Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.39.0-wmf.21 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Gadget Gadget Diskussion Gadget-Definition Gadget-Definition Diskussion 4 2133 745609 745387 2022-07-21T22:00:04Z TaxonBot 19115 Bot: 1 Abschnitt nach [[Wikiversity:Cafeteria/Archiv/2022]] archiviert – letzte Bearbeitung: [[user:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] (20.07.2022 15:20:17) wikitext text/x-wiki {{Shortcut|WV:C}} {{Navigation Wikiversity}}{{Vorlage:Cafeteria}} {{Autoarchiv-Erledigt|Alter=3|Ziel='((Lemma))/Archiv/((Jahr))'|Übersicht=[[Wikiversity:Cafeteria/Archiv]]}} {{Autoarchiv|Alter=30|Mindestbeiträge=1|Mindestabschnitte=5|Ziel='Wikiversity:Cafeteria/Archiv/((Jahr))'}} {{bots|deny=Crochet.david.bot,ArthurBot}} [[ar:ويكي الجامعة:الميدان]] [[cs:Wikiverzita:Diskusní prostor]] [[el:Βικιεπιστήμιο:Βικιβήμα]] [[en:Wikiversity:Colloquium]] [[es:Wikiversidad:Claustro Wikiversitario]] [[fi:Wikiopisto:Kahvihuone]] [[fr:Wikiversité:La salle café]] [[it:Wikiversità:Bar]] [[ja:Wikiversity:談話室]] [[pt:Wikiversidade:Esplanada]] [[ru:Викиверситет:Портал сообщества]] [[sv:Wikiversity:Café]] __TOC__ [[Kategorie:Wikiversity]] [[Kategorie:Wikiversity:Gemeinschaft]] == Universal Code of Conduct News – Issue 1 == <section begin="ucoc-newsletter"/> <div style = "line-height: 1.2"> <span style="font-size:200%;">'''Universal Code of Conduct - Neuigkeiten'''</span><br> <span style="font-size:120%; color:#404040;">'''Ausgabe 1, Juni 2021'''</span><span style="font-size:120%; float:right;">[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]</span> ---- Willkommen zur ersten Ausgabe der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] Nachrichten! Dieser Newsletter soll Wikimedianern helfen, an der Entwicklung des neuen Kodex beteiligt zu bleiben, und soll über relevante Neuigkeiten, Forschung und bevorstehende Ereignisse im Zusammenhang mit dem UCoC informieren. Bitte beachtet, dies ist die erste Ausgabe des UCoC-Newsletters, der an alle Abonnenten und Projekte als Ankündigung der Initiative geliefert wird. Wenn du die zukünftigen Ausgaben auf deiner Diskussionsseite, Village pumps oder anderen spezifischen Seiten, die du für angemessen hältst, zugestellt haben möchtest, dann trage dich bitte [[m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/UCoC Newsletter Subscription|hier ein]]. Du kannst uns helfen, indem du die Newsletter-Ausgaben in deine Sprachen übersetzt, um die Neuigkeiten zu verbreiten und ein Bewusstsein zu schaffen, damit unsere Community für uns alle sicher bleibt. Bitte [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/Participate|trage dich hier ein]], wenn du im Voraus über den Entwurf der zu übersetzenden Ausgabe informiert werden möchtest. Deine Mithilfe ist sehr willkommen. </div><div style="margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;"> * '''Konsultationen mit Partnerorganisationen''' – Wikimedia-Mitgliedsorganisationen aller Größen und Formen waren eingeladen, im März und April 2021 an der Konsultation der UCoC-Partnerorganisationen teilzunehmen. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec1|Weiterlesen]]) * '''Zentrale Konsultationen 2021''' – Die Wikimedia Foundation hielt im April und Mai 2021 Konsultationen zu Schlüsselfragen der Anwendung ab, um von der breiteren Wikimedia-Gemeinschaft Meinungen zur Anwendung der UCoC einzuholen. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec2|Weiterlesen]]) * '''Diskussionen am runden Tisch''' – Das UCoC-Moderationsteam veranstaltete im Mai 2021 zwei 90-minütige öffentliche Gespräche am runden Tisch, um die wichtigsten Fragen der UCoC-Durchführung zu diskutieren. Weitere Gespräche sind geplant. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec3|Weiterlesen]]) * '''Phase 2 Entwurfsausschuss''' – Der Entwurfsausschuss für die Phase 2 des UCoC hat am 12. Mai 2021 seine Arbeit aufgenommen. Lesen Sie mehr über seine Arbeit. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec4|Weiterlesen]]) * '''Diff blogs''' – Die UCoC-Moderatoren haben mehrere Blog-Beiträge verfasst, die auf interessanten Erkenntnissen und Einsichten aus den einzelnen Communities während der lokalen Projektkonsultationen, die im ersten Quartal 2021 stattfanden. ([[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Newsletter/1#sec5|Weiterlesen]])</div><section end="ucoc-newsletter"/> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SOyeyele (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SOyeyele_(WMF)/Announcements/German&oldid=21301095 --> == Subscribe to the This Month in Education newsletter - learn from others and share your stories == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Dear community members, Greetings from the EWOC Newsletter team and the education team at Wikimedia Foundation. We are very excited to share that we on tenth years of Education Newsletter ([[m:Education/News|This Month in Education]]) invite you to join us by [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|subscribing to the newsletter on your talk page]] or by [[m:Education/News/Newsroom|sharing your activities in the upcoming newsletters]]. The Wikimedia Education newsletter is a monthly newsletter that collects articles written by community members using Wikimedia projects in education around the world, and it is published by the EWOC Newsletter team in collaboration with the Education team. These stories can bring you new ideas to try, valuable insights about the success and challenges of our community members in running education programs in their context. If your affiliate/language project is developing its own education initiatives, please remember to take advantage of this newsletter to publish your stories with the wider movement that shares your passion for education. You can submit newsletter articles in your own language or submit bilingual articles for the education newsletter. For the month of January the deadline to submit articles is on the 20th January. We look forward to reading your stories. Older versions of this newsletter can be found in the [[outreach:Education/Newsletter/Archives|complete archive]]. More information about the newsletter can be found at [[m:Education/News/Publication Guidelines|Education/Newsletter/About]]. For more information, please contact spatnaik{{@}}wikimedia.org. ------ <div style="text-align: center;"><div style="margin-top:10px; font-size:90%; padding-left:5px; font-family:Georgia, Palatino, Palatino Linotype, Times, Times New Roman, serif;">[[m:Education/Newsletter/About|About ''This Month in Education'']] · [[m:Global message delivery/Targets/This Month in Education|Subscribe/Unsubscribe]] · [[m:MassMessage|Global message delivery]] · For the team: [[User:ZI Jony|<span style="color:#8B0000">'''ZI Jony'''</span>]] [[User talk:ZI Jony|^{<span style="color:Green"><i>(Talk)</i></span>}]], {{<includeonly>subst:</includeonly>#time:l G:i, d F Y|}} (UTC)</div></div> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:ZI Jony@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:ZI_Jony/MassMessage/Awareness_of_Education_Newsletter/List_of_Village_Pumps&oldid=21244129 --> == Results of Wiki Loves Folklore 2022 is out! == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {{int:please-translate}} [[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]] Hi, Greetings The winners for '''[[c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' is announced! We are happy to share with you winning images for this year's edition. This year saw over 8,584 images represented on commons in over 92 countries. Kindly see images '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Winners|here]]''' Our profound gratitude to all the people who participated and organized local contests and photo walks for this project. We hope to have you contribute to the campaign next year. '''Thank you,''' '''Wiki Loves Folklore International Team''' --[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 18:12, 4. Jul. 2022 (CEST) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Non-Technical_Village_Pumps_distribution_list&oldid=23454230 --> == Schlage Stellungnahmen für den Wahl-Kompass 2022 vor == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Propose statements for the 2022 Election Compass}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Liebe alle, Community-Mitglieder sind anläßlich der [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022|Wahl zum Board of Trustees 2022]] eingeladen, [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Election_Compass|Vorschläge für Aussagen im Wahl-o-mat zu machen]]. Ein Wahl-o-mat ist ein Instrument, das den Wähler*innen hilft, die Kandidat*innen auszuwählen, die am besten mit ihren Überzeugungen und Ansichten übereinstimmen. Community-Mitglieder schlagen den Kandidat*innen Aussagen vor, die sie mit Hilfe einer Lickert-Skala (zustimmen/neutral/ nicht zustimmen) beantworten sollen. Die Antworten der Kandidat*innen auf die Aussagen werden in den Wahl-o-mat eingepflegt. Die Wähler/innen nutzen das Tool, indem sie ihre Antwort auf die Aussagen eingeben (zustimmen/ablehnen/neutral). Die Ergebnisse zeigen die Kandidat*innen, die am besten mit den Überzeugungen und Ansichten der Wähler*innen übereinstimmen. Hier ist die Zeitleiste für den Wahl-o-mat: 8. bis 20. Juli: Freiwillige schlagen Aussagen für den Wahl-Kompass vor 21. - 22. Juli: Der Wahlausschuss überprüft die Erklärungen auf ihre Klarheit und streicht themenfremde Erklärungen. 23. Juli - 1. August: Die Communitys stimmen über die Erklärungen ab 2. bis 4. August: Der Wahlausschuss wählt die 15 besten Stellungnahmen aus 5. bis 12. August: Kandidat*innen positionieren sich zu den Aussagen 15. August: Der Wahl-o-mat steht ab jetzt den Wahlberechtigten zur Verfügung, um sie bei ihrer Wahlentscheidung zu unterstützen. Der Wahlausschuss wird Anfang August die 15 besten Aussagen auswählen. Der Wahlausschuss wird den Prozess überwachen, unterstützt vom Movement Strategy and Governance Team. MSG prüft, ob die Fragen klar sind, ob es keine Duplikate gibt, ob es Tippfehler gibt und so weiter. Beste Grüße, Movement Strategy and Governance ''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses''<br /><section end="announcement-content" /> [[User:Xeno (WMF)|Xeno (WMF)]] 17:17, 12. Jul. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Wikimedia Foundation Board of Trustees election 2022 - Call for Election Volunteers == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/2022/Call for Election Volunteers}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Das Team "Movement Strategy and Governance" sucht nach Community-Mitgliedern, die sich als Wahlhelfer bei den anstehenden Wahlen zum Board of Trustees zur Verfügung stellen. Die Idee für das Wahlhelferprogramm entstand während der Wahlen zum Wikimedia Board of Trustees 2021. Das Programm erwies sich als erfolgreich. Mit Hilfe der Wahlhelfer*innen konnten wir die Reichweite und die Beteiligung an der Wahl im Vergleich zu 2017 um 1.753 Wähler/innen erhöhen. Die Wahlbeteiligung lag insgesamt bei 10,13 %, 1,1 Prozentpunkte höher, und 214 Wikis waren bei der Wahl vertreten. Aber in insgesamt 74 Wikis, die 2017 nicht teilgenommen haben, haben bei der Wahl 2021 Wähler*innen mitgemacht. Willst du mithelfen, die Beteiligung zu verbessern? Wahlhelfer*innen werden in den folgenden Bereichen helfen: * Übersetzen von Kurznachrichten und Ankündigung der laufenden Wahlen in den Kanälen der Communitys * Optional: Beobachte die Community-Kanäle auf Kommentare und Fragen der Communitys Freiwillige sollten: * Bei Gesprächsrunden und Veranstaltungen die Friendly-Space-Politik aufrechterhalten * Der Community die Leitlinien und Abstimmungsinformationen auf neutrale Art und Weise präsentieren Möchtest du dich als Wahlhelfer*in engagieren und dafür sorgen, dass deine Community bei der Wahl vertreten ist? Melde dich [[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|hier]] an, um aktuelle Informationen zu erhalten. Du kannst die [[m:Special:MyLanguage/Talk:Movement Strategy and Governance/Election Volunteers/About|Diskussionsseite]] für Fragen zur Übersetzung nutzen.<br /><section end="announcement-content" /> [[User:MNadzikiewicz (WMF)| MNadzikiewicz (WMF)]] 10:45, 20. Jul. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Bekanntgabe der sechs Kandidat*innen für die Wahl zum Board of Trustees 2022 == <section begin="announcement-content"/> :''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election| Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation elections/2022/Announcement/Announcing the six candidates for the 2022 Board of Trustees election}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Hallo zusammen, Das Wahlverfahren der Affiliates (Chapter und Usergroups) ist abgeschlossen. Vertreter*innen der einzelnen Affiliates (Chapter und Usergroups) haben sich über die Kandidat*innen informiert, indem sie die Erklärungen der Kandidat*innen gelesen, die Antworten der Kandidat*innen auf die Fragen geprüft und die vom Analyse-Komitee erstellten Bewertungen der Kandidat*innen berücksichtigt haben. Die ausgewählten Kandidat*innen für das Board of Trustees 2022 sind: * Tobechukwu Precious Friday ([[User:Tochiprecious|Tochiprecious]]) * Farah Jack Mustaklem ([[User:Fjmustak|Fjmustak]]) * Shani Evenstein Sigalov ([[User:Esh77|Esh77]]) * Kunal Mehta ([[User:Legoktm|Legoktm]]) * Michał Buczyński ([[User:Aegis Maelstrom|Aegis Maelstrom]]) * Mike Peel ([[User:Mike Peel|Mike Peel]]) Du kannst mehr Informationen über die [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Results|Ergebnisse]] und [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Stats|Statistiken]] dieser Boardwahlen sehen. Bitte nimm dir einen Moment Zeit, um den Vertretern der Affiliates (Chapter und Usergroups) und den Mitgliedern des Analyse-Komitees dafür zu danken, dass sie an diesem Prozess teilgenommen und dazu beigetragen haben, das Board of Trustees in seiner Kapazität und Diversität zu erweitern. Diese Stunden ehrenamtlicher Arbeit verbinden uns über Verständnis und Perspektive hinweg. Vielen Dank für deine Teilnahme. Vielen Dank an die Community-Mitglieder, die sich als Kandidat*in für das Board of Trustees zur Verfügung gestellt haben. Die Entscheidung, in das Board of Trustees einzutreten, ist keine leichte Entscheidung. Die Zeit und das Engagement, das die Kandidat*innen bis jetzt gezeigt haben, sprechen für ihr Engagement in diesem "Movement". Herzlichen Glückwunsch an die Kandidat*innen, die ausgewählt worden sind. Große Anerkennung und Dankbarkeit für die Kandidat*innen, die nicht ausgewählt wurden. Bitte stellt Wikimedia weiterhin eure Führungsqualität zur Verfügung. Vielen Dank an alle, die bei dieser Boardwahl das Affiliate-Verfahren verfolgt haben. Du kannst die Ergebnisse der Wahl der Affiliates (Chapter und Usergroups) einsehen. Der nächste Teil der Boardwahlen ist die Community-Wahlperiode. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022#Timeline|Hier kannst du den Zeitplan für die Boardwahlen einsehen]]. Zur Vorbereitung der Community-Wahlperiode gibt es einige Dinge, an denen sich Community-Mitglieder auf folgende Weise beteiligen können: * [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Candidates|Lest die Aussagen der Kandidat*innen]] und die Antworten der Kandidat*innen auf die Fragen der Affiliate-Vertreter*innen. * [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_elections/2022/Community_Voting/Questions_for_Candidates|Schlage Fragen vor und wähle 6 aus, die die Kandidat*innen während ihres Video-Q&A beantworten sollen]]. * Siehe die [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Candidates|Analyse-Komitee Bewertungen der Kandidat*innen auf der Erklärung der einzelnen Kandidaten]]. * [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation elections/2022/Community Voting/Election Compass|Vorschläge zu Aussagen für das Wahlomat-Tool]] können die Wähler*innen nutzen, um herauszufinden, welche Kandidat*innen am besten zu ihren Prinzipien passen. * Ermutige andere in deiner Community, sich an den Wahlen zu beteiligen. Beste Grüße, Movement Strategy and Governance ''Diese Nachricht wurde versandt im Namen der Board of Trustees Task Force und des Wahlausschusses'' </div><section end="announcement-content"/> [[User:MNadzikiewicz (WMF)|MNadzikiewicz (WMF)]] 15:20, 20. Jul. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:MNadzikiewicz (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> sdjucz737uuxz3n065akj6ncxnzys0m 106 13155 745612 745514 2022-07-22T05:29:22Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 2 */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Zerlegung PA = LR|Zerlegung PA = LR]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse|Pseudoinverse]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudoinverse&coursetitle=Kurs:Numerik_I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik%20I/Lineare Ausgleichsrechnung|Lineare Ausgleichsrechnung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Lösung mit QS-Zerlegung]] === Kapitel 2 === * [[/Konvergenzraten/]] * [[Kurs:Numerik I/5 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme]] - Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] #[[Kurs:Numerik I/6 Interpolation]] #[[Kurs:Numerik I/7 Splines]] #[[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] lfr6lca4qzh1nuimtzwednm4un3njqh 745615 745612 2022-07-22T05:34:20Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 2 */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Diskretisierung%20des%20Vektorraumes&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik I/Lösung linearer Gleichungssysteme|Lösung linearer Gleichungssysteme]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20linearer%20Gleichungssysteme&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Zerlegung PA = LR|Zerlegung PA = LR]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Zerlegung%20PA%20=%20LR&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zerlegung%20PA%20=%20LR&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Orthonormalisierungsverfahren|Orthonormalisierungsverfahren]] - 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([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Lösung mit QS-Zerlegung]] === Kapitel 2 === * '''[[Kurs:Numerik I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Numerik I/5 Numerische Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme]] - Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] #[[Kurs:Numerik I/6 Interpolation]] #[[Kurs:Numerik I/7 Splines]] #[[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] tlmptv84yqlpfml2t9scfxv9ethvp1b 745619 745615 2022-07-22T05:42:01Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 2 */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - 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([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Orthonormalisierungsverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Orthonormalisierungsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse|Pseudoinverse]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Pseudoinverse&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Pseudoinverse&coursetitle=Kurs:Numerik_I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Numerik%20I/Lineare Ausgleichsrechnung|Lineare Ausgleichsrechnung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Lineare%20Ausgleichsrechnung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lineare%20Ausgleichsrechnung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Numerik I/Lösung der Normalengleichung|Lösung der Normalengleichung]] - 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Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] #[[Kurs:Numerik I/6 Interpolation]] #[[Kurs:Numerik I/7 Splines]] #[[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] k3zuvg5s2cy810r4atakrii708wh8lz 745620 745619 2022-07-22T05:50:32Z Bert Niehaus 20843 /* Kapitel 2 */ wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} Die behandelten Themen im Überblick: * Grundkonzepte numerischen Rechnens * Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen * Ausgleichsrechnung * Interpolation und Approximation * Numerische Integration Besonderheiten des numerischen Rechnens (Zahlendarstellung, Rundung, Stabilität), Lineare Gleichungssysteme (Grundlagen, Gauß-Elimination, Pivotisierung, Systeme mit Band-, diagonaldominanten und positiv definiten Matrizen), Lineare Ausgleichsrechnung, Interpolation und Approximation (Polynominterpolation, Horner-Schema, Extrapolation), Numerische Integration (interpolatorische und Gaußsche Quadraturformeln), Nichtlineare Gleichungssysteme (Verfahren zur Nullstellenbestimmung von Funktionen einer Veränderlicher, Konvergenzordnung, Methode der sukzessiven Approximation, Banachscher Fixpunktsatz, Newton-Verfahren), Normalgleichungen und Orthogonalisierung == Inhalte == === Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Numerik I/Notationen|Notationen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Notationen&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Notationen&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] <!-- * '''[[/Topologie/]]''' --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], die in der Vorlesung verwendet werden === Kapitel 1 === * '''[[Kurs:Numerik I/Besonderheiten des numerischen Rechnens|Besonderheiten des numerischen Rechnens]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Besonderheiten%20des%20numerischen%20Rechnens&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Kurs:Numerik%20I&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Normen_und_Fehlerabschätzungen/|Normen und Fehlerabschätzungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20%20I/Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Normen%20und%20Fehlerabsch%C3%A4tzungen&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]]is * '''[[Kurs:Numerik I/Diskretisierung des Vektorraumes|Diskretisierung des Vektorraumes]]''' - 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Fixpunktsatz, Nullstellenverfahren, ... * '''[[Kurs:Numerik I/Polynominterpolation|Polynominterpolation - Überblick]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Polynominterpolation&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Polynominterpolation&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] #[[Kurs:Numerik I/6 Interpolation]] #[[Kurs:Numerik I/7 Splines]] #[[Kurs:Numerik I/8 Numerische Integration]] * '''[[Gradientenabstiegsverfahren|Gradientenabstiegsverfahren]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Gradientenabstiegsverfahren&author=Kurs:Numerik%20%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Gradientenabstiegsverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20%20I Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] '''Quelle:''' Skript von Prof. Rembert Reemtsen == Siehe auch == * [[w:de:Heron-Verfahren|Heron-Verfahren]] akv1e3cvyblv2k6wtqcp7hln25clg69 106 21252 745611 745415 2022-07-22T05:28:49Z Bert Niehaus 20843 /* 5.1 Konvergenzraten */ wikitext text/x-wiki = 5.2 Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen = Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch ::<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. = 5.3 Fixpunktiteration = Wir verallgemeinern zunächst die Fixpunktiteration auf Funktionen <math>g: \R^n \to \R^n</math>, die wir in Abschnitt 5.2.4 für <math>n = 1</math> und hinreichend glattes <math>g</math> diskutiert hatten. Für die Bestimmung eines Fixpunktes von <math>g</math>, d. h. eines Punktes <math>x^* \in \R^n</math> mit <math>g(x^*) = x^*</math>, betrachten wir also die Iterationsvorschrift ::(5.17) <math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> mit einem gegebenen Startwert <math>x^0 \in \R^n</math>. Wir definieren nun zunächst: === Definition 5.11 === :''(i) Sei <math>D \subseteq \R^n</math> und <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Norm auf dem <math>\R^n</math>. Eine Abbildung <math>g: D \to \R^n</math> heißt <u>Lipschitz-stetig</u> auf <math>D</math> mit <u>(Lipschitz-)Konstante</u> <math>L > 0</math>, wenn gilt: ::(5.18) <math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> :''(ii) Eine Lipschitz-stetige Abbildung <math>g: D \to D</math> mit Konstante <math>L > 0</math> heißt eine <u>Kontraktion</u> auf <math>D</math>, wenn <math>L < 1</math> ist. Sei nun speziell <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für <math>D \subseteq \R^n</math>, wobei wir damit eine Funktion <math>g: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> mit ::<math>g(x) = (g_1(x), \ldots, g_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial g_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math> für alle <math>x \in D</math> meinen. Für ein solches <math>g</math> kann man in der Praxis häufig eine Konstante <math>L</math> wie in (5.18) mittels der ersten Ableitung von <math>g</math> bzw. der Jacobi-Matrix von <math>g</math>, welche durch ::<math>\mathcal J_g(x) := \left( \frac{\partial g_i}{\partial x_j} (x) \right)_{i, j = 1, \ldots, n} = \begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} (x) \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_2}{\partial x_n} (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_n}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} (x) \end{pmatrix} \in \R^{n \times n}</math> gegeben ist, gewinnen. Dazu definieren wir: === Definition 5.12 === :''Eine Menge <math>D \subseteq \R^n</math> heißt <u>konvex</u>, falls für je zwei Elemente <math>x, y \in D</math> auch die ganze Verbindungsstrecke von <math>x</math> nach <math>y</math> zu <math>D</math> gehört, d. h. falls ::<math>x, y \in D, \quad t \in [0, 1] \Rightarrow tx + (1 - t)y \in D.</math> Damit lässt sich bekanntlich das folgende Lemma aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ableiten. === Lemma 5.13 === :''Es sei <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für eine offene, konvexe Menge <math>D \subseteq \R^n</math> und für eine Konstante <math>L > 0</math> gelte ::<math>\|\mathcal J_g(x)\| \le L, \quad x \in D.</math> :''Dann folgt die Abschätzung ::<math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> Dazu geben wir Beispiele. ==== Beispiel 5.14 ==== (1) Die Funktion <math>f(x) := x^2</math> ist auf <math>[0, 0.4]</math> eine Kontraktion, denn es ist ::<math>f([0, 0.4]) = [0, 0.16] \subseteq [0, 0.4]</math> und mit <math>L := \max_{x \in [0, 0.4]} (2x) = 0.8</math> ::<math>\left| x^2 - y^2 \right| \le 0.8 |x - y|, \quad x, y \in [0, 0.4].</math> (2) Die Funktion <math>f(x) := \sqrt{x}</math> ist auf <math>[0, a]</math> mit <math>a > 0</math> nicht Lipschitz-stetig, denn für <math>y = 0</math> hat man ::<math>\left| \sqrt{x} - \sqrt{0} \right| = \sqrt{x} = \frac 1{\sqrt{x}} (x - 0) = \frac 1{\sqrt{x}} |x - 0|, \quad x \in (0, a]</math> und <math>\lim_{x \to 0} (1/\sqrt{x}) = \infty</math>. Der folgende sog. ''Banachsche Fixpunktsatz'' gibt an, dass die Fixpunktiteration (5.17) konvergiert, und zwar für allgemeines <math>n</math> und ohne Differenzierbarkeitsforderungen an <math>g</math>, wobei als Startvektor alle Elemente <math>x^0</math> der zugrunde gelegten Menge zugelassen sind. Überdies liefert er unter den genannten Voraussetzungen die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes. Die geforderte Kontraktionseigenschaft für die Iterationsfunktion <math>g</math> ist allerdings eine relativ starke Voraussetzung. === Satz 5.15 === :''Sei <math>D \subseteq \R^n</math> abgeschlossen und die Abbildung <math>g: D \to D</math> bezüglich der Vektornorm <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Kontraktion mit Konstante <math>L \in (0, 1)</math>. Dann gilt: :''(i) <math>g</math> besitzt genau einen Fixpunkt <math>x^* \in D</math>. :''(ii) Für jeden Startpunkt <math>x^0 \in D</math> liefert die Fixpunktiteration ::(5.19) <math>x^{k+1} = g(x^k), \quad k = 0, 1, \ldots</math> :''eine Folge <math>(x^k)</math> in <math>D</math>, welche gegen <math>x^*</math> konvergiert und man hat ::(5.20) <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k = 1, 2, \ldots.</math> ==== Beweis. ==== (i) Sind <math>x^*, y^* \in D</math> Fixpunkte von <math>g</math>, so gilt ::<math>\|x^* - y^*\| = \|g(x^*) - g(y^*)\| \le L \|x^* - y^*\|</math> bzw. <math>(1 - L) \|x^* - y^*\| \le 0</math>, was <math>x^* = y^*</math> impliziert. Also besitzt <math>g</math> höchstens einen Fixpunkt. (ii) Sei nun der Startvektor <math>x^0 \in D</math> beliebig und <math>(x^k)</math> bezeichne die damit durch die Fixpunktiteration (5.19) erzeugte Folge. Für <math>x^k \in D</math> ist dann offenbar auch <math>g(x^k) = x^{k+1}</math> in <math>D</math>, so dass <math>x^k \in D</math> <math>(k \in \N_0)</math> folgt. Man hat somit weiter ::<math>\|x^{\ell+1} - x^\ell\| = \|g(x^\ell) - g(x^{\ell-1})\| \le L \|x^\ell - x^{\ell-1}\|, \quad \ell \in \N_0,</math> so dass man die folgenden Abschätzungen für <math>k, n \in \N_0</math> erhält: ::<math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| = \left\| \left( x^{k+1} - x^k \right) + \left( x^{k+2} - x^{k+1} \right) + \ldots + \left( x^{k+n} - x^{k+n-1} \right) \right\|</math> ::<math>= \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \left\| x^{k+2} - x^{k+1} \right\| + \ldots + \left\| x^{k+n} - x^{k+n-1} \right\|</math> ::<math>\le \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + L \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \ldots + L^{n-1} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| = \left( \sum^{n-1}_{\ell=0} L^\ell \right) \left\| x^{k+1} - x^k \right\|</math> ::<math>\le \frac{1 - L^n}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{1}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|.</math> Also gilt ::(5.21) <math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k, n \in \N_0.</math> Demnach ist die Folge <math>(x^k)</math> eine Cauchy-Folge und hat sie als solche einen Grenzwert <math>x^* \in D</math>. Da <math>g</math> nach Voraussetzung (Lipschitz-)stetig ist und die Fixpunktiteration dann, wenn sie konvergiert, gegen einen Fixpunkt konvergiert, ist <math>x^*</math> der (eindeutige) Fixpunkt von <math>g</math>. Der Grenzübergang „<math>n \to \infty</math>“ in (5.21) liefert schließlich die Abschätzung (5.20). q.e.d. Man beachte, dass man unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes mindestens lineare Konvergenz für die Fixpunktiteration hat, denn dann gilt ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = \left\| g(x^k) - g(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \in \N_0,</math> wobei <math>L \in (0, 1)</math> ist. Der Ausdruck ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|</math> in (5.20) kann, nachdem <math>x^1</math> berechnet wurde, für jedes <math>k \in \N</math> vor Beginn der Iteration bestimmt werden. Er ermöglicht eine a priori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Weiter hat man wegen <math>L \in (0, 1)</math> für eine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow k \log(L) \le \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) \Leftrightarrow k \ge a</math> mit ::<math>a := \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L),</math> so dass mit (5.21) folgt: ::<math>k \ge a \Rightarrow \left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon.</math> Praktisch ist also spätestens in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> mit ::(5.22) <math>k(\varepsilon) = \lceil a \rceil</math> die Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt, wobei <math>\lceil a \rceil</math> die kleinste ganze Zahl <math>\ge a</math> bezeichnet. Der mittlere Ausdruck in (5.20) kann im <math>k</math>-ten Iterationsschritt bestimmt werden und erlaubt eine a posteriori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Praktisch wird für eine gegebene Schranke <math>\varepsilon > 0</math> in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> abgebrochen, wenn erstmalig ::<math>\frac L{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt ist. In diesem Fall genügt <math>x^k</math> der Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math>. Wir geben dazu ein Beispiel. === Beispiel 5.16 === Es sei ::<math>f(x) := x - e^{-x}, \quad x \in \R.</math> Dann hat man ::<math>f(x^*) = 0</math> für <math>x^* \approx 0.567\ 143\ 29.</math> Diese Nullstelle <math>x^*</math> soll nun approximativ berechnet werden. Mit ::<math>g(x) := e^{-x}, \quad x \in \R</math> gilt offenbar ::<math>g(x^*) = x^* \Leftrightarrow f(x^*) = 0,</math> so dass wir dazu die Fixpunktiteration <math>x_{k+1} = g(x_k)</math> mit der Iterationsfunktion <math>g</math> anwenden wollen. Dafür müssen wir zunächst die Voraussetzungen von Satz 5.15 überprüfen. Auf dem Intervall <math>D := [0.5, 0.69]</math> ist <math>g</math> monoton fallend und somit ::<math>g(D) = [e^{-0.69}, e^{-0.5}] \subseteq [0.5, 0.61] \subseteq D</math> sowie ::<math>L := \max_{x \in [0.5, 0.69]} |g'(x)| = \max_{x \in [0.5, 0.69]} e^{-x} = e^{-1/2} \approx 0.606\ 531.</math> Also ist <math>g</math> eine Kontraktion. Die folgende Tabelle liefert für den Startwert <math>x_0 := 0.55</math> ausgewählte Iterierte des Verfahrens: ::<math>\begin{array}{c|c||c|c||c|c} k & x_k & k & x_k & k & x_k \\ \hline & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0.550\ 000\ 00 & 10 & 0.567\ 083\ 94 & 20 & 0.567\ 143\ 09 \\ 1 & 0.576\ 949\ 81 & 11 & 0.567\ 176\ 95 & 21 & 0.567\ 143\ 40 \\ 2 & 0.561\ 608\ 77 & 12 & 0.567\ 124\ 20 & 22 & 0.567\ 143\ 23 \\ 3 & 0.570\ 290\ 86 & 13 & 0.567\ 154\ 12 & 23 & 0.567\ 143\ 32 \\ 4 & 0.565\ 360\ 97 & 14 & 0.567\ 137\ 15 & 24 & 0.567\ 143\ 27 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}</math> Die Situation soll nun für <math>k = 12</math> genauer betrachtet werden. Die Fehlerabschätzung (5.20) liefert in diesem Fall ::<math>\frac{L^{12}}{1 - L} |x_1 - x_0| = \frac{0.606\ 531^{12}}{1 - 0.606\ 531} 0.026\ 949\ 81 = 1.70 \cdot 10^{-4},</math> ::<math>\frac{L}{1 - L} |x_{12} - x_{11}| = \frac{0.606\ 531}{1 - 0.606\ 531} 0.000\ 052\ 75 = 8.13 \cdot 10^{-5}.</math> Der tatsächliche Fehler ::<math>|x_{12} - x^*| \approx 1.91 \cdot 10^{-5}</math> wird also durch die a posteriori Abschätzung um etwa den Faktor 4 und durch die a priori Abschätzung um etwa den Faktor 9 überschätzt. ==== Praktisches Vorgehen ==== Das praktische Vorgehen soll nun für die spezielle Fehlerschranke <math>\varepsilon = 0.007\ 6</math> illustriert werden. Der (üblicherweise unbekannte) Approximationsfehler unterschreitet diese Schranke bereits für <math>k = 2</math>, denn man hat <math>|x_2 - x^*| \approx 0.005\ 5 \le \varepsilon</math>. Die a posteriori Abschätzung liefert dagegen für <math>k = 4</math> ::<math>|x_4 - x^*| \le \frac{e^{-1/2}}{1 - e^{-1/2}} |0.565\ 360\ 97 - 0.570\ 290\ 86| = 0.007\ 599 \le \varepsilon,</math> also <math>k(\varepsilon) := 4</math> als Stoppzahl, während die a priori Abschätzung in (5.22) mit :<math> a = \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L) = \log \left( \frac{\left( 1 - e^{-1/2} \right) 0.007\ 6}{0.576\ 949\ 81 - 0.55} \right) / \log(e^{-1/2}) \approx 4.397 </math> die Vorhersage <math>k(\varepsilon) := 5</math> macht. = 5.4 Das Newton-Verfahren im <math>\R^n</math> = == 4.1 Grundlagen == Es sei <math>D \subseteq \R^n</math> eine offene Menge und <math>F: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> eine Funktion mit ::<math>F(x) := (F_1(x), \ldots, F_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial F_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math>, es sei also <math>F \in C^1(D, \R^n)</math>. Die zu <math>F</math> gehörige Jacobi-Matrix bezeichnen wir mit ::<math>\mathcal J_F(x) := \left( \frac{\partial F_i}{\partial x_j}(x) \right)_{i, j=1, \ldots, n} \in \R^{n\times n}.</math> Mit <math>\|\cdot\|</math> ist im ganzen Abschnitt 5.4 wieder die Euklidische Norm auf dem <math>\R^n</math> bzw. die durch sie induzierte Spektralnorm gemeint. Schließlich werden wir von dem folgenden Lemma Gebrauch machen. === Lemma 5.17 === :''Sei <math>v: [a, b] \to \R^n</math> eine stetige vektorwertige Funktion, sei <math>v(t) := (v_1(t), \ldots, v_n(t))^T</math> für <math>t \in [a, b]</math> und sei <math>u := \int\limits^b_a v(t)\, dt</math> der Vektor mit den Komponenten <math>u_i := \int\limits^b_a v_i(t)\, dt</math>. Dann gilt: ::<math>\left\| \int\limits^b_a v(t)\, dt \right\| \le \int\limits^b_a \|v(t)\|\, dt</math> ==== Beweis. ==== Es sei <math>K := \|u\|</math>. Dann kann man unter Verwendung des Standardskalarprodukts ::<math>\langle x, y \rangle := \sum^n_{i=1} x_iy_i, \quad x, y \in \R^n</math> auf dem <math>\R^n</math> und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung abschätzen: ::<math>K^2 = \langle u, u \rangle = \left\langle \int\limits^b_a v(t)\, dt, u \right\rangle = \sum^n_{i = 1} u_i \int\limits^b_a v_i(t)\, dt = \int\limits^b_a \sum^n_{i = 1} u_iv_i(t)\, dt = \int\limits^b_a \langle u, v(t) \rangle\, dt \le \int\limits^b_a \|u\|\|v(t)\|\, dt</math> ::<math>= K \int\limits^b_a \|v(t)\|\, dt.</math> q.e.d. == 5.4.2 Das Verfahren == Es sei wieder <math>D \subseteq \R^n</math> eine offene Menge und es sei <math>F \in C^1(D, \R^n)</math> mit ::<math>F(x) = (F_1(x), \ldots, F_n(x))^T, \quad x \in D</math> und Jacobi- bzw. Funktionalmatrix <math>\mathcal J_F(x)</math> gegeben. Es soll nun das Newton-Verfahren zur Bestimmung einer Lösung <math>x^* \in D</math> des Gleichungssystems ::<math>F(x) = 0 \Leftrightarrow F_i(x_1, \ldots, xn) = 0 \quad (i = 1, \ldots, n)</math> vorgestellt und seine Konvergenz untersucht werden. Für <math>n = 1</math> hatten wir dies bereits in Abschnitt 5.2.4 getan. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lautete im Fall <math>n = 1</math> ::<math>x_{k+1} := x_k - [f'(x_k)]^{-1} f(x_k),</math> wobei sich <math>x_{k+1}</math> als Nullstelle einer linearen Approximation von <math>f</math>, der Tangente bei <math>x_k</math> an <math>f</math>, ergab. Ähnlich kann man für eine Funktion <math>F \in C^1(D, \R^n)</math> mit beliebigem <math>n \in \N</math> das Newton-Verfahren dadurch motivieren, dass man <math>x^{k+1}</math> als Nullstelle der linearen Approximation von <math>F</math> bei <math>x^k</math> ::<math>F_k(x) := F(x^k) + \mathcal J_F(x^k) \left( x - x^k \right)</math> wählt. Dieses Vorgehen führt zu der allgemeinen Iterationsvorschrift ::(5.23) <math>x^{k+1} := x^k - \left[ \mathcal J_F(x^k) \right]^{-1} F(x^k), \quad k \in \N_0</math> des ''Newton-Verfahrens''. Wir gehen hier implizit davon aus, dass die Jacobi-Matrix <math>\mathcal J_F(x^k)</math> des Systems für jedes <math>k \in \N_0</math> nichtsingulär ist. Da man, wenn immer möglich, die Berechnung der Inversen einer Matrix vermeiden sollte, geht man praktisch bei der Berechnung von <math>x^{k+1}</math> von der zu (5.23) äquivalenten Gleichung ::<math>\mathcal J_F(x^k) (\underbrace{x^{k+1} - x^k}_{=:h^k}) = -F(x^k)</math> aus und bestimmt man die eindeutige Lösung <math>h^k</math> des linearen Gleichungssystems ::<math>\mathcal J_F(x^k) h = -F(x^k).</math> Anschließend setzt man ::<math>x^{k+1} := x^k + h^k.</math> Das Newton-Verfahren lautet somit wie folgt: === Algorithmus 9 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle <math>x^0 \in D</math> und ein <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>F(x^0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>\mathcal J_F(x^k)</math> und bestimme die eindeutige Lösung <math>h^k \in \R^n</math> von ::(5.24) <math>\mathcal J_F(x^k) h = -F(x^k).</math> :(2) Setze <math>x^{k+1} := x^k + h^k</math> und berechne <math>F(x^{k+1})</math>. :(3) Falls <math>\left\| F(x^{k+1}) \right\|_2 \le \varepsilon</math>, stop! :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Der folgende Satz besagt, dass das Newton-Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen durchführbar, d. h. für alle <math>k</math> insbesondere <math>x^k \in D</math> und <math>\mathcal J_F(x^k)</math> nichtsingulär ist und dass es superlinear bzw. quadratisch konvergiert. === Satz 5.18 === :''Es sei <math>D \subset \R^n</math> offen und <math>F \in C^1(D, \R^n)</math>. Ferner existiere ein <math>x^* \in D</math>, für welches <math>F(x^*) = 0</math> und <math>\mathcal J_F (x^*)</math> nichtsingulär sei. Dann gibt es eine Umgebung <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> von <math>x^*</math> für ein <math>\delta > 0</math>, so dass das Newton-Verfahren, Algorithmus 9, für jeden Startpunkt <math>x^0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> durchführbar ist und die durch ihn ohne das Abbruchkriterium (3) erzeugte Iteriertenfolge <math>(x^k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> konvergiert. Gilt mit einem <math>L > 0</math> ::(5.25) <math>\|\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F(x^*)\| \le L \|x - x^*\|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*),</math> :''so konvergiert <math>(x^k)</math> gegen <math>x^*</math> sogar quadratisch. ==== Beweis. ==== Wegen der Stetigkeit von <math>\mathcal J_F(x)</math> auf <math>D</math> können wir zunächst <math>\eta > 0</math> so klein wählen, dass gilt: ::<math>\|\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F(x^*)\| \le \frac 1{2 \left\| [\mathcal J_F(x^*)]^{-1} \right\|}, \quad x \in \mathcal U_\eta(x^*).</math> Für <math>x \in \mathcal U_\eta(x^*)</math> ergibt sich damit und mit <math>\beta := \left\| [\mathcal J_F(x^*)]^{-1} \right\|</math> gemäß Korollar 2.21 die Invertierbarkeit der Matrix ::<math>\mathcal J_F(x) = \mathcal J_F(x^*) + [\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F (x^*)]</math> sowie die Abschätzung ::(5.26) <math>\left\| [\mathcal J_F(x)]^{-1} \right\| \le \frac{\left\|[\mathcal J_F(x^*)]^{-1}\right\|}{1 - \left\|[\mathcal J_F(x^*)]^{-1}\right\| \|\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F(x^*)\|} \le 2\beta.</math> Sei nun ::<math>\mathcal N(x) := x - [\mathcal J_F(x)]^{-1} F(x), \quad x \in \mathcal U_\eta(x^*)</math> die Iterationsfunktion des lokalen Newton-Verfahrens, die nach dem Gezeigten auf <math>\mathcal U_\eta(x^*)</math> wohldefiniert ist. Mit <math>F(x^*) = 0</math> und den Identitäten ::<math>\int\limits^1_0 \mathcal J_F(x^* + s(x - x^*)) (x - x^*)\, ds = F(x^* + s(x - x^*)) \Big|^1_0 = F(x) - F(x^*) = F(x)</math> schließen wir als nächstes ::<math>\mathcal N(x) - x^* = x - x^* - [\mathcal J_F(x)]^{-1} [F(x) - F(x^*)]</math> ::<math>= x - x^* - [\mathcal J_F(x)]^{-1} \left\{ \mathcal J_F(x^*) (x - x^*) + \int\limits^1_0 [\mathcal J_F(x^* + s(x - x^*)) - \mathcal J_F(x^*)] (x - x^*)\, ds \right\}</math> ::<math>= - [\mathcal J_F(x)]^{-1} [\mathcal J_F(x^*) - \mathcal J_F(x)] (x - x^*) - [\mathcal J_F(x)]^{-1} \int\limits^1_0 [\mathcal J_F(x^* + s(x - x^*)) - \mathcal J_F (x^*)] (x - x^*)\, ds.</math> Für ::(5.27) <math>\varepsilon(x) := 2\beta \left\{ \|\mathcal J_F(x^*) - \mathcal J_F(x)\| + \int\limits^1_0 \|\mathcal J_F (x^* + s(x - x^*)) - \mathcal J_F(x^*)\|\, ds \right\}</math> leiten wir daraus unter Anwendung von Lemma 5.17 mit (5.26) die folgende Abschätzung ab: ::(5.28) <math>\|\mathcal N(x) - x^*\| \le \varepsilon(x) \|x - x^*\|.</math> Wegen der Stetigkeit von <math>\mathcal J_F(x)</math> auf <math>\mathcal U_\eta(x^*)</math> existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>\varepsilon(x) \le 1/2</math> auf <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> ist und damit gilt: ::<math>\|\mathcal N(x) - x^*\| \le \frac 12 \|x - x^*\|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*).</math> Beginnend mit <math>x^0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math>, liegt folglich mit <math>x^k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x^{k+1} := \mathcal N(x^k)</math> in <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> und konvergiert die Folge <math>(x^k)</math> linear gegen <math>x^*</math>. Die Konvergenz von <math>(x^k)</math> impliziert weiter die Konvergenz <math>\varepsilon(x^k) \to 0</math> <math>(k \to \infty)</math>. Da gemäß (5.28) ::(5.29) <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon(x^k) \left\| x^k - x^* \right\|</math> für alle k gilt, folgt schließlich die superlineare Konvergenz von <math>(x^k)</math>. Gilt nun (5.25) auf <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math>, dann liegt für jedes <math>k</math> mit <math>x^*</math> und <math>x^k</math> auch <math>x^* + s(x^k - x^*)</math> für alle <math>s \in [0, 1]</math> in <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> und folgt somit ::<math>\left\| \mathcal J_F(x^* + s(x^k - x^*)) - \mathcal J_F(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|.</math> Aus (5.27) gewinnt man damit für alle <math>k</math> die Abschätzung ::<math>\varepsilon(x^k) \le 2\beta \left\{ L + \frac 12 L \right\} \left\| x^k - x^* \right\| = 3\beta L \left\| x^k - x^* \right\|</math> Letzteres zeigt zusammen mit (5.29) die quadratische Konvergenz der Folge <math>(x^k)</math>. q.e.d. ==== Beispiel 5.19 ==== Gesucht sei die Lösung <math>x^* := (x^*_1, x^*_2)^T</math> der beiden Gleichungen ::(5.30) <math>\begin{matrix} F_1(x_1, x_2) := x^2_1 + x^2_2 + 0.6x_2 - 0.16 = 0, \\ F_2(x_1, x_2) := x^2_1 - x^2_2 + x_1 - 1.6x_2 - 0.14= 0, \end{matrix}</math> für die <math>x^*_1, x^*_2 > 0</math> gilt, wobei wir hier keine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> angeben. Die Jacobi-Matrix von <math>F</math> lautet ::<math>\mathcal J_F(x) = \begin{pmatrix} 2x_1 & 2x_2 + 0.6 \\ 2x_1 + 1 & -2x_2 - 1.6 \end{pmatrix}.</math> Für <math>(x^0_1, x^0_2)^T := (0.6, 0.25)^T</math> erhält man somit das lineare Gleichungssystem (5.24) ::<math>\begin{pmatrix} 1.2 & 1.1 \\ 2.2 & -2.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 0.4125 \\ 0.3575 \end{pmatrix}.</math> Dieses besitzt die Lösung ::<math>\begin{pmatrix} h^0_1 \\ h^0_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.254\ 960 \\ -0.096\ 862 \end{pmatrix},</math> so dass sich ::<math>\begin{pmatrix} x^1_1 \\ x^1_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.60 \\ 0.25 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.254\ 960 \\ -0.096\ 862 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.345\ 040 \\ 0.153\ 138 \end{pmatrix}</math> ergibt mit dem Defekt ::<math>\sqrt{[F_1(x^1_1, x^1_2)]^2 + [F_2(x^1_1, x^1_2)]^2} = 0.092\ 882\ 7.</math> Mit <math>(x^1_1, x^1_2)^T</math> verfährt man nun analog usw. Für die ersten vier Iterationen ergibt sich insgesamt die folgende Tabelle: ::<math>\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & x^k_1 & x^k_2 & \left\| F(x^k) \right\| & h^k_1 & h^k_2 \\ \hline 0 & 0.600000+0 & 0.250000+0 & 0.545859+0 & -0.254960+0 & -0.096862+0 \\ \hline 1 & 0.345040+0 & 0.153138+0 & 0.928827-1 & -0.675094-1 & -0.306747-1 \\ \hline 2 & 0.277531+0 & 0.122463+0 & 0.658124-2 & -0.564594-2 & -0.279860-2 \\ \hline 3 & 0.271885+0 & 0.119664+0 & 0.464212-4 & -0.406023-4 & -0.210055-4 \\ \hline 4 & 0.271845+0 & 0.119643+0 & 0.241346-8 & & \\ \hline \end{array}</math> Das Newton-Verfahren, Algorithmus 9, ist ''invariant gegenüber affin-linearen Transformationen'' (Übung!). Dies bedeutet, wenn <math>A \in \R^{n\times n}</math> eine beliebige reguläre Matrix und <math>c \in \R^n</math> irgendein Vektor: Ist <math>\{x^k\}</math> die durch das lokale Newton-Verfahren für den Startpunkt <math>x^0</math> erzeugte Iteriertenfolge zur Bestimmung einer Lösung des Gleichungssystems <math>F(x) = 0</math>, so erzeugt das Verfahren bei Anwendung auf das System ::<math>G(z) := F(Az + c) = 0</math> für den Startpunkt <math>z^0 := A^{-1} (x^0 - c)</math> die Iteriertenfolge <math>\{z^k\}</math> mit ::<math>z^k = A^{-1} \left( x^k - c \right) \Leftrightarrow x^k = Az^k + c.</math> Verfahren, die invariant gegenüber affin-linearen Transformationen sind, gelten gegenüber Verfahren, die diese Eigenschaft nicht besitzen, insofern als robuster, als ihre Konvergenzgeschwindigkeit weit weniger von den gerade vorliegenden speziellen Daten abhängt. Anders als z. B. bei dem ''CG-Verfahren'' zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix (s. Kanzow) ändert sich beim lokalen Newton-Verfahren insbesondere durch eine (affin-)lineare Transformation der Variablen die Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens nicht. Denn ist <math>\varepsilon > 0</math> eine vorgegebene Abbruchschranke, so gilt aufgrund der oben beschriebenen Invarianz gegenüber affin-linearen Transformationen und der sich daraus ergebenden Identitäten ::<math>\left\| G(z^k) \right\| = \left\| F(Az^k + c) \right\| = \left\| F(x^k) \right\|</math> die Äquivalenz ::<math>\left\| F(x^k) \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow \left\| G(z^k) \right\| \le \varepsilon.</math> Bei Verfahren, die wie die CG-Verfahren nicht invariant gegenüber affin-linearen Transformationen sind, kann man zwar möglicherweise die Konvergenzgeschwindigkeit durch eine geeignete Wahl der Matrix <math>A</math> erheblich beschleunigen, ist es aber häufig nicht vorhersehbar, ob das Verfahren für die aktuellen Daten langsam konvergiert, oder ist es nicht klar, ob gegebenenfalls eine geeignete Transformation zur Konvergenzbeschleunigung gefunden werden kann. Mit ::<math>p^k := \left[\mathcal J_F(x^k)\right]^{-1} F(x^k)</math> lautet die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens ::<math>x^{k+1} := x^k + p^k, \quad k = 0, 1, \ldots.</math> Die Richtung <math>p^k</math> bezeichnet man dabei auch als ''Newton-Richtung'' in <math>x^k</math>. Es gibt eine große Zahl von Varianten des Newton-Verfahrens, die zum Ziel haben, den Konvergenzbereich des Verfahrens zu vergrößern und/oder seinen numerischen Aufwand zu reduzieren. So kann man das Newton-Verfahren in gewisser Weise ''globalisieren'', indem man eine geeignete ''Schrittweite'' <math>t_k > 0</math> einführt und ::<math>x^{k+1} := x^k + t_k p^k, \quad k = 0, 1, \ldots</math> definiert. Dabei wählt man <math>t_k</math> beispielsweise als (Näherungs-)Lösung des Problems ::(5.31) <math>\min_{t\ge0} \left\| F(x^k + tp^k) \right\|_2,</math> da ja <math>\left\| F(x^{k + 1}) \right\|_2</math> möglichst klein werden sollte. Von dem so modifizierten sog. ''gedämpften Newton-Verfahren'' kann man unter relativ schwachen Voraussetzungen für jeden Startpunkt <math>x^0</math> einer geeigneten, hinreichend großen Menge Konvergenz zeigen. (Man hat sich dabei zu überlegen, dass ein solches <math>t_k</math> existiert und eine positive Zahl ist. Da eine Lösung des globalen Optimierungsproblems (5.31) im Allgemeinen nicht realistisch ist, wählt man die Schrittweite <math>t_k</math> häufig aber auf eine andere Weise; siehe z. B. Stoer, wo für eine solche andere Schrittweitenwahl auch ein Konvergenzsatz zu finden ist.) Eine weitere praktisch relevante Modifikation des Newton-Verfahrens besteht darin, die numerisch aufwendig zu berechnende Jacobi-Matrix <math>\mathcal J_F(x^k)</math> im Verfahren durch eine geeignete Näherung <math>H_k \in \R^{n\times n}</math> zu ersetzen, wobei <math>H_k</math> alleine aus den Daten <math>x^k, x^{k-1}, F(x^k)</math> und <math>F(x^{k-1})</math> numerisch relativ günstig berechnet werden kann und somit insbesondere keine partiellen Ableitungen benötigt werden. Wir kennen ein solches Vorgehen schon vom Sekantenverfahren her, bei dem der Faktor ::<math>\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})},</math> der eine Näherung für <math>1/f'(x_k)</math> darstellt, in der Iterationsvorschrift vorkommt. Verfahren dieses Typs werden als ''Sekanten-'' oder ''Quasi-Newton-Verfahren'' bezeichnet. Das bekannteste ist das ''Broyden-Verfahren''. Quasi-Newton-Verfahren haben vor allem im Zusammenhang mit der Bestimmung von Extremalpunkten von <math>F</math> und damit der Lösung des Systems <math>\nabla F(x) = 0</math> große Bedeutung, da man ja bei Anwendung des Newton-Verfahrens in einem solchen Fall in jeder Iteration die Hesse-Matrix <math>\nabla^2 F(x^k)</math> für <math>F</math>, also etwa <math>n^2/2</math> partielle Ableitungen zweiter Ordnung zu berechnen hat. Von solchen Quasi-Newton-Verfahren gibt es eine Reihe von Varianten, die sich durch die Wahl der <math>H_k</math> unterscheiden, wobei man im Fall der Lösung von Optimierungsaufgaben zusätzlich bestrebt ist, die positive oder negative (Semi-)Definitheit der Hesse-Matrix in einer Umgebung des Extremalpunktes auch für die <math>H_k</math> zu erreichen. Die verbreitetste Methode ist das ''BFGS-Verfahren'', das nach seinen Erfindern <u>B</u>royden, <u>F</u>letcher, <u>G</u>oldfarb und <u>S</u>hanno benannt wurde, die das Verfahren 1970 unabhängig voneinander vorschlugen. Es hat sich herausgestellt, dass dieses unter allen Quasi-Newton-Verfahren das wohl unempfindlichste gegenüber der Schrittweitenwahl ist. (Es gibt Alternativen zu der numerisch teuren Berechnung der ''Minimumschrittweite'' in (5.31).) Von Quasi-Newton-Verfahren kann man keine quadratische Konvergenz erwarten, da sie ja weniger Information der Funktion als das Newton-Verfahren verwenden. Unter geeigneten Voraussetzungen lässt sich aber für sie im Allgemeinen superlineare Konvergenz nachweisen. Die schlechtere Konvergenzrate gegenüber dem Newton-Verfahren wird jedoch durch den pro Iteration erforderlichen, geringeren numerischen Aufwand kompensiert. Allgemein kann man sagen, dass das Newton-Verfahren wohl das erfolgreichste und verbreitetste Verfahren der Mathematik ist. Es wurde im Hinblick auf die Lösung zahlloser Probleme, auch solcher in unendlich-dimensionalen Räumen, verallgemeinert und modifiziert. 01hxa9e8s55g26y6cecc2h2ol2cofcl 745616 745611 2022-07-22T05:35:04Z Bert Niehaus 20843 /* 5.2 Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen */ wikitext text/x-wiki = 5.3 Fixpunktiteration = Wir verallgemeinern zunächst die Fixpunktiteration auf Funktionen <math>g: \R^n \to \R^n</math>, die wir in Abschnitt 5.2.4 für <math>n = 1</math> und hinreichend glattes <math>g</math> diskutiert hatten. Für die Bestimmung eines Fixpunktes von <math>g</math>, d. h. eines Punktes <math>x^* \in \R^n</math> mit <math>g(x^*) = x^*</math>, betrachten wir also die Iterationsvorschrift ::(5.17) <math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> mit einem gegebenen Startwert <math>x^0 \in \R^n</math>. Wir definieren nun zunächst: === Definition 5.11 === :''(i) Sei <math>D \subseteq \R^n</math> und <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Norm auf dem <math>\R^n</math>. Eine Abbildung <math>g: D \to \R^n</math> heißt <u>Lipschitz-stetig</u> auf <math>D</math> mit <u>(Lipschitz-)Konstante</u> <math>L > 0</math>, wenn gilt: ::(5.18) <math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> :''(ii) Eine Lipschitz-stetige Abbildung <math>g: D \to D</math> mit Konstante <math>L > 0</math> heißt eine <u>Kontraktion</u> auf <math>D</math>, wenn <math>L < 1</math> ist. Sei nun speziell <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für <math>D \subseteq \R^n</math>, wobei wir damit eine Funktion <math>g: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> mit ::<math>g(x) = (g_1(x), \ldots, g_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial g_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math> für alle <math>x \in D</math> meinen. Für ein solches <math>g</math> kann man in der Praxis häufig eine Konstante <math>L</math> wie in (5.18) mittels der ersten Ableitung von <math>g</math> bzw. der Jacobi-Matrix von <math>g</math>, welche durch ::<math>\mathcal J_g(x) := \left( \frac{\partial g_i}{\partial x_j} (x) \right)_{i, j = 1, \ldots, n} = \begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} (x) \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_2}{\partial x_n} (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_n}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} (x) \end{pmatrix} \in \R^{n \times n}</math> gegeben ist, gewinnen. Dazu definieren wir: === Definition 5.12 === :''Eine Menge <math>D \subseteq \R^n</math> heißt <u>konvex</u>, falls für je zwei Elemente <math>x, y \in D</math> auch die ganze Verbindungsstrecke von <math>x</math> nach <math>y</math> zu <math>D</math> gehört, d. h. falls ::<math>x, y \in D, \quad t \in [0, 1] \Rightarrow tx + (1 - t)y \in D.</math> Damit lässt sich bekanntlich das folgende Lemma aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ableiten. === Lemma 5.13 === :''Es sei <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für eine offene, konvexe Menge <math>D \subseteq \R^n</math> und für eine Konstante <math>L > 0</math> gelte ::<math>\|\mathcal J_g(x)\| \le L, \quad x \in D.</math> :''Dann folgt die Abschätzung ::<math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> Dazu geben wir Beispiele. ==== Beispiel 5.14 ==== (1) Die Funktion <math>f(x) := x^2</math> ist auf <math>[0, 0.4]</math> eine Kontraktion, denn es ist ::<math>f([0, 0.4]) = [0, 0.16] \subseteq [0, 0.4]</math> und mit <math>L := \max_{x \in [0, 0.4]} (2x) = 0.8</math> ::<math>\left| x^2 - y^2 \right| \le 0.8 |x - y|, \quad x, y \in [0, 0.4].</math> (2) Die Funktion <math>f(x) := \sqrt{x}</math> ist auf <math>[0, a]</math> mit <math>a > 0</math> nicht Lipschitz-stetig, denn für <math>y = 0</math> hat man ::<math>\left| \sqrt{x} - \sqrt{0} \right| = \sqrt{x} = \frac 1{\sqrt{x}} (x - 0) = \frac 1{\sqrt{x}} |x - 0|, \quad x \in (0, a]</math> und <math>\lim_{x \to 0} (1/\sqrt{x}) = \infty</math>. Der folgende sog. ''Banachsche Fixpunktsatz'' gibt an, dass die Fixpunktiteration (5.17) konvergiert, und zwar für allgemeines <math>n</math> und ohne Differenzierbarkeitsforderungen an <math>g</math>, wobei als Startvektor alle Elemente <math>x^0</math> der zugrunde gelegten Menge zugelassen sind. Überdies liefert er unter den genannten Voraussetzungen die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes. Die geforderte Kontraktionseigenschaft für die Iterationsfunktion <math>g</math> ist allerdings eine relativ starke Voraussetzung. === Satz 5.15 === :''Sei <math>D \subseteq \R^n</math> abgeschlossen und die Abbildung <math>g: D \to D</math> bezüglich der Vektornorm <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Kontraktion mit Konstante <math>L \in (0, 1)</math>. Dann gilt: :''(i) <math>g</math> besitzt genau einen Fixpunkt <math>x^* \in D</math>. :''(ii) Für jeden Startpunkt <math>x^0 \in D</math> liefert die Fixpunktiteration ::(5.19) <math>x^{k+1} = g(x^k), \quad k = 0, 1, \ldots</math> :''eine Folge <math>(x^k)</math> in <math>D</math>, welche gegen <math>x^*</math> konvergiert und man hat ::(5.20) <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k = 1, 2, \ldots.</math> ==== Beweis. ==== (i) Sind <math>x^*, y^* \in D</math> Fixpunkte von <math>g</math>, so gilt ::<math>\|x^* - y^*\| = \|g(x^*) - g(y^*)\| \le L \|x^* - y^*\|</math> bzw. <math>(1 - L) \|x^* - y^*\| \le 0</math>, was <math>x^* = y^*</math> impliziert. Also besitzt <math>g</math> höchstens einen Fixpunkt. (ii) Sei nun der Startvektor <math>x^0 \in D</math> beliebig und <math>(x^k)</math> bezeichne die damit durch die Fixpunktiteration (5.19) erzeugte Folge. Für <math>x^k \in D</math> ist dann offenbar auch <math>g(x^k) = x^{k+1}</math> in <math>D</math>, so dass <math>x^k \in D</math> <math>(k \in \N_0)</math> folgt. Man hat somit weiter ::<math>\|x^{\ell+1} - x^\ell\| = \|g(x^\ell) - g(x^{\ell-1})\| \le L \|x^\ell - x^{\ell-1}\|, \quad \ell \in \N_0,</math> so dass man die folgenden Abschätzungen für <math>k, n \in \N_0</math> erhält: ::<math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| = \left\| \left( x^{k+1} - x^k \right) + \left( x^{k+2} - x^{k+1} \right) + \ldots + \left( x^{k+n} - x^{k+n-1} \right) \right\|</math> ::<math>= \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \left\| x^{k+2} - x^{k+1} \right\| + \ldots + \left\| x^{k+n} - x^{k+n-1} \right\|</math> ::<math>\le \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + L \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \ldots + L^{n-1} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| = \left( \sum^{n-1}_{\ell=0} L^\ell \right) \left\| x^{k+1} - x^k \right\|</math> ::<math>\le \frac{1 - L^n}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{1}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|.</math> Also gilt ::(5.21) <math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k, n \in \N_0.</math> Demnach ist die Folge <math>(x^k)</math> eine Cauchy-Folge und hat sie als solche einen Grenzwert <math>x^* \in D</math>. Da <math>g</math> nach Voraussetzung (Lipschitz-)stetig ist und die Fixpunktiteration dann, wenn sie konvergiert, gegen einen Fixpunkt konvergiert, ist <math>x^*</math> der (eindeutige) Fixpunkt von <math>g</math>. Der Grenzübergang „<math>n \to \infty</math>“ in (5.21) liefert schließlich die Abschätzung (5.20). q.e.d. Man beachte, dass man unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes mindestens lineare Konvergenz für die Fixpunktiteration hat, denn dann gilt ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = \left\| g(x^k) - g(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \in \N_0,</math> wobei <math>L \in (0, 1)</math> ist. Der Ausdruck ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|</math> in (5.20) kann, nachdem <math>x^1</math> berechnet wurde, für jedes <math>k \in \N</math> vor Beginn der Iteration bestimmt werden. Er ermöglicht eine a priori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Weiter hat man wegen <math>L \in (0, 1)</math> für eine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow k \log(L) \le \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) \Leftrightarrow k \ge a</math> mit ::<math>a := \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L),</math> so dass mit (5.21) folgt: ::<math>k \ge a \Rightarrow \left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon.</math> Praktisch ist also spätestens in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> mit ::(5.22) <math>k(\varepsilon) = \lceil a \rceil</math> die Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt, wobei <math>\lceil a \rceil</math> die kleinste ganze Zahl <math>\ge a</math> bezeichnet. Der mittlere Ausdruck in (5.20) kann im <math>k</math>-ten Iterationsschritt bestimmt werden und erlaubt eine a posteriori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Praktisch wird für eine gegebene Schranke <math>\varepsilon > 0</math> in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> abgebrochen, wenn erstmalig ::<math>\frac L{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt ist. In diesem Fall genügt <math>x^k</math> der Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math>. Wir geben dazu ein Beispiel. === Beispiel 5.16 === Es sei ::<math>f(x) := x - e^{-x}, \quad x \in \R.</math> Dann hat man ::<math>f(x^*) = 0</math> für <math>x^* \approx 0.567\ 143\ 29.</math> Diese Nullstelle <math>x^*</math> soll nun approximativ berechnet werden. Mit ::<math>g(x) := e^{-x}, \quad x \in \R</math> gilt offenbar ::<math>g(x^*) = x^* \Leftrightarrow f(x^*) = 0,</math> so dass wir dazu die Fixpunktiteration <math>x_{k+1} = g(x_k)</math> mit der Iterationsfunktion <math>g</math> anwenden wollen. Dafür müssen wir zunächst die Voraussetzungen von Satz 5.15 überprüfen. Auf dem Intervall <math>D := [0.5, 0.69]</math> ist <math>g</math> monoton fallend und somit ::<math>g(D) = [e^{-0.69}, e^{-0.5}] \subseteq [0.5, 0.61] \subseteq D</math> sowie ::<math>L := \max_{x \in [0.5, 0.69]} |g'(x)| = \max_{x \in [0.5, 0.69]} e^{-x} = e^{-1/2} \approx 0.606\ 531.</math> Also ist <math>g</math> eine Kontraktion. Die folgende Tabelle liefert für den Startwert <math>x_0 := 0.55</math> ausgewählte Iterierte des Verfahrens: ::<math>\begin{array}{c|c||c|c||c|c} k & x_k & k & x_k & k & x_k \\ \hline & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0.550\ 000\ 00 & 10 & 0.567\ 083\ 94 & 20 & 0.567\ 143\ 09 \\ 1 & 0.576\ 949\ 81 & 11 & 0.567\ 176\ 95 & 21 & 0.567\ 143\ 40 \\ 2 & 0.561\ 608\ 77 & 12 & 0.567\ 124\ 20 & 22 & 0.567\ 143\ 23 \\ 3 & 0.570\ 290\ 86 & 13 & 0.567\ 154\ 12 & 23 & 0.567\ 143\ 32 \\ 4 & 0.565\ 360\ 97 & 14 & 0.567\ 137\ 15 & 24 & 0.567\ 143\ 27 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}</math> Die Situation soll nun für <math>k = 12</math> genauer betrachtet werden. Die Fehlerabschätzung (5.20) liefert in diesem Fall ::<math>\frac{L^{12}}{1 - L} |x_1 - x_0| = \frac{0.606\ 531^{12}}{1 - 0.606\ 531} 0.026\ 949\ 81 = 1.70 \cdot 10^{-4},</math> ::<math>\frac{L}{1 - L} |x_{12} - x_{11}| = \frac{0.606\ 531}{1 - 0.606\ 531} 0.000\ 052\ 75 = 8.13 \cdot 10^{-5}.</math> Der tatsächliche Fehler ::<math>|x_{12} - x^*| \approx 1.91 \cdot 10^{-5}</math> wird also durch die a posteriori Abschätzung um etwa den Faktor 4 und durch die a priori Abschätzung um etwa den Faktor 9 überschätzt. ==== Praktisches Vorgehen ==== Das praktische Vorgehen soll nun für die spezielle Fehlerschranke <math>\varepsilon = 0.007\ 6</math> illustriert werden. Der (üblicherweise unbekannte) Approximationsfehler unterschreitet diese Schranke bereits für <math>k = 2</math>, denn man hat <math>|x_2 - x^*| \approx 0.005\ 5 \le \varepsilon</math>. Die a posteriori Abschätzung liefert dagegen für <math>k = 4</math> ::<math>|x_4 - x^*| \le \frac{e^{-1/2}}{1 - e^{-1/2}} |0.565\ 360\ 97 - 0.570\ 290\ 86| = 0.007\ 599 \le \varepsilon,</math> also <math>k(\varepsilon) := 4</math> als Stoppzahl, während die a priori Abschätzung in (5.22) mit :<math> a = \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L) = \log \left( \frac{\left( 1 - e^{-1/2} \right) 0.007\ 6}{0.576\ 949\ 81 - 0.55} \right) / \log(e^{-1/2}) \approx 4.397 </math> die Vorhersage <math>k(\varepsilon) := 5</math> macht. = 5.4 Das Newton-Verfahren im <math>\R^n</math> = == 4.1 Grundlagen == Es sei <math>D \subseteq \R^n</math> eine offene Menge und <math>F: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> eine Funktion mit ::<math>F(x) := (F_1(x), \ldots, F_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial F_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math>, es sei also <math>F \in C^1(D, \R^n)</math>. Die zu <math>F</math> gehörige Jacobi-Matrix bezeichnen wir mit ::<math>\mathcal J_F(x) := \left( \frac{\partial F_i}{\partial x_j}(x) \right)_{i, j=1, \ldots, n} \in \R^{n\times n}.</math> Mit <math>\|\cdot\|</math> ist im ganzen Abschnitt 5.4 wieder die Euklidische Norm auf dem <math>\R^n</math> bzw. die durch sie induzierte Spektralnorm gemeint. Schließlich werden wir von dem folgenden Lemma Gebrauch machen. === Lemma 5.17 === :''Sei <math>v: [a, b] \to \R^n</math> eine stetige vektorwertige Funktion, sei <math>v(t) := (v_1(t), \ldots, v_n(t))^T</math> für <math>t \in [a, b]</math> und sei <math>u := \int\limits^b_a v(t)\, dt</math> der Vektor mit den Komponenten <math>u_i := \int\limits^b_a v_i(t)\, dt</math>. Dann gilt: ::<math>\left\| \int\limits^b_a v(t)\, dt \right\| \le \int\limits^b_a \|v(t)\|\, dt</math> ==== Beweis. ==== Es sei <math>K := \|u\|</math>. Dann kann man unter Verwendung des Standardskalarprodukts ::<math>\langle x, y \rangle := \sum^n_{i=1} x_iy_i, \quad x, y \in \R^n</math> auf dem <math>\R^n</math> und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung abschätzen: ::<math>K^2 = \langle u, u \rangle = \left\langle \int\limits^b_a v(t)\, dt, u \right\rangle = \sum^n_{i = 1} u_i \int\limits^b_a v_i(t)\, dt = \int\limits^b_a \sum^n_{i = 1} u_iv_i(t)\, dt = \int\limits^b_a \langle u, v(t) \rangle\, dt \le \int\limits^b_a \|u\|\|v(t)\|\, dt</math> ::<math>= K \int\limits^b_a \|v(t)\|\, dt.</math> q.e.d. == 5.4.2 Das Verfahren == Es sei wieder <math>D \subseteq \R^n</math> eine offene Menge und es sei <math>F \in C^1(D, \R^n)</math> mit ::<math>F(x) = (F_1(x), \ldots, F_n(x))^T, \quad x \in D</math> und Jacobi- bzw. Funktionalmatrix <math>\mathcal J_F(x)</math> gegeben. Es soll nun das Newton-Verfahren zur Bestimmung einer Lösung <math>x^* \in D</math> des Gleichungssystems ::<math>F(x) = 0 \Leftrightarrow F_i(x_1, \ldots, xn) = 0 \quad (i = 1, \ldots, n)</math> vorgestellt und seine Konvergenz untersucht werden. Für <math>n = 1</math> hatten wir dies bereits in Abschnitt 5.2.4 getan. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lautete im Fall <math>n = 1</math> ::<math>x_{k+1} := x_k - [f'(x_k)]^{-1} f(x_k),</math> wobei sich <math>x_{k+1}</math> als Nullstelle einer linearen Approximation von <math>f</math>, der Tangente bei <math>x_k</math> an <math>f</math>, ergab. Ähnlich kann man für eine Funktion <math>F \in C^1(D, \R^n)</math> mit beliebigem <math>n \in \N</math> das Newton-Verfahren dadurch motivieren, dass man <math>x^{k+1}</math> als Nullstelle der linearen Approximation von <math>F</math> bei <math>x^k</math> ::<math>F_k(x) := F(x^k) + \mathcal J_F(x^k) \left( x - x^k \right)</math> wählt. Dieses Vorgehen führt zu der allgemeinen Iterationsvorschrift ::(5.23) <math>x^{k+1} := x^k - \left[ \mathcal J_F(x^k) \right]^{-1} F(x^k), \quad k \in \N_0</math> des ''Newton-Verfahrens''. Wir gehen hier implizit davon aus, dass die Jacobi-Matrix <math>\mathcal J_F(x^k)</math> des Systems für jedes <math>k \in \N_0</math> nichtsingulär ist. Da man, wenn immer möglich, die Berechnung der Inversen einer Matrix vermeiden sollte, geht man praktisch bei der Berechnung von <math>x^{k+1}</math> von der zu (5.23) äquivalenten Gleichung ::<math>\mathcal J_F(x^k) (\underbrace{x^{k+1} - x^k}_{=:h^k}) = -F(x^k)</math> aus und bestimmt man die eindeutige Lösung <math>h^k</math> des linearen Gleichungssystems ::<math>\mathcal J_F(x^k) h = -F(x^k).</math> Anschließend setzt man ::<math>x^{k+1} := x^k + h^k.</math> Das Newton-Verfahren lautet somit wie folgt: === Algorithmus 9 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle <math>x^0 \in D</math> und ein <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>F(x^0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>\mathcal J_F(x^k)</math> und bestimme die eindeutige Lösung <math>h^k \in \R^n</math> von ::(5.24) <math>\mathcal J_F(x^k) h = -F(x^k).</math> :(2) Setze <math>x^{k+1} := x^k + h^k</math> und berechne <math>F(x^{k+1})</math>. :(3) Falls <math>\left\| F(x^{k+1}) \right\|_2 \le \varepsilon</math>, stop! :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Der folgende Satz besagt, dass das Newton-Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen durchführbar, d. h. für alle <math>k</math> insbesondere <math>x^k \in D</math> und <math>\mathcal J_F(x^k)</math> nichtsingulär ist und dass es superlinear bzw. quadratisch konvergiert. === Satz 5.18 === :''Es sei <math>D \subset \R^n</math> offen und <math>F \in C^1(D, \R^n)</math>. Ferner existiere ein <math>x^* \in D</math>, für welches <math>F(x^*) = 0</math> und <math>\mathcal J_F (x^*)</math> nichtsingulär sei. Dann gibt es eine Umgebung <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> von <math>x^*</math> für ein <math>\delta > 0</math>, so dass das Newton-Verfahren, Algorithmus 9, für jeden Startpunkt <math>x^0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> durchführbar ist und die durch ihn ohne das Abbruchkriterium (3) erzeugte Iteriertenfolge <math>(x^k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> konvergiert. Gilt mit einem <math>L > 0</math> ::(5.25) <math>\|\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F(x^*)\| \le L \|x - x^*\|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*),</math> :''so konvergiert <math>(x^k)</math> gegen <math>x^*</math> sogar quadratisch. ==== Beweis. ==== Wegen der Stetigkeit von <math>\mathcal J_F(x)</math> auf <math>D</math> können wir zunächst <math>\eta > 0</math> so klein wählen, dass gilt: ::<math>\|\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F(x^*)\| \le \frac 1{2 \left\| [\mathcal J_F(x^*)]^{-1} \right\|}, \quad x \in \mathcal U_\eta(x^*).</math> Für <math>x \in \mathcal U_\eta(x^*)</math> ergibt sich damit und mit <math>\beta := \left\| [\mathcal J_F(x^*)]^{-1} \right\|</math> gemäß Korollar 2.21 die Invertierbarkeit der Matrix ::<math>\mathcal J_F(x) = \mathcal J_F(x^*) + [\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F (x^*)]</math> sowie die Abschätzung ::(5.26) <math>\left\| [\mathcal J_F(x)]^{-1} \right\| \le \frac{\left\|[\mathcal J_F(x^*)]^{-1}\right\|}{1 - \left\|[\mathcal J_F(x^*)]^{-1}\right\| \|\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F(x^*)\|} \le 2\beta.</math> Sei nun ::<math>\mathcal N(x) := x - [\mathcal J_F(x)]^{-1} F(x), \quad x \in \mathcal U_\eta(x^*)</math> die Iterationsfunktion des lokalen Newton-Verfahrens, die nach dem Gezeigten auf <math>\mathcal U_\eta(x^*)</math> wohldefiniert ist. Mit <math>F(x^*) = 0</math> und den Identitäten ::<math>\int\limits^1_0 \mathcal J_F(x^* + s(x - x^*)) (x - x^*)\, ds = F(x^* + s(x - x^*)) \Big|^1_0 = F(x) - F(x^*) = F(x)</math> schließen wir als nächstes ::<math>\mathcal N(x) - x^* = x - x^* - [\mathcal J_F(x)]^{-1} [F(x) - F(x^*)]</math> ::<math>= x - x^* - [\mathcal J_F(x)]^{-1} \left\{ \mathcal J_F(x^*) (x - x^*) + \int\limits^1_0 [\mathcal J_F(x^* + s(x - x^*)) - \mathcal J_F(x^*)] (x - x^*)\, ds \right\}</math> ::<math>= - [\mathcal J_F(x)]^{-1} [\mathcal J_F(x^*) - \mathcal J_F(x)] (x - x^*) - [\mathcal J_F(x)]^{-1} \int\limits^1_0 [\mathcal J_F(x^* + s(x - x^*)) - \mathcal J_F (x^*)] (x - x^*)\, ds.</math> Für ::(5.27) <math>\varepsilon(x) := 2\beta \left\{ \|\mathcal J_F(x^*) - \mathcal J_F(x)\| + \int\limits^1_0 \|\mathcal J_F (x^* + s(x - x^*)) - \mathcal J_F(x^*)\|\, ds \right\}</math> leiten wir daraus unter Anwendung von Lemma 5.17 mit (5.26) die folgende Abschätzung ab: ::(5.28) <math>\|\mathcal N(x) - x^*\| \le \varepsilon(x) \|x - x^*\|.</math> Wegen der Stetigkeit von <math>\mathcal J_F(x)</math> auf <math>\mathcal U_\eta(x^*)</math> existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>\varepsilon(x) \le 1/2</math> auf <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> ist und damit gilt: ::<math>\|\mathcal N(x) - x^*\| \le \frac 12 \|x - x^*\|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*).</math> Beginnend mit <math>x^0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math>, liegt folglich mit <math>x^k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x^{k+1} := \mathcal N(x^k)</math> in <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> und konvergiert die Folge <math>(x^k)</math> linear gegen <math>x^*</math>. Die Konvergenz von <math>(x^k)</math> impliziert weiter die Konvergenz <math>\varepsilon(x^k) \to 0</math> <math>(k \to \infty)</math>. Da gemäß (5.28) ::(5.29) <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon(x^k) \left\| x^k - x^* \right\|</math> für alle k gilt, folgt schließlich die superlineare Konvergenz von <math>(x^k)</math>. Gilt nun (5.25) auf <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math>, dann liegt für jedes <math>k</math> mit <math>x^*</math> und <math>x^k</math> auch <math>x^* + s(x^k - x^*)</math> für alle <math>s \in [0, 1]</math> in <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> und folgt somit ::<math>\left\| \mathcal J_F(x^* + s(x^k - x^*)) - \mathcal J_F(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|.</math> Aus (5.27) gewinnt man damit für alle <math>k</math> die Abschätzung ::<math>\varepsilon(x^k) \le 2\beta \left\{ L + \frac 12 L \right\} \left\| x^k - x^* \right\| = 3\beta L \left\| x^k - x^* \right\|</math> Letzteres zeigt zusammen mit (5.29) die quadratische Konvergenz der Folge <math>(x^k)</math>. q.e.d. ==== Beispiel 5.19 ==== Gesucht sei die Lösung <math>x^* := (x^*_1, x^*_2)^T</math> der beiden Gleichungen ::(5.30) <math>\begin{matrix} F_1(x_1, x_2) := x^2_1 + x^2_2 + 0.6x_2 - 0.16 = 0, \\ F_2(x_1, x_2) := x^2_1 - x^2_2 + x_1 - 1.6x_2 - 0.14= 0, \end{matrix}</math> für die <math>x^*_1, x^*_2 > 0</math> gilt, wobei wir hier keine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> angeben. Die Jacobi-Matrix von <math>F</math> lautet ::<math>\mathcal J_F(x) = \begin{pmatrix} 2x_1 & 2x_2 + 0.6 \\ 2x_1 + 1 & -2x_2 - 1.6 \end{pmatrix}.</math> Für <math>(x^0_1, x^0_2)^T := (0.6, 0.25)^T</math> erhält man somit das lineare Gleichungssystem (5.24) ::<math>\begin{pmatrix} 1.2 & 1.1 \\ 2.2 & -2.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 0.4125 \\ 0.3575 \end{pmatrix}.</math> Dieses besitzt die Lösung ::<math>\begin{pmatrix} h^0_1 \\ h^0_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.254\ 960 \\ -0.096\ 862 \end{pmatrix},</math> so dass sich ::<math>\begin{pmatrix} x^1_1 \\ x^1_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.60 \\ 0.25 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.254\ 960 \\ -0.096\ 862 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.345\ 040 \\ 0.153\ 138 \end{pmatrix}</math> ergibt mit dem Defekt ::<math>\sqrt{[F_1(x^1_1, x^1_2)]^2 + [F_2(x^1_1, x^1_2)]^2} = 0.092\ 882\ 7.</math> Mit <math>(x^1_1, x^1_2)^T</math> verfährt man nun analog usw. Für die ersten vier Iterationen ergibt sich insgesamt die folgende Tabelle: ::<math>\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & x^k_1 & x^k_2 & \left\| F(x^k) \right\| & h^k_1 & h^k_2 \\ \hline 0 & 0.600000+0 & 0.250000+0 & 0.545859+0 & -0.254960+0 & -0.096862+0 \\ \hline 1 & 0.345040+0 & 0.153138+0 & 0.928827-1 & -0.675094-1 & -0.306747-1 \\ \hline 2 & 0.277531+0 & 0.122463+0 & 0.658124-2 & -0.564594-2 & -0.279860-2 \\ \hline 3 & 0.271885+0 & 0.119664+0 & 0.464212-4 & -0.406023-4 & -0.210055-4 \\ \hline 4 & 0.271845+0 & 0.119643+0 & 0.241346-8 & & \\ \hline \end{array}</math> Das Newton-Verfahren, Algorithmus 9, ist ''invariant gegenüber affin-linearen Transformationen'' (Übung!). Dies bedeutet, wenn <math>A \in \R^{n\times n}</math> eine beliebige reguläre Matrix und <math>c \in \R^n</math> irgendein Vektor: Ist <math>\{x^k\}</math> die durch das lokale Newton-Verfahren für den Startpunkt <math>x^0</math> erzeugte Iteriertenfolge zur Bestimmung einer Lösung des Gleichungssystems <math>F(x) = 0</math>, so erzeugt das Verfahren bei Anwendung auf das System ::<math>G(z) := F(Az + c) = 0</math> für den Startpunkt <math>z^0 := A^{-1} (x^0 - c)</math> die Iteriertenfolge <math>\{z^k\}</math> mit ::<math>z^k = A^{-1} \left( x^k - c \right) \Leftrightarrow x^k = Az^k + c.</math> Verfahren, die invariant gegenüber affin-linearen Transformationen sind, gelten gegenüber Verfahren, die diese Eigenschaft nicht besitzen, insofern als robuster, als ihre Konvergenzgeschwindigkeit weit weniger von den gerade vorliegenden speziellen Daten abhängt. Anders als z. B. bei dem ''CG-Verfahren'' zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix (s. Kanzow) ändert sich beim lokalen Newton-Verfahren insbesondere durch eine (affin-)lineare Transformation der Variablen die Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens nicht. Denn ist <math>\varepsilon > 0</math> eine vorgegebene Abbruchschranke, so gilt aufgrund der oben beschriebenen Invarianz gegenüber affin-linearen Transformationen und der sich daraus ergebenden Identitäten ::<math>\left\| G(z^k) \right\| = \left\| F(Az^k + c) \right\| = \left\| F(x^k) \right\|</math> die Äquivalenz ::<math>\left\| F(x^k) \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow \left\| G(z^k) \right\| \le \varepsilon.</math> Bei Verfahren, die wie die CG-Verfahren nicht invariant gegenüber affin-linearen Transformationen sind, kann man zwar möglicherweise die Konvergenzgeschwindigkeit durch eine geeignete Wahl der Matrix <math>A</math> erheblich beschleunigen, ist es aber häufig nicht vorhersehbar, ob das Verfahren für die aktuellen Daten langsam konvergiert, oder ist es nicht klar, ob gegebenenfalls eine geeignete Transformation zur Konvergenzbeschleunigung gefunden werden kann. Mit ::<math>p^k := \left[\mathcal J_F(x^k)\right]^{-1} F(x^k)</math> lautet die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens ::<math>x^{k+1} := x^k + p^k, \quad k = 0, 1, \ldots.</math> Die Richtung <math>p^k</math> bezeichnet man dabei auch als ''Newton-Richtung'' in <math>x^k</math>. Es gibt eine große Zahl von Varianten des Newton-Verfahrens, die zum Ziel haben, den Konvergenzbereich des Verfahrens zu vergrößern und/oder seinen numerischen Aufwand zu reduzieren. So kann man das Newton-Verfahren in gewisser Weise ''globalisieren'', indem man eine geeignete ''Schrittweite'' <math>t_k > 0</math> einführt und ::<math>x^{k+1} := x^k + t_k p^k, \quad k = 0, 1, \ldots</math> definiert. Dabei wählt man <math>t_k</math> beispielsweise als (Näherungs-)Lösung des Problems ::(5.31) <math>\min_{t\ge0} \left\| F(x^k + tp^k) \right\|_2,</math> da ja <math>\left\| F(x^{k + 1}) \right\|_2</math> möglichst klein werden sollte. Von dem so modifizierten sog. ''gedämpften Newton-Verfahren'' kann man unter relativ schwachen Voraussetzungen für jeden Startpunkt <math>x^0</math> einer geeigneten, hinreichend großen Menge Konvergenz zeigen. (Man hat sich dabei zu überlegen, dass ein solches <math>t_k</math> existiert und eine positive Zahl ist. Da eine Lösung des globalen Optimierungsproblems (5.31) im Allgemeinen nicht realistisch ist, wählt man die Schrittweite <math>t_k</math> häufig aber auf eine andere Weise; siehe z. B. Stoer, wo für eine solche andere Schrittweitenwahl auch ein Konvergenzsatz zu finden ist.) Eine weitere praktisch relevante Modifikation des Newton-Verfahrens besteht darin, die numerisch aufwendig zu berechnende Jacobi-Matrix <math>\mathcal J_F(x^k)</math> im Verfahren durch eine geeignete Näherung <math>H_k \in \R^{n\times n}</math> zu ersetzen, wobei <math>H_k</math> alleine aus den Daten <math>x^k, x^{k-1}, F(x^k)</math> und <math>F(x^{k-1})</math> numerisch relativ günstig berechnet werden kann und somit insbesondere keine partiellen Ableitungen benötigt werden. Wir kennen ein solches Vorgehen schon vom Sekantenverfahren her, bei dem der Faktor ::<math>\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})},</math> der eine Näherung für <math>1/f'(x_k)</math> darstellt, in der Iterationsvorschrift vorkommt. Verfahren dieses Typs werden als ''Sekanten-'' oder ''Quasi-Newton-Verfahren'' bezeichnet. Das bekannteste ist das ''Broyden-Verfahren''. Quasi-Newton-Verfahren haben vor allem im Zusammenhang mit der Bestimmung von Extremalpunkten von <math>F</math> und damit der Lösung des Systems <math>\nabla F(x) = 0</math> große Bedeutung, da man ja bei Anwendung des Newton-Verfahrens in einem solchen Fall in jeder Iteration die Hesse-Matrix <math>\nabla^2 F(x^k)</math> für <math>F</math>, also etwa <math>n^2/2</math> partielle Ableitungen zweiter Ordnung zu berechnen hat. Von solchen Quasi-Newton-Verfahren gibt es eine Reihe von Varianten, die sich durch die Wahl der <math>H_k</math> unterscheiden, wobei man im Fall der Lösung von Optimierungsaufgaben zusätzlich bestrebt ist, die positive oder negative (Semi-)Definitheit der Hesse-Matrix in einer Umgebung des Extremalpunktes auch für die <math>H_k</math> zu erreichen. Die verbreitetste Methode ist das ''BFGS-Verfahren'', das nach seinen Erfindern <u>B</u>royden, <u>F</u>letcher, <u>G</u>oldfarb und <u>S</u>hanno benannt wurde, die das Verfahren 1970 unabhängig voneinander vorschlugen. Es hat sich herausgestellt, dass dieses unter allen Quasi-Newton-Verfahren das wohl unempfindlichste gegenüber der Schrittweitenwahl ist. (Es gibt Alternativen zu der numerisch teuren Berechnung der ''Minimumschrittweite'' in (5.31).) Von Quasi-Newton-Verfahren kann man keine quadratische Konvergenz erwarten, da sie ja weniger Information der Funktion als das Newton-Verfahren verwenden. Unter geeigneten Voraussetzungen lässt sich aber für sie im Allgemeinen superlineare Konvergenz nachweisen. Die schlechtere Konvergenzrate gegenüber dem Newton-Verfahren wird jedoch durch den pro Iteration erforderlichen, geringeren numerischen Aufwand kompensiert. Allgemein kann man sagen, dass das Newton-Verfahren wohl das erfolgreichste und verbreitetste Verfahren der Mathematik ist. Es wurde im Hinblick auf die Lösung zahlloser Probleme, auch solcher in unendlich-dimensionalen Räumen, verallgemeinert und modifiziert. j2peiolfs0g3zrp3c8nvg5liqvrif4n 745621 745616 2022-07-22T05:50:52Z Bert Niehaus 20843 /* 5.3 Fixpunktiteration */ wikitext text/x-wiki = 5.4 Das Newton-Verfahren im <math>\R^n</math> = == 4.1 Grundlagen == Es sei <math>D \subseteq \R^n</math> eine offene Menge und <math>F: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> eine Funktion mit ::<math>F(x) := (F_1(x), \ldots, F_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial F_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math>, es sei also <math>F \in C^1(D, \R^n)</math>. Die zu <math>F</math> gehörige Jacobi-Matrix bezeichnen wir mit ::<math>\mathcal J_F(x) := \left( \frac{\partial F_i}{\partial x_j}(x) \right)_{i, j=1, \ldots, n} \in \R^{n\times n}.</math> Mit <math>\|\cdot\|</math> ist im ganzen Abschnitt 5.4 wieder die Euklidische Norm auf dem <math>\R^n</math> bzw. die durch sie induzierte Spektralnorm gemeint. Schließlich werden wir von dem folgenden Lemma Gebrauch machen. === Lemma 5.17 === :''Sei <math>v: [a, b] \to \R^n</math> eine stetige vektorwertige Funktion, sei <math>v(t) := (v_1(t), \ldots, v_n(t))^T</math> für <math>t \in [a, b]</math> und sei <math>u := \int\limits^b_a v(t)\, dt</math> der Vektor mit den Komponenten <math>u_i := \int\limits^b_a v_i(t)\, dt</math>. Dann gilt: ::<math>\left\| \int\limits^b_a v(t)\, dt \right\| \le \int\limits^b_a \|v(t)\|\, dt</math> ==== Beweis. ==== Es sei <math>K := \|u\|</math>. Dann kann man unter Verwendung des Standardskalarprodukts ::<math>\langle x, y \rangle := \sum^n_{i=1} x_iy_i, \quad x, y \in \R^n</math> auf dem <math>\R^n</math> und der Cauchy-Schwarz-Ungleichung abschätzen: ::<math>K^2 = \langle u, u \rangle = \left\langle \int\limits^b_a v(t)\, dt, u \right\rangle = \sum^n_{i = 1} u_i \int\limits^b_a v_i(t)\, dt = \int\limits^b_a \sum^n_{i = 1} u_iv_i(t)\, dt = \int\limits^b_a \langle u, v(t) \rangle\, dt \le \int\limits^b_a \|u\|\|v(t)\|\, dt</math> ::<math>= K \int\limits^b_a \|v(t)\|\, dt.</math> q.e.d. == 5.4.2 Das Verfahren == Es sei wieder <math>D \subseteq \R^n</math> eine offene Menge und es sei <math>F \in C^1(D, \R^n)</math> mit ::<math>F(x) = (F_1(x), \ldots, F_n(x))^T, \quad x \in D</math> und Jacobi- bzw. Funktionalmatrix <math>\mathcal J_F(x)</math> gegeben. Es soll nun das Newton-Verfahren zur Bestimmung einer Lösung <math>x^* \in D</math> des Gleichungssystems ::<math>F(x) = 0 \Leftrightarrow F_i(x_1, \ldots, xn) = 0 \quad (i = 1, \ldots, n)</math> vorgestellt und seine Konvergenz untersucht werden. Für <math>n = 1</math> hatten wir dies bereits in Abschnitt 5.2.4 getan. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lautete im Fall <math>n = 1</math> ::<math>x_{k+1} := x_k - [f'(x_k)]^{-1} f(x_k),</math> wobei sich <math>x_{k+1}</math> als Nullstelle einer linearen Approximation von <math>f</math>, der Tangente bei <math>x_k</math> an <math>f</math>, ergab. Ähnlich kann man für eine Funktion <math>F \in C^1(D, \R^n)</math> mit beliebigem <math>n \in \N</math> das Newton-Verfahren dadurch motivieren, dass man <math>x^{k+1}</math> als Nullstelle der linearen Approximation von <math>F</math> bei <math>x^k</math> ::<math>F_k(x) := F(x^k) + \mathcal J_F(x^k) \left( x - x^k \right)</math> wählt. Dieses Vorgehen führt zu der allgemeinen Iterationsvorschrift ::(5.23) <math>x^{k+1} := x^k - \left[ \mathcal J_F(x^k) \right]^{-1} F(x^k), \quad k \in \N_0</math> des ''Newton-Verfahrens''. Wir gehen hier implizit davon aus, dass die Jacobi-Matrix <math>\mathcal J_F(x^k)</math> des Systems für jedes <math>k \in \N_0</math> nichtsingulär ist. Da man, wenn immer möglich, die Berechnung der Inversen einer Matrix vermeiden sollte, geht man praktisch bei der Berechnung von <math>x^{k+1}</math> von der zu (5.23) äquivalenten Gleichung ::<math>\mathcal J_F(x^k) (\underbrace{x^{k+1} - x^k}_{=:h^k}) = -F(x^k)</math> aus und bestimmt man die eindeutige Lösung <math>h^k</math> des linearen Gleichungssystems ::<math>\mathcal J_F(x^k) h = -F(x^k).</math> Anschließend setzt man ::<math>x^{k+1} := x^k + h^k.</math> Das Newton-Verfahren lautet somit wie folgt: === Algorithmus 9 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle <math>x^0 \in D</math> und ein <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>F(x^0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>\mathcal J_F(x^k)</math> und bestimme die eindeutige Lösung <math>h^k \in \R^n</math> von ::(5.24) <math>\mathcal J_F(x^k) h = -F(x^k).</math> :(2) Setze <math>x^{k+1} := x^k + h^k</math> und berechne <math>F(x^{k+1})</math>. :(3) Falls <math>\left\| F(x^{k+1}) \right\|_2 \le \varepsilon</math>, stop! :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Der folgende Satz besagt, dass das Newton-Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen durchführbar, d. h. für alle <math>k</math> insbesondere <math>x^k \in D</math> und <math>\mathcal J_F(x^k)</math> nichtsingulär ist und dass es superlinear bzw. quadratisch konvergiert. === Satz 5.18 === :''Es sei <math>D \subset \R^n</math> offen und <math>F \in C^1(D, \R^n)</math>. Ferner existiere ein <math>x^* \in D</math>, für welches <math>F(x^*) = 0</math> und <math>\mathcal J_F (x^*)</math> nichtsingulär sei. Dann gibt es eine Umgebung <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> von <math>x^*</math> für ein <math>\delta > 0</math>, so dass das Newton-Verfahren, Algorithmus 9, für jeden Startpunkt <math>x^0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> durchführbar ist und die durch ihn ohne das Abbruchkriterium (3) erzeugte Iteriertenfolge <math>(x^k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> konvergiert. Gilt mit einem <math>L > 0</math> ::(5.25) <math>\|\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F(x^*)\| \le L \|x - x^*\|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*),</math> :''so konvergiert <math>(x^k)</math> gegen <math>x^*</math> sogar quadratisch. ==== Beweis. ==== Wegen der Stetigkeit von <math>\mathcal J_F(x)</math> auf <math>D</math> können wir zunächst <math>\eta > 0</math> so klein wählen, dass gilt: ::<math>\|\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F(x^*)\| \le \frac 1{2 \left\| [\mathcal J_F(x^*)]^{-1} \right\|}, \quad x \in \mathcal U_\eta(x^*).</math> Für <math>x \in \mathcal U_\eta(x^*)</math> ergibt sich damit und mit <math>\beta := \left\| [\mathcal J_F(x^*)]^{-1} \right\|</math> gemäß Korollar 2.21 die Invertierbarkeit der Matrix ::<math>\mathcal J_F(x) = \mathcal J_F(x^*) + [\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F (x^*)]</math> sowie die Abschätzung ::(5.26) <math>\left\| [\mathcal J_F(x)]^{-1} \right\| \le \frac{\left\|[\mathcal J_F(x^*)]^{-1}\right\|}{1 - \left\|[\mathcal J_F(x^*)]^{-1}\right\| \|\mathcal J_F(x) - \mathcal J_F(x^*)\|} \le 2\beta.</math> Sei nun ::<math>\mathcal N(x) := x - [\mathcal J_F(x)]^{-1} F(x), \quad x \in \mathcal U_\eta(x^*)</math> die Iterationsfunktion des lokalen Newton-Verfahrens, die nach dem Gezeigten auf <math>\mathcal U_\eta(x^*)</math> wohldefiniert ist. Mit <math>F(x^*) = 0</math> und den Identitäten ::<math>\int\limits^1_0 \mathcal J_F(x^* + s(x - x^*)) (x - x^*)\, ds = F(x^* + s(x - x^*)) \Big|^1_0 = F(x) - F(x^*) = F(x)</math> schließen wir als nächstes ::<math>\mathcal N(x) - x^* = x - x^* - [\mathcal J_F(x)]^{-1} [F(x) - F(x^*)]</math> ::<math>= x - x^* - [\mathcal J_F(x)]^{-1} \left\{ \mathcal J_F(x^*) (x - x^*) + \int\limits^1_0 [\mathcal J_F(x^* + s(x - x^*)) - \mathcal J_F(x^*)] (x - x^*)\, ds \right\}</math> ::<math>= - [\mathcal J_F(x)]^{-1} [\mathcal J_F(x^*) - \mathcal J_F(x)] (x - x^*) - [\mathcal J_F(x)]^{-1} \int\limits^1_0 [\mathcal J_F(x^* + s(x - x^*)) - \mathcal J_F (x^*)] (x - x^*)\, ds.</math> Für ::(5.27) <math>\varepsilon(x) := 2\beta \left\{ \|\mathcal J_F(x^*) - \mathcal J_F(x)\| + \int\limits^1_0 \|\mathcal J_F (x^* + s(x - x^*)) - \mathcal J_F(x^*)\|\, ds \right\}</math> leiten wir daraus unter Anwendung von Lemma 5.17 mit (5.26) die folgende Abschätzung ab: ::(5.28) <math>\|\mathcal N(x) - x^*\| \le \varepsilon(x) \|x - x^*\|.</math> Wegen der Stetigkeit von <math>\mathcal J_F(x)</math> auf <math>\mathcal U_\eta(x^*)</math> existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>\varepsilon(x) \le 1/2</math> auf <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> ist und damit gilt: ::<math>\|\mathcal N(x) - x^*\| \le \frac 12 \|x - x^*\|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*).</math> Beginnend mit <math>x^0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math>, liegt folglich mit <math>x^k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x^{k+1} := \mathcal N(x^k)</math> in <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> und konvergiert die Folge <math>(x^k)</math> linear gegen <math>x^*</math>. Die Konvergenz von <math>(x^k)</math> impliziert weiter die Konvergenz <math>\varepsilon(x^k) \to 0</math> <math>(k \to \infty)</math>. Da gemäß (5.28) ::(5.29) <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon(x^k) \left\| x^k - x^* \right\|</math> für alle k gilt, folgt schließlich die superlineare Konvergenz von <math>(x^k)</math>. Gilt nun (5.25) auf <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math>, dann liegt für jedes <math>k</math> mit <math>x^*</math> und <math>x^k</math> auch <math>x^* + s(x^k - x^*)</math> für alle <math>s \in [0, 1]</math> in <math>\mathcal U_\delta(x^*)</math> und folgt somit ::<math>\left\| \mathcal J_F(x^* + s(x^k - x^*)) - \mathcal J_F(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|.</math> Aus (5.27) gewinnt man damit für alle <math>k</math> die Abschätzung ::<math>\varepsilon(x^k) \le 2\beta \left\{ L + \frac 12 L \right\} \left\| x^k - x^* \right\| = 3\beta L \left\| x^k - x^* \right\|</math> Letzteres zeigt zusammen mit (5.29) die quadratische Konvergenz der Folge <math>(x^k)</math>. q.e.d. ==== Beispiel 5.19 ==== Gesucht sei die Lösung <math>x^* := (x^*_1, x^*_2)^T</math> der beiden Gleichungen ::(5.30) <math>\begin{matrix} F_1(x_1, x_2) := x^2_1 + x^2_2 + 0.6x_2 - 0.16 = 0, \\ F_2(x_1, x_2) := x^2_1 - x^2_2 + x_1 - 1.6x_2 - 0.14= 0, \end{matrix}</math> für die <math>x^*_1, x^*_2 > 0</math> gilt, wobei wir hier keine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> angeben. Die Jacobi-Matrix von <math>F</math> lautet ::<math>\mathcal J_F(x) = \begin{pmatrix} 2x_1 & 2x_2 + 0.6 \\ 2x_1 + 1 & -2x_2 - 1.6 \end{pmatrix}.</math> Für <math>(x^0_1, x^0_2)^T := (0.6, 0.25)^T</math> erhält man somit das lineare Gleichungssystem (5.24) ::<math>\begin{pmatrix} 1.2 & 1.1 \\ 2.2 & -2.1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = - \begin{pmatrix} 0.4125 \\ 0.3575 \end{pmatrix}.</math> Dieses besitzt die Lösung ::<math>\begin{pmatrix} h^0_1 \\ h^0_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -0.254\ 960 \\ -0.096\ 862 \end{pmatrix},</math> so dass sich ::<math>\begin{pmatrix} x^1_1 \\ x^1_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.60 \\ 0.25 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -0.254\ 960 \\ -0.096\ 862 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.345\ 040 \\ 0.153\ 138 \end{pmatrix}</math> ergibt mit dem Defekt ::<math>\sqrt{[F_1(x^1_1, x^1_2)]^2 + [F_2(x^1_1, x^1_2)]^2} = 0.092\ 882\ 7.</math> Mit <math>(x^1_1, x^1_2)^T</math> verfährt man nun analog usw. Für die ersten vier Iterationen ergibt sich insgesamt die folgende Tabelle: ::<math>\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline k & x^k_1 & x^k_2 & \left\| F(x^k) \right\| & h^k_1 & h^k_2 \\ \hline 0 & 0.600000+0 & 0.250000+0 & 0.545859+0 & -0.254960+0 & -0.096862+0 \\ \hline 1 & 0.345040+0 & 0.153138+0 & 0.928827-1 & -0.675094-1 & -0.306747-1 \\ \hline 2 & 0.277531+0 & 0.122463+0 & 0.658124-2 & -0.564594-2 & -0.279860-2 \\ \hline 3 & 0.271885+0 & 0.119664+0 & 0.464212-4 & -0.406023-4 & -0.210055-4 \\ \hline 4 & 0.271845+0 & 0.119643+0 & 0.241346-8 & & \\ \hline \end{array}</math> Das Newton-Verfahren, Algorithmus 9, ist ''invariant gegenüber affin-linearen Transformationen'' (Übung!). Dies bedeutet, wenn <math>A \in \R^{n\times n}</math> eine beliebige reguläre Matrix und <math>c \in \R^n</math> irgendein Vektor: Ist <math>\{x^k\}</math> die durch das lokale Newton-Verfahren für den Startpunkt <math>x^0</math> erzeugte Iteriertenfolge zur Bestimmung einer Lösung des Gleichungssystems <math>F(x) = 0</math>, so erzeugt das Verfahren bei Anwendung auf das System ::<math>G(z) := F(Az + c) = 0</math> für den Startpunkt <math>z^0 := A^{-1} (x^0 - c)</math> die Iteriertenfolge <math>\{z^k\}</math> mit ::<math>z^k = A^{-1} \left( x^k - c \right) \Leftrightarrow x^k = Az^k + c.</math> Verfahren, die invariant gegenüber affin-linearen Transformationen sind, gelten gegenüber Verfahren, die diese Eigenschaft nicht besitzen, insofern als robuster, als ihre Konvergenzgeschwindigkeit weit weniger von den gerade vorliegenden speziellen Daten abhängt. Anders als z. B. bei dem ''CG-Verfahren'' zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit symmetrischer, positiv definiter Matrix (s. Kanzow) ändert sich beim lokalen Newton-Verfahren insbesondere durch eine (affin-)lineare Transformation der Variablen die Konvergenzgeschwindigkeit des Verfahrens nicht. Denn ist <math>\varepsilon > 0</math> eine vorgegebene Abbruchschranke, so gilt aufgrund der oben beschriebenen Invarianz gegenüber affin-linearen Transformationen und der sich daraus ergebenden Identitäten ::<math>\left\| G(z^k) \right\| = \left\| F(Az^k + c) \right\| = \left\| F(x^k) \right\|</math> die Äquivalenz ::<math>\left\| F(x^k) \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow \left\| G(z^k) \right\| \le \varepsilon.</math> Bei Verfahren, die wie die CG-Verfahren nicht invariant gegenüber affin-linearen Transformationen sind, kann man zwar möglicherweise die Konvergenzgeschwindigkeit durch eine geeignete Wahl der Matrix <math>A</math> erheblich beschleunigen, ist es aber häufig nicht vorhersehbar, ob das Verfahren für die aktuellen Daten langsam konvergiert, oder ist es nicht klar, ob gegebenenfalls eine geeignete Transformation zur Konvergenzbeschleunigung gefunden werden kann. Mit ::<math>p^k := \left[\mathcal J_F(x^k)\right]^{-1} F(x^k)</math> lautet die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens ::<math>x^{k+1} := x^k + p^k, \quad k = 0, 1, \ldots.</math> Die Richtung <math>p^k</math> bezeichnet man dabei auch als ''Newton-Richtung'' in <math>x^k</math>. Es gibt eine große Zahl von Varianten des Newton-Verfahrens, die zum Ziel haben, den Konvergenzbereich des Verfahrens zu vergrößern und/oder seinen numerischen Aufwand zu reduzieren. So kann man das Newton-Verfahren in gewisser Weise ''globalisieren'', indem man eine geeignete ''Schrittweite'' <math>t_k > 0</math> einführt und ::<math>x^{k+1} := x^k + t_k p^k, \quad k = 0, 1, \ldots</math> definiert. Dabei wählt man <math>t_k</math> beispielsweise als (Näherungs-)Lösung des Problems ::(5.31) <math>\min_{t\ge0} \left\| F(x^k + tp^k) \right\|_2,</math> da ja <math>\left\| F(x^{k + 1}) \right\|_2</math> möglichst klein werden sollte. Von dem so modifizierten sog. ''gedämpften Newton-Verfahren'' kann man unter relativ schwachen Voraussetzungen für jeden Startpunkt <math>x^0</math> einer geeigneten, hinreichend großen Menge Konvergenz zeigen. (Man hat sich dabei zu überlegen, dass ein solches <math>t_k</math> existiert und eine positive Zahl ist. Da eine Lösung des globalen Optimierungsproblems (5.31) im Allgemeinen nicht realistisch ist, wählt man die Schrittweite <math>t_k</math> häufig aber auf eine andere Weise; siehe z. B. Stoer, wo für eine solche andere Schrittweitenwahl auch ein Konvergenzsatz zu finden ist.) Eine weitere praktisch relevante Modifikation des Newton-Verfahrens besteht darin, die numerisch aufwendig zu berechnende Jacobi-Matrix <math>\mathcal J_F(x^k)</math> im Verfahren durch eine geeignete Näherung <math>H_k \in \R^{n\times n}</math> zu ersetzen, wobei <math>H_k</math> alleine aus den Daten <math>x^k, x^{k-1}, F(x^k)</math> und <math>F(x^{k-1})</math> numerisch relativ günstig berechnet werden kann und somit insbesondere keine partiellen Ableitungen benötigt werden. Wir kennen ein solches Vorgehen schon vom Sekantenverfahren her, bei dem der Faktor ::<math>\frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})},</math> der eine Näherung für <math>1/f'(x_k)</math> darstellt, in der Iterationsvorschrift vorkommt. Verfahren dieses Typs werden als ''Sekanten-'' oder ''Quasi-Newton-Verfahren'' bezeichnet. Das bekannteste ist das ''Broyden-Verfahren''. Quasi-Newton-Verfahren haben vor allem im Zusammenhang mit der Bestimmung von Extremalpunkten von <math>F</math> und damit der Lösung des Systems <math>\nabla F(x) = 0</math> große Bedeutung, da man ja bei Anwendung des Newton-Verfahrens in einem solchen Fall in jeder Iteration die Hesse-Matrix <math>\nabla^2 F(x^k)</math> für <math>F</math>, also etwa <math>n^2/2</math> partielle Ableitungen zweiter Ordnung zu berechnen hat. Von solchen Quasi-Newton-Verfahren gibt es eine Reihe von Varianten, die sich durch die Wahl der <math>H_k</math> unterscheiden, wobei man im Fall der Lösung von Optimierungsaufgaben zusätzlich bestrebt ist, die positive oder negative (Semi-)Definitheit der Hesse-Matrix in einer Umgebung des Extremalpunktes auch für die <math>H_k</math> zu erreichen. Die verbreitetste Methode ist das ''BFGS-Verfahren'', das nach seinen Erfindern <u>B</u>royden, <u>F</u>letcher, <u>G</u>oldfarb und <u>S</u>hanno benannt wurde, die das Verfahren 1970 unabhängig voneinander vorschlugen. Es hat sich herausgestellt, dass dieses unter allen Quasi-Newton-Verfahren das wohl unempfindlichste gegenüber der Schrittweitenwahl ist. (Es gibt Alternativen zu der numerisch teuren Berechnung der ''Minimumschrittweite'' in (5.31).) Von Quasi-Newton-Verfahren kann man keine quadratische Konvergenz erwarten, da sie ja weniger Information der Funktion als das Newton-Verfahren verwenden. Unter geeigneten Voraussetzungen lässt sich aber für sie im Allgemeinen superlineare Konvergenz nachweisen. Die schlechtere Konvergenzrate gegenüber dem Newton-Verfahren wird jedoch durch den pro Iteration erforderlichen, geringeren numerischen Aufwand kompensiert. Allgemein kann man sagen, dass das Newton-Verfahren wohl das erfolgreichste und verbreitetste Verfahren der Mathematik ist. Es wurde im Hinblick auf die Lösung zahlloser Probleme, auch solcher in unendlich-dimensionalen Räumen, verallgemeinert und modifiziert. l6kuo74ucb0d6ruafiqlkkp25ack62h 14 22080 745633 458866 2022-07-22T08:12:34Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Theorie-Kategorie unter |Theorie der euklidischen Vektorräume|Orthonormalbasen |Theorie der Orthonormalsysteme|Normal }} t8fv9w9if4qnd9nb9xeubk70bxenwd6 106 129960 745653 744816 2022-07-22T09:31:48Z Bert Niehaus 20843 /* (3.2) Multiplikative toplogische Algebren */ wikitext text/x-wiki [[Datei:Algebra extension.svg|mini|Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegeben <math>z\in A</math> enthält]] Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge <math>A</math> zu einer Erweiterung <math>B</math> mit <math>A\subset B</math> und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes <math>z\in A</math> in der Erweiterung <math>z\in B</math>. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes <math>z\in A</math> in einer Erweiterung <math>B</math> ermöglichen, d.h. :<math>\exists_{z^{-1} \in B}: \, z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = e</math> erfüllt ist und <math>e\in A</math> das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes <math>z\in A</math>, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen <math>B</math> von <math>A</math> nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier [[/topologische Algebra/|topologische Algebren]], bei denen die Verknüpfungen * (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung, * (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und * (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine [[/topologische Algebra/|topologische Algebra]]. == Inhalte == ===Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lineare Abbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildun&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen in metrischen Räumen|Cauchy-Folgen in metrischen Räumen]]''' * '''[[Vollständigkeit|Vollständigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Vollst%C3%A4ndigkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Banachalgebra|Banachalgebra]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra]] <!-- * '''[[Normenäquivalenzsatz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%C3%A4quivalenzsatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lemma von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lemma_von_Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kompaktheitssatz von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kompaktheitssatz%20von%20Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Ideal_(Algebra)|Ideal (Algebra)]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Ideale_(Algebra)&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1: Grundlagen === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Einführung|Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]] - Analogie zur Algebraerweiterung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erweiterung%20der%20Zahlbereiche&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomnalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2: K-singuläre Elemente === Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math>. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|Topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen|Kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|Topologisch kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale|Satz - TKP und Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20TKP%20und%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen|Satz - KP-TNT-Summen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität|Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Stetigkeitssequenzen%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3: K-reguläre Elemente === In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> konstruiert, in denen ein gegebenes <math>\mathcal{K}</math>-reguläres Element invertierbar ist. * '''[[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität|Eigenschaften K-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]''' - Banachalgebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal|Von Äquivalenzklassen zum Ideal]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt|Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]]''' - lokal beschränkte Algebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz p-Normierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20p-Normierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Konkavit%C3%A4tsmodul&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20p-Normen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20Quasinormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel|P-Algebra - Beispiel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra%20-%20Beispiel&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.2) Multiplikative toplogische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#Korrollar:_LC-Regularitätskriterium|LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#PC-Regularitätskriterium|PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus|PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Hom%C3%B6omorphie%20-%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.4) Topologische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen |Lemma - Kaskadensummen ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte |Lemma - Kaskadenprodukte ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität|Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeit%20-%20Cauchymultiplikation%20-%20T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit Cauchy-Produkt|T-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium|T-Regularitätskriterium]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente|Hauptsatz über K-reguläre Elemente]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz%20%C3%BCber%20K-regul%C3%A4re%20Elemente&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen === In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit <math>z \cdot x = x \cdot z = e</math> mit <math>x=z^{-1}</math> als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> mit <math>z_1,z_2 \in A</math> betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> nach einer Lösung <math>x\in B</math> gesucht, die die Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> löst. == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die aus dem anpassbaren Wikiinhalten erstellten Folien in einem GitHib-Repository bereitgestellt, um Download und Nutzung zu vereinfachen. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einführung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien] * [[Hilfe:Quiz|Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte]] == Wiki-Bücher == * [[b:en:Functional_Analysis|Wikibook: Functional Analysis]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras]]</noinclude> k6spi3fd805t1c9zv242bbd8adhxmlw 745654 745653 2022-07-22T09:32:45Z Bert Niehaus 20843 /* (3.2) Multiplikative toplogische Algebren */ wikitext text/x-wiki [[Datei:Algebra extension.svg|mini|Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegeben <math>z\in A</math> enthält]] Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge <math>A</math> zu einer Erweiterung <math>B</math> mit <math>A\subset B</math> und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes <math>z\in A</math> in der Erweiterung <math>z\in B</math>. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes <math>z\in A</math> in einer Erweiterung <math>B</math> ermöglichen, d.h. :<math>\exists_{z^{-1} \in B}: \, z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = e</math> erfüllt ist und <math>e\in A</math> das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes <math>z\in A</math>, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen <math>B</math> von <math>A</math> nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier [[/topologische Algebra/|topologische Algebren]], bei denen die Verknüpfungen * (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung, * (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und * (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine [[/topologische Algebra/|topologische Algebra]]. == Inhalte == ===Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lineare Abbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildun&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen in metrischen Räumen|Cauchy-Folgen in metrischen Räumen]]''' * '''[[Vollständigkeit|Vollständigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Vollst%C3%A4ndigkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Banachalgebra|Banachalgebra]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra]] <!-- * '''[[Normenäquivalenzsatz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%C3%A4quivalenzsatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lemma von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lemma_von_Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kompaktheitssatz von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kompaktheitssatz%20von%20Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Ideal_(Algebra)|Ideal (Algebra)]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Ideale_(Algebra)&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1: Grundlagen === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Einführung|Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]] - Analogie zur Algebraerweiterung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erweiterung%20der%20Zahlbereiche&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomnalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2: K-singuläre Elemente === Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math>. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|Topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen|Kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|Topologisch kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale|Satz - TKP und Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20TKP%20und%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen|Satz - KP-TNT-Summen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität|Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Stetigkeitssequenzen%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3: K-reguläre Elemente === In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> konstruiert, in denen ein gegebenes <math>\mathcal{K}</math>-reguläres Element invertierbar ist. * '''[[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität|Eigenschaften K-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]''' - Banachalgebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal|Von Äquivalenzklassen zum Ideal]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt|Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]]''' - lokal beschränkte Algebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz p-Normierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20p-Normierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Konkavit%C3%A4tsmodul&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20p-Normen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20Quasinormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel|P-Algebra - Beispiel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra%20-%20Beispiel&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.2) Multiplikative toplogische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#Korrollar:_LC-Regularitätskriterium|LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#PC-Regularitätskriterium|PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus|PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Hom%C3%B6omorphie%20-%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.4) Topologische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen |Lemma - Kaskadensummen ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte |Lemma - Kaskadenprodukte ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität|Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeit%20-%20Cauchymultiplikation%20-%20T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit Cauchy-Produkt|T-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium|T-Regularitätskriterium]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente|Hauptsatz über K-reguläre Elemente]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz%20%C3%BCber%20K-regul%C3%A4re%20Elemente&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen === In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit <math>z \cdot x = x \cdot z = e</math> mit <math>x=z^{-1}</math> als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> mit <math>z_1,z_2 \in A</math> betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> nach einer Lösung <math>x\in B</math> gesucht, die die Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> löst. == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die aus dem anpassbaren Wikiinhalten erstellten Folien in einem GitHib-Repository bereitgestellt, um Download und Nutzung zu vereinfachen. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einführung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien] * [[Hilfe:Quiz|Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte]] == Wiki-Bücher == * [[b:en:Functional_Analysis|Wikibook: Functional Analysis]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras]]</noinclude> 14q2yh57e4cm7mv7iv9i75iy2v8qm4i 745659 745654 2022-07-22T09:52:36Z Bert Niehaus 20843 /* (3.2) Multiplikative toplogische Algebren */ wikitext text/x-wiki [[Datei:Algebra extension.svg|mini|Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math>, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegeben <math>z\in A</math> enthält]] Der Kurs behandelt ein grundlegendes Konzept, mathematische Eigenschaften in Erweiterungen einer Grundmenge zu betrachten. Dabei erweitern man eine Grundmenge <math>A</math> zu einer Erweiterung <math>B</math> mit <math>A\subset B</math> und überprüft dabei eine Eigenschaft eines Elementes <math>z\in A</math> in der Erweiterung <math>z\in B</math>. In diesem Kurs behandelt wir die multiplikative Invertierbarkeit als mathematische Eigenschaft und betrachten u.a. topologische Eigenschaften, die ein Invertierbarkeit eines Elementes <math>z\in A</math> in einer Erweiterung <math>B</math> ermöglichen, d.h. :<math>\exists_{z^{-1} \in B}: \, z \cdot z^{-1} = z^{-1} \cdot z = e</math> erfüllt ist und <math>e\in A</math> das Einselement der Multiplikation ist. Im Wesentlichen geht es dabei um topologische Eigenschaften des Elementes <math>z\in A</math>, dass entweder eine Invertierbarkeit in einer bestimmten Erweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ermöglicht bzw. in beliebigen Erweiterungen <math>B</math> von <math>A</math> nie ein inverses Element besitzt, d.h. permanent singulär ist. Die Grundmengen mit einer multiplikativen Verknüpfung sind hier [[/topologische Algebra/|topologische Algebren]], bei denen die Verknüpfungen * (TA1) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar als äußere Verknüpfung, * (TA2) Addition von Vektoren im Vektoraum als innere Verknüpfung und * (TA3) Multiplikation von zwei Vektoren als innere Verknüpfung jeweils stetig sind. Dabei wird ein Vektorraum mit den Eigenschaften (TA1) und (TA2) als ein topologischer Vektorraum bezeichnet. Gibt es zusätzlich eine Multiplikation ist zusätzlich diese multiplikative innere Verknüpfung stetig (TA3) dann nennt man den Vektorraum eine [[/topologische Algebra/|topologische Algebra]]. == Inhalte == ===Kapitel 0 === Das '''Kapitel 0''' enthält die Voraussetzungen und grundlegende Resultate, die für den Kurs wesentlich sind. * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre|Mengenlehre]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Mengenlehre&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Topologie|Topologie]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Vektorräume|Vektorräume]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Vektorr%C3%A4ume&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Normen,%20Metriken,%20Topologie&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Netze (Mathematik)|Netze]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Netze_(Mathematik)&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lineare Abbildung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?language=de&domain=wikiversity&title=Lineare_Abbildun&author=Funktionalanalysis&audioslide=yes Folien]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Stetigkeitssatz_f%C3%BCr_lineare_Abbildungen&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Cauchy-Folgen in metrischen Räumen|Cauchy-Folgen in metrischen Räumen]]''' * '''[[Vollständigkeit|Vollständigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Vollst%C3%A4ndigkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Banachalgebra|Banachalgebra]]''' * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Faltung|Faltung als Multiplikation in einer Banachalgebra]] <!-- * '''[[Normenäquivalenzsatz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%C3%A4quivalenzsatz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Lemma von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Lemma_von_Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kompaktheitssatz von Riesz]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kompaktheitssatz%20von%20Riesz&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] --> * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionalanalysis/Ideal_(Algebra)|Ideal (Algebra)]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Ideale_(Algebra)&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 1: Grundlagen === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Einführung|Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kreisförmige Mengen|Kreisförmige Mengen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kreisf%C3%B6rmige%20Mengen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale|Absorbierende Mengen und Minkowski-Funktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Minkowski-Funktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale|Gaugefunktionale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem|Basiserzeugendes Gaugefunktionalsystem]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Basiserzeugendes%20Gaugefunktionalsystem&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma%20f%C3%BCr%20p-Halbnormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung|Algebraerweiterung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraerweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Zahlbereichserweiterung|Zahlbereichserweiterung]] - Analogie zur Algebraerweiterung - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Zahlbereichserweiterung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Erweiterung%20der%20Zahlbereiche&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomnalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra|Potenzreihenalgebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Potenzreihenalgebra&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen|Stetigkeitssequenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeitssequenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 2: K-singuläre Elemente === Zunächst sollen topologische Kriterien behandelt werden, die dafür sorgen, dass ein Elemen permanent singulär in jeder Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math>. Wenn die Negation der topologischen Eigenschaft dazu führt, dass das Element ein inverses Element in einer Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> besitzt, entsteht ein topoligisches Invertierbarkeitskriterien. * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Algebraische%20Eigenschaften%20-%20permament%20singul%C3%A4r&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Nullteiler|Topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium%20f%C3%BCr%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kleine Potenzen|Kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|Topologisch kleine Potenzen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20kleine%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - TKP und Gaugefunktionale|Satz - TKP und Gaugefunktionale]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20TKP%20und%20Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - KP-TNT-Summen|Satz - KP-TNT-Summen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20KP-TNT-Summen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität|Satz - Stetigkeitssequenzen K-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Stetigkeitssequenzen%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 3: K-reguläre Elemente === In diesem Kapitel werden mit den gegebenen topologischen Kriterien Algebraerweiterungen Algebraerweiterung der Klasse <math>\mathcal{K}</math> konstruiert, in denen ein gegebenes <math>\mathcal{K}</math>-reguläres Element invertierbar ist. * '''[[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften K-Regularität|Eigenschaften K-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Eigenschaften%20K-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.1) Normierte und lokalbeschränkte Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]]''' - Banachalgebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Von Äquivalenzklassen zum Ideal|Von Äquivalenzklassen zum Ideal]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Von%20%C3%84quivalenzklassen%20zum%20Ideal&coursetitle=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität/Stetigkeit Cauchy-Produkt|Normeigenschaften Stetigkeit - Cauchy-Produkt in Banachalgebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/B-Regularit%C3%A4t/Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]]''' - lokal beschränkte Algebren ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe Hülle|absolut p-konvexe Hülle]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/p-konvexe%20H%C3%BClle&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Quasinormierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz p-Normierbarkeit]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20p-Normierbarkeit&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Satz%20-%20Konkavit%C3%A4tsmodul&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20p-Normen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t%20%C3%BCber%20Quasinormen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra - Beispiel|P-Algebra - Beispiel]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Algebra%20-%20Beispiel&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.2) Multiplikative toplogische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MLC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MLC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus submultiplikative Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum|Quotientenraum]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionalanalysis/Quotientenraum&author=Kurs:Funktionalanalysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative topologische Nullteiler|Multiplikative topologische Nullteiler]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Multiplikative%20topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen|Konstruktion des Algebraisomorphismus für submultiplikative p-Halbnormen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt|MPC-Stetigkeit - Cauchyprodukt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/MPC-Stetigkeit%20-%20Cauchyprodukt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.3) Lokalkonvexe und pseudokonvexe Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#Korrollar:_LC-Regularitätskriterium|LC-Regularitätskriterium für Halbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Topologisch_große_Potenzen#PC-Regularitätskriterium|PC-Regularitätskriterium für Quasihalbnormensysteme]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma%20der%20Cauchy-Multiplikation&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus|PC-Homöomorphie - Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Hom%C3%B6omorphie%20-%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === (3.4) Topologische Algebren === * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma für Algebren|Topologisierungslemma für Algebren]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisierungslemma%20f%C3%BCr%20Algebren&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion%20des%20Algebraisomorphismus&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch große Potenzen|Topologisch große Potenzen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologisch%20gro%C3%9Fe%20Potenzen&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadensummen |Lemma - Kaskadensummen ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadensummen%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Lemma - Kaskadenprodukte |Lemma - Kaskadenprodukte ]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Lemma%20-%20Kaskadenprodukte%20&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität|Kaskadenabschätzung Cauchy-Produkt - T-Regularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Stetigkeit%20-%20Cauchymultiplikation%20-%20T-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit Cauchy-Produkt|T-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Stetigkeit%20Cauchy-Produkt&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularitätskriterium|T-Regularitätskriterium]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/T-Regularit%C3%A4tskriterium&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz über K-reguläre Elemente|Hauptsatz über K-reguläre Elemente]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz%20%C3%BCber%20K-regul%C3%A4re%20Elemente&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kapitel 4: Lösbarkeit von Gleichungen === In diesem Kapitel wird die Invertierbarkeit <math>z \cdot x = x \cdot z = e</math> mit <math>x=z^{-1}</math> als speziellen Fall der Lösbarkeit einer Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> mit <math>z_1,z_2 \in A</math> betrachtet. Hier wird in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> nach einer Lösung <math>x\in B</math> gesucht, die die Gleichung <math>z_1 \cdot x = z_2</math> löst. == Nutzung der Materialien für Lehrveranstaltungen == Die Vorlesung wird in einem PanDoc-Folien-Format ([[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]) in Wikiversity bereitgestellt, das mit dem Werkzeug [[Wiki2Reveal]] in annotierbare Folien übertragen wird bzw. mit [http://niebert.github.io/PanDocElectron PanDocElectron] die online verfügbare Wikiversity-Quelle lädt und in offline nutzbare Präsentationfolien umwandeln kann. Mit [[Wiki2Reveal]] können Sie auch direkt aus den Wikiversity-Artikeln ein [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal RevealJS- oder DZSlides-Präsentation erstellen]. == Ursprung der Materialen == Im Sinne der OER ([[Open Educational Resources]]) sollten die Vorlesungsinhalten zur freien Verfügungen gestellt werden. Anfänglich wurden die aus dem anpassbaren Wikiinhalten erstellten Folien in einem GitHib-Repository bereitgestellt, um Download und Nutzung zu vereinfachen. Die Wartung und Update der Inhalte in einem Repository ist allerdings sehr aufwändig. Daher wurde für die Vorlesungsfolien [[Wiki2Reveal]]-Artikel entwickelt, die es ermöglichen, direkt aus den Wikiversityinhalten Vorlesungsfolien zu generieren und dies auch online im eigenen Browser zu annotieren (d.h. man kann die Folien z.B. beschriften). Die Abschnitte in den Artikeln sind in der Regel mit sehr wenig Text versehen, damit bei der dynmaischen Erzeugung der Folien der Inhalt eines einzelnen Abschnittes auf eine Folie passt. Alle Folienseiten in Wikiversity haben daher am Ende der Seiten einen Hinweis ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-SLIDE]]'' und sind der [[Wiki2Reveal]]-Kategorie zugeordnet. Wenn Sie diese Seiten editieren, achten Sie bitte darauf, dass die Folien nicht zu voll werden. Ausführlichere Texte zu den Slides werden in der Regel in eigenen Artikeln erstellt. Falls sich die Erläuterungsseiten explizit auf eine Folien beziehen, erhält die Erläuterungsseite eine Markierung ''[[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron-TEXT]]'' und SLIDE- bzw. TEXT-Version verweisen wechselseitig aufeinander. == Siehe auch == * [[Kurs:Funktionalanalysis]] * [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Einführung&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal für Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien] * [[Hilfe:Quiz|Hilfe: Erstellung Quiz für Vorlesungsinhalte]] == Wiki-Bücher == * [[b:en:Functional_Analysis|Wikibook: Functional Analysis]] [[Kategorie:Wiki2Reveal]] [[Category:Funktionalanalysis]] <noinclude>[[en:Inverse-producing extensions of Topological Algebras]]</noinclude> sbh5wc5jv3pt54sd4dcfpn8f768amoy 106 130079 745658 721949 2022-07-22T09:50:51Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == In reellen Zahlen gibt es den Betrag, um z.B. Konvergenz im Raum ausdrücken zu können. Mit dem Betrag kann man <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definieren und die Folgenkonvergenz wird über diese <math>\varepsilon</math>-Umgebungen definiert. Ferner werden zu kreisförmigen Nullumgebungen <math>U</math> Minkowski-Funktionale definiert, in Abhängigkeit von topologischen Eigenschaften der Menge bestimmte Eigenschaften der Minkowski-Funktionale liefert. === Konvergenz in den reellen Zahlen === Die reellen Zahlen mit dem Betrag <math>(\mathbb{R},|\cdot |)</math> ist ein normierter Raum und <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>\mathbb{R}</math> und <math>v_o \in \mathbb{R}</math>: :<math> \lim_{n \to \infty} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ |v_n - v_o | < \epsilon </math> === Konvergenz in normierten Räumen === Analog definiert man die Konvergenz in normierten Räumen <math>(V,\|\cdot \|)</math> <math>(v_n)_{n\in\mathbb{N}} \in V^{\mathbb{N}}</math> eine Folge in <math>V</math> und <math>v_o \in V</math>: :<math> \lim_{n \to \infty}^{\|\cdot\|} v_n = v_o \ :\Longleftrightarrow \ \forall_{\epsilon > 0} \exists_{n_\epsilon \in \mathbb{N}} \forall_{n \geq n_\epsilon} \ : \ \|v_n - v_o\| < \epsilon </math> [[Datei:Audio15 def konvergenz norm.ogg|mini|audio15_def_konvergenz_norm.ogg]] === Epsilonumgebungen === Die Betrag bzw. allgemeiner die Norm wird in <math>(V,\|\cdot \|)</math> auch zur Definition der <math>\varepsilon</math>-Umgebungen verwendet. :<math>B_\varepsilon^{\|\cdot\|}(a):= \left\{ x\in V \, : \, \|x-a\| < \varepsilon \right\}</math> Diese topologieerzeugenden Funktionale (Gaugefunktionale) werden für die Definition der Algebraerweiterungen benötigt, in den ein gegebenes <math>z</math> ein inverses Element besitzt. Die Topologisierung der Potenzreihenalgebra erfolgt später mit Gaugefunktionalen (z.B. Halbnormen, <math>p</math>-Halbnormen, ...) === Absorbierende Mengen === Die Gaugefunktionale werden über kreisförmige absorbierende Nullumgebungen definiert, für die dann das zugehörige Minkowskifunktional das zugehörige Gaugefunktional erzeugt. Die Grundlagen liefert die folgende Abschnitte. == Einführung Gaugefunktionale == Bei der Verwendung von Gaugefunktionalen werden die definierenden Eigenschaften einer Norm weiter verallgemeinert, um in analoger Weise topologieerzeugende Funktionale in beliebigen topologischen Algebren verwenden zu können. Dadurch wird es nicht mehr notwendig sein, z.B. Stetigkeit über die offene Mengen aus der Topologie beschreiben (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). === Definition: p-homogen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-homogen, falls es ein <math display="inline">p\in \mathbb{K}</math> mit <math display="inline">0<p\leq 1</math> gibt, für das gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : f(\lambda\cdot x)=|\lambda|^p\cdot f(x) </math> Ist <math display="inline">p=1</math>, so heißt <math display="inline">f</math> homogen. <math display="inline">f</math> heißt nicht-negativ, falls für alle <math display="inline">x\in V</math> gilt <math display="inline">f(x)\geq 0</math>. === Definition: p-Gaugefunktional === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein nicht-negatives, <math display="inline">p</math>-homogenes Funktional <math display="inline">f:V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math> und für <math display="inline">p=1</math> Gaugefunktional. === Beispiel: p-Gaugefunktional === Sei <math>0 < p \leq 1</math> und <math>V_p:=\left\{(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \, : \,\sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p < \infty \mbox{ mit } x=(x_n)_{n\in \mathbb{N}} \right\}</math>, dann ist <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math>V</math>. === Aufgabe: p-Gaugefunktional === Geben ist der Vektorraum <math>V_p</math> und das <math>p</math>-Gaugefunktional <math> \|x\|_p := \sum_{n=1}^{\infty} |x_n|^p </math>. Zeigen Sie, dass <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\in V_1</math> aber <math>\left( \frac{1}{n^2}\right)_{n\in \mathbb{N}}\notin V_{\frac{1}{2}}</math>. Welche Mengeninklusion allgemein <math>V_p</math> und <math>V_q</math> mit <math>p < q</math> und <math> p,q \in (0,1]</math>? === Bemerkung === Die <math>p</math>-Homogenität hat einerseits eine engen Zusammenhang zur Stetigkeit der Multiplikation mit Skalaren und das <math>p \in (0,1]</math> bestimmt den Zusammenhang mit eine [[Quasihalbnorm|Quasihalbnorm]]. === Definition: p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math>, <math display="inline">I</math> eine Indexmenge und für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>. Dann wird mit <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> die Menge aller <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionale mit Indizes aus <math display="inline">I</math> bezeichnet, d.h. :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> heit System von <math>p</math>-Gaugefunktionalen. Ist <math>p=1</math> nennt man <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_I</math> Gaugefunktionalsystem. === Definition: Aquivalenz von p-Gaugefunktionalsystemen === Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math>, <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> zwei <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme auf <math>V</math>. Die <math>p</math>-Gaugefunktionalsysteme <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_1}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I_2}</math> heißen ''äquivalent'', wenn folgende beiden Bedingungen gelten: * (EQ1) <math> \forall_{\alpha \in I_1} \exists_{\beta \in I_2, C_\beta >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\alpha} \leq C_{\beta} \cdot \| v \|_{\beta} </math> * (EQ2) <math> \forall_{\beta \in I_2} \exists_{\alpha \in I_1, C_\alpha >0} \forall_{v \in V}: \, \, \| v \|_{\beta} \leq C_{\alpha} \cdot \| v \|_{\alpha} </math> === Beispiel: p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math>p > 0</math> und <math>V := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> die Menge der stetigen Funktion von <math>\mathbb{R}</math> nach <math>\mathbb{R}</math>. Die Menge der <math>p</math>-Gaugefunktional wird mit <math>\alpha \in I := \mathbb{R}^{+}</math> wie folgt definiert: :<math> \left\| \cdot \right\| _I :=\left\{ \left\| \cdot \right\| _\alpha :\alpha \in I\right\}. </math> mit :<math> \left\| f \right\| _\alpha := \int_{-\alpha}^{+\alpha} \left| f(x) \right|^p d\,x </math> === Definition: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''basiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt: * (BE1) <math>\forall_{ x_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \in \mathcal{T} </math> * (BE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ x_o \in U} \exists_{\alpha \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\alpha}(x_o):= \left\{ x \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} \subseteq U </math> === Bemerkung: Basiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === * (BE1) bedeutet dabei, dass die <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> selbst offene Mengen sind. * Mit (BE2) lässt sich jede offene Menge <math>U</math> aus der Topologie <math>\mathcal{T}</math> als Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln darstellen. Da beliebige Vereinigungen von offenen Mengen in einem topologischen Raum nach [[Normen, Metriken, Topologie|Axiom (T3)]] auch wieder offen sein müssen, ist damit die Vereinigung von <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math> B_\varepsilon^{\alpha}(v_o)</math> mit <math>\alpha \in I</math>, <math>v_o\in V</math> und <math>\varepsilon >0</math> selbst wieder offen. === Definition: Subbasiserzeugendes p-Gaugefunktionalsystem === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein topologischer Vektorraum mit dem System von offenen Mengen <math>\mathcal{T}</math> auf <math>V</math>. Ferner sei <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _I</math> eine Menge von <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalen auf <math display="inline">V</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem heißt ''subbasiserzeugend'' für <math>\mathcal{T}</math>, wenn gilt mit <math>\, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_\alpha < \varepsilon \right\} </math>: * (SE1) <math>\forall_{ v_o \in V} \forall_{\alpha \in I} \forall_{\varepsilon >0} : \, \, B_\varepsilon^{\alpha}(v_o) \in \mathcal{T} </math> * (SE2) <math> {\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{n\in \mathbb{N}} \exists_{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n \in I, \varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o) \subseteq U </math> mit :<math> B_\varepsilon^{(\alpha_1 , \ldots , \alpha_n)}(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\}\right\} </math> === Bemerkung: Unterschied topologieerzeugend - subbasiserzeugend === Bei einem topologieerzeugenden <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem vereinfacht (T2) man die Handhanbung von endlichen Schnitten offener Mengen in einer Topologie. (S2) muss daher endliche Schnitte der von Umgebungen berücksichtigen, indem man den Schnitt <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon_1}^{\alpha_1}, \ldots , B_{\varepsilon_n}^{\alpha_n}</math> durch die Bedingung :<math> \left\| x - x_o \right\|_{\alpha_k} < \varepsilon_k \mbox{ für alle } k\in \{1,\ldots ,n\} </math> mit <math>\varepsilon := \min\{ \varepsilon_k > 0 \, : \, k \in \,\{1,\ldots ,n \}\, \}</math> verlangt. === Definition: unital positiv === Sei <math display="inline">(A,\left\| \cdot \right\| _{I})</math> eine unitale topologische Algebra über <math display="inline">\mathbb{K}</math> mit dem Einselement der Multiplikation <math display="inline">e_A \in A</math>. Das <math>p</math>-Gaugefunktionalsystem <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _{I}</math> heißt ''unital positiv'' genau dann, wenn für alle <math display="inline">\alpha\in I</math> die Bedingung <math display="inline">\left\| e_A \right\| _\alpha > 0</math>. === Bemerkung: unital positives äquivalentes Gaugefunktionalsystem === Man kann ein <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem auf einer topologischen Algebra durch eine äquivalentes unital positives <math display="inline">p</math>-Gaugefunktionalsystem ersetzen, indem man die Trennungseigenschaft eines Hausdorffraumes dazu verwendet, Minkowkifunktionale von kreisförmigen Nullumgebungen verwendet, die das Einselement nicht enthalten. Dann erhält man unmittelbar sogar <math display="inline">\left\| e_A \right\| _\alpha \geq 1</math>, wenn <math> e_A \notin U_\alpha </math> und <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha := p_{U_\alpha}(x)</math> als [[Minkowski-Funktional]] der absorbiernden Nullumgebung <math> U_\alpha </math> verwendet wird. === Bemerkung: p-Norm und Norm === Der Begriff der Norm ist ein Spezialfall einer <math>p</math>-Norm mit <math>p=1</math>, die im folgenden definiert wird. === Definition: Norm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (N1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (N2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (N3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (N4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Definition: Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Halbnorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (H1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (H2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (H3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: Halbnorm - Norm === Falls (N2) in der Definition der Norm nicht gilt, erhält man eine <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> Halbnorm. (N2) sorgt für die Hausdorfeigenschaft in dem topologischen Vektorraum. Man kann mit der Norm die Punkte trennen, d.h. mit der Norm man messen, ob zwei Vektoren <math>v_1,v_2 \in V </math> sich unterscheiden, d.h. <math>v_1\not= v_2</math> bzw. <math>v_1 - v_2 \not= 0_V</math> gilt. === Multiplikativ konvex - Submultiplikativität der Halbnorm === Ein Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]]). == Lemma: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Sei <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> eine lokalkonvexe topologische Algebra mit dem basiserzeugenden Halbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und eine submultiplikative Halbnorm mit Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math> und <math> v_1,v_2 \in V </math> gegeben mit: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha ,</math> dann gibt es eine äquivalente Halbnorm <math> \| \cdot \|_{\beta} </math> mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta ,</math> == Beweis: Stetigkeitskonstante und Submultiplikativität == Ist <math> 0 < C \leq 1 </math> erhält die Submultiplikativität direkt mit :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C \cdot \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \leq \left\| v_1 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha </math> === Beweis: Definition der Halbnorm === Gilt nun <math> C > 1 </math>, so definiert man für alle <math> v \in A </math>: :<math> \left\| v \right\|_\beta := C \cdot \left\| v \right\|_\alpha </math> und man erhält die Submultiplikativität über: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\beta \leq C \cdot \left\| v_1 \cdot v_2 \right\|_\alpha \leq C^2 \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha \cdot \left\| v_2 \right\|_\alpha = \left\| v_1 \right\|_\beta \cdot \left\| v_2 \right\|_\beta </math> === Beweis: Äquivalenz der Halbnormen === Die Äquivalenz der Halbnormen erhält man unmittelbar aus der Definition mit <math> C > 1</math>, denn es gilt: :<math> C \cdot \left\| v \right\|_\alpha = \left\| v \right\|_\beta </math> === Bemerkung: Submultiplikativität === Ist eine [[topologische Algebra]] ein [[Normen, Metriken, Topologie|normierter Raum]], so kann man im Allgemeinen nur sagen, dass die Submultiplikativität der Halbnorm mit einer bestimmten Stetigkeitskonstante der Multiplikation erfüllt, da die <math>\varepsilon</math>-Kugeln um den Nullvektor eine Nullumgebungsbasis erzeugen. Das Lemma zeigt, dass man ohne Einschränkung eine Halbnorm mit Stetigkeitskonstante auch durch eine äquivalente submultiplikative Halbnorm ersetzen kann. Das Vorgehen kann man analog für lokalbeschränkte Räume übernehmen. == Definition: p-Norm == Sei <math display="inline">V</math> ein Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>, falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (PN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p\cdot \left\| x \right\| </math> * (PN4) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung === Für <math>p \geq 1</math> kann man ein <math>p</math>-Norm auch zu einer Norm machen, indem man die Norm <math> \left\| \cdot \right\|_\ast</math> wie folgt definert: :<math> \left\| x \right\|_{\ast} := \left\| x \right\|^{\frac{1}{p}} </math> === Definition: p-Normierbarkeit === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt <math display="inline">p</math>-normierbar oder lokal beschränkt mit der Konkavitätskonstante <math>p</math>, falls eine <math display="inline">p</math>-Norm :<math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math>, existiert, die die Topologie auf <math display="inline">V</math> erzeugt (formal <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|) \in \mathcal{P}</math>). === Definition: p-Halbnorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math>0 < p \leq 1</math>. Ein Funktional <math display="inline">\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt <math>p</math>-Halbnorm auf <math display="inline">V</math> mit <math display="inline">p</math> als Konkavitätskonstante., falls <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (PH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (PH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|^p \cdot \left\| x \right\| </math> * (PH3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq \left\| x \right\| + \left\| y \right\| </math> === Bemerkung: p-Norm - p-Halbnorm === Falls (PN2) in der Definition der <math>p</math>-Norm nicht gilt, heißt <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> <math display="inline">p</math>-Halbnorm mit <math display="inline">p</math> als Konkavitätskonstante. Analog zur Halbnorm kann eine einzelne <math display="inline">p</math>-Halbnorm nicht die Punkte im topologischen Vektorraum trennen (Hausdorfeigenschaft T2). === Multiplikativ pseudokonvex - Submultiplikativität der p-Halbnorm === Ein <math>p</math>-Halbnorm ist submultiplikativ mit einer Stetigkeitskonstante <math> C > 0 </math>, wenn für alle <math> v_1,v_2 \in V </math> gilt: :<math> \left\| v_1 \cdot v_2 \right\| \leq C \cdot \left\| v_1 \right\| \cdot \left\| v_2 \right\|</math> <math>C</math> nennt man Stetigkeitskonstante der Multiplikation. Man kann die<math>p</math>- Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> durch eine äquivalente <math>p</math>-Halbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_1 </math>ersetzen, für die <math>C = 1</math> ist (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MPC-Regularität]]). === Definition: pseudokonvexer Vektorraum === Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> heißt pseudokonvex, falls die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math> durch ein System <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}</math> von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt wird, das die folgenden Eigenschaften besitzt. :<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\alpha} : V\longrightarrow \mathbb{K} \mbox{ ist } p_{\alpha}\mbox{-homogen mit } \alpha \in \mathcal{A} \mbox{ und } p_{\alpha} \in (0,1]</math>, Formal notiert man <math display="inline">(V,\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}}) \in \mathcal{PC}</math>. === Bemerkung: topologieerzeugende p-Norm === Eine <math display="inline">p</math>-Norm ist topologieerzeugend für die Topologie <math display="inline">\mathcal{T}\subseteq \wp(V) </math>, wenn die folgende Bedingung gilt: :<math>{\forall}_{ U\in \mathcal{T}} \forall_{ v_o \in U} \exists_{\varepsilon >0} : \, B_\varepsilon^{\left\| \cdot \right\| }(v_o):= \left\{ v \in V \, : \, \left\| x - x_o \right\| < \varepsilon \right\} </math> Die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugeln werden im weiteren Verlauf für die Charakterisierung der Stetigkeit verwendet. === Definition: Epsilonkugeln von p-Gaugefunktionalen=== Sei <math>V</math> ein Vektorraum und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> ein <math>p</math>-Gaugefunktional auf <math display="inline">V</math>, dann ist die <math display="inline">\varepsilon</math>-Kugel von <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_\alpha</math> mit <math display="inline">\varepsilon>0</math> um einen Punkt <math display="inline">v\in V</math> (Bezeichnung: <math display="inline">{\mathrm B}_\varepsilon^\alpha(v)</math>) wie folgt definiert: :<math> {\mathrm B}_\varepsilon^\alpha (v):= \{z\in V \,:\, \left\| z-v \right\| _\alpha<\varepsilon \} </math> === Definition: Quasinorm === Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum über dem Körper <math display="inline">\mathbb{K}</math>. Ein Funktional :<math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K}</math> heißt Quasinorm auf <math display="inline">V</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> folgende Bedingungen erfüllt: * (QN1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QN2) <math display="inline">\displaystyle \left\| x \right\| = 0 \Longrightarrow x=0 </math> * (QN3) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QN4) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Definition: Quasihalbnorm === Ein Funktional <math>\left\| \cdot \right\| : V\longrightarrow \mathbb{K} </math> auf einem Vektorraum <math display="inline">V</math> über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> heißt Quasihalbnorm mit Stetigkeitskonstante der Addition <math>K \geq 1</math>, falls <math>\left\| \cdot \right\| </math> die folgende Bedingungen erfüllt: * (QH1) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V} : \left\| x \right\| \geq 0</math> * (QH2) <math display="inline">\displaystyle \forall_{\displaystyle x\in V,\lambda\in \mathbb{K}} : \left\| \lambda\cdot x \right\| = |\lambda|\cdot \left\| x \right\| </math> * (QH3) <math display="inline">\displaystyle \exists_{\displaystyle K>0} \forall_{\displaystyle x,y\in V} : \left\| x+y \right\| \leq K\cdot \left(\left\| x \right\| + \left\| y \right\| \right) </math> === Bemerkung: Quasinorm - Quasihalbnorm === Analog zu Halbnormen und Normen bzw. <math>p</math>-Normen und <math>p</math>-[[p-Halbnorm|Halbnormen]] wird eine Quasinorm zu einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\| </math> mit Stetigkeitskonstante <math display="inline">K</math> der Addition, falls (QN2) nicht mehr gilt. === Bemerkung: Stetigkeitskonstante === Die Stetigkeitskonstante hängt mit der [[p-Norm|Konkavitätskonstante einer <math>p</math>-Norm bzw. <math>p</math>-Halbnorm]] zusammen. Dies zeigt das [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] == Konvergenz über Netze == Sei <math>(X ,\mathcal{T})</math> eine [[Normen, Metriken, Topologie|topologischer Raum]], <math>x_0 \in X</math> und <math>(x_i)_{i \in I}\in X_I</math> ein Netz in <math>X</math> mit einer Indexmenge <math>I</math>, die nach oben gerichtet ist und eine partielle Ordnung besitzt. Die Konvergenz über [[Netze - Topologie|Netze]] wird wie folgt definiert: :<math> \stackrel{\mathcal{T}}{\lim_{i\to \infty}} x_i \, :\Longleftrightarrow \, (x_i)_{i\in I} \stackrel{\mathcal{T}}{\longrightarrow} x_0 \, :\Longleftrightarrow \, \forall_{U \in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(x_0)} \exists_{i_U \in I} \forall_{i \geq i_U}: \, x_i \in U </math> == Definition: Algebrenklassen == Die Unterscheidung nach Algebrenklassen ist für die Untersuchung von permanent singulären Elemente wesentlich, da die Invertierbarkeit in einer Algebraerweiterung von der Klasse <math>\mathcal{K}</math> abhängt. === Notation 1: Algebrenklassen === Sei <math display="inline">\mathcal{K}</math> eine Klasse topologischer Algebren und <math display="inline">\mathbb{K}</math> ein Körper, dann werden mit folgenden Symbolen Teilklassen topologischer Algebren bezeichnet: * <math display="inline">\mathcal{K}_e</math> Klasse der unitalen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; * <math display="inline">\mathcal{K}^k</math> Klasse der kommutativen Algebren in <math display="inline">\mathcal{K}</math>, ''"kommutativ"'' bezieht sich auf die Multiplikation in den Algebren. * <math display="inline">\mathcal{K}(\mathbb{K})</math> Klasse der topologischen Algebren über <math display="inline">\mathbb{K}</math> in <math display="inline">\mathcal{K}</math>; === Notation 2: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{T}} </math> Klasse aller topologischen Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{B}} </math> Klasse aller Banachalgebren (vollständig, normiert); * <math display="inline">{\mathcal{LC}}</math> Klasse der lokalkonvexen Algebren; d.h. Topologie durch ein System von Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MLC}}</math> Klasse der multiplikativ lokalkonvexen Algebren; === Notation 3: Algebrenklassen === * <math display="inline">{\mathcal{P}}</math> Klasse der <math display="inline">p</math>-normierbaren Algebren bzw. lokal beschränkten Algebren; * <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math> Klasse der pseudokonvexen Algebren; & d.h. Topologie durch ein System von <math display="inline">p</math>-Halbnormen erzeugt; * <math display="inline">{\mathcal{MPC}}</math> Klasse der multiplikativ pseudokonvexen Algebren. == Bemerkung: Pseudokonvexe Räume == Für pseudokonvexe Algebren kann das <math display="inline">{\mathcal{PC}}</math>-System auch aus den entsprechenden Quasihalbnormen bestehen. Mit dem [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma_für_p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für <math>p</math>-Halbnormen]] wird der Zusammenhang von <math display="inline">p</math>-Halbnormen und Quasihalbnormen erläutert. Ferner müssen nicht alle <math display="inline">p</math>-Halbnormen <math display="inline">\left\| \cdot \right\| _\alpha</math> die gleiche Konkavitätskonstante (siehe Definition [[Gaugefunktional]]) <math display="inline">0<p_\alpha\leq 1</math> besitzen, d.h. für <math display="inline">p_\alpha</math> gilt :<math display="block"> |\lambda|^{p_\alpha} \cdot \left\| x \right\| _\alpha = \left\| \lambda\cdot x \right\| _\alpha \mbox{ für alle } x\in A \mbox{ und } \lambda\in \mathbb{K}. </math> == Aufgabe 1: Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\geq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := \sqrt[p]{|x_1|^p + |x_2|^p} \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= 1</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p=3</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Aufgabe 2: p-Norm == Zeichnen Sie die <math>\varepsilon</math>-Kugel in <math>V:=\mathbb{R}^2</math> mit <math>p\geq 1 </math> und :<math> \begin{array}{rrcl} \left\|\cdot \right\|_p : & \mathbb{R}^2 & \rightarrow & \mathbb{R}_o^{+} \\ & x & \mapsto & \left\| \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) \right\|_p := |x_1|^p + |x_2|^p \end{array} </math> Zeichnen Sie den Rand der <math>\varepsilon</math>-Kugeln <math>B_{\varepsilon}^{\left\| \cdot \right\|_p }\left( x \right)</math> bzgl. der Norm <math>\left\| \cdot \right\|_p </math> mit * <math>p= \frac{1}{4}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> * <math>p= \frac{1}{2}</math> <math>\varepsilon = 1</math> und <math>x= \left( \begin{array}{c} x_1\\x_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0\\0 \end{array} \right)</math> == Siehe auch == * [[Netze (Mathematik)]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Korrespondenz-Lemma für p-Halbnormen|Korrespondenzlemma für <math>p</math>-Halbnormen]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Stetigkeitssequenz]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 1opljfyv0dfsqyvk5ychg19gntixrcp 106 130717 745649 701237 2022-07-22T09:11:22Z Bert Niehaus 20843 /* Zielsetzung */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Wenn wir die <math>\mathcal{LC}</math>-Regularität eines Elementes <math>z\in A</math> für eine [[Lokalkonvex|lokalkonvexe]] topologische Algebra <math>(A,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> sprechen, suchen wir nach einer [[Lokalkonvex| lokalkonvexen]] Algebraerweiterungen <math>(B,\|\cdot \|_{\mathcal{B}})</math> von <math>(A,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> in der <math>z\in A</math> invertierbar ist. Dabei besteht * <math>\|\cdot \|_{\mathcal{A}} := \{ \|\cdot \|_\alpha \, : \, \alpha \in \mathcal{A} \}</math> und * <math>\|\cdot \|_{\widetilde{\mathcal{A}}} := \{ \|\cdot \|_{\widetilde{\alpha}} \, : \, \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} \}</math> aus einem System von [[Halbnorm|Halbnormen]], die die Topologie auf <math>A</math> bzw. <math>B</math> erzeugen. == Zielsetzung == Zielsetzung einer [[lokalkonvex|lokalkonvexe Algebraerweiterung]] <math>(B,\|\cdot\|_{\mathcal{B}})</math> zu einer gegebenen topologischen Algebra <math>(A,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> mit <math>z\in A</math> ist es, die gegebene [[lokalkonvex|lokalkonvexe Algebraerweiterung]] so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element <math>z^{-1}:= b \in B</math> in der [[lokalkonvex|lokalkonvexen Algebraerweiterung]] <math>B</math> besitzt. Als topologieerzeugende <math>p</math>-[[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]] werden hier [[Halbnorm|Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> und <math>\|\cdot\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> verwendet. == LC-Singularität und topologisch kleine Potenzen == Für kommutative lokalkonvexe Algebren <math>(A,\|\cdot\|_{ \mathcal{A} })</math> mit unital positivem Halbnormensystem <math>\|\cdot\|_{ \mathcal{A} }</math> erhält man folgende Charakterisierung: : <math>z\in \mathcal{TKP}(A)</math> ([[Topologisch kleine Potenzen|topologisch kleine Potenzen]]) <math>z\in A</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>\mathcal{LC_e^k}</math>-singulär == Charakterisierung der LC-Regularität == Für kommutative [[lokalkonvex|lokalkonvexe]] Algebren <math>(A,\|\cdot\|_{ \mathcal{A} })</math> mit unital positivem <math>p</math>-Halbnormensystem <math>\|\cdot\|_{ \mathcal{A} }</math> erhält man folgende Charakterisierung: :<math>z\in A</math> erfüllt das [[LC-Regularitätskriterium]] <math>\Longleftrightarrow</math> <math>z\in A</math> <math>\mathcal{LC_e^k}</math>-regulär == LC-Regularitätskriterium == Ein Element <math>z\in A</math> besitzt genau <math>\mathcal{LC}^k_e</math>-regulär in <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{LC}}^k_e</math>, wenn es für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> ein <math display="inline">\beta \in {\mathcal{A}} </math> und eine isotone Folge von Halbnormen <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> mit positiven Konstanten <math display="inline">D_{(\alpha ,k)}</math> gibt, für die gilt: * (LC1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq D_{(\alpha ,k)} \cdot \left\| x \right\| _{\beta}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * (LC2) <math display="inline">\left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq \left\| z\cdot x \right\| _{(\alpha,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. == Veranschaulichung == Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegebenen <math>z\in A</math> enthält. [[Datei:Algebra extension3.png|400px|Algebraerweiterung]] == Lokalkonvexe Algebraerweiterung == Sei <math display="inline">\mathcal{LC}_e</math> die Klasse der [[lokalkonvex|lokalkonvex]] unitalen Algebren und <math display="inline">A \in \mathcal{LC}_e</math>. Die [[Algebraerweiterung]] <math display="inline">B\in \mathcal{LC}_e</math> bzw. <math display="inline">\mathcal{LC}</math>-Erweiterung von <math display="inline">A</math> benötigt nach [[Algebraerweiterung|Definition]] es einen Algebraisomorphismus <math display="inline">\tau : A \longrightarrow A' \subset B</math> mit: * <math display="inline">\tau(e_{_{A}})=e_{_{B}}</math>, wobei <math display="inline">e_{_{A}}</math> ist das Einselement von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">e_{_{B}} \in A'</math> das Einselement von <math display="inline">B</math> ist. * <math display="inline">A</math> ist homöomorph zu <math display="inline">A'</math>; d.h. <math display="inline">\tau</math> und <math display="inline">\tau^{-1}: A' \longrightarrow A</math> sind stetig. === Veranschaulichung - Algebraisomorphismus === [[Datei:Algebra extension embed.png|450px|Algebraerweiterung - Einbettung ]] === Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung === * Im allgemeinen identifiziert man <math display="inline">A</math> mit <math display="inline">A'</math> und schreibt <math display="inline">A\subset B</math>. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus <math>x \in A</math> mit Elementen <math>\tau(x) = x + I \in B</math> in einem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math> identifiziert werden. * Sei <math display="inline">\mathfrak{U}_{A'} (0)</math> eine Nullumgebungsbasis der [[w:de:Teilraumtopologie|Relativtopologie]] von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A'</math> und <math display="inline">\mathfrak{U}_{A}(0)</math> eine Nullumgebungsbasis von <math display="inline">A</math>, dann kann man die Homöomorphie zwischen <math display="inline">A</math> und <math display="inline">A'</math> wie immer über die Topologie ausdrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}_A (0)} \exists_{\displaystyle U\in \mathfrak{U}_{A'}(0)} &:& U \subset V \, \, \, (\tau(U) \subset V) \\ \forall_{\displaystyle U \in \mathfrak{U}_{A'} (0)} \exists_{\displaystyle V \in \mathfrak{U}_{A}(0)} &:& V \subset U \, \, \, (\tau^{-1}(V) \subset U). \end{array} </math> === Stetigkeit über Halbnormen === Betrachtet man die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}} </math> für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]): :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\alpha \in \mathcal{A} } \exists_{ \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} , C_1 > 0} \forall_{x \in A } &:& \left\| x \right\|_{\alpha} \leq C_1 \cdot \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _{\alpha} \leq C_1 \cdot \left\| \cdot \right\| _\widetilde{\alpha} \circ \tau \\ \forall_{\widetilde{\alpha} \in \mathcal{A} } \exists_{\alpha \in \mathcal{A}, C_2 > 0 } \forall_{ x \in A } &:& \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \leq C_2 \cdot \left\| x\right\|_\alpha \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _\widetilde{\alpha} \circ \tau \leq C_2 \cdot \left\| \cdot \right\| _\alpha . \end{array} </math> === Wesentliche Schritte bei der Konstruktion der Algebraerweiterung === Wir betrachten zunächst multiplikative kommuntative Algebren <math>(A,\|\cdot\|_A)</math>. * Ausgehend von <math>(A,\|\cdot\|_A)</math> wird die Polynomalgebra <math>(A[t],\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]})</math> mit einer [[Halbnorm]] <math>\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]}</math> topologisiert. * [[Halbnorm]] <math>\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]}</math> macht <math>A[t]</math> zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist. * Übergang zu dem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math>, wobei das Polynom <math> o(t) := z \cdot t - e_A </math> das Hauptideal <math>I:= o \cdot A[t]</math> definiert und <math>o \in A[t]</math> ein Repräsentant des Nullvektors <math>0_B:= I = o+I </math> in <math>B</math> ist. * Die Konstruktion des Ideals <math>I</math> liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit <math>b(t):= e_A \cdot t</math> ist <math>b_I := b+I \in B=A[t]/I</math> das inverse Element zu <math>z\in A</math> mit <math>z_I := \tau(z) = z + I \in B</math> mit <math>z_I \cdot b_I - e_B = 0_B </math> bzw. <math>z_I \cdot b_I = e_B </math>. Die Kommutativität liefert dann, dass auch <math> b_I \cdot z_I = e_B </math> gilt. == LC-Charakterisierung nach Zelazko == Zelazko hat die <math>\mathcal{LC}_e^k</math>-regulären Elemente<ref>[[w:de:Wiesław_Żelazko|Zelazko Wieslaw]], (1984), Concerning characterization of permanently singular elements in commutative locally convex algebras, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modelling 2, Sofia, S. 326-333</ref> 1984 über die folgende Bedingung charakterisiert. Dabei liefert die von [[w:de:Wiesław_Żelazko|Zelazko]] angegebene Bedingung unmittelbare eine Topologisierung der Polynomalgebra, wobei die Topologie auf dem Quotientenraum <math>B:=A[t]/I</math>, in der ein gegebenes <math> z \in A</math> invertierbar ist, immer noch die Punkte von <math> A</math> über den Algebraisomorphismus <math>\tau : A \to A' \subset B</math> trennt. === Satz: LC-Charakterisierung nach Zelazko === Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in \mathcal{LC}_e^k</math>, dann gilt: Ein Element <math display="inline">z\in A</math> ist genau dann <math display="inline">\mathcal{LC}_e^k</math>-regulär, falls es für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> ein <math display="inline">\beta \in {\mathcal{A}} </math> und eine Folge positiver Zahlen <math display="inline">( D_k(\alpha) )_{k\in \mathbb{N}_0}</math> gibt, so dass :<math display="block"> \left\| x_o \right\| _\alpha \leq \sum_{k=1}^{\infty} D_k (\alpha) \cdot \left\| z \cdot x_{k-1} - x_k \right\| _\beta </math> für alle endlichen Folgen <math display="inline">(x_k)_{k\in \mathbb{N}_0} \in c_{oo}(A)</math> in <math display="inline">A</math> gilt. === Aufgabe für Studierende === Für den Beweis der <math>\mathcal{LC}_e^k</math>-Charakterisierung muss man die Koeffizienten <math>D_k (\alpha) \leq C_k (\alpha) </math> so vergrößeren, dass die Cauchy-Multiplikation auf <math>A[t]</math> stetig ist. * Seien <math display="inline"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{\alpha} = \displaystyle \sum_{k:=0}^{\infty} C_k(\alpha) \cdot \left\| p _k \right\| _{\alpha} </math> die Halbnormen auf <math>B:=A[t]/I</math>. Zeigen Sie, dass die Halbnorm folgende Eigenschaft erfüllt: <math display="inline"> \left\| x_I \right\|_{B,\alpha} \geq \left\| x \right\|_{\alpha} </math> für alle <math> \alpha \in \mathcal{A}</math>. * Erläutern Sie über die Definition des Ideals, warum das Kriterium von [[w:de:Wiesław_Żelazko|Zelazko]] die obigen Summen erzeugen. == LC-Charakterisierung über topologische große Potenzen == Die Charakterisierung der <math>\mathcal{LC}_e^k</math>-regulären Elemente kann man als Spezialfall der pseudokonvexen kommutativen Algebren auffassen (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularität]]), wobei für alle <math>p</math>-Halbnormen <math>p=1</math> gesetzt wird. Die Topologisierung der Polynomalgebra erfolgt dann analog über eine Halbnorm statt Quasihalbnorm <math>\|\cdot \|^{(\alpha)}_{(n,k)}</math> und damit werden die Koeffizienten <math>p_k \in A </math> von <math>p_k \cdot t^k</math> gemessen und gehen mit <math>C_k^n(\alpha) \cdot \| p_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)}</math> additiv in den Wert des Halbnorm <math display="inline"> \left| \! \left\| p \right\| \! \right| _{(\alpha , n)} </math> ein. Für das genau Vorgehen siehe (siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularität]]). == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] * [[Halbnorm]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Minkowski-Funktional]] * [[Konvexkombination]] * [[Topologisierungslemma für Algebren]] * [[w:de:Teilraumtopologie|Relativtopologie]] * [[Verknüpfung/Neutrales_Element/Definition|Neutrales Element]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] [[Category:Lokalkonvexer Raum]] qfu2xwiumfc2y0w3gk8ixvixufxrwgx 106 130718 745666 700325 2022-07-22T11:51:28Z Bert Niehaus 20843 /* Subadditivität mit Stetigkeitskonstante */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Wenn wir die <math>\mathcal{PC}</math>-Regularität eines Elementes <math>z\in A</math> für eine [[pseudokonvex|pseudokonvexe]] topologische Algebra <math>(A,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> sprechen, suchen wir nach einer [[pseudokonvex|pseudokonvexen]] Algebraerweiterungen <math>(B,\|\cdot \|_{\mathcal{B}})</math> von <math>(A,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> in der <math>z\in A</math> invertierbar ist. Dabei besteht * <math>\|\cdot \|_{\mathcal{A}} := \{ \|\cdot \|_\alpha \, : \, \alpha \in \mathcal{A} \}</math> und * <math>\|\cdot \|_{\widetilde{\mathcal{A}}} := \{ \|\cdot \|_{\widetilde{\alpha}} \, : \, \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} \}</math> Systeme von [[p-Halbnorm|<math>p</math>-Halbnormen]] mit <math>p \in (0,1]</math> sind, die die Topologie auf <math>A</math> bzw. <math>B</math> erzeugen. == Zielsetzung == Zielsetzung einer [[Pseudokonvex|pseudokonvexe Algebraerweiterung]] <math>(B,\|\cdot\|_{\mathcal{B}})</math> zu einer gegebenen topologischen Algebra <math>(A,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> mit <math>z\in A</math> ist es, die gegebene [[Pseudokonvex|pseudokonvexe Algebraerweiterung]] so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element <math>z^{-1}:= b \in B</math> in der [[Pseudokonvex|pseudokonvexen Algebraerweiterung]] <math>B</math> besitzt. Als topologieerzeugende <math>p</math>-[[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]] werden hier [[p-Halbnorm|<math>p</math>-Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> und <math>\|\cdot\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> verwendet. Dieses Ziel ist eine kleine Erweiterung einer äquivalenten Charakterisierung von [[w:de:Wiesław_Żelazko|Zelazko]] (1984)<ref>[[w:de:Wiesław_Żelazko|Zelazko Wieslaw]], (1984), Concerning characterization of permanently sin- gular elements in commutative locally convex algebras, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modelling 2, Sofia, S. 326-333;</ref> für lokalkonvexe Räume<ref>Andreas Rohling, Niehaus Engelbert (1995) Verallgemeinerung des Satzes von Gleason-Kahane-Zelazko, K-reguläre Elemente, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universität Münster, Serie 3., Herausgeber: [[w:de:George Maltese|George Maltese]], Heft 16, S. 79-81 </ref>. == Topologisch kleine Potenzen und PC-Singularität == Für kommutative pseudokonvexe Algebren <math>(A,\|\cdot\|_{ \mathcal{A} })</math> mit unital positivem <math>p</math>-Halbnormensystem <math>\|\cdot\|_{ \mathcal{A} }</math> erhält man folgende Charakterisierung: :<math>z\in \mathcal{TKP}(A)</math> ([[Topologisch kleine Potenzen|topologisch kleine Potenzen]]) <math>\Longrightarrow</math> <math>z\in A</math> <math>\mathcal{PC_e^k}</math>-singulär == Charakterisierung der PC-Regularität == Für kommutative pseudokonvexe Algebren <math>(A,\|\cdot\|_{ \mathcal{A} })</math> mit unital positivem <math>p</math>-Halbnormensystem <math>\|\cdot\|_{ \mathcal{A} }</math> erhält man folgende Charakterisierung: :<math>z\in A</math> erfüllt das [[PC-Regularitätskriterium]] <math>\Longleftrightarrow</math> <math>z\in A</math> <math>\mathcal{PC_e^k}</math>-regulär == Veranschaulichung == Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegebenen <math>z\in A</math> enthält. [[Datei:Algebra extension3.png|400px|Algebraerweiterung]] == Pseudokonvexe Algebraerweiterung == Sei <math display="inline">\mathcal{PC}_e</math> die Klasse der [[pseudokonvex|pseudokonvex]] unitalen Algebren und <math display="inline">A \in \mathcal{PC}_e</math>. Die [[Algebraerweiterung]] <math display="inline">B\in \mathcal{PC}_e</math> bzw. <math display="inline">\mathcal{PC}</math>-Erweiterung von <math display="inline">A</math> benötigt nach [[Algebraerweiterung|Definition]] es einen Algebraisomorphismus <math display="inline">\tau : A \longrightarrow A' \subset B</math> mit: * <math display="inline">\tau(e_{_{A}})=e_{_{B}}</math>, wobei <math display="inline">e_{_{A}}</math> ist das Einselement von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">e_{_{B}} \in A'</math> das Einselement von <math display="inline">B</math> ist. * <math display="inline">A</math> ist homöomorph zu <math display="inline">A'</math>; d.h. <math display="inline">\tau</math> und <math display="inline">\tau^{-1}: A' \longrightarrow A</math> sind stetig. === Veranschaulichung - Algebraisomorphismus === [[Datei:Algebra extension embed.png|450px|Algebraerweiterung - Einbettung ]] === Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung === * Im allgemeinen identifiziert man <math display="inline">A</math> mit <math display="inline">A'</math> und schreibt <math display="inline">A\subset B</math>. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus <math>x \in A</math> mit Elementen <math>\tau(x) = x + I \in B</math> in einem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math> identifiziert werden. * Sei <math display="inline">\mathfrak{U}_{A'} (0)</math> eine Nullumgebungsbasis der [[w:de:Teilraumtopologie|Relativtopologie]] von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A'</math> und <math display="inline">\mathfrak{U}_{A}(0)</math> eine Nullumgebungsbasis von <math display="inline">A</math>, dann kann man die Homöomorphie zwischen <math display="inline">A</math> und <math display="inline">A'</math> wie immer über die Topologie ausdrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}_A (0)} \exists_{\displaystyle U\in \mathfrak{U}_{A'}(0)} &:& U \subset V \, \, \, (\tau(U) \subset V) \\ \forall_{\displaystyle U \in \mathfrak{U}_{A'} (0)} \exists_{\displaystyle V \in \mathfrak{U}_{A}(0)} &:& V \subset U \, \, \, (\tau^{-1}(V) \subset U). \end{array} </math> === Stetigkeit über p-Halbnormen === Betrachtet man die [[p-Halbnorm|''p''-Halbnormen]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}} </math> für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]): :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\alpha \in \mathcal{A} } \exists_{ \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} , C_1 > 0} \forall_{x \in A } &:& \left\| x \right\|_{\alpha} \leq C_1 \cdot \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _{\alpha} \leq C_1 \cdot \left\| \cdot \right\| _\widetilde{\alpha} \circ \tau \\ \forall_{\widetilde{\alpha} \in \mathcal{A} } \exists_{\alpha \in \mathcal{A}, C_2 > 0 } \forall_{ x \in A } &:& \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \leq C_2 \cdot \left\| x\right\|_\alpha \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _\widetilde{\alpha} \circ \tau \leq C_2 \cdot \left\| \cdot \right\| _\alpha . \end{array} </math> === Wesentliche Schritte bei der Konstruktion der Algebraerweiterung === Wir betrachten zunächst multiplikative kommuntative Algebren <math>(A,\|\cdot\|_A)</math>. * Ausgehend von <math>(A,\|\cdot\|_A)</math> wird die Polynomalgebra <math>(A[t],\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]})</math> mit einer [[p-Halbnorm]] <math>\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]}</math> topologisiert. * [[p-Halbnorm]] <math>\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]}</math> macht <math>A[t]</math> zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist. * Übergang zu dem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math>, wobei das Polynom <math> o(t) := z \cdot t - e_A </math> das Hauptideal <math>I:= o \cdot A[t]</math> definiert und <math>o \in A[t]</math> ein Repräsentant des Nullvektors <math>0_B:= I = o+I </math> in <math>B</math> ist. * Die Konstruktion des Ideals <math>I</math> liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit <math>b(t):= e_A \cdot t</math> ist <math>b_I := b+I \in B=A[t]/I</math> das inverse Element zu <math>z\in A</math> mit <math>z_I := \tau(z) = z + I \in B</math> mit <math>z_I \cdot b_I - e_B = 0_B </math> bzw. <math>z_I \cdot b_I = e_B </math>. Die Kommutativität liefert dann, dass auch <math> b_I \cdot z_I = e_B </math> gilt. == Algebraerweiterung == Der [[Algebraerweiterung|Algebrahomomorphismus]] <math>\tau : A \to B</math> bildet nun jedes Element <math>x \in A</math> auf die Nebenklasse <math> x + I \in B := A[t]/I </math> ab. Dabei seien <math>A, B \in \mathcal{PC}_e^k(\mathbb{K})</math> kommutative unitale <math>\mathcal{PC}</math>-Algebren über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. === Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra === Für das gegebene <math>z \in A</math> in der kommutativen [[pseudokonvex|pseudokonvexen]] [[Topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\|\cdot \|_A)</math> definiert man ein Polynom <math> o \in A[t]</math> mit <math>o(t):= z\cdot t - e_A</math>, wobei <math>e_A</math> das Einselement der Multiplikation in <math>A</math> ist. Als [[Ideal (Algebra)|Ideal]] definiert man <math>I := \overline{o \cdot A[t]} </math> als abgeschlossenes Hauptideal in <math>A[t]</math>. Als Untervektorraum <math>I</math> wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des [[Ideal (Algebra)|Ideals]] sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist. == Topologisierung der Polynomalgebra == Mit dem [[Korrespondenzsatz p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für p-Halbnormen und Quasihalbnormen]] wird die Topologie auf <math>A[t]</math> über Stetigkeitssequenzen und [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] mit <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> erzeugt. Im Folgenden sind alle Gaugefunktionale homogen. === Topologische große Potenzen === Aus der [[Negation - Topologisch kleine Potenzen|Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen]] erhält man für <math display="inline">z\in {\mathcal{TGP}} (A) = A\setminus {\mathcal{TKP}} (A)</math>, dass es für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> und Konstanten <math>D_k(\alpha) > 0 </math> gibt, sodass für alle <math>x \in A</math> gilt: :<math> \left\| x \right\| _{\alpha} \leq D_k( \alpha ) \cdot \left\| z^k \cdot x \right\|_{\beta} </math> (siehe [[topologisch große Potenzen]]) === Notation der Konstanten === Im Folgenden werden die Konstanten <math display="inline">D_{k}^{n}(\alpha) > 0 </math> wie folgt bzgl. der Stetigkeitssequenzen auf der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>A[t]</math> indiziert. * <math>n \in \mathbb{N}_0 </math> ist der Index der Quasihalbnorm bzw. des <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktionals auf <math>A[t]</math>, * <math>k \in \mathbb{N}_0 </math> ist der Koeffizientenindex der Polynome und bzgl. des <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktionals auf <math>A[t]</math> der Index des Gaugefunktionals, das auf den <math>k</math>-ten Koeffizienten <math>q_k \in A </math> des Polynoms <math>q \in A[t]</math> angewendet wird. === PC-Regularitätskriterium für n=0 === Mit dem [[PC-Regularitätskriterium]] erhält man: Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}^k_e</math>, <math display="inline">z\in A</math>, dann ist <math> z \in A</math> genau dann, wenn es für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> ein <math display="inline">\beta \in {\mathcal{A}} </math> und eine Folge von Quasihalbnormen <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> mit der Stetigkeitskonstante der Addition <math>K_\alpha \geq 1</math>, positiven Konstanten <math display="inline">D_{k}^{0}(\alpha)</math> gibt, für die gilt: * <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{(0,k)} \leq D_k^{0}(\alpha)\cdot \left\| x \right\|_{\beta}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * <math display="inline">\left\| x \right\|^{(\alpha)}_{(0,k)} \leq \left\| zx \right\|^{(\alpha)}_{(0,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. === Quasihalbnormen - Korrespondenzsatz === Das erzeugende System von Gaugefunktionalen <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\| _{\alpha}\right)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> sind [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] und damit homogen und subadditiv mit Stetigkeitskonstante <math>K_\alpha \geq 1 </math> und <math>D^{0}_k(\alpha) \geq 1 </math>: * <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _{(0,k)}^{(\alpha)} \leq D^{0}_k(\alpha)\cdot \left\| x \right\| _{\beta}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * <math display="inline">\left\| x \right\|^{(\alpha)}_{(0,k)} \leq \left\| zx \right\|^{(\alpha)}_{(0,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. * <math> \left\| x + y \right\|_{(0,k)}^{(\alpha)} \leq K_{(\alpha , 0)} \cdot \left( \left\| x \right\|_{(0,k)}^{(\alpha)} + \left\| y \right\|_{(0,k)}^{(\alpha)} \right) </math> bzw. * <math>\left\| x + y \right\| _{\beta} \leq K_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _{\beta} + \left\| y \right\| _{\beta} \right) </math> mit <math> K_{(\alpha , 0)}, K_\beta \geq 1 </math>. === Anfang der Stetigkeitssequenz === Man definiert auf der Algebra induktiv eine Stetigkeitssequenz auf <math> A </math> und auf <math> A[t] </math> und man parallel zu <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha,0)} </math> auch <math> \| \cdot \|^{(\alpha)}_{0} := \| \cdot \|_{\beta}</math>. Die erste Folge von [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> mit einer Stetigkeitskonstanten <math> K_{\alpha } \geq 1 </math> wird direkt über das <math>\mathcal{PC}</math>-Kriterium definiert mit <math> C_k (\alpha ) = \max \{ 1, D_k(\alpha ), C_{k-1}(\alpha )\} </math> für <math>k > 0</math> und <math>C^{0}_0(\alpha ) := \max \{1, D_0(\alpha) \} </math> (siehe auch [[PC-Regularitätskriterium]]). :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha , 0)} & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C^{0}_k(\alpha ) \| p_k \|_{\beta} = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{C^{0}_k(\alpha )}_{ \geq D_k (\alpha ) } \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} \\ & \geq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} D_k (\alpha ) \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} \\ & \geq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \| p_k \|_{(0,k)}^{(\alpha)} = \| \! | p | \! \|_{(\alpha , 0)}^{(z)} \\ \end{array} </math> === Erste Quasihalbnorm der PC-Stetigkeitssequenz === Gleichzeitig zu der Folge von [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> wird auch eine Sequenz von [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] definiert, die man über das [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] erhält. Da die Folge in Abhängigkeit von einem konkreten <math>z \in \mathcal{G}_{\mathcal{PC}}(A)</math> und einem beliebigen <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> abhängig sind, definiert man diese Gaugefunktionale :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha, 0)}^{(z)} & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \| p_k \|_{k}^{(\alpha)} \,\,\, \mbox{ mit} \\ p(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} \cdot t^k \end{array} </math> === Abschätzung für erste PC-Quasihalbnorm === Für die <math>\mathcal{PC}</math>-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> gilt folgende Abschätzung für <math>n=0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n)}^{(z)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{ \| p_k \|_{(0, k)}^{(\alpha)} }_{ \leq D_k^0(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} } \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^0(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} = \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n)} \\ \end{array} </math> Für <math>n=0</math> wurden daher für alle <math>k \in \mathbb{N}_0</math> die Koeffizienten <math>C_k^0(\alpha ) \geq D_k^0(\alpha )</math> definieren. === Bedeutung der Abschätzung === Diese Abschätzung ist wesentlich, um * einerseits die Stetigkeit des Algebraisomorphismus <math>\tau : A \to A' \subset B</math> bzw. <math>\tau^{-1} : A' \to A</math> nachzuweisen (siehe auch [[TGP-Regularitätskriterium|Elemente mit topologisch großen Potenzen]]) und * andererseits dürfen die Gaugefunktionale <math> \| \! | \cdot | \! \|_{n}^{(\alpha , z)} </math> auch keine feinere Topologie erzeugen, als das Quasihalbnormensystem der Quasihalbnormen <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha , n)} </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> und <math>n\in \mathbb{N}_0</math>. === Induktive Definition des Stetigkeitssequenzen === Seien nun die Quasihalbnormen <math>\|\cdot \|_n^{(\alpha)}</math>, <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha,n)} </math> und das <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktional <math> \| \! | \cdot | \! \|_n^{(\alpha,z)} </math> bereits gegeben, dann definiert man die nächsten Quasihalbnormen und das <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktional über folgende beiden Lemmata: * [[TGP-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{TGP}</math>-Regularitätskriterium]] und * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] === Anwendung des PC-Regularitätskriteriums === Zu der gegebenen Quasihalbnormen <math>\|\cdot \|_n^{(\alpha)}</math> kann man mit [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] ein <math> \gamma \in \mathcal{A}</math>, eine Folge von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\|^{(\alpha)}_{(n,k)}\right)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> mit positiven Konstanten <math display="inline">D_{k}^{n+1}(\alpha)</math> finden, für die gilt: * <math display="inline">\left\| x \right\|_n^{(\alpha)} \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{(n+1,k)} \leq D_k^{n+1}(\alpha)\cdot \left\| x \right\|_{\gamma}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * <math display="inline">\left\| x \right\|^{(\alpha)}_{(n+1,k)} \leq \left\| zx \right\|^{(\alpha)}_{(n+1,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. === Definition eine Stetigkeitssequenz der Multiplikation === Man definiert nun schon einmal <math>\| x \|_{n+1}^{(\alpha)} := \left\| x \right\|_{\widehat{\gamma}}</math> für alle <math>x \in A</math>, wobei <math>\widehat{\gamma} \in \mathcal{A}</math> mit der Stetigkeit der Multiplikation und dem [[Topologisierungslemma für Algebren]] so gewählt wurde, dass für alle <math>x,y \in A</math> gilt: :<math> \| x\cdot y \|_\gamma \leq \| x \|_\widehat{\gamma } \cdot \| y \|_\widehat{\gamma} </math> Damit erhält man eine [[Stetigkeitssequenz]] der Multiplikation mit: :<math> \| x\cdot y \|_{n}^{(\alpha)} \leq \| x \|_{n+1}^{(\alpha)} \cdot \| y \|_{n+1}^{(\alpha)} </math> === Anwendung - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation === Nun definiert man über das [[Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] zunächst die Koeffizienten für die Quasihalbnormen der [[Stetigkeitssequenz]], damit die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|Cauchy-Multiplikation]] auf <math>A[t]</math> stetig wird. Bzgl. der topologischen Algebra <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> ist basiserzeugendes Quasihalbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> gegeben aus dem die Halbnorm <math>\|\cdot\|^{(\alpha)}_{n+1}</math> mit dem [[TGP-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{TGP}</math>-Regularitätskriterium]] gewählt wurde. Als <math display="inline">K_{(\alpha , n+1)} := \max \{ K_\gamma , K_{(\alpha , n)}\} \geq 1</math> setzt man die Stetigkeitskonstante der Addition einer Quasihalbnorm <math> \|\cdot\|^{(\alpha)}_{n+1} := \| \cdot \|_{\gamma} </math>. Damit gilt u.a. <math display="inline">K_{(\alpha , n+1)} \geq K_{(\alpha , n)} </math> und :<math> \| x+y \|^{(\alpha)}_{n+1} \leq K_{(\alpha , n+1)} \cdot \left( \| x \|^{(\alpha)}_{n+1} + \| y \|^{(\alpha)}_{n+1} \right). </math> === Wahl der Folgen - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation === In dem [[Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] werden die beiden Folgen positiver Zahlen <math display="inline">(a_k)_{k\in \mathbb{N}_0}</math> und <math display="inline">(d_k)_{k\in \mathbb{N}_0}</math> genannt. Diese werden induktiv in Abhängigkeit von <math>n \in \mathbb{N}_0</math> und <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> wie folgt gewählt: * <math display="inline">(a_k)_{k\in \mathbb{N}_0} := (C_k^n(\alpha))_{n\in \mathbb{N}_0}</math> (Koeffizienten der Quasihalbnorm <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha , n)} </math>) * <math display="inline">(d_k)_{k\in \mathbb{N}_0} := (\max \{ C_k^n(\alpha) \cdot D_k^{n+1}(\alpha),K_{(\alpha , n+1)})_{n\in \mathbb{N}_0}</math> (positive Konstanten des [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] ) === Eigenschaften der resultierende Folge aus dem Koeffizientenlemma === Das [[Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] liefert nun eine Folge <math display="inline">\left( C^{n+1}_k(\alpha) \right)_{k\in \mathbb{N}_0} := \left( b_k \right)_{k\in \mathbb{N}_0}</math> von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt: * (KL1) <math display="inline">C^{n+1}_k(\alpha) \geq C^{n}_k(\alpha) \cdot D^{n+1}_k(\alpha) </math> für alle <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> * (KL2) <math display="inline">K^{i+j}_{(\alpha , n)} \cdot C^{n}_{i+j}(\alpha)\leq C^{n+1}_{i}(\alpha)\cdot C^{n+1}_{j}(\alpha)</math> für alle <math display="inline">i,j\in \mathbb{N}_0</math>. === Induktive Definition der Quasihalbnormen === Man definiert auf der Algebra nun induktiv das nächste Element der [[Stetigkeitssequenz]] auf <math> A[t] </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n+1)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{C_k^{n+1}(\alpha )}_{\geq C_k^{n}(\alpha ) \cdot D_k^{n+1}(\alpha )} \cdot \| p_k \|^{(\alpha)}_{n+1} \end{array} </math> Dabei genügen die Koeffizienten der Ungleichung <math>C^{n+1}_k(\alpha ) \geq C_k^{n}(\alpha ) \cdot D_k^{n+1}(\alpha) </math> auch dem [[TGP-Regularitätskriterium]]. === Indukutive Definition der PC-Quasihalbnorm bzgl. z === Gleichzeitig zu der [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] <math>\| \! | \cdot| \! \|_{(\alpha , n+1)}</math> auf <math>A[t]</math> wird nun auch die [[Gaugefunktional|<math>\mathcal{PC}</math>-Quasihalbnorm]] definiert, die man über das [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] erhält. :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha ,n+1)}^{(z)} & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^{n}(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{(n+1,k)}^{(\alpha)} \,\,\, \mbox{ mit} \\ p(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} \cdot t^k \end{array} </math> === Abschätzung von PC-Quasihalbnorm in Stetigkeitssequenzen=== Für die <math>\mathcal{PC}</math>-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> gilt folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha ,n+1)}^{(z)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^{n}(\alpha ) \cdot \underbrace{ \| p_k \|_{(n+1, k)}^{(\alpha)} }_{ \leq D_k^{n+1}(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{n+1}^{(\alpha)} } \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{ C_k^{n}(\alpha ) \cdot D_k^{n+1}(\alpha )}_{\leq C_k^{n+1}(\alpha ) } \cdot \| p_k \|_{n+1}^{(\alpha)} \leq \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n+1)} \\ \end{array} </math> Für <math>n=0</math> kann man für alle <math>k \in \mathbb{N}_0</math> die Koeffizienten <math>C_k^0(\alpha ):= D_k^0(\alpha )</math> definieren. === Subadditivität mit Stetigkeitskonstante === Das definierte Funktional <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha,n)} </math> ist subadditiv mit Stetigkeitskonstante <math>K_{\alpha , n)} \geq 1 </math>, denn :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p + q | \! \|_{(\alpha,n)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha )\cdot \| p_k + q_k \|^{(\alpha)}_{n} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha )\cdot K_{(\alpha , n)} \cdot \left( \| p_k \|^{(\alpha)}_{n} + \| q_k \|^{(\alpha)}_{n} \right) \\ & = & \displaystyle K_{(\alpha , n)} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha ) \cdot \| p_k \|^{(\alpha)}_{n} + C_k^n(\alpha ) \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{n} \\ & = & K_{(\alpha , n)} \cdot \left( \| \! | p | \! \|_{(\alpha,n)} + \| \! q | \! \|_{(\alpha,n)} \right) \\ \end{array} </math> === Stetigkeit der Cauchy-Multiplkation 1 === Die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation in der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] kann man mit der [[[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit des Cauchy-Produktes]] angewendet auf die [[Stetigkeitssequenz]] nachweisen. :<math> \begin{array}{rcl} q(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q_{k} \cdot t^k & \mbox{ bzw. } & p(t) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} \cdot t^k \end{array} </math> === Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra === Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf <math>A</math> und der Anwendung des [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation]] erhält man die Stetigkeit der Multiplikation auf <math>A[t]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \|\! | p \cdot q |\! \|_{(\alpha , n)} & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha) \cdot \left\| \sum_{i=0}^{k} p_i \cdot q_{k-i} \right\|_n^{(\alpha)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha) \cdot K_{(\alpha ,n)}^k \cdot \sum_{i=0}^{k} \left\| p_i \cdot q_{k-i} \right\|_n^{(\alpha)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{k} \underbrace{C_k^n(\alpha) \cdot K_{(\alpha , n)}^k }_{= C_{i}^k(\beta) \cdot C_{k-i}^k(\beta)} \cdot \left\| p_i \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \cdot \left\| q_{k-i} \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{k} C_{i}^{n+1}(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \cdot C_{k-i}^{n+1}(\alpha) \cdot \left\| q_{n-k} \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \\ & = & \|\! | p |\! \|_{(\alpha , n+1)} \cdot \|\! | q |\! \|_{(\alpha , n+1)} \end{array} </math> === Topologisierung der Algebraerweiterung === Die [[Algebraerweiterung]] wird mit induzierten Quasihalbnormen auf Quotientenraum über die oben definierten Stetigkeitsequenzen topologisiert, die wie folgt definiert ist: :<math>\| q_{_I} \|_n^{(\alpha,B)} := \|q + I \|_n^{(\alpha,B)} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | q + r | \! \|_n^{(\alpha)} </math> Dabei bezeichnen man die Äquivalenzklassen von Polynomen in Kurzform mit <math>q_I \in B </math>, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind: :<math> q_{_I} := q + I := \{ q + r \, : \, r \in I \} </math> Man muss hier keine Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen unterscheiden, da die Addition im Vektorraum und die Multiplikation in <math>\mathcal{PC}^k</math>-Algebren auch eine kommuntative Cauchy-Multiplikation auf der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] induzieren. === Stetigkeit Algebrahomomorphismus === Sei <math>x \in A</math> beliebig gewählt, dann gilt für eine beliebige [[Quasihalbnorm]] <math>\| \cdot \|_n^{(\alpha , B)}</math> auf dem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math> die folgende Abschätzung :<math> \begin{array}{rcl} \| \tau(x) \|_n^{(\alpha , B)} & = & \| x_I \|_n^{(\alpha , B)} = \| x + I \|_n^{(\alpha , B)} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_n^{(\alpha)} \\ & \leq & \| \! | x + 0_{A[t]} | \! \|_n^{(\alpha)} = C_0^n{(\alpha)} \cdot \| x \|_n^{(\alpha)} \end{array} </math> Damit ist <math>\tau</math> stetig (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). === Struktur der Polynome aus dem Ideal === Betrachten nun das Bild <math>\tau(A)\subset B</math> von <math>\tau</math> in <math>B</math>. Sei nun <math>A' = \tau(A) = \{x_I \, : \, x_I = x + I = \tau(x)\} </math> gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges <math>q \in A[t]</math> mit <math>r=o\cdot q\in I</math> mit <math>o(t)=z\cdot t - e_A</math>. Dabei gilt: :<math> \begin{array}{rcl} r(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} r_k \cdot t^k = o(t) \cdot q(t) \\ & = & -q_0 + \sum_{k=1}^{\infty} (z\cdot q_{k-1} - q_k) \cdot t^k \end{array} </math> === Injektivität des Algebrahomomorphismus 1 === Um eine Umkehrabbildung von <math>\tau^{-1} : A' \to A </math> definieren zu können, muss man zeigen, dass <math>\tau : A \to A' \subset B </math> injektiv ist, bzw. <math>Kern (\tau) = \{0_A\}</math>. Wir zeigen nun die Kontraposition von der Implikation für die Injektivität :<math> x\in Kern (\tau) \Longrightarrow x = 0_A </math> und zeigen :<math> x \not= 0_A \Longrightarrow x\notin Kern (\tau) \mbox{ bzw. } \tau(x) \not= 0_B </math> === Injektivität des Algebrahomomorphismus 2 === Sei <math> x \not= 0_A </math> und mit der Hausdorff-Eigenschaft von <math> (A , \|\cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> erhält man ein <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> mit <math>\varepsilon := \|x\|_\alpha > 0</math> und verwendet ferner folgende Abschätzungen für Quasinormen und das <math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium: * <math> \| x- y \|_{\alpha} \geq \frac{1}{K_\alpha} \cdot \| x \|_\alpha - \| y \|_{\alpha}</math> * <math> \| x \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \leq \| z \cdot x \|^{(\alpha)}_{(n,k+1)} </math> === Injektivität des Algebrahomomorphismus 3 === :<math> \begin{array}{l} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha , 0)} \geq \| \! | x + r | \! \|_0^{(\alpha , z)} = \\ = D_0^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , 0)}^k \cdot + D_k^0(\alpha) \cdot \|z\cdot q_{k-1} - q_k \|^{(\alpha)}_{(0,k)} \\ \\ \geq D_0^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , 0)}^{k-1} \left( \|z\cdot q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(0,k)} - K_{(\alpha , 0)}^{k} \| q_k \|^{(\alpha)}_{(0,k)} \right) \\ \\ \geq D_0^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , 0)}^{k-1} \cdot \|q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(0,k-1)} - K_{(\alpha , 0)}^k \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{(0,k)} \\ \\ \geq \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \| q_{0}\|^{(\alpha)}_{(0,k)} \geq \frac{1}{K_{(\alpha , 0)}} \| x \|^{(\alpha)}_0 \geq \frac{\varepsilon}{K_{(\alpha , 0)}} > 0 \end{array} </math> === Injektivität Algebrahomomorphismus 4 === Über Infimumbildung über alle <math> r \in I </math> bleibt die Ungleichung erhalten und es gilt: :<math>\| x_{_I} \|_0^{(\alpha,B)} := \|x + I \|_0^{(\alpha,B)} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_0^{(\alpha)} \geq \frac{1}{K_{(\alpha , 0)}} \| x \|_\alpha > 0</math> Damit gilt auch <math> x_{_I} \not= 0_B = 0_A + I </math> für <math> x \not= 0_A</math>. Damit ist der Algebrahomomophismus injektiv. === Existenz der Umkehrabbildung === Mit der Injektivität von <math> \tau : A \to A' \subset B </math> existiert die Umkehrabbildung von <math> \tau^{-1} : A' \to A </math> und man kann die Stetigkeit der Umkehrabbildung mit der Stetigkeitssequenzen analog zur Injektivität für beliebige <math> n \in \mathbb{N}_0</math> und <math> \alpha \in \mathcal{A}</math>- === Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung === :<math> \begin{array}{l} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha , n)} \geq \| \! | x + r | \! \|_n^{(\alpha , z)} = \\ = D_0^n(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , n)}^k \cdot + D_k^n(\alpha) \cdot \|z\cdot q_{k-1} - q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \\ \\ \geq D_n^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , n)}^{k-1} \|z\cdot q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(n,k)} - K_{(\alpha , n)}^{k} \| q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \\ \\ \geq D_n^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , n)}^{k-1} \cdot \|q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(n,k-1)} - K_{(\alpha , n)}^k \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \\ \\ \geq \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \| q_{0}\|^{(\alpha)}_{(n,k)} \geq \frac{1}{K_{(\alpha , n)}} \| x \|^{(\alpha)}_n \end{array} </math> === Teleskopierende Summen === Bei [[w:de:Teleskopsumme|teleskopierenden Summen]] werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme :<math> K_{(\alpha , n)}^{k-1} \cdot \|q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(n,k-1)} - K_{(\alpha , n)}^k \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} </math> eine [[w:de:Teleskopsumme|Telekopsumme]]. === Infimumbildung === Durch Infimumbildung über alle Polynome <math>r\in I</math> bleibt die obige Ungleichung erhalten und man erhält die Stetigkeit von <math>\tau^{-1}: A' \to A</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \| x + I \|_{(\alpha ,n )} & = & \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha ,n )} \geq \frac{1}{K_{(\alpha,n)} } \cdot \| x \|^{(\alpha)}_n \\ & \geq & \frac{1}{K_{(\alpha,n)} } \cdot \| \tau^{-1}(x+I) \|^{(\alpha)}_n \end{array} </math> Die Stetigkeit <math> \| \tau^{-1}(x+I) \|^{(\alpha)}_n \leq \underbrace{ K_{(\alpha,n)} }_{:= C_1 > 0} \cdot \| x + I \|_{(\alpha ,n )} </math> erhält man mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]. === Umgekehrte Abschätzung === Für die Stetigkeit der Abbildung <math>\tau</math> gibt es für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> und alle <math> n \in \mathbb{N}_0</math> setzt das Nullpolynom <math>0_{A[t]} \in I </math> ein: :<math> \| x + I \|_{(\alpha ,n )} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha ,n )} \leq \| \! | x + 0_{A[t]} | \! \|_{(\alpha ,n )} = \underbrace{ C_0^n(\alpha) }_{=C_2 > 0} \cdot \| x \|_n^{(\alpha)} </math> Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von <math>A</math> in <math>A' \subset B:= A[t]/I </math> eine Hömöomorphismus mit <math> \tau^{-1}(x + I) = x </math> bzw. <math> \tau(x) = x + I </math>. === Aufgabe - Algebraisomorphismus und Äquivalenz von p-Halbnormensystemen === In den obigen beiden Abschätzungen wird die [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeit von lineare Abbildung]] bzw. von [[Algebrahomomorphismus|Algebrahomomorphismen]] verwendet, um die Stetigkeit von <math> \tau </math> und <math> \tau^{-1} </math> über [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Quasihalbnormensysteme <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A} } </math> auf <math>A</math> und <math> \| \! | \cdot | \! \|_{ \mathcal{A} \times \mathbb{N}_0 } </math> auf <math>A[t]</math> und definieren eine weiteres Halbnormensystem <math> \| \! | \cdot | \! \|_{ \mathcal{A} \times \mathbb{N}_0 }^{(\tau_3)} </math> auf <math>A</math> mit :<math>\| \! | \cdot | \! \|_{ (\alpha , n) }^{(\tau_3)} := \| \! | \cdot | \! \|_{ (\alpha , n ) } \circ \tau_3 \mbox{ bzw. } \| \! | x | \! \|_{ (\alpha , n ) }^{(\tau_3)} := \| \! | \tau_3(x) | \! \|_{ (\alpha , n ) } </math> Dabei wird <math>\tau_3 (x) = p \in A[t] </math> mit <math>p(t)= x \cdot t^0 </math>. Zeigen Sie, dass <math>p</math>-Halbnormensysteme <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und <math> \| \! | \cdot | \! \|_{ \mathcal{A} \times \mathbb{N}_0 }^{(\tau_3)} </math> auf <math> A </math> [[Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)|äquivalente Quasihalbnormensysteme]] sind (siehe [[Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Topologisch kleine Potenzen]] * [[Topologisch große Potenzen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] * [[p-Halbnorm]] * [[Korrespondenzsatz p-Halbnormen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Verknüpfung/Neutrales_Element/Definition|Neutrales Element]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Vollständigkeit]] * [[w:de:Topologischer_Vektorraum#Topologische_Eigenschaften|Vervollständigung topologischer Vektorräume]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] hyoyligoh9ltv6yjmoqxdgos7d4e6ri 745667 745666 2022-07-22T11:52:04Z Bert Niehaus 20843 /* Stetigkeit der Cauchy-Multiplkation 1 */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Wenn wir die <math>\mathcal{PC}</math>-Regularität eines Elementes <math>z\in A</math> für eine [[pseudokonvex|pseudokonvexe]] topologische Algebra <math>(A,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> sprechen, suchen wir nach einer [[pseudokonvex|pseudokonvexen]] Algebraerweiterungen <math>(B,\|\cdot \|_{\mathcal{B}})</math> von <math>(A,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> in der <math>z\in A</math> invertierbar ist. Dabei besteht * <math>\|\cdot \|_{\mathcal{A}} := \{ \|\cdot \|_\alpha \, : \, \alpha \in \mathcal{A} \}</math> und * <math>\|\cdot \|_{\widetilde{\mathcal{A}}} := \{ \|\cdot \|_{\widetilde{\alpha}} \, : \, \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} \}</math> Systeme von [[p-Halbnorm|<math>p</math>-Halbnormen]] mit <math>p \in (0,1]</math> sind, die die Topologie auf <math>A</math> bzw. <math>B</math> erzeugen. == Zielsetzung == Zielsetzung einer [[Pseudokonvex|pseudokonvexe Algebraerweiterung]] <math>(B,\|\cdot\|_{\mathcal{B}})</math> zu einer gegebenen topologischen Algebra <math>(A,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> mit <math>z\in A</math> ist es, die gegebene [[Pseudokonvex|pseudokonvexe Algebraerweiterung]] so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element <math>z^{-1}:= b \in B</math> in der [[Pseudokonvex|pseudokonvexen Algebraerweiterung]] <math>B</math> besitzt. Als topologieerzeugende <math>p</math>-[[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]] werden hier [[p-Halbnorm|<math>p</math>-Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> und <math>\|\cdot\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> verwendet. Dieses Ziel ist eine kleine Erweiterung einer äquivalenten Charakterisierung von [[w:de:Wiesław_Żelazko|Zelazko]] (1984)<ref>[[w:de:Wiesław_Żelazko|Zelazko Wieslaw]], (1984), Concerning characterization of permanently sin- gular elements in commutative locally convex algebras, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modelling 2, Sofia, S. 326-333;</ref> für lokalkonvexe Räume<ref>Andreas Rohling, Niehaus Engelbert (1995) Verallgemeinerung des Satzes von Gleason-Kahane-Zelazko, K-reguläre Elemente, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universität Münster, Serie 3., Herausgeber: [[w:de:George Maltese|George Maltese]], Heft 16, S. 79-81 </ref>. == Topologisch kleine Potenzen und PC-Singularität == Für kommutative pseudokonvexe Algebren <math>(A,\|\cdot\|_{ \mathcal{A} })</math> mit unital positivem <math>p</math>-Halbnormensystem <math>\|\cdot\|_{ \mathcal{A} }</math> erhält man folgende Charakterisierung: :<math>z\in \mathcal{TKP}(A)</math> ([[Topologisch kleine Potenzen|topologisch kleine Potenzen]]) <math>\Longrightarrow</math> <math>z\in A</math> <math>\mathcal{PC_e^k}</math>-singulär == Charakterisierung der PC-Regularität == Für kommutative pseudokonvexe Algebren <math>(A,\|\cdot\|_{ \mathcal{A} })</math> mit unital positivem <math>p</math>-Halbnormensystem <math>\|\cdot\|_{ \mathcal{A} }</math> erhält man folgende Charakterisierung: :<math>z\in A</math> erfüllt das [[PC-Regularitätskriterium]] <math>\Longleftrightarrow</math> <math>z\in A</math> <math>\mathcal{PC_e^k}</math>-regulär == Veranschaulichung == Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegebenen <math>z\in A</math> enthält. [[Datei:Algebra extension3.png|400px|Algebraerweiterung]] == Pseudokonvexe Algebraerweiterung == Sei <math display="inline">\mathcal{PC}_e</math> die Klasse der [[pseudokonvex|pseudokonvex]] unitalen Algebren und <math display="inline">A \in \mathcal{PC}_e</math>. Die [[Algebraerweiterung]] <math display="inline">B\in \mathcal{PC}_e</math> bzw. <math display="inline">\mathcal{PC}</math>-Erweiterung von <math display="inline">A</math> benötigt nach [[Algebraerweiterung|Definition]] es einen Algebraisomorphismus <math display="inline">\tau : A \longrightarrow A' \subset B</math> mit: * <math display="inline">\tau(e_{_{A}})=e_{_{B}}</math>, wobei <math display="inline">e_{_{A}}</math> ist das Einselement von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">e_{_{B}} \in A'</math> das Einselement von <math display="inline">B</math> ist. * <math display="inline">A</math> ist homöomorph zu <math display="inline">A'</math>; d.h. <math display="inline">\tau</math> und <math display="inline">\tau^{-1}: A' \longrightarrow A</math> sind stetig. === Veranschaulichung - Algebraisomorphismus === [[Datei:Algebra extension embed.png|450px|Algebraerweiterung - Einbettung ]] === Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung === * Im allgemeinen identifiziert man <math display="inline">A</math> mit <math display="inline">A'</math> und schreibt <math display="inline">A\subset B</math>. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus <math>x \in A</math> mit Elementen <math>\tau(x) = x + I \in B</math> in einem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math> identifiziert werden. * Sei <math display="inline">\mathfrak{U}_{A'} (0)</math> eine Nullumgebungsbasis der [[w:de:Teilraumtopologie|Relativtopologie]] von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A'</math> und <math display="inline">\mathfrak{U}_{A}(0)</math> eine Nullumgebungsbasis von <math display="inline">A</math>, dann kann man die Homöomorphie zwischen <math display="inline">A</math> und <math display="inline">A'</math> wie immer über die Topologie ausdrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}_A (0)} \exists_{\displaystyle U\in \mathfrak{U}_{A'}(0)} &:& U \subset V \, \, \, (\tau(U) \subset V) \\ \forall_{\displaystyle U \in \mathfrak{U}_{A'} (0)} \exists_{\displaystyle V \in \mathfrak{U}_{A}(0)} &:& V \subset U \, \, \, (\tau^{-1}(V) \subset U). \end{array} </math> === Stetigkeit über p-Halbnormen === Betrachtet man die [[p-Halbnorm|''p''-Halbnormen]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}} </math> für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]): :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\alpha \in \mathcal{A} } \exists_{ \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} , C_1 > 0} \forall_{x \in A } &:& \left\| x \right\|_{\alpha} \leq C_1 \cdot \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _{\alpha} \leq C_1 \cdot \left\| \cdot \right\| _\widetilde{\alpha} \circ \tau \\ \forall_{\widetilde{\alpha} \in \mathcal{A} } \exists_{\alpha \in \mathcal{A}, C_2 > 0 } \forall_{ x \in A } &:& \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \leq C_2 \cdot \left\| x\right\|_\alpha \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _\widetilde{\alpha} \circ \tau \leq C_2 \cdot \left\| \cdot \right\| _\alpha . \end{array} </math> === Wesentliche Schritte bei der Konstruktion der Algebraerweiterung === Wir betrachten zunächst multiplikative kommuntative Algebren <math>(A,\|\cdot\|_A)</math>. * Ausgehend von <math>(A,\|\cdot\|_A)</math> wird die Polynomalgebra <math>(A[t],\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]})</math> mit einer [[p-Halbnorm]] <math>\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]}</math> topologisiert. * [[p-Halbnorm]] <math>\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]}</math> macht <math>A[t]</math> zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist. * Übergang zu dem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math>, wobei das Polynom <math> o(t) := z \cdot t - e_A </math> das Hauptideal <math>I:= o \cdot A[t]</math> definiert und <math>o \in A[t]</math> ein Repräsentant des Nullvektors <math>0_B:= I = o+I </math> in <math>B</math> ist. * Die Konstruktion des Ideals <math>I</math> liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit <math>b(t):= e_A \cdot t</math> ist <math>b_I := b+I \in B=A[t]/I</math> das inverse Element zu <math>z\in A</math> mit <math>z_I := \tau(z) = z + I \in B</math> mit <math>z_I \cdot b_I - e_B = 0_B </math> bzw. <math>z_I \cdot b_I = e_B </math>. Die Kommutativität liefert dann, dass auch <math> b_I \cdot z_I = e_B </math> gilt. == Algebraerweiterung == Der [[Algebraerweiterung|Algebrahomomorphismus]] <math>\tau : A \to B</math> bildet nun jedes Element <math>x \in A</math> auf die Nebenklasse <math> x + I \in B := A[t]/I </math> ab. Dabei seien <math>A, B \in \mathcal{PC}_e^k(\mathbb{K})</math> kommutative unitale <math>\mathcal{PC}</math>-Algebren über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. === Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra === Für das gegebene <math>z \in A</math> in der kommutativen [[pseudokonvex|pseudokonvexen]] [[Topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\|\cdot \|_A)</math> definiert man ein Polynom <math> o \in A[t]</math> mit <math>o(t):= z\cdot t - e_A</math>, wobei <math>e_A</math> das Einselement der Multiplikation in <math>A</math> ist. Als [[Ideal (Algebra)|Ideal]] definiert man <math>I := \overline{o \cdot A[t]} </math> als abgeschlossenes Hauptideal in <math>A[t]</math>. Als Untervektorraum <math>I</math> wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des [[Ideal (Algebra)|Ideals]] sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist. == Topologisierung der Polynomalgebra == Mit dem [[Korrespondenzsatz p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für p-Halbnormen und Quasihalbnormen]] wird die Topologie auf <math>A[t]</math> über Stetigkeitssequenzen und [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] mit <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> erzeugt. Im Folgenden sind alle Gaugefunktionale homogen. === Topologische große Potenzen === Aus der [[Negation - Topologisch kleine Potenzen|Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen]] erhält man für <math display="inline">z\in {\mathcal{TGP}} (A) = A\setminus {\mathcal{TKP}} (A)</math>, dass es für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> und Konstanten <math>D_k(\alpha) > 0 </math> gibt, sodass für alle <math>x \in A</math> gilt: :<math> \left\| x \right\| _{\alpha} \leq D_k( \alpha ) \cdot \left\| z^k \cdot x \right\|_{\beta} </math> (siehe [[topologisch große Potenzen]]) === Notation der Konstanten === Im Folgenden werden die Konstanten <math display="inline">D_{k}^{n}(\alpha) > 0 </math> wie folgt bzgl. der Stetigkeitssequenzen auf der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>A[t]</math> indiziert. * <math>n \in \mathbb{N}_0 </math> ist der Index der Quasihalbnorm bzw. des <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktionals auf <math>A[t]</math>, * <math>k \in \mathbb{N}_0 </math> ist der Koeffizientenindex der Polynome und bzgl. des <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktionals auf <math>A[t]</math> der Index des Gaugefunktionals, das auf den <math>k</math>-ten Koeffizienten <math>q_k \in A </math> des Polynoms <math>q \in A[t]</math> angewendet wird. === PC-Regularitätskriterium für n=0 === Mit dem [[PC-Regularitätskriterium]] erhält man: Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}^k_e</math>, <math display="inline">z\in A</math>, dann ist <math> z \in A</math> genau dann, wenn es für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> ein <math display="inline">\beta \in {\mathcal{A}} </math> und eine Folge von Quasihalbnormen <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> mit der Stetigkeitskonstante der Addition <math>K_\alpha \geq 1</math>, positiven Konstanten <math display="inline">D_{k}^{0}(\alpha)</math> gibt, für die gilt: * <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{(0,k)} \leq D_k^{0}(\alpha)\cdot \left\| x \right\|_{\beta}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * <math display="inline">\left\| x \right\|^{(\alpha)}_{(0,k)} \leq \left\| zx \right\|^{(\alpha)}_{(0,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. === Quasihalbnormen - Korrespondenzsatz === Das erzeugende System von Gaugefunktionalen <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\| _{\alpha}\right)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> sind [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] und damit homogen und subadditiv mit Stetigkeitskonstante <math>K_\alpha \geq 1 </math> und <math>D^{0}_k(\alpha) \geq 1 </math>: * <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _{(0,k)}^{(\alpha)} \leq D^{0}_k(\alpha)\cdot \left\| x \right\| _{\beta}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * <math display="inline">\left\| x \right\|^{(\alpha)}_{(0,k)} \leq \left\| zx \right\|^{(\alpha)}_{(0,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. * <math> \left\| x + y \right\|_{(0,k)}^{(\alpha)} \leq K_{(\alpha , 0)} \cdot \left( \left\| x \right\|_{(0,k)}^{(\alpha)} + \left\| y \right\|_{(0,k)}^{(\alpha)} \right) </math> bzw. * <math>\left\| x + y \right\| _{\beta} \leq K_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _{\beta} + \left\| y \right\| _{\beta} \right) </math> mit <math> K_{(\alpha , 0)}, K_\beta \geq 1 </math>. === Anfang der Stetigkeitssequenz === Man definiert auf der Algebra induktiv eine Stetigkeitssequenz auf <math> A </math> und auf <math> A[t] </math> und man parallel zu <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha,0)} </math> auch <math> \| \cdot \|^{(\alpha)}_{0} := \| \cdot \|_{\beta}</math>. Die erste Folge von [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> mit einer Stetigkeitskonstanten <math> K_{\alpha } \geq 1 </math> wird direkt über das <math>\mathcal{PC}</math>-Kriterium definiert mit <math> C_k (\alpha ) = \max \{ 1, D_k(\alpha ), C_{k-1}(\alpha )\} </math> für <math>k > 0</math> und <math>C^{0}_0(\alpha ) := \max \{1, D_0(\alpha) \} </math> (siehe auch [[PC-Regularitätskriterium]]). :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha , 0)} & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C^{0}_k(\alpha ) \| p_k \|_{\beta} = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{C^{0}_k(\alpha )}_{ \geq D_k (\alpha ) } \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} \\ & \geq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} D_k (\alpha ) \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} \\ & \geq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \| p_k \|_{(0,k)}^{(\alpha)} = \| \! | p | \! \|_{(\alpha , 0)}^{(z)} \\ \end{array} </math> === Erste Quasihalbnorm der PC-Stetigkeitssequenz === Gleichzeitig zu der Folge von [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> wird auch eine Sequenz von [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] definiert, die man über das [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] erhält. Da die Folge in Abhängigkeit von einem konkreten <math>z \in \mathcal{G}_{\mathcal{PC}}(A)</math> und einem beliebigen <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> abhängig sind, definiert man diese Gaugefunktionale :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha, 0)}^{(z)} & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \| p_k \|_{k}^{(\alpha)} \,\,\, \mbox{ mit} \\ p(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} \cdot t^k \end{array} </math> === Abschätzung für erste PC-Quasihalbnorm === Für die <math>\mathcal{PC}</math>-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> gilt folgende Abschätzung für <math>n=0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n)}^{(z)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{ \| p_k \|_{(0, k)}^{(\alpha)} }_{ \leq D_k^0(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} } \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^0(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} = \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n)} \\ \end{array} </math> Für <math>n=0</math> wurden daher für alle <math>k \in \mathbb{N}_0</math> die Koeffizienten <math>C_k^0(\alpha ) \geq D_k^0(\alpha )</math> definieren. === Bedeutung der Abschätzung === Diese Abschätzung ist wesentlich, um * einerseits die Stetigkeit des Algebraisomorphismus <math>\tau : A \to A' \subset B</math> bzw. <math>\tau^{-1} : A' \to A</math> nachzuweisen (siehe auch [[TGP-Regularitätskriterium|Elemente mit topologisch großen Potenzen]]) und * andererseits dürfen die Gaugefunktionale <math> \| \! | \cdot | \! \|_{n}^{(\alpha , z)} </math> auch keine feinere Topologie erzeugen, als das Quasihalbnormensystem der Quasihalbnormen <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha , n)} </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> und <math>n\in \mathbb{N}_0</math>. === Induktive Definition des Stetigkeitssequenzen === Seien nun die Quasihalbnormen <math>\|\cdot \|_n^{(\alpha)}</math>, <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha,n)} </math> und das <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktional <math> \| \! | \cdot | \! \|_n^{(\alpha,z)} </math> bereits gegeben, dann definiert man die nächsten Quasihalbnormen und das <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktional über folgende beiden Lemmata: * [[TGP-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{TGP}</math>-Regularitätskriterium]] und * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] === Anwendung des PC-Regularitätskriteriums === Zu der gegebenen Quasihalbnormen <math>\|\cdot \|_n^{(\alpha)}</math> kann man mit [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] ein <math> \gamma \in \mathcal{A}</math>, eine Folge von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\|^{(\alpha)}_{(n,k)}\right)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> mit positiven Konstanten <math display="inline">D_{k}^{n+1}(\alpha)</math> finden, für die gilt: * <math display="inline">\left\| x \right\|_n^{(\alpha)} \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{(n+1,k)} \leq D_k^{n+1}(\alpha)\cdot \left\| x \right\|_{\gamma}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * <math display="inline">\left\| x \right\|^{(\alpha)}_{(n+1,k)} \leq \left\| zx \right\|^{(\alpha)}_{(n+1,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. === Definition eine Stetigkeitssequenz der Multiplikation === Man definiert nun schon einmal <math>\| x \|_{n+1}^{(\alpha)} := \left\| x \right\|_{\widehat{\gamma}}</math> für alle <math>x \in A</math>, wobei <math>\widehat{\gamma} \in \mathcal{A}</math> mit der Stetigkeit der Multiplikation und dem [[Topologisierungslemma für Algebren]] so gewählt wurde, dass für alle <math>x,y \in A</math> gilt: :<math> \| x\cdot y \|_\gamma \leq \| x \|_\widehat{\gamma } \cdot \| y \|_\widehat{\gamma} </math> Damit erhält man eine [[Stetigkeitssequenz]] der Multiplikation mit: :<math> \| x\cdot y \|_{n}^{(\alpha)} \leq \| x \|_{n+1}^{(\alpha)} \cdot \| y \|_{n+1}^{(\alpha)} </math> === Anwendung - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation === Nun definiert man über das [[Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] zunächst die Koeffizienten für die Quasihalbnormen der [[Stetigkeitssequenz]], damit die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|Cauchy-Multiplikation]] auf <math>A[t]</math> stetig wird. Bzgl. der topologischen Algebra <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> ist basiserzeugendes Quasihalbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> gegeben aus dem die Halbnorm <math>\|\cdot\|^{(\alpha)}_{n+1}</math> mit dem [[TGP-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{TGP}</math>-Regularitätskriterium]] gewählt wurde. Als <math display="inline">K_{(\alpha , n+1)} := \max \{ K_\gamma , K_{(\alpha , n)}\} \geq 1</math> setzt man die Stetigkeitskonstante der Addition einer Quasihalbnorm <math> \|\cdot\|^{(\alpha)}_{n+1} := \| \cdot \|_{\gamma} </math>. Damit gilt u.a. <math display="inline">K_{(\alpha , n+1)} \geq K_{(\alpha , n)} </math> und :<math> \| x+y \|^{(\alpha)}_{n+1} \leq K_{(\alpha , n+1)} \cdot \left( \| x \|^{(\alpha)}_{n+1} + \| y \|^{(\alpha)}_{n+1} \right). </math> === Wahl der Folgen - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation === In dem [[Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] werden die beiden Folgen positiver Zahlen <math display="inline">(a_k)_{k\in \mathbb{N}_0}</math> und <math display="inline">(d_k)_{k\in \mathbb{N}_0}</math> genannt. Diese werden induktiv in Abhängigkeit von <math>n \in \mathbb{N}_0</math> und <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> wie folgt gewählt: * <math display="inline">(a_k)_{k\in \mathbb{N}_0} := (C_k^n(\alpha))_{n\in \mathbb{N}_0}</math> (Koeffizienten der Quasihalbnorm <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha , n)} </math>) * <math display="inline">(d_k)_{k\in \mathbb{N}_0} := (\max \{ C_k^n(\alpha) \cdot D_k^{n+1}(\alpha),K_{(\alpha , n+1)})_{n\in \mathbb{N}_0}</math> (positive Konstanten des [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] ) === Eigenschaften der resultierende Folge aus dem Koeffizientenlemma === Das [[Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] liefert nun eine Folge <math display="inline">\left( C^{n+1}_k(\alpha) \right)_{k\in \mathbb{N}_0} := \left( b_k \right)_{k\in \mathbb{N}_0}</math> von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt: * (KL1) <math display="inline">C^{n+1}_k(\alpha) \geq C^{n}_k(\alpha) \cdot D^{n+1}_k(\alpha) </math> für alle <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> * (KL2) <math display="inline">K^{i+j}_{(\alpha , n)} \cdot C^{n}_{i+j}(\alpha)\leq C^{n+1}_{i}(\alpha)\cdot C^{n+1}_{j}(\alpha)</math> für alle <math display="inline">i,j\in \mathbb{N}_0</math>. === Induktive Definition der Quasihalbnormen === Man definiert auf der Algebra nun induktiv das nächste Element der [[Stetigkeitssequenz]] auf <math> A[t] </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n+1)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{C_k^{n+1}(\alpha )}_{\geq C_k^{n}(\alpha ) \cdot D_k^{n+1}(\alpha )} \cdot \| p_k \|^{(\alpha)}_{n+1} \end{array} </math> Dabei genügen die Koeffizienten der Ungleichung <math>C^{n+1}_k(\alpha ) \geq C_k^{n}(\alpha ) \cdot D_k^{n+1}(\alpha) </math> auch dem [[TGP-Regularitätskriterium]]. === Indukutive Definition der PC-Quasihalbnorm bzgl. z === Gleichzeitig zu der [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] <math>\| \! | \cdot| \! \|_{(\alpha , n+1)}</math> auf <math>A[t]</math> wird nun auch die [[Gaugefunktional|<math>\mathcal{PC}</math>-Quasihalbnorm]] definiert, die man über das [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] erhält. :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha ,n+1)}^{(z)} & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^{n}(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{(n+1,k)}^{(\alpha)} \,\,\, \mbox{ mit} \\ p(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} \cdot t^k \end{array} </math> === Abschätzung von PC-Quasihalbnorm in Stetigkeitssequenzen=== Für die <math>\mathcal{PC}</math>-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> gilt folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha ,n+1)}^{(z)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^{n}(\alpha ) \cdot \underbrace{ \| p_k \|_{(n+1, k)}^{(\alpha)} }_{ \leq D_k^{n+1}(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{n+1}^{(\alpha)} } \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{ C_k^{n}(\alpha ) \cdot D_k^{n+1}(\alpha )}_{\leq C_k^{n+1}(\alpha ) } \cdot \| p_k \|_{n+1}^{(\alpha)} \leq \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n+1)} \\ \end{array} </math> Für <math>n=0</math> kann man für alle <math>k \in \mathbb{N}_0</math> die Koeffizienten <math>C_k^0(\alpha ):= D_k^0(\alpha )</math> definieren. === Subadditivität mit Stetigkeitskonstante === Das definierte Funktional <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha,n)} </math> ist subadditiv mit Stetigkeitskonstante <math>K_{\alpha , n)} \geq 1 </math>, denn :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p + q | \! \|_{(\alpha,n)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha )\cdot \| p_k + q_k \|^{(\alpha)}_{n} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha )\cdot K_{(\alpha , n)} \cdot \left( \| p_k \|^{(\alpha)}_{n} + \| q_k \|^{(\alpha)}_{n} \right) \\ & = & \displaystyle K_{(\alpha , n)} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha ) \cdot \| p_k \|^{(\alpha)}_{n} + C_k^n(\alpha ) \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{n} \\ & = & K_{(\alpha , n)} \cdot \left( \| \! | p | \! \|_{(\alpha,n)} + \| \! q | \! \|_{(\alpha,n)} \right) \\ \end{array} </math> === Stetigkeit der Cauchy-Multiplkation 1 === Die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation in der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] kann man mit der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit des Cauchy-Produktes]] angewendet auf die [[Stetigkeitssequenz]] nachweisen. :<math> \begin{array}{rcl} q(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q_{k} \cdot t^k & \mbox{ bzw. } & p(t) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} \cdot t^k \end{array} </math> === Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra === Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf <math>A</math> und der Anwendung des [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation]] erhält man die Stetigkeit der Multiplikation auf <math>A[t]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \|\! | p \cdot q |\! \|_{(\alpha , n)} & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha) \cdot \left\| \sum_{i=0}^{k} p_i \cdot q_{k-i} \right\|_n^{(\alpha)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha) \cdot K_{(\alpha ,n)}^k \cdot \sum_{i=0}^{k} \left\| p_i \cdot q_{k-i} \right\|_n^{(\alpha)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{k} \underbrace{C_k^n(\alpha) \cdot K_{(\alpha , n)}^k }_{= C_{i}^k(\beta) \cdot C_{k-i}^k(\beta)} \cdot \left\| p_i \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \cdot \left\| q_{k-i} \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{k} C_{i}^{n+1}(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \cdot C_{k-i}^{n+1}(\alpha) \cdot \left\| q_{n-k} \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \\ & = & \|\! | p |\! \|_{(\alpha , n+1)} \cdot \|\! | q |\! \|_{(\alpha , n+1)} \end{array} </math> === Topologisierung der Algebraerweiterung === Die [[Algebraerweiterung]] wird mit induzierten Quasihalbnormen auf Quotientenraum über die oben definierten Stetigkeitsequenzen topologisiert, die wie folgt definiert ist: :<math>\| q_{_I} \|_n^{(\alpha,B)} := \|q + I \|_n^{(\alpha,B)} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | q + r | \! \|_n^{(\alpha)} </math> Dabei bezeichnen man die Äquivalenzklassen von Polynomen in Kurzform mit <math>q_I \in B </math>, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind: :<math> q_{_I} := q + I := \{ q + r \, : \, r \in I \} </math> Man muss hier keine Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen unterscheiden, da die Addition im Vektorraum und die Multiplikation in <math>\mathcal{PC}^k</math>-Algebren auch eine kommuntative Cauchy-Multiplikation auf der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] induzieren. === Stetigkeit Algebrahomomorphismus === Sei <math>x \in A</math> beliebig gewählt, dann gilt für eine beliebige [[Quasihalbnorm]] <math>\| \cdot \|_n^{(\alpha , B)}</math> auf dem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math> die folgende Abschätzung :<math> \begin{array}{rcl} \| \tau(x) \|_n^{(\alpha , B)} & = & \| x_I \|_n^{(\alpha , B)} = \| x + I \|_n^{(\alpha , B)} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_n^{(\alpha)} \\ & \leq & \| \! | x + 0_{A[t]} | \! \|_n^{(\alpha)} = C_0^n{(\alpha)} \cdot \| x \|_n^{(\alpha)} \end{array} </math> Damit ist <math>\tau</math> stetig (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). === Struktur der Polynome aus dem Ideal === Betrachten nun das Bild <math>\tau(A)\subset B</math> von <math>\tau</math> in <math>B</math>. Sei nun <math>A' = \tau(A) = \{x_I \, : \, x_I = x + I = \tau(x)\} </math> gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges <math>q \in A[t]</math> mit <math>r=o\cdot q\in I</math> mit <math>o(t)=z\cdot t - e_A</math>. Dabei gilt: :<math> \begin{array}{rcl} r(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} r_k \cdot t^k = o(t) \cdot q(t) \\ & = & -q_0 + \sum_{k=1}^{\infty} (z\cdot q_{k-1} - q_k) \cdot t^k \end{array} </math> === Injektivität des Algebrahomomorphismus 1 === Um eine Umkehrabbildung von <math>\tau^{-1} : A' \to A </math> definieren zu können, muss man zeigen, dass <math>\tau : A \to A' \subset B </math> injektiv ist, bzw. <math>Kern (\tau) = \{0_A\}</math>. Wir zeigen nun die Kontraposition von der Implikation für die Injektivität :<math> x\in Kern (\tau) \Longrightarrow x = 0_A </math> und zeigen :<math> x \not= 0_A \Longrightarrow x\notin Kern (\tau) \mbox{ bzw. } \tau(x) \not= 0_B </math> === Injektivität des Algebrahomomorphismus 2 === Sei <math> x \not= 0_A </math> und mit der Hausdorff-Eigenschaft von <math> (A , \|\cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> erhält man ein <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> mit <math>\varepsilon := \|x\|_\alpha > 0</math> und verwendet ferner folgende Abschätzungen für Quasinormen und das <math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium: * <math> \| x- y \|_{\alpha} \geq \frac{1}{K_\alpha} \cdot \| x \|_\alpha - \| y \|_{\alpha}</math> * <math> \| x \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \leq \| z \cdot x \|^{(\alpha)}_{(n,k+1)} </math> === Injektivität des Algebrahomomorphismus 3 === :<math> \begin{array}{l} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha , 0)} \geq \| \! | x + r | \! \|_0^{(\alpha , z)} = \\ = D_0^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , 0)}^k \cdot + D_k^0(\alpha) \cdot \|z\cdot q_{k-1} - q_k \|^{(\alpha)}_{(0,k)} \\ \\ \geq D_0^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , 0)}^{k-1} \left( \|z\cdot q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(0,k)} - K_{(\alpha , 0)}^{k} \| q_k \|^{(\alpha)}_{(0,k)} \right) \\ \\ \geq D_0^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , 0)}^{k-1} \cdot \|q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(0,k-1)} - K_{(\alpha , 0)}^k \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{(0,k)} \\ \\ \geq \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \| q_{0}\|^{(\alpha)}_{(0,k)} \geq \frac{1}{K_{(\alpha , 0)}} \| x \|^{(\alpha)}_0 \geq \frac{\varepsilon}{K_{(\alpha , 0)}} > 0 \end{array} </math> === Injektivität Algebrahomomorphismus 4 === Über Infimumbildung über alle <math> r \in I </math> bleibt die Ungleichung erhalten und es gilt: :<math>\| x_{_I} \|_0^{(\alpha,B)} := \|x + I \|_0^{(\alpha,B)} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_0^{(\alpha)} \geq \frac{1}{K_{(\alpha , 0)}} \| x \|_\alpha > 0</math> Damit gilt auch <math> x_{_I} \not= 0_B = 0_A + I </math> für <math> x \not= 0_A</math>. Damit ist der Algebrahomomophismus injektiv. === Existenz der Umkehrabbildung === Mit der Injektivität von <math> \tau : A \to A' \subset B </math> existiert die Umkehrabbildung von <math> \tau^{-1} : A' \to A </math> und man kann die Stetigkeit der Umkehrabbildung mit der Stetigkeitssequenzen analog zur Injektivität für beliebige <math> n \in \mathbb{N}_0</math> und <math> \alpha \in \mathcal{A}</math>- === Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung === :<math> \begin{array}{l} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha , n)} \geq \| \! | x + r | \! \|_n^{(\alpha , z)} = \\ = D_0^n(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , n)}^k \cdot + D_k^n(\alpha) \cdot \|z\cdot q_{k-1} - q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \\ \\ \geq D_n^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , n)}^{k-1} \|z\cdot q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(n,k)} - K_{(\alpha , n)}^{k} \| q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \\ \\ \geq D_n^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , n)}^{k-1} \cdot \|q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(n,k-1)} - K_{(\alpha , n)}^k \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \\ \\ \geq \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \| q_{0}\|^{(\alpha)}_{(n,k)} \geq \frac{1}{K_{(\alpha , n)}} \| x \|^{(\alpha)}_n \end{array} </math> === Teleskopierende Summen === Bei [[w:de:Teleskopsumme|teleskopierenden Summen]] werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme :<math> K_{(\alpha , n)}^{k-1} \cdot \|q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(n,k-1)} - K_{(\alpha , n)}^k \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} </math> eine [[w:de:Teleskopsumme|Telekopsumme]]. === Infimumbildung === Durch Infimumbildung über alle Polynome <math>r\in I</math> bleibt die obige Ungleichung erhalten und man erhält die Stetigkeit von <math>\tau^{-1}: A' \to A</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \| x + I \|_{(\alpha ,n )} & = & \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha ,n )} \geq \frac{1}{K_{(\alpha,n)} } \cdot \| x \|^{(\alpha)}_n \\ & \geq & \frac{1}{K_{(\alpha,n)} } \cdot \| \tau^{-1}(x+I) \|^{(\alpha)}_n \end{array} </math> Die Stetigkeit <math> \| \tau^{-1}(x+I) \|^{(\alpha)}_n \leq \underbrace{ K_{(\alpha,n)} }_{:= C_1 > 0} \cdot \| x + I \|_{(\alpha ,n )} </math> erhält man mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]. === Umgekehrte Abschätzung === Für die Stetigkeit der Abbildung <math>\tau</math> gibt es für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> und alle <math> n \in \mathbb{N}_0</math> setzt das Nullpolynom <math>0_{A[t]} \in I </math> ein: :<math> \| x + I \|_{(\alpha ,n )} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha ,n )} \leq \| \! | x + 0_{A[t]} | \! \|_{(\alpha ,n )} = \underbrace{ C_0^n(\alpha) }_{=C_2 > 0} \cdot \| x \|_n^{(\alpha)} </math> Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von <math>A</math> in <math>A' \subset B:= A[t]/I </math> eine Hömöomorphismus mit <math> \tau^{-1}(x + I) = x </math> bzw. <math> \tau(x) = x + I </math>. === Aufgabe - Algebraisomorphismus und Äquivalenz von p-Halbnormensystemen === In den obigen beiden Abschätzungen wird die [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeit von lineare Abbildung]] bzw. von [[Algebrahomomorphismus|Algebrahomomorphismen]] verwendet, um die Stetigkeit von <math> \tau </math> und <math> \tau^{-1} </math> über [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Quasihalbnormensysteme <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A} } </math> auf <math>A</math> und <math> \| \! | \cdot | \! \|_{ \mathcal{A} \times \mathbb{N}_0 } </math> auf <math>A[t]</math> und definieren eine weiteres Halbnormensystem <math> \| \! | \cdot | \! \|_{ \mathcal{A} \times \mathbb{N}_0 }^{(\tau_3)} </math> auf <math>A</math> mit :<math>\| \! | \cdot | \! \|_{ (\alpha , n) }^{(\tau_3)} := \| \! | \cdot | \! \|_{ (\alpha , n ) } \circ \tau_3 \mbox{ bzw. } \| \! | x | \! \|_{ (\alpha , n ) }^{(\tau_3)} := \| \! | \tau_3(x) | \! \|_{ (\alpha , n ) } </math> Dabei wird <math>\tau_3 (x) = p \in A[t] </math> mit <math>p(t)= x \cdot t^0 </math>. Zeigen Sie, dass <math>p</math>-Halbnormensysteme <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und <math> \| \! | \cdot | \! \|_{ \mathcal{A} \times \mathbb{N}_0 }^{(\tau_3)} </math> auf <math> A </math> [[Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)|äquivalente Quasihalbnormensysteme]] sind (siehe [[Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Topologisch kleine Potenzen]] * [[Topologisch große Potenzen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] * [[p-Halbnorm]] * [[Korrespondenzsatz p-Halbnormen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Verknüpfung/Neutrales_Element/Definition|Neutrales Element]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Vollständigkeit]] * [[w:de:Topologischer_Vektorraum#Topologische_Eigenschaften|Vervollständigung topologischer Vektorräume]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] g2owl96s2dukyi3tfa840g9pbohos0w 745668 745667 2022-07-22T11:53:58Z Bert Niehaus 20843 /* Charakterisierung der PC-Regularität */ wikitext text/x-wiki == Einführung == Wenn wir die <math>\mathcal{PC}</math>-Regularität eines Elementes <math>z\in A</math> für eine [[pseudokonvex|pseudokonvexe]] topologische Algebra <math>(A,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> sprechen, suchen wir nach einer [[pseudokonvex|pseudokonvexen]] Algebraerweiterungen <math>(B,\|\cdot \|_{\mathcal{B}})</math> von <math>(A,\|\cdot \|_{\mathcal{A}})</math> in der <math>z\in A</math> invertierbar ist. Dabei besteht * <math>\|\cdot \|_{\mathcal{A}} := \{ \|\cdot \|_\alpha \, : \, \alpha \in \mathcal{A} \}</math> und * <math>\|\cdot \|_{\widetilde{\mathcal{A}}} := \{ \|\cdot \|_{\widetilde{\alpha}} \, : \, \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} \}</math> Systeme von [[p-Halbnorm|<math>p</math>-Halbnormen]] mit <math>p \in (0,1]</math> sind, die die Topologie auf <math>A</math> bzw. <math>B</math> erzeugen. == Zielsetzung == Zielsetzung einer [[Pseudokonvex|pseudokonvexe Algebraerweiterung]] <math>(B,\|\cdot\|_{\mathcal{B}})</math> zu einer gegebenen topologischen Algebra <math>(A,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> mit <math>z\in A</math> ist es, die gegebene [[Pseudokonvex|pseudokonvexe Algebraerweiterung]] so zu vergrößern, dass diese ein inverses Element <math>z^{-1}:= b \in B</math> in der [[Pseudokonvex|pseudokonvexen Algebraerweiterung]] <math>B</math> besitzt. Als topologieerzeugende <math>p</math>-[[Gaugefunktional|Gaugefunktionale]] werden hier [[p-Halbnorm|<math>p</math>-Halbnormen]] <math>\|\cdot\|_{\mathcal{A}}</math> und <math>\|\cdot\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> verwendet. Dieses Ziel ist eine kleine Erweiterung einer äquivalenten Charakterisierung von [[w:de:Wiesław_Żelazko|Zelazko]] (1984)<ref>[[w:de:Wiesław_Żelazko|Zelazko Wieslaw]], (1984), Concerning characterization of permanently sin- gular elements in commutative locally convex algebras, Mathematical Structures – Computational Mathematics – Mathematical Modelling 2, Sofia, S. 326-333;</ref> für lokalkonvexe Räume<ref>Andreas Rohling, Niehaus Engelbert (1995) Verallgemeinerung des Satzes von Gleason-Kahane-Zelazko, K-reguläre Elemente, Schriftenreihe des Mathematischen Instituts der Universität Münster, Serie 3., Herausgeber: [[w:de:George Maltese|George Maltese]], Heft 16, S. 79-81 </ref>. == Topologisch kleine Potenzen und PC-Singularität == Für kommutative pseudokonvexe Algebren <math>(A,\|\cdot\|_{ \mathcal{A} })</math> mit unital positivem <math>p</math>-Halbnormensystem <math>\|\cdot\|_{ \mathcal{A} }</math> erhält man folgende Charakterisierung: :<math>z\in \mathcal{TKP}(A)</math> ([[Topologisch kleine Potenzen|topologisch kleine Potenzen]]) <math>\Longrightarrow</math> <math>z\in A</math> <math>\mathcal{PC_e^k}</math>-singulär == Charakterisierung der PC-Regularität == Für kommutative pseudokonvexe Algebren <math>(A,\|\cdot\|_{ \mathcal{A} })</math> mit unital positivem <math>p</math>-Halbnormensystem <math>\|\cdot\|_{ \mathcal{A} }</math> erhält man folgende Charakterisierung: :<math>z\in A</math> erfüllt das [[PC-Regularitätskriterium]] <math>\Longleftrightarrow</math> <math>z\in A</math> <math>\mathcal{PC_e^k}</math>-regulär === PC-Regularitätskriterium === Ein Element <math>z\in A</math> besitzt genau <math>\mathcal{PC}^k_e</math>-regulär in <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{PC}}^k_e</math>, wenn es für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> ein <math display="inline">\beta \in {\mathcal{A}} </math> und eine isotone Folge von Quasihalbnormen <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> mit der Stetigkeitskonstante der Addition <math>K_\alpha \geq 1</math> und positive Konstanten <math display="inline">D_{(\alpha ,k)}</math> gibt, für die gilt: * (PC1) <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq D_{(\alpha ,k)} \cdot \left\| x \right\| _{\beta}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * (PC2) <math display="inline">\left\| x \right\| _{(\alpha,k)}\leq \left\| z\cdot x \right\| _{(\alpha,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. == Veranschaulichung == Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> ist hier eine lokalkonvexe Algebra, die ein inverses Element <math>b=z^{-1}\in B</math> zu einem gegebenen <math>z\in A</math> enthält. [[Datei:Algebra extension3.png|400px|Algebraerweiterung]] == Pseudokonvexe Algebraerweiterung == Sei <math display="inline">\mathcal{PC}_e</math> die Klasse der [[pseudokonvex|pseudokonvex]] unitalen Algebren und <math display="inline">A \in \mathcal{PC}_e</math>. Die [[Algebraerweiterung]] <math display="inline">B\in \mathcal{PC}_e</math> bzw. <math display="inline">\mathcal{PC}</math>-Erweiterung von <math display="inline">A</math> benötigt nach [[Algebraerweiterung|Definition]] es einen Algebraisomorphismus <math display="inline">\tau : A \longrightarrow A' \subset B</math> mit: * <math display="inline">\tau(e_{_{A}})=e_{_{B}}</math>, wobei <math display="inline">e_{_{A}}</math> ist das Einselement von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">e_{_{B}} \in A'</math> das Einselement von <math display="inline">B</math> ist. * <math display="inline">A</math> ist homöomorph zu <math display="inline">A'</math>; d.h. <math display="inline">\tau</math> und <math display="inline">\tau^{-1}: A' \longrightarrow A</math> sind stetig. === Veranschaulichung - Algebraisomorphismus === [[Datei:Algebra extension embed.png|450px|Algebraerweiterung - Einbettung ]] === Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung === * Im allgemeinen identifiziert man <math display="inline">A</math> mit <math display="inline">A'</math> und schreibt <math display="inline">A\subset B</math>. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus <math>x \in A</math> mit Elementen <math>\tau(x) = x + I \in B</math> in einem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math> identifiziert werden. * Sei <math display="inline">\mathfrak{U}_{A'} (0)</math> eine Nullumgebungsbasis der [[w:de:Teilraumtopologie|Relativtopologie]] von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A'</math> und <math display="inline">\mathfrak{U}_{A}(0)</math> eine Nullumgebungsbasis von <math display="inline">A</math>, dann kann man die Homöomorphie zwischen <math display="inline">A</math> und <math display="inline">A'</math> wie immer über die Topologie ausdrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}_A (0)} \exists_{\displaystyle U\in \mathfrak{U}_{A'}(0)} &:& U \subset V \, \, \, (\tau(U) \subset V) \\ \forall_{\displaystyle U \in \mathfrak{U}_{A'} (0)} \exists_{\displaystyle V \in \mathfrak{U}_{A}(0)} &:& V \subset U \, \, \, (\tau^{-1}(V) \subset U). \end{array} </math> === Stetigkeit über p-Halbnormen === Betrachtet man die [[p-Halbnorm|''p''-Halbnormen]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}} </math> für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]): :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\alpha \in \mathcal{A} } \exists_{ \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} , C_1 > 0} \forall_{x \in A } &:& \left\| x \right\|_{\alpha} \leq C_1 \cdot \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _{\alpha} \leq C_1 \cdot \left\| \cdot \right\| _\widetilde{\alpha} \circ \tau \\ \forall_{\widetilde{\alpha} \in \mathcal{A} } \exists_{\alpha \in \mathcal{A}, C_2 > 0 } \forall_{ x \in A } &:& \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \leq C_2 \cdot \left\| x\right\|_\alpha \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _\widetilde{\alpha} \circ \tau \leq C_2 \cdot \left\| \cdot \right\| _\alpha . \end{array} </math> === Wesentliche Schritte bei der Konstruktion der Algebraerweiterung === Wir betrachten zunächst multiplikative kommuntative Algebren <math>(A,\|\cdot\|_A)</math>. * Ausgehend von <math>(A,\|\cdot\|_A)</math> wird die Polynomalgebra <math>(A[t],\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]})</math> mit einer [[p-Halbnorm]] <math>\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]}</math> topologisiert. * [[p-Halbnorm]] <math>\| \! | \cdot | \! \|_{A[t]}</math> macht <math>A[t]</math> zu einer topologischen Algebra, wobei die Stetigkeit der algebraischen Operationen (insbesondere die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation) nachzuweisen ist. * Übergang zu dem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math>, wobei das Polynom <math> o(t) := z \cdot t - e_A </math> das Hauptideal <math>I:= o \cdot A[t]</math> definiert und <math>o \in A[t]</math> ein Repräsentant des Nullvektors <math>0_B:= I = o+I </math> in <math>B</math> ist. * Die Konstruktion des Ideals <math>I</math> liefert die algebraische Invertierbarkeit, denn mit <math>b(t):= e_A \cdot t</math> ist <math>b_I := b+I \in B=A[t]/I</math> das inverse Element zu <math>z\in A</math> mit <math>z_I := \tau(z) = z + I \in B</math> mit <math>z_I \cdot b_I - e_B = 0_B </math> bzw. <math>z_I \cdot b_I = e_B </math>. Die Kommutativität liefert dann, dass auch <math> b_I \cdot z_I = e_B </math> gilt. == Algebraerweiterung == Der [[Algebraerweiterung|Algebrahomomorphismus]] <math>\tau : A \to B</math> bildet nun jedes Element <math>x \in A</math> auf die Nebenklasse <math> x + I \in B := A[t]/I </math> ab. Dabei seien <math>A, B \in \mathcal{PC}_e^k(\mathbb{K})</math> kommutative unitale <math>\mathcal{PC}</math>-Algebren über dem Körper <math>\mathbb{K}</math>. === Abgeschlossenes Hauptideal in der Polynomalgebra === Für das gegebene <math>z \in A</math> in der kommutativen [[pseudokonvex|pseudokonvexen]] [[Topologische Algebra|topologische Algebren]] <math>(A,\|\cdot \|_A)</math> definiert man ein Polynom <math> o \in A[t]</math> mit <math>o(t):= z\cdot t - e_A</math>, wobei <math>e_A</math> das Einselement der Multiplikation in <math>A</math> ist. Als [[Ideal (Algebra)|Ideal]] definiert man <math>I := \overline{o \cdot A[t]} </math> als abgeschlossenes Hauptideal in <math>A[t]</math>. Als Untervektorraum <math>I</math> wäre der Quotientenraum auch ein Vektorraum. Die zusätzliche Eigenschaft des [[Ideal (Algebra)|Ideals]] sorgt dafür, dass auch die Multiplikation auf dem Quotientenraum wohldefiniert ist. == Topologisierung der Polynomalgebra == Mit dem [[Korrespondenzsatz p-Halbnormen|Korrespondenzsatz für p-Halbnormen und Quasihalbnormen]] wird die Topologie auf <math>A[t]</math> über Stetigkeitssequenzen und [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] mit <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> erzeugt. Im Folgenden sind alle Gaugefunktionale homogen. === Topologische große Potenzen === Aus der [[Negation - Topologisch kleine Potenzen|Negation der Definition von topologisch kleinen Potenzen]] erhält man für <math display="inline">z\in {\mathcal{TGP}} (A) = A\setminus {\mathcal{TKP}} (A)</math>, dass es für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A}</math> und Konstanten <math>D_k(\alpha) > 0 </math> gibt, sodass für alle <math>x \in A</math> gilt: :<math> \left\| x \right\| _{\alpha} \leq D_k( \alpha ) \cdot \left\| z^k \cdot x \right\|_{\beta} </math> (siehe [[topologisch große Potenzen]]) === Notation der Konstanten === Im Folgenden werden die Konstanten <math display="inline">D_{k}^{n}(\alpha) > 0 </math> wie folgt bzgl. der Stetigkeitssequenzen auf der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] <math>A[t]</math> indiziert. * <math>n \in \mathbb{N}_0 </math> ist der Index der Quasihalbnorm bzw. des <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktionals auf <math>A[t]</math>, * <math>k \in \mathbb{N}_0 </math> ist der Koeffizientenindex der Polynome und bzgl. des <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktionals auf <math>A[t]</math> der Index des Gaugefunktionals, das auf den <math>k</math>-ten Koeffizienten <math>q_k \in A </math> des Polynoms <math>q \in A[t]</math> angewendet wird. === PC-Regularitätskriterium für n=0 === Mit dem [[PC-Regularitätskriterium]] erhält man: Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right) \in {\mathcal{K}}^k_e</math>, <math display="inline">z\in A</math>, dann ist <math> z \in A</math> genau dann, wenn es für alle <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}} </math> ein <math display="inline">\beta \in {\mathcal{A}} </math> und eine Folge von Quasihalbnormen <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\| _{(\alpha,k)}\right)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> mit der Stetigkeitskonstante der Addition <math>K_\alpha \geq 1</math>, positiven Konstanten <math display="inline">D_{k}^{0}(\alpha)</math> gibt, für die gilt: * <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{(0,k)} \leq D_k^{0}(\alpha)\cdot \left\| x \right\|_{\beta}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * <math display="inline">\left\| x \right\|^{(\alpha)}_{(0,k)} \leq \left\| zx \right\|^{(\alpha)}_{(0,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. === Quasihalbnormen - Korrespondenzsatz === Das erzeugende System von Gaugefunktionalen <math display="inline"> \left( \left\| \cdot \right\| _{\alpha}\right)_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> sind [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] und damit homogen und subadditiv mit Stetigkeitskonstante <math>K_\alpha \geq 1 </math> und <math>D^{0}_k(\alpha) \geq 1 </math>: * <math display="inline">\left\| x \right\| _\alpha \leq \left\| x \right\| _{(0,k)}^{(\alpha)} \leq D^{0}_k(\alpha)\cdot \left\| x \right\| _{\beta}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * <math display="inline">\left\| x \right\|^{(\alpha)}_{(0,k)} \leq \left\| zx \right\|^{(\alpha)}_{(0,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. * <math> \left\| x + y \right\|_{(0,k)}^{(\alpha)} \leq K_{(\alpha , 0)} \cdot \left( \left\| x \right\|_{(0,k)}^{(\alpha)} + \left\| y \right\|_{(0,k)}^{(\alpha)} \right) </math> bzw. * <math>\left\| x + y \right\| _{\beta} \leq K_\beta \cdot \left( \left\| x \right\| _{\beta} + \left\| y \right\| _{\beta} \right) </math> mit <math> K_{(\alpha , 0)}, K_\beta \geq 1 </math>. === Anfang der Stetigkeitssequenz === Man definiert auf der Algebra induktiv eine Stetigkeitssequenz auf <math> A </math> und auf <math> A[t] </math> und man parallel zu <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha,0)} </math> auch <math> \| \cdot \|^{(\alpha)}_{0} := \| \cdot \|_{\beta}</math>. Die erste Folge von [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> mit einer Stetigkeitskonstanten <math> K_{\alpha } \geq 1 </math> wird direkt über das <math>\mathcal{PC}</math>-Kriterium definiert mit <math> C_k (\alpha ) = \max \{ 1, D_k(\alpha ), C_{k-1}(\alpha )\} </math> für <math>k > 0</math> und <math>C^{0}_0(\alpha ) := \max \{1, D_0(\alpha) \} </math> (siehe auch [[PC-Regularitätskriterium]]). :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha , 0)} & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C^{0}_k(\alpha ) \| p_k \|_{\beta} = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{C^{0}_k(\alpha )}_{ \geq D_k (\alpha ) } \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} \\ & \geq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} D_k (\alpha ) \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} \\ & \geq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \| p_k \|_{(0,k)}^{(\alpha)} = \| \! | p | \! \|_{(\alpha , 0)}^{(z)} \\ \end{array} </math> === Erste Quasihalbnorm der PC-Stetigkeitssequenz === Gleichzeitig zu der Folge von [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> wird auch eine Sequenz von [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] definiert, die man über das [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] erhält. Da die Folge in Abhängigkeit von einem konkreten <math>z \in \mathcal{G}_{\mathcal{PC}}(A)</math> und einem beliebigen <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> abhängig sind, definiert man diese Gaugefunktionale :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha, 0)}^{(z)} & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \| p_k \|_{k}^{(\alpha)} \,\,\, \mbox{ mit} \\ p(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} \cdot t^k \end{array} </math> === Abschätzung für erste PC-Quasihalbnorm === Für die <math>\mathcal{PC}</math>-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> gilt folgende Abschätzung für <math>n=0</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n)}^{(z)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{ \| p_k \|_{(0, k)}^{(\alpha)} }_{ \leq D_k^0(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} } \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^0(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{0}^{(\alpha)} = \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n)} \\ \end{array} </math> Für <math>n=0</math> wurden daher für alle <math>k \in \mathbb{N}_0</math> die Koeffizienten <math>C_k^0(\alpha ) \geq D_k^0(\alpha )</math> definieren. === Bedeutung der Abschätzung === Diese Abschätzung ist wesentlich, um * einerseits die Stetigkeit des Algebraisomorphismus <math>\tau : A \to A' \subset B</math> bzw. <math>\tau^{-1} : A' \to A</math> nachzuweisen (siehe auch [[TGP-Regularitätskriterium|Elemente mit topologisch großen Potenzen]]) und * andererseits dürfen die Gaugefunktionale <math> \| \! | \cdot | \! \|_{n}^{(\alpha , z)} </math> auch keine feinere Topologie erzeugen, als das Quasihalbnormensystem der Quasihalbnormen <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha , n)} </math> mit <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> und <math>n\in \mathbb{N}_0</math>. === Induktive Definition des Stetigkeitssequenzen === Seien nun die Quasihalbnormen <math>\|\cdot \|_n^{(\alpha)}</math>, <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha,n)} </math> und das <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktional <math> \| \! | \cdot | \! \|_n^{(\alpha,z)} </math> bereits gegeben, dann definiert man die nächsten Quasihalbnormen und das <math>\mathcal{TGP}</math>-Gaugefunktional über folgende beiden Lemmata: * [[TGP-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{TGP}</math>-Regularitätskriterium]] und * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] === Anwendung des PC-Regularitätskriteriums === Zu der gegebenen Quasihalbnormen <math>\|\cdot \|_n^{(\alpha)}</math> kann man mit [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] ein <math> \gamma \in \mathcal{A}</math>, eine Folge von Gaugefunktionalen <math display="inline">\left(\left\| \cdot \right\|^{(\alpha)}_{(n,k)}\right)_{k\in\mathbb{N}_0}</math> mit positiven Konstanten <math display="inline">D_{k}^{n+1}(\alpha)</math> finden, für die gilt: * <math display="inline">\left\| x \right\|_n^{(\alpha)} \leq \left\| x \right\| ^{(\alpha)}_{(n+1,k)} \leq D_k^{n+1}(\alpha)\cdot \left\| x \right\|_{\gamma}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> und * <math display="inline">\left\| x \right\|^{(\alpha)}_{(n+1,k)} \leq \left\| zx \right\|^{(\alpha)}_{(n+1,k+1)}</math> für alle <math display="inline">x\in A</math> und <math display="inline">k\in\mathbb{N}_0</math>. === Definition eine Stetigkeitssequenz der Multiplikation === Man definiert nun schon einmal <math>\| x \|_{n+1}^{(\alpha)} := \left\| x \right\|_{\widehat{\gamma}}</math> für alle <math>x \in A</math>, wobei <math>\widehat{\gamma} \in \mathcal{A}</math> mit der Stetigkeit der Multiplikation und dem [[Topologisierungslemma für Algebren]] so gewählt wurde, dass für alle <math>x,y \in A</math> gilt: :<math> \| x\cdot y \|_\gamma \leq \| x \|_\widehat{\gamma } \cdot \| y \|_\widehat{\gamma} </math> Damit erhält man eine [[Stetigkeitssequenz]] der Multiplikation mit: :<math> \| x\cdot y \|_{n}^{(\alpha)} \leq \| x \|_{n+1}^{(\alpha)} \cdot \| y \|_{n+1}^{(\alpha)} </math> === Anwendung - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation === Nun definiert man über das [[Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] zunächst die Koeffizienten für die Quasihalbnormen der [[Stetigkeitssequenz]], damit die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|Cauchy-Multiplikation]] auf <math>A[t]</math> stetig wird. Bzgl. der topologischen Algebra <math> (A , \| \cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> ist basiserzeugendes Quasihalbnormensystem <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> gegeben aus dem die Halbnorm <math>\|\cdot\|^{(\alpha)}_{n+1}</math> mit dem [[TGP-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{TGP}</math>-Regularitätskriterium]] gewählt wurde. Als <math display="inline">K_{(\alpha , n+1)} := \max \{ K_\gamma , K_{(\alpha , n)}\} \geq 1</math> setzt man die Stetigkeitskonstante der Addition einer Quasihalbnorm <math> \|\cdot\|^{(\alpha)}_{n+1} := \| \cdot \|_{\gamma} </math>. Damit gilt u.a. <math display="inline">K_{(\alpha , n+1)} \geq K_{(\alpha , n)} </math> und :<math> \| x+y \|^{(\alpha)}_{n+1} \leq K_{(\alpha , n+1)} \cdot \left( \| x \|^{(\alpha)}_{n+1} + \| y \|^{(\alpha)}_{n+1} \right). </math> === Wahl der Folgen - Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation === In dem [[Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] werden die beiden Folgen positiver Zahlen <math display="inline">(a_k)_{k\in \mathbb{N}_0}</math> und <math display="inline">(d_k)_{k\in \mathbb{N}_0}</math> genannt. Diese werden induktiv in Abhängigkeit von <math>n \in \mathbb{N}_0</math> und <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> wie folgt gewählt: * <math display="inline">(a_k)_{k\in \mathbb{N}_0} := (C_k^n(\alpha))_{n\in \mathbb{N}_0}</math> (Koeffizienten der Quasihalbnorm <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha , n)} </math>) * <math display="inline">(d_k)_{k\in \mathbb{N}_0} := (\max \{ C_k^n(\alpha) \cdot D_k^{n+1}(\alpha),K_{(\alpha , n+1)})_{n\in \mathbb{N}_0}</math> (positive Konstanten des [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] ) === Eigenschaften der resultierende Folge aus dem Koeffizientenlemma === Das [[Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation]] liefert nun eine Folge <math display="inline">\left( C^{n+1}_k(\alpha) \right)_{k\in \mathbb{N}_0} := \left( b_k \right)_{k\in \mathbb{N}_0}</math> von positiven Zahlen, die folgende zwei Eigenschaften erfüllt: * (KL1) <math display="inline">C^{n+1}_k(\alpha) \geq C^{n}_k(\alpha) \cdot D^{n+1}_k(\alpha) </math> für alle <math display="inline">k\in \mathbb{N}_0</math> * (KL2) <math display="inline">K^{i+j}_{(\alpha , n)} \cdot C^{n}_{i+j}(\alpha)\leq C^{n+1}_{i}(\alpha)\cdot C^{n+1}_{j}(\alpha)</math> für alle <math display="inline">i,j\in \mathbb{N}_0</math>. === Induktive Definition der Quasihalbnormen === Man definiert auf der Algebra nun induktiv das nächste Element der [[Stetigkeitssequenz]] auf <math> A[t] </math> mit: :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n+1)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{C_k^{n+1}(\alpha )}_{\geq C_k^{n}(\alpha ) \cdot D_k^{n+1}(\alpha )} \cdot \| p_k \|^{(\alpha)}_{n+1} \end{array} </math> Dabei genügen die Koeffizienten der Ungleichung <math>C^{n+1}_k(\alpha ) \geq C_k^{n}(\alpha ) \cdot D_k^{n+1}(\alpha) </math> auch dem [[TGP-Regularitätskriterium]]. === Indukutive Definition der PC-Quasihalbnorm bzgl. z === Gleichzeitig zu der [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] <math>\| \! | \cdot| \! \|_{(\alpha , n+1)}</math> auf <math>A[t]</math> wird nun auch die [[Gaugefunktional|<math>\mathcal{PC}</math>-Quasihalbnorm]] definiert, die man über das [[PC-Regularitätskriterium|<math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium]] erhält. :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha ,n+1)}^{(z)} & := & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^{n}(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{(n+1,k)}^{(\alpha)} \,\,\, \mbox{ mit} \\ p(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} \cdot t^k \end{array} </math> === Abschätzung von PC-Quasihalbnorm in Stetigkeitssequenzen=== Für die <math>\mathcal{PC}</math>-Quasihalbnorm und den topologieerzeugenden [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auf <math>A[t]</math> gilt folgende Abschätzung: :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p | \! \|_{(\alpha ,n+1)}^{(z)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^{n}(\alpha ) \cdot \underbrace{ \| p_k \|_{(n+1, k)}^{(\alpha)} }_{ \leq D_k^{n+1}(\alpha ) \cdot \| p_k \|_{n+1}^{(\alpha)} } \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \underbrace{ C_k^{n}(\alpha ) \cdot D_k^{n+1}(\alpha )}_{\leq C_k^{n+1}(\alpha ) } \cdot \| p_k \|_{n+1}^{(\alpha)} \leq \| \! | p | \! \|_{(\alpha , n+1)} \\ \end{array} </math> Für <math>n=0</math> kann man für alle <math>k \in \mathbb{N}_0</math> die Koeffizienten <math>C_k^0(\alpha ):= D_k^0(\alpha )</math> definieren. === Subadditivität mit Stetigkeitskonstante === Das definierte Funktional <math> \| \! | \cdot | \! \|_{(\alpha,n)} </math> ist subadditiv mit Stetigkeitskonstante <math>K_{\alpha , n)} \geq 1 </math>, denn :<math> \begin{array}{rcl} \| \! | p + q | \! \|_{(\alpha,n)} & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha )\cdot \| p_k + q_k \|^{(\alpha)}_{n} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha )\cdot K_{(\alpha , n)} \cdot \left( \| p_k \|^{(\alpha)}_{n} + \| q_k \|^{(\alpha)}_{n} \right) \\ & = & \displaystyle K_{(\alpha , n)} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha ) \cdot \| p_k \|^{(\alpha)}_{n} + C_k^n(\alpha ) \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{n} \\ & = & K_{(\alpha , n)} \cdot \left( \| \! | p | \! \|_{(\alpha,n)} + \| \! q | \! \|_{(\alpha,n)} \right) \\ \end{array} </math> === Stetigkeit der Cauchy-Multiplkation 1 === Die Stetigkeit der Cauchy-Multiplikation in der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] kann man mit der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit des Cauchy-Produktes]] angewendet auf die [[Stetigkeitssequenz]] nachweisen. :<math> \begin{array}{rcl} q(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} q_{k} \cdot t^k & \mbox{ bzw. } & p(t) = \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} p_{k} \cdot t^k \end{array} </math> === Stetigkeit der Multiplikation - Polynomalgebra === Mit der Stetigkeit der Multiplikation auf <math>A</math> und der Anwendung des [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Koeffizientenlemma der Cauchy-Multiplikation|Koeffizientenlemmas der Cauchy-Multiplikation]] erhält man die Stetigkeit der Multiplikation auf <math>A[t]</math>: :<math> \begin{array}{rcl} \|\! | p \cdot q |\! \|_{(\alpha , n)} & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha) \cdot \left\| \sum_{i=0}^{k} p_i \cdot q_{k-i} \right\|_n^{(\alpha)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} C_k^n(\alpha) \cdot K_{(\alpha ,n)}^k \cdot \sum_{i=0}^{k} \left\| p_i \cdot q_{k-i} \right\|_n^{(\alpha)} \\ & \leq & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{k} \underbrace{C_k^n(\alpha) \cdot K_{(\alpha , n)}^k }_{= C_{i}^k(\beta) \cdot C_{k-i}^k(\beta)} \cdot \left\| p_i \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \cdot \left\| q_{k-i} \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \\ & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{k} C_{i}^{n+1}(\alpha) \cdot \left\| p_k \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \cdot C_{k-i}^{n+1}(\alpha) \cdot \left\| q_{n-k} \right\|_{n+1}^{(\alpha)} \\ & = & \|\! | p |\! \|_{(\alpha , n+1)} \cdot \|\! | q |\! \|_{(\alpha , n+1)} \end{array} </math> === Topologisierung der Algebraerweiterung === Die [[Algebraerweiterung]] wird mit induzierten Quasihalbnormen auf Quotientenraum über die oben definierten Stetigkeitsequenzen topologisiert, die wie folgt definiert ist: :<math>\| q_{_I} \|_n^{(\alpha,B)} := \|q + I \|_n^{(\alpha,B)} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | q + r | \! \|_n^{(\alpha)} </math> Dabei bezeichnen man die Äquivalenzklassen von Polynomen in Kurzform mit <math>q_I \in B </math>, wobei diese Mengen wie folgt definiert sind: :<math> q_{_I} := q + I := \{ q + r \, : \, r \in I \} </math> Man muss hier keine Linksnebenklassen und Rechtsnebenklassen unterscheiden, da die Addition im Vektorraum und die Multiplikation in <math>\mathcal{PC}^k</math>-Algebren auch eine kommuntative Cauchy-Multiplikation auf der [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] induzieren. === Stetigkeit Algebrahomomorphismus === Sei <math>x \in A</math> beliebig gewählt, dann gilt für eine beliebige [[Quasihalbnorm]] <math>\| \cdot \|_n^{(\alpha , B)}</math> auf dem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math> die folgende Abschätzung :<math> \begin{array}{rcl} \| \tau(x) \|_n^{(\alpha , B)} & = & \| x_I \|_n^{(\alpha , B)} = \| x + I \|_n^{(\alpha , B)} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_n^{(\alpha)} \\ & \leq & \| \! | x + 0_{A[t]} | \! \|_n^{(\alpha)} = C_0^n{(\alpha)} \cdot \| x \|_n^{(\alpha)} \end{array} </math> Damit ist <math>\tau</math> stetig (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). === Struktur der Polynome aus dem Ideal === Betrachten nun das Bild <math>\tau(A)\subset B</math> von <math>\tau</math> in <math>B</math>. Sei nun <math>A' = \tau(A) = \{x_I \, : \, x_I = x + I = \tau(x)\} </math> gegeben und man betrachtet die Abschätzung für ein beliebiges <math>q \in A[t]</math> mit <math>r=o\cdot q\in I</math> mit <math>o(t)=z\cdot t - e_A</math>. Dabei gilt: :<math> \begin{array}{rcl} r(t) & = & \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} r_k \cdot t^k = o(t) \cdot q(t) \\ & = & -q_0 + \sum_{k=1}^{\infty} (z\cdot q_{k-1} - q_k) \cdot t^k \end{array} </math> === Injektivität des Algebrahomomorphismus 1 === Um eine Umkehrabbildung von <math>\tau^{-1} : A' \to A </math> definieren zu können, muss man zeigen, dass <math>\tau : A \to A' \subset B </math> injektiv ist, bzw. <math>Kern (\tau) = \{0_A\}</math>. Wir zeigen nun die Kontraposition von der Implikation für die Injektivität :<math> x\in Kern (\tau) \Longrightarrow x = 0_A </math> und zeigen :<math> x \not= 0_A \Longrightarrow x\notin Kern (\tau) \mbox{ bzw. } \tau(x) \not= 0_B </math> === Injektivität des Algebrahomomorphismus 2 === Sei <math> x \not= 0_A </math> und mit der Hausdorff-Eigenschaft von <math> (A , \|\cdot \|_{\mathcal{A}} ) </math> erhält man ein <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> mit <math>\varepsilon := \|x\|_\alpha > 0</math> und verwendet ferner folgende Abschätzungen für Quasinormen und das <math>\mathcal{PC}</math>-Regularitätskriterium: * <math> \| x- y \|_{\alpha} \geq \frac{1}{K_\alpha} \cdot \| x \|_\alpha - \| y \|_{\alpha}</math> * <math> \| x \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \leq \| z \cdot x \|^{(\alpha)}_{(n,k+1)} </math> === Injektivität des Algebrahomomorphismus 3 === :<math> \begin{array}{l} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha , 0)} \geq \| \! | x + r | \! \|_0^{(\alpha , z)} = \\ = D_0^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , 0)}^k \cdot + D_k^0(\alpha) \cdot \|z\cdot q_{k-1} - q_k \|^{(\alpha)}_{(0,k)} \\ \\ \geq D_0^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , 0)}^{k-1} \left( \|z\cdot q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(0,k)} - K_{(\alpha , 0)}^{k} \| q_k \|^{(\alpha)}_{(0,k)} \right) \\ \\ \geq D_0^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , 0)}^{k-1} \cdot \|q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(0,k-1)} - K_{(\alpha , 0)}^k \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{(0,k)} \\ \\ \geq \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(0,k)} + \| q_{0}\|^{(\alpha)}_{(0,k)} \geq \frac{1}{K_{(\alpha , 0)}} \| x \|^{(\alpha)}_0 \geq \frac{\varepsilon}{K_{(\alpha , 0)}} > 0 \end{array} </math> === Injektivität Algebrahomomorphismus 4 === Über Infimumbildung über alle <math> r \in I </math> bleibt die Ungleichung erhalten und es gilt: :<math>\| x_{_I} \|_0^{(\alpha,B)} := \|x + I \|_0^{(\alpha,B)} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_0^{(\alpha)} \geq \frac{1}{K_{(\alpha , 0)}} \| x \|_\alpha > 0</math> Damit gilt auch <math> x_{_I} \not= 0_B = 0_A + I </math> für <math> x \not= 0_A</math>. Damit ist der Algebrahomomophismus injektiv. === Existenz der Umkehrabbildung === Mit der Injektivität von <math> \tau : A \to A' \subset B </math> existiert die Umkehrabbildung von <math> \tau^{-1} : A' \to A </math> und man kann die Stetigkeit der Umkehrabbildung mit der Stetigkeitssequenzen analog zur Injektivität für beliebige <math> n \in \mathbb{N}_0</math> und <math> \alpha \in \mathcal{A}</math>- === Stetigkeit der Umkehrabbildung der Einbettung === :<math> \begin{array}{l} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha , n)} \geq \| \! | x + r | \! \|_n^{(\alpha , z)} = \\ = D_0^n(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , n)}^k \cdot + D_k^n(\alpha) \cdot \|z\cdot q_{k-1} - q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \\ \\ \geq D_n^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , n)}^{k-1} \|z\cdot q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(n,k)} - K_{(\alpha , n)}^{k} \| q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \\ \\ \geq D_n^0(\alpha) \cdot \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \sum_{k=1}^{\infty} K_{(\alpha , n)}^{k-1} \cdot \|q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(n,k-1)} - K_{(\alpha , n)}^k \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} \\ \\ \geq \| x - q_0 \|^{(\alpha)}_{(n,k)} + \| q_{0}\|^{(\alpha)}_{(n,k)} \geq \frac{1}{K_{(\alpha , n)}} \| x \|^{(\alpha)}_n \end{array} </math> === Teleskopierende Summen === Bei [[w:de:Teleskopsumme|teleskopierenden Summen]] werden Summen betrachtet, wobei die Summanden selbst Differenzen sind. Aufeinanderfolgende Teilterme heben sich dabei auf. In der obigen Abschätzung bilden die Terme :<math> K_{(\alpha , n)}^{k-1} \cdot \|q_{k-1}\|^{(\alpha)}_{(n,k-1)} - K_{(\alpha , n)}^k \cdot \| q_k \|^{(\alpha)}_{(n,k)} </math> eine [[w:de:Teleskopsumme|Telekopsumme]]. === Infimumbildung === Durch Infimumbildung über alle Polynome <math>r\in I</math> bleibt die obige Ungleichung erhalten und man erhält die Stetigkeit von <math>\tau^{-1}: A' \to A</math>. :<math> \begin{array}{rcl} \| x + I \|_{(\alpha ,n )} & = & \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha ,n )} \geq \frac{1}{K_{(\alpha,n)} } \cdot \| x \|^{(\alpha)}_n \\ & \geq & \frac{1}{K_{(\alpha,n)} } \cdot \| \tau^{-1}(x+I) \|^{(\alpha)}_n \end{array} </math> Die Stetigkeit <math> \| \tau^{-1}(x+I) \|^{(\alpha)}_n \leq \underbrace{ K_{(\alpha,n)} }_{:= C_1 > 0} \cdot \| x + I \|_{(\alpha ,n )} </math> erhält man mit dem [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]. === Umgekehrte Abschätzung === Für die Stetigkeit der Abbildung <math>\tau</math> gibt es für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> und alle <math> n \in \mathbb{N}_0</math> setzt das Nullpolynom <math>0_{A[t]} \in I </math> ein: :<math> \| x + I \|_{(\alpha ,n )} := \displaystyle \inf_{r \in I} \| \! | x + r | \! \|_{(\alpha ,n )} \leq \| \! | x + 0_{A[t]} | \! \|_{(\alpha ,n )} = \underbrace{ C_0^n(\alpha) }_{=C_2 > 0} \cdot \| x \|_n^{(\alpha)} </math> Insgesamt ist der Algebraisomorphismus der Einbettung von <math>A</math> in <math>A' \subset B:= A[t]/I </math> eine Hömöomorphismus mit <math> \tau^{-1}(x + I) = x </math> bzw. <math> \tau(x) = x + I </math>. === Aufgabe - Algebraisomorphismus und Äquivalenz von p-Halbnormensystemen === In den obigen beiden Abschätzungen wird die [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen|Stetigkeit von lineare Abbildung]] bzw. von [[Algebrahomomorphismus|Algebrahomomorphismen]] verwendet, um die Stetigkeit von <math> \tau </math> und <math> \tau^{-1} </math> über [[Quasihalbnorm|Quasihalbnormen]] auszudrücken. Wir betrachten nun zwei Quasihalbnormensysteme <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A} } </math> auf <math>A</math> und <math> \| \! | \cdot | \! \|_{ \mathcal{A} \times \mathbb{N}_0 } </math> auf <math>A[t]</math> und definieren eine weiteres Halbnormensystem <math> \| \! | \cdot | \! \|_{ \mathcal{A} \times \mathbb{N}_0 }^{(\tau_3)} </math> auf <math>A</math> mit :<math>\| \! | \cdot | \! \|_{ (\alpha , n) }^{(\tau_3)} := \| \! | \cdot | \! \|_{ (\alpha , n ) } \circ \tau_3 \mbox{ bzw. } \| \! | x | \! \|_{ (\alpha , n ) }^{(\tau_3)} := \| \! | \tau_3(x) | \! \|_{ (\alpha , n ) } </math> Dabei wird <math>\tau_3 (x) = p \in A[t] </math> mit <math>p(t)= x \cdot t^0 </math>. Zeigen Sie, dass <math>p</math>-Halbnormensysteme <math> \| \cdot \|_{\mathcal{A}} </math> und <math> \| \! | \cdot | \! \|_{ \mathcal{A} \times \mathbb{N}_0 }^{(\tau_3)} </math> auf <math> A </math> [[Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)|äquivalente Quasihalbnormensysteme]] sind (siehe [[Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)]]). == Quellennachweise == <references/> == Siehe auch == * [[Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|PC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] * [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] * [[Topologisch kleine Potenzen]] * [[Topologisch große Potenzen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] * [[p-Halbnorm]] * [[Korrespondenzsatz p-Halbnormen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt|LC-Stetigkeit Cauchy-Produkt]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/T-Regularität|T-Regularität]] * [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]] * [[Verknüpfung/Neutrales_Element/Definition|Neutrales Element]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Vollständigkeit]] * [[w:de:Topologischer_Vektorraum#Topologische_Eigenschaften|Vervollständigung topologischer Vektorräume]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ect1kdtmhtcei2xzu6dimf7l1jrcd3g 106 131126 745650 744094 2022-07-22T09:24:11Z Bert Niehaus 20843 /* Einleitung */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' zunächst der Zusammenhang zwischen der ''lokalen Beschränktheit'' der Topologie und Quasinormen bzw. <math>p</math>-Normen hergestellt. === Lokale Beschränktheit der Topologie === Die lokale Beschränktheit der Topologie ist eine topologische Eigenschaft, die über das System <math>\mathcal{T}</math> der offenen Mengen ausgedrückt wird. Mit offenen Mengen im Kontext der Algebrerweiterungen zu arbeiten ist aber ist aber sehr aufwändig. Daher geht man zu einem topologieerzeugenden Gaugefunktional <math>p</math>-Norm bzw. Quasinorm. === Zusammenhang - Lokale Beschränktheit - p-Norm - Quasinorm === Wenn man nachgewiesen hat, dass die lokale Beschränkheit äquivalent zu der <math>p</math>-Normierbarkeit der Topologie ist, wird man die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität analog zum Vorgehen bei Banachalgebren bzgl. der Konstruktion der Algebraerweiterungen durchführen können. === Zusammenhang - p-Norm - Quasinorm === Die lokale Beschränkheit ist zudem auch äquivalent zu der Quasinormierbarkeit der Topologie. Damit kann nun auch einen alternativen Beweis für die Algebraerweiterungen mit Quasinorm analog durchführen. Die Quasihalbnormen haben allerdings erst bei der Behandlung der Charakterisierung von [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-regulären Elementen in pseudokonvexen Räumen]] eine besondere Bedeutung. == Charakterisierung der P-Regularität == Für kommutative lokalbeschränkte Algebren erhält man folgende Charakterisierung: * <math>z\in A</math> permanent singulär <math>\Longleftrightarrow</math> <math>z\in \mathcal{TNT}(A)</math> (topologischer Nullteiler) * <math>z\in A</math> <math>\mathcal{P}</math>-regulär <math>\Longleftrightarrow</math> es gibt ein <math>D > 0</math> mit <math>\|x\| \leq D \cdot \|z\cdot x\|</math> für alle <math>x \in A</math> Dabei ist <math>\| \cdot \| </math> eine <math>p</math>-Norm bzw. eine Quasinorm. === Veranschaulichung - Algebraisomorphismus === [[Datei:Algebra extension embed.png|450px|Algebraerweiterung - Einbettung ]] == P-Regularität über p-Normen bzw. Quasinorm == Mit dieser Äquivalenz von [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|p-Normierbarkeit]], lokaler Beschränktheit der Topologie und [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Quasinormierbeit]] kann man die Charakterisierung der <math>\mathcal{P}</math>-Regularität aus Wegen erhalten. * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|<math>\mathcal{P}</math>-Regularität über <math>p</math>-Normen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|<math>\mathcal{P}</math>-Regularität über Quasiormen]] == Topologisierung der Polynomalgebra == Ein wesentlicher Schritt für den Beweis des <math>\mathcal{PC}</math>-Regularität auf pseudokonvexen Räumen, bei den die <math>p</math>-Halbnormen nicht multiplikativ sind, ist der Zusammenhang zwischen einer <math>p</math>-Halbnorm und einer Quasihalbnorm, da dieser Zusammenhang für eine einzelne <math display="inline">p</math>-Norm und der korrespondierenden Halbnorm gezeigt wird, werden wir hier nicht den Beweis <math>\mathcal{P}</math>-Regularität für lokal beschränkte bzw. <math>p</math>-normierbare Räume direkt führen, sondern den Beweis direkt für korrespondierende Quasinorm führen. Später wird dann das Systems der topologieerzeugenden <math display="inline">p</math>-Halbnormen durch ein System von Quasihalbnormen ersetzt und für diese System die Algebraerweiterung konstruiert. === Bemerkung: Polynomalgebren === Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein <math>z \in A</math> invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Algebra der Polynome <math>A[t]</math>]] betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> über die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] konstruiert wird. [[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]] === Bemerkung: Zusammenhang zwischen p-Norm und Quasinorm === Der Beweis für einen <math>p</math>-normierbaren Raum kann analog zur Banachalgebraerweiterungen der <math>\mathcal{B}</math>-Regularität (nach Arens 1958<ref>Arens R., Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, (1958), S. 536-548</ref>) geführt werden. Der Beweis für den Zusammenhang <math display="inline">p</math>-Norm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> und einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_Q</math> findet man bei Köthe (1966)<ref name="Koethe">Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.</ref> === Bemerkung zum Satz über die Quasinormierbarkeit === Ein wesentlicher Teil des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen nach Köthe<ref name="Koethe"/> ist der Zusammenhang, zwischen eine lokalbeschränkten Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf einem Vektorraum und der Quasinormierbarkeit des Raumes. === Bemerkung zum Satz über die p-Normierbarkeit === Der zweite Teil für den Nachweis des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen liefert der Zusammenhang, dass jede lokalbeschränkte Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf einem Vektorraum auch durch ein <math>p</math>-Norm erzeugt werden kann. == Aufgabe für Studierende == Sei <math>(A,\|\cdot \|_A) </math> eine topologische Algebra, für die die Topologie durch eine <math>p</math>-Norm <math>\|\cdot \|_A: A \to \mathbb{R}_0^{+} </math> erzeugt wird. * '''([[Topologische Nullteiler]])''' Formulieren Sie ein äquivalentes Kriterium für <math>z \in \mathcal{TNT}(A)</math> über die <math display="inline">p</math>-Norm. * '''([[Normen, Metriken, Topologie|Homogenität der Norm]])''' Analysieren Sie die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|Charakterisierung der <math>\mathcal{B}</math>-Regularität]] mit <math>z \in \mathcal{TNT}(A)</math> bzw. <math>z \notin \mathcal{TNT}(A)</math> und identifizieren die Stellen, an denen die Homogenität der Norm verwendet die allgemeinere Eigenschaft der <math>p</math>-Homogenität ersetzen werden muss? == Definition: Lokalbeschränkt== Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum. Eine Menge <math display="inline">M\subset V</math> heißt beschränkt, falls gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U\in\mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle \lambda _{_{U}}>0} : \lambda _{_{U}} \cdot M\subset U. </math> <math display="inline">V</math> heißt ''lokalbeschränkt'', falls es eine beschränkte Nullumgebung gibt. == Aufgabe für Studierende == Betrachten Sie, den topologische Algebra der stetigen Funktionen <math>A:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> mit den Maximumshalbnormen :<math>\|\cdot \|_n := \displaystyle \max_{x \in [-n,n]} | f(x) | </math> Mit dem Halbnormensystem <math> \|\cdot \|_{\mathbb{N}} := \{ \|\cdot \|_n \, \colon \, n \in \mathbb{N} \} </math> ist <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> eine lokalkonvexer Vektorraum. * Zeigen Sie mit dem Topologisierungslemma, dass <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> eine topologische Algebra mit Multiplikation <math>h:=f\cdot g </math> und <math>h(x):= f(x) \cdot g(x)</math> für <math>x \in \mathbb{R}</math> ist. * Zeigen Sie, dass <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> ''nicht'' lokalbeschränkt ist (Beweis durch Widerspruch). === Hinweis zur Aufgabe === * Nehmen Sie an, dass die <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>U_0 = B_\varepsilon^{n}(0_A)</math> lokal beschränkt ist. Dabei sei <math>U_1 = B_\varepsilon^{n+1}(0_A)</math> * Dann verwenden Sie die Funktionenfolge <math>(f_\alpha)_{\alpha \in \mathbb{N}} </math> mit folgender Eigenschaft: : <math> \begin{array}{rrcl} f_\alpha: & \mathbb{R}^{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{ für } & x \leq n \\ \alpha \cdot (x-n) & \mbox{ für } & x > n \\ \end{array} \right. \end{array} </math> === Zeichnen der Funktionsgraphen === * Zeichnen Sie die Funktionen und erläutern Sie, dass für alle <math>\alpha \in \mathbb{N} </math> die Bedingung <math>f_\alpha \in U_0 </math> gilt. * Ferner gilt es für alle <math>\lambda > 0 </math> eine Funktion <math>f_\alpha \in U_0 </math>, die nicht in und erläutern Sie, dass für alle <math>\alpha \in \mathbb{N} </math> die Bedingung <math>f_\alpha \notin \lambda \cdot U_0 </math> gilt und damit die Bedingung <math> \lambda \cdot U_0 \not \subseteq U_1 </math>. == Satz: Quasinormierbarkeit == Die Topologie eines topologischen Vektorraums <math display="inline">V</math> kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn <math display="inline">V</math> lokalbeschränkt ist. == Beweis == siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] == Zusammenhang Minkowski-Funktionale und absolut p-konvex Menge == Wenn eine Menge <math display="inline">M</math> eine absolut p-konvexe Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> ist, dann ist das zugehörige [[Minkowski-Funktional]] <math>p_M</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] mit <math display="inline">0< p \leq 1</math>, das zusätzlich die Dreiecksungleichung für alle <math>x,y \in V</math> erfüllt :<math> p_M(x+y) \leq p_M(x) + p_M(y) </math> Aus diesem Grund wird für die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität wird der Begriff eine absolute <math>p</math>-konvexen Mengen als Verallgemeinerung von konvexen Mengen und einer konvexen Mengen benötigt. == Definition: absolut p-konvex == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann heißt <math display="inline">M</math> absolut <math display="inline">p</math>-konvex, wenn gilt :<math> \forall_{\displaystyle x,y\in M} : |\lambda|^p+|\mu|^p \leq 1 \,\Longrightarrow\, \lambda x + \mu y \in M </math> == Definition: absolut p-konvexe Hülle == Die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle der Menge <math display="inline">M</math> (Bezeichnung: <math display="inline">\Gamma_p(M)</math>) ist der Schnitt über alle absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Mengen, die <math display="inline">M</math> enthalten. :<math>\Gamma_p(M) := \displaystyle \bigcap_{\stackrel{\widetilde{M} \supseteq M}{\widetilde{M}\, absolut \, p-konvex} } \widetilde{M} </math> == Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> über dem Kör\-per <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann läßt sich die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle von <math display="inline">M</math> wie folgt schreiben: :<math display="block"> \Gamma_p(M)=\left\{ \sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j \, : \, n \in \mathbb{N} \wedge x_j\in M \wedge \sum_{j=1}^{n} |\alpha_j|^p \leq 1 \right\} =: \widehat{M} </math> == Beweisidee == Der [[p-konvexe Hülle|vollständige Beweis]] werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) <math>\Gamma_p(M) \subseteq \widehat{M}</math> liefert und (3) die Teilmengenbeziehung <math> \widehat{M} \subseteq \Gamma_p(M) </math>. * '''(Beweisteil 1)''' <math display="inline">M\subset \widehat{M}</math>, * '''(Beweisteil 2)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist absolut <math display="inline">p</math>-konvex und * '''(Beweisteil 3)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist in jeder absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Menge <math display="inline">\widetilde{M}\supset M</math> enthalten. Für den vollständigen Beweis siehe [[p-konvexe Hülle]]. == Satz: p-Normbierbarkeit der Topologie == Ein topologischer Vektorraum <math display="inline">V</math> ist genau dann <math display="inline">p</math>-normierbar, wenn dieser eine <math display="inline">p</math>-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit <math display="inline"> 0 < p \leq 1</math>. == Beweis == siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz über die p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräume]]. == Korrespondenzsatz für p-Normen und Quasinormen == Die Topologie eines <math display="inline">p</math>-normierbaren topologischen Vektorraums <math display="inline">V</math> kann durch eine Quasinorm erzeugt werden. == Beweis == Jeder <math display="inline">p</math>-normierbare topologische Vektorraum ist lokal beschränkt und auch jeder Raum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man :<math> (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ quasinormierbar } \Leftrightarrow (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ lokalbeschränkt } \Leftrightarrow (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ p-normierbar } </math>. Damit sind die drei Begriffe äquivalent für die Eigenschaft der Topologie und man kann für jede <math>p</math>-Norm eine korrespondierende Quasinorm finden, die die gleiche Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf <math>A</math> erzeugt. <math>\Box</math>. === Zusammenhang von p in der p-Norm und der Stetigkeitskonstante === Umgekehrt soll nun gezeigt werden, dass jeder lokalbeschränkte Raum für ein geeignet gewähltes <math display="inline">p\in (0,1]</math> auch <math display="inline">p</math>-normierbar ist. Zunächst noch eine Definition die im Zusammenhang mit der Stetigkeitskonstanten der Addition einer Quasinorm steht. Der folgende Beweis zeigt, wie man dieses <math display="inline">p\in (0,1]</math> identifiziert (siehe Köthe<ref name="Koethe"/>). == Definition: Konkavitätsmodul == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein lokalbeschränkter topologischer Vektorraum und <math display="inline">U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0)</math> eine beschränkte Nullumgebung, dann heißt * <math display="inline">\varrho(U):=\inf\{K > 0: U+U\subset K\cdot U\} </math> Konkavitätsmodul der Nullumgebung <math display="inline">U</math> und * <math display="inline">\varrho (\mathcal{T}):=\inf\{ \varrho(U) : U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0) \} </math> Konkavitätsmodul der Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math>. == Satz: Konkavitätsmodul lokalbeschränkter Räume == Ist <math display="inline">\varrho(V)=2^{\frac{1}{p_o} }</math> der Konkavitätsmodul von einem lokalbeschränkten topologischen Vektorraum <math display="inline">V</math>, so gibt es zu jedem <math display="inline">p<p_o</math> eine topologieerzeugende <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>. === Bemerkung === Der Konkavitätsmodul liefert Informationen darüber, wie man eine Nullumgebung <math>U</math> mit <math>K > 0 </math> "aufgeblasen" muss, damit beliebige Summe von zwei Elementen aus <math>U</math> wieder in der "aufgeblasenen" Nullumgebung <math>K \cdot U</math> liegen. === Beweis === siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz zum Konkavitätsmodul in lokalbeschränkten Algebren]]. == Zusammenfassung Korrespondenzsatz == Ein topologischer Vektorraum <math display="inline">V</math> ist genau dann quasinormierbar (d.h. es gibt eine Quasinorm, die die Topologie auf <math display="inline">\,V</math> erzeugt), wenn <math display="inline">V</math> <math display="inline">p</math>-normierbar ist. In den obigen Beweisen wurde allerdings noch nicht berücksichtigt, dass für die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität auch die Multiplikation stetig sein muss. Dieses erfolgt nun. == Stetigkeit der Multiplikation in der Algebra == Allgemein gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> auch für jede Nullumgebung und damit auch für die beschränkte Nullumgebung <math>U</math> ein Nullumgebung <math>U_0</math> mit <math>U_0\cdot U_0 \subseteq U </math>. === Lokalbeschränkte Topologie === Da <math> \{ \lambda \cdot U \}_{\lambda > 0} </math> eine Umgebungsbasis der Topologie darstellt, gibt es <math> \lambda_o > 0 </math> mit <math>\lambda_o \cdot U \subseteq U_0 </math> und man erhält: :<math> (\lambda_o \cdot U) \cdot (\lambda_o \cdot U) \subseteq U_0\cdot U_0 \subseteq U </math> === Anwendung auf Quasinormen 1=== Wendet man diese Mengeninklusion auf die Quasinorm <math>\|\cdot \|_Q</math> als [[Minkowski-Funktional]] der lokalbeschränkten kreisförmigen Nullumgebung an, gilt für alle <math>x,y \in A \setminus\{ 0_A \}</math> :<math> \frac{\lambda_o}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot x \in \lambda_o \cdot U \mbox{ und } \frac{\lambda_o}{\|y\|_Q + \varepsilon} \cdot y \in \lambda_o \cdot U </math> und man erhält mit <math> (\lambda_o \cdot U) \cdot (\lambda_o \cdot U) \subseteq U </math> :<math> \left \| \frac{\lambda_o \cdot x}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot \frac{\lambda_o \cdot y}{\|y\|_Q + \varepsilon} \right\|_Q \leq 1 </math> === Anwendung auf Quasinormen 2=== Die Eigenschaft der Homogenität der Quasinorm liefert dann :<math> \frac{\lambda_o}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot \frac{\lambda_o}{\|y\|_Q + \varepsilon} \cdot \left \| x \cdot y \right\|_Q \leq 1 </math> Da die obige Ungleichung für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, erhält man ebenfalls :<math> \left \| x \cdot y \right\|_Q \leq \frac{1}{\lambda_o^2} \cdot \|x\|_Q \cdot \|y\|_Q </math> === Stetigkeitskonstante der Multiplikation === Der Faktor <math>C_Q:= \frac{1}{\lambda_o^2} > 0 </math> ist hier die Stetigkeitskonstante der Multiplikation, die neben der Konstante <math> D > 0 </math> aus der Negation der Definition eines topologischen Nullteilers ebenfalls für die Topologisierung der Polynomalgebra <math>A[t]</math> berücksichtigt werden muss. === Anwendung auf Quasinormen 3 === Die Ungleichung wurde für <math>x,y \in A\setminus \{0_A\}</math>. Falls <math>x = 0_A</math> oder <math>y = 0_A</math> gilt, ist die Ungleichung sogar eine Gleichheit mit :<math> \left \| x \cdot y \right\|_Q = \left\| x \right\|_Q = \left\| y \right\|_Q = 0 </math> == Aufgabe für Studierende == * Zeigen Sie die obigen Ungleichung für die korrespondierende <math>p</math>-Norm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> zur Quasinorm<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_Q </math>. * Erläutern Sie, wie Sie mit der <math>p</math>-Homogenität beim Nachweis der Ungleichung für <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> umgehen müssen, damit Sie eine ähnliche Ungleichung erhalten. * Bestimmen Sie für <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> die Stetigkeitskonstante <math>C_p> 0 </math> der Multiplikation mit: :<math> \|x \cdot y \|_p \leq C_p \cdot \|x\|_p \cdot \|y \|_p</math> == Siehe auch == * [[Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Minkowski-Funktional]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] * [[Topologisierungslemma für Algebren]] * [[Topologische Nullteiler]] * [[Satz zur Quasinormierbarkeit]] * [[Satz zur p-Normierbarkeit]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] pfh4wiym6lnj7tnwgqto0mipl1r6ah9 745651 745650 2022-07-22T09:26:14Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung: Zusammenhang zwischen p-Norm und Quasinorm */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' zunächst der Zusammenhang zwischen der ''lokalen Beschränktheit'' der Topologie und Quasinormen bzw. <math>p</math>-Normen hergestellt. === Lokale Beschränktheit der Topologie === Die lokale Beschränktheit der Topologie ist eine topologische Eigenschaft, die über das System <math>\mathcal{T}</math> der offenen Mengen ausgedrückt wird. Mit offenen Mengen im Kontext der Algebrerweiterungen zu arbeiten ist aber ist aber sehr aufwändig. Daher geht man zu einem topologieerzeugenden Gaugefunktional <math>p</math>-Norm bzw. Quasinorm. === Zusammenhang - Lokale Beschränktheit - p-Norm - Quasinorm === Wenn man nachgewiesen hat, dass die lokale Beschränkheit äquivalent zu der <math>p</math>-Normierbarkeit der Topologie ist, wird man die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität analog zum Vorgehen bei Banachalgebren bzgl. der Konstruktion der Algebraerweiterungen durchführen können. === Zusammenhang - p-Norm - Quasinorm === Die lokale Beschränkheit ist zudem auch äquivalent zu der Quasinormierbarkeit der Topologie. Damit kann nun auch einen alternativen Beweis für die Algebraerweiterungen mit Quasinorm analog durchführen. Die Quasihalbnormen haben allerdings erst bei der Behandlung der Charakterisierung von [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-regulären Elementen in pseudokonvexen Räumen]] eine besondere Bedeutung. == Charakterisierung der P-Regularität == Für kommutative lokalbeschränkte Algebren erhält man folgende Charakterisierung: * <math>z\in A</math> permanent singulär <math>\Longleftrightarrow</math> <math>z\in \mathcal{TNT}(A)</math> (topologischer Nullteiler) * <math>z\in A</math> <math>\mathcal{P}</math>-regulär <math>\Longleftrightarrow</math> es gibt ein <math>D > 0</math> mit <math>\|x\| \leq D \cdot \|z\cdot x\|</math> für alle <math>x \in A</math> Dabei ist <math>\| \cdot \| </math> eine <math>p</math>-Norm bzw. eine Quasinorm. === Veranschaulichung - Algebraisomorphismus === [[Datei:Algebra extension embed.png|450px|Algebraerweiterung - Einbettung ]] == P-Regularität über p-Normen bzw. Quasinorm == Mit dieser Äquivalenz von [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|p-Normierbarkeit]], lokaler Beschränktheit der Topologie und [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Quasinormierbeit]] kann man die Charakterisierung der <math>\mathcal{P}</math>-Regularität aus Wegen erhalten. * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|<math>\mathcal{P}</math>-Regularität über <math>p</math>-Normen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|<math>\mathcal{P}</math>-Regularität über Quasiormen]] == Topologisierung der Polynomalgebra == Ein wesentlicher Schritt für den Beweis des <math>\mathcal{PC}</math>-Regularität auf pseudokonvexen Räumen, bei den die <math>p</math>-Halbnormen nicht multiplikativ sind, ist der Zusammenhang zwischen einer <math>p</math>-Halbnorm und einer Quasihalbnorm, da dieser Zusammenhang für eine einzelne <math display="inline">p</math>-Norm und der korrespondierenden Halbnorm gezeigt wird, werden wir hier nicht den Beweis <math>\mathcal{P}</math>-Regularität für lokal beschränkte bzw. <math>p</math>-normierbare Räume direkt führen, sondern den Beweis direkt für korrespondierende Quasinorm führen. Später wird dann das Systems der topologieerzeugenden <math display="inline">p</math>-Halbnormen durch ein System von Quasihalbnormen ersetzt und für diese System die Algebraerweiterung konstruiert. === Bemerkung: Polynomalgebren === Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein <math>z \in A</math> invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Algebra der Polynome <math>A[t]</math>]] betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> über die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] konstruiert wird. [[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]] === Bemerkung: Zusammenhang zwischen p-Norm und Quasinorm === Der Beweis für einen <math>p</math>-normierbaren Raum kann analog zur Banachalgebraerweiterungen der <math>\mathcal{B}</math>-Regularität (nach Arens 1958<ref name="Arens">Arens R., Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, (1958), S. 536-548</ref>) geführt werden. Der Beweis für den Zusammenhang <math display="inline">p</math>-Norm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> und einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_Q</math> findet man bei Köthe (1966)<ref name="Koethe">Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.</ref> === Bemerkung zum Satz über die Quasinormierbarkeit === Ein wesentlicher Teil des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen nach Köthe<ref name="Koethe"/> ist der Zusammenhang, zwischen eine lokalbeschränkten Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf einem Vektorraum und der Quasinormierbarkeit des Raumes. === Bemerkung zum Satz über die p-Normierbarkeit === Der zweite Teil für den Nachweis des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen liefert der Zusammenhang, dass jede lokalbeschränkte Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf einem Vektorraum auch durch ein <math>p</math>-Norm erzeugt werden kann. == Aufgabe für Studierende == Sei <math>(A,\|\cdot \|_A) </math> eine topologische Algebra, für die die Topologie durch eine <math>p</math>-Norm <math>\|\cdot \|_A: A \to \mathbb{R}_0^{+} </math> erzeugt wird. * '''([[Topologische Nullteiler]])''' Formulieren Sie ein äquivalentes Kriterium für <math>z \in \mathcal{TNT}(A)</math> über die <math display="inline">p</math>-Norm. * '''([[Normen, Metriken, Topologie|Homogenität der Norm]])''' Analysieren Sie die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|Charakterisierung der <math>\mathcal{B}</math>-Regularität]] mit <math>z \in \mathcal{TNT}(A)</math> bzw. <math>z \notin \mathcal{TNT}(A)</math> und identifizieren die Stellen, an denen die Homogenität der Norm verwendet die allgemeinere Eigenschaft der <math>p</math>-Homogenität ersetzen werden muss? == Definition: Lokalbeschränkt== Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum. Eine Menge <math display="inline">M\subset V</math> heißt beschränkt, falls gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U\in\mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle \lambda _{_{U}}>0} : \lambda _{_{U}} \cdot M\subset U. </math> <math display="inline">V</math> heißt ''lokalbeschränkt'', falls es eine beschränkte Nullumgebung gibt. == Aufgabe für Studierende == Betrachten Sie, den topologische Algebra der stetigen Funktionen <math>A:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> mit den Maximumshalbnormen :<math>\|\cdot \|_n := \displaystyle \max_{x \in [-n,n]} | f(x) | </math> Mit dem Halbnormensystem <math> \|\cdot \|_{\mathbb{N}} := \{ \|\cdot \|_n \, \colon \, n \in \mathbb{N} \} </math> ist <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> eine lokalkonvexer Vektorraum. * Zeigen Sie mit dem Topologisierungslemma, dass <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> eine topologische Algebra mit Multiplikation <math>h:=f\cdot g </math> und <math>h(x):= f(x) \cdot g(x)</math> für <math>x \in \mathbb{R}</math> ist. * Zeigen Sie, dass <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> ''nicht'' lokalbeschränkt ist (Beweis durch Widerspruch). === Hinweis zur Aufgabe === * Nehmen Sie an, dass die <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>U_0 = B_\varepsilon^{n}(0_A)</math> lokal beschränkt ist. Dabei sei <math>U_1 = B_\varepsilon^{n+1}(0_A)</math> * Dann verwenden Sie die Funktionenfolge <math>(f_\alpha)_{\alpha \in \mathbb{N}} </math> mit folgender Eigenschaft: : <math> \begin{array}{rrcl} f_\alpha: & \mathbb{R}^{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{ für } & x \leq n \\ \alpha \cdot (x-n) & \mbox{ für } & x > n \\ \end{array} \right. \end{array} </math> === Zeichnen der Funktionsgraphen === * Zeichnen Sie die Funktionen und erläutern Sie, dass für alle <math>\alpha \in \mathbb{N} </math> die Bedingung <math>f_\alpha \in U_0 </math> gilt. * Ferner gilt es für alle <math>\lambda > 0 </math> eine Funktion <math>f_\alpha \in U_0 </math>, die nicht in und erläutern Sie, dass für alle <math>\alpha \in \mathbb{N} </math> die Bedingung <math>f_\alpha \notin \lambda \cdot U_0 </math> gilt und damit die Bedingung <math> \lambda \cdot U_0 \not \subseteq U_1 </math>. == Satz: Quasinormierbarkeit == Die Topologie eines topologischen Vektorraums <math display="inline">V</math> kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn <math display="inline">V</math> lokalbeschränkt ist. == Beweis == siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] == Zusammenhang Minkowski-Funktionale und absolut p-konvex Menge == Wenn eine Menge <math display="inline">M</math> eine absolut p-konvexe Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> ist, dann ist das zugehörige [[Minkowski-Funktional]] <math>p_M</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] mit <math display="inline">0< p \leq 1</math>, das zusätzlich die Dreiecksungleichung für alle <math>x,y \in V</math> erfüllt :<math> p_M(x+y) \leq p_M(x) + p_M(y) </math> Aus diesem Grund wird für die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität wird der Begriff eine absolute <math>p</math>-konvexen Mengen als Verallgemeinerung von konvexen Mengen und einer konvexen Mengen benötigt. == Definition: absolut p-konvex == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann heißt <math display="inline">M</math> absolut <math display="inline">p</math>-konvex, wenn gilt :<math> \forall_{\displaystyle x,y\in M} : |\lambda|^p+|\mu|^p \leq 1 \,\Longrightarrow\, \lambda x + \mu y \in M </math> == Definition: absolut p-konvexe Hülle == Die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle der Menge <math display="inline">M</math> (Bezeichnung: <math display="inline">\Gamma_p(M)</math>) ist der Schnitt über alle absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Mengen, die <math display="inline">M</math> enthalten. :<math>\Gamma_p(M) := \displaystyle \bigcap_{\stackrel{\widetilde{M} \supseteq M}{\widetilde{M}\, absolut \, p-konvex} } \widetilde{M} </math> == Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> über dem Kör\-per <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann läßt sich die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle von <math display="inline">M</math> wie folgt schreiben: :<math display="block"> \Gamma_p(M)=\left\{ \sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j \, : \, n \in \mathbb{N} \wedge x_j\in M \wedge \sum_{j=1}^{n} |\alpha_j|^p \leq 1 \right\} =: \widehat{M} </math> == Beweisidee == Der [[p-konvexe Hülle|vollständige Beweis]] werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) <math>\Gamma_p(M) \subseteq \widehat{M}</math> liefert und (3) die Teilmengenbeziehung <math> \widehat{M} \subseteq \Gamma_p(M) </math>. * '''(Beweisteil 1)''' <math display="inline">M\subset \widehat{M}</math>, * '''(Beweisteil 2)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist absolut <math display="inline">p</math>-konvex und * '''(Beweisteil 3)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist in jeder absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Menge <math display="inline">\widetilde{M}\supset M</math> enthalten. Für den vollständigen Beweis siehe [[p-konvexe Hülle]]. == Satz: p-Normbierbarkeit der Topologie == Ein topologischer Vektorraum <math display="inline">V</math> ist genau dann <math display="inline">p</math>-normierbar, wenn dieser eine <math display="inline">p</math>-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit <math display="inline"> 0 < p \leq 1</math>. == Beweis == siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz über die p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräume]]. == Korrespondenzsatz für p-Normen und Quasinormen == Die Topologie eines <math display="inline">p</math>-normierbaren topologischen Vektorraums <math display="inline">V</math> kann durch eine Quasinorm erzeugt werden. == Beweis == Jeder <math display="inline">p</math>-normierbare topologische Vektorraum ist lokal beschränkt und auch jeder Raum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man :<math> (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ quasinormierbar } \Leftrightarrow (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ lokalbeschränkt } \Leftrightarrow (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ p-normierbar } </math>. Damit sind die drei Begriffe äquivalent für die Eigenschaft der Topologie und man kann für jede <math>p</math>-Norm eine korrespondierende Quasinorm finden, die die gleiche Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf <math>A</math> erzeugt. <math>\Box</math>. === Zusammenhang von p in der p-Norm und der Stetigkeitskonstante === Umgekehrt soll nun gezeigt werden, dass jeder lokalbeschränkte Raum für ein geeignet gewähltes <math display="inline">p\in (0,1]</math> auch <math display="inline">p</math>-normierbar ist. Zunächst noch eine Definition die im Zusammenhang mit der Stetigkeitskonstanten der Addition einer Quasinorm steht. Der folgende Beweis zeigt, wie man dieses <math display="inline">p\in (0,1]</math> identifiziert (siehe Köthe<ref name="Koethe"/>). == Definition: Konkavitätsmodul == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein lokalbeschränkter topologischer Vektorraum und <math display="inline">U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0)</math> eine beschränkte Nullumgebung, dann heißt * <math display="inline">\varrho(U):=\inf\{K > 0: U+U\subset K\cdot U\} </math> Konkavitätsmodul der Nullumgebung <math display="inline">U</math> und * <math display="inline">\varrho (\mathcal{T}):=\inf\{ \varrho(U) : U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0) \} </math> Konkavitätsmodul der Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math>. == Satz: Konkavitätsmodul lokalbeschränkter Räume == Ist <math display="inline">\varrho(V)=2^{\frac{1}{p_o} }</math> der Konkavitätsmodul von einem lokalbeschränkten topologischen Vektorraum <math display="inline">V</math>, so gibt es zu jedem <math display="inline">p<p_o</math> eine topologieerzeugende <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>. === Bemerkung === Der Konkavitätsmodul liefert Informationen darüber, wie man eine Nullumgebung <math>U</math> mit <math>K > 0 </math> "aufgeblasen" muss, damit beliebige Summe von zwei Elementen aus <math>U</math> wieder in der "aufgeblasenen" Nullumgebung <math>K \cdot U</math> liegen. === Beweis === siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz zum Konkavitätsmodul in lokalbeschränkten Algebren]]. == Zusammenfassung Korrespondenzsatz == Ein topologischer Vektorraum <math display="inline">V</math> ist genau dann quasinormierbar (d.h. es gibt eine Quasinorm, die die Topologie auf <math display="inline">\,V</math> erzeugt), wenn <math display="inline">V</math> <math display="inline">p</math>-normierbar ist. In den obigen Beweisen wurde allerdings noch nicht berücksichtigt, dass für die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität auch die Multiplikation stetig sein muss. Dieses erfolgt nun. == Stetigkeit der Multiplikation in der Algebra == Allgemein gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> auch für jede Nullumgebung und damit auch für die beschränkte Nullumgebung <math>U</math> ein Nullumgebung <math>U_0</math> mit <math>U_0\cdot U_0 \subseteq U </math>. === Lokalbeschränkte Topologie === Da <math> \{ \lambda \cdot U \}_{\lambda > 0} </math> eine Umgebungsbasis der Topologie darstellt, gibt es <math> \lambda_o > 0 </math> mit <math>\lambda_o \cdot U \subseteq U_0 </math> und man erhält: :<math> (\lambda_o \cdot U) \cdot (\lambda_o \cdot U) \subseteq U_0\cdot U_0 \subseteq U </math> === Anwendung auf Quasinormen 1=== Wendet man diese Mengeninklusion auf die Quasinorm <math>\|\cdot \|_Q</math> als [[Minkowski-Funktional]] der lokalbeschränkten kreisförmigen Nullumgebung an, gilt für alle <math>x,y \in A \setminus\{ 0_A \}</math> :<math> \frac{\lambda_o}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot x \in \lambda_o \cdot U \mbox{ und } \frac{\lambda_o}{\|y\|_Q + \varepsilon} \cdot y \in \lambda_o \cdot U </math> und man erhält mit <math> (\lambda_o \cdot U) \cdot (\lambda_o \cdot U) \subseteq U </math> :<math> \left \| \frac{\lambda_o \cdot x}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot \frac{\lambda_o \cdot y}{\|y\|_Q + \varepsilon} \right\|_Q \leq 1 </math> === Anwendung auf Quasinormen 2=== Die Eigenschaft der Homogenität der Quasinorm liefert dann :<math> \frac{\lambda_o}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot \frac{\lambda_o}{\|y\|_Q + \varepsilon} \cdot \left \| x \cdot y \right\|_Q \leq 1 </math> Da die obige Ungleichung für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, erhält man ebenfalls :<math> \left \| x \cdot y \right\|_Q \leq \frac{1}{\lambda_o^2} \cdot \|x\|_Q \cdot \|y\|_Q </math> === Stetigkeitskonstante der Multiplikation === Der Faktor <math>C_Q:= \frac{1}{\lambda_o^2} > 0 </math> ist hier die Stetigkeitskonstante der Multiplikation, die neben der Konstante <math> D > 0 </math> aus der Negation der Definition eines topologischen Nullteilers ebenfalls für die Topologisierung der Polynomalgebra <math>A[t]</math> berücksichtigt werden muss. === Anwendung auf Quasinormen 3 === Die Ungleichung wurde für <math>x,y \in A\setminus \{0_A\}</math>. Falls <math>x = 0_A</math> oder <math>y = 0_A</math> gilt, ist die Ungleichung sogar eine Gleichheit mit :<math> \left \| x \cdot y \right\|_Q = \left\| x \right\|_Q = \left\| y \right\|_Q = 0 </math> == Aufgabe für Studierende == * Zeigen Sie die obigen Ungleichung für die korrespondierende <math>p</math>-Norm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> zur Quasinorm<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_Q </math>. * Erläutern Sie, wie Sie mit der <math>p</math>-Homogenität beim Nachweis der Ungleichung für <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> umgehen müssen, damit Sie eine ähnliche Ungleichung erhalten. * Bestimmen Sie für <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> die Stetigkeitskonstante <math>C_p> 0 </math> der Multiplikation mit: :<math> \|x \cdot y \|_p \leq C_p \cdot \|x\|_p \cdot \|y \|_p</math> == Siehe auch == * [[Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Minkowski-Funktional]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] * [[Topologisierungslemma für Algebren]] * [[Topologische Nullteiler]] * [[Satz zur Quasinormierbarkeit]] * [[Satz zur p-Normierbarkeit]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 5duccuhklxgsoud5qwfnuhj979o8osk 745652 745651 2022-07-22T09:26:58Z Bert Niehaus 20843 /* Zusammenhang - Lokale Beschränktheit - p-Norm - Quasinorm */ wikitext text/x-wiki == Einleitung == Diese Lernresource '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' zunächst der Zusammenhang zwischen der ''lokalen Beschränktheit'' der Topologie und Quasinormen bzw. <math>p</math>-Normen hergestellt. === Lokale Beschränktheit der Topologie === Die lokale Beschränktheit der Topologie ist eine topologische Eigenschaft, die über das System <math>\mathcal{T}</math> der offenen Mengen ausgedrückt wird. Mit offenen Mengen im Kontext der Algebrerweiterungen zu arbeiten ist aber ist aber sehr aufwändig. Daher geht man zu einem topologieerzeugenden Gaugefunktional <math>p</math>-Norm bzw. Quasinorm. === Zusammenhang - Lokale Beschränktheit - p-Norm - Quasinorm === Wenn man nachgewiesen hat, dass die lokale Beschränkheit äquivalent zu der <math>p</math>-Normierbarkeit der Topologie ist, wird man die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität analog zum Vorgehen bei Banachalgebren bzgl. der Konstruktion der Algebraerweiterungen nach Arens (1958)<ref name="Arens"/> durchführen können. === Zusammenhang - p-Norm - Quasinorm === Die lokale Beschränkheit ist zudem auch äquivalent zu der Quasinormierbarkeit der Topologie. Damit kann nun auch einen alternativen Beweis für die Algebraerweiterungen mit Quasinorm analog durchführen. Die Quasihalbnormen haben allerdings erst bei der Behandlung der Charakterisierung von [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-regulären Elementen in pseudokonvexen Räumen]] eine besondere Bedeutung. == Charakterisierung der P-Regularität == Für kommutative lokalbeschränkte Algebren erhält man folgende Charakterisierung: * <math>z\in A</math> permanent singulär <math>\Longleftrightarrow</math> <math>z\in \mathcal{TNT}(A)</math> (topologischer Nullteiler) * <math>z\in A</math> <math>\mathcal{P}</math>-regulär <math>\Longleftrightarrow</math> es gibt ein <math>D > 0</math> mit <math>\|x\| \leq D \cdot \|z\cdot x\|</math> für alle <math>x \in A</math> Dabei ist <math>\| \cdot \| </math> eine <math>p</math>-Norm bzw. eine Quasinorm. === Veranschaulichung - Algebraisomorphismus === [[Datei:Algebra extension embed.png|450px|Algebraerweiterung - Einbettung ]] == P-Regularität über p-Normen bzw. Quasinorm == Mit dieser Äquivalenz von [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|p-Normierbarkeit]], lokaler Beschränktheit der Topologie und [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Quasinormierbeit]] kann man die Charakterisierung der <math>\mathcal{P}</math>-Regularität aus Wegen erhalten. * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|<math>\mathcal{P}</math>-Regularität über <math>p</math>-Normen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|<math>\mathcal{P}</math>-Regularität über Quasiormen]] == Topologisierung der Polynomalgebra == Ein wesentlicher Schritt für den Beweis des <math>\mathcal{PC}</math>-Regularität auf pseudokonvexen Räumen, bei den die <math>p</math>-Halbnormen nicht multiplikativ sind, ist der Zusammenhang zwischen einer <math>p</math>-Halbnorm und einer Quasihalbnorm, da dieser Zusammenhang für eine einzelne <math display="inline">p</math>-Norm und der korrespondierenden Halbnorm gezeigt wird, werden wir hier nicht den Beweis <math>\mathcal{P}</math>-Regularität für lokal beschränkte bzw. <math>p</math>-normierbare Räume direkt führen, sondern den Beweis direkt für korrespondierende Quasinorm führen. Später wird dann das Systems der topologieerzeugenden <math display="inline">p</math>-Halbnormen durch ein System von Quasihalbnormen ersetzt und für diese System die Algebraerweiterung konstruiert. === Bemerkung: Polynomalgebren === Bei der [[Algebraerweiterung|Konstruktion der Algebraerweiterung]], in der ein <math>z \in A</math> invertierbar ist, wird in einem ersten Schritt die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Algebra der Polynome <math>A[t]</math>]] betrachtet. Die folgende Abbildung zeigt, wie die [[Algebraerweiterung]] <math>B</math> über die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Polynomalgebra|Polynomalgebra]] konstruiert wird. [[Datei:Algebra extension of polynomials.png|450px|rahmenlos|Algebraerweiterung und Polynomalgebren mit Koeffizienten in A]] === Bemerkung: Zusammenhang zwischen p-Norm und Quasinorm === Der Beweis für einen <math>p</math>-normierbaren Raum kann analog zur Banachalgebraerweiterungen der <math>\mathcal{B}</math>-Regularität (nach Arens 1958<ref name="Arens">Arens R., Inverse producing extensions of normed algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 88, (1958), S. 536-548</ref>) geführt werden. Der Beweis für den Zusammenhang <math display="inline">p</math>-Norm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> und einer Quasihalbnorm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_Q</math> findet man bei Köthe (1966)<ref name="Koethe">Gottfried Köthe (1966) Topologische lineare Räume, 15.10, S.162-166.</ref> === Bemerkung zum Satz über die Quasinormierbarkeit === Ein wesentlicher Teil des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen nach Köthe<ref name="Koethe"/> ist der Zusammenhang, zwischen eine lokalbeschränkten Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf einem Vektorraum und der Quasinormierbarkeit des Raumes. === Bemerkung zum Satz über die p-Normierbarkeit === Der zweite Teil für den Nachweis des Korrespondenzsatzes zwischen p-Normen und Quasinormen liefert der Zusammenhang, dass jede lokalbeschränkte Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf einem Vektorraum auch durch ein <math>p</math>-Norm erzeugt werden kann. == Aufgabe für Studierende == Sei <math>(A,\|\cdot \|_A) </math> eine topologische Algebra, für die die Topologie durch eine <math>p</math>-Norm <math>\|\cdot \|_A: A \to \mathbb{R}_0^{+} </math> erzeugt wird. * '''([[Topologische Nullteiler]])''' Formulieren Sie ein äquivalentes Kriterium für <math>z \in \mathcal{TNT}(A)</math> über die <math display="inline">p</math>-Norm. * '''([[Normen, Metriken, Topologie|Homogenität der Norm]])''' Analysieren Sie die [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|Charakterisierung der <math>\mathcal{B}</math>-Regularität]] mit <math>z \in \mathcal{TNT}(A)</math> bzw. <math>z \notin \mathcal{TNT}(A)</math> und identifizieren die Stellen, an denen die Homogenität der Norm verwendet die allgemeinere Eigenschaft der <math>p</math>-Homogenität ersetzen werden muss? == Definition: Lokalbeschränkt== Sei <math display="inline">V</math> ein topologischer Vektorraum. Eine Menge <math display="inline">M\subset V</math> heißt beschränkt, falls gilt: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle U\in\mathfrak{U} (0)} \exists_{\displaystyle \lambda _{_{U}}>0} : \lambda _{_{U}} \cdot M\subset U. </math> <math display="inline">V</math> heißt ''lokalbeschränkt'', falls es eine beschränkte Nullumgebung gibt. == Aufgabe für Studierende == Betrachten Sie, den topologische Algebra der stetigen Funktionen <math>A:=\mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> mit den Maximumshalbnormen :<math>\|\cdot \|_n := \displaystyle \max_{x \in [-n,n]} | f(x) | </math> Mit dem Halbnormensystem <math> \|\cdot \|_{\mathbb{N}} := \{ \|\cdot \|_n \, \colon \, n \in \mathbb{N} \} </math> ist <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> eine lokalkonvexer Vektorraum. * Zeigen Sie mit dem Topologisierungslemma, dass <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> eine topologische Algebra mit Multiplikation <math>h:=f\cdot g </math> und <math>h(x):= f(x) \cdot g(x)</math> für <math>x \in \mathbb{R}</math> ist. * Zeigen Sie, dass <math>(A,\|\cdot \|_{\mathbb{N}}) </math> ''nicht'' lokalbeschränkt ist (Beweis durch Widerspruch). === Hinweis zur Aufgabe === * Nehmen Sie an, dass die <math>\varepsilon</math>-Umgebung <math>U_0 = B_\varepsilon^{n}(0_A)</math> lokal beschränkt ist. Dabei sei <math>U_1 = B_\varepsilon^{n+1}(0_A)</math> * Dann verwenden Sie die Funktionenfolge <math>(f_\alpha)_{\alpha \in \mathbb{N}} </math> mit folgender Eigenschaft: : <math> \begin{array}{rrcl} f_\alpha: & \mathbb{R}^{+} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & \left\{ \begin{array}{rcl} 0 & \mbox{ für } & x \leq n \\ \alpha \cdot (x-n) & \mbox{ für } & x > n \\ \end{array} \right. \end{array} </math> === Zeichnen der Funktionsgraphen === * Zeichnen Sie die Funktionen und erläutern Sie, dass für alle <math>\alpha \in \mathbb{N} </math> die Bedingung <math>f_\alpha \in U_0 </math> gilt. * Ferner gilt es für alle <math>\lambda > 0 </math> eine Funktion <math>f_\alpha \in U_0 </math>, die nicht in und erläutern Sie, dass für alle <math>\alpha \in \mathbb{N} </math> die Bedingung <math>f_\alpha \notin \lambda \cdot U_0 </math> gilt und damit die Bedingung <math> \lambda \cdot U_0 \not \subseteq U_1 </math>. == Satz: Quasinormierbarkeit == Die Topologie eines topologischen Vektorraums <math display="inline">V</math> kann genau dann durch eine Quasinorm gegeben werden, wenn <math display="inline">V</math> lokalbeschränkt ist. == Beweis == siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Quasinormierbarkeit|Satz - Quasinormierbarkeit]] == Zusammenhang Minkowski-Funktionale und absolut p-konvex Menge == Wenn eine Menge <math display="inline">M</math> eine absolut p-konvexe Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> ist, dann ist das zugehörige [[Minkowski-Funktional]] <math>p_M</math> ein <math>p</math>-[[Gaugefunktional]] mit <math display="inline">0< p \leq 1</math>, das zusätzlich die Dreiecksungleichung für alle <math>x,y \in V</math> erfüllt :<math> p_M(x+y) \leq p_M(x) + p_M(y) </math> Aus diesem Grund wird für die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität wird der Begriff eine absolute <math>p</math>-konvexen Mengen als Verallgemeinerung von konvexen Mengen und einer konvexen Mengen benötigt. == Definition: absolut p-konvex == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann heißt <math display="inline">M</math> absolut <math display="inline">p</math>-konvex, wenn gilt :<math> \forall_{\displaystyle x,y\in M} : |\lambda|^p+|\mu|^p \leq 1 \,\Longrightarrow\, \lambda x + \mu y \in M </math> == Definition: absolut p-konvexe Hülle == Die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle der Menge <math display="inline">M</math> (Bezeichnung: <math display="inline">\Gamma_p(M)</math>) ist der Schnitt über alle absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Mengen, die <math display="inline">M</math> enthalten. :<math>\Gamma_p(M) := \displaystyle \bigcap_{\stackrel{\widetilde{M} \supseteq M}{\widetilde{M}\, absolut \, p-konvex} } \widetilde{M} </math> == Lemma: Darstellung der absolut p-konvexen Hülle == Sei <math display="inline">M</math> eine Teilmenge eines Vektorraums <math display="inline">V</math> über dem Kör\-per <math display="inline">\mathbb{K}</math> und <math display="inline">0< p \leq 1</math>, dann läßt sich die absolut <math display="inline">p</math>-konvexe Hülle von <math display="inline">M</math> wie folgt schreiben: :<math display="block"> \Gamma_p(M)=\left\{ \sum_{j=1}^{n} \alpha_j x_j \, : \, n \in \mathbb{N} \wedge x_j\in M \wedge \sum_{j=1}^{n} |\alpha_j|^p \leq 1 \right\} =: \widehat{M} </math> == Beweisidee == Der [[p-konvexe Hülle|vollständige Beweis]] werden 3 Teilbehauptungen gezeigt, wobei (1) und (2) <math>\Gamma_p(M) \subseteq \widehat{M}</math> liefert und (3) die Teilmengenbeziehung <math> \widehat{M} \subseteq \Gamma_p(M) </math>. * '''(Beweisteil 1)''' <math display="inline">M\subset \widehat{M}</math>, * '''(Beweisteil 2)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist absolut <math display="inline">p</math>-konvex und * '''(Beweisteil 3)''' <math display="inline">\widehat{M}</math> ist in jeder absolut <math display="inline">p</math>-konvexen Menge <math display="inline">\widetilde{M}\supset M</math> enthalten. Für den vollständigen Beweis siehe [[p-konvexe Hülle]]. == Satz: p-Normbierbarkeit der Topologie == Ein topologischer Vektorraum <math display="inline">V</math> ist genau dann <math display="inline">p</math>-normierbar, wenn dieser eine <math display="inline">p</math>-konvexe beschränkte Nullumgebung besitzt mit <math display="inline"> 0 < p \leq 1</math>. == Beweis == siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz p-Normierbarkeit|Satz über die p-Normierbarkeit von topologischen Vektorräume]]. == Korrespondenzsatz für p-Normen und Quasinormen == Die Topologie eines <math display="inline">p</math>-normierbaren topologischen Vektorraums <math display="inline">V</math> kann durch eine Quasinorm erzeugt werden. == Beweis == Jeder <math display="inline">p</math>-normierbare topologische Vektorraum ist lokal beschränkt und auch jeder Raum ist genau dann quasinormierbar, wenn die Topologie lokal beschränkt. Damit erhält man :<math> (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ quasinormierbar } \Leftrightarrow (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ lokalbeschränkt } \Leftrightarrow (A,\mathcal{T}_A) \mbox{ p-normierbar } </math>. Damit sind die drei Begriffe äquivalent für die Eigenschaft der Topologie und man kann für jede <math>p</math>-Norm eine korrespondierende Quasinorm finden, die die gleiche Topologie <math>\mathcal{T}</math> auf <math>A</math> erzeugt. <math>\Box</math>. === Zusammenhang von p in der p-Norm und der Stetigkeitskonstante === Umgekehrt soll nun gezeigt werden, dass jeder lokalbeschränkte Raum für ein geeignet gewähltes <math display="inline">p\in (0,1]</math> auch <math display="inline">p</math>-normierbar ist. Zunächst noch eine Definition die im Zusammenhang mit der Stetigkeitskonstanten der Addition einer Quasinorm steht. Der folgende Beweis zeigt, wie man dieses <math display="inline">p\in (0,1]</math> identifiziert (siehe Köthe<ref name="Koethe"/>). == Definition: Konkavitätsmodul == Sei <math display="inline">(V,\mathcal{T})</math> ein lokalbeschränkter topologischer Vektorraum und <math display="inline">U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0)</math> eine beschränkte Nullumgebung, dann heißt * <math display="inline">\varrho(U):=\inf\{K > 0: U+U\subset K\cdot U\} </math> Konkavitätsmodul der Nullumgebung <math display="inline">U</math> und * <math display="inline">\varrho (\mathcal{T}):=\inf\{ \varrho(U) : U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}}(0) \} </math> Konkavitätsmodul der Topologie <math display="inline">\mathcal{T}</math>. == Satz: Konkavitätsmodul lokalbeschränkter Räume == Ist <math display="inline">\varrho(V)=2^{\frac{1}{p_o} }</math> der Konkavitätsmodul von einem lokalbeschränkten topologischen Vektorraum <math display="inline">V</math>, so gibt es zu jedem <math display="inline">p<p_o</math> eine topologieerzeugende <math display="inline">p</math>-Norm auf <math display="inline">V</math>. === Bemerkung === Der Konkavitätsmodul liefert Informationen darüber, wie man eine Nullumgebung <math>U</math> mit <math>K > 0 </math> "aufgeblasen" muss, damit beliebige Summe von zwei Elementen aus <math>U</math> wieder in der "aufgeblasenen" Nullumgebung <math>K \cdot U</math> liegen. === Beweis === siehe [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz zum Konkavitätsmodul in lokalbeschränkten Algebren]]. == Zusammenfassung Korrespondenzsatz == Ein topologischer Vektorraum <math display="inline">V</math> ist genau dann quasinormierbar (d.h. es gibt eine Quasinorm, die die Topologie auf <math display="inline">\,V</math> erzeugt), wenn <math display="inline">V</math> <math display="inline">p</math>-normierbar ist. In den obigen Beweisen wurde allerdings noch nicht berücksichtigt, dass für die <math>\mathcal{P}</math>-Regularität auch die Multiplikation stetig sein muss. Dieses erfolgt nun. == Stetigkeit der Multiplikation in der Algebra == Allgemein gibt es mit der Stetigkeit der Multiplikation in einer topologischen Algebra <math>(A,\mathcal{T}_A)</math> auch für jede Nullumgebung und damit auch für die beschränkte Nullumgebung <math>U</math> ein Nullumgebung <math>U_0</math> mit <math>U_0\cdot U_0 \subseteq U </math>. === Lokalbeschränkte Topologie === Da <math> \{ \lambda \cdot U \}_{\lambda > 0} </math> eine Umgebungsbasis der Topologie darstellt, gibt es <math> \lambda_o > 0 </math> mit <math>\lambda_o \cdot U \subseteq U_0 </math> und man erhält: :<math> (\lambda_o \cdot U) \cdot (\lambda_o \cdot U) \subseteq U_0\cdot U_0 \subseteq U </math> === Anwendung auf Quasinormen 1=== Wendet man diese Mengeninklusion auf die Quasinorm <math>\|\cdot \|_Q</math> als [[Minkowski-Funktional]] der lokalbeschränkten kreisförmigen Nullumgebung an, gilt für alle <math>x,y \in A \setminus\{ 0_A \}</math> :<math> \frac{\lambda_o}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot x \in \lambda_o \cdot U \mbox{ und } \frac{\lambda_o}{\|y\|_Q + \varepsilon} \cdot y \in \lambda_o \cdot U </math> und man erhält mit <math> (\lambda_o \cdot U) \cdot (\lambda_o \cdot U) \subseteq U </math> :<math> \left \| \frac{\lambda_o \cdot x}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot \frac{\lambda_o \cdot y}{\|y\|_Q + \varepsilon} \right\|_Q \leq 1 </math> === Anwendung auf Quasinormen 2=== Die Eigenschaft der Homogenität der Quasinorm liefert dann :<math> \frac{\lambda_o}{\|x\|_Q + \varepsilon} \cdot \frac{\lambda_o}{\|y\|_Q + \varepsilon} \cdot \left \| x \cdot y \right\|_Q \leq 1 </math> Da die obige Ungleichung für alle <math>\varepsilon > 0 </math> gilt, erhält man ebenfalls :<math> \left \| x \cdot y \right\|_Q \leq \frac{1}{\lambda_o^2} \cdot \|x\|_Q \cdot \|y\|_Q </math> === Stetigkeitskonstante der Multiplikation === Der Faktor <math>C_Q:= \frac{1}{\lambda_o^2} > 0 </math> ist hier die Stetigkeitskonstante der Multiplikation, die neben der Konstante <math> D > 0 </math> aus der Negation der Definition eines topologischen Nullteilers ebenfalls für die Topologisierung der Polynomalgebra <math>A[t]</math> berücksichtigt werden muss. === Anwendung auf Quasinormen 3 === Die Ungleichung wurde für <math>x,y \in A\setminus \{0_A\}</math>. Falls <math>x = 0_A</math> oder <math>y = 0_A</math> gilt, ist die Ungleichung sogar eine Gleichheit mit :<math> \left \| x \cdot y \right\|_Q = \left\| x \right\|_Q = \left\| y \right\|_Q = 0 </math> == Aufgabe für Studierende == * Zeigen Sie die obigen Ungleichung für die korrespondierende <math>p</math>-Norm <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> zur Quasinorm<math display="inline">\left\| \cdot \right\|_Q </math>. * Erläutern Sie, wie Sie mit der <math>p</math>-Homogenität beim Nachweis der Ungleichung für <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> umgehen müssen, damit Sie eine ähnliche Ungleichung erhalten. * Bestimmen Sie für <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_p </math> die Stetigkeitskonstante <math>C_p> 0 </math> der Multiplikation mit: :<math> \|x \cdot y \|_p \leq C_p \cdot \|x\|_p \cdot \|y \|_p</math> == Siehe auch == * [[Algebraerweiterung]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] * [[Normen, Metriken, Topologie]] * [[Minkowski-Funktional]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über p-Normen|P-Regularität über p-Normen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität über Quasinormen|P-Regularität über Quasinormen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/LC-Regularität|LC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/PC-Regularität|PC-Regularität]] * [[Topologisierungslemma für Algebren]] * [[Topologische Nullteiler]] * [[Satz zur Quasinormierbarkeit]] * [[Satz zur p-Normierbarkeit]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Satz - Konkavitätsmodul|Satz - Konkavitätsmodul]] == Quellennachweis == <references/> == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/P-Regularit%C3%A4t&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] mw607zhs3oeopyddn4g974oo9fyry8j 0 135076 745585 744401 2022-07-21T12:18:13Z C.Koltzenburg 13981 wikitext text/x-wiki __FORCETOC__ = Marina Owsjannikowa = [[Datei:RU pronunciation Marina Ovsyannikova.ogg|russische Aussprache des Namens von Marina Owsjannikowa]]Marina Owsjannikowa, geboren 1978 in Odessa, ist eine russische Redakteurin, die für den halbstaatlichen russischen Fernsehsender ''Perwy kanal'' (Erster Kanal) gearbeitet hat und seit Mai 2022 in Berlin lebt. Internationale Bekanntheit erlangte sie durch eine Anti-Kriegs-Demonstration während einer Live-Sendung am 14. März 2022, 19 Tage nach Beginn des russischen Überfalls auf die Ukraine. Dabei wies sie auf die vom ''Perwy kanal'' verbreitete Propaganda der russischen Staatsführung hin. Owsjannikowas Aktion war eine von mehreren Protesten gegen die russische Invasion in der Ukraine 2022 von oder in russischen Medien. == Leben und Karriere == Marina Owsjannikowa ist die Tochter eines Ukrainers und einer Russin. Ein Jahr nach ihrer Geburt zogen ihre Eltern mit ihr nach Russland. 1985 zog die Familie in die sowjetische Teilrepublik Tschetscheno-Inguschetische ASSR, von wo sie Anfang der 1990er Jahre aufgrund der beginnenden Tschetschenienkriege floh. Ende der 1990er-Jahre zog sie mit ihren Eltern nach Krasnodar, wo sie die Staatliche Universität Kuban absolvierte und anschließend unter anderem beim Sender „Kuban TV“ arbeitete. Später zog sie nach Moskau um und absolvierte die Russische Präsidentenakademie für Volkswirtschaft und öffentliche Verwaltung. Danach arbeitete sie beim Perwy kanal (Ersten Kanal) für die staatliche Fernseh- und Rundfunkgesellschaft Russlands. Dort war sie für den Bereich „Auslandsnachrichten“ zuständig; sie stand mit den internationalen Nachrichtenagenturen und Sendern in Kontakt, verfolgte die westlichen Nachrichten, recherchierte, nahm Interviews mit Politikern und Experten aus dem Ausland auf und produzierte Beiträge für das Programm. Marina Owsjannikowa war mit Igor Owsjannikow verheiratet, der bei ''Russia Today'' arbeitet. Sie hat einen Sohn und eine Tochter (Anfang 2022 im Alter von 17 und 11 Jahren) und wohnte in der Satellitenstadt „Neu-Moskau“. Einem Interview mit ''Yuga.ru'' aus dem Jahr 2002 zufolge war Marina Owsjannikowa während ihres Studiums Freiwasser-Wettkampfschwimmerin. == Protestaktion == === Ablauf === Owsjannikowa arbeitete bei Perwy kanal im Wochenwechsel (eine Woche Arbeit, eine frei). Am Sonntag, den 13. März 2022, dem letzten Tag einer freien Woche, kaufte sie Papier und Stifte und malte in ihrer Küche ein Protestplakat. Am 14. März 2022 lief Owsjannikowa während eines Beitrags über die Invasion in der Ukraine in den Hauptnachrichten Wremja ihres Senders an einem stetig anwesenden Polizisten vorbei ins Studio, stellte sich hinter die Nachrichtensprecherin Jekaterina Andrejewa und hielt ihr ausgerolltes Plakat in die Kamera. Zunächst war das Plakat teilweise durch die sitzende Nachrichtensprecherin verdeckt. Owsjannikowa korrigierte daraufhin ihren Standort und blieb aus Zuschauersicht rechts hinter der Sprecherin mit dem vollständig sichtbaren Plakat stehen. Das Plakat zeigte neben kleinen ukrainischen und russischen Flaggen die englischen und russischen Aufschriften: “NO WAR <...>“ [deutsche Version] „Kein Krieg <br /> Beenden Sie den Krieg <br /> Glauben Sie der Propaganda nicht <br /> Hier werden Sie belogen <br /> Russen gegen den Krieg“ <br /> – Marina Owsjannikowa: Protestplakat Dazu rief sie: <br /> „Beendet den Krieg! Kein Krieg!“ Die Studioaufnahme wurde fünf Sekunden nach dem Beginn des Auftritts durch einen Einspieler-Beitrag unterbrochen. Owsjannikowa begab sich aus dem Studio zu ihrem Arbeitsplatz. Die vielen Vorgesetzten, die zu ihr kamen und fragten, ob sie es gewesen sei, wollten es nicht so recht glauben. Der halbstaatliche ''Perwy kanal'' ist der populärste Sender in Russland. Eine Aufzeichnung der Nachrichtensendung vom 14. März 2022 stand nicht zum Download zur Verfügung, was für diesen Fernsehsender ungewöhnlich ist. Livesendungen werden seither um bis zu zwei Minuten versetzt übertragen. == Videoerklärung == Am Tag vor der Aktion hatte Owsjannikowa ein Video mit einer persönlichen Erklärung aufgenommen, das sie nach der Aktion auf Facebook veröffentlichte. Darin bekundete sie ihre Scham, für die russische Staatspropaganda beim Fernsehsender ''Perwy kanal'' (Ersten Kanal) gearbeitet zu haben, und rief zum offenen Protest gegen den Krieg auf. Ein Ausschnitt des Wortlauts wird in einer dpa-Übersetzung wie folgt wiedergegeben (Quelle: ''Süddeutsche Zeitung'', 15. März 2022): „Das, was jetzt in der Ukraine geschieht, ist ein Verbrechen. Und Russland ist der Aggressor. Und die Verantwortung für diese Aggression liegt nur auf dem Gewissen eines Menschen – und dieser Mensch ist Wladimir Putin. […] Wir haben 2014 geschwiegen, als das alles anfing. Wir sind nicht für Demonstrationen rausgekommen, als der Kreml Nawalny vergiftet hat. Wir haben dieses menschenfeindliche Regime einfach nur stillschweigend beobachtet. Jetzt hat sich die ganze Welt von uns abgewendet. […] Wir, die russischen Menschen, können denken und sind klug. Es liegt nur an uns, diesen ganzen Wahnsinn zu beenden. Geht demonstrieren. Fürchtet nichts. Sie können uns nicht alle einsperren.“ In der Videobotschaft trug sie eine Halskette mit in verschiedenen Farben aneinander gereihten Elementen: Auf Rot, Weiß und Blau (Farben Russlands) folgten Gelb und Blau (Farben der Ukraine). == Folgen und weiteres Engagement == Owsjannikowa wurde festgenommen. Eigenen Angaben zufolge wollten ihr die Beamten, die sie befragten, lange nicht glauben, dass sie keinen Kontakt in den Westen hatte und dass sie „selbst entschieden habe zu protestieren“. Bei den Vernehmungen wurde sie mit ihren Forderungen nach einem Anwalt vertröstet, und es war ihr währenddessen untersagt, selbst Kontakt zu einem Anwalt aufzunehmen. Die Rechtsanwälte Owsjannikowas teilten mit, dass eine Voruntersuchung wegen „Herabsetzung der russischen Streitkräfte“ eingeleitet worden sei. Ihre Mandantin werde unter Vorenthaltung anwaltlicher Vertretung festgehalten. Am Abend des 15. März 2022 wurde berichtet, sie sei von einem Moskauer Gericht zu einer Geldstrafe von 30.000 Rubel (etwa 250 Euro) verurteilt worden. Anschließend wurde sie freigelassen. Sie habe vor Gericht ihre Schuld bestritten und den Vorwurf erneuert, Russland begehe in der Ukraine als Aggressor ein Verbrechen. Sie wurde zunächst nicht nach dem neuen russischen Mediengesetz verurteilt, das bis zu 15 Jahre Haft für die Behauptung von „Falschnachrichten“ über das russische Militär vorsieht. Weil sich die Verurteilung wegen „Organisation einer nicht erlaubten öffentlichen Aktion“ auf ihr Video, nicht aber den Auftritt in der Nachrichtensendung bezog, war zunächst unklar, ob es zu einer weiteren Anklage kommen würde. In mehreren Interviews äußerte sich Owsjannikowa besorgt um ihre Sicherheit und die ihrer Kinder. Sie habe aber nicht vor, aus Russland zu fliehen; sie sei Patriotin. Jedoch erklärte sie, dass sie nicht sehr politisiert gewesen sei, sich aber ihre Unzufriedenheit über die Einschränkungen der politischen Teilhabe und die der Pressefreiheit in Russland über viele Jahre aufgestaut habe. Der Beginn des Krieges gegen die Ukraine sei der Punkt gewesen, an dem es für sie „kein Zurück mehr gab“. Für Owsjannikowa „war der Protest in erster Linie eine pazifistische Aktion“, weil es „im Interesse Russlands und der Welt“ sei, den Krieg „so schnell wie möglich zu beenden“. Sie hoffe, dass ihr Protest nicht umsonst gewesen sei und dass die russische Bevölkerung ihre Augen öffne und Kriegspropaganda genauer hinterfrage. In der oppositionellen Zeitung ''Nowaja Gaseta'' wurde sie in einem Kommentar als Nationalheldin bezeichnet, die die Ehre des Landes gerettet habe. Ihr Name werde in politische Lehrbücher und in die russische Geschichte eingehen und zitiert werden, wenn die Enkel*innen vieler heutiger Regierungsmitglieder sich nur ungern an ihre Vorfahren erinnern würden. Etwa eine Woche nach ihrem Protest rief sie in einem Interview mit dem US-Fernsehsender ''ABC'' zu Demonstrationen auf. Am 25. März 2022 wurde sie wegen „Diskreditierung“ der Armee angeklagt. Nach Angaben des zuständigen Gerichts sollte sich Owsjannikowa wegen Verstoßes gegen Artikel 20.3.3 verantworten. Das Gesetz gegen „Falschnachrichten“ war im März 2022 in Kraft getreten. Die Verhandlung war für den 14. April 2022 angesetzt. Danach gelang ihr die Ausreise nach Deutschland, seit Anfang Mai 2022 lebt sie in Berlin. Beim ''Women's Forum'' in Berlin am 21. Juni 2022 erklärte Owsyannikowa 3 Monate nach ihrer Protestaktion, "Ich bereue nichts." und: "Das Gute wird über das Böse siegen. Und ich werde weiter dafür kämpfen."<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Marina Owsjannikowa" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Marina_Owsjannikowa&oldid=223885003 Version vom 21. Juni 2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und leicht umgearbeitet.</ref> = Laterne = [[Datei:Laterne Rudelsburg-Hof.JPG|mini|Laterne an Hauswand (traditionelles Modell)]]Als '''Laterne''' bezeichnet man die Kombination aus einer selbstleuchtenden Lichtquelle und einem Wind- bzw. Regenschutz. Der Schutz vor Witterung und Staub bzw. mechanischer Belastung macht den dauerhaften, wartungsarmen Betrieb einer Lichtquelle im Freien überhaupt erst möglich. Die Montage von Laternen auf Lichtmasten ist insbesondere für die Straßenbeleuchtung gebräuchlich. Umgangssprachlich wird Laterne als Kurzform für die Straßenlaterne verwendet. == Geschichte == Laternen waren bereits im frühen Mittelalter gebräuchlich. Eine Lichtquelle, meist eine Kerze, seltener eine kleine Öllampe wurde in ein metallenes Gestell gesetzt, dessen Seitenflächen durch dünn geschabte Hornplatten oder zu jener Zeit aufwändiger durch Glas- oder Kristallscheiben gebildet waren. Sie dienten zum Aufhängen in Wohnräumen, als getragene Lichtquelle auf dunklen Straßen und Wegen (als Ausrüstung für Menschen, die Nachtwache gingen) und als Signale auf Schiffen. Es gab auch reine Blechlaternen mit vielen Löchern im (meist runden) Korpus, um Luft hinein und Licht herauszulassen. Hängelaternen aus Schmiedeeisen wurden im 16. Jahrhundert Gegenstand künstlerischer Ausbildung. Nachdem in vielen Dörfern ganze Häuserreihen abbrannten, wurden im 18. Jahrhundert strenge Anordnungen zur Verhütung von Bränden erlassen, in denen auch der vorschriftsmäßige Gebrauch von Laternen geregelt war. == Laternentechniken == Als Lichtquellen kommen verschiedene Techniken zum Einsatz: * Die Kinderlaterne, die meist anlässlich des Laternelaufens am Martinstag aus Karton und buntem, transparenten Papier hergestellt wird, wird mit einer Kerze oder einer batteriebetriebenen Glühlampe versehen (auch Lampion genannt). * Himmelslaternen können aufgrund der Hitze der leuchtenden Flamme wie ein Heißluftballon schweben und aufsteigen. * Bergleute, Höhlenforscher*innen und Kutscher*innen benutzten früher Laternen mit Kerzen oder Öl, später auch die Karbidlampe. Die Laterne musste wegen der Gefahr der Grubenexplosion (Schlagwetter) gekapselt und explosionsgeschützt sein. Diese Kapselung wurde durch Metallnetze realisiert, um den Sauerstoff der Luft zutreten zu lassen. Ein blauer Saum um die Flamme zeigte zudem das Vorhandensein explosiver Gase an. * Eine Schiffslaterne und die Positionslaterne muss ein Schiff gemäß gesetzlicher Vorschriften von Sonnenuntergang bis Sonnenaufgang oder am Tage bei unsichtigem Wetter zeigen (führen). Früher dienten dazu Petroleumlampen, heute werden dafür Glühlampen oder andere elektrische Leuchtmittel eingesetzt. * Gaslaternen wurden als Gasbeleuchtung von Straßen benutzt, sind aber heute nur noch in wenigen Städten im Einsatz. Im Camping- und Outdoor-Bereich werden Gaslaternen verwendet, die aus Gasflaschen und Gaskartuschen gespeist werden. * Die laternenähnliche Starklichtlampe erzeugt Licht mittels eines Glühstrumpfs, durch Verbrennung von verdampftem Petroleum. * Bei Straßenlaternen werden Natriumdampflampen, Halogen-Metalldampflampen oder Leuchtdioden verwendet. Auch die einzelnen Beleuchtungskörper der Straßenlampen selbst werden als Laterne bezeichnet.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Laterne" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Laterne&oldid=222759239 Version vom 10.5.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Schichtarbeit = [[Datei:Luminescent paint pigment applied on a diver’s watch to make it readable in low light conditions..jpg|mini|left|Gerade hat die Nachtschicht begonnen.]] Mit Schichtarbeit (oder Schichtdienst; englisch shift work) wird in der Wirtschaft eine Arbeitsgestaltung bezeichnet, bei der verschiedene Arbeitnehmer*innen nach einem bestimmten Zeitplan versetzt nacheinander am selben Arbeitsplatz eingesetzt werden, so dass sie ihre Arbeit innerhalb eines bestimmten Zeitraums zu unterschiedlichen Zeiten verrichten müssen. == Allgemeines == Schichtarbeit wird durchgeführt, wenn in einem Unternehmen länger als die übliche Tagesarbeitszeit gearbeitet werden soll oder aus anderen Gründen auch außerhalb der üblichen Tagesarbeitszeit Tätigkeiten oder Bereitschaftsdienste erforderlich sind. Durch Schichtarbeit wird die maximal mögliche Betriebszeit effizienter genutzt. Der Begriff Schichtarbeit findet eher in der Privatwirtschaft Verwendung, Schichtdienst hingegen häufiger im öffentlichen Dienst. Auf größeren Schiffen werden sowohl die Schichten als auch der zugehörige Teil der Schiffsbesatzung seit jeher als Wache bezeichnet. In Krankenhäusern wird der nächtliche Anteil des Schichtdienstes traditionell als Nachtdienst bezeichnet. In manchen Branchen ohne durchgehende Schichtarbeit sind auch die Begriffe Frühdienst und/oder Spätdienst gebräuchlich. In anderen wieder müssen sich Bedienstete lediglich für Notfälle zur Verfügung halten (siehe Bereitschaftsdienst). == Arten == Schichtarbeit wird als nicht kontinuierliche Schichtarbeit bezeichnet, wenn die Arbeitszeit am Ende des Arbeitstages unterbrochen wird, in der Regel bei einem Zweischichtbetrieb mit Früh- und Spätschicht (auch Mittagsschicht genannt). Von kontinuierlicher Schichtarbeit spricht man, wenn rund um die Uhr, also auch in einer Nachtschicht gearbeitet wird. Wird die kontinuierliche Schichtarbeit an Wochenenden unterbrochen, liegt teilkontinuierliche Schichtarbeit vor, sonst vollkontinuierliche Schichtarbeit, wenn auch die Wochenenden einbezogen sind. Muss ein*e Arbeitnehmer*in Schichtarbeit zu unterschiedlichen Tageszeiten leisten, handelt es sich um Wechselschicht. == Übliche Schichtsysteme == Im Industriebereich sind folgende Systeme weit verbreitet: '''Zweischichtbetrieb''' <br /> der als Faustregel zwei nacheinander liegende 8-Stunden-Schichten und damit eine Kapazitätsnutzung von 16 Stunden pro Tag ermöglicht. '''Dreischichtbetrieb''' <br /> der wie oben beschrieben einen Rundum-Betrieb in der Woche ermöglicht. '''Vier- oder Fünfschichtbetrieb''' <br /> der einen kontinuierlichen Arbeitsbetrieb 7 Tage und 24 Stunden ermöglicht. Je nach tariflicher Arbeitszeit der Mitarbeiter*in nutzt man bei „Vollkonti“ vier oder fünf Schichtgruppen. Beim Vierschichtbetrieb ergibt sich eine Wochenarbeitszeit von 42 Stunden für den Mitarbeiter oder die Mitarbeiterin. Liegt die Arbeitszeit darunter – was die Regel ist – gleicht man das durch zusätzlich gewährte Freischichten aus. Betragen die tariflichen Arbeitszeiten unter 38 Stunden pro Woche, wird das Arbeitszeitmanagement der Freischichten (es sind ja auch noch Urlaub und Feiertage und Zusatzfreischichten für die Arbeit an Sonn- und Feiertagen vorzusehen und Krankheit auszugleichen) sehr aufwändig, und es entstehen tendenziell arbeitswissenschaftlich ungünstige Arbeitsprofile für Beschäftigte. Dann bietet sich Fünfschichtbetrieb an. Die Arbeitszeit beträgt in diesem Fall 33,6 Stunden pro Woche. Eine höhere tarifliche Arbeitszeit führt dann zu so genannten Verfügungsschichten, die zum Krankheitsausgleich oder zur Weiterbildung eingesetzt werden können. Gerade Fünfschichtmodelle erlauben arbeitswissenschaftlich verhältnismäßig günstige Modelle. Je nach Art des Betriebs können auch andere Schichtsysteme oder überlappende Zeiten zur Arbeitsübergabe eingeplant werden. Die genauen Regelungen zu Arbeitszeiten werden im Allgemeinen in den Tarifverträgen grundsätzlich festgelegt und in Betriebsvereinbarungen für das jeweilige Unternehmen oder den Standort detailliert. Üblicherweise wird die Schicht des einzelnen Beschäftigten turnusmäßig gewechselt; es gibt aber auch Modelle (in Deutschland wenig verbreitet), in denen nur für eine bestimmte Schicht eingestellt wird (Dauernachtdienst beispielsweise). Schichtarbeit und „flexible Arbeitszeit“ gehen teilweise nahtlos ineinander über.<ref>Dieser Text basiert auf dem Beginn des Wikipedia-Eintrags "Schichtarbeit" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Schichtarbeit&oldid=216467190 Version vom 18. Oktober 2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet (gegendert).</ref> = Viren = [[Datei:Zika-chain-colored.png|mini|hochkant=1.2|Kapsid des Zikavirus, koloriertes Modell]] [[Datei:Bluetongue virus.gif|mini|hochkant=1.2|Blauzungenvirus im Elektronenmikroskop. Die Markierung entspricht 50&nbsp;nm]]'''Viren''' (Singular: das Virus, außerhalb der Fachsprache auch der Virus, von lateinisch virus ‚natürliche zähe Feuchtigkeit, Schleim, Saft, [speziell:] Gift‘) sind infektiöse organische Strukturen, die sich als Virionen außerhalb von Zellen (extrazellulär) durch Übertragung verbreiten, aber als Viren nur innerhalb einer geeigneten Wirtszelle (intrazellulär) vermehren können. Sie bestehen nur aus DNA oder RNA sowie aus Proteinen, die es ihnen ermöglichen, in eine Zelle einzudringen. Alle Viren enthalten mit den Nukleinsäuren das „Programm“ zu ihrer Vermehrung und Ausbreitung (einige Viren auch weitere Hilfskomponenten), besitzen aber weder eine eigenständige Replikation noch einen eigenen Stoffwechsel und sind deshalb auf den Stoffwechsel einer Wirtszelle angewiesen. Daher sind sich Virolog*innen weitgehend darin einig, Viren nicht zu den Lebewesen zu rechnen. Man kann sie aber zumindest als „dem Leben nahestehend“ betrachten, denn sie besitzen allgemein die Fähigkeit, ihre Replikation zu steuern, und die Fähigkeit zur Evolution. 2011 waren etwa 1,8 Millionen verschiedene rezente Arten von Lebewesen bekannt, die als Wirte für Viren fungieren, jedoch lediglich etwa 9110 Virenarten. Modellrechnungen zeigen jedoch, dass die Anzahl von Virenarten wahrscheinlich noch viel größer ist. So wurde 2013 berichtet, dass die Säugetiere alleine mindestens 320.000 noch unentdeckte Virenarten beherbergen. Da die Anzahl der Säugetierarten im Vergleich zu anderen Taxa winzig klein ist (lediglich rund 6500 Säugerarten, aber eine Million bekannte Arten von Insekten), kann von einer noch viel größeren Anzahl Virenarten ausgegangen werden. Da das Augenmerk der Virologie auf den Arten liegt, welche für die Humanmedizin, die Nutztiermedizin sowie für die Landwirtschaft bedeutsam sind, macht die offizielle Beschreibung und Benennung neuer Virenarten allerdings nur langsam Fortschritte. Viren befallen Zellen von Eukaryoten (Pflanzen, Pilze und Tiere einschließlich des Menschen) sowie von Prokaryoten (Bakterien und Archaeen). Viren, die Prokaryoten als Wirte nutzen, werden Bakteriophagen genannt; für Viren, die speziell Archaeen befallen, wird teilweise aber auch die Bezeichnung Archaeophagen verwendet. Die Wissenschaft, die sich mit Viren und Virusinfektionen beschäftigt, wird als Virologie bezeichnet.<ref>Dieser Text basiert auf dem Beginn des Wikipedia-Eintrag "Viren" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Viren&oldid=223181875 Version vom 26. Mai 2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht umgearbeitet.</ref> = Verein Niedersächsischer Bildungsinitiativen = [[Datei:Disabledandhere-filtermasknotebook.jpg|mini|Lernen]] [[Datei:Verein_Niedersächsischer_Bildungsinitiativen_Logo.svg|mini|Logo]]Der Verein Niedersächsischer Bildungsinitiativen (VNB) ist ein in Hannover ansässiger Verband von 48 Mitgliedsorganisationen, die mit unterschiedlichen Arbeitsschwerpunkten selbstorganisierte Bildungsarbeit durchführen. Der Verein unterstützt Erwachsene dabei, sich persönlich oder beruflich weiterzuentwickeln und ist auch beratend tätig, indem er Nichtregierungsorganisationen (NRO), ehrenamtliche Initiativen und Vereine bei ihren Projekten berät. Das Bundesland Niedersachsen erkannte 1990 den VNB als Landeseinrichtung der Erwachsenenbildung an, was zum Beispiel bedeutet, dass Sprach- und Integrationskurse durchgeführt werden können, die aus Bundesmitteln finanziell gefördert werden. Der Verein wurde am 12. Juni 1983 gegründet. Er versteht sich als Bildungswerk von Nichtregierungsorganisationen in Niedersachsen. Im VNB-Bildungswerk arbeiten Menschen und Institutionen aus der Ökologiebewegung, der Friedensbewegung und Eine-Welt-Bewegung zusammen. Weitere Arbeitsschwerpunkte bilden die Bereiche globales und interkulturelles Lernen sowie die geschlechtsbezogene Bildungsarbeit (Bereich Gender). Zu den Leitzielen der VNB-Bildungsarbeit gehören gleichberechtigt die Förderung individueller Selbstverwirklichung, politischer Mitgestaltung und gesellschaftlichen Engagements. Drei regionale Geschäftsstellen und die Landesgeschäftsstelle in Hannover koordinieren niedersachsenweit die Zusammenarbeit mit über 200 Bildungsinitiativen und Tagungshäusern. In diesem Bildungsnetzwerk sind rund 3800 Menschen überwiegend ehrenamtlich tätig. Zu den Mitgliedern des VNB gehören unter anderem die Heimvolkshochschule Akademie Waldschlösschen und der Verband Entwicklungspolitik Niedersachsen. Des Weiteren: eine Koordinierungsstelle ''frau''+wirtschaft (in Nienburg an der Weser), ein Projektbüro Lüneburg (mit den Schwerpunkten "Hochschulzugang und dem Studium ohne Abitur", "Studium in Deutschland für Migrant*innen und Geflüchtete", "Sprachkurse für Migrant*innen", "Gender und Diversity im Bereich der Erwachsenenbildung" sowie "Bildungsberatung und individuelle Kompetenzbilanzierung"), ein Projektbüro UmWELTbildung (Hannover), Projektbüro vielgestaltig* (Hannover) sowie drei Geschäftsstellen: für den Landesteil NordWest (in Barnstorf), in Göttingen und in Hannover. Überregional ist der VNB als Entsendeorganisation für "weltwärts" tätig, dem internationalen Freiwilligendienst des Bundesministeriums für wirtschaftliche Zusammenarbeit und Entwicklung, mit dem junge Leute ein Jahr ins Ausland gehen können, um dort zum Beispiel an deutschen Auslandsschulen pädagogisch unterstützend zu arbeiten. Im Jahr 2020 haben 7.446 Teilnehmer*innen die Bildungsangebote des VNB im Rahmen des Niedersächsischen Erwachsenenbildungsgesetzes wahrgenommen. Hinzu kommen die Besucher*innen der Tagungen und der Mobilen Lernausstellungen. Das VNB-Ausstellungsprojekt "Anne Frank – eine Geschichte für heute" wurde mit dem Innovationspreis 2013 des Niedersächsischen Bundes für freie Erwachsenenbildung ausgezeichnet. Der VNB arbeitet in transnationalen Projekten mit Partnern aus ganz Europa und dem globalen Süden zusammen. Inhalte der Zusammenarbeit sind u. a. die Bildung für nachhaltige Entwicklung, die Förderung von Maßnahmen zur Integration und Inklusion vulnerabler Gruppen und die Erprobung neuer Methoden in der Erwachsenenbildung. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Verein Niedersächsischer Bildungsinitiativen" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Verein_Nieders%C3%A4chsischer_Bildungsinitiativen&oldid=219056678 Version vom .11.1.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet, aus weiteren Quellen ergänzt und gekürzt.</ref> = Kerbverzahnung = [[Datei:Geräumte-Kerbverzahnung2.JPG|mini|Geräumte Kerbverzahnung einer Nabe]] Eine '''Kerbverzahnung''' ist eine Art der formschlüssigen Welle-Nabe-Verbindungen, mit denen im Maschinenbau Drehmomente und Leistungen von einer Welle oder einem Zapfen auf eine rotierende Nabe übertragen werden (oder umgekehrt von einer Nabe auf eine Welle). '''Welle-Nabe-Verbindungen''' dienen der Übertragung von Drehmomenten und die Kerbverzahnung ist eine spezielle Art der Passverzahnung. Dabei greifen die spitz zulaufenden Zähne der Welle in die der Nabe. Als '''Nabe''' bezeichnet man den Teil eines Bauelements, der mit einer Welle, Achse oder einem Zapfen verbunden wird. Es könnte z.&nbsp;B. in einem Zahnrad, Hebel oder Rad stecken. Bei einem Rad (etwa an einem Fahrrad oder Kraftfahrzeug) ist die Radnabe das Zentrum des Rades. Sie dreht sich um die Achse, über die sie mit zwei Lagern verbunden ist. Die Ausführung der Wellen und Naben ist in der DIN 5481 und der ISO 4156 geregelt. Gemäß DIN 5481 haben die Zähne der Wellen bei der Herstellung einen konstanten Lückenwinkel von 60°. Der Lückenwinkel der Zähne der Nabe ist abhängig von der Zähnezahl. Die Welle kann durch Walzen, Profilfräsen oder Wälzfräsen hergestellt werden. Die Nabe wird zumeist durch Räumen oder Wälzstoßen hergestellt. Die Profile der Flanken sind dabei gerade oder evolventisch. Insbesondere durch das Wälzfräsen der Welle entstehen Evolventen. Die Kerbverzahnung dient zum Verbinden von Wellen und Naben. Im Unterschied zur Keilwellenverbindung ist diese Verbindung aus Verschleißgründen jedoch nicht axial verschiebbar. Ein Vorteil gegenüber der Passfederverbindung ist, dass Welle und Nabe in ihren Durchmessern weniger geschwächt werden. Jedoch können nur kleine Drehmomente übertragen werden, da die Zahnfußtragfähigkeit durch die kleinen Zähne gering ist. Die Zentrierung von Welle und Nabe erfolgt über die Zahnflanken.<ref>Dieser Text basiert auf den Wikipedia-Einträgen "Kerbverzahnung" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Kerbverzahnung&oldid=195929060 Version vom 17.1.2020], "Nabe" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Nabe&oldid=219168719 Version vom 14.1.2022] sowie "Welle-Nabe-Verbindung" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Welle-Nabe-Verbindung&oldid=216732487 Version vom 27.10.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] zusammengestellt.</ref> = Ute Bock = [[Datei:Bock for President, Audimax, 31.10.2009 (5).jpg|mini|Bock mit Houchang Allahyari und dessen Sohn Tom-Dariush bei der Vorpremiere des Films ''Bock for President'' (2009)]]'''Ute Bock''' (* 27. Juni 1942 in Linz; † 19. Jänner 2018 in Wien) war eine österreichische Erzieherin, Flüchtlingshelferin und Menschenrechtsaktivistin. Sie wurde durch ihren Einsatz für Asylwerber*innen und Geflüchtete bekannt, die sie mit dem in Wien beheimateten Verein '''Flüchtlingsprojekt Ute Bock''' mit Wohnraum, Kleidung, Kursen und der Vermittlung von juristischer und medizinischer Hilfe unterstützte. == Biografie == Nach der Matura bewarb sie sich auf Wunsch ihres Vaters bei der Gemeinde Wien um eine Stelle, wo die Arbeitsplätze traditionell als sicher galten. Ohne eine weitere Ausbildung wurde ihr als einzige Beschäftigungsmöglichkeit die Arbeit als Erzieherin angeboten. Von 1962 bis 1969 war sie im städtischen Heim in Biedermannsdorf tätig, danach wechselte sie als „Heimmutter“ in das Gesellenheim Zohmanngasse im 10. Wiener Gemeindebezirk. In einem 2012 geführten Interview erzählte sie über diese Zeit: „Das war nicht einfach. Es war sicher auch nicht alles in Ordnung, was ich gemacht hab, ich hab auch Detschn ausgeteilt. Das war damals so üblich […]. Nicht nur in Heimen, sondern auch in den Familien. Schrecklich, aber es war so.“ 1976 wurde sie Leiterin des Heimes, das zunehmend als „letzte Station für schwierige Fälle“ galt. Mit Beginn der 1990er Jahre schickte das Jugendamt vermehrt ausländische Jugendliche, anfangs Geflüchtete der Jugoslawienkriege, später auch aus Afrika, in das Heim in der Zohmanngasse. Häufig waren das Jugendliche, die etwa keine Bundesbetreuung, also keine staatliche Unterstützung während ihres Asylverfahrens, mehr erhielten. Bock bemühte sich darum, ihnen Deutschkurse, Gelegenheitsjobs und Schlafplätze auch außerhalb des überfüllten Heimes zu vermitteln. Damit einher ging auch ihr zunehmendes Engagement für Asylwerber*innen. Im Herbst 1999, wenige Tage vor der Nationalratswahl in Österreich, wurde von der Polizei im Rahmen der umstrittenen Operation Spring auch im Haus in der Zohmanngasse eine Razzia durchgeführt. Etwa 30 Jugendliche afrikanischer Herkunft wurden wegen des Verdachts auf Drogenhandel festgenommen und Bock wegen Bandenbildung und Drogenhandels angezeigt und zeitweise vom Dienst suspendiert. Die Anklage wurde später fallengelassen, allerdings wurde ihr verboten, weitere afrikanische Asylwerber*innen in der Zohmanngasse unterzubringen. Bock verstarb am 19. Jänner 2018 im Alter von 75 Jahren nach kurzer, schwerer Krankheit im Ute-Bock-Haus in Wien. == Flüchtlingsprojekt Ute Bock == Im Jahr 2000 ging Bock in Pension und kümmerte sich ab diesem Zeitpunkt ehrenamtlich ständig um das von ihr initiierte Hilfsprojekt für Geflüchtete und Asylwerber*innen. Am 21. Mai 2002 wurde der Ute Bock Verein – Wohn- und Integrationsprojekt gegründet, der 2022 bereits sein zwanzigjähriges Bestehen feiert. Unterstützt von einem Netzwerk überwiegend ehrenamtlicher Helfer organisierte Bock nun private Wohngemeinschaften und Familienwohnungen, die sie mit Hilfe von Spenden und aus eigener Tasche finanzierte und betreute. In ihrem Wohnprojekt stellte sie bald rund 100 Wohnungen für über 300 Menschen aus mehr als 20 Ländern bereit, die, ohne Unterstützung von staatlicher Seite, ansonsten obdachlos wären. Weitere rund 1000 obdachlose Asylwerber*innen haben im Rahmen eines Post- und Meldeservices ihre Zustelladresse, eine Voraussetzung etwa für den Schriftverkehr mit Behördenstellen, beim Verein Ute Bock. Daneben hilft der Verein, auch in Kooperation mit NGOs, juristische Beratungen für die Geflüchteten zu organisieren, betreibt eine kostenlose Kleidungsausgabe und vermittelt im Rahmen eines Bildungsprogrammes verschiedene Kurse (Deutsch, Alphabetisierung, Informationskompetenz u. a.). 2008 stand Bocks Verein finanziell vor dem Aus, wurde dann aber von dem Unternehmer Hans Peter Haselsteiner substantiell unterstützt. Haselsteiner kaufte über seine Privatstiftung Concordia auch 2011 das Gebäude des ehemaligen Gesellenheimes in der Zohmanngasse im 10. Wiener Gemeindebezirk von der Stadt Wien und finanzierte Renovierung und Umbau, um es Bocks Verein als Wohnheim („Ute Bock Haus“) zur Verfügung zu stellen. Im Mai 2012 bezog der Verein das Haus mit Wohnraum für rund 70 Geflüchtete und Platz für Beratungseinrichtungen, wo auch Ute Bock selbst in einer kleinen Wohnung lebte. Die Einrichtung des Heims führte zu Konflikten mit Anrainern, die die hauptsächlich aus Tschetschenien, Nigeria und Somalia stammenden Bewohner für Unruhe und Kriminalität in der Umgebung verantwortlich machten. 2015 lebten rund 250 Menschen aus 39 Ländern in 60 externen Wohnungen und 70 Einzelzimmern des ''Ute Bock Hauses'' im 10. Wiener Gemeindebezirk und 700 Menschen waren beim Post- und Meldeservice über den Verein registriert. Zusätzlich diesem Wohnprojekt bietet der Verein diverse Ausbildungs- und Beratungsangebote. Weiters organisiert er die Vermittlung von Deutschkursen und anderen Ausbildungen. Zusätzlich unterhält das Flüchtlingsprojekt ein Post- und Meldeservice, um den Geflüchteten eine geordnete Kontaktaufnahme mit den Behörden zu ermöglichen. == Filme == [[Datei:Österreichischer Filmprei 2011 Pressekonferenz10 Ute Bock.jpg|mini|hochkant|Ute Bock (2011)]]Der österreichische Filmemacher Houchang Allahyari hat Ute Bock zusammen mit seinem Sohn Tom-Dariusch Allahyari in den Jahren 2008 und 2009 mit der Kamera bei ihrer täglichen Arbeit begleitet. Der Dokumentarfilm "Bock for President" wurde in einer Kooperation von Stadtkino und Viennale während der Studierendenproteste im Winter 2009 im besetzten Audimax der Universität Wien als Vorpremiere erstmals am 31. Oktober gezeigt. Die offizielle Premiere fand am 1. November im Rahmen der Viennale im Künstlerhaus-Kino statt, Kinostart in Österreich war am 15. Jänner 2010. 2010 widmete sich Houchang Allahyari erneut mit einem Filmprojekt dem Leben Ute Bocks. Im Spielfilm "Die verrückte Welt der Ute Bock" wirken unter anderem Josef Hader, Karl Markovics, Viktor Gernot, Andreas Vitasek, Julia Stemberger, Dolores Schmidinger, Peter Kern und Alexander Pschill mit. Gezeigt werden die Arbeit Bocks, die auch als sie selbst zu sehen ist, und die Geschichten von Menschen, mit denen sie dabei zusammentrifft – von den Geflüchteten, die sich selbst spielen, bis zu den Polizisten. Der Start in den österreichischen Kinos hat im November 2010 stattgefunden. == Auszeichnungen == [[Datei:Graffiti für Ute Bock am Wiener Donaukanal.jpg|thumb|Graffiti für Ute Bock am Wiener Donaukanal]]Für ihr soziales Engagement wurde Bock vielfach ausgezeichnet: 1999: Ute-Bock-Preis für Zivilcourage <br/> 2000: UNHCR-Flüchtlingspreis <br/> 2002: Bruno Kreisky Preis für Verdienste um die Menschenrechte <br/> 2002: Dr. Karl-Renner-Preis <br/> 2003: Greinecker Seniorenpreis des ORF <br/> 2003: Marietta und Friedrich Torberg-Medaille <br/> 2004: Spin the Globe-Award <br/> 2004: Preis des Österreichischen Roten Kreuzes <br/> 2004: Interkulturpreis Oberösterreich <br/> 2004: Nominierung zur Österreicherin des Jahres in der Kategorie Humanität. Das Preisgeld wurde unter dem Preisträger Georg Sporschill und vier weiteren Nominierten aufgeteilt. <br/> 2005: Eine von fünf Österreicherinnen, die beim Projekt 1000 Frauen für den Friedensnobelpreis 2005 ausgewählt wurden <br/> 2007: Weltmenschpreis <br/> 2010: Nominierung zur Österreicherin des Jahres in der Kategorie Humanitäres Engagement <br/> 2011: „Mitten im Leben“-Preis <br/> 2012: Goldenes Verdienstzeichen der Republik Österreich <br/> == Ehrungen posthum == [[Datei:Lichtermeer in Gedenken an Ute Bock.jpg|mini|hochkant=1.3|Lichtermeer in Wien in Gedenken an Ute Bock]] Am 2. Februar 2018 fanden auf dem Heldenplatz in Wien sowie in Bregenz, Innsbruck und Klagenfurt Gedenkveranstaltungen für Bock statt. Am „Lichtermeer für Ute Bock“ in Wien nahmen zwischen 6000 (Polizeischätzung) und 10.000 (Veranstalterschätzung) Menschen teil. Durch den Abend führte Hans Peter Haselsteiner, es sprachen Christl Weinberger (Vorstand des ''Flüchtlingsprojekts Ute Bock''), Ariane Baron (Mitarbeiterin im Ute-Bock-Haus) und Bewohner des Hauses sowie der frühere Bundespräsident Heinz Fischer und der amtierende Alexander Van der Bellen, Erich Fenninger, Heinrich Staudinger, Ferdinand Maier, Irene Brickner und Houchang Allahyari. Das Ute-Bock-Haus wird seinen Namen behalten, auch wenn es vielleicht später einmal eine neue Leitfigur gibt. In Favoriten, dem 10. Wiener Gemeindebezirk, wurde im Dezember 2020 beschlossen, eine neu entstehende Verkehrsfläche zwischen Windtenstraße und Gussriegelstraße, unweit des Ute-Bock-Hauses an der Zohmanngasse, Ute-Bock-Weg zu nennen. == Publikationen == * Ute Bock mit Cornelia Krebs (Fotografin) (Hrsg.): Ute Bock. Die Geschichte einer Flüchtlingshelferin. Molden Verlag, Wien 2010, ISBN 978-3-85485-268-1.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Ute Bock" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Ute_Bock&oldid=222366938 Version vom 25.4.20212] sowie auf dem Artikel "Flüchtlingsprojekt Ute Bock" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Fl%C3%BCchtlingsprojekt_Ute_Bock&oldid=208813246 Version vom 14.2.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Schachnovelle (Stefan Zweig) = [[Datei:Die Erstausgabe der Schachnovelle von Stefan Zweig.jpg|mini| Die Erstausgabe der Schachnovelle von Stefan Zweig]]'''Schachnovelle''' ist ein kurzer Roman (Novelle) von Stefan Zweig, den er 1941-1942 auf der Flucht vor deutschen und österreichischen Nationalsozialisten im brasilianischen Exil verfasste.<ref>[https://de.wikipedia.org/wiki/Schachnovelle Wikipedia-Eintrag "Schachnovelle"]</ref> Die Geschichte ließe sich folgendermaßen zusammenfassen: Im Salon eines Passagierschiffes treffen Ende der 1930er Jahre einige schachinteressierte Männer aufeinander. Einer von ihnen ist amtierender Weltmeister, ein weiterer möchte etwas über ihn herausfinden. Ein Dritter hält sich selbst für einen so guten Schachspieler, dass er den Weltmeister zu einem Spiel herausfordern will. Da dieser Dritte über viel Geld verfügt, zahlt er dem Weltmeister ein Honorar von 250 Dollar pro Spiel. Sie haben schon eine Gruppe von Zuschauern. Damit es ihm nicht zu langweilig werde, solle es maximal 10 Minuten pro Schachzug zum Überlegen geben, sagt der Weltmeister, der eingesehen hatte, dass die Gegenseite sich untereinander würde beraten müssen. Er verlässt den Spieltisch und wartet ab. Dann kommt ein Vierter hinzu, der eine sehr kluge Lösung vorschlägt. Bald zeigt sich, dass es jetzt für den herausgeforderten Schachweltmeister komplizierter wird, und tatsächlich verliert er. Für die Revanche, der er zustimmt, werden ihm erneut 250 Dollar gezahlt. Der Zweite am Tisch möchte gern herausfinden, woher der Vierte seine Kenntnisse hat. In einem Gespräch, dass diese beiden daraufhin miteinander führen, stellt sich heraus, dass der Vierte mit dem Memorieren von Schachpartien der psychischen Folter der Nazis widerstehen konnte und entkommen war. Diese Kenntnisse kann jener zwar nun auf der Schiffsreise sehr gut einsetzen, aber ihm selbst tut es nicht gut.<ref>Dieser Text wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] selbst verfasst.</ref> = Blutkörperchen = [[Datei:Erythrocytes (red blood cells) Rouleaux stacking.gif|mini|150px|Erythrozyten in 400-facher Vergrößerung, Patient mit Sichelzellkrankheit]] Als '''Blutkörperchen''' ('''Blutzellen''', '''Hämatocyten''', '''Hämocyten''' oder '''Hämozyten''') werden Zellen bezeichnet, die sich im Blut oder der Hämolymphe vieler Gruppen von Lebenwesen finden. Erstmals erkannt wurden Blutkörperchen 1658, als Jan Swammerdam das seinerzeit neu eingeführte Mikroskop zur Untersuchung von Froschblut verwendet hatte. '''Blutzellen bei Wirbeltieren''' Bei Wirbeltieren gibt es verschiedene Arten von Blutkörperchen: * '''weiße Blutkörperchen oder Leukozyten'''. Zu ihnen gehören alle Blutzellen mit Zellkern: Lymphozyten, Monozyten und Granulozyten. Diese bilden das zelluläre Immunsystem zur Vernichtung eingedrungener Krankheitserreger und Fremdkörper. * '''rote Blutkörperchen oder Erythrozyten''', die Sauerstoff transportieren. * '''Blutplättchen oder Thrombozyten''', die für eine Gerinnung des Blutes und Wundverschluss sorgen. Alle Wirbeltier-Blutzellen entstehen aus hämatopoetischen Stammzellen in einem Prozess, der als '''Hämatopoese''' bezeichnet wird. '''Erythrozyten bei Wirbellosen''' Erythrozyten, also Zellen, die Blutfarbstoffe enthalten, gibt es außer bei den Wirbeltieren auch bei Hufeisenwürmern und jeweils einigen Vertretern der Polychaeten, Weichtiere und Stachelhäuter. Die Erythrozyten der Hufeisenwürmer befinden sich wie die der Wirbeltiere im Blutkreislauf, die der anderen genannten Wirbellosen jedoch meistens in der Gewebsflüssigkeit. '''Hämozyten bei Insekten''' Bei Insekten werden Hämozyten in drei Hauptklassen eingeteilt: Die kleinen Plasmozyten können eingedrungene Erreger durch Phagozytose aufnehmen oder zerstören. Große Lamellozyten werden bei einer Infektion durch Parasiten gebildet. Kristallzellen können mit Hilfe ihrer Enzyme eingedrungene Erreger lysieren.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Blutkörperchen" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Blutk%C3%B6rperchen&oldid=222662428 Version vom 6.5.202] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Schiffshebewerk Niederfinow = [[Datei:17-05-23-Fotoflug Barnim-a RR70818.jpg|mini|150px|Schiffshebewerk Niederfinow, 2017, im Hintergrund das neue Hebewerk]] Das Schiffshebewerk Niederfinow in Brandenburg ist eine Schiffsschleuse für große Höhenunterschiede. Es wurde am 21. März 1934 in Betrieb genommen und ist das älteste noch arbeitende Schiffshebewerk Deutschlands. Es liegt am östlichen Ende des Oder-Havel-Kanals in Niederfinow/Brandenburg und überwindet den Höhenunterschied von 36 Metern. Das Schiffshebewerk Niederfinow ist integraler Bestandteil der internationalen Wasserstraße E70 von Rotterdam, Niederlande, bis nach Klaipeda, Litauen. Das Bauwerk ist ein geschütztes Industriedenkmal nach der Haager Konvention zum Schutz von Kulturgut bei bewaffneten Konflikten. Im Dezember 2007 erhielt es die von der Bundesingenieurkammer erstmals verliehene Auszeichnung ''Historisches Wahrzeichen der Ingenieurbaukunst in Deutschland''. Parallel zum bisherigen Hebewerk wurde ab 1997 das Schiffshebewerk Niederfinow Nord, das für größere Schiffe geeignet ist, errichtet. Es befindet sich nach jahrelanger Verzögerung im Probebetrieb und soll voraussichtlich im dritten Quartal 2022 offiziell eingeweiht werden. == Altes Schiffshebewerk 1743 bis 1927 == Da der in den Jahren 1743 bis 1746 gebaute zweite Finowkanal am Ende des 19. Jahrhunderts an seine Belastungsgrenze gestoßen war, beschloss die preußische Regierung mit Gesetz vom 1. April 1905 den Bau des Großschifffahrtsweges Berlin–Stettin, der im September 1906 mit dem ersten Spatenstich begann. Dieses Gesetz legte auch den Grundstein für das Schiffshebewerk Niederfinow. Bei dem im Jahr 1906 durch das preußische Ministerium ausgeschriebenen öffentlichen Wettbewerb für das Abstiegsbauwerk in Niederfinow gingen zehn Entwürfe ein, sechs für den Bau von Senkrecht-Hebewerken. Im Oktober 1908 beschloss man jedoch den Bau einer Schleusentreppe. Gleichzeitig sollten weitere Untersuchungen für ein zweites Abstiegsbauwerk mit folgenden Grundideen angestellt werden: * einfache senkrechte Hebung mit Gegengewichtsausgleich, * schwingende Hebung durch Waagebalken, * halbkreisförmige Hebung durch eine schwimmende Trommel. 1912 endete der zweite, beschränkte Wettbewerb. Als Gewinner ging der Entwurf von Beuchelt & Co. in Grünberg (Schlesien) hervor: Schiffshebewerk mit gleicharmigen Waagebalken. Dieser Entwurf war eine Weiterentwicklung eines Beitrages der Ausschreibung von 1906. Die Regierung genehmigte den von der königlichen Bauleitung Eberswalde 1914 ausgearbeiteten Entwurf für ein Schiffshebewerk mit Waagebalken und bestimmte ihn zur Ausführung. 1918 sollte das Hebewerk seinen Betrieb aufnehmen, jedoch durchkreuzte der Erste Weltkrieg alle diese Planungen. Nach dem Ersten Weltkrieg wurden die Planungen für das Hebewerk wieder aufgenommen. Es wurden die Entwürfe von 1906, 1912 und 1914 zusammengefasst untersucht, Weiterentwicklungen wurden eingearbeitet. Das Ergebnis lag im September 1923 vor. Auf Grund neuer Erkenntnisse zur Betriebssicherheit, die bei Hebewerken mit Hubzylinder, Schwinghebel und Waagebalken auf nur sehr wenigen beweglichen, stark belasteten Bauteilen lag, wurden die Pläne verworfen und man besann sich auf das System Hebewerk mit an Drahtseilen hängenden Gegengewichten. Durch Aufteilung des Troggewichtes auf eine große Anzahl von Drahtseilen, Seilscheiben, Lager und Gegengewichte konnte selbst bei Ausfall mehrerer Teile eine gewisse Betriebssicherheit erreicht werden. Ein weiterer Grund für den Systemwechsel waren veränderte Rahmenbedingungen. Waren die früheren Planungen für Schiffe mit 650 Tonnen Tragfähigkeit ausgelegt, sollten nun Schiffe mit 1000 Tonnen Tragfähigkeit geschleust werden. Hier sah man im Gegengewichtshebewerk die wenigsten Schwierigkeiten. Bereits 1921 vollzog sich ein folgenreicher Wechsel im politischen Raum, die Reichswasserstraßenverwaltung übernahm von der ehemals Königlichen Bauverwaltung Eberswalde, fortan Neubauamt Eberswalde, die Zuständigkeit für die Projektentwicklung. Das Neubauamt unter Leitung von Kurt Plarre arbeitete alle Vorschläge erneut durch und präsentierte dem Ministerium als Ergebnis den Entwurf eines Gegengewichtshebewerkes mit Spindelsicherung. Parallel dazu erarbeitete das Reichsverkehrsministerium ein eigenes Projekt. 1923 erteilte das Ministerium dem Neubauamt Eberswalde den Auftrag zur Prüfung des von Oberregierungsbaurat Alfred Loebell seit 1921 entwickelten Hebewerks mit Drehriegel. Das loebellsche System sieht ein mit dem Antrieb gekoppeltes Sicherheitssystem vor. Vier Schraubenspindeln (Drehriegel) drehen sich in einer zweifach geschlitzten Mutter (Mutterbackensäule) synchron zur Trogfahrt. Nach der Vorstellung des loebellschen Systems kam es zu diversen, teils schweren Debatten zwischen den Ingenieuren des Reichsverkehrsministeriums und den Ingenieuren des Neubauamtes Eberswalde über die Herstellbarkeit und Verwendbarkeit der einzelnen Trogantriebsvarianten. Mit einem Erlass im März 1924 beendete das Reichsverkehrsministerium alle Diskussionen und lehnte alle anderen Alternativen zu dem von ihm favorisiertem System Loebell ab. Gleichzeitig wurde die Überarbeitung aller Zeichnungen und Planungen und die Erstellung eines Gesamtentwurfs angeordnet. Dieser Gesamtentwurf sollte die Grundlage zur Fertigung von Modellen sein und gleichzeitig zur Vorlage bei der Akademie des Bauwesens zur Begutachtung dienen. Nach Einarbeitung eventueller Einwände der Akademie diente der Gesamtentwurf als Grundlage der Ausschreibung. Es folgten aufwendige Untersuchungen zu den geologischen Verhältnissen in Niederfinow und zu den Anforderungen der Seile. In den Eberswalder Ardelt-Werken wurden an großen Modellen diverse Bauteile erprobt. Am 11. Mai 1927 veröffentlichte die Akademie des Bauwesens ihr zustimmendes Gutachten und der Weg für den Bau des Schiffshebewerkes Niederfinow war frei. Auf der Grundlage des sorgfältig durchgearbeiteten Entwurfs entstand ein hochsolides, zuverlässiges Werk der Technik. == Bau (1927–1934) und Baustelleneinrichtung == Um den Bau des Schiffshebewerkes bewältigen zu können, war eine große Baustelleneinrichtung erforderlich. Diese wurde parallel zu den aufwendigen Baugrunduntersuchungen ab 1925 hergestellt. So wurden im Ober- und Unterhafen der Schleusentreppe temporäre Umschlagstellen angelegt. Mittels einer extra eingerichteten Baustellenbahn wurden die angelieferten Materialien zur Baustelle transportiert. Eisenbahnwagen mit Bauteilen wurden über eine Fährverbindung zwischen Atomill (einem Ortsteil von Niederfinow) und einem temporären Anleger oberhalb der Lieper Schleuse auf dem Finowkanal zur Baustelle gebracht. Vom damals in Atomill bereits bestehenden Hafen mit Gleisanschluss sind heute nur noch Fundamentreste zu sehen. In einer Mischanlage wurde der Kies, der aus den Niederfinower Kiesgruben nahe der Baustelle stammte und mittels einer Seilbahn herangeschafft wurde, mit dem angelieferten Zement, Splitt und Trass vermischt. Es wurden Werkstätten für Holz und Metallarbeiten, Lagerräume, mehrere Wohnhäuser, eine Kantine und ein großes Bürogebäude errichtet. Die gesamte Baustelleneinrichtung verfügte über eine eigene Kanalisation. Um während der Bauphase die Stromversorgung zu sichern, wurde ein Dieselmotorenkraftwerk gebaut. Gleichzeitig wurde auch die Landstraße Niederfinow–Liepe als Notstraße in einem großen Bogen um die Baustelle umgeleitet. Das Bürogebäude wurde nach der Fertigstellung des Schiffshebewerks zu einer Gaststätte umgebaut. Das Kraftwerk wurde bis 1990 betriebsbereit gehalten. Wegen des Hebewerkneubaus mussten beide Gebäude abgerissen werden, das Krafthaus wurde als Schauanlage an anderer Stelle neu errichtet. === Grundbau === Um sich einen Überblick über den Baugrund zu verschaffen, wurde mit Hilfe von etwa 300 Bohrungen ein Bodenprofil erstellt. Das Ergebnis der Baugrunduntersuchung war ein Abrücken des Hebewerkes vom Hang, was eine längere Kanalbrücke zur Folge hatte. Die Fundamente der Stützpfeiler der Kanalbrücke sollten die gleiche Gründungstiefe wie die Bodenplatte des Schiffshebewerkes erhalten. Ebenso wurde mit einem Gutachten vom 11. Oktober 1926 die Reihenfolge für die Erstellung der Grundbauten von Osten nach Westen festgelegt. Außerdem sollte das Grundwasser abgesenkt werden. Im Spätherbst 1926 wurde mit dem Aushub der Baugrube für die Gründung des Hebewerkes begonnen. Eine Grundwasserabsenkungsanlage wurde in Betrieb genommen. 1927 und 1928 wurden der untere Vorhafen bis zur Notstraße heran, der Oberhafen mit seiner umfangreichen Sohlendichtung, die Anlegepfeiler, Ufermauern, das Sicherheitstor sowie das Landwiderlager der Kanalbrücke fertiggestellt. Die eigentliche Gründung des Schiffshebewerkes erfolgte ab Sommer 1928. Die Baugrube war ca. 10 Meter tief ausgehoben und ein großer Teil der Hangböschung für die Gründung des Ostpfeilers der Kanalbrücke abgetragen. Das Grundwasser noch tiefer abzusenken war mit Rücksicht auf die Schleuse IV der Schleusentreppe nicht möglich. So mussten die Grundpfeiler der Trogkammersohle bis zum tragfähigen Baugrund in rund 20 Metern Tiefe unter Geländeoberkante ins Grundwasser hinein gebaut werden. Dies geschah mittels des Druckluft-Gründungsverfahrens. Es wurden stählerne Gerüste von bis zu 300 m² Grundfläche zusammengenietet und mit Beton umhüllt. So entstanden Senkkästen mit scharfen Schneiden ringsum, die im Inneren einen Arbeitsraum von ca. 2,20 Metern Höhe hatten. Der Boden, der unter den Schneiden gelöst wurde, wurde durch eine Öffnung in der Decke nach oben befördert, und der Kasten sackte durch sein hohes Eigengewicht ständig nach. Bei Erreichen des Grundwasserstandes wurde alles luftdicht verschlossen und durch eine Rohrleitung Druckluft in den Arbeitsraum gepresst. Dadurch wurde das Wasser aus dem Arbeitsraum vertrieben. Solange die Arbeitskammer unter Luftdruck stand, sackte der Senkkasten nicht mehr selbstständig nach. Dies wurde erst wieder erreicht, nachdem der Überdruck abgesenkt wurde. Bei Erreichen der Gründungstiefe in etwa 10 m unter dem Grundwasserstand herrschte im Arbeitsraum ein Überdruck von rund einem Bar. Der Ostpfeiler der Kanalbrücke, der 1929 abgesenkt wurde und eine Gesamthöhe von 29 Metern hat, reicht bis 19 Meter unter das Grundwasser hinab. In Endtiefe herrschte in der Arbeitskammer ein Überdruck von rund zwei Bar. Der Westpfeiler der Kanalbrücke mit seiner Gesamthöhe von 22 Metern konnte ohne Druckluft abgesenkt werden, da Wasser erst in der Gründungssohle angetroffen wurde. Sobald die Pfeiler die gewünschte Tiefe erreicht hatten, wurden die Arbeitskammern und die Aufzugsschächte mit Beton verfüllt. Der Grundbau des Schiffshebewerkes und der Ostpfeiler wurden 1929 fertiggestellt, die gesamte Trogkammer und der Westpfeiler 1930. === Errichtung des Hebewerkes === Für die Aufstellung des Hebewerkgerüstes wurde im Herbst 1930 ein etwa 60 Meter hoher Bockkran errichtet. Er hatte eine Spurbreite von 46,70 Metern und eine Gesamtarbeitsbreite von rund 56 Metern. Er überspannte die gesamte Trogkammer. Das Betriebsgewicht des Kranes betrug 237 t. Mit diesem Kran war es möglich, vorgefertigte Stahlbauteile von bis zu 25 t zu heben. Die gesamte Bedienung des Kranes erfolgte vom Steuerstand des Maschinenhauses, welches sich in 30 Metern Höhe auf dem Querriegel der beiden nördlichen Portalstützen befand. Im Februar 1931 begannen die eigentlichen Aufstellarbeiten des Hebewerkgerüstes in der Reihenfolge: Mittelturm, Westturm, Ostturm. Während ab Sommer 1931 der Westturm errichtet wurde, erfolgte gleichzeitig der Einbau der Mutterbackensäulen im Mittelturm. Anschließend wurde mit dem Einbau des Troges begonnen. Nachdem im Herbst 1931 auch der Ostturm errichtet war, wurde ein Hilfsgerüst aus Holz für den Bau der Kanalbrücke aufgebaut. Im Frühjahr 1932 war das gesamte Hebewerksgerüst einschließlich der wesentlichen Einbauten aufgestellt. Im Herbst 1932 war auch die Kanalbrücke fertiggestellt. Im April 1933 war der Trog mit seiner gesamten technischen Ausrüstung so weit fertig, dass erste Versuchsfahrten mit leerem Trog und entsprechend weniger Gegengewichten erfolgen konnten. Im Oktober 1933 waren alle Gegengewichte eingehängt, der Trog vollständig mit Wasser gefüllt und der Stahlbau fertig. Die Hubhöhe des Trogs beträgt 36 m. Anfang März 1934 erfolgte ein zwölftägiger Abnahmebetrieb und am 21. März 1934 wurde das Schiffshebewerk seiner Bestimmung übergeben. == Generalüberholung 1980 und Neubau seit 1997 == 1980 wurde das Hebewerk einer Generalüberholung unterzogen, 1984/1985 wurden auch die Tragseile erneuert. Heute ist das Schiffshebewerk für Schubverbände zu kurz, sodass die Einheiten getrennt werden müssen. Es ist heute mit jährlich ca. 11.000 Schiffen an seiner Kapazitätsgrenze angelangt, weswegen 1997 der Neubau eines größeren Hebewerkes beschlossen wurde. Im Herbst 2006 begannen die Erdarbeiten zwischen dem heutigen Hebewerk sowie der Schleusentreppe und es erfolgte der Teilabriss der vierten (untersten) Schleuse. Die Grundsteinlegung erfolgte am 23. März 2009. Der Trog soll 115 Meter Nutzlänge, 12,5 Meter Nutzbreite und vier Meter Tiefe erhalten (geeignet für Großmotorgüterschiffe) und gefüllt 9800 Tonnen wiegen. Da ein Schiff stets so viel Wasser verdrängt, wie es selbst wiegt, bleibt das Gewicht des wassergefüllten Troges immer dasselbe. Die Kosten sollten sich 2008 auf 285 Millionen Euro belaufen. Die erste Durchfahrt sollte 2017 stattfinden, das alte Hebewerk aber noch bis mindestens 2025 in Betrieb bleiben. Mitte 2018 war eine Fertigstellung „eventuell 2019“ geplant, die Kosten lagen bei 300 Millionen Euro. Im Juli 2021 wurde über mögliche Kostensteigerungen in Höhe von 225 Millionen Euro berichtet. Eine Inbetriebnahme soll im dritten Quartal 2022 erfolgen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Schiffshebewerk Niederfinow" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Schiffshebewerk_Niederfinow&oldid=222150334 vom 17.4.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Lied (Gotthold Ephraim Lessing) = Lied Aus dem Spanischen Gestern liebt‘ ich, Heute leid‘ ich, Morgen sterb‘ ich: Dennoch denk‘ ich Heut und morgen Gern an gestern. Gotthold Ephraim Lessing (1729-1781) [https://www.deutschelyrik.de/lied-16037.html gelesen von Fritz Stavenhagen] = Posidonienschiefer-Formation = [[Datei:Posidonienschiefer Holzmaden - d.jpg|mini|150px|Fossiler Abdruck des Ammoniten Harpoceras falciferum im Posidonienschiefer von Holzmaden]] In der Geologie bezeichnet "Formation" eine hierarchische Einheit der Lithostratigraphie, also der räumlichen und strukturellen Gliederung von Gesteinsschichten. Posidonienschiefer kommt in weiten Gebieten Mittel- und Nordwesteuropas vor und die Schicht umfasst eine Breite (Mächtigkeit) von 2 bis 34 Metern in unterschiedlicher Erdtiefe. Das Gestein ist für seine außergewöhnlich gute Fossilerhaltung bekannt, die den Posidonienschiefer zu einer Konservatlagerstätte von Weltrang gemacht hat. Es handelt sich um einen asphaltgrauen bis tiefschwarzen bituminösen Tonstein aus dem Unterjura, was ungefähr dem Zeitraum von 200 bis 175 Millionen Jahren entspricht. == Definition == Die Posidonienschiefer-Formation wird mit der Oberkante der höchsten sog. „Costaten-Bank“ definiert. Die Obergrenze ist durch einen Aufarbeitungshorizont definiert, der über einer unterschiedlich großen Schichtlücke liegt. Die Posidonienschiefer-Formation besteht an der Basis aus Mergeln und Mergelkalksteinen mit eingeschalteten bituminösen Lagen. Im mittleren Teil dominieren die bituminösen feingeschichteten Mergel (die sog. „Posidonienschiefer“) bei einigen eingeschalteten bituminösen Kalken. Im oberen Teil nimmt der Gehalt an bituminösen Bestandteilen wieder ab. Die Mächtigkeit erreicht in der Gegend um die berühmte Fossilfundstelle Holzmaden am Nordrand der Schwäbischen Alb (bei Kirchheim an der Teck) etwa 12 bis 14 m. Im mittleren Oberrheingebiet können bis zu 34 m erreicht werden. Dagegen sind es im südlichen Oberrheingebiet nur etwa 6 m. Die Posidonienschiefer-Formation ist lokal durch sich einschneidende Rinnen unterschiedlich tief erodiert. Daher resultiert in Franken z. B. eine stark unterschiedliche Mächtigkeit von 2 bis 15 m. == Bezeichungen der steinverarbeitenden Industrie == Die Posidonienschiefer-Formation wird formal nicht weiter unterteilt. Aus der steinverarbeitenden Industrie stammen allerdings Begriffe für einzelne Abschnitte und festere Bänke in der Gegend von Holzmaden, bedingt durch den langandauernden Abbau des Posidonienschiefers, z. B. "Tafelfleins", "Seegrasschiefer", "Koblenzer", "Steinplatte", "Wilder Stein" und "Falchen". == Fossilführungen == Die Posidonienschiefer-Formation ist weltberühmt durch die vorzüglich erhaltenen Fossilien, die vor allem in der Gegend von Holzmaden, Nähe Kirchheim an der Teck in Baden-Würtemberg, gefunden wurden. Zahlreiche Fossilfunde aus der Posidonienschiefer-Formation sind im ''Museum am Löwentor'' (Teil des Staatlichen Museums für Naturkunde, Stuttgart), in der Paläontologischen Sammlung der Universität Tübingen und im ''Urwelt-Museum Hauff'' (Holzmaden) ausgestellt.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Posidonienschiefer-Formation" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Posidonienschiefer-Formation&oldid=217058466 Version vom 7.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um einzelne Sätze aus den Einträgen "Formation (Geologie)", "Unterjura. " und "Posidonienschiefer" ergänzt und gekürzt.</ref> = Perl (Mosel) = [[Datei:Perl-Mosel-1.jpg|mini|Dreiländereck: Blick von Perl auf die Mosel, auf Luxemburg und Frankreich.]]'''Perl''' (moselfränkisch Pärel, Pierel, Pirel) ist eine Gemeinde im Landkreis Merzig-Wadern im Saarland mit 14 Ortsteilen und zusammen knapp 9000 Einwohner*innen. Perl liegt im Dreiländereck Deutschland-Frankreich-Luxemburg an den Hängen rechts der Obermosel (siehe auch Roderborn) und zieht sich weit auf den Moselgau hinauf. Auf der anderen Moselseite liegt Luxemburg mit den Ortschaften Schengen und Remich. Die Gemeinde Perl wird im Westen (Gemarkungen Besch, Nennig und Perl) von der Mosel begrenzt, die hier die Grenze zu Luxemburg bildet. Da die Mosel hier auf einer Länge von rund zehn Kilometern den saarländischen Teil des Gemeinschaftlichen Deutsch-Luxemburgischen Hoheitsgebiets bildet, das nicht zur Gemeinde gehört, grenzt Perl strenggenommen an dieses Gebiet und dadurch nicht direkt an den links der Mosel gelegenen luxemburgischen Kanton Remich. Im Süden grenzt die Gemeinde an Apach mit Belmach und Merschweiller in Frankreich (Lothringen), im Norden an Palzem und Kirf in Rheinland-Pfalz, im Osten an die Gemeinde Mettlach im Saarland. Der höchste Punkt der Gemeinde ist der unmittelbar an der französischen Grenze gelegene Schneeberg in Eft mit einer Höhe von 429 Metern. Durch Perl fließen der Engertsbungertbach und der Lonnenbach, die dort in die Mosel münden. Siedlungsspuren aus der Mittelsteinzeit finden sich in Perl und Umgebung ebenso wie Grabfelder aus Bronze- und Eisenzeit. Keltische Ortsnamen und römische Bauwerke belegen die Attraktivität des Standortes zu allen Zeiten. Die römische Villa in Nennig stammt aus dem 4. Jahrhundert und wurde wohl bei der Normannenschlacht 882 zerstört. Mittelalterliche Burgen und Kirchen sind weitere Zeugen einer bewegten Vergangenheit. Die ältesten schriftlichen Nennungen stammen aus dem 9. Jahrhundert. Bis Ende des 18. Jahrhunderts waren die heute zur Gemeinde Perl gehörenden Ortsteile landesherrlich Teile unterschiedlicher Territorien. In der sogenannten Franzosenzeit waren sie insgesamt drei unterschiedlichen Departements unterstellt. Im Februar 1814 wurden die zuvor zum Kanton Saarburg im Saardepartement gehörenden Orte Teil des provisorischen Generalgouvernements Mittelrhein. Nach dem Pariser Frieden vom Mai 1814 wurden die vier ursprünglich luxemburgischen bzw. zuvor zum Wälderdepartement gehörenden Orte in den Kanton Saarburg überstellt. Auf dem Wiener Kongress (1815) wurde der Kanton Saarburg zunächst Österreich zugeordnet. Schließlich wurden auch die drei zuvor lothringischen Orte auf dem Zweiten Pariser Frieden (1815) von Frankreich abgetreten. Zum 1. Juli 1816 kam das gesamte heute zu Gemeinde Perl gehörende Gebiet zum Königreich Preußen. Unter der preußischen Verwaltung kamen alle Ortschaften zum neu geschaffenen Kreis Saarburg im Regierungsbezirk Trier, der von 1822 an zur Rheinprovinz gehörte. Nach dem Zweiten Weltkrieg kamen die heute zu Perl gehörenden Ortschaften zunächst zur französischen Besatzungszone und wurden 1946 von der französischen Militärregierung in das Saargebiet eingegliedert. Zum 7. Juni 1947 erfolgte der Wechsel zum Landkreis Merzig-Wadern. Im Zuge der saarländischen Gebiets- und Verwaltungsreform wurde am 1. Januar 1974 aus den 14 bis dahin selbständigen Gemeinden Besch, Borg, Büschdorf, Eft-Hellendorf, Kesslingen, Münzingen, Nennig, Oberleuken, Oberperl, Perl, Sehndorf, Sinz, Tettingen-Butzdorf und Wochern die neue Gemeinde Perl. Heute befinden sich viele Einzelhandelsläden und Supermärkte in der Ortschaft, wo auch viele Kund*innen aus Frankreich und Luxemburg gern gesehen sind. Touristisch von Interesse ist, dass Perl an der Moselgau-Schleife des Saarland-Rundwanderweges liegt. Der Ort ist Anfangspunkt des Saar-Hunsrück-Steigs und des Moselsteigs. Der Jakobsweg verläuft von Trier her kommend ebenfalls über das Gemeindegebiet. Der "Panoramaweg Perl" ist einer der wenigen Premiumwanderwege, die auf deutschem und französischem Gebiet liegen. Rund um die Villa Borg herum verläuft der "Villa Borg Trail", ebenfalls ein Premiumweg. Außerdem verläuft durch die Ortsteile Nennig, Besch und Maimühle der Moselradweg.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Perl (Mosel)" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Perl_(Mosel)&oldid=217019470 Version vom 6.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Messsystem = [[Datei:Measuring cup.jpg|mini|150px|alltägliches "Messsystem", nur zu ca. 50 % sichtbar ;-)]]Als '''Messsystem''' bezeichnet man die Gesamtheit von Messgerät bzw. Messmittel, Mensch und Umwelt. Aufgrund vieler möglicher Ursachen ist es grundsätzlich nicht möglich, fehlerfrei zu messen, das heißt das Messsystem kann die Messgröße nicht fehlerfrei erfassen. Die Abweichung eines gemessenen Wertes vom wahren Wert der Messgröße wurde früher Messfehler genannt. Heute wird nach DIN 1319-1:1995 der Begriff Messabweichung verwendet. Die Messunsicherheit ist ein Schätzwert, der angibt, wie groß der Abstand des gemessenen zum wahren Wert der Messgröße sein kann. Als Querempfindlichkeit bezeichnet man die Empfindlichkeit eines Messsystems für sekundäre, d. h. nicht primär zu messende Messgrößen. Die Genauigkeit des Messsystems wie das Ergebnis und die Qualität einer Messung werden von verschiedenen Faktoren wie z. B. * Art und Alter des Messmittels oder Messgerätes sowie dessen Nutzungshäufigkeit * vorhandene Umgebungstemperatur, Luftströmung oder Windgeschwindigkeit * Art der Interaktionen zwischen Mensch und Messmittel bzw. Messgerät * Parallaxe und vielen anderen Faktoren mehr oder weniger stark beeinflusst, weshalb sich in der Metrologie (Messtechnik), dem Qualitätsmanagement (Qualitätssicherung) wie auch in Six Sigma verschiedene Methoden zur Kontrolle und Überwachung von Messsystemen etabliert haben. Dazu zählen u. a. die wiederholte Eichung, Kalibrierung und Justierung von Messgeräten innerhalb fest vorgegebener Toleranzen oder auch die Analyse der Prozessfähigkeit des gesamten Messprozesses inklusive des Messsystems, genannt Messsystemanalyse. Mögliche Ursachen für Messabweichungen bei Messsystemen sind zum einen meist beeinflussbare, systematische Fehler, wie beispielsweise * Messgerätefehler * Out of Specification * Achsneigung * Indexfehler und Parallaxenfehler zum anderen oft nicht beeinflussbare, zufällige Fehler wie z. B. Luftfeuchtigkeit, Luftunruhe oder thermisches Rauschen. Mit Offset werden konstant-systematische Messfehler eines Messsystems bezeichnet, Trend oder Drift bezeichnen ansteigende oder abfallende Messfehler eines Messsystems.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Messsystem" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Messsystem&oldid=210252640 Version vom 27.3.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] ausgewählt.</ref> = Sieben Heringe (Jürgen Wiebicke) = [[Datei:Birlikte_2016_-_Zusammenreden_-_1500-1732.jpg|mini|150px|Jürgen Wiebicke 2016]] '''Sieben Heringe''' ist ein herausragendes Buch über das Leben im Krieg und nach dem Krieg, also: mit Krieg, das 2021 von Jürgen Wiebicke veröffentlicht wurde. Es geht darin um die Gespräche mit seiner krebskranken Mutter, die in ihrem letzten Lebensjahr erstmals über ihre Erlebnisse im Krieg sprechen kann. Wiebicke folgt den Berichten seiner Familie, erzählt exemplarisch von der Generation der Kriegskinder und zieht die Parallelen zur heutigen Zeit. Über das Nachwirken autoritärer Prägungen durch ein Aufwachsen im Nationalsozialismus sagt er: „Wir alle sind Produkte einer seelisch kaputten Gesellschaft gewesen. Das ist eine erschreckende Erkenntnis, zeigt aber auch die Notwendigkeit, nochmal so spät selber an diese Frage heranzugehen.“ Die Schriftstellerin Margit Irgang bezeichnet Wiebicke als „Chronist seiner Familiengeschichte“ und sagt über ''Sieben Heringe. Meine Mutter, das Schweigen der Kriegskinder und das Sprechen vor dem Sterben'': „Dies ist ja auch ein Buch über die Frage: Wie stirbt eine Generation, die mit Tod und Sterben aufgewachsen ist?“<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Jürgen Wiebicke" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=J%C3%BCrgen_Wiebicke&oldid=218709623 Version vom 2.1.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Lotte Laserstein = [[Datei:Lotte Laserstein by Wanda von Debschitz-Kunowski.jpg|mini|Lotte Laserstein bei der Arbeit an ihrem Gemälde ''Abend über Potsdam''; Fotografie von Wanda von Debschitz-Kunowski, um 1930]] '''Lotte Laserstein''' (geboren am 28. November 1898 in Preußisch Holland im ostpreußischen Oberland; gestorben am 21. Januar 1993 in Kalmar, Schweden) war eine deutsch-schwedische Malerin. Sie gilt als bedeutende Vertreterin der gegenständlichen Malerei der Weimarer Republik. == Leben und Wirken == Lotte Laserstein wurde im damaligen Ostpreußen in Preußisch Holland geboren. Nach dem frühen Tod des Vaters zog ihre Mutter Meta Laserstein mit ihren beiden Töchtern und ihrer Mutter Ida zu deren alleinstehender Schwester Elisabeth Birnbaum nach Danzig. Birnbaum betrieb dort eine private Malschule, sodass Lotte Laserstein früh im Fach Malerei unterrichtet wurde. Die verwitwete Mutter und deren unverheiratete Schwester Elisabeth waren berufstätige und autarke Frauen, die mit ihrem Lebensstil beide Mädchen nachhaltig geprägt haben, denn beide blieben zeitlebens unverheiratet und sorgten selbst für ihren Lebensunterhalt. 1912 zog die Familie von Danzig nach Berlin. Lotte Laserstein absolvierte ihr Abitur an der Chamisso-Schule in Berlin-Schöneberg, eine höhere Mädchenschule, wo die Möglichkeit bestand, die Hochschulreife zu erwerben. Als eine der ersten Absolventinnen der Hochschule für die Bildenden Künste Berlin schloss sie ihr Studium der Malerei im Zeitraum von 1921 bis 1927 mit Auszeichnungen ab. Frauen erhielten in Deutschland erst ab 1919 die Erlaubnis, an einer Akademie zu studieren. Als Meisterschülerin von Erich Wolfsfeld spezialisierte sie sich auf die Porträtmalerei. Das zentrale Thema ihrer Arbeit war die Bildnismalerei. Die der Neuen Sachlichkeit nahe stehenden Bilder, die zwischen 1927 und 1933 entstanden, als sie relativ unabhängig von Aufträgen arbeiten konnte, werden heute als die bedeutendsten eingeschätzt. Es sind „Bildnisse zwischen sozialer Repräsentation und malerischer Präsenz“ die „als Schilderung weiblicher Lebensrealität“ gelten können.<ref>Krausse: ''Lotte Laserstein, Leben und Werk.'' 2006, S. 94.</ref> 1925 hatte sie ihre dann langjährige Freundin und Geliebte Traute Rose kennengelernt, die sie in zahlreichen Bildern porträtierte. Darunter waren auch weibliche Akte, was Laserstein zu einer der ersten Malerinnen macht, die sich dieses Sujets aufnahm. Laserstein inszenierte Traute Rose in zahlreichen Gemälden als das neue weibliche Ideal der Weimarer Republik. Schätzungsweise 10.000 Arbeiten umfasst das Gesamtwerk Lotte Lasersteins. Darunter sind für die Berliner Jahre etwa 300 Gemälde und 100 Zeichnungen nachgewiesen. Laserstein baute sich ihr eigenes Atelier auf, betrieb eine private Malschule und nahm an Wettbewerben teil. Sie engagierte sich in Künstlerinnenvereinen und hatte auf diese Weise ein großes Netzwerk, auf das sie für Ausstellungen und Verkäufe zurückgreifen konnte. In der Zeit des Nationalsozialismus emigrierte sie 1937 aufgrund des Antisemitismus im Deutschen Reich nach Schweden. Da ihre Mutter Meta Laserstein Jüdin war, wurde sie zur "Dreivierteljüdin" erklärt und konnte ab 1933 ihren Beruf nicht mehr ausüben, da sie über keinen "Ariernachweis" verfügte. Auch aus ihrem Amt im Vorstand des Vereins der Berliner Künstlerinnen wird sie 1933 entlassen und ist auf öffentlichen Ausstellungen nicht mehr vertreten. Nach 1933 verdiente Laserstein ihren Lebensunterhalt, als private Aufträge zunehmend abnahmen, durch privaten Kunstunterricht. Nach dem Hochschulabschluss 1927 hatte sie eine private Malschule eröffnet, in der sie Kunststudentinnen auf das Akademiestudium vorbereitete. Seit 1933 wurde diese Schule von den Nationalsozialisten als ''jüdisches Unternehmen'' eingestuft und 1935 geschlossen. Lotte Laserstein arbeitete in den folgenden zwei Jahren als Zeichenlehrerin an der jüdischen Privatschule von Helene Zickel. Im Dezember 1937 emigriert Laserstein nach Schweden. Verbunden mit einer Ausstellung ihrer Werke in der Stockholmer ''Galerie Moderne'' nutzte sie die Gelegenheit, Deutschland mit dem Großteil ihrer Bilder zu verlassen. Um die schwedische Staatsbürgerschaft zu erhalten, ging sie 1938 eine Scheinehe ein. Die getaufte und assimilierte Jüdin lebte ab 1937, dem Jahr ihrer Flucht nach Schweden, überwiegend von Auftragsporträts. Sie malte bis zu ihrem Tod Porträts und Landschaften. Während des Zweiten Weltkriegs bemüht Laserstein sich, auch ihre Mutter sowie ihre Schwester Käthe und deren Lebensgefährtin Rose Ollendorf nach Schweden zu retten. [[Datei:Stolperstein Immenweg 7 (Stegl) Meta Laserstein.jpg|mini|hochkant|Stolperstein für die Mutter von Lotte Laserstein vor dem Haus Immenweg 7, in Berlin-Steglitz]] Lasersteins Mutter Meta Laserstein wurde 1943 im KZ Ravensbrück ermordet. Der Schwester gelang es im August 1946, nach Schweden zu kommen. Bis zu ihrer Rückkehr nach Berlin 1954 lebten die Schwestern zusammen und Käthe Laserstein starb 1965. Den Durchbruch zur internationalen künstlerischen Anerkennung brachte erst eine Reihe von Ausstellungen, die in der Royal Academy of Arts (London) unter dem Titel „German Art in the 20th Century“ im Herbst 1985 begann. Die Schau war im Frühling 1986 in der Staatsgalerie Stuttgart zu sehen. Eine Wanderausstellung über deutsche emigrierte Künstler wurde 1986 unter anderem in London und Berlin gezeigt. Die Londoner Hayward Gallery zeigte im gleichen Jahr unter dem Titel „Dreams of a Summer Night“ Künstler aus Skandinavien, bevor 1987 eine Einzelausstellung zu Lasersteins Werken von den beiden Londoner Galerien Agnews und The Belgrave gemeinsam gezeigt wurde, bei der die betagte Malerin zusammen mit ihrer Lebensgefährtin Traute Rose zugegen war. Die Ausstellung leitete die „Wiederentdeckung“ Lotte Lasersteins ein. Noch mit 92&nbsp;Jahren war Lotte Laserstein künstlerisch tätig. Sie starb 1993 im schwedischen Kalmar.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Lotte Laserstein" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Lotte_Laserstein&oldid=221707697 Version vom 2.4.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet und gekürzt. Der Wikipedia-Eintrag hat etwa die doppelte Länge.</ref> = Debakel = [[Datei:ZolaDebacle.jpg|mini|150px|Titelblatt von Zolas Roman "La débacle" (1892)]]Mit dem Substantiv '''Debakel''' wird eine Situation beschrieben, die eine schwere Niederlage darstellt oder einen unheilvollen Ausgang genommen hat. In der deutschen Sprache ist das Wort seit dem 19. Jahrhundert in Gebrauch. Das deutsche Wort ist aus dem französischen Wort ''débâcle'' entlehnt, es handelt sich also um ein Lehnwort. Im Französischen steht es für Eisgang oder „plötzliche Auflösung“. Bei der Entlehnung änderte sich das grammatische Geschlecht des Wortes: im Französischen stellt es ein Femininum, im Deutschen hingegen ein Neutrum dar. Das französische ''débâcle'' ist dabei eine Ableitung des französischen Verbs ''débâcler'' (für „aufbrechen“), das zu französisch ''bâcler'' (für „verrammeln“ oder „versperren“) gehört. Das von den römischen Legionen ins Gallische und von dort später ins Französische übernommene lateinische Substantiv ''baculum'' für „Stab“ oder „Riegel“ wurde im 13. Jahrhundert zum Verb ''bâcler'' (für „Vorschieben eines Riegels“). Das Gegenteil wird seit dem 15. Jahrhundert mit der Vorsilbe ''de-'' beschrieben: ''débâcler'' wäre somit das „Aufschieben eines Riegels“. In Johann Christian August Heyses Fremdwörterbuch von 1865 wurde unter ''debacliren'' „entsperren“ verstanden: „die ausgeladenen Schiffe aus einem Hafen bringen“. International verbreitete sich das Wort „Debakel“ besonders nach dem Erscheinen von Émile Zolas Roman ''La Débâcle'' (1892), der den Deutsch-Französischen Krieg 1870/71 thematisiert.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Debakel" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Debakel&oldid=190906044 Version vom 31.7.2019] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Cumulonimbus = [[Datei:Kumulonimbuswolke_im_Abendlicht_über_Jena.JPG|mini|150px|Cumulonimbus-Wolke im Sommerabendlicht über dem fernen Jena, 27. Juli 2013]] * [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/De-Cumulonimbus-article.ogg Audio] (Dauer: 8'13<nowiki>''</nowiki>) * Text dazu: [https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cumulonimbus Wikipedia-Artikel "Cumulonimbus"] (Version vom 15. Januar 2021) = Grundstimmung (Blasinstrument) = [[Datei:History_of_Inventions_USNM_42_Wind_Muscial_Instruments.jpg|mini|150px|Blasinstrumente]]'''Grundstimmung''' ist bei einem Blechblasinstrument eine Bezeichnung für diejenige Durtonleiter, die den ersten Tönen seiner Naturtonreihe entspricht, wenn keine Ventile oder Züge benutzt werden. Diese Töne sind auf dem jeweiligen Instrument am leichtesten und am reinsten spielbar. Bei ventillosen Instrumenten wie Naturhörnern sind dies nahezu die einzigen verwendbaren Töne. Benannt wird die Grundstimmung nach dem (klingenden) Grundton des Instruments, also seinem tiefsten Naturton, unabhängig davon, in welchem Oktavraum dieser liegt (derselbe Tonname bezeichnet ohnehin auch den zweiten, vierten und achten Naturton, die in höheren Oktavräumen liegen). Die Grundstimmung wird oft schon im Namen des Instruments mit genannt: „B-Trompete“, „F-Horn“ usw. In der Fachsprache sagt man auch, die Trompete „steht in B“. Kenntnis der Grundstimmung ist entscheidend wichtig bei Verwendung transponierter Noten, wie sie vor allem im Orchesterbereich für einige Blechblasinstrumente üblich sind. In diesen Noten muss zum Namen des Instruments auch dessen Grundstimmung wie „Trompete in B“, „ Horn in Es“ usw. angegeben sein. == Physikalischer Zusammenhang mit Instrumentlänge == Beim Grundton des Instruments ist die halbe Wellenlänge annähernd gleich der Rohrlänge. Hierdurch ist die Grundstimmung festgelegt. Die Frequenz <math>f</math> (Maßeinheit Hertz, Hz) hängt mit der Rohrlänge <math>l</math> (gemessen z. B. in Metern) und der Schallgeschwindigkeit <math>c</math> in Luft (gemessen z. B. in Metern pro Sekunde) zusammen nach der Gleichung :<math>l = \frac{c}{2f}</math>. Daraus kann zu einer gegebenen Frequenz (Tonhöhe) näherungsweise die Länge oder umgekehrt zur Länge die Frequenz berechnet werden. === Beispiele === Ein B-Tenorhorn oder eine B-Basstrompete ist doppelt so lang wie eine B-Trompete, erklingt also bei Verwendung der gleichen Ventilkombinationen eine Oktave tiefer als diese, da eine Oktave dem Wellenlängenverhältnis 1:2 entspricht. Die B-Piccolotrompete liegt eine Oktave über der normalen Trompete, ist also halb so lang wie diese. Die Rohrlängen des Tenorhorns (266&#8239;cm), des Waldhorns in B (274&#8239;cm), der Posaune (270&#8239;cm), des Baritonhorns und des Euphoniums in B (262&#8239;cm) sind fast gleich. Alle diese Instrumente haben also die gleiche Grundstimmung. Das Waldhorn in F ist mit 370&#8239;cm etwas länger als die Tuba in F (354&#8239;cm). Solche Längendifferenzen innerhalb ein und derselben Grundstimmung sind durch die Bauweise des Instruments bedingt, insbesondere durch die Mensur sowie den Öffnungswinkel und den Durchmesser des Schallstücks. == Holzblasinstrumente == Auch Holzblasinstrumente haben eine bevorzugte Tonleiter. Dies ist auch hier die am leichtesten und reinsten zu spielende Dur-Tonleiter. Auch hier sagt man, das Instrument „steht in B“ usw. Die Bezeichnung Grund„stimmung“ ist bei Holzblasinstrumenten jedoch nicht üblich.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Grundstimmung (Blasinstrument)" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Grundstimmung_(Blasinstrument)&oldid=199080715 Version vom 20.4.2020] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = EN 50242 = [[Datei:Geschirrspuelmaschine.JPG|mini|150px|Geschirrspülmaschine]]Die Europäische Norm EN 50242 definiert Messverfahren für die Gebrauchseigenschaften elektrischer Haushalts-Geschirrspüler. Sie ist in Deutschland als DIN-Norm EN 50242/DIN EN 60436;VDE 0705-436, in Österreich als ÖVE/ÖNORM EN 50242/EN 60436 sowie in der Schweiz als SN EN 50242 gültig. == Maßgedeck nach der Europäischen Norm EN 50242 == Ein ''Maßgedeck'' ist eine festgelegte Anzahl von Geschirr und Besteckteilen in vorgegebener Zusammensetzung und Abmessung. Es wird üblicherweise verwendet, um die Kapazität von Geschirrspülmaschinen anzugeben. Ein ''Maßgedeck nach der Europäischen Norm EN 50242'' besteht aus folgenden Geschirr-, Besteck- und Servierteilen: je ein Stück * Essteller ø26 cm * Suppenteller ø23 cm * Dessertteller ø19 cm * Untertasse ø14 cm * Tasse 0,2 l * Trinkglas 250 ml * Messer 203 mm * Gabel 184 mm * Suppenlöffel 195 mm * Teelöffel 126 mm * Dessertlöffel 156 mm Für die Prüfung der Beladekapazität von Haushaltsgeschirrspülern werden neben der angegebenen Anzahl von Maßgedecken zusätzlich noch folgende Servier- und Besteckteile verwendet: * eine ovale Platte 32&nbsp;cm (bei Geschirrspülern mit einem Fassungsvermögen von sieben oder mehr Maßgedecken: 1 ovale Platte 35&nbsp;cm) * eine Servierschüssel ø16 cm * eine Servierschüssel ø13 cm * zwei Servierlöffel 260 mm * eine Serviergabel 192 mm * ein Soßenlöffel * bei Geschirrspülern mit einem Fassungsvermögen von sieben oder mehr Maßgedecken: 1 Servierschüssel 19 cm.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ostfriesische Teekultur = [[Datei:Tee_mit_sahnewolke.JPG|mini|Tasse Tee mit Sahnewölkchen]] * [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9a/De-Ostfriesische_Teekultur-article.ogg Audio] (ca. 19 Minuten) * Text dazu: [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Ostfriesische_Teekultur&oldid=167787619 Wikipedia-Artikel "Ostfriesische Teekultur"] (Version vom 1. August 2017) = Power Purchase Agreement = [[Datei:Photovoltaics_in_Petersburg_3.JPG|mini|150px|Photovoltaik-Anlage in Petersburg]]Bei einem '''Power Purchase Agreement''' (PPA) handelt es sich um spezielle Stromlieferverträge, bei denen einer der Vertragspartner*innen in der Regel eine Kraftwerksbetreiber*in bzw. Independent Power Producer ist, die andere eine größere Abnehmer*in (Unternehmen, Stromhändler*in, Versorger*in). Es gibt verschiedene Arten von Power Purchase Agreements, die sich je nach Vertragsparteien und vereinbarter Netznutzung unterscheiden lassen. == Bedeutung == In einem PPA werden alle kommerziellen Bedingungen für den Stromverkauf zwischen den beiden Parteien, einschließlich des Zeitpunkts der Aufnahme des Vertrags, der etwaigen Weitergabe von Herkunftszertifikaten, der Vertragsstrafen für eine zu geringe Lieferung sowie der Kündigung festgelegt. Es gibt heute viele Formen von PPAs, die sich je nach den Bedürfnissen von Käufer*in, Verkäufer*in und Finanzierungspartner*innen unterscheiden und sie können durch ihre längere Laufzeit als Absicherung gegen schwankende Strompreise genutzt werden. Die Vertragslaufzeit kann zwischen 5 und 20 Jahren betragen, wobei Stromkäufer*innen während dieser Zeit Energie und manchmal auch Kapazität und/oder Nebenleistungen von Stromerzeuger*innen kaufen. Solche Vereinbarungen spielen eine Schlüsselrolle bei der Finanzierung von Stromerzeugungsanlagen. Im Falle der dezentralen Stromerzeugung (bei dem aus der Erzeugungsanlage direkt, ohne Nutzung des öffentlichen Stromnetzes an den Abnehmer geliefert wird) haben sich die kommerziellen PPAs als eine Variante entwickelt, die z.&nbsp;B. Unternehmen ermöglicht, Strom direkt vom Erzeuger und nicht vom Versorgungsunternehmen zu kaufen. Dieser Ansatz erleichtert die Finanzierung von dezentralen Erzeugungsanlagen wie Photovoltaik und Windkraftanlagen. Es kann also zwischen verschiedenen Arten von PPAs unterschieden werden. So wird eine Stromlieferung direkt an einen Verbraucher wie z.&nbsp;B. ein Unternehmen als "corporate PPA" bezeichnet. Ist der Abnehmer ein Stromhändler, der den Strom weiter vermarktet wird das PPA als ein "merchant PPA" bezeichnet. Bisher betrugen über PPA finanzierte Wind- und Solarprojekte lediglich 1 % der installierten grünen Kraftwerksleistung in Europa. Doch es wird erwartet, dass die Quote bis Mitte der 2020er-Jahre sprunghaft ansteigt. == Deutschland == In Deutschland haben Power Purchase Agreements zunächst durch den Wegfall der Versorgungsgebietsmonopole sowie die gemäß Energiewirtschaftsgesetz vorgeschriebene Entflechtung der Stromwirtschaft bzw. eigenständige Übertragungsnetzbetreiber*innen an Bedeutung gewonnen. Im Rahmen der Energiewende sind sie ein wichtiges Instrument, um Kraftwerke im Bereich der Erneuerbaren Energien unabhängig vom Erneuerbare-Energien-Gesetz zu finanzieren und zu betreiben sowie Abnehmer*innen langfristig mit Grünstrom zu versorgen. PPAs gewinnen vor allem für Bauprojekte von erneuerbaren Energien an Bedeutung. Aufgrund der derzeitigen EEG-Richtlinie und der daraus resultierenden Einspeisevergütung sind PPAs bislang in Deutschland wenig verbreitet. Mit dem Auslaufen des Förderzeitraums ab 2021 können PPAs dazu beitragen weiterhin Strom durch erneuerbare Energien wie Windkraftanlagen wirtschaftlich zu erzeugen. Sie bieten also eine Möglichkeit der Anschlussfinanzierung des Anlagenbetriebs. Auch die Finanzierung von Neuanlagen sind durch steigende Wettbewerbsfähigkeit der erneuerbaren Energien und sinkende Einspeisevergütung realistisch.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Power_Purchase_Agreement&oldid=222247445 Version vom 22.4.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = RIFF WAVE = [[Datei:Nuvola-inspired_File_Icons_for_MediaWiki-fileicon-sound.png|mini|150px|Note (Musik)]] Das '''WAVE-Dateiformat''' ist ein von IBM entwickeltes Containerformat zur digitalen Speicherung von Audiodaten, das auf dem von Microsoft für Windows definierten Resource Interchange File Format (RIFF) aufsetzt. Eine WAVE-Datei enthält vor den Audiodaten zumindest Informationen über deren Format. Enthalten sind meist sogenannte Puls-Code-Modulation (PCM)-Rohdaten, also eine zeit- und wertdiskrete Darstellung des zeitlichen Verlaufs eines Signals. Die Qualität des aufgezeichneten Klangs hängt dann von zwei Werten ab, der Abtastrate (Anzahl der Abtastungen pro Zeiteinheit) und der Auflösung ''(Bit-Tiefe);'' im Fall von komprimierten Daten auch vom Verfahren, z.&nbsp;B. Adaptive Differential Pulse Code Modulation (ADPCM) oder MP3. Im Gegensatz zum ähnlichen Audio Interchange File Format (AIFF) lassen sich bei WAV keine ID3-Tags speichern. == Dateistruktur == Das RIFF-Format besteht aus mehreren Abschnitten (Englisch: ''chunks''), die wie beim Interchange File Format (IFF) aufgebaut sind, mit Ausnahme der Byte-Reihenfolge: niederwertiges Byte (LSB) voran, also in der Little-Endian-Bytereihenfolge. Die WAVE-Spezifikation definiert drei Abschnitte als erforderlich: * Der RIFF-Abschnitt identifiziert die Datei als .wav-Datei und enthält als Container die anderen Abschnitte. * Der FORMAT-Abschnitt enthält Parameter wie z.&nbsp;B. die Abtastrate. * Der DATA-Abschnitt enthält den Signalverlauf und darf nicht vor dem FORMAT-Abschnitt stehen. Im Laufe der unkoordinierten Entwicklung entstand eine unüberschaubare Anzahl weiterer Abschnittstypen mit teils redundanten Inhalten. Ein Beispiel ist der „Label“-Abschnitt und „Note“-Abschnitt, die beide Cuepoint-Einträge im „Cue“-Abschnitt mit einer Beschriftung versehen. Dabei bezeichnet ein „Label“ den Titel eines Cuepoints, „Note“ einen Kommentar. Sie sind als Unterabschnitte (Englisch: ''subchunks'') im übergeordneten Associated-Data-List-Abschnitt gespeichert. Weiterhin gibt es eine Vielzahl von komprimierten Formaten, für die ein „Fact“-Abschnitt mit der dekomprimierten Größe verbindlich ist, die aber ansonsten unterschiedlichste Parameter definieren, was eine vollständige Unterstützung des WAV-Formats für Entwickler noch schwieriger macht. Manche Anwendungen erwarten den FORMAT-Abschnitt als ersten, manche den DATA-Abschnitt als letzten, obwohl die Spezifikation das nicht fordert. == Weiterentwicklung == Aufgrund der im Dateiformat benutzten 32-Bit-Felder ergibt sich eine Größenbeschränkung von 4 GiB, was einer Spieldauer von etwa 6,75 Stunden bei zwei Kanälen à 16 Bit und 44100 Abtastwerten je Sekunde (CD-Qualität) entspricht. Bei höherer Amplituden- oder Zeitauflösung bzw. mehr Kanälen sinkt die erreichbare Spieldauer jeweils entsprechend. Um diese Einschränkung zu umgehen, hat Sonic Foundry eine Erweiterung des Formats vorgestellt, die die Dateigrößenbeschränkung umgeht. Seit der Bereich ''Desktop Software'' von Sonic Foundry zu Sony Pictures Digital überging, wird das Format '''Sony Pictures Digital Wave 64''', kurz '''Wave64''', genannt; es wird ohne Lizenzkosten zur Verfügung gestellt. Als Dateinamenserweiterung wird ''.w64'' vorgeschlagen. Der interne Aufbau ist bewusst an das herkömmliche WAVE angelehnt, um die Software-Implementierung zu vereinfachen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "RIFF WAVE" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=RIFF_WAVE&oldid=220135882 Version vom 12.2.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Bunte Goldwespe = [[Datei:Chrysis viridula2.jpg|mini|Bunte Goldwespe (''Chrysis viridula'')]]Die '''Bunte Goldwespe''' (''Chrysis viridula'') ist eine auffallend bunt gefärbte, geflügelte Insektenart aus der Familie der Goldwespen (''Chrysididae''). Bunte Goldwespen sind Gliederfüßer und werden sechs bis neun Millimeter lang. Zu ihren besonderen Merkmalen zählt das Blaugrün Ihres Kopfes und der Unterseite ihres Brustkorbs, während die Oberseite und fast der ganze Hinterleib rotgolden gefärbt sind. Nur die Spitze des Hinterleibs ist wieder blaugrün. Beeindruckend ist neben der Farbenpracht auch der metallische Glanz der Farben. == Verbreitung und Vorkommen == Das Verbreitungsgebiet der Bunten Goldwespe umfasst Finnland, Schweden, Norwegen, Dänemark, die Britischen Inseln (außer in Schottland und Irland), die Niederlande, Belgien, Frankreich, Spanien, Deutschland, Italien, Polen, Ungarn, Rumänien bis hin zu den Ländern des Kaukasus und südlich und östlich der Alpen bis nach Nordafrika. <br/> In Deutschland findet man die Tiere an steilen Flächen wie zum Beispiel an den Hauswänden alter Häuser. Sie fliegen von Mai bis August. == Parasitismus der Larven == Die Larven leben parasitisch von der Gemeinen Schornsteinwespe (''Odynerus spinipes''). Dabei graben die Weibchen der Bunten Goldwespe bereits verschlossene Nester der Gemeinen Schornsteinwespe auf, um ihre Eier an die verpuppte und eingesponnene Larve ihres Wirtes zu legen, von der sich dann die schlüpfende Goldwespen-Larve ernährt.<ref>Dieser Text basiert auf dem Eintrag "Bunte Goldwespe" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Bunte_Goldwespe&oldid=216006385 Version vom 30.9.2021] mit Ergänzungen aus dem Artikel "Chrysis viridula" der englischsprachigen Wikipedia in der [https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Chrysis_viridula&oldid=1012438115 Version vom 16.3.2021], bearbeitet von C.Koltzenburg.</ref> = Operationsbericht = [[Datei:Checklist icon.png|mini|150px|Ist alles Erforderliche drin?]]Ein '''Operationsbericht''' (Abkürzung: '''OP-Bericht''') ist Teil der Patient*innenakte mit schriftlichen Angaben über die Art, den Verlauf, das erreichte Ziel und eventuelle Probleme bei einer durchgeführten operativen Maßnahme (= Operation (OP)). Der Operationsbericht hat bei Chirurg*innen und verwandten Berufen als Dokument mit großer Anschaulichkeit hohen Stellenwert. Er dient sowohl der Beschreibung der Krankheit nach Art und Stadium und damit direkt der Patient*in, als auch mitunter durch seine präzise Ablaufbeschreibung der Operateur*in im Falle eines Rechtsstreits. Für unmittelbar oder viel später notwendige weitere Eingriffe (Reoperationen) ist der OP-Bericht wichtig, da er die Operateur*in über die zu erwartenden Verhältnisse informiert. Ein OP-Bericht enthält oft die folgenden Angaben: * Patient*innenidentifikation (Name, Vorname, Geburtsdatum, ggf. Identifikationsziffer) * Operationsdatum, Uhrzeit von Beginn und Ende bzw. Dauer der Operation * Operationsplatz/ OP-Saal * gewählte Betäubung (Art der Lokalanästhesie oder Narkose) * beteiligte Personen: ** Chirurg*in, Assistent*innen, Instrumenteur*innen, OP-Springer*in ** sofern kein eigenständiges Narkoseprotokoll angefertigt wird, natürlich auch die Anästhesist*in und die Anästhesiepfleger*in * Bezeichnung der Diagnose, eventuell mit ICD-Diagnosenschlüssel * Bezeichnung der Operation, eventuell ICPM-Therapieschlüssel * die Indikation zum Eingriff * bei Notoperationen: Umstände, die eine präoperative Diagnostik und Vorbereitung einschränkten * eine Aufzählung präoperativer Risiken: ** allgemeine Operationsrisiken (erschwerende Nebendiagnosen) ** lokale Risiken (wiederum im Befinden dieser Patient*in begründete Risiken für den konkreten Eingriff, wie beispielsweise Voroperationen) * Hinweis auf erfolgte schriftliche Einwilligung nach ärztlicher Aufklärung bei kritischer Abwägung, aber auch bei mündlicher Notfallaufklärung (Zeug*innen) * Lagerung der Patient*in * eine detaillierte (schrittweise), nachvollziehbare Beschreibung des operativen Vorgehens * Während der OP erhobene (''intraoperative'') Befunde: ** Beschreibung des OP-Situs (insbesondere sicht- und tastbare krankhafte Befunde, die das Stadium einschätzen lassen) ** gegebenenfalls: histologische Schnellschnittdiagnose, Röntgenbefunde (besonders in der Traumatologie), Ultraschallbefunde, selten: Kontrolllaborbefunde * etwaige operative Komplikationen * etwaige Zwischenfälle der Narkose, sofern sie den operativen Eingriff beeinträchtigten oder wenn kein getrenntes Narkoseprotokoll ausgefertigt wird * alle etwaigen Zwischenfälle der von der Operateur*in vorgenommenen örtlichen Betäubung (bei Betäubung in Verantwortung der Anästhesist*in gilt eher das vorgenannte) * eingebrachte Fremdkörper (Prothese, Stent, Implantate etc.) mit genauer Bezeichnung und ggf. Charge (wegen Produkthaftungsgesetz) * Art des Nähens/ des operativen Verschlusses sowie das dafür verwendete Naht- oder Klammermaterial * Unterschrift der Operateur*in (dokumentenecht).<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Operationsbericht" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Operationsbericht&oldid=200862083 Version vom 11.6.2020] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Fortbewegung = [[Datei:Triathlete_running.jpg|mini|150px|Fortbewegung als Sportart: Laufen]]'''Fortbewegung''' bezeichnet ganz allgemein Bewegung mit dem Ziel bzw. dem Resultat einer Ortsveränderung, also körperliche Aktivität. Gemeint ist meist die Ortsveränderung aus eigener Kraft in eine bestimmte Richtung (vorwärts, rückwärts, aufwärts, abwärts und alle Zwischenformen davon). Fortbewegung ist also ein Phänomen räumlicher Mobilität. Im Kontext der Biologie bezeichnet '''Fortbewegung''', hier auch '''Lokomotion''' genannt, ganz allgemein die aktive Bewegung biologischer Individuen (Lebewesen), welche eine Ortsveränderung zur Folge hat. Von der Lokomotion unterschieden wird sowohl die ''Motorik'', die Bewegungsfähigkeit des Organismus in sich, als auch die ''Taxis'', die Orientierungsreaktion von Lebewesen. Menschliche Fortbewegung geschieht meist auf Beinen, aber oft unter Zuhilfenahme von Hilfsmitteln (z.&nbsp;B. beim Fahren), teils dennoch aus eigener Kraft, mit Fahrädern, Rollschuhen und Schlittschuhen, oder mittels Rollstühlen teils aus eigener Kraft, teils (elektrisch) motorisiert - auch die Fortbewegung auf Rolltreppen und in Aufzügen zählt dazu. Ebenso beim Krabbeln, Schwimmen oder Fliegen, unter Zuhilfenahme von Tieren (beim Reiten, in der Landwirtschaft mit Zugtieren, bei Transport auch mit Lasttieren wie Eseln). Seit etwa 100 Jahren prägt das sogenannte Automobil die Vorstellungskraft vieler Menschen so stark, als ob es das einzig mögliche Fortbewegungsmittel sei. In der Biologie bezeichnet ''Fortbewegung'' die aktive Bewegung eines Individuums von Ort zu Ort aus eigener Kraft, angetrieben durch geeignete Bewegung von Gliedmaßen oder anderer anatomischer Körperteile. Formen der Fortbewegung sind beispielsweise das Kriechen, Krabbeln, Laufen, Gehen, Klettern, Hangeln, Schwimmen und Fliegen. Wichtige Formen der Fortbewegung auf Füßen sind etwa Bipedie (zweifüßiger Gang) und Quadrupedie (vierfüßiger Gang).<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Fortbewegung" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Fortbewegung&oldid=221509915 Version vom 26.3.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Niemand (Gedicht von Rose Ausländer) = [[Datei:Rose_Ausländer_1918.jpg|mini|150px|Die Lyrikerin Rose Ausländer im Jahr 1918, 17 Jahre alt]] "Niemand", Gedicht von Rose Ausländer (1901-1988) [https://www.deutschelyrik.de/niemand.html 2016 gesprochen von Fritz Stavenhagen] = Glas = [[Datei:Belitski, Ludwig - 14 Venezianische und deutsche Gläser und eine orientalische Glas-Vase aus Milch- und Opalglas, mit eingebrannter Vergoldung und Malerei. 2-5 Naturgröße. 16., 17. und 18. Jahrhundert, Liegnitz (Zeno Fotografie).jpg|mini|hochkant=1.2|Venezianische und deutsche Gläser und eine orientalische Glas-Vase aus Milch- und Opalglas, mit eingebrannter Vergoldung und Malerei aus dem 16., 17. und 18. Jahrhundert (Foto von Ludwig Belitski, 1855)]]'''Glas''' (von germanisch ''glasa'' „das Glänzende, Schimmernde“, auch für „Bernstein“) ist ein Sammelbegriff für eine Gruppe amorpher Feststoffe. Die meisten Gläser bestehen hauptsächlich aus Siliciumdioxid, wie Trink- oder Fenstergläser; diese – meist lichtdurchlässigen – Silikat-Gläser haben wirtschaftlich die weitaus größte Bedeutung. Auch amorph erstarrte Metalle sind Gläser. Gläser aus organischen Materialien sind beispielsweise der natürliche Bernstein oder viele Kunststoffe wie Acrylglas. Durch sehr schnelles Abkühlen aus dem flüssigen oder gasförmigen Zustand kann nahezu jeder Stoff in ein (metastabiles) Glas überführt werden. Es gibt eine sehr große Anzahl von Gläsern verschiedener Zusammensetzungen, die aufgrund ihrer Eigenschaften von wirtschaftlichem oder wissenschaftlichem Interesse sind. Wegen der breiten Palette von Anwendungen für Gläser gibt es auch vielfältige Techniken zu deren Erzeugung und Formgebung. Viele dieser Techniken sind bereits sehr alt und werden – von ihrem Grundprinzip her unverändert – auch heute noch industriell umgesetzt. Glas ist eine amorphe Substanz, die durch Schmelzen erzeugt wird. Die Herstellung von Glas ist auch durch die Erwärmung von Sol-Gel und durch Stoßwellen möglich. Thermodynamisch wird Glas als gefrorene, unterkühlte Flüssigkeit bezeichnet. Diese Definition gilt für alle Substanzen, die geschmolzen und entsprechend schnell abgekühlt werden. Das bedeutet, dass sich bei der Erstarrung der Schmelze zum Glas zwar Kristallkeime bilden, für den Kristallisationsprozess jedoch nicht genügend Zeit bleibt. Vereinfachend dargestellt ist der atomare Aufbau eines Glases dem einer hochviskosen Flüssigkeit vergleichbar. Auch nach Jahrzehnten fließt Glas jedoch nicht in dem Maße, dass dies zu der an historischen Gläsern häufig zu beobachtenden Schlierenbildung führen würde. Diese sind vielmehr auf die damaligen Herstellungsprozesse wie den Fourcault-Prozess zurückzuführen. Der Transformationsbereich, das ist der Übergangsbereich zwischen Schmelze und Feststoff, liegt bei vielen Glasarten um 600&nbsp;°C. Trotz des nicht definierten Schmelzpunkts sind Gläser Festkörper. Allerdings werden sie in der Fachterminologie als „nichtergodisch“ bezeichnet. Das heißt, ihre Struktur befindet sich nicht im thermodynamischen Gleichgewicht. Viele Kunststoffe, wie zum Beispiel Plexiglas, fallen wegen ihres amorphen Aufbaus und eines Glasübergangs ebenfalls in die Kategorie Gläser, obwohl sie eine völlig andere chemische Zusammensetzung aufweisen als Silikatgläser. Sie werden daher oft als organisches Glas bezeichnet. Der Unterschied zwischen Gläsern und anderen amorphen Feststoffen liegt darin, dass Gläser beim Erhitzen im Bereich der Glasübergangstemperatur in den flüssigen Zustand übergehen, während nicht glasartige amorphe Substanzen dabei kristallisieren. Gläser werden unter anderem nach ihrer Verwendung unterschieden: Die wichtigsten optischen Gläser zur Herstellung von Linsen, Prismen, Spiegeln und anderen optischen Bauteilen für Mikroskope, Ferngläser, Objektive usw. sind Quarzglas, Kronglas, Flintglas und Borosilikatglas. Als Substratmaterial für optische Elemente in der Astronomie und Raumfahrt kommt der glaskeramische Werkstoff Zerodur (Schott) zum Einsatz. Dieser weist einen äußerst geringen Ausdehnungskoeffizienten auf und eignet sich somit z.&nbsp;B. hervorragend als Spiegelträger für große astronomische Teleskope. Ein weiteres Beispiel ist Geräteglas als Oberbegriff für alle Sorten von Gläsern im Bereich der technischen Laborgläser. Ein ähnlicher Oberbegriff für verschiedene weiterverarbeitete Gläser ist Architektur- oder Bauglas. Obwohl Glas zu den ältesten Werkstoffen der Menschheit gehört, besteht noch Unklarheit in vielen Fragen des atomaren Aufbaus und seiner Struktur.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Glas" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Glas&oldid=221803575 Version vom 5.4.20022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und leicht umgearbeitet.</ref> = Städte in Österreich = [[Datei:Austria relief location map.jpg|mini|Topografie des Staates Österreich]]'''Österreich''' ist ein mitteleuropäischer Binnenstaat mit rund 9&nbsp;Millionen Einwohner*innen. Die angrenzenden Staaten sind Deutschland und Tschechien im Norden, die Slowakei und Ungarn im Osten, Slowenien und Italien im Süden sowie die Schweiz und Liechtenstein im Westen. Nationale Amtssprache ist Deutsch, regionale Amtssprachen sind Kroatisch, Slowenisch und Ungarisch und zu den anerkannten Minderheitssprachen zählt u.a. die österreichische Gebärdensprache. [[Datei:Austria_locat.svg|mini|links|Österreich mit den Hauptstädten der Bundesländer seit 1945, alphabetisch: Bregenz (Vorarlberg), Eisenstadt (Burgenland), Graz (Steiermark), Innsbruck (Tirol), Klagenfurt am Wörthersee (Kärnten), Linz an der Donau (Oberösterreich), Salzburg (Land Salzburg), Sankt Pölten (Niederösterreich, seit 1986), Wien (Land Wien)]]Weitaus größte Stadt und größter Ballungsraum ist die Hauptstadt Wien. Mit knapp 2&nbsp;Millionen Einwohner*innen lebt etwa ein Fünftel der Gesamtbevölkerung dort, mit etwa 2,5&nbsp;Mio. im Ballungsraum Wien ein knappes Drittel Österreichs in Wien und Umland. Neben Wien gibt es in Österreich vier weitere Großstädte (über 100.000 Einwohner*innen): Graz, Linz, Salzburg und Innsbruck. Für Städte im Bereich 40.000 bis 100.000 Einwohner*innen verwendet Statistik Austria den Begriff "Mittelstädte", und zu diesen zählen: Klagenfurt, Villach, Wels, St. Pölten und Dornbirn. Alle anderen der weithin bekannten oder weniger bekannten Städte Österreichs haben weniger als 50.000 Einwohner*innen. [[Datei:Austria in European Union.svg|mini|rechts|Lage Österreichs in der Europäischen Union]]Ein großes Problem, vor allem in wirtschaftlich schwachen Gegenden, ist die Abwanderung der ländlichen Bevölkerung in die städtischen Ballungsräume (sog. "Landflucht"). Allerdings leiden die meisten Städte selbst unter Abwanderung aus der Kernstadt heraus (Suburbanisierung zum „Speckgürtel“). Das Verschlucken dieser Umlandgemeinden durch die Städte ist heute weitgehend zum Stillstand gekommen und die Tendenz geht zu Regionalismus und raumplanerischen Zentralort-Konzepten, die überkommunal mit Gemeindeverbänden von Stadt und Umland organisiert werden. In Österreich wohnen 3 von 9&nbsp;Millionen Menschen in Städten größer als 50.000, was bedeutet, dass in Kleinstädten, Dörfern, Weilern oder auf einzeln gelegenen Gebäuden oder Höfen (sog. Einöden oder Einschichten) zwei Drittel der Bevölkerung wohnt.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Liste der österreichischen Hauptstädte" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Liste_der_%C3%B6sterreichischen_Hauptst%C3%A4dte&oldid=209217990 Version vom 26.2.2021 um 11:59:56 Uhr], auf dem Wikipedia-Eintrag "Liste der Städte in Österreich" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Liste_der_St%C3%A4dte_in_%C3%96sterreich&oldid=219044187 Version vom 11.1.2022] sowie auf dem Wikipedia-Eintrag "Österreich" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%96sterreich&oldid=219323352 Version vom 19.1.2022 7:13:29‎ Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] in diesen Text umgearbeitet.</ref> = Herzberger Quader = [[Datei:Herzberger Quader.jpg|mini|alt=alle 11 Polywürfel mit dem Holzkästchen im Hintergrund|Der Herzberger Quader: 11&nbsp;Polywürfel]] Der '''Herzberger Quader''' ist ein Geduldspiel zur Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Der Mathematiklehrer Gerhard Schulze (1919–1995), hatte sich in den Jahren 1982–1994 intensiv mit mathematischen Spielen beschäftigt und den Herzberger Quader anlässlich der 800-Jahr-Feier seiner Heimatstadt Herzberg im Jahr 1984 erstmals produzieren lassen. Seit 2008 werden interessierte Mathematiklehrer*innen durch didaktische Arbeitsmaterialien beim Einsatz des Herzberger Quaders im Schulunterricht unterstützt. Der Quader besitzt die Größe von 40&nbsp;Einheitswürfeln (5×4×2) und besteht aus elf unterschiedlichen Polywürfeln, vom Biwürfel bis zu den Tetrawürfeln. == Mögliche Aufgabenstellungen == Die erste naheliegende Aufgabe ist der Zusammenbau des Quaders, um ihn in sein Kästchen zurückräumen zu können. Diese Aufgabe ist relativ einfach zu lösen. Darüber hinaus gibt es als Aufgabenstellungen die verschiedensten Figuren, die unter Verwendung aller Teile zu bauen sind. Wird nur eine Teilmenge der vorhandenen Polywürfel genutzt, kann daraus ein Würfel mit der Kantenlänge &nbsp;3 erzeugt werden. Die erste Aufgabe ist dabei die Auswahl der in Frage kommenden Teile, wobei eine der Möglichkeiten der Somawürfel ist. Anschließend müssen die Würfel zusammengesetzt werden. Deutlich anspruchsvollere Aufgaben erfragen die Anzahl aller verschiedener Möglichkeiten, die Ausgangsteile in einer bestimmten Figur anzuordnen. Oder es sollen Beweise dafür erbracht werden, welche Figuren mit welchen Polywürfeln realisiert beziehungsweise nicht realisiert werden können.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Herzberger Quader" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Herzberger_Quader&oldid=203939729 Version vom 24.9.2020] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Aprilwetter = [[Datei:Aprilwetter (Plau).JPG|mini|„Aprilwetter“]] Als '''Aprilwetter''' wird umgangssprachlich „launisches“, wechselhaftes Wetter mit rascher Abfolge von Sonnenschein, Bewölkung und Regen (mitunter auch mit Schnee und Hagel) bezeichnet. Dieses meteorologische Phänomen ist auch Gegenstand einiger sogenannter Bauernregeln, da Landwirt*innen in dieser Jahreszeit der Jungpflanzen besonders wetterabhängig sind, etwa: "April, April, der macht, was er will."<ref>[[https://www.dw.com/de/der-april-macht-was-er-will-bekannte-bauernweisheiten/a-52430233 "Der April macht, was er will – bekannte Bauernweisheiten", Deutsche Welle, dw.com, 3.4.2020: Bildergalerie mit den bekanntesten deutschen Bauernweisheiten.]]</ref> Meteorologisch lässt sich das Phänomen der starken Wetter- und Temperaturschwankungen folgendermaßen erklären: Im Frühjahr erwärmt sich aufgrund der unterschiedlichen Intensität der Sonnenstrahlung die Luft über Südeuropa und Afrika schneller als über Nordeuropa und dem Meer. Dadurch entsteht ein großes Temperaturgefälle zwischen Nord und Süd. Da der Unterschied anfangs sehr groß ist und die Lufttemperatur bestrebt ist, sich auszugleichen, kommt es an der Grenze, die sich im April gerade über Mitteleuropa befindet, zu einem ständigen Wetterwechsel. Dabei mischt sich die warme Luft aus dem Süden mit der kalten Luft aus dem Norden. Die kalte Luft enthält viel Feuchtigkeit, während die warme Luft aus dem Süden relativ trocken ist. Auf dem Festland wird die kalte Luft nun erwärmt und steigt dadurch auf, wobei Wolken entstehen. In höheren Luftschichten befindet sich jedoch die warme Luft aus dem Süden, die daraufhin absinkt. Dabei erwärmt sie sich weiter und löst vorhandene Wolken wieder auf. So entsteht das typische Aprilwetter mit kurzen Schauern oder sogar Schneefall, kräftigem Wind und teilweise wolkenfreien Tagen. Die Wetterkapriolen können zum Zeitpunkt der Kirschblüte in wolkenlosen Nächten die Obstblüte gefährden, da Temperaturstürze mit stärkerem Bodenfrost einhergehen können, die auch die Blüten betreffen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Aprilwetter" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Aprilwetter&oldid=211138812 Version vom 20.4.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und leicht ergänzt.</ref> = Nebelhornbahn = = Interfacedesign = [[Datei:IFA 2010 Internationale Funkausstellung Berlin 18.JPG|mini|150px|Tablet mit Multi-Touch-Bildschirm]]Das '''Interfacedesign''' (Schnittstellengestaltung), ist eine Disziplin des Designs, die sich mit der Gestaltung von Benutzerschnittstellen zwischen Mensch und Maschine beschäftigt. Dafür werden die Bedingungen, Ziele und Hindernisse dieser Interaktion sowohl von menschlicher als auch von technischer Seite erforscht und später – soweit möglich – auf den Menschen hin optimiert. Ziel des Interfacedesigns ist eine Anwenderschnittstelle, die so gestaltet ist, dass ein möglichst breiter Kreis von Nutzer*innen eine optimale Wunsch-/ Bedürfnis-/ Zielerfüllung durch angemessene Handlungsschritte erfährt. Während sich Designer*innen übergreifend im Zuge der Interaktionsgestaltung eingehend mit dem Verhalten und der Konzeption (Nutzungsszenarien) eines Produkts beschäftigen, geht es im Interfacedesign um die konkrete Gestaltung, wenn auch nicht nur visuell. Typische Arbeitsfelder von Interfacedesigner*innen sind Softwaredesign, Usability-Forschung, Webdesign oder Produktdesign. In seiner Definition des Begriffes grenzt Jef Raskin ihn nicht nur auf die Gestaltung grafischer Benutzeroberflächen (GUI) ein, sondern nutzt den mit ''Interface'' bezeichneten Begriff stellvertretend für eine „Schnittstelle zwischen Mensch und Maschine oder Mensch und Computer“. Eine Spracherkennung ist demnach ebenfalls ein Interface. Konkret sagt er: „Ein Interface bezeichnet nämlich die Art und Weise, wie ein Produkt eine bestimmte Aufgabe ausführt – also was der Benutzer tun kann und wie das System darauf reagiert“. Der Schwerpunkt liegt also nicht ausschließlich auf der visuellen und grafischen Gestaltung. Die Interaktion mit einer Bedienoberfläche – zumeist ein Bildschirm, aber auch mit Automaten oder etwa Maschinen – soll vom Interaktionswunsch der Nutzer*innen über angelegte Rückkopplungsmechanismen (Ein- und Ausgabe von Daten per Tastatur/ Steuerung/ gezielter Handlung) in angemessener Zeit zu einem abgeschlossenen und sinnvollen Ergebnis führen. Ein wichtiger Aspekt hierbei ist, dass Nutzer*innen bei der Interaktion ein möglichst positives Anwendungserlebnis (User Experience) haben soll. Dazu zählen auch Vorgänge wie das optimale Finden, Bewerten, Verändern und Speichern von Informationen, die Nutzer*innen innerhalb eines digitalen Wissensraumes vornehmen. Dabei werden konzeptionelle (mess- und steuerbare, „harte“), sowie ästhetische (individuelle, „weiche“) Aspekte der Interaktion berücksichtigt. In der Praxis werden dafür üblicherweise schon während der Entwurfsphase Tests an der jeweiligen Zielgruppe durchgeführt, oft in direkter Zusammenarbeit und mit ausgefeilten Datenerhebungs- und Feedbackfunktionen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Interfacedesign" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Interfacedesign&oldid=206315023 Version vom 7.12.2020] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Venus = = GitLab = '''GitLab''' ist eine Webanwendung zur Versionsverwaltung für Softwareprojekte auf Git-Basis. Hinzu kamen später weitere Funktionen zur Softwareentwicklung. GitLab bietet ein Issue-Tracking-System mit Kanban-Board, ein System für Continuous Integration und Continuous Delivery (CI/CD), ein Wiki, eine Container-Registry, einen Sicherheitsscanner für Container und Sourcecode sowie Multi-Cluster-Verwaltung und -Überwachung. GitLab ist in Produkte für Entwickler*innen integrierbar und selbst über eine API fernsteuerbar. GitLab ist in den Programmiersprachen Ruby und Go entwickelt. Die ''GitLab Community Edition (CE)'' steht als Open-Source-Software unter der MIT-Lizenz. Neben kostenlosem Hosting privater und öffentlicher Repositories wird auch kostenpflichtiger Support angeboten. GitLab ist damit eine Alternative zu ähnlichen Angeboten wie GitHub und Bitbucket. [[Datei:Gitlab-founders.jpg|mini|GitLab B.V.-Gründer Dmitriy Zaporozhets and Sytse "Sid" Sijbrandij, 2016]]GitLab wurde 2011 von den Ukrainern Dmitri Saparoschez und Valery Sizov mithilfe von Ruby on Rails entwickelt. Mit Sytse „Sid“ Sijbrandij gründete Dmitri 2014 die Firma GitLab B.V. mit Sitz in Utrecht, Niederlande. Im März 2015 wurde GitLab Mitglied bei Y Combinator und konnte im Juli Startkapital (engl. „seed funding“) in Höhe von 1,5 Millionen US-Dollar von den Risikokapitalgebern Khosla Ventures, 500 Startups und anderen Venture-Capital-Fonds in Anspruch nehmen. In einer ersten Finanzierungsrunde (engl. „series A“) im September desselben Jahres investierte Khosla Ventures weitere 4 Millionen US-Dollar in das Unternehmen. Im September 2016 konnte GitLab in einer zweiten Finanzierungsrunde (engl. „series B“) von August Capital, Y Combinator und Khosla Ventures Mittel mit einer Gesamtsumme von 20 Millionen US-Dollar einsammeln. GitLab wird nach eigenen Angaben von mehr als 100.000 Organisationen und „Millionen von Menschen“ eingesetzt (Stand: 2016), darunter unter anderem IBM, Expedia, NASA, Sony. Seit Mai 2018 nutzt auch GNOME GitLab, seit Mitte 2020 arbeitet KDE mit einem selbst gehosteten Gitlab-Repository. Eine aktuelle Liste der Projekte, die GitLab nutzen, findet sich bei https://gitlab.com/explore/<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "GitLab" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=GitLab&oldid=221098499 Version vom 14.3.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und leicht ergänzt.</ref> = Elbe = [[Datei:ElbeSandufer.jpg|mini|Die Elbe ist ein ''Sandfluss'' mit teilweise noch naturbelassenen Ufern]]Die '''Elbe''' ist ein mitteleuropäischer Strom von etwa 1100&nbsp;km Länge, der in Tschechien entspringt, durch Nordostdeutschland fließt und in die Nordsee mündet. Zu den bekanntesten Gewässern ihres Einzugsgebietes gehören die Moldau (in Tschechien, durch Prag fließend), die Saale (aus Oberfranken kommend in Bayern und Thüringen), die Havel mit der Spree (im Umland von Berlin) und die Elde mit der Müritz (in Mecklenburg). Gemessen an der Größe ihres Einzugsgebietes von 148.300&nbsp;km² liegt sie an vierter Stelle, hinter der Donau, der Weichsel und dem Rhein. Zunächst durchquert die Elbe das nördliche Tschechien (Böhmen) in einem weiten Bogen, fließt dann durch Deutschland, unter anderem durch die Städte Dresden, Magdeburg und Hamburg, und mündet schließlich bei Cuxhaven in die Nordsee.[[Datei:13-02-23-fotoflugkurs-cux-by-RalfR-047.jpg|mini|Die Kugelbake in Cuxhaven markiert den Übergang von der Elbe zur Nordsee]] Während der deutschen Teilung in die zwei Staaten BRD und DDR bis 1990 war die Mittelelbe zwischen Schnackenburg und Lauenburg auf einer Länge von beinahe 100&nbsp;km auch Grenzfluss. Sie war zeitweilig extrem starker Belastung durch Schwermetalle und andere Schadstoffe ausgesetzt. In den letzten Jahren hat sich aber die Gewässerqualität deutlich verbessert. Die organische Belastung ist allerdings nach wie vor hoch, im Saprobienindex als „mäßig belastet“ bis „stark verschmutzt“ eingestuft. Ursache ist hauptsächlich die intensive landwirtschaftliche Nutzung der Flussaue und die durch den technischen Ausbau zur „Europawasserstraße“ bedingte mangelnde Strukturgüte und gehemmte Selbstreinigungskraft. Dennoch liegen besonders am Mittellauf etliche sehr schutzwürdige Biotope. Im Tidenstau am Übergang von Mittel- und Unterelbe hat sich ein Binnendelta gebildet, in dem heute der weitverzweigte Hamburger Hafen liegt. Entlang der Unterelbe gibt es einige Sandstrände, die auch größere Bedeutung als Badestellen haben, so etwa in Övelgönne. Derzeit ist der Tidenhub in Hamburg mit etwa 3,6&nbsp;m höher als auf der offenen Nordsee. Obwohl das Wasser bei jeder Flut flussaufwärts fließt, enthält die Unterelbe überwiegend Süßwasser. Die Elbmündung hat eine große Bedeutung für die Seeschifffahrt, da der Trichter die Zufahrt zum Hamburger Hafen bildet und in der Mündung auf nördlicher Seite (bei Brunsbüttel) die Einfahrt zum Nord-Ostsee-Kanal liegt. Der untere Teil der Elbmündung gehört deshalb zu den am stärksten befahrenen Wasserstraßen in Europa. Die Elbmündung war von offener See her früher durch fünf bis zu 45&nbsp;m hohe Feuerschiffe markiert, die heute durch feste Seezeichen ersetzt sind. Große Schiffe werden mit Hilfe von Lotsen durch die Wasserstraße navigiert, denn Untiefen wie der ''Vogelsand'' in der Außenelbe sind für die Schifffahrt gefährlich.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Elbe" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Elbe&oldid=221394103 Version vom 22.3.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet und gekürzt.</ref> = Remensniderhaus (Herford)= [[Datei:2010-02-04 Herford 186.jpg|thumb|upright|Ansicht von Norden]]Das '''Remensniderhaus''' ist ein unter Denkmalschutz stehendes '''Fachwerkhaus''' aus dem Jahr 1521, der Zeit der Spätgotik, in Herford, Westfalen (Deutschland). Es befindet sich in der Fußgängerzone an der ''Brüderstraße 26'' in der Herforder Altstadt. Das dreigeschossige giebelständige Fachwerkhaus wurde 1521 für Heinrich Aldach, genannt Remensnider, erbaut. An der Schaufassade befinden sich 21 geschnitzte Figurenknaggen. Das zweite Obergeschoss ist an der nördlichen Giebelseite und an der östlichen Traufenwand zweifach über gekehlten Knaggen vorkragend. Die Knaggen sind an der Schaugiebelseite zur Brüderstraße mit Figuren beschnitzt. Die Schwellen sind zu Streben abgefasst, mit Inschriften und Wappen verziert. Die Ständer sind mit Kopfbändern, teilweise auch mit Fußbändern verstrebt. Oberhalb der Inschrift befinden sich die Wappen der Landesherren von Braunschweig, Ravensberg, Lippe, Schaumburg, Waldeck, Osnabrück und Köln. Mit seinen 21 Figurenknaggen ist es unter den spätgotischen Fachwerkbauten Westfalens das künstlerisch bedeutendste, das nach den Kriegszerstörungen der entsprechenden Fachwerkhäuser in Hildesheim und Braunschweig als Baudenkmal eine einzigartige Stellung in Norddeutschland einnimmt. Das Remensniderhaus dokumentiert in seiner Knaggenschnitzerei in einer für den Oberweserraum einzigartigen Weise das religiöse Weltbild des ausgehenden Mittelalters. Der Bauherr ist durch seine inschriftliche Nennung bekannt: 1521 Hinrick Aldach, genannt Remensnider. Das Haus befand sich in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts im Besitz des Sattlers C. Gellert, von dem es 1899 die Stadt Herford erwarb. Im Jahre 1985 erfolgte die Übertragung auf die Wohnbau Herford GmbH. Seit 1998 ist es im Besitz der Familie Liedtke, die es zwischen 1999 und 2001 komplett restaurierte. Ursprünglich dürfte das Haus eine Länge von elf Gebinden und somit eine Länge von ca. 16 Metern gehabt haben. Warum und wann der hintere Gebäudeteil abgebrochen wurde, kann nicht genau gesagt werden. Seit 1981 steht das Remensniderhaus wie viele der anderen historischen Bauten der Stadt Herford unter Denkmalschutz, unter anderem das direkt daneben stehende, ebenfalls spätgotische, 1532 erbaute Engelkinghaus.<ref>[http://herford-stadtführung.com/cause/remensniderhaus/ herford-stadtführung.com: Remensniderhaus] </ref><ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Remensniderhaus" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Remensniderhaus&oldid=212684222 Version vom 5. Juni 2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Haager Konvention zum Schutz von Kulturgut bei bewaffneten Konflikten (seit 1954) = [[Datei:Plan Rynku we Lwowie.png|mini|links|Historischer Plan des Markplatzes in Lwiw, Ukraine, UNESCO Weltkulturerbe]][[Datei:Chersonesos ruins.jpg|mini|Die Wladimirkathedrale über den Ruinen des antiken Chersones, Ukraine]][[Datei:Distinctive emblem for cultural property.svg|mini|hochkant|Das Emblem der Haager Konvention von 1954 zur Kennzeichnung von geschütztem Kulturgut]] Die '''Haager Konvention zum Schutz von Kulturgut bei bewaffneten Konflikten''' ist ein völkerrechtlicher Vertrag, der 1954 mit dem Ziel abgeschlossen wurde, Kulturgut während eines Krieges oder bewaffneten Konfliktes vor Zerstörung oder Beschädigung sowie Diebstahl, Plünderung und anderen Formen einer widerrechtlichen Inbesitznahme zu schützen. Kulturgut ist definiert als „bewegliches oder unbewegliches Gut, das für das kulturelle Erbe der Völker von großer Bedeutung ist“. Hierzu zählen als bewegliche Kulturgüter beispielsweise Gemälde, Skulpturen, archäologische Funde, Bücher, Manuskripte und Archivalien. Als unbewegliche Kulturgüter gelten neben Denkmälern vor allem Gebäude wie Museen, Bibliotheken, Archive und Bergungsorte, die der Ausstellung, Nutzung, Verwahrung und dem Schutz von beweglichem Kulturgut dienen. Denkmalzentren als Orte von größerem Ausmaß, die in beträchtlichem Umfang Kulturgut entsprechend der vorherigen Definition aufweisen, werden ebenfalls als schutzwürdig betrachtet. Die Bestimmungen der Konvention von 1954 wurden ergänzt und präzisiert durch zwei 1954 und 1999 abgeschlossene Protokolle. Alle drei Abkommen sind Teil des humanitären Völkerrechts, zu dem in Form weiterer Abkommen vor allem Regelungen zählen, welche die zulässigen Mittel und Methoden zur Kriegführung definieren sowie den weitestmöglichen Schutz der nicht an den Kampfhandlungen beteiligten Personen zum Ziel haben. Im Gegensatz zu diesen Teilen des humanitären Völkerrechts entstanden die Abkommen zum Kulturgutschutz unter Federführung der Vereinten Nationen (UN), für die Verbreitung und die Überwachung der Einhaltung ist die Organisation der Vereinten Nationen für Erziehung, Wissenschaft und Kultur (UNESCO) hauptverantwortlich. Neben Regeln, die unmittelbar während eines bewaffneten Konfliktes den Schutz und die Respektierung von Kulturgut gewährleisten sollen, ergeben sich aus diesen Abkommen auch Sicherungsmaßnahmen, die in Friedenszeiten umzusetzen sind. Mit Stand vom Juni 2018 sind 132 Staaten Vertragspartei der Haager Konvention von 1954, den Protokollen von 1954 und 1999 sind 109 beziehungsweise 77 Staaten beigetreten. Im Bereich der internationalen Koordination hinsichtlich militärischer und ziviler Strukturen zum Schutz von Kulturgut ist ''Blue Shield International'' mit Sitz in Den Haag tätig. Die Leitgedanken der Konvention sowie die Motivation für ihren Abschluss, ihre Verbreitung und ihre Respektierung sind zusammengefasst in der Präambel, die unter anderem besagt, {{Zitat|… dass jede Schädigung von Kulturgut, gleichgültig welchem Volke es gehört, eine Schädigung des kulturellen Erbes der ganzen Menschheit bedeutet, weil jedes Volk seinen Beitrag zur Kultur der Welt leistet …}} <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Haager Konvention zum Schutz von Kulturgut bei bewaffneten Konflikten" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Haager_Konvention_zum_Schutz_von_Kulturgut_bei_bewaffneten_Konflikten&oldid=217816389 Version vom 2.12.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] stark gekürzt.</ref> = Maria Kalesnikava = [[Datei:Maria Kalesnikova 2022-03-16 Esslingen-Plakat.jpg|mini|Maria Kalesnikava - Plakat in Esslingen am Neckar, März 2022]]'''Maria Kalesnikava''', geboren am 24. April 1982 in Minsk (damals Weißrussische Sozialistische Sowjetrepublik) ist eine derzeit in Belarus inhaftierte Bürgerrechtlerin, politische Gefangene sowie Musikpädagogin und Flötistin. 2020 wurde Kalesnikava international bekannt durch ihre Rolle in der belarussischen Opposition, als Menschenrechtsaktivistin und parteilose Politikerin. Anfang September 2020 „verschwand“ Kalesnikava in Minsk auf bisher ungeklärte Art und Weise. Ihre Familie konnte zwei Tage später mitteilen, sie befinde sich in staatlicher Untersuchungshaft. Im Februar 2021 hat der Staatsanwalt die Anklage gegen sie erweitert: Sie soll an einer Verschwörung zur verfassungsfeindlichen Machtergreifung beteiligt gewesen sein und eine extremistische Vereinigung gegründet und angeführt haben. Am 16. September 2020 wurde gegen Kalesnikava Anklage wegen „Gefährdung der staatlichen Sicherheit“ erhoben. Nach Aussage der Ermittlungsbehörde habe die Beschuldigte mit Hilfe des Internets und der Massenmedien zu Handlungen aufgerufen, die gegen die nationale Sicherheit gerichtet gewesen seien, und sie habe Belarus Schaden zufügen wollen. Die Anwältin Kalesnikavas, Ljudmila Kasak, nannte die Anschuldigungen gegen ihre Mandantin, sie habe sich an einer illegalen Machtergreifung versucht, absurd. Die Öffentlichkeit war von der Teilnahme an der Verhandlung gegen Kalesnikava und den Mitangeklagten Maksim Snak vor dem Gericht des Minsker Bezirks ausgeschlossen, die Beteiligten wurden zur Verschwiegenheit verpflichtet. Am 6. September 2021 wurde Kalesnikava zu elf Jahren Haft verurteilt, Snak zu zehn Jahren. == Beruf == Maria Kalesnikava absolvierte in Minsk ein Solistenstudium für Querflöte an der Belarussischen Staatlichen Musikakademie und studierte anschließend an der Musikhochschule Stuttgart die Fächer "Alte Musik" und "Zeitgenössische Musik". Daraufhin verbrachte sie mehrere Jahre im Ausland und nahm an zahlreichen deutschen und internationalen Festivals mit unterschiedlichen Ensembles teil. Seit 2016 unterrichtete sie klassische Musik und von 2017 an war sie als Projektleiterin des "Artemp Festival" tätig. Sie spricht fließend Deutsch. == Beteiligung am Präsidentschaftswahlkampf im Jahr 2020 == Nach der Verhaftung des Oppositionspolitikers Babaryka ist Kalesnikava an dessen Stelle in den Präsidentschaftswahlkampf 2020 in Belarus eingetreten. Gemeinsam mit Swjatlana Zichanouskaja und Weranika Zepkala bildete sie vor der Präsidentschaftswahl ein Trio von Frauen gegen den regierenden Präsidenten, das schnell Erfolge erzielen konnte. „Das Auftreten der drei Frauen ist etwas Neues in Belarus. Ihre Sprache, ihr Gestus. Die eine zeigt immer ein Victory-Zeichen, die zweite reckt die rechte Faust, die dritte formt ihre Hände zu einem Herzen.“<ref>[https://www.dailysabah.com/world/europe/3-belarusian-women-teamed-up-to-fight-strongman-lukashenko 3-belarusian-women-teamed-up: ''We decided to unite and show what female solidarity is.''] In ''Daily Sabah'', 17. Juli 2020 (engl.)</ref> == Festnahme am 7. September 2020 / internationale Anerkennung als politische Gefangene == Am 7. September 2020 berichteten Medien zunächst, dass Kalesnikava festgenommen oder verschleppt worden sei. Sie sei in der Innenstadt von Minsk von bislang nicht identifizierten Personen festgesetzt worden. Die Polizei prüfe, ob sie entführt worden sei. Es wurde vermutet, man habe sie verschwinden lassen. Auch von zwei ihrer Mitarbeiter, Anton Radnjankou und Iwan Krauzou, fehlte jede Nachricht. Am selben Tag forderte der deutsche Außenminister Heiko Maas die belarussische Führung zur sofortigen Aufklärung des Verschwindens von Kalesnikava auf und stellte öffentlich Überlegungen an, wie die EU gemeinschaftlich reagieren werde. Am 8. September berichteten Medien, dass Kalesnikava an der Grenze zur Ukraine vom belarussischen Grenzschutz festgenommen wurde, weil sie sich angeblich „ihrer Abschiebung widersetzt“ habe und „ihren Pass zerriss“. Radnjankou und Krauzou wurden dagegen zur Ausreise genötigt. Der Koordinierungsrat der Oppositionsbewegung teilte mit, man wisse nicht, wo Kalesnikava derzeit sei und könne nur bestätigen, dass sie das Land nicht habe freiwillig verlassen wollen. In einem Interview sagte der Vizeinnenminister der Ukraine, dass es keine Ausreise Kalesnikavas gegeben habe, sondern dass eine Deportation durch den KGB Belarus an ihrem tapferen Verhalten gescheitert sei; dies bestätigte später auch Iwan Krawzow. In Minsk kam es am Mittwoch, den 9. September 2020, zu Solidaritätskundgebungen, bei denen Menschen auch die Freilassung Kalesnikavas und der anderen politischen Gefangenen forderten. Es gab dabei erneut mehrere Festnahmen. Am 10. September 2020 teilte Kalesnikava mit, ihr sei mit Zerstückelung ihrer Leiche und einer 25-jährigen Freiheitsstrafe gedroht worden. Sie stellte daher Strafanzeige gegen die Behörden, insbesondere den belarussischen KGB und die OMON (Belarus) wegen Morddrohung. Gemäß ihrer Anwältin hat Kalesnikava Quetschungen und Blutergüsse davongetragen. Durch eine gemeinsame Erklärung von zwölf Organisationen (Wjasnas, des Belarussischen Journalistenverbandes, des Belarussischen Helsinki-Komitees u. a.) wurde sie am 10. September 2020 als politische Gefangene anerkannt. Kurz darauf wurde Kalesnikava in ein Gefängnis in der Stadt Schodsina nordöstlich von Minsk verlegt. Am 13. September 2020 rief die Opposition wieder zu Massenprotesten im Land auf. In Minsk wurde ein „Marsch der Helden“ abgehalten, bei dem auch Kalesnikavas Name genannt wurde. Die Menschenrechtsorganisation Amnesty International erklärte, dass Kalesnikava keine Straftat begangen habe, die international als solche benannt sei, und allein wegen ihrer Ausübung der Rechte auf freie Meinungsäußerung, Vereinigungsfreiheit und friedliche Versammlung strafrechtlich verfolgt werde. Amnesty International stufte sie daher als politische Gefangene ein und forderte ihre umgehende Freilassung. == Auszeichnungen == * 2020: Sacharow-Preis (Preis für Demokratie und Menschenrechte) * 2021: Lew-Kopelew-Preis * 2021: Fritz-Csoklich-Preis * 2021: Stuttgarter Friedenspreis * 2021: International Women of Courage Award * 2021: Menschenrechtspreis der Gerhart und Renate Baum-Stiftung * 2021: Václav-Havel-Menschenrechtspreis * 2022: Karlspreis (der Stadt Aachen) * 2022: Theodor-Haecker-Preis (der Stadt Esslingen am Neckar) Am 13. März 2022 wurde Maria Kalesnikava von der Stadt Esslingen am Neckar bei einer Festveranstaltung im Theater "Württembergische Landesbühne Esslingen" geehrt: "Als Zeichen der Solidarität wird der Theodor-Haecker-Preis der Stadt Esslingen am Neckar – Internationaler Menschenrechtspreis für politischen Mut – 2022 außer der Reihe an die belarussische Aktivistin Maria Kalesnikava verliehen."<ref>[https://www.esslingen.de/,Lde/start/es_themen/preisverleihung+2022.html Außerordentliche Verleihung des Theodor-Haecker-Preises am 13. März 2022, Stadt Esslingen am Neckar]</ref><ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Maryja Kalesnikawa" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Maryja_Kalesnikawa&oldid=221105065 Version vom 14.3.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Agilität (Management)= '''Agilität''' ist ein Merkmal des Managements einer Organisation (Wirtschaftsunternehmen, Non-Profit-Organisation oder Behörde), flexibel, proaktiv, antizipativ und initiativ zu agieren, um notwendige Veränderungen einzuführen. „Klassische“ („stabile“) Organisationsstrukturen sind entweder prozessorientiert (z. B. Autoindustrie, Behörden) oder projektorientiert (z. B. Bauindustrie, Hilfsorganisationen) oder eine Mischform davon. Vor dem Hintergrund eines turbulenten, unbeständigen Umfelds können diese Organisationsstrukturen aufgrund ihrer Hierarchie möglicherweise mit dem Wandel nicht angemessen mithalten. Der Begriff Agilität geht auf Steven Goldman, Roger Nagel und Kenneth Preiss vom Iacocca Institute der Lehigh University in Bethlehem (Pennsylvania) zurück. Im Januar 1991 erschien mit ''21st Century Manufacturing Enterprise Strategy'' ihr erster Buchbeitrag zu Agilität, 1994 dann das Buch ''Agile Competitors and Virtual Organizations''. Mit Entstehen des agilen Manifests im Januar 2001 erlangte der Begriff Agilität zunehmend im Softwareentwicklungs-Kontext für die damals als leichtgewichtig bezeichneten Methoden an Bedeutung: für Extreme Programming (XP), Scrum, DSDM, Adaptive Software Development (ASD), Feature Driven Development (FDD) und Crystal Family. == Dimensionen == Agilität hat im Wesentlichen sechs Dimensionen: * agiles Zielbild, ("Strategie"): Vision, Mission und langfristige Unternehmensziele als die Einführung der Unternehmensstrategie * kundenorientierte Organisationsstruktur * iterative Prozesslandschaften * mitarbeiterzentrierter Führungsstil * agile Personalführungsinstrumente * agile Organisationskultur Hieraus ergibt sich die Abgrenzung zum betriebswirtschaftlichen Begriff der reinen Flexibilität : '''Agiles Zielbild''' <br/> Agilität des Managements drückt sich bereits in Vision, Mission und strategischen Unternehmenszielen aus. '''Kundenorientierte Organisationsstruktur''' <br/> Agile kundenorientierte Organisationen sind geprägt von Netzwerkstrukturen statt von Hierarchien. Der Fokus liegt auf der teambasierten Ablauforganisation statt auf der nicht wertschöpfenden Aufbauorganisation. '''Iterative Prozesslandschaften''' <br/> Agile kundenorientierte Organisationen planen ihre Prozesse, Produkte und Leistungen iterativ statt nach dem Wasserfallmodell. Hierdurch wird der Zeitaufwand für Planung und Konzeption verringert. Die Kunden erhalten die Produkte und Leistungen in rascher Abfolge in kleineren Teilen statt nach einem längeren Zeitraum in einem Stück. '''Mitarbeiterzentriertes Führungsverständnis''' <br/> In agilen Organisationen sind die Führungskräfte nicht kontrollierende Vorgesetzte, die Druck auf ihre Mitarbeiter ausüben, sondern sie übertragen den Mitarbeiterteams Verantwortung. Daher gewinnen plurale Führungsansätze (Plural Leadership) weiter an Bedeutung. '''Agile Personal- und Führungsinstrumente''' <br/> In agilen Organisationen werden die Mitarbeiter stark in die Personalplanung einbezogen. Mitarbeiterentwicklung erfolgt nicht (nur) auf der Grundlage von Vorgaben, sondern (auch) innerhalb der Teams selbst („Peer Feedback“). '''Agile Organisationskultur''' <br/> In „klassisch“ organisierten Strukturen herrschen oft eine Kultur aus engen Regeln, standardisierten Vorgaben und wenig Entscheidungsfreiheit für Mitarbeiter vor. In agilen Organisationen wird Wissen offen weitergegeben, Fehler werden offen und konstruktiv angesprochen, Statussymbole („Chefetage“, „Teppichetage“) entfallen. == Werte der Agilität == Die Werte der Agilität wurden in der Agilen Softwareentwicklung entwickelt. Sie sind jedoch auf Agilität im Management von Organisationen in angepasster Form übertragbar. Präferierte Werte von Organisationen mit Agilität (A) lassen sich in schematischer Form präferierten Werten von Organisationen ohne Agilität (B) folgendermaßen einander gegenüberstellen: A präferiert Individuen und Interaktion, B Prozesse und Werkzeuge. A präferiert Produkte und Leistungen, B umfassende Dokumentation. A präferiert Zusammenarbeit mit dem Kunden, B Vertragsverhandlungen, und A reagiert auf Veränderungen, während B einen Plan befolgt. == Schwächen der Agilität == In stabilen Organisationen wird dem Qualitätsmanagement (QM) ein hoher Stellenwert eingeräumt. „Klassisches“ QM ist stark prozessorientiert. Ein QM-System, das an die Bedürfnisse agiler Organisationen angepasst wurde, ist jedoch bislang nicht entwickelt worden. Agilität im Management von Organisationen geht daher möglicherweise zulasten der Qualität der Produkte und Leistungen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Agilit%C3%A4t_(Management)&oldid=218248839 Version vom 16.12.2021, 21 Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Druckluftschaum = <!--[[Datei:DLS-Anlage Schema.jpg|mini|Schema einer DLS-Anlage]]-->'''Druckluftschaum''' ist ein Verfahren zur Herstellung von Schwerschaum. Druckluftschaumanlagen sind in der DIN EN 16327 beschrieben. Der Druckluftschaum wird an der Feuerlöschkreiselpumpe erzeugt. Die englische Bezeichnung für diese Anlagen lautet: Compressed Air Foam System (CAFS). Druckluftschaum kann mit unterschiedlichen Verschäumungszahlen (VZ) hergestellt werden. Als nasser Druckluftschaum werden Dispersionen mit einem Expansionsverhältnis (Verschäumungszahl) von 4 bis 11 bezeichnet und ein Expansionsverhältnis von mehr als 11 bezeichnet man als trockenen Druckluftschaum. Die gebräuchliche Abkürzung ''CAFS'' (Compressed Air Foam System) bezeichnet die den Druckluftschaum erzeugende Anlage (Druckluftschaumanlage, Abkürzung: ''DLS''). DLS wird im Gegensatz zu herkömmlichem Schaum nicht erst im Strahlrohr, sondern schon beim Mischen des Wassers mit dem Schaummittel mit Hilfe von Druckluft verschäumt. Wegen der Expansion des komprimierten Schaums am Strahlrohr sowie der Tatsache, dass keine Energie für die Luftzumischung verbraucht wird, kann dieser Schaum wesentlich weiter geworfen werden. Druckluftschaum wurde ursprünglich in den 1930er Jahren in Deutschland entwickelt. In Europa wurde CAFS erstmals im Jahre 1997 von der Berufsfeuerwehr Ingolstadt in einem Pilotprojekt eingeführt und praxiserprobt. Aufgrund der positiven Ergebnisse entschloss sich Bayern als erstes Bundesland, das neue Löschmittel zu fördern. == Funktion == Eine Druckzumischanlage fördert das Schaummittel aus einem Lagertank in die Druckleitung der Feuerlöschkreiselpumpe. Danach wird dem Wasser/-Schaummittelgemisch die vom Kompressor erzeugte Druckluft zugeführt. Während sich das Schaumkonzentrat mit dem Wasser problemlos vermengt, führt die Druckluftzufuhr nicht ohne zusätzlichen Aufwand zur Verschäumung. Nur durch die Erzeugung von ausreichend Turbulenzen entsteht eine Dispersion mit einer weitgehend homogenen Schaumblasenstruktur. == Löschwirkung == Der Zusatz von Tensiden verringert die Oberflächenspannung so weit, dass Wasser nicht mehr abperlt, sondern die Brandgut-Oberfläche benetzt und auch in schmale Spalten kühlend eindringen kann. Die dadurch vergrößerte Kontaktfläche zwischen Brandgut und Löschwasser verbessert ebenfalls den Wärmeübergang. Mit Luft können Wasser-Tensid-Gemische zu einer je nach Herstellungsverfahren mehr oder weniger homogenen Wasser/Luft-Dispersion verschäumt werden, wodurch der Löscherfolg auf mehrfache Weise verbessert wird: * Der Schaum haftet an abschüssigen Flächen und erhöht damit die Kontaktdauer zwischen Brandgut und Löschmittel, * die bessere Benetzung vergrößert die Kontaktfläche und steigert den Wärmeübergang zwischen Brandgut und Löschmittel und * das gegenüber Wasser gesteigerte Oberflächen/Volumen-Verhältnis verbessert ebenfalls den Wärmeübergang zwischen Brandgut und Löschmittel. * Zusätzlich vermag der Schaum, die brennende Oberfläche vom Luftsauerstoff zu trennen (= Hauptlöscheffekt bei Bränden der Klasse B), die aufsteigenden, brennbaren Gase zurückzuhalten und durch Abscheiden seines Wasseranteils zu kühlen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Druckluftschaum" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Druckluftschaum&oldid=217008510 Version vom 5.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Puzzle = [[File:Puzzle (Unsplash).jpg|mini|Noch nicht zusammengesetzte Puzzleteile]]Ein '''Puzzle''' ist ein mechanisches Geduldspiel, genauer gesagt ein Legespiel, bei dem versucht wird, die einzelnen Puzzleteile wieder zu einem Ganzen zusammenzusetzen. Die englische Bezeichnung, die dem Spiel den heutigen Namen gab, lautet ''jigsaw puzzle'' („Laubsägenrätsel“), da die ersten Spiele mit der Laubsäge hergestellt wurden. == Geschichte == Die erste bekannt gewordene Person, die zu didaktischen Zwecken etwas zu einem Ganzen wieder zusammensetzen ließ, war die französische Erzieherin Jeanne-Marie Leprince de Beaumont (1711-1780). Sie nutze Kartenschnitte. Als Erfinder gilt heute der englische Kupferstecher und Kartenhändler namens John Spilsbur (1739–1769). Er klebte 1766 eine Landkarte mit den Grafschaften von Großbritannien auf ein Holzbrettchen und zersägte dieses entlang der Grenzlinien der verschiedenen Grafschaften. Der Spieler musste versuchen, die Karte wieder zu vervollständigen. John Spilsbury verkaufte sein Legespiel als „Lehrmittel zur Erleichterung des Erdkundeunterrichts“. Dabei waren die Teile noch nicht wie heute üblich verzahnt. Diese so genannten ''Interlocking''-Puzzle entstanden erst in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts. Anfang des 20. Jahrhunderts begann die Massenproduktion der bisher in Handarbeit hergestellten Puzzles. Dadurch konnten die einst teuren Spiele preiswerter angeboten und so ihre Popularität gesteigert werden. Bis zum heutigen Zeitpunkt hat sich am Prinzip der Herstellung kaum etwas geändert. Ein auf Pappe gedrucktes Motiv wird mit einer Stanze in viele kleine Teile zerlegt. Die handgefertigten Stanzen sind so individuell, dass die Puzzleteile unterschiedlich aussehen. Bei Riesenpuzzles müssen teilweise auch mehrere Stanzen genutzt werden. Die wichtigsten Fortschritte erzielten die Produzenten bei der Herstellung der Teile durch immer präzisere Zuschnitte. Dies ist auch eines der entscheidenden Qualitätsmerkmale eines Puzzles, neben dem Druck und der Lichtechtheit der Farben. Je genauer die Teile gestanzt werden, desto geringer ist die Wahrscheinlichkeit, Teile falsch zu verbinden. == Ausführungen und Schwierigkeitsgrade == Es gibt von Puzzle mit vier Teilen für Kinder fast alle Größen bis zu Riesenpuzzles mit weit über 10.000 Teilen, für Fortgeschrittene. Der Schwierigkeitsgrad kann außer durch die Anzahl der Teile und die farblichen Besonderheiten des Motivs, wie große Flächen mit geringen Farbabstufungen oder komplett einfarbige Motive, noch weiter gesteigert werden. Des Weiteren gibt es Puzzles, die auf beiden Seiten mit (unterschiedlichen) Motiven bedruckt sind, so dass man zusätzlich noch entscheiden muss, welches die „richtige“ Seite jedes Puzzleteils ist. Außerdem werden Puzzles ohne gerade geschnittenen Rand angeboten, bei denen einige zusätzliche Teile beigefügt wurden, die nicht zum Motiv gehören. Hier besteht die Herausforderung darin, nicht nur das Puzzle zu legen, sondern dabei die überflüssigen Teile herauszufinden.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Puzzle" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Puzzle&oldid=219399003 Version vom 21.2.2022 um 12:52:33‎ Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Sabine Hossenfelder = [[Datei:Sabine Hossenfelder.jpg|mini|Sabine Hossenfelder (2017)]] '''Sabine Hossenfelder''' ist eine deutsche theoretische Physikerin, die sich mit Gravitation und Quantengravitation sowie Physik jenseits des Standardmodells befasst. == Leben == Hossenfelder studierte zunächst bis zum Vordiplom Mathematik und danach Physik an der Universität Frankfurt am Main. In ihrer Doktorarbeit ging es um Schwarze Löcher in Extra-Dimensionen (2003). Als Post-Doktorandin war sie am GSI Helmholtzzentrum für Schwerionenforschung in Darmstadt, 2004/05 an der University of Arizona, 2005/06 an der University of California, Santa Barbara, und von 2006 bis 2009 am Perimeter Institute for Theoretical Physics Waterloo, Ontario (Kanada). Von 2010 bis 2012 legte sie eine Kinderpause ein. In den Jahren 2009 bis 2015 war sie Assistant Professor am Nordic Institute for Theoretical Physics (Nordita) in Stockholm. Seither ist sie als Research Fellow am Frankfurt Institute for Advanced Studies (FIAS) tätig. == Arbeiten == Hossenfelder forscht unter anderem über experimentell oder in Beobachtungen überprüfbare Aussagen von Theorien der Quantengravitation und phänomenologische Modelle der Quantengravitation. 2018 gab sie darüber einen Sammelband heraus. Ihrer Ansicht nach ist freier Wille eine Illusion, denn er sei durch keine Naturgesetze begründbar, da diese entweder deterministisch sind (selbst in der Chaostheorie) oder nur unsteuerbaren Zufall kennt (in der Quantenmechanik). 2018 veröffentlichte sie ein Buch unter dem Titel ''Lost in Math: How Beauty Leads Physics Astray'' (deutscher Titel ''Das hässliche Universum''), in dem sie verschiedene Fehlentwicklungen kritisiert. Eine solche Fehlentwicklung ist ihrer Meinung nach die Suche nach mathematischer ''Schönheit'' fundamentaler Theorien in der Physik. Die Bewertung einer Theorie als vom mathematischen Standpunkt oder im Sinn des Reduktionismus „hässlich“ sei weitgehend eine Frage der Konvention, nicht weit von theologischen Überzeugungen entfernt. Hossenfelder sagt sie sei Atheistin und sehe Religion als eine Zuflucht von Leuten, die nicht zugeben wollen, dass sie keine Erklärungen haben. Da oft jegliche Daten fehlten, um Schönheitskriterien wie Natürlichkeit (im Sinne von Harmonie) experimentell zu belegen, greife man zu nicht-empirischen Argumenten, was aber nach Hossenfelder nie objektiv sein könne und Tür und Tor für Wunschdenken und mehr oder weniger unbewusste kognitive Vorurteile öffne. Gegenstand ihrer Kritik ist besonders die Stringtheorie (für Hossenfelder sind ihre Vertreter*innen für die Universitäten billig und für die Kolleg*innen unterhaltsam) und Supersymmetrie, die noch immer den Mainstream der Forschung darstellten, auch nachdem seit Jahrzehnten Bestätigungen ausstünden (Superpartner, Extradimensionen). Sie kritisiert auch die Erklärungsversuche mit prinzipiell unbeobachtbaren Phänomenen wie Multiversen. Sie habe zwar kein Problem mit Forschung auf diesem Gebiet, nur bewege man sich in eine Richtung, die irgendwann nicht mehr als Physik bezeichnet werden würde. In der experimentellen Hochenergiephysik macht sie einen Stillstand aus, trotz der Entdeckung des Higgs-Bosons im Large Hadron Collider des CERN, insbesondere was die Suche nach dunkler Materie betrifft. Hossenfelder selbst bevorzugt alternative Erklärungen wie Modifikationen der Gravitationstheorie. Viele der theoretischen Arbeiten sind ihr zufolge nutzlose Spekulationen: "Die meisten theoretischen Physiker, die ich kenne, studieren inzwischen Dinge, die noch niemand je gesehen oder gemessen hat."<ref>Hossenfelder, Der Spiegel, Nr. 24, 2018, S. 104</ref> Typisch sind ihrer Überzeugung nach die zahlreichen Postulate neuer Teilchen. Darin macht sie ein karriereförderndes Schema aus: Man identifiziere ein bekanntes offenes Problem, das auf natürliche Weise durch Einführung eines neuen Teilchens gelöst werde, wobei es von Vorteil sei, dieses mit Eigenschaften auszustatten, die erklärten, warum es bisher nicht entdeckt worden sei und warum das in nicht allzu ferner Zukunft doch möglich sein werde. Durch Modifikation der Eigenschaften könne dieser Zeitpunkt immer weiter in die Zukunft hinausgeschoben werden. Sie befürchtet einen Verlust des Vertrauens der Öffentlichkeit in die Grundlagenforschung durch die vielen Spekulationen dieser Art, die ohne zureichende Daten in die Presse getragen würden. Ferner kritisiert Hossenfelder den akademischen Publikationsdruck und argumentiert, es gebe ein verbreitetes Herdenverhalten (Schwarmdenken), einen Hang zu voreiligen Veröffentlichungen und den Wunsch, möglichst oft zitiert zu werden. Der Publikationszwang erlaube weder den Publizierenden, neue Erkenntnisse abzuwarten, noch ermögliche er den Rezipient*innen die fokussierte Lektüre einzelner Beiträge. Hossenfelder befürwortet Übergangsstipendien, die wissenschaftlich Tätigen eine interdisziplinäre wissenschaftliche Mobilität gestatten. Auf ihrem YouTube-Kanal führt Hossenfelder regelmäßig anhand einzelner Fragen in grundlegende Fragestellungen der modernen Physik ein, veröffentlicht Musikvideos mit physikalischen und popkulturellen Referenzen sowie Interviews mit anderen Forscher*innen wie beispielsweise zur ''Reproduzierbarkeitskrise'' wissenschaftlicher Erkenntnisse. Im Zuge der Covid-19-Pandemie hob sie mehrfach den Unterschied zwischen wissenschaftlicher Erkenntnis und daraus abgeleiteter Handlung hervor, die vielfach fälschlicherweise gleich behandelt würden. Letztere seien jedoch rein moralische Schlussfolgerungen und Aufgabe der politischen Entscheidungsträger*innen. Außerdem ist sie freie Autorin für die naturwissenschaftliche Kolumne „Starts with a Bang“ des ''Forbes Magazine''.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Sabine Hossenfelder" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Sabine_Hossenfelder&oldid=216627796 Version vom 23.1.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Görlitz und seine Bibliothek der Wissenschaften = [[Datei:13-11-02-olb-by-RalfR-03.jpg|mini|Oberlausitzische Bibliothek der Wissenschaften in Görlitz: Historischer Bibliothekssaal im Stil einer klassizistischen Kulissenbibliothek, nach der Sanierung des Jahres 2010]]'''Görlitz''' ist die östlichste Stadt Deutschlands und liegt in der Oberlausitz im deutschen Bundesland Sachsen. Seit 1945 trennt der Fluss ''Lausitzer Neiße'' zwei Stadtteile, die bis dahin zusammengehörten. ''Zgorzelec'' ist die historische polnische Bezeichnung für die (gesamte) Stadt Görlitz. Zur Unterscheidung von der polnischen Stadt gleichen Namens wird für den deutschen Teil heute auch im Polnischen der deutsche Ortsname verwendet und bezeichnet die westlich der heutigen Grenze gelegenen Stadtteile. Die Stadtteile östlich des Flusses bilden heute die eigenständige polnische Stadt Zgorzelec. Görlitz liegt unweit des Dreiländerecks von Tschechien, Polen und Deutschland: Die nächste tschechische Stadt liegt etwa 50&nbsp;km südlich von Görlitz und heißt Liberec. Görlitz blieb im Zweiten Weltkrieg von Zerstörungen fast völlig verschont. Die historische Altstadt blieb erhalten: An ihren Häusern erkennt man alle wesentlichen Phasen der mitteleuropäischen Baustile, und so finden sich in der Görlitzer Altstadt Bürgerhäuser im Stil der Spätgotik, der Renaissance und des Barock. Umgeben ist die Altstadt von ausgedehnten Gründerzeitvierteln (Architektur des späten 19. Jahrhunderts). Mit über 4000 größtenteils restaurierten Kultur- und Baudenkmalen wird Görlitz oft als "das flächengrößte zusammenhängende Denkmalgebiet Deutschlands" bezeichnet. Seit 2004 kann man eine Fußgängerbrücke über die Lausitzer Neiße nutzen, um von Görlitz (Deutschland) nach Zgorzelec (Polen) zu kommen. Zu den herausragenden Bauwerken und Kulturschätzen der Stadt zählt die öffentliche '''Oberlausitzische Bibliothek der Wissenschaften''', die wichtigste Regionalbibliothek zwischen Dresden und Breslau. Ihre Aufgabe ist es, den Wissenstransfer und die Identitätsfindung zwischen Deutschland, Polen und Tschechien zu fördern.<ref>Dieser Text basiert auf den Wikipedia-Einträgen "Görlitz" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Oberlausitzische_Bibliothek_der_Wissenschaften&oldid=205833246 Version vom 17.2.2022] und "Oberlausitzische Bibliothek der Wissenschaften" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Oberlausitzische_Bibliothek_der_Wissenschaften&oldid=205833246 Version vom 22.11.2020]. Sie wurden von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] zusammengeführt und umgearbeitet.</ref> = Pizza = [[Datei:Eq it-na pizza-margherita sep2005 sml.jpg|mini|Klassische neapolitanische Pizza Margherita]] Eine '''Pizza''', deutscher Plural: ''die Pizzas'' oder ''die Pizzen'' ist ein vor dem Backen würzig belegtes Fladenbrot aus einfachem Hefeteig aus der italienischen Küche. Die heutige international verbreitete Variante mit Tomatensauce und Käse als Basis stammt vermutlich aus Neapel. 2017 wurde die neapolitanische Kunst des Pizzabäckers (''Art of Neapolitan ‘Pizzaiuolo’'') von der UNESCO in die repräsentative Liste des immateriellen Kulturerbes der Menschheit aufgenommen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Pizza" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Pizza&oldid=220512960 Version vom 23.2.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Singvögel = [[Datei:Roodborstje.jpg|mini|150px|Rotkehlchen<br />(''Erithacus rubecula'')]]'''Singvögel''' zählen in der Ornithologie (Vogelkunde) zu den Sperlingsvögeln (Passeriformes). Die größte der etwa 5000&nbsp;Arten ist mit über 60&nbsp;cm Körperlänge der Kolkrabe, zu den kleinsten zählt der Zaunkönig mit von 9,5 bis 11&nbsp;cm Körperlänge. == Anatomie == Der Körper der Singvögel ist auf das Fliegen und somit eine schnelle Fortbewegung in der Luft ausgerichtet. Zudem sind sie vom Körperbau her auch auf das Singen spezialisiert. Das Skelett ist sehr leicht und trotzdem stabil gebaut. Viele Knochen, darunter auch der kräftige Schnabel, sind innen hohl, sodass in sie Ausstülpungen der Luftsäcke hineinragen. Sie werden deshalb „pneumatisierte Knochen“ genannt. Die schweren Körperteile, vor allem Flug- und Beinmuskeln, liegen eng am Brustkorb und an der Wirbelsäule an, sodass ein Singvogel im Flug sehr gut das Gleichgewicht halten kann. Die Flugmuskulatur mit ihrem äußerst aktiven Stoffwechsel gilt als effizienteste Skelettmuskulatur aller Wirbeltiere. Im Flug setzt ein Singvogel 15 Mal so viel Energie um wie im Ruhezustand. Die Lungen sind etwa 10 Mal leistungsfähiger als bei etwa gleich großen Säugetieren, aber auch erheblich kleiner. Auch in großen Höhen können Singvögel der Luft noch Sauerstoff entnehmen. Von den Lungen aus erstrecken sich mehrere Luftsäcke in den Bauchraum zwischen die großen Flugmuskeln und andere Körperteile. Die Luftsäcke sind direkt oder indirekt mit den Bronchien verbunden und nehmen bis zu ein Fünftel des Körpervolumens ein. Der Kanarengirlitz beispielsweise atmet durch Heben und Senken des Brustbeins. Die Luftsäcke sorgen vor allem für Kühlung, damit die Muskeln des Vogels nicht überhitzen. Zudem dienen sie als Luftreservoir und helfen beim Druckausgleich. Außerdem verringert sich durch die Luftsäcke das spezifische Gewicht des Vogels. Der Gesang der Singvögel wird im unteren Kehlkopf (Syrinx) gebildet, wo sich die Luftröhre in die beiden Hauptbronchien gabelt. Beim Singen reckt das Männchen seinen Hals, holt tief Luft und singt aus „voller Kehle“. Die Töne werden erzeugt, indem Membranen angespannt und in Schwingungen versetzt werden. Dies geht nur beim Ausatmen. Dass Kanarien scheinbar weitersingen können, ohne zwischendurch Luft zu holen, liegt daran, dass sie rasch und schwingend mit einer Frequenz von 25 Hertz Luft ausstoßen. Indem sie die beiden Membranen an ihrem Stimmorgan unabhängig voneinander schwingen lassen, könnten sie im Duett mit sich selbst singen. == Sinnesleistungen == Die Augen der Singvögel befinden sich seitlich am Kopf und ermöglichen so ein sehr weites Gesichtsfeld von 300° bis 320°. Dadurch sind sie in der Lage, alles wahrzunehmen, was vor ihnen, seitlich und schräg hinter ihnen passiert. Singvögel vermögen Farben zu unterscheiden. Der Hörsinn der Singvögel ist sehr ausgeprägt. Sie können Frequenzen zwischen 1500&nbsp;Hz und 29000&nbsp;Hz wahrnehmen. Manche Vertreter dieser Unterordnung können zudem sehr schnelle Tonfolgen unterscheiden, im Gedächtnis speichern und wiedergeben. Das Tonunterscheidungsvermögen der Singvögel ist so ausgeprägt, dass sie Töne unterscheiden können, die nur um 0,3&nbsp;Prozent in der Höhe voneinander abweichen. Auch die Schallrichtung können sie auf etwa 20° genau erkennen. Singvögel haben ein empfindliches Gleichgewichtsorgan mit Sitz im Innenohr. Dies ist zur Stabilisierung des Gleichgewichts auf dünnen Ästen und beim Flug wichtig. Nicht besonders gut ausgeprägt, wenn auch von Art zu Art verschieden, ist der Geruchssinn und damit auch der Geschmackssinn. Ob Nahrung zum Verspeisen geeignet ist, entscheiden sie mit den Augen und speziellen Tastkörperchen an den Schnabelrändern. == Entwicklungsgeschichte == Molekularphylogenetischen Studien sowie einem Fossilbericht zufolge haben Singvögel ihren Ursprung in Australien. Im Eozän vor etwa 33 Millionen Jahren entstanden und entwickelten sich dort viele unterschiedliche Arten. Im nachfolgenden, deutlich kälteren Oligozän kam es zu einer regelrechten „Artenexplosion“, denn es bildeten sich durch das Absinken des Meeresspiegels Inseln und Landbrücken, über die die Singvögel sich weiter nach Asien und auf die anderen Kontinente ausbreiten konnten.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Singvögel" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Singv%C3%B6gel&oldid=216420657 Version vom 16.10.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und umgearbeitet.</ref> = Katja Petrowskaja: Vielleicht Esther = '''Vielleicht Esther. Geschichten''' ist ein Werk von Katja Petrowskaja, das 2014 auf Deutsch veröffentlicht wurde. Darin wird der Hergang des Völkermordes an der jüdischen Bevölkerung von Kiew durch deutsche Nationalsozialisten anhand der Geschichte von Esther erzählt, die der Großmutter des Vaters der Autorin ähnelt. Sie wurde 1941 in Kiew verschleppt und bei dem Massaker von Babyn Jar ermordet. Vielleicht hat sie Esther geheißen. Thematisiert wird, wer für die Wahrheit unserer Geschichte zeugt und wie man erzählt, was man nicht weiß – noch dazu in der Sprache der „Stummen“, was in russischer Sprache die wörtliche Übersetzung für die Bezeichnung „Deutsch“ ist (auf Russisch: немец - stumm). In der Geschichte „Vielleicht Esther“ wird gefragt: „Woher kenne ich diese Geschichte in ihren Einzelheiten? Wo habe ich ihr gelauscht? Wer flüstert uns Geschichten ein, für die es keine Zeugen gibt, und wozu?“ Für ihre Lesung der Erzählung „Vielleicht Esther“, die im Buch ''Vielleicht Esther'' am Ende des 5. Kapitels ihren Platz gefunden hat, wurde Katja Petrowskaja 2013 mit dem renommierten österreichischen Ingeborg-Bachmann-Preis ausgezeichnet und für das gesamte Werk ''Vielleicht Esther'' 2014 mit dem aspekte-Literaturpreis des deutschen Fernsehsenders ZDF. == Inhalt der Geschichte "Vielleicht Esther" == In dieser Geschichte wird das Grundtempo vorgegeben durch die langsamen Bewegungen der Babuschka des Vaters, die hier ''Vielleicht Esther'' genannt wird. Während erzählt wird, wie Babuschka, die kaum noch gehen konnte, dem Befehl der Besatzer Folge leistet und das Haus nach Monaten erstmals verlässt, obwohl sie sich nach dem Eindruck der Erzählerin hätte verschonen lassen können, weil der Hausmeister sie nicht auf die angeforderte Liste jüdischer Bewohner genommen hatte, reflektiert die Erzählerin über die Bedingungen und Möglichkeiten des eigenen Erzählens. Dafür verwendet sie auch Episoden aus der Kindheit ihres Vaters ebenso wie aus der eigenen Kindheit, etwa wenn die Mutter ihr ein Märchen vorlas und es dann nacherzählte. Das Bewegungstempo von Vielleicht Esther wird erzählerisch hinterfragt: „Sie ging zu ihnen, aber wie lange dauerte dieses ''ging''? Hier folge jeder seinem eigenen Atem. Ihr ''ging'' entwickelte sich wie ein episches Geschehen“... Der Stil der Anweisungen der deutschen Besatzer für den Abtransport lautet: „Mitzunehmen sind Dokumente, Geld und Wertsachen sowie warme Bekleidung, Wäsche usw.“ – und es wird eingefügt, dass die Anweisungen auf Russisch erfolgten. == Rezeption == [[Datei:Katja Petrowskaja (35313947131).jpg|mini|Katja Petrowskaja, 2017]]Der Text ist die „Aneignung einer Geschichte durch Nachgeborene“ und „ein großartiges Geschenk an die deutsche Sprache“, so die Jury des Bachmann-Preises 2013 in ihrer Laudatio mit Bezug auf die Erzählung „Vielleicht Esther“ der ukrainisch-deutsche Schriftstellerin, Literaturwissenschaftlerin und Journalistin Katja Petrowskaja.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Vielleicht Esther" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Vielleicht_Esther&oldid=197888343 Version vom 19. März 2020] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Autobahnkreuz Köln-West = [[Datei:Autobahnkreuz Köln West.jpg|mini|Sonntags nur schwach befahren – das Autobahnkreuz Köln-West 2019]]Das '''Autobahnkreuz Köln-West''' (Abkürzung: '''AK Köln-West'''; Kurzform: '''Kreuz Köln-West''') ist ein Autobahnkreuz an den Bundesautobahnen A&nbsp;1 und A&nbsp;4 im Westen von Köln. Das im Südwesten des Kölner Autobahnrings gelegene Kreuz ist ein wichtiger und stark frequentierter Verkehrsknoten der Ost-West-Verbindung zwischen Belgien, den Niederlanden und Deutschland. Das Kreuz Köln-West entstand Anfang der 1960er Jahre in „Kleeblatt-Form“ als Verbindung der A&nbsp;4 mit dem nördlichen Teil der A&nbsp;1. Zum echten Autobahnkreuz wurde es ab 1971 mit dem Bau des als Eifelautobahn bezeichneten Abschnitts der A&nbsp;1 in Richtung Süden. Von März 2001 bis März 2003 wurde das Kreuz umgebaut. Die ursprüngliche Form wurde beibehalten, jedoch wurden die Verflechtungsstrecken zwischen den stark befahrenen Rampen weitgehend entzerrt. Die auffälligste Änderung ist die separate Führung der Verbindungsrampe der Relation Aachen–Dortmund unterhalb der A&nbsp;1, wodurch keine Verflechtung mehr mit dem Übereckverkehr von Dortmund in Richtung Olpe (A&nbsp;4) und Frankfurt (A&nbsp;3) entsteht. Dazu mussten zwei zusätzliche Brückenbauwerke errichtet werden. Die A&nbsp;4 ist bis in den Bereich des Autobahnkreuzes vollständig sechsstreifig ausgebaut, die A&nbsp;1 verläuft südlich vierstreifig weiter. Seit Herbst 2015 verläuft die A&nbsp;1 auch nördlich sechsstreifig. Das Kreuz Köln-West wurde bis 2003 grundlegend umgebaut. Dabei wurde die bisherige Kleeblatt-Form durch Schaffung zusätzlicher Verbindungskurven (zum Beispiel direkte Verbindung von der A&nbsp;4 aus Richtung Aachen auf die A&nbsp;1 in Richtung Dortmund) entflochten. Seit 2012 wurde das Kreuz noch weiter umgebaut. Nach einem Baustillstand aufgrund von Vergabebeschwerden wurde die Bautätigkeit im Dezember 2014 wieder aufgenommen. Es wurden umfangreiche Entflechtungen der Verkehrsströme vorgenommen, die unter anderem auch wegen der unmittelbar südlich anschließenden – an der A1 gelegenen – Anschlussstelle Frechen und den dortigen Gewerbegebieten (mit hohem Lkw-Aufkommen) durchaus komplizierter ist. Als letzte Maßnahme wurde unter anderem eine zusätzliche Brücke für Verkehr von der A&nbsp;4 aus Richtung Köln kommend zur A&nbsp;1 Richtung Koblenz gebaut. Der Umbau wurde im letzten Quartal 2017 abgeschlossen. Im Süden ist die Anschlussstelle Frechen an der A&nbsp;1 im Autobahnkreuz integriert und teilt sich damit teilweise die Ein- und Ausfahrbereiche. Westlich wurde an der A&nbsp;4 die Halbanschlussstelle Frechen-Nord (9a) geschaffen, die lediglich Verbindung in Richtung Aachen schafft und dadurch den Verkehr von Frechen und den Kölner Stadtteilen Weiden und Lövenich in dieser Richtung aufnimmt statt ihn über das Kreuz zu leiten. Seit der Fertigstellung wird immer wieder gefordert, die Ausfahrt zu einer Vollanschlussstelle auszubauen. Das Kreuz zählt zu den frequenzstärksten in Deutschland.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Autobahnkreuz Köln-West" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Autobahnkreuz_K%C3%B6ln-West&oldid=215491178 Version vom 11. September 2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Internationale Friedensfahrt 1982 = [[Datei:Radrennen 1912.jpg|mini|Radrennen 70 Jahre zuvor: 1912 in St. Johann, Tirol, Österreich]]Die '''35. Internationale Friedensfahrt''' (Course de la paix) war ein Radrennen, das vom 9. bis 23. Mai 1982 ausgetragen wurde. Es bestand aus 12 Einzeletappen mit einer durchschnittlichen Streckenlänge von 161 km und führte auf einer Gesamtlänge von 1.941&nbsp;km von Prag über Warschau nach Ost-Berlin. Es waren 94 Radfahrer aus 16 Ländern am Start, alphabetisch geordnet: aus Bulgarien, der DDR, Finnland, Frankreich, Italien, Jugoslawien, Kuba, Marokko, der Mongolei, den Niederlanden, Polen, Portugal, Rumänien, der Sowjetunion und der Tschechoslowakei. Eine Mannschaft aus der damaligen BRD (Westdeutschland) trat nicht an. Bei diesem Turnier wurden sechs Trikots vergeben: das Gelbe Trikot des Gesamtbesten, das Blaue der besten Mannschaft, das Rosa des vielseitigsten Fahrers, das Violette des aktivsten Fahrers, das Grüne des besten Bergfahrers und das Weiße des punktbesten Fahrers. Am Ende jeder Etappe wurden für die Gesamtwertung relative Punkte vergeben: Für eine Erstplatzierung erhielt man 10 Sekunden, für eine Zweitplatzierung 6 Sekunden und der Drittplatzierte bekam 3 Sekunden gutgeschrieben. Die jeweils ersten drei der Schlusswertungen des Violetten, Grünen und Weißen Trikots erhielten zusätzlich 10, 6 und 3 Sekunden Zeitgutschrift. Am Ende der Tour, in Ostberlin, gab es dann ein Friedensfahrt-Kuriosum, nämlich zwei Tagessieger. Der Rumäne Mircea Romașcanu und der Franzose Philippe Saudé setzen sich mit einem knappen Vorsprung vom Feld ab und verteidigten ihn bis zum Ziel. Romașcanu wurde hier jedoch falsch auf eine Spur eingewiesen und verlor somit die entscheidenden Meter auf Saudé. In einem salomonischen Urteil entschied sich die Jury schließlich für beide als Sieger. Während dieser 35. Internationalen Friedensfahrt 1982 gab es insgesamt fünf verschiedene Träger des Gelben Trikots. Die längste Zeit, sechs Etappen, trug es Vorjahressieger Schachid Sagretdinow (in Usbekistan aufgewachsen). Rihu Suun (in Estland aufgewachsen) und Olaf Ludwig (in der DDR aufgewachsen) fuhren zwei Etappen in Gelb, Thomas Barth (in der DDR aufgewachsen) und Johan Lammerts (in den Niederlanden aufgewachsen) jeweils eine. Olaf Ludwig aus der DDR gewann das gelbe Trikot des Gesamteinzelsiegers. Des Weiteren gewann er das Rosa Trikot des vielseitigsten, das Violette des aktivsten und das Weiße des punktbesten Fahrers. Mannschaftssieger war die DDR. Der beste Bergfahrer und damit Gewinner des grünen Trikots war Henryk Santysiak aus Polen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Internationale Friedensfahrt 1982" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Internationale_Friedensfahrt_1982&oldid=219789025 Version vom 2.2.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgeschrieben und um eine Abbildung ergänzt.</ref> = Schablonenmethode = Die '''Schablonenmethode''' (''template method pattern'') ist ein in der Softwareentwicklung eingesetztes Entwurfsmuster, mit dem Teilschritte eines Algorithmus variabel gehalten werden können. Es gehört zur Kategorie der Verhaltensmuster (''behavioral patterns''). Das Muster ist eines der sogenannten Viererbanden-Entwurfsmuster (GoF). Beim Schablonenmethoden-Entwurfsmuster wird in einer abstrakten Klasse das Skelett eines Algorithmus definiert. Die konkrete Ausformung der einzelnen Schritte wird an Unterklassen delegiert. Dadurch besteht die Möglichkeit, einzelne Schritte des Algorithmus zu verändern oder zu überschreiben, ohne dass die zu Grunde liegende Struktur des Algorithmus modifiziert werden muss. Die Schablonenmethode ruft abstrakte Methoden auf, die erst in den Unterklassen definiert werden, auch als Einschubmethoden bezeichnet. Zusätzlich können in der Schablonenmethode an bestimmten Stellen Hook-Operationen aufgerufen werden, deren Standardimplementierung in der abstrakten Klasse nichts tut. Auf diese Weise kann man an vordefinierten Stellen im Algorithmus zusätzliche Funktionalität einfügen. Als Variante können die Einschubmethoden oder Hook-Operationen auch eine Standard-Implementierung besitzen, die von den konkreten Klassen genutzt werden können, aber nicht müssen. Ein Beispiel dafür findet sich in der Eingabe und Ausgabe-Datenstrom-Programmierschnittstelle von Java. Dort implementiert ein <code>OutputStream</code> eine konkrete Methode zum Schreiben eines Byte-Arrays. Diese Methode benutzt eine Methode zum Schreiben eines einzelnen Bytes, um das ganze Array nach und nach zu schreiben. Die Methode für das einzelne Byte ist jedoch noch abstrakt, da ein <code>OutputStream</code> selbst noch nicht spezifisch ist. Klassen wie <code>FileOutputStream</code> können diese Methode implementieren. Sie erben dann eine bereits implementierte Methode zum Schreiben eines Byte-Arrays. ''Policy-Based Design'' ist ein allgemeineres Entwurfsmuster, bei dem nicht nur Algorithmen, sondern ganze Klassen schablonenhaft aufgebaut sind. Sowohl Methoden bzw. Algorithmen als auch gespeicherte Datensätze, Basisklassen und Schnittstellen sind dann innerhalb der Skelettstruktur austauschbar. Dies erfordert in aller Regel Templatemetaprogrammierung, wie es sie in '''C++''' und '''D''' gibt, ist jedoch theoretisch auch über Konstrukte einiger Skriptsprachen realisierbar, allerdings kaum in Sprachen wie '''C#''' oder '''Java'''. == Beispiel == [[Datei:Rucha Pujari Chess Graphic.png|mini|150px|Rucha Pujari]]Der grobe Ablauf eines Brettspiels wie '''Schach''' oder '''Monopoly''' sieht immer gleich aus: Es wird eine Begrüßung ausgesprochen und das Brett wird aufgestellt. Danach sind die Spieler reihum so lange am Zug, bis das Spiel beendet ist. Zum Schluss wird der Gewinner festgestellt. Das Skelett dieses immer gleichen Algorithmus lässt sich in seinen Grundzügen in einer Schablonenmethode einer abstrakten Klasse <code>Game</code> implementieren. Um nun ein konkretes Spiel zu implementieren, müssen die abstrakten Methoden der Schablonenmethode (die sich für jedes Brettspiel unterscheiden) in einer konkreten Kindklasse implementiert werden.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Schablonenmethode&oldid=218918819 Version vom 8. Januar 2022 um 05:17:38 Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Tüllinger Berg = [[Datei:Tüllinger Berg.jpg|mini|Tüllinger Berg]] Der '''Tüllinger Berg''' ist ein 460m hoher teilbewaldeter Berg im Südwesten Baden-Württembergs, am Dreiländereck von Deutschland, Frankreich und der Schweiz. An seiner breitesten Stelle beträgt die Ost-West-Ausdehnung etwa zwei Kilometer, seine Nord-Süd-Ausdehnung rund fünf Kilometer. Topographisch signifikant ist die Abbruchkante des Hochgestades der Rheintal- und Wiesenaue. Die Hangneigung des Tüllinger Berges mit seiner westlichen Bergnase prägt das umliegende Landschaftsbild. Wegen seiner Bodenvielfalt und des milden Klimas wird an den Hängen des Tüllingers unter anderem der Markgräfler Wein angebaut. Weite Teile des Berges wurden zu Schutzgebieten erklärt und bilden ein wichtiges Habitat für Flora und Fauna. Außerdem liefert die exponierte Lage des Berges vielen Wetterstationen wichtige Messwerte zur Wettervorhersage. Ein Teil des Tüllinger Bergs gehört zum westlichen Rand des Naturparks Südschwarzwald. Die Böden des Tüllinger Bergs bestehen aus Löss und tonig-sandigen, kalkigen Böden und werden für Reb- und Obstanpflanzungen genutzt. Besonders entlang des Berggrats befinden sich Schichten aus dem Oberoligozän aus Tonmergel, Süßwasserkalke und Feinsande. Einige Bereiche von geringerem Umfang bestehen aus Locker- bzw. Festgesteinskörpern mit weitgehend aufgelöstem Gefüge (Rutschmasse). Der Südwesthang wird aufgrund dieser Beschaffenheit als "Schlipf" bezeichnet. == Fauna, Flora und Weinanbau == [[Datei:Two_Milvus_migrans_in_fight.jpg|mini|links|Schwarzmilane]]Die rund 40 Vogelarten in den strukturierten und altholzreichen Obstbaumwiesen machen das Gebiet des Tüllinger Bergs ornithologisch überregional bedeutsam. An besonderen Vogelarten leben am Tüllinger Berg Zaunammer und Wendehals, Gartenrotschwanz, Wiedehopf und Pirol. In dem alt- und totholzreichen Buchenwald leben sowohl höhlenbrütende Waldvogelarten wie der Schwarzspecht, der Mittelspecht und der Grauspecht als auch die horstbrütenden Arten Schwarzmilan und Baumfalke. Diese Vogelarten nutzen das angrenzende Offenland für ihre Nahrungssuche. Im Schlipf blühen im Frühjahr Wildtulpen (''Tulipa sylvestris'') zwischen den Weinreben. Diese Verwandte der heutigen Kulturtulpe wurde vermutlich im 16. Jahrhundert als Zierpflanze aus dem Mittelmeerraum in die Gärten Mitteleuropas importiert. Sie war am Kaiserstuhl, im Markgräfler Land und im Elsass weit verbreitet. Durch den Einsatz von Herbiziden in der Bodenbewirtschaftung sind die Wildtulpen- und andere Bestände stark rückläufig. Neben ausgedehnten Streuobstwiesen und den Rebkulturen zeichnet sich der Tüllinger Berg durch seine Grabelandflächen, einen geringen Ackerflächenbestand, insbesondere im Nordteil, und großflächig zusammenhängende Laubwälderflächen auf dem Bergrücken aus. Die Bergkuppe des Tüllinger Berges ist fast komplett bewaldet. Dank des milden Klimas, besonders durch die warmen Luftmassen, welche die Burgundische Pforte im Frühjahr aus dem Mittelmeerraum ins Markgräfler Land führt, und den vielfältigen und nährstoffreichen Böden wird an den Hängen des Tüllingers Wein angebaut.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Tüllinger Berg" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=T%C3%BCllinger_Berg&oldid=220233593 Version vom 15.2.2022 um 18:03 Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Nussfrucht = [[Datei:Walnuss in Fruchtschale IMG 3248.jpg|mini|Walnuss(-Same) in Fruchtschale]]'''Nussfrüchte''', auch '''Nüsse''' genannt, sind Schließfrüchte, bei denen alle drei Schichten der Fruchtwand (d.&nbsp;h. des Perikarps) verholzen. Meist wird dabei nur ein einzelner, umgangssprachlich ebenfalls als '''Nuss''' bezeichneter Samen von der '''Nussschale''' umschlossen. '''Schalenobst''' (auch ''Schalenfrüchte'') ist die handelsübliche Bezeichnung für Obst, dessen Fruchtkerne von einer harten, meist holzigen Schale umgeben sind. Es handelt sich um Nüsse und ''Kerne'', die für den menschlichen Verzehr geeignet sind. Nicht essbar ist die Fruchtwand – die Schale bzw. das Perikarp. == Wirkung von Nüssen auf die Gesundheit == In ihrer Gesamtheit enthalten Nüsse das wasserlösliche Vitamin B1, das im Körper für den Kohlenhydratstoffwechsel verantwortlich ist. Weitere Inhaltsstoffe sind ungesättigte Fettsäuren, hochwertige pflanzliche Eiweiße, Fette, leicht verwertbare Kohlenhydrate, Ballaststoffe, Natrium, Kalium, Kalzium, Phosphor, Niacin, essentielle Aminosäuren, Fluor, Eisen, Kupfer, Magnesium, diverse B-Vitamine sowie Vitamin A, C, D und E, des Weiteren Zucker, Linolsäure, Linolensäure, Mangan und Folsäure. Nüsse stabilisieren den Zuckerwert, unterstützen die Gefäße und mindern das Risiko für Magen- und Prostatakrebs sowie für Herzinfarkte. In einer klinischen Studie aus dem Jahre 1990 wurde durch täglichen Verzehr von 100&nbsp;g Mandeln nach vier Wochen eine zwölfprozentige Senkung des Blutcholesterinspiegels erreicht. Weitere Studien, in denen geringere Mengen oder andere Nüsse, wie Wal-, Erd- oder Macadamianüsse verzehrt wurden, zeigten vergleichbare Effekte. Es ist nicht abschließend geklärt, von welchen Inhaltsstoffen neben den ungesättigten Fettsäuren die positiven gesundheitlichen Auswirkungen der Nuss herrühren. Aufgrund des hohen Fettgehalts sollte weiterhin beachtet werden, wie sich der Verzehr von Nüssen auf die Energiebilanz auswirkt. Daneben ist der relativ hohe Gehalt an Blei und Cadmium bei einigen Sorten zu beachten (beispielsweise enthalten Haselnüsse bis zu 5,5 mg Blei/kg). Bei Kindern unter vier Jahren sollte auf ganze Nüsse verzichtet werden. Diese können wegen ihrer Form und Größe versehentlich in die Luftröhre gelangen und zu Atemnot und sogar zu Erstickung führen. Der Verzehr von Nüssen liegt in Deutschland bei durchschnittlich 5 Kilogramm pro Person und Jahr. Der Verbrauch von Nüssen stieg laut dem Bundesinformationszentrum Landwirtschaft (BZL) von ca. 343.000 t im Wirtschaftsjahr 2011/12 auf ca. 415.000 t im Jahr 2018/19 an. Zu den beliebtesten Sorten zählen Erdnüsse (1,3 kg/Person), Mandeln (0,8 kg/Person), Haselnüsse (0,7 kg/Person), Cashewkerne (0,5 kg/Person), Walnüsse (0,4 kg/Person) und Pistazien (0,4 kg/Person). Da Deutschland nur geringe Mengen an Hasel- und Walnüssen produziert, betrug der Nettoimport an Schalenfrüchten im Jahr 2018/19 nach vorläufigen Angaben des BZL insgesamt 424.000 t. Hauptverarbeiter ist die Süßwarenindustrie.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Nussfrucht&oldid=219080272 Version vom 12. Januar 2022 06:20:36 Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Gerhard Trabert = [[Datei:Vorstellung von Gerhard Trabert, Kandidat zur Wahl des Bundespräsidenten - 51815082794 (cropped).jpg|mini|hochkant|Gerhard Trabert (2022)]] '''Gerhard Trabert''', geboren am 3. Juli 1956 in Mainz, ist ein deutscher Arzt für Allgemeinmedizin und Notfallmedizin, Professor für Sozialmedizin und Sozialpsychiatrie sowie Buchautor. Bei der Wahl des deutschen Bundespräsidenten 2022 war Trabert parteiloser Kandidat der Partei ''Die Linke''. Gerhard Trabert ist Gründer und 1. Vorsitzender des Vereins [https://de.wikipedia.org/wiki/Armut_und_Gesundheit_in_Deutschland ''Armut und Gesundheit in Deutschland''] sowie des Vereins ''Flüsterpost Mainz e.V. - Unterstützung für Kinder Krebskranker Eltern.'' Während seiner Kindheit verbrachte Trabert viel Zeit in dem Waisenhaus, in dem sein Vater als Erzieher tätig war. Dies sensibilisierte ihn schon früh für das Schicksal benachteiligter Menschen. Er studierte von 1975 bis 1979 Sozialarbeit an der Fachhochschule Wiesbaden mit dem Abschluss Diplom-Sozialpädagoge. Nach der Beendigung seines Studiums war Trabert im Krankenhaussozialdienst tätig. 1983 begann er das Studium der Humanmedizin, das er 1989 an der Universität Mainz abschloss. Der Titel seiner Doktorarbeit lautet: „Gesundheitssituation und medizinische Versorgung von wohnungslosen Menschen“. Trabert war zehn Jahre an Krankenhäusern in Rheinland-Pfalz und Hessen klinisch tätig. Sein Schwerpunkt war die Innere Medizin, speziell die medizinische und psychosoziale Versorgung krebskranker Patient*innen. Er bildete sich zum Arzt für Allgemeinmedizin und Notfallmedizin weiter. Von Beginn seiner ärztlichen Tätigkeit an absolvierte er zahlreiche Auslandseinsätze unter anderem in Indien, Bangladesch und den USA. Bei seiner Reise durch Indien lernte Trabert das „aufsuchende Gesundheitsversorgungskonzept“ ''Medical-Streetwork'' kennen, bei dem vorwiegend Leprapatient*innen behandelt wurden. Inspiriert von dieser Arbeit und seinen Erfahrungen dort übertrug er diesen medizinischen Ansatz 1994 auf die Gesundheitsversorgung von wohnungslosen Menschen in Deutschland, das Mainzer Modell: Mit einem „Arztmobil“ suchen Trabert und seine Kolleg*innen bestimmte Standorte auf und bieten kostenlos ärztliche Hilfe an. Trabert bekam als erster Arzt in Deutschland für diese Form der mobilen Praxis eine kassenärztliche Zulassung. Trabert ist Verfasser zahlreicher Fachartikel zum Thema Armut und Gesundheit, Kinderarmut, Armut und Suizidalität, Kinder krebskranker Eltern. Er hat auch Kinderbücher zum Thema Krebs verfasst. [[Datei:Logo Armut und Gesundheit in Deutschland a+G.jpg|mini|Logo]]1998 initiierte er den Verein ''Armut und Gesundheit in Deutschland'', Mitglied der Nationalen Armutskonferenz. Von 1999 bis 2009 hatte er eine Professur für Medizin und Sozialmedizin an der Georg-Simon-Ohm-Hochschule Nürnberg, seit 2009 eine Professur für Sozialmedizin und Sozialpsychiatrie im Fachbereich Sozialwesen der Hochschule RheinMain (Wiesbaden und Rüsselsheim am Main) inne. 2013 richtete Trabert in Räumlichkeiten der Stadt Mainz die „Ambulanz ohne Grenzen“ ein. Dort sind 20 Ärzt*innen, Krankenpfleger*innen und Sozialarbeiter*innen tätig. Wohnungslose Menschen und Patient*innen ohne Versicherungsschutz werden kostenfrei medizinisch behandelt. Nach eigenen Worten wollte Trabert seine Kandidatur für die Wahl zum Bundespräsidenten am 13.&nbsp;Februar 2022 nutzen, um auf die Armut und soziale Ungerechtigkeit in Deutschland hinzuweisen: „Es geht nicht um mich. Es geht mir um die Menschen, für die ich mich engagiere“, sagte er. Im Rahmen seiner Kandidatur wies Trabert auf das Wegschauen der Zustände von Flüchtlingen und armen Menschen in Deutschland hin und zog eine Parallele zum Wegschauen während der Zeit des Nationalsozialismus bezüglich der Gräueltaten der Nazis: {{Zitat |Text=Wie damals viele Deutsche wussten, was mit den Juden geschieht, ist es heute so, dass wir wissen, was mit geflüchteten Menschen im Mittelmeer, in libyschen, in syrischen Lagern geschieht. Wir wissen, wie die Armut zunimmt, wir wissen um die erhöhte Sterberate von armen Menschen auch hier in Deutschland.}} Auf die Kriminalisierung von Seenotrettung bezogen sagte Trabert zur Lage heute außerdem: „Auch die Gerichte missbrauchen ihre Macht, um Kritik in dieser Demokratie mundtot zu machen. Das dürfen wir nicht akzeptieren.“ == Internationale Einsätze von Gerhard Trabert == * Gesundheitsambulanz für bosnische Geflüchtete in Ljubljana Slowenien * Gesundheitsversorgungsprogramm in den Slums von Dhaka, Bangladesch * 2001 nach den Terroranschlägen vom 11.&nbsp;September in Afghanistan * 2005 nach dem Tsunami in Sri Lanka * 2009 Gesundheitsversorgung auf den Cook-Inseln, Südpazifik * 2010 nach dem Erdbeben in Haiti * 2010 in Pakistan nach der Flutkatastrophe * 2011 in Ostgrönland * 2012 Gefangenenversorgung in Äthiopien * 2013 Versorgung psychisch Kranker auf Bali, Indonesien * 2013 Versorgung syrischer Flüchtender im Libanon * 2014 in Ostgrönland * 2014 Versorgung psychisch Kranker in Indonesien * 2014 Versorgung von Straßenkindern in Kisumu, Kenia * 2015 ''Sea-Watch'' – Zivile Seenotrettung von Flüchtenden, Lampedusa, Italien * 2015 Versorgung von Flüchtenden in Kilis, an der syrischen Grenze der Türkei * 2016 ''Sea-Watch'' – Zivile Seenotrettung von Flüchtenden, Malta * 2016 Versorgung von Flüchtenden in Idomeni, Griechenland * 2016 Versorgung von Flüchtenden in Kilis, an der syrischen Grenze der Türkei * 2016 Versorgung von Flüchtenden in Reyhanli, an der syrischen Grenze der Türkei * 2016 Unterstützung des Akrabat-Hospitals in Idlib, Syrien * 2017 Unterstützung von Gesundheitseinrichtungen in der Rojava-Region, Nordsyrien (u.&nbsp;a. in Kobané) * 2017 Mitarbeit im Geflüchtetenlager Ayn Issa in der Region Raqqa, Nordsyrien * 2017 Unterstützung der Hilfsorganisation ''CADUS – Redefine Global Solidarity'' – Mitarbeit im TSP (Trauma Stabilisation Point) in Mosul, Irak * 2017 Versorgung von Flüchtenden auf der Insel Lesbos, Griechenland * 2018 Versorgung von Flüchtenden in Kobané, Raqqa und Manbidsch, Nordsyrien * 2019 humanitärer, ärztlicher Einsatz in einem Waisenhaus in Benin, Westafrika * 2019 Versorgung von Patient*innen mit Diabetes mellitus in Kobané, Nordsyrien * 2019 ''ResQship'' – Zivile Seenotrettung von Flüchtenden im Mittelmeer * 2019 Versorgung von Straßenkindern in Kisumu, Kenia * 2020 Versorgung von Flüchtenden in Kara Tepe Refugee Camp und Camp Moria auf Lesbos, Griechenland * 2021 Versorgung von Flüchtenden in Bihac, Bosnien-Herzegowina * 2021 Versorgung von Flüchtenden in Kara Tepe Refugee Camp auf Lesbos, Griechenland (im Juni und Oktober 2021) * 2021 Hilfseinsatz bei der Flutkatastrophe im Ahrtal * 2021 ''ResQship'' – Zivile Seenotrettung von Flüchtenden im Mittelmeer<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Gerhard Trabert" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gerhard_Trabert&oldid=220159681 Version vom 13.2.2022 um 15:04 Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht umformliert und gekürzt.</ref> = Deutsch Jahrndorf = [[Datei:Tripoint_Jahrndorf.png|mini|links|Tisch als Skulptur im Dreiländereck Slowakei/ Ungarn/ Österreich]]'''Deutsch Jahrndorf''' (ungarisch: ''Németjárfalu'', slowakisch: ''Nemecké Jarovce'') ist eine Gemeinde im Bezirk Neusiedl am See im Bundesland Burgenland in Österreich mit 626 Einwohnern (Stand: 1. Jänner 2021) und liegt im Dreiländereck von Österreich, Ungarn und der Slowakei. Die angrenzende Landschaft rund um das Dorf ist überwiegend flach und durch landwirtschaftliche Felder geprägt; weiters existieren auch zahlreiche Waldstücke, in welchen sich bedrohte Arten, wie zum Beispiel die Großtrappe, eingefunden haben. Einige Kilometer außerhalb der Gemeinde befindet sich ein kleiner Kanal der Leitha, der „Mühlbach“ genannt wird. Deutsch Jahrndorf ist die östlichste Gemeinde Österreichs und damit seit 1945 auch der östlichste Punkt des geschlossenen deutschen Sprachraums. Der Ort gehörte wie das gesamte Burgenland bis 1920/21 zu Ungarn (Deutsch-Westungarn). Seit 1898 musste aufgrund der Magyarisierungspolitik der Regierung in Budapest der ungarische Ortsname Német-Járfalu verwendet werden. Der Ort trägt seinen Namen ''Deutsch Jahrndorf'' aufgrund seiner hauptsächlich deutschsprachigen Bevölkerung, im Gegensatz zur heute in der Slowakei liegenden Nachbargemeinde ''Kroatisch Jahrndorf'' (slovak. ''Jarovce'', ung. ''Horvátjárfalu''), das bis zum Zweiten Weltkrieg vor allem von Kroat*innen bewohnt war. Nach Ende des Ersten Weltkriegs wurde Deutsch-Westungarn 1919 in den Verträgen von St.&nbsp;Germain und Trianon nach zähen Verhandlungen Österreich zugesprochen. Der Ort gehört seit 1921 zum neu gegründeten Bundesland Burgenland. Bis vor einigen Jahren gab es in Deutsch Jahrndorf ein Erdwerk, das bis zum endgültigen Schließen nach vielen Demonstrationen und Verhandlungen wegen der Geruchsbelästigung durch die Kompostieranlage der größte Betrieb des Dorfes war. Seit dem Jahr 2004 gibt es in Deutsch Jahrndorf eine Wohnmobil-Park- und Übernachtungsanlage, von welcher aus jährlich zahlreiche Besucher die Rad- und Wanderwege des Ortes nutzen. Der Ort ist der Ausgangspunkt des Burgenland-Weitwanderwegs, weiters führt der Ostösterreichische Grenzlandweg hier entlang. Städtepartnerschaften bestehen mit Hamuliakovo in der Slowakei und Rajka in Ungarn. Deutsch Jahrndorf liegt mit etwa 30 km Entfernung in Pendeldistanz zur slowakischen Hauptstadt Bratislava - deren Zentrum wiederum ca. 80 km östlich von Wien liegt. Von Bratislava aus erreicht man Deutsch Jahrndorf am schnellsten über ein drittes EU-Land, indem man nämlich in südöstlicher Richtung die Autobahn bis zum ungarischen Städtchen Rajka fährt und von dort aus für die restlichen 4 km eine Landstraße Richtung Westen nimmt. Bemerkenswert ist ein Skulpturenpark in Deutsch Jahrndorf, für den zur Erinnerung an den Fall des Eisernen Vorhangs 1989 verschiedene Plastiken von internationalen Künstler*innen geschaffen wurden (s. Foto).<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Deutsch Jahrndorf" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Deutsch_Jahrndorf&oldid=210562633 Version vom 5.4.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet und um eine Abbildung sowie eigene Informationen ergänzt.</ref> = Bruttoeinkommen und Abgaben in Deutschland = Wenn man in Deutschland angestellt arbeitet, hat man ein Bruttoeinkommen, was die gesamte Summe des Geldes bezeichnet, das man durch seine Arbeit erwirtschaftet. Von diesem Bruttoeinkommen muss man aber noch Steuern und Sozialabgaben abziehen, die jährlich zu zahlen sind. Für Angestellte gibt es verschiedene Arten von Steuern, zuallererst die Einkommenssteuer (Lohnsteuer). Sie macht etwa 10% des Einkommens aus. Wenn man nicht alle 12 Monate eines Jahres angestellt gearbeitet hat, kann man am Ende des Jahres einen Lohnsteuerjahresausgleich machen und sich diese Steuer teilweise erstatten lassen. Seit 1991 gibt es den Solidaritätszuschlag, den seit 2021 nur noch Steuerzahler*innen mit höheren Einkommen zahlen. Mit diesem Steueraufkommen werden Kosten für die Wiedervereinigung von Ost- und Westdeutschland finanziert. Dann kommt eventuell noch eine Kirchensteuer hinzu, sofern man zur Evangelischen oder Katholischen Kirche gehört. Es werden darüber hinaus noch Sozialabgaben vom Bruttolohn abgezogen: die Beiträge zur Rentenversicherung, zur Kranken- und Pflegeversicherung sowie zur Arbeitslosenversicherung. Was danach vom Bruttoeinkommen übrig bleibt, ist das Nettoeinkommen. Wenn man angestellt arbeitet, landen in Deutschland von 100 Euro brutto durchschnittlich etwa 65 Euro tatsächlich auf dem eigenen Konto, also muss man mit etwa 35% an Abgaben rechnen. Im europäischen Vergleich ist das ziemlich viel.<ref>Dieser Text wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] zur Vorbereitung auf Themen des Einbürgerungstests verfasst.</ref> = Wildpark Gangelt = [[Datei:Ciconia_ciconia_-_Wildpark_Gangelt,_Germany_8a.jpg|mini|links|Störche]]Der '''Wildpark Gangelt''' liegt im deutschen Bundesland Nordrhein-Westfalen direkt an der Grenze zu den Niederlanden. Er besteht seit 1969. Auf einem 50 Hektar großen Gelände leben hier etwa 30 größere und kleinere Tierarten, unter anderem Braunbären, Wildschweine, Wölfe, Damhirsche, Steinböcke, Rotfüchse, Waschbären, Wasservögel und Greifvögel (auch Raubvögel genannt), insgesamt ca. 300 Tiere, die fachlich betreut werden. Die Raubvögel kann man bei regelmäßigen Freiflügen beobachten. Es gibt auch ein Bienenhaus, das von Imker*innen des regionalen Vereins "Selfkant" betrieben wird. Mit dem Wildpark soll der Naturschutz unterstützt werden, indem man sich an Artenschutz- bzw. Wiederaussiedlungsprogrammen beteiligt. Ziel ist, verschiedene Tierarten, die in ihrem natürlichen Lebensraum als stark bedroht gelten, so zu halten, dass die Fortpflanzung gewährleistet wird und die hier aufwachsenden Jungtiere auf ein Leben in der freien Natur vorbereitet werden können. Zum Beispiel werden die Jungluchse, die unter diesem Konzept geboren werden und bis zu einem gewissen Alter im Wildpark aufwachsen, in angemessene natürliche Umgebungen in osteuropäischer Nachbarschaft ausgewildert. Auch Nerze, die aufgrund ihres Lebensraumverlustes als bedrohte Tierart gelten, werden im Rahmen des Europäischen Erhaltungszuchtprogramms betreut. Der benachbarte Ort Gangelt wurde im Zuge der Covid-19-Pandemie bekannt, weil hier zu einem sehr frühen Zeitpunkt im Frühjahr 2020 eine lokale Kohortenstudie zum Infektionsgeschehen durchgeführt werden konnte.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Wildpark Gangelt" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wildpark_Gangelt&oldid=219584023 Version vom 26. Januar 2022‎] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet um eine Abbildung und Infos aus anderen Quellen ergänzt.</ref> = Gefriertrocknung = [[Datei:Phasendiagramm Verdampfungen.svg|mini|150px|<small>Verschiedene Trocknungsverfahren dargestellt am Phasendiagramm eines Stoffes ohne Dichteanomalie.</small>]] Die '''Gefriertrocknung''', auch als '''Lyophilisierung''', '''Lyophilisation''' oder '''Sublimationstrocknung''' bezeichnet, ist ein Verfahren zur schonenden Trocknung von Produkten und wird besonders bei thermisch empfindlichen Produkten eingesetzt. Das Endprodukt der Gefriertrocknung wird als '''Lyophilisat''' bezeichnet. Gefriertrocknung beruht auf dem physikalischen Prozess der Sublimation: Dabei gehen die Eiskristalle ohne zwischenzeitliches Auftreten einer flüssigen Phase direkt in den gasförmigen Zustand über. Das Prinzip der Gefriertrocknung basiert also auf dem Übergang von Molekülen von einer festen Phase in die Gasphase, und zwar unterhalb ihrer jeweiligen Gefrierpunkte bei sehr niedrigen Drücken. Eine Gefriertrocknungsanlage besteht aus zwei Kammern, die miteinander verbunden und durch ein Ventil verschließbar sind. Das zu trocknende Produkt steht auf einer beheiz- und kühlbaren Stellfläche (genannt ''Horden'') und wird zuerst bei Normaldruck tiefgefroren. In die zweite Kammer ist eine als Kondensator dienende Rohrschlange eingebaut, die von einer kalten Flüssigkeit durchströmt wird, meistens von einer Sole oder einem Kältemittel. Im nächsten Schritt, der ''Primärtrocknung'', wird das im Gut enthaltene Wasser bei Temperaturen unter dem Gefrierpunkt sublimiert. Dies beruht auf dem Prinzip, dass Wasser auch in gefrorenem Zustand einen ausreichend hohen Dampfdruck hat, um direkt vom gefrorenen in den gasförmigen Aggregatzustand überzugehen. Zu diesem Zweck wird in der Kammer ein Vakuum erzeugt. Bei der Sublimation wird Energie aufgenommen. Weil thermische Energie aus der Umgebungstemperatur bezogen wird, würde sich die Temperatur in der Trocknungskammer im Laufe des Prozesses senken. Um die Temperatur konstant zu halten, wird der Kammer daher nur soviel Wärme zugefügt, wie vom Wasser als Sublimationsenergie aufgenommen wird. Im Verlauf des Trocknungsprozesses besteht die Atmosphäre aufgrund der vorherigen Entfernung der Gase durch das Vakuum in den Kammern fast ausschließlich aus Wasserdampf, der sich als Eis auf den kalten Rohrschlangen des Kondensators niederschlägt. Dadurch wird der Partialdruck des Wassers in der Kammer weiter gesenkt und eine Trocknung des Produkts weiter begünstigt. Bei der Primärtrocknung wird zunächst das locker gebundene Haft- und Kapillarwasser des zu trocknenden Produkts entfernt. Die lockere Bindung hat nur eine geringe Enthalpie (Bindungsenergie bzw. Dissoziationsenergie), sodass der Unterschied in den Wasser-Partialdrücken zwischen Produkt und Kammer ausreicht, um die Bindung zu überwinden. Als Nächstes folgt die ''Sekundärtrocknung'', bei der durch weiteres Erwärmen stärker gebundenes Wasser aus dem Produkt entfernt wird. Dabei handelt es sich meist um die Hydrathüllen der im Produkt enthaltenen Stoffe. Bei ihnen ist die Bindungsenthalpie zu hoch, um allein durch den Partialdruckunterschied überwunden zu werden, sodass ein zusätzlicher Energieeintrag durch die Erwärmung des Produkts notwendig wird. Die Endtemperatur sowie die Beaufschlagung mit Unter- oder Überdruck richtet sich nach der Art der chemischen oder physikalischen Bindung der verbleibenden Wassermoleküle sowie der Adsorptionsisotherme des Materials und kann auch bei über 0&nbsp;°C liegen. Nach erfolgter Trocknung liegt der Wassergehalt typischerweise bei 1–4&nbsp;%. Vor dem Versiegeln des getrockneten Materials wird das Vakuum häufig durch Stickstoff oder andere inerte Gase ersetzt. Für die Kühlung wird entweder ein Kälteträger (beispielsweise Silikonöl) eingesetzt, oder es erfolgt die direkte Beaufschlagung mit einem Kältemittel (meist Stickstoff oder Kohlenstoffdioxid). Die Temperaturen des Kondensators liegen typischerweise bei −60 bis −80&nbsp;°C. In großindustriellen Anlagen werden oft Absorptionskältemaschinen mit dem Kältemittel Ammoniak verwendet. Der Kondensator kann anschließend durch Wasserdampf abgetaut werden, nachdem die Verbindungsklappe geschlossen wurde. Die Prozessführung kann als Batchverfahren (chargenweise Trocknung), aber auch kontinuierlich oder semi-kontinuierlich erfolgen. == Anwendungsgebiete == Ein bekanntes Beispiel aus der Lebensmittelbranche ist die Gefriertrocknung von Kaffee zu löslichem Kaffee-Granulat (Instantkaffee) und von anderen Instantpulver-Getränken. Auch Früchte für Müsli-Flocken werden gefriergetrocknet und behalten so ihre Farbe und ihren Geschmack. Des Weiteren wird das Verfahren der Gefriertrocknung bei Kräutern und Gewürzen angewandt, um sie länger haltbar zu machen, wobei die ätherischen Öle als Geschmacksträger erhalten bleiben. In der Tierfutterindustrie wird Gefriertrocknung für Fisch- und Reptilienfutter angewendet, zum Beispiel bei Shrimps. Ein weiterer Einsatzbereich ist die Trocknung von pharmazeutischen Produkten; die Pharmaindustrie verwendet dieses Verfahren, um Arzneistoffe zu trocknen, die in Wasser gelöst nicht lange haltbar wären. Vor der Einnahme werden die Medikamente wieder in Wasser aufgelöst (zum Beispiel Antibiotika und neuere biotechnologisch hergestellte Arzneistoffe). Vorteilhaft sind vor allem bei Parenteralia die schnellen Lösungseigenschaften der gefriergetrockneten Substanzen, die durch die amorphe Struktur und die damit zusammenhängende leichte Benetzbarkeit und hohe spezifische Oberfläche der gefriergetrockneten Produkte zustande kommen. Anwendung findet die Gefriertrocknung auch in der Archäologie, zum Beispiel bei feuchtem Holz (Nassholzkonservierung) oder Leder, in der Floristik für gefriergetrocknete Blumen, bei Tierpräparatoren, in Bibliotheken und bei Restauratoren, zum Beispiel im Falle von wassergeschädigten Dokumenten, denn das Verfahren der Gefriertrocknung lässt sich bei allen sortenreinen Papieren anwenden. Dies funktioniert auch dann, wenn das Papier zu Büchern gebunden ist oder in Form eines Dokumentes vorliegt. Gefriertrocknung findet auch in der Lebensmittelanalytik Verwendung. So wird zum Beispiel Obst oder ähnlichen Lebensmitteln, die einen hohen Wassergehalt haben, vor der Analyse das Wasser entzogen, zum Beispiel Melonen. Eine verbreitete Anwendung in der Keramikherstellung ist die Trocknung keramischer Pulver, z.&nbsp;B. nach einer Mahlung in Wasser. Die Gefriertrocknung kann auch als eine Form der Bestattung vorgenommen werden, der sogenannten Promession, die in manchen Ländern nicht zulässig ist, zum Beispiel in Deutschland nicht. Es bestehen allerdings auch Nachteile: der enorme Energieaufwand und die teuren, aufwendigen Apparaturen. Deshalb ist dieses Verfahren nur bei sehr hochwertigen oder nicht anders konservierbaren Produkten überhaupt lohnend.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Gefriertrocknung" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Gefriertrocknung&oldid=211982713 Version vom 15.5.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet.</ref> = "Auf diesem Hügel überseh ich meine Welt", Gedicht von Bettina von Arnim (1785-1859) = [https://www.deutschelyrik.de/auf-diesem-huegel-ueberseh-ich-meine-welt.html 2018 gesprochen von Fritz Stavenhagen] = Sachorientierung in der beruflichen Kommunikation von und mit "Deutschen" = [[File:Layout grid.gif|mini|Ordnungsorientierung an Rastern und "facts"]]Beim beruflichen Kontakt mit Personen aus anderen Ländern oder Berufsgruppen erlebt man in manchen Gesprächen ein paar Unklarheiten und Störungen in der Kommunikation: Die anderen verhalten sich vielleicht anders, als man es selbst in der gleichen Situation tun würde. In Deutschland zum Beispiel finden Kolleg*innen aus anderen Ländern, aber auch aus anderen Berufszweigen, dass bei Besprechungen zu schnell und zu direkt über die geplanten Punkte gesprochen wird, die als Tagesordnungspunkte angekündigt wurden und daher für dieses Treffen als zentral und umgänglich gelten. Meistens wurde keine Zeit für Small Talk einkalkuliert. Wenn man "Deutschen", vor allem in technischen und naturwissenschaftlichen Berufszweigen, diese Frage stellt, sagen viele, dass sie es gut und effizient finden, gleich über das Wesentliche zu sprechen und möglichst bald zu konkreten Ergebnissen zu gelangen. Und dass man hinterher sofort daran weiterarbeiten könne. Das ist für viele, die aus ihrem Berufsumfeld einen herzlicheren Umgang kennen oder mit einer anderen Gesprächskultur aufgewachsen sind, schwierig, weil es hier als unhöflich empfunden wird, direkt über Konflikte zu sprechen oder etwas zu kritisieren. Aber in Deutschland ist so etwas in vielen beruflichen und gesellschaftlichen Bereichen erlaubt und normal, ja, es wird sogar erwartet, weil es eben als effizient gilt. Man unterscheidet in solchen Fällen nämlich zwischen der Sache und den Gefühlen. Das bedeutet nicht unbedingt, dass "Deutsche" "kalt" sind: Sie trennen nur die Themen voneinander - oder zum Beispiel die Bereich Beruf und Familie oder Freizeit. Für den Anfang bzw. Umstieg in ein anderes Berufsumfeld finden Viele das sehr gewöhnungsbedürftig und es erschwert einem oft das Ankommen, weil man miteinander "nicht warm wird". Auf jeden Fall sollte man sich für eine solche "Akklimatisierung" genügend Zeit lassen und es für sich zunächst als eine Übergangsphase betrachten. Manchmal kann es auch hilfreich sein, sich über dieses Thema mit Kolleg*innen zu unterhalten, die vielleicht selbst erst vor Kurzem nach Deutschland gekommen sind oder hier geboren, aber in einer nicht-"deutschen" Community aufgewachsen sind. Die starke Sachorientierung bei "Deutschen" erscheint auf den ersten Blick eben ziemlich seltsam, aber manchmal kann man nach einer Weile auch Vorteile davon entdecken und vielleicht sogar gemeinsam mit "Deutschen" darüber Witze machen, über Akklimatisierungsprobleme zusammen lachen und einen für alle Beteiligten positiven Klimawandel herbeiführen...<ref>Dieser Text wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] zum Einsatz bei Diskussionen in Deutschkursen selbst verfasst, mit Anregungen und Einsichten aus einer Studie von Sylvia Schroll-Machl: ''Die Deutschen - wir Deutsche. Fremdwahrnehmung und Selbstsicht im Berufsleben'', 4.&nbsp;Auflage 2013.</ref> = Zierliche Seefeder = [[Datei:Plumaria elegans Helgoland.jpg|mini|links|Zierliche Seefeder, Helgolad, auf einem Herbarbogen]]Die '''Zierliche Seefeder''' (lateinische Fachtermini: ''Plumaria plumosa'' oder ''Plumaria elegans'') ist eine Art der Rotalgen. Sie kommt an steinigen Meeresküsten des Nordost-Atlantik, der Nordsee und der Ostsee vor. Die wissenschaftliche Erstbeschreibung erfolgte 1762 unter dem Namen ''Fucus plumosus'', 1891 wurde sie der Gattung ''Plumaria'' zugeordnet. Die Zierliche Seefeder ist mit einer Haftscheibe am Untergrund festgewachsen. Der weiche Thallus ist kräftig rot bis schwärzlich-dunkelrot und wird etwa 5–12&nbsp;cm hoch. Er besteht aus einer abgeflachten Hauptachse von maximal 1&nbsp;mm Breite, die in einer Ebene wiederholt unregelmäßig fiederartig verzweigt ist. Auch die Seitenäste sind etwas abgeflacht und dicht mit Fiedern besetzt. Der Thallus ist berindet, mit Ausnahme der Fiederchen letzter Ordnung. Diese sind einzellreihig, tragen an jeder Axialzelle paarige Seitenästchen und enden mit einer stumpfen Zelle. Die letzten Seitenästchen stehen sehr dicht und sind gebogen, die Ästchen auf der Außenseite sind länger als die inneren. Im Januar treibt die Alge aus überwinterten Thallusresten neu aus. Während des Sommers verlängern sich die Hauptachsen und die Farbe wird dunkler. Die Fortpflanzungsstrukturen entstehen an den Enden der Fiederchen. Es treten sowohl Gametophyten (haploid), Tetrasporophyten (diploid) als auch triploide Thalli mit Parasporen auf. Die Zierliche Seefeder ist an den Meeresküsten des Nordost-Atlantik von Skandinavien bis nach Portugal weit verbreitet. An den deutschen Küsten kommt sie bei der Hochseeinsel Helgoland und in der westlichen Ostsee vor. Sie besiedelt die mittlere und vor allem untere Gezeitenzone. Dort wächst sie an Felsen, unter Beständen von Sägetang (''Fucus serratus'') oder an schattigen Hafenwänden. Gelegentlich ist sie auch sublitoral an Stielen von Palmentang (''Laminaria hyperborea'') zu finden. Während man manche Algen essen kann, ist diesbezüglich zur Zierlichen Seefeder nichts bekannt. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Zierliche Seefeder" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Zierliche_Seefeder&oldid=212717947 Version vom 6.6.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht bearbeitet.</ref> = Bergiselschanze = [[Datei:Bergisel Ski Jump Tower.jpg|mini|Turm der Bergiselschanze]]Die '''Bergiselschanze''' ist eine Skisprungschanze auf dem Bergisel in Innsbruck, Österreich. Architektin der heutigen Schanze (2002/2003) ist Zaha Hadid. Das erste Skispringen am Bergisel gab es am 23. Jänner 1927, auf der Naturschanze. Ein Jahr später wurde ein Anlaufturm errichtet. Für die Nordischen Skiweltmeisterschaften 1933 wurde die Schanze völlig neu umgebaut. 1941 kam es zu einem Unfall, als der Anlaufturm der baufälligen Schanze einstürzte, wobei es vier Tote und mehrere Verletzte gab, woraufhin die Anlage total abgerissen wurde. Bei einer Massenpanik unter den 40.000 Besuchern beim Snowboard-Wettbewerb "Air&nbsp;&&nbsp;Style" kamen am 4. Dezember 1999 nach dem Bruch einer Absperrung am Ausgang fünf junge Besucherinnen ums Leben und 39 Menschen wurden zum Teil schwer verletzt. Seit der Gründung der Vierschanzentournee 1952 ist diese Schanze bei der Tournee dabei. Für die Olympischen Winterspiele 1964 und 1976 wurde die Schanze jeweils um- und ausgebaut. Im Juni 1987 spielten unter anderem der Jazz-Trompeter Miles Davis sowie John McLaughlin im Rahmen des Festivals „Woodstock am Bergisel“ ein Konzert in der Anlage. [[Datei:Zaha Hadid in Heydar Aliyev Cultural center in Baku nov 2013.jpg|mini|Zaha Hadid vor dem Modell des Heydar-Aliyev-Zentrums in Baku, 2013]]Im Jahr 1999 hatte die Stadt Innsbruck den Umbau der Anlage und der Schanze in einem internationalen Gutachterverfahren ausgeschrieben. Dazu hatte man sechs in- und ausländische Architekt*innen eingeladen, um ihr Konzept für den Umbau vorzustellen. Den Zuschlag bekam die Londoner Star-Architektin Zaha Hadid (geboren am 31. Oktober 1950 in Bagdad, gestorben am 31. März 2016 in Miami, Florida), die auch als Architekturprofessorin und Designerin zu großem Renommée gelangte. Der Bau der Schanze und der Anlage kostete 12&nbsp;Mio.&nbsp;Euro und wurde 2003 endgültig fertiggestellt. 2002 erhielt die Architektin für das Bauwerk den Österreichischen Staatspreis für Architektur, und es gilt heute als eines der architektonisch bedeutendsten Sportbauwerke Österreichs. In seiner schlangenartigen Form nimmt es seine Rolle als Wahrzeichen der Stadt wahr, ohne eine rein technische Konstruktion zu sein, und präsentiert sich von jeder Seite mit einem überraschend anderen Anblick. Der Brückenteil der Anlauframpe ist nachts blau beleuchtet. [[Datei:BergiselschanzeNacht_vm01.jpg|mini|links|Nachtbeleuchtung]]Die Schanze hat eine Sprungrichtung etwa nach Richtung 3/4 12, ist also fast genau nach Norden hin orientiert. Unter dem Schanzentisch verlaufen zwei Autobahnen: die Brenner Autobahn in zwei Tunnelröhren (Bergiseltunnel) und die Inntal Autobahn (Wiltnertunnel). Der Auslauf wurde 2003 mit grünen Kunststoffmatten belegt, die eine Sommernutzung ermöglichen. Die Anlauframpe wurde in der Spur mit Glaskeramikschindeln belegt, darunter liegen Kühlschlangen. Der Schanzentisch weist eine Neigung von 10,75° auf. Das Kühlsystem wurde 2012 erneuert. Außerhalb von Sportwettbewerben wird der Turm als Restaurant und Aussichtspunkt genutzt. Zum Restaurant und zur Aussichtsplattform gelangt man mit einem Schrägaufzug. Für Bauwerke dieser Art sind die Aspekte Untergrund, Statik und Bauweise allgemein, Aufstiegshilfe bzw. Schrägaufzug, Kühltechnik, Besonnung und Windschutz von großem Belang.<ref>Dieser Text basiert auf den Wikipedia-Einträgen "Zaha Hadid" und "Bergiselschanze" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Zaha_Hadid&oldid=219290137 Version vom 18.1.2022 07:25:23‎ Uhr] bzw. [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Bergiselschanze&oldid=219464774 vom 23.1.2021 12:03:44‎ Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet.</ref> = Fränzi Madörin = [[Datei:Fränzi Madörin mit Chris Hunter während der Show «Let's sing Arbeiterin*» von Les Reines Prochaines und Freundinnen*.jpg|mini|Fränzi Madörin mit Chris Hunter während der Show «Let's sing Arbeiterin*» von Les Reines Prochaines und Freundinnen*, 2019]]'''Fränzi Madörin''', geboren am 4. Oktober 1963 in Basel, ist Schweizer Musikerin und arbeitet als Künstlerin mit Performance, Installation, Audio und Video. Ihre musikalischen Darbietungen bestehen aus Songs und improvisierten Erzählungen, die aus der Situation heraus und im Dialog mit dem Publikum entstehen. Ausstattung, Kostüme und Körperprothesen sind wichtige Elemente ihrer Solo-Auftritte sowie in den gemeinsamen Auftritten mit der Frauenmusikperformancegruppe ''Les Reines Prochaines'' und in den performativen Videos mit Muda Mathis und Sus Zwick. Mit verschiedenen Künstlerinnen entwickelt sie Video-, Performance- und Bühnenprogramme wie zum Beispiel für die Grenzgemeinde Gottlieben ''Die Gottlieber Revue'', die Bühnenproduktion ''Let's sing Arbeiterin*'' und ''Alte Tiere Hochgestapelt'', letzteres eine Produktion des Theaters Basel. Fränzi Madörin wuchs in Muttenz im Raum Basel auf. Schon vor ihrer Ausbildung 1985 bis 1988 als Damenschneiderin entwarf sie Kostüme und Ausstattungen für das Theater und sammelte Erfahrungen mit dem Medium Radio. Seit 1988 ist sie Teil der Frauenmusikperformancegruppe ''Les Reines Prochaines'', die sich ein Jahr zuvor gegründet hatte, und der Atelier- und Produktionsgemeinschaft VIA Basel (AudioVideoKunst, 1988). Mit audiovisuellen Produktionen, Band, Performance und Installation ist sie in Basel und international aktiv. Sie lebt und arbeitet in Basel. Madörin arbeitet vor allem als Live-Performerin und Moderatorin, im Ausstellungsformat mit Audioinstallationen, Audiowalks und Videopräsentationen. 1987 gründeten Muda Mathis, Teresa Alonso und Regina Florida Schmid die Performancemusikgruppe ''Les Reines des Couteaux'', ab 1988 ''Les Reines Prochaines'', die mit wechselnder Besetzung – Fränzi Madörin, Pipilotti Rist, Gabi Streiff, Sus Zwick, Sibylle Hauert, Michèle Fuchs und Barbara Naegelin – auftritt. Als Band aus Basel formierten sie sich während der Jugend- und Frauenbewegung der 1980er mit der Intention, traditionelle Kunst- und Geschlechtergrenzen zu hinterfragen, und spielen bis heute vor internationalem Publikum Dada, Fluxus und Punk. Anlässlich des Schweizer Bundesfeiertags am 1. August 2020 ehrte die Schweizer Nationalphonothek mit der Aufschaltung und Ausstrahlung den Song von Fränzi Madörin und ''Les Reines Prochaines'' mit dem Titel ''Zu unserer Verfassung'' und bezeichnete den Titel als: "rockige Neuinterpretation", "signiert von einer historischen Frauenband" und "als unterhaltsam kritische Rückschau auf die Reform der Bundesverfassung 1999". Fränzi Madörin wurde 2019 mit dem Publikumspreis des ''Schweizer Performance Preis'' ausgezeichnet.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Fränzi Madörin" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Fr%C3%A4nzi_Mad%C3%B6rin&oldid=219506275 Version vom 24.1.2022 um 15:56:10 Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht bearbeitet.</ref> = Max-Planck-Institut zur Erforschung von Gemeinschaftsgütern = [[Datei:Moon_in_Sunrise_Sky_2.jpg|mini|links|Himmel und Erde]]Das '''Max-Planck-Institut zur Erforschung von Gemeinschaftsgütern''' ist eines der über 80 überwiegend aus deutschen Bundes- und Ländermitteln finanzierten Institute für Grundlagenforschung (2020 mit etwa 1,92 Milliarden Euro) und wurde 2004 gegründet. Die Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften (MPG) ist ein 1948 gegründeter Verein mit 23.969 Mitarbeiter*innen (31. Dezember 2020), wobei 54,6 Prozent der Wissenschaftler*innen eine ausländische Staatsangehörigkeit haben. Forschungsgegenstand des Instituts sind einerseits Güter, die üblicherweise nicht marktwirtschaftlich gehandelt werden, wie zum Beispiel die natürlichen Lebensgrundlagen Luft, Wasser, Boden. Andererseits beschäftigt sich das Institut mit öffentlichen Gütern, von deren Versorgung niemand ausgeschlossen werden sollte, wie Energie, Abfallentsorgung und Telekommunikation. Das Institut verfolgt dabei einen interdisziplinären Ansatz: Neben Recht und Ökonomie sind Politikwissenschaft und Psychologie vertreten. Es gibt fünf Forschungsgruppen: "Behavioral Law and Economics", "Experimental Economics", "Economic Cognition", "Mechanisms of Normative Change" und die Forschungsgruppe "Zivilcourage" ("Moral Courage"), geleitet von der Professorin für Sozialpsychologie und Persönlichkeitspsychologie Anna Baumert (Universität Wuppertal). Das ''MPI für Gemeinschaftsgüter'' gehört zur geistes-, sozial- und humanwissenschaftlichen Sektion der MPG. Es hat seinen Sitz in der ehemaligen Residenz des ägyptischen Botschafters in Bonn und ging hervor aus der seit 1997 unter der Leitung des Juristen Christoph Engel arbeitenden Projektgruppe ''Recht der Gemeinschaftsgüter'', dem ersten und aktuellen Direktor des Instituts. Zu den bisherigen bzw. aktuellen stellvertretenden Direktor*innen zählen der Ökonom Martin Hellwig, die Politologin Adrienne Héritier und der Volkswirt Matthias Sutter. Für das Tool "JournalTouch", das Mitte 2014 eingeführt wurde, wurde die Bibliothek des ''MPI für Gemeinschaftsgüter'' mit dem Preis "Zukunftsgestalter in Bibliotheken" des Jahres 2015 ausgezeichnet.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Max-Planck-Institut zur Erforschung von Gemeinschaftsgütern" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Max-Planck-Institut_zur_Erforschung_von_Gemeinschaftsg%C3%BCtern&oldid=214304599 Version vom 29.7.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um knappe Informationen zu den aktuell fünf Forschungsgruppen, zur Anzahl und Herkunft der (wissenschaftlichen) Mitarbeitenden und zur Finanzierung von der Website der MPG, Stand 20.1.2022, ergänzt sowie insgesamt umgearbeitet.</ref> = ß = [[Datei:ß in various fonts.svg|mini|100px|verschiedene Schrifttypen]] Das Schriftzeichen '''ẞ''' ist ein Buchstabe des deutschen Alphabets. Er wird als '''Eszett''' bezeichnet und wie '''[s] stimmlos''' gesprochen. Häufige Wörter sind die '''Straße''', der '''Fuß''', das '''Maß''', in denen der Vokal vor dem ''ß'' immer lang ist. Im Gegensatz dazu ist der Vokal kurz, wenn zweimal s folgt, zum Beispiel in: '''nass''', die '''Nuss''', einander '''küssen'''. Das ß ist der einzige Buchstabe des lateinischen Schriftsystems, der heutzutage ausschließlich zur Schreibung deutscher Sprachen und ihrer Dialekte verwendet wird, etwa in der genormten Rechtschreibung der Standardsprache des Deutschen in Österreich und Deutschland. Im Schweizer Hochdeutsch kommt man völlig ohne ''ß'' aus. Es wird immer ''ss'' geschrieben, zum Beispiel: der '''Fuss''', die '''Strasse''', ich '''heisse''' [xyz]. Die Vokale werden dennoch lang gesprochen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "ß" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%9F&oldid=218205229 Version vom 5.12.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] stark gekürzt und umgearbeitet.</ref> = Graz = [[Datei:Steiermark Schoeckl Graz 2.jpg|mini|links|Graz mit Schlossberg, fotografiert im Jänner 2007]]'''Graz''' ist die Landeshauptstadt des österreichischen Bundeslandes Steiermark, nach Wien mit ca. 300.000 Einwohner*nnen die zweitgrößte Stadt der Republik und die am schnellsten wachsende Stadt Österreichs. Erste Besiedlungen des Gebiets sind bereits für die Zeit um 3000 v. Chr. belegt. In der römischen Kaiserzeit war das Grazer Feld eine dicht besiedelte Agrarlandschaft. Im 6.&nbsp;Jahrhundert wurde hier eine Burg errichtet, von der sich der Name Graz ableitet, was aus dem Slowenischen kommt: ''gradec'' bedeutet ''kleine Burg''. Von 1379 bis 1619 war Graz eine habsburgische Residenzstadt und widerstand in diesem Zeitraum mehreren osmanischen Angriffen. [[Datei:Historic City Center of Graz.jpg|mini|rechts|Luftbild der Grazer Altstadt]]Die Altstadt von Graz und das Schloss Eggenberg gehören zum UNESCO-Weltkulturerbe. Heute ist Graz eine beliebte junge Stadt mit fast 60.000 Studierenden an vier Universitäten, zwei pädagogischen Hochschulen und zwei Fachhochschulen, das heißt: jede sechste Einwohner*in studiert in der Stadt an einer der Hochschulen. [[Datei:Kunsthaus_Graz.JPG|mini|links|Kunsthaus Graz vom Schlossberg aus (2006)]]Zeitgenössische Kunst ist für Graz von großer Bedeutung und 2003 wurde das Kunsthaus Graz errichtet, was seither als neues architektonisches Wahrzeichen der Stadt gilt. == Geografische Lage und Klima == Graz liegt rund 150&nbsp;km südwestlich von Wien, an beiden Seiten des Flusses Mur, der aus den umliegenden Bergen kommt. Die Stadt ist an drei Seiten von Bergen umschlossen, die das bebaute Stadtgebiet um bis zu 400&nbsp;m überragen. Nach Süden öffnet sich das Stadtgebiet ins Grazer Feld. Graz liegt im Bereich der illyrischen Klimazone. Die Lage am südöstlichen Alpenrand bewirkt eine gute Abschirmung gegenüber den in Mitteleuropa vorherrschenden Westwetterlagen. Die geschützte Lage hat ein mildes Klima zur Folge, sodass in den Parkanlagen und auf dem Schlossberg Pflanzenarten gedeihen, die sonst erst in Südeuropa anzutreffen sind. Der mediterrane Einfluss zeigt sich in mehr als 2100 Sonnenstunden jährlich und einer durchschnittlichen Julitemperatur von über 20&nbsp;°C. == Politik == Ab den 1970er Jahren kam es innerhalb der Grazer Kommunalpolitik zu einigen Besonderheiten: Das in Graz traditionell politisch starke deutschnationale Lager, vertreten durch die Freiheitliche Partei Österreichs (FPÖ), erhielt überdurchschnittlich viele Wählerstimmen und stellte zwischen 1973 und 1983 den Bürgermeister. Danach fiel die FPÖ auf wenige Mandate zurück. Zur gleichen Zeit war Graz die erste Großstadt in Österreich, in der die Grünen als Alternative Liste Graz (ALG) in den Gemeinderat einzogen (1983). Nach 2003 wurde die Kommunistische Partei Österreichs (KPÖ) mit über 20 % der Stimmen drittstärkste politische Kraft. Dieser Erfolg wird dem sozialen Engagement des damaligen KPÖ-Spitzenkandidaten und Gemeinderates Ernest Kaltenegger zugeschrieben. Seine Nachfolgerin, die jüngst zur Bürgermeisterin gewählte 60-jährige Elke Kahr, setzt dieses Engagement für ein soziales Gewissen fort. Schon aus Gemeinderatswahl von 2017 ging die KPÖ als zweitstärkste Kraft hervor, 2021 dann mit 28,8 % der gültigen Stimmen als stärkste Partei. Die steirische Landeshauptstadt wird mit einer Koalition aus KPÖ, Grünen und SPÖ (Sozialdemokratische Partei Österreichs) regiert, erstmals in der Stadtgeschichte nun mit einer Frau an der Spitze.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Graz" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Graz&oldid=218814175 Version vom 5.1.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet.</ref> = Dreisprung = [[Datei:20150726 1545 DM Leichtathletik Frauen Dreisprung 0991.jpg|mini|Dreisprung von Kristin Gierisch bei den Deutschen Leichtathletik-Meisterschaften 2015: erster Sprung (Hop) …]] [[Datei:20150726 1545 DM Leichtathletik Frauen Dreisprung 0996.jpg|mini|… zweiter Sprung (Step) …]] [[Datei:20150726 1545 DM Leichtathletik Frauen Dreisprung 1000.jpg|mini|… und dritter Sprung (Jump)]] Der '''Dreisprung''' (Englisch: ''triple jump'') ist eine Disziplin der Leichtathletik, in der es um drei nacheinander ausgeführte Sprünge geht: „Hop“, „Step“ und „Jump“. Die besten Dreispringer*innen erzielen bei den Frauen eine Weite von über 15,50 Meter (Weltrekord: 15,67&nbsp;m) und bei den Männern von über 18 Metern (Weltrekord: 18,29&nbsp;m). Man holt Schwung, indem man auf einer Anlaufbahn bis zu einem Absprungbalken läuft, ab dem der Sprung gemessen wird. Die erste Landung hinter dem Absprungbrett muss mit demselben Fuß erfolgen, mit dem abgesprungen wurde. Es folgt der „Step“ (Landung auf dem anderen Fuß) und dann der „Jump“ in die Sandgrube, wie beim Weitsprung, sodass sich die Sprungfolge „rechts-rechts-links“ oder „links-links-rechts“ ergibt. Der Absprungbalken ist international mindestens elf Meter von der sandgefüllten Sprunggrube entfernt. Bei nationalen Wettkämpfen und Jugendwettkämpfen kann auch von einem 7- und 9-Meter-Balken gesprungen werden. Jeder Springer*n stehen im Wettkampf drei Versuche zur Verfügung, im Finale werden sechs Versuche zugestanden. Der Dreisprung ist olympische Disziplin für Männer seit Beginn der neuzeitlichen Spiele (1896). Bei den Olympischen Spielen 1900 und 1904 wurde auch ein Wettbewerb im Dreisprung aus dem Stand veranstaltet. Erst seit 1996 ist auch der Frauen-Dreisprung olympisch. In Deutschland wurden die ersten Dreisprung-Wettkämpfe um 1896/97 ausgetragen und 1931 Bestandteil der Deutschen Meisterschaften, womit verbunden war, dass nationale Rekorde aufgezeichnet wurden. Im Frauen-Dreisprung wurden die frühesten Bestleistungen um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert registriert. Nach der Weltbestleistung der Japanerin Rie Yamaguchi von 11,66&nbsp;m im Jahre 1939 stagnierte die Entwicklung, und eine Verbesserung dieser Weite gelang mit 12,43&nbsp;m erst 1981. Der Begriff des Dreisprungs kommt schon bei den Olympischen Spielen der Antike vor, allerdings wurde dort die Summe von drei Einzelsprüngen bewertet. Dreisprung als Sprungfolge ist 1465 erstmals nachweisbar. In der deutschen Sportbewegung war Dreisprung mit Beinwechsel bei jedem Sprung (rechts – links – rechts oder links – rechts – links) üblich. Im Unterschied dazu wurden in Irland im 19. Jahrhundert, der Entstehungszeit der modernen Leichtathletik, die drei Einzelsprünge mit jeweils dem gleichen Bein ausgeführt („''hop – hop – jump''“: rechts – rechts – rechts oder links – links – links). In den USA wurde die Sprungfolge „''hop – step – jump''“ ab Ende des 19. Jahrhunderts angewandt und später von der Internationalen Leichtathletik-Assoziation (IAAF) als allgemein verbindlich erklärt.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Dreisprung" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Dreisprung&oldid=218224846 Version vom 15.12.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht bearbeitet.</ref> = Aprikotieren = [[Datei:Cupcakes-01.jpg|miniatur|Cupcakes, aprikotiert und anschließend mit aufgestreuten Mandelblättchen garniert]]Das '''Aprikotieren''' ist ein beliebtes Nachbereitungsverfahren der Speisenherstellung. Es ist ein Küchenfachwort, dessen Verfahren aus dem Französischen kommt, wo es "nappage" heißt. Damit bezeichnet man das Bestreichen von meist backofenwarmen Obstkuchen, Hefe- und Plundergebäck mit heißer Konfitüre aus Aprikosen. Je nach Bedarf wird die Masse zuvor mit Zucker und Wasser aufgekocht. Die fertige Schicht wird '''Aprikotur''' genannt. Durch das Aprikotieren erhält das Gebäck einen feinen Glanz und zudem können Streuzutaten wie gehackte Mandeln oder Haselnüsse am Gebäck haften, was sehr schön aussieht und daher schon beim Anblick den Appetit anregt. Eine Aprikotur wird oft auch als Grundlage für Fondantglasur verwendet, denn sie verhindert den Wasseraustausch zum Gebäck, wodurch die Glasur länger glänzend bleibt.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Aprikotieren" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Aprikotieren&oldid=108528681 Version vom 25.9.2012] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht bearbeitet.</ref> = Geschichte der Geologie = [[Datei:Georgius Agricola Erzsucher.jpg|mini|links|Darstellung von Bergleuten und Erzsuchern (z. T. mit Wünschelrute) in Agricolas „De re metallica“, 1556]] Die '''Geschichte der Geologie''' umfasst die Entwicklung der Wissenschaft Geologie sowie ihrer Vorläufer von der Frühgeschichte bis zur Gegenwart. Sie hat Überschneidungen mit der Geschichte anderer Geowissenschaften, wie vor allem der Paläontologie, der Mineralogie und der Petrographie. Es war Thales von Milet (um&nbsp;600&nbsp;v.&nbsp;Chr.), der als einer der Ersten versucht hat, rationale Erklärungen anstelle alter mythologischer Vorstellungen über die Erde zu verwenden. In der christlichen Spätantike gingen allerdings viele alte Vorstellungen über die Beschaffenheit der Erde wieder verloren, im arabisch-muslimischen Kulturraum wurden hingegen die antiken Vorstellungen über die Entstehung der Erze und Gesteine weiterentwickelt. Ibn Sina (latinisiert: Avicenna, um 980–1037) griff hierbei besonders auf Aristoteles zurück. Darüber hinaus lieferte er eine modern anmutende Klassifizierung des Mineralreiches in Salze, Schwefel, Metalle und Steine. In Europa setzte die Rezeption der antiken Vorstellungen erst in der Renaissance ab etwa 1530 ein. Daneben wurden die zeitgenössischen Techniken des Bergbaus und mineralogische Kenntnisse der Bergleute von Gelehrten wie Georgius Agricola (1494–1555) systematisiert. Die ersten Schritte in Richtung einer Erdgeschichte ging der dänische Arzt und Naturforscher Nicolaus Steno (1638–1686), der im Jahre 1669 das erste geologische Profil, das wirklich historisch gedacht war, entwarf. Die Entwicklung der Geologie zu einer modernen Naturwissenschaft ab dem 18. Jhdt. erfolgte im Rahmen mehrerer – teilweise äußerst heftiger – Kontroversen über das vorherrschende Paradigma: Zuerst ''Neptunismus'' gegen ''Plutonismus'', dann ''Katastrophismus'' gegen ''Aktualismus'' (bzw. ''Gradualismus''). Die ersten mobilistischen Vorstellungen über die Möglichkeit, dass Festlandsmassen sich seitlich bewegen können, finden sich in der Kontinentaldrift-Hypothese Alfred Wegeners (1880–1930) aus dem Jahr 1915, konnten sich aber gegen den bis dahin vorherrschenden ''Fixismus'' erst in der zweiten Hälfte des 20. Jhs. durchsetzen – im Paradigma der ''Plattentektonik''. == Veränderung der geologischen Arbeitsmethoden im 20. Jahrhundert == Bereits im 18. und 19.&nbsp;Jahrhundert begannen Geologen, chemische und physikalische Verfahren zur Untersuchung von Gesteinen und Mineralen heranzuziehen. Hier sind vor allem die auf den schwedischen Chemiker und Mineralogen Axel Frederic Cronstedt (1722–1765) zurückgehende Lötrohrprobierkunde und die nasschemische Analyse zu nennen, die im 19.&nbsp;Jahrhundert an Bedeutung gewinnen sollten. Doch bis zum Beginn des 20.&nbsp;Jahrhunderts dominierten in der Geologie beschreibende Forschungsmethoden. Im 20.&nbsp;Jahrhundert wandelte sich die Geologie zu einer analytischen Naturwissenschaft: Mit der Entdeckung der Röntgenbeugung konnte man die mineralogische Zusammensetzung auch von feinkristallinen Gesteinen bestimmen, mit der Entwicklung der Geophysik gewann man erstmals Erkenntnisse über das Innere der Erde. Mit Hilfe von Modellierungen am Computer können geologische Prozesse besser verstanden werden. Ein immer größerer Anteil geologischer Forschung wanderte vom Gelände an den Schreibtisch und ins Labor. Dieser Wandel der Methoden machte aus der zuvor rein qualitativen Geologie eine quantitative Wissenschaft und stellt damit nach der Abkehr von metaphysischen Vorstellungen in der frühen Neuzeit den zweiten größeren Sprung in einen neuen Abschnitt der Wissenschaftsgeschichte der Geologie dar.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Geschichte der Geologie" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Geschichte_der_Geologie&oldid=218804390 Version vom 5.1.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht bearbeitet.</ref> = Alice Hasters = [[Datei:Alice Hasters 2020-10-13.jpg|mini|Alice Hasters, 2020]]'''Alice Haruko Hasters''' (* 10. Juni 1989 in Köln) ist eine deutsche Journalistin, Buchautorin und Podcasterin. Als jüngste von drei Töchtern ihrer schwarzen US-amerikanischen Mutter und ihres weißen deutschen Vaters verbrachte Alice Hasters ihre Kindheit und Jugend größtenteils im Kölner Stadtteil Nippes. Die Eltern, ein Künstlerpaar, erzogen ihre drei gemeinsamen Kinder nach buddhistischem Glauben. Im elften Schuljahr absolvierte Alice Hasters ein Auslandsjahr bei ihrem Onkel in North Philadelphia, USA. Nach dem Abitur studierte sie zunächst an der Sporthochschule Köln und später an der Deutschen Journalistenschule in München. Unter der Selbstbezeichnung als Schwarze schreibt und publiziert sie insbesondere über afrodeutsche Identität, Rassismus, Feminismus und Intersektionalität, auch in ihrem 2019 erschienenen autobiographischen Debütbuch ''Was weiße Menschen nicht über Rassismus hören wollen, aber wissen sollten''. Das Buch erreichte im Juni 2020 Platz 3 der ''Spiegel''-Bestsellerliste/ ''Bestseller Paperback Sachbuch'' sowie in der ''Spiegel-''Jahresbestsellerliste 2020 ''Paperback Sachbuch'' Platz 5. Hasters arbeitet seit ihrem Abschluss u.&nbsp;a. für die ''Tagesschau'' und den Rundfunk Berlin-Brandenburg (rbb). Seit 2016 produziert und publiziert Hasters mit ihrer Freundin und Kollegin Maximiliane Häcke den Podcast ''Feuer & Brot''. Seit September 2020 moderiert sie den Podcast [https://www.deutschlandfunknova.de/podcasts/download/einhundert ''Einhundert – Stories mit Alice Hasters''], der bei Deutschlandfunk Nova ausgestrahlt wird. Themen sind: Befreiung aus einer Gewaltbeziehung ("Frei leben will gelernt sein", Sendung vom 29. Oktober 2021), Lieben gegen Geschlechtergrenzen ("Wenn deine Partnerin eine Transfrau ist", Sendung vom 27. August 2021) oder zum Beispiel: "Wenn du mit 21 wegen Covid-19 im Sterben liegst" (Sendung vom 28. Mai 2021). Ihre Beiträge zeichnen sich durch engagierte Reportage, klug geführte Interviews sowie ein langsames Tempo aus, was beim Hören Zeit für eigene Reflektionen lässt. Vom ''medium magazin'' wurde Hasters als Kulturjournalistin des Jahres 2020 ausgezeichnet.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Alice Hasters" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Alice_Hasters&oldid=217471451 Version vom 21.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht bearbeitet sowie um Angaben zu den Inhalten ihres Podcasts ''Einhundert – Stories mit Alice Hasters'' ergänzt.</ref> = "Ein alter Tibetteppich" (Gedicht von Else Lasker-Schüler, 1910) = [http://deutschelyrik.de/ein-alter-tibetteppich.html gesprochen von Fritz Stavenhagen, 2012] = Winterschlaf = [[Datei:Igel.JPG|mini|250px|Der Braunbrustigel hält Winterschlaf mit Unterbrechungen]] Als '''Winterschlaf''' oder '''Hibernation''' bezeichnet man einen lang währenden Ruhezustand, in den bestimmte homoiotherme Tiere – manche Säugetiere und wenige Vögel – unter Herabsetzung ihrer Körpertemperatur während der kalten Jahreszeit fallen. Winterschläfer senken im Herbst ihre Körpertemperatur auf ein niedrigeres Niveau ab, gleichzeitig verlangsamen sich auch Atem- und Pulsfrequenz sowie alle weiteren Stoffwechselaktivitäten. Da das Tier während des Winterschlafs keine Nahrung aufnimmt, stammt die Energie für alle Stoffwechselaktivität des Winterschläfers aus den während des Sommers angefressenen Fettdepots. [[Datei:Siebenschlaefer Zwiegel08.JPG|mini|links|Jungtiere des Siebenschläfers]] Einzelne Säugetiere wie der Siebenschläfer, die Haselmaus, der Braunbrustigel, das Alpenmurmeltier oder manche Fledermäuse halten einen lang andauernden Winterschlaf mit wenigen kurzen Unterbrechungen; bleibt die normale Körperkerntemperatur während der Ruhephase unverändert erhalten, spricht man stattdessen von Winterruhe. Allen Winterschläfern ist gemein, dass sie sich bei äußeren Störungen rasch auf Normaltemperatur erwärmen. Dies wird durch Hormonausschüttungen der Hypophyse gesteuert. Bei der Erwärmung verbrauchen sie erhebliche Mengen Fett, weshalb die Tiere nach häufigen Störungen des Winterschlafs verhungern können. Mit der zeitlichen Organisation des Winterschlafs befasst sich die Chronobiologie. == Verhalten der Winterschläfer in den kalten Jahreszeiten == Die Winterschläfer suchen im Herbst Orte auf, an denen sie vor der strengen Kälte geschützt sind (hohle Baumstämme, Erdhöhlen und dergleichen) und polstern sie mit Heu, Stroh, Blättern, Haaren, Wolle und anderen Materialien aus. In dem so ausstaffierten Unterschlupf verbringen sie meist zu mehreren Tieren mit zusammengezogenem, abgekugeltem Körper und geschlossenen Augenlidern den Winter in einem energetischen Sparzustand, dem so genannten Torpor. Ihre normale Körpertemperatur sinkt dabei meist auf Werte zwischen 9 und 1&nbsp;°C ab (Thermoregulation). Alle Körperfunktionen sind in diesem Zustand stark vermindert. Die Atmung ist schwach, der Herzschlag verlangsamt und die Empfindlichkeit gegenüber äußeren Reizen gering. Murmeltiere senken zum Beispiel während des Winterschlafs ihre Körpertemperatur von 39 auf bis zu 7&nbsp;°C ab. Ihr Herz schlägt statt hundertmal nur noch zwei- bis dreimal pro Minute. Die Atempausen können bis zu eine Stunde betragen. Absonderungsprodukte des Darmkanals und der Leber sammeln sich bei Winterschläfern im unteren Teil des Darms an und werden gleich nach dem Erwachen ausgeschieden. Nahrung wird während der Zeit des Schlafes nicht aufgenommen, höchstens in den gelegentlichen Wachphasen. Die Tiere zehren stattdessen von ihren Fettreserven, welche sie sich im Herbst angefressen haben. Murmeltiere verkleinern während des Winterschlafes sogar Magen und Darm um die Hälfte, Leber und Nieren um etwa 30 Prozent. Ein spezielles braunes Fettgewebe, das insbesondere im Schulter- und Nackenbereich der Winterschläfer liegt, dient ausschließlich der Wärmeproduktion. In der Spätphase des Aufwachens wird der Körper zusätzlich durch Muskelzittern wieder auf Normaltemperatur gebracht. Je höher die Körpertemperatur wird, desto schneller atmen die Tiere. Manche Winterschläfer wie die Murmeltiere halten einen sozialen Winterschlaf, bei dem in jedem Bau bis zu 20 Eltern- und Jungtiere eng nebeneinander ruhen, sodass sie sich gegenseitig aufwärmen können, wenn die winterlichen Temperaturen zu stark absinken. Das erhöht vor allem die Chancen der Jungtiere, die über weniger Energiereserven verfügen, auch härtere Winter zu überstehen. == Dauer des Winterschlafs == Die Dauer des Winterschlafs ist bei den einzelnen Winterschläfern unterschiedlich. Beim Igel sind es drei bis vier Monate; Siebenschläfer verbringen sechs bis sieben Monate im Winterschlaf (daher auch ihr deutscher Name). Man darf jedoch nicht der falschen Vorstellung unterliegen, dass es sich beim Winterschlaf um einen mehrmonatigen Dauerschlaf ohne Pause handelt. Vielmehr verläuft der Schlaf meist in Abschnitten, wobei sich längere Phasen der Ruhe mit stark reduziertem Stoffwechsel mit kurzen Wachphasen abwechseln. Während zum Beispiel Igel eine Torpordauer von 1 bis 3 Wochen haben, schlafen Siebenschläfer etwa 20 bis 33 Tage am Stück. Zu oft dürfen die Tiere während des Winters allerdings nicht aufwachen, weil jede zwischenzeitliche Aufwachphase an den Energiereserven zehrt, sodass die Fettdepots zu früh aufgebraucht würden und für den eigentlichen Aufwachvorgang im Frühjahr nicht mehr zur Verfügung stünden. == Mögliche Auslöser für den Winterschlaf == Als Auslöser für den lang anhaltenden Ruhezustand wurden traditionell äußere Faktoren wie das Sinken der Außentemperaturen oder der Nahrungsmangel im Herbst angeführt. Doch sollen nach Ansicht von Experten neben den kürzeren Tageslängen als Signalgeber vor allem innere Faktoren wie die Umstellung des Hormonhaushalts – ein Nachlassen der Bestrahlung mit ultraviolettem Licht durch die schwächere Sonne führt zu einer geringeren Erzeugung von Vitamin D, was Erstarrungshormone in Gang setzt – oder die Infradiane Rhythmik (innere Uhr), die einem jahreszeitlich bedingten Rhythmus unterworfen ist, für die Auslösung des Winterschlafs verantwortlich sein. So scheint die innere Uhr die Bildung von Fettdepots und dies wiederum die Schlafbereitschaft zu beeinflussen. Selbst der narkotisierende Einfluss einer höheren Kohlendioxidkonzentration in den Schlafhöhlen wurde als auslösender Faktor für den Winterschlaf diskutiert. == Winterschlafähnliche Zustände bei Vögeln == [[Datei:Common_Poorwill.jpg|mini|links|Winternachtschwalbe]]Echter Winterschlaf kommt nur bei Säugetieren vor, aber auch bei einigen Vögeln kennt man winterschlafähnliche Zustände. Beschrieben wurde der Winterschlaf bei der Winternachtschwalbe. Auch Kolibris reduzieren bei Nahrungsmangel oder Kälteeinbrüchen ihren Stoffwechsel und fallen in eine Starre. In unseren Breiten verfallen bei Hungerperioden junge Mauersegler während des Schlafes in einen Zustand mit leicht geminderter Körpertemperatur. Längere Zeiträume des Winterschlafs wie bei Säugetieren gibt es bei Vögeln jedoch nicht. == Das Aufwachen im Frühjahr == Die Ursache für das Aufwachen im Frühjahr ist immer noch nicht genau bekannt. Steigende Umgebungstemperaturen und die Anreicherung von Stoffwechselendprodukten im Körper könnten als Wecksignale dienen. Sind Wecksignale vorhanden, werden von der Hypophyse Hormone ausgeschüttet, die für Thermogenese (Wärmeerzeugung) durch das braune Fettgewebe sorgen. Hat sich die Körperkerntemperatur bis auf etwa 15 Grad Celsius erhöht, kann zusätzliches Muskelzittern zur weiteren Temperaturerhöhung beitragen. Der Kopf- und Rumpfbereich mit den lebenswichtigen Organen wird hierbei zuerst erwärmt, als letztes folgen die Extremitäten.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Winterschlaf" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Winterschlaf&oldid=218587129 Version vom 29.12.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht bearbeitet und um zwei Abbildungen ergänzt.</ref> = Thermisches Spritzen = [[Datei:Thermisches-Spritzen.jpg|rechts|mini|150px|Prinzipdarstellung eines thermischen Spritzvorgangs]]Die Verfahren des '''Thermischen Spritzens''' sind Oberflächenbeschichtungsverfahren. Laut der normativen Definition (DIN EN 657, ''Thermisches Spritzen - Begriffe, Einteilung'') werden dabei Zusatzwerkstoffe, die so genannten Spritzzusätze, innerhalb oder außerhalb eines Spritzbrenners ab-, an- oder aufgeschmolzen, in einem Gasstrom in Form von Spritzpartikeln beschleunigt und auf die Oberfläche des zu beschichtenden Bauteils geschleudert. Die Bauteiloberfläche wird dabei (im Gegensatz zum Auftragschweißen) nicht angeschmolzen und nur in geringem Maße thermisch belastet. Eine Schichtbildung findet statt, da die Spritzpartikel beim Auftreffen auf die Bauteiloberfläche prozess- und materialabhängig mehr oder minder abflachen, vorrangig durch mechanische Verklammerung haften bleiben und lagenweise die Spritzschicht aufbauen. Qualitätsmerkmale von Spritzschichten sind geringe Porosität, gute Anbindung ans Bauteil, Rissfreiheit und homogene Mikrostruktur. Die erzielten Schichteigenschaften werden maßgeblich beeinflusst von der Temperatur und der Geschwindigkeit der Spritzpartikel zum Zeitpunkt ihres Auftreffens auf die zu beschichtende Oberfläche. Der Oberflächenzustand (Reinheit, Aktivierung, Temperatur) übt ebenfalls maßgeblichen Einfluss auf Qualitätsmerkmale wie die Haftfestigkeit aus. Als Energieträger für die An- oder Aufschmelzung des Spritzzusatzwerkstoffes dienen elektrischer Lichtbogen (Lichtbogenspritzen), Plasmastrahl (Plasmaspritzen), Brennstoff-Sauerstoff-Flamme bzw. Brennstoff-Sauerstoff-Hochgeschwindigkeitsflamme (konventionelles und Hochgeschwindigkeits-Flammspritzen), schnelle, vorgewärmte Gase (Kaltgasspritzen) und Laserstrahl (Laserstrahlspritzen). Laut DIN-Norm EN 657 werden die Spritzverfahren nach diesen Kriterien eingeteilt. Zweck dieser Verfahren ist die Beschichtung metallischer und nichtmetallischer Werkstoffe mit Metallen, oxidkeramischen Werkstoffen und carbidischen Werkstoffen (bzw. allgemein Verbundwerkstoffen) zum Zwecke der Veränderung und gezielten Anpassung von Oberflächeneigenschaften. Wichtige Industriezweige, in denen thermisch gespritzte Schichten eingesetzt werden, sind die Automobilindustrie, die Papier- bzw. Druckindustrie, die Luft- und Raumfahrtindustrie, die Abfallindustrie, die energieerzeugende Industrie und der allgemeine Maschinen- und Anlagenbau. Die Hauptanwendungsfelder sind dabei der (kombinierte) Verschleiß- und Korrosionsschutz, der Schutz vor Heißgaskorrosion, die thermische Isolation oder die Anpassung von Reib- und Gleiteigenschaften.<ref>Dieser Text ist nahezu identisch mit dem Wikipedia-Eintrag "Thermisches Spritzen" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Thermisches_Spritzen&oldid=214578215 Version vom 7.8.2021].</ref> = Marburger Bund = Der '''Marburger Bund – Verband der angestellten und beamteten Ärztinnen und Ärzte Deutschlands e.&nbsp;V.''' ist ein Berufsverband und gleichzeitig eine Fachgewerkschaft für Ärzt*innen in Deutschland und hat seinen Sitz in Berlin. Er wurde 1947 in Marburg gegründet und hatte Ende 2020 nach eigenen Angaben rund 127.000 Mitglieder, von insgesamt rund 207.000 deutschen Krankenhausärzt*innen. Der Marburger Bund agiert sowohl auf tarifpolitischer als auch auf berufs- und standespolitischer Ebene (Ärztekammern). Er führt Tarifverhandlungen mit Geschäftsführungen von Kliniken und vertritt Interessen der dort tätigen Ärzt*innen. Der Marburger Bund umfasst 14 Landesverbände, wobei für die Zuständigkeit des Landesverbandes der Arbeitsort (und nicht der Wohnort) entscheidend ist. == Ziele des Marburger Bundes == Der Marburger Bund setzt sich u.&nbsp;a. für die Verbesserung der beruflichen Situation von angestellten und beamteten Ärzt*innen ein, was insbesondere durch die Abschaffung von befristeten Arbeitsverträgen und die Vergütung aller Überstunden und Bereitschaftsdienste erreicht werden soll. Als Hauptziele werden geregelte Arbeitszeiten und international konkurrenzfähige Gehälter genannt. Im Jahr 2003 erwirkte der ''Marburger Bund'' am Europäischen Gerichtshof, dass die ärztlichen Bereitschaftszeiten als Arbeitszeit zu gelten haben. Von dieser Neuregelung sind die Anrechenbarkeit der Höchstarbeitszeit, die Regelung der Ruhephasen und die dienstliche Vergütung betroffen. Im darauffolgenden Jahr verzeichnete der ''Marburger Bund'' ein weiteres positives Ergebnis jahrelangen Einsatzes: der "Arzt im Praktikum" (AiP) wurde abgeschafft. In diesem Teil der medizinischen Ausbildung galten Ärzt*innen trotz ärztlicher Approbation nicht als vollwertig und wurden als günstige Arbeitskräfte ausgenutzt. Der damalige Vorsitzende des ''Marburger Bundes'', Frank Ulrich Montgomery, bezeichnete das AiP in diesem Rahmen als "reine Ausbeutungsphase" und "anachronistisch".<ref>[https://www.spiegel.de/lebenundlernen/job/aip-wird-abgeschafft-schluss-mit-der-ausbeutung-junger-aerzte-a-272664.html "AiP wird abgeschafft: Schluss mit der Ausbeutung der jungen Ärzte"], Artikel vom 3. November 2003 in ''Der Spiegel'' (online) aufgerufen am 28. Februar 2021</ref><ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Marburger Bund" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Marburger_Bund&oldid=217024712 Version vom 6.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet.</ref> == 2022 == 2003/2004, das ist fast 20 Jahre her, aber weiterhin müssen Ärzt*innen ebenso wie alle Angehörigen der Pflegeberufe gegen Klinikleitungen, Krankenkassen und ggf. das Bundesgesundheitsministerium zusammenhalten und Lobbyarbeit machen, um ihre eigenen Interessen zu wahren und nicht ausgenutzt zu werden. Das gilt auch für Putzpersonal und alle weiteren Berufe der untersten Einkommensstufen in den Kliniken.[[Datei:LAMINEX-alle-reinigungs-Mittel.jpg|mini|links|Reinigungsmittel (Beispiel)]] Dabei sollten Ärzt*innen immer das Pflegepersonal unterstützen, denn nur gemeinsam geht es - das hat nicht zuletzt die Coronakrise seit Anfang 2020 gezeigt, die nun ins zweite Jahr geht. Für Pflegekräfte gibt es seit Mai 2020 den "Bochumer Bund".<ref>{{Internetquelle |autor= |url=https://www1.wdr.de/nachrichten/ruhrgebiet/neue-pflegegewerkschaft-bochumer-bund-100.html |titel=Pflegegewerkschaft "Bochumer Bund" gründet sich |werk=Westdeutscher Rundfunk WDR |hrsg= |datum=2020-05-14 |abruf=2020-10-11 |sprache=de}}</ref> = Elektrizitätsversorgung = [[Datei:Solar Panels.jpg|mini|125px|Photovoltaikanlage]] Die '''Elektrizitätsversorgung''' (auch '''Stromversorgung''' genannt) umfasst alle Einrichtungen und Tätigkeiten, die für die Belieferung der Verbraucher*innen mit elektrischer Energie (umgangssprachlich ''Strom'' oder ''Elektrizität'') erforderlich sind. Der entsprechende Wirtschaftszweig nennt sich Elektrizitätswirtschaft. Die Elektrizitätsversorgung ist innerhalb der Energiewirtschaft Teil der Energieversorgung und beinhaltet die Erzeugung, den Transport und den Handel. Unternehmen, die in diesem Wirtschaftssektor tätig sind, werden als Elektrizitätsversorgungsunternehmen (EVU) bezeichnet. Dazu zählen auch Anbieter*innen von '''Ökostrom'''. Der Begriff wird für Stromlieferverträge verwendet, mit denen zwischen Abnehmer*innen und Anbieter*innen elektrischer Energie aus umweltfreundlichen erneuerbaren Energiequellen ein direkter Geldfluss hergestellt wird. Dies geschieht in Abgrenzung zu ''konventionell erzeugtem Strom'' aus Kernenergie (auch ''Atomenergie'' genannt) und fossilen Energieträgern, zu denen hauptsächlich Kohle, Erdöl und Erdgas zählen. Mit "Ökostrom" gleichbedeutende Begriffe sind '''Grünstrom''' und '''Naturstrom'''. Der wesentliche Nutzen eines Ökostromtarifs ist nicht die unmittelbare Senkung der CO₂-Emissionen, sondern die Förderung von Investitionen in regenerative Technik.<ref>Dieser Text basiert auf den Wikipedia-Einträgen "Ökostrom" und "Elektrizitätsversorgung" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=%C3%96kostrom&oldid=218006908 Version vom 8.12.2021] bzw. vom [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Elektrizit%C3%A4tsversorgung&oldid=213504858 3.7.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet.</ref> = Merkelbach = [[Datei:Merkelbach_Schneckenweiler_310710.jpg|mini|links|Blick vom Hammerberg nach Nordnordosten schräg das Lanzenbachtal hinauf mit Merkelbach in der Talmitte (zwischen großen Bäumen) und Schneckenweiler leicht rechts dahinter]]'''Merkelbach''' ist ein Weiler mit 26 Einwohner*innen und ein Ortsteil der Kleinstadt Vellberg im Landkreis Schwäbisch Hall im Nordosten Baden-Württembergs. Der Weiler liegt links des Lanzenbachs auf etwa 371 m Höhe in dessen flacher Talflur, die am Ortsrand von einem kürzeren anonymen Auengraben und dem nur 300 Meter langen Merkelbach zum Bach hin entwässert wird. Der landwirtschaftlich geprägte Weiler mit nur vier Hausnummern und einigen Nebengebäuden ist teilweise umgeben von einem Weichbild aus Obstwiesen und hofnahen Weiden. Über dem linken Talhang im Südosten erhebt sich der Westausläufer ''Hammerberg'' des bewaldeten und bis über 505 m hohen ''Hahnenbergs'' über dem heideartigen rechten im Nordwesten die zunächst nur 420 m hohe, beackerte Hochebene des ''Schlegelsbergs''. Talabwärts beginnt nach etwa einem halben Kilometer das Eschenauer Kalkschotterwerk. Der Ort liegt an der Kreisstraße 2619, die, von Untersontheim in der Nachbargemeinde Obersontheim im Süden kommend, nach ihrer Bachbrücke in die Landesstraße 1064 mündet, die Vellberg mit Gründelhardt verbindet. An dieser liegt, weniger als einen Kilometer nordöstlich, der einzige andere Weiler von Vellberg, ''Schneckenweiler''. In diesem Tal, auf Vellberg zu in Richtung Westnordwest führt sie zunächst jenseits einer kleinen Talsteige durch den knapp einen Kilometer entfernten Weiler. Das nächste Dorf im Südwesten ist ''Untersontheim'', das hinter den Bergen in Luftlinie in etwa zwei Kilometern liegt. 1366 erwarb die Kirchenpflege der Stöckenburg die Gefälle für den Ort von einem Heinz von Swelbronn. Die Stadt Schwäbisch Hall gab hier 1580 im Tausch zwei Höfe an Konrad von Vellberg und erwarb sie nach dessen Tod und dem Aussterben dieses Geschlechts 1595 zurück. 1847 hatte der Ort 34 Einwohner. Seit 1802/03 gehörte Merkelbach zur damaligen Gemeinde Unter-Sontheim. Als Anhang von deren Teilgemeinde Eschenau kam es 1875 zu Vellberg. Doch bis zum 1. April 1938 besuchten die Merkelbacher Kinder noch die Untersontheimer Schule und der Ort gehörte noch zur dortigen evangelischen Kirchengemeinde. Ein Wasserleitungsanschluss wurde erst im Jahre 1939 gelegt, ein Kläranlagenanschluss erst 1997. Der Weiler hat heute 26 Bewohner und es gibt sogar eine kleine Gaststätte.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Merkelbach (Vellberg)" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Merkelbach_(Vellberg)&oldid=207676329 Version vom 15.1.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet.</ref> = Batterien = [[Datei:Batteries.jpg|mini|rechts|Eine Auswahl an vergleichsweise kleinen Batterien mit unterschiedlichen Abmaßen]]Eine '''Batterie''' ist ein Speicher für elektrische Energie auf elektrochemischer Basis. Ein '''Akku''' (eigentlich Akkumulator) ist eine wieder aufladbare Batterie. Im Gegensatz zur Batterie speichert ein '''Kondensator''' elektrische Energie in einem elektrischen Feld, wodurch er wesentlich schneller aufgeladen und entladen werden kann, aber nicht in der Lage ist, die Spannung während der Entladung konstant zu halten. '''Hybrid- bzw. Superkondensatoren''' wiederum können die elektrische Energie sowohl statisch (d.h. elektrostatisch) als auch auf chemische Weise im Rahmen einer reversiblen Redoxreaktion speichern. Der Begriff „Batterie“ ist ursprünglich militärisch, wo es „Zusammenstellung mehrerer Geschütze“ bedeutet. Der heutige Sprachgebrauch wird in der DIN-Norm 40729 (Deutsche Industrienorm Nummer 40729: ''Akkumulatoren; Galvanische Sekundärelemente; Grundbegriffe'') festgelegt, wobei zunächst unter Batterie „immer mehrere verbundene Zellen“ verstanden wurde. "Batterie" ist heute sowohl der Oberbegriff für Energiespeicher, als auch im engeren Sinne die Bezeichnung für eine '''Primärbatterie''', die nicht wieder aufladbar ist. Aufladbare Batterien werden '''Sekundärbatterie''' oder landläufig ''Akku'' genannt. Man unterscheidet darüber hinaus verschiedene Größen: * '''Starterbatterien''' für Kraftfahrzeuge, Antriebsbatterien (Traktionsbatterien) bzw. zyklenfeste Speicherbatterien für Elektrofahrzeuge und stationäre, ortsfeste Anwendungen wie beispielsweise unterbrechungsfreie Stromversorgungen. Solche Batterien sind immer Akkus. * '''Gerätebatterien''', die zur Stromversorgung kleiner, meist tragbarer Geräte dienen, beispielsweise von Radios, Spielzeug, Taschenlampen u.&nbsp;Ä., aber auch von fest installierten Geräten wie z.&nbsp;B. Rauchmeldern. Meist kommen Standardbauformen zum Einsatz. Gerätebatterien müssen kompakt sein und lageunabhängig einsetzbar, dabei leicht und trotzdem mechanisch robust. Bei normaler Lagerung und Verwendung im Gerät dürfen sie weder auslaufen noch ausgasen. Sie sind in einer Vielzahl von Ausführungen auf der Basis von Zink-Kohle oder Alkali-Mangan im Handel erhältlich. Allerdings werden Zink-Kohle-Batterien seit den 2000er Jahren immer seltener angeboten und heute kaum noch hergestellt.<br/> Bei Akkus wiederum sind derzeit die Lithium-Ionen-Akkus am weitesten verbreitet.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Batterie (Elektrotechnik)" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Batterie_(Elektrotechnik)&oldid=217733103 Version vom 30.11.2021, 13:49 Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet.</ref> = Die afghanische Küche = Als '''afghanische Küche''' bezeichnet man die landestypischen Gerichte, die Menschen in und aus Afghanistan sich zubereiten. Die Küche des Landes wurde im Laufe der Geschichte auf Grund der geografischen Lage Afghanistans an der sogenannten Seidenstraße von den Küchen anderer Regionen beeinflusst, unter anderem von der persischen und der indischen Küche. Ähnlichkeiten bestehen außerdem zu den Küchen der zentralasiatischen Kulturen und zur türkischen Küche. Es gibt auch einige Unterschiede zwischen den Küchen der verschiedenen ethnischen Gruppen in Afghanistan und so entsteht eine große Vielfalt an Gerichten, nicht zuletzt bei den Menschen im Exil. == Aktuelle Lage == Allerdings grassiert seit der Machtübernahme der Taliban im August 2021 eine Hungersnot in Afghanistan, eine humanitäre Katastrophe, die sich in den kommenden Monaten noch verschlimmern wird. Es werden leider viele Menschen allein deswegen sterben - und an Kälte, denn viele Familien leben aus Angst vor den Taliban seit mehreren Monaten irgendwo versteckt oder sie haben ohnehin zu wenig Geld, um heizen zu können. Die WHO schätzt, dass Mitte 2022 ungefähr 97% der afghanischen Bevölkerung an Hunger leiden wird. == Esskultur == Traditionell werden die Speisen in Afghanistan von Frauen gekocht und auf Tellern oder in Schalen hereingetragen, auf einem Tuch auf dem Boden ausgebreitet, um das sich die Essenden platzieren. Die Speisen werden mit der rechten Hand gegessen. == Gerichte == [[Datei:Afghan bread.jpg|mini|links|Afghanisches Fladenbrot, ''Nan'', نان]] Das wichtigste Grundnahrungsmittel ist Brot, hergestellt vor allem aus Weizenmehl. Häufig bildet es zusammen mit Tee bereits eine komplette Mahlzeit. Es ist jedoch auch eine häufige Beilage zu Hauptgerichten, vor allem zu Suppen und Bohneneintopf. Ebenfalls von großer Bedeutung ist Reis. Aus langkörnigem Reis werden verschiedene Gerichte zubereitet, darunter ''Qabuli Pulau'' (Kabul Reis), das Nationalgericht des Landes. Der Beilagenreis heißt ''Chalau'', kurzkörniger klebriger Reis ''Bata''. Es gibt auch verschiedene Reisdesserts wie Milchreis. Außerdem werden Nudelgerichte zubereitet. Als Zwischenmahlzeit werden häufig gefüllte Gebäckstücke gegessen, die traditionell auch von Straßenverkäufern angeboten werden. Die bevorzugte Fleischsorte ist Lammfleisch, außerdem Ziegenfleisch, Rindfleisch, Kamelfleisch, Geflügel und Wildbret. Fisch spielt als Nahrungsquelle eine untergeordnete Rolle. Das wichtigste Milchprodukt ist Joghurt. Eine daraus zubereitete cremige Masse heißt ''Tschaka'', die mitunter zu Kugeln geformt und getrocknet wird, welche dann ''Quroot'' genannt werden. ''Panir'' ist Käse. Ein typisches Frühlingsgericht ist ''Kischmish Panir''; es besteht aus ''Panir'' und roten Weintrauben bzw. Rosinen. Ein anderes Milchprodukt ist ''Qaymak''. Es kann zusammen mit ''Nan'' das Frühstück bilden. [[File:I_made_this_pics_by_my_self_and_this_have_the_peace_massage_for_whole_world_specially_for_my_country_Afghanistan.jpg|mini|rechts|Wenn genug zu essen da ist...]]Desserts, Süßspeisen und Kuchen sind in Afghanistan ein seltener Luxus und besonderen Gelegenheiten vorbehalten. Am häufigsten zubereitet werden Puddings auf Milchbasis wie ''Firni'' und süße Reisspeisen. Ein spezielles Gebäck in Form von Elefantenohren heißt ''Gusch-e fil''. Zum Neujahrsfest ''Nouruz'' werden Süßspeisen aus Trockenfrüchten und Nüssen (''Haft mewa'') vorbereitet und gemeinsam genossen. Den Abschluss einer Mahlzeit bildet oft Obst, am häufigsten Trauben und Melonen. Das wichtigste Getränk ist Tee, entweder Grüner Tee oder Schwarzer Tee, oft mit Kardamom oder Safran gewürzt und auch bei Afghan*innen, die im Exil leben, sehr beliebt.<ref>Dieser Text basiert auf dem Beginn des Wikipedia-Eintrags "Afghanische Küche" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Afghanische_K%C3%BCche&oldid=216452083 Version vom 17.10.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] für dieses Format bearbeitet und durch einen Abschnitt zur aktuellen Hungersnot in Afghanistan ergänzt.</ref> = Wikipedia, ihre Mutter und ihre Schwestern = Die werbefreie und kostenlos zugängliche Enzyklopädie Wikipedia existiert seit 2001 und ist weltweit bekannt geworden. Inzwischen gibt es Versionen in mehr als 100 Sprachen. Wer mehr als eine Sprache fließend lesen kann, ist hier im Vorteil, denn die Artikel werden nur in den seltensten Fällen übersetzt und man kann sich daher zum Beispiel politische Ereignisse wie das Ende des 2. Weltkriegs aus mehreren Perspektiven schildern lassen - ja nach Sprache vielleicht verschieden. Zur zugrundeliegenden Software: Im März 1995 wurde das erste Wiki für die Weböffentlichkeit verfügbar gemacht. 1987 war für die Entwicklung von Wiki-Software das Konzept von Entwurfsmustern aus der Architektur aufgenommen worden, wo sie Ende der 1970er Jahre dazu dienten, Bewohner*innen in den Entwurfsprozess künftiger Gebäude einzubeziehen. Dem Enzyklopädieprojekt Wikipedia, im Januar 2001 gestartet, liegt ebenfalls eine Wiki-Software zugrunde.<ref>Claudia Koltzenburg: ''[[Nicht-propositionales Wissen aus Literaturlektüre und Bedingungen seiner Darstellbarkeit in Wikipedia-Einträgen zu literarischen Werken]]'' (2015) in der [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Nicht-propositionales_Wissen_aus_Literaturlektüre_und_Bedingungen_seiner_Darstellbarkeit_in_Wikipedia-Einträgen_zu_literarischen_Werken&oldid=691297 Version vom 2.5.2021].</ref> Inzwischen gibt es eine ganze Gruppe von Projekten, die auf der freien Software media wiki basieren. Als Dachorganisation fungiert "Wikimedia" als Stiftung zur Förderung des freien Wissens, die Wikimedia Foundation, als gemeinnützig angemeldet, mit Sitz in San Francisco in den USA, die leider eng mit Google zusammenarbeitet. Sie ist die Betreiberin der Online-Enzyklopädie Wikipedia und ihrer Schwesterprojekte, vor allem auch einer umfangreichen Mediendatenbank mit freien Lizenzen, erreichbar mit der URL commons.wikimedia.org. [[File:Commons-logo-bn.svg|mini|links|100px|Wikimedia Commons Logo, hier mit bengalischem Titel]]Es sind ohne Kosten abrufbare Inhalte aller Art. Wie die Wikipedia ist auch die Wikimedia Stiftung aus ehrenamtlichem Engagement entstanden, um das Wissen der Menschheit frei zugänglich zu machen. Mit Spendenaufrufen kommen pro Jahr mehrere Millionen Euro zusammen - für erwerbsberufliche Tätigkeiten und Infrastruktur, also nur für bezahlte Arbeitskräfte und Technologiekosten. Im Jahr 2021 wird ein Spendenziel von 9,2 Millionen Euro angestrebt. Außer Wikipedia, wo gemeinsam Artikel für die interessierte Öffentlichkeit geschrieben, korrigiert, ergänzt und aktualisiert werden, gibt es auch eine Plattform für Hochschulen, Erwachsenenbildung und anderes Kursmaterial: die Wikiversity. Das ist die Plattform, auf der Sie gerade diesen Text lesen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Abschnitt "Wikimedia Österreich" des Artikels "Kurs:Europa-Forum Wachau", [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Kurs:Europa-Forum_Wachau_(SS_2021)&oldid=692764 Version vom 14.5.2021], hier umgearbeitet von C.Koltzenburg.</ref> = Johanna Kappes = '''Johanna Kappes''' (*18. April 1879 in Karlsruhe; † unbekanntes Datum 1933, Ort unbekannt) war eine deutsche Ärztin. Sie wird heute als eine historisch wichtige Figur gesehen, denn sie war die erste Frau, die sich offiziell als sogenannt "ordentliche" Studentin an einer Universität in Deutschland immatrikulieren konnte. Schon vor ihrem Studium war Johanna Kappes vor über 120 Jahren in Deutschland für die eigene Sache eine Vorreiterin der Gleichberechtigung von Frauen und Männern im Bildungsbereich. Zusammen mit Rahel Straus hatte sie 1899 als eine der ersten Gymnasiastinnen ihr Abitur in Karlsruhe gemacht. Dort gab es das erste deutsche Mädchengymnasium, heute mit Namen Lessing-Gymnasium. Rahel Straus und Johanna Kappes wollten beide Ärztinnen werden und Medizin studieren. Während Straus an die Universität Heidelberg ging, wählte Kappes die Universität Freiburg. Seitens der dortigen Männer waren die Widerstände gegen Frauen als Mitstudentinnen oder Professorinnen allerdings groß, weshalb Kappes mehrere Professoren aufsuchte, um sie von ihren Fähigkeiten zu überzeugen. Mit deren Genehmigung konnte Kappes schließlich Vorlesungen besuchen, allerdings konnte sie als "Nur-Hörerin" kein Examen ablegen. In der Zeit ihres ersten Semesters ermunterte der „Verein Frauenbildung-Frauenstudium“ viele Frauen, für eine gleichwertige Zulassung zum Studium zu kämpfen. Daraufhin verfasste Kappes am 2. November 1899 eine Petition an den Senat der Universität, die dieser jedoch ablehnte. Jedoch leitete Gustav Steinmann als Prorektor der Universität die Petition von Johanna Kappes an das zuständige Ministerium der badischen Landesregierung in Karlsruhe weiter, mit Erfolg: Am 28. Februar 1900 konnten sich Kappes und vier weitere Frauen rückwirkend zum Beginn des Wintersemesters 1899/1900 immatrikulieren und die bereits geleisteten Studienleistungen wurden angerechnet. [[File:Der_harn_-_sowie_die_übrigen_ausscheidungen_und_körperflüssigkeiten_von_mensch_und_tier,_ihre_untersuchung_und_zusammensetzung_in_normalem_und_pathologischem_zustande;_ein_handbuch_für_ärzte,_(14579554790).jpg|mini|rechts|Mikroskop 1904]]Kappes promovierte 1904 an der Universität Freiburg und heiratete den Arzt Heinrich Worminghaus. Zusammen eröffneten sie bald darauf eine Gemeinschaftspraxis in Nürnberg. Kappes war mehrere Jahrzehnte lang als Ärztin tätig, bis zu ihrem Tod mit 54 Jahren (1933). Kappes hat in Baden vor 120 Jahren mit friedlichen Mitteln für sich und die Menschheit viel erkämpft und damit vielen anderen, die studieren wollten, Türen geöffnet. Dadurch, dass infolge ihrer Bestrebungen mehr Ärztinnen ausgebildet werden konnten, konnte auch vielen Patient*innen besser geholfen werden.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Johanna Kappes" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Johanna_Kappes&oldid=211481779 Version vom 1.5.2021] sowie auf dem Artikel [https://frauen-und-geschichte.de/website.php?id=denktag/2102261341.html "28. Februar: Johanna Kappes (1879–1933). Sie war die Erste: Beginn des „ordentlichen“ Frauenstudiums in Deutschland am 28. Februar 1900"].</ref> = Wattenmeer = [[Datei:Sandbänke,_Nationalpark_Niedersächsisches_Wattenmeer_(2019).jpg|mini|links|Sandbänke im Wattenmeer]]In einem '''Wattenmeer''' sieht man Wasser und Sand und weiß nie, ob man stehen kann oder schwimmen können muss, aber nasse Füße bekommt man meistens, egal, ob mit oder ohne Schuhe. Denn da das Wattenmeer an einer sehr flachen Küste in einer Gegend entstanden ist, die stark von Ebbe und Flut, den Gezeiten, beeinflusst ist, kann das Wasser auch schneller zurückkehren als man erwartet. Spaziergänge auf küstennahen Sandbänken im Wattenmeer sollte man also nie allein unternehmen, schon gar nicht bei Nebel. [[Datei:Morze Wattowe.png|mini|Lage des Wattenmeers in der Deutschen Bucht]][[Datei:Wadden_Sea.jpg|mini|Nordseeküste von Dänemark, Deutschland und den Niederlanden]]Das '''Wattenmeer der Nordsee''' ist etwa 9000&nbsp;km² groß, 450&nbsp;km lang und bis zu 40&nbsp;km breit, eine Wasser/Landschaft zwischen Skallingen (Dänemark) im Nordosten und Den Helder (Niederlande) im Südwesten. Beim Wattenmeer der Nordsee handelt sich um das größte der Erde. Den bei Niedrigwasser (Ebbe) freiliegenden Grund der Nordsee bezeichnet man als Watt. Das Watt wird zweimal am Tag während des Hochwassers überflutet und fällt bei Niedrigwasser wieder trocken, wobei das Wasser oft durch tiefe Ströme (Priele) abfließt. Der zeitliche Abstand zwischen einem Hochwasser und einem Niedrigwasser beträgt durchschnittlich sechs Stunden und zwölf Minuten. Das vor etwa 7500 Jahren entstandene Wattenmeer hat eine der höchsten Primärproduktionsraten der Erde, das bedeutet: Es entwickelt sich in diesem Gebiet eine sehr große Menge an Nahrung aus Pflanzen, Algen und Bakterien. Das Watt dient daher vielen Würmern, Vögeln und Fischen als Nahrungsquelle. Die Wattenmeerküste der Nordsee wurde 2006 in die Liste der 77 in Deutschland ausgezeichneten [https://de.wikipedia.org/wiki/Nationale_Geotope Nationalen Geotope] aufgenommen. == Klima == [[Datei:13-09-29-nordfriesisches-wattenmeer-RalfR-19.jpg|mini|links|Nordfriesisches Wattenmeer: Pellworm, Süderoog, Süderoogsand]]Das Wattenmeer liegt in der gemäßigten Klimazone; wichtige Einflussfaktoren sind warmes Atlantikwasser aus dem Nordatlantikstrom und Westwindlagen, deren Stärke seit den 1960er Jahren erheblich zugenommen hat. Dabei unterlagen sowohl Windstärke als auch Windrichtung über die Jahre erheblichen Variationen. So war der sogenannte Katastrophenwinter 1978/79 durch sehr niedrige Windgeschwindigkeiten und kaum in die Nordsee einfließendes Atlantikwasser geprägt. Gerade die Wintertemperaturen scheinen zum größten Teil davon abzuhängen, wie viel Atlantikwasser in die Nordsee gelangt, wobei diese in den letzten Jahren im Durchschnitt klar zugenommen haben. Nebellagen sind häufig und oft lange anhaltend. Stürme sind ebenso häufig, sie sind allerdings meist kurz und dauern weniger als vier Stunden. Eine Vereisung des Meeres kann vorkommen, ist aber selten und tritt nur im Abstand von mehreren Jahren auf. Die Niederschlagsmenge nimmt von Westen nach Osten zu, liegt bei 200 bis 400&nbsp;mm im niederländischen Wattenmeer, zwischen 400 und 600&nbsp;mm im deutschen und dänischen Wattenmeer und bei 800 bis 1000&nbsp;mm in der Elbmündung. Die globale Erwärmung wird auf das Wattenmeer erheblichen Einfluss haben, nämlich durch weiteren Anstieg des Meeresspiegels und Veränderungen des Ökosystems Wattenmeer, das ebenso dynamisch wie sensibel auf sich ändernde Einflüsse von außen reagiert. So breiten sich in den letzten Jahren vermehrt Arten aus, die bisher nur weiter südlich zu finden waren, ebenso wie sich die Lebensgewohnheiten alteingesessener Arten teils erheblich ändern. [[File:Texel_-_Eierlandse_Vuurtoren_-_Panorama_Views_from_Lighthouse_Texel_15.jpg|mini|Watteninsel Texel, Niederlande]]Aufgrund der vorherrschenden Wind- und Strömungsrichtung entlang der Nordsee aus Westen wandern Gezeitenströme und Ebbdeltas dabei über die Jahre von Westen nach Osten; bevor die Barriereinseln durch Küstenschutzbauwerke befestigt wurden, wanderten diese mit. == Naturschutz == [[Datei:Lesser Black-backed Gull 3.jpg|mini|Heringsmöwe ]][[Datei:Calidris-canutus.jpg|mini|''Calidris canutus'' im niederländischen Wattenmeer]][[Datei:Carcinus maenas.jpg|mini|Gemeine Strandkrabbe]][[Datei:Phoca vitulina 3.jpg|mini|Seehunde bei [https://de.wikipedia.org/wiki/Fanø Fanø]]]Aufgrund der Einzigartigkeit des Wattenmeeres und einer seit der zweiten Hälfte des 20.&nbsp;Jahrhunderts gewachsenen Aufmerksamkeit für die Bedrohung des Systems durch menschliche Nutzungen wie Tourismus, Fischerei und Schifffahrt unterliegt das Wattenmeer einer Reihe internationaler Schutzabkommen, die durch diverse nationale Naturschutzmaßnahmen ergänzt werden. Als erster Schritt hierzu wurde 1978 von Dänemark, Deutschland und den Niederlanden das Wattenmeersekretariat (CWSS) gegründet. Die trilaterale Zusammenarbeit mündete 1982 in der Gemeinsamen Erklärung zum Schutz des Wattenmeers. Über ein Drittel des Gebiets ist Natura-2000-Gebiet, das aus Schutzgebieten nach der Fauna-Flora-Habitat-Richtlinie (FFH-Richtlinie) der EU von 1992 und der Vogelschutzrichtlinie der EU von 1979 besteht. Die größten Teile des Wattenmeers unterliegen der [https://de.wikipedia.org/wiki/Ramsar-Konvention Ramsar-Konvention der UN von 1971]. Bis auf einige Schifffahrtswege unterliegt das gesamte Wattenmeer verschiedenen nationalen Naturschutzregimes. Die Niederlande wiesen 1981 das Wattenmeer als Staatsnaturmonument aus, Nationalparks im niederländischen Wattenmeer sind der Nationalpark ''Schiermonnikoog'' und der ''Nationalpark Duinen van Texel''. Alle Westfriesischen Inseln (Niederlande) haben Naturschutzgebiete. Dänemark bezog das Wattenmeer 1982 in das Naturschutzgesetz ein. Erst 1985 erfolgte im zweiten Anlauf die Einstufung des Schleswig-Holsteinischen Wattenmeeres zum Nationalpark, ein Jahr später konnte endlich - nach vielen Kämpfen gegen wirtschaftliche und militärische Interessen - auch das Niedersächsische Wattenmeer zum Nationalpark erklärt und unter Naturschutz gestellt werden. Der kleinste Teil des Wattenmeeres, das Hamburgische Wattenmeer, wurde diesem Schutzgebiet erst 1990 hinzugefügt. 1991 trat das von Dänemark, Deutschland und den Niederlanden unterzeichnete Abkommen zur Erhaltung der [https://de.wikipedia.org/wiki/Seehund Seehunde] im Wattenmeer in Kraft.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Wattenmeer" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Wattenmeer_(Nordsee)&oldid=218128442 Version vom 12.12.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet.</ref> = Termin = [[Datei:L'ordine del tempo ed 2017.png|mini|[https://de.wikipedia.org/wiki/Carlo_Rovelli Carlo Rovelli]: ''L'ordine del tempo'' (2017)]]Ein '''Termin''' (Lateinisch: „Grenzzeichen“; daraus auch später ''Ziel'', ''Ende'' oder ''Zahlungsfrist'') ist ein festgelegter Zeitpunkt und wird durch ein Kalenderdatum bestimmt, häufig mit einer Uhrzeit (und natürlich mit einem Ort - und sei es durch einen "Ort" im Netz). Termine bestimmen den Alltag sämtlicher Personen in Gruppen des Privatlebens und auch im wirtschaftlichen und öffentlichen Leben, also in Unternehmen, in der öffentlichen Verwaltung und im Staat (nicht zuletzt bei Wahlen), nämlich überall da, wo etwas geplant wird bzw. schon geplant ist - oder zu einer bestimmten Zeit oder bis zu einem bestimmten Zeitpunkt erledigt werden muss. Man unterscheidet zwischen internen und externen Terminen. Interne Termine sind zum Beispiel Familienkonferenzen mit oder ohne Mahlzeiten, Mitgliederversammlungen in Vereinen und Hausgemeinschaften, Betriebsversammlungen, Mitarbeitergespräche, Teamgespräche, der Unterrichtsbeginn in der Schule und bei Kursen usw., zu den externen Terminen zählen beispielsweise Bewerbungsgespräche, Gerichts- oder Vertragsverhandlungen und Wahlen. Das Einhalten von vereinbarten Terminen gehört im westlichen Kulturkreis zu respektvollem Verhalten auch im Privaten und ist ein wesentlicher Bestandteil des öffentlichen, beruflichen und privaten Lebens. Das bedeutet, dass Pünktlichkeit und Zuverlässigkeit gegenseitig vorausgesetzt werden, also als selbstverständlich gelten. Hält sich jemand auch nur einmal nicht an diese Norm, ist auf der anderen Seite künftig mit Zurückhaltung zu rechnen, denn Zeit an sich wird als ein sehr wertvolles Gut angesehen. Hat man mehrere Termine zu erfüllen, so ist eine übersichtliche Terminplanung hilfreich. Sie gehört zum allgemeinen Zeitmanagement und hat zum Ziel, mehrere Termine derart zu koordinieren, dass sie nicht miteinander kollidieren. Dabei sind etwaige unerwartete Terminverzögerungen einzuplanen, sodass die Terminfolge nicht gestört wird und während eines Termins kein Zeitdruck entsteht. Ein Terminkalender, analog oder digital, ist daher meist unerlässlich. Allgemein spricht man beim Einhalten eines Termins von ''fristgemäß/ termingemäß'' oder ''fristgerecht/ termingerecht'', beim Überschreiten eines Termins von ''Verspätung'', beim Aufschub des Termins von ''Vertagung'' oder ''Verschiebung''. Der Umstand, dass man einen oder mehrere Termine einhalten muss, wird ''Termindruck'' genannt. Für die Einhaltung steht meist jeweils ein bestimmtes Zeitfenster zur Verfügung. Die Neigung, Termine oder andere vertragliche Verpflichtungen nicht einzuhalten, wird gelegentlich als ''Absentismus'' bezeichnet und stört unter Deutschen in vielen Fällen das interpersonelle Gefüge erheblich.<ref> Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Termin" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Termin&oldid=215281646 Version vom 3.8.2021, 6:45 Uhr] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet.</ref> = Acht Monologe von Frauen, Tadschikistan 2003 = [[Datei:Tajik_girls_in_Khujand.jpg|mini|Tajikinnen in Khujand, der zweitgrößten Stadt Tadschikistans und Wirkungsort Barzou Abdourazzoqovs]]''Huit monologues de femmes'' (2003, Deutsch: Acht Monologe von Frauen) ist ein Prosawerk des tadschikischen Schriftstellers und Dramatikers '''Barzou Abdourazzoqov''', das 2007 erstmals in Übersetzung erschienen ist, bei Zulma in Paris, übersetzt vom Russischen ins Französische. Der Originaltitel lautet auf Russisch ''Исповедь'' (Deutsch: Beichte), was als Ironie anzusehen ist. Bei ihrer Veröffentlichung in Tadschikistan waren die "Monologe" ein klarer Erfolg. In französischer Sprache sind inzwischen drei Ausgaben erschienen (2007, 2013 und 2018) und es fand 2014 eine szenische Aufführung mit dem Titel "Borderline" statt (2014).<ref>[https://www.billetreduc.com/108716/evt.htm Borderline de Barzou Abdourazzoqov, mis en scène par Olivier H'Small] und [https://www.youtube.com/watch?v=_FQPBdIPfCc Teaser bei YouTube, ca. 5 Minuten lang]</ref> == Die Abschnitte und ihre Sprecherinnen == Die acht kurzen Monologe sind von verschiedenen Frauen, zwischen drei und acht Seiten lang (bei etwa 280 Wörtern pro Seite) und machen zusammen 52 Seiten aus. Es "sprechen": * eine Frau mit zwei fast erwachsenen Kindern, deren Mann sie spurlos verlässt<br> * eine Frau mit Ehemann und "Cousin"<br> * eine Jugendliche, die nach Vergewaltigung und ungewollter Schwangerschaft weggeht und ihre Identität wechselt<br> * eine Ökologie-Dozentin, die sich in einen ihrer Studenten verliebt, der ihr dann seine Ethik des Faches Ökologie präsentiert<br> * eine Bettlerin, die sich und zwei Kinder durchzubringen versucht<br> * eine Staatsdienerin, Workaholic in gehobener Position, die die junge Geliebte ihres Mannes ins Gefängnis bringen lässt <br> * eine Prostituierte, die über die Machtfülle ihres Berufes nachdenkt<br> * die Mutter einer seit zwei Jahren verschwundenen Tochter. == Rezeption == Dominique Baillon-Lalande schreibt in seiner Rezension, es handele ich um Zeugnisse, die leuchtend, wütend und vernichtend seien. Im Hintergrund dieser Zeugnisse von "gewöhnlichen und anonymen" Personen würden Themen wie Identität, Freiheit und Stolz verhandelt. Aufseiten der Sprecherinnen werde dabei ein bewegender und überzeugter Anspruch erhoben, was Baillon-Lalande als sehr überzeugend empfunden hat.<ref>[http://www.encres-vagabondes.com/magazine2/abdourazzoqov.htm Dominique Baillon-Lalande: "Huit monologues de femmes"], Rezension in ''[http://www.encres-vagabondes.com/ Encres Vagabondes]'', 8. März 2013.</ref> Weitere Rezensent*innen bezeichnen die Darstellung als hyperrealistisch und den Humor als burlesk. Es sei manchmal kaum auszuhalten, aber seltsamerweise hinterlasse die Lektüre dennoch ein Gefühl von Gelassenheit und Hoffnung.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Huit monologues de femmes" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Huit_monologues_de_femmes&oldid=218101613 Version vom 11.12.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet</ref> = Anamnesebericht Verdachtsdiagnose Schenkelhalsfraktur = (C1 Medizin Fachsprache)[[Datei:Schenkelhalsfraktur-Frakturlinien.jpg|mini|violett = mediale subcapitale SHF, rot = mediale transzervikale SHF, grün = laterale SHF]] Frau Gertraude Heinrichsmeier (80 J, 4.7.1941, 155 cm, 50 kg) stellte sich heute aufgrund Hüftgelenkschmerzes links seit einer Stunde vor. <br /> Die Patientin berichtete von einem Sturz auf die linke Seite beim Fahrradfahren vor dem Auftreten des Schmerzes. Den Schmerz beschrieb sie als stechend (auf der NSR-Skala 8/10 beim Gehen, 3/10 in Ruhe) mit Ausstrahlung nach unten entlang dem Oberschenkel. <br /> Ferner besteht Hypästhesie im Oberschenkel lateral links sowie starke Bewegungseinschränkung und Schwellung am Hüftgelenk. <br /> Pat. erwähnte Schwindel seither sowie Dyspnoe beim Einatmen, trockenen Husten, Tachykardie und Palpitation (nach dem Sturz). <br /> Die Frage nach Fieber, Blutung, Schwindel und Bewusstseinsstörungen vor dem Unfall wurde verneint. <br /> Die sonstige vegetative Anamnese ist unauffällig. <br /> Keine Allergien und Unverträglichkeiten seien bekannt. An Vorerkrankungen besteht arterielle Hypertonie seit 30 Jahren und Herzinsuffizienz seit 40 J, weswegen sie mehrmals stationär aufgenommen wurde (zuletzt 2004). Beides sei gut eingestellt. Ferner liegt chronische Bronchitis seit 3 Jahren vor, wogegen sie Kräutertee trinke. <br /> Sie nimmt eine Tablette Metoprolol morgens und abends ein. <br /> Pat. hatte eine OP aufgrund bilateraler Varizen vor 8 Jahren (ohne Komplikationen). <br /> Sie trinke eine kleine Flasche Bier abends zweimal pro Woche. <br /> Nikotin- und Drogenkonsum wurde verneint. <br /> In der Familienanamnese fand sich ein Kolonkarzinom beim Vater (mit 67 Jahren gestorben) und ein Prostatakarzinom beim Bruder. <br /> Pat. sei Hausfrau gewesen, lebe allein, habe 3 gesunde Töchter und fahre Fahrrad (e-Bike), jeden Tag am späten Vormittag. <br /> Die anamnestischen Angaben deuten am ehesten auf eine '''Schenkelhalsfraktur''' hin. <br /> Als Differenzialdiagnosen kommen die folgenden in Betracht: <br /> - Hüftkopffraktur <br /> - Hüftprellung <br /> Zur weiteren Abklärung wird folgendes Procedere empfohlen:<br /> - kU <br /> - Labor Blut <br /> - Röntgen Hüftgelenk links <br /><ref>Dieser Text wurde zuerst am 25.9.2021 [[Anamneseberichte/Gertraude_Heinrichsmeier_80_J#Anamnesebericht_B_(VD_Schenkelhalsfraktur)|hier bei Wikiversity]] veröffentlicht und am 8.12.2021 für ein Audio leicht bearbeitet von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]].</ref> = Duzen oder siezen = '''Einander duzen oder einander siezen?''' [[File:Team_Meeting_(7633867116).jpg|mini|Einander duzen oder siezen?]]Wenn man neue Leute kennenlernt, egal, ob bei der Arbeit oder privat, stellt sich oft die Frage, ob die anderen per Du oder per Sie angesprochen werden möchten. Wer das entscheidet und wann es entschieden wird, hängt von der Zusammensetzung der Gruppe ab, in der man sich gerade befindet. Altersunterschiede können hierbei eine Rolle spielen, müssen sie aber nicht. Allgemein lässt sich feststellen: Unter Menschen, die sich duzen, fühlt man sich oft wohler und entspannter und Beziehungen zueinander können leichter aufgebaut werden. Manchmal gehört es zur Firmenkultur, dass alle - oder fast alle - sich duzen. Wer sich dran beteiligt, vertritt wahrscheinlich die Auffassung, dass Neue schneller integriert werden und Probleme schneller zur Sprache gebracht werden. Kritische Stimmen meinen aber, dass dies nicht automatisch immer gelingt. Beispielsweise lässt sich mit einer Chefin oder einem Chef vermutlich nicht so leicht über Themen wie Einkommenserhöhung oder Kündigung reden, wenn man "per Du" ist. Manches kann also schwieriger werden, wenn man einander duzt. Also ist es von Vorteil, wenn man sich etwas Zeit lässt, um zu entscheiden, wen man am Arbeitsplatz siezen und wen man duzen möchte, denn es bedeutet auch, dass man sich dann im Gegenzug von diesen Personen ebenfalls siezen oder duzen lassen sollte. Und das macht die Entscheidung in manchen Fällen leider nicht einfacher, denn es kann einem auch nicht immer egal sein, weil trotz allem bestimmte Regeln damit verbunden sind und werden.<ref>Dieser Text ist von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] und wurde zuerst hier bei Wikiversity publiziert (auf der Seite "B2 Sprechen Teil 2 Diskussion" am [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=B2_Sprechen_Teil_2_Diskussion&oldid=693958 28.5.2021 um 7:56:05‎ Uhr].</ref> = Das Blut am Handy: Woher die Rohstoffe kommen = 2010 gab es knapp 5&nbsp;Milliarden Mobiltelefonverträge weltweit und es wurden schon vor 11 Jahren jährlich eine Milliarde Geräte hergestellt, deren Haltbarkeit oder Nutzungsdauer laut Verein Deutscher Ingenieure (VDI) "im Mittel bei drei Jahren" lag.<ref name="vdi-n">''VDI-Nachrichten'', 4. Juni 2010, Nr. 22, S. 16.</ref> == Bestandteile eines Mobiltelefons == Ein Mobiltelefon besteht zu 56 % aus Kunststoff, zu 25 % aus Metall und zu 16 % aus Glas und Keramik, sowie zu drei Prozent aus Sonstigem, z.B. aus Uran, einem radioaktiven und hochgiftigen Stoff. Zu den verwendeten Metallen bzw. Übergangsmetallen gehören: * Tantal: Coltan, das Ausgangsmaterial für Tantal, reicht zwar noch 150 Jahre, aber die Produktion ist begrenzt. * Gallium ist ein Nebenprodukt der Aluminium- und Zinkherstellung. Die Reserven sind nicht knapp, aber deren Gewinnung hängt von konjunkturellen Schwankungen der Hauptmetalle ab. * Indium: Pro Jahr werden 600 t davon raffiniert. Die Gewinnung ist an die Förderung von Zink gebunden. Für Flachbildschirme, Displays und Leuchtdioden ist es bislang unersetzlich. * Lithium kommt häufiger vor als beispielsweise Blei, seine Gewinnung ist jedoch durch die breitere Streuung der Vorkommen schwieriger als bei Blei, also wesentlich teurer. Durch Elektroautos ist zudem die Nachfrage stark gestiegen, das bedeutet: Regionen, in denen Lithium abgebaut werden kann, geraten unter sozialen und politischen Druck, da es dabei um viel Geld geht. * Palladium: Hiervon gibt es nur eine ziemlich begrenzte Rohstoffmenge und die starke Nachfrage der Automobilindustrie könnte bald zu einer Konkurrenzsituation führen. * Platin ist wichtig für Leiterplatten, und zwar für hochbelastete und korrosionsbeständige Kontakte. Auch hier besteht eine hohe Nachfrage der Automobilindustrie, nämlich für die Katalysatorherstellung. Weitere große Verbraucher sind die Schmuckindustrie und die Hersteller medizintechnischer Produkte.<br /> Wichtige Metalle in Handys sind außerdem Kupfer (Leiterplattenherstellung), Gold und Silber (korrosionsbeständige Kontaktoberflächen, Bond-Verbindungen) sowie Zinn und Blei (Lötverbindungen). Blei sollte aufgrund der [https://de.wikipedia.org/wiki/RoHS-Richtlinien RoHS-Richtlinien] bei neuen Mobiltelefonen allerdings kaum mehr eine Rolle spielen. Auch Beryllium ist als gut legierbarer Stoff in Leiterplatten enthalten. Ferner ist Antimon Bestandteil von bleifreien Loten und insbesondere in den Kunststoffgehäusen und der Tastatur als Flammhemmer enthalten.<ref name="vdi-n" /> == Recycling == Das Recycling von Mobiltelefonen erfordert das Trennen des Materialgemisches. In einer Tonne „Mobiltelefon“ sind immerhin 4 Gramm Platin, 340 Gramm Gold und 3500&nbsp;g Silber enthalten. Deshalb gilt das Recycling verbrauchter Produkte als wichtige Rohstoffquelle, zumal 80 % der verwendeten Materialien eines Mobiltelefons wiederverwertet werden können.<ref>[https://www.heise.de/newsticker/meldung/Bitkom-Mehr-als-80-Millionen-alte-Handys-in-Deutschland-1402051.html Bitkom: Mehr als 80 Millionen alte Handys in Deutschland], heise.de, 30. Dezember 2011</ref> Dazu wäre eine spezialisierte Industrie und die komplette Rücknahme verbrauchter Mobiltelefone notwendig. Für ein solches Recyclingsystem plädierte im Juni 2012 der Sachverständigenrat für Umweltfragen im Sinne der Einführung eines Pfandsystems für Mobiltelefone, dessen Vorsitzender eine Pfandhöhe zwischen 30 und 100 Euro vorschlug. == Die Mobiltelefon-Produktion als Kriegstreiber == Für ein Mobiltelefon werden bis zu 30 Metalle und Mineralien benötigt. Die Hersteller von Mobiltelefonen kaufen das Material auf dem sogenannten Weltmarkt ein. Aber woher stammen die Rohstoffe? Allgemein verursacht der Abbau von Rohstoffen starke Umweltschäden, in Deutschland zum Beispiel der oberirdische [https://de.wikipedia.org/wiki/Braunkohlebergbau Braunkohle-Bergbau]. [[File:Nord-Kivu_in_Democratic_Republic_of_the_Congo.svg|mini|Nord-Kivu im Osten des Staates [https://de.wikipedia.org/wiki/Demokratische_Republik_Kongo Demokratische Republik Kongo]]] Einige der Metalle, die für Handys benötigt werden, stammen aus Minen, die von sogenannten Warlords kontrolliert werden.<ref>[http://www.sueddeutsche.de/wissen/kampf-ums-coltan-das-blut-am-handy-1.170029 ''Das Blut am Handy''.] In: ''Süddeutsche Zeitung''; abgerufen am 19. Februar 2013.</ref> Diese finanzieren mit den Gewinnen aus dem Verkauf der Metalle an Firmen aus Ländern wie Deutschland eine nicht-staatliche Armee. Zum Beispiel wird der Bürgerkrieg in der Demokratischen Republik Kongo dadurch befeuert, der Ostkongo-Konflikt in der Provinz [https://de.wikipedia.org/wiki/Nord-Kivu Nord-Kivu], im Gebiet der Metallabbau-Minen. Dieser wirtschaftlich-politische Konflikt wird auch [https://de.wikipedia.org/wiki/Dritter_Kongokrieg Dritter Kongokrieg] genannt, der seit 1996 andauert (siehe Handy-Produktion), was Flucht und Vertreibung von mehr als 300.000 Menschen aus der Region zur Folge hat.<ref>Dieser Text basiert auf dem Abschnitt "Rohstoffsituation" des Wikipedia-Eintrags "Mobiltelefon" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Mobiltelefon&oldid=217186882 Version vom 11.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] für dieses Format bearbeitet und mit Informationen aus den verlinkten Wikipedia-Einträgen angereichert.</ref> = Schneemann = Ein '''Schneemann''' ist eine Figur aus Schnee, die schemenhaft einen Menschen darstellt. Normalerweise besteht ein Schneemann aus drei verschieden großen, aufeinandergestapelten Schneebällen, die unteren und oberen Rumpf sowie den Kopf darstellen. [[Datei:Bonhomme de neige (MuseumBellerive).JPG|mini|Schneemann vor Museum Bellerive in Zürich]] Als Gesicht werden meist Kieselsteine oder Kohlenstücke als Augen, eine Karotte oder ein Zweig als Nase und mehrere kleine Kieselsteine als Mund verwendet. Oft bekommt ein Schneemann außerdem einen Topf oder Eimer als Hut auf den Kopf gesetzt. Manche verzieren den Schneemann außerdem mit einem Schal. Kleinere Schneebälle werden an den Seiten angebracht, um die Arme darzustellen und eventuell einen Reisigbesen zu halten. Manchmal wird auch für jeden Arm ein Zweig in die Schneekugeln gesteckt. Ein Schneemann kann sehr klein sein, kann aber auch mehrere Meter hoch werden, je nach Anzahl und Größe der Schneekugeln.<ref>Dieser Text ist identisch mit dem Beginn des Wikipedia-Eintrags "Schneemann" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Schneemann&oldid=214022615 Version vom 19.7.2021]</ref> = Großstädte in Deutschland = Großstädte sind nach einer Begriffsbestimmung der Internationalen Statistikkonferenz von 1887 alle Städte mit mehr als 100.000 Einwohnern. Allerdings erfüllten z.&nbsp;B. um 1880 nur zehn Städte, die heute im Gebiet der Bundesrepublik Deutschland liegen, dieses Kriterium, was andeutet, dass es sich früher um einen deutlich exklusiveren „Titel“ gehandelt hat. Am 31. Dezember 2020 gab es in Deutschland 80 Großstädte, von denen 30 (entspricht 38 %) im Bundesland Nordrhein-Westfalen liegen, 9 (11 %) in Baden-Württemberg, je 8 (10 %) in Bayern und Niedersachsen, 5&nbsp;in Hessen, 4 in Rheinland-Pfalz und 3&nbsp;in Sachsen, ansonsten je Bundesland nur zwei oder eine. Vier deutsche Großstädte sind Millionenstädte (nämlich Berlin, Hamburg, München und Köln). Weitere zehn haben mehr als eine halbe Million Einwohner (nämlich Frankfurt am Main, Stuttgart, Düsseldorf, Leipzig, Dortmund, Essen, Bremen, Dresden, Hannover und Nürnberg). Die hohe Zahl an Halbmillionenstädten ist im Vergleich zu anderen einwohnerreichen Ländern der Europäischen Union auffällig. Rund die Hälfte der deutschen Großstädte haben weniger als 200.000 Einwohner. Die 15 Städte mit aktuell mehr als 495.000 Einwohnern waren bereits in jedem Jahr seit 1960 die 15 Städte mit mehr als 450.000 Einwohnern. In den letzten 60 Jahren hat sich bei den größten Städten in Deutschland zahlenmäßig im Verhältnis also wenig geändert.<ref>Dieser Text basiert auf dem Beginn des Wikipedia-Eintrags "Liste der Großstädte in Deutschland" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Liste_der_Gro%C3%9Fst%C3%A4dte_in_Deutschland&oldid=215770692 Version vom 21.9.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] für dieses Format bearbeitet.</ref> {| class="wikitable zebra mw-datatable" style="text-align:right; font-size:90%;" |- class="hintergrundfarbe6" !rowspan="2"| !rowspan="2"| Name ! colspan="10" | Anzahl der <br />Einwohner*innen |- class="hintergrundfarbe6" style="font-size:90%" ! 2020 |- | 1 ||style="text-align:left"| Berlin |3.664.088 |- | 2 ||style="text-align:left"| Hamburg |1.852.478 |- | 3 ||style="text-align:left"| München |1.488.202 |- | 4 ||style="text-align:left"| Köln |1.083.498 |- | 5 ||style="text-align:left"| Frankfurt am Main |764.104 |- | 6 ||style="text-align:left"| Stuttgart |630.305 |- | 7 ||style="text-align:left"| Düsseldorf |620.523 |- | 8 ||style="text-align:left"| Leipzig |597.493 |- | 9 ||style="text-align:left"| Dortmund |587.696 |- | 10 ||style="text-align:left"| Essen |582.415 |- | 11 ||style="text-align:left"| Bremen |566.573 |- | 12 ||style="text-align:left"| Dresden |556.227 |- | 13 ||style="text-align:left"| Hannover |534.049 |- | 14 ||style="text-align:left"| Nürnberg |515.543 |- | 15 ||style="text-align:left"| Duisburg |495.885 |- class="hintergrundfarbe6" style="font-size:50%" |} <ref>Tabelle von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] adaptiert aus dem Wikipedia-Eintrag "Liste der Großstädte in Deutschland", https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Liste_der_Gro%C3%9Fst%C3%A4dte_in_Deutschland&oldid=217802780 Version vom 2.12.2021].</ref> = 1. Dezember: Welt-AIDS-Tag = Der '''Welt-AIDS-Tag''' wird jährlich vom Gemeinsamen Programm der Vereinten Nationen für HIV/Aids (UNAIDS) organisiert und findet am 1. Dezember statt. ==Geschichte== Der Welt-AIDS-Tag wurde erstmals 1988 von der Weltgesundheitsorganisation (WHO) ausgerufen und von Anfang an unter ein besonderes Motto, an dem sich die Aktivitäten der AIDS-Organisationen in den verschiedenen Ländern orientieren können, gestellt. Seit 1996 wird der Welt-AIDS-Tag von der UNAIDS organisiert. [[Datei:Red Ribbon.svg|mini|Die ''Rote Schleife'' als Symbol der Solidarität mit HIV-positiven und AIDS-kranken Menschen]] Rund um den Globus erinnern am 1. Dezember verschiedenste Organisationen an das Thema AIDS und rufen dazu auf, aktiv zu werden und Solidarität mit HIV-Infizierten, AIDS-Kranken und den ihnen nahestehenden Menschen zu zeigen. Der Welt-AIDS-Tag dient auch dazu, Verantwortliche in Politik, Massenmedien, Wirtschaft und Gesellschaft&nbsp;– weltweit wie auch in Europa und Deutschland&nbsp;– daran zu erinnern, dass die HIV-/AIDS-Pandemie weiter besteht. Für die Jahre 2005 bis 2010 lautete das internationale Welt-AIDS-Tag-Motto „Stop AIDS: Keep the Promise“. Es sollte Politiker in aller Welt an ihr auf der Sondersitzung der Vereinten Nationen zu HIV/AIDS im Juni 2001 gegebenes Versprechen erinnern, sich national wie international stärker im Kampf gegen die weltweite HIV-/AIDS-Pandemie zu engagieren. ==Welt-AIDS-Tag in Deutschland== Die Bundeszentrale für gesundheitliche Aufklärung (BZgA), die Deutsche AIDS-Hilfe (DAH) und die Deutsche AIDS-Stiftung (DAS) haben im Rahmen ihrer gemeinsamen Welt-AIDS-Tag-Kampagne das internationale Motto in „Gemeinsam gegen AIDS: Wir übernehmen Verantwortung&nbsp;– für uns selbst und andere“ übersetzt. Hiermit soll zum Ausdruck gebracht werden, dass nicht nur die Politik, sondern jeder Einzelne Verantwortung für sich selbst und andere trägt&nbsp;– und dass zugleich nur gemeinsam etwas im Kampf gegen HIV und AIDS und für das Leben und die Gesundheit der Menschen erreicht werden kann. Als Botschafter des Welt-AIDS-Tages versuchen Prominente wie Philipp Lahm, Anni Friesinger und Christiane Paul die Bevölkerung für das Thema zu sensibilisieren. Samy Deluxe veranstaltete am 1.&nbsp;Dezember 2009 ein Benefizkonzert in München. Am 1. Dezember 2013 wurde rund um den Regensburger Dom die mit 1,5&nbsp;Kilometern längste AIDS-Schleife der Welt ausgelegt. Diese war zuvor in Einzelteilen von Freiwilligen aus ganz Deutschland und aus Griechenland aus roter Wolle gestrickt worden. 2016 lautete das Motto wie u.&nbsp;a. schon im Vorjahr: „Positiv zusammen leben!“<ref>{{Internetquelle |url=http://www.welt-aids-tag.de/welt-aids-tag/ |titel=Positiv zusammen leben – Am 1. Dezember ist Welt-AIDS-Tag |werk=welt-aids-tag.de |hrsg=Bundeszentrale für gesundheitliche Aufklärung (BZgA) |zugriff=2016-11-27}}</ref><ref>Dieser Text ist identisch mit dem Beginn des Wikipedia-Eintrags "Welt-AIDS-Tag" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Welt-AIDS-Tag&oldid=206135028 Version vom 1. Dezember 2020‎, 18:36h.]</ref> = Klimawandel: Erwärmung in Städten = Das Stadtklima definiert sich als ein gegenüber dem Umland verändertes Lokalklima. Sehr dichte Bebauung und fehlende Vegetation können in Städten zu einer höheren Durchschnittstemperatur führen als im ländlichen Umland. Stadtklima kann krank machen.[[Datei:Urban heat island (Celsius).png|mini|Temperaturprofil einer Stadt]] Ein typisches Merkmal des Stadtklimas ist die Wärmeinsel. Durch die starke Aufwärmung tagsüber und die eingeschränkte Abkühlung nachts werden die Städte im Vergleich zum Umland deutlich wärmer, denn vor allem im Sommer heizen sich die Gebäude auf. Im Gegensatz zu unbebauten Flächen wirken bebaute Flächen wie ein Wärmespeicher. Über unbebauten Wiesenflächen kühlt sich die Luft nachts wesentlich schneller ab. Der Zustrom von frischer Luft aus dem Umland oder aus größeren Grünflächen wird durch die Bebauung eingeschränkt. Ein weiterer Faktor, der zur Erwärmung der Innenstädte führt, ist, dass kaum Wasser verdunsten kann, was auch kühlen würde. In den Innenstädten mangelt es meist an Bächen und Seen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Beginn des Wikiversity-Eintrags "Klimawandel: Erwärmung in Städten", [https://de.wikiversity.org/w/index.php?title=Klimawandel:_Erw%C3%A4rmung_in_St%C3%A4dten&oldid=693734 Version vom 26.5.2021], und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] für dieses Format bearbeitet.</ref> = Die Lichter lösche ich (2001, Autorin: Zoya Pirzad) = '''Die Lichter lösche ich''', '''2001''' im Original Persisch: چراغ ها را من خاموش می کنم, ist eine Gesellschaftskomödie von [https://en.wikipedia.org/wiki/Zoya_Pirzad '''Zoya Pirzad'''], die im selben Jahr in Iran ein Bestseller war. Es ist der zweite Roman der armenisch-iranischen<ref name="Langer">Tanja Langer: „Die rote Linie überschreiten. Zoya Pirzad erzählt in ihrem Roman ''Die Lichter lösche ich'' eine leise Geschichte aus dem iranischen Alltag“, in: ''Die Welt'', 22. April 2006, LITERARISCHE-WELT, S. 4</ref> Autorin, die zuvor bereits auch Kurzgeschichten publiziert hatte. Zu den literarischen Einflüssen zählen vor allem Jane Austen und Anton Tschechow. [[Datei:Abadan the city of Oil.jpg|mini|„Abadan, Stadt des Öls“, Ansicht von 1960]] Die Handlung spielt Anfang der 1960er Jahre, also in der Zeit vor der Islamischen Revolution. Für iranische Frauen in diesem Roman ist es selbstverständlich, auf der Straße „Lippenstift zu tragen, ins Kino zu gehen, Clubs und Buchhandlungen mit westlicher Literatur aufzusuchen.“<ref name="Mahlke">Sybill Mahlke: „[http://www.tagesspiegel.de/kultur/fernes-land/693416.html Fernes Land]“, in: ''Der Tagesspiegel'', 15. März 2006</ref> ==Inhalt und Interpretation== Clarisse ist Ende 30, lebt in einem Zentrum der Erdölindustrie im öden iranischen Süden. Aus wirtschaftlichen Gründen haben außer Clarisse auch Violet, Alice, Nina und Sophie die Städte Teheran, Isfahan oder Tabris verlassen und sich in Abadan zusammengefunden, in einer „Überlebensgemeinschaft der besonderen Art.“<ref name="Wahlster" /> Clarisse ist mit einem kommunistischen Aktivisten und Ingenieur verheiratet, sowie Mutter von drei Kindern. Zwei von ihnen sind quirlige Zwillingsmädchen im Alter von neun<ref name="Wahlster" />, deren lebhaftes Durcheinanderreden so manches an Einzelheiten zutage fördert. Eines Tages zieht eine neue Familie ohne Mutter in die Nachbarschaft. Clarisses Leben verändert sich durch ihre Liebe für ihren neuen Nachbarn, der ein feinsinniger Witwer ist. Aber auch ihre Schwester ist an ihm interessiert. Clarisse durchlebt eine innere Krise, die auch ihre eigene Familie zu spüren bekommt. Aber alles scheint beim Alten zu bleiben.<ref name="Kévin" /> Als Fixpunkt eines Universums voller alltäglicher Turbulenzen kommentiert Clarisse ihre Rolle selbstreflektierend, wenn sie überlegt, „ob sie den jeweiligen Situationen mit ihrer optimistischen, pessimistischen oder nörglerischen Seite begegnen soll.“<ref name="Wahlster" /> Unterschiedliche Konstellationen bei politischen Debatten runden das Denkmal ab, das die Autorin dieser Gruppe von Familien in der zahlenmäßig überschaubaren armenischen Minderheit setzt<ref name="Wahlster">Barbara Wahlster: „[http://www.deutschlandradiokultur.de/humorvolles-aus-dem-iran.950.de.html?dram:article_id=133736 Humorvolles aus dem Iran. Gesellschaftskömödie aus der Zeit vor den Mullahs]“, in: ''Deutschlandradio Kultur'', 14. Februar 2006</ref>, über die selten in iranischen Romanen zu lesen ist.<ref name="Kévin">Kévin: [http://cafe-powell.com/2013/05/cest-moi-qui-eteins-les-lumieres/ C’est moi qui éteins les lumières], ''cafe-powell.com'', 1. Mai 2013</ref> In einem Interview von 2009 sagt Zoya Pirzad, in ''Die Lichter lösche ich'' fühle sich das Leben ziemlich träge an, denn Abadan sei in den 1960er Jahren eine sehr ruhige Stadt gewesen. Pirzad selbst ist in Abadan aufgewachsen.<ref name="Mostafavi">Hamdam Mostafavi: „[http://www.courrierinternational.com/article/2009/10/30/je-recherche-la-simplicite-et-la-justesse Prix ''Courrier international'': »Je recherche la simplicité et la justesse«]“, Interview mit Zoya Pirzad aus Anlass der Verleihung des Courrier international-Preises an die Autorin, 30. Oktober 2009, in französischer Sprache.</ref> ==Rezeption== Beschönigt wird die normale Absurdität des Alltagslebens nicht, aber es wird mit Fantasie und Spannung erzählt, atmosphärisch fein und voller Details. Der Leser könne beim Lesen kaum vergessen, dass hinter dem fiktiven Land mit einer Ölindustrie die Realität der Islamischen Republik Iran aufdämmert, meint Sybill Mahlke in ihrer Rezension für den ''Tagesspiegel''.<ref name="Mahlke" /> In ihrer Rezension für ''Die Welt'' schreibt Tanja Langer, es werde ein Moment in der iranischen Geschichte beschrieben „– doch so, als ginge es um heute.“<ref name="Langer" /><ref>Dieser Text ist identisch mit dem Beginn des Wikipedia-Eintrags "Die Lichter lösche ich" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Die_Lichter_l%C3%B6sche_ich&oldid=199623253 Version vom 4.5.2020]. Der Eintrag wurde [https://xtools.wmflabs.org/articleinfo-authorship/de.wikipedia.org/Die_Lichter_l%C3%B6sche_ich?uselang=de zu fast 100%] von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] erstellt.</ref> = Quellen = <references /> i7zisugq23yurte8cnce0t2j17as43r 2 135118 745579 744400 2022-07-21T12:05:38Z C.Koltzenburg 13981 /* Ablauf */ wikitext text/x-wiki = ref = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dunja Hayali = Mod. Frühstücksfernsehen (El-Mafaalani, IP, S. 25) = Pinar Atalay = Nachrichten (El-Mafaalani, IP, S. 25) = Integrative Geographie = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integrative_Geographie = Rommelspütt = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rommelsp%C3%BCtt = Erna Kelm = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erna_Kelm = Segellatte = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Segellatte = Garndrehung = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Garndrehung = Schweizer Taschenmesser = Victorinox (Schwyz) = Milchwirtschaft/ H-Milch erhitzen = = Schweizer Volksabstimmung = obligatorisches Referendum 1926 = Badischer Aufstand 1848 (?) = = Katastrophisieren = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Katastrophisieren = Katastrophenhausse = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Katastrophenhausse = Waschsalon im Karl-Marx-Hof = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Waschsalon_im_Karl-Marx-Hof = Aufschlagwasser = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Aufschlagwasser = Rheinpatent = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rheinpatent = Passau = = Taubergrund bei Creglingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Taubergrund_bei_Creglingen = Biologischer Arbeitsstoff-Toleranzwert = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Biologischer_Arbeitsstoff-Toleranzwert = Motoneuron = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Motoneuron = Susanne Thurn = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Susanne_Thurn = Reisende auf einem Bein (Herta Müller) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rein Gold (Elfriede Jelinek) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversität (Soziologie)= https://de.wikipedia.org/wiki/Diversit%C3%A4t_(Soziologie) Miteinander von Menschen mit unter­schied­lichem politischen, ethni­schen, sozio­demo­graf­ischen und welt­anschau­lichen Hinter­grund, unter­schied­lichem Geschlecht, Alter und natür­licher genetischer Vielfalt (Straßenfest in München, 2015) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversity Management = '''Diversity Management''' (auch Managing Diversity) bzw. '''Management der Vielfalt''' ist Teil des Personalwesens (englisch: Human Resource Management) und wird meist im Sinne einer konstruktiven Nutzung der in einem Unternehmen oder einer anderen Organisation vorfindbaren personellen und sozialen Vielfalt verwendet. Diversity Management toleriert nicht nur die individuelle Verschiedenheit (englisch: diversity) der Mitarbeiter, sondern hebt diese im Sinne einer positiven Wertschätzung besonders hervor und versucht, sie für den Unternehmenserfolg nutzbar zu machen. Die klassische Betriebswirtschaftslehre geht davon aus, dass die Diversität der Mitarbeiter nicht im Fokus ihres Gestaltungsinteresses steht, sondern nur einer von vielen sozialen Faktoren des betrieblichen Verwertungsprozesses ist. Im Gegensatz dazu besteht das Ziel des Diversity Management darin, diese Diversität der Arbeitskräfte zu nutzen und deren Differenzen bewusst im Sinne des Unternehmens zu gestalten, unter anderem um neue externe Rekrutierungspotenziale zu erschließen, die Vielfalt der externen Kundschaft oder Klientel auch innerhalb der eigenen Arbeitsorganisation besser abzubilden (Diversity Marketing), eine dysfunktionale soziale Diskriminierung von Frauen und Minderheiten zu verhindern, Beschäftigten bisher in Führungspositionen unterrepräsentierter Gruppen Karrierewege zu ermöglichen und dadurch die Motivation, Wettbewerbsfähigkeit und Kreativität zu steigern. Diversity Management fokussiert in der Europäischen Union die gesetzlich durch das AGG oder andere Rechtsprechung vorgegebenen Merkmale wie Geschlecht, Ethnie, Alter, Behinderung, sexuelle Orientierung und Religion. Zusätzlich zu den im Gleichbehandlungsgesetz (AGG) (– umgangssprachlich auch Antidiskriminierungsgesetz) genannten „Primärdimensionen“ werden gelegentlich auch „Sekundärdimensionen“ genannt, die durch ein Diversity Management berücksichtigt werden sollen: das Einkommen, der berufliche Werdegang, die „geografische Lage“, der Familienstand, die Elternschaft und die (Aus-)Bildung einer Bewerber*in bzw. Mitarbeiter*in. In noch stärker ausdifferenzierten Konzepten des Diversity Managements werden auch Kategorien wie Unterschiede in Fähigkeiten, Kompetenzen, Arbeitsstil und Verhalten aller Art berücksichtigt. Das Diversity Mainstreaming durch staatliche Verwaltungen verwendet dieselben Begriffe wie das Diversity Management in Unternehmen. Es orientiert sich jedoch weniger an wirtschaftlichem Profitstreben als vielmehr am Gedanken sozialer Gerechtigkeit und der Herstellung von Chancengleichheit für alle Menschen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Diversity Management" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diversity_Management&oldid=217194241 Version vom 11.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Nella (...) = Zytglogge Verlag = (Wienbezug) Élisabeth Vigée-Lebrun = https://de.m.wikipedia.org/wiki/%C3%89lisabeth_Vig%C3%A9e-Lebrun = Erdüberlastungstag = 4. Mai war für DE 2022 = Sonnenfinsternis vom 20. März 2015 = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sonnenfinsternis_vom_20._M%C3%A4rz_2015 = Cyber-physisches System = https://de.wikipedia.org/wiki/Cyber-physisches_System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Empfänger (Information) = https://de.wikipedia.org/wiki/Empf%C3%A4nger_(Information) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = AusbildungPlus = https://de.wikipedia.org/wiki/AusbildungPlus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nummer zur Kennzeichnung der Gefahr = https://de.wikipedia.org/wiki/Nummer_zur_Kennzeichnung_der_Gefahr <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rothwald (Dürrenstein) = hier wurde seit der Eiszeit weder gefällt noch gesät (Screen-Werbung mit schwarzem Salamander im Hbf Stgt 25.4.) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Schweizerischer Wissenschaftsrat = https://de.wikipedia.org/wiki/Schweizerischer_Wissenschaftsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = BioEnergie Park Güstrow = https://de.wikipedia.org/wiki/BioEnergie_Park_G%C3%BCstrow <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ausl%C3%A4nder raus! Schlingensiefs Container = https://de.wikipedia.org/wiki/Ausl%C3%A4nder_raus!_Schlingensiefs_Container <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bernadette La Hengst = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = HX-63 (Dechiffriermaschine) = https://de.wikipedia.org/wiki/HX-63 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Landesarchiv Saarbrücken = https://de.wikipedia.org/wiki/Landesarchiv_Saarbr%C3%BCcken <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Windrichtung = https://de.wikipedia.org/wiki/Windrichtung <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Tatort (Fernsehreihe) = https://de.wikipedia.org/wiki/Tatort_(Fernsehreihe) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Eichenlöhlein = https://de.wikipedia.org/wiki/Eichenl%C3%B6hlein Grabungen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = freier zusammenschluss von student*innenschaften = https://de.wikipedia.org/wiki/Freier_zusammenschluss_von_student*innenschaften <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Margarethe von Trotta = https://de.wikipedia.org/wiki/Margarethe_von_Trotta <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sinn (Soziologie) = https://de.wikipedia.org/wiki/Sinn_(Soziologie) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Gesetz der Nachfrage = https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_Nachfrage <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [httphttps://de.wikipedia.org/wiki/Messsystems://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Forschungs- statt Kohleförderung = Dlf Forschung aktuell, 21.4.2022 Neue Jobs für Ostdeutschland? <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sada Sultani = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Oder = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... 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Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ziegeleipark Mildenberg = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nachttisch = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mikrotuner für Saxophone = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Kraftwerk Geisling = Wasserkraftwerk an der Donau <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Acene = chemische Stoffgruppe <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Medelsergletscher = Gletscher in der Schweiz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Naturschutzgebiet = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Verordnung über Zusatzleistungen in Härtefällen nach dem Bundesausbildungsförderungsgesetz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Individuendominanz = ökologische Größe, die den Dominanzgrad einer einzelnen Art innerhalb einer Lebensgemeinschaft angibt. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fertigungsmechaniker*in = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = KiTa-Qualitäts- und -Teilhabeverbesserungsgesetz = Rechtsvorschrift (Deutschland) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Stolpersteine = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Edelmetallpräparat = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dömitz + Anna Wolfenstein (VVN) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rechtsberatung für Asylbewerber = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Papiermaschee Ludwigslust = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Müritz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Thalwassertalbrücke = Autobahnbrücke in Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Flöha (Chemnitz) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Autopilot/ Schleudersitz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Linzer Eisenbahnbrücke (1900) = Ehemalige Eisenbahn- und Straßenbrücke in Linz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sauerstoffkreislauf = Transport und die Speicherung von Sauerstoff in der Erdatmosphäre, Biosphäre und Lithosphäre <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Weiden in der Oberpfalz = kreisfreie Stadt in Bayern, Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Intarsie = Holzeinlegearbeit <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Root Leeb = deutsche Schriftstellerin, Malerin, Illustratorin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Privatautonomie = '''Privatautonomie''' ist das Recht, seine privaten Rechtsverhältnisse nach eigener Entscheidung zu gestalten. Sie entspricht dem Ideal, in einer freien Gesellschaft nach dem je eigenen Willen im Rahmen rechtlicher Bestimmungen selbstverantwortlich zu handeln. Der Begriff wird in der Rechtswissenschaft und der Rechtsphilosophie, sinngemäß aber auch in der Pädagogik verwendet. Er entstammt dem Denken des Liberalismus und setzt voraus, dass menschliche Handlungen auf Vernunft beruhen. Verfassungsrechtlich ist die Privatautonomie in Deutschland Teil des allgemeinen Prinzips der Selbstbestimmung des Menschen und wird zumindest im Kern durch den fundamentalen {{Art.|1|gg|juris}} in Verbindung mit der [[Allgemeine Handlungsfreiheit|allgemeinen Handlungsfreiheit]] nach {{Art.|2|gg|juris}} Abs.&nbsp;1 [[Grundgesetz für die Bundesrepublik Deutschland|GG]] geschützt.<ref>[[Bundesverfassungsgericht|BVerfG]], Beschluss vom 4. Juni 1985, Az. 1 BvL 12/84, {{BVerfGE|70|115}}, 123; BVerfG, Beschluss vom 13. Mai 1986, Az. 1 BvR 1542/84, {{BVerfGE|72|170}}.</ref> Privatautonomie äußert sich im [[Zivilrecht]] in der [[Vertragsfreiheit]], der [[Vereinigungsfreiheit]], der [[Eigentumsfreiheit]] (→ [[Verfügungsrecht]]), der [[Eheschließungsfreiheit]] und der [[Testierfreiheit]]. Der Einzelne ist berechtigt, Rechte und Pflichten zu begründen, zu ändern oder aufzuheben. Über die bloßen [[Freiheitsrechte]] hinaus, ist er im Rahmen der [[Rechtsordnung]] mithin in der Lage, eigenverantwortlich rechtsverbindliche Regelungen zu treffen.<ref>[[Otto Palandt]]: ''[[Grüneberg (Gesetzeskommentar)|Bürgerliches Gesetzbuch]]''. C. H. Beck, 73.&nbsp;Auflage, München 2014, ISBN 978-3-406-64400-9, Überbl v §&nbsp;104 Rn.&nbsp;1.</ref> Soweit die Privatautonomie zu den unverzichtbaren Grundwerten einer freiheitlichen Rechts- und Verfahrensordnung gehört, muss Missbrauch wirksam begegnet werden können, weshalb zum Schutze der [[sozialstaat]]lichen Rechtsordnung der Gesetzgebung und der Rechtsprechung ein instrumentell eingebetteter Verantwortungsbereich zukommt.<ref>BVerfGE [[JuristenZeitung|JZ]] 90, 692.</ref> Tatsächlich nämlich bestehen zum Teil große Unterschiede zwischen den Menschen, zum Beispiel in Bezug auf ihre wirtschaftlichen Möglichkeiten, ihr [[Wissen]] und ihre Gewandtheit. In der Realität ist nicht jeder wirtschaftlich und sozial tatsächlich [[Gleichberechtigung|gleichberechtigt]], beziehungsweise nur wenige sind materiell in der Lage, ihre rechtlichen Freiheiten zu nutzen, und vermutlich selten, wenn nicht sogar nie, wird jeder Wille ohne, zum Teil unterschwellige, Zwänge geäußert. Zum Schutz solcher Menschen vor einer Benachteiligung sieht die Rechtsordnung Einschränkungen der Privatautonomie vor. Diese Einschränkungen sollen jeden einzelnen entsprechend seinem Vorsprung an wirtschaftlicher Macht oder an Wissen treffen. Beispiele für derartige Einschränkungen der Privatautonomie im Zivilrecht sind die [[Allgemeine Geschäftsbedingungen|AGB-Kontrolle]], das soziale [[Mietvertrag (Deutschland)|Mietrecht]], [[Kontrahierungszwang|Kontrahierungszwänge]] und zahlreiche [[Verbraucherschutz|verbraucherschützende]] Vorschriften im [[Bürgerliches Gesetzbuch|Bürgerlichen Gesetzbuch]] (BGB), zum Beispiel über das [[Widerrufsrecht]] bei [[Vertrag|Verträgen]], die außerhalb von Geschäftsräumen oder im Fernabsatz geschlossen wurden. Diesen Beispielen, in denen der wirtschaftlich Schwächere durch den Kontrahierungszwang vor eventuell [[Diskriminierung|diskriminierender]] Ablehnung seines Antrags geschützt werden soll, stehen insbesondere im [[Versicherungsvertrag]]srecht Pflichten zur [[Deckungsvorsorge]] gegenüber. Ein Beispiel ist die Versicherungspflicht nach den Bestimmungen des [[Pflichtversicherungsgesetz]]es für Kraft[[fahrzeughalter]], nach deren Muster zahlreiche [[Versicherungspflicht]]en im Bereich der [[Haftpflichtversicherung]] ausgestaltet sind. Das Pflichtversicherungsgesetz zwingt den Kraftfahrzeughalter zum Abschluss einer Versicherung aufgrund [[Kontrahierungszwang]]s ({{§|5|pflvg|juris}} [[Pflichtversicherungsgesetz|PflVG]]). <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Privatautonomie" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Privatautonomie&oldid=221821487 Version vom 5.4.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Künstlerisches Entwicklungsvorhaben = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mitteldeutsches (Braunkohle)Revier = BMBF https://www.bmbf.de/bmbf/shareddocs/pressemitteilungen/de/2021/07/230721-Gr%C3%BCndung-Groschforschungszentren.html <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Kaltluftstau = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bärtierchen = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Höllenlöcher = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pinge/ Abraumhalde = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erzgebirge = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Köcherfliegenlarve = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Feuersalamander = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mofette = Austrittspunkt von Kohlendioxid, Begleiterscheinung des Vulkanismus Erzgebirge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Christa Muth = https://de.wikipedia.org/wiki/Christa_Muth Bekannt wurde Muth durch ihren Einsatz für die nicht materiellen Faktoren für den Erfolg in Organisationen und Unternehmen. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hesselberg = https://de.wikipedia.org/wiki/Hesselberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = (Gotha) Europeade = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Europeade <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erste Kursächsische Landesaufnahme = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erste_Kurs%C3%A4chsische_Landesaufnahme <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegard von Bingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_von_Bingen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegaard Knef = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_Knef <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Elektronenbeugung = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Elektronenbeugung <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Villa Rustica (Laucherthal) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Villa_Rustica_(Laucherthal) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dichterarzt = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dichterarzt <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pfleger (Mittelalter) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Pfleger_(Mittelalter) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hartmannbund = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fließband = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Lichtfarbe = https://de.wikipedia.org/wiki/Lichtfarbe <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nichtbenutzungseinrede = https://de.wikipedia.org/wiki/Nichtbenutzungseinrede <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Zaha-Hadid-Haus (Wien) = https://de.wikipedia.org/wiki/Zaha-Hadid-Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Talsperre Wechmar = https://de.wikipedia.org/wiki/Talsperre_Wechmar <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Talsperre Wechmar" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Alter Friedhof (Greifswald) = [[Datei:Erbbegräbnis-von-Hildebrandt-Dänischenhagen.JPG|mini|300px|Mausoleum der Familie von Hildebrandt in Dänischenhagen, errichtet 1884]] <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Alter Friedhof (Greifswald)" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Corbusierhaus, Flatowallee 16, Berlin = https://de.wikipedia.org/wiki/Corbusierhaus anderes Foto: Datei:Corbusierhaus_B-Westend_06-2017.jpg (aus dem Artikel "https://de.wikipedia.org/wiki/Flatowallee") <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Corbusierhaus" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Meteorologisches Observatorium Hohenpeißenberg = dw.com: umformulieren Die älteste Bergwetterwarte der Welt liegt 977 Meter über Normalnull auf dem Hohen Peißenberg, etwa 60 Kilometer südwestlich von München: Das Meteorologische Observatorium Hohenpeißenberg. Dort werden seit 1781 meteorologische Daten erfasst. Auch werden dort "Methoden zur Verbesserung der Wettervorhersage und von Wetterwarnungen entwickelt", so die Website der Station. Die Warte war von Beginn an Teil eines Wetterbeobachtungsnetzes mit Dutzenden Stationen vom Ural bis Nordamerika und von Grönland zum Mittelmeerraum. Während heute Wetterdienste mit Hilfe von Computern und Satelliten systematisch Wetterphänomene beobachten und aufzeichnen, um möglichst präzise Wetterprognosen zu machen, waren Menschen viele Jahrhundertelang auf Beobachtungen und Erfahrungswissen angewiesen. <ref>[[https://www.dw.com/de/der-april-macht-was-er-will-bekannte-bauernweisheiten/a-52430233 "Der April macht, was er will – bekannte Bauernweisheiten", Deutsche Welle, dw.com, 3.4.2020]]</ref> https://de.wikipedia.org/wiki/Hohenpei%C3%9Fenberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und um Infos aus anderen Quellen (siehe Einzelnachweise) leicht ergänzt.</ref> = Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte = https://de.wikipedia.org/wiki/Cap_Anamur/Deutsche_Not-%C3%84rzte <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte" in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und leicht ergänzt.</ref> = Marina Owsjannikowa = [[Datei:RU pronunciation Marina Ovsyannikova.ogg|russische Aussprache des Namens von Marina Owsjannikowa]]Marina Owsjannikowa, geboren 1978 in Odessa, ist eine russische Redakteurin, die für den halbstaatlichen russichen Fernsehsender ''Perwy kanal'' (Erster Kanal) gearbeitet hat und seit Mai 2022 in Berlin lebt. Sie erlangte internationale Bekanntheit durch eine Anti-Kriegs-Demonstration während einer Live-Sendung am 14. März 2022, 19 Tage nach Beginn des russischen Überfalls auf die Ukraine. Dabei wies sie auf die vom ''Perwy kanal'' verbreitete Propaganda der russischen Staatsführung hin. Owsjannikowas Aktion war eine von mehreren Protesten gegen die russische Invasion in der Ukraine 2022 von oder in russischen Medien. == Leben und Karriere == Marina Owsjannikowa ist die Tochter eines Ukrainers und einer Russin. Ein Jahr nach ihrer Geburt zogen ihre Eltern mit ihr nach Russland. 1985 zog die Familie in die sowjetische Teilrepublik Tschetscheno-Inguschetische ASSR, von wo sie Anfang der 1990er Jahre aufgrund der beginnenden Tschetschenienkriege floh. Ende der 1990er-Jahre zog sie mit ihren Eltern nach Krasnodar, wo sie die Staatliche Universität Kuban absolvierte und anschließend unter anderem beim Sender „Kuban TV“ arbeitete. Später zog sie nach Moskau um und absolvierte die Russische Präsidentenakademie für Volkswirtschaft und öffentliche Verwaltung. Danach arbeitete sie beim Perwy kanal (Ersten Kanal) für die staatliche Fernseh- und Rundfunkgesellschaft Russlands. Dort war sie für den Bereich „Auslandsnachrichten“ zuständig; sie stand mit den internationalen Nachrichtenagenturen und Sendern in Kontakt, verfolgte die westlichen Nachrichten, recherchierte, nahm Interviews mit Politikern und Experten aus dem Ausland auf und produzierte Beiträge für das Programm. Marina Owsjannikowa war mit Igor Owsjannikow verheiratet, der bei ''Russia Today'' arbeitet. Sie hat einen Sohn und eine Tochter (Anfang 2022 im Alter von 17 und 11 Jahren) und wohnte in der Satellitenstadt „Neu-Moskau“. Einem Interview mit ''Yuga.ru'' aus dem Jahr 2002 zufolge war Marina Owsjannikowa während ihres Studiums Freiwasser-Wettkampfschwimmerin. == Protestaktion == === Ablauf === Owsjannikowa arbeitete bei Perwy kanal im Wochenwechsel (eine Woche Arbeit, eine frei). Am Sonntag, den 13. März 2022, dem letzten Tag einer freien Woche, kaufte sie Papier und Stifte und malte in ihrer Küche ein Protestplakat. Am 14. März 2022 lief Owsjannikowa während eines Beitrags über die Invasion in der Ukraine in den Hauptnachrichten Wremja ihres Senders an einem stetig anwesenden Polizisten vorbei ins Studio, stellte sich hinter die Nachrichtensprecherin Jekaterina Andrejewa und hielt ihr ausgerolltes Plakat in die Kamera. Zunächst war das Plakat teilweise durch die sitzende Nachrichtensprecherin verdeckt. Owsjannikowa korrigierte daraufhin ihren Standort und blieb aus Zuschauersicht rechts hinter der Sprecherin mit dem vollständig sichtbaren Plakat stehen. Das Plakat zeigte neben kleinen ukrainischen und russischen Flaggen die englischen und russischen Aufschriften: “NO WAR <...>“ [deutsche Version] „Kein Krieg <br /> Beenden Sie den Krieg <br /> Glauben Sie der Propaganda nicht <br /> Hier werden Sie belogen <br /> Russen gegen den Krieg“ <br /> – Marina Owsjannikowa: Protestplakat Dazu rief sie: <br /> „Beendet den Krieg! Kein Krieg!“ Die Studioaufnahme wurde fünf Sekunden nach dem Beginn des Auftritts durch einen Einspieler-Beitrag unterbrochen. Owsjannikowa begab sich aus dem Studio zu ihrem Arbeitsplatz. Die vielen Vorgesetzten, die zu ihr kamen und fragten, ob sie es gewesen sei, wollten es nicht so recht glauben. Der halbstaatliche ''Perwy kanal'' ist der populärste Sender in Russland. Eine Aufzeichnung der Nachrichtensendung vom 14. März 2022 stand nicht zum Download zur Verfügung, was für diesen Fernsehsender ungewöhnlich ist. Livesendungen werden seither um bis zu zwei Minuten versetzt übertragen. == Videoerklärung == Am Tag vor der Aktion hatte Owsjannikowa ein Video mit einer persönlichen Erklärung aufgenommen, das sie nach der Aktion auf Facebook veröffentlichte. Darin bekundete sie ihre Scham, für die russische Staatspropaganda beim Fernsehsender ''Perwy kanal'' (Ersten Kanal) gearbeitet zu haben, und rief zum offenen Protest gegen den Krieg auf. Ein Ausschnitt des Wortlauts wird in einer dpa-Übersetzung wie folgt wiedergegeben (Quelle: ''Süddeutsche Zeitung'', 15. März 2022): „Das, was jetzt in der Ukraine geschieht, ist ein Verbrechen. Und Russland ist der Aggressor. Und die Verantwortung für diese Aggression liegt nur auf dem Gewissen eines Menschen – und dieser Mensch ist Wladimir Putin. […] Wir haben 2014 geschwiegen, als das alles anfing. Wir sind nicht für Demonstrationen rausgekommen, als der Kreml Nawalny vergiftet hat. Wir haben dieses menschenfeindliche Regime einfach nur stillschweigend beobachtet. Jetzt hat sich die ganze Welt von uns abgewendet. […] Wir, die russischen Menschen, können denken und sind klug. Es liegt nur an uns, diesen ganzen Wahnsinn zu beenden. Geht demonstrieren. Fürchtet nichts. Sie können uns nicht alle einsperren.“ In der Videobotschaft trug sie eine Halskette mit in verschiedenen Farben aneinander gereihten Elementen: Auf Rot, Weiß und Blau (Farben Russlands) folgten Gelb und Blau (Farben der Ukraine). == Folgen und weiteres Engagement == Owsjannikowa wurde festgenommen. Eigenen Angaben zufolge wollten ihr die Beamten, die sie befragten, lange nicht glauben, dass sie keinen Kontakt in den Westen hatte und dass sie „selbst entschieden habe zu protestieren“. Bei den Vernehmungen wurde sie mit ihren Forderungen nach einem Anwalt vertröstet, und es war ihr währenddessen untersagt, selbst Kontakt zu einem Anwalt aufzunehmen. Die Rechtsanwälte Owsjannikowas teilten mit, dass eine Voruntersuchung wegen „Herabsetzung der russischen Streitkräfte“ eingeleitet worden sei. Ihre Mandantin werde unter Vorenthaltung anwaltlicher Vertretung festgehalten. Am Abend des 15. März 2022 wurde berichtet, sie sei von einem Moskauer Gericht zu einer Geldstrafe von 30.000 Rubel (etwa 250 Euro) verurteilt worden. Anschließend wurde sie freigelassen. Sie habe vor Gericht ihre Schuld bestritten und den Vorwurf erneuert, Russland begehe in der Ukraine als Aggressor ein Verbrechen. Sie wurde zunächst nicht nach dem neuen russischen Mediengesetz verurteilt, das bis zu 15 Jahre Haft für die Behauptung von „Falschnachrichten“ über das russische Militär vorsieht. Weil sich die Verurteilung wegen „Organisation einer nicht erlaubten öffentlichen Aktion“ auf ihr Video, nicht aber den Auftritt in der Nachrichtensendung bezog, war zunächst unklar, ob es zu einer weiteren Anklage kommen würde. In mehreren Interviews äußerte sich Owsjannikowa besorgt um ihre Sicherheit und die ihrer Kinder. Sie habe aber nicht vor, aus Russland zu fliehen; sie sei Patriotin. Jedoch erklärte sie, dass sie nicht sehr politisiert gewesen sei, sich aber ihre Unzufriedenheit über die Einschränkungen der politischen Teilhabe und die der Pressefreiheit in Russland über viele Jahre aufgestaut habe. Der Beginn des Krieges gegen die Ukraine der Punkt gewesen sei, an dem es für sie „kein Zurück mehr gab“. Für Owsjannikowa „war der Protest in erster Linie eine pazifistische Aktion“, weil es „im Interesse Russlands und der Welt“ sei, den Krieg „so schnell wie möglich zu beenden“. Sie hoffe, dass ihr Protest nicht umsonst gewesen sei und dass die russische Bevölkerung ihre Augen öffne und Kriegspropaganda genauer hinterfrage. In der oppositionellen Zeitung ''Nowaja Gaseta'' wurde sie in einem Kommentar als Nationalheldin bezeichnet, die die Ehre des Landes gerettet habe. Ihr Name werde in politische Lehrbücher und in die russische Geschichte eingehen und zitiert werden, wenn die Enkel*innen vieler heutiger Regierungsmitglieder sich nur ungern an ihre Vorfahren erinnern würden. Etwa eine Woche nach ihrem Protest rief sie in einem Interview mit dem US-Fernsehsender ''ABC'' zu Demonstrationen auf. Am 25. März 2022 wurde sie wegen „Diskreditierung“ der Armee angeklagt. Nach Angaben des zuständigen Gerichts sollte sich Owsjannikowa wegen Verstoßes gegen Artikel 20.3.3 verantworten. Das Gesetz gegen „Falschnachrichten“ war im März 2022 in Kraft getreten. Die Verhandlung war für den 14. April 2022 angesetzt. Danach gelang ihr die Ausreise nach Deutschland, seit Anfang Mai 2022 lebt sie in Berlin. Beim ''Women's Forum'' in Berlin am 21. Juni 2022 erklärte Owsyannikowa 3 Monate nach ihrer Protestaktion, "Ich "bereue nichts." und: "Das Gute wird über das Böse siegen. Und ich werde weiter dafür kämpfen."<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Marina Owsjannikowa" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Marina_Owsjannikowa&oldid=223885003 Version vom 21. Juni 2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht umgearbeitet.</ref> = Allmende = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Jacqueline Badran = Schweiz: Steuervotum https://de.m.wikipedia.org/wiki/Jacqueline_Badran s. Artikel Süddeutsche, Foto wp <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Florence Brokowski-Shekete = https://de.wikipedia.org/wiki/Florence_Brokowski-Shekete BaWü Schulamtsdirektorin s. Nürtinger Zeitung, 15.2.2022 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] sowie einer externen Pressequelle (Nürtinger Zeitung bm 15.2.2022, S. 3) und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Armut und Gesundheit in Deutschland e.V. = (Trabert) = Kunstfreiheit = Danger Dan bei Jan Böhmermann in "ZDF Magazin Royal" <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Majuskel = Benjamin 1991 Gesammelte Schriften Bd. I-IV, I, 1, 382 Einführung der Majuskel in der Barockepoche (in wlb GN 9458/ 66 6192, S. 71) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = International Alliance of Women = https://de.m.wikipedia.org/wiki/International_Alliance_of_Women <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Yoko Tawada = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Art Déco = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Art_d%C3%A9co <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Amrum = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seewege de / Finnland / Schweden/ Litauen etc. = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Sprach"grenze" Südtirol = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze de-ch/it = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft bilingual de/räto = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/f-Schweiz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/sl Österreich = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/nl = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/be = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d(dr)/cz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/pl (Stettin) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft d/dk = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/CH = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/hu = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Passau = inkl. 2015 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rehhügel = https://de.wikipedia.org/wiki/Rehh%C3%BCgel <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kriegskinder = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Dt. Kolonialgeschichte = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Hanglage = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = [Stilmittel Film] = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Saale = https://de.wikipedia.org/wiki/Saale <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Wasserkraftwerk Kardaun = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Violoncello = = Endlagersuche in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Endlagersuche_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Film... = = Atommülltransporte in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Atomm%C3%BClltransporte_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Bundesautobahnen in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Bundesautobahnen_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ring Road (Afghanistan) = https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_Road_(Afghanistan) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Radikalenerlass/ Berufsverbote (Deutschland) = https://de.wikipedia.org/wiki/Berufsverbot_(Deutschland) = Salzbergwerk = https://de.wikipedia.org/wiki/Salzbergwerk <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Zahnkrone = https://de.wikipedia.org/wiki/Zahnkrone <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mahsati Ganjavi = https://de.wikipedia.org/wiki/Mahsati <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kindesunterhalt (Deutschland)= https://de.wikipedia.org/wiki/Kindesunterhalt_(Deutschland) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Normalklima (Textil...) = https://de.wikipedia.org/wiki/Normalklima <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = L’Ultima Cena (Das letzte Mahl) (Haigerloch) = Datei:Haigerloch_2010.JPG Last Supper by Leonardo da Vinci.jpg https://de.wikipedia.org/wiki/Das_Abendmahl_(Leonardo_da_Vinci) https://de.wikipedia.org/wiki/Haigerloch#Kunst <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ottoschacht = https://de.wikipedia.org/wiki/Ottoschacht <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Antiquariat = https://de.wikipedia.org/wiki/Antiquariat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kantorhaus (Herford) = https://de.wikipedia.org/wiki/Kantorhaus_(Herford) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Frankenstraße 28 (Stralsund) = https://de.wikipedia.org/wiki/Frankenstra%C3%9Fe_28_(Stralsund) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Stiersches Haus = https://de.wikipedia.org/wiki/Stiersches_Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rettungswagen = https://de.wikipedia.org/wiki/Rettungswagen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mehrnoush Zaeri-Esfahani = s. Lesezeichen / Spenderin an Flüchtlingsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = Dezernat II: Bürgermeisterin, Diversität, Antidiskriminierung und gesellschaftliches Zusammenleben<br/> Bürgermeisterin Dr. Eskandari-Grünberg <br/> Vertreter: Oberbürgermeister Feldmann <br/> 15 Amt für Multikulturelle Angelegenheiten <br/> 15A Geschäftsstelle der Kommunalen Ausländer- und Ausländerinnenvertretung in Frankfurt am Main <br/> Zuständigkeit für: Religionen / Rat der Religionen (in Absprache mit Dezernat I) = Amira Mohamed Ali = https://de.wikipedia.org/wiki/Amira_Mohamed_Ali <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Charlotte Wiedemann = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Silva Semadeni = https://de.wikipedia.org/wiki/Silva_Semadeni <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Viola Priesemann = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Viola_Priesemann <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Copyleft = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Copyleft <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Haut = https://de.wikipedia.org/wiki/Haut <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Polyethylen = https://de.wikipedia.org/wiki/Polyethylen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Remanenz = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Remanenz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Vorarlberg + Abstimmungen (s. Notz) = https://de.wikipedia.org/wiki/Vorarlberg pic Schaubild Politisches System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seit 1356 Föderalismus in Deutschland = erwartete Sprachkenntnisse: Latein, Deutsch, Tschechisch und Italienisch https://de.wikipedia.org/wiki/Goldene_Bulle , inspiriert durch [https://www.deutschlandfunknova.de/beitrag/ursprung-des-foederalismus-das-metzer-gesetzbuch-und-die-goldene-bulle "Ursprung des Föderalismus (in Deutschland). Die Goldene Bulle von 1356." Podcast vom 17.12.2021 bei ''Deutschlandfunk Nova''], ca. 40 Minuten. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Genossenschaftsbank = https://de.wikipedia.org/wiki/Genossenschaftsbank <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ötztal-Stubai-Kristallin = https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96tztal-Stubai-Kristallin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Landschaftsschutzgebiet Medebacher Kernraum = : Quellmulden, Niederungszonen und Flächhänge https://de.wikipedia.org/wiki/Landschaftsschutzgebiet_Medebacher_Kernraum:_Quellmulden,_Niederungszonen_und_Fl%C3%A4chh%C3%A4nge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Orangeroter Heftelnabeling = https://de.wikipedia.org/wiki/Orangeroter_Heftelnabeling <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = "Im Grase" (1844) = Annette von Droste-Hülshoff: "Im Grase" (1844) https://sammlungen.ulb.uni-muenster.de/hd/content/pageview/6564501 gelesen von ...? <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Einzelnachweise = <references/> o1bg1zpjng2skwvd28nwsj6lovtgjvm 745580 745579 2022-07-21T12:07:41Z C.Koltzenburg 13981 /* Marina Owsjannikowa */ wikitext text/x-wiki = ref = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dunja Hayali = Mod. Frühstücksfernsehen (El-Mafaalani, IP, S. 25) = Pinar Atalay = Nachrichten (El-Mafaalani, IP, S. 25) = Integrative Geographie = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integrative_Geographie = Rommelspütt = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rommelsp%C3%BCtt = Erna Kelm = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erna_Kelm = Segellatte = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Segellatte = Garndrehung = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Garndrehung = Schweizer Taschenmesser = Victorinox (Schwyz) = Milchwirtschaft/ H-Milch erhitzen = = Schweizer Volksabstimmung = obligatorisches Referendum 1926 = Badischer Aufstand 1848 (?) = = Katastrophisieren = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Katastrophisieren = Katastrophenhausse = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Katastrophenhausse = Waschsalon im Karl-Marx-Hof = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Waschsalon_im_Karl-Marx-Hof = Aufschlagwasser = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Aufschlagwasser = Rheinpatent = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rheinpatent = Passau = = Taubergrund bei Creglingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Taubergrund_bei_Creglingen = Biologischer Arbeitsstoff-Toleranzwert = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Biologischer_Arbeitsstoff-Toleranzwert = Motoneuron = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Motoneuron = Susanne Thurn = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Susanne_Thurn = Reisende auf einem Bein (Herta Müller) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rein Gold (Elfriede Jelinek) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversität (Soziologie)= https://de.wikipedia.org/wiki/Diversit%C3%A4t_(Soziologie) Miteinander von Menschen mit unter­schied­lichem politischen, ethni­schen, sozio­demo­graf­ischen und welt­anschau­lichen Hinter­grund, unter­schied­lichem Geschlecht, Alter und natür­licher genetischer Vielfalt (Straßenfest in München, 2015) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversity Management = '''Diversity Management''' (auch Managing Diversity) bzw. '''Management der Vielfalt''' ist Teil des Personalwesens (englisch: Human Resource Management) und wird meist im Sinne einer konstruktiven Nutzung der in einem Unternehmen oder einer anderen Organisation vorfindbaren personellen und sozialen Vielfalt verwendet. Diversity Management toleriert nicht nur die individuelle Verschiedenheit (englisch: diversity) der Mitarbeiter, sondern hebt diese im Sinne einer positiven Wertschätzung besonders hervor und versucht, sie für den Unternehmenserfolg nutzbar zu machen. Die klassische Betriebswirtschaftslehre geht davon aus, dass die Diversität der Mitarbeiter nicht im Fokus ihres Gestaltungsinteresses steht, sondern nur einer von vielen sozialen Faktoren des betrieblichen Verwertungsprozesses ist. Im Gegensatz dazu besteht das Ziel des Diversity Management darin, diese Diversität der Arbeitskräfte zu nutzen und deren Differenzen bewusst im Sinne des Unternehmens zu gestalten, unter anderem um neue externe Rekrutierungspotenziale zu erschließen, die Vielfalt der externen Kundschaft oder Klientel auch innerhalb der eigenen Arbeitsorganisation besser abzubilden (Diversity Marketing), eine dysfunktionale soziale Diskriminierung von Frauen und Minderheiten zu verhindern, Beschäftigten bisher in Führungspositionen unterrepräsentierter Gruppen Karrierewege zu ermöglichen und dadurch die Motivation, Wettbewerbsfähigkeit und Kreativität zu steigern. Diversity Management fokussiert in der Europäischen Union die gesetzlich durch das AGG oder andere Rechtsprechung vorgegebenen Merkmale wie Geschlecht, Ethnie, Alter, Behinderung, sexuelle Orientierung und Religion. Zusätzlich zu den im Gleichbehandlungsgesetz (AGG) (– umgangssprachlich auch Antidiskriminierungsgesetz) genannten „Primärdimensionen“ werden gelegentlich auch „Sekundärdimensionen“ genannt, die durch ein Diversity Management berücksichtigt werden sollen: das Einkommen, der berufliche Werdegang, die „geografische Lage“, der Familienstand, die Elternschaft und die (Aus-)Bildung einer Bewerber*in bzw. Mitarbeiter*in. In noch stärker ausdifferenzierten Konzepten des Diversity Managements werden auch Kategorien wie Unterschiede in Fähigkeiten, Kompetenzen, Arbeitsstil und Verhalten aller Art berücksichtigt. Das Diversity Mainstreaming durch staatliche Verwaltungen verwendet dieselben Begriffe wie das Diversity Management in Unternehmen. Es orientiert sich jedoch weniger an wirtschaftlichem Profitstreben als vielmehr am Gedanken sozialer Gerechtigkeit und der Herstellung von Chancengleichheit für alle Menschen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Diversity Management" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diversity_Management&oldid=217194241 Version vom 11.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Nella (...) = Zytglogge Verlag = (Wienbezug) Élisabeth Vigée-Lebrun = https://de.m.wikipedia.org/wiki/%C3%89lisabeth_Vig%C3%A9e-Lebrun = Erdüberlastungstag = 4. Mai war für DE 2022 = Sonnenfinsternis vom 20. März 2015 = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sonnenfinsternis_vom_20._M%C3%A4rz_2015 = Cyber-physisches System = https://de.wikipedia.org/wiki/Cyber-physisches_System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Empfänger (Information) = https://de.wikipedia.org/wiki/Empf%C3%A4nger_(Information) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = AusbildungPlus = https://de.wikipedia.org/wiki/AusbildungPlus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nummer zur Kennzeichnung der Gefahr = https://de.wikipedia.org/wiki/Nummer_zur_Kennzeichnung_der_Gefahr <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rothwald (Dürrenstein) = hier wurde seit der Eiszeit weder gefällt noch gesät (Screen-Werbung mit schwarzem Salamander im Hbf Stgt 25.4.) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Schweizerischer Wissenschaftsrat = https://de.wikipedia.org/wiki/Schweizerischer_Wissenschaftsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = BioEnergie Park Güstrow = https://de.wikipedia.org/wiki/BioEnergie_Park_G%C3%BCstrow <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ausl%C3%A4nder raus! Schlingensiefs Container = https://de.wikipedia.org/wiki/Ausl%C3%A4nder_raus!_Schlingensiefs_Container <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bernadette La Hengst = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = HX-63 (Dechiffriermaschine) = https://de.wikipedia.org/wiki/HX-63 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Landesarchiv Saarbrücken = https://de.wikipedia.org/wiki/Landesarchiv_Saarbr%C3%BCcken <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Windrichtung = https://de.wikipedia.org/wiki/Windrichtung <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Tatort (Fernsehreihe) = https://de.wikipedia.org/wiki/Tatort_(Fernsehreihe) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Eichenlöhlein = https://de.wikipedia.org/wiki/Eichenl%C3%B6hlein Grabungen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = freier zusammenschluss von student*innenschaften = https://de.wikipedia.org/wiki/Freier_zusammenschluss_von_student*innenschaften <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Margarethe von Trotta = https://de.wikipedia.org/wiki/Margarethe_von_Trotta <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sinn (Soziologie) = https://de.wikipedia.org/wiki/Sinn_(Soziologie) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Gesetz der Nachfrage = https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_Nachfrage <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [httphttps://de.wikipedia.org/wiki/Messsystems://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Forschungs- statt Kohleförderung = Dlf Forschung aktuell, 21.4.2022 Neue Jobs für Ostdeutschland? <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sada Sultani = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Oder = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Städte in der deutschsprachigen Schweiz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Städte im deutschsprachigen Italien (Südtirol) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Spritzkuchen = Gebäck Eberswalde <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fontane-Figur Effi Briest = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ziegeleipark Mildenberg = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nachttisch = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mikrotuner für Saxophone = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Kraftwerk Geisling = Wasserkraftwerk an der Donau <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Acene = chemische Stoffgruppe <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Medelsergletscher = Gletscher in der Schweiz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Naturschutzgebiet = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Verordnung über Zusatzleistungen in Härtefällen nach dem Bundesausbildungsförderungsgesetz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Individuendominanz = ökologische Größe, die den Dominanzgrad einer einzelnen Art innerhalb einer Lebensgemeinschaft angibt. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fertigungsmechaniker*in = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = KiTa-Qualitäts- und -Teilhabeverbesserungsgesetz = Rechtsvorschrift (Deutschland) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Stolpersteine = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Edelmetallpräparat = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dömitz + Anna Wolfenstein (VVN) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rechtsberatung für Asylbewerber = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Papiermaschee Ludwigslust = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Müritz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Thalwassertalbrücke = Autobahnbrücke in Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Flöha (Chemnitz) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Autopilot/ Schleudersitz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Linzer Eisenbahnbrücke (1900) = Ehemalige Eisenbahn- und Straßenbrücke in Linz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sauerstoffkreislauf = Transport und die Speicherung von Sauerstoff in der Erdatmosphäre, Biosphäre und Lithosphäre <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Weiden in der Oberpfalz = kreisfreie Stadt in Bayern, Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Intarsie = Holzeinlegearbeit <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Root Leeb = deutsche Schriftstellerin, Malerin, Illustratorin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Privatautonomie = '''Privatautonomie''' ist das Recht, seine privaten Rechtsverhältnisse nach eigener Entscheidung zu gestalten. Sie entspricht dem Ideal, in einer freien Gesellschaft nach dem je eigenen Willen im Rahmen rechtlicher Bestimmungen selbstverantwortlich zu handeln. Der Begriff wird in der Rechtswissenschaft und der Rechtsphilosophie, sinngemäß aber auch in der Pädagogik verwendet. Er entstammt dem Denken des Liberalismus und setzt voraus, dass menschliche Handlungen auf Vernunft beruhen. Verfassungsrechtlich ist die Privatautonomie in Deutschland Teil des allgemeinen Prinzips der Selbstbestimmung des Menschen und wird zumindest im Kern durch den fundamentalen {{Art.|1|gg|juris}} in Verbindung mit der [[Allgemeine Handlungsfreiheit|allgemeinen Handlungsfreiheit]] nach {{Art.|2|gg|juris}} Abs.&nbsp;1 [[Grundgesetz für die Bundesrepublik Deutschland|GG]] geschützt.<ref>[[Bundesverfassungsgericht|BVerfG]], Beschluss vom 4. Juni 1985, Az. 1 BvL 12/84, {{BVerfGE|70|115}}, 123; BVerfG, Beschluss vom 13. Mai 1986, Az. 1 BvR 1542/84, {{BVerfGE|72|170}}.</ref> Privatautonomie äußert sich im [[Zivilrecht]] in der [[Vertragsfreiheit]], der [[Vereinigungsfreiheit]], der [[Eigentumsfreiheit]] (→ [[Verfügungsrecht]]), der [[Eheschließungsfreiheit]] und der [[Testierfreiheit]]. Der Einzelne ist berechtigt, Rechte und Pflichten zu begründen, zu ändern oder aufzuheben. Über die bloßen [[Freiheitsrechte]] hinaus, ist er im Rahmen der [[Rechtsordnung]] mithin in der Lage, eigenverantwortlich rechtsverbindliche Regelungen zu treffen.<ref>[[Otto Palandt]]: ''[[Grüneberg (Gesetzeskommentar)|Bürgerliches Gesetzbuch]]''. C. H. Beck, 73.&nbsp;Auflage, München 2014, ISBN 978-3-406-64400-9, Überbl v §&nbsp;104 Rn.&nbsp;1.</ref> Soweit die Privatautonomie zu den unverzichtbaren Grundwerten einer freiheitlichen Rechts- und Verfahrensordnung gehört, muss Missbrauch wirksam begegnet werden können, weshalb zum Schutze der [[sozialstaat]]lichen Rechtsordnung der Gesetzgebung und der Rechtsprechung ein instrumentell eingebetteter Verantwortungsbereich zukommt.<ref>BVerfGE [[JuristenZeitung|JZ]] 90, 692.</ref> Tatsächlich nämlich bestehen zum Teil große Unterschiede zwischen den Menschen, zum Beispiel in Bezug auf ihre wirtschaftlichen Möglichkeiten, ihr [[Wissen]] und ihre Gewandtheit. In der Realität ist nicht jeder wirtschaftlich und sozial tatsächlich [[Gleichberechtigung|gleichberechtigt]], beziehungsweise nur wenige sind materiell in der Lage, ihre rechtlichen Freiheiten zu nutzen, und vermutlich selten, wenn nicht sogar nie, wird jeder Wille ohne, zum Teil unterschwellige, Zwänge geäußert. Zum Schutz solcher Menschen vor einer Benachteiligung sieht die Rechtsordnung Einschränkungen der Privatautonomie vor. Diese Einschränkungen sollen jeden einzelnen entsprechend seinem Vorsprung an wirtschaftlicher Macht oder an Wissen treffen. Beispiele für derartige Einschränkungen der Privatautonomie im Zivilrecht sind die [[Allgemeine Geschäftsbedingungen|AGB-Kontrolle]], das soziale [[Mietvertrag (Deutschland)|Mietrecht]], [[Kontrahierungszwang|Kontrahierungszwänge]] und zahlreiche [[Verbraucherschutz|verbraucherschützende]] Vorschriften im [[Bürgerliches Gesetzbuch|Bürgerlichen Gesetzbuch]] (BGB), zum Beispiel über das [[Widerrufsrecht]] bei [[Vertrag|Verträgen]], die außerhalb von Geschäftsräumen oder im Fernabsatz geschlossen wurden. Diesen Beispielen, in denen der wirtschaftlich Schwächere durch den Kontrahierungszwang vor eventuell [[Diskriminierung|diskriminierender]] Ablehnung seines Antrags geschützt werden soll, stehen insbesondere im [[Versicherungsvertrag]]srecht Pflichten zur [[Deckungsvorsorge]] gegenüber. Ein Beispiel ist die Versicherungspflicht nach den Bestimmungen des [[Pflichtversicherungsgesetz]]es für Kraft[[fahrzeughalter]], nach deren Muster zahlreiche [[Versicherungspflicht]]en im Bereich der [[Haftpflichtversicherung]] ausgestaltet sind. Das Pflichtversicherungsgesetz zwingt den Kraftfahrzeughalter zum Abschluss einer Versicherung aufgrund [[Kontrahierungszwang]]s ({{§|5|pflvg|juris}} [[Pflichtversicherungsgesetz|PflVG]]). <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Privatautonomie" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Privatautonomie&oldid=221821487 Version vom 5.4.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Künstlerisches Entwicklungsvorhaben = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mitteldeutsches (Braunkohle)Revier = BMBF https://www.bmbf.de/bmbf/shareddocs/pressemitteilungen/de/2021/07/230721-Gr%C3%BCndung-Groschforschungszentren.html <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Kaltluftstau = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bärtierchen = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Höllenlöcher = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pinge/ Abraumhalde = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erzgebirge = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Köcherfliegenlarve = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Feuersalamander = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mofette = Austrittspunkt von Kohlendioxid, Begleiterscheinung des Vulkanismus Erzgebirge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Christa Muth = https://de.wikipedia.org/wiki/Christa_Muth Bekannt wurde Muth durch ihren Einsatz für die nicht materiellen Faktoren für den Erfolg in Organisationen und Unternehmen. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hesselberg = https://de.wikipedia.org/wiki/Hesselberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = (Gotha) Europeade = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Europeade <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erste Kursächsische Landesaufnahme = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erste_Kurs%C3%A4chsische_Landesaufnahme <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegard von Bingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_von_Bingen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegaard Knef = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_Knef <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Elektronenbeugung = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Elektronenbeugung <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Villa Rustica (Laucherthal) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Villa_Rustica_(Laucherthal) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dichterarzt = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dichterarzt <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pfleger (Mittelalter) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Pfleger_(Mittelalter) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hartmannbund = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fließband = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Lichtfarbe = https://de.wikipedia.org/wiki/Lichtfarbe <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nichtbenutzungseinrede = https://de.wikipedia.org/wiki/Nichtbenutzungseinrede <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Zaha-Hadid-Haus (Wien) = https://de.wikipedia.org/wiki/Zaha-Hadid-Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Talsperre Wechmar = https://de.wikipedia.org/wiki/Talsperre_Wechmar <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Talsperre Wechmar" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Alter Friedhof (Greifswald) = [[Datei:Erbbegräbnis-von-Hildebrandt-Dänischenhagen.JPG|mini|300px|Mausoleum der Familie von Hildebrandt in Dänischenhagen, errichtet 1884]] <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Alter Friedhof (Greifswald)" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Corbusierhaus, Flatowallee 16, Berlin = https://de.wikipedia.org/wiki/Corbusierhaus anderes Foto: Datei:Corbusierhaus_B-Westend_06-2017.jpg (aus dem Artikel "https://de.wikipedia.org/wiki/Flatowallee") <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Corbusierhaus" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Meteorologisches Observatorium Hohenpeißenberg = dw.com: umformulieren Die älteste Bergwetterwarte der Welt liegt 977 Meter über Normalnull auf dem Hohen Peißenberg, etwa 60 Kilometer südwestlich von München: Das Meteorologische Observatorium Hohenpeißenberg. Dort werden seit 1781 meteorologische Daten erfasst. Auch werden dort "Methoden zur Verbesserung der Wettervorhersage und von Wetterwarnungen entwickelt", so die Website der Station. Die Warte war von Beginn an Teil eines Wetterbeobachtungsnetzes mit Dutzenden Stationen vom Ural bis Nordamerika und von Grönland zum Mittelmeerraum. Während heute Wetterdienste mit Hilfe von Computern und Satelliten systematisch Wetterphänomene beobachten und aufzeichnen, um möglichst präzise Wetterprognosen zu machen, waren Menschen viele Jahrhundertelang auf Beobachtungen und Erfahrungswissen angewiesen. <ref>[[https://www.dw.com/de/der-april-macht-was-er-will-bekannte-bauernweisheiten/a-52430233 "Der April macht, was er will – bekannte Bauernweisheiten", Deutsche Welle, dw.com, 3.4.2020]]</ref> https://de.wikipedia.org/wiki/Hohenpei%C3%9Fenberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und um Infos aus anderen Quellen (siehe Einzelnachweise) leicht ergänzt.</ref> = Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte = https://de.wikipedia.org/wiki/Cap_Anamur/Deutsche_Not-%C3%84rzte <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte" in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und leicht ergänzt.</ref> = Marina Owsjannikowa = [[Datei:RU pronunciation Marina Ovsyannikova.ogg|russische Aussprache des Namens von Marina Owsjannikowa]]Marina Owsjannikowa, geboren 1978 in Odessa, ist eine russische Redakteurin, die für den halbstaatlichen russischen Fernsehsender ''Perwy kanal'' (Erster Kanal) gearbeitet hat und seit Mai 2022 in Berlin lebt. Internationale Bekanntheit erlangte sie durch eine Anti-Kriegs-Demonstration während einer Live-Sendung am 14. März 2022, 19 Tage nach Beginn des russischen Überfalls auf die Ukraine. Dabei wies sie auf die vom ''Perwy kanal'' verbreitete Propaganda der russischen Staatsführung hin. Owsjannikowas Aktion war eine von mehreren Protesten gegen die russische Invasion in der Ukraine 2022 von oder in russischen Medien. == Leben und Karriere == Marina Owsjannikowa ist die Tochter eines Ukrainers und einer Russin. Ein Jahr nach ihrer Geburt zogen ihre Eltern mit ihr nach Russland. 1985 zog die Familie in die sowjetische Teilrepublik Tschetscheno-Inguschetische ASSR, von wo sie Anfang der 1990er Jahre aufgrund der beginnenden Tschetschenienkriege floh. Ende der 1990er-Jahre zog sie mit ihren Eltern nach Krasnodar, wo sie die Staatliche Universität Kuban absolvierte und anschließend unter anderem beim Sender „Kuban TV“ arbeitete. Später zog sie nach Moskau um und absolvierte die Russische Präsidentenakademie für Volkswirtschaft und öffentliche Verwaltung. Danach arbeitete sie beim Perwy kanal (Ersten Kanal) für die staatliche Fernseh- und Rundfunkgesellschaft Russlands. Dort war sie für den Bereich „Auslandsnachrichten“ zuständig; sie stand mit den internationalen Nachrichtenagenturen und Sendern in Kontakt, verfolgte die westlichen Nachrichten, recherchierte, nahm Interviews mit Politikern und Experten aus dem Ausland auf und produzierte Beiträge für das Programm. Marina Owsjannikowa war mit Igor Owsjannikow verheiratet, der bei ''Russia Today'' arbeitet. Sie hat einen Sohn und eine Tochter (Anfang 2022 im Alter von 17 und 11 Jahren) und wohnte in der Satellitenstadt „Neu-Moskau“. Einem Interview mit ''Yuga.ru'' aus dem Jahr 2002 zufolge war Marina Owsjannikowa während ihres Studiums Freiwasser-Wettkampfschwimmerin. == Protestaktion == === Ablauf === Owsjannikowa arbeitete bei Perwy kanal im Wochenwechsel (eine Woche Arbeit, eine frei). Am Sonntag, den 13. März 2022, dem letzten Tag einer freien Woche, kaufte sie Papier und Stifte und malte in ihrer Küche ein Protestplakat. Am 14. März 2022 lief Owsjannikowa während eines Beitrags über die Invasion in der Ukraine in den Hauptnachrichten Wremja ihres Senders an einem stetig anwesenden Polizisten vorbei ins Studio, stellte sich hinter die Nachrichtensprecherin Jekaterina Andrejewa und hielt ihr ausgerolltes Plakat in die Kamera. Zunächst war das Plakat teilweise durch die sitzende Nachrichtensprecherin verdeckt. Owsjannikowa korrigierte daraufhin ihren Standort und blieb aus Zuschauersicht rechts hinter der Sprecherin mit dem vollständig sichtbaren Plakat stehen. Das Plakat zeigte neben kleinen ukrainischen und russischen Flaggen die englischen und russischen Aufschriften: “NO WAR <...>“ [deutsche Version] „Kein Krieg <br /> Beenden Sie den Krieg <br /> Glauben Sie der Propaganda nicht <br /> Hier werden Sie belogen <br /> Russen gegen den Krieg“ <br /> – Marina Owsjannikowa: Protestplakat Dazu rief sie: <br /> „Beendet den Krieg! Kein Krieg!“ Die Studioaufnahme wurde fünf Sekunden nach dem Beginn des Auftritts durch einen Einspieler-Beitrag unterbrochen. Owsjannikowa begab sich aus dem Studio zu ihrem Arbeitsplatz. Die vielen Vorgesetzten, die zu ihr kamen und fragten, ob sie es gewesen sei, wollten es nicht so recht glauben. Der halbstaatliche ''Perwy kanal'' ist der populärste Sender in Russland. Eine Aufzeichnung der Nachrichtensendung vom 14. März 2022 stand nicht zum Download zur Verfügung, was für diesen Fernsehsender ungewöhnlich ist. Livesendungen werden seither um bis zu zwei Minuten versetzt übertragen. == Videoerklärung == Am Tag vor der Aktion hatte Owsjannikowa ein Video mit einer persönlichen Erklärung aufgenommen, das sie nach der Aktion auf Facebook veröffentlichte. Darin bekundete sie ihre Scham, für die russische Staatspropaganda beim Fernsehsender ''Perwy kanal'' (Ersten Kanal) gearbeitet zu haben, und rief zum offenen Protest gegen den Krieg auf. Ein Ausschnitt des Wortlauts wird in einer dpa-Übersetzung wie folgt wiedergegeben (Quelle: ''Süddeutsche Zeitung'', 15. März 2022): „Das, was jetzt in der Ukraine geschieht, ist ein Verbrechen. Und Russland ist der Aggressor. Und die Verantwortung für diese Aggression liegt nur auf dem Gewissen eines Menschen – und dieser Mensch ist Wladimir Putin. […] Wir haben 2014 geschwiegen, als das alles anfing. Wir sind nicht für Demonstrationen rausgekommen, als der Kreml Nawalny vergiftet hat. Wir haben dieses menschenfeindliche Regime einfach nur stillschweigend beobachtet. Jetzt hat sich die ganze Welt von uns abgewendet. […] Wir, die russischen Menschen, können denken und sind klug. Es liegt nur an uns, diesen ganzen Wahnsinn zu beenden. Geht demonstrieren. Fürchtet nichts. Sie können uns nicht alle einsperren.“ In der Videobotschaft trug sie eine Halskette mit in verschiedenen Farben aneinander gereihten Elementen: Auf Rot, Weiß und Blau (Farben Russlands) folgten Gelb und Blau (Farben der Ukraine). == Folgen und weiteres Engagement == Owsjannikowa wurde festgenommen. Eigenen Angaben zufolge wollten ihr die Beamten, die sie befragten, lange nicht glauben, dass sie keinen Kontakt in den Westen hatte und dass sie „selbst entschieden habe zu protestieren“. Bei den Vernehmungen wurde sie mit ihren Forderungen nach einem Anwalt vertröstet, und es war ihr währenddessen untersagt, selbst Kontakt zu einem Anwalt aufzunehmen. Die Rechtsanwälte Owsjannikowas teilten mit, dass eine Voruntersuchung wegen „Herabsetzung der russischen Streitkräfte“ eingeleitet worden sei. Ihre Mandantin werde unter Vorenthaltung anwaltlicher Vertretung festgehalten. Am Abend des 15. März 2022 wurde berichtet, sie sei von einem Moskauer Gericht zu einer Geldstrafe von 30.000 Rubel (etwa 250 Euro) verurteilt worden. Anschließend wurde sie freigelassen. Sie habe vor Gericht ihre Schuld bestritten und den Vorwurf erneuert, Russland begehe in der Ukraine als Aggressor ein Verbrechen. Sie wurde zunächst nicht nach dem neuen russischen Mediengesetz verurteilt, das bis zu 15 Jahre Haft für die Behauptung von „Falschnachrichten“ über das russische Militär vorsieht. Weil sich die Verurteilung wegen „Organisation einer nicht erlaubten öffentlichen Aktion“ auf ihr Video, nicht aber den Auftritt in der Nachrichtensendung bezog, war zunächst unklar, ob es zu einer weiteren Anklage kommen würde. In mehreren Interviews äußerte sich Owsjannikowa besorgt um ihre Sicherheit und die ihrer Kinder. Sie habe aber nicht vor, aus Russland zu fliehen; sie sei Patriotin. Jedoch erklärte sie, dass sie nicht sehr politisiert gewesen sei, sich aber ihre Unzufriedenheit über die Einschränkungen der politischen Teilhabe und die der Pressefreiheit in Russland über viele Jahre aufgestaut habe. Der Beginn des Krieges gegen die Ukraine der Punkt gewesen sei, an dem es für sie „kein Zurück mehr gab“. Für Owsjannikowa „war der Protest in erster Linie eine pazifistische Aktion“, weil es „im Interesse Russlands und der Welt“ sei, den Krieg „so schnell wie möglich zu beenden“. Sie hoffe, dass ihr Protest nicht umsonst gewesen sei und dass die russische Bevölkerung ihre Augen öffne und Kriegspropaganda genauer hinterfrage. In der oppositionellen Zeitung ''Nowaja Gaseta'' wurde sie in einem Kommentar als Nationalheldin bezeichnet, die die Ehre des Landes gerettet habe. Ihr Name werde in politische Lehrbücher und in die russische Geschichte eingehen und zitiert werden, wenn die Enkel*innen vieler heutiger Regierungsmitglieder sich nur ungern an ihre Vorfahren erinnern würden. Etwa eine Woche nach ihrem Protest rief sie in einem Interview mit dem US-Fernsehsender ''ABC'' zu Demonstrationen auf. Am 25. März 2022 wurde sie wegen „Diskreditierung“ der Armee angeklagt. Nach Angaben des zuständigen Gerichts sollte sich Owsjannikowa wegen Verstoßes gegen Artikel 20.3.3 verantworten. Das Gesetz gegen „Falschnachrichten“ war im März 2022 in Kraft getreten. Die Verhandlung war für den 14. April 2022 angesetzt. Danach gelang ihr die Ausreise nach Deutschland, seit Anfang Mai 2022 lebt sie in Berlin. Beim ''Women's Forum'' in Berlin am 21. Juni 2022 erklärte Owsyannikowa 3 Monate nach ihrer Protestaktion, "Ich "bereue nichts." und: "Das Gute wird über das Böse siegen. Und ich werde weiter dafür kämpfen."<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Marina Owsjannikowa" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Marina_Owsjannikowa&oldid=223885003 Version vom 21. Juni 2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht umgearbeitet.</ref> = Allmende = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Jacqueline Badran = Schweiz: Steuervotum https://de.m.wikipedia.org/wiki/Jacqueline_Badran s. Artikel Süddeutsche, Foto wp <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Florence Brokowski-Shekete = https://de.wikipedia.org/wiki/Florence_Brokowski-Shekete BaWü Schulamtsdirektorin s. Nürtinger Zeitung, 15.2.2022 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] sowie einer externen Pressequelle (Nürtinger Zeitung bm 15.2.2022, S. 3) und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Armut und Gesundheit in Deutschland e.V. = (Trabert) = Kunstfreiheit = Danger Dan bei Jan Böhmermann in "ZDF Magazin Royal" <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Majuskel = Benjamin 1991 Gesammelte Schriften Bd. I-IV, I, 1, 382 Einführung der Majuskel in der Barockepoche (in wlb GN 9458/ 66 6192, S. 71) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = International Alliance of Women = https://de.m.wikipedia.org/wiki/International_Alliance_of_Women <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Yoko Tawada = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Art Déco = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Art_d%C3%A9co <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Amrum = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seewege de / Finnland / Schweden/ Litauen etc. = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Sprach"grenze" Südtirol = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze de-ch/it = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft bilingual de/räto = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/f-Schweiz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... 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Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d(dr)/cz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/pl (Stettin) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft d/dk = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/CH = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/hu = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Passau = inkl. 2015 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rehhügel = https://de.wikipedia.org/wiki/Rehh%C3%BCgel <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kriegskinder = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Dt. Kolonialgeschichte = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Hanglage = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = [Stilmittel Film] = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Saale = https://de.wikipedia.org/wiki/Saale <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Wasserkraftwerk Kardaun = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Violoncello = = Endlagersuche in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Endlagersuche_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Film... = = Atommülltransporte in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Atomm%C3%BClltransporte_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Bundesautobahnen in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Bundesautobahnen_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ring Road (Afghanistan) = https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_Road_(Afghanistan) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Radikalenerlass/ Berufsverbote (Deutschland) = https://de.wikipedia.org/wiki/Berufsverbot_(Deutschland) = Salzbergwerk = https://de.wikipedia.org/wiki/Salzbergwerk <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Zahnkrone = https://de.wikipedia.org/wiki/Zahnkrone <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mahsati Ganjavi = https://de.wikipedia.org/wiki/Mahsati <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kindesunterhalt (Deutschland)= https://de.wikipedia.org/wiki/Kindesunterhalt_(Deutschland) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Normalklima (Textil...) = https://de.wikipedia.org/wiki/Normalklima <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = L’Ultima Cena (Das letzte Mahl) (Haigerloch) = Datei:Haigerloch_2010.JPG Last Supper by Leonardo da Vinci.jpg https://de.wikipedia.org/wiki/Das_Abendmahl_(Leonardo_da_Vinci) https://de.wikipedia.org/wiki/Haigerloch#Kunst <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ottoschacht = https://de.wikipedia.org/wiki/Ottoschacht <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Antiquariat = https://de.wikipedia.org/wiki/Antiquariat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kantorhaus (Herford) = https://de.wikipedia.org/wiki/Kantorhaus_(Herford) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Frankenstraße 28 (Stralsund) = https://de.wikipedia.org/wiki/Frankenstra%C3%9Fe_28_(Stralsund) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Stiersches Haus = https://de.wikipedia.org/wiki/Stiersches_Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rettungswagen = https://de.wikipedia.org/wiki/Rettungswagen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mehrnoush Zaeri-Esfahani = s. Lesezeichen / Spenderin an Flüchtlingsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = Dezernat II: Bürgermeisterin, Diversität, Antidiskriminierung und gesellschaftliches Zusammenleben<br/> Bürgermeisterin Dr. Eskandari-Grünberg <br/> Vertreter: Oberbürgermeister Feldmann <br/> 15 Amt für Multikulturelle Angelegenheiten <br/> 15A Geschäftsstelle der Kommunalen Ausländer- und Ausländerinnenvertretung in Frankfurt am Main <br/> Zuständigkeit für: Religionen / Rat der Religionen (in Absprache mit Dezernat I) = Amira Mohamed Ali = https://de.wikipedia.org/wiki/Amira_Mohamed_Ali <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Charlotte Wiedemann = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Silva Semadeni = https://de.wikipedia.org/wiki/Silva_Semadeni <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Viola Priesemann = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Viola_Priesemann <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Copyleft = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Copyleft <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Haut = https://de.wikipedia.org/wiki/Haut <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Polyethylen = https://de.wikipedia.org/wiki/Polyethylen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Remanenz = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Remanenz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Vorarlberg + Abstimmungen (s. Notz) = https://de.wikipedia.org/wiki/Vorarlberg pic Schaubild Politisches System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seit 1356 Föderalismus in Deutschland = erwartete Sprachkenntnisse: Latein, Deutsch, Tschechisch und Italienisch https://de.wikipedia.org/wiki/Goldene_Bulle , inspiriert durch [https://www.deutschlandfunknova.de/beitrag/ursprung-des-foederalismus-das-metzer-gesetzbuch-und-die-goldene-bulle "Ursprung des Föderalismus (in Deutschland). Die Goldene Bulle von 1356." Podcast vom 17.12.2021 bei ''Deutschlandfunk Nova''], ca. 40 Minuten. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Genossenschaftsbank = https://de.wikipedia.org/wiki/Genossenschaftsbank <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ötztal-Stubai-Kristallin = https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96tztal-Stubai-Kristallin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Landschaftsschutzgebiet Medebacher Kernraum = : Quellmulden, Niederungszonen und Flächhänge https://de.wikipedia.org/wiki/Landschaftsschutzgebiet_Medebacher_Kernraum:_Quellmulden,_Niederungszonen_und_Fl%C3%A4chh%C3%A4nge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Orangeroter Heftelnabeling = https://de.wikipedia.org/wiki/Orangeroter_Heftelnabeling <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = "Im Grase" (1844) = Annette von Droste-Hülshoff: "Im Grase" (1844) https://sammlungen.ulb.uni-muenster.de/hd/content/pageview/6564501 gelesen von ...? <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Einzelnachweise = <references/> 3zujlccznlgbtbgk335uikqlujz8btr 745583 745580 2022-07-21T12:16:57Z C.Koltzenburg 13981 /* Folgen und weiteres Engagement */ wikitext text/x-wiki = ref = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dunja Hayali = Mod. Frühstücksfernsehen (El-Mafaalani, IP, S. 25) = Pinar Atalay = Nachrichten (El-Mafaalani, IP, S. 25) = Integrative Geographie = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integrative_Geographie = Rommelspütt = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rommelsp%C3%BCtt = Erna Kelm = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erna_Kelm = Segellatte = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Segellatte = Garndrehung = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Garndrehung = Schweizer Taschenmesser = Victorinox (Schwyz) = Milchwirtschaft/ H-Milch erhitzen = = Schweizer Volksabstimmung = obligatorisches Referendum 1926 = Badischer Aufstand 1848 (?) = = Katastrophisieren = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Katastrophisieren = Katastrophenhausse = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Katastrophenhausse = Waschsalon im Karl-Marx-Hof = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Waschsalon_im_Karl-Marx-Hof = Aufschlagwasser = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Aufschlagwasser = Rheinpatent = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rheinpatent = Passau = = Taubergrund bei Creglingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Taubergrund_bei_Creglingen = Biologischer Arbeitsstoff-Toleranzwert = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Biologischer_Arbeitsstoff-Toleranzwert = Motoneuron = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Motoneuron = Susanne Thurn = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Susanne_Thurn = Reisende auf einem Bein (Herta Müller) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rein Gold (Elfriede Jelinek) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversität (Soziologie)= https://de.wikipedia.org/wiki/Diversit%C3%A4t_(Soziologie) Miteinander von Menschen mit unter­schied­lichem politischen, ethni­schen, sozio­demo­graf­ischen und welt­anschau­lichen Hinter­grund, unter­schied­lichem Geschlecht, Alter und natür­licher genetischer Vielfalt (Straßenfest in München, 2015) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversity Management = '''Diversity Management''' (auch Managing Diversity) bzw. '''Management der Vielfalt''' ist Teil des Personalwesens (englisch: Human Resource Management) und wird meist im Sinne einer konstruktiven Nutzung der in einem Unternehmen oder einer anderen Organisation vorfindbaren personellen und sozialen Vielfalt verwendet. Diversity Management toleriert nicht nur die individuelle Verschiedenheit (englisch: diversity) der Mitarbeiter, sondern hebt diese im Sinne einer positiven Wertschätzung besonders hervor und versucht, sie für den Unternehmenserfolg nutzbar zu machen. Die klassische Betriebswirtschaftslehre geht davon aus, dass die Diversität der Mitarbeiter nicht im Fokus ihres Gestaltungsinteresses steht, sondern nur einer von vielen sozialen Faktoren des betrieblichen Verwertungsprozesses ist. Im Gegensatz dazu besteht das Ziel des Diversity Management darin, diese Diversität der Arbeitskräfte zu nutzen und deren Differenzen bewusst im Sinne des Unternehmens zu gestalten, unter anderem um neue externe Rekrutierungspotenziale zu erschließen, die Vielfalt der externen Kundschaft oder Klientel auch innerhalb der eigenen Arbeitsorganisation besser abzubilden (Diversity Marketing), eine dysfunktionale soziale Diskriminierung von Frauen und Minderheiten zu verhindern, Beschäftigten bisher in Führungspositionen unterrepräsentierter Gruppen Karrierewege zu ermöglichen und dadurch die Motivation, Wettbewerbsfähigkeit und Kreativität zu steigern. Diversity Management fokussiert in der Europäischen Union die gesetzlich durch das AGG oder andere Rechtsprechung vorgegebenen Merkmale wie Geschlecht, Ethnie, Alter, Behinderung, sexuelle Orientierung und Religion. Zusätzlich zu den im Gleichbehandlungsgesetz (AGG) (– umgangssprachlich auch Antidiskriminierungsgesetz) genannten „Primärdimensionen“ werden gelegentlich auch „Sekundärdimensionen“ genannt, die durch ein Diversity Management berücksichtigt werden sollen: das Einkommen, der berufliche Werdegang, die „geografische Lage“, der Familienstand, die Elternschaft und die (Aus-)Bildung einer Bewerber*in bzw. Mitarbeiter*in. In noch stärker ausdifferenzierten Konzepten des Diversity Managements werden auch Kategorien wie Unterschiede in Fähigkeiten, Kompetenzen, Arbeitsstil und Verhalten aller Art berücksichtigt. Das Diversity Mainstreaming durch staatliche Verwaltungen verwendet dieselben Begriffe wie das Diversity Management in Unternehmen. Es orientiert sich jedoch weniger an wirtschaftlichem Profitstreben als vielmehr am Gedanken sozialer Gerechtigkeit und der Herstellung von Chancengleichheit für alle Menschen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Diversity Management" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diversity_Management&oldid=217194241 Version vom 11.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Nella (...) = Zytglogge Verlag = (Wienbezug) Élisabeth Vigée-Lebrun = https://de.m.wikipedia.org/wiki/%C3%89lisabeth_Vig%C3%A9e-Lebrun = Erdüberlastungstag = 4. Mai war für DE 2022 = Sonnenfinsternis vom 20. März 2015 = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sonnenfinsternis_vom_20._M%C3%A4rz_2015 = Cyber-physisches System = https://de.wikipedia.org/wiki/Cyber-physisches_System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Empfänger (Information) = https://de.wikipedia.org/wiki/Empf%C3%A4nger_(Information) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = AusbildungPlus = https://de.wikipedia.org/wiki/AusbildungPlus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nummer zur Kennzeichnung der Gefahr = https://de.wikipedia.org/wiki/Nummer_zur_Kennzeichnung_der_Gefahr <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rothwald (Dürrenstein) = hier wurde seit der Eiszeit weder gefällt noch gesät (Screen-Werbung mit schwarzem Salamander im Hbf Stgt 25.4.) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Schweizerischer Wissenschaftsrat = https://de.wikipedia.org/wiki/Schweizerischer_Wissenschaftsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = BioEnergie Park Güstrow = https://de.wikipedia.org/wiki/BioEnergie_Park_G%C3%BCstrow <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ausl%C3%A4nder raus! Schlingensiefs Container = https://de.wikipedia.org/wiki/Ausl%C3%A4nder_raus!_Schlingensiefs_Container <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bernadette La Hengst = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = HX-63 (Dechiffriermaschine) = https://de.wikipedia.org/wiki/HX-63 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Landesarchiv Saarbrücken = https://de.wikipedia.org/wiki/Landesarchiv_Saarbr%C3%BCcken <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Windrichtung = https://de.wikipedia.org/wiki/Windrichtung <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Tatort (Fernsehreihe) = https://de.wikipedia.org/wiki/Tatort_(Fernsehreihe) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Eichenlöhlein = https://de.wikipedia.org/wiki/Eichenl%C3%B6hlein Grabungen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = freier zusammenschluss von student*innenschaften = https://de.wikipedia.org/wiki/Freier_zusammenschluss_von_student*innenschaften <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Margarethe von Trotta = https://de.wikipedia.org/wiki/Margarethe_von_Trotta <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sinn (Soziologie) = https://de.wikipedia.org/wiki/Sinn_(Soziologie) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Gesetz der Nachfrage = https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_Nachfrage <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [httphttps://de.wikipedia.org/wiki/Messsystems://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Forschungs- statt Kohleförderung = Dlf Forschung aktuell, 21.4.2022 Neue Jobs für Ostdeutschland? <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sada Sultani = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Oder = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Städte in der deutschsprachigen Schweiz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Städte im deutschsprachigen Italien (Südtirol) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Spritzkuchen = Gebäck Eberswalde <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fontane-Figur Effi Briest = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ziegeleipark Mildenberg = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nachttisch = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mikrotuner für Saxophone = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Kraftwerk Geisling = Wasserkraftwerk an der Donau <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Acene = chemische Stoffgruppe <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Medelsergletscher = Gletscher in der Schweiz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Naturschutzgebiet = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Verordnung über Zusatzleistungen in Härtefällen nach dem Bundesausbildungsförderungsgesetz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Individuendominanz = ökologische Größe, die den Dominanzgrad einer einzelnen Art innerhalb einer Lebensgemeinschaft angibt. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fertigungsmechaniker*in = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = KiTa-Qualitäts- und -Teilhabeverbesserungsgesetz = Rechtsvorschrift (Deutschland) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Stolpersteine = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Edelmetallpräparat = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dömitz + Anna Wolfenstein (VVN) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rechtsberatung für Asylbewerber = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Papiermaschee Ludwigslust = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Müritz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Thalwassertalbrücke = Autobahnbrücke in Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Flöha (Chemnitz) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Autopilot/ Schleudersitz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Linzer Eisenbahnbrücke (1900) = Ehemalige Eisenbahn- und Straßenbrücke in Linz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sauerstoffkreislauf = Transport und die Speicherung von Sauerstoff in der Erdatmosphäre, Biosphäre und Lithosphäre <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Weiden in der Oberpfalz = kreisfreie Stadt in Bayern, Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Intarsie = Holzeinlegearbeit <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Root Leeb = deutsche Schriftstellerin, Malerin, Illustratorin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Privatautonomie = '''Privatautonomie''' ist das Recht, seine privaten Rechtsverhältnisse nach eigener Entscheidung zu gestalten. Sie entspricht dem Ideal, in einer freien Gesellschaft nach dem je eigenen Willen im Rahmen rechtlicher Bestimmungen selbstverantwortlich zu handeln. Der Begriff wird in der Rechtswissenschaft und der Rechtsphilosophie, sinngemäß aber auch in der Pädagogik verwendet. Er entstammt dem Denken des Liberalismus und setzt voraus, dass menschliche Handlungen auf Vernunft beruhen. Verfassungsrechtlich ist die Privatautonomie in Deutschland Teil des allgemeinen Prinzips der Selbstbestimmung des Menschen und wird zumindest im Kern durch den fundamentalen {{Art.|1|gg|juris}} in Verbindung mit der [[Allgemeine Handlungsfreiheit|allgemeinen Handlungsfreiheit]] nach {{Art.|2|gg|juris}} Abs.&nbsp;1 [[Grundgesetz für die Bundesrepublik Deutschland|GG]] geschützt.<ref>[[Bundesverfassungsgericht|BVerfG]], Beschluss vom 4. Juni 1985, Az. 1 BvL 12/84, {{BVerfGE|70|115}}, 123; BVerfG, Beschluss vom 13. Mai 1986, Az. 1 BvR 1542/84, {{BVerfGE|72|170}}.</ref> Privatautonomie äußert sich im [[Zivilrecht]] in der [[Vertragsfreiheit]], der [[Vereinigungsfreiheit]], der [[Eigentumsfreiheit]] (→ [[Verfügungsrecht]]), der [[Eheschließungsfreiheit]] und der [[Testierfreiheit]]. Der Einzelne ist berechtigt, Rechte und Pflichten zu begründen, zu ändern oder aufzuheben. Über die bloßen [[Freiheitsrechte]] hinaus, ist er im Rahmen der [[Rechtsordnung]] mithin in der Lage, eigenverantwortlich rechtsverbindliche Regelungen zu treffen.<ref>[[Otto Palandt]]: ''[[Grüneberg (Gesetzeskommentar)|Bürgerliches Gesetzbuch]]''. C. H. Beck, 73.&nbsp;Auflage, München 2014, ISBN 978-3-406-64400-9, Überbl v §&nbsp;104 Rn.&nbsp;1.</ref> Soweit die Privatautonomie zu den unverzichtbaren Grundwerten einer freiheitlichen Rechts- und Verfahrensordnung gehört, muss Missbrauch wirksam begegnet werden können, weshalb zum Schutze der [[sozialstaat]]lichen Rechtsordnung der Gesetzgebung und der Rechtsprechung ein instrumentell eingebetteter Verantwortungsbereich zukommt.<ref>BVerfGE [[JuristenZeitung|JZ]] 90, 692.</ref> Tatsächlich nämlich bestehen zum Teil große Unterschiede zwischen den Menschen, zum Beispiel in Bezug auf ihre wirtschaftlichen Möglichkeiten, ihr [[Wissen]] und ihre Gewandtheit. In der Realität ist nicht jeder wirtschaftlich und sozial tatsächlich [[Gleichberechtigung|gleichberechtigt]], beziehungsweise nur wenige sind materiell in der Lage, ihre rechtlichen Freiheiten zu nutzen, und vermutlich selten, wenn nicht sogar nie, wird jeder Wille ohne, zum Teil unterschwellige, Zwänge geäußert. Zum Schutz solcher Menschen vor einer Benachteiligung sieht die Rechtsordnung Einschränkungen der Privatautonomie vor. Diese Einschränkungen sollen jeden einzelnen entsprechend seinem Vorsprung an wirtschaftlicher Macht oder an Wissen treffen. Beispiele für derartige Einschränkungen der Privatautonomie im Zivilrecht sind die [[Allgemeine Geschäftsbedingungen|AGB-Kontrolle]], das soziale [[Mietvertrag (Deutschland)|Mietrecht]], [[Kontrahierungszwang|Kontrahierungszwänge]] und zahlreiche [[Verbraucherschutz|verbraucherschützende]] Vorschriften im [[Bürgerliches Gesetzbuch|Bürgerlichen Gesetzbuch]] (BGB), zum Beispiel über das [[Widerrufsrecht]] bei [[Vertrag|Verträgen]], die außerhalb von Geschäftsräumen oder im Fernabsatz geschlossen wurden. Diesen Beispielen, in denen der wirtschaftlich Schwächere durch den Kontrahierungszwang vor eventuell [[Diskriminierung|diskriminierender]] Ablehnung seines Antrags geschützt werden soll, stehen insbesondere im [[Versicherungsvertrag]]srecht Pflichten zur [[Deckungsvorsorge]] gegenüber. Ein Beispiel ist die Versicherungspflicht nach den Bestimmungen des [[Pflichtversicherungsgesetz]]es für Kraft[[fahrzeughalter]], nach deren Muster zahlreiche [[Versicherungspflicht]]en im Bereich der [[Haftpflichtversicherung]] ausgestaltet sind. Das Pflichtversicherungsgesetz zwingt den Kraftfahrzeughalter zum Abschluss einer Versicherung aufgrund [[Kontrahierungszwang]]s ({{§|5|pflvg|juris}} [[Pflichtversicherungsgesetz|PflVG]]). <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Privatautonomie" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Privatautonomie&oldid=221821487 Version vom 5.4.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Künstlerisches Entwicklungsvorhaben = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mitteldeutsches (Braunkohle)Revier = BMBF https://www.bmbf.de/bmbf/shareddocs/pressemitteilungen/de/2021/07/230721-Gr%C3%BCndung-Groschforschungszentren.html <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Kaltluftstau = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bärtierchen = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Höllenlöcher = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pinge/ Abraumhalde = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erzgebirge = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Köcherfliegenlarve = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Feuersalamander = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mofette = Austrittspunkt von Kohlendioxid, Begleiterscheinung des Vulkanismus Erzgebirge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Christa Muth = https://de.wikipedia.org/wiki/Christa_Muth Bekannt wurde Muth durch ihren Einsatz für die nicht materiellen Faktoren für den Erfolg in Organisationen und Unternehmen. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hesselberg = https://de.wikipedia.org/wiki/Hesselberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = (Gotha) Europeade = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Europeade <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erste Kursächsische Landesaufnahme = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erste_Kurs%C3%A4chsische_Landesaufnahme <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegard von Bingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_von_Bingen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegaard Knef = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_Knef <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Elektronenbeugung = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Elektronenbeugung <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Villa Rustica (Laucherthal) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Villa_Rustica_(Laucherthal) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dichterarzt = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dichterarzt <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pfleger (Mittelalter) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Pfleger_(Mittelalter) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hartmannbund = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fließband = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Lichtfarbe = https://de.wikipedia.org/wiki/Lichtfarbe <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nichtbenutzungseinrede = https://de.wikipedia.org/wiki/Nichtbenutzungseinrede <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Zaha-Hadid-Haus (Wien) = https://de.wikipedia.org/wiki/Zaha-Hadid-Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Talsperre Wechmar = https://de.wikipedia.org/wiki/Talsperre_Wechmar <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Talsperre Wechmar" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Alter Friedhof (Greifswald) = [[Datei:Erbbegräbnis-von-Hildebrandt-Dänischenhagen.JPG|mini|300px|Mausoleum der Familie von Hildebrandt in Dänischenhagen, errichtet 1884]] <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Alter Friedhof (Greifswald)" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Corbusierhaus, Flatowallee 16, Berlin = https://de.wikipedia.org/wiki/Corbusierhaus anderes Foto: Datei:Corbusierhaus_B-Westend_06-2017.jpg (aus dem Artikel "https://de.wikipedia.org/wiki/Flatowallee") <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Corbusierhaus" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Meteorologisches Observatorium Hohenpeißenberg = dw.com: umformulieren Die älteste Bergwetterwarte der Welt liegt 977 Meter über Normalnull auf dem Hohen Peißenberg, etwa 60 Kilometer südwestlich von München: Das Meteorologische Observatorium Hohenpeißenberg. Dort werden seit 1781 meteorologische Daten erfasst. Auch werden dort "Methoden zur Verbesserung der Wettervorhersage und von Wetterwarnungen entwickelt", so die Website der Station. Die Warte war von Beginn an Teil eines Wetterbeobachtungsnetzes mit Dutzenden Stationen vom Ural bis Nordamerika und von Grönland zum Mittelmeerraum. Während heute Wetterdienste mit Hilfe von Computern und Satelliten systematisch Wetterphänomene beobachten und aufzeichnen, um möglichst präzise Wetterprognosen zu machen, waren Menschen viele Jahrhundertelang auf Beobachtungen und Erfahrungswissen angewiesen. <ref>[[https://www.dw.com/de/der-april-macht-was-er-will-bekannte-bauernweisheiten/a-52430233 "Der April macht, was er will – bekannte Bauernweisheiten", Deutsche Welle, dw.com, 3.4.2020]]</ref> https://de.wikipedia.org/wiki/Hohenpei%C3%9Fenberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und um Infos aus anderen Quellen (siehe Einzelnachweise) leicht ergänzt.</ref> = Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte = https://de.wikipedia.org/wiki/Cap_Anamur/Deutsche_Not-%C3%84rzte <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte" in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und leicht ergänzt.</ref> = Marina Owsjannikowa = [[Datei:RU pronunciation Marina Ovsyannikova.ogg|russische Aussprache des Namens von Marina Owsjannikowa]]Marina Owsjannikowa, geboren 1978 in Odessa, ist eine russische Redakteurin, die für den halbstaatlichen russischen Fernsehsender ''Perwy kanal'' (Erster Kanal) gearbeitet hat und seit Mai 2022 in Berlin lebt. Internationale Bekanntheit erlangte sie durch eine Anti-Kriegs-Demonstration während einer Live-Sendung am 14. März 2022, 19 Tage nach Beginn des russischen Überfalls auf die Ukraine. Dabei wies sie auf die vom ''Perwy kanal'' verbreitete Propaganda der russischen Staatsführung hin. Owsjannikowas Aktion war eine von mehreren Protesten gegen die russische Invasion in der Ukraine 2022 von oder in russischen Medien. == Leben und Karriere == Marina Owsjannikowa ist die Tochter eines Ukrainers und einer Russin. Ein Jahr nach ihrer Geburt zogen ihre Eltern mit ihr nach Russland. 1985 zog die Familie in die sowjetische Teilrepublik Tschetscheno-Inguschetische ASSR, von wo sie Anfang der 1990er Jahre aufgrund der beginnenden Tschetschenienkriege floh. Ende der 1990er-Jahre zog sie mit ihren Eltern nach Krasnodar, wo sie die Staatliche Universität Kuban absolvierte und anschließend unter anderem beim Sender „Kuban TV“ arbeitete. Später zog sie nach Moskau um und absolvierte die Russische Präsidentenakademie für Volkswirtschaft und öffentliche Verwaltung. Danach arbeitete sie beim Perwy kanal (Ersten Kanal) für die staatliche Fernseh- und Rundfunkgesellschaft Russlands. Dort war sie für den Bereich „Auslandsnachrichten“ zuständig; sie stand mit den internationalen Nachrichtenagenturen und Sendern in Kontakt, verfolgte die westlichen Nachrichten, recherchierte, nahm Interviews mit Politikern und Experten aus dem Ausland auf und produzierte Beiträge für das Programm. Marina Owsjannikowa war mit Igor Owsjannikow verheiratet, der bei ''Russia Today'' arbeitet. Sie hat einen Sohn und eine Tochter (Anfang 2022 im Alter von 17 und 11 Jahren) und wohnte in der Satellitenstadt „Neu-Moskau“. Einem Interview mit ''Yuga.ru'' aus dem Jahr 2002 zufolge war Marina Owsjannikowa während ihres Studiums Freiwasser-Wettkampfschwimmerin. == Protestaktion == === Ablauf === Owsjannikowa arbeitete bei Perwy kanal im Wochenwechsel (eine Woche Arbeit, eine frei). Am Sonntag, den 13. März 2022, dem letzten Tag einer freien Woche, kaufte sie Papier und Stifte und malte in ihrer Küche ein Protestplakat. Am 14. März 2022 lief Owsjannikowa während eines Beitrags über die Invasion in der Ukraine in den Hauptnachrichten Wremja ihres Senders an einem stetig anwesenden Polizisten vorbei ins Studio, stellte sich hinter die Nachrichtensprecherin Jekaterina Andrejewa und hielt ihr ausgerolltes Plakat in die Kamera. Zunächst war das Plakat teilweise durch die sitzende Nachrichtensprecherin verdeckt. Owsjannikowa korrigierte daraufhin ihren Standort und blieb aus Zuschauersicht rechts hinter der Sprecherin mit dem vollständig sichtbaren Plakat stehen. Das Plakat zeigte neben kleinen ukrainischen und russischen Flaggen die englischen und russischen Aufschriften: “NO WAR <...>“ [deutsche Version] „Kein Krieg <br /> Beenden Sie den Krieg <br /> Glauben Sie der Propaganda nicht <br /> Hier werden Sie belogen <br /> Russen gegen den Krieg“ <br /> – Marina Owsjannikowa: Protestplakat Dazu rief sie: <br /> „Beendet den Krieg! Kein Krieg!“ Die Studioaufnahme wurde fünf Sekunden nach dem Beginn des Auftritts durch einen Einspieler-Beitrag unterbrochen. Owsjannikowa begab sich aus dem Studio zu ihrem Arbeitsplatz. Die vielen Vorgesetzten, die zu ihr kamen und fragten, ob sie es gewesen sei, wollten es nicht so recht glauben. Der halbstaatliche ''Perwy kanal'' ist der populärste Sender in Russland. Eine Aufzeichnung der Nachrichtensendung vom 14. März 2022 stand nicht zum Download zur Verfügung, was für diesen Fernsehsender ungewöhnlich ist. Livesendungen werden seither um bis zu zwei Minuten versetzt übertragen. == Videoerklärung == Am Tag vor der Aktion hatte Owsjannikowa ein Video mit einer persönlichen Erklärung aufgenommen, das sie nach der Aktion auf Facebook veröffentlichte. Darin bekundete sie ihre Scham, für die russische Staatspropaganda beim Fernsehsender ''Perwy kanal'' (Ersten Kanal) gearbeitet zu haben, und rief zum offenen Protest gegen den Krieg auf. Ein Ausschnitt des Wortlauts wird in einer dpa-Übersetzung wie folgt wiedergegeben (Quelle: ''Süddeutsche Zeitung'', 15. März 2022): „Das, was jetzt in der Ukraine geschieht, ist ein Verbrechen. Und Russland ist der Aggressor. Und die Verantwortung für diese Aggression liegt nur auf dem Gewissen eines Menschen – und dieser Mensch ist Wladimir Putin. […] Wir haben 2014 geschwiegen, als das alles anfing. Wir sind nicht für Demonstrationen rausgekommen, als der Kreml Nawalny vergiftet hat. Wir haben dieses menschenfeindliche Regime einfach nur stillschweigend beobachtet. Jetzt hat sich die ganze Welt von uns abgewendet. […] Wir, die russischen Menschen, können denken und sind klug. Es liegt nur an uns, diesen ganzen Wahnsinn zu beenden. Geht demonstrieren. Fürchtet nichts. Sie können uns nicht alle einsperren.“ In der Videobotschaft trug sie eine Halskette mit in verschiedenen Farben aneinander gereihten Elementen: Auf Rot, Weiß und Blau (Farben Russlands) folgten Gelb und Blau (Farben der Ukraine). == Folgen und weiteres Engagement == Owsjannikowa wurde festgenommen. Eigenen Angaben zufolge wollten ihr die Beamten, die sie befragten, lange nicht glauben, dass sie keinen Kontakt in den Westen hatte und dass sie „selbst entschieden habe zu protestieren“. Bei den Vernehmungen wurde sie mit ihren Forderungen nach einem Anwalt vertröstet, und es war ihr währenddessen untersagt, selbst Kontakt zu einem Anwalt aufzunehmen. Die Rechtsanwälte Owsjannikowas teilten mit, dass eine Voruntersuchung wegen „Herabsetzung der russischen Streitkräfte“ eingeleitet worden sei. Ihre Mandantin werde unter Vorenthaltung anwaltlicher Vertretung festgehalten. Am Abend des 15. März 2022 wurde berichtet, sie sei von einem Moskauer Gericht zu einer Geldstrafe von 30.000 Rubel (etwa 250 Euro) verurteilt worden. Anschließend wurde sie freigelassen. Sie habe vor Gericht ihre Schuld bestritten und den Vorwurf erneuert, Russland begehe in der Ukraine als Aggressor ein Verbrechen. Sie wurde zunächst nicht nach dem neuen russischen Mediengesetz verurteilt, das bis zu 15 Jahre Haft für die Behauptung von „Falschnachrichten“ über das russische Militär vorsieht. Weil sich die Verurteilung wegen „Organisation einer nicht erlaubten öffentlichen Aktion“ auf ihr Video, nicht aber den Auftritt in der Nachrichtensendung bezog, war zunächst unklar, ob es zu einer weiteren Anklage kommen würde. In mehreren Interviews äußerte sich Owsjannikowa besorgt um ihre Sicherheit und die ihrer Kinder. Sie habe aber nicht vor, aus Russland zu fliehen; sie sei Patriotin. Jedoch erklärte sie, dass sie nicht sehr politisiert gewesen sei, sich aber ihre Unzufriedenheit über die Einschränkungen der politischen Teilhabe und die der Pressefreiheit in Russland über viele Jahre aufgestaut habe. Der Beginn des Krieges gegen die Ukraine sei der Punkt gewesen, an dem es für sie „kein Zurück mehr gab“. Für Owsjannikowa „war der Protest in erster Linie eine pazifistische Aktion“, weil es „im Interesse Russlands und der Welt“ sei, den Krieg „so schnell wie möglich zu beenden“. Sie hoffe, dass ihr Protest nicht umsonst gewesen sei und dass die russische Bevölkerung ihre Augen öffne und Kriegspropaganda genauer hinterfrage. In der oppositionellen Zeitung ''Nowaja Gaseta'' wurde sie in einem Kommentar als Nationalheldin bezeichnet, die die Ehre des Landes gerettet habe. Ihr Name werde in politische Lehrbücher und in die russische Geschichte eingehen und zitiert werden, wenn die Enkel*innen vieler heutiger Regierungsmitglieder sich nur ungern an ihre Vorfahren erinnern würden. Etwa eine Woche nach ihrem Protest rief sie in einem Interview mit dem US-Fernsehsender ''ABC'' zu Demonstrationen auf. Am 25. März 2022 wurde sie wegen „Diskreditierung“ der Armee angeklagt. Nach Angaben des zuständigen Gerichts sollte sich Owsjannikowa wegen Verstoßes gegen Artikel 20.3.3 verantworten. Das Gesetz gegen „Falschnachrichten“ war im März 2022 in Kraft getreten. Die Verhandlung war für den 14. April 2022 angesetzt. Danach gelang ihr die Ausreise nach Deutschland, seit Anfang Mai 2022 lebt sie in Berlin. Beim ''Women's Forum'' in Berlin am 21. Juni 2022 erklärte Owsyannikowa 3 Monate nach ihrer Protestaktion, "Ich bereue nichts." und: "Das Gute wird über das Böse siegen. Und ich werde weiter dafür kämpfen."<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Marina Owsjannikowa" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Marina_Owsjannikowa&oldid=223885003 Version vom 21. Juni 2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] leicht umgearbeitet.</ref> = Allmende = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Jacqueline Badran = Schweiz: Steuervotum https://de.m.wikipedia.org/wiki/Jacqueline_Badran s. Artikel Süddeutsche, Foto wp <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Florence Brokowski-Shekete = https://de.wikipedia.org/wiki/Florence_Brokowski-Shekete BaWü Schulamtsdirektorin s. Nürtinger Zeitung, 15.2.2022 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] sowie einer externen Pressequelle (Nürtinger Zeitung bm 15.2.2022, S. 3) und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Armut und Gesundheit in Deutschland e.V. = (Trabert) = Kunstfreiheit = Danger Dan bei Jan Böhmermann in "ZDF Magazin Royal" <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Majuskel = Benjamin 1991 Gesammelte Schriften Bd. I-IV, I, 1, 382 Einführung der Majuskel in der Barockepoche (in wlb GN 9458/ 66 6192, S. 71) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = International Alliance of Women = https://de.m.wikipedia.org/wiki/International_Alliance_of_Women <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Yoko Tawada = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Art Déco = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Art_d%C3%A9co <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Amrum = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seewege de / Finnland / Schweden/ Litauen etc. = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Sprach"grenze" Südtirol = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze de-ch/it = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft bilingual de/räto = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/f-Schweiz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/sl Österreich = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/nl = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/be = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d(dr)/cz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/pl (Stettin) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft d/dk = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/CH = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/hu = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Passau = inkl. 2015 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rehhügel = https://de.wikipedia.org/wiki/Rehh%C3%BCgel <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kriegskinder = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Dt. Kolonialgeschichte = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Hanglage = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = [Stilmittel Film] = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Saale = https://de.wikipedia.org/wiki/Saale <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Wasserkraftwerk Kardaun = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Violoncello = = Endlagersuche in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Endlagersuche_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Film... = = Atommülltransporte in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Atomm%C3%BClltransporte_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Bundesautobahnen in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Bundesautobahnen_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ring Road (Afghanistan) = https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_Road_(Afghanistan) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Radikalenerlass/ Berufsverbote (Deutschland) = https://de.wikipedia.org/wiki/Berufsverbot_(Deutschland) = Salzbergwerk = https://de.wikipedia.org/wiki/Salzbergwerk <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Zahnkrone = https://de.wikipedia.org/wiki/Zahnkrone <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mahsati Ganjavi = https://de.wikipedia.org/wiki/Mahsati <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kindesunterhalt (Deutschland)= https://de.wikipedia.org/wiki/Kindesunterhalt_(Deutschland) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Normalklima (Textil...) = https://de.wikipedia.org/wiki/Normalklima <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = L’Ultima Cena (Das letzte Mahl) (Haigerloch) = Datei:Haigerloch_2010.JPG Last Supper by Leonardo da Vinci.jpg https://de.wikipedia.org/wiki/Das_Abendmahl_(Leonardo_da_Vinci) https://de.wikipedia.org/wiki/Haigerloch#Kunst <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ottoschacht = https://de.wikipedia.org/wiki/Ottoschacht <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Antiquariat = https://de.wikipedia.org/wiki/Antiquariat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kantorhaus (Herford) = https://de.wikipedia.org/wiki/Kantorhaus_(Herford) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Frankenstraße 28 (Stralsund) = https://de.wikipedia.org/wiki/Frankenstra%C3%9Fe_28_(Stralsund) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Stiersches Haus = https://de.wikipedia.org/wiki/Stiersches_Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rettungswagen = https://de.wikipedia.org/wiki/Rettungswagen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mehrnoush Zaeri-Esfahani = s. Lesezeichen / Spenderin an Flüchtlingsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = Dezernat II: Bürgermeisterin, Diversität, Antidiskriminierung und gesellschaftliches Zusammenleben<br/> Bürgermeisterin Dr. Eskandari-Grünberg <br/> Vertreter: Oberbürgermeister Feldmann <br/> 15 Amt für Multikulturelle Angelegenheiten <br/> 15A Geschäftsstelle der Kommunalen Ausländer- und Ausländerinnenvertretung in Frankfurt am Main <br/> Zuständigkeit für: Religionen / Rat der Religionen (in Absprache mit Dezernat I) = Amira Mohamed Ali = https://de.wikipedia.org/wiki/Amira_Mohamed_Ali <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Charlotte Wiedemann = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Silva Semadeni = https://de.wikipedia.org/wiki/Silva_Semadeni <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Viola Priesemann = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Viola_Priesemann <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Copyleft = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Copyleft <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Haut = https://de.wikipedia.org/wiki/Haut <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Polyethylen = https://de.wikipedia.org/wiki/Polyethylen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Remanenz = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Remanenz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Vorarlberg + Abstimmungen (s. Notz) = https://de.wikipedia.org/wiki/Vorarlberg pic Schaubild Politisches System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seit 1356 Föderalismus in Deutschland = erwartete Sprachkenntnisse: Latein, Deutsch, Tschechisch und Italienisch https://de.wikipedia.org/wiki/Goldene_Bulle , inspiriert durch [https://www.deutschlandfunknova.de/beitrag/ursprung-des-foederalismus-das-metzer-gesetzbuch-und-die-goldene-bulle "Ursprung des Föderalismus (in Deutschland). Die Goldene Bulle von 1356." Podcast vom 17.12.2021 bei ''Deutschlandfunk Nova''], ca. 40 Minuten. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Genossenschaftsbank = https://de.wikipedia.org/wiki/Genossenschaftsbank <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ötztal-Stubai-Kristallin = https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96tztal-Stubai-Kristallin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Landschaftsschutzgebiet Medebacher Kernraum = : Quellmulden, Niederungszonen und Flächhänge https://de.wikipedia.org/wiki/Landschaftsschutzgebiet_Medebacher_Kernraum:_Quellmulden,_Niederungszonen_und_Fl%C3%A4chh%C3%A4nge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Orangeroter Heftelnabeling = https://de.wikipedia.org/wiki/Orangeroter_Heftelnabeling <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = "Im Grase" (1844) = Annette von Droste-Hülshoff: "Im Grase" (1844) https://sammlungen.ulb.uni-muenster.de/hd/content/pageview/6564501 gelesen von ...? <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Einzelnachweise = <references/> fll4jm4atfn6pzkeyme8p3j46iwfzvw 745584 745583 2022-07-21T12:17:30Z C.Koltzenburg 13981 /* Marina Owsjannikowa */ wikitext text/x-wiki = ref = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dunja Hayali = Mod. Frühstücksfernsehen (El-Mafaalani, IP, S. 25) = Pinar Atalay = Nachrichten (El-Mafaalani, IP, S. 25) = Integrative Geographie = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Integrative_Geographie = Rommelspütt = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rommelsp%C3%BCtt = Erna Kelm = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erna_Kelm = Segellatte = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Segellatte = Garndrehung = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Garndrehung = Schweizer Taschenmesser = Victorinox (Schwyz) = Milchwirtschaft/ H-Milch erhitzen = = Schweizer Volksabstimmung = obligatorisches Referendum 1926 = Badischer Aufstand 1848 (?) = = Katastrophisieren = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Katastrophisieren = Katastrophenhausse = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Katastrophenhausse = Waschsalon im Karl-Marx-Hof = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Waschsalon_im_Karl-Marx-Hof = Aufschlagwasser = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Aufschlagwasser = Rheinpatent = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Rheinpatent = Passau = = Taubergrund bei Creglingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Taubergrund_bei_Creglingen = Biologischer Arbeitsstoff-Toleranzwert = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Biologischer_Arbeitsstoff-Toleranzwert = Motoneuron = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Motoneuron = Susanne Thurn = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Susanne_Thurn = Reisende auf einem Bein (Herta Müller) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rein Gold (Elfriede Jelinek) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] mitverfasst und publiziert, nachträglich bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversität (Soziologie)= https://de.wikipedia.org/wiki/Diversit%C3%A4t_(Soziologie) Miteinander von Menschen mit unter­schied­lichem politischen, ethni­schen, sozio­demo­graf­ischen und welt­anschau­lichen Hinter­grund, unter­schied­lichem Geschlecht, Alter und natür­licher genetischer Vielfalt (Straßenfest in München, 2015) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Diversity Management = '''Diversity Management''' (auch Managing Diversity) bzw. '''Management der Vielfalt''' ist Teil des Personalwesens (englisch: Human Resource Management) und wird meist im Sinne einer konstruktiven Nutzung der in einem Unternehmen oder einer anderen Organisation vorfindbaren personellen und sozialen Vielfalt verwendet. Diversity Management toleriert nicht nur die individuelle Verschiedenheit (englisch: diversity) der Mitarbeiter, sondern hebt diese im Sinne einer positiven Wertschätzung besonders hervor und versucht, sie für den Unternehmenserfolg nutzbar zu machen. Die klassische Betriebswirtschaftslehre geht davon aus, dass die Diversität der Mitarbeiter nicht im Fokus ihres Gestaltungsinteresses steht, sondern nur einer von vielen sozialen Faktoren des betrieblichen Verwertungsprozesses ist. Im Gegensatz dazu besteht das Ziel des Diversity Management darin, diese Diversität der Arbeitskräfte zu nutzen und deren Differenzen bewusst im Sinne des Unternehmens zu gestalten, unter anderem um neue externe Rekrutierungspotenziale zu erschließen, die Vielfalt der externen Kundschaft oder Klientel auch innerhalb der eigenen Arbeitsorganisation besser abzubilden (Diversity Marketing), eine dysfunktionale soziale Diskriminierung von Frauen und Minderheiten zu verhindern, Beschäftigten bisher in Führungspositionen unterrepräsentierter Gruppen Karrierewege zu ermöglichen und dadurch die Motivation, Wettbewerbsfähigkeit und Kreativität zu steigern. Diversity Management fokussiert in der Europäischen Union die gesetzlich durch das AGG oder andere Rechtsprechung vorgegebenen Merkmale wie Geschlecht, Ethnie, Alter, Behinderung, sexuelle Orientierung und Religion. Zusätzlich zu den im Gleichbehandlungsgesetz (AGG) (– umgangssprachlich auch Antidiskriminierungsgesetz) genannten „Primärdimensionen“ werden gelegentlich auch „Sekundärdimensionen“ genannt, die durch ein Diversity Management berücksichtigt werden sollen: das Einkommen, der berufliche Werdegang, die „geografische Lage“, der Familienstand, die Elternschaft und die (Aus-)Bildung einer Bewerber*in bzw. Mitarbeiter*in. In noch stärker ausdifferenzierten Konzepten des Diversity Managements werden auch Kategorien wie Unterschiede in Fähigkeiten, Kompetenzen, Arbeitsstil und Verhalten aller Art berücksichtigt. Das Diversity Mainstreaming durch staatliche Verwaltungen verwendet dieselben Begriffe wie das Diversity Management in Unternehmen. Es orientiert sich jedoch weniger an wirtschaftlichem Profitstreben als vielmehr am Gedanken sozialer Gerechtigkeit und der Herstellung von Chancengleichheit für alle Menschen.<ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Diversity Management" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Diversity_Management&oldid=217194241 Version vom 11.11.2021] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt.</ref> = Nella (...) = Zytglogge Verlag = (Wienbezug) Élisabeth Vigée-Lebrun = https://de.m.wikipedia.org/wiki/%C3%89lisabeth_Vig%C3%A9e-Lebrun = Erdüberlastungstag = 4. Mai war für DE 2022 = Sonnenfinsternis vom 20. März 2015 = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Sonnenfinsternis_vom_20._M%C3%A4rz_2015 = Cyber-physisches System = https://de.wikipedia.org/wiki/Cyber-physisches_System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Empfänger (Information) = https://de.wikipedia.org/wiki/Empf%C3%A4nger_(Information) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = AusbildungPlus = https://de.wikipedia.org/wiki/AusbildungPlus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nummer zur Kennzeichnung der Gefahr = https://de.wikipedia.org/wiki/Nummer_zur_Kennzeichnung_der_Gefahr <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rothwald (Dürrenstein) = hier wurde seit der Eiszeit weder gefällt noch gesät (Screen-Werbung mit schwarzem Salamander im Hbf Stgt 25.4.) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Schweizerischer Wissenschaftsrat = https://de.wikipedia.org/wiki/Schweizerischer_Wissenschaftsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = BioEnergie Park Güstrow = https://de.wikipedia.org/wiki/BioEnergie_Park_G%C3%BCstrow <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ausl%C3%A4nder raus! Schlingensiefs Container = https://de.wikipedia.org/wiki/Ausl%C3%A4nder_raus!_Schlingensiefs_Container <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bernadette La Hengst = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = HX-63 (Dechiffriermaschine) = https://de.wikipedia.org/wiki/HX-63 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Landesarchiv Saarbrücken = https://de.wikipedia.org/wiki/Landesarchiv_Saarbr%C3%BCcken <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Windrichtung = https://de.wikipedia.org/wiki/Windrichtung <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Tatort (Fernsehreihe) = https://de.wikipedia.org/wiki/Tatort_(Fernsehreihe) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Eichenlöhlein = https://de.wikipedia.org/wiki/Eichenl%C3%B6hlein Grabungen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = freier zusammenschluss von student*innenschaften = https://de.wikipedia.org/wiki/Freier_zusammenschluss_von_student*innenschaften <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Margarethe von Trotta = https://de.wikipedia.org/wiki/Margarethe_von_Trotta <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sinn (Soziologie) = https://de.wikipedia.org/wiki/Sinn_(Soziologie) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Gesetz der Nachfrage = https://de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_Nachfrage <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [httphttps://de.wikipedia.org/wiki/Messsystems://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Forschungs- statt Kohleförderung = Dlf Forschung aktuell, 21.4.2022 Neue Jobs für Ostdeutschland? <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sada Sultani = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Oder = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Städte in der deutschsprachigen Schweiz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Städte im deutschsprachigen Italien (Südtirol) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Spritzkuchen = Gebäck Eberswalde <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fontane-Figur Effi Briest = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Ziegeleipark Mildenberg = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nachttisch = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mikrotuner für Saxophone = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Kraftwerk Geisling = Wasserkraftwerk an der Donau <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Acene = chemische Stoffgruppe <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Medelsergletscher = Gletscher in der Schweiz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Naturschutzgebiet = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Verordnung über Zusatzleistungen in Härtefällen nach dem Bundesausbildungsförderungsgesetz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Individuendominanz = ökologische Größe, die den Dominanzgrad einer einzelnen Art innerhalb einer Lebensgemeinschaft angibt. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fertigungsmechaniker*in = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = KiTa-Qualitäts- und -Teilhabeverbesserungsgesetz = Rechtsvorschrift (Deutschland) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Stolpersteine = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Edelmetallpräparat = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dömitz + Anna Wolfenstein (VVN) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Rechtsberatung für Asylbewerber = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Papiermaschee Ludwigslust = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Müritz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Thalwassertalbrücke = Autobahnbrücke in Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Flöha (Chemnitz) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Autopilot/ Schleudersitz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Linzer Eisenbahnbrücke (1900) = Ehemalige Eisenbahn- und Straßenbrücke in Linz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Sauerstoffkreislauf = Transport und die Speicherung von Sauerstoff in der Erdatmosphäre, Biosphäre und Lithosphäre <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Weiden in der Oberpfalz = kreisfreie Stadt in Bayern, Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Intarsie = Holzeinlegearbeit <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Root Leeb = deutsche Schriftstellerin, Malerin, Illustratorin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Privatautonomie = '''Privatautonomie''' ist das Recht, seine privaten Rechtsverhältnisse nach eigener Entscheidung zu gestalten. Sie entspricht dem Ideal, in einer freien Gesellschaft nach dem je eigenen Willen im Rahmen rechtlicher Bestimmungen selbstverantwortlich zu handeln. Der Begriff wird in der Rechtswissenschaft und der Rechtsphilosophie, sinngemäß aber auch in der Pädagogik verwendet. Er entstammt dem Denken des Liberalismus und setzt voraus, dass menschliche Handlungen auf Vernunft beruhen. Verfassungsrechtlich ist die Privatautonomie in Deutschland Teil des allgemeinen Prinzips der Selbstbestimmung des Menschen und wird zumindest im Kern durch den fundamentalen {{Art.|1|gg|juris}} in Verbindung mit der [[Allgemeine Handlungsfreiheit|allgemeinen Handlungsfreiheit]] nach {{Art.|2|gg|juris}} Abs.&nbsp;1 [[Grundgesetz für die Bundesrepublik Deutschland|GG]] geschützt.<ref>[[Bundesverfassungsgericht|BVerfG]], Beschluss vom 4. Juni 1985, Az. 1 BvL 12/84, {{BVerfGE|70|115}}, 123; BVerfG, Beschluss vom 13. Mai 1986, Az. 1 BvR 1542/84, {{BVerfGE|72|170}}.</ref> Privatautonomie äußert sich im [[Zivilrecht]] in der [[Vertragsfreiheit]], der [[Vereinigungsfreiheit]], der [[Eigentumsfreiheit]] (→ [[Verfügungsrecht]]), der [[Eheschließungsfreiheit]] und der [[Testierfreiheit]]. Der Einzelne ist berechtigt, Rechte und Pflichten zu begründen, zu ändern oder aufzuheben. Über die bloßen [[Freiheitsrechte]] hinaus, ist er im Rahmen der [[Rechtsordnung]] mithin in der Lage, eigenverantwortlich rechtsverbindliche Regelungen zu treffen.<ref>[[Otto Palandt]]: ''[[Grüneberg (Gesetzeskommentar)|Bürgerliches Gesetzbuch]]''. C. H. Beck, 73.&nbsp;Auflage, München 2014, ISBN 978-3-406-64400-9, Überbl v §&nbsp;104 Rn.&nbsp;1.</ref> Soweit die Privatautonomie zu den unverzichtbaren Grundwerten einer freiheitlichen Rechts- und Verfahrensordnung gehört, muss Missbrauch wirksam begegnet werden können, weshalb zum Schutze der [[sozialstaat]]lichen Rechtsordnung der Gesetzgebung und der Rechtsprechung ein instrumentell eingebetteter Verantwortungsbereich zukommt.<ref>BVerfGE [[JuristenZeitung|JZ]] 90, 692.</ref> Tatsächlich nämlich bestehen zum Teil große Unterschiede zwischen den Menschen, zum Beispiel in Bezug auf ihre wirtschaftlichen Möglichkeiten, ihr [[Wissen]] und ihre Gewandtheit. In der Realität ist nicht jeder wirtschaftlich und sozial tatsächlich [[Gleichberechtigung|gleichberechtigt]], beziehungsweise nur wenige sind materiell in der Lage, ihre rechtlichen Freiheiten zu nutzen, und vermutlich selten, wenn nicht sogar nie, wird jeder Wille ohne, zum Teil unterschwellige, Zwänge geäußert. Zum Schutz solcher Menschen vor einer Benachteiligung sieht die Rechtsordnung Einschränkungen der Privatautonomie vor. Diese Einschränkungen sollen jeden einzelnen entsprechend seinem Vorsprung an wirtschaftlicher Macht oder an Wissen treffen. Beispiele für derartige Einschränkungen der Privatautonomie im Zivilrecht sind die [[Allgemeine Geschäftsbedingungen|AGB-Kontrolle]], das soziale [[Mietvertrag (Deutschland)|Mietrecht]], [[Kontrahierungszwang|Kontrahierungszwänge]] und zahlreiche [[Verbraucherschutz|verbraucherschützende]] Vorschriften im [[Bürgerliches Gesetzbuch|Bürgerlichen Gesetzbuch]] (BGB), zum Beispiel über das [[Widerrufsrecht]] bei [[Vertrag|Verträgen]], die außerhalb von Geschäftsräumen oder im Fernabsatz geschlossen wurden. Diesen Beispielen, in denen der wirtschaftlich Schwächere durch den Kontrahierungszwang vor eventuell [[Diskriminierung|diskriminierender]] Ablehnung seines Antrags geschützt werden soll, stehen insbesondere im [[Versicherungsvertrag]]srecht Pflichten zur [[Deckungsvorsorge]] gegenüber. Ein Beispiel ist die Versicherungspflicht nach den Bestimmungen des [[Pflichtversicherungsgesetz]]es für Kraft[[fahrzeughalter]], nach deren Muster zahlreiche [[Versicherungspflicht]]en im Bereich der [[Haftpflichtversicherung]] ausgestaltet sind. Das Pflichtversicherungsgesetz zwingt den Kraftfahrzeughalter zum Abschluss einer Versicherung aufgrund [[Kontrahierungszwang]]s ({{§|5|pflvg|juris}} [[Pflichtversicherungsgesetz|PflVG]]). <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Privatautonomie" in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Privatautonomie&oldid=221821487 Version vom 5.4.2022] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Künstlerisches Entwicklungsvorhaben = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mitteldeutsches (Braunkohle)Revier = BMBF https://www.bmbf.de/bmbf/shareddocs/pressemitteilungen/de/2021/07/230721-Gr%C3%BCndung-Groschforschungszentren.html <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Kaltluftstau = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Bärtierchen = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Höllenlöcher = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pinge/ Abraumhalde = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erzgebirge = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Köcherfliegenlarve = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Feuersalamander = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Mofette = Austrittspunkt von Kohlendioxid, Begleiterscheinung des Vulkanismus Erzgebirge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Christa Muth = https://de.wikipedia.org/wiki/Christa_Muth Bekannt wurde Muth durch ihren Einsatz für die nicht materiellen Faktoren für den Erfolg in Organisationen und Unternehmen. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hesselberg = https://de.wikipedia.org/wiki/Hesselberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = (Gotha) Europeade = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Europeade <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Erste Kursächsische Landesaufnahme = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Erste_Kurs%C3%A4chsische_Landesaufnahme <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegard von Bingen = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_von_Bingen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hildegaard Knef = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Hildegard_Knef <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Elektronenbeugung = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Elektronenbeugung <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Villa Rustica (Laucherthal) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Villa_Rustica_(Laucherthal) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Dichterarzt = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Dichterarzt <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Pfleger (Mittelalter) = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Pfleger_(Mittelalter) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Hartmannbund = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Fließband = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Lichtfarbe = https://de.wikipedia.org/wiki/Lichtfarbe <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Nichtbenutzungseinrede = https://de.wikipedia.org/wiki/Nichtbenutzungseinrede <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Zaha-Hadid-Haus (Wien) = https://de.wikipedia.org/wiki/Zaha-Hadid-Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Talsperre Wechmar = https://de.wikipedia.org/wiki/Talsperre_Wechmar <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Talsperre Wechmar" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Alter Friedhof (Greifswald) = [[Datei:Erbbegräbnis-von-Hildebrandt-Dänischenhagen.JPG|mini|300px|Mausoleum der Familie von Hildebrandt in Dänischenhagen, errichtet 1884]] <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Alter Friedhof (Greifswald)" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Corbusierhaus, Flatowallee 16, Berlin = https://de.wikipedia.org/wiki/Corbusierhaus anderes Foto: Datei:Corbusierhaus_B-Westend_06-2017.jpg (aus dem Artikel "https://de.wikipedia.org/wiki/Flatowallee") <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Corbusierhaus" in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] bearbeitet und gekürzt.</ref> = Meteorologisches Observatorium Hohenpeißenberg = dw.com: umformulieren Die älteste Bergwetterwarte der Welt liegt 977 Meter über Normalnull auf dem Hohen Peißenberg, etwa 60 Kilometer südwestlich von München: Das Meteorologische Observatorium Hohenpeißenberg. Dort werden seit 1781 meteorologische Daten erfasst. Auch werden dort "Methoden zur Verbesserung der Wettervorhersage und von Wetterwarnungen entwickelt", so die Website der Station. Die Warte war von Beginn an Teil eines Wetterbeobachtungsnetzes mit Dutzenden Stationen vom Ural bis Nordamerika und von Grönland zum Mittelmeerraum. Während heute Wetterdienste mit Hilfe von Computern und Satelliten systematisch Wetterphänomene beobachten und aufzeichnen, um möglichst präzise Wetterprognosen zu machen, waren Menschen viele Jahrhundertelang auf Beobachtungen und Erfahrungswissen angewiesen. <ref>[[https://www.dw.com/de/der-april-macht-was-er-will-bekannte-bauernweisheiten/a-52430233 "Der April macht, was er will – bekannte Bauernweisheiten", Deutsche Welle, dw.com, 3.4.2020]]</ref> https://de.wikipedia.org/wiki/Hohenpei%C3%9Fenberg <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und um Infos aus anderen Quellen (siehe Einzelnachweise) leicht ergänzt.</ref> = Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte = https://de.wikipedia.org/wiki/Cap_Anamur/Deutsche_Not-%C3%84rzte <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "Cap Anamur/Deutsche Not-Ärzte" in der [http://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] gekürzt und leicht ergänzt.</ref> = Allmende = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Jacqueline Badran = Schweiz: Steuervotum https://de.m.wikipedia.org/wiki/Jacqueline_Badran s. Artikel Süddeutsche, Foto wp <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Florence Brokowski-Shekete = https://de.wikipedia.org/wiki/Florence_Brokowski-Shekete BaWü Schulamtsdirektorin s. Nürtinger Zeitung, 15.2.2022 <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] sowie einer externen Pressequelle (Nürtinger Zeitung bm 15.2.2022, S. 3) und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] umgearbeitet.</ref> = Armut und Gesundheit in Deutschland e.V. = (Trabert) = Kunstfreiheit = Danger Dan bei Jan Böhmermann in "ZDF Magazin Royal" <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Majuskel = Benjamin 1991 Gesammelte Schriften Bd. I-IV, I, 1, 382 Einführung der Majuskel in der Barockepoche (in wlb GN 9458/ 66 6192, S. 71) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = International Alliance of Women = https://de.m.wikipedia.org/wiki/International_Alliance_of_Women <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Yoko Tawada = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Art Déco = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Art_d%C3%A9co <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Amrum = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seewege de / Finnland / Schweden/ Litauen etc. = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Sprach"grenze" Südtirol = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... 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Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze A/sl Österreich = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/nl = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/be = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d(dr)/cz = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft Grenze d/pl (Stettin) = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ortschaft d/dk = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... 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Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rehhügel = https://de.wikipedia.org/wiki/Rehh%C3%BCgel <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kriegskinder = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Dt. Kolonialgeschichte = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... 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Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Wasserkraftwerk Kardaun = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Violoncello = = Endlagersuche in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Endlagersuche_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Film... = = Atommülltransporte in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Atomm%C3%BClltransporte_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Bundesautobahnen in Deutschland = https://de.wikipedia.org/wiki/Liste_der_Bundesautobahnen_in_Deutschland <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ring Road (Afghanistan) = https://de.wikipedia.org/wiki/Ring_Road_(Afghanistan) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Radikalenerlass/ Berufsverbote (Deutschland) = https://de.wikipedia.org/wiki/Berufsverbot_(Deutschland) = Salzbergwerk = https://de.wikipedia.org/wiki/Salzbergwerk <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Zahnkrone = https://de.wikipedia.org/wiki/Zahnkrone <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mahsati Ganjavi = https://de.wikipedia.org/wiki/Mahsati <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kindesunterhalt (Deutschland)= https://de.wikipedia.org/wiki/Kindesunterhalt_(Deutschland) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Normalklima (Textil...) = https://de.wikipedia.org/wiki/Normalklima <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = L’Ultima Cena (Das letzte Mahl) (Haigerloch) = Datei:Haigerloch_2010.JPG Last Supper by Leonardo da Vinci.jpg https://de.wikipedia.org/wiki/Das_Abendmahl_(Leonardo_da_Vinci) https://de.wikipedia.org/wiki/Haigerloch#Kunst <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ottoschacht = https://de.wikipedia.org/wiki/Ottoschacht <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Antiquariat = https://de.wikipedia.org/wiki/Antiquariat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Kantorhaus (Herford) = https://de.wikipedia.org/wiki/Kantorhaus_(Herford) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Frankenstraße 28 (Stralsund) = https://de.wikipedia.org/wiki/Frankenstra%C3%9Fe_28_(Stralsund) <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Stiersches Haus = https://de.wikipedia.org/wiki/Stiersches_Haus <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Rettungswagen = https://de.wikipedia.org/wiki/Rettungswagen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Mehrnoush Zaeri-Esfahani = s. Lesezeichen / Spenderin an Flüchtlingsrat <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Maryam Zaree und Nargess Eskandari-Grünberg = Dezernat II: Bürgermeisterin, Diversität, Antidiskriminierung und gesellschaftliches Zusammenleben<br/> Bürgermeisterin Dr. Eskandari-Grünberg <br/> Vertreter: Oberbürgermeister Feldmann <br/> 15 Amt für Multikulturelle Angelegenheiten <br/> 15A Geschäftsstelle der Kommunalen Ausländer- und Ausländerinnenvertretung in Frankfurt am Main <br/> Zuständigkeit für: Religionen / Rat der Religionen (in Absprache mit Dezernat I) = Amira Mohamed Ali = https://de.wikipedia.org/wiki/Amira_Mohamed_Ali <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Charlotte Wiedemann = <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Silva Semadeni = https://de.wikipedia.org/wiki/Silva_Semadeni <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Viola Priesemann = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Viola_Priesemann <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Copyleft = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Copyleft <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Haut = https://de.wikipedia.org/wiki/Haut <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Polyethylen = https://de.wikipedia.org/wiki/Polyethylen <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Remanenz = https://de.m.wikipedia.org/wiki/Remanenz <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Vorarlberg + Abstimmungen (s. Notz) = https://de.wikipedia.org/wiki/Vorarlberg pic Schaubild Politisches System <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Seit 1356 Föderalismus in Deutschland = erwartete Sprachkenntnisse: Latein, Deutsch, Tschechisch und Italienisch https://de.wikipedia.org/wiki/Goldene_Bulle , inspiriert durch [https://www.deutschlandfunknova.de/beitrag/ursprung-des-foederalismus-das-metzer-gesetzbuch-und-die-goldene-bulle "Ursprung des Föderalismus (in Deutschland). Die Goldene Bulle von 1356." Podcast vom 17.12.2021 bei ''Deutschlandfunk Nova''], ca. 40 Minuten. <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Genossenschaftsbank = https://de.wikipedia.org/wiki/Genossenschaftsbank <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Ötztal-Stubai-Kristallin = https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%96tztal-Stubai-Kristallin <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Landschaftsschutzgebiet Medebacher Kernraum = : Quellmulden, Niederungszonen und Flächhänge https://de.wikipedia.org/wiki/Landschaftsschutzgebiet_Medebacher_Kernraum:_Quellmulden,_Niederungszonen_und_Fl%C3%A4chh%C3%A4nge <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Orangeroter Heftelnabeling = https://de.wikipedia.org/wiki/Orangeroter_Heftelnabeling <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = "Im Grase" (1844) = Annette von Droste-Hülshoff: "Im Grase" (1844) https://sammlungen.ulb.uni-muenster.de/hd/content/pageview/6564501 gelesen von ...? <ref>Dieser Text basiert auf dem Wikipedia-Eintrag "..." in der [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=... Version vom ...] und wurde von [[Benutzer:C.Koltzenburg|C.Koltzenburg]] um ... ergänzt/ leicht bearbeitet/ umgearbeitet.</ref> = Einzelnachweise = <references/> 4ag1whn9ekryol2ix15stdcehie41u8 106 136636 745582 745575 2022-07-21T12:15:38Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png jcjzeswiu7gvgt3f7t3crgfw365rohs 745586 745582 2022-07-21T12:18:35Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 3r9i227bjmuyn8s3gj6tn910h0wi0f2 745599 745586 2022-07-21T19:56:19Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[Datei:A|mini]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png clh9uduuqtx50k3k6c14y5zpuub6392 745600 745599 2022-07-21T20:01:42Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[File:Mondbahn-wxMaxima.png|thumb|Feinere Diskretisierung des Mondorbit in Maxima]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png oeflgoe95d9dx80m1ingb6nbl38aicb 745601 745600 2022-07-21T20:02:40Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[File:Mondbahn-wxMaxima.png|thumb|Feinere Diskretisierung des Mondorbit in Maxima-grid(100)]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 3b1rnvlseygd9ahcox3o94108poy769 745602 745601 2022-07-21T20:08:33Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[Datei:A|mini]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png clh9uduuqtx50k3k6c14y5zpuub6392 745603 745602 2022-07-21T20:10:52Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[File:Feinere Diskretisierung des Mondorbits in wxMaxima.png|thumb|Feinere Diskretisierung des Mondorbits in Maxima- Grid(100)]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 2mzntf7rtp8zv8hme4bh19ez77p5a4z 745604 745603 2022-07-21T20:13:13Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] [[Datei:A|mini]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[File:Feinere Diskretisierung des Mondorbits in wxMaxima.png|thumb|Feinere Diskretisierung des Mondorbits in Maxima- Grid(100)]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png fu9er2ojejkz96wmqspmamp3cdu7g8i 745605 745604 2022-07-21T20:16:03Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Rotationsbewegung Mond.png|thumb|Drehungen des Mondes um die Erde ( 1 Jahr)]] [[File:Maxima-Drehungen.png|thumb|Drehungen Mond um Erde innerhalb eines Jahres]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[File:Feinere Diskretisierung des Mondorbits in wxMaxima.png|thumb|Feinere Diskretisierung des Mondorbits in Maxima- Grid(100)]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 0vw5v3afglqd76lga3v9uz9jq9da1f1 745606 745605 2022-07-21T20:16:45Z Moritz Berner 36059 /* Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen */ wikitext text/x-wiki == Modellierungsproblem == === Einführung === Planetensystem und deren Bahnen von einfachen bis zu komplexenen überlagerten Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> === Modellbeschreibung === Es werden Planetenbahnen, besonders die des Mondes und der Erde mathematisch beschrieben === Ziel der Modellierung === Ziel der Modellierung ist es, ausgehend von vereinfachten sich überlagernden Kreisbahnen im <math>\mathbb{R}^2</math> z.B. [[w:de:Zykloide|Zykloide]] einen ersten Zugang zu Orbits mit trigonometrischen Funktionen herzustellen. Dieser Zugang wird dann auf Kurven im <math>\mathbb{R}^3</math> erweitert, wobei durch Addieren und Drehen mithilfe von Rotationsmatrizen die Planetenbahnen genauer dargestellt werden können. === Zielgruppe der Modellbildung === * Zielgruppe unsere Modellbildung sind vor allem Schülerinnen und Schüler und Lehrpersonen im Mathematik- und Physikunterricht. === Mehrwert der Modellbildung === * Unterstützung trigonometrische Funktionen im Kontext der Modellierung von Kurven im <math>\mathbb{R}^2</math> verwenden zu können. * == Gruppenmitglieder == * Moritz Berner == Wiki2Reveal == * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Planetenbahnen - Einführung]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 1|Mathematische Grundlagen-Sek 1]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%201&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische Grundlagen - Sek 2|Mathematische Grundlagen-Sek 2]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mathematische%20Grundlagen%20-%20Sek%202&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2021-22 Winteresemester/Planetenbahnen/Einführung|Mathematische Grundlagen - Uni Niveau]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Themen/2021-22%20Winteresemester/Planetenbahnen/Einf%C3%BChrung&author=Kurs:Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbahnen%20-%20Einf%C3%BChrung&coursetitle=Kurs:Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung in Blender|Planetenbewegung in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=3D-Modellierung/Beispiele/Planetenbewegung%20in%20Blender&author=3D-Modellierung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Planetenbewegung%20in%20Blender&coursetitle=3D-Modellierung Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Geogebra/Bahnen von Objekten und Trigonometrie|Bahnen von Objekten und Trigonometrie in Geogebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Geogebra/Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&author=Geogebra&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Bahnen%20von%20Objekten%20und%20Trigonometrie&coursetitle=Geogebra Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Visualisierung des Sonnensystems in Blender|Visualisierung des Sonnensystems in Blender]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&author=Mathematische%20Modellbildung&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Visualisierung%20des%20Sonnensystems%20in%20Blender&coursetitle=Mathematische%20Modellbildung Foliensatz]) * '''[[Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen|Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20mit%20trigonometrischen%20Funktionen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen|Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Darstellung%20von%20Planetenbahnen%20im%20dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen|Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&author=https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische_Modellbildung/Themen/2021-22_Winteresemester/Planetenbahnen&language=de&audioslide=no&shorttitle=Drehung%20der%20Mondbahn%20im%20Dreidimensionalen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Bewertung der Modellbildung/]] * [[/Modellierungszyklen/]] == Modellierungszyklen == [[Datei:Modellbildungszyklus Mod6.png|miniatur|Modellbildungszyklus]] In den Modellierungszyklen wird schrittweise * modelliert, * bewertet und * ein Optimierungsvorschlag gemacht, der in den nächsten Modellierungszyklus einfließt.<br> <br> === '''Modellierungszyklus 1 - Niveau Sekundarstufe 1''' === === Einführung === Im ersten Modellierungszyklus geht es um die zweidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktion. Außerdem wird das Sonnensystem und die Planetenbewegung auf heruntergebrochene Weise in Blender visualisiert. == Darstellung des Sonnensystems in Blender== Um einen genaueren Überblick und eine bessere Visualisierung von Planetenbahnen zu erhalten, habe ich das Sonnensystem in Blender dargestellt. Hierbei ist zu beachten, dass es sich nicht um die echten Größen der Planeten/-bahnen und die Umlaufgeschwindigkeiten handelt. Diese sind lediglich angedeutet. [[Datei:Sonnensystem Blender.png|400px|zentriert|]]<br> <br> Dieses Video ist eine Draufsicht auf das Sonnensystem inklusive Planetenbewegung. <br> [[File:AnimationSonnensystem.webm|800px|zentriert|Animation des Sonnensystems in Blender]] <br> <br> <br> <br> <br> == Darstellung von Planetenbahnen mit trigonometrischen Funktionen == Um die Kreisbahnen der Planeten im zweidimensionalen darzustellen, kann man trigonometrische Funktionen nutzen. <br> So beschreibt die Funktion <math>f</math>:[0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,<math>t</math>→<math>(5 \cdot cos(t), 5 \cdot sin(t)) </math> einen Kreis: [[Datei:Geogebra, Kreis.png|mini]] Um nun eine Umlaufbahn eines Satelliten, welcher 10 Mal um einen Planeten kreist, während der Planet selbst eine Umrundung um das Zentrum, hier Koordinatenursprung, schafft, darzustellen, benötigt man eine weitere trigonometrische Funktion: <math>g</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> , <math>t</math>→<math>(cos(10t), sin(10t))</math>. Hier wird wieder ein Kreis mit dem Radius 1 dargestellt, bloß dass die innere Funktion im Vergleich zu <math>f(t)</math> verzehnfacht wurde. So kommt man zum Schluss, dass sich der Satellit zehn Mal so schnell um das Zentrum dreht als der Planet. Nun will man aber, dass sich der Satellit nicht nur ums Zentrum rotiert, sondern um den Planeten. Hierzu addiert man beide Funktionen und erhält <math> f(t)+g(t) = (5 \cdot cos(t)+cos(10 \cdot t), 5 \cdot sin(t)+sin(10 \cdot t))</math>. <br> <br><br> <br> [[File:Satelit,Geogebra.png|600px|die Umlaufbahn eines Satelliten wird in Geogebra dargestellt|zentriert|gerahmtt|]] Nun weiß man aber auch, dass zum Beispiel die Erde nicht in einem perfekten Kreis um die Sonne kreist, sondern es Abweichungen gibt und die Umlaufbahn einer Ellipse ähnelt. Diese Abweichung wird auch numerische Exzentrizität genannt. Sie beschreibt also grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform. Zu den oben genannten Faktoren habe ich ein Beispiel mit der Exzentrizität etc. erstellt: [[File:Abweichung Planetenbahn.png|mini|Abweichungen, numerische Exzentrizität, in Geogebra|zentriert|gerahmt|]] == Bewertung == *Die Funktionen sind nur im Zweidimensionalen dargestellt *Keine Definition der Dauer der Umlaufbahn *Anzahl der Umdrehungen des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres wird nicht beachtet. == Optimierung== *Planetenbahnen werden nicht mehr nur im Zweidimensionalen betrachtet, sondern auch im Dreidimensionalen. *Ein bestimmtes Intervall repräsentiert die Dauer eines Jahres. *Es werden korrekte Messdaten verwendet, wie zum Beispiel die Anzahl der Umdrehung des Mondes um die Erde innerhalb eines Jahres. === '''Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 '''=== ==Einführung== Im Modellierungszyklus 2 geht es um die dreidimensionale Darstellung von Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen. Hierbei wird durch Addieren von Funktionen die Darstellung des Mondorbits optimiert. == Darstellung von Planetenbahnen im Dreidimensionalen == Die Ebene der Mondbahn ist gegen die Bahnebene der Erde, im Mittel um ca. 5° geneigt. Daher kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Somit muss man die Darstellung im Zweidimensionalen aufs Dreidimensionale übertragen. [[File:Auschläge des Mondorbits.png|thumb|]] Zuerst geht man von einer Kreisbahn mit dem Radius 10 aus: <math>f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math><br> <br> Um eine komplette Umrundung der Erde um die Sonne darzustellen, werden Stellen im Intervall [0;1] eingesetzt. Dies entspricht einem Jahr und ist darauf zurückzuführen, dass 2 <math>\pi</math> 360° entsprechen und somit einer Umrundung. So setzt man später, um die Position des Mondes im 2. Jahr zu berechnen, Stellen im Intervall [1;2] ein und im n-ten Jahr Stellen im Intervall [n-1;n]. <br> Nun versucht man Ausschläge nach oben und nach unten darzustellen, die durch die Neigung der Erdachse entstehen. Dies schafft man, indem man folgende Funktion <math>g(x)=\begin{pmatrix} 0\\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math>f(x)</math><br> addiert.<br> Da sich der Mond durchschnittlich innerhalb von 27,3 Tagen 1 Mal um die Erde dreht, erhält man die Drehungen eines Jahres, indem man 365 durch 27,3 dividiert. Der Mond dreht sich innerhalb von 365 Tagen ungefähr 13,4 Mal um die Erde. Man multipliziert folglich die innere Funktion mit 13,4, was 13,4 Ausschläge nach oben und unten bewirkt. Um den Auschlag nach oben und unten deutlich darzustellen habe ich <math>sin(28 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math> mit 6 multtipliziert, also <math> 6 \cdot sin(12 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)</math>. <br> <math>g(x)+f(x)=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math><br> <br> Im Moment haben wir durch Addieren der zwei Funktion Ausschläge nach oben und unten erzeugt. Nun muss man wie im Zyklus 1 beschrieben, die Rotation um die Erde darstellen. Zuerst beginnt man wieder mit einer Kreisbahn <math>t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, hierzu addiert man die Funktion <math>h(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math>, welche die Rotation um die Erde beschreibt. <math>h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> [[File:Maxima-Drehungen.png|thumb|Drehungen Mond um Erde innerhalb eines Jahres]] <br> <br> Um jetzt sowohl die Ausschläge nach oben und unten als auch die Rotation um die Erde in eine Funktion zu bringen, muss man <math> f(x), g(x), t(x), h(x) </math> addieren.<br> <br> <math> f(x)+g(x)+t(x)+h(x)=k(x)= \begin{pmatrix} 15 \cdot cos(x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\end{pmatrix} </math><br> <br> Nun erhält man eine Funktion, die sowohl die Rotation um die Erde als auch den Auschlag in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt. [[File:Mondorbit 3.png|thumb|Mondorbit in Maxima mit grober Diskretisierung-grid(30)]] <br> <br> [[File:Feinere Diskretisierung des Mondorbits in wxMaxima.png|thumb|Feinere Diskretisierung des Mondorbits in Maxima- Grid(100)]] <br> [[File:Mondorbit im Dreidimensionalen.png|thumb|Mondorbit mithilfe von trigonometrischen Funktion in Geogebra beschrieben]] <br> <br> Hier wird die gleiche Funktion in GeoGebra statt Maxima dargestellt. In Maxima werden Funktionswerte ausgerechnet und der endgültige Graph ist ein Polygonzug, da Punkte mit Strecken verbunden werden. Dadurch wird der Orbit grob diskretisiert. In Geogebra ist die Schrittweite von den einzelnen x-Werten sehr gering, was eine genauere Darstellung des Orbits ermöglicht. f(x):=[5·cos(28·π·x)+0.54·sin(26.4·π·x)+15·cos(2·π·x),5·sin(28·π·x)+cos(26.4·π·x)+15·sin(2·π·x),6·sin(26.4·π·x)-0.91·cos(2·π·x)] plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot])$ Wenn man die Diskretisierung verfeinern will, um eine Abbildung so wie in Geogebra zu erhalten, muss man den Grid-Parameter anpassen. In diesem Beispiel wurde der Parameter auf 100 gesetzt. plot3d(f(x), [x,0,1], [y,-5,5], [plot_format,gnuplot], [grid,100,30])$ <br> <br> <br> [[File:Erläuterung abgebrochener Mondbahn.png|zentriert|300px|Erläuterung der abgebrochenen Mondbahn]] Anhand dieses Schaubild erkennt man, dass sich der Mond nur ungefähr 13,4 Mal innerhalb eines Jahres um die Erde dreht. Das heißt, dass sich nicht dasselbe Schaubild ergibt, wenn Werte aus anderen Intervallen [0;1], [1,2] … [n-1, n] eingesetzt werden. ==Bewertung== *Es wurden zum einfacheren Handhaben Werte gerundet. So liegen die Umdrehungen des Mondes um die erde innerhalb eines Jahres bei circa 13,4. *Es wurde nicht beachtet, dass die Mondbahn um etwa 5° geneigt ist. ==Optimierung== Man kann als Optimierung die Planetenbahnen im Dreidimensionalen nicht nur durch Addieren von bestimmten Funktionen angeben, sondern auch durch Rotieren der Planetenbahnen mit Drehmatrizen genauer darstellen. === '''Modellierungszyklus 3 - Niveau Uni''' === == Einführung == Um die Mondbahn noch genauer darstellen zu können, muss man die Neigung der Mondbahn berücksichtigen. Diese beträgt 5°. Für eine Drehung des Mondorbit um 5° benötigt man die Drehmatrizen des Raumes. == Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen == Für die Drehung der Mondbahn im Dreidimensionalen ziehe ich die Drehmatrix des Raumes zu Hilfe, welche um die y-Achse drehen lässt. Diese lautet: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> Hierbei ist <math>\phi</math> der Winkel um den man dreht. Da die Neigung der Mondbahn 5° entspricht, ist <math> \phi </math> = 5°. Diese 5° muss man nun in das Bogenmaß umrechnen. Die Formel für das Bogenmaß x lautet: <math> x= \frac{\alpha}{180} \cdot \pi </math>. <math> \alpha </math> ist das Gradmaß. Daher setzt man jetzt 5° für <math> \alpha </math> ein. <math> x= \frac{5}{180} \cdot \pi </math> ≈ <math>0,09075</math> Jetzt setzt man 0,09075 in <math> R_y(\phi) </math> ein. <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <math> R_y(0,09075) = \begin{pmatrix} cos(0,09075) & 0 & sin(0,09075)\\0 & 1 & 0\\-sin(0,09075) & 0 & cos(0,09075) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Jetzt multipliziert man die Matrix <math> R_z(0.0975)</math>≈ <math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> mit <math>(g(x)+f(x))=\begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> und addiert darauf die Funktion <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> So dreht man die Funktion, welche die Ausschläge in der <math>x_3</math> -Ebene beschreibt, um 5° und erhält somit die Neigung des Mondorbits, da durch die 5° Drehung der Modbahn gegen die Elliptik erst die Auschläge entstehen . Anschließend addiert man die Funktion, die die Drehungen des Mondes um die Erde beschreibt. Wie schon erwähnt, kreuzt der Mond nach jedem halben Umlauf die Ekliptik und steht abwechselnd oberhalb und unterhalb. Ich bin daher so vorgegangen, dass ich erst die Ausschläge mathematisch beschreibe und daraufhin um 5° drehe und nicht direkt begründend auf der Neigung von 5° die Mondbahn beschreibe. Das Endergebnis wird dann die Funktionsgleichung der gedrehten Mondbahn sein. Nun werden die eben beschriebenen Schritte ausgeführt: <math> R_z(0.0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> =<math> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0,091 \\ 0 & 1 & 0 \\ -0,091 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)+10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> ≈ <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> Jetzt addiert man <math> R_z(0,0975) \cdot (g(x)+f(x)) </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \\ cos(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) + 10 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(2 \cdot 13,4 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> zu <math> h(x)+t(x)=\begin{pmatrix} 5 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)+ 5 \cdot cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\5 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x)+5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x)\\0 \end{pmatrix} </math> = <math> \begin{pmatrix} 0,53 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 5 \cdot cos( 13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x)\\ 5 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) +cos(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) + 15 \cdot sin(2 \cdot \pi \cdot x) \\ 6 \cdot sin(13,4 \cdot 2 \cdot \pi \cdot x) - 0,91 \cdot cos(2 \cdot \pi \cdot x) \end{pmatrix} </math> [[File:Um 5° gedrehter Mondorbit in Maxima.png|thumb|um 5° gedrehter Mondorbit in maxima]] <br> <br> Wenn ich diese Funktion jetzt in Maxima darstelle, sieht man kaum einen Unterschied zu der nicht gedrehten Funktion in Zyklus 2, da man keinen Vergleich hat. Ich werde dies aber der Volllständigkeit halber dennoch hinzufügen, aber auch ein Bild mit beiden Funktionen hinzufügen.<br> <br> <br> [[File:Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila).png|400px|zentriert|Vergleich von gedrehter Mondbahn (grün) und nicht gedrehter Mondbahn (lila)]]<br> <br> [[File:Veranschaulichung 5° gedrehter Mondbahn.png|400px|zentriert|]] <br> Hier ist der gedrehte Mondorbit (grün) im Vergleich zur nicht gedrehten Funktion dargestellt, um den Unterschied besser zu erkennen. ==='''Softwares'''=== =<small>Blender</small>= [[w:Blender (Software)|Blender]] ist eine Software zur Modellierung, Texturierung, Animation und Video- und Bildbearbeitung. Für mein Projekt habe ich Blender verwendet, um das Sonnensystem zu modellieren. Hierbei wurden die Texturen und die Planetenbewegung angedeutet. Letztendlich habe ich ein Video gerendert, welches ein gutes Bild von der Planetenbewegung innerhalb des Sonnensystem abgibt.<br> <br> =<small>Geogebra</small>= Bei [[w:GeoGebra|GeoGebra]] handelt es sich um ein Mathematiksoftware, welches vor allem geometrische als auch algebraische Anwendungen bietet, aber auch über eine Tabellenkalkulation verfügt. Es ist für den schulischen Gebrauch nützlich, da es eine sehr benutzerfreundliche Oberfläche bietet und viele wesentliche Themen des Schulbereiches abdeckt. In Geogebra gibt es Befehle wie das Berechnen von Nullstellen, das Integrieren und Ableiten. In Zyklus 1 habe ich Geogebra verwendet, um einfache sich überlagernde Planetenbahnen darzustellen. Sowohl in Zyklus 2, als auch in Zyklus 3 wurden die Planetenbahnen im Dreidimensionalen dargestellt. Durch eine feinere Diskretisierung konnten die Planetenbahnen genauer dargestellt werden und die Unterschiede gedrehter Planetenbahnen waren besser zu erkennen. =<small>wxMaxima</small>= Maxima ist ein plattformunabhängiges Computer-Algebra System. Es ist "OpenSource" und ist recht einfach zu bedienen. Mit Maxima lassen sich Grenzwerte bestimmen, Gleichungen lösen, Polynome faktorisieren, integrieren und differenzieren, Gleichungssystem erster und zweiter Ordnung lösen und iterative Verfahren, wie das Newtonverfahren oder die Monte Carlo Simulation, anwenden. Außerdem kann man einfach mit Matrizen rechnen, was ich mir besonders zu Nutze gemacht habe. In Zyklus 2 habe ich mithilfe von Maxima Matrizen aufgestellt, die die Planetenbahnen beschreiben. So habe ich durch Addieren von Matrizen die Planetenbahnen ins Dreidimensionale übertragen und "plotten" können. Im 3. Zyklus habe ich mit Maxima die Planetenbahnen gedreht, also die Planetenbahnen mit Drehmatrizen multipliziert. == Resümee des Modellierten == Anhand der Darstellung der Planetenbahnen durch trigonometrische Funktionen und Drehmatrizen, lässt sich zu einem Zeitpunkt x immer die ungefähre Position des Mondes zur Erde errechnen, indem man den Funktionswert für die gegebene Stelle x ausrechnet. Natürlich werden die Orbits von Erde und Mond auch noch von, zum Beispiel, der Gravitation der anderen Planeten beeinflusst, was in diesem Modell aus und vor gelassen wurde. Man kann sich aber dennoch ein gutes Bild von Planetenbahnen machen und diese besser verstehen, da man sich nicht sofort mit allen Faktoren beschäftigen muss und langsam mit der Thematik vertraut wird. So kann man sich Schritt für Schritt in das Thema einarbeiten. Weitere Optimierungen wären: * Gravitation der Sonne und anderen Planeten * Geschwindigkeiten der Planeten * Apsidendrehung * Umlaufdauer * ... Außerdem kann man anhand des Modells die Anwendung von Drehmatrizen des Raumes gut verstehen. Als Anhang füg ich noch einen Wikiversity-Seite über Kurven in Vektorräumen bei, wo erläutert wird, wie die Drehmatrizen der Ebene und des Raumes hergeleitet werden und wie man diese anwendet. [[Maxima_CAS/Kurven_in_Vektorräumen]]<br> Moritz Berner == Mathematische Theorie für die Modellierungszyklen == === Zyklus 1: Sekundarstufe I === === Mathematische Hintergründe === ==== Zufallsexperiment ==== Die Datenerhebung der Würfe ist ein Zufallsexperiment. Ein Zufallsexperiment ist ein Versuch, bei dem im Voraus die Bedingungen genau festgelegt sind und die Menge der möglichen Ergebnisse schon vor Beginn des Versuchs feststeht. Diese Menge wird als Ergebnismenge bezeichnet und mit Ω angegeben. ==== Absolute Häufigkeiten ==== Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses gibt die Anzahl der Durchführung eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Angegeben wird die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A als h_n(A). ==== Relative Häufigkeiten ==== Die relative Häufigkeit eines Ereignisses gibt, wie der Name schon sagt, den relativen Anteil der Durchführungen eines Experiments an, in denen das Ereignis eingetreten ist. Ermittelt wird die relative Häufigkeit, indem man die absolute Häufigkeit durch die Anzahl der Versuche teilt. Angegeben wird die relative Häufigkeit eines Ereignisses durch r_n(A). * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 2: Sekundarstufe II === * Mathematische Theorie: Geometrie, Stochastik, Algebra, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... === Zyklus 3: Uni-Niveau === * Mathematische Theorie: Differentialgeometrie, Maßtheorie, Numerik, Statistik, .... * Implementation des Modells mit: Tabellenkalkulation, Maxima, Geogebra, Octave, R-Studio, ... == Bezüge zu anderen Modellierungsprojekten == * == Quellen/Literatur == https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Modellbildungszyklus_Mod6.png 7do8ih2c3vwn2bs9gmqdzlm24b0z7r5 4 138820 745610 744396 2022-07-21T22:00:10Z TaxonBot 19115 Bot: 1 Abschnitt aus [[Wikiversity:Cafeteria]] archiviert wikitext text/x-wiki {{Archiv|Wikiversity:Cafeteria}} == Schon mal vormerken: Vom 24.1. bis zum 6.2. findet die Umfrage Technische Wünsche statt == '''Die 6. Umfrage Technische Wünsche steht vor der Tür …''' [[Datei:Boxillustruation-150pxwidth-png.png|300px|rechts|alt=Das Bild zeigt eine Wahlurne mit dem Logo des Projekts Technische Wünsche]] … genauer gesagt hinter dem 24. Türchen. '''Vom 24. Januar bis 6. Februar 2022''' findet die nächste '''[[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Umfrage Technische Wünsche]]''' in der deutschsprachigen Wikipedia statt. Wie schon in den letzten beiden Jahren geht es darum, den Bereich zu bestimmen, in dem technische Verbesserungen am dringendsten nötig sind. Mit diesem Bereich beschäftigt sich das Projektteam [[w:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]] (WMDE) dann zwei Jahre lang, in engem Austausch mit den deutschsprachigen Communitys. Welcher Bereich das ist, sollen möglichst viele Menschen mitentscheiden können. Darum ist die Umfrage so aufgesetzt, dass man auch ohne technische Expertise oder langjährige Mitarbeit verstehen kann, worum es geht. Es stehen [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte#Diese 16 Themenschwerpunkte stehen zur Wahl|16 Themenschwerpunkte]] zur Wahl, die im Vorfeld gemeinsam mit den deutschsprachigen Communitys erarbeitet wurden. Neu ist in diesem Jahr, dass alle Abstimmenden angeben, welche fünf Themenschwerpunkte ihnen am wichtigsten sind. Das Konzept ist [[w:Wikipedia:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|auf der Umfrageseite]] genauer beschrieben. Dort finden sich auch Antworten auf häufig gestellte Fragen und einiges mehr. Auf der [[w:Wikipedia Diskussion:Umfragen/Technische Wünsche 2022 Themenschwerpunkte|Diskussionsseite]] sind außerdem Fragen und Anregungen sehr willkommen. Wir würden uns freuen, wenn ab dem 24. Januar auch viele Mitarbeitende aus den Schwesterprojekten mit dabei sind, denn die Verbesserungen, die bei den Technischen Wünschen umgesetzt werden, betreffen in der Regel alle Wikis. Technikkenntnisse oder viele Bearbeitungen sind ausdrücklich <u>nicht nötig</u>, um teilzunehmen. Gerne weitersagen! -- Für das Team Technische Wünsche, [[w:Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 15:35, 6. Jan. 2022 (CET) PS: Wer über Neuigkeiten aus den Technischen Wünschen auf der eigenen Diskussionsseite informiert werden möchte, kann [[w:Wikipedia:Technische Wünsche/Newsletter|hier den Newsletter abonnieren]]. == Wiki Loves Folklore is back! == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> {{int:please-translate}} [[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|150px|frameless]] You are humbly invited to participate in the '''[[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022|Wiki Loves Folklore 2022]]''' an international photography contest organized on Wikimedia Commons to document folklore and intangible cultural heritage from different regions, including, folk creative activities and many more. It is held every year from the '''1st till the 28th''' of February. You can help in enriching the folklore documentation on Commons from your region by taking photos, audios, videos, and [https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:UploadWizard&campaign=wlf_2022 submitting] them in this commons contest. You can also [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Organize|organize a local contest]] in your country and support us in translating the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|project pages]] to help us spread the word in your native language. Feel free to contact us on our [[:c:Commons talk:Wiki Loves Folklore 2022|project Talk page]] if you need any assistance. '''Kind regards,''' '''Wiki loves Folklore International Team''' --[[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 14:14, 9. Jan. 2022 (CET) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Tiven2240@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:Tiven2240/wlf&oldid=22560402 --> == Umfrage zur Community-Wunschliste 2022 == [[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|right|200px]] Die '''[[m:Special:MyLanguage/Community Wishlist Survey 2022|Umfrage zur Community-Wunschliste 2022]]''' ist ab jetzt eröffnet! Diese Umfrage ist der Prozess, durch den Communities entscheiden, woran das [[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community Tech]] Team im kommenden Jahr arbeiten soll. Wir möchten jeden dazu ermutigen, sich bis zum '''23. Januar''' daran zu beteiligen, oder die Vorschläge anderer zu kommentieren, um sie zu verbessern. Die Communities werden zwischen dem 28. Januar und dem 11. Februar über die Vorschläge abstimmen. Das Community Tech-Team konzentriert sich auf Werkzeuge für erfahrene Wikimedia-Benutzer. Du kannst in jeder Sprache Vorschläge machen, wir werden sie für dich übersetzen. Vielen Dank, wir freuen uns auf Vorschläge von dir! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 19:12, 10. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=20689438 --> == Der Call for Feedback zu den Boardwahlen hat begonnen == <section begin="announcement-content" />:''[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.'']]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections/Call for Feedback about the Board of Trustees elections is now open/Short}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Der Call for Feedback: Wahlen zum Board ist jetzt eröffnet und läuft bis zum 7. Februar 2022. Mit diesem Call for Feedback verfolgt das Team für Bewegungsstrategie und Governance einen neuen Ansatz. Er bezieht das Feedback der Community aus dem Jahr 2021 mit ein. Anstatt mit Vorschlägen zu beginnen, dreht sich der Call um Schlüsselfragen des Boards. Die Schlüsselfragen stammen aus den Rückmeldungen zur Boardwahl 2021. Ziel ist es, ein gemeinsames Gespräch und eine gemeinsame Entwicklung von Vorschlägen zu diesen Schlüsselfragen anzuregen. [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia Foundation Board of Trustees/Call for feedback: Board of Trustees elections|Nimm an den Diskussionen teil.]] Herzlichst, das Movement Strategy & Governance Team<section end="announcement-content" /> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:18, 14. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Sprich mit dem Community Tech-Team == [[File:Community Wishlist Survey Lamp.svg|150px|{{dir|{{pagelang}}|left|right}}]] {{int:Hello}} Wir – das Team, das an der Umfrage zur Community-Wunschliste arbeitet – möchten dich zu einem Online-Treffen mit uns einladen. Es wird am [https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220119T1800 '''{{#time:j xg|2022-01-19}} ({{#time:l|2022-01-19}}), {{#time:H:i e|18:00|de|1}}'''] per Zoom stattfinden und eine Stunde dauern. Für diese externe Plattform gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht. [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 '''Klick hier, um teilzunehmen''']. '''Programm''' * Bring Entwürfe deiner Vorschläge mit und sprich mit einem Mitglied des Community Tech-Teams über deine Fragen, wie du deinen Vorschlag verbessern kannst '''Format''' Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder übertragen. Eine Mitschrift ohne Namensnennung wird erstellt und auf Meta veröffentlicht. Die Präsentation (die gesamte Tagesordnung mit Ausnahme der Fragen und Antworten) wird auf Englisch gehalten. Wir können Fragen auf Deutsch, Englisch, Französisch, Polnisch und Spanisch beantworten. Wenn du vorab Fragen stellen möchtest, füge sie auf der [[m:Talk:Community Wishlist Survey|Diskussionsseite der Abstimmung über die Technischen Wünsche]] ein oder sende sie an sgrabarczuk@wikimedia.org. [[m:Special:MyLanguage/User:NRodriguez (WMF)|Natalia Rodriguez]] ([[m:Special:MyLanguage/Community Tech|Community-Tech]]-Manager) veranstaltet das Treffen. '''Einladungslink''' * [https://wikimedia.zoom.us/j/85804347114 Nimm online teil] * Meeting ID: <span dir=ltr>85804347114</span> * [https://wikimedia.zoom.us/u/keu6UeRT0T Wähle dich über deinen Ort ein] Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|talk]]) 01:17, 18. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=20689438 --> == Desktop Verbesserungen und Einladung zu Sprechzeiten == {{int:Hello}}. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet. Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs, sowie weiteres betreffen. Die Verbesserung sind nun als Standard für Leser und Editoren auf 24 Wikipedias festgesetzt, darunter für die [[:fr:|französische]], die [[:pt:|portugiesische]] und die [[:fa:|persische]] Wikipedia. Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector] Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen. === Seit dem letzten Update neu eingebaute Funktionen === * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/User_menu|Nutzer Menü]] – die Navigation intuitiver gestalten durch die visuelle Hervorhebung der Struktur von Nutzer-Links und deren Zweck. * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Sticky Header|Sticky header]] – Zugriff auf wichtige Funktionen (Login, Versionsgeschichte, Diskussionen, etc.) ohne wieder an den Seitenanfang gehen zu müssen. Für eine vollständige Liste der Funktionen besuche bitte die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektseite]]. Wir laden auch auf unsere [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Updates|Updates-Seite]] ein. [[File:Table_of_contents_shown_on_English_Wikipedia_02.webm|thumb|600px|center]] <br clear=all> === Wie man die Verbesserungen aktiviert === [[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]] * Es ist möglich, [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|in den Einstellungen auf der Registerkarte "Aussehen"]] das Kästchen "{{int:prefs-vector-enable-vector-1-label}}" zu deaktivieren. (Es muss leer sein.) Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren. * Wenn man der Meinung ist dass dies als Standard für alle Leser und Redakteure des Wikis gut wäre, kann man gerne eine Diskussion mit der Gemeinschaft beginnen und mich kontaktieren. * In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors. === Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen === Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]]. Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am online-Meeting mit uns teilnehmen ([https://www.timeanddate.com/worldclock/fixedtime.html?iso=20220127T1500 '''{{#time:j xg|2022-01-27}} ({{#time:l|2022-01-27}}), {{#time:H:i e|15:00|de|1}}''']). So kann man an unserem Online-Treffen teilnehmen * [https://wikimedia.zoom.us/j/89205402895 Nimm online teil] * Meeting ID: <span dir=ltr>89205402895</span> * [https://wikimedia.zoom.us/u/kdPQ6k2Bcm Wähle dich über deinen Ort ein] {{int:Feedback-thanks-title}} Im Namen des Web-Teams der Wikimedia Foundation, [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 07:14, 25. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=20689438 --> == Neues von Movement Strategy und Governance - Ausgabe 5 == <section begin="ucoc-newsletter"/> :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Movement Strategy and Governance/Newsletter/5/Global message}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' <span style="font-size:200%;">'''Neues von Movement Strategy und Governance'''</span><br> <span style="font-size:120%; color:#404040;">'''Ausgabe 5, Januar 2022'''</span><span style="font-size:120%; float:right;">[[m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5|'''Vollständigen Newsletter lesen''']]</span> ---- Willkommen zur fünften Ausgabe der Movement Strategy und Governance Newsletter (früher bekannt als Universal Code of Conduct News)! Dieser neu gestaltete Newsletter enthält relevante Neuigkeiten und Ereignisse über die Movement Charta, den Universellen Verhaltenskodex, Grants zur Umsetzung der Movement Strategy, Board-Wahlen und andere relevante MSG-Themen. Dieser Newsletter wird vierteljährlich verschickt, während häufigere Updates auch wöchentlich oder zweiwöchentlich an Abonnenten verschickt werden. Bitte denk daran, dich [[:m:Special:MyLanguage/Global message delivery/Targets/MSG Newsletter Subscription|anzumelden]], wenn du diese Updates erhalten möchtest. <div style="margin-top:3px; padding:10px 10px 10px 20px; background:#fffff; border:2px solid #808080; border-radius:4px; font-size:100%;"> *'''Call for Feedback zu den Board-Wahlen''' - Wir laden Euch ein, Euch Euer Feedback zu den anstehenden Wahlen zum WMF Board of Trustees zu geben. Der Call for Feedback wurde am 10. Januar 2022 veröffentlicht und wird am 16. Februar 2022 enden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Call for Feedback about the Board elections|Weiterlesen]]) *'''Ratifizierung des Universellen Verhaltenskodex''' - Im Jahr 2021 befragte die WMF die Communitys, wie der Text des Universellen Verhaltenskodexes umgesetzt werden soll. Der überarbeitete Entwurf der Umsetzungsleitlinien sollte im März zur Abstimmung durch die Community bereit sein. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Universal Code of Conduct Ratification|Weiterlesen]]) *'''Movement Strategy Implementation Grants''' - Während wir weiterhin viele interessante Vorschläge prüfen, ermutigen und begrüßen wir weitere Vorschläge und Ideen, die auf eine spezifische Initiative aus den Empfehlungen der Movement Strategy abzielen. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Movement Strategy Implementation Grants|Weiterlesen]]) *'''Die Neuausrichtung des Newsletters''' - Da der UCoC-Newsletter in den MSG-Newsletter übergeht, können Sie gemeinsam mit dem Moderatorenteam über die Neuausrichtung des Newsletters nachdenken und entscheiden. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#The New Direction for the Newsletter|Weiter lesen]]) *'''Diff Blogs''' - Die neuesten Veröffentlichungen über MSG findest Du auf Wikimedia Diff. ([[:m:Special:MyLanguage/Movement Strategy and Governance/Newsletter/5#Diff Blogs|Weiterlesen]])</div><section end="ucoc-newsletter"/> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 02:51, 29. Jan. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Wiki Loves Folklore is extended till 15th March == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">{{int:please-translate}} [[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]] Greetings from Wiki Loves Folklore International Team, We are pleased to inform you that [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore|Wiki Loves Folklore]] an international photographic contest on Wikimedia Commons has been extended till the '''15th of March 2022'''. The scope of the contest is focused on folk culture of different regions on categories, such as, but not limited to, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, etc. We would like to have your immense participation in the photographic contest to document your local Folk culture on Wikipedia. You can also help with the [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022/Translations|translation]] of project pages and share a word in your local language. Best wishes, '''International Team'''<br /> '''Wiki Loves Folklore''' [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 05:50, 22. Feb. 2022 (CET) </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=22754428 --> == Nicht vergessen: beteiligt Euch an den Gesprächen zum UCoC und stimmt mit ab! == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Announcement}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Hallo allerseits, Im Rahmen des Ratifikationsverfahrens für die Leitlinien zur Umsetzung des Universal Code of Conduct (UCoC) ist eine [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|'''Abstimmung in SecurePoll vom 7. bis 21. März 2022''']] geplant. Wahlberechtigte sind eingeladen, eine Umfragefrage zu beantworten und Kommentare zu teilen. [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information|Siehe Wahlinformationen und Details zur Wahlberechtigung]]. Bei der Umfrage werden die Wähler*innen gefragt, ob sie die Umsetzung des Universal Code of Conduct auf der Grundlage der vorgeschlagenen Leitlinien unterstützen. Der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) bietet eine Grundlage für akzeptables Verhalten für das gesamte "Movement". Die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinien im gesamten Movement veröffentlicht. In einer Erklärung des [[m:Special:MyLanguage/Wikimedia_Foundation_Board_noticeboard/January_2022_-_Board_of_Trustees_on_Community_ratification_of_enforcement_guidelines_of_UCoC|Wikimedia Foundation Board]] wird zu einem [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voting|Ratifikationsverfahren]] aufgerufen, bei dem die Stimmberechtigten die Möglichkeit haben, die Umsetzung der UCoC-Leitlinien in einer Abstimmung zu unterstützen oder abzulehnen. Wikimedianerinnen und Wikimedianer sind eingeladen, wichtige Informationen zu [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Enforcement_guidelines/Voter_information/Volunteer|übersetzen und zu teilen]]. Weitere Informationen über den UCoC findest du auf der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|Projektseite]] und den [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/FAQ|häufig gestellten Fragen]] im Meta-Wiki. Folgende Veranstaltungen sind geplant, um mehr zu erfahren und zu diskutieren: * Ein [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations/Panel_Q&A|Community-Panel]] am 18. Februar 2022 um 15:00 UTC zeigt die Perspektiven von Teilnehmern kleiner und mittelgroßer Communities auf. * Das [[m:Movement Strategy and Governance|Movement Strategy and Governance]] (MSG) Team veranstaltet Gesprächsrunden am 25. Februar 2022 um 12:00 Uhr UTC und am 4. März 2022 um 15:00 Uhr UTC. Bitte [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/Conversations|'''melde dich für diese Gesprächsrunden an''']], um mit dem Projektteam und dem Entwurfskomitee über die aktualisierten Leitlinien für die Umsetzung und das Ratifikationsverfahren zu sprechen. Siehe die [[m:Special:MyLanguage/Universal_Code_of_Conduct/2022_conversation_hour_summaries|Gesprächsrunde Hour summaries]] für Notizen vom 4. Februar 2022. Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: msg[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org oder ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org Herzlichst, Movement Strategy and Governance <br /> Wikimedia Foundation <br /><section end="announcement-content" /> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 19:12, 25. Feb. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Coming soon == <div class="plainlinks mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"> === Demnächst: Verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen === Hallo, ab dem 9. März werden verschiedene Verbesserungen rund um Vorlagen in deinem Wiki verfügbar sein: * Grundlegende Verbesserungen des [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor-Vorlagendialogs]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|1]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen von einer Seite entfernen (VisualEditor)|2]]), * Verbesserungen, um das Einfügen einer Vorlage auf einer Seite zu erleichtern ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Vorlagen suchen und einfügen|3]]) (für die Vorlagendialoge in [[Mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|VisualEditor]], dem [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:WikiEditor#/media/File:VectorEditorBasic-en.png|2010 Wikitext]] und dem [[Mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|neuen Wikitextmodus]]), * und Verbesserungen in der Erweiterung für die Syntaxhervorhebung [[Mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]] ([[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserung der Farben der Syntaxhervorhebung|4]], [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Zusammengehörige Klammerpaare hervorheben|5]]) (die auf Wikis mit Schreibrichtung von links-nach-rechts verfügbar ist). Alle diese Änderungen sind Teil des Projekts „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Vorlagen]]“ der [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche|Technischen Wünsche bei WMDE]]. Wir hoffen, dass sie euch bei eurer Arbeit helfen werden und würden uns über euer Feedback auf den Diskussionsseiten dieser Projekte freuen. </div> - [[m:User:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:38, 28. Feb. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&oldid=22907463 --> == Universal Code of Conduct - Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien läuft vom 7. bis 21. März 2022 == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Hallo zusammen, Die Abstimmung zur Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist jetzt eröffnet! Die '''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting|Abstimmung auf SecurePoll]]''' hat am 7. März 2022 begonnen und wird am 21. März 2022 abgeschlossen. Bitte [[m:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|lies mehr über die Informationen für Wähler und zur Wahlberechtigung]]. Der Universal Code of Conduct (UCoC) enthält die Grundregeln für akzeptables Verhalten im gesamten "Movement". Die überarbeiteten Leitlinien zur Umsetzung wurden am 24. Januar 2022 als Vorschlag für die Anwendung der Richtlinie im gesamten "Movement" veröffentlicht. Du kannst [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Project|mehr über das UCoC-Projekt]] lesen. Du kannst auf Diskussionsseiten im Meta-Wiki in jeder Sprache kommentieren. Du kannst beide Teams auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org Herzlichst, Movement Strategy and Governance Wikimedia Foundation<section end="announcement-content" /> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 18:03, 8. Mär. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Einladung Workshop neue Administratoren: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr == [[Datei:Wikipedia Administrator.svg|mini|alternativtext=Logo der Administratoren]] Der '''2. Adminworkshop''' der deutschsprachigen Wikipedia findet am Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr online statt. Teilnehmen können sowohl Administratorinnen und Administratoren als auch alle anderen Interessierten. Auf der Agenda stehen Maßnahmen zur Verbesserung der Einarbeitung und Dokumentation des Adminjobs. Weitere Infos zur Teilnahme findet ihr im neu gegründeten '''[[w:Wikipedia:WikiProjekt Administratoren/Workshops#2. Admin-Workshop: Samstag, 12. März 2022, 19:00 Uhr|WikiProjekt Administratoren]]'''. Weitere Workshops werden ebenfalls auf dieser Seite angekündigt.</br> Im Rahmen der [[w:Wikipedia:AdminConvention 2022|AdminCon 2022]] wurde der Wunsch geäußert die Zusammenarbeit unter den Admins zu verbessern und neue gewählte in die verantwortungsvollen Aufgaben einzuführen. Daraus hat sich das neue Format der regelmäßigen Workshops entwickelt. Die Schwesterprojekte möchten wir einladen sich zu beteiligen, um besser voneinander lernen zu können. Gruß, --[[Benutzer:Wnme|Wnme]] ([[Benutzer Diskussion:Wnme|Diskussion]]) 21:23, 11. Mär. 2022 (CET) == Juhu ich kann hier schreiben == Bin mal wieder da. Hab was im Wikipedia:Café gelesen und wollte was dazu schreiben. Jedoch schaut mal meine Benutzerseite in der Wikipedia an. Habe inzwischen über die Versionsgeschichte herausgefunden, das die Wikipedia keine freie Meinungsäußerung unterstützt ([https://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Vandalismusmeldung/Archiv/2020/05/17#Benutzer:Serotas (hier - man beachte die Zeitstempel...)]. Jedenfalls die Regeln offensichtich viel zu locker gehandhabt werden. Barrierefrei ist das alles auch nicht. Im Sinne das man einfach herausfindet, warum denn dies nun da ist. Und das u.a. der Link zu meinem Projekt hier und der Beatmungsgerätegedanke von meiner Benutzerseite verschwunden ist, ist auch nicht nachvollziehbar [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Benutzer:Serotas&oldid=200010755 (hier die letzte Version meiner erstellten Seite)]. Habe da halt nicht mehr reingeschaut. Und eine Antwort ist nun auch nicht entstanden. Und natürlich schreib ich in die Artikelseiten der Wikipedia nichts rein, dass muss dort doch belegt sein. --[[Benutzer:Serotas|Serotas]] ([[Benutzer Diskussion:Serotas|Diskussion]]) 18:19, 13. Mär. 2022 (CET) :Was ist ein ANR und was ist ein BNR? Artikelnamensraum und Benutzernamensraum. Wunderbar geklärt. Barrierefreiheit bitte. (Wenn ich mich jetzt schon damit auseinandersetze, mache ich es gleich richtig. Manch einer ist wohl auf Verständlichkeit angewiesen.) --[[Benutzer:Serotas|Serotas]] ([[Benutzer Diskussion:Serotas|Diskussion]]) 18:32, 13. Mär. 2022 (CET) == Wiki Loves Folklore 2022 ends tomorrow == [[File:Wiki Loves Folklore Logo.svg|right|frameless|180px]] International photographic contest [[:c:Commons:Wiki Loves Folklore 2022| Wiki Loves Folklore 2022]] ends on 15th March 2022 23:59:59 UTC. This is the last chance of the year to upload images about local folk culture, festival, cuisine, costume, folklore etc on Wikimedia Commons. Watch out our social media handles for regular updates and declaration of Winners. ([https://www.facebook.com/WikiLovesFolklore/ Facebook] , [https://twitter.com/WikiFolklore Twitter ] , [https://www.instagram.com/wikilovesfolklore/ Instagram]) The writing competition Feminism and Folklore will run till 31st of March 2022 23:59:59 UTC. Write about your local folk tradition, women, folk festivals, folk dances, folk music, folk activities, folk games, folk cuisine, folk wear, folklore, and tradition, including ballads, folktales, fairy tales, legends, traditional song and dance, folk plays, games, seasonal events, calendar customs, folk arts, folk religion, mythology etc. on your local Wikipedia. Check if your [[:m:Feminism and Folklore 2022/Project Page|local Wikipedia is participating]] A special competition called '''Wiki Loves Falles''' is organised in Spain and the world during 15th March 2022 till 15th April 2022 to document local folk culture and [[:en:Falles|Falles]] in Valencia, Spain. Learn more about it on [[:ca:Viquiprojecte:Falles 2022|Catalan Wikipedia project page]]. We look forward for your immense co-operation. Thanks Wiki Loves Folklore international Team [[Benutzer:MediaWiki message delivery|MediaWiki message delivery]] ([[Benutzer Diskussion:MediaWiki message delivery|Diskussion]]) 15:41, 14. Mär. 2022 (CET) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Rockpeterson@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Distribution_list/Global_message_delivery&oldid=22754428 --> == Die Abstimmung zur Ratifizierung der Durchsetzungsleitlinien des Universal Code of Conduct ist beendet. == <section begin="announcement-content" /> :''[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|Diese Nachricht liegt auf Meta-Wiki auch in weitere Sprachen übersetzt vor.]]'' :''<div class="plainlinks">[[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message|{{int:interlanguage-link-mul}}]] • [https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Special:Translate&group=page-{{urlencode:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Vote/Closing message}}&language=&action=page&filter= {{int:please-translate}}]</div>'' Hallo, Die Abstimmung über die Ratifizierung der [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|revidierten Leitlinien zur Umsetzung]] des [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct|Universal Code of Conduct]] (UCoC) ist am 21. März 2022 zu Ende gegangen. Über {{#expr:2300}} Wikimedianer/innen haben in verschiedenen Regionen unseres "Movements" abgestimmt. Vielen Dank an alle, die sich an diesem Prozess beteiligt haben! Die Prüfergruppe überprüft jetzt die Abstimmung auf ihre Richtigkeit. Bitte gib ihnen bis zu zwei Wochen Zeit, um ihre Arbeit abzuschließen. Die endgültigen Ergebnisse der Abstimmung werden [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voting/Results|hier]] bekannt gegeben, zusammen mit den relevanten Statistiken und einer Zusammenfassung der Kommentare, sobald sie verfügbar sind. Bitte sieh dir [[m:Special:MyLanguage/Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines/Voter information|die Wählerinformationsseite]] an, um mehr über die nächsten Schritte zu erfahren. Du kannst auf der Projekt-Talkseite [[m:Talk:Universal Code of Conduct/Enforcement guidelines|im Meta-Wiki]] in jeder Sprache Kommentare abgeben. Du kannst das UCoC-Projektteam auch per E-Mail kontaktieren: ucocproject[[File:At sign.svg|16x16px|link=|(_AT_)]]wikimedia.org Viele Grüße, Movement Strategy and Governance<br /><section end="announcement-content" /> [[User:DBarthel (WMF)|DBarthel (WMF)]] 03:19, 30. Mär. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Xeno (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Movement_Strategy_and_Governance/Delivery/de&oldid=22503045 --> == Lasst uns über die Desktop-Verbesserungen sprechen == [[File:New table of contents shown on English wikipedia.png|thumb]] Hallo! Habt ihr bemerkt, dass einige Wikis eine veränderte Desktop-Oberfläche haben? Interessiert ihr euch für die nächsten Schritte? Vielleicht habt ihr Fragen oder Ideen zum Design oder technischen Details? Dann nehmt teil an einem Online-Treffen mit dem Team, das an den [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktop-Verbesserungen]] arbeitet. Es findet am '''29. April 2022 um 15:00 CEST, 20:00 CEST''' auf Zoom. '''[https://wikimedia.zoom.us/j/88045453898 Hier klicken, um teilzunehmen]'''. Meeting ID: 88045453898. [https://wikimedia.zoom.us/u/kcOMICmyyA Wähle dich über deinen Ort ein]. '''Agenda''' * Informationen zu den letzten Entwicklungen * Fragen und Antworten, Diskussion '''Format''' Das Treffen wird nicht aufgezeichnet oder gestreamt. Notizen werden in einem [https://docs.google.com/document/d/1G4tfss-JBVxyZMxGlOj5MCBhOO-0sLekquFoa2XiQb8/edit# Google Doc] aufgezeichnet. [[mw:User:OVasileva_(WMF)|Olga Vasileva]] (Produkt-Manager) veranstaltet das Treffen. Der Präsentationsteil findet auf Englisch statt. Wir können Fragen beantworten, die auf Englisch, Französisch, Italienisch und Polnisch. Wenn du im Voraus Fragen stellen möchtest, kannst du diese auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Diskussionsseite]] stellen oder an sgrabarczuk@wikimedia.org senden. At this meeting, both [[foundation:Friendly_space_policy|Friendly space policy]] and the [[mw:Special:MyLanguage/Code_of_Conduct|Verhaltensregeln]] for Wikimedia technical spaces apply. Für Zoom gilt die [[foundation:Privacy_policy|Datenschutzerklärung der Wikimedia Foundation]] nicht. Bis dann! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 02:29, 26. Apr. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=23201372 --> == New Wikipedia Library Collections Available Now - April 2022 == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> Hello Wikimedians! [[File:Wikipedia_Library_owl.svg|thumb|upright|The TWL owl says sign up today!]] [[m:The Wikipedia Library|The Wikipedia Library]] has free access to new paywalled reliable sources. You can these and dozens more collections at https://wikipedialibrary.wmflabs.org/: * '''[https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/128/ Wiley]''' – journals, books, and research resources, covering life, health, social, and physical sciences * '''[https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/125/ OECD]''' – OECD iLibrary, Data, and Multimedia​​ published by the Organisation for Economic Cooperation and Development * '''[https://wikipedialibrary.wmflabs.org/partners/129/ SPIE Digital Library]''' – journals and eBooks on optics and photonics applied research Many other sources are freely available for experienced editors, including collections which recently became accessible to all eligible editors: Cambridge University Press, BMJ, AAAS, Érudit and more. Do better research and help expand the use of high quality references across Wikipedia projects: log in today! <br>--The Wikipedia Library Team 15:17, 26. Apr. 2022 (CEST) :<small>This message was delivered via the [https://meta.wikimedia.org/wiki/MassMessage#Global_message_delivery Global Mass Message] tool to [https://meta.wikimedia.org/wiki/Global_message_delivery/Targets/Wikipedia_Library The Wikipedia Library Global Delivery List].</small> </div> <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Samwalton9@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/Wikipedia_Library&oldid=23036656 --> == Bald gibt es weitere Verbesserung rund um die Arbeit mit Vorlagen == [[File:Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors durch das Technische Wünsche Team.webm|thumb|Grundlegende Überarbeitung des Vorlagendialogs]] Hallo, in Kürze kommen weitere Verbesserungen rund um Vorlagen in dein Wiki: Der [[mw:Special:MyLanguage/Help:VisualEditor/User guide#Editing templates|'''Vorlagendialog''' im VisualEditor]] und im [[mw:Special:MyLanguage/2017 wikitext editor|2017 Wikitext-Editor]] (Beta-Funktion) wird '''grundlegend verbessert''': Dies soll dabei helfen, besser zu verstehen, was die Vorlage erwartet, wie man in der Vorlage navigieren kann, und wie man Parameter hinzufügt. * [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische Wünsche/Topwünsche/Verbesserungen im Vorlagendialog des VisualEditors|Diskussionsseite]] In der '''Syntaxhervorhebung''' ([[mw:Special:MyLanguage/Extension:CodeMirror|CodeMirror]]-Erweiterung), kann ein Modus für '''Farbfehlsichtige''' in den Einstellungen aktiviert werden. * [[w:de:Wikipedia:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Projektseite]], [[w:de:WD:Technische_Wünsche/Topwünsche/Verbesserung_der_Farben_der_Syntaxhervorhebung#Modus für Farbenfehlsichtige|Diskussionsseite]] Die Bereitstellung soll am 10. Mai erfolgen. Dies sind die letzten Verbesserungen aus dem Themenschwerpunkt „[[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche/Topwünsche/Leichter mit Vorlagen arbeiten|Leichter mit Vorlagen arbeiten]]” des Projekts [[w:de:Wikipedia:Technische Wünsche|Technische Wünsche]]. Wir freuen uns über Feedback auf den Diskussionsseiten! -- Für das Team Technische Wünsche: [[w:de:Benutzerin:Johanna Strodt (WMDE)|Johanna Strodt (WMDE)]] 13:26, 29. Apr. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Johanna Strodt (WMDE)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=WMDE_Technical_Wishes/Technical_Wishes_News_list_all_village_pumps&oldid=23222382 --> == <span lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr">Editing news 2022 #1</span> == <div lang="en" dir="ltr" class="mw-content-ltr"> <section begin="message"/><i>[[metawiki:VisualEditor/Newsletter/2022/April|Read this in another language]] • [[m:VisualEditor/Newsletter|Subscription list for this multilingual newsletter]]</i> [[File:Junior Contributor New Topic Tool Completion Rate.png|thumb|New editors were more successful with this new tool.]] The [[mw:Special:MyLanguage/Help:DiscussionTools#New discussion tool|New topic tool]] helps editors create new ==Sections== on discussion pages. New editors are more successful with this new tool. You can [[mw:Talk pages project/New topic#21 April 2022|read the report]]. Soon, the Editing team will offer this to all editors at the 20 Wikipedias that participated in the test. You will be able to turn it off at [[Special:Preferences#mw-prefsection-editing-discussion]].<section end="message"/> </div> [[User:Whatamidoing (WMF)|Whatamidoing (WMF)]] 20:55, 2. Mai 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:Quiddity (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=Global_message_delivery/Targets/VisualEditor/Newsletter/Wikis_with_VE&oldid=22019984 --> == Update zu den Desktop-Verbesserungen == [[File:Table of contents shown on English Wikipedia 02.webm|thumb]] ; Dies zum neuen Standard machen Hallo. Hier möchte ich ein Update zum Projekt zu [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Desktopverbesserungen]] geben, an denen das Web-Team der Wikimedia Foundation seit einigen Jahren arbeitet. Unsere Arbeit ist fast beendet! 🎉 Wir würden uns freuen, wenn diese Verbesserungen der Standard für alle Leser und Autoren in allen Wikis werden würden. <span style="background-color:#fc3;">In den kommenden Wochen werden wir Gespräche mit weiteren Wikis beginnen, darunter auch deins. 🗓️</span> Gerne lesen wir eure Anregungen! Ziele des Projekts sind die Benutzeroberfläche zweckmäßig für fortgeschrittene Nutzer und komfortabler und einladender für Leser zu gestalten. Das Projekt besteht aus einer Serie von Verbesserungen der Funktionen, welche das Lesen und Lernen, die Navigation auf der Seite, die Suche, den Wechsel zwischen Sprachen, die Nutzung von Artikel-Tabs und des Nutzer-Menüs sowie Weiteres betreffen. Die Verbesserungen sind bereits auf mehr als 30 Wikis in den Standardeinstellungen für Leser und Autoren sichtbar, unter anderem in den Wikipedias auf [[:fr:|Französisch]], [[:pt:|Portugiesisch]] und [[:fa:|Persisch]]. Die Veränderungen gelten nur für das [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=vector}} Vector]-Design. [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=monobook}} Monobook] und [{{fullurl:{{FULLPAGENAMEE}}|useskin=timeless}} Timeless] sind davon nicht betroffen. ; Die neuesten Funktionen * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Table of contents|Inhaltsverzeichnis]] - Unsere Version ist einfacher zu erreichen, erhält den Kontext der Seite und ermöglicht die Navigation auf der Seite, ohne zu scrollen. Es wird derzeit in unseren Pilot-Wikis getestet. Es ist auch für Benutzer verfügbar, die den Skin Vector 2022 aktiviert haben. * [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Features/Page tools|Seitenwerkzeuge]] - Es gibt nun zwei Arten von Links in der Seitenleiste. Es gibt Aktionen und Werkzeuge für einzelne Seiten (wie [[Special:RecentChangesLinked|Änderungen an verlinkten Seiten]]) und Links für das ganze Wiki (wie [[Special:RecentChanges|Letzte Änderungen]]). Wir werden diese in zwei intuitive Menüs aufteilen. ; Wie man die Verbesserungen aktiviert [[File:Desktop Improvements - how to enable globally.png|thumb|[[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|{{int:globalpreferences}}]]]] * Es ist möglich, die Funktionen zu aktivieren, indem man [[Special:Preferences#mw-prefsection-rendering|im Reiter "Aussehen" in den Einstellungen]] "{{int:skinname-vector-2022}}" auswählt. Es ist auch möglich, die Option in allen Wikis über die [[Special:GlobalPreferences#mw-prefsection-rendering|Globalen Einstellungen]] zu aktivieren. * In Wikis, in denen die Änderungen standardmäßig für alle sichtbar sind, können angemeldete Benutzer jederzeit den klassischen Vektor aktivieren. Es gibt einen leicht zugänglichen Link in der Seitenleiste des neuen Vektors. ; Erfahre mehr und werde Teil unserer Veranstaltungen Wenn man die Fortschritte unseres Projekts verfolgen möchte, kann man [[mw:Special:Newsletter/28/subscribe|unseren Newsletter abonnieren]]. Man kann die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements|Seiten des Projekts]] durchschauen, einen Blick in die [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop_Improvements/Frequently_asked_questions|FAQ]] werfen, auf der [[mw:Talk:Reading/Web/Desktop_Improvements|Projektdiskussion]] schreiben sowie am [[mw:Special:MyLanguage/Reading/Web/Desktop Improvements/Updates/Talk to Web|Online-Treffen mit uns teilnehmen]]. Danke! [[User:SGrabarczuk (WMF)|SGrabarczuk (WMF)]] ([[User talk:SGrabarczuk (WMF)|Diskussion]]) 17:54, 21. Jun. 2022 (CEST) <!-- Nachricht versandt von Benutzer:SGrabarczuk (WMF)@metawiki durch Verwendung der Liste unter https://meta.wikimedia.org/w/index.php?title=User:SGrabarczuk_(WMF)/sandbox/MM/De_fallback&oldid=23201372 --> 4aa7bimdfsm42hoj17yp1tpisa5o00m 0 140317 745578 745577 2022-07-21T12:00:18Z Moritz Berner 36059 /* Drehung von Kurven im \mathbb{R}^n */ wikitext text/x-wiki <big>'''Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math> </big><big><big></big></big> == Einführung == [[File:Kurve im R^2.png|thumb|Kurve eines Kreises]] '''Definition:''' Man versteht unter einer Kurve im <math>\mathbb{R}^n</math> eine stetige Abbildung <math>f</math>: <math>I</math> → <math>\mathbb{R}^n</math>, wobei <math>I</math>'' ⊂ <math>\mathbb{R}</math> ein Intervall ist. '''Veranschaulichung:''' einen Kreis mit dem Radius 1 in der Ebene beschreibt folgende Kurve: <math>f</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,t→(cos(t), sin(t)) ==Bemerkung== Bezogen auf Lehrerbildung und den Orbits von Planeten nach Kopernikus findet man weitere Informationen<ref>Rosenkrantz, K. J. (2004). Copernican mathematics: Calculating periods and distances of the planets. The Mathematics Teacher, 98(2), 88-96.</ref> zum Einsatz im Unterricht von Rosenkrantz (2004). =='''Drehung von Kurven in Vektorräumen'''== Mithilfe von Drehmatrizen, auch Rotationsmatrizen genannt, kann man Vektoren um einen bestimmten Winkel im euklidischen Raum durch Multiplikation um den Ursprung drehen. =='''Herleitung der Drehmatrix der Ebene'''== [[File:Herleitung Drehmatrix.png|thumb|Herleitung Drehmatrix]] [[File:Drehmatrix Herleitung.png|thumb|Veranschaulichung der Herleitung von Drehmatrizen in der Ebene]] Man zeichnet im Koordinatensystem den Einheitsvektor u_x=(0,1) ein. Diesen Vektor dreht man gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel <math>\phi</math>. Dadurch entsteht der Bildvektor u_x'.<br> Durch Ablesen der Werte erhalten wir die Koordinaten des Bildvektors u_x'= (cos(<math>\phi</math>), sin(<math>\phi</math>)) Dasselbe führen wir jetzt mit dem Einheitsvektor u_y=(1,0) durch. Diesen dreht man wiederum im Uhrzeigersinn im den Winkel <math>\phi</math>.<br> Dadurch entsteht der Bildvektor u_y' mit den Koordinaten u_y'=(-sin(<math>\phi</math>), cos(<math>\phi</math>)). Wenn man eine beliebige 2*2 Matrix mit den oben genannten Einheitsvektoren multipliziert, erhält man die einzelnen Spalten der Matrix: <math> \begin{pmatrix} a_{11} \ a_{12} \\ a_{21} \ a_{22}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21}\end{pmatrix} </math><br> <math> \begin{pmatrix} a_{11} \ a_{12} \\ a_{21} \ a_{22}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22}\end{pmatrix} </math><br> Daraus lässt sich nun folgern, dass die eben berechneten Bildvektoren die Spalten der Matrix bilden.<br> <math> R_{\phi} = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi)\end{pmatrix} </math> <br> <br> <br> <br> =='''Anwendung Drehmatrizen in wxMaxima'''<big><big></big></big> == [[Datei:X,x.png]] [[File:Gedrehte Gerade.png|800x|]] [[File:Anwendung Drehmatrix.png|800x|]] <br> <br> == Drehmatrizen im <math>\mathbb{R}^3</math> == Wenn man eine Kurve rotieren will, die im Raum liegt, benötigt man die Drehmatrizen im <math>\mathbb{R}^3</math>. Da man die die Kurve sowohl um die x-Achse als auch um die y-Achse als auch um die z-Achse drehen kann, gibt es für jede der drei Achsen eine Drehmatrizen im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br> Folgendermaßen lautet die Drehmatrix im <math>\mathbb{R}^3</math>, um um die x-Achse zu drehen: <math> R_x(\phi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\phi) & -sin(\phi)\\0 & sin(\phi) & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <br> <br> Folgendermaßen lautet die Drehmatrix im <math>\mathbb{R}^3</math>, um um die y-Achse zu drehen: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <br> <br> Folgendermaßen lautet die Drehmatrix im <math>\mathbb{R}^3</math>, um um die z-Achse zu drehen: <math> R_z(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\ sin(\phi) & cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> == Drehmatrizen: Anderer Drehpunkt als der Ursprung == [[File:Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt.png|mini|Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt]] In der Einführung zu Drehmatrizen wurde erwähnt, dass man mithilfe von Drehmatrizen nur um den Ursprung drehen kann. Wie muss man nun aber vorgehen, wenn der gewollte Drehpunkt nicht im Ursprung liegt? In dem Beispielbild will man den Vektor <math>\vec {w } </math> um den Punkt <math> A </math> drehen. Um dies zu machen, muss man, den Vektor in den Ursprung verschieben, dann drehen, und wieder zurückverschieben. Das schafft man rechnerisch folgendermaßen: Man subtrahiert vom Vektor <math>\vec {v } </math> den Vektor <math>\vec {u} </math> und dreht diesen, dann addiert man wieder den Vektor <math>\vec {u } </math>.<br> <math> R_ \vec {w } ( \vec {v } - \vec {u } ) + \vec {u } = R_ \vec {w } ( \vec {w } ) + \vec {u } = \vec {w' } </math> So ergibt sich eine lineare Abbildung, mit der man für einen beliebigen Vektor <math>\vec {x }</math>, diesen um den einen nicht im Ursprung liegenden Drehpunkt drehen kann: <math>f(\vec {x }) = R \cdot \vec {x } + \vec {b }</math>. Hierbei ist <math> R</math> die Rotationsmatrix, <math>\vec {x }</math> der Vektor, der gedreht wird und <math>\vec {b }</math> der Vektor um dessen Endpunkt gedreht wird. ==Quellennachweise== cdggz9e58krlzwdf91iib8aad1ah1yw 745597 745578 2022-07-21T19:48:39Z Moritz Berner 36059 /* Drehmatrizen im \mathbb{R}^3 */ wikitext text/x-wiki <big>'''Kurven im <math>\mathbb{R}^n</math> </big><big><big></big></big> == Einführung == [[File:Kurve im R^2.png|thumb|Kurve eines Kreises]] '''Definition:''' Man versteht unter einer Kurve im <math>\mathbb{R}^n</math> eine stetige Abbildung <math>f</math>: <math>I</math> → <math>\mathbb{R}^n</math>, wobei <math>I</math>'' ⊂ <math>\mathbb{R}</math> ein Intervall ist. '''Veranschaulichung:''' einen Kreis mit dem Radius 1 in der Ebene beschreibt folgende Kurve: <math>f</math>: [0;2π] → <math>\mathbb{R}^2</math> ,t→(cos(t), sin(t)) ==Bemerkung== Bezogen auf Lehrerbildung und den Orbits von Planeten nach Kopernikus findet man weitere Informationen<ref>Rosenkrantz, K. J. (2004). Copernican mathematics: Calculating periods and distances of the planets. The Mathematics Teacher, 98(2), 88-96.</ref> zum Einsatz im Unterricht von Rosenkrantz (2004). =='''Drehung von Kurven in Vektorräumen'''== Mithilfe von Drehmatrizen, auch Rotationsmatrizen genannt, kann man Vektoren um einen bestimmten Winkel im euklidischen Raum durch Multiplikation um den Ursprung drehen. =='''Herleitung der Drehmatrix der Ebene'''== [[File:Herleitung Drehmatrix.png|thumb|Herleitung Drehmatrix]] [[File:Drehmatrix Herleitung.png|thumb|Veranschaulichung der Herleitung von Drehmatrizen in der Ebene]] Man zeichnet im Koordinatensystem den Einheitsvektor u_x=(0,1) ein. Diesen Vektor dreht man gegen den Uhrzeigersinn um den Winkel <math>\phi</math>. Dadurch entsteht der Bildvektor u_x'.<br> Durch Ablesen der Werte erhalten wir die Koordinaten des Bildvektors u_x'= (cos(<math>\phi</math>), sin(<math>\phi</math>)) Dasselbe führen wir jetzt mit dem Einheitsvektor u_y=(1,0) durch. Diesen dreht man wiederum im Uhrzeigersinn im den Winkel <math>\phi</math>.<br> Dadurch entsteht der Bildvektor u_y' mit den Koordinaten u_y'=(-sin(<math>\phi</math>), cos(<math>\phi</math>)). Wenn man eine beliebige 2*2 Matrix mit den oben genannten Einheitsvektoren multipliziert, erhält man die einzelnen Spalten der Matrix: <math> \begin{pmatrix} a_{11} \ a_{12} \\ a_{21} \ a_{22}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21}\end{pmatrix} </math><br> <math> \begin{pmatrix} a_{11} \ a_{12} \\ a_{21} \ a_{22}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22}\end{pmatrix} </math><br> Daraus lässt sich nun folgern, dass die eben berechneten Bildvektoren die Spalten der Matrix bilden.<br> <math> R_{\phi} = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi)\end{pmatrix} </math> <br> <br> <br> <br> =='''Anwendung Drehmatrizen in wxMaxima'''<big><big></big></big> == [[Datei:X,x.png]] [[File:Gedrehte Gerade.png|800x|]] [[File:Anwendung Drehmatrix.png|800x|]] <br> <br> == Drehmatrizen im Dreidimensionalen == Wenn man eine Kurve rotieren will, die im Raum liegt, benötigt man die Drehmatrizen im <math>\mathbb{R}^3</math>. Da man die die Kurve sowohl um die x-Achse als auch um die y-Achse als auch um die z-Achse drehen kann, gibt es für jede der drei Achsen eine Drehmatrizen im <math>\mathbb{R}^3</math>.<br> Folgendermaßen lautet die Drehmatrix im <math>\mathbb{R}^3</math>, um um die x-Achse zu drehen: <math> R_x(\phi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\phi) & -sin(\phi)\\0 & sin(\phi) & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <br> <br> Folgendermaßen lautet die Drehmatrix im <math>\mathbb{R}^3</math>, um um die y-Achse zu drehen: <math> R_y(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & 0 & sin(\phi)\\0 & 1 & 0\\-sin(\phi) & 0 & cos(\phi) \end{pmatrix} </math> <br> <br> Folgendermaßen lautet die Drehmatrix im <math>\mathbb{R}^3</math>, um um die z-Achse zu drehen: <math> R_z(\phi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) & 0 \\ sin(\phi) & cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math> == Drehmatrizen: Anderer Drehpunkt als der Ursprung == [[File:Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt.png|mini|Beispielbild zu Herleitung von Drehungen um gegebenen Punkt]] In der Einführung zu Drehmatrizen wurde erwähnt, dass man mithilfe von Drehmatrizen nur um den Ursprung drehen kann. Wie muss man nun aber vorgehen, wenn der gewollte Drehpunkt nicht im Ursprung liegt? In dem Beispielbild will man den Vektor <math>\vec {w } </math> um den Punkt <math> A </math> drehen. Um dies zu machen, muss man, den Vektor in den Ursprung verschieben, dann drehen, und wieder zurückverschieben. Das schafft man rechnerisch folgendermaßen: Man subtrahiert vom Vektor <math>\vec {v } </math> den Vektor <math>\vec {u} </math> und dreht diesen, dann addiert man wieder den Vektor <math>\vec {u } </math>.<br> <math> R_ \vec {w } ( \vec {v } - \vec {u } ) + \vec {u } = R_ \vec {w } ( \vec {w } ) + \vec {u } = \vec {w' } </math> So ergibt sich eine lineare Abbildung, mit der man für einen beliebigen Vektor <math>\vec {x }</math>, diesen um den einen nicht im Ursprung liegenden Drehpunkt drehen kann: <math>f(\vec {x }) = R \cdot \vec {x } + \vec {b }</math>. Hierbei ist <math> R</math> die Rotationsmatrix, <math>\vec {x }</math> der Vektor, der gedreht wird und <math>\vec {b }</math> der Vektor um dessen Endpunkt gedreht wird. ==Quellennachweise== thhd0sdx167siear4873utv5ako6q6m 0 140390 745589 742159 2022-07-21T16:10:35Z Jeb 26942 Presentation notes wikitext text/x-wiki {{In Arbeit}} {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Taktischer Nearbyismus in Maynooth, [[WikiLibCon|WikiLibCon 2022]], 24. Juli, 14:45-15:30 |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], Scholia: [https://scholia.toolforge.org/author/Q56880673 (Q56880673)] |LAUFZEIT=Sommer 2022 |KURZBESCHREIBUNG=Proposal und Doku – das Proposal in Meta: ''[[meta:Wikimedia%2BLibraries/Program/Submission/Tactical_nearbyism_in_Maynooth|WikiLibCon/.../Submission/Tactical_nearbyism_in_Maynooth]]'' |BILD=1Lib1Nearby.svg |TERMIN= |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == Taktischer Nearbyismus in Maynooth == Idee: Übergreifender Ansatz für Präsentation*en für die Projekte und Themen ''[[Projekt:1Lib1Nearby]]'', ''[[Projekt:1Lib1Nearby/xWalnutXnearby|xWalnutXnearby]]'', ''[[DieDatenlaube]]'' sowie ''Linked Open Storytelling'' am Beispiel potentiell multilingualer [[WikiLibCon]]-Bildungsressourcen auf Basis der – potentiell ursprünglich diversen - vielsprachigen Konferenzbeiträge der Teilnehmer:innen in Maynooth – verknüpft durch das Wikidata-Item [[d:Q111983324]] und ggf. Scholia, dann als Teil persönlicher Bibliografien. Damit (potentiell gemeinsame) beispielhafte Nutzung der Wikiversity als multilinguale OER-Plattform mittels der strukturierten Daten in Wikidata. Einreichung der englischen Fassung des Proposals bis 21. Juni 2022, Dokumentation hier in Deutsch im Sinne der skizzierten OER-Idee ''multilinguale Wikiversität''. == Notizen / Presentation notes == === Die Datenlaube: Wikisource + Wikidata with Commons === === 1lib1nearby === === Digital Placemaking === ==== DatenlaubeJam ==== ==== Wikiversity pages ==== ==== Linked Open Storytelling ==== == Tactical Nearbyism in Maynooth == * For [[w:en:Maynooth University]] '''try''' [[d:Special:Nearby#/coord/53.3835,-6.5996|Special:Nearby#/coord/53.3835,-6.5996]] What I'd like to be asked for and like to discuss in Maynooth and beyond * [[d:Wikidata:1Lib1Nearby]], see [[Projekt:1Lib1Nearby|1Lib1Nearby]], a digital method of using Wikidata to explore the local area and maintain open cultural data everywhere * Wikisource + Wikidata (+Commons), see the german citizen science project [[DieDatenlaube]] * Wikiversity*ies: a potentially multilingual OER tool for upcomming WikiLibCons and their outcomes * ''Tactical Nearbyism'' in the Wikiverse as a mode of digital ''[[w:en:Placemaking]]'' * ''[[DieDatenlaube/Notizen|DatenlaubeJam]]'', a weekly online session in Dresden promoting ''Open Cultural Data Hackability'' of librarians with citizen scientists and local historians – some of them (than becomimg) wikimedians A conceptual idea * Imagine ''Tactical Nearbyism'' as ''Digital Placemaking'': ''[https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby Nearby]'' open data maintainance + local (and potentially international, see above) linked open data link relations for human interaction in real life AND/OR in digital (educational) spaces (Wikiversity et al.) ... == Bibliothek == <gallery> Wikiversitätsstadt.png Open_Science_Fellows_Program_2016_-_2021.pdf|Jens: ''Through the Fellows Program I ended up in Wikiversity'' ¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!.svg|mini|8th Wikidata birthday logo: ¡Hasta la historia siempre! Digitale Heimatforschung (InnoX2021).jpg|Digitale Heimatforschung (InnoX2021), Graphic recording von [https://www.anna-albert.com/ Anna Albert]]] Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022) Wikimedia+Libraries Meetup (800 × 130 px).png|Wikimedia+Libraries Meetup 2022 </gallery> hx62ed6m80g4jp7hflig2ws6z4qn2qk 745590 745589 2022-07-21T16:43:20Z Jeb 26942 wikitext text/x-wiki {{In Arbeit}} {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Taktischer Nearbyismus in Maynooth, [[WikiLibCon|WikiLibCon 2022]], 24. Juli, 14:45-15:30 |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:Jeb|Jens Bemme]], Scholia: [https://scholia.toolforge.org/author/Q56880673 (Q56880673)] |LAUFZEIT=Sommer 2022 |KURZBESCHREIBUNG=Proposal und Doku – das Proposal in Meta: ''[[meta:Wikimedia%2BLibraries/Program/Submission/Tactical_nearbyism_in_Maynooth|WikiLibCon/.../Submission/Tactical_nearbyism_in_Maynooth]]'' |BILD=1Lib1Nearby.svg |TERMIN= |KEINEAUTOKATEGORIE=1 }} == Taktischer Nearbyismus in Maynooth == Idee: Übergreifender Ansatz für Präsentation*en für die Projekte und Themen ''[[Projekt:1Lib1Nearby]]'', ''[[Projekt:1Lib1Nearby/xWalnutXnearby|xWalnutXnearby]]'', ''[[DieDatenlaube]]'' sowie ''Linked Open Storytelling'' am Beispiel potentiell multilingualer [[WikiLibCon]]-Bildungsressourcen auf Basis der – potentiell ursprünglich diversen - vielsprachigen Konferenzbeiträge der Teilnehmer:innen in Maynooth – verknüpft durch das Wikidata-Item [[d:Q111983324]] und ggf. Scholia, dann als Teil persönlicher Bibliografien. Damit (potentiell gemeinsame) beispielhafte Nutzung der Wikiversity als multilinguale OER-Plattform mittels der strukturierten Daten in Wikidata. Einreichung der englischen Fassung des Proposals bis 21. Juni 2022, Dokumentation hier in Deutsch im Sinne der skizzierten OER-Idee ''multilinguale Wikiversität''. == Notizen / Presentation notes == === Die Datenlaube: Wikisource + Wikidata with Commons === === 1lib1nearby === === Digital Placemaking === ==== DatenlaubeJam ==== * Weekly: 1h online conference every Thuesday morning – speaking, planing und reflecting open cultural data, methods, projects and new ideas with members of the ''Dresden Historical Society'' based on ''Die Datenlaube''/ Wikiverse methods. * [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Hackathon ist immer (dienstags)]]<ref>''Zeit für informelle Infrastruktur? Rückblick auf den 59. BibChatDe – für Geschichtsvereine und Bibliotheken'', Saxorum, 19. Juli 2022, https://saxorum.hypotheses.org/7728</ref> ==== Wikiversity pages ==== ==== Linked Open Storytelling ==== == Tactical Nearbyism in Maynooth == * For [[w:en:Maynooth University]] '''try''' [[d:Special:Nearby#/coord/53.3835,-6.5996|Special:Nearby#/coord/53.3835,-6.5996]] What I'd like to be asked for and like to discuss in Maynooth and beyond * [[d:Wikidata:1Lib1Nearby]], see [[Projekt:1Lib1Nearby|1Lib1Nearby]], a digital method of using Wikidata to explore the local area and maintain open cultural data everywhere * Wikisource + Wikidata (+Commons), see the german citizen science project [[DieDatenlaube]] * Wikiversity*ies: a potentially multilingual OER tool for upcomming WikiLibCons and their outcomes * ''Tactical Nearbyism'' in the Wikiverse as a mode of digital ''[[w:en:Placemaking]]'' * ''[[DieDatenlaube/Notizen|DatenlaubeJam]]'', a weekly online session in Dresden promoting ''Open Cultural Data Hackability'' of librarians with citizen scientists and local historians – some of them (than becomimg) wikimedians A conceptual idea * Imagine ''Tactical Nearbyism'' as ''Digital Placemaking'': ''[https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby Nearby]'' open data maintainance + local (and potentially international, see above) linked open data link relations for human interaction in real life AND/OR in digital (educational) spaces (Wikiversity et al.) ... == Bibliothek == <gallery> Wikiversitätsstadt.png Open_Science_Fellows_Program_2016_-_2021.pdf|Jens: ''Through the Fellows Program I ended up in Wikiversity'' ¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!.svg|mini|8th Wikidata birthday logo: ¡Hasta la historia siempre! Digitale Heimatforschung (InnoX2021).jpg|Digitale Heimatforschung (InnoX2021), Graphic recording von [https://www.anna-albert.com/ Anna Albert]]] Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022) Wikimedia+Libraries Meetup (800 × 130 px).png|Wikimedia+Libraries Meetup 2022 </gallery> == Fußnoten == <references responsive /> t64g1saxcxrs8nr3hd4t8g4kg35yeoq 106 141064 745626 745411 2022-07-22T06:13:02Z Bert Niehaus 20843 /* Mehrdimensionale Taylorentwicklung */ wikitext text/x-wiki == Mehrdimensionale Taylorentwicklung == Für die [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Tailorentwicklung]] von einer quadratischen Funktion mit dem Vektor <math>x_0\in \mathbb{R}^k</math> als Entwicklungspunkt gilt: :<math> F(x)= F(x_0) + \left\langle \nabla F(x_0), x-x_0 \right\rangle + \frac{1}{2} \left\langle \operatorname{H}_F(x_0)\cdot (x-x_0), x-x_0 \right\rangle </math> Dabei ist <math>\nabla F(x_0)</math> der [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math> und <math>\operatorname{H}_F(x_0)</math> die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] von <math>F</math> an der Stelle <math>x_0</math>. == Ausgangsfunktion der Ausgleichsrechnung == Im Allgemeinen wurde aus der [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] die folgende Gleichung hergeleitet : <math>F(x) = \underbrace{b^T b}_{=F(0_V)} - {\underbrace{(2A^T b)}_{=\nabla F(0_V)}}^T x + \frac 12 (\underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x)^T x </math> === Mehrdimensionale Taylorentwicklung === Diese wird nun als [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] einer quadratischen Funktion <math>F: \R^k \to \R</math> interpretiert. : <math>F(x) = \underbrace{\| b\|_2^2}_{=F(0_V)} - \langle \underbrace{2A^T b}_{=\nabla F(0_V)} , x\rangle + \frac{1}{2} \langle \underbrace{(2A^TA)}_{H_F(0_V)}x, x \rangle </math> === Rang der Matrix === Wir betrachten nun die obige quadratische Funktion, wobei wir <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math> voraussetzen. <math>F</math> hat * im Entwicklungspunkt <math>x_0:=0_V</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>\nabla F(0_V) = - 2A^T</math> * in ein <math>x</math> den [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradienten]] und <math>\nabla F(x) = 2A^T Ax - 2A^T b, </math> * und die [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] <math> H_F(x) = 2A^T A.</math> === Normalengleichung - Minimum der Funktion === Notwendige Bedingung dafür, dass <math>x^* \in \mathbb{R}^k</math> Minimalpunkt von <math>F</math> ist, ist die Bedingung <math>\nabla F(x^*) = 0</math> bzw. äquivalent dazu, dass <math>x^*</math> die sog. ''Normalgleichungen'' :<math>A^TAx = A^T b \quad \mbox{ (Normalengleichung) }</math> erfüllt. Nach dem Lemma zur Lösbarkeit der Normalengleichung ist dabei die (von <math>x</math> unabhängige) Matrix <math>\nabla^2 F(x):= H_F(x)</math> positiv definit, so dass die eindeutige Lösung <math>x^*</math> der Normalgleichungen auch der einzige (globale) Minimalpunkt von <math>F</math> ist. === Satz - Lösbarkeit der Normalengleichung === Sei <math>A \in \R^{n\times k}</math> mit <math>n \ge k</math> und <math>\operatorname{Rang}(A) = k</math>. Dann besitzt das lineare Ausgleichsproblem :<math>\min_{x\in \R^k} \|b - Ax\|_2</math> eine eindeutige Lösung <math>x^* \in \R^k</math> und diese ist eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems :<math>A^TAx = A^T b.</math> === Beispiel === Wir betrachten dazu ein Beispiel der Ausgleichsrechnung. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade 1 ==== Wir betrachten den Fall der sog. ''Ausgleichsgeraden''. Wenn die <math>y_j</math> <math>(j = 1, \ldots, n)</math> mit <math>n \ge 2</math> ungefähr auf einer Geraden liegen, macht es Sinn, polynomiale Ansatzfunktionen bis zum Grad 1 zu verwenden. D.h. als Ansatzfunktionen wählt man :<math>v_1(t) := 1, \quad v_2(t) := t</math> mit <math>k = 2</math>. ==== Beispiel - Ausgleichsgerade - 2 ==== Somit erhält man approximierende Funktion <math>z</math> über :<math>z(x, t) := x_1 + x_2t, \quad t \in \R</math> und die gesuchten optimalen Koeffizienten der Geradengleichung werden durch den Vektor <math>x:=(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2</math> definiert. ==== Beispiel - Daten zu Zeitpunkten - 3 ==== Als Daten haben wir z.B. wieder Daten <math>y_i</math> zum Zeitpunkt <math>t_i</math> erhoben, für die nun die Ausgleichsgerade gesucht wird. Dazu definiert man: :<math>b := (y_1, y_2, \ldots, y_n)^T \in \R^n, \quad d := (t_1, t_2, \ldots, t_n)^T \in \R^n</math> und den Spaltenvektor <math>e</math>, dessen Komponenten nur aus 1 besteht mit :<math>e := (1, 1, \ldots, 1)^T \in \R^n </math> ==== Beispiel - Definition der Matrix A - 4 ==== Nun hat <math>A \in \R^{n\times 2}</math> in diesem Fall die Gestalt <math>A = \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix}</math>. Da der erste Spaltenvektor <math>e</math> nur als Komponenten die 1 besitzt und die Zeitpunkte in <math>d=(t_1,\ldots,t_n)</math> paarweise verschieden sind, hat die Matrix den Rang 2. ==== Beispiel - Berechnung der symmetrischen Matrix - 5 ==== Weiter ist dann :<math>A^TA = \begin{pmatrix} e^T \\ d^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^Te & e^Td \\ e^Td & d^Td \end{pmatrix}, \quad A^T b = \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}.</math> Da der Rang der Matrix <math>A</math> 2 ist, besitzt auch die symmetrische Matrix <math>A^TA \in \R^{2\times 2}</math> den Rang 2. ==== Beispiel - Inverse Matrix zur symmetrischen Matrix - 6 ==== Für eine symmetrische invertierbare Matrix <math>B \in \R^{2\times 2}</math> kann man die Inverse explizit angeben: :<math>B^{-1} = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{12} & b_{22} \end{pmatrix}^{-1} = \frac 1{b_{11}b_{22} - b^2_{12}} \begin{pmatrix} b_{22} & -b_{12} \\ -b_{12} & b_{11} \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Lösung der Normalengleichung - 7 ==== Somit lautet die Lösung der Normalgleichungen <math> A^TAx = A^T b </math> in diesem Fall :<math>x^* := \left( A^TA \right)^{-1} A^T b = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} d^T d & -e^T d \\ -e^T d & e^T e \end{pmatrix} \begin{pmatrix} e^Tb \\ d^Tb \end{pmatrix}</math> ==== Beispiel - Berechnung der Lösung - 8 ==== Durch algebraische Umformungen erhält man demzufolge :<math>x^* = \frac 1{(e^T e) (d^T d) - (e^T d)^2} \begin{pmatrix} \left( d^T d \right) \left( e^T b \right) - \left( d^T b \right) \left( e^T d \right) \\ (e^T e) (d^T b) - (e^T d) (e^T b) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 9 ==== Dabei hat man : <math>e^T e = n, \quad e^T d = \sum^n_{j=1} t_j, \quad e^T b = \sum^n_{j=1} y_j, \quad d^T d = \sum^n_{j=1} t^2_j, \quad d^T b = \sum^n_{j=1} t_jy_j.</math> ==== Beispiel - Einsetzung von Termen in die Lösung - 10 ==== Durch Einsetzen erhält man: :<math>x^* = \frac 1{n \cdot \left( \sum^n_{j=1} t_j^2\right) - \left(\sum^n_{j=1} t_j\right)^2} \begin{pmatrix} \left( \sum^n_{j=1} t_j^2 \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \\ n \left( \sum^n_{j=1} t_jy_j \right) - \left( \sum^n_{j=1} t_j \right) \left( \sum^n_{j=1} y_j \right) \end{pmatrix}.</math> ==== Beispiel - Berechnung der Ausgleichsgerade für konkrete Wertepaare - 11 ==== Beispielsweise für die <math>n = 8</math> Wertepaare ::<math>\begin{array}{|l||c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t_j & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline y_j & 1.75 & 2.18 & 2.63 & 3.24 & 3.69 & 4.16 & 4.55 & 5.29 \\ \hline \end{array}</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 12 ==== Wendet man die obigen Überlegungen auf die Beispieldaten an, erhält man :<math>\sum^8_{j=1} t_j = 36, \quad \sum^8_{j=1} y_j = 27.49, \quad \sum^8_{j=1} t^2_j = 204, \quad \sum^8_{j=1} t_jy_j = 144.54.</math> ==== Beispiel - Berechnung von Termen in der Lösung - 13 ==== Über Einsetzung in die Vektordefinition von <math>x^*</math> ergibt sich somit :<math>x^* = \frac 1{8 \cdot 204 - 36^2} \begin{pmatrix} 204 \cdot 27.49 - 36 \cdot 144.54 \\ 8 \cdot 144.54 - 36 \cdot 27.49 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.203\ 929 \\ 0.496\ 071 \end{pmatrix}.</math> Die Ausgleichsgerade zu den gegebenen Daten lautet folglich :<math>z(x^*, t) := 1.203\ 929 + 0.496\ 071 t, \quad t \in \R.</math> ==== Beispiel - Maximaler Fehler der Lösung - 14 ==== Der maximale relative Fehler der <math>z(x^*, t_j)</math> bezüglich der <math>y_j</math> beträgt ::<math>\max_{1\le j\le 8} \frac{|y_j - z(x^*, t_j)|}{|z(x^*, t_j)|} = 0.016\ 243</math> bzw. ungefähr 1.6%. == Normalengleichung für höhere k == Für <math>k > 2</math> könnte man die Normalgleichungen (4.10) mittels einer [[Kurs:Numerik_I/Zerlegung_PA_%3D_LR#Cholesky-Zerlegung_positiv_definiter_Matrizen|Cholesky-Zerlegung]] lösen. Diese selbst ist, wie man zeigen kann, numerisch stabil. Leider ist das Ausgleichproblem selbst aber häufig schlecht [[Konditionszahl|konditioniert]]. === Vandermonde-Matrix - Ansatzfunktionen === Man betrachte z. B. die Matrix <math>A</math>, die sog. ''[[w:de:Vandermonde-Matrix|Vandermonde-Matrix]]'', die man für <math>n = k</math> im Fall der Wahl der Monome (4.6) als Ansatzfunktionen erhält: ::<math>A := \begin{pmatrix} 1 & t_1 & \ldots & t^{k-1}_1 \\ 1 & t_2 & \ldots & t^{k-1}_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_k & \ldots & t^{k-1}_k \end{pmatrix}.</math> === Einfluss auf die Konditionszahl === Für <math>t \in [0, 1]</math> unterscheiden sich die Funktionen <math>t^{r-1}</math> und <math>t^r</math> bereits für nicht allzu großes <math>r</math> kaum, so dass die <math>r</math>-te und <math>(r + 1)</math>-te Spalten in <math>A</math> für solche <math>r</math> nahezu linear abhängig sind. Die oft [[Konditionszahl|große Kondition]] von <math>A</math> geht außerdem noch im Fall <math>n = k</math> bei der Lösung der Normalgleichungen quadratisch ein, denn es gilt: === Lemma - Eigenwerte positiv definiter Matrizen === Sei <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> eine positiv definite Matrix, dann sind alle Eigenwerte positiv. === Beweis === Sei <math>\lambda </math> ein Eigenwert der Matrix <math>A\in \mathbb{R}^{n\times n}</math> und <math>x\in \mathbb{R}^{n}</math> ein beliebiger [[w:de:Eigenvektor|Eigenvektor]]. Dann gilt mit <math>x\not= 0_V</math> und der positiven Definitheit: :<math> 0 < \langle Ax, x\rangle = \langle \lambda \cdot x, x\rangle = \lambda\cdot \underbrace{\langle x, x\rangle}_{> 0} </math> Damit ist auch <math>\lambda > 0 </math>. q.e.d. === Lemma - Konditionszahl Normalengleichung === Für eine reguläre Matrix <math>A \in \R^{k\times k}</math> gilt für die [[Konditionszahl]] :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = (\operatorname{cond}_2(A))^2.</math> Dabei bezeichnet der Index 2 an der Konditionszahl, dass die [[Kurs:Numerik_I/Normen_und_Fehlerabschätzungen#Beispiele_von_Normen|Euklidische Norm]] bzw. <math>l_2</math>-Norm verwendet wurde. === Beweis === Nach dem [[Kurs:Numerik_I/Lösung_der_Normalengleichung#Lemma_-_Eigenwerte_positiv_definiter_Matrizen|Lemma über Eigenwerte positiv definiter Matrix]] <math>B \in \R^{k\times k}</math> gilt für die Eigenwerte <math>\lambda_i := \lambda_i(B) > 0</math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math>. ==== Beweis 1 - Eigenwert der inversen Matrix ==== Weiter hat wegen :<math>Bx^i = \lambda_ix^i \Leftrightarrow B^{-1}x^i = \frac{1}{\lambda_i} x^i</math> für Eigenvektoren <math>x^i</math> zu <mmath>\frac{1}{\lambda_i} </math> <math>(i = 1, \ldots, k)</math> besitzt. ==== Beweis 2 - Berechnung der Konditionszahl ==== Es gilt folglich nach [[Kurs:Numerik_I/Normen_und_Fehlerabschätzungen#Satz_-_Konditionszahl|Satz zur Berechnung der Konditionszahl]] erhält man: :<math>\operatorname{cond}_2(B) = \|B\|_2 \left\| B^{-1} \right\|_2 = \frac{\lambda_max}{\lambda_\min},</math> : <math>\operatorname{cond}(A) = \left( \max_{\|x\|=1} \|Ax\| \right) / \left( \min_{\|x\|=1} \|Ax\| \right).</math> wobei <math>\lambda_\max = \max_{\|x\|=1} \|Ax\|</math> und <math>\lambda_\min = \min_{\|x\|=1} \|Ax\|</math> den größten bzw. kleinsten Eigenwert von <math>B</math> bezeichnen. ==== Beweis 3 - Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ==== Indem man <math>x</math> mittels einer Orthonormalbasis von Eigenvektoren darstellt, kann man ferner die Abschätzungen :<math>\lambda_\min \|x\|^2_2 \le x^TBx \le \lambda_\max \|x\|^2_2, \quad x \in \R^k</math> beweisen, wobei offenbar Gleichheit in der ersten bzw. zweiten Ungleichung für einen zu <math>\lambda_\min</math> bzw. <math>\lambda_\max</math> gehörenden Eigenvektor angenommen wird. ==== Beweis 4 - Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ==== Folglich schließt man :<math>\lambda_\min = \min_{\|x\|_2=1} x^TBx, \quad \lambda_\max = \max_{\|x\|_2=1} x^TBx.</math> Wendet man diese Ergebnisse auf die nach Lemma 4.1 positiv definite Matrix <math>A^TA \in \R^{k\times k}</math> an, so erhält man mit Satz [[Kurs:Numerik_I/Normen_und_Fehlerabschätzungen#Satz_-_Konditionszahl|Satz zur Berechnung der Konditionszahl]] :<math>\operatorname{cond}_2(A^TA) = \frac{\lambda_\max(A^TA)}{\lambda_\min(A^TA)} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x}{\min\limits_{\|x\|_2=1} x^T (A^TA)x} = \frac{\max\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2}{\min\limits_{\|x\|_2=1} \|Ax\|^2_2} = [\operatorname{cond}_2(A)]^2.</math> q.e.d. === Bemerkung - Cholesky-Zerlegung === Es ist daher große Vorsicht bei Anwendung der Cholesky-Zerlegung für die Lösung der Normalgleichungen geboten. Prinzipiell ist sie nur zu empfehlen, wenn große Residuen <math>b_i - (Ax)_i</math> <math>(i = 1, \ldots, n)</math> in der Lösung des Ausgleichsproblems zu erwarten sind (s. Deuflhard/Hohmann). Sicherer ist es aber, so vorzugehen, wie es im folgenden Abschnitt beschrieben ist. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Lineare_Ausgleichsrechnung#Anwendung_auf_die_Fehlerfunktion_-_Matrixrechenregeln|linearen Ausgleichsrechnung]] * [[w:de:Taylor-Formel#Taylor-Formel_im_Mehrdimensionalen|mehrdimensionale Taylorentwicklung]] * [[w:de:Gradient (Mathematik)|Gradient]] * [[w:de:Hesse-Matrix|Hesse-Matrix]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=L%C3%B6sung%20der%20Normalengleichung&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] h2mrp2zmgq4c5u1bgisu7yo91h9gpdv 2 141068 745627 745492 2022-07-22T08:09:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Halbnorm/Definition|| }} [[Hilbertraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt]] {{ inputdefinition |Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition|| }} [[Polynome/Fourier-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt]] jslnuqt52ax578w505cvokh24baeivh 745669 745627 2022-07-22T11:56:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Halbnorm/Definition|| }} [[Normierter Raum/Banachraum/Summierbarkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^p-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Maßraum/L^2-Räume/Identifizierung/Einführung/Textabschnitt]] [[Fourierreihen/Maßraum/Einführung/Textabschnitt]] {{ inputdefinition |Bernoulli-Polynome/Stammfunktionbedingung/Definition|| }} [[Polynome/Fourier-Entwicklung/Einführung/Textabschnitt]] egj3a1aqs2b7zex8fqlxgjtk7gv3iz2 0 141131 745581 745572 2022-07-21T12:08:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Reeller Vektorraum/Konvexe Teilmenge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Hilbertraum/Definition|| }} Endlichdimensionale {{math|term= {{KRC}} |SZ=-}}Vektorräume mit einem Skalarprodukt sind vollständig nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Euklidischer Raum/Vollständig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} also Hilberträume. Der Begriff ist insbesondere für unendlichdimensionale Vektorräume relevant. {{ inputfaktbeweis |Hilbertraum/Abgeschlossene konvexe Teilmenge/Minimale Norm/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Punkt/Minimaler Abstand/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Darstellung/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputdefinition |Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Hilbertraum/Abgeschlossener Untervektorraum/Orthogonale Projektion/Eigenschaften/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Hilbertraum/Stetig lineare Abbildung/Gradient/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Definition|| }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition|| }} Der folgende Satz charakterisiert die vollständigen Orthonormalsysteme. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Hilberträume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ibbp4yhioj7ouseue51g8qhir2rqcnb 745628 745581 2022-07-22T08:10:09Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Reeller Vektorraum/Konvexe Teilmenge/Definition|| }} {{ inputdefinition |Hilbertraum/Definition|| }} Endlichdimensionale {{math|term= {{KRC}} |SZ=-}}Vektorräume mit einem Skalarprodukt sind vollständig nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Euklidischer Raum/Vollständig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} also Hilberträume. 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{{latex|Kurs:Riemannsche_Flächen_(Osnabrück_2022)/Vorlesung_33}} 6ntgw0q3tfrt57e2qc9riy1ozyanguw 0 141165 745591 2022-07-21T17:29:34Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=}} und sei {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Orthonormalsystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang=Dann sind folgende Aussagen äquivalent. |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Die Familie ist {{ Definitionslink |Prämath= |vollständig| |Kontext=Orthonormalsystem| |Definitionsseitenname= 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Jul. 2022 (CEST) izg5gh2ategnz7etieuiltin9tzqfor 106 141170 745613 2022-07-22T05:32:14Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki == Einleitung - Konvergenzraten == Die Verfahren, die wir bisher im Zusammenhang mit der Lösung linearer Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme vorgestellt haben, bestimmen in endlich vielen Schritten eine Lösung, welche, wenn man exakt rechnen könnte, immer die exakte Lösung des Problems wäre. In der Praxis lassen sich aber viele mathematische Probleme nur mittels eines ''Iterationsverfahrens'' näherungsweise lösen. === Iterationsverfahren === d. h. mittels wiederholter Anwendung derselben Rechenvorschriften, wobei in der <math>k</math>-ten ''Iteration'' („Wiederholung“), ausgehend von einer Näherung <math>x^{(k)}</math>, eine neue und möglichst genauere Näherung <math>x^{(k+1)}</math> für eine gesuchte Lösung des Problems berechnet wird. Für den Start eines solchen Verfahrens muss man folglich eine ''Startnäherung'' <math>x^{(0)}</math> vorgeben. Iterationsverfahren würden im allgemeinen, wenn sie nicht nach endlich vielen Schritten abgebrochen würden, eine unendliche Folge <math>(x^k)</math> von Iterierten generieren. Aufgabe des Numerikers ist es zu zeigen, dass jede konvergente Teilfolge oder die ganze vom Verfahren erzeugte Folge <math>(x^k)</math> für jeden Startpunkt aus einer gewissen Menge gegen eine (ja a priori unbekannte!) Lösung <math>x^*</math> des gegebenen Problems konvergiert. In diesem Zusammenhang spricht man von ''globaler Konvergenz'' eines Verfahrens, wenn diese Konvergenz für jede Wahl des Startpunktes aus einer wohlbestimmten Menge (z. B. dem ganzen <math>\R^n</math>) gegeben ist, und von ''lokaler Konvergenz'', wenn dies nur für Startpunkte aus einer (im Allgemeinen nicht spezifizierbaren) Umgebung einer Lösung der Fall ist. In der Praxis wird ein Iterationsverfahren natürlich nach einer endlichen Anzahl von Iterationen gestoppt und zwar dann, wenn zum ersten Mal ein ''Abbruchkriterium'' erfüllt ist, welches ausreichende Genauigkeit der aktuellen Näherung im Hinblick auf eine Lösung des Problems sicherstellt. Die Angabe eines sinnvollen Abbruchkriteriums kann dabei durchaus ein schwieriges Unterfangen sein. Für ein gegebenes Verfahren ist neben dem rechnerischen Aufwand, der pro Iteration zu leisten ist, naturgemäß von Interesse, wie schnell es, wenn es nicht abgebrochen würde, gegen eine gesuchte Lösung konvergieren würde und damit, ob im Schnitt nur wenige oder viele Iterationen durchlaufen werden müssen, bis ein gegebenes Abbruchkriterium erfüllt ist. Wir wollen daher als nächstes den Begriff der Konvergenzgeschwindigkeit eines Verfahrens genauer fassen. === Definition 5.1 === :''Sei <math>\|\cdot\|</math> eine Norm auf dem <math>\R^n</math> und <math>(x^k)</math> eine Folge in <math>\R^n</math> mit <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math>. :''(i) <u>Die Folge <math>(x^k)</math> konvergiert von (mindestens) der Ordnung <math>p > 0</math></u> (gegen <math>x^* \in \R^n</math>), wenn mit einem <math>k_0 \in \N</math> und einem <math>C > 0</math> ::(5.1) <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le C\left\| x^k - x^* \right\|^{p}, \quad k \ge k_0</math> :''gilt, wobei <math>C < 1</math> für <math>p = 1</math> sei. Im Fall <math>p = 1</math> spricht man auch von <u>linearer</u> und im Fall <math>p = 2</math> von <u>quadratischer Konvergenz</u>. :''(ii) <u>Die Folge <math>(x^k)</math> konvergiert superlinear</u> (gegen <math>x^* \in \R^n</math>), wenn <math>x^k \neq x^*, k \ge k_0</math> für ein <math>k_0 \in \N</math> gilt sowie ::(5.2) <math>\lim_{k \to \infty} \frac{\left\| x^{k+1} - x^* \right\|}{\|x^k - x^*\|} = 0.</math> Die drei wichtigsten Konvergenzraten bei Algorithmen sind lineare, superlineare und quadratische Konvergenz, so dass wir uns im Folgenden nur auf sie beziehen werden. Die (praktisch irrelevante) Voraussetzung „<math>x^k \neq x^*, k \ge k_0</math> für ein <math>k_0 \in \N</math>“ bei der Definition der superlinearen Konvergenz kann man vermeiden, indem man diese mit einer Folge <math>(\varepsilon_k)</math> von Zahlen <math>\varepsilon_k \ge 0</math> mit <math>\lim_{k \to \infty} \varepsilon_k = 0</math> durch ::(5.3) <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon_k \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \ge k_1</math> für ein <math>k_1 \in \N</math> definiert. Für <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math> kann man superlineare Konvergenz der Folge <math>(x^k)</math> auch durch die Beziehung ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = o \left( \left\| x^k - x^* \right\| \right)</math> ausdrücken und quadratische Konvergenz durch ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = \mathcal O \left( \left\| x^k - x^* \right\|^2 \right).</math> ==== Beispiel 5.2 ==== Die Folgen <math>(x_k), (y_k)</math> und <math>(z_k)</math> mit ::<math>x_k := 1 + 0.5^k, \quad y_k := 1 + k^{-k}, \quad z_k := 1 + 0.5^{2^k}</math> konvergieren für <math>k \to \infty</math> gegen <math>x^* = y^* = z^* := 1</math>. Man errechnet ::<math>\frac{|x_{k+1} - x^*|}{|x_k - x^*|} = 0.5,</math> ::<math>\frac{|y_{k+1} - y^*|}{|y_k - y^*|} = \frac{k^k}{(k+1)^{k+1}} = \frac 1{k+1} \left( \frac 1{1 + \frac 1k} \right)^k \to 0 \quad (k \to \infty),</math> ::<math>\frac{|z_{k+1} - z^*|}{|z_k - z^*|^2} = \frac{0.5^{2^{k + 1}}}{\left( 0.5^{2^k} \right)^2} = 1.</math> Also konvergiert <math>(x_k)</math> linear, <math>(y_k)</math> superlinear und <math>(z_k)</math> quadratisch gegen 1. Die folgende Tabelle demonstriert, was die unterschiedlichen Konvergenzraten praktisch bedeuten. ::<math>\begin{array}{c|c c c c c c} k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline x_k & 1.500\, 000 & 1.250\, 000 & 1.125\, 000 & 1.062\, 500 & 1.031\, 250\, 000 & 1.015\, 625\, 000 \\ y_k & 2.000\, 000 & 1.250\, 000 & 1.037\, 037 & 1.003\, 906 & 1.000\, 320\, 000 & 1.000\, 021\, 434 \\ z_k & 1.250\, 000 & 1.062\, 500 & 1.003\, 906 & 1.000\, 015 & 1.000\, 000\, 000 & 1.000\, 000\, \ldots \end{array}</math> Quadratische Konvergenz impliziert superlineare Konvergenz und diese wiederum lineare Konvergenz. Denn im Fall quadratischer Konvergenz hat man mit einem <math>C > 0</math> und einem <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\left\|x^{k+1} - x^*\right\| \le \left( C \left\|x^k - x^*\right\| \right) \left\|x^k - x^*\right\|, \quad k \ge k_0,</math> was wegen <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math> die Bedingung (5.3) impliziert. Ist andererseits (5.2) gegeben, dann existiert zu jedem <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> ein <math>k_\varepsilon \in \N</math>, so dass gilt: ::(5.4) <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \ge k_\varepsilon.</math> Letztere Beziehung drückt gerade die lineare Konvergenz aus. Im Fall der superlinearen Konvergenz gilt ja (5.4), d. h. lineare Konvergenz mit einem <math>\varepsilon \in (0, 1)</math>, so dass man bei der Definition der linearen und superlinearen Konvergenz auf die Voraussetzung <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math> verzichten könnte. Denn die Ungleichung (5.1) impliziert im Fall der linearen Konvergenz ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le C \left\| x^k - x^* \right\| \le C^2 \left\| x^{k-1} - x^* \right\| \le C^{k-k_0+1} \left\| x^{k_0} - x^* \right\|, \quad k \ge k_0</math> und damit wegen <math>C < 1</math> auch die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math>. Bei der Definition einer Konvergenzordnung <math>p > 1</math> muss man aber, da dort nicht <math>C < 1</math> gefordert ist, die Konvergenz der Folge <math>(x^k)</math> explizit voraussetzen. Man beachte, dass lineare Konvergenz mit einer Konstanten <math>C \approx 1</math> sehr langsame Konvergenz bedeuten kann. ==== Beispiel 5.3 ==== Für die gegen 1 konvergierende Folge <math>(x_k)</math> mit <math>x_k = 1 + 0.99^k, k \in \N_0</math> gilt ::<math>|x_{k+1} - 1| = 0.99 \cdot |x_k - 1| = 0.99^{k+1} |x_0 - 1| = 0.99^{k+1}.</math> Die langsame Konvergenz sei mit der Berechnung einiger Folgenglieder gezeigt: ::<math>\begin{array}{c|c c c} k & 100 & 1000 & 2000 \\ \hline x_k & 1.366\, 032\, 341 & 1.000\, 043\, 171 & 1.000\, 000\, 002 \end{array}</math> Man hofft also, dass die Konstante <math>C</math> in der Praxis im Fall der linearen Konvergenz <math>\ll 1</math> ist und im Fall der quadratischen Konvergenz nicht allzu groß wird. In letzterem Fall besagt die Ungleichung (5.1) für <math>C := 1</math>, dass sich für einen Fehler <math>\left\| x^* - x^k \right\| < 1</math> die Anzahl der korrekten Stellen hinter dem Dezimalpunkt von <math>x^{k+1}</math> bezüglich <math>x^*</math> gegenüber der von <math>x^k</math> ungefähr verdoppelt. Denn dann ist ::<math>\left\| x^* - x^{k+1} \right\| \le \left\| x^* - x^k \right\|^2, \quad k \ge k_0,</math> so dass man bei einer Genauigkeit von <math>\ell</math> Stellen hinter dem Dezimalpunkt für <math>x^k</math> bezüglich der Norm <math>\|\cdot\|</math> im <math>k</math>-ten Schritt einen Fehler <math>\left\| x^* - x^k \right\| \le 5 \cdot 10^{-(\ell+1)}</math> hat und somit im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt einen Fehler ::<math>\left\| x^* - x^k \right\| \le 25 \cdot 10^{-2(\ell+1)} = 2.5 \cdot 10^{-(2\ell+1)}.</math> Quadratische Konvergenz ist demnach eine für die Praxis sehr gute Eigenschaft eines Verfahrens und meist die schnellste Konvergenz, die man mit vernünftigen Mitteln erreichen kann. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass eine gute Konvergenzrate eines Verfahrens alleine nicht dessen Effizienz garantiert. Von einem gegebenen Verfahren ausgehend, kann man ja immer ein noch schnelleres Verfahren erzeugen, indem man mehrere Iterationen des ersten Verfahrens zu einer einzigen zusammenfasst. Neben der Konvergenzgeschwindigkeit eines Verfahrens hat man also bei der Beurteilung eines Verfahrens den numerischen Aufwand pro Iteration und natürlich auch seine Stabilität zu berücksichtigen. Wir bemerken ferner, dass die Eigenschaften der superlinearen und quadratischen Konvergenz einer Folge <math>(x^k)</math> gegen einen Punkt <math>x^*</math> im <math>\R^n</math> aufgrund der Äquivalenz aller Normen im <math>\R^n</math> unabhängig von der gewählten Norm sind. Denn die Äquivalenz zweier Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> auf dem <math>\R^n</math> besagt, dass mit zwei Konstanten <math>\alpha \ge 0</math> und <math>\beta \ge 0</math> ::<math>\alpha \|x\|_b \le \|x\|_a \le \beta \|x\|_b, \quad x \in \R^n</math> gilt, so dass z. B. die Beziehung in (5.3) bezogen auf die Norm <math>\|\cdot\|_a</math> ::<math>\alpha \left\| x^{k+1} - x^* \right\|_b \le \left\| x^{k+1} - x^* \right\|_a \le \varepsilon_k \left\| x^k - x^* \right\|_a \le \beta \varepsilon_k \left\| x^k - x^* \right\|_b, \quad k \ge k_1</math> impliziert und damit für die Nullfolge <math>\{\eta_k\}</math> mit <math>\eta_k := (\beta/\alpha) \varepsilon_k</math> auch ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\|_b \le \eta_k \left\| x^k - x^* \right\|_b.</math> Ähnlich garantiert quadratische Konvergenz bezüglich der Norm <math>\|\cdot\|_a</math> auch die quadratische Konvergenz ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\|_b \le C_b \left\| x^k - x^* \right\|_b^2</math> bezüglich einer Norm <math>\|\cdot\|_b</math>, wobei die Konstante <math>C_b</math> von der Norm <math>\|\cdot\|_a</math> abhängt. Dagegen muss lineare Konvergenz einer Folge im <math>\R^n</math> bezüglich einer Norm nicht notwendig die lineare Konvergenz hinsichtlich einer anderen Norm auf dem <math>\R^n</math> zur Folge haben. Zwar gilt beispielsweise für jede linear bezüglich <math>\|\cdot\|_a</math> konvergente Folge <math>(x^k)</math> auch ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\|_b \le C_b \left\| x^k - x^* \right\|_b</math> mit einer Konstanten <math>C_b</math> für eine Norm <math>\|\cdot\|_b</math>, jedoch nicht notwendig <math>C_b < 1</math>. Sprechen wir also von linearer Konvergenz, so müssen wir klarstellen, bezüglich welcher Norm wir dies tun. Wenn nichts Anderes gesagt wird, beziehen wir uns immer auf Konvergenz im Sinne der Euklidischen Norm <math>\|\cdot\|_2</math>. Die hier eingeführten Begriffe der linearen, superlinearen und quadratischen Konvergenz werden gelegentlich auch als <math>Q</math>-lineare, <math>Q</math>-superlineare bzw. <math>Q</math>-quadratische Konvergenz bezeichnet, im Unterschied zur <math>R</math>-linearen, <math>R</math>-superlinearen bzw. <math>R</math>-quadratischen Konvergenz (siehe z. B. das Buch von Ortega und Rheinboldt aus dem Jahre 1970). Das „<math>Q</math>“ steht dabei für „Quotient“, da die Konvergenzrate in allen Fällen mittels des Quotienten <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| / \left\| x^k - x^* \right\|</math> ausgedrückt werden kann (während „<math>R</math>“ für engl. „Root“, also „Wurzel“ steht). 9doex1yganomyuc4f5lfofdt9s7akb1 745614 745613 2022-07-22T05:33:43Z Bert Niehaus 20843 wikitext text/x-wiki == Einleitung - Konvergenzraten == Die Verfahren, die wir bisher im Zusammenhang mit der Lösung linearer Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme vorgestellt haben, bestimmen in endlich vielen Schritten eine Lösung, welche, wenn man exakt rechnen könnte, immer die exakte Lösung des Problems wäre. In der Praxis lassen sich aber viele mathematische Probleme nur mittels eines ''Iterationsverfahrens'' näherungsweise lösen. === Iterationsverfahren === d. h. mittels wiederholter Anwendung derselben Rechenvorschriften, wobei in der <math>k</math>-ten ''Iteration'' („Wiederholung“), ausgehend von einer Näherung <math>x^{(k)}</math>, eine neue und möglichst genauere Näherung <math>x^{(k+1)}</math> für eine gesuchte Lösung des Problems berechnet wird. Für den Start eines solchen Verfahrens muss man folglich eine ''Startnäherung'' <math>x^{(0)}</math> vorgeben. Iterationsverfahren würden im allgemeinen, wenn sie nicht nach endlich vielen Schritten abgebrochen würden, eine unendliche Folge <math>(x^k)</math> von Iterierten generieren. Aufgabe des Numerikers ist es zu zeigen, dass jede konvergente Teilfolge oder die ganze vom Verfahren erzeugte Folge <math>(x^k)</math> für jeden Startpunkt aus einer gewissen Menge gegen eine (ja a priori unbekannte!) Lösung <math>x^*</math> des gegebenen Problems konvergiert. In diesem Zusammenhang spricht man von ''globaler Konvergenz'' eines Verfahrens, wenn diese Konvergenz für jede Wahl des Startpunktes aus einer wohlbestimmten Menge (z. B. dem ganzen <math>\R^n</math>) gegeben ist, und von ''lokaler Konvergenz'', wenn dies nur für Startpunkte aus einer (im Allgemeinen nicht spezifizierbaren) Umgebung einer Lösung der Fall ist. In der Praxis wird ein Iterationsverfahren natürlich nach einer endlichen Anzahl von Iterationen gestoppt und zwar dann, wenn zum ersten Mal ein ''Abbruchkriterium'' erfüllt ist, welches ausreichende Genauigkeit der aktuellen Näherung im Hinblick auf eine Lösung des Problems sicherstellt. Die Angabe eines sinnvollen Abbruchkriteriums kann dabei durchaus ein schwieriges Unterfangen sein. Für ein gegebenes Verfahren ist neben dem rechnerischen Aufwand, der pro Iteration zu leisten ist, naturgemäß von Interesse, wie schnell es, wenn es nicht abgebrochen würde, gegen eine gesuchte Lösung konvergieren würde und damit, ob im Schnitt nur wenige oder viele Iterationen durchlaufen werden müssen, bis ein gegebenes Abbruchkriterium erfüllt ist. Wir wollen daher als nächstes den Begriff der Konvergenzgeschwindigkeit eines Verfahrens genauer fassen. === Definition 5.1 === :''Sei <math>\|\cdot\|</math> eine Norm auf dem <math>\R^n</math> und <math>(x^k)</math> eine Folge in <math>\R^n</math> mit <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math>. :''(i) <u>Die Folge <math>(x^k)</math> konvergiert von (mindestens) der Ordnung <math>p > 0</math></u> (gegen <math>x^* \in \R^n</math>), wenn mit einem <math>k_0 \in \N</math> und einem <math>C > 0</math> ::(5.1) <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le C\left\| x^k - x^* \right\|^{p}, \quad k \ge k_0</math> :''gilt, wobei <math>C < 1</math> für <math>p = 1</math> sei. Im Fall <math>p = 1</math> spricht man auch von <u>linearer</u> und im Fall <math>p = 2</math> von <u>quadratischer Konvergenz</u>. :''(ii) <u>Die Folge <math>(x^k)</math> konvergiert superlinear</u> (gegen <math>x^* \in \R^n</math>), wenn <math>x^k \neq x^*, k \ge k_0</math> für ein <math>k_0 \in \N</math> gilt sowie ::(5.2) <math>\lim_{k \to \infty} \frac{\left\| x^{k+1} - x^* \right\|}{\|x^k - x^*\|} = 0.</math> Die drei wichtigsten Konvergenzraten bei Algorithmen sind lineare, superlineare und quadratische Konvergenz, so dass wir uns im Folgenden nur auf sie beziehen werden. Die (praktisch irrelevante) Voraussetzung „<math>x^k \neq x^*, k \ge k_0</math> für ein <math>k_0 \in \N</math>“ bei der Definition der superlinearen Konvergenz kann man vermeiden, indem man diese mit einer Folge <math>(\varepsilon_k)</math> von Zahlen <math>\varepsilon_k \ge 0</math> mit <math>\lim_{k \to \infty} \varepsilon_k = 0</math> durch ::(5.3) <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon_k \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \ge k_1</math> für ein <math>k_1 \in \N</math> definiert. Für <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math> kann man superlineare Konvergenz der Folge <math>(x^k)</math> auch durch die Beziehung ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = o \left( \left\| x^k - x^* \right\| \right)</math> ausdrücken und quadratische Konvergenz durch ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = \mathcal O \left( \left\| x^k - x^* \right\|^2 \right).</math> ==== Beispiel 5.2 ==== Die Folgen <math>(x_k), (y_k)</math> und <math>(z_k)</math> mit ::<math>x_k := 1 + 0.5^k, \quad y_k := 1 + k^{-k}, \quad z_k := 1 + 0.5^{2^k}</math> konvergieren für <math>k \to \infty</math> gegen <math>x^* = y^* = z^* := 1</math>. Man errechnet ::<math>\frac{|x_{k+1} - x^*|}{|x_k - x^*|} = 0.5,</math> ::<math>\frac{|y_{k+1} - y^*|}{|y_k - y^*|} = \frac{k^k}{(k+1)^{k+1}} = \frac 1{k+1} \left( \frac 1{1 + \frac 1k} \right)^k \to 0 \quad (k \to \infty),</math> ::<math>\frac{|z_{k+1} - z^*|}{|z_k - z^*|^2} = \frac{0.5^{2^{k + 1}}}{\left( 0.5^{2^k} \right)^2} = 1.</math> Also konvergiert <math>(x_k)</math> linear, <math>(y_k)</math> superlinear und <math>(z_k)</math> quadratisch gegen 1. Die folgende Tabelle demonstriert, was die unterschiedlichen Konvergenzraten praktisch bedeuten. ::<math>\begin{array}{c|c c c c c c} k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline x_k & 1.500\, 000 & 1.250\, 000 & 1.125\, 000 & 1.062\, 500 & 1.031\, 250\, 000 & 1.015\, 625\, 000 \\ y_k & 2.000\, 000 & 1.250\, 000 & 1.037\, 037 & 1.003\, 906 & 1.000\, 320\, 000 & 1.000\, 021\, 434 \\ z_k & 1.250\, 000 & 1.062\, 500 & 1.003\, 906 & 1.000\, 015 & 1.000\, 000\, 000 & 1.000\, 000\, \ldots \end{array}</math> Quadratische Konvergenz impliziert superlineare Konvergenz und diese wiederum lineare Konvergenz. Denn im Fall quadratischer Konvergenz hat man mit einem <math>C > 0</math> und einem <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\left\|x^{k+1} - x^*\right\| \le \left( C \left\|x^k - x^*\right\| \right) \left\|x^k - x^*\right\|, \quad k \ge k_0,</math> was wegen <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math> die Bedingung (5.3) impliziert. Ist andererseits (5.2) gegeben, dann existiert zu jedem <math>\varepsilon \in (0, 1)</math> ein <math>k_\varepsilon \in \N</math>, so dass gilt: ::(5.4) <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \ge k_\varepsilon.</math> Letztere Beziehung drückt gerade die lineare Konvergenz aus. Im Fall der superlinearen Konvergenz gilt ja (5.4), d. h. lineare Konvergenz mit einem <math>\varepsilon \in (0, 1)</math>, so dass man bei der Definition der linearen und superlinearen Konvergenz auf die Voraussetzung <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math> verzichten könnte. Denn die Ungleichung (5.1) impliziert im Fall der linearen Konvergenz ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le C \left\| x^k - x^* \right\| \le C^2 \left\| x^{k-1} - x^* \right\| \le C^{k-k_0+1} \left\| x^{k_0} - x^* \right\|, \quad k \ge k_0</math> und damit wegen <math>C < 1</math> auch die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x^k = x^*</math>. Bei der Definition einer Konvergenzordnung <math>p > 1</math> muss man aber, da dort nicht <math>C < 1</math> gefordert ist, die Konvergenz der Folge <math>(x^k)</math> explizit voraussetzen. Man beachte, dass lineare Konvergenz mit einer Konstanten <math>C \approx 1</math> sehr langsame Konvergenz bedeuten kann. ==== Beispiel 5.3 ==== Für die gegen 1 konvergierende Folge <math>(x_k)</math> mit <math>x_k = 1 + 0.99^k, k \in \N_0</math> gilt ::<math>|x_{k+1} - 1| = 0.99 \cdot |x_k - 1| = 0.99^{k+1} |x_0 - 1| = 0.99^{k+1}.</math> Die langsame Konvergenz sei mit der Berechnung einiger Folgenglieder gezeigt: ::<math>\begin{array}{c|c c c} k & 100 & 1000 & 2000 \\ \hline x_k & 1.366\, 032\, 341 & 1.000\, 043\, 171 & 1.000\, 000\, 002 \end{array}</math> Man hofft also, dass die Konstante <math>C</math> in der Praxis im Fall der linearen Konvergenz <math>\ll 1</math> ist und im Fall der quadratischen Konvergenz nicht allzu groß wird. In letzterem Fall besagt die Ungleichung (5.1) für <math>C := 1</math>, dass sich für einen Fehler <math>\left\| x^* - x^k \right\| < 1</math> die Anzahl der korrekten Stellen hinter dem Dezimalpunkt von <math>x^{k+1}</math> bezüglich <math>x^*</math> gegenüber der von <math>x^k</math> ungefähr verdoppelt. Denn dann ist ::<math>\left\| x^* - x^{k+1} \right\| \le \left\| x^* - x^k \right\|^2, \quad k \ge k_0,</math> so dass man bei einer Genauigkeit von <math>\ell</math> Stellen hinter dem Dezimalpunkt für <math>x^k</math> bezüglich der Norm <math>\|\cdot\|</math> im <math>k</math>-ten Schritt einen Fehler <math>\left\| x^* - x^k \right\| \le 5 \cdot 10^{-(\ell+1)}</math> hat und somit im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt einen Fehler ::<math>\left\| x^* - x^k \right\| \le 25 \cdot 10^{-2(\ell+1)} = 2.5 \cdot 10^{-(2\ell+1)}.</math> Quadratische Konvergenz ist demnach eine für die Praxis sehr gute Eigenschaft eines Verfahrens und meist die schnellste Konvergenz, die man mit vernünftigen Mitteln erreichen kann. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass eine gute Konvergenzrate eines Verfahrens alleine nicht dessen Effizienz garantiert. Von einem gegebenen Verfahren ausgehend, kann man ja immer ein noch schnelleres Verfahren erzeugen, indem man mehrere Iterationen des ersten Verfahrens zu einer einzigen zusammenfasst. Neben der Konvergenzgeschwindigkeit eines Verfahrens hat man also bei der Beurteilung eines Verfahrens den numerischen Aufwand pro Iteration und natürlich auch seine Stabilität zu berücksichtigen. Wir bemerken ferner, dass die Eigenschaften der superlinearen und quadratischen Konvergenz einer Folge <math>(x^k)</math> gegen einen Punkt <math>x^*</math> im <math>\R^n</math> aufgrund der Äquivalenz aller Normen im <math>\R^n</math> unabhängig von der gewählten Norm sind. Denn die Äquivalenz zweier Normen <math>\|\cdot\|_a</math> und <math>\|\cdot\|_b</math> auf dem <math>\R^n</math> besagt, dass mit zwei Konstanten <math>\alpha \ge 0</math> und <math>\beta \ge 0</math> ::<math>\alpha \|x\|_b \le \|x\|_a \le \beta \|x\|_b, \quad x \in \R^n</math> gilt, so dass z. B. die Beziehung in (5.3) bezogen auf die Norm <math>\|\cdot\|_a</math> ::<math>\alpha \left\| x^{k+1} - x^* \right\|_b \le \left\| x^{k+1} - x^* \right\|_a \le \varepsilon_k \left\| x^k - x^* \right\|_a \le \beta \varepsilon_k \left\| x^k - x^* \right\|_b, \quad k \ge k_1</math> impliziert und damit für die Nullfolge <math>\{\eta_k\}</math> mit <math>\eta_k := (\beta/\alpha) \varepsilon_k</math> auch ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\|_b \le \eta_k \left\| x^k - x^* \right\|_b.</math> Ähnlich garantiert quadratische Konvergenz bezüglich der Norm <math>\|\cdot\|_a</math> auch die quadratische Konvergenz ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\|_b \le C_b \left\| x^k - x^* \right\|_b^2</math> bezüglich einer Norm <math>\|\cdot\|_b</math>, wobei die Konstante <math>C_b</math> von der Norm <math>\|\cdot\|_a</math> abhängt. Dagegen muss lineare Konvergenz einer Folge im <math>\R^n</math> bezüglich einer Norm nicht notwendig die lineare Konvergenz hinsichtlich einer anderen Norm auf dem <math>\R^n</math> zur Folge haben. Zwar gilt beispielsweise für jede linear bezüglich <math>\|\cdot\|_a</math> konvergente Folge <math>(x^k)</math> auch ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\|_b \le C_b \left\| x^k - x^* \right\|_b</math> mit einer Konstanten <math>C_b</math> für eine Norm <math>\|\cdot\|_b</math>, jedoch nicht notwendig <math>C_b < 1</math>. Sprechen wir also von linearer Konvergenz, so müssen wir klarstellen, bezüglich welcher Norm wir dies tun. Wenn nichts Anderes gesagt wird, beziehen wir uns immer auf Konvergenz im Sinne der Euklidischen Norm <math>\|\cdot\|_2</math>. Die hier eingeführten Begriffe der linearen, superlinearen und quadratischen Konvergenz werden gelegentlich auch als <math>Q</math>-lineare, <math>Q</math>-superlineare bzw. <math>Q</math>-quadratische Konvergenz bezeichnet, im Unterschied zur <math>R</math>-linearen, <math>R</math>-superlinearen bzw. <math>R</math>-quadratischen Konvergenz (siehe z. B. das Buch von Ortega und Rheinboldt aus dem Jahre 1970). Das „<math>Q</math>“ steht dabei für „Quotient“, da die Konvergenzrate in allen Fällen mittels des Quotienten <math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| / \left\| x^k - x^* \right\|</math> ausgedrückt werden kann (während „<math>R</math>“ für engl. „Root“, also „Wurzel“ steht). == Siehe auch == * [[Gradientenabstiegsverfahren]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Konvergenzraten&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Konvergenzraten&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ak5z499opx660f56vrlz9x3zcd785bz 106 141171 745617 2022-07-22T05:37:43Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki = 5.2 Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen = Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch ::<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] a8mz7zcqas4h9ghjpeogoeogknn29gw 745618 745617 2022-07-22T05:40:00Z Bert Niehaus 20843 /* 5.2 Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch ::<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qr318j49xqifya8yc83ehupeo20z7h4 745623 745618 2022-07-22T05:57:41Z Bert Niehaus 20843 /* 5.2.4 Das Newton-Verfahren */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] rnt7w3tem7m9xx5yzalpwwnznjwxolc 745624 745623 2022-07-22T06:00:23Z Bert Niehaus 20843 /* 5.2.4 Das Newton-Verfahren */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 9agloihiiswcq20pkk577d2r1s06qhq 745625 745624 2022-07-22T06:08:33Z Bert Niehaus 20843 /* 5.2.1 Das Bisektionsverfahren */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] rednb0v17bbs0p3pizhxmp195cnkr1r 745629 745625 2022-07-22T08:11:30Z Bert Niehaus 20843 /* Algorithmus 6 (Regula Falsi) */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|mini|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] q6jrhxe55cajgtfxtph2vknmxqcjs5e 745631 745629 2022-07-22T08:11:41Z Bert Niehaus 20843 /* Animation - Regular Falsi */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 24pr3ab5vwoowhws2rijwevjs6z6oyj 745634 745631 2022-07-22T08:14:35Z Bert Niehaus 20843 /* 5.2.3 Das Sekantenverfahren */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|mini|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] mcw7vmloqa1mpax4z44lvy89l0wgjqp 745635 745634 2022-07-22T08:14:46Z Bert Niehaus 20843 /* Animation (Sekantenverfahren) */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] tmfq4q6d6g799i6g8ve0o7w4fowh8ip 745637 745635 2022-07-22T08:16:53Z Bert Niehaus 20843 /* Algorithmus 6 (Regula Falsi) */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 7gdhygl4znutkdu7uh2ma4kz5ahrkwr 745640 745637 2022-07-22T08:32:26Z Bert Niehaus 20843 wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Unterschied zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Bei der Anwendung des Sekantenverfahrens wird die Sekanten immer bzgl. der beiden vorhergehenden Iterationsstellen <math>x_{k-1}</math> und <math>x_{k}</math> gebildet und damit die nächste Iterationsstelle <math>x_{k+1}</math> berechnet, während bei der [[w:de:Regula Falsi|Regula Falsi]] die Sekante bzgl. der linken und rechten Intervallgrenze <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math> gebildet wird, in dem ein Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion zu finden ist. === Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Als Konsequenz der der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi ergibt sich daher, * dass bei der Regula Falsi der nächste Iterationspunkt <math>x_{k+1}</math> immer im Intervall <math>[a_{n},b_{n}]</math> liegen muss, * dass bei dem Sekantenverfahren der Schnittpunkt der Sekante mit der <math>x</math>-Achse '''''nicht notwendigerweise''''' zwischen <math>x_n</math> <math>x_{n-1}</math> liegen muss. === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] hrzlv9jyrqph1bzisdo6py1lzgkyuv0 745641 745640 2022-07-22T08:32:54Z Bert Niehaus 20843 /* Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Unterschied zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Bei der Anwendung des Sekantenverfahrens wird die Sekanten immer bzgl. der beiden vorhergehenden Iterationsstellen <math>x_{k-1}</math> und <math>x_{k}</math> gebildet und damit die nächste Iterationsstelle <math>x_{k+1}</math> berechnet, während bei der [[w:de:Regula Falsi|Regula Falsi]] die Sekante bzgl. der linken und rechten Intervallgrenze <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math> gebildet wird, in dem ein Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion zu finden ist. === Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Als Konsequenz der der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi ergibt sich daher, * dass bei der Regula Falsi der nächste Iterationspunkt <math>x_{k+1}</math> immer im Intervall <math>[a_{n},b_{n}]</math> liegen muss, * dass bei dem Sekantenverfahren der Schnittpunkt der Sekante mit der <math>x</math>-Achse '''''nicht notwendigerweise''''' zwischen <math>x_n</math> und <math>x_{n-1}</math> liegen muss. === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] l9f31e325ygsb68rxmfvmfsd8eoap0e 745642 745641 2022-07-22T08:34:31Z Bert Niehaus 20843 /* Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Unterschied zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Bei der Anwendung des Sekantenverfahrens wird die Sekanten immer bzgl. der beiden vorhergehenden Iterationsstellen <math>x_{k-1}</math> und <math>x_{k}</math> gebildet und damit die nächste Iterationsstelle <math>x_{k+1}</math> berechnet, während bei der [[w:de:Regula Falsi|Regula Falsi]] die Sekante bzgl. der linken und rechten Intervallgrenze <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math> gebildet wird, in dem ein Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion zu finden ist. === Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Als Konsequenz der der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi ergibt sich daher, * dass bei der Regula Falsi der nächste Iterationspunkt <math>x_{k+1}</math> immer im Intervall <math>[a_{n},b_{n}]</math> liegen muss, * dass bei dem Sekantenverfahren der Schnittpunkt der Sekante mit der <math>x</math>-Achse '''''nicht notwendigerweise''''' zwischen <math>x_n</math> und <math>x_{n-1}</math> liegen muss. Ferner ergeben sich auch Unterschiede in der Konvergenzgeschwindigkeit. === Satz 5.6 === :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] o80zs72trs7et1qr5l1sf3bub1bobuu 745643 745642 2022-07-22T08:35:31Z Bert Niehaus 20843 /* Satz 5.6 */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Unterschied zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Bei der Anwendung des Sekantenverfahrens wird die Sekanten immer bzgl. der beiden vorhergehenden Iterationsstellen <math>x_{k-1}</math> und <math>x_{k}</math> gebildet und damit die nächste Iterationsstelle <math>x_{k+1}</math> berechnet, während bei der [[w:de:Regula Falsi|Regula Falsi]] die Sekante bzgl. der linken und rechten Intervallgrenze <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math> gebildet wird, in dem ein Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion zu finden ist. === Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Als Konsequenz der der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi ergibt sich daher, * dass bei der Regula Falsi der nächste Iterationspunkt <math>x_{k+1}</math> immer im Intervall <math>[a_{n},b_{n}]</math> liegen muss, * dass bei dem Sekantenverfahren der Schnittpunkt der Sekante mit der <math>x</math>-Achse '''''nicht notwendigerweise''''' zwischen <math>x_n</math> und <math>x_{n-1}</math> liegen muss. Ferner ergeben sich auch Unterschiede in der Konvergenzgeschwindigkeit. === Satz - Konvergenz Sekantenverfahren=== :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. === Bemerkung - Konvergenz Sekantenverfahren=== Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in C^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] dkrzk69mhj1rvxztxt9yksid69tcyqh 745644 745643 2022-07-22T08:36:18Z Bert Niehaus 20843 /* 5.2.4 Das Newton-Verfahren */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == 5.2.1 Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Unterschied zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Bei der Anwendung des Sekantenverfahrens wird die Sekanten immer bzgl. der beiden vorhergehenden Iterationsstellen <math>x_{k-1}</math> und <math>x_{k}</math> gebildet und damit die nächste Iterationsstelle <math>x_{k+1}</math> berechnet, während bei der [[w:de:Regula Falsi|Regula Falsi]] die Sekante bzgl. der linken und rechten Intervallgrenze <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math> gebildet wird, in dem ein Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion zu finden ist. === Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Als Konsequenz der der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi ergibt sich daher, * dass bei der Regula Falsi der nächste Iterationspunkt <math>x_{k+1}</math> immer im Intervall <math>[a_{n},b_{n}]</math> liegen muss, * dass bei dem Sekantenverfahren der Schnittpunkt der Sekante mit der <math>x</math>-Achse '''''nicht notwendigerweise''''' zwischen <math>x_n</math> und <math>x_{n-1}</math> liegen muss. Ferner ergeben sich auch Unterschiede in der Konvergenzgeschwindigkeit. === Satz - Konvergenz Sekantenverfahren=== :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. === Bemerkung - Konvergenz Sekantenverfahren=== Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in \mathcal{C}^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] jvmcp0l7pck2kswt5yslo01eb30ybie 745645 745644 2022-07-22T08:36:59Z Bert Niehaus 20843 /* 5.2.1 Das Bisektionsverfahren */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Unterschied zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Bei der Anwendung des Sekantenverfahrens wird die Sekanten immer bzgl. der beiden vorhergehenden Iterationsstellen <math>x_{k-1}</math> und <math>x_{k}</math> gebildet und damit die nächste Iterationsstelle <math>x_{k+1}</math> berechnet, während bei der [[w:de:Regula Falsi|Regula Falsi]] die Sekante bzgl. der linken und rechten Intervallgrenze <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math> gebildet wird, in dem ein Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion zu finden ist. === Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Als Konsequenz der der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi ergibt sich daher, * dass bei der Regula Falsi der nächste Iterationspunkt <math>x_{k+1}</math> immer im Intervall <math>[a_{n},b_{n}]</math> liegen muss, * dass bei dem Sekantenverfahren der Schnittpunkt der Sekante mit der <math>x</math>-Achse '''''nicht notwendigerweise''''' zwischen <math>x_n</math> und <math>x_{n-1}</math> liegen muss. Ferner ergeben sich auch Unterschiede in der Konvergenzgeschwindigkeit. === Satz - Konvergenz Sekantenverfahren=== :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. === Bemerkung - Konvergenz Sekantenverfahren=== Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in \mathcal{C}^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] qirpfwoow81q02di7yn7n2erqbrthrl 745646 745645 2022-07-22T08:37:20Z Bert Niehaus 20843 /* Algorithmus 5 (Bisektionsverfahren) */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus - Bisektionsverfahren === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Unterschied zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Bei der Anwendung des Sekantenverfahrens wird die Sekanten immer bzgl. der beiden vorhergehenden Iterationsstellen <math>x_{k-1}</math> und <math>x_{k}</math> gebildet und damit die nächste Iterationsstelle <math>x_{k+1}</math> berechnet, während bei der [[w:de:Regula Falsi|Regula Falsi]] die Sekante bzgl. der linken und rechten Intervallgrenze <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math> gebildet wird, in dem ein Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion zu finden ist. === Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Als Konsequenz der der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi ergibt sich daher, * dass bei der Regula Falsi der nächste Iterationspunkt <math>x_{k+1}</math> immer im Intervall <math>[a_{n},b_{n}]</math> liegen muss, * dass bei dem Sekantenverfahren der Schnittpunkt der Sekante mit der <math>x</math>-Achse '''''nicht notwendigerweise''''' zwischen <math>x_n</math> und <math>x_{n-1}</math> liegen muss. Ferner ergeben sich auch Unterschiede in der Konvergenzgeschwindigkeit. === Satz - Konvergenz Sekantenverfahren=== :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. === Bemerkung - Konvergenz Sekantenverfahren=== Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in \mathcal{C}^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] s9enth905n3kj2ueu6l3138txauqhgr 745647 745646 2022-07-22T08:38:01Z Bert Niehaus 20843 /* Algorithmus - Bisektionsverfahren */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig hat man in Anwendungen für eine gegebene Funktion <math>f \in C[a, b]</math> eine ''Nullstelle'', auch ''Wurzel'' genannt, zu bestimmen, d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. So benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen von <math>f := g'</math>. Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus - Bisektionsverfahren === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)\cdot f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Unterschied zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Bei der Anwendung des Sekantenverfahrens wird die Sekanten immer bzgl. der beiden vorhergehenden Iterationsstellen <math>x_{k-1}</math> und <math>x_{k}</math> gebildet und damit die nächste Iterationsstelle <math>x_{k+1}</math> berechnet, während bei der [[w:de:Regula Falsi|Regula Falsi]] die Sekante bzgl. der linken und rechten Intervallgrenze <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math> gebildet wird, in dem ein Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion zu finden ist. === Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Als Konsequenz der der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi ergibt sich daher, * dass bei der Regula Falsi der nächste Iterationspunkt <math>x_{k+1}</math> immer im Intervall <math>[a_{n},b_{n}]</math> liegen muss, * dass bei dem Sekantenverfahren der Schnittpunkt der Sekante mit der <math>x</math>-Achse '''''nicht notwendigerweise''''' zwischen <math>x_n</math> und <math>x_{n-1}</math> liegen muss. Ferner ergeben sich auch Unterschiede in der Konvergenzgeschwindigkeit. === Satz - Konvergenz Sekantenverfahren=== :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. === Bemerkung - Konvergenz Sekantenverfahren=== Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in \mathcal{C}^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] 05jaosda31m547pygep6o0kiobnbhmz 745648 745647 2022-07-22T08:59:33Z Bert Niehaus 20843 /* Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen */ wikitext text/x-wiki == Nullstellenbestimmung reeller Funktionen einer Veränderlichen == Häufig sucht man in Anwendungen für eine gegebene stetige Funktion <math>f \in \mathcal{C}([a, b],\mathbb{R})</math> eine ''Nullstelle'' (auch ''Wurzel'' genannt), d. h. einen Punkt <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. === Diffentialrechnung - Extremalpunkte === Weiß man zusätzlich, dass die Funktion 2x stetig differierbar <math>g \in \mathcal{C}^2([a, b],\mathbb{R})</math> ist, benötigt man für die Bestimmung der Extremalpunkte einer Funktion <math>g</math> die Nullstellen der 1. Ableitung und man setzt dazu <math>f := g'</math>. Dabei ist 2. Ableitung lediglich für die Entscheidbarkeit notwendig, ob ein Minimum oder Maximum vorliegt. === Wurzeln === Wenn die Wurzel <math>\sqrt{c}</math> für <math>c > 0 </math> näherungsweise bestimmen möchte, sucht man z.B. für nach der Nullstelle der Funktion <math>f(x):= x^2 - c </math> * in dem Intervall <math>[a,b]:=[1,c]</math> für <math> c\geq 1</math> und * in dem Intervall <math>[a,b]:=[0,1]</math> für <math> 0 < c < 1 </math>. === Fixpunkte === Ein Fixpunkt <math>x \in [a,b] </math> einer Funktion <math>g:[a,b]\to \mathbb{R}</math> ist ein Punkt mit der Eigenschaft <math>g(x) = x </math>, also dem Schnittpunkt des Graphen von <math>g</math> mit der Winkelhalbierenden. Auch diese Problem kann man in ein Problem der Nullstellensuche überführen, indem man <math>f:[a,b]\to \mathbb{R}</math> über <math>f(x):=g(x)-x</math> definiert. Ein Fixpunkt von <math>g</math> ist damit eine Nullstelle von <math>f</math>. == Aufgaben == * Analysieren die folgenden Nullstellenverfahren und berechnen Sie die Wurzel von 5 näherungsweise mit Tabellenkalkulation (LibreOffice) === Startnäherung der Nullstelle === Um eine möglichst gute Startnäherung für jede solche Nullstelle zu erhalten, hat man dann meistens zunächst ein kleines Intervall <math>[\alpha, \beta]</math> in <math>[a, b]</math> zu ermitteln, in dem ein und zwar möglichst nur ein solches <math>x^*</math> liegt. Dazu berechnet man im Allgemeinen Funktionswerte <math>f(\xi_i)</math> mit ::<math>\xi_i := a + ih \quad (i = 0, \ldots, n), \quad h := \frac{b - a}m</math> für ein gegebenes, genügend großes <math>m \in \N</math>. Die Menge aller <math>\xi_i</math> bezeichnet man auch als ein ''Gitter'' in <math>[a, b]</math>, die <math>\xi_i</math> selbst als Gitterpunkte und den Prozess der Auswahl von endlich vielen Punkten aus <math>[a, b]</math> als ''Diskretisierung'' des Intervalls. Sind <math>f(\xi_i) \neq 0</math> und <math>f(\xi_{i+1}) \neq 0</math> (anderenfalls hätte man eine Nullstelle von <math>f</math> gefunden) und ist ::<math>f(\xi_i)f(\xi_{i+1}) < 0 \quad (i = 0, \ldots, n - 1),</math> so muss <math>f</math> nach dem Zwischenwertsatz im Intervall <math>[\xi_i, \xi_{i+1}]</math> eine (einfache) Nullstelle besitzen und können wir <math>\alpha := \xi_i</math> und <math>\beta := \xi_{i+1}</math> setzen. Es sind eine Reihe von Verfahren vorgeschlagen worden, die, ausgehend von einem solchen Intervall, unter geeigneten Bedingungen eine genäherte Nullstelle von <math>f</math> liefern. Wir betrachten im Folgenden einige dieser Verfahren. Dabei gehen wir davon aus, dass eine Funktion <math>f \in C[a, b]</math> gegeben ist und ein <math>x^* \in (a, b)</math> existiert mit <math>f(x^*) = 0</math>, welches bestimmt werden soll. == Das Bisektionsverfahren == Das erste Verfahren, das wir vorstellen wollen, ist das ''Intervallschachtelungs-'' oder auch ''Bisektionsverfahren''. Bei diesem wird, beginnend mit dem Intervall <math>[a_0, b_0] \subseteq [a, b]</math>, eine Folge von Intervallen <math>[a_k, b_k]</math> erzeugt, so dass <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> und damit <math>x^* \in (a, b)</math> gilt. Dieses Verfahren verwendet in jeder Iteration als einzige Information nur die Vorzeichen der Funktionswerte an den Randpunkten des aktuellen Intervalls, so dass keine schnelle Konvergenzgeschwindigkeit zu erwarten ist. === Animation - Bisektionsverfahren === [[Datei:Bisektion_Ani.gif|450px|Ablauf der Bisektion (Animation)]] === Algorithmus - Bisektionsverfahren === :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne <math>x_{k+1} := \frac 12 (a_k + b_k)</math> und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)\cdot f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Offenbar gilt für die Länge der bei der Bisektionsmethode erzeugten Intervalle <math>[a_k, b_k]</math> ::(5.5) <math>|b_k - a_k| = \frac 12 |b_{k-1} - a_{k-1}| = \frac 1{2^k} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots.</math> Wenn Algorithmus 5 nicht abgebrochen wird, folgt damit ::<math>\lim_{k \to \infty} |b_k - a_k| = 0.</math> Wegen <math>a_{k+1} \le x^* \le b_{k+1}</math> sowie <math>x_{k+1} = a_{k+1}</math> oder <math>x_{k+1} = b_{k+1}</math> hat man weiter mit (5.5) ::(5.6) <math>|x_{k+1} - x^*| \le |b_{k+1} - a_{k+1}| \le \frac 1{2^{k+1}} |b_0 - a_0|, \quad k=0, 1, \ldots</math> und demnach ::<math>\lim_{k \to \infty} x_k = \lim_{k \to \infty} a_k = \lim_{k \to \infty} b_k = x^*.</math> Da <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f</math> stetig ist, ist daher das Abbruchkriterium <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math> in Schritt (2) von Algorithmus 5 nach endlich vielen Schritten erfüllt. Statt dieses Abbruchkriteriums, das beispielsweise im Fall ::<math>0 \le f(x) \ll 1, \quad x \in [a, b]</math> ungünstig ist, könnte man alternativ oder zusätzlich auch die Abfrage <math>|b_k - a_k| \le \vartheta</math> mit einer kleinen Konstante <math>\vartheta > 0</math> als Abbruchkriterium verwenden. ==== Beispiel 5.4 ==== Ist <math>b_0 - a_0 = 1</math>, so folgt aus (5.6) ::<math>|x_1 - x^*| \le 0.5,</math> ::<math>|x_5 - x^*| \le [0.5]^5 \approx 0.031,</math> ::<math>|x_{20} - x^*| \le [0.5]^{20} \approx 0.000\, 000\, 95.</math> Das Bisektionsverfahren ist ein sicheres und numerisch stabiles Verfahren, aber mit langsamer Konvergenz. Es konvergiert i. a. nicht einmal linear. Für die Fehler zweier aufeinander folgender Iterierter <math>x_{k+1}</math> und <math>x_k</math> kann sogar gelten: ::<math>|x_{k+1} - x^*| > |x_k - x^*|.</math> ==== Beispiel 5.5 ==== Die Nullstelle <math>x^* = -0.1</math> der Geraden <math>f(x) := x + 0.1</math> in <math>[-1, 1]</math> werde mit dem Bisektionsverfahren berechnet. Dann hat man wegen <math>f(-1) < 0</math> und <math>f(1) > 0</math> ::<math>[a_0, b_0] := [-1, 1], \quad x_1 := 0, \quad f(x_1) = 0.1 > 0,</math> ::<math>[a_1, b_1] := [-1, 0], \quad x_2 := -0.5, \quad f(x_2) = -0.4 < 0</math> und demzufolge ::<math>|x_1 - x^*| = 0.1 < |x_2 - x^*| = 0.3.</math> == 5.2.2 Die Regula falsi == Bei der Regula Falsi verwendet man im <math>k</math>-ten Schritt die Sekante, welche die Punkte <math>(a_k, f(a_k))</math> und <math>(b_k, f(b_k))</math> verbindet. Diese hat die Gleichung ::<math>y = \frac{f(b_k) - f(a_k)}{b_k - a_k} (x - a_k) + f(a_k)</math> und schneidet die <math>x</math>-Achse bei ::(5.7) <math>x_{k+1} := a_k - f(a_k)\frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}.</math> Der Punkt <math>x_{k+1}</math> wird nun als neue Näherung für <math>x^*</math> genommen. Ansonsten verfährt man wie bei der Bisektion. === Animation - Regular Falsi === [[Datei:Regula falsi.gif|450px|Regula Falsi Animation]] === Algorithmus 6 (Regula Falsi) === Man startet mit einer stetigen Funktion <math>f:[a_0,b_0]\to \mathbb{R}</math>, die auf dem Intervall <math>[a_0,b_0]</math> einen Vorzeichenwechsel bei den Funktionswerten besitzt (d.h. <math>f(a_0)f(b_0) < 0</math>). :(0) Gib <math>a_0, b_0 \in [a, b]</math> mit <math>f(a_0)\cdot f(b_0) < 0</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::<math>x_{k+1} := a_k - f(a_k) \frac{b_k - a_k}{f(b_k) - f(a_k)}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) < 0</math>, setze <math>a_{k+1} := a_k, b_{k+1} := x_{k+1}</math>. :Falls <math>f(a_k)f(x_{k+1}) > 0</math>, setze <math>a_{k+1} := x_{k+1}, b_{k+1} := b_k</math>. :(4) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Für die Regula Falsi ist keine aussagekräftige Fehlerabschätzung erhältlich. Aber sie konvergiert unter gewissen Voraussetzungen mindestens linear (siehe z. B. Stoer). Man beachte, dass wegen <math>f(a_k)f(b_k) < 0</math> keine Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintritt, so dass das Verfahren überdies numerisch stabil ist. Die erzeugten Näherungen <math>x_k</math> liegen alle im Ausgangsintervall <math>[a_0, b_0]</math> und können alle auf einer Seite der gesuchten Nullstelle liegen. == 5.2.3 Das Sekantenverfahren == Beim Sekantenverfahren wählt man, ähnlich wie bei der Regula Falsi, die Nullstelle einer Sekante als neue Iterierte, wobei jeweils die Sekante, welche die Punkte <math>(x_{k-1}, f(x_{k-1}))</math> und <math>(x_k, f(x_k))</math> verbindet, genommen und mit zwei Startpunkten <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> begonnen wird. Dabei muss nicht notwendig <math>f(x_{-1})f(x_0) < 0</math> gelten. Die Nullstelle dieser Sekante ist offenbar durch ::<math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> gegeben (vgl. (5.7)). Das Sekantenverfahren sieht demnach folgendermaßen aus: === Animation (Sekantenverfahren) === [[Datei:Sekantenverfahren Ani2.gif|450px|Animation Sekantenverfahren]] === Algorithmus 7 (Sekantenverfahren) === :(0) Gib <math>x_{-1}, x_0 \in [a, b]</math> und <math>\varepsilon > 0</math>. Berechne <math>f(x_{-1})</math> sowie <math>f(x_0)</math> und setze <math>k = 0</math>. :(1) Berechne ::(5.8) <math>x_{k+1} := x_k - f(x_k) \frac{x_k - x_{k-1}}{f(x_k) - f(x_{k-1})}</math> :sowie <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Man beachte hier (vgl. (5.8)), dass man die Iterierte im <math>(k + 1)</math>-ten Schritt eines Verfahrens meist als Korrektur der Iterierten im <math>k</math>-ten Schritt, also in der Form <math>x_{k+1} := x_k + h_k</math> mit einem <math>h_k \in \R</math> schreibt, so dass man bei Konvergenz des Verfahrens (gegen <math>x^* \neq 0</math>) <math>|h_k| \ll |x_k|</math> zumindest für größere <math>k</math> hat. Während bei dem Bisektionsverfahren und der Regula Falsi sofort einleuchtet, dass diese Verfahren immer konvergieren, ist dies beim Sekantenverfahren nicht offensichtlich und hat man die Konvergenz zu beweisen. Es muss insbesondere nicht <math>x_{k+1} \in [x_{k-1}, x_k]</math> bzw. <math>x_{k+1} \in [x_k, x_{k-1}]</math> gelten, so dass das Verfahren im Allgemeinen nur lokal konvergiert. Genauer kann man den folgenden Satz beweisen (vgl. Isaacson and Keller): === Unterschied zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Bei der Anwendung des Sekantenverfahrens wird die Sekanten immer bzgl. der beiden vorhergehenden Iterationsstellen <math>x_{k-1}</math> und <math>x_{k}</math> gebildet und damit die nächste Iterationsstelle <math>x_{k+1}</math> berechnet, während bei der [[w:de:Regula Falsi|Regula Falsi]] die Sekante bzgl. der linken und rechten Intervallgrenze <math>a_k</math> bzw. <math>b_k</math> gebildet wird, in dem ein Vorzeichenwechsel der stetigen Funktion zu finden ist. === Konsequenz der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi === Als Konsequenz der der Unterschiede zwischen Sekantenverfahren und Regula Falsi ergibt sich daher, * dass bei der Regula Falsi der nächste Iterationspunkt <math>x_{k+1}</math> immer im Intervall <math>[a_{n},b_{n}]</math> liegen muss, * dass bei dem Sekantenverfahren der Schnittpunkt der Sekante mit der <math>x</math>-Achse '''''nicht notwendigerweise''''' zwischen <math>x_n</math> und <math>x_{n-1}</math> liegen muss. Ferner ergeben sich auch Unterschiede in der Konvergenzgeschwindigkeit. === Satz - Konvergenz Sekantenverfahren=== :''Sei <math>f \in C^2[a, b]</math>, und es existiere ein <math>x^* \in [a, b]</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> und <math>f'(x^*) \neq 0</math>. Sind die Anfangsnäherungen <math>x_{-1}</math> und <math>x_0</math> hinreichend nahe bei <math>x^*</math> gewählt, so konvergiert die nach Streichung von Schritt (2) durch Algorithmus 7 erzeugte Folge <math>(x_k)</math> superlinear gegen <math>x^*</math> von der Ordnung <math>p := (1 + \sqrt{5})/2 = 1.618 \ldots</math>. === Bemerkung - Konvergenz Sekantenverfahren=== Das Sekantenverfahren konvergiert also im Allgemeinen schneller als das Bisektionsverfahren und die Regula Falsi. Anders als diese, neigt es aber zu instabilem Verhalten, da der Fall <math>\sgn(f(x_k)) = \sgn(f(x_{k-1}))</math> und damit Auslöschung bei der Berechnung von <math>x_{k+1}</math> eintreten kann. Die schnelle Konvergenz des Sekantenverfahrens soll an einem Beispiel demonstriert werden. ==== Beispiel 5.7 ==== Es soll <math>\sqrt{2}</math> berechnet werden. Dies kann man tun, indem man die positive Nullstelle der Funktion <math>f(x) := x^2 - 2</math> z. B. in dem Intervall <math>[0, 5]</math> bestimmt. Der gesuchte Wert lautet auf 12 Stellen hinter dem Dezimalpunkt genau ::<math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373 \ldots.</math> Die Iterationsvorschrift des Sekantenverfahrens lässt sich hier vereinfachen zu ::<math>x_{k+1} := x_k - \left[x^2_k - 2\right] \frac{x_k - x_{k-1}}{x^2_k - x^2_{k-1}} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{x_k + x_{k-1}}.</math> Man errechnet mit <math>x_{-1} := 1.3</math> und <math>x_0 := 1.5</math> für <math>k := 0</math> ::<math>x_1 := 1.5 - \frac{(1.5)^2 - 2}{1.5 + 1.3} = 1.410\, 714\, 285\, 71.</math> mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>x_1 := 1.410\, 714\, 285\, 71</math> für <math>k := 1</math> ::<math>x_2 := 1.410\, 714\, 285\, 71 - \frac{(1.410\, 714\, 285\, 71)^2 - 2}{1.410\, 714\, 285\, 71 + 1.5}</math> usw. Insgesamt erhält man die Iteriertenfolge ::<math>x_1 = \underline{1.41}0\, 714\, 285\, 71,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414}\, 110\, 429\, 45,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213}\, 690\, 13,</math> ::<math>x_4 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 37}, \ldots,</math> wobei die richtigen Ziffern jeweils unterstrichen sind. Hätte man mit der ursprünglichen Formel (5.8) gearbeitet, wie man das meist in der Praxis zu tun hat, so hätte man 2 Funktionsauswertungen von <math>f</math> zur Berechnung von <math>x_1</math> und jeweils eine für die von <math>x_2</math> bis <math>x_4</math>, d. h. insgesamt 5 Funktionsauswertungen zur Berechnung von <math>x_4</math> benötigt. Funktionsauswertungen sind in vielen Situationen ein gutes praktisches Vergleichskriterium für unterschiedliche Algorithmen zur Lösung eines Problems, da diese häufig die numerisch teuersten Teilaufgaben bei der Problemlösung darstellen. == 5.2.4 Das Newton-Verfahren == Es sei nun <math>f \in \mathcal{C}^1[a, b]</math> und die Existenz eines <math>x^* \in (a, b)</math> mit <math>f(x^*) = 0</math> vorausgesetzt. Beim ''Newton-Verfahren'' benötigt man nur eine Startnäherung <math>x_0 \in (a, b)</math> für <math>x^*</math>. Ist <math>x_k</math> die Näherung für <math>x^*</math> zu Beginn der <math>k</math>-ten Iteration, so wählt man bei diesem Verfahren die Nullstelle <math>x_{k+1}</math> der Tangente im Punkt <math>(x_k, f(x_k))</math> an den Graphen von <math>f</math> als nächste Näherung. === Gleichung der Tangente === Die Gleichung dieser Tangente ist offenbar durch :<math>y = f(x_k) + f'(x_k) (x - x_k)</math> gegeben, so dass man :<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> erhält. === Bemerkung - Iteration === Wenn wir beispielsweise <math>f'(x^*) \neq 0</math> voraussetzen (<math>x^*</math> ist dann eine einfache Nullstelle), können wir dabei zumindest für solche <math>x_k</math>, die nahe bei <math>x^*</math> liegen, <math>f'(x_k) \neq 0</math> annehmen. (Im Fall <math>f(x_k) \neq 0</math> und <math>f'(x_k) = 0</math> hätte die Tangente auch keine Nullstelle.) Das Newton-Verfahren lautet demnach: == Animation der Iteration == [[Datei:NewtonIteration Ani.gif|450px|Animation: Iteration mit dem newtonschen Verfahren]] === Algorithmus 8 (Newton-Verfahren) === :(0) Wähle ein <math>\varepsilon > 0</math> und <math>x_0 \in (a, b)</math>, berechne <math>f(x_0)</math> und setze <math>k := 0</math>. :(1) Berechne <math>f'(x_k)</math>, ::(5.9) <math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}</math> :und <math>f(x_{k+1})</math>. :(2) Falls <math>|f(x_{k+1})| \le \varepsilon</math>, stop! :(3) Setze <math>k := k + 1</math> und gehe nach (1). Bevor wir das Newton-Verfahren weiter untersuchen, betrachten wir sein Verhalten für das Problem in Beispiel 5.7. ==== Beispiel 5.8 ==== Es sei wieder <math>f(x) := x^2 - 2</math> und damit <math>f'(x) = 2x</math>. Gesucht ist die positive Nullstelle <math>\sqrt{2} = 1.414\, 213\, 562\, 373</math> von <math>f</math>. Die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens lässt sich hier schreiben als ::<math>x_{k+1} := x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x^2_k - 2}{2x_k} = \frac 12 x_k + \frac 1{x_k}.</math> Beginnend mit <math>x_0 := 1.5</math> und <math>k := 0</math> berechnet man die Iterierten ::<math>x_1 = \underline{1.41}6,</math> ::<math>x_2 = \underline{1.414\, 21}5\, 686\, 27,</math> ::<math>x_3 = \underline{1.414\, 213\, 562\, 3}8, \ldots .</math> Bei direkter Verwendung von (5.9) wären für die Berechnung von <math>x_3</math> jeweils 3 Funktionsauswertungen von <math>f</math> und <math>f'</math>, also insgesamt 6 Funktionsauswertungen erforderlich gewesen. Das Newtonverfahren ist also in diesem Fall ein sehr schnelles Verfahren. Bei diesem Beispiel und der Wahl von Startwerten (!) erreicht das Sekantenverfahren aber mit etwas weniger Aufwand sogar etwas höhere Genauigkeit. Wir wollen uns nun mit der Konvergenz des Newton-Verfahrens beschäftigen. Dazu holen wir etwas weiter aus. Für eine gegebene Funktion <math>g: \R^n \to \R^n</math> nennen wir einen Punkt <math>x^* \in \R^n</math> mit ::<math>g(x^*) = x^*</math> einen ''Fixpunkt'' von <math>g</math>. Weiter sprechen wir bei der Iterationsvorschrift ::<math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> von der ''Fixpunktiteration'' mit der ''Verfahrensfunktion'' <math>g</math>. Ist <math>g</math> stetig und konvergiert die Iteriertenfolge, so muss ihr Grenzwert offenbar notwendig ein Fixpunkt von <math>g</math> sein. Man beachte in diesem Zusammenhang, dass <math>x^*</math> genau dann Fixpunkt von <math>g</math> ist, wenn <math>x^*</math> Nullstelle z. B. der Funktion <math>f(x) := g(x) - x</math> ist, dass also die Probleme der Bestimmung einer Nullstelle und der eines Fixpunktes einer Funktion äquivalent sind. Wir beweisen nun folgenden allgemeinen Satz über die lokale Konvergenz der Fixpunktiteration, wobei ::<math>\mathcal U_\delta(x^*) := \{x \in \R: |x - x^*| < \delta\}</math> eine offene <math>\delta</math>-Umgebung des Punktes <math>x^* \in \R</math> bezeichne. === Satz 5.9 === :''Sei <math>g: \R \to \R</math> gegeben und <math>x^* \in \R</math> Fixpunkt von <math>g</math>. Weiter sei <math>g</math> in <math>x^*</math> <math>p</math>-mal differenzierbar mit einem <math>p \in \N</math>, und es gelte entweder ::(5.10) <math>\begin{cases} g^{(k)}(x^*) = 0, k = 1, \ldots, p - 1, & f\ddot ur\ p \ge 2\ oder \\ 0 < |g'(x^*)| < 1, & f\ddot ur\ p = 1. \end{cases}</math> :''Dann existiert ein <math>\delta > 0</math>, so dass die durch ::<math>x_{k+1} := g(x_k), \quad k \in \N_0</math> :''erzeugte Iteriertenfolge <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens von der Ordnung <math>p</math>. Im Fall <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> ist die Konvergenzordnung genau <math>p</math>. ==== Beweis. ==== Taylorentwicklung von <math>g</math> um <math>x^*</math> liefert für beide Fälle in (5.10) ::<math>g(x) = \sum^p_{i=0} \frac{g^{(i)}(x^*)}{i!} (x - x^*)^i + o(|x - x^*|^p)</math> ::<math>= \underbrace{g(x^*)}_{=x^*} + \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} (x - x^*)^p + o(|x - x^*|^p)</math> für <math>x \to x^*</math> Somit hat man ::(5.11) <math>\left| \frac{g(x) - x^*}{(x - x^*)^p} - \frac{g^{(p)}(x^*)}{p!} \right| \to 0 \quad (x \to x^*),</math> so dass zu einem gegebenen <math>\varepsilon > 0</math> ein <math>\delta > 0</math> existiert und ::<math>|g(x) - x^*| \le \left( \varepsilon + \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} \right) |x - x^*|^p</math> ::(5.12) <math>= \left[ C |x - x^*|^{p-1} \right] |x - x^*| = \tilde C(x) |x - x^*|, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> mit <math>C := \varepsilon + \left| g^{(p)} (x^*) \right|/p!</math> und <math>\tilde C(x) := C |x - x^*|^{p-1}</math> gilt. Im Fall <math>p = 1</math> sei dabei <math>\varepsilon</math> so klein gewählt, dass ::<math>\tilde C := \tilde C(x) \equiv C = \varepsilon + |g'(x^*)| < 1</math> ist, was aufgrund der Voraussetzung <math>|g'(x^*)| < 1</math> möglich ist. Für <math>p > 1</math> ist es offenbar möglich, <math>\delta</math> so klein zu wählen, dass <math>\tilde C(x) \le 0.5 =: \tilde C < 1</math> für alle <math>x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> folgt. Die Ungleichung (5.12) impliziert nun für <math>|x - x^*| \le \delta</math> auch <math>|g(x) - x^*| \le \delta</math> und damit im Fall <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> auch <math>x_k \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> für alle <math>k \in \N</math>, so dass man ::<math>|x_{k+1} - x^*| \le C |x_k - x^*|^p \le \tilde C |x_k - x^*| \le \tilde C^{k+1} |x_0 - x^*|, \quad k \in \N_0</math> hat und daraus wegen <math>\tilde C < 1</math> die Konvergenz <math>\lim_{k \to \infty} x_k = x^*</math> von mindestens der Ordnung <math>p</math> schließen kann. Ist die Zusatzbedingung <math>g^{(p)}(x^*) \neq 0</math> erfüllt und wird oben <math>\varepsilon</math> so gewählt, dass <math>0 < \varepsilon < \left| g^{(p)}(x^*) \right|/p!</math> gilt, so gilt wegen (5.11) ::(5.13) <math>|g(x) - x^*| \ge \left( \frac{\left|g^{(p)} (x^*) \right|}{p!} - \varepsilon \right) |x - x^*|^p =: \hat C |x - x^*|^p, \quad x \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> Daraus folgt die genaue Konvergenzordnung <math>p</math> in diesem Fall, denn wäre diese mindestens <math>p + 1</math>, so folgte mit (5.13) für ein <math>\overline C</math> und ein <math>k_0 \in \N</math> ::<math>\hat C |x_k - x^*|^p \le |x_{k+1} - x^*| \le \overline C |x_k - x^*|^{p+1}, \quad k \ge k_0</math> und damit im Widerspruch zu Konvergenz von <math>(x_k)</math> gegen <math>x^*</math> ::<math>0 < \frac{\hat C}{\overline C} \le |x_k - x^*|, \quad k \ge k_0.</math> q.e.d. In dem folgenden Satz wird nun unter verschiedenen Voraussetzungen eine jeweilige Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens angegeben. === Satz 5.10 === :''Es sei <math>f: \R \to \R</math> gegeben und es existiere <math>x^* \in \R</math> mit <math>f(x^*) = 0</math>. Mit einem <math>\eta > 0</math> sei weiter für Aussage (i) <math>f \in C^3(\mathcal U_\eta(x^*))</math> und für Aussage (ii) <math>f \in C^2(\mathcal U_\eta(x^*))</math>. Dann gilt nach Streichung von Schritt (2) für die durch das Newton-Verfahren (Algorithmus 8) erzeugte Folge <math>(x_k)</math>: :''(i) Ist <math>f'(x^*) \neq 0</math>, dann existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> gegen <math>x^*</math> konvergiert und zwar mindestens quadratisch. Im Fall <math>f''(x^*) = 0</math> konvergiert <math>(x_k)</math> sogar von einer Ordnung <math>p \ge 3</math>. :''(ii) Ist <math>x^*</math> andererseits eine <math>m</math>-fache Nullstelle von <math>f</math> mit einem <math>m \ge 2</math>, d. h., ist ::<math>f(x) = (x - x^*)^m z(x), \quad z(x^*) \neq 0</math> :''und ist weiter <math>z</math> in <math>x^*</math> zweimal differenzierbar, so ist die Iterationsfunktion ::(5.14) <math>g(x) := \begin{cases} x - \frac{f(x)}{f'(x)}, & falls\ x \neq x^*, \\ x^*, & falls\ x = x^* \end{cases}</math> :''des Newton-Verfahrens differenzierbar in <math>x^*</math> mit ::(5.15) <math>g'(x^*) = 1 - \frac 1m</math> :''und existiert ein <math>\delta \in (0, \eta]</math>, so dass <math>(x_k)</math> für jeden Startpunkt <math>x_0 \in \mathcal U_\delta(x^*)</math> (genau) linear gegen <math>x^*</math> konvergiert. ==== Beweis. ==== Die Behauptung folgt mit Satz 5.9, wenn man diesen auf <math>g</math> in (5.14) anwendet sowie mit den folgenden Darstellungen. Im Fall (i) zeigt man zunächst die Stetigkeit von <math>g, g'</math> und <math>g''</math> in <math>x^*</math>. Man ermittelt dann ::<math>g' = 1 - \frac{(f')^2 - ff''}{(f')^2} = \frac{ff''}{(f')^2}, \quad g'' = \frac{(f')^3f'' + f(f')^2(f''') - 2ff'(f'')^2}{(f')^4},</math> so dass also ::<math>g(x^*) = x^*, \quad g'(x^*) = 0, \quad g''(x^*) = \frac{f''(x^*)}{f'(x^*)}</math> gilt. Damit folgt die Behauptung. Im Fall (ii) erhält man ::<math>f'(x) = m(x - x^*)^{m-1} z(x) + (x - x^*)^m z'(x)</math> und somit ::(5.16) <math>\frac{f(x)}{f'(x)} = \frac{(x - x^*) z(x)}{mz(x) + (x - x^*) z'(x)}.</math> Wegen <math>z(x^*) \neq 0</math> folgt damit <math>\lim_{x \to x^*} f(x)/f'(x) = 0</math> und ist demzufolge <math>g</math> aus (5.14) stetig in <math>x^*</math>. Weiter hat man mit (5.16) wegen <math>f(x^*) = 0</math> ::<math>g'(x^*) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x^* + h) - g(x^*)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^* + h - \frac{f(x^*+h)}{f'(x^*+h)} - x^*}{h} = 1 - \lim_{h \to 0} \frac{f(x^* + h)}{hf'(x^* + h)}</math> ::<math>= 1 - \lim_{h \to 0} \frac{hz(x^* + h)}{h [mz(x^* + h) + hz'(x^* + h)]} = 1 - \frac 1m.</math> Also ist <math>0 < g'(x^*) < 1</math> und damit insbesondere auch <math>g'(x^*) \neq 0</math>. q.e.d. Man beachte, dass das Newton-Verfahren pro Iteration zwei Funktionsauswertungen benötigt, während das Sekanten-Verfahren nur eine verlangt. Im Fall, dass der Grenzwert eine einfache Nullstelle ist, konvergiert letzteres Verfahren unter geeigneten Voraussetzungen aber nur superlinear, während das Newton-Verfahren dann mindestens quadratisch konvergiert. Es stellt sich also die Frage, welches der Verfahren in der Praxis effizienter ist. Bemerkenswert ist es daher, dass man zeigen kann, dass das Sekantenverfahren, wenn man zwei Iterationen zu einer zusammenfasst und es damit etwa gleichen Aufwand pro Iteration wie das Newton-Verfahren bekommt, eine Konvergenzrate von mindestens <math>p := 2.618</math> hat, und es folglich lokal schneller als das Newton-Verfahren konvergiert. Allerdings neigt das Sekanten-Verfahren, anders als das Newton-Verfahren, aufgrund von Auslöschungen zu instabilem Verhalten. == Siehe auch == * [[Kurs:Numerik_I/Konvergenzraten|Konvergenzraten]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Numerik%20I Kurs:Numerik I]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Numerik%20I/Nullstellenverfahren&author=Kurs:Numerik%20I&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Nullstellenverfahren&coursetitle=Kurs:Numerik%20I Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] nfroq0hgj9o4f1k4oa4rsedy3b8n76p 106 141172 745622 2022-07-22T05:52:31Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki == Einführung - mehrdimensionale Fixpunktiteration == Wir verallgemeinern zunächst die Fixpunktiteration auf Funktionen <math>g: \R^n \to \R^n</math>, die wir in Abschnitt 5.2.4 für <math>n = 1</math> und hinreichend glattes <math>g</math> diskutiert hatten. Für die Bestimmung eines Fixpunktes von <math>g</math>, d. h. eines Punktes <math>x^* \in \R^n</math> mit <math>g(x^*) = x^*</math>, betrachten wir also die Iterationsvorschrift ::(5.17) <math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> mit einem gegebenen Startwert <math>x^0 \in \R^n</math>. Wir definieren nun zunächst: == Definition - Lipschitz-stetig == :''(i) Sei <math>D \subseteq \R^n</math> und <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Norm auf dem <math>\R^n</math>. Eine Abbildung <math>g: D \to \R^n</math> heißt <u>Lipschitz-stetig</u> auf <math>D</math> mit <u>(Lipschitz-)Konstante</u> <math>L > 0</math>, wenn gilt: ::(5.18) <math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> :''(ii) Eine Lipschitz-stetige Abbildung <math>g: D \to D</math> mit Konstante <math>L > 0</math> heißt eine <u>Kontraktion</u> auf <math>D</math>, wenn <math>L < 1</math> ist. Sei nun speziell <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für <math>D \subseteq \R^n</math>, wobei wir damit eine Funktion <math>g: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> mit ::<math>g(x) = (g_1(x), \ldots, g_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial g_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math> für alle <math>x \in D</math> meinen. Für ein solches <math>g</math> kann man in der Praxis häufig eine Konstante <math>L</math> wie in (5.18) mittels der ersten Ableitung von <math>g</math> bzw. der Jacobi-Matrix von <math>g</math>, welche durch ::<math>\mathcal J_g(x) := \left( \frac{\partial g_i}{\partial x_j} (x) \right)_{i, j = 1, \ldots, n} = \begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} (x) \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_2}{\partial x_n} (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_n}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} (x) \end{pmatrix} \in \R^{n \times n}</math> gegeben ist, gewinnen. Dazu definieren wir: === Definition 5.12 === :''Eine Menge <math>D \subseteq \R^n</math> heißt <u>konvex</u>, falls für je zwei Elemente <math>x, y \in D</math> auch die ganze Verbindungsstrecke von <math>x</math> nach <math>y</math> zu <math>D</math> gehört, d. h. falls ::<math>x, y \in D, \quad t \in [0, 1] \Rightarrow tx + (1 - t)y \in D.</math> Damit lässt sich bekanntlich das folgende Lemma aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ableiten. === Lemma 5.13 === :''Es sei <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für eine offene, konvexe Menge <math>D \subseteq \R^n</math> und für eine Konstante <math>L > 0</math> gelte ::<math>\|\mathcal J_g(x)\| \le L, \quad x \in D.</math> :''Dann folgt die Abschätzung ::<math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> Dazu geben wir Beispiele. ==== Beispiel 5.14 ==== (1) Die Funktion <math>f(x) := x^2</math> ist auf <math>[0, 0.4]</math> eine Kontraktion, denn es ist ::<math>f([0, 0.4]) = [0, 0.16] \subseteq [0, 0.4]</math> und mit <math>L := \max_{x \in [0, 0.4]} (2x) = 0.8</math> ::<math>\left| x^2 - y^2 \right| \le 0.8 |x - y|, \quad x, y \in [0, 0.4].</math> (2) Die Funktion <math>f(x) := \sqrt{x}</math> ist auf <math>[0, a]</math> mit <math>a > 0</math> nicht Lipschitz-stetig, denn für <math>y = 0</math> hat man ::<math>\left| \sqrt{x} - \sqrt{0} \right| = \sqrt{x} = \frac 1{\sqrt{x}} (x - 0) = \frac 1{\sqrt{x}} |x - 0|, \quad x \in (0, a]</math> und <math>\lim_{x \to 0} (1/\sqrt{x}) = \infty</math>. Der folgende sog. ''Banachsche Fixpunktsatz'' gibt an, dass die Fixpunktiteration (5.17) konvergiert, und zwar für allgemeines <math>n</math> und ohne Differenzierbarkeitsforderungen an <math>g</math>, wobei als Startvektor alle Elemente <math>x^0</math> der zugrunde gelegten Menge zugelassen sind. Überdies liefert er unter den genannten Voraussetzungen die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes. Die geforderte Kontraktionseigenschaft für die Iterationsfunktion <math>g</math> ist allerdings eine relativ starke Voraussetzung. === Satz 5.15 === :''Sei <math>D \subseteq \R^n</math> abgeschlossen und die Abbildung <math>g: D \to D</math> bezüglich der Vektornorm <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Kontraktion mit Konstante <math>L \in (0, 1)</math>. Dann gilt: :''(i) <math>g</math> besitzt genau einen Fixpunkt <math>x^* \in D</math>. :''(ii) Für jeden Startpunkt <math>x^0 \in D</math> liefert die Fixpunktiteration ::(5.19) <math>x^{k+1} = g(x^k), \quad k = 0, 1, \ldots</math> :''eine Folge <math>(x^k)</math> in <math>D</math>, welche gegen <math>x^*</math> konvergiert und man hat ::(5.20) <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k = 1, 2, \ldots.</math> ==== Beweis. ==== (i) Sind <math>x^*, y^* \in D</math> Fixpunkte von <math>g</math>, so gilt ::<math>\|x^* - y^*\| = \|g(x^*) - g(y^*)\| \le L \|x^* - y^*\|</math> bzw. <math>(1 - L) \|x^* - y^*\| \le 0</math>, was <math>x^* = y^*</math> impliziert. Also besitzt <math>g</math> höchstens einen Fixpunkt. (ii) Sei nun der Startvektor <math>x^0 \in D</math> beliebig und <math>(x^k)</math> bezeichne die damit durch die Fixpunktiteration (5.19) erzeugte Folge. Für <math>x^k \in D</math> ist dann offenbar auch <math>g(x^k) = x^{k+1}</math> in <math>D</math>, so dass <math>x^k \in D</math> <math>(k \in \N_0)</math> folgt. Man hat somit weiter ::<math>\|x^{\ell+1} - x^\ell\| = \|g(x^\ell) - g(x^{\ell-1})\| \le L \|x^\ell - x^{\ell-1}\|, \quad \ell \in \N_0,</math> so dass man die folgenden Abschätzungen für <math>k, n \in \N_0</math> erhält: ::<math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| = \left\| \left( x^{k+1} - x^k \right) + \left( x^{k+2} - x^{k+1} \right) + \ldots + \left( x^{k+n} - x^{k+n-1} \right) \right\|</math> ::<math>= \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \left\| x^{k+2} - x^{k+1} \right\| + \ldots + \left\| x^{k+n} - x^{k+n-1} \right\|</math> ::<math>\le \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + L \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \ldots + L^{n-1} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| = \left( \sum^{n-1}_{\ell=0} L^\ell \right) \left\| x^{k+1} - x^k \right\|</math> ::<math>\le \frac{1 - L^n}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{1}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|.</math> Also gilt ::(5.21) <math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k, n \in \N_0.</math> Demnach ist die Folge <math>(x^k)</math> eine Cauchy-Folge und hat sie als solche einen Grenzwert <math>x^* \in D</math>. Da <math>g</math> nach Voraussetzung (Lipschitz-)stetig ist und die Fixpunktiteration dann, wenn sie konvergiert, gegen einen Fixpunkt konvergiert, ist <math>x^*</math> der (eindeutige) Fixpunkt von <math>g</math>. Der Grenzübergang „<math>n \to \infty</math>“ in (5.21) liefert schließlich die Abschätzung (5.20). q.e.d. Man beachte, dass man unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes mindestens lineare Konvergenz für die Fixpunktiteration hat, denn dann gilt ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = \left\| g(x^k) - g(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \in \N_0,</math> wobei <math>L \in (0, 1)</math> ist. Der Ausdruck ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|</math> in (5.20) kann, nachdem <math>x^1</math> berechnet wurde, für jedes <math>k \in \N</math> vor Beginn der Iteration bestimmt werden. Er ermöglicht eine a priori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Weiter hat man wegen <math>L \in (0, 1)</math> für eine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow k \log(L) \le \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) \Leftrightarrow k \ge a</math> mit ::<math>a := \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L),</math> so dass mit (5.21) folgt: ::<math>k \ge a \Rightarrow \left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon.</math> Praktisch ist also spätestens in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> mit ::(5.22) <math>k(\varepsilon) = \lceil a \rceil</math> die Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt, wobei <math>\lceil a \rceil</math> die kleinste ganze Zahl <math>\ge a</math> bezeichnet. Der mittlere Ausdruck in (5.20) kann im <math>k</math>-ten Iterationsschritt bestimmt werden und erlaubt eine a posteriori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Praktisch wird für eine gegebene Schranke <math>\varepsilon > 0</math> in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> abgebrochen, wenn erstmalig ::<math>\frac L{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt ist. In diesem Fall genügt <math>x^k</math> der Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math>. Wir geben dazu ein Beispiel. === Beispiel 5.16 === Es sei ::<math>f(x) := x - e^{-x}, \quad x \in \R.</math> Dann hat man ::<math>f(x^*) = 0</math> für <math>x^* \approx 0.567\ 143\ 29.</math> Diese Nullstelle <math>x^*</math> soll nun approximativ berechnet werden. Mit ::<math>g(x) := e^{-x}, \quad x \in \R</math> gilt offenbar ::<math>g(x^*) = x^* \Leftrightarrow f(x^*) = 0,</math> so dass wir dazu die Fixpunktiteration <math>x_{k+1} = g(x_k)</math> mit der Iterationsfunktion <math>g</math> anwenden wollen. Dafür müssen wir zunächst die Voraussetzungen von Satz 5.15 überprüfen. Auf dem Intervall <math>D := [0.5, 0.69]</math> ist <math>g</math> monoton fallend und somit ::<math>g(D) = [e^{-0.69}, e^{-0.5}] \subseteq [0.5, 0.61] \subseteq D</math> sowie ::<math>L := \max_{x \in [0.5, 0.69]} |g'(x)| = \max_{x \in [0.5, 0.69]} e^{-x} = e^{-1/2} \approx 0.606\ 531.</math> Also ist <math>g</math> eine Kontraktion. Die folgende Tabelle liefert für den Startwert <math>x_0 := 0.55</math> ausgewählte Iterierte des Verfahrens: ::<math>\begin{array}{c|c||c|c||c|c} k & x_k & k & x_k & k & x_k \\ \hline & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0.550\ 000\ 00 & 10 & 0.567\ 083\ 94 & 20 & 0.567\ 143\ 09 \\ 1 & 0.576\ 949\ 81 & 11 & 0.567\ 176\ 95 & 21 & 0.567\ 143\ 40 \\ 2 & 0.561\ 608\ 77 & 12 & 0.567\ 124\ 20 & 22 & 0.567\ 143\ 23 \\ 3 & 0.570\ 290\ 86 & 13 & 0.567\ 154\ 12 & 23 & 0.567\ 143\ 32 \\ 4 & 0.565\ 360\ 97 & 14 & 0.567\ 137\ 15 & 24 & 0.567\ 143\ 27 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}</math> Die Situation soll nun für <math>k = 12</math> genauer betrachtet werden. Die Fehlerabschätzung (5.20) liefert in diesem Fall ::<math>\frac{L^{12}}{1 - L} |x_1 - x_0| = \frac{0.606\ 531^{12}}{1 - 0.606\ 531} 0.026\ 949\ 81 = 1.70 \cdot 10^{-4},</math> ::<math>\frac{L}{1 - L} |x_{12} - x_{11}| = \frac{0.606\ 531}{1 - 0.606\ 531} 0.000\ 052\ 75 = 8.13 \cdot 10^{-5}.</math> Der tatsächliche Fehler ::<math>|x_{12} - x^*| \approx 1.91 \cdot 10^{-5}</math> wird also durch die a posteriori Abschätzung um etwa den Faktor 4 und durch die a priori Abschätzung um etwa den Faktor 9 überschätzt. ==== Praktisches Vorgehen ==== Das praktische Vorgehen soll nun für die spezielle Fehlerschranke <math>\varepsilon = 0.007\ 6</math> illustriert werden. Der (üblicherweise unbekannte) Approximationsfehler unterschreitet diese Schranke bereits für <math>k = 2</math>, denn man hat <math>|x_2 - x^*| \approx 0.005\ 5 \le \varepsilon</math>. Die a posteriori Abschätzung liefert dagegen für <math>k = 4</math> ::<math>|x_4 - x^*| \le \frac{e^{-1/2}}{1 - e^{-1/2}} |0.565\ 360\ 97 - 0.570\ 290\ 86| = 0.007\ 599 \le \varepsilon,</math> also <math>k(\varepsilon) := 4</math> als Stoppzahl, während die a priori Abschätzung in (5.22) mit :<math> a = \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L) = \log \left( \frac{\left( 1 - e^{-1/2} \right) 0.007\ 6}{0.576\ 949\ 81 - 0.55} \right) / \log(e^{-1/2}) \approx 4.397 </math> die Vorhersage <math>k(\varepsilon) := 5</math> macht. 1vfkvm8bvd84ly40cn2xjq3jkddc7h7 745660 745622 2022-07-22T10:08:32Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma 5.13 */ wikitext text/x-wiki == Einführung - mehrdimensionale Fixpunktiteration == Wir verallgemeinern zunächst die Fixpunktiteration auf Funktionen <math>g: \R^n \to \R^n</math>, die wir in Abschnitt 5.2.4 für <math>n = 1</math> und hinreichend glattes <math>g</math> diskutiert hatten. Für die Bestimmung eines Fixpunktes von <math>g</math>, d. h. eines Punktes <math>x^* \in \R^n</math> mit <math>g(x^*) = x^*</math>, betrachten wir also die Iterationsvorschrift ::(5.17) <math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> mit einem gegebenen Startwert <math>x^0 \in \R^n</math>. Wir definieren nun zunächst: == Definition - Lipschitz-stetig == :''(i) Sei <math>D \subseteq \R^n</math> und <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Norm auf dem <math>\R^n</math>. Eine Abbildung <math>g: D \to \R^n</math> heißt <u>Lipschitz-stetig</u> auf <math>D</math> mit <u>(Lipschitz-)Konstante</u> <math>L > 0</math>, wenn gilt: ::(5.18) <math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> :''(ii) Eine Lipschitz-stetige Abbildung <math>g: D \to D</math> mit Konstante <math>L > 0</math> heißt eine <u>Kontraktion</u> auf <math>D</math>, wenn <math>L < 1</math> ist. Sei nun speziell <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für <math>D \subseteq \R^n</math>, wobei wir damit eine Funktion <math>g: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> mit ::<math>g(x) = (g_1(x), \ldots, g_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial g_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math> für alle <math>x \in D</math> meinen. Für ein solches <math>g</math> kann man in der Praxis häufig eine Konstante <math>L</math> wie in (5.18) mittels der ersten Ableitung von <math>g</math> bzw. der Jacobi-Matrix von <math>g</math>, welche durch ::<math>\mathcal J_g(x) := \left( \frac{\partial g_i}{\partial x_j} (x) \right)_{i, j = 1, \ldots, n} = \begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} (x) \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_2}{\partial x_n} (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_n}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} (x) \end{pmatrix} \in \R^{n \times n}</math> gegeben ist, gewinnen. Dazu definieren wir: === Definition 5.12 === :''Eine Menge <math>D \subseteq \R^n</math> heißt <u>konvex</u>, falls für je zwei Elemente <math>x, y \in D</math> auch die ganze Verbindungsstrecke von <math>x</math> nach <math>y</math> zu <math>D</math> gehört, d. h. falls ::<math>x, y \in D, \quad t \in [0, 1] \Rightarrow tx + (1 - t)y \in D.</math> Damit lässt sich bekanntlich das folgende Lemma aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ableiten. === Lemma 5.13 - Zusammenhang - Jacobi-Matrix - Lipschitz-Stetigkeit === :''Es sei <math>g \in \mathcal{C}^2(D, \R^n)</math> für eine offene, konvexe Menge <math>D \subseteq \R^n</math> und für eine Konstante <math>L > 0</math> gelte ::<math>\|\mathcal J_g(x)\| \le L, \quad x \in D.</math> :''Dann folgt die Abschätzung ::<math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> Dazu geben wir Beispiele. ==== Beispiel 5.14 ==== (1) Die Funktion <math>f(x) := x^2</math> ist auf <math>[0, 0.4]</math> eine Kontraktion, denn es ist ::<math>f([0, 0.4]) = [0, 0.16] \subseteq [0, 0.4]</math> und mit <math>L := \max_{x \in [0, 0.4]} (2x) = 0.8</math> ::<math>\left| x^2 - y^2 \right| \le 0.8 |x - y|, \quad x, y \in [0, 0.4].</math> (2) Die Funktion <math>f(x) := \sqrt{x}</math> ist auf <math>[0, a]</math> mit <math>a > 0</math> nicht Lipschitz-stetig, denn für <math>y = 0</math> hat man ::<math>\left| \sqrt{x} - \sqrt{0} \right| = \sqrt{x} = \frac 1{\sqrt{x}} (x - 0) = \frac 1{\sqrt{x}} |x - 0|, \quad x \in (0, a]</math> und <math>\lim_{x \to 0} (1/\sqrt{x}) = \infty</math>. Der folgende sog. ''Banachsche Fixpunktsatz'' gibt an, dass die Fixpunktiteration (5.17) konvergiert, und zwar für allgemeines <math>n</math> und ohne Differenzierbarkeitsforderungen an <math>g</math>, wobei als Startvektor alle Elemente <math>x^0</math> der zugrunde gelegten Menge zugelassen sind. Überdies liefert er unter den genannten Voraussetzungen die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes. Die geforderte Kontraktionseigenschaft für die Iterationsfunktion <math>g</math> ist allerdings eine relativ starke Voraussetzung. === Satz 5.15 === :''Sei <math>D \subseteq \R^n</math> abgeschlossen und die Abbildung <math>g: D \to D</math> bezüglich der Vektornorm <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Kontraktion mit Konstante <math>L \in (0, 1)</math>. Dann gilt: :''(i) <math>g</math> besitzt genau einen Fixpunkt <math>x^* \in D</math>. :''(ii) Für jeden Startpunkt <math>x^0 \in D</math> liefert die Fixpunktiteration ::(5.19) <math>x^{k+1} = g(x^k), \quad k = 0, 1, \ldots</math> :''eine Folge <math>(x^k)</math> in <math>D</math>, welche gegen <math>x^*</math> konvergiert und man hat ::(5.20) <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k = 1, 2, \ldots.</math> ==== Beweis. ==== (i) Sind <math>x^*, y^* \in D</math> Fixpunkte von <math>g</math>, so gilt ::<math>\|x^* - y^*\| = \|g(x^*) - g(y^*)\| \le L \|x^* - y^*\|</math> bzw. <math>(1 - L) \|x^* - y^*\| \le 0</math>, was <math>x^* = y^*</math> impliziert. Also besitzt <math>g</math> höchstens einen Fixpunkt. (ii) Sei nun der Startvektor <math>x^0 \in D</math> beliebig und <math>(x^k)</math> bezeichne die damit durch die Fixpunktiteration (5.19) erzeugte Folge. Für <math>x^k \in D</math> ist dann offenbar auch <math>g(x^k) = x^{k+1}</math> in <math>D</math>, so dass <math>x^k \in D</math> <math>(k \in \N_0)</math> folgt. Man hat somit weiter ::<math>\|x^{\ell+1} - x^\ell\| = \|g(x^\ell) - g(x^{\ell-1})\| \le L \|x^\ell - x^{\ell-1}\|, \quad \ell \in \N_0,</math> so dass man die folgenden Abschätzungen für <math>k, n \in \N_0</math> erhält: ::<math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| = \left\| \left( x^{k+1} - x^k \right) + \left( x^{k+2} - x^{k+1} \right) + \ldots + \left( x^{k+n} - x^{k+n-1} \right) \right\|</math> ::<math>= \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \left\| x^{k+2} - x^{k+1} \right\| + \ldots + \left\| x^{k+n} - x^{k+n-1} \right\|</math> ::<math>\le \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + L \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \ldots + L^{n-1} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| = \left( \sum^{n-1}_{\ell=0} L^\ell \right) \left\| x^{k+1} - x^k \right\|</math> ::<math>\le \frac{1 - L^n}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{1}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|.</math> Also gilt ::(5.21) <math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k, n \in \N_0.</math> Demnach ist die Folge <math>(x^k)</math> eine Cauchy-Folge und hat sie als solche einen Grenzwert <math>x^* \in D</math>. Da <math>g</math> nach Voraussetzung (Lipschitz-)stetig ist und die Fixpunktiteration dann, wenn sie konvergiert, gegen einen Fixpunkt konvergiert, ist <math>x^*</math> der (eindeutige) Fixpunkt von <math>g</math>. Der Grenzübergang „<math>n \to \infty</math>“ in (5.21) liefert schließlich die Abschätzung (5.20). q.e.d. Man beachte, dass man unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes mindestens lineare Konvergenz für die Fixpunktiteration hat, denn dann gilt ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = \left\| g(x^k) - g(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \in \N_0,</math> wobei <math>L \in (0, 1)</math> ist. Der Ausdruck ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|</math> in (5.20) kann, nachdem <math>x^1</math> berechnet wurde, für jedes <math>k \in \N</math> vor Beginn der Iteration bestimmt werden. Er ermöglicht eine a priori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Weiter hat man wegen <math>L \in (0, 1)</math> für eine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow k \log(L) \le \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) \Leftrightarrow k \ge a</math> mit ::<math>a := \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L),</math> so dass mit (5.21) folgt: ::<math>k \ge a \Rightarrow \left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon.</math> Praktisch ist also spätestens in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> mit ::(5.22) <math>k(\varepsilon) = \lceil a \rceil</math> die Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt, wobei <math>\lceil a \rceil</math> die kleinste ganze Zahl <math>\ge a</math> bezeichnet. Der mittlere Ausdruck in (5.20) kann im <math>k</math>-ten Iterationsschritt bestimmt werden und erlaubt eine a posteriori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Praktisch wird für eine gegebene Schranke <math>\varepsilon > 0</math> in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> abgebrochen, wenn erstmalig ::<math>\frac L{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt ist. In diesem Fall genügt <math>x^k</math> der Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math>. Wir geben dazu ein Beispiel. === Beispiel 5.16 === Es sei ::<math>f(x) := x - e^{-x}, \quad x \in \R.</math> Dann hat man ::<math>f(x^*) = 0</math> für <math>x^* \approx 0.567\ 143\ 29.</math> Diese Nullstelle <math>x^*</math> soll nun approximativ berechnet werden. Mit ::<math>g(x) := e^{-x}, \quad x \in \R</math> gilt offenbar ::<math>g(x^*) = x^* \Leftrightarrow f(x^*) = 0,</math> so dass wir dazu die Fixpunktiteration <math>x_{k+1} = g(x_k)</math> mit der Iterationsfunktion <math>g</math> anwenden wollen. Dafür müssen wir zunächst die Voraussetzungen von Satz 5.15 überprüfen. Auf dem Intervall <math>D := [0.5, 0.69]</math> ist <math>g</math> monoton fallend und somit ::<math>g(D) = [e^{-0.69}, e^{-0.5}] \subseteq [0.5, 0.61] \subseteq D</math> sowie ::<math>L := \max_{x \in [0.5, 0.69]} |g'(x)| = \max_{x \in [0.5, 0.69]} e^{-x} = e^{-1/2} \approx 0.606\ 531.</math> Also ist <math>g</math> eine Kontraktion. Die folgende Tabelle liefert für den Startwert <math>x_0 := 0.55</math> ausgewählte Iterierte des Verfahrens: ::<math>\begin{array}{c|c||c|c||c|c} k & x_k & k & x_k & k & x_k \\ \hline & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0.550\ 000\ 00 & 10 & 0.567\ 083\ 94 & 20 & 0.567\ 143\ 09 \\ 1 & 0.576\ 949\ 81 & 11 & 0.567\ 176\ 95 & 21 & 0.567\ 143\ 40 \\ 2 & 0.561\ 608\ 77 & 12 & 0.567\ 124\ 20 & 22 & 0.567\ 143\ 23 \\ 3 & 0.570\ 290\ 86 & 13 & 0.567\ 154\ 12 & 23 & 0.567\ 143\ 32 \\ 4 & 0.565\ 360\ 97 & 14 & 0.567\ 137\ 15 & 24 & 0.567\ 143\ 27 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}</math> Die Situation soll nun für <math>k = 12</math> genauer betrachtet werden. Die Fehlerabschätzung (5.20) liefert in diesem Fall ::<math>\frac{L^{12}}{1 - L} |x_1 - x_0| = \frac{0.606\ 531^{12}}{1 - 0.606\ 531} 0.026\ 949\ 81 = 1.70 \cdot 10^{-4},</math> ::<math>\frac{L}{1 - L} |x_{12} - x_{11}| = \frac{0.606\ 531}{1 - 0.606\ 531} 0.000\ 052\ 75 = 8.13 \cdot 10^{-5}.</math> Der tatsächliche Fehler ::<math>|x_{12} - x^*| \approx 1.91 \cdot 10^{-5}</math> wird also durch die a posteriori Abschätzung um etwa den Faktor 4 und durch die a priori Abschätzung um etwa den Faktor 9 überschätzt. ==== Praktisches Vorgehen ==== Das praktische Vorgehen soll nun für die spezielle Fehlerschranke <math>\varepsilon = 0.007\ 6</math> illustriert werden. Der (üblicherweise unbekannte) Approximationsfehler unterschreitet diese Schranke bereits für <math>k = 2</math>, denn man hat <math>|x_2 - x^*| \approx 0.005\ 5 \le \varepsilon</math>. Die a posteriori Abschätzung liefert dagegen für <math>k = 4</math> ::<math>|x_4 - x^*| \le \frac{e^{-1/2}}{1 - e^{-1/2}} |0.565\ 360\ 97 - 0.570\ 290\ 86| = 0.007\ 599 \le \varepsilon,</math> also <math>k(\varepsilon) := 4</math> als Stoppzahl, während die a priori Abschätzung in (5.22) mit :<math> a = \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L) = \log \left( \frac{\left( 1 - e^{-1/2} \right) 0.007\ 6}{0.576\ 949\ 81 - 0.55} \right) / \log(e^{-1/2}) \approx 4.397 </math> die Vorhersage <math>k(\varepsilon) := 5</math> macht. 0x04wwli5ak5xdiff2f82lf5jfwrlqw 745661 745660 2022-07-22T10:10:42Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel 5.14 */ wikitext text/x-wiki == Einführung - mehrdimensionale Fixpunktiteration == Wir verallgemeinern zunächst die Fixpunktiteration auf Funktionen <math>g: \R^n \to \R^n</math>, die wir in Abschnitt 5.2.4 für <math>n = 1</math> und hinreichend glattes <math>g</math> diskutiert hatten. Für die Bestimmung eines Fixpunktes von <math>g</math>, d. h. eines Punktes <math>x^* \in \R^n</math> mit <math>g(x^*) = x^*</math>, betrachten wir also die Iterationsvorschrift ::(5.17) <math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> mit einem gegebenen Startwert <math>x^0 \in \R^n</math>. Wir definieren nun zunächst: == Definition - Lipschitz-stetig == :''(i) Sei <math>D \subseteq \R^n</math> und <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Norm auf dem <math>\R^n</math>. Eine Abbildung <math>g: D \to \R^n</math> heißt <u>Lipschitz-stetig</u> auf <math>D</math> mit <u>(Lipschitz-)Konstante</u> <math>L > 0</math>, wenn gilt: ::(5.18) <math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> :''(ii) Eine Lipschitz-stetige Abbildung <math>g: D \to D</math> mit Konstante <math>L > 0</math> heißt eine <u>Kontraktion</u> auf <math>D</math>, wenn <math>L < 1</math> ist. Sei nun speziell <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für <math>D \subseteq \R^n</math>, wobei wir damit eine Funktion <math>g: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> mit ::<math>g(x) = (g_1(x), \ldots, g_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial g_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math> für alle <math>x \in D</math> meinen. Für ein solches <math>g</math> kann man in der Praxis häufig eine Konstante <math>L</math> wie in (5.18) mittels der ersten Ableitung von <math>g</math> bzw. der Jacobi-Matrix von <math>g</math>, welche durch ::<math>\mathcal J_g(x) := \left( \frac{\partial g_i}{\partial x_j} (x) \right)_{i, j = 1, \ldots, n} = \begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} (x) \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_2}{\partial x_n} (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_n}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} (x) \end{pmatrix} \in \R^{n \times n}</math> gegeben ist, gewinnen. Dazu definieren wir: === Definition 5.12 === :''Eine Menge <math>D \subseteq \R^n</math> heißt <u>konvex</u>, falls für je zwei Elemente <math>x, y \in D</math> auch die ganze Verbindungsstrecke von <math>x</math> nach <math>y</math> zu <math>D</math> gehört, d. h. falls ::<math>x, y \in D, \quad t \in [0, 1] \Rightarrow tx + (1 - t)y \in D.</math> Damit lässt sich bekanntlich das folgende Lemma aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ableiten. === Lemma 5.13 - Zusammenhang - Jacobi-Matrix - Lipschitz-Stetigkeit === :''Es sei <math>g \in \mathcal{C}^2(D, \R^n)</math> für eine offene, konvexe Menge <math>D \subseteq \R^n</math> und für eine Konstante <math>L > 0</math> gelte ::<math>\|\mathcal J_g(x)\| \le L, \quad x \in D.</math> :''Dann folgt die Abschätzung ::<math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> Dazu geben wir Beispiele. === Beispiel 5.14 - eindimensionaler Definitionsbereich === (1) Die Funktion <math>f(x) := x^2</math> ist auf <math>[0, 0.4]</math> eine Kontraktion, denn es ist ::<math>f([0, 0.4]) = [0, 0.16] \subseteq [0, 0.4]</math> und mit <math>L := \max_{x \in [0, 0.4]} (2x) = 0.8</math> ::<math>\left| x^2 - y^2 \right| \le 0.8 |x - y|, \quad x, y \in [0, 0.4].</math> (2) Die Funktion <math>f(x) := \sqrt{x}</math> ist auf <math>[0, a]</math> mit <math>a > 0</math> nicht Lipschitz-stetig, denn für <math>y = 0</math> hat man ::<math>\left| \sqrt{x} - \sqrt{0} \right| = \sqrt{x} = \frac 1{\sqrt{x}} (x - 0) = \frac 1{\sqrt{x}} |x - 0|, \quad x \in (0, a]</math> und <math>\lim_{x \to 0} (1/\sqrt{x}) = \infty</math>. Der folgende sog. ''Banachsche Fixpunktsatz'' gibt an, dass die Fixpunktiteration (5.17) konvergiert, und zwar für allgemeines <math>n</math> und ohne Differenzierbarkeitsforderungen an <math>g</math>, wobei als Startvektor alle Elemente <math>x^0</math> der zugrunde gelegten Menge zugelassen sind. Überdies liefert er unter den genannten Voraussetzungen die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes. Die geforderte Kontraktionseigenschaft für die Iterationsfunktion <math>g</math> ist allerdings eine relativ starke Voraussetzung. === Satz 5.15 === :''Sei <math>D \subseteq \R^n</math> abgeschlossen und die Abbildung <math>g: D \to D</math> bezüglich der Vektornorm <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Kontraktion mit Konstante <math>L \in (0, 1)</math>. Dann gilt: :''(i) <math>g</math> besitzt genau einen Fixpunkt <math>x^* \in D</math>. :''(ii) Für jeden Startpunkt <math>x^0 \in D</math> liefert die Fixpunktiteration ::(5.19) <math>x^{k+1} = g(x^k), \quad k = 0, 1, \ldots</math> :''eine Folge <math>(x^k)</math> in <math>D</math>, welche gegen <math>x^*</math> konvergiert und man hat ::(5.20) <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k = 1, 2, \ldots.</math> ==== Beweis. ==== (i) Sind <math>x^*, y^* \in D</math> Fixpunkte von <math>g</math>, so gilt ::<math>\|x^* - y^*\| = \|g(x^*) - g(y^*)\| \le L \|x^* - y^*\|</math> bzw. <math>(1 - L) \|x^* - y^*\| \le 0</math>, was <math>x^* = y^*</math> impliziert. Also besitzt <math>g</math> höchstens einen Fixpunkt. (ii) Sei nun der Startvektor <math>x^0 \in D</math> beliebig und <math>(x^k)</math> bezeichne die damit durch die Fixpunktiteration (5.19) erzeugte Folge. Für <math>x^k \in D</math> ist dann offenbar auch <math>g(x^k) = x^{k+1}</math> in <math>D</math>, so dass <math>x^k \in D</math> <math>(k \in \N_0)</math> folgt. Man hat somit weiter ::<math>\|x^{\ell+1} - x^\ell\| = \|g(x^\ell) - g(x^{\ell-1})\| \le L \|x^\ell - x^{\ell-1}\|, \quad \ell \in \N_0,</math> so dass man die folgenden Abschätzungen für <math>k, n \in \N_0</math> erhält: ::<math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| = \left\| \left( x^{k+1} - x^k \right) + \left( x^{k+2} - x^{k+1} \right) + \ldots + \left( x^{k+n} - x^{k+n-1} \right) \right\|</math> ::<math>= \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \left\| x^{k+2} - x^{k+1} \right\| + \ldots + \left\| x^{k+n} - x^{k+n-1} \right\|</math> ::<math>\le \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + L \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \ldots + L^{n-1} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| = \left( \sum^{n-1}_{\ell=0} L^\ell \right) \left\| x^{k+1} - x^k \right\|</math> ::<math>\le \frac{1 - L^n}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{1}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|.</math> Also gilt ::(5.21) <math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k, n \in \N_0.</math> Demnach ist die Folge <math>(x^k)</math> eine Cauchy-Folge und hat sie als solche einen Grenzwert <math>x^* \in D</math>. Da <math>g</math> nach Voraussetzung (Lipschitz-)stetig ist und die Fixpunktiteration dann, wenn sie konvergiert, gegen einen Fixpunkt konvergiert, ist <math>x^*</math> der (eindeutige) Fixpunkt von <math>g</math>. Der Grenzübergang „<math>n \to \infty</math>“ in (5.21) liefert schließlich die Abschätzung (5.20). q.e.d. Man beachte, dass man unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes mindestens lineare Konvergenz für die Fixpunktiteration hat, denn dann gilt ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = \left\| g(x^k) - g(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \in \N_0,</math> wobei <math>L \in (0, 1)</math> ist. Der Ausdruck ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|</math> in (5.20) kann, nachdem <math>x^1</math> berechnet wurde, für jedes <math>k \in \N</math> vor Beginn der Iteration bestimmt werden. Er ermöglicht eine a priori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Weiter hat man wegen <math>L \in (0, 1)</math> für eine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow k \log(L) \le \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) \Leftrightarrow k \ge a</math> mit ::<math>a := \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L),</math> so dass mit (5.21) folgt: ::<math>k \ge a \Rightarrow \left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon.</math> Praktisch ist also spätestens in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> mit ::(5.22) <math>k(\varepsilon) = \lceil a \rceil</math> die Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt, wobei <math>\lceil a \rceil</math> die kleinste ganze Zahl <math>\ge a</math> bezeichnet. Der mittlere Ausdruck in (5.20) kann im <math>k</math>-ten Iterationsschritt bestimmt werden und erlaubt eine a posteriori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Praktisch wird für eine gegebene Schranke <math>\varepsilon > 0</math> in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> abgebrochen, wenn erstmalig ::<math>\frac L{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt ist. In diesem Fall genügt <math>x^k</math> der Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math>. Wir geben dazu ein Beispiel. === Beispiel 5.16 === Es sei ::<math>f(x) := x - e^{-x}, \quad x \in \R.</math> Dann hat man ::<math>f(x^*) = 0</math> für <math>x^* \approx 0.567\ 143\ 29.</math> Diese Nullstelle <math>x^*</math> soll nun approximativ berechnet werden. Mit ::<math>g(x) := e^{-x}, \quad x \in \R</math> gilt offenbar ::<math>g(x^*) = x^* \Leftrightarrow f(x^*) = 0,</math> so dass wir dazu die Fixpunktiteration <math>x_{k+1} = g(x_k)</math> mit der Iterationsfunktion <math>g</math> anwenden wollen. Dafür müssen wir zunächst die Voraussetzungen von Satz 5.15 überprüfen. Auf dem Intervall <math>D := [0.5, 0.69]</math> ist <math>g</math> monoton fallend und somit ::<math>g(D) = [e^{-0.69}, e^{-0.5}] \subseteq [0.5, 0.61] \subseteq D</math> sowie ::<math>L := \max_{x \in [0.5, 0.69]} |g'(x)| = \max_{x \in [0.5, 0.69]} e^{-x} = e^{-1/2} \approx 0.606\ 531.</math> Also ist <math>g</math> eine Kontraktion. Die folgende Tabelle liefert für den Startwert <math>x_0 := 0.55</math> ausgewählte Iterierte des Verfahrens: ::<math>\begin{array}{c|c||c|c||c|c} k & x_k & k & x_k & k & x_k \\ \hline & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0.550\ 000\ 00 & 10 & 0.567\ 083\ 94 & 20 & 0.567\ 143\ 09 \\ 1 & 0.576\ 949\ 81 & 11 & 0.567\ 176\ 95 & 21 & 0.567\ 143\ 40 \\ 2 & 0.561\ 608\ 77 & 12 & 0.567\ 124\ 20 & 22 & 0.567\ 143\ 23 \\ 3 & 0.570\ 290\ 86 & 13 & 0.567\ 154\ 12 & 23 & 0.567\ 143\ 32 \\ 4 & 0.565\ 360\ 97 & 14 & 0.567\ 137\ 15 & 24 & 0.567\ 143\ 27 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}</math> Die Situation soll nun für <math>k = 12</math> genauer betrachtet werden. Die Fehlerabschätzung (5.20) liefert in diesem Fall ::<math>\frac{L^{12}}{1 - L} |x_1 - x_0| = \frac{0.606\ 531^{12}}{1 - 0.606\ 531} 0.026\ 949\ 81 = 1.70 \cdot 10^{-4},</math> ::<math>\frac{L}{1 - L} |x_{12} - x_{11}| = \frac{0.606\ 531}{1 - 0.606\ 531} 0.000\ 052\ 75 = 8.13 \cdot 10^{-5}.</math> Der tatsächliche Fehler ::<math>|x_{12} - x^*| \approx 1.91 \cdot 10^{-5}</math> wird also durch die a posteriori Abschätzung um etwa den Faktor 4 und durch die a priori Abschätzung um etwa den Faktor 9 überschätzt. ==== Praktisches Vorgehen ==== Das praktische Vorgehen soll nun für die spezielle Fehlerschranke <math>\varepsilon = 0.007\ 6</math> illustriert werden. Der (üblicherweise unbekannte) Approximationsfehler unterschreitet diese Schranke bereits für <math>k = 2</math>, denn man hat <math>|x_2 - x^*| \approx 0.005\ 5 \le \varepsilon</math>. Die a posteriori Abschätzung liefert dagegen für <math>k = 4</math> ::<math>|x_4 - x^*| \le \frac{e^{-1/2}}{1 - e^{-1/2}} |0.565\ 360\ 97 - 0.570\ 290\ 86| = 0.007\ 599 \le \varepsilon,</math> also <math>k(\varepsilon) := 4</math> als Stoppzahl, während die a priori Abschätzung in (5.22) mit :<math> a = \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L) = \log \left( \frac{\left( 1 - e^{-1/2} \right) 0.007\ 6}{0.576\ 949\ 81 - 0.55} \right) / \log(e^{-1/2}) \approx 4.397 </math> die Vorhersage <math>k(\varepsilon) := 5</math> macht. 06gnscj2f3cbqkzebigl071m1ahe495 745662 745661 2022-07-22T10:11:08Z Bert Niehaus 20843 /* Satz 5.15 */ wikitext text/x-wiki == Einführung - mehrdimensionale Fixpunktiteration == Wir verallgemeinern zunächst die Fixpunktiteration auf Funktionen <math>g: \R^n \to \R^n</math>, die wir in Abschnitt 5.2.4 für <math>n = 1</math> und hinreichend glattes <math>g</math> diskutiert hatten. Für die Bestimmung eines Fixpunktes von <math>g</math>, d. h. eines Punktes <math>x^* \in \R^n</math> mit <math>g(x^*) = x^*</math>, betrachten wir also die Iterationsvorschrift ::(5.17) <math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> mit einem gegebenen Startwert <math>x^0 \in \R^n</math>. Wir definieren nun zunächst: == Definition - Lipschitz-stetig == :''(i) Sei <math>D \subseteq \R^n</math> und <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Norm auf dem <math>\R^n</math>. Eine Abbildung <math>g: D \to \R^n</math> heißt <u>Lipschitz-stetig</u> auf <math>D</math> mit <u>(Lipschitz-)Konstante</u> <math>L > 0</math>, wenn gilt: ::(5.18) <math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> :''(ii) Eine Lipschitz-stetige Abbildung <math>g: D \to D</math> mit Konstante <math>L > 0</math> heißt eine <u>Kontraktion</u> auf <math>D</math>, wenn <math>L < 1</math> ist. Sei nun speziell <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für <math>D \subseteq \R^n</math>, wobei wir damit eine Funktion <math>g: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> mit ::<math>g(x) = (g_1(x), \ldots, g_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial g_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math> für alle <math>x \in D</math> meinen. Für ein solches <math>g</math> kann man in der Praxis häufig eine Konstante <math>L</math> wie in (5.18) mittels der ersten Ableitung von <math>g</math> bzw. der Jacobi-Matrix von <math>g</math>, welche durch ::<math>\mathcal J_g(x) := \left( \frac{\partial g_i}{\partial x_j} (x) \right)_{i, j = 1, \ldots, n} = \begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} (x) \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_2}{\partial x_n} (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_n}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} (x) \end{pmatrix} \in \R^{n \times n}</math> gegeben ist, gewinnen. Dazu definieren wir: === Definition 5.12 === :''Eine Menge <math>D \subseteq \R^n</math> heißt <u>konvex</u>, falls für je zwei Elemente <math>x, y \in D</math> auch die ganze Verbindungsstrecke von <math>x</math> nach <math>y</math> zu <math>D</math> gehört, d. h. falls ::<math>x, y \in D, \quad t \in [0, 1] \Rightarrow tx + (1 - t)y \in D.</math> Damit lässt sich bekanntlich das folgende Lemma aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ableiten. === Lemma 5.13 - Zusammenhang - Jacobi-Matrix - Lipschitz-Stetigkeit === :''Es sei <math>g \in \mathcal{C}^2(D, \R^n)</math> für eine offene, konvexe Menge <math>D \subseteq \R^n</math> und für eine Konstante <math>L > 0</math> gelte ::<math>\|\mathcal J_g(x)\| \le L, \quad x \in D.</math> :''Dann folgt die Abschätzung ::<math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> Dazu geben wir Beispiele. === Beispiel 5.14 - eindimensionaler Definitionsbereich === (1) Die Funktion <math>f(x) := x^2</math> ist auf <math>[0, 0.4]</math> eine Kontraktion, denn es ist ::<math>f([0, 0.4]) = [0, 0.16] \subseteq [0, 0.4]</math> und mit <math>L := \max_{x \in [0, 0.4]} (2x) = 0.8</math> ::<math>\left| x^2 - y^2 \right| \le 0.8 |x - y|, \quad x, y \in [0, 0.4].</math> (2) Die Funktion <math>f(x) := \sqrt{x}</math> ist auf <math>[0, a]</math> mit <math>a > 0</math> nicht Lipschitz-stetig, denn für <math>y = 0</math> hat man ::<math>\left| \sqrt{x} - \sqrt{0} \right| = \sqrt{x} = \frac 1{\sqrt{x}} (x - 0) = \frac 1{\sqrt{x}} |x - 0|, \quad x \in (0, a]</math> und <math>\lim_{x \to 0} (1/\sqrt{x}) = \infty</math>. Der folgende sog. ''Banachsche Fixpunktsatz'' gibt an, dass die Fixpunktiteration (5.17) konvergiert, und zwar für allgemeines <math>n</math> und ohne Differenzierbarkeitsforderungen an <math>g</math>, wobei als Startvektor alle Elemente <math>x^0</math> der zugrunde gelegten Menge zugelassen sind. Überdies liefert er unter den genannten Voraussetzungen die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes. Die geforderte Kontraktionseigenschaft für die Iterationsfunktion <math>g</math> ist allerdings eine relativ starke Voraussetzung. === Satz 5.15 - Banachsche Fixpunktsatz === :''Sei <math>D \subseteq \R^n</math> abgeschlossen und die Abbildung <math>g: D \to D</math> bezüglich der Vektornorm <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Kontraktion mit Konstante <math>L \in (0, 1)</math>. Dann gilt: :''(i) <math>g</math> besitzt genau einen Fixpunkt <math>x^* \in D</math>. :''(ii) Für jeden Startpunkt <math>x^0 \in D</math> liefert die Fixpunktiteration ::(5.19) <math>x^{k+1} = g(x^k), \quad k = 0, 1, \ldots</math> :''eine Folge <math>(x^k)</math> in <math>D</math>, welche gegen <math>x^*</math> konvergiert und man hat ::(5.20) <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k = 1, 2, \ldots.</math> ==== Beweis. ==== (i) Sind <math>x^*, y^* \in D</math> Fixpunkte von <math>g</math>, so gilt ::<math>\|x^* - y^*\| = \|g(x^*) - g(y^*)\| \le L \|x^* - y^*\|</math> bzw. <math>(1 - L) \|x^* - y^*\| \le 0</math>, was <math>x^* = y^*</math> impliziert. Also besitzt <math>g</math> höchstens einen Fixpunkt. (ii) Sei nun der Startvektor <math>x^0 \in D</math> beliebig und <math>(x^k)</math> bezeichne die damit durch die Fixpunktiteration (5.19) erzeugte Folge. Für <math>x^k \in D</math> ist dann offenbar auch <math>g(x^k) = x^{k+1}</math> in <math>D</math>, so dass <math>x^k \in D</math> <math>(k \in \N_0)</math> folgt. Man hat somit weiter ::<math>\|x^{\ell+1} - x^\ell\| = \|g(x^\ell) - g(x^{\ell-1})\| \le L \|x^\ell - x^{\ell-1}\|, \quad \ell \in \N_0,</math> so dass man die folgenden Abschätzungen für <math>k, n \in \N_0</math> erhält: ::<math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| = \left\| \left( x^{k+1} - x^k \right) + \left( x^{k+2} - x^{k+1} \right) + \ldots + \left( x^{k+n} - x^{k+n-1} \right) \right\|</math> ::<math>= \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \left\| x^{k+2} - x^{k+1} \right\| + \ldots + \left\| x^{k+n} - x^{k+n-1} \right\|</math> ::<math>\le \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + L \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \ldots + L^{n-1} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| = \left( \sum^{n-1}_{\ell=0} L^\ell \right) \left\| x^{k+1} - x^k \right\|</math> ::<math>\le \frac{1 - L^n}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{1}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|.</math> Also gilt ::(5.21) <math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k, n \in \N_0.</math> Demnach ist die Folge <math>(x^k)</math> eine Cauchy-Folge und hat sie als solche einen Grenzwert <math>x^* \in D</math>. Da <math>g</math> nach Voraussetzung (Lipschitz-)stetig ist und die Fixpunktiteration dann, wenn sie konvergiert, gegen einen Fixpunkt konvergiert, ist <math>x^*</math> der (eindeutige) Fixpunkt von <math>g</math>. Der Grenzübergang „<math>n \to \infty</math>“ in (5.21) liefert schließlich die Abschätzung (5.20). q.e.d. Man beachte, dass man unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes mindestens lineare Konvergenz für die Fixpunktiteration hat, denn dann gilt ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = \left\| g(x^k) - g(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \in \N_0,</math> wobei <math>L \in (0, 1)</math> ist. Der Ausdruck ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|</math> in (5.20) kann, nachdem <math>x^1</math> berechnet wurde, für jedes <math>k \in \N</math> vor Beginn der Iteration bestimmt werden. Er ermöglicht eine a priori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Weiter hat man wegen <math>L \in (0, 1)</math> für eine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow k \log(L) \le \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) \Leftrightarrow k \ge a</math> mit ::<math>a := \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L),</math> so dass mit (5.21) folgt: ::<math>k \ge a \Rightarrow \left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon.</math> Praktisch ist also spätestens in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> mit ::(5.22) <math>k(\varepsilon) = \lceil a \rceil</math> die Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt, wobei <math>\lceil a \rceil</math> die kleinste ganze Zahl <math>\ge a</math> bezeichnet. Der mittlere Ausdruck in (5.20) kann im <math>k</math>-ten Iterationsschritt bestimmt werden und erlaubt eine a posteriori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Praktisch wird für eine gegebene Schranke <math>\varepsilon > 0</math> in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> abgebrochen, wenn erstmalig ::<math>\frac L{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt ist. In diesem Fall genügt <math>x^k</math> der Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math>. Wir geben dazu ein Beispiel. === Beispiel 5.16 === Es sei ::<math>f(x) := x - e^{-x}, \quad x \in \R.</math> Dann hat man ::<math>f(x^*) = 0</math> für <math>x^* \approx 0.567\ 143\ 29.</math> Diese Nullstelle <math>x^*</math> soll nun approximativ berechnet werden. Mit ::<math>g(x) := e^{-x}, \quad x \in \R</math> gilt offenbar ::<math>g(x^*) = x^* \Leftrightarrow f(x^*) = 0,</math> so dass wir dazu die Fixpunktiteration <math>x_{k+1} = g(x_k)</math> mit der Iterationsfunktion <math>g</math> anwenden wollen. Dafür müssen wir zunächst die Voraussetzungen von Satz 5.15 überprüfen. Auf dem Intervall <math>D := [0.5, 0.69]</math> ist <math>g</math> monoton fallend und somit ::<math>g(D) = [e^{-0.69}, e^{-0.5}] \subseteq [0.5, 0.61] \subseteq D</math> sowie ::<math>L := \max_{x \in [0.5, 0.69]} |g'(x)| = \max_{x \in [0.5, 0.69]} e^{-x} = e^{-1/2} \approx 0.606\ 531.</math> Also ist <math>g</math> eine Kontraktion. Die folgende Tabelle liefert für den Startwert <math>x_0 := 0.55</math> ausgewählte Iterierte des Verfahrens: ::<math>\begin{array}{c|c||c|c||c|c} k & x_k & k & x_k & k & x_k \\ \hline & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0.550\ 000\ 00 & 10 & 0.567\ 083\ 94 & 20 & 0.567\ 143\ 09 \\ 1 & 0.576\ 949\ 81 & 11 & 0.567\ 176\ 95 & 21 & 0.567\ 143\ 40 \\ 2 & 0.561\ 608\ 77 & 12 & 0.567\ 124\ 20 & 22 & 0.567\ 143\ 23 \\ 3 & 0.570\ 290\ 86 & 13 & 0.567\ 154\ 12 & 23 & 0.567\ 143\ 32 \\ 4 & 0.565\ 360\ 97 & 14 & 0.567\ 137\ 15 & 24 & 0.567\ 143\ 27 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}</math> Die Situation soll nun für <math>k = 12</math> genauer betrachtet werden. Die Fehlerabschätzung (5.20) liefert in diesem Fall ::<math>\frac{L^{12}}{1 - L} |x_1 - x_0| = \frac{0.606\ 531^{12}}{1 - 0.606\ 531} 0.026\ 949\ 81 = 1.70 \cdot 10^{-4},</math> ::<math>\frac{L}{1 - L} |x_{12} - x_{11}| = \frac{0.606\ 531}{1 - 0.606\ 531} 0.000\ 052\ 75 = 8.13 \cdot 10^{-5}.</math> Der tatsächliche Fehler ::<math>|x_{12} - x^*| \approx 1.91 \cdot 10^{-5}</math> wird also durch die a posteriori Abschätzung um etwa den Faktor 4 und durch die a priori Abschätzung um etwa den Faktor 9 überschätzt. ==== Praktisches Vorgehen ==== Das praktische Vorgehen soll nun für die spezielle Fehlerschranke <math>\varepsilon = 0.007\ 6</math> illustriert werden. Der (üblicherweise unbekannte) Approximationsfehler unterschreitet diese Schranke bereits für <math>k = 2</math>, denn man hat <math>|x_2 - x^*| \approx 0.005\ 5 \le \varepsilon</math>. Die a posteriori Abschätzung liefert dagegen für <math>k = 4</math> ::<math>|x_4 - x^*| \le \frac{e^{-1/2}}{1 - e^{-1/2}} |0.565\ 360\ 97 - 0.570\ 290\ 86| = 0.007\ 599 \le \varepsilon,</math> also <math>k(\varepsilon) := 4</math> als Stoppzahl, während die a priori Abschätzung in (5.22) mit :<math> a = \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L) = \log \left( \frac{\left( 1 - e^{-1/2} \right) 0.007\ 6}{0.576\ 949\ 81 - 0.55} \right) / \log(e^{-1/2}) \approx 4.397 </math> die Vorhersage <math>k(\varepsilon) := 5</math> macht. h40ptnczzve6ijv007ry877l58jid2a 745663 745662 2022-07-22T10:11:19Z Bert Niehaus 20843 /* Satz 5.15 - Banachsche Fixpunktsatz */ wikitext text/x-wiki == Einführung - mehrdimensionale Fixpunktiteration == Wir verallgemeinern zunächst die Fixpunktiteration auf Funktionen <math>g: \R^n \to \R^n</math>, die wir in Abschnitt 5.2.4 für <math>n = 1</math> und hinreichend glattes <math>g</math> diskutiert hatten. Für die Bestimmung eines Fixpunktes von <math>g</math>, d. h. eines Punktes <math>x^* \in \R^n</math> mit <math>g(x^*) = x^*</math>, betrachten wir also die Iterationsvorschrift ::(5.17) <math>x^{k+1} := g(x^k), \quad k = 0, 1, 2, \ldots</math> mit einem gegebenen Startwert <math>x^0 \in \R^n</math>. Wir definieren nun zunächst: == Definition - Lipschitz-stetig == :''(i) Sei <math>D \subseteq \R^n</math> und <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Norm auf dem <math>\R^n</math>. Eine Abbildung <math>g: D \to \R^n</math> heißt <u>Lipschitz-stetig</u> auf <math>D</math> mit <u>(Lipschitz-)Konstante</u> <math>L > 0</math>, wenn gilt: ::(5.18) <math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> :''(ii) Eine Lipschitz-stetige Abbildung <math>g: D \to D</math> mit Konstante <math>L > 0</math> heißt eine <u>Kontraktion</u> auf <math>D</math>, wenn <math>L < 1</math> ist. Sei nun speziell <math>g \in C^1(D, \R^n)</math> für <math>D \subseteq \R^n</math>, wobei wir damit eine Funktion <math>g: D \subseteq \R^n \to \R^n</math> mit ::<math>g(x) = (g_1(x), \ldots, g_n(x))^T, \quad x \in D</math> und stetigen partiellen Ableitungen <math>(\partial g_i/\partial x_j)(x)</math> <math>(i, j = 1, \ldots, n)</math> für alle <math>x \in D</math> meinen. Für ein solches <math>g</math> kann man in der Praxis häufig eine Konstante <math>L</math> wie in (5.18) mittels der ersten Ableitung von <math>g</math> bzw. der Jacobi-Matrix von <math>g</math>, welche durch ::<math>\mathcal J_g(x) := \left( \frac{\partial g_i}{\partial x_j} (x) \right)_{i, j = 1, \ldots, n} = \begin{pmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_1}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_1}{\partial x_n} (x) \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_2}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_2}{\partial x_n} (x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial g_n}{\partial x_1} (x) & \frac{\partial g_n}{\partial x_2} (x) & \ldots & \frac{\partial g_n}{\partial x_n} (x) \end{pmatrix} \in \R^{n \times n}</math> gegeben ist, gewinnen. Dazu definieren wir: === Definition 5.12 === :''Eine Menge <math>D \subseteq \R^n</math> heißt <u>konvex</u>, falls für je zwei Elemente <math>x, y \in D</math> auch die ganze Verbindungsstrecke von <math>x</math> nach <math>y</math> zu <math>D</math> gehört, d. h. falls ::<math>x, y \in D, \quad t \in [0, 1] \Rightarrow tx + (1 - t)y \in D.</math> Damit lässt sich bekanntlich das folgende Lemma aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung ableiten. === Lemma 5.13 - Zusammenhang - Jacobi-Matrix - Lipschitz-Stetigkeit === :''Es sei <math>g \in \mathcal{C}^2(D, \R^n)</math> für eine offene, konvexe Menge <math>D \subseteq \R^n</math> und für eine Konstante <math>L > 0</math> gelte ::<math>\|\mathcal J_g(x)\| \le L, \quad x \in D.</math> :''Dann folgt die Abschätzung ::<math>\|g(x) - g(y)\| \le L \|x - y\|, \quad x, y \in D.</math> Dazu geben wir Beispiele. === Beispiel 5.14 - eindimensionaler Definitionsbereich === (1) Die Funktion <math>f(x) := x^2</math> ist auf <math>[0, 0.4]</math> eine Kontraktion, denn es ist ::<math>f([0, 0.4]) = [0, 0.16] \subseteq [0, 0.4]</math> und mit <math>L := \max_{x \in [0, 0.4]} (2x) = 0.8</math> ::<math>\left| x^2 - y^2 \right| \le 0.8 |x - y|, \quad x, y \in [0, 0.4].</math> (2) Die Funktion <math>f(x) := \sqrt{x}</math> ist auf <math>[0, a]</math> mit <math>a > 0</math> nicht Lipschitz-stetig, denn für <math>y = 0</math> hat man ::<math>\left| \sqrt{x} - \sqrt{0} \right| = \sqrt{x} = \frac 1{\sqrt{x}} (x - 0) = \frac 1{\sqrt{x}} |x - 0|, \quad x \in (0, a]</math> und <math>\lim_{x \to 0} (1/\sqrt{x}) = \infty</math>. Der folgende sog. ''Banachsche Fixpunktsatz'' gibt an, dass die Fixpunktiteration (5.17) konvergiert, und zwar für allgemeines <math>n</math> und ohne Differenzierbarkeitsforderungen an <math>g</math>, wobei als Startvektor alle Elemente <math>x^0</math> der zugrunde gelegten Menge zugelassen sind. Überdies liefert er unter den genannten Voraussetzungen die Existenz eines eindeutigen Fixpunktes. Die geforderte Kontraktionseigenschaft für die Iterationsfunktion <math>g</math> ist allerdings eine relativ starke Voraussetzung. === Satz 5.15 - Banachscher Fixpunktsatz === :''Sei <math>D \subseteq \R^n</math> abgeschlossen und die Abbildung <math>g: D \to D</math> bezüglich der Vektornorm <math>\|\cdot\|: \R^n \to \R_+</math> eine Kontraktion mit Konstante <math>L \in (0, 1)</math>. Dann gilt: :''(i) <math>g</math> besitzt genau einen Fixpunkt <math>x^* \in D</math>. :''(ii) Für jeden Startpunkt <math>x^0 \in D</math> liefert die Fixpunktiteration ::(5.19) <math>x^{k+1} = g(x^k), \quad k = 0, 1, \ldots</math> :''eine Folge <math>(x^k)</math> in <math>D</math>, welche gegen <math>x^*</math> konvergiert und man hat ::(5.20) <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k = 1, 2, \ldots.</math> ==== Beweis. ==== (i) Sind <math>x^*, y^* \in D</math> Fixpunkte von <math>g</math>, so gilt ::<math>\|x^* - y^*\| = \|g(x^*) - g(y^*)\| \le L \|x^* - y^*\|</math> bzw. <math>(1 - L) \|x^* - y^*\| \le 0</math>, was <math>x^* = y^*</math> impliziert. Also besitzt <math>g</math> höchstens einen Fixpunkt. (ii) Sei nun der Startvektor <math>x^0 \in D</math> beliebig und <math>(x^k)</math> bezeichne die damit durch die Fixpunktiteration (5.19) erzeugte Folge. Für <math>x^k \in D</math> ist dann offenbar auch <math>g(x^k) = x^{k+1}</math> in <math>D</math>, so dass <math>x^k \in D</math> <math>(k \in \N_0)</math> folgt. Man hat somit weiter ::<math>\|x^{\ell+1} - x^\ell\| = \|g(x^\ell) - g(x^{\ell-1})\| \le L \|x^\ell - x^{\ell-1}\|, \quad \ell \in \N_0,</math> so dass man die folgenden Abschätzungen für <math>k, n \in \N_0</math> erhält: ::<math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| = \left\| \left( x^{k+1} - x^k \right) + \left( x^{k+2} - x^{k+1} \right) + \ldots + \left( x^{k+n} - x^{k+n-1} \right) \right\|</math> ::<math>= \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \left\| x^{k+2} - x^{k+1} \right\| + \ldots + \left\| x^{k+n} - x^{k+n-1} \right\|</math> ::<math>\le \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + L \left\| x^{k+1} - x^k \right\| + \ldots + L^{n-1} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| = \left( \sum^{n-1}_{\ell=0} L^\ell \right) \left\| x^{k+1} - x^k \right\|</math> ::<math>\le \frac{1 - L^n}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{1}{1 - L} \left\| x^{k+1} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|.</math> Also gilt ::(5.21) <math>\left\| x^{k+n} - x^k \right\| \le \frac{L}{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|, \quad k, n \in \N_0.</math> Demnach ist die Folge <math>(x^k)</math> eine Cauchy-Folge und hat sie als solche einen Grenzwert <math>x^* \in D</math>. Da <math>g</math> nach Voraussetzung (Lipschitz-)stetig ist und die Fixpunktiteration dann, wenn sie konvergiert, gegen einen Fixpunkt konvergiert, ist <math>x^*</math> der (eindeutige) Fixpunkt von <math>g</math>. Der Grenzübergang „<math>n \to \infty</math>“ in (5.21) liefert schließlich die Abschätzung (5.20). q.e.d. Man beachte, dass man unter den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes mindestens lineare Konvergenz für die Fixpunktiteration hat, denn dann gilt ::<math>\left\| x^{k+1} - x^* \right\| = \left\| g(x^k) - g(x^*) \right\| \le L \left\| x^k - x^* \right\|, \quad k \in \N_0,</math> wobei <math>L \in (0, 1)</math> ist. Der Ausdruck ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\|</math> in (5.20) kann, nachdem <math>x^1</math> berechnet wurde, für jedes <math>k \in \N</math> vor Beginn der Iteration bestimmt werden. Er ermöglicht eine a priori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Weiter hat man wegen <math>L \in (0, 1)</math> für eine Abbruchschranke <math>\varepsilon > 0</math> ::<math>\frac{L^k}{1 - L} \left\| x^1 - x^0 \right\| \le \varepsilon \Leftrightarrow k \log(L) \le \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) \Leftrightarrow k \ge a</math> mit ::<math>a := \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L),</math> so dass mit (5.21) folgt: ::<math>k \ge a \Rightarrow \left\| x^{k+1} - x^* \right\| \le \varepsilon.</math> Praktisch ist also spätestens in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> mit ::(5.22) <math>k(\varepsilon) = \lceil a \rceil</math> die Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt, wobei <math>\lceil a \rceil</math> die kleinste ganze Zahl <math>\ge a</math> bezeichnet. Der mittlere Ausdruck in (5.20) kann im <math>k</math>-ten Iterationsschritt bestimmt werden und erlaubt eine a posteriori Fehlerabschätzung für den Approximationsfehler <math>\left\| x^k - x^* \right\|</math>. Praktisch wird für eine gegebene Schranke <math>\varepsilon > 0</math> in Schritt <math>k := k(\varepsilon)</math> abgebrochen, wenn erstmalig ::<math>\frac L{1 - L} \left\| x^k - x^{k-1} \right\| \le \varepsilon</math> erfüllt ist. In diesem Fall genügt <math>x^k</math> der Fehlerabschätzung <math>\left\| x^k - x^* \right\| \le \varepsilon</math>. Wir geben dazu ein Beispiel. === Beispiel 5.16 === Es sei ::<math>f(x) := x - e^{-x}, \quad x \in \R.</math> Dann hat man ::<math>f(x^*) = 0</math> für <math>x^* \approx 0.567\ 143\ 29.</math> Diese Nullstelle <math>x^*</math> soll nun approximativ berechnet werden. Mit ::<math>g(x) := e^{-x}, \quad x \in \R</math> gilt offenbar ::<math>g(x^*) = x^* \Leftrightarrow f(x^*) = 0,</math> so dass wir dazu die Fixpunktiteration <math>x_{k+1} = g(x_k)</math> mit der Iterationsfunktion <math>g</math> anwenden wollen. Dafür müssen wir zunächst die Voraussetzungen von Satz 5.15 überprüfen. Auf dem Intervall <math>D := [0.5, 0.69]</math> ist <math>g</math> monoton fallend und somit ::<math>g(D) = [e^{-0.69}, e^{-0.5}] \subseteq [0.5, 0.61] \subseteq D</math> sowie ::<math>L := \max_{x \in [0.5, 0.69]} |g'(x)| = \max_{x \in [0.5, 0.69]} e^{-x} = e^{-1/2} \approx 0.606\ 531.</math> Also ist <math>g</math> eine Kontraktion. Die folgende Tabelle liefert für den Startwert <math>x_0 := 0.55</math> ausgewählte Iterierte des Verfahrens: ::<math>\begin{array}{c|c||c|c||c|c} k & x_k & k & x_k & k & x_k \\ \hline & & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0.550\ 000\ 00 & 10 & 0.567\ 083\ 94 & 20 & 0.567\ 143\ 09 \\ 1 & 0.576\ 949\ 81 & 11 & 0.567\ 176\ 95 & 21 & 0.567\ 143\ 40 \\ 2 & 0.561\ 608\ 77 & 12 & 0.567\ 124\ 20 & 22 & 0.567\ 143\ 23 \\ 3 & 0.570\ 290\ 86 & 13 & 0.567\ 154\ 12 & 23 & 0.567\ 143\ 32 \\ 4 & 0.565\ 360\ 97 & 14 & 0.567\ 137\ 15 & 24 & 0.567\ 143\ 27 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \end{array}</math> Die Situation soll nun für <math>k = 12</math> genauer betrachtet werden. Die Fehlerabschätzung (5.20) liefert in diesem Fall ::<math>\frac{L^{12}}{1 - L} |x_1 - x_0| = \frac{0.606\ 531^{12}}{1 - 0.606\ 531} 0.026\ 949\ 81 = 1.70 \cdot 10^{-4},</math> ::<math>\frac{L}{1 - L} |x_{12} - x_{11}| = \frac{0.606\ 531}{1 - 0.606\ 531} 0.000\ 052\ 75 = 8.13 \cdot 10^{-5}.</math> Der tatsächliche Fehler ::<math>|x_{12} - x^*| \approx 1.91 \cdot 10^{-5}</math> wird also durch die a posteriori Abschätzung um etwa den Faktor 4 und durch die a priori Abschätzung um etwa den Faktor 9 überschätzt. ==== Praktisches Vorgehen ==== Das praktische Vorgehen soll nun für die spezielle Fehlerschranke <math>\varepsilon = 0.007\ 6</math> illustriert werden. Der (üblicherweise unbekannte) Approximationsfehler unterschreitet diese Schranke bereits für <math>k = 2</math>, denn man hat <math>|x_2 - x^*| \approx 0.005\ 5 \le \varepsilon</math>. Die a posteriori Abschätzung liefert dagegen für <math>k = 4</math> ::<math>|x_4 - x^*| \le \frac{e^{-1/2}}{1 - e^{-1/2}} |0.565\ 360\ 97 - 0.570\ 290\ 86| = 0.007\ 599 \le \varepsilon,</math> also <math>k(\varepsilon) := 4</math> als Stoppzahl, während die a priori Abschätzung in (5.22) mit :<math> a = \log \left( \frac{(1 - L) \varepsilon}{\|x^1 - x^0\|} \right) / \log(L) = \log \left( \frac{\left( 1 - e^{-1/2} \right) 0.007\ 6}{0.576\ 949\ 81 - 0.55} \right) / \log(e^{-1/2}) \approx 4.397 </math> die Vorhersage <math>k(\varepsilon) := 5</math> macht. hk4mshkupme94vqn65clz2oetc6kru0 0 141173 745630 2022-07-22T08:11:35Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Definition|| }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Besselsche Abschätzung/Fakt|Lemma|| || }} Der folgende Satz charakterisiert die vollständigen Orthonormalsysteme. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Orthonormalsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 75h2ovyxqlc0jeyrn33uipm2w9ibcpv 745639 745630 2022-07-22T08:30:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Definition|| }} {{ inputdefinition |Vektorraum/Skalarprodukt/Hilbertbasis/Definition|| }} Die folgende Aussage heißt {{Stichwort|Besselsche Abschätzung|msw=|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Besselsche Abschätzung/Fakt|Lemma|| || }} Der folgende Satz charakterisiert die vollständigen Orthonormalsysteme. {{ inputfaktbeweis |Vektorraum/Skalarprodukt/Orthonormalsystem/Vollständig/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Orthonormalsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 02o1lg5oqlgna6vrubt2r444y17bh8a 14 141174 745632 2022-07-22T08:11:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Textabschnitts-Kategorie unter |Theorie der Orthonormalsysteme| ||}} r5tlc4zcw9r8myw3189emy24molhgyq 0 141175 745636 2022-07-22T08:15:59Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit einem {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= 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Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für jede endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | E |\subseteq| I || || || |SZ= }} schreiben wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | v || \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i + w || || || |SZ= }} und erhalten aufgrund der Orthogonalitätsbeziehungen {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum_{i \in E} {{op:Betrag|{{op:Skalarprodukt|v|v_i}}||}}^2 || \sum_{i \in E} {{op:Betrag|{{op:Skalarprodukt|v|v_i}}||}}^2 {{op:Skalarprodukt| v_i | v_i }} |\leq| \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt| {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i | {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i }} + {{op:Skalarprodukt|w|w}} || {{op:Skalarprodukt| \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i +w| \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i +w}} || {{op:Skalarprodukt|v|v}} || {{op:Norm|v|}}^2 |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} h34587679ay7dde8m70e5rqxxmzubyc 745664 745638 2022-07-22T11:50:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Für jede endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | E |\subseteq| I || || || |SZ= }} schreiben wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | v || \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i + w || || || |SZ= }} und erhalten aufgrund der Orthogonalitätsbeziehungen {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum_{i \in E} {{op:Betrag|{{op:Skalarprodukt|v|v_i}}||}}^2 || \sum_{i \in E} {{op:Betrag|{{op:Skalarprodukt|v|v_i}}||}}^2 {{op:Skalarprodukt| v_i | v_i }} |\leq| \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt| {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i | {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i }} + {{op:Skalarprodukt|w|w}} || {{op:Skalarprodukt| \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i +w| \sum_{i \in E} {{op:Skalarprodukt|v|v_i}} v_i +w}} || {{op:Skalarprodukt|v|v}} || {{op:Norm|v|}}^2 |SZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Familie komplexer Zahlen/Summierbar und nach oben beschränkt/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist die Familie summierbar und ihre Summe ist durch {{math|term= {{op:Norm|v|}}^2 |SZ=}} beschränkt. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} hr45uys3p3q4moqustt2r4ij50d34sh 106 141177 745655 2022-07-22T09:44:23Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki == Lokalkonvex als Spezialfall eines pseudokonveven Raumes == Sei <math display="inline">\mathcal{MPC}_e</math> die Klasse der multiplikativen [[pseudokonvexer Raum|pseudokonvexen]] unitalen Algebren und <math display="inline">A \in \mathcal{MPC}_e</math>. Ein [[w:de:lolalkonvexer Raum|lokalkonvexer]] Raum wird damit als Spezialfall eines [[pseudokonvexer Raum|pseudokonvexen Raumes]] angesehen, wobei jede Halbnorm eine <math>p</math> mit <math>p=1</math> ist. == Multiplikative pseudokonveve Algebraerweiterung == Die [[Algebraerweiterung]] <math display="inline">B\in \mathcal{MPC}_e</math> bzw. <math display="inline">\mathcal{MLC}</math>-Erweiterung von <math display="inline">A</math> benötigt nach [[Algebraerweiterung|Definition]] es einen Algebraisomorphismus <math display="inline">\tau : A \longrightarrow A' \subset B</math> mit: * <math display="inline">\tau(e_{_{A}})=e_{_{B}}</math>, wobei <math display="inline">e_{_{A}}</math> ist das Einselement von <math display="inline">A</math> und <math display="inline">e_{_{B}} \in A'</math> das Einselement von <math display="inline">B</math> ist. * <math display="inline">A</math> ist homöomorph zu <math display="inline">A'</math>; d.h. <math display="inline">\tau</math> und <math display="inline">\tau^{-1}: A' \longrightarrow A</math> sind stetig. === Algebraisomorphismus in den Quotientenräumen === Der Algebraisomorphismus wird über normierte Quotientenalgebren <math> A_\alpha</math> definiert. wobei mit :<math> \tau_\alpha : A_\alpha \to A'_\alpha \subset B_\alpha </math> mit <math> \tau_\alpha (x) = [x]_\alpha \in A'_\alpha </math> bezeichnet und :<math>\tau : A \longrightarrow A' \subset \prod_{\alpha \in \mathcal{A}} A_\alpha \subset \prod_{\alpha \in \mathcal{A}} B_\alpha = B \mbox{ mit } \tau(x):= (\tau_\alpha (x))_{\alpha \in \mathcal{A}} </math> === Algebraerweiterung von MLC-Quotientenalgebren=== [[Datei:Algebra extension embed mpc.png|500px|rahmenlos|alternativtext=Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen Halbnormen]] Embettung in Quotientenräume bzgl. der submultiplikativen [[Halbnorm|Halbnormen]] bzw. [[p-Halbnorm|p-Halbnormen]]. === Algebraisomorphismus - Einbettung in die Algebraerweiterung === * Im allgemeinen identifiziert man <math display="inline">A</math> mit <math display="inline">A'</math> und schreibt <math display="inline">A\subset B</math>. In der jeweiligen Konstruktion der Algebraerweiterung sieht man, dass die Element aus <math>x \in A</math> mit Elementen <math>\tau(x) = x + I \in B</math> in einem Quotientenraum <math>B:= A[t]/I</math> identifiziert werden. * Sei <math display="inline">\mathfrak{U}_{A'} (0)</math> eine Nullumgebungsbasis der [[w:de:Teilraumtopologie|Relativtopologie]] von <math display="inline">B</math> auf <math display="inline">A'</math> und <math display="inline">\mathfrak{U}_{A}(0)</math> eine Nullumgebungsbasis von <math display="inline">A</math>, dann kann man die Homöomorphie zwischen <math display="inline">A</math> und <math display="inline">A'</math> wie immer über die Topologie ausdrücken: :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}_A (0)} \exists_{\displaystyle U\in \mathfrak{U}_{A'}(0)} &:& U \subset V \, \, \, (\tau(U) \subset V) \\ \forall_{\displaystyle U \in \mathfrak{U}_{A'} (0)} \exists_{\displaystyle V \in \mathfrak{U}_{A}(0)} &:& V \subset U \, \, \, (\tau^{-1}(V) \subset U). \end{array} </math> === Stetigkeit über Halbnormen === Betrachtet man die [[Halbnorm|Halbnormen]] <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\widetilde{\mathcal{A}}}</math> und <math display="inline">\left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}} </math> für Nullumgebungen, so lassen sich die oberen beiden Aussagen wie folgt umformulieren (siehe auch [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]): :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\alpha \in \mathcal{A} } \exists_{ \widetilde{\alpha} \in \widetilde{\mathcal{A}} , C_1(\alpha) > 0} \forall_{x \in A } &:& \left\| x \right\|_{\alpha} \leq C_1(\alpha) \cdot \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _A \leq C_1 \cdot \left\| \cdot \right\| _{A'} \circ \tau \\ \forall_{\widetilde{\alpha} \in \mathcal{A} } \exists_{\alpha \in \mathcal{A}, C_2(\widetilde{\alpha}) > 0 } \forall_{ x \in A } &:& \left\| \tau(x) \right\|_{\widetilde{\alpha}} \leq C_2\widetilde{\alpha} \cdot \left\| x\right\|_\alpha \\ \mbox{ bzw. } & & \left\| \cdot \right\| _{A'} \circ \tau \leq C_2 \cdot \left\| \cdot \right\| _A . \end{array} </math> === Konstruktion Algebraisomorphismus === Für die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Konstruktion des Algebraisomorphismus|Konstruktion des Algebraisomorphismus]] geht man wie folgt vor: * (KA1) man konstruiert zunächst einen Algebrahomomorphismus <math>\tau: A \to B</math> und zeigt, dass dieser stetig ist. * (KA2) man zeigt, dass der Algebrahomomorphismus injektiv ist <math>Kern(\tau) = \{0_A\}</math> * (KA3) man definiert mit <math>A':=\tau(A) \subset B</math>, die Umkehrabbildung <math>\tau^{-1} : A' \to A </math> und zeigt, dass <math>\tau^{-1} </math> ebenfalls stetig ist (siehe [[Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen]]). === Verwendung der Charakterisierung B-regulärer Elemente === Wir betrachten zunächst multiplikativ lokalkonvexe kommuntative Algebren <math>(A,\|\cdot\|_{\mathcal{A}})</math> und nutzen die [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|Charakterisierung <math>\mathcal{B}</math>-Regularität]] für die <math>\mathcal{MLC}</math>-Erweiterung von <math>(A,\|\cdot\|_A)</math>. === Halbnormensystem unital positiv === Ohne Einschränkung seien die submultiplikativen Halbnormen [[unital positiv]], d.h. <math>\| e_A \|_\alpha > 0 </math> für alle <math> \alpha \in {\mathcal{A}} </math>. Falls das nicht der Fall ist, geht man zu einem äquivalenten Halbnormensystem über <math>\| e_A \|^{(+)}_{\alpha } > 0 </math> über. Weil <math> (A,\|\cdot\|_{\mathcal{A}}) </math> Hausdorffraum ist, gibt es ein <math>\alpha_o \in \mathcal{A} </math> mit <math>\| e_A \|_{\alpha_o} > 0 </math>. Man definiert dann <math>U_\alpha = B_1^{\alpha} ( 0_A ) \cap B_1^{\alpha_o} ( 0_A ) </math> und :<math>\| x \|^{(+)}_{\alpha } := p_{U_\alpha}(x) = \max \{\| x \|_\alpha , \| x \|_{\alpha_o} \}</math> als [[Minkowski-Funktional]] von <math>U_\alpha</math> und <math>U_\alpha \cdot U_\alpha \subset U_\alpha</math>, da <math>\| \cdot \|_\alpha </math> und damit auch <math>\| \cdot \|_{\alpha_o} </math> submultiplikativ sind. <math>U_\alpha </math> ist eine offene Menge in <math>A</math>, da <math>U_\alpha </math> als Schnitt von zwei offenen Mengen definiert ist und der endliche Schnitt von offenen Mengen in einer Topologie ist wieder offen. ==== Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - unital positiv ==== Zeigen Sie, dass die Halbnormensysteme <math>\|\cdot \|_{\mathcal{A}}</math> und <math>\|\cdot \|^{(+)}_{\mathcal{A}}</math> [[Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)|äquivalente Gaugefunktionalsysteme]] sind! ==== Aufgabe - TNT-Negation und unital positives Halbnormensystem ==== Ohne Einschränkung sei das gegebene Halbnormensystem <math>\|\cdot \|_{\mathcal{A}}</math> auf einer unital positiven <math>\mathcal{MLC}</math>-Algebra <math>A</math>. Ferner sei <math> z \in A </math> kein topologischer Nullteiler (<math> z \notin \mathcal{TNT}(A) </math>). Zeigen Sie, dass für alle <math>\alpha \in \mathcal{A}</math> ebenfalls <math>\| z \|_{\alpha} > 0 </math> gilt. === Topologische Nullteiler in MLC-Algebren === Wenn <math> z \in \mathcal{TNT}(A) </math> erfüllt ist, gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>, sodass für alle <math>\beta \in \mathcal{A} </math> gilt :<math> \inf_{x \in A\, \, \|x\|_\alpha = 1 } \| z \cdot x \|_\beta = 0 </math> ==== Topologische Nullteiler in Quotientenalgebren ==== Damit ist insbesondere für <math>\beta \in \mathcal{A} </math> mit <math> \beta \geq \alpha </math> (d.h. <math> \| x \|_\beta \geq \| x \|_\alpha </math> für alle <math> x \in A </math> die folgende Bedingung erfüllt :<math> \inf_{\|x\|_\beta = 1 } \| z \cdot x \|_\beta = 0. </math> ==== Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 1 ==== Man erhält die folgenden Abschätzung für <math> \gamma \geq \alpha </math>, d.h. <math> \frac{1}{\| x \|_\gamma} \leq \frac{1}{\| x \|_\alpha} </math> für alle <math> \beta \in \mathcal{A} </math> und alle <math> x \in A </math>: :<math> \begin{array}{rcl} 0 & = & \displaystyle \inf_{ \|x\|_\alpha = 1 } \left\| z \cdot x \right\|_\beta = \displaystyle \inf_{ \|x\|_\alpha > 0 } \left\| z \cdot \frac{x}{ \|x\|_\alpha } \right\|_\beta \\ & \geq & \displaystyle \inf_{ \|x\|_\gamma > 0 } \left\| z \cdot \frac{x}{ \|x\|_\alpha } \right\|_\beta \geq \displaystyle \inf_{ \|x\|_\gamma > 0 } \left\| z \cdot \frac{x}{ \|x\|_\gamma } \right\|_\beta \\ & \geq & \displaystyle \inf_{ \|x\|_\gamma = 1 } \left\| z \cdot x \right\|_\beta \geq 0 \\ \end{array} </math> ==== Abschätzung für Eigenschaft in Quotientenalgebren 2 ==== Insgesamt erhält man für <math> z \in \mathcal{TNT}(A) </math> die äquivalente Bedingung: :<math>\exists_{\alpha \in \mathcal{A}} \forall_{\beta \in \mathcal{A}, \, \, \gamma \geq \alpha } \forall_{x \in A} \, \, \displaystyle \inf_{\|x\|_\gamma = 1} \|z \cdot x\|_\beta = 0 .</math> Insbesondere gilt für alle <math>\beta \geq \alpha </math> :<math>\exists_{\alpha \in \mathcal{A}} \forall_{\beta \in \mathcal{A}, \, \, \beta \geq \alpha } \forall_{x \in A} \, \, \displaystyle \inf_{\|x\|_\beta = 1} \|z \cdot x\|_\beta = 0 </math>. ==== TNT-Eigenschaft in Quotientenalgebren ==== Also gibt es mindestens ein <math>\alpha \in \mathcal{A} </math>, sodass für alle <math> \beta \geq \alpha </math> gilt: :<math> z_\beta \in \mathcal{TNT}(A_\beta) = \mathcal{TNT}( A/N_\beta ) </math>. ==== MLC-Singularität 1 ==== Wenn man die <math>\mathcal{MLC}</math>-Singularität betrachtet, gibt es zu jedem <math>\alpha \in \mathcal{A} </math> ein <math>\beta \in \mathcal{A} </math> mit <math> \beta \geq \alpha </math>, sodass <math> z_\beta \notin \mathcal{TNT}(A_\beta) </math> und es gilt mit der Eigenschaft <math> z \notin \mathcal{TNT}(A) </math> erhält man die Eigenschaft: :<math>\forall_{\alpha \in \mathcal{A}} \exists_{\beta \in \mathcal{A}, \, D_{\beta} > 0, \, \gamma \geq \alpha } \forall_{x \in A} \, \, \|x\|_\gamma \leq D_\beta \cdot \| z\cdot x \|_\beta \,\,\, (\ast) </math>. ==== Negation der TNT-Eigenschaft ==== Mit der Eigenschaft <math> z \notin \mathcal{TNT}(A) </math> erhält man zunächst einmal die Abschätzung: :<math>\forall_{\alpha \in \mathcal{A}} \exists_{\beta \in \mathcal{A}, \, D_{\beta} > 0} \forall_{x \in A} \, \, \|x\|_\alpha \leq D_\beta \cdot \| z\cdot x \|_\beta \,\,\, (\ast) </math>. ==== Vergleich zur Charakterisierung der MLC-Singularität ==== Durch die Negation erhält man, dass es zu jedem <math>\alpha \in \mathcal{A} :</math> ein <math>\beta \in \mathcal{A} </math>, in dem <math> z_\beta \in \mathcal{A_\beta} </math> also kein topologischer Nullteiler ist. Diese Negation liefert nach :<math>\forall_{\alpha \in \mathcal{A}} \exists_{\beta_\alpha \in \mathcal{A}, \, D_{\beta_\alpha} > 0} \forall_{x \in A} \, \, \|x\|_\alpha \leq \|x\|_{\beta} \leq D_{\beta} \cdot \| z\cdot x \|_{\beta} \,\,\, (\ast) </math>. ==== Aufgabe - Äquivalenz des Halbnormensystems - TNT ==== Wir definieren darüber nun ein weiteres Halbnormensystem <math>\| \cdot \|_{ \widetilde{\mathcal{A}} } </math> aus submultiplikativen Halbnormen wie folgt über die Eigenschaft von <math> z \in A </math>, kein topologischer Nullteiler zu sein: * <math> \widetilde{\mathcal{A}} \subseteq \mathcal{A} </math> * <math> \beta_\alpha \in \widetilde{\mathcal{A}} </math>, wenn <math> \alpha \in \mathcal{A} </math> und <math> \beta_\alpha \in \mathcal{A} </math> mit <math> D_{\beta_\alpha} > 0 </math> die obige Gleichung <math>(\ast) </math> erfüllt. Zeigen Sie, dass <math>\| \cdot \|_{ \widetilde{\mathcal{A}} } </math> und <math>\| \cdot \|_{ \mathcal{A} } </math> [[Äquivalenz (Gaugefunktionalsysteme)|äquivalente Gaugefunktionalsysteme]] sind === Notation - Produktraum === Sei <math>I\not= \emptyset </math> eine Indexmenge. In der folgenden Charakterisierung der <math>\mathcal{MLC}</math>-Regularität werden Produkträume definiert bzw. als Algebraerweiterung konstruiert. Dabei wird folgende Kurzschreibweise des Produktraumes <math>M</math> verwendet. :<math> M = (M_i)_{i \in I} := \prod_{i \in I} M_i := \{ (x_i)_{ i \in I} :\, x_i \in M_i \text{ für alle } i \in I \} </math> ti4gfrtcx1h2o8dcgch1g44cf6l7ujz 0 141178 745656 2022-07-22T09:45:06Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[P-Halbnorm]] erstellt wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[p-Halbnorm]] kng9uj1h9kih5u56enf39vy7ok2pqiz 106 141179 745657 2022-07-22T09:48:53Z Bert Niehaus 20843 Weiterleitung nach [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale#Definition: pseudokonvexer Vektorraum]] erstellt wikitext text/x-wiki #REDIRECT [[Kurs:Topologische_Invertierbarkeitskriterien/Gaugefunktionale#Definition:_pseudokonvexer_Vektorraum]] cvii33r6cllyfgjp097dg2jq4noeo9x 14 141180 745665 2022-07-22T11:50:36Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=B|Anf2=e|Anf3=s|Besselsche Abschätzung (MSW)}} cfkuwhle038m51uahwclqp82geh913l