Wikibooks dewikibooks https://de.wikibooks.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.48.0-wmf.3 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikibooks Wikibooks Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Regal Regal Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 0 7777 1093484 1087283 2026-11-06T22:42:36Z ~2026-57574-44 117132 /* MF 5700 */ 1093484 wikitext text/x-wiki {{:Traktorenlexikon: Navigation}} [[File:MF Logo 2022.png|thumb|MF Logo 2022]] Der Hersteller '''Massey Ferguson''' agiert als globaler Erstausrüster (Original Equipment Manufacturer) für agrartechnische Nutzfahrzeuge und Arbeitsgeräte innerhalb des [[Traktorenlexikon: AGCO|AGCO]]-Konzerns. Das diversifizierte Produktportfolio des Herstellers deckt die vollständige landwirtschaftliche Prozesskette ab: Es umfasst standardisierte Radschlepper vom Kompaktsegment bis zur Großtraktorenklasse mit leistungsverzweigten Getriebestrukturen, mechanisierte Erntemaschinensysteme wie Schüttler- und Axialfluss-Mähdrescher, Hochleistungs-Ballenpressen sowie eine lückenlose Systemkette für die Futterernte und die konservierende Bodenbearbeitung. Ergänzt wird dieses Spektrum durch motorisierte Geräte zur Areal- und Grundstückspflege sowie durch die Integration digitaler Systemarchitekturen für das Precision Agriculture (u. a. ISOBUS-Schnittstellen und telemetriebasierte Flottenmanagementsysteme), wodurch das Unternehmen sowohl die großflächige Agrarproduktion als auch den kommunalen Sektor bedient. == Geschichte == '''1. Ursprünge und Konsolidierung der Gründerunternehmen (1847–1953)''' [[File:Gråtass-2.JPG|thumb|Ferguson TE20]] Die Wurzeln des heutigen Herstellers Massey Ferguson (MF) reichen bis in das Jahr 1847 zurück, in dem Daniel Massey die Massey Manufacturing Company in Newcastle (Ontario, Kanada) gründete. Im Jahr 1891 fusionierte dieses Unternehmen mit der von Alanson Harris etablierten A. Harris and Son Implement zur Massey-Harris Company Limited. In der Frühphase der Unternehmensgeschichte agierte Massey-Harris im Traktorensegment primär als Kapitalgesellschaft ohne eigene spezialisierte Produktionsstätten für Schlepper. Stattdessen wurde die Fertigung im Rahmen von Outsourcing-Prozessen als Auftragsfertigung (Contract Manufacturing) an externe Maschinenbauunternehmen im Raum der Großen Seen vergeben [1]. Parallel dazu entwickelte der britische Ingenieur Harry Ferguson bereits vor dem Zweiten Weltkrieg die Dreipunktaufhängung mit hydraulischer Oberlenkerregelung – ein System, das heute als Standard der landwirtschaftlichen Gerätetechnik gilt. Nach einer gescheiterten Integration in Traktoren von [[Traktorenlexikon: David Brown|David Brown]] schloss Ferguson ein informelles Abkommen mit Henry Ford („Handshake Agreement“), wodurch das System ab 1939 im Fordson (u. a. Ford 9N) implementiert wurde. Nach strategischen Differenzen mit Henry Ford II trennte sich Ferguson von Ford und vertrieb ab 1946 hochergonomische und wendige Schlepper über seine eigene Gesellschaft, die Ferguson Ltd., die im Nachkriegsdeutschland und international erhebliche Markterfolge erzielte. Im Jahr 1953 fusionierten Massey-Harris und Ferguson Ltd. zur Massey-Harris-Ferguson Ltd., deren Firmenname 1958 final zu Massey Ferguson verkürzt wurde [1, 2]. '''2. Strategische Allianzen und das „DX-Entwicklungsprogramm“ (1950–1970)''' [[File:Oldtimer show Eelde 2013 - Massey Ferguson 135.jpg|thumb|Massey Ferguson 135]] In den 1950er Jahren wies das MF-Produktportfolio im oberen Leistungssegment (ca. 50 bis 60 PS) Lücken auf, die temporär durch den Zukauf und das modellpolitische Badge-Engineering von Fremdfabrikaten – unter anderem von der Minneapolis-Moline Company – kompensiert wurden [2]. Um die technologische Abhängigkeit zu beenden, initiierte der Konzern Anfang der 1960er Jahre das Entwicklungsprogramm Detroit Xperimental (DX). Ziel war die Konstruktion einer standardisierten, modular aufgebauten globalen Traktorenplattform. Zwischen 1960 und 1964 investierte die Entwicklungsabteilung rund eine Million Arbeitsstunden in das Projekt [2]. Die daraus resultierende „MF 100-Serie“ (auch bekannt als „Red Giants“, darunter die Modelle MF 130, 135, 165 und 175) konsolidierte die wirtschaftliche Situation des Herstellers nachhaltig. Insbesondere der ab Ende 1964 produzierte MF 135 gilt aufgrund seiner hohen Produktionszahlen historisch als einer der meistgebauten Traktoren weltweit [2, 3]. '''3. Internationale Kooperationen und Akquisitionen (Landini, Eicher, AGCO)''' [[File:Massey Ferguson 9S.425 Agritechnica 2025 (DSC04560).jpg|thumb|Massey Ferguson 9S.425]] Zur technologischen Erweiterung im Bereich der Allradantriebe übernahm Massey Ferguson im Jahr 1959 den italienischen Traktorenhersteller [[Traktorenlexikon: Landini|Landini]] zu 100 %. Ab den frühen 1970er Jahren fertigte Landini im Wege der Plattformstrategie baugleiche Traktoren für MF, die sich im Wesentlichen durch die Markenlackierung unterschieden. 1994 veräußerte MF die Mehrheitsanteile an Landini an die italienische Holding [[Traktorenlexikon: ARGO|ARGO]] S.p.A., wobei über nachgelagerte Abkommen weiterhin Komponenten- und Modellbündelungen zwischen ARGO und der späteren MF-Muttergesellschaft genutzt wurden [4]. Aufgrund von Restrukturierungen auf dem europäischen Zulieferermarkt beteiligte sich MF zudem von circa 1970 bis 1982 an der deutschen Eicher-Goodis GmbH. Da die Zahnradfabrik Friedrichshafen (ZF) beabsichtigte, die Getriebeproduktion für die [[Traktorenlexikon: Eicher|Eicher]]-Baureihen einzustellen, benötigte Eicher sowohl frisches Kapital als auch Zugang zu alternativen Antriebskomponenten. MF wiederum nutzte die Kooperation, um das eigene Vertriebsnetz in Mitteleuropa durch modifizierte Eicher-Modelle im MF-Design zu ergänzen [5]. Im Jahr 1994 wurde die Massey Ferguson Group vollständig durch den US-amerikanischen Agrartechnikkonzern AGCO (Allis-Gleaner Corporation) akquiriert und als Kernmarke in dessen globalen Mehrmarkenkonzern integriert [6]. '''4. Der TAFE-AGCO-Konflikt und die Restrukturierung der Markenrechte (2024–2025)''' [[File:Mallika Srinivasan.jpg|thumb|Massey Ferguson TAFE 9500 Smart]] Die indische '''Tractors and Farm Equipment Limited''' (TAFE) kooperierte seit 1960 mit Massey Ferguson und fertigte die Schlepper über Jahrzehnte in Lizenz für den asiatischen Markt. Überdies hielt TAFE einen strategischen Aktienanteil von rund 16,3 % an der AGCO-Corporation. Im April 2024 eskalierte ein wirtschaftlicher Konflikt, nachdem AGCO angekündigt hatte, die bestehenden Markenlizenz- und Lieferverträge mit TAFE einseitig aufzukündigen [7, 8]. Der daraus resultierende Rechtsstreit wurde im Juli 2025 durch einen umfassenden gerichtlichen und kommerziellen Vergleich beigelegt: * Markenrechte: TAFE wurde zum exklusiven und dauerhaften Eigentümer der Marke Massey Ferguson für die Territorien Indien, Nepal und Bhutan erklärt. Eine periodische Erneuerung der Lizenzverträge mit AGCO entfällt in diesen Ländern dauerhaft. AGCO behält die exklusiven Markenrechte für den Rest der Welt [7, 8]. * Unternehmensverflechtung: AGCO veräußerte seine verbliebene 20,7 %ige Beteiligung an TAFE für 260 Millionen US-Dollar an die indische Konzernmutter Amalgamations Group. TAFE wiederum verbleibt als langfristiger Investor mit maximal 16,3 % an AGCO beteiligt, gab jedoch seinen Sitz im AGCO-Verwaltungsrat auf [7, 8]. * Lieferbeziehungen: Sämtliche operativen Rahmenverträge wurden einvernehmlich beendet, bestehende Lieferverpflichtungen für Komponenten und Ersatzteile werden jedoch geordnet abgewickelt [8]. ==MF Typen (Eigene)== Diese Auflistung bezieht sich auf Modelle, die Massey Ferguson selbst konstruiert und in seinen Werken in Kanada, den USA, England und Frankreich gebaut und entwickelt hat. Aufgrund der Vielzahl und Komplexität der verschiedenen Modelle und Baureihen, werden zugunsten der Übersichtlichkeit die Serien ab 100 numerisch geordnet angegeben (100-8000). Innerhalb der Serie sind die Baureihen jedoch chronologisch geordnet (bspw. Serie 3000 => 3000-3100-3600). Ein Zeitstrahl soll hier in Zukunft noch die zeitliche Einordnung vereinfachen. ===TE 20=== [[Datei:Hohenheim0001.JPG|thumb|Ferguson TEC 20]] Der Ferguson TE 20 (Tractor England, 20 hp), auch „Little Grey Fergie“ genannt, gilt als ein strukturprägender Meilenstein der globalen Agrartechnikgeschichte. Der von 1946 bis 1956 in Kooperation mit der Standard Motor Company im Werk Banner Lane (Coventry) in einer Gesamtstückzahl von über 517.000 Einheiten gefertigte Standardschlepper forcierte maßgeblich die weltweite Substitution von Zugtieren durch mechanisierte Antriebe. Das evolutionäre Konstruktionsmerkmal des leichten und hochwendigen Systemschleppers lag in der erstmaligen, großserienmäßigen Integration der patentierten dreipunktgesteuerten Regelhydraulik (Ferguson-System), die eine starre Verbindung zwischen Traktor und Anbaugerät auflöste und stattdessen eine dynamische Gewichtsübertragung zur Traktionsmaximierung realisierte. Über diverse evolutionäre Antriebskonfigurationen – vom initialen Otto-Fremdmotor über Petroleum-Varianten (TVO) bis hin zu hauseigenen Dieselaggregaten – etablierte die TE-20-Plattform das funktionale Layout moderner Standardtraktoren und legte das ökonomische Fundament für die spätere Fusion zur Massey-Harris-Ferguson-Gruppe. {| class="wikitable" ! 1946-1956 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|TE 20}} (Continental Z-120 Ottomotor, Bauzeit: 1946–1948) {{:Traktorenlexikon: Create|TE-A 20}} (SMC-4-Zylinder-Ottomotor, Bauzeit: 1947–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TEB 20}} (Continental Z-120 Ottomotor, Bauzeit: 1946–1948) {{:Traktorenlexikon: Create|TEC 20}} (Standard-Ottomotor, Bauzeit: 1948–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TE-D 20}} (TVO = ''Tractor vaporising oil'', Öldampfverbrennung, Bauzeit: 1949–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TEE 20}} (TVO = ''Tractor vaporising oil'', Öldampfverbrennung, Bauzeit: 1949–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TEF 20}} (Standard-Dieselmotor, Bauzeit: 1951–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TEH 20}} (Lampenölmotor, Bauzeit: 1950–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TEJ 20}} (Lampenölmotor, Bauzeit: 1950–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TEK 20}} (Vineyard, Ottomotor, Bauzeit: 1952–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TEL 20}} (TVO = ''Tractor vaporising oil'', Öldampfverbrennung, Bauzeit: 1952–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TEM 20}} (Vineyard, Lampenölmotor, Bauzeit: 1952–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TEP 20}} (Industrial, Ottomotor, Bauzeit: 1952–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TER 20}} (TVO = ''Tractor vaporising oil'', Öldampfverbrennung, Bauzeit: 1952–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TES 20}} (Lampenölmotor, Bauzeit: 1952–1956) {{:Traktorenlexikon: Create|TET 20}} (Industrial, Dieselmotor, Bauzeit: 1952–1956) |} ===FE / MF === [[Datei:MasseyFerguson FE35 41,5PS 1959.jpg|thumb|FE 35 X]] Unter den Typenbezeichnungen FE (Ferguson England) und MF (Massey Ferguson) konsolidierte der Konzern ab Mitte der 1950er Jahre die Standardisierung seiner globalen Traktorenplattformen. Diese Epoche umfasst jene Baureihen, die die technologische Brücke zwischen den leichten Nachkriegsschleppern und der späteren 100er-Serie bildeten: Das Übergangsmodell FE 35 (eingeführt 1956, bekannt als „Goldbauch“ aufgrund der bronzefarbenen Lackierung von Motor und Getriebe), der ab 1957 im Zuge der Markenstraffung umbenannte und rot-grau lackierte MF 35 (sowie dessen Weiterentwicklung MF 35 X) und das ab 1958 für das mittlere Leistungssegment konzipierte Vierzylinder-Modell MF 65. Konstruktive Kernmerkmale dieser Modellgeneration waren die evolutionäre Verfeinerung der Ferguson-Regelhydraulik durch verbesserte Zugkraft- und Lageregelungen sowie der schrittweise Übergang von Vorkammer-Motoren (Standard-23C-Diesel) zu hocheffizienten Dreizylinder-Dieselmotoren mit Direkteinspritzung (insbesondere der ab 1959 etablierte Perkins AD3.152). Durch die Integration von Doppelkupplungen für eine motorunabhängige Zapfwellenschaltung (Live PTO) und robusten Planetengetrieben in der Hinterachse definierten diese Modelle jene mechanischen Standards, welche das direkte technologische Fundament für die nachfolgende Generation bildeten. {| class="wikitable" ! 1957-1964 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 11}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 25}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 25 S/V}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 30}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 30 V}} * {{:Traktorenlexikon: Create|FE 35/MF 35}} (FE 35 und MF 35) * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 35 S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|FE 35 Spezial}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 35X}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 35X V}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 37}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 37 S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 42}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 42 S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 50}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 65}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 65 Mark II}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 85}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 88}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF Super 90}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 95}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 96}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 97}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 98}} |} ===Serie 100 (1964-1976)=== [[File:Massey Ferguson MF 135 in Switzerland.jpg|thumb|Massey Ferguson MF 135]] Die Massey Ferguson 100-Serie, eingeführt ab Ende 1964, markierte als „Red Giants“ einen historischen Wendepunkt und festigte den Status des Unternehmens als globaler Marktführer. Basierend auf dem ehrgeizigen, globalen „Detroit Xperimental“-Projekt, zielte die Entwicklung auf eine radikale modulare Plattformstrategie ab, die es ermöglichte, Bauteile weltweit standardisiert zu fertigen und somit eine beispiellose Skalierbarkeit zu erreichen. Technisch setzte die Serie durch den Einsatz effizienter Perkins-Direkteinspritzer-Dieselmotoren sowie die Einführung des „Ferguson System ’70“ neue Industriestandards, wobei dieses weiterentwickelte System inklusive der innovativen „Pressure Control“ für gezogene Geräte die hydraulische Regelung maßgeblich prägte. Ein weiteres technologisches Alleinstellungsmerkmal war das optionale, unter Last schaltbare „Multi-Power“-Getriebe, welches den Bedienkomfort und die Effizienz im Feld erheblich steigerte. Aufgrund dieser konstruktiven Überlegenheit und der extrem hohen Fertigungseffizienz entwickelten sich Modelle wie der MF 135 zu den weltweit meistgebauten Standardtraktoren ihrer Ära. Die Hauptbaureihen wurden in den westlichen Märkten bis Mitte der 1970er-Jahre produziert und bildeten durch ihre sprichwörtliche Robustheit und ihr durchdachtes Bedienkonzept das Fundament, auf dem die spätere weltweite Dominanz von Massey Ferguson in der Landtechnik basierte, bevor sie schließlich von der modernisierten 200er-Serie abgelöst wurden. {| class="wikitable" ! Kompaktklasse (3-Zylinder) !! Mittelklasse (leichte 4-Zylinder) !! Oberklasse (schwere 4-Zylinder) |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 122}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 130}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 130 V}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 133}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 133 Super}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 133 V/S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 135}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 135 Super}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 135 V}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 140}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 140 S}} | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 145}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 145S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 148}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 148S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 152}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 152S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 155}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 158}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 158S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 165}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 165S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 168}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 168}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 168A}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 177}} | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 175}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 175S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 177}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 178}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 185}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 188}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 188A}} |} '''Hinweise zur Kategorisierung:''' * '''S-Modelle:''' Die "S"-Zusätze (z. B. 152S, 165S) bezeichnen in dieser Serie oft eine "Special"-Ausstattung oder regionale Anpassungen (z. B. für den französischen oder italienischen Markt), die technisch jedoch fast identisch mit den Standard-Modellen der gleichen Nummer sind. * '''V-Modelle:''' Alle Modelle mit dem "V" (Vineyard) sind konstruktiv durch eine schmalere Spurbreite definiert, gehören aber leistungstechnisch in die Kleinklasse. * '''A-Modelle:''' Das "A" (z. B. 168/A, 188/A) beschreibt den zusätzlichen Allradantrieb, der bei den Modellen der Mittel- und Großklasse gegen Ende der Serie (ab ca. 1972) verfügbar wurde. ===Serie 200=== [[File:Massey Ferguson 240 - geograph.org.uk - 5854488.jpg|thumb|Massey Ferguson 240]] Die Massey Ferguson 200-Serie, die ab Mitte der 1970er-Jahre als konsequente Weiterentwicklung der legendären 100er-Baureihe auf den Markt kam, übernahm die Rolle des globalen Arbeitstiers in einer Phase des wachsenden landwirtschaftlichen Strukturwandels im untern bis mittleren Leistungssegment. Als technologische Brücke konzipiert, vereinte die Serie die bewährte Robustheit ihrer Vorgänger mit gezielten Modifikationen hinsichtlich Ergonomie, Motoreffizienz und Sicherheit. Die 200-Serie fungierte als mechanisch orientiertes Gegenstück zur höher positionierten 500er-Serie. Besonders hervorzuheben ist die Einführung einer moderneren, übersichtlicheren Kabinengestaltung und einer verbesserten Hydrauliksteuerung, die den Anforderungen der zunehmend komplexer werdenden Anbaugeräte gerecht wurde. Die 200er-Serie setzte damit die Plattformstrategie von Massey Ferguson nahtlos fort und bot für nahezu jeden Betriebstyp – vom spezialisierten kleinen Familienhof bis hin zur größeren Ackerbaueinheit – das passende Modell. Die Produktion der Serie war weltweit angelegt, wobei viele Modelle aufgrund ihrer mechanischen Einfachheit und Zuverlässigkeit in verschiedenen internationalen Märkten teils über Jahrzehnte hinweg gefertigt wurden. Durch die Kombination aus erprobter Perkins-Motorentechnik und der kontinuierlichen Optimierung der Antriebsstränge etablierte sich die 200er-Reihe als Synonym für wirtschaftliche Stabilität und Betriebssicherheit, was sie zu einem festen Bestandteil der europäischen und globalen Landwirtschaft machte, bevor sie in westlichen Märkten allmählich durch die technologisch moderneren Baureihen der 300er-Serie abgelöst wurde. {| class="wikitable" ! 1974-1983 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 230}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 235}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 240}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 245}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 250}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 255}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 260}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 265}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 275}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 285}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 290}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 298}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 465}} |} ===Serie 300=== [[File:Eppingen-Adelshofen - Massey Ferguson MF 390 Turbo - 23.06.2019 14-23-28.jpg|thumb|Massey Ferguson 390T]] Die Massey Ferguson 300er-Serie, eingeführt ab 1986 als direkter Nachfolger der 200er-Baureihe, gilt bis heute als die erfolgreichste und ikonischste Traktorenfamilie in der Geschichte des Unternehmens. Sie traf den Zeitgeist perfekt, indem sie die legendäre Zuverlässigkeit und einfache Wartung ihrer Vorgänger mit einem zeitgemäßen Maß an Komfort und einer enormen Modellvielfalt kombinierte, die jeden Betriebstyp vom kleinen Familienhof bis zum spezialisierten Ackerbaubetrieb abdeckte. Durch ihre robuste Konstruktion, die auf den bewährten Perkins-Motoren basierte, und ihr durchdachtes Konzept, das bewusst auf eine Überfrachtung mit komplexer Elektronik verzichtete, wurde die Serie weltweit zum Standard. Ihr anhaltender Erfolg begründete sich in der Fähigkeit, ein verlässliches, mechanisches Werkzeug zu bieten, das den steigenden Anforderungen der Landwirtschaft über mehr als ein Jahrzehnt hinweg souverän gewachsen war. ====MF 300 MKI==== Die MK1-Generation bildete als „Ur-Serie“ den technologischen Übergang und zeichnete sich durch ihr kantiges, klassisches Design sowie den konsequenten Fokus auf mechanische Stabilität aus. Sie übernahm die Erbschaft der 200er-Serie und ergänzte diese um grundlegende Verbesserungen wie eine funktionalere Kabine, leistungsfähigere Bremsen und die Einführung effizienterer Synchro-Getriebeoptionen. Diese erste Phase war von einer klaren Priorisierung der Robustheit geprägt, wodurch die Modelle schnell den Ruf erlangten, nahezu unverwüstliche Arbeitstiere zu sein. Damit legte die MK1-Generation das fundamentale Vertrauen des Marktes in die neue Baureihe und etablierte die technische Basis, auf der die weiteren Entwicklungsstufen aufbauen konnten. * '''Antrieb & Motoren:''' Zum Einsatz kamen die klassischen Perkins-Saugmotoren (wie der A4.236). Die Kraftübertragung erfolgte primär über das bewährte, rein mechanische 8-Gang-Standardgetriebe (8x2) oder das bewährte, hydraulische Multi-Power-Getriebe (12x4). * '''Ergonomie:''' Einführung der ersten Hi-Line-Kabine, die im Vergleich zur Vorgängergeneration einen drastischen Sprung beim Lärmschutz und der Übersicht darstellte, jedoch in der ersten Phase oft noch mit der traditionellen Mittelschaltung kombiniert war. {| class="wikitable" ! 1986-1990 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 350}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 360}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 375}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 390}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 398}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 399}} |} ====MF 300 MKII==== Mit der Einführung der MK2-Generation reagierte Massey Ferguson gezielt auf den steigenden Bedarf nach höherem Bedienkomfort und gesteigerter Arbeitseffizienz. In dieser Phase wurde die Kabinenergonomie signifikant optimiert, indem eine intuitivere Anordnung der Schalthebel und eine bessere Geräuschdämmung implementiert wurden, was die tägliche Arbeit des Fahrers deutlich angenehmer gestaltete. Parallel dazu wurden die Hydraulikleistung sowie die Motorabstimmung in vielen Modellen verfeinert, um eine bessere Interaktion mit moderneren, schwereren Anbaugeräten zu ermöglichen. Da diese Generation die perfekte Balance aus gewohnter mechanischer Zuverlässigkeit und spürbaren Komfortsteigerungen fand, markierte die MK2-Zeit den Höhepunkt der Verkaufszahlen innerhalb der gesamten 300er-Baureihe. * '''Antrieb & Getriebe:''' Kernmerkmal dieser Phase war die Einführung des komplett synchronisierten 12-Gang-Wendegetriebes (12x12 Synchro Shuttle). Dies ermöglichte den schnellen Richtungswechsel ohne Stillstand und qualifizierte die Serie zum idealen Frontladerschlepper. Die Schalthebel wanderten zugunsten einer freien Plattform komplett auf die rechte Seitenkonsole. * '''Modellpflege:''' Einführung der Lo-Profile-Kabinenvariante mit reduzierter Bauhöhe für niedrige Stalleinfahrten sowie der ersten aufgeladenen Vierzylindermotoren (T4.236) zur Leistungssteigerung bei kompakten Abmessungen. {| class="wikitable" ! 1990-1994 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 340}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 355}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 362}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 365}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 375 Turbo}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 390 Turbo}} |} ====MF 300 MKIII==== Die MK3-Generation bildete den technologischen Abschluss und das finale Reifestadium dieser Erfolgsserie, wobei sie sich äußerlich durch ein moderneres, leicht modifiziertes Haubendesign von ihren Vorgängern abhob. Technisch bot sie verfeinerte Lastschaltoptionen und eine präzisere, elektronisch unterstützte Hubwerksregelung, die den Traktoren half, den wachsenden Anforderungen an eine präzisere Feldarbeit gerecht zu werden. Trotz der aufkommenden Konkurrenz durch die neuen, stärker digitalisierten Baureihen blieb die MK3 für viele Landwirte die erste Wahl, da sie ausgereifte und praxiserprobte Technik bot. Sie bewies eindrucksvoll, wie man ein bewährtes mechanisches Grundkonzept behutsam in die Ära der modernen Landtechnik überführen konnte, ohne die Einfachheit und Wartungsfreundlichkeit zu opfern, für die die gesamte Serie geschätzt wurde. * '''Antrieb & Motoren:''' Umstellung auf die emissionsärmere und drehmomentstärkere Perkins 1000-Serie (z. B. Typ 1004 im MF 390). Das technologische Highlight des Antriebsstrangs war das 24-Gang-Speedshift-Getriebe (24x24), das eine zweistufige, elektrohydraulische Lastschaltung ohne Zugkraftunterbrechung bot. * '''Exterieur & Details:''' Die Modelle erhielten ein leicht modifiziertes Haubendesign mit grauen statt rein schwarzen Gittern, eine verbesserte Quadram-Verbrennungstechnologie in den Motoren für gesteigerte Kraftstoffeffizienz sowie eine nochmals optimierte Kabinenbelüftung und -ergonomie. {| class="wikitable" ! 1994-1999 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 342}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 352}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 362/II}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 372}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 382}} |} ===Serie 500=== [[File:Mower Vampula 2.jpg|thumb|Massey Ferguson 590]] Die ab 1976 eingeführte Massey Ferguson 500-Serie fungierte als komfortorientiertes Premium-Gegenstück zur mechanisch fokussierten 200er-Serie und markierte einen entscheidenden Entwicklungsschritt hin zu verbesserter Ergonomie. Während das technische Fundament – inklusive der bewährten Perkins-Motoren – konsequent auf der erprobten Plattformstrategie basierte, lag der Fokus der 500er-Baureihe primär auf der Neugestaltung der Fahrerumgebung: Mit der Integration einer deutlich geräumigeren, leiseren und übersichtlicheren Kabine setzte Massey Ferguson neue Maßstäbe hinsichtlich des Arbeitskomforts für den Bediener. Ergänzt wurde dieses Konzept durch eine optimierte Hydrauliksteuerung und die Verfeinerung des bewährten Multi-Power-Getriebes, wodurch die Traktoren den gestiegenen Anforderungen durch komplexere Anbaugeräte besser gerecht wurden. Auch wenn sie aufgrund ihrer komplexeren Bauweise in der Absatzbilanz hinter der simpleren 200er-Serie zurückblieb, war die 500er-Serie als technologische Brücke von essenzieller Bedeutung; sie bewies, dass die Symbiose aus solider Mechanik und modernem Komfortanspruch ein notwendiger Weg für die Landtechnik war und legte damit das direkte Fundament für die anspruchsvollen Nachfolger-Serien wie die 600er- und später die wegweisende 3000er-Baureihe. {| class="wikitable" ! 1976-1982 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 550}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 560}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 565}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 575 & 575A}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 590 & 590A}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 595 & 595A}} |} ===Serie 600=== [[File:Tractor, Falcarragh - geograph.org.uk - 899838.jpg|thumb|Massey Ferguson 675]] [[File:12Poblacion Town Proper Alfonso, Cavite 26.jpg|thumb|Massey Ferguson 699 A]] Die Massey Ferguson 600er-Serie schloss als technologische Brücke die Lücke zwischen der klassischen Mechanik der 500er und den wachsenden Anforderungen an einen modernen, professionellen Ackerbauschlepper. Als konsequente Weiterentwicklung der 500er-Baureihe legte sie einen stärkeren Fokus auf Leistung, Zuverlässigkeit bei schweren Zugarbeiten und eine weitere Aufwertung des Bedienkomforts durch verbesserte Kabinenarchitekturen. Die Traktoren dieser Reihe zeichneten sich durch ihre solide Bauweise und die effiziente Nutzung der bewährten Perkins-Motorentechnik aus, wobei sie durch eine modernisierte Hydraulik und fein abgestimmte Getriebeoptionen präziser auf die Bedürfnisse eines landwirtschaftlichen Strukturwandels hin zu größeren Betriebsgrößen reagierten. Trotz ihrer vergleichsweise kurzen Produktionszeit war die 600er-Serie ein unverzichtbarer Entwicklungsschritt, der es ermöglichte, die robuste MF-Tradition behutsam in ein Segment zu überführen, das technologisch den Weg für die Revolution der elektronisch gesteuerten 3000er-Serie ab 1986 ebnete ''Die MF 600 Serie ist die baugleiche Serie zu Landini 6550 - 8550 (1978-1987)'' {| class="wikitable" ! 1982-1986 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 675}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 690}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 698}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 698T}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 699}} |} ===Serie 1000=== ====MF 1000==== [[File:Priziac 56 Fête de Ty Loctavy 16 et 17 Aout 2015 J.JPG|thumb|Massey Ferguson 1100]] Die Massey Ferguson 1000er-Serie markierte den ersten ernsthaften Vorstoß des Unternehmens in das Segment der großvolumigen Hochleistungstraktoren und war die direkte Antwort auf den zunehmenden Bedarf an massiver Zugkraft bei wachsenden Betriebsgrößen. Im Gegensatz zur modularen Plattformstrategie der 100er-Serie setzte Massey Ferguson hier auf eine grundlegend andere, schwere Konstruktionsweise mit leistungsstarken Sechszylinder- und V8-Dieselmotoren, um den Einsatz von Großgeräten und schweren Bodenbearbeitungswerkzeugen effizient zu ermöglichen. Technologisch bot die Serie mit dem „Multi-Power“-Getriebe und einer für diese Zeit außergewöhnlich leistungsfähigen Hydraulikanlage inklusive „Pressure Control“ ein hohes Maß an Einsatzvielfalt, wobei sie durch ihr charakteristisches, massives Erscheinungsbild den Status von Massey Ferguson als Full-Liner-Anbieter in der Oberklasse nachhaltig festigte. Obwohl die Serie aufgrund ihres speziellen Einsatzspektrums keine so hohen Stückzahlen wie die kleineren Baureihen erreichte, bewies sie durch ihre enorme Robustheit und Leistungsfähigkeit, dass das Unternehmen auch im Bereich der schweren Feldarbeit mit den damaligen Schwergewichten der Branche konkurrieren konnte, und legte damit das technische Fundament für alle nachfolgenden Großtraktoren des Konzerns. {| class="wikitable" | '''1. Generation (1964 - 1972)''' || '''2. Generation (1973 - 1978/79)''' |- | valign="top" | <!--1. Generation--> {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1080}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1100}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1130}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1150}} | valign="top" | <!--2. Generation--> {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1085}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1105}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1135}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1155}} |} ====MF 1000 Knicklenker==== [[File:Massey Ferguson MF 1200.jpg|thumb|Massey Ferguson 1200]] Die Massey Ferguson Knicklenker-Serie stellte eine radikale Abkehr vom klassischen Standardtraktor-Konzept dar und zielte spezifisch auf den Bedarf nach extremer Zugkraft in der großflächigen Landwirtschaft ab. Während die ersten Modelle wie der MF 1200 (produziert 1972–1979) und der leistungsstärkere MF 1250 (1979–1982) in Manchester vom Band liefen und auf bewährte Perkins-Sechszylindermotoren setzten, wurden die absoluten Schwergewichte der Baureihe – darunter der MF 1500, MF 1505, MF 1800 und MF 1805 (produziert etwa zwischen 1971 und 1977) – in Des Moines, Iowa, gefertigt und meist von großvolumigen V8-Motoren von Caterpillar angetrieben. Durch die hydrostatische Knicklenkung erreichten diese massiven Maschinen trotz ihrer enormen Abmessungen und ihres hohen Eigengewichts eine für diese Klasse beeindruckende Wendigkeit, wobei das bewährte Multi-Power-Getriebe die Kraft effizient auf alle vier gleich großen Räder übertrug. Diese Traktoren waren keine Allrounder für den alltäglichen Hofbetrieb, sondern hochspezialisierte Hochleistungswerkzeuge, die durch ihr markantes, knickgelenktes Design und ihre brachiale Leistung den Übergang zur modernen Großflächenbewirtschaftung einläuteten, bevor sie schließlich von den Nachfolgegenerationen der 4000er-Serie abgelöst wurden. {| class="wikitable" ! 1971-1982 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1200}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1250}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1500}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1505}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1800}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1805}} |} ===Serie 2000=== [[File:2017-10-31 (910) Massey Ferguson 2640 in Melk, Austria.jpg|thumb|Massey Ferguson 2640]] Die ab 1976/1977 (Nordamerika) bzw. 1979 (Europa) eingeführte MF 2000-Baureihe markiert den konsequenten Übergang von Massey Ferguson zu schweren, ergonomisch optimierten Hochleistungstraktoren der modernen Ära. Als direkte Nachfolgelinie der Baureihen 1080/595 in Europa sowie der großen 1000er-Modelle in den USA konzipiert, bediente die Serie gezielt den steigenden Leistungsbedarf mittel- und großbetrieblicher Agrarstrukturen im kontinuierlichen Produktionszeitraum bis 1987. Konstruktives und visuelles Kernmerkmal der im französischen Werk Beauvais sowie in den USA gefertigten Plattformen war die radikal neu gestaltete, großflächig verglaste Sicherheitskabine, die durch schlanke Holmprofile, eine integrierte Klimatisierung und eine effiziente Schalldämmung neue Standards im Arbeitsschutz setzte. Technisch basierte die 2000er-Serie – mit Volumenmodellen wie dem MF 2640, MF 2680 und den schweren US-Modellen (darunter die Typen MF 2675 bis MF 2805) – auf robusten Sechs- und Achtzylinder-Dieselmotoren von Perkins und Caterpillar, die ein Leistungsspektrum von 90 bis über 190 PS abdeckten. [[File:Massey Ferguson MF 2725 Traktor.jpg|thumb|Massey Ferguson 2725]] Im Zuge einer umfassenden Produktmodellpflege wurde die Plattform im Jahr 1985 für den europäischen Markt zur Baureihe 2005 (umfassend die Typen MF 2625 bis MF 2725) weiterentwickelt. Diese finale Evolutionsstufe brachte maßgebliche Detailverbesserungen, darunter eine funktionale Kabinenüberarbeitung mit beidseitigem Einstieg (Zweitürer-Konstruktion) sowie eine Optimierung der Getriebe- und Hydrauliksteuerung. Durch die Implementierung dieser synchronisierten Mehrgang-Triebwerke mit Speedshift-zweifach-Lastschaltung, leistungsstarker Closed-Center-Hydrauliksysteme sowie optimierter mechanischer Allradachsen (von Landini) legte die gesamte Baureihenfamilie inklusive der 2005-Modifikationen das fundamentale technologische Layout für die nachfolgenden rechnergestützten Traktorengenerationen (wie die Serie 3000/3600) des Konzerns. {| class="wikitable" | '''Fertigung in Detroit (USA)''' (1976-1983) || '''Fertigung in Beauvais (Frankreich)''' (1979-1985) || '''Serie 2005 (Europa)''' (1985-1987) |- | valign="top" | <!--Fertigung in Detroit (USA) (1976-1983) --> {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2675}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2705}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2745}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2775}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2805}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2885}} | valign="top" | <!--Fertigung in Beauvais (Frankreich) (1979-1985)--> {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2620}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2640}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2640 Turbo}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2680}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2720}} | valign="top" | <!--Serie 2005 (1985-1987)--> {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2625}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2645}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2685}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 2725}} |} ===Serie 3000=== Die Massey Ferguson 3000er-Baureihen stellen einen historischen Wendepunkt in der Traktorenentwicklung dar. Sie leiteten in den 1980er-Jahren den Übergang vom rein mechanischen Ackerschlepper zum elektronisch gesteuerten Präzisionswerkzeug ein. Die Einführung der 3000er-Serie erfolgte 1986 als revolutionärer Nachfolger der 2000er-Reihe. Der Grund für die Entwicklung war der technologische Fortschritt in der Landwirtschaft: Man benötigte Traktoren, die in der Lage waren, komplexe Anbaugeräte elektronisch zu steuern und durch automatische Lastschaltfunktionen (Autotronic/Datatronic) die Effizienz bei der Feldarbeit signifikant zu steigern. Die Entwicklung verlief über die 3100er-Serie (als verfeinerte Version) bis hin zur 3600er-Serie, die das Konzept in die 90er-Jahre führte. Diese Baureihen waren wegweisend für die Implementierung von Bordcomputern und elektronischer Hubwerksregelung. Obwohl die Elektronik der frühen Jahre für ihre Sensibilität bekannt war, legten diese Serien den Grundstein für die heutige moderne Traktorentechnik. Sie waren die ersten „intelligenten“ Schlepper von Massey Ferguson und festigten den Ruf der Marke als Pionier im Bereich digitaler Lösungen im Agrarbereich. ====MF 3000==== [[File:Massey Ferguson 3050 Traktor.jpg|thumb|Massey Ferguson 3050]] [[File:Massey Ferguson 3085.jpg|thumb|Massey Ferguson 3085]] Die Massey Ferguson 3000er-Serie markierte einen technologischen Quantensprung in der Landtechnik und läutete den Übergang vom rein mechanischen Arbeitstraktor zum elektronisch gesteuerten Präzisionswerkzeug ein. Mit der Einführung der wegweisenden „Autotronic“- und „Datatronic“-Systeme ermöglichte diese Baureihe erstmals eine effiziente elektronische Überwachung und Steuerung kritischer Funktionen, wie etwa die lastabhängige Regelung des Getriebes oder die präzise Kontrolle der hydraulischen Hubwerksfunktionen. Diese Innovationen, gepaart mit einem modernen, ergonomischen Kabinendesign und einer Vielzahl an Modellvarianten von 65 bis 107 PS, machten die 3000er-Serie zum Inbegriff der fortschrittlichen Landwirtschaft der späten 1980er- und frühen 1990er-Jahre. Trotz der anfangs in der Branche skeptisch beäugten Komplexität der elektronischen Bauteile setzte die Serie neue Standards für Effizienz, Fahrkomfort und Systemintegration, wodurch sie sich als unverzichtbarer Wegbereiter für das moderne „Precision Farming“ etablierte und die technologische Führungsposition von Massey Ferguson in diesem Sektor über ein Jahrzehnt lang maßgeblich zementierte. {| class="wikitable" ! 1986-1995 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3050E}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3050}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3055}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3060}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3065}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3070}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3075}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3080}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3080E}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3085}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3090}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3095}} |} ====MF 3100==== [[File:Massey Ferguson 3120.jpg|thumb|Massey Ferguson 3120]] Die Massey Ferguson 3100er-Serie, die als technologisch verfeinerte und leistungsstärkere Ergänzung zur bahnbrechenden 3000er-Baureihe produziert wurde, fungierte als Bindeglied zwischen der ursprünglichen elektronischen Revolution und der späteren 3600er-Serie. Mit Modellen, die das gehobene Leistungsspektrum bis hinauf zum 3125 abdeckten, setzte Massey Ferguson konsequent auf die Weiterentwicklung der bewährten Autotronic- und Datatronic-Systeme, um eine noch präzisere Kontrolle der Antriebsstränge und Hydraulikfunktionen unter hoher Last zu gewährleisten. Die Baureihe zeichnete sich durch eine gesteigerte Zuverlässigkeit der elektronischen Komponenten im Vergleich zu den ersten 3000er-Modellen aus, bot eine verbesserte Fahrwerksstabilität für schwerere Feldanwendungen und integrierte optimierte Perkins-Motoren, die eine bessere Drehmomentcharakteristik bei gleichzeitig effizienterem Kraftstoffverbrauch lieferten. Durch diese gezielten Modifikationen festigte die 3100er-Serie den Ruf von Massey Ferguson, auch im anspruchsvollen Segment der Großtraktoren eine technologische Vorreiterrolle einzunehmen, und bereitete mit ihrer ausgereiften Systemarchitektur den Weg für die nachfolgenden, noch stärker digitalisierten Traktorgenerationen vor. {| class="wikitable" ! 1991-1995 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3115}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3120}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3125}} |} ====MF 3600==== [[File:Longstock - Tractor - geograph.org.uk - 2599422.jpg|thumb|Massey Ferguson 3670]] Die Massey Ferguson 3600er-Serie bildete den Höhepunkt der technologischen Evolution in der Ära, die mit der 3000er-Serie begonnen hatte. Während die Baureihe das bekannte Design-Konzept und die bewährte Grundarchitektur beibehielt, lag der Schwerpunkt der Ingenieure auf der signifikanten Steigerung der Leistungsdichte und der weiteren Verfeinerung der bereits etablierten elektronischen Steuerungssysteme. Mit leistungsstärkeren Modellen, die das obere Ende der PS-Skala jener Zeit bedienten, bot die Serie ein deutlich verbessertes Lastschaltgetriebe sowie eine präzisere, leistungsstärkere Hydraulik, die den Anforderungen einer immer professionelleren und großflächigeren Landwirtschaft gerecht wurde. Durch die konsequente Ausreifung der Autotronic- und Datatronic-Komponenten konnte Massey Ferguson die in der Anfangsphase der Elektronik aufgetretenen Kinderkrankheiten erfolgreich hinter sich lassen, wodurch die 3600er-Serie als eine der zuverlässigsten und leistungsfähigsten Baureihen ihrer Zeit in Erinnerung blieb und den direkten Übergang zur nächsten Generation der hochgradig vernetzten Großschlepper maßgeblich prägte. {| class="wikitable" ! 1991-1996 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3610}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3630}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3635}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3645}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3650}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3655}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3670}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3680}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3690}} |} ===MF 4000 Knicklenker=== [[File:Tractor at Aswardby - geograph.org.uk - 465318.jpg|thumb|Massey Ferguson 4840]] Die Massey Ferguson 4000er-Serie stellte die leistungsstarke Nachfolgegeneration der frühen Knicklenker-Baureihen dar und fokussierte sich kompromisslos auf den Einsatz in der großflächigen Landwirtschaft Nordamerikas. Als direkte Weiterentwicklung der vorherigen 1500er- und 1800er-Modelle nutzten diese Traktoren weiterhin das Prinzip des knickgelenkten Allradantriebs mit vier gleich großen Rädern, um ihre massive Motorleistung von bis zu über 200 PS unter schwierigen Bedingungen verlustfrei auf den Boden zu bringen. Angetrieben von großvolumigen V8-Motoren aus dem Hause Caterpillar, boten die Modelle eine beispiellose Zugkraft für den Betrieb breitestmöglicher Bodenbearbeitungsgeräte, wobei das überarbeitete Antriebskonzept eine höhere Standfestigkeit und Zuverlässigkeit im Dauerbetrieb bei extremer Lastanforderung ermöglichte. Trotz ihrer spezialisierten Ausrichtung auf große Schlaggrößen und ihrer massiven, funktionalen Bauweise markierte die 4000er-Serie das Ende der Ära der rein mechanisch dominierten, amerikanischen Knicklenker bei Massey Ferguson, bevor der Hersteller sein Portfolio im Bereich der Großtraktoren grundlegend neu strukturierte und verstärkt auf hochmoderne, konventionelle Großschlepper setzte. {| class="wikitable" ! 1978-1984 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4800}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4840}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4880}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4900}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5200}} (1989-1993) |} ===Serie 4000=== Die Einführung der 4000er-Serie mit der Baureihe 4200 erfolgte 1997 als Nachfolger der weit verbreiteten 300er-Serie. Der Grund für die Entwicklung war der Bedarf an einer modernisierten, aber dennoch einfach zu wartenden Traktorenfamilie, die für den täglichen Einsatz in landwirtschaftlichen Betrieben optimiert war, ohne den hohen elektronischen Aufwand größerer Baureihen. Die 4000er-Klasse entwickelte sich kontinuierlich weiter: Über die 4300er-Serie bis hin zur modernen 4700er-Global Series. Während die frühen 4000er-Modelle als „Arbeitstiere“ für allgemeine Aufgaben konzipiert waren, wurden sie später zur technologischen Basis für die heutigen „Essential“-Modelle. Die Philosophie blieb dabei stets gleich: Ein robuster Rahmen, ein zugkräftiger Motor und ein Getriebe, das auch bei hoher Intensität ohne komplexe Steuerungssysteme überzeugte. Sie sind bis heute in vielen Betrieben als zuverlässige Zweitschlepper oder für Frontladerarbeiten im Einsatz. Ab der Baureihe 4700 werden die Modelle unter der '''Global Series''' zusammengefasst. ====MF 4200==== [[File:Massey Ferguson 4235 bei Därstätten BE.jpg|thumb|Massey Ferguson 4235]] [[Datei:Massey Ferguson 4255 with forklift.jpg|thumb|Massey Ferguson 4255]] Die 1997 eingeführte Massey Ferguson 4200-Serie löste die Baureihe 300 ab und deckte das Leistungssegment von 52 bis 110 PS ab. Die Produktion der Traktoren erfolgte primär im britischen Werk Coventry. Die Baureihe war als mechanisch orientierte Systemplattform konzipiert, die sich besonders für Gemischt- und Viehhaltungsbetriebe eignete und eine breite Modellpalette von Dreizylinder-Einstiegsmodellen (MF 4215, 4220) über Vierzylinder-Volumenmodelle (MF 4225, 4235, 4245, 4255) bis hin zu Sechszylinder-Spitzenmodellen (MF 4260, 4270) umfasste. Konstruktiv zeichnete sich die Serie durch eine modernisierte Kabinen- und Haubengestaltung aus. Für Frontladereinsätze wurde optional eine abfallende „Hi-Vis“-Motorhaube angeboten, die die Sichtverhältnisse nach vorne verbesserte. Der Bedienkomfort in der XL-Kabine wurde durch eine neu strukturierte Seitenkonsole gesteigert. Technisch basierte die Baureihe auf Perkins-Dieselmotoren der 900er- und 1000er-Serie. Das Antriebsprogramm bot verschiedene mechanische Optionen, angefangen beim 8-Gang-Standardgetriebe über ein 12-Gang-Wendegetriebe bis hin zu einer 24-Gang-Variante mit elektrohydraulischer Lastschaltung (Speedshift) und Powershuttle für kupplungsfreie Richtungswechsel. Durch die Kombination bewährter mechanischer Komponenten mit ergonomischen Anpassungen fungierte die 4200-Serie als technologische Basis für die nachfolgende MF 5400-Serie. {| class="wikitable" ! 1997-2001 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4215}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4220}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4225}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4235}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4245}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4255}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4260}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4270}} |} ====MF 4300==== [[File:Massey Ferguson 4335.jpg|thumb|Massey Ferguson 4335]] Die Massey Ferguson 4300-Serie wurde Anfang der 2000er Jahre als konsequente Weiterentwicklung der 4200-Serie eingeführt und schloss die Lücke im mittleren Leistungsbereich. Sie war als robuste und wartungsfreundliche Baureihe konzipiert, die primär auf die Anforderungen von Viehhaltungs- und Gemischtbetrieben zugeschnitten war. Durch die Beibehaltung bewährter technischer Konzepte bei gleichzeitiger Optimierung der Bedienbarkeit und Ausstattung festigte die Serie den Ruf von Massey Ferguson als Anbieter zuverlässiger Arbeitstiere. Als letzte Generation vor dem weitreichenden Übergang zu den elektronisch komplexeren Modellen der 5400-Reihe markiert die 4300-Serie den Abschluss einer Ära klassischer, mechanisch dominierter Traktorenkonstruktionen des Herstellers. {| class="wikitable" ! 2001-2003 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4315}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4320}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4325}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4335}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4345}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4355}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4360}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4365}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4370}} |} ====MF 4400==== [[File:Massey Ferguson tractor with logging trailer.jpg|thumb|Massey Ferguson 4455]] Die Massey Ferguson 4400-Serie wurde als robuste, technisch schnörkellose Baureihe für das Einstiegs- und mittlere Leistungssegment konzipiert. Sie richtete sich gezielt an Betriebe, die eine einfache, zuverlässige und kosteneffiziente Maschine für tägliche Routineaufgaben suchten. Im Gegensatz zu den elektronisch hochgerüsteten Premium-Baureihen von Massey Ferguson stand bei der 4400-Serie die mechanische Funktionalität im Vordergrund, was sie besonders für Anwender attraktiv machte, die eine hohe Wartungsfreundlichkeit und intuitive Bedienbarkeit bevorzugten. Als kompakte Traktorenfamilie ergänzte sie das Portfolio des Herstellers in Märkten mit hohem Bedarf an soliden Universalschleppern und bildete eine wichtige Konstante in der Typenvielfalt der frühen 2000er Jahre. {| class="wikitable" ! 2003-2008 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4435}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4445}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4455}} |} ===Serie 5000=== Die Einführung der 5400er-Serie erfolgte 2003 als Nachfolger der bewährten 4200er/4300er-Serien. Der Grund für die Entwicklung war der Bedarf an wendigen, universell einsetzbaren Schleppern, die trotz kompakter Abmessungen eine hohe Hydraulikleistung und modernen Komfort (wie die markante abgeschrägte Motorhaube für optimale Sicht) boten. Die 5000er-Klasse entwickelte sich stetig weiter: Von der 5400er-Serie über die 5600er und 5700er bis hin zur heutigen 5S-Serie. Während die frühen Modelle primär für ihre Robustheit und den exzellenten Frontladereinsatz geschätzt wurden, haben sich die modernen Vertreter durch hochmoderne Getriebetechnologien und digitale Assistenzsysteme zu echten Alleskönnern für vielseitige Betriebsstrukturen gewandelt. Ab der Baureihe 5700 werden die Modelle unter der '''Global Series''' zusammengefasst. ====MF 5400==== [[File:Massey Ferguson 5455 im Tägermoos.jpg|thumb|Massey Ferguson 5455 (Bj. bis 2008)]] [[Datei:MF_5445_Dyna4_mit_Ackerschleppe.jpg|thumb|Massey Ferguson 5445 Dyna4 (Bj. ab 2008)]] Die Massey Ferguson 5400-Serie zeichnete sich durch ihre hohe technische Vielseitigkeit aus, die sie zu einer der erfolgreichsten Baureihen des Herstellers machte. Ein zentrales Merkmal ihrer Entwicklung war die Umstellung der Motorisierung: Während die frühen Modelle primär mit bewährten Perkins-Motoren ausgestattet waren, erfolgte im Laufe der Bauzeit – bedingt durch strengere Abgasnormen – der Wechsel auf moderne SisuDiesel-Aggregate. Ergänzt wurde dieser Antrieb durch das hocheffiziente Dyna-4-Getriebe, das mit 16 Vorwärts- und 16 Rückwärtsgängen sowie der Möglichkeit zur Lastschaltung ohne Kupplungsbetätigung den Bedienkomfort, insbesondere bei Frontladereinsätzen, deutlich steigerte. Durch die Kombination dieses robusten mechanischen Chassis mit der markanten, abfallenden „Hi-Vis“-Motorhaube sowie optionalen, modernen Elektronikkomponenten wie der Datatronic-Steuerung, deckte die Serie ein breites Spektrum ab, das von einfachen Hofarbeiten bis hin zu anspruchsvollen Aufgaben im Ackerbau reichte und sie so zum Bindeglied zwischen klassischer Zuverlässigkeit und hochgradig vernetzter Landtechnik machte. {| class="wikitable" ! 2003-2013 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5410}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5420}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5425}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5430}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5435}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5440}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5445}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5450}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5455}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5460}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5465}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5470}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5475}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5480}} |} ====MF 5600==== [[File:Massey Ferguson 5611.jpg|thumb|Massey Ferguson 5611]] Die Massey Ferguson 5600-Serie wurde als direkte Weiterentwicklung der erfolgreichen 5400-Baureihe eingeführt und zielte darauf ab, das bewährte Konzept des vielseitigen Universalschleppers mit modernster Motorentechnologie und gesteigertem Bedienkomfort zu verbinden. Ein markantes Merkmal dieser Serie war der Einsatz kompakterer Motorengehäuse, die in Verbindung mit der charakteristischen, stark abfallenden „Hi-Vis“-Motorhaube eine exzellente Sicht nach vorne ermöglichten, was die Baureihe insbesondere für Frontladerarbeiten prädestinierte. Die Serie bot eine breite Auswahl an Modellen, wobei die kleineren Dreizylinder-Varianten auf höchste Agilität und Kraftstoffeffizienz setzten, während die größeren Vierzylinder-Modelle ein höheres Leistungspotenzial für anspruchsvolle Feldarbeiten abdeckten. Durch die Integration des bewährten Dyna-4-Getriebes sowie zahlreicher Ausstattungsoptionen, die von der einfachen mechanischen Bedienung bis hin zu elektronisch unterstützten Komfortfunktionen reichten, festigte die 5600-Serie ihre Rolle als hochgradig flexibles Arbeitstier für Gemischtbetriebe und den mittelgroßen Ackerbau. {| class="wikitable" ! 2013-2016 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5608}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5609}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5610}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5611}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5612}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5613}} |} ===Serie 6000=== Die Einführung der 6000er-Serie mit der Baureihe 6100 erfolgte 1995 als Nachfolger der legendären 3000er-Serie. Der Grund für die Entwicklung war die Notwendigkeit, eine neue Generation mit moderneren Getriebekonzepten (DynaShift) und verbesserter Ergonomie zu schaffen, um die gestiegenen Anforderungen an Arbeitskomfort und Effizienz im Ackerbau zu erfüllen. Die 6000er-Klasse entwickelte sich seitdem kontinuierlich weiter: Von der 6100er-Serie über die 6200er, 6400er, 6600er, 6700er bis hin zur heutigen 6S-Serie. Was als mechanisch geprägter Standardtraktor mit Lastschaltgetriebe begann, hat sich über drei Jahrzehnte hinweg zu einem hochdigitalisierten Präzisionswerkzeug gewandelt. Die Serie ist bis heute das Rückgrat vieler Betriebe, da sie den idealen Kompromiss aus Kompaktheit, Hubkraft und technischer Intelligenz bietet. Ab der Baureihe 6700 werden die Modelle unter der '''Global Series''' zusammengefasst. ====MF 6100==== [[File:MF6190.jpg|thumb|MF6190]] Die im Jahr 1995 als direkte Nachfolgelinie der Baureihen 3000 und 3100 eingeführte MF 6100-Serie repräsentiert die konsequente Weiterentwicklung und Verfeinerung der elektronisch gesteuerten Universalschlepper-Plattform von Massey Ferguson im mittleren Leistungssegment von 71 bis 130 PS. Die im französischen Hauptwerk Beauvais bis 1998 gefertigte Baureihe – umfassend die Vierzylinder-Volumenmodelle MF 6140 und MF 6150 sowie die Sechszylinder-Typen MF 6170, MF 6180 und MF 6190 – zielte primär auf moderne, strukturierte Gemischt- und Ackerbaubetriebe ab. Konstruktives Kernmerkmal dieser Generation war die grundlegende optische und funktionale Überarbeitung des Arbeitsplatzes. Die markant abgerundete Kabine bot durch optimierte Glasflächen eine verbesserte Rundumsicht, hängende Pedale sowie eine neu strukturierte, ergonomische Seitenkonsole zur präziseren Steuerung der Bordhydraulik. Technisch setzte die 6100er-Familie auf hocheffiziente, emissionsoptimierte Drei-, Vier- und Sechszylinder-Dieselmotoren der Baureihen Perkins 900 und 1000, die eine hocheffektive Drehmomententfaltung garantierten. Der Antriebsstrang wurde serienmäßig durch das bewährte Dynashift-Getriebe mit elektrohydraulischem Wendegetriebe (Power Shuttle) und 32 Vorwärts- sowie 32 Rückwärtsgängen definiert, welches vier Lastschaltstufen ohne Zugkraftunterbrechung bereitstellte. Überwacht durch die weiterentwickelten Rechnerarchitekturen der Autotronic- und Datatronic-Systeme der zweiten Generation, kombinierte die Serie 6100 bewährte elektronische Systemintegration mit modernisiertem Fahrkomfort und hoher mechanischer Belastbarkeit. {| class="wikitable" | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6110(F)}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6120(F)}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6130(F)}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6140(F)}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6150}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6160}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6170}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6180}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6190}} |} ====MF 6200==== [[File:Awaiting the end of the season clean - geograph.org.uk - 609305.jpg|thumb|Massey Ferguson 6290]] Die Massey Ferguson 6200-Serie wurde Ende der 1990er Jahre eingeführt und positionierte sich als technologisch fortgeschrittene Baureihe im mittleren bis oberen Leistungssegment. Als Nachfolger der 6100-Serie zielte sie primär auf professionelle landwirtschaftliche Betriebe ab, die neben hoher Zuverlässigkeit einen gesteigerten Fokus auf Elektronik und Bedienkomfort verlangten. Die Baureihe kombinierte bewährte Perkins-Motorentechnik mit modernen Getriebekonzepten und bildete damit ein wichtiges Bindeglied in der Markenentwicklung von Massey Ferguson vor der Einführung der späteren 6400er-Reihe. {| class="wikitable" ! 1999-2002 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6235}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6245}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6255}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6260}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6265}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6270}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6280}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6290}} |} ====MF 6400==== [[Datei:Massey Ferguson 6490 Dynashift.jpg|thumb|MF 6490 Dynashift]] Die Massey Ferguson 6400-Serie fungierte als technologische Weiterentwicklung der 6200-Baureihe und etablierte sich als zentrale Größe im mittleren bis oberen Leistungssegment. Ein wesentliches Merkmal dieser Serie war die konsequente Integration von SisuDiesel-Motoren, die durch ihre konstante Durchzugskraft und Zuverlässigkeit maßgeblich zum Erfolg der Baureihe beitrugen. Einen weiteren technischen Meilenstein stellte die Einführung des Dyna-6-Getriebes dar, welches mit 24 Vorwärts- und 24 Rückwärtsgängen sowie einer komfortablen Lastschaltung einen neuen Standard für Effizienz im Feld- und Transporteinsatz setzte. Abgerundet durch ein ergonomisches Kabinenkonzept und die Option auf fortgeschrittene Elektronik- und Precision-Farming-Systeme, positionierte sich die 6400-Serie als vielseitige Profimaschine, die über ihren gesamten Produktionszeitraum hinweg die technische Ausrichtung von Massey Ferguson im Segment der Universalschlepper maßgeblich prägte. {| class="wikitable" ! 2003-2012 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6445}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6455}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6460}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6465}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6470}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6475}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6480}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6485}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6490}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6495}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6497}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6499}} |} ====MF 6600==== [[File:2019-06-04 (201) Massey-Ferguson 6613 in Wilhersdorf, St. Margarethen an der Sierning, Austria.jpg|thumb|Massey-Ferguson 6613]] Die Massey Ferguson 6600-Serie wurde als Bindeglied zwischen den kompakten Vierzylinder-Schleppern und den größeren Sechszylinder-Modellen positioniert und zeichnete sich durch ein exzellentes Leistungsgewicht aus. Die Baureihe setzte konsequent auf moderne Vierzylinder-Motoren mit AGCO Power-Technologie, die eine beeindruckende Leistungsdichte boten, welche zuvor oft nur von schwereren Sechszylinder-Maschinen erreicht wurde. Ein wesentliches Merkmal war die Kombination aus dem bewährten Dyna-4- oder Dyna-6-Getriebe und der optionalen Dyna-VT-Stufenlos-Technik, wodurch die Serie für unterschiedlichste Einsatzprofile von der leichten Pflege bis hin zur schweren Bodenbearbeitung hochflexibel einsetzbar war. Durch die Kombination aus hoher Wendigkeit, einer modernen, komfortablen Kabine und fortschrittlichen Elektronikoptionen wie dem Datatronic-System konnte die 6600-Serie vor allem Betriebe überzeugen, die Wert auf eine kompakte Bauweise bei gleichzeitig hoher Zugkraft legten. {| class="wikitable" ! 2013-2015 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6612}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6613}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6614}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6615}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6616}} |} ===Serie 7000=== Die Massey Ferguson 7000er-Serie markiert über Jahrzehnte hinweg das technologische Herzstück des Massey Ferguson-Portfolios im Segment der professionellen Ackerbauschlepper. Die Ursprünge der 7000er-Klasse liegen in der Notwendigkeit, eine Brücke zwischen der kompakten Mittelklasse und den schweren Großtraktoren zu schlagen. Eingeführt wurden die ersten Modelle dieser Größenordnung um das Jahr 2000 (mit der Serie 7400), um den wachsenden Anforderungen an Leistung und Vielseitigkeit in professionellen Betrieben zu begegnen. Der Grund für die Entwicklung war die steigende Nachfrage nach Traktoren, die sowohl bei der schweren Bodenbearbeitung als auch bei schnellen Transport- und Pflegearbeiten maximale Effizienz garantieren. Über die Jahre entwickelte sich die Serie stetig weiter: Von der Einführung der stufenlosen Dyna-VT-Technologie über die Implementierung der ersten SCR-Abgastechnik bis hin zur heutigen, hochgradig vernetzten Precision-Farming-Architektur. Was als mechanisch orientierter Allrounder begann, wandelte sich durch kontinuierliche Updates – hin zur 7700-Serie und schließlich zur heutigen 7S-Serie – zu einem hochautomatisierten Arbeitsmittel. Damit ist die 7000er-Reihe bis heute eines der erfolgreichsten Konzepte im Agrarsektor, da sie stets die perfekte Balance zwischen Zugkraft, Agilität und digitaler Intelligenz hält. ====MF 7400==== [[Datei:Fettercairn Show - geograph.org.uk - 1654853.jpg|thumb|Massey Ferguson 7480]] Die Massey Ferguson 7400-Serie wurde als leistungsstarke Baureihe konzipiert, die das Segment zwischen den Universalschleppern der 6400er-Reihe und den Großtraktoren der 8400er-Serie besetzte. Ein zentrales technisches Alleinstellungsmerkmal dieser Baureihe war die serienmäßige Ausstattung mit dem stufenlosen Dyna-VT-Getriebe, das eine effiziente Nutzung der Motorleistung in jeder Geschwindigkeit ermöglichte und maßgeblich zum gesteigerten Bedienkomfort beitrug. Angetrieben wurde die Serie von durchzugsstarken SisuDiesel-Motoren, die eine hohe Zuverlässigkeit im schweren Feldeinsatz garantierten. Durch die Kombination des stufenlosen Antriebskonzepts mit einer hochwertigen Ausstattung, zu der auch eine komfortable Kabine und moderne Elektronikschnittstellen für präzise landwirtschaftliche Anwendungen gehörten, positionierte sich die 7400-Serie als spezialisierte Lösung für anspruchsvolle Betriebe, die Wert auf maximale Flexibilität und eine optimale Anpassung an unterschiedlichste Einsatzbedingungen legten. Bei der Motorisierung vollzog die Serie während ihrer neunjährigen Bauzeit einen tiefgreifenden technologischen Wandel, der exakt mit den europäischen Abgasstufen korrespondierte: * '''Erste Generation (Stufe II):''' Die kleineren Modelle (7465 bis 7480) liefen mit 6,0-Liter-Perkins-Motoren (1106er-Serie), während die größeren Typen (7485 bis 7495) bereits die robusten 6,6- und 7,4-Liter-Motoren von SISU Diesel nutzten. * '''Zweite Generation (Stufe IIIa ab ca. 2006)''': Einführung der Common-Rail-Einspritzung und elektronischen Motorsteuerung (EEM). Die Perkins-Motoren wuchsen auf 6,6 Liter Hubraum, und das Sisu-Portfolio wurde technologisch modernisiert. * '''Finale Generation (Stufe IIIb ab 2010)''': Einführung der Spitzenmodelle MF 7497 und MF 7499 mit reinem Sisu-Antrieb und SCR-Katalysatortechnologie (AdBlue). Die Baureihe zeichnete sich zudem durch ein hochleistungsfähiges geschlossenes Hydrauliksystem (Closed Center) mit einer Standard-Förderleistung von 110 Litern pro Minute (optional 150 l/min) und einer Hubkraft von bis zu 9,3 Tonnen im Heck aus. Gesteuert wurden diese Funktionen über das Datatronic 3-Terminal, das erstmals ein ISOBUS-gestütztes Vorgewendemanagement in dieser Klasse etablierte. Zusammen mit der serienmäßigen Vorderachsfederung QuadLink und der mechanischen oder pneumatischen Kabinenfederung setzte die Serie 7400 neue Maßstäbe im Langzeit-Bedienkomfort, bevor sie 2012 von der Serie MF 7600 abgelöst wurde. {| class="wikitable" ! 2003-2011 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7465}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7475}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7480}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7485}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7490}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7495}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7497}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7499}} |} ====MF 7600==== [[Datei:MF_7620_DynaVT.jpg|mini|MF 7620 DynaVT]] Die Massey Ferguson 7600-Serie wurde als leistungsstarke Baureihe für den professionellen Ackerbau und Lohnunternehmer entwickelt, die eine Symbiose aus hoher Zugkraft, moderner Motorentechnologie und maximalem Bedienkomfort suchten. Als Nachfolgerin der 6400er- und 7400er-Reihen setzte sie konsequent auf SisuDiesel-Motoren (später AGCO Power), die durch ihre effiziente Abgasnachbehandlung und hohe Durchzugsstärke überzeugten. Technisch bot die Serie eine enorme Vielseitigkeit, da sie sowohl mit bewährten Lastschaltgetrieben (Dyna-6) als auch mit dem stufenlosen Dyna-VT-Antrieb erhältlich war, wodurch sie für verschiedenste Anforderungsprofile von schweren Bodenbearbeitungsarbeiten bis hin zu schnellen Transportfahrten optimiert werden konnte. Mit ihrer modernen, geräumigen Kabine und der Integration fortschrittlicher Elektroniksysteme positionierte sich die 7600-Serie als technologisch führende Lösung, die den Übergang zu den noch stärker vernetzten Maschinen der späteren Generationen maßgeblich vorbereitete. {| class="wikitable" ! 2011-2014 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7614}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7615}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7616}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7618}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7619}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7620}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7622}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7624}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7626}} |} ====MF 7700==== [[File:Massey Ferguson tractor demo @ Innov-Agri 2016 @ Outarville (29418111112).jpg|thumb|Massey Ferguson 7724]] Die MF 7700-Serie war das vielseitige Arbeitstier für professionelle Ackerbaubetriebe. Sie zeichnete sich durch eine breite Modellpalette und die Wahlmöglichkeit zwischen bewährten Lastschaltgetrieben oder dem Dyna-VT aus. Die Reihe war auf Zuverlässigkeit, hohe Hydraulikleistung und solide Ergonomie für tägliche Feldarbeiten ausgelegt, ohne die vollumfängliche Vernetzung der später folgenden S-Modelle. {| class="wikitable" ! 2014-2019 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7714}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7715}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7716}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7718}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7720}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7722}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7724}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7726}} |} ===Serie 8000=== Die Massey Ferguson 8000er-Baureihen repräsentieren seit Ende der 90er-Jahre das oberste Leistungssegment der Marke und sind als Hochleistungsschlepper für die großflächige Landwirtschaft konzipiert. Die Einführung der 8200er-Serie erfolgte 1999 als Nachfolger der 8100er-Serie. Der Grund für die Entwicklung war der zunehmende Bedarf an schwerer Zugkraft und hoher Flächenleistung in großen Agrarbetrieben. Massey Ferguson reagierte darauf mit einem Konzept, das großvolumige Motoren mit einer hochkomfortablen, für damalige Verhältnisse wegweisenden Bedienumgebung kombinierte. Die 8000er-Klasse entwickelte sich seither konsequent zur technologischen Speerspitze: Von der Einführung der stufenlosen Dyna-VT-Technologie (8400er-Serie) über die Implementierung der SCR-Abgastechnik (8600er-Serie) bis hin zur heutigen, hochgradig vernetzten 8S-Serie. Was als klassischer schwerer Traktor begann, hat sich über die Jahrzehnte zu einem hochautomatisierten Präzisionswerkzeug entwickelt, das durch die Integration von GPS, Datatronic und Smart-Farming-Systemen in der Lage ist, enorme Datenmengen zu verarbeiten und komplexe Arbeitsabläufe eigenständig zu optimieren. ====MF 8100==== [[Datei:Manifestation agriculteurs 27 avril 2010 Paris 09.jpg|thumb|MF 8110]] Die im Jahr 1995 parallel zur kleineren Schwesterbaureihe 6100 eingeführte MF 8100-Serie repräsentiert die schwere Großtraktoren-Generation von Massey Ferguson im oberen Leistungssegment von 135 bis 200 PS. Die im französischen Hauptwerk Beauvais bis 1998 gefertigte Baureihe – umfassend die Sechszylinder-Kernmodelle MF 8110 bis MF 8180 – löste die erfolgreiche 3600er-Plattform ab und war gezielt für anspruchsvolle Großbetriebe und Lohnunternehmen konzipiert. Konstruktives Kernmerkmal dieser schweren Plattform war das massive Chassis, das für höchste Hub- und Zugkräfte bei schweren Bodenbearbeitungsgeräten ausgelegt war, kombiniert mit einer modernisierten, ergonomisch optimierten Großraumkabine. Technisch basierte die 8100er-Familie im unteren Leistungsbereich auf den bewährten Sechszylinder-Turbomotoren von Perkins (Typen 1006-6T), während in den Spitzenmodellen ab dem MF 8140 hubraumstarke, drehmomentfeste Sechszylinder-Dieselaggregate des finnischen Herstellers SISU-Valmet (Typen 612) zum Einsatz kamen. Der Antriebsstrang wurde standardmäßig durch das hochentwickelte Dynashift-Getriebe mit elektrohydraulischem Wendegetriebe (Power Shuttle) und 32 Vorwärts- sowie 32 Rückwärtsgängen definiert, das vier Lastschaltstufen ohne Zugkraftunterbrechung bereitstellte. Überwacht durch die verfeinerten Rechnerarchitekturen der Autotronic- und Datatronic-Systeme, kombinierte die Serie 8100 enorme mechanische Robustheit mit präziser digitaler Systemsteuerung für die moderne Großflächenmechanisierung der späten 1990er Jahre. {| class="wikitable" | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8110}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8120}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8130}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8140}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8150}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8160}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8170}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8180}} |} ====MF 8200==== [[File:Le tracteur - Flickr - besopha (2).jpg|thumb|Massey Ferguson 8220]] Die Massey Ferguson 8200-Serie wurde gegen Ende der 1990er Jahre als schwere Baureihe im oberen Leistungssegment eingeführt und löste die 8100-Serie ab. Sie war als schlagkräftige Systemplattform für Großbetriebe und Lohnunternehmen konzipiert, die hohe Zugleistungen und eine effiziente Bewältigung schwerer Feldarbeiten erforderten. Die Serie zeichnete sich durch eine robuste Konstruktion aus, die für eine hohe Dauerbelastung ausgelegt war, und integrierte fortgeschrittene elektronische Steuerungssysteme, um die Leistungsfähigkeit der Traktoren präzise abrufbar zu machen. Als Bindeglied zwischen der vorherigen Generation und den nachfolgenden, vollständig auf Elektronik fokussierten Baureihen wie der 8400-Serie, etablierte die 8200-Serie technische Standards, die für die Markenentwicklung von Massey Ferguson im Großtraktoren-Segment prägend waren. Ab 2002 wurden die Modelle als Xtra- Ausführung als 2. Generation der Serie 8200 angeboten. Die Motoren erhielten dabei eine Überarbeitung für etwas mehr Leistung (ca. 7,5 PS mehr), eine effizientere Einspritzung sowie neue Ladeluftkühler {| class="wikitable" ! 1. Generation (1997-2003) !! 2. Generation (2002-2005) |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8210}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8220}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8240}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8250}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8260}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8270}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8280}} | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8210 Xtra}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8220 Xtra}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8240 Xtra}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8250 Xtra}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8260 Xtra}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8270 Xtra}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8280 Xtra}} |} ====MF 8400==== [[File:Massey Ferguson 8470 tractor.jpg|thumb|Massey Ferguson 8470]] Die Massey Ferguson 8400-Serie bildete während ihrer Produktionszeit das leistungsstarke Flaggschiff des Herstellers im Segment der Großtraktoren. Als Nachfolgerin der 8200-Serie konzipiert, setzte sie konsequent auf ein vollintegriertes elektronisches Management, um die enormen Leistungsreserven der eingesetzten SisuDiesel-Motoren effizient auf den Boden zu übertragen. Ein herausragendes technisches Merkmal dieser Baureihe war die Kombination aus hoher Zugleistung und dem stufenlosen Dyna-VT-Getriebe, welches eine präzise Anpassung an schwerste Feldbedingungen ermöglichte. Mit ihrer umfangreichen Ausstattung, die bereits damals zukunftsweisende Precision-Farming-Optionen und ein hoch ergonomisches Kabinenkonzept umfasste, war die 8400-Serie gezielt auf die Anforderungen großer Ackerbaubetriebe und Lohnunternehmen zugeschnitten, die ein Maximum an Produktivität und technologischer Unterstützung forderten. {| class="wikitable" ! 2004-2008 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8450}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8460}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8470}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8480}} |} ====MF 8600==== [[Datei:Massey Ferguson MF 8690.jpg|thumb|MF 8690]] Die Massey Ferguson 8600-Serie (2008–2014) markierte einen bedeutenden technologischen Meilenstein als eine der ersten Traktorenbaureihen weltweit, die konsequent auf die innovative Selective Catalytic Reduction (SCR)-Technologie zur Abgasnachbehandlung setzte. Diese leistungsstarke Großtraktoren-Baureihe, die für ihre beeindruckende Zugleistung und Zuverlässigkeit in der schweren Bodenbearbeitung bekannt wurde, nutzte hochmoderne AGCO Power-Motoren mit Common-Rail-Einspritzung, die trotz ihrer enormen Kraft effizient arbeiteten. Ein zentrales Merkmal war das serienmäßige stufenlose Dyna-VT-Getriebe, das in Verbindung mit dem modernen Power Control-Hebel und der optionalen Datatronic-CC-Steuerung eine präzise und intuitive Bedienung auch komplexester Arbeitsabläufe ermöglichte. Mit ihrem massiven Aufbau, der großzügig dimensionierten Kabine und der umfassenden Ausstattung für moderne Precision-Farming-Anwendungen definierte die 8600-Serie den Standard für Großtraktoren neu und bot professionellen Ackerbaubetrieben sowie Lohnunternehmen eine leistungsfähige Plattform, die auf maximale Produktivität und Langlebigkeit ausgelegt war. {| class="wikitable" ! 2008-2014 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8650}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8660}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8670}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8680}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8690}} |} ====MF 8700==== [[File:Massey Ferguson IMG 8254.jpg|thumb|Massey Ferguson 8727]] Die MF 8700-Serie bildete das Kraftsegment für schwerste Bodenbearbeitung. Ausgestattet mit großvolumigen Motoren und dem serienmäßigen Dyna-VT-Getriebe, lag der Fokus konsequent auf maximaler Zugleistung und hoher Flächenleistung. Sie bot eine robuste Struktur für den Einsatz unter schwierigsten Bedingungen, konzentrierte sich primär auf mechanische Durchzugskraft und grundlegende elektronische Unterstützung. {| class="wikitable" ! 2014-2018 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8727}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8730}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8732}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8735}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8737}} |} ===MF Global Series=== Die Massey Ferguson Global Series, die ab 2014 eingeführt wurde, markierte einen strategischen Wendepunkt im Portfolio des Unternehmens, da sie das Ziel verfolgte, eine einheitliche Plattform für den weltweiten Einsatz in unterschiedlichen Märkten und Klimazonen zu schaffen. Im Zeitraum von 2014 bis heute wurden unter dieser Bezeichnung verschiedene Baureihen, wie die MF 4700, 5700 und 6700, entwickelt, die allesamt nach einem modularen Prinzip konzipiert sind, um eine hohe Teilegleichheit bei gleichzeitig hoher Flexibilität in der Ausstattung zu gewährleisten. Diese Traktoren zeichnen sich durch ein modernes, robustes Design aus, das sich sowohl für die intensiven Anforderungen europäischer Mischbetriebe mit entsprechenden Komfortoptionen als auch für die robusten Bedürfnisse in Schwellenländern mit einfacherer technischer Ausstattung eignet. Durch die Kombination von bewährten AGCO-Power-Motoren, verschiedenen Getriebevarianten vom mechanischen Schaltgetriebe bis hin zum modernen Lastschaltgetriebe und einer hohen Vielseitigkeit in der Konfiguration ist die Global Series zum modernen Rückgrat der Marke geworden. Sie repräsentiert damit den Übergang zu einem globalen Fertigungskonzept, das Massey Ferguson in die Lage versetzt, weltweit konsistente Qualitätsstandards zu bieten und gleichzeitig effizient auf regionale Marktbedürfnisse zu reagieren, ohne die Markenidentität und Zuverlässigkeit der traditionsreichen Traktorenschmiede zu vernachlässigen. ====MF 1500 / MF 1700==== Die Massey Ferguson 1500-Serie wurde als kompakte Baureihe konzipiert, die gezielt auf die Bedürfnisse kleinerer landwirtschaftlicher Betriebe, Kommunen sowie den privaten Einsatz zugeschnitten ist. Mit einem Leistungsspektrum im unteren PS-Bereich fungiert sie als wendige und vielseitige Systemplattform, die primär für leichte Feldarbeiten, Pflegeeinsätze und den Transport konzipiert wurde. Die Baureihe zeichnet sich durch eine klare, benutzerorientierte Bauweise aus, bei der Zuverlässigkeit und einfache Wartung im Vordergrund stehen. Durch das kompakte Design und eine intuitive Bedienstruktur ermöglicht die 1500-Serie auch weniger spezialisierten Anwendern ein effizientes Arbeiten, während sie gleichzeitig die gewohnten Qualitätsstandards von Massey Ferguson in das Segment der Kompakttraktoren überträgt. {| class="wikitable" ! 2014-heute |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1520}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1525}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1529}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1532}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1540}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1547}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1740}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1747}} |} ====MF 3600 A/V/S/F/GE==== Die Massey Ferguson 3600-Serie wurde als spezialisierte Baureihe für den Einsatz im Wein-, Obst- und Sonderkulturbau konzipiert. Um den unterschiedlichen Anforderungen dieser Kulturen gerecht zu werden, wurde die Serie in verschiedenen Konfigurationen angeboten: als V (Vineyard) für schmale Reihen, S (Special) mit schmaler Spur bei normaler Kabinenbreite, F (Fruit) für den Standard-Obstbau, GE (Ground Effect) mit niedriger Bauweise für Durchfahrten unter niedrigen Baumkronen und als A-Variante (All-Purpose) für universelle Einsätze. Technisch zeichneten sich diese kompakten Spezialisten durch ihre hohe Wendigkeit und eine präzise Hydraulik aus, die für den Anbau von speziellen Pflegewerkzeugen optimiert war. Ausgestattet mit effizienten Drei- und Vierzylinder-Motoren sowie verschiedenen Getriebevarianten, bot die 3600-Serie eine maßgeschneiderte Lösung für Betriebe, die auf eine hohe Manövrierfähigkeit bei engen Platzverhältnissen angewiesen waren, ohne dabei auf die bewährte ergonomische Bedienphilosophie von Massey Ferguson verzichten zu müssen. {| class="wikitable" ! ab 2007 !! ab 2014 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3615VSF}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3625VSF}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3635VSF}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3645VSF}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3655VSF}} | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3630VSF}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3640VSF}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3650VSF}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3660VSF}} |} Die Modellreihen MF 3600 wurde von Carraro/Agritalia hergestellt und ist bis auf Motor und Design identisch mit [[Traktorenlexikon: Claas|Claas]] Elios/Nexos, [[Traktorenlexikon: John Deere|John Deere]] 5G und [[Traktorenlexikon: Carraro|Carraro]] Agricube. ====MF 3700==== Die Massey Ferguson 3700-Serie trat als moderner Nachfolger der 3600-Baureihe an und festigte die Position des Herstellers im hart umkämpften Segment für Wein-, Obst- und Sonderkulturbau. Diese Modellreihe wurde konsequent auf die steigenden Anforderungen an Effizienz, Ergonomie und Präzision in schmalen Fahrgassen optimiert und in den bewährten Spezialvarianten V (Vineyard), S (Special), F (Fruit) sowie als Wide Fruit (WF) angeboten. Technisch markierte sie durch die Integration stärkerer und abgasoptimierter Motoren sowie ein deutlich verbessertes Hydrauliksystem einen Fortschritt, der speziell die Arbeit mit komplexen Anbaugeräten erleichterte. Die ergonomisch gestaltete Kabine, die für diese Klasse ein hohes Maß an Komfort und Sicherheit – unter anderem durch eine verbesserte Filtertechnik – bot, unterstrich den Anspruch von Massey Ferguson, auch bei hochspezialisierten Anwendungen eine professionelle Arbeitsumgebung bereitzustellen, die technologische Innovation mit kompakter Bauweise harmonisch verbindet. {| class="wikitable" ! 2017-2022 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3755}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3765}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 3775}} |} ====MF 4700==== [[File:Massey-Ferguson 4707 tractor MD2.jpg|thumb|Massey-Ferguson 4707]] Die Massey Ferguson 4700-Serie bildet das fundamentale Einstiegssegment der „Global Series“ und wurde mit dem Ziel entwickelt, einen absolut zuverlässigen, robusten und weltweit einsetzbaren Traktor anzubieten. Diese Baureihe verzichtet auf überflüssige Komplexität und konzentriert sich auf die wesentlichen Anforderungen im landwirtschaftlichen Alltag, wie Zugkraft, Zuverlässigkeit und einfache Wartbarkeit. Ausgestattet mit modernen 3,3-Liter-Dreizylindermotoren von AGCO Power, bietet sie in ihrem Leistungsbereich eine hervorragende Drehmomentcharakteristik, die sowohl für schwere Zugarbeiten als auch für den anspruchsvollen Frontladereinsatz bestens geeignet ist. Die Serie überzeugt durch eine klare Bedienstruktur, eine geräumige Kabine mit sehr guter Übersicht und ein modulares Getriebekonzept, das je nach Marktbedürfnis angepasst werden kann. Durch die konsequente Ausrichtung auf eine einfache, mechanische oder teilelektronische Steuerung ist die 4700-Serie weltweit als Arbeitstier geschätzt, das den Spagat zwischen moderner Technik und unkomplizierter Handhabung perfekt meistert. {| class="wikitable" ! 2016-heute |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4707}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4708}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4709}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4709}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4710}} |} ====MF 4700 M==== [[Datei:Massey Ferguson M 4708 (2023).jpg|mini|Massey Ferguson 4708 M]] Die Massey Ferguson 4700 M-Serie stellt die moderne Evolution der ursprünglichen 4700-Baureihe dar und dient als wichtiges Glied innerhalb der „Global Series“-Plattform. Mit dem Zusatz „M“ wurde die Reihe gezielt weiterentwickelt, um den gestiegenen Anforderungen an Komfort und Funktionalität in diesem Segment gerecht zu werden. Die Traktoren bieten eine höhere Ausstattungsvielfalt als ihre Vorgänger, behalten jedoch ihre grundlegende Charakteristik als robuste und unkomplizierte Arbeitstiere bei. Angetrieben von bewährten 3,3-Liter- oder 4,4-Liter-Motoren von AGCO Power, zeichnen sich die Modelle durch ein hohes Drehmoment und eine optimierte Kraftstoffeffizienz aus. Ein wesentlicher Fortschritt der M-Serie ist das nun optional erhältliche Dyna-2-Lastschaltgetriebe mit PowerShuttle, das den Bedienkomfort – besonders bei Frontladerarbeiten oder im Transport – signifikant erhöht. Damit spricht die 4700 M-Serie gezielt Betriebe an, die einen soliden, mechanisch orientierten Traktor suchen, aber bei der Getriebetechnik und dem täglichen Arbeitskomfort keine Kompromisse mehr eingehen wollen. {| class="wikitable" ! 2020-heute |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4707 M}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4708 M}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4709 M}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 4710 M}} |} ====MF 5700==== [[File:Massey Ferguson 5710 Saint-Etienne-de-Fontbellon agriculteurs manifs janvier 2024.jpg|thumb|Massey Ferguson 5710]] Die Massey Ferguson 5700 Serie innerhalb der „Global Series“ repräsentiert die Brücke zwischen den rein mechanischen Einstiegsmodellen und der hochkomplexen S-Serie. Als Arbeitstier konzipiert, vereint sie die robuste Konstruktion der 4700er-Baureihe mit einer erweiterten Leistungsfähigkeit und einem höheren Bedienkomfort. Besonders in der Kombination mit dem Dyna-4-Getriebe wird dieser Traktor zum hochgradig vielseitigen Frontlader-Spezialisten für mittelgroße Betriebe. Das Lastschaltgetriebe ermöglicht den Gangwechsel unter Last ohne Unterbrechung der Zugkraft, was die Effizienz bei Transportarbeiten und Ladezyklen maßgeblich steigert. Die Serie wird von bewährten Vierzylinder-Motoren von AGCO Power angetrieben, die für ihre Langlebigkeit und ihre hohe Durchzugskraft bei niedrigen Drehzahlen geschätzt werden. Mit ihrem soliden Gesamtkonzept bietet diese Baureihe eine ausgewogene Lösung für Landwirte, die ein zuverlässiges „All-Round-Werkzeug“ suchen, das durch eine einfache, aber effektive Getriebetechnik den täglichen Arbeitstag spürbar erleichtert. | class="wikitable" ! 2017-2022 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5708}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5709}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5710}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5711}} ====MF 6700==== [[File:Massey Ferguson 6713.tif|thumb|Massey Ferguson 6713]] Die MF 6700-Serie fungierte als robuster, mittelschwerer Vierzylinderschlepper für den allgemeinen landwirtschaftlichen Einsatz. Der Fokus lag auf mechanischer Zuverlässigkeit, einfacher Bedienbarkeit und einem ausgewogenen Preis-Leistungs-Verhältnis. Sie verzichtete auf komplexe Elektronikpakete und bot eine solide Basistechnik für vielseitige Arbeiten wie Frontladereinsätze, Transport oder leichtere Bodenbearbeitung. {| class="wikitable" ! 2016-2021 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6712}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6713}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6714}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6715}} |} ===MF M-Serie=== [[File:Massey Ferguson 5M.95.jpg|thumb|Massey Ferguson 5M.95]] Die Massey Ferguson M-Serie, bestehend aus der MF 5M-Baureihe, wurde als direkter Nachfolger der bewährten 5700-Serie (ohne „S“) eingeführt und zielt gezielt auf das Segment der „Essential“-Traktoren ab. Das Konzept der M-Serie basiert auf einer klaren Philosophie: robuste, zuverlässige und einfach zu bedienende Technik für Betriebe, die ein unkompliziertes Arbeitstier suchen, ohne dabei auf moderne Abgasnormen und effiziente Motorentechnik verzichten zu wollen. Die Traktoren sind durch ihre kompakte Bauweise, den engen Wendekreis und die hohe Nutzlast ideale Kandidaten für den täglichen Einsatz mit Frontlader, auf dem Grünland oder bei leichten bis mittleren Feldarbeiten. Während die „S-Serie“ für maximale elektronische Ausstattung und Precision-Farming-Integration steht, bietet die M-Serie eine fokussierte Ausstattung, die genau die Funktionen bietet, die im täglichen Praxisalltag essenziell sind – verpackt in eine moderne, wartungsfreundliche Konstruktion mit dem bewährten AGCO-Power-Motor. {| class="wikitable" ! 2021-heute |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5M.95}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5M.105}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5M.115}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5M.125}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5M.135}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5M.145}} |} ===MF S-Serie=== Die Einführung der „S-Serie“-Kennung markierte für Massey Ferguson eine strategische Neuausrichtung in der Nomenklatur und Produktphilosophie. Diese Baureihen stehen für die Premium-Ausführung innerhalb der jeweiligen Leistungssegmente und wurden konsequent für eine digitalisierte Landwirtschaft optimiert. Kernmerkmale der S-Serie sind die verbesserte Ergonomie, eine deutlich höhere Integration von Precision-Farming-Technologien (wie VRC, Section Control und automatisierte Lenksysteme über Datatronic) sowie ein einheitliches, modernes Design, das durch die markante Motorhaubengestaltung und verbesserte Lichtkonzepte (LED-Optionen) erkennbar ist. Die S-Serie richtet sich an professionelle Landwirte und Lohnunternehmer, die Wert auf maximale Konnektivität, effiziente Motorentechnologie (AGCO Power) und eine intuitive Bedienung legen, um die Komplexität moderner Maschinenparks durch intelligente Systemlösungen besser beherrschbar zu machen. Sie ist oberhalb der eifacher aufgebauten M-Serie sowie der Global Serie angesiedelt und wurde ab 2020 sukzessive durch die XS.xxx Modelle der New-Era-Baureihen abgelöst. ====MF 5700 S==== [[File:Massey Ferguson 5709 S Agritechnica 2017 - Front and right side.jpg|thumb|Massey Ferguson 5709 S]] Die Massey Ferguson 5700 S-Serie positionierte sich als vielseitiger und kompakter Allrounder, der speziell für Betriebe konzipiert wurde, die ein Höchstmaß an Wendigkeit in Kombination mit moderner Premium-Technologie suchten. Als Bindeglied zwischen den einfacheren Maschinen der Global Series und den schwereren Baureihen bot die 5700 S-Serie eine beeindruckende Vielseitigkeit, was sie besonders bei Viehhaltern, in Mischbetrieben und für leichte Feldarbeiten äußerst beliebt machte. Ausgestattet mit effizienten 4,4-Liter-Vierzylindermotoren von AGCO Power, zeichneten sich diese Traktoren durch eine exzellente Kraftentfaltung bei gleichzeitig kompaktem Radstand aus, was sie prädestinierte für den intensiven Einsatz mit einem Frontlader sowie für beengte Verhältnisse auf dem Hof. Durch die Wahlmöglichkeit zwischen dem bewährten Dyna-4- oder dem komfortableren Dyna-6-Lastschaltgetriebe sowie einer optional verfügbaren mechanischen Kabinenfederung konnte der Anwender das Fahrzeug präzise auf seine spezifischen Bedürfnisse abstimmen. Die Serie überzeugte durch ihre sprichwörtliche Zuverlässigkeit und eine ergonomische Arbeitsumgebung, die den Fahrer auch an langen Arbeitstagen entlastete, und festigte damit den Ruf der Marke als Hersteller von leistungsstarken, aber dennoch agilen Kompakttraktoren. 2022 wurde sie durch die Serie 5S der New-Era-Modellbaureihen abgelöst. {| class="wikitable" ! 2017-2022 |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5709 S}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5710 S}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5711 S}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5712 S}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5713 S}} |} ====MF 6700 S==== [[File:Massey Ferguson 6716S.jpg|thumb|Massey Ferguson 6716 S]] Die Massey Ferguson 6700 S-Serie fungierte als das leistungsstärkste Segment innerhalb der mittelgroßen Traktorklasse und war dafür bekannt, die kompakten Abmessungen eines wendigen Allrounders mit der Leistungsdichte eines deutlich größeren Schleppers zu vereinen. Als Herzstück diente ein kompakter und dennoch durchzugsstarker 4,9-Liter-Vierzylindermotor von AGCO Power, der es ermöglichte, mit Modellen bis zu 200 PS (mit Engine Power Management) beeindruckende Leistungsdaten in dieser Größenklasse zu erzielen. Diese Serie richtete sich gezielt an Landwirte, die ein leichtes Leistungsgewicht für Arbeiten auf dem Grünland oder bei Pflegearbeiten benötigten, gleichzeitig aber bei der Bodenbearbeitung oder im Transportwesen keine Abstriche bei der Power machen wollten. Durch die Kombination aus dem bewährten Dyna-VT-Stufenlosgetriebe oder der Dyna-6-Lastschaltung sowie einem modernen Kabinenkonzept mit exzellenter Sicht und Bedienkomfort setzte die Baureihe Maßstäbe bei der Effizienz. Sie bewies eindrucksvoll, dass ein Vierzylinder-Konzept eine vollwertige Alternative zu schwereren Sechszylinder-Maschinen sein kann, sofern die elektronische Steuerung und die Hydraulikleistung perfekt auf das Fahrzeuggewicht abgestimmt sind. 2021 wurde sie durch die Serie 6S der New-Era-Modellbaureihen abgelöst. {| class="wikitable" ! 2016-2021 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6712 S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6713 S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6714 S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6715 S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6716 S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6718 S}} |} ====MF 7700 S==== [[File:Massey Ferguson 7720.jpg|thumb|Massey Ferguson 7720 S]] Die Massey Ferguson 7700 S-Serie bildete eine hochgradig vielseitige und leistungsstarke Baureihe, die genau in die Lücke zwischen den kompakteren Traktoren und den schwersten Flaggschiffen der Marke stieß. Sie zeichnete sich durch eine exzellente Balance aus Leistung, Wendigkeit und technischer Raffinesse aus, was sie zur bevorzugten Wahl für gemischte Betriebe sowie große Ackerbaubetriebe machte. Ausgestattet mit effizienten 6,6- oder 7,4-Liter-Motoren von AGCO Power, bot diese Serie eine enorme Bandbreite an Einsatzmöglichkeiten, unterstützt durch eine hochmoderne Hydraulik und wahlweise das stufenlose Dyna-VT-Getriebe oder die bewährten Dyna-6- und Dyna-4-Lastschaltgetriebe. Mit der Einführung des „S-Designs“ wurde zudem das Bedienkonzept massiv aufgewertet, wobei moderne Telemetrielösungen und präzise GPS-Lenksysteme direkt in das Arbeitsumfeld integriert wurden. Die 7700 S-Serie steht exemplarisch für die Strategie von Massey Ferguson, dem Anwender ein hochkomfortables und produktives Arbeitsgerät an die Hand zu geben, das durch seine Zuverlässigkeit im Dauerbetrieb und seine hohe Kompatibilität mit modernsten Anbaugeräten überzeugte. 2020 wurde sie durch die Serie 8S der New-Era-Modellbaureihen abgelöst. {| class="wikitable" ! 2017-2020 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7715S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7716S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7718S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7720S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7722S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7724S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7726S}} |} ====MF 8700 S==== [[File:Massey Ferguson 8740 S Dyna-VT agra 2024 (DSC03909).jpg|thumb|Massey Ferguson 8740 S]] Die Massey Ferguson 8700 S-Serie, die im Zeitraum von 2017 bis 2023 produziert wurde, repräsentierte das absolute Leistungs- und Technologie-Flaggschiff der Marke und war für den professionellen Einsatz in der großflächigen Landwirtschaft konzipiert. Angetrieben von durchzugsstarken 8,4-Liter-Motoren von AGCO Power, bot diese Baureihe eine beeindruckende Leistungsspanne von bis zu 405 PS und war konsequent auf maximale Effizienz, hohe Zugleistung und präzises Arbeiten unter schwersten Bedingungen ausgelegt. Das Herzstück dieser Traktoren war die Kombination aus dem bewährten, stufenlosen Dyna-VT-Getriebe und einer hochmodernen Bordelektronik, die in Verbindung mit dem Datatronic-System eine umfassende Integration von Precision-Farming-Lösungen, ISOBUS-Steuerungen und automatischen Lenksystemen ermöglichte. Mit ihrer markanten Optik, die durch die neugestaltete Motorhaube und das „S-Design“ geprägt war, sowie einer hochwertigen, auf höchsten Bedienkomfort ausgerichteten Kabine, setzte die 8700 S-Serie neue Maßstäbe hinsichtlich Ergonomie und Konnektivität. Als Inbegriff des modernen Großschleppers von Massey Ferguson markierte sie den vorläufigen Höhepunkt einer langen Entwicklungslinie, bevor sie schließlich schrittweise durch die noch leistungsfähigere 9S-Baureihe abgelöst wurde, um den stetig wachsenden Anforderungen an digitale Vernetzung und nachhaltige Produktivität weiterhin gerecht zu werden. {| class="wikitable" ! 2017-2023 |- | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8727S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8730S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8732S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8735S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8737S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8740S}} |} ===New-Era-Serie=== Das im Jahr 2020 mit der Vorstellung der Traktorenserie MF 8S offiziell eingeleitete „New Era“-Konzept (Neue Ära) repräsentiert die fundamentalste strategische, konstruktive und digitale Neuausrichtung von Massey Ferguson im 21. Jahrhundert. Es beschreibt den tiefgreifenden Wandel von einer traditionell mechanisch orientierten Landmaschinenmarke hin zu einem Anbieter von vollvernetzten, hochautomatisierten und ergonomisch optimierten Smart-Farming-Systemen in allen Leistungsklassen (von den Kompaktserien 5S und 6S über die Mittelklasse 7S bis zu den Flaggschiffen 8S und 9S). Diese Epoche der Markengeschichte wird durch drei technologische und gestalterische Säulen definiert: '''1. Das radikale Protect-U-Konstruktionsprinzip''' Das optisch wie technisch markanteste Merkmal der großen „New Era“-Plattformen (8S und 9S) ist die vollständige physische Trennung von Motorraum und Fahrerzelle. Durch einen 18 bis 24 Zentimeter breiten Freiraum zwischen der Motorhaube und der Kabine werden Hitze, hochfrequente Vibrationen und aerodynamische Geräusche des AGCO-Power-Motors isoliert. Dies ermöglichte die Konstruktion einer der leisesten Kabinen des Marktes (bis zu 62 dB im MF 9S) und optimiert gleichzeitig den Kühlluftstrom für die Stufe-V-Abgasnachbehandlung. '''2. Das „Neo-Retro“-Design''' Optisch bricht die „New Era“ mit der runden, fließenden Designsprache der 2000er und 2010er Jahre. Stattdessen setzt Massey Ferguson auf eine kantige, funktionale Ästhetik, die bewusst an die legendären Kabinen- und Haubenformen der Erfolgsbaureihen der 1970er und 1980er Jahre (wie die [[Traktorenlexikon: Massey Ferguson|Serie 2000]]) erinnert. Visuelles Markenzeichen auf der Motorhaube ist der markante, graue oder silberne Säbelstreifen („Saber Stripe“), der die Markenidentität im AGCO-Konzern scharf abgrenzt. '''3. Durchgängige Digitalisierung und Konnektivität''' Technologisch markiert die neue Ära den Verzicht auf analoge Instrumentenbretter im direkten Sichtfeld des Fahrers. Ersetzt wurden diese durch das digitale V-Display an der A-Säule. Die gesamte Maschinensteuerung, das Precision Farming (Spurführung, Teilbreitenschaltung) sowie das Telemetriesystem MF Connect sind standardmäßig in das Datatronic 5-Touchterminal und den ergonomischen Multipad-Fahrhebel auf der Bedienarmlehne integriert. Das Ziel ist eine lückenlose Datenübertragung zwischen Maschine und Hofbüro in Echtzeit, um Betriebsmittel maximal effizient einzusetzen. ====MF 5S==== [[File:Massey Ferguson 5S.145 Dyna-VT Agritechnica 2025 (DSC09527).jpg|thumb|Massey Ferguson 5S.145]] Die im Spätherbst 2020 vorgestellte und ab 2021 im Markt etablierte MF 5S-Baureihe repräsentiert das technologische Premiumsegment von Massey Ferguson im Bereich der modernen, kompakten Vierzylinder-Universaltraktoren im Leistungsbereich von 105 bis 145 PS. Die im französischen Hauptwerk Beauvais gefertigte Serie – umfassend die fünf Kernmodelle vom MF 5S.105 bis zum Spitzenmodell MF 5S.145 – löste die erfolgreiche Vorgängerreihe MF 5700 S ab und etablierte das moderne „Neo-Retro“-Familiendesign des Konzerns im wichtigen Segment der Viehhaltungs-, Grünland- und Gemischtbetriebe. Konstruktives Kernmerkmal dieser extrem wendigen Plattform ist die konsequente Fortführung der legendären Freisicht-Motorhaube, die durch ihre steil abfallende Kontur eine unübertroffene Sicht nach vorne auf den Frontraum und die Anbaugeräte ermöglicht. Zusammen mit einem engen Wendekreis von nur 4,0 Metern und einem Radstand von 2,55 Metern positioniert sich die Baureihe als spezialisierter High-End-Frontladerschlepper. Technisch basiert die Serie 5S auf den flüssigkeitsgekühlten Vierzylinder-Dieselmotoren von AGCO Power mit 4,4 Litern Hubraum, die mithilfe des kompakten, an der rechten Kabinenseite platzierten All-in-One-Abgasnachbehandlungssystems die Stufe-V-Emissionsrichtlinien ohne Beeinträchtigung der Sichtverhältnisse erfüllen. Der Antriebsstrang vertraut wahlweise auf das hochgradig automatisierte, teillastschaltbare Dyna-4- (16x16) beziehungsweise Dyna-6-Getriebe (24x24) oder das stufenlose Dyna-VT-Getriebe. Ausgestattet mit einem zulässigen Gesamtgewicht von bis zu 9,5 Tonnen, einer leistungsstarken Hydraulik sowie optionalen Smart-Farming-Funktionen wie dem Datatronic 5-Touchscreen, setzt diese Baureihe den aktuellen Standard für einen vielseitigen, hochproduktiven Kompaktschlepper. {| class="wikitable" ! 2021-heute |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5S.105}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5S.115}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5S.125}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5S.135}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 5S.145}} |} ====MF 6S==== [[File:Massey Ferguson 6S.180 agra 2024 (DSC02066).jpg|thumb|Massey Ferguson 6S.180]] Die im Spätsommer 2021 parallel zur größeren Sechszylinder-Schwester eingeführte und ab 2022 im Markt etablierte MF 6S-Baureihe repräsentiert das technologische Premiumsegment von Massey Ferguson im Bereich der modernen, hochleistungsfähigen Vierzylinder-Standardtraktoren von 135 bis 180 PS (mit Engine Power Management bis zu 200 PS). Die im französischen Hauptwerk Beauvais gefertigte Serie – umfassend die fünf Kernmodelle vom MF 6S.135 bis zum Spitzenmodell MF 6S.180 – löste die erfolgreiche Vorgängerreihe MF 6700 S ab und überträgt das markante „Neo-Retro“-Design sowie die digitalen Innovationen der Großtraktorenplattformen konsequent in die Klasse der kompakten Universalschlepper.Konstruktives Kernmerkmal dieser Plattform ist das Verhältnis aus einem kurzen Radstand von nur 2,67 Metern und einer enormen Hubkraft von bis zu 9,6 Tonnen im Heck. Diese Geometrie garantiert maximale Wendigkeit und einen extrem engen Wendekreis im Frontladereinsatz, gepaart mit der nötigen Stabilität für schwere dreipunktgetragene Anbaugeräte. Technisch basiert die Baureihe 6S auf den flüssigkeitsgekühlten Vierzylinder-Dieselmotoren von AGCO Power mit 4,9 Litern Hubraum, die über das kompakte All-in-One-Abgasnachbehandlungssystem unter der Kabine die strengen Stufe-V-Emissionsrichtlinien ohne Beeinträchtigung der Sichtverhältnisse erfüllen. Für die Kraftübertragung stehen das hocheffiziente, teillastschaltbare Dyna-6-Getriebe (24x24) oder das stufenlose Dyna-VT-Getriebe zur Auswahl. Ausgestattet mit der ergonomischen Command Control-Armlehne, dem Multipad-Fahrhebel und dem vollintegrierten Datatronic 5-Touchscreen für Smart-Farming-Anwendungen, definiert diese Serie den aktuellen Standard für einen kompakten, hochvernetzten und wendigen Allrounder im modernen Ackerbau- und Grünlandbetrieb. {| class="wikitable" ! 2022-heute |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6S.135}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6S.145}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6S.155}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6S.165}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 6S.180}} |} ====MF 7S==== [[File:Massey Ferguson MF 7S.190 agra 2022 (DSC05431).jpg|thumb|Massey Ferguson MF 7S.190]] Die Massey Ferguson 7S-Serie, eingeführt im Jahr 2021 als moderner Nachfolger der erfolgreichen 7700 S-Baureihe, positioniert sich als das technologische Kraftzentrum in der gehobenen Mittelklasse des Herstellers. Mit einem Leistungsspektrum von 155 bis 220 PS vereinen diese Traktoren eine kompakte Bauweise mit der für Massey Ferguson typischen, hohen Hubkraft und einer bemerkenswerten Wendigkeit. Das Herzstück bildet ein effizienter 6,6-Liter-Sechszylindermotor von AGCO Power, der durch ein hohes Drehmoment überzeugt und sowohl für schwere Zugarbeiten auf dem Acker als auch für zügige Transportaufgaben optimiert ist. Ein wesentliches Merkmal dieser Baureihe ist die konsequente Ausrichtung auf moderne digitale Anforderungen: Durch das intuitive Datatronic 5-Terminal und die volle Integration von Precision-Farming-Lösungen wie Section Control und MF Guide wird der Traktor zu einer hochpräzisen Arbeitsmaschine, die dem Fahrer die Komplexität heutiger Bewirtschaftungssysteme deutlich vereinfacht. Der Bedienkomfort der 7S-Serie setzt dabei neue Standards, da die Kabine nicht nur als eine der leisesten ihrer Klasse gilt, sondern durch das ergonomische MultiPad-Fahrhebelkonzept eine Ermüdung des Fahrers an langen Arbeitstagen minimiert. Kunden haben zudem die Wahl zwischen dem bewährten Dyna-6-Lastschaltgetriebe und dem stufenlosen Dyna-VT-Getriebe, was eine präzise Anpassung an das individuelle Einsatzprofil ermöglicht. Optisch hebt sich die Serie durch ihr „Neo-Retro“-Design hervor, welches die Tradition der Marke durch eine markante, moderne Linienführung und eine fortschrittliche LED-Lichtsignatur würdigt. Insgesamt richtet sich die MF 7S-Serie an professionelle Anwender und Lohnunternehmer, die ein wendiges, leistungsstarkes und technologisch führendes Arbeitsgerät suchen, das maximale Produktivität bei gleichzeitig hohem Komfortanspruch in den täglichen Praxisalltag integriert. {| class="wikitable" ! 2022-heute |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7S.155}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7S.165}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7S.180}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7S.190}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 7S.210}} |} ====MF 8S==== [[File:Massey Ferguson 8S.225 agra 2024 (DSC02101).jpg|thumb|Massey Ferguson 8S.225]] Die Massey Ferguson 8S-Serie, die im Jahr 2020 vorgestellt wurde, markiert nicht weniger als den radikalen Aufbruch in eine völlig neue Ära für die Marke. Als erster Repräsentant der sogenannten „New Era“-Modellstrategie brach sie bewusst mit jahrzehntelangen Designkonventionen und definierte die Identität von Massey Ferguson grundlegend neu. Das auffälligste Merkmal dieses Neustarts ist das wegweisende „Protect-U“-Konzept: Ein sichtbarer Abstand von 24 Zentimetern zwischen der Kabine und dem Motorblock entkoppelt den Arbeitsplatz physisch vom Triebwerk. Dies dient nicht nur dazu, Vibrationen, Geräusche und Hitze von der Kabine fernzuhalten, sondern verleiht dem Traktor auch seine unverkennbare, fast futuristische Silhouette, die in der Landtechnikbranche sofort für Aufsehen sorgte. Dieses Design ist kein bloßes ästhetisches Statement, sondern die visuelle Übersetzung einer veränderten technologischen Philosophie. Mit der 8S-Serie wollte Massey Ferguson den „Traktor als digitales Nervenzentrum“ etablieren, wobei das Design die Funktionalität – etwa durch die großzügige 360-Grad-Verglasung für optimale Sicht – in den Vordergrund stellt. Die markante, steil abfallende Motorhaube und die markeneigene „Saber“-Lichtsignatur an den Flanken unterstreichen diesen modernen Anspruch und lassen die Maschine optisch kleiner und wendiger wirken, als ihre Leistungsstärke vermuten ließe. Das Interieur der Kabine spiegelt diesen neuen Standard ebenfalls wider; mit einem komplett digitalisierten Cockpit und dem Verzicht auf traditionelle Armaturenbretter hinter dem Lenkrad zugunsten des „MF vDisplay“ wird der Fahrer radikal in ein digitales Bedienumfeld versetzt. Die 8S-Serie ist somit weit mehr als nur ein leistungsstarker Großtraktor; sie fungiert als technologischer und ästhetischer Ankerpunkt, von dem aus das gesamte aktuelle Portfolio – wie etwa die 7S- oder 5S-Serie – erst in ihre heutige Form gebracht wurde. Massey Ferguson hat mit diesem Modell den Beweis angetreten, dass eine traditionsreiche Marke durch eine mutige Neugestaltung des Layouts und eine kompromisslose Fokussierung auf Konnektivität ihre Position an der Spitze des Marktes behaupten kann. Indem sie das Design als direkte Erweiterung der technischen Leistungsfähigkeit begreift, hat die 8S-Serie die Messlatte für die gesamte Branche verschoben und die visuelle sowie funktionale Sprache für alle nachfolgenden „New Era“-Traktoren des Unternehmens verbindlich geprägt. {| class="wikitable" ! 2020-heute |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8S.205}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8S.225}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8S.245}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8S.265}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8S.285}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 8S.305}} |} ====MF 9S==== [[File:Massey Ferguson 9S.425 agra 2026 (DSC1000).jpg|thumb|Massey Ferguson 9S.425 Dyna-VT]] Die Ende 2023 auf der Agritechnica vorgestellte und ab 2024 in die Serienproduktion überführte MF 9S-Baureihe repräsentiert das aktuelle technologische Flaggschiff von Massey Ferguson im High-Horsepower-Segment der modernen Großtraktoren von 285 bis 425 PS. Die im französischen Stammwerk Beauvais gefertigte High-Tech-Serie – umfassend sechs Modelle vom MF 9S.285 bis zum weltweiten Spitzenmodell MF 9S.425 – löste die langjährige Baureihe MF 8700 S ab und führt das mit der Serie 8S begründete „New Era“-Konstruktionskonzept des AGCO-Konzerns in die höchste Leistungsklasse. Konstruktives und optisches Kernmerkmal dieser modernen Systemplattform ist das radikale Protect-U-Design. Durch einen markanten, 18 Zentimeter breiten Freiraum zwischen der Motorhaube und der Kabinenstruktur wird die Fahrerzelle vollständig vom Motor isoliert, was zu einer drastischen Reduzierung der Vibrationen, einer erstklassigen Thermoisolierung und einem extrem niedrigen Innengeräuschpegel von nur 62 dB führt. Technisch basiert die Baureihe 9S auf den hochentwickelten, flüssigkeitsgekühlten Sechszylinder-Dieselmotoren von AGCO Power mit 8,4 Litern Hubraum, die dank des integrierten All-in-One-Abgasnachbehandlungssystems die strengsten Stufe-V-Emissionsrichtlinien ohne komplexe Rückführungssysteme erfüllen. Der Antriebsstrang wird standardmäßig durch das stufenlose Dyna-VT-Getriebe der neuesten Generation definiert, das im Verbund mit dem elektronischen Motormanagement (EPM) eine verlustfreie, automatische Kraftübertragung bei optimierter Kraftstoffeffizienz garantiert. Ausgestattet mit vollflächiger Smart-Farming-Technologie, wie dem Datatronic 5-Touchterminal, automatischen Wendesystemen (MF AutoTurn) und einer Closed-Center-Hydraulikanlage mit einer Förderleistung von bis zu 400 Litern pro Minute, setzt diese Baureihe den aktuellen Standard für vernetzte, hochautomatisierte Schwerstarbeit auf internationalen Großbetrieben und im Lohnunternehmereinsatz. {| class="wikitable" ! 2024-heute |- | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 9S.285}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 9S.310}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 9S.340}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 9S.370}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 9S.400}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 9S.425}} |} ==MF Typen (Lizenz)== Diese Auflistung bezieht sich auf Modelle, die für Massey Ferguson von Lizenznehmern bzw. Tochterunternehmen gefertigt wurden, wie beispieslweise Landini in Italien, und somit nicht vollständig auf MF-eigenen Konstruktionen basieren: ''Die Liste ist eventuell noch unvollständig!'' ===DT=== Unter den Typenbezeichnungen DT (Double Transmission / Doppelachsantrieb) führte Massey Ferguson ab 1963 allradgetriebene Schleppermodelle ein, die im Rahmen einer strategischen Kooperation vollständig vom italienischen Tochterunternehmen [[Traktorenlexikon: Landini| Landini]] im Werk Fabbrico bis 1966 projektiert und gefertigt wurden. Da das hauseigene MF-Produktportfolio zu diesem Zeitpunkt keine adäquaten, serienmäßigen Allradkonzepte für den mitteleuropäischen und alpinen Markt aufwies, schloss diese Co-Produktion – mit Modellen wie dem DT 4500 (Drei-Zylinder-Perkins-Motor mit 45 PS) und dem schweren DT 7000 (Vier-Zylinder-Perkins-Motor mit 65 PS) – eine kritische Lücke im Leistungsspektrum. Technologische Kernmerkmale dieser DT-Plattformen waren die robusten, mechanischen Portal-Allradachsen mit zentralem oder versetztem Antriebswellenverlauf sowie angepasste Synchrongetriebe, die konstruktiv auf den Landini-Pendants basierten. Diese im Wege des Badge-Engineerings weitgehend baugleich übernommenen und lediglich in den MF-Markenfarben lackierten Allradschlepper markieren den Beginn einer jahrzehntelangen Systemintegration, über die Massey Ferguson den technologischen Wandel hin zu traktionsstarken Vierradantrieben in der europäischen Landwirtschaft vollzog. {| class="wikitable" | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|DT 4500}} * {{:Traktorenlexikon: Create|DT 7000}} |} ===MF 104 (1973-1983)=== [[File:PikiWiki Israel 10917 Settlements in Israel.jpg|thumb|Massey Ferguson 174]] Unter den Typenbezeichnungen der MF 104-Baureihe (umfassend die Modelle MF 134 bis MF 194) führte Massey Ferguson ab 1973 eine Familie von Kompakt-, Allrad- und Raupenschleppern ein, die im Rahmen der damaligen Konzernzugehörigkeit vollständig vom italienischen Tochterunternehmen Landini im Werk Fabbrico projektiert und gefertigt wurden. Diese Baureihe basierte im Wege des Badge-Engineerings direkt auf den technisch identischen Landini-Plattformen der Serien 6500 bis 9500 und wurde über einen kontinuierlichen Produktionszyklus von 1973 bis 1983 vertrieben. Konstruktive Kernmerkmale dieser für den europäischen Wein-, Obst- und alpinen Segmentbereich optimierten Traktoren waren ihre mechanisch hochentwickelten Portal-Allradachsen mit exzellentem Lenkeinschlag, synchronisierte Wendegetriebe sowie der Einsatz thermisch stabiler Perkins-Drei- und Vier-Zylinder-Dieselmotoren. Als optisch in den MF-Markenfarben Rot und Grau modifizierte, technisch jedoch rein italienische Systemträger erweiterten die Modelle der 104-Serie das globale MF-Portfolio im Segment der spezialisierten Allrad- und Hangmechanisierung entscheidend. ''baugleich zu Landini Serie 6500 - 9500'' {| class="wikitable" | valign="top" | * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 134C}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 154}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 174}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 184}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 194}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1104}} |} ===Schmalspurtraktoren (bei Ebro gebaute)=== Zu folgendem Modell findet man recht wenige Infos. Im Netz gibt es ein paar Bilder und Infos, wo der 147 als Hinterrad und Allrad-Variante gezeigt wird. Bei einem Bild steht Baujahr 1979. Auf dem Bild einer BDA: Motor Iberica sa - Tractor MF -147 fabrication [[Traktorenlexikon: Ebro|Ebro]] Schmalspurmodelle mit MF-Technik: * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 147/A}} ===Unter Eicher vertiebene MF-Modelle (1.Generation)=== Schmalspurmodelle mit [[Traktorenlexikon: Eicher|Eicher]]-Technik unter der Haube: * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 132/A}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 132 S-A}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 139/A}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 142/A}} ===Unter Eicher vertiebene MF-Modelle (2.Generation)=== * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 235 S}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1102}} * {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1132}} ===MF 203=== [[File:Massey Ferguson 273A Frontlader.jpg|thumb|Massey Ferguson 273 A]] Die im Jahr 1978 parallel zur Schwesterbaureihe 204S eingeführte MF 203-Baureihe (im Verbund mit den Modellen MF 233, MF 253 und MF 273 als Baureihenfamilie betrachtet) repräsentiert die ökonomisch ausgerichtete Basisvariante im mittleren Leistungssegment der Standardtraktoren, die über die Kooperation mit dem italienischen Tochterunternehmen Landini realisiert wurde. Die bis in die 1980er Jahre hinein im Werk Fabbrico gefertigte Serie basierte auf den robusten, mechanischen Plattformen von Landini und bot im europäischen Portfolio von Massey Ferguson eine puristische, kosteneffiziente Alternative für kleinere und mittlere landwirtschaftliche Betriebe. Konstruktives Kernmerkmal dieser Baureihe war der Fokus auf maximale mechanische Einfachheit und Zuverlässigkeit. Im Gegensatz zu den S-Versionen war die 203-Familie primär auf den klassischen Hinterradantrieb sowie ein grundlegendes, mechanisches Getriebelayout ausgelegt, was die Wartungs- und Anschaffungskosten minimierte. Technisch basierte der MF 203 auf dem bewährten, langlebigen Dreizylinder-Dieselmotor von Perkins (Typ AD3.152), der eine verlässliche Leistung im Bereich von rund 45 PS bereitstellte. Kombiniert mit einer rein mechanischen Hubwerksregelung und einer übersichtlichen, ergonomisch funktionalen Fahrerplattform, vereinte dieser Schlepper italienische Fahrwerksmechanik mit britischer Motorenkompetenz für den universellen täglichen Hof- und Feldeinsatz. ''Die MF 203 Serie ist baugleich zu Landini Serie 5830 - 8830 (1980-1990)'' {| class="wikitable" | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 233}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 253}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 263}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 273}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 283}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 293}} |} ===MF 204 S=== [[File:MF294AS.JPG|thumb|Massey Ferguson 294 A-S]] [[File:Traktor 1985 Massey Ferguson 274S - pic5.jpg|thumb|Massey Ferguson 274 S]] Die im Jahr 1978/1979 eingeführte MF 204S-Baureihe repräsentiert ein weiteres strategisches Ergebnis der intensiven Kooperation zwischen Massey Ferguson und dem italienischen Tochterunternehmen Landini. Die über einen kontinuierlichen Produktionszeitraum bis in die 1980er Jahre hinein im norditalienischen Werk Fabbrico gefertigte Serie basierte im Wege des Badge-Engineerings direkt auf den bewährten Traktoren im niedrigen bis mittleren Leistungssegment von Landini und bediente im europäischen Portfolio von Massey Ferguson gezielt das Segment der kompakten 3- und 4-Zylinder Traktoren unterhalb der auch bei Landini gefertigten Serie 1004. Konstruktives Kernmerkmal dieser kompakten Systemplattform war ihre extreme Wendigkeit kombiniert mit einem niedrigen Schwerpunkt und einer optimierten mechanischen Achskonstruktion, die wahlweise mit einem robusten Allrad- oder Heckantrieb ausgestattet war. Technisch basierte der MF 204S auf den bewährten, verbrauchsarmen Drei- und Vierzylinder-Dieselmotoren von Perkins (darunter der Typ AD3.152 bzw. Aggregate der 3-Zylinder-Reihe), die eine zuverlässige Leistungsentfaltung im Bereich von rund 45 bis 50 PS garantierten. Ausgestattet mit einem mechanischen, eng gestuften Synchrongetriebe und einer leistungsfähigen Heckhydraulik, kombinierte dieser Spezialschlepper die italienische Expertise für kompakte Allradkonzepte mit der global etablierten Motorentechnik des Konzerns, Anforderungen im Pflege- und Hofeinsatz effizient zu bewältigen. Die Modelle gab es wahlweise mit offener Fahrerplattform mit Umsturzbügel, mit Mauser Nachrüstkabine oder integrierter SIAC Sicherheitskabine (nur 274S-294S) von den Modellen der 600er Serie. ''Die MF 204S Serie ist baugleich zu Landini Serie 6550 - 8550 (1978-1987)'' {| class="wikitable" | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 254S}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 274S}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 284S}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 294S}} |} ===MF 1004=== [[File:Massey Ferguson 1114 (1).jpg|thumb|Massey Ferguson 1114]] Die unter der Kennzeichnung MF 1004-Baureihe (umfassend die Kernmodelle MF 1004, MF 1004 T, MF 1014, MF 1024, MF 1114 und MF 1134) vertriebene Traktorenfamilie repräsentiert die Ausweitung der strategischen Kooperation zwischen Massey Ferguson und dem italienischen Tochterunternehmen Landini. Die über einen kontinuierlichen Produktionszyklus von 1978 bis 1990 im Werk Fabbrico gefertigte Serie basierte im Wege des Badge-Engineerings direkt auf den schweren Allradplattformen von Landini und schloss im europäischen MF-Portfolio die Lücke zwischen den Universalschleppern und den schweren Großtraktoren der Serie 2000. Technologisches Kernmerkmal dieser Baureihe war der Fokus auf traktionsstarke mechanische Allradachsen und robuste Synchrongetriebe (standardmäßig ausgelegt mit 12 Vorwärts- und 4 Rückwärtsgängen), die optimal für anspruchsvolle europäische Bodenverhältnisse und schwere Zugarbeiten konzipiert waren. Während das Einstiegsmodell MF 1004 (und die ab 1985 nachgeschobene Turbo-Version 1004 T) von leistungs- und drehmomentstarken Vierzylinder-Perkins-Motoren mit rund 90 PS angetrieben wurde, griffen die größeren Typen der Serie auf hubraumstarke Sechszylinder-Perkins-Dieselaggregate (Typ A6.354) zurück, die ein Leistungsspektrum von bis zu 135 PS abdeckten. Die Kabine stammte bei den Modellen 1004, 1004T und 1014 von der Serie 600, bi den größeren Modellen stammte die Kabine von Landini. Als optisch modifizierte Systemträger in den klassischen MF-Konzernfarben kombinierten diese Schlepper italienische Allradkompetenz mit der bewährten britischen Motorentechnik und sicherten dem Konzern über mehr als ein Jahrzehnt wichtige Marktanteile im oberen mittleren Leistungssegment. ''Die MF 1004 Serie ist baugleich zu Landini Serie 10000 - 14500 (1980-1990)'' {| class="wikitable" | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1004}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1004 T}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1014}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1024}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1104}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1114}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1134}} |} ===MF 303=== [[File:Massey Ferguson 383.jpg|thumb|Massey Ferguson 383]] Die im Jahr 1987 als direktes Schwestermodell zur erfolgreichen Serie 300 eingeführte MF 303-Baureihe (im Verbund mit den Modellen MF 333, MF 353, MF 363, MF 373 und MF 383 als Baureihenfamilie betrachtet) repräsentiert die ökonomisch ausgerichtete, rein mechanische Basislinie im unteren und mittleren Leistungssegment von 45 bis 80 PS. Die bis in die 1990er Jahre hinein im norditalienischen Werk Fabbrico gefertigte Serie basierte im Wege des Badge-Engineerings auf den robusten Plattformen des Tochterunternehmens Landini und bot im europäischen Portfolio von Massey Ferguson eine puristische, investitionsgünstige Alternative zu den technisch komplexeren Modellen aus britischer Produktion. Konstruktives Kernmerkmal dieser Baureihe war der konsequente Verzicht auf jegliche Elektronik zugunsten einer maximalen mechanischen Belastbarkeit und Wartungsfreundlichkeit im täglichen Einsatz. Technisch basierte die 303er-Familie auf den bewährten, langlebigen Drei- und Vierzylinder-Dieselmotoren von Perkins (darunter die Typen AD3.152 und A4.236), die für ihre hohe Drehmomentreserve und Effizienz bekannt waren. Der Antriebsstrang wurde durch ein vollmechanisches, eng gestuftes Synchrongetriebe definiert, das wahlweise mit einer robusten Allradachse kombiniert werden konnte. Ausgestattet mit einer funktionalen, übersichtlichen Fahrerplattform oder einer zweckmäßigen Komfortkabine, vereinte diese Serie italienische Fahrwerksmechanik mit britischer Motorenkompetenz für kleinere Betriebe, Nebenerwerbslandwirte und Sonderkulturbetriebe. ''Die MF 303 Serie ist baugleich zu Landini Serie 5870 - 8870 (1980-1990)'' {| class="wikitable" | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 353}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 363}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 373}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 383}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 393}} |} ===MF 307=== [[File:MF 377 Bjh 1988 mit Frontlader.jpg|thumb|Massey Ferguson 377]] Die im Jahr 1987 parallel zur Standard-Serie 300 eingeführte MF 307-Baureihe (umfassend die Kernmodelle MF 377, MF 387, MF 397, das aufgeladene Modell MF 397T sowie das Sechszylinder-Spitzenmodell MF 1007) repräsentiert das obere Segment der Standardtraktoren im mittleren Leistungsbereich von 65 bis rund 95 PS, das über die Kooperation mit dem italienischen Tochterunternehmen Landini realisiert wurde. Die bis 1994 im Werk Fabbrico gefertigte Serie basierte im Wege des Badge-Engineerings direkt auf den schweren Triebwerks- und Fahrwerksplattformen der Landini-Modelle 6880 bis 9880 und bediente im europäischen Portfolio von Massey Ferguson gezielt die Nachfrage nach mechanisch dominierten Allradschleppern mit hoher Hub- und Zugkraft. Konstruktives Kernmerkmal dieser Plattform war das verstärkte Guss-Chassis mit mechanischem Hochleistungshubwerk, das im Vergleich zur britischen Standard-300er-Serie für schwerere Anbaugeräte ausgelegt war, kombiniert mit der markanten SIAC Komfortkabine. Technisch setzte die 307er-Familie auf die bewährten, drehmomentstarken Vier- und Sechszylinder-Dieselmotoren von Perkins (darunter die weit verbreiteten Typen A4.236 und A4.248 sowie den Sechszylinder A6.354 im MF 1007). Der Antriebsstrang war konsequent vollmechanisch aufgebaut und vertraute auf ein synchronisiertes Mehrgang-Schaltgetriebe mit Wendeschaltung, das sich durch hohe mechanische Wirkungsgrade auszeichnete. Damit verband die Serie 307 die robuste, schwere Getriebebauweise aus Fabbrico mit bewährter britischer Motorentechnik für Betriebe, die maximale Zugleistung bei gleichzeitig einfacher Systemtechnik forderten. ''Die MF 307 Serie ist baugleich zu Landini Serie 6880 - 9880 (1987-2000)'' {| class="wikitable" | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 377}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 387}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 397}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 397T}} {{:Traktorenlexikon: Create|MF 1007}} |} ===MF 9240=== Der im Jahr 1994 auf dem europäischen und nordamerikanischen Markt eingeführte MF 9240 repräsentiert das Spitzensegment schwerer Großtraktoren, das im Rahmen der neu formierten AGCO-Allis-Kooperation realisiert wurde. Die im US-amerikanischen Werk Independence (Missouri) gefertigte Maschine basierte im Wege des Badge-Engineerings direkt auf der US-Großtraktorenplattform AGCO White 6215 und diente nach der Übernahme von Massey Ferguson durch den AGCO-Konzern dazu, die enorme Nachfrage nach schweren, elektronikreduzierten Systemschleppern im Bereich von 240 PS – insbesondere in den ostdeutschen Bundesländern und auf nordamerikanischen Großflächen – schnellstmöglich zu bedienen. Konstruktives Kernmerkmal dieser imposanten, rund 9 Tonnen schweren US-Plattform war die Auslegung als reiner Ackerschlepper mit langem Radstand, einem massiven Guss-Chassis für höchste Zugkraftübertragung und einer amerikanischen Traktomobil-Komfortkabine mit integrierter rechter Bedienkonsole. Technisch setzte die Baureihe auf den hochentwickelten, flüssigkeitsgekühlten Sechszylinder-Turbodieselmotor von Cummins (Typ 6CTA 8.3) mit 8,3 Litern Hubraum, der für seine extreme Drehmomentreserve und mechanische Unverwüstlichkeit bekannt war. Die Kraftübertragung erfolgte über das renommierte, elektronisch gesteuerte Volllastschaltgetriebe des amerikanischen Herstellers Funk (mit 18 Vorwärts- und 9 Rückwärtsgängen), welches Gangwechsel komplett ohne Zugkraftunterbrechung erlaubte. Im klassischen MF-Rot lackiert, kombinierte dieser seltene Großschlepper bewährte amerikanische Antriebskompetenz mit der globalen Vertriebsstruktur des Konzerns für die absolute Schwerstarbeit. {| class="wikitable" | valign="top" | {{:Traktorenlexikon: Create|MF 9240}} |} == Lizenzbauten== [[Datei:ITM CO MF 285 Massey Ferguson License.JPG|thumb|ITM - MF 285]] Liste noch unvollständig! <span class="notranslate" onmouseover="_tipon(this)" onmouseout="_tipoff()"><span class="google-src-text" style="direction: ltr; text-align: left"> * [[Traktorenlexikon: Ebro|EBRO]] – Motor Iberica SA, Lizenzbauten ab Mitte der 1960er bis in die 1980er * [[Tractor glossary: ​​Ebro | EBRO]] - Motor Iberica SA, licensed buildings from the mid-1960s to the 1980s * [[Traktorenlexikon: Eicher|Eicher]] – Mitte der 1970er bis mitte der 1980er wurden MF Traktoren in Eicher Verkleidung vertrieben aber auch umgekehrt wurden Eicher Traktoren in MF Verkleidung vertrieben.</span> * [[Tractor glossary: ​​Eicher | Eicher]] - Mid-1970s to mid-1980s MF tractors were sold in Eicher disguise but Conversely, Eicher tractors were sold in MF fairing.</span> <span class="notranslate" onmouseover="_tipon(this)" onmouseout="_tipoff()"><span class="google-src-text" style="direction: ltr; text-align: left"> * [[Traktorenlexikon: Landini|Landini]] – Anfang der 1970er bis Mitte der 1990er wurden Landini Traktoren in MF Farben vertrieben.</span> * [[Tractor Glossary: ​​Landini | Landini]] - In the early 1970s to the mid-1990s Landini tractors were marketed in MF colors.</span> <span class="notranslate" onmouseover="_tipon(this)" onmouseout="_tipoff()"><span class="google-src-text" style="direction: ltr; text-align: left"> * [[Traktorenlexikon: IMT|IMT]] – Industrija Mašina i Traktora, Belgrad, [http://www.imt.co.rs www.imt.co.rs], Lizenzbauten bereits in den 1960ern. Früher aber auch unter ITM Industrija Traktora i Mašina bekannt.</span> * [[Tractor Glossary: ​​IMT | IMT]] - Industrija Mašina i Traktora, Belgrade, [http://www.imt.co.rs www.imt.co.rs], licensed buildings as early as the 1960s.</span> <span class="notranslate" onmouseover="_tipon(this)" onmouseout="_tipoff()"><span class="google-src-text" style="direction: ltr; text-align: left"></span> Previously also known as ITM Industrija Traktora i Mašina.</span> <span class="notranslate" onmouseover="_tipon(this)" onmouseout="_tipoff()"><span class="google-src-text" style="direction: ltr; text-align: left"> * [[Traktorenlexikon: ITM|ITM]] – Iran Tractor Manufacturing Company, [http://www.itm.co.ir www.itm.co.ir], Lizenzbauten seit Ende der 1970er.</span> * [[Tractors Glossary: ​​ITM | ITM]] - Iran Tractor Manufacturing Company, [http://www.itm.co.ir www.itm.co.ir], licensed buildings since the late 1970s.</span> <span class="notranslate" onmouseover="_tipon(this)" onmouseout="_tipoff()"><span class="google-src-text" style="direction: ltr; text-align: left"> * [[Traktorenlexikon: MTL|MTL]] - Millat Tractors Limited, pakistanischer Traktorenhersteller, Lizenzbau ab MF 200 Serie [http://www.millat.com.pk www.millat.com.pk] * [[Traktorenlexikon: MTL|MTL]] - AgroAsia Tractors, MF Serie [https://www.agroasiatractors.ae/] *[[Traktorenlexikon: MTL|MTL]] - Millat Tractors Limited, pakistanischer Traktorenhersteller, Lizenzbau ab MF 200,300 Series https://www.aecotractorparts.com https://www.aecotractors.ae https://www.aecotractors.com * [[Traktorenlexikon: MTL|MTL]] - Millat Tractors Limited, pakistanischer Traktorenhersteller, Lizenzbau ab MF 200,300,400 Series [http://www.agripakgroup.com www.agripakgroup.com] * [[Traktorenlexikon: Tafe|Tafe]] – Tractors and Farm Equipment Limited, [http://www.tafe.com www.tafe.com] * [[Traktorenlexikon: AgroAsia|Agroasia]] – Tractors and Farm Equipment Limited, [www.agroasiatractors.ae/ www.agroasiatractors.ae] * [[Traktorenlexikon: Tajiran|Tajiran]] – TAJIRAN Company, Produktepalette von ITM, [http://www.tajiran.ir www.tajiran.ir] * [[Traktorenlexikon: Ursus|Ursus]] - polnischer Traktorenhersteller, Lizenzbau der MF 200 Serie * [[Traktorenlexikon: Uzel|Uzel]] - Uzel Traktor, türkischer Traktorenhersteller, Lizenzbau ab MF 200 Serie [http://www.uzeltraktor.com www.uzeltraktor.com] * [[Traktorenlexikon: Veniran|Veniran]] – VENIRAN Tractor, CA, [http://www.veniran.com.ve www.veniran.com.ve], Lizenzbau aus Südamerika * [[Traktorenlexikon: White|White]] – Lizenzbau aus den USA</span> == Referenzen == <references /> * [1] Pripps, R. N. (2001): The Big Book of Massey Tractors. Voyageur Press. (Historie der Fusionen von Massey-Harris und Ferguson). * [2] Farmers Guardian (2024): Massey Ferguson's 100 series: Dawn of the Red Giants. Online-Ressource (Abgerufen am 18. Mai 2026). Details zum DX-Entwicklungsprogramm und den kalkulierten 1 Mio. Arbeitsstunden zwischen 1960 und 1964. * [3] Whitlam, J. (2024): The Massey Ferguson 100 Series at 60! In: Tractor & Machinery Magazine. (Produktionsbedeutung des MF 135). * [4] Landini S.p.A. (2010): Historie des Herstellers. Offizielle Webseite (Archiviert am 17. November 2010). Beleg zur 100%-Übernahme 1959 und dem Übergang zur ARGO-Gruppe 1994. * [5] Herrmann, K. (2006): Traktoren in Deutschland: Firmen und Modelle seit 1945. DLG-Verlag. (Details zur wirtschaftlichen Verflechtung zwischen Eicher und Massey Ferguson). * [6] AGCO Corp. (2010): Tradition und Meilensteine der 90er Jahre. Offizielle Herstellerberichte (Archiviert am 17. November 2010). * [7] Garvey, S. / Farmtario (2025): Agco settles legal dispute with TAFE. Pressemitteilung und Analyse vom 9. Juli 2025 zur territorialen Aufteilung der Markenrechte für Indien, Nepal und Bhutan. * [8] TAFE Ltd. (2025): TAFE and AGCO reach comprehensive settlement covering brand rights, commercials and shareholding. Offizielle Bekanntmachung, Chennai, 1. Juli 2025. == Weblinks == {{Commons|Category:Ferguson tractors|Ferguson-Traktoren}} {{Commons|Category:Massey Ferguson tractors|Massey-Ferguson-Traktoren}} {{Wikipedia1|Massey Ferguson}} *[http://www.austrodiesel.at/startseite.html Austro Diesel - Massey Ferguson Generalimporteur Österreich] *[http://www.masseyferguson.com/agco/mf/de/home.htm Massey Ferguson Deutschland] *[http://www.jarlef.no/Massey_Ferguson/MF_start.htm Massey Ferguson Tractor Series MF 100, MF 500, MF 1000] *[http://www.forumromanum.de/member/forum/forum.php?action=index&entryid=&USER=user_441029 Das deutsche MF- und Ferguson Forum] *[http://tractors.wikia.com/wiki/Massey_Ferguson Massey Ferguson Tractors on Wikia.com] *[http://translate.google.de/translate?hl=de&sl=fi&tl=en&u=http://www.konedata.net/Traktorit/mf.htm finisches Traktorlexikon übersetzt mit Google Translator] *[https://www.youtube.com/watch?v=pbzzh0ctrz4 MASSEY FERGUSON - Die Traktoren, die Landwirtschaft weltweit veränderten] 2025, 05:19 Min. (YouTube) {{:Traktorenlexikon: Navigation}} qr73sqp5z2ohmduj4s18yi7q7kb7c3p 0 10700 1093474 1089939 2026-11-06T15:12:26Z Hardy42 1911 /* Modulare Arithmetik */ Kommentar ergänzt 1093474 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Pseudoprimzahlen|Pseudoprimzahlen}} == Modulare Arithmetik == Da man es bei der Berechnung von fermatschen Pseudoprimzahlen häufig mit großen Potenzen großer Zahlen zu tun bekommt, hat man ein kleines Problem. Zum Beispiel für den Nachweis, dass 341 eine fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 2 ist, muss man die Zahl <math>2^{340}\ </math> berechnen. Diese Zahl heißt ausgeschrieben: :2239744742177804210557442280568444278121645497234649534899989100963791871180160945380877493271607115776 Das ist für ein Programm wie MuPad wahrscheinlich kein Problem, für die meisten herkömmlichen Programmiersprachen aber sehr wohl. Durch eine Kombination von Multiplikation und Modulo kann man aber auch wesentlich größere Potenzen kleinhalten.<br> Da bei Rechenoperationen Modulo <math>n</math> nur Zahlen bis <math>\ n - 1\ </math> auftreten, ist das Ergebnis einer Multiplikation vor der Modulooperation immer kleiner als <math>n^2</math>. Beispiel: <math>5^6 = 15625</math>. Letztendlich interessiert uns ja aber nicht <math>5^6 = 15625\ </math>, sondern vielmehr <math>5^6 \operatorname{mod} n</math> mit sagen wir mal <math>n = 7</math>. Das ist <math>5^6 \operatorname{mod} 7 = 1\ </math>. Nun lässt sich <math>5^6 \operatorname{mod} 7\ </math> auch so berechnen: :<math>(((((((((5 * 5) \operatorname{mod} 7) * 5) \operatorname{mod} 7) * 5) \operatorname{mod} 7) * 5) \operatorname{mod} 7) * 5) \operatorname{mod} 7 </math> Nach der Modulo-Operation ist der Wert immer kleiner als 7. <syntaxhighlight lang="bnf"> // Programm in Pseudocode zur Veranschaulichung: // bei großen Exponenten wendet man natürlich die Methode "Binäres Potenzieren" an, s. u. funktion powermod(Basis, Exponent, N) Produkt = 1 k = 0 while k < Exponent Produkt = (Produkt * Basis) mod N k = k + 1 return Produkt </syntaxhighlight> == Binäres Potenzieren == Für Primzahltests nach dem kleinen fermatschen Satz müssen große Potenzen berechnet werden; dabei wäre es extrem zeitaufwendig, x^k durch k&nbsp;-&nbsp;1 Multiplikationen zu berechnen. Ein effiziente Berechnung ist durch binäre Exponentiation möglich: Gegeben seien die Basis x und der Exponent k. {|class="wikitable" |+ Berechnungsschritte: |- | colspan=3 | setze P = 1 (Produkt) und b = x |- | colspan=3 | wiederhole folgende Schritte solange k > 0 ist: |- | || wenn k ungerade ist, multipliziere P mit b → P und vermindere k um 1 → k || P = P * b k = k - 1 |- | || quadriere b → b || b = b * b |- | || halbiere k → k || k = k / 2 |- | colspan=3 | Ergebnis: P = x^k, wenn k = 0 ist |} Bei Berechnung Modulo <math>n</math> wird das Ergebnis jeder Multiplikation mod <math>n</math> reduziert, wie im vorherigen Absatz beschrieben. {|class="wikitable" |+ In Pseudocode: ! ohne Modulo || Modulo N |- |<syntaxhighlight lang="bnf" line> function Potenz(x, k) { Produkt = 1 Faktor = x Exponent = k while Exponent > 0 { if Exponent mod 2 == 1 // wenn der Exponent ungerade ist: { Produkt = Produkt * Faktor Exponent = Exponent - 1 } Exponent = Exponent / 2 Faktor = Faktor * Faktor } return Produkt } </syntaxhighlight> || <syntaxhighlight lang="bnf"> function Potenz(x, k, N) { Produkt = 1 Faktor = x Exponent = k while Exponent > 0 { if Exponent mod 2 == 1 // wenn der Exponent ungerade ist: { Produkt = (Produkt * Faktor) mod N Exponent = Exponent - 1 } Exponent = Exponent / 2 Faktor = (Faktor * Faktor) mod N } return Produkt } </syntaxhighlight> |} Statt <code>mod 2</code> kann in Zeile 9 auch das (schnellere) bitweise Und mit 1 verwendet werden, also <code>Exponent = Exponent & 1</code>. Die Division durch 2 in Zeile 15 kann durch Schieben um ein Bit nach rechts ersetzt werden: <code>Exponent = Exponent >> 1</code>. Insgesamt sind mit dieser Methode nur maximal 2 Multiplikationen pro Bit des Exponenten notwendig, also <math>2 \cdot \lceil log_2k \rceil</math>. == Liste zusammengesetzter Zahlen == Um Primzahltests zu prüfen bzw. Pseudoprimzahlen zu finden, wäre eine Funktion, die eine Liste (ungerader) zusammengesetzter Zahlen erstellt, nützlich. Sie spart zum einen die Überprüfung aller Zahlen, die den Test bestehen, mit einem im untersuchten Zahlenbereich sicheren Primzahltest, um Pseudoprimzahlen von Primzahlen zu unterscheiden, und zum anderen werden Primzahlen von vornherein nicht getestet. Mit einem Algorithmus, der wie das Sieb des Eratosthenes funktioniert, lässt sich ein solches Hilfsmittel realisieren: * Erstelle eine leere Menge für das Ergebnis * Für alle ungeraden n von 3 bis Obergrenze: ** wenn n nicht in der Menge enthalten ist: *** nimm alle ungeraden Vielfachen von <math>n</math> ab <math>n^2</math> bis zur Obergrenze, also <math>(n^2 + 2k \cdot n)</math>, in die Menge auf * Sortiere die Elemente der Menge aufsteigend === Implementierung in Python === <syntaxhighlight lang="python"> def odd_composites(lim): result = set() for n in range(3, lim, 2): if n not in result: for m in range(n*n, lim, 2*n): result.add(m) return sorted(result) </syntaxhighlight> Die Funktion lässt sich leicht so erweitern, dass auch gerade Zahlen zurückgegeben werden; diese sind aber für Primzahltests weniger interessant. == Carmichael-Zahlen == Ein Programm, das eine Liste von Carmichael-Zahlen ausgibt, ist geradezu trivial. Dass dem so ist, verdanken wir dem Kriterium von Korselt. Dieses Theorem besagt, dass eine Carmichel-Zahl <math>c\ </math>eine quadratfreie, aus mindestens drei Primfaktoren bestehende, natürliche Zahl der Form <math>c = p_1\cdot p_2\cdot ... \cdot p_n\ </math> ist, so dass für jedes <math>p_i\ </math> gilt, dass <math>p_i - 1\ </math> die Zahl <math>c - 1\ </math> teilt. Daraus folgt, dass man sich um den kleinen Fermatschen Satz <math>a^{n-1} \equiv 1 \pmod n</math> nicht im geringsten zu kümmern braucht. Neben Korselts Kriterium gibt es auch noch Formeln zum Erzeugen spezieller Carmichael-Zahlen. Auch bei diesen Beispielen braucht man sich um den kleinen Fermatschen Satz nicht zu kümmern. <!-- === Erster Ansatz (naiver Ansatz) === --> === zweiter Ansatz === Das folgende Programm benutzt drei ineinander verschachtelte Schleifen, durch die sichergestellt wird, dass drei zueinander teilerfremde Primzahlen ausgewählt werden. Aus diesen drei Primzahlen wird ein Produkt gebildet, das die zu testende Zahl darstellt. An dieser Zahl wird nun Korselts Kriterium getestet, was einfach ist, da dem Programm die Primteiler der zu testenden Zahl bekannt sind. Ist Korselt Kriterium erfüllt, dann handelt es sich bei der Zahl um eine Carmichael-Zahl, und die Zahl wird, samt Primzahlfaktoren als Carmichael-Zahl ausgegeben. Details: Die Variable p.0 enthält die Anzahl der unterschiedlichen Primzahlen. In p.1 bis p.(p.0) sind die einzelnen Primzahlen abgelegt. p.1 = 3 p.2 = 5 p.3 = 7 p.4 = 11 p.4 = 13 p.5 = 17 p.6 = 19 p.7 = 23 p.8 = 29 p.9 = 31 p.10 = 37 . . . p.549 = 4001 p.550 = 4003 p.551 = 4007 p.552 = 4013 p.553 = 4019 p.554 = 4021 p.555 = 4027 p.556 = 4049 p.557 = 4051 p.558 = 4057 i=558 do a=1 to (i-2) do b=a+1 to (i-1) do c=b+1 to i t = 0 z=p.a*p.b*p.c ax=p.a-1 bx=p.b-1 cx=p.c-1 zax=(z/p.a)-1 zbx=(z/p.b)-1 zcx=(z/p.c)-1 pz=(zax // ax) + (zbx // bx) + (zcx // cx) if (pz = 0) then t = 1 if (t = 1) then do say z||"="||p.a||"*"||p.b||"*"||p.c lineout("rcrmn___.txt",z||" = "||p.a||"*"||p.b||"*"||p.c) end t=0 end end end Das Programm kann man modifizieren, indem man die Anzahl der Primzahlen erhöht. Für Carmichael-Zahlen mit mehr als drei Primfaktoren muss man die Anzahl der Schleifen erhöhen, und die Prüfroutinen erweitern. === Carmichael-Zahlen nach Chernick === Die Carmichel-Zahlen nach Chernick sind nur ein kleiner Ausschnitt aus den Carmichael-Zahlen. Sie lassen sich durch folgende Formel generieren: <math>M_3(n) = (6n+1)\cdot (12n+1)\cdot (18n+1)\ </math>. Es gibt dabei allerdings eine Einschränkung: * Jeder der drei Faktoren <math>(6n+1)\ </math>, <math>(12n+1)\ </math> und <math>(18n+1)\ </math> muss eine Primzahl sein. Halt, hier gibt es eine Ausnahme: Wenn ein einziger der drei Faktoren selbst eine Carmichael-Zahl ist, so ist <math>M_3(n)\ </math> trotzdem eine Carmichael-Zahl. Da alle Carmichael-Zahlen quadratfrei sind, ist dann auch jeder der drei Faktoren <math>(6n+1)</math>, <math>(12n+1)\ </math> und <math>(18n+1)\ </math> quadratfrei - auch wenn einer davon eine Carmichael-Zahl ist. Da die drei Faktoren paarweise teilerfremd sind, ist auch der Ausdruck <math>M_3(n) = (6n+1)\cdot (12n+1)\cdot (18n+1)\ </math>quadratfrei. Alle gültigen <math>n\ </math> für Carmichael-Zahlen nach Chernick enden im Dezimalsystem mit einer 0, einer 1 einer 5 oder einer 6. l.1 = 0 l.2 = 1 l.3 = 5 l.4 = 6 do i = 0 to 1000 do j = 1 to 4 n=i+l.j m=(6*n+1)*(12*n+1)*(18*n+1) if((primzahl(6*n+1)=true) && (primzahl(12*n+1)=true) && (primzahl(18*n+1)=true)) then do say m||"="||(6*n+1)||"*"||(12*n+1)||"*"||(18*n+1) lineout("rcrmn___.txt",m||" = "||(6*n+1)||"*"||(12*n+1)||"*"||(18*n+1)) end end end Das Programm lässt sich entsprechend der Formeln für Carmichael-Zahlen nach Chernick, mit mehr als drei Primzahlfaktoren, nach der entsprechenden Formel erweitern. == Absolute Eulersche Pseudoprimzahlen == Das Programm, mit dem oben Carmichael-Zahlen erzeugt werden, kann man mit einer kleinen Modifikation dazu bringen, absolute eulersche Pseudoprimzahlen zu erzeugen: zax=(z-1)/2 pz=(zax // ax) + (zax // bx) + (zax // cx) :statt zax=(z/p.a)-1 zbx=(z/p.b)-1 zcx=(z/p.c)-1 pz=(zax // ax) + (zbx // bx) + (zcx // cx) Das hierbei alle absoluten eulerschen Pseudoprimzahlen ausgegeben werden, ist eine andere Frage. Aber die Zahlen, die ausgegeben werden, sind absolute Eulersche Pseudoprimzahlen. == Fermatsche Pseudoprimzahlen == Bei Primzahlen ist im Gegensatz zu fermatschen Pseudoprimzahlen und Carmichael-Zahlen die Kongruenz <math>a^{n-1} \equiv 1 \pmod n</math> für '''alle''' Basen <math>a\ </math> mit <math> 2 \le a < n</math> erfüllt. Carmichael-Zahlen unterscheiden sich von anderen fermatschen Pseudoprimzahlen dadurch, dass der Anteil der Primbasen <math>a\ </math> mit <math> 2 \le a < n</math>, für die <math>a^{n-1} \equiv 1 \pmod n</math> ist, größer als 97% ist. Der Einfachheit halber benutzt man als Basen <math>a\ </math> nur die Primzahlen, die kleiner als die zu testende Zahl <math>n\ </math> sind. Das Programm testet also zu jeder Primbasis <math>a\ </math>, ob eine Zahl <math>n\ </math> die Bedingung <math>a^{n-1} \equiv 1 \pmod n</math> erfüllt. Erfüllt sie sie, wird die Variable tm1 = 1 gesetzt und gleichzeitig die Zählvariable tm3 um eins erhöht. Erfüllt die Zahl <math>n\ </math> die Bedingung nicht, wird die Variable tm2 = 2 gesetzt. Nach Ablauf der Tests wird die Variable gtm = tm1 + tm2 gesetzt. Aus gtm und dtm lässt sich ablesen, ob es sich bei der Zahl <math>n\ </math> um eine Primzahl, eine fermatsche Pseudoprimzahl oder eine Carmichael-Zahl handelt. {| border=1 |gtm ||dtm ||Art der Zahl |- |1 || - ||Primzahl |- |3 ||tm3 < dtm ||fermatsche Pseudoprimzahl |- |3 ||tm3 >= dtm ||Carmichael-Zahl |} /* Ein Programm zur Ermittlung von Primzahlen, Pseudoprimzahlen */ /* und Carmichaelzahlen */ /* Ein langsames Programm */ #include <stdio.h> int primfeld[400000]; int tst[400000]; unsigned long modup(unsigned long base, unsigned long y) { unsigned long exponent, product = 1; exponent = y-1; while (exponent) { /* wenn Exponent gerade ist, Basis quadrieren und Exponent halbieren bis der Exponent ungerade ist: */ while (exponent & 1 == 0) { exponent >>= 1; base = (base * base) % y; } /* Exponent ungerade (immer nach obiger Schleife): Produkt *= Basis ... %= y, Exponent dekrementieren: */ product = (product * base) % y; exponent--; } return(product); } int main() { unsigned long index, index2, anzp=1, m, dtm; int tm1, tm2, tm3, gtm; FILE *prim; FILE *pspr; FILE *cnbr; prim = fopen("prim.dat","w"); pspr = fopen("pspr.dat","w"); cnbr = fopen("cnbr.dat","w"); primfeld[1] = 2; for(index=3;index<=4000000;index++) { tm1 = 0; tm2 = 0; tm3 = 0; /* faktor$ = "" */ for(index2=1;index2<=anzp;index2++) { m = modup(primfeld[index2], index); tst[index2] = m; if (m == 1) { tm1 = 1; tm3++; } if ( m != 1) { tm2 = 2; } } gtm = tm1 + tm2; if (gtm == 1) { anzp++; primfeld[anzp] = index; fprintf(prim,"%d \n",index); } if (gtm == 3) { dtm=anzp/2; if (tm3 < dtm) { fprintf(pspr,"%d: ",index); for(index2=1;index2<=anzp;index2++) { m = modup(primfeld[index2], index); if (m == 1) { fprintf(pspr,"%d, ",primfeld[index2]); } } fprintf(pspr,"\n",0); } if (tm3 >= dtm) { fprintf(pspr,"%d: ",index); for(index2=1;index2<=anzp;index2++) { m = modup(primfeld[index2], index); if (m != 1) { fprintf(cnbr,"N%d, ",primfeld[index2]); } } fprintf(cnbr,"\n",0); } } } fclose(prim); fclose(pspr); fclose(cnbr); return 0; } Nachteil des Programms: Es wird schnell sehr langsam. Außerdem ist es für einige Pseudoprimzahlen blind. So gibt es keine Primzahlen <math>p < 39</math>, zu denen die 39 pseudoprim ist. i6k4xs8qz456522nlii2fmdcnc4ba6v 0 23256 1093475 1020993 2026-11-06T15:21:05Z Hardy42 1911 /* Optimierungen eines simplen Durchgehens aller Zahlen und ihrer echten Vielfachen */ 1093475 wikitext text/x-wiki {{Navigation_Buch|Primzahlen|Primzahlen}} == Sieb des Eratosthenes == Die Spezifikation des Algorithmus in Pseudocode ist in der [[w:Sieb des Eratosthenes#Implementierung|Wikipedia]] zu finden. === Prinzip === Das '''Sieb des Eratosthenes''' ist ein Verfahren, um alle natürlichen Zahlen (ferner nur mit „Zahlen“ bezeichnet) bis zu einer vorgegebenen Zahl ''n'', einschließlich ''n'' selbst, auf Primalität zu testen (zu Primzahlen siehe auch die Seite [[Algorithmensammlung: Zahlentheorie: Primfaktorisierung|Primfaktorisierung]]) und, sofern sie prim sind, auszugeben. Das Sieb des Eratosthenes "zäumt das Pferd von hinten auf": Es werden alle Zahlen bis ''n'' (inklusive) größer als 1 hintereinander aufgeschrieben. Dann werden die Zahlen der Reihe nach durchgegangen. Die echten Vielfachen der aktuellen Zahl (für 3 z. B. 6, 9, 12, ...) werden durchgestrichen. Übrig bleiben die Zahlen <math> x_i </math>, die keine echten Vielfachen einer Zahl echt zwischen 1 und <math> x_i </math> sind. Dies sind sämtliche Primzahlen bis zur vorgegebenen Grenze. === Beispiel === Sei <math> n = 10 </math>. Hintereinander werden die Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 aufgeschrieben. Die 2 wird betrachtet und ihre echten Vielfachen weggestrichen: 2, 3, <s>4</s>, 5, <s>6</s>, 7, <s>8</s>, 9, <s>10</s>. Dasselbe für die 3: 2, 3, <s>4</s>, 5, <s>6</s>, 7, <s>8</s>, <s>9</s>, <s>10</s>. Übrig sind noch 2, 3, 5 und 7. Dies sind, wie wir überprüfen können, alle Primzahlen im betrachteten Intervall, sodass hier abgebrochen werden kann. Schritte, um das Verfahren zu optimieren, damit der Algorithmus wirklich schon so früh endet, werden im nächsten Absatz besprochen. === Optimierungen eines simplen Durchgehens aller Zahlen und ihrer echten Vielfachen === Es müssen nur die Zahlen bis einschließlich <math> \lfloor \sqrt n \rfloor </math> betrachtet werden, wobei <math> \lfloor \rfloor </math> den ganzzahligen Anteil (die Abrundungsfunktion) symbolisiert. Denn sei <math>n > x > \lfloor \sqrt n \rfloor</math>, dann gilt für die Vielfachen: <math>\ p \cdot x \le n \Longleftrightarrow p \le \frac{n}{x} < \sqrt n </math>, alle Vielfachen von <math>x</math> wurden also bereits als Vielfache von <math>2 \le p < \sqrt n\ </math>gestrichen. Bereits gestrichene Zahlen müssen nicht mehr betrachtet werden, da ihre echten Vielfachen garantiert durch einen echten Teiler der gestrichenen Zahl teilbar sind. Weiter optimieren kann man unter anderem, indem man das Wegstreichen der echten Vielfachen einer Zahl <math>p</math> erst bei <math> p^2 </math> beginnt. Denn alle Vielfachen <math> < p^2 </math> sind von der Form <math> y \cdot p </math> mit <math> y < p </math>. Damit wurden sie aber als ganzzahlige Vielfache einer kleineren Zahl schon überprüft. === Komplexitätstheoretische Beschreibung === Durch diese und weitere Optimierungen lässt sich die Laufzeit auf <math> O(n \log{\log{n}}) </math> reduzieren. Beim Vergleich verschiedener Implementierungen und Varianten des Algorithmus ist die Ordnung der Laufzeit aber nur bedingt von Nutzen, da sie Konstanten außer Acht lässt. Bei diesem speziellen Problem wird der Sachverhalt bei einem Vergleich verschiedener Varianten auch bei großen ''n'' offensichtlich. Die Speicherplatzkomplexität lässt sich auf <math> O(\frac{\sqrt{n}}{\log{n}}) </math> drücken. == Haskell == Ein einfaches Primzahlsieb in der Programmiersprache [[w:Haskell (Programmiersprache)|Haskell]] implementiert. Der Speicherbedarf des Algorithmus ist in <math>O(p~\log_2 b)</math> Bits, wobei <math>p</math> die Anzahl der auszugebenen Primzahlen und <math>b</math> die größte auszugebene Primzahl bezeichnet. <syntaxhighlight lang="haskell"> > module Sieve > where > sieb :: [Int] -> [Int] > sieb (l:ls) = l:sieb[x | x <- ls, mod x l /= 0] > take_primes n = take n $ sieb [2..] </syntaxhighlight> Ausführen via <syntaxhighlight lang="haskell"> # hugs Sieve oder für eine schnellere Version # ghc -O2 --make Sieve.lhs # ghci Sieve </syntaxhighlight> Im Haskell-Interpeter zur Ausgabe der beispielsweise ersten 100 Primzahlen: <syntaxhighlight lang="haskell"> Prelude Sieve> take_primes 100 </syntaxhighlight> ==[[Gambas]]== Siehe hierzu [[Gambas:_Rechnen#Primzahlen_berechnen]] ==Visual Basic 3== Dieses Programm liefert die Primzahlen von 1 bis 2100000000 Hinter dem Befehl <code>Berechnen</code> steht der unten folgende Code. Der Code wurde mit vielen Rem Kommentaren versehen. Sie können die rem Kommentare herauswerfen und wahrscheinlich auch die Variable j streichen. Versuchen Sie den Fehler bei der Print Ausgabe mit der Startzahl 1-5 zu eliminieren. ===Code=== <syntaxhighlight lang="vb"> Sub Befehl1_Click () Cls j = 1 Rem Zähler j für die ungeraden Zahlen die keine Primzahlen sind Rem ist wahrscheinlich überflüssig m = text1.Text Rem holt sich aus dem Textfeld1 die erste Zahl zum Testen If m / 2 = Int(m / 2) Then m = m - 1 Rem Falls diese Zahl ohne Rest durch 2 teilbar ist, also eine gerade Zahl ist Rem geht das Programm noch eine Zahl rückwärts um eine ungerade Zahl zu bekommen If text1.Text = "" Then m = 6 Rem Falls keine Startzahl eingegeben wurde wird die Startzahl m = 6 vergeben. For m = m To m + 1000 Step 2 Rem Hauptschleife Rem Die nächsten 1000 ungeraden Zahlen in einer Schleife durchlaufen lassen Rem m ist die Variable für die ungeraden Zahlen f = 1 Rem f ist die Variable für die Faktorentestung, Rem m teilbar durch f oder nicht n = m Rem n = ist die Testzahl, bei der noch nicht klar ist ob sie eine Primzahl ist Do While f < Sqr(n) Rem solange der Teiler f kleiner als die Wurzel Rem aus der Testzahl n ist, muß getestet werden f = f + 2 Rem Teiler von f = 1 beginnend um jeweils 2 vermehren , 3,5,7,9 etc erster Test also mit f = 3 Do While n / f = Int(n / f) Rem Teiler f testen solange bis n / f ohne Rest teilbar Rem Print "m = "; m; " n = "; n; " f = "; f; "j = "; j Rem Wenn Sie bei der letzten Zeile das Rem herauswerfen , Rem erkennen Sie die Bedeutung der Variablen j = j + 1 Rem j ist ein Zähler für die ungeraden Zahlen die keine Primzahlen sind Rem j ist wahrscheinlich überflüssig n = Int(n / f) Rem Die Testzahl n verkleinern auf die Zahl n/f Loop Loop A$ = " 1" + Chr(13) + " 2" + Chr(13) + " 3" If m < 7 Then Print A$ Rem Chr(13) = Zeilenwechsel Rem Am Anfang zwischen 1 und 5 gibt es Probleme mit der Ausgabe Rem deswegen werden die ersten drei Zeilen ersetzt durch A$ If n = m Then b = b + 1: Print n: text1.Text = n Rem Wenn die Testzahl n nicht teilbar war durch f Rem ist es eine Primzahl und kann ausgedruckt werden If b = 30 Then m = m + 1000 Rem b ist die Zeilennummer, Rem bis Zeile b = 30 werden die berechneten Primzahlen ausgegeben Rem bei Zeile 30 wird die Schleife abgebrochen, Rem da m größer als m + 1000 gesetzt wird Rem wenn ihr Bildschirm die Zahlen nicht mehr komplett anzeigt Rem können Sie für b einen anderen Wert als 30 nehmen Next m Rem Hauptschleife durchlaufen , rem wieder Start am Beginn der Hauptschleife End Sub </syntaxhighlight> ==Java== === Möglichkeit 1 === Hier ein möglicher Quelltext eines Java-Programms zur Ausgabe der Primzahlen von 1-100 (Der Bereich kann natürlich beliebig erweitert werden). Die Primzahlen werden dann in der Konsole ausgegeben. <syntaxhighlight lang="Java"> public class Primzahlen { public static void main(String[] args) { int limit = 100; int zahl; // Zu überprüfende Zahl int zaehler; // Hilfsvariable (möglicher Teiler von zahl) boolean primzahl; // Hilfsvariable, ob die aktuelle Zahl eine Primzahl ist // zahl <= x ist der zu überprüfende Zahlenraum // Beginn bei 2, weil 1 per Definition keine Primzahl ist for (zahl = 2; zahl <= limit; zahl++) { // solange wir für zahl keinen Teiler finden, gehen wir davon aus, // dass es eine Primzahl ist primzahl = true; // zaehler ist ein möglicher Teiler. Mögliche nicht-triviale Teiler // liegen im Bereich 2 bis zahl/2 (abgerundet), wenn x aber Teiler // von Zahl und größer als Wurzel(zahl), ist zahl/x < Wurzel(zahl), // sodass diese Grenze genügt. for (zaehler = 2; zaehler < Math.sqrt(zahl) + 1; zaehler++) { if (zahl % zaehler == 0) { // zaehler ist ein nichttrivialer Teiler von zahl und damit // zahl keine Primzahl. Weitere Teiler müssen nicht geprüft // werden und damit kann die Schleife abgebrochen werden. primzahl = false; break; } } if (primzahl) { // Keine Teiler gefunden -> zahl2 ist eine Primzahl System.out.println(zahl+" ist eine Primzahl"); } } } } </syntaxhighlight> === Möglichkeit 2 === Dies ist eine lauffähige Implementierung der brute-force-Version des Siebes von Eratosthenes mit leichten Optimierungen. Die main()-Funktion lässt sich z. B. zum Testen nutzen. Zuerst wird eine Liste erzeugt, die Map-Einträge enthält, welche eine Zahl und ihren Status (durchgestrichen?) repräsentieren.<br /> Zur Erzeugung eines einzelnen Map-Eintrages brauchte ich das Objekt java.util.AbstractMap.SimpleEntry<K, V>, da Map.Entry als Interface keinen Konstruktor besitzt. Dies ist die eleganteste und schnellste Lösung, ansonsten hätte ich ein komplettes Set mit den Werten erzeugen, dessen Einträge durch Iteration über Set.entrySet() an eine Liste anhängen und diese dann sortieren müssen (bestmögliche Komplexität einer vergleichsbasierten Sortierung: <math>O(n \log{n}) </math>), da selbst bei Maps, die SortedMap implementieren, entrySet() nicht zwingend sortiert ist.<br /> Nach Abschluss der Durchstreich-Phase werden die noch nicht durchgestrichenen Zahlen in eine Liste geschrieben und als Ergebnis zurückgegeben. <syntaxhighlight lang="java"> // Benötigt Java 8! import java.util.*; public class Primzahlgenerator { public static void main(String[] args){ } public static List<Integer> siebDesErasthotenes(int obereGrenze){ // Prüft sämtliche ganzen Zahlen echt zwischen 1 und der oberen Grenze sowie die obere Grenze selber auf Primalität List<AbstractMap.SimpleEntry<Integer, String>> kandidaten = new ArrayList<>(); List<Integer> ergebnis = new ArrayList<Integer>(); String gestrichen = "gestrichen"; String unberuehrt = "unberührt"; for(int i = 2; i <= obereGrenze; i++){ kandidaten.add(new AbstractMap.SimpleEntry<>(i, unberuehrt)); } int element; int index; for (int i = 0; i < kandidaten.size() / 2 + 1; i++){ if (!(kandidaten.get(i).getValue().equals(gestrichen))) { element = kandidaten.get(i).getKey(); index = 2 * element - 2; // Index des nächsten Vorkommens while (index < kandidaten.size()) { (kandidaten.get(index)).setValue(gestrichen); // ArrayList.get in O(1)! } } } for (Map.Entry<Integer, String> eintrag: kandidaten){ if (eintrag.getValue() == unberuehrt) { ergebnis.add(eintrag.getKey()); } } return ergebnis; } } </syntaxhighlight> ==C#== Folgende eigenständig lauffähige Konsolenanwendung (.NET 2.0) gibt alle Primzahlen bis n nach dem Sieb des Eratosthenes aus: <syntaxhighlight lang="Csharp"> using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace eratosthenes { class Program { static void Main(string[] args) { int n = 100; bool[] prime = new bool[n]; //Zuerst alle Zahlen von 2 bis n als Primzahl markieren for (int i = 2; i < n; i++) { prime[i] = true; } //Einzelner Abschnitt { //Wir wollen bei 2 anfangen int i = 2; //Alle Produkte des Teilers i //angefangen bei 2, bis kleiner n durchlaufen //Wenn n = 50, dann ist bei i = 7 Schluss, weil das Produkt = 49 ist for (; i * i < n; i++) { //Wenn die Zahl im Array als Primzahl markiert ist //Was bei den ersten beiden 2 und 3 definitiv der Fall ist if (prime[i]) { //Primzahl bis Wurzel(n) ausgeben Console.WriteLine(i); //Alle weiteren Produkte des Teilers i //angefangen beim Produkt i * i bis kleiner n durchlaufen //j wird mit i beim nächsten Durchlauf (Vielfaches) addiert for (int j = i * i; j < n; j += i) { //Dies kann unmöglich eine Primzahl sein //weil es ein Vielfaches von i ist. prime[j] = false; } } } //Alle Primzahlen ausgeben for (; i < n; i++) { if (prime[i]) { Console.WriteLine(i); } } } Console.ReadLine(); } } } </syntaxhighlight> ==Delphi== Folgende Konsolenanwendung gibt mit Hilfe der Funktion <code>isPrim()</code> von einer bestimmten Zahlenmenge die Primzahlen aus. <syntaxhighlight lang="Delphi"> program Primzahl; {$APPTYPE CONSOLE} uses SysUtils; function IsPrim(AInteger: Integer): boolean; var i: Integer; begin result := true; if (AInteger <= 1) then //Wenn Zahl kleiner ist als 2: keine Primzahl begin result := false; exit; //Funktion beenden end; for i := 2 to Round(Sqrt(AInteger)) do //Wenn eine Zahl n von 2 bis Wurzel(n) begin // nicht teilbar ist, ist sie eine Primzahl if AInteger mod i = 0 then //mod: Modulo = Rest begin result := false; exit; end; end; end; var a, b: Integer; i: Integer; begin Write('von: '); Readln(a); //a abfragen Write('bis: '); Readln(b); //b abfragen for i := a to b do if IsPrim (i) then Writeln(i); //wenn i eine Primzahl ist: i ausgeben Readln; end. </syntaxhighlight> == Python == Theoretisch ein endloser Primzahl-Generator – nur durch die Hardware begrenzt –, aber langsamer als Siebe. Er nutzt den [[w:Satz von Wilson|Satz von Wilson]] in umgestellter Form. Der Programmlauf wird durch {{Taste|Strg-C}} gestoppt. <syntaxhighlight lang="Python"> #!/usr/bin/python # -*- coding: utf-8 -*- import sys, time def pgen(): ''' ... generates the sequence of all primes: 2,3,5,7,11 ... ''' p=2 f=1 try: ts2=time.time() while(True): if f%p%2: sys.stdout.write(str(p)+"\n") p+=1 f*=(p-2) except: # raise KeyboardInterrupt .. Ctrl-C ts2-=time.time() sys.stderr.write("time: "+str(round(-ts2,3))+" sec\n") def main(): pgen() sys.exit() if __name__=="__main__": main() </syntaxhighlight> <!-- St.Wittum BERLIN Germany --> == Python 2 == Dieses Script bittet den Benutzer zuerst nach einer Obergrenze und gibt danach alle Primzahlen bis zu dieser Grenze aus. <syntaxhighlight lang="Python"> #!/usr/bin/env python # -*- coding: utf-8 -*- def main(): # Frage den Benutzer nach einer Obergrenze bis zu der gesucht werden soll while True: try: obergrenze = int(raw_input('Bitte geben Sie eine Obergrenze ein: ')) break except ValueError: print 'Dies ist keine gültige Obergrenze. Bitte verwenden Sie eine Ganzzahl!' # Jede Zahl zwischen 1 und obergrenze wird zuerst als prim angenommen zahlen = [True]*(obergrenze+1) # Da 0 und 1 keine Primzahlen sind, werden sie auf False gesetzt zahlen[0] = False zahlen[1] = False i = 2 while i*i <= obergrenze: if zahlen[i]: # Die Zahl i ist als prim markiert # Streiche alle Vielfachen von i for k in range(i*i,obergrenze+1,i): zahlen[k] = False i = i+1 # Ausgabe aller gefundenen Zahlen for i, v in enumerate(zahlen): if v: print i, 'ist prim.' return 0 if __name__ == '__main__': main() </syntaxhighlight> == C++ == Das Programm fragt zunächst nach einer Obergrenze und gibt dann alle Primzahlen bis zu dieser aus. <syntaxhighlight lang="cpp"> #include<iostream> #include<cmath> using namespace std; int main(void){ unsigned limit; cout << "Please insert upper limit.\n"; cin >> limit; bool *Stroke = new bool[limit+1]; Stroke[0]=1; Stroke[1]=1; for(unsigned i=2; i<=limit; ++i) Stroke[i] = 0; unsigned prime=2; while(pow((double)prime,2.0)<=limit){ for(unsigned i = (int)pow((double)prime,2.0); i<=limit; i+=prime){ Stroke[i]=1; } do ++prime; while(Stroke[prime]); } cout << "\nPrimes less or equal " << limit << " are:\n"; for(unsigned i=0; i<=limit; ++i){ if(!Stroke[i]) cout << i << endl; } delete[] Stroke; return 0; } </syntaxhighlight> Eine andere Variante, die neuere Sprachfeatures (Lambdas, automatische Typableitung - C++11) sowie Container und Algorithmen der Standard Template Library (STL) benutzt, ist die nachfolgende. Dabei wird das Erase-Remove-Idiom benutzt: Der STL-Algorithmus remove_if schiebt alle Elemente des std::vector-Containers, die das durch ein Lambda-Konstrukt ([p](auto q){ ... }) formulierte Teilbarkeits-Kriterium erfüllen, ans Ende des Containers und gibt einen Iterator, der auf den Anfang des zu löschenden Bereiches zeigt, zurück. Mit candidates.erase(..., end(candidates)) schließlich wird der gesamte Bereich gelöscht (was intern lediglich eine Änderung der Längen-Variablen des Containers bedeutet). <syntaxhighlight lang="cpp"> #include <iostream> #include <iterator> #include <vector> #include <algorithm> #include <numeric> using namespace std; vector<unsigned> primes_upto(unsigned limit) { vector<unsigned> candidates(limit - 1); iota(begin(candidates), end(candidates), 2); // candidates = 2, 3, ..., n auto const upper_limit = (limit + 1) / 2; // ceil(limit/2) for (auto candidate = begin(candidates); // vector<unsigned>::iterator *candidate <= upper_limit; ++candidate) { auto const p = *candidate; // 'erase-remove idiom': // remove_if(...) moves all multiples of p to the end and returns // an iterator to the beginning of the (re)moved part; // candidates.erase(..., end(candidates)) actually deletes these values candidates.erase(remove_if(candidate + 1, // don't remove p itself end(candidates), [p](auto q){ // capture p by value return (q % p == 0); }), end(candidates)); } return candidates; // copy elision guaranteed by C++ standard } int main() { unsigned limit; cout << "Please insert upper limit.\n"; cin >> limit; auto primes = primes_upto(limit); for (auto p : primes) cout << p << " "; cout << endl; } </syntaxhighlight> == R == Limit heißt die Obergrenze, bis zu der alle Primzahlen ausgegeben werden. <syntaxhighlight lang="html4strict">sieb<-function(limit){ (vek<-2:limit)[1==apply(0==outer(vek, vek, "%%"), 1, sum)] # Primzahlen bis limit # %% Division mit Rest oder modulo } </syntaxhighlight> == Go == Hier ein möglicher Quelltext eines Go-Programms zur Ausgabe der Primzahlen von 1-1000 (Der Bereich kann natürlich beliebig erweitert werden). Die Primzahlen werden dann in der Console ausgegeben. Dieses Programm kann auf der offiziellen Golang-Seite ausprobiert werden. Die Erklärungen sind identisch mit denen vom Java-Quellcode. <syntaxhighlight lang="Go"> package main import "math" func main () { var limit uint = 1000 var zahl, zaehler uint var primzahl bool for zahl = 2; zahl <= limit; zahl++ { primzahl = true for zaehler = 2; zaehler <= zahl/2; zaehler++ { if math.Mod(float64(zahl), float64(zaehler)) == 0 { primzahl = false break } } if primzahl == true { println(zahl, " ist eine Primzahl") } } } </syntaxhighlight> hzxnrwcjqqes342wf7yq6mx53jgkkfp 0 65711 1093476 1092437 2026-11-06T18:11:15Z ~2026-59001-07 117177 /* Grundzutaten */ 1093476 wikitext text/x-wiki <noinclude>{{:Kochbuch/ Navigationsleiste/ Ebenen}}</noinclude> {{:Kochbuch/_Vorlage/_RezeptBox |Kategorie = <!-- Name einer existierenden Kategorie --> |Portionen = 3-4 |Menge = <!-- Mengenangabe in Gewicht oder Litern --> |Zubereitungszeit = 20 Minuten |Zeit bis Servierung = + Kühlzeit |Schwierigkeitsgrad = 2 |Brennwert = <!-- Energiewert in Joule oder Kilojoule (je 100g) --> |Kohlenhydrate = <!-- Menge an Kohlenhydraten in Gramm (je 100g) --> |Eiweiß = <!-- Menge an Eiweißen in Gramm (je 100g) --> |Fett = <!-- Menge an Fetten in Gramm (je 100g) --> |Vegetarisch = <!-- Nein / Ja / Vegan --> |Alkohol = <!-- Nein / Ja --> |Werkzeuge = <!-- Benötigte Utensilien --> }} Dieses Rezept beschreibt Pudding, wie man ihn aus dem üblichen Puddingpulver herstellt. Da diese Fertigmischungen nur aus Stärke und Aromastoffen bestehen, kann man getrost darauf verzichten und die Zutaten selbst zusammenstellen. ==Grundzutaten== *0,5 l Milch *40–45 g Speisestärke *50 g Zucker *optional: 1 Päckchen Vanille- oder Vanillinzucker, dann den Zucker um 10 g reduzieren *1 Prise Salz ==Grundzubereitung== ===Glatter, sturzfähiger Pudding=== *Stärke, Zucker und Salz in einer Tasse mit der Gabel vermischen, mit etwa 6 EL kalter Milch klumpenfrei glattrühren *Restliche Milch kurz aufkochen, vom Feuer ziehen, die Stärkemischung mit dem Schneebesen unterziehen *Erneut aufs Feuer stellen und unter Rühren gut 1 Minute kochen lassen *---(Alle Zutaten kalt in einen Topf geben und unter rühren kurz aufkochen lassen)--- *In eine mit kaltem Wasser ausgespülte Schale oder Sturzform gießen und einige Stunden kühl stellen (zum Stürzen mindestens 4 Stunden) Stürzen ===Cremepudding=== Zusätzlich zu oben: *In die Stärkemischung 1 Eigelb rühren *1 Eiweiß zu Schnee schlagen *Eischnee in den fertigen, noch heißen Pudding unterheben Durch das Ei erhält der Pudding auch eine gelbere Farbe. ==Varianten== Es werden nur die Abweichungen bzw. Ergänzungen zum Grundrezept genannt. ===Schokoladenpudding=== *20–30 g echtes Kakaopulver (schwach oder stark entölt) mit der Stärke und dem Zucker vermischen Kann mit gegen Ende untergezogenen Schokoladenraspeln ergänzt werden. ===Vanillepudding mit echter Vanille=== *1 Vanillestange längs halbieren, das Mark mit einem Teelöffel herauskratzen *Mark in die Milch geben, die Stange mitkochen und herausnehmen Dieser Pudding ist Milchfarben und nicht gelb, wie der aus Fertigmischung hergestellte, da diese normalerweise gelbe Farbstoffe enthalten. Um Vanillepudding eine gelbliche Farbe zu verleihen, kann in die Milch eine Messerspitze Kurkuma gegeben, oder ein [[Kochbuch/_Pudding_(Grundrezept_einfach)#Cremepudding|Cremepudding mit Ei]] zubereitet werden. ===Mokkapudding=== *Etwa 2–3 TL Instantkaffee in wenig heißem Wasser (oder heißer Milch) auflösen und nach dem Kochen in den Pudding rühren. Alternativ 2–3 Tassen Espresso ===Karamellpudding=== *Stärke ohne Zucker glattrühren *Den Zucker in einer trockenen Pfanne schmelzen, bis er eine kräftig goldgelbe bis leicht goldbraune Farbe annimmt *Etwas heißes Wasser dazugeben und den Karamell darin bei mäßiger Hitzezufuhr auflösen *Den Karamellsirup mit der Milch erhitzen ===Mandelpudding=== *etwa 60 g geriebene Mandeln mit der Milch aufkochen Wenige Tropfen Rosenwasser verleihen eine an Marzipan erinnernde Note. ===Apfel- / Saftpudding=== *Statt Milch Apfelsaft oder andere Fruchtsäfte verwenden. *Je nach Pektingehalt des Saftes kann die Stärkemenge um wenige Gramm reduziert werden, ansonsten wird der Pudding meist etwas fester. ==Tipps== Wer sich an der beim Erkalten entstehenden Haut stört, kann deren Bildung auf verschiedene Weise verhindern: *Einen Teelöffel Wasser auf den heißen Pudding in der Schüssel geben und die Oberfläche glatt mit Frischhaltefolie bedecken. Dabei wird der Pudding etwas weniger fest und lässt sich nicht stürzen. *Einen großen Teller oder Topfdeckel auf die Schüssel legen. Zwischen Teller und Schüssel ein Stück Küchenpapier oder ein Küchenhandtuch klemmen, damit das entstehende Kondenswasser nicht auf den Pudding tropft. Dabei wird der Pudding etwas weniger fest und lässt sich nicht stürzen. *Den heißen Pudding mit wenig Zucker bestreuen. Der bindet einen Teil des verdampfenden Wassers, wodurch sich kleine Tropfen Zuckerlösung auf der Oberfläche bilden, die das Austrocknen verhindern. Die Oberfläche wird dadurch etwas unansehnlich. [[Kategorie:Kochbuch/ Alle Rezepte|Pudding]] [[Kategorie:Kochbuch/ Pudding|Pudding]] <noinclude>{{:Kochbuch/ Navigationsleiste/ Ebenen}}</noinclude> cu2yboo2o4axtwp6ehk0xfuzh9n6vak 0 100394 1093485 1078130 2026-11-06T22:44:18Z ~2026-57574-44 117132 1093485 wikitext text/x-wiki {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Massey Ferguson|HERSTELLER= Massey Ferguson}} {{:Traktorenlexikon: Modell-Infobox | HERSTELLER = AGCO - Massey Ferguson | MODELLREIHE = MF 4700 | MODELL = MF 4708 | BILD = Lanouaille Massey Ferguson 4708.jpg | BILDBESCHREIBUNG = MF 4708 ohne Kabine | BAUWEISE = | PRODUKTIONSBEGINN = 2015 | PRODUKTIONSENDE = | STÜCKZAHL = | EIGENGEWICHT = 3900 | LÄNGE = | BREITE = | HÖHE = | RADSTAND = 2250 | BODENFREIHEIT = | SPURWEITE = | SPURWEITE VORNE = | SPURWEITE HINTEN = | WENDERADIUS MIT LENKBREMSE = | WENDERADIUS OHNE LENKBREMSE = | BEREIFUNG VORNE = | BEREIFUNG HINTEN = 420/85 R 34 | LEISTUNG KW = 62,5 | LEISTUNG PS = 85 | NENNDREHZAHL = 2200 | ZYLINDER = 3 | HUBRAUM = 3300 | DREHMOMENTANSTIEG = | KRAFTSTOFF = Diesel und AdBlue | KÜHLSYSTEM = Wasser | ANTRIEBSTYP = Allrad | GETRIEBE = DynaSynchroshift | HÖCHSTGESCHWINDIGKEIT = 40 | KATEGORIESORTIERUNG = }} Der MF 4708 ist das mittlere der 3 Modelle der MF 4700-Serie von [[Traktorenlexikon: Massey Ferguson#MF 4700|Massey Ferguson]]. Alle Angaben beziehen sich auf die Kabinenversion. ==Motor== Der 3,3 Liter-Dreizylinder-AGCO-Power-Motor leistet beim MF 4708 85 PS. ==Kupplung== ==Getriebe== Das 12/12-Dyna-Synchroshift-Getriebe setzt sich aus 6 Gängen und 2 Gruppen zusammen. Das Dyna 2 Getriebe bietet 6 Gänge mit je einer Lastschaltstufe und 2 Gruppen. Optional mit Kriechgang ==Geschwindigkeiten vor- und rückwärts== ==Zapfwelle== Es gibt eine 540er / 540Eco oder eine 540 / 1000er Zapfwelle. Auch eine 1000er Frontzapfwelle ist erhältlich. ==Bremsen== ==Achsen== ==Lenkung== ==Hydrauliksystem und Kraftheber== Die Kat II Heckhydraulik stemmt 3000 kg. ==Steuergeräte== ==Elektrische Ausrüstung== ==Maße und Abmessungen== ==Bereifung== standart HA 420/85R30 VA 320/85R24 ==Füllmengen== 120 Liter Diesel und 15 Liter AdBlue. ==Verbrauch== ==Kabine== Es gibt den Traktor in Kabinen- und Plattformversion. ==Sonderausrüstung== ==Literatur & Weblinks== {{commonscat|Massey Ferguson 4708}} http://www.masseyferguson.de/mf4700.aspx <references /> {{:Traktorenlexikon: Navigation |HERSTELLER-LINK=Traktorenlexikon: Massey Ferguson|HERSTELLER= Massey Ferguson}} cvki2z1ta50cx829s126kygje7oeo6l 0 117774 1093473 1082727 2026-11-06T14:40:06Z Santiago 19191 /* Die Reaktion der Kirche und die Konsequenzen */ ::in:: hinzugefügt 1093473 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|Geschichte|Religion}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">Giordano BRUNO und das christliche Glaubensbekenntnis </span></div>== Ein Beitrag zur Kirchengeschichte der Renaissance. Da die Verurteilung Giordano BRUNOS <span style="color:#00B000">(1548-1600)</span> durch die katholische Kirche, die zu seinem Feuertod geführt hat, oft als historisches <span style="color:#FF6000">„Fehlurteil“</span> der Kirche kolportiert wird, soll mit dem folgenden historisch/dogmatischen Lehrwerk eine Klarstellung und eine Umkehr in derartigen Beurteilungen BRUNOS eingeleitet werden; verbunden mit einer, sich daraus ergebenden, theologischen Schlussfolgerung über die Sonderstellung von uns Menschen im Kosmos. <span style="color:#00B000">(‚Grüne‘ Textpassagen in Klammern sind Erklärungen zum Haupttext oder weiterführende Exkurse zum Thema. ‚Schlüsselbegriffe‘, bzw. ,-Sätze‘ zum Thema sind <span style="color:#FF6000">„orange“</span> kodiert. Zitate werden ‚''kursiv''‘ und <span style="color:#FF6000">»''orange''«</span> dargestellt. Dogmatische ‚Fachtermini‘ sind <span style="color:#4C58FF">„blau“</span> kodiert. Bibelzitate sind <span style="color:#CC66FF">»''violett''«</span>.)</span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Urteil</span></div>=== Im Fall BRUNO muss zwischen der kirchlichen Verurteilung seiner Thesen und dem Strafurteil zum Feuertod unterschieden werden. Die These, dass es im Universum <span style="color:#FF6000">„Welten“</span> gäbe, gleich unserer Erde, mit intelligenten Lebewesen, gleich uns Menschen, die alle eine unsterbliche Geist-Seele hätten, die alle, gleich uns, dem Tod verfallen wären, und die in Konsequenz daher überall auch einen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem Tod bräuchten, der <span style="color:#FF6000">»''in allem uns gleich ist, außer der Sünde''«</span> <span style="color:#00B000">(4. Hochgebet der katholischen Messliturgie)</span>, wurde von der Kirche im Prozess gegen Giordano BRUNO abgelehnt, und als <span style="color:#FF6000">»''nicht mit dem Glauben der Kirche vereinbar''«</span>, verurteilt. Die Verurteilung dieses Menschen zum Feuertod im Jahr 1600 entsprach der damaligen Rechtslage, <span style="color:#00B000">(der ‚Tatbestand‘ eines <span style="color:#FF6000">„überführten Ketzers“</span> hatte die Höchststrafe zur Folge)</span>, was jedoch nach unserem heutigen Rechtsempfinden mit Nichts gerechtfertigt werden kann. Dass die katholische Kirche dieses Strafurteil zum Feuertod, das damals mit ihrer Zustimmung zustande kam, heute ablehnt und als <span style="color:#FF6000">„Unrecht“</span> beurteilt, bedeutet jedoch nicht, dass ihr damaliger Entscheid gegen Giordano BRUNOS These der ‚Vielen-Welten‘ unberechtigt gewesen wäre. Dieser Schiedsspruch entsprach äquivalenten Entscheide aus der Tradition der Kirche, und ist somit im Kontext des christlichen Glaubens berechtigt gefällt worden. Der Glaube an ‚Viele-Welten‘ <span style="color:#00B000">(den Atomisten LEUKIPP und DEMOKRIT zugeschrieben)</span> ist schon bald, nachdem das Christentum 313 n.Chr. durch Kaiser KONSTANTIN I. offiziell anerkannt worden war, um 384 n.Chr. durch den Heiligen PHILASTRIUS, Bischof von Brescia, in seinem ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Diversarum hæreseon liber</big></span>''‘ als <span style="color:#FF6000">»''Häresie''«</span> klassifiziert worden. Diese Klassifikation wurde im frühen 5. Jahrhundert durch den Heiligen HIERONIMUS und den Heiligen AUGUSTINUS wiederholt, dann nochmals durch den Heiligen ISIDOR um 620 n.Chr. Nach dem ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Corpus Juris Canonici</big></span>''‘ von Papst GREGOR XIII., maßgebendes Gesetzbuch von 1582 bis 1917, ist <span style="color:#FF6000">»''die Ansicht unzähliger Welten nicht mit dem Glauben der Kirche vereinbar''«</span>. Zahlreiche Autoritäten der Christenheit sind zum gleichen Urteil gekommen, darunter Theologen, Juristen, Bischöfe, ein Kaiser, drei Päpste, fünf Kirchenväter und neun Heilige; <span style="color:#00B000">(vgl. Alberto A. MARTINEZ, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Burned alive: Giordano Bruno, Galileo and the Inquisition</big></span>''‘, 2018; vgl. dazu besonders ''':''' https://www.theologie-naturwissenschaften.de/startseite/leitartikelarchiv/giordano-bruno-deutsch. Diese an sich gut recherchierte Darstellung verkennt jedoch die ‚dogmatischen‘ Implikationen der kirchlichen Verurteilung im Fall BRUNO.)</span> In diesen Entscheide geht es der Kirche in erster Linie um ein zentrales Dogma ihres Selbstverständnisses. <span style="color:#00B000">(Wenn BRUNO von <span style="color:#FF6000">„Welten“</span> spricht, so sind das für ihn, — wie für seine Zeitgenossen —, immer <span style="color:#FF6000">„bewohnte Welten“</span>, gleich unserer Erde, mit intelligenten Bewohnern; die eine Geist-Seele hätten, wie wir. Von der Prüfungskommission im Prozess gegen BRUNO, wird als selbstverständlich vorausgesetzt, dass Bewohner dieser <span style="color:#FF6000">„Welten“</span>, falls es sie gibt, auch sterblich wären, wie wir hier auf Erden, und daher immer auch einen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem Tod bräuchten, wie wir. Ob um Sterne Planeten kreisen, wie die Erde um die Sonne, ist für die Kirche irrelevant, betrifft kein Dogma, und wird auch nicht entschieden durch das Urteil gegen BRUNO. In ihm geht es vielmehr um die existenzielle Glaubensfrage der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> aus dem Tod durch JESUS CHRISTUS, dem <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span>. Nur wer das ‚bestreitet‘ ist — nach damaliger Sprachregelung — ein <span style="color:#FF6000">„Ketzer“</span>.)</span> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Naturphilosophie BRUNOS</span></div>=== Weil der Mönchspriester aus dem Dominikanerorden, Giordano BRUNO, Neues und Spektakuläres über den Kosmos gehört und vielleicht von KOPERNIKUS gelesen hat, glaubt er, — wie viele Naturphilosophen und Naturforscher nach ihm —, nun selbst ‚bestimmende‘ Aussagen über die ‚Welt‘ und auch über GOTT machen zu können ''':''' Für BRUNO ‚zeigt‘ sich dieser, sein ‚Gott‘, in der Unendlichkeit und Schönheit, bzw. in der ‚ewigen’ Ordnung des Kosmos. Dieser ‚Gott‘ hat jedoch keine eigene Existenz für sich; er ist nur als zeitlich-ewiger ‚Grund‘ der Welt denkbar, bzw. die Welt als ganze, das Universum für sich, ist selbst schon die Offenbarung ihres göttlichen ‚Grundes’. BRUNOS spekulative Naturphilosophie beruht auf der These, dass dieser göttliche ‚Grund‘, als ‚Erstes Prinzip, als ‚unendliche Ursache‘, das Universum als zeitlich-ewige, ‚unendliche Wirkung‘ aus sich ‚hervorgebracht‘ habe. Wobei diese Ursache nicht transzendent zu ihrer Wirkung gedacht wird, sondern sich auf demselben Level mit der Wirkung befindet; in ihr sozusagen ‚aufgeht‘. <span style="color:#00B000">(Jedoch dieses ‚Hervorgebrachte‘ ist nicht die <span style="color:#4C58FF">„Schöpfung“</span> GOTTES im Sinne der Kirche, d.h. es ist keine <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>creatio ex nihilo et sui et subjecti</big></span>“</span>.)</span> Das aus BRUNOS ‚Erstem Prinzip‘ ‚Hervorgebrachte‘, das unendliche Universum, ist praktisch allein ‚alles‘, was es gibt. Es gibt für BRUNO damit kein ‚Jenseits‘, keinen ‚GOTT-Vater im Himmel‘, und natürlich auch keinen <span style="color:#4C58FF">„Sündenfall“</span>. <span style="color:#00B000">(Nach christlicher Überzeugung jedoch ist unsere ‚Welt‘, d.h. unser Universum, die katastrophale Konsequenz unseres <span style="color:#4C58FF">„Sündenfalls“</span> im Paradies/Himmel, den wir und die ‚Welt‘ mit dem unausweichlichen Tod und Vergehen ‚bezahlen‘ müssen. Unsere ‚Welt‘ ist nicht ‚unendlich‘, sondern durch einen Raum, mit ‚nur‘ drei Dimensionen, und durch eine unwiederbringlich ‚endende‘ Zeit begrenzt. Vergänglichkeit und Tod sind die wesentlichen Konstitutiva unserer Welt; und der Mensch ist ‚schuld‘ daran '''!''' Unsere ‚Welt‘ ist ‚endlich‘.)</span> ::BRUNO hält dagegen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wer also behauptet, seine'', <span style="color:#00B000">[ d.h. ‚Gottes‘ ]</span> ''Schöpfung sei endlich, setzt eine nur endliche Schöpfertätigkeit und ein nur endliches Schöpfungsvermögen'' <span style="color:#00B000">[ dieses ‚Gottes‘ ]</span> ''voraus. … Wer also die Unendlichkeit der Schöpfung leugnet, leugnet auch das Unendlichsein des schaffenden Vermögens. … Wir wissen sicher, dass dieser Raum'' <span style="color:#00B000">[ mit den ‚Vielen-Welten‘ ]</span> ''als Wirkung und Erzeugnis einer unendlichen Ursache und eines unendlichen Prinzips'', <span style="color:#00B000">[ das ist BRUNOS ‚Gott‘ ]</span>, ''auf unendliche Weise unendlich sein muss''.«</span> <span style="color:#00B000">(‚''<span style="font-family: Times;"><big>Zwiegespräch vom unendlichen All und den Welten</big></span>''‘, Seite 43, und ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Das Aschermittwochsmahl</big></span>''‘, Seite 153).</span> Das heißt im Klartext ''':''' Insofern das ‚unendliche Prinzip‘, <span style="color:#00B000">(der brunianische ‚Gott‘)</span>, eine zeitlich-ewige, ‚unendliche Einheit‘ ist, die alles ‚bewirkt‘, ist auch das — von ihm ‚bewirkte‘ — Universum als zeitlich-ewige, ‚unendliche Einheit‘ zu begreifen, das, wie/als der ‚Gott‘ BRUNOS, ebenfalls ‚göttlich‘ unendlich ist. Als <span style="color:#FF6000">»''sinnlich wahrnehmbarer Gott''«</span> <span style="color:#00B000">(PLATO ‚Timaios‘ 92c)</span>, ist der Kosmos daher zeitlich-ewig, anfangs- und endlos, und hätte somit, <span style="color:#00B000">(entgegen der Lehre der Kirche)</span>, keinen Augenblick der <span style="color:#4C58FF">„Schöpfung“</span> und es wird in Folge auch keine <span style="color:#4C58FF">„Wiederkunft JESU CHRISTI“</span> und kein abschließendes <span style="color:#4C58FF">„Endgericht“</span> geben. <span style="color:#00B000">(Für unser Universum ist die Annahme der raum-zeitlichen ‚Unendlichkeit’ nach unserem heutigen Wissensstand rein physikalisch unzutreffend, denn es hat einen zeitlichen Anfang, den sog. ‚Urknall‘ vor 13,787±0,020 Milliarden Jahren, und damit hat es auch eine, raum-zeitlich bedingte, nicht unendliche Ausdehnung, d.h. Expansion. Eine ‚Unendlichkeit‘ der Schöpfung, theologisch begründet in der ‚Unendlichkeit‘ des Schöpfers, gilt nur für den ‚Himmel‘ '''!''' Das gilt jedoch nicht von unserem Universum. BRUNO lässt das Faktum <span style="color:#4C58FF">„Ursünde“</span> der Menschen im Paradies/Himmel außer Acht. Ihretwegen ist unser Universum raum-zeitlich ‚endlich‘ und ‚begrenzt‘, und nicht ‚unendlich‘ und ‚grenzenlos‘, wie der ‚Himmel‘ GOTTES. Die unwiederbringlich vergehende Zeit und der auf drei Dimensionen beschränkte Raum sind die bestimmenden Konstitutiva unseres faktisch ‚endlichen‘ Universums. Beides gilt jedoch nicht für GOTT und auch nicht für seinen ‚Himmel‘. Die ‚Endlichkeiten‘ von Zeit und Raum unseres Universums verweisen auf eine Ursache, die nicht in GOTT liegt. Für GOTT ist die ‚Unendlichkeit‘ konstitutiv. Für <span style="color:#4C58FF">„ADAM und EVA“</span> ist die ‚Endlichkeit‘ bzw. die ‚Sterblichkeit‘‚ zum Konstitutivum geworden, nachdem sie sich vom ‚unendlichen‘, ‚unsterblichen‘ GOTT bewusst abgewendet/getrennt hatten, da sie ohne und gegen den Willen des zeitlos-ewigen GOTT, aus sich heraus, — im ungehorsamen ‚Essen‘ der ‚verbotenen Frucht‘ — ‚selbstbestimmt‘ wie GOTT sein wollten. Erst durch diese <span style="color:#4C58FF">„Ursünde“</span> der Menschen im Paradies/Himmel kam die Vergänglichkeit und der ‚Tod‘ in die ‚Welt‘, und damit wurde die unwiederbringliche, alles ‚beendende‘ Raum-Zeit ‚Realität‘. Die <span style="color:#4C58FF">„Ursünde“</span> wurde zur <span style="color:#4C58FF">„Erbsünde“</span>, der zufolge viele Zeitgenossen, — in Europa —, auch heute noch, ohne den ‚ewigen‘ GOTT, aus sich heraus, unabhängig und frei vom biblischen GOTT, ‚selbstbestimmt‘ leben wollen.)</span> BRUNO leitet die Existenz der ‚Vielen-Welten‘ von der Allmacht seines ‚Gottes‘ ab ''':''' Dieser ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(alias ‚unendliches Universum‘)</span>, habe mit seiner ‚unendlichen Macht‘ — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>potentia absoluta</big></span>“</span> — ‚unzählige Welten‘ erschaffen. So wie unsere Welt in der unermesslichen Weite des Kosmos Raum einnimmt, so tun das auch diese unzähligen anderen ‚Welten‘, <u>und so wie unsere Welt von Lebewesen bewohnt ist, so seien auch diese anderen ‚Welten‘ bevölkert</u>. <span style="color:#00B000">(Das behauptet Giordano BRUNO, jedoch mit der, von ihm bestrittenen, dogmatischen Konsequenz — und das ist der entscheidende Kritikpunkt, der zu seiner Verurteilung führte — dass diese, mit ‚Geist‘ begabten und beseelten ‚Bewohner‘ der ‚Vielen-Welten‘, aber wie wir, immer auch einen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> bräuchten. Dieser <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> müsste sie aus der unwiederbringlich vergehenden Zeit und aus dem unausweichlichen Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, dem auch sie, wie alles Leben in unserem Universum, unterworfen wären.)</span> In mindestens vier der erhaltenen Vernehmungsprotokolle <span style="color:#00B000">(zwischen 1592 und 1598)</span> insistierte BRUNO wiederholt darauf ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Erde ist ein Stern'', <span style="color:#00B000">[ ein archaischer Ausdruck für jeden Himmelskörper ]</span>, ''und die Sterne beinhalten unzählige Welten''«</span>; <span style="color:#00B000">(nach A.MARTINEZ. Ebd.)</span> Jedes Mal weigerte er sich, seine Aussagen zurückzunehmen. Bis zuletzt hat BRUNO seine These der ‚unzähligen Welten‘ mit Bewohnern — für ihn ohne <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> — nicht widerrufen. Die sterblichen Bewohnern dieser ‚unzähligen Welten’ brauchen, seiner Überzeugung nach, keinen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem Tod. Da es in seiner Ideologie keinen <span style="color:#4C58FF">„Sündenfall“</span> gibt, ist eine <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> aus dem Tod durch einen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> nicht notwendig; da es für ihn ja auch keinen ‚Tod‘ gibt. Es ist auffällig, dass der ehemalige Priestermönch BRUNO, der, als ein GOTT geweihter ‚Priester‘, eigentlich bei der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> der Welt und der Menschen durch JESUS CHRISTUS in der Spendung der kirchlichen Sakramente mitwirken hätte sollen, dieses theoretisch/theologische ‚Konstrukt‘ der ‚Viele-Welten‘ ohne ‚Jenseits‘, ohne ‚Tod‘, und ohne <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> entwickelt hat, mit dem er offenbar seine Bestimmung als ‚Priester‘ zu verleugnen suchte ''':''' ::Wir brauchen ohnehin keinen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem ‚Tod‘, denn der <span style="color:#FF6000">»''Schrecken vor dem Tod''«</span> oder vor der <span style="color:#FF6000">»''flammenden Glut''«</span> <span style="color:#00B000">( '''!''' )</span> ist für BRUNO <span style="color:#FF6000">»''Torheit''«</span>, denn <span style="color:#FF6000">»''frei ist die Seele vom Tod; vielmehr die frühere Wohnung tauscht sie mit einem neuen Sitz und lebt und wirkt in diesem''«</span>. Es gibt eigentlich keinen ‚Tod‘. <span style="color:#FF6000">»''Alles wechselt, doch nichts geht unter''«</span>. <span style="color:#00B000">(‚''<span style="font-family: Times;"><big>Von der Ursache, dem Prinzip und dem Einen</big></span>''‘, Seite 44f)</span> Eine weitere Konsequenz seiner ‚Gott‘- und ‚Viele-Welten-These‘ ist ''':''' Keinem Gestirn kommt eine besondere Stellung zu, und auch die Erde verliert damit ihre bis dahin ausgezeichnete Position als Mittelpunkt des Alls; oder im Umkehrschluss ''':''' So wie die Erdbewohner die Empfindung haben, sich im ‚Zentrum des Alls‘ zu befinden, haben dies mit gleichem Recht, nach BRUNO, auch die hypothetischen Bewohner seiner vielen anderen ‚Welten‘. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Reaktion der Kirche und die Konsequenzen</span></div>=== Auf Grund der wiederholten Entscheide zahlreicher Autoritäten der Kirche wird im Prozessverlauf die ‚Viele-Welten-These‘ BRUNOS, mit sterblichen Bewohnern, gleich uns, mit einer unsterblichen Geist-Seele, gleich uns, als <span style="color:#FF6000">»''Häresie''«</span> abgelehnt, weil sie <span style="color:#FF6000">»''nicht mit dem Glauben der Kirche in Übereinstimmung gebracht werden kann''«</span>. Das heißt im Umkehrschluss ''':''' <u>Es gibt auf diesen erdähnlichen ‚vielen Welten‘ keine mit ‚Geist‘ begabte und intelligente Bewohner, mit einer unsterblichen Geist-Seele, gleich uns</u> '''!''' Wenn es sie gäbe, müsste, auf Grund der Heilstheologie der Kirche, konsequenterweise JESUS, ihr <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span>, auch auf allen diesen vielen ‚Welten‘ geboren werden und vielfach <span style="color:#00B000">(an einem Kreuz)</span> sterben, zur Sühne für diese Bewohner, um auch dort sein <span style="color:#4C58FF">„Erlösungswerk“</span> vollbringen zu können, wie er es für uns getan hat. Denn <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> kann nur dann geschehen, wenn der <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> denen <span style="color:#00B000">(auch im Tod)</span> gleich wird, die er aus dem Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span> will. Eine Ideologie, die einem Dogma der Kirche widerspricht, wird <span style="color:#FF6000">»''Häresie''«</span> genannt. Die ‚Viele-Welten-These‘ mit theoretisch vielen <span style="color:#4C58FF">„Erlösern“</span> ist deshalb <span style="color:#FF6000">»''häretisch''«</span>, denn sie widerspricht dem christlichen Dogma der Einzigkeit und Einmaligkeit der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, — auf unserer Erde — gemäß der <span style="color:#4C58FF">„Schrift“</span> ''':''' ::<span style="color:#CC66FF">»''Christus ist der Sünden wegen ein einziges Mal gestorben.''«</span> <span style="color:#00B000"><small>({{Bibel |1.Petrusbrief|3|18|EU}})</small></span>. ::<span style="color:#CC66FF">»''Nicht mit dem Blut von Böcken und jungen Stieren'', <span style="color:#00B000">[ wie der Hohe Priester im jüdischen Sühneritus es wiederholt machen muss ]</span>, ''sondern mit seinem eigenen Blut ist er, '' <span style="color:#00B000">[ durch Tod und Auferstehung hindurch ]</span>, ''ein für alle Mal in das Heiligtum'', <span style="color:#00B000">[ das ist der Himmel — das Paradies — GOTTES, zu dessen ‚Rechten‘ JESUS jetzt für immer ‚sitzt‘ ]</span>, ''hineingegangen und so hat er'', <span style="color:#00B000">[ ein für alle Mal ]</span>, ''eine ewige'' <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> ''bewirkt''« <span style="color:#00B000"><small>({{Bibel |Hebräerbrief|9|12|EU}})</small></span>.</span> ::Theologen erklärten schon Jahrzehnte vor BRUNO ''':''' <span style="color:#FF6000">»''wir können nicht annehmen, dass zwei oder viele Welten existieren'', <span style="color:#00B000">[ mit Bewohnern, die der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> aus dem Tod bedürfen, gleich uns ]</span>, ''weil wir auch nicht annehmen, dass zwei oder viele Christusse'' <span style="color:#00B000">[ als deren <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> ]</span> ''existieren''.«</span> <span style="color:#00B000">(RICCHIERI Ludovico et alia, 1542; nach A.MARTINEZ. Ebd.)</span> In BRUNOS Ideologie war der Glaubensentscheid der Kirche nicht einordbar, denn er braucht keinen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem ‚Tod‘ für seine mit ‚Geist‘ begabten, intelligenten Bewohner in den ‚unzähligen Welten‘, da es für ihn den ‚Tod‘ <span style="color:#FF6000">»''eigentlich gar nicht gibt''«</span>. <span style="color:#00B000">(Die Frage, ob sich die Erde im ‚Zentrum des Alls‘ befindet oder nicht, ist hier im dogmatischen Kontext nebensächlich '''!''' Auch die Anzahl und die Position der anderen ‚Welten‘ im Kosmos ist theologisch irrelevant.)</span> Im Glauben an GOTT, der sich in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, geoffenbart hat, wissen wir Christen, <span style="color:#00B000">(auch nach diesem Urteil gegen BRUNO und den vielen äquivalenten kirchlichen Entscheide)</span>, dass es im ganzen Universum nur uns Menschen gibt, als die einzige Art von Lebewesen, die eine unsterbliche Geist-Seele haben, und die deswegen fähig sind, mit dem unendlichen GOTT eine <span style="color:#FF6000">„Dialogpartnerschaft“</span> eingehen zu können, trotz unserer Endlichkeit. Damit haben wir Menschen eine Sonderstellung im Kosmos. BRUNO hat dagegen an seiner These der ‚Viele-Welten‘ mit ihren vielen hypothetischen Bewohnern bis zum Schluss festgehalten und damit die Notwendigkeit eines <span style="color:#4C58FF">„Erlösers“</span> für sie bestritten. Für BRUNO hat der Mensch keine Sonderstellung im Kosmos. Maßgebend für alle Fehlformen der Weltdeutung sind die willkürlichen Bestimmungen von ‚Geist‘ ''':''' ‚Geist‘ ist nicht <span style="color:#FF6000">»''in allen Dingen''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''durchdringt''«</span> nicht <span style="color:#FF6000">»''das Ganze''«</span> als die <span style="color:#FF6000">»''Form der Materie''«</span> oder als die <span style="color:#FF6000">»''Seele der Dinge''«</span>, <span style="color:#00B000">(‚''<span style="font-family: Times;"><big>Von der Ursache, dem Prinzip und dem Einen</big></span>''‘, Seite 43)</span>, wie sich das BRUNO vorgestellt hat, in Anlehnung an platonistisch-idealistische Vorstellungen. <span style="color:#00B000">(Intelligenz, bzw. ‚Geist‘ ist auch keine ‚Funktion‘ der Materie, z. B. der Neuronen im Gehirn ''':''' Materialismus. ‚Geist‘ ist auch nicht ein ‚Produkt‘ der Evolution ''':''' Evolutionismus.)</span> <span style="color:#CC66FF">»''GOTT''«</span>, der alles ‚aus Nichts‘ erschaffen hat, der alles bestimmt und ordnet, <span style="color:#CC66FF">»''ist Geist''«</span> <span style="color:#00B000"><small>(Johannes Evangelium 4,24)</small></span>. Insofern ist ‚Geist‘ in Wirklichkeit die Voraussetzung, das Prinzip, der transzendente Grund für die Existenz von allem, was ist. GOTT ist das Leben, der uns das Leben gibt, und der uns auch den ‚Geist‘ <span style="color:#CC66FF">»''einhaucht''«</span> <span style="color:#00B000"><small>(nach Genesis 2,7 NeÜ)</small></span>. Somit sind wir Erden-Bewohner erst durch dieses Geschenk GOTTES zu etwas ‚Besonderem‘ und ‚Einzigartigen‘ im Kosmos geworden ''':''' zu ‚Menschen‘, mit jeweils einer einmaligen, unsterblichen Geist-Seele, mit der wir GOTT <span style="color:#CC66FF">»''im Geist und in der Wahrheit anbeten''«</span> können <span style="color:#00B000"><small>(Johannes Evangelium 4,23)</small></span>; im Unterschied zu allen anderen Lebensformen <span style="color:#00B000">(im Universum)</span>. Damit ist die kosmologische <span style="color:#FF6000">„Sonderstellung des Menschen in Wirklichkeit“</span> genuin theologisch geklärt. Mit dem Urteil der Kirche gegen die ‚Viele-Welten-These‘ BRUNOS wird in '''erster Linie''' die geschichtliche Einmaligkeit und außerordentliche Einzigkeit der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> für uns Menschen durch JESUS CHRISTUS, als <span style="color:#CC66FF">»''der eine'', <span style="color:#00B000">[ der sich ]</span> ''für die vielen'' <span style="color:#00B000">[ geopfert hat ]</span>«</span> <span style="color:#00B000"><small>(vgl. Römerbrief 5,19)</small></span>, hervorgehoben und als letztentscheidend für jeden Menschen betont, als das zentrale christliche Dogma. <span style="color:#00B000">(Es geht der Kirche bei der Ablehnung der ‚Viele-Welten-These‘ um <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> und nicht um Kosmologie.)</span> BRUNO scheint das christliche Glaubens-Wissen um die Einzigartigkeit der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, und die Wichtigkeit dieser Tat JESU für jeden Sterblichen, jedoch bewusst in seiner ‚Viele-Welten-These‘ ‚vergessen‘ zu haben. In '''zweiter Linie''' wird uns durch dieses Urteil der Kirche die Einzigartigkeit und historische Einmaligkeit von uns Menschen und unserer Erde bewusst gemacht und geklärt, ohne dass dafür auf irgendwelche geozentrische Kosmologie-Argumente rekurriert werden muss. Wegen unseres <span style="color:#4C58FF">„Sündenfalles“</span> im Paradies/Himmel ist die Welt so, wie sie ist ''':''' endlich und der Vergänglichkeit unterworfen. Durch die <span style="color:#4C58FF">„Ursünde“</span> des ‚Menschen‘ im Paradies/Himmel ist der Tod in unser Universum gekommen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Durch einen einzigen Menschen kam die Sünde in die Welt und durch die Sünde der Tod''«</span> <span style="color:#00B000"><small>(Römerbrief 5,12a)</small></span>. Deswegen, d.h. speziell ‚unseretwegen‘, ist GOTT, aus Liebe und Mitleid, Mensch geworden, um uns aus diesem vom Tod gezeichneten Universum ‚heimzuholen‘. Die Einzigartigkeit, Einmaligkeit und Besonderheit der <span style="color:#FF6000">„Stellung des Menschen im Universum“</span> ist eigentlich schon allein aus der Tatsache ersichtlich, dass der allmächtige, unsterbliche GOTT nicht ein mächtiger ‚Engel‘, <span style="color:#00B000">(auch nicht ein hypothetischer ‚Bewohner‘ einer dieser sog. ‚Vielen-Welten‘)</span>, sondern für uns ein leidensfähiger, sterblicher Mensch auf dem Planeten Erde geworden ist. GOTT hat in JESUS, dem <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span>, wegen unseres Zustandes <span style="color:#CC66FF">»''unser Fleisch angenommen''«</span> <span style="color:#00B000"><small>(vgl. Johannes Evangelium 1,14)</small></span>, aus der Jungfrau MARIA, vor ca. 2000 Jahren, in einem Land, das heute sowohl Palästinenser als auch Israeli für sich beanspruchen, genau auf dem dritten Planeten im System ‚Sol‘, in einer Balkenspiral-Galaxis im Virgo-Superhaufen, in einem der unzähligen Filamente unseres Universums. <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> kann nur dann geschehen, wenn der <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> denen im Tod ‚gleich’ wird, die er aus dem Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span> will; und wenn diese, für die stellvertretend der <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> zur Sühne für ihre Schuld stirbt, ihn, den auferstandenen <span style="color:#4C58FF">„Gottessohn“</span> und <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span>, den Sieger über den Tod, für sich im Glauben als ihren <span style="color:#CC66FF">»''Herrn und GOTT''«</span> auch annehmen, um ihm, dem aus dem Tod <span style="color:#4C58FF">„Auferstandenen“</span>, ‚gleich’ zu werden. GOTT ist uns in JESUS CHRISTUS ‚gleich‘ geworden, damit auch wir GOTT durch JESUS CHRISTUS ‚gleich‘ werden können — gemäß der <span style="color:#4C58FF">„Schrift“</span> ''':''' ::<span style="color:#CC66FF">»''Sie alle, die GOTT im voraus'', <span style="color:#00B000">[ schon</span> »''vor der Erschaffung der Welt''«, <span style="color:#00B000"><small>Epheserbrief 1,4</small> ]</span>, ''auserwählt hat'', <span style="color:#00B000">[ d.h. alle Menschen, als seine besonders ausgezeichneten und auserwählten, einzigartigen Geschöpfe mit einer Geist-Seele ]</span>, ''die hat er auch dazu bestimmt, seinem Sohn'' <span style="color:#00B000">[ JESUS CHRISTUS ]</span> ''‚gleich’ zu werden'', <span style="color:#00B000"> [ der</span> <span style="color:#FF6000">»''in allem uns'' <span style="color:#00B000"> [ als Mensch biologisch ]</span> ''‚gleich’ ist, außer der Sünde''«</span> <span style="color:#00B000">]</span>. ''Nach dessen Bild sollen sie alle'' ..., <span style="color:#00B000">[ durch die Taufe und die anderen Sakramente der Kirche, besonders durch den Empfang des Leibes und Blutes CHRISTI, ... ''‚gleich''’ ]</span> ''gestaltet werden, damit er der Erstgeborene unter vielen Brüdern und Schwestern ist. Und wenn GOTT sie dazu bestimmt hat, dann hat er sie auch berufen, und wenn er sie berufen hat'', <span style="color:#00B000">[ und sie diesem Ruf folgen ]</span>, ''dann hat er sie auch für gerecht erklärt, und wenn er sie für gerecht erklärt hat, dann steht auch fest, dass sie an seiner'', <span style="color:#00B000">[ d.h. GOTTES ]</span> ''Herrlichkeit teilhaben werden''.«</span> <span style="color:#00B000"><small>({{Bibel |Römerbrief|8|29-30|GNB}})</small></span> Das ist das zentrale Heils-Dogma aller Christen. Diesem Dogma stand jedoch BRUNO bewusst ‚verständnislos‘ gegenüber, bedingt durch sein philosophisches ‚Konstrukt‘ eines in sich geschlossenen, unendlichen ‚Viele-Welten-Kosmos‘, der allein ‚alles‘ ist, und — als <span style="color:#FF6000">»''sinnlich wahrnehmbarer Gott''«</span> — sich selbst genügt, ohne ‚Tod‘, ohne <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span>, und ohne jede Transzendenz, d.h. konkret ''':''' ohne ‚Himmel‘, ohne Engel, ohne Heilige, ohne den dreifaltigen GOTT der Bibel; und natürlich auch ohne ‚Hölle‘. Dieses ideologische ‚Konstrukt‘ wird summarisch als <span style="color:#FF6000">„Pantheismus“</span> bezeichnet. Der Entscheid der Kirche gegen die ‚Viele-Welten-These‘ besagt auch, dass die <span style="color:#4C58FF">„Erlösungstat“</span> JESU <span style="color:#CC66FF">»''ein für alle Mal''«</span> <span style="color:#00B000"><small>(vgl. Hebräerbrief 7,27)</small></span> im ganzen Kosmos nur auf unserer Erde zu lokalisieren ist und sonst nirgends. <span style="color:#00B000">(Wegen der unüberbrückbaren kosmischen Entfernungen ist jede effektive materielle Verbindung oder Kontaktmöglichkeit zwischen der Erde und den extrasolaren Planeten zur Zeit JESU ohnehin unmöglich gewesen, und es wird höchstwahrscheinlich für immer so bleiben, entgegen allen utopischen Phantasien. Damit erübrigt sich auch jede Spekulation über biologische Abstammungsverhältnisse.)</span> Das existentielle Glaubens-Wissen um die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span>, um die Einzigartigkeit des ‚Menschen‘, und um die Besonderheit des ‚Planeten‘, den GOTT den Menschen <span style="color:#CC66FF">»''zu bewahren und zu pflegen''«</span> anvertraut hat <span style="color:#00B000"><small>(vgl. Genesis 1,26)</small></span>, ist von BRUNO in sein philosophisches Kalkül nicht einbezogen- und/oder bewusst ‚vergessen‘ worden, sodass er seine ‚Viele-Welten-Spekulation‘ ohne Rücksichtnahme auf das christliche Glaubensbekenntnis durchziehen konnte. Aus den Befragungen <span style="color:#00B000">(Inquisition)</span> und Beobachtungen im Prozess in Rom um diesen Mann, ist die Prüfungskommission nach sieben <span style="color:#00B000">( '''!''' )</span> Jahren zu ihrem Schlussurteil gekommen. Unter allen Anklagepunkten war BRUNOS ‚Viele-Welten-These‘ der am schwerwiegendste Anklagepunkt, wegen der ‚dogmatisch‘ relevanten Implikation ''':''' <span style="color:#FF6000">„Giordano BRUNO, der ehemalige Priestermönch, bestreitet mit seiner ‚Viele-Welten-These‘ bewusst und vorsätzlich, dass JESUS CHRISTUS unser <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem Tod und der <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span> ist. Er nimmt dafür sogar den Tod im Feuer ‚in Kauf‘“</span>. <span style="color:#00B000">(Warum '''?''' Was war der ‚Auslöser‘ in seiner Biografie, der ihn dann letztlich zu dieser, damals lebensgefährlichen Bestreitung, veranlasst hat '''?''' Das bleibt sein Geheimnis '''!''' )</span> Die Faszination für den ‚Kosmos‘ und für alles, was im Universum groß und bewundernswert ist, ist bei BRUNO — Ideologie bedingt — zugleich untrennbar verbunden gewesen mit der Bestreitung, Nichtbeachtung und der totalen Seins-Vergessenheit der existenziellen Glaubenswahrheit unserer <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> aus dem Tod durch JESUS CHRISTUS, deren gläubige Annahme für jedes Menschenleben letztentscheidend ist, für ‚Heil’ oder ‚Unheil’ in Ewigkeit — was er als ‚Priester’ eigentlich hätte ‚wissen‘ müssen... JESUS kann uns nur deswegen aus dem Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, weil er ganz Mensch und zugleich auch ganz GOTT ist. Als Mensch hat er den Tod selbst erlitten, — er weiß, wie es uns im Tod ergeht, — als GOTT hat er den Tod besiegt, — so kann er auch unseren Tod besiegen. So hoffen wir auf ein ewiges Leben mit ihm, und glauben, dass JESUS, als <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span>, auch uns aus unserem Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span> wird ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''…alle, die sich ihm'', <span style="color:#00B000">[ dem <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span> ]</span> ''im Glauben zuwenden, bekommen durch ihn ewiges Leben''«</span> <span style="color:#00B000"><small>({{Bibel | Johannes-Evangelium |3|15|GNB}})</small></span>. BRUNO jedoch leugnet die <span style="color:#4C58FF">„Gottessohnschaft“</span> CHRISTI, weil es für ihn in seiner Ideologie, <span style="color:#00B000">(mit der er sich selbst täuschte)</span>, kein ‚Jenseits‘ gibt, daher auch keinen <span style="color:#4C58FF">„Sündenfall“</span> im Paradies/Himmel und keinen ‚Tod‘; darum ist eine <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> auch nicht nötig, und somit braucht er auch keine <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES. JESUS, der <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span>, passt sicher nicht in dieses <span style="color:#00B000">(neu)</span>platonische <span style="color:#00B000">(unpersönliche)</span>, <span style="color:#FF6000">»''häretische''«</span> Gott-Konzept, das BRUNO mit ‚priesterlichem‘ Enthusiasmus preist ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Gelobt seien die Götter, und gepriesen von allem, was da lebt, sei das Unendliche, das Einfachste, Einheitlichste, Erhabenste und Absoluteste'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ der ‚ewige‘, grenzenlose Kosmos, diese ‚göttlich‘ schönste ]</span> ''Ursache, Prinzip und Eines''«</span>. <span style="color:#00B000">(‚''<span style="font-family: Times;"><big>Von der Ursache, dem Prinzip und dem Einen</big></span>''‘, Seite 102)</span> ::Im Anklang an PLATO ''':''' <span style="color:#FF6000">»…''diese Welt'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''ein sichtbares lebendiges Wesen, das alles Sichtbare umfasst, ein Bild des Schöpfers, ein sinnlich wahrnehmbarer Gott, der mächtigste und schönste — eben diese Eine und Eingeborene Welt''«</span> <span style="color:#00B000">(‚''<span style="font-family: Times;"><big>Timaios</big></span>''‘ 92c)</span>. Für BRUNO war es daher ‚unsinnig’, darüber zu reden, dass ‚seine‘ Bewohner auf den ‚unzähligen Welten‘ einen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem ‚Tod‘ bräuchten. Und so blieb er hartnäckig bei seiner ‚Viele-Welten-These‘ mit ihren hypothetischen Bewohnern, — für ihn ohne <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span>. Ob um diese <span style="color:#FF6000">»''leuchtenden Funken über uns''«</span> erdähnliche Planeten kreisen oder nicht, war nicht Prozess entscheidend; wohl aber, ob dort <span style="color:#FF6000">„Welten“</span> wären, mit sterblichen, ‚Geist’ begabten und intelligenten Bewohnern, mit einer unsterblichen Seele, die genauso einen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span>, der GOTT ist, bräuchten, wie wir hier auf Erden '''!''' BRUNO ‚braucht‘ für sich keinen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem ‚Tod‘, und deswegen ‚braucht‘ er auch keinen <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> für die hypothetischen Bewohnern seiner ‚Vielen-Welten‘. Für ihn selbst war JESUS weder <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> noch <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span>. Die Prüfungskommission hat mit ihrem Schlussurteil den ‚Sachverhalt‘ bei BRUNO genau getroffen. BRUNO ist nicht wegen seiner Verteidigung des Kopernikanischen Systems, auch nicht wegen seiner Doktrin der ‚unzähligen Welten‘, <span style="color:#00B000">(im Sinne von ''':''' erdähnlicher Planeten)</span>, verurteilt worden, <span style="color:#00B000">(wie Alberto A. MARTINEZ annimmt)</span>, sondern dafür, dass er bestreitet, dass JESUS CHRISTUS unser, <span style="color:#00B000">(und auch sein)</span> <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem Tod und der <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span> ist. Weil er das <span style="color:#00B000">(aus ideologischen Gründen)</span> mit seinen ‚Thesenbehauptungen‘ bewusst und auch wiederholt ‚dogmatisch‘ bestritten hatte, wurde er im Inquisitionsprozess als <span style="color:#FF6000">„überführter Ketzer“</span> verurteilt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Schlussbemerkungen</span></div>=== Wenn es BRUNO nur um diese kreisenden Planeten gegangen wäre, hätte kein Prozess stattgefunden. Aber es ging ihm nicht um ‚Kosmologie‘ sondern um <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, — die Lehre von GOTT und seiner Schöpfung —, die er zu einer pantheistischen ‚Viele-Welten-Spekulation‘ bewusst verzerrt und entstellt hat, angeregt durch ‚neueste‘ kosmologische Erkenntnisse, und bewusst konträr zur Lehre der Kirche, in der er einmal zum ‚Priester‘ ausgebildet und geweiht worden war. Er ist sicher kein ‚Märtyrer‘ der Kosmologie, sondern er gehörte vielmehr zur Gruppe ‚ideologisch fixierter‘ Menschen, die es bewusst und vorsätzlich ablehnen, JESUS CHRISTUS als ihren <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> und als <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span> zu akzeptieren, die stattdessen, wie der ‚Priester‘ BRUNO, sich ihren eigenen ‚Gott‘ kreieren, nach ihrem ‚Bild‘ und Gutdünken, und die damit auch eine neue ‚Weltsicht‘ dogmatisch etablieren wollen, gegen die Bibel und gegen die Kirche; und die dann, sogar bis zum Tod, an diesem ‚Bild‘ und der zugehörigen Ideologie festhalten. Das erste von den 10 Geboten des GOTTES der Bibel lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Du sollst dir neben mir kein ‚Bild’ machen''«</span> <span style="color:#00B000"><small>(vgl. Exotus 20,3f; Levitikus 26,1; Deuteronomium 5,7f)</small></span>. Nicht umsonst ist der ‚Priester‘ BRUNO auf seinen unsteten Wanderungen durch Europa sowohl bei den Calvinisten, den Anglikanern und bei den Lutheranern, und so auch bei den Katholiken, d.h. bei allen christlichen Konfessionen Europas immer wieder auf Ablehnung gestoßen. Der Kirche steht das Recht zu, in existenziellen Glaubensfragen für sich zu entscheiden, woran sie festhalten und was sie glauben will. Wenn ein dafür ausgebildeter und geweihter ‚Priester‘, der diesen Glauben im Auftrag JESU verkünden und für ihn eintreten soll, das Gegenteil tut, d.h. ihn bestreitet, dann ist das kontraproduktiv und er schadet der Kirche. Giordano BRUNO war ein solcher ‚Priester‘. Er hat den Auftrag seines Herrn, JESUS CHRISTUS, nicht erfüllt. Er war kein <span style="color:#CC66FF">»''treuer und kluger Knecht''«</span> <span style="color:#00B000"><small>(Matthäus Evangelium 24,45)</small></span>. Der Feuertod dieses Mannes zeigt erschreckend deutlich, dass der Mensch nicht nur dazu fähig ist, sondern es für sich, — mit dem Wissen um die Konsequenzen —, auch tatsächlich durchzieht, absolut und endgültig <span style="color:#FF6000">„Nein“</span> zu sagen zum Gnaden-Angebot GOTTES durch seine Kirche, <span style="color:#FF6000">„Nein“</span> zur Wahrheit GOTTES und <span style="color:#FF6000">„Nein“</span> zum Leben GOTTES, nachdem er sich geistig gegen GOTT ‚immunisiert‘ hat, durch selbst konstruierte und/oder rezipierte ‚Ideologien‘, die den GOTT der Bibel und die ‚Realität‘ des Todes aus seinem Bewusstsein ‚tilgen‘; <span style="color:#00B000">(und der sich das <span style="color:#FF6000">„Nein-Sagen“</span> sein Leben lang ‚antrainiert‘ hatte)</span>. Hätte BRUNO ‚widerrufen‘, wäre er begnadigt worden, hätte er der Kirche und ihrer Lehre von GOTT ‚vorbehaltlos‘ zugestimmt, wäre er am Leben geblieben, das GOTT ihm schon in seiner Geburt aus Gnade geschenkt hat. <span style="color:#00B000">(Hätte er JESUS CHRISTUS als seinen <span style="color:#CC66FF">»''Herrn und GOTT''«</span> angenommen, wie der ‚ungläubige‘ Apostel THOMAS … )</span> Aber das wollte er bis zuletzt nicht. Wie Giordano BRUNO wird jeder Mensch einmal <span style="color:#00B000">(spätestens im Tod)</span> vor derselben Letztentscheidung stehen, zum GOTT der Bibel in JESUS CHRISTUS, als seinem <span style="color:#4C58FF">„Erlöser“</span> aus dem Tod, absolut und endgültig <span style="color:#FF6000">„Ja“</span> oder <span style="color:#FF6000">„Nein“</span> sagen zu müssen, mit den Konsequenzen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''ewiges Leben''«</span> mit diesem GOTT oder <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod''«</span> ohne diesen GOTT. Beides steht zur freien Wahl und entscheidet die Ewigkeit eines unsterblichen, mit einem ‚Geist‘ begabten Wesens. Es ist gut, dass der ‚Priester‘ Giordano BRUNO nicht vergessen ist; aber ein ‚Vorbild‘ für uns ‚Geist‘ begabte Wesen ist er sicher nicht. Seine Denkmäler sollen uns daran erinnern, dass das radikale und endgültige <span style="color:#FF6000">„Nein“</span> zum GOTT der Bibel, d.h. die Ablehnung JESU CHRISTI, als <span style="color:#4C58FF">„Sohn GOTTES“</span>, der allein nur, aus dem Tod uns <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span> kann, dann konsequent — gemäß der <span style="color:#4C58FF">„Schrift“</span> — zum endgültigen <span style="color:#CC66FF">»''zweiten Tod ''':''' dem Feuersee''«</span> führt <span style="color:#00B000"><small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small></span>. Auch wenn heute das richterliche Urteil gegen BRUNO zum Feuertod am Scheiterhaufen zu Recht abgelehnt wird, so war doch der damalige kirchliche Entscheid korrekt, seine pantheistische Ideologie als <span style="color:#FF6000">»''häretisch''«</span> zu verurteilen. Papst JOHANNES PAUL II. hat am 12. März 2000 den diesbezüglichen Entscheid einer historisch/theologischen Prüfungskommission bestätigt ''':''' Der <span style="color:#FF6000">„Pantheismus“</span> ist nach wie vor <span style="color:#FF6000">»''nicht mit dem Glauben der Kirche vereinbar''«</span>. 3izvjphe9f79v0yfby6qexwnck5my26 0 117878 1093494 1093411 2026-11-07T11:14:09Z Santiago 19191 /* Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ */ ::Stellungnahme:: hinzugefügt 1093494 wikitext text/x-wiki [[Kategorie: Buch]] {{Regal|ort=Philosophie}} {{Vorlage:StatusBuch|9}} ==<div class="center"><span style="color:#660066">'''Kurt GÖDEL und der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘'''</span></div>== <span style="font-family: Times;"><big><div class="center">לַמְנַצֵּ֗חַ לְדָ֫וִ֥ד אָ֘מַ֤ר נָבָ֣ל בְּ֭לִבּוֹ אֵ֣ין אֱלֹהִ֑ים הִֽשְׁחִ֗יתוּ הִֽתְעִ֥יבוּ עֲלִילָ֗ה אֵ֣ין עֹֽשֵׂה־טֽוֹב׃ (Psalm 14,1)</div></big></span> ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Vorwort</span></div>=== Zur Orientierung ''':''' Die Diskussion um GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, läuft schon über zweitausend Jahren. Vor etwa tausend Jahren hat sich ein gewisser ANSELM gesagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Ich glaube an GOTT'' … <span style="color:#00B000">[ sonst wäre er sicher nicht Erzbischof von Canterbury geworden ]</span> … ''aber ich möchte auch wissen und verstehen, ob das stimmt und sinnvoll ist, was ich da glaube '''!''''' «</span> Dann hat er seine Überlegungen dazu aufgeschrieben, und das kann man in seinen Schriften auch heute noch lesen. Der sehr geschätzte deutsche Professor und Philosoph aus Königsberg, Immanuel KANT, hat das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, gelesen, <span style="color:#00B000">(vermittelt durch CARTESIUS)</span>, und das dann den <span style="color:#FF6000">„ontologischen Gottesbeweis“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(obwohl es in Wirklichkeit gar kein Gottesbeweis ist; genauer ''':''' es ist kein Beweis für die Existenz GOTTES)</span>, und dieser große KANT hat dann großartig bewiesen, das, was ANSELM da aufgeschrieben hat, sei falsch. Es sei <span style="color:#FF6000">„ja gar kein“</span> Gottesbeweis '''!''' <span style="color:#00B000">( Naja, was denn sonst '''?''' )</span> Wobei er den Fehler gemacht hat, dass er den, an sich, unvergleichbaren GOTT mit hundert Talern in seinem Vermögenszustande verglichen hat. <span style="color:#00B000">(Das ist aber eine andere Geschichte.)</span> Hundert Taler und GOTT haben ,an sich‘ nichts gemeinsam, außer, wenn KANT ,wirklich‘ hundert Taler hat, und GOTT auch ,wirklich‘ existiert, <span style="color:#00B000">(wie ANSELM und gläubige Menschen glauben)</span>, dann gibt es GOTT und die Taler eben ,wirklich‘. Aber damit ist man nicht schlauer geworden. Seit KANT läuft die ganze Diskussion um GOTT immer nur als Diskussion um den <span style="color:#00B000">(von KANT)</span> so genannten <span style="color:#FF6000">„ontologischen, <span style="color:#00B000">[ kosmologischen, teleologischen etc. ]</span> Gottesbeweis“</span> —, obwohl es niemals einen Beweis für die Existenz GOTTES geben kann und niemals geben wird. <span style="color:#00B000">(Das haben Wissenschaftler jeder Richtung und Philosophen aller Weltanschauungen uns immer wieder nachdrücklich versucht zu sagen, weil keiner dieser sog. Beweise für die Existenz eines GOTTES stringent ist. ,Existenz‘, an sich, ist, — nach ARISTOTELES<ref>,Existenz’ ist ,Prinzip’, d.h. ist der Ausgangspunkt eines Beweises. Es zeigt von Unbildung und Unwissenheit, Prinzipien ‚beweisen’ zu wollen — sagt ARISTOTELES in <span style="color:#00B000">‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metphysik</big></span>''‘, IV 4, 1006a 5-8</span>. Ein ‚Prinzip’ ist <span style="color:#FF6600">»''im Hinblick auf sich selbst''«</span>, z. B. durch einen Hinweis, oder <span style="color:#FF6600">»''durch sich selbst''«</span> einsehbar/intellegibel.</ref> — ,unbeweisbar‘. Sie ist, als frei wählbare Prämisse, immer nur der fixe und nicht hinterfragbare Ausgangspunkt einer möglichen logischen Beweisführung. Auf die Existenz kann man nur ,hinweisen‘.)</span> Für ANSELM selbst, wäre es ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Beweisen, bzw. darauf ,hinweisen‘, kann man, z. B. auf die Existenz von Naturgesetzen. Die sind unveränderlich und fix, immer und überall. Jeder vernünftige Mensch muss sie akzeptieren. Man kann darüber nicht diskutieren und sie dann mit Mehrheitenbeschlüsse verändern. Wenn GOTT ebenso ,bewiesen‘ werden könnte, dann wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, die Existenz GOTTES wie ein Naturgesetz anzunehmen. Gott ist aber kein Naturgesetz. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Person“</span>, — für Christgläubige ''':''' <span style="color:#FF6000">„ein GOTT in drei Personen“</span>. Und GOTT ist <span style="color:#FF6000">„Geist“</span>. Das besagt, dass GOTT nicht mit materiellen Dingen aus unserer Welt verglichen werden darf; <span style="color:#00B000">(was sowohl THOMAS von Aquin als auch Immanuel KANT doch getan haben)</span>. Und ganz wesentlich ''':''' der Zugang zu GOTT läuft nicht über den Beweis, sondern immer nur über den Glauben. Wer an GOTT glauben will, dem antwortet GOTT auf seine Weise — nämlich <span style="color:#FF6000">„geistig“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„geistlich“</span>. Wer nicht an GOTT glauben will, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Glaube ist immer eine freie Entscheidung des Menschen für GOTT. Niemand darf gezwungen werden. Wenn es einen ,Beweis‘ für GOTT gäbe, wäre jeder vernünftige Mensch gezwungen, an GOTT zu glauben. Und das widerspricht ganz entschieden der Freiheit des Glaubens. Daher gibt es nie und nimmermehr einen Existenzbeweis für GOTT '''!!!''' ... Daher darf man das Kalkül des Logiker GÖDEL, <span style="color:#00B000">(und das Theorem ANSELMS)</span>, auch nicht als einen Existenzbeweis für GOTT lesen. Sowohl ANSELM als auch GÖDEL setzen die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das GÖDEL-System, und auch das Theorem ANSELMS, sind bloß die logische Bestätigung der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines Menschen, der sich schon entschieden hat, an GOTT zu glauben; und nicht der Grund für seine Entscheidung. Alle sogenannten ,Gottesbeweise‘, sind in Wirklichkeit nichts anderes, als nachträgliche Evaluierungen eines GOTT-Glaubens, bzw. ,Wege‘, <span style="color:#00B000">(bei THOMAS von Aquin)</span>, die aufzeigen, dass der GOTT-Glaube widerspruchsfrei, sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL sagt. GOTT hat es nicht nötig, ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> zu werden. ANSELM ,beweist‘ jedoch, dass es sinnvoll ist, an GOTT zu glauben. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Einleitung</span></div>=== Eine Studie zum GÖDEL-Kalkül. Der Logiker Kurt GÖDEL <span style="color:#00B000">(1906-1978)</span> hat mit diesem Kalkül eine moderne Rekonstruktion des, <span style="color:#00B000">(von KANT)</span>, so genannten ‚ontologischen Gottesbeweises‘ nach ANSELM von Canterbury auf modal-logischer Basis vorgelegt. Damit hat er die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt, d.h. sie soll für jeden Menschen nachvollziehbar sein, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie er sagt. GÖDEL ,nimmt‘ als Logiker, angeregt durch den Philosophen und Mathematiker Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, rein theoretisch, fürs Erste, einmal ‚an‘, <span style="color:#00B000">(als Prämisse, d.i. der Term :01: im 3. Beweisgang zum Theorem ANSELMS im Anhang)</span>, dass es GOTT gibt ''':''' d.i. ein sog. ,methodologischer GOTT-Glaube‘, und untersucht die logischen Konsequenzen. Dabei zeigt sich, beim genaueren Hinsehen, dass der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, der ‚dezidierte‘ Atheismus, <span style="color:#00B000">(im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, überraschender Weise, zu einem Widerspruch führt, und damit logisch ,falsch‘ ist. Jedoch, GÖDEL kann und will mit seinem Kalkül keinen ,GOTT-Glauben‘ ,erzeugen‘, d.h. das GÖDEL-Kalkül ist kein <span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis"</span> für den GOTT der Bibel, sondern, es setzt die Existenz eines GOTTES, einfach als gegeben, schon voraus. GÖDEL beweist dann mit seinem System, dass der traditionelle abendländische ,GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. die Kalkül-Prämisse, und das, daraus ,regulär‘ (├ ) abgeleitete, Theorem ANSELMS)</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> <span style="color:#00B000">(d.h. logisch ,richtig‘)</span> ist, im Gegensatz zum ,Nicht-GOTT-Glauben‘, der davon ausgeht, dass es keinen GOTT gibt. GÖDEL beweist mit seinem System ''':''' der traditionelle GOTT-Glaube ist, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, widerspruchfrei und daher wahr. <span style="color:#00B000">(Der Beweis aus dem Widerspruch des Gegenteils ist ein ,indirekter Beweis‘ und kein ,Zirkelbeweis‘ '''!''' )</span> GÖDEL blieb bis zu seinem Tod ohne ein dezidiertes religiöses Bekenntnis. <span style="color:#00B000">(Das Leben ist nicht immer ,logisch‘.)</span> Entsprechend der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> ist GOTT der Größte, <span style="color:#FF6000">»''über dem nichts Größeres mehr gedacht werden kann''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELM)</span>; bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>, und der für uns immer schon ,da‘ ist. Das ist die methodologische Prämisse des GÖDEL-Kalküls. Davon ausgehend, zeigen Axiom-1 und Axiom-2, dass es zu einem Widerspruch führt, falls man ,annimmt‘, es sei nicht möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> gibt. Aus dem Widerspruch des Gegenteils wird von GÖDEL, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, dann ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''':''' es ist doch möglich, dass es <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> wirklich gibt. Somit ist der Glaube an <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, — weil widerspruchsfrei —, mit den Worten GÖDELS ''':''' <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span>. Immanuel KANT <span style="color:#00B000">(1724-1804)</span> scheint diesen Fall vorausgesehen zu haben, dass versucht werden könnte, die ,Möglichkeit‘ GOTTES aus einem Widerspruch zu ,beweisen‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> <span style="color:#00B000">[ Angenommen, es gibt ]</span> ''doch einen und zwar nur diesen '''Einen''' Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘, so dass ]</span> ''das Nichtsein oder das Aufheben seines Gegenstandes'' <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''in ,sich selbst‘ widersprechend sei; und dieses ist der Begriff des allerrealsten Wesens. Es hat, sagt ihr, alle Realität'', <span style="color:#00B000">[ bzw. alle Vollkommenheit ]</span>, ''und ihr seid berechtigt, ein solches Wesen als ,möglich‘ anzunehmen'' ... <span style="color:#00B000">[ denn das GÖDEL-Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) in der ,Widerlegung‘ im Anhang, wie auch im 1. Beweisgang, aus einem Widerspruch, dass die Existenz GOTTES definitiv logisch ,möglich‘ ist. ]</span> … ''obgleich der sich nicht widersprechende'', <span style="color:#00B000">[ ,mögliche‘ ]</span>, ''Begriff'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''noch lange nicht die'' <span style="color:#00B000">[ reale ]</span> ''Möglichkeit des Gegenstandes'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''beweiset. … Das ist eine Warnung, von der Möglichkeit der Begriffe (logische)'', <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, ''nicht sofort auf die Möglichkeit der Dinge (reale)'', <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, ''zu schließen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 399; https://www.korpora.org/kant/aa03/399.html</ref>. <span style="color:#00B000">[ Trotz dieser Warnung, wird dieser Schluss dennoch im Theorem ANSELMS vollzogen, bzw. mit GÖDEL im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> '''!''' ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span> Warum das <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist, und inwieweit KANT sich irrt, wird in dieser Studie gezeigt. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Der Schlüsselbegriff im Kalkül</span></div>=== Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ist <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Perfektion“, „Vollkommenheit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Für diesen wichtigen Begriff gibt es aber im Kalkül selbst keine explizite Definition, sondern er wird nur durch seine Verwendung innerhalb des Kalküls indirekt ‚definiert‘. <span style="color:#00B000">(Das heißt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''P'''‘ — </span> bezeichnet ein System von ,Eigenschaften‘, die ,positiv‘, bzw. ,vollkommen‘ | ,perfekt‘ | genannt werden, von denen im Kalkül wohl beweisbar ist, dass sie sich gegenseitig ,nicht widersprechen‘, weil sie im System als solche ,gleichwertig‘, bzw. gleich ,wahr‘ sind, jedoch ohne sie erschöpfend aufzählen zu können, oder auch nur sagen zu können, was sie alle im einzelnen bedeuten, außer, dass sie kompatibel sind.)</span> Mit der Wahl dieses Schlüsselbegriffes hat GÖDEL eine wesentliche Vorentscheidung für die Ergebnisse des Kalküls getroffen '''!''' In seinen Notizen zum ‚ontologischen Beweis‘ vom 10. Februar 1970 gibt GÖDEL, — für die nachträgliche Interpretation dieses Begriffes <span style="color:#00B000">(und auch für das Kalkül selbst)</span> —, die richtungsweisende Erklärung ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne...''«</span> ::Und er fügt in Klammer hinzu ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span><ref>GÖDEL, Kurt, ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Ontological proof‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Collected Works‘</big></span>'', vol. III, ed. S.FEFERMAN et al., Oxford (U.P.), 1995; 403–404.</ref> GÖDEL-Axiom-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚('''PX <small><math>{ \color{Blue} \dot\lor}</math></small> P¬X''')‘ ↔<span style="color:#00B000"> ‚('''¬PX ↔ P¬X''')‘</span> — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Entweder die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">‚'''X'''‘</span> ''oder ihre Negation'' <span style="color:#4C58FF">‚'''¬X'''‘</span> ''ist positiv''«</span>. Hier ist der Hauptkritikpunkt, dass es Eigenschaften gibt, die ,an sich‘ weder positiv noch negativ sind. Beispiele wären ''':''' ‚rothaarig‘ oder ‚schwerwiegend‘; solche Eigenschaften können aber ,für mich‘ entweder positiv oder negativ sein, abhängig von meiner Betrachtungsweise und subjektiven Vorlieben. Diese Eigenschaften, wie ‚rothaarig‘ an sich, oder meine positiv-negativen ‚Betrachtungsweisen‘, sind jedoch der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> entnommen und treffen nicht den <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Er orientierte sich an LEIBNIZ, welcher im Bezug zum ‚ontologischen Beweis‘ definiert ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''nenne ich jede einfache Eigenschaft, die sowohl positiv als auch absolut ist, oder dasjenige, was sie ausdrückt, ohne jede Begrenzung ausdrückt''.«</span><ref>Zitiert nach Thomas GAWLICK, in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Was sind und was sollen mathematische Gottesbeweise ?‘</big></span>'', Predigt vom 8.1.2012 in der Kreuzkirche zu Hannover. https://web.archive.org/web/20130524164359/http://www.idmp.uni-hannover.de/fileadmin/institut/IDMP-Studium-Mathematik/downloads/Gawlick/Predigt_Gawlick_Gottesbeweise.pdf</ref> Die Seins-Eigentümlichkeiten <span style="color:#00B000">(Daseinsmodi, Perfektionen)</span> wie ‚wahr‘, ‚gut‘, ‚edel‘ usw. entsprechen dem <span style="color:#FF6000">»''moralisch ästhetischen Sinn''«</span> von <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> bei GÖDEL. Das sind Beispiele für ‚absolut‘ positive Begriffe aus der Lehre der Seinsanalogie ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‚verissimum‘, ‚optimum‘, ‚nobilissimum‘</big></span>, usw., die, an sich, <span style="color:#FF6000">»''ohne jede Begrenzung gelten''«</span>; zu finden in der <span style="font-family: Times;"><big>‚Via quarta‘</big></span>, bei THOMAS von Aquin, über die <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> Abstufung im ‚Sein‘ der Dinge. Diese <span style="color:#FF6000">„analoge"</span> ‚Abstufung‘ ist dann die faktische Begrenztheit <span style="color:#00B000">(d.h. Unvollkommenheit)</span> im <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> ‚Sein‘ der Dinge —. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span> GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, wie Wahrheit, Einheit, Gutheit, <span style="color:#00B000">(von ,Güte‘)</span>, Schönheit, Adel, <span style="color:#00B000">(von ,edel‘)</span>, Gleichheit, Andersheit, Wirklichkeit, ,Sein‘ im Sinne von Etwas-sein, etc. werden <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span>, oder auch <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> genannt, <span style="color:#00B000">(von lateinisch ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>transcendere</big></span>, <span style="color:#FF6000">„übersteigen“</span>)</span>. In der mittelalterlichen Scholastik sind Transzendentalien die Grundbegriffe, die allem Seienden als <span style="color:#FF6000">„Modus“</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. ,Eigentümlichkeit‘, als allgemeine Seinsweisen)</span>, zukommen. Wegen ihrer Allgemeinheit ,übersteigen‘ sie die besonderen Seinsweisen, welche ARISTOTELES die ,Kategorien‘ nannte. Ontologisch betrachtet, werden die Transzendentalien als das allem Seienden Gemeinsame aufgefasst, da sie von allem ausgesagt werden können. Von der KI werden sie, nicht unpassend, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Eigenschaften des Seins“</span> bezeichnet, die <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existieren“</span>, <span style="color:#00B000">(da sie ,ultimativ‘ nur von GOTT, als den unbegrenzt Vollkommenen, der <span style="color:#FF6000">„jenseits der materiellen Welt existiert“</span>, ausgesagt werden können, die jedoch, auch von allen übrigen Seienden in der materiellen Welt, wegen deren seinsmäßigen Unvollkommenheit und Begrenztheit, abgestuft, d.h. <span style="color:#FF6000">„analog"</span>, ausgesagt werden)</span>. Diese Transzendentalien sind ,inakzident‘, das heißt, sie entstehen nicht aus anderen Begriffen, sondern sind erste, unteilbare ,Bestimmungen‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> des Denkens und des Seins, die ,allen Seienden‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀x'''‘ —</span>, unabhängig von ihren speziellen Eigenschaften, als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(bzw. Unvollkommenheiten)</span>, mit ,modaler Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> zukommen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, d.h. sie sind in allen Seienden, seinsmäßig abgestuft und abgegrenzt, ,relativ‘ zum unbegrenzt Unendlichen ihrer selbst, und <span style="color:#FF6000">»''dasjenige, was sie ausdrücken, drücken sie ohne jede Begrenzung aus''«</span>, <span style="color:#00B000">(LEIBNIZ)</span>; und damit stehen sie ontologisch in einer <span style="color:#FF6000">„analogen"</span> ,Beziehung‘ zu GOTT, dem absolut Vollkommenen und unbegrenzt Unendlichen. In der Erkenntnisordnung wirken sie als die ersten Begriffe des menschlichen Verstehens, die eine Basis für alle weiteren wissenschaftlichen Erkenntnisse bilden. In der Seinsordnung sind die Transzendentalien ontologisch eins, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(,mathematisch äquivalent‘)</span>, und daher konvertierbar, d.h. austauschbar, <span style="color:#00B000">(vgl. z. B. den scholastischen ,Merksatz‘ ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>,ens et verum convertuntur‘</big></span>)</span>. Damit sind sie auch von einander abhängig, was GÖDEL sowohl im Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, für positive Eigenschaften, als auch in der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaften, syntaktisch formalisiert hat mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, weil sie sich wechselseitig, — mit ,modaler‘ Notwendigkeit —, gleichwertig ,implizieren‘, d.h. einschließen, <span style="color:#00B000">(im Koinzidenz-Axiom-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span>, und in der Wesens-Definition-2 mit der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''y'''‘ — </span>, die, als noch unbestimmte Variablen, frei austauschbar sind)</span>. Man kann die Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(wie GÖDEL)</span>, auch ,Wesenseigenschaften‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''X'''_ess‘ —</span>, nennen, weil sie allem Seienden <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀y'''‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wesentlich, <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ ]</span>, analog"</span> zukommen. Weil Transzendentalien miteinander austauschbar sind, sind sie auch widerspruchsfrei, was GÖDEL mit dem dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit syntaktisch darstellt. Die Gültigkeit und Wahrheit, d.h. die mathematisch-logische Evidenz von Axiom-1 und dem Koinzidenz-Axiom-2, beruht auf der ontologischen Allgemeinheit und Gültigkeit der Transzendentalia, die GÖDEL mit der Wesens-Definition-2, in sein Kalkül explizit eingeführt und als Wesenseigenschaften ,bestimmt‘ hat. <span style="color:#00B000">(Definitionen werden formal-syntaktisch durch das Äquivalenzzeichen <span style="color:#4C58FF">,'''↔'''‘</span> angezeigt, gelesen als <span style="color:#FF6000">„...ist genau dann ... wenn...“</span>.)</span> Die GÖDEL-Axiome und -Definitionen sind jedoch nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit ,Transzendentalia‘, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>, belegt werden. Sie werden sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch"</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen mit ,Nicht-Transzendentalia‘, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘, belegt werden. <span style="color:#00B000">(Dieser ,Sachverhalt‘ wird von Kritikern des GÖDEL-Systems, — zu vorschnell —, verwendet, um ihre Behauptungen zu ,belegen‘, das GÖDEL-Kalkül und seine Konsequenzen seien ,falsch‘.)</span> Zum Überblick ''':''' <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> sind universale, alles Seiende charakterisierende Begriffe, die über kategoriale Einteilungen hinausgehen, und sowohl in der klassischen Scholastik, als auch in der modernen Philosophie, <span style="color:#00B000">(KANT, Uwe MEIXNER<ref>vgl. die ,transzendentalen‘ Bedingungen möglicher Erkenntnisse bei KANT; und auch in der ,Axiomatischen Ontologie‘ bei Uwe MEIXNER</ref>)</span>, als Grundlage der Metaphysik und Erkenntnistheorie dienen. Sie sind die <span style="color:#FF6000">„ersten Begriffe des Seins“</span>, die jedem Ding als ,relative‘ Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(Perfektionen)</span>, inhärent sind, <span style="color:#FF6000">„analogisch"</span> abgestuft, auf einen ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ausgerichtet, und die sich im Denken, <span style="color:#00B000">(für uns als wahr)</span>, und in der moralischen Wertung, <span style="color:#00B000">(für uns als gut und edel)</span>, manifestieren, relativ zum ,ultimativ‘-unbegrenzten Bezugspunkt ihrer selbst. Die faktische, zusätzliche Unvollkommenheit, die sich generell in der notwendigen, und unausweichlichen Vergänglichkeit aller Dinge zeigt, ist einem ontologischen Defekt ,geschuldet‘, der stark zeitabhängig ist, d.h. der einen Anfang und ein Ende hat. Das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>, ist immer falsch, wenn es auf etwas aus der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> angewendet wird, wie z. B. auf einen <span style="color:#FF6000">„Tsunami“</span>, dessen ‚Existenz‘ für uns nicht ‚positiv‘ ist. KANT hat schon festgestellt ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Das gilt für alles, was <span style="color:#FF6000">„existiert“</span>. Dieses Identitäts-Axiom-5 hat nur dann seine Gültigkeit, ist nur dann ,wahr‘, wenn <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> in eins zusammenfallen, ,identisch‘ sind. Bei allen Dingen, die ‚da‘ sind, ist ihr ‚Da-Sein‘ ontologisch immer verschieden zu dem ‚was‘ sie sind ''':''' zu ihrem ,Was-Sein‘. In der philosophischen Tradition, seit ARISTOTELES, wird die ontologische Identität, genauer ''':''' d.i die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, der innere Zusammenhang von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ allein nur dem <span style="color:#FF6000">„selbst ‚unbewegten‘ Erstbewegenden“</span> zugeschrieben, dem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,prôton kinoûn akinêton‘</span>, von dem ARISTOTELES etwas später sagt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''denn dies ist der Gott''«</span> und dann hinzufügt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''so sagen wir ja''«</span>; d.h. das ist eine Interpretation aus dem Glaubenskontext des ARISTOTELES. Er war ein Gott-gläubiger Grieche. Wer an GOTT glaubt, kann das nachvollziehen. GÖDEL musste dieses Identitärs-Axiom-5 postulieren, sonst wäre sein Kalkül nicht aufgegangen, ohne dass er deswegen schon an GOTT glauben müsste. Er hat für sein Kalkül das ontologische Theorem von der Identität von ‚Sein‘ und ‚Wesen‘ im ‚unbewegten Erstbeweger‘ des ARISTOTELES benutzt, ohne diese Herkunft explizit referenziert zu haben. <span style="color:#00B000">(Gilt auch für das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit, das GOTT-Sein, das ‚Dasein‘ GOTTES, ist eine positive Wesenseigenschaft, eine Perfektion; d.h. ist das ‚Wesen‘ GOTTES ''':''' GOTT ist perfekt''«</span>)</span>. Die ontologische Identität von Sein und Wesen, Existenz und Essenz, wie auch die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von Möglichkeit und Wirklichkeit, von Ursache und Wirkung, sowie auch die ontologische Einheit von <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Subjekt und <span style="color:#00B000">(Erkenntnis-)</span>Objekt im <span style="color:#FF6000">»''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,noêseôs noêsis‘ <small>(<span style="font-family: Times;"><big>,''Metaphysik''‘</big></span> XII 9, 1074b34)</small></span>, und der innere Zusammenhang der <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, gilt nur in der <span style="color:#FF6000">„unverursachten Letztursache"</span>, auf die ARISTOTELES bei seiner Prinzipienforschung gestoßen ist. Es gibt verschiedene Versuche, die GÖDEL-Axiome durch sog. ,Modelle‘, relativ zu einfacheren ,Welten‘, zu verifizieren, um damit ihre relative Konsistenz nachzuweisen. Für GÖDEL aber <span style="color:#FF6000">»''sind die Axiome nur dann'' <span style="color:#00B000">[ in unserer ,realen‘ Welt ]</span> ''wahr'' <span style="color:#00B000">[ und annehmbar ]</span>«</span>, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt'' <span style="color:#00B000">[ d.h. jeder auch nur ,möglichen‘ Welt ]</span> ''sind''«</span>. Diese Bedingung verweist jede Verifikation und jede Interpretation der Axiome auf das ,Nicht-Zufällige‘, das ,Notwendige‘, ,Absolute‘, in dem die Axiome und Definitionen des GÖDEL-Kalküls erst dadurch ihren Sinn und ihre Bedeutung bekommen, wenn sie vom ,Absoluten‘ und ,Unendlichen‘ her erklärt und verstanden werden. Damit insistiert GÖDEL auf eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation seines Kalküls, mit der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> zum Begriff GOTT, dem unbegrenzt Unendlichen, als Verifikationskriterium. Das entspricht auch der ,methodologischen‘ Prämisse seines Kalküls. Die wichtigsten Axiome und Definitionen im GÖDEL-Kalkül sind jedoch bloße ,Annahmen‘, deren Evidenz, sowohl die ,mathematische‘ als auch die <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span>, erst evaluiert, d.h. ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden muss. Das bedeutet ''':''' die logische Verifikation der Axiome und Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten kann nur Kalkül-intern durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit erfolgen, d.i. <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span>. Logisch evaluierte und verifizierte Axiome und Definitionen sind dann die ,modal‘ notwendigen, d.h. die ,transzendentalen‘ Voraussetzungen für die Ergebnisse eines Kalküls, damit seine Theoreme und Korollare in unserer ,realen‘ Welt als logisch ,wahr‘ und damit für uns auch als ,annehmbar‘ gelten können, während die Prämissen eines Kalküls, <span style="color:#00B000">(die Argument Einführung, <span style="color:#4C58FF">— '''AE:''' —</span> )</span>, nicht notwendige, und somit ,modal‘ frei gewählte ,Annahmen‘ sind. Jedoch aus diesen ,modal‘ frei gewählten, ,möglichen‘ <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''◇'''</span> )</span> Prämissen folgen mit Hilfe der ,bewiesenen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> Axiome und Definitionen die Ergebnisse mit ,modaler‘ Notwendigkeit <span style="color:#00B000">( <span style="color:#4C58FF">'''□'''</span> )</span>. Die Logik des GÖDEL-Systems ist eine ,Prädikatenlogik‘ zweiter Stufe, in der die Quantoren nicht nur Individuum-Variable, sondern auch Eigenschafts-Variable, <span style="color:#00B000">(als noch ,unbestimmte‘ Prädikate im Allgemeinen)</span>, binden können. Die formale Struktur des GÖDEL-Kalküls besteht aus fünf Axiomen und drei Definitionen, mit deren Hilfe in drei Beweisgängen drei Theoreme und mehrere Korollare aus seiner ,methodologischen‘ Prämisse ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitet werden können, wobei die beiden ersten Beweisgänge, mit ihren Ergebnissen, den dritten vorbereiten, in dem es dann um das Theorem ANSELMS geht. Die Prämisse des GÖDEL-Kalküls in allen Beweisgängen ist der traditionelle ,GOTT-Glaube‘, in der Formulierung speziell nach LEIBNIZ. Ein Axiom, eine Definition, zwei Theoreme und alle Korollare im GÖDEL-Kalkül sind Aussagen über <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>. Alle fünf Axiome, eine Definition und ein Theorem, <span style="color:#00B000">(und das Korollar aus Axiom-4)</span>, sind auch Aussagen über die Eigenschaft <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“, „Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, die in der <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> als die Wesenseigenschaft GOTTES gilt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist vollkommen''«</span> bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das Vollkommenste der Wesen''«</span>, <span style="color:#00B000">(DESCARTES)</span>. Zwei Definitionen sind Aussagen über die allgemeinen Wesenseigenschaften aller Seienden, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, die Transzendentalien, die, als notwendige Existenz, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, auch GOTT zugeordnet werden, mit der Besonderheit bei GOTT, dass sowohl alle Eigenschaften, als auch alle anderen Zuordnungen, wie Sein und Wesen, wie Ursache und Wirkung, usw., im Unendlichen, GOTT, <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, d.h. in GOTT paarweise perspektivisch in ,eins‘ zusammenfallen, und die auch, als Transzendentalia, konvertierbar, d.h. austauschbar sind. Diese Sachverhalte machen deutlich, dass eine spezifische ,Verifikation‘ und sachgerechte ,Evaluierung‘ der GÖDEL-Axiomatik nur genuin <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> erfolgen kann. Die Evaluierung der <span style="color:#FF6000">»''mathematischen Evidenz''«</span> des GÖDEL-Systems, im Allgemeinen, muss jedoch entsprechend der Maßstäbe einer modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe durchgeführt werden. Das GÖDEL-Kalkül unterscheidet <span style="color:#00B000">(in Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>)</span> formal-syntaktisch zwischen der Eigenschaft ,Existenz‘, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''E'''‘ —</span>, die nur GOTT zugeordnet werden kann, und dem Existenz-Operator, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃'''‘ —</span>, der auch allem Übrigen, das nicht GOTT ist, zugeordnet wird. Es gibt hier auch den formal-syntaktischen Unterschied zwischen der, <span style="color:#00B000">(von mir notierten, jedoch von GÖDEL schon intendierten und angesprochenen)</span>, speziellen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>, die nur der Existenz GOTTES zugeordnet ist, und der modalen ,Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span>, die auf Verschiedenes bezogen werden kann. Diese Unterschiede sind Hinweise, dass GÖDEL in seiner Kalkül-Logik und -Syntax, die Außerordentlichkeit und Eigenständigkeit GOTTES berücksichtigt, der, als Schöpfer der Welt, prinzipiell und absolut <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt''«</span> ist, die erst durch GOTT auch das ist, was sie ist. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Genese des Kalküls</span></div>=== Wie kommt GÖDEL zu seinem Kalkül '''?''' Sein Gewährsmann war Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, <span style="color:#00B000">(1646-1716)</span>, den er sehr schätzte. Die rekonstruierbare Genese seines Kalküls findet man in LEIBNIZ ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Neue Abhandlungen über den menschlichen Verstand‘</big></span>'', <span style="color:#00B000">(1704)</span>‚ ''<span style="font-family: Times;"><big>Viertes Buch, Kapitel X ''':''' ‚Von unserer Erkenntnis des Daseins Gottes‘</big></span>'', Seite 475f. Hier der <span style="color:#00B000">[ kommentierte ]</span> Textausschnitt zum sog. ontologischen ‚Gottesbeweis‘''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Folgendes etwa ist der Gang seines'' <span style="color:#00B000">[ d.h. ANSELMS, Erzbischof von Canterbury; 1033-1109, ]</span> ''Beweises ''':''' GOTT ist das Größte'', <span style="color:#00B000">[ ANSELM spricht vom biblischen GOTT des Glaubens, als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''den, über dem ,Größeres‘'' | <span style="font-family: Times;"><big>‚maius‘</big></span> | ''nicht mehr gedacht werden kann''«</span> ]</span>, ''oder, wie DESCARTES es ausdrückt ''':''' das Vollkommenste der Wesen oder auch ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' ''':''' <span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' </span><span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘</span> <span style="color:#00B000">:= ‚Perfektion‘, ‚positive Eigenschaft‘ ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>. Die GOTT-Definition-1 bildet die traditionelle Vorstellung von GOTT ab. ]</span> ''Dies also ist der Begriff GOTTES.'' <span style="color:#00B000">[ Der Term <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> steht hier für den biblischen ‚Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> als ,Individuumname‘ '''!''' ]</span> ''Sehen wir nun, wie aus diesem Begriff das ‚Dasein’ folgt.''<span style="color:#00B000"> [ GÖDEL ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist notwendig aus sich ‚da‘''«</span> ''':''' Term :10:, 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang. ]</span> ''Es ist etwas <u>mehr</u>, ‚da‘ zu sein, als nicht ‚da‘ zu sein, oder auch das ‚Dasein‘ fügt der Größe oder der Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ GOTTES ]</span> ''einen Grad hinzu, und wie DESCARTES es ausspricht, das ‚Dasein‘ ist selbst eine Vollkommenheit.''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Diesen Ausspruch DESCARTES übernimmt GÖDEL im Idenditäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''</span> [ alias ‚Dasein GOTTES’ ] <span style="color:#FF6000">''ist eine positive Eigenschaft''</span> [ alias Vollkommenheit ]<span style="color:#FF6000">«</span>. Dem widerspricht KANT ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>. Das Idenditäts-Axiom-5 ist daher nur dann ‚wahr‘, wenn ‚Wirklichsein‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια οὖσα</big></span>“</span> | ‚enérgeia oúsa‘ | d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ | — genauer ''':''' ‚Wesenseigenschaften’ —, ontologisch ,eins‘ sind, d.h. wenn <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> immer schon die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> GOTTES ist. Was nach ARISTOTELES nur im <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbeweger“</span> der Fall ist; bzw. mit LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span> '''!''' Aus der ,methodologischen‘ ,Annahme‘ im 2. Beweisgang GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen''«</span>, und mit Hilfe von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, mit dem Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich, — von Natur aus —, positiv''«</span>, mit der Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Zum Wesen gehören notwendig auch alle Konsequenzen aus einer Wesenseigenschaft''«</span>, und mit dem Axiom-1 von der Widerspruchsfreiheit und der Definition für GOTT, folgt nach einigen logischen Umformungen das GÖDEL-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist genau dann der GOTT der Christen, wenn das Wesen dieses GOTTES sein eigenes Sein ist''«</span>. Dasein und Wesen sind im Unendlichen, GOTT <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘, übereinstimmend mit dem Theorem des ARISTOTELES. Mit diesem, im Kalkül <u>ohne</u> dem Identitäts-Axiom-5 ,regulär‘ (├ ) abgeleiteten Basis-Theorem von der Gleichheit von Wesen und Sein, widerlegt er KANT für den individuellen Spezialfall <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> := <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>. Nachprüfbar im Anhang ''':''' im ‚ontologischen‘ 2. Beweisgang für das Basis-Theorem-2. Somit ist das Idenditäts-Axiom-5 ,wahr‘, und KANT, der <span style="color:#FF6000">»''eine Abneigung gegen das Gebet hatte''«</span> und auch <span style="color:#FF6000">»''nie zu den sonntäglichen Kirchgängern zählte''«</span><ref>Uwe SCHULTZ ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Immanuel Kant</big></span>''‘, Rowohlt Monographie 50659, Seite 12</ref>, hat sich hier, im Bezug auf GOTT, geirrt. <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, war für KANT nie eine ernstzunehmende Option. Die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, als Wissenschaft von GOTT, die natürlich immer auch verbunden sein muss mit der täglichen ,Erfahrung‘ einer Glaubens-Praxis, im Gebet und in den Gottesdienst-Feiern des <span style="color:#4C58FF">„Theologen“</span>, und die daraus entsteht, ist eine ziemlich ,ausgereifte‘ Disziplin. Es haben sich, durch Jahrhunderte hindurch, viele gläubige und auch gescheite Menschen, schon im Judentum, und dann im Christentum, und ebenfalls im Islam, darum bemüht.)</span> :: <span style="color:#FF6000">»</span>''Darum ist dieser Grad von Größe und Vollkommenheit oder auch diese Vollkommenheit, welche im ‚Dasein‘ besteht, in diesem höchsten, durchaus großen, ganz vollkommenen Wesen, denn sonst würde ihm ein Grad fehlen, was gegen seine Definition wäre. Und folglich ist dies höchste Wesen ‚da‘. Die Scholastiker, ohne selbst ihren'' <span style="font-family: Times;"><big>doctor angelicus</big></span> <span style="color:#00B000">[ := THOMAS von Aquin ]</span> ''auszunehmen, haben diesen Beweis verachtet'', <span style="color:#00B000">[ wie später auch Immanuel KANT ]</span>, ''und ihn als einen Paralogismus'' <span style="color:#00B000">[ := Fehlschluss ]</span> ''betrachtet, worin sie sehr unrecht gehabt haben; und DESCARTES, welcher die scholastische Philosophie im Kolleg der Jesuiten zu La Flèche lange genug studiert hatte, hat sehr recht gehabt, ihn wieder zu Ehren zu bringen. Es ist nicht ein Paralogismus, sondern ein unvollständiger Beweis'', <span style="color:#00B000">[ den GÖDEL vervollständigt hat ]</span>, ''der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' <span style="color:#00B000">[ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span> '''::''' ,möglich‘, ,konsistent‘, ,denkbar‘; GÖDEL beweist im 1. Beweisgang Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ die allgemeinen Transzendentalien ]</span>, ''sind widerspruchsfrei''«</span>, und mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, folgt das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist widerspruchsfrei möglich''«</span> ]</span>. ''Und es ist schon etwas, dass man durch diese Bemerkung beweist ''':''' gesetzt, dass GOTT'' <span style="color:#00B000">['' <span style="color:#FF6000">»widerspruchsfrei«</span> '']</span> '',möglich‘ ist, so ‚ist‘ er'' <span style="color:#00B000">[ ,notwendig‘ '''::''' <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> '''::''' für jede mögliche Welt auch wirklich aus sich ‚da‘ ]</span>, ''was das Privilegium der Gottheit allein ist'' ''':''' <span style="color:#00B000">[ Im 3. Beweisgang, Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' ‚ANSELMS Prinzip‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT widerspruchsfrei ,möglich‘ ist, darum ist auch der Glaube widerspruchsfrei, der annimmt, dass GOTT aus sich ,notwendig‘ da ist''«</span>; mit seinem Korollar-3, das André FUHRMANN im Kalkül zusätzlich abgeleitet hat ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig nur einen einzigen GOTT''«</span>. Damit ist auch der Monotheïsmus bewiesen. ]</span> ''Man hat recht, die Möglichkeit eines jeden Wesens anzunehmen und vor allem die GOTTES, bis ein anderer das Gegenteil beweist''. <span style="color:#00B000">[ Das Gegenteil besagt, dass GOTT ,unmöglich‘ ist. Hier setzt der Möglichkeitsbeweis im GÖDEL-Kalkül an, und beweist, dass diese Aussage zu einem Widerspruch führt, im Anhang ''':''' ,Widerlegung‘. ]</span> ''Somit gibt dieser metaphysische Beweis schon einen moralischen zwingenden Schluss ab, wonach wir dem gegenwärtigen Stande unserer Erkenntnisse zufolge urteilen müssen, dass GOTT ‚da‘ sei, und demgemäß handeln.'' <span style="color:#00B000">[ Aber nicht logisch zwingend '''!''' Denn die Interpretation <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> mit dem GOTT der Bibel, als ,methodologische‘ Kalkül-Prämisse, ist nicht zwingend, jedoch ,modal‘ möglich, <span style="color:#4C58FF">— '''◇''' —</span>, und im christlichen Glaubenskontext sinnvoll, was mit einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls gezeigt werden kann. Damit wäre dann auch die Frage beantwortet, ob das GÖDEL-System sich plausibel als eine Theorie von GOTT und seinen Eigenschaften interpretieren lässt, bzw. als eine <span style="color:#FF6000">»''axiomatische''«</span> <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>, wie sie A. FUHRMANN apostrophiert. Das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ist der ,Individuumname‘ für den GOTT der Bibel, — ,GOTT‘ groß geschrieben —, im monotheïstischen, christlichen Glaubenskontext, den auch LEIBNIZ teilt. Dann steht der ,Name‘ auch synonym für das ,existierende‘ Individuum, d.h. für dessen ,Existenz‘. ]</span> ''Es wäre aber doch zu wünschen, dass gescheite Männer'' <span style="color:#00B000">[ sic ! ]</span> ''den Beweis mit der Strenge einer mathematischen Evidenz vollendeten'', <span style="color:#00B000">[ was GÖDEL veranlasst hat, seine Version eines ‚ontologischen Beweises’ zu kreieren, dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> man heute mit Computerprogrammen<ref>siehe Fußnote 13</ref> schon nachgewiesen hat ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span>. Für GÖDEL war dieser Text eine intellektuelle Herausforderung, und er hat sie angenommen. Das war für GÖDEL sicher keine Glaubensangelegenheit. GOTT hat es ja auch nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. Wer <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> z. B. mit dem sog. ‚Urknall‘ gleich setzt, macht die <span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> im ‚Urknall‘, <span style="color:#00B000">(pantheistisch)</span> zu einem ,Gott‘, was GÖDEL dezidiert für sein Kalkül ausgeschlossen haben wollte, indem er die ,Unabhängigkeit‘ seines GOTT-Axioms ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> und der GOTT-Definition für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, und damit auch für den GOTT der Christen, von der<span style="color:#FF6000">»''zufällige Struktur der Welt''«</span> verlangt. Kurt GÖDEL schreibt 1961 in einem Brief, in Anlehnung an den obigen Text ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»...''ich glaube, schon heute dürfte es möglich sein, rein verstandesmäßig ''<span style="color:#00B000">[ sic '''!''' ]</span>, ''(ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen) einzusehen, dass die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass es GOTT gibt ]</span>, ''mit allen bekannten Tatsachen'', <span style="color:#00B000">[ z. B. mit den Maßstäben einer modernen Logik ]</span>, ''durchaus vereinbar ist. Das hat schon vor 250 Jahren der berühmte Philosoph und Mathematiker LEIBNIZ versucht''.«</span><ref>Zitiert nach SCHIMANOVICH-GALIDESCU, M.-E. ''':''' ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Princeton–Wien 1946–1966. Briefe an die Mutter</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kurt Gödel – Leben und Werk</big></span>''‘, Hg. B.BULDT et alia, Wien (HÖLDER–PICHLER–TEMSKY), 2001, Band 1</ref> ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Interpretation des Kalküls</span></div>=== Wenn man sich das GÖDEL-Kalkül ansieht, wie es heute formalisiert vorliegt, stellt sich die Frage ''':''' <span style="color:#FF6000">„Lässt sich dieses System plausibel als eine Theorie von GOTT <span style="color:#00B000">(als eine ‚Rede von GOTT’ := <span style="color:#4C58FF">,Theologie’</span>)</span> und seiner Eigenschaften verstehen '''?''' “ — „Ist hier eine genuin <span style="color:#4C58FF">,theologische’</span> Interpretation möglich '''?''' “</span> Seine Herkunft aus der intellektuellen Auseinandersetzung des Logikers GÖDEL mit dem GOTT-gläubigen Philosophen LEIBNIZ und dem christlichen Theologen und Erzbischof ANSELM rechtfertigt diese Frage. Die <span style="color:#FF6000">„mathematische Evidenz“</span> des GÖDEL-Formalismus, <span style="color:#00B000">(im Anhang nachgestellt)</span>, ist allgemein anerkannt, <span style="color:#00B000">(Vorbehalte dagegen gibt es nur bei der Interpretation seiner Syntax, d.h. ob die Axiome und Definitionen, wie GÖDEL sie konzipiert hat, bzw. ob die Theoreme und Korollare, die aus diesen Axiomen ,regulär’ (├ ) abgeleitet werden, auch in unserer realen Welt ,wahr’ und ,annehmbar’ sind)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„theologische Evidenz“</span> des GÖDEL-Systems wird durch eine ,Verankerung’ der Axiome und Definitionen in den <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-philosophischen Diskurs über GOTT evaluiert, der schon seit zweieinhalbtausend Jahren läuft. In diesen zweieinhalbtausend Jahren hat sich, — gegen ARISTOTELES und die antike Philosophie —, die Erkenntnis durchgesetzt, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen''«</span> Raum-Zeit-Struktur unserer vergänglichen Welt ist. In meiner Darstellung des GÖDEL-Kalküls folge ich, <span style="color:#00B000">(im Unterschied zum Autographen GÖDELS, vom 10. Feb 1970)</span>, in der Axiom-Formulierung und -Nummerierung, in der Syntax, und in der Beweis-Struktur, der Arbeit von André FUHRMANN ''':''' ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Existenz und Notwendigkeit. Kurt Gödels axiomatische Theologie‘</big></span>'' in ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Logik in der Philosophie‘</big></span>'' Hg. SCHROEDER-HEISTER, SPOHN und OLSSON, 2005, Synchron, Heidelberg, Seite 349–374. <span style="color:#00B000">(Die tiefer gestellte Notation der spezifischen ,Eigenschaft‘ einer Eigenschaft ist meine Ergänzung zur formalen Syntax, z. B. ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span>, angeregt durch die indizierende Schreibweise GÖDELS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''G''' Ess. '''x'''’ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>, m.a.W. <span style="color:#FF6000">»''das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''’</span> ''hat die Wesenseigenschaft, GOTT zu sein''«</span>.)</span> Die Erkenntnisse zur Straffung und Präzisierung der GÖDEL-Syntax, <span style="color:#00B000">(besonders im Möglichkeitsbeweis)</span>, stammen aus der Arbeit von Günther J. WIRSCHING ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, im Web <ref>https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf</ref>. <span style="color:#00B000">(Auch der Hinweis auf AVICENNA kommt von WIRSCHING.)</span> Die Zitate von THOMAS von Aquin´s Stellungnahme zum Theorem ANSELMS, und die Strellungnahme von Georg Wilhelm Friedrich HEGEL zu KANTS Ablehnung des Theorem ANSELMS, befinden sich in Franz SCHUPP, ,<span style="font-family: Times;"><big>''Geschichte der Philosophie im Überblick''</big></span>‘, Band 2 ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Christliche Antike, Mittelalter''</big></span>‘, Hamburg 2003, Seite 168 und Seite 170. Meines Erachtens ist der entscheidende Ansatzpunkt einer <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation das GÖDEL-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. ‚Frei‘ nach KANT ‚formuliere‘ ich ‚kurz‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>. Hier die Positionen KANTS zum Thema ‚Existenz‘ und ‚Eigenschaften‘ ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''… unbeschadet der wirklichen Existenz äußerer Dinge'', <span style="color:#00B000">[ kann man ]</span> ''von einer Menge ihrer Prädikate'', <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ],</span> ''sagen'' … ''':''' ''sie gehöreten nicht zu diesen ‚Dingen an sich selbst‘, sondern nur zu ihren Erscheinungen, und hätten außer unserer Vorstellung'' <span style="color:#00B000">[ ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, ]</span> ''keine eigene Existenz, … weil ich finde, dass … '''alle Eigenschaften, die die Anschauung eines Körpers ausmachen''', bloß zu seiner Erscheinung gehören; denn die Existenz des Dinges, was erscheint, wird dadurch nicht … aufgehoben, sondern nur gezeigt, dass wir es'', <span style="color:#00B000">[ das Ding ]</span>, ''wie es ‚an sich selbst‘ sei'', <span style="color:#00B000">[ d.h. existiert ]</span>, ''durch Sinne gar nicht erkennen können''.<span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Prolegomena zu einer jeden künftigen Metaphysik, die als Wissenschaft wird auftreten können</big></span>''‘, Seite 289; https://www.korpora.org/kant/aa04/289.html</ref> <span style="color:#00B000"><small>(Hervorhebung durch KANT.)</small> [ Seine Prädikate, d.h. Eigenschaften, jedoch können wir mit unseren Sinnen ,anschauen‘, aber nur in Kombination mit unserer Vorstellung ihrer, als ,wirklich‘ gedachten Erscheinung, vermittelt durch den sog. ,transzendentalen Schematismus‘ unserer Einbildungskraft ''':'''</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Eine verborgene Kunst in den Tiefen der menschlichen Seele''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">jedoch auch eines der ,dunkelsten‘ Kapitel in der K.d.r.V., bedingt durch KANTS Konzept von ,Wirklichkeit‘, bzw. ,Sein‘. ]</span> Mit anderen Worten, man kann die ‚Existenz‘, bzw. das ‚Sein‘ der Dinge, <span style="color:#00B000">(das ‚Ding an sich’ bei KANT)</span>, nicht unter dem Mikroskop finden. Die ‚Existenz‘ bzw. das ‚Sein‘ ist keine sinnlich registrierbare ‚Eigenschaft‘ z. B. des rekonstruierten ‚Stadt-Schlosses‘ in Berlin. <span style="color:#00B000">(‚Sein‘ ist kein reales ‚Prädikat‘.)</span> Dafür haben wir andere Fähigkeiten ''':''' Ich kann seine ‚Existenz‘ mit meinem Verstand einsehen, weil auch ich selbst ‚existiere‘. Seine ‚Ansicht‘, wie ‚gefällig‘ es ist, und auch weitere ‚Eigenschaften‘, die mir auffallen, kann ich mit einem Handy-Foto dokumentieren. Diese ‚Eigenschaften‘ sind nicht die Ursache, dass das ‚Berliner Schloss‘ existiert. Wohl aber die Rekonstruktion dieses Schlosses ist die ‚Ursache‘, dass es ,existiert‘, und jetzt so aussieht. Insofern ist ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘, sondern die ‚Existenz‘ des Dinges ist die Voraussetzung, der ‚Grund‘, dass ich die ‚Eigenschaften‘ des Dinges mit meinen Sinnen feststellen kann. In einer Auseinandersetzung mit CARTESIUS schreibt KANT, philosophisch ‚tiefgründig‘ und logisch ‚exakt‘, über dessen <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„Cogito, ergo sum“</big></span></span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>''Das ‚Ich denke‘ ist ein empirischer Satz, und hält den Satz ‚Ich existiere‘ in sich. Ich kann aber nicht sagen ''':''' ‚Alles, was denkt, existiert‘; denn da würde die Eigenschaft des Denkens'', <span style="color:#00B000">[ eine essentielle Eigenschaft ]</span>, ''alle Wesen, die sie besitzen, zu notwendigen'' <span style="color:#00B000">[ d.h. notwendig existierenden ]</span> ''Wesen machen''. <span style="color:#00B000">[ Was allein nur von GOTT ausgesagt werden kann; mit AVICENNA, als anerkannter ARISTOTELES-Kommentator ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist das einzige Sein, bei dem Essenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Wesenseigenschaften‘ ]</span> ''und Existenz'' <span style="color:#00B000">[ ‚Dasein‘ ]</span> ''nicht zu trennen sind und das daher notwendig an sich da ist''«, <span style="color:#00B000">— konform mit GÖDEL ''':'''</span> »''notwendige Existenz ist eine positive'' <span style="color:#00B000">[ essentielle ]</span> ''Eigenschaft''«</span> ].</span> ''Daher kann meine Existenz auch nicht aus dem Satz, ‚Ich denke‘, als'' <span style="color:#00B000">[ logisch ]</span> ''gefolgert angesehen werden, wie CARTESIUS dafür hielt (weil sonst der Obersatz : ‚Alles, was denkt, existiert‘, vorausgehen müsste), sondern ist mit ihm identisch.'' <span style="color:#00B000">[ Eine einfache Schlussfolgerung ''':''' meine ‚Existenz‘ ist auch nicht von meiner ‚Eigenschaft‘ Denken ‚verursacht‘. ,Existenz‘ ist nicht bloß ein ,Gedanke‘ von mir. ]</span><span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 41 zu den ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Paralogismen der reinen Vernunft</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 275,<ref>https://korpora.org/kant/aa03/275.html</ref> mit meinem Einschub des AVICENNA-Zitat aus Wikipedia.<ref>{{w|Avicenna#Metaphysik}}</ref>)</span> Mit anderen Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">„Die Eigenschaft, dass ich denken kann, ist nicht die Ursache meiner ‚Existenz‘“</span>, sondern, <span style="color:#FF6000">„Die Liebe meiner Eltern und ihre Entscheidung füreinander ist die Ursache meiner ‚Existenz‘. Daher ‚bin’ ich. Und weil ich ein Mensch ‚bin‘, kann ich denken.“</span> Auch mit diesen Anmerkungen ist leicht einsehbar, dass ‚Existenz‘ keine ‚Eigenschaft‘ ist — außer bei GOTT. In GOTT ist ‚Dasein‘ die ‚Wesenseigenschaft‘ GOTTES, d.h. ‚Dasein‘ und ‚Wesen‘ sind in GOTT untrennbar verbunden; sind <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ‚eins‘. Das ist die Einzigartigkeit im Wesen GOTTES, dass GOTT immer schon ‚da‘ ist. Die Frage nach dem ‚Wesen‘ GOTTES lautet ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span>/<span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Antwort, Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'' <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Weil GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, hat GOTT es nicht nötig, ‚bewiesen‘ zu werden. <span style="color:#00B000">(In der Mathematik ist ein ‚Satz‘ erst dann ‚wahr‘ und ‚existent‘, wenn er bewiesen ist. Bei GOTT ist es jedoch nicht so ''':''' GOTTES ‚Existenz‘ ist nicht erst dann ‚wahr‘, wenn seine ‚Existenz‘ von uns ‚bewiesen‘ ist. Sein ‚Dasein‘ ist jedem unserer ‚Beweisversuche‘ immer schon voraus. Der Zugang zu GOTT ist nicht der ,Beweis‘, sondern der ,Glaube‘. Wer an GOTT glauben ,will‘, dem antwortet GOTT. Wer nicht an GOTT glauben ,will‘, dessen Entscheidung respektiert GOTT, und drängt sich nicht auf. Die Glaubens-Entscheidung hat jedoch für jeden Menschen eine existenzielle Konsequenz ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wer glaubt und sich taufen lässt, wird gerettet; wer aber nicht glaubt'', <span style="color:#00B000">[ und diese Entscheidung auch im Augenblick der ,Wahrheit‘, im Tod, in der sog. ,Endentscheidung‘, nicht widerruft ]</span>, ''wird verurteilt werden''«,</span> <small>({{Bibel | Markus Evangelium |16|16|EU}})</small>. Das Urteil lautet ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''zweiter Tod ''':''' der Feuersee''«</span>, <small>({{Bibel | Offenbarung |20|14f|EU}})</small>, ohne Berufungsmöglichkeit. <span style="color:#CC66FF">»''Ohne Glauben aber ist es unmöglich, Gott zu gefallen; denn wer zu Gott kommen will, muss glauben, dass er ist und dass er denen, die ihn suchen, ihren Lohn geben wird''«.</span> <small>({{Bibel | Hebräer Brief |11|6|LUT}})</small>)</span> Das GÖDEL-Axiom-5 ist m.E. der entscheidende Ansatzpunkt einer stimmigen <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation der GÖDEL-Axiomatik. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Das Kalkül ist kein Existenz-Beweis für GOTT</span></div>=== Die allgemeine <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des GÖDEL-Formalismus, d.h. seine ‚Schlusskraft‘, ist von kompetenten Leuten<ref>„GÖDELS Argumentationskette ist nachweisbar korrekt – so viel hat der Computer nach Ansicht der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO nun gezeigt;“ vgl. https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html</ref> schon festgestellt worden, <span style="color:#00B000">(im Anhang ‚nachrechenbar‘ mit den Regeln und Gesetzen einer modalen Prädikatenlogik 2. Stufe)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist jedoch kein ‚moderner‘<span style="color:#FF6000">„Existenz-Beweis“</span> für GOTT, wofür es gehalten oder meistens bezweifelt und hinterfragt wird, sondern setzt, <span style="color:#00B000">(theoretisch methodisch)</span>, und wie selbstverständlich, den <span style="color:#FF6000">„Glauben an die Existenz GOTTES“</span> schon voraus, ohne diese in Zweifel zu ziehen. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> bzw. die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> GOTTES wird mit der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem GOTT der Christen, bzw. mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, im Kalkül ‚definitorisch‘ bzw. ‚axiomatisch‘ als Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, eingeführt, unter der Voraussetzung, dass die ‚Eigenschaft‘ <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span><span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> und das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, ontologisch ‚identisch‘, genauer ''':''' <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> sind, was GÖDEL im Identitäts-Axiom-5 definitiv für sein System vorschreibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft''«</span>. Das <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ist faktisch äquivalent zur <span style="color:#FF6000">„notwendigen Existenz als GOTT“</span>; und <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ist die <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft in GOTT“</span>. Beides ist nach dem Identitäts-Axiom-5 ‚identisch‘, d.h. dem ‚Sein nach‘ dasselbe, und daher konvertierbar. Beide, <span style="color:#00B000">(sowohl die Essenz, als auch die Existenz GOTTES)</span>, werden daher auch mit demselben Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> im Kalkül dargestellt. Der traditionelle, christliche ,GOTT-Glaube‘ wird ,systematisch‘ mit diesem Term <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ := </span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“ <span style="color:#00B000">|</span> „göttlich“</span>, im 2. Beweisgang, dem Basisbeweis, und im 3. Beweisgang für das Theorem ANSELMS, jeweils als ,methodologische‘ <span style="color:#FF6000">„Prämisse :01:“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> regulär <span style="color:#00B000">( ├ )</span> und explizit eingeführt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT'' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span> ''der Christen''«</span>. Das ist die ,modal‘-frei gewählte, <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Kalkül-<span style="color:#FF6000">„Annahme“</span>, <span style="color:#00B000">(als ,Argument-Einführung‘ := <span style="color:#4C58FF">‚'''AE:'''‘</span> )</span>, und wird dann mit der GOTT-Definition-1 näher ,bestimmt‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000"> »''Das'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''steht genau dann für ‚GOTT‘'' <span style="color:#00B000">|</span> ''‚göttlich‘'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''wenn'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''alle positiven Eigenschaften, bzw. Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">‚'''PX'''‘</span>, ''hat''«</span>, entsprechend dem ‚Quelltext‘ bei LEIBNIZ. <span style="color:#00B000">(Das ,postulierte‘ GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, wird standardmäßig gelesen als <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit ist eine positive Eigenschaft''«</span>, hat aber auch die alternative Leseart ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt d.h. vollkommen''«</span>, was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> auch richtig ist; mit <span style="color:#4C58FF">‚'''P'''‘ </span> := <span style="color:#FF6000">„Perfektion“/„Vollkommenheit“</span> ist dann die Summe aller <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“</span>.)</span> Mit dem GOTT-Axiom-3, — in dieser <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Leseart —, ist der ‚Wenn-Satz‘ in der GOTT-Definition-1 ‚aufgelöst‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT hat alle positiven Eigenschaften, weil er ‚perfekt‘ ist''«</span>. In der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht, wird die ,für uns‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> <span style="color:#00B000">(GOTTES)</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —, </span> durch die ,aus sich‘ <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> instanziierten <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als zu den Transzendentalia in GOTT gehörig)</span>, ,bestimmt‘. Das GÖDEL-Kalkül setzt sowohl in der Existenz-Definition-3 als auch im Identitäts-Axiom-5 das ,Theorem‘ des ARISTOTELES von der ,ontologischen Identität‘, d.i. die ,Koinzidenz‘ von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span>, <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> im prinzipiell <span style="color:#FF6000">„unbewegten Erstbewegenden“</span> voraus. Ohne diese Annahme bzw. ohne das Identitäts-Axiom-5, würde das GÖDEL-Kalkül nicht ‚funktionieren‘. Das GÖDEL-Theorem-2.1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→G'''_ess'''x'''‘ —</span>, kann unter dieser Voraussetzung dann, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> richtig und eindeutig, so gelesen werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''als Individuum steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span>, ''die Wesenseigenschaft'', <span style="color:#4C58FF">—_ess—, </span> <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>, ''dieses GOTTES'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>«</span><ref>vgl. z.B. THOMAS von Aquin ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>De Ente et Essentia</big></span>''’, Kapitel 5 ''':''' „Deus, cuius essentia est ipsummet suum esse“ ''':''' „GOTT, dessen Wesen sein eigenes Sein ist“.</ref>, statt der <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> unrichtigen Lesearten in der Wikipedia ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Göttlich ist eine essentielle Eigenschaft jedes göttlichen Wesens''«</span><ref>{{w|Gottesbeweis#Kurt_Gödel|Gottesbeweis 2.1.2, Theorem 2}}; Version vom 10.09.2025</ref>, oder bei Christoph BENZMÜLLER et alia, im sog. ,Theorembeweiser‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Gottähnlich zu sein ist eine Essenz von jeder gottähnlichen Entität''«</span><ref>[https://www.fu-berlin.de/presse/informationen/fup/2013/fup_13_308/index.html ‚Gödels „Gottesbeweis“ bestätigt’, Theorem 2]</ref>, mit der suggestiven Annahme, es gäbe polytheïstisch, mehrere ,göttliche Wesen‘, bzw. ,gottähnliche Entitäten‘, was der monotheïstischen, abendländischen Tradition, bzw. dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Theorem von der ,Unvergleichlichkeit‘ und ,Einzigartigkeit‘ GOTTES widerspricht, das im GÖDEL-Kalkül mit dem FUHRMANN-Korollar-3 bestätigt wird. <span style="color:#00B000">(Die Interpretation <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym zum <span style="color:#FF6000">„Dasein <span style="color:#00B000">(Existenz)</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, und äquivalent zur ‚positiven Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, alias <span style="color:#FF6000">„göttlich zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT zu sein“</span> = <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span>; synonym mit dem GÖDEL-Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘ :=</span> <span style="color:#FF6000">„das Wesen <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> GOTTES“</span>.)</span> <div class="center"><span style="color:#FF6000"><span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ :=</span> „'''G'''öttlichkeit“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT“ <span style="color:#4C58FF">↔</span> „'''G'''OTT-Sein“</span> </div> Die Rechtfertigung für diese <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Dreifach-Äquivalenz für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, im GÖDEL-Kalkül, gibt das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''die positive <u>Eigenschaft</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ''Göttlichkeit'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''äquivalent zu GOTT als Individuum-Name'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''ist auch äquivalent zum Dasein GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, ''gleichbedeutend mit notwendiger <u>Existenz</u>'', <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>'', dem <u>Sein</u> GOTTES für uns''«</span>. Hier hat GÖDEL explizit <span style="color:#FF6000">„Eigenschaft“</span> mit <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> bzw. <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> gleichgesetzt; <span style="color:#00B000">(was jedoch nach KANT für alles, was in unserer Welt ‚existiert‘, bzw. für alles, was zur <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> gehört, wie GÖDEL selbst sagt, in jedem Fall ‚unstatthaft‘ ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„Existenz ist keine Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">»''Sein ist kein reales Prädikat''«</span>)</span>. Jedoch wegen dieser ‚Gleichsetzung‘, die einzig und allein, der aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition entsprechend, singulär nur in GOTT ‚statthaft‘ ist, kann jetzt die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#00B000">(Essenz)</span> <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> <span style="color:#00B000">(ontologisch korrekt)</span> gelesen werden als <span style="color:#FF6000">„das, was GOTT zu dem macht, ‚was‘ GOTT an sich selbst ist“</span>, nämlich zu seinem <span style="color:#FF6000">„GOTT-Sein“</span> <span style="color:#00B000">(Existenz)</span>, zu seinem <span style="color:#FF6000">„Dasein als GOTT“</span>; zur Tatsache, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT GOTT ist“</span>, d.h. dass <span style="color:#FF6000">„GOTT als GOTT ‚da‘ ist“</span>. Das ist, <span style="color:#00B000">(und da folgt ARISTOTELES seinem Lehrer PLATO)</span>, nach traditioneller Auslegung, die übliche, ontologische Funktion des ‚Wesens‘<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span> | ‚ousía‘ |</span> eines Seienden ''':''' es ‚macht‘ das Seiende zu dem, ‚was‘ es ist; es ist die ‚Ursache‘ dafür, dass das Seiende, das ‚ist‘, ‚was‘ es ist | ‚Was-Sein‘ — ‚Wesen‘. <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES lokalisiert jedoch das ,Wesen‘ im Seienden, im Gegensatz zu PLATO, der das ,Wesen‘, — ,getrennt‘ vom Seienden —, in den allgemeinen ,Ideen‘ lokalisiert.)</span> Da aber in ‚Gott‘, <span style="color:#00B000">(dem <span style="color:#FF6000">„unbewegten, ‚unverursachten‘ Erstbeweger“</span>)</span>, Prozesshaftes, ‚Ursächliches‘ auszuschließen ist, ist die übliche prozesshafte, ‚ursächliche‘ Funktion von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὐσία</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚ousía‘ |</span> ,Wesen‘ im <span style="color:#FF6000">„Erstbewegenden“</span> nach ARISTOTELES, sozusagen, schon ‚zum Abschluss‘ gekommen, schon ‚verwirklicht‘, — <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐν-έργεια οὖσα</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ‚en-érgeia oúsa‘</span> —, schon ‚ins-Werk‘ gesetzt; <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>τὸ ἔργον</big></span>“</span> | ‚to érgon‘ | ‚das Werk‘; <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ἐνέργεια</big></span>“</span> | ‚enérgeia‘ | ,Wirksamkeit‘, ,Wirklichkeit‘, ,Aktualität‘, ,Energie‘; und <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>οὖσα</big></span>“</span> | ,oúsa‘ | feminin Nominativ Singular von <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὤν</big></span>“</span> | ‚ón‘ | ‚seiend‘)</span>. Sein ,Wesen‘ ist im ,Dasein‘ vollendet, ist ,wirkliches, verwirklichendes Sein‘, ‚seiende Aktualität‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“</span> ''':''' sein Wesen ist ‚reine Tätigkeit‘, ,reine verwirklichende Gegenwärtigkeit‘, d.h. ,existent‘, reine ,Aktualität‘, ohne jede prozesshafte ‚Potenzialität‘. Aus der wichtigen und richtigen Erkenntnis, dass GOTT <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer Welt''«</span> ist, folgt mit der ontologischen Identität von ,Dasein‘ und ,Wesen‘ in GOTT ''':''' Der zeitlos ewige GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''immer schon da''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, m.a.W. ist <span style="color:#FF6000">„zeitlos-ursprungslos“</span>. Insofern ist <span style="color:#FF6000">„Göttlichkeit“</span> die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, die im <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> d.h. in <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, schon ihr ‚Ziel‘, ihre Vollendung, — <span style="color:#FF6000">„Perfektion“</span> —, im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, erreicht hat. GOTT ist <span style="color:#FF6000">»''vollkommen''«</span> und darum auch <span style="color:#FF6000">»''notwendig für uns immer schon ‚da‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ — </span>. GOTT ist in seinem ‚zeitlosen Wesen‘ <span style="color:#FF6000">„unverursacht“</span>, da er <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich'' <span style="color:#00B000">(von Natur aus)</span> ''vollkommen''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(eine Instanz von dem Notwendigkeits-Axiom-4)</span>. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ist die <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span>, bzw. das <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''G'''_ess‘ —</span>. <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ,der‘ Vollkommenste''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist die unbegrenzte Summe der unendlichen Vollkommenheiten''«</span>. Und zur absoluten <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“</span> gehört <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> auch das <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ — </span>. <span style="color:#FF6000">»''Notwendige Existenz''«</span> gehört zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT, was GÖDEL mit der Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span> syntaktisch formalisiert hat, wenn sowohl das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span>, als dann auch alle <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span> im Kalkül, für den Dreifaltigen GOTT der Christen stehen, was im FUHRMANN-Korollar-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span>, mit der syntaktischen Identität, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, bzw. der ,Einheit‘ beider Individuum-Variablen, explizit gezeigt wird. Entscheidend für diese Interpretation des GÖDEL-Systems ist ''':''' nur unter der ,modal‘ notwendigen Voraussetzung der ontologischen ‚Identität‘ von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — '''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>, bzw. der ‚Gleichsetzung‘, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„notwendiger Existenz“</span> mit den ‚positiven‘ Wesenseigenschaften, der <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> in GOTT, im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, ‚funktioniert‘ die GÖDEL-Axiomatik '''!''' Diese ‚Identität‘, bzw. ,Koinzidenz‘ wird in ARISTOTELES, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Metaphysik</big></span>''‘, Buch XII 7, in einem Indizienbeweis erbracht, der mit der Methode der philosophischen Induktion zum Ergebnis kommt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» … ''es muss'' <span style="color:#00B000">[ notwendig ]</span> ''etwas geben, das, ohne selbst ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ </span>''worden''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''zu sein'', <span style="color:#00B000">[ ‚unentstanden‘ ]</span>, ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'' <span style="color:#00B000">[ ‚entstehen lässt‘ ]</span>«</span>, das darum selbst ‚zugleich‘ <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>αἴδιον καί οὐσία καί ἐνέργεια οὖσα</big></span>“ <span style="color:#00B000">| ,aídion kai ousía kai enérgeia oúsa‘ |</span> »<span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewig, sowohl <u>Wesen</u>'', <span style="color:#00B000">[ etwas Konkretes, Essentielles ]</span>, ''als auch seiende Wirksamkeit — ''<span style="color:#00B000">[ </span>„<span style="font-family: Times;"><big>actus purus</big></span>“, „reine Tätigkeit“<span style="color:#00B000"> ]</span> ''— verwirklichendes, wirkliches <u>Sein</u> ist'', <span style="color:#00B000">[ ein Existierendes, das alles Übrige ,zur Existenz‘ bringen kann ]</span> «</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὀρεκτόν καί νοητόν</big></span>“ <span style="color:#00B000"> | ,orektón kai noêtón‘ | </span>»''das ersehnt und erkennbar ist''.«</span> <span style="color:#00B000">(''<span style="font-family: Times;"><big>vgl. ,Metaphysik</big></span>''‘ XII 7, 1072a,23 – 1072b,4)</span> Was <span style="color:#FF6000">»''alles Übrige''«</span> ,zur Existenz‘ bringen kann, bzw. ,verwirklichen‘ kann, ohne selbst ,entstanden‘ zu sein, muß auch selbst, als etwas Konkretes, Essentielles, immer schon ,existieren‘, bzw. ,wirklich sein‘. Die, daraus abgeleitete, und damit ,erkannte‘, ontologische ‚Identität‘, — ,Koinzidenz‘ —, von ‚Wesen‘ und ‚Sein‘, <span style="color:#00B000">(Ziel aller Sehnsucht und jedes Erkenntnisstrebens)</span>, <span style="color:#FF6000">»''ist das Privilegium der Gottheit allein''«</span> ''':''' mit Gottfried Wilhelm LEIBNIZ interpretiert, entsprechend einer adäquaten, aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition. Dieses induktive, ‚ontologisch‘ a-posteriori Ergebnis aus der ‚Prinzipienforschung‘ des ARISTOTELES ist die metaphysische und logische Voraussetzung, dass GÖDEL seine Axiomatik im Kalkül des sog. ‚ontologischen Gottesbeweises‘ a-priori des ANSELM von Canterbury, und nach LEIBNIZ, deduktiv korrekt formulieren konnte; <span style="color:#00B000">(vgl. 3. Beweisgang)</span>. Angenommen, die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, der Christen, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, Term :01: im 2. Beweisgang)</span>, dann ist, — auf Grund von diesem Beweisgang —, in unserer Welt ,wahr‘ und evident ''':''' sowohl die ‚positive Eigenschaft‘ <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, als auch das faktische <span style="color:#FF6000">»''‚Da‘-Sein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ‚benennen‘, ontologisch ident, denselben Sachverhalt ''':''' nämlich das, was wir das <span style="color:#FF6000">»''Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''GOTTES''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘</span>, nennen. <span style="color:#FF6000">»''Göttlichkeit'', bzw. ''GOTT-‚Sein‘ ist das Wesen GOTTES''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.1)</span>, und dann umgedreht und äquivalent ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Wesen GOTTES ist sein ‚Da‘-Sein als GOTT'', bzw. ''seine Göttlichkeit''«</span>, <span style="color:#00B000">(Theorem-2.2)</span>, m.a.W. ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist wesentlich ‚grundlos‘'' <span style="color:#00B000">[ d.h. </span> ''notwendig aus sich''<span style="color:#00B000"> ]</span> ''‚da‘''«</span>. Das ist das Einzigartige im <span style="color:#FF6000">»''Wesen GOTTES''«</span> ''':''' GOTT ist ohne zeitlichen Anfang, zeitlos-ewig, für uns immer schon ‚da‘, und das ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">»''Wesen''«</span>; vorausgesetzt, ,angenommen‘, man glaubt an GOTT ''':''' Term :01:. <span style="color:#00B000">(Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''_ess‘</span> ,expliziert‘ nur eine der drei Lesearten, die der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ „theologisch“</span> ,impliziert‘.)</span> Das Basis-Theorem-2 hat somit die syntaktische Form einer Äquivalenz, die zweiseitig gelesen werden kann, die zugleich aber auch eine logische Definition zur <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Bestimmung für GOTT darstellt ''':''' <div class="center"><span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span></div> Damit kann GOTT ‚explizit‘ <span style="color:#00B000">(mit einer bewiesenen Kalkül-Definition)</span> ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> genauer ‚bestimmt‘ werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist gerade deswegen GOTT, weil sein überzeitlich-ewiges und an sich ‚grundloses‘'' <span style="color:#00B000">[ aber für uns notwendiges ]</span> ''Dasein'' <span style="color:#00B000">[ Existenz ]</span> ''als GOTT, ontologisch, — dem Sein nach —, identisch ist mit seinem persönlichen und für uns liebevollen Wesen'' <span style="color:#00B000">[ Essenz ]</span> ''als GOTT; diese Identität von Dasein und Wesen gilt einzig und allein nur bei GOTT.''«</span> Damit hat GÖDEL ein altes <span style="color:#4C58FF">„theologisches“</span> Theorem, philosophisch der Vergessenheit entrissen. Die philosophische Frage nach dem <span style="color:#FF6000">„Wesen GOTTES“</span> lautet, <span style="color:#00B000">(auf die Person bezogen)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">„Was bist du ? “</span> Sie ist äquivalent zur <span style="color:#4C58FF">,theologisch’</span>-biblischen Frage des MOSE ''':''' <span style="color:#CC66FF">„Wer bist Du ? “</span> Die bekannte Antwort des GOTTES-JHWH aus ‚Exodus 3,14‘, im Dornbusch, thematisiert das persönliche, für uns liebevolle und für immer notwendige <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin-Da‘'', <span style="color:#00B000">[ für euch und für immer ]</span>«.</span> Mit diesem Zitat aus der Bibel ist die GÖDEL-Axiomatik, sozusagen, <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> ‚verifiziert‘. Sie hat einerseits im Basis-Theorem-2 ihren philosophischen ‚Abschluss’ erreicht, und andererseits damit formal-syntaktisch den ‚Anschluss‘ an eine allgemeine Basis-Glaubensaussage gefunden, die ‚an sich‘ für jeden CHRIST-gläubigen Menschen ‚selbstverständlich‘ ist. Was in der Metaphysik des ARISTOTELES das Ergebnis einer philosophischen ,Induktion‘ a-posteriori ist ''':''' <span style="color:#FF6000">„,Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES“</span>, — <span style="color:#00B000">(das als Basis-Theorem-2, auch das Ergebnis der deduktiven GÖDEL-Axiomatik a-priori ist ''':''' die Beweisgrundlage für den Konsequenz-Teil im Theorem AMSELMS)</span>, — das ist in der Bibel die Grundüberzeugung, die ,Basis‘ jedes Menschen, der an GOTT glaubt ''':''' GOTT ist für uns immer schon <span style="color:#FF6000">„da“</span>, weil er uns liebt. Das ist das, <span style="color:#FF6000">„was“</span> GOTT für uns als GOTT ausmacht, — sein Wesen ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Wir haben die Liebe, die GOTT zu uns hat, erkannt und gläubig angenommen. GOTT ist Liebe, und wer in der Liebe bleibt, bleibt in GOTT und GOTT bleibt in ihm''«</span>, <small>({{Bibel | 1. Johannesbrief |4|16|EU}})</small>. Das eigentliche Ergebnis der GÖDEL-Axiomatik ist somit die ‚triviale‘ Erkenntnis, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, — <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span> —, vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(‚angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ehe die Berge geboren wurden, ehe die Erde entstand und das Weltall erschaffen wurde, bist du, o GOTT, von Ewigkeit zu Ewigkeit''«</span>, <small>({{Bibel | Psalm |90|2|LUT}})</small>. <span style="color:#00B000">(Der Glaube an die Zeitlosigkeit GOTTES ist mit der ‚Annahme‘ von dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt''«</span>, und der ‚Annahme‘ der GOTT-Definition-1 für <span style="color:#4C58FF"> ‚'''Gx'''‘ := </span> den <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, im Kalkül ‚implizit‘ schon eingeführt, da die Axiome und Definitionen, — nach GÖDEL —, nur dann <span style="color:#FF6000">»''wahr''«</span> sind, wenn sie <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''</span> [ Raum-Zeit-]<span style="color:#FF6000">''Struktur''«</span> unserer Welt sind. Das ,impliziert‘ auch, dass GOTT in dem GOTT-Axiom-3 und in der GOTT-Definition-1 ebenfalls <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von Raum und Zeit, d.h. zeitlos-ewig ist '''!''' )</span> Wer an den GOTT der Bibel glaubt, kann sich von der ‚Vernünftigkeit‘ seines Glaubens mit Hilfe des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises nach ANSELM von Canterbury, mit Kurt GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, überzeugen. <span style="color:#00B000">(Das war auch die Absicht ANSEMS '''!''' )</span> Die Annahme, es sei ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(dezidierter Atheismus)</span>, führt im GÖDEL-Kalkül formal zu einem logischen Widerspruch; vgl. z. B. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Gödels Möglichkeitsbeweis</big></span>''‘, in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Der Gödelsche Gottesbeweis</big></span>''‘, Seite 17, von Günther J. WIRSCHING; (https://edoc.ku.de/id/eprint/10243/1/OntBw.pdf), d.h. es ist also nicht ‚unmöglich‘, dass es GOTT gibt. Der GOTT-Glaube ist mit den Maßstäben einer modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span> und darum ,vernünftig‘. Damit steht fest ''':''' das GÖDEL-Kalkül ist kein moderner ‚Existenz-Beweis‘ für den GOTT der Bibel, sondern es setzt, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span>, ,methodologisch‘, den Glauben an die Existenz eines zeitlos-ewigen GOTTES voraus, der, — <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur unserer '' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> —, für uns immer schon ‚da‘ ist. Wenn aber einmal als fix ‚angenommen‘ worden ist, <span style="color:#00B000">(als Prämisse)</span>, dass es wahr ist, dass GOTT ‚existiert‘, dann ist natürlich die ‚Annahme‘, dass GOTT ‚nicht existiert‘, falsch. Aber sie ist auch ,unlogisch‘ und ,unsinnig‘, weil die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist unmöglich, dass es einen GOTT gibt''«</span>, offensichtlich und eindeutig zu einem Widerspruch führt; was z. B. Günther J. WIRSCHING mit seiner Version des <span style="color:#00B000">(nicht umkehrbaren)</span> ‚Möglichkeitsbeweises‘ für ,GOTT‘, explizit vorexerziert hat; <span style="color:#00B000">( nachgestellt im Anhang ''':''' GÖDELS ‚Möglichkeitsbeweis‘ als ,Widerlegung‘ eines Nicht-GOTT-Glaubens; in Entsprechung zu Psalm 14,1 und Psalm 53,2 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ ,unvernünftige‘ ]</span> ''Tor sagt in seinem Herzen ''':''' Es gibt keinen Gott. Sie handeln verderbt, handeln abscheulich; da ist keiner, der Gutes tut''«</span>. Historischer Hintergrund zu diesem Psalm-Text ''':''' Die Zerstörung des Tempels in Jerusalem 586 v. Ch. durch die Truppen des Babyloniers NEBUKADNEZZAR II. Der Perser KYROS II hat, laut Bibel von GOTT gerufen, zur Vergeltung, das Reich der Babylonier 539 v. Ch. erobert, und den Tempel in Jerusalem tatkräftig wiederherstellen lassen.)</span> Der Logiker GÖDEL hat in seinem System zum ,ontologischen Beweis‘ keine ‚formale Unentscheidbarkeit‘ <span style="color:#00B000">(Agnostizismus)</span> feststellen können, wie auf einem anderen Feld seiner Forschungsarbeiten. Das GÖDEL-Konsequenz-Teil von der ‚Notwendigkeit‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die ‚Konsequenz’ aus dem ‚widerspruchsfreien‘ Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —,</span>)</span> im ‚Theorem ANSELMS‘, ist <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang, Term :10:)</span> dann auch eine weitere Explikation des Basis-Theorems-2 des Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span>, über die ‚ontologische Identität‘ vom <span style="color:#FF6000">„Dasein GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, mit seinem <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, nach einem <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span>, dargestellt mit Term :09:. <span style="color:#00B000">(Die ontologische Identität von Sein und Wesen in GOTT, ist die, für uns <span style="color:#FF6000">„notwendige Präsenz <span style="color:#00B000">[ das Sein, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, die koinzident ist mit der <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit <span style="color:#00B000">[ das Wesen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>]</span> GOTTES“</span> an sich ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>. Diese Koinzidenz von göttlicher Präsenz und göttlicher Vollkommenheit ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not —</span>, bedeutet <span style="color:#4C58FF">,heilstheologisch‘</span> Folgendes ''':''' Die, für uns ,notwendige‘ Gegenwärtigkeit GOTTES, [ sein Dasein ], ist verwirklicht worden in der liebevollen [ Wesens-]Zuwendung GOTTES zu uns Menschen, in seiner Kindwerdung in Bethlehem, durch die Jungfrau MARIA ''':''' GOTTES ,Wesen‘ ist ,Sein-mit-uns‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''sein Name'', <span style="color:#00B000">[ sein Wesen ]</span>, ''ist IMMANUEL, das heiß übersetzt ''':''' GOTT-ist-mit-uns'', <span style="color:#00B000">[ seine Gegenwärtigkeit ]</span>«, <small>({{Bibel | Matthäus Evangelium |1|23|EU}})</small></span>, der unsere Not-,wenden‘-wird zu unserem <span style="color:#4C58FF">,Heil‘</span>, d.h. der uns, und die Welt, von der Korruption der Sünde und der Verfallenheit in einen ewigen Tod <span style="color:#4C58FF">,erlösen‘</span> will und wird, d.h. GOTT führt uns zur ,Vollkommenheit‘, weil er ,vollkommen‘ ist, jedoch nicht ohne unserer ausdrücklichen Zustimmung. Die <span style="color:#4C58FF">„Menschwerdung“</span> GOTTES in JESUS CHRISTUS, die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span>, bzw. diese außergewöhnliche und einzigartige <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> von GOTT und Mensch, die Vereinigung des ,Vollkommenen‘ mit dem ,Unvollkommenen‘, ist der Beginn der <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> des Menschen und der Welt; vergegenwärtigt für jede Generation der Menschen durch die <span style="color:#4C58FF">„Kirche“</span> mit ihren <span style="color:#4C58FF">„Sakramenten“</span>. Damit bekommt jede Generation die Chance, die <span style="color:#4C58FF">„Erlösung“</span> durch JESUS CHRISTUS, für sich, im Glauben ,annehmen‘ zu können, um ,vollkommen‘ und ,heilig‘ zu werden, wie GOTT, durch GOTT. Das <span style="color:#FF6000">„Sein wie GOTT“</span> ist für uns jetzt ,zum Greifen nah‘.)</span> Die, von GÖDEL im 1. Beweisgang, als Prämissen schon vorausgesetzten und ,angenommenen‘ Perfektionen, bzw. Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(das sind die allgemeinen ,Transzendentalia‘ für alles Nicht-Göttliche in der Welt, durch Beispiele belegbar)</span>, werden im ersten Teil des 2. Beweisganges, mit Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dann auch als <span style="color:#FF6000">„positive Wesenseigenschaften“</span>, <span style="color:#00B000">(als die ultimativen ,Transzendentalia‘)</span>, in GOTT ‚definitiv‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> bestätigt; <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang, Anmerkung-2)</span>. Im 3. Beweisgang ist das Basis-Theorem-2 die ,modal notwendige‘, bzw. ,transzendentale‘ Voraussetzung, und damit die ,Verfikation‘ der Widerspruchsfreiheit, sowohl für das <span style="color:#FF6000">„an sich notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, im Term :10:, als auch für die <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, in den Ressourcen dieses Beweisganges ''':''' in der Existenz-Definition-3 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und im Identitäts-Axiom-5 für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Dieser Sachverhalt verweist auf eine Art ,Äquivalenz‘ der drei Terme ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ↔ E'''_not'''x ↔ PE'''_not‘ —</span>; das <span style="color:#4C58FF">‚'''E'''‘</span> wird im Kalkül nur GOTT <span style="color:#4C58FF">‚'''Gx'''‘</span> zugeordnet; vgl. auch 3. Beweisgang, Anmerkung-4, erster Absatz.)</span> Dieses Basis-Theorem-2 ist auch zugleich die Antwort auf die Frage nach dem ‚Ursprung‘ GOTTES ''':''' GOTT ist <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> ‚da‘, von <span style="color:#CC66FF">„Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>, denn es ‚ist‘ sein <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#00B000">(überzeitlich-ewig)</span> für uns immer schon ‚da‘ zu sein. Weitere ‚Einzelheiten‘ über Wesen und Eigenschaften GOTTES gehören in die Mystik, bzw. in die <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span>. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Die Bedeutung des Kalküls</span></div>=== <div class="center">Immanuel KANT und Kurt GÖDEL im ‚Dialog‘</div> KANT sagt ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>'''''Sein''' ist offenbar kein reales Prädikat''. ... ''Es ist bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position'' <span style="color:#00B000">[ latinisiert, deutsch für ''':''' ,Setzung‘ ]</span> ''eines Dinges ... Nehme ich nun das Subjekt (Gott) mit allen seinen Prädikaten'' <span style="color:#00B000">[ d.h. Eigenschaften ]</span> ''(worunter auch die Allmacht gehört) zusammen, und sage ''':''' ‚'''Gott ist'''‘'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT existiert wirklich‘ ]</span>, ''oder ‚es ist ein Gott‘, so <u>setze</u> ich kein neues Prädikat'' <span style="color:#00B000">[ keine neue Eigenschaft ]</span> ''zum ‚Begriffe‘ von Gott ''':''''' <span style="color:#00B000">[ <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein’ ist kein ‚reales Prädikat’ in GOTT</span>; ‚Existenz‘ ist in GOTT keine ‚Eigenschaft‘ ],</span> ... ''es kann daher zu dem Begriffe'', <span style="color:#00B000">[ ,GOTT‘ ]</span>, ''der bloß die'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Möglichkeit ausdrückt, darum, dass ich dessen Gegenstand'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ]</span>, ''als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck ''':''' er ist'', <span style="color:#00B000">[ GOTT ist wirklich ]</span>'' ) <u>denke</u>, nichts weiter hinzukommen.'' <span style="color:#00B000">[ Beides ist ,bloß gedacht‘ '''!''' ]</span> ''Und so enthält das Wirkliche <u>nichts mehr</u> als das bloß Mögliche. Hundert ‚wirkliche‘ Taler enthalten nicht das mindeste <u>mehr</u>, als hundert ‚mögliche‘. Denn, da diese'', <span style="color:#00B000">[ die ,Möglichen‘ ]</span>, ''den'' <span style="color:#00B000">[ gedachten ]</span>'' ‚Begriff‘, jene'', <span style="color:#00B000">[ die ,Wirklichen‘ ]</span>, ''aber den Gegenstand und dessen'' <span style="color:#00B000">[ gedachte ]</span>'' Position an sich selbst bedeuten, so würde, im Fall dieser'', <span style="color:#00B000">[ die 100, als ,wirklich‘ bloß gedachten Taler ]</span>, ''<u>mehr</u> enthielte als jener,'' <span style="color:#00B000">[ als ihr ‚gedachter‘ Begriff im Verstand, wie ΑNSELM von Canterbury für GOTT, als ‚wirklich‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>in re</big></span>“</span>, Existierenden, argumentierte, …''so würde'' ]</span> ''mein ‚Begriff‘'' <span style="color:#00B000">[ die 100 im Verstand ‚gedachten‘ Taler ]</span> ''nicht den ganzen Gegenstand ausdrücken, und also auch <u>nicht der angemessene Begriff</u> von ihm sein. Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben'', <span style="color:#00B000">[ als bei 100 bloß ‚gedachten‘ Talern ]</span> ... <span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000"><ref>‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 401; https://www.korpora.org/kant/aa03/401.html</ref></span>. GÖDEL würde darauf <span style="color:#00B000">(korrespondierend zur aristotelisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition von der Identität von Sein und Wesen in GOTT)</span> antworten ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span>Die <span style="color:#FF6000">„100 Taler“</span> sind der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der'' <span style="color:#00B000">[ vergänglichen ]</span> ''Welt''«</span> entnommen, und sind daher nicht mit GOTT vergleichbar, der, <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer Welt, <span style="color:#FF6000">„über“</span> dieser Welt steht. Einzig und allein nur von GOTT gilt ''':''' Der mit vergänglichen Dingen aus unserer Welt ,nicht vergleichbare‘, unvergängliche GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#FF6000">„existiert notwendig für uns“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, und <span style="color:#FF6000">„notwendiges Existieren, <u>Sein</u>“</span> ,ist‘ die <span style="color:#FF6000">„positive <u>Wesen</u>seigenschaft“</span> in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>, weil GOTT aus sich <span style="color:#FF6000">„vollkommen“ <span style="color:#00B000">|</span> „perfekt“</span> ist, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#0000FF; background-color:#FFFF00">‚Sein‘ ist in GOTT ein ‚reales Prädikat‘</span>; <span style="color:#00B000">(notwendige ‚Existenz’ ist eine positive ‚Wesenseigenschaft’ in GOTT)</span>, und nur bei GOTT '''!''' Zum zeitlos-ewigen GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(als methodologische Kalkül-Prämisse)</span>, kann man sagen ''':''' Weil es, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#FF6000">„definitiv möglich"</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, darum ist GOTT auch das ‚einzige‘ <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∃x'''‘ —</span>, von dem ein Christ sagen kann, dass es sowohl <span style="color:#FF6000">„notwendig aus sich“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„grundlos“ <span style="color:#00B000">|</span> „unverursacht“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, immer schon ‚da’ war und immer ,da’ sein wird; und zusätzlich gilt ''':''' Es gibt für jede mögliche Welt ‚nur‘ diesen einen GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx ∧ □∀y(Gy→x=y)'''‘ — </span><span style="color:#00B000">(Monotheïsmus, Korollar-3)</span>; vorausgesetzt, man geht von der ,Existenz’ dieses GOTTES aus, wobei diese Annahme für GÖDEL <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar''«</span> ist.<span style="color:#FF6000">«</span> Eine Beobachtung ''':''' KANT sagt, gleichsam als ,krönenden‘ Abschluss seiner Widerlegung des, — von ihm so genannten —, ,ontologischen Gottesbeweises‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Aber in meinem Vermögenszustande ist <u>mehr</u> bei hundert ‚wirklichen‘ Talern, als bei dem bloßen Begriffe derselben, (d.i. ihrer Möglichkeit).''<span style="color:#FF6000">«</span> Diese Feststellung KANTS entspricht jedoch genau der Argumentation ANSELMS ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span>, d.h. GOTT ,existiert auch in Wirklichkeit‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was <u>mehr</u> ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ein bloßer Begriff ,im Verstand zu sein‘. Der ,Mehr-Wert‘ ergibt sich in beiden Fällen, sowohl bei den Talern als auch bei GOTT, aus der ,Wirklichkeit‘ ihrer Existenz, im Gegensatz zur bloßen, <span style="color:#00B000">(im Begriff gedachten)</span>, ,Möglichkeit‘ ihrer Existenz, so dass, in jedem Fall, der ,Begriff‘ im Verstand ohne Abstriche <span style="color:#FF6000">»</span>''den ganzen Gegenstand ausdrückt''<span style="color:#FF6000">«</span>, und von diesem auch <span style="color:#FF6000">»</span>''der angemessene Begriff''<span style="color:#FF6000">«</span> ist. Alles andere wäre eine ,Lüge‘. Mit dieser ,Beobachtung‘ ist das implizit ,Widersprüchliche‘ in KANTS Argumentation aufgedeckt ''':''' Das Wirkliche in KANTS Vermögenszustande enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, konträr zu seiner vorigen, allgemeinen Behauptung ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#FF6000">«</span> enthalte <span style="color:#FF6000">»'',nichts mehr‘</span> als das bloß Mögliche''<span style="color:#FF6000">«</span>. Diese Behauptung ist offensichtlich falsch. Das ist somit ein indirekter Beweis und damit eine Bestätigung für die analoge Argumentation ANSELMS aus dem Widerspruch des Gegenteils, am Beispiel KANTS <span style="color:#FF6000">»</span>''Vermögenzustandes bei hundert wirklichen Talern''<span style="color:#FF6000">«</span>, in dem in Wirklichkeit <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> ist, <span style="color:#FF6000">»</span>''als bei dem bloßen Begriffe derselben''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">(Diese ,Beobachtung‘ ist zugleich auch das entscheidende Indiz dafür, dass das systembedingte Konzept KANTS von der ,Existenz‘, bzw. vom ,Sein‘ eines jeden Gegenstandes, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.i. als seine ,Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, ,falsch‘ ist, — d.h. im Klartext ''':''' für KANT ist das ,Sein‘ eines Gegenstandes bloß ein ,Gedanke‘ in uns, wenn er meint, dass uns ein Gegenstand erst dann wirklich ,gegeben‘ sei, wenn wir uns den</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Gegenstand als schlechthin gegeben (durch den Ausdruck : <u>er ist</u>) <u>denken</u>''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">was nur dem Irrtum einer falschen System-Konzeption geschuldet sein kann. Auf Grund dieser Konzeption ist das</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''Ding, wie es an sich selbst ist''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">für KANT systembedingt weder ,anschaubar‘, noch ,erkennbar‘. Diese falsche Konzeption über die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines Dinges, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">ist für KANT letztendlich auch die Beweisgrundlage und Voraussetzung für seine Ablehnung des ontologischen Argumentes für GOTT im Theorem ANSELMS. Wenn das ,wirkliche‘ Sein eines Dinges nichts anderes ist, als</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''dessen'' <span style="color:#00B000">[ bloß gedachte ]</span> ''Position''<span style="color:#FF6000">«</span>, <span style="color:#00B000">d.h. als seine ,mögliche Setzung‘ bloß im- und durch den Verstand, — das ist das, als ,wirklich‘ bloß nur ,gedachte‘ Ding —, dann</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''enthält''<span style="color:#FF6000">«</span> <span style="color:#00B000">natürlich</span> <span style="color:#FF6000">»</span>''das Wirkliche''<span style="color:#00B000">, [ als die bloß gedachte Existenz ],</span> ''nichts mehr als das bloß Mögliche''<span style="color:#00B000">, [ als der gedachte Begriff ]<span style="color:#FF6000">«</span>, was offensichtlich unhaltbar ist. <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] </span> ''':''' Wenn die Konsequenz einer Wenn-Dann-Folgerung ,falsch‘ ist, dann ist auch ihre Voraussetzung, das System-Konzept KANTS, ,falsch‘ ''':''' d.i. seine ,Kopernikanische Wende‘ für die Metaphysik, soweit sie KANTS ,Sein’-Konzept betrifft, als </span><span style="color:#FF6000">»</span>''bloße Position''<span style="color:#FF6000">«</span>. <span style="color:#00B000">Korrekt und ,wahr‘ ist in jedem Fall ''':''' Das Wirkliche enthält <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span> als das bloß Mögliche, und die Dinge ,existieren‘ schon immer unabhängig von unserem Denken. ,Existenz‘, das ,Sein‘, ist <span style="color:#FF6000">,doch mehr‘</span>, als bloß ein ,Gedanke‘ von uns.)</span> Somit ist die Argumentation KANTS gegen den ontologischen Beweis ANSELMS für GOTT ,falsch‘ und unhaltbar, weil sie auf der ,falschen‘ Voraussetzung beruht ''':''' die ,Existenz‘, bzw. das ,Sein‘ eines jeden ,Gegenstandes‘, — wie z. B. auch die Existenz bei GOTT —, sei bloß dessen gedachte ,Position‘ an sich selbst, d.h. bloß seine ,Setzung‘ im- und durch den Verstand. Damit ,macht‘ er GOTT außerdem zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, und verkennt so, — wie vor ihm THOMAS von Aquin —, auch die Einzigartigkeit und Exklusivität GOTTES im Theorem ANSELMS. <div class="center">Die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> in der philosophischen Tradition</div> Wenn man die philosophische Tradition der <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> im Lichte der Ergebnisse der <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> GÖDELS liest, dann stellt sie sich am Beispiel bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, und bei GÖDEL wie folgt dar ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Erstbewegende,'' (<span style="font-family: Times;"><big>,πρῶτον κινοῦν‘</big></span>), ''das, ohne selbst ‚bewegt‘ zu sein'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀκίνητον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''unverursacht, ,entstehungslos‘'' |</span> ), ''alles Übrige wie ein Geliebtes ‚bewegt‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,κινεῖ δὴ ὡς ἐρώμενον‘</big></span> <span style="color:#00B000"> | ''-verursacht, ,entstehen‘ lässt'' |</span> ), ''ist sowohl'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚Wesen‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον καί οὐσία‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚Substanz‘'' |</span> ), ''als auch'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''ewiges ‚wirksames, verwirklichendes Sein‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>‚ἀΐδιον καί ἐνέργεια οὖσα‘ = ‚actus purus‘</big></span><span style="color:#00B000"> | '',reine Tätigkeit‘'' |</span> ), … ''ersehnt'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ὀρεκτόν‘</big></span>), ''und erkennbar'', (<span style="font-family: Times;"><big>,νοητόν‘</big></span>), ... ''denn dies ist der ‚Gott‘'', (<span style="font-family: Times;"><big>,τοῦτο γὰρ ὁ θεός‘</big></span>), <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, ''der'' <span style="color:#00B000">[ zeitlich-]</span>''Ewige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἀΐδιον‘</big></span>), — ''der Unvergleichliche'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ἄριστον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ''‚der Beste‘'' |</span> ), — ''der Lebendige'', (<span style="font-family: Times;"><big>,ζῷον‘</big></span> <span style="color:#00B000">| ,''das Leben selbst‘'' |</span> ), — ... ''so sagen wir ja'', (<span style="font-family: Times;"><big>,φαμὲν δὴ‘</big></span>), — ...«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ARISTOTELES — Grieche)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, als ,Individuumname‘, ist synonym mit <span style="color:#FF6000">„göttliches ‚Da-Sein’“</span>, das sowohl <span style="color:#FF6000">„aus sich vollkommen“</span>, als auch <span style="color:#FF6000">„notwendig für uns“</span> ‚da‘ ist; <span style="color:#00B000">(das ist das, an sich, vollkommene ‚Was-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ — </span>, das zugleich, für uns, das notwendige ‚Da-Sein‘ GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> — ist)</span>; <span style="color:#CC66FF">„von Ewigkeit zu Ewigkeit“</span>. Das ist der <u>angemessene Begriff</u> von GOTT, und gilt ‚nur‘ von GOTT. Weil GOTT <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> ist, ist <span style="color:#FF6000">„Da-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „GOTT-Sein“ <span style="color:#00B000">|</span> „Göttlichkeit“</span> das <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span>. Im Unendlichen, GOTT, sind <span style="color:#FF6000">„Essenz“</span> und <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> koinzident ,eins‘, und daher untrennbar, und <span style="color:#FF6000">»''darum ist GOTT das einzige ‚Sein’, das notwendig an sich ‚da‘ ist''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ABU ALI SINA alias AVICENNA, — Muslim)</span>. Der <span style="color:#00B000">(gedachte)</span> ‚Eigenschafts-Begriff‘ <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit (die Größe) GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(‚Perfektion‘, die unbegrenzte Summe aller ‚positiven Eigenschaften‘ in GOTT)</span> schließt koinzident die ‚Eigenschaft’ <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz für uns“</span> mit ein ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PE'''_not‘ —</span>. GOTT wäre nicht <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span>, wenn er nicht auch real für uns ‚da‘ wäre, wenn er nicht ,immer schon’ <span style="color:#FF6000">„existierte“</span>. ‚Sein’ ist <u>mehr</u> als ‚Nicht-Sein’. ,Sein’, bzw. ,Existenz’ gehört in GOTT zu den ,Transzendentalia’. Das sind die <span style="color:#00B000">(ultimativen)</span> ,Wesenseigenschaften’ in GOTT. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, ist daher das <span style="color:#FF6000">»''vollkommenste Wesen, über das nichts ,Größeres‘ d.h. Vollkommeneres <u>mehr</u> ‚gedacht‘ werden kann''«</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(ANSELM von Canterbury, — Christ)</span>. Der ‚Begriff’ <span style="color:#FF6000">„Perfektion GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schließt koinzident das <span style="color:#FF6000">„notwendige Dasein GOTTES“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x'''‘</span> —, für uns mit ein, ohne einen zeitlichen Anfang und ohne ein zeitliches Ende. Das ist die ‚zeitlos-ewige‘, an sich absolute, und <span style="color:#FF6000">„für uns notwendige Existenz GOTTES“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Das ist ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 2. Beweisgang aus Term :16: ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gy→Yy'''‘ —</span>, mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(Y:=E_not) ]</span>, und der <span style="color:#4C58FF">[ FUB(y:=x) ]</span>; und auch ein ,regulär‘-mögliches Korollar im 3. Beweisgang ''':''' entsprechend der <span style="color:#FF6000">„logischen Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A → B ]</span> von Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> und Term :05: <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span> aus diesem Beweisgang. In Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den GOTT der Christen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''dann existiert dieser GOTT'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, ''für uns notwendig'', <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> <span style="color:#FF6000">«</span>.)</span> Der Unendliche, GOTT, ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer ‚vergänglichen‘, ,endlichen‘ Welt, welche prinzipiell vom dreidimensionalen Raum und von der unwiederbringlich ‚vergehenden‘ Zeit geprägt ist. Der ,GOTT der Christen‘ ist <span style="color:#FF6000">»''unabhängig''«</span> von dieser <span style="color:#FF6600">„vergehenden Raum-Zeit“, — »''jenes rätselhafte und anscheinend in sich widersprüchliche Etwas''« <span style="color:#00B000">(GÖDEL)<ref>Kurt GÖDEL, ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Eine Bemerkung über die Beziehungen zwischen der Relativitätstheorie und der idealistischen Philosophie‘</big></span>'', in P.A.SCHILPP (Hg.): ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Albert Einstein, Philosoph und Naturforscher‘</big></span>'', Seite 406</ref></span> —</span>. Ohne ‚Zeit‘ gibt es keinen zeitlichen Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘, <span style="color:#00B000">(beides ist zeitlos ,eins‘)</span>, und so ist der zeitlos-ewige GOTT, der <span style="color:#FF6000">»''notwendig aus sich ,existiert‘'' «</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ — </span>, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „ursprungslos“</span> für uns immer schon ‚da‘ ''':''' <span style="color:#00B000">(GÖDEL, — ohne religiöses Bekenntnis)</span>. Mit dem GÖDEL-Kalkül ist die <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span> auf eine ‚vernünftige Basis‘ gestellt worden, und ist somit für jeden Menschen nachvollziehbar, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>, wie obige Beispiele zeigen. '''Resümee :''' Das GÖDEL-Kalkül zeigt mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, was notwendig folgt, wenn die Axiome ‚wahr‘ sind, <span style="color:#00B000">(die Axiome bilden formal-syntaktisch <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span> ab)</span>, unter der Voraussetzung, dass die Axiome <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>'' Struktur''«</span> unserer Welt sind. Die ,Verifikation‘ der Axiome und Definitionen von GOTT und seiner Vollkommenheiten gelingt GÖDEL, — entsprechend seiner Unabhängigkeits-Bedingung —, durch den Aufweis ihrer Widerspruchsfreiheit ''':''' sie sind somit ,wahr‘ und, — im Kontext einer <span style="color:#FF6000">»''theologischen Weltanschauung''«</span> —, auch ,annehmbar‘ in unserer ,realen‘ Welt ''':''' <span style="color:#00B000">(siehe Anhang, 2. Beweisgang und Anmerkung-2)</span>. Er vermeidet damit den Fehler, der immer wieder im Diskurs über Gottesbeweise gemacht wird ''':''' GOTT mit seinen Geschöpfen zu vergleichen. Diese logisch-philosophische Rede von GOTT <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">»''ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen''«</span>)</span> hat eine <u>mehr</u> als zweitausendjährige Tradition hinter sich. Der <span style="color:#FF6000">„100-Taler-Gott“</span> des Philosophen KANT, hat heute, nachdem der Logiker und Systemtheoretiker GÖDEL sein System vorgelegt hat, an ‚Strahlkraft‘ verloren. Kurt GÖDEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">» ''Die theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ dass GOTT für uns immer schon ‚da‘ ist ]</span>, ''ist rein verstandesmäßig mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar'';«</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. sie ist das ,Resultat‘ der, — vom Glauben geleiteten —, ‚theoretischen Vernunft‘, alias ‚reinen Vernunft‘, und nicht bloß das ‚Postulat‘ einer ‚praktischen Vernunft‘, wie KANT meint ]. <span style="color:#FF6000">»''Der'' <span style="color:#00B000">[ christliche ]</span> ''Glaube ist die ‚Pupille‘ im ‚Auge‘ unseres Verstandes.''«</span> (Heilige KATHARINA von Siena, Lehrerin der Kirche, Patronin Europas<ref>vgl. <span style="font-family: Times;"><big>''Gebet 7 ‚Für die neuen Kardinäle‘, Rom, 21. Dezember 1378,''</big></span> aus <span style="font-family: Times;"><big>''Caterina von Siena ,Die Gebete‘.''</big></span> Kleinhain 2019, online: https://caterina.at/werke/gebete/gebete-detailansicht/gebet-7.html</ref> )</span> Der sonst so rationale KANT, hier doch etwas emotionell, <span style="color:#00B000">(als wolle er die Ergebnisse im GÖDEL-Kalkül nicht wahr haben, die belegen, dass er sich bei GOTT geirrt, und die Funktion des christlichen Glaubens für die Philosophie falsch eingeschätzt hat)</span> ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Es war etwas ganz Unnatürliches und eine bloße Neuerung des Schulwitzes, aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee das Dasein des ihr entsprechenden Gegenstandes selbst ausklauben zu wollen''<ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 403. https://www.korpora.org/kant/aa03/403.html</ref>.<span style="color:#FF6000">«</span> Für KANT, für die Scholastiker, <span style="color:#00B000">(und auch für uns)</span>, ist es natürlich ‚logisch‘, dass aus einem als ‚möglich’ gedachten Begriff, <span style="color:#FF6000">»</span>''aus einer ganz willkürlich entworfenen Idee''<span style="color:#FF6000">«</span>, keine Existenzaussage abgeleitet werden kann. <span style="color:#00B000">(Aus dem bloß gedachten Begriff ,goldene Berge‘ folgt natürlich nicht, dass es solche in Wirklichkeit auch gibt.)</span> In der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen’</span> Tradition, die von ARISTOTELES herkommt, ist der Begriff <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> jedoch von allen anderen Begriffen so verschieden, so dass für GOTT diese Logik KANTS nicht mehr gilt. GOTT ist ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘. Hier hat KANT sich ,methodologisch‘ geirrt. Dazu der Kommentar von HEGEL ''':''' ::<span style="color:#FF6000">»''Wenn KANT sagt, man könne aus dem Begriff'' <span style="color:#00B000">[ ‚GOTT‘ ]</span> ''die Realität nicht ,herausklauben‘, so ist da der Begriff als endlich gefasst''.« <span style="color:#00B000">[ In der Endlichkeit unserer Welt trifft die Logik KANTS zu, dass dem ‚Begriff‘ nicht ,notwendig‘ das ‚Sein‘ folgt, denn es gibt in ihr die ,Lüge‘, die das ,Wirklich-Sein‘ im Begriff bloß behauptet, ohne dass es ,in Wirklichkeit‘ zutrifft, was sie behauptet. Es gilt hier nach KANT ''':''' »''Sein ist kein reales Prädikat''«. Somit ist ]</span> »''...der Begriff ohne'' <span style="color:#00B000">[ reales ]</span> ''Sein ein Einseitiges und Unwahres, und ebenso das Sein, in dem kein Begriff ist'', <span style="color:#00B000">[ ist ]</span> ''das begrifflose Sein,'' <span style="color:#00B000">[ d.i. das relative ,Noch-Nicht-Begriffene‘ ]</span>.'' Dieser Gegensatz, der in die Endlichkeit fällt'' <span style="color:#00B000">[ im Endlichen zutrifft ]</span>, ''kann bei dem Unendlichen, GOTT, gar nicht statthaben''<ref>Georg Wilhelm Friedrich HEGEL, ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Ausführungen des ontologischen Beweises''</big></span>‘ in den ‚<span style="font-family: Times;"><big>''Vorlesungen über die Philosophie der Religion vom Jahr 1831''</big></span>‘ . Hamburg 1966, Seiten 175 bzw. 174</ref>; <span style="color:#00B000">[ denn ,Begriff‘, bzw. ,Denken‘ und ,Sein‘ sind in dem Unendlichen, GOTT, untrennbar und real immer dasselbe. Auf Grund dieser ontologischen Identität ,personifiziert‘ und ,repräsentiert‘ GOTT die ,Wahrheit‘ ''':''' GOTT ist die ,Wahrheit‘. In GOTT, dem <span style="color:#FF6000">„Schöpfer der Welt“</span>, folgt dem ,Begriff‘ immer ,notwendig‘ das ,Sein‘ ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''GOTT sprach ''':''' Es werde ,Licht‘. Und es wurde Licht''«, <small>{{Bibel | Genesis |1|3|EU}}</small>;</span> oder auch ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Der Herr sprach, und sogleich geschah es; er gebot, und alles war da''«,</span> <small>{{Bibel | Psalm |33|9|EU}}</small>.]</span>«</span> Das Entscheidende bei der <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Interpretation des GÖDEL-Kalküls ist, dass der <span style="color:#00B000">(Begriff)</span> GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, nicht auf die Ebene seiner ,endlichen‘ Geschöpfe und unserer Welt gestellt wird, <span style="color:#00B000">(d.i. das ‚Universum‘ im ,Urknall‘, die ‚100-Taler‘, ein ‚Tsunami‘, auch ,einfache Modelle‘ von unserer Welt, etc.)</span>, und damit verglichen wird, sondern, dass der GOTT der Christen in seiner Einzigartigkeit und Besonderheit als <span style="color:#FF6000">»''der Unendliche''«</span> belassen und als <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen'' <span style="color:#00B000">[ Raum-Zeit-]</span>''Struktur''«</span> unserer vergänglichen Welt, — als <span style="color:#FF6000">»''der Unvergleichliche''«</span> —, verstanden wird. <span style="color:#00B000">(Alle Kritiken des sog. ,ontologischen‘ Gottesbeweises übersehen die Einzigartigkeit und Besonderheit des <span style="color:#FF6000">»''Unendlichen''«</span>, und/oder wollen diese nicht ,wahr‘ haben.)</span> Auch THOMAS von Aquin ,verortet‘ den GOTT ANSELMS, — in seiner Kritik an dessen Theorem —, irrtümlich unter die ,Dinge‘ der uns umgebenden ,Natur‘, wenn er sagt ''':''' GOTT <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse in rerum natura</big></span>“</span>, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS <span style="color:#FF6000">»</span>''in der Natur der Dinge'' <span style="color:#00B000">(unserer Welt)</span> ''existiert''<span style="color:#FF6000">«</span>, und verkennt somit, — wie nach ihm auch KANT —, die ,Unvergleichlichkeit‘ GOTTES, <span style="color:#00B000">(vgl. STh I q.2 a.1 ad 2<ref>„Deus … illud quo maius cogitari non potest; non tamen propter hoc sequitur quod intelligat id quod significatur per nomen, esse in rerum natura; sed in apprehensione intellectus tantum.“ ——— »''GOTT ist'' (nach ANSELM) ''der, über den Größeres nicht mehr gedacht werden kann. Aber nicht deswegen, weil er'', (der Narr von Psalm 14.1, den ANSELM zitiert), ''das versteht, was durch diesen Namen,'' (d.h. mit dem Begriff ,GOTT‘, als der ,Größte‘ über allem, im Theorem ANSELMS), ''bezeichnet wird, folgt daraus'', (wie ANSELM meint), ''dass er auch versteht, dass er'', (der GOTT ANSELMS), ''auch in der ,Natur‘ der Dinge'' (unserer Welt) ''existiert''; <span style="color:#00B000">[ was ANSELM so nie gesagt hat, und auch nie ,gemeint‘ hat ]</span>. ''Daraus folgt nur, dass er'', (als ,GOTT‘), ''bloß in der Auffassung seines Verstandes'', (d.h. nur im Denken des Narren als ,Begriff‘), ''existiert.''« ——— Hier ,verortet‘ THOMAS einerseits den unendlichen GOTT, von dem das Theorem ANSELMS spricht, irrtümlich unter die endlichen Dinge der uns umgebenden ,Natur‘, was sachlich dem theologischen Theorem der Unvergleichlichkeit GOTTES widerspricht, der nicht unter die Dinge unserer Welt eingereiht werden darf. Anderseits verliert er dadurch auch den ,Blick‘ für die Außerordentlichkeit und Besonderheit GOTTES, dessen Natur völlig verschieden und unabhängig von der ,Natur‘ unserer raum-zeitlichen Welt ist. GÖDEL beweist jedoch, mit ANSELM, weil es notwendig, ohne Widerspruch, (»''bloß in der Auffassung unseres Verstandes''«), möglich ist, dass GOTT existiert, ist es korrekt, daraus auch mit Notwendigkeit zu folgern, dass der Glaube des Erzbischofs ANSELM, und der Glaube seiner Anvertrauten, von der Wirklichkeit GOTTES, widerspruchsfrei, logisch richtig, und damit rational sinnvoll ist; denn Möglichkeit und Wirklichkeit sind in GOTT koinzident ,eins‘. Das ist das Privilegium GOTTES allein, der einzigartig und unvergleichlich ist. Damit zeigt er auf, dass THOMAS die Unvergleichlichkeit und Einzigartigkeit GOTTES in seinem Vorhalt nicht bedacht hat; und außerdem ANSELM missverstanden hat.</ref>)</span>; jedenfalls hier in der Auseinandersetzung mit ANSELM. Dagegen spricht ANSELM im ,''<span style="font-family: Times;"><big>Proslogion</big></span>''‘, Seite 85f, nur von einem <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse et in re</big></span>“</span> GOTTES, d.h. dass GOTT ,auch in Wirklichkeit existiert‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>quod maius est</big></span>“</span>, was ,größer‘, bzw. ,mehr‘ ist, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>esse solo in intellectu</big></span>“</span>, als nur ,im Verstand zu sein‘; wobei die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>re</big></span>“</span>, die Natur)</span>, GOTTES jedoch völlig verschieden und <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen''«</span> Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(die ,Natur‘, <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>natura rerum</big></span>“</span>)</span>, der ,raum-zeitlichen‘ Welt der Dinge ist. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. GOTT ist <span style="color:#FF6000">„vollkommen“</span> und alle <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(die ultimativen ,Transzendentalia‘ und alle Zuschreibungen)</span>, sind koinzident ,eins‘, — ,fallen <span style="color:#FF6000">„notwendig“</span> perspektivisch in eins zusammen‘, und sind daher konvertierbar. Darum ist auch die Wirklichkeit, <span style="color:#00B000">(Natur)</span>, GOTTES ,einzigartig‘ und ,unvergleichlich‘. Mit dem FUHRMANN-Korollar-3 ist die Exklusivität und Außerordentlichkeit GOTTES definitiv im Kalkül ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>. Der abendländische Monotheïsmus ist somit eine ,logische‘ Konsequenz aus den GÖDEL-Axiomen. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Theorem von der ,Einzigartigkeit‘ und Exklusivität GOTTES, d.h. hier im Kontext ''':''' die exklusive Einheit von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS; von Vater, Sohn und Geist im <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>; die Einheit von Essenz und Existenz, von Begriff und Sein, von Ursache und Wirkung, von Subjekt und Objekt, von Möglichkeit und Wirklichkeit, und die unbegrenzte Summeneinheit und Koinzidenz der unendlichen Transzendentalien in GOTT, ist, — mit HEGEL —, die Voraussetzung und Bedingung jeder Philosophie ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Die Einheit muss am Anfang der Philosophie stehen''«</span>; und ist zugleich auch ihr gesuchtes und bewiesenes Endergebnis und Ziel ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Einheit muss auch das Resultat der Philosophie sein''«</span><ref>https://hegel-system.de/de/gottesbeweis.htm#hegels-kritik-an-kant</ref>, was hier im GÖDEL-Kalkül ,logisch‘ mit dem FUHRMANN-Korollar-3 verifiziert wird ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□(∃xGx ∧ ∀y(Gy→x=y))'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist exklusiv einzigartig''«</span>.)</span> Die Einzigartigkeit GOTTES bedingt die Koinzidenz, den inneren Zusammenhang aller seiner Vollkommenheiten und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(Koinzidenz-Axiom-2)</span>, d.h. ihr paarweise, perspektivisches ,Zusammenfallen in eins‘ im Unendlichen, GOTT. ——— Aus der Notwendigkeit aller positiven Eigenschaften und Zuschreibungen, <span style="color:#00B000">(d.h. aus den, an sich, notwendigen, ultimativen Transzendentalien, Notwendigkeits-Axiom-4)</span>, die in GOTT paarweise, als ,Wesenseigenschaften‘ koinzident ,eins‘ sind, <span style="color:#00B000">(Wesens-Definition-2)</span>, ist die Einzigkeit GOTTES für uns erschließbar, <span style="color:#00B000">(FUHRMANN-Korollar-3)</span>. Das Notwendigkeits-Axiom-4 ist die erste, ,modal‘ <span style="color:#FF6000">„notwendige“</span>, d.h. die transzendentale Voraussetzung für das FUHRMANN-Korollar. Wenn im FUHRMANN-Korollar-3 das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> z. B. für GOTT, dem ,Vater‘ der Christen, und das <span style="color:#4C58FF">— ‚'''y'''‘ —</span> für GOTT, dem ,Sohn‘, d.h. für ,JESUS CHRISTUS‘ steht, oder — zugleich — für den ,HEILIGEN GEIST‘, <span style="color:#00B000">(den ,Dreifaltigen GOTT‘ der Christenheit)</span>; oder auch zugleich für die Gottesbezeichnung ,GOTT-ADONAI‘ der Juden, oder zugleich für die Gottesbezeichnung ,ALLAH‘ der Muslime steht, dann weist dieses Korollar, für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∀y'''‘ —</span>, mit der ,ontologischen Identität‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x=y'''‘ —</span>, auf die ,Koinzidenz‘ des <span style="color:#4C58FF">„Dreifaltigen“</span>, und ,zugleich‘ auf die <span style="color:#4C58FF">„Hypostatische Union“</span> der Naturen von GOTT und Mensch in JESUS CHRISTUS, bzw. auch ,zugleich‘ auf den inneren Zusammenhang der drei Buch-Religionen hin. ===<div class="center"><span style="color:#660066">Anhang : das GÖDEL-Kalkül</span></div>=== In der ,Legende zum GÖDEL-Kalkül‘ wird an einige Basics erinnert, und diese für die operative Praxis im anstehenden Kalkül, mit Hilfe von logischen Meta-Terme, adaptiert. Zusätzliche, notwendige Regeln und Gesetze werden dann ,benannt‘, wenn sie in der Kalkül-Durchführung auftreten. {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">Legende zum GÖDEL-Kalkül</span></div> |- | <small> <math>\begin{align} {\color{blue}\text{ ◇}} \text{ :: konsistent ↔ widerspruchsfrei ↔ möglich ↔ denkbar, } & {\color{blue}\text{ □}} \text{ :: notwendig ↔ wirklich, für jede mögliche Welt ↔ exklusiv} \\ \text{logischer Meta-Term ::} {\color{blue}\text{ [ A ├ B ]}} \text{ ::} & \text{„aus A folgt im Kalkül ,regulär‘ (├ ) B.“} \\ \text{ A, B sind Aussagen über Eigenschaften, (A ist keine Eigenschaft);} & \text{die Aussage, z.B. in der Kalkül-Zeile 10, wird als ,Term :10:‘ bezeichnet} \\ {\color{blue}\text{ AE}} \text{ ::} & \text{Argument Einführung, Prämisse, Postulat } \\ {\color{blue}\text{ Xx}} \text{ ::} & \text{„X ist eine Eigenschaft der Individuum-Variable x.“ } \\ {\color{blue}\text{ ¬PX}} \text{ ::} & \text{„X ist keine positive Eigenschaft, ist keine Perfektion, ist nicht vollkommen.“ } \\ {\color{blue}\text{ Instanz(X := Y)}} \text{ ::} & \text{Substitution der Eigenschaft X durch die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y } \\ \text{ (Eine ,Instanz‘ ist ein Exemplar aus einer Menge gleichartiger Dinge;} & \text{hier die ,bestimmte‘ Eigenschaft Y, als Ersatz für das unbestimmte X.) } \\ {\color{blue}\text{ FUB(x := y)}} \text{ ::} & \text{Freie-Um-Benennung der Individuum-Variable x in y } \\ \text{ ,modal‘-frei gewählte Kalkül-Prämisse ::} {\color{blue}\text{ Gx}} \text{ ::} & \text{„Die Variable x steht für den GOTT der Christen.“ } \\ {\color{blue}\text{ [ G(y) ├ ⱯyG(y) ]}}\text{ ::} & \text{All-Operator-Einführung der Variable y für GOTT } \\ \text{ „Angenommen, die Variable y steht für GOTT, dann} & \text{folgt ,regulär‘ (├ ), dass auch jedes y im Kalkül für GOTT steht.“}\\ {\color{blue}\text{[ ⱯXA(X) ├ A(X) ]}}\text{ ::} & \text{ All-Operator-Beseitigung für die substituierte Eigenschaft X } \\ \text{ „Wenn X durch eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ,instanziiert‘ ist oder} & \text{wird, dann kann der All-Operator von X ,regulär‘ (├ ) beseitigt werden.“}\\ {\color{blue}\text{ KOMM(↔)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (A ↔ B) ↔ (B ↔ A) ]}} \text{ :: Kommutativgesetz für (↔)}\\ {\color{blue}\text{ DIST(□∧)}}\text{ ::} & \;{\color{blue}\text{[ (□A ∧ □B) ↔ □(A ∧ B) ]}} \text{ :: Distributivgesetz für (□∧)} \\ \text{ (hypothetischer Syllogismus, häufige logische Schlussregel) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, A ├ B ]}} \text{ :: (Modus ponendo ponens) :: Abtrennregel.} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn A wahr ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch B wahr ist.“} \\ \text{ (negativer hypothetischer Syllogismus) ::} & \;{\color{blue}\text{[ A → B, ¬B ├ ¬A ]}} \text{ :: (Modus tollendo tollens)} \\ \text{ „Wenn es wahr ist, dass aus A ein B folgt, und wenn B falsch ist,} & \text{dann ist im Kalkül ,regulär‘ (├ ) ableitbar, dass auch A falsch ist.“} \\ \text{''KONDITIONALER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ A ├ B ╞ A → B ]}} \text{ :: (logische Implikation)} \\ \text{ „Angenommen, A ist ,regulär‘ Axiom oder Prämisse, und B ist im} & \text{Kalkül ,regulär‘ abgeleitet, dann ist ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A impliziert B, ist wahr.“} \\ \text{''INDIREKTER BEWEIS“ ::} & \;{\color{blue}\text{[ ├ ¬A → F ╞ A ]}} \text{ :: (Reductio ad absurdum)} \\ \text{ „Wenn im Kalkül aus ¬A ,regulär‘ eine Kontradiktion F} & \text{folgt, dann ist A ,bewiesen‘ ( ╞ ) : A ist ,wahr‘.“} \\ \end{align}</math> </small> |} A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Eine Prädikatenlogik zweiter Stufe ist eine Logik, in der die Quantoren auch Eigenschaftsausdrücke <span style="color:#00B000">(<span style="color:#FF6000">„Prädikate”</span>)</span> binden können''. <span style="color:#00B000">[ Die ,Prädikate‘ werden in einem Kalkül dieser Logik durch Definitionen ,bestimmt‘ ]</span>. ''Wir werden uns im folgenden recht frei einer dafür geeigneten formalen Sprache bedienen. Äußere Quantoren werden meist weggelassen und wir schreiben kurz'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Xx'''‘ — </span> ''bzw.'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ — </span> ''um auszudrücken, dass das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ — </span> ''die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''hat, bzw. dass die Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ — </span> ''die höherstufige Eigenschaft'' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> ''<span style="color:#00B000">(für <span style="color:#FF6000">„positiv”</span>)</span> hat;'' <span style="color:#00B000"> [ wobei die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> als einzige im Kalkül ,unbestimmt‘ bleibt ]</span>. <span style="color:#FF6000">«</span><ref>A. FUHRMANN ‚''<span style="font-family: Times;"><big>‚G‘ wie Gödel. Kurt Gödels axiomatische Theologie</big></span>''‘, Seite 6, Anmerkung 3. Konform mit seinem Artikel in ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Logik in der Philosophie</big></span>''‘ hg. v. P. SCHROEDER-HEISTER, W. SPOHN und E. OLSSON. 2005, Synchron, Heidelberg.</ref> Der All-Quantor für Eigenschaften, hier im GÖDEL-Kalkül der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, bindet die ,unbestimmte‘ Eigenschafts-Variable <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> ausschließlich nur in den Definitionen im 2. und 3. Beweisgang; <span style="color:#00B000">(im ersten Beweisgang gibt es keine Definition)</span>. Wobei diese Definitionen auch nur dann <span style="color:#FF6000">„wahr und widerspruchsfrei”</span> sind, wenn ihre Eigenschafts-Variablen ausschließlich mit ,Transzendentalien‘ belegt werden. Andernfalls sind sie sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch”</span>. Dieser All-Quantor wird dann jedes Mal in der Beweis-Durchführung durch die Substitution ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ Instanz(X:= ..) ]</span> mit ,bestimmte‘ Eigenschafts-Konstanten wie <span style="color:#4C58FF">— (X:= G) —</span>, bzw. <span style="color:#4C58FF">— (X:= ¬Y) —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— (X:= E_not) —</span> ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> beseitigt ''':''' <span style="color:#4C58FF"> [ ⱯXA(X) ├ A(X) ]</span>; wobei die Eigenschafts-Konstante im Kalkül entweder als Zwischenergebnis ,regulär‘ abgeleitet, <span style="color:#00B000">(,errechnet‘)</span>, oder mit einer Definition schon ,bestimmt‘ worden ist. Die spezifische ‚Eigenschaft‘ einer Eigenschaft wird hier, in der formalen Syntax der ,modalen‘ Prädikatenlogik zweiter Stufe, als eine tiefer gestellte Abkürzung <span style="color:#00B000">(als Index)</span> an ihre Trägereigenschaft angehängt, wie z. B. ‚wesentlich‘, bzw. ‚essentiell‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _ess —</span>, oder ‚notwendig‘ durch <span style="color:#4C58FF"> — _not —</span>. In der Existenz-Definition-3 steht der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''E'''_not'''x'''‘ —</span>, um auszudrücken, dass das Individuum <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> notwendig <span style="color:#4C58FF">— _not —</span> die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span>, für ,Existenz‘, hat, d.h. <span style="color:#FF6000">»''das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> existiert notwendig''«</span>. Der schon von GÖDEL indizierte Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">—‚'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> kann gelesen werden als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> hat die Wesenseigenschaft, <span style="color:#4C58FF"> — _ess — </span> ''':''' GOTT zu sein, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘ </span>''«</span>, statt der ,an sich‘ konformen, aber <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> etwas ungenauen Formulierung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''ist wesentlich göttlich''«</span>; oder mit der Voraussetzung ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''→'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> deutlicher und <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''für den GOTT der Christen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, ''steht, dann ist GOTT-Sein'', <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(,Existenz‘)</span> ''das Wesen dieses GOTTES'', <span style="color:#4C58FF">— _ess‚'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(,Essenz‘)</span>«</span>; wobei, — entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse des Kalküls <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ — </span> ''':''' das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,GOTT der Christen‘)</span> —, bei der Interpretation der Terme dieses besonderen Kalküls, die <span style="color:#4C58FF">„christliche Theologie”</span> für den Begriff <span style="color:#FF6000">„GOTT”</span>, Korrektur und die leitende Instanz ist. Dabei muss die Dreifach-Äquivalenz von <span style="color:#4C58FF"><span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ — </span></span>berücksichtigt werden. Welche der drei Äquivalenzen, bzw. Lesearten von <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span> bei einem bestimmten Term im Kalkül zulässig ist, muss <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> überprüft und evaluiert werden. Bei manchen können sogar alle drei Lesearten <span style="color:#4C58FF">„theologisch”</span> zulässig sein. Warum es in der modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, im GÖDEL-System, ,Definitionen‘ gibt, erklärt GÖDEL formal-syntaktisch ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Definitionen dienen ja nur der kürzeren Schreibwelse und sind daher prinzipiell überflüssig.''«</span> <span style="color:#00B000">(Aus der Anmerkung 6 in seinem Hauptwerk ''':''' ,''<span style="font-family: Times;"><big>Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I</big></span>''‘.)</span> Für die <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Interpretation und Hermeneutik seines Kalküls, sind die ,Definitionen‘ im GÖDEL-System jedoch wesentlich, und letztlich entscheidend. Erst dadurch wird sein Axiomensystem zur <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie”</span>. GÖDEL gibt selbst den hermeneutischen Hinweis dazu, wenn er über den höherstufigen Eigenschaftsbegriff <span style="color:#FF6000">»''positiv''«</span> sagt, der nur ,indirekt‘ definiert wird, jedoch mit seinem gesamten Axiomensystem ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positiv bedeutet positiv im moralisch ästhetischen Sinne, (unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''.«</span> Die Deutung dieses ,höherstufigen‘ Begriffs als ein anderes Wort für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> ergibt sich aus der <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Evaluierung, d.h. der Einordnung des GÖDEL-Systems in die ,laufende‘ <span style="color:#FF6000">„Rede von GOTT“</span>, seit Menschen, sich über den Sinn der Welt und unseres Lebens in ihr, Gedanken machen. GOTT, der ,transzendent‘, — unabhängig —, zur Welt ist, ist Thema im Theorem ANSELMS, um das es ja im GÖDEL-Kalkül geht. Eine <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Hermeneutik des GÖDEL-Systems ist daher legitim, die ein Bemühen um ein überzeugendes Verstehen dieses Systems ist, und dafür aus dem <span style="color:#4C58FF">„theologischen”</span> Vorwissen vieler Generationen schöpft. Dieses ,Vorwissen‘ ist ,vorgängig‘ zum GÖDEL-System, und hat daher, — ,sachlich‘, und nicht nur ,zeitlich‘, — Priorität zum syntaktischen System GÖDELS; und ist damit legitim auch Interpretations-Vorgabe. <span style="color:#4C58FF">„Theologie”</span>, als Wissenschaft von GOTT, hat hier Interpretations-Vorrang. Um philosophische, und sogar <span style="color:#4C58FF">„theologische”</span> Theoreme exakt zu formulieren, und untersuchen zu können, hat der Ausnahmelogiker GÖDEL, im 20. Jahrhundert, ein Tor aufgestoßen, das uns ermöglichen kann, <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, und logisch objektiv nachprüfbar, in diesen Disziplinen zu argumentieren. Mit seiner modalen Prädikatenlogik zweiter Stufe, <span style="color:#00B000"> (speziell mit den Definitionen, ,zugeschnitten‘ auf seinen ,ontologischen‘ Beweis)</span>, hat GÖDEL dem alten Wunsch eines Raimundus LULLUS, eines Gottfried Wilhelm LEIBNIZ, eines Immanuel KANT, und anderer, nach einer nachprüfbaren ,Universalsprache‘ in den Geisteswissenschaften, entsprochen; analog zur Mathematik, als Universalsprache in den Naturwissenschaften. Der sog. ,Theorembeweiser‘ der Wissenschaftler Christoph BENZMÜLLER und Bruno WOLTZENLOGEL-PALEO, mit Hilfe eines Computers, im 21. Jahrhundert, ist die kongeniale und logische Folge aus diesem Quanten-Schritt GÖDELS. In der folgenden Neu-Kalkülisierung, wird jeder einzelne operative Logik-Schritt des Kalküls in der '''linken Spalte''' nummeriert und als Term-Ergebnis angezeigt, und in der '''rechten Spalte''' werden die dafür benötigten Term-Komponenten und die dabei angewendeten Logik-Regeln und -Gesetze, mit Meta-Terme, dokumentiert. Am Anfang stehen die Ressourcen und das angestrebte Ziel des Beweisganges, <span style="color:#00B000">(das Theorem)</span>. Die GÖDEL Axiome und Definitionen, die Theoreme und Korollare, die Zwischenergebnisse, das Endergebnis, und die logischen Meta-Terme, <span style="color:#00B000">[ in eckigen Klammern ]</span>, werden kontextabhängig, <span style="color:#00B000">(durch ''„Benennungen“'')</span>, interpretiert, <span style="color:#00B000">(angezeigt durch ,Interpretationspunkte‘ — '''::''' —, falls nötig)</span>. Der jeweilige Beweisgang wird in den Anmerkungen ausführlich und umfassend kommentiert. Die Kalkül-Prämissen, <span style="color:#00B000">(<span style="color:#4C58FF">'''AE:'''</span> Argument Einführung)</span>, sind der modal-frei gewählte Einstieg in das Kalkül. Sie dokumentieren, zusammen mit dem angestrebten Beweis-Ziel, eine bestimmte Problemlage in einem externen Diskurs, der mit dem modalen Logik-System hier, formal-syntaktisch überprüft, und gegebenenfalls, verifiziert oder falsifiziert werden soll. Korollare sind einfache, logische Folgerungen aus dem jeweiligen Beweisgang. Theoreme und Korollare sind ,modal‘ gleichwertig. Die erste Prämisse, <span style="color:#00B000"> (lateinisch ‚<span style="font-family: Times;"><big>praemissa</big></span>‘,<span style="color:#FF6600"> „das Vorausgeschickte“</span>)</span>, in den ersten drei Beweisgängen, ist eine kategorische Existenz-Aussage. Die erste Prämisse im Beweisgang ,Widerlegung‘ ist die Negation einer hypothetischen Existenz-Aussage. Prämissen sind, als solche, immer frei wählbare ,Annahmen‘. Existenz-Aussagen sind der ,modal‘ frei gewählte, und nicht mehr hinterfragbare, fixe Ausgangspunkt einer ,möglichen‘, logischen Beweisführung. ====<div class="center"><span style="color:#660066">1. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 1, (Möglichkeitsbeweis)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe__________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist die Eigenschaft X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad (P\ X \wedge \;\Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x)) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaften Y, die aus einer positiven Eigenschaft X modal} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{notwendig folgen, sind auch positive Eigenschaften“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Theorem 1)} &\quad P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ (◇ :: „möglich“ ↔ „konsistent“ ↔ „denkbar“; □ :: „notwendig“) } \\ \text{ } & \text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad P\ X \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, es gibt positive Eigenschaften, Perfektionen“} \\ \text{02} & \quad P\ X \;\Rightarrow\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, positive Eigenschaften sind nicht konsistent“} \\ \text{03} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{04} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{05} & \quad \text{├ }\; \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:02:[Modus ponendo ponens] :: [A, A→B├ B] :AE:} \\ \text{06} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:05:[ ◇A ↔ ¬□¬A] :: (Modalregel)} \\ \text{07} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:06:[∃xA ↔ ¬Ɐx¬A] :: (Quantoren Regel)} \\ \text{08} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg X \ x \ & \ & \text{:07:NEG :: [¬¬A↔A] :: (Gesetz der Aussagenlogik)} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x \neg X \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:02:08:[(:02:↔W) → (├:08:↔W)] :: (Kalkülregel)} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x \ X \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:09:[(¬A↔W)↔(A↔F)] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{12} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text{ } & \text{:10:11:[(:10:↔F) → (:11:↔F)] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{13} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \ & \text{:01:12:[Konjunktion] :: [A, B ├ A∧B]} \\ \text{14} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow \; (\neg x = x))) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=( ¬x= ..)) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{15} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:13:14:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{16} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{17} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:15:16:[Modus ponens]}\\ \text{18} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:04:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{19} & \quad \Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \text{ } & \text{:10:18:[(:10:↔F) → (:18:↔W)] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{20} & \quad \ P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:01:19:[Konjunktion] } \\ \text{21} & \quad \ (P\ X \wedge \;\Box \; \forall x (\ X \ x \Rightarrow\; (x = x))) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{22} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:20:21:[Modus ponens]}\\ \text{23} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:17:22:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{24} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ X \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:05:23:[├A├B╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{25} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:24:23:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]}\\ \text{26} & \quad \text{├ }\; \Diamond \; \exists x \ X \ x & \ & \text{:25:NEG; bzw. :05:23:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS''}\\ \text{27} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ X \ x \ & \ & \text{:01:26:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Theorem 1)} & \;\text{„Positive Eigenschaften sind konsistent“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \text{28} & \quad \ P\ G \;\Longrightarrow\; \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:27:Instanz(X:=G) } \\ \text{29} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{(Korollar 1)} & \;\text{„Das Dasein GOTTES ist definitiv denkbar“} & \ & \text{„Es ist widerspruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-1 ''':''' <span style="color:#00B000">(Der GÖDEL-Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ist an sich überflüssig, da dieser hier als Prämisse :01: ohnehin ,angenommen‘ wird. Der Beweisgang kommt mit Axiom-2 auch ohne diesen GÖDEL-Term zum selben Ergebnis, und verkürzt sich damit sogar um zwei Schritte ''':''' Zeile 13 und Zeile 20 sind dann unnötig.)</span> Der Beweisgang geht mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als Kalkül-Ressource, prinzipiell von der Existenz eines GOTTES aus. Mit der Prämisse :01: <span style="color:#00B000">(hier im 1. Beweisgang)</span> postuliert GÖDEL vorerst allgemein, dass es <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, d.h. positive Eigenschaften''«</span> in unserer Welt gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, ohne hier zu definieren, was darunter zu verstehen ist. Definiert wird <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''wesentliche Eigenschaft''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(die <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> als ,Transzendentalia‘ evaluiert wird)</span>; und mit Hilfe dieser Eigenschaft definiert GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 3. Beweisgang)</span>, was eine <span style="color:#FF6000">»''notwendige Existenz''«</span> ist ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, die er <span style="color:#00B000">(im selben Beweisgang)</span> axiomatisch mit den <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> gleich setzt ''':''' im Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> —‚'''PE'''_not‘ —</span>. Erst im 2. Beweisgang wird mit Term :13:, nach einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, definitiv bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, dass die, von GÖDEL, hier postulierten, <span style="color:#00B000">(allgemeinen)</span>, positiven Eigenschaften, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, tatsächlich auch in GOTT <span style="color:#FF6000">»''positive Eigenschaften''«</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, sind; <span style="color:#00B000">(das sind die ultimativen ,Transzendentalia‘ in GOTT)</span>. Jetzt aber muss vorerst der ,Wunsch‘, bzw. die LEIBNIZ-Frage beantwortet werden ''':''' Ob, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, <span style="color:#FF6000">»''GOTT''«</span> ,möglich‘ ist, der, nach traditioneller Auffassung, <span style="color:#FF6000">»''ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit'' <span style="color:#00B000">[ ist ]</span>, ''das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach LEIBNIZ; was GÖDEL mit der GOTT-Definition-1 ,abbildet‘)</span>. Wenn man also beweisen will, dass die Existenz eines solchen ''<span style="color:#FF6000">»GOTTES«</span>'' ,möglich‘ sein soll, dann muss man beweisen, dass dieses postulierte System der <span style="color:#FF6000">»''positiven Eigenschaften in GOTT''«</span> möglich und formal ,widerspruchsfrei‘ ist. Das Ergebnis des 1. Beweisganges, das ,Theorem-1‘, <span style="color:#00B000">(,Erster Satz‘)</span>, fasst A. FUHRMANN zusammen als ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>. Wenn sie nicht konsistent wären, käme es zu unlösbaren Widersprüchen, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>. Term :27: ,besagt‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv, d.h. ohne Widerspruch möglich, dass es positive Eigenschaften gibt''«</span>; denn die Behauptung, <span style="color:#00B000">(Prämisse :02:)</span>, es sei nicht möglich, dass es positive Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(,Transzendentalia‘)</span>, in unserer Welt gibt, führt zu einem Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :24:)</span>, und ist daher falsch und ,unlogisch’. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(das die Gleichwertigkeit aller positiven Eigenschaften nachdrücklich klarstellt)</span>, sichern hier die Konsistenz <span style="color:#FF6000">»''aller positiven Eigenschaften in der Welt'', <span style="color:#00B000">[ die ,Transzendentalien‘ ]</span>, ''und damit auch die, die in GOTT sind''«</span>. <span style="color:#00B000">(Der 2. Beweisgang bestätigt, dass es in GOTT tatsächlich positive Eigenschaften gibt.)</span> Die ,Gleichwertigkeit‘ aller Transzendentalia, <span style="color:#00B000">(ihre ,Äquivalenz‘)</span>, ist formal-syntaktisch daran erkennbar, dass die beiden Eigenschafts-Variablen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> im Koinzidenz-Axiom-2 für beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften gegenseitig austauschbar, <span style="color:#00B000">(,konvertierbar‘)</span>, sind. Das heißt, dass beliebige, unterschiedliche ,positive‘ Eigenschaften, für die diese Variablen stehen, sich paarweise, wechselseitig ,implizieren‘, einschließen, und damit notwendig voneinander abhängen, d.h. koinzident ,eins‘ sind, konvertierbar, und somit gleichwertig sind; entsprechend dem Theorem von den Transzendentalia. Zu Term :29:, dem Korollar zu Theorem-1, notiert GÖDEL am 10. Feb. 1970, <span style="color:#00B000">(übersetzt von Joachim BROMAND)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''◇∃xG(x) besagt, dass das System aller positiver Eigenschaften kompatibel ist'',</span> <span style="color:#00B000">[ d.h. miteinander verträglich, weil ohne Widersprüche ].</span> <span style="color:#FF6000">''Dies ist ,wahr‘ auf Grund von Axiom-2,'' <span style="color:#00B000">[ weil alle positiven Eigenschaften, d.h. die Transzendentalien, koinzident gleichwertig und konvertierbar sind ]</span>.«</span> Darum ist es definitiv ,möglich‘, dass es diesen GOTT gibt, der <span style="color:#FF6000">»''alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt''«</span> und <span style="color:#FF6000">»''über dem ,Größeres‘ nicht mehr gedacht werden kann''«</span>, und, in weiterer Konsequenz, ist der GOTT-Glaube deshalb ,notwendig‘ widerspruchsfrei und sinnvoll, nach Theorem-3 ''':''' <u>Wenn</u> es ,ohne Widerspruch‘ ''<span style="color:#FF6000">»möglich, bzw. denkbar«</span>'' ist, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT«</span>'' gibt, <u>dann</u> folgt daraus ''<span style="color:#FF6000">»notwendig«</span>'' ''':''' es ist auch ,widerspruchsfrei‘, wenn man als Voraussetzung ,annimmt‘, dass es ''<span style="color:#FF6000">»GOTT wirklich, für jede mögliche Welt«</span>'' gibt ''':''' Term :11: im 3. Beweisgang. Der Wenn-Satz ist hier mit Korollar-1 bewiesen; der Dann-Satz wird im 3. Beweisgang bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span>, d.i. die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Die ontologische ,Identität‘, d.h. die ,Gleichsetzung‘, bzw. die ,Koinzidenz‘ von Strukturen, die in der Endlichkeit für uns verschieden sind, jedoch in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, paarweise, perspektivisch in eins zusammenfallen, wie ,Sein‘ und ,Wesen‘, wie ,Ursache‘ und ,Wirkung‘ usw., und auch die Äquivalenz und Austauschbarkeit der Transzendentalien, haben im GÖDEL-Kalkül die logisch-syntaktische Form einer, aus sich, ,modal‘ notwendigen Implikation zwischen zwei verschiedenen, gegenseitig austauschbaren Eigenschafts-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>. Dieses Term-Element stellt formal-syntaktisch die Gleichwertigkeit, <span style="color:#00B000">(Äquivalenz)</span>, bzw. die paarweise Koinzidenz aller positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT dar; sowohl hier im Koinzidenz-Axiom-2, als auch in der Definition-2 über die ,Wesenseigenschaften‘, im 2. Beweisgang, mit jeweils verschiedenen, frei umbenennbaren, Individuum-Variablen. Dieses Term-Element ,gilt‘, mit Notwendigkeit, allgemein, in allen Seienden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x'''‘ —</span>, jedoch nur für ihre ,positiven Eigenschaften‘, alias ,Transzendentalia‘, und wird sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span>, oder <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, Eigenschaften eingesetzt werden, die, — von Natur aus —, weder positiv noch negativ sind, wie z. B. ,rot‘ oder ,schwer‘. Die wechselseitige Austauschbarkeit der noch ,unbestimmten‘ Eigenschafts-Variablen, für beliebige positive Eigenschaften, ist formal äquivalent zur freien Umbenennung der noch ,unbestimmten‘ Individuum-Variablen ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ FUB(x:=y) ]</span>. Der formale, gegenseitige, allgemeine Austausch der positiven Eigenschafts-Variablen, bzw. die formale Gleichsetzung beliebiger positiver Eigenschaften, kann, auf Grund der Äquivalenz aller Vollkommenheiten, bzw. ,Transzendentalia‘, auch dann noch durchgeführt werden, wenn eine, von zwei Eigenschafts-Variablen, durch eine Definition oder eine Schlussfolgerung ,bestimmt‘ worden ist, und dadurch zu einer positiven Eigenschafts-Konstante, d.h. zu einer ,bestimmten‘, positiven Eigenschaft geworden ist. Das ist z. B. bei einer instanziierenden Substitution der Fall ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=..) ]</span>. Das ist eine spezifische Eigenheit der GÖDEL-Axiomatik, weil alle relevanten, positiven Eigenschaften und Zuordnungen in GOTT, als <span style="color:#FF6000">„ultimative Transzendentalia“</span>, ,bestimmt‘ oder ,unbestimmt‘, immer auch miteinander kompatibel sind. Mit dem Term-Element ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀x(Xx→Yx)'''‘ —</span>, wird formal die <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span> aller ,Transzententalia‘ in der Welt, und auch der ,Zusammenfall‘ aller Gegensätze in GOTT, abgebildet. Da die Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht, <span style="color:#4C58FF">‚'''G'''‘</span>, <span style="color:#00B000">(im Möglichkeits-Korollar-1)</span>, ist die Eigenschaft ''':''' ''<span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span>, d.h. das <span style="color:#FF6000">„Ungleichsein“</span>, das <span style="color:#FF6000">„Anderssein“</span> GOTTES, <span style="color:#00B000">(Prämisse :03:)</span>, die entscheidende Voraussetzung und Norm für jeden Diskurs über GOTT ''':''' um der <span style="color:#FF6000">„Unvergleichlichkeit“</span> GOTTES gerecht zu werden, darf GOTT niemals mit etwas aus der ''<span style="color:#FF6000">»zufälligen Struktur der Welt«</span>'' verglichen, d.h. gleich gesetzt werden. Der Term :18: <span style="color:#4C58FF">(x=x) ↔ W</span> erinnert an die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin der ‚Ich-Bin‘''«</span>. <span style="color:#00B000">(In der mystischen Tradition, in der ''<span style="font-family: Times;"><big>‚Legenda Maior‘</big></span>'' 92, über das Leben der Heiligen KATHARINA von Siena, Mystikerin und Lehrerin der Kirche, sagt GOTT-VATER zur KATHARINA ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weißt du, Meine Tochter, wer du bist und wer Ich bin'' '''?''' ''Du bist die, die nicht ist'', <span style="color:#00B000">[ aus dir selbst ]</span>, ''Ich aber bin derjenige, der IST'', <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>.«</span> Das ist eine wichtige, deutende Ergänzung, und die authentische <span style="color:#4C58FF">,theologische‘</span> Interpretation dieser Exodus Text-Stelle. Das ist der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES.)</span> Zum Term :03: notiert A. FUHRMANN ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span> ''Die Notation'' <span style="color:#4C58FF">(¬x=..)</span> ''für die Eigenschaft ''':''' <span style="color:#FF6000">„nicht mit x identisch zu sein“</span>'', <span style="color:#00B000">[ d.h. <span style="color:#FF6000">„Ungleichheit“, „Anderssein“</span>, bzw. die Notation <span style="color:#4C58FF">(x=..)</span> für den Existenzmodus-Perfektion ''':''' <span style="color:#FF6000">„Gleichheit“, „Idendität“</span> ]</span>, ''ist suggestiv und informell und ersetzt hier einen formal korrekten Abstraktionsausdruck wie'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span>, <span style="color:#00B000">[ bzw. <span style="color:#4C58FF">λy.(x=y)</span> ]</span>. ''Für die formal korrektere Notation bedarf es der zusätzlichen Vereinbarung, dass der Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y)</span> ''gleichbedeutend sei mit dem Ausdruck'' <span style="color:#4C58FF">¬λy.(x=y)</span>. ''Diese Vereinbarung ist harmlos, da wir aufgrund der Regel der λ–Konversion'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.Xy.x ↔ Xx</span>, <span style="color:#00B000">[ mit der <span style="color:#4C58FF">Instanz(X:=(¬x=..))</span> ]</span>, ''so schließen dürfen'' ''':''' <span style="color:#4C58FF">λy.(¬x=y).x ↔ ¬x=x ↔ <span style="color:#00B000">¬(x=x)</span> ↔ ¬λy.(x=y).x</span> .<span style="color:#FF6000">«</span> <ref>A. FUHRMANN a.a.O. Seite 7, Anmerkung 4 (von mir korrigiert und ergänzt)</ref> In der Kalkül-Zeile 29 wird das Möglichkeits-Korollar-1 durch einen <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponens ]</span> mit dem GOTT-Axiom-3 von der Kalkül-Prämisse-Term :01: ,abgekoppelt‘, d.h. es ist nicht mehr vom Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span> logisch abhängig. Das Möglichkeits-Korollar-1 behält jedoch die bewiesene Widerspruchsfreiheit von Theorem-1, und ist damit nur mehr von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2 abhängig, was für das Theorem-ANSELMS am Schluss entscheidend ist. Erklärung zu Term :05: Das Ergebnis einer Logik-Operation zwischen Prämissen ist ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> den Prämissen zuzurechnen. Das Modale-Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx, <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>, in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''gilt, und daraus logisch folgt, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''auch die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''gilt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar'' ''':''' ''es ist wahr, dass mit ,modaler‘ Notwendigkeit'' <span style="color:#00B000">( □ )</span>, ''für alle'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''aus der Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''die Aussage'' <span style="color:#4C58FF">‚'''B'''‘</span> ''logisch folgt''«</span>. Der Term <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span> in der rechten Spalte der Zeile 11 und der Zeile 18, <span style="color:#00B000">(gleichlautend mit Term :10:)</span>, steht formal-syndaktisch, allgemein nur für ,Transzendentalia‘, und ist für alle ,Nicht-Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Dasselbe gilt auch für das Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RK''']</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">2. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 2, (,Basisbeweis‘)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe____________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.2)} & \quad \neg P\ X \;\Longrightarrow\;\ P\neg X\ & \ & \text{„Wenn X nicht positiv ist, dann ist die Negation ¬X positiv“} \\ \text{(Axiom 3)} & \quad \ P\ G \ & \ & \text{„Göttlichkeit, GOTT-Sein, ist eine pos. Eigenschaft“ ↔ „GOTT ist perfekt“} \\ \text{(Axiom 4)} & \quad \ P\ X \;\Longrightarrow\; \Box \ P\ X \ & \ & \text{„Positive Eigenschaften sind notwendig aus sich positiv“} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 2)} & \quad \ X_{ess}\ x \;\Leftrightarrow X\ x \wedge \forall Y \left(\ Y\ x \Rightarrow \Box \; \forall y (\ X\ y \Rightarrow \ Y\ y)\right) & \ & \text{„X ist genau dann eine wesentliche Eigenschaft von x, wenn x sie hat, und} \\ \text{ } & \quad & \text { } & \;\;\text{alle anderen Eigenschaften Y von x notwendig aus dieser Eigenschaft X folgen“} \\ \text{[RM]} &\quad \ A \;\Longrightarrow\;\ B\; \text{ ├ }\;\Box \; A \Longrightarrow\;\Box\; \ B\ & \ & \text{( :: Modales Prinzip)} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(,G‘ :: „Göttlichkeit“ ↔ „GOTT“ ↔ „Dasein GOTTES“)} \\ \text{ } &\;\text{„Das Wesen GOTTES ist sein Dasein“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} &\quad \ G\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} &\quad \ Y\ x \ & \ & \text{ AE: „Angenommen, GOTT hat die Eigenschaften Y“} \\ \text{03} &\quad \neg P\ Y & \ & \text{ AE: „Angenommen, die Eigenschaften Y in GOTT sind nicht positiv“} \\ \text{04} &\quad \neg P \ Y \Rightarrow \ P \neg Y\ & \ &\text{(A1.2):Instanz(X:=Y) :: (Substitution für Eigenschaften) } \\ \text{05} &\quad \ P \neg Y \ & \ & \text {:03:04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B] } \\ \text{06} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{07} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{08} &\quad \ P \neg Y \Rightarrow \neg Y \ x\ & \ &\text{:07:Instanz(X:=¬Y)} \\ \text{09} &\quad \neg Y \ x\ & \ &\text{:05:08:[Modus ponens]} \\ \text{10} &\quad \text{├ }\; (Y\ x \wedge \neg Y \ x) \;\Leftrightarrow\;\ F\ & \ & \text{:02:09:[Konjunktion] ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{11} &\quad \neg P\ Y \; \Rightarrow \; (Y\ x \wedge \neg Y \ x )\ & \ &\text{:03:10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{12} &\quad \neg\neg P\ Y \ & \ &\text{:11:10:[Modus tollendo tollens] :: [A→B,¬B ├ ¬A]} \\ \text{13} &\quad \text{├ }\; P\ Y \ & \ &\text{:12:NEG; bzw. :03:10:[├¬A→F ╞ A] :: ''INDIREKTER BEWEIS'' :AE:} \\ \text{ } & \text{„Die Eigenschaften Y in GOTT sind positiv“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{14} &\quad \ P\ Y \;\Rightarrow\;\Box \ P\ Y \ & \ & \text{(A4):Instanz(X:=Y)} \\ \text{15} &\quad \Box \ P\ Y \ & \ & \text{:13:14:[Modus ponens]} \\ \text{16} &\quad \ G \ y \Rightarrow \ Y \ y\ & \ &\text{:01:02:[├A├B ╞ A→B]:FUB(x:=y)} \\ \text{17} &\quad \text{├ }\; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:16:[G(y) ├ ⱯyG(y)]} \\ \text{18} &\quad \Box \ P\ Y \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:13:17:[├A├B ╞ A→B]:[RM]} \\ \text{19} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:15:18:[Modus ponens]} \\ \text{20} &\quad \ Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)\ & \ &\text{:02:19:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{21} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x & \ &\text{:20:01:[Konjunktion] :: [A,B ├ A∧B]} \\ \text{22} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ X \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ X \ x\;\Leftrightarrow\; X_{ess}\ x \ & \ &\text{(D2):KOMM(↔):KOMM(∧):[ⱯYA(Y) ├ A(Y)] wegen :13:} \\ \text{23} &\quad \ (Y\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ Y \ y)) \wedge \ G \ x\;\Leftrightarrow\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:22:Instanz(X:=G)} \\ \text{24} & \quad \text{├ }\; G_{ess}\ x \ & \ &\text{:21:23:[Modus ponens]:AE: wegen :30:} \\ \text{25} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:01:24:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.1} \\ \text{26} &\quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ &\text{(D1):01:[Modus ponens] } \\ \text{27} &\quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ &\text{:26:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{28} &\quad \ P \ G \Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:27:Instanz(X:=G)} \\ \text{29} &\quad \text{├ }\; G \ x\ & \ &\text{(A3):28:[Modus ponens]} \\ \text{30} &\quad \ G_{ess}\ x \;\Rightarrow \ G \ x\ & \ &\text{:24:29:[├A├B ╞ A→B] :: Theorem 2.2 } \\ \text{31} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{:25:30:[Konjunktion]:BIKONDITIONAL :: [(A→B) ∧ (B→A) ↔ (A↔B)] } \\ \text{(Theorem 2)} &\; \text{„Dasein ist das Wesen GOTTES“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis !} \\ \text{32} &\quad \text{├ }\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:19:Instanz(Y:=(x=..))} \\ \text{33} &\quad \ G\ x \;\Rightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Rightarrow \ (x = y))\ & \ & \text{:01:32:[├A├B ╞ A→B]} \\ \text{(Korollar 2)} & \;\text{„Es gibt notwendig höchstens einen GOTT“} & \ & \text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es für jede mögliche Welt nur einen GOTT“} \\ \end{align}</math> </small> |} <span style="color:#00B000"><small>(In den Kalkül-Zeilen 16, 18, 31 sind zwei-, bzw, in Zeile 22 sind drei Kalkül-Schritte, d.h. Logik-Operationen in eine Zeile zusammengezogen worden. Das Regulär-Zeichen — ├ — steht nur vor solchen Termen, die dann im Beweisverlauf als Komponenten eines KONDITIONALEN-BEWEISES gebraucht werden. Die Regularität jeder Kalkül-Zeile wird sonst, ohne ein vorangestelltes Regulär-Zeichen, durch die Angabe der benötigten Term-Koponenten und die dafür verwendeten logischen Regeln und Gesetze in der rechten Spalte des Beweisganges gewährleistet. Die Prämissen, als frei gewählter Ausgangspunkt eines Beweises, und auch die verifizierten Axiome und Definitionen eines Kalküls, sind immer schon ,prinzipiell‘ regulär, ohne ihre Regularität zusätzlich mit einem Regulär-Vorzeichen anzeigen zu müssen.)</small></span> Anmerkung-2 ''':''' <span style="color:#00B000">(Dieser Beweisgang kommt auch ohne das ,unbestimmte‘ Konjunkt <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Xx'''‘ —</span> in der Definition-2 zum gleichen Ergebnis, und wird dadurch um eine Zeile verkürzt ''':''' Zeile 21 entfällt, und <span style="color:#4C58FF">[ KOMM(∧) ]</span> ist dann unnötig. Dieses Konjunkt wird hier ebenfalls schon in der Kalkül-Prämisse :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, als ,Annahme‘ gesetzt, vorentschieden und ,bestimmt‘ mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>. Es war also logisch korrekt, dass GÖDEL, in seiner Notiz vom 10. Feb. 1970 zum ontologischen Beweis, dieses Konjunkt weggelassen hat, was ihm von Kommentatoren als ein Flüchtigkeitsfehler angerechnet worden war. Der gesamte 2. Beweisgang bewegt sich im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, d.h. ist in jeder Zeile von der Annahme abhängig ''':''' die Variable <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''x'''‘ —</span> steht für den GOTT der Christen. In der Kalkül-Zeile 33 wird, mit Korollar-2, diese Abhängigkeit, für den Term :32:, explizit dargestellt.)</span> Der Beweisgang geht mit der Prämisse :01: prinzipiell, als ,modal‘ freigewählte Voraussetzung, von der Existenz eines GOTTES aus. Im 1. Beweisgang wurde bewiesen, dass die von GÖDEL ,postulierten‘ <span style="color:#FF6000">»''allgemeinen positiven Eigenschaften, Vollkommenheiten, Perfektionen'', <span style="color:#00B000">[ die sog. ,Transzendentalien‘ ]</span> ''konsistent''«</span>, d.i. widerspruchsfrei sind. Hier, in diesem Beweisgang wird nun die Prämisse vom 1. Beweisgang, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PX'''‘ —</span>, im Bezug auf GOTT hinterfragt ''':''' Gibt es in GOTT auch so Etwas, wie <span style="color:#FF6000">»''Vollkommenheit, Positives, Perfektes''«</span> '''?''' Die ,Annahme‘ jedoch, dass es <span style="color:#FF6000">»''in GOTT keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span> <span style="color:#00B000">(keine Transzendentalien)</span> gibt ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse Term :03:)</span>,<span style="color:#4C58FF"> — ‚'''¬PY'''‘ —</span>, d.h. dass die <span style="color:#00B000">(wesentlichen)</span> Eigenschaften in GOTT keine <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> seien, führt aber zu einem unlösbaren Widerspruch, <span style="color:#00B000">(Term :10:)</span>. Mit Term :13:, als 1. Hauptergebnis, ist damit, — als ,neue‘ Prämisse, <span style="color:#00B000">(ersetzt Term :03:)</span> —, definitiv ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ , d.h. es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, dass alle Eigenschaften, die hier mit <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span> symbolisiert werden, <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaften“</span>, d.h. <span style="color:#FF6000">„Perfektionen“</span> sind, von denen das Kalkül ,annimmt‘, <span style="color:#00B000">(Prämissen Term :01:, Term :02: und speziell Term :16:)</span>, dass der GOTT der Christen sie besitzt. Alle ,Wesenseigenschaften‘ in GOTT ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''_ess‘ —</span>, die durch den Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —, </span> dargestellt werden, sind somit <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheiten“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span><span style="color:#00B000">, (,ultimative Transzendentalien‘, aller ,Grade‘)</span>. Damit ist definitiv ‚bestätigt‘, <span style="color:#00B000">( ╞ , es ist ,wahr‘ und ,widerspruchsfrei‘)</span>, was mit dem GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, schon ‚angenommen‘ worden ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist perfekt; er hat alle positiven Eigenschaften''«</span>; und auch die GOTT-Definition-1 ist damit ,verifiziert‘ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist genau deswegen GOTT, weil er, als GOTT, positive Eigenschaften aller Grade in sich schließt''«</span>; entsprechend dem Quelltext bei LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. <span style="color:#00B000">(Der ,Schlüsselbegriff‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> ist der ,Schlüssel‘ zur Erkenntnis, dass GOTT ,notwendig‘, sowohl ,wesentlich‘ für uns, als auch an sich ,grundlos‘, immer schon ,da‘ ist.)</span> Hier, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, hat Axiom-1, <span style="color:#00B000">(im Term :04:)</span>, sicher gestellt, dass die Eigenschaften in GOTT, <span style="color:#00B000">(Definition-1; Term :06:)</span>, tatsächlich <span style="color:#FF6000">„ultimativ positiv, perfekt und vollkommen“</span> sind ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>. Das GÖDEL-Axiom-1 bezieht seine ,Potenz‘ aus dem Prinzip vom ,auszuschließenden‘ Widerspruch ''':''' eine Eigenschaft kann nicht zugleich ,positiv‘ und ,nicht positiv‘ sein '''!''' Formal lässt sich das 2. Hauptergebnis, Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' schon aus Term :23: in diesem Beweisgang mit der <span style="color:#4C58FF">[ Vereinfachung ] :: [ A∧B ├ B ]</span> ohne Weiteres ,regulär‘ erschließen, — analog zu den Vorgehensweisen bei A. FUHRMANN und G.J. WIRSCHING. <span style="color:#00B000">(Beide Aussagen dieser ,Konjunktion‘ sind ,gleichwertig‘ und wahr, daher partizipiert das Theorem-2 auch am Ergebnis der Widerspruchsfreiheit von Term :13:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span>, dem 1. Hauptergebnis. Beide, mit ,und‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''∧'''‘ —</span>, verbundene, Aussagen im Term :23: interpretieren sich gegenseitig.)</span> Der hier gewählte, etwas längere Weg zum Ergebnis, soll die innere Struktur und Abhängigkeit der Ergebnisse von bestimmten Voraussetzungen offen legen, und ihren ,Zweck‘ verdeutlichen. Die beiden Hauptergebnisse im Basisbeweis gehen vom vorgefundenen und traditionell vorgegebenen Begriff von ,GOTT‘ aus, <span style="color:#00B000">(Term :06:, Term :16: und Term :26:)</span>. Das ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 1. Hauptergebnis, hier im 2. Beweisgang, Term :13: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PY'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''alle Eigenschaften in GOTT sind vollkommen, d.h. sind die ultimativen Transzendentalia''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>, als auch die GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span>, für die Annahme ''':''' den ,GOTT der Christen‘, der deswegen GOTT ist, weil er alle Grade der Vollkommenheit in sich schließt. Und das ebenfalls ,bewiesene‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> 2. Hauptergebnis, hier im selben Beweisgang, das Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''↔'''G'''_ess'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das Wesen GOTTES ist sein eigenes Sein''«</span>, rechtfertigt, bzw. verifiziert sowohl das Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, als auch die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, für die Wesenseigenschaft ''':''' ,notwendige Existenz‘, und widerlegt den Einwand KANTS, für den Spezialfall ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''x'''‘ —</span> steht für den ,GOTT‘ der Christen. Zwei Axiome und zwei Definitionen von GOTT und seinen Vollkommenheiten werden durch die Ergebnisse im Basisbeweis des GÖDEL-Kalküls in unserer realen Welt als ,wahr‘, <span style="color:#00B000">(genauer als ,widerspruchsfrei‘)</span>, und, — im Rahmen des christlichen Glaubens —, als ,annehmbar‘ bestätigt. <span style="color:#00B000">(Anmerkung zu Term :24: ''':''' eine Prämisse ist regulär-,modal‘ immer ,frei‘ wählbar.)</span> Zusammengefasst heißt das ''':''' die ,strittige‘ Begründung der ,methodologischen‘ Prämisse des GÖDEL-Kalküls ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Prämisse, Term :01:)</span>, weil <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#00B000">(Korollar-1)</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> steht für den ,realen‘ GOTT der Christen, weil es für diesen GOTT ohne Widerspruch denkbar, bzw. ,möglich‘ ist, dass es ihn gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(ANSELMS Prinzip, trotz der ,Warnung‘ KANTS)</span>, ist ,wahr‘ und für uns ,annehmbar, denn es ist auch, auf Grund der Ergebnisse des 2. Beweisganges, in unserer realen Welt ,wahr‘ und ,annehmbar‘, weil schon als ,widerspruchsfrei‘ verifiziert ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Der GOTT der Christen'' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span> '',existiert‘ für uns ,notwendig‘''«</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.i. das ,regulär‘-mögliche Korollar sowohl im 2. als auch im 3. Beweisgang)</span>, denn dieser GOTT ist aus sich ,vollkommen‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PG'''‘ —</span>, und zu seiner ,Vollkommenheit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span> gehört auch notwendig sein ,Existieren‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. <span style="color:#00B000">(Jeder dieser Terme ist im-, und durch den 2. Beweisgang, im Geltungsbereich der Prämisse Term :01:, als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ bewiesen, bzw. verifiziert.)</span> Das ist der ,Kern‘ des ontologischen Arguments, und somit ist auch diese ,strittige‘ Begründung der Prämisse des GÖDEL-Kalküls mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. sie ist logisch ,richtig‘ und, im Kontext des christlichen Glaubens, vernünftig. Die Annahme des Gegenteils zu dieser Prämisse ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist undenkbar, dass es diesen GOTT gibt''«</span>, führt jedoch, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, zu einem Widerspruch — ist unlogisch und daher ,falsch‘, <span style="color:#00B000">(siehe Anhang ''':''' Widerlegung)</span>. Die Behauptung einer ,formalen Unentscheidbarkeit‘ zu den Annahmen über die Existenz GOTTES, ob oder nicht, <span style="color:#00B000">(d.h. ein ,methodologischer‘ Agnostizismus)</span>, ist gegen jede ,Logik‘; und ist auch ,falsch‘, d.h. der Agnostizismus ist einfach nur ein ,logischer Irrtum‘. Denn aus dem, im Kalkül abgeleiteten, Widerspruch aus der einen Annahme, und damit ihrer Unrichtigkeit, folgt notwendig die Richtigkeit der gegenteiligen Annahme. Damit ist eine klare Entscheidung getroffen. Das Modale-Prinzip <span style="color:#4C58FF">['''RM''']</span> in Worten ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Wenn es wahr ist, dass aus'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> ''ein'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> ''logisch folgt, dann ist in einem Kalkül regulär'' <span style="color:#00B000">( ├ )</span> ''ableitbar, dass, wenn'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist, auch'' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''B'''‘ —</span> '',modal‘ notwendig'' <span style="color:#00B000">( □ )</span> ''ist''«</span>. <span style="color:#00B000">(Das <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''A'''‘ —</span> in Term :18: ist als ,modal notwendig‘ durch den Term :15: verifiziert '''!''' )</span> Mit dem 2. Hauptergebnis, dem Badis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Dasein‘ ist das ,Wesen‘ GOTTES''«</span>, folgt die GÖDEL-Axiomatik der philosophisch-<span style="color:#4C58FF">,theologischen‘</span> Tradition der ,Rede von GOTT‘ seit ARISTOTELES, und schließt sich damit formal-syntaktisch zugleich auch der religiösen Überzeugung der Christen an, die glauben, dass GOTT, als unser Vater, aus Liebe, in seinem Sohn, JESUS CHRISTUS, für uns immer schon <span style="color:#FF6000">»''da''«</span> ist, <span style="color:#00B000">(der Sohn ist koinzident ,eins‘ mit GOTT, dem Vater und dem GEIST)</span>, wirksam in und durch seine <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span>, im HEILIGEN GEIST, bis ans Ende der Zeit. Das ist das, <span style="color:#FF6000">»''was''«</span> GOTT eigentlich für uns ausmacht, — die Selbstmitteilung seines unergründlichen Wesens in den Sakramenten der <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ''':''' <span style="font-family: Times;"><big>‘אֶֽהְיֶ֖ה אֲשֶׁ֣ר אֶֽהְיֶ֑ה‚</big></span> <span style="color:#00B000">| ‚eh'jeh asher eh'jeh‘ |</span> <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin da für euch und für immer, als der ich ''<span style="color:#00B000">[ immer schon gewesen ]</span> ''bin''«</span>; <span style="color:#00B000">(d.i. das <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-exegetische ,Axiom‘ der Christen, und eine <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span> korrekte Explikation der ,regulären‘ Kalkül-Prämisse Term :01: <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span>, jeweils im 2. und 3. Beweisgang)</span>. Das heißt aber nicht, dass der Autor des Kalküls sich mit diesem Glauben identifiziert hat, <span style="color:#00B000">(,hat‘ er auch nicht)</span>, oder dass der Leser des ontologischen Beweises von Kurt GÖDEL sich damit identifizieren muss, wenn er dessen <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> anerkennt. Zur erweiterten <span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Explikation der Kalkül-Prämisse, <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' Die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist das ,Meisterwerk‘ GOTTES ''':''' In ihr ist es GOTT gelungen, etwas Göttliches und Unzerstörbares in unsere korrupte Welt einzupflanzen ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Etwas Göttliches existiert notwendig, d.h. ,unzerstörbar‘ in unserer Welt''«</span>. Durch die Menschwerdung des GOTTES Sohnes, JESUS CHRISTUS, dessen <span style="color:#4C58F0">„Leib“</span> die <span style="color:#4C58F0">„Kirche“</span> ist, ist sie untrennbar mit Menschen verbunden, die schon, von allem Anfang an, und jetzt immer noch, durch die Sünde korrumpiert sind. Mit ihr will und wird GOTT unsere Welt und die Menschheit, bis ans Ende der Zeit, von der Sünde und von deren Konsequenz, dem <span style="color:#00B000">(ewigen)</span> Tod <span style="color:#4C58FF">„erlösen“</span>, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht ohne die Zustimmung des Menschen)</span>. Mit dieser Explikation wird die Tragweite des ontologischen Arguments ANSELMS, und damit auch die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Relevanz der GÖDEL-Axiomatik erkennbar. Immer vorausgesetzt, <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man glaubt an GOTT, <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. ====<div class="center"><span style="color:#660066">3. Beweisgang</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDELS ontologischer Beweis für Theorem 3, (ANSELMS Theorem)</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe___________________„Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 5)} & \quad P\ E_{not}\; \ & \text { } & \text{„Notwendige Existenz ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{ } & \text{( :: Das ist nur dann wahr, wenn ,Dasein‘ und ,Wesen‘ } & \ & \text{( :: dagegen KANT : ,Existenz‘ ist keine ,Eigenschaft‘,} \\ \text{ } & \;\;\text{in eins zusammenfallen ! ARISTOTELES : Theorem-2)}\ & \ & \;\;\text{,Sein‘ ist für alles, was existiert, kein ,reales Prädikat‘ ! )} \\ \text{(Definition 1)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \forall X(\ P \ X \Longrightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{„x ist genau dann GOTT, wenn x alle positiven Eigenschaften hat“} \\ \text{(Definition 3)} & \quad \ E_{not}\ x \;\Longleftrightarrow\;\ \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Longrightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{„Notwendige Existenz ist genau dann eine Eigenschaft von x, wenn} \\ \text{ } & \quad & \ & \;\;\text{alle wesentl. Eigenschaften von x notwendig instanziiert sind“} \\ \text{(Korollar 1)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{„Es ist widespruchsfrei möglich, dass es GOTT gibt“} \\ \text{(Theorem 2)} &\quad \ G\ x \;\Longleftrightarrow\; \ G_{ess}\ x \ & \ &\text{„Dasein, GOTT-Sein, Existenz ist das Wesen, die Essenz GOTTES“} \\ \text{(Korollar 2)} &\quad \ G\ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{„Wenn es GOTT gibt, dann gibt es notwendig nur einen GOTT“} \\ \text{(Theorem 3)} & \quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow\; \Box \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{( :: ANSELMS Prinzip)} \\ \text{ } & \text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{01} & \quad \ G \ x\ & \ & \text{ AE: „Angenommen, x steht für den GOTT der Christen“} \\ \text{02} & \quad \forall X(\ P \ X \Rightarrow \ X \ x)\ & \ & \text{(D1):01:[Modus ponens] :: (logische Schlussregel)} \\ \text{03} & \quad \ P \ X \Rightarrow \ X \ x\ & \ & \text{:02:[ⱯXA(X) ├ A(X)] :: (Quantorenregel)} \\ \text{04} & \quad \ P \ E_{not}\;\Rightarrow \ E_{not}\ x\ & \ & \text{:03:Instanz(X:= Enot) :: (Substitution für Eigenschaften)} \\ \text{05} & \quad \ E_{not}\ x\ & \ & \text{(A5):04:[Modus ponens] :: [A, A→B ├ B]} \\ \text{06} & \quad \forall X \left(\ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y \right) & \ & \text{(D3):05:[Modus ponens] :: [A→B, A ├ B]} \\ \text{07} & \quad \ X_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ X\ y & \ & \text{:06:[ⱯXA(X) ├ A(X)]} \\ \text{08} & \quad \ G_{ess}\ x \Rightarrow \Box \; \exists y \ G\ y & \ & \text{:07:Instanz(X:=G)} \\ \text{09} & \quad \ G_{ess}\ x \ & \ & \text{(Th2):01:[Modus ponens]} \\ \text{10} & \quad \text{ ├ }\;\Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{:08:09:[Modus ponens]:FUB(y:=x) :: (Freie-Um-Benennung der Var.)} \\ \text{ } & \text{„Es gibt GOTT wirklich, für jede mögliche Welt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{1. Hauptergebnis !} \\ \text{11} & \quad \;\Diamond \exists x \ G \ x \;\Longrightarrow \; \Box \; \exists x \ G\ x & \ & \text{(K1):10:[├A├B ╞ A→B] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''} \\ \text{(Theorem 3)} & \;\text{„Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt,} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war ! 2. Hauptergebnis ! } \\ \text{ } & \;\;\text{ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei“} \\ \text{12} & \quad \;\Box \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y))\ & \ &\text{(K2):01:[Modus ponens]} \\ \text{13} & \quad \;\Box \; (\exists x \ G\ x \wedge \; \forall y(\ G \ y \Longrightarrow \ (x = y)))\ & \ & \text{:10:12:[Konjunktion]:DIST(□∧)} \\ \text{(Korollar 3)} & \;\text{„Es gibt notwendig genau nur einen GOTT“} & \ & \text{„Es gibt für jede mögliche Welt nur den GOTT der Christen“} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-3 ''':''' <span style="color:#00B000">(Ein Theorem und zwei Korollare, aus den beiden vorhergehenden Beweisgängen, werden hier, im 3. Beweisgang, zu verifizierten ,Axiomen‘, die das Theorem-ANSELMS und sein Korollar mit-verifizieren und bestätigen.)</span> Dieser Beweisgang ist das Ziel aller Bemühungen. Hier wird der sog. ,ontologische Gottesbeweis‘ nach ANSELM von Canterbury formal-syntaktisch dargestellt und als logisch nachvollziehbar von GÖDEL bestätigt. Damit hat er aber auch klar gestellt, dass der ontologische Beweis ANSELMS kein Beweis für die ,Existenz‘ des GOTTES der Bibel sein kann, bzw. sein ,will‘ ''':''' Denn mit der Prämisse, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(Term :01:, wie auch schon im ,Basisbeweis‘, und ausformuliert hier in Term :02:, mit der Definition für GOTT)</span>, wird mit dem traditionellen, abendländischen ,GOTT-Glauben‘, der ,glaubt‘, dass der Gott der Christen tatsächlich existiert, — methodologisch als ,Annahme‘ —, der Beweisgang schon regulär und explizit eröffnet, aus dem sich dann, logisch korrekt, mit Hilfe der GÖDEL-Axiome und Definitionen, das ,Theorem ANSELMS‘ ergibt; <span style="color:#00B000">(hier jedoch, mit Günther J. WIRSCHING, ohne den Umweg in den GÖDEL-Notizen, über den <span style="color:#4C58FF">[ Modus Barbara ] :: [ A → B, B → C ├ A → C ] </span>, mit dem modalen Axiom-BECKER ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇□A→□A'''‘ —</span>, als <span style="color:#4C58FF">‚B → C‘</span> im kategorischen Syllogismus, das André FUHRMANN recherchiert hat)</span>. GÖDEL verwendet zur Darstellung des sog. ,ontologischen Gottesbeweises‘, nach ANSELM, die Struktur eines modal-logischen Kalküls. Ein modal-logisches Kalkül ist ein genau geregeltes Schema, in dem bei bestimmten ,Annahmen‘ <span style="color:#00B000">(Axiome, Definitionen, Prämissen)</span> etwas anderes als das Vorausgesetzte, auf Grund des Vorausgesetzten mit Notwendigkeit folgt. Entsprechend der ,Modalität‘ der sechs ,modal‘ notwendigen, d.h. transzendentalen Voraussetzungen, hier, für den 3. Beweisgang, die in den <span style="color:#00B000">(und durch die)</span> beiden vorhergehenden Beweisgängen schon als <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. als logisch annehmbar, verifiziert und/oder ,bewiesen‘ wurden, sind auch die beiden ,Schlusssätze‘ <span style="color:#00B000">(Theorem-3 und Korollar-3)</span> <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, bzw. logisch annehmbar '''!''' Die Wahl der Prämisse :01: dagegen ist nicht ,modal‘ notwendig, sondern beruht auf einer freien Entscheidung, und damit ist auch ihre Interpretation eine ,modal‘ freie Entscheidung, mit der Voraussetzung, dass man das Kalkül mit Theoremen aus der <span style="color:#4C58FF">„christlichen Theologie“</span> evaluieren, und damit interpretieren will. Dazu berechtigt die Genese des Kalküls. Der Glaube an den GOTT der Christen ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, beruht immer auf einer freien Entscheidung. Das Kalkül, als solches, unabhängig von jeder Interpretation seiner Syntax, ist genau dann ,allgemein‘ <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, d.h. ,ist allgemein gültig‘, wenn es gültigen Logik-Regeln folgt. Die Bestimmung seiner Syntax jedoch, d.h. seine Interpretation, unterliegt hermeneutischen Kriterien, die nicht von Logik-Regeln abhängen, wie hier ''':''' <span style="color:#FF6000">»''(unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt). Nur dann sind die Axiome wahr''«</span>, wie GÖDEL selbst hinzufügt. Mit der, — von GÖDEL eingeforderten —, ‚Unabhängigkeit‘ der Kalkül-Axiome von der zufälligen Struktur der Welt, wird implizit für das Kalkül auch festgelegt, dass <span style="color:#FF6000">„GOTT“</span> ‚unabhängig‘ von der zufälligen <span style="color:#00B000">(Raum-Zeit-)</span>Struktur unserer vergänglichen Welt, und daher ,zeitlos-ewig‘ ist, <span style="color:#00B000">(was <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> korrekt ist)</span>, begründet durch die GOTT-Definition-1 und das GOTT-Axiom-3. Aus der zeitlosen Ewigkeit GOTTES folgt, dass GOTT, <span style="color:#FF6000">„unverursacht“ <span style="color:#00B000">|</span> „grundlos“</span>, für uns immer schon ‚da‘ ist, denn bei Zeitlosigkeit gibt es keinen ,zeitlichen‘ und damit auch keinen ,ontologischen‘ Unterschied zwischen ‚Ursache‘ und ‚Wirkung‘. Beides ist dann koinzident ,eins‘ ''':''' wie ,Wesen‘ und ,Dasein‘ in GOTT, bzw. wie ,Begriff‘ und ,Sein‘, oder ,Möglichkeit‘ und ,Wirklichkeit‘. <span style="color:#00B000">(Man vergleiche damit auch die ,postulierte‘ Einheit von ,Erkenntnisobjekt‘ und ,Erkenntnissubjekt‘ im ,Gott‘ des ARISTOTELES ''':''' im <span style="color:#FF6000">»<span style="color:#00B000">[ selbstbewussten ]</span> ''Erkennen seiner Erkenntnis''<span style="color:#00B000">[-Tätigkeit ]</span>«<span style="color:#00B000"> | </span>„<span style="font-family: Times;"><big>νοήσεως νόησις</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„noêseôs noêsis“</span> <small>(‚<span style="font-family: Times;"><big>''Metaphysik''</big></span>‘ XII 9, 1074b34)</small>, im Vollzug seiner Funktion als ,unbewegtes Bewegungsprinzip‘, als <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>πρῶτον κινοῦν ἀκίνητον</big></span>“<span style="color:#00B000"> | </span>„prôton kinoûn akinêton“</span> der Welt, das alles Übrige <span style="color:#FF6000">»''wie ein Geliebtes''«<span style="color:#00B000"> | <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>ὡς ἐρώμενον</big></span>“</span> | <span style="color:#FF6000">„hôs erômenon“</span> bewegt; d.h. christlich ''':''' <span style="color:#FF6000">»''aus Liebe''«</span> ,entstehen‘ lässt.)</span> Anmerkung-4 ''':''' Das <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> schon bewiesene Basis-Theorem-2, d.i. die Koinzidenz von <span style="color:#FF6000">„Sein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, <span style="color:#00B000">(‚Existenz‘</span> und <span style="color:#00B000">‚Essenz‘)</span>, rechtfertigt sowohl das Identitäts-Axiom-5 als auch die Existenz-Definition-3, und widerlegt den Einwand KANTS. Somit ist deren Setzung <span style="color:#00B000">(hier, im 3. Beweisgang)</span> korrekt, und durch das Theorem-2 schon vorbestimmt und bestätigt, d.h. beide sind <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> und ,logisch‘ annehmbar, da sie durch die Gültigkeit von Theorem-2 ,verifiziert‘ worden sind. Damit wird klar erkennbar, dass das Theorem-2 tatsächlich die Basis des GÖDEL-Kalküls ist. Und wenn damit das Identitäts-Axiom-5 im GÖDEL-Kalkül ‚gerechtfertigt‘ ist, dann ist auch, <span style="color:#00B000">(als Voraussetzung dafür)</span>, das Notwendigkeits-Axiom-4 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ — ''':''' </span> <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften'', <span style="color:#00B000">[ ,Transzendentalia‘ ]</span>, ''sind notwendig aus sich'', <span style="color:#00B000">[ von Natur aus ]</span>, ''positiv''«</span>, im 2. Beweisgang erklärbar, in dem die ‚Positivität‘, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, einer Eigenschaft schon als ‚notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, charakterisiert worden ist, äquivalent zum Identitäts-Axiom-5 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>, in dem die ‚Notwendigkeit‘, <span style="color:#4C58FF">— _not —</span>, <span style="color:#00B000">(der Existenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''‘ —</span> in GOTT)</span>, dann als ‚positive‘ Eigenschaft, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, ‚bestimmt‘ wird; <span style="color:#00B000">(unter der speziellen Voraussetzung, dass <span style="color:#FF6000">„Existieren“</span> definitiv als eine <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT ,instanziiert‘ ist; vgl. Definition-3. Eine ,bestimmte‘ Eigenschaft ist genau dann ,instanziiert‘, wenn sie an einem Träger real ,existiert‘. Die Existenz-Definition-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not'''x ↔ ∀X(X'''_ess'''x →□∃yXy)'''‘ —</span>, besagt, dass die, von GÖDEL ,postulierte‘, und im Basis-Theorem-2 verifizierte, <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''E'''_not‘ —</span>, zu den ,ultimativen‘ Transzendentalia in GOTT gehört, wenn hier das <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht; genauer ''':''' Die <span style="color:#FF6000">„notwendige Existenz“</span> ist in GOTT die ,Summe‘ aller Transzendentalia.)</span> Zum Notwendigkeits-Axiom-4, <span style="color:#00B000">(bzw. zum Term :14:, im 2. Beweisgang des Kalküls)</span>, erklärt GÖDEL in seinen Notizen zum Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">»''da es'' <span style="color:#00B000">[ das Notwendigsein, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span> ]</span> ''aus der Natur der'' <span style="color:#00B000">[ positiven ]</span> ''Eigenschaft folgt'', <span style="color:#00B000">[ deren Positivität, im selben Beweisgang, mit Term :13: vorher schon ,bewiesen‘ (╞ ) worden ist ]</span>«</span>. Diese GÖDEL-Erklärung zum Notwendigkeits-Axiom-4 entspricht der Modal-Regel zur sog. ,Nezessisierung‘ in der KRIPKE-Logik, die dort GÖDEL zugeschrieben wird. <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ] '''::''' [ ├ A →├ □ A ]</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Angenommen'', <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''ist in einem Kalkül eine Prämisse, oder darin regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span> ''abgeleitet, dann folgt in diesem Kalkül regulär'' <span style="color:#4C58FF">(├ )</span>, ''dass dieses'' <span style="color:#4C58FF">‚'''A'''‘</span> ''auch ,modal‘ notwendig'' <span style="color:#4C58FF">— ,□‘ —</span> ''ist''«</span>. GÖDEL hat jedoch diese modale Notwendigkeit nur in der ,Natur‘ der positiven Eigenschaften, alias ,Transzendentalia‘, gesehen, und mit den Aussagen im modalen Notwendigkeits-Axiom-4 expliziert ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX → □PX'''‘ —</span>, unter der unumgänglichen Bedingung ''':''' <span style="color:#FF6000">»''unabhängig von der zufälligen Struktur der Welt, nur dann sind die Axiome wahr''«</span>. Ob dieselbe modale ,Notwendigkeit‘ auch auf Aussagen über Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ zutrifft, die weder positiv noch negativ sind, ist nicht erwiesen. Hier kann nur von modaler ,Kontingenz‘ gesprochen werden, die universal, alles Seiende innerhalb der <span style="color:#FF6000">»''zufälligen Struktur der Welt''«</span> betrifft. Somit sind die Aussagen <span style="color:#4C58FF">— ‚'''A'''‘ —</span> in der GÖDEL-Regel, nur auf Aussagen über ,positive‘ Eigenschaften eingeschränkt, und nicht allgemein gültig. Die <span style="color:#4C58FF">[ Nezessisierungsregel ]</span> ist nur für <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“ „modal wahr“</span>, und für ,Nicht-Transzendentalia‘ immer <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Alle Modal-Logiken, die sich auf diese Regel stützen, sind nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn sie sich auf Aussagen über <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> beziehen. Andernfalls sind sie <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>. Der unbegrenzt Unendliche, GOTT, — im Glauben der Christen —, ist deswegen ,notwendig für uns da‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→E'''_not'''x'''‘ —</span>, weil er als GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘ und absolut ,positiv‘, d.h. absolut ,gut allein‘ ist, ohne jede Negativität ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG'''‘ —</span>; <span style="color:#00B000">(was auch schon im 2. Beweisgang mit Term :13: verifiziert wurde)</span>. Und wenn GOTT ,vollkommen‘, ,perfekt‘, ,positiv‘, und absolut ,gut‘ ist, dann ist er das auch ,notwendig aus sich‘ ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PG → □PG'''‘ — ::</span> <span style="color:#00B000">(als Zusatz-Korollar im 2. Beweisgang aus dem Notwendigkeits-Axiom-4 und mit der <span style="color:#4C58FF">[ Instanz(X:=G) ]</span>)</span>, d.h. ,aus seinem Wesen‘. Das ist gerade das, ,was‘ GOTT als GOTT ausmacht ''':''' sein ,Wesen‘, bzw. seine <span style="color:#FF6000">„Natur“</span>. Zusammen mit der GOTT-Definition-1 für GOTT, <span style="color:#00B000">(und der Wesens-Definition-2 ''':''' Alle Wesenseigenschaften hängen notwendig gleichwertig aus sich zusammen)</span>, ist dieses, aus der <span style="color:#FF6000">„Natur“</span> GOTTES sich ergebende, ‚Notwendigsein‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aller ‚positiven‘ Eigenschaften im Notwendigkeits-Axiom-4, und ihr logischer Zusammenhang, d.i. die Koinzidenz aller ,Vollkommenheiten‘ und ,Zuschreibungen‘ im Unendlichen, GOTT, ihr ,Zusammenfallen in eins‘, die entscheidende Voraussetzung, aus der sich dann für GÖDEL <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span> auch der logische Zusammenhang, bzw. die ontologische Identität, <span style="color:#00B000">(die Koinzidenz)</span>, von <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> und <span style="color:#FF6000">„Wesen“</span> in GOTT, im Basis-Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ —</span> mit Notwendigkeit ergibt. Dieses Theorem-2 ist dann, in weiterer Folge, die ,modal‘ notwendige, d.h. die transzendentale Voraussetzung auch für den Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, <span style="color:#00B000">(Term :09: hier im 3. Beweisgang)</span>. Die <span style="color:#FF6000">„positiven Eigenschaften“<span style="color:#00B000"> | </span>„Vollkommenheiten“</span> in GOTT sind ,immer‘ auch <span style="color:#FF6000">„notwendige Eigenschaften“</span>, daher ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''PE'''_not‘ —</span>. Das ,Dasein‘, die <span style="color:#FF6000">„Existenz“</span> ist ,immer‘ etwas <span style="color:#FF6000">„Positives“</span>, speziell in GOTT, dem Schöpfer jeder ,Existenz‘, bzw. allen ,Seins‘. Das Notwendigkeits-Axiom-4 begründet im GÖDEL-Kalkül das Basis-Theorem-2, <span style="color:#00B000">(wie auch das FUHRMANN-Korollar-3 von der exklusiven Einzigartigkeit GOTTES)</span>, und ,verankert‘ diese Theoreme damit zugleich in der <span style="color:#4C58FF">,theologisch‘</span>-philosophischen Tradition der ,Rede von GOTT‘ bei ARISTOTELES, — AVICENNA, — ANSELM, — DESCARTES, — LEIBNIZ, — HEGEL, — und bei GÖDEL mit äußerster ,logischer‘ Klarheit. Anmerkung-5 ''':''' Der ‚Schlüsselbegriff‘ in diesem Kalkül ''':''' <span style="color:#FF6000">„positive Eigenschaft“</span>, bzw. <span style="color:#FF6000">„Vollkommenheit“<span style="color:#00B000"> | </span>„Perfektion“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>, dominiert alle Axiome des GÖDEL-Kalküls, jedoch ohne inhaltlich genauer ‚bestimmt‘ worden zu sein. Für <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ — </span> gibt es keine explizite Definition '''!''' <span style="color:#00B000">(Das Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span>, besagt nur, dass die ,postulierten‘, positiven Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span>, formal miteinander verträglich, d.h. ‚widerspruchsfrei‘ sind, wegen dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2. Das Koinzidenz-Axiom-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX ∧ □∀x(Xx→Yx)→PY'''‘ —</span>, besagt, dass positive Eigenschaften ,gleichwertig‘ sind, d.h. gleich ,wahr‘ sind, weil sie ,notwendig‘, <span style="color:#4C58FF">— '''□''' —</span>, aus sich, alle paarweise mit- und voneinander ,impliziert‘ sind, sich gegenseitig ,einschließen‘, und damit eine Einheit bilden, d.h. auch in GOTT ,eins‘ sind. Das Koinzidenz-Axiom-2 ist somit zugleich eine ,indirekte‘ Definition für ,positive‘ Eigenschaften ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''P'''‘ —</span>. Die Wesens-Definition-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''_ess'''x ↔ Xx ∧ ∀Y(Yx→ □∀y(Xy→Yy))'''‘ —</span>, besagt ''':''' Weil die ,gleichwertigen‘, positiven Eigenschaften sich gegenseitig implizieren, und damit notwendig von einander abhängen, d.h. koinzident in GOTT ,eins‘ sind, — wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT steht —, dann sind sie somit auch die ,wesentlichen‘ Eigenschaften, die <span style="color:#FF6000">„ultimativen Transzendentalia“</span>, in GOTT, der, wesentlich und exklusiv, notwendig ,Einer‘ ist. Die Wesens-Definition-2 ist nur dann <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, wenn ihre Eigenschafts-Variablen, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''X'''‘ —</span> und <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Y'''‘ —</span>, mit positive Eigenschaften, d.h. mit <span style="color:#FF6000">„Transzendentalien“</span>, besetzt werden. Diese Definition ist jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn ihre Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind. Fußnote zur Wesens-Definition-2 in der GÖDEL-Notiz ''':''' <span style="color:#FF6000">»''any two essences of x are nec. equivalent''«</span>. Diese paarweise, notwendige Äquivalenz von zwei beliebigen Wesenseigenschaften der Individuum-Variable <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span>, wird hier, spezifisch für GOTT, d.h. wenn <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> für GOTT, dem ,Einen‘, steht, zur <span style="color:#FF6000">„Koinzidenz“</span>, — zum paarweise ,Zusammenfallen aller Gegensätze in Einem‘ —, dem inneren Zusammenhang aller seiner <span style="color:#FF6000">„ultimativen“</span> Vollkommenheiten, d.h. aller <span style="color:#FF6000">„Transzendentalia“</span> und Zuschreibungen, in dem unbegrenzt Unendlichen, GOTT, den schon der Philosoph und Kardinal NIKOLAUS von Kues als <span style="font-family: Times;"><big>,coincidentia oppositorum‘</big></span> verstanden hat.)</span> In den entscheidenden ‚Schlusssätzen‘ des Kalküls ist der ‚Schlüsselbegriff‘ verschwunden. Hier ist nur mehr von GOTT, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''G'''‘ —</span>, die Rede ''':''' Möglichkeits-Korollar-1, <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv denkbar, dass es GOTT gibt''«</span>, Basis-Theorem-2, <span style="color:#FF6000">»''Dasein, GOTT-Sein, Göttlichkeit ist das Wesen GOTTES''«</span>, Theorem-3, <span style="color:#FF6000">»''Weil GOTT definitiv denkbar, d.h. widerspruchsfrei möglich ist, darum ist auch der Glaube an GOTT widerspruchsfrei, logisch richtig und mathematisch evident, der annimmt, dass es GOTT, mit Notwendigkeit, wirklich gibt''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM von Canterbury, und was spezifisch das <span style="color:#FF6000">»</span>''Privilegium der Gottheit allein''<span style="color:#FF6000">«</span> ist, nach LEIBNIZ)</span>, und Korollar-3, <span style="color:#FF6000">»''Es gibt notwendig aus sich, d.i. unverursacht, nur einen GOTT''«</span>, <span style="color:#00B000">(nach A. FUHRMANN)</span>. Das GÖDEL-Kalkül ist zu diesen Erkenntnissen gekommen, ohne die Eigenschaften, bzw. die ‚Vollkommenheiten‘ GOTTES, d.h. wer oder was GOTT ‚an sich‘ selbst ist, genauer bestimmen zu müssen, <span style="color:#00B000">(was ,für uns‘ ohnehin ,unmöglich‘ ist)</span>; außer im Theorem-2, in dem das <span style="color:#FF6000">„Dasein“</span> GOTTES als die ‚für uns‘ bestimmende und wichtigste <span style="color:#FF6000">„Wesenseigenschaft“</span> in GOTT erkannt worden ist, — immer vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span>, man ‚glaubt‘ an den zeitlos-ewigen GOTT ''':''' <span style="color:#00B000">(Term :01:)</span>. Der GOTT des GÖDEL-Kalküls ist nicht mehr der an Raum und Zeit gebundene ‚Gott‘ des ARISTOTELES, sondern der von Raum und Zeit <span style="color:#FF6000">»''unabhängige''«</span> GOTT der Bibel bei ANSELM und bei LEIBNIZ. Das GÖDEL-Kalkül, <span style="color:#00B000">(wie ja auch der sog. ‚ontologische Gottesbeweis‘ ANSELMS)</span>, kann jedoch, — bei aller ‚Coolness‘ —, keinen GOTT-Glauben ‚erzeugen‘, sondern setzt vielmehr die Existenz GOTTES notwendig als gegeben schon voraus. Das Kalkül des Logiker GÖDEL beweist aber, dass der traditionelle ‚GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die theologische Weltanschauung''«</span>, mit den Maßstäben der modernen Logik <span style="color:#FF6000">»''durchaus vereinbar''«</span>, d.h. logisch ,richtig‘ und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> ist, weil der ‚Nicht-GOTT-Glaube‘, <span style="color:#FF6000">»''die atheistische Weltanschauung''«</span>, im Möglichkeitsbeweis notwendig zu unlösbaren Widersprüchen führt, und somit logisch ,falsch‘ und unsinnig ist. <span style="color:#00B000">(Die ,Logik‘ hat aber, — bekanntlich —, bei allen wichtigen, persönlichen Entscheidungen immer nur eine untergeordnete Rolle '''!''' )</span> Anmerkung-6 ''':''' Das erste, ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleitete, Hauptergebnis im 3. Beweisgang, Term :10: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass GOTT ,notwendig‘ existiert, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse, Term :1: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>. Dieses erste Hauptergebnis hat also den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist daher davon ,abhängig‘, d.h. Term :10: ist der Ausdruck einer ,Glaubensüberzeugung‘. Das zweite Hauptergebnis im 3. Beweisgang, das Theorem ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, dagegen, ist die Darstellung der Abhängigkeit des ersten Hauptergebnisses von dem, vorher schon bewiesenen, ,Axiom‘ von der ,möglichen‘ Existenz GOTTES ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang. Dem geht folgende Beobachtung voraus ''':''' Der Term ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, hat in seiner syntaktischen Stellung hier, im Theorem-3, nicht mehr den überlieferten, traditionellen GOTT-Glauben zur Voraussetzung, und ist damit, in seiner Position als Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, auch nicht mehr davon syntaktisch abhängig, sondern stützt sich formal-syntaktisch nur auf die behauptete Möglichkeit GOTTES; daher muss diese ,angenommene‘ Möglichkeit zuerst noch bewiesen <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> werden. Dazu die Feststellung LEIBNIZ‘, der diesen Zusammenhang, und seinen Mangel, erkannt hat ''':''' ::Das Theorem ANSELMS ist <span style="color:#FF6000">» ''ein unvollständiger Beweis, der etwas voraussetzt, was man noch hätte beweisen'' <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> ''sollen, um ihm mathematische Evidenz zu verleihen — nämlich, dass man dabei stillschweigend voraussetzt, diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens sei möglich und enthalte keinen Widerspruch'' «</span>. Diesen <span style="color:#FF6000">»''unvollständigen Beweis''«</span> hat GÖDEL im 1. Beweisgang mit dem ,regulär‘ <span style="color:#00B000">(├ )</span> abgeleiteten, und widerspruchfreien Möglichkeits-Korollar-1, vervollständigt, und damit hat er mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span> bewiesen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Diese Vorstellung des durchaus großen oder durchaus vollkommenen Wesens''«</span> enthält <span style="color:#FF6000">»''keinen Widerspruch''«</span> '''!''' <span style="color:#00B000">(Diese Ergebnis-Zusammenfassung ist eine Vorwegnahme und die Bestätigung für meine Interpretation des Glaubens-Theorem ANSELMS, hier im 3. Beweisgang ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Weil es widerspruchsfrei möglich ist, dass es GOTT gibt, ist der Glaube, dass es GOTT wirklich gibt, widerspruchsfrei''«</span>.)</span> Das Möglichkeits-Korollar-1 ist ,regulär‘ nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und von der mathematischen Äquivalenz der Perfektionen, <span style="color:#00B000">(der Transzendentalien)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2 ,abhängig‘, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Kalkül-Prämisse, dem traditionellen GOTT-Glauben. Damit hat das Glaubens-Theorem ANSELMS die gesuchte <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> erreicht, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Entscheidend dafür ist der mathematisch-logische Beweis GÖDELS, dass der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt. Zusammenfassung ''':''' Theorem-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX→◇∃xXx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Positive Eigenschaften sind konsistent''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 1. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''PX'''‘ —</span>, den, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ positiven Eigenschaften, bzw. ,Transzendentalia‘, <span style="color:#00B000">(die konkret durch Beispiele ,belegbar‘ sind)</span>. Theorem-2 ''':''' <span style="color:#4C58FF"> — ‚'''Gx↔G'''_ess'''x'''‘ — </span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»'',Da‘-Sein ist das Wesen GOTTES''«</span>, ist die logische Konsequenz aus der Prämisse im 2. Beweisgang, Term :01: <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span>, dem, — <u>modal-frei</u> — gewählten, ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Christen, <span style="color:#00B000">(konkret durch Verweise auf soziologische Gegebenheiten ,belegbar‘, und auch <span style="color:#4C58FF">„theologisch“</span> verifizierbar)</span>. Im Unterschied dazu ist im 3. Beweisgang, das Theorem-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span> ''':''' der Glaube, dass es einen GOTT notwendig gibt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, die logische Konsequenz aus dem, — <u>modal-notwendig</u> — als widerspruchsfrei ,bewiesenen‘, Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, im 1. Beweisgang, <span style="color:#00B000">(auch im Beweisgang ,Widerlegung‘ im Anhang)</span>, und damit ist das Glaubens-Theorem-3, als ganzes, ,widerspruchsfrei‘. Das Theorem ANSELMS ist, mit dem Möglichkeits-Korollar-1, nur vom logischen Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit, und der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften, <span style="color:#00B000">(aller Transzendentalia)</span>, im Koinzidenz-Axiom-2, abhängig, und nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubensprämisse ''':''' Term :01:. Damit ist die Bedingung für die geforderte, spezielle <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span>, und auch für die Widerspruchsfreiheit im Glaubens-Theorem ANSELMS erfüllt; unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Weil es <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span> ist, dass die Transzendentalien, bzw. die Vollkommenheiten ontologisch, — dem Sein nach —‚ alle <span style="color:#00B000">(gegenseitig)</span> widerspruchsfrei, und alle <span style="color:#00B000">(miteinander)</span> gleichwertig sind, ist es auch <span style="color:#FF6000">„modal wahr“</span>, dass es möglich ist, dass GOTT, — dem Sein nach —‚ da ist, <span style="color:#00B000">(d.h. existiert)</span>, der die unbegrenzte Summe aller ultimativen Transzendentalia, bzw. der unendlichen Vollkommenheiten allen Grades ist, wie es der ,christliche Glaube‘ des Erzbischofs ANSELM und seiner Anvertrauten ,annimmt‘. ====<div class="center"><span style="color:#660066">Widerlegung</span></div>==== {|class="wikitable" |- ! <div class="center"><span style="color:#660066">GÖDEL-Kalkül : der Möglichkeitsbeweis als Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens</span></div> |- ! <span style="color:#00B000">''Terme der erweiterten Prädikatenlogik zweiter Stufe_____________ „Benennungen“ und durchgeführte Logik-Operationen''</span> |- | <small> <math>\begin{align} \text{(Axiom 1.1)} & \quad P \neg X \;\Longrightarrow\;\ \neg P\ X\ & \ & \text{„Wenn die Negation von X positiv ist, dann ist X nicht positiv“} \\ \text{(Axiom 2)} & \quad \Box \;\forall x (\ X\ x \Longrightarrow \ Y\ x) \Longrightarrow \ P\ Y & \ & \text{„Die Eigenschaft Y in allen x, die aus der Eigenschaft X in allen x} \\ \text{ } & \quad & \ & \; \; \text{mit modaler Notwendigkeit folgt, ist eine positive Eigenschaft“} \\ \text{[RK]} &\quad \Box\; \forall x A \;\Longrightarrow\;\Box\; \forall x B\; \text{ ├ }\;\Box \; \forall x (A \Longrightarrow\; B)\ & \ & \; \; \text{( :: Modales Prinzip KRIPKE-Γ-Ɐx)} \\ \text{(Korollar-1)} &\quad \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \; \; \text{( „das —,x‘— steht für den GOTT, —,G‘—, der Christen“ )} \\ \text{ } & \text{„Es ist möglich, dass es den GOTT der Christen gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen ist !} \\ \text{01} & \quad \; \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \ & \ & \text{ AE: „Es ist unmöglich, dass es diesen GOTT gibt“ (dezidierter Atheismus)} \\ \text{02} & \quad (\neg x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, nicht mit x identisch zu sein“ :: (ungleich)} \\ \text{03} & \quad (\ x = .. )\ & \ & \text{ AE: „Es gibt die Eigenschaft, mit x identisch zu sein“ :: (gleich)} \\ \text{04} & \quad \neg\neg \Box \neg \exists x \ G \ x \ & \ & \text{:01:[ ◇A ↔ ¬□¬A ] :: (Modalregel) } \\ \text{05} & \quad \neg\neg \Box \neg\neg \forall x \neg \ G \ x \ & \ & \text{:04:[ ∃xA ↔ ¬Ɐx¬A ] :: (Quantorenregel) } \\ \text{06} & \quad \text{├ }\; \Box \; \forall x \neg G \ x \ & \ & \text{:05:NEG :: [ ¬¬A↔A ] :: (Gesetz der Aussagenlogik) } \\ \text{07} & \quad \Box \; \forall x \neg G \ x \Leftrightarrow\ W & \ & \text{:01:06:[ (:01:↔W) → (├:06:↔W) ] :: (Kalkülregel) } \\ \text{08} & \quad \Box \; \forall x \ G \ x \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:07:[ (¬A↔W) ↔ (A↔F) ] :: (Regel für Wahrheitswerte)} \\ \text{ } & \text{„Jeder GOTT-Glaube ist notwendig falsch ! “} & \ & \Longleftarrow\; \text{die logische Konsequenz aus der Prämisse :01: !} \\ \text{09} & \quad \Box \; \forall x (\neg x = x ) \Leftrightarrow \ F \; \ & \text{ } & \text{□ⱯxXx:02:Instanz(X:=(¬x=..)) ⇒ Kontradiktion !} \\ \text{10} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (\neg x = x)) & \text { } & \text{:08:09:[ (:08:↔F) → (:09:↔F) ] :: „ex falso sequitur quotlibet“ :[RK]} \\ \text{11} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow \; (\neg x = x)) \Rightarrow \; P (\neg x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=(¬x= ..)) } \\ \text{12} & \quad \ P (\neg x = .. ) & \ & \text{:10:11:[ Modus ponens ] :: [ A, A→B ├ B ]} \\ \text{13} & \quad \ P (\neg x = .. )\;\Rightarrow\ \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{(A1.1):Instanz(X:=(x=..))}\\ \text{14} & \quad \neg P (\ x = .. )\ & \ & \text{:12:13:[ Modus ponens ] :: (log. Schlussregel)}\\ \text{15} & \quad \Box \; \forall x \ (x = x ) \Leftrightarrow \ W \; \ & \ & \text{□ⱯxXx:03:Instanz(X:=(x=..)) ⇒ Tautologie !} \\ \text{16} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) & \ & \text{:08:15:[ (:08:↔F) → (:15:↔W) ] :: „ex falso sequitur etiam verum“ :[RK]} \\ \text{17} & \quad \Box \; \forall x (\ G \ x \Rightarrow\; (x = x)) \Rightarrow \ P (x = .. ) & \ & \text{(A2):Instanz(X:=G):Instanz(Y:=( x= ..))} \\ \text{18} & \quad \ P (\ x = .. )\ & \ & \text{:16:17:[ Modus ponens ]}\\ \text{19} & \quad \text{├ }\; (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) \Leftrightarrow\ F & \ & \text{:14:18:[ Konjunktion ] ⇒ Kontradiktion !}\\ \text{20} & \quad \neg \Diamond \; \exists x \ G \ x \Rightarrow (\neg P (\ x = .. )\ \wedge \ P (\ x = .. )) & \ & \text{:01:19:[ ├A├B ╞ A→B ] :: ''KONDITIONALER BEWEIS''}\\ \text{ } & {\color{RedOrange}\text{Der Atheismus führt zu einem logischen Widerspruch ! }} & \ & \Longleftarrow\; \text{was mit Term :20: bewiesen ist !} \\ \text{21} & \quad \neg\neg \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:20:19:[ Modus tollendo tollens ] :: [ A→B,¬B ├ ¬A ]}\\ \text{22} & \quad \; \Diamond \; \exists x \ G \ x & \ & \text{:21:NEG }\\ \text{(Korollar-1)} & \;\text{„Es ist definitiv möglich, dass es diesen GOTT gibt“} & \ & \Longleftarrow\; \text{was zu beweisen war !} \\ \end{align}</math> </small> |} Anmerkung-7 ''':''' <span style="color:#00B000">( Dieser Beweisgang ist praktisch identisch mit dem 1. Beweisgang, jedoch gestrafft und präzisiert nach G.J.WIRSCHING. Diese Widerlegung des Nicht-GOTT-Glaubens beginnt sofort mit dem Korollar-1 <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> aus dem 1. Beweisgang, als in Frage gestelltes ,Theorem‘, und beweist, ohne das GOTT-Axiom-3 <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, und ohne die GÖDEL-Prämisse <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span>, in einem Zwischenergebnis, die innere Widersprüchlichkeit und damit auch die Unhaltbarkeit der atheistischen Glaubens-Annahme, aus rein logischen ,Gründen‘, bzw. Axiomen. )</span> Dieser Beweisgang geht von der Existenz GOTTES, <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span>, als Glaubens-Annahme, aus, wobei aber die Möglichkeit seiner Existenz, und damit die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT, durch die Prämisse :01: in Frage gestellt wird, und daher im Kalkül überprüft werden muss. Denn mit der Behauptung der Existenz GOTTES allein ist es nicht getan. Es muss auch seine ,Möglichkeit‘, d.h. die Sinnhaftigkeit des Glaubens an GOTT bewiesen werden. LEIBNIZ hat als erster, <span style="color:#00B000">(nach ANSELM)</span>, dieses Problem gesehen, und GÖDEL hat dafür die Lösung gefunden. Dieser Beweisgang, <span style="color:#00B000">(analog zum Möglichkeitsbeweis von Günther J. WIRSCHING konzipiert)</span>, setzt in den Axiomen, genau wie im 1. Beweisgang, die Existenz von etwas <span style="color:#FF6000">„Positiven“, „Perfekten“, „Vollkommenen“</span>, <span style="color:#4C58FF">— ,'''P'''‘ —</span>, <span style="color:#00B000">(d.h. die Transzendentalien)</span>, allgemein für die Welt voraus, <span style="color:#00B000">(was im GOTT-Axiom-3 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ,'''PG'''‘ —</span>, auch GOTT ultimativ zugeordnet wird ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist absolut positiv, perfekt und vollkommen''«</span>)</span>; das dann im 2. Beweisgang mit Term :13: als widerspruchsfrei, <span style="color:#00B000">(als ,wahr‘ und ,annehmbar‘ im Kontext des christlichen Glaubens)</span>, schon ,bewiesen‘ <span style="color:#00B000">( ╞ )</span> worden ist. Die Existenz von ,Transzendentalien‘ in der Welt, ist ein, mit Beispielen belegbares, allgemeines Faktum; ihre Existenz auch in GOTT ist mit dem Term :13: des 2. Beweisganges bewiesen, die jedoch im Unendlichen, GOTT, als Transzendentalia, auch in ,ultimativer‘ Form vorliegen. Axiom-1 ,besagt‘, dass Eigenschaften nicht zugleich, vollkommen und nicht vollkommen, sein können. Das Koinzidenz-Axiom-2 ,besagt‘ allgemein, dass alle Vollkommenheiten, <span style="color:#00B000">(alle Transzendentalien)</span>, gleichwertig, <span style="color:#00B000">(mathematisch äquivalent)</span>, sind. <span style="color:#00B000">(Das Koinzidenz-Axiom-2 wird hier um das GÖDEL-Konjunkt <span style="color:#4C58FF">— ,'''PX'''‘ —</span> verkürzt dargestellt. Damit ist auch das GOTT-Axiom-3 für diesen Beweisgang unnötig geworden, ohne dass sich wegen dieser Kürzung am Ergebnis etwas ändert. Das <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> im Koinzidenz-Axiom-2 steht allgemein für alles Seiende. Dieses Axiom wird jedoch sofort <span style="color:#FF6000">„modal falsch“</span>, wenn seine Eigenschafts-Variablen mit nicht-positive Eigenschaften, wie ,rot‘ oder ,schwer‘ belegt werden, die nicht ,transzendental‘-allgemein gültig sind, die keine ,Transzendentalia‘ sind.)</span> Die Eigenschaft <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span> ,besagt‘, dass GOTT <span style="color:#FF6000">„unvergleichlich“</span> ist, wenn <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> für GOTT steht. <span style="color:#00B000">(Der informelle Term, <span style="color:#4C58FF">— (¬x=..) —</span>, ersetzt hier, wie bei A. FUHRMANN, den formal korrekten Abstraktionsausdruck ''':''' <span style="color:#4C58FF">— λy.(¬x=y) —</span>, aus dem Lambda-Kalkül.)</span> Der Term :15: <span style="color:#4C58FF">— (x=x) ↔ W —</span> steht auch für die Selbstbezeichnung des GOTTES-JHWH in Exodus 3,14 ''':''' <span style="color:#CC66FF">»''Ich bin derjenige, der ‚IST‘'' <span style="color:#00B000">[ aus mir selbst ]</span>«</span>, der Grund für die <span style="color:#FF6000">„Unvergleichbarkeit“</span> GOTTES. Der GOTT der abendländischen, christlichen Tradition wird mit <span style="color:#4C58FF">— ,'''G'''‘ —</span> bezeichnet ''':''' d.i. der <span style="color:#FF6000">„GOTT der Christen“</span>, entsprechend der ,methodologischen‘ Prämisse und der ,Genese‘ des Kalküls, syntaktisch formalisiert in der GOTT-Definition-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx↔∀X(PX→Xx)'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Das Individuum'' <span style="color:#4C58FF">,'''x'''‘</span> ''ist genau dann GOTT'', <span style="color:#4C58FF">,'''G'''‘</span>, ''wenn es alle Vollkommenheiten'', <span style="color:#4C58FF">,'''P'''‘</span>, ''in sich schließt''«</span>, nach der Vorgabe von LEIBNIZ ''':''' <span style="color:#FF6000">»''GOTT ist ein Wesen von äußerster Größe und Vollkommenheit, das alle Grade derselben in sich schließt''«</span>. Mit dem Möglichkeits-Korollar-1 hat dieser Beweisgang dasselbe Endergebnis, wie der 1. Beweisgang. Der Beweis, dass der dezidierte Atheismus zu einem logischen Widerspruch führt, und damit falsch und unsinnig ist, ist ein Zwischenergebnis in diesem Beweisgang, und begründet mit <span style="color:#FF6000">»''mathematischer Evidenz''«</span>, und unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung, den, von LEIBNIZ gesuchten, Möglichkeitsbeweis für die Existenz GOTTES im Argument des Erzbischofs, und bestätigt damit die Sinnhaftigkeit des GOTT-Glaubens. Einmal Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und zweimal das Koinzidenz-Axiom-2 sichern hier das Ergebnis des Kalküls ''':''' das Möglichkeits-Korollar-1 ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist definitiv möglich, dass es den GOTT der Christen gibt''«</span>. Axiom-1 beruht auf der gegenseitigen Widerspruchsfreiheit aller Transzendentalia. Das Koinzidenz-Axiom-2 beruht auf der wechselseitigen Äquivalenz, bzw. der Gleichwertigkeit aller Transzendentalia. Diese zwei Axiome sind die einzigen, und modal-notwendigen, d.h. die transzendentalen Voraussetzungen und Bedingungen für das Endergebnis ''':''' der Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit des Glaubens der Christen an GOTT; <span style="color:#00B000">(dasselbe gilt natürlich auch für die <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span> Weltanschauung jeder monotheïstischen Religion '''!''' Dem Erzbischof ANSELM ging es damals nur um seinen Glauben an GOTT.)</span>. Die Existenz der Transzendentalien ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∀xXx'''‘ —</span>, ist ein Faktum unserer Welt, das mit Beispielen belegbar ist ''':''' Transzendentalien gibt es, als ,empirisch‘-sprachliche Grundlage des ontologischen ,Beweises‘, genau so, wie es auch Sterne gibt. Darauf beruht die Stringenz der <span style="color:#4C58FF">»''axiomatischen Theologie''«</span> GÖDELS. Damit ist es ihm endgültig gelungen, eine eminent geisteswissenschaftliche Frage, die Jahrhunderte hindurch, lang kontrovers war, einer Lösung zuzuführen, die nun unwiderruflich gültig ist, und es auch bleiben wird ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ist wahr, und bildet die Realität unserer Welt, wie sie tatsächlich ist, widerspruchsfrei ab; der ,Nicht-GOTT-Glaube‘ ist falsch, und täuscht sich vollkommen in seiner Welt-Wahrnehmung, die nachweisbar widersprüchlich, und damit unsinnig ist. Die Logik-Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso sequitur quotlibet, etiam verum“</big></span></span>, <span style="color:#00B000">(‚Aus Falschem folgt irgendetwas, auch Wahres‘)</span>, ist der scholastische Ausdruck für die ‚Implikation‘ <span style="color:#00B000">(Folgerung)</span> von Aussagen, die nur dann falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist, wenn das Antezedens wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, und die Konsequenz falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist. Andernfalls ist sie immer wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, auch wenn die Voraussetzung falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span> ist ''':''' ‚Modern‘ darstellbar durch die ‚Wahrheitswertetafel‘ für die ‚materiale Implikation‘, <span style="color:#4C58FF">— ,(A → B)‘ —</span> <span style="color:#FF6000">„wenn A, dann B“</span>. Damit ist auch der <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ] </span> verstehbar; <span style="color:#00B000">(vgl. die vierte Zeile der ‚materialen Implikation‘)</span>. Der positive hypothetische Syllogismus ''':''' <span style="color:#4C58FF">[ Modus ponendo ponens ] :: [ A → B, A ├ B ] </span> ist aus der ersten Zeile ablesbar. Die folgende Tabelle gibt für jeden ,Wahrheitswert‘ der Aussagen <math>A</math> und <math>B</math> das Resultat einiger zweiwertiger Verknüpfungen an ''':''' {|class="wikitable hintergrundfarbe2" style="text-align:center;" |- !colspan="2"|''Belegung''!!Konjunktion!!Disjunktion!!materiale<br /> Implikation!!Äquivalenz<br /> Bikonditional!!kopulative<br /> Konjunktion |- !<math>A</math> !<math>B</math> !<math>A</math> und <math>B</math> !<math>A</math> oder <math>B</math> !wenn <math>A</math> dann <math>B</math> !sowohl <math>A</math> als auch <math>B</math> !entweder <math>A</math> oder <math>B</math> |- !W!!W |W||W||W||W||F |- !W!!F |F||W||F||F||W |- !F!!W |F||W||W||F||W |- !F!!F |F||F||W||W||F |} <span style="color:#00B000">(Eine ‚Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn beide Aussagen einer ‚Konjunktion‘ wahr sind. Eine ‚kopulative Konjunktion‘ ist nur dann ,wahr‘, wenn entweder die eine, oder die andere Aussage der ‚kopulativen Konjunktion‘ wahr ist. Es besteht also eine Wenn-Dann-Verbindung zwischen beiden Aussagen — eine ,Kopplung‘. Das ist die logische Grundlage von Axiom-1 im GÖDEL-Formalismus)</span> Um das Widersprüchliche der ,Annahme‘ nachzuweisen, dass positive Eigenschaften ,nicht konsistent‘ seien, <span style="color:#00B000">(im 1. Beweisgang)</span>, bzw. um das Unlogische und Sinnwidrige der ,Annahme‘ klarzustellen, es sei ,unmöglich‘, dass es einen GOTT gibt, <span style="color:#00B000">(hier, in der Widerlegung)</span>, verwendet das GÖDEL-Kalkül den Gegensatz ''':''' wahr, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>, falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, zwischen der dritten und vierten Zeile der Wahrheitswertetafel, für zwei ,wahre‘ <span style="color:#4C58FF">— W —</span> ,materiale Implikationen‘, in denen die Voraussetzung jeweils falsch, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, ist, entsprechend der Regel <span style="color:#FF6000"><span style="font-family: Times;"><big>„ex falso, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, sequitur quotlibet, <span style="color:#4C58FF">— F —</span>, etiam verum, <span style="color:#4C58FF">— W —</span>“</big></span></span>, jeweils mit der Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, in einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>; hier unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Im Gegensatz dazu, wird, <span style="color:#00B000">(im 2. Beweisgang)</span>, aus dem Glauben an GOTT, auch mit einer <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, speziell mit Axiom-1, das Widersprüchliche in der ,Annahme‘ nachgewiesen, es gäbe in GOTT <span style="color:#FF6000">»''keine Vollkommenheit, nichts Positives, nichts Perfektes''«</span>, d.h. keine ,ultimativen Transzendentalia‘. In dieser <span style="font-family: Times;"><big>,Reductio ad absurdum‘</big></span>, im 2. Beweisgang, wird vorausgesetzt <span style="color:#00B000">(,angenommen‘)</span> ''':''' es gibt den GOTT der Christen, <span style="color:#00B000">(als Prämisse :01:)</span>, der ,unvergleichlich‘ und ,einzigartig‘ ist, und in dem auch alle ,Transzendentalia‘ <span style="color:#FF6000">„koinzident“</span> ,eins‘ sind, entsprechend dem Koinzidenz-Axiom-2. Für KANT entsteht ein Widerspruch in den Prädikaten eines Satzes. ::<span style="color:#FF6000">»</span> ''Wenn ich das Prädicat in einem identischen Urtheile aufhebe'', <span style="color:#00B000">[ durch eine Negation ]</span>, ''und behalte das Subject, so entspringt ein Widerspruch''. <span style="color:#00B000">[ Wenn ich sage ''':''' ,''GOTT ist nicht allmächtig''‘, entsteht ein Widerspruch zur richtigen Aussage ''':''' ,''GOTT ist allmächtig''‘. ]</span> … ''Wenn ihr aber sagt ''':''' ,GOTT ist nicht‘, so ist weder die Allmacht, noch irgendein anderes seiner Prädicate gegeben; denn sie sind alle zusammt dem Subjecte aufgehoben'', <span style="color:#00B000">[ negiert ]</span>, ''und es zeigt sich in diesem Gedanken nicht der mindeste Widerspruch.'' <span style="color:#FF6000">«</span><ref>vgl. ‚''<span style="font-family: Times;"><big>Kritik der reinen Vernunft</big></span>''‘, Seite 398f; https://www.korpora.org/kant/aa03/398.html</ref> Es ist richtig, wie KANT sagt, der Widerspruch entsteht nicht in dem Gedanken ''':''' <span style="color:#FF6000">»</span>''GOTT ist nicht''<span style="color:#FF6000">«</span>. GÖDEL zeigt daher, dass der Widerspruch erst dann entsteht, wenn von der Annahme ausgegangen wird ''':''' ''<span style="color:#FF6000">»</span>Es ist unmöglich, dass GOTT ist''<span style="color:#FF6000">«</span>. Daraus folgt dann ,regulär‘, mit Hilfe von dem Axiom-1 der Widerspruchsfreiheit und dem Koinzidenz-Axiom-2, <span style="color:#00B000">(d.h. mit den beiden Theoremen von den Transzendentalien)</span>, die logische ,Möglichkeit‘ GOTTES, unabhängig von jeder Glaubensüberzeugung. Wie LEIBNIZ klar erkannt hat, muss zuerst, <span style="color:#00B000">(mit GÖDEL ''':''' aus dem Widerspruch des Gegenteils)</span>, die logische ,Möglichkeit‘, <span style="color:#00B000">(die Konsistenz)</span>, der Existenz GOTTES bewiesen werden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, bevor daraus die reale ,Notwendigkeit‘ GOTTES abgeleitet werden kann ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, dessen ,Existenz‘ jedoch, aus dem ,Glauben‘, im Voraus, schon angenommen worden ist. Dieser Sachverhalt ist das ausschließliche Spezifikum GOTTES, <span style="color:#00B000">(das <span style="color:#FF6000">»''Privilegium der Gottheit allein''«</span>)</span>, und gilt nur bei GOTT, als dem Unvergleichlichen und Einzigartigen. Dieses ,Spezifikum‘ wird im Theorem ANSELMS abgebildet ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, auf Grund von dem Koinzidenz-Axiom-2, das den inneren Zusammenhang, die ,Koinzidenz‘ auch von ,Möglichkeit‘ und ,Notwendigkeit‘ im Unendlichen, GOTT, erkennen lässt. Bis Zeile 10, im 3. Beweisgang, reicht der Geltungsbereich der ,modal‘-frei gewählten Kalkül-Prämisse :01:, der ,methodologische‘ GOTT-Glaube. In Zeile 11 liegt der ,Schwerpunkt‘ des ontologischen Beweises dann aber am, — modal als notwendig — ,bewiesenen‘ Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, <span style="color:#00B000"> (formal-syntaktisch dargestellt als widerspruchfreies Antezedens, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span>, dem Möglichkeits-Korollar-1 aus dem 1. Beweisgang)</span>, und nicht mehr am ,angenommenen‘ GOTT-Glauben der Kalkül-Voraussetzung, <span style="color:#00B000">(nun dargestellt als Konsequenz <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span> im Theorem ANSELMS)</span>. Im Möglichkeits-Korollar-1 muss jetzt immer mitgedacht werden ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es ist <u>widerspruchsfrei</u> möglich, dass GOTT ist''«</span>. Damit hat GÖDEL, — angeregt durch LEIBNIZ, und mit ihm —, die fast einhellig akzeptierte Fehldeutung des ontologisch-<span style="color:#4C58FF">„theologischen“</span> Arguments ANSELMS für GOTT durch gewichtige philosophische, <span style="color:#00B000">(KANT<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. KANT macht GOTT jedoch zu einem ,Ding‘ unter den vielen ,Dingen‘ dieser Welt, indem er die Existenz, bzw. das ,Sein‘ GOTTES mit dem ,Sein der Dinge‘ gleich setzt. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! KANT verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES. Das ,Sein‘ der Dinge ist, — wie KANT sagt —, kein ,reales Prädikat’, d.h. Existenz ist keine Eigenschaft. Jedoch in GOTT ist ,Sein‘ ein ,reales Prädikat‘, d.h. Existieren ist ,real‘ die Wesenseigenschaft GOTTES, denn GOTT ist der, der für uns, — aus Liebe —, immer schon ,da‘ ist ''':''' in der ,Hypostatischen Union‘, sowohl als GOTT von Ewigkeit zu Ewigkeit, als auch als Mensch in unserer Zeitlichkeit. Das ist das, was GOTT für uns ausmacht —, sein Wesen. Eine ,Theologie‘, die solches sagt, und die, auch als vertrauenswürdige ,Wissenschaft von GOTT‘, akzeptiert wird, hat Interpretations-Vorrang, jedesmal, wenn es um die ,Rede von GOTT‘ geht. Das war für KANT jedoch ,methodologisch‘ weder denkbar, noch nachvollziehbar.</ref>)</span>, und <span style="color:#4C58FF">„theologische“</span>, <span style="color:#00B000">(THOMAS<ref>GOTT ist absolut einzigartig und unvergleichlich. THOMAS unterscheidet die ,Natur GOTTES‘ nicht von der ,Natur der Dinge‘, indem er die ,Natur‘ des GOTTES ANSELMS irrtümlich mit der ,Natur‘ der Dinge gleich setzt. Damit reiht er GOTT unter die vielen Dinge unserer Welt ein, indem er für den GOTT ANSELMS annimmt ''':''' GOTT ,esse in rerum natura‘, d.h. wörtlich, dass der GOTT ANSELMS in der ,Natur‘ der Dinge existiert, <span style="color:#00B000">(was ANSELM nie gesagt hat)</span>. Eine solche Gleichsetzung ist bei GOTT unangebracht und daher unzulässig! Die ,zeitlose-überzeitliche‘ Wirklichkeit, (Natur), GOTTES ist völlig verschieden und unabhängig von der zufälligen Wirklichkeit, (die ,Natur‘), unserer ,raum-zeitlichen‘ Welt. Daher ist sie mit dieser auch nicht vergleichbar. Thomas verkennt damit die Einzigartigkeit und Besonderheit GOTTES.</ref>)</span>, Autoritäten zurechtgerückt, welche die Einzigartigkeit und Unvergleichlichkeit des Unendlichen, GOTT, bei ihrer Beurteilung des Theorem ANSELMS nicht berücksichtigt, sondern den Unendlichen, <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, unter die endlichen Dinge unserer Welt eingereiht haben. Weder THOMAS, noch KANT, haben verstanden, worum es ANSELM, mit der Aufstellung seines Theorems, eigentlich ging. Beide meinten <span style="color:#00B000">(irrtümlich)</span>, ANSELM wolle mit seinem Theorem <span style="color:#00B000">(einem Narren)</span> die ,Existenz‘ GOTTES ,beweisen‘. Die Existenz GOTTES wurde von ANSELM nie in Frage gestellt. Für ANSELM wäre es rationaler ,Unsinn‘, einen Beweis für die Existenz GOTTES verlangen zu wollen. Mit logischen ,Beweisen‘ wird es niemals möglich sein, einen GOTT-Glauben zu ,erzeugen‘, was jeder Mensch ohnehin weiss, und immer schon gewusst hat. <span style="color:#00B000">(Jeder Priester und jeder Bischof weiss das ''':''' Glaube ist ein Geschenk, das man erhält, wenn man darum bittet, und er ,entfaltet‘ sich in der Praxis des Betens und der Gottesdienst-Feiern.)</span> Für den Erzbischof ANSELM ging es vielmehr um die Frage, ob es logisch ,sinnvoll‘ und ,vernünftig‘ ist, an GOTT zu glauben; und kein ,Sprung‘ ins Ungewisse, d.h. ob <u>der Glaube</u> rational und ,zweifelsfrei‘ vertrauenswürdig ist, und das heißt auch, ob <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ,rational‘ und vertrauenswürdig als Wissenschaft betrieben werden kann. ANSELM wollte mit seinem Theorem erreichen, der zitierte Narr sollte bloß einsehen, dass es sinnvoll und vernünftig sein kann, an GOTT zu glauben. GÖDEL hat mit dem bewiesenen Widerspruch des Gegenteils zum GOTT-Glauben, den ausstehenden Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logische Evidenz''«</span>, und damit auch für die ,Vernünftigkeit‘, bzw. für die gesuchte ,Sinnhaftigkeit‘ des Theorem ANSELMS geliefert, was, nach LEIBNIZ, für die Akzeptanz dieses Theorems noch gefehlt hat. Das Theorem ANSELMS besagt, — nach GÖDEL —, universell ''':''' Die <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltanschauung'', <span style="color:#00B000">[ d.h. auch ''':''' der ,GOTT-Glaube‘ ]</span>«</span> der Juden, Christen und Muslime, <span style="color:#00B000">(und auch des ägyptischen Pharaos ECHNATON und seiner Frau NOFRETETE)</span>, die ,annehmen‘, dass es mit ,Notwendigkeit‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□'''‘ —</span> <span style="color:#00B000">(nur)</span> einen GOTT gibt, ist logisch richtig, ,vernünftig‘, und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, weil es <u>ohne Widerspruch</u> ,denkbar‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇'''‘ —</span> ist, dass es GOTT gibt ''':''' Nicht mehr und nicht weniger, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig, (ohne sich auf den Glauben an irgendeine Religion zu stützen)''«</span>. Das ist auch eine Rechtfertigung der <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> als seriöse, <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßige''«</span> Wissenschaft. Es geht hier bei GÖDEL nicht um Theoriefindung oder ähnliches. GÖDEL ist kein ,spekulierender‘ Theoretiker. GÖDEL ist Logiker und Mathematiker. Was er sagt, ist mathematisch wahr und logisch richtig. Wenn er sagt, dass die Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ — »''wahr''«</span> ist ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es Gott gibt'' ''':''' ''das ist ,wahr‘ wegen dem Axiom-2 (und Axiom-1)''«</span>, dann spricht er hier von der mathematischen Wahrheit. Logischerweise ist dann die konträre Aussage ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ — »''falsch''«</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist nicht möglich, dass es einen Gott gibt''«</span>, und zwar mathematisch falsch, weil sich aus dieser Aussage ein Widerspruch ergibt. Jeder, der die mathematische Logik GÖDELS lesen kann, kann das sehen und verstehen ''':''' Das Zwischenergebnis, <span style="color:#00B000">(Term :20:)</span>, in dieser Kalkül-Ableitung, die logische Konsequenz aus der Annahme des dezidierten Atheismus, es sei unmöglich, dass es GOTT gibt, ist der faktische, nachprüfbare, und für jeden Menschen sichtbare Beweis dafür, dass diese Annahme in einen Widerspruch mündet, und damit falsch und unlogisch ist. Das bedeutet, es ist eine Tatsache, bzw. es ist ein allgemein gültiges Faktum unserer Welt, dass der Atheismus, — mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span> —, wirklich falsch und rational unsinnig ist, und daher, mit Recht, als ,Unsinn‘ bezeichnet werden darf '''!''' Das ist nicht bloß als eine Theoriefindung, oder als eine Interpretation eines Autors zu verstehen. Das ist vielmehr genau so wahr und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span>, wie, dass zwei mal zwei vier ergibt, und wirklich genau so logisch richtig, wie, dass die Erde sich um die Sonne dreht. Das ist gerade das Überraschende und Unerwartete am Gödel-Kalkül. Es geht hier nicht mehr um Theoriefindung oder Interpretationen, denen man zustimmen kann oder nicht. Es geht hier <span style="color:#FF6000">»''rein verstandesmäßig''«</span> um mathematisch-logische Fakten. Damit steht GÖDEL, in seiner Bedeutung, in gewisser Weise, neben KOPERNIKUS, weil seine Kalkül-Ergebnisse, wie die Berechnungs-Ergebnisse dieses Pioniers der damaligen Zeitenwende, heute, in unserem Äon, ebenfalls mit eingefleischte Vorurteile aufräumen, ohne aber, dass GÖDEL für sich selbst, im Glauben, logisch konsequent gewesen wäre. <span style="color:#00B000">(Er ist sich der Tragweite und der Konsequenzen seiner <span style="color:#4C58FF">„axiomatischen Theologie“</span> anscheinend nicht bewusst gewesen, wenn er sagt ''':''' Man sei <span style="color:#FF6000">»''heute noch weit davon entfernt, das theologische Weltbild wissenschaftlich begründen zu können''«</span>, nachdem sein Kalkül das <span style="color:#FF6000">„atheistische Weltbild“</span> fundamental ins Wanken gebracht und als irrationalen ,Unsinn‘ entlarvt hat. Sein Kalkül ,beweist‘ ( ╞ ) indirekt, dass das <span style="color:#FF6000">»''theologische Weltbild''«</span>, im Beweisgang ,Widerlegung‘, aus dem Widerspruch des Gegenteils, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematisch-logischer Evidenz''«</span>, offensichtlich doch, wissenschaftlich begründet werden kann)</span>. ---- Kurt GÖDEL ist auch deswegen ein Ausnahmelogiker. ---- ===<div class="center"><span style="color:#660066">Epilog für Skeptiker</span></div>=== Wenn man das GÖDEL-Argument genau liest, dann ist nur die Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000"> „es ist möglich, dass es GOTT gibt“</span> bewiesen, weil aus der Annahme ''':''' <span style="color:#FF6000">„es ist unmöglich, dass es GOTT gibt“</span> ein logischer Widerspruch ableitbar ist. Die Aussage ''':''' <span style="color:#FF6000">„es gibt GOTT“</span> ist dagegen schon eine Glaubensaussage, und damit ist das auch die ,Grundannahme‘ eines gläubigen Menschen, der dann aus der ,bewiesenen Möglichkeit‘, dass es Gott gibt, ableiten kann ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es gibt GOTT wirklich''«</span>, wenn er will ''':''' <span style="color:#FF6000">»''Es stimmt also, was ich glaube '''!''''' «</span> Das ist das Argument ANSELMS, der ein christlicher Amtsträger war, und der daher von dieser Grundannahme auch ausgeht. Solange in den Voraussetzungen des Möglichkeitsbeweises im GÖDEL-Kalkül kein Widerspruch nachweisbar ist, und solange in der logischen Durchführung dieses Beweises keine schweren Mängel festgestellt werden können, ist das Ergebnis des Möglichkeitsbeweises, wie GÖDEL ihn durchgeführt hat, korrekt, und die Folgerungen daraus, logisch richtig, dass es sich hier um <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> handelt, <span style="color:#00B000">(z. B. wie 2 x 2 = 4)</span>. Aber niemand ist gezwungen, aus der Möglichkeit, dass es GOTT gibt, daraus zu schließen, dass es GOTT auch mit Notwendigkeit gibt, wie das im Argument ANSELMS geschieht, außer, er akzeptiert auch die Grundannahme, dass es den Unendlichen und Unvergleichlichen tatsächlich gibt. Dann kann er mit LEIBNIZ, der selbst an GOTT geglaubt hat, mit Bestimmtheit sagen ''':''' <span style="color:#FF6000">»''gesetzt, dass GOTT möglich ist, so ist er, was das Privilegium der Gottheit allein ist''«</span>, weil GÖDEL mit seinem Kalkül den noch ausstehenden Beweis der Widerspruchsfreiheit dafür geliefert hat. Wenn Du den 3. Beweisgang des GÖDEL-Kalküls genauer anschaust, dann siehst Du, dass der Konsequenz-Teil im Argument ANSELMS ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx→□∃xGx'''‘ —</span>, der identisch ist mit dem Term in der Zeile 10, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''□∃xGx'''‘ —</span>, immer noch logisch, <span style="color:#00B000">(jedoch nicht syntaktisch)</span>, abhängig ist von der methodologischen Glaubens-Prämisse, Term :01:, <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''das'' <span style="color:#4C58FF">‚'''x'''‘</span> ''steht für den Gott der Christen''«</span>. Diese Abhängigkeit ist bis zur Zeile 10 offensichtlich und logisch korrekt. <span style="color:#00B000">(Man könnte nach dieser Zeile, ohne Weiteres, ,regulär‘ die <span style="color:#FF6000">„logische Implikation”</span> :: <span style="color:#4C58FF">[├ A ├ B ╞ A→B ]</span> mit Term :01: und Term :10: als ein mögliches Korollar bilden ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''Gx→□∃xGx'''‘ — </span>. Das ist auch der Ausgangspunkt der GÖDEL-Argumentation zum Endergebnis ''':''' dem ANSELM-Theorem-3, in seinen Notizen)</span>. Das bedeutet, der Konsequenz-Teil im Theorem ANSELMS, der in diesem ,regulär‘-möglichen Korollar an zweiter Stelle steht, ist damit in seiner Formal-Struktur offensichtlich ,regulär‘ von der Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, d.h. er ist der Ausdruck einer Glaubensüberzeugung. Damit ist syntaktisch bewiesen, die Aussage über die ,notwendige‘ <span style="color:#4C58FF">— ‚□‘ —</span> ,Existenz GOTTES‘, als 1. Hauptergebnis, ist eine notwendige Konsequenz aus der ,methodologischen‘ Glaubensaussage im Term :01:. Im Theorem ANSELMS steht dieses 1. Hauptergebnis nun, in der Zeile 11, als Konsequenz-Teil, auch an zweiter Stelle, hat aber nicht mehr seine Glaubens-Prämisse, als seine notwendige Bedingung, an erster Stelle vor sich, die seinen Inhalt bestätigt, d.h. seine ,Notwendigkeit‘, wie vorhin, im ,regulär‘-möglichen Korollar. Jetzt steht eine neue und andere Voraussetzung als syntaktische Begründung vor ihm. Der Schwerpunkt des Argument ANSELMS liegt damit am Begründungs-Teil des ANSELM-Theorems, der jetzt die erste Stelle im Theorem einnimmt ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist möglich, dass es GOTT gibt''«</span>, der hier nur die Widerspruchsfreiheit des Konsequenz-Teiles bestätigt, <span style="color:#00B000">(d.h. seine Glaubens-Annahme ''':''' die ,notwendige Existenz GOTTES‘, ist widerspruchsfrei '''!''' )</span>, und der erst dadurch entstanden ist, und davon abhängig ist, weil sein Gegenteil ''':''' <span style="color:#4C58FF">— ‚'''¬◇∃xGx'''‘ —</span> ''':''' <span style="color:#FF6000">»''es ist unmöglich, dass es GOTT gibt''«</span>, zu einem Widerspruch geführt hat. Dieser Begründungs-Teil, das Antezedens, im Argument ANSELMS, ist syntaktisch nicht mehr von der ,methodologischen‘ Glaubens-Prämisse, Term :01:, abhängig, sondern nur vom Axiom-1, der Widerspruchsfreiheit, und von der paarweisen, mathematischen Äquivalenz beliebiger positiver Eigenschaften im Koinzidenz-Axiom-2, die im 1. Beweisgang, bzw. im Beweisgang ,Widerlegung‘, mit dem <span style="color:#4C58FF">[ Modus tollendo tollens ] :: [ A → B, ¬B ├ ¬A ]</span>, die Widerspruchsfreiheit der Möglichkeit des GOTT-Glaubens mit Notwendigkeit herbeigeführt haben. Daraus ergibt sich eine logische Verschiebung in der Argumentationskette, denn dieser Begründungs-Teil, der jetzt die Widerspruchsfreiheit für den Konsequenz-Teil liefert, ist selbst unabhängig und frei von jeder Glaubensüberzeugung. Weil widerspruchsfrei und <span style="color:#FF6000">»''mathematisch evident''«</span> und frei von jeder Glaubensüberzeugung, muss er als rein logische Begründung für die Widerspruchsfreiheit, und als Beweis für die <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> des Konsequenz-Teils gelesen werden, und damit bestätigt er die Widerspruchsfreiheit und Sinnhaftigkeit der Glaubensüberzeugung eines gläubigen Menschen, <span style="color:#00B000">(was auch das Ziel ANSELMS war)</span>. Das Antezedens im Argument ANSELMS, das Möglichkeits-Korollar-1, kann jedoch nie die persönliche Entscheidung zum Glauben, z. B. an den GOTT der Christen, im Menschen ersetzen. Das Argument ANSELMS besagt also ''':''' der Glaube eines gläubigen Menschen ist logisch widerspruchsfrei und sinnvoll, und enthält keinen Zirkelschluss, weil sein Gegenteil, der Nicht-GOTT-Glaube, zu einem Widerspruch führt; <span style="color:#00B000">(das hat GÖDEL mit seinem Kalkül-System bewiesen, dessen Argumentationskette mit einem Computer-Programm, dem sog. ,Theorembeweiser‘, überprüft worden ist, und als <span style="color:#FF6000">»''nachweisbar korrekt''«</span> befunden wurde)</span>. Das Theorem ANSELMS beweist, nach GÖDEL, dass der Glaube an GOTT, mit <span style="color:#FF6000">»''mathematische Evidenz''«</span> notwendig widerspruchsfrei und sinnvoll ist, weil der Nicht-GOTT-Glaube notwendig zu einem Widerspruch führt. <u>Das Theorem beweist jedoch nicht, dass die Existenz GOTTES notwendig ist</u>, <span style="color:#00B000">(wie es fast immer fälschlich gelesen wurde und wird; auch von A. FUHRMANN, wie auch von G. J. WIRSCHING)</span>, sondern, das Theorem ANSELMS geht davon aus, als nicht hinterfragtes Faktum des GOTT-Glaubens, dass GOTT notwendig, schon immer existiert, <span style="color:#00B000">(was mit dem 1. Hauptergebnis im 3. Beweisgang noch einmal bestätigt wird)</span>. Die ,Notwendigkeit‘ GOTTES ist immer schon eine ,vorgängig‘ entschiedene Glaubensaussage. Das GÖDEL-Kalkül beweist, <span style="color:#00B000">(mit dem Antezedens im 2. Hauptergebnis)</span>, dass diese Grundüberzeugung eines GOTT-Gläubigen widerspruchsfrei und sinnvoll, und <span style="color:#FF6000">»''mit allen bekannten Tatsachen durchaus vereinbar ist''«</span>, wie GÖDEL abschließend sagt. GOTT hat es ja auch nicht ,nötig‘, bewiesen zu werden. Für den Erzbischof ANSELM war die Existenz GOTTES, überall und jederzeit, die ungefragte und für ihn die selbstverständlichste Voraussetzung aller seiner Bemühungen, in seinem Leben, und in seinem Beruf als christlicher Amtsträger, und auch als <span style="color:#4C58FF">„Theologe“</span> in den philosophischen Überlegungen über seinen Glauben. Mit diesen Überlegungen hat er, mit GÖDEL, bewiesen ''':''' Glaube ist nicht irrational, kein Sprung ins Unbekannte, sondern eine freie, vernünftige Entscheidung. Glaube ist rational, und seine <span style="color:#4C58FF">„Theologie“</span> ist ,vertrauenswürdig‘. Zusammengefasst heißt das Ergebnis dieser Bemühungen ANSELMS ''':''' Wenn Du an GOTT glauben willst, dann kannst Du das unbedenklich tun, denn Dein Glaube ist auch logisch in der <u>bewiesenen Möglichkeit</u>, dass es GOTT geben kann, begründet, und damit ist er widerspruchsfrei, sinnvoll und kein Zirkelschluss. Dein Glaube an GOTT beruht jedoch, nach wie vor und in erster Linie, auf Deiner freien Entscheidung für GOTT, und nicht auf dem Zwang einer ,logischen‘ Argumentation. Wenn Du nicht an GOTT glauben willst, dann <u>musst Du, und sollst Du, auch nicht deswegen</u> an GOTT glauben, weil der Nicht-GOTT-Glaube zu einem Widerspruch führt, und damit falsch und unlogisch ist. Denn der Glaube an GOTT muss immer eine freie und Deine ganz persönliche Entscheidung für GOTT sein und bleiben. Niemand darf zum Glauben an GOTT gezwungen werden, auch nicht mit ,logischen‘ Argumenten. Warum '''?''' Weil GOTT die Liebe ist '''!''' Und die Liebe duldet keinen Zwang '''!''' Zum Abschluss, und für eine bessere Verständlichkeit dieser Studie, hat die KI, der ich diese Studie für die Erstellung eines Podcast übergeben habe, eine, — sogar für Kinder —, verständliche Metapher kreiert. Sie sagt, man stelle sich vor ''':''' Es sei irgendwo ein ,Schatz’ vergraben, und es gäbe auch eine ,Schatzkarte’ für diesen ,Schatz’. Kurt GÖDEL ist nun gekommen, und hat mit seinem Kalkül bewiesen, dass diese ,Schatzkarte’ korrekt ist und fehlerfrei. Ob aber jemand, mit Hilfe dieser ,Schatzkarte’ auf ,Schatzsuche’ gehen will oder nicht ''':''' das ist und bleibt jedem selbst überlassen, und ist immer eine freie, und ganz persönliche Entscheidung. Damit hat die KI erstaunlich treffend, sowohl die Bedeutung, als auch die reale Funktion des GOTT-Glaubens in der Lebens-Wirklichkeit unserer Welt und Zeit charakterisiert, in Übereinstimmung mit der Gleichniserzählung JESU vom ,Schatz im Acker’; <small><span style="color:#00B000">( vgl. {{Bibel | Matthäus-Evangelium |13|44|EU}} )</span></small>. Der ,Schatz’ ist die <span style="color:#FF6000">„<span style="font-family: Times;"><big>Βασιλεία του Θεού</big></span>“</span><span style="color:#00B000"> | ,Basileía tou Theoú’</span>, d.h. das <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, oder auch das <span style="color:#CC66FF">»''Himmelreich''«</span>. Die ,Schatzkarte’ ist der Glaube an GOTT. Die ,Schatzsuche’ ist der Weg des Glaubens in der Nachfolge JESU, der uns den Weg zeigt zum Ziel, zur Erfüllung aller unserer Sehnsüchte und Wünsche ''':''' zur Teilhabe am <span style="color:#CC66FF">»''Königtum GOTTES''«</span>, mit allen seinen unbegrenzten ,Möglichkeiten’. ---- ---- ;Fußnoten <references /> tnag78v8j8ay5xkg3l61bvqw5xcvh83 0 119061 1093424 1093423 2026-11-06T11:59:23Z Pelikam 111447 /* Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie */ 1093424 wikitext text/x-wiki [[PCRT|< Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]] == 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/56cd]] = Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie = *{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]] == Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) == *{{Stage short|100%}}[[CPRT/2276| Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] == Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ea92| Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/ea92]] == Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e631| Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) - CPRT/e631]] == Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) == == Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) == == Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == = Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ebfe| Energien im Koordinatensystem (<math>N, S, p</math>) - CPRT/ebfe]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/396e| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, p</math>) - CPRT/396e]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6bff| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, V</math>) - CPRT/6bff]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d47a| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, p</math>) - CPRT/d47a]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8b58| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, V</math>) - CPRT/8b58]] = Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]] = Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases = == Freie Unterverzeichnisse == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d456| - CPRT/d456]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/fb6d| - CPRT/fb6d]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/f189| - CPRT/f189]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/19f0| - CPRT/19f0]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6221| - CPRT/6221]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/69db| - CPRT/69db]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/20a9| - CPRT/20a9]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a93| - CPRT/2a93]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a1f| - CPRT/2a1f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e6eb| - CPRT/e6eb]] ecurygsxmuqgfxcu68aeukwt7955a7l 1093426 1093424 2026-11-06T12:00:43Z Pelikam 111447 /* Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) */ 1093426 wikitext text/x-wiki [[PCRT|< Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]] == 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/56cd]] = Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie = *{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/2276| Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] == Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ea92| Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/ea92]] == Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e631| Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) - CPRT/e631]] == Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) == == Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) == == Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == = Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ebfe| Energien im Koordinatensystem (<math>N, S, p</math>) - CPRT/ebfe]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/396e| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, p</math>) - CPRT/396e]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6bff| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, V</math>) - CPRT/6bff]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d47a| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, p</math>) - CPRT/d47a]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8b58| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, V</math>) - CPRT/8b58]] = Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]] = Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases = == Freie Unterverzeichnisse == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d456| - CPRT/d456]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/fb6d| - CPRT/fb6d]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/f189| - CPRT/f189]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/19f0| - CPRT/19f0]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6221| - CPRT/6221]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/69db| - CPRT/69db]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/20a9| - CPRT/20a9]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a93| - CPRT/2a93]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a1f| - CPRT/2a1f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e6eb| - CPRT/e6eb]] gteje0k5vioywr3uwc0898pksd2rkw8 1093428 1093426 2026-11-06T12:02:41Z Pelikam 111447 /* Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) */ 1093428 wikitext text/x-wiki [[PCRT|< Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]] == 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/56cd]] = Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie = *{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/2276| Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ea92| Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/ea92]] == Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e631| Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) - CPRT/e631]] == Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) == == Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) == == Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == = Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ebfe| Energien im Koordinatensystem (<math>N, S, p</math>) - CPRT/ebfe]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/396e| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, p</math>) - CPRT/396e]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6bff| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, V</math>) - CPRT/6bff]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d47a| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, p</math>) - CPRT/d47a]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8b58| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, V</math>) - CPRT/8b58]] = Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]] = Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases = == Freie Unterverzeichnisse == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d456| - CPRT/d456]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/fb6d| - CPRT/fb6d]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/f189| - CPRT/f189]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/19f0| - CPRT/19f0]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6221| - CPRT/6221]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/69db| - CPRT/69db]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/20a9| - CPRT/20a9]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a93| - CPRT/2a93]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a1f| - CPRT/2a1f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e6eb| - CPRT/e6eb]] b5ehw4aypjaigqtjw4ewdwo4kff3ub9 1093430 1093428 2026-11-06T12:04:44Z Pelikam 111447 /* Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) */ 1093430 wikitext text/x-wiki [[PCRT|< Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]] == 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/56cd]] = Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie = *{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/2276| Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ea92| Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/ea92]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e631| Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) - CPRT/e631]] == Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d456| Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) - CPRT/d456]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ebfe| Energien im Koordinatensystem (<math>N, S, p</math>) - CPRT/ebfe]] == Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/fb6d| - CPRT/fb6d]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/396e| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, p</math>) - CPRT/396e]] == Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/f189| - CPRT/f189]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d47a| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, p</math>) - CPRT/d47a]] == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/19f0| - CPRT/19f0]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8b58| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, V</math>) - CPRT/8b58]] == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6221| - CPRT/6221]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6bff| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, V</math>) - CPRT/6bff]] = Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases = = Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]] = Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases = == Freie Unterverzeichnisse == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/69db| - CPRT/69db]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/20a9| - CPRT/20a9]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a93| - CPRT/2a93]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a1f| - CPRT/2a1f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e6eb| - CPRT/e6eb]] l1kb9aihy8gm159p2cenpon6fkdbt9k 1093436 1093435 2026-11-06T12:24:24Z Pelikam 111447 /* Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (\mu,S,p) */ 1093436 wikitext text/x-wiki [[PCRT|< Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]] == 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/56cd]] = Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie = *{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/2276| Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ea92| Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/ea92]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e631| Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) - CPRT/e631]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d456| Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) - CPRT/d456]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ebfe| Energien im Koordinatensystem (<math>N, S, p</math>) - CPRT/ebfe]] == Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/fb6d| Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) - CPRT/fb6d]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/396e| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, p</math>) - CPRT/396e]] == Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/f189| Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) - CPRT/f189]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d47a| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, p</math>) - CPRT/d47a]] == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/19f0| Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) - CPRT/19f0]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8b58| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, V</math>) - CPRT/8b58]] == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6221| Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) - CPRT/6221]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6bff| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, V</math>) - CPRT/6bff]] = Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases = = Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]] = Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases = == Freie Unterverzeichnisse == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/69db| - CPRT/69db]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/20a9| - CPRT/20a9]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a93| - CPRT/2a93]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a1f| - CPRT/2a1f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e6eb| - CPRT/e6eb]] 1mgosqfmox312kumhymw6ahlidtpmpk 1093444 1093442 2026-11-06T12:29:11Z Pelikam 111447 /* Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie */ 1093444 wikitext text/x-wiki [[PCRT|< Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]] == 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/56cd]] = Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie = *{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/2276| Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ea92| Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/ea92]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e631| Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) - CPRT/e631]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d456| Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) - CPRT/d456]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/fb6d| Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) - CPRT/fb6d]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/396e| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, p</math>) - CPRT/396e]] == Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/f189| Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) - CPRT/f189]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d47a| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, p</math>) - CPRT/d47a]] == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/19f0| Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) - CPRT/19f0]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8b58| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, V</math>) - CPRT/8b58]] == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6221| Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) - CPRT/6221]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6bff| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, V</math>) - CPRT/6bff]] = Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases = = Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]] = Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases = == Freie Unterverzeichnisse == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/69db| - CPRT/69db]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/20a9| - CPRT/20a9]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a93| - CPRT/2a93]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a1f| - CPRT/2a1f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e6eb| - CPRT/e6eb]] 2j70zouybig4lz7k1c1mvdwjzazqzpk 1093448 1093446 2026-11-06T12:31:08Z Pelikam 111447 /* Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie */ 1093448 wikitext text/x-wiki [[PCRT|< Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]] == 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/56cd]] = Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie = *{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/2276| Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ea92| Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/ea92]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e631| Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) - CPRT/e631]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d456| Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) - CPRT/d456]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/fb6d| Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) - CPRT/fb6d]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/f189| Energien K, L, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) - CPRT/f189]] == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/19f0| Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) - CPRT/19f0]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8b58| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, V</math>) - CPRT/8b58]] == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6221| Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) - CPRT/6221]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6bff| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, V</math>) - CPRT/6bff]] = Teil B: Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases = = Teil C: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]] = Teil D: Kreisprozesse eines idealen Gases = == Freie Unterverzeichnisse == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/69db| - CPRT/69db]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/20a9| - CPRT/20a9]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a93| - CPRT/2a93]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a1f| - CPRT/2a1f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e6eb| - CPRT/e6eb]] 75fxn53yjlj46pzv1qh73vzapy4wwbg 1093456 1093453 2026-11-06T12:35:07Z Pelikam 111447 /* Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (\mu,t,V) */ 1093456 wikitext text/x-wiki [[PCRT|< Reversible Thermodynamik für die Zusammenarbeit von Mathematik-, Physik-, Chemie-, Ingenieur-Wissenschaften - PCRT]] == 0. Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. 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Ein Wort an evtl. Co-Autor:innen: == CPRT ist gerade in der Entstehung. Er hat ein bestimmtes Konzept. Dieses Konzept hat sich das Autorenkollektiv Pelikam ausgedacht. Bitte lasst CPRT erstmal soweit wachsen, bis das Konzept fertig ist. Das Konzept ist ab jetzt (09-2026) in ca. 9 Monaten (06-2027) fertig, bzw. CPRT ist nach den Vorstellungen von Autorenkollektiv Pelikam dann zu 80% fertig. SOLANGE BITTE NICHTS REINSCHREIBEN. ANREGUNGEN, GEWÜNSCHTE TEXTBAUSTEINE, FEHLER , GEWÜNSCHTE MITARBEIT, EIGENE ZIELSETZUNGEN etc. BITTE IN DISKUSSION (s.o.) EINTRAGEN. CPRT beruht im wesentlichen auf Formeln. DANKE Autorenkollektiv Pelikam (CPRT sticht ca. Mitte 2027 in den See, dann können alle Autor:innen, die dazu etwas beitragen möchten hineinschreiben. Auch dann wäre Pelikam dankbar, wenn der Geist von CPRT, das Didaktikkonzept erst aufgenommen wird und dann die eigenen Beiträge hinzugefügt werden. Sollte eigentlich kein Problem sein. Stand: 09-2026 = Formelsammlung - CPRT = = Inhaltsverzeichnis = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/56cd| Einleitung zur 1. Auflage - CPRT/56cd]] = Teil A: Zustandsfunktionen und Differentiale der Energie = *{{Stage short|100%}}[[CPRT/cf51| Zustandsfunktionen und ihre Differentiale in ihren (eigenen) natürlichen Variablen - CPRT/cf51]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/2276| Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ea92| Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/ea92]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e631| Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) - CPRT/e631]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d456| Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) - CPRT/d456]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/fb6d| Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) - CPRT/fb6d]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/f189| Energien K, L, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) - CPRT/f189]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/19f0| Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) - CPRT/19f0]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6221| Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) - CPRT/6221]] = Teil B: Erhaltungssätze und Bilanzgleichungen = *{{Stage short|25%}}[[CPRT/53b5| Stoffbezogene Grössen - CPRT/53b5]] = Teil C: Kreisprozesse eines idealen Gases = == Freie Unterverzeichnisse == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/69db| - CPRT/69db]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/20a9| - CPRT/20a9]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a93| - CPRT/2a93]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2a1f| - CPRT/2a1f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/e6eb| - CPRT/e6eb]] jg5aqbnggz3le86fz2hckdmoq5awf17 0 119065 1093481 1092870 2026-11-06T21:00:19Z Pelikam 111447 /* Energie E (Bezugssystem) */ 1093481 wikitext text/x-wiki [[CPRT/2276|< Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] == Energie E (Bezugssystem) == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN </math>||<math> +\,t\,dS </math>||<math> +\,p\,d(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N </math>||<math> +\,t\,S </math>||<math> +\,p\,(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} </math>||<math> +\,dS\frac{\partial E}{\partial S} </math> || <math> +\,dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \mu}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} </math>||<math> +\,S\,\frac{\partial t}{\partial S} </math> || <math> +\,V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial p}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu </math>||<math> -\,S\,dt </math>||<math> -\,V\,d(-p) </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \,dE}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |} == Herleitungen Energie E == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\,\mu + dS\,t + d(-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(dN \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dN\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N},\quad \frac{\partial}{\partial N}\left(dN\right) = d\frac{\partial N}{\partial N} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> d\mu(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial N} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(dS \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dS\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S},\quad \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\right) = d\frac{\partial S}{\partial S} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dt(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial S} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(dV \frac{\partial E}{\partial V}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dV\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V},\quad \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\right) = d\frac{\partial V}{\partial V} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dp(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial (-V)} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - dS\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V} dE </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial (-V)} dE \neq 0 </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N + t\,S + p\,(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N}\,N + \frac{\partial E}{\partial S}\,S + \frac{\partial E}{\partial V}\,V </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\mu + S\,t + (-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(N \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial N} + N\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} + S\frac{\partial \mu}{\partial S} + V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + V\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu - \mu = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(S \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial S} + S\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} + S\,\frac{\partial t}{\partial S} + V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial S} - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,t - t = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(V \frac{\partial E}{\partial V}\right) </math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial V} + V\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} + S\frac{\partial p}{\partial S} + V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - S\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial E}{\partial V} + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial (-V)} - \frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,p - p = 0 </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} - S\,d\frac{\partial E}{\partial S} - V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,d\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - d\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - d\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dE + dE = 0 </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} + S\frac{\partial \,dE}{\partial S} + V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} + S\,d\frac{\partial E}{\partial S} + V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\mu + S\,dt + V\,d(-p) = 0 </math> |} ops2s6nwy9xeit3mnso7dxz439jfh9m 1093482 1093481 2026-11-06T21:20:47Z Pelikam 111447 /* Energie E (Bezugssystem) */ 1093482 wikitext text/x-wiki [[CPRT/2276|< Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] == Energie E (Bezugssystem) == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN </math>||<math> +\,t\,dS </math>||<math> +\,p\,d(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N </math>||<math> +\,t\,S </math>||<math> +\,p\,(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} </math>||<math> +\,dS\frac{\partial E}{\partial S} </math> || <math> +\,dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \mu}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} </math>||<math> +\,S\,\frac{\partial t}{\partial S} </math> || <math> +\,V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial p}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu </math>||<math> -\,S\,dt </math>||<math> -\,V\,d(-p) </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \,dE}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |} {| |- || <math> (08)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\,(dN)^2 </math> || <math> +\,\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\,(dS)^2 </math> || <math> +\,\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\,(dV)^2 </math> || <math> +\,\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}\,dN\,dS </math> || <math> +\,\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}\,dN\,dV </math> || <math> +\,\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}\,dS\,dV </math> |} == Herleitungen Energie E == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\,\mu + dS\,t + d(-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(dN \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dN\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N},\quad \frac{\partial}{\partial N}\left(dN\right) = d\frac{\partial N}{\partial N} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> d\mu(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial N} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(dS \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dS\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S},\quad \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\right) = d\frac{\partial S}{\partial S} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dt(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial S} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(dV \frac{\partial E}{\partial V}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dV\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V},\quad \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\right) = d\frac{\partial V}{\partial V} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dp(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial (-V)} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - dS\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V} dE </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial (-V)} dE \neq 0 </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N + t\,S + p\,(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N}\,N + \frac{\partial E}{\partial S}\,S + \frac{\partial E}{\partial V}\,V </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\mu + S\,t + (-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(N \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial N} + N\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} + S\frac{\partial \mu}{\partial S} + V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + V\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu - \mu = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(S \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial S} + S\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} + S\,\frac{\partial t}{\partial S} + V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial S} - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,t - t = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(V \frac{\partial E}{\partial V}\right) </math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial V} + V\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} + S\frac{\partial p}{\partial S} + V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - S\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial E}{\partial V} + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial (-V)} - \frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,p - p = 0 </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} - S\,d\frac{\partial E}{\partial S} - V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,d\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - d\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - d\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dE + dE = 0 </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} + S\frac{\partial \,dE}{\partial S} + V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} + S\,d\frac{\partial E}{\partial S} + V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\mu + S\,dt + V\,d(-p) = 0 </math> |} axw6hounxudxzhewog2lqnhqkxxlro3 1093483 1093482 2026-11-06T22:38:48Z Pelikam 111447 /* Energie E (Bezugssystem) */ 1093483 wikitext text/x-wiki [[CPRT/2276|< Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] == Energie E (Bezugssystem) == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN </math>||<math> +\,t\,dS </math>||<math> +\,p\,d(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N </math>||<math> +\,t\,S </math>||<math> +\,p\,(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} </math>||<math> +\,dS\frac{\partial E}{\partial S} </math> || <math> +\,dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \mu}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} </math>||<math> +\,S\,\frac{\partial t}{\partial S} </math> || <math> +\,V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial p}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu </math>||<math> -\,S\,dt </math>||<math> -\,V\,d(-p) </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \,dE}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |} {| |- || <math> (08)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\,(dN)^2 + \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\,(dS)^2 +\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\,(dV)^2 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}+\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right)dN\,dS + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right)dN\,dV + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right)dS\,dV \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (09)\quad </math> || <math> \frac{\partial^2 E}{\partial N^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial S^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial V^2} \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right) \ge 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right) \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right) \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (10)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\,(dN)^2 + \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\,(dS)^2 +\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\,(dV)^2 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}+\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right)dN\,dS + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right)dN\,dV + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right)dS\,dV \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (11)\quad </math> || <math> \frac{\partial^2 E}{\partial N^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial S^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial V^2} \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right) \ge 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right) \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right) \ge 0 </math> |} == Herleitungen Energie E == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\,\mu + dS\,t + d(-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(dN \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dN\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N},\quad \frac{\partial}{\partial N}\left(dN\right) = d\frac{\partial N}{\partial N} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> d\mu(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial N} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(dS \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dS\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S},\quad \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\right) = d\frac{\partial S}{\partial S} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dt(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial S} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(dV \frac{\partial E}{\partial V}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dV\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V},\quad \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\right) = d\frac{\partial V}{\partial V} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dp(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial (-V)} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - dS\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V} dE </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial (-V)} dE \neq 0 </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N + t\,S + p\,(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N}\,N + \frac{\partial E}{\partial S}\,S + \frac{\partial E}{\partial V}\,V </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\mu + S\,t + (-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(N \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial N} + N\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} + S\frac{\partial \mu}{\partial S} + V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + V\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu - \mu = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(S \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial S} + S\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} + S\,\frac{\partial t}{\partial S} + V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial S} - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,t - t = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(V \frac{\partial E}{\partial V}\right) </math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial V} + V\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} + S\frac{\partial p}{\partial S} + V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - S\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial E}{\partial V} + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial (-V)} - \frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,p - p = 0 </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} - S\,d\frac{\partial E}{\partial S} - V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,d\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - d\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - d\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dE + dE = 0 </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} + S\frac{\partial \,dE}{\partial S} + V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} + S\,d\frac{\partial E}{\partial S} + V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\mu + S\,dt + V\,d(-p) = 0 </math> |} gx3kw9we0f3xmc75x84rpl8hg9bs43b 1093486 1093483 2026-11-06T23:08:15Z Pelikam 111447 /* Energie E (Bezugssystem) */ 1093486 wikitext text/x-wiki [[CPRT/2276|< Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] == Energie E (Bezugssystem) == == Gleichgewicht == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN </math>||<math> +\,t\,dS </math>||<math> +\,p\,d(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N </math>||<math> +\,t\,S </math>||<math> +\,p\,(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} </math>||<math> +\,dS\frac{\partial E}{\partial S} </math> || <math> +\,dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \mu}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} </math>||<math> +\,S\,\frac{\partial t}{\partial S} </math> || <math> +\,V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial p}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu </math>||<math> -\,S\,dt </math>||<math> -\,V\,d(-p) </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \,dE}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |} == Stabilität == {| |- || <math> (08)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\,(dN)^2 + \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\,(dS)^2 +\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\,(dV)^2 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}+\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right)dN\,dS + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right)dN\,dV + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right)dS\,dV \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (09)\quad </math> || <math> \frac{\partial^2 E}{\partial N^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial S^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial V^2} \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right) \ge 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right) \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right) \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (10)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\frac{\partial \mu}{\partial N}\,(dN)^2 + \frac{\partial t}{\partial S}\,(dS)^2 +\frac{\partial (-p)}{\partial V}\,(dV)^2 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> + \left(\frac{\partial \mu}{\partial S} + \frac{\partial t}{\partial N}\right)dN\,dS + \left(\frac{\partial \mu}{\partial V} + \frac{\partial (-p)}{\partial N}\right)dN\,dV + \left(\frac{\partial t}{\partial V} + \frac{\partial (-p)}{\partial S}\right)dS\,dV \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (11)\quad </math> || <math> \frac{\partial \mu}{\partial N} \ge 0\,,\quad \frac{\partial t}{\partial S} \ge 0\,,\quad \frac{\partial (-p)}{\partial V} \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial \mu}{\partial N}\right)\left(\frac{\partial t}{\partial S}\right) - \left(\frac{\partial \mu}{\partial S}\right)\left(\frac{\partial t}{\partial N}\right) \ge 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \left(\frac{\partial \mu}{\partial N}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial V}\right) - \left(\frac{\partial \mu}{\partial V}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial N}\right) \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial t}{\partial S}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial V}\right) - \left(\frac{\partial t}{\partial V}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial S}\right) \ge 0 </math> |} == Herleitungen Energie E == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\,\mu + dS\,t + d(-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(dN \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dN\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N},\quad \frac{\partial}{\partial N}\left(dN\right) = d\frac{\partial N}{\partial N} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> d\mu(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial N} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(dS \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dS\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S},\quad \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\right) = d\frac{\partial S}{\partial S} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dt(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial S} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(dV \frac{\partial E}{\partial V}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dV\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V},\quad \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\right) = d\frac{\partial V}{\partial V} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dp(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial (-V)} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - dS\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V} dE </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial (-V)} dE \neq 0 </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N + t\,S + p\,(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N}\,N + \frac{\partial E}{\partial S}\,S + \frac{\partial E}{\partial V}\,V </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\mu + S\,t + (-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(N \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial N} + N\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} + S\frac{\partial \mu}{\partial S} + V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + V\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu - \mu = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(S \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial S} + S\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} + S\,\frac{\partial t}{\partial S} + V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial S} - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,t - t = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(V \frac{\partial E}{\partial V}\right) </math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial V} + V\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} + S\frac{\partial p}{\partial S} + V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - S\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial E}{\partial V} + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial (-V)} - \frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,p - p = 0 </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} - S\,d\frac{\partial E}{\partial S} - V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,d\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - d\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - d\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dE + dE = 0 </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} + S\frac{\partial \,dE}{\partial S} + V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} + S\,d\frac{\partial E}{\partial S} + V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\mu + S\,dt + V\,d(-p) = 0 </math> |} ne49j2ok61nhhblc42kywr9flk99n4u 1093487 1093486 2026-11-06T23:22:33Z Pelikam 111447 /* Herleitungen Energie E */ 1093487 wikitext text/x-wiki [[CPRT/2276|< Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] == Energie E (Bezugssystem) == == Gleichgewicht == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN </math>||<math> +\,t\,dS </math>||<math> +\,p\,d(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N </math>||<math> +\,t\,S </math>||<math> +\,p\,(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} </math>||<math> +\,dS\frac{\partial E}{\partial S} </math> || <math> +\,dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \mu}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} </math>||<math> +\,S\,\frac{\partial t}{\partial S} </math> || <math> +\,V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial p}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu </math>||<math> -\,S\,dt </math>||<math> -\,V\,d(-p) </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \,dE}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |} == Stabilität == {| |- || <math> (08)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\,(dN)^2 + \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\,(dS)^2 +\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\,(dV)^2 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}+\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right)dN\,dS + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right)dN\,dV + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right)dS\,dV \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (09)\quad </math> || <math> \frac{\partial^2 E}{\partial N^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial S^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial V^2} \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right) \ge 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right) \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right) \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (10)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\frac{\partial \mu}{\partial N}\,(dN)^2 + \frac{\partial t}{\partial S}\,(dS)^2 +\frac{\partial (-p)}{\partial V}\,(dV)^2 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> + \left(\frac{\partial \mu}{\partial S} + \frac{\partial t}{\partial N}\right)dN\,dS + \left(\frac{\partial \mu}{\partial V} + \frac{\partial (-p)}{\partial N}\right)dN\,dV + \left(\frac{\partial t}{\partial V} + \frac{\partial (-p)}{\partial S}\right)dS\,dV \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (11)\quad </math> || <math> \frac{\partial \mu}{\partial N} \ge 0\,,\quad \frac{\partial t}{\partial S} \ge 0\,,\quad \frac{\partial (-p)}{\partial V} \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial \mu}{\partial N}\right)\left(\frac{\partial t}{\partial S}\right) - \left(\frac{\partial \mu}{\partial S}\right)\left(\frac{\partial t}{\partial N}\right) \ge 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \left(\frac{\partial \mu}{\partial N}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial V}\right) - \left(\frac{\partial \mu}{\partial V}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial N}\right) \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial t}{\partial S}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial V}\right) - \left(\frac{\partial t}{\partial V}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial S}\right) \ge 0 </math> |} == Herleitungen Energie E == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\,\mu + dS\,t + d(-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(dN \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dN\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N},\quad \frac{\partial}{\partial N}\left(dN\right) = d\frac{\partial N}{\partial N} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> d\mu(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial N} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(dS \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dS\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S},\quad \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\right) = d\frac{\partial S}{\partial S} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dt(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial S} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(dV \frac{\partial E}{\partial V}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dV\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V},\quad \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\right) = d\frac{\partial V}{\partial V} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dp(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial (-V)} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - dS\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V} dE </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial (-V)} dE \neq 0 </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N + t\,S + p\,(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N}\,N + \frac{\partial E}{\partial S}\,S + \frac{\partial E}{\partial V}\,V </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\mu + S\,t + (-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(N \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial N} + N\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} + S\frac{\partial \mu}{\partial S} + V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + V\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu - \mu = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(S \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial S} + S\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} + S\,\frac{\partial t}{\partial S} + V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial S} - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,t - t = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(V \frac{\partial E}{\partial V}\right) </math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial V} + V\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} + S\frac{\partial p}{\partial S} + V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - S\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial E}{\partial V} + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial (-V)} - \frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,p - p = 0 </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} - S\,d\frac{\partial E}{\partial S} - V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,d\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - d\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - d\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dE + dE = 0 </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} + S\frac{\partial \,dE}{\partial S} + V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} + S\,d\frac{\partial E}{\partial S} + V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\mu + S\,dt + V\,d(-p) = 0 </math> |} {| |- || <math> (08)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\,(dN)^2 + \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\,(dS)^2 +\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\,(dV)^2 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}+\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right)dN\,dS + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right)dN\,dV + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right)dS\,dV \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (09)\quad </math> || <math> \frac{\partial^2 E}{\partial N^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial S^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial V^2} \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right) \ge 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right) \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right) \ge 0 </math> |} kb36emn0hcbfczg5oaa6vs59q5xcfof 1093488 1093487 2026-11-06T23:23:39Z Pelikam 111447 /* Stabilität */ 1093488 wikitext text/x-wiki [[CPRT/2276|< Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] == Energie E (Bezugssystem) == == Gleichgewicht == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN </math>||<math> +\,t\,dS </math>||<math> +\,p\,d(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N </math>||<math> +\,t\,S </math>||<math> +\,p\,(-V) </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} </math>||<math> +\,dS\frac{\partial E}{\partial S} </math> || <math> +\,dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \mu}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} </math>||<math> +\,S\,\frac{\partial t}{\partial S} </math> || <math> +\,V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial p}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu </math>||<math> -\,S\,dt </math>||<math> -\,V\,d(-p) </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} </math>||<math> +\,S\frac{\partial \,dE}{\partial S} </math> || <math> +\,V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |} == Stabilität == {| |- || <math> (08)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\frac{\partial \mu}{\partial N}\,(dN)^2 + \frac{\partial t}{\partial S}\,(dS)^2 +\frac{\partial (-p)}{\partial V}\,(dV)^2 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> + \left(\frac{\partial \mu}{\partial S} + \frac{\partial t}{\partial N}\right)dN\,dS + \left(\frac{\partial \mu}{\partial V} + \frac{\partial (-p)}{\partial N}\right)dN\,dV + \left(\frac{\partial t}{\partial V} + \frac{\partial (-p)}{\partial S}\right)dS\,dV \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (09)\quad </math> || <math> \frac{\partial \mu}{\partial N} \ge 0\,,\quad \frac{\partial t}{\partial S} \ge 0\,,\quad \frac{\partial (-p)}{\partial V} \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial \mu}{\partial N}\right)\left(\frac{\partial t}{\partial S}\right) - \left(\frac{\partial \mu}{\partial S}\right)\left(\frac{\partial t}{\partial N}\right) \ge 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \left(\frac{\partial \mu}{\partial N}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial V}\right) - \left(\frac{\partial \mu}{\partial V}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial N}\right) \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial t}{\partial S}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial V}\right) - \left(\frac{\partial t}{\partial V}\right)\left(\frac{\partial (-p)}{\partial S}\right) \ge 0 </math> |} == Herleitungen Energie E == {| |- || <math> (01)\quad </math> || <math> dE(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,dN + t\,dS + p\,d(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\,\mu + dS\,t + d(-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(dN \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dN\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N},\quad \frac{\partial}{\partial N}\left(dN\right) = d\frac{\partial N}{\partial N} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> d\mu(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial N} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(dS \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dS\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S},\quad \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\right) = d\frac{\partial S}{\partial S} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dt(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial S} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + dV\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S} dE \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(dV \frac{\partial E}{\partial V}\right)</math>||<math> = </math> || <math> dV\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V},\quad \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\right) = d\frac{\partial V}{\partial V} = d(1) = 0\quad (N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dp(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,d\frac{\partial E}{\partial (-V)} \neq 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - dS\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dN\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - dS\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - dV\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(dN\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dS\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(dV\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V} dE </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial (-V)} dE \neq 0 </math> |- || <math> (02)\quad </math> || <math> E(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu\,N + t\,S + p\,(-V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N}\,N + \frac{\partial E}{\partial S}\,S + \frac{\partial E}{\partial V}\,V </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\mu + S\,t + (-V)\,p </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial N}\left(N \frac{\partial E}{\partial N}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial N} + N\frac{\partial }{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (03)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \mu}{\partial N} + S\frac{\partial \mu}{\partial S} + V\frac{\partial \mu}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial N} + S\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + V\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial N}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial N}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} - \frac{\partial E}{\partial N} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\mu - \mu = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial S}\left(S \frac{\partial E}{\partial S}\right)</math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial S} + S\frac{\partial }{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (04)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial t}{\partial N} + S\,\frac{\partial t}{\partial S} + V\,\frac{\partial t}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial S} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial N} + S\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial S} + V\,\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial}{\partial S}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) + \frac{\partial}{\partial S}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial S} - \frac{\partial E}{\partial S} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,t - t = 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \frac{\partial}{\partial V}\left(V \frac{\partial E}{\partial V}\right) </math>||<math> = </math> || <math> \frac{\partial E}{\partial V} + V\frac{\partial }{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V}\quad (N,S,V) </math> |- || <math> (05)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial p}{\partial N} + S\frac{\partial p}{\partial S} + V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial (-V)} + V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial N}\frac{\partial E}{\partial V} - S\frac{\partial}{\partial S}\frac{\partial E}{\partial V} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial N} - S\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial S} - V\frac{\partial}{\partial V}\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial}{\partial V}\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - \frac{\partial}{\partial V}\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{\partial E}{\partial V} + \frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial (-V)} - \frac{\partial E}{\partial (-V)} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,p - p = 0 </math> |- || <math> (06)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\mu - S\,dt - V\,d(-p) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} - S\,d\frac{\partial E}{\partial S} - V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,d\left(N\frac{\partial E}{\partial N}\right) - d\left(S\frac{\partial E}{\partial S}\right) - d\left(V\frac{\partial E}{\partial V}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> +\,\frac{\partial E}{\partial N} dN + \frac{\partial E}{\partial S} dS + \frac{\partial E}{\partial V} dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,dE + dE = 0 </math> |- || <math> (07)\quad </math> || <math> 0\,(N,S,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\frac{\partial \,dE}{\partial N} + S\frac{\partial \,dE}{\partial S} + V\frac{\partial \,dE}{\partial V} \neq dE(N,S,V) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\frac{\partial E}{\partial N} + S\,d\frac{\partial E}{\partial S} + V\,d\frac{\partial E}{\partial V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,d\mu + S\,dt + V\,d(-p) = 0 </math> |} {| |- || <math> (08)\quad </math> || <math> d^2 E </math>||<math> = </math> || <math> +\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\,(dN)^2 + \frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\,(dS)^2 +\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\,(dV)^2 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> </math>||<math> </math> || <math> + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}+\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right)dN\,dS + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right)dN\,dV + \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}+\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right)dS\,dV \ge 0 </math> |} {| |- || <math> (09)\quad </math> || <math> \frac{\partial^2 E}{\partial N^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial S^2} \ge 0\,,\quad \frac{\partial^2 E}{\partial V^2} \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial S}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial N}\right) \ge 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial N\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial N}\right) \ge 0\,,\quad \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S^2}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V^2}\right) - \left(\frac{\partial^2 E}{\partial S\partial V}\right)\left(\frac{\partial^2 E}{\partial V\partial S}\right) \ge 0 </math> |} ieq6ispogl0mym304lmsh7zvym98uwf 0 119076 1093432 1092028 2026-11-06T12:08:31Z Pelikam 111447 1093432 wikitext text/x-wiki [[CPRT/ea92|< Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/ea92]] == Energie E(N,t,V) == === Chemische Teilchenenergien === {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> -\,k\,t\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2}\right] </math> |} {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> -\,N\,\frac{\partial\mu}{\partial N} </math>||<math> = </math> || <math> -\,k\,t,\quad\quad</math> || <math> -\,t\,\frac{\partial\mu}{\partial t} </math>||<math> = </math> || <math> -\,\mu + \frac{3}{2}\,k\,t,\quad\quad</math> || <math> -\,V\,\frac{\partial\mu}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t,\quad\quad</math> || <math> 0 </math>||<math> = </math> || <math> 0 - N\frac{\partial\mu}{\partial N} - V\frac{\partial\mu}{\partial V} </math> |} {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu_{N,t,V}^{N,t,p} </math>||<math> = </math> || <math> \mu </math>||<math> </math>||<math> </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial\mu}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> +\,1\,k\,t </math>||<math> +\,\mu(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> k\,t\left(+\,1-\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu_{N,t,V}^{N,S,p} </math>||<math> = </math> || <math> \mu </math>||<math> </math>||<math> -\,t\,\frac{\partial\mu}{\partial t} </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial\mu}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{5}{2}\,k\,t </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> k\,t\left(+\,\frac{5}{2}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu_{N,t,V}^{\mu,S,p} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial\mu}{\partial N} </math> || <math> -\,t\,\frac{\partial\mu}{\partial t} </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial\mu}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{3}{2}\,k\,t </math>||<math> -\,\mu(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> k\,t\left(+\,\frac{3}{2}+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu_{N,t,V}^{\mu,t,p} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial\mu}{\partial N} </math>||<math> </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial\mu}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> k\,t\,\big(\,0\,\big) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu_{N,t,V}^{\mu,t,V} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial\mu}{\partial N} </math>||<math> </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,1\,k\,t </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> k\,t\,\big(\,-\,1\,\big) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu_{N,t,V}^{\mu,S,V} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial\mu}{\partial N} </math> || <math> -\,t\,\frac{\partial\mu}{\partial t} </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{1}{2}\,k\,t </math>||<math> -\,\mu(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> k\,t\left(+\,\frac{1}{2}+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu_{N,t,V}^{N,S,V} </math>||<math> = </math> || <math> \mu </math>||<math> </math>||<math> -\,t\,\frac{\partial\mu}{\partial t} </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{3}{2}\,k\,t </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> k\,t\left(+\,\frac{3}{2}\right) </math> |} === Entropien === {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> S(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,N\,k\left(\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2}\right] +\frac{5}{2}\right) </math> |} {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> -\,N\,\frac{\partial S}{\partial N} </math>||<math> = </math> || <math> -\,S + N\,k,\quad\quad</math> || <math> -\,t\,\frac{\partial S}{\partial t} </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{3}{2}\,N\,k,\quad\quad</math> || <math> -\,V\,\frac{\partial S}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> -\,N\,k,\quad\quad</math> || <math> 0 </math>||<math> = </math> || <math> S - N\frac{\partial S}{\partial N} - V\frac{\partial S}{\partial V} </math> |} {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> S_{N,t,V}^{N,t,p} </math>||<math> = </math> || <math> S </math>||<math> </math>||<math> </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial S}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> -\,1\,N\,k </math>||<math> +\,S(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> N\,k\left(+\,\frac{3}{2}+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> S_{N,t,V}^{N,S,p} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> </math>||<math> -\,t\,\frac{\partial S}{\partial t} </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial S}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{5}{2}\,N\,k </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> N\,k\left(-\,\frac{5}{2}\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> S_{N,t,V}^{\mu,S,p} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial S}{\partial N} </math> || <math> -\,t\,\frac{\partial S}{\partial t} </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial S}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{3}{2}\,N\,k </math>||<math> -\,S(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> N\,k\left(-\,4-\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> S_{N,t,V}^{\mu,t,p} </math>||<math> = </math> || <math> S </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial S}{\partial N} </math>||<math> </math> || <math> -\, V\,\frac{\partial S}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> N\,k\,\big(\,0\,\big) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> S_{N,t,V}^{\mu,t,V} </math>||<math> = </math> || <math> S </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial S}{\partial N} </math>||<math> </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,1\,N\,k </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> N\,k\,\big(\,+\,1\big) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> S_{N,t,V}^{\mu,S,V} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial S}{\partial N} </math> || <math> -\,t\,\frac{\partial S}{\partial t} </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{1}{2}\,N\,k </math>|| <math> -\,S(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> N\,k\left(-\,3-\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right) </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> S_{N,t,V}^{N,S,V} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> </math>||<math> -\,t\,\frac{\partial S}{\partial t} </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{3}{2}\,N\,k </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> N\,k\left(-\,\frac{3}{2}\right) </math> |} === Drücke === {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> p(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{N\,k\,t}{V} </math> |} {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> -\,N\,\frac{\partial p}{\partial N} </math>||<math> = </math> || <math> -\,p,\quad\quad</math> || <math> -\,t\,\frac{\partial p}{\partial t} </math>||<math> = </math> || <math> -\,p,\quad\quad</math> || <math> -\,V\,\frac{\partial p}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> +\,p\quad\quad</math> || <math> 0 </math>||<math> = </math> || <math> 0 - N\frac{\partial p}{\partial N} - V\frac{\partial p}{\partial V} </math> |} {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> p_{N,t,V}^{N,t,p} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> </math>||<math> </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial p}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> +\,p(N,t,V) </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> +\,\frac{N\,k\,t}{V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> p_{N,t,V}^{N,S,p} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> </math>||<math> -\,t\,\frac{\partial p}{\partial t} </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial p}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> p_{N,t,V}^{\mu,S,p} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial p}{\partial N} </math> || <math> -\,t\,\frac{\partial p}{\partial t} </math> || <math> -\,V\,\frac{\partial p}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> -\,p(N,t,V) </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{N\,k\,t}{V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> p_{N,t,V}^{\mu,t,p} </math>||<math> = </math> || <math> 0 </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial p}{\partial N} </math>||<math> </math> || <math> -\, V\,\frac{\partial p}{\partial V} </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> p_{N,t,V}^{\mu,t,V} </math>||<math> = </math> || <math> p </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial p}{\partial N} </math>||<math> </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> p_{N,t,V}^{\mu,S,V} </math>||<math> = </math> || <math> p </math>||<math> -\,N\,\frac{\partial p}{\partial N} </math> || <math> -\,t\,\frac{\partial p}{\partial t} </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,p(N,t,V) </math>|| <math> </math>||<math> = </math> || <math> -\,\frac{N\,k\,t}{V} </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> p_{N,t,V}^{N,S,V} </math>||<math> = </math> || <math> p </math>||<math> </math>||<math> -\,t\,\frac{\partial p}{\partial t} </math> || <math> </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math>||<math> </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math> |} === Differentiale der Energien === {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dG(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(1-\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right)dN </math> || <math> -\,N\,k\left(\frac{3}{2}+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right)dt </math> || <math> -\,\frac{N\,k\,t}{V}\,dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dH(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(\frac{5}{2}\right)dN </math>||<math> +\,N\,k\left(\frac{5}{2}\right)dt </math> || <math> </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dL(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(\frac{3}{2}+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right)dN </math> || <math> +\,N\,k\left(4+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right)dt </math> || <math> +\,\frac{N\,k\,t}{V}\,dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dK(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math>||<math> </math> || <math> </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dJ(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\,\big(\,-\,1\,\big)\,dN </math>||<math> +\,N\,k\,\big(\,-\,1\big)\,dt </math> || <math> </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dI(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(\frac{1}{2}+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right)dN </math> || <math> +\,N\,k\left(3+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right)dt </math> || <math> +\,\frac{N\,k\,t}{V}\,dV </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> dE(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(\frac{3}{2}\right)dN </math>||<math> +\,N\,k\left(\frac{3}{2}\right)dt </math> || <math> </math> |} === Energien === {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> G(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(1-\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right)N </math> || <math> -\,\frac{N\,k\,t}{V}\,V </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> H(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(\frac{5}{2}\right)N </math> || <math> </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> L(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(\frac{3}{2}+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right)N </math> || <math> +\,\frac{N\,k\,t}{V}\,V </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> K(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> \quad 0 </math> || <math> </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> J(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\,\big(\,-\,1\,\big)\,N </math> || <math> </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> I(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(\frac{1}{2}+\ln\left[\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{3/2} \right]\right)N </math> || <math> +\,\frac{N\,k\,t}{V}\,V </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> E(N,t,V) </math>||<math> = </math> || <math> +\,k\,t\left(\frac{3}{2}\right)N </math> || <math> </math> |} == Herleitungen == cqdhdthtnpq2m17s9olugj786266tvx 0 119077 1093433 1091425 2026-11-06T12:10:00Z Pelikam 111447 1093433 wikitext text/x-wiki [[CPRT/e631|< Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) - CPRT/e631]] == Energie E(N,t,p) == {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu(N,t,p) </math>||<math> = </math>||<math> -\,k\,t\ln\left[\left(\frac{p_0}{p}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{5/2}\right] </math> |} {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> S(N,t,p) </math>||<math> = </math>||<math> +\,N\,k\left(\ln\left[\left(\frac{p_0}{p}\right)\left(\frac{t}{t_0}\right)^{5/2}\right]+\frac{5}{2}\right) </math> |} {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> V(N,t,p) </math>||<math> = </math>||<math> +\,\frac{N\,k\,t}{p} </math> |} 067j2g3prb689hzfl5ftge3y9n4r8n1 0 119081 1093425 1093417 2026-11-06T12:00:19Z Pelikam 111447 1093425 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) == *{{Stage short|100%}}[[CPRT/cef7| Energie E (Bezugssystem) - CPRT/cef7]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/51da| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/51da]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/6971| Energie G (zwei neue Variable) - CPRT/6971]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/9cdc| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/9cdc]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/4576| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/4576]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/e08d| Energie K (drei neue Variable) - CPRT/e08d]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/8dfb| Energie J (zwei neue Variable) - CPRT/8dfb]] *{{Stage short|100%}}[[CPRT/b380| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/b380]] == Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6657| Energien im Koordinatensystem (<math>N, S, V</math>) - CPRT/6657]] 9gjbf9e7fxq0z4qqut62xj92cri2z1x 0 119082 1093427 1093418 2026-11-06T12:02:00Z Pelikam 111447 1093427 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien F, G, H, L, K, J, I, E im Koordinatensystem (N,t,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/b2b2| Energie F (Bezugssystem) - CPRT/b2b2]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/3853| Energie G (eine neue Variable) - CPRT/3853]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d9f8| Energie H (zwei neue Variable) - CPRT/d9f8]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/bd4f| Energie L (drei neue Variable) - CPRT/bd4f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d116| Energie K (zwei neue Variable) - CPRT/d116]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/7e9a| Energie J (eine neue Variable) - CPRT/7e9a]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/185f| Energie I (eine neue Variable) - CPRT/185f]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/f3ec| Energie E (eine neue Variable) - CPRT/f3ec]] == Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases == *{{Stage short|100%}}[[CPRT/acb1| Energien im Koordinatensystem (<math>N, t, V</math>) - CPRT/acb1]] otar9qwtjyd9h9wkurmqfb88tvnoi0m 0 119087 1093431 1091435 2026-11-06T12:07:39Z Pelikam 111447 1093431 wikitext text/x-wiki [[CPRT/2276|< Energien E, F, G, H, L, K, J, I im Koordinatensystem (N,S,V) - CPRT/2276]] == Energie E(N,S,V) == {| |- || <math> \quad\quad </math> || <math> \mu(N,S,V) </math>||<math> = </math>||<math> +\,\left(\frac{5}{2}\,k - \frac{S}{N}\right) t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3} \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> t(N,S,V) </math>||<math> = </math>||<math> +\,t_0\left(\frac{V}{N\,v_0}\right)^{2/3} \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] </math> |- || <math> \quad\quad </math> || <math> p(N,S,V) </math>||<math> = </math>||<math> +\,\frac{k\,t_0}{v_0}\left(\frac{N\,v_0}{V}\right)^{1/3} \exp\left[\frac{2}{3}\left(\frac{S}{N\,k}-\frac{5}{2}\right)\right] </math> |} mkj67ykvix3i4a5z6y3ixeosd2n915i 0 119089 1093429 1093420 2026-11-06T12:04:11Z Pelikam 111447 1093429 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien G, H, L, K, J, I, E, F im Koordinatensystem (N,t,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/fb4d| Energie G (Bezugssystem) - CPRT/fb4d]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/bb42| Energie H (eine neue Variable) - CPRT/bb42]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/c5e4| Energie L (zwei neue Variable) - CPRT/c5e4]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8eae| Energie K (eine neue Variable) - CPRT/8eae]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/5c5b| Energie J (zwei neue Variable) - CPRT/5c5b]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/057b| Energie I (zwei neue Variable) - CPRT/057b]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2da4| Energie E (zwei neue Variable) - CPRT/2da4]] *{{Stage short|25%}}[[CPRT/c13d| Energie F (eine neue Variable) - CPRT/c13d]] == Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/2be7| Energien im Koordinatensystem (<math>N, t, p</math>) - CPRT/2be7]] mxwkh78jj6nk3r0evh1a5qh52r4eat0 0 119094 1093445 1093338 2026-11-06T12:29:48Z Pelikam 111447 1093445 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) == etjunr7u4c6n916f0n50y64wv80tnfy 1093447 1093445 2026-11-06T12:30:39Z Pelikam 111447 /* Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (\mu,S,p) */ 1093447 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/396e| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, p</math>) - CPRT/396e]] 3fny9qyn2jjkk9i1s4hxnh5o7rii1tp 1093464 1093447 2026-11-06T12:39:35Z Pelikam 111447 /* Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (\mu,S,p) */ 1093464 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien L, K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,p) == == Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/396e| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, p</math>) - CPRT/396e]] jzk0o7i760qotms1ierlvziznex3jp3 0 119095 1093450 1093341 2026-11-06T12:31:42Z Pelikam 111447 1093450 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == cdj8s9y9vuwxolr3kbtu2p7rdybybac 1093452 1093450 2026-11-06T12:32:39Z Pelikam 111447 1093452 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d47a| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, p</math>) - CPRT/d47a]] rcltgm2klx8p9lxxlgn888sf69szlwk 1093454 1093452 2026-11-06T12:33:56Z Pelikam 111447 /* Energien K, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (\mu,t,p) */ 1093454 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien K, L, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d47a| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, p</math>) - CPRT/d47a]] b0ebhlgolmb11mwc2xum6s62pc0hrxb 1093465 1093454 2026-11-06T12:39:54Z Pelikam 111447 /* Energien K, L, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (\mu,t,p) */ 1093465 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien K, L, J, I, E, F, G, H im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,p) == == Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/d47a| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, p</math>) - CPRT/d47a]] c6622xttadof5pg6f5s1m16gujlxvs3 0 119096 1093455 1093344 2026-11-06T12:34:45Z Pelikam 111447 1093455 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == dmpw2ry0yrc7mz91k1vo268f0iyziuu 1093457 1093455 2026-11-06T12:35:37Z Pelikam 111447 /* Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (\mu,t,V) */ 1093457 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8b58| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, V</math>) - CPRT/8b58]] 4cfeavvnqq9gdx4d7hk37bgxpjktl1m 1093466 1093457 2026-11-06T12:40:21Z Pelikam 111447 /* Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (\mu,t,V) */ 1093466 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien J, I, E, F, G, H, L, K im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,t,V) == == Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/8b58| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, t, V</math>) - CPRT/8b58]] qptu0an9pjya6qbg2dlqo3g9i2nmbw0 0 119097 1093459 1093347 2026-11-06T12:36:38Z Pelikam 111447 1093459 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == fv7odzi7vgt2k5y8rgllndv2eznn3ap 1093461 1093459 2026-11-06T12:37:40Z Pelikam 111447 /* Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (\mu,S,V) */ 1093461 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6bff| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, V</math>) - CPRT/6bff]] 21pluq05z3ejiv4qilb66qx5a3hskmf 1093467 1093461 2026-11-06T12:40:39Z Pelikam 111447 /* Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (\mu,S,V) */ 1093467 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien I, E, F, G, H, L, K, J im Koordinatensystem (<math>\mu</math>,S,V) == == Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/6bff| Energien im Koordinatensystem (<math>\mu, S, V</math>) - CPRT/6bff]] aubnko01cts6o83xc2nxvwf6k7tmfpp 0 119105 1093440 1093335 2026-11-06T12:27:03Z Pelikam 111447 1093440 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] = Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) = dh36vl7x0asotudcebrqvx4qln3hsn6 1093441 1093440 2026-11-06T12:27:20Z Pelikam 111447 /* Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) */ 1093441 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) == bfg55znfh9vtxk60rixtjucx9mclxk0 1093443 1093441 2026-11-06T12:28:27Z Pelikam 111447 /* Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) */ 1093443 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ebfe| Energien im Koordinatensystem (<math>N, S, p</math>) - CPRT/ebfe]] 8tlf7vuebmi9h0nniz89vru2o7meci3 1093463 1093443 2026-11-06T12:39:16Z Pelikam 111447 /* Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) */ 1093463 wikitext text/x-wiki [[CPRT|< Inhaltsverzeichnis - CPRT]] == Energien H, L, K, J, I, E, F, G im Koordinatensystem (N,S,p) == == Zustandsfunktionen und Differentiale des idealen Gases == *{{Stage short|25%}}[[CPRT/ebfe| Energien im Koordinatensystem (<math>N, S, p</math>) - CPRT/ebfe]] dz8hget5fp0bc0fuf5oz5907jbcny7t 0 121330 1093489 1067645 2026-11-07T09:22:35Z EmausBot 79582 Bot: Korrigiere doppelte Weiterleitung von [[CPRT/I/b4c9]] auf [[CPRT/56cd]] 1093489 wikitext text/x-wiki #WEITERLEITUNG [[CPRT/56cd]] t4r1ngjc9bbbnqfytrv2v0c8ld2myez 0 121616 1093470 1093421 2026-11-06T14:12:56Z Bautsch 35687 /* Die 360 */ + Zeitmessung / + <math> 1093470 wikitext text/x-wiki [[Datei:Nachmittagssonne.29.7.2024.P1033307.jpg|mini|hochkant=2|Die Nachmittagssonne am 29. Juli 2024 mit Sonnenflecken von Berlin aus gesehen.]] Die '''Sonne''' ist das Zentralgestirn unseres Planetensystems. Die Ebene, in der die Erde um die Sonne läuft, wird Ekliptik genannt. Alle anderen Planeten und der Mond bewegen sich in der Nähe dieser Ekliptik, ihre Bahnebenen sind jedoch individuell ein wenig gegenüber der Ekliptik geneigt. == Die Sonne als Zeitgeber == Die '''Erde''' umrundet die Sonne als der dritte von vier inneren Planeten innerhalb eines '''Jahres'''. Diese vollständige Umrundung definiert also die Dauer eines tropischen Jahres. Die Erde rotiert innerhalb eines '''Tages''' um ihre eigene Polachse. Diese vollständige Umdrehung definiert die Dauer eines Tages. Von der Erde aus betrachtet scheint sich die Sonne dabei jeden Tag von Osten nach Westen zu bewegen. Da sich die Sonne von der Erde aus gesehen stets in der Ekliptikebene befindet, liegt die scheinbare Sonnenbahn auf der sogenannten Ekliptiklinie. Da die Sonne nicht nur die Erde, sondern auch den '''Mond''' beleuchtet, kann das vom Mond reflektierte Sonnenlicht von der Erde aus beobachtet werden. Hierdurch ergeben sich innerhalb eines synodischen '''Monats''' mit seinen vier Mondvierteln ('''vier Wochen''') beziehungsweise mit den 28&nbsp;eintägigen Mondhäusern die Mondphasen, die die Dauern von Monaten und Wochen bestimmen. Da der Mond in etwa zwölf Mal schneller um die Erde rotiert als die Erde um die Sonne, steht die Sonne von der Erde aus gesehen innerhalb eines Jahres in jedem der '''zwölf Monate''' eines Jahres in einer anderen Region des Fixsternhimmels. Die scheinbare Sonnenbahn wird hierbei in zwölf gleichgroße Abschnitte aufgeteilt, die im Fixsternhimmel durch die entsprechenden zwölf Lebewesenkreiszeichen (Zodiak) gekennzeichnet sind. → Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Mondzyklen|'''Mondzyklen''']]. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Mondäuser|'''Mondäuser''']]. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Zodiak|'''Der Zodiak''']]. === Zeiteinteilung === Das achte Kapitel im ersten Band aus dem zweiten Buch der Naturalis historia ("Naturgeschichte") von Gaius Plinius Secundus (Plinius der Ältere) hat den Titel ''Von der Natur der Irrsterne und ihrer Laufbahn''. Den Lauf der Sonne beschreibt Plinius folgendermaßen:<ref name="Denso1764">Plinius: ''Naturgeschichte'', erster Band, zweites Buch, übersetzt von Johann Daniel Denso (1708–1795), Rostock und Greifswald, Anton Ferdinand Rösens Buchhandlung, 1764, in moderne deutsche Sprache gesetzt.</ref> <blockquote> '''Von der Natur der Irrsterne und ihrer Laufbahn.'''<br/> ...<br/> [Zwischen Mars und Venus] kommt der Lauf der Sonne, welcher in 360&nbsp;Grade geteilt ist. Doch damit die Beobachtung seines Schattens mit den Merkmalen der Zeiger übereinkommt, legt man jedem Jahr fünf Tage zu, und zudem noch ein Viertel eines Tages. Aus der Ursache wird im fünften Jahr noch ein Schalttag hinzugetan, damit die Berechnung der Zeiten mit dem Lauf der Sonne übereinstimmt.<br/> ...<br/> </blockquote> Die Sonne durchläuft die Ekliptik innerhalb eines Jahres auf einem Kreisbogen mit 360&nbsp;Bogengrad und wandert dabei pro Tag also in etwa 1&nbsp;Bogengrad weiter ostwärts. Diese Einteilung des Kreises in 360&nbsp;Bogengrad geht auf die Babylonier zurück. ==== Die 60 ==== Die Babylonier verwendeten ein Zahlensystem auf Basis der Zahl&nbsp;60, das Sexagesimalsystem. Anders als im Dezimalsystem verwendeten sie also nicht ein Stellenwertsystem mit 1&#8209;ern, 10&#8209;ern, 100&#8209;ern und 1000&#8209;ern, sondern eines mit 1&#8209;ern, 60&#8209;ern, 3600&#8209;ern und 216000&#8209;ern: :<math>[1]_{1000}[1]_{100}[1]_{10}[1]_{1} = 1 \cdot 1000 + 1 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 1111_{10}</math> :<math>[1]_{216000}[1]_{3600}[1]_{60}[1]_{1} = 1 \cdot 216000 + 1 \cdot 3600 + 1 \cdot 60 + 1 \cdot 1 = 219661_{10}</math> Die Zahl&nbsp;60 ist die kleinste ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 2, 3, 4, 5 und 6, also alle Zahlen von 2 bis 6, teilen lässt. Die Primfaktorenzerlegung der Zahl&nbsp;60 ergibt: :<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5</math> Es gibt für die Zahl&nbsp;60 insgesamt 11&nbsp;ganzzahlige Teiler: :<math>2 = 2</math> :<math>3 = 3</math> :<math>4 = 2 \cdot 2</math> :<math>5 = 5</math> :<math>6 = 2 \cdot 3</math> :<math>10 = 2 \cdot 5</math> :<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math> :<math>15 =3 \cdot 5</math> :<math>20 = 2 \cdot 2 \cdot 5</math> :<math>30 = 2 \cdot 3 \cdot 5</math> :<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = [1]_{60}[0]_{1}</math> ==== Die 360 ==== In der sexagesimalen Schreibweise wird die Zahl&nbsp;360 folgendermaßen notiert: :<math>[6]_{60}[0]_{1} = 6 \cdot 60 + 0 \cdot 1 = 360_{10}</math> Die Zahl&nbsp;360 ist die kleinste ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 9 teilen lässt. Die Primfaktorenzerlegung der Zahl&nbsp;360 ergibt: :<math>360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5</math> Es gibt demgemäß also insgesamt 23&nbsp;ganzzahlige Teiler :<math>2 = 2</math> :<math>3 = 3</math> :<math>4 = 2 \cdot 2</math> :<math>5 = 5</math> :<math>6 = 2 \cdot 3</math> :<math>8 = 2 \cdot 2 \cdot 2</math> :<math>9 = 3 \cdot 3</math> :<math>10 = 2 \cdot 5</math> :<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math> :<math>15 =3 \cdot 5</math> :<math>18 = 2 \cdot 3 \cdot 3</math> :<math>20 = 2 \cdot 2 \cdot 5</math> :<math>24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math> :<math>30 = 2 \cdot 3 \cdot 5</math> :<math>36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3</math> :<math>40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5</math> :<math>45 = 3 \cdot 3 \cdot 5</math> :<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = [1]_{60}[0]_{1}</math> :<math>72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = [1]_{60}[12]_{1}</math> :<math>90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = [1]_{60}[30]_{1}</math> :<math>120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = [2]_{60}[0]_{1}</math> :<math>180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = [3]_{60}[0]_{1}</math> :<math>360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = [6]_{60}[0]_{1}</math> Das babylonische Erbe mit der Teilung im Sexagesimalsystem setzt sich bei der Unterteilung einen Bogengrads fort: Ein '''Bogengrad''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>^\circ</math>) wird in 60&nbsp;'''Bogenminuten''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {'}</math>) aufgeteilt und jede Bogenminute wiederum in 60&nbsp;'''Bogensekunden''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {''}</math>). 3600&nbsp;Bogensekunden ergeben demnach ein Bogengrad. Der Vollkreis hat einen Vollwinkel von 360&nbsp;Bogengrad oder: :<math>360^\circ = 21600\text {'} = 1296000\text {''}</math> :<math>[6]_{360}[0]_{1}{^\circ} = [6]_{3600}[0]_{60}[0]_{1}{\text {'}} = [6]_{216000}[0]_{3600}[0]_{60}[0]_{1}{\text {''}}</math> ==== Zeitmessung ==== Diese Unterteilung wurde auch bei der '''Zeitmessung''' übernommen und folgendermaßen eingeführt: Die Herzfrequenz eines Menschen in Ruhe beträgt als ein natürliches Maß ungefähr 1&nbsp;Hertz, also ein Herzschlag pro '''Sekunde''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {s}</math>). Das sind sechzig Schläge pro '''Minute''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {min}</math>) beziehungsweise 3600&nbsp;Schläge pro '''Stunde''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {h}</math> vom lateinischen Wort "hora" für "Stunde"): :<math>1 \text { h} = 60 \text { min} = 3600 \text { s}</math> :<math>[1]_{1} \text { h} = [1]_{60}[0]_{1} \text { min} = [1]_{3600}[0]_{60}[0]_{1} \text { s}</math> Mit jedem Herzschlag und in jeder Sekunde bewegt sich die Sonne entlang der Ekliptiklinie also um 15&nbsp;Bogensekunden nach Osten: :<math>\frac {24 \text{ h}} {1 \text{ d}} = \frac {1440 \text{ min}} {1 \text{ d}} = \frac {86400 \text{ s}} {1 \text{ d}} \mathrel{\hat=} \frac {360^\circ} {1 \text{ d}} = \frac {21600 \text{'}} {1 \text{ d}} = \frac {1296000 \text{''}} {1 \text{ d}}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {360^\circ} {24 \text{ h}} = 15 \frac {^\circ} {\text{h}} = \frac {21600 \text{'}} {1440 \text{ min}} = 15 \frac {\text{'}} {{min}} = \frac {1296000 \text{''}} {86400 \text{ s}} = 15 \frac {\text{''}} {\text{s}}</math> ==== Die 24 ==== Auch der Tag, also die Zeitdauer nach welcher die Erde sich einmal um ihre eigene Achse gedreht hat, kann in verschiedene ganzzahlige Segmente unterteilt werden. Die Dauer einer Stunde entspricht einem Vierundzwanzigstel eines Tages (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {d}</math> vom lateinischen Wort "dies" für "Tag"), und deswegen wurde der Tag in 24&nbsp;Stunden (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {h}</math>) aufgeteilt. Für die Zeitdauer eines Tages gilt demnach: :<math>1 \text { d} = 24 \text { h} = 1440 \text { min} = 86400 \text { s}</math> :<math>[1]_{1} \text { d} = [24]_{1} \text { h} = [24]_{60}[0]_{1} \text { min} = [24]_{3600}[0]_{60}[0]_{1} \text { s}</math> Die Zahl&nbsp;24 ist die kleinste ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 2, 3, 4, 6 und 8 teilen lässt. Die Primfaktorenzerlegung der Zahl&nbsp;24 ergibt: :<math>24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math> Es gibt hierbei also insgesamt sieben ganzzahlige Teiler :<math>2 = 2</math> (zwei Tageshälften: Tag und Nacht) :<math>3 = 3</math> :<math>4 = 2 \cdot 2</math> (vier Tageszeiten: Morgen, Mittag, Abend und Nacht) :<math>6 = 2 \cdot 3</math> (6&nbsp;Stunden pro Tageszeit) :<math>8 = 2 \cdot 2 \cdot 2</math> :<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math> (12&nbsp;Stunden pro Taghälfte) :<math>24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math> (24&nbsp;Stunden pro Tag) Der Tag wurde in der Seefahrt traditionell in acht Wachen und bei den Stundengebeten in der kirchlichen Liturgie in acht Horen aufgeteilt, die jeweils drei Stunden dauern. == Der Meridian == Die '''Südrichtung''' ist so definiert, dass bedingt durch die Rotation der Erde jedes Himmelsobjekt in dieser Richtung seine größte Höhe über dem Horizont erreicht. Die Höhe wird hierbei senkrecht zum Horizont entlang des '''Meridians''' gemessen, der den Himmel im Zenit und im Nadir schneiden. Das ist besonders augenfällig bei unserer Sonne, die wie alle anderen Sterne jeden Tag genau in dieser Richtung ihren höchsten Stand erreicht. Der Zeitpunkt und Ort beim Erreichen der größten Höhe wird auch als die Kulmination eines Objektes auf dem südlichen Meridian bezeichnet. Da die Sonne stets mittags ihren höchsten Stand erreicht, wird der südliche Meridian auch '''Mittagsmeridian''' genannt. Anders als die Fixsterne ändert die '''Sonne''' ihre täglichen Aufgangs- und Untergangsrichtungen sowie die maximale Höhe über dem Horizont auf dem '''südlichen Meridian'''. Bei der '''Nordrichtung''' verhält es sich auf der nördlichen Halbkugel der Erde umgekehrt wie bei der Südrichtung: alle Himmelsobjekte erreichen hier ihre niedrigste Höhe unter dem Horizont, wo sie nicht beobachtbar sind. Auf der südlichen Halbkugel der Erde ist dies naturgemäß entgegengesetzt: jedes Objekt am Himmel erreicht im Norden seine größte Höhe über dem Horizont und im Süden seine niedrigste Höhe unter dem Horizont. Viele deutschsprachige Menschen kennen den folgenden sich reimenden Merksatz, von dem es auch etliche Abwandlungen gibt: <blockquote> Im Osten geht die Sonne auf,</br> im Süden hält sie Mittagslauf,</br> im Westen geht sie unter,</br> im Norden wird sie niemals munter. </blockquote> == Die Äquinoktien == Bei der '''Tag-und-Nachtgleiche''' im Frühjahr steht die Sonne im '''Frühlingspunkt''' auf der '''Ekliptiklinie''', und bei der Tag-und-Nachtgleiche im Herbst steht sie im '''Herbstpunkt'''. An diesen Tagen geht sie überall auf der Erde genau im Osten auf und im Westen unter, und während sie sich dann ebenfalls überall von 6&nbsp;Uhr '''morgens''' bis 18&nbsp;Uhr '''abends''' auf ihrer180&nbsp;Bogengrad langen Bahn oberhalb des Horizonts befindet, beschreitet sie ihren zwölfstündigen Tagbogen. Astronomisch werden die Tag-und-Nacht-Gleichen als '''Äquinoktien''' bezeichnet. Die folgenden beiden Bilder zeigen die Situation zur '''Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühjahr'''. Der Horizont ist auf seiner vollen Länge von 360&nbsp;Bogengrad von Norden (links) über Süden (Mitte) bis wieder nach Norden (rechts) in einer rechtwinkligen Mercator-Projektion dargestellt. Die Meridiane stehen in diesen Darstellungen senkrecht auf dem Horizont. Der Himmelsäquator hat stets dieselbe Lage. Die Ekliptiklinie ist morgens allerdings sehr flach und abends sehr steil. An diesem Morgen steht die Sonne beim Aufgang im '''Frühlingspunkt''' und an diesem Abend beim Untergang im '''Herbstpunkt'''. Zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Herbst verhält es sich genau umgekehrt, die Sonne steht morgens beim Aufgang im Herbstpunkt und abends beim Untergang im Frühlingspunkt. <gallery caption="Der Sternenhimmel auf 53&nbsp;Bogengrad nördlicher Breite zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühling mit Darstellung in Blickrichtung südlicher Horizont in Mercator-Projektion" perrow=2 widths=720 heights=300 style="text-align: center"> hozizontal.Morgen.Fruehling.png|Morgens beim Sonnenaufgang genau in Richtung Osten: flache Ekliptik (gelb), Himmelsäquator (hellblau), horizontales Koordinatensystem mit Meridian (grün). hozizontal.Abend.Fruehling.png|Abends bei Sonnenuntergang genau in Richtung Westen: steile Ekliptik (gelb), Himmelsäquator (hellblau), horizontales Koordinatensystem mit Meridian (grün). </gallery> An den beiden Tagen der Tag-und-Nacht-Gleiche kreuzt die Ekliptiklinie für jeden Beobachtungspunkt auf der Erde sowohl den Horizont als auch den Himmelsäquator genau im Osten und im Westen. Vom Äquator aus gesehen steht die '''Mittagssonne''' zu den Tag-und-Nachtgleichen genau im '''Zenit''', im Horizontsystem also genau senkrecht über einem Beobachter, und um '''Mitternacht''' genau senkrecht unterhalb eines Beobachters im '''Nadir'''. → Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Astronomische Bezugssysteme|'''Astronomische Bezugssysteme''']]. == Die Sonnenwenden == Die Erde rotiert täglich einmal um ihre Rotationsachse, die zwischen dem geographischen '''Nordpol''' und dem '''Südpol''' liegt. Diese Erdachse ist um zirka 23,4&nbsp;Bogengrad zur Ekliptikebene geneigt. Da die Erdachse ihre Lage zum Fixsternhimmel nur sehr langsam und geringfügig ändert (Präzession der Erdachse), ist sie je nach Jahreszeit mehr oder weniger zur Sonne hin geneigt. Auf der zur Sonne hin geneigten Erdhalbkugel (Hemisphäre) herrscht das '''Sommerhalbjahr''', und auf der von der Sonne weg geneigten Erdhalbkugel herrscht das '''Winterhalbjahr'''. '''Mittags''' steht die Sonne für Beobachter zwischen den '''Polarkreisen''' stets am höchsten über dem Horizont und um '''Mitternacht''' am weitesten unter dem Horizont. Sie kreuzt in diesem Augenblick den senkrecht auf dem südlichen und nördlichen Horizont stehenden '''Meridian''' (Mittagslinie). Nördlich des nördlichen Wendekreises der Erdoberfläche steht sie für einen Beobachter dann genau in Richtung Süden, und südlich des südlichen Wendekreises der Erdoberfläche genau in Richtung Norden. Zwischen den beiden Wendekreisen ist die Sonne auf dem Meridian in der Nähe des Zenits zu sehen – je nach Jahreszeit entweder etwas nördlicher oder etwas südlicher. Ihren höchsten Stand erreicht die Sonne für jeden Ort auf der Erde am Mittag der '''Sommersonnenwende'''. Von der Nordhalbkugel aus gesehen steht sie dann genau in Richtung Süden, und an diesem Tag hat sie am Horizont ihre nördlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Nördlich vom nördlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht unter. Von der Südhalbkugel aus gesehen ist es umgekehrt: sie steht dann genau in Richtung Norden und hat am Horizont ihre südlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Südlich vom südlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht unter. Ihren niedrigsten Mittagsstand erreicht die Sonne zur '''Wintersonnenwende'''. Von der Nordhalbkugel aus gesehen steht sie dann ebenfalls genau in Richtung Süden, und an diesem Tag hat sie am Horizont jedoch ihre nördlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Nördlich vom nördlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht auf. Von der Südhalbkugel aus gesehen ist es wieder umgekehrt: sie steht dann genau in Richtung Norden und hat am Horizont ihre südlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Südlich vom südlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht auf. Astronomisch werden die Sonnenwenden als '''Solstitien''' bezeichnet. Der '''maximale Höhenwinkel''' über dem Horizont wird bei allen Himmelsobjekten grundsätzlich bei der Kulmination auf dem südlichen Meridian erreicht. Dieser Höhenwinkel ergibt sich aus dem zur Beobachtung gehörenden '''geographischen Breitengrad''' <math>\varphi</math> und der '''Deklination''' <math>\delta</math>, also die Höhe eines Himmelsobjektes über dem Himmelsäquator. Der Zusammenhang zwischen dem maximalen Höhenwinkel auf dem südlichen Meridian <math>h_{max,S}</math> und dem geographischen Breitengrad <math>\varphi</math> der Beobachtung kann mit Hilfe der Deklination <math>\delta</math> wie folgt hergestellt werden: :<math>h_{max,S} = (90^\circ - \varphi) + \delta</math> Daraus ergibt sich, dass bei bekannter Deklination <math>\delta</math> aus der Beobachtung des Höhenwinkels <math>h_{max,S}</math> der Breitengrad <math>\varphi</math> bestimmt werden kann: :<math>\varphi = 90^\circ + \delta - h_{max,S}</math> Ist der Breitengrad <math>\varphi</math> bekannt, kann anhand der Beobachtung des Höhenwinkels <math>{max,S}</math> die Deklination eines Himmelsobjekts <math>\delta</math> bestimmt werden: :<math>\delta = \varphi + h_{max,S} - 90^\circ</math> Bei den Tag-und-Nacht-Gleichen geht die Sonne genau im Osten auf und genau im Westen unter. Im Laufe eines Jahres pendeln ihre Auf- und Untergangspunkte symmetrisch um diese beiden Äquinoktialpunkte. Die Winkel der Auf- und Untergangspunkte können auf dem Horizont mit ihrem Azimut <math>a</math> angegeben werden, wobei die Azimute im horizontalen System von Norden (0&nbsp;Bogengrad) aus über Osten (90&nbsp;Bogengrad) nach Süden (180&nbsp;Bogengrad) und dann weiter nach Westen (270&nbsp;Bogengrad) gemessen werden: :<math>a = \arccos \frac {\sin \delta} {\cos \phi}</math> :'''Anmerkung:''' ''Die atmosphärische Refraktion vergrößert den von der Erdoberfläche aus beobachteten Höhenwinkel in der Nähe des Horizonts ein wenig. Dadurch gehen die Gestirne etwas früher auf und gehen etwas später unter als sich aus der hier durchgeführten, rein geometrischen Betrachtungsweise ergibt. Durch die Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion ergeben sich darüber hinaus in Abhängigkeit vom Winkel zwischen der Ekliptiklinie und der Horizontline auch geringfügig abweichende Azimute.'' Durch Einsetzen der entsprechenden Deklinationen der Sonne können die maximalen Höhenwinkel bei ihrer Kulmination auf dem südlichen Meridian berechnet werden, wobei <math>\varepsilon</math> für die '''Schiefe der Ekliptikebene''' (heute '''23,44&nbsp;Bogengrad''') in Bezug auf das äquatoriale System steht: Für die Sonne ergeben sich demnach die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte: {| class="wikitable" |+ Deklinationen, maximale Höhenwinkel sowie Auf- und Untergangsazimute der Sonne ! Ereignis !! Deklination der Sonne<br/><math>\delta_S</math> !! Maximaler Höhenwinkel der Sonne<br/><math>h_{max,S}</math> || Azimut des Sonnenaufgangs<br/><math>a_{A,S}</math> || Azimut des Sonnenuntergangs<br/><math>a_{U,S}</math> |- | Wintersonnenwende || <math>-\varepsilon</math> || <math>(90^\circ - \varphi) - \varepsilon</math> || <math>180^\circ - \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> || <math>180^\circ + \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> |- | Tag-und-Nacht-Gleiche || 0 || <math>(90^\circ - \varphi)</math> || <math>90^\circ</math> || <math>270^\circ</math> |- | Sommersonnenwende || <math>+\varepsilon</math> || <math>(90^\circ - \varphi) + \varepsilon</math> || <math>\arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> || <math>360^\circ - \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> |} == Schattenwurf == Die Schattenlängen und Schattenrichtungen variieren sowohl mit der Tageszeit als auch mit der Jahreszeit. Sie können im Sonnenlicht mit stabförmigen Zeigern gemessen werden, die einen Schatten mit einer bestimmten Länge werfen. Das Verhältnis zwischen der Zeigerlänge und der senkrecht zum ihm gemessenen Schattenlänge ist identisch mit dem Tangens des Höhenwinkels der Sonne. <gallery caption="Schattenlängen im Sonnenlicht" perrow=2 widths=480 heights=480> Thales_Theorem_6.svg|Die Zeigerlänge A im Verhältnis zu seiner Schattenlänge B stimmt mit der Höhe der Pyramide D im Verhältnis zu ihrer Schattenlänge C überein.<br/>Wenn der Höhenwinkel der Sonne <math>\alpha</math> von der Schattenspitze über die Spitze des Zeigers oder der Pyramide zur Horizontalen gemessen wird, gilt: <math>\frac {A} {B} = \frac {D} {C} = \tan \alpha</math> Stabdolch.Bronzezeit.Halle-Kanena,Sachsen-Anhalt.P1068175.jpg|Bronzekopf eines Stabdolchs aus der Bronzezeit (Anfang des zweiten Jahrtausends vor Christus) im Neuen Museum in Berlin. Mit dem Schattenwurf der Dolchspitze auf den Dolchstab (beim dargestellten archäologischen Fund nicht erhalten) können die Kulmination von Sonne und Mond auf dem südlichen Meridian beobachtet werden. Auf diese Weise können die Südrichtung, die Winter- und Sommersonnenwende, die Tag-und-Nacht-Gleichen sowie der ekliptikalen Breiten des Mondes inklusive der großen und kleinen Mondwenden bestimmt werden.<br/>→ Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Stabdolche|'''Stabdolche''']]. </gallery> === Sonnenuhren === Seit der Antike sind Sonnenuhren im Einsatz, um die Tageszeit, aber auch um das Datum im Jahr bestimmen zu können. Sie erzeugen zum Beispiel mit einem Schattenstab einen auf der Sonnenuhrenfläche erkennbaren Schattenzeiger. Anhand der Lage des Schattens kann auf einem dazu passenden Ziffernblatt die wahre Ortszeit abgelesen werden. Über die Länge des Schattens kann der Zeitpunkt im Kalenderjahr bestimmt werden. Aus drei Gründen kann die wahre Ortszeit von der amtlichen Uhrzeit abweichen: [[Datei:Zeitgleichung.png|mini|rechts|hochkant=3|Diagramm mit dem jährlichen Funktionsverlauf der Zeitgleichung und ihrer beiden Anteile durch die von der Abweichung einer Kreisbahn bedingte variierende Bahngeschwindigkeit der Erde (Exzentrizität) und den durch die pendelnde Achsschiefe bedingten variierenden Winkel der Erdachse zur Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne in der Ekliptik.]] # Die Sonnenuhr befindet sich nicht auf dem '''Bezugsmeridian''', der zur geltenden Zeitzone gehört. Für die mitteleuropäische Zeit (MEZ) ist dies der Längengrad bei 15&nbsp;Grad östlicher Länge, was in Deutschland zum Beispiel nur für die ostdeutsche Stadt Görlitz zutrifft. Alle anderen deutschen Städte liegen weiter westlich, so dass sie den Mittag erst nach der amtlichen Zeit 12:00 Uhr MEZ anzeigen. # Die '''Zeitgleichung''' ZG beschreibt die Abweichungen zwischen der angezeigten wahren Ortszeit (WOZ) und der mittleren Ortszeit (MOZ): <math>\mathrm {ZG} = \mathrm {WOZ} - \mathrm {MOZ}</math>. Diese Abweichungen beruhen auf zwei Ursachen: ## Die Erde umläuft die Sonnen auf einer Ellipsenbahn mit einer entsprechenden '''Exzentrizität'''. Im Perihel befindet sie sich Anfang Januar, und dann ist sie am schnellsten, so dass der nächste Mittag in etwas weniger als 24 Stunden erreicht wird. Im Aphel befindet sie sich Anfang Juli, und dann ist sie am langsamsten, so dass der nächste Mittag in etwas mehr als 24 Stunden erreicht wird. Durch diese Schwankungen ergeben sich im Laufe eines Jahres sinusförmige Abweichungen von bis zu 7,5&nbsp;Minuten. ## Der Winkel der Erdachse zur Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne ist zeitlich nicht konstant, sondern die entsprechende '''Achsschiefe''' schwankt jahreszeitlich um die rechten Winkel bei den Tag-und-Nacht-Gleichen. Durch diese Schwankungen ergeben sich im Laufe eines Jahres sinusförmige Abweichungen von bis zu 10&nbsp;Minuten. # Aufgrund von nationalen politischen Beschlüssen kann die '''amtlich geltende Uhrzeit in Zeitzonen''' festgelegt werden, die von der wahren Ortszeit abweicht. Hierbei treten folgende beiden Fälle auf: ## Der betreffende Staat wird von gar keinem Bezugsmeridian, einem anderen Bezugsmeridian oder mehreren Bezugsmeridianen durchlaufen. '''Rechtliche Normen''' definieren, welche Zeitzonen angewendet werden. ## Die Uhrzeit bekommt im Sommerhalbjahr (meist zwischen Ende März und Ende Oktober) einen Aufschlag von genau einer Stunde. In diesem Fall spricht man von der Anwendung der '''Sommerzeit''', es gilt also die mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) anstelle der mitteleuropäischen Zeit (MEZ). Die beschriebenen Effekte können zum Beispiel dazu führen, dass in Finisterre, dem westlichsten Punkt Spaniens auf 9,25&nbsp;westlicher geographischer Breite, wo die mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) gilt, die Sonne erst gegen 13:30&nbsp;Uhr (MESZ) im Süden steht und bei 12:00&nbsp;Uhr (WOZ) ihren Höchststand erreicht. In der Folge geht die Sonne zu den Tag-und-Nacht-Gleichen, wie überall auf der Erde um 6:00&nbsp;Uhr (WOZ) auf, aber erst um 7:30&nbsp;Uhr (MESZ), und wie überall auf der Erde um 18:00&nbsp;Uhr (WOZ) unter, aber erst um 19:30&nbsp;Uhr (MESZ). <div style="clear:both"></div> <gallery caption="Sonnenuhren" perrow=2 widths=480 heights=480> Maerstetten.Sankt.Jakob.Sonnenuhr.P1047273.jpg|Unter Schweizer Bundesschutz stehende Sonnenuhr am Kirchturm von Sankt Jakob in Märstetten im Kanton Thurgau aus dem Jahr 1808 von Johannes Konrad Boltshauser mit dem Spruch "Nur die heitren Stunden weis ich". Maerstetten.Kirche.Sankt.Jakob.Sonnenuhr.P1047273.png|Erläuternde Hilfslinien und Texte für die Sonnenuhr an der nach Süden ausgerichteten Turmwand der Kirche Sankt Jakob in Märstetten (Schweiz). Die Schleifen im Diagramm in Form langgezogener Achten zeigen für ein gegebenes Datum die Abweichung der wahren Ortszeit auf der Längsachse der Schleifen von der mittleren Ortszeit auf dem Schleifenrand an, die durch die Zeitgleichung gegeben ist. Die blaue Hälften beschreiben von oben nach unten das erste Halbjahr von Januar bis Juni und die orangefarbenen Hälften von unten nach oben das zweite Halbjahr von Juli bis Dezember. </gallery> Der Sonnenhöchststand wird zur wahren Ortszeit 12:00&nbsp;Uhr erreicht, wenn die Sonne auf dem südlichen Meridian kulminiert und der Schattenzeiger somit senkrecht steht. Die Tageszeiten, an den die Sonne in den Städten '''J'''erusalem, '''W'''ien, '''P'''aris und '''L'''ondon auf dem südlichen Meridian kulminiert, sind im Ziffernblatt mit den vier Anfangsbuchstaben dieser vier Städte markiert. Das Datum kann im Liniendiagramm in der Mitte der Sonnenuhr abgelesen werden. Das Sonnenlicht, das durch die zentrale Lochblende im Stern am Schattenstab auf die Turmfläche fällt, beschreibt im Laufe eines Tages Bögen, die im Monatsabstand in horizontaler Richtung aufgetragen sind. Die dargestellten Bögen entsprechen den zwölf Tagen im Sonnenjahr, an denen sich die Sonne jeweils auf der Grenze zwischen zwei Lebewesenkreiszeichen des Zodiaks befindet, die innerhalb des Ziffernblatts als astronomische Symbole und außen als bildliche Darstellungen markiert sind. Der oberste Bogen (Tropicus Capricornici<ref>'''''Anmerkung:''' Die Schreibweise mit "ci" am Ende ist ungewöhnlich und scheint vom neulateinischen Adjektiv "capricornicus" ("steinböckisch") abgeleitet worden zu sein. Die übliche Schreibweise ist "Capricorni".''</ref> = südlicher Wendekreis des Steinbocks) beschreibt den Tagesbogen bei der Wintersonnenwende, der unterste Bogen (Tropicus Cancri = nördlicher Wendekreis des Krebses) beschreibt den Tagesbogen bei der Sommersonnenwende. Die mit "Aequator" beschriftete, exakt horizontale und gerade Linie beschreibt die Tagesbögen zu den beiden Tag-und-Nacht-Gleichen im Frühling und im Herbst, bei denen die Sonne genau im Osten aufgeht und genau im Westen untergeht. Die Aufnahme wurde am 16. August (2025) gemacht, als die Sonne eine ekliptikale Länge von 143,5&nbsp;Bogengrad hatte und somit sechs Tage vor dem Erreichen der Grenze zum Sternbild Jungfrau noch im Sternbild Löwe stand. Da im Sommer aus politischen Gründen eine Stunde hochgezählt werden musste, war die amtliche Zeit zum Zeitpunkt der Aufnahme im obenstehenden Bild bereits 10:55&nbsp;Uhr (MESZ), was der mittleren Zeit auf dem Bezugsmeridian von 9:55&nbsp;Uhr (MEZ) entspricht. Auf der Sonnenuhr konnte zu diesem Zeitpunkt auf dem Schnittpunkt des Schattenzeigers mit dem Bogen des Ziffernblatts für die Stunden des Tages für die wahre Sonnenzeit die Uhrzeit 9:37&nbsp;Uhr abgelesen werden. Märstetten befindet sich knapp sechs Grad westlich vom 15-Grad-Bezugsmeridian der mitteleuropäischen Zeitzone. Dies bedeutet, dass die Sonne beim Kirchturm in Märstetten erst 23&nbsp;Minuten später als auf dem Bezugsmeridian ihren Höchststand erreicht. Die mittlere Ortszeit betrug also 9:32&nbsp;Uhr (MOZ). Aus der Zeitgleichung ergibt sich für den 16.&nbsp;August gegenüber der mittleren Ortszeit eine Verzögerung der wahren Ortszeit um knapp fünf Minuten, so dass diese 9:37&nbsp;Uhr (WOZ) betrug, was der abgelesen Uhrzeit auf dem Ziffernblatt der Sonnenuhr entspricht. == Sonnenbeobachtung == Die Sonnenbahn wurde schon in der Steinzeit von verschiedenen Orten der Erde aus regelmäßig beobachtet. Es gibt zahllose {{w|Sonnenuhr|Sonnenuhren}}, mit denen die Ortszeit abgelesen werden kann, wenn die Sonne am Himmel zu sehen ist. Im Altertum sind aber auch viele größere Anlagen errichtet worden, mit denen die Auf- und Untergangsorte am Horizont beobachtet werden konnten. Hierzu zählen beispielsweise die zahlreichen als Sonnenobservatorium nutzbaren {{w|Kreisgrabenanlage|Kreisgrabenanlagen}} oder Ringheiligtümer in Mitteleuropa genauso wie manche Tempelanlagen auf Malta. In der folgenden Tabelle sind einige aufgeführt: {| class="wikitable" style="text-align:left" |+ Astronomische Beobachtungsstätten im Altertum !Name !Art !Ort !Datierung |- |'''[[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Kalenderführung#Goseck|Kreisgrabenanlage von Goseck]]''' |Sonnenobservatorium |Burgenlandkreis, Sachsen-Anhalt, Europa |4900 vor Christus |- |'''{{w|Nabta-Playa}}''' |Steinkreis |Nubische Wüste, Afrika |um 4000 vor Christus |- |'''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Der_Kalenderstein_vom_Tempel_Mnajdra|Mnajdra]]''' |Sonnentempel / Kalenderstein |Malta, Mittelmeer |3800 vor Christus |- |'''{{w|Kokino}}''' |Megalithische Sternwarte |Staro Nagoričane, Nordmazedonien, Europa |3800 vor Christus |- |'''{{w|Stonehenge}}''' |Megalith-Bauwerk |Amesbury, Wiltshire, Süd-England |3000 vor Christus |- |'''{{w|Yazılıkaya}}''' |Sonnenheiligtum |Çorum, Türkei, Kleinasien |13. Jahrhundert vor Christus |- |'''{{w|Santa Cristina (Brunnenheiligtum)|Santa Cristina}}''' |Brunnenheiligtum (größte Mondwende) |Sardinien, Mittelmeer |11. Jahrhundert vor Christus |- |'''{{w|Chanquillo}}''' |Präkolumbischer Komplex der Prä-Inka-Kulturen (Sonnenobservatorium) |Bei Casma, Peru |3. Jahrhundert vor Christus |- |'''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Das_Belchen-System|Belchen-System]]''' |Bergsystem |Vogesen, Schwarzwald, Jura |unbekannt |} == Einzelnachweise == <references></references> 6fnuovqy4khv0f5dod9pxyw2wcofgfb 1093471 1093470 2026-11-06T14:22:42Z Bautsch 35687 /* Zeiteinteilung */ Reihenfolge getauscht 1093471 wikitext text/x-wiki [[Datei:Nachmittagssonne.29.7.2024.P1033307.jpg|mini|hochkant=2|Die Nachmittagssonne am 29. Juli 2024 mit Sonnenflecken von Berlin aus gesehen.]] Die '''Sonne''' ist das Zentralgestirn unseres Planetensystems. Die Ebene, in der die Erde um die Sonne läuft, wird Ekliptik genannt. Alle anderen Planeten und der Mond bewegen sich in der Nähe dieser Ekliptik, ihre Bahnebenen sind jedoch individuell ein wenig gegenüber der Ekliptik geneigt. == Die Sonne als Zeitgeber == Die '''Erde''' umrundet die Sonne als der dritte von vier inneren Planeten innerhalb eines '''Jahres'''. Diese vollständige Umrundung definiert also die Dauer eines tropischen Jahres. Die Erde rotiert innerhalb eines '''Tages''' um ihre eigene Polachse. Diese vollständige Umdrehung definiert die Dauer eines Tages. Von der Erde aus betrachtet scheint sich die Sonne dabei jeden Tag von Osten nach Westen zu bewegen. Da sich die Sonne von der Erde aus gesehen stets in der Ekliptikebene befindet, liegt die scheinbare Sonnenbahn auf der sogenannten Ekliptiklinie. Da die Sonne nicht nur die Erde, sondern auch den '''Mond''' beleuchtet, kann das vom Mond reflektierte Sonnenlicht von der Erde aus beobachtet werden. Hierdurch ergeben sich innerhalb eines synodischen '''Monats''' mit seinen vier Mondvierteln ('''vier Wochen''') beziehungsweise mit den 28&nbsp;eintägigen Mondhäusern die Mondphasen, die die Dauern von Monaten und Wochen bestimmen. Da der Mond in etwa zwölf Mal schneller um die Erde rotiert als die Erde um die Sonne, steht die Sonne von der Erde aus gesehen innerhalb eines Jahres in jedem der '''zwölf Monate''' eines Jahres in einer anderen Region des Fixsternhimmels. Die scheinbare Sonnenbahn wird hierbei in zwölf gleichgroße Abschnitte aufgeteilt, die im Fixsternhimmel durch die entsprechenden zwölf Lebewesenkreiszeichen (Zodiak) gekennzeichnet sind. → Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Mondzyklen|'''Mondzyklen''']]. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Mondäuser|'''Mondäuser''']]. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Zodiak|'''Der Zodiak''']]. === Zeiteinteilung === Das achte Kapitel im ersten Band aus dem zweiten Buch der Naturalis historia ("Naturgeschichte") von Gaius Plinius Secundus (Plinius der Ältere) hat den Titel ''Von der Natur der Irrsterne und ihrer Laufbahn''. Den Lauf der Sonne beschreibt Plinius folgendermaßen:<ref name="Denso1764">Plinius: ''Naturgeschichte'', erster Band, zweites Buch, übersetzt von Johann Daniel Denso (1708–1795), Rostock und Greifswald, Anton Ferdinand Rösens Buchhandlung, 1764, in moderne deutsche Sprache gesetzt.</ref> <blockquote> '''Von der Natur der Irrsterne und ihrer Laufbahn.'''<br/> ...<br/> [Zwischen Mars und Venus] kommt der Lauf der Sonne, welcher in 360&nbsp;Grade geteilt ist. Doch damit die Beobachtung seines Schattens mit den Merkmalen der Zeiger übereinkommt, legt man jedem Jahr fünf Tage zu, und zudem noch ein Viertel eines Tages. Aus der Ursache wird im fünften Jahr noch ein Schalttag hinzugetan, damit die Berechnung der Zeiten mit dem Lauf der Sonne übereinstimmt.<br/> ...<br/> </blockquote> Die Sonne durchläuft die Ekliptik innerhalb eines Jahres auf einem Kreisbogen mit 360&nbsp;Bogengrad und wandert dabei pro Tag also in etwa 1&nbsp;Bogengrad weiter ostwärts. Diese Einteilung des Kreises in 360&nbsp;Bogengrad geht auf die Babylonier zurück. ==== Die 60 ==== Die Babylonier verwendeten ein Zahlensystem auf Basis der Zahl&nbsp;60, das Sexagesimalsystem. Anders als im Dezimalsystem verwendeten sie also nicht ein Stellenwertsystem mit 1&#8209;ern, 10&#8209;ern, 100&#8209;ern und 1000&#8209;ern, sondern eines mit 1&#8209;ern, 60&#8209;ern, 3600&#8209;ern und 216000&#8209;ern: :<math>[1]_{1000}[1]_{100}[1]_{10}[1]_{1} = 1 \cdot 1000 + 1 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 1111_{10}</math> :<math>[1]_{216000}[1]_{3600}[1]_{60}[1]_{1} = 1 \cdot 216000 + 1 \cdot 3600 + 1 \cdot 60 + 1 \cdot 1 = 219661_{10}</math> Die Zahl&nbsp;60 ist die kleinste ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 2, 3, 4, 5 und 6, also alle Zahlen von 2 bis 6, teilen lässt. Die Primfaktorenzerlegung der Zahl&nbsp;60 ergibt: :<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5</math> Es gibt für die Zahl&nbsp;60 insgesamt 11&nbsp;ganzzahlige Teiler: :<math>2 = 2</math> :<math>3 = 3</math> :<math>4 = 2 \cdot 2</math> :<math>5 = 5</math> :<math>6 = 2 \cdot 3</math> :<math>10 = 2 \cdot 5</math> :<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math> :<math>15 =3 \cdot 5</math> :<math>20 = 2 \cdot 2 \cdot 5</math> :<math>30 = 2 \cdot 3 \cdot 5</math> :<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = [1]_{60}[0]_{1}</math> ==== Die 360 ==== In der sexagesimalen Schreibweise wird die Zahl&nbsp;360 folgendermaßen notiert: :<math>[6]_{60}[0]_{1} = 6 \cdot 60 + 0 \cdot 1 = 360_{10}</math> Die Zahl&nbsp;360 ist die kleinste ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 9 teilen lässt. Die Primfaktorenzerlegung der Zahl&nbsp;360 ergibt: :<math>360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5</math> Es gibt demgemäß also insgesamt 23&nbsp;ganzzahlige Teiler :<math>2 = 2</math> :<math>3 = 3</math> :<math>4 = 2 \cdot 2</math> :<math>5 = 5</math> :<math>6 = 2 \cdot 3</math> :<math>8 = 2 \cdot 2 \cdot 2</math> :<math>9 = 3 \cdot 3</math> :<math>10 = 2 \cdot 5</math> :<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math> :<math>15 =3 \cdot 5</math> :<math>18 = 2 \cdot 3 \cdot 3</math> :<math>20 = 2 \cdot 2 \cdot 5</math> :<math>24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math> :<math>30 = 2 \cdot 3 \cdot 5</math> :<math>36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3</math> :<math>40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5</math> :<math>45 = 3 \cdot 3 \cdot 5</math> :<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = [1]_{60}[0]_{1}</math> :<math>72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = [1]_{60}[12]_{1}</math> :<math>90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = [1]_{60}[30]_{1}</math> :<math>120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = [2]_{60}[0]_{1}</math> :<math>180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = [3]_{60}[0]_{1}</math> :<math>360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = [6]_{60}[0]_{1}</math> Das babylonische Erbe mit der Teilung im Sexagesimalsystem setzt sich bei der Unterteilung einen Bogengrads fort: Ein '''Bogengrad''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>^\circ</math>) wird in 60&nbsp;'''Bogenminuten''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {'}</math>) aufgeteilt und jede Bogenminute wiederum in 60&nbsp;'''Bogensekunden''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {''}</math>). 3600&nbsp;Bogensekunden ergeben demnach ein Bogengrad. Der Vollkreis hat einen Vollwinkel von 360&nbsp;Bogengrad oder: :<math>360^\circ = 21600\text {'} = 1296000\text {''}</math> :<math>[6]_{360}[0]_{1}{^\circ} = [6]_{3600}[0]_{60}[0]_{1}{\text {'}} = [6]_{216000}[0]_{3600}[0]_{60}[0]_{1}{\text {''}}</math> ==== Die 24 ==== Auch der Tag, also die Zeitdauer nach welcher die Erde sich einmal um ihre eigene Achse gedreht hat, kann in verschiedene ganzzahlige Segmente unterteilt werden. Die sexagesimale Unterteilung wurde auch hier übernommen und folgendermaßen eingeführt: Die Herzfrequenz eines Menschen in Ruhe beträgt als ein natürliches Maß ungefähr 1&nbsp;Hertz, also ein Herzschlag pro '''Sekunde''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {s}</math>). Das sind sechzig Schläge pro '''Minute''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {min}</math>) beziehungsweise 3600&nbsp;Schläge pro '''Stunde''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {h}</math> vom lateinischen Wort "hora" für "Stunde"): :<math>1 \text { h} = 60 \text { min} = 3600 \text { s}</math> :<math>[1]_{1} \text { h} = [1]_{60}[0]_{1} \text { min} = [1]_{3600}[0]_{60}[0]_{1} \text { s}</math> Die Dauer einer Stunde entspricht einem Vierundzwanzigstel eines Tages (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {d}</math> vom lateinischen Wort "dies" für "Tag"), und deswegen wurde der Tag in 24&nbsp;Stunden (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {h}</math>) aufgeteilt. Für die Zeitdauer eines Tages gilt demnach: :<math>1 \text { d} = 24 \text { h} = 1440 \text { min} = 86400 \text { s}</math> :<math>[1]_{1} \text { d} = [24]_{1} \text { h} = [24]_{60}[0]_{1} \text { min} = [24]_{3600}[0]_{60}[0]_{1} \text { s}</math> Die Zahl&nbsp;24 ist die kleinste ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 2, 3, 4, 6 und 8 teilen lässt. Die Primfaktorenzerlegung der Zahl&nbsp;24 ergibt: :<math>24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math> Es gibt hierbei also insgesamt sieben ganzzahlige Teiler :<math>2 = 2</math> (zwei Tageshälften: Tag und Nacht) :<math>3 = 3</math> :<math>4 = 2 \cdot 2</math> (vier Tageszeiten: Morgen, Mittag, Abend und Nacht) :<math>6 = 2 \cdot 3</math> (6&nbsp;Stunden pro Tageszeit) :<math>8 = 2 \cdot 2 \cdot 2</math> :<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math> (12&nbsp;Stunden pro Taghälfte) :<math>24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math> (24&nbsp;Stunden pro Tag) Der Tag wurde in der Seefahrt traditionell in acht Wachen und bei den Stundengebeten in der kirchlichen Liturgie in acht Horen aufgeteilt, die jeweils drei Stunden dauern. Mit jedem Herzschlag beziehungsweise in jeder Sekunde bewegt sich die Sonne entlang der Ekliptiklinie aufgrund der Erdrotation von 360&nbsp;Bogengrad pro Tag um 15&nbsp;Bogensekunden nach Osten: :<math>\frac {24 \text{ h}} {1 \text{ d}} = \frac {1440 \text{ min}} {1 \text{ d}} = \frac {86400 \text{ s}} {1 \text{ d}} \mathrel{\hat=} \frac {360^\circ} {1 \text{ d}} = \frac {21600 \text{'}} {1 \text{ d}} = \frac {1296000 \text{''}} {1 \text{ d}}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {360^\circ} {24 \text{ h}} = 15 \frac {^\circ} {\text{h}} = \frac {21600 \text{'}} {1440 \text{ min}} = 15 \frac {\text{'}} {{min}} = \frac {1296000 \text{''}} {86400 \text{ s}} = 15 \frac {\text{''}} {\text{s}}</math> == Der Meridian == Die '''Südrichtung''' ist so definiert, dass bedingt durch die Rotation der Erde jedes Himmelsobjekt in dieser Richtung seine größte Höhe über dem Horizont erreicht. Die Höhe wird hierbei senkrecht zum Horizont entlang des '''Meridians''' gemessen, der den Himmel im Zenit und im Nadir schneiden. Das ist besonders augenfällig bei unserer Sonne, die wie alle anderen Sterne jeden Tag genau in dieser Richtung ihren höchsten Stand erreicht. Der Zeitpunkt und Ort beim Erreichen der größten Höhe wird auch als die Kulmination eines Objektes auf dem südlichen Meridian bezeichnet. Da die Sonne stets mittags ihren höchsten Stand erreicht, wird der südliche Meridian auch '''Mittagsmeridian''' genannt. Anders als die Fixsterne ändert die '''Sonne''' ihre täglichen Aufgangs- und Untergangsrichtungen sowie die maximale Höhe über dem Horizont auf dem '''südlichen Meridian'''. Bei der '''Nordrichtung''' verhält es sich auf der nördlichen Halbkugel der Erde umgekehrt wie bei der Südrichtung: alle Himmelsobjekte erreichen hier ihre niedrigste Höhe unter dem Horizont, wo sie nicht beobachtbar sind. Auf der südlichen Halbkugel der Erde ist dies naturgemäß entgegengesetzt: jedes Objekt am Himmel erreicht im Norden seine größte Höhe über dem Horizont und im Süden seine niedrigste Höhe unter dem Horizont. Viele deutschsprachige Menschen kennen den folgenden sich reimenden Merksatz, von dem es auch etliche Abwandlungen gibt: <blockquote> Im Osten geht die Sonne auf,</br> im Süden hält sie Mittagslauf,</br> im Westen geht sie unter,</br> im Norden wird sie niemals munter. </blockquote> == Die Äquinoktien == Bei der '''Tag-und-Nachtgleiche''' im Frühjahr steht die Sonne im '''Frühlingspunkt''' auf der '''Ekliptiklinie''', und bei der Tag-und-Nachtgleiche im Herbst steht sie im '''Herbstpunkt'''. An diesen Tagen geht sie überall auf der Erde genau im Osten auf und im Westen unter, und während sie sich dann ebenfalls überall von 6&nbsp;Uhr '''morgens''' bis 18&nbsp;Uhr '''abends''' auf ihrer180&nbsp;Bogengrad langen Bahn oberhalb des Horizonts befindet, beschreitet sie ihren zwölfstündigen Tagbogen. Astronomisch werden die Tag-und-Nacht-Gleichen als '''Äquinoktien''' bezeichnet. Die folgenden beiden Bilder zeigen die Situation zur '''Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühjahr'''. Der Horizont ist auf seiner vollen Länge von 360&nbsp;Bogengrad von Norden (links) über Süden (Mitte) bis wieder nach Norden (rechts) in einer rechtwinkligen Mercator-Projektion dargestellt. Die Meridiane stehen in diesen Darstellungen senkrecht auf dem Horizont. Der Himmelsäquator hat stets dieselbe Lage. Die Ekliptiklinie ist morgens allerdings sehr flach und abends sehr steil. An diesem Morgen steht die Sonne beim Aufgang im '''Frühlingspunkt''' und an diesem Abend beim Untergang im '''Herbstpunkt'''. Zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Herbst verhält es sich genau umgekehrt, die Sonne steht morgens beim Aufgang im Herbstpunkt und abends beim Untergang im Frühlingspunkt. <gallery caption="Der Sternenhimmel auf 53&nbsp;Bogengrad nördlicher Breite zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühling mit Darstellung in Blickrichtung südlicher Horizont in Mercator-Projektion" perrow=2 widths=720 heights=300 style="text-align: center"> hozizontal.Morgen.Fruehling.png|Morgens beim Sonnenaufgang genau in Richtung Osten: flache Ekliptik (gelb), Himmelsäquator (hellblau), horizontales Koordinatensystem mit Meridian (grün). hozizontal.Abend.Fruehling.png|Abends bei Sonnenuntergang genau in Richtung Westen: steile Ekliptik (gelb), Himmelsäquator (hellblau), horizontales Koordinatensystem mit Meridian (grün). </gallery> An den beiden Tagen der Tag-und-Nacht-Gleiche kreuzt die Ekliptiklinie für jeden Beobachtungspunkt auf der Erde sowohl den Horizont als auch den Himmelsäquator genau im Osten und im Westen. Vom Äquator aus gesehen steht die '''Mittagssonne''' zu den Tag-und-Nachtgleichen genau im '''Zenit''', im Horizontsystem also genau senkrecht über einem Beobachter, und um '''Mitternacht''' genau senkrecht unterhalb eines Beobachters im '''Nadir'''. → Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Astronomische Bezugssysteme|'''Astronomische Bezugssysteme''']]. == Die Sonnenwenden == Die Erde rotiert täglich einmal um ihre Rotationsachse, die zwischen dem geographischen '''Nordpol''' und dem '''Südpol''' liegt. Diese Erdachse ist um zirka 23,4&nbsp;Bogengrad zur Ekliptikebene geneigt. Da die Erdachse ihre Lage zum Fixsternhimmel nur sehr langsam und geringfügig ändert (Präzession der Erdachse), ist sie je nach Jahreszeit mehr oder weniger zur Sonne hin geneigt. Auf der zur Sonne hin geneigten Erdhalbkugel (Hemisphäre) herrscht das '''Sommerhalbjahr''', und auf der von der Sonne weg geneigten Erdhalbkugel herrscht das '''Winterhalbjahr'''. '''Mittags''' steht die Sonne für Beobachter zwischen den '''Polarkreisen''' stets am höchsten über dem Horizont und um '''Mitternacht''' am weitesten unter dem Horizont. Sie kreuzt in diesem Augenblick den senkrecht auf dem südlichen und nördlichen Horizont stehenden '''Meridian''' (Mittagslinie). Nördlich des nördlichen Wendekreises der Erdoberfläche steht sie für einen Beobachter dann genau in Richtung Süden, und südlich des südlichen Wendekreises der Erdoberfläche genau in Richtung Norden. Zwischen den beiden Wendekreisen ist die Sonne auf dem Meridian in der Nähe des Zenits zu sehen – je nach Jahreszeit entweder etwas nördlicher oder etwas südlicher. Ihren höchsten Stand erreicht die Sonne für jeden Ort auf der Erde am Mittag der '''Sommersonnenwende'''. Von der Nordhalbkugel aus gesehen steht sie dann genau in Richtung Süden, und an diesem Tag hat sie am Horizont ihre nördlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Nördlich vom nördlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht unter. Von der Südhalbkugel aus gesehen ist es umgekehrt: sie steht dann genau in Richtung Norden und hat am Horizont ihre südlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Südlich vom südlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht unter. Ihren niedrigsten Mittagsstand erreicht die Sonne zur '''Wintersonnenwende'''. Von der Nordhalbkugel aus gesehen steht sie dann ebenfalls genau in Richtung Süden, und an diesem Tag hat sie am Horizont jedoch ihre nördlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Nördlich vom nördlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht auf. Von der Südhalbkugel aus gesehen ist es wieder umgekehrt: sie steht dann genau in Richtung Norden und hat am Horizont ihre südlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Südlich vom südlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht auf. Astronomisch werden die Sonnenwenden als '''Solstitien''' bezeichnet. Der '''maximale Höhenwinkel''' über dem Horizont wird bei allen Himmelsobjekten grundsätzlich bei der Kulmination auf dem südlichen Meridian erreicht. Dieser Höhenwinkel ergibt sich aus dem zur Beobachtung gehörenden '''geographischen Breitengrad''' <math>\varphi</math> und der '''Deklination''' <math>\delta</math>, also die Höhe eines Himmelsobjektes über dem Himmelsäquator. Der Zusammenhang zwischen dem maximalen Höhenwinkel auf dem südlichen Meridian <math>h_{max,S}</math> und dem geographischen Breitengrad <math>\varphi</math> der Beobachtung kann mit Hilfe der Deklination <math>\delta</math> wie folgt hergestellt werden: :<math>h_{max,S} = (90^\circ - \varphi) + \delta</math> Daraus ergibt sich, dass bei bekannter Deklination <math>\delta</math> aus der Beobachtung des Höhenwinkels <math>h_{max,S}</math> der Breitengrad <math>\varphi</math> bestimmt werden kann: :<math>\varphi = 90^\circ + \delta - h_{max,S}</math> Ist der Breitengrad <math>\varphi</math> bekannt, kann anhand der Beobachtung des Höhenwinkels <math>{max,S}</math> die Deklination eines Himmelsobjekts <math>\delta</math> bestimmt werden: :<math>\delta = \varphi + h_{max,S} - 90^\circ</math> Bei den Tag-und-Nacht-Gleichen geht die Sonne genau im Osten auf und genau im Westen unter. Im Laufe eines Jahres pendeln ihre Auf- und Untergangspunkte symmetrisch um diese beiden Äquinoktialpunkte. Die Winkel der Auf- und Untergangspunkte können auf dem Horizont mit ihrem Azimut <math>a</math> angegeben werden, wobei die Azimute im horizontalen System von Norden (0&nbsp;Bogengrad) aus über Osten (90&nbsp;Bogengrad) nach Süden (180&nbsp;Bogengrad) und dann weiter nach Westen (270&nbsp;Bogengrad) gemessen werden: :<math>a = \arccos \frac {\sin \delta} {\cos \phi}</math> :'''Anmerkung:''' ''Die atmosphärische Refraktion vergrößert den von der Erdoberfläche aus beobachteten Höhenwinkel in der Nähe des Horizonts ein wenig. Dadurch gehen die Gestirne etwas früher auf und gehen etwas später unter als sich aus der hier durchgeführten, rein geometrischen Betrachtungsweise ergibt. Durch die Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion ergeben sich darüber hinaus in Abhängigkeit vom Winkel zwischen der Ekliptiklinie und der Horizontline auch geringfügig abweichende Azimute.'' Durch Einsetzen der entsprechenden Deklinationen der Sonne können die maximalen Höhenwinkel bei ihrer Kulmination auf dem südlichen Meridian berechnet werden, wobei <math>\varepsilon</math> für die '''Schiefe der Ekliptikebene''' (heute '''23,44&nbsp;Bogengrad''') in Bezug auf das äquatoriale System steht: Für die Sonne ergeben sich demnach die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte: {| class="wikitable" |+ Deklinationen, maximale Höhenwinkel sowie Auf- und Untergangsazimute der Sonne ! Ereignis !! Deklination der Sonne<br/><math>\delta_S</math> !! Maximaler Höhenwinkel der Sonne<br/><math>h_{max,S}</math> || Azimut des Sonnenaufgangs<br/><math>a_{A,S}</math> || Azimut des Sonnenuntergangs<br/><math>a_{U,S}</math> |- | Wintersonnenwende || <math>-\varepsilon</math> || <math>(90^\circ - \varphi) - \varepsilon</math> || <math>180^\circ - \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> || <math>180^\circ + \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> |- | Tag-und-Nacht-Gleiche || 0 || <math>(90^\circ - \varphi)</math> || <math>90^\circ</math> || <math>270^\circ</math> |- | Sommersonnenwende || <math>+\varepsilon</math> || <math>(90^\circ - \varphi) + \varepsilon</math> || <math>\arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> || <math>360^\circ - \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> |} == Schattenwurf == Die Schattenlängen und Schattenrichtungen variieren sowohl mit der Tageszeit als auch mit der Jahreszeit. Sie können im Sonnenlicht mit stabförmigen Zeigern gemessen werden, die einen Schatten mit einer bestimmten Länge werfen. Das Verhältnis zwischen der Zeigerlänge und der senkrecht zum ihm gemessenen Schattenlänge ist identisch mit dem Tangens des Höhenwinkels der Sonne. <gallery caption="Schattenlängen im Sonnenlicht" perrow=2 widths=480 heights=480> Thales_Theorem_6.svg|Die Zeigerlänge A im Verhältnis zu seiner Schattenlänge B stimmt mit der Höhe der Pyramide D im Verhältnis zu ihrer Schattenlänge C überein.<br/>Wenn der Höhenwinkel der Sonne <math>\alpha</math> von der Schattenspitze über die Spitze des Zeigers oder der Pyramide zur Horizontalen gemessen wird, gilt: <math>\frac {A} {B} = \frac {D} {C} = \tan \alpha</math> Stabdolch.Bronzezeit.Halle-Kanena,Sachsen-Anhalt.P1068175.jpg|Bronzekopf eines Stabdolchs aus der Bronzezeit (Anfang des zweiten Jahrtausends vor Christus) im Neuen Museum in Berlin. Mit dem Schattenwurf der Dolchspitze auf den Dolchstab (beim dargestellten archäologischen Fund nicht erhalten) können die Kulmination von Sonne und Mond auf dem südlichen Meridian beobachtet werden. Auf diese Weise können die Südrichtung, die Winter- und Sommersonnenwende, die Tag-und-Nacht-Gleichen sowie der ekliptikalen Breiten des Mondes inklusive der großen und kleinen Mondwenden bestimmt werden.<br/>→ Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Stabdolche|'''Stabdolche''']]. </gallery> === Sonnenuhren === Seit der Antike sind Sonnenuhren im Einsatz, um die Tageszeit, aber auch um das Datum im Jahr bestimmen zu können. Sie erzeugen zum Beispiel mit einem Schattenstab einen auf der Sonnenuhrenfläche erkennbaren Schattenzeiger. Anhand der Lage des Schattens kann auf einem dazu passenden Ziffernblatt die wahre Ortszeit abgelesen werden. Über die Länge des Schattens kann der Zeitpunkt im Kalenderjahr bestimmt werden. Aus drei Gründen kann die wahre Ortszeit von der amtlichen Uhrzeit abweichen: [[Datei:Zeitgleichung.png|mini|rechts|hochkant=3|Diagramm mit dem jährlichen Funktionsverlauf der Zeitgleichung und ihrer beiden Anteile durch die von der Abweichung einer Kreisbahn bedingte variierende Bahngeschwindigkeit der Erde (Exzentrizität) und den durch die pendelnde Achsschiefe bedingten variierenden Winkel der Erdachse zur Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne in der Ekliptik.]] # Die Sonnenuhr befindet sich nicht auf dem '''Bezugsmeridian''', der zur geltenden Zeitzone gehört. Für die mitteleuropäische Zeit (MEZ) ist dies der Längengrad bei 15&nbsp;Grad östlicher Länge, was in Deutschland zum Beispiel nur für die ostdeutsche Stadt Görlitz zutrifft. Alle anderen deutschen Städte liegen weiter westlich, so dass sie den Mittag erst nach der amtlichen Zeit 12:00 Uhr MEZ anzeigen. # Die '''Zeitgleichung''' ZG beschreibt die Abweichungen zwischen der angezeigten wahren Ortszeit (WOZ) und der mittleren Ortszeit (MOZ): <math>\mathrm {ZG} = \mathrm {WOZ} - \mathrm {MOZ}</math>. Diese Abweichungen beruhen auf zwei Ursachen: ## Die Erde umläuft die Sonnen auf einer Ellipsenbahn mit einer entsprechenden '''Exzentrizität'''. Im Perihel befindet sie sich Anfang Januar, und dann ist sie am schnellsten, so dass der nächste Mittag in etwas weniger als 24 Stunden erreicht wird. Im Aphel befindet sie sich Anfang Juli, und dann ist sie am langsamsten, so dass der nächste Mittag in etwas mehr als 24 Stunden erreicht wird. Durch diese Schwankungen ergeben sich im Laufe eines Jahres sinusförmige Abweichungen von bis zu 7,5&nbsp;Minuten. ## Der Winkel der Erdachse zur Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne ist zeitlich nicht konstant, sondern die entsprechende '''Achsschiefe''' schwankt jahreszeitlich um die rechten Winkel bei den Tag-und-Nacht-Gleichen. Durch diese Schwankungen ergeben sich im Laufe eines Jahres sinusförmige Abweichungen von bis zu 10&nbsp;Minuten. # Aufgrund von nationalen politischen Beschlüssen kann die '''amtlich geltende Uhrzeit in Zeitzonen''' festgelegt werden, die von der wahren Ortszeit abweicht. Hierbei treten folgende beiden Fälle auf: ## Der betreffende Staat wird von gar keinem Bezugsmeridian, einem anderen Bezugsmeridian oder mehreren Bezugsmeridianen durchlaufen. '''Rechtliche Normen''' definieren, welche Zeitzonen angewendet werden. ## Die Uhrzeit bekommt im Sommerhalbjahr (meist zwischen Ende März und Ende Oktober) einen Aufschlag von genau einer Stunde. In diesem Fall spricht man von der Anwendung der '''Sommerzeit''', es gilt also die mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) anstelle der mitteleuropäischen Zeit (MEZ). Die beschriebenen Effekte können zum Beispiel dazu führen, dass in Finisterre, dem westlichsten Punkt Spaniens auf 9,25&nbsp;westlicher geographischer Breite, wo die mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) gilt, die Sonne erst gegen 13:30&nbsp;Uhr (MESZ) im Süden steht und bei 12:00&nbsp;Uhr (WOZ) ihren Höchststand erreicht. In der Folge geht die Sonne zu den Tag-und-Nacht-Gleichen, wie überall auf der Erde um 6:00&nbsp;Uhr (WOZ) auf, aber erst um 7:30&nbsp;Uhr (MESZ), und wie überall auf der Erde um 18:00&nbsp;Uhr (WOZ) unter, aber erst um 19:30&nbsp;Uhr (MESZ). <div style="clear:both"></div> <gallery caption="Sonnenuhren" perrow=2 widths=480 heights=480> Maerstetten.Sankt.Jakob.Sonnenuhr.P1047273.jpg|Unter Schweizer Bundesschutz stehende Sonnenuhr am Kirchturm von Sankt Jakob in Märstetten im Kanton Thurgau aus dem Jahr 1808 von Johannes Konrad Boltshauser mit dem Spruch "Nur die heitren Stunden weis ich". Maerstetten.Kirche.Sankt.Jakob.Sonnenuhr.P1047273.png|Erläuternde Hilfslinien und Texte für die Sonnenuhr an der nach Süden ausgerichteten Turmwand der Kirche Sankt Jakob in Märstetten (Schweiz). Die Schleifen im Diagramm in Form langgezogener Achten zeigen für ein gegebenes Datum die Abweichung der wahren Ortszeit auf der Längsachse der Schleifen von der mittleren Ortszeit auf dem Schleifenrand an, die durch die Zeitgleichung gegeben ist. Die blaue Hälften beschreiben von oben nach unten das erste Halbjahr von Januar bis Juni und die orangefarbenen Hälften von unten nach oben das zweite Halbjahr von Juli bis Dezember. </gallery> Der Sonnenhöchststand wird zur wahren Ortszeit 12:00&nbsp;Uhr erreicht, wenn die Sonne auf dem südlichen Meridian kulminiert und der Schattenzeiger somit senkrecht steht. Die Tageszeiten, an den die Sonne in den Städten '''J'''erusalem, '''W'''ien, '''P'''aris und '''L'''ondon auf dem südlichen Meridian kulminiert, sind im Ziffernblatt mit den vier Anfangsbuchstaben dieser vier Städte markiert. Das Datum kann im Liniendiagramm in der Mitte der Sonnenuhr abgelesen werden. Das Sonnenlicht, das durch die zentrale Lochblende im Stern am Schattenstab auf die Turmfläche fällt, beschreibt im Laufe eines Tages Bögen, die im Monatsabstand in horizontaler Richtung aufgetragen sind. Die dargestellten Bögen entsprechen den zwölf Tagen im Sonnenjahr, an denen sich die Sonne jeweils auf der Grenze zwischen zwei Lebewesenkreiszeichen des Zodiaks befindet, die innerhalb des Ziffernblatts als astronomische Symbole und außen als bildliche Darstellungen markiert sind. Der oberste Bogen (Tropicus Capricornici<ref>'''''Anmerkung:''' Die Schreibweise mit "ci" am Ende ist ungewöhnlich und scheint vom neulateinischen Adjektiv "capricornicus" ("steinböckisch") abgeleitet worden zu sein. Die übliche Schreibweise ist "Capricorni".''</ref> = südlicher Wendekreis des Steinbocks) beschreibt den Tagesbogen bei der Wintersonnenwende, der unterste Bogen (Tropicus Cancri = nördlicher Wendekreis des Krebses) beschreibt den Tagesbogen bei der Sommersonnenwende. Die mit "Aequator" beschriftete, exakt horizontale und gerade Linie beschreibt die Tagesbögen zu den beiden Tag-und-Nacht-Gleichen im Frühling und im Herbst, bei denen die Sonne genau im Osten aufgeht und genau im Westen untergeht. Die Aufnahme wurde am 16. August (2025) gemacht, als die Sonne eine ekliptikale Länge von 143,5&nbsp;Bogengrad hatte und somit sechs Tage vor dem Erreichen der Grenze zum Sternbild Jungfrau noch im Sternbild Löwe stand. Da im Sommer aus politischen Gründen eine Stunde hochgezählt werden musste, war die amtliche Zeit zum Zeitpunkt der Aufnahme im obenstehenden Bild bereits 10:55&nbsp;Uhr (MESZ), was der mittleren Zeit auf dem Bezugsmeridian von 9:55&nbsp;Uhr (MEZ) entspricht. Auf der Sonnenuhr konnte zu diesem Zeitpunkt auf dem Schnittpunkt des Schattenzeigers mit dem Bogen des Ziffernblatts für die Stunden des Tages für die wahre Sonnenzeit die Uhrzeit 9:37&nbsp;Uhr abgelesen werden. Märstetten befindet sich knapp sechs Grad westlich vom 15-Grad-Bezugsmeridian der mitteleuropäischen Zeitzone. Dies bedeutet, dass die Sonne beim Kirchturm in Märstetten erst 23&nbsp;Minuten später als auf dem Bezugsmeridian ihren Höchststand erreicht. Die mittlere Ortszeit betrug also 9:32&nbsp;Uhr (MOZ). Aus der Zeitgleichung ergibt sich für den 16.&nbsp;August gegenüber der mittleren Ortszeit eine Verzögerung der wahren Ortszeit um knapp fünf Minuten, so dass diese 9:37&nbsp;Uhr (WOZ) betrug, was der abgelesen Uhrzeit auf dem Ziffernblatt der Sonnenuhr entspricht. == Sonnenbeobachtung == Die Sonnenbahn wurde schon in der Steinzeit von verschiedenen Orten der Erde aus regelmäßig beobachtet. Es gibt zahllose {{w|Sonnenuhr|Sonnenuhren}}, mit denen die Ortszeit abgelesen werden kann, wenn die Sonne am Himmel zu sehen ist. Im Altertum sind aber auch viele größere Anlagen errichtet worden, mit denen die Auf- und Untergangsorte am Horizont beobachtet werden konnten. Hierzu zählen beispielsweise die zahlreichen als Sonnenobservatorium nutzbaren {{w|Kreisgrabenanlage|Kreisgrabenanlagen}} oder Ringheiligtümer in Mitteleuropa genauso wie manche Tempelanlagen auf Malta. In der folgenden Tabelle sind einige aufgeführt: {| class="wikitable" style="text-align:left" |+ Astronomische Beobachtungsstätten im Altertum !Name !Art !Ort !Datierung |- |'''[[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Kalenderführung#Goseck|Kreisgrabenanlage von Goseck]]''' |Sonnenobservatorium |Burgenlandkreis, Sachsen-Anhalt, Europa |4900 vor Christus |- |'''{{w|Nabta-Playa}}''' |Steinkreis |Nubische Wüste, Afrika |um 4000 vor Christus |- |'''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Der_Kalenderstein_vom_Tempel_Mnajdra|Mnajdra]]''' |Sonnentempel / Kalenderstein |Malta, Mittelmeer |3800 vor Christus |- |'''{{w|Kokino}}''' |Megalithische Sternwarte |Staro Nagoričane, Nordmazedonien, Europa |3800 vor Christus |- |'''{{w|Stonehenge}}''' |Megalith-Bauwerk |Amesbury, Wiltshire, Süd-England |3000 vor Christus |- |'''{{w|Yazılıkaya}}''' |Sonnenheiligtum |Çorum, Türkei, Kleinasien |13. Jahrhundert vor Christus |- |'''{{w|Santa Cristina (Brunnenheiligtum)|Santa Cristina}}''' |Brunnenheiligtum (größte Mondwende) |Sardinien, Mittelmeer |11. Jahrhundert vor Christus |- |'''{{w|Chanquillo}}''' |Präkolumbischer Komplex der Prä-Inka-Kulturen (Sonnenobservatorium) |Bei Casma, Peru |3. Jahrhundert vor Christus |- |'''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Das_Belchen-System|Belchen-System]]''' |Bergsystem |Vogesen, Schwarzwald, Jura |unbekannt |} == Einzelnachweise == <references></references> hiwuguep6j3gapst9zm3207tw7sa7bl 1093472 1093471 2026-11-06T14:36:17Z Bautsch 35687 /* Zeiteinteilung */ +Formel 1093472 wikitext text/x-wiki [[Datei:Nachmittagssonne.29.7.2024.P1033307.jpg|mini|hochkant=2|Die Nachmittagssonne am 29. Juli 2024 mit Sonnenflecken von Berlin aus gesehen.]] Die '''Sonne''' ist das Zentralgestirn unseres Planetensystems. Die Ebene, in der die Erde um die Sonne läuft, wird Ekliptik genannt. Alle anderen Planeten und der Mond bewegen sich in der Nähe dieser Ekliptik, ihre Bahnebenen sind jedoch individuell ein wenig gegenüber der Ekliptik geneigt. == Die Sonne als Zeitgeber == Die '''Erde''' umrundet die Sonne als der dritte von vier inneren Planeten innerhalb eines '''Jahres'''. Diese vollständige Umrundung definiert also die Dauer eines tropischen Jahres. Die Erde rotiert innerhalb eines '''Tages''' um ihre eigene Polachse. Diese vollständige Umdrehung definiert die Dauer eines Tages. Von der Erde aus betrachtet scheint sich die Sonne dabei jeden Tag von Osten nach Westen zu bewegen. Da sich die Sonne von der Erde aus gesehen stets in der Ekliptikebene befindet, liegt die scheinbare Sonnenbahn auf der sogenannten Ekliptiklinie. Da die Sonne nicht nur die Erde, sondern auch den '''Mond''' beleuchtet, kann das vom Mond reflektierte Sonnenlicht von der Erde aus beobachtet werden. Hierdurch ergeben sich innerhalb eines synodischen '''Monats''' mit seinen vier Mondvierteln ('''vier Wochen''') beziehungsweise mit den 28&nbsp;eintägigen Mondhäusern die Mondphasen, die die Dauern von Monaten und Wochen bestimmen. Da der Mond in etwa zwölf Mal schneller um die Erde rotiert als die Erde um die Sonne, steht die Sonne von der Erde aus gesehen innerhalb eines Jahres in jedem der '''zwölf Monate''' eines Jahres in einer anderen Region des Fixsternhimmels. Die scheinbare Sonnenbahn wird hierbei in zwölf gleichgroße Abschnitte aufgeteilt, die im Fixsternhimmel durch die entsprechenden zwölf Lebewesenkreiszeichen (Zodiak) gekennzeichnet sind. → Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Mondzyklen|'''Mondzyklen''']]. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Konjunktionen#Mondäuser|'''Mondäuser''']]. → Siehe auch [[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Astronomische_Bezugssysteme#Der_Zodiak|'''Der Zodiak''']]. === Zeiteinteilung === Das achte Kapitel im ersten Band aus dem zweiten Buch der Naturalis historia ("Naturgeschichte") von Gaius Plinius Secundus (Plinius der Ältere) hat den Titel ''Von der Natur der Irrsterne und ihrer Laufbahn''. Den Lauf der Sonne beschreibt Plinius folgendermaßen:<ref name="Denso1764">Plinius: ''Naturgeschichte'', erster Band, zweites Buch, übersetzt von Johann Daniel Denso (1708–1795), Rostock und Greifswald, Anton Ferdinand Rösens Buchhandlung, 1764, in moderne deutsche Sprache gesetzt.</ref> <blockquote> '''Von der Natur der Irrsterne und ihrer Laufbahn.'''<br/> ...<br/> [Zwischen Mars und Venus] kommt der Lauf der Sonne, welcher in 360&nbsp;Grade geteilt ist. Doch damit die Beobachtung seines Schattens mit den Merkmalen der Zeiger übereinkommt, legt man jedem Jahr fünf Tage zu, und zudem noch ein Viertel eines Tages. Aus der Ursache wird im fünften Jahr noch ein Schalttag hinzugetan, damit die Berechnung der Zeiten mit dem Lauf der Sonne übereinstimmt.<br/> ...<br/> </blockquote> Die Sonne durchläuft die Ekliptik innerhalb eines Jahres auf einem Kreisbogen mit 360&nbsp;Bogengrad und wandert dabei pro Tag also in etwa 1&nbsp;Bogengrad weiter ostwärts: :<math>\frac {360 \text{ Bogengrad}} {365,25 \text{ Tage}} \approx 0,98563 \, \frac {\text{Bogengrad}} {\text{Tag}} \approx 1 \, \frac {\text{Bogengrad}} {\text{Tag}}</math> Diese Einteilung des Kreises in 360&nbsp;Bogengrad geht auf die Babylonier zurück. ==== Die 60 ==== Die Babylonier verwendeten ein Zahlensystem auf Basis der Zahl&nbsp;60, das Sexagesimalsystem. Anders als im Dezimalsystem verwendeten sie also nicht ein Stellenwertsystem mit 1&#8209;ern, 10&#8209;ern, 100&#8209;ern und 1000&#8209;ern, sondern eines mit 1&#8209;ern, 60&#8209;ern, 3600&#8209;ern und 216000&#8209;ern: :<math>[1]_{1000}[1]_{100}[1]_{10}[1]_{1} = 1 \cdot 1000 + 1 \cdot 100 + 1 \cdot 10 + 1 \cdot 1 = 1111_{10}</math> :<math>[1]_{216000}[1]_{3600}[1]_{60}[1]_{1} = 1 \cdot 216000 + 1 \cdot 3600 + 1 \cdot 60 + 1 \cdot 1 = 219661_{10}</math> Die Zahl&nbsp;60 ist die kleinste ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 2, 3, 4, 5 und 6, also alle Zahlen von 2 bis 6, teilen lässt. Die Primfaktorenzerlegung der Zahl&nbsp;60 ergibt: :<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5</math> Es gibt für die Zahl&nbsp;60 insgesamt 11&nbsp;ganzzahlige Teiler: :<math>2 = 2</math> :<math>3 = 3</math> :<math>4 = 2 \cdot 2</math> :<math>5 = 5</math> :<math>6 = 2 \cdot 3</math> :<math>10 = 2 \cdot 5</math> :<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math> :<math>15 =3 \cdot 5</math> :<math>20 = 2 \cdot 2 \cdot 5</math> :<math>30 = 2 \cdot 3 \cdot 5</math> :<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = [1]_{60}[0]_{1}</math> ==== Die 360 ==== In der sexagesimalen Schreibweise wird die Zahl&nbsp;360 folgendermaßen notiert: :<math>[6]_{60}[0]_{1} = 6 \cdot 60 + 0 \cdot 1 = 360_{10}</math> Die Zahl&nbsp;360 ist die kleinste ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 2, 3, 4, 5, 6, 8 und 9 teilen lässt. Die Primfaktorenzerlegung der Zahl&nbsp;360 ergibt: :<math>360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5</math> Es gibt demgemäß also insgesamt 23&nbsp;ganzzahlige Teiler :<math>2 = 2</math> :<math>3 = 3</math> :<math>4 = 2 \cdot 2</math> :<math>5 = 5</math> :<math>6 = 2 \cdot 3</math> :<math>8 = 2 \cdot 2 \cdot 2</math> :<math>9 = 3 \cdot 3</math> :<math>10 = 2 \cdot 5</math> :<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math> :<math>15 =3 \cdot 5</math> :<math>18 = 2 \cdot 3 \cdot 3</math> :<math>20 = 2 \cdot 2 \cdot 5</math> :<math>24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math> :<math>30 = 2 \cdot 3 \cdot 5</math> :<math>36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3</math> :<math>40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5</math> :<math>45 = 3 \cdot 3 \cdot 5</math> :<math>60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = [1]_{60}[0]_{1}</math> :<math>72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = [1]_{60}[12]_{1}</math> :<math>90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = [1]_{60}[30]_{1}</math> :<math>120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = [2]_{60}[0]_{1}</math> :<math>180 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = [3]_{60}[0]_{1}</math> :<math>360 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = [6]_{60}[0]_{1}</math> Das babylonische Erbe mit der Teilung im Sexagesimalsystem setzt sich bei der Unterteilung einen Bogengrads fort: Ein '''Bogengrad''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>^\circ</math>) wird in 60&nbsp;'''Bogenminuten''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {'}</math>) aufgeteilt und jede Bogenminute wiederum in 60&nbsp;'''Bogensekunden''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {''}</math>). 3600&nbsp;Bogensekunden ergeben demnach ein Bogengrad. Der Vollkreis hat einen Vollwinkel von 360&nbsp;Bogengrad oder: :<math>360^\circ = 21600\text {'} = 1296000\text {''}</math> :<math>[6]_{360}[0]_{1}{^\circ} = [6]_{3600}[0]_{60}[0]_{1}{\text {'}} = [6]_{216000}[0]_{3600}[0]_{60}[0]_{1}{\text {''}}</math> ==== Die 24 ==== Auch der Tag, also die Zeitdauer nach welcher die Erde sich einmal um ihre eigene Achse gedreht hat, kann in verschiedene ganzzahlige Segmente unterteilt werden. Die sexagesimale Unterteilung wurde auch hier übernommen und folgendermaßen eingeführt: Die Herzfrequenz eines Menschen in Ruhe beträgt als ein natürliches Maß ungefähr 1&nbsp;Hertz, also ein Herzschlag pro '''Sekunde''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {s}</math>). Das sind sechzig Schläge pro '''Minute''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {min}</math>) beziehungsweise 3600&nbsp;Schläge pro '''Stunde''' (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {h}</math> vom lateinischen Wort "hora" für "Stunde"): :<math>1 \text { h} = 60 \text { min} = 3600 \text { s}</math> :<math>[1]_{1} \text { h} = [1]_{60}[0]_{1} \text { min} = [1]_{3600}[0]_{60}[0]_{1} \text { s}</math> Die Dauer einer Stunde entspricht einem Vierundzwanzigstel eines Tages (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {d}</math> vom lateinischen Wort "dies" für "Tag"), und deswegen wurde der Tag in 24&nbsp;Stunden (Einheitensymbol&nbsp;<math>\text {h}</math>) aufgeteilt. Für die Zeitdauer eines Tages gilt demnach: :<math>1 \text { d} = 24 \text { h} = 1440 \text { min} = 86400 \text { s}</math> :<math>[1]_{1} \text { d} = [24]_{1} \text { h} = [24]_{60}[0]_{1} \text { min} = [24]_{3600}[0]_{60}[0]_{1} \text { s}</math> Die Zahl&nbsp;24 ist die kleinste ganze Zahl, die sich ohne Rest durch 2, 3, 4, 6 und 8 teilen lässt. Die Primfaktorenzerlegung der Zahl&nbsp;24 ergibt: :<math>24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math> Es gibt hierbei also insgesamt sieben ganzzahlige Teiler :<math>2 = 2</math> (zwei Tageshälften: Tag und Nacht) :<math>3 = 3</math> :<math>4 = 2 \cdot 2</math> (vier Tageszeiten: Morgen, Mittag, Abend und Nacht) :<math>6 = 2 \cdot 3</math> (6&nbsp;Stunden pro Tageszeit) :<math>8 = 2 \cdot 2 \cdot 2</math> :<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3</math> (12&nbsp;Stunden pro Taghälfte) :<math>24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3</math> (24&nbsp;Stunden pro Tag) Der Tag wurde in der Seefahrt traditionell in acht Wachen und bei den Stundengebeten in der kirchlichen Liturgie in acht Horen aufgeteilt, die jeweils drei Stunden dauern. Mit jedem Herzschlag beziehungsweise in jeder Sekunde bewegt sich die Sonne entlang der Ekliptiklinie aufgrund der Erdrotation von 360&nbsp;Bogengrad pro Tag um 15&nbsp;Bogensekunden nach Osten: :<math>\frac {24 \text{ h}} {1 \text{ d}} = \frac {1440 \text{ min}} {1 \text{ d}} = \frac {86400 \text{ s}} {1 \text{ d}} \mathrel{\hat=} \frac {360^\circ} {1 \text{ d}} = \frac {21600 \text{'}} {1 \text{ d}} = \frac {1296000 \text{''}} {1 \text{ d}}</math> Daraus folgt: :<math>\frac {360^\circ} {24 \text{ h}} = 15 \, \frac {^\circ} {\text{h}} = \frac {21600 \text{'}} {1440 \text{ min}} = 15 \, \frac {\text{'}} {{min}} = \frac {1296000 \text{''}} {86400 \text{ s}} = 15 \, \frac {\text{''}} {\text{s}}</math> == Der Meridian == Die '''Südrichtung''' ist so definiert, dass bedingt durch die Rotation der Erde jedes Himmelsobjekt in dieser Richtung seine größte Höhe über dem Horizont erreicht. Die Höhe wird hierbei senkrecht zum Horizont entlang des '''Meridians''' gemessen, der den Himmel im Zenit und im Nadir schneiden. Das ist besonders augenfällig bei unserer Sonne, die wie alle anderen Sterne jeden Tag genau in dieser Richtung ihren höchsten Stand erreicht. Der Zeitpunkt und Ort beim Erreichen der größten Höhe wird auch als die Kulmination eines Objektes auf dem südlichen Meridian bezeichnet. Da die Sonne stets mittags ihren höchsten Stand erreicht, wird der südliche Meridian auch '''Mittagsmeridian''' genannt. Anders als die Fixsterne ändert die '''Sonne''' ihre täglichen Aufgangs- und Untergangsrichtungen sowie die maximale Höhe über dem Horizont auf dem '''südlichen Meridian'''. Bei der '''Nordrichtung''' verhält es sich auf der nördlichen Halbkugel der Erde umgekehrt wie bei der Südrichtung: alle Himmelsobjekte erreichen hier ihre niedrigste Höhe unter dem Horizont, wo sie nicht beobachtbar sind. Auf der südlichen Halbkugel der Erde ist dies naturgemäß entgegengesetzt: jedes Objekt am Himmel erreicht im Norden seine größte Höhe über dem Horizont und im Süden seine niedrigste Höhe unter dem Horizont. Viele deutschsprachige Menschen kennen den folgenden sich reimenden Merksatz, von dem es auch etliche Abwandlungen gibt: <blockquote> Im Osten geht die Sonne auf,</br> im Süden hält sie Mittagslauf,</br> im Westen geht sie unter,</br> im Norden wird sie niemals munter. </blockquote> == Die Äquinoktien == Bei der '''Tag-und-Nachtgleiche''' im Frühjahr steht die Sonne im '''Frühlingspunkt''' auf der '''Ekliptiklinie''', und bei der Tag-und-Nachtgleiche im Herbst steht sie im '''Herbstpunkt'''. An diesen Tagen geht sie überall auf der Erde genau im Osten auf und im Westen unter, und während sie sich dann ebenfalls überall von 6&nbsp;Uhr '''morgens''' bis 18&nbsp;Uhr '''abends''' auf ihrer180&nbsp;Bogengrad langen Bahn oberhalb des Horizonts befindet, beschreitet sie ihren zwölfstündigen Tagbogen. Astronomisch werden die Tag-und-Nacht-Gleichen als '''Äquinoktien''' bezeichnet. Die folgenden beiden Bilder zeigen die Situation zur '''Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühjahr'''. Der Horizont ist auf seiner vollen Länge von 360&nbsp;Bogengrad von Norden (links) über Süden (Mitte) bis wieder nach Norden (rechts) in einer rechtwinkligen Mercator-Projektion dargestellt. Die Meridiane stehen in diesen Darstellungen senkrecht auf dem Horizont. Der Himmelsäquator hat stets dieselbe Lage. Die Ekliptiklinie ist morgens allerdings sehr flach und abends sehr steil. An diesem Morgen steht die Sonne beim Aufgang im '''Frühlingspunkt''' und an diesem Abend beim Untergang im '''Herbstpunkt'''. Zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Herbst verhält es sich genau umgekehrt, die Sonne steht morgens beim Aufgang im Herbstpunkt und abends beim Untergang im Frühlingspunkt. <gallery caption="Der Sternenhimmel auf 53&nbsp;Bogengrad nördlicher Breite zur Tag-und-Nacht-Gleiche im Frühling mit Darstellung in Blickrichtung südlicher Horizont in Mercator-Projektion" perrow=2 widths=720 heights=300 style="text-align: center"> hozizontal.Morgen.Fruehling.png|Morgens beim Sonnenaufgang genau in Richtung Osten: flache Ekliptik (gelb), Himmelsäquator (hellblau), horizontales Koordinatensystem mit Meridian (grün). hozizontal.Abend.Fruehling.png|Abends bei Sonnenuntergang genau in Richtung Westen: steile Ekliptik (gelb), Himmelsäquator (hellblau), horizontales Koordinatensystem mit Meridian (grün). </gallery> An den beiden Tagen der Tag-und-Nacht-Gleiche kreuzt die Ekliptiklinie für jeden Beobachtungspunkt auf der Erde sowohl den Horizont als auch den Himmelsäquator genau im Osten und im Westen. Vom Äquator aus gesehen steht die '''Mittagssonne''' zu den Tag-und-Nachtgleichen genau im '''Zenit''', im Horizontsystem also genau senkrecht über einem Beobachter, und um '''Mitternacht''' genau senkrecht unterhalb eines Beobachters im '''Nadir'''. → Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Astronomische Bezugssysteme|'''Astronomische Bezugssysteme''']]. == Die Sonnenwenden == Die Erde rotiert täglich einmal um ihre Rotationsachse, die zwischen dem geographischen '''Nordpol''' und dem '''Südpol''' liegt. Diese Erdachse ist um zirka 23,4&nbsp;Bogengrad zur Ekliptikebene geneigt. Da die Erdachse ihre Lage zum Fixsternhimmel nur sehr langsam und geringfügig ändert (Präzession der Erdachse), ist sie je nach Jahreszeit mehr oder weniger zur Sonne hin geneigt. Auf der zur Sonne hin geneigten Erdhalbkugel (Hemisphäre) herrscht das '''Sommerhalbjahr''', und auf der von der Sonne weg geneigten Erdhalbkugel herrscht das '''Winterhalbjahr'''. '''Mittags''' steht die Sonne für Beobachter zwischen den '''Polarkreisen''' stets am höchsten über dem Horizont und um '''Mitternacht''' am weitesten unter dem Horizont. Sie kreuzt in diesem Augenblick den senkrecht auf dem südlichen und nördlichen Horizont stehenden '''Meridian''' (Mittagslinie). Nördlich des nördlichen Wendekreises der Erdoberfläche steht sie für einen Beobachter dann genau in Richtung Süden, und südlich des südlichen Wendekreises der Erdoberfläche genau in Richtung Norden. Zwischen den beiden Wendekreisen ist die Sonne auf dem Meridian in der Nähe des Zenits zu sehen – je nach Jahreszeit entweder etwas nördlicher oder etwas südlicher. Ihren höchsten Stand erreicht die Sonne für jeden Ort auf der Erde am Mittag der '''Sommersonnenwende'''. Von der Nordhalbkugel aus gesehen steht sie dann genau in Richtung Süden, und an diesem Tag hat sie am Horizont ihre nördlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Nördlich vom nördlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht unter. Von der Südhalbkugel aus gesehen ist es umgekehrt: sie steht dann genau in Richtung Norden und hat am Horizont ihre südlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Südlich vom südlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht unter. Ihren niedrigsten Mittagsstand erreicht die Sonne zur '''Wintersonnenwende'''. Von der Nordhalbkugel aus gesehen steht sie dann ebenfalls genau in Richtung Süden, und an diesem Tag hat sie am Horizont jedoch ihre nördlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Nördlich vom nördlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht auf. Von der Südhalbkugel aus gesehen ist es wieder umgekehrt: sie steht dann genau in Richtung Norden und hat am Horizont ihre südlichsten Aufgangs- und Untergangspunkte. Südlich vom südlichen Polarkreis geht die Sonne von der Erdoberfläche aus gesehen dann gar nicht auf. Astronomisch werden die Sonnenwenden als '''Solstitien''' bezeichnet. Der '''maximale Höhenwinkel''' über dem Horizont wird bei allen Himmelsobjekten grundsätzlich bei der Kulmination auf dem südlichen Meridian erreicht. Dieser Höhenwinkel ergibt sich aus dem zur Beobachtung gehörenden '''geographischen Breitengrad''' <math>\varphi</math> und der '''Deklination''' <math>\delta</math>, also die Höhe eines Himmelsobjektes über dem Himmelsäquator. Der Zusammenhang zwischen dem maximalen Höhenwinkel auf dem südlichen Meridian <math>h_{max,S}</math> und dem geographischen Breitengrad <math>\varphi</math> der Beobachtung kann mit Hilfe der Deklination <math>\delta</math> wie folgt hergestellt werden: :<math>h_{max,S} = (90^\circ - \varphi) + \delta</math> Daraus ergibt sich, dass bei bekannter Deklination <math>\delta</math> aus der Beobachtung des Höhenwinkels <math>h_{max,S}</math> der Breitengrad <math>\varphi</math> bestimmt werden kann: :<math>\varphi = 90^\circ + \delta - h_{max,S}</math> Ist der Breitengrad <math>\varphi</math> bekannt, kann anhand der Beobachtung des Höhenwinkels <math>{max,S}</math> die Deklination eines Himmelsobjekts <math>\delta</math> bestimmt werden: :<math>\delta = \varphi + h_{max,S} - 90^\circ</math> Bei den Tag-und-Nacht-Gleichen geht die Sonne genau im Osten auf und genau im Westen unter. Im Laufe eines Jahres pendeln ihre Auf- und Untergangspunkte symmetrisch um diese beiden Äquinoktialpunkte. Die Winkel der Auf- und Untergangspunkte können auf dem Horizont mit ihrem Azimut <math>a</math> angegeben werden, wobei die Azimute im horizontalen System von Norden (0&nbsp;Bogengrad) aus über Osten (90&nbsp;Bogengrad) nach Süden (180&nbsp;Bogengrad) und dann weiter nach Westen (270&nbsp;Bogengrad) gemessen werden: :<math>a = \arccos \frac {\sin \delta} {\cos \phi}</math> :'''Anmerkung:''' ''Die atmosphärische Refraktion vergrößert den von der Erdoberfläche aus beobachteten Höhenwinkel in der Nähe des Horizonts ein wenig. Dadurch gehen die Gestirne etwas früher auf und gehen etwas später unter als sich aus der hier durchgeführten, rein geometrischen Betrachtungsweise ergibt. Durch die Berücksichtigung der atmosphärischen Refraktion ergeben sich darüber hinaus in Abhängigkeit vom Winkel zwischen der Ekliptiklinie und der Horizontline auch geringfügig abweichende Azimute.'' Durch Einsetzen der entsprechenden Deklinationen der Sonne können die maximalen Höhenwinkel bei ihrer Kulmination auf dem südlichen Meridian berechnet werden, wobei <math>\varepsilon</math> für die '''Schiefe der Ekliptikebene''' (heute '''23,44&nbsp;Bogengrad''') in Bezug auf das äquatoriale System steht: Für die Sonne ergeben sich demnach die in der folgenden Tabelle angegebenen Werte: {| class="wikitable" |+ Deklinationen, maximale Höhenwinkel sowie Auf- und Untergangsazimute der Sonne ! Ereignis !! Deklination der Sonne<br/><math>\delta_S</math> !! Maximaler Höhenwinkel der Sonne<br/><math>h_{max,S}</math> || Azimut des Sonnenaufgangs<br/><math>a_{A,S}</math> || Azimut des Sonnenuntergangs<br/><math>a_{U,S}</math> |- | Wintersonnenwende || <math>-\varepsilon</math> || <math>(90^\circ - \varphi) - \varepsilon</math> || <math>180^\circ - \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> || <math>180^\circ + \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> |- | Tag-und-Nacht-Gleiche || 0 || <math>(90^\circ - \varphi)</math> || <math>90^\circ</math> || <math>270^\circ</math> |- | Sommersonnenwende || <math>+\varepsilon</math> || <math>(90^\circ - \varphi) + \varepsilon</math> || <math>\arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> || <math>360^\circ - \arccos \frac {\sin \varepsilon} {\cos \varphi}</math> |} == Schattenwurf == Die Schattenlängen und Schattenrichtungen variieren sowohl mit der Tageszeit als auch mit der Jahreszeit. Sie können im Sonnenlicht mit stabförmigen Zeigern gemessen werden, die einen Schatten mit einer bestimmten Länge werfen. Das Verhältnis zwischen der Zeigerlänge und der senkrecht zum ihm gemessenen Schattenlänge ist identisch mit dem Tangens des Höhenwinkels der Sonne. <gallery caption="Schattenlängen im Sonnenlicht" perrow=2 widths=480 heights=480> Thales_Theorem_6.svg|Die Zeigerlänge A im Verhältnis zu seiner Schattenlänge B stimmt mit der Höhe der Pyramide D im Verhältnis zu ihrer Schattenlänge C überein.<br/>Wenn der Höhenwinkel der Sonne <math>\alpha</math> von der Schattenspitze über die Spitze des Zeigers oder der Pyramide zur Horizontalen gemessen wird, gilt: <math>\frac {A} {B} = \frac {D} {C} = \tan \alpha</math> Stabdolch.Bronzezeit.Halle-Kanena,Sachsen-Anhalt.P1068175.jpg|Bronzekopf eines Stabdolchs aus der Bronzezeit (Anfang des zweiten Jahrtausends vor Christus) im Neuen Museum in Berlin. Mit dem Schattenwurf der Dolchspitze auf den Dolchstab (beim dargestellten archäologischen Fund nicht erhalten) können die Kulmination von Sonne und Mond auf dem südlichen Meridian beobachtet werden. Auf diese Weise können die Südrichtung, die Winter- und Sommersonnenwende, die Tag-und-Nacht-Gleichen sowie der ekliptikalen Breiten des Mondes inklusive der großen und kleinen Mondwenden bestimmt werden.<br/>→ Siehe auch [[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Stabdolche|'''Stabdolche''']]. </gallery> === Sonnenuhren === Seit der Antike sind Sonnenuhren im Einsatz, um die Tageszeit, aber auch um das Datum im Jahr bestimmen zu können. Sie erzeugen zum Beispiel mit einem Schattenstab einen auf der Sonnenuhrenfläche erkennbaren Schattenzeiger. Anhand der Lage des Schattens kann auf einem dazu passenden Ziffernblatt die wahre Ortszeit abgelesen werden. Über die Länge des Schattens kann der Zeitpunkt im Kalenderjahr bestimmt werden. Aus drei Gründen kann die wahre Ortszeit von der amtlichen Uhrzeit abweichen: [[Datei:Zeitgleichung.png|mini|rechts|hochkant=3|Diagramm mit dem jährlichen Funktionsverlauf der Zeitgleichung und ihrer beiden Anteile durch die von der Abweichung einer Kreisbahn bedingte variierende Bahngeschwindigkeit der Erde (Exzentrizität) und den durch die pendelnde Achsschiefe bedingten variierenden Winkel der Erdachse zur Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne in der Ekliptik.]] # Die Sonnenuhr befindet sich nicht auf dem '''Bezugsmeridian''', der zur geltenden Zeitzone gehört. Für die mitteleuropäische Zeit (MEZ) ist dies der Längengrad bei 15&nbsp;Grad östlicher Länge, was in Deutschland zum Beispiel nur für die ostdeutsche Stadt Görlitz zutrifft. Alle anderen deutschen Städte liegen weiter westlich, so dass sie den Mittag erst nach der amtlichen Zeit 12:00 Uhr MEZ anzeigen. # Die '''Zeitgleichung''' ZG beschreibt die Abweichungen zwischen der angezeigten wahren Ortszeit (WOZ) und der mittleren Ortszeit (MOZ): <math>\mathrm {ZG} = \mathrm {WOZ} - \mathrm {MOZ}</math>. Diese Abweichungen beruhen auf zwei Ursachen: ## Die Erde umläuft die Sonnen auf einer Ellipsenbahn mit einer entsprechenden '''Exzentrizität'''. Im Perihel befindet sie sich Anfang Januar, und dann ist sie am schnellsten, so dass der nächste Mittag in etwas weniger als 24 Stunden erreicht wird. Im Aphel befindet sie sich Anfang Juli, und dann ist sie am langsamsten, so dass der nächste Mittag in etwas mehr als 24 Stunden erreicht wird. Durch diese Schwankungen ergeben sich im Laufe eines Jahres sinusförmige Abweichungen von bis zu 7,5&nbsp;Minuten. ## Der Winkel der Erdachse zur Verbindungslinie zwischen Erde und Sonne ist zeitlich nicht konstant, sondern die entsprechende '''Achsschiefe''' schwankt jahreszeitlich um die rechten Winkel bei den Tag-und-Nacht-Gleichen. Durch diese Schwankungen ergeben sich im Laufe eines Jahres sinusförmige Abweichungen von bis zu 10&nbsp;Minuten. # Aufgrund von nationalen politischen Beschlüssen kann die '''amtlich geltende Uhrzeit in Zeitzonen''' festgelegt werden, die von der wahren Ortszeit abweicht. Hierbei treten folgende beiden Fälle auf: ## Der betreffende Staat wird von gar keinem Bezugsmeridian, einem anderen Bezugsmeridian oder mehreren Bezugsmeridianen durchlaufen. '''Rechtliche Normen''' definieren, welche Zeitzonen angewendet werden. ## Die Uhrzeit bekommt im Sommerhalbjahr (meist zwischen Ende März und Ende Oktober) einen Aufschlag von genau einer Stunde. In diesem Fall spricht man von der Anwendung der '''Sommerzeit''', es gilt also die mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) anstelle der mitteleuropäischen Zeit (MEZ). Die beschriebenen Effekte können zum Beispiel dazu führen, dass in Finisterre, dem westlichsten Punkt Spaniens auf 9,25&nbsp;westlicher geographischer Breite, wo die mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ) gilt, die Sonne erst gegen 13:30&nbsp;Uhr (MESZ) im Süden steht und bei 12:00&nbsp;Uhr (WOZ) ihren Höchststand erreicht. In der Folge geht die Sonne zu den Tag-und-Nacht-Gleichen, wie überall auf der Erde um 6:00&nbsp;Uhr (WOZ) auf, aber erst um 7:30&nbsp;Uhr (MESZ), und wie überall auf der Erde um 18:00&nbsp;Uhr (WOZ) unter, aber erst um 19:30&nbsp;Uhr (MESZ). <div style="clear:both"></div> <gallery caption="Sonnenuhren" perrow=2 widths=480 heights=480> Maerstetten.Sankt.Jakob.Sonnenuhr.P1047273.jpg|Unter Schweizer Bundesschutz stehende Sonnenuhr am Kirchturm von Sankt Jakob in Märstetten im Kanton Thurgau aus dem Jahr 1808 von Johannes Konrad Boltshauser mit dem Spruch "Nur die heitren Stunden weis ich". Maerstetten.Kirche.Sankt.Jakob.Sonnenuhr.P1047273.png|Erläuternde Hilfslinien und Texte für die Sonnenuhr an der nach Süden ausgerichteten Turmwand der Kirche Sankt Jakob in Märstetten (Schweiz). Die Schleifen im Diagramm in Form langgezogener Achten zeigen für ein gegebenes Datum die Abweichung der wahren Ortszeit auf der Längsachse der Schleifen von der mittleren Ortszeit auf dem Schleifenrand an, die durch die Zeitgleichung gegeben ist. Die blaue Hälften beschreiben von oben nach unten das erste Halbjahr von Januar bis Juni und die orangefarbenen Hälften von unten nach oben das zweite Halbjahr von Juli bis Dezember. </gallery> Der Sonnenhöchststand wird zur wahren Ortszeit 12:00&nbsp;Uhr erreicht, wenn die Sonne auf dem südlichen Meridian kulminiert und der Schattenzeiger somit senkrecht steht. Die Tageszeiten, an den die Sonne in den Städten '''J'''erusalem, '''W'''ien, '''P'''aris und '''L'''ondon auf dem südlichen Meridian kulminiert, sind im Ziffernblatt mit den vier Anfangsbuchstaben dieser vier Städte markiert. Das Datum kann im Liniendiagramm in der Mitte der Sonnenuhr abgelesen werden. Das Sonnenlicht, das durch die zentrale Lochblende im Stern am Schattenstab auf die Turmfläche fällt, beschreibt im Laufe eines Tages Bögen, die im Monatsabstand in horizontaler Richtung aufgetragen sind. Die dargestellten Bögen entsprechen den zwölf Tagen im Sonnenjahr, an denen sich die Sonne jeweils auf der Grenze zwischen zwei Lebewesenkreiszeichen des Zodiaks befindet, die innerhalb des Ziffernblatts als astronomische Symbole und außen als bildliche Darstellungen markiert sind. Der oberste Bogen (Tropicus Capricornici<ref>'''''Anmerkung:''' Die Schreibweise mit "ci" am Ende ist ungewöhnlich und scheint vom neulateinischen Adjektiv "capricornicus" ("steinböckisch") abgeleitet worden zu sein. Die übliche Schreibweise ist "Capricorni".''</ref> = südlicher Wendekreis des Steinbocks) beschreibt den Tagesbogen bei der Wintersonnenwende, der unterste Bogen (Tropicus Cancri = nördlicher Wendekreis des Krebses) beschreibt den Tagesbogen bei der Sommersonnenwende. Die mit "Aequator" beschriftete, exakt horizontale und gerade Linie beschreibt die Tagesbögen zu den beiden Tag-und-Nacht-Gleichen im Frühling und im Herbst, bei denen die Sonne genau im Osten aufgeht und genau im Westen untergeht. Die Aufnahme wurde am 16. August (2025) gemacht, als die Sonne eine ekliptikale Länge von 143,5&nbsp;Bogengrad hatte und somit sechs Tage vor dem Erreichen der Grenze zum Sternbild Jungfrau noch im Sternbild Löwe stand. Da im Sommer aus politischen Gründen eine Stunde hochgezählt werden musste, war die amtliche Zeit zum Zeitpunkt der Aufnahme im obenstehenden Bild bereits 10:55&nbsp;Uhr (MESZ), was der mittleren Zeit auf dem Bezugsmeridian von 9:55&nbsp;Uhr (MEZ) entspricht. Auf der Sonnenuhr konnte zu diesem Zeitpunkt auf dem Schnittpunkt des Schattenzeigers mit dem Bogen des Ziffernblatts für die Stunden des Tages für die wahre Sonnenzeit die Uhrzeit 9:37&nbsp;Uhr abgelesen werden. Märstetten befindet sich knapp sechs Grad westlich vom 15-Grad-Bezugsmeridian der mitteleuropäischen Zeitzone. Dies bedeutet, dass die Sonne beim Kirchturm in Märstetten erst 23&nbsp;Minuten später als auf dem Bezugsmeridian ihren Höchststand erreicht. Die mittlere Ortszeit betrug also 9:32&nbsp;Uhr (MOZ). Aus der Zeitgleichung ergibt sich für den 16.&nbsp;August gegenüber der mittleren Ortszeit eine Verzögerung der wahren Ortszeit um knapp fünf Minuten, so dass diese 9:37&nbsp;Uhr (WOZ) betrug, was der abgelesen Uhrzeit auf dem Ziffernblatt der Sonnenuhr entspricht. == Sonnenbeobachtung == Die Sonnenbahn wurde schon in der Steinzeit von verschiedenen Orten der Erde aus regelmäßig beobachtet. Es gibt zahllose {{w|Sonnenuhr|Sonnenuhren}}, mit denen die Ortszeit abgelesen werden kann, wenn die Sonne am Himmel zu sehen ist. Im Altertum sind aber auch viele größere Anlagen errichtet worden, mit denen die Auf- und Untergangsorte am Horizont beobachtet werden konnten. Hierzu zählen beispielsweise die zahlreichen als Sonnenobservatorium nutzbaren {{w|Kreisgrabenanlage|Kreisgrabenanlagen}} oder Ringheiligtümer in Mitteleuropa genauso wie manche Tempelanlagen auf Malta. In der folgenden Tabelle sind einige aufgeführt: {| class="wikitable" style="text-align:left" |+ Astronomische Beobachtungsstätten im Altertum !Name !Art !Ort !Datierung |- |'''[[Astronomie von der Frühgeschichte bis zur Neuzeit/ Kalenderführung#Goseck|Kreisgrabenanlage von Goseck]]''' |Sonnenobservatorium |Burgenlandkreis, Sachsen-Anhalt, Europa |4900 vor Christus |- |'''{{w|Nabta-Playa}}''' |Steinkreis |Nubische Wüste, Afrika |um 4000 vor Christus |- |'''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Mondzyklen#Der_Kalenderstein_vom_Tempel_Mnajdra|Mnajdra]]''' |Sonnentempel / Kalenderstein |Malta, Mittelmeer |3800 vor Christus |- |'''{{w|Kokino}}''' |Megalithische Sternwarte |Staro Nagoričane, Nordmazedonien, Europa |3800 vor Christus |- |'''{{w|Stonehenge}}''' |Megalith-Bauwerk |Amesbury, Wiltshire, Süd-England |3000 vor Christus |- |'''{{w|Yazılıkaya}}''' |Sonnenheiligtum |Çorum, Türkei, Kleinasien |13. Jahrhundert vor Christus |- |'''{{w|Santa Cristina (Brunnenheiligtum)|Santa Cristina}}''' |Brunnenheiligtum (größte Mondwende) |Sardinien, Mittelmeer |11. Jahrhundert vor Christus |- |'''{{w|Chanquillo}}''' |Präkolumbischer Komplex der Prä-Inka-Kulturen (Sonnenobservatorium) |Bei Casma, Peru |3. Jahrhundert vor Christus |- |'''[[Astronomie_von_der_Frühgeschichte_bis_zur_Neuzeit/_Das_Belchen-System|Belchen-System]]''' |Bergsystem |Vogesen, Schwarzwald, Jura |unbekannt |} == Einzelnachweise == <references></references> 9burnpn6mt7zr4b9gqejc5e19tus933 0 121624 1093449 1088965 2026-11-06T12:31:23Z Bautsch 35687 einheitlich " pro" 1093449 wikitext text/x-wiki [[Datei:Karl Popper1990.jpg|mini|Karl Popper im Jahr&nbsp;1990.]] Lassen wir zunächst dem Philosophen {{w|'''Karl Popper'''}} (1902–1994) das Wort, indem wir ihn aus dem ersten Band seiner "Vermutungen und Widerlegungen: das Wachstum der wissenschaftlichen Erkenntnis" zitieren:<ref>Karl Popper: ''Vermutungen und Widerlegungen: das Wachstum der wissenschaftlichen Erkenntnis'', Band I, Tübingen, Seite 43, 1963</ref> <blockquote> ''Es dürfte uns guttun, uns manchmal daran zu erinnern,''</br> ''dass wir zwar in dem Wenigen, das wir wissen, sehr verschieden sein mögen,''</br> ''dass wir aber in unserer grenzenlosen Unwissenheit alle gleich sind.'' </blockquote> Die Astronomie nimmt einen sehr anspruchsvollen Rang unter den vier freien Künsten des Quadriviums ein, da die anderen drei Künste eine wesentliche Voraussetzung für die ernsthafte und fruchtbringende Beschäftigung mit ihr darstellen. Ohne das Verständnis der harmonischen Schwingungsverhältnisse bei musikalischen Intervallen, ohne die Beherrschung der Gesetze der Arithmetik und ohne Kenntnisse in der Geometrie könnte wohl kaum erfolgreiche Astronomie betrieben werden. Es ist vielleicht angebracht, darauf hinzuweisen, dass naturwissenschaftliche Kenntnisse über den Himmel und das Verständnis der Astronomie nicht nur nutzbringende, sondern sogar wesentliche Voraussetzungen für die umfassende und ernsthafte Beschäftigung mit Mythen oder Religionen sind. Um den wahren Charakter der Natur und des Kosmos erkennen zu können, ist eine ausdauernde Beschäftigung mit deren vielfältigen Ausprägungen und Erscheinungen erforderlich. Mit dem Interesse an der damit verbundenen und zu erarbeitenden Wahrheit kann man auf dem Weg zur Weisheit vorankommen. Der vierte von sieben Bußpsalmen ist beispielsweise der '''Psalm 51''', der unter anderem mit ''Bitte um Vergebung und Neuschaffung'' überschrieben wird. Im achten Vers dieses Psalms werden in den verschiedenen Textfassungen die Begriffe ''Wahrheit'' und ''Weisheit'' interpretiert, die einem bekennenden Sünder Umkehr und Reinigung ermöglichen: <blockquote> '''Septuaginta''': ''ἰδοὺ γὰρ '''ἀλήθειαν''' ἠγάπησας, τὰ ἄδηλα καὶ τὰ κρύφια τῆς '''σοφίας''' σου ἐδήλωσάς μοι.''</br> :''Denn siehe, du hast die '''Wahrheit''' geliebt, du hast mir die verborgenen und geheimen Dinge der '''Weisheit''' offenbart.''</br> '''Vulgata''': ''Ecce enim '''veritatem''' in corde dilexisti et in occulto '''sapientiam''' manifestasti mihi.''</br> :''Denn siehe, du hast die '''Wahrheit''' in deinem Herzen geschätzt und mir im Geheimen '''Weisheit''' offenbart.''</br> '''Erich Zenger''' (2000): ''Siehe, '''Wahrheit''' willst du im Innersten, und im Verborgenen lässt du mich '''Weisheit''' erkennen.''</br> '''Einheitsübersetzung''' (2016): ''Siehe, an '''Treue''' im Innersten hast du Gefallen, im Verborgenen lehrst du mich '''Weisheit'''.''</br> '''Lutherbibel''' (2017): ''Siehe, du liebst '''Wahrheit''', die im Verborgenen liegt, und im Geheimen tust du mir '''Weisheit''' kund.'' </blockquote> [[Datei:Neun.magische.astronomische.Zahlen.png|mini|rechts|Neun magische astronomische Zahlen mit den Summen der zweier Vorgänger<br/>2 = Sonne und Mond<br/>5 = sichtbare Planeten<br/>7 = Tage pro Mondviertel<br/>12 = Monate pro Jahr<br/>19 = Jahre pro Meton-Periode<br/>3 = Monate pro Jahreszeit<br/>4 = Jahreszeiten pro Jahr<br/>11 = Tagesdifferenz pro Lunisolarjahr<br/>18 = Jahre pro Saros-Periode]] Der Nachthimmel beeindruckt die meisten Beobachter aber auch durch seine überaus große Schönheit. Die Urania war im antiken Griechenland die Schutzgöttin der Sternkunde. Sie wurde im 17.&nbsp;Jahrhundert in Frankreich in einem {{w|'''Air de Cour'''}} besungen: '''Französischer Originaltext''': <blockquote> ''Je suis ravi de mon Uranie,''<br/> ''Toute beauté pres d'elle est ternie;''<br/> ''Jamais l'amour dedans ces bois''<br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;''n'en a fait voir, n'y régner de pareille.''<br/> ''C'est une merveille,''<br/> ''Sa seule voix peut dompter, et sousmettre les plus grands Roys.'' </blockquote> '''Übersetzung''': <blockquote> ''Ich bin entzückt von meiner Urania,''<br/> ''Alle Schönheit in ihrer Nähe ist verblasst;''<br/> ''Niemals hat die Liebe in diesen Wäldern''<br/> &nbsp;&nbsp;&nbsp;''weder so etwas vorgewiesen noch solches verbreitet.''<br/> ''Das ist ein Wunder,''<br/> ''Allein ihre Stimme kann die mächtigsten Könige bezwingen und unterwerfen.'' </blockquote> [[Datei:Je.suis.ravi.de.mon.Uranie.ogg|mini|360px|links|Air de Cour "Je suis ravi de mon Uranie" von Étienne Moulinié (1625) interpretiert von Hauptautor dieses Wikibooks.]] <div style="clear:both"></div> == Einzelnachweise == <references></references> by3wvq6y0db6p47l3mpyty3ktexfkia 0 123349 1093477 1093232 2026-11-06T19:52:32Z Jowi-ammerbuch 115360 /* Ellipsen (Ellipses) */ 1093477 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) '''position(RIGHT)''' #square(25) '''position(BACK)''' #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. === realign= (ellipse-Argument) === Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: [[Datei:BOSL2-ellipse-realign.png|mini|zentriert|alternativtext=realign=true|#ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, '''realign=true''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, realign=true); </pre> === circum= (ellipse-Argument) === [[Datei:BOSL2-ellipse-circum.png|mini|zentriert|alternativtext=circum=true|Vergleich: rot (außen) mit circum=true und blau (innen) ohne circum. Referenz: idealer Kreis in gelb.]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("red") ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color("yellow") ellipse(d=100, $fn=360); color("blue") ellipse(d=100, $fn=6); </pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis '''umschreibt''', anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis ''einschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis ''umschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> === Ellipse mit 2 Radien === Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: [[Datei:BOSL2-ellipse-2Radien.png|mini|zentriert|alternativtext=2 Radien|ellipse('''r=[30,20]''');]] ==== r=[r1,r2] ==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> ==== d=[d1,d2]==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> ==== ellipse mit anchor ==== Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: [[Datei:BOSL2-ellipse-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit anchor|ellipse(d=[50,20], '''anchor=BACK'''); #ellipse(d=[50,20], '''anchor=FRONT''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=[50,20], anchor=BACK); #ellipse(d=[50,20], anchor=FRONT); </pre> ==== ellipse mit attach ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit attach|ellipse(d=50) '''attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT)''' #ellipse(d=[40,20]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30);</pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. Um ein einfaches Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> o535plj9rwrltoib5kbk46duhlj37rt 1093478 1093477 2026-11-06T19:57:47Z Jowi-ammerbuch 115360 /* ellipse mit attach */ 1093478 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) '''position(RIGHT)''' #square(25) '''position(BACK)''' #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. === realign= (ellipse-Argument) === Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: [[Datei:BOSL2-ellipse-realign.png|mini|zentriert|alternativtext=realign=true|#ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, '''realign=true''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, realign=true); </pre> === circum= (ellipse-Argument) === [[Datei:BOSL2-ellipse-circum.png|mini|zentriert|alternativtext=circum=true|Vergleich: rot (außen) mit circum=true und blau (innen) ohne circum. Referenz: idealer Kreis in gelb.]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("red") ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color("yellow") ellipse(d=100, $fn=360); color("blue") ellipse(d=100, $fn=6); </pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis '''umschreibt''', anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis ''einschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis ''umschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> === Ellipse mit 2 Radien === Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: [[Datei:BOSL2-ellipse-2Radien.png|mini|zentriert|alternativtext=2 Radien|ellipse('''r=[30,20]''');]] ==== r=[r1,r2] ==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> ==== d=[d1,d2]==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> ==== ellipse mit anchor ==== Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: [[Datei:BOSL2-ellipse-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit anchor|ellipse(d=[50,20], '''anchor=BACK'''); #ellipse(d=[50,20], '''anchor=FRONT''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=[50,20], anchor=BACK); #ellipse(d=[50,20], anchor=FRONT); </pre> ==== ellipse mit attach ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit attach|ellipse(d=50) '''attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT)''' #ellipse(d=[40,20]);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30); </pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> ==== ellipse mit spin ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach-spin-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=spin = 90 bei ellipse|ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], '''spin=90''', anchor=LEFT);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], spin=90, anchor=LEFT); </pre> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. Um ein einfaches Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> hjsfa5679oudwjgull376zosdlb12mj 1093479 1093478 2026-11-06T20:44:22Z Jowi-ammerbuch 115360 /* Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) */ 1093479 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) '''position(RIGHT)''' #square(25) '''position(BACK)''' #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. === realign= (ellipse-Argument) === Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: [[Datei:BOSL2-ellipse-realign.png|mini|zentriert|alternativtext=realign=true|#ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, '''realign=true''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, realign=true); </pre> === circum= (ellipse-Argument) === [[Datei:BOSL2-ellipse-circum.png|mini|zentriert|alternativtext=circum=true|Vergleich: rot (außen) mit circum=true und blau (innen) ohne circum. Referenz: idealer Kreis in gelb.]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("red") ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color("yellow") ellipse(d=100, $fn=360); color("blue") ellipse(d=100, $fn=6); </pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis '''umschreibt''', anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis ''einschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis ''umschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> === Ellipse mit 2 Radien === Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: [[Datei:BOSL2-ellipse-2Radien.png|mini|zentriert|alternativtext=2 Radien|ellipse('''r=[30,20]''');]] ==== r=[r1,r2] ==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> ==== d=[d1,d2]==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> ==== ellipse mit anchor ==== Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: [[Datei:BOSL2-ellipse-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit anchor|ellipse(d=[50,20], '''anchor=BACK'''); #ellipse(d=[50,20], '''anchor=FRONT''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=[50,20], anchor=BACK); #ellipse(d=[50,20], anchor=FRONT); </pre> ==== ellipse mit attach ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit attach|ellipse(d=50) '''attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT)''' #ellipse(d=[40,20]);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30); </pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> ==== ellipse mit spin ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach-spin-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=spin = 90 bei ellipse|ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], '''spin=90''', anchor=LEFT);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], spin=90, anchor=LEFT); </pre> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: [[Datei:BOSL2-right triangle.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30])|right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() bei right_triangle === Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: [[Datei:BOSL2-right triangle xflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triange mit xflip()|right_triangle([40,30]); '''xflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> === yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit yflip()|right_triangle([40,30]); '''yflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() & yflip() bei right_triangle === <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === spin= bei right_triangle === Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: [[Datei:BOSL2-right triangle spin.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit spin=90)|right_triangle([40,30]); #right_triangle([40,30], '''spin=90''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. Um ein einfaches Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> rcf5bcg2h8e17xhpsr821feznj17q21 1093480 1093479 2026-11-06T20:50:54Z Jowi-ammerbuch 115360 /* xflip() & yflip() bei right_triangle */ 1093480 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) '''position(RIGHT)''' #square(25) '''position(BACK)''' #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. === realign= (ellipse-Argument) === Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: [[Datei:BOSL2-ellipse-realign.png|mini|zentriert|alternativtext=realign=true|#ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, '''realign=true''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, realign=true); </pre> === circum= (ellipse-Argument) === [[Datei:BOSL2-ellipse-circum.png|mini|zentriert|alternativtext=circum=true|Vergleich: rot (außen) mit circum=true und blau (innen) ohne circum. Referenz: idealer Kreis in gelb.]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("red") ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color("yellow") ellipse(d=100, $fn=360); color("blue") ellipse(d=100, $fn=6); </pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis '''umschreibt''', anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis ''einschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis ''umschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> === Ellipse mit 2 Radien === Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: [[Datei:BOSL2-ellipse-2Radien.png|mini|zentriert|alternativtext=2 Radien|ellipse('''r=[30,20]''');]] ==== r=[r1,r2] ==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> ==== d=[d1,d2]==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> ==== ellipse mit anchor ==== Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: [[Datei:BOSL2-ellipse-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit anchor|ellipse(d=[50,20], '''anchor=BACK'''); #ellipse(d=[50,20], '''anchor=FRONT''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=[50,20], anchor=BACK); #ellipse(d=[50,20], anchor=FRONT); </pre> ==== ellipse mit attach ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit attach|ellipse(d=50) '''attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT)''' #ellipse(d=[40,20]);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30); </pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> ==== ellipse mit spin ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach-spin-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=spin = 90 bei ellipse|ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], '''spin=90''', anchor=LEFT);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], spin=90, anchor=LEFT); </pre> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: [[Datei:BOSL2-right triangle.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30])|right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() bei right_triangle === Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: [[Datei:BOSL2-right triangle xflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triange mit xflip()|right_triangle([40,30]); '''xflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> === yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit yflip()|right_triangle([40,30]); '''yflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() & yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle xflip yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=xflip() yflip()|right_triangle([40,30]); xflip() yflip() #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === spin= bei right_triangle === Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: [[Datei:BOSL2-right triangle spin.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit spin=90)|right_triangle([40,30]); #right_triangle([40,30], '''spin=90''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. Um ein einfaches Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> hbexzl5fit5i6c0uznjd5ut1oxf8shg 1093490 1093480 2026-11-07T10:11:19Z Jowi-ammerbuch 115360 /* Trapeze (Trapezoids) */ 1093490 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) '''position(RIGHT)''' #square(25) '''position(BACK)''' #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. === realign= (ellipse-Argument) === Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: [[Datei:BOSL2-ellipse-realign.png|mini|zentriert|alternativtext=realign=true|#ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, '''realign=true''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, realign=true); </pre> === circum= (ellipse-Argument) === [[Datei:BOSL2-ellipse-circum.png|mini|zentriert|alternativtext=circum=true|Vergleich: rot (außen) mit circum=true und blau (innen) ohne circum. Referenz: idealer Kreis in gelb.]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("red") ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color("yellow") ellipse(d=100, $fn=360); color("blue") ellipse(d=100, $fn=6); </pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis '''umschreibt''', anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis ''einschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis ''umschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> === Ellipse mit 2 Radien === Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: [[Datei:BOSL2-ellipse-2Radien.png|mini|zentriert|alternativtext=2 Radien|ellipse('''r=[30,20]''');]] ==== r=[r1,r2] ==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> ==== d=[d1,d2]==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> ==== ellipse mit anchor ==== Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: [[Datei:BOSL2-ellipse-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit anchor|ellipse(d=[50,20], '''anchor=BACK'''); #ellipse(d=[50,20], '''anchor=FRONT''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=[50,20], anchor=BACK); #ellipse(d=[50,20], anchor=FRONT); </pre> ==== ellipse mit attach ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit attach|ellipse(d=50) '''attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT)''' #ellipse(d=[40,20]);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30); </pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> ==== ellipse mit spin ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach-spin-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=spin = 90 bei ellipse|ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], '''spin=90''', anchor=LEFT);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], spin=90, anchor=LEFT); </pre> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: [[Datei:BOSL2-right triangle.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30])|right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() bei right_triangle === Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: [[Datei:BOSL2-right triangle xflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triange mit xflip()|right_triangle([40,30]); '''xflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> === yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit yflip()|right_triangle([40,30]); '''yflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() & yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle xflip yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=xflip() yflip()|right_triangle([40,30]); xflip() yflip() #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === spin= bei right_triangle === Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: [[Datei:BOSL2-right triangle spin.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit spin=90)|right_triangle([40,30]); #right_triangle([40,30], '''spin=90''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. === Dreieck === Um ein gleichseitiges Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: [[Datei:BOSL2-trapezoid dreieck.png|mini|zentriert|alternativtext=Dreieck|trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);<br> Dreieck mit Seitenlänge = 50]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> === Trapez === Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: [[Datei:BOSL2-trapezoid trapez.png|mini|zentriert|alternativtext=Trapez|trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> === Parallelogramm === Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: [[Datei:BOSL2-trapezoid parallelogram.png|mini|zentriert|alternativtext=Parallelogramm|trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> === Viereck === Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: [[Datei:BOSL2-trapezoid viereck.png|mini|zentriert|alternativtext=Viereck|trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> t708o4ysqknz4mhtsxj068j2fh05ep7 1093491 1093490 2026-11-07T10:15:14Z Jowi-ammerbuch 115360 /* Dreieck */ 1093491 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) '''position(RIGHT)''' #square(25) '''position(BACK)''' #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. === realign= (ellipse-Argument) === Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: [[Datei:BOSL2-ellipse-realign.png|mini|zentriert|alternativtext=realign=true|#ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, '''realign=true''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, realign=true); </pre> === circum= (ellipse-Argument) === [[Datei:BOSL2-ellipse-circum.png|mini|zentriert|alternativtext=circum=true|Vergleich: rot (außen) mit circum=true und blau (innen) ohne circum. Referenz: idealer Kreis in gelb.]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("red") ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color("yellow") ellipse(d=100, $fn=360); color("blue") ellipse(d=100, $fn=6); </pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis '''umschreibt''', anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis ''einschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis ''umschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> === Ellipse mit 2 Radien === Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: [[Datei:BOSL2-ellipse-2Radien.png|mini|zentriert|alternativtext=2 Radien|ellipse('''r=[30,20]''');]] ==== r=[r1,r2] ==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> ==== d=[d1,d2]==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> ==== ellipse mit anchor ==== Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: [[Datei:BOSL2-ellipse-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit anchor|ellipse(d=[50,20], '''anchor=BACK'''); #ellipse(d=[50,20], '''anchor=FRONT''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=[50,20], anchor=BACK); #ellipse(d=[50,20], anchor=FRONT); </pre> ==== ellipse mit attach ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit attach|ellipse(d=50) '''attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT)''' #ellipse(d=[40,20]);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30); </pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> ==== ellipse mit spin ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach-spin-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=spin = 90 bei ellipse|ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], '''spin=90''', anchor=LEFT);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], spin=90, anchor=LEFT); </pre> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: [[Datei:BOSL2-right triangle.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30])|right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() bei right_triangle === Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: [[Datei:BOSL2-right triangle xflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triange mit xflip()|right_triangle([40,30]); '''xflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> === yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit yflip()|right_triangle([40,30]); '''yflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() & yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle xflip yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=xflip() yflip()|right_triangle([40,30]); xflip() yflip() #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === spin= bei right_triangle === Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: [[Datei:BOSL2-right triangle spin.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit spin=90)|right_triangle([40,30]); #right_triangle([40,30], '''spin=90''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. === Dreieck === Um ein gleichseitiges Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: [[Datei:BOSL2-trapezoid dreieck.png|mini|zentriert|alternativtext=Dreieck|trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);<br> Dreieck mit Seitenlänge = 50]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: [[Datei:BOSL2-trapezoid dreieck-rechtwinklig.png|mini|zentriert|alternativtext=Rechtwinkliges Dreieck|trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> === Trapez === Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: [[Datei:BOSL2-trapezoid trapez.png|mini|zentriert|alternativtext=Trapez|trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> === Parallelogramm === Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: [[Datei:BOSL2-trapezoid parallelogram.png|mini|zentriert|alternativtext=Parallelogramm|trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> === Viereck === Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: [[Datei:BOSL2-trapezoid viereck.png|mini|zentriert|alternativtext=Viereck|trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=20);</pre> Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> rvzl8isu77fwp6rp6l6o09ss65nqls1 1093492 1093491 2026-11-07T10:45:37Z Jowi-ammerbuch 115360 /* Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) */ 1093492 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) '''position(RIGHT)''' #square(25) '''position(BACK)''' #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. === realign= (ellipse-Argument) === Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: [[Datei:BOSL2-ellipse-realign.png|mini|zentriert|alternativtext=realign=true|#ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, '''realign=true''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, realign=true); </pre> === circum= (ellipse-Argument) === [[Datei:BOSL2-ellipse-circum.png|mini|zentriert|alternativtext=circum=true|Vergleich: rot (außen) mit circum=true und blau (innen) ohne circum. Referenz: idealer Kreis in gelb.]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("red") ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color("yellow") ellipse(d=100, $fn=360); color("blue") ellipse(d=100, $fn=6); </pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis '''umschreibt''', anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis ''einschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis ''umschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> === Ellipse mit 2 Radien === Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: [[Datei:BOSL2-ellipse-2Radien.png|mini|zentriert|alternativtext=2 Radien|ellipse('''r=[30,20]''');]] ==== r=[r1,r2] ==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> ==== d=[d1,d2]==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> ==== ellipse mit anchor ==== Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: [[Datei:BOSL2-ellipse-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit anchor|ellipse(d=[50,20], '''anchor=BACK'''); #ellipse(d=[50,20], '''anchor=FRONT''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=[50,20], anchor=BACK); #ellipse(d=[50,20], anchor=FRONT); </pre> ==== ellipse mit attach ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit attach|ellipse(d=50) '''attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT)''' #ellipse(d=[40,20]);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30); </pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> ==== ellipse mit spin ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach-spin-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=spin = 90 bei ellipse|ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], '''spin=90''', anchor=LEFT);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], spin=90, anchor=LEFT); </pre> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: [[Datei:BOSL2-right triangle.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30])|right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() bei right_triangle === Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: [[Datei:BOSL2-right triangle xflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triange mit xflip()|right_triangle([40,30]); '''xflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> === yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit yflip()|right_triangle([40,30]); '''yflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() & yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle xflip yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=xflip() yflip()|right_triangle([40,30]); xflip() yflip() #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === spin= bei right_triangle === Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: [[Datei:BOSL2-right triangle spin.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit spin=90)|right_triangle([40,30]); #right_triangle([40,30], '''spin=90''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. === Dreieck === Um ein gleichseitiges Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: [[Datei:BOSL2-trapezoid dreieck.png|mini|zentriert|alternativtext=Dreieck|trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);<br> Dreieck mit Seitenlänge = 50]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: [[Datei:BOSL2-trapezoid dreieck-rechtwinklig.png|mini|zentriert|alternativtext=Rechtwinkliges Dreieck|trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> === Trapez === Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: [[Datei:BOSL2-trapezoid trapez.png|mini|zentriert|alternativtext=Trapez|trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> === Parallelogramm === Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: [[Datei:BOSL2-trapezoid parallelogram.png|mini|zentriert|alternativtext=Parallelogramm|trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> === Viereck === Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: [[Datei:BOSL2-trapezoid viereck.png|mini|zentriert|alternativtext=Viereck|trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: === Pentagon (d=<Durchmesser>) === [[Datei:BOSL2-Pentagon.png|mini|zentriert|alternativtext=Pentagon|pentagon(d=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> === Hexagon (d=<Durchmesser>) === <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> [[Datei:BOSL2-Hexagon.png|mini|zentriert|alternativtext=Hexagon| hexagon(d=50);]] === Octagon (d= <Durchmesser>) === [[Datei:BOSL2-Octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=octagon(d=50);|octagon(d=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> === regular_ngon (n=<Seitenanzahl>, d=<Durchmesser>) === [[Datei:BOSL2-regular ngon.png|mini|zentriert|alternativtext=regular_ngon|regular_ngon(n=7, d=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> === side=<Seitenlänge> === Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: [[Datei:BOSL2-Hexagon side50.png|mini|zentriert|alternativtext=hexagon(side=50);|hexagon(side=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=50);</pre> === ir = <Radius> / id = <Durchmesser> === Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> === realign=true/false === Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> === rounding = <Rundung> === Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> === show_anchors() === Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> === Ankerpunkte für Seiten und Spitzen === n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> bjd5xlh3pv0tlwt47mnfkp0azboldiq 1093493 1093492 2026-11-07T10:46:22Z Jowi-ammerbuch 115360 /* Hexagon (d=) */ 1093493 wikitext text/x-wiki {{MyNavi |zurück = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-Distributoren|Zurück]] |buch = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2|BOSL2-Inhalt]] |weiter = [[OpenSCAD Benutzerhandbuch/_BOSL2-3D|Weiter]] }} == 2D Grundformen (2D Primitive) == OpenSCAD bietet zwei eingebaute 2D-Grundformen: <code>square()</code> und <code>circle()</code>. Du kannst sie weiterhin auf die gewohnte Weise verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(r=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=100, $fn=8);</pre> Diese Module wurden in der BOSL2-Bibliothek in drei Bereichen erweitert: Verankerung (Anchoring), Drehung (Spin) und Anhängbarkeit (Attachability). <span id="verankerung-anchoring"></span> === Verankerung (Anchoring): === Wenn du ein <code>square()</code> erstellst, kannst du angeben, welche Ecke oder Seite am Ursprung verankert werden soll. Dies ersetzt das <code>center=</code>-Argument und ist flexibler. Das <code>anchor=</code>-Argument nimmt einen Vektor als Wert entgegen, der in grober Richtung der Seite oder Ecke zeigt, die du am Ursprung ausrichten möchtest. === anchor=[0,1] oder anchor=BACK === [[Datei:BOSL2-anchor-0-1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=[0,1]);|square([60,40], '''anchor=[0,1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=BACK''');]] Um beispielsweise das '''Zentrum der hinteren Kante am Ursprung''' auszurichten, setzt du den Anker auf <code>[0,1]</code>: <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,1]); </pre> Mit den leichter verständlichen vordefinierten '''Vektor-Konstanten''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK+CENTER); </pre> === anchor=[1,-1] oder anchor=RIGHT+FRONT === Um die '''vordere rechte Ecke am Ursprung''' auszurichten: [[Datei:BOSL2-anchor-1 -1.png|mini|zentriert|alternativtext=anchor=RIGHT+FRONT);|square([60,40], '''anchor=[1,-1]''');<br> Oder: square([60,40], '''anchor=RIGHT+FRONT''');]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[1,-1]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=RIGHT+FRONT); </pre> === anchor=[0,0] oder anchor=CENTER '''Fetter Text'''=== Um es zu '''zentrieren''': <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=[0,0]); </pre> '''Mit Vektor-Konstanten:''' <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER); </pre> === Vektor-Konstanten am Rechteck === Um die Angabe von Vektoren übersichtlicher zu gestalten, sind mehrere Standard-Vektorkonstanten definiert: [[Datei:BOSL2-anchor-Konstanten-Rechteck.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=BOSL2 vordefinierte anchor-Konstanten|Die in BOSL2 vordefinierten anchor-Konstanten]] {| class="wikitable" |- ! Konstante ! Richtung ! Wert |- | LEFT | X- | [-1, 0, 0] |- | RIGHT | X+ | [ 1, 0, 0] |- | FRONT / FORWARD / FWD | Y- | [ 0,-1, 0] |- | BACK | Y+ | [ 0, 1, 0] |- | BOTTOM / BOT / BTM / DOWN | Z- | [ 0, 0,-1] (nur 3D) |- | TOP / UP | Z+ | [ 0, 0, 1] (nur 3D) |- | CENTER / CTR | Zentriert | [ 0, 0, 0] |} Beachte, dass du die meisten dieser Konstanten (außer <code>UP</code>/<code>DOWN</code> natürlich) auch für Anker bei 2D-Formen verwenden kannst, obwohl es sich um 3D-Vektoren handelt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER);</pre> Du kannst Vektoren addieren, um auf Ecken zu zeigen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=FRONT+RIGHT);</pre> === anchor = polar_to_xy === Für <code>circle()</code> kann der Ankervektor auf jeden beliebigen '''Punkt des Kreisumfangs''' zeigen: [[Datei:BOSL2-anchor-polar to xy-circle.png|gerahmt|zentriert|alternativtext=anchor = polar_to_xy|anchor = polar_to_xy(1,Alpha), für Alpha = 0, 45, 90, ...]] ==== Beispiel: anchor=polar_to_xy(1,45) ===== [[Datei:BOSL2-anchor-polar to 1-45-octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);|circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50, anchor=polar_to_xy(1,45), $fn = 8); </pre> Beachte, dass der Radius für den Anker keine Rolle spielt, da nur die Richtung des Ankers das Ergebnis beeinflusst. === show_anchors() === [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Du kannst die typischen Ankerpunkte sehen, indem du <code>show_anchors()</code> als Kind der Form übergibst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], center=true) show_anchors();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) show_anchors();</pre> <span id="drehung-spin"></span> === Drehung (Spin): === Die zweite Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist die Drehung (Spin). Wenn du die Form erstellst, kannst du sie mit dem <code>spin=</code>-Argument an Ort und Stelle drehen. Du übergibst einfach die Anzahl der Grad, um die sie im Uhrzeigersinn gedreht werden soll: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=CENTER, spin=30);</pre> Die Verankerung oder Zentrierung erfolgt vor der Drehung: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square([60,40], anchor=BACK, spin=30);</pre> Bei Kreisen kann Spin nützlich sein, wenn auch <code>$fn=</code> angegeben wird: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, spin=15);</pre> Da die Verankerung vor der Drehung erfolgt, kannst du beides zusammen verwenden, um um den Anker herum zu drehen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=6, anchor=LEFT, spin=15);</pre> <span id="anhängbarkeit-attachability"></span> === Anhängbarkeit (Attachability): === Die dritte Erweiterung von <code>square()</code> und <code>circle()</code> ist, dass du sie auf verschiedene Weise an Ankerpunkten zusammenhängen kannst. Dies geschieht, indem du eine Form zum Kind der Form machst, an die du sie anhängen möchtest. ==== Standard (ohne Spez. für anchor oder position) ==== Standardmäßig wird das Kind beim einfachen Untereinanderstellen im Zentrum der Elternform angehängt. [[Datei:BOSL2-attach-standard-normal.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50) #square(50);|square(50) #square(50);<br> Kind-Objekt (rot) wird ans Zentrum des Elternobjekts angehängt]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) #square(50); </pre> ==== anchor für child spezifiziert ==== [[Datei:BOSL2-attach-anchor-LEFTplusFWD.png|mini|zentriert|alternativtext=square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);|square(50, center=true)#square([20,40], '''anchor=LEFT+FWD''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) #square([20,40], anchor=LEFT+FWD);</pre> ==== position() ==== [[Datei:BOSL2-attach-position.png|mini|zentriert|alternativtext=position(RIGHT)|square(50) '''position(RIGHT)''' #square(25) '''position(BACK)''' #square(25);]] Durch Hinzufügen des <code>position()</code>-Moduls kannst du das Kind an jedem Ankerpunkt '''des Elternteils''' positionieren, das "Kindes-Kind wird am Ankerpunkt des übergeordneten Objekts positioniert: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> square(50) position(RIGHT) #square(25) position(BACK) #square(25); </pre> ==== orient() ==== Ankerpunkte sind jedoch nicht nur Positionen auf dem Elternteil. Sie haben auch eine Ausrichtung. In den meisten Fällen zeigt die Ausrichtung eines Ankerpunkts nach außen, weg von der Fläche der Wand, also im Allgemeinen vom Zentrum der Form weg. [[Datei:BOSL2-show anchor.png|mini|zentriert|show_anchors]] Wenn du das Kind so ausrichten möchtest, dass es der Ausrichtung eines Ankerpunkts entspricht, kannst du das <code>orient()</code>-Modul verwenden. Es positioniert das Kind nicht, es dreht es nur: [[Datei:BOSL2-attach-orient anchor.png|mini|zentriert|alternativtext= orient(anchor=LEFT+BOTTOM)|square(50) '''orient(anchor=LEFT+BOTTOM)''' #square([10,40]);]] <pre class="openscad">include <BOSL2/std.scad> square(50) orient(anchor=LEFT+BOTTOM) #square([10,40]);</pre> Das geht auch beim '''Kreis (circle)''' mit '''polar_to_xy''': [[Datei:BOSL2-attach-orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) ''' orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> ==== position() + orient() ==== Du kannst <code>position()</code> und <code>orient()</code> zusammen verwenden, um sowohl zu positionieren als auch an einem Ankerpunkt auszurichten: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50) position(polar_to_xy(1,30)) orient(polar_to_xy(1,30)) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit einem Argument === Aber es ist einfacher das <code>attach()</code>-Modul zu verwenden, um beides auf einmal zu erledigen: [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30))|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30))''' #square([10,40], anchor=FWD); ]] Gleiches Ergebnis, aber übersichtlicherer Code. <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; square(50, center=true) attach(LEFT+BACK) #square([10,40], anchor=FWD);</pre> === attach () mit zwei Argumenten === Anstatt den <code>anchor=</code> im Kind anzugeben, kannst du ein '''zweites Argument''' an <code>attach()</code> übergeben, das ihm sagt, welche Seite des Kindes mit dem Elternteil verbunden werden soll: <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> circle(d=50) attach(polar_to_xy(1,30), FWD) #square([10,40]); </pre> Damit lässt sich der Code noch mehr straffen. [[Datei:BOSL2-attach-position pluss orient polar to xy circle.png|mini|zentriert|alternativtext=attach(polar_to_xy(1,30), FWD)|circle(d=50) '''attach(polar_to_xy(1,30), FWD)''' #square([10,40]); ]] <span id="rechtecke-rectangles"></span> == Rechtecke (Rectangles) == === rect() === Die BOSL2-Bibliothek bietet eine Alternative zu <code>square()</code>, die mehr Funktionen unterstützt. Sie heißt <code>rect()</code>. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>square()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. === rect() mit rounding === [[Datei:BOSL2-rect rounding.png|mini|zentriert|alternativtext=rounding=10|rect([60,40], '''rounding=10''');]] rect() erlaubt dir, die Ecken des Rechtecks abzurunden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=10);</pre> === rect() mit chamfer === [[Datei:BOSL2-rect chamfer.png|mini|zentriert|alternativtext=rect([60,40], chamfer=10);|rect([60,40], '''chamfer=10''');]] Du kannst die Ecken des Rechtecks auch abfasen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=10);</pre> === Unterschiedliche Abrundungen und Fasen an einem Rechteck === Du kannst sogar angeben, welche Ecken abgerundet oder abgefast werden. Wenn du eine Liste mit vier Größenwerten an die <code>rounding=</code>- oder <code>chamfer=</code>-Argumente übergibst, erhält jede Ecke ihre eigene Größe. Der Reihe nach geht es von der hinteren rechten Ecke (Quadrant I) gegen den Uhrzeigersinn zur hinteren linken Ecke (Quadrant II), zur vorderen linken Ecke (Quadrant III) und zur vorderen rechten Ecke (Quadrant IV): Wenn eine Größe als <code>0</code> angegeben wird, gibt es keine Rundung und/oder Fase für die Ecke dieses Quadranten: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[0,5,10,15]);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], chamfer=[0,5,10,15]);</pre> Du kannst sowohl <code>rounding=</code>- als auch <code>chamfer=</code>-Argumente angeben, um Rundung und Fase zu mischen, aber nur, wenn du es pro Ecke angibst. Wenn du eine Rundung in einer Ecke möchtest, gib eine Fase von 0 für diese Ecke an und umgekehrt: [[Datei:BOSL2-rect chamfer-rounding-mixed.png|mini|zentriert|alternativtext=ounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]|rect([60,40], '''rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; rect([60,40], rounding=[5,0,10,0], chamfer=[0,5,0,15]);</pre> <span id="ellipsen-ellipses"></span> == Ellipsen (Ellipses) == Die BOSL2-Bibliothek bietet auch eine erweiterte Entsprechung von <code>circle()</code>, die <code>ellipse()</code> heißt. Du kannst sie genauso verwenden wie <code>circle()</code>, aber sie bietet auch erweiterte Funktionalität. Zum Beispiel erlaubt sie mehr Kontrolle über ihre Größe. Da ein Kreis in OpenSCAD nur durch ein regelmäßiges Polygon mit einer Anzahl gerader Seiten angenähert werden kann, kann dies zu Ungenauigkeiten in Größe und Form führen. Um dem entgegenzuwirken, werden auch die Argumente <code>realign=</code> und <code>circum=</code> bereitgestellt. === realign= (ellipse-Argument) === Das <code>realign=</code>-Argument rotiert, wenn es auf <code>true</code> gesetzt wird, die <code>ellipse()</code> um den halben Winkel zwischen den Polygonseiten: [[Datei:BOSL2-ellipse-realign.png|mini|zentriert|alternativtext=realign=true|#ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, '''realign=true''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> #ellipse(d=100, $fn=8); color("lime") ellipse(d=100, $fn=8, realign=true); </pre> === circum= (ellipse-Argument) === [[Datei:BOSL2-ellipse-circum.png|mini|zentriert|alternativtext=circum=true|Vergleich: rot (außen) mit circum=true und blau (innen) ohne circum. Referenz: idealer Kreis in gelb.]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> color("red") ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color("yellow") ellipse(d=100, $fn=360); color("blue") ellipse(d=100, $fn=6); </pre> Das <code>circum=</code>-Argument bewirkt, wenn es auf true gesetzt wird, dass das Polygon, das die <code>ellipse()</code> bildet, den idealen Kreis '''umschreibt''', anstatt ihn einzuschreiben. Den idealen Kreis ''einschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360); ellipse(d=100, $fn=6);</pre> Den idealen Kreis ''umschreiben'': <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=100, $fn=6, circum=true); color(&quot;green&quot;) ellipse(d=100, $fn=360);</pre> === Ellipse mit 2 Radien === Das <code>ellipse()</code>-Modul kann, wie der Name schon sagt, mit separaten X- und Y-Radien oder -Durchmessern angegeben werden. Dazu gibst du einfach <code>r=</code> oder <code>d=</code> mit einer Liste von zwei Radien oder Durchmessern an: [[Datei:BOSL2-ellipse-2Radien.png|mini|zentriert|alternativtext=2 Radien|ellipse('''r=[30,20]''');]] ==== r=[r1,r2] ==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(r=[30,20]);</pre> ==== d=[d1,d2]==== <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=[60,40]);</pre> ==== ellipse mit anchor ==== Wie bei <code>circle()</code> kannst du <code>ellipse()</code>-Formen verankern, drehen und anhängen: [[Datei:BOSL2-ellipse-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit anchor|ellipse(d=[50,20], '''anchor=BACK'''); #ellipse(d=[50,20], '''anchor=FRONT''');]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=[50,20], anchor=BACK); #ellipse(d=[50,20], anchor=FRONT); </pre> ==== ellipse mit attach ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach.png|mini|zentriert|alternativtext=ellipse mit attach|ellipse(d=50) '''attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT)''' #ellipse(d=[40,20]);]] <pre class="openscad"> include &lt;BOSL2/std.scad&gt; ellipse(d=50) attach(BACK+RIGHT, FRONT+LEFT) ellipse(d=30); </pre> <span id="rechtwinklige-dreiecke-right-triangles"></span> ==== ellipse mit spin ==== [[Datei:BOSL2-ellipse-attach-spin-anchor.png|mini|zentriert|alternativtext=spin = 90 bei ellipse|ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], '''spin=90''', anchor=LEFT);]] <pre class="openscad"> include <BOSL2/std.scad> ellipse(d=50) attach(BACK) #ellipse(d=[40,20], spin=90, anchor=LEFT); </pre> == Rechtwinklige Dreiecke (Right Triangles) == Die BOSL2-Bibliothek bietet eine einfache Möglichkeit, ein 2D-rechtwinkliges Dreieck mit dem <code>right_triangle()</code>-Modul zu erstellen: [[Datei:BOSL2-right triangle.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30])|right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() bei right_triangle === Du kannst <code>xflip()</code> und <code>yflip()</code> verwenden, um zu ändern, in welchem Quadranten das Dreieck gebildet wird: [[Datei:BOSL2-right triangle xflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triange mit xflip()|right_triangle([40,30]); '''xflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() right_triangle([40,30]);</pre> === yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit yflip()|right_triangle([40,30]); '''yflip()''' #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === xflip() & yflip() bei right_triangle === [[Datei:BOSL2-right triangle xflip yflip.png|mini|zentriert|alternativtext=xflip() yflip()|right_triangle([40,30]); xflip() yflip() #right_triangle([40,30]);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; xflip() yflip() right_triangle([40,30]);</pre> === spin= bei right_triangle === Oder alternativ einfach mit <code>spin=</code> in den richtigen Quadranten drehen: [[Datei:BOSL2-right triangle spin.png|mini|zentriert|alternativtext=right_triangle([40,30]) mit spin=90)|right_triangle([40,30]); #right_triangle([40,30], '''spin=90''');]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=90);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], spin=-90);</pre> Du kannst bei rechtwinkligen Dreiecken auch Verankerung verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; right_triangle([40,30], anchor=FWD+RIGHT);</pre> <span id="trapeze-trapezoids"></span> == Trapeze (Trapezoids) == OpenSCAD bietet keine einfache Möglichkeit, allgemeine 2D-Dreiecke, Trapeze oder Parallelogramme zu erstellen. Die BOSL2-Bibliothek kann all diese Formen mit dem <code>trapezoid()</code>-Modul bereitstellen. === Dreieck === Um ein gleichseitiges Dreieck zu erstellen, setze einfach eine der Breiten auf null: [[Datei:BOSL2-trapezoid dreieck.png|mini|zentriert|alternativtext=Dreieck|trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);<br> Dreieck mit Seitenlänge = 50]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=40);</pre> Um ein rechtwinkliges Dreieck zu erstellen, musst du das <code>shift=</code>-Argument verwenden, um die Rückseite des Trapezes entlang der X-Achse zu verschieben: [[Datei:BOSL2-trapezoid dreieck-rechtwinklig.png|mini|zentriert|alternativtext=Rechtwinkliges Dreieck|trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=0, h=50, shift=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=-25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=0, w2=50, h=50, shift=25);</pre> === Trapez === Du kannst ein Trapez erstellen, indem du für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) von null verschiedene Breiten angibst: [[Datei:BOSL2-trapezoid trapez.png|mini|zentriert|alternativtext=Trapez|trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50);</pre> === Parallelogramm === Ein Parallelogramm ist nur eine Frage der Verwendung der gleichen Breite für vorne und hinten, mit einer Verschiebung entlang der X-Achse: [[Datei:BOSL2-trapezoid parallelogram.png|mini|zentriert|alternativtext=Parallelogramm|trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=50, shift=20, h=50);</pre> === Viereck === Ein Viereck kann erstellt werden, indem ungleiche, von null verschiedene Breiten für vorne (<code>w1=</code>) und hinten (<code>w2=</code>) verwendet werden, wobei die Rückseite entlang der X-Achse verschoben wird: [[Datei:BOSL2-trapezoid viereck.png|mini|zentriert|alternativtext=Viereck|trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=50, w2=30, shift=20, h=50);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ausrichtungen der Ankerpunkte basieren jedoch auf den Seitenwinkeln der Flächen und sind möglicherweise nicht das, was du erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; trapezoid(w1=30, w2=50, h=50) show_anchors();</pre> <span id="regelmäßige-n-ecke-regular-n-gons"></span> == Regelmäßige n-Ecke (Regular N-Gons) == OpenSCAD ermöglicht es dir, regelmäßige n-Ecke (Fünfeck, Sechseck usw.) zu erstellen, indem du <code>circle()</code> mit <code>$fn</code> verwendest. Obwohl dies prägnant ist, mag es auf den ersten Blick weniger offensichtlich sein: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; circle(d=50, $fn=5);</pre> Die BOSL2-Bibliothek hat Module, die für gängige n-Ecke klarer benannt sind: === Pentagon (d=<Durchmesser>) === [[Datei:BOSL2-Pentagon.png|mini|zentriert|alternativtext=Pentagon|pentagon(d=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50);</pre> === Hexagon (d=<Durchmesser>) === [[Datei:BOSL2-Hexagon.png|mini|zentriert|alternativtext=Hexagon| hexagon(d=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50);</pre> === Octagon (d= <Durchmesser>) === [[Datei:BOSL2-Octagon.png|mini|zentriert|alternativtext=octagon(d=50);|octagon(d=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; octagon(d=50);</pre> === regular_ngon (n=<Seitenanzahl>, d=<Durchmesser>) === [[Datei:BOSL2-regular ngon.png|mini|zentriert|alternativtext=regular_ngon|regular_ngon(n=7, d=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; regular_ngon(n=7, d=50);</pre> === side=<Seitenlänge> === Diese Module bieten dir auch zusätzliche Funktionalität. Sie können nach Seitenlänge dimensioniert werden: [[Datei:BOSL2-Hexagon side50.png|mini|zentriert|alternativtext=hexagon(side=50);|hexagon(side=50);]] <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(side=50);</pre> === ir = <Radius> / id = <Durchmesser> === Sie können nach dem Radius/Durchmesser des umschriebenen Kreises dimensioniert werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(ir=25); pentagon(id=50);</pre> === realign=true/false === Sie können um eine halbe Seite gedreht werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) pentagon(d=50, realign=true); right(30) pentagon(d=50, realign=false);</pre> === rounding = <Rundung> === Sie können abgerundet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50, rounding=10);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50, rounding=10);</pre> === show_anchors() === Sie haben auch ein etwas anderes Anhangsverhalten. Ein Kreis mit einem kleinen <code>$fn=</code> hängt Dinge am idealen Kreis an, nicht entlang des erstellten Polygons: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; color(&quot;green&quot;) stroke(circle(d=50), closed=true); circle(d=50,$fn=6) show_anchors();</pre> Während ein n-Eck entlang des Polygons selbst anhängt: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; hexagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch darauf, wo der Ankervektor die Seite des n-Ecks schneiden würde, und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=50) show_anchors(custom=false);</pre> === Ankerpunkte für Seiten und Spitzen === n-Ecke haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Seiten und Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; pentagon(d=30) show_anchors(std=false);</pre> <span id="sterne-stars"></span> == Sterne (Stars) == Die BOSL2-Bibliothek hat Sterne als grundlegend unterstützte Form. Sie können eine beliebige Anzahl von Spitzen haben. Du kannst die Form eines Sterns durch Spitzenanzahl, innere und äußere Scheitelpunkt-Radius/-Durchmesser angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=3, id=10, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, id=15, r=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=10, id=30, d=50);</pre> Oder du kannst die Sternform durch Spitzenanzahl und Anzahl der zu überspringenden Punkte angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=2, d=50);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=7, step=3, d=50);</pre> Wenn dem <code>realign=</code>-Argument ein true-Wert übergeben wird, wird der Stern um einen halben Spitzenwinkel gedreht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; left(30) star(n=5, step=2, d=50); right(30) star(n=5, step=2, d=50, realign=true);</pre> Das <code>align_tip=</code>-Argument kann mit einem Vektor angegeben werden, damit du die erste Spitze in eine bestimmte Richtung ausrichten kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_tip=BACK+RIGHT) attach(&quot;tip0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Ebenso kann die erste Einbuchtung oder Grube mit <code>align_pit=</code> in Richtung eines bestimmten Vektors ausgerichtet werden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, ir=15, or=30, align_pit=BACK+RIGHT) attach(&quot;pit0&quot;) color(&quot;blue&quot;) anchor_arrow2d();</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=50) show_anchors(custom=false);</pre> Sterne haben auch benannte Ankerpunkte für ihre Gruben, Spitzen und Mittelpunkte zwischen den Spitzen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; star(n=5, step=2, d=40) show_anchors(std=false);</pre> <span id="tropfenform-2d-teardrop2d"></span> == Tropfenform 2D (Teardrop2D) == Beim 3D-Druck möchtest du oft ein kreisförmiges Loch in eine vertikale Wand machen. Wenn das Loch jedoch zu groß ist, kann der Überhang an der Oberseite des Lochs Probleme beim Drucken auf einem FDM/FFF-Drucker verursachen. Wenn du kein Stützmaterial verwenden möchtest, kannst du einfach die Tropfenform verwenden. Das <code>teardrop2d()</code>-Modul ermöglicht es dir, eine 2D-Version der Tropfenform zu erstellen, damit du sie später extrudieren kannst: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(r=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50);</pre> Der Standard-Überhangwinkel beträgt 45 Grad, aber du kannst ihn mit dem <code>ang=</code>-Argument anpassen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30);</pre> Wenn du es vorziehst, die Oberseite des Tropfens abzuflachen, um das Bridging zu fördern, kannst du das <code>cap_h=</code>-Argument verwenden: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, cap_h=25);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; teardrop2d(d=50, ang=30, cap_h=30) show_anchors();</pre> <span id="verklebte-kreise-glued-circles"></span> == Verklebte Kreise (Glued Circles) == Eine ungewöhnlichere Form, die BOSL2 bietet, sind verklebte Kreise (Glued Circles). Es handelt sich im Grunde um ein Paar von Kreisen, die durch etwas verbunden sind, das wie ein klebriger Meniskus aussieht: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Die <code>r=</code>/<code>d=</code>-Argumente können den Radius oder Durchmesser der beiden Kreise angeben: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(r=20, spread=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=45);</pre> Das <code>spread=</code>-Argument gibt den Abstand zwischen den Mittelpunkten der beiden Kreise an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=40);</pre> Das <code>tangent=</code>-Argument gibt den Winkel der Tangente des Meniskus an den beiden Kreisen an: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=45);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=20);</pre> <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=30, spread=30, tangent=-20);</pre> Eine nützliche Sache, die du tun kannst, ist, einige <code>glued_circle()</code>s in einer Linie anzuordnen und sie dann zu extrudieren, um eine gerippte Wand zu erstellen: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; $fn=36; s=10; linear_extrude(height=50,convexity=16,center=true) xcopies(s*sqrt(2),n=3) glued_circles(d=s, spread=s*sqrt(2), tangent=45);</pre> Du kannst <code>anchor=</code> und <code>spin=</code> verwenden, genau wie bei anderen anhängbaren Formen. Die Ankerpunkte basieren jedoch auf den äußersten Ausmaßen der Form und sind möglicherweise nicht dort, wo du sie erwartest: <pre class="openscad">include &lt;BOSL2/std.scad&gt; glued_circles(d=40, spread=40, tangent=45) show_anchors();</pre> cfcbnygz73nz6hg0piqpl9oru91asun