser" # '''Aufruf''' des Unterprogramms "kreisflaeche" # '''Zuweisung''' an die globale Klassenvariable "flaeche" # '''Aufruf''' des Unterprogramms "println" ===Anweisungsstrukturen=== Anweisungesstrukturen setzen sich aus mehreren Anweisungen zusammen. Eine Methode besteht zum Beispiel aus einer Deklaration mit der Definition der Schnittstelle, der unmittelbar eine Blockanweisung mit der Implementierung folgt. Zu den weiteren elementaren Anweisungsstrukturen für Teilprogramme gehören: * '''Anweisungsfolgen''' * '''Kontrollstrukturen''' ** '''Fallunterscheidungen''' *** bedingte Anweisungen (if - then) *** einfache Verzweigungen (if - then - else) *** mehrfache Verzweigungen (switch - case - else) ** '''Wiederholungen (Schleifen)''' *** kopfgesteuerte Schleifen (while-Schleifen, for-Anweisungen) *** fußgesteuerte Schleifen (repeat - until, do - while) Bei jedem elementaren Teilprogramm (respektive jeder Methode, Prozedur oder Funktion, aber auch bei jeder Definition von Datenstrukturen) sollte der Quelltext bequem und vollständig auf einer Bildschirmseite gelesen werden können, ohne dass der Text im Betrachtungsfenster verschoben werden muss. Dabei empfiehlt es sich, Methodenaufrufe und übersichtliche Blockanweisungen zu verwenden, mit denen der Quellcode in Unterabschnitte gegliedert werden kann (Verfeinerung). Im folgenden Beispiel werden drei geschachtelte Blockanweisungen durch jeweils ein Paar geschweifter Klammern begrenzt. Die äußersten Klammern dienen zur Begrenzung der Implementation der Methode "printMonth", die inneren Blockanweisungen sind ebenso wie alle anderen Anweisungen nach rechts eingerückt: printMonth () { const int NumberOfWeekdays ← 7 const int LastDay ← 31 int column int day ← 1 while (day <= LastDay) { printInt (day) column ← day modulo NumberOfWeekdays if (column = 0) { printLine () } day ← day + 1 } } Wächst die Länge einer Methode zu sehr an, können und sollen einzelne Blockanweisungen unter Berücksichtigung der entsprechenden Übergabeparameter in eigene, aufzurufende Methoden ausgelagert werden, wodurch der Code geringfügig länger, aber wesentlich besser verständlich wird: optionalNewLine (int day) { const int NumberOfWeekdays ← 7 int column ← day modulo NumberOfWeekdays if (column = 0) { printLine () } } void printMonth () { const int LastDay ← 31 int day ← 1 while (day <= LastDay) { printInt (day) optionalNewLine (day) day ← day + 1 } } Hierbei ist es hilfreich, wenn die aufzurufenden Programmteile vor ihrer ersten Verwendung implementiert werden, im Quelltext also zuerst definiert (also deklariert und implementiert) und erst weiter unten benutzt (respektive aufgerufen oder referenziert) werden. Häufig wird behauptet, dass die Performanz der ausgeführten Programme durch die Aufteilung in solche Unterprogramme leiden würde, da die zahlreichen Aufrufe und Rücksprünge Rechenzeit und Speicherressourcen kosten. In den allermeisten Fällen ist dies auf modernen Rechenmaschinen jedoch zu vernachlässigen. Bei den meisten Anwendungen wird am Speicherbedarf und an der Rechenzeit nicht bemerkt werden können, ob ein strukturiertes oder ein unstrukturiertes Programm vorliegt. Bestenfalls bei extrem rechenintensiven Aufgaben (wie zum Beispiel beim sogenannten "number crunching" ("Zahlenfressen"), bei Monte-Carlo-Simulationen oder Big-Data-Analysen) kann dies bei den extrem häufig aufgerufenen Unterprogrammen einen nennenswerten Effekt haben. Hierbei kann eine wohlstrukturierte Parallelisierung von Programmen oder die Ausgliederung von Rechenaufgaben in spezialisierte Hardware (Graphikprozessoren, digitale Signalprozessoren (DSP), Field Programmable Gate Arrays (FPGA) oder Quantencomputer) wesentlich zu einer Beschleunigung der Programmabläufe beitragen. Eine Software, die von den Anwendern als zu langsam empfunden wird, ist meist nur schlecht programmiert. Ferner kann gar nicht häufig genug betont werden, dass die Entwicklung und Wartung unstrukturierter Programme erheblich länger dauert und wesentlich fehleranfälliger ist. === Schrittweise Verfeinerung === Die Implementierung von Software geschieht in der Regel vom Großen ins Kleine. Grob entworfene Anweisungsfolgen und Datenstrukturen werden dabei im Rahmen einer '''schrittweisen Verfeinerung''' immer genauer den Anforderungen angepasst. Die folgenden Aspekte sind bei der schrittweisen Verfeinerung nach wie vor typisch:<ref>Niklaus Wirth: [http://sunnyday.mit.edu/16.355/wirth-refinement.html Program Development by Stepwise Refinement], Communications of the Association for Computing Machinery, Band 14, Nummer 4, April 1971, Seiten 221 bis 227</ref> * In jedem Schritt wird eine Aufgabe (ein Programmteil / ein Datensatz) in Unteraufgaben (in Unterprogramme / in Unterdatensätze) aufgeteilt. * Der Grad der Abkapselung von Unteraufgaben bestimmt, wie leicht oder schwer Programme und Datenstrukturen angepasst oder übertragen werden können. * Die Notation für Programme und Daten sollte stets so weit wie möglich sowohl der natürlichen Sprache und der Natur der Sache als auch der Hardware und den Software-Werkzeugen angepasst sein. * Die Berücksichtigung der Kriterien Laufzeiteffizienz und Speichereffizienz sowie Klarheit und Regelmäßigkeit der Strukturen ist in allen Entwicklungsschritten bis zur Fertigstellung relevant. * Es muss immer erwogen werden, dass ein korrekt funktionierendes Programm durch eine bessere Version ersetzt werden kann und dass frühere Entscheidungen aus allen Entwicklungsschritten revidiert werden können. * Die Entwicklung und Wartung guter Programme ist alles andere als trivial, wird aber durch den Einsatz streng strukturierter Programmiersprachen deutlich erleichtert. == Datenstrukturen == Nicht nur der Programmcode, sondern auch die zu verarbeitenden Daten müssen gut strukturiert werden, um die Entwicklungszeiten zu reduzieren, die Qualität der Programme zu erhöhen und die Wartung der Quelltexte zu erleichtern. Gehören zum Beispiel ganz verschiedene Attribute zu einer Sache, sollen diese Attribute zu einer Datenstruktur zusammengefasst werden. Datenstrukturen können auch geschachtelt eingesetzt werden, so dass sehr umfangreiche und komplexe Datenstrukturen abgebildet werden können. ===Aufzählungen=== Eine '''Aufzählung''' (englisch "enumeration") wird verwendet, wenn bestimmte Eigenschaften von Datenstrukturen abzählbar und endlich sind. Mit diesen thematisch zusammengehörigen Aufzählungen können im Programmtext an allen entsprechenden Stellen statt abstrakt zugeordneter Zahlen konkret zugeordnete symbolische Konstanten mit sprechenden und selbsterklärenden Bezeichnern verwendet werden. Manche Programmiersprachen bieten dafür sogar die Möglichkeit an, dafür eigene Datentypen zu erstellen, in vielen Programmiersprachen wird das jedoch auf sehr simple Weise mit ganzzahligen Basisdaten nachgebildet. Im folgenden Beispiel wird erläutert, wie verschiedene Kalendersysteme als Aufzählung behandelt werden können. Hierbei werden die folgenden vier Kalendersysteme zu Auswahl: * Jüdisches Kalendersystem, Kennzahl = 1 * Julianisches Kalendersystem, Kennzahl = 2 * Gregorianisches Kalendersystem, Kennzahl = 3 * Islamisches Kalendersystem, Kennzahl = 4 <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Kalendersystem { public final static long JUEDISCH = 1; // Lunisolarkalender public final static long JULIANISCH = 2; // Solarkalender bis 4. Oktober 1582 (Donnerstag) public final static long GREGORIANISCH = 3; // Solarkalender seit 15. Oktober 1582 (Freitag) public final static long ISLAMISCH = 4; // Lunarkalender } </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Oberon *) MODULE Kalendersystem; CONST JUEDISCH = 1; (* Lunisolarkalender *) JULIANISCH = 2; (* Solarkalender bis 4. Oktober 1582 (Donnerstag) *) GREGORIANISCH = 3; (* Solarkalender seit 15. Oktober 1582 (Freitag) *) ISLAMISCH = 4; (* Lunarkalender *) </syntaxhighlight> In manchen, meist älteren Programmiersprachen gibt es explizite Aufzählungstypen, bei denen der Compiler automatisch die dazugehörigen ganzen Kennzahlen festlegt, ohne dass diese im Quelltext auftauchen, weil ausschließlich die symbolischen Konstanten aus der Deklaration des Aufzählungstyps verwendet werden. Variablen des Datentyps "Kalendersystem" im folgenden Beispiel dürfen nur die vier zwischen den runden Klammern explizit angegebenen respektive aufgezählten symbolischen Konstanten und keine beliebigen ganzen Zahlen verwenden: <syntaxhighlight lang="modula2"> (* Programmiersprache Modula-2 *) TYPE Kalendersystem = (JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH); </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="cpp"> /* Programmiersprache C++ */ enum Kalendersystem = {JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH}; </syntaxhighlight> ===Verbunde=== Gehören mehrere verschiede Attribute zu einer Datenstruktur, spricht man auch von einem '''Verbund'''. Diese Datenstrukturen werden je nach Programmiersprache häufig "struct" oder "record" genannt. Alle Attribute können und müssen über einen zentralen Zugang adressiert werden. Dies soll im Folgenden anhand der Datenstruktur "Kalenderdatum" beispielhaft erläutert werden. Ein Kalenderdatum möge aus einem '''Tag''', einem '''Monat''', einem '''Jahr''' und einem '''Kalendersystem''' bestehen: Alle vier Attribute werden in vier unabhängigen Datenfeldern gespeichert. Im vorliegenden Beispiel sind zwar alle vier Datenfelder vom Basisdatentyp "ganze Zahl" ("long" oder "INTEGER"), die Bedeutung und die gültige Zahlenbereiche unterscheiden sich jedoch: * Tag: ganze Zahl im Intervall [1..31] * Monat: ganze Zahl im Intervall [1..12] * Jahr: ganze Zahl * Kalendersystem. ganze Zahl des Aufzählungstyps "Kalendersystem" mit den vier Optionen (JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH) <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Kalenderdatum { // Instanzvariablen private long tag; private long monat; private long jahr; private long kalendersystem; public Kalenderdatum (long tag, long monat, long jahr, long kalendersystem) // Konstruktor zur Initialisierung von Instanzvariablen der Klasse Kalenderdatum { this.tag = tag; this.monat = monat; this.jahr = jahr; this.kalendersystem = kalendersystem; } public static void main (java.lang.String [] argumente) // main-Methode der Klasse "Kalenderdatum" { Kalenderdatum kalenderdatum = new Kalenderdatum (10, 4, 2023, Kalendersystem.GREGORIANISCH); // Eine neue Instanz wird erzeugt und durch den Aufruf des Konstruktors initialisiert java.lang.System.out.print (kalenderdatum.tag); java.lang.System.out.print ("."); java.lang.System.out.print (kalendekalenderdatum.monat); java.lang.System.out.print ("."); java.lang.System.out.print (kalenderdatum.jahr); java.lang.System.out.println (); // Zeilenumbruch } } </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Oberon *) IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) TYPE Kalenderdatum = RECORD tag: INTEGER; monat: INTEGER; jahr: INTEGER; kalendersystem: INTEGER; END; VAR kalenderdatum; (* Variable *) BEGIN kalenderdatum.tag = 10; kalenderdatum.monat = 4; kalenderdatum.jahr = 2023; kalenderdatum.kalendersystem = Kalendersystem.GREGORIANISCH; Out.Int (kalenderdatum.tag); Out.String ("."); Out.Int (kalenderdatum.monat); Out.String ("."); Out.Int (kalenderdatum.jahr); Out.Ln; (* Zeilenumbruch *) END; </syntaxhighlight> Die Textausgabe lautet jeweils: <syntaxhighlight lang="text"> 23.4.2023 </syntaxhighlight> ===Arrays=== In Arrays werden endlich viele und abzählbare Elemente eines bestimmten Datentyps in einer geordneten Reihe gespeichert. Die einzelnen Elemente können über einen ganzzahligen Index angesprochen werden. Der niedrigste Index ist meistens der Index Null, und dieser zeigt auf die erste Speicheradresse des Arrays. Da alle Elemente vom gleichen Datentyp sind, wird für jedes Element immer der gleiche Speicherplatz benötigt. Elemente mit komplexen Datentypen, werden nicht direkt im Array gespeichert, sondern dieses enthält als Verweise Zeiger mit den Speicheradressen der Inhalte der Elemente. Wenn der Speicherbedarf für ein Element (oder dessen Zeiger) <math>S_E</math> Bytes beträgt und das Array insgesamt <math>N</math> Elemente hat, dann berechnet sich der Speicherbedarf <math>S</math> für das ganze Array aus dem Produkt: <math>S = S_E \cdot N</math> Die Speicheradresse <math>A_i</math> des i-ten Elements des Arrays berechnet sich dann mit einfacher und effizient ausführbarer Arithmetik aus der Speicheradresse des Arrays <math>A</math>, dem Speicherbedarf für ein Element (oder dessen Zeiger) <math>S_E</math> und dem Index <math>i</math> : <math>A_i = A + S_E \cdot i</math> mit <math>0 \le i < N</math> Die Speicheradresse des ersten Elements mit dem Index Null <math>A_0</math> ist also stets identisch mit der Speicheradresse des Arrays <math>A</math>. Im folgenden Beispiel wird ein Array mit acht zufällig verteilten Gleitkommazahlen dargestellt, bei denen jede Gleitkommazahl einen Speicherplatz von '''8&nbsp;Bytes''' (Datentyp '''double''' mit 64&nbsp;Bits) belegt: {| class="wikitable" |'''Länge des Arrays <math>N</math>''' |'''Speicheradresse des Arrays (dezimal) <math>A</math>''' |'''Speicheradresse des Arrays (hexadezimal) <math>A</math>''' |'''Speicherbedarf für eine Gleitkommazahl in Bytes <math>S_E</math>''' |- |8 |10000000 |98 96 80 |8 |- |'''Index <math>i</math>''' |'''Speicheradresse des Elements im Array (dezimal) <math>A_i = A + S_E \cdot i</math>''' |'''Speicheradresse des Elements im Array (hexadezimal) <math>A_i = A + S_E \cdot i</math>''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Gleitkommazahl)''' |- |0 |10000000 |98 96 80 |678,1495238 |- |1 |10000008 |98 96 88 |317,4610959 |- |2 |10000016 |98 96 90 |574,3131347 |- |3 |10000024 |98 96 98 |673,9323679 |- |4 |10000032 |98 96 A0 |854,6637912 |- |5 |10000040 |98 96 A8 |764,4845853 |- |6 |10000048 |98 96 B0 |335,5146962 |- |7 |10000056 |98 96 B8 |545,0787382 |} Das folgende Java-Programm implementiert ein solches Array mit acht Gleitkommazahlen: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Array { // Klassenvariable zufallszahlen als Array mit acht Gleitkommazahlen private static double zufallszahlen [] = new double [8]; public static void setzeZufallszahlen (long startwert) // Methode zur Bestimmung aller Gleitkommazahlen { // Variable zufallszahl java.util.Random zufallszahl = new java.util.Random (startwert); // Startwert für erste Zufallszahl long anzahl = zufallszahlen.length; int zaehler = 0; // der Index von Arrays darf nicht vom Datentyp long sein while (zaehler < anzahl) { zufallszahlen [zaehler] = zufallszahl.nextDouble (); zaehler++; } } public static void ausgabeZufallszahlen () // Methode zur Ausgabe aller Gleitkommazahlen { long anzahl = zufallszahlen.length; int zaehler = 0; // der Index von Arrays darf nicht vom Datentyp long sein while (zaehler < anzahl) { java.lang.System.out.println (zufallszahlen [zaehler]); zaehler++; } } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der beiden Unterprogramme { setzeZufallszahlen (1000); // Aufruf des Unterprogramms setzeZufallszahlen mit dem Parameter 1000 als Startwert ausgabeZufallszahlen (); // Aufruf des Unterprogramms ausgabeMonatsname ohne Parameter } }</syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe von acht Pseudozufallszahlen: <syntaxhighlight> 0.7101849056320707 0.574836350385667 0.9464192094792073 0.039405954311386604 0.4864098780914311 0.4457367367074283 0.6008140654988429 0.550376169584217 </syntaxhighlight> Im nächsten Beispiel mit einem Array für die zwölf Monatsnamen ist der Datentyp eines Arrayelements jeweils eine Zeichenkette, die je nach ihrer Länge verschieden große Speicherbereiche belegen: {| class="wikitable" |'''Länge des Arrays''' |'''Speicheradresse des Arrays''' |'''Speicherbedarf für eine Speicheradresse''' |'''Speicherbedarf für ein Zeichen''' | | |- |13 |10000000 |4 |2 | | |- |Index |'''Speicheradresse des Elements im Array''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Speicheradresse)''' |'''Länge der Zeichenkette''' |'''Speicherbedarf der Zeichenkette''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Zeichenkette)''' |- |0 |10000000 |20000000 |8 |16 |"deutsch" |- |1 |10000004 |20000016 |7 |14 |"Januar" |- |2 |10000008 |20000030 |8 |16 |"Februar" |- |3 |10000012 |20000046 |5 |10 |"März" |- |4 |10000016 |20000056 |6 |12 |"April" |- |5 |10000020 |20000068 |4 |8 |"Mai" |- |6 |10000024 |20000076 |5 |10 |"Juni" |- |7 |10000028 |20000086 |5 |10 |"Juli" |- |8 |10000032 |20000096 |7 |14 |"August" |- |9 |10000036 |20000110 |10 |20 |"September" |- |10 |10000040 |20000130 |8 |16 |"Oktober" |- |11 |10000044 |20000146 |9 |18 |"November" |- |12 |10000048 |20000164 |9 |18 |"Dezember" |} In den folgenden Beispielen in der Programmiersprache werden die zwölf Monatsnamen in Arrays mit Zeichenketten gespeichert. Hierzu wird die Sprache der Monatsnamen im ersten Arrayfeld mit dem Index 0 und die zwölf Monatsnamen in den folgenden Arrayfeldern mit den Indizes 1 bis 12 gespeichert: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Monatsnamen { // Klassenvariable private static java.lang.String monatsnamen [] = {"deutsch", "Januar", "Februar", "März", "April", "Mai", "Juni", "Juli", "August", "September", "Oktober", "November", "Dezember"}; public static void ausgabeMonatsname (int monat) // Methode zur Textausgabe von Monatsnamen { java.lang.System.out.println (monatsnamen [monat]); } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der Methode ausgabeMonatsname { ausgabeMonatsname (1); // Aufruf des Unterprogramms ausgabeMonatsname mit dem Parameter 1 } } </syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe mit dem ersten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Januar </syntaxhighlight> In einigen Programmiersprachen muss die Größe der Array vor der Initialisierung festgelegt werden, und die Zuordnung zwischen den Indizes und den Arrayfeldern ist dann auch bei der Initialisierung explizit erkennbar: <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Monatsnamen; IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) TYPE Monatsnamen = POINTER TO ARRAY OF ARRAY OF CHAR; VAR monatsnamen: Monatsnamen; PROCEDURE InittialisiereMonatsnamen (); (* Prozedur zur Initialisierung von Monatsnamen *) BEGIN NEW (monatsnamen, 13, 10); (* Reservierung von 13 Zeichenketten mit je 10 Zeichen) *) monatsnamen [0] := "deutsch"; monatsnamen [1] := "Januar"; monatsnamen [2] := "Februar"; monatsnamen [3] := "März"; monatsnamen [4] := "April"; monatsnamen [5] := "Mai"; monatsnamen [6] := "Juni"; monatsnamen [7] := "Juli"; monatsnamen [8] := "August"; monatsnamen [9] := "September"; monatsnamen [10] := "Oktober"; monatsnamen [11] := "November"; monatsnamen [12] := "Dezember"; END InittialisiereMonatsnamen; PROCEDURE AusgabeMonatsname (monat: INTEGER); (* Prozedur zur Textausgabe von Monatsnamen *) BEGIN Out.String (monatsnamen [monat]); END AusgabeMonatsname; PROCEDURE Hauptprogramm*; BEGIN InittialisiereMonatsnamen (); (* Initialisierung beim Laden des Moduls "Monatsnamen" *) AusgabeMonatsname (1); (* Aufruf des Unterprogramms AusgabeMonatsname mit dem Parameter 1 *) END Hauptprogramm; END Monatsnamen. </syntaxhighlight> Durch den Aufruf von ''Monatsnamen.Hauptprogramm'' erfolgt die Ausgabe mit dem ersten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Januar </syntaxhighlight> Arrays können mehrdimensional gestaltet werden. Um zum Beispiel zwei Sprachen mit Monatsnamen zu speichern, kann eine weitere Dimension mit einem Index für die gewünschte Sprache implementiert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Monatsnamen { // Konstanten für Sprachaufzählung public final static int DEUTSCH = 0; public final static int ENGLISCH = 1; // Klassenvariablen private static java.lang.String monatsnamen [] [] = { {"deutsch", "Januar", "Februar", "März", "April", "Mai", "Juni", "Juli", "August", "September", "Oktober", "November", "Dezember"}, {"english", "January", "February", "March", "April", "May", "June", "July", "August", "September", "October", "November", "December"} }; public static void ausgabeMonatsname (int monat) // Methode zur Textausgabe von Monatsnamen { java.lang.System.out.println ("Deutschsprachiger Monatsname = " + monatsnamen [DEUTSCH] [monat]); java.lang.System.out.println ("Englischsprachiger Monatsname = " + monatsnamen [ENGLISCH] [monat]); } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der Methode ausgabeMonatsname { ausgabeMonatsname (2); } } </syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe mit den beiden zweiten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Deutschsprachiger Monatsname = Februar Englischsprachiger Monatsname = February </syntaxhighlight> Bei anderen Programmiersprachen ist durch die obligatorische Verwendung von symbolischen Konstanten (im Beispiel unten "DEUTSCH" und "ENGLISCH") bei jeder erforderlichen, also auch bei allen initialen Zuweisungen zu Array-Elementen übersichtlich und klar erkennbar, welches Feld angesprochen wird: <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Monatsnamen; IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) CONST DEUTSCH = 0; ENGLISCH = 1; TYPE Monatsnamen = POINTER TO ARRAY OF ARRAY OF ARRAY OF CHAR; VAR monatsnamen: Monatsnamen; PROCEDURE InittialisiereMonatsnamen (); (* Prozedur zur Initialisierung von Monatsnamen *) BEGIN NEW (monatsnamen, 2, 13, 10); (* Reservierung von 2 mal 13 Zeichenketten mit je 10 Zeichen) *) monatsnamen [DEUTSCH, 0] := "deutsch"; monatsnamen [DEUTSCH, 1] := "Januar"; monatsnamen [DEUTSCH, 2] := "Februar"; monatsnamen [DEUTSCH, 3] := "März"; monatsnamen [DEUTSCH, 4] := "April"; monatsnamen [DEUTSCH, 5] := "Mai"; monatsnamen [DEUTSCH, 6] := "Juni"; monatsnamen [DEUTSCH, 7] := "Juli"; monatsnamen [DEUTSCH, 8] := "August"; monatsnamen [DEUTSCH, 9] := "September"; monatsnamen [DEUTSCH, 10] := "Oktober"; monatsnamen [DEUTSCH, 11] := "November"; monatsnamen [DEUTSCH, 12] := "Dezember"; monatsnamen [ENGLISCH, 0] := "english"; monatsnamen [ENGLISCH, 1] := "January"; monatsnamen [ENGLISCH, 2] := "February"; monatsnamen [ENGLISCH, 3] := "March"; monatsnamen [ENGLISCH, 4] := "April"; monatsnamen [ENGLISCH, 5] := "May"; monatsnamen [ENGLISCH, 6] := "June"; monatsnamen [ENGLISCH, 7] := "July"; monatsnamen [ENGLISCH, 8] := "August"; monatsnamen [ENGLISCH, 9] := "September"; monatsnamen [ENGLISCH, 10] := "October"; monatsnamen [ENGLISCH, 11] := "November"; monatsnamen [ENGLISCH, 12] := "December"; END InittialisiereMonatsnamen; PROCEDURE AusgabeMonatsname (monat: INTEGER); (* Prozedur zur Textausgabe von Monatsnamen *) BEGIN Out.String ("Sprache = " + monatsnamen [DEUTSCH, 0] + ": " + monatsnamen [DEUTSCH, monat]); Out.Ln; Out.String ("Sprache = " + monatsnamen [ENGLISCH, 0] + ": " + monatsnamen [ENGLISCH, monat]); Out.Ln; END AusgabeMonatsname; PROCEDURE Hauptprogramm*; BEGIN InittialisiereMonatsnamen (); (* Initialisierung beim Laden des Moduls "Monatsnamen" *) AusgabeMonatsname (2); END Hauptprogramm; END Monatsnamen. </syntaxhighlight> Durch den Aufruf von ''Monatsnamen.Hauptprogramm'' erfolgt die Ausgabe mit den beiden zweiten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Sprache = deutsch: Februar Sprache = english: February </syntaxhighlight> Die Verwendung von Indizes außerhalb der deklarierten oder angeforderten Array-Größen verursachen in streng strukturierten Programmiersprachen zur Laufzeit einen Programmabbruch. Bei sorgfältiger Programmierung ist deswegen darauf zu achten, dass nur gültige Indizes zur Anwendung kommen können. In schlecht strukturierten Programmiersprachen wie C oder C++ werden die Indizes von Arrays in der Regel nicht automatisch geprüft, so dass unbemerkt auf ungültige Speicheradressen zugegriffen werden kann und bei entsprechenden Angriffen Daten verfälscht und schadhafter Binärcode in die Programme eingeschleust sowie zur Ausführung gebracht werden kann. ==Kontrollstrukturen== Kontrollstrukturen dienen dazu, den Programmablauf in wohlstrukturierter Weise im Sinne eines Algorithmus zu beeinflussen. Hierfür können '''Unterprogramme''' aufgerufen, '''Fallunterscheidungen''' vorgenommen oder Programmteile mehrfach durchlaufen werden ('''Schleifen'''). ===Sprunganweisungen=== Sprünge an andere Programmstellen ergeben sich inhärent beim Aufruf von Unterprogrammen. Geschieht ein solcher Sprung durch eine explizite Sprunganweisung im Programmcode, wie zum Beispiel mit Goto-, Break- oder Continue-Anweisungen, ist dies unstrukturiert und im Übrigen auch völlig überflüssig, denn Programme mit Sprunganweisungen können immer und ohne großen Aufwand durch Kontrollstrukturen, also mit Hilfe von '''Unterprogrammen''', '''Schleifen''' oder '''Fallunterscheidungen''', gestaltet werden. Explizite Sprunganweisungen stellen eine "Programmiertechnik mit dem Holzhammer" und wegen der daraus resultierenden verschlungenen Pfade während des Programmablaufs einen sogenannten '''Spaghetti-Code''' dar. Im Quellcode ist der Programmablauf nicht mehr ohne weiteres nachvollziehbar, beispielsweise bei der Untersuchung, von welchen Stellen des Programms an welche anderen Stellen gesprungen werden soll oder worden sein kann. Im Falle der Switch-Case-Anweisung handelt es sich bei der in manchen Programmiersprachen verwendeten Break-Anweisung eigentlich nicht um eine Sprunganweisung, sondern um einen obligatorischen Begrenzer (englisch: ''delimiter''), der zur Herstellung der Programmstruktur erforderlich ist. In einigen Programmiersprachen darf dieser Begrenzer (''break'') jedoch weggelassen werden, um den Code in bestimmten aber vereinzelten Fällen etwas kürzer gestalten zu können, was aber gleichzeitig und unabdingbar zu unstrukturierter Programmierung führt, die Programmabläufe unübersichtlich macht und dazu führen kann, dass die Programme gegebenenfalls nur noch schwierig nachzuvollziehen und zu warten sind. ====Unterprogramme==== [[Datei:Unterprogrammaufruf.png|mini|rechts|hochkant=1|Von der Hauptroutine "Procedure main" eines gestarteten Programms wird nach Ausführung der Anweisungen "Instructions&nbsp;1" ein Unterprogramm "Procedure sub" aufgerufen ("Call sub"), und der Programmablauf wird mit den dortigen Anweisungen "Instructions" fortgeführt. Wenn die letzte Anweisung "Return" des Unterprogramms erreicht worden ist, wird in das Hauptprogramm zurückgesprungen und der Programmablauf an der Stelle direkt hinter dem Aufruf des Unterprogramms mit den Anweisungen "Instructions&nbsp;2" fortgesetzt.]] Eine besonders häufig angewendete Programmiertechnik ist der Aufruf von Unterprogrammen. Unterprogramme stellen im Sinne des Quelltextes eines Programmes üblicherweise Prozeduren, Methoden oder Funktionen dar. Mit der Programmanweisung des Aufrufs kann der Programmablauf zum entsprechenden Unterprogramm verzweigt werden. Hierbei können in der Regel auch Parameter übergeben werden, um zwischen dem aufrufenden Programmteil und dem Unterprogramm Daten austauschen zu können. Ist das Unterprogramm vollständig abgearbeitet worden, wird der Programmablauf hinter der Stelle des Unterprogrammaufrufs fortgesetzt. Unterprogramme können mehrfach und von allen Stellen des Programcodes aufgerufen werden, in dem das Unterprogramm sichtbar ist. Die Unterscheidung zwischen Prozeduren und Methoden ist nicht einheitlich. Etliche Programmiersprachen verwenden kategorisch nur einen der beiden Begriffe. Hierbei kann zwischen traditionellen (statischen) Prozeduren und objektorientierten (typengebunden oder dynamischen) Prozeduren unterschieden werden. Letztere werden als Methoden einer Klasse oder aber auch als typengebundene Prozeduren eines Programmoduls bezeichnet. ====Rücksprunganweisungen==== Nach Ablauf des Unterprogramms kann ein Rückgabewert an das aufrufende Programm zurückgegeben werden, der im aufrufenden Programmteil dann zur Verfügung steht und als Ausdruck zum Beispiel an eine Variable zugewiesen werden kann. In diesem Fall wird ein Unterprogramm auch '''Funktion''' genannt, da als Ergebnis des Unterprogrammaufrufs ein Funktionswert berechnet wurde und dann zurückgegeben wird. Jedes Unterprogramm hat daher exakt eine Rücksprunganweisung (oft mit dem Schlüsselwort '''return''' gekennzeichnet), die logischerweise die letzte Anweisung sein muss, damit alle Anweisungen vorher durchgeführt werden können. Der Rücksprung erfolgt immer zur Stelle des Unterprogrammaufrufs, wo die Programmausführung anschließend fortgeführt wird. Hat das Unterprogramm keinen Rückgabewert, der an den aufrufenden Programmteil zurückgegeben werden muss, wird in vielen Programmiersprachen auf eine explizite Rücksprunganweisung verzichtet; in diesem Fall wird sie also implizit ausgeführt. Ist das Hauptprogramm vollständig durchlaufen, wird das Programm nach dessen Rücksprunganweisung beendet, und die Kontrolle an das Laufzeitsystem oder das Betriebssystem zurückgegeben, von wo aus das Hauptprogramm aufgerufen worden war. Mehrfache und insbesondere vorzeitige Rücksprunganweisungen in einem Unterprogramm sind unstrukturiert und daher zu unterlassen, auch wenn die Programmiersprache dies nicht zwingend fordert. Vorzeitige Unterprogrammabbrüche ('''Break'''-Anweisungen) verhindern, dass nachfolgende Programmsequenzen ausgeführt werden können, obwohl sie bei einer Ausführung das Ergebnis für den Rückgabewert beeinflussen würden. Dies kann zur Verwirrung führen, weil das Unterprogramm bei einer Überprüfung oder einer Analyse immer vollständig auf potentielle vorzeitige Unterprogrammabbrüche durchsucht werden muss. Der folgende unstrukturierte Java-Code, der den in der Variablen '''ergebnis''' gespeicherten Wert vor dessen Rückgabe als Text ausgeben soll, verdeutlicht dies: <syntaxhighlight lang="java"> private static double unterprogramm (double parameter) { double ergebnis = parameter; boolean ganzzahlig = (parameter % 1 == 0); if (ganzzahlig) return ergebnis; ergebnis = ergebnis + 1; java.lang.System.out.println ("Ergebnis = " + ergebnis); return ergebnis; } </syntaxhighlight> Die Erhöhung des Wertes der Variablen '''ergebnis''' sowie die Textausgabe mit dem Aufruf der Methode '''println''' unmittelbar vor der Rücksprunganweisung erfolgen wegen der beiden vorhandenen Rücksprunganweisungen nur, wenn der Wert des Parameters '''parameter''' nicht ganzzahlig ist. Demzufolge erzeugen die folgenden beiden Unterprogrammaufrufe <syntaxhighlight lang="java"> unterprogramm (0); unterprogramm (0.5); </syntaxhighlight> die Textausgabe: <syntaxhighlight lang="text"> Ergebnis = 1.5 </syntaxhighlight> Dieses formal korrekte, aber unerwünschte Verhalten wird nur nachvollziehbar, wenn der gesamte Code des Unterprogramms analysiert wird, was bei komplexeren Unterprogrammen und beim Vorhandensein mehrerer Rücksprunganweisungen sehr aufwendig werden kann.. Das folgende Unterprogramm implementiert den eigentlich gewünschten Algorithmus in strukturierter Form mit einer einzigen Rücksprunganweisung am Ende des Unterprogramms: <syntaxhighlight lang="java"> private static double unterprogramm (double parameter) { double ergebnis = parameter; boolean ganzzahlig = (parameter % 1 == 0); if (! ganzzahlig) { ergebnis = ergebnis + 1; } java.lang.System.out.println ("Ergebnis = " + ergebnis); return ergebnis; } </syntaxhighlight> Die Textausgabe bei den oben angegebenen Aufrufen des Unterprogramms erfolgt nun wie gewünscht: <syntaxhighlight lang="text"> Ergebnis = 0.0 Ergebnis = 1.5 </syntaxhighlight> Es empfiehlt sich grundsätzlich ebenfalls immer, innerhalb von Rücksprunganweisungen keine komplexen Ausdrücke, Kontrollstrukturen oder Unterprogrammaufrufe zu verwenden, um einfache und eindeutige Rückgabewerte zu erhalten sowie diese gegebenenfalls mit einer Textausgabe oder einem Debugger kontrollieren zu können. Im Idealfall wird in der Rücksprunganweisung nur der Wert einer zuvor berechneten lokalen Variable mit einem sprechenden Bezeichner zurückgegeben: <syntaxhighlight lang="text"> ergebnis ← f (a, b, c); return ergebnis; </syntaxhighlight> In der Regel ergeben sich durch die zusätzliche explizite Zuweisung an die lokale Variable '''ergebnis''' keine Laufzeiteinbußen, da im übersetzten Maschinencode implizit für den Rückgabewert sowieso eine Zuweisung ausgeführt werden muss. Moderne Übersetzer berücksichtigen diesen Kontext automatisch, so dass in beiden Fällen derselbe Maschinencode erzeugt wird. <div style="clear:both"></div> ===Fallunterscheidungen=== Die einfachste Fallunterscheidung ist die bedingte Anweisung. Verzweigungen enthalten mindestens zwei alternative Programmpfade. ====Bedingte Anweisung==== [[Datei:einfAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer bedingten Anweisung.]] Im folgenden Beispiel mit einer bedingten Anweisung (zum Beispiel if - then - end) wird die Dekrement-Anweisung a-- (der Wert der numerischen Variablen a soll um eins erniedrigt werden) nur dann ausgeführt, falls der boolesche Ausdruck a > b wahr ist, die entsprechende Bedingung also erfüllt ist: falls a > b dann a-- ende Hier wird der Wert der Variablen a also nur dann dekrementiert, wenn der Wert der Variablen a größer ist als der Wert der Variable b. Ansonsten wird der Programmablauf sofort hinter der ende-Marke fortgeführt. ====Einfache Verzweigung==== [[Datei:zweifAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer einfachen Verzweigung.]] Die einfachste Verzweigung (zum Beispiel if - then - else - end) enthält genau zwei alternative Pfade, von denen in Abhängigkeit eines booleschen Ausdrucks nur einer ausgeführt wird, wie in diesem Beispiel: falls a > b dann a-- ansonsten b-- ende Je nachdem die entsprechende Bedingung erfüllt ist oder nicht, wird die eine oder die andere Anweisung ausgeführt. Im obigen Beispiel wird der Wert der Variablen a nur dann dekrementiert, falls der Wert der Variablen a größer ist als der Wert der Variable b, ansonsten wird hier im Vergleich zur bedingten Anweisung allerdings der Wert der Variablen b um eins erniedrigt. In beiden Fällen wird das Programm anschließend hinter der ende-Marke fortgeführt. ====Mehrfache Verzweigung==== [[Datei:Mehrseitige Auswahl.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer mehrfachen Verzweigung.]] Eine mehrfache Verzweigung (zum Beispiel switch - case - else - end) enthält mehr als zwei alternative Programmpfade, die meist, wie auch im folgenden Beispiel, von ganzzahligen Ausdrücken gesteuert werden: verzweige mit dem Wert von a falls 1 : unterprogramm_A () falls 2 : unterprogramm_B () falls 3 : unterprogramm_C () ansonsten unterprogramm_D () ende In Abhängigkeit des in der ganzzahligen Variablen a gespeicherten Zahlenwertes wird genau eines der vier angegebenen Unterprogramme aufgerufen; beim Wert 1 unterprogramm_A, beim Wert 2 unterprogramm_B, beim Wert 3 unterprogramm_C und ansonsten unterprogramm_D. Danach wird der Programmablauf hinter den ende-Marke fortgeführt. In manchen weniger stakt strukturierten Programmiersprachen wie C sind Vorsicht und Aufmerksamkeit geboten, weil beispielsweise dort die verschiedenen Fälle der entsprechenden switch-Anweisung nur optional mit einer break-Anweisung und nicht immer und obligatorisch abgeschlossen werden. Dies nutzen einige Programmierer, um in bestimmten Situationen mehrere Fälle hintereinander abarbeiten zu lassen. Dieses Vorgehen ist jedoch hochgradig unstrukturiert und führt sehr schnell und unübersichtlichem Programmcode und somit sehr leicht zu Programmierfehlern. Dies kann vermieden werden, wenn in diesen Programmiersprachen hinter jedem unterschiedenem Fall kategorisch die break-Anweisung implementiert wird, auch wenn die Programmiersprache oder der Übersetzer dies nicht fordern. [[Datei:MehrfAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm mit verschachtelten einfachen Verzweigungen, um eine mehrfache Verzweigung zu implementieren.]] Mehrfache Verzweigungen mit aufeinanderfolgenden numerischen oder aufzählbaren Werten, wie im obigen Beispiel 1, 2 und 3, können rechnerintern unter Umständen effizient genutzt werden, weil die Sprungadressen arithmetisch berechnet werden können. Dies ist bei modernen Laufzeitsystemen in der Regel aber nicht mehr so relevant, und diese mehrfachen Verzweigungen können auch immer durch mehrfache Fallunterscheidungen programmiert werden. Durch eine eigene Anweisung für die mehrfache Verzweigung kann die Übersichtlichkeit des Quelltextes allerdings oft gesteigert werden. Auf der anderen Seite können die Übersichtlichkeit und die Nachvollziehbarkeit in der Regel auch hier mit entsprechenden Unterprogrammaufrufen gesteigert werden. ===Schleifen=== Bei Schleifen wird eine Anweisungsfolge nur dann ausgeführt, wenn die entsprechende boolesche, im Sinne der Schleife lokale Laufvariable den Wert "wahr" hat. Alle Schleifen können auf eine grundlegende Form zurückgeführt werden, bei der ein wesentliches Merkmal ist, ob die Laufvariable '''zu Beginn''' der Schleifenanweisungen den initialen Wert "wahr" erhält (fußgesteuert) oder in der Anfangsbedingung durch einen variablen booleschen Ausdruck bestimmt ist (kopfgesteuert). Es ist sinnvoll, dass diese Laufvariable nur zum Zwischenspeichern der Abbruchbedingung dient und ausschließlich im Zusammenhang mit der Schleife verwendet wird. Bei wohlstrukturierter Programmierung mit zählenden Schleifen können numerische Laufvariablen verwendet werden, die innerhalb der Schleife vorzugsweise erst in der letzten Anweisung der Schleife aktualisiert werden, damit es innerhalb des Schleifendurchlaufs nicht zu Inkonsistenzen, Verwechslungen oder Mehrdeutigkeiten kommen kann. Ferner gibt es in der strukturierten Programmierung keine expliziten Sprunganweisungen, die irgendwo innerhalb einer Schleife zum Beispiel mit dem Kommando '''continue''' den Rest der Schleife überspringen und sofort die nächstfolgende Abbruchbedingung der Schleife prüfen lassen. Innerhalb von Schleifen ist es ohne Weiteres möglich, alle Zwischenschritte mit Verzweigungen zu steuern beziehungsweise alle Zwischenergebnisse in lokalen Variablen zu speichern, ohne dass es in modernen Computersystemen zu längeren Ausführungszeiten kommt. Im Folgenden soll dies mit der Programmiersprache Java an sehr einfachen Schleifen, die alle Zahlen außer der Fünf von Eins bis Zehn ausgeben sollen, erläutert werden. Unstrukturiertes Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> long i = 1; do { if (i == 5) { i++; // Die Schleifenendanweisung zum Hochzaehlen der Laufvariable muss hier dupliziert werden, damit es nicht zu einer Fehlfunktion kommt. continue; // Die Schleife wird durch diese explizite Sprunganweisung unstrukturiert abgebrochen. } java.lang.System.out.println (i); i++; } while (i <= 10); </syntaxhighlight> Strukturiertes Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> long i = 1; do { if (i != 5) { java.lang.System.out.println (i); } i++; } while (i <= 10); </syntaxhighlight> ====Kopfgesteuerte Schleifen==== [[Datei:KopfgesteuerteSchleife.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer kopfgesteuerten Schleife.]] Kopfgesteuerte Schleifen werden auch als '''While'''-Anweisungen bezeichnet. {| class="wikitable" style="text-align:center" | rowspan="4" | Kopfgesteuerte Schleife | colspan="2" | Setze Laufvariable auf boolesche Anfangsbedingung |- | rowspan="3" | Solange wie die Laufvariable den Wert "wahr" hat führe aus |- |Anweisungsfolge |- | Setze Laufvariable auf boolesche Endbedingung |} Wenn die boolesche Anfangsbedingung zu Beginn den Wert "falsch" hat, wird die Schleife '''nicht durchlaufen'''. ====Fußgesteuerte Schleifen==== [[Datei:FussgesteuerteSchleife.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer fußgesteuerten Schleife.]] Die fußgesteuerte Schleife, die auch '''Repeat'''-Anweisung genannt wird, ist ein Sonderfall der kopfgesteuerten Schleife, bei der die boolesche Anfangsbedingung immer auf "wahr" gesetzt wird. Daher wird eine fußgesteuerte Schleife '''immer mindestens einmal durchlaufen'''. {| class="wikitable" style="text-align:center" | rowspan="4" | Fußgesteuerte Schleife | colspan="2" | Setze Laufvariable auf "wahr" |- | rowspan="3" | Solange wie die Laufvariable den Wert "wahr" hat führe aus |- |Anweisungsfolge |- | Setze Laufvariable auf boolesche Endbedingung |} Da der Ausdruck der booleschen Anfangs- und Endbedingung oft identisch formuliert ist, bietet es sich an, dafür einen Funktionsaufruf zu verwenden, um eine Codewiederholung zu vermeiden. Aus Gründen der Laufzeiteffizienz wird das Setzen der Laufvariablen zu Beginn und die erstmalige Überprüfung der Laufvariablen oft weggelassen, was für die allermeisten Anwendungen heute jedoch unwesentlich ist. Da die Laufvariable in diesem Fall zu Beginn jedoch nicht definiert werden muss und daher gegebenenfalls auch gar nicht definiert wird, birgt dieses Vorgehen die Gefahr in sich, dass die Laufvariable ihren undefinierten Zustand behält. Insbesondere tritt dies ein, wenn das Setzen der Laufvariable auf eine boolesche Endbedingung nicht erfolgt, weil dies in der verwendeten Programmiersprache nicht obligatorisch ist beziehungsweise vom Programmierer vergessen wurde, oder weil dies wegen eines zwangsläufig unstrukturierten Abbruchs innerhalb der Schleife (zum Beispiel mit einer Break-Anweisung) gar nicht erfolgen kann. ====Endlosschleifen==== '''Endlosschleifen''' sind unstrukturiert, da das Programm nicht regelgerecht beendet werden kann. Daher sind diese sogenannten Loop-Anweisungen, wie zum Beispiel for (;;) { ... } while (true) { ... } repeat { ... } until (false) beziehungsweise do { ... } while (true) oder loop { ... } zu unterlassen. Insbesondere das Verlassen von Endlosschleifen mit einer '''Sprunganweisung''' oder gar mehreren potentiellen Sprunganweisungen, wie zum Beispiel ''break'' oder ''exit'', ist hochgradig unstrukturierte Programmierung, da der Ausstiegszeitpunkt oder die Stelle des Ausstiegs aus der Schleife (wenn überhaupt) nur schwierig nachzuvollziehen oder zu bestimmen ist. ====For-Schleifen==== Die For-Schleifen-Anweisung int i for (i ← 0; i < max; i++) { ... } ist identisch mit der kopfgesteuerten while-Anweisung: int i i ← 0 while (i < max) { ... i = i + 1 } Es ist im Sinne eines einfachen Sprachumfangs und eines einheitlichen Sprachstils unter Umständen nützlich, für kopfgesteuerte Schleifen keine For-Schleifen, sondern ausschließlich While-Schleifen zu benutzen. Wenn die Programmiersprache es erlaubt, Zählvariablen ausschließlich für eine Schleife zu definieren, dann hat dies den Vorteil, dass das Prinzip der Lokalität für diese Zählvariablen sehr gut erfüllt ist, da die Zählvariable dann außerhalb der Schleife nicht sichtbar ist und somit auch nicht verwendet werden kann: for (int i ← 0; i < max; i++) { ... } Die äquivalente Schreibweise mit einer while-Schleife sieht wie folgt aus, wobei die äußere Blockanweisung dafür sorgt, dass die Zählvariable "i" innerhalb der Blockanweisung deklariert ist und nur in Verbindung mit der Schleife sichtbar respektive verwendbar ist: { int i i ← 0 while (i < max) { ... i++ } } Bei Algorithmen, die aus mehreren Kontrollstrukturen bestehen, ist es im Sinne der besseren Strukturierung vorzuziehen, alle Schleifen in eigene Methoden auszulagern, die aufgerufen werden und deren Schnittstellen über ihre Parameter eindeutig festgelegt sind. Hierbei können die Schleifen verschachtelt sein (innere und äußere Schleife) oder hintereinander ausgeführt werden. In jedem Fall sind alle Parameter und Variablen (also auch die jeweiligen Zählvariablen) innerhalb der entsprechenden Methoden lokal verfügbar. ==Codewiederholungen== Codewiederholungen gehören insbesondere bei Anfängern sehr häufig zu den kapitalen Fehlern beim Softwareentwurf. Es ist nur scheinbar bequem, bereits vorhandenen Quelltext zu kopieren und für eine ähnliche Aufgabe geringfügig anzupassen. Es ist Größenordnungen besser, den bereits vorhandenen Quelltext so anzupassen, dass er für alle ähnlichen oder zumindest mehrere ähnliche Aufgabenstellungen eingesetzt werden kann. Erfahrene Programmierer wittern schon von Anfang an, dass eine bestimmte Methode auch in einem ähnlichen Kontext eingesetzt werden könnte und entwerfen den Code von vornherein so allgemein wie möglich. ===Symbolische Konstanten=== Konstante Ausdrücke werden in der Regel als '''symbolische Konstanten''' definiert, wie zum Beispiel mit der symbolischen Konstante "Pi" für die Kreiszahl oder die symbolische Konstante "Title" für den Text "Programmierung": const double Pi ← 3.141592654 const String Title ← "Programmierung" Statt konstante Ausdrücke zu wiederholen – und sei es nur eine ganze Zahl – ist es erheblich besser, stattdessen eine symbolische Konstante mit einem „sprechenden“ Bezeichner zu verwenden. Also nicht mit der ganzen Zahl 3: int inputNumber ← 3 ... if (inputNumber = 3) ... Sondern besser mit der symbolischen Konstante "Exit" mit dem unveränderlichen, ganzzahligen Wert 3: const int Exit ← 3 int inputNumber ← Exit ... if (inputNumber = Exit) ... Oder nicht zweimal mit derselben ganzen Zahl 3: if (a > 3) and (b > 3) ... Sondern besser mit zwei verschiedenen symbolischen Konstanten "Limit_a" und "Limit_b": const int Limit_a ← 3 const int Limit_b ← 3 if (a > Limit_a) and (b > Limit_b) ... Auf diese Weise kann auch leicht vermieden werden, dass gleichlautende Ausdrücke mit unterschiedlicher Bedeutung verwechselt werden können, insbesondere wenn sie später einmal geändert werden müssen: if (numberOfConstellation > 12) { Ausgabe ("Diese Sternbildnummer ist ungültig.") } if (numberOfHalftones > 12) { Ausgabe ("Das Intervall ist größer als eine Oktave.") } Die beiden konstanten Zahlensymbole "12" haben nichts außer ihrem Zahlenwert gemeinsam, und daher ist der folgende Code erheblich besser nachvollziehbar: const int Number_Of_Constellations ← 12 const int Number_Of_Halftones_Per_Octave ← 12 ... if (numberOfConstellation > Number_Of_Constellations) { Ausgabe ("Diese Sternbildnummer ist ungültig.") } if (numberOfHalftones > Number_Of_Halftones_Per_Octave) { Ausgabe ("Das Intervall ist größer als eine Oktave.") } ===Aufruf von Unterprogrammen=== [[Datei:Aufruf.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm eines Unterprogrammaufrufs.]] Unterprogramme, die in vielen Programmiersprachen auch Methoden, Prozeduren oder Funktionen genannt werden, beinhalten sequenzielle Rechenvorschriften (Algorithmen) zum Bearbeiten von Daten, die zu einer Einheit zusammengefasst sind. So kann zum Beispiel die Rechenvorschrift für die Berechnung des Kreisumfangs aus dem Kreisradius als Folge von Programmanweisungen formuliert werden, aber auch in eine Methode ausgelagert werden. Dieses Unterprogramm kann dann irgendwo im Programmcode aufgerufen werden. Dies gewinnt besonders dann Bedeutung, wenn das Unterprogramm an verschiedenen Stellen aufgerufen werden soll, so dass dann diese Programmanweisungen nicht mehrfach programmiert oder kopiert werden müssen. Insbesondere wenn die ursprünglichen, an mehreren Stellen auftauchenden Programmanweisungen einen Fehler enthalten, muss dieser nach dem Entdecken des Fehlers - also möglicherweise zu einem viel späteren Zeitpunkt - zur Fehlerbehebung zwangsweise an mehreren Stellen im Programmcode korrigiert werden. Das ist nicht nur mühsam, sondern einzelne relevante Stellen können leicht übersehen werden, so dass der entdeckte Fehler gar nicht vollständig ausgemerzt wird. Die mehrfach eingegebenen Programmanweisungen zur Berechnung des Kreisumfangs werden beim Auftreten von '''Codewiederholung''' an drei Stellen des Quelltextes programmiert: const double Pi ← 3.141592654 double perimeter1 ← radius1 * 2 * Pi double perimeter2 ← radius2 * 2 * Pi double perimeter3 ← radius3 * 2 * Pi Mithilfe des im Unterprogramm "perimeter" nur einmal implementierten Algorithmus' zur Ermittlung des Kreisumfangs und dessen dreimaligem Aufruf kann die Wiederholung der Implementierung der Rechenvorschrift leicht vermieden werden: /* "perimeter" computes and returns the perimeter of a circle with radius "radius" */ double perimeter (radius) { const double Pi ← 3.141592654 double perimeter ← radius * 2 * Pi return perimeter } double perimeter1 ← perimeter (radius1) double perimeter2 ← perimeter (radius2) double perimeter3 ← perimeter (radius3) ==Zuweisungskompatibilität== '''Zuweisungskompatibilität''' liegt vor, wenn Ausdrücke und Variablen aufgrund hinreichend kompatibler Datentypen einander zugewiesen, miteinander verglichen oder eindeutig miteinander verknüpft werden können. Es kann bereits im Quelltext überprüft werden, ob eine hinreichende Zuweisungskompatibilität vorliegt. Liegt diese nicht vor, handelt es sich um eine Typverletzung, und es muss eine explizite Typumwandlung programmiert werden. In diesem Fall kann es sehr leicht zu Programmfehlern kommen. Programmiersprachen, die für die maschinennahe Programmierung konzipiert wurden, wie zum Beispiel Assemblersprachen oder die Programmiersprache C, haben oft gar keine oder nur eine sehr schwache Typprüfung, was sehr leicht zu Programmfehlern führen kann. In manchen Programmiersprachen, wie zum Beispiel C, ist es sogar erlaubt, beliebige Zeiger einer Zeigervariablen zuzuweisen, ohne dass geprüft wird oder überhaupt geprüft werden kann, ob die Datentypen der referenzierten Daten kompatibel sind. ===Zeichenketten=== Ein weiteres schwerwiegendes Problem kann sich bei der Verwendung von Zeichenketten (englisch: string) ergeben, die in der Regel zum Speichern von Texten Verwendung finden und die aus einer Sequenz von einzelnen Zeichen respektive Buchstaben (englisch: character) bestehen. Eine strukturierte Programmiersprache, die Zeichenkettenverarbeitung und einen entsprechenden Datentyp zur Verfügung stellt, sollte fordern, dass jede Zeichenkette mit einem Zeichen abgeschlossen wird, das das Ende der Zeichenkette markiert (englisch: string terminator). Hierfür wird allgemein das Zeichen mit dem numerischen Wert null verwendet, das keinen Buchstaben repräsentiert und in Quelltexten häufig mit den Symbolen NUL, 0X oder \0 kodiert wird. Manche unstrukturierte Programmiersprachen fordern nicht, dass eine solche Kennzeichnung des Endes der Zeichenkette verwendet werden muss. Bei der Implementation von Zeichenkettenfunktionen in Programmbibliotheken, insbesondere wenn die dazugehörige Programmiersprache gar keinen Datentyp für Zeichenketten zur Verfügung stellt, ist auch bei strukturierten Programmiersprachen nicht unbedingt gewährleistet, dass eine entsprechende Kennzeichnung des Zeichenkettenendes obligatorisch ist. Bei der Implementierung von Vergleichsfunktionen oder Zeichenkettenmanipulationen in unstrukturierten Programmiersprachen oder Programmbibliotheken muss die Tatsache, ob das Nullzeichen vorhanden ist oder nicht, regelmäßig untersucht und berücksichtigt werden. Einfacher und sicherer ist es, mit einer strukturierten Programmiersprache oder einer entsprechenden Programmbibliothek zu arbeiten, bei der immer gewährleistet ist und vorausgesetzt werden kann, dass alle Zeichenketten mit einem Endezeichen abgeschlossen sind. Die den Zeichenketten zugrunde liegenden Zeichen (englisch: character) sind grundsätzlich positive ganze Zahlen, die Null repräsentiert gegebenenfalls das Ende eine Zeichenkette (englisch: end of string (EOS)). Nichtsdestoweniger muss der gültige Wertebereich beachtet werden, also der Zahlenraum, der entsprechend der Zuordnungstabellen (beispielsweise ASCII oder Unicode) als Zeichen interpretiert werden kann. Hierbei gibt es große Unterschiede zwischen den Programmiersprachen, wie anhand der folgenden Beispiele verdeutlicht werden soll: {| class="wikitable" |+ Datentypen für Zeichen ! Programmiersprache !! Bezeichnung !! Anzahl der kodierbaren Zeichen !! Bittiefe |- | C || (unsigned) char || 0..255 || 8 |- | C || signed char || -128..127 || 8 |- | C || (unsigned) int || 0..65535 || 16 |- | C || signed int || -32768..32767 || 16 |- | Java || char || 0..65535 || 16 |- | C# || char || 0..65535 || 16 |- | Component Pascal || SHORTCHAR || 0..255 || 8 |- | Component Pascal || CHAR || 0..65535 || 16 |} ===Strenge Zuweisungskompatibilität=== Zuweisungen sind uneingeschränkt zulässig, wenn eine strenge Zuweisungskompatibilität gegeben ist. Dazu müssen die Datentypen eines zuzuweisenden Ausdrucks und einer Variable exakt übereinstimmen, wie in folgendem Beispiel mit dem Datentyp "Mann" und den beiden Instanzen "otto" und "emil": TYPE Mann = Verbund von alter und groesse VARIABLE otto, emil: Mann otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 emil ← otto Alle Attribute von „otto“, nämlich „alter“ und „groesse“, können „emil“ eindeutig zugewiesen werden. Zwei Instanzen sind streng zuweisungskompatibel, wenn sie derselben Klasse angehören, wie in diesem Beispiel die beiden Objekte "fenster1" und "fenster2" aus der Klasse "Rechteck": TYPE Rechteck = Klasse mit breite, hoehe und mit Methode flaechenberechnung&nbsp;() VARIABLE fenster1, fenster2: Rechteck fenster1.breite ← 200 fenster1.hoehe ← 100 fenster1.flaechenberechnung&nbsp;() (Flächenberechnung für „fenster1“ ausführen) fenster2 ← fenster1 fenster2.flaechenberechnung&nbsp;() (Flächenberechnung für „fenster2“ ausführen) Die Zuweisung in der vorletzten Programmzeile ist möglich, da beide Instanzvariablen "fenster1" und "fenster2" derselben Klasse "Rechteck" angehören, und daher liefert auch der Methodenaufruf in der letzten Programmzeile ein korrektes Ergebnis. ====Logische Kompatibilität==== Zwei übereinstimmende Definitionen von zwei Datentypen sind nicht zuweisungskompatibel. Die Daten können zwar eindeutig überführt werden (technische Kompatibilität), es liegen zwei formal zwar identische, aber dennoch verschiedene Definitionen vor, so dass diese keine logische Kompatibilität aufweisen. Folgendes Beispiel wäre demzufolge formal korrekt, aber nicht logisch: TYPE Mann = Verbund von alter und groesse TYPE Frau = Verbund von alter und groesse VARIABLE otto: Mann VARIABLE anna: Frau otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 anna ← otto Die Zuweisung in der letzten Programmzeile ist technisch zwar ohne Probleme möglich, aber logisch nicht korrekt, und sie birgt daher die Gefahr der Entstehung von Programmierfehlern. Um solche Fehler zu vermeiden, sind Zuweisungen mit impliziter Typumwandlung in einigen Programmiersprachen mit starker Typisierung nicht zulässig, und der Compiler verweigert die Übersetzung dieser Zuweisung. In der objektorientierten Programmierung kann durch die Vererbung der gemeinsamen Eigenschaften von Datentypen leicht eine logische Kompatibilität hergestellt werden: TYPE Mensch = Verbund von alter und groesse TYPE Mann = Mensch TYPE Frau = Mensch VARIABLE otto: Mann VARIABLE anna: Frau otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 anna ← otto Die Objekteigenschaften "alter" und "groesse" sind hierbei Eigenschaften von Objekten des Datentyps "Mensch" und daher sowohl zuweisungskompatibel, als auch logisch korrekt; bei der Zuweisung können und werden nur die Attribute "alter" und "groesse" der gemeinsamen Basisklasse "Mensch" übertragen. ====Wahrheitswerte==== In einigen älteren Programmiersprachen, wie zum Beispiel C, gibt es keinen eigenen Datentyp für zweiwertige boolesche Variablen. Zur Behandlung und Verarbeitung entsprechender Information wird dann häufig der ganzzahlige Datentyp mit dem kleinsten Speicherbedarf verwendet, wobei der Zahlenwert null für den Wahrheitswert „Falsch“ und alle anderen Zahlenwerte für den Wahrheitswert „Wahr“ Verwendung finden. Auch hier ergeben sich logische Inkompatibilitäten und somit ein gefährliches Potential für Komplikationen, da mit binären Werten keine Arithmetik und mit Zahlen keine logischen Verknüpfungen oder logischen Operationen durchgeführt werden können. Im folgenden Beispiel wird dieser Missbrauch verdeutlicht: VARIABLE schlechteWahrheit1, schlechteWahrheit2, ergebnisWahrheit: INTEGER schlechteWahrheit1 ← 0 schlechteWahrheit2 ← 1 ergebnisWahrheit ← (schlechteWahrheit1 + schlechteWahrheit2) ergebnisWahrheit ← (schlechteWahrheit2 + schlechteWahrheit2) Das Ergebnis der ersten arithmetischen Addition ist 1, was fälschlich als der Wahrheitswert „Wahr“ missinterpretiert werden könnte, der nicht dem Ergebnis der logischen Und-Verknüpfung entspricht. Noch offensichtlicher ist das Problem in der zweiten arithmetischen Addition, wo das Ergebnis 2 erzielt wird. Somit existieren ohne Not mehr als zwei Zustände für die binären (also zweiwertigen) Variablen, was schnell zu Missverständnissen und Programmierfehlern führen kann. Eine eindeutige und korrekte Implementierung wird erreicht, wenn die Programmiersprache oder eine dazugehörige Programmbibliothek einen zweiwertigen Datentyp, wie zum Beispiel „BOOLEAN“ oder „bool“, zwei entsprechende Ausprägungen, wie zum Beispiel "false" und "true", und die dazugehörigen eindeutigen booleschen Operatoren und Funktionen (beispielsweise "and", "or" oder "not") anbietet. VARIABLE richtigeWahrheit1, richtigeWahrheit2, ergebnisWahrheit: BOOLEAN richtigeWahrheit1 ← falsch richtigeWahrheit2 ← wahr ergebnisWahrheit ← (richtigeWahrheit1 und richtigeWahrheit2) ergebnisWahrheit ← (richtigeWahrheit2 und richtigeWahrheit2) Sinngemäß gilt das Gleiche für die Verknüpfungen von Mengen. Wenn hier bei den Datentypen und zulässigen Operatoren nicht zwischen Bitmengen (englisch: (bit) sets) und Zahlen unterschieden wird, kommt es wie zum Beispiel bei der Bestimmung von Vereinigungs- oder Differenzmengen zu Interpretationsproblemen. Eine eindeutige und korrekte Implementierung verwendet Datentypen, die für Mengen und Mengenoperationen definiert sind. In einigen Programmiersprachen werden solche Datentypen im Sprachumfang implizit angeboten, in anderen gibt es dafür standardisierte Programmbibliotheken, auf die über Unterprogrammaufrufe zugegriffen werden kann. ===Zuweisungskompatibilität ohne Informationsverlust=== In einigen Fällen kann die Information, die mit einem Datentyp dargestellt werden kann, eindeutig und ohne Informationsverlust in einen anderen Datentyp überführt werden. Typische Beispiele sind ganze Zahlen mit unterschiedlicher Speichergröße. So kann ein Integer mit 16&nbsp;Bit Speichergröße eindeutig in einer vorzeichenbehafteten Integer-Variablen mit 32&nbsp;Bit Speichergröße abgelegt werden, ohne dass die ursprünglich nur mit 16&nbsp;Bit gespeicherte Zahl verändert wird. Umgekehrt ist dies jedoch nicht allgemein möglich, insbesondere unter der Beachtung von Vorzeichen und großen Zahlen. Der folgende Programmierabschnitt zeigt ein Beispiel ohne Zuweisungskompatibilität, da der Datentyp „BYTE“ nur 8&nbsp;Bit Speichertiefe hat und nur Werte zwischen -128 bis +127 und somit nicht die Zahl 555 repräsentieren kann, wohingegen der Datentyp „SHORTINT“ eine Speichertiefe von 16&nbsp;Bit hat und ganze Zahlen von -32768 bis +32767 repräsentieren kann: zahl1: BYTE zahl2: SHORTINT zahl2 ← 555 zahl1 ← zahl2 Die letzte Programmzeile stellt einen ungültigen Versuch der Zuweisung der ganzen Zahl&nbsp;555 aus der Variablen „zahl2“ an die Variable „zahl1“ dar. Bei einer solchen Programmanweisung kann bei typsicheren Programmiersprachen bereits der Compiler verhindern, dass ausführbarer Maschinencode erzeugt wird. Bei fehlender Überprüfung durch den Compiler kann unbemerkt Information verloren gehen, so dass bei nachfolgenden Berechnungen unter Umständen grobe Berechnungsfehler auftreten, die relativ schwierig zu analysieren sind. ===Zuweisungskompatibilität mit geringem Informationsverlust=== Ein Sonderfall ist die Zuweisung von ganzen Zahlen an Variablen, die Gleitkommazahlen repräsentieren. In der Regel kann ohne die Gefahr von Programmfehlern toleriert werden, große ganze Zahlen implizit in Gleitkommazahlen umzuwandeln, da der Rechenfehler (wenn überhaupt vorhanden) hierbei sehr klein ist. Auch dies kann an einem Beispiel verdeutlicht werden: ein „LONGINT“ mit 64&nbsp;Bit Speichergröße kann die Zahl 9223372036854775807 mit 19 Dezimalstellen speichern. Der folgende Programmierabschnitt zeigt ein Beispiel mit Zuweisungskompatibilität mit einem in der Regel zu vernachlässigenden Informationsverlust, da der Datentyp „REAL“ nach IEEE 754 mit 64&nbsp;Bit nur Zahlen mit einer Mantisse mit maximal 14 Nachkommastellen speichern kann: zahl1: LONGINT zahl2: REAL zahl1 ← 9223372036854775807 zahl2 ← zahl1 Die letzte Anweisung stellt in fast allen Programmiersprachen einen gültigen Versuch der Zuweisung der ganzen Zahl&nbsp;<math>{2}^{63} - 1</math> aus der Variablen „zahl1“ an die Variable „zahl2“ dar, da diese gerundeten Zahlenwert <math>9{,}22337203685478 \cdot {10}^{18}</math> enthält, und der Fehler durch das Abschneiden der letzten Nachkommastellen hier nur in einer Größenordnung von <math>{10}^{-14}</math> liegt und daher für praktisch alle Anwendungen vernachlässigt werden kann. Bei einer erneuten Datentypkonvertierung zurück zu einem geeigneten ganzzahligen Datentyp kommt es dann aber zu einer Abweichung zu der ursprünglichen ganzen Zahl. In solchen Fällen ist es daher besser, vorsichtshalber und mit Inkaufnahme etwas längerer Programmlaufzeiten ausschließlich mit Gleitkommazahlen zu operieren. ===Zuweisungskompatibilität mit definiertem Informationsverlust=== Zwei Instanzen sind mit definiertem Informationsverlust zuweisungskompatibel, wenn die zuzuweisende Klasse einer Klasse angehört, die von der zugewiesenen Klasse abgeleitet wurde. Alle Daten die in der zugewiesenen Klasse deklariert und somit erforderlich sind, können dann zugewiesen werden, jedoch werden die in der zuzuweisenden abgeleiteten Klasse möglicherweise hinzugefügten Attribute ignoriert, wie das folgende Beispiel verdeutlichen soll, in welchem der Datentyp „Mensch“ alle Eigenschaften vom Datentyp „Lebewesen“ erbt und zusätzlich das Attribut „intelligenzquotient“ bekommt: TYPE Lebewesen = Verbund von alter und gewicht TYPE Mensch = Lebewesen mit intelligenzquotient VARIABLE otto: Mensch VARIABLE eukaryot: Lebewesen otto.alter ← 50 otto.gewicht ← 75 otto.intelligenzquotient ← 100 eukaryot ← otto Die Zuweisung in der letzten Zeile ist korrekt, das Attribut „intelligenzquotient“ der Variable „otto“ vom Datentyp „Mensch“ wird jedoch nicht an die Variable „eukaryot“ zugewiesen, da es beim Datentyp „Lebewesen“ der Basisklasse nicht deklariert ist. ==Komplexe Ausdrücke== Zusammengesetzte Ausdrücke mit verschiedenartigen Operatoren können sehr unübersichtlich und somit fehleranfällig sein. Manche Programmiersprachen haben sehr viele Hierarchieebenen für Operatoren, die auch durch erfahrene Programmierer kaum durchschaut werden können, oder sogar dafür sorgen, dass bestimmte Teile des Quellcodes zur Laufzeit gar nicht erreicht werden können. Daher ist es dringend empfehlenswert, Anweisungen in kleine, überschaubare Einheiten zu untergliedern. In einigen Programmiersprachen ist es sogar möglich, die Zuweisung in andere Anweisungen zu integrieren, da sie selber als ein Ergebniswert interpretiert werden darf. Ferner ist nicht immer offensichtlich welchen Datentyp ein Ergebnis hat, was insbesondere in Ermangelung eines zweiwertigen Datentyps ''Boolean'' zu Missverständnissen führen kann. Also zum Beispiel nicht: if (a ← b – c = 0) ... In dieser bedingten Anweisung (if) ist nicht klar, in welcher Reihenfolge der Zuweisungsoperator (←), der Differenzoperator (-) und der Vergleichsoperator (=) ausgeführt werden (sollen). Es ist erheblich besser, die Anweisungen klar zu trennen: a ← (b – c) if (a = 0) ... Die folgenden beiden Beispiele mit dem Zuweisungsoperator "=" und dem Vergleichsoperator "==" zeigen Programmsequenzen in der Programmiersprache C, die zu sehr leicht zu übersehenden Programmierfehlern führen können: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int i = 0; if (i = 1) { /* Dieser Block wird immer ausgeführt, weil die Zuweisung i = 1 immer das numerische Ergebnis 1 hat, was als der boolesche Wert "wahr" interpretiert wird. */ } int i = 0; if (i == 1) { /* Dieser Block wird nie ausgeführt, weil die Vergleichsoperation i == 1 immer das numerische Ergebnis 0 hat, was als der boolesche Wert "falsch" interpretiert wird. */ } </syntaxhighlight> Die folgende Rückgabe-Anweisung ("return") in der Programmiersprache Java ist nicht nur verwirrend, sondern sinnfrei: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 2; long y = 1; return y + x--; </syntaxhighlight> Der Dekrement-Operator "- -" wird in vielen Programmiersprachen gar nicht ausgeführt, weil er hierarchisch erst nach einer Zuweisung ausgeführt wird oder nach einer die Code-Sequenz beendende Return-Anweisung noch ausgeführt werden müsste, aber de facto gar nicht mehr ausgeführt wird. Deswegen ist die folgende Anweisungsfolge nicht nur weniger komplex, gut strukturiert und korrekt, sondern auch sinnvoll und leicht sowie eindeutig nachvollziehbar: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 2; long y = 1; x--; long summe = y + x; return summe; </syntaxhighlight> Beeindruckend sinnlos, verwirrend und komplex sind Monster-Ausdrücke (nach Niklaus Wirth: ''notational monsters''), die in einigen Programmiersprachen wie zum Beispiel C erlaubt sind, wie zum Beispiel bei der Kombination einer Rücksprunganweisung ("return") mit einer Zuweisung ("="), zwei verschiedenen Inkrement-Operatoren ("++") und einem Additionsoperator ("+"). Es ist sehr schwierig durchschaubar, in welcher Reihenfolge diese fünf Anweisungen ausgeführt werden und ob diese überhaupt ausgeführt werden. Selbst wenn die Zuweisung oder die nachrangige Inkrementierung ausgeführt würden, wären sie völlig sinnlos, da auf die lokale Variable i nach der Return-Anweisung gar nicht mehr zugegriffen werden kann: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int i = 0; return i = ++i+i++; </syntaxhighlight> Auch im folgenden Java-Beispiel ist die Sachlage nicht wesentlich besser. Das Ergebnis dieser Anweisungsfolge für die Variable y ergibt den Wert 2 + 2 = 4 , weil der letzte Inkrementoperator die Variable x vor der Ausführung aller anderen Operatoren auf den Wert 2 erhöht, und der erste Inkrementoperator die Variable x erst nach der Addition und der Zuweisung auf den Wert 3 erhöht: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = x++ + ++x; </syntaxhighlight> Es ist ebenfalls nicht leicht zu durchschauen, dass das Ergebnis dieser Anweisungsfolge in Java für die Variable y den Wert 2 + 3 = 5 ergibt, weil die Variable x vor der Auswertung des arithmetischen Summe zweimal inkrementiert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = ++x + ++x; </syntaxhighlight> Ferner ist das Ergebnis der nächsten Anweisungsfolge in Java für die Variable y der Wert 2 + 2 = 4, weil die Variable x vor der Auswertung der arithmetischen Summe nur beim ersten Inkrementoperator für die Summenbildung wirksam verändert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = ++x + x++; </syntaxhighlight> Auf der anderen Seite ist das Ergebnis der nächsten Anweisungsfolge in Java für die Variable y der Wert 1 + 2 = 3, weil die Variable x während der Auswertung des arithmetischen Ausdrucks nur beim ersten Inkrementoperator für die Summenbildung wirksam verändert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = x++ + x++; </syntaxhighlight> Noch gefährlicher wird es, wenn die Reihenfolge der Auswertung von arithmetischen Ausdrücken mit gleichwertigen Operanden für den Compiler oder Interpreter nicht definiert ist: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int x = 1; long y = ++x * --x; </syntaxhighlight> Wird die Multiplikation von links nach rechts ausgewertet, ergibt sich für die Variable y der Wert 2, wird die Multiplikation von rechts nach links ausgewertet, ergibt sich für die Variable y der Wert 0. Derselbe Quelltext kann auf zwei verschiedenen Systemen also völlig andere Rechenergebnisse hervorrufen. In anderen Programmiersprachen werden die Inkremente und Dekremente von ganzzahligen Variablen daher mit Prozeduraufrufen bewerkstelligt (beispielsweise INC() und DEC()), die fester Bestandteil der Programmiersprache sind, wie zum Beispiel in Pascal, wo der Zuweisungsoperator aus zwei verschiedenen Zeichen besteht (":="), damit es keine Verwechslungen mit einem Identitätsoperator oder Vergleichsoperator geben kann: <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) VAR x, y, produkt: integer; BEGIN x := 1; INC (x); y := x; DEC (x); produkt := y * x; END; </syntaxhighlight> Die Aufrufe der Inkrement- beziehungsweise Dekrementprozeduren dürfen und können –&nbsp; genauso wie Zuweisungen&nbsp;– in der Programmiersprache Pascal also gar nicht Bestandteil eines arithmetischen Ausdrucks sein, so dass der Zeitpunkt der Ausführung immer eindeutig aus der Reihenfolge der Anweisungen hervorgeht. ===Ternäre Operatoren=== Ein '''ternärer Operator''' hat als Ergebnis einen beliebigen Wert und verknüpft hierzu drei Ausdrücke: * Der erste Ausdruck ein '''binärer Ausdruck''', der wahr oder falsch ist. * Der zweite Ausdruck beschreibt den Ergebniswert, wenn der erste Ausdruck '''wahr''' ist. * Der dritte Ausdruck beschreibt den Ergebniswert, wenn der erste Ausdruck '''falsch''' ist. In vielen Programmiersprachen werden die drei Ausdrücke mit den Begrenzungszeichen ? und : voneinander getrennt, und der binäre Ausdruck wird eingebettet in runde Klammern vorangestellt: (binärer Ausdruck) ? zweiter Ausdruck : dritter Ausdruck Jeder dieser drei Ausdrücke kann sich wiederum aus mehreren anderen Ausdrücken zusammensetzen, so dass der Überblick schnell verloren gehen kann. Die Ergebniswerte von Ausdrücken mit ternären Operatoren sollten besser nicht in andere Ausdrücke eingesetzt werden, sondern in einer lokalen Variable zwischengespeichert und erst danach weiterverwendet werden: variable ergebnis; ergebnis ← (binärer Ausdruck) ? zweiter Ausdruck : dritter Ausdruck Grundsätzlich ist es wegen der größeren Übersichtlichkeit, Transparenz und einfacheren Modifikation vorzuziehen, für das Ergebnis gar '''keine ternären Operatoren''' zu verwenden, sondern eine '''bedingte Anweisung mit Blockanweisungen''' zu verwenden: variable ergebnis; falls (binärer Ausdruck) dann Block für ergebnis ← zweiter Ausdruck ansonsten Block für ergebnis ← dritter Ausdruck ende ===Blockanweisungen=== '''Blockanweisungen''' sind ein elegantes Mittel, um Programmcode zu strukturieren sowie die Sichtbarkeit von lokalen Variablen zu begrenzen. In vielen Programmiersprachen werden eindeutige Symbole für die Kennzeichnung von Programmblöcken verwendet, wie zum Beispiel geschweifte Klammern: { ... } Die drei Punkte stehen hierbei für beliebige Anweisungsfolgen. In anderen Programmiersprachen werden Schlüsselwörter für die Begrenzung von Blockanweisungen verwendet, wie zum Beispiel "BEGIN" und "END": BEGIN ... END Der Blockinhalt mit Anweisungen -&nbsp;in beiden obenstehenden Beispielen durch die drei aufeinanderfolgenden Punkte symbolisiert&nbsp;-, wird in der Regel eingerückt, um die Lesbarkeit des Quelltextes für die Programmierer zu erleichtern. Blockanweisungen können geschachtelt, dürfen -&nbsp;sofern in der Syntax einer Programmiersprache überhaupt möglich&nbsp;- jedoch nicht verschränkt werden. Dies bedeutet, dass bei geschachtelten Blöcken ein begonnener Block immer erst vollständig abgearbeitet werden muss, bevor der nächstäußere weitergeführt und abgeschlossen werden kann: { ... /* Äußerer Block */ { ... /* Mittlerer Block */ { ... /* Innerer Block */ } ... /* Mittlerer Block */ } ... /* Äußerer Block */ } Verschränkte Blockanweisungen sind unsinnig, unstrukturiert sowie überflüssig und daher in den meisten Programmiersprachen nicht zulässig: BEGIN1 ... BEGIN2 ... ... END1 ... ... END2 Die Implementationen von allen Modulen, Klassen und Unterprogrammen sowie auch von allen Kontrollstrukturen (also Fallunterscheidungen und Schleifen) sollten '''kategorisch mit Blockanweisungen''' strukturiert werden. === Blockanweisungen bei Kontrollstrukturen === [[Datei:lineareAnw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer Anweisungsfolge.]] Auch wenn die Programmiersprache die Verwendung von Blockanweisungen für Anweisungsfolgen in einer Kontrollstruktur nicht vorschreibt, ist es sehr ratsam, die Blockanweisung kategorisch einzusetzen, um Programmierfehler zu vermeiden. Wenn zum Beispiel eine if-Anweisung so wie in den Programmiersprachen C und Java so strukturiert ist, dass genau eine Folgeanweisung ausgeführt wird, wenn die Bedingung wahr ist, kann es ohne Blockanweisungen bei der Programmentwicklung oder -wartung leicht zu übersehenden Programmierfehlern kommen. Im folgenden korrekt formulierten Java-Programmbeispiel wird die Variable v1 auf den Wert null zurückgesetzt, falls sie den gleichen Zahlenwert wie max hat: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; </syntaxhighlight> Soll zudem auch noch eine Textausgabe erfolgen, kann diese zusätzlich programmiert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); </syntaxhighlight> Die unterste Programmierzeile ist zwar eingerückt, was suggeriert, dass sie nur ausgeführt wird, wenn die darüberstehende Bedingung erfüllt ist. Ein Java-Interpreter führt jedoch nur eine einzige unmittelbar nach der Bedingung aufgeführte Anweisung aus, wenn die Bedingung wahr ist. Mit anderen Worten: die Textausgabe erfolgt im obigen Programmbeispiel immer, also insbesondere auch wenn die Variablen v1 und max nicht den gleichen Zahlenwert haben. Im Quelltext sollte das daher besser folgendermaßen formuliert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); </syntaxhighlight> Ähnlich tückisch ist die Tatsache, dass in manchen weniger streng strukturierten Programmiersprachen, auf die Bedingung der if-Anweisung eine beliebige Anweisung folgen darf, die nicht notwendigerweise eine Blockanweisung sein muss, sondern auch eine einzelne Anweisung sein darf, die zum Beispiel mit einem Semikolon abgeschlossen wird und auch eine '''leere Anweisung''' sein kann. Dies führt zu leicht zu übersehenden Programmierfehlern, wie im folgenden Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max); { v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); } </syntaxhighlight> Die Blockanweisung wird immer ausgeführt, obwohl ihre Darstellung mit korrekter Einrückung suggeriert, dass sie nur dann ausgeführt wird, wenn die boolesche Bedingung (v1 == max) erfüllt ist. Dies ist allerdings nicht der Fall, da direkt hinter den runden Klammern der if-Anweisung ein Semikolon steht, welches eine '''leere Anweisung''' implementiert, die bei der Erfüllung der Bedingung ausgeführt wird. All diese Missverständnisse können leicht vermieden werden, indem bei der Programmierung von Kontrollstrukturen '''kategorisch Blockanweisungen''' verwendet werden, selbst wenn die Programmiersprache dies nicht fordert: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) { v1 = 0; } </syntaxhighlight> Beziehungsweise: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) { v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); } else { java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde nicht erreicht."); } </syntaxhighlight> ==== Verschachtelung ==== In noch stärkerem Maße leidet die Verständlichkeit von Quellcode, wenn mehrere Kontrollstrukturen ohne die Verwendung von Blockstrukturen verschachtelt werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long v1, v2, v3; v1 = 3; v2 = 3; v3 = 7; if ((v1 > 0) && (v2 > 0)) if (v1 > v2) v3 = v1 - v2; else v3 = v2 - v1; java.lang.System.out.println ("v3 = " + v3); </syntaxhighlight> Beim Lesen des Quellcodes mit einer solchen "baumelnden" ''else''-Anweisung (englisch: ''dangling else'') kann schnell der Eindruck entstehen, dass sie zur ersten ''if''-Anweisung gehört und das Ergebnis für die Variable ''v3'' 7 bleibt, da ''v1'' und ''v2'' positive Zahlen sind. Tatsächlich wird der Quellcode jedoch so ausgeführt, so dass die Variable ''v3'' den Wert 0 erhält. Um solche Missverständnisse zu vermeiden, ist es -&nbsp;wie oben bereits erwähnt&nbsp;- dringend geboten, Blockanweisungen kategorisch einzusetzen, auch wenn sie durch die Definition der Programmiersprache nicht sowieso vorgeschrieben sind: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long v1, v2, v3; v1 = 3; v2 = 3; v3 = 7; if ((v1 > 0) && (v2 > 0)) { if (v1 > v2) { v3 = v1 - v2; } else { v3 = v2 - v1; } } java.lang.System.out.println ("v3 = " + v3); </syntaxhighlight> ==Wertebereiche== ===Division durch null=== Im Zusammenhang mit dem '''Divisionsoperator''' gibt es in allen Programmiersprachen das Problem, dass der Divisor nicht null werden darf. Die Division durch null kann und sollte kategorisch durch eine geeignete Kontrollstruktur mit dem Vergleichsoperator "<>" verhindert werden, der nur bei Ungleichheit der beiden Operanden den Ergebniswert "wahr" erzeugt: if (divisor <> 0) { quotient ← dividend / divisor } else { /* Ausnahmebehandlung / Fehlermeldung */ } ===Wertebereichsprüfung=== Bei Parametern mit eingeschränktem zulässigen Wertebereich kann eine allgemeine und an allen entsprechenden Stellen verwendbare Funktion programmiert werden, die den gültigen Wertebereich überprüft und einen entsprechenden (häufig zweiwertigen respektive booleschen) Funktionswert zurückgibt, wie zum Beispiel die folgende Funktion "waterIsLiquid ", die überprüft, ob die Wassertemperatur zwischen 0° und 100° Celsius liegt, bevor das spezifische Gewicht des Wassers berechnet werden darf: boolean waterIsLiquid (double temperature) /* temperature in degrees Celsius */ { final long freezingPoint ← 0; final long boilingPoint ← 100; boolean waterIsLiquid ← (temperature > freezingPoint) and (temperature < boilingPoint); return waterIsLiquid; } ... double temperature, density; ... if waterIsLiquid (temperature) { /* function computes an approximation of the density of air-free liquid water in kilograms per cubic metre */ density ← ( 999.83952 + (16.945176 * temperature) - (0.0079870401 * temperature * temperature) - (0.000046170461 * temperature * temperature * temperature) + (0.00000010556302 * temperature * temperature * temperature * temperature) - (0.00000000028054253 * temperature * temperature * temperature * temperature * temperature) ) / ((0.01689785 * temperature) + 1); } else { /* exception handling, because water is not liquid */ } ===Parameterkombinationen=== Es ist wichtig, dass immer alle auftretenden Parameterkombinationen berücksichtigt und vom Programmcode verarbeitet werden, wenn aus diesen Parametern valide berechnete Werte abgeleitet werden sollen. Um zum Beispiel das Argument (also den Phasenwinkel zwischen -180° und +180°) einer komplexwertigen Zahl mit den reellwertigen Komponenten x und y über den Arcustangens ("arctan") zu berechnen, muss geprüft werden, ob der Parameter x gleich null ist, und welche Vorzeichen die Parameter x und y haben: double x double y ... double argument if (x = 0) { if (y > 0) { argument ← 90 } elseif (y < 0) { argument ← -90 } else /* y is equal to 0, too */ { stop /* argument is not defined */ } } else /* x is not equal to 0 */ { argument ← arctan (y / x) if (x < 0) { if (y >= 0) { argument ← argument + 180 } else /* both, x and y are less than 0 */ { argument ← argument - 180 } } } ==Schnittstellen== Schnittstellen definieren die Sichtbarkeits- und Zugriffsregeln zwischen verschiedenen Bestandteilen eines Programms und ermöglichen so die Interaktion zwischen diesen. Dabei ist es keineswegs sinnvoll, alle Bezeichner überall sichtbar zu machen, da dadurch die Übersichtlichkeit und Nachvollziehbarkeit insgesamt drastisch eingeschränkt wird. Dies führt letztlich zu Programmfehlern, da der Programmierer wegen der großen zu berücksichtigenden Datenmenge nicht mehr in der Lage ist, alle Implikationen seiner Arbeit zu überschauen. Alle Eigenschaften (Attribute) und Methoden (Werkzeuge), die zusammengehören (aber auch nur diese), sollen in jeweils einer Einheit zusammengefasst werden, wie zum Beispiel einer Klasse oder einem Modul. Oft wird eine solche Einheit in einer Quelltextdatei zusammengefasst, was sinnvoll ist und die Nachvollziehbarkeit erleichtert. Nur diejenigen Eigenschaften und Methoden, die außerhalb dieser Einheiten benutzt werden sollen oder müssen, dürfen mit einem Modifikator versehen werden, der dies ermöglicht (zum Beispiel "public"). Alle anderen Eigenschaften und Methoden sollten explizit als intern (zum Beispiel "private") deklariert sein. ''packages'' sind wegen der unübersichtlichen Sichtbarkeitsregeln (zum Beispiel durch den Modifikator "protected") als Zwischenebene entbehrlich und eher zu vermeiden. Alternativ können ohne weiteres längere, zusammengesetzte Klassennamen verwendet werden, um die Zugehörigkeit zu einem bestimmten Themenbereich zu kennzeichnen, wie zum Beispiel mit einfachen Bezeichnern: StatisticsMyEvaluation StatisticsMyAssessment Diese Bezeichner sind in der Regel unmittelbar mit den Programmdateien im Dateisystem korreliert. Hierbei sind also keine '''qualifizierten Bezeichner''' auf verschiedene Konstrukte erforderlich, die hier im Beispiel aus mehreren Bezeichnern mit zwischengestellten Punkten zusammengesetzt sind. Links vom Punkt steht der Bezeichner der Programmbibliothek (Modulsammlung, Paket), und rechts vom Punkt steht der Bezeichner für ein Programmbaustein (Modul, Klasse): package statistics statistics.MyEvaluation statistics.MyAssessment ===Importe=== ====Import-Anweisungen==== '''Import-Anweisungen''' werden häufig nicht dazu benutzt anzumelden und anzuzeigen, welche externen Module (respektive Klassen) in einer Quelldatei verwendet werden, sondern werden als Möglichkeit missbraucht, den Quelltext möglichst kurz zu fassen. Nicht: import MyModule ... drawLine () ... Sondern eindeutig mit qualifiziertem Bezeichner: ... MyModule.drawLine () ... Mit diesen qualifizierten Bezeichnern ist es dann auch einfach und eindeutig möglich, gleichnamige Bezeichner, wie zum Beispiel für die Methode ''drawLine'', aus verschiedenen Klassen zu benutzen: ... MyModule.drawLine () YourModule.drawLine () ... Die Erkennbarkeit der Herkunft eines importierten Bezeichners an jeder Stelle des Auftretens in einem Quelltext ist in der Regel von großer Nützlichkeit, insbesondere wenn andere Programmierer den Quelltext nachvollziehen können sollen oder wenn der Quellcode nach längerer Zeit gewartet werden soll. Insbesondere Import-Anweisungen mit Wildcards sind schlecht nachvollziehbar (auch wenn viele Entwicklungssysteme Funktionen für eine gewisse Transparenz bieten), so wie zum Beispiel: import myPackage.* import yourPackage.* drawLine () /* To which package does the method "drawLine" belong? */ Class var ← new Class () /* To which package does the class "Class" belong? */ ====Zyklische Importe==== [[Datei:Zyklischer.Import.png|mini|rechts|hochkant=2|Zyklische Importe durch Aufruf ("call") des Unterprogramms ("procedure") '''sum''' aus der Klasse '''B''' in das Unterprogramm '''add''' der Klasse A sowie Aufruf des Unterprogramms '''add''' aus der Klasse '''A''' in das Unterprogramm '''sum''' der Klasse '''B'''.]] '''Zyklische Importe''' beziehungsweise Zirkelbezüge sind nicht nur unübersichtlich, sondern auch unstrukturiert und können zu Speicherüberläufen führen, da sich Programmteile immer wieder gegenseitig aufrufen, ohne beendet zu werden. Ferner kann die Funktion des übersetzten Programms bei einer Optimierung des Codes von der Reihenfolge der Übersetzung der Quelltexte abhängen. Die Schnittstellen der Klassen und Module können im Allgemeinen weder unabhängig voneinander noch eindeutig überprüft werden. '''Beispiel''': Die beiden Funktionen Funktionen ''add'' aus der Klasse ''A'' und ''sum'' aus der Klasse ''B'' rufen sich endlos gegenseitig auf, um die Summe zweier Zahlenwerte zu berechnen, bis der Speicher überlaufen würde und das Laufzeitsystem die Ausführung deswegen abbricht oder der Speicher überläuft, das Programm unkontrolliert und ohne (nachvollziehbare) Fehlermeldung abstürzt. <div style="clear:both"></div> public class A { public int procedure add (int a, int b) { int result ← B.sum (a, b); return result; } } public class B { public int procedure sum (int x, int y) { int result ← A.add (x, y); return result; } } [[Datei:Circular Reference.svg|mini|rechts|hochkant=1|Variante von Abhängigkeiten zwischen Modulen oder Klassen, in denen die zyklischen Bezüge weniger offensichtlich sind, wenn nur der nächste Nachbar betrachtet wird. Der dunkelrote Pfeil oben rechts zeigt nach unten auf ein bereits vorher definiertes Element, das sich rechts in der Mitte befindet. Die Definition dieses Elements darf bei einem strukturierten Aufbau der Programmteile allerdings nicht von dem Element ober rechts abhängig sein.]] Solche zyklischen Abhängigkeiten können durch Verzweigungen und indirekte Aufrufe wesentlich weniger offensichtlich sein, und sind dann nur sehr schwierig zu erkennen und zu beheben. Sichere Programmiersprachen überprüfen solche zyklischen Zusammenhänge daher und lassen sie nicht zu. In der Regel ist es bei der Anwendung von rekursiven Programmiertechniken mit wohldefinierten Abbruchbedingungen möglich, ohne zyklische Modulabhängigkeiten auszukommen. Ein Übersetzer kann in den Metadaten von Programm-Modulen Zeitstempel verwenden, um bei der Interpretation eines Programmteils herausfinden zu können, ob alle anderen importierten Programmteile bereits vorher gültig übersetzt wurden. <div style="clear:both"></div> ==Nebeneffekte== '''Nebeneffekte''' treten auf, wenn der Programmierer von naheliegenden, jedoch falschen Annahmen ausgeht, die die Programmiersprache betreffen. Solche Nebeneffekte sind unerwünscht und können durch ein strukturiertes Vorgehen oft leicht vermieden werden. ===Durch arithmetischen Überlauf=== Als Indiz für solche Nebeneffekte möge folgendes Beispiel in Java dienen, bei dem die Dezimalzahl 127 (die hexadezimale Repräsentation dieses Zahlenwerts ist durch die acht Ziffern 7F gegeben) um eins erhöht wird: <syntaxhighlight lang="Java"> byte zahl = 127; java.lang.System.out.println ("zahl = " + zahl); zahl++; java.lang.System.out.println ("zahl = " + zahl); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge erzeugt die Ausgabe: :zahl = 127 :zahl = -128 Wenn die größte mit dem Datentyp "byte" darstellbare Zahl 127 mit dem Inkrement-Operator ++ um eins erhöht wird, ergibt sich durch arithmetischen Überlauf als Ergebnis die kleinste darstellbare ganze Zahl 128. Dass solche Nebeneffekte auch in Standard-Bibliotheken versteckt sein können, möge das folgende Beispiel in Java zeigen, bei dem die Dezimalzahl -1 (die hexadezimale Repräsentation dieses Zahlenwerts ist durch die acht Ziffern FFFFFFFF gegeben) mit zwei verschiedenen Unterprogrammen ausgegeben werden soll (Stand 2026): <syntaxhighlight lang="Java"> long zahl = 0xFFFFFFFF; java.lang.System.out.println ("dezimal: " + zahl); java.lang.System.out.print ("hexadezimal: "); java.lang.System.out.printf ("%h\n", zahl); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge erzeugt die Ausgabe: :dezimal: -1 :hexadezimal: 0 Die Methode "printf" für die Ausgabe im hexadezimalen Format (Steuersequenz h%), ruft die statische Methode "formatUnsignedLong0" aus der Klasse "Long" aus dem package "java.lang" im Modul "java.base" der Java-Standardbibliothek auf und gibt den Wert 0 aus, obwohl der korrekte hexadezimale Wert FFFFFFFF lautet. Der Fehler entsteht bei der internen Berechnung, bei der es einen arithmetischen Überlauf gibt, der nicht explizit abgefangen wird. ===Durch Rundung=== Manchmal ist es schwierig zu erkennen, dass das Ergebnis einer Operation nicht dem exakten Ergebnis entspricht, das mathematisch zu erwarten wäre, weil es Rundungsfehler gibt. Gleitkommazahlen können nicht mit beliebig hoher Präzision gespeichert werden, und daher können sich dadurch solche Rundungsfehler auch mit einer völlig unerwarteten Wirkung ergeben. Hier ein Beispiel in der Programmiersprache Java für ein System mit einer Speichertiefe von 64 Bit: <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; java.lang.System.out.println (a - b); </syntaxhighlight> Die Ausgabe lautet nicht "1.1" wie zu erwarten wäre, sondern: :1.1000000000000005 Noch schwieriger ist es, wenn das Kommutativ-, das Distributiv- oder das Assoziativgesetz nicht zu gelten scheinen, wie in diesem Beispiel, bei dem die Variable "b" einmal zur Variable "a" und einmal zur Variable "c" assoziiert ist: <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; double c = 1.1; java.lang.System.out.println ((a - b) - c); java.lang.System.out.println (a - (b + c)); </syntaxhighlight> Mathematisch kommt in beiden Fällen exakt der Wert null heraus, die Ausgabe lautet jedoch: :4.440892098500626E-16 :0.0 Die Wirkung von derartigen Nebeneffekten sind nur sehr schwierig zu beherrschen, und daher sollte beim Vergleichen von Gleitkommawerten die Präzision respektive die Maschinengenauigkeit der gespeicherten Werte berücksichtigt werden. Manche Programmiersprachen stellen hierfür einen Wert für die kleineste relative Genauigkeit von Gleitkommazahlen <math>\epsilon</math> (epsilon) zur Verfügung. Das folgende Beispiel für den Datentyp double mit 64 Bit Speichertiefe nach dem Standard IEEE 754 in der Programmiersprache Java mit einem Wert für <math>\epsilon = 10^{-15}</math> nach der Formel: :<math>\Bigg| {\frac {differenzBerechnet - differenzErwartet} {differenzErwartet}} \Bigg| < \epsilon</math> <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; double differenzBerechnet = a - b; double differenzErwartet = 1.1; boolean gleichheit1 = (differenzBerechnet == differenzErwartet); java.lang.System.out.println (gleichheit1); double epsilon = 1.0E-15; boolean gleichheit2 = java.lang.Math.abs ((differenzBerechnet - differenzErwartet) / differenzErwartet) < epsilon; java.lang.System.out.println (gleichheit2); </syntaxhighlight> Die Ausgabe lautet hier: :false :true ===Durch Reihenfolge=== In einigen Programmiersprachen ist die Reihenfolge der Abarbeitung von kombinierten Ausdrücken nicht explizit definiert und führt daher zu einem solchen Nebeneffekt. Die Anweisungen h ← f (x) + g (x) oder h ← g (x) + f (x) können je nach Compiler zu unterschiedlichen Ergebnissen für die Summe h führen. Die Methodenaufrufe f oder g können nämlich unter Umständen die als Parameter verwendete (lokale) Variable x verändern und somit gegebenenfalls verschiedene Werte für h erzeugen, je nachdem, ob zuerst f&nbsp;(x) oder g&nbsp;(x) ausgewertet wird. In solchen Programmiersprachen sind sogenannte Durchgangsparameter in kombinierten Ausdrücken zu vermeiden. Ferner ist es denkbar, dass durch den ersten Funktionsaufruf globale Variablen oder Instanzen verändert und beim zweiten Funktionsaufruf verwendet werden. Die erwünschte Reihenfolge von Funktionsaufrufen kann leicht durch entsprechende Code-Sequenzen mit sequentiellen Anweisungen erzwungen werden: result_f ← f (x) result_g ← g (x) h ← result_f + result_g Dieses Vorgehen erzeugt darüberhinaus den günstigen Umstand, dass die Zwischenergebnisse in lokalen Variablen gespeichert und somit abgefragt werden können. Diese sind nach einem Programmabbruch dann auch mit einem Post-Mortem-Debugger analysierbar. ===Durch Kombination von Operatoren=== Manche Programmiersprachen -&nbsp;insbesondere in der C-Sprachfamilie&nbsp;- erlauben die Kombination von Zuweisungsoperatoren und arithmetischen Operatoren. Zuweisungsoperator: = Arithmetische Operatoren: + - * / Kombinierte Operatoren: += -= *= /= Die kombinierten Operatoren sollen für die scheinbar äquivalenten Formulierungen mit getrenntem Zuweisungsoperator und arithmetischem Operator stehen: a += 1; steht für a = a + 1; a -= 1; steht für a = a - 1; a *= 1; steht für a = a * 1; a /= 1; steht für a = a / 1; Diese Schreibweisen sollen wohl vor allem ein wenig Schreibarbeit bei der Programmierung ersparen, können aber zu schwer zu identifizierenden Programmierfehlern führen, wie das folgende Java-Beispiel verdeutlichen soll: <syntaxhighlight lang="Java"> long a = 1; double b = 1.5; a *= b; java.lang.System.out.println (a); a += b; java.lang.System.out.println (a); a -= b; java.lang.System.out.println (a); </syntaxhighlight> Dieser Code erzeugt die Ausgabe: 1 2 0 Die nur scheinbar äquivalenten Formulierungen für die kombinierten Operatoren <syntaxhighlight lang="Java"> a = a * b; a = a + b; a = a - b; </syntaxhighlight> werden in Java wegen der mangelnden Zuweisungskompatibilität der arithmetischen Ausdrücke hinter dem Zuweisungsoperator vom Datentyp "double" zum Datentyp "long" der Variable "a" gar nicht übersetzt. Die tatsächlichen äquivalenten Formulierungen für die kombinierten Operatoren lauten nämlich wie folgt: <syntaxhighlight lang="Java"> a = (long) (a * b); a = (long) (a + b); a = (long) (a - b); </syntaxhighlight> Durch die impliziten Datentypumwandlungen erklären sich auch die falschen numerischen und gegebenenfalls nicht erwarteten ganzzahligen Ergebnisse. Wenn bei der Programmierung diese Tatsachen nicht bewusst sind oder übersehen werden, ergeben sich numerische Fehler in den arithmetischen Berechnungen. Dies kann einfach vermieden werden, indem kombinierte Operatoren zugunsten der expliziten sowie transparenten Formulierungen mit separaten Operatoren nicht verwendet werden. === Durch Sprachdefinition === Als Beispiel dient hier die scheinbar falsche Ausgabe eines Java-Programms, weil die Definition der Programmiersprache der Intuition widerspricht: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long i = 01234567; java.lang.System.out.println (i); </syntaxhighlight> Dieser Code erzeugt die Ausgabe: 342391 Das Literal "01234567" wird trotz der ausschließlichen Verwendung von gültigen dezimalen Ziffern nicht als die Dezimalzahl 1234567<sub>10</sub> interpretiert und ausgegeben, sondern entsprechend der Definition der Programmiersprache Java wegen der einleitenden Null als Oktalzahl zur Basis Acht, also als 1234567<sub>8</sub> = 342391<sub>10</sub>. === Durch Überladen === Eine Überladung liegt vor, wenn eine Operator oder ein Bezeichner mehrfach in verschiedenen Bedeutungen auftritt, die leicht zu Verwechslungen führen können. Streng strukturierte Programmiersprachen erlauben das polymorphe Überladen nicht, wenn es dadurch zu Programmierfehlern kommen kann. Das '''Überladen''' muss in der objektorientierten Programmierung vom '''Überschreiben''' unterschieden werden, wobei auch überschriebene Methoden in weniger strukturierten Programmiersprachen überladen werden dürfen, was ebenfalls zu unübersichtlichem Programmcode und schnell zu übersehenden Programmierfehlern führen kann. Siehe hierzu unten unter [[Strukturierte Programmierung#Überladung|Überladung]]. ==== Überladung von Divisionsoperatoren ==== Die Divisionsoperatoren sind in vielen Programmiersprachen leider überladen, wenn nämlich formal keine Unterscheidung zwischen Division mit ganzen Zahlen (Datentyp zum Beispiel "long" oder "int") und Gleitkommazahlen (Datentyp zum Beispiel "real" oder "double") gemacht wird. In diesen Fällen muss der Divisionsoperator sehr aufmerksam verwendet werden: int i ← 2; int j ← 1; real k ← j / i; /* Ueberladener Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden */ Verwendet die Programmiersprache im arithmetischen Ausdruck die ganzzahlige Division, hat dies zur Folge, dass die Variable k den Wert '''0''' erhält. Verwendet die Programmiersprache stattdessen die reelwertige Division, bekommt die Variable k den Wert 0,5 zugewiesen. Einige Programmiersprachen unterscheiden daher sinnvollerweise explizit zwischen einem Operator für die ganzzahlige Division ("div" oder "DIV") und einem Operator für die Gleitkommadivision ("/"). <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) i, j : integer; k : real; i := 2; j := 1; k := j / i; (* Gleitkommazahliger Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden *) </syntaxhighlight> In der letzten Anweisung wird der Variablen "k" der Zahlenwert der reellwertigen Division '''0,5''' zugewiesen. <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) i, j, k : integer; i := 2; j := 1; k := j div i; (* Ganzzahliger Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden *) </syntaxhighlight> In der letzten Anweisung wird der Variablen "k" der Zahlenwert der ganzzahligen Division '''0''' zugewiesen. Bei Programmiersprachen, die die Unterscheidung der Divisionsoperatoren nicht unterstützen, ist die Verwendung der expliziten und zuweisungskompatiblen Datentypumwandlung (englisch: ''type cast'') nicht nur sinnvoll, sondern sogar zwingend erforderlich: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long i = 2; long j = 1; double k = ((double) j) / ((double) i) /* Ueberladener Divisionsoperator mit zwei gleitkommazahligen Operanden */ </syntaxhighlight> In der Regel ist es für eine Gleitkommadivision hierbei ausreichend, wenn nur einer der beiden Operanden, also nur der Nenner (Dividend) oder der nur Zähler (Divisor) der Division, eine Gleitkommazahl darstellt. Entsprechende Überlegungen gelten auch für alle '''Modulo-Operatoren''' (wie zum Beispiel "%", "mod" oder "MOD"). ==== Überladung von Variablen ==== Oft ist es in einer Programmiersprache erlaubt, dieselben Bezeichner für Variablen mit verschiedenen Sichtbarkeitsbereichen zu verwenden. Dies kann sehr einfach zur Verwechslung dieser Variablen führen, wie im folgenden Java-Beispiel verdeutlicht wird, wo es sowohl eine globale Klassenvariable (Sichtbarkeit in der Klasse "OverloadedVariables") als auch eine lokale Variable (Sichtbarkeit in der Methode "main") mit dem Namen "bezeichner" gibt:<syntaxhighlight lang="java"> public class OverloadedVariables { // globale Klassenvariable "bezeichner" private static long bezeichner = 1; // Hauptprogramm (Methode "main") public static void main (java.lang.String [] argumente) { // lokale Variable "bezeichner" long bezeichner = 2; // Ausgabe der globalen Klassenvariable "bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert der globalen Variable = " + OverloadedVariables.bezeichner); // Ausgabe der lokalen Variable aus der Methode "main" java.lang.System.out.println ("Wert der lokalen Variable = " + bezeichner); } } </syntaxhighlight>Falls die Klassenvariable referenziert werden soll, muss sie in Java qualifiziert bezeichnet werden, indem der Name der Klasse vorangestellt wird. ==== Überladung von Methoden ==== Viele Programmiersprachen erlauben die Deklaration von mehreren Methoden mit gleichem Bezeichner, die sich in der Anzahl oder den Datentypen ihrer Parameter unterscheiden. Das folgende Java-Beispiel mit zwei Methoden demselben Namens, von denen die mit der passenden Datentyp des Parameters "zahl" aufgerufen wird, verdeutlicht dies:<syntaxhighlight lang="java"> private static long kehrwert (long zahl) { long kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } private static double kehrwert (double zahl) { double kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } public static void main (java.lang.String [] argumente) { double kehrwert1 = kehrwert (2); double kehrwert2 = kehrwert (2.0); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 1 = " + kehrwert1); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 2 = " + kehrwert2); } </syntaxhighlight>Die Ausgabe ergibt zwei verschiedene Ergebnisse für den Kehrwert der Zahl Zwei:<syntaxhighlight> Kehrwert 1 = 0.0 Kehrwert 2 = 0.5 </syntaxhighlight>Durch die kategorische Verwendung verschiedener Bezeichner für verschiedene Methoden kann die Verwechslungsgefahr leicht und ohne Probleme verhindert werden, und die Erzeugung der beiden verschiedenen Ergebnisse wird transparent:<syntaxhighlight lang="java">private static long kehrwertLong (long zahl) { long kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } private static double kehrwertDouble (double zahl) { double kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } public static void main (java.lang.String [] argumente) { double kehrwert1 = kehrwertLong (2); double kehrwert2 = kehrwertDouble (2.0); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 1 = " + kehrwert1); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 2 = " + kehrwert2); }</syntaxhighlight> ===Durch falsche Spezifikation=== In Programmiersprachen, die dynamische Variablen ausschließlich als Zeiger behandeln (wie zum Beispiel C oder C++), kann trotz exakter Übereinstimmung der referenzierten Datentypen bei einer Zuweisung des Ergebnisses einer Funktion ein Zeiger auf den lokalen Stapelspeicher der Funktion zurückgegeben werden, der nur während der Ausführung der Funktion, aber nicht mehr nach dem Rücksprung aus der Funktion gültig ist. Während der weiteren Programmausführung kann der Speicherbereich jederzeit überschrieben werden, ohne dass der Programmierer dies wünscht oder absehen kann. Im folgenden Beispiel in der Programmiersprache C wird innerhalb der Funktion ''function'' der Wert 5 dem Datenfeld ''a'' der Variablen ''data'' zwar korrekt zugewiesen, kann aber nach dem Rücksprung aus der Funktion im Stapelspeicher jederzeit unbeabsichtigt verändert werden, wie zum Beispiel beim erneuten Aufruf einer Funktion oder anderen Operationen, die den Stapelspeicher verwenden: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ struct DataType { int a }; // Definition des Datentyps ''DataType'' mit einem ganzzahligen Datenfeld ''a'' // Deklaration der Funktion ''function'' mit einem Zeiger auf eine Variable vom Datentyp ''DataType'' als Speicheradresse für den Rückgabewert DataType* function () { DataType data; // Deklaration der lokalen Variable ''data'' vom Datentyp ''DataType'' data.a = 5; // Zuweisung des Wertes ''5'' zum Datenfeld ''a'' der Variablen ''data'' return &data; // Rückgabe der lokalen, temporären Speicheradresse von ''data'', die nach der Beendigung des Funktionsaufrufs gar nicht mehr gültig ist. } </syntaxhighlight> Der Programmierer muss zur Abwendung dieses Übels darauf achten, dass Rückgabewerte durch Allokation einer entsprechenden Variablen in einem dauerhaft verfügbaren dynamischen Speicherbereich (also zum Beispiel im Heap-Speicher) auch nach dem Aufruf der Funktion noch gültig und korrekt aufrufbar sind. Bei der Verwendung von vollständig typsicheren Programmiersprachen ist die Rückgabe von lokal definierten Adressen nicht zulässig, und die Übersetzung des entsprechenden Codes wird vom Complier von vornherein verweigert, so dass es gar nicht zu einem solchen Nebeneffekt kommen kann. Alternativ kann der Datentyp ''DataType'' nicht direkt als Verbund, sondern als Zeiger auf einen entsprechenden Verbund deklariert werden. In diesem Fall muss in der Funktion zunächst eine Instanz erzeugt werden (beispielsweise mit dem Kommando ''new'' oder ''allocate''). Diese Instanz ist dann nicht mehr im lokalen Stapelspeicher (Stack) der Funktion gespeichert, sondern es kann im dynamischen Speicherbereich (Heap) global - also auch außerhalb der Funktion und nach Beendigung des Funktionsaufrufs - darauf zugegriffen werden. ===Durch Verwechslung von Speicherinhalt und Speicheradresse=== Die Werte von Variablen werden unter einer bestimmten Speicheradresse eines Computers gespeichert, wo vom Laufzeitsystem die für den entsprechenden Datentyp erforderliche Datenmenge der entsprechende Speicherplatz reserviert und bereitgehalten wird. Diese Speicheradresse wird in modernen Systemen in der Regel automatisch verwaltet, so dass sie im Allgemeinen gar nicht bekannt ist und auch gar nicht bekannt sein muss. Daraus ergeben sich unter Umständen jedoch wichtige Implikationen. In manchen Programmiersprachen, wie zum Beispiel Java, ist nämlich nicht unmittelbar erkennbar, ob bei bestimmten Operationen der Speicherinhalt oder die Speicheradresse einer Variablen verwendet wird. So werden bei bei logischen Vergleichen mit Operanden, die aus Variablen mit einfachen Datentypen bestehen (etwa boolean, long oder double), die unter der Speicheradresse gespeicherten '''Werte''' verglichen, also die Inhalte. Bei Variablen mit komplexen Datentypen (beispielsweise eine abzählbare Liste von Daten eines Datentyps (array), ein Verbund (record / struct), der sich aus verschiedenen Datentypen zusammensetzen kann, oder allgemein in der objektorientierten Programmierung die Instanz eines Objekts) werden jedoch gar nicht unbedingt die gespeicherten Inhalte, sondern lediglich die Speicheradressen der beiden Operanden verglichen. Hier wird also beim Gleichheitsoperator nur geprüft, ob es sich um dasselbe Speicherobjekt (dieselbe Instanz) handelt, und nicht, ob zwei verschiedene Speicherobjekte den gleichen Inhalt haben. Bei strenger Strukturierung wird (hoffentlich schon vor der Ausführung bereits im Quelltext) zusätzlich geprüft, ob die zu vergleichenden komplexen Datentypen überhaupt zuweisungskompatibel und somit sinnvoll vergleichbar sind. Unter welchen Umständen welche Speicheradressen für gleiche Speicherinhalte verwendet werden, ist insbesondere für unerfahrene Programmierer keineswegs immer naheliegend oder leicht nachzuvollziehen. Dies wird im Folgenden anhand des logischen Vergleichs auf Gleichheit von Zeichenketten (Java-Klasse java.lang.String) in der Programmiersprache Java verdeutlicht. Die Wirkungsweise des Gleichheitsoperators == wird der Wirkungsweise des Funktionsaufrufs der Methode '''java.lang.String.equals''' gegenübergestellt, die einen booleschen Rückgabewert hat. <syntaxhighlight lang="Java"> boolean vergleich; // Die symbolische Konstante für die Zeichenkette "abc" wird in einer Variablen mit dem Bezeichner text verwaltet // Die Zeichenkette "abc" wird von Java unter der Speicheradresse #MEM1 abgelegt // Die Variable text und die symbolische konstante Zeichenkette "abc" haben dieselbe Speicheradresse #MEM1 java.lang.String text = "abc"; // Vergleich der Speicheradresse #MEM1 mit der Speicheradresse #MEM1 vergleich = ("abc" == "abc"); java.lang.System.out.println ("1. Vergleich \"abc\" == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich der Speicheradresse #MEM1 mit der Speicheradresse #MEM1 !!! vergleich = (text == "abc"); java.lang.System.out.println ("2. Vergleich text == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich des Inhalts bei der Speicheradresse #MEM1 mit dem Inhalt bei der Speicheradresse #MEM1 vergleich = text.equals ("abc"); java.lang.System.out.println ("3. Vergleich text.equals (\"abc\"): " + vergleich); // Neue Instanz fuer die bereits oben deklarierte Zeichenkette text // Die neue Instanz wird mit dem new-Operator unter der Speicheradresse #MEM2 erzeugt // Der Speicherinhalt wird mit dem Konstruktor java.lang.String und dem Wert "abc" initialisiert // Die Variable text bekommt durch die Zuweisung die Speicheradresse #MEM2 text = new java.lang.String ("abc"); // Vergleich der Speicheradresse #MEM2 mit der Speicheradresse #MEM1 !!! vergleich = (text == "abc"); java.lang.System.out.println ("4. Vergleich text == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich des Inhalts bei der Speicheradresse #MEM2 mit dem Inhalt bei der Speicheradresse #MEM1 vergleich = text.equals ("abc"); java.lang.System.out.println ("5. Vergleich text.equals (\"abc\"): " + vergleich); </syntaxhighlight> Die Textausgabe dieses Programms sieht wie folgt aus: <syntaxhighlight lang="text"> 1. Vergleich "abc" == "abc": true 2. Vergleich text == "abc": true 3. Vergleich text.equals ("abc"): true 4. Vergleich text == "abc": false 5. Vergleich text.equals ("abc"): true </syntaxhighlight> Symbolisch konstante Zeichenketten, wie zum Beispiel der Ausdruck "abc", werden unter einer verdeckten Speicheradresse abgelegt und von Java für gleichlautende Ausdrücke automatisch wiederverwendet. Wird jedoch mit dem new-Operator eine Instanz eines Objekts erzeugt, so bekommt diese unabhängig davon, welcher Inhalt dort gespeichert wird, stets eine andere neue Speicheradresse zugeordnet. Für den Vergleich des Inhalts von Zeichenketten auf Gleichheit ist in Java also immer die generische typengebundene Methode "equals'' zu verwenden. Diese typengebundene Methode "equals" gibt es auch in vielen anderen Java-Klassen, um den Inhalt der entsprechenden Objektinstanzen auf Gleichheit vergleichen zu können. ==Strukturierte objektorientierte Programmierung== ===Vermeidung von Codewiederholung durch Vererbung=== Die Vermeidung von Codewiederholung durch Vererbung kann beispielsweise an den beiden graphischen Objekten '''Kreis''' und '''Dreieck''' deutlich gemacht werden. Diese beiden Objekte können unabhängig voneinander als Datentyp modelliert werden, wobei ihre gemeinsamen Eigenschaften '''Farbe''' und '''Strichstärke''', sowie die jeweilige Methode zum '''Zeichnen''' beide Male unabhängig behandelt werden (dies kann eindeutig durch '''Hat'''-Beziehungen ausgedrückt werden: ein Kreis oder ein Dreieck '''hat''' eine Farbe, eine Strickstärke sowie eine Methode zum Zeichnen), was eine Codewiederholung darstellt. Der '''Kreis''' hat zusätzlich das Attribut '''Radius''', und das '''Dreieck''' hat zusätzlich die drei Attribute '''SeiteA''', '''SeiteB''' und '''SeiteC''': Kreis hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen, Radius Dreieck hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen, SeiteA, SeiteB, SeiteC Mithilfe von Vererbung kann die Codewiederholung vermieden werden, indem die Attribute '''Farbe''' und '''Strichstärke''', sowie die Methode zum '''Zeichnen''' nur einmal mithilfe des abstrakten Objekts '''GraphischesObjekt''' deklariert werden. Die konkreten Objekte '''Kreis''' und '''Dreieck''' erben alle gemeinsamen Eigenschaften und Methoden (respektive typengebundenen Prozeduren) von '''GraphischesObjekt''' (dies kann eindeutig durch '''Ist'''-Beziehungen ausgedrückt werden: ein Kreis '''ist''' ein GraphischesObjekt, und ein Dreieck '''ist''' ein GraphischesObjekt) und werden nur durch die jeweils fehlenden Attribute ergänzt: GraphischesObjekt hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen Kreis ist GraphischesObjekt, hat zusätzlich: Radius Dreieck ist GraphischesObjekt, hat zusätzlich: SeiteA, SeiteB, SeiteC ===Überladung=== Das '''Überladen''' von Methoden, Konstruktoren oder Variablen ist auch bei objektorientierter Programmierung überflüssig, erschwert die Nachvollziehbarkeit vom Quellcode und birgt die Gefahr von Programmierfehlern, die unter Umständen erst lange nach der Entwicklung der Software bei deren Wartung entstehen. Das folgende Beispiel verdeutlicht einen leicht zu übersehenden Programmierfehler durch die Veränderung bei den überladenen Funktionen während der Programmentwicklung oder Programmwartung: double quotient (double a, double b) { return a / b; /* Gleitkommazahlige Division */ } long i ← 1; long j ← 2; double q ← quotient (i, j); /* q ist 0,5 da die gleitkommazahlige Definition der Funktion 'quotient' verwendet wird */ Wird die Funktion 'quotient' später mit einer ganzzahligen Variante überladen, ergibt sich beim bestehenden Aufruf der Funktion unbeabsichtigt ein anderes Ergebnis für die Variable 'q': double quotient (long a, long b) { return a DIV b; /* Ganzzahlige Division */ } double quotient (double a, double b) { return a / b; /* Gleitkommazahlige Division */ } long i ← 1; long j ← 2; double q ← quotient (i, j); /* q ist 0 da die ganzzahlige Definition der Funktion 'quotient' verwendet wird */ Noch unübersichtlicher wird die Lage, wenn zusätzlich auch noch Überladungen mit gemischten Datentypen für die Funktionsparameter definiert werden: double quotient (long a, long b) double quotient (double a, long b) double quotient (long a, double b) double quotient (double a, double b) Deswegen werden Methoden oder Attribute besser nicht überladen, auch nicht, wenn die Programmiersprache dies zulässt. Auch jede Klasse bekommt daher maximal einen einzigen '''Konstruktor''', der alle erforderlichen Parameter zur Initialisierung der Instanzvariablen enthält. Als günstige Nebeneffekte stellen sich kürzere Übersetzungszeiten ein. Wenn die ursprünglichen Deklarationen in der Basisklasse oder einer der von ihr erbenden Klassen überladen werden, indem zum Beispiel weitere gleichnamige Methoden mit abweichenden Parametern definiert werden, dann kann es zu verändertem Verhalten von Software kommen. Ohne dass die Anwendung selbst geändert wurde, kann es allein durch die Aktualisierung einer verwendeten Klasse zu völlig anderen Rechenergebnissen kommen, weil automatisch eine andere, neu überladene Methode aufgerufen wird, ohne dass dies im Quelltext des Anwendungsprogramms sichtbar wird. Die Folge können schwerwiegende Programmierfehler sein, die schwierig zu analysieren sind. Als ein Beispiel diene hier die Methode java.lang.Math.ulp zur Bestimmung der "'''u'''nits in the '''l'''ast '''p'''lace" ("Einheiten in der letzten Stelle"), die in der Klasse java.lang.Math aus historischen Gründen mit zwei Parametern deklariert und somit überladen ist: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Math; { public static double ulp​ (double d) public static float ulp​ (float f) } </syntaxhighlight> Der folgende Java-Code <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ double zahl; zahl = java.lang.Math.ulp (1L); // Datentyp long java.lang.System.out.println (zahl); zahl = java.lang.Math.ulp (1F); // Datentyp float java.lang.System.out.println (zahl); zahl = java.lang.Math.ulp (1D); // Datentyp double java.lang.System.out.println (zahl); </syntaxhighlight> erzeugt folgende Ausgabe, da die ganze Zahl Eins mit dem Datentyp long (64 Bit) in der Programmiersprache Java implizit offensichtlich nicht in den Datentyp double (64 Bit), sondern in den Datentyp float (32 Bit) umgewandelt wird, und somit die mit dem Parameter des Datentyps float deklarierte Methode aufgerufen wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ 1.1920928955078125E-7 1.1920928955078125E-7 2.220446049250313E-16 </syntaxhighlight> Falls bei einer neueren Version der Klasse java.lang.Math die Methode ulp mit einem Parameter des Datentyps long überladen würde, wäre das Ergebnis mit dem ganzzahligen Parameter des Werts "1L" (long) nicht mehr vorhersagbar, obwohl der oben angegebene Methodenaufruf sich formal gar nicht geändert hätte. <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Math; { public static double ulp ​(double d) public static float ulp​ (float f) public static double ulp ​(long l) } </syntaxhighlight> Das Ergebnis des Aufrufs <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ double zahl = java.lang.Math.ulp (1L); java.lang.System.out.println (zahl); </syntaxhighlight> würde dann allein von der tatsächlichen Implementierung der neuen überladenen Methode mit dem Parameter des Datentyps long abhängen, die mit den alten beiden ulp-Methoden nichts mehr zu tun hat, außer, dass sie den gleichen Namen hat. ===Überschreibung=== Das '''Überschreiben''' von geerbten Methoden oder Konstruktoren ist etwas völlig anderes als das Überladen und kann sehr sinnvoll sein. Beim Überschreiben muss die Signatur der Methode (oder des Konstruktors) unter strikter Beachtung der Zuweisungskompatibilität, der Anzahl und der Reihenfolge aller Parameter sowie der Rückgabewerte berücksichtigt werden. Wenn die Programmiersprache dies nicht automatisch unterstützt, sind wenigstens entsprechend aufwendige Maßnahmen im Quelltext sicherzustellen, wie zum Beispiel explizite Typenprüfungen oder hinreichend ausführliche Hinweise in Kommentaren. Wenn Methoden oder Konstruktoren einer Basisklasse von der überschreibenden Klasse aufgerufen werden (englisch ''super call'') kann es zum ''Fragile Base Class Problem'' (zu Deutsch ''Problem der anfälligen Basisklasse'') kommen, da bei der Implementierung der Basisklasse die möglichen Auswirkungen in den später implementierten, überschreibenden Klassen nicht berücksichtigt werden konnten. Zur Abwendung dieser Gefahr sind ein besonders sorgfältiger und strukturierter Programmierstil sowie eine lückenlose Dokumentation des Quelltextes sehr hilfreich. Das fehlerfreie und robuste Überschreiben von Klassen beziehungsweise die Vererbung von implementierten Klassen erfordern eine hohe Fähigkeit zum abstrakten Denken und eine umfangreiche Programmiererfahrung. ===Mehrfachvererbung=== Durch [[w:Mehrfachvererbung|Mehrfachvererbung]], also das Erben von Methoden und Instanzvariablen aus mehreren Basisklassen, führt zu komplexen, und schwierig zu durchschauenden Abhängigkeiten, die im Rahmen des [[w:Diamond-Problem|Diamond-Problems]] sogar zu unerwünschten Mehrdeutigkeiten führen kann. Die Vererbung aus zwei Basisklassen kann bei Bedarf ohne weiteres durch die Verwendung von [[w:Zwillingsklasse|Zwillingsklassen]] vermieden werden, was den Programmieraufwand ein wenig erhöht, aber dafür solche Mehrdeutigkeiten verhindert und außerdem die Übersetzungszeiten der Quelltexte reduziert. In der Programmiersprache Java ist es zum Beispiel möglich, mehrere Basisklassen zu erben. Dabei ist zwar nur eine konkrete Vererbung aus einer Basisklasse (in Java: class) zulässig, aber zusätzlich dürfen noch beliebig viele weitere Basisklassen (in Java: interface) abstrakt geerbt werden. Dabei werden alle Attribute und Methoden aller Basisklassen auf die erbende Klasse übertragen. Auch die konkret vererbte Basisklasse kann wiederum selber mehrere abstrakte Basisklassen implementieren. Falls es in mehreren Basisklassen gleichlautende öffentliche Bezeichner gibt, kommt es unweigerlich zu Konflikten. Es ist in der Implementierung insbesondere bei fehlenden entsprechenden Kommentaren nicht ohne Weiteres erkennbar, zu welchen Basisklassen die zu überschreibenden Instanzvariablen oder Methoden gehören. <syntaxhighlight lang="Java"> /** * Die Klasse Mehrfachvererbung erbt Attribute und Methoden aus drei Basisklassen: * Sie ist eine Instanz der Klasse (class = konkrete Klasse) javax.swing.JFrame. * Sie implementiert die Schnittstelle (interface = abstrakte Klasse) java.awt.event.KeyListener. * Sie implementiert die Schnittstelle (interface = abstrakte Klasse) java.awt.event.ActionListener. */ public class Mehrfachvererbung extends javax.swing.JFrame implements java.awt.event.KeyListener, java.awt.event.ActionListener { /** * Konstante serialVersionUID aus der Basisklasse java.io.Serialization fuer die Serialisation, * die in der Klasse javax.swing.JFrame implementiert ist */ private final static long serialVersionUID = 1L; /** * Instanzvariable fuer den zuletzt von einer Instanz der Klasse javax.swing.JFrame gesendeten Tastaturcode */ private int keyCode; /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Speichert den Tastaturcode der zuletzt betaetigten Taste fuer eine Instanz * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyPressed (java.awt.event.KeyEvent event) { this.keyCode = event.getKeyCode (); } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Ungenutzt * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyReleased(java.awt.event.KeyEvent event) { } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Ungenutzt * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyTyped (java.awt.event.KeyEvent event) { } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der vererbten Klasse java.awt.event.ActionListener * Der Inhalt einer Instanz der Klasse javax.swing.JFrame wird erneut dargestellt, * wenn die Eingabetaste (Enter) betaetigt wurde. * @param event: aufgetretenes Aktionsereignis aus der Klasse java.awt.event.ActionEvent */ @Override public void actionPerformed (java.awt.event.ActionEvent event) { if (this.keyCode == java.awt.event.KeyEvent.VK_ENTER) { this.repaint (); } } } </syntaxhighlight> ==Nachwort== Ein sehr häufig auftretender „Programmierfehler“ - wiederum insbesondere bei Anfängern - ist das Unterlassen der Herstellung von Sicherungskopien der Quelltexte. Noch besser ist eventuell sogar eine Versionierung der Quelldateien, damit gegebenenfalls auf beliebige ältere Versionen zurückgegriffen werden kann. Die Auswirkungen dieses Fehlers sind hinreichend naheliegend, so dass hier nicht weiter darauf eingegangen werden muss. Sollte der Leser nach der Lektüre dieser Beiträge zu dem verständlichen und naheliegenden Schluss gekommen sein, dass die Programmiersprachen C oder C++ ziemlich schlecht strukturiert sind, möge er sich auch einmal andere Programmiersprachen näher ansehen, wie zum Beispiel C#, Component Pascal oder auch Java. Mit der Beherzigung der Vorschläge aus diesem Buch möge es dem Leser in seinem Programmier-Team in jeder Programmiersprache gelingen, in kürzerer Entwicklungszeit besser strukturierte und funktionierende Programme zu schreiben. ===Vergleich=== In der folgenden Tabelle werde einige imperative, objektorientierte Programmiersprachen hinsichtlich ihrer Strukturiertheit verglichen: {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" !Veröffentlichungsdatum!!1985!!1994!!1995!!2001 |- !Programmiersprache!!C++!!Component<br/>Pascal!!Java!!C# |- | style="text-align:left"| Vollständig strukturierte Syntax || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Datentypsicherheit bei Basistypen || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Datentypsicherheit bei komplexen Datentypen || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Modulsicherheit || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Keine zyklischen Importe || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Keine mehrfache Schnittstellenvererbung || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Keine mehrfache Implementationsvererbung || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |} ==Literatur== * Niklaus Wirth: ** ''Programming in Modula 2'', Springer, 3. Auflage, 1985, ISBN 3-540-15078-1 ** Mit Martin Reiser: ''Programming in Oberon – Steps beyond Pascal and Modula'', Addison-Wesley,1992, ISBN 0-201-56543-9 ** ''Algorithmen und Datenstrukturen mit Modula - 2'', Teubner Leitfäden der Informatik, 5. Auflage, Teubner, Stuttgart, 1996, ISBN 9783519122609 * Herbert Schildt: ''Professionelles Modula-2'', McGraw-Hill, Hamburg, 1988, ISBN 3-89028-113-3 * Lászlo Böszörmény, Jürg Gutknecht, Gustav Pomberger: ''The School of Niklaus Wirth – The Art of Simplicity'', dpunkt, Heidelberg, 2000, ISBN 3-932588-85-1 * Hanspeter Mössenböck: ** ''Objektorientierte Programmierung in Oberon-2'', Springer, 1998, ISBN 9783540646495 ** ''Sprechen Sie Java?: Eine Einführung in das systematische Programmieren'', dpunkt, Heidelberg, 2005, ISBN 9783898643627 ** ''Kompaktkurs C# 4.0'', dpunkt, Heidelberg, 2009, ISBN 9783898646451 ==Weblinks== *{{w|Niklaus Wirth}}: **Interessantes Interview: [http://www.simple-talk.com/opinion/geek-of-the-week/niklaus-wirth-geek-of-the-week/ Geek of the Week] vom 2. Juli 2009 **Ein noch interessanteres Interview (2009): [http://www.youtube.com/watch?v=wrGytM2YTQY An Interview with Niklaus Emil Wirth, Part 3] *{{w|Frederick P. Brooks}}: [[w:en:The_Mythical_Man-Month|The Mythical Man-Month]] *{{w|Benutzer:Bautsch|Markus Bautsch}}: [[:en:User:Bautsch/Capsula|Draft of the graphical programming language '''Capsula''']] (Wikibooks) == Einzelnachweise == <references></references> ==Zusammenfassung des Projekts== {{Vorlage:StatusBuch|10}} * '''Zielgruppe:''' Programmierer, Software-Entwickler, Informatik-Lehrende * '''Lernziele:''' Vermeidung von Fehlern, die leicht und unbemerkt zur unstrukturierten Programmierung führen können. Schnelle und sichere Erstellung leicht zu wartender Software. * '''Buchpatenschaft/Ansprechperson:''' [[Benutzer:Bautsch]] * '''Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?''' Ja, sehr gerne. Korrekturen von offensichtlichen Fehlern direkt im Text; Inhaltliches bitte per Diskussion. * '''Richtlinien für Co-Autoren:''' Wikimedia-like. [[Kategorie:Buch]] [[Kategorie:Studium]] aldwpc57d7jo3v6f9376l8e34a1s86z 1093242 1093240 2026-11-03T09:19:15Z Bautsch 35687 /* Sichtbarkeiten */ Zusatzbeispiel 1093242 wikitext text/x-wiki {{Regal | ort=Programmierung}} [[Datei:Programmierung.Java.Julia-Menge.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des mit Tastatursteuerung interaktiven Java-Programms [[Das Apfelmännchen/ FraktaleMengeAusgabe|FraktaleMengeAusgabe]] zur Berechnung und Darstellung von Julia-Mengen oder der Mandelbrot-Menge. Siehe auch '''Wikibook [[Das Apfelmännchen]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.Maze.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms [[Rekursive Labyrinthe/ MazeGraphs|Maze]] zur rekursiven Erstellung und Darstellung von Labyrinthen. Siehe auch '''Wikibook [[Rekursive Labyrinthe]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.SimForestFrame.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms [[Waldbrandsimulation/ SimForestFrame|SimForestFrame]] zur Simulation und Darstellung von sich ausbreitenden Waldbränden. Siehe auch '''Wikibook [[Waldbrandsimulation]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.Campingplatzraetsel.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des mit Maussteuerung interaktiven Java-Programms [[Campingplatzrätsel/ CampingplatzGraphs|CampingplatzGraphs]] zur Erstellung und Darstellung von Campingplatzrätseln. Siehe auch '''Wikibook [[Campingplatzrätsel]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.GameOfLife.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms "GameOfLife" zur Anzeige von Conways Spiel des Lebens. Siehe auch '''Wikibook [[Game of Life]]'''.]] ==Einleitung== Das Buch '''Strukturierte Programmierung''' ist kein Lehrbuch zum Erlernen einer Programmiersprache, sondern soll als kleiner Leitfaden dazu dienen, besser strukturierte Programme erstellen zu können, selbst wenn die eingesetzten Programmiersprachen die strukturierte Programmierung weniger stark unterstützen. <big>Warum lohnt es sich überhaupt, strukturiert zu programmieren&nbsp;?</big> Es gibt eine ganze Reihe von naheliegenden Gründen, aber auch einige Vorteile, die nicht auf der Hand liegen oder jedermann sofort ersichtlich sind. Anfänger und Fortgeschrittene profitieren gleichermaßen von gut strukturierter Programmierung. Die Vorteile sind so erheblich, dass es unbedingt sinnvoll ist, gut strukturiert zu programmieren. Im Folgenden werden einige wichtige Vorteile aufgeführt und erläutert: *'''Strukturierte Programme sind leichter nachvollziehbar.''' Dies erleichtert die Arbeit im Team und vereinfacht die Wartung, wenn der Quellcode ergänzt, geändert oder korrigiert werden muss. *'''Strukturierte Programme haben weniger Programmierfehler.''' Dies reduziert die Entwicklungszeiten und erhöht die Akzeptanz bei den Auftraggebern und Nutzern der Software. *'''Strukturierte Programme können ohne Laufzeit-Debugger erstellt werden.''' Dies spart enorm viel Zeit und Nerven bei der Entwicklung von Software. Die geringen Laufzeiteinbußen, die bei hoch strukturierter Programmierung von Anwendungssoftware gegenüber laufzeitoptimiertem Code entstehen können, spielen –&nbsp;sofern sie überhaupt existieren sollten&nbsp;– bei den heutzutage zur Verfügung stehenden modernen und schnellen Rechenmaschinen praktisch keine Rolle mehr. Programmcode wegzulassen, der der inhärenten Betriebssicherheit von Software oder der inhärenten Datenintegrität dient, macht nur in sehr wenigen, extrem zeitkritischen Anwendungen Sinn, keineswegs jedoch bei herkömmlichen oder gar sicherheitskritischen Anwendungsprogrammen. Die Ratschläge aus diesem Buch beruhen auf jahrzehntelanger Erfahrung mit der Softwareentwicklung komplexer Systeme und dem Hochschulunterricht im Fach Programmierung mit verschiedenen Programmiersprachen. Die folgende Check-Liste enthalt eine Reihe von wichtigen Kriterien, die bei strukturierter Programmierung berücksichtigt werden sollten: * <big><big>'''[[Strukturierte Programmierung/ Checkliste|Checkliste]]'''</big></big> Übrigens: ''In der Kürze der Quelltextdatei liegt nicht die wahre Würze des Programmierens&nbsp;!'' Und noch wichtiger: :''So ists mit aller Bildung auch beschaffen:'' :''Vergebens werden ungebundne Geister'' :''Nach der Vollendung reiner Höhe streben.'' :''Wer Großes will, muß sich zusammenraffen;'' :''In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister,'' :''Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben.'' ::Johann Wolfgang von Goethe, Ende von ''Das Sonett'' Viel Erfolg beim strukturierten Programmieren wünscht [[Benutzer:Bautsch]]&nbsp;! <div style="clear:both"></div> ==Quelltextgestaltung== In diesem Abschnitt stehen einige Vorschläge zur allgemeinen Gestaltung der Quelltexte, die keine unmittelbare Auswirkung auf die Lauffähigkeit und die Funktion der Programme haben, aber dazu führen, dass der Quelltext besser verständlich und nachvollziehbar ist. ===Anweisungen=== Der Quelltext wird bei imperativen Programmiersprachen durch Anweisungen gestaltet, die ganz unterschiedlich geartet sein können. Zu den typischen und wichtigen Anweisungen gehören: * Deklaration (declaration) * Blockanweisung (block, begin / end) * Zuweisung (assignment) * Aufruf (call) * Rücksprung (return) * Verzweigung (branch) * Schleife (loop) * Sicherstellung (assertion) Bei Kommentaren und Leerräumen (Leerzeichen, Tabulatoren, Zeilenumbrüche, ...) in Quelltexten handelt es sich nicht um Anweisungen, da sie vom Übersetzer (compiler) beziehungsweise Interpreter des Programmcodes ignoriert werden. ===Kommentare=== Jeder Quelltext sollte zu Beginn der Datei in einem von Compiler zu ignorierenden '''Kommentar''' für die Klarstellung des Inhalts einige Mindestangaben zum Inhalt und Ursprung machen. Dazu gehören beispielsweise die Autoren, Urheber oder Rechteinhaber, deren beabsichtigte Nutzungsarten/-rechte und Nutzungsbedingungen und weitere Angaben zur Lizenzierung, das Datum der Erstellung oder Veränderung, eine Versionsangabe und Angaben zur verwendeten Programmiersprache und gegebenenfalls zu den eingesetzten Programmbibliotheken (gegebenenfalls ebenfalls mit Versionsangaben). Ferner soll beschrieben werden, für welchen Zweck oder für welche Aufgabenstellungen das Programm eingesetzt werden kann. Darüber hinaus können und sollen auch weitere sinnvolle oder nützliche Angaben in diesem '''Kopfkommentar''' festgehalten werden. Der Kommentartext wird bei vielen Programmiersprachen im Quelltext mit dem Symbolpaar "/*" und "*/" oder dem Symbolpaar "(*" und "*)" eingeschlossen. Beispiel: /* Program: generation of pseudorandom numbers Author: Bautsch License: public domain Date: 7th January 2011 Version: 1.0 Programming language: Java Description: This program uses a primitive polynomial sequence with large prime coefficients to efficiently generate uniformly distributed pseudorandom numbers. */ Alle Methoden und Variablen werden ausreichend kommentiert, sofern sie nicht durch die Wahl „sprechender” Bezeichner selbsterklärend sind. Bei Methoden werden insbesondere die Bedeutung aller Parameter und Rückgabewerte dokumentiert: /* The method "add" computes and returns the sum of "summand1" and "summand2" */ double add (double summand1, double summand2) { double sum ← summand1 + summand2 return sum } Viele Entwicklungssysteme bieten Funktionen, die die Dokumentation der Quelltexte mit Kommentaren unterstützen. Bei einigen Programmiersprachen ist Aufmerksamkeit geboten, wenn in der Sprachdefinition geschachtelte Kommentare nicht vorgesehen sind. Wird zum Beispiel während der Programmentwicklung Quelltext auskommentiert, um das Verhalten des modifizierten Programms zu überprüfen, und enthält dieser Quelltext einen Kommentar, ist dann nicht sofort erkennbar, welcher Abschnitt des Quelltextes tatsächlich auskommentiert werden soll. Dabei kann es auch vorkommen, dass einige Compiler die geschachtelten Kommentare erkennen und im eigentlichen Sinne des Programmierers berücksichtigen; andere Compiler, die sich streng an die standardisierten Sprachdefinitionen halten, jedoch nicht, so dass es bei der Portierung von Quellcode unweigerlich zu Übersetzungsfehlern kommt. Das folgende Beispiel zeigt einen Programmabschnitt, bei dem hinter der letzten Anweisung zwischen den Zeichenfolgen "/*" und "*/" ein Textkommentar hinzugefügt wurde, der vom Compiler ignoriert werden soll. int i ← 1 i ← i * i /* die Variable i wird quadriert. */ Wird zusätzlich mit den gleichen Zeichenfolgen "/*" und "*/" die gesamte Programmzeile auskommentiert, gibt es einen Übersetzungsfehler, wenn der Compiler die allerletzte Zeichenfolge "*/" als Kommentarende ohne Kommentaranfang interpretiert, sofern der zweite und nunmehr auskommentierte Kommentaranfang "/*" in der Zeile mit dem Textkommentar ignoriert wurde und die erste auftretende Zeichenfolge "*/" bereits als Kommentarende interpretiert wurde: int i ← 1 /* i ← i * i /* die Variable i wird quadriert. */ */ ===Leerräume=== '''Leerräume''', also zum Beispiel Leerzeichen, Zeilen- und Seitenumbrüche oder Tabulatoren, werden - genauso wie Kommentare - von vielen Compilern überlesen und dienen in diesen Fällen ausschließlich zur Verbesserung der Lesbarkeit für die Programmierer. Daher sollten diese Leerräume sorgfältig eingesetzt werden, um die Nachvollziehbarkeit des Quellcodes für Programmierer zu erleichtern. Bei einigen Programmiersprachen werden allerdings bestimmte Formatierungen in der Sprachdefinition gefordert und müssen dann natürlich den Vorgaben entsprechend eingehalten werden. Viele Entwicklungssysteme bieten sehr nützliche, unterstützende Funktionen zur einheitlichen Formatierung der Quelltexte, die sehr einfach anzuwenden sind und benutzt werden sollten. So ist es zum Beispiel allgemein üblich, Programmblöcke so zu formatieren, dass die Inhalte gegenüber dem Kopf und dem Fuß etwas eingerückt und durch Zeilenumbrüche voneinander getrennt werden: Blockkopf eingerückter Inhalt 1 eingerückter Inhalt 2 Blockfuß Für die Einrückungen werden heute meist mehrere Leerzeichen oder ein Tabulatorzeichen verwendet. Neuerdings wird in manchen Programmiersprachen empfohlen, vier Leerzeichen zu verwenden. Manche Editoren fügen bei der Betätigung der Tabulatortaste eine gewünschte Anzahl von Leerzeichen ein. Das Mischen von mehreren Leerzeichen und Tabulatorzeichen für die Einrückungen kann nicht empfohlen werden, da dies bei der Bearbeitung mit verschiedenen Editoren zur uneinheitlichen Darstellung der Einrückungen führen kann. Moderne Editoren haben Funktionen, mit denen der gesamte Programmcode oder Teile davon einheitlich und korrekt eingerückt werden können (Englisch: "correct indentation"). Siehe hierzu auch [[Strukturierte Programmierung#Blockanweisungen|Blockanweisungen]]. ===Bezeichner=== In den meisten Programmiersprachen gibt es '''Bezeichner''' (oder '''Identifikatoren''', englisch: '''identifier''') für ganz unterschiedliche Dinge, wie für symbolische '''Konstanten''', für '''Variablen''', für '''Parameter''' oder '''Attribute''', für '''Unterprogramme''' (respektive für '''Methoden''', '''Prozeduren''' oder für '''Funktionen'''), für '''Module''' (respektive für '''Klassen''') oder für '''Bibliotheken'''. Zur Strukturierung von Daten werden auch '''Pakete''' (englisch: '''packages''') eingesetzt. In der Regel stehen alle Buchstaben ohne Diakritika zur Verfügung. Oft sind auch noch Ziffern und der Unterstrich "_" erlaubt. Das erste Zeichen muss üblicherweise immer ein Buchstabe sein. Leerzeichen sind innerhalb von Bezeichnern im Allgemeinen nicht zulässig. Beim Lesen und Analysieren von Quelltexten ist es sehr hilfreich, wenn einem Bezeichner nicht nur beim ersten Auftauchen bei der Deklaration, sondern an jeder Stelle im Programm sofort angesehen werden kann, wofür er steht. Meist bildet sich für eine Gruppe von Programmiersprachen ein bestimmter Usus aus, wie die entsprechenden Bezeichner gestaltet werden sollen. Der Compiler stellt in der Regel keine Ansprüche an die Schreibweise von Bezeichnern, solange der definierte Zeichenvorrat verwendet wird. Eine Ausnahme stellen die vorgegebenen Schlüsselwörter dar, die häufig und je nach Programmiersprache nur aus Großbuchstaben oder nur aus Kleinbuchstaben bestehen, wie zum Beispiel: * '''IMPORT''', '''CONST''', '''TYPE''', '''VAR''', '''PROCEDURE''', '''NIL''', '''LONG''', '''REAL''', '''BEGIN''', '''END''', '''WHILE''' versus * '''import''', '''final''', '''void''', '''static''', '''null''', '''long''', '''double''', '''while''' In vielen Programmiersprachen haben sich für die frei definierbaren Bezeichner bestimmte Praktiken herausgebildet, damit die Bedeutung der Bezeichner im Quelltext von den beteiligten Programmierern leichter erkannt werden kann. Dieses Vorgehen ist allerdings nicht immer einheitlich gestaltet, wie anhand der folgenden, beispielhaften Liste gesehen werden kann: * Die Bezeichner von übergeordnet verfügbaren Konstanten, Variablen, Datentypen, Klassen oder Modulen beginnen mit '''einem Großbuchstaben'''. * Die Bezeichner von Konstanten werden '''vollständig mit Großbuchstaben''' geschrieben. * Die Bezeichner von lokal verfügbaren Variablen, Attributen oder Parametern werden '''vollständig mit Kleinbuchstaben''' geschrieben. * Die Bezeichner von Methoden werden '''vollständig mit Kleinbuchstaben''' geschrieben. ====Variablen und Methoden==== So ist es zum Beispiel üblich, Variablen und Methoden mit Kleinbuchstaben zu benennen. Dabei ist der Unterschied zwischen Variable und Methode immer und einfach anhand der obligatorischen Parameterliste von Methoden zu erkennen, die beim Fehlen von Parametern leer ist und in vielen Programmiersprachen durch runde Klammern begrenzt ist und direkt hinter dem Methodennamen steht: /* "diameter" is variable of the data type integer */ int diameter /* "radius" is variable (parameter of the function "calcDiameter") of the data type integer */ /* "calcDiameter" is a function */ /* the result of the function call has the data type integer */ int calcDiameter (int radius) "calcDiameter" ist hierbei mit dem Binnenmajuskel "D" versehen (umgangssprachlich auch "Kamelhöcker-Notation" genannt, englisch "camel case"), um den Anfang eines neuen Wortes ohne die Verwendung eines Leerzeichens erkennbar zu machen. Es ist im Sinne der guten Lesbarkeit des Quelltextes allgemein hilfreich, in Bezeichnern immer passende grammatische Formen zu verwenden, wie zum Beispiel: * für booleschen Variablen und Funktionen: Partizipien oder Adjektive * für andere Variablen und Funktionen: Substantive * für Methoden und Kommandos: Verben im Imperativ In manchen Programmiersprachen ist es üblich, lokale Variablen mit einem Kleinbuchstaben zu beginnen und globale Variablen - also in mehreren Programmodulen, Klassen oder Methoden sichtbare Variablen - mit einem Großbuchstaben zu beginnen, um deren Sichtbarkeiten unmittelbar erkennbar zu machen. ====Konstanten==== Die Werte von Konstanten können zur Laufzeit nicht mehr verändert werden. Dieser Umstand wird dem Compiler bei der Deklaration der Konstanten durch entsprechende Deklarationen (wie zum Beispiel "CONST") oder Modifikatoren (wie zum Beispiel "final") mitgeteilt. Damit an jeder Stelle des Quelltextes, also auch nach der Deklaration, erkannt werden kann, dass es sich um eine Konstante handelt, ist es hilfreich Konstanten mit einem '''Großbuchstaben''' beginnen zu lassen; manchmal werden für Konstanten sogar ausschließlich Großbuchstaben verwendet. Es ist empfehlenswert, die Initialisierung einer Konstanten immer unmittelbar im Kontext der Deklaration vorzunehmen, damit es keine Mehrdeutigkeiten und somit auch keine Verwechslungen durch undefinierte Werte geben kann. Wenn dies nicht sinnvoll erscheint, sollte vorzugsweise keine Konstante verwendet werden. In vielen modernen Programmiersprachen ist es möglich, Klassenvariablen beziehungsweise globale Variablen zu schützen, indem diese nur innerhalb einer Klasse beziehungsweise innerhalb eines Moduls verändert werden dürfen. In diesem Fall gibt es von Außerhalb nur einen Lesezugriff auf den Wert der Variablen ("read-only"), oder der aktuelle Wert der Variablen kann durch den Aufruf eines Unterprogramms zurückgegeben werden ("get"-Methoden). <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Zahlen; (* Auf die globale ganzzahlige Konstante "Konstante" kann nur lesend zugegriffen werden. *) (* Die globale Konstante "Konstante" ist durch Deklaration und Initialisierung vollständig definiert. *) CONST Konstante = 7; (* Auf die globale ganzzahlige Variable "zahl" kann von außerhalb des Moduls "Zahlen" nur lesend zugegriffen werden. *) (* Die globale Variable "zahl" wird mit dem Zusatz "-" als "read-only" deklariert. *) VAR zahl-: LONGINT; BEGIN (* Die globale Variable "zahl" wird mit einem Wert initialisiert. *) zahl := 8; END Zahlen. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Zahlen; { // Auf die öffentliche ganzzahlige Klassenkonstante "Konstante" kann nur lesend zugegriffen werden. // Die Klassenkonstante "Konstante" ist durch Deklaration und Initialisierung vollständig definiert. // Die Klassenkonstante "Konstante" wird mit dem Zusatz "final" deklariert. public static final long Konstante = 7; // Auf die nicht-öffentliche ganzzahlige Klassenvariable "zahl" kann von außerhalb der Klasse // nur über die öffentliche Methode "getZahl ()" lesend zugegriffen werden. // Die Klassenvariable "zahl" wird mit dem Zusatz "private" deklariert. private static long zahl = 8; public static long getZahl () { return zahl; } } </syntaxhighlight> Im folgenden Java-Beispiel wird eine als konstant deklarierte lokale Variable erst innerhalb einer Fallunterscheidung (if-Anweisung) und zudem mit zwei verschiedenen optionalen Werten initialisiert. Wenn die Deklaration und die optionalen Initialisierungen im Quelltext weiter auseinanderliegen, ist es schwierig, den definierten Zustand der vermeintlich eindeutig definierten Variablen vollständig zu erfassen. <syntaxhighlight lang="Java"> private static boolean boolescherAusdruck () { java.util.Random zufall = new java.util.Random (); boolean zufaelligerBoolescherWert = zufall.nextBoolean (); return zufaelligerBoolescherWert; } public static void main (java.lang.String [] arguments) { // Deklaration der lokalen Konstante "Zahl", // die wegen fehlender Initialisierung nicht definiert ist. final long Zahl; if (boolescherAusdruck ()) { Zahl = 7; } else { Zahl = 8; } java.lang.System.out.println ("Konstante Zahl = " + Zahl); } </syntaxhighlight> ====Klassen und Module==== Auch Unterprogrammeinheiten wie '''Module''' oder '''Klassen''' werden in der Regel mit eindeutigen Bezeichnern benannt, die üblicherweise mit einem '''Großbuchstaben''' beginnen. Im Kontext eines Quellcodes ist es immer möglich, diese Unterprogrammeinheiten von anderen zu unterscheiden, die ebenfalls mit einem Großbuchstaben beginnen (beispielsweise Konstanten), weil die Bezeichner von Unterprogrammeinheiten von einer Blockanweisung (zum Beispiel geschweifte Klammern) für die Implementation von Programmcode oder von einem Separator (beispielsweise ".") zur qualifizierten Bezeichnung von Teilen der Unterprogrammeinheiten gefolgt werden. Das Konzept von Unterprogrammeinheiten ist, dass mehrere Unterprogramme (Methoden, Prozeduren, Funktionen, Kommandos) sowie mehrere Konstanten, Variablen oder Datenstrukturen (Verbunde (struct, record), Arrays) in einer speicherbaren Datei zusammengefasst werden. Insofern handelt es sich bei solchen Unterprogrammeinheiten um die '''kleinsten dauerhaft speicherbaren Einheiten''' in einem Software-Projekten. Unterprogrammeinheiten werden in strukturierten Programmiersprachen unter der Verwendung von Schlüsselwörtern wie zum Beispiel "program", "MODULE" oder "class" '''deklariert''': <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in der Programmiersprache Pascal *) program Programmeinheit; begin end. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="modula2"> (* Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in den Programmiersprachen Modula-2, Oberon oder Component Pascal *) MODULE Programmeinheit; BEGIN END Programmeinheit. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="Java"> // Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in der Programmiersprache Java public class Programmeinheit; { } </syntaxhighlight> ====„Sprechende” Bezeichner==== Die Wahl '''„sprechender“ Bezeichner''' hilft beim Lesen, Verstehen und Nachvollziehen von Quelltext ungemein. Häufig erübrigt sich sogar ein erläuternder Kommentar, wenn mit hinreichend „sprechenden“ Variablen- beziehungsweise Methodennamen gearbeitet wird. Also nicht eine solche Anweisung: h ← (t – b) Sondern besser: height ← (top - bottom) Die verpasste Chance, einen Bezeichner sprechend zu benennen, kann in vielen Entwicklungssystemen durch sogenanntes ''Refactoring'' zentral für den gesamten Quelltext durch Umbenennung geheilt werden. ====Parameter==== Bei Methodenaufrufen werden '''alle Parameter''' mit Variablen oder mit Konstanten übergeben, also nicht mit '''komplexen Ausdrücken''' (beispielsweise arithmetische Berechnungen und Aufrufe von Unterprogrammen) oder mit '''Literalen''' (also direkt eingegebene Werte, wie 100 oder "Text"). Hier ein schlechtes Beispiel mit dem Aufruf des Java-Unterprogramms "zeichneRechteck" mit fünf kryptischen Parameterausdrücken in den runden Klammern. Jedes der fünf Literalen 50 hat eine eigene unabhängige Bedeutung, die bei dieser Schreibweise nicht unterschieden oder nachvollzogen werden können, was deswegen schnell zu Verwechslungen führen kann: <syntaxhighlight lang="Java"> zeichneRechteck (50, 50, 50, berechneHoehe (50), 50); </syntaxhighlight> Ein strukturiertes Programm weist die Werte für alle fünf Parameter vor dem Aufruf des Unterprogramms an eigene Variablen mit sprechenden Bezeichnern zu: <syntaxhighlight lang="Java"> int x = 50; int y = 50; int breite = 50; int hoehe = berechneHoehe (breite); int helligkeitProzent = 50; zeichneRechteck (x, y, breite, hoehe, helligkeitProzent); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge ist im Gegensatz zu der Anweisung darüber auch ohne die explizite Kenntnisnahme der '''Deklaration des Unterprogramms''' verständlich: <syntaxhighlight lang="Java"> /** * Zeichnet ein Rechteck in das Bildschirmfenster * @param x: x-Koordinate vom linken Bildschirmfensterrand nach rechts * @param y: y-Koordinate vom oberen Bildschirmfensterrand nach unten * @param breite: Breite des Rechtecks von x nach rechts * @param hoehe: Hoehe des Rechtecks von y nach unten * @param helligkeitProzent: Helligkeit des Rechtecks in Prozent (0 = schwarz, 100 = weiss) */ public static void zeichneRechteck (int x, int y, int breite, int hoehe, int helligkeitProzent) </syntaxhighlight> ====Qualifizierte Bezeichner==== =====Programmeinheiten===== Damit der sich hinter einem Bezeichner verborgene Inhalt eindeutig einer Programmeinheit zugeordnet werden kann, muss dieser '''qualifiziert bezeichnet''' werden. In manchen Programmiersprachen geschieht dies für bestimmte Bezeichner inhärent, obwohl es eine explizite import-Anweisung für die entsprechenden Bezeichner gibt, so dass die Programmierer in diesen Sonderfällen also wissen müssen, worauf sich der unqualifizierte Bezeichner bezieht. In der Programmiersprache Java dürfen häufig verwendete Bezeichner wie beispielsweise die zur Textausgabe verwendete Methode "print" aus der Klasse "System" oder die für Zeichenketten verwendete Klasse "String" ohne eine vollständige und qualifizierte Bezeichnung in den Programmtext geschrieben werden: <syntaxhighlight lang="Java"> String text = "Hallo Welt!"; System.out.print (text); </syntaxhighlight> In der Variablen "text" der Klasse "String" wird die Zeichenkette "Hallo Welt!" gespeichert und mit der klassengebundenen Methode "print" der Klassenvariablen "out" aus der Klasse "System" ausgegeben. Hier ist allerdings nicht ohne weiteres ersichtlich, wo sich die Deklarationen oder die Implementierungen beiden Klassen "String" und "System" befinden. Die '''qualifizierte Bezeichnung''' dieser beiden Anweisungen hat folgendes Aussehen: <syntaxhighlight lang="Java"> java.lang.String text = "Hallo Welt!"; java.lang.System.out.print (text); </syntaxhighlight> Durch die qualifizierte Bezeichnung wird klar, dass sich beide Klassen im Programmpaket "java.lang" des Programmmoduls "java.base" befinden. Jedes Modul (englisch "module") und jedes Paket (englisch "package") kann in der Systembibliothek der Programmiersprache beziehungsweise in der Programmbibliothek der Laufzeitumgebung eindeutig zugeordnet werden. Alternativ wird die Qualifikation von bestimmten Bezeichnern durch eine Import-Anweisung zu Beginn des Programms vorgenommen: <syntaxhighlight lang="Java"> import java.lang.String; import java.lang.System; //... String text = "Hallo Welt!"; System.out.print (text); </syntaxhighlight> Dieses Vorgehen erlaubt innerhalb einer Programmdatei zwar grundsätzlich eine korrekte und eindeutige Zuordnung der weiter unten im Programmtext verwendeten '''unqualifizierten''' Bezeichner, bei der Analyse des Programmtextes sind sämtliche Import-Anweisungen jedoch stets und vollständig zu berücksichtigen, was die Sache für die Programmierer insbesondere bei langen oder komplexen Quelltexten sehr erschweren kann. Dies kann durch die ausschließliche und obligatorische Verwendung von qualifizierten Bezeichnern ausgeschlossen werden, und deswegen wird von streng strukturierten Programmiersprachen überall und immer eine qualifizierte Bezeichnung gefordert. Leider dürfen diese qualifizierten Importe beziehungsweise Bezeichnungen in manchen Programmiersprachen für gängige Unterprogrammeinheiten weggelassen werden, wie im folgenden Beispiel in der Programmiersprache Java: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Test { public static void main (String [] args) { } } </syntaxhighlight> Ein Aufruf des formal korrekt deklarierten Hauptprogramms "main" kann zu folgender völlig irritierender Fehlermeldung führen, wenn gar nicht die dafür vorgesehene Standard-Java-Klasse "java.lang.String" referenziert wird, weil sich im Software-Projekt, in dem sich das Hauptprogramm befindet, eine gleichnamige Klasse "String" definiert ist, die durch die Regeln der Programmiersprache vorrangig referenziert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> Error: Main method not found in class Test, please define the main method as: public static void main (String [] args) </syntaxhighlight> =====Datenstrukturen===== Auch bei Datenstrukturen müssen qualifizierte Bezeichner verwendet werden, damit eindeutig auf bestimmte Datenfelder zugegriffen werden kann. Im folgenden Beispiel in der Syntax der '''Pascal'''-Programmiersprachenfamilie wird dies anhand des komplexen Datentyps "Postadresse" mit den sechs Attributen "vorname", "nachname", "strasse", "hausnummer", "postleitzahl" und "ort" dargestellt: <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Datentyp "Postadresse" *) TYPE Postadresse = RECORD vorname: ARRAY OF CHAR; nachname: ARRAY OF CHAR; strasse: ARRAY OF CHAR; hausnummer: ARRAY OF CHAR; postleitzahl: LONGINT; ort: ARRAY OF CHAR; END; </syntaxhighlight> In den Deklarationen der Attribute steht "ARRAY OF CHAR" für den Datentyp Zeichenkette, der zur Speicherung von Zeichenfolgen verwendet wird. Der Datentyp "LONGINT" dient zur Speicherung ganzer Zahlen. Eine Instanz "adresse" dieses Datentyps "Postadresse" kann wie folgt mit der NEW-Prozedur erzeugt werden, wobei der dafür erforderliche Speicherplatz festgelegt und für andere Verwendungen gesperrt wird. Auf die sechs einzelnen Datenfelder der in "adresse" gespeicherten sechs Attribute des Datentyps "Postadresse" kann danach im Programm mit den entsprechenden qualifizierten Bezeichnern beispielsweise zugegriffen werden, indem die jeweiligen initialen Werte mithilfe des Zuweisungsoperators := zugewiesen werden. Auf die Prozeduren "String" und "Int" aus dem Modul "Out" wird über "Out.String" und "Out.Int" ebenfalls qualifiziert zugegriffen: <syntaxhighlight lang="Pascal"> IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" mit den Textausgabe-Prozeduren "String" für Zeichenketten und "Int" für ganze Zahlen *) VAR adresse: Postadresse; (* globale Variable "adresse" *) BEGIN NEW (adresse); (* Speicherreservierung für den Bezeichner "adresse" *) adresse.vorname := "Irgend"; adresse.nachname := "Jemand"; adresse.strasse := "Allee"; adresse.hausnummer := "100"; adresse.postleitzahl := 10000; adresse.ort := "Irgendwo"; Out.String (adresse.vorname); Out.String (adresse.nachname); Out.String (adresse.strasse); Out.String (adresse.hausnummer); Out.Int (adresse.postleitzahl); Out.String (adresse.ort); END; </syntaxhighlight> In einem weiteren Beispiel mit der Syntax der Programmiersprache '''Java''' wird die Datenstruktur dieses komplexen Datentyps als Klasse "Postadresse" mit den sechs Instanzvariablen "vorname", "nachname", "strasse", "hausnummer", "postleitzahl" und "ort" für diese sechs Attribute gebildet. Eine Instanz dieses Datentyps kann hier mit dem new-Operator erzeugt werden. Der öffentliche Konstruktor "Postadresse ()" ist eine Methode mit derselben Bezeichnung wie die Klasse selbst, die aufgerufen werden muss, um die sechs Datenfelder der jeweiligen Instanz "this" zu initialisieren. Auf die einzelnen Datenfelder der in der nicht-öffentlichen Klassenvariable "adresse" gespeicherten sechs Attribute des Datentyps "Postadresse" kann danach über die entsprechenden sechs qualifizierten Bezeichner zugegriffen werden. In der Methode "main" werden die Attribute zwischen den runden Klammern über die qualifizierten Bezeichner als Parameter bei den Aufrufen der allgemeinen Textausgabe-Methode "println" verwendet, die zur Klassenvariable "out" der Klasse "System" im Programmpaket "java.lang" gehört: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Postadresse // Klasse "Postadresse" { // Instanzvariablen java.lang.String vorname; java.lang.String nachname; java.lang.String strasse; java.lang.String hausnummer; long postleitzahl; java.lang.String ort; private static Postadresse adresse = new Postadresse (); // Klassenvariable "adresse" public Postadresse () // Konstruktor der Klasse "Postadresse" { this.vorname = "Irgend"; this.nachname = "Jemand"; this.strasse = "Allee"; this.hausnummer = "100"; this.postleitzahl = 10000; this.ort = "Irgendwo"; } public static void main (java.lang.String [] argumente) // main-Methode der Klasse "Postadresse" { java.lang.System.out.println (adresse.vorname); java.lang.System.out.println (adresse.nachname); java.lang.System.out.println (adresse.strasse); java.lang.System.out.println (adresse.hausnummer); java.lang.System.out.println (adresse.postleitzahl); java.lang.System.out.println (adresse.ort); } } </syntaxhighlight> ====Komplexe Anweisungen==== In der Programmiersprache Java kann die Gestaltung eines softwaretechnischen Containers "host" beispielsweise mit der Variablen "layout" realisiert werden. Hierzu werden Instanzen von Objekten der Klassen "Container" und "GroupLayout" erzeugt: <syntaxhighlight lang="Java"> java.awt.Container host = new java.awt.Container (); javax.swing.GroupLayout layout = new javax.swing.GroupLayout (host); </syntaxhighlight> Eine multiple qualifizierte Bezeichnung zur Referenzierung von Datenfeldern mit diversen Aufrufen typengebundener Methoden (Unterprogramme) kann dann mit einer einzigen hyperkomplexen Anweisung in einer Zeile zusammengefasst werden: <syntaxhighlight lang="Java"> layout.setVerticalGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING).addGroup (layout.createSequentialGroup ().addContainerGap ().addGroup(layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING).addGroup (layout.createSequentialGroup().addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE)))))); </syntaxhighlight> Mit Zeilenumbrüchen wird der inhaltlich identische Quelltext schon besser nachvollziehbar: <syntaxhighlight lang="Java"> layout.setVerticalGroup ( layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING) .addGroup (layout.createSequentialGroup () .addContainerGap () .addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING) .addGroup (layout.createSequentialGroup() .addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE))))) ); </syntaxhighlight> Durch Verwendung von Hilfsvariablen mit sprechenden Bezeichnern wird der Quelltext zwar etwas länger, aber noch verständlicher. Die Komplexität ist deutlich reduziert, und die Anweisungsfolge kann viel einfacher nachvollzogen, überprüft oder angepasst werden: <syntaxhighlight lang="Java"> javax.swing.GroupLayout.SequentialGroup sequentialGroup2 = layout.createSequentialGroup (); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelBaselineGroup = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE); sequentialGroup2 = sequentialGroup2.addGroup (parallelBaselineGroup); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelLeadingGroup2 = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING); parallelLeadingGroup2 = parallelLeadingGroup2.addGroup (sequentialGroup2); javax.swing.GroupLayout.SequentialGroup sequentialGroup1 = layout.createSequentialGroup (); sequentialGroup1 = sequentialGroup1.addContainerGap (); sequentialGroup1 = sequentialGroup1.addGroup (parallelLeadingGroup2); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelLeadingGroup1 = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING); parallelLeadingGroup1 = parallelLeadingGroup1.addGroup (sequentialGroup1); layout.setVerticalGroup (parallelLeadingGroup1); </syntaxhighlight> ==Programmgestaltung== Idealerweise kann die kontextfreie Grammatik der verwendeten Programmiersprache mit einer strukturierten Metasprache, wie zum Beispiel der '''Erweiterten Backus-Naur-Form''' ('''EBNF''') nach der Norm ISO/IEC 14977 dargestellt werden. Jedes strukturierte Programm und jede Datenstruktur kann damit eindeutig definiert werden. Leider trifft dies für viele Programmiersprachen nicht zu. Die Darstellung beliebiger ganzer Zahlen (sowohl negative, als auch positive und die Null) mit Zeichen kann in der Erweiterten Backus-Naur-Form zum Beispiel schrittweise so definiert werden: <syntaxhighlight lang="ebnf"> NatuerlicheZiffer = "1" | "2" | "3" | "4" | "5" | "6" | "7" | "8" | "9"; Ziffer = "0" | NatuerlicheZiffer; NatuerlicheZahl = NatuerlicheZiffer{Ziffer}; GanzeZahl = "0" | ["-"]NatuerlicheZahl; </syntaxhighlight> [[Datei:Nassi-Shneiderman diagram - InsertionSort.svg|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für einen Algorithmus mit zwei geschachtelten, kopfgesteuerten Schleifen in der Darstellung als Nassi-Shneidermann-Diagramm.]] Programme können als '''Struktogramm''' (auch '''Nassi-Shneidermann-Diagramm genannt''') nach Norm DIN 66261 notiert werden. Alle Teilprogramme sind dabei so geartet, dass sie ausgehend von einem einfachen Hauptblock, der für das gesamte Programm und somit für mindestens einen Unterprogrammaufruf steht, durch schrittweise Verfeinerung hierarchisch zusammengesetzt werden können. Am Ende der Hierarchie stehen dann elementare Teilprogramme, die nicht weiter zerlegt werden können. Die zyklomatische Komplexität der Software kann zum Beispiel mit der '''McCabe-Metrik''' untersucht und analysiert werden. Hierbei sollte darauf geachtet werden, dass die Komplexität beschränkt bleibt, damit der Quelltext überschaubar bleibt und gut nachvollzogen werden kann. Durch geeignete Strukturierung ist dies in modernen Programmiersprachen immer möglich, und mit einer McCabe-Metrik bis maximal 10 ist die Komplexität meist hinreichend niedrig. Dies gilt nicht nur für den prozeduralen Programmablauf, sondern gleichermaßen für Datenstrukturen, bei denen komplexe Datentypen aus elementaren Datentypen übersichtlich und hierarchisch zusammengesetzt werden können. Wichtig ist, dass die Anzahl der Programmzeilen ('''lines of code''') zwar gut als Maß für das zeitliche Wachstum einer bestimmten Software herangezogen werden kann, dies jedoch nicht geeignet ist, um eine Aussage über die Qualität oder Strukturiertheit des Programmcodes zu treffen. Weder eine besonders kleine noch eine besonders große Anzahl von Programmzeilen sind ein Garant für guten oder strukturierten Code. Das Optimum ist nicht erreicht, wenn nichts mehr hinzugefügt werden kann, weil schon alles implementiert ist, sondern wenn nichts mehr entfernt werden kann, ohne dass die Implementierung hiervon beeinträchtigt wird (frei nach Antoine de Saint-Exupéry in ''Wind, Sand und Sterne - Terre des Hommes'' (1939)). Programmieren ist nicht nur ein einfaches Handwerk, sondern eine anspruchsvolle Kunstfertigkeit (vergleiche auch Donald E. Knuth: ''The Art of Computer Programming''). <div style="clear:both"></div> ===Sichtbarkeiten=== Grundsätzlich gilt immer das '''Prinzip der Lokalität'''. Dies bedeutet, dass auf Programmkonstrukte nur dort zugegriffen werden kann und darf, wo es unbedingt erforderlich ist. Zum Datenaustausch zwischen verschiedenen Programmteilen dienen unter diesen Voraussetzungen Schnittstellen, die in der strukturierten Programmierung exakt definiert sein müssen. Alle Klassenvariablen, Instanzvariablen und Parametervariablen sowie Rückgabewerte werden in Bezug auf ihre Teilprogramme zum Beispiel als '''lokale Variablen''' behandelt, so dass sie nur innerhalb dieser Teilprogramme aufgerufen und verändert werden können. Auf diese Weise können unbeabsichtigte und unerwünschte Seiteneffekte nachhaltig vermieden werden. Je weniger lokal eine Variable definiert ist, desto größer ist die Gefahr, dass diese unbeabsichtigt oder sogar zuwider den Absichten des Programmierers verändert werden kann, was dann zu entsprechend dramatischen und schwer identifizierbaren Programmfehlern führen kann, die zudem erst zur Laufzeit auftreten und oft nur zufällig und somit umso schwerer zu entdecken sind. Variablen sollen also immer so '''lokal''' wie möglich definiert werden. Am besten sind Variablen lokalisiert, wenn sie innerhalb der Teilstruktur definiert werden, wo die Variablen üblicherweise „sichtbar” (und demzufolge verwendbar) sind. Außerhalb der Blöcke sind diese Variablen dann „unsichtbar” und somit auch nicht benutzbar. Für Programmiersprachen die keine explizite Blockanweisung für Teilprogramme haben, ist die am stärksten lokalisierte Definition in der Regel innerhalb einer Methode respektive einer Prozedur oder einer Funktion. Die nächsthöhere Strukturebene ist dann - sofern möglich - das Modul beziehungsweise die Klasse (dies ist zwar häufig eine vom Compiler zu übersetzende Einheit, ist jedoch nicht unbedingt identisch mit einer Quelltextdatei). Innerhalb von Programmstrukturen sollten Variablen möglichst mit dem Sichtbarkeitsmodifikator für die ausschließlich interne Verwendbarkeit (zum Beispiel mit dem Modifikator ''private'' oder ''limited'') deklariert werden. Solche internen Variablen können dann gegebenenfalls mit entsprechend zu implementierenden Konstruktoren initialisiert, mit sogenannten Getter-Methoden abgefragt und mit Setter-Methoden verändert werden. Falls diese exportiert werden (beispielsweise mit dem Modifikator ''public'' oder ''export''), ist auch außerhalb der Deklarationsstruktur ein definierter indirekter Zugriff auf die internen Variablen möglich. Manche Programmiersprachen erlauben eine Deklaration, die außerhalb des Deklarationsbereiches nur gesehen respektive gelesen werden können (zum Beispiel mit dem Modifikator ''read-only'' für Variablen oder ''implement-only'' für Methoden). In diesem Fall können die entsprechenden Variablen oder Methoden außerhalb der Deklarationsstruktur also nicht verändert, aber zumindest abgefragt oder aufgerufen werden. '''Globale Variablen''', die überall innerhalb von großen Programmeinheiten verändert werden können, sind immer vermeidbar, erhöhen die Gefahr von Programmfehlern und erleichtern unter Umständen Cyber-Attacken. Besondere Probleme ergeben sich, wenn innerhalb eines Sichtbarkeitsbereiches für verschiedene Dinge gleichlautende '''Bezeichner''' verwendet werden dürfen. Dies kann wegen der Wahlfreiheit bei der Benennung sehr leicht vermieden werden, indem einfach keine gleichlautenden Bezeichner benutzt werden. Im folgenden Beispiel wird verdeutlicht, wie in einem Java-Programm zwischen den Bezeichnern von lokalen und globalen Variablen sowie von Methoden formal dennoch eindeutig unterschieden werden kann: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Bezeichner { // globale Variable "bezeichner" (Klassenvariable) private static long bezeichner = 1; // Methode "bezeichner" (Unterprogramm) private static long bezeichner { // lokale Variable "bezeichner" in der Methode "bezeichner" long bezeichner = 3; return bezeichner; } // Hauptprogramm (Methode "main") public static void main (java.lang.String [] argumente) { // Ausgabe der globalen Variable aus der Klasse "Bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert der globalen Variable = " + Bezeichner.bezeichner); // lokale Variable "bezeichner" in der Methode "main" long bezeichner = 2; // Ausgabe der lokalen Variable aus der Methode "main" java.lang.System.out.println ("Wert der lokalen Variable = " + bezeichner); // Ausgabe des Ergebnisses des Aufrufs der Methode "bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert des Unterprogramms = " + bezeichner ()); } } </syntaxhighlight> In dieser Java-Klasse "Bezeichner" gibt es vier gleichlautende Bezeichner "bezeichner": * Der Name einer '''globalen Klassenvariable'''. * Der Name einer '''Methode'''. * Der Name einer '''lokalen Variable''' in der Methode "bezeichner". * Der Name einer '''lokalen Variable''' in der Methode "main". Nach den Regeln der Programmiersprache Java haben lokale Bezeichner bei der Referenzierung innerhalb einer Blockanweisung Vorrang, so dass bei der Verwendung dieser Bezeichner immer auf die lokale Variable zugegriffen wird. Im obigen Beispiel haben die beiden lokalen Variablen "'''bezeichner'''" nichts miteinander zu tun und können nur in ihrer entsprechenden Methode referenziert werden. Soll in einem lokalen Sichtbarkeitsbereich auf die globale Klassenvariable referenziert werden, so kann dies durch einen expliziten und '''qualifizierten Bezeichner''' erwirkt und sichergestellt werden, im obigen Beispiel mit "'''Bezeichner.bezeichner'''". Der Bezeichner einer Methode kann durch das stets folgende runde Klammerpaar identifiziert werden, im obigen Beispiel "'''bezeichner&nbsp;()'''". In älteren, schlecht strukturierten Programmiersprachen kann es bei der mehrfachen Verwendung von gleichen Bezeichnern für Variablen sehr leicht zu Programmierfehlern kommen, die nur mit Aufwand entdeckt und behoben werden können. Die Programmiersprache C erlaubt beispielsweise die Verwendung von lokalen und globalen Variablen mit dem gleichen Bezeichner. Im folgenden Beispiel wird die Variable x zweimal deklariert, einmal global außerhalb der beiden Funktionen f&nbsp;() und g&nbsp;(), und einmal lokal innerhalb der Funktion g&nbsp;(). Beide Funktionen geben einen ganzzahligen Wert von Datentyp "int" zurück, und die Funktion f&nbsp;() gibt mit der Return-Anweisung den Wert der globalen Variable x zurück, die mit dem Wert&nbsp;0 initialisiert wurde. Die Funktion g&nbsp;() hat ihre eigene, lokale Variable&nbsp;x, die auf den Wert&nbsp;1 gesetzt, aber nicht den Wert der globalen Variable x verändert, da es sich um zwei verschiedene Variablen handelt. Wird die doppelte Deklaration beim Programmieren versehentlich übersehen, kommt es zu einem unerwarteten Programmverhalten, da beim Aufruf der Funktion g&nbsp;() nicht der lokale x-Wert&nbsp;1, sondern der globale x-Wert&nbsp;0 zurückgegeben wird: <syntaxhighlight lang="c"> int x = 0; int f () { return x; } int g () { int x; x = 1; return f (); } </syntaxhighlight> Die kann vermeiden werden, indem keine doppelten Bezeichner verwendet werden, was in großen Programmen unter Umständen gar nicht ohne weiteres ersichtlich ist. Wenn der Quellcode übersichtlicher gestaltet wird, ohne die Rückgabeanweisung mit einem Funktionsaufruf f&nbsp;() zu kombinieren, ist das potentielle Problem leichter zu identifizieren, Hierbei wird die überflüssige Initialisierung der im obigen Beispiel gar nicht verwendeten lokalen Variablen&nbsp;x mit dem Wert&nbsp;1 weggelassen, und die lokale Variable wird direkt mit dem Rückgabewert der Funktion f&nbsp;() initialisiert: <syntaxhighlight lang="c"> int x = 0; int f () { return x; } int g () { int x; x = f (); return x; } </syntaxhighlight> Noch besser ist es freilich, die beiden Variablen mit zwei verschiedenen Bezeichnern zu deklarieren. Hier sind die jeweils zurückgegebenen Werte offensichtlicher nachzuvollziehen: <syntaxhighlight lang="c"> int xGlobal = 0; int f () { return xGlobal; } int g () { int x; x = f (); return x; } </syntaxhighlight> ===Modularisierung=== Teilprogramme können Methoden oder ganze Sammlungen von Datenstrukturen und Methoden sein. Diese werden oft '''Klassen''' oder '''Module''' genannt und können in '''Paketen''' gruppiert werden. Alle Teilprogramme sollen eindeutige und sprechende Bezeichner und streng definierte Signaturen und Schnittstellen für die Namen und die Datentypen aller Parameter beziehungsweise Klassen- und Instanzvariablen haben. Bei diesen Teilprogrammen handelt es sich in der Regel um die kleinsten dauerhaft speicherbaren Programmeinheiten, die zum Beispiel in einer Datenbank oder einem Dateisystem zu größeren Einheiten wie Verzeichnissen, Paketen oder Bibliotheken zusammengefasst werden. Solche Programmeinheiten werden durch ihre '''Signatur''' eindeutig gekennzeichnet. Die Signatur besteht zunächst aus dem '''Namen''' der Programmeinheit. Ferner kann mit einem Modifikator explizit definiert werden, dass diese Programmeinheit allgemein, also von allen und beliebigen anderen Programmeinheiten, verfügbar sein soll (Modifikator ''public'' / ''öffentlich''). Für eine Beschränkung nur auf die nächst höhere Programmeinheit, wie beispielsweise einem Paket (englisch "package"), kann der Modifikator ''private'' verwendet werden. Eine typische Programmbibliothek hat in der Programmiersprache Java am Beispiel des Moduls "java.base" und der beiden Pakete "java.io" und "java.lang" folgende ausschnittsweise Struktur und Hierarchie: <syntaxhighlight lang="Java"> module java.base; package java.io; class Reader; { // Implementation der Klasse Reader } class Writer; { // Implementation der Klasse Writer } package java.lang; class String; { // Implementation der Klasse String } class System; { // Implementation der Klasse System } </syntaxhighlight> ===Unterprogramme=== Unterprogramme werden in Programmiersprachen ganz unterschiedlich genannt. Meistens werden die Begriffe '''Methode''', '''Prozedur''', '''Funktion''' oder '''Kommando''' verwendet. Unterprogramme werden durch ihre '''Signatur''' eindeutig deklariert, und alle Unterprogrammaufrufe müssen sich streng an diese Deklaration halten. Die Signatur besteht zunächst aus dem '''Namen''' des Unterprogramms. Unterprogramme haben optional einen '''Rückgabewert''', für die der Datentyp ebenfalls festgelegt werden muss und der in streng strukturierten Programmiersprachen ebenfalls zur Signatur des Unterprogramms gehört und verwendet werden muss. Solche Unterprogramme mit Rückgabewert werden in Anlehnung an die mathematischen Funktionen in manchen Programmiersprache explizit '''Funktion''' genannt. Leider ist es in manchen Programmiersprachen erlaubt, Rückgabewerte von solchen Funktionen zu ignorieren und diese nicht in einer Variablen zu speichern oder im Rahmen eines Ausdrucks auszuwerten, was zu leicht zu übersehenden Programmierfehlern führen kann. Ferner gibt es innerhalb der Signatur optionale '''Modifikatoren''', die die Regeln für die Sichtbarkeit (zum Beispiel ''öffentlich'' / ''privat'' / ''eingeschränkt'', englisch: ''public'' / ''private'' / ''limited'') festlegen. In der objektorientierten Programmierung werden Unterprogramme oft als '''Methoden''' bezeichnet, da sie keine konkreten oder vollständigen Anweisungen enthalten müssen und durch Überschreiben erweitert oder angepasst werden dürfen. Die Überschreibbarkeit einer Methode wird mit einem weiteren Modifikator festgelegt (wie zum Beispiel mit ''statisch'' / ''erweiterbar'' / ''abstrakt'' / ''abgeschlossen'', englisch: ''static'' / ''extensible'' / ''abstract'' / ''final''). Unterprogramme haben keinen, einen oder mehrere '''Parameter'''. Unterprogramme ohne Parameter werden auch parameterlose Unterprogramme genannt. Parameter verhalten sich innerhalb des Unterprogramms wie lokale Variablen, nur dass sie beim Aufruf der Unterprogramme angegeben werden müssen und gegebenenfalls zusammen mit dem Rückgabewert die Schnittstelle für den Datenaustausch zum aufrufenden Programm darstellen. Die Anzahl, die Namen, die Datentypen und die Reihenfolge der '''Parameter''' gehören ebenfalls zur Signatur einer Unterprogramms. Beim Aufruf eines Unterprogramms müssen alle Parameter in der richtigen Reihenfolge und zuweisungskompatibel angegeben werden. Parameter können unterschieden werden in: * '''Eingangsparameter''' ('''in'''), die als Wert (englisch ''value'') übergeben (kopiert) und nur innerhalb des jeweiligen Unterprogramms verwendet werden. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind sie ungültig und dürfen beziehungsweise können nicht mehr referenziert werden. * '''Ausgangsparameter''' ('''out'''), die als Referenzen (Zeiger auf einen Speicherbereich, englisch ''pointer'') übergeben und deren Werte erst innerhalb des Unterprogramms ermittelt und zugewiesen werden. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind die jeweiligen Werte über ihre Referenzen abrufbar. Die referenzierten Speicherbereiche müssen vor dem Unterprogrammaufruf allokiert worden sein (der Speicherort und die Speichergröße sind dadurch festgelegt), aber der Speicherinhalt muss noch nicht definiert worden sein, da er innerhalb des Unterprogramms nicht verwendet, sondern erst bestimmt und dann zugewiesen wird. Beim Programmieren ist große Sorgfalt darauf zu legen, dass die entsprechenden Zuweisungen innerhalb des Unterprogramms in jedem Fall erfolgen, falls die verwendete Programmiersprache dies nicht sowieso vorschreibt und erzwingt. * '''Durchgangsparameter''' ('''var'''iable), die als Referenzen mit definierten Speicheradressen (Zeigern) an das Unterprogramm übergeben, innerhalb des Unterprogramms verwendet und nach einer möglichen Veränderung (respektive '''Var'''iation) während des Unterprogrammaufrufs weiterverwendet werden können. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind ihre aktuellen Werte in den aufrufenden Programmteilen über die Referenzen abrufbar. ===Grundlegende Anweisungen=== Grundsätzlich kommt die strukturierte Programmierung in imperativen Programmiersprachen mit folgenden grundlegenden Anweisungen aus: * '''Deklaration''', zum Beispiel bei Klassen, Methoden, Variablen oder Konstanten mit einer eindeutigen Signatur: ** '''Modifikatoren''' für die Sichtbarkeit, Verwendbarkeit oder Veränderbarkeit ** '''Bezeichner''' ** Optional (bei Methoden, Funktionen, Prozeduren): '''Parameter''' mit Deklaration der Bezeichner, der Veränderbarkeiten und der Datentypen ** Optional (bei Funktionen): Datentyp des '''Rückgabewertes''' * '''Blockanweisung''', zum Beispiel BEGIN ... END oder { ... } * '''Zuweisung''', zum Beispiel a := b - c; (das Gleichheitseichen ist nicht zu verwechseln mit einem Vergleichsoperator) * '''Aufruf von Unterprogrammen''': ** '''Kommandos''' (ohne Parameter und ohne Rückgabewert) ** '''Prozeduren''' oder Methoden (ohne Rückgabewert) ** '''Funktionen''' (mit Rückgabewert) * '''Rückgabe''' bei Funktionen, zum Beispiel return x; Anweisungen werden häufig durch ein reserviertes Zeichen abgeschlossen, wie zum Beispiel mit einem Semikolon. Das folgende Beispiel zeigt eine Java-Klasse mit 15 grundlegenden Anweisungen: <syntaxhighlight lang="Java"> // Deklaration der oeffentlichen Klasse "Anweisungen" public class Anweisungen // Implementation der Klasse mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der privaten, globalen Klassenvariable "flaeche" vom Datentyp "double" private static double flaeche; // Deklaration der privaten statischen Methode "kreisflaeche" (Unterprogramm) zur Berechnung der Flaeche eines Kreises mit dem Radius "radius" // mit dem Parameter "radius" vom Datentyp "double" // und mit einer Gleitkommazahl vom Datentyp "double" als Rueckgabewert private static double kreisflaeche (double radius) // Implementation der Methode "kreisflaeche" mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der lokalen Variable "ergebnis" vom Datentyp "double" double ergebnis; // Zuweisung eines Ausdrucks an die Variable "ergebnis" mit dem Zuweisungsoperator "=" // Syntax: "Variablenname Zuweisungsoperator Ausdruck Semikolon" // Der arithmetische Ausdruck verwendet zwei Multiplikationsoperatoren "*" // Die Kreiszahl pi aus der Klasse "java.lang.Math" wird qualifiziert bezeichnet: "java.lang.Math.PI" ergebnis = java.lang.Math.PI * radius * radius; // Ruecksprunganweisung "return" mit der Rueckgabe der Gleitkommazahl "ergebnis" return ergebnis; } // Deklaration der oeffentlichen statischen Methode main (Hauptprogramm) public static void main (java.lang.String [] arguments) // Implementation der Methode "main" mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der lokalen Variable "raddurchmesser" vom Datentyp double double raddurchmesser; // Initialisierung der lokalen Variable "raddurchmesser" durch Zuweisung des konstanten arithmetischen Zahlenausdrucks "1.5" raddurchmesser = 1.5; // Aufruf der Methode "kreisflaeche" mit dem arithmetischen Ausdruck "raddurchmesser / 2" als Parameter // Der Rueckgabewert des Methodenaufrufs ist ein Ausdruck und wird der globalen Klassenvariablen "flaeche" zugewiesen flaeche = kreisflaeche (raddurchmesser / 2); // Aufruf der Methode "println" mit dem Parameter "flaeche" zur Ausgabe der berechneten Kreisflaeche // Die Methode aus der Klasse "java.lang.System" wird qualifiziert bezeichnet: "java.lang.System.out.println" java.lang.System.out.println (flaeche); } } </syntaxhighlight> Diese Anweisungen sind in der Reihenfolge des Auftretens: # '''Deklaration''' der Klasse "Anweisungen" # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Klasse "Anweisungen" # '''Deklaration''' der Klassenvariable "flaeche" # '''Deklaration''' der Methode "kreisflaeche" (Unterprogramm) # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Methode "kreisflaeche" # '''Deklaration''' einer lokalen Variable "ergebnis" in der Methode "kreisflaeche" # '''Zuweisung''' an die lokale Variable "ergebnis" in der Methode "kreisflaeche" # '''Rücksprung''' vom Unterprogramm "kreisflaeche" zum Hauptprogramm "main" # '''Deklaration''' der Methode "main" (Hauptprogramm) # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Methode "main" # '''Deklaration''' der lokalen Variable "raddurchmesser" # '''Zuweisung''' an die lokale Variable "raddurchmesser" # '''Aufruf''' des Unterprogramms "kreisflaeche" # '''Zuweisung''' an die globale Klassenvariable "flaeche" # '''Aufruf''' des Unterprogramms "println" ===Anweisungsstrukturen=== Anweisungesstrukturen setzen sich aus mehreren Anweisungen zusammen. Eine Methode besteht zum Beispiel aus einer Deklaration mit der Definition der Schnittstelle, der unmittelbar eine Blockanweisung mit der Implementierung folgt. Zu den weiteren elementaren Anweisungsstrukturen für Teilprogramme gehören: * '''Anweisungsfolgen''' * '''Kontrollstrukturen''' ** '''Fallunterscheidungen''' *** bedingte Anweisungen (if - then) *** einfache Verzweigungen (if - then - else) *** mehrfache Verzweigungen (switch - case - else) ** '''Wiederholungen (Schleifen)''' *** kopfgesteuerte Schleifen (while-Schleifen, for-Anweisungen) *** fußgesteuerte Schleifen (repeat - until, do - while) Bei jedem elementaren Teilprogramm (respektive jeder Methode, Prozedur oder Funktion, aber auch bei jeder Definition von Datenstrukturen) sollte der Quelltext bequem und vollständig auf einer Bildschirmseite gelesen werden können, ohne dass der Text im Betrachtungsfenster verschoben werden muss. Dabei empfiehlt es sich, Methodenaufrufe und übersichtliche Blockanweisungen zu verwenden, mit denen der Quellcode in Unterabschnitte gegliedert werden kann (Verfeinerung). Im folgenden Beispiel werden drei geschachtelte Blockanweisungen durch jeweils ein Paar geschweifter Klammern begrenzt. Die äußersten Klammern dienen zur Begrenzung der Implementation der Methode "printMonth", die inneren Blockanweisungen sind ebenso wie alle anderen Anweisungen nach rechts eingerückt: printMonth () { const int NumberOfWeekdays ← 7 const int LastDay ← 31 int column int day ← 1 while (day <= LastDay) { printInt (day) column ← day modulo NumberOfWeekdays if (column = 0) { printLine () } day ← day + 1 } } Wächst die Länge einer Methode zu sehr an, können und sollen einzelne Blockanweisungen unter Berücksichtigung der entsprechenden Übergabeparameter in eigene, aufzurufende Methoden ausgelagert werden, wodurch der Code geringfügig länger, aber wesentlich besser verständlich wird: optionalNewLine (int day) { const int NumberOfWeekdays ← 7 int column ← day modulo NumberOfWeekdays if (column = 0) { printLine () } } void printMonth () { const int LastDay ← 31 int day ← 1 while (day <= LastDay) { printInt (day) optionalNewLine (day) day ← day + 1 } } Hierbei ist es hilfreich, wenn die aufzurufenden Programmteile vor ihrer ersten Verwendung implementiert werden, im Quelltext also zuerst definiert (also deklariert und implementiert) und erst weiter unten benutzt (respektive aufgerufen oder referenziert) werden. Häufig wird behauptet, dass die Performanz der ausgeführten Programme durch die Aufteilung in solche Unterprogramme leiden würde, da die zahlreichen Aufrufe und Rücksprünge Rechenzeit und Speicherressourcen kosten. In den allermeisten Fällen ist dies auf modernen Rechenmaschinen jedoch zu vernachlässigen. Bei den meisten Anwendungen wird am Speicherbedarf und an der Rechenzeit nicht bemerkt werden können, ob ein strukturiertes oder ein unstrukturiertes Programm vorliegt. Bestenfalls bei extrem rechenintensiven Aufgaben (wie zum Beispiel beim sogenannten "number crunching" ("Zahlenfressen"), bei Monte-Carlo-Simulationen oder Big-Data-Analysen) kann dies bei den extrem häufig aufgerufenen Unterprogrammen einen nennenswerten Effekt haben. Hierbei kann eine wohlstrukturierte Parallelisierung von Programmen oder die Ausgliederung von Rechenaufgaben in spezialisierte Hardware (Graphikprozessoren, digitale Signalprozessoren (DSP), Field Programmable Gate Arrays (FPGA) oder Quantencomputer) wesentlich zu einer Beschleunigung der Programmabläufe beitragen. Eine Software, die von den Anwendern als zu langsam empfunden wird, ist meist nur schlecht programmiert. Ferner kann gar nicht häufig genug betont werden, dass die Entwicklung und Wartung unstrukturierter Programme erheblich länger dauert und wesentlich fehleranfälliger ist. === Schrittweise Verfeinerung === Die Implementierung von Software geschieht in der Regel vom Großen ins Kleine. Grob entworfene Anweisungsfolgen und Datenstrukturen werden dabei im Rahmen einer '''schrittweisen Verfeinerung''' immer genauer den Anforderungen angepasst. Die folgenden Aspekte sind bei der schrittweisen Verfeinerung nach wie vor typisch:<ref>Niklaus Wirth: [http://sunnyday.mit.edu/16.355/wirth-refinement.html Program Development by Stepwise Refinement], Communications of the Association for Computing Machinery, Band 14, Nummer 4, April 1971, Seiten 221 bis 227</ref> * In jedem Schritt wird eine Aufgabe (ein Programmteil / ein Datensatz) in Unteraufgaben (in Unterprogramme / in Unterdatensätze) aufgeteilt. * Der Grad der Abkapselung von Unteraufgaben bestimmt, wie leicht oder schwer Programme und Datenstrukturen angepasst oder übertragen werden können. * Die Notation für Programme und Daten sollte stets so weit wie möglich sowohl der natürlichen Sprache und der Natur der Sache als auch der Hardware und den Software-Werkzeugen angepasst sein. * Die Berücksichtigung der Kriterien Laufzeiteffizienz und Speichereffizienz sowie Klarheit und Regelmäßigkeit der Strukturen ist in allen Entwicklungsschritten bis zur Fertigstellung relevant. * Es muss immer erwogen werden, dass ein korrekt funktionierendes Programm durch eine bessere Version ersetzt werden kann und dass frühere Entscheidungen aus allen Entwicklungsschritten revidiert werden können. * Die Entwicklung und Wartung guter Programme ist alles andere als trivial, wird aber durch den Einsatz streng strukturierter Programmiersprachen deutlich erleichtert. == Datenstrukturen == Nicht nur der Programmcode, sondern auch die zu verarbeitenden Daten müssen gut strukturiert werden, um die Entwicklungszeiten zu reduzieren, die Qualität der Programme zu erhöhen und die Wartung der Quelltexte zu erleichtern. Gehören zum Beispiel ganz verschiedene Attribute zu einer Sache, sollen diese Attribute zu einer Datenstruktur zusammengefasst werden. Datenstrukturen können auch geschachtelt eingesetzt werden, so dass sehr umfangreiche und komplexe Datenstrukturen abgebildet werden können. ===Aufzählungen=== Eine '''Aufzählung''' (englisch "enumeration") wird verwendet, wenn bestimmte Eigenschaften von Datenstrukturen abzählbar und endlich sind. Mit diesen thematisch zusammengehörigen Aufzählungen können im Programmtext an allen entsprechenden Stellen statt abstrakt zugeordneter Zahlen konkret zugeordnete symbolische Konstanten mit sprechenden und selbsterklärenden Bezeichnern verwendet werden. Manche Programmiersprachen bieten dafür sogar die Möglichkeit an, dafür eigene Datentypen zu erstellen, in vielen Programmiersprachen wird das jedoch auf sehr simple Weise mit ganzzahligen Basisdaten nachgebildet. Im folgenden Beispiel wird erläutert, wie verschiedene Kalendersysteme als Aufzählung behandelt werden können. Hierbei werden die folgenden vier Kalendersysteme zu Auswahl: * Jüdisches Kalendersystem, Kennzahl = 1 * Julianisches Kalendersystem, Kennzahl = 2 * Gregorianisches Kalendersystem, Kennzahl = 3 * Islamisches Kalendersystem, Kennzahl = 4 <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Kalendersystem { public final static long JUEDISCH = 1; // Lunisolarkalender public final static long JULIANISCH = 2; // Solarkalender bis 4. Oktober 1582 (Donnerstag) public final static long GREGORIANISCH = 3; // Solarkalender seit 15. Oktober 1582 (Freitag) public final static long ISLAMISCH = 4; // Lunarkalender } </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Oberon *) MODULE Kalendersystem; CONST JUEDISCH = 1; (* Lunisolarkalender *) JULIANISCH = 2; (* Solarkalender bis 4. Oktober 1582 (Donnerstag) *) GREGORIANISCH = 3; (* Solarkalender seit 15. Oktober 1582 (Freitag) *) ISLAMISCH = 4; (* Lunarkalender *) </syntaxhighlight> In manchen, meist älteren Programmiersprachen gibt es explizite Aufzählungstypen, bei denen der Compiler automatisch die dazugehörigen ganzen Kennzahlen festlegt, ohne dass diese im Quelltext auftauchen, weil ausschließlich die symbolischen Konstanten aus der Deklaration des Aufzählungstyps verwendet werden. Variablen des Datentyps "Kalendersystem" im folgenden Beispiel dürfen nur die vier zwischen den runden Klammern explizit angegebenen respektive aufgezählten symbolischen Konstanten und keine beliebigen ganzen Zahlen verwenden: <syntaxhighlight lang="modula2"> (* Programmiersprache Modula-2 *) TYPE Kalendersystem = (JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH); </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="cpp"> /* Programmiersprache C++ */ enum Kalendersystem = {JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH}; </syntaxhighlight> ===Verbunde=== Gehören mehrere verschiede Attribute zu einer Datenstruktur, spricht man auch von einem '''Verbund'''. Diese Datenstrukturen werden je nach Programmiersprache häufig "struct" oder "record" genannt. Alle Attribute können und müssen über einen zentralen Zugang adressiert werden. Dies soll im Folgenden anhand der Datenstruktur "Kalenderdatum" beispielhaft erläutert werden. Ein Kalenderdatum möge aus einem '''Tag''', einem '''Monat''', einem '''Jahr''' und einem '''Kalendersystem''' bestehen: Alle vier Attribute werden in vier unabhängigen Datenfeldern gespeichert. Im vorliegenden Beispiel sind zwar alle vier Datenfelder vom Basisdatentyp "ganze Zahl" ("long" oder "INTEGER"), die Bedeutung und die gültige Zahlenbereiche unterscheiden sich jedoch: * Tag: ganze Zahl im Intervall [1..31] * Monat: ganze Zahl im Intervall [1..12] * Jahr: ganze Zahl * Kalendersystem. ganze Zahl des Aufzählungstyps "Kalendersystem" mit den vier Optionen (JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH) <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Kalenderdatum { // Instanzvariablen private long tag; private long monat; private long jahr; private long kalendersystem; public Kalenderdatum (long tag, long monat, long jahr, long kalendersystem) // Konstruktor zur Initialisierung von Instanzvariablen der Klasse Kalenderdatum { this.tag = tag; this.monat = monat; this.jahr = jahr; this.kalendersystem = kalendersystem; } public static void main (java.lang.String [] argumente) // main-Methode der Klasse "Kalenderdatum" { Kalenderdatum kalenderdatum = new Kalenderdatum (10, 4, 2023, Kalendersystem.GREGORIANISCH); // Eine neue Instanz wird erzeugt und durch den Aufruf des Konstruktors initialisiert java.lang.System.out.print (kalenderdatum.tag); java.lang.System.out.print ("."); java.lang.System.out.print (kalendekalenderdatum.monat); java.lang.System.out.print ("."); java.lang.System.out.print (kalenderdatum.jahr); java.lang.System.out.println (); // Zeilenumbruch } } </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Oberon *) IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) TYPE Kalenderdatum = RECORD tag: INTEGER; monat: INTEGER; jahr: INTEGER; kalendersystem: INTEGER; END; VAR kalenderdatum; (* Variable *) BEGIN kalenderdatum.tag = 10; kalenderdatum.monat = 4; kalenderdatum.jahr = 2023; kalenderdatum.kalendersystem = Kalendersystem.GREGORIANISCH; Out.Int (kalenderdatum.tag); Out.String ("."); Out.Int (kalenderdatum.monat); Out.String ("."); Out.Int (kalenderdatum.jahr); Out.Ln; (* Zeilenumbruch *) END; </syntaxhighlight> Die Textausgabe lautet jeweils: <syntaxhighlight lang="text"> 23.4.2023 </syntaxhighlight> ===Arrays=== In Arrays werden endlich viele und abzählbare Elemente eines bestimmten Datentyps in einer geordneten Reihe gespeichert. Die einzelnen Elemente können über einen ganzzahligen Index angesprochen werden. Der niedrigste Index ist meistens der Index Null, und dieser zeigt auf die erste Speicheradresse des Arrays. Da alle Elemente vom gleichen Datentyp sind, wird für jedes Element immer der gleiche Speicherplatz benötigt. Elemente mit komplexen Datentypen, werden nicht direkt im Array gespeichert, sondern dieses enthält als Verweise Zeiger mit den Speicheradressen der Inhalte der Elemente. Wenn der Speicherbedarf für ein Element (oder dessen Zeiger) <math>S_E</math> Bytes beträgt und das Array insgesamt <math>N</math> Elemente hat, dann berechnet sich der Speicherbedarf <math>S</math> für das ganze Array aus dem Produkt: <math>S = S_E \cdot N</math> Die Speicheradresse <math>A_i</math> des i-ten Elements des Arrays berechnet sich dann mit einfacher und effizient ausführbarer Arithmetik aus der Speicheradresse des Arrays <math>A</math>, dem Speicherbedarf für ein Element (oder dessen Zeiger) <math>S_E</math> und dem Index <math>i</math> : <math>A_i = A + S_E \cdot i</math> mit <math>0 \le i < N</math> Die Speicheradresse des ersten Elements mit dem Index Null <math>A_0</math> ist also stets identisch mit der Speicheradresse des Arrays <math>A</math>. Im folgenden Beispiel wird ein Array mit acht zufällig verteilten Gleitkommazahlen dargestellt, bei denen jede Gleitkommazahl einen Speicherplatz von '''8&nbsp;Bytes''' (Datentyp '''double''' mit 64&nbsp;Bits) belegt: {| class="wikitable" |'''Länge des Arrays <math>N</math>''' |'''Speicheradresse des Arrays (dezimal) <math>A</math>''' |'''Speicheradresse des Arrays (hexadezimal) <math>A</math>''' |'''Speicherbedarf für eine Gleitkommazahl in Bytes <math>S_E</math>''' |- |8 |10000000 |98 96 80 |8 |- |'''Index <math>i</math>''' |'''Speicheradresse des Elements im Array (dezimal) <math>A_i = A + S_E \cdot i</math>''' |'''Speicheradresse des Elements im Array (hexadezimal) <math>A_i = A + S_E \cdot i</math>''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Gleitkommazahl)''' |- |0 |10000000 |98 96 80 |678,1495238 |- |1 |10000008 |98 96 88 |317,4610959 |- |2 |10000016 |98 96 90 |574,3131347 |- |3 |10000024 |98 96 98 |673,9323679 |- |4 |10000032 |98 96 A0 |854,6637912 |- |5 |10000040 |98 96 A8 |764,4845853 |- |6 |10000048 |98 96 B0 |335,5146962 |- |7 |10000056 |98 96 B8 |545,0787382 |} Das folgende Java-Programm implementiert ein solches Array mit acht Gleitkommazahlen: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Array { // Klassenvariable zufallszahlen als Array mit acht Gleitkommazahlen private static double zufallszahlen [] = new double [8]; public static void setzeZufallszahlen (long startwert) // Methode zur Bestimmung aller Gleitkommazahlen { // Variable zufallszahl java.util.Random zufallszahl = new java.util.Random (startwert); // Startwert für erste Zufallszahl long anzahl = zufallszahlen.length; int zaehler = 0; // der Index von Arrays darf nicht vom Datentyp long sein while (zaehler < anzahl) { zufallszahlen [zaehler] = zufallszahl.nextDouble (); zaehler++; } } public static void ausgabeZufallszahlen () // Methode zur Ausgabe aller Gleitkommazahlen { long anzahl = zufallszahlen.length; int zaehler = 0; // der Index von Arrays darf nicht vom Datentyp long sein while (zaehler < anzahl) { java.lang.System.out.println (zufallszahlen [zaehler]); zaehler++; } } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der beiden Unterprogramme { setzeZufallszahlen (1000); // Aufruf des Unterprogramms setzeZufallszahlen mit dem Parameter 1000 als Startwert ausgabeZufallszahlen (); // Aufruf des Unterprogramms ausgabeMonatsname ohne Parameter } }</syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe von acht Pseudozufallszahlen: <syntaxhighlight> 0.7101849056320707 0.574836350385667 0.9464192094792073 0.039405954311386604 0.4864098780914311 0.4457367367074283 0.6008140654988429 0.550376169584217 </syntaxhighlight> Im nächsten Beispiel mit einem Array für die zwölf Monatsnamen ist der Datentyp eines Arrayelements jeweils eine Zeichenkette, die je nach ihrer Länge verschieden große Speicherbereiche belegen: {| class="wikitable" |'''Länge des Arrays''' |'''Speicheradresse des Arrays''' |'''Speicherbedarf für eine Speicheradresse''' |'''Speicherbedarf für ein Zeichen''' | | |- |13 |10000000 |4 |2 | | |- |Index |'''Speicheradresse des Elements im Array''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Speicheradresse)''' |'''Länge der Zeichenkette''' |'''Speicherbedarf der Zeichenkette''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Zeichenkette)''' |- |0 |10000000 |20000000 |8 |16 |"deutsch" |- |1 |10000004 |20000016 |7 |14 |"Januar" |- |2 |10000008 |20000030 |8 |16 |"Februar" |- |3 |10000012 |20000046 |5 |10 |"März" |- |4 |10000016 |20000056 |6 |12 |"April" |- |5 |10000020 |20000068 |4 |8 |"Mai" |- |6 |10000024 |20000076 |5 |10 |"Juni" |- |7 |10000028 |20000086 |5 |10 |"Juli" |- |8 |10000032 |20000096 |7 |14 |"August" |- |9 |10000036 |20000110 |10 |20 |"September" |- |10 |10000040 |20000130 |8 |16 |"Oktober" |- |11 |10000044 |20000146 |9 |18 |"November" |- |12 |10000048 |20000164 |9 |18 |"Dezember" |} In den folgenden Beispielen in der Programmiersprache werden die zwölf Monatsnamen in Arrays mit Zeichenketten gespeichert. Hierzu wird die Sprache der Monatsnamen im ersten Arrayfeld mit dem Index 0 und die zwölf Monatsnamen in den folgenden Arrayfeldern mit den Indizes 1 bis 12 gespeichert: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Monatsnamen { // Klassenvariable private static java.lang.String monatsnamen [] = {"deutsch", "Januar", "Februar", "März", "April", "Mai", "Juni", "Juli", "August", "September", "Oktober", "November", "Dezember"}; public static void ausgabeMonatsname (int monat) // Methode zur Textausgabe von Monatsnamen { java.lang.System.out.println (monatsnamen [monat]); } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der Methode ausgabeMonatsname { ausgabeMonatsname (1); // Aufruf des Unterprogramms ausgabeMonatsname mit dem Parameter 1 } } </syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe mit dem ersten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Januar </syntaxhighlight> In einigen Programmiersprachen muss die Größe der Array vor der Initialisierung festgelegt werden, und die Zuordnung zwischen den Indizes und den Arrayfeldern ist dann auch bei der Initialisierung explizit erkennbar: <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Monatsnamen; IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) TYPE Monatsnamen = POINTER TO ARRAY OF ARRAY OF CHAR; VAR monatsnamen: Monatsnamen; PROCEDURE InittialisiereMonatsnamen (); (* Prozedur zur Initialisierung von Monatsnamen *) BEGIN NEW (monatsnamen, 13, 10); (* Reservierung von 13 Zeichenketten mit je 10 Zeichen) *) monatsnamen [0] := "deutsch"; monatsnamen [1] := "Januar"; monatsnamen [2] := "Februar"; monatsnamen [3] := "März"; monatsnamen [4] := "April"; monatsnamen [5] := "Mai"; monatsnamen [6] := "Juni"; monatsnamen [7] := "Juli"; monatsnamen [8] := "August"; monatsnamen [9] := "September"; monatsnamen [10] := "Oktober"; monatsnamen [11] := "November"; monatsnamen [12] := "Dezember"; END InittialisiereMonatsnamen; PROCEDURE AusgabeMonatsname (monat: INTEGER); (* Prozedur zur Textausgabe von Monatsnamen *) BEGIN Out.String (monatsnamen [monat]); END AusgabeMonatsname; PROCEDURE Hauptprogramm*; BEGIN InittialisiereMonatsnamen (); (* Initialisierung beim Laden des Moduls "Monatsnamen" *) AusgabeMonatsname (1); (* Aufruf des Unterprogramms AusgabeMonatsname mit dem Parameter 1 *) END Hauptprogramm; END Monatsnamen. </syntaxhighlight> Durch den Aufruf von ''Monatsnamen.Hauptprogramm'' erfolgt die Ausgabe mit dem ersten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Januar </syntaxhighlight> Arrays können mehrdimensional gestaltet werden. Um zum Beispiel zwei Sprachen mit Monatsnamen zu speichern, kann eine weitere Dimension mit einem Index für die gewünschte Sprache implementiert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Monatsnamen { // Konstanten für Sprachaufzählung public final static int DEUTSCH = 0; public final static int ENGLISCH = 1; // Klassenvariablen private static java.lang.String monatsnamen [] [] = { {"deutsch", "Januar", "Februar", "März", "April", "Mai", "Juni", "Juli", "August", "September", "Oktober", "November", "Dezember"}, {"english", "January", "February", "March", "April", "May", "June", "July", "August", "September", "October", "November", "December"} }; public static void ausgabeMonatsname (int monat) // Methode zur Textausgabe von Monatsnamen { java.lang.System.out.println ("Deutschsprachiger Monatsname = " + monatsnamen [DEUTSCH] [monat]); java.lang.System.out.println ("Englischsprachiger Monatsname = " + monatsnamen [ENGLISCH] [monat]); } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der Methode ausgabeMonatsname { ausgabeMonatsname (2); } } </syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe mit den beiden zweiten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Deutschsprachiger Monatsname = Februar Englischsprachiger Monatsname = February </syntaxhighlight> Bei anderen Programmiersprachen ist durch die obligatorische Verwendung von symbolischen Konstanten (im Beispiel unten "DEUTSCH" und "ENGLISCH") bei jeder erforderlichen, also auch bei allen initialen Zuweisungen zu Array-Elementen übersichtlich und klar erkennbar, welches Feld angesprochen wird: <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Monatsnamen; IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) CONST DEUTSCH = 0; ENGLISCH = 1; TYPE Monatsnamen = POINTER TO ARRAY OF ARRAY OF ARRAY OF CHAR; VAR monatsnamen: Monatsnamen; PROCEDURE InittialisiereMonatsnamen (); (* Prozedur zur Initialisierung von Monatsnamen *) BEGIN NEW (monatsnamen, 2, 13, 10); (* Reservierung von 2 mal 13 Zeichenketten mit je 10 Zeichen) *) monatsnamen [DEUTSCH, 0] := "deutsch"; monatsnamen [DEUTSCH, 1] := "Januar"; monatsnamen [DEUTSCH, 2] := "Februar"; monatsnamen [DEUTSCH, 3] := "März"; monatsnamen [DEUTSCH, 4] := "April"; monatsnamen [DEUTSCH, 5] := "Mai"; monatsnamen [DEUTSCH, 6] := "Juni"; monatsnamen [DEUTSCH, 7] := "Juli"; monatsnamen [DEUTSCH, 8] := "August"; monatsnamen [DEUTSCH, 9] := "September"; monatsnamen [DEUTSCH, 10] := "Oktober"; monatsnamen [DEUTSCH, 11] := "November"; monatsnamen [DEUTSCH, 12] := "Dezember"; monatsnamen [ENGLISCH, 0] := "english"; monatsnamen [ENGLISCH, 1] := "January"; monatsnamen [ENGLISCH, 2] := "February"; monatsnamen [ENGLISCH, 3] := "March"; monatsnamen [ENGLISCH, 4] := "April"; monatsnamen [ENGLISCH, 5] := "May"; monatsnamen [ENGLISCH, 6] := "June"; monatsnamen [ENGLISCH, 7] := "July"; monatsnamen [ENGLISCH, 8] := "August"; monatsnamen [ENGLISCH, 9] := "September"; monatsnamen [ENGLISCH, 10] := "October"; monatsnamen [ENGLISCH, 11] := "November"; monatsnamen [ENGLISCH, 12] := "December"; END InittialisiereMonatsnamen; PROCEDURE AusgabeMonatsname (monat: INTEGER); (* Prozedur zur Textausgabe von Monatsnamen *) BEGIN Out.String ("Sprache = " + monatsnamen [DEUTSCH, 0] + ": " + monatsnamen [DEUTSCH, monat]); Out.Ln; Out.String ("Sprache = " + monatsnamen [ENGLISCH, 0] + ": " + monatsnamen [ENGLISCH, monat]); Out.Ln; END AusgabeMonatsname; PROCEDURE Hauptprogramm*; BEGIN InittialisiereMonatsnamen (); (* Initialisierung beim Laden des Moduls "Monatsnamen" *) AusgabeMonatsname (2); END Hauptprogramm; END Monatsnamen. </syntaxhighlight> Durch den Aufruf von ''Monatsnamen.Hauptprogramm'' erfolgt die Ausgabe mit den beiden zweiten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Sprache = deutsch: Februar Sprache = english: February </syntaxhighlight> Die Verwendung von Indizes außerhalb der deklarierten oder angeforderten Array-Größen verursachen in streng strukturierten Programmiersprachen zur Laufzeit einen Programmabbruch. Bei sorgfältiger Programmierung ist deswegen darauf zu achten, dass nur gültige Indizes zur Anwendung kommen können. In schlecht strukturierten Programmiersprachen wie C oder C++ werden die Indizes von Arrays in der Regel nicht automatisch geprüft, so dass unbemerkt auf ungültige Speicheradressen zugegriffen werden kann und bei entsprechenden Angriffen Daten verfälscht und schadhafter Binärcode in die Programme eingeschleust sowie zur Ausführung gebracht werden kann. ==Kontrollstrukturen== Kontrollstrukturen dienen dazu, den Programmablauf in wohlstrukturierter Weise im Sinne eines Algorithmus zu beeinflussen. Hierfür können '''Unterprogramme''' aufgerufen, '''Fallunterscheidungen''' vorgenommen oder Programmteile mehrfach durchlaufen werden ('''Schleifen'''). ===Sprunganweisungen=== Sprünge an andere Programmstellen ergeben sich inhärent beim Aufruf von Unterprogrammen. Geschieht ein solcher Sprung durch eine explizite Sprunganweisung im Programmcode, wie zum Beispiel mit Goto-, Break- oder Continue-Anweisungen, ist dies unstrukturiert und im Übrigen auch völlig überflüssig, denn Programme mit Sprunganweisungen können immer und ohne großen Aufwand durch Kontrollstrukturen, also mit Hilfe von '''Unterprogrammen''', '''Schleifen''' oder '''Fallunterscheidungen''', gestaltet werden. Explizite Sprunganweisungen stellen eine "Programmiertechnik mit dem Holzhammer" und wegen der daraus resultierenden verschlungenen Pfade während des Programmablaufs einen sogenannten '''Spaghetti-Code''' dar. Im Quellcode ist der Programmablauf nicht mehr ohne weiteres nachvollziehbar, beispielsweise bei der Untersuchung, von welchen Stellen des Programms an welche anderen Stellen gesprungen werden soll oder worden sein kann. Im Falle der Switch-Case-Anweisung handelt es sich bei der in manchen Programmiersprachen verwendeten Break-Anweisung eigentlich nicht um eine Sprunganweisung, sondern um einen obligatorischen Begrenzer (englisch: ''delimiter''), der zur Herstellung der Programmstruktur erforderlich ist. In einigen Programmiersprachen darf dieser Begrenzer (''break'') jedoch weggelassen werden, um den Code in bestimmten aber vereinzelten Fällen etwas kürzer gestalten zu können, was aber gleichzeitig und unabdingbar zu unstrukturierter Programmierung führt, die Programmabläufe unübersichtlich macht und dazu führen kann, dass die Programme gegebenenfalls nur noch schwierig nachzuvollziehen und zu warten sind. ====Unterprogramme==== [[Datei:Unterprogrammaufruf.png|mini|rechts|hochkant=1|Von der Hauptroutine "Procedure main" eines gestarteten Programms wird nach Ausführung der Anweisungen "Instructions&nbsp;1" ein Unterprogramm "Procedure sub" aufgerufen ("Call sub"), und der Programmablauf wird mit den dortigen Anweisungen "Instructions" fortgeführt. Wenn die letzte Anweisung "Return" des Unterprogramms erreicht worden ist, wird in das Hauptprogramm zurückgesprungen und der Programmablauf an der Stelle direkt hinter dem Aufruf des Unterprogramms mit den Anweisungen "Instructions&nbsp;2" fortgesetzt.]] Eine besonders häufig angewendete Programmiertechnik ist der Aufruf von Unterprogrammen. Unterprogramme stellen im Sinne des Quelltextes eines Programmes üblicherweise Prozeduren, Methoden oder Funktionen dar. Mit der Programmanweisung des Aufrufs kann der Programmablauf zum entsprechenden Unterprogramm verzweigt werden. Hierbei können in der Regel auch Parameter übergeben werden, um zwischen dem aufrufenden Programmteil und dem Unterprogramm Daten austauschen zu können. Ist das Unterprogramm vollständig abgearbeitet worden, wird der Programmablauf hinter der Stelle des Unterprogrammaufrufs fortgesetzt. Unterprogramme können mehrfach und von allen Stellen des Programcodes aufgerufen werden, in dem das Unterprogramm sichtbar ist. Die Unterscheidung zwischen Prozeduren und Methoden ist nicht einheitlich. Etliche Programmiersprachen verwenden kategorisch nur einen der beiden Begriffe. Hierbei kann zwischen traditionellen (statischen) Prozeduren und objektorientierten (typengebunden oder dynamischen) Prozeduren unterschieden werden. Letztere werden als Methoden einer Klasse oder aber auch als typengebundene Prozeduren eines Programmoduls bezeichnet. ====Rücksprunganweisungen==== Nach Ablauf des Unterprogramms kann ein Rückgabewert an das aufrufende Programm zurückgegeben werden, der im aufrufenden Programmteil dann zur Verfügung steht und als Ausdruck zum Beispiel an eine Variable zugewiesen werden kann. In diesem Fall wird ein Unterprogramm auch '''Funktion''' genannt, da als Ergebnis des Unterprogrammaufrufs ein Funktionswert berechnet wurde und dann zurückgegeben wird. Jedes Unterprogramm hat daher exakt eine Rücksprunganweisung (oft mit dem Schlüsselwort '''return''' gekennzeichnet), die logischerweise die letzte Anweisung sein muss, damit alle Anweisungen vorher durchgeführt werden können. Der Rücksprung erfolgt immer zur Stelle des Unterprogrammaufrufs, wo die Programmausführung anschließend fortgeführt wird. Hat das Unterprogramm keinen Rückgabewert, der an den aufrufenden Programmteil zurückgegeben werden muss, wird in vielen Programmiersprachen auf eine explizite Rücksprunganweisung verzichtet; in diesem Fall wird sie also implizit ausgeführt. Ist das Hauptprogramm vollständig durchlaufen, wird das Programm nach dessen Rücksprunganweisung beendet, und die Kontrolle an das Laufzeitsystem oder das Betriebssystem zurückgegeben, von wo aus das Hauptprogramm aufgerufen worden war. Mehrfache und insbesondere vorzeitige Rücksprunganweisungen in einem Unterprogramm sind unstrukturiert und daher zu unterlassen, auch wenn die Programmiersprache dies nicht zwingend fordert. Vorzeitige Unterprogrammabbrüche ('''Break'''-Anweisungen) verhindern, dass nachfolgende Programmsequenzen ausgeführt werden können, obwohl sie bei einer Ausführung das Ergebnis für den Rückgabewert beeinflussen würden. Dies kann zur Verwirrung führen, weil das Unterprogramm bei einer Überprüfung oder einer Analyse immer vollständig auf potentielle vorzeitige Unterprogrammabbrüche durchsucht werden muss. Der folgende unstrukturierte Java-Code, der den in der Variablen '''ergebnis''' gespeicherten Wert vor dessen Rückgabe als Text ausgeben soll, verdeutlicht dies: <syntaxhighlight lang="java"> private static double unterprogramm (double parameter) { double ergebnis = parameter; boolean ganzzahlig = (parameter % 1 == 0); if (ganzzahlig) return ergebnis; ergebnis = ergebnis + 1; java.lang.System.out.println ("Ergebnis = " + ergebnis); return ergebnis; } </syntaxhighlight> Die Erhöhung des Wertes der Variablen '''ergebnis''' sowie die Textausgabe mit dem Aufruf der Methode '''println''' unmittelbar vor der Rücksprunganweisung erfolgen wegen der beiden vorhandenen Rücksprunganweisungen nur, wenn der Wert des Parameters '''parameter''' nicht ganzzahlig ist. Demzufolge erzeugen die folgenden beiden Unterprogrammaufrufe <syntaxhighlight lang="java"> unterprogramm (0); unterprogramm (0.5); </syntaxhighlight> die Textausgabe: <syntaxhighlight lang="text"> Ergebnis = 1.5 </syntaxhighlight> Dieses formal korrekte, aber unerwünschte Verhalten wird nur nachvollziehbar, wenn der gesamte Code des Unterprogramms analysiert wird, was bei komplexeren Unterprogrammen und beim Vorhandensein mehrerer Rücksprunganweisungen sehr aufwendig werden kann.. Das folgende Unterprogramm implementiert den eigentlich gewünschten Algorithmus in strukturierter Form mit einer einzigen Rücksprunganweisung am Ende des Unterprogramms: <syntaxhighlight lang="java"> private static double unterprogramm (double parameter) { double ergebnis = parameter; boolean ganzzahlig = (parameter % 1 == 0); if (! ganzzahlig) { ergebnis = ergebnis + 1; } java.lang.System.out.println ("Ergebnis = " + ergebnis); return ergebnis; } </syntaxhighlight> Die Textausgabe bei den oben angegebenen Aufrufen des Unterprogramms erfolgt nun wie gewünscht: <syntaxhighlight lang="text"> Ergebnis = 0.0 Ergebnis = 1.5 </syntaxhighlight> Es empfiehlt sich grundsätzlich ebenfalls immer, innerhalb von Rücksprunganweisungen keine komplexen Ausdrücke, Kontrollstrukturen oder Unterprogrammaufrufe zu verwenden, um einfache und eindeutige Rückgabewerte zu erhalten sowie diese gegebenenfalls mit einer Textausgabe oder einem Debugger kontrollieren zu können. Im Idealfall wird in der Rücksprunganweisung nur der Wert einer zuvor berechneten lokalen Variable mit einem sprechenden Bezeichner zurückgegeben: <syntaxhighlight lang="text"> ergebnis ← f (a, b, c); return ergebnis; </syntaxhighlight> In der Regel ergeben sich durch die zusätzliche explizite Zuweisung an die lokale Variable '''ergebnis''' keine Laufzeiteinbußen, da im übersetzten Maschinencode implizit für den Rückgabewert sowieso eine Zuweisung ausgeführt werden muss. Moderne Übersetzer berücksichtigen diesen Kontext automatisch, so dass in beiden Fällen derselbe Maschinencode erzeugt wird. <div style="clear:both"></div> ===Fallunterscheidungen=== Die einfachste Fallunterscheidung ist die bedingte Anweisung. Verzweigungen enthalten mindestens zwei alternative Programmpfade. ====Bedingte Anweisung==== [[Datei:einfAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer bedingten Anweisung.]] Im folgenden Beispiel mit einer bedingten Anweisung (zum Beispiel if - then - end) wird die Dekrement-Anweisung a-- (der Wert der numerischen Variablen a soll um eins erniedrigt werden) nur dann ausgeführt, falls der boolesche Ausdruck a > b wahr ist, die entsprechende Bedingung also erfüllt ist: falls a > b dann a-- ende Hier wird der Wert der Variablen a also nur dann dekrementiert, wenn der Wert der Variablen a größer ist als der Wert der Variable b. Ansonsten wird der Programmablauf sofort hinter der ende-Marke fortgeführt. ====Einfache Verzweigung==== [[Datei:zweifAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer einfachen Verzweigung.]] Die einfachste Verzweigung (zum Beispiel if - then - else - end) enthält genau zwei alternative Pfade, von denen in Abhängigkeit eines booleschen Ausdrucks nur einer ausgeführt wird, wie in diesem Beispiel: falls a > b dann a-- ansonsten b-- ende Je nachdem die entsprechende Bedingung erfüllt ist oder nicht, wird die eine oder die andere Anweisung ausgeführt. Im obigen Beispiel wird der Wert der Variablen a nur dann dekrementiert, falls der Wert der Variablen a größer ist als der Wert der Variable b, ansonsten wird hier im Vergleich zur bedingten Anweisung allerdings der Wert der Variablen b um eins erniedrigt. In beiden Fällen wird das Programm anschließend hinter der ende-Marke fortgeführt. ====Mehrfache Verzweigung==== [[Datei:Mehrseitige Auswahl.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer mehrfachen Verzweigung.]] Eine mehrfache Verzweigung (zum Beispiel switch - case - else - end) enthält mehr als zwei alternative Programmpfade, die meist, wie auch im folgenden Beispiel, von ganzzahligen Ausdrücken gesteuert werden: verzweige mit dem Wert von a falls 1 : unterprogramm_A () falls 2 : unterprogramm_B () falls 3 : unterprogramm_C () ansonsten unterprogramm_D () ende In Abhängigkeit des in der ganzzahligen Variablen a gespeicherten Zahlenwertes wird genau eines der vier angegebenen Unterprogramme aufgerufen; beim Wert 1 unterprogramm_A, beim Wert 2 unterprogramm_B, beim Wert 3 unterprogramm_C und ansonsten unterprogramm_D. Danach wird der Programmablauf hinter den ende-Marke fortgeführt. In manchen weniger stakt strukturierten Programmiersprachen wie C sind Vorsicht und Aufmerksamkeit geboten, weil beispielsweise dort die verschiedenen Fälle der entsprechenden switch-Anweisung nur optional mit einer break-Anweisung und nicht immer und obligatorisch abgeschlossen werden. Dies nutzen einige Programmierer, um in bestimmten Situationen mehrere Fälle hintereinander abarbeiten zu lassen. Dieses Vorgehen ist jedoch hochgradig unstrukturiert und führt sehr schnell und unübersichtlichem Programmcode und somit sehr leicht zu Programmierfehlern. Dies kann vermieden werden, wenn in diesen Programmiersprachen hinter jedem unterschiedenem Fall kategorisch die break-Anweisung implementiert wird, auch wenn die Programmiersprache oder der Übersetzer dies nicht fordern. [[Datei:MehrfAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm mit verschachtelten einfachen Verzweigungen, um eine mehrfache Verzweigung zu implementieren.]] Mehrfache Verzweigungen mit aufeinanderfolgenden numerischen oder aufzählbaren Werten, wie im obigen Beispiel 1, 2 und 3, können rechnerintern unter Umständen effizient genutzt werden, weil die Sprungadressen arithmetisch berechnet werden können. Dies ist bei modernen Laufzeitsystemen in der Regel aber nicht mehr so relevant, und diese mehrfachen Verzweigungen können auch immer durch mehrfache Fallunterscheidungen programmiert werden. Durch eine eigene Anweisung für die mehrfache Verzweigung kann die Übersichtlichkeit des Quelltextes allerdings oft gesteigert werden. Auf der anderen Seite können die Übersichtlichkeit und die Nachvollziehbarkeit in der Regel auch hier mit entsprechenden Unterprogrammaufrufen gesteigert werden. ===Schleifen=== Bei Schleifen wird eine Anweisungsfolge nur dann ausgeführt, wenn die entsprechende boolesche, im Sinne der Schleife lokale Laufvariable den Wert "wahr" hat. Alle Schleifen können auf eine grundlegende Form zurückgeführt werden, bei der ein wesentliches Merkmal ist, ob die Laufvariable '''zu Beginn''' der Schleifenanweisungen den initialen Wert "wahr" erhält (fußgesteuert) oder in der Anfangsbedingung durch einen variablen booleschen Ausdruck bestimmt ist (kopfgesteuert). Es ist sinnvoll, dass diese Laufvariable nur zum Zwischenspeichern der Abbruchbedingung dient und ausschließlich im Zusammenhang mit der Schleife verwendet wird. Bei wohlstrukturierter Programmierung mit zählenden Schleifen können numerische Laufvariablen verwendet werden, die innerhalb der Schleife vorzugsweise erst in der letzten Anweisung der Schleife aktualisiert werden, damit es innerhalb des Schleifendurchlaufs nicht zu Inkonsistenzen, Verwechslungen oder Mehrdeutigkeiten kommen kann. Ferner gibt es in der strukturierten Programmierung keine expliziten Sprunganweisungen, die irgendwo innerhalb einer Schleife zum Beispiel mit dem Kommando '''continue''' den Rest der Schleife überspringen und sofort die nächstfolgende Abbruchbedingung der Schleife prüfen lassen. Innerhalb von Schleifen ist es ohne Weiteres möglich, alle Zwischenschritte mit Verzweigungen zu steuern beziehungsweise alle Zwischenergebnisse in lokalen Variablen zu speichern, ohne dass es in modernen Computersystemen zu längeren Ausführungszeiten kommt. Im Folgenden soll dies mit der Programmiersprache Java an sehr einfachen Schleifen, die alle Zahlen außer der Fünf von Eins bis Zehn ausgeben sollen, erläutert werden. Unstrukturiertes Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> long i = 1; do { if (i == 5) { i++; // Die Schleifenendanweisung zum Hochzaehlen der Laufvariable muss hier dupliziert werden, damit es nicht zu einer Fehlfunktion kommt. continue; // Die Schleife wird durch diese explizite Sprunganweisung unstrukturiert abgebrochen. } java.lang.System.out.println (i); i++; } while (i <= 10); </syntaxhighlight> Strukturiertes Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> long i = 1; do { if (i != 5) { java.lang.System.out.println (i); } i++; } while (i <= 10); </syntaxhighlight> ====Kopfgesteuerte Schleifen==== [[Datei:KopfgesteuerteSchleife.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer kopfgesteuerten Schleife.]] Kopfgesteuerte Schleifen werden auch als '''While'''-Anweisungen bezeichnet. {| class="wikitable" style="text-align:center" | rowspan="4" | Kopfgesteuerte Schleife | colspan="2" | Setze Laufvariable auf boolesche Anfangsbedingung |- | rowspan="3" | Solange wie die Laufvariable den Wert "wahr" hat führe aus |- |Anweisungsfolge |- | Setze Laufvariable auf boolesche Endbedingung |} Wenn die boolesche Anfangsbedingung zu Beginn den Wert "falsch" hat, wird die Schleife '''nicht durchlaufen'''. ====Fußgesteuerte Schleifen==== [[Datei:FussgesteuerteSchleife.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer fußgesteuerten Schleife.]] Die fußgesteuerte Schleife, die auch '''Repeat'''-Anweisung genannt wird, ist ein Sonderfall der kopfgesteuerten Schleife, bei der die boolesche Anfangsbedingung immer auf "wahr" gesetzt wird. Daher wird eine fußgesteuerte Schleife '''immer mindestens einmal durchlaufen'''. {| class="wikitable" style="text-align:center" | rowspan="4" | Fußgesteuerte Schleife | colspan="2" | Setze Laufvariable auf "wahr" |- | rowspan="3" | Solange wie die Laufvariable den Wert "wahr" hat führe aus |- |Anweisungsfolge |- | Setze Laufvariable auf boolesche Endbedingung |} Da der Ausdruck der booleschen Anfangs- und Endbedingung oft identisch formuliert ist, bietet es sich an, dafür einen Funktionsaufruf zu verwenden, um eine Codewiederholung zu vermeiden. Aus Gründen der Laufzeiteffizienz wird das Setzen der Laufvariablen zu Beginn und die erstmalige Überprüfung der Laufvariablen oft weggelassen, was für die allermeisten Anwendungen heute jedoch unwesentlich ist. Da die Laufvariable in diesem Fall zu Beginn jedoch nicht definiert werden muss und daher gegebenenfalls auch gar nicht definiert wird, birgt dieses Vorgehen die Gefahr in sich, dass die Laufvariable ihren undefinierten Zustand behält. Insbesondere tritt dies ein, wenn das Setzen der Laufvariable auf eine boolesche Endbedingung nicht erfolgt, weil dies in der verwendeten Programmiersprache nicht obligatorisch ist beziehungsweise vom Programmierer vergessen wurde, oder weil dies wegen eines zwangsläufig unstrukturierten Abbruchs innerhalb der Schleife (zum Beispiel mit einer Break-Anweisung) gar nicht erfolgen kann. ====Endlosschleifen==== '''Endlosschleifen''' sind unstrukturiert, da das Programm nicht regelgerecht beendet werden kann. Daher sind diese sogenannten Loop-Anweisungen, wie zum Beispiel for (;;) { ... } while (true) { ... } repeat { ... } until (false) beziehungsweise do { ... } while (true) oder loop { ... } zu unterlassen. Insbesondere das Verlassen von Endlosschleifen mit einer '''Sprunganweisung''' oder gar mehreren potentiellen Sprunganweisungen, wie zum Beispiel ''break'' oder ''exit'', ist hochgradig unstrukturierte Programmierung, da der Ausstiegszeitpunkt oder die Stelle des Ausstiegs aus der Schleife (wenn überhaupt) nur schwierig nachzuvollziehen oder zu bestimmen ist. ====For-Schleifen==== Die For-Schleifen-Anweisung int i for (i ← 0; i < max; i++) { ... } ist identisch mit der kopfgesteuerten while-Anweisung: int i i ← 0 while (i < max) { ... i = i + 1 } Es ist im Sinne eines einfachen Sprachumfangs und eines einheitlichen Sprachstils unter Umständen nützlich, für kopfgesteuerte Schleifen keine For-Schleifen, sondern ausschließlich While-Schleifen zu benutzen. Wenn die Programmiersprache es erlaubt, Zählvariablen ausschließlich für eine Schleife zu definieren, dann hat dies den Vorteil, dass das Prinzip der Lokalität für diese Zählvariablen sehr gut erfüllt ist, da die Zählvariable dann außerhalb der Schleife nicht sichtbar ist und somit auch nicht verwendet werden kann: for (int i ← 0; i < max; i++) { ... } Die äquivalente Schreibweise mit einer while-Schleife sieht wie folgt aus, wobei die äußere Blockanweisung dafür sorgt, dass die Zählvariable "i" innerhalb der Blockanweisung deklariert ist und nur in Verbindung mit der Schleife sichtbar respektive verwendbar ist: { int i i ← 0 while (i < max) { ... i++ } } Bei Algorithmen, die aus mehreren Kontrollstrukturen bestehen, ist es im Sinne der besseren Strukturierung vorzuziehen, alle Schleifen in eigene Methoden auszulagern, die aufgerufen werden und deren Schnittstellen über ihre Parameter eindeutig festgelegt sind. Hierbei können die Schleifen verschachtelt sein (innere und äußere Schleife) oder hintereinander ausgeführt werden. In jedem Fall sind alle Parameter und Variablen (also auch die jeweiligen Zählvariablen) innerhalb der entsprechenden Methoden lokal verfügbar. ==Codewiederholungen== Codewiederholungen gehören insbesondere bei Anfängern sehr häufig zu den kapitalen Fehlern beim Softwareentwurf. Es ist nur scheinbar bequem, bereits vorhandenen Quelltext zu kopieren und für eine ähnliche Aufgabe geringfügig anzupassen. Es ist Größenordnungen besser, den bereits vorhandenen Quelltext so anzupassen, dass er für alle ähnlichen oder zumindest mehrere ähnliche Aufgabenstellungen eingesetzt werden kann. Erfahrene Programmierer wittern schon von Anfang an, dass eine bestimmte Methode auch in einem ähnlichen Kontext eingesetzt werden könnte und entwerfen den Code von vornherein so allgemein wie möglich. ===Symbolische Konstanten=== Konstante Ausdrücke werden in der Regel als '''symbolische Konstanten''' definiert, wie zum Beispiel mit der symbolischen Konstante "Pi" für die Kreiszahl oder die symbolische Konstante "Title" für den Text "Programmierung": const double Pi ← 3.141592654 const String Title ← "Programmierung" Statt konstante Ausdrücke zu wiederholen – und sei es nur eine ganze Zahl – ist es erheblich besser, stattdessen eine symbolische Konstante mit einem „sprechenden“ Bezeichner zu verwenden. Also nicht mit der ganzen Zahl 3: int inputNumber ← 3 ... if (inputNumber = 3) ... Sondern besser mit der symbolischen Konstante "Exit" mit dem unveränderlichen, ganzzahligen Wert 3: const int Exit ← 3 int inputNumber ← Exit ... if (inputNumber = Exit) ... Oder nicht zweimal mit derselben ganzen Zahl 3: if (a > 3) and (b > 3) ... Sondern besser mit zwei verschiedenen symbolischen Konstanten "Limit_a" und "Limit_b": const int Limit_a ← 3 const int Limit_b ← 3 if (a > Limit_a) and (b > Limit_b) ... Auf diese Weise kann auch leicht vermieden werden, dass gleichlautende Ausdrücke mit unterschiedlicher Bedeutung verwechselt werden können, insbesondere wenn sie später einmal geändert werden müssen: if (numberOfConstellation > 12) { Ausgabe ("Diese Sternbildnummer ist ungültig.") } if (numberOfHalftones > 12) { Ausgabe ("Das Intervall ist größer als eine Oktave.") } Die beiden konstanten Zahlensymbole "12" haben nichts außer ihrem Zahlenwert gemeinsam, und daher ist der folgende Code erheblich besser nachvollziehbar: const int Number_Of_Constellations ← 12 const int Number_Of_Halftones_Per_Octave ← 12 ... if (numberOfConstellation > Number_Of_Constellations) { Ausgabe ("Diese Sternbildnummer ist ungültig.") } if (numberOfHalftones > Number_Of_Halftones_Per_Octave) { Ausgabe ("Das Intervall ist größer als eine Oktave.") } ===Aufruf von Unterprogrammen=== [[Datei:Aufruf.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm eines Unterprogrammaufrufs.]] Unterprogramme, die in vielen Programmiersprachen auch Methoden, Prozeduren oder Funktionen genannt werden, beinhalten sequenzielle Rechenvorschriften (Algorithmen) zum Bearbeiten von Daten, die zu einer Einheit zusammengefasst sind. So kann zum Beispiel die Rechenvorschrift für die Berechnung des Kreisumfangs aus dem Kreisradius als Folge von Programmanweisungen formuliert werden, aber auch in eine Methode ausgelagert werden. Dieses Unterprogramm kann dann irgendwo im Programmcode aufgerufen werden. Dies gewinnt besonders dann Bedeutung, wenn das Unterprogramm an verschiedenen Stellen aufgerufen werden soll, so dass dann diese Programmanweisungen nicht mehrfach programmiert oder kopiert werden müssen. Insbesondere wenn die ursprünglichen, an mehreren Stellen auftauchenden Programmanweisungen einen Fehler enthalten, muss dieser nach dem Entdecken des Fehlers - also möglicherweise zu einem viel späteren Zeitpunkt - zur Fehlerbehebung zwangsweise an mehreren Stellen im Programmcode korrigiert werden. Das ist nicht nur mühsam, sondern einzelne relevante Stellen können leicht übersehen werden, so dass der entdeckte Fehler gar nicht vollständig ausgemerzt wird. Die mehrfach eingegebenen Programmanweisungen zur Berechnung des Kreisumfangs werden beim Auftreten von '''Codewiederholung''' an drei Stellen des Quelltextes programmiert: const double Pi ← 3.141592654 double perimeter1 ← radius1 * 2 * Pi double perimeter2 ← radius2 * 2 * Pi double perimeter3 ← radius3 * 2 * Pi Mithilfe des im Unterprogramm "perimeter" nur einmal implementierten Algorithmus' zur Ermittlung des Kreisumfangs und dessen dreimaligem Aufruf kann die Wiederholung der Implementierung der Rechenvorschrift leicht vermieden werden: /* "perimeter" computes and returns the perimeter of a circle with radius "radius" */ double perimeter (radius) { const double Pi ← 3.141592654 double perimeter ← radius * 2 * Pi return perimeter } double perimeter1 ← perimeter (radius1) double perimeter2 ← perimeter (radius2) double perimeter3 ← perimeter (radius3) ==Zuweisungskompatibilität== '''Zuweisungskompatibilität''' liegt vor, wenn Ausdrücke und Variablen aufgrund hinreichend kompatibler Datentypen einander zugewiesen, miteinander verglichen oder eindeutig miteinander verknüpft werden können. Es kann bereits im Quelltext überprüft werden, ob eine hinreichende Zuweisungskompatibilität vorliegt. Liegt diese nicht vor, handelt es sich um eine Typverletzung, und es muss eine explizite Typumwandlung programmiert werden. In diesem Fall kann es sehr leicht zu Programmfehlern kommen. Programmiersprachen, die für die maschinennahe Programmierung konzipiert wurden, wie zum Beispiel Assemblersprachen oder die Programmiersprache C, haben oft gar keine oder nur eine sehr schwache Typprüfung, was sehr leicht zu Programmfehlern führen kann. In manchen Programmiersprachen, wie zum Beispiel C, ist es sogar erlaubt, beliebige Zeiger einer Zeigervariablen zuzuweisen, ohne dass geprüft wird oder überhaupt geprüft werden kann, ob die Datentypen der referenzierten Daten kompatibel sind. ===Zeichenketten=== Ein weiteres schwerwiegendes Problem kann sich bei der Verwendung von Zeichenketten (englisch: string) ergeben, die in der Regel zum Speichern von Texten Verwendung finden und die aus einer Sequenz von einzelnen Zeichen respektive Buchstaben (englisch: character) bestehen. Eine strukturierte Programmiersprache, die Zeichenkettenverarbeitung und einen entsprechenden Datentyp zur Verfügung stellt, sollte fordern, dass jede Zeichenkette mit einem Zeichen abgeschlossen wird, das das Ende der Zeichenkette markiert (englisch: string terminator). Hierfür wird allgemein das Zeichen mit dem numerischen Wert null verwendet, das keinen Buchstaben repräsentiert und in Quelltexten häufig mit den Symbolen NUL, 0X oder \0 kodiert wird. Manche unstrukturierte Programmiersprachen fordern nicht, dass eine solche Kennzeichnung des Endes der Zeichenkette verwendet werden muss. Bei der Implementation von Zeichenkettenfunktionen in Programmbibliotheken, insbesondere wenn die dazugehörige Programmiersprache gar keinen Datentyp für Zeichenketten zur Verfügung stellt, ist auch bei strukturierten Programmiersprachen nicht unbedingt gewährleistet, dass eine entsprechende Kennzeichnung des Zeichenkettenendes obligatorisch ist. Bei der Implementierung von Vergleichsfunktionen oder Zeichenkettenmanipulationen in unstrukturierten Programmiersprachen oder Programmbibliotheken muss die Tatsache, ob das Nullzeichen vorhanden ist oder nicht, regelmäßig untersucht und berücksichtigt werden. Einfacher und sicherer ist es, mit einer strukturierten Programmiersprache oder einer entsprechenden Programmbibliothek zu arbeiten, bei der immer gewährleistet ist und vorausgesetzt werden kann, dass alle Zeichenketten mit einem Endezeichen abgeschlossen sind. Die den Zeichenketten zugrunde liegenden Zeichen (englisch: character) sind grundsätzlich positive ganze Zahlen, die Null repräsentiert gegebenenfalls das Ende eine Zeichenkette (englisch: end of string (EOS)). Nichtsdestoweniger muss der gültige Wertebereich beachtet werden, also der Zahlenraum, der entsprechend der Zuordnungstabellen (beispielsweise ASCII oder Unicode) als Zeichen interpretiert werden kann. Hierbei gibt es große Unterschiede zwischen den Programmiersprachen, wie anhand der folgenden Beispiele verdeutlicht werden soll: {| class="wikitable" |+ Datentypen für Zeichen ! Programmiersprache !! Bezeichnung !! Anzahl der kodierbaren Zeichen !! Bittiefe |- | C || (unsigned) char || 0..255 || 8 |- | C || signed char || -128..127 || 8 |- | C || (unsigned) int || 0..65535 || 16 |- | C || signed int || -32768..32767 || 16 |- | Java || char || 0..65535 || 16 |- | C# || char || 0..65535 || 16 |- | Component Pascal || SHORTCHAR || 0..255 || 8 |- | Component Pascal || CHAR || 0..65535 || 16 |} ===Strenge Zuweisungskompatibilität=== Zuweisungen sind uneingeschränkt zulässig, wenn eine strenge Zuweisungskompatibilität gegeben ist. Dazu müssen die Datentypen eines zuzuweisenden Ausdrucks und einer Variable exakt übereinstimmen, wie in folgendem Beispiel mit dem Datentyp "Mann" und den beiden Instanzen "otto" und "emil": TYPE Mann = Verbund von alter und groesse VARIABLE otto, emil: Mann otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 emil ← otto Alle Attribute von „otto“, nämlich „alter“ und „groesse“, können „emil“ eindeutig zugewiesen werden. Zwei Instanzen sind streng zuweisungskompatibel, wenn sie derselben Klasse angehören, wie in diesem Beispiel die beiden Objekte "fenster1" und "fenster2" aus der Klasse "Rechteck": TYPE Rechteck = Klasse mit breite, hoehe und mit Methode flaechenberechnung&nbsp;() VARIABLE fenster1, fenster2: Rechteck fenster1.breite ← 200 fenster1.hoehe ← 100 fenster1.flaechenberechnung&nbsp;() (Flächenberechnung für „fenster1“ ausführen) fenster2 ← fenster1 fenster2.flaechenberechnung&nbsp;() (Flächenberechnung für „fenster2“ ausführen) Die Zuweisung in der vorletzten Programmzeile ist möglich, da beide Instanzvariablen "fenster1" und "fenster2" derselben Klasse "Rechteck" angehören, und daher liefert auch der Methodenaufruf in der letzten Programmzeile ein korrektes Ergebnis. ====Logische Kompatibilität==== Zwei übereinstimmende Definitionen von zwei Datentypen sind nicht zuweisungskompatibel. Die Daten können zwar eindeutig überführt werden (technische Kompatibilität), es liegen zwei formal zwar identische, aber dennoch verschiedene Definitionen vor, so dass diese keine logische Kompatibilität aufweisen. Folgendes Beispiel wäre demzufolge formal korrekt, aber nicht logisch: TYPE Mann = Verbund von alter und groesse TYPE Frau = Verbund von alter und groesse VARIABLE otto: Mann VARIABLE anna: Frau otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 anna ← otto Die Zuweisung in der letzten Programmzeile ist technisch zwar ohne Probleme möglich, aber logisch nicht korrekt, und sie birgt daher die Gefahr der Entstehung von Programmierfehlern. Um solche Fehler zu vermeiden, sind Zuweisungen mit impliziter Typumwandlung in einigen Programmiersprachen mit starker Typisierung nicht zulässig, und der Compiler verweigert die Übersetzung dieser Zuweisung. In der objektorientierten Programmierung kann durch die Vererbung der gemeinsamen Eigenschaften von Datentypen leicht eine logische Kompatibilität hergestellt werden: TYPE Mensch = Verbund von alter und groesse TYPE Mann = Mensch TYPE Frau = Mensch VARIABLE otto: Mann VARIABLE anna: Frau otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 anna ← otto Die Objekteigenschaften "alter" und "groesse" sind hierbei Eigenschaften von Objekten des Datentyps "Mensch" und daher sowohl zuweisungskompatibel, als auch logisch korrekt; bei der Zuweisung können und werden nur die Attribute "alter" und "groesse" der gemeinsamen Basisklasse "Mensch" übertragen. ====Wahrheitswerte==== In einigen älteren Programmiersprachen, wie zum Beispiel C, gibt es keinen eigenen Datentyp für zweiwertige boolesche Variablen. Zur Behandlung und Verarbeitung entsprechender Information wird dann häufig der ganzzahlige Datentyp mit dem kleinsten Speicherbedarf verwendet, wobei der Zahlenwert null für den Wahrheitswert „Falsch“ und alle anderen Zahlenwerte für den Wahrheitswert „Wahr“ Verwendung finden. Auch hier ergeben sich logische Inkompatibilitäten und somit ein gefährliches Potential für Komplikationen, da mit binären Werten keine Arithmetik und mit Zahlen keine logischen Verknüpfungen oder logischen Operationen durchgeführt werden können. Im folgenden Beispiel wird dieser Missbrauch verdeutlicht: VARIABLE schlechteWahrheit1, schlechteWahrheit2, ergebnisWahrheit: INTEGER schlechteWahrheit1 ← 0 schlechteWahrheit2 ← 1 ergebnisWahrheit ← (schlechteWahrheit1 + schlechteWahrheit2) ergebnisWahrheit ← (schlechteWahrheit2 + schlechteWahrheit2) Das Ergebnis der ersten arithmetischen Addition ist 1, was fälschlich als der Wahrheitswert „Wahr“ missinterpretiert werden könnte, der nicht dem Ergebnis der logischen Und-Verknüpfung entspricht. Noch offensichtlicher ist das Problem in der zweiten arithmetischen Addition, wo das Ergebnis 2 erzielt wird. Somit existieren ohne Not mehr als zwei Zustände für die binären (also zweiwertigen) Variablen, was schnell zu Missverständnissen und Programmierfehlern führen kann. Eine eindeutige und korrekte Implementierung wird erreicht, wenn die Programmiersprache oder eine dazugehörige Programmbibliothek einen zweiwertigen Datentyp, wie zum Beispiel „BOOLEAN“ oder „bool“, zwei entsprechende Ausprägungen, wie zum Beispiel "false" und "true", und die dazugehörigen eindeutigen booleschen Operatoren und Funktionen (beispielsweise "and", "or" oder "not") anbietet. VARIABLE richtigeWahrheit1, richtigeWahrheit2, ergebnisWahrheit: BOOLEAN richtigeWahrheit1 ← falsch richtigeWahrheit2 ← wahr ergebnisWahrheit ← (richtigeWahrheit1 und richtigeWahrheit2) ergebnisWahrheit ← (richtigeWahrheit2 und richtigeWahrheit2) Sinngemäß gilt das Gleiche für die Verknüpfungen von Mengen. Wenn hier bei den Datentypen und zulässigen Operatoren nicht zwischen Bitmengen (englisch: (bit) sets) und Zahlen unterschieden wird, kommt es wie zum Beispiel bei der Bestimmung von Vereinigungs- oder Differenzmengen zu Interpretationsproblemen. Eine eindeutige und korrekte Implementierung verwendet Datentypen, die für Mengen und Mengenoperationen definiert sind. In einigen Programmiersprachen werden solche Datentypen im Sprachumfang implizit angeboten, in anderen gibt es dafür standardisierte Programmbibliotheken, auf die über Unterprogrammaufrufe zugegriffen werden kann. ===Zuweisungskompatibilität ohne Informationsverlust=== In einigen Fällen kann die Information, die mit einem Datentyp dargestellt werden kann, eindeutig und ohne Informationsverlust in einen anderen Datentyp überführt werden. Typische Beispiele sind ganze Zahlen mit unterschiedlicher Speichergröße. So kann ein Integer mit 16&nbsp;Bit Speichergröße eindeutig in einer vorzeichenbehafteten Integer-Variablen mit 32&nbsp;Bit Speichergröße abgelegt werden, ohne dass die ursprünglich nur mit 16&nbsp;Bit gespeicherte Zahl verändert wird. Umgekehrt ist dies jedoch nicht allgemein möglich, insbesondere unter der Beachtung von Vorzeichen und großen Zahlen. Der folgende Programmierabschnitt zeigt ein Beispiel ohne Zuweisungskompatibilität, da der Datentyp „BYTE“ nur 8&nbsp;Bit Speichertiefe hat und nur Werte zwischen -128 bis +127 und somit nicht die Zahl 555 repräsentieren kann, wohingegen der Datentyp „SHORTINT“ eine Speichertiefe von 16&nbsp;Bit hat und ganze Zahlen von -32768 bis +32767 repräsentieren kann: zahl1: BYTE zahl2: SHORTINT zahl2 ← 555 zahl1 ← zahl2 Die letzte Programmzeile stellt einen ungültigen Versuch der Zuweisung der ganzen Zahl&nbsp;555 aus der Variablen „zahl2“ an die Variable „zahl1“ dar. Bei einer solchen Programmanweisung kann bei typsicheren Programmiersprachen bereits der Compiler verhindern, dass ausführbarer Maschinencode erzeugt wird. Bei fehlender Überprüfung durch den Compiler kann unbemerkt Information verloren gehen, so dass bei nachfolgenden Berechnungen unter Umständen grobe Berechnungsfehler auftreten, die relativ schwierig zu analysieren sind. ===Zuweisungskompatibilität mit geringem Informationsverlust=== Ein Sonderfall ist die Zuweisung von ganzen Zahlen an Variablen, die Gleitkommazahlen repräsentieren. In der Regel kann ohne die Gefahr von Programmfehlern toleriert werden, große ganze Zahlen implizit in Gleitkommazahlen umzuwandeln, da der Rechenfehler (wenn überhaupt vorhanden) hierbei sehr klein ist. Auch dies kann an einem Beispiel verdeutlicht werden: ein „LONGINT“ mit 64&nbsp;Bit Speichergröße kann die Zahl 9223372036854775807 mit 19 Dezimalstellen speichern. Der folgende Programmierabschnitt zeigt ein Beispiel mit Zuweisungskompatibilität mit einem in der Regel zu vernachlässigenden Informationsverlust, da der Datentyp „REAL“ nach IEEE 754 mit 64&nbsp;Bit nur Zahlen mit einer Mantisse mit maximal 14 Nachkommastellen speichern kann: zahl1: LONGINT zahl2: REAL zahl1 ← 9223372036854775807 zahl2 ← zahl1 Die letzte Anweisung stellt in fast allen Programmiersprachen einen gültigen Versuch der Zuweisung der ganzen Zahl&nbsp;<math>{2}^{63} - 1</math> aus der Variablen „zahl1“ an die Variable „zahl2“ dar, da diese gerundeten Zahlenwert <math>9{,}22337203685478 \cdot {10}^{18}</math> enthält, und der Fehler durch das Abschneiden der letzten Nachkommastellen hier nur in einer Größenordnung von <math>{10}^{-14}</math> liegt und daher für praktisch alle Anwendungen vernachlässigt werden kann. Bei einer erneuten Datentypkonvertierung zurück zu einem geeigneten ganzzahligen Datentyp kommt es dann aber zu einer Abweichung zu der ursprünglichen ganzen Zahl. In solchen Fällen ist es daher besser, vorsichtshalber und mit Inkaufnahme etwas längerer Programmlaufzeiten ausschließlich mit Gleitkommazahlen zu operieren. ===Zuweisungskompatibilität mit definiertem Informationsverlust=== Zwei Instanzen sind mit definiertem Informationsverlust zuweisungskompatibel, wenn die zuzuweisende Klasse einer Klasse angehört, die von der zugewiesenen Klasse abgeleitet wurde. Alle Daten die in der zugewiesenen Klasse deklariert und somit erforderlich sind, können dann zugewiesen werden, jedoch werden die in der zuzuweisenden abgeleiteten Klasse möglicherweise hinzugefügten Attribute ignoriert, wie das folgende Beispiel verdeutlichen soll, in welchem der Datentyp „Mensch“ alle Eigenschaften vom Datentyp „Lebewesen“ erbt und zusätzlich das Attribut „intelligenzquotient“ bekommt: TYPE Lebewesen = Verbund von alter und gewicht TYPE Mensch = Lebewesen mit intelligenzquotient VARIABLE otto: Mensch VARIABLE eukaryot: Lebewesen otto.alter ← 50 otto.gewicht ← 75 otto.intelligenzquotient ← 100 eukaryot ← otto Die Zuweisung in der letzten Zeile ist korrekt, das Attribut „intelligenzquotient“ der Variable „otto“ vom Datentyp „Mensch“ wird jedoch nicht an die Variable „eukaryot“ zugewiesen, da es beim Datentyp „Lebewesen“ der Basisklasse nicht deklariert ist. ==Komplexe Ausdrücke== Zusammengesetzte Ausdrücke mit verschiedenartigen Operatoren können sehr unübersichtlich und somit fehleranfällig sein. Manche Programmiersprachen haben sehr viele Hierarchieebenen für Operatoren, die auch durch erfahrene Programmierer kaum durchschaut werden können, oder sogar dafür sorgen, dass bestimmte Teile des Quellcodes zur Laufzeit gar nicht erreicht werden können. Daher ist es dringend empfehlenswert, Anweisungen in kleine, überschaubare Einheiten zu untergliedern. In einigen Programmiersprachen ist es sogar möglich, die Zuweisung in andere Anweisungen zu integrieren, da sie selber als ein Ergebniswert interpretiert werden darf. Ferner ist nicht immer offensichtlich welchen Datentyp ein Ergebnis hat, was insbesondere in Ermangelung eines zweiwertigen Datentyps ''Boolean'' zu Missverständnissen führen kann. Also zum Beispiel nicht: if (a ← b – c = 0) ... In dieser bedingten Anweisung (if) ist nicht klar, in welcher Reihenfolge der Zuweisungsoperator (←), der Differenzoperator (-) und der Vergleichsoperator (=) ausgeführt werden (sollen). Es ist erheblich besser, die Anweisungen klar zu trennen: a ← (b – c) if (a = 0) ... Die folgenden beiden Beispiele mit dem Zuweisungsoperator "=" und dem Vergleichsoperator "==" zeigen Programmsequenzen in der Programmiersprache C, die zu sehr leicht zu übersehenden Programmierfehlern führen können: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int i = 0; if (i = 1) { /* Dieser Block wird immer ausgeführt, weil die Zuweisung i = 1 immer das numerische Ergebnis 1 hat, was als der boolesche Wert "wahr" interpretiert wird. */ } int i = 0; if (i == 1) { /* Dieser Block wird nie ausgeführt, weil die Vergleichsoperation i == 1 immer das numerische Ergebnis 0 hat, was als der boolesche Wert "falsch" interpretiert wird. */ } </syntaxhighlight> Die folgende Rückgabe-Anweisung ("return") in der Programmiersprache Java ist nicht nur verwirrend, sondern sinnfrei: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 2; long y = 1; return y + x--; </syntaxhighlight> Der Dekrement-Operator "- -" wird in vielen Programmiersprachen gar nicht ausgeführt, weil er hierarchisch erst nach einer Zuweisung ausgeführt wird oder nach einer die Code-Sequenz beendende Return-Anweisung noch ausgeführt werden müsste, aber de facto gar nicht mehr ausgeführt wird. Deswegen ist die folgende Anweisungsfolge nicht nur weniger komplex, gut strukturiert und korrekt, sondern auch sinnvoll und leicht sowie eindeutig nachvollziehbar: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 2; long y = 1; x--; long summe = y + x; return summe; </syntaxhighlight> Beeindruckend sinnlos, verwirrend und komplex sind Monster-Ausdrücke (nach Niklaus Wirth: ''notational monsters''), die in einigen Programmiersprachen wie zum Beispiel C erlaubt sind, wie zum Beispiel bei der Kombination einer Rücksprunganweisung ("return") mit einer Zuweisung ("="), zwei verschiedenen Inkrement-Operatoren ("++") und einem Additionsoperator ("+"). Es ist sehr schwierig durchschaubar, in welcher Reihenfolge diese fünf Anweisungen ausgeführt werden und ob diese überhaupt ausgeführt werden. Selbst wenn die Zuweisung oder die nachrangige Inkrementierung ausgeführt würden, wären sie völlig sinnlos, da auf die lokale Variable i nach der Return-Anweisung gar nicht mehr zugegriffen werden kann: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int i = 0; return i = ++i+i++; </syntaxhighlight> Auch im folgenden Java-Beispiel ist die Sachlage nicht wesentlich besser. Das Ergebnis dieser Anweisungsfolge für die Variable y ergibt den Wert 2 + 2 = 4 , weil der letzte Inkrementoperator die Variable x vor der Ausführung aller anderen Operatoren auf den Wert 2 erhöht, und der erste Inkrementoperator die Variable x erst nach der Addition und der Zuweisung auf den Wert 3 erhöht: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = x++ + ++x; </syntaxhighlight> Es ist ebenfalls nicht leicht zu durchschauen, dass das Ergebnis dieser Anweisungsfolge in Java für die Variable y den Wert 2 + 3 = 5 ergibt, weil die Variable x vor der Auswertung des arithmetischen Summe zweimal inkrementiert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = ++x + ++x; </syntaxhighlight> Ferner ist das Ergebnis der nächsten Anweisungsfolge in Java für die Variable y der Wert 2 + 2 = 4, weil die Variable x vor der Auswertung der arithmetischen Summe nur beim ersten Inkrementoperator für die Summenbildung wirksam verändert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = ++x + x++; </syntaxhighlight> Auf der anderen Seite ist das Ergebnis der nächsten Anweisungsfolge in Java für die Variable y der Wert 1 + 2 = 3, weil die Variable x während der Auswertung des arithmetischen Ausdrucks nur beim ersten Inkrementoperator für die Summenbildung wirksam verändert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = x++ + x++; </syntaxhighlight> Noch gefährlicher wird es, wenn die Reihenfolge der Auswertung von arithmetischen Ausdrücken mit gleichwertigen Operanden für den Compiler oder Interpreter nicht definiert ist: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int x = 1; long y = ++x * --x; </syntaxhighlight> Wird die Multiplikation von links nach rechts ausgewertet, ergibt sich für die Variable y der Wert 2, wird die Multiplikation von rechts nach links ausgewertet, ergibt sich für die Variable y der Wert 0. Derselbe Quelltext kann auf zwei verschiedenen Systemen also völlig andere Rechenergebnisse hervorrufen. In anderen Programmiersprachen werden die Inkremente und Dekremente von ganzzahligen Variablen daher mit Prozeduraufrufen bewerkstelligt (beispielsweise INC() und DEC()), die fester Bestandteil der Programmiersprache sind, wie zum Beispiel in Pascal, wo der Zuweisungsoperator aus zwei verschiedenen Zeichen besteht (":="), damit es keine Verwechslungen mit einem Identitätsoperator oder Vergleichsoperator geben kann: <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) VAR x, y, produkt: integer; BEGIN x := 1; INC (x); y := x; DEC (x); produkt := y * x; END; </syntaxhighlight> Die Aufrufe der Inkrement- beziehungsweise Dekrementprozeduren dürfen und können –&nbsp; genauso wie Zuweisungen&nbsp;– in der Programmiersprache Pascal also gar nicht Bestandteil eines arithmetischen Ausdrucks sein, so dass der Zeitpunkt der Ausführung immer eindeutig aus der Reihenfolge der Anweisungen hervorgeht. ===Ternäre Operatoren=== Ein '''ternärer Operator''' hat als Ergebnis einen beliebigen Wert und verknüpft hierzu drei Ausdrücke: * Der erste Ausdruck ein '''binärer Ausdruck''', der wahr oder falsch ist. * Der zweite Ausdruck beschreibt den Ergebniswert, wenn der erste Ausdruck '''wahr''' ist. * Der dritte Ausdruck beschreibt den Ergebniswert, wenn der erste Ausdruck '''falsch''' ist. In vielen Programmiersprachen werden die drei Ausdrücke mit den Begrenzungszeichen ? und : voneinander getrennt, und der binäre Ausdruck wird eingebettet in runde Klammern vorangestellt: (binärer Ausdruck) ? zweiter Ausdruck : dritter Ausdruck Jeder dieser drei Ausdrücke kann sich wiederum aus mehreren anderen Ausdrücken zusammensetzen, so dass der Überblick schnell verloren gehen kann. Die Ergebniswerte von Ausdrücken mit ternären Operatoren sollten besser nicht in andere Ausdrücke eingesetzt werden, sondern in einer lokalen Variable zwischengespeichert und erst danach weiterverwendet werden: variable ergebnis; ergebnis ← (binärer Ausdruck) ? zweiter Ausdruck : dritter Ausdruck Grundsätzlich ist es wegen der größeren Übersichtlichkeit, Transparenz und einfacheren Modifikation vorzuziehen, für das Ergebnis gar '''keine ternären Operatoren''' zu verwenden, sondern eine '''bedingte Anweisung mit Blockanweisungen''' zu verwenden: variable ergebnis; falls (binärer Ausdruck) dann Block für ergebnis ← zweiter Ausdruck ansonsten Block für ergebnis ← dritter Ausdruck ende ===Blockanweisungen=== '''Blockanweisungen''' sind ein elegantes Mittel, um Programmcode zu strukturieren sowie die Sichtbarkeit von lokalen Variablen zu begrenzen. In vielen Programmiersprachen werden eindeutige Symbole für die Kennzeichnung von Programmblöcken verwendet, wie zum Beispiel geschweifte Klammern: { ... } Die drei Punkte stehen hierbei für beliebige Anweisungsfolgen. In anderen Programmiersprachen werden Schlüsselwörter für die Begrenzung von Blockanweisungen verwendet, wie zum Beispiel "BEGIN" und "END": BEGIN ... END Der Blockinhalt mit Anweisungen -&nbsp;in beiden obenstehenden Beispielen durch die drei aufeinanderfolgenden Punkte symbolisiert&nbsp;-, wird in der Regel eingerückt, um die Lesbarkeit des Quelltextes für die Programmierer zu erleichtern. Blockanweisungen können geschachtelt, dürfen -&nbsp;sofern in der Syntax einer Programmiersprache überhaupt möglich&nbsp;- jedoch nicht verschränkt werden. Dies bedeutet, dass bei geschachtelten Blöcken ein begonnener Block immer erst vollständig abgearbeitet werden muss, bevor der nächstäußere weitergeführt und abgeschlossen werden kann: { ... /* Äußerer Block */ { ... /* Mittlerer Block */ { ... /* Innerer Block */ } ... /* Mittlerer Block */ } ... /* Äußerer Block */ } Verschränkte Blockanweisungen sind unsinnig, unstrukturiert sowie überflüssig und daher in den meisten Programmiersprachen nicht zulässig: BEGIN1 ... BEGIN2 ... ... END1 ... ... END2 Die Implementationen von allen Modulen, Klassen und Unterprogrammen sowie auch von allen Kontrollstrukturen (also Fallunterscheidungen und Schleifen) sollten '''kategorisch mit Blockanweisungen''' strukturiert werden. === Blockanweisungen bei Kontrollstrukturen === [[Datei:lineareAnw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer Anweisungsfolge.]] Auch wenn die Programmiersprache die Verwendung von Blockanweisungen für Anweisungsfolgen in einer Kontrollstruktur nicht vorschreibt, ist es sehr ratsam, die Blockanweisung kategorisch einzusetzen, um Programmierfehler zu vermeiden. Wenn zum Beispiel eine if-Anweisung so wie in den Programmiersprachen C und Java so strukturiert ist, dass genau eine Folgeanweisung ausgeführt wird, wenn die Bedingung wahr ist, kann es ohne Blockanweisungen bei der Programmentwicklung oder -wartung leicht zu übersehenden Programmierfehlern kommen. Im folgenden korrekt formulierten Java-Programmbeispiel wird die Variable v1 auf den Wert null zurückgesetzt, falls sie den gleichen Zahlenwert wie max hat: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; </syntaxhighlight> Soll zudem auch noch eine Textausgabe erfolgen, kann diese zusätzlich programmiert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); </syntaxhighlight> Die unterste Programmierzeile ist zwar eingerückt, was suggeriert, dass sie nur ausgeführt wird, wenn die darüberstehende Bedingung erfüllt ist. Ein Java-Interpreter führt jedoch nur eine einzige unmittelbar nach der Bedingung aufgeführte Anweisung aus, wenn die Bedingung wahr ist. Mit anderen Worten: die Textausgabe erfolgt im obigen Programmbeispiel immer, also insbesondere auch wenn die Variablen v1 und max nicht den gleichen Zahlenwert haben. Im Quelltext sollte das daher besser folgendermaßen formuliert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); </syntaxhighlight> Ähnlich tückisch ist die Tatsache, dass in manchen weniger streng strukturierten Programmiersprachen, auf die Bedingung der if-Anweisung eine beliebige Anweisung folgen darf, die nicht notwendigerweise eine Blockanweisung sein muss, sondern auch eine einzelne Anweisung sein darf, die zum Beispiel mit einem Semikolon abgeschlossen wird und auch eine '''leere Anweisung''' sein kann. Dies führt zu leicht zu übersehenden Programmierfehlern, wie im folgenden Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max); { v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); } </syntaxhighlight> Die Blockanweisung wird immer ausgeführt, obwohl ihre Darstellung mit korrekter Einrückung suggeriert, dass sie nur dann ausgeführt wird, wenn die boolesche Bedingung (v1 == max) erfüllt ist. Dies ist allerdings nicht der Fall, da direkt hinter den runden Klammern der if-Anweisung ein Semikolon steht, welches eine '''leere Anweisung''' implementiert, die bei der Erfüllung der Bedingung ausgeführt wird. All diese Missverständnisse können leicht vermieden werden, indem bei der Programmierung von Kontrollstrukturen '''kategorisch Blockanweisungen''' verwendet werden, selbst wenn die Programmiersprache dies nicht fordert: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) { v1 = 0; } </syntaxhighlight> Beziehungsweise: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) { v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); } else { java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde nicht erreicht."); } </syntaxhighlight> ==== Verschachtelung ==== In noch stärkerem Maße leidet die Verständlichkeit von Quellcode, wenn mehrere Kontrollstrukturen ohne die Verwendung von Blockstrukturen verschachtelt werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long v1, v2, v3; v1 = 3; v2 = 3; v3 = 7; if ((v1 > 0) && (v2 > 0)) if (v1 > v2) v3 = v1 - v2; else v3 = v2 - v1; java.lang.System.out.println ("v3 = " + v3); </syntaxhighlight> Beim Lesen des Quellcodes mit einer solchen "baumelnden" ''else''-Anweisung (englisch: ''dangling else'') kann schnell der Eindruck entstehen, dass sie zur ersten ''if''-Anweisung gehört und das Ergebnis für die Variable ''v3'' 7 bleibt, da ''v1'' und ''v2'' positive Zahlen sind. Tatsächlich wird der Quellcode jedoch so ausgeführt, so dass die Variable ''v3'' den Wert 0 erhält. Um solche Missverständnisse zu vermeiden, ist es -&nbsp;wie oben bereits erwähnt&nbsp;- dringend geboten, Blockanweisungen kategorisch einzusetzen, auch wenn sie durch die Definition der Programmiersprache nicht sowieso vorgeschrieben sind: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long v1, v2, v3; v1 = 3; v2 = 3; v3 = 7; if ((v1 > 0) && (v2 > 0)) { if (v1 > v2) { v3 = v1 - v2; } else { v3 = v2 - v1; } } java.lang.System.out.println ("v3 = " + v3); </syntaxhighlight> ==Wertebereiche== ===Division durch null=== Im Zusammenhang mit dem '''Divisionsoperator''' gibt es in allen Programmiersprachen das Problem, dass der Divisor nicht null werden darf. Die Division durch null kann und sollte kategorisch durch eine geeignete Kontrollstruktur mit dem Vergleichsoperator "<>" verhindert werden, der nur bei Ungleichheit der beiden Operanden den Ergebniswert "wahr" erzeugt: if (divisor <> 0) { quotient ← dividend / divisor } else { /* Ausnahmebehandlung / Fehlermeldung */ } ===Wertebereichsprüfung=== Bei Parametern mit eingeschränktem zulässigen Wertebereich kann eine allgemeine und an allen entsprechenden Stellen verwendbare Funktion programmiert werden, die den gültigen Wertebereich überprüft und einen entsprechenden (häufig zweiwertigen respektive booleschen) Funktionswert zurückgibt, wie zum Beispiel die folgende Funktion "waterIsLiquid ", die überprüft, ob die Wassertemperatur zwischen 0° und 100° Celsius liegt, bevor das spezifische Gewicht des Wassers berechnet werden darf: boolean waterIsLiquid (double temperature) /* temperature in degrees Celsius */ { final long freezingPoint ← 0; final long boilingPoint ← 100; boolean waterIsLiquid ← (temperature > freezingPoint) and (temperature < boilingPoint); return waterIsLiquid; } ... double temperature, density; ... if waterIsLiquid (temperature) { /* function computes an approximation of the density of air-free liquid water in kilograms per cubic metre */ density ← ( 999.83952 + (16.945176 * temperature) - (0.0079870401 * temperature * temperature) - (0.000046170461 * temperature * temperature * temperature) + (0.00000010556302 * temperature * temperature * temperature * temperature) - (0.00000000028054253 * temperature * temperature * temperature * temperature * temperature) ) / ((0.01689785 * temperature) + 1); } else { /* exception handling, because water is not liquid */ } ===Parameterkombinationen=== Es ist wichtig, dass immer alle auftretenden Parameterkombinationen berücksichtigt und vom Programmcode verarbeitet werden, wenn aus diesen Parametern valide berechnete Werte abgeleitet werden sollen. Um zum Beispiel das Argument (also den Phasenwinkel zwischen -180° und +180°) einer komplexwertigen Zahl mit den reellwertigen Komponenten x und y über den Arcustangens ("arctan") zu berechnen, muss geprüft werden, ob der Parameter x gleich null ist, und welche Vorzeichen die Parameter x und y haben: double x double y ... double argument if (x = 0) { if (y > 0) { argument ← 90 } elseif (y < 0) { argument ← -90 } else /* y is equal to 0, too */ { stop /* argument is not defined */ } } else /* x is not equal to 0 */ { argument ← arctan (y / x) if (x < 0) { if (y >= 0) { argument ← argument + 180 } else /* both, x and y are less than 0 */ { argument ← argument - 180 } } } ==Schnittstellen== Schnittstellen definieren die Sichtbarkeits- und Zugriffsregeln zwischen verschiedenen Bestandteilen eines Programms und ermöglichen so die Interaktion zwischen diesen. Dabei ist es keineswegs sinnvoll, alle Bezeichner überall sichtbar zu machen, da dadurch die Übersichtlichkeit und Nachvollziehbarkeit insgesamt drastisch eingeschränkt wird. Dies führt letztlich zu Programmfehlern, da der Programmierer wegen der großen zu berücksichtigenden Datenmenge nicht mehr in der Lage ist, alle Implikationen seiner Arbeit zu überschauen. Alle Eigenschaften (Attribute) und Methoden (Werkzeuge), die zusammengehören (aber auch nur diese), sollen in jeweils einer Einheit zusammengefasst werden, wie zum Beispiel einer Klasse oder einem Modul. Oft wird eine solche Einheit in einer Quelltextdatei zusammengefasst, was sinnvoll ist und die Nachvollziehbarkeit erleichtert. Nur diejenigen Eigenschaften und Methoden, die außerhalb dieser Einheiten benutzt werden sollen oder müssen, dürfen mit einem Modifikator versehen werden, der dies ermöglicht (zum Beispiel "public"). Alle anderen Eigenschaften und Methoden sollten explizit als intern (zum Beispiel "private") deklariert sein. ''packages'' sind wegen der unübersichtlichen Sichtbarkeitsregeln (zum Beispiel durch den Modifikator "protected") als Zwischenebene entbehrlich und eher zu vermeiden. Alternativ können ohne weiteres längere, zusammengesetzte Klassennamen verwendet werden, um die Zugehörigkeit zu einem bestimmten Themenbereich zu kennzeichnen, wie zum Beispiel mit einfachen Bezeichnern: StatisticsMyEvaluation StatisticsMyAssessment Diese Bezeichner sind in der Regel unmittelbar mit den Programmdateien im Dateisystem korreliert. Hierbei sind also keine '''qualifizierten Bezeichner''' auf verschiedene Konstrukte erforderlich, die hier im Beispiel aus mehreren Bezeichnern mit zwischengestellten Punkten zusammengesetzt sind. Links vom Punkt steht der Bezeichner der Programmbibliothek (Modulsammlung, Paket), und rechts vom Punkt steht der Bezeichner für ein Programmbaustein (Modul, Klasse): package statistics statistics.MyEvaluation statistics.MyAssessment ===Importe=== ====Import-Anweisungen==== '''Import-Anweisungen''' werden häufig nicht dazu benutzt anzumelden und anzuzeigen, welche externen Module (respektive Klassen) in einer Quelldatei verwendet werden, sondern werden als Möglichkeit missbraucht, den Quelltext möglichst kurz zu fassen. Nicht: import MyModule ... drawLine () ... Sondern eindeutig mit qualifiziertem Bezeichner: ... MyModule.drawLine () ... Mit diesen qualifizierten Bezeichnern ist es dann auch einfach und eindeutig möglich, gleichnamige Bezeichner, wie zum Beispiel für die Methode ''drawLine'', aus verschiedenen Klassen zu benutzen: ... MyModule.drawLine () YourModule.drawLine () ... Die Erkennbarkeit der Herkunft eines importierten Bezeichners an jeder Stelle des Auftretens in einem Quelltext ist in der Regel von großer Nützlichkeit, insbesondere wenn andere Programmierer den Quelltext nachvollziehen können sollen oder wenn der Quellcode nach längerer Zeit gewartet werden soll. Insbesondere Import-Anweisungen mit Wildcards sind schlecht nachvollziehbar (auch wenn viele Entwicklungssysteme Funktionen für eine gewisse Transparenz bieten), so wie zum Beispiel: import myPackage.* import yourPackage.* drawLine () /* To which package does the method "drawLine" belong? */ Class var ← new Class () /* To which package does the class "Class" belong? */ ====Zyklische Importe==== [[Datei:Zyklischer.Import.png|mini|rechts|hochkant=2|Zyklische Importe durch Aufruf ("call") des Unterprogramms ("procedure") '''sum''' aus der Klasse '''B''' in das Unterprogramm '''add''' der Klasse A sowie Aufruf des Unterprogramms '''add''' aus der Klasse '''A''' in das Unterprogramm '''sum''' der Klasse '''B'''.]] '''Zyklische Importe''' beziehungsweise Zirkelbezüge sind nicht nur unübersichtlich, sondern auch unstrukturiert und können zu Speicherüberläufen führen, da sich Programmteile immer wieder gegenseitig aufrufen, ohne beendet zu werden. Ferner kann die Funktion des übersetzten Programms bei einer Optimierung des Codes von der Reihenfolge der Übersetzung der Quelltexte abhängen. Die Schnittstellen der Klassen und Module können im Allgemeinen weder unabhängig voneinander noch eindeutig überprüft werden. '''Beispiel''': Die beiden Funktionen Funktionen ''add'' aus der Klasse ''A'' und ''sum'' aus der Klasse ''B'' rufen sich endlos gegenseitig auf, um die Summe zweier Zahlenwerte zu berechnen, bis der Speicher überlaufen würde und das Laufzeitsystem die Ausführung deswegen abbricht oder der Speicher überläuft, das Programm unkontrolliert und ohne (nachvollziehbare) Fehlermeldung abstürzt. <div style="clear:both"></div> public class A { public int procedure add (int a, int b) { int result ← B.sum (a, b); return result; } } public class B { public int procedure sum (int x, int y) { int result ← A.add (x, y); return result; } } [[Datei:Circular Reference.svg|mini|rechts|hochkant=1|Variante von Abhängigkeiten zwischen Modulen oder Klassen, in denen die zyklischen Bezüge weniger offensichtlich sind, wenn nur der nächste Nachbar betrachtet wird. Der dunkelrote Pfeil oben rechts zeigt nach unten auf ein bereits vorher definiertes Element, das sich rechts in der Mitte befindet. Die Definition dieses Elements darf bei einem strukturierten Aufbau der Programmteile allerdings nicht von dem Element ober rechts abhängig sein.]] Solche zyklischen Abhängigkeiten können durch Verzweigungen und indirekte Aufrufe wesentlich weniger offensichtlich sein, und sind dann nur sehr schwierig zu erkennen und zu beheben. Sichere Programmiersprachen überprüfen solche zyklischen Zusammenhänge daher und lassen sie nicht zu. In der Regel ist es bei der Anwendung von rekursiven Programmiertechniken mit wohldefinierten Abbruchbedingungen möglich, ohne zyklische Modulabhängigkeiten auszukommen. Ein Übersetzer kann in den Metadaten von Programm-Modulen Zeitstempel verwenden, um bei der Interpretation eines Programmteils herausfinden zu können, ob alle anderen importierten Programmteile bereits vorher gültig übersetzt wurden. <div style="clear:both"></div> ==Nebeneffekte== '''Nebeneffekte''' treten auf, wenn der Programmierer von naheliegenden, jedoch falschen Annahmen ausgeht, die die Programmiersprache betreffen. Solche Nebeneffekte sind unerwünscht und können durch ein strukturiertes Vorgehen oft leicht vermieden werden. ===Durch arithmetischen Überlauf=== Als Indiz für solche Nebeneffekte möge folgendes Beispiel in Java dienen, bei dem die Dezimalzahl 127 (die hexadezimale Repräsentation dieses Zahlenwerts ist durch die acht Ziffern 7F gegeben) um eins erhöht wird: <syntaxhighlight lang="Java"> byte zahl = 127; java.lang.System.out.println ("zahl = " + zahl); zahl++; java.lang.System.out.println ("zahl = " + zahl); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge erzeugt die Ausgabe: :zahl = 127 :zahl = -128 Wenn die größte mit dem Datentyp "byte" darstellbare Zahl 127 mit dem Inkrement-Operator ++ um eins erhöht wird, ergibt sich durch arithmetischen Überlauf als Ergebnis die kleinste darstellbare ganze Zahl 128. Dass solche Nebeneffekte auch in Standard-Bibliotheken versteckt sein können, möge das folgende Beispiel in Java zeigen, bei dem die Dezimalzahl -1 (die hexadezimale Repräsentation dieses Zahlenwerts ist durch die acht Ziffern FFFFFFFF gegeben) mit zwei verschiedenen Unterprogrammen ausgegeben werden soll (Stand 2026): <syntaxhighlight lang="Java"> long zahl = 0xFFFFFFFF; java.lang.System.out.println ("dezimal: " + zahl); java.lang.System.out.print ("hexadezimal: "); java.lang.System.out.printf ("%h\n", zahl); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge erzeugt die Ausgabe: :dezimal: -1 :hexadezimal: 0 Die Methode "printf" für die Ausgabe im hexadezimalen Format (Steuersequenz h%), ruft die statische Methode "formatUnsignedLong0" aus der Klasse "Long" aus dem package "java.lang" im Modul "java.base" der Java-Standardbibliothek auf und gibt den Wert 0 aus, obwohl der korrekte hexadezimale Wert FFFFFFFF lautet. Der Fehler entsteht bei der internen Berechnung, bei der es einen arithmetischen Überlauf gibt, der nicht explizit abgefangen wird. ===Durch Rundung=== Manchmal ist es schwierig zu erkennen, dass das Ergebnis einer Operation nicht dem exakten Ergebnis entspricht, das mathematisch zu erwarten wäre, weil es Rundungsfehler gibt. Gleitkommazahlen können nicht mit beliebig hoher Präzision gespeichert werden, und daher können sich dadurch solche Rundungsfehler auch mit einer völlig unerwarteten Wirkung ergeben. Hier ein Beispiel in der Programmiersprache Java für ein System mit einer Speichertiefe von 64 Bit: <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; java.lang.System.out.println (a - b); </syntaxhighlight> Die Ausgabe lautet nicht "1.1" wie zu erwarten wäre, sondern: :1.1000000000000005 Noch schwieriger ist es, wenn das Kommutativ-, das Distributiv- oder das Assoziativgesetz nicht zu gelten scheinen, wie in diesem Beispiel, bei dem die Variable "b" einmal zur Variable "a" und einmal zur Variable "c" assoziiert ist: <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; double c = 1.1; java.lang.System.out.println ((a - b) - c); java.lang.System.out.println (a - (b + c)); </syntaxhighlight> Mathematisch kommt in beiden Fällen exakt der Wert null heraus, die Ausgabe lautet jedoch: :4.440892098500626E-16 :0.0 Die Wirkung von derartigen Nebeneffekten sind nur sehr schwierig zu beherrschen, und daher sollte beim Vergleichen von Gleitkommawerten die Präzision respektive die Maschinengenauigkeit der gespeicherten Werte berücksichtigt werden. Manche Programmiersprachen stellen hierfür einen Wert für die kleineste relative Genauigkeit von Gleitkommazahlen <math>\epsilon</math> (epsilon) zur Verfügung. Das folgende Beispiel für den Datentyp double mit 64 Bit Speichertiefe nach dem Standard IEEE 754 in der Programmiersprache Java mit einem Wert für <math>\epsilon = 10^{-15}</math> nach der Formel: :<math>\Bigg| {\frac {differenzBerechnet - differenzErwartet} {differenzErwartet}} \Bigg| < \epsilon</math> <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; double differenzBerechnet = a - b; double differenzErwartet = 1.1; boolean gleichheit1 = (differenzBerechnet == differenzErwartet); java.lang.System.out.println (gleichheit1); double epsilon = 1.0E-15; boolean gleichheit2 = java.lang.Math.abs ((differenzBerechnet - differenzErwartet) / differenzErwartet) < epsilon; java.lang.System.out.println (gleichheit2); </syntaxhighlight> Die Ausgabe lautet hier: :false :true ===Durch Reihenfolge=== In einigen Programmiersprachen ist die Reihenfolge der Abarbeitung von kombinierten Ausdrücken nicht explizit definiert und führt daher zu einem solchen Nebeneffekt. Die Anweisungen h ← f (x) + g (x) oder h ← g (x) + f (x) können je nach Compiler zu unterschiedlichen Ergebnissen für die Summe h führen. Die Methodenaufrufe f oder g können nämlich unter Umständen die als Parameter verwendete (lokale) Variable x verändern und somit gegebenenfalls verschiedene Werte für h erzeugen, je nachdem, ob zuerst f&nbsp;(x) oder g&nbsp;(x) ausgewertet wird. In solchen Programmiersprachen sind sogenannte Durchgangsparameter in kombinierten Ausdrücken zu vermeiden. Ferner ist es denkbar, dass durch den ersten Funktionsaufruf globale Variablen oder Instanzen verändert und beim zweiten Funktionsaufruf verwendet werden. Die erwünschte Reihenfolge von Funktionsaufrufen kann leicht durch entsprechende Code-Sequenzen mit sequentiellen Anweisungen erzwungen werden: result_f ← f (x) result_g ← g (x) h ← result_f + result_g Dieses Vorgehen erzeugt darüberhinaus den günstigen Umstand, dass die Zwischenergebnisse in lokalen Variablen gespeichert und somit abgefragt werden können. Diese sind nach einem Programmabbruch dann auch mit einem Post-Mortem-Debugger analysierbar. ===Durch Kombination von Operatoren=== Manche Programmiersprachen -&nbsp;insbesondere in der C-Sprachfamilie&nbsp;- erlauben die Kombination von Zuweisungsoperatoren und arithmetischen Operatoren. Zuweisungsoperator: = Arithmetische Operatoren: + - * / Kombinierte Operatoren: += -= *= /= Die kombinierten Operatoren sollen für die scheinbar äquivalenten Formulierungen mit getrenntem Zuweisungsoperator und arithmetischem Operator stehen: a += 1; steht für a = a + 1; a -= 1; steht für a = a - 1; a *= 1; steht für a = a * 1; a /= 1; steht für a = a / 1; Diese Schreibweisen sollen wohl vor allem ein wenig Schreibarbeit bei der Programmierung ersparen, können aber zu schwer zu identifizierenden Programmierfehlern führen, wie das folgende Java-Beispiel verdeutlichen soll: <syntaxhighlight lang="Java"> long a = 1; double b = 1.5; a *= b; java.lang.System.out.println (a); a += b; java.lang.System.out.println (a); a -= b; java.lang.System.out.println (a); </syntaxhighlight> Dieser Code erzeugt die Ausgabe: 1 2 0 Die nur scheinbar äquivalenten Formulierungen für die kombinierten Operatoren <syntaxhighlight lang="Java"> a = a * b; a = a + b; a = a - b; </syntaxhighlight> werden in Java wegen der mangelnden Zuweisungskompatibilität der arithmetischen Ausdrücke hinter dem Zuweisungsoperator vom Datentyp "double" zum Datentyp "long" der Variable "a" gar nicht übersetzt. Die tatsächlichen äquivalenten Formulierungen für die kombinierten Operatoren lauten nämlich wie folgt: <syntaxhighlight lang="Java"> a = (long) (a * b); a = (long) (a + b); a = (long) (a - b); </syntaxhighlight> Durch die impliziten Datentypumwandlungen erklären sich auch die falschen numerischen und gegebenenfalls nicht erwarteten ganzzahligen Ergebnisse. Wenn bei der Programmierung diese Tatsachen nicht bewusst sind oder übersehen werden, ergeben sich numerische Fehler in den arithmetischen Berechnungen. Dies kann einfach vermieden werden, indem kombinierte Operatoren zugunsten der expliziten sowie transparenten Formulierungen mit separaten Operatoren nicht verwendet werden. === Durch Sprachdefinition === Als Beispiel dient hier die scheinbar falsche Ausgabe eines Java-Programms, weil die Definition der Programmiersprache der Intuition widerspricht: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long i = 01234567; java.lang.System.out.println (i); </syntaxhighlight> Dieser Code erzeugt die Ausgabe: 342391 Das Literal "01234567" wird trotz der ausschließlichen Verwendung von gültigen dezimalen Ziffern nicht als die Dezimalzahl 1234567<sub>10</sub> interpretiert und ausgegeben, sondern entsprechend der Definition der Programmiersprache Java wegen der einleitenden Null als Oktalzahl zur Basis Acht, also als 1234567<sub>8</sub> = 342391<sub>10</sub>. === Durch Überladen === Eine Überladung liegt vor, wenn eine Operator oder ein Bezeichner mehrfach in verschiedenen Bedeutungen auftritt, die leicht zu Verwechslungen führen können. Streng strukturierte Programmiersprachen erlauben das polymorphe Überladen nicht, wenn es dadurch zu Programmierfehlern kommen kann. Das '''Überladen''' muss in der objektorientierten Programmierung vom '''Überschreiben''' unterschieden werden, wobei auch überschriebene Methoden in weniger strukturierten Programmiersprachen überladen werden dürfen, was ebenfalls zu unübersichtlichem Programmcode und schnell zu übersehenden Programmierfehlern führen kann. Siehe hierzu unten unter [[Strukturierte Programmierung#Überladung|Überladung]]. ==== Überladung von Divisionsoperatoren ==== Die Divisionsoperatoren sind in vielen Programmiersprachen leider überladen, wenn nämlich formal keine Unterscheidung zwischen Division mit ganzen Zahlen (Datentyp zum Beispiel "long" oder "int") und Gleitkommazahlen (Datentyp zum Beispiel "real" oder "double") gemacht wird. In diesen Fällen muss der Divisionsoperator sehr aufmerksam verwendet werden: int i ← 2; int j ← 1; real k ← j / i; /* Ueberladener Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden */ Verwendet die Programmiersprache im arithmetischen Ausdruck die ganzzahlige Division, hat dies zur Folge, dass die Variable k den Wert '''0''' erhält. Verwendet die Programmiersprache stattdessen die reelwertige Division, bekommt die Variable k den Wert 0,5 zugewiesen. Einige Programmiersprachen unterscheiden daher sinnvollerweise explizit zwischen einem Operator für die ganzzahlige Division ("div" oder "DIV") und einem Operator für die Gleitkommadivision ("/"). <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) i, j : integer; k : real; i := 2; j := 1; k := j / i; (* Gleitkommazahliger Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden *) </syntaxhighlight> In der letzten Anweisung wird der Variablen "k" der Zahlenwert der reellwertigen Division '''0,5''' zugewiesen. <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) i, j, k : integer; i := 2; j := 1; k := j div i; (* Ganzzahliger Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden *) </syntaxhighlight> In der letzten Anweisung wird der Variablen "k" der Zahlenwert der ganzzahligen Division '''0''' zugewiesen. Bei Programmiersprachen, die die Unterscheidung der Divisionsoperatoren nicht unterstützen, ist die Verwendung der expliziten und zuweisungskompatiblen Datentypumwandlung (englisch: ''type cast'') nicht nur sinnvoll, sondern sogar zwingend erforderlich: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long i = 2; long j = 1; double k = ((double) j) / ((double) i) /* Ueberladener Divisionsoperator mit zwei gleitkommazahligen Operanden */ </syntaxhighlight> In der Regel ist es für eine Gleitkommadivision hierbei ausreichend, wenn nur einer der beiden Operanden, also nur der Nenner (Dividend) oder der nur Zähler (Divisor) der Division, eine Gleitkommazahl darstellt. Entsprechende Überlegungen gelten auch für alle '''Modulo-Operatoren''' (wie zum Beispiel "%", "mod" oder "MOD"). ==== Überladung von Variablen ==== Oft ist es in einer Programmiersprache erlaubt, dieselben Bezeichner für Variablen mit verschiedenen Sichtbarkeitsbereichen zu verwenden. Dies kann sehr einfach zur Verwechslung dieser Variablen führen, wie im folgenden Java-Beispiel verdeutlicht wird, wo es sowohl eine globale Klassenvariable (Sichtbarkeit in der Klasse "OverloadedVariables") als auch eine lokale Variable (Sichtbarkeit in der Methode "main") mit dem Namen "bezeichner" gibt:<syntaxhighlight lang="java"> public class OverloadedVariables { // globale Klassenvariable "bezeichner" private static long bezeichner = 1; // Hauptprogramm (Methode "main") public static void main (java.lang.String [] argumente) { // lokale Variable "bezeichner" long bezeichner = 2; // Ausgabe der globalen Klassenvariable "bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert der globalen Variable = " + OverloadedVariables.bezeichner); // Ausgabe der lokalen Variable aus der Methode "main" java.lang.System.out.println ("Wert der lokalen Variable = " + bezeichner); } } </syntaxhighlight>Falls die Klassenvariable referenziert werden soll, muss sie in Java qualifiziert bezeichnet werden, indem der Name der Klasse vorangestellt wird. ==== Überladung von Methoden ==== Viele Programmiersprachen erlauben die Deklaration von mehreren Methoden mit gleichem Bezeichner, die sich in der Anzahl oder den Datentypen ihrer Parameter unterscheiden. Das folgende Java-Beispiel mit zwei Methoden demselben Namens, von denen die mit der passenden Datentyp des Parameters "zahl" aufgerufen wird, verdeutlicht dies:<syntaxhighlight lang="java"> private static long kehrwert (long zahl) { long kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } private static double kehrwert (double zahl) { double kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } public static void main (java.lang.String [] argumente) { double kehrwert1 = kehrwert (2); double kehrwert2 = kehrwert (2.0); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 1 = " + kehrwert1); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 2 = " + kehrwert2); } </syntaxhighlight>Die Ausgabe ergibt zwei verschiedene Ergebnisse für den Kehrwert der Zahl Zwei:<syntaxhighlight> Kehrwert 1 = 0.0 Kehrwert 2 = 0.5 </syntaxhighlight>Durch die kategorische Verwendung verschiedener Bezeichner für verschiedene Methoden kann die Verwechslungsgefahr leicht und ohne Probleme verhindert werden, und die Erzeugung der beiden verschiedenen Ergebnisse wird transparent:<syntaxhighlight lang="java">private static long kehrwertLong (long zahl) { long kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } private static double kehrwertDouble (double zahl) { double kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } public static void main (java.lang.String [] argumente) { double kehrwert1 = kehrwertLong (2); double kehrwert2 = kehrwertDouble (2.0); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 1 = " + kehrwert1); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 2 = " + kehrwert2); }</syntaxhighlight> ===Durch falsche Spezifikation=== In Programmiersprachen, die dynamische Variablen ausschließlich als Zeiger behandeln (wie zum Beispiel C oder C++), kann trotz exakter Übereinstimmung der referenzierten Datentypen bei einer Zuweisung des Ergebnisses einer Funktion ein Zeiger auf den lokalen Stapelspeicher der Funktion zurückgegeben werden, der nur während der Ausführung der Funktion, aber nicht mehr nach dem Rücksprung aus der Funktion gültig ist. Während der weiteren Programmausführung kann der Speicherbereich jederzeit überschrieben werden, ohne dass der Programmierer dies wünscht oder absehen kann. Im folgenden Beispiel in der Programmiersprache C wird innerhalb der Funktion ''function'' der Wert 5 dem Datenfeld ''a'' der Variablen ''data'' zwar korrekt zugewiesen, kann aber nach dem Rücksprung aus der Funktion im Stapelspeicher jederzeit unbeabsichtigt verändert werden, wie zum Beispiel beim erneuten Aufruf einer Funktion oder anderen Operationen, die den Stapelspeicher verwenden: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ struct DataType { int a }; // Definition des Datentyps ''DataType'' mit einem ganzzahligen Datenfeld ''a'' // Deklaration der Funktion ''function'' mit einem Zeiger auf eine Variable vom Datentyp ''DataType'' als Speicheradresse für den Rückgabewert DataType* function () { DataType data; // Deklaration der lokalen Variable ''data'' vom Datentyp ''DataType'' data.a = 5; // Zuweisung des Wertes ''5'' zum Datenfeld ''a'' der Variablen ''data'' return &data; // Rückgabe der lokalen, temporären Speicheradresse von ''data'', die nach der Beendigung des Funktionsaufrufs gar nicht mehr gültig ist. } </syntaxhighlight> Der Programmierer muss zur Abwendung dieses Übels darauf achten, dass Rückgabewerte durch Allokation einer entsprechenden Variablen in einem dauerhaft verfügbaren dynamischen Speicherbereich (also zum Beispiel im Heap-Speicher) auch nach dem Aufruf der Funktion noch gültig und korrekt aufrufbar sind. Bei der Verwendung von vollständig typsicheren Programmiersprachen ist die Rückgabe von lokal definierten Adressen nicht zulässig, und die Übersetzung des entsprechenden Codes wird vom Complier von vornherein verweigert, so dass es gar nicht zu einem solchen Nebeneffekt kommen kann. Alternativ kann der Datentyp ''DataType'' nicht direkt als Verbund, sondern als Zeiger auf einen entsprechenden Verbund deklariert werden. In diesem Fall muss in der Funktion zunächst eine Instanz erzeugt werden (beispielsweise mit dem Kommando ''new'' oder ''allocate''). Diese Instanz ist dann nicht mehr im lokalen Stapelspeicher (Stack) der Funktion gespeichert, sondern es kann im dynamischen Speicherbereich (Heap) global - also auch außerhalb der Funktion und nach Beendigung des Funktionsaufrufs - darauf zugegriffen werden. ===Durch Verwechslung von Speicherinhalt und Speicheradresse=== Die Werte von Variablen werden unter einer bestimmten Speicheradresse eines Computers gespeichert, wo vom Laufzeitsystem die für den entsprechenden Datentyp erforderliche Datenmenge der entsprechende Speicherplatz reserviert und bereitgehalten wird. Diese Speicheradresse wird in modernen Systemen in der Regel automatisch verwaltet, so dass sie im Allgemeinen gar nicht bekannt ist und auch gar nicht bekannt sein muss. Daraus ergeben sich unter Umständen jedoch wichtige Implikationen. In manchen Programmiersprachen, wie zum Beispiel Java, ist nämlich nicht unmittelbar erkennbar, ob bei bestimmten Operationen der Speicherinhalt oder die Speicheradresse einer Variablen verwendet wird. So werden bei bei logischen Vergleichen mit Operanden, die aus Variablen mit einfachen Datentypen bestehen (etwa boolean, long oder double), die unter der Speicheradresse gespeicherten '''Werte''' verglichen, also die Inhalte. Bei Variablen mit komplexen Datentypen (beispielsweise eine abzählbare Liste von Daten eines Datentyps (array), ein Verbund (record / struct), der sich aus verschiedenen Datentypen zusammensetzen kann, oder allgemein in der objektorientierten Programmierung die Instanz eines Objekts) werden jedoch gar nicht unbedingt die gespeicherten Inhalte, sondern lediglich die Speicheradressen der beiden Operanden verglichen. Hier wird also beim Gleichheitsoperator nur geprüft, ob es sich um dasselbe Speicherobjekt (dieselbe Instanz) handelt, und nicht, ob zwei verschiedene Speicherobjekte den gleichen Inhalt haben. Bei strenger Strukturierung wird (hoffentlich schon vor der Ausführung bereits im Quelltext) zusätzlich geprüft, ob die zu vergleichenden komplexen Datentypen überhaupt zuweisungskompatibel und somit sinnvoll vergleichbar sind. Unter welchen Umständen welche Speicheradressen für gleiche Speicherinhalte verwendet werden, ist insbesondere für unerfahrene Programmierer keineswegs immer naheliegend oder leicht nachzuvollziehen. Dies wird im Folgenden anhand des logischen Vergleichs auf Gleichheit von Zeichenketten (Java-Klasse java.lang.String) in der Programmiersprache Java verdeutlicht. Die Wirkungsweise des Gleichheitsoperators == wird der Wirkungsweise des Funktionsaufrufs der Methode '''java.lang.String.equals''' gegenübergestellt, die einen booleschen Rückgabewert hat. <syntaxhighlight lang="Java"> boolean vergleich; // Die symbolische Konstante für die Zeichenkette "abc" wird in einer Variablen mit dem Bezeichner text verwaltet // Die Zeichenkette "abc" wird von Java unter der Speicheradresse #MEM1 abgelegt // Die Variable text und die symbolische konstante Zeichenkette "abc" haben dieselbe Speicheradresse #MEM1 java.lang.String text = "abc"; // Vergleich der Speicheradresse #MEM1 mit der Speicheradresse #MEM1 vergleich = ("abc" == "abc"); java.lang.System.out.println ("1. Vergleich \"abc\" == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich der Speicheradresse #MEM1 mit der Speicheradresse #MEM1 !!! vergleich = (text == "abc"); java.lang.System.out.println ("2. Vergleich text == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich des Inhalts bei der Speicheradresse #MEM1 mit dem Inhalt bei der Speicheradresse #MEM1 vergleich = text.equals ("abc"); java.lang.System.out.println ("3. Vergleich text.equals (\"abc\"): " + vergleich); // Neue Instanz fuer die bereits oben deklarierte Zeichenkette text // Die neue Instanz wird mit dem new-Operator unter der Speicheradresse #MEM2 erzeugt // Der Speicherinhalt wird mit dem Konstruktor java.lang.String und dem Wert "abc" initialisiert // Die Variable text bekommt durch die Zuweisung die Speicheradresse #MEM2 text = new java.lang.String ("abc"); // Vergleich der Speicheradresse #MEM2 mit der Speicheradresse #MEM1 !!! vergleich = (text == "abc"); java.lang.System.out.println ("4. Vergleich text == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich des Inhalts bei der Speicheradresse #MEM2 mit dem Inhalt bei der Speicheradresse #MEM1 vergleich = text.equals ("abc"); java.lang.System.out.println ("5. Vergleich text.equals (\"abc\"): " + vergleich); </syntaxhighlight> Die Textausgabe dieses Programms sieht wie folgt aus: <syntaxhighlight lang="text"> 1. Vergleich "abc" == "abc": true 2. Vergleich text == "abc": true 3. Vergleich text.equals ("abc"): true 4. Vergleich text == "abc": false 5. Vergleich text.equals ("abc"): true </syntaxhighlight> Symbolisch konstante Zeichenketten, wie zum Beispiel der Ausdruck "abc", werden unter einer verdeckten Speicheradresse abgelegt und von Java für gleichlautende Ausdrücke automatisch wiederverwendet. Wird jedoch mit dem new-Operator eine Instanz eines Objekts erzeugt, so bekommt diese unabhängig davon, welcher Inhalt dort gespeichert wird, stets eine andere neue Speicheradresse zugeordnet. Für den Vergleich des Inhalts von Zeichenketten auf Gleichheit ist in Java also immer die generische typengebundene Methode "equals'' zu verwenden. Diese typengebundene Methode "equals" gibt es auch in vielen anderen Java-Klassen, um den Inhalt der entsprechenden Objektinstanzen auf Gleichheit vergleichen zu können. ==Strukturierte objektorientierte Programmierung== ===Vermeidung von Codewiederholung durch Vererbung=== Die Vermeidung von Codewiederholung durch Vererbung kann beispielsweise an den beiden graphischen Objekten '''Kreis''' und '''Dreieck''' deutlich gemacht werden. Diese beiden Objekte können unabhängig voneinander als Datentyp modelliert werden, wobei ihre gemeinsamen Eigenschaften '''Farbe''' und '''Strichstärke''', sowie die jeweilige Methode zum '''Zeichnen''' beide Male unabhängig behandelt werden (dies kann eindeutig durch '''Hat'''-Beziehungen ausgedrückt werden: ein Kreis oder ein Dreieck '''hat''' eine Farbe, eine Strickstärke sowie eine Methode zum Zeichnen), was eine Codewiederholung darstellt. Der '''Kreis''' hat zusätzlich das Attribut '''Radius''', und das '''Dreieck''' hat zusätzlich die drei Attribute '''SeiteA''', '''SeiteB''' und '''SeiteC''': Kreis hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen, Radius Dreieck hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen, SeiteA, SeiteB, SeiteC Mithilfe von Vererbung kann die Codewiederholung vermieden werden, indem die Attribute '''Farbe''' und '''Strichstärke''', sowie die Methode zum '''Zeichnen''' nur einmal mithilfe des abstrakten Objekts '''GraphischesObjekt''' deklariert werden. Die konkreten Objekte '''Kreis''' und '''Dreieck''' erben alle gemeinsamen Eigenschaften und Methoden (respektive typengebundenen Prozeduren) von '''GraphischesObjekt''' (dies kann eindeutig durch '''Ist'''-Beziehungen ausgedrückt werden: ein Kreis '''ist''' ein GraphischesObjekt, und ein Dreieck '''ist''' ein GraphischesObjekt) und werden nur durch die jeweils fehlenden Attribute ergänzt: GraphischesObjekt hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen Kreis ist GraphischesObjekt, hat zusätzlich: Radius Dreieck ist GraphischesObjekt, hat zusätzlich: SeiteA, SeiteB, SeiteC ===Überladung=== Das '''Überladen''' von Methoden, Konstruktoren oder Variablen ist auch bei objektorientierter Programmierung überflüssig, erschwert die Nachvollziehbarkeit vom Quellcode und birgt die Gefahr von Programmierfehlern, die unter Umständen erst lange nach der Entwicklung der Software bei deren Wartung entstehen. Das folgende Beispiel verdeutlicht einen leicht zu übersehenden Programmierfehler durch die Veränderung bei den überladenen Funktionen während der Programmentwicklung oder Programmwartung: double quotient (double a, double b) { return a / b; /* Gleitkommazahlige Division */ } long i ← 1; long j ← 2; double q ← quotient (i, j); /* q ist 0,5 da die gleitkommazahlige Definition der Funktion 'quotient' verwendet wird */ Wird die Funktion 'quotient' später mit einer ganzzahligen Variante überladen, ergibt sich beim bestehenden Aufruf der Funktion unbeabsichtigt ein anderes Ergebnis für die Variable 'q': double quotient (long a, long b) { return a DIV b; /* Ganzzahlige Division */ } double quotient (double a, double b) { return a / b; /* Gleitkommazahlige Division */ } long i ← 1; long j ← 2; double q ← quotient (i, j); /* q ist 0 da die ganzzahlige Definition der Funktion 'quotient' verwendet wird */ Noch unübersichtlicher wird die Lage, wenn zusätzlich auch noch Überladungen mit gemischten Datentypen für die Funktionsparameter definiert werden: double quotient (long a, long b) double quotient (double a, long b) double quotient (long a, double b) double quotient (double a, double b) Deswegen werden Methoden oder Attribute besser nicht überladen, auch nicht, wenn die Programmiersprache dies zulässt. Auch jede Klasse bekommt daher maximal einen einzigen '''Konstruktor''', der alle erforderlichen Parameter zur Initialisierung der Instanzvariablen enthält. Als günstige Nebeneffekte stellen sich kürzere Übersetzungszeiten ein. Wenn die ursprünglichen Deklarationen in der Basisklasse oder einer der von ihr erbenden Klassen überladen werden, indem zum Beispiel weitere gleichnamige Methoden mit abweichenden Parametern definiert werden, dann kann es zu verändertem Verhalten von Software kommen. Ohne dass die Anwendung selbst geändert wurde, kann es allein durch die Aktualisierung einer verwendeten Klasse zu völlig anderen Rechenergebnissen kommen, weil automatisch eine andere, neu überladene Methode aufgerufen wird, ohne dass dies im Quelltext des Anwendungsprogramms sichtbar wird. Die Folge können schwerwiegende Programmierfehler sein, die schwierig zu analysieren sind. Als ein Beispiel diene hier die Methode java.lang.Math.ulp zur Bestimmung der "'''u'''nits in the '''l'''ast '''p'''lace" ("Einheiten in der letzten Stelle"), die in der Klasse java.lang.Math aus historischen Gründen mit zwei Parametern deklariert und somit überladen ist: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Math; { public static double ulp​ (double d) public static float ulp​ (float f) } </syntaxhighlight> Der folgende Java-Code <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ double zahl; zahl = java.lang.Math.ulp (1L); // Datentyp long java.lang.System.out.println (zahl); zahl = java.lang.Math.ulp (1F); // Datentyp float java.lang.System.out.println (zahl); zahl = java.lang.Math.ulp (1D); // Datentyp double java.lang.System.out.println (zahl); </syntaxhighlight> erzeugt folgende Ausgabe, da die ganze Zahl Eins mit dem Datentyp long (64 Bit) in der Programmiersprache Java implizit offensichtlich nicht in den Datentyp double (64 Bit), sondern in den Datentyp float (32 Bit) umgewandelt wird, und somit die mit dem Parameter des Datentyps float deklarierte Methode aufgerufen wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ 1.1920928955078125E-7 1.1920928955078125E-7 2.220446049250313E-16 </syntaxhighlight> Falls bei einer neueren Version der Klasse java.lang.Math die Methode ulp mit einem Parameter des Datentyps long überladen würde, wäre das Ergebnis mit dem ganzzahligen Parameter des Werts "1L" (long) nicht mehr vorhersagbar, obwohl der oben angegebene Methodenaufruf sich formal gar nicht geändert hätte. <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Math; { public static double ulp ​(double d) public static float ulp​ (float f) public static double ulp ​(long l) } </syntaxhighlight> Das Ergebnis des Aufrufs <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ double zahl = java.lang.Math.ulp (1L); java.lang.System.out.println (zahl); </syntaxhighlight> würde dann allein von der tatsächlichen Implementierung der neuen überladenen Methode mit dem Parameter des Datentyps long abhängen, die mit den alten beiden ulp-Methoden nichts mehr zu tun hat, außer, dass sie den gleichen Namen hat. ===Überschreibung=== Das '''Überschreiben''' von geerbten Methoden oder Konstruktoren ist etwas völlig anderes als das Überladen und kann sehr sinnvoll sein. Beim Überschreiben muss die Signatur der Methode (oder des Konstruktors) unter strikter Beachtung der Zuweisungskompatibilität, der Anzahl und der Reihenfolge aller Parameter sowie der Rückgabewerte berücksichtigt werden. Wenn die Programmiersprache dies nicht automatisch unterstützt, sind wenigstens entsprechend aufwendige Maßnahmen im Quelltext sicherzustellen, wie zum Beispiel explizite Typenprüfungen oder hinreichend ausführliche Hinweise in Kommentaren. Wenn Methoden oder Konstruktoren einer Basisklasse von der überschreibenden Klasse aufgerufen werden (englisch ''super call'') kann es zum ''Fragile Base Class Problem'' (zu Deutsch ''Problem der anfälligen Basisklasse'') kommen, da bei der Implementierung der Basisklasse die möglichen Auswirkungen in den später implementierten, überschreibenden Klassen nicht berücksichtigt werden konnten. Zur Abwendung dieser Gefahr sind ein besonders sorgfältiger und strukturierter Programmierstil sowie eine lückenlose Dokumentation des Quelltextes sehr hilfreich. Das fehlerfreie und robuste Überschreiben von Klassen beziehungsweise die Vererbung von implementierten Klassen erfordern eine hohe Fähigkeit zum abstrakten Denken und eine umfangreiche Programmiererfahrung. ===Mehrfachvererbung=== Durch [[w:Mehrfachvererbung|Mehrfachvererbung]], also das Erben von Methoden und Instanzvariablen aus mehreren Basisklassen, führt zu komplexen, und schwierig zu durchschauenden Abhängigkeiten, die im Rahmen des [[w:Diamond-Problem|Diamond-Problems]] sogar zu unerwünschten Mehrdeutigkeiten führen kann. Die Vererbung aus zwei Basisklassen kann bei Bedarf ohne weiteres durch die Verwendung von [[w:Zwillingsklasse|Zwillingsklassen]] vermieden werden, was den Programmieraufwand ein wenig erhöht, aber dafür solche Mehrdeutigkeiten verhindert und außerdem die Übersetzungszeiten der Quelltexte reduziert. In der Programmiersprache Java ist es zum Beispiel möglich, mehrere Basisklassen zu erben. Dabei ist zwar nur eine konkrete Vererbung aus einer Basisklasse (in Java: class) zulässig, aber zusätzlich dürfen noch beliebig viele weitere Basisklassen (in Java: interface) abstrakt geerbt werden. Dabei werden alle Attribute und Methoden aller Basisklassen auf die erbende Klasse übertragen. Auch die konkret vererbte Basisklasse kann wiederum selber mehrere abstrakte Basisklassen implementieren. Falls es in mehreren Basisklassen gleichlautende öffentliche Bezeichner gibt, kommt es unweigerlich zu Konflikten. Es ist in der Implementierung insbesondere bei fehlenden entsprechenden Kommentaren nicht ohne Weiteres erkennbar, zu welchen Basisklassen die zu überschreibenden Instanzvariablen oder Methoden gehören. <syntaxhighlight lang="Java"> /** * Die Klasse Mehrfachvererbung erbt Attribute und Methoden aus drei Basisklassen: * Sie ist eine Instanz der Klasse (class = konkrete Klasse) javax.swing.JFrame. * Sie implementiert die Schnittstelle (interface = abstrakte Klasse) java.awt.event.KeyListener. * Sie implementiert die Schnittstelle (interface = abstrakte Klasse) java.awt.event.ActionListener. */ public class Mehrfachvererbung extends javax.swing.JFrame implements java.awt.event.KeyListener, java.awt.event.ActionListener { /** * Konstante serialVersionUID aus der Basisklasse java.io.Serialization fuer die Serialisation, * die in der Klasse javax.swing.JFrame implementiert ist */ private final static long serialVersionUID = 1L; /** * Instanzvariable fuer den zuletzt von einer Instanz der Klasse javax.swing.JFrame gesendeten Tastaturcode */ private int keyCode; /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Speichert den Tastaturcode der zuletzt betaetigten Taste fuer eine Instanz * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyPressed (java.awt.event.KeyEvent event) { this.keyCode = event.getKeyCode (); } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Ungenutzt * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyReleased(java.awt.event.KeyEvent event) { } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Ungenutzt * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyTyped (java.awt.event.KeyEvent event) { } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der vererbten Klasse java.awt.event.ActionListener * Der Inhalt einer Instanz der Klasse javax.swing.JFrame wird erneut dargestellt, * wenn die Eingabetaste (Enter) betaetigt wurde. * @param event: aufgetretenes Aktionsereignis aus der Klasse java.awt.event.ActionEvent */ @Override public void actionPerformed (java.awt.event.ActionEvent event) { if (this.keyCode == java.awt.event.KeyEvent.VK_ENTER) { this.repaint (); } } } </syntaxhighlight> ==Nachwort== Ein sehr häufig auftretender „Programmierfehler“ - wiederum insbesondere bei Anfängern - ist das Unterlassen der Herstellung von Sicherungskopien der Quelltexte. Noch besser ist eventuell sogar eine Versionierung der Quelldateien, damit gegebenenfalls auf beliebige ältere Versionen zurückgegriffen werden kann. Die Auswirkungen dieses Fehlers sind hinreichend naheliegend, so dass hier nicht weiter darauf eingegangen werden muss. Sollte der Leser nach der Lektüre dieser Beiträge zu dem verständlichen und naheliegenden Schluss gekommen sein, dass die Programmiersprachen C oder C++ ziemlich schlecht strukturiert sind, möge er sich auch einmal andere Programmiersprachen näher ansehen, wie zum Beispiel C#, Component Pascal oder auch Java. Mit der Beherzigung der Vorschläge aus diesem Buch möge es dem Leser in seinem Programmier-Team in jeder Programmiersprache gelingen, in kürzerer Entwicklungszeit besser strukturierte und funktionierende Programme zu schreiben. ===Vergleich=== In der folgenden Tabelle werde einige imperative, objektorientierte Programmiersprachen hinsichtlich ihrer Strukturiertheit verglichen: {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" !Veröffentlichungsdatum!!1985!!1994!!1995!!2001 |- !Programmiersprache!!C++!!Component<br/>Pascal!!Java!!C# |- | style="text-align:left"| Vollständig strukturierte Syntax || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Datentypsicherheit bei Basistypen || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Datentypsicherheit bei komplexen Datentypen || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Modulsicherheit || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Keine zyklischen Importe || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Keine mehrfache Schnittstellenvererbung || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Keine mehrfache Implementationsvererbung || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |} ==Literatur== * Niklaus Wirth: ** ''Programming in Modula 2'', Springer, 3. Auflage, 1985, ISBN 3-540-15078-1 ** Mit Martin Reiser: ''Programming in Oberon – Steps beyond Pascal and Modula'', Addison-Wesley,1992, ISBN 0-201-56543-9 ** ''Algorithmen und Datenstrukturen mit Modula - 2'', Teubner Leitfäden der Informatik, 5. Auflage, Teubner, Stuttgart, 1996, ISBN 9783519122609 * Herbert Schildt: ''Professionelles Modula-2'', McGraw-Hill, Hamburg, 1988, ISBN 3-89028-113-3 * Lászlo Böszörmény, Jürg Gutknecht, Gustav Pomberger: ''The School of Niklaus Wirth – The Art of Simplicity'', dpunkt, Heidelberg, 2000, ISBN 3-932588-85-1 * Hanspeter Mössenböck: ** ''Objektorientierte Programmierung in Oberon-2'', Springer, 1998, ISBN 9783540646495 ** ''Sprechen Sie Java?: Eine Einführung in das systematische Programmieren'', dpunkt, Heidelberg, 2005, ISBN 9783898643627 ** ''Kompaktkurs C# 4.0'', dpunkt, Heidelberg, 2009, ISBN 9783898646451 ==Weblinks== *{{w|Niklaus Wirth}}: **Interessantes Interview: [http://www.simple-talk.com/opinion/geek-of-the-week/niklaus-wirth-geek-of-the-week/ Geek of the Week] vom 2. Juli 2009 **Ein noch interessanteres Interview (2009): [http://www.youtube.com/watch?v=wrGytM2YTQY An Interview with Niklaus Emil Wirth, Part 3] *{{w|Frederick P. Brooks}}: [[w:en:The_Mythical_Man-Month|The Mythical Man-Month]] *{{w|Benutzer:Bautsch|Markus Bautsch}}: [[:en:User:Bautsch/Capsula|Draft of the graphical programming language '''Capsula''']] (Wikibooks) == Einzelnachweise == <references></references> ==Zusammenfassung des Projekts== {{Vorlage:StatusBuch|10}} * '''Zielgruppe:''' Programmierer, Software-Entwickler, Informatik-Lehrende * '''Lernziele:''' Vermeidung von Fehlern, die leicht und unbemerkt zur unstrukturierten Programmierung führen können. Schnelle und sichere Erstellung leicht zu wartender Software. * '''Buchpatenschaft/Ansprechperson:''' [[Benutzer:Bautsch]] * '''Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?''' Ja, sehr gerne. Korrekturen von offensichtlichen Fehlern direkt im Text; Inhaltliches bitte per Diskussion. * '''Richtlinien für Co-Autoren:''' Wikimedia-like. [[Kategorie:Buch]] [[Kategorie:Studium]] dqd9m32w9vvstzz3jetxftni890vp9a 1093248 1093242 2026-11-03T11:10:26Z Bautsch 35687 /* Sichtbarkeiten */ Kleinkram 1093248 wikitext text/x-wiki {{Regal | ort=Programmierung}} [[Datei:Programmierung.Java.Julia-Menge.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des mit Tastatursteuerung interaktiven Java-Programms [[Das Apfelmännchen/ FraktaleMengeAusgabe|FraktaleMengeAusgabe]] zur Berechnung und Darstellung von Julia-Mengen oder der Mandelbrot-Menge. Siehe auch '''Wikibook [[Das Apfelmännchen]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.Maze.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms [[Rekursive Labyrinthe/ MazeGraphs|Maze]] zur rekursiven Erstellung und Darstellung von Labyrinthen. Siehe auch '''Wikibook [[Rekursive Labyrinthe]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.SimForestFrame.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms [[Waldbrandsimulation/ SimForestFrame|SimForestFrame]] zur Simulation und Darstellung von sich ausbreitenden Waldbränden. Siehe auch '''Wikibook [[Waldbrandsimulation]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.Campingplatzraetsel.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des mit Maussteuerung interaktiven Java-Programms [[Campingplatzrätsel/ CampingplatzGraphs|CampingplatzGraphs]] zur Erstellung und Darstellung von Campingplatzrätseln. Siehe auch '''Wikibook [[Campingplatzrätsel]]'''.]] [[Datei:Programmierung.Java.GameOfLife.png|mini|rechts|hochkant=2|Bildschirmaufnahme des Java-Programms "GameOfLife" zur Anzeige von Conways Spiel des Lebens. Siehe auch '''Wikibook [[Game of Life]]'''.]] ==Einleitung== Das Buch '''Strukturierte Programmierung''' ist kein Lehrbuch zum Erlernen einer Programmiersprache, sondern soll als kleiner Leitfaden dazu dienen, besser strukturierte Programme erstellen zu können, selbst wenn die eingesetzten Programmiersprachen die strukturierte Programmierung weniger stark unterstützen. <big>Warum lohnt es sich überhaupt, strukturiert zu programmieren&nbsp;?</big> Es gibt eine ganze Reihe von naheliegenden Gründen, aber auch einige Vorteile, die nicht auf der Hand liegen oder jedermann sofort ersichtlich sind. Anfänger und Fortgeschrittene profitieren gleichermaßen von gut strukturierter Programmierung. Die Vorteile sind so erheblich, dass es unbedingt sinnvoll ist, gut strukturiert zu programmieren. Im Folgenden werden einige wichtige Vorteile aufgeführt und erläutert: *'''Strukturierte Programme sind leichter nachvollziehbar.''' Dies erleichtert die Arbeit im Team und vereinfacht die Wartung, wenn der Quellcode ergänzt, geändert oder korrigiert werden muss. *'''Strukturierte Programme haben weniger Programmierfehler.''' Dies reduziert die Entwicklungszeiten und erhöht die Akzeptanz bei den Auftraggebern und Nutzern der Software. *'''Strukturierte Programme können ohne Laufzeit-Debugger erstellt werden.''' Dies spart enorm viel Zeit und Nerven bei der Entwicklung von Software. Die geringen Laufzeiteinbußen, die bei hoch strukturierter Programmierung von Anwendungssoftware gegenüber laufzeitoptimiertem Code entstehen können, spielen –&nbsp;sofern sie überhaupt existieren sollten&nbsp;– bei den heutzutage zur Verfügung stehenden modernen und schnellen Rechenmaschinen praktisch keine Rolle mehr. Programmcode wegzulassen, der der inhärenten Betriebssicherheit von Software oder der inhärenten Datenintegrität dient, macht nur in sehr wenigen, extrem zeitkritischen Anwendungen Sinn, keineswegs jedoch bei herkömmlichen oder gar sicherheitskritischen Anwendungsprogrammen. Die Ratschläge aus diesem Buch beruhen auf jahrzehntelanger Erfahrung mit der Softwareentwicklung komplexer Systeme und dem Hochschulunterricht im Fach Programmierung mit verschiedenen Programmiersprachen. Die folgende Check-Liste enthalt eine Reihe von wichtigen Kriterien, die bei strukturierter Programmierung berücksichtigt werden sollten: * <big><big>'''[[Strukturierte Programmierung/ Checkliste|Checkliste]]'''</big></big> Übrigens: ''In der Kürze der Quelltextdatei liegt nicht die wahre Würze des Programmierens&nbsp;!'' Und noch wichtiger: :''So ists mit aller Bildung auch beschaffen:'' :''Vergebens werden ungebundne Geister'' :''Nach der Vollendung reiner Höhe streben.'' :''Wer Großes will, muß sich zusammenraffen;'' :''In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister,'' :''Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben.'' ::Johann Wolfgang von Goethe, Ende von ''Das Sonett'' Viel Erfolg beim strukturierten Programmieren wünscht [[Benutzer:Bautsch]]&nbsp;! <div style="clear:both"></div> ==Quelltextgestaltung== In diesem Abschnitt stehen einige Vorschläge zur allgemeinen Gestaltung der Quelltexte, die keine unmittelbare Auswirkung auf die Lauffähigkeit und die Funktion der Programme haben, aber dazu führen, dass der Quelltext besser verständlich und nachvollziehbar ist. ===Anweisungen=== Der Quelltext wird bei imperativen Programmiersprachen durch Anweisungen gestaltet, die ganz unterschiedlich geartet sein können. Zu den typischen und wichtigen Anweisungen gehören: * Deklaration (declaration) * Blockanweisung (block, begin / end) * Zuweisung (assignment) * Aufruf (call) * Rücksprung (return) * Verzweigung (branch) * Schleife (loop) * Sicherstellung (assertion) Bei Kommentaren und Leerräumen (Leerzeichen, Tabulatoren, Zeilenumbrüche, ...) in Quelltexten handelt es sich nicht um Anweisungen, da sie vom Übersetzer (compiler) beziehungsweise Interpreter des Programmcodes ignoriert werden. ===Kommentare=== Jeder Quelltext sollte zu Beginn der Datei in einem von Compiler zu ignorierenden '''Kommentar''' für die Klarstellung des Inhalts einige Mindestangaben zum Inhalt und Ursprung machen. Dazu gehören beispielsweise die Autoren, Urheber oder Rechteinhaber, deren beabsichtigte Nutzungsarten/-rechte und Nutzungsbedingungen und weitere Angaben zur Lizenzierung, das Datum der Erstellung oder Veränderung, eine Versionsangabe und Angaben zur verwendeten Programmiersprache und gegebenenfalls zu den eingesetzten Programmbibliotheken (gegebenenfalls ebenfalls mit Versionsangaben). Ferner soll beschrieben werden, für welchen Zweck oder für welche Aufgabenstellungen das Programm eingesetzt werden kann. Darüber hinaus können und sollen auch weitere sinnvolle oder nützliche Angaben in diesem '''Kopfkommentar''' festgehalten werden. Der Kommentartext wird bei vielen Programmiersprachen im Quelltext mit dem Symbolpaar "/*" und "*/" oder dem Symbolpaar "(*" und "*)" eingeschlossen. Beispiel: /* Program: generation of pseudorandom numbers Author: Bautsch License: public domain Date: 7th January 2011 Version: 1.0 Programming language: Java Description: This program uses a primitive polynomial sequence with large prime coefficients to efficiently generate uniformly distributed pseudorandom numbers. */ Alle Methoden und Variablen werden ausreichend kommentiert, sofern sie nicht durch die Wahl „sprechender” Bezeichner selbsterklärend sind. Bei Methoden werden insbesondere die Bedeutung aller Parameter und Rückgabewerte dokumentiert: /* The method "add" computes and returns the sum of "summand1" and "summand2" */ double add (double summand1, double summand2) { double sum ← summand1 + summand2 return sum } Viele Entwicklungssysteme bieten Funktionen, die die Dokumentation der Quelltexte mit Kommentaren unterstützen. Bei einigen Programmiersprachen ist Aufmerksamkeit geboten, wenn in der Sprachdefinition geschachtelte Kommentare nicht vorgesehen sind. Wird zum Beispiel während der Programmentwicklung Quelltext auskommentiert, um das Verhalten des modifizierten Programms zu überprüfen, und enthält dieser Quelltext einen Kommentar, ist dann nicht sofort erkennbar, welcher Abschnitt des Quelltextes tatsächlich auskommentiert werden soll. Dabei kann es auch vorkommen, dass einige Compiler die geschachtelten Kommentare erkennen und im eigentlichen Sinne des Programmierers berücksichtigen; andere Compiler, die sich streng an die standardisierten Sprachdefinitionen halten, jedoch nicht, so dass es bei der Portierung von Quellcode unweigerlich zu Übersetzungsfehlern kommt. Das folgende Beispiel zeigt einen Programmabschnitt, bei dem hinter der letzten Anweisung zwischen den Zeichenfolgen "/*" und "*/" ein Textkommentar hinzugefügt wurde, der vom Compiler ignoriert werden soll. int i ← 1 i ← i * i /* die Variable i wird quadriert. */ Wird zusätzlich mit den gleichen Zeichenfolgen "/*" und "*/" die gesamte Programmzeile auskommentiert, gibt es einen Übersetzungsfehler, wenn der Compiler die allerletzte Zeichenfolge "*/" als Kommentarende ohne Kommentaranfang interpretiert, sofern der zweite und nunmehr auskommentierte Kommentaranfang "/*" in der Zeile mit dem Textkommentar ignoriert wurde und die erste auftretende Zeichenfolge "*/" bereits als Kommentarende interpretiert wurde: int i ← 1 /* i ← i * i /* die Variable i wird quadriert. */ */ ===Leerräume=== '''Leerräume''', also zum Beispiel Leerzeichen, Zeilen- und Seitenumbrüche oder Tabulatoren, werden - genauso wie Kommentare - von vielen Compilern überlesen und dienen in diesen Fällen ausschließlich zur Verbesserung der Lesbarkeit für die Programmierer. Daher sollten diese Leerräume sorgfältig eingesetzt werden, um die Nachvollziehbarkeit des Quellcodes für Programmierer zu erleichtern. Bei einigen Programmiersprachen werden allerdings bestimmte Formatierungen in der Sprachdefinition gefordert und müssen dann natürlich den Vorgaben entsprechend eingehalten werden. Viele Entwicklungssysteme bieten sehr nützliche, unterstützende Funktionen zur einheitlichen Formatierung der Quelltexte, die sehr einfach anzuwenden sind und benutzt werden sollten. So ist es zum Beispiel allgemein üblich, Programmblöcke so zu formatieren, dass die Inhalte gegenüber dem Kopf und dem Fuß etwas eingerückt und durch Zeilenumbrüche voneinander getrennt werden: Blockkopf eingerückter Inhalt 1 eingerückter Inhalt 2 Blockfuß Für die Einrückungen werden heute meist mehrere Leerzeichen oder ein Tabulatorzeichen verwendet. Neuerdings wird in manchen Programmiersprachen empfohlen, vier Leerzeichen zu verwenden. Manche Editoren fügen bei der Betätigung der Tabulatortaste eine gewünschte Anzahl von Leerzeichen ein. Das Mischen von mehreren Leerzeichen und Tabulatorzeichen für die Einrückungen kann nicht empfohlen werden, da dies bei der Bearbeitung mit verschiedenen Editoren zur uneinheitlichen Darstellung der Einrückungen führen kann. Moderne Editoren haben Funktionen, mit denen der gesamte Programmcode oder Teile davon einheitlich und korrekt eingerückt werden können (Englisch: "correct indentation"). Siehe hierzu auch [[Strukturierte Programmierung#Blockanweisungen|Blockanweisungen]]. ===Bezeichner=== In den meisten Programmiersprachen gibt es '''Bezeichner''' (oder '''Identifikatoren''', englisch: '''identifier''') für ganz unterschiedliche Dinge, wie für symbolische '''Konstanten''', für '''Variablen''', für '''Parameter''' oder '''Attribute''', für '''Unterprogramme''' (respektive für '''Methoden''', '''Prozeduren''' oder für '''Funktionen'''), für '''Module''' (respektive für '''Klassen''') oder für '''Bibliotheken'''. Zur Strukturierung von Daten werden auch '''Pakete''' (englisch: '''packages''') eingesetzt. In der Regel stehen alle Buchstaben ohne Diakritika zur Verfügung. Oft sind auch noch Ziffern und der Unterstrich "_" erlaubt. Das erste Zeichen muss üblicherweise immer ein Buchstabe sein. Leerzeichen sind innerhalb von Bezeichnern im Allgemeinen nicht zulässig. Beim Lesen und Analysieren von Quelltexten ist es sehr hilfreich, wenn einem Bezeichner nicht nur beim ersten Auftauchen bei der Deklaration, sondern an jeder Stelle im Programm sofort angesehen werden kann, wofür er steht. Meist bildet sich für eine Gruppe von Programmiersprachen ein bestimmter Usus aus, wie die entsprechenden Bezeichner gestaltet werden sollen. Der Compiler stellt in der Regel keine Ansprüche an die Schreibweise von Bezeichnern, solange der definierte Zeichenvorrat verwendet wird. Eine Ausnahme stellen die vorgegebenen Schlüsselwörter dar, die häufig und je nach Programmiersprache nur aus Großbuchstaben oder nur aus Kleinbuchstaben bestehen, wie zum Beispiel: * '''IMPORT''', '''CONST''', '''TYPE''', '''VAR''', '''PROCEDURE''', '''NIL''', '''LONG''', '''REAL''', '''BEGIN''', '''END''', '''WHILE''' versus * '''import''', '''final''', '''void''', '''static''', '''null''', '''long''', '''double''', '''while''' In vielen Programmiersprachen haben sich für die frei definierbaren Bezeichner bestimmte Praktiken herausgebildet, damit die Bedeutung der Bezeichner im Quelltext von den beteiligten Programmierern leichter erkannt werden kann. Dieses Vorgehen ist allerdings nicht immer einheitlich gestaltet, wie anhand der folgenden, beispielhaften Liste gesehen werden kann: * Die Bezeichner von übergeordnet verfügbaren Konstanten, Variablen, Datentypen, Klassen oder Modulen beginnen mit '''einem Großbuchstaben'''. * Die Bezeichner von Konstanten werden '''vollständig mit Großbuchstaben''' geschrieben. * Die Bezeichner von lokal verfügbaren Variablen, Attributen oder Parametern werden '''vollständig mit Kleinbuchstaben''' geschrieben. * Die Bezeichner von Methoden werden '''vollständig mit Kleinbuchstaben''' geschrieben. ====Variablen und Methoden==== So ist es zum Beispiel üblich, Variablen und Methoden mit Kleinbuchstaben zu benennen. Dabei ist der Unterschied zwischen Variable und Methode immer und einfach anhand der obligatorischen Parameterliste von Methoden zu erkennen, die beim Fehlen von Parametern leer ist und in vielen Programmiersprachen durch runde Klammern begrenzt ist und direkt hinter dem Methodennamen steht: /* "diameter" is variable of the data type integer */ int diameter /* "radius" is variable (parameter of the function "calcDiameter") of the data type integer */ /* "calcDiameter" is a function */ /* the result of the function call has the data type integer */ int calcDiameter (int radius) "calcDiameter" ist hierbei mit dem Binnenmajuskel "D" versehen (umgangssprachlich auch "Kamelhöcker-Notation" genannt, englisch "camel case"), um den Anfang eines neuen Wortes ohne die Verwendung eines Leerzeichens erkennbar zu machen. Es ist im Sinne der guten Lesbarkeit des Quelltextes allgemein hilfreich, in Bezeichnern immer passende grammatische Formen zu verwenden, wie zum Beispiel: * für booleschen Variablen und Funktionen: Partizipien oder Adjektive * für andere Variablen und Funktionen: Substantive * für Methoden und Kommandos: Verben im Imperativ In manchen Programmiersprachen ist es üblich, lokale Variablen mit einem Kleinbuchstaben zu beginnen und globale Variablen - also in mehreren Programmodulen, Klassen oder Methoden sichtbare Variablen - mit einem Großbuchstaben zu beginnen, um deren Sichtbarkeiten unmittelbar erkennbar zu machen. ====Konstanten==== Die Werte von Konstanten können zur Laufzeit nicht mehr verändert werden. Dieser Umstand wird dem Compiler bei der Deklaration der Konstanten durch entsprechende Deklarationen (wie zum Beispiel "CONST") oder Modifikatoren (wie zum Beispiel "final") mitgeteilt. Damit an jeder Stelle des Quelltextes, also auch nach der Deklaration, erkannt werden kann, dass es sich um eine Konstante handelt, ist es hilfreich Konstanten mit einem '''Großbuchstaben''' beginnen zu lassen; manchmal werden für Konstanten sogar ausschließlich Großbuchstaben verwendet. Es ist empfehlenswert, die Initialisierung einer Konstanten immer unmittelbar im Kontext der Deklaration vorzunehmen, damit es keine Mehrdeutigkeiten und somit auch keine Verwechslungen durch undefinierte Werte geben kann. Wenn dies nicht sinnvoll erscheint, sollte vorzugsweise keine Konstante verwendet werden. In vielen modernen Programmiersprachen ist es möglich, Klassenvariablen beziehungsweise globale Variablen zu schützen, indem diese nur innerhalb einer Klasse beziehungsweise innerhalb eines Moduls verändert werden dürfen. In diesem Fall gibt es von Außerhalb nur einen Lesezugriff auf den Wert der Variablen ("read-only"), oder der aktuelle Wert der Variablen kann durch den Aufruf eines Unterprogramms zurückgegeben werden ("get"-Methoden). <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Zahlen; (* Auf die globale ganzzahlige Konstante "Konstante" kann nur lesend zugegriffen werden. *) (* Die globale Konstante "Konstante" ist durch Deklaration und Initialisierung vollständig definiert. *) CONST Konstante = 7; (* Auf die globale ganzzahlige Variable "zahl" kann von außerhalb des Moduls "Zahlen" nur lesend zugegriffen werden. *) (* Die globale Variable "zahl" wird mit dem Zusatz "-" als "read-only" deklariert. *) VAR zahl-: LONGINT; BEGIN (* Die globale Variable "zahl" wird mit einem Wert initialisiert. *) zahl := 8; END Zahlen. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Zahlen; { // Auf die öffentliche ganzzahlige Klassenkonstante "Konstante" kann nur lesend zugegriffen werden. // Die Klassenkonstante "Konstante" ist durch Deklaration und Initialisierung vollständig definiert. // Die Klassenkonstante "Konstante" wird mit dem Zusatz "final" deklariert. public static final long Konstante = 7; // Auf die nicht-öffentliche ganzzahlige Klassenvariable "zahl" kann von außerhalb der Klasse // nur über die öffentliche Methode "getZahl ()" lesend zugegriffen werden. // Die Klassenvariable "zahl" wird mit dem Zusatz "private" deklariert. private static long zahl = 8; public static long getZahl () { return zahl; } } </syntaxhighlight> Im folgenden Java-Beispiel wird eine als konstant deklarierte lokale Variable erst innerhalb einer Fallunterscheidung (if-Anweisung) und zudem mit zwei verschiedenen optionalen Werten initialisiert. Wenn die Deklaration und die optionalen Initialisierungen im Quelltext weiter auseinanderliegen, ist es schwierig, den definierten Zustand der vermeintlich eindeutig definierten Variablen vollständig zu erfassen. <syntaxhighlight lang="Java"> private static boolean boolescherAusdruck () { java.util.Random zufall = new java.util.Random (); boolean zufaelligerBoolescherWert = zufall.nextBoolean (); return zufaelligerBoolescherWert; } public static void main (java.lang.String [] arguments) { // Deklaration der lokalen Konstante "Zahl", // die wegen fehlender Initialisierung nicht definiert ist. final long Zahl; if (boolescherAusdruck ()) { Zahl = 7; } else { Zahl = 8; } java.lang.System.out.println ("Konstante Zahl = " + Zahl); } </syntaxhighlight> ====Klassen und Module==== Auch Unterprogrammeinheiten wie '''Module''' oder '''Klassen''' werden in der Regel mit eindeutigen Bezeichnern benannt, die üblicherweise mit einem '''Großbuchstaben''' beginnen. Im Kontext eines Quellcodes ist es immer möglich, diese Unterprogrammeinheiten von anderen zu unterscheiden, die ebenfalls mit einem Großbuchstaben beginnen (beispielsweise Konstanten), weil die Bezeichner von Unterprogrammeinheiten von einer Blockanweisung (zum Beispiel geschweifte Klammern) für die Implementation von Programmcode oder von einem Separator (beispielsweise ".") zur qualifizierten Bezeichnung von Teilen der Unterprogrammeinheiten gefolgt werden. Das Konzept von Unterprogrammeinheiten ist, dass mehrere Unterprogramme (Methoden, Prozeduren, Funktionen, Kommandos) sowie mehrere Konstanten, Variablen oder Datenstrukturen (Verbunde (struct, record), Arrays) in einer speicherbaren Datei zusammengefasst werden. Insofern handelt es sich bei solchen Unterprogrammeinheiten um die '''kleinsten dauerhaft speicherbaren Einheiten''' in einem Software-Projekten. Unterprogrammeinheiten werden in strukturierten Programmiersprachen unter der Verwendung von Schlüsselwörtern wie zum Beispiel "program", "MODULE" oder "class" '''deklariert''': <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in der Programmiersprache Pascal *) program Programmeinheit; begin end. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="modula2"> (* Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in den Programmiersprachen Modula-2, Oberon oder Component Pascal *) MODULE Programmeinheit; BEGIN END Programmeinheit. </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="Java"> // Die Unterprogrammeinheit "Programmeinheit" in der Programmiersprache Java public class Programmeinheit; { } </syntaxhighlight> ====„Sprechende” Bezeichner==== Die Wahl '''„sprechender“ Bezeichner''' hilft beim Lesen, Verstehen und Nachvollziehen von Quelltext ungemein. Häufig erübrigt sich sogar ein erläuternder Kommentar, wenn mit hinreichend „sprechenden“ Variablen- beziehungsweise Methodennamen gearbeitet wird. Also nicht eine solche Anweisung: h ← (t – b) Sondern besser: height ← (top - bottom) Die verpasste Chance, einen Bezeichner sprechend zu benennen, kann in vielen Entwicklungssystemen durch sogenanntes ''Refactoring'' zentral für den gesamten Quelltext durch Umbenennung geheilt werden. ====Parameter==== Bei Methodenaufrufen werden '''alle Parameter''' mit Variablen oder mit Konstanten übergeben, also nicht mit '''komplexen Ausdrücken''' (beispielsweise arithmetische Berechnungen und Aufrufe von Unterprogrammen) oder mit '''Literalen''' (also direkt eingegebene Werte, wie 100 oder "Text"). Hier ein schlechtes Beispiel mit dem Aufruf des Java-Unterprogramms "zeichneRechteck" mit fünf kryptischen Parameterausdrücken in den runden Klammern. Jedes der fünf Literalen 50 hat eine eigene unabhängige Bedeutung, die bei dieser Schreibweise nicht unterschieden oder nachvollzogen werden können, was deswegen schnell zu Verwechslungen führen kann: <syntaxhighlight lang="Java"> zeichneRechteck (50, 50, 50, berechneHoehe (50), 50); </syntaxhighlight> Ein strukturiertes Programm weist die Werte für alle fünf Parameter vor dem Aufruf des Unterprogramms an eigene Variablen mit sprechenden Bezeichnern zu: <syntaxhighlight lang="Java"> int x = 50; int y = 50; int breite = 50; int hoehe = berechneHoehe (breite); int helligkeitProzent = 50; zeichneRechteck (x, y, breite, hoehe, helligkeitProzent); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge ist im Gegensatz zu der Anweisung darüber auch ohne die explizite Kenntnisnahme der '''Deklaration des Unterprogramms''' verständlich: <syntaxhighlight lang="Java"> /** * Zeichnet ein Rechteck in das Bildschirmfenster * @param x: x-Koordinate vom linken Bildschirmfensterrand nach rechts * @param y: y-Koordinate vom oberen Bildschirmfensterrand nach unten * @param breite: Breite des Rechtecks von x nach rechts * @param hoehe: Hoehe des Rechtecks von y nach unten * @param helligkeitProzent: Helligkeit des Rechtecks in Prozent (0 = schwarz, 100 = weiss) */ public static void zeichneRechteck (int x, int y, int breite, int hoehe, int helligkeitProzent) </syntaxhighlight> ====Qualifizierte Bezeichner==== =====Programmeinheiten===== Damit der sich hinter einem Bezeichner verborgene Inhalt eindeutig einer Programmeinheit zugeordnet werden kann, muss dieser '''qualifiziert bezeichnet''' werden. In manchen Programmiersprachen geschieht dies für bestimmte Bezeichner inhärent, obwohl es eine explizite import-Anweisung für die entsprechenden Bezeichner gibt, so dass die Programmierer in diesen Sonderfällen also wissen müssen, worauf sich der unqualifizierte Bezeichner bezieht. In der Programmiersprache Java dürfen häufig verwendete Bezeichner wie beispielsweise die zur Textausgabe verwendete Methode "print" aus der Klasse "System" oder die für Zeichenketten verwendete Klasse "String" ohne eine vollständige und qualifizierte Bezeichnung in den Programmtext geschrieben werden: <syntaxhighlight lang="Java"> String text = "Hallo Welt!"; System.out.print (text); </syntaxhighlight> In der Variablen "text" der Klasse "String" wird die Zeichenkette "Hallo Welt!" gespeichert und mit der klassengebundenen Methode "print" der Klassenvariablen "out" aus der Klasse "System" ausgegeben. Hier ist allerdings nicht ohne weiteres ersichtlich, wo sich die Deklarationen oder die Implementierungen beiden Klassen "String" und "System" befinden. Die '''qualifizierte Bezeichnung''' dieser beiden Anweisungen hat folgendes Aussehen: <syntaxhighlight lang="Java"> java.lang.String text = "Hallo Welt!"; java.lang.System.out.print (text); </syntaxhighlight> Durch die qualifizierte Bezeichnung wird klar, dass sich beide Klassen im Programmpaket "java.lang" des Programmmoduls "java.base" befinden. Jedes Modul (englisch "module") und jedes Paket (englisch "package") kann in der Systembibliothek der Programmiersprache beziehungsweise in der Programmbibliothek der Laufzeitumgebung eindeutig zugeordnet werden. Alternativ wird die Qualifikation von bestimmten Bezeichnern durch eine Import-Anweisung zu Beginn des Programms vorgenommen: <syntaxhighlight lang="Java"> import java.lang.String; import java.lang.System; //... String text = "Hallo Welt!"; System.out.print (text); </syntaxhighlight> Dieses Vorgehen erlaubt innerhalb einer Programmdatei zwar grundsätzlich eine korrekte und eindeutige Zuordnung der weiter unten im Programmtext verwendeten '''unqualifizierten''' Bezeichner, bei der Analyse des Programmtextes sind sämtliche Import-Anweisungen jedoch stets und vollständig zu berücksichtigen, was die Sache für die Programmierer insbesondere bei langen oder komplexen Quelltexten sehr erschweren kann. Dies kann durch die ausschließliche und obligatorische Verwendung von qualifizierten Bezeichnern ausgeschlossen werden, und deswegen wird von streng strukturierten Programmiersprachen überall und immer eine qualifizierte Bezeichnung gefordert. Leider dürfen diese qualifizierten Importe beziehungsweise Bezeichnungen in manchen Programmiersprachen für gängige Unterprogrammeinheiten weggelassen werden, wie im folgenden Beispiel in der Programmiersprache Java: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Test { public static void main (String [] args) { } } </syntaxhighlight> Ein Aufruf des formal korrekt deklarierten Hauptprogramms "main" kann zu folgender völlig irritierender Fehlermeldung führen, wenn gar nicht die dafür vorgesehene Standard-Java-Klasse "java.lang.String" referenziert wird, weil sich im Software-Projekt, in dem sich das Hauptprogramm befindet, eine gleichnamige Klasse "String" definiert ist, die durch die Regeln der Programmiersprache vorrangig referenziert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> Error: Main method not found in class Test, please define the main method as: public static void main (String [] args) </syntaxhighlight> =====Datenstrukturen===== Auch bei Datenstrukturen müssen qualifizierte Bezeichner verwendet werden, damit eindeutig auf bestimmte Datenfelder zugegriffen werden kann. Im folgenden Beispiel in der Syntax der '''Pascal'''-Programmiersprachenfamilie wird dies anhand des komplexen Datentyps "Postadresse" mit den sechs Attributen "vorname", "nachname", "strasse", "hausnummer", "postleitzahl" und "ort" dargestellt: <syntaxhighlight lang="Pascal"> (* Datentyp "Postadresse" *) TYPE Postadresse = RECORD vorname: ARRAY OF CHAR; nachname: ARRAY OF CHAR; strasse: ARRAY OF CHAR; hausnummer: ARRAY OF CHAR; postleitzahl: LONGINT; ort: ARRAY OF CHAR; END; </syntaxhighlight> In den Deklarationen der Attribute steht "ARRAY OF CHAR" für den Datentyp Zeichenkette, der zur Speicherung von Zeichenfolgen verwendet wird. Der Datentyp "LONGINT" dient zur Speicherung ganzer Zahlen. Eine Instanz "adresse" dieses Datentyps "Postadresse" kann wie folgt mit der NEW-Prozedur erzeugt werden, wobei der dafür erforderliche Speicherplatz festgelegt und für andere Verwendungen gesperrt wird. Auf die sechs einzelnen Datenfelder der in "adresse" gespeicherten sechs Attribute des Datentyps "Postadresse" kann danach im Programm mit den entsprechenden qualifizierten Bezeichnern beispielsweise zugegriffen werden, indem die jeweiligen initialen Werte mithilfe des Zuweisungsoperators := zugewiesen werden. Auf die Prozeduren "String" und "Int" aus dem Modul "Out" wird über "Out.String" und "Out.Int" ebenfalls qualifiziert zugegriffen: <syntaxhighlight lang="Pascal"> IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" mit den Textausgabe-Prozeduren "String" für Zeichenketten und "Int" für ganze Zahlen *) VAR adresse: Postadresse; (* globale Variable "adresse" *) BEGIN NEW (adresse); (* Speicherreservierung für den Bezeichner "adresse" *) adresse.vorname := "Irgend"; adresse.nachname := "Jemand"; adresse.strasse := "Allee"; adresse.hausnummer := "100"; adresse.postleitzahl := 10000; adresse.ort := "Irgendwo"; Out.String (adresse.vorname); Out.String (adresse.nachname); Out.String (adresse.strasse); Out.String (adresse.hausnummer); Out.Int (adresse.postleitzahl); Out.String (adresse.ort); END; </syntaxhighlight> In einem weiteren Beispiel mit der Syntax der Programmiersprache '''Java''' wird die Datenstruktur dieses komplexen Datentyps als Klasse "Postadresse" mit den sechs Instanzvariablen "vorname", "nachname", "strasse", "hausnummer", "postleitzahl" und "ort" für diese sechs Attribute gebildet. Eine Instanz dieses Datentyps kann hier mit dem new-Operator erzeugt werden. Der öffentliche Konstruktor "Postadresse ()" ist eine Methode mit derselben Bezeichnung wie die Klasse selbst, die aufgerufen werden muss, um die sechs Datenfelder der jeweiligen Instanz "this" zu initialisieren. Auf die einzelnen Datenfelder der in der nicht-öffentlichen Klassenvariable "adresse" gespeicherten sechs Attribute des Datentyps "Postadresse" kann danach über die entsprechenden sechs qualifizierten Bezeichner zugegriffen werden. In der Methode "main" werden die Attribute zwischen den runden Klammern über die qualifizierten Bezeichner als Parameter bei den Aufrufen der allgemeinen Textausgabe-Methode "println" verwendet, die zur Klassenvariable "out" der Klasse "System" im Programmpaket "java.lang" gehört: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Postadresse // Klasse "Postadresse" { // Instanzvariablen java.lang.String vorname; java.lang.String nachname; java.lang.String strasse; java.lang.String hausnummer; long postleitzahl; java.lang.String ort; private static Postadresse adresse = new Postadresse (); // Klassenvariable "adresse" public Postadresse () // Konstruktor der Klasse "Postadresse" { this.vorname = "Irgend"; this.nachname = "Jemand"; this.strasse = "Allee"; this.hausnummer = "100"; this.postleitzahl = 10000; this.ort = "Irgendwo"; } public static void main (java.lang.String [] argumente) // main-Methode der Klasse "Postadresse" { java.lang.System.out.println (adresse.vorname); java.lang.System.out.println (adresse.nachname); java.lang.System.out.println (adresse.strasse); java.lang.System.out.println (adresse.hausnummer); java.lang.System.out.println (adresse.postleitzahl); java.lang.System.out.println (adresse.ort); } } </syntaxhighlight> ====Komplexe Anweisungen==== In der Programmiersprache Java kann die Gestaltung eines softwaretechnischen Containers "host" beispielsweise mit der Variablen "layout" realisiert werden. Hierzu werden Instanzen von Objekten der Klassen "Container" und "GroupLayout" erzeugt: <syntaxhighlight lang="Java"> java.awt.Container host = new java.awt.Container (); javax.swing.GroupLayout layout = new javax.swing.GroupLayout (host); </syntaxhighlight> Eine multiple qualifizierte Bezeichnung zur Referenzierung von Datenfeldern mit diversen Aufrufen typengebundener Methoden (Unterprogramme) kann dann mit einer einzigen hyperkomplexen Anweisung in einer Zeile zusammengefasst werden: <syntaxhighlight lang="Java"> layout.setVerticalGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING).addGroup (layout.createSequentialGroup ().addContainerGap ().addGroup(layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING).addGroup (layout.createSequentialGroup().addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE)))))); </syntaxhighlight> Mit Zeilenumbrüchen wird der inhaltlich identische Quelltext schon besser nachvollziehbar: <syntaxhighlight lang="Java"> layout.setVerticalGroup ( layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING) .addGroup (layout.createSequentialGroup () .addContainerGap () .addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING) .addGroup (layout.createSequentialGroup() .addGroup (layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE))))) ); </syntaxhighlight> Durch Verwendung von Hilfsvariablen mit sprechenden Bezeichnern wird der Quelltext zwar etwas länger, aber noch verständlicher. Die Komplexität ist deutlich reduziert, und die Anweisungsfolge kann viel einfacher nachvollzogen, überprüft oder angepasst werden: <syntaxhighlight lang="Java"> javax.swing.GroupLayout.SequentialGroup sequentialGroup2 = layout.createSequentialGroup (); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelBaselineGroup = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.BASELINE); sequentialGroup2 = sequentialGroup2.addGroup (parallelBaselineGroup); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelLeadingGroup2 = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING); parallelLeadingGroup2 = parallelLeadingGroup2.addGroup (sequentialGroup2); javax.swing.GroupLayout.SequentialGroup sequentialGroup1 = layout.createSequentialGroup (); sequentialGroup1 = sequentialGroup1.addContainerGap (); sequentialGroup1 = sequentialGroup1.addGroup (parallelLeadingGroup2); javax.swing.GroupLayout.ParallelGroup parallelLeadingGroup1 = layout.createParallelGroup (javax.swing.GroupLayout.Alignment.LEADING); parallelLeadingGroup1 = parallelLeadingGroup1.addGroup (sequentialGroup1); layout.setVerticalGroup (parallelLeadingGroup1); </syntaxhighlight> ==Programmgestaltung== Idealerweise kann die kontextfreie Grammatik der verwendeten Programmiersprache mit einer strukturierten Metasprache, wie zum Beispiel der '''Erweiterten Backus-Naur-Form''' ('''EBNF''') nach der Norm ISO/IEC 14977 dargestellt werden. Jedes strukturierte Programm und jede Datenstruktur kann damit eindeutig definiert werden. Leider trifft dies für viele Programmiersprachen nicht zu. Die Darstellung beliebiger ganzer Zahlen (sowohl negative, als auch positive und die Null) mit Zeichen kann in der Erweiterten Backus-Naur-Form zum Beispiel schrittweise so definiert werden: <syntaxhighlight lang="ebnf"> NatuerlicheZiffer = "1" | "2" | "3" | "4" | "5" | "6" | "7" | "8" | "9"; Ziffer = "0" | NatuerlicheZiffer; NatuerlicheZahl = NatuerlicheZiffer{Ziffer}; GanzeZahl = "0" | ["-"]NatuerlicheZahl; </syntaxhighlight> [[Datei:Nassi-Shneiderman diagram - InsertionSort.svg|mini|rechts|hochkant=2|Beispiel für einen Algorithmus mit zwei geschachtelten, kopfgesteuerten Schleifen in der Darstellung als Nassi-Shneidermann-Diagramm.]] Programme können als '''Struktogramm''' (auch '''Nassi-Shneidermann-Diagramm genannt''') nach Norm DIN 66261 notiert werden. Alle Teilprogramme sind dabei so geartet, dass sie ausgehend von einem einfachen Hauptblock, der für das gesamte Programm und somit für mindestens einen Unterprogrammaufruf steht, durch schrittweise Verfeinerung hierarchisch zusammengesetzt werden können. Am Ende der Hierarchie stehen dann elementare Teilprogramme, die nicht weiter zerlegt werden können. Die zyklomatische Komplexität der Software kann zum Beispiel mit der '''McCabe-Metrik''' untersucht und analysiert werden. Hierbei sollte darauf geachtet werden, dass die Komplexität beschränkt bleibt, damit der Quelltext überschaubar bleibt und gut nachvollzogen werden kann. Durch geeignete Strukturierung ist dies in modernen Programmiersprachen immer möglich, und mit einer McCabe-Metrik bis maximal 10 ist die Komplexität meist hinreichend niedrig. Dies gilt nicht nur für den prozeduralen Programmablauf, sondern gleichermaßen für Datenstrukturen, bei denen komplexe Datentypen aus elementaren Datentypen übersichtlich und hierarchisch zusammengesetzt werden können. Wichtig ist, dass die Anzahl der Programmzeilen ('''lines of code''') zwar gut als Maß für das zeitliche Wachstum einer bestimmten Software herangezogen werden kann, dies jedoch nicht geeignet ist, um eine Aussage über die Qualität oder Strukturiertheit des Programmcodes zu treffen. Weder eine besonders kleine noch eine besonders große Anzahl von Programmzeilen sind ein Garant für guten oder strukturierten Code. Das Optimum ist nicht erreicht, wenn nichts mehr hinzugefügt werden kann, weil schon alles implementiert ist, sondern wenn nichts mehr entfernt werden kann, ohne dass die Implementierung hiervon beeinträchtigt wird (frei nach Antoine de Saint-Exupéry in ''Wind, Sand und Sterne - Terre des Hommes'' (1939)). Programmieren ist nicht nur ein einfaches Handwerk, sondern eine anspruchsvolle Kunstfertigkeit (vergleiche auch Donald E. Knuth: ''The Art of Computer Programming''). <div style="clear:both"></div> ===Sichtbarkeiten=== Grundsätzlich gilt immer das '''Prinzip der Lokalität'''. Dies bedeutet, dass auf Programmkonstrukte nur dort zugegriffen werden kann und darf, wo es unbedingt erforderlich ist. Zum Datenaustausch zwischen verschiedenen Programmteilen dienen unter diesen Voraussetzungen Schnittstellen, die in der strukturierten Programmierung exakt definiert sein müssen. Alle Klassenvariablen, Instanzvariablen und Parametervariablen sowie Rückgabewerte werden in Bezug auf ihre Teilprogramme zum Beispiel als '''lokale Variablen''' behandelt, so dass sie nur innerhalb dieser Teilprogramme aufgerufen und verändert werden können. Auf diese Weise können unbeabsichtigte und unerwünschte Seiteneffekte nachhaltig vermieden werden. Je weniger lokal eine Variable definiert ist, desto größer ist die Gefahr, dass diese unbeabsichtigt oder sogar zuwider den Absichten des Programmierers verändert werden kann, was dann zu entsprechend dramatischen und schwer identifizierbaren Programmfehlern führen kann, die zudem erst zur Laufzeit auftreten und oft nur zufällig und somit umso schwerer zu entdecken sind. Variablen sollen also immer so '''lokal''' wie möglich definiert werden. Am besten sind Variablen lokalisiert, wenn sie innerhalb der Teilstruktur definiert werden, wo die Variablen üblicherweise „sichtbar” (und demzufolge verwendbar) sind. Außerhalb der Blöcke sind diese Variablen dann „unsichtbar” und somit auch nicht benutzbar. Für Programmiersprachen, die keine explizite Blockanweisung für Teilprogramme haben, ist die am stärksten lokalisierte Definition in der Regel innerhalb einer Methode respektive einer Prozedur oder einer Funktion. Die nächsthöhere Strukturebene ist dann - sofern möglich - das Modul beziehungsweise die Klasse (dies ist zwar häufig eine vom Compiler zu übersetzende Einheit, ist jedoch nicht unbedingt identisch mit einer Quelltextdatei). Innerhalb von Programmstrukturen sollten Variablen möglichst mit dem Sichtbarkeitsmodifikator für die ausschließlich interne Verwendbarkeit (zum Beispiel mit dem Modifikator ''private'' oder ''limited'') deklariert werden. Solche internen Variablen können dann gegebenenfalls mit entsprechend zu implementierenden Konstruktoren initialisiert, mit sogenannten Getter-Methoden abgefragt und mit Setter-Methoden verändert werden. Falls diese exportiert werden (beispielsweise mit dem Modifikator ''public'' oder ''export''), ist auch außerhalb der Deklarationsstruktur ein definierter indirekter Zugriff auf die internen Variablen möglich. Manche Programmiersprachen erlauben eine Deklaration, die außerhalb des Deklarationsbereiches nur gesehen respektive gelesen werden können (zum Beispiel mit dem Modifikator ''read-only'' für Variablen oder ''implement-only'' für Methoden). In diesem Fall können die entsprechenden Variablen oder Methoden außerhalb der Deklarationsstruktur also nicht verändert, aber zumindest abgefragt oder aufgerufen werden. '''Globale Variablen''', die überall innerhalb von großen Programmeinheiten verändert werden können, sind immer vermeidbar, erhöhen die Gefahr von Programmfehlern und erleichtern unter Umständen Cyber-Attacken. Besondere Probleme ergeben sich, wenn innerhalb eines Sichtbarkeitsbereiches für verschiedene Dinge gleichlautende '''Bezeichner''' verwendet werden dürfen. Dies kann wegen der Wahlfreiheit bei der Benennung sehr leicht vermieden werden, indem einfach keine gleichlautenden Bezeichner benutzt werden. Im folgenden Beispiel wird verdeutlicht, wie in einem Java-Programm zwischen den Bezeichnern von lokalen und globalen Variablen sowie von Methoden formal dennoch eindeutig unterschieden werden kann: <syntaxhighlight lang="Java"> public class Bezeichner { // globale Variable "bezeichner" (Klassenvariable) private static long bezeichner = 1; // Methode "bezeichner" (Unterprogramm) private static long bezeichner { // lokale Variable "bezeichner" in der Methode "bezeichner" long bezeichner = 3; return bezeichner; } // Hauptprogramm (Methode "main") public static void main (java.lang.String [] argumente) { // Ausgabe der globalen Variable aus der Klasse "Bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert der globalen Variable = " + Bezeichner.bezeichner); // lokale Variable "bezeichner" in der Methode "main" long bezeichner = 2; // Ausgabe der lokalen Variable aus der Methode "main" java.lang.System.out.println ("Wert der lokalen Variable = " + bezeichner); // Ausgabe des Ergebnisses des Aufrufs der Methode "bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert des Unterprogramms = " + bezeichner ()); } } </syntaxhighlight> In dieser Java-Klasse "Bezeichner" gibt es vier gleichlautende Bezeichner "bezeichner": * Der Name einer '''globalen Klassenvariable'''. * Der Name einer '''Methode'''. * Der Name einer '''lokalen Variable''' in der Methode "bezeichner". * Der Name einer '''lokalen Variable''' in der Methode "main". Nach den Regeln der Programmiersprache Java haben lokale Bezeichner bei der Referenzierung innerhalb einer Blockanweisung Vorrang, so dass bei der Verwendung dieser Bezeichner immer auf die lokale Variable zugegriffen wird. Im obigen Beispiel haben die beiden lokalen Variablen "'''bezeichner'''" nichts miteinander zu tun und können nur in ihrer entsprechenden Methode referenziert werden. Soll in einem lokalen Sichtbarkeitsbereich auf die globale Klassenvariable referenziert werden, so kann dies durch einen expliziten und '''qualifizierten Bezeichner''' erwirkt und sichergestellt werden, im obigen Beispiel mit "'''Bezeichner.bezeichner'''". Der Bezeichner einer Methode kann durch das stets folgende runde Klammerpaar identifiziert werden, im obigen Beispiel "'''bezeichner&nbsp;()'''". In älteren, schlecht strukturierten Programmiersprachen kann es bei der mehrfachen Verwendung von gleichen Bezeichnern für Variablen sehr leicht zu Programmierfehlern kommen, die nur mit Aufwand entdeckt und behoben werden können. Die Programmiersprache C erlaubt beispielsweise die Verwendung von lokalen und globalen Variablen mit dem gleichen Bezeichner. Im folgenden Beispiel wird die Variable x zweimal deklariert, einmal global außerhalb der beiden Funktionen f&nbsp;() und g&nbsp;(), und einmal lokal innerhalb der Funktion g&nbsp;(). Beide Funktionen geben einen ganzzahligen Wert von Datentyp "int" zurück, und die Funktion f&nbsp;() gibt mit der Return-Anweisung den Wert der globalen Variable x zurück, die mit dem Wert&nbsp;0 initialisiert wurde. Die Funktion g&nbsp;() hat ihre eigene, lokale Variable&nbsp;x, die auf den Wert&nbsp;1 gesetzt, aber nicht den Wert der globalen Variable x verändert, da es sich um zwei verschiedene Variablen handelt. Wird die doppelte Deklaration von&nbsp;x beim Programmieren versehentlich übersehen, kommt es zu einem unerwarteten Programmverhalten, da beim Aufruf der Funktion g&nbsp;() nicht der lokale x-Wert&nbsp;1, sondern der globale x-Wert&nbsp;0 zurückgegeben wird: <syntaxhighlight lang="c"> int x = 0; int f () { return x; } int g () { int x; // ... hier stehen gegebenenfalls viele weitere Anweisungen x = 1; return f (); } </syntaxhighlight> Wenn der Quellcode übersichtlicher gestaltet wird, ohne die Rückgabeanweisung mit einem Funktionsaufruf f&nbsp;() zu kombinieren, ist das potentielle Problem leichter zu identifizieren. Hierbei wird die überflüssige Initialisierung der im obigen Beispiel gar nicht verwendeten lokalen Variablen&nbsp;x mit dem Wert&nbsp;1 weggelassen, und die lokale Variable wird direkt mit dem Rückgabewert der Funktion f&nbsp;() initialisiert: <syntaxhighlight lang="c"> int x = 0; int f () { return x; } int g () { int x; x = f (); return x; } </syntaxhighlight> Das Problem kann grundsätzlich vermieden werden, wenn keine doppelten Bezeichner verwendet werden, was in großen Programmen unter Umständen allerdings nicht ohne weiteres ersichtlich ist. Noch besser ist es also, die beiden Variablen mit zwei verschiedenen Bezeichnern zu deklarieren und explizit mit dem jeweils gewünschten Wert zu initialisieren. Gleichzeitig sind auf diese Weise die jeweils zurückgegebenen Werte offensichtlicher nachzuvollziehen: <syntaxhighlight lang="c"> int xGlobal = 0; int f () { return xGlobal; } int g () { int x; x = f (); return x; } </syntaxhighlight> ===Modularisierung=== Teilprogramme können Methoden oder ganze Sammlungen von Datenstrukturen und Methoden sein. Diese werden oft '''Klassen''' oder '''Module''' genannt und können in '''Paketen''' gruppiert werden. Alle Teilprogramme sollen eindeutige und sprechende Bezeichner und streng definierte Signaturen und Schnittstellen für die Namen und die Datentypen aller Parameter beziehungsweise Klassen- und Instanzvariablen haben. Bei diesen Teilprogrammen handelt es sich in der Regel um die kleinsten dauerhaft speicherbaren Programmeinheiten, die zum Beispiel in einer Datenbank oder einem Dateisystem zu größeren Einheiten wie Verzeichnissen, Paketen oder Bibliotheken zusammengefasst werden. Solche Programmeinheiten werden durch ihre '''Signatur''' eindeutig gekennzeichnet. Die Signatur besteht zunächst aus dem '''Namen''' der Programmeinheit. Ferner kann mit einem Modifikator explizit definiert werden, dass diese Programmeinheit allgemein, also von allen und beliebigen anderen Programmeinheiten, verfügbar sein soll (Modifikator ''public'' / ''öffentlich''). Für eine Beschränkung nur auf die nächst höhere Programmeinheit, wie beispielsweise einem Paket (englisch "package"), kann der Modifikator ''private'' verwendet werden. Eine typische Programmbibliothek hat in der Programmiersprache Java am Beispiel des Moduls "java.base" und der beiden Pakete "java.io" und "java.lang" folgende ausschnittsweise Struktur und Hierarchie: <syntaxhighlight lang="Java"> module java.base; package java.io; class Reader; { // Implementation der Klasse Reader } class Writer; { // Implementation der Klasse Writer } package java.lang; class String; { // Implementation der Klasse String } class System; { // Implementation der Klasse System } </syntaxhighlight> ===Unterprogramme=== Unterprogramme werden in Programmiersprachen ganz unterschiedlich genannt. Meistens werden die Begriffe '''Methode''', '''Prozedur''', '''Funktion''' oder '''Kommando''' verwendet. Unterprogramme werden durch ihre '''Signatur''' eindeutig deklariert, und alle Unterprogrammaufrufe müssen sich streng an diese Deklaration halten. Die Signatur besteht zunächst aus dem '''Namen''' des Unterprogramms. Unterprogramme haben optional einen '''Rückgabewert''', für die der Datentyp ebenfalls festgelegt werden muss und der in streng strukturierten Programmiersprachen ebenfalls zur Signatur des Unterprogramms gehört und verwendet werden muss. Solche Unterprogramme mit Rückgabewert werden in Anlehnung an die mathematischen Funktionen in manchen Programmiersprache explizit '''Funktion''' genannt. Leider ist es in manchen Programmiersprachen erlaubt, Rückgabewerte von solchen Funktionen zu ignorieren und diese nicht in einer Variablen zu speichern oder im Rahmen eines Ausdrucks auszuwerten, was zu leicht zu übersehenden Programmierfehlern führen kann. Ferner gibt es innerhalb der Signatur optionale '''Modifikatoren''', die die Regeln für die Sichtbarkeit (zum Beispiel ''öffentlich'' / ''privat'' / ''eingeschränkt'', englisch: ''public'' / ''private'' / ''limited'') festlegen. In der objektorientierten Programmierung werden Unterprogramme oft als '''Methoden''' bezeichnet, da sie keine konkreten oder vollständigen Anweisungen enthalten müssen und durch Überschreiben erweitert oder angepasst werden dürfen. Die Überschreibbarkeit einer Methode wird mit einem weiteren Modifikator festgelegt (wie zum Beispiel mit ''statisch'' / ''erweiterbar'' / ''abstrakt'' / ''abgeschlossen'', englisch: ''static'' / ''extensible'' / ''abstract'' / ''final''). Unterprogramme haben keinen, einen oder mehrere '''Parameter'''. Unterprogramme ohne Parameter werden auch parameterlose Unterprogramme genannt. Parameter verhalten sich innerhalb des Unterprogramms wie lokale Variablen, nur dass sie beim Aufruf der Unterprogramme angegeben werden müssen und gegebenenfalls zusammen mit dem Rückgabewert die Schnittstelle für den Datenaustausch zum aufrufenden Programm darstellen. Die Anzahl, die Namen, die Datentypen und die Reihenfolge der '''Parameter''' gehören ebenfalls zur Signatur einer Unterprogramms. Beim Aufruf eines Unterprogramms müssen alle Parameter in der richtigen Reihenfolge und zuweisungskompatibel angegeben werden. Parameter können unterschieden werden in: * '''Eingangsparameter''' ('''in'''), die als Wert (englisch ''value'') übergeben (kopiert) und nur innerhalb des jeweiligen Unterprogramms verwendet werden. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind sie ungültig und dürfen beziehungsweise können nicht mehr referenziert werden. * '''Ausgangsparameter''' ('''out'''), die als Referenzen (Zeiger auf einen Speicherbereich, englisch ''pointer'') übergeben und deren Werte erst innerhalb des Unterprogramms ermittelt und zugewiesen werden. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind die jeweiligen Werte über ihre Referenzen abrufbar. Die referenzierten Speicherbereiche müssen vor dem Unterprogrammaufruf allokiert worden sein (der Speicherort und die Speichergröße sind dadurch festgelegt), aber der Speicherinhalt muss noch nicht definiert worden sein, da er innerhalb des Unterprogramms nicht verwendet, sondern erst bestimmt und dann zugewiesen wird. Beim Programmieren ist große Sorgfalt darauf zu legen, dass die entsprechenden Zuweisungen innerhalb des Unterprogramms in jedem Fall erfolgen, falls die verwendete Programmiersprache dies nicht sowieso vorschreibt und erzwingt. * '''Durchgangsparameter''' ('''var'''iable), die als Referenzen mit definierten Speicheradressen (Zeigern) an das Unterprogramm übergeben, innerhalb des Unterprogramms verwendet und nach einer möglichen Veränderung (respektive '''Var'''iation) während des Unterprogrammaufrufs weiterverwendet werden können. Nach Beendigung des Unterprogrammaufrufs sind ihre aktuellen Werte in den aufrufenden Programmteilen über die Referenzen abrufbar. ===Grundlegende Anweisungen=== Grundsätzlich kommt die strukturierte Programmierung in imperativen Programmiersprachen mit folgenden grundlegenden Anweisungen aus: * '''Deklaration''', zum Beispiel bei Klassen, Methoden, Variablen oder Konstanten mit einer eindeutigen Signatur: ** '''Modifikatoren''' für die Sichtbarkeit, Verwendbarkeit oder Veränderbarkeit ** '''Bezeichner''' ** Optional (bei Methoden, Funktionen, Prozeduren): '''Parameter''' mit Deklaration der Bezeichner, der Veränderbarkeiten und der Datentypen ** Optional (bei Funktionen): Datentyp des '''Rückgabewertes''' * '''Blockanweisung''', zum Beispiel BEGIN ... END oder { ... } * '''Zuweisung''', zum Beispiel a := b - c; (das Gleichheitseichen ist nicht zu verwechseln mit einem Vergleichsoperator) * '''Aufruf von Unterprogrammen''': ** '''Kommandos''' (ohne Parameter und ohne Rückgabewert) ** '''Prozeduren''' oder Methoden (ohne Rückgabewert) ** '''Funktionen''' (mit Rückgabewert) * '''Rückgabe''' bei Funktionen, zum Beispiel return x; Anweisungen werden häufig durch ein reserviertes Zeichen abgeschlossen, wie zum Beispiel mit einem Semikolon. Das folgende Beispiel zeigt eine Java-Klasse mit 15 grundlegenden Anweisungen: <syntaxhighlight lang="Java"> // Deklaration der oeffentlichen Klasse "Anweisungen" public class Anweisungen // Implementation der Klasse mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der privaten, globalen Klassenvariable "flaeche" vom Datentyp "double" private static double flaeche; // Deklaration der privaten statischen Methode "kreisflaeche" (Unterprogramm) zur Berechnung der Flaeche eines Kreises mit dem Radius "radius" // mit dem Parameter "radius" vom Datentyp "double" // und mit einer Gleitkommazahl vom Datentyp "double" als Rueckgabewert private static double kreisflaeche (double radius) // Implementation der Methode "kreisflaeche" mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der lokalen Variable "ergebnis" vom Datentyp "double" double ergebnis; // Zuweisung eines Ausdrucks an die Variable "ergebnis" mit dem Zuweisungsoperator "=" // Syntax: "Variablenname Zuweisungsoperator Ausdruck Semikolon" // Der arithmetische Ausdruck verwendet zwei Multiplikationsoperatoren "*" // Die Kreiszahl pi aus der Klasse "java.lang.Math" wird qualifiziert bezeichnet: "java.lang.Math.PI" ergebnis = java.lang.Math.PI * radius * radius; // Ruecksprunganweisung "return" mit der Rueckgabe der Gleitkommazahl "ergebnis" return ergebnis; } // Deklaration der oeffentlichen statischen Methode main (Hauptprogramm) public static void main (java.lang.String [] arguments) // Implementation der Methode "main" mit einer Blockanweisung "{}" { // Deklaration der lokalen Variable "raddurchmesser" vom Datentyp double double raddurchmesser; // Initialisierung der lokalen Variable "raddurchmesser" durch Zuweisung des konstanten arithmetischen Zahlenausdrucks "1.5" raddurchmesser = 1.5; // Aufruf der Methode "kreisflaeche" mit dem arithmetischen Ausdruck "raddurchmesser / 2" als Parameter // Der Rueckgabewert des Methodenaufrufs ist ein Ausdruck und wird der globalen Klassenvariablen "flaeche" zugewiesen flaeche = kreisflaeche (raddurchmesser / 2); // Aufruf der Methode "println" mit dem Parameter "flaeche" zur Ausgabe der berechneten Kreisflaeche // Die Methode aus der Klasse "java.lang.System" wird qualifiziert bezeichnet: "java.lang.System.out.println" java.lang.System.out.println (flaeche); } } </syntaxhighlight> Diese Anweisungen sind in der Reihenfolge des Auftretens: # '''Deklaration''' der Klasse "Anweisungen" # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Klasse "Anweisungen" # '''Deklaration''' der Klassenvariable "flaeche" # '''Deklaration''' der Methode "kreisflaeche" (Unterprogramm) # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Methode "kreisflaeche" # '''Deklaration''' einer lokalen Variable "ergebnis" in der Methode "kreisflaeche" # '''Zuweisung''' an die lokale Variable "ergebnis" in der Methode "kreisflaeche" # '''Rücksprung''' vom Unterprogramm "kreisflaeche" zum Hauptprogramm "main" # '''Deklaration''' der Methode "main" (Hauptprogramm) # '''Blockanweisung''' zur Implementation der Methode "main" # '''Deklaration''' der lokalen Variable "raddurchmesser" # '''Zuweisung''' an die lokale Variable "raddurchmesser" # '''Aufruf''' des Unterprogramms "kreisflaeche" # '''Zuweisung''' an die globale Klassenvariable "flaeche" # '''Aufruf''' des Unterprogramms "println" ===Anweisungsstrukturen=== Anweisungesstrukturen setzen sich aus mehreren Anweisungen zusammen. Eine Methode besteht zum Beispiel aus einer Deklaration mit der Definition der Schnittstelle, der unmittelbar eine Blockanweisung mit der Implementierung folgt. Zu den weiteren elementaren Anweisungsstrukturen für Teilprogramme gehören: * '''Anweisungsfolgen''' * '''Kontrollstrukturen''' ** '''Fallunterscheidungen''' *** bedingte Anweisungen (if - then) *** einfache Verzweigungen (if - then - else) *** mehrfache Verzweigungen (switch - case - else) ** '''Wiederholungen (Schleifen)''' *** kopfgesteuerte Schleifen (while-Schleifen, for-Anweisungen) *** fußgesteuerte Schleifen (repeat - until, do - while) Bei jedem elementaren Teilprogramm (respektive jeder Methode, Prozedur oder Funktion, aber auch bei jeder Definition von Datenstrukturen) sollte der Quelltext bequem und vollständig auf einer Bildschirmseite gelesen werden können, ohne dass der Text im Betrachtungsfenster verschoben werden muss. Dabei empfiehlt es sich, Methodenaufrufe und übersichtliche Blockanweisungen zu verwenden, mit denen der Quellcode in Unterabschnitte gegliedert werden kann (Verfeinerung). Im folgenden Beispiel werden drei geschachtelte Blockanweisungen durch jeweils ein Paar geschweifter Klammern begrenzt. Die äußersten Klammern dienen zur Begrenzung der Implementation der Methode "printMonth", die inneren Blockanweisungen sind ebenso wie alle anderen Anweisungen nach rechts eingerückt: printMonth () { const int NumberOfWeekdays ← 7 const int LastDay ← 31 int column int day ← 1 while (day <= LastDay) { printInt (day) column ← day modulo NumberOfWeekdays if (column = 0) { printLine () } day ← day + 1 } } Wächst die Länge einer Methode zu sehr an, können und sollen einzelne Blockanweisungen unter Berücksichtigung der entsprechenden Übergabeparameter in eigene, aufzurufende Methoden ausgelagert werden, wodurch der Code geringfügig länger, aber wesentlich besser verständlich wird: optionalNewLine (int day) { const int NumberOfWeekdays ← 7 int column ← day modulo NumberOfWeekdays if (column = 0) { printLine () } } void printMonth () { const int LastDay ← 31 int day ← 1 while (day <= LastDay) { printInt (day) optionalNewLine (day) day ← day + 1 } } Hierbei ist es hilfreich, wenn die aufzurufenden Programmteile vor ihrer ersten Verwendung implementiert werden, im Quelltext also zuerst definiert (also deklariert und implementiert) und erst weiter unten benutzt (respektive aufgerufen oder referenziert) werden. Häufig wird behauptet, dass die Performanz der ausgeführten Programme durch die Aufteilung in solche Unterprogramme leiden würde, da die zahlreichen Aufrufe und Rücksprünge Rechenzeit und Speicherressourcen kosten. In den allermeisten Fällen ist dies auf modernen Rechenmaschinen jedoch zu vernachlässigen. Bei den meisten Anwendungen wird am Speicherbedarf und an der Rechenzeit nicht bemerkt werden können, ob ein strukturiertes oder ein unstrukturiertes Programm vorliegt. Bestenfalls bei extrem rechenintensiven Aufgaben (wie zum Beispiel beim sogenannten "number crunching" ("Zahlenfressen"), bei Monte-Carlo-Simulationen oder Big-Data-Analysen) kann dies bei den extrem häufig aufgerufenen Unterprogrammen einen nennenswerten Effekt haben. Hierbei kann eine wohlstrukturierte Parallelisierung von Programmen oder die Ausgliederung von Rechenaufgaben in spezialisierte Hardware (Graphikprozessoren, digitale Signalprozessoren (DSP), Field Programmable Gate Arrays (FPGA) oder Quantencomputer) wesentlich zu einer Beschleunigung der Programmabläufe beitragen. Eine Software, die von den Anwendern als zu langsam empfunden wird, ist meist nur schlecht programmiert. Ferner kann gar nicht häufig genug betont werden, dass die Entwicklung und Wartung unstrukturierter Programme erheblich länger dauert und wesentlich fehleranfälliger ist. === Schrittweise Verfeinerung === Die Implementierung von Software geschieht in der Regel vom Großen ins Kleine. Grob entworfene Anweisungsfolgen und Datenstrukturen werden dabei im Rahmen einer '''schrittweisen Verfeinerung''' immer genauer den Anforderungen angepasst. Die folgenden Aspekte sind bei der schrittweisen Verfeinerung nach wie vor typisch:<ref>Niklaus Wirth: [http://sunnyday.mit.edu/16.355/wirth-refinement.html Program Development by Stepwise Refinement], Communications of the Association for Computing Machinery, Band 14, Nummer 4, April 1971, Seiten 221 bis 227</ref> * In jedem Schritt wird eine Aufgabe (ein Programmteil / ein Datensatz) in Unteraufgaben (in Unterprogramme / in Unterdatensätze) aufgeteilt. * Der Grad der Abkapselung von Unteraufgaben bestimmt, wie leicht oder schwer Programme und Datenstrukturen angepasst oder übertragen werden können. * Die Notation für Programme und Daten sollte stets so weit wie möglich sowohl der natürlichen Sprache und der Natur der Sache als auch der Hardware und den Software-Werkzeugen angepasst sein. * Die Berücksichtigung der Kriterien Laufzeiteffizienz und Speichereffizienz sowie Klarheit und Regelmäßigkeit der Strukturen ist in allen Entwicklungsschritten bis zur Fertigstellung relevant. * Es muss immer erwogen werden, dass ein korrekt funktionierendes Programm durch eine bessere Version ersetzt werden kann und dass frühere Entscheidungen aus allen Entwicklungsschritten revidiert werden können. * Die Entwicklung und Wartung guter Programme ist alles andere als trivial, wird aber durch den Einsatz streng strukturierter Programmiersprachen deutlich erleichtert. == Datenstrukturen == Nicht nur der Programmcode, sondern auch die zu verarbeitenden Daten müssen gut strukturiert werden, um die Entwicklungszeiten zu reduzieren, die Qualität der Programme zu erhöhen und die Wartung der Quelltexte zu erleichtern. Gehören zum Beispiel ganz verschiedene Attribute zu einer Sache, sollen diese Attribute zu einer Datenstruktur zusammengefasst werden. Datenstrukturen können auch geschachtelt eingesetzt werden, so dass sehr umfangreiche und komplexe Datenstrukturen abgebildet werden können. ===Aufzählungen=== Eine '''Aufzählung''' (englisch "enumeration") wird verwendet, wenn bestimmte Eigenschaften von Datenstrukturen abzählbar und endlich sind. Mit diesen thematisch zusammengehörigen Aufzählungen können im Programmtext an allen entsprechenden Stellen statt abstrakt zugeordneter Zahlen konkret zugeordnete symbolische Konstanten mit sprechenden und selbsterklärenden Bezeichnern verwendet werden. Manche Programmiersprachen bieten dafür sogar die Möglichkeit an, dafür eigene Datentypen zu erstellen, in vielen Programmiersprachen wird das jedoch auf sehr simple Weise mit ganzzahligen Basisdaten nachgebildet. Im folgenden Beispiel wird erläutert, wie verschiedene Kalendersysteme als Aufzählung behandelt werden können. Hierbei werden die folgenden vier Kalendersysteme zu Auswahl: * Jüdisches Kalendersystem, Kennzahl = 1 * Julianisches Kalendersystem, Kennzahl = 2 * Gregorianisches Kalendersystem, Kennzahl = 3 * Islamisches Kalendersystem, Kennzahl = 4 <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Kalendersystem { public final static long JUEDISCH = 1; // Lunisolarkalender public final static long JULIANISCH = 2; // Solarkalender bis 4. Oktober 1582 (Donnerstag) public final static long GREGORIANISCH = 3; // Solarkalender seit 15. Oktober 1582 (Freitag) public final static long ISLAMISCH = 4; // Lunarkalender } </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Oberon *) MODULE Kalendersystem; CONST JUEDISCH = 1; (* Lunisolarkalender *) JULIANISCH = 2; (* Solarkalender bis 4. Oktober 1582 (Donnerstag) *) GREGORIANISCH = 3; (* Solarkalender seit 15. Oktober 1582 (Freitag) *) ISLAMISCH = 4; (* Lunarkalender *) </syntaxhighlight> In manchen, meist älteren Programmiersprachen gibt es explizite Aufzählungstypen, bei denen der Compiler automatisch die dazugehörigen ganzen Kennzahlen festlegt, ohne dass diese im Quelltext auftauchen, weil ausschließlich die symbolischen Konstanten aus der Deklaration des Aufzählungstyps verwendet werden. Variablen des Datentyps "Kalendersystem" im folgenden Beispiel dürfen nur die vier zwischen den runden Klammern explizit angegebenen respektive aufgezählten symbolischen Konstanten und keine beliebigen ganzen Zahlen verwenden: <syntaxhighlight lang="modula2"> (* Programmiersprache Modula-2 *) TYPE Kalendersystem = (JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH); </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="cpp"> /* Programmiersprache C++ */ enum Kalendersystem = {JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH}; </syntaxhighlight> ===Verbunde=== Gehören mehrere verschiede Attribute zu einer Datenstruktur, spricht man auch von einem '''Verbund'''. Diese Datenstrukturen werden je nach Programmiersprache häufig "struct" oder "record" genannt. Alle Attribute können und müssen über einen zentralen Zugang adressiert werden. Dies soll im Folgenden anhand der Datenstruktur "Kalenderdatum" beispielhaft erläutert werden. Ein Kalenderdatum möge aus einem '''Tag''', einem '''Monat''', einem '''Jahr''' und einem '''Kalendersystem''' bestehen: Alle vier Attribute werden in vier unabhängigen Datenfeldern gespeichert. Im vorliegenden Beispiel sind zwar alle vier Datenfelder vom Basisdatentyp "ganze Zahl" ("long" oder "INTEGER"), die Bedeutung und die gültige Zahlenbereiche unterscheiden sich jedoch: * Tag: ganze Zahl im Intervall [1..31] * Monat: ganze Zahl im Intervall [1..12] * Jahr: ganze Zahl * Kalendersystem. ganze Zahl des Aufzählungstyps "Kalendersystem" mit den vier Optionen (JUEDISCH, JULIANISCH, GREGORIANISCH, ISLAMISCH) <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Kalenderdatum { // Instanzvariablen private long tag; private long monat; private long jahr; private long kalendersystem; public Kalenderdatum (long tag, long monat, long jahr, long kalendersystem) // Konstruktor zur Initialisierung von Instanzvariablen der Klasse Kalenderdatum { this.tag = tag; this.monat = monat; this.jahr = jahr; this.kalendersystem = kalendersystem; } public static void main (java.lang.String [] argumente) // main-Methode der Klasse "Kalenderdatum" { Kalenderdatum kalenderdatum = new Kalenderdatum (10, 4, 2023, Kalendersystem.GREGORIANISCH); // Eine neue Instanz wird erzeugt und durch den Aufruf des Konstruktors initialisiert java.lang.System.out.print (kalenderdatum.tag); java.lang.System.out.print ("."); java.lang.System.out.print (kalendekalenderdatum.monat); java.lang.System.out.print ("."); java.lang.System.out.print (kalenderdatum.jahr); java.lang.System.out.println (); // Zeilenumbruch } } </syntaxhighlight> <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Oberon *) IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) TYPE Kalenderdatum = RECORD tag: INTEGER; monat: INTEGER; jahr: INTEGER; kalendersystem: INTEGER; END; VAR kalenderdatum; (* Variable *) BEGIN kalenderdatum.tag = 10; kalenderdatum.monat = 4; kalenderdatum.jahr = 2023; kalenderdatum.kalendersystem = Kalendersystem.GREGORIANISCH; Out.Int (kalenderdatum.tag); Out.String ("."); Out.Int (kalenderdatum.monat); Out.String ("."); Out.Int (kalenderdatum.jahr); Out.Ln; (* Zeilenumbruch *) END; </syntaxhighlight> Die Textausgabe lautet jeweils: <syntaxhighlight lang="text"> 23.4.2023 </syntaxhighlight> ===Arrays=== In Arrays werden endlich viele und abzählbare Elemente eines bestimmten Datentyps in einer geordneten Reihe gespeichert. Die einzelnen Elemente können über einen ganzzahligen Index angesprochen werden. Der niedrigste Index ist meistens der Index Null, und dieser zeigt auf die erste Speicheradresse des Arrays. Da alle Elemente vom gleichen Datentyp sind, wird für jedes Element immer der gleiche Speicherplatz benötigt. Elemente mit komplexen Datentypen, werden nicht direkt im Array gespeichert, sondern dieses enthält als Verweise Zeiger mit den Speicheradressen der Inhalte der Elemente. Wenn der Speicherbedarf für ein Element (oder dessen Zeiger) <math>S_E</math> Bytes beträgt und das Array insgesamt <math>N</math> Elemente hat, dann berechnet sich der Speicherbedarf <math>S</math> für das ganze Array aus dem Produkt: <math>S = S_E \cdot N</math> Die Speicheradresse <math>A_i</math> des i-ten Elements des Arrays berechnet sich dann mit einfacher und effizient ausführbarer Arithmetik aus der Speicheradresse des Arrays <math>A</math>, dem Speicherbedarf für ein Element (oder dessen Zeiger) <math>S_E</math> und dem Index <math>i</math> : <math>A_i = A + S_E \cdot i</math> mit <math>0 \le i < N</math> Die Speicheradresse des ersten Elements mit dem Index Null <math>A_0</math> ist also stets identisch mit der Speicheradresse des Arrays <math>A</math>. Im folgenden Beispiel wird ein Array mit acht zufällig verteilten Gleitkommazahlen dargestellt, bei denen jede Gleitkommazahl einen Speicherplatz von '''8&nbsp;Bytes''' (Datentyp '''double''' mit 64&nbsp;Bits) belegt: {| class="wikitable" |'''Länge des Arrays <math>N</math>''' |'''Speicheradresse des Arrays (dezimal) <math>A</math>''' |'''Speicheradresse des Arrays (hexadezimal) <math>A</math>''' |'''Speicherbedarf für eine Gleitkommazahl in Bytes <math>S_E</math>''' |- |8 |10000000 |98 96 80 |8 |- |'''Index <math>i</math>''' |'''Speicheradresse des Elements im Array (dezimal) <math>A_i = A + S_E \cdot i</math>''' |'''Speicheradresse des Elements im Array (hexadezimal) <math>A_i = A + S_E \cdot i</math>''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Gleitkommazahl)''' |- |0 |10000000 |98 96 80 |678,1495238 |- |1 |10000008 |98 96 88 |317,4610959 |- |2 |10000016 |98 96 90 |574,3131347 |- |3 |10000024 |98 96 98 |673,9323679 |- |4 |10000032 |98 96 A0 |854,6637912 |- |5 |10000040 |98 96 A8 |764,4845853 |- |6 |10000048 |98 96 B0 |335,5146962 |- |7 |10000056 |98 96 B8 |545,0787382 |} Das folgende Java-Programm implementiert ein solches Array mit acht Gleitkommazahlen: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Array { // Klassenvariable zufallszahlen als Array mit acht Gleitkommazahlen private static double zufallszahlen [] = new double [8]; public static void setzeZufallszahlen (long startwert) // Methode zur Bestimmung aller Gleitkommazahlen { // Variable zufallszahl java.util.Random zufallszahl = new java.util.Random (startwert); // Startwert für erste Zufallszahl long anzahl = zufallszahlen.length; int zaehler = 0; // der Index von Arrays darf nicht vom Datentyp long sein while (zaehler < anzahl) { zufallszahlen [zaehler] = zufallszahl.nextDouble (); zaehler++; } } public static void ausgabeZufallszahlen () // Methode zur Ausgabe aller Gleitkommazahlen { long anzahl = zufallszahlen.length; int zaehler = 0; // der Index von Arrays darf nicht vom Datentyp long sein while (zaehler < anzahl) { java.lang.System.out.println (zufallszahlen [zaehler]); zaehler++; } } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der beiden Unterprogramme { setzeZufallszahlen (1000); // Aufruf des Unterprogramms setzeZufallszahlen mit dem Parameter 1000 als Startwert ausgabeZufallszahlen (); // Aufruf des Unterprogramms ausgabeMonatsname ohne Parameter } }</syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe von acht Pseudozufallszahlen: <syntaxhighlight> 0.7101849056320707 0.574836350385667 0.9464192094792073 0.039405954311386604 0.4864098780914311 0.4457367367074283 0.6008140654988429 0.550376169584217 </syntaxhighlight> Im nächsten Beispiel mit einem Array für die zwölf Monatsnamen ist der Datentyp eines Arrayelements jeweils eine Zeichenkette, die je nach ihrer Länge verschieden große Speicherbereiche belegen: {| class="wikitable" |'''Länge des Arrays''' |'''Speicheradresse des Arrays''' |'''Speicherbedarf für eine Speicheradresse''' |'''Speicherbedarf für ein Zeichen''' | | |- |13 |10000000 |4 |2 | | |- |Index |'''Speicheradresse des Elements im Array''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Speicheradresse)''' |'''Länge der Zeichenkette''' |'''Speicherbedarf der Zeichenkette''' |'''Gespeicherter Inhalt des Elements (Zeichenkette)''' |- |0 |10000000 |20000000 |8 |16 |"deutsch" |- |1 |10000004 |20000016 |7 |14 |"Januar" |- |2 |10000008 |20000030 |8 |16 |"Februar" |- |3 |10000012 |20000046 |5 |10 |"März" |- |4 |10000016 |20000056 |6 |12 |"April" |- |5 |10000020 |20000068 |4 |8 |"Mai" |- |6 |10000024 |20000076 |5 |10 |"Juni" |- |7 |10000028 |20000086 |5 |10 |"Juli" |- |8 |10000032 |20000096 |7 |14 |"August" |- |9 |10000036 |20000110 |10 |20 |"September" |- |10 |10000040 |20000130 |8 |16 |"Oktober" |- |11 |10000044 |20000146 |9 |18 |"November" |- |12 |10000048 |20000164 |9 |18 |"Dezember" |} In den folgenden Beispielen in der Programmiersprache werden die zwölf Monatsnamen in Arrays mit Zeichenketten gespeichert. Hierzu wird die Sprache der Monatsnamen im ersten Arrayfeld mit dem Index 0 und die zwölf Monatsnamen in den folgenden Arrayfeldern mit den Indizes 1 bis 12 gespeichert: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Monatsnamen { // Klassenvariable private static java.lang.String monatsnamen [] = {"deutsch", "Januar", "Februar", "März", "April", "Mai", "Juni", "Juli", "August", "September", "Oktober", "November", "Dezember"}; public static void ausgabeMonatsname (int monat) // Methode zur Textausgabe von Monatsnamen { java.lang.System.out.println (monatsnamen [monat]); } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der Methode ausgabeMonatsname { ausgabeMonatsname (1); // Aufruf des Unterprogramms ausgabeMonatsname mit dem Parameter 1 } } </syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe mit dem ersten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Januar </syntaxhighlight> In einigen Programmiersprachen muss die Größe der Array vor der Initialisierung festgelegt werden, und die Zuordnung zwischen den Indizes und den Arrayfeldern ist dann auch bei der Initialisierung explizit erkennbar: <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Monatsnamen; IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) TYPE Monatsnamen = POINTER TO ARRAY OF ARRAY OF CHAR; VAR monatsnamen: Monatsnamen; PROCEDURE InittialisiereMonatsnamen (); (* Prozedur zur Initialisierung von Monatsnamen *) BEGIN NEW (monatsnamen, 13, 10); (* Reservierung von 13 Zeichenketten mit je 10 Zeichen) *) monatsnamen [0] := "deutsch"; monatsnamen [1] := "Januar"; monatsnamen [2] := "Februar"; monatsnamen [3] := "März"; monatsnamen [4] := "April"; monatsnamen [5] := "Mai"; monatsnamen [6] := "Juni"; monatsnamen [7] := "Juli"; monatsnamen [8] := "August"; monatsnamen [9] := "September"; monatsnamen [10] := "Oktober"; monatsnamen [11] := "November"; monatsnamen [12] := "Dezember"; END InittialisiereMonatsnamen; PROCEDURE AusgabeMonatsname (monat: INTEGER); (* Prozedur zur Textausgabe von Monatsnamen *) BEGIN Out.String (monatsnamen [monat]); END AusgabeMonatsname; PROCEDURE Hauptprogramm*; BEGIN InittialisiereMonatsnamen (); (* Initialisierung beim Laden des Moduls "Monatsnamen" *) AusgabeMonatsname (1); (* Aufruf des Unterprogramms AusgabeMonatsname mit dem Parameter 1 *) END Hauptprogramm; END Monatsnamen. </syntaxhighlight> Durch den Aufruf von ''Monatsnamen.Hauptprogramm'' erfolgt die Ausgabe mit dem ersten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Januar </syntaxhighlight> Arrays können mehrdimensional gestaltet werden. Um zum Beispiel zwei Sprachen mit Monatsnamen zu speichern, kann eine weitere Dimension mit einem Index für die gewünschte Sprache implementiert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Monatsnamen { // Konstanten für Sprachaufzählung public final static int DEUTSCH = 0; public final static int ENGLISCH = 1; // Klassenvariablen private static java.lang.String monatsnamen [] [] = { {"deutsch", "Januar", "Februar", "März", "April", "Mai", "Juni", "Juli", "August", "September", "Oktober", "November", "Dezember"}, {"english", "January", "February", "March", "April", "May", "June", "July", "August", "September", "October", "November", "December"} }; public static void ausgabeMonatsname (int monat) // Methode zur Textausgabe von Monatsnamen { java.lang.System.out.println ("Deutschsprachiger Monatsname = " + monatsnamen [DEUTSCH] [monat]); java.lang.System.out.println ("Englischsprachiger Monatsname = " + monatsnamen [ENGLISCH] [monat]); } public static void main (java.lang.String [] argumente) // Hauptprogramm "main" zum Aufruf der Methode ausgabeMonatsname { ausgabeMonatsname (2); } } </syntaxhighlight> Mit dem Aufruf des Hauptprogramms ''main'' erfolgt die Ausgabe mit den beiden zweiten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Deutschsprachiger Monatsname = Februar Englischsprachiger Monatsname = February </syntaxhighlight> Bei anderen Programmiersprachen ist durch die obligatorische Verwendung von symbolischen Konstanten (im Beispiel unten "DEUTSCH" und "ENGLISCH") bei jeder erforderlichen, also auch bei allen initialen Zuweisungen zu Array-Elementen übersichtlich und klar erkennbar, welches Feld angesprochen wird: <syntaxhighlight lang="oberon2"> (* Programmiersprache Component Pascal *) MODULE Monatsnamen; IMPORT Out; (* Import des Moduls "Out" für die Textausgabe *) CONST DEUTSCH = 0; ENGLISCH = 1; TYPE Monatsnamen = POINTER TO ARRAY OF ARRAY OF ARRAY OF CHAR; VAR monatsnamen: Monatsnamen; PROCEDURE InittialisiereMonatsnamen (); (* Prozedur zur Initialisierung von Monatsnamen *) BEGIN NEW (monatsnamen, 2, 13, 10); (* Reservierung von 2 mal 13 Zeichenketten mit je 10 Zeichen) *) monatsnamen [DEUTSCH, 0] := "deutsch"; monatsnamen [DEUTSCH, 1] := "Januar"; monatsnamen [DEUTSCH, 2] := "Februar"; monatsnamen [DEUTSCH, 3] := "März"; monatsnamen [DEUTSCH, 4] := "April"; monatsnamen [DEUTSCH, 5] := "Mai"; monatsnamen [DEUTSCH, 6] := "Juni"; monatsnamen [DEUTSCH, 7] := "Juli"; monatsnamen [DEUTSCH, 8] := "August"; monatsnamen [DEUTSCH, 9] := "September"; monatsnamen [DEUTSCH, 10] := "Oktober"; monatsnamen [DEUTSCH, 11] := "November"; monatsnamen [DEUTSCH, 12] := "Dezember"; monatsnamen [ENGLISCH, 0] := "english"; monatsnamen [ENGLISCH, 1] := "January"; monatsnamen [ENGLISCH, 2] := "February"; monatsnamen [ENGLISCH, 3] := "March"; monatsnamen [ENGLISCH, 4] := "April"; monatsnamen [ENGLISCH, 5] := "May"; monatsnamen [ENGLISCH, 6] := "June"; monatsnamen [ENGLISCH, 7] := "July"; monatsnamen [ENGLISCH, 8] := "August"; monatsnamen [ENGLISCH, 9] := "September"; monatsnamen [ENGLISCH, 10] := "October"; monatsnamen [ENGLISCH, 11] := "November"; monatsnamen [ENGLISCH, 12] := "December"; END InittialisiereMonatsnamen; PROCEDURE AusgabeMonatsname (monat: INTEGER); (* Prozedur zur Textausgabe von Monatsnamen *) BEGIN Out.String ("Sprache = " + monatsnamen [DEUTSCH, 0] + ": " + monatsnamen [DEUTSCH, monat]); Out.Ln; Out.String ("Sprache = " + monatsnamen [ENGLISCH, 0] + ": " + monatsnamen [ENGLISCH, monat]); Out.Ln; END AusgabeMonatsname; PROCEDURE Hauptprogramm*; BEGIN InittialisiereMonatsnamen (); (* Initialisierung beim Laden des Moduls "Monatsnamen" *) AusgabeMonatsname (2); END Hauptprogramm; END Monatsnamen. </syntaxhighlight> Durch den Aufruf von ''Monatsnamen.Hauptprogramm'' erfolgt die Ausgabe mit den beiden zweiten Monatsnamen: <syntaxhighlight> Sprache = deutsch: Februar Sprache = english: February </syntaxhighlight> Die Verwendung von Indizes außerhalb der deklarierten oder angeforderten Array-Größen verursachen in streng strukturierten Programmiersprachen zur Laufzeit einen Programmabbruch. Bei sorgfältiger Programmierung ist deswegen darauf zu achten, dass nur gültige Indizes zur Anwendung kommen können. In schlecht strukturierten Programmiersprachen wie C oder C++ werden die Indizes von Arrays in der Regel nicht automatisch geprüft, so dass unbemerkt auf ungültige Speicheradressen zugegriffen werden kann und bei entsprechenden Angriffen Daten verfälscht und schadhafter Binärcode in die Programme eingeschleust sowie zur Ausführung gebracht werden kann. ==Kontrollstrukturen== Kontrollstrukturen dienen dazu, den Programmablauf in wohlstrukturierter Weise im Sinne eines Algorithmus zu beeinflussen. Hierfür können '''Unterprogramme''' aufgerufen, '''Fallunterscheidungen''' vorgenommen oder Programmteile mehrfach durchlaufen werden ('''Schleifen'''). ===Sprunganweisungen=== Sprünge an andere Programmstellen ergeben sich inhärent beim Aufruf von Unterprogrammen. Geschieht ein solcher Sprung durch eine explizite Sprunganweisung im Programmcode, wie zum Beispiel mit Goto-, Break- oder Continue-Anweisungen, ist dies unstrukturiert und im Übrigen auch völlig überflüssig, denn Programme mit Sprunganweisungen können immer und ohne großen Aufwand durch Kontrollstrukturen, also mit Hilfe von '''Unterprogrammen''', '''Schleifen''' oder '''Fallunterscheidungen''', gestaltet werden. Explizite Sprunganweisungen stellen eine "Programmiertechnik mit dem Holzhammer" und wegen der daraus resultierenden verschlungenen Pfade während des Programmablaufs einen sogenannten '''Spaghetti-Code''' dar. Im Quellcode ist der Programmablauf nicht mehr ohne weiteres nachvollziehbar, beispielsweise bei der Untersuchung, von welchen Stellen des Programms an welche anderen Stellen gesprungen werden soll oder worden sein kann. Im Falle der Switch-Case-Anweisung handelt es sich bei der in manchen Programmiersprachen verwendeten Break-Anweisung eigentlich nicht um eine Sprunganweisung, sondern um einen obligatorischen Begrenzer (englisch: ''delimiter''), der zur Herstellung der Programmstruktur erforderlich ist. In einigen Programmiersprachen darf dieser Begrenzer (''break'') jedoch weggelassen werden, um den Code in bestimmten aber vereinzelten Fällen etwas kürzer gestalten zu können, was aber gleichzeitig und unabdingbar zu unstrukturierter Programmierung führt, die Programmabläufe unübersichtlich macht und dazu führen kann, dass die Programme gegebenenfalls nur noch schwierig nachzuvollziehen und zu warten sind. ====Unterprogramme==== [[Datei:Unterprogrammaufruf.png|mini|rechts|hochkant=1|Von der Hauptroutine "Procedure main" eines gestarteten Programms wird nach Ausführung der Anweisungen "Instructions&nbsp;1" ein Unterprogramm "Procedure sub" aufgerufen ("Call sub"), und der Programmablauf wird mit den dortigen Anweisungen "Instructions" fortgeführt. Wenn die letzte Anweisung "Return" des Unterprogramms erreicht worden ist, wird in das Hauptprogramm zurückgesprungen und der Programmablauf an der Stelle direkt hinter dem Aufruf des Unterprogramms mit den Anweisungen "Instructions&nbsp;2" fortgesetzt.]] Eine besonders häufig angewendete Programmiertechnik ist der Aufruf von Unterprogrammen. Unterprogramme stellen im Sinne des Quelltextes eines Programmes üblicherweise Prozeduren, Methoden oder Funktionen dar. Mit der Programmanweisung des Aufrufs kann der Programmablauf zum entsprechenden Unterprogramm verzweigt werden. Hierbei können in der Regel auch Parameter übergeben werden, um zwischen dem aufrufenden Programmteil und dem Unterprogramm Daten austauschen zu können. Ist das Unterprogramm vollständig abgearbeitet worden, wird der Programmablauf hinter der Stelle des Unterprogrammaufrufs fortgesetzt. Unterprogramme können mehrfach und von allen Stellen des Programcodes aufgerufen werden, in dem das Unterprogramm sichtbar ist. Die Unterscheidung zwischen Prozeduren und Methoden ist nicht einheitlich. Etliche Programmiersprachen verwenden kategorisch nur einen der beiden Begriffe. Hierbei kann zwischen traditionellen (statischen) Prozeduren und objektorientierten (typengebunden oder dynamischen) Prozeduren unterschieden werden. Letztere werden als Methoden einer Klasse oder aber auch als typengebundene Prozeduren eines Programmoduls bezeichnet. ====Rücksprunganweisungen==== Nach Ablauf des Unterprogramms kann ein Rückgabewert an das aufrufende Programm zurückgegeben werden, der im aufrufenden Programmteil dann zur Verfügung steht und als Ausdruck zum Beispiel an eine Variable zugewiesen werden kann. In diesem Fall wird ein Unterprogramm auch '''Funktion''' genannt, da als Ergebnis des Unterprogrammaufrufs ein Funktionswert berechnet wurde und dann zurückgegeben wird. Jedes Unterprogramm hat daher exakt eine Rücksprunganweisung (oft mit dem Schlüsselwort '''return''' gekennzeichnet), die logischerweise die letzte Anweisung sein muss, damit alle Anweisungen vorher durchgeführt werden können. Der Rücksprung erfolgt immer zur Stelle des Unterprogrammaufrufs, wo die Programmausführung anschließend fortgeführt wird. Hat das Unterprogramm keinen Rückgabewert, der an den aufrufenden Programmteil zurückgegeben werden muss, wird in vielen Programmiersprachen auf eine explizite Rücksprunganweisung verzichtet; in diesem Fall wird sie also implizit ausgeführt. Ist das Hauptprogramm vollständig durchlaufen, wird das Programm nach dessen Rücksprunganweisung beendet, und die Kontrolle an das Laufzeitsystem oder das Betriebssystem zurückgegeben, von wo aus das Hauptprogramm aufgerufen worden war. Mehrfache und insbesondere vorzeitige Rücksprunganweisungen in einem Unterprogramm sind unstrukturiert und daher zu unterlassen, auch wenn die Programmiersprache dies nicht zwingend fordert. Vorzeitige Unterprogrammabbrüche ('''Break'''-Anweisungen) verhindern, dass nachfolgende Programmsequenzen ausgeführt werden können, obwohl sie bei einer Ausführung das Ergebnis für den Rückgabewert beeinflussen würden. Dies kann zur Verwirrung führen, weil das Unterprogramm bei einer Überprüfung oder einer Analyse immer vollständig auf potentielle vorzeitige Unterprogrammabbrüche durchsucht werden muss. Der folgende unstrukturierte Java-Code, der den in der Variablen '''ergebnis''' gespeicherten Wert vor dessen Rückgabe als Text ausgeben soll, verdeutlicht dies: <syntaxhighlight lang="java"> private static double unterprogramm (double parameter) { double ergebnis = parameter; boolean ganzzahlig = (parameter % 1 == 0); if (ganzzahlig) return ergebnis; ergebnis = ergebnis + 1; java.lang.System.out.println ("Ergebnis = " + ergebnis); return ergebnis; } </syntaxhighlight> Die Erhöhung des Wertes der Variablen '''ergebnis''' sowie die Textausgabe mit dem Aufruf der Methode '''println''' unmittelbar vor der Rücksprunganweisung erfolgen wegen der beiden vorhandenen Rücksprunganweisungen nur, wenn der Wert des Parameters '''parameter''' nicht ganzzahlig ist. Demzufolge erzeugen die folgenden beiden Unterprogrammaufrufe <syntaxhighlight lang="java"> unterprogramm (0); unterprogramm (0.5); </syntaxhighlight> die Textausgabe: <syntaxhighlight lang="text"> Ergebnis = 1.5 </syntaxhighlight> Dieses formal korrekte, aber unerwünschte Verhalten wird nur nachvollziehbar, wenn der gesamte Code des Unterprogramms analysiert wird, was bei komplexeren Unterprogrammen und beim Vorhandensein mehrerer Rücksprunganweisungen sehr aufwendig werden kann.. Das folgende Unterprogramm implementiert den eigentlich gewünschten Algorithmus in strukturierter Form mit einer einzigen Rücksprunganweisung am Ende des Unterprogramms: <syntaxhighlight lang="java"> private static double unterprogramm (double parameter) { double ergebnis = parameter; boolean ganzzahlig = (parameter % 1 == 0); if (! ganzzahlig) { ergebnis = ergebnis + 1; } java.lang.System.out.println ("Ergebnis = " + ergebnis); return ergebnis; } </syntaxhighlight> Die Textausgabe bei den oben angegebenen Aufrufen des Unterprogramms erfolgt nun wie gewünscht: <syntaxhighlight lang="text"> Ergebnis = 0.0 Ergebnis = 1.5 </syntaxhighlight> Es empfiehlt sich grundsätzlich ebenfalls immer, innerhalb von Rücksprunganweisungen keine komplexen Ausdrücke, Kontrollstrukturen oder Unterprogrammaufrufe zu verwenden, um einfache und eindeutige Rückgabewerte zu erhalten sowie diese gegebenenfalls mit einer Textausgabe oder einem Debugger kontrollieren zu können. Im Idealfall wird in der Rücksprunganweisung nur der Wert einer zuvor berechneten lokalen Variable mit einem sprechenden Bezeichner zurückgegeben: <syntaxhighlight lang="text"> ergebnis ← f (a, b, c); return ergebnis; </syntaxhighlight> In der Regel ergeben sich durch die zusätzliche explizite Zuweisung an die lokale Variable '''ergebnis''' keine Laufzeiteinbußen, da im übersetzten Maschinencode implizit für den Rückgabewert sowieso eine Zuweisung ausgeführt werden muss. Moderne Übersetzer berücksichtigen diesen Kontext automatisch, so dass in beiden Fällen derselbe Maschinencode erzeugt wird. <div style="clear:both"></div> ===Fallunterscheidungen=== Die einfachste Fallunterscheidung ist die bedingte Anweisung. Verzweigungen enthalten mindestens zwei alternative Programmpfade. ====Bedingte Anweisung==== [[Datei:einfAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer bedingten Anweisung.]] Im folgenden Beispiel mit einer bedingten Anweisung (zum Beispiel if - then - end) wird die Dekrement-Anweisung a-- (der Wert der numerischen Variablen a soll um eins erniedrigt werden) nur dann ausgeführt, falls der boolesche Ausdruck a > b wahr ist, die entsprechende Bedingung also erfüllt ist: falls a > b dann a-- ende Hier wird der Wert der Variablen a also nur dann dekrementiert, wenn der Wert der Variablen a größer ist als der Wert der Variable b. Ansonsten wird der Programmablauf sofort hinter der ende-Marke fortgeführt. ====Einfache Verzweigung==== [[Datei:zweifAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer einfachen Verzweigung.]] Die einfachste Verzweigung (zum Beispiel if - then - else - end) enthält genau zwei alternative Pfade, von denen in Abhängigkeit eines booleschen Ausdrucks nur einer ausgeführt wird, wie in diesem Beispiel: falls a > b dann a-- ansonsten b-- ende Je nachdem die entsprechende Bedingung erfüllt ist oder nicht, wird die eine oder die andere Anweisung ausgeführt. Im obigen Beispiel wird der Wert der Variablen a nur dann dekrementiert, falls der Wert der Variablen a größer ist als der Wert der Variable b, ansonsten wird hier im Vergleich zur bedingten Anweisung allerdings der Wert der Variablen b um eins erniedrigt. In beiden Fällen wird das Programm anschließend hinter der ende-Marke fortgeführt. ====Mehrfache Verzweigung==== [[Datei:Mehrseitige Auswahl.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer mehrfachen Verzweigung.]] Eine mehrfache Verzweigung (zum Beispiel switch - case - else - end) enthält mehr als zwei alternative Programmpfade, die meist, wie auch im folgenden Beispiel, von ganzzahligen Ausdrücken gesteuert werden: verzweige mit dem Wert von a falls 1 : unterprogramm_A () falls 2 : unterprogramm_B () falls 3 : unterprogramm_C () ansonsten unterprogramm_D () ende In Abhängigkeit des in der ganzzahligen Variablen a gespeicherten Zahlenwertes wird genau eines der vier angegebenen Unterprogramme aufgerufen; beim Wert 1 unterprogramm_A, beim Wert 2 unterprogramm_B, beim Wert 3 unterprogramm_C und ansonsten unterprogramm_D. Danach wird der Programmablauf hinter den ende-Marke fortgeführt. In manchen weniger stakt strukturierten Programmiersprachen wie C sind Vorsicht und Aufmerksamkeit geboten, weil beispielsweise dort die verschiedenen Fälle der entsprechenden switch-Anweisung nur optional mit einer break-Anweisung und nicht immer und obligatorisch abgeschlossen werden. Dies nutzen einige Programmierer, um in bestimmten Situationen mehrere Fälle hintereinander abarbeiten zu lassen. Dieses Vorgehen ist jedoch hochgradig unstrukturiert und führt sehr schnell und unübersichtlichem Programmcode und somit sehr leicht zu Programmierfehlern. Dies kann vermieden werden, wenn in diesen Programmiersprachen hinter jedem unterschiedenem Fall kategorisch die break-Anweisung implementiert wird, auch wenn die Programmiersprache oder der Übersetzer dies nicht fordern. [[Datei:MehrfAusw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm mit verschachtelten einfachen Verzweigungen, um eine mehrfache Verzweigung zu implementieren.]] Mehrfache Verzweigungen mit aufeinanderfolgenden numerischen oder aufzählbaren Werten, wie im obigen Beispiel 1, 2 und 3, können rechnerintern unter Umständen effizient genutzt werden, weil die Sprungadressen arithmetisch berechnet werden können. Dies ist bei modernen Laufzeitsystemen in der Regel aber nicht mehr so relevant, und diese mehrfachen Verzweigungen können auch immer durch mehrfache Fallunterscheidungen programmiert werden. Durch eine eigene Anweisung für die mehrfache Verzweigung kann die Übersichtlichkeit des Quelltextes allerdings oft gesteigert werden. Auf der anderen Seite können die Übersichtlichkeit und die Nachvollziehbarkeit in der Regel auch hier mit entsprechenden Unterprogrammaufrufen gesteigert werden. ===Schleifen=== Bei Schleifen wird eine Anweisungsfolge nur dann ausgeführt, wenn die entsprechende boolesche, im Sinne der Schleife lokale Laufvariable den Wert "wahr" hat. Alle Schleifen können auf eine grundlegende Form zurückgeführt werden, bei der ein wesentliches Merkmal ist, ob die Laufvariable '''zu Beginn''' der Schleifenanweisungen den initialen Wert "wahr" erhält (fußgesteuert) oder in der Anfangsbedingung durch einen variablen booleschen Ausdruck bestimmt ist (kopfgesteuert). Es ist sinnvoll, dass diese Laufvariable nur zum Zwischenspeichern der Abbruchbedingung dient und ausschließlich im Zusammenhang mit der Schleife verwendet wird. Bei wohlstrukturierter Programmierung mit zählenden Schleifen können numerische Laufvariablen verwendet werden, die innerhalb der Schleife vorzugsweise erst in der letzten Anweisung der Schleife aktualisiert werden, damit es innerhalb des Schleifendurchlaufs nicht zu Inkonsistenzen, Verwechslungen oder Mehrdeutigkeiten kommen kann. Ferner gibt es in der strukturierten Programmierung keine expliziten Sprunganweisungen, die irgendwo innerhalb einer Schleife zum Beispiel mit dem Kommando '''continue''' den Rest der Schleife überspringen und sofort die nächstfolgende Abbruchbedingung der Schleife prüfen lassen. Innerhalb von Schleifen ist es ohne Weiteres möglich, alle Zwischenschritte mit Verzweigungen zu steuern beziehungsweise alle Zwischenergebnisse in lokalen Variablen zu speichern, ohne dass es in modernen Computersystemen zu längeren Ausführungszeiten kommt. Im Folgenden soll dies mit der Programmiersprache Java an sehr einfachen Schleifen, die alle Zahlen außer der Fünf von Eins bis Zehn ausgeben sollen, erläutert werden. Unstrukturiertes Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> long i = 1; do { if (i == 5) { i++; // Die Schleifenendanweisung zum Hochzaehlen der Laufvariable muss hier dupliziert werden, damit es nicht zu einer Fehlfunktion kommt. continue; // Die Schleife wird durch diese explizite Sprunganweisung unstrukturiert abgebrochen. } java.lang.System.out.println (i); i++; } while (i <= 10); </syntaxhighlight> Strukturiertes Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> long i = 1; do { if (i != 5) { java.lang.System.out.println (i); } i++; } while (i <= 10); </syntaxhighlight> ====Kopfgesteuerte Schleifen==== [[Datei:KopfgesteuerteSchleife.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer kopfgesteuerten Schleife.]] Kopfgesteuerte Schleifen werden auch als '''While'''-Anweisungen bezeichnet. {| class="wikitable" style="text-align:center" | rowspan="4" | Kopfgesteuerte Schleife | colspan="2" | Setze Laufvariable auf boolesche Anfangsbedingung |- | rowspan="3" | Solange wie die Laufvariable den Wert "wahr" hat führe aus |- |Anweisungsfolge |- | Setze Laufvariable auf boolesche Endbedingung |} Wenn die boolesche Anfangsbedingung zu Beginn den Wert "falsch" hat, wird die Schleife '''nicht durchlaufen'''. ====Fußgesteuerte Schleifen==== [[Datei:FussgesteuerteSchleife.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer fußgesteuerten Schleife.]] Die fußgesteuerte Schleife, die auch '''Repeat'''-Anweisung genannt wird, ist ein Sonderfall der kopfgesteuerten Schleife, bei der die boolesche Anfangsbedingung immer auf "wahr" gesetzt wird. Daher wird eine fußgesteuerte Schleife '''immer mindestens einmal durchlaufen'''. {| class="wikitable" style="text-align:center" | rowspan="4" | Fußgesteuerte Schleife | colspan="2" | Setze Laufvariable auf "wahr" |- | rowspan="3" | Solange wie die Laufvariable den Wert "wahr" hat führe aus |- |Anweisungsfolge |- | Setze Laufvariable auf boolesche Endbedingung |} Da der Ausdruck der booleschen Anfangs- und Endbedingung oft identisch formuliert ist, bietet es sich an, dafür einen Funktionsaufruf zu verwenden, um eine Codewiederholung zu vermeiden. Aus Gründen der Laufzeiteffizienz wird das Setzen der Laufvariablen zu Beginn und die erstmalige Überprüfung der Laufvariablen oft weggelassen, was für die allermeisten Anwendungen heute jedoch unwesentlich ist. Da die Laufvariable in diesem Fall zu Beginn jedoch nicht definiert werden muss und daher gegebenenfalls auch gar nicht definiert wird, birgt dieses Vorgehen die Gefahr in sich, dass die Laufvariable ihren undefinierten Zustand behält. Insbesondere tritt dies ein, wenn das Setzen der Laufvariable auf eine boolesche Endbedingung nicht erfolgt, weil dies in der verwendeten Programmiersprache nicht obligatorisch ist beziehungsweise vom Programmierer vergessen wurde, oder weil dies wegen eines zwangsläufig unstrukturierten Abbruchs innerhalb der Schleife (zum Beispiel mit einer Break-Anweisung) gar nicht erfolgen kann. ====Endlosschleifen==== '''Endlosschleifen''' sind unstrukturiert, da das Programm nicht regelgerecht beendet werden kann. Daher sind diese sogenannten Loop-Anweisungen, wie zum Beispiel for (;;) { ... } while (true) { ... } repeat { ... } until (false) beziehungsweise do { ... } while (true) oder loop { ... } zu unterlassen. Insbesondere das Verlassen von Endlosschleifen mit einer '''Sprunganweisung''' oder gar mehreren potentiellen Sprunganweisungen, wie zum Beispiel ''break'' oder ''exit'', ist hochgradig unstrukturierte Programmierung, da der Ausstiegszeitpunkt oder die Stelle des Ausstiegs aus der Schleife (wenn überhaupt) nur schwierig nachzuvollziehen oder zu bestimmen ist. ====For-Schleifen==== Die For-Schleifen-Anweisung int i for (i ← 0; i < max; i++) { ... } ist identisch mit der kopfgesteuerten while-Anweisung: int i i ← 0 while (i < max) { ... i = i + 1 } Es ist im Sinne eines einfachen Sprachumfangs und eines einheitlichen Sprachstils unter Umständen nützlich, für kopfgesteuerte Schleifen keine For-Schleifen, sondern ausschließlich While-Schleifen zu benutzen. Wenn die Programmiersprache es erlaubt, Zählvariablen ausschließlich für eine Schleife zu definieren, dann hat dies den Vorteil, dass das Prinzip der Lokalität für diese Zählvariablen sehr gut erfüllt ist, da die Zählvariable dann außerhalb der Schleife nicht sichtbar ist und somit auch nicht verwendet werden kann: for (int i ← 0; i < max; i++) { ... } Die äquivalente Schreibweise mit einer while-Schleife sieht wie folgt aus, wobei die äußere Blockanweisung dafür sorgt, dass die Zählvariable "i" innerhalb der Blockanweisung deklariert ist und nur in Verbindung mit der Schleife sichtbar respektive verwendbar ist: { int i i ← 0 while (i < max) { ... i++ } } Bei Algorithmen, die aus mehreren Kontrollstrukturen bestehen, ist es im Sinne der besseren Strukturierung vorzuziehen, alle Schleifen in eigene Methoden auszulagern, die aufgerufen werden und deren Schnittstellen über ihre Parameter eindeutig festgelegt sind. Hierbei können die Schleifen verschachtelt sein (innere und äußere Schleife) oder hintereinander ausgeführt werden. In jedem Fall sind alle Parameter und Variablen (also auch die jeweiligen Zählvariablen) innerhalb der entsprechenden Methoden lokal verfügbar. ==Codewiederholungen== Codewiederholungen gehören insbesondere bei Anfängern sehr häufig zu den kapitalen Fehlern beim Softwareentwurf. Es ist nur scheinbar bequem, bereits vorhandenen Quelltext zu kopieren und für eine ähnliche Aufgabe geringfügig anzupassen. Es ist Größenordnungen besser, den bereits vorhandenen Quelltext so anzupassen, dass er für alle ähnlichen oder zumindest mehrere ähnliche Aufgabenstellungen eingesetzt werden kann. Erfahrene Programmierer wittern schon von Anfang an, dass eine bestimmte Methode auch in einem ähnlichen Kontext eingesetzt werden könnte und entwerfen den Code von vornherein so allgemein wie möglich. ===Symbolische Konstanten=== Konstante Ausdrücke werden in der Regel als '''symbolische Konstanten''' definiert, wie zum Beispiel mit der symbolischen Konstante "Pi" für die Kreiszahl oder die symbolische Konstante "Title" für den Text "Programmierung": const double Pi ← 3.141592654 const String Title ← "Programmierung" Statt konstante Ausdrücke zu wiederholen – und sei es nur eine ganze Zahl – ist es erheblich besser, stattdessen eine symbolische Konstante mit einem „sprechenden“ Bezeichner zu verwenden. Also nicht mit der ganzen Zahl 3: int inputNumber ← 3 ... if (inputNumber = 3) ... Sondern besser mit der symbolischen Konstante "Exit" mit dem unveränderlichen, ganzzahligen Wert 3: const int Exit ← 3 int inputNumber ← Exit ... if (inputNumber = Exit) ... Oder nicht zweimal mit derselben ganzen Zahl 3: if (a > 3) and (b > 3) ... Sondern besser mit zwei verschiedenen symbolischen Konstanten "Limit_a" und "Limit_b": const int Limit_a ← 3 const int Limit_b ← 3 if (a > Limit_a) and (b > Limit_b) ... Auf diese Weise kann auch leicht vermieden werden, dass gleichlautende Ausdrücke mit unterschiedlicher Bedeutung verwechselt werden können, insbesondere wenn sie später einmal geändert werden müssen: if (numberOfConstellation > 12) { Ausgabe ("Diese Sternbildnummer ist ungültig.") } if (numberOfHalftones > 12) { Ausgabe ("Das Intervall ist größer als eine Oktave.") } Die beiden konstanten Zahlensymbole "12" haben nichts außer ihrem Zahlenwert gemeinsam, und daher ist der folgende Code erheblich besser nachvollziehbar: const int Number_Of_Constellations ← 12 const int Number_Of_Halftones_Per_Octave ← 12 ... if (numberOfConstellation > Number_Of_Constellations) { Ausgabe ("Diese Sternbildnummer ist ungültig.") } if (numberOfHalftones > Number_Of_Halftones_Per_Octave) { Ausgabe ("Das Intervall ist größer als eine Oktave.") } ===Aufruf von Unterprogrammen=== [[Datei:Aufruf.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm eines Unterprogrammaufrufs.]] Unterprogramme, die in vielen Programmiersprachen auch Methoden, Prozeduren oder Funktionen genannt werden, beinhalten sequenzielle Rechenvorschriften (Algorithmen) zum Bearbeiten von Daten, die zu einer Einheit zusammengefasst sind. So kann zum Beispiel die Rechenvorschrift für die Berechnung des Kreisumfangs aus dem Kreisradius als Folge von Programmanweisungen formuliert werden, aber auch in eine Methode ausgelagert werden. Dieses Unterprogramm kann dann irgendwo im Programmcode aufgerufen werden. Dies gewinnt besonders dann Bedeutung, wenn das Unterprogramm an verschiedenen Stellen aufgerufen werden soll, so dass dann diese Programmanweisungen nicht mehrfach programmiert oder kopiert werden müssen. Insbesondere wenn die ursprünglichen, an mehreren Stellen auftauchenden Programmanweisungen einen Fehler enthalten, muss dieser nach dem Entdecken des Fehlers - also möglicherweise zu einem viel späteren Zeitpunkt - zur Fehlerbehebung zwangsweise an mehreren Stellen im Programmcode korrigiert werden. Das ist nicht nur mühsam, sondern einzelne relevante Stellen können leicht übersehen werden, so dass der entdeckte Fehler gar nicht vollständig ausgemerzt wird. Die mehrfach eingegebenen Programmanweisungen zur Berechnung des Kreisumfangs werden beim Auftreten von '''Codewiederholung''' an drei Stellen des Quelltextes programmiert: const double Pi ← 3.141592654 double perimeter1 ← radius1 * 2 * Pi double perimeter2 ← radius2 * 2 * Pi double perimeter3 ← radius3 * 2 * Pi Mithilfe des im Unterprogramm "perimeter" nur einmal implementierten Algorithmus' zur Ermittlung des Kreisumfangs und dessen dreimaligem Aufruf kann die Wiederholung der Implementierung der Rechenvorschrift leicht vermieden werden: /* "perimeter" computes and returns the perimeter of a circle with radius "radius" */ double perimeter (radius) { const double Pi ← 3.141592654 double perimeter ← radius * 2 * Pi return perimeter } double perimeter1 ← perimeter (radius1) double perimeter2 ← perimeter (radius2) double perimeter3 ← perimeter (radius3) ==Zuweisungskompatibilität== '''Zuweisungskompatibilität''' liegt vor, wenn Ausdrücke und Variablen aufgrund hinreichend kompatibler Datentypen einander zugewiesen, miteinander verglichen oder eindeutig miteinander verknüpft werden können. Es kann bereits im Quelltext überprüft werden, ob eine hinreichende Zuweisungskompatibilität vorliegt. Liegt diese nicht vor, handelt es sich um eine Typverletzung, und es muss eine explizite Typumwandlung programmiert werden. In diesem Fall kann es sehr leicht zu Programmfehlern kommen. Programmiersprachen, die für die maschinennahe Programmierung konzipiert wurden, wie zum Beispiel Assemblersprachen oder die Programmiersprache C, haben oft gar keine oder nur eine sehr schwache Typprüfung, was sehr leicht zu Programmfehlern führen kann. In manchen Programmiersprachen, wie zum Beispiel C, ist es sogar erlaubt, beliebige Zeiger einer Zeigervariablen zuzuweisen, ohne dass geprüft wird oder überhaupt geprüft werden kann, ob die Datentypen der referenzierten Daten kompatibel sind. ===Zeichenketten=== Ein weiteres schwerwiegendes Problem kann sich bei der Verwendung von Zeichenketten (englisch: string) ergeben, die in der Regel zum Speichern von Texten Verwendung finden und die aus einer Sequenz von einzelnen Zeichen respektive Buchstaben (englisch: character) bestehen. Eine strukturierte Programmiersprache, die Zeichenkettenverarbeitung und einen entsprechenden Datentyp zur Verfügung stellt, sollte fordern, dass jede Zeichenkette mit einem Zeichen abgeschlossen wird, das das Ende der Zeichenkette markiert (englisch: string terminator). Hierfür wird allgemein das Zeichen mit dem numerischen Wert null verwendet, das keinen Buchstaben repräsentiert und in Quelltexten häufig mit den Symbolen NUL, 0X oder \0 kodiert wird. Manche unstrukturierte Programmiersprachen fordern nicht, dass eine solche Kennzeichnung des Endes der Zeichenkette verwendet werden muss. Bei der Implementation von Zeichenkettenfunktionen in Programmbibliotheken, insbesondere wenn die dazugehörige Programmiersprache gar keinen Datentyp für Zeichenketten zur Verfügung stellt, ist auch bei strukturierten Programmiersprachen nicht unbedingt gewährleistet, dass eine entsprechende Kennzeichnung des Zeichenkettenendes obligatorisch ist. Bei der Implementierung von Vergleichsfunktionen oder Zeichenkettenmanipulationen in unstrukturierten Programmiersprachen oder Programmbibliotheken muss die Tatsache, ob das Nullzeichen vorhanden ist oder nicht, regelmäßig untersucht und berücksichtigt werden. Einfacher und sicherer ist es, mit einer strukturierten Programmiersprache oder einer entsprechenden Programmbibliothek zu arbeiten, bei der immer gewährleistet ist und vorausgesetzt werden kann, dass alle Zeichenketten mit einem Endezeichen abgeschlossen sind. Die den Zeichenketten zugrunde liegenden Zeichen (englisch: character) sind grundsätzlich positive ganze Zahlen, die Null repräsentiert gegebenenfalls das Ende eine Zeichenkette (englisch: end of string (EOS)). Nichtsdestoweniger muss der gültige Wertebereich beachtet werden, also der Zahlenraum, der entsprechend der Zuordnungstabellen (beispielsweise ASCII oder Unicode) als Zeichen interpretiert werden kann. Hierbei gibt es große Unterschiede zwischen den Programmiersprachen, wie anhand der folgenden Beispiele verdeutlicht werden soll: {| class="wikitable" |+ Datentypen für Zeichen ! Programmiersprache !! Bezeichnung !! Anzahl der kodierbaren Zeichen !! Bittiefe |- | C || (unsigned) char || 0..255 || 8 |- | C || signed char || -128..127 || 8 |- | C || (unsigned) int || 0..65535 || 16 |- | C || signed int || -32768..32767 || 16 |- | Java || char || 0..65535 || 16 |- | C# || char || 0..65535 || 16 |- | Component Pascal || SHORTCHAR || 0..255 || 8 |- | Component Pascal || CHAR || 0..65535 || 16 |} ===Strenge Zuweisungskompatibilität=== Zuweisungen sind uneingeschränkt zulässig, wenn eine strenge Zuweisungskompatibilität gegeben ist. Dazu müssen die Datentypen eines zuzuweisenden Ausdrucks und einer Variable exakt übereinstimmen, wie in folgendem Beispiel mit dem Datentyp "Mann" und den beiden Instanzen "otto" und "emil": TYPE Mann = Verbund von alter und groesse VARIABLE otto, emil: Mann otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 emil ← otto Alle Attribute von „otto“, nämlich „alter“ und „groesse“, können „emil“ eindeutig zugewiesen werden. Zwei Instanzen sind streng zuweisungskompatibel, wenn sie derselben Klasse angehören, wie in diesem Beispiel die beiden Objekte "fenster1" und "fenster2" aus der Klasse "Rechteck": TYPE Rechteck = Klasse mit breite, hoehe und mit Methode flaechenberechnung&nbsp;() VARIABLE fenster1, fenster2: Rechteck fenster1.breite ← 200 fenster1.hoehe ← 100 fenster1.flaechenberechnung&nbsp;() (Flächenberechnung für „fenster1“ ausführen) fenster2 ← fenster1 fenster2.flaechenberechnung&nbsp;() (Flächenberechnung für „fenster2“ ausführen) Die Zuweisung in der vorletzten Programmzeile ist möglich, da beide Instanzvariablen "fenster1" und "fenster2" derselben Klasse "Rechteck" angehören, und daher liefert auch der Methodenaufruf in der letzten Programmzeile ein korrektes Ergebnis. ====Logische Kompatibilität==== Zwei übereinstimmende Definitionen von zwei Datentypen sind nicht zuweisungskompatibel. Die Daten können zwar eindeutig überführt werden (technische Kompatibilität), es liegen zwei formal zwar identische, aber dennoch verschiedene Definitionen vor, so dass diese keine logische Kompatibilität aufweisen. Folgendes Beispiel wäre demzufolge formal korrekt, aber nicht logisch: TYPE Mann = Verbund von alter und groesse TYPE Frau = Verbund von alter und groesse VARIABLE otto: Mann VARIABLE anna: Frau otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 anna ← otto Die Zuweisung in der letzten Programmzeile ist technisch zwar ohne Probleme möglich, aber logisch nicht korrekt, und sie birgt daher die Gefahr der Entstehung von Programmierfehlern. Um solche Fehler zu vermeiden, sind Zuweisungen mit impliziter Typumwandlung in einigen Programmiersprachen mit starker Typisierung nicht zulässig, und der Compiler verweigert die Übersetzung dieser Zuweisung. In der objektorientierten Programmierung kann durch die Vererbung der gemeinsamen Eigenschaften von Datentypen leicht eine logische Kompatibilität hergestellt werden: TYPE Mensch = Verbund von alter und groesse TYPE Mann = Mensch TYPE Frau = Mensch VARIABLE otto: Mann VARIABLE anna: Frau otto.alter ← 50 otto.groesse ← 1.80 anna ← otto Die Objekteigenschaften "alter" und "groesse" sind hierbei Eigenschaften von Objekten des Datentyps "Mensch" und daher sowohl zuweisungskompatibel, als auch logisch korrekt; bei der Zuweisung können und werden nur die Attribute "alter" und "groesse" der gemeinsamen Basisklasse "Mensch" übertragen. ====Wahrheitswerte==== In einigen älteren Programmiersprachen, wie zum Beispiel C, gibt es keinen eigenen Datentyp für zweiwertige boolesche Variablen. Zur Behandlung und Verarbeitung entsprechender Information wird dann häufig der ganzzahlige Datentyp mit dem kleinsten Speicherbedarf verwendet, wobei der Zahlenwert null für den Wahrheitswert „Falsch“ und alle anderen Zahlenwerte für den Wahrheitswert „Wahr“ Verwendung finden. Auch hier ergeben sich logische Inkompatibilitäten und somit ein gefährliches Potential für Komplikationen, da mit binären Werten keine Arithmetik und mit Zahlen keine logischen Verknüpfungen oder logischen Operationen durchgeführt werden können. Im folgenden Beispiel wird dieser Missbrauch verdeutlicht: VARIABLE schlechteWahrheit1, schlechteWahrheit2, ergebnisWahrheit: INTEGER schlechteWahrheit1 ← 0 schlechteWahrheit2 ← 1 ergebnisWahrheit ← (schlechteWahrheit1 + schlechteWahrheit2) ergebnisWahrheit ← (schlechteWahrheit2 + schlechteWahrheit2) Das Ergebnis der ersten arithmetischen Addition ist 1, was fälschlich als der Wahrheitswert „Wahr“ missinterpretiert werden könnte, der nicht dem Ergebnis der logischen Und-Verknüpfung entspricht. Noch offensichtlicher ist das Problem in der zweiten arithmetischen Addition, wo das Ergebnis 2 erzielt wird. Somit existieren ohne Not mehr als zwei Zustände für die binären (also zweiwertigen) Variablen, was schnell zu Missverständnissen und Programmierfehlern führen kann. Eine eindeutige und korrekte Implementierung wird erreicht, wenn die Programmiersprache oder eine dazugehörige Programmbibliothek einen zweiwertigen Datentyp, wie zum Beispiel „BOOLEAN“ oder „bool“, zwei entsprechende Ausprägungen, wie zum Beispiel "false" und "true", und die dazugehörigen eindeutigen booleschen Operatoren und Funktionen (beispielsweise "and", "or" oder "not") anbietet. VARIABLE richtigeWahrheit1, richtigeWahrheit2, ergebnisWahrheit: BOOLEAN richtigeWahrheit1 ← falsch richtigeWahrheit2 ← wahr ergebnisWahrheit ← (richtigeWahrheit1 und richtigeWahrheit2) ergebnisWahrheit ← (richtigeWahrheit2 und richtigeWahrheit2) Sinngemäß gilt das Gleiche für die Verknüpfungen von Mengen. Wenn hier bei den Datentypen und zulässigen Operatoren nicht zwischen Bitmengen (englisch: (bit) sets) und Zahlen unterschieden wird, kommt es wie zum Beispiel bei der Bestimmung von Vereinigungs- oder Differenzmengen zu Interpretationsproblemen. Eine eindeutige und korrekte Implementierung verwendet Datentypen, die für Mengen und Mengenoperationen definiert sind. In einigen Programmiersprachen werden solche Datentypen im Sprachumfang implizit angeboten, in anderen gibt es dafür standardisierte Programmbibliotheken, auf die über Unterprogrammaufrufe zugegriffen werden kann. ===Zuweisungskompatibilität ohne Informationsverlust=== In einigen Fällen kann die Information, die mit einem Datentyp dargestellt werden kann, eindeutig und ohne Informationsverlust in einen anderen Datentyp überführt werden. Typische Beispiele sind ganze Zahlen mit unterschiedlicher Speichergröße. So kann ein Integer mit 16&nbsp;Bit Speichergröße eindeutig in einer vorzeichenbehafteten Integer-Variablen mit 32&nbsp;Bit Speichergröße abgelegt werden, ohne dass die ursprünglich nur mit 16&nbsp;Bit gespeicherte Zahl verändert wird. Umgekehrt ist dies jedoch nicht allgemein möglich, insbesondere unter der Beachtung von Vorzeichen und großen Zahlen. Der folgende Programmierabschnitt zeigt ein Beispiel ohne Zuweisungskompatibilität, da der Datentyp „BYTE“ nur 8&nbsp;Bit Speichertiefe hat und nur Werte zwischen -128 bis +127 und somit nicht die Zahl 555 repräsentieren kann, wohingegen der Datentyp „SHORTINT“ eine Speichertiefe von 16&nbsp;Bit hat und ganze Zahlen von -32768 bis +32767 repräsentieren kann: zahl1: BYTE zahl2: SHORTINT zahl2 ← 555 zahl1 ← zahl2 Die letzte Programmzeile stellt einen ungültigen Versuch der Zuweisung der ganzen Zahl&nbsp;555 aus der Variablen „zahl2“ an die Variable „zahl1“ dar. Bei einer solchen Programmanweisung kann bei typsicheren Programmiersprachen bereits der Compiler verhindern, dass ausführbarer Maschinencode erzeugt wird. Bei fehlender Überprüfung durch den Compiler kann unbemerkt Information verloren gehen, so dass bei nachfolgenden Berechnungen unter Umständen grobe Berechnungsfehler auftreten, die relativ schwierig zu analysieren sind. ===Zuweisungskompatibilität mit geringem Informationsverlust=== Ein Sonderfall ist die Zuweisung von ganzen Zahlen an Variablen, die Gleitkommazahlen repräsentieren. In der Regel kann ohne die Gefahr von Programmfehlern toleriert werden, große ganze Zahlen implizit in Gleitkommazahlen umzuwandeln, da der Rechenfehler (wenn überhaupt vorhanden) hierbei sehr klein ist. Auch dies kann an einem Beispiel verdeutlicht werden: ein „LONGINT“ mit 64&nbsp;Bit Speichergröße kann die Zahl 9223372036854775807 mit 19 Dezimalstellen speichern. Der folgende Programmierabschnitt zeigt ein Beispiel mit Zuweisungskompatibilität mit einem in der Regel zu vernachlässigenden Informationsverlust, da der Datentyp „REAL“ nach IEEE 754 mit 64&nbsp;Bit nur Zahlen mit einer Mantisse mit maximal 14 Nachkommastellen speichern kann: zahl1: LONGINT zahl2: REAL zahl1 ← 9223372036854775807 zahl2 ← zahl1 Die letzte Anweisung stellt in fast allen Programmiersprachen einen gültigen Versuch der Zuweisung der ganzen Zahl&nbsp;<math>{2}^{63} - 1</math> aus der Variablen „zahl1“ an die Variable „zahl2“ dar, da diese gerundeten Zahlenwert <math>9{,}22337203685478 \cdot {10}^{18}</math> enthält, und der Fehler durch das Abschneiden der letzten Nachkommastellen hier nur in einer Größenordnung von <math>{10}^{-14}</math> liegt und daher für praktisch alle Anwendungen vernachlässigt werden kann. Bei einer erneuten Datentypkonvertierung zurück zu einem geeigneten ganzzahligen Datentyp kommt es dann aber zu einer Abweichung zu der ursprünglichen ganzen Zahl. In solchen Fällen ist es daher besser, vorsichtshalber und mit Inkaufnahme etwas längerer Programmlaufzeiten ausschließlich mit Gleitkommazahlen zu operieren. ===Zuweisungskompatibilität mit definiertem Informationsverlust=== Zwei Instanzen sind mit definiertem Informationsverlust zuweisungskompatibel, wenn die zuzuweisende Klasse einer Klasse angehört, die von der zugewiesenen Klasse abgeleitet wurde. Alle Daten die in der zugewiesenen Klasse deklariert und somit erforderlich sind, können dann zugewiesen werden, jedoch werden die in der zuzuweisenden abgeleiteten Klasse möglicherweise hinzugefügten Attribute ignoriert, wie das folgende Beispiel verdeutlichen soll, in welchem der Datentyp „Mensch“ alle Eigenschaften vom Datentyp „Lebewesen“ erbt und zusätzlich das Attribut „intelligenzquotient“ bekommt: TYPE Lebewesen = Verbund von alter und gewicht TYPE Mensch = Lebewesen mit intelligenzquotient VARIABLE otto: Mensch VARIABLE eukaryot: Lebewesen otto.alter ← 50 otto.gewicht ← 75 otto.intelligenzquotient ← 100 eukaryot ← otto Die Zuweisung in der letzten Zeile ist korrekt, das Attribut „intelligenzquotient“ der Variable „otto“ vom Datentyp „Mensch“ wird jedoch nicht an die Variable „eukaryot“ zugewiesen, da es beim Datentyp „Lebewesen“ der Basisklasse nicht deklariert ist. ==Komplexe Ausdrücke== Zusammengesetzte Ausdrücke mit verschiedenartigen Operatoren können sehr unübersichtlich und somit fehleranfällig sein. Manche Programmiersprachen haben sehr viele Hierarchieebenen für Operatoren, die auch durch erfahrene Programmierer kaum durchschaut werden können, oder sogar dafür sorgen, dass bestimmte Teile des Quellcodes zur Laufzeit gar nicht erreicht werden können. Daher ist es dringend empfehlenswert, Anweisungen in kleine, überschaubare Einheiten zu untergliedern. In einigen Programmiersprachen ist es sogar möglich, die Zuweisung in andere Anweisungen zu integrieren, da sie selber als ein Ergebniswert interpretiert werden darf. Ferner ist nicht immer offensichtlich welchen Datentyp ein Ergebnis hat, was insbesondere in Ermangelung eines zweiwertigen Datentyps ''Boolean'' zu Missverständnissen führen kann. Also zum Beispiel nicht: if (a ← b – c = 0) ... In dieser bedingten Anweisung (if) ist nicht klar, in welcher Reihenfolge der Zuweisungsoperator (←), der Differenzoperator (-) und der Vergleichsoperator (=) ausgeführt werden (sollen). Es ist erheblich besser, die Anweisungen klar zu trennen: a ← (b – c) if (a = 0) ... Die folgenden beiden Beispiele mit dem Zuweisungsoperator "=" und dem Vergleichsoperator "==" zeigen Programmsequenzen in der Programmiersprache C, die zu sehr leicht zu übersehenden Programmierfehlern führen können: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int i = 0; if (i = 1) { /* Dieser Block wird immer ausgeführt, weil die Zuweisung i = 1 immer das numerische Ergebnis 1 hat, was als der boolesche Wert "wahr" interpretiert wird. */ } int i = 0; if (i == 1) { /* Dieser Block wird nie ausgeführt, weil die Vergleichsoperation i == 1 immer das numerische Ergebnis 0 hat, was als der boolesche Wert "falsch" interpretiert wird. */ } </syntaxhighlight> Die folgende Rückgabe-Anweisung ("return") in der Programmiersprache Java ist nicht nur verwirrend, sondern sinnfrei: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 2; long y = 1; return y + x--; </syntaxhighlight> Der Dekrement-Operator "- -" wird in vielen Programmiersprachen gar nicht ausgeführt, weil er hierarchisch erst nach einer Zuweisung ausgeführt wird oder nach einer die Code-Sequenz beendende Return-Anweisung noch ausgeführt werden müsste, aber de facto gar nicht mehr ausgeführt wird. Deswegen ist die folgende Anweisungsfolge nicht nur weniger komplex, gut strukturiert und korrekt, sondern auch sinnvoll und leicht sowie eindeutig nachvollziehbar: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 2; long y = 1; x--; long summe = y + x; return summe; </syntaxhighlight> Beeindruckend sinnlos, verwirrend und komplex sind Monster-Ausdrücke (nach Niklaus Wirth: ''notational monsters''), die in einigen Programmiersprachen wie zum Beispiel C erlaubt sind, wie zum Beispiel bei der Kombination einer Rücksprunganweisung ("return") mit einer Zuweisung ("="), zwei verschiedenen Inkrement-Operatoren ("++") und einem Additionsoperator ("+"). Es ist sehr schwierig durchschaubar, in welcher Reihenfolge diese fünf Anweisungen ausgeführt werden und ob diese überhaupt ausgeführt werden. Selbst wenn die Zuweisung oder die nachrangige Inkrementierung ausgeführt würden, wären sie völlig sinnlos, da auf die lokale Variable i nach der Return-Anweisung gar nicht mehr zugegriffen werden kann: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int i = 0; return i = ++i+i++; </syntaxhighlight> Auch im folgenden Java-Beispiel ist die Sachlage nicht wesentlich besser. Das Ergebnis dieser Anweisungsfolge für die Variable y ergibt den Wert 2 + 2 = 4 , weil der letzte Inkrementoperator die Variable x vor der Ausführung aller anderen Operatoren auf den Wert 2 erhöht, und der erste Inkrementoperator die Variable x erst nach der Addition und der Zuweisung auf den Wert 3 erhöht: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = x++ + ++x; </syntaxhighlight> Es ist ebenfalls nicht leicht zu durchschauen, dass das Ergebnis dieser Anweisungsfolge in Java für die Variable y den Wert 2 + 3 = 5 ergibt, weil die Variable x vor der Auswertung des arithmetischen Summe zweimal inkrementiert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = ++x + ++x; </syntaxhighlight> Ferner ist das Ergebnis der nächsten Anweisungsfolge in Java für die Variable y der Wert 2 + 2 = 4, weil die Variable x vor der Auswertung der arithmetischen Summe nur beim ersten Inkrementoperator für die Summenbildung wirksam verändert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = ++x + x++; </syntaxhighlight> Auf der anderen Seite ist das Ergebnis der nächsten Anweisungsfolge in Java für die Variable y der Wert 1 + 2 = 3, weil die Variable x während der Auswertung des arithmetischen Ausdrucks nur beim ersten Inkrementoperator für die Summenbildung wirksam verändert wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long x = 1; long y = x++ + x++; </syntaxhighlight> Noch gefährlicher wird es, wenn die Reihenfolge der Auswertung von arithmetischen Ausdrücken mit gleichwertigen Operanden für den Compiler oder Interpreter nicht definiert ist: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ int x = 1; long y = ++x * --x; </syntaxhighlight> Wird die Multiplikation von links nach rechts ausgewertet, ergibt sich für die Variable y der Wert 2, wird die Multiplikation von rechts nach links ausgewertet, ergibt sich für die Variable y der Wert 0. Derselbe Quelltext kann auf zwei verschiedenen Systemen also völlig andere Rechenergebnisse hervorrufen. In anderen Programmiersprachen werden die Inkremente und Dekremente von ganzzahligen Variablen daher mit Prozeduraufrufen bewerkstelligt (beispielsweise INC() und DEC()), die fester Bestandteil der Programmiersprache sind, wie zum Beispiel in Pascal, wo der Zuweisungsoperator aus zwei verschiedenen Zeichen besteht (":="), damit es keine Verwechslungen mit einem Identitätsoperator oder Vergleichsoperator geben kann: <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) VAR x, y, produkt: integer; BEGIN x := 1; INC (x); y := x; DEC (x); produkt := y * x; END; </syntaxhighlight> Die Aufrufe der Inkrement- beziehungsweise Dekrementprozeduren dürfen und können –&nbsp; genauso wie Zuweisungen&nbsp;– in der Programmiersprache Pascal also gar nicht Bestandteil eines arithmetischen Ausdrucks sein, so dass der Zeitpunkt der Ausführung immer eindeutig aus der Reihenfolge der Anweisungen hervorgeht. ===Ternäre Operatoren=== Ein '''ternärer Operator''' hat als Ergebnis einen beliebigen Wert und verknüpft hierzu drei Ausdrücke: * Der erste Ausdruck ein '''binärer Ausdruck''', der wahr oder falsch ist. * Der zweite Ausdruck beschreibt den Ergebniswert, wenn der erste Ausdruck '''wahr''' ist. * Der dritte Ausdruck beschreibt den Ergebniswert, wenn der erste Ausdruck '''falsch''' ist. In vielen Programmiersprachen werden die drei Ausdrücke mit den Begrenzungszeichen ? und : voneinander getrennt, und der binäre Ausdruck wird eingebettet in runde Klammern vorangestellt: (binärer Ausdruck) ? zweiter Ausdruck : dritter Ausdruck Jeder dieser drei Ausdrücke kann sich wiederum aus mehreren anderen Ausdrücken zusammensetzen, so dass der Überblick schnell verloren gehen kann. Die Ergebniswerte von Ausdrücken mit ternären Operatoren sollten besser nicht in andere Ausdrücke eingesetzt werden, sondern in einer lokalen Variable zwischengespeichert und erst danach weiterverwendet werden: variable ergebnis; ergebnis ← (binärer Ausdruck) ? zweiter Ausdruck : dritter Ausdruck Grundsätzlich ist es wegen der größeren Übersichtlichkeit, Transparenz und einfacheren Modifikation vorzuziehen, für das Ergebnis gar '''keine ternären Operatoren''' zu verwenden, sondern eine '''bedingte Anweisung mit Blockanweisungen''' zu verwenden: variable ergebnis; falls (binärer Ausdruck) dann Block für ergebnis ← zweiter Ausdruck ansonsten Block für ergebnis ← dritter Ausdruck ende ===Blockanweisungen=== '''Blockanweisungen''' sind ein elegantes Mittel, um Programmcode zu strukturieren sowie die Sichtbarkeit von lokalen Variablen zu begrenzen. In vielen Programmiersprachen werden eindeutige Symbole für die Kennzeichnung von Programmblöcken verwendet, wie zum Beispiel geschweifte Klammern: { ... } Die drei Punkte stehen hierbei für beliebige Anweisungsfolgen. In anderen Programmiersprachen werden Schlüsselwörter für die Begrenzung von Blockanweisungen verwendet, wie zum Beispiel "BEGIN" und "END": BEGIN ... END Der Blockinhalt mit Anweisungen -&nbsp;in beiden obenstehenden Beispielen durch die drei aufeinanderfolgenden Punkte symbolisiert&nbsp;-, wird in der Regel eingerückt, um die Lesbarkeit des Quelltextes für die Programmierer zu erleichtern. Blockanweisungen können geschachtelt, dürfen -&nbsp;sofern in der Syntax einer Programmiersprache überhaupt möglich&nbsp;- jedoch nicht verschränkt werden. Dies bedeutet, dass bei geschachtelten Blöcken ein begonnener Block immer erst vollständig abgearbeitet werden muss, bevor der nächstäußere weitergeführt und abgeschlossen werden kann: { ... /* Äußerer Block */ { ... /* Mittlerer Block */ { ... /* Innerer Block */ } ... /* Mittlerer Block */ } ... /* Äußerer Block */ } Verschränkte Blockanweisungen sind unsinnig, unstrukturiert sowie überflüssig und daher in den meisten Programmiersprachen nicht zulässig: BEGIN1 ... BEGIN2 ... ... END1 ... ... END2 Die Implementationen von allen Modulen, Klassen und Unterprogrammen sowie auch von allen Kontrollstrukturen (also Fallunterscheidungen und Schleifen) sollten '''kategorisch mit Blockanweisungen''' strukturiert werden. === Blockanweisungen bei Kontrollstrukturen === [[Datei:lineareAnw.png|mini|rechts|hochkant=2|Struktogramm einer Anweisungsfolge.]] Auch wenn die Programmiersprache die Verwendung von Blockanweisungen für Anweisungsfolgen in einer Kontrollstruktur nicht vorschreibt, ist es sehr ratsam, die Blockanweisung kategorisch einzusetzen, um Programmierfehler zu vermeiden. Wenn zum Beispiel eine if-Anweisung so wie in den Programmiersprachen C und Java so strukturiert ist, dass genau eine Folgeanweisung ausgeführt wird, wenn die Bedingung wahr ist, kann es ohne Blockanweisungen bei der Programmentwicklung oder -wartung leicht zu übersehenden Programmierfehlern kommen. Im folgenden korrekt formulierten Java-Programmbeispiel wird die Variable v1 auf den Wert null zurückgesetzt, falls sie den gleichen Zahlenwert wie max hat: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; </syntaxhighlight> Soll zudem auch noch eine Textausgabe erfolgen, kann diese zusätzlich programmiert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); </syntaxhighlight> Die unterste Programmierzeile ist zwar eingerückt, was suggeriert, dass sie nur ausgeführt wird, wenn die darüberstehende Bedingung erfüllt ist. Ein Java-Interpreter führt jedoch nur eine einzige unmittelbar nach der Bedingung aufgeführte Anweisung aus, wenn die Bedingung wahr ist. Mit anderen Worten: die Textausgabe erfolgt im obigen Programmbeispiel immer, also insbesondere auch wenn die Variablen v1 und max nicht den gleichen Zahlenwert haben. Im Quelltext sollte das daher besser folgendermaßen formuliert werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); </syntaxhighlight> Ähnlich tückisch ist die Tatsache, dass in manchen weniger streng strukturierten Programmiersprachen, auf die Bedingung der if-Anweisung eine beliebige Anweisung folgen darf, die nicht notwendigerweise eine Blockanweisung sein muss, sondern auch eine einzelne Anweisung sein darf, die zum Beispiel mit einem Semikolon abgeschlossen wird und auch eine '''leere Anweisung''' sein kann. Dies führt zu leicht zu übersehenden Programmierfehlern, wie im folgenden Beispiel: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max); { v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); } </syntaxhighlight> Die Blockanweisung wird immer ausgeführt, obwohl ihre Darstellung mit korrekter Einrückung suggeriert, dass sie nur dann ausgeführt wird, wenn die boolesche Bedingung (v1 == max) erfüllt ist. Dies ist allerdings nicht der Fall, da direkt hinter den runden Klammern der if-Anweisung ein Semikolon steht, welches eine '''leere Anweisung''' implementiert, die bei der Erfüllung der Bedingung ausgeführt wird. All diese Missverständnisse können leicht vermieden werden, indem bei der Programmierung von Kontrollstrukturen '''kategorisch Blockanweisungen''' verwendet werden, selbst wenn die Programmiersprache dies nicht fordert: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) { v1 = 0; } </syntaxhighlight> Beziehungsweise: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ if (v1 == max) { v1 = 0; java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde erreicht."); } else { java.lang.System.out.println ("Der Maximalwert wurde nicht erreicht."); } </syntaxhighlight> ==== Verschachtelung ==== In noch stärkerem Maße leidet die Verständlichkeit von Quellcode, wenn mehrere Kontrollstrukturen ohne die Verwendung von Blockstrukturen verschachtelt werden: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long v1, v2, v3; v1 = 3; v2 = 3; v3 = 7; if ((v1 > 0) && (v2 > 0)) if (v1 > v2) v3 = v1 - v2; else v3 = v2 - v1; java.lang.System.out.println ("v3 = " + v3); </syntaxhighlight> Beim Lesen des Quellcodes mit einer solchen "baumelnden" ''else''-Anweisung (englisch: ''dangling else'') kann schnell der Eindruck entstehen, dass sie zur ersten ''if''-Anweisung gehört und das Ergebnis für die Variable ''v3'' 7 bleibt, da ''v1'' und ''v2'' positive Zahlen sind. Tatsächlich wird der Quellcode jedoch so ausgeführt, so dass die Variable ''v3'' den Wert 0 erhält. Um solche Missverständnisse zu vermeiden, ist es -&nbsp;wie oben bereits erwähnt&nbsp;- dringend geboten, Blockanweisungen kategorisch einzusetzen, auch wenn sie durch die Definition der Programmiersprache nicht sowieso vorgeschrieben sind: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long v1, v2, v3; v1 = 3; v2 = 3; v3 = 7; if ((v1 > 0) && (v2 > 0)) { if (v1 > v2) { v3 = v1 - v2; } else { v3 = v2 - v1; } } java.lang.System.out.println ("v3 = " + v3); </syntaxhighlight> ==Wertebereiche== ===Division durch null=== Im Zusammenhang mit dem '''Divisionsoperator''' gibt es in allen Programmiersprachen das Problem, dass der Divisor nicht null werden darf. Die Division durch null kann und sollte kategorisch durch eine geeignete Kontrollstruktur mit dem Vergleichsoperator "<>" verhindert werden, der nur bei Ungleichheit der beiden Operanden den Ergebniswert "wahr" erzeugt: if (divisor <> 0) { quotient ← dividend / divisor } else { /* Ausnahmebehandlung / Fehlermeldung */ } ===Wertebereichsprüfung=== Bei Parametern mit eingeschränktem zulässigen Wertebereich kann eine allgemeine und an allen entsprechenden Stellen verwendbare Funktion programmiert werden, die den gültigen Wertebereich überprüft und einen entsprechenden (häufig zweiwertigen respektive booleschen) Funktionswert zurückgibt, wie zum Beispiel die folgende Funktion "waterIsLiquid ", die überprüft, ob die Wassertemperatur zwischen 0° und 100° Celsius liegt, bevor das spezifische Gewicht des Wassers berechnet werden darf: boolean waterIsLiquid (double temperature) /* temperature in degrees Celsius */ { final long freezingPoint ← 0; final long boilingPoint ← 100; boolean waterIsLiquid ← (temperature > freezingPoint) and (temperature < boilingPoint); return waterIsLiquid; } ... double temperature, density; ... if waterIsLiquid (temperature) { /* function computes an approximation of the density of air-free liquid water in kilograms per cubic metre */ density ← ( 999.83952 + (16.945176 * temperature) - (0.0079870401 * temperature * temperature) - (0.000046170461 * temperature * temperature * temperature) + (0.00000010556302 * temperature * temperature * temperature * temperature) - (0.00000000028054253 * temperature * temperature * temperature * temperature * temperature) ) / ((0.01689785 * temperature) + 1); } else { /* exception handling, because water is not liquid */ } ===Parameterkombinationen=== Es ist wichtig, dass immer alle auftretenden Parameterkombinationen berücksichtigt und vom Programmcode verarbeitet werden, wenn aus diesen Parametern valide berechnete Werte abgeleitet werden sollen. Um zum Beispiel das Argument (also den Phasenwinkel zwischen -180° und +180°) einer komplexwertigen Zahl mit den reellwertigen Komponenten x und y über den Arcustangens ("arctan") zu berechnen, muss geprüft werden, ob der Parameter x gleich null ist, und welche Vorzeichen die Parameter x und y haben: double x double y ... double argument if (x = 0) { if (y > 0) { argument ← 90 } elseif (y < 0) { argument ← -90 } else /* y is equal to 0, too */ { stop /* argument is not defined */ } } else /* x is not equal to 0 */ { argument ← arctan (y / x) if (x < 0) { if (y >= 0) { argument ← argument + 180 } else /* both, x and y are less than 0 */ { argument ← argument - 180 } } } ==Schnittstellen== Schnittstellen definieren die Sichtbarkeits- und Zugriffsregeln zwischen verschiedenen Bestandteilen eines Programms und ermöglichen so die Interaktion zwischen diesen. Dabei ist es keineswegs sinnvoll, alle Bezeichner überall sichtbar zu machen, da dadurch die Übersichtlichkeit und Nachvollziehbarkeit insgesamt drastisch eingeschränkt wird. Dies führt letztlich zu Programmfehlern, da der Programmierer wegen der großen zu berücksichtigenden Datenmenge nicht mehr in der Lage ist, alle Implikationen seiner Arbeit zu überschauen. Alle Eigenschaften (Attribute) und Methoden (Werkzeuge), die zusammengehören (aber auch nur diese), sollen in jeweils einer Einheit zusammengefasst werden, wie zum Beispiel einer Klasse oder einem Modul. Oft wird eine solche Einheit in einer Quelltextdatei zusammengefasst, was sinnvoll ist und die Nachvollziehbarkeit erleichtert. Nur diejenigen Eigenschaften und Methoden, die außerhalb dieser Einheiten benutzt werden sollen oder müssen, dürfen mit einem Modifikator versehen werden, der dies ermöglicht (zum Beispiel "public"). Alle anderen Eigenschaften und Methoden sollten explizit als intern (zum Beispiel "private") deklariert sein. ''packages'' sind wegen der unübersichtlichen Sichtbarkeitsregeln (zum Beispiel durch den Modifikator "protected") als Zwischenebene entbehrlich und eher zu vermeiden. Alternativ können ohne weiteres längere, zusammengesetzte Klassennamen verwendet werden, um die Zugehörigkeit zu einem bestimmten Themenbereich zu kennzeichnen, wie zum Beispiel mit einfachen Bezeichnern: StatisticsMyEvaluation StatisticsMyAssessment Diese Bezeichner sind in der Regel unmittelbar mit den Programmdateien im Dateisystem korreliert. Hierbei sind also keine '''qualifizierten Bezeichner''' auf verschiedene Konstrukte erforderlich, die hier im Beispiel aus mehreren Bezeichnern mit zwischengestellten Punkten zusammengesetzt sind. Links vom Punkt steht der Bezeichner der Programmbibliothek (Modulsammlung, Paket), und rechts vom Punkt steht der Bezeichner für ein Programmbaustein (Modul, Klasse): package statistics statistics.MyEvaluation statistics.MyAssessment ===Importe=== ====Import-Anweisungen==== '''Import-Anweisungen''' werden häufig nicht dazu benutzt anzumelden und anzuzeigen, welche externen Module (respektive Klassen) in einer Quelldatei verwendet werden, sondern werden als Möglichkeit missbraucht, den Quelltext möglichst kurz zu fassen. Nicht: import MyModule ... drawLine () ... Sondern eindeutig mit qualifiziertem Bezeichner: ... MyModule.drawLine () ... Mit diesen qualifizierten Bezeichnern ist es dann auch einfach und eindeutig möglich, gleichnamige Bezeichner, wie zum Beispiel für die Methode ''drawLine'', aus verschiedenen Klassen zu benutzen: ... MyModule.drawLine () YourModule.drawLine () ... Die Erkennbarkeit der Herkunft eines importierten Bezeichners an jeder Stelle des Auftretens in einem Quelltext ist in der Regel von großer Nützlichkeit, insbesondere wenn andere Programmierer den Quelltext nachvollziehen können sollen oder wenn der Quellcode nach längerer Zeit gewartet werden soll. Insbesondere Import-Anweisungen mit Wildcards sind schlecht nachvollziehbar (auch wenn viele Entwicklungssysteme Funktionen für eine gewisse Transparenz bieten), so wie zum Beispiel: import myPackage.* import yourPackage.* drawLine () /* To which package does the method "drawLine" belong? */ Class var ← new Class () /* To which package does the class "Class" belong? */ ====Zyklische Importe==== [[Datei:Zyklischer.Import.png|mini|rechts|hochkant=2|Zyklische Importe durch Aufruf ("call") des Unterprogramms ("procedure") '''sum''' aus der Klasse '''B''' in das Unterprogramm '''add''' der Klasse A sowie Aufruf des Unterprogramms '''add''' aus der Klasse '''A''' in das Unterprogramm '''sum''' der Klasse '''B'''.]] '''Zyklische Importe''' beziehungsweise Zirkelbezüge sind nicht nur unübersichtlich, sondern auch unstrukturiert und können zu Speicherüberläufen führen, da sich Programmteile immer wieder gegenseitig aufrufen, ohne beendet zu werden. Ferner kann die Funktion des übersetzten Programms bei einer Optimierung des Codes von der Reihenfolge der Übersetzung der Quelltexte abhängen. Die Schnittstellen der Klassen und Module können im Allgemeinen weder unabhängig voneinander noch eindeutig überprüft werden. '''Beispiel''': Die beiden Funktionen Funktionen ''add'' aus der Klasse ''A'' und ''sum'' aus der Klasse ''B'' rufen sich endlos gegenseitig auf, um die Summe zweier Zahlenwerte zu berechnen, bis der Speicher überlaufen würde und das Laufzeitsystem die Ausführung deswegen abbricht oder der Speicher überläuft, das Programm unkontrolliert und ohne (nachvollziehbare) Fehlermeldung abstürzt. <div style="clear:both"></div> public class A { public int procedure add (int a, int b) { int result ← B.sum (a, b); return result; } } public class B { public int procedure sum (int x, int y) { int result ← A.add (x, y); return result; } } [[Datei:Circular Reference.svg|mini|rechts|hochkant=1|Variante von Abhängigkeiten zwischen Modulen oder Klassen, in denen die zyklischen Bezüge weniger offensichtlich sind, wenn nur der nächste Nachbar betrachtet wird. Der dunkelrote Pfeil oben rechts zeigt nach unten auf ein bereits vorher definiertes Element, das sich rechts in der Mitte befindet. Die Definition dieses Elements darf bei einem strukturierten Aufbau der Programmteile allerdings nicht von dem Element ober rechts abhängig sein.]] Solche zyklischen Abhängigkeiten können durch Verzweigungen und indirekte Aufrufe wesentlich weniger offensichtlich sein, und sind dann nur sehr schwierig zu erkennen und zu beheben. Sichere Programmiersprachen überprüfen solche zyklischen Zusammenhänge daher und lassen sie nicht zu. In der Regel ist es bei der Anwendung von rekursiven Programmiertechniken mit wohldefinierten Abbruchbedingungen möglich, ohne zyklische Modulabhängigkeiten auszukommen. Ein Übersetzer kann in den Metadaten von Programm-Modulen Zeitstempel verwenden, um bei der Interpretation eines Programmteils herausfinden zu können, ob alle anderen importierten Programmteile bereits vorher gültig übersetzt wurden. <div style="clear:both"></div> ==Nebeneffekte== '''Nebeneffekte''' treten auf, wenn der Programmierer von naheliegenden, jedoch falschen Annahmen ausgeht, die die Programmiersprache betreffen. Solche Nebeneffekte sind unerwünscht und können durch ein strukturiertes Vorgehen oft leicht vermieden werden. ===Durch arithmetischen Überlauf=== Als Indiz für solche Nebeneffekte möge folgendes Beispiel in Java dienen, bei dem die Dezimalzahl 127 (die hexadezimale Repräsentation dieses Zahlenwerts ist durch die acht Ziffern 7F gegeben) um eins erhöht wird: <syntaxhighlight lang="Java"> byte zahl = 127; java.lang.System.out.println ("zahl = " + zahl); zahl++; java.lang.System.out.println ("zahl = " + zahl); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge erzeugt die Ausgabe: :zahl = 127 :zahl = -128 Wenn die größte mit dem Datentyp "byte" darstellbare Zahl 127 mit dem Inkrement-Operator ++ um eins erhöht wird, ergibt sich durch arithmetischen Überlauf als Ergebnis die kleinste darstellbare ganze Zahl 128. Dass solche Nebeneffekte auch in Standard-Bibliotheken versteckt sein können, möge das folgende Beispiel in Java zeigen, bei dem die Dezimalzahl -1 (die hexadezimale Repräsentation dieses Zahlenwerts ist durch die acht Ziffern FFFFFFFF gegeben) mit zwei verschiedenen Unterprogrammen ausgegeben werden soll (Stand 2026): <syntaxhighlight lang="Java"> long zahl = 0xFFFFFFFF; java.lang.System.out.println ("dezimal: " + zahl); java.lang.System.out.print ("hexadezimal: "); java.lang.System.out.printf ("%h\n", zahl); </syntaxhighlight> Diese Anweisungsfolge erzeugt die Ausgabe: :dezimal: -1 :hexadezimal: 0 Die Methode "printf" für die Ausgabe im hexadezimalen Format (Steuersequenz h%), ruft die statische Methode "formatUnsignedLong0" aus der Klasse "Long" aus dem package "java.lang" im Modul "java.base" der Java-Standardbibliothek auf und gibt den Wert 0 aus, obwohl der korrekte hexadezimale Wert FFFFFFFF lautet. Der Fehler entsteht bei der internen Berechnung, bei der es einen arithmetischen Überlauf gibt, der nicht explizit abgefangen wird. ===Durch Rundung=== Manchmal ist es schwierig zu erkennen, dass das Ergebnis einer Operation nicht dem exakten Ergebnis entspricht, das mathematisch zu erwarten wäre, weil es Rundungsfehler gibt. Gleitkommazahlen können nicht mit beliebig hoher Präzision gespeichert werden, und daher können sich dadurch solche Rundungsfehler auch mit einer völlig unerwarteten Wirkung ergeben. Hier ein Beispiel in der Programmiersprache Java für ein System mit einer Speichertiefe von 64 Bit: <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; java.lang.System.out.println (a - b); </syntaxhighlight> Die Ausgabe lautet nicht "1.1" wie zu erwarten wäre, sondern: :1.1000000000000005 Noch schwieriger ist es, wenn das Kommutativ-, das Distributiv- oder das Assoziativgesetz nicht zu gelten scheinen, wie in diesem Beispiel, bei dem die Variable "b" einmal zur Variable "a" und einmal zur Variable "c" assoziiert ist: <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; double c = 1.1; java.lang.System.out.println ((a - b) - c); java.lang.System.out.println (a - (b + c)); </syntaxhighlight> Mathematisch kommt in beiden Fällen exakt der Wert null heraus, die Ausgabe lautet jedoch: :4.440892098500626E-16 :0.0 Die Wirkung von derartigen Nebeneffekten sind nur sehr schwierig zu beherrschen, und daher sollte beim Vergleichen von Gleitkommawerten die Präzision respektive die Maschinengenauigkeit der gespeicherten Werte berücksichtigt werden. Manche Programmiersprachen stellen hierfür einen Wert für die kleineste relative Genauigkeit von Gleitkommazahlen <math>\epsilon</math> (epsilon) zur Verfügung. Das folgende Beispiel für den Datentyp double mit 64 Bit Speichertiefe nach dem Standard IEEE 754 in der Programmiersprache Java mit einem Wert für <math>\epsilon = 10^{-15}</math> nach der Formel: :<math>\Bigg| {\frac {differenzBerechnet - differenzErwartet} {differenzErwartet}} \Bigg| < \epsilon</math> <syntaxhighlight lang="Java"> double a = 4.4; double b = 3.3; double differenzBerechnet = a - b; double differenzErwartet = 1.1; boolean gleichheit1 = (differenzBerechnet == differenzErwartet); java.lang.System.out.println (gleichheit1); double epsilon = 1.0E-15; boolean gleichheit2 = java.lang.Math.abs ((differenzBerechnet - differenzErwartet) / differenzErwartet) < epsilon; java.lang.System.out.println (gleichheit2); </syntaxhighlight> Die Ausgabe lautet hier: :false :true ===Durch Reihenfolge=== In einigen Programmiersprachen ist die Reihenfolge der Abarbeitung von kombinierten Ausdrücken nicht explizit definiert und führt daher zu einem solchen Nebeneffekt. Die Anweisungen h ← f (x) + g (x) oder h ← g (x) + f (x) können je nach Compiler zu unterschiedlichen Ergebnissen für die Summe h führen. Die Methodenaufrufe f oder g können nämlich unter Umständen die als Parameter verwendete (lokale) Variable x verändern und somit gegebenenfalls verschiedene Werte für h erzeugen, je nachdem, ob zuerst f&nbsp;(x) oder g&nbsp;(x) ausgewertet wird. In solchen Programmiersprachen sind sogenannte Durchgangsparameter in kombinierten Ausdrücken zu vermeiden. Ferner ist es denkbar, dass durch den ersten Funktionsaufruf globale Variablen oder Instanzen verändert und beim zweiten Funktionsaufruf verwendet werden. Die erwünschte Reihenfolge von Funktionsaufrufen kann leicht durch entsprechende Code-Sequenzen mit sequentiellen Anweisungen erzwungen werden: result_f ← f (x) result_g ← g (x) h ← result_f + result_g Dieses Vorgehen erzeugt darüberhinaus den günstigen Umstand, dass die Zwischenergebnisse in lokalen Variablen gespeichert und somit abgefragt werden können. Diese sind nach einem Programmabbruch dann auch mit einem Post-Mortem-Debugger analysierbar. ===Durch Kombination von Operatoren=== Manche Programmiersprachen -&nbsp;insbesondere in der C-Sprachfamilie&nbsp;- erlauben die Kombination von Zuweisungsoperatoren und arithmetischen Operatoren. Zuweisungsoperator: = Arithmetische Operatoren: + - * / Kombinierte Operatoren: += -= *= /= Die kombinierten Operatoren sollen für die scheinbar äquivalenten Formulierungen mit getrenntem Zuweisungsoperator und arithmetischem Operator stehen: a += 1; steht für a = a + 1; a -= 1; steht für a = a - 1; a *= 1; steht für a = a * 1; a /= 1; steht für a = a / 1; Diese Schreibweisen sollen wohl vor allem ein wenig Schreibarbeit bei der Programmierung ersparen, können aber zu schwer zu identifizierenden Programmierfehlern führen, wie das folgende Java-Beispiel verdeutlichen soll: <syntaxhighlight lang="Java"> long a = 1; double b = 1.5; a *= b; java.lang.System.out.println (a); a += b; java.lang.System.out.println (a); a -= b; java.lang.System.out.println (a); </syntaxhighlight> Dieser Code erzeugt die Ausgabe: 1 2 0 Die nur scheinbar äquivalenten Formulierungen für die kombinierten Operatoren <syntaxhighlight lang="Java"> a = a * b; a = a + b; a = a - b; </syntaxhighlight> werden in Java wegen der mangelnden Zuweisungskompatibilität der arithmetischen Ausdrücke hinter dem Zuweisungsoperator vom Datentyp "double" zum Datentyp "long" der Variable "a" gar nicht übersetzt. Die tatsächlichen äquivalenten Formulierungen für die kombinierten Operatoren lauten nämlich wie folgt: <syntaxhighlight lang="Java"> a = (long) (a * b); a = (long) (a + b); a = (long) (a - b); </syntaxhighlight> Durch die impliziten Datentypumwandlungen erklären sich auch die falschen numerischen und gegebenenfalls nicht erwarteten ganzzahligen Ergebnisse. Wenn bei der Programmierung diese Tatsachen nicht bewusst sind oder übersehen werden, ergeben sich numerische Fehler in den arithmetischen Berechnungen. Dies kann einfach vermieden werden, indem kombinierte Operatoren zugunsten der expliziten sowie transparenten Formulierungen mit separaten Operatoren nicht verwendet werden. === Durch Sprachdefinition === Als Beispiel dient hier die scheinbar falsche Ausgabe eines Java-Programms, weil die Definition der Programmiersprache der Intuition widerspricht: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long i = 01234567; java.lang.System.out.println (i); </syntaxhighlight> Dieser Code erzeugt die Ausgabe: 342391 Das Literal "01234567" wird trotz der ausschließlichen Verwendung von gültigen dezimalen Ziffern nicht als die Dezimalzahl 1234567<sub>10</sub> interpretiert und ausgegeben, sondern entsprechend der Definition der Programmiersprache Java wegen der einleitenden Null als Oktalzahl zur Basis Acht, also als 1234567<sub>8</sub> = 342391<sub>10</sub>. === Durch Überladen === Eine Überladung liegt vor, wenn eine Operator oder ein Bezeichner mehrfach in verschiedenen Bedeutungen auftritt, die leicht zu Verwechslungen führen können. Streng strukturierte Programmiersprachen erlauben das polymorphe Überladen nicht, wenn es dadurch zu Programmierfehlern kommen kann. Das '''Überladen''' muss in der objektorientierten Programmierung vom '''Überschreiben''' unterschieden werden, wobei auch überschriebene Methoden in weniger strukturierten Programmiersprachen überladen werden dürfen, was ebenfalls zu unübersichtlichem Programmcode und schnell zu übersehenden Programmierfehlern führen kann. Siehe hierzu unten unter [[Strukturierte Programmierung#Überladung|Überladung]]. ==== Überladung von Divisionsoperatoren ==== Die Divisionsoperatoren sind in vielen Programmiersprachen leider überladen, wenn nämlich formal keine Unterscheidung zwischen Division mit ganzen Zahlen (Datentyp zum Beispiel "long" oder "int") und Gleitkommazahlen (Datentyp zum Beispiel "real" oder "double") gemacht wird. In diesen Fällen muss der Divisionsoperator sehr aufmerksam verwendet werden: int i ← 2; int j ← 1; real k ← j / i; /* Ueberladener Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden */ Verwendet die Programmiersprache im arithmetischen Ausdruck die ganzzahlige Division, hat dies zur Folge, dass die Variable k den Wert '''0''' erhält. Verwendet die Programmiersprache stattdessen die reelwertige Division, bekommt die Variable k den Wert 0,5 zugewiesen. Einige Programmiersprachen unterscheiden daher sinnvollerweise explizit zwischen einem Operator für die ganzzahlige Division ("div" oder "DIV") und einem Operator für die Gleitkommadivision ("/"). <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) i, j : integer; k : real; i := 2; j := 1; k := j / i; (* Gleitkommazahliger Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden *) </syntaxhighlight> In der letzten Anweisung wird der Variablen "k" der Zahlenwert der reellwertigen Division '''0,5''' zugewiesen. <syntaxhighlight lang="pascal"> (* Programmiersprache Pascal *) i, j, k : integer; i := 2; j := 1; k := j div i; (* Ganzzahliger Divisionsoperator mit zwei ganzzahligen Operanden *) </syntaxhighlight> In der letzten Anweisung wird der Variablen "k" der Zahlenwert der ganzzahligen Division '''0''' zugewiesen. Bei Programmiersprachen, die die Unterscheidung der Divisionsoperatoren nicht unterstützen, ist die Verwendung der expliziten und zuweisungskompatiblen Datentypumwandlung (englisch: ''type cast'') nicht nur sinnvoll, sondern sogar zwingend erforderlich: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ long i = 2; long j = 1; double k = ((double) j) / ((double) i) /* Ueberladener Divisionsoperator mit zwei gleitkommazahligen Operanden */ </syntaxhighlight> In der Regel ist es für eine Gleitkommadivision hierbei ausreichend, wenn nur einer der beiden Operanden, also nur der Nenner (Dividend) oder der nur Zähler (Divisor) der Division, eine Gleitkommazahl darstellt. Entsprechende Überlegungen gelten auch für alle '''Modulo-Operatoren''' (wie zum Beispiel "%", "mod" oder "MOD"). ==== Überladung von Variablen ==== Oft ist es in einer Programmiersprache erlaubt, dieselben Bezeichner für Variablen mit verschiedenen Sichtbarkeitsbereichen zu verwenden. Dies kann sehr einfach zur Verwechslung dieser Variablen führen, wie im folgenden Java-Beispiel verdeutlicht wird, wo es sowohl eine globale Klassenvariable (Sichtbarkeit in der Klasse "OverloadedVariables") als auch eine lokale Variable (Sichtbarkeit in der Methode "main") mit dem Namen "bezeichner" gibt:<syntaxhighlight lang="java"> public class OverloadedVariables { // globale Klassenvariable "bezeichner" private static long bezeichner = 1; // Hauptprogramm (Methode "main") public static void main (java.lang.String [] argumente) { // lokale Variable "bezeichner" long bezeichner = 2; // Ausgabe der globalen Klassenvariable "bezeichner" java.lang.System.out.println ("Wert der globalen Variable = " + OverloadedVariables.bezeichner); // Ausgabe der lokalen Variable aus der Methode "main" java.lang.System.out.println ("Wert der lokalen Variable = " + bezeichner); } } </syntaxhighlight>Falls die Klassenvariable referenziert werden soll, muss sie in Java qualifiziert bezeichnet werden, indem der Name der Klasse vorangestellt wird. ==== Überladung von Methoden ==== Viele Programmiersprachen erlauben die Deklaration von mehreren Methoden mit gleichem Bezeichner, die sich in der Anzahl oder den Datentypen ihrer Parameter unterscheiden. Das folgende Java-Beispiel mit zwei Methoden demselben Namens, von denen die mit der passenden Datentyp des Parameters "zahl" aufgerufen wird, verdeutlicht dies:<syntaxhighlight lang="java"> private static long kehrwert (long zahl) { long kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } private static double kehrwert (double zahl) { double kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } public static void main (java.lang.String [] argumente) { double kehrwert1 = kehrwert (2); double kehrwert2 = kehrwert (2.0); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 1 = " + kehrwert1); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 2 = " + kehrwert2); } </syntaxhighlight>Die Ausgabe ergibt zwei verschiedene Ergebnisse für den Kehrwert der Zahl Zwei:<syntaxhighlight> Kehrwert 1 = 0.0 Kehrwert 2 = 0.5 </syntaxhighlight>Durch die kategorische Verwendung verschiedener Bezeichner für verschiedene Methoden kann die Verwechslungsgefahr leicht und ohne Probleme verhindert werden, und die Erzeugung der beiden verschiedenen Ergebnisse wird transparent:<syntaxhighlight lang="java">private static long kehrwertLong (long zahl) { long kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } private static double kehrwertDouble (double zahl) { double kehrwert = 1 / zahl; return kehrwert; } public static void main (java.lang.String [] argumente) { double kehrwert1 = kehrwertLong (2); double kehrwert2 = kehrwertDouble (2.0); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 1 = " + kehrwert1); java.lang.System.out.println ("Kehrwert 2 = " + kehrwert2); }</syntaxhighlight> ===Durch falsche Spezifikation=== In Programmiersprachen, die dynamische Variablen ausschließlich als Zeiger behandeln (wie zum Beispiel C oder C++), kann trotz exakter Übereinstimmung der referenzierten Datentypen bei einer Zuweisung des Ergebnisses einer Funktion ein Zeiger auf den lokalen Stapelspeicher der Funktion zurückgegeben werden, der nur während der Ausführung der Funktion, aber nicht mehr nach dem Rücksprung aus der Funktion gültig ist. Während der weiteren Programmausführung kann der Speicherbereich jederzeit überschrieben werden, ohne dass der Programmierer dies wünscht oder absehen kann. Im folgenden Beispiel in der Programmiersprache C wird innerhalb der Funktion ''function'' der Wert 5 dem Datenfeld ''a'' der Variablen ''data'' zwar korrekt zugewiesen, kann aber nach dem Rücksprung aus der Funktion im Stapelspeicher jederzeit unbeabsichtigt verändert werden, wie zum Beispiel beim erneuten Aufruf einer Funktion oder anderen Operationen, die den Stapelspeicher verwenden: <syntaxhighlight lang="C"> /* Programmiersprache C */ struct DataType { int a }; // Definition des Datentyps ''DataType'' mit einem ganzzahligen Datenfeld ''a'' // Deklaration der Funktion ''function'' mit einem Zeiger auf eine Variable vom Datentyp ''DataType'' als Speicheradresse für den Rückgabewert DataType* function () { DataType data; // Deklaration der lokalen Variable ''data'' vom Datentyp ''DataType'' data.a = 5; // Zuweisung des Wertes ''5'' zum Datenfeld ''a'' der Variablen ''data'' return &data; // Rückgabe der lokalen, temporären Speicheradresse von ''data'', die nach der Beendigung des Funktionsaufrufs gar nicht mehr gültig ist. } </syntaxhighlight> Der Programmierer muss zur Abwendung dieses Übels darauf achten, dass Rückgabewerte durch Allokation einer entsprechenden Variablen in einem dauerhaft verfügbaren dynamischen Speicherbereich (also zum Beispiel im Heap-Speicher) auch nach dem Aufruf der Funktion noch gültig und korrekt aufrufbar sind. Bei der Verwendung von vollständig typsicheren Programmiersprachen ist die Rückgabe von lokal definierten Adressen nicht zulässig, und die Übersetzung des entsprechenden Codes wird vom Complier von vornherein verweigert, so dass es gar nicht zu einem solchen Nebeneffekt kommen kann. Alternativ kann der Datentyp ''DataType'' nicht direkt als Verbund, sondern als Zeiger auf einen entsprechenden Verbund deklariert werden. In diesem Fall muss in der Funktion zunächst eine Instanz erzeugt werden (beispielsweise mit dem Kommando ''new'' oder ''allocate''). Diese Instanz ist dann nicht mehr im lokalen Stapelspeicher (Stack) der Funktion gespeichert, sondern es kann im dynamischen Speicherbereich (Heap) global - also auch außerhalb der Funktion und nach Beendigung des Funktionsaufrufs - darauf zugegriffen werden. ===Durch Verwechslung von Speicherinhalt und Speicheradresse=== Die Werte von Variablen werden unter einer bestimmten Speicheradresse eines Computers gespeichert, wo vom Laufzeitsystem die für den entsprechenden Datentyp erforderliche Datenmenge der entsprechende Speicherplatz reserviert und bereitgehalten wird. Diese Speicheradresse wird in modernen Systemen in der Regel automatisch verwaltet, so dass sie im Allgemeinen gar nicht bekannt ist und auch gar nicht bekannt sein muss. Daraus ergeben sich unter Umständen jedoch wichtige Implikationen. In manchen Programmiersprachen, wie zum Beispiel Java, ist nämlich nicht unmittelbar erkennbar, ob bei bestimmten Operationen der Speicherinhalt oder die Speicheradresse einer Variablen verwendet wird. So werden bei bei logischen Vergleichen mit Operanden, die aus Variablen mit einfachen Datentypen bestehen (etwa boolean, long oder double), die unter der Speicheradresse gespeicherten '''Werte''' verglichen, also die Inhalte. Bei Variablen mit komplexen Datentypen (beispielsweise eine abzählbare Liste von Daten eines Datentyps (array), ein Verbund (record / struct), der sich aus verschiedenen Datentypen zusammensetzen kann, oder allgemein in der objektorientierten Programmierung die Instanz eines Objekts) werden jedoch gar nicht unbedingt die gespeicherten Inhalte, sondern lediglich die Speicheradressen der beiden Operanden verglichen. Hier wird also beim Gleichheitsoperator nur geprüft, ob es sich um dasselbe Speicherobjekt (dieselbe Instanz) handelt, und nicht, ob zwei verschiedene Speicherobjekte den gleichen Inhalt haben. Bei strenger Strukturierung wird (hoffentlich schon vor der Ausführung bereits im Quelltext) zusätzlich geprüft, ob die zu vergleichenden komplexen Datentypen überhaupt zuweisungskompatibel und somit sinnvoll vergleichbar sind. Unter welchen Umständen welche Speicheradressen für gleiche Speicherinhalte verwendet werden, ist insbesondere für unerfahrene Programmierer keineswegs immer naheliegend oder leicht nachzuvollziehen. Dies wird im Folgenden anhand des logischen Vergleichs auf Gleichheit von Zeichenketten (Java-Klasse java.lang.String) in der Programmiersprache Java verdeutlicht. Die Wirkungsweise des Gleichheitsoperators == wird der Wirkungsweise des Funktionsaufrufs der Methode '''java.lang.String.equals''' gegenübergestellt, die einen booleschen Rückgabewert hat. <syntaxhighlight lang="Java"> boolean vergleich; // Die symbolische Konstante für die Zeichenkette "abc" wird in einer Variablen mit dem Bezeichner text verwaltet // Die Zeichenkette "abc" wird von Java unter der Speicheradresse #MEM1 abgelegt // Die Variable text und die symbolische konstante Zeichenkette "abc" haben dieselbe Speicheradresse #MEM1 java.lang.String text = "abc"; // Vergleich der Speicheradresse #MEM1 mit der Speicheradresse #MEM1 vergleich = ("abc" == "abc"); java.lang.System.out.println ("1. Vergleich \"abc\" == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich der Speicheradresse #MEM1 mit der Speicheradresse #MEM1 !!! vergleich = (text == "abc"); java.lang.System.out.println ("2. Vergleich text == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich des Inhalts bei der Speicheradresse #MEM1 mit dem Inhalt bei der Speicheradresse #MEM1 vergleich = text.equals ("abc"); java.lang.System.out.println ("3. Vergleich text.equals (\"abc\"): " + vergleich); // Neue Instanz fuer die bereits oben deklarierte Zeichenkette text // Die neue Instanz wird mit dem new-Operator unter der Speicheradresse #MEM2 erzeugt // Der Speicherinhalt wird mit dem Konstruktor java.lang.String und dem Wert "abc" initialisiert // Die Variable text bekommt durch die Zuweisung die Speicheradresse #MEM2 text = new java.lang.String ("abc"); // Vergleich der Speicheradresse #MEM2 mit der Speicheradresse #MEM1 !!! vergleich = (text == "abc"); java.lang.System.out.println ("4. Vergleich text == \"abc\": " + vergleich); // Vergleich des Inhalts bei der Speicheradresse #MEM2 mit dem Inhalt bei der Speicheradresse #MEM1 vergleich = text.equals ("abc"); java.lang.System.out.println ("5. Vergleich text.equals (\"abc\"): " + vergleich); </syntaxhighlight> Die Textausgabe dieses Programms sieht wie folgt aus: <syntaxhighlight lang="text"> 1. Vergleich "abc" == "abc": true 2. Vergleich text == "abc": true 3. Vergleich text.equals ("abc"): true 4. Vergleich text == "abc": false 5. Vergleich text.equals ("abc"): true </syntaxhighlight> Symbolisch konstante Zeichenketten, wie zum Beispiel der Ausdruck "abc", werden unter einer verdeckten Speicheradresse abgelegt und von Java für gleichlautende Ausdrücke automatisch wiederverwendet. Wird jedoch mit dem new-Operator eine Instanz eines Objekts erzeugt, so bekommt diese unabhängig davon, welcher Inhalt dort gespeichert wird, stets eine andere neue Speicheradresse zugeordnet. Für den Vergleich des Inhalts von Zeichenketten auf Gleichheit ist in Java also immer die generische typengebundene Methode "equals'' zu verwenden. Diese typengebundene Methode "equals" gibt es auch in vielen anderen Java-Klassen, um den Inhalt der entsprechenden Objektinstanzen auf Gleichheit vergleichen zu können. ==Strukturierte objektorientierte Programmierung== ===Vermeidung von Codewiederholung durch Vererbung=== Die Vermeidung von Codewiederholung durch Vererbung kann beispielsweise an den beiden graphischen Objekten '''Kreis''' und '''Dreieck''' deutlich gemacht werden. Diese beiden Objekte können unabhängig voneinander als Datentyp modelliert werden, wobei ihre gemeinsamen Eigenschaften '''Farbe''' und '''Strichstärke''', sowie die jeweilige Methode zum '''Zeichnen''' beide Male unabhängig behandelt werden (dies kann eindeutig durch '''Hat'''-Beziehungen ausgedrückt werden: ein Kreis oder ein Dreieck '''hat''' eine Farbe, eine Strickstärke sowie eine Methode zum Zeichnen), was eine Codewiederholung darstellt. Der '''Kreis''' hat zusätzlich das Attribut '''Radius''', und das '''Dreieck''' hat zusätzlich die drei Attribute '''SeiteA''', '''SeiteB''' und '''SeiteC''': Kreis hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen, Radius Dreieck hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen, SeiteA, SeiteB, SeiteC Mithilfe von Vererbung kann die Codewiederholung vermieden werden, indem die Attribute '''Farbe''' und '''Strichstärke''', sowie die Methode zum '''Zeichnen''' nur einmal mithilfe des abstrakten Objekts '''GraphischesObjekt''' deklariert werden. Die konkreten Objekte '''Kreis''' und '''Dreieck''' erben alle gemeinsamen Eigenschaften und Methoden (respektive typengebundenen Prozeduren) von '''GraphischesObjekt''' (dies kann eindeutig durch '''Ist'''-Beziehungen ausgedrückt werden: ein Kreis '''ist''' ein GraphischesObjekt, und ein Dreieck '''ist''' ein GraphischesObjekt) und werden nur durch die jeweils fehlenden Attribute ergänzt: GraphischesObjekt hat: Farbe, Strichstärke, Methode zum Zeichnen Kreis ist GraphischesObjekt, hat zusätzlich: Radius Dreieck ist GraphischesObjekt, hat zusätzlich: SeiteA, SeiteB, SeiteC ===Überladung=== Das '''Überladen''' von Methoden, Konstruktoren oder Variablen ist auch bei objektorientierter Programmierung überflüssig, erschwert die Nachvollziehbarkeit vom Quellcode und birgt die Gefahr von Programmierfehlern, die unter Umständen erst lange nach der Entwicklung der Software bei deren Wartung entstehen. Das folgende Beispiel verdeutlicht einen leicht zu übersehenden Programmierfehler durch die Veränderung bei den überladenen Funktionen während der Programmentwicklung oder Programmwartung: double quotient (double a, double b) { return a / b; /* Gleitkommazahlige Division */ } long i ← 1; long j ← 2; double q ← quotient (i, j); /* q ist 0,5 da die gleitkommazahlige Definition der Funktion 'quotient' verwendet wird */ Wird die Funktion 'quotient' später mit einer ganzzahligen Variante überladen, ergibt sich beim bestehenden Aufruf der Funktion unbeabsichtigt ein anderes Ergebnis für die Variable 'q': double quotient (long a, long b) { return a DIV b; /* Ganzzahlige Division */ } double quotient (double a, double b) { return a / b; /* Gleitkommazahlige Division */ } long i ← 1; long j ← 2; double q ← quotient (i, j); /* q ist 0 da die ganzzahlige Definition der Funktion 'quotient' verwendet wird */ Noch unübersichtlicher wird die Lage, wenn zusätzlich auch noch Überladungen mit gemischten Datentypen für die Funktionsparameter definiert werden: double quotient (long a, long b) double quotient (double a, long b) double quotient (long a, double b) double quotient (double a, double b) Deswegen werden Methoden oder Attribute besser nicht überladen, auch nicht, wenn die Programmiersprache dies zulässt. Auch jede Klasse bekommt daher maximal einen einzigen '''Konstruktor''', der alle erforderlichen Parameter zur Initialisierung der Instanzvariablen enthält. Als günstige Nebeneffekte stellen sich kürzere Übersetzungszeiten ein. Wenn die ursprünglichen Deklarationen in der Basisklasse oder einer der von ihr erbenden Klassen überladen werden, indem zum Beispiel weitere gleichnamige Methoden mit abweichenden Parametern definiert werden, dann kann es zu verändertem Verhalten von Software kommen. Ohne dass die Anwendung selbst geändert wurde, kann es allein durch die Aktualisierung einer verwendeten Klasse zu völlig anderen Rechenergebnissen kommen, weil automatisch eine andere, neu überladene Methode aufgerufen wird, ohne dass dies im Quelltext des Anwendungsprogramms sichtbar wird. Die Folge können schwerwiegende Programmierfehler sein, die schwierig zu analysieren sind. Als ein Beispiel diene hier die Methode java.lang.Math.ulp zur Bestimmung der "'''u'''nits in the '''l'''ast '''p'''lace" ("Einheiten in der letzten Stelle"), die in der Klasse java.lang.Math aus historischen Gründen mit zwei Parametern deklariert und somit überladen ist: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Math; { public static double ulp​ (double d) public static float ulp​ (float f) } </syntaxhighlight> Der folgende Java-Code <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ double zahl; zahl = java.lang.Math.ulp (1L); // Datentyp long java.lang.System.out.println (zahl); zahl = java.lang.Math.ulp (1F); // Datentyp float java.lang.System.out.println (zahl); zahl = java.lang.Math.ulp (1D); // Datentyp double java.lang.System.out.println (zahl); </syntaxhighlight> erzeugt folgende Ausgabe, da die ganze Zahl Eins mit dem Datentyp long (64 Bit) in der Programmiersprache Java implizit offensichtlich nicht in den Datentyp double (64 Bit), sondern in den Datentyp float (32 Bit) umgewandelt wird, und somit die mit dem Parameter des Datentyps float deklarierte Methode aufgerufen wird: <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ 1.1920928955078125E-7 1.1920928955078125E-7 2.220446049250313E-16 </syntaxhighlight> Falls bei einer neueren Version der Klasse java.lang.Math die Methode ulp mit einem Parameter des Datentyps long überladen würde, wäre das Ergebnis mit dem ganzzahligen Parameter des Werts "1L" (long) nicht mehr vorhersagbar, obwohl der oben angegebene Methodenaufruf sich formal gar nicht geändert hätte. <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ public class Math; { public static double ulp ​(double d) public static float ulp​ (float f) public static double ulp ​(long l) } </syntaxhighlight> Das Ergebnis des Aufrufs <syntaxhighlight lang="Java"> /* Programmiersprache Java */ double zahl = java.lang.Math.ulp (1L); java.lang.System.out.println (zahl); </syntaxhighlight> würde dann allein von der tatsächlichen Implementierung der neuen überladenen Methode mit dem Parameter des Datentyps long abhängen, die mit den alten beiden ulp-Methoden nichts mehr zu tun hat, außer, dass sie den gleichen Namen hat. ===Überschreibung=== Das '''Überschreiben''' von geerbten Methoden oder Konstruktoren ist etwas völlig anderes als das Überladen und kann sehr sinnvoll sein. Beim Überschreiben muss die Signatur der Methode (oder des Konstruktors) unter strikter Beachtung der Zuweisungskompatibilität, der Anzahl und der Reihenfolge aller Parameter sowie der Rückgabewerte berücksichtigt werden. Wenn die Programmiersprache dies nicht automatisch unterstützt, sind wenigstens entsprechend aufwendige Maßnahmen im Quelltext sicherzustellen, wie zum Beispiel explizite Typenprüfungen oder hinreichend ausführliche Hinweise in Kommentaren. Wenn Methoden oder Konstruktoren einer Basisklasse von der überschreibenden Klasse aufgerufen werden (englisch ''super call'') kann es zum ''Fragile Base Class Problem'' (zu Deutsch ''Problem der anfälligen Basisklasse'') kommen, da bei der Implementierung der Basisklasse die möglichen Auswirkungen in den später implementierten, überschreibenden Klassen nicht berücksichtigt werden konnten. Zur Abwendung dieser Gefahr sind ein besonders sorgfältiger und strukturierter Programmierstil sowie eine lückenlose Dokumentation des Quelltextes sehr hilfreich. Das fehlerfreie und robuste Überschreiben von Klassen beziehungsweise die Vererbung von implementierten Klassen erfordern eine hohe Fähigkeit zum abstrakten Denken und eine umfangreiche Programmiererfahrung. ===Mehrfachvererbung=== Durch [[w:Mehrfachvererbung|Mehrfachvererbung]], also das Erben von Methoden und Instanzvariablen aus mehreren Basisklassen, führt zu komplexen, und schwierig zu durchschauenden Abhängigkeiten, die im Rahmen des [[w:Diamond-Problem|Diamond-Problems]] sogar zu unerwünschten Mehrdeutigkeiten führen kann. Die Vererbung aus zwei Basisklassen kann bei Bedarf ohne weiteres durch die Verwendung von [[w:Zwillingsklasse|Zwillingsklassen]] vermieden werden, was den Programmieraufwand ein wenig erhöht, aber dafür solche Mehrdeutigkeiten verhindert und außerdem die Übersetzungszeiten der Quelltexte reduziert. In der Programmiersprache Java ist es zum Beispiel möglich, mehrere Basisklassen zu erben. Dabei ist zwar nur eine konkrete Vererbung aus einer Basisklasse (in Java: class) zulässig, aber zusätzlich dürfen noch beliebig viele weitere Basisklassen (in Java: interface) abstrakt geerbt werden. Dabei werden alle Attribute und Methoden aller Basisklassen auf die erbende Klasse übertragen. Auch die konkret vererbte Basisklasse kann wiederum selber mehrere abstrakte Basisklassen implementieren. Falls es in mehreren Basisklassen gleichlautende öffentliche Bezeichner gibt, kommt es unweigerlich zu Konflikten. Es ist in der Implementierung insbesondere bei fehlenden entsprechenden Kommentaren nicht ohne Weiteres erkennbar, zu welchen Basisklassen die zu überschreibenden Instanzvariablen oder Methoden gehören. <syntaxhighlight lang="Java"> /** * Die Klasse Mehrfachvererbung erbt Attribute und Methoden aus drei Basisklassen: * Sie ist eine Instanz der Klasse (class = konkrete Klasse) javax.swing.JFrame. * Sie implementiert die Schnittstelle (interface = abstrakte Klasse) java.awt.event.KeyListener. * Sie implementiert die Schnittstelle (interface = abstrakte Klasse) java.awt.event.ActionListener. */ public class Mehrfachvererbung extends javax.swing.JFrame implements java.awt.event.KeyListener, java.awt.event.ActionListener { /** * Konstante serialVersionUID aus der Basisklasse java.io.Serialization fuer die Serialisation, * die in der Klasse javax.swing.JFrame implementiert ist */ private final static long serialVersionUID = 1L; /** * Instanzvariable fuer den zuletzt von einer Instanz der Klasse javax.swing.JFrame gesendeten Tastaturcode */ private int keyCode; /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Speichert den Tastaturcode der zuletzt betaetigten Taste fuer eine Instanz * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyPressed (java.awt.event.KeyEvent event) { this.keyCode = event.getKeyCode (); } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Ungenutzt * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyReleased(java.awt.event.KeyEvent event) { } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der geerbten Klasse java.awt.event.KeyListener * Ungenutzt * @param event: aufgetretenes Tastaturereignis aus der Klasse java.awt.event.KeyEvent */ @Override public void keyTyped (java.awt.event.KeyEvent event) { } /** * Zu ueberschreibende Methode aus der vererbten Klasse java.awt.event.ActionListener * Der Inhalt einer Instanz der Klasse javax.swing.JFrame wird erneut dargestellt, * wenn die Eingabetaste (Enter) betaetigt wurde. * @param event: aufgetretenes Aktionsereignis aus der Klasse java.awt.event.ActionEvent */ @Override public void actionPerformed (java.awt.event.ActionEvent event) { if (this.keyCode == java.awt.event.KeyEvent.VK_ENTER) { this.repaint (); } } } </syntaxhighlight> ==Nachwort== Ein sehr häufig auftretender „Programmierfehler“ - wiederum insbesondere bei Anfängern - ist das Unterlassen der Herstellung von Sicherungskopien der Quelltexte. Noch besser ist eventuell sogar eine Versionierung der Quelldateien, damit gegebenenfalls auf beliebige ältere Versionen zurückgegriffen werden kann. Die Auswirkungen dieses Fehlers sind hinreichend naheliegend, so dass hier nicht weiter darauf eingegangen werden muss. Sollte der Leser nach der Lektüre dieser Beiträge zu dem verständlichen und naheliegenden Schluss gekommen sein, dass die Programmiersprachen C oder C++ ziemlich schlecht strukturiert sind, möge er sich auch einmal andere Programmiersprachen näher ansehen, wie zum Beispiel C#, Component Pascal oder auch Java. Mit der Beherzigung der Vorschläge aus diesem Buch möge es dem Leser in seinem Programmier-Team in jeder Programmiersprache gelingen, in kürzerer Entwicklungszeit besser strukturierte und funktionierende Programme zu schreiben. ===Vergleich=== In der folgenden Tabelle werde einige imperative, objektorientierte Programmiersprachen hinsichtlich ihrer Strukturiertheit verglichen: {| class="wikitable" |- class="hintergrundfarbe6" !Veröffentlichungsdatum!!1985!!1994!!1995!!2001 |- !Programmiersprache!!C++!!Component<br/>Pascal!!Java!!C# |- | style="text-align:left"| Vollständig strukturierte Syntax || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Datentypsicherheit bei Basistypen || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Datentypsicherheit bei komplexen Datentypen || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Modulsicherheit || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |- | style="text-align:left"| Keine zyklischen Importe || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Keine mehrfache Schnittstellenvererbung || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | nein |- | style="text-align:left"| Keine mehrfache Implementationsvererbung || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja || style="text-align:center" | nein || style="text-align:center" | ja |} ==Literatur== * Niklaus Wirth: ** ''Programming in Modula 2'', Springer, 3. Auflage, 1985, ISBN 3-540-15078-1 ** Mit Martin Reiser: ''Programming in Oberon – Steps beyond Pascal and Modula'', Addison-Wesley,1992, ISBN 0-201-56543-9 ** ''Algorithmen und Datenstrukturen mit Modula - 2'', Teubner Leitfäden der Informatik, 5. Auflage, Teubner, Stuttgart, 1996, ISBN 9783519122609 * Herbert Schildt: ''Professionelles Modula-2'', McGraw-Hill, Hamburg, 1988, ISBN 3-89028-113-3 * Lászlo Böszörmény, Jürg Gutknecht, Gustav Pomberger: ''The School of Niklaus Wirth – The Art of Simplicity'', dpunkt, Heidelberg, 2000, ISBN 3-932588-85-1 * Hanspeter Mössenböck: ** ''Objektorientierte Programmierung in Oberon-2'', Springer, 1998, ISBN 9783540646495 ** ''Sprechen Sie Java?: Eine Einführung in das systematische Programmieren'', dpunkt, Heidelberg, 2005, ISBN 9783898643627 ** ''Kompaktkurs C# 4.0'', dpunkt, Heidelberg, 2009, ISBN 9783898646451 ==Weblinks== *{{w|Niklaus Wirth}}: **Interessantes Interview: [http://www.simple-talk.com/opinion/geek-of-the-week/niklaus-wirth-geek-of-the-week/ Geek of the Week] vom 2. Juli 2009 **Ein noch interessanteres Interview (2009): [http://www.youtube.com/watch?v=wrGytM2YTQY An Interview with Niklaus Emil Wirth, Part 3] *{{w|Frederick P. Brooks}}: [[w:en:The_Mythical_Man-Month|The Mythical Man-Month]] *{{w|Benutzer:Bautsch|Markus Bautsch}}: [[:en:User:Bautsch/Capsula|Draft of the graphical programming language '''Capsula''']] (Wikibooks) == Einzelnachweise == <references></references> ==Zusammenfassung des Projekts== {{Vorlage:StatusBuch|10}} * '''Zielgruppe:''' Programmierer, Software-Entwickler, Informatik-Lehrende * '''Lernziele:''' Vermeidung von Fehlern, die leicht und unbemerkt zur unstrukturierten Programmierung führen können. Schnelle und sichere Erstellung leicht zu wartender Software. * '''Buchpatenschaft/Ansprechperson:''' [[Benutzer:Bautsch]] * '''Sind Co-Autoren gegenwärtig erwünscht?''' Ja, sehr gerne. Korrekturen von offensichtlichen Fehlern direkt im Text; Inhaltliches bitte per Diskussion. * '''Richtlinien für Co-Autoren:''' Wikimedia-like. [[Kategorie:Buch]] [[Kategorie:Studium]] titeofdc3oay9i3714quu35m2jfz4jl Benutzer:Ademant 2 113014 1093238 1068250 2026-11-03T09:11:34Z Ademant 78026 1093238 wikitext text/x-wiki {{Babel|de|en-3|el-1|la-1|nl-1}} Ademant wurde am 1978 in Baden-Würtemberg geboren und studierte Physik in Marburg. Momentan in Euskirchen angestellt. ==Kurzlinks == * [[MQTT-Broker_einrichten]] * [[SSH-Server_einrichten_und_betreiben]] * [[Heimrouter-Kochbuch]] == VHS-Kurs == [[Benutzer:Ademant/VHSKursA342]] === Fest-Noz statt Disco === # Tag 1 ## Hanter Dro ## Rond de Loudeac ## An Dro # Tag 2 ## Rond de Landeda ## Rond de St. Vincent # Tag 3 ## An Dro Retourne ## Suite Plinn # Tag 4 ## Hanter Dro Klamm ## Suite Gavotte de Montagne # Tag 5 ## Suite Loudeac # Tag 6 ## Suite Fisel # Tag 7 # Kost ar c'hoat # Tag 8 ## Widerholung === Mittelalterliche Tänze neu belebt === # Tag 1 ## Pilé-Menu ## Hanter Dro ## An Dro # Tag 2 ## An Dro ## An Dro Retourne ## Tour ## Kas ar barh # Tag 3 ## Suite Gavotte de Montagne ## Gilgodenn # Tag 4 ## Gavotte du Bas-Leon ## Gavotte de Lannilis # Tag 5 ## Rond de Landeda ## Rond de St. Vincent # Tag 6 # Tag 7 # Tag 8 f4n4m0ozaz00gc6ybdn2n94uu27zrwr 1093239 1093238 2026-11-03T09:12:34Z Ademant 78026 /* VHS-Kurs */ 1093239 wikitext text/x-wiki {{Babel|de|en-3|el-1|la-1|nl-1}} Ademant wurde am 1978 in Baden-Würtemberg geboren und studierte Physik in Marburg. Momentan in Euskirchen angestellt. ==Kurzlinks == * [[MQTT-Broker_einrichten]] * [[SSH-Server_einrichten_und_betreiben]] * [[Heimrouter-Kochbuch]] == VHS-Kurs == [[Benutzer:Ademant/VHSKursA342]] [[Benutzer:Ademant/VHSKursA242]] === Fest-Noz statt Disco === # Tag 1 ## Hanter Dro ## Rond de Loudeac ## An Dro # Tag 2 ## Rond de Landeda ## Rond de St. Vincent # Tag 3 ## An Dro Retourne ## Suite Plinn # Tag 4 ## Hanter Dro Klamm ## Suite Gavotte de Montagne # Tag 5 ## Suite Loudeac # Tag 6 ## Suite Fisel # Tag 7 # Kost ar c'hoat # Tag 8 ## Widerholung === Mittelalterliche Tänze neu belebt === # Tag 1 ## Pilé-Menu ## Hanter Dro ## An Dro # Tag 2 ## An Dro ## An Dro Retourne ## Tour ## Kas ar barh # Tag 3 ## Suite Gavotte de Montagne ## Gilgodenn # Tag 4 ## Gavotte du Bas-Leon ## Gavotte de Lannilis # Tag 5 ## Rond de Landeda ## Rond de St. Vincent # Tag 6 # Tag 7 # Tag 8 e2am83rm8v8pwkbqj3xjlcih6t4b8i8 Wikibooks:GUS2Wiki 4 116489 1093233 1092436 2026-11-02T16:01:25Z Alexis Jazz 96587 Updating gadget usage statistics from [[Special:GadgetUsage]] ([[phab:T121049]]) 1093233 wikitext text/x-wiki {{#ifexist:Project:GUS2Wiki/top|{{/top}}|This page provides a historical record of [[Special:GadgetUsage]] through its page history. To get the data in CSV format, see wikitext. To customize this message or add categories, create [[/top]].}} Diese Daten stammen aus dem Cache. Der Zeitpunkt der letzten Aktualisierung: 2026-11-01, 06:25:09Z Uhr. Maximal {{PLURAL:5000|ein Ergebnis ist|5000 Ergebnisse sind}} im Cache verfügbar. {| class="sortable wikitable" ! 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Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist. ,Existenz‘, an sich, ist, — nach ARISTOTELES<ref>,Existenz’ ist ,Prinzip’, d.h. ist der Ausgangspunkt eines Beweises. Es zeigt von Unbildung und Unwissenheit, Prinzipien ‚beweisen’ zu wollen — sagt ARISTOTELES in <span style="color:#00B000">‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metphysik</big></span>''‘, IV 4, 1006a 5-8</span>. Ein ‚Prinzip’ ist <span style="color:#FF6600">»''im Hinblick auf sich selbst''«</span>, z. B. durch einen Hinweis, oder <span style="color:#FF6600">»''durch sich selbst''«</span> einsehbar/intellegibel.</ref> — ,unbeweisbar‘. Sie ist, als frei wählbare Prämisse, immer nur der fixe und nicht hinterfragbare Ausgangspunkt einer möglichen logischen Beweisführung. Auf die Existenz kann man nur ,hinweisen‘.)</span> Für ANSELM selbst, wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Beweisen, bzw. darauf ,hinweisen‘, kann man, z. B. auf die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso ,bewiesen‘ werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen ,Beweis‘ für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ANSELM ,beweist‘ jedoch, dass es sinnvoll ist, an GOTT zu glauben. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, der <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existiert“</span>, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden in der materiellen Welt, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich wechselseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Koinzidenz-Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Wesens-Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit dem dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und dem Koinzidenz-Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit der Wesens-Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>.)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen sind jedoch nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Transzendentalia‘, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>, belegt werden. Sie werden sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Dieses Identitäts-Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen, ,identisch‘ sind. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, genauer ''':''' d.i die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Identitärs-Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ Die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Die GOTT-Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Idenditäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Idenditäts-Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit dem Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit dem Axiom-1 von der Widerspruchsfreiheit und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> dem Identitäts-Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Basis-Theorem von der Gleichheit von Wesen und Sein, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ 2. Beweisgang für das Basis-Theorem-2. Somit ist das Idenditäts-Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit seinem Korollar-3, das André FUHRMANN im Kalkül zusätzlich abgeleitet hat ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt, im Anhang ''':''' ,Widerlegung‘. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie A. FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 13</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte, indem er die ,Unabhängigkeit‘ seines GOTT-Axioms ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> und der GOTT-Definition für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, den GOTT der Christen, von der<span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> verlangt. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>, m.a.W. <span style="color:#FF6000">»''das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''hat die Wesenseigenschaft, GOTT zu sein''«</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem GOTT der Christen, bzw. mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Identitäts-Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach dem Identitäts-Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird ,systematisch‘ mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ <span style="color:#FF6000">„Prämisse :01:“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit der GOTT-Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit dem GOTT-Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in der GOTT-Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> <span style="color:#00B000">(GOTTES)</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia in GOTT gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in der Existenz-Definition-3 als auch im Identitäts-Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ,ontologischen Identität‘, d.i. die ,Koinzidenz‘ von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne das Identitäts-Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''die Wesenseigenschaft'', <span style="color:#4C58FF">—<sub>ess</sub>—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''dieses GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit dem FUHRMANN-Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; synonym mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, reine ,Aktualität‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span>, GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von dem Notwendigkeits-Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span> syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als dann auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was im FUHRMANN-Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span>, mit der syntaktischen Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der ,Einheit‘ beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Das Basis-Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Äquivalenz, die zweiseitig gelesen werden kann, die zugleich aber auch eine logische Definition zur <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Bestimmung für GOTT darstellt ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span></div> Damit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(mit einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Basis-Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das als Basis-Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung, die ,Basis‘ jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurde, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass GOTT in dem GOTT-Axiom-3 und in der GOTT-Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v. Ch. durch die Truppen des Babyloniers NEBUKADNEZZAR II. Der Perser KYROS II hat, laut Bibel von GOTT gerufen, zur Vergeltung, das Reich der Babylonier 539 v. Ch. erobert, und den Tempel in Jerusalem tatkräftig wiederherstellen lassen.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Sein und Wesen in GOTT, ist die, für uns <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, die koinzident ist mit der <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> an sich ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Koinzidenz von göttlicher Präsenz und göttlicher Vollkommenheit ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub> —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,heilstheologisch‘</span> Folgendes ''':''' Die, für uns ,notwendige‘ Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES ,Wesen‘ ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ seine Gegenwärtigkeit ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird zu unserem <span style="color:#4C58FF">,Heil‘</span>, d.h. der uns, und die Welt, von der Korruption der Sünde und der Verfallenheit in einen ewigen Tod <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird, d.h. GOTT führt uns zur ,Vollkommenheit‘, weil er ,vollkommen‘ ist, jedoch nicht ohne unserer ausdrücklichen Zustimmung. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, die Vereinigung des ,Vollkommenen‘ mit dem ,Unvollkommenen‘, ist der Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> mit ihren <span style="color:#4C58FF">„Sakramenten“</span>. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, für sich, im Glauben ,annehmen‘ zu können, um ,vollkommen‘ und ,heilig‘ zu werden, wie GOTT, durch GOTT. Das <span style="color:#FF6000">„Sein wie GOTT“</span> ist für uns jetzt ,zum Greifen nah‘.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt, durch Beispiele belegbar)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal notwendige‘, bzw. ,transzendentale‘ Voraussetzung, und damit die ,Verfikation‘ der Widerspruchsfreiheit, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Existenz-Definition-3 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und im Identitäts-Axiom-5 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Dieser Sachverhalt verweist auf eine Art ,Äquivalenz‘ der drei Terme ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ↔ E'''<sub>not</sub>'''x ↔ PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>; das <span style="color:#4C58FF">‚'''E'''‘</span> wird im Kalkül nur GOTT <span style="color:#4C58FF">‚'''Gx'''‘</span> zugeordnet; vgl. auch 3. Beweisgang, Anmerkung-4, erster Absatz.)</span> Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche <u>nichts mehr</u> als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese'', <span style="color:#00B000">[ die ,Möglichen‘ ]</span>, ''den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene'', <span style="color:#00B000">[ die ,Wirklichen‘ ]</span>, ''aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>in re</big></span>“</span>, Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit vergänglichen Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘, unvergängliche GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„definitiv möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen, allgemeinen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft, als </span><span style="color:#FF6000">»</span>''bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA, — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury, — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E<sub>not</sub>) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''dann existiert dieser GOTT'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL, — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Hier hat KANT sich ,methodologisch‘ geirrt. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit rational sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span>, der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘ und alle Zuschreibungen)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit dem FUHRMANN-Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit dem FUHRMANN-Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz-Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Notwendigkeits-Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Wesens-Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(FUHRMANN-Korollar-3)</span>. Das Notwendigkeits-Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für das FUHRMANN-Korollar. Wenn im FUHRMANN-Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder — zugleich — für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch zugleich für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder zugleich für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und ,zugleich‘ auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch ,zugleich‘ auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E<sub>not</sub>) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>. In der Existenz-Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>ess</sub>‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000"> (speziell mit den Definitionen, ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. Die erste Prämisse, <span style="color:#00B000"> (lateinisch ‚<span style="font-family: Times;"><big>praemissa</big></span>‘,<span style="color:#FF6600"> „das Vorausgeschickte“</span>)</span>, in den ersten drei Beweisgängen, ist eine kategorische Existenz-Aussage. Die erste Prämisse im Beweisgang ,Widerlegung‘ ist die Negation einer hypothetischen Existenz-Aussage. Prämissen sind, als solche, immer frei wählbare ,Annahmen‘. Existenz-Aussagen sind der ,modal‘ frei gewählte, und nicht mehr hinterfragbare, fixe Ausgangspunkt einer ,möglichen‘, logischen Beweisführung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> als ,Transzendentalia‘ evaluiert wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit der GOTT-Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Koinzidenz-Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Koinzidenz-Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit, allgemein, in allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für ihre ,positiven Eigenschaften‘, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, ,bestimmt‘ oder ,unbestimmt‘, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Möglichkeits-Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit dem GOTT-Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18, <span style="color:#00B000">(gleichlautend mit Term :10:)</span>, steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird, mit Korollar-2, diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch die GOTT-Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide, mit ,und‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∧'''‘ —</span>, verbundene, Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, das Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, als auch die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den ,GOTT‘ der Christen. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,realen‘ GOTT der Christen, weil es für diesen GOTT ohne Widerspruch denkbar, bzw. ,möglich‘ ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, dem Badis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg in den GÖDEL-Notizen, über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch die GOTT-Definition-1 und das GOTT-Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Basis-Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl das Identitäts-Axiom-5 als auch die Existenz-Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zum Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört, wenn hier das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht; genauer ''':''' Die <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ist in GOTT die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Notwendigkeits-Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Notwendigkeits-Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im modalen Notwendigkeits-Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span>, unter der unumgänglichen Bedingung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ zutrifft, die weder positiv noch negativ sind, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Alle Modal-Logiken, die sich auf diese Regel stützen, sind nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn sie sich auf Aussagen über <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> beziehen. Andernfalls sind sie <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang aus dem Notwendigkeits-Axiom-4 und mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der GOTT-Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Wesens-Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Notwendigkeits-Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Das Notwendigkeits-Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das FUHRMANN-Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2. Das Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. auch in GOTT ,eins‘ sind. Das Koinzidenz-Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Die Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Wesens-Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zur Wesens-Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Diese paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Möglichkeits-Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Basis-Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach A. FUHRMANN)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit zuerst noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' <span style="color:#00B000">(Diese Ergebnis-Zusammenfassung ist eine Vorwegnahme und die Bestätigung für meine Interpretation des Glaubens-Theorem ANSELMS, hier im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt, ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei''«</span>.)</span> Das Möglichkeits-Korollar-1 ist ,regulär‘ nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit dem Möglichkeits-Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(gegenseitig)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das GOTT-Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Das Koinzidenz-Axiom-2 ,besagt‘ allgemein, dass alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Das Koinzidenz-Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch das GOTT-Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> im Koinzidenz-Axiom-2 steht allgemein für alles Seiende. Dieses Axiom wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Eigenschafts-Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :15: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit dem Möglichkeits-Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Das Koinzidenz-Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Existenz der Transzendentalien ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, ist ein Faktum unserer Welt, das mit Beispielen belegbar ist ''':''' Transzendentalien gibt es, als ,empirisch‘-sprachliche Grundlage des ontologischen ,Beweises‘, genau so, wie es auch Sterne gibt. Darauf beruht die Stringenz der <span style="color:#4C58FF">»''axiomatischen Theologie''«</span> GÖDELS. Damit ist es ihm endgültig gelungen, eine eminent geisteswissenschaftliche Frage, die Jahrhunderte hindurch, lang kontrovers war, einer Lösung zuzuführen, die nun unwiderruflich gültig ist, und es auch bleiben wird ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ist wahr, und bildet die Realität unserer Welt, wie sie tatsächlich ist, widerspruchsfrei ab; der ,Nicht-GOTT-Glaube‘ ist falsch, und täuscht sich vollkommen in seiner Welt-Wahrnehmung, die nachweisbar widersprüchlich, und damit unsinnig ist. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,ultimativen Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend dem Koinzidenz-Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den beiden Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, <span style="color:#00B000">(mit GÖDEL ''':''' aus dem Widerspruch des Gegenteils)</span>, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von dem Koinzidenz-Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die ,Koinzidenz‘ auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Im Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer mitgedacht werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchsfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen. Eine ,Theologie‘, die solches sagt, und die, auch als vertrauenswürdige ,Wissenschaft von GOTT‘, akzeptiert wird, hat Interpretations-Vorrang, jedesmal, wenn es um die ,Rede von GOTT‘ geht. Das war für KANT jedoch ,methodologisch‘ weder denkbar, noch nachvollziehbar.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Beide meinten <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, ANSELM wolle mit seinem Theorem <span style="color:#00B000">(einem Narren)</span> die ,Existenz‘ GOTTES ,beweisen‘. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es rationaler ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Mit logischen ,Beweisen‘ wird es niemals möglich sein, einen GOTT-Glauben ,erzeugen‘ oder ,lukrieren‘ zu können, was jeder Mensch ohnehin weiss, und immer schon gewusst hat. <span style="color:#00B000">(Jeder Priester und jeder Bischof weiss das ''':''' Glaube ist ein Geschenk, das man erhält, wenn man darum bittet.)</span> Für den Erzbischof ANSELM ging es vielmehr um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. ob <u>der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. ANSELM wollte mit seinem Theorem erreichen, der zitierte Narr sollte bloß einsehen, dass es sinnvoll und vernünftig sein kann, an GOTT zu glauben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den ausstehenden Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. für die gesuchte ,Sinnhaftigkeit‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt, — nach GÖDEL —, universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ d.h. auch ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ]</span>«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen dem Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und rational unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei <span style="color:#FF6000">»''heute noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>. Das ist auch der Ausgangspunkt der GÖDEL-Argumentation zum Endergebnis ''':''' dem ANSELM-Theorem-3, in seinen Notizen)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Damit ist syntaktisch bewiesen, die Aussage über die ,notwendige‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span> ,Existenz GOTTES‘, als 1. Hauptergebnis, ist eine notwendige Konsequenz aus der ,methodologischen‘ Glaubensaussage im Term :01:. Im Theorem ANSELMS steht dieses 1. Hauptergebnis nun, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil, auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse, als seine notwendige Bedingung, an erster Stelle vor sich, die seinen Inhalt bestätigt, d.h. seine ,Notwendigkeit‘, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der hier nur die Widerspruchsfreiheit des Konsequenz-Teiles bestätigt, <span style="color:#00B000">(d.h. seine Glaubens-Annahme ''':''' die ,notwendige Existenz GOTTES‘, ist widerspruchsfrei '''!''' )</span>, und der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist syntaktisch nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Koinzidenz-Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das Antezedens im Argument ANSELMS, das Möglichkeits-Korollar-1, kann jedoch nie die persönliche Entscheidung zum Glauben, z. B. an den GOTT der Christen, im Menschen ersetzen. Das Argument ANSELMS besagt also ''':''' der Glaube eines gläubigen Menschen ist logisch widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird; auch von A. FUHRMANN, wie auch von G. J. WIRSCHING)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum des GOTT-Glaubens, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, <span style="color:#00B000">(was mit dem 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang noch einmal bestätigt wird)</span>. Die ,Notwendigkeit‘ GOTTES ist immer schon eine ,vorgängig‘ entschiedene Glaubensaussage. Das GÖDEL-Kalkül beweist, <span style="color:#00B000">(mit dem Antezedens im 2. Hauptergebnis)</span>, dass diese Grundüberzeugung eines GOTT-Gläubigen widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, mit allen seinen unbegrenzten ,Möglichkeiten’. ---- ---- ;Fußnoten <references /> 978ukurug2qjg4ra3jkxxphv3s6gwpr 1093243 1093237 2026-11-03T09:27:06Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ ::im:: hinzugefügt 1093243 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist. ,Existenz‘, an sich, ist, — nach ARISTOTELES<ref>,Existenz’ ist ,Prinzip’, d.h. ist der Ausgangspunkt eines Beweises. Es zeigt von Unbildung und Unwissenheit, Prinzipien ‚beweisen’ zu wollen — sagt ARISTOTELES in <span style="color:#00B000">‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metphysik</big></span>''‘, IV 4, 1006a 5-8</span>. Ein ‚Prinzip’ ist <span style="color:#FF6600">»''im Hinblick auf sich selbst''«</span>, z. B. durch einen Hinweis, oder <span style="color:#FF6600">»''durch sich selbst''«</span> einsehbar/intellegibel.</ref> — ,unbeweisbar‘. Sie ist, als frei wählbare Prämisse, immer nur der fixe und nicht hinterfragbare Ausgangspunkt einer möglichen logischen Beweisführung. Auf die Existenz kann man nur ,hinweisen‘.)</span> Für ANSELM selbst, wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Beweisen, bzw. darauf ,hinweisen‘, kann man, z. B. auf die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso ,bewiesen‘ werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen ,Beweis‘ für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ANSELM ,beweist‘ jedoch, dass es sinnvoll ist, an GOTT zu glauben. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, der <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existiert“</span>, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden in der materiellen Welt, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich wechselseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Koinzidenz-Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Wesens-Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit dem dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und dem Koinzidenz-Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit der Wesens-Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>.)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen sind jedoch nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Transzendentalia‘, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>, belegt werden. Sie werden sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Dieses Identitäts-Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen, ,identisch‘ sind. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, genauer ''':''' d.i die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Identitärs-Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ Die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Die GOTT-Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Idenditäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Idenditäts-Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit dem Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit dem Axiom-1 von der Widerspruchsfreiheit und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> dem Identitäts-Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Basis-Theorem von der Gleichheit von Wesen und Sein, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ 2. Beweisgang für das Basis-Theorem-2. Somit ist das Idenditäts-Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit seinem Korollar-3, das André FUHRMANN im Kalkül zusätzlich abgeleitet hat ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt, im Anhang ''':''' ,Widerlegung‘. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie A. FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 13</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte, indem er die ,Unabhängigkeit‘ seines GOTT-Axioms ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> und der GOTT-Definition für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, den GOTT der Christen, von der<span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> verlangt. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>, m.a.W. <span style="color:#FF6000">»''das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''hat die Wesenseigenschaft, GOTT zu sein''«</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem GOTT der Christen, bzw. mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Identitäts-Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach dem Identitäts-Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird ,systematisch‘ mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ <span style="color:#FF6000">„Prämisse :01:“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit der GOTT-Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit dem GOTT-Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in der GOTT-Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> <span style="color:#00B000">(GOTTES)</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia in GOTT gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in der Existenz-Definition-3 als auch im Identitäts-Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ,ontologischen Identität‘, d.i. die ,Koinzidenz‘ von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne das Identitäts-Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''die Wesenseigenschaft'', <span style="color:#4C58FF">—<sub>ess</sub>—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''dieses GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit dem FUHRMANN-Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; synonym mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, reine ,Aktualität‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span> —, im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von dem Notwendigkeits-Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span> syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als dann auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was im FUHRMANN-Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span>, mit der syntaktischen Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der ,Einheit‘ beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Das Basis-Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Äquivalenz, die zweiseitig gelesen werden kann, die zugleich aber auch eine logische Definition zur <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Bestimmung für GOTT darstellt ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span></div> Damit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(mit einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Basis-Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das als Basis-Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung, die ,Basis‘ jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurde, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass GOTT in dem GOTT-Axiom-3 und in der GOTT-Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v. Ch. durch die Truppen des Babyloniers NEBUKADNEZZAR II. Der Perser KYROS II hat, laut Bibel von GOTT gerufen, zur Vergeltung, das Reich der Babylonier 539 v. Ch. erobert, und den Tempel in Jerusalem tatkräftig wiederherstellen lassen.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Sein und Wesen in GOTT, ist die, für uns <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, die koinzident ist mit der <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> an sich ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Koinzidenz von göttlicher Präsenz und göttlicher Vollkommenheit ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub> —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,heilstheologisch‘</span> Folgendes ''':''' Die, für uns ,notwendige‘ Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES ,Wesen‘ ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ seine Gegenwärtigkeit ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird zu unserem <span style="color:#4C58FF">,Heil‘</span>, d.h. der uns, und die Welt, von der Korruption der Sünde und der Verfallenheit in einen ewigen Tod <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird, d.h. GOTT führt uns zur ,Vollkommenheit‘, weil er ,vollkommen‘ ist, jedoch nicht ohne unserer ausdrücklichen Zustimmung. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, die Vereinigung des ,Vollkommenen‘ mit dem ,Unvollkommenen‘, ist der Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> mit ihren <span style="color:#4C58FF">„Sakramenten“</span>. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, für sich, im Glauben ,annehmen‘ zu können, um ,vollkommen‘ und ,heilig‘ zu werden, wie GOTT, durch GOTT. Das <span style="color:#FF6000">„Sein wie GOTT“</span> ist für uns jetzt ,zum Greifen nah‘.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt, durch Beispiele belegbar)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal notwendige‘, bzw. ,transzendentale‘ Voraussetzung, und damit die ,Verfikation‘ der Widerspruchsfreiheit, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Existenz-Definition-3 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und im Identitäts-Axiom-5 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Dieser Sachverhalt verweist auf eine Art ,Äquivalenz‘ der drei Terme ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ↔ E'''<sub>not</sub>'''x ↔ PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>; das <span style="color:#4C58FF">‚'''E'''‘</span> wird im Kalkül nur GOTT <span style="color:#4C58FF">‚'''Gx'''‘</span> zugeordnet; vgl. auch 3. Beweisgang, Anmerkung-4, erster Absatz.)</span> Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche <u>nichts mehr</u> als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese'', <span style="color:#00B000">[ die ,Möglichen‘ ]</span>, ''den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene'', <span style="color:#00B000">[ die ,Wirklichen‘ ]</span>, ''aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>in re</big></span>“</span>, Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit vergänglichen Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘, unvergängliche GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„definitiv möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen, allgemeinen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft, als </span><span style="color:#FF6000">»</span>''bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA, — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury, — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E<sub>not</sub>) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''dann existiert dieser GOTT'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL, — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Hier hat KANT sich ,methodologisch‘ geirrt. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit rational sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span>, der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘ und alle Zuschreibungen)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit dem FUHRMANN-Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit dem FUHRMANN-Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz-Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Notwendigkeits-Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Wesens-Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(FUHRMANN-Korollar-3)</span>. Das Notwendigkeits-Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für das FUHRMANN-Korollar. Wenn im FUHRMANN-Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder — zugleich — für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch zugleich für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder zugleich für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und ,zugleich‘ auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch ,zugleich‘ auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E<sub>not</sub>) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>. In der Existenz-Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>ess</sub>‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000"> (speziell mit den Definitionen, ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. Die erste Prämisse, <span style="color:#00B000"> (lateinisch ‚<span style="font-family: Times;"><big>praemissa</big></span>‘,<span style="color:#FF6600"> „das Vorausgeschickte“</span>)</span>, in den ersten drei Beweisgängen, ist eine kategorische Existenz-Aussage. Die erste Prämisse im Beweisgang ,Widerlegung‘ ist die Negation einer hypothetischen Existenz-Aussage. Prämissen sind, als solche, immer frei wählbare ,Annahmen‘. Existenz-Aussagen sind der ,modal‘ frei gewählte, und nicht mehr hinterfragbare, fixe Ausgangspunkt einer ,möglichen‘, logischen Beweisführung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> als ,Transzendentalia‘ evaluiert wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit der GOTT-Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Koinzidenz-Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Koinzidenz-Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit, allgemein, in allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für ihre ,positiven Eigenschaften‘, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, ,bestimmt‘ oder ,unbestimmt‘, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Möglichkeits-Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit dem GOTT-Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18, <span style="color:#00B000">(gleichlautend mit Term :10:)</span>, steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird, mit Korollar-2, diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch die GOTT-Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide, mit ,und‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∧'''‘ —</span>, verbundene, Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, das Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, als auch die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den ,GOTT‘ der Christen. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,realen‘ GOTT der Christen, weil es für diesen GOTT ohne Widerspruch denkbar, bzw. ,möglich‘ ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, dem Badis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg in den GÖDEL-Notizen, über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch die GOTT-Definition-1 und das GOTT-Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Basis-Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl das Identitäts-Axiom-5 als auch die Existenz-Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zum Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört, wenn hier das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht; genauer ''':''' Die <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ist in GOTT die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Notwendigkeits-Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Notwendigkeits-Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im modalen Notwendigkeits-Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span>, unter der unumgänglichen Bedingung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ zutrifft, die weder positiv noch negativ sind, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Alle Modal-Logiken, die sich auf diese Regel stützen, sind nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn sie sich auf Aussagen über <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> beziehen. Andernfalls sind sie <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang aus dem Notwendigkeits-Axiom-4 und mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der GOTT-Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Wesens-Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Notwendigkeits-Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Das Notwendigkeits-Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das FUHRMANN-Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2. Das Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. auch in GOTT ,eins‘ sind. Das Koinzidenz-Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Die Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Wesens-Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zur Wesens-Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Diese paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Möglichkeits-Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Basis-Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach A. FUHRMANN)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit zuerst noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' <span style="color:#00B000">(Diese Ergebnis-Zusammenfassung ist eine Vorwegnahme und die Bestätigung für meine Interpretation des Glaubens-Theorem ANSELMS, hier im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt, ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei''«</span>.)</span> Das Möglichkeits-Korollar-1 ist ,regulär‘ nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit dem Möglichkeits-Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(gegenseitig)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das GOTT-Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Das Koinzidenz-Axiom-2 ,besagt‘ allgemein, dass alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Das Koinzidenz-Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch das GOTT-Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> im Koinzidenz-Axiom-2 steht allgemein für alles Seiende. Dieses Axiom wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Eigenschafts-Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :15: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit dem Möglichkeits-Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Das Koinzidenz-Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Existenz der Transzendentalien ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, ist ein Faktum unserer Welt, das mit Beispielen belegbar ist ''':''' Transzendentalien gibt es, als ,empirisch‘-sprachliche Grundlage des ontologischen ,Beweises‘, genau so, wie es auch Sterne gibt. Darauf beruht die Stringenz der <span style="color:#4C58FF">»''axiomatischen Theologie''«</span> GÖDELS. Damit ist es ihm endgültig gelungen, eine eminent geisteswissenschaftliche Frage, die Jahrhunderte hindurch, lang kontrovers war, einer Lösung zuzuführen, die nun unwiderruflich gültig ist, und es auch bleiben wird ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ist wahr, und bildet die Realität unserer Welt, wie sie tatsächlich ist, widerspruchsfrei ab; der ,Nicht-GOTT-Glaube‘ ist falsch, und täuscht sich vollkommen in seiner Welt-Wahrnehmung, die nachweisbar widersprüchlich, und damit unsinnig ist. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,ultimativen Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend dem Koinzidenz-Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den beiden Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, <span style="color:#00B000">(mit GÖDEL ''':''' aus dem Widerspruch des Gegenteils)</span>, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von dem Koinzidenz-Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die ,Koinzidenz‘ auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Im Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer mitgedacht werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchsfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen. Eine ,Theologie‘, die solches sagt, und die, auch als vertrauenswürdige ,Wissenschaft von GOTT‘, akzeptiert wird, hat Interpretations-Vorrang, jedesmal, wenn es um die ,Rede von GOTT‘ geht. Das war für KANT jedoch ,methodologisch‘ weder denkbar, noch nachvollziehbar.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Beide meinten <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, ANSELM wolle mit seinem Theorem <span style="color:#00B000">(einem Narren)</span> die ,Existenz‘ GOTTES ,beweisen‘. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es rationaler ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Mit logischen ,Beweisen‘ wird es niemals möglich sein, einen GOTT-Glauben ,erzeugen‘ oder ,lukrieren‘ zu können, was jeder Mensch ohnehin weiss, und immer schon gewusst hat. <span style="color:#00B000">(Jeder Priester und jeder Bischof weiss das ''':''' Glaube ist ein Geschenk, das man erhält, wenn man darum bittet.)</span> Für den Erzbischof ANSELM ging es vielmehr um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. ob <u>der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. ANSELM wollte mit seinem Theorem erreichen, der zitierte Narr sollte bloß einsehen, dass es sinnvoll und vernünftig sein kann, an GOTT zu glauben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den ausstehenden Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. für die gesuchte ,Sinnhaftigkeit‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt, — nach GÖDEL —, universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ d.h. auch ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ]</span>«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen dem Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und rational unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei <span style="color:#FF6000">»''heute noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>. Das ist auch der Ausgangspunkt der GÖDEL-Argumentation zum Endergebnis ''':''' dem ANSELM-Theorem-3, in seinen Notizen)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Damit ist syntaktisch bewiesen, die Aussage über die ,notwendige‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span> ,Existenz GOTTES‘, als 1. Hauptergebnis, ist eine notwendige Konsequenz aus der ,methodologischen‘ Glaubensaussage im Term :01:. Im Theorem ANSELMS steht dieses 1. Hauptergebnis nun, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil, auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse, als seine notwendige Bedingung, an erster Stelle vor sich, die seinen Inhalt bestätigt, d.h. seine ,Notwendigkeit‘, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der hier nur die Widerspruchsfreiheit des Konsequenz-Teiles bestätigt, <span style="color:#00B000">(d.h. seine Glaubens-Annahme ''':''' die ,notwendige Existenz GOTTES‘, ist widerspruchsfrei '''!''' )</span>, und der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist syntaktisch nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Koinzidenz-Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das Antezedens im Argument ANSELMS, das Möglichkeits-Korollar-1, kann jedoch nie die persönliche Entscheidung zum Glauben, z. B. an den GOTT der Christen, im Menschen ersetzen. Das Argument ANSELMS besagt also ''':''' der Glaube eines gläubigen Menschen ist logisch widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird; auch von A. FUHRMANN, wie auch von G. J. WIRSCHING)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum des GOTT-Glaubens, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, <span style="color:#00B000">(was mit dem 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang noch einmal bestätigt wird)</span>. Die ,Notwendigkeit‘ GOTTES ist immer schon eine ,vorgängig‘ entschiedene Glaubensaussage. Das GÖDEL-Kalkül beweist, <span style="color:#00B000">(mit dem Antezedens im 2. Hauptergebnis)</span>, dass diese Grundüberzeugung eines GOTT-Gläubigen widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, mit allen seinen unbegrenzten ,Möglichkeiten’. ---- ---- ;Fußnoten <references /> kukvintg7n4p6xe2lfr75nk8trgxzpx 1093244 1093243 2026-11-03T09:43:37Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ ::Eigenschaften:: hinzugefügt 1093244 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist. ,Existenz‘, an sich, ist, — nach ARISTOTELES<ref>,Existenz’ ist ,Prinzip’, d.h. ist der Ausgangspunkt eines Beweises. Es zeigt von Unbildung und Unwissenheit, Prinzipien ‚beweisen’ zu wollen — sagt ARISTOTELES in <span style="color:#00B000">‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metphysik</big></span>''‘, IV 4, 1006a 5-8</span>. Ein ‚Prinzip’ ist <span style="color:#FF6600">»''im Hinblick auf sich selbst''«</span>, z. B. durch einen Hinweis, oder <span style="color:#FF6600">»''durch sich selbst''«</span> einsehbar/intellegibel.</ref> — ,unbeweisbar‘. Sie ist, als frei wählbare Prämisse, immer nur der fixe und nicht hinterfragbare Ausgangspunkt einer möglichen logischen Beweisführung. Auf die Existenz kann man nur ,hinweisen‘.)</span> Für ANSELM selbst, wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Beweisen, bzw. darauf ,hinweisen‘, kann man, z. B. auf die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso ,bewiesen‘ werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen ,Beweis‘ für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ANSELM ,beweist‘ jedoch, dass es sinnvoll ist, an GOTT zu glauben. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, der <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existiert“</span>, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden in der materiellen Welt, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich wechselseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Koinzidenz-Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Wesens-Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit dem dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und dem Koinzidenz-Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit der Wesens-Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>.)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen sind jedoch nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Transzendentalia‘, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>, belegt werden. Sie werden sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Dieses Identitäts-Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen, ,identisch‘ sind. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, genauer ''':''' d.i die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Identitärs-Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ Die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Die GOTT-Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Idenditäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Idenditäts-Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit dem Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit dem Axiom-1 von der Widerspruchsfreiheit und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> dem Identitäts-Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Basis-Theorem von der Gleichheit von Wesen und Sein, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ 2. Beweisgang für das Basis-Theorem-2. Somit ist das Idenditäts-Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit seinem Korollar-3, das André FUHRMANN im Kalkül zusätzlich abgeleitet hat ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt, im Anhang ''':''' ,Widerlegung‘. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie A. FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 13</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte, indem er die ,Unabhängigkeit‘ seines GOTT-Axioms ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> und der GOTT-Definition für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, den GOTT der Christen, von der<span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> verlangt. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>, m.a.W. <span style="color:#FF6000">»''das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''hat die Wesenseigenschaft, GOTT zu sein''«</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem GOTT der Christen, bzw. mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Identitäts-Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach dem Identitäts-Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird ,systematisch‘ mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ <span style="color:#FF6000">„Prämisse :01:“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit der GOTT-Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit dem GOTT-Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in der GOTT-Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> <span style="color:#00B000">(GOTTES)</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia in GOTT gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in der Existenz-Definition-3 als auch im Identitäts-Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ,ontologischen Identität‘, d.i. die ,Koinzidenz‘ von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne das Identitäts-Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''die Wesenseigenschaft'', <span style="color:#4C58FF">—<sub>ess</sub>—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''dieses GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit dem FUHRMANN-Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; synonym mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, reine ,Aktualität‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span> —, im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von dem Notwendigkeits-Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span> syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als dann auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was im FUHRMANN-Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span>, mit der syntaktischen Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der ,Einheit‘ beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Das Basis-Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Äquivalenz, die zweiseitig gelesen werden kann, die zugleich aber auch eine logische Definition zur <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Bestimmung für GOTT darstellt ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span></div> Damit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(mit einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Basis-Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das als Basis-Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung, die ,Basis‘ jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurde, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass GOTT in dem GOTT-Axiom-3 und in der GOTT-Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v. Ch. durch die Truppen des Babyloniers NEBUKADNEZZAR II. Der Perser KYROS II hat, laut Bibel von GOTT gerufen, zur Vergeltung, das Reich der Babylonier 539 v. Ch. erobert, und den Tempel in Jerusalem tatkräftig wiederherstellen lassen.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Sein und Wesen in GOTT, ist die, für uns <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, die koinzident ist mit der <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> an sich ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Koinzidenz von göttlicher Präsenz und göttlicher Vollkommenheit ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub> —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,heilstheologisch‘</span> Folgendes ''':''' Die, für uns ,notwendige‘ Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES ,Wesen‘ ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ seine Gegenwärtigkeit ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird zu unserem <span style="color:#4C58FF">,Heil‘</span>, d.h. der uns, und die Welt, von der Korruption der Sünde und der Verfallenheit in einen ewigen Tod <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird, d.h. GOTT führt uns zur ,Vollkommenheit‘, weil er ,vollkommen‘ ist, jedoch nicht ohne unserer ausdrücklichen Zustimmung. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, die Vereinigung des ,Vollkommenen‘ mit dem ,Unvollkommenen‘, ist der Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> mit ihren <span style="color:#4C58FF">„Sakramenten“</span>. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, für sich, im Glauben ,annehmen‘ zu können, um ,vollkommen‘ und ,heilig‘ zu werden, wie GOTT, durch GOTT. Das <span style="color:#FF6000">„Sein wie GOTT“</span> ist für uns jetzt ,zum Greifen nah‘.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt, durch Beispiele belegbar)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal notwendige‘, bzw. ,transzendentale‘ Voraussetzung, und damit die ,Verfikation‘ der Widerspruchsfreiheit, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Existenz-Definition-3 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und im Identitäts-Axiom-5 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Dieser Sachverhalt verweist auf eine Art ,Äquivalenz‘ der drei Terme ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ↔ E'''<sub>not</sub>'''x ↔ PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>; das <span style="color:#4C58FF">‚'''E'''‘</span> wird im Kalkül nur GOTT <span style="color:#4C58FF">‚'''Gx'''‘</span> zugeordnet; vgl. auch 3. Beweisgang, Anmerkung-4, erster Absatz.)</span> Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche <u>nichts mehr</u> als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese'', <span style="color:#00B000">[ die ,Möglichen‘ ]</span>, ''den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene'', <span style="color:#00B000">[ die ,Wirklichen‘ ]</span>, ''aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>in re</big></span>“</span>, Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit vergänglichen Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘, unvergängliche GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„definitiv möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen, allgemeinen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft, als </span><span style="color:#FF6000">»</span>''bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA, — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury, — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E<sub>not</sub>) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''dann existiert dieser GOTT'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL, — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Hier hat KANT sich ,methodologisch‘ geirrt. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit rational sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span>, der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘ und alle Zuschreibungen)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit dem FUHRMANN-Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit dem FUHRMANN-Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz-Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Notwendigkeits-Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Wesens-Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(FUHRMANN-Korollar-3)</span>. Das Notwendigkeits-Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für das FUHRMANN-Korollar. Wenn im FUHRMANN-Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder — zugleich — für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch zugleich für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder zugleich für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und ,zugleich‘ auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch ,zugleich‘ auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E<sub>not</sub>) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>. In der Existenz-Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>ess</sub>‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000"> (speziell mit den Definitionen, ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. Die erste Prämisse, <span style="color:#00B000"> (lateinisch ‚<span style="font-family: Times;"><big>praemissa</big></span>‘,<span style="color:#FF6600"> „das Vorausgeschickte“</span>)</span>, in den ersten drei Beweisgängen, ist eine kategorische Existenz-Aussage. Die erste Prämisse im Beweisgang ,Widerlegung‘ ist die Negation einer hypothetischen Existenz-Aussage. Prämissen sind, als solche, immer frei wählbare ,Annahmen‘. Existenz-Aussagen sind der ,modal‘ frei gewählte, und nicht mehr hinterfragbare, fixe Ausgangspunkt einer ,möglichen‘, logischen Beweisführung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> als ,Transzendentalia‘ evaluiert wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit der GOTT-Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Koinzidenz-Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Koinzidenz-Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit, allgemein, in allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für ihre ,positiven Eigenschaften‘, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, ,bestimmt‘ oder ,unbestimmt‘, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Möglichkeits-Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit dem GOTT-Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18, <span style="color:#00B000">(gleichlautend mit Term :10:)</span>, steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Eigenschaften Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! } \\ \text{32} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird, mit Korollar-2, diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch die GOTT-Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide, mit ,und‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∧'''‘ —</span>, verbundene, Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, das Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, als auch die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den ,GOTT‘ der Christen. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,realen‘ GOTT der Christen, weil es für diesen GOTT ohne Widerspruch denkbar, bzw. ,möglich‘ ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, dem Badis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg in den GÖDEL-Notizen, über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch die GOTT-Definition-1 und das GOTT-Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Basis-Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl das Identitäts-Axiom-5 als auch die Existenz-Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zum Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört, wenn hier das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht; genauer ''':''' Die <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ist in GOTT die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Notwendigkeits-Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Notwendigkeits-Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im modalen Notwendigkeits-Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span>, unter der unumgänglichen Bedingung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ zutrifft, die weder positiv noch negativ sind, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Alle Modal-Logiken, die sich auf diese Regel stützen, sind nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn sie sich auf Aussagen über <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> beziehen. Andernfalls sind sie <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang aus dem Notwendigkeits-Axiom-4 und mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der GOTT-Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Wesens-Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Notwendigkeits-Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Das Notwendigkeits-Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das FUHRMANN-Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2. Das Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. auch in GOTT ,eins‘ sind. Das Koinzidenz-Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Die Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Wesens-Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zur Wesens-Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Diese paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Möglichkeits-Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Basis-Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach A. FUHRMANN)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit zuerst noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' <span style="color:#00B000">(Diese Ergebnis-Zusammenfassung ist eine Vorwegnahme und die Bestätigung für meine Interpretation des Glaubens-Theorem ANSELMS, hier im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt, ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei''«</span>.)</span> Das Möglichkeits-Korollar-1 ist ,regulär‘ nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit dem Möglichkeits-Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(gegenseitig)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das GOTT-Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Das Koinzidenz-Axiom-2 ,besagt‘ allgemein, dass alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Das Koinzidenz-Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch das GOTT-Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> im Koinzidenz-Axiom-2 steht allgemein für alles Seiende. Dieses Axiom wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Eigenschafts-Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :15: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit dem Möglichkeits-Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Das Koinzidenz-Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Existenz der Transzendentalien ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, ist ein Faktum unserer Welt, das mit Beispielen belegbar ist ''':''' Transzendentalien gibt es, als ,empirisch‘-sprachliche Grundlage des ontologischen ,Beweises‘, genau so, wie es auch Sterne gibt. Darauf beruht die Stringenz der <span style="color:#4C58FF">»''axiomatischen Theologie''«</span> GÖDELS. Damit ist es ihm endgültig gelungen, eine eminent geisteswissenschaftliche Frage, die Jahrhunderte hindurch, lang kontrovers war, einer Lösung zuzuführen, die nun unwiderruflich gültig ist, und es auch bleiben wird ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ist wahr, und bildet die Realität unserer Welt, wie sie tatsächlich ist, widerspruchsfrei ab; der ,Nicht-GOTT-Glaube‘ ist falsch, und täuscht sich vollkommen in seiner Welt-Wahrnehmung, die nachweisbar widersprüchlich, und damit unsinnig ist. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,ultimativen Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend dem Koinzidenz-Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den beiden Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, <span style="color:#00B000">(mit GÖDEL ''':''' aus dem Widerspruch des Gegenteils)</span>, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von dem Koinzidenz-Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die ,Koinzidenz‘ auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Im Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer mitgedacht werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchsfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen. Eine ,Theologie‘, die solches sagt, und die, auch als vertrauenswürdige ,Wissenschaft von GOTT‘, akzeptiert wird, hat Interpretations-Vorrang, jedesmal, wenn es um die ,Rede von GOTT‘ geht. Das war für KANT jedoch ,methodologisch‘ weder denkbar, noch nachvollziehbar.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Beide meinten <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, ANSELM wolle mit seinem Theorem <span style="color:#00B000">(einem Narren)</span> die ,Existenz‘ GOTTES ,beweisen‘. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es rationaler ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Mit logischen ,Beweisen‘ wird es niemals möglich sein, einen GOTT-Glauben ,erzeugen‘ oder ,lukrieren‘ zu können, was jeder Mensch ohnehin weiss, und immer schon gewusst hat. <span style="color:#00B000">(Jeder Priester und jeder Bischof weiss das ''':''' Glaube ist ein Geschenk, das man erhält, wenn man darum bittet.)</span> Für den Erzbischof ANSELM ging es vielmehr um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. ob <u>der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. ANSELM wollte mit seinem Theorem erreichen, der zitierte Narr sollte bloß einsehen, dass es sinnvoll und vernünftig sein kann, an GOTT zu glauben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den ausstehenden Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. für die gesuchte ,Sinnhaftigkeit‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt, — nach GÖDEL —, universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ d.h. auch ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ]</span>«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen dem Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und rational unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei <span style="color:#FF6000">»''heute noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>. Das ist auch der Ausgangspunkt der GÖDEL-Argumentation zum Endergebnis ''':''' dem ANSELM-Theorem-3, in seinen Notizen)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Damit ist syntaktisch bewiesen, die Aussage über die ,notwendige‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span> ,Existenz GOTTES‘, als 1. Hauptergebnis, ist eine notwendige Konsequenz aus der ,methodologischen‘ Glaubensaussage im Term :01:. Im Theorem ANSELMS steht dieses 1. Hauptergebnis nun, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil, auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse, als seine notwendige Bedingung, an erster Stelle vor sich, die seinen Inhalt bestätigt, d.h. seine ,Notwendigkeit‘, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der hier nur die Widerspruchsfreiheit des Konsequenz-Teiles bestätigt, <span style="color:#00B000">(d.h. seine Glaubens-Annahme ''':''' die ,notwendige Existenz GOTTES‘, ist widerspruchsfrei '''!''' )</span>, und der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist syntaktisch nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Koinzidenz-Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das Antezedens im Argument ANSELMS, das Möglichkeits-Korollar-1, kann jedoch nie die persönliche Entscheidung zum Glauben, z. B. an den GOTT der Christen, im Menschen ersetzen. Das Argument ANSELMS besagt also ''':''' der Glaube eines gläubigen Menschen ist logisch widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird; auch von A. FUHRMANN, wie auch von G. J. WIRSCHING)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum des GOTT-Glaubens, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, <span style="color:#00B000">(was mit dem 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang noch einmal bestätigt wird)</span>. Die ,Notwendigkeit‘ GOTTES ist immer schon eine ,vorgängig‘ entschiedene Glaubensaussage. Das GÖDEL-Kalkül beweist, <span style="color:#00B000">(mit dem Antezedens im 2. Hauptergebnis)</span>, dass diese Grundüberzeugung eines GOTT-Gläubigen widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, mit allen seinen unbegrenzten ,Möglichkeiten’. ---- ---- ;Fußnoten <references /> p84vjbov8zp1ua7kfm4pir1bbfabnyi 1093245 1093244 2026-11-03T10:13:10Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ :: 2. Hauptergebnis ! :: hinzugefügt 1093245 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist. ,Existenz‘, an sich, ist, — nach ARISTOTELES<ref>,Existenz’ ist ,Prinzip’, d.h. ist der Ausgangspunkt eines Beweises. Es zeigt von Unbildung und Unwissenheit, Prinzipien ‚beweisen’ zu wollen — sagt ARISTOTELES in <span style="color:#00B000">‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metphysik</big></span>''‘, IV 4, 1006a 5-8</span>. Ein ‚Prinzip’ ist <span style="color:#FF6600">»''im Hinblick auf sich selbst''«</span>, z. B. durch einen Hinweis, oder <span style="color:#FF6600">»''durch sich selbst''«</span> einsehbar/intellegibel.</ref> — ,unbeweisbar‘. Sie ist, als frei wählbare Prämisse, immer nur der fixe und nicht hinterfragbare Ausgangspunkt einer möglichen logischen Beweisführung. Auf die Existenz kann man nur ,hinweisen‘.)</span> Für ANSELM selbst, wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Beweisen, bzw. darauf ,hinweisen‘, kann man, z. B. auf die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso ,bewiesen‘ werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen ,Beweis‘ für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ANSELM ,beweist‘ jedoch, dass es sinnvoll ist, an GOTT zu glauben. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, der <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existiert“</span>, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden in der materiellen Welt, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich wechselseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Koinzidenz-Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Wesens-Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit dem dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und dem Koinzidenz-Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit der Wesens-Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>.)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen sind jedoch nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Transzendentalia‘, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>, belegt werden. Sie werden sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Dieses Identitäts-Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen, ,identisch‘ sind. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, genauer ''':''' d.i die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Identitärs-Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ Die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Die GOTT-Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Idenditäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Idenditäts-Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit dem Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit dem Axiom-1 von der Widerspruchsfreiheit und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> dem Identitäts-Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Basis-Theorem von der Gleichheit von Wesen und Sein, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ 2. Beweisgang für das Basis-Theorem-2. Somit ist das Idenditäts-Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit seinem Korollar-3, das André FUHRMANN im Kalkül zusätzlich abgeleitet hat ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt, im Anhang ''':''' ,Widerlegung‘. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie A. FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 13</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte, indem er die ,Unabhängigkeit‘ seines GOTT-Axioms ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> und der GOTT-Definition für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, den GOTT der Christen, von der<span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> verlangt. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>, m.a.W. <span style="color:#FF6000">»''das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''hat die Wesenseigenschaft, GOTT zu sein''«</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem GOTT der Christen, bzw. mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Identitäts-Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach dem Identitäts-Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird ,systematisch‘ mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ <span style="color:#FF6000">„Prämisse :01:“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit der GOTT-Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit dem GOTT-Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in der GOTT-Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> <span style="color:#00B000">(GOTTES)</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia in GOTT gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in der Existenz-Definition-3 als auch im Identitäts-Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ,ontologischen Identität‘, d.i. die ,Koinzidenz‘ von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne das Identitäts-Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''die Wesenseigenschaft'', <span style="color:#4C58FF">—<sub>ess</sub>—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''dieses GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit dem FUHRMANN-Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; synonym mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, reine ,Aktualität‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span> —, im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von dem Notwendigkeits-Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span> syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als dann auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was im FUHRMANN-Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span>, mit der syntaktischen Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der ,Einheit‘ beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Das Basis-Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Äquivalenz, die zweiseitig gelesen werden kann, die zugleich aber auch eine logische Definition zur <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Bestimmung für GOTT darstellt ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span></div> Damit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(mit einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Basis-Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das als Basis-Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung, die ,Basis‘ jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurde, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass GOTT in dem GOTT-Axiom-3 und in der GOTT-Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v. Ch. durch die Truppen des Babyloniers NEBUKADNEZZAR II. Der Perser KYROS II hat, laut Bibel von GOTT gerufen, zur Vergeltung, das Reich der Babylonier 539 v. Ch. erobert, und den Tempel in Jerusalem tatkräftig wiederherstellen lassen.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Sein und Wesen in GOTT, ist die, für uns <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, die koinzident ist mit der <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> an sich ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Koinzidenz von göttlicher Präsenz und göttlicher Vollkommenheit ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub> —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,heilstheologisch‘</span> Folgendes ''':''' Die, für uns ,notwendige‘ Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES ,Wesen‘ ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ seine Gegenwärtigkeit ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird zu unserem <span style="color:#4C58FF">,Heil‘</span>, d.h. der uns, und die Welt, von der Korruption der Sünde und der Verfallenheit in einen ewigen Tod <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird, d.h. GOTT führt uns zur ,Vollkommenheit‘, weil er ,vollkommen‘ ist, jedoch nicht ohne unserer ausdrücklichen Zustimmung. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, die Vereinigung des ,Vollkommenen‘ mit dem ,Unvollkommenen‘, ist der Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> mit ihren <span style="color:#4C58FF">„Sakramenten“</span>. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, für sich, im Glauben ,annehmen‘ zu können, um ,vollkommen‘ und ,heilig‘ zu werden, wie GOTT, durch GOTT. Das <span style="color:#FF6000">„Sein wie GOTT“</span> ist für uns jetzt ,zum Greifen nah‘.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt, durch Beispiele belegbar)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal notwendige‘, bzw. ,transzendentale‘ Voraussetzung, und damit die ,Verfikation‘ der Widerspruchsfreiheit, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Existenz-Definition-3 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und im Identitäts-Axiom-5 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Dieser Sachverhalt verweist auf eine Art ,Äquivalenz‘ der drei Terme ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ↔ E'''<sub>not</sub>'''x ↔ PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>; das <span style="color:#4C58FF">‚'''E'''‘</span> wird im Kalkül nur GOTT <span style="color:#4C58FF">‚'''Gx'''‘</span> zugeordnet; vgl. auch 3. Beweisgang, Anmerkung-4, erster Absatz.)</span> Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche <u>nichts mehr</u> als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese'', <span style="color:#00B000">[ die ,Möglichen‘ ]</span>, ''den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene'', <span style="color:#00B000">[ die ,Wirklichen‘ ]</span>, ''aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>in re</big></span>“</span>, Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit vergänglichen Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘, unvergängliche GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„definitiv möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen, allgemeinen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft, als </span><span style="color:#FF6000">»</span>''bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA, — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury, — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E<sub>not</sub>) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''dann existiert dieser GOTT'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL, — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Hier hat KANT sich ,methodologisch‘ geirrt. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit rational sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span>, der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘ und alle Zuschreibungen)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit dem FUHRMANN-Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit dem FUHRMANN-Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz-Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Notwendigkeits-Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Wesens-Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(FUHRMANN-Korollar-3)</span>. Das Notwendigkeits-Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für das FUHRMANN-Korollar. Wenn im FUHRMANN-Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder — zugleich — für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch zugleich für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder zugleich für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und ,zugleich‘ auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch ,zugleich‘ auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E<sub>not</sub>) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>. In der Existenz-Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>ess</sub>‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000"> (speziell mit den Definitionen, ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. Die erste Prämisse, <span style="color:#00B000"> (lateinisch ‚<span style="font-family: Times;"><big>praemissa</big></span>‘,<span style="color:#FF6600"> „das Vorausgeschickte“</span>)</span>, in den ersten drei Beweisgängen, ist eine kategorische Existenz-Aussage. Die erste Prämisse im Beweisgang ,Widerlegung‘ ist die Negation einer hypothetischen Existenz-Aussage. Prämissen sind, als solche, immer frei wählbare ,Annahmen‘. Existenz-Aussagen sind der ,modal‘ frei gewählte, und nicht mehr hinterfragbare, fixe Ausgangspunkt einer ,möglichen‘, logischen Beweisführung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> als ,Transzendentalia‘ evaluiert wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit der GOTT-Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Koinzidenz-Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Koinzidenz-Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit, allgemein, in allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für ihre ,positiven Eigenschaften‘, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, ,bestimmt‘ oder ,unbestimmt‘, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Möglichkeits-Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit dem GOTT-Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18, <span style="color:#00B000">(gleichlautend mit Term :10:)</span>, steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Eigenschaften Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis !} \\ \text{32} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird, mit Korollar-2, diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch die GOTT-Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide, mit ,und‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∧'''‘ —</span>, verbundene, Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, das Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, als auch die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den ,GOTT‘ der Christen. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,realen‘ GOTT der Christen, weil es für diesen GOTT ohne Widerspruch denkbar, bzw. ,möglich‘ ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, dem Badis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg in den GÖDEL-Notizen, über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch die GOTT-Definition-1 und das GOTT-Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Basis-Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl das Identitäts-Axiom-5 als auch die Existenz-Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zum Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört, wenn hier das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht; genauer ''':''' Die <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ist in GOTT die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Notwendigkeits-Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Notwendigkeits-Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im modalen Notwendigkeits-Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span>, unter der unumgänglichen Bedingung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ zutrifft, die weder positiv noch negativ sind, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Alle Modal-Logiken, die sich auf diese Regel stützen, sind nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn sie sich auf Aussagen über <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> beziehen. Andernfalls sind sie <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang aus dem Notwendigkeits-Axiom-4 und mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der GOTT-Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Wesens-Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Notwendigkeits-Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Das Notwendigkeits-Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das FUHRMANN-Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2. Das Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. auch in GOTT ,eins‘ sind. Das Koinzidenz-Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Die Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Wesens-Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zur Wesens-Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Diese paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Möglichkeits-Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Basis-Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach A. FUHRMANN)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit zuerst noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' <span style="color:#00B000">(Diese Ergebnis-Zusammenfassung ist eine Vorwegnahme und die Bestätigung für meine Interpretation des Glaubens-Theorem ANSELMS, hier im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt, ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei''«</span>.)</span> Das Möglichkeits-Korollar-1 ist ,regulär‘ nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit dem Möglichkeits-Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(gegenseitig)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das GOTT-Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Das Koinzidenz-Axiom-2 ,besagt‘ allgemein, dass alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Das Koinzidenz-Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch das GOTT-Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> im Koinzidenz-Axiom-2 steht allgemein für alles Seiende. Dieses Axiom wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Eigenschafts-Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :15: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit dem Möglichkeits-Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Das Koinzidenz-Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Existenz der Transzendentalien ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, ist ein Faktum unserer Welt, das mit Beispielen belegbar ist ''':''' Transzendentalien gibt es, als ,empirisch‘-sprachliche Grundlage des ontologischen ,Beweises‘, genau so, wie es auch Sterne gibt. Darauf beruht die Stringenz der <span style="color:#4C58FF">»''axiomatischen Theologie''«</span> GÖDELS. Damit ist es ihm endgültig gelungen, eine eminent geisteswissenschaftliche Frage, die Jahrhunderte hindurch, lang kontrovers war, einer Lösung zuzuführen, die nun unwiderruflich gültig ist, und es auch bleiben wird ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ist wahr, und bildet die Realität unserer Welt, wie sie tatsächlich ist, widerspruchsfrei ab; der ,Nicht-GOTT-Glaube‘ ist falsch, und täuscht sich vollkommen in seiner Welt-Wahrnehmung, die nachweisbar widersprüchlich, und damit unsinnig ist. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,ultimativen Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend dem Koinzidenz-Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den beiden Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, <span style="color:#00B000">(mit GÖDEL ''':''' aus dem Widerspruch des Gegenteils)</span>, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von dem Koinzidenz-Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die ,Koinzidenz‘ auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Im Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer mitgedacht werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchsfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen. Eine ,Theologie‘, die solches sagt, und die, auch als vertrauenswürdige ,Wissenschaft von GOTT‘, akzeptiert wird, hat Interpretations-Vorrang, jedesmal, wenn es um die ,Rede von GOTT‘ geht. Das war für KANT jedoch ,methodologisch‘ weder denkbar, noch nachvollziehbar.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Beide meinten <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, ANSELM wolle mit seinem Theorem <span style="color:#00B000">(einem Narren)</span> die ,Existenz‘ GOTTES ,beweisen‘. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es rationaler ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Mit logischen ,Beweisen‘ wird es niemals möglich sein, einen GOTT-Glauben ,erzeugen‘ oder ,lukrieren‘ zu können, was jeder Mensch ohnehin weiss, und immer schon gewusst hat. <span style="color:#00B000">(Jeder Priester und jeder Bischof weiss das ''':''' Glaube ist ein Geschenk, das man erhält, wenn man darum bittet.)</span> Für den Erzbischof ANSELM ging es vielmehr um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. ob <u>der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. ANSELM wollte mit seinem Theorem erreichen, der zitierte Narr sollte bloß einsehen, dass es sinnvoll und vernünftig sein kann, an GOTT zu glauben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den ausstehenden Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. für die gesuchte ,Sinnhaftigkeit‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt, — nach GÖDEL —, universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ d.h. auch ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ]</span>«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen dem Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und rational unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei <span style="color:#FF6000">»''heute noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>. Das ist auch der Ausgangspunkt der GÖDEL-Argumentation zum Endergebnis ''':''' dem ANSELM-Theorem-3, in seinen Notizen)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Damit ist syntaktisch bewiesen, die Aussage über die ,notwendige‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span> ,Existenz GOTTES‘, als 1. Hauptergebnis, ist eine notwendige Konsequenz aus der ,methodologischen‘ Glaubensaussage im Term :01:. Im Theorem ANSELMS steht dieses 1. Hauptergebnis nun, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil, auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse, als seine notwendige Bedingung, an erster Stelle vor sich, die seinen Inhalt bestätigt, d.h. seine ,Notwendigkeit‘, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der hier nur die Widerspruchsfreiheit des Konsequenz-Teiles bestätigt, <span style="color:#00B000">(d.h. seine Glaubens-Annahme ''':''' die ,notwendige Existenz GOTTES‘, ist widerspruchsfrei '''!''' )</span>, und der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist syntaktisch nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Koinzidenz-Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das Antezedens im Argument ANSELMS, das Möglichkeits-Korollar-1, kann jedoch nie die persönliche Entscheidung zum Glauben, z. B. an den GOTT der Christen, im Menschen ersetzen. Das Argument ANSELMS besagt also ''':''' der Glaube eines gläubigen Menschen ist logisch widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird; auch von A. FUHRMANN, wie auch von G. J. WIRSCHING)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum des GOTT-Glaubens, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, <span style="color:#00B000">(was mit dem 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang noch einmal bestätigt wird)</span>. Die ,Notwendigkeit‘ GOTTES ist immer schon eine ,vorgängig‘ entschiedene Glaubensaussage. Das GÖDEL-Kalkül beweist, <span style="color:#00B000">(mit dem Antezedens im 2. Hauptergebnis)</span>, dass diese Grundüberzeugung eines GOTT-Gläubigen widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, mit allen seinen unbegrenzten ,Möglichkeiten’. ---- ---- ;Fußnoten <references /> 5kiot2di4rid70cb6pw2xsw2j2ucvpa 1093246 1093245 2026-11-03T10:25:11Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ Zusatz 1093246 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist. ,Existenz‘, an sich, ist, — nach ARISTOTELES<ref>,Existenz’ ist ,Prinzip’, d.h. ist der Ausgangspunkt eines Beweises. Es zeigt von Unbildung und Unwissenheit, Prinzipien ‚beweisen’ zu wollen — sagt ARISTOTELES in <span style="color:#00B000">‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metphysik</big></span>''‘, IV 4, 1006a 5-8</span>. Ein ‚Prinzip’ ist <span style="color:#FF6600">»''im Hinblick auf sich selbst''«</span>, z. B. durch einen Hinweis, oder <span style="color:#FF6600">»''durch sich selbst''«</span> einsehbar/intellegibel.</ref> — ,unbeweisbar‘. Sie ist, als frei wählbare Prämisse, immer nur der fixe und nicht hinterfragbare Ausgangspunkt einer möglichen logischen Beweisführung. Auf die Existenz kann man nur ,hinweisen‘.)</span> Für ANSELM selbst, wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Beweisen, bzw. darauf ,hinweisen‘, kann man, z. B. auf die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso ,bewiesen‘ werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen ,Beweis‘ für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ANSELM ,beweist‘ jedoch, dass es sinnvoll ist, an GOTT zu glauben. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, der <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existiert“</span>, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden in der materiellen Welt, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich wechselseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Koinzidenz-Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Wesens-Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit dem dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und dem Koinzidenz-Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit der Wesens-Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>.)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen sind jedoch nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Transzendentalia‘, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>, belegt werden. Sie werden sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Dieses Identitäts-Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen, ,identisch‘ sind. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, genauer ''':''' d.i die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Identitärs-Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ Die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Die GOTT-Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Idenditäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Idenditäts-Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit dem Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit dem Axiom-1 von der Widerspruchsfreiheit und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> dem Identitäts-Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Basis-Theorem von der Gleichheit von Wesen und Sein, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ 2. Beweisgang für das Basis-Theorem-2. Somit ist das Idenditäts-Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit seinem Korollar-3, das André FUHRMANN im Kalkül zusätzlich abgeleitet hat ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt, im Anhang ''':''' ,Widerlegung‘. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie A. FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 13</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte, indem er die ,Unabhängigkeit‘ seines GOTT-Axioms ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> und der GOTT-Definition für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, den GOTT der Christen, von der<span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> verlangt. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>, m.a.W. <span style="color:#FF6000">»''das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''hat die Wesenseigenschaft, GOTT zu sein''«</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem GOTT der Christen, bzw. mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Identitäts-Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach dem Identitäts-Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird ,systematisch‘ mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ <span style="color:#FF6000">„Prämisse :01:“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit der GOTT-Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit dem GOTT-Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in der GOTT-Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> <span style="color:#00B000">(GOTTES)</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia in GOTT gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in der Existenz-Definition-3 als auch im Identitäts-Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ,ontologischen Identität‘, d.i. die ,Koinzidenz‘ von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne das Identitäts-Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''die Wesenseigenschaft'', <span style="color:#4C58FF">—<sub>ess</sub>—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''dieses GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit dem FUHRMANN-Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; synonym mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, reine ,Aktualität‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span> —, im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von dem Notwendigkeits-Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span> syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als dann auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was im FUHRMANN-Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span>, mit der syntaktischen Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der ,Einheit‘ beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Das Basis-Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Äquivalenz, die zweiseitig gelesen werden kann, die zugleich aber auch eine logische Definition zur <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Bestimmung für GOTT darstellt ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span></div> Damit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(mit einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Basis-Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das als Basis-Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung, die ,Basis‘ jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurde, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass GOTT in dem GOTT-Axiom-3 und in der GOTT-Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v. Ch. durch die Truppen des Babyloniers NEBUKADNEZZAR II. Der Perser KYROS II hat, laut Bibel von GOTT gerufen, zur Vergeltung, das Reich der Babylonier 539 v. Ch. erobert, und den Tempel in Jerusalem tatkräftig wiederherstellen lassen.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Sein und Wesen in GOTT, ist die, für uns <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, die koinzident ist mit der <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> an sich ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Koinzidenz von göttlicher Präsenz und göttlicher Vollkommenheit ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub> —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,heilstheologisch‘</span> Folgendes ''':''' Die, für uns ,notwendige‘ Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES ,Wesen‘ ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ seine Gegenwärtigkeit ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird zu unserem <span style="color:#4C58FF">,Heil‘</span>, d.h. der uns, und die Welt, von der Korruption der Sünde und der Verfallenheit in einen ewigen Tod <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird, d.h. GOTT führt uns zur ,Vollkommenheit‘, weil er ,vollkommen‘ ist, jedoch nicht ohne unserer ausdrücklichen Zustimmung. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, die Vereinigung des ,Vollkommenen‘ mit dem ,Unvollkommenen‘, ist der Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> mit ihren <span style="color:#4C58FF">„Sakramenten“</span>. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, für sich, im Glauben ,annehmen‘ zu können, um ,vollkommen‘ und ,heilig‘ zu werden, wie GOTT, durch GOTT. Das <span style="color:#FF6000">„Sein wie GOTT“</span> ist für uns jetzt ,zum Greifen nah‘.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt, durch Beispiele belegbar)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal notwendige‘, bzw. ,transzendentale‘ Voraussetzung, und damit die ,Verfikation‘ der Widerspruchsfreiheit, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Existenz-Definition-3 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und im Identitäts-Axiom-5 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Dieser Sachverhalt verweist auf eine Art ,Äquivalenz‘ der drei Terme ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ↔ E'''<sub>not</sub>'''x ↔ PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>; das <span style="color:#4C58FF">‚'''E'''‘</span> wird im Kalkül nur GOTT <span style="color:#4C58FF">‚'''Gx'''‘</span> zugeordnet; vgl. auch 3. Beweisgang, Anmerkung-4, erster Absatz.)</span> Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche <u>nichts mehr</u> als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese'', <span style="color:#00B000">[ die ,Möglichen‘ ]</span>, ''den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene'', <span style="color:#00B000">[ die ,Wirklichen‘ ]</span>, ''aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>in re</big></span>“</span>, Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit vergänglichen Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘, unvergängliche GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„definitiv möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen, allgemeinen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft, als </span><span style="color:#FF6000">»</span>''bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA, — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury, — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E<sub>not</sub>) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''dann existiert dieser GOTT'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL, — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Hier hat KANT sich ,methodologisch‘ geirrt. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit rational sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span>, der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘ und alle Zuschreibungen)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit dem FUHRMANN-Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit dem FUHRMANN-Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz-Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Notwendigkeits-Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Wesens-Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(FUHRMANN-Korollar-3)</span>. Das Notwendigkeits-Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für das FUHRMANN-Korollar. Wenn im FUHRMANN-Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder — zugleich — für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch zugleich für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder zugleich für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und ,zugleich‘ auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch ,zugleich‘ auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E<sub>not</sub>) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>. In der Existenz-Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>ess</sub>‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000"> (speziell mit den Definitionen, ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. Die erste Prämisse, <span style="color:#00B000"> (lateinisch ‚<span style="font-family: Times;"><big>praemissa</big></span>‘,<span style="color:#FF6600"> „das Vorausgeschickte“</span>)</span>, in den ersten drei Beweisgängen, ist eine kategorische Existenz-Aussage. Die erste Prämisse im Beweisgang ,Widerlegung‘ ist die Negation einer hypothetischen Existenz-Aussage. Prämissen sind, als solche, immer frei wählbare ,Annahmen‘. Existenz-Aussagen sind der ,modal‘ frei gewählte, und nicht mehr hinterfragbare, fixe Ausgangspunkt einer ,möglichen‘, logischen Beweisführung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> als ,Transzendentalia‘ evaluiert wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit der GOTT-Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Koinzidenz-Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Koinzidenz-Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit, allgemein, in allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für ihre ,positiven Eigenschaften‘, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, ,bestimmt‘ oder ,unbestimmt‘, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Möglichkeits-Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit dem GOTT-Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18, <span style="color:#00B000">(gleichlautend mit Term :10:)</span>, steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Eigenschaften Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{ } & \text{„Die Eigenschaften Y in GOTT sind positiv“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis !} \\ \text{32} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 mussten zwei-, und in Zeile 22 drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen werden, weil der Parser dieser speziellen Mathematik-Funktion in Wikibooks jedes Mal wegen Puffer-Überlauf abstürzt, wenn zu den bestehenden Zeilen noch eine neue Zeile, oder ein Text-Element, zusätzlich eingefügt wird. Das vermindert etwas die Transparenz des Kalküls.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird, mit Korollar-2, diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch die GOTT-Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide, mit ,und‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∧'''‘ —</span>, verbundene, Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, das Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, als auch die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den ,GOTT‘ der Christen. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,realen‘ GOTT der Christen, weil es für diesen GOTT ohne Widerspruch denkbar, bzw. ,möglich‘ ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, dem Badis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg in den GÖDEL-Notizen, über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch die GOTT-Definition-1 und das GOTT-Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Basis-Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl das Identitäts-Axiom-5 als auch die Existenz-Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zum Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört, wenn hier das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht; genauer ''':''' Die <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ist in GOTT die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Notwendigkeits-Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Notwendigkeits-Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im modalen Notwendigkeits-Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span>, unter der unumgänglichen Bedingung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ zutrifft, die weder positiv noch negativ sind, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Alle Modal-Logiken, die sich auf diese Regel stützen, sind nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn sie sich auf Aussagen über <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> beziehen. Andernfalls sind sie <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang aus dem Notwendigkeits-Axiom-4 und mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der GOTT-Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Wesens-Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Notwendigkeits-Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Das Notwendigkeits-Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das FUHRMANN-Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2. Das Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. auch in GOTT ,eins‘ sind. Das Koinzidenz-Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Die Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Wesens-Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zur Wesens-Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Diese paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Möglichkeits-Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Basis-Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach A. FUHRMANN)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit zuerst noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' <span style="color:#00B000">(Diese Ergebnis-Zusammenfassung ist eine Vorwegnahme und die Bestätigung für meine Interpretation des Glaubens-Theorem ANSELMS, hier im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt, ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei''«</span>.)</span> Das Möglichkeits-Korollar-1 ist ,regulär‘ nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit dem Möglichkeits-Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(gegenseitig)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das GOTT-Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Das Koinzidenz-Axiom-2 ,besagt‘ allgemein, dass alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Das Koinzidenz-Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch das GOTT-Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> im Koinzidenz-Axiom-2 steht allgemein für alles Seiende. Dieses Axiom wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Eigenschafts-Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :15: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit dem Möglichkeits-Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Das Koinzidenz-Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Existenz der Transzendentalien ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, ist ein Faktum unserer Welt, das mit Beispielen belegbar ist ''':''' Transzendentalien gibt es, als ,empirisch‘-sprachliche Grundlage des ontologischen ,Beweises‘, genau so, wie es auch Sterne gibt. Darauf beruht die Stringenz der <span style="color:#4C58FF">»''axiomatischen Theologie''«</span> GÖDELS. Damit ist es ihm endgültig gelungen, eine eminent geisteswissenschaftliche Frage, die Jahrhunderte hindurch, lang kontrovers war, einer Lösung zuzuführen, die nun unwiderruflich gültig ist, und es auch bleiben wird ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ist wahr, und bildet die Realität unserer Welt, wie sie tatsächlich ist, widerspruchsfrei ab; der ,Nicht-GOTT-Glaube‘ ist falsch, und täuscht sich vollkommen in seiner Welt-Wahrnehmung, die nachweisbar widersprüchlich, und damit unsinnig ist. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,ultimativen Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend dem Koinzidenz-Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den beiden Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, <span style="color:#00B000">(mit GÖDEL ''':''' aus dem Widerspruch des Gegenteils)</span>, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von dem Koinzidenz-Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die ,Koinzidenz‘ auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Im Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer mitgedacht werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchsfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen. Eine ,Theologie‘, die solches sagt, und die, auch als vertrauenswürdige ,Wissenschaft von GOTT‘, akzeptiert wird, hat Interpretations-Vorrang, jedesmal, wenn es um die ,Rede von GOTT‘ geht. Das war für KANT jedoch ,methodologisch‘ weder denkbar, noch nachvollziehbar.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Beide meinten <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, ANSELM wolle mit seinem Theorem <span style="color:#00B000">(einem Narren)</span> die ,Existenz‘ GOTTES ,beweisen‘. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es rationaler ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Mit logischen ,Beweisen‘ wird es niemals möglich sein, einen GOTT-Glauben ,erzeugen‘ oder ,lukrieren‘ zu können, was jeder Mensch ohnehin weiss, und immer schon gewusst hat. <span style="color:#00B000">(Jeder Priester und jeder Bischof weiss das ''':''' Glaube ist ein Geschenk, das man erhält, wenn man darum bittet.)</span> Für den Erzbischof ANSELM ging es vielmehr um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. ob <u>der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. ANSELM wollte mit seinem Theorem erreichen, der zitierte Narr sollte bloß einsehen, dass es sinnvoll und vernünftig sein kann, an GOTT zu glauben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den ausstehenden Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. für die gesuchte ,Sinnhaftigkeit‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt, — nach GÖDEL —, universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ d.h. auch ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ]</span>«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen dem Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und rational unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei <span style="color:#FF6000">»''heute noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>. Das ist auch der Ausgangspunkt der GÖDEL-Argumentation zum Endergebnis ''':''' dem ANSELM-Theorem-3, in seinen Notizen)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Damit ist syntaktisch bewiesen, die Aussage über die ,notwendige‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span> ,Existenz GOTTES‘, als 1. Hauptergebnis, ist eine notwendige Konsequenz aus der ,methodologischen‘ Glaubensaussage im Term :01:. Im Theorem ANSELMS steht dieses 1. Hauptergebnis nun, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil, auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse, als seine notwendige Bedingung, an erster Stelle vor sich, die seinen Inhalt bestätigt, d.h. seine ,Notwendigkeit‘, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der hier nur die Widerspruchsfreiheit des Konsequenz-Teiles bestätigt, <span style="color:#00B000">(d.h. seine Glaubens-Annahme ''':''' die ,notwendige Existenz GOTTES‘, ist widerspruchsfrei '''!''' )</span>, und der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist syntaktisch nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Koinzidenz-Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das Antezedens im Argument ANSELMS, das Möglichkeits-Korollar-1, kann jedoch nie die persönliche Entscheidung zum Glauben, z. B. an den GOTT der Christen, im Menschen ersetzen. Das Argument ANSELMS besagt also ''':''' der Glaube eines gläubigen Menschen ist logisch widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird; auch von A. FUHRMANN, wie auch von G. J. WIRSCHING)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum des GOTT-Glaubens, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, <span style="color:#00B000">(was mit dem 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang noch einmal bestätigt wird)</span>. Die ,Notwendigkeit‘ GOTTES ist immer schon eine ,vorgängig‘ entschiedene Glaubensaussage. Das GÖDEL-Kalkül beweist, <span style="color:#00B000">(mit dem Antezedens im 2. Hauptergebnis)</span>, dass diese Grundüberzeugung eines GOTT-Gläubigen widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, mit allen seinen unbegrenzten ,Möglichkeiten’. ---- ---- ;Fußnoten <references /> cr1t2ka5x89x7aq74wwvkyp9qmyloid 1093247 1093246 2026-11-03T10:51:54Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ Korrektur 1093247 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist. ,Existenz‘, an sich, ist, — nach ARISTOTELES<ref>,Existenz’ ist ,Prinzip’, d.h. ist der Ausgangspunkt eines Beweises. Es zeigt von Unbildung und Unwissenheit, Prinzipien ‚beweisen’ zu wollen — sagt ARISTOTELES in <span style="color:#00B000">‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metphysik</big></span>''‘, IV 4, 1006a 5-8</span>. Ein ‚Prinzip’ ist <span style="color:#FF6600">»''im Hinblick auf sich selbst''«</span>, z. B. durch einen Hinweis, oder <span style="color:#FF6600">»''durch sich selbst''«</span> einsehbar/intellegibel.</ref> — ,unbeweisbar‘. Sie ist, als frei wählbare Prämisse, immer nur der fixe und nicht hinterfragbare Ausgangspunkt einer möglichen logischen Beweisführung. Auf die Existenz kann man nur ,hinweisen‘.)</span> Für ANSELM selbst, wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Beweisen, bzw. darauf ,hinweisen‘, kann man, z. B. auf die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso ,bewiesen‘ werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen ,Beweis‘ für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ANSELM ,beweist‘ jedoch, dass es sinnvoll ist, an GOTT zu glauben. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, der <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existiert“</span>, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden in der materiellen Welt, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich wechselseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Koinzidenz-Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Wesens-Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit dem dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und dem Koinzidenz-Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit der Wesens-Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>.)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen sind jedoch nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Transzendentalia‘, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>, belegt werden. Sie werden sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Dieses Identitäts-Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen, ,identisch‘ sind. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, genauer ''':''' d.i die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Identitärs-Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ Die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Die GOTT-Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Idenditäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Idenditäts-Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit dem Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit dem Axiom-1 von der Widerspruchsfreiheit und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> dem Identitäts-Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Basis-Theorem von der Gleichheit von Wesen und Sein, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ 2. Beweisgang für das Basis-Theorem-2. Somit ist das Idenditäts-Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit seinem Korollar-3, das André FUHRMANN im Kalkül zusätzlich abgeleitet hat ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt, im Anhang ''':''' ,Widerlegung‘. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie A. FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 13</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte, indem er die ,Unabhängigkeit‘ seines GOTT-Axioms ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> und der GOTT-Definition für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, den GOTT der Christen, von der<span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> verlangt. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>, m.a.W. <span style="color:#FF6000">»''das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''hat die Wesenseigenschaft, GOTT zu sein''«</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem GOTT der Christen, bzw. mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Identitäts-Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach dem Identitäts-Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird ,systematisch‘ mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ <span style="color:#FF6000">„Prämisse :01:“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit der GOTT-Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit dem GOTT-Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in der GOTT-Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> <span style="color:#00B000">(GOTTES)</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia in GOTT gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in der Existenz-Definition-3 als auch im Identitäts-Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ,ontologischen Identität‘, d.i. die ,Koinzidenz‘ von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne das Identitäts-Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''die Wesenseigenschaft'', <span style="color:#4C58FF">—<sub>ess</sub>—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''dieses GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit dem FUHRMANN-Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; synonym mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, reine ,Aktualität‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span> —, im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von dem Notwendigkeits-Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span> syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als dann auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was im FUHRMANN-Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span>, mit der syntaktischen Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der ,Einheit‘ beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Das Basis-Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Äquivalenz, die zweiseitig gelesen werden kann, die zugleich aber auch eine logische Definition zur <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Bestimmung für GOTT darstellt ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span></div> Damit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(mit einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Basis-Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das als Basis-Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung, die ,Basis‘ jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurde, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass GOTT in dem GOTT-Axiom-3 und in der GOTT-Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v. Ch. durch die Truppen des Babyloniers NEBUKADNEZZAR II. Der Perser KYROS II hat, laut Bibel von GOTT gerufen, zur Vergeltung, das Reich der Babylonier 539 v. Ch. erobert, und den Tempel in Jerusalem tatkräftig wiederherstellen lassen.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Sein und Wesen in GOTT, ist die, für uns <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, die koinzident ist mit der <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> an sich ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Koinzidenz von göttlicher Präsenz und göttlicher Vollkommenheit ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub> —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,heilstheologisch‘</span> Folgendes ''':''' Die, für uns ,notwendige‘ Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES ,Wesen‘ ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ seine Gegenwärtigkeit ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird zu unserem <span style="color:#4C58FF">,Heil‘</span>, d.h. der uns, und die Welt, von der Korruption der Sünde und der Verfallenheit in einen ewigen Tod <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird, d.h. GOTT führt uns zur ,Vollkommenheit‘, weil er ,vollkommen‘ ist, jedoch nicht ohne unserer ausdrücklichen Zustimmung. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, die Vereinigung des ,Vollkommenen‘ mit dem ,Unvollkommenen‘, ist der Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> mit ihren <span style="color:#4C58FF">„Sakramenten“</span>. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, für sich, im Glauben ,annehmen‘ zu können, um ,vollkommen‘ und ,heilig‘ zu werden, wie GOTT, durch GOTT. Das <span style="color:#FF6000">„Sein wie GOTT“</span> ist für uns jetzt ,zum Greifen nah‘.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt, durch Beispiele belegbar)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal notwendige‘, bzw. ,transzendentale‘ Voraussetzung, und damit die ,Verfikation‘ der Widerspruchsfreiheit, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Existenz-Definition-3 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und im Identitäts-Axiom-5 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Dieser Sachverhalt verweist auf eine Art ,Äquivalenz‘ der drei Terme ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ↔ E'''<sub>not</sub>'''x ↔ PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>; das <span style="color:#4C58FF">‚'''E'''‘</span> wird im Kalkül nur GOTT <span style="color:#4C58FF">‚'''Gx'''‘</span> zugeordnet; vgl. auch 3. Beweisgang, Anmerkung-4, erster Absatz.)</span> Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche <u>nichts mehr</u> als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese'', <span style="color:#00B000">[ die ,Möglichen‘ ]</span>, ''den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene'', <span style="color:#00B000">[ die ,Wirklichen‘ ]</span>, ''aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>in re</big></span>“</span>, Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit vergänglichen Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘, unvergängliche GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„definitiv möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen, allgemeinen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft, als </span><span style="color:#FF6000">»</span>''bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA, — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury, — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E<sub>not</sub>) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''dann existiert dieser GOTT'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL, — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Hier hat KANT sich ,methodologisch‘ geirrt. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit rational sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span>, der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘ und alle Zuschreibungen)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit dem FUHRMANN-Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit dem FUHRMANN-Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz-Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Notwendigkeits-Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Wesens-Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(FUHRMANN-Korollar-3)</span>. Das Notwendigkeits-Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für das FUHRMANN-Korollar. Wenn im FUHRMANN-Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder — zugleich — für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch zugleich für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder zugleich für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und ,zugleich‘ auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch ,zugleich‘ auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E<sub>not</sub>) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>. In der Existenz-Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>ess</sub>‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000"> (speziell mit den Definitionen, ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. Die erste Prämisse, <span style="color:#00B000"> (lateinisch ‚<span style="font-family: Times;"><big>praemissa</big></span>‘,<span style="color:#FF6600"> „das Vorausgeschickte“</span>)</span>, in den ersten drei Beweisgängen, ist eine kategorische Existenz-Aussage. Die erste Prämisse im Beweisgang ,Widerlegung‘ ist die Negation einer hypothetischen Existenz-Aussage. Prämissen sind, als solche, immer frei wählbare ,Annahmen‘. Existenz-Aussagen sind der ,modal‘ frei gewählte, und nicht mehr hinterfragbare, fixe Ausgangspunkt einer ,möglichen‘, logischen Beweisführung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> als ,Transzendentalia‘ evaluiert wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit der GOTT-Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Koinzidenz-Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Koinzidenz-Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit, allgemein, in allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für ihre ,positiven Eigenschaften‘, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, ,bestimmt‘ oder ,unbestimmt‘, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Möglichkeits-Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit dem GOTT-Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18, <span style="color:#00B000">(gleichlautend mit Term :10:)</span>, steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Eigenschaften Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{ } & \text{„Die Eigenschaften Y in GOTT sind positiv“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis !} \\ \text{32} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 sind zwei-, bzw, in Zeile 22 sind drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen worden.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird, mit Korollar-2, diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch die GOTT-Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide, mit ,und‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∧'''‘ —</span>, verbundene, Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, das Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, als auch die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den ,GOTT‘ der Christen. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,realen‘ GOTT der Christen, weil es für diesen GOTT ohne Widerspruch denkbar, bzw. ,möglich‘ ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, dem Badis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg in den GÖDEL-Notizen, über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch die GOTT-Definition-1 und das GOTT-Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Basis-Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl das Identitäts-Axiom-5 als auch die Existenz-Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zum Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört, wenn hier das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht; genauer ''':''' Die <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ist in GOTT die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Notwendigkeits-Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Notwendigkeits-Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im modalen Notwendigkeits-Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span>, unter der unumgänglichen Bedingung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ zutrifft, die weder positiv noch negativ sind, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Alle Modal-Logiken, die sich auf diese Regel stützen, sind nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn sie sich auf Aussagen über <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> beziehen. Andernfalls sind sie <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang aus dem Notwendigkeits-Axiom-4 und mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der GOTT-Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Wesens-Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Notwendigkeits-Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Das Notwendigkeits-Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das FUHRMANN-Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2. Das Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. auch in GOTT ,eins‘ sind. Das Koinzidenz-Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Die Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Wesens-Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zur Wesens-Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Diese paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Möglichkeits-Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Basis-Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach A. FUHRMANN)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit zuerst noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' <span style="color:#00B000">(Diese Ergebnis-Zusammenfassung ist eine Vorwegnahme und die Bestätigung für meine Interpretation des Glaubens-Theorem ANSELMS, hier im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt, ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei''«</span>.)</span> Das Möglichkeits-Korollar-1 ist ,regulär‘ nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit dem Möglichkeits-Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(gegenseitig)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das GOTT-Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Das Koinzidenz-Axiom-2 ,besagt‘ allgemein, dass alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Das Koinzidenz-Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch das GOTT-Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> im Koinzidenz-Axiom-2 steht allgemein für alles Seiende. Dieses Axiom wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Eigenschafts-Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :15: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit dem Möglichkeits-Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Das Koinzidenz-Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Existenz der Transzendentalien ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, ist ein Faktum unserer Welt, das mit Beispielen belegbar ist ''':''' Transzendentalien gibt es, als ,empirisch‘-sprachliche Grundlage des ontologischen ,Beweises‘, genau so, wie es auch Sterne gibt. Darauf beruht die Stringenz der <span style="color:#4C58FF">»''axiomatischen Theologie''«</span> GÖDELS. Damit ist es ihm endgültig gelungen, eine eminent geisteswissenschaftliche Frage, die Jahrhunderte hindurch, lang kontrovers war, einer Lösung zuzuführen, die nun unwiderruflich gültig ist, und es auch bleiben wird ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ist wahr, und bildet die Realität unserer Welt, wie sie tatsächlich ist, widerspruchsfrei ab; der ,Nicht-GOTT-Glaube‘ ist falsch, und täuscht sich vollkommen in seiner Welt-Wahrnehmung, die nachweisbar widersprüchlich, und damit unsinnig ist. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,ultimativen Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend dem Koinzidenz-Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den beiden Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, <span style="color:#00B000">(mit GÖDEL ''':''' aus dem Widerspruch des Gegenteils)</span>, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von dem Koinzidenz-Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die ,Koinzidenz‘ auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Im Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer mitgedacht werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchsfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen. Eine ,Theologie‘, die solches sagt, und die, auch als vertrauenswürdige ,Wissenschaft von GOTT‘, akzeptiert wird, hat Interpretations-Vorrang, jedesmal, wenn es um die ,Rede von GOTT‘ geht. Das war für KANT jedoch ,methodologisch‘ weder denkbar, noch nachvollziehbar.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Beide meinten <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, ANSELM wolle mit seinem Theorem <span style="color:#00B000">(einem Narren)</span> die ,Existenz‘ GOTTES ,beweisen‘. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es rationaler ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Mit logischen ,Beweisen‘ wird es niemals möglich sein, einen GOTT-Glauben ,erzeugen‘ oder ,lukrieren‘ zu können, was jeder Mensch ohnehin weiss, und immer schon gewusst hat. <span style="color:#00B000">(Jeder Priester und jeder Bischof weiss das ''':''' Glaube ist ein Geschenk, das man erhält, wenn man darum bittet.)</span> Für den Erzbischof ANSELM ging es vielmehr um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. ob <u>der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. ANSELM wollte mit seinem Theorem erreichen, der zitierte Narr sollte bloß einsehen, dass es sinnvoll und vernünftig sein kann, an GOTT zu glauben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den ausstehenden Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. für die gesuchte ,Sinnhaftigkeit‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt, — nach GÖDEL —, universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ d.h. auch ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ]</span>«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen dem Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und rational unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei <span style="color:#FF6000">»''heute noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>. Das ist auch der Ausgangspunkt der GÖDEL-Argumentation zum Endergebnis ''':''' dem ANSELM-Theorem-3, in seinen Notizen)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Damit ist syntaktisch bewiesen, die Aussage über die ,notwendige‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span> ,Existenz GOTTES‘, als 1. Hauptergebnis, ist eine notwendige Konsequenz aus der ,methodologischen‘ Glaubensaussage im Term :01:. Im Theorem ANSELMS steht dieses 1. Hauptergebnis nun, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil, auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse, als seine notwendige Bedingung, an erster Stelle vor sich, die seinen Inhalt bestätigt, d.h. seine ,Notwendigkeit‘, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der hier nur die Widerspruchsfreiheit des Konsequenz-Teiles bestätigt, <span style="color:#00B000">(d.h. seine Glaubens-Annahme ''':''' die ,notwendige Existenz GOTTES‘, ist widerspruchsfrei '''!''' )</span>, und der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist syntaktisch nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Koinzidenz-Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das Antezedens im Argument ANSELMS, das Möglichkeits-Korollar-1, kann jedoch nie die persönliche Entscheidung zum Glauben, z. B. an den GOTT der Christen, im Menschen ersetzen. Das Argument ANSELMS besagt also ''':''' der Glaube eines gläubigen Menschen ist logisch widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird; auch von A. FUHRMANN, wie auch von G. J. WIRSCHING)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum des GOTT-Glaubens, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, <span style="color:#00B000">(was mit dem 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang noch einmal bestätigt wird)</span>. Die ,Notwendigkeit‘ GOTTES ist immer schon eine ,vorgängig‘ entschiedene Glaubensaussage. Das GÖDEL-Kalkül beweist, <span style="color:#00B000">(mit dem Antezedens im 2. Hauptergebnis)</span>, dass diese Grundüberzeugung eines GOTT-Gläubigen widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, mit allen seinen unbegrenzten ,Möglichkeiten’. ---- ---- ;Fußnoten <references /> abvzjyztrlv6rds6a6rfps25waln29u 1093249 1093247 2026-11-03T11:15:18Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ Zusatz 1093249 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist. ,Existenz‘, an sich, ist, — nach ARISTOTELES<ref>,Existenz’ ist ,Prinzip’, d.h. ist der Ausgangspunkt eines Beweises. Es zeigt von Unbildung und Unwissenheit, Prinzipien ‚beweisen’ zu wollen — sagt ARISTOTELES in <span style="color:#00B000">‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metphysik</big></span>''‘, IV 4, 1006a 5-8</span>. Ein ‚Prinzip’ ist <span style="color:#FF6600">»''im Hinblick auf sich selbst''«</span>, z. B. durch einen Hinweis, oder <span style="color:#FF6600">»''durch sich selbst''«</span> einsehbar/intellegibel.</ref> — ,unbeweisbar‘. Sie ist, als frei wählbare Prämisse, immer nur der fixe und nicht hinterfragbare Ausgangspunkt einer möglichen logischen Beweisführung. Auf die Existenz kann man nur ,hinweisen‘.)</span> Für ANSELM selbst, wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Beweisen, bzw. darauf ,hinweisen‘, kann man, z. B. auf die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso ,bewiesen‘ werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen ,Beweis‘ für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ANSELM ,beweist‘ jedoch, dass es sinnvoll ist, an GOTT zu glauben. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, der <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existiert“</span>, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden in der materiellen Welt, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich wechselseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Koinzidenz-Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Wesens-Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit dem dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und dem Koinzidenz-Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit der Wesens-Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>.)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen sind jedoch nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Transzendentalia‘, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>, belegt werden. Sie werden sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Dieses Identitäts-Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen, ,identisch‘ sind. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, genauer ''':''' d.i die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Identitärs-Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ Die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Die GOTT-Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Idenditäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Idenditäts-Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit dem Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit dem Axiom-1 von der Widerspruchsfreiheit und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> dem Identitäts-Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Basis-Theorem von der Gleichheit von Wesen und Sein, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ 2. Beweisgang für das Basis-Theorem-2. Somit ist das Idenditäts-Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit seinem Korollar-3, das André FUHRMANN im Kalkül zusätzlich abgeleitet hat ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt, im Anhang ''':''' ,Widerlegung‘. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie A. FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 13</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte, indem er die ,Unabhängigkeit‘ seines GOTT-Axioms ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> und der GOTT-Definition für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, den GOTT der Christen, von der<span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> verlangt. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>, m.a.W. <span style="color:#FF6000">»''das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''hat die Wesenseigenschaft, GOTT zu sein''«</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem GOTT der Christen, bzw. mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Identitäts-Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach dem Identitäts-Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird ,systematisch‘ mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ <span style="color:#FF6000">„Prämisse :01:“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit der GOTT-Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit dem GOTT-Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in der GOTT-Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> <span style="color:#00B000">(GOTTES)</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia in GOTT gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in der Existenz-Definition-3 als auch im Identitäts-Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ,ontologischen Identität‘, d.i. die ,Koinzidenz‘ von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne das Identitäts-Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''die Wesenseigenschaft'', <span style="color:#4C58FF">—<sub>ess</sub>—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''dieses GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit dem FUHRMANN-Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; synonym mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, reine ,Aktualität‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span> —, im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von dem Notwendigkeits-Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span> syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als dann auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was im FUHRMANN-Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span>, mit der syntaktischen Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der ,Einheit‘ beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Das Basis-Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Äquivalenz, die zweiseitig gelesen werden kann, die zugleich aber auch eine logische Definition zur <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Bestimmung für GOTT darstellt ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span></div> Damit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(mit einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Basis-Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das als Basis-Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung, die ,Basis‘ jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurde, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass GOTT in dem GOTT-Axiom-3 und in der GOTT-Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v. Ch. durch die Truppen des Babyloniers NEBUKADNEZZAR II. Der Perser KYROS II hat, laut Bibel von GOTT gerufen, zur Vergeltung, das Reich der Babylonier 539 v. Ch. erobert, und den Tempel in Jerusalem tatkräftig wiederherstellen lassen.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Sein und Wesen in GOTT, ist die, für uns <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, die koinzident ist mit der <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> an sich ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Koinzidenz von göttlicher Präsenz und göttlicher Vollkommenheit ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub> —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,heilstheologisch‘</span> Folgendes ''':''' Die, für uns ,notwendige‘ Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES ,Wesen‘ ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ seine Gegenwärtigkeit ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird zu unserem <span style="color:#4C58FF">,Heil‘</span>, d.h. der uns, und die Welt, von der Korruption der Sünde und der Verfallenheit in einen ewigen Tod <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird, d.h. GOTT führt uns zur ,Vollkommenheit‘, weil er ,vollkommen‘ ist, jedoch nicht ohne unserer ausdrücklichen Zustimmung. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, die Vereinigung des ,Vollkommenen‘ mit dem ,Unvollkommenen‘, ist der Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> mit ihren <span style="color:#4C58FF">„Sakramenten“</span>. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, für sich, im Glauben ,annehmen‘ zu können, um ,vollkommen‘ und ,heilig‘ zu werden, wie GOTT, durch GOTT. Das <span style="color:#FF6000">„Sein wie GOTT“</span> ist für uns jetzt ,zum Greifen nah‘.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt, durch Beispiele belegbar)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal notwendige‘, bzw. ,transzendentale‘ Voraussetzung, und damit die ,Verfikation‘ der Widerspruchsfreiheit, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Existenz-Definition-3 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und im Identitäts-Axiom-5 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Dieser Sachverhalt verweist auf eine Art ,Äquivalenz‘ der drei Terme ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ↔ E'''<sub>not</sub>'''x ↔ PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>; das <span style="color:#4C58FF">‚'''E'''‘</span> wird im Kalkül nur GOTT <span style="color:#4C58FF">‚'''Gx'''‘</span> zugeordnet; vgl. auch 3. Beweisgang, Anmerkung-4, erster Absatz.)</span> Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche <u>nichts mehr</u> als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese'', <span style="color:#00B000">[ die ,Möglichen‘ ]</span>, ''den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene'', <span style="color:#00B000">[ die ,Wirklichen‘ ]</span>, ''aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>in re</big></span>“</span>, Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit vergänglichen Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘, unvergängliche GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„definitiv möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen, allgemeinen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft, als </span><span style="color:#FF6000">»</span>''bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA, — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury, — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E<sub>not</sub>) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''dann existiert dieser GOTT'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL, — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Hier hat KANT sich ,methodologisch‘ geirrt. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit rational sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span>, der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘ und alle Zuschreibungen)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit dem FUHRMANN-Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit dem FUHRMANN-Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz-Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Notwendigkeits-Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Wesens-Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(FUHRMANN-Korollar-3)</span>. Das Notwendigkeits-Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für das FUHRMANN-Korollar. Wenn im FUHRMANN-Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder — zugleich — für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch zugleich für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder zugleich für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und ,zugleich‘ auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch ,zugleich‘ auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E<sub>not</sub>) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>. In der Existenz-Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>ess</sub>‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000"> (speziell mit den Definitionen, ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. Die erste Prämisse, <span style="color:#00B000"> (lateinisch ‚<span style="font-family: Times;"><big>praemissa</big></span>‘,<span style="color:#FF6600"> „das Vorausgeschickte“</span>)</span>, in den ersten drei Beweisgängen, ist eine kategorische Existenz-Aussage. Die erste Prämisse im Beweisgang ,Widerlegung‘ ist die Negation einer hypothetischen Existenz-Aussage. Prämissen sind, als solche, immer frei wählbare ,Annahmen‘. Existenz-Aussagen sind der ,modal‘ frei gewählte, und nicht mehr hinterfragbare, fixe Ausgangspunkt einer ,möglichen‘, logischen Beweisführung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> als ,Transzendentalia‘ evaluiert wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit der GOTT-Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Koinzidenz-Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Koinzidenz-Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit, allgemein, in allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für ihre ,positiven Eigenschaften‘, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, ,bestimmt‘ oder ,unbestimmt‘, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Möglichkeits-Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit dem GOTT-Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18, <span style="color:#00B000">(gleichlautend mit Term :10:)</span>, steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Eigenschaften Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{ } & \text{„Die Eigenschaften Y in GOTT sind positiv“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis !} \\ \text{32} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 sind zwei-, bzw, in Zeile 22 sind drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen worden. Das Regulär-Zeichen — ├ — steht vor solchen Termen, die ein Element eines KONDITIONALEN-BEWEISES sind,)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird, mit Korollar-2, diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch die GOTT-Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide, mit ,und‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∧'''‘ —</span>, verbundene, Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, das Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, als auch die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den ,GOTT‘ der Christen. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,realen‘ GOTT der Christen, weil es für diesen GOTT ohne Widerspruch denkbar, bzw. ,möglich‘ ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, dem Badis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg in den GÖDEL-Notizen, über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch die GOTT-Definition-1 und das GOTT-Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Basis-Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl das Identitäts-Axiom-5 als auch die Existenz-Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zum Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört, wenn hier das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht; genauer ''':''' Die <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ist in GOTT die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Notwendigkeits-Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Notwendigkeits-Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im modalen Notwendigkeits-Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span>, unter der unumgänglichen Bedingung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ zutrifft, die weder positiv noch negativ sind, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Alle Modal-Logiken, die sich auf diese Regel stützen, sind nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn sie sich auf Aussagen über <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> beziehen. Andernfalls sind sie <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang aus dem Notwendigkeits-Axiom-4 und mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der GOTT-Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Wesens-Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Notwendigkeits-Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Das Notwendigkeits-Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das FUHRMANN-Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2. Das Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. auch in GOTT ,eins‘ sind. Das Koinzidenz-Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Die Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Wesens-Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zur Wesens-Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Diese paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Möglichkeits-Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Basis-Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach A. FUHRMANN)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit zuerst noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' <span style="color:#00B000">(Diese Ergebnis-Zusammenfassung ist eine Vorwegnahme und die Bestätigung für meine Interpretation des Glaubens-Theorem ANSELMS, hier im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt, ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei''«</span>.)</span> Das Möglichkeits-Korollar-1 ist ,regulär‘ nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit dem Möglichkeits-Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(gegenseitig)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das GOTT-Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Das Koinzidenz-Axiom-2 ,besagt‘ allgemein, dass alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Das Koinzidenz-Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch das GOTT-Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> im Koinzidenz-Axiom-2 steht allgemein für alles Seiende. Dieses Axiom wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Eigenschafts-Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :15: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit dem Möglichkeits-Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Das Koinzidenz-Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Existenz der Transzendentalien ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, ist ein Faktum unserer Welt, das mit Beispielen belegbar ist ''':''' Transzendentalien gibt es, als ,empirisch‘-sprachliche Grundlage des ontologischen ,Beweises‘, genau so, wie es auch Sterne gibt. Darauf beruht die Stringenz der <span style="color:#4C58FF">»''axiomatischen Theologie''«</span> GÖDELS. Damit ist es ihm endgültig gelungen, eine eminent geisteswissenschaftliche Frage, die Jahrhunderte hindurch, lang kontrovers war, einer Lösung zuzuführen, die nun unwiderruflich gültig ist, und es auch bleiben wird ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ist wahr, und bildet die Realität unserer Welt, wie sie tatsächlich ist, widerspruchsfrei ab; der ,Nicht-GOTT-Glaube‘ ist falsch, und täuscht sich vollkommen in seiner Welt-Wahrnehmung, die nachweisbar widersprüchlich, und damit unsinnig ist. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,ultimativen Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend dem Koinzidenz-Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den beiden Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, <span style="color:#00B000">(mit GÖDEL ''':''' aus dem Widerspruch des Gegenteils)</span>, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von dem Koinzidenz-Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die ,Koinzidenz‘ auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Im Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer mitgedacht werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchsfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen. Eine ,Theologie‘, die solches sagt, und die, auch als vertrauenswürdige ,Wissenschaft von GOTT‘, akzeptiert wird, hat Interpretations-Vorrang, jedesmal, wenn es um die ,Rede von GOTT‘ geht. Das war für KANT jedoch ,methodologisch‘ weder denkbar, noch nachvollziehbar.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Beide meinten <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, ANSELM wolle mit seinem Theorem <span style="color:#00B000">(einem Narren)</span> die ,Existenz‘ GOTTES ,beweisen‘. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es rationaler ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Mit logischen ,Beweisen‘ wird es niemals möglich sein, einen GOTT-Glauben ,erzeugen‘ oder ,lukrieren‘ zu können, was jeder Mensch ohnehin weiss, und immer schon gewusst hat. <span style="color:#00B000">(Jeder Priester und jeder Bischof weiss das ''':''' Glaube ist ein Geschenk, das man erhält, wenn man darum bittet.)</span> Für den Erzbischof ANSELM ging es vielmehr um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. ob <u>der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. ANSELM wollte mit seinem Theorem erreichen, der zitierte Narr sollte bloß einsehen, dass es sinnvoll und vernünftig sein kann, an GOTT zu glauben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den ausstehenden Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. für die gesuchte ,Sinnhaftigkeit‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt, — nach GÖDEL —, universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ d.h. auch ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ]</span>«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen dem Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und rational unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei <span style="color:#FF6000">»''heute noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>. Das ist auch der Ausgangspunkt der GÖDEL-Argumentation zum Endergebnis ''':''' dem ANSELM-Theorem-3, in seinen Notizen)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Damit ist syntaktisch bewiesen, die Aussage über die ,notwendige‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span> ,Existenz GOTTES‘, als 1. Hauptergebnis, ist eine notwendige Konsequenz aus der ,methodologischen‘ Glaubensaussage im Term :01:. Im Theorem ANSELMS steht dieses 1. Hauptergebnis nun, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil, auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse, als seine notwendige Bedingung, an erster Stelle vor sich, die seinen Inhalt bestätigt, d.h. seine ,Notwendigkeit‘, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der hier nur die Widerspruchsfreiheit des Konsequenz-Teiles bestätigt, <span style="color:#00B000">(d.h. seine Glaubens-Annahme ''':''' die ,notwendige Existenz GOTTES‘, ist widerspruchsfrei '''!''' )</span>, und der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist syntaktisch nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Koinzidenz-Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das Antezedens im Argument ANSELMS, das Möglichkeits-Korollar-1, kann jedoch nie die persönliche Entscheidung zum Glauben, z. B. an den GOTT der Christen, im Menschen ersetzen. Das Argument ANSELMS besagt also ''':''' der Glaube eines gläubigen Menschen ist logisch widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird; auch von A. FUHRMANN, wie auch von G. J. WIRSCHING)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum des GOTT-Glaubens, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, <span style="color:#00B000">(was mit dem 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang noch einmal bestätigt wird)</span>. Die ,Notwendigkeit‘ GOTTES ist immer schon eine ,vorgängig‘ entschiedene Glaubensaussage. Das GÖDEL-Kalkül beweist, <span style="color:#00B000">(mit dem Antezedens im 2. Hauptergebnis)</span>, dass diese Grundüberzeugung eines GOTT-Gläubigen widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, mit allen seinen unbegrenzten ,Möglichkeiten’. ---- ---- ;Fußnoten <references /> 2opmmy5kzhrd3bvrs3eo8mfl7kjc0sz 1093250 1093249 2026-11-03T11:24:59Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ Zusatz 1093250 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist. ,Existenz‘, an sich, ist, — nach ARISTOTELES<ref>,Existenz’ ist ,Prinzip’, d.h. ist der Ausgangspunkt eines Beweises. Es zeigt von Unbildung und Unwissenheit, Prinzipien ‚beweisen’ zu wollen — sagt ARISTOTELES in <span style="color:#00B000">‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metphysik</big></span>''‘, IV 4, 1006a 5-8</span>. Ein ‚Prinzip’ ist <span style="color:#FF6600">»''im Hinblick auf sich selbst''«</span>, z. B. durch einen Hinweis, oder <span style="color:#FF6600">»''durch sich selbst''«</span> einsehbar/intellegibel.</ref> — ,unbeweisbar‘. Sie ist, als frei wählbare Prämisse, immer nur der fixe und nicht hinterfragbare Ausgangspunkt einer möglichen logischen Beweisführung. Auf die Existenz kann man nur ,hinweisen‘.)</span> Für ANSELM selbst, wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Beweisen, bzw. darauf ,hinweisen‘, kann man, z. B. auf die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso ,bewiesen‘ werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen ,Beweis‘ für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ANSELM ,beweist‘ jedoch, dass es sinnvoll ist, an GOTT zu glauben. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, der <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existiert“</span>, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden in der materiellen Welt, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich wechselseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Koinzidenz-Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Wesens-Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit dem dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und dem Koinzidenz-Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit der Wesens-Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>.)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen sind jedoch nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Transzendentalia‘, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>, belegt werden. Sie werden sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Dieses Identitäts-Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen, ,identisch‘ sind. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, genauer ''':''' d.i die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Identitärs-Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ Die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Die GOTT-Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Idenditäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Idenditäts-Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit dem Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit dem Axiom-1 von der Widerspruchsfreiheit und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> dem Identitäts-Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Basis-Theorem von der Gleichheit von Wesen und Sein, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ 2. Beweisgang für das Basis-Theorem-2. Somit ist das Idenditäts-Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit seinem Korollar-3, das André FUHRMANN im Kalkül zusätzlich abgeleitet hat ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt, im Anhang ''':''' ,Widerlegung‘. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie A. FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 13</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte, indem er die ,Unabhängigkeit‘ seines GOTT-Axioms ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> und der GOTT-Definition für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, den GOTT der Christen, von der<span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> verlangt. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>, m.a.W. <span style="color:#FF6000">»''das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''hat die Wesenseigenschaft, GOTT zu sein''«</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zur Immanuel KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne ihn zu hinterfragen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem GOTT der Christen, bzw. mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Identitäts-Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach dem Identitäts-Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird ,systematisch‘ mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ <span style="color:#FF6000">„Prämisse :01:“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit der GOTT-Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit dem GOTT-Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in der GOTT-Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> <span style="color:#00B000">(GOTTES)</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia in GOTT gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in der Existenz-Definition-3 als auch im Identitäts-Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ,ontologischen Identität‘, d.i. die ,Koinzidenz‘ von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne das Identitäts-Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''die Wesenseigenschaft'', <span style="color:#4C58FF">—<sub>ess</sub>—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''dieses GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit dem FUHRMANN-Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; synonym mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, reine ,Aktualität‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span> —, im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von dem Notwendigkeits-Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''<sub>ess</sub>‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span> syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als dann auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was im FUHRMANN-Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span>, mit der syntaktischen Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der ,Einheit‘ beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''<sub>ess</sub>‘</span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Das Basis-Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Äquivalenz, die zweiseitig gelesen werden kann, die zugleich aber auch eine logische Definition zur <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Bestimmung für GOTT darstellt ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span></div> Damit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(mit einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Basis-Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das als Basis-Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung, die ,Basis‘ jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurde, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass GOTT in dem GOTT-Axiom-3 und in der GOTT-Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v. Ch. durch die Truppen des Babyloniers NEBUKADNEZZAR II. Der Perser KYROS II hat, laut Bibel von GOTT gerufen, zur Vergeltung, das Reich der Babylonier 539 v. Ch. erobert, und den Tempel in Jerusalem tatkräftig wiederherstellen lassen.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Sein und Wesen in GOTT, ist die, für uns <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, die koinzident ist mit der <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> an sich ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Koinzidenz von göttlicher Präsenz und göttlicher Vollkommenheit ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub> —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,heilstheologisch‘</span> Folgendes ''':''' Die, für uns ,notwendige‘ Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES ,Wesen‘ ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ seine Gegenwärtigkeit ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird zu unserem <span style="color:#4C58FF">,Heil‘</span>, d.h. der uns, und die Welt, von der Korruption der Sünde und der Verfallenheit in einen ewigen Tod <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird, d.h. GOTT führt uns zur ,Vollkommenheit‘, weil er ,vollkommen‘ ist, jedoch nicht ohne unserer ausdrücklichen Zustimmung. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, die Vereinigung des ,Vollkommenen‘ mit dem ,Unvollkommenen‘, ist der Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> mit ihren <span style="color:#4C58FF">„Sakramenten“</span>. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, für sich, im Glauben ,annehmen‘ zu können, um ,vollkommen‘ und ,heilig‘ zu werden, wie GOTT, durch GOTT. Das <span style="color:#FF6000">„Sein wie GOTT“</span> ist für uns jetzt ,zum Greifen nah‘.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt, durch Beispiele belegbar)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal notwendige‘, bzw. ,transzendentale‘ Voraussetzung, und damit die ,Verfikation‘ der Widerspruchsfreiheit, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Existenz-Definition-3 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und im Identitäts-Axiom-5 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Dieser Sachverhalt verweist auf eine Art ,Äquivalenz‘ der drei Terme ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ↔ E'''<sub>not</sub>'''x ↔ PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>; das <span style="color:#4C58FF">‚'''E'''‘</span> wird im Kalkül nur GOTT <span style="color:#4C58FF">‚'''Gx'''‘</span> zugeordnet; vgl. auch 3. Beweisgang, Anmerkung-4, erster Absatz.)</span> Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche <u>nichts mehr</u> als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese'', <span style="color:#00B000">[ die ,Möglichen‘ ]</span>, ''den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene'', <span style="color:#00B000">[ die ,Wirklichen‘ ]</span>, ''aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>in re</big></span>“</span>, Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit vergänglichen Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘, unvergängliche GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„definitiv möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen, allgemeinen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft, als </span><span style="color:#FF6000">»</span>''bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA, — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury, — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E<sub>not</sub>) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''dann existiert dieser GOTT'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL, — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Hier hat KANT sich ,methodologisch‘ geirrt. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit rational sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span>, der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘ und alle Zuschreibungen)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit dem FUHRMANN-Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit dem FUHRMANN-Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz-Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Notwendigkeits-Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Wesens-Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(FUHRMANN-Korollar-3)</span>. Das Notwendigkeits-Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für das FUHRMANN-Korollar. Wenn im FUHRMANN-Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder — zugleich — für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch zugleich für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder zugleich für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und ,zugleich‘ auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch ,zugleich‘ auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E<sub>not</sub>) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — <sub>not</sub> —</span>. In der Existenz-Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — <sub>ess</sub> — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— <sub>ess</sub>‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die, als ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen, aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000"> (speziell mit den Definitionen, ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. Die erste Prämisse, <span style="color:#00B000"> (lateinisch ‚<span style="font-family: Times;"><big>praemissa</big></span>‘,<span style="color:#FF6600"> „das Vorausgeschickte“</span>)</span>, in den ersten drei Beweisgängen, ist eine kategorische Existenz-Aussage. Die erste Prämisse im Beweisgang ,Widerlegung‘ ist die Negation einer hypothetischen Existenz-Aussage. Prämissen sind, als solche, immer frei wählbare ,Annahmen‘. Existenz-Aussagen sind der ,modal‘ frei gewählte, und nicht mehr hinterfragbare, fixe Ausgangspunkt einer ,möglichen‘, logischen Beweisführung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> als ,Transzendentalia‘ evaluiert wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit der GOTT-Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Koinzidenz-Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Koinzidenz-Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit, allgemein, in allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für ihre ,positiven Eigenschaften‘, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, ,bestimmt‘ oder ,unbestimmt‘, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Möglichkeits-Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit dem GOTT-Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18, <span style="color:#00B000">(gleichlautend mit Term :10:)</span>, steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Eigenschaften Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{ } & \text{„Die Eigenschaften Y in GOTT sind positiv“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis !} \\ \text{32} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 sind zwei-, bzw, in Zeile 22 sind drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen worden. Das Regulär-Zeichen — ├ — steht vor solchen Termen, die dann im Beweisverlauf als Element eines KONDITIONALEN-BEWEISES gebraucht werden.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird, mit Korollar-2, diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''<sub>ess</sub>‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch die GOTT-Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide, mit ,und‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∧'''‘ —</span>, verbundene, Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, das Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, als auch die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den ,GOTT‘ der Christen. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,realen‘ GOTT der Christen, weil es für diesen GOTT ohne Widerspruch denkbar, bzw. ,möglich‘ ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, dem Badis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Sie ist, durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg in den GÖDEL-Notizen, über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch die GOTT-Definition-1 und das GOTT-Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Basis-Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl das Identitäts-Axiom-5 als auch die Existenz-Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zum Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— <sub>not</sub> —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>'''x ↔ ∀X(X'''<sub>ess</sub>'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''<sub>not</sub>‘ —</span>, zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört, wenn hier das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht; genauer ''':''' Die <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ist in GOTT die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Notwendigkeits-Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Notwendigkeits-Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im modalen Notwendigkeits-Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span>, unter der unumgänglichen Bedingung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ zutrifft, die weder positiv noch negativ sind, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Alle Modal-Logiken, die sich auf diese Regel stützen, sind nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn sie sich auf Aussagen über <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> beziehen. Andernfalls sind sie <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''<sub>not</sub>'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang aus dem Notwendigkeits-Axiom-4 und mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der GOTT-Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Wesens-Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Notwendigkeits-Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. <span style="color:#FF6000">„Positive Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''<sub>not</sub>‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Das Notwendigkeits-Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das FUHRMANN-Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2. Das Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. auch in GOTT ,eins‘ sind. Das Koinzidenz-Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Die Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''<sub>ess</sub>'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Wesens-Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zur Wesens-Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Diese paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Möglichkeits-Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Basis-Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach A. FUHRMANN)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit zuerst noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' <span style="color:#00B000">(Diese Ergebnis-Zusammenfassung ist eine Vorwegnahme und die Bestätigung für meine Interpretation des Glaubens-Theorem ANSELMS, hier im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt, ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei''«</span>.)</span> Das Möglichkeits-Korollar-1 ist ,regulär‘ nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''<sub>ess</sub>'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit dem Möglichkeits-Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(gegenseitig)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das GOTT-Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Das Koinzidenz-Axiom-2 ,besagt‘ allgemein, dass alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Das Koinzidenz-Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch das GOTT-Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> im Koinzidenz-Axiom-2 steht allgemein für alles Seiende. Dieses Axiom wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Eigenschafts-Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :15: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit dem Möglichkeits-Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Das Koinzidenz-Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Existenz der Transzendentalien ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, ist ein Faktum unserer Welt, das mit Beispielen belegbar ist ''':''' Transzendentalien gibt es, als ,empirisch‘-sprachliche Grundlage des ontologischen ,Beweises‘, genau so, wie es auch Sterne gibt. Darauf beruht die Stringenz der <span style="color:#4C58FF">»''axiomatischen Theologie''«</span> GÖDELS. Damit ist es ihm endgültig gelungen, eine eminent geisteswissenschaftliche Frage, die Jahrhunderte hindurch, lang kontrovers war, einer Lösung zuzuführen, die nun unwiderruflich gültig ist, und es auch bleiben wird ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ist wahr, und bildet die Realität unserer Welt, wie sie tatsächlich ist, widerspruchsfrei ab; der ,Nicht-GOTT-Glaube‘ ist falsch, und täuscht sich vollkommen in seiner Welt-Wahrnehmung, die nachweisbar widersprüchlich, und damit unsinnig ist. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,ultimativen Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend dem Koinzidenz-Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den beiden Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, <span style="color:#00B000">(mit GÖDEL ''':''' aus dem Widerspruch des Gegenteils)</span>, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von dem Koinzidenz-Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die ,Koinzidenz‘ auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Im Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer mitgedacht werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchsfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen. Eine ,Theologie‘, die solches sagt, und die, auch als vertrauenswürdige ,Wissenschaft von GOTT‘, akzeptiert wird, hat Interpretations-Vorrang, jedesmal, wenn es um die ,Rede von GOTT‘ geht. Das war für KANT jedoch ,methodologisch‘ weder denkbar, noch nachvollziehbar.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Beide meinten <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, ANSELM wolle mit seinem Theorem <span style="color:#00B000">(einem Narren)</span> die ,Existenz‘ GOTTES ,beweisen‘. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es rationaler ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Mit logischen ,Beweisen‘ wird es niemals möglich sein, einen GOTT-Glauben ,erzeugen‘ oder ,lukrieren‘ zu können, was jeder Mensch ohnehin weiss, und immer schon gewusst hat. <span style="color:#00B000">(Jeder Priester und jeder Bischof weiss das ''':''' Glaube ist ein Geschenk, das man erhält, wenn man darum bittet.)</span> Für den Erzbischof ANSELM ging es vielmehr um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. ob <u>der Glaube</u> rational und ,zweifellos‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. ANSELM wollte mit seinem Theorem erreichen, der zitierte Narr sollte bloß einsehen, dass es sinnvoll und vernünftig sein kann, an GOTT zu glauben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den ausstehenden Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. für die gesuchte ,Sinnhaftigkeit‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt, — nach GÖDEL —, universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ d.h. auch ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ]</span>«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen dem Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und rational unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei <span style="color:#FF6000">»''heute noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>. Das ist auch der Ausgangspunkt der GÖDEL-Argumentation zum Endergebnis ''':''' dem ANSELM-Theorem-3, in seinen Notizen)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Damit ist syntaktisch bewiesen, die Aussage über die ,notwendige‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span> ,Existenz GOTTES‘, als 1. Hauptergebnis, ist eine notwendige Konsequenz aus der ,methodologischen‘ Glaubensaussage im Term :01:. Im Theorem ANSELMS steht dieses 1. Hauptergebnis nun, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil, auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse, als seine notwendige Bedingung, an erster Stelle vor sich, die seinen Inhalt bestätigt, d.h. seine ,Notwendigkeit‘, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der hier nur die Widerspruchsfreiheit des Konsequenz-Teiles bestätigt, <span style="color:#00B000">(d.h. seine Glaubens-Annahme ''':''' die ,notwendige Existenz GOTTES‘, ist widerspruchsfrei '''!''' )</span>, und der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist syntaktisch nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Koinzidenz-Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das Antezedens im Argument ANSELMS, das Möglichkeits-Korollar-1, kann jedoch nie die persönliche Entscheidung zum Glauben, z. B. an den GOTT der Christen, im Menschen ersetzen. Das Argument ANSELMS besagt also ''':''' der Glaube eines gläubigen Menschen ist logisch widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird; auch von A. FUHRMANN, wie auch von G. J. WIRSCHING)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum des GOTT-Glaubens, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, <span style="color:#00B000">(was mit dem 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang noch einmal bestätigt wird)</span>. Die ,Notwendigkeit‘ GOTTES ist immer schon eine ,vorgängig‘ entschiedene Glaubensaussage. Das GÖDEL-Kalkül beweist, <span style="color:#00B000">(mit dem Antezedens im 2. Hauptergebnis)</span>, dass diese Grundüberzeugung eines GOTT-Gläubigen widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, mit allen seinen unbegrenzten ,Möglichkeiten’. ---- ---- ;Fußnoten <references /> 1ya1hhd0upfn0gzriw2x2xg5e8cnsuo OpenSCAD Benutzerhandbuch/ Erste Schritte 0 122144 1093224 1092898 2026-11-02T15:22:42Z Jowi-ammerbuch 115360 1093224 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_Handbuch-Einführung|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_Handbuch-Inhalt|Handbuch-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_Distributoren|Weiter]] }} ([[:en:OpenSCAD User Manual/First Steps|Englisches Original dieser Übersetzung]]) Du erstellst dein erstes Modell nachdem du OpenSCAD installiert hast. == Erstellen eines einfachen Modells == Für unser erstes Modell erstellen wir einen einfachen Quader mit den Abmessungen 2 × 3 × 4. Starte dazu OpenSCAD. Du solltest nun ein Vorschaufenster, eine Werkzeugleiste, eine Konsole und ein Editorfenster sehen. Falls eines dieser Elemente ausgeblendet ist, kannst du es über das Menü '''Ansicht''' (View) wieder einblenden, indem du die entsprechenden deaktivierten Einträge erneut aktivierst. Um den Quader zu erzeugen, gibst du im Editorfenster von OpenSCAD folgenden einzeiligen Befehl ein: {| width="100%" | |'''Verwendungsbeispiel 1 – einfacher Quader:''' |- | |<syntaxhighlight lang="javascript"> cube([2,3,4]); </syntaxhighlight> |[[File:OpenSCAD_Simple_Cuboid.png|thumb|Einfacher Quader in OpenSCAD]] |} === Kompilieren und Rendern unseres ersten Modells === Der Quader kann nun kompiliert und gerendert werden, indem du die Funktionstaste '''F5''' (Vorschau) oder '''F6''' (vollständiges Rendern) drückst, während das Editorfenster den Fokus hat. Du solltest jetzt dein Objekt im Vorschaufenster wie oben gezeigt sehen. Wir haben bereits gesehen, wie man einen einfachen Quader erstellt. Als Nächstes versuchen wir, mithilfe des 'translate' -Befehls einen identischen Quader direkt neben den bestehenden zu platzieren. Gib dazu den folgenden Code ein – insgesamt sind es vier Zeilen. Drücke anschließend die Taste '''F5''' (Vorschau) oder '''F6''' (vollständiges Rendern), um das Ergebnis anzuzeigen. === Unser Objekt positionieren === {| width="100%" |'''Verwendungsbeispiel 1 – Positionieren eines Objekts:''' |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> cube([2,3,4]); translate([3,0,0]) { cube([2,3,4]); } </syntaxhighlight> |[[File:OpenSCAD_Positioning_an_Object.png|thumb|Positionieren eines Objekts in OpenSCAD]] |} ==== Der translate-Operator darf keine Anweisung abschließen ==== Beachte, dass nach dem [[OpenSCAD_User_Manual/Transformations#Transform_Modules|'translate'-Operator]] ''kein Semikolon'' steht. Ein Transformations-Operator wie 'translate' muss stets von einem Objekt (z. B. ''cube'', ''sphere'' etc.) oder einem Block von Objekten (in geschweiften Klammern ''{}'') gefolgt werden – er ist selbst kein eigenständiger Befehl, sondern wirkt auf das darauf folgende Objekt. === Die Farbe eines Objekts ändern === Jedes Objekt – oder eine Gruppe von Objekten – kann eingefärbt werden, indem man dem Aufruf des [[OpenSCAD User Manual/Primitive Solids|Objekt-Moduls]] den [[OpenSCAD_User_Manual/Transformations#color|<code>color()</code>]]-[[OpenSCAD_User_Manual/User-Defined_Functions_and_Modules#Operator_modules|Operator-Modul]] voranstellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Farbe anzugeben: ; RGB-Vektor : drei Gleitkommazahlen im Bereich [0,0 bis 1,0] in einem dreielementigen Vektor [<code>&lt;rot&gt;</code>, <code>&lt;grün&gt;</code>, <code>&lt;blau&gt;</code>] ; "<code>&lt;Farbname&gt;</code>" : ein Zeichenkette mit einem Farbnamen aus der [[w:Web Colors|Liste der Webfarben]] {{NOTE|Die Farbdarstellung funktioniert nur im Vorschaumodus (F5); der Render-Modus (F6) unterstützt aktuell keine Farben.}} {| width="100%" |'''Verwendungsbeispiel 1 – Farbe eines Objekts ändern:''' |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> color([1,0,0]) cube([2,3,4]); translate([3,0,0]) color([0,1,0]) cube([2,3,4]); translate([6,0,0]) color([0,0,1]) cube([2,3,4]); </syntaxhighlight> |[[File:OpenSCAD_Changing_Color.png|thumb|150px|Farbänderung eines Objekts in OpenSCAD]] |} Ein <code>color()</code>-Operator kann wie jeder andere Operator (z. B. <code>translate()</code>) in einer Kette von Operatoren vor dem Aufruf eines Objekt-Moduls verwendet werden. Durch die Verwendung von geschweiften Klammern (<code>{}</code>) zur Definition eines Gültigkeitsbereichs („Scope“) wird die Farbe – oder ein beliebiger anderer Operator – auf alle darin enthaltenen Objekte angewendet: <syntaxhighlight lang="javascript"> color([0,0,1]) { translate([6,0,0]) cube([2,3,4]); translate([-6,0,0]) cube([2,3,4]); } </syntaxhighlight> In einer Kette mehrerer Operatoren hat der ''erste'' Aufruf von <code>color()</code> Vorrang – alle nachfolgenden <code>color()</code>-Angaben innerhalb derselben Kette werden ignoriert. == Modell-Ansichten == {{incomplete}} Das Menü „Ansicht“ („View“) oben im Anwendungsfenster von OpenSCAD bietet eine Reihe von Anzeigeoptionen für das Modellansichtsfenster. ==== Surfaces ==== Die Oberflächenansicht („Flächen“) ist die Standard-Ansicht, die erscheint, sobald der Modellcode zum ersten Mal gerendert wird. Du kannst jederzeit zu dieser Ansicht zurückkehren, indem du im Menü „Ansicht >> Flächen“ wählst (unter Linux mit der Taste '''F10'''). ==== Gittermodell (engl. ''wireframe'') ==== Designer wählen oft „Ansicht >> Gittermodell“ (unter Linux mit '''F11'''), besonders wenn sie mit einem besonders komplexen 3D-Modell arbeiten. Die Drahtgitteransicht („Gittermodell“) zeigt nur ein Gitter – gewissermaßen das „Gerüst“ unter der Oberfläche. Stell dir den Eiffelturm vor: Du siehst nur die Kanten und Strukturen, nicht die Flächen dazwischen. Ein Drahtgittermodell ist eine visuelle Darstellung eines dreidimensionalen oder physischen Objekts. Diese Modelliermethode besteht ausschließlich aus Linien, Punkten und Kurven, die die Kanten des Objekts definieren. Mithilfe eines Drahtgittermodells lässt sich die zugrunde liegende Struktur eines 3D-Modells leicht visualisieren. Da Drahtgitter-Darstellungen relativ einfach und schnell berechnet werden können, werden sie häufig dann eingesetzt, wenn eine hohe Bildwiederholrate erforderlich ist – beispielsweise bei der Arbeit an sehr komplexen Modellen oder in Echtzeitsystemen, die äußere Phänomene simulieren. Wenn mehr grafische Details gewünscht werden, können nach Abschluss der Gittermodelldarstellung automatisch Oberflächentexturen hinzugefügt werden. So kann der Designer Änderungen schnell überprüfen oder das Objekt in neue Blickrichtungen drehen, ohne auf langsame, fotorealistische Renderings warten zu müssen. Das Drahtgitterformat eignet sich außerdem hervorragend als Grundlage für Werkzeugwege in DNC-Systemen (Direct Numerical Control) und wird häufig als Eingabe für CAM-Systeme (Computer-Aided Manufacturing) verwendet. Unter den drei gängigen CAD-Ansichten ist „Gittermodell“ die abstrakteste und am wenigsten realistische. == The OpenCSG view == Wählst du „Ansicht >> Vorschau (F9)“, verwendet OpenSCAD die OpenCSG-Bibliothek (Open Constructive Solid Geometry), um die Modellansicht mithilfe von OpenGL darzustellen. Falls die OpenCSG-Bibliothek nicht verfügbar ist oder deine Grafikkarte bzw. deren Treiber keine ausreichende OpenGL-Unterstützung bieten, wird in dieser Ansicht keine sichtbare Ausgabe erzeugt. == Kombinierte Anzeige == Die Option „Ansicht >> Kombinierte Anzeige“ überlagert alle vorherigen Ansichten in einem einzigen Bildschirm. Besonders wichtig dabei: Objekte, die mit dem <code>difference()</code>-Befehl ausgeschnitten wurden, werden standardmäßig als '''grüne Vollkörper''' dargestellt – also nicht als leerer Raum, sondern als sichtbare Geometrie in einer eigenen Farbe. Das hilft dabei, zu erkennen, welche Teile durch boolesche Differenzen entfernt werden sollen, und erleichtert das Debuggen komplexer CSG-Konstruktionen. [[File:openscad_new.png|thumb|OpenSCAD direkt nach dem Start]] Öffne eines der vielen mitgelieferten Beispiele über das Menü ('''Datei → Beispiele'''), oder kopiere und füge folgendes einfaches Beispiel in das OpenSCAD-Fenster ein: {| width="50%" |'''Verwendungsbeispiel 1''' |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> difference() { cube(30, center=true); sphere(20); } translate([0, 0, 30]) { cylinder(h=40, r=10); } </syntaxhighlight> |} [[File:openscad_first_steps.png|thumb|OpenSCAD nach dem Einfügen des Beispielcodes und Drücken von F5]] Drücke anschließend '''F5''', um eine grafische Vorschau deines Codes anzuzeigen (oder '''F6''', um eine vollständig gerenderte Ansicht zu erhalten). == Maussteuerung im Vorschaufenster == Im Vorschaufenster stehen dir drei Arten der Bewegung zur Verfügung: # '''Linke Maustaste ziehen''', um die Ansicht um das Rotationszentrum (sichtbar mit '''Strg+3''') entlang der X- und Z-Achse zu drehen. Die unterste Zeile im Fenster zeigt dabei die aktuellen Rotationswerte an. (Halte '''Umschalttaste (Shift)''' gedrückt, während du mit der linken Maustaste ziehst, um stattdessen um die X- und Y-Achse zu rotieren.) # '''Ziehen mit einer anderen Maustaste''' (z. B. rechte Maustaste) oder '''Strg + Ziehen''' (unter macOS: '''Cmd + Ziehen''') verschiebt die gesamte Ansicht. Die unterste Zeile zeigt dann die aktuellen Verschiebungswerte an. # '''Mausrad rollen''', um hinein- oder herauszuzoomen. Alternativ kannst du auch die '''+'''- und '''–'''-Tasten verwenden oder '''Umschalt + Rechtsklick-Ziehen''' (unter macOS: '''Cmd+Umschalt + Ziehen'''). Der „Viewport“-Eintrag in der untersten Fensterzeile zeigt dabei die Änderung des Abstands (Zoomstufe) an. c9hjlo3845qt7to4rw8do1wlmdbjp0s 1093225 1093224 2026-11-02T15:23:10Z Jowi-ammerbuch 115360 1093225 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_Handbuch-Einführung|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_Handbuch-Inhalt|Handbuch-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_Benutzeroberflaeche|Weiter]] }} ([[:en:OpenSCAD User Manual/First Steps|Englisches Original dieser Übersetzung]]) Du erstellst dein erstes Modell nachdem du OpenSCAD installiert hast. == Erstellen eines einfachen Modells == Für unser erstes Modell erstellen wir einen einfachen Quader mit den Abmessungen 2 × 3 × 4. Starte dazu OpenSCAD. Du solltest nun ein Vorschaufenster, eine Werkzeugleiste, eine Konsole und ein Editorfenster sehen. Falls eines dieser Elemente ausgeblendet ist, kannst du es über das Menü '''Ansicht''' (View) wieder einblenden, indem du die entsprechenden deaktivierten Einträge erneut aktivierst. Um den Quader zu erzeugen, gibst du im Editorfenster von OpenSCAD folgenden einzeiligen Befehl ein: {| width="100%" | |'''Verwendungsbeispiel 1 – einfacher Quader:''' |- | |<syntaxhighlight lang="javascript"> cube([2,3,4]); </syntaxhighlight> |[[File:OpenSCAD_Simple_Cuboid.png|thumb|Einfacher Quader in OpenSCAD]] |} === Kompilieren und Rendern unseres ersten Modells === Der Quader kann nun kompiliert und gerendert werden, indem du die Funktionstaste '''F5''' (Vorschau) oder '''F6''' (vollständiges Rendern) drückst, während das Editorfenster den Fokus hat. Du solltest jetzt dein Objekt im Vorschaufenster wie oben gezeigt sehen. Wir haben bereits gesehen, wie man einen einfachen Quader erstellt. Als Nächstes versuchen wir, mithilfe des 'translate' -Befehls einen identischen Quader direkt neben den bestehenden zu platzieren. Gib dazu den folgenden Code ein – insgesamt sind es vier Zeilen. Drücke anschließend die Taste '''F5''' (Vorschau) oder '''F6''' (vollständiges Rendern), um das Ergebnis anzuzeigen. === Unser Objekt positionieren === {| width="100%" |'''Verwendungsbeispiel 1 – Positionieren eines Objekts:''' |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> cube([2,3,4]); translate([3,0,0]) { cube([2,3,4]); } </syntaxhighlight> |[[File:OpenSCAD_Positioning_an_Object.png|thumb|Positionieren eines Objekts in OpenSCAD]] |} ==== Der translate-Operator darf keine Anweisung abschließen ==== Beachte, dass nach dem [[OpenSCAD_User_Manual/Transformations#Transform_Modules|'translate'-Operator]] ''kein Semikolon'' steht. Ein Transformations-Operator wie 'translate' muss stets von einem Objekt (z. B. ''cube'', ''sphere'' etc.) oder einem Block von Objekten (in geschweiften Klammern ''{}'') gefolgt werden – er ist selbst kein eigenständiger Befehl, sondern wirkt auf das darauf folgende Objekt. === Die Farbe eines Objekts ändern === Jedes Objekt – oder eine Gruppe von Objekten – kann eingefärbt werden, indem man dem Aufruf des [[OpenSCAD User Manual/Primitive Solids|Objekt-Moduls]] den [[OpenSCAD_User_Manual/Transformations#color|<code>color()</code>]]-[[OpenSCAD_User_Manual/User-Defined_Functions_and_Modules#Operator_modules|Operator-Modul]] voranstellt. Es gibt zwei Möglichkeiten, die Farbe anzugeben: ; RGB-Vektor : drei Gleitkommazahlen im Bereich [0,0 bis 1,0] in einem dreielementigen Vektor [<code>&lt;rot&gt;</code>, <code>&lt;grün&gt;</code>, <code>&lt;blau&gt;</code>] ; "<code>&lt;Farbname&gt;</code>" : ein Zeichenkette mit einem Farbnamen aus der [[w:Web Colors|Liste der Webfarben]] {{NOTE|Die Farbdarstellung funktioniert nur im Vorschaumodus (F5); der Render-Modus (F6) unterstützt aktuell keine Farben.}} {| width="100%" |'''Verwendungsbeispiel 1 – Farbe eines Objekts ändern:''' |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> color([1,0,0]) cube([2,3,4]); translate([3,0,0]) color([0,1,0]) cube([2,3,4]); translate([6,0,0]) color([0,0,1]) cube([2,3,4]); </syntaxhighlight> |[[File:OpenSCAD_Changing_Color.png|thumb|150px|Farbänderung eines Objekts in OpenSCAD]] |} Ein <code>color()</code>-Operator kann wie jeder andere Operator (z. B. <code>translate()</code>) in einer Kette von Operatoren vor dem Aufruf eines Objekt-Moduls verwendet werden. Durch die Verwendung von geschweiften Klammern (<code>{}</code>) zur Definition eines Gültigkeitsbereichs („Scope“) wird die Farbe – oder ein beliebiger anderer Operator – auf alle darin enthaltenen Objekte angewendet: <syntaxhighlight lang="javascript"> color([0,0,1]) { translate([6,0,0]) cube([2,3,4]); translate([-6,0,0]) cube([2,3,4]); } </syntaxhighlight> In einer Kette mehrerer Operatoren hat der ''erste'' Aufruf von <code>color()</code> Vorrang – alle nachfolgenden <code>color()</code>-Angaben innerhalb derselben Kette werden ignoriert. == Modell-Ansichten == {{incomplete}} Das Menü „Ansicht“ („View“) oben im Anwendungsfenster von OpenSCAD bietet eine Reihe von Anzeigeoptionen für das Modellansichtsfenster. ==== Surfaces ==== Die Oberflächenansicht („Flächen“) ist die Standard-Ansicht, die erscheint, sobald der Modellcode zum ersten Mal gerendert wird. Du kannst jederzeit zu dieser Ansicht zurückkehren, indem du im Menü „Ansicht >> Flächen“ wählst (unter Linux mit der Taste '''F10'''). ==== Gittermodell (engl. ''wireframe'') ==== Designer wählen oft „Ansicht >> Gittermodell“ (unter Linux mit '''F11'''), besonders wenn sie mit einem besonders komplexen 3D-Modell arbeiten. Die Drahtgitteransicht („Gittermodell“) zeigt nur ein Gitter – gewissermaßen das „Gerüst“ unter der Oberfläche. Stell dir den Eiffelturm vor: Du siehst nur die Kanten und Strukturen, nicht die Flächen dazwischen. Ein Drahtgittermodell ist eine visuelle Darstellung eines dreidimensionalen oder physischen Objekts. Diese Modelliermethode besteht ausschließlich aus Linien, Punkten und Kurven, die die Kanten des Objekts definieren. Mithilfe eines Drahtgittermodells lässt sich die zugrunde liegende Struktur eines 3D-Modells leicht visualisieren. Da Drahtgitter-Darstellungen relativ einfach und schnell berechnet werden können, werden sie häufig dann eingesetzt, wenn eine hohe Bildwiederholrate erforderlich ist – beispielsweise bei der Arbeit an sehr komplexen Modellen oder in Echtzeitsystemen, die äußere Phänomene simulieren. Wenn mehr grafische Details gewünscht werden, können nach Abschluss der Gittermodelldarstellung automatisch Oberflächentexturen hinzugefügt werden. So kann der Designer Änderungen schnell überprüfen oder das Objekt in neue Blickrichtungen drehen, ohne auf langsame, fotorealistische Renderings warten zu müssen. Das Drahtgitterformat eignet sich außerdem hervorragend als Grundlage für Werkzeugwege in DNC-Systemen (Direct Numerical Control) und wird häufig als Eingabe für CAM-Systeme (Computer-Aided Manufacturing) verwendet. Unter den drei gängigen CAD-Ansichten ist „Gittermodell“ die abstrakteste und am wenigsten realistische. == The OpenCSG view == Wählst du „Ansicht >> Vorschau (F9)“, verwendet OpenSCAD die OpenCSG-Bibliothek (Open Constructive Solid Geometry), um die Modellansicht mithilfe von OpenGL darzustellen. Falls die OpenCSG-Bibliothek nicht verfügbar ist oder deine Grafikkarte bzw. deren Treiber keine ausreichende OpenGL-Unterstützung bieten, wird in dieser Ansicht keine sichtbare Ausgabe erzeugt. == Kombinierte Anzeige == Die Option „Ansicht >> Kombinierte Anzeige“ überlagert alle vorherigen Ansichten in einem einzigen Bildschirm. Besonders wichtig dabei: Objekte, die mit dem <code>difference()</code>-Befehl ausgeschnitten wurden, werden standardmäßig als '''grüne Vollkörper''' dargestellt – also nicht als leerer Raum, sondern als sichtbare Geometrie in einer eigenen Farbe. Das hilft dabei, zu erkennen, welche Teile durch boolesche Differenzen entfernt werden sollen, und erleichtert das Debuggen komplexer CSG-Konstruktionen. [[File:openscad_new.png|thumb|OpenSCAD direkt nach dem Start]] Öffne eines der vielen mitgelieferten Beispiele über das Menü ('''Datei → Beispiele'''), oder kopiere und füge folgendes einfaches Beispiel in das OpenSCAD-Fenster ein: {| width="50%" |'''Verwendungsbeispiel 1''' |- |<syntaxhighlight lang="javascript"> difference() { cube(30, center=true); sphere(20); } translate([0, 0, 30]) { cylinder(h=40, r=10); } </syntaxhighlight> |} [[File:openscad_first_steps.png|thumb|OpenSCAD nach dem Einfügen des Beispielcodes und Drücken von F5]] Drücke anschließend '''F5''', um eine grafische Vorschau deines Codes anzuzeigen (oder '''F6''', um eine vollständig gerenderte Ansicht zu erhalten). == Maussteuerung im Vorschaufenster == Im Vorschaufenster stehen dir drei Arten der Bewegung zur Verfügung: # '''Linke Maustaste ziehen''', um die Ansicht um das Rotationszentrum (sichtbar mit '''Strg+3''') entlang der X- und Z-Achse zu drehen. Die unterste Zeile im Fenster zeigt dabei die aktuellen Rotationswerte an. (Halte '''Umschalttaste (Shift)''' gedrückt, während du mit der linken Maustaste ziehst, um stattdessen um die X- und Y-Achse zu rotieren.) # '''Ziehen mit einer anderen Maustaste''' (z. B. rechte Maustaste) oder '''Strg + Ziehen''' (unter macOS: '''Cmd + Ziehen''') verschiebt die gesamte Ansicht. Die unterste Zeile zeigt dann die aktuellen Verschiebungswerte an. # '''Mausrad rollen''', um hinein- oder herauszuzoomen. Alternativ kannst du auch die '''+'''- und '''–'''-Tasten verwenden oder '''Umschalt + Rechtsklick-Ziehen''' (unter macOS: '''Cmd+Umschalt + Ziehen'''). Der „Viewport“-Eintrag in der untersten Fensterzeile zeigt dabei die Änderung des Abstands (Zoomstufe) an. 9opzrdowlf3r9n5uxd294t05rdku224 Benutzer:Ademant/VHSKursA242 2 122318 1093241 1081949 2026-11-03T09:16:15Z Ademant 78026 1093241 wikitext text/x-wiki VHS Kurs Herbst 2026 Asbach == Tag 1 == * [[Anleitung bretonische Tänze/Pach Pi|Pach Pi]] * [[Anleitung bretonische Tänze/Tour|Tour]] == Tag 2 == * [[Anleitung bretonische Tänze/Pilé_Menu|Pilé Menu]] * [[Anleitung bretonische Tänze/Rond_de_St_Vincent|Rond de St Vincent]] == Tag 3 == == Tag 4 == == Tag 5 == aziwujdux1cgp8dl010ksqax41x72rw OpenSCAD Benutzerhandbuch/ BOSL2 0 123251 1093221 1093156 2026-11-02T14:23:21Z Jowi-ammerbuch 115360 /* BOSL2-Tutorials */ 1093221 wikitext text/x-wiki Die BOSL2-Bibliothek ist eine sehr umfangreiche Bibliothek, die viele verschiedene Funktionen bietet, um die Entwicklung von Modellen in OpenSCAD zu vereinfachen und Dinge zu ermöglichen, die im nativen OpenSCAD schwierig umzusetzen sind. == Die Belfry OpenSCAD Library, v2 (BOSL2) == Die '''Belfry OpenSCAD Library, v2''' (kurz BOSL2) ist eine Bibliothek für OpenSCAD, die eine Fülle nützlicher Werkzeuge, Formen, Masken, mathematischer Funktionen und Manipulatoren bietet. Sie wurde speziell dafür entwickelt, die Arbeit mit OpenSCAD deutlich zu erleichtern. '''Voraussetzung:''' Benötigt OpenSCAD 2021.01 oder eine neuere Version. '''Wichtige Hinweise:''' * '''HINWEIS 1:''' BOSL2 befindet sich im Beta-Status. Der Code wird aktuell noch umstrukturiert. (Stand 28.10.26) * '''HINWEIS 2:''' Code, der für BOSL v1 geschrieben wurde, funktioniert '''nicht''' mit BOSL2! == Inhaltsverzeichnis zum BOSL2-Wiki == # [https://github.com/BelfrySCAD/BOSL2/?tab=BSD-2-Clause-1-ov-file Lizenz von BOSL2 auf GitHub] # [[OpenSCAD_Benutzerhandbuch/_BOSL2-Features|Features-Überblick]] # [[OpenSCAD_Benutzerhandbuch/_BOSL2-Installation|Installation]] == BOSL2-Tutorials == # [[OpenSCAD_Benutzerhandbuch/_BOSL2-Transformationen|BOSL2-Transformationen]] - Abkürzungen und Erweiterungen des Standards # [[OpenSCAD_Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|BOSL2-Distributoren (Verteiler)]] - Verteilen von Kopien # [[OpenSCAD_Benutzerhandbuch/_BOSL2-2D|BOSL2-2D Grundformen]] - BOSL2-Erweiterungen für 2D Primitive klx8mqgznfkely9s3zgisv08iy1wmlw Kinder wollen singen: Themen/ Navi 0 123264 1093235 1092810 2026-11-03T05:55:58Z Mjchael 2222 Jahreslauf 1093235 wikitext text/x-wiki <!-- Themen -->{{Navigationsleiste |titel=Themen |inhalt=[[Kinder wollen singen/_Musik und Tanz|Musik und Tanz]] • [[Kinder wollen singen/_Tageslauf|Tageslauf]] • [[Kinder wollen singen/_Jahreslauf|Jahreslauf]] • [[Kinder wollen singen/_Lebensweg|Lebensweg]] • [[Kinder wollen singen/_Schule und Beruf|Schule und Beruf]] • [[Kinder wollen singen/_Die Welt|Die Welt]] • [[Kinder wollen singen/_Sonstiges|Sonstiges]] }} [[Kategorie:Bucheigene Navigation]] agtgbkg9skk9hgxayq9f3c0u8t349bq OpenSCAD Benutzerhandbuch/ BOSL2-Transformationen 0 123316 1093223 1093036 2026-11-02T15:22:02Z Jowi-ammerbuch 115360 1093223 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_Erste Schritte|Weiter]] }} == Verschiebung (Translation) == Der <code>translate()</code>-Befehl ist sehr einfach: === OpenSCAD-Standard: translate() === <pre class="markdown">#cube(20); translate([0,0,30]) cube(20);</pre> [[Datei:Translate1.png|mini|zentriert|alternativtext=translate Beispiel|translate([0,0,30]) cube(20);]] Aber auf den ersten Blick oder wenn die Formel zur Berechnung der Verschiebung komplex ist, kann es schwierig sein zu erkennen, entlang welcher Achse und in welche Richtung verschoben wird. Außerdem ist er für einen so häufig verwendeten Befehl etwas langatmig. === BOSL2-Abkürzungen für Verschiebungen === Aus diesen Gründen stellt BOSL2 dir '''Abkürzungen''' für jede Richtung zur Verfügung. Diese Abkürzungen sind <code>up()</code>, <code>down()</code>, <code>fwd()</code>, <code>back()</code>, <code>left()</code> und <code>right()</code>: ==== up() ==== [[Datei:Translate1.png|mini|zentriert|alternativtext=translate Beispiel|up(30) cube(20);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; #cube(20); up(30) cube(20);</pre> ==== down() ==== [[Datei:BOSL2-down.png|mini|zentriert|alternativtext=down(30)-Beispiel|down(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); down(30) cube(20); </pre> ==== fwd() ==== [[Datei:BOSL2-fwd.png|mini|zentriert|alternativtext=fwd(30)|fwd(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); fwd(30) cube(20); </pre> ==== back() ==== [[Datei:BOSL2-back.png|mini|zentriert|back(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); back(30) cube(20); </pre> ==== right() ==== [[Datei:BOSL2-right.png|mini|zentriert|alternativtext=right()-Beispiel|right(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); right(30) cube(20); </pre> ==== left() ==== [[Datei:BOSL2-left.png|mini|zentriert|alternativtext=left() Beispiel|left(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); right(30) cube(20); </pre> ==== move() ==== Es gibt auch einen allgemeineren <code>move()</code>-Befehl, der genauso wie <code>translate()</code> funktionieren kann: [[Datei:BOSL2-move.png|mini|zentriert|alternativtext=move() Beispiel|move([30,-10]) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); move([30,-10]) cube(20); </pre> <span id="skalierung"></span> == Skalierung == === OpenSCAD-Standard: scale() === Der <code>scale()</code>-Befehl ist ebenfalls recht einfach: [[Datei:SCAD-scale.png|mini|zentriert|alternativtext=scale(2) Standard Beispiel|scale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> scale(2) cube(10, center=true); </pre> === OpenSCAD-Standard: scale([x,y,z]) === [[Datei:SCAD-scale-Vektoren.png|mini|zentriert|scale([1,2,3]) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> scale([1,2,3]) cube(10, center=true); </pre> === BOSL2: scale-Abkürzungen === Wenn du jedoch nur die Skalierung auf einer einzelnen Achse ändern möchtest, bietet BOSL2 klarere Befehle genau dafür: <code>xscale()</code>, <code>yscale()</code> und <code>zscale()</code>: ==== xscale() ==== [[Datei:BOSL2-xscale.png|mini|zentriert|alternativtext=xscale()|xscale(2) cube(10, center = true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xscale(2) cube(10, center=true); </pre> ==== yscale() ==== [[Datei:BOSL2-yscale.png|mini|zentriert|alternativtext=yscale|yscale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yscale(2) cube(10, center=true); </pre> ==== zscale() ==== [[Datei:BOSL2-zscale.png|mini|zentriert|zscale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; zscale(2) cube(10, center=true); </pre> <span id="rotation"></span> == Rotation == === Standard-OpenSCAD: rotate() === [[Datei:SCAD-rotate-Vektor.png|mini|zentriert|alternativtext=rotate() Bsp|rotate([0,15,0]) cube(20, center=true);]] Der <code>rotate()</code>-Befehl ist ziemlich klar verständlich: <pre class="openscad"> rotate([0,15,0]) cube(20, center=true); </pre> Er ist ebenfalls etwas langatmig und es kann auf den ersten Blick schwierig sein zu erkennen, wie genau rotiert wird. === BOSL2: Abkürzungen für rotate() === BOSL2 bietet Abkürzungen für die Rotation um jede Achse, für mehr Klarheit: <code>xrot()</code>, <code>yrot()</code> und <code>zrot()</code>: ==== xrot() ==== [[Datei:BOSL2-xrot.png|mini|zentriert|alternativtext=xrot(15)|xrot(15)cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== yrot() ==== [[Datei:SCAD-rotate-Vektor.png|mini|zentriert|alternativtext=rotate() Bsp|yrot cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== zrot() ==== [[Datei:BOSL2-zrot.png|mini|zentriert|alternativtext=zrot(15)|zrot(15) cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; zrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== rot() ==== Der <code>rot()</code>-Befehl ist ein allgemeinerer Rotationsbefehl und kürzer zu tippen als <code>rotate()</code>: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rot([0,30,15]) cube(20, center=true);</pre> ==== rot() mit benutzerdefiniertem Rotationsmittelpunkt ''cp'' ==== Alle Rotationsabkürzungen können ein <code>cp=</code>-Argument annehmen, mit dem du einen Mittelpunkt angeben kannst, um den herum rotiert wird: [[Datei:BOSL2-rot-cp1.png|mini|zentriert|alternativtext=yrot mit cp-Festlegung|Y-Rotation um einen definierten Drehpunkt cp (hier durch gelbe Kugel markiert)]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> drehpunkt = [10,0,10]; color("yellow") move(drehpunkt) sphere(d=1.7); #cube(20, center=true); yrot(120, cp=drehpunkt) cube(20, center=true); </pre> [[Datei:BOSL2-yrot-cp-Veranschaulichung.png|mini|zentriert|alternativtext=yrot um cp Veranschaulichung|Veranschaulichung der 45°- Rotation eines Quaders, um die Y-Achse mit dem Rotationsmittelpunkt cp, siehe Code unten]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; drehpunkt = [0,0,40]; $fn = 50; // für runden Kreis //Veranschaulichung der Drehung: color("blue") move(drehpunkt) sphere(d=1.7); color("blue") move(drehpunkt) xrot(90) dashed_stroke(circle(r = 30), dashpat = [3, 2], width = 0.3, closed = true); #dashed_stroke([[0, 0, 0], drehpunkt], dashpat = [3, 2], width = 0.4); color("blue") yrot(45, cp=drehpunkt) stroke([[0, 0, 0], drehpunkt], width = 0.3); #cube(20, center=true); // Die eigentliche Drehung um cp: yrot(45, cp=drehpunkt) cube(20, center=true); </pre> ==== rot() mit from=[x,y,z] und to=[x,y,z] ==== Du kannst aus einer Richtung in eine andere Richtung rotieren. Diese Richtungen gibst du mit Vektoren an: [[Datei:BOSL2-rot-from-to.png|mini|zentriert|alternativtext=BOSL2-Rotation mit from und to|rot(from=[0,0,1], to=[1,0,1]) cylinder(h=50, 20, 2);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cylinder(h=50, 20, 2); rot(from=[0,0,1], to=[1,0,1]) cylinder(h=50, 20, 2); </pre> ==== Richtungsvektor-Konstanten und Aliase ==== Wie das Beispiel mit from=[[0,0,1] und to=[1,0,1]) zeigt, ist mit dieser abstrakten Notierung die Anweisung nicht ganz einfach zu verstehen. Es gibt deshalb mehrere Richtungsvektor-Konstanten und Aliase, die du für mehr Klarheit verwenden kannst: {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Wert ! Richtung |- | CENTER, CTR | [ 0, 0, 0] | Zentriert |- | LEFT | [-1, 0, 0] | In Richtung X- |- | RIGHT | [ 1, 0, 0] | In Richtung X+ |- | FWD, FORWARD, FRONT | [ 0,-1, 0] | In Richtung Y- |- | BACK | [ 0, 1, 0] | In Richtung Y+ |- | DOWN, BOTTOM, BOT | [ 0, 0,-1] | In Richtung Z- |- | UP, TOP | [ 0, 0, 1] | In Richtung Z+ |} Damit kannst du die obige Vektor-Rotation klarer umschreiben als: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cylinder(h=50, 20, 2); rot(from=TOP, to=RIGHT+TOP) cylinder(h=50, 20, 2); </pre> [[Datei:BOSL2-rot-from-BOTTOM-to-RIGHT-LEFT-TOP.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot() mit from=Alias, to=Alias|#cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("green") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT''') cylinder(h=50, 20, 2); // grün <br> color("orange") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT''') cylinder(h=50, 20, 2); // orange<br> color("black") rot(from='''BOTTOM''', to='''TOP''') cylinder(h=50, 20, 2); // schwarz]] [[Datei:BOSL2-rot-from-TOP-to-RIGHT-LEFT-BOTTOM.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot from=TOP|#cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("green") rot(from='''TOP''', to='''RIGHT''') cylinder(h=50, 20, 2);// grüner Körper <br> color("orange") rot(from='''TOP''', to='''LEFT''') cylinder(h=50, 20, 2); //oranger Körper<br> color("black") rot(from='''TOP''', to='''BOTTOM''') cylinder(h=50, 20, 2); // schwarzer Körper]] [[Datei:BOSL2-rot-from-BOTTOM-to-RIGHT-LEFTplusTOP-DOWN2.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot() mit Aliase und Kombination|#cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("green") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT+TOP''') cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("orange") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT+DOWN''') cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("'''black'''") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT+TOP''') cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("magenta") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT+DOWN''') cylinder(h=50, 20, 2); ]] <span id="spiegelung-mirroring"></span> == Spiegelung (Mirroring) == === Standard-mirror()-Befehl === [[Datei:SCAD-mirror.png|mini|zentriert|alternativtext=mirror-Beispiel|Standard-mirror-Befehl ]] Der Standard-<code>mirror()</code>-Befehl funktioniert z.B. so: <pre class="openscad"> translate([-20, 0, 0]) #cylinder(h=50, d1=20, d2=10); mirror([1,0,0]) translate([-20, 0, 0]) cylinder(h=50, d1=20, d2=10); </pre> Im Beispiel oben erzeugt mirror([1,0,0]), entsprechend einem in Richtung der x-Achse zeigenden Normalenvektor, ein Objekt, bei dem es zur Vorzeichenumkehr der X-Koordinaten kommt. Aus -X wird +X und aus +X würde -X. === BOSL2-Abkürzungen für Spiegelungen === BOSL2 bietet Abkürzungen für die Spiegelung an den Standardachsen: <code>xflip()</code>, <code>yflip()</code> und <code>zflip()</code>. ==== xflip() ==== [[Datei:SCAD-mirror.png|mini|zentriert|alternativtext=mirror-Beispiel|xflip()]] Das gleiche Ergebnis wie im Beispiel mit mirror([1,0,0]) wird mit folgendem Code erreicht: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> translate([-20, 0, 0]) #cylinder(h=50, d1=20, d2=10); xflip() translate([-20, 0, 0]) cylinder(h=50, d1=20, d2=10); </pre> ==== yflip() ==== [[Datei:BOSL2-yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=yflip()-Beispiel|yflip()]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); yflip() up(8) back(20) kreuz();</pre> ==== zflip() ==== [[Datei:BOSL2-zflip.png|mini|zentriert|alternativtext=zflip()|zflip()]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); zflip() up(8) back(20) kreuz();</pre> ==== Flip mit Versatz ==== Alle Flip-Befehle können einen Versatz angeben, wo die Spiegelung durchgeführt wird. [[Datei:BOSL2-zflip-z-Versatz.png|mini|zentriert|alternativtext=zflip mit Versatz|zflip(z=-5)]] <pre class="openscad"> <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); zflip(z=-5) up(8) back(20) kreuz(); </pre> <span id="scherung-skewing--shearing"></span> == Scherung (Skewing / Shearing) == Eine Transformation, die OpenSCAD nativ '''nicht''' beherrscht, ist die '''Scherung''', auch als &quot;''Shearing''&quot; bekannt. BOSL2 stellt dafür den <code>skew()</code>-Befehl bereit. Du übergibst ihm Multiplikatoren für die Scherungen, die du durchführen möchtest. Die verwendeten Argumente beginnen alle mit <code>s</code>, gefolgt von der Achse, entlang derer du scheren möchtest, gefolgt von der Achse, entlang derer die Scherung zunimmt. Um beispielsweise entlang der X-Achse zu scheren, während du weiter entlang der Y-Achse gehst, verwendest du das Argument <code>sxy=</code>. Wenn du ihm einen Multiplikator von <code>0.5</code> übergibst, fügst du für jede Einheit weiter entlang der Y-Achse <code>0.5</code> Einheiten Scherung zur X-Achse hinzu. Ein negativer Multiplikator kehrt die Richtung der Scherung um: [[Datei:BOSL2-skew.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=skew() Beispiele|include <BOSL2/std.scad><br> color("green") '''skew(sxy =0.5)''' left(30) cube(8); // grün<br> color("yellow") '''skew(sxz =-0.5)''' cube(8, center = false); // gelb<br> color("red") '''skew(sxz=0.5)''' right(15) cube(8); // rot ]] [[Datei:BOSL2-skew4x.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 skew() 4 Bspe|include <BOSL2/std.scad><br> color("green") '''skew(sxz =-0.7)''' left(18) cube(8, center = true); // grün<br> color("blue") '''skew(sxz =0.7)''' right(18) cube(8, center = true); // blau<br> color("yellow") fwd(18) '''skew(syz =-0.7''') cube(8, center = true); // gelb<br> color("red") back(18) '''skew(syz=0.7)''' cube(8, center = true); // rot]] fc10m8q35r0cvxqtu5yoieozunntwp4 1093226 1093223 2026-11-02T15:24:15Z Jowi-ammerbuch 115360 1093226 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2/Distributoren]] }} == Verschiebung (Translation) == Der <code>translate()</code>-Befehl ist sehr einfach: === OpenSCAD-Standard: translate() === <pre class="markdown">#cube(20); translate([0,0,30]) cube(20);</pre> [[Datei:Translate1.png|mini|zentriert|alternativtext=translate Beispiel|translate([0,0,30]) cube(20);]] Aber auf den ersten Blick oder wenn die Formel zur Berechnung der Verschiebung komplex ist, kann es schwierig sein zu erkennen, entlang welcher Achse und in welche Richtung verschoben wird. Außerdem ist er für einen so häufig verwendeten Befehl etwas langatmig. === BOSL2-Abkürzungen für Verschiebungen === Aus diesen Gründen stellt BOSL2 dir '''Abkürzungen''' für jede Richtung zur Verfügung. Diese Abkürzungen sind <code>up()</code>, <code>down()</code>, <code>fwd()</code>, <code>back()</code>, <code>left()</code> und <code>right()</code>: ==== up() ==== [[Datei:Translate1.png|mini|zentriert|alternativtext=translate Beispiel|up(30) cube(20);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; #cube(20); up(30) cube(20);</pre> ==== down() ==== [[Datei:BOSL2-down.png|mini|zentriert|alternativtext=down(30)-Beispiel|down(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); down(30) cube(20); </pre> ==== fwd() ==== [[Datei:BOSL2-fwd.png|mini|zentriert|alternativtext=fwd(30)|fwd(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); fwd(30) cube(20); </pre> ==== back() ==== [[Datei:BOSL2-back.png|mini|zentriert|back(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); back(30) cube(20); </pre> ==== right() ==== [[Datei:BOSL2-right.png|mini|zentriert|alternativtext=right()-Beispiel|right(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); right(30) cube(20); </pre> ==== left() ==== [[Datei:BOSL2-left.png|mini|zentriert|alternativtext=left() Beispiel|left(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); right(30) cube(20); </pre> ==== move() ==== Es gibt auch einen allgemeineren <code>move()</code>-Befehl, der genauso wie <code>translate()</code> funktionieren kann: [[Datei:BOSL2-move.png|mini|zentriert|alternativtext=move() Beispiel|move([30,-10]) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); move([30,-10]) cube(20); </pre> <span id="skalierung"></span> == Skalierung == === OpenSCAD-Standard: scale() === Der <code>scale()</code>-Befehl ist ebenfalls recht einfach: [[Datei:SCAD-scale.png|mini|zentriert|alternativtext=scale(2) Standard Beispiel|scale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> scale(2) cube(10, center=true); </pre> === OpenSCAD-Standard: scale([x,y,z]) === [[Datei:SCAD-scale-Vektoren.png|mini|zentriert|scale([1,2,3]) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> scale([1,2,3]) cube(10, center=true); </pre> === BOSL2: scale-Abkürzungen === Wenn du jedoch nur die Skalierung auf einer einzelnen Achse ändern möchtest, bietet BOSL2 klarere Befehle genau dafür: <code>xscale()</code>, <code>yscale()</code> und <code>zscale()</code>: ==== xscale() ==== [[Datei:BOSL2-xscale.png|mini|zentriert|alternativtext=xscale()|xscale(2) cube(10, center = true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xscale(2) cube(10, center=true); </pre> ==== yscale() ==== [[Datei:BOSL2-yscale.png|mini|zentriert|alternativtext=yscale|yscale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yscale(2) cube(10, center=true); </pre> ==== zscale() ==== [[Datei:BOSL2-zscale.png|mini|zentriert|zscale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; zscale(2) cube(10, center=true); </pre> <span id="rotation"></span> == Rotation == === Standard-OpenSCAD: rotate() === [[Datei:SCAD-rotate-Vektor.png|mini|zentriert|alternativtext=rotate() Bsp|rotate([0,15,0]) cube(20, center=true);]] Der <code>rotate()</code>-Befehl ist ziemlich klar verständlich: <pre class="openscad"> rotate([0,15,0]) cube(20, center=true); </pre> Er ist ebenfalls etwas langatmig und es kann auf den ersten Blick schwierig sein zu erkennen, wie genau rotiert wird. === BOSL2: Abkürzungen für rotate() === BOSL2 bietet Abkürzungen für die Rotation um jede Achse, für mehr Klarheit: <code>xrot()</code>, <code>yrot()</code> und <code>zrot()</code>: ==== xrot() ==== [[Datei:BOSL2-xrot.png|mini|zentriert|alternativtext=xrot(15)|xrot(15)cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== yrot() ==== [[Datei:SCAD-rotate-Vektor.png|mini|zentriert|alternativtext=rotate() Bsp|yrot cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== zrot() ==== [[Datei:BOSL2-zrot.png|mini|zentriert|alternativtext=zrot(15)|zrot(15) cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; zrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== rot() ==== Der <code>rot()</code>-Befehl ist ein allgemeinerer Rotationsbefehl und kürzer zu tippen als <code>rotate()</code>: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rot([0,30,15]) cube(20, center=true);</pre> ==== rot() mit benutzerdefiniertem Rotationsmittelpunkt ''cp'' ==== Alle Rotationsabkürzungen können ein <code>cp=</code>-Argument annehmen, mit dem du einen Mittelpunkt angeben kannst, um den herum rotiert wird: [[Datei:BOSL2-rot-cp1.png|mini|zentriert|alternativtext=yrot mit cp-Festlegung|Y-Rotation um einen definierten Drehpunkt cp (hier durch gelbe Kugel markiert)]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> drehpunkt = [10,0,10]; color("yellow") move(drehpunkt) sphere(d=1.7); #cube(20, center=true); yrot(120, cp=drehpunkt) cube(20, center=true); </pre> [[Datei:BOSL2-yrot-cp-Veranschaulichung.png|mini|zentriert|alternativtext=yrot um cp Veranschaulichung|Veranschaulichung der 45°- Rotation eines Quaders, um die Y-Achse mit dem Rotationsmittelpunkt cp, siehe Code unten]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; drehpunkt = [0,0,40]; $fn = 50; // für runden Kreis //Veranschaulichung der Drehung: color("blue") move(drehpunkt) sphere(d=1.7); color("blue") move(drehpunkt) xrot(90) dashed_stroke(circle(r = 30), dashpat = [3, 2], width = 0.3, closed = true); #dashed_stroke([[0, 0, 0], drehpunkt], dashpat = [3, 2], width = 0.4); color("blue") yrot(45, cp=drehpunkt) stroke([[0, 0, 0], drehpunkt], width = 0.3); #cube(20, center=true); // Die eigentliche Drehung um cp: yrot(45, cp=drehpunkt) cube(20, center=true); </pre> ==== rot() mit from=[x,y,z] und to=[x,y,z] ==== Du kannst aus einer Richtung in eine andere Richtung rotieren. Diese Richtungen gibst du mit Vektoren an: [[Datei:BOSL2-rot-from-to.png|mini|zentriert|alternativtext=BOSL2-Rotation mit from und to|rot(from=[0,0,1], to=[1,0,1]) cylinder(h=50, 20, 2);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cylinder(h=50, 20, 2); rot(from=[0,0,1], to=[1,0,1]) cylinder(h=50, 20, 2); </pre> ==== Richtungsvektor-Konstanten und Aliase ==== Wie das Beispiel mit from=[[0,0,1] und to=[1,0,1]) zeigt, ist mit dieser abstrakten Notierung die Anweisung nicht ganz einfach zu verstehen. Es gibt deshalb mehrere Richtungsvektor-Konstanten und Aliase, die du für mehr Klarheit verwenden kannst: {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Wert ! Richtung |- | CENTER, CTR | [ 0, 0, 0] | Zentriert |- | LEFT | [-1, 0, 0] | In Richtung X- |- | RIGHT | [ 1, 0, 0] | In Richtung X+ |- | FWD, FORWARD, FRONT | [ 0,-1, 0] | In Richtung Y- |- | BACK | [ 0, 1, 0] | In Richtung Y+ |- | DOWN, BOTTOM, BOT | [ 0, 0,-1] | In Richtung Z- |- | UP, TOP | [ 0, 0, 1] | In Richtung Z+ |} Damit kannst du die obige Vektor-Rotation klarer umschreiben als: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cylinder(h=50, 20, 2); rot(from=TOP, to=RIGHT+TOP) cylinder(h=50, 20, 2); </pre> [[Datei:BOSL2-rot-from-BOTTOM-to-RIGHT-LEFT-TOP.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot() mit from=Alias, to=Alias|#cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("green") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT''') cylinder(h=50, 20, 2); // grün <br> color("orange") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT''') cylinder(h=50, 20, 2); // orange<br> color("black") rot(from='''BOTTOM''', to='''TOP''') cylinder(h=50, 20, 2); // schwarz]] [[Datei:BOSL2-rot-from-TOP-to-RIGHT-LEFT-BOTTOM.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot from=TOP|#cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("green") rot(from='''TOP''', to='''RIGHT''') cylinder(h=50, 20, 2);// grüner Körper <br> color("orange") rot(from='''TOP''', to='''LEFT''') cylinder(h=50, 20, 2); //oranger Körper<br> color("black") rot(from='''TOP''', to='''BOTTOM''') cylinder(h=50, 20, 2); // schwarzer Körper]] [[Datei:BOSL2-rot-from-BOTTOM-to-RIGHT-LEFTplusTOP-DOWN2.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot() mit Aliase und Kombination|#cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("green") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT+TOP''') cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("orange") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT+DOWN''') cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("'''black'''") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT+TOP''') cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("magenta") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT+DOWN''') cylinder(h=50, 20, 2); ]] <span id="spiegelung-mirroring"></span> == Spiegelung (Mirroring) == === Standard-mirror()-Befehl === [[Datei:SCAD-mirror.png|mini|zentriert|alternativtext=mirror-Beispiel|Standard-mirror-Befehl ]] Der Standard-<code>mirror()</code>-Befehl funktioniert z.B. so: <pre class="openscad"> translate([-20, 0, 0]) #cylinder(h=50, d1=20, d2=10); mirror([1,0,0]) translate([-20, 0, 0]) cylinder(h=50, d1=20, d2=10); </pre> Im Beispiel oben erzeugt mirror([1,0,0]), entsprechend einem in Richtung der x-Achse zeigenden Normalenvektor, ein Objekt, bei dem es zur Vorzeichenumkehr der X-Koordinaten kommt. Aus -X wird +X und aus +X würde -X. === BOSL2-Abkürzungen für Spiegelungen === BOSL2 bietet Abkürzungen für die Spiegelung an den Standardachsen: <code>xflip()</code>, <code>yflip()</code> und <code>zflip()</code>. ==== xflip() ==== [[Datei:SCAD-mirror.png|mini|zentriert|alternativtext=mirror-Beispiel|xflip()]] Das gleiche Ergebnis wie im Beispiel mit mirror([1,0,0]) wird mit folgendem Code erreicht: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> translate([-20, 0, 0]) #cylinder(h=50, d1=20, d2=10); xflip() translate([-20, 0, 0]) cylinder(h=50, d1=20, d2=10); </pre> ==== yflip() ==== [[Datei:BOSL2-yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=yflip()-Beispiel|yflip()]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); yflip() up(8) back(20) kreuz();</pre> ==== zflip() ==== [[Datei:BOSL2-zflip.png|mini|zentriert|alternativtext=zflip()|zflip()]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); zflip() up(8) back(20) kreuz();</pre> ==== Flip mit Versatz ==== Alle Flip-Befehle können einen Versatz angeben, wo die Spiegelung durchgeführt wird. [[Datei:BOSL2-zflip-z-Versatz.png|mini|zentriert|alternativtext=zflip mit Versatz|zflip(z=-5)]] <pre class="openscad"> <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); zflip(z=-5) up(8) back(20) kreuz(); </pre> <span id="scherung-skewing--shearing"></span> == Scherung (Skewing / Shearing) == Eine Transformation, die OpenSCAD nativ '''nicht''' beherrscht, ist die '''Scherung''', auch als &quot;''Shearing''&quot; bekannt. BOSL2 stellt dafür den <code>skew()</code>-Befehl bereit. Du übergibst ihm Multiplikatoren für die Scherungen, die du durchführen möchtest. Die verwendeten Argumente beginnen alle mit <code>s</code>, gefolgt von der Achse, entlang derer du scheren möchtest, gefolgt von der Achse, entlang derer die Scherung zunimmt. Um beispielsweise entlang der X-Achse zu scheren, während du weiter entlang der Y-Achse gehst, verwendest du das Argument <code>sxy=</code>. Wenn du ihm einen Multiplikator von <code>0.5</code> übergibst, fügst du für jede Einheit weiter entlang der Y-Achse <code>0.5</code> Einheiten Scherung zur X-Achse hinzu. Ein negativer Multiplikator kehrt die Richtung der Scherung um: [[Datei:BOSL2-skew.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=skew() Beispiele|include <BOSL2/std.scad><br> color("green") '''skew(sxy =0.5)''' left(30) cube(8); // grün<br> color("yellow") '''skew(sxz =-0.5)''' cube(8, center = false); // gelb<br> color("red") '''skew(sxz=0.5)''' right(15) cube(8); // rot ]] [[Datei:BOSL2-skew4x.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 skew() 4 Bspe|include <BOSL2/std.scad><br> color("green") '''skew(sxz =-0.7)''' left(18) cube(8, center = true); // grün<br> color("blue") '''skew(sxz =0.7)''' right(18) cube(8, center = true); // blau<br> color("yellow") fwd(18) '''skew(syz =-0.7''') cube(8, center = true); // gelb<br> color("red") back(18) '''skew(syz=0.7)''' cube(8, center = true); // rot]] fji4k9xovto6ki4fxv63va6xtd6tcir 1093227 1093226 2026-11-02T15:24:45Z Jowi-ammerbuch 115360 1093227 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren]] }} == Verschiebung (Translation) == Der <code>translate()</code>-Befehl ist sehr einfach: === OpenSCAD-Standard: translate() === <pre class="markdown">#cube(20); translate([0,0,30]) cube(20);</pre> [[Datei:Translate1.png|mini|zentriert|alternativtext=translate Beispiel|translate([0,0,30]) cube(20);]] Aber auf den ersten Blick oder wenn die Formel zur Berechnung der Verschiebung komplex ist, kann es schwierig sein zu erkennen, entlang welcher Achse und in welche Richtung verschoben wird. Außerdem ist er für einen so häufig verwendeten Befehl etwas langatmig. === BOSL2-Abkürzungen für Verschiebungen === Aus diesen Gründen stellt BOSL2 dir '''Abkürzungen''' für jede Richtung zur Verfügung. Diese Abkürzungen sind <code>up()</code>, <code>down()</code>, <code>fwd()</code>, <code>back()</code>, <code>left()</code> und <code>right()</code>: ==== up() ==== [[Datei:Translate1.png|mini|zentriert|alternativtext=translate Beispiel|up(30) cube(20);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; #cube(20); up(30) cube(20);</pre> ==== down() ==== [[Datei:BOSL2-down.png|mini|zentriert|alternativtext=down(30)-Beispiel|down(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); down(30) cube(20); </pre> ==== fwd() ==== [[Datei:BOSL2-fwd.png|mini|zentriert|alternativtext=fwd(30)|fwd(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); fwd(30) cube(20); </pre> ==== back() ==== [[Datei:BOSL2-back.png|mini|zentriert|back(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); back(30) cube(20); </pre> ==== right() ==== [[Datei:BOSL2-right.png|mini|zentriert|alternativtext=right()-Beispiel|right(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); right(30) cube(20); </pre> ==== left() ==== [[Datei:BOSL2-left.png|mini|zentriert|alternativtext=left() Beispiel|left(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); right(30) cube(20); </pre> ==== move() ==== Es gibt auch einen allgemeineren <code>move()</code>-Befehl, der genauso wie <code>translate()</code> funktionieren kann: [[Datei:BOSL2-move.png|mini|zentriert|alternativtext=move() Beispiel|move([30,-10]) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); move([30,-10]) cube(20); </pre> <span id="skalierung"></span> == Skalierung == === OpenSCAD-Standard: scale() === Der <code>scale()</code>-Befehl ist ebenfalls recht einfach: [[Datei:SCAD-scale.png|mini|zentriert|alternativtext=scale(2) Standard Beispiel|scale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> scale(2) cube(10, center=true); </pre> === OpenSCAD-Standard: scale([x,y,z]) === [[Datei:SCAD-scale-Vektoren.png|mini|zentriert|scale([1,2,3]) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> scale([1,2,3]) cube(10, center=true); </pre> === BOSL2: scale-Abkürzungen === Wenn du jedoch nur die Skalierung auf einer einzelnen Achse ändern möchtest, bietet BOSL2 klarere Befehle genau dafür: <code>xscale()</code>, <code>yscale()</code> und <code>zscale()</code>: ==== xscale() ==== [[Datei:BOSL2-xscale.png|mini|zentriert|alternativtext=xscale()|xscale(2) cube(10, center = true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xscale(2) cube(10, center=true); </pre> ==== yscale() ==== [[Datei:BOSL2-yscale.png|mini|zentriert|alternativtext=yscale|yscale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yscale(2) cube(10, center=true); </pre> ==== zscale() ==== [[Datei:BOSL2-zscale.png|mini|zentriert|zscale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; zscale(2) cube(10, center=true); </pre> <span id="rotation"></span> == Rotation == === Standard-OpenSCAD: rotate() === [[Datei:SCAD-rotate-Vektor.png|mini|zentriert|alternativtext=rotate() Bsp|rotate([0,15,0]) cube(20, center=true);]] Der <code>rotate()</code>-Befehl ist ziemlich klar verständlich: <pre class="openscad"> rotate([0,15,0]) cube(20, center=true); </pre> Er ist ebenfalls etwas langatmig und es kann auf den ersten Blick schwierig sein zu erkennen, wie genau rotiert wird. === BOSL2: Abkürzungen für rotate() === BOSL2 bietet Abkürzungen für die Rotation um jede Achse, für mehr Klarheit: <code>xrot()</code>, <code>yrot()</code> und <code>zrot()</code>: ==== xrot() ==== [[Datei:BOSL2-xrot.png|mini|zentriert|alternativtext=xrot(15)|xrot(15)cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== yrot() ==== [[Datei:SCAD-rotate-Vektor.png|mini|zentriert|alternativtext=rotate() Bsp|yrot cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== zrot() ==== [[Datei:BOSL2-zrot.png|mini|zentriert|alternativtext=zrot(15)|zrot(15) cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; zrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== rot() ==== Der <code>rot()</code>-Befehl ist ein allgemeinerer Rotationsbefehl und kürzer zu tippen als <code>rotate()</code>: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rot([0,30,15]) cube(20, center=true);</pre> ==== rot() mit benutzerdefiniertem Rotationsmittelpunkt ''cp'' ==== Alle Rotationsabkürzungen können ein <code>cp=</code>-Argument annehmen, mit dem du einen Mittelpunkt angeben kannst, um den herum rotiert wird: [[Datei:BOSL2-rot-cp1.png|mini|zentriert|alternativtext=yrot mit cp-Festlegung|Y-Rotation um einen definierten Drehpunkt cp (hier durch gelbe Kugel markiert)]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> drehpunkt = [10,0,10]; color("yellow") move(drehpunkt) sphere(d=1.7); #cube(20, center=true); yrot(120, cp=drehpunkt) cube(20, center=true); </pre> [[Datei:BOSL2-yrot-cp-Veranschaulichung.png|mini|zentriert|alternativtext=yrot um cp Veranschaulichung|Veranschaulichung der 45°- Rotation eines Quaders, um die Y-Achse mit dem Rotationsmittelpunkt cp, siehe Code unten]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; drehpunkt = [0,0,40]; $fn = 50; // für runden Kreis //Veranschaulichung der Drehung: color("blue") move(drehpunkt) sphere(d=1.7); color("blue") move(drehpunkt) xrot(90) dashed_stroke(circle(r = 30), dashpat = [3, 2], width = 0.3, closed = true); #dashed_stroke([[0, 0, 0], drehpunkt], dashpat = [3, 2], width = 0.4); color("blue") yrot(45, cp=drehpunkt) stroke([[0, 0, 0], drehpunkt], width = 0.3); #cube(20, center=true); // Die eigentliche Drehung um cp: yrot(45, cp=drehpunkt) cube(20, center=true); </pre> ==== rot() mit from=[x,y,z] und to=[x,y,z] ==== Du kannst aus einer Richtung in eine andere Richtung rotieren. Diese Richtungen gibst du mit Vektoren an: [[Datei:BOSL2-rot-from-to.png|mini|zentriert|alternativtext=BOSL2-Rotation mit from und to|rot(from=[0,0,1], to=[1,0,1]) cylinder(h=50, 20, 2);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cylinder(h=50, 20, 2); rot(from=[0,0,1], to=[1,0,1]) cylinder(h=50, 20, 2); </pre> ==== Richtungsvektor-Konstanten und Aliase ==== Wie das Beispiel mit from=[[0,0,1] und to=[1,0,1]) zeigt, ist mit dieser abstrakten Notierung die Anweisung nicht ganz einfach zu verstehen. Es gibt deshalb mehrere Richtungsvektor-Konstanten und Aliase, die du für mehr Klarheit verwenden kannst: {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Wert ! Richtung |- | CENTER, CTR | [ 0, 0, 0] | Zentriert |- | LEFT | [-1, 0, 0] | In Richtung X- |- | RIGHT | [ 1, 0, 0] | In Richtung X+ |- | FWD, FORWARD, FRONT | [ 0,-1, 0] | In Richtung Y- |- | BACK | [ 0, 1, 0] | In Richtung Y+ |- | DOWN, BOTTOM, BOT | [ 0, 0,-1] | In Richtung Z- |- | UP, TOP | [ 0, 0, 1] | In Richtung Z+ |} Damit kannst du die obige Vektor-Rotation klarer umschreiben als: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cylinder(h=50, 20, 2); rot(from=TOP, to=RIGHT+TOP) cylinder(h=50, 20, 2); </pre> [[Datei:BOSL2-rot-from-BOTTOM-to-RIGHT-LEFT-TOP.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot() mit from=Alias, to=Alias|#cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("green") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT''') cylinder(h=50, 20, 2); // grün <br> color("orange") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT''') cylinder(h=50, 20, 2); // orange<br> color("black") rot(from='''BOTTOM''', to='''TOP''') cylinder(h=50, 20, 2); // schwarz]] [[Datei:BOSL2-rot-from-TOP-to-RIGHT-LEFT-BOTTOM.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot from=TOP|#cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("green") rot(from='''TOP''', to='''RIGHT''') cylinder(h=50, 20, 2);// grüner Körper <br> color("orange") rot(from='''TOP''', to='''LEFT''') cylinder(h=50, 20, 2); //oranger Körper<br> color("black") rot(from='''TOP''', to='''BOTTOM''') cylinder(h=50, 20, 2); // schwarzer Körper]] [[Datei:BOSL2-rot-from-BOTTOM-to-RIGHT-LEFTplusTOP-DOWN2.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot() mit Aliase und Kombination|#cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("green") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT+TOP''') cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("orange") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT+DOWN''') cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("'''black'''") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT+TOP''') cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("magenta") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT+DOWN''') cylinder(h=50, 20, 2); ]] <span id="spiegelung-mirroring"></span> == Spiegelung (Mirroring) == === Standard-mirror()-Befehl === [[Datei:SCAD-mirror.png|mini|zentriert|alternativtext=mirror-Beispiel|Standard-mirror-Befehl ]] Der Standard-<code>mirror()</code>-Befehl funktioniert z.B. so: <pre class="openscad"> translate([-20, 0, 0]) #cylinder(h=50, d1=20, d2=10); mirror([1,0,0]) translate([-20, 0, 0]) cylinder(h=50, d1=20, d2=10); </pre> Im Beispiel oben erzeugt mirror([1,0,0]), entsprechend einem in Richtung der x-Achse zeigenden Normalenvektor, ein Objekt, bei dem es zur Vorzeichenumkehr der X-Koordinaten kommt. Aus -X wird +X und aus +X würde -X. === BOSL2-Abkürzungen für Spiegelungen === BOSL2 bietet Abkürzungen für die Spiegelung an den Standardachsen: <code>xflip()</code>, <code>yflip()</code> und <code>zflip()</code>. ==== xflip() ==== [[Datei:SCAD-mirror.png|mini|zentriert|alternativtext=mirror-Beispiel|xflip()]] Das gleiche Ergebnis wie im Beispiel mit mirror([1,0,0]) wird mit folgendem Code erreicht: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> translate([-20, 0, 0]) #cylinder(h=50, d1=20, d2=10); xflip() translate([-20, 0, 0]) cylinder(h=50, d1=20, d2=10); </pre> ==== yflip() ==== [[Datei:BOSL2-yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=yflip()-Beispiel|yflip()]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); yflip() up(8) back(20) kreuz();</pre> ==== zflip() ==== [[Datei:BOSL2-zflip.png|mini|zentriert|alternativtext=zflip()|zflip()]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); zflip() up(8) back(20) kreuz();</pre> ==== Flip mit Versatz ==== Alle Flip-Befehle können einen Versatz angeben, wo die Spiegelung durchgeführt wird. [[Datei:BOSL2-zflip-z-Versatz.png|mini|zentriert|alternativtext=zflip mit Versatz|zflip(z=-5)]] <pre class="openscad"> <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); zflip(z=-5) up(8) back(20) kreuz(); </pre> <span id="scherung-skewing--shearing"></span> == Scherung (Skewing / Shearing) == Eine Transformation, die OpenSCAD nativ '''nicht''' beherrscht, ist die '''Scherung''', auch als &quot;''Shearing''&quot; bekannt. BOSL2 stellt dafür den <code>skew()</code>-Befehl bereit. Du übergibst ihm Multiplikatoren für die Scherungen, die du durchführen möchtest. Die verwendeten Argumente beginnen alle mit <code>s</code>, gefolgt von der Achse, entlang derer du scheren möchtest, gefolgt von der Achse, entlang derer die Scherung zunimmt. Um beispielsweise entlang der X-Achse zu scheren, während du weiter entlang der Y-Achse gehst, verwendest du das Argument <code>sxy=</code>. Wenn du ihm einen Multiplikator von <code>0.5</code> übergibst, fügst du für jede Einheit weiter entlang der Y-Achse <code>0.5</code> Einheiten Scherung zur X-Achse hinzu. Ein negativer Multiplikator kehrt die Richtung der Scherung um: [[Datei:BOSL2-skew.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=skew() Beispiele|include <BOSL2/std.scad><br> color("green") '''skew(sxy =0.5)''' left(30) cube(8); // grün<br> color("yellow") '''skew(sxz =-0.5)''' cube(8, center = false); // gelb<br> color("red") '''skew(sxz=0.5)''' right(15) cube(8); // rot ]] [[Datei:BOSL2-skew4x.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 skew() 4 Bspe|include <BOSL2/std.scad><br> color("green") '''skew(sxz =-0.7)''' left(18) cube(8, center = true); // grün<br> color("blue") '''skew(sxz =0.7)''' right(18) cube(8, center = true); // blau<br> color("yellow") fwd(18) '''skew(syz =-0.7''') cube(8, center = true); // gelb<br> color("red") back(18) '''skew(syz=0.7)''' cube(8, center = true); // rot]] 0y7od7iuucpyqub285bk79mp8ioh3cc 1093228 1093227 2026-11-02T15:25:18Z Jowi-ammerbuch 115360 1093228 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Weiter]] }} == Verschiebung (Translation) == Der <code>translate()</code>-Befehl ist sehr einfach: === OpenSCAD-Standard: translate() === <pre class="markdown">#cube(20); translate([0,0,30]) cube(20);</pre> [[Datei:Translate1.png|mini|zentriert|alternativtext=translate Beispiel|translate([0,0,30]) cube(20);]] Aber auf den ersten Blick oder wenn die Formel zur Berechnung der Verschiebung komplex ist, kann es schwierig sein zu erkennen, entlang welcher Achse und in welche Richtung verschoben wird. Außerdem ist er für einen so häufig verwendeten Befehl etwas langatmig. === BOSL2-Abkürzungen für Verschiebungen === Aus diesen Gründen stellt BOSL2 dir '''Abkürzungen''' für jede Richtung zur Verfügung. Diese Abkürzungen sind <code>up()</code>, <code>down()</code>, <code>fwd()</code>, <code>back()</code>, <code>left()</code> und <code>right()</code>: ==== up() ==== [[Datei:Translate1.png|mini|zentriert|alternativtext=translate Beispiel|up(30) cube(20);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; #cube(20); up(30) cube(20);</pre> ==== down() ==== [[Datei:BOSL2-down.png|mini|zentriert|alternativtext=down(30)-Beispiel|down(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); down(30) cube(20); </pre> ==== fwd() ==== [[Datei:BOSL2-fwd.png|mini|zentriert|alternativtext=fwd(30)|fwd(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); fwd(30) cube(20); </pre> ==== back() ==== [[Datei:BOSL2-back.png|mini|zentriert|back(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); back(30) cube(20); </pre> ==== right() ==== [[Datei:BOSL2-right.png|mini|zentriert|alternativtext=right()-Beispiel|right(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); right(30) cube(20); </pre> ==== left() ==== [[Datei:BOSL2-left.png|mini|zentriert|alternativtext=left() Beispiel|left(30) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); right(30) cube(20); </pre> ==== move() ==== Es gibt auch einen allgemeineren <code>move()</code>-Befehl, der genauso wie <code>translate()</code> funktionieren kann: [[Datei:BOSL2-move.png|mini|zentriert|alternativtext=move() Beispiel|move([30,-10]) cube(20);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cube(20); move([30,-10]) cube(20); </pre> <span id="skalierung"></span> == Skalierung == === OpenSCAD-Standard: scale() === Der <code>scale()</code>-Befehl ist ebenfalls recht einfach: [[Datei:SCAD-scale.png|mini|zentriert|alternativtext=scale(2) Standard Beispiel|scale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> scale(2) cube(10, center=true); </pre> === OpenSCAD-Standard: scale([x,y,z]) === [[Datei:SCAD-scale-Vektoren.png|mini|zentriert|scale([1,2,3]) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> scale([1,2,3]) cube(10, center=true); </pre> === BOSL2: scale-Abkürzungen === Wenn du jedoch nur die Skalierung auf einer einzelnen Achse ändern möchtest, bietet BOSL2 klarere Befehle genau dafür: <code>xscale()</code>, <code>yscale()</code> und <code>zscale()</code>: ==== xscale() ==== [[Datei:BOSL2-xscale.png|mini|zentriert|alternativtext=xscale()|xscale(2) cube(10, center = true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xscale(2) cube(10, center=true); </pre> ==== yscale() ==== [[Datei:BOSL2-yscale.png|mini|zentriert|alternativtext=yscale|yscale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yscale(2) cube(10, center=true); </pre> ==== zscale() ==== [[Datei:BOSL2-zscale.png|mini|zentriert|zscale(2) cube(10, center=true);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; zscale(2) cube(10, center=true); </pre> <span id="rotation"></span> == Rotation == === Standard-OpenSCAD: rotate() === [[Datei:SCAD-rotate-Vektor.png|mini|zentriert|alternativtext=rotate() Bsp|rotate([0,15,0]) cube(20, center=true);]] Der <code>rotate()</code>-Befehl ist ziemlich klar verständlich: <pre class="openscad"> rotate([0,15,0]) cube(20, center=true); </pre> Er ist ebenfalls etwas langatmig und es kann auf den ersten Blick schwierig sein zu erkennen, wie genau rotiert wird. === BOSL2: Abkürzungen für rotate() === BOSL2 bietet Abkürzungen für die Rotation um jede Achse, für mehr Klarheit: <code>xrot()</code>, <code>yrot()</code> und <code>zrot()</code>: ==== xrot() ==== [[Datei:BOSL2-xrot.png|mini|zentriert|alternativtext=xrot(15)|xrot(15)cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== yrot() ==== [[Datei:SCAD-rotate-Vektor.png|mini|zentriert|alternativtext=rotate() Bsp|yrot cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== zrot() ==== [[Datei:BOSL2-zrot.png|mini|zentriert|alternativtext=zrot(15)|zrot(15) cube(20, center=true);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; zrot(15) cube(20, center=true);</pre> ==== rot() ==== Der <code>rot()</code>-Befehl ist ein allgemeinerer Rotationsbefehl und kürzer zu tippen als <code>rotate()</code>: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rot([0,30,15]) cube(20, center=true);</pre> ==== rot() mit benutzerdefiniertem Rotationsmittelpunkt ''cp'' ==== Alle Rotationsabkürzungen können ein <code>cp=</code>-Argument annehmen, mit dem du einen Mittelpunkt angeben kannst, um den herum rotiert wird: [[Datei:BOSL2-rot-cp1.png|mini|zentriert|alternativtext=yrot mit cp-Festlegung|Y-Rotation um einen definierten Drehpunkt cp (hier durch gelbe Kugel markiert)]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> drehpunkt = [10,0,10]; color("yellow") move(drehpunkt) sphere(d=1.7); #cube(20, center=true); yrot(120, cp=drehpunkt) cube(20, center=true); </pre> [[Datei:BOSL2-yrot-cp-Veranschaulichung.png|mini|zentriert|alternativtext=yrot um cp Veranschaulichung|Veranschaulichung der 45°- Rotation eines Quaders, um die Y-Achse mit dem Rotationsmittelpunkt cp, siehe Code unten]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; drehpunkt = [0,0,40]; $fn = 50; // für runden Kreis //Veranschaulichung der Drehung: color("blue") move(drehpunkt) sphere(d=1.7); color("blue") move(drehpunkt) xrot(90) dashed_stroke(circle(r = 30), dashpat = [3, 2], width = 0.3, closed = true); #dashed_stroke([[0, 0, 0], drehpunkt], dashpat = [3, 2], width = 0.4); color("blue") yrot(45, cp=drehpunkt) stroke([[0, 0, 0], drehpunkt], width = 0.3); #cube(20, center=true); // Die eigentliche Drehung um cp: yrot(45, cp=drehpunkt) cube(20, center=true); </pre> ==== rot() mit from=[x,y,z] und to=[x,y,z] ==== Du kannst aus einer Richtung in eine andere Richtung rotieren. Diese Richtungen gibst du mit Vektoren an: [[Datei:BOSL2-rot-from-to.png|mini|zentriert|alternativtext=BOSL2-Rotation mit from und to|rot(from=[0,0,1], to=[1,0,1]) cylinder(h=50, 20, 2);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cylinder(h=50, 20, 2); rot(from=[0,0,1], to=[1,0,1]) cylinder(h=50, 20, 2); </pre> ==== Richtungsvektor-Konstanten und Aliase ==== Wie das Beispiel mit from=[[0,0,1] und to=[1,0,1]) zeigt, ist mit dieser abstrakten Notierung die Anweisung nicht ganz einfach zu verstehen. Es gibt deshalb mehrere Richtungsvektor-Konstanten und Aliase, die du für mehr Klarheit verwenden kannst: {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Wert ! Richtung |- | CENTER, CTR | [ 0, 0, 0] | Zentriert |- | LEFT | [-1, 0, 0] | In Richtung X- |- | RIGHT | [ 1, 0, 0] | In Richtung X+ |- | FWD, FORWARD, FRONT | [ 0,-1, 0] | In Richtung Y- |- | BACK | [ 0, 1, 0] | In Richtung Y+ |- | DOWN, BOTTOM, BOT | [ 0, 0,-1] | In Richtung Z- |- | UP, TOP | [ 0, 0, 1] | In Richtung Z+ |} Damit kannst du die obige Vektor-Rotation klarer umschreiben als: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #cylinder(h=50, 20, 2); rot(from=TOP, to=RIGHT+TOP) cylinder(h=50, 20, 2); </pre> [[Datei:BOSL2-rot-from-BOTTOM-to-RIGHT-LEFT-TOP.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot() mit from=Alias, to=Alias|#cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("green") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT''') cylinder(h=50, 20, 2); // grün <br> color("orange") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT''') cylinder(h=50, 20, 2); // orange<br> color("black") rot(from='''BOTTOM''', to='''TOP''') cylinder(h=50, 20, 2); // schwarz]] [[Datei:BOSL2-rot-from-TOP-to-RIGHT-LEFT-BOTTOM.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot from=TOP|#cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("green") rot(from='''TOP''', to='''RIGHT''') cylinder(h=50, 20, 2);// grüner Körper <br> color("orange") rot(from='''TOP''', to='''LEFT''') cylinder(h=50, 20, 2); //oranger Körper<br> color("black") rot(from='''TOP''', to='''BOTTOM''') cylinder(h=50, 20, 2); // schwarzer Körper]] [[Datei:BOSL2-rot-from-BOTTOM-to-RIGHT-LEFTplusTOP-DOWN2.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=rot() mit Aliase und Kombination|#cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("green") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT+TOP''') cylinder(h=50, 20, 2);<br> color("orange") rot(from='''BOTTOM''', to='''RIGHT+DOWN''') cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("'''black'''") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT+TOP''') cylinder(h=50, 20, 2); <br> color("magenta") rot(from='''BOTTOM''', to='''LEFT+DOWN''') cylinder(h=50, 20, 2); ]] <span id="spiegelung-mirroring"></span> == Spiegelung (Mirroring) == === Standard-mirror()-Befehl === [[Datei:SCAD-mirror.png|mini|zentriert|alternativtext=mirror-Beispiel|Standard-mirror-Befehl ]] Der Standard-<code>mirror()</code>-Befehl funktioniert z.B. so: <pre class="openscad"> translate([-20, 0, 0]) #cylinder(h=50, d1=20, d2=10); mirror([1,0,0]) translate([-20, 0, 0]) cylinder(h=50, d1=20, d2=10); </pre> Im Beispiel oben erzeugt mirror([1,0,0]), entsprechend einem in Richtung der x-Achse zeigenden Normalenvektor, ein Objekt, bei dem es zur Vorzeichenumkehr der X-Koordinaten kommt. Aus -X wird +X und aus +X würde -X. === BOSL2-Abkürzungen für Spiegelungen === BOSL2 bietet Abkürzungen für die Spiegelung an den Standardachsen: <code>xflip()</code>, <code>yflip()</code> und <code>zflip()</code>. ==== xflip() ==== [[Datei:SCAD-mirror.png|mini|zentriert|alternativtext=mirror-Beispiel|xflip()]] Das gleiche Ergebnis wie im Beispiel mit mirror([1,0,0]) wird mit folgendem Code erreicht: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> translate([-20, 0, 0]) #cylinder(h=50, d1=20, d2=10); xflip() translate([-20, 0, 0]) cylinder(h=50, d1=20, d2=10); </pre> ==== yflip() ==== [[Datei:BOSL2-yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=yflip()-Beispiel|yflip()]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); yflip() up(8) back(20) kreuz();</pre> ==== zflip() ==== [[Datei:BOSL2-zflip.png|mini|zentriert|alternativtext=zflip()|zflip()]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); zflip() up(8) back(20) kreuz();</pre> ==== Flip mit Versatz ==== Alle Flip-Befehle können einen Versatz angeben, wo die Spiegelung durchgeführt wird. [[Datei:BOSL2-zflip-z-Versatz.png|mini|zentriert|alternativtext=zflip mit Versatz|zflip(z=-5)]] <pre class="openscad"> <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module kreuz(){ cylinder(16,3,3, center = true); xrot(90) cylinder(16,3,3, center = true); } up(8) back(20) #kreuz(); zflip(z=-5) up(8) back(20) kreuz(); </pre> <span id="scherung-skewing--shearing"></span> == Scherung (Skewing / Shearing) == Eine Transformation, die OpenSCAD nativ '''nicht''' beherrscht, ist die '''Scherung''', auch als &quot;''Shearing''&quot; bekannt. BOSL2 stellt dafür den <code>skew()</code>-Befehl bereit. Du übergibst ihm Multiplikatoren für die Scherungen, die du durchführen möchtest. Die verwendeten Argumente beginnen alle mit <code>s</code>, gefolgt von der Achse, entlang derer du scheren möchtest, gefolgt von der Achse, entlang derer die Scherung zunimmt. Um beispielsweise entlang der X-Achse zu scheren, während du weiter entlang der Y-Achse gehst, verwendest du das Argument <code>sxy=</code>. Wenn du ihm einen Multiplikator von <code>0.5</code> übergibst, fügst du für jede Einheit weiter entlang der Y-Achse <code>0.5</code> Einheiten Scherung zur X-Achse hinzu. Ein negativer Multiplikator kehrt die Richtung der Scherung um: [[Datei:BOSL2-skew.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=skew() Beispiele|include <BOSL2/std.scad><br> color("green") '''skew(sxy =0.5)''' left(30) cube(8); // grün<br> color("yellow") '''skew(sxz =-0.5)''' cube(8, center = false); // gelb<br> color("red") '''skew(sxz=0.5)''' right(15) cube(8); // rot ]] [[Datei:BOSL2-skew4x.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 skew() 4 Bspe|include <BOSL2/std.scad><br> color("green") '''skew(sxz =-0.7)''' left(18) cube(8, center = true); // grün<br> color("blue") '''skew(sxz =0.7)''' right(18) cube(8, center = true); // blau<br> color("yellow") fwd(18) '''skew(syz =-0.7''') cube(8, center = true); // gelb<br> color("red") back(18) '''skew(syz=0.7)''' cube(8, center = true); // rot]] svjhizdz5be1qurk6qg8y9wjqa8sljp OpenSCAD Benutzerhandbuch/ BOSL2-Distributoren 0 123322 1093229 1093155 2026-11-02T15:26:47Z Jowi-ammerbuch 115360 1093229 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Transformationen|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-2D|Weiter]] }} = Distributoren (Verteiler) = Distributoren sind Module, die nützlich sind, um mehrere Kopien eines Kindes entlang einer Linie, Fläche, eines Volumens oder Rings zu platzieren. Viele Transformationen haben eine oder mehrere distributive Varianten. {| class="wikitable" |- ! Transformation ! Zugehörige Distributoren |- | <code>left()</code>, <code>right()</code> | <code>xcopies()</code> |- | <code>fwd()</code>, <code>back()</code> | <code>ycopies()</code> |- | <code>down()</code>, <code>up()</code> | <code>zcopies()</code> |- | <code>move()</code>, <code>translate()</code> | <code>move_copies()</code>, <code>line_copies()</code>, <code>grid_copies()</code> |- | <code>xrot()</code> | <code>xrot_copies()</code> |- | <code>yrot()</code> | <code>yrot_copies()</code> |- | <code>zrot()</code> | <code>zrot_copies()</code> |- | <code>rot()</code>, <code>rotate()</code> | <code>rot_copies()</code>, <code>arc_copies()</code> |- | <code>xflip()</code> | <code>xflip_copy()</code> |- | <code>yflip()</code> | <code>yflip_copy()</code> |- | <code>zflip()</code> | <code>zflip_copy()</code> |- | <code>mirror()</code> | <code>mirror_copy()</code> |} <span id="transform-distributoren"></span> == Transform-Distributoren == === xcopies() === [[Datei:BOSL2-xcopies.png|mini|zentriert|alternativtext=xcopies() Beispiel|xcopies(20, n=5) cube(10);]] Mit <code>xcopies()</code> kannst du eine Reihe gleichmäßig verteilter Kopien einer Form erstellen, die entlang der X-Achse zentriert ist. Um eine Reihe von 5 Quadern zu erstellen, die alle 20 Einheiten entlang der X-Achse beabstandet sind, machst du Folgendes: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> xcopies(20, n=5) cube(10); </pre> Beachte, dass das erste erwartete Argument für <code>xcopies()</code> das '''Abstandsargument''' ist, daher musst du den Argumentnamen <code>spacing=</code> nicht angeben. === ycopies() === [[Datei:BOSL2-ycopies.png|mini|zentriert|alternativtext=ycopies()|ycopies(20, n=5) cube(10);]] Ebenso erstellt <code>ycopies()</code> eine Reihe gleichmäßig verteilter Kopien, die entlang der Y-Achse zentriert ist. Um eine Reihe von 5 Quader zu erstellen, die alle 20 Einheiten entlang der Y-Achse beabstandet sind, machst du Folgendes: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ycopies(20, n=5) cube(10); </pre> === zcopies() === [[Datei:BOSL2-zcopies.png|mini|zentriert|alternativtext=zcopies() Beispiel|zcopies()]] Und <code>zcopies()</code> erstellt eine Reihe gleichmäßig verteilter Kopien, die entlang der Z-Achse zentriert ist. Um eine Reihe von 5 Quadern zu erstellen, die alle 20 Einheiten entlang der Z-Achse beabstandet sind, machst du Folgendes: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> zcopies(20, n=5) cube(10); </pre> === Default-Wert der Wiederholungen n = 2 === [[Datei:BOSL2-zcopies-n-default.png|mini|zentriert|alternativtext= zcopies ohne spezifizierte Wiederholung|zcopies(20) cube(10);]] Wenn du das Argument <code>n=</code> nicht an <code>xcopies()</code>, <code>ycopies()</code> oder <code>zcopies()</code> übergibst, dann ist der Standardwert 2 (zwei) Objekte. === Wiederholungen auf einer Linie der Länge l === [[Datei:BOSL2-xcopies-l-eq-80.png|mini|zentriert|alternativtext=xcopies() mit l=|Auf Länge l=80 wird Anzahl n=4 Objekte verteilt.<br> xcopies(l=80, n=4) cube(10, center=true);]] Wenn du den gewünschten Abstand nicht kennst, sondern stattdessen weißt, wie lang eine Linie sein soll, über die die Kopien verteilt werden sollen, kannst du das Argument <code>l=</code> anstelle des Arguments <code>spacing=</code> verwenden: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> xcopies(l=80, n=4) cube(10, center=true); </pre> ==== Startpunkt mit sp= definieren ==== [[Datei:BOSL2-xcopies-sp.png|mini|zentriert|alternativtext=Startpunkt mit sp=|Startpunkt mit sp=[0,0,0] auf Koordinaten-Ursprung gesetzt (Default ist Zentrierung der Verteilung).]] Wenn du nicht möchtest, dass die Kopienreihe auf dem Ursprung zentriert ist, kannst du einen Startpunkt <code>sp=</code> angeben, und die Kopienreihe wird dort beginnen. Für <code>xcopies()</code> erstreckt sich die Kopienreihe nach rechts vom Startpunkt. <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> xcopies(l=80, n=4, sp=[0,0,0]) cube(10, center=true); </pre> Für <code>ycopies()</code> erstreckt sich die Kopienreihe nach hinten vom Startpunkt. === line_copies() === [[Datei:BOSL2-line copies.png|mini|zentriert|alternativtext=line_copies() |line_copies() erlaubt Verteilung auf beliebigen Linien.<br> line_copies(spacing=(BACK+RIGHT)*20, n=5) sphere(10);]] Wenn du Kopien entlang einer beliebigen Linie verteilen musst, kannst du den Befehl <code>line_copies()</code> verwenden. Du kannst sowohl den Richtungsvektor als auch den Abstand der Kopienreihe mit dem Argument <code>spacing=</code> angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; line_copies(spacing=(BACK+RIGHT)*20, n=5) sphere(10);</pre> Mit dem Argument <code>p1=</code> kannst du den Startpunkt der Linie angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; line_copies(spacing=(BACK+RIGHT)*20, n=5, p1=[0,0,0]) sphere(d=10);</pre> Wenn du sowohl <code>p1=</code> als auch <code>p2=</code> angibst, kannst du sowohl den Start- als auch den Endpunkt der Kopienreihe festlegen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; line_copies(p1=[0,100,0], p2=[100,0,0], n=4) sphere(d=10);</pre> === grid_copies() === [[Datei:BOSL2-grid copies.png|mini|zentriert|alternativtext=grid_copies()|grid_copies() erlaubt mit nur einer Anweisung die Objektverteilung in X- und Y-Richtung (siehe Code unten).]] Der Befehl <code>grid_copies()</code> ermöglicht es dir, Kopien gleichzeitig über beide Achsen X und Y zu verteilen: <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> module bodenplatte(){ cube([100, 40, 10], center = true); } module bohrung(){ cylinder(h=14, d = 3, center = true); } difference(){ bodenplatte(); grid_copies([10,8], n=[8,4]) bohrung(); }</pre> Der Abstand kann für beide Achsen X und Y getrennt angegeben werden, ebenso wie die Anzahl der Zeilen und Spalten. ==== stagger = true (Gestaffelte Formation) ==== [[Datei:BOSL2-grid copies-stagger true.png|mini|zentriert|alternativtext=grid_copies stagger=true|difference(){ bodenplatte(); grid_copies([9,6], n=[8,5], '''stagger=true''') bohrung(); }]] Ein weiteres nützliches Feature von <code>grid_copies()</code> ist, dass du die Verteilung mit <code>stagger=true</code> versetzt (gestaffelt) anordnen kannst. <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> module bodenplatte(){ cube([100, 40, 10], center = true); } module bohrung(){ cylinder(h=14, d = 3, center = true); } difference(){ bodenplatte(); grid_copies([9,6], n=[8,5], stagger=true) bohrung(); } </pre> ==== stagger="alt" ==== [[Datei:BOSL2-grid copies-stagger alt.png|mini|zentriert|alternativtext=grid_copies mit stagger="alt"|grid_copies([9,6], n=[8,5], '''stagger="alt"''') bohrung();]] Du kannst das alternative Versetzungsmuster erhalten, wenn du <code>stagger=&quot;alt&quot; </code> setzt: <pre class="openscad"> // ... difference(){ bodenplatte(); grid_copies([9,6], n=[8,5], stagger="alt") bohrung(); } //... </pre> Standardmäßig ergibt die Versetzung, wenn du einen Skalar für den Abstandswert angibst, ein hexagonales Gitter, wobei der Abstand der Abstand von einem Element zu allen sechs umgebenden Elementen ist. Wenn du den Abstand als 2-Element-Vektor angibst, erzwingt das stattdessen die X- und Y-Abstände zwischen Spalten und Zeilen. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; grid_copies([20,20], n=6, stagger=true) sphere(d=10);</pre> ==== grid_copies() mit size (und distance) ==== Du kannst ein Gitter alternativ auch über Größe und Abstand angeben: [[Datei:BOSL2-grid copies size-dist-quadrat.png|mini|zentriert|alternativtext=grid_copies(20, size=60) circle(3);|grid_copies(20, size=60) circle(3);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("green") grid_copies(20, size=60) circle(3); #rect(60); // Bezugsfläche </pre> Bei <code>size=60</code> ist die Fläche quadratisch mit einer Seitenlänge von 60. Die erste Zahl hinter der runden Klammer (im Beispiel =20) gibt den Abstand der Kopien an. [[Datei:BOSL2-grid copies size-dist-rect.png|mini|zentriert|alternativtext=grid_copies mit size|grid_copies(20, size=[100,60]) circle(3); (zur Orientierung das Rechteck mit 100, 60]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> grid_copies(20, size=[100,60]) circle(3); #rect([100,60]); // Bezugsfläche </pre> Wie das Beispiel oben zeigt, kann durch <code>size=[100,60]</code> eine rechteckige Verteilung erreicht werden. (Mit <code>stagger=true</code> wäre auch eine gestaffelte Verteilung möglich). ==== grid_copies() mit size und n ==== [[Datei:BOSL2-grid copies size-n.png|mini|zentriert|alternativtext=grid_copies(n=4, size=[100,60]) circle(3);|grid_copies(n=4, size=[100,60]) circle(3);]] Wird mit <code>n=4</code> nur ein Zahlenwert angegeben, so werden in X- und in Y-Richtung die gleiche Anzahl an Objekten verteilt (hier je 4 Kreise). <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("green") grid_copies(n=4, size=[100,60]) circle(3); #rect([100,60]); // Bezugsfläche </pre> Du kannst für n aber auch zwei Werte angeben, z.B. <code>n=[6,3]</code>, damit lassen sich für die X- und die Y-Richtung eine unterschiedliche Anzahl von Objekten verteilen: [[Datei:BOSL2-grid copies size-n-spalten-zeilen.png|mini|zentriert|alternativtext=grid_copies(n=[6,3], size=[100,60]) circle(3);|grid_copies(n=[6,3], size=[100,60]) circle(3);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("green") grid_copies(n=[6,3], size=[100,60]) circle(3); #rect([100,60]); // Bezugsfläche </pre> ==== inside = ==== [[Datei:BOSL2-grid copies inside poly.png|mini|zentriert|alternativtext=grid_copies mit inside=|grid_copies(5, stagger=true, inside=poly) { cylinder(d=4,h=10,spin=90,$fn=6);}]] Schließlich ermöglicht dir der Befehl <code>grid_copies()</code> mit <code>inside=</code>, eine Polygon- oder Regionsform anzugeben, die mit Elementen gefüllt werden soll. Nur die Elemente im Gitter, deren Mittelpunkt sich innerhalb des Polygons oder der Region befinden würde, werden erstellt. Um eine Sternform mit Elementen zu füllen, kannst du etwas wie folgt tun: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; poly = [for (i=[0:11]) polar_to_xy(50*(i%2+1), i*360/12-90)]; grid_copies(5, stagger=true, inside=poly) { cylinder(d=4,h=10,spin=90,$fn=6); }</pre> <span id="rotations-distributoren"></span> == Rotations-Distributoren == === zrot_copies() === Du kannst sechs Kopien eines Zylinders erstellen, die um die Z-Achse rotiert sind (der rote Quader dient der Raumorientierung): [[Datei:BOSL2-zrot copies-Refquader.png|mini|zentriert|alternativtext=BOSL2-zrot copies|zrot_copies(n=6) right(15) cylinder(10,4,4);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> zrot_copies(n=6) right(15) cylinder(10,4,4); #square(40, center = true); // Zur Orientierung </pre> === rot_copies === [[Datei:BOSL2-rot copies-Refquader.png|mini|zentriert|alternativtext=rot_copies|rot_copies(n=6, v=DOWN+BACK) right(15) cylinder(10,4,4);]] Der Befehl <code>rot_copies()</code> ist die allgemeine Form. Du übergibst ihm entweder eine Liste von Rotationswinkeln oder eine Anzahl <code>n=</code>, um Kopien gleichmäßig zu verteilen. Du kannst auch die Rotationsachse mit <code>v=</code> angeben: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> rot_copies(n=6, v=DOWN+BACK) right(15) cylinder(10,4,4); #square(40, center = true); // Zur Orientierung </pre> Um einen Ring von Objekten zu erstellen, verwende <code>delta=</code>, um jedes Kind vor der Rotation zu versetzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; include <BOSL2/std.scad> rot_copies(n=6, v=DOWN+BACK) right(15) cylinder(10,4,4); #square(40, center = true); // Zur Orientierung</pre> === xrot_copies () === [[Datei:BOSL2-xrot copies-Ring-Ref.png|mini|zentriert|alternativtext=xrot_copies|xrot_copies(n=6, r=20) right(15) cylinder(10,4,4); (rpter Quader dient der Orientierung)]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> xrot_copies(n=6, r=30) right(15) cylinder(10,4,4); #square(40, center = true); // Zur Orientierung </pre> Die Befehle <code>xrot_copies()</code> und <code>yrot_copies()</code> funktionieren wie <code>zrot_copies()</code>, rotieren aber um die X- bzw. Y-Achse. Verwende <code>r=</code>, um einen Ring zu erstellen: === yrot_copies () === [[Datei:BOSL2-yrot copies-Ring-Ref.png|mini|zentriert|alternativtext=yrot_copies|yrot_copies(n=6, r=30) right(15) cylinder(10,4,4);]] === arc_copies () mit sa und ea === [[Datei:BOSL2-arc copies-sa-ea-Ref.png|mini|zentriert|alternativtext=arc_copies|arc_copies(n=12, r=20, sa=-45, ea=180) cube([8,2,2], center=true);]] Um Kopien entlang eines Bogens anstelle eines vollständigen Kreises zu verteilen, verwende <code>arc_copies()</code>. Du gibst den Radius und die Anzahl der Kopien an. Standardmäßig erstellt es einen vollständigen Kreis, aber du kannst einen '''Startwinkel''' <code>sa=</code> und einen '''Endwinkel''' <code>ea=</code> angeben: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> arc_copies(n=12, r=20, sa=-45, ea=180) cube([8,2,2], center=true); #square(40, center = true); // Zur Orientierung </pre> === arc_copies () mit rx und ry === [[Datei:BOSL2-arc copies-rx-ry-Ellipse.png|mini|zentriert|alternativtext=arc_copies(n=12, rx=30, ry=15) rect(4);|arc_copies(n=12, rx=30, ry=15) rect(4);]] Du kannst auch '''elliptische''' Bögen mit <code>rx=</code> und <code>ry=</code> verwenden: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> arc_copies(n=12, rx=30, ry=15) rect(4); </pre> === sphere_copies () === [[Datei:BOSL2-sphere copies-Ref.png|mini|zentriert|alternativtext=sphere_copies(n=50, d=80) |sphere_copies(n=50, d=80) cylinder(d=3, h=5); (rote Körper dienen der Orientierung)]] Um Kinder über die Oberfläche einer Kugel zu verteilen, verwende <code>sphere_copies ()</code>: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> sphere_copies(n=50, d=80) cylinder(d=3, h=5); #sphere(40); // nur zur Orientierung #square(80, center = true);</pre> === sphere_copies () mit cone_ang === [[Datei:BOSL2-sphere copies-cone ang20.png|mini|zentriert|alternativtext=sphere_copies(n=20, d=80, cone_ang = 20) cylinder(d=5, h=5);|sphere_copies(n=20, d=80, cone_ang = 20) cylinder(d=5, h=5);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> sphere_copies(n=20, d=80, cone_ang = 20) cylinder(d=5, h=5); #sphere(40); #square(80, center = true);</pre> Ohne eine Benutzer-Angabe von cone_ang gilt cone_ang = 90, welches dem Teil der Kugel entspricht, die von der XY-Ebene geschnitten wird. Kleinere Werte für cone_ang rücken die Kopienverteilung zum oberen Pol (positive Z-Koordinaten) und Werte > 90 unterhalb der XY-Ebene (negative Z-Koordinaten). [[Datei:BOSL2-sphere copies-cone ang180.png|mini|zentriert|alternativtext=sphere_copies(n=100, d=80, cone_ang = 180) cylinder(d=5, h=5);|sphere_copies(n=100, d=80, cone_ang = 180) cylinder(d=5, h=5);]] === path_copies () 2D === [[Datei:BOSL2-path copies-spiral.png|mini|zentriert|alternativtext=path_copies(spiral, n=40) circle(r=1);|path_copies (spiral, n=40) circle(r=1);]] Schließlich verteilt <code>path_copies()</code> Kopien entlang eines beliebigen Pfades: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; spiral = [for(theta=[0:360*5]) theta * [cos(theta), sin(theta)]]/100; stroke(spiral, width=.25); color(&quot;red&quot;) path_copies(spiral, n=40) circle(r=1);</pre> === path_copies () 3D === [[Datei:BOSL2-path copies-3D.png|mini|zentriert|alternativtext=path_copies(path, n=48, spacing = 4) sphere(d=2);|path_copies(path, n=48, spacing = 4) sphere(d=2);]] Du kannst <code>path_copies()</code> auch mit einem 3D-Pfad verwenden. Das Argument <code>spacing=</code> steuert den Abstand zwischen den Kopien entlang des Pfades: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> path = [for(t=[0:360]) [30*cos(t), 30*sin(t), t/12]]; path_copies(path, n=48, spacing = 4) sphere(d=2); #square(80, center = true); // Bezugsfläche XY-Ebene xrot(90) #square(80, center = true); // Bezugsfläche ZX-Ebene </pre> 48r64dyioy48nfch1b247whymoqqhmp OpenSCAD Benutzerhandbuch/ BOSL2-2D 0 123349 1093219 1093181 2026-11-02T14:22:56Z Jowi-ammerbuch 115360 Jowi-ammerbuch verschob die Seite [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/ BOSL2-2]] nach [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/ BOSL2-2D]]: falsch geschriebener Name 1093181 wikitext text/x-wiki <span id="grundformen-primitives"></span> == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie dir, die Ecken abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> Oder sie abzufasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=8);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; #ellipse(d=100, $fn=8, realign=true);</pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis umschreibt, anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis einschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis umschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=FRONT+RIGHT);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30);</pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. Um ein einfaches Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> o01ilc90egrx37sj30p8dyn4e1s5wjb 1093222 1093219 2026-11-02T15:10:15Z Jowi-ammerbuch 115360 /* Rechtecke (Rectangles) */ 1093222 wikitext text/x-wiki <span id="grundformen-primitives"></span> == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=8);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; #ellipse(d=100, $fn=8, realign=true);</pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis umschreibt, anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis einschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis umschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=FRONT+RIGHT);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30);</pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. Um ein einfaches Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> egjxuxcd01gwbuekyo805v1m2jwphcs 1093230 1093222 2026-11-02T15:27:36Z Jowi-ammerbuch 115360 1093230 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=8);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; #ellipse(d=100, $fn=8, realign=true);</pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis umschreibt, anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis einschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis umschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=FRONT+RIGHT);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30);</pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. Um ein einfaches Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> s5rxfu779ikyo342962wy5sbmh0aolq 1093231 1093230 2026-11-02T15:32:35Z Jowi-ammerbuch 115360 /* anchor für child spezifiziert */ 1093231 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=8);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; #ellipse(d=100, $fn=8, realign=true);</pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis umschreibt, anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis einschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis umschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=FRONT+RIGHT);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30);</pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. Um ein einfaches Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> oolz1kzkiy1q76sazfst7vbpc1s4jvb 1093232 1093231 2026-11-02T15:33:07Z Jowi-ammerbuch 115360 /* position() */ 1093232 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) '''position(RIGHT)''' #square(25) '''position(BACK)''' #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=8);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; #ellipse(d=100, $fn=8, realign=true);</pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis umschreibt, anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis einschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis umschreiben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50, anchor=FRONT+RIGHT);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30);</pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. Um ein einfaches Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> aouy1gmlo67rrx3ilwybs6v0fjrgznx