Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.39.0-wmf.22 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Gadget Gadget Diskussion Gadget-Definition Gadget-Definition Diskussion 14 31388 746355 208409 2022-07-28T08:25:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der Kurvendiskussion|Extremum |Theorie der Extrema von reellwertigen Funktionen|Reell |Theorie der reellen Funktionen|Extrema}} 4xpos1dcblo4hunn7sagjy4lgcmkmuz 14 32103 746234 204170 2022-07-27T13:56:41Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter |Theorie der komplexen Reihen|Summierbar |Theorie der Summierbarkeit in einem Banachraum‎|Komplexe Zahlen}} tpnfqoouwmf12yfkurv4eut4ylhkgot 0 32116 746235 714548 2022-07-27T13:58:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei zunächst die Familie {{ Definitionslink |summierbar| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Summe {{math|term= s |SZ=,}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Zu {{mathl|term= \epsilon/2 |SZ=}} gibt es eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |E_0 |\subseteq| I || || || |SZ= }} derart, dass für alle endlichen Mengen {{ Ma:Vergleichskette |E |\subseteq| I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |E_0 |\subseteq| E || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|a_E-s|}} |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ= }} gilt. Für jede zu {{math|term= E_0 |SZ=}} {{ Definitionslink |disjunkte| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} endliche Teilmenge {{math|term=D|SZ=}} gilt dann {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Betrag| a_D |}} || {{op:Betrag| a_D +a_{E_0} -s -a_{E_0} +s |}} |\leq| {{op:Betrag| a_D +a_{E_0} - s}} + {{op:Betrag| a_{E_0} - s |}} || {{op:Betrag| a_ {E_0 \cup D} - s}} + {{op:Betrag| a_{E_0} - s |}} |\leq| \epsilon/2 + \epsilon/2 || \epsilon |SZ=, }} so dass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei nun {{ mathbed|term= a_i |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Familie| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} gibt es eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | E_n |\subseteq |I || || || |SZ= }} derart, dass für jede endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |D |\subseteq|I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | E_n \cap D || \emptyset || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|a_D|}} |\leq | 1/n || || || || |SZ= }} gilt. Wir können annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette | E_n |\subseteq| E_{n+1} || || || |SZ= }} für alle {{math|term=n|SZ=}} gilt. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n | {{defeq|}} |a_{E_n} || \sum_{i \in E_n} a_i || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|m |\geq|n || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|x_k-x_m|}} || {{op:Betrag|\sum_{i \in E_k} a_i - \sum_{i \in E_m} a_i |}} || {{op:Betrag| a_{E_k \setminus E_m} |}} |\leq| 1/m |\leq| 1/n || |SZ=, }} da die Menge {{mathl|term= E_k \setminus E_m |SZ=}} disjunkt zu {{math|term= E_m |SZ=}} ist. Daher ist {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit wegen der {{ Definitionslink |Vollständigkeit| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |Refname= {{{def|}}} |SZ= }} gegen ein {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| {{CC}} || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Zwischenbehauptung |Behauptung= Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe {{math|term=s|SZ=}} |SZ0=. |Beweis= Sei dazu ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Es gibt {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | 1/n |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ=. }} Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Betrag|x_n-s|2 }} |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ=. }} Für jedes endliche {{ Ma:Vergleichskette |E |\supseteq| E_n || || || |SZ= }} schreiben wir {{ mathbed|term= E= E_n \cup D |mit|bedterm1= E_n \cap D = \emptyset ||bedterm2= |SZ=. }} Damit gelten die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Betrag| a_E -s |}} || {{op:Betrag| a_{E_n} +a_D -s |}} |\leq| {{op:Betrag| a_{E_n} -s }} + {{op:Betrag| a_D |}} |\leq| \epsilon/2 + \epsilon/2 || \epsilon |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} t3x9fqim3fg0dbvxu5ohhy988754e67 0 32119 746241 701163 2022-07-27T14:06:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ mathbed|term= a_i |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |summierbare Familie| |Kontext=C| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |komplexer Zahlen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette |J |\subseteq|I || || || |SZ= }} eine Teilmenge. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist auch {{ mathbed|term= a_i |,|bedterm1= i \in J ||bedterm2= |SZ=, }} summierbar. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Summierbarkeit (komplexe Zahlen) |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} aolbfbiieu1mgo42sf1b7wpp3yodnab 0 36981 746245 411842 2022-07-27T14:11:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Ein {{ Definitionslink |Teilmengensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{mengensystem|A}} |SZ=}} auf einer Menge {{math|term=M|SZ=}} heißt {{Definitionswort|{{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra|msw=Sigma-Algebra|SZ=,}} wenn folgende Bedingungen erfüllt sind. {{ Aufzählung3 |Es ist {{ Ma:Vergleichskette | M |\in| {{mengensystem|A}} || || || |SZ=. }} |Mit {{ Ma:Vergleichskette | T |\in| {{mengensystem|A}} || || || |SZ= }} gehört auch das {{ Definitionslink |Komplement| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= M \setminus T |SZ=}} zu {{math|term={{mengensystem|A}} |SZ=.}} |Für jede {{ Definitionslink |abzählbare Familie| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ mathbed|term= T_i \in {{mengensystem|A}} ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} ist auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | \bigcup_{i \in I} T_i |\in| {{mengensystem|A}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Mengensysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort= {{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 5mp39smw9m2ifyngh61zrg48ovuye73 0 37113 746256 439073 2022-07-27T14:20:49Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= (M_1, {{mengensystem|A}}_1) {{kommadots|}} (M_n, {{mengensystem|A}}_n) |SZ=}} Mengen mit darauf erklärten {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |Algebren| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann nennt man die von allen {{ Definitionslink |Quadern| |Kontext=Mengensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= S_1 {{timesdots|}} S_n \text{ mit } S_i \in {{mengensystem|A}}_i \text { für alle } i =1 {{kommadots|}} n |SZ= }} auf {{mathl|term= M_1 {{timesdots|}} M_n |SZ=}} {{ Definitionslink |erzeugte| |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Prämath= \sigma |Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} die {{Definitionswort|Produkt-|msw=Produkt-Sigma-Algebra|SZ=}}{{math|term=\sigma|SZ=-}}{{Definitionswort|Algebra|msw=Produkt-Sigma-Algebra|SZ=}} der {{ mathbed|term= (M_i, {{mengensystem|A}}_i) ||bedterm1= i = 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=. }} |Notationszusatz=Sie wird mit {{mathl|term= {{mengensystem|A}}_1 {{tensordots|}} {{mengensystem|A}}_n |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Produkt-{{math|term=\sigma|SZ=-}}Algebra |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ng90vpylk8dwd56cbq86e0tpls3pyf8 0 37114 746259 447667 2022-07-27T14:23:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{mathl|term= (M_1, {{mengensystem|P}}_1) {{kommadots|}} (M_n, {{mengensystem|P}}_n) |SZ=}} Mengen mit darauf erklärten {{ Definitionslink |Präringen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann besteht der {{ Definitionslink |Produkt-Präring| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} aus allen endlichen {{ Definitionslink |Prämath= |disjunkten Vereinigungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{ Definitionslink |Quadern| |Kontext=Mengensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Abfrage=Beschreibung des Produkt-Präringes |Autor= |Bearbeitungsstand= }} pkidohs875pfy8lp8p4sjakrsn7madn 0 37206 746266 511752 2022-07-27T14:38:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie=Es sei {{ Ma:Vergleichskette | V || \biguplus_{n \in \N} V_n || || || |SZ= }} eine abzählbare disjunkte Vereinigung, wobei {{ mathkor|term1= V |und die|term2= V_n |SZ= }} endliche disjunkte Vereinigungen von Quadern sind. Wir müssen {{ Ma:Vergleichskette | \mu(V) || \sum_{n \in \N} \mu (V_n) || || || |SZ= }} zeigen. Dies kann man direkt auf den Fall zurückführen, wo {{ mathkor|term1= V=Q |und|term2= V_n = Q_n |SZ= }} Quader sind. |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Zu einer Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{T|T}}} | \subseteq | M \times N || || || |SZ= }} und zu {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| M || || || |SZ= }} betrachten wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{T|T}}}(x) || {{Mengebed|y \in N|(x,y) \in {{{T|T}}} }} || || || |SZ=. }} Wenn {{math|term= {{{T|T}}} |SZ=}} zum Produkt-Präring gehört, also eine endliche disjunkte Vereinigung von Quadern ist, so gehören diese Mengen zu {{math|term= {{mengensystem|R}} |SZ=,}} da sie eine endliche Vereinigung gewisser {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=N|SZ=-}}| |ISZ=|ESZ= }}Seiten dieser Quader sind. Zu einer positiven reellen Zahl {{math|term= a |SZ=}} kann man die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{T|T}}}^{a} ||{{mengebed|x \in M| \rho( {{{T|T}}}(x) ) {{=|}} a}} || || || |SZ= }} betrachten. Dies Menge ist wiederum eine endliche Vereinigung von {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=M|SZ=-}}| |ISZ=|ESZ= }}Seiten der beteiligten Quader und gehört somit zu {{math|term= {{mengensystem|P}} |SZ=.}} Weiterhin kann {{ Ma:Vergleichskette | {{{T|T}}}^{a} |\neq| \emptyset || || || |SZ= }} nur für endlich viele Werte {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| \R || || || |SZ= }} sein, nämlich nur für die Teilsummen der Werte des Prämaßes {{math|term= \rho |SZ=}} der {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=N|SZ=-}}| |ISZ=|ESZ= }}Seiten der beteiligten Quader. Mit diesen Notationen gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp |\mu({{{T|T}}}) || \sum_{a \in \R_+} \pi ( {{{T|T}}}^{a} ) \cdot a || || || |SZ=, }} da dies für jeden Quader gilt und daraus durch Aufsummieren folgt. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei also nun {{ Ma:Vergleichskette | Q || \biguplus_{n \in \N} Q_n || || || |SZ= }} eine abzählbare Zerlegung in Quader. Wir müssen {{ Ma:Vergleichskette/aligndirekt |\mu(Q) || \sum_{n \in \N} \mu(Q_n) || {{op:Folgenlimes|Glied=\sum_{i {{=|}} 0}^n \mu(Q_i)}} || {{op:Folgenlimes|Glied= \mu(Q_0 {{uplusdots|}} Q_n)}} || |SZ= }} zeigen. Nach Übergang zu den Komplementen in {{math|term= Q |SZ=}} ist dies äquivalent damit, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Folgenlimes|Glied=\mu({{{T|T}}}_n)}} || 0 || || || |SZ= }} ist für {{ Ma:Vergleichskette | {{{T|T}}}_n || Q \setminus (Q_0 {{uplusdots|}} Q_n) || || || |SZ=. }} Es ist {{mathl|term= {{{T|T}}}_n \downarrow \emptyset|SZ=,}} und damit ist auch {{mathl|term= {{{T|T}}}_n(x) \downarrow \emptyset |SZ=}} für jedes {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| M || || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Prämaß/Rechenregeln/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Folgenlimes|Glied= \rho( {{{T|T}}}_n(x)) }} || 0 || || || |SZ=. }} Zu {{ Ma:Vergleichskette | \delta |>| 0 || || || |SZ= }} definieren wir {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{{T|T}}}_n^{ \geq \delta} || {{mengebed|x \in M| \rho ({{{T|T}}}_n(x)) \geq \delta }} || \bigcup_{a \geq \delta } {{{T|T}}}_n^{ a} || || |SZ=. }} Da für jedes {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| M || || || |SZ= }} die Folge {{mathl|term= \rho ({{{T|T}}}_n(x)) |SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=}} konvergiert, schrumpft die Mengenfolge {{mathl|term= {{{T|T}}}_n^{ \geq \delta} |SZ=}} für jedes {{ Ma:Vergleichskette | \delta |>| 0 || || || |SZ= }} gegen {{math|term= \emptyset |SZ=.}} Daraus folgt, wieder mit {{ Faktlink ||Faktseitenname= Prämaß/Rechenregeln/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} dass {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Folgenlimes|Glied=\pi({{{T|T}}}_n^{\geq \delta}) }} || 0 || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Seien nun {{ Ma:Vergleichskette | \delta, \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} gegeben. Zu {{math|term= \epsilon |SZ=}} gibt es ein {{math|term= n_0 |SZ=}} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \pi({{{T|T}}}_n^{\geq \delta}) | \leq | \epsilon || || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | n |\geq| n_0 || || || |SZ=. }} Für diese {{math|term= n |SZ=}} hat man dann insgesamt die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/aligndirekt | \mu({{{T|T}}}_n) || \sum_{a \in \R_+} \pi ({{{T|T}}}_n^{a} ) \cdot a || {{makl| \sum_{a < \delta } \pi ({{{T|T}}}_n^{a} ) \cdot a |}} + {{makl| \sum_{\rho(N) \geq a \geq \delta } \pi ({{{T|T}}}_n^{a} ) \cdot a |}} |\leq| {{makl| \sum_{a < \delta } \pi ({{{T|T}}}_n^{a} ) \cdot a |}} + {{makl| \sum_{\rho(N) \geq a \geq \delta } \pi ({{{T|T}}}_n^{a} ) |}} \rho(N) |\leq| \pi(M) \cdot \delta + \epsilon \cdot \rho(N) || |SZ=. }} Da nach Voraussetzung {{ mathkor|term1= \pi(M) |und|term2= \rho(N) |SZ= }} endlich sind, kann man den letzten Term durch geeignete Wahl von {{ mathkor|term1= \delta |und|term2= \epsilon |SZ= }} beliebig klein machen. Daher konvergiert {{mathl|term= \mu({{{T|T}}}_n) |SZ=}} gegen {{math|term= 0 |SZ=.}} |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} k6g501h4bfapdeahxwpzsn8sxi3cfu3 0 37210 746262 404381 2022-07-27T14:26:54Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{math|term=n|SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endliche| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |Maßräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M_1, {{mengensystem|A}}_1, \mu_1) {{kommadots|}} (M_n, {{mengensystem|A}}_n, \mu_n) |SZ=}} gegeben. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gibt es genau ein {{ Zusatz/Klammer |text= {{math|term=\sigma|SZ=-}}endliches| |ISZ=|ESZ= }} Maß {{math|term=\mu|SZ=}} auf der {{ Definitionslink |Produkt| |Kontext=Sigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=- }}{{ Definitionslink |Prämath=\sigma|Algebra| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{mengensystem|A}}_1 {{tensordots|}} {{mengensystem|A}}_n |SZ=,}} das für alle messbaren Quader {{ Zusatz/Klammer |text=deren Seiten endliches Maß besitzen| |ISZ=|ESZ= }} den Wert {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu(T_1 {{timesdots}} T_n ) || \mu_1(T_1) {{cdots|}} \mu_n(T_n) || || || |SZ= }} besitzt. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Faktname=Produktsatz für Maße |Stichwort= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} phkmew37dx6h2trivlqou1wwwvrnzer 0 37263 746252 229101 2022-07-27T14:15:51Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{mathl|term=M,N_1,N_2|SZ=}} {{ Definitionslink |Messräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es seien {{ Ma:abb |name=f_1 |M|N_1 || |SZ= }} und {{ Ma:abb |name=f_2 |M|N_2 || |SZ= }} {{ Definitionslink |messbare Abbildungen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist auch die Abbildung {{ Ma:abbele/disp |name= (f_1,f_2) |M| N_1 \times N_2 |x| (f_1(x), f_2(x)) |SZ=, }} messbar. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der messbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7vi0gq2dxswt96qrmp72rdrmb6yzof4 0 37280 746270 448866 2022-07-27T14:44:58Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Sei {{math|term= M |SZ=}} eine Menge und {{ Ma:abb/disp |name=f |M| {{op:abschlussnum|\R|}}_{\geq 0} || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |nichtnegative Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann nennt man die Menge {{ Ma:Vergleichskette/disp | S(f) || {{mengebed|(x,y) \in M \times {{op:abschlussnum|\R|}}|0 \leq y \leq f(x)}} || || || |SZ= }} den {{Definitionswort|Subgraphen|msw=Subgraph|SZ=}} der Funktion. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie des Graphen einer Abbildung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Subgraph |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ptjzwwmjtcycpdbwrmijuah3xxxgooh 0 37314 746271 540509 2022-07-27T14:45:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= {{Sigmaendlicher Maßraum/Messbare numerische nichtnegative Funktion/Situation||SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann gilt für jedes {{ Ma:Vergleichskette | a |\in| \R_{\geq 0} || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integralmaß|f|M}} |\geq| a \cdot \mu {{mengebed|x \in M|f(x) \geq a}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Die Tschebyschow-Abschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Tschebyschow-Abschätzung |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} f2p98zqriv80qw92tw5nowr0he5o7z1 0 37371 746253 403965 2022-07-27T14:17:20Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= (M, {{mengensystem|A}} ) |und|term2= (N, {{mengensystem|B}}) |SZ= }} {{ Definitionslink |Messräume| |Kontext=sigma| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ={{{SZ|}}} }} und {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| M \times N || || || |SZ= }} eine {{ Definitionslink |messbare Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{ Definitionslink |Produktes| |Kontext=Messraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= (M \times N, {{mengensystem|A}} \otimes {{mengensystem|B}}) |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann sind für jedes {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| N || || || |SZ= }} und jedes {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| N || || || |SZ= }} die Mengen {{ mathkor/disp|term1= T (x) = {{mengebed|y \in N|(x,y) \in T}} |und|term2= T (y) = {{mengebed|x \in M|(x,y) \in T}} |SZ= }} messbar in {{ mathkor|term1= M |bzw. in|term2= N |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Querschnittsmenge |Faktname= |Abfrage=Längsschnittsmenge und Querschnittsmenge |Autor= |Bearbeitungsstand= }} a6tdm6rv6ur9slxkxdy101si1lqlrd3 0 37424 746283 604647 2022-07-27T15:00:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beispiel{{{opt|}}} |Text= Wir wollen das Volumen einer {{math|term=n|SZ=-}}dimensionalen abgeschlossenen Kugel vom Radius {{math|term= r |SZ=}} berechnen, also von {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_n(r) || {{mengebed|x \in \R^n| {{op:Norm|x|}} \leq r }} || || || |SZ=. }} Wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gilt dabei {{ Ma:Vergleichskette | \lambda^n (B_n(r)) || r^n \lambda^n ( B_n(1)) || || || |SZ=, }} d.h. es geht im Wesentlichen darum, das Volumen der Einheitskugel auszurechnen. Ihr Volumen bezeichnen wir mit {{ Ma:Vergleichskette | \beta_n || \lambda^n(B_n(1)) || || || |SZ=. }} Zur Berechnung gehen wir induktiv vor {{ Zusatz/Klammer |text=es ist {{ Ma:Vergleichskette/k | \beta_1 || 2 || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ=. }} Wir betrachten {{ Ma:Vergleichskette/disp | B_n | \subseteq | \R^{n-1} \times \R || || || |SZ=. }} Für jedes fixierte {{ mathbed|term= h ||bedterm1= -1 \leq h \leq 1 ||bedterm2= |SZ=, }} kann man den Querschnitt als {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | B_n (h) || {{mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{n-1}) \in \R^{n-1} | (x_1 {{kommadots|}} x_{n-1}, h) \in B_n }} || {{mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{n-1} ) \in \R^{n-1} |x_1^2 {{plusdots|}} x_{n-1}^2 +h^2 \leq 1 }} || {{mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_{n-1}) \in \R^{n-1} |x_1^2 {{plusdots|}} x_{n-1}^2 \leq 1 -h^2 }} || B_{n-1} {{makl| 0, \sqrt{ 1-h^2 } |}} |SZ= }} schreiben, d.h. als eine {{math|term=(n-1)|SZ=-}}dimensionale Kugel vom Radius {{mathl|term= \sqrt{ 1-h^2 } |SZ=.}} Aufgrund {{ Faktlink |Präwort=des|Cavalieri-Prinzips|Faktseitenname= Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette/align |\beta_{n} || \lambda^{n} (B_{n}(1)) || {{makl| \lambda^{n-1} \otimes \lambda^1 |}} (B_{n}(1)) || {{op:Integralmaß| \lambda^{n-1} {{makl| B_{n-1}( \sqrt{1-h^2}) |}} |[-1,1] | \lambda^1}} || {{op:Integralmaß| {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} \lambda^{n-1} {{makl| B_{n-1}(1) |}} |[-1,1] | \lambda^1}} || \lambda^{n-1} {{makl| B_{n-1}(1) |}} \cdot {{op:Integralmaß| {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} |[-1,1] | \lambda^1}} || \beta_{n-1} \cdot {{op:Integralmaß| {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} |[-1,1] | \lambda^1}} |SZ=. }} Dabei können wir das Integral rechts wegen {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann-integrierbare Funktion/Ist Maß-integrierbar/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink ||Faktseitenname= Riemann-Integral/Hauptsatz/Newton-Leibniz/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} über {{ Definitionslink |Stammfunktionen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ausrechnen. Die {{ Faktlink |Substitution|Faktseitenname= Integration/Substitutionsregel/dx Version/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | h || {{op:sin|t|}} || || || |SZ= }} liefert {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Integral|-1|1|grand= {{makl| \sqrt{1-h^2} |}}^{n-1} ||h}} || {{op:Integral|- {{op:Bruch|\pi|2}} |{{op:Bruch|\pi|2}}|grand={{op:cos|t|pot=n|}} |t}} || 2 {{op:Integral|0| {{op:Bruch|\pi|2}}|grand={{op:sin|t|pot=n|}} |t}} || || |SZ=. }} Im [[Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt/Beweis|Beweis]] zu {{ Faktlink ||Faktseitenname= Darstellung von pi/Wallis-Produkt/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} wurden diese Integrale berechnet; mit {{ Ma:Vergleichskette | a_n || {{op:Integral|0 |{{op:Bruch|\pi|2}}|grand={{op:sin|t|pot=n|}} |t}} || || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | a_n || \begin{cases} {{op:Bruch|(n-1)(n-3)\cdots 3 \cdot 1|n(n-2) \cdots 4 \cdot 2 }} \cdot {{op:Bruch|\pi|2}} \text{ bei } n \text{ gerade } \geq 2\, , \\ {{op:Bruch|(n-1)(n-3)\cdots 4 \cdot 2|n(n-2) \cdots 5 \cdot 3 }} \text{ bei } n \text{ ungerade} \, . \end{cases} || || || |SZ= }} Mit diesen Formeln und der Rekursionsvorschrift {{ Ma:Vergleichskette | \beta_n || 2 \beta_{n-1} a_n || || || |SZ= }} kann man schließlich mit Hilfe der {{ Definitionslink |Fakultätsfunktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das Kugelvolumen als {{ Ma:Vergleichskette/disp | \beta_n || {{op:Bruch|\pi^{n/2}| {{op:Fak(|n/2|}} }} || || || |SZ= }} schreiben. Diese Formel ergibt sich durch Induktion aus {{ Faktlink ||Faktseitenname= Fakultätsfunktion/Reell/Elementare Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Textart=Beispiel |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie=Die Einheitskugel |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} gcjc73c9j41mzcccnzss5mi8348h4me 0 37449 746281 508690 2022-07-27T14:54:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:Vergleichskette | B |\subseteq | \R^n || || || |SZ= }} {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette | P |\in| \R^{n+1} || || || |SZ= }} ein Punkt und {{math|term= K_B |SZ=}} der zugehörige {{ Definitionslink |Kegel| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Es sei {{ Ma:Vergleichskette | h || P_{n+1} || || || |SZ= }} die letzte Koordinate von {{math|term=P|SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{math|term= K_B |SZ=}} ebenfalls messbar, und es gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^{n+1} {{makl| K_B |}} || {{op:Bruch|1|n+1}} \lambda^{n} (B) \cdot {{op:Betrag|h|}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie des Borel-Lebesgue-Maßes |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage=Kegelvolumen |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 30jwbx8qqwxg8zdmcwrl671j4vot7g5 0 37450 746282 508961 2022-07-27T14:56:14Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Bei {{ Ma:Vergleichskette | h || 0 || || || |SZ= }} liegt der gesamte Kegel in {{math|term= \R^n |SZ=}} und sein {{math|term= \lambda^{n+1} |SZ=-}}Maß ist {{math|term= 0 |SZ=}} nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} sei also {{ Ma:Vergleichskette | h |\neq| 0 || || || |SZ=. }} Der Durchschnitt von {{ Ma:Vergleichskette | K || K_B || || || |SZ= }} mit der durch {{ Ma:Vergleichskette | x_{n+1} || t || || || |SZ=, }} {{math|term=t|SZ=}} zwischen {{ mathkor|term1= 0 |und|term2= h |SZ=, }} gegebenen {{ Definitionslink |Hyperebene| |Kontext=affin| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/align | K(t) || {{Mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_n)|(x_1 {{kommadots|}} x_n, t) \in K_B }} || {{Mengebed|(x_1 {{kommadots|}} x_n)| (x_1 {{kommadots|}} x_n,t) {{=}} P+ {{op:Bruch|(h-t)| h }} (Q-P)|Q \in B}} || || |SZ=. }} Wegen der {{ Definitionslink |Translationsinvarianz| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und {{ Faktlink ||Faktseitenname= Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Streckung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist dessen Volumen gleich {{mathl|term= {{op:Betrag|{{op:Bruch|h-t|h}}||}}^n \lambda^n(B) |SZ=.}} Nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Cavalieri-Prinzip|Faktseitenname= Produkt von sigmaendlichen Maßräumen/Integration über Querschnittsmaß/Cavalieri/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist also {{ Zusatz/Klammer |text=mit {{ Ma:Vergleichskette/k | s || h-t || || || |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align |\lambda^{n+1} (K_B) || {{op:Integral|0| {{op:Betrag|h|}}|grand= \lambda^n(K(s)) ||s }} || {{op:Integral|0| {{op:Betrag|h|}}|grand= \lambda^n(B) \cdot {{makl| {{op:Bruch|s| {{op:Betrag|h}} }} |}}^n | |s }} || \lambda^n(B) \cdot {{op:Bruch|1| {{op:Betrag|h||}} ^n}} \cdot {{op:Integral|0| {{op:Betrag|h|}}|grand= s^n | |s }} || \lambda^n(B) \cdot {{op:Bruch|1| {{op:Betrag|h|}}^n}} \cdot {{op:Bruch|1|n+1}} {{op:Betrag|h|}}^{n+1} || \lambda^n(B) \cdot {{op:Bruch|1|n+1}} \cdot {{op:Betrag|h|}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort=Kegel |Autor= |Bearbeitungsstand= }} jtc8vyeeau0in7frbtjc9jv10wcopkg 0 37937 746279 740374 2022-07-27T14:52:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R_{\geq 0} |t|f(t) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |nichtnegative| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |messbare Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | K |\subseteq| \R^3 || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Rotationskörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Subgraphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} um die {{math|term= x |SZ=-}}Achse. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt {{math|term=K|SZ=}} das Volumen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^3(K) || \pi \cdot {{op:Integralmaß|(f(t))^2|[a,b]|\lambda|var=t}} ||\pi \cdot {{op:Integral|a|b|grand=(f(t))^2||t}} || || |SZ=, }} wobei für die zweite Formel {{math|term= f |SZ=}} als {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorausgesetzt sei. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Volumen eines Rotationskörpers |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6agz7nblm5ewtq6hiewx7h2czu4gp2n 746284 746279 2022-07-27T15:00:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{ Ma:abbele/disp |name=f |[a,b]|\R_{\geq 0} |t|f(t) |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |nichtnegative| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Definitionslink |messbare Funktion| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und sei {{ Ma:Vergleichskette | K |\subseteq| \R^3 || || || |SZ= }} der {{ Definitionslink |Rotationskörper| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} zum {{ Definitionslink |Subgraphen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= f |SZ=}} um die {{math|term= x |SZ=-}}Achse. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann besitzt {{math|term=K|SZ=}} das Volumen {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda^3(K) || \pi \cdot {{op:Integralmaß|(f(t))^2|[a,b]|\lambda|var=t}} ||\pi \cdot {{op:Integral|a|b|grand=(f(t))^2||t}} || || |SZ=, }} wobei für die zweite Formel {{math|term= f |SZ=}} als {{ Definitionslink |stetig| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vorausgesetzt sei. |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname=Volumen eines Rotationskörpers |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6fo5w7c8dvjnbrdp7rhqm1mv7d0jbm7 0 38026 746257 241311 2022-07-27T14:21:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es seien {{ mathkor|term1= (M, {{mengensystem|A|}} ) |und|term2= (N, {{mengensystem|B|}} ) |SZ= }} {{ Definitionslink |Messräume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und es sei {{mathl|term= (M \times N, {{mengensystem|A|}} \otimes {{mengensystem|B|}}) |SZ=}} die {{ Definitionslink |Produktmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Produkt-{{ Definitionslink |Prämath=\sigma |Algebra| |Kontext=Produktsigmaalgebra| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Folgerung=Dann sind die {{ Definitionslink |Projektionen| |Kontext=Produkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ math/disp|term= p_1: M \times N \longrightarrow M \text{ und } p_2 : M \times N \longrightarrow N |SZ= }} {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der messbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} i4l118mrs0dwtjdtx78a5p5ctusl47n 0 38027 746258 459933 2022-07-27T14:22:44Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Dies folgt direkt daraus, dass zu einer {{ Definitionslink |messbaren Teilmenge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| N || || || |SZ= }} die Urbildmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | p_2^{-1} (T) || M \times T || || || |SZ= }} ein {{ Definitionslink |Prämath= |Quader| |Kontext=Mengensystem| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist und daher nach Definition zu {{mathl|term= {{mengensystem|A}} \otimes {{mengensystem|B}} |SZ=}} gehört. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Theorie der messbaren Abbildungen |Kategorie2=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 852fwqld58imjghjdkxecal0yw64gnr 0 38046 746254 459934 2022-07-27T14:19:06Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen, dass für jedes {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| N || || || |SZ= }} die Inklusionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\iota_y | M | M \times N | x | (x,y) |SZ=, }} {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Teilstrategie= |Teilbeweis= Dazu genügt es nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} die Urbilder von messbaren Mengen der Form {{ Ma:Vergleichskette | A \times B | \subseteq | M \times N || || || || |SZ= }} zu betrachten. Für eine solche Menge gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \iota_y^{-1} (A \times B) || {{mengebed|x \in M|(x,y) \in A \times B}} || || || |SZ=, }} und dies ist leer, falls {{ Ma:Vergleichskette | y |\notin| B || || || |SZ= }} und gleich {{math|term=A|SZ=,}} falls {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| B || || || |SZ=. }} So oder so ist sie also eine messbare Teilmenge. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Für eine beliebige Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | T |\subseteq | M \times N || || || |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp | T(y) || {{mengebed|x \in M|(x,y) \in T|}} || \iota_y^{-1}(T) || || |SZ= }} messbar. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} silshg0hw9mkl8594t866xrsg156cy2 746255 746254 2022-07-27T14:19:21Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=Wir zeigen, dass für jedes {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| N || || || |SZ= }} die Inklusionsabbildung {{ Ma:abbele/disp |name=\iota_y | M | M \times N | x | (x,y) |SZ=, }} {{ Definitionslink |messbar| |Kontext=Abbildung| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} ist. |Teilstrategie= |Teilbeweis= Dazu genügt es nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Messbare Abbildungen/Messbarkeitskriterium/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} die Urbilder von messbaren Mengen der Form {{ Ma:Vergleichskette | A \times B | \subseteq | M \times N || || || || |SZ= }} zu betrachten. Für eine solche Menge gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | \iota_y^{-1} (A \times B) || {{mengebed|x \in M|(x,y) \in A \times B}} || || || |SZ=, }} und dies ist leer, falls {{ Ma:Vergleichskette | y |\notin| B || || || |SZ= }} und gleich {{math|term=A|SZ=,}} falls {{ Ma:Vergleichskette | y |\in| B || || || |SZ=. }} So oder so ist sie also eine messbare Teilmenge. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Für eine beliebige Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq | M \times N || || || |SZ= }} ist daher {{ Ma:Vergleichskette/disp | T(y) || {{mengebed|x \in M|(x,y) \in T|}} || \iota_y^{-1}(T) || || |SZ= }} messbar. |Teilabschluss= }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Theorie der Mengensysteme auf Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} etu14d24xzxysbm5vv2apalavcd9je6 0 38484 746264 404382 2022-07-27T14:28:03Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es seien {{mathl|term= (M_1, {{mengensystem|A}}_1, \mu_1) {{kommadots|}} (M_n, {{mengensystem|A}}_n, \mu_n) }} {{ Definitionslink |Prämath=\sigma |endliche Maß{{latextrenn|}}räume| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Dann nennt man das in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Produktmenge/Endlich/Produkt-Prämaß/Wohldefiniertheit/Eigenschaften/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink ||Faktseitenname= Maßtheorie/Existenz/Produktmaß/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} konstruierte {{ Definitionslink |Maß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} das {{Definitionswort|Produktmaß|SZ=}} auf {{mathl|term= M_1 {{timesdots|}} M_n|SZ=.}} |Notationszusatz=Es wird mit {{mathl|term= \mu_1 {{tensordots|}} \mu_n |SZ=}} bezeichnet. |Textart=Definition |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Produkt-Maß |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} fy32cuupl52pct1eo4voids1c4j09na 0 68714 746265 459939 2022-07-27T14:31:37Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie=Wir beschränken uns im Beweis auf zwei Mengen {{ mathkor|term1= (M, {{mengensystem|P}} , \pi) |und|term2= (N, {{mengensystem|R}} , \rho) |SZ=, }} die allgemeine Aussage folgt daraus durch Induktion. |Notation= |Beweis= Seien {{ Ma:Vergleichskette/disp |V ||\biguplus_{i \in I} Q_i ||\biguplus_{j \in J} L_j || || |SZ= }} zwei Darstellungen einer Menge {{ Ma:Vergleichskette | V | \subseteq | M \times N || || || || |SZ= }} als endliche disjunkte Vereinigung von Quadern. Wir müssen {{ Ma:Vergleichskette | \sum_{i \in I} \mu(Q_i) || \sum_{j \in J} \mu(L_j) || || || |SZ= }} zeigen. Für jeden Quader {{math|term= Q_i |SZ=}} ist insbesondere {{ Ma:Vergleichskette | Q_i | \subseteq | \bigcup_{j \in J} L_j || || || || |SZ=. }} Damit ist auch {{ Ma:Vergleichskette/disp | Q_i || Q_i \cap {{makl| \biguplus_{j \in J} L_j |}} || \biguplus_{j \in J} {{makl| Q_i \cap L_j |}} || || |SZ=. }} Nach {{ Faktlink ||Faktseitenname= Produktmenge/Endlich/Quaderbeschreibung des Produkt-Präringes/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} sind die Durchschnitte rechts selbst Quader. Damit erhalten wir eine dritte Darstellung von {{math|term= V |SZ=,}} die beide Darstellungen verfeinert. Daher können wir gleich annehmen, dass jedes {{math|term= L_j |SZ=}} Teilmenge eines {{math|term= Q_i |SZ=}} ist. Dann ist insbesondere {{ Ma:Vergleichskette | Q_i || \biguplus_{j \in J_i} L_{j} || || || |SZ= }} mit einer gewissen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | J_i | \subseteq | J || || || |SZ=, }} wobei die {{math|term= J_i |SZ=}} für verschiedene {{math|term= i |SZ=}} disjunkt sind. Es genügt also, für einen Quader {{ Ma:Vergleichskette/disp | Q || A \times B || \biguplus_{j \in J} L_j || || |SZ= }} die Gleichheit {{ Ma:Vergleichskette/disp | \mu(Q) || \sum_{j \in J} \mu(L_j) || || || |SZ= }} zu zeigen. Da {{math|term= J |SZ=}} endlich ist, sind überhaupt nur endlich viele Seiten {{math|term=S_j|SZ=}} aus {{math|term= {{mengensystem|P}} |SZ=}} und {{math|term= T_j |SZ=}} aus {{math|term= {{mengensystem|R}} |SZ=}} an diesen überdeckenden Quadern beteiligt. Aus diesen Seiten kann man ein Mengensystem {{mathl|term= {{mengensystem|S}} |SZ=}} bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der {{math|term= S_j |SZ=}} und ihrer Komplemente {{mathl|term= A \setminus S_j |SZ=}} besteht, und ein Mengensystem {{mathl|term= {{mengensystem|T}} |SZ=}} bilden, das aus allen möglichen feinsten Durchschnitten der {{math|term= T_j |SZ=}} und ihrer Komplemente {{mathl|term= B \setminus T_j |SZ=}} besteht. Diese Mengen sind disjunkt und seien mit {{ mathbed|term= S_\lambda ||bedterm1= \lambda \in \Lambda ||bedterm2= |SZ=, }} und {{ mathbed|term= T_\gamma ||bedterm1= \gamma \in \Gamma ||bedterm2= |SZ=, }} bezeichnet {{ Zusatz/Klammer |text=das bedeutet, dass wir ein {{Anführung|Raster}} einführen| |ISZ=|ESZ=. }} Damit kann man jeden Quader {{mathl|term= L_j |SZ=}} als eine endliche disjunkte Vereinigung aus Quadern der Form {{mathl|term= S_\lambda \times T_\gamma |SZ=}} schreiben, und zwar als {{ Ma:Vergleichskette/disp |L_j || {{makl| \biguplus_{\lambda \in \Lambda_j} S_\lambda |}} \times {{makl| \biguplus_{\gamma \in \Gamma_j} T_\gamma |}} || \biguplus_{(\lambda, \gamma) \in \Lambda_j \times \Gamma_j } S_\lambda \times T_\gamma || || |SZ=, }} und jeder dieser Quader kommt in genau einem {{math|term= L_j |SZ=}} vor. Insgesamt ergibt sich {{ Ma:Vergleichskette/aligndirekt |\mu(Q) || \pi (A) \cdot \rho (B) || \pi {{makl| \biguplus_{\lambda \in \Lambda} {{{S|S}}}_\lambda |}} \cdot \rho {{makl| \biguplus_{ \gamma \in \Gamma } {{{T|T}}}_\gamma |}} || {{makl| \sum_{\lambda \in \Lambda} \pi ({{{S|S}}}_\lambda ) |}} \cdot {{makl| \sum_{ \gamma \in \Gamma } \rho( {{{T|T}}}_\gamma) |}} || \sum_{ (\lambda, \gamma) \in \Lambda \times \Gamma } \pi ({{{S|S}}}_\lambda) \cdot \rho ({{{T|T}}}_\gamma) || \sum_{j \in J} {{makl| \sum_{ (\lambda, \gamma) \in \Lambda_j \times \Gamma_j} \pi ({{{S|S}}}_\lambda ) \cdot \rho ( {{{T|T}}}_\gamma) }} || \sum_{j \in J} {{makl| \sum_{ \lambda \in \Lambda_j} \pi ({{{S|S}}}_\lambda ) }} \cdot {{makl| \sum_{ \gamma \in \Gamma_j} \rho ( {{{T|T}}}_\gamma) |}} || \sum_{j \in J} \mu(L_j ) |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Maßtheorie für Produktmengen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} c0jzyeevnbwgp88z60ofilo7xpmkfgf 106 74861 746246 728704 2022-07-27T14:12:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|62| Wir beschäftigen uns weiter mit der Frage, welchen Teilmengen des {{math|term= \R^n |SZ=}} man ein sinnvolles Volumen zuordnen kann. Es wird sich herausstellen, dass diese {{Anführung|messbaren Mengen|}} eine {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra bilden, nämlich die {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra der {{Stichwort|Borel-Mengen|SZ=.}} Diese ist zwar sehr groß, und zwar gehören nahezu alle irgendwie {{Anführung|kohärent beschreibbaren}} Teilmengen dazu, aber eben doch nicht alle. Die Borel-Mengen explizit zu beschreiben, ist nicht möglich, stattdessen gibt man ein einfaches Erzeugendensystem für diese {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra an, nämlich die Menge aller offenen Teilmengen des euklidischen Raumes. Es empfiehlt sich, diese Konstruktion sofort für topologische Räume durchzuführen. {{Zwischenüberschrift|term=Topologische Räume}} {{:Topologischer Raum/Grundbegriffe/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Borel-Mengen}} {{:Topologie/Borel-Mengen/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |Stetige Abbildungen/Borel-messbar/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Maße und Maßräume}} {{:Maßtheorie/R/Numerischer Abschluss/Einführung/Textabschnitt}} {{:Maße und Maßräume/Prämaß/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Beispiele für diskrete Maße}} Wir besprechen kurz einige {{Anführung|diskrete Maße|SZ=.}} Das für uns wichtigste Maß, das {{Stichwort|Borel-Lebesgue-Maß|SZ=}} auf dem {{math|term= \R^n |SZ=,}} ist kein diskretes Maß, sondern ein {{Anführung|stetiges Maß|SZ=.}} {{:Maßtheorie/Diskrete Maße/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} {{Fußnotenliste}} }} hvrocj8tnq6mbz88b4zce7usm6dbmki 106 74862 746247 728707 2022-07-27T14:12:28Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|63| {{ inputbild |SquareLattice|svg| 250px {{!}} right {{!}} |Text=Ein Gittermaß weist nur den Gitterpunkten ein positives Maß zu. Wenn der Gitterabstand hinreichend klein ist, liefert das Gittermaß eine gute Approximation für den Inhalt für Figuren, die nicht allzu kompliziert sind. |Autor= |Benutzer=Jim.belk |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Gittermaße}} Als weiteres diskretes Maß besprechen wir Gittermaße. {{ inputdefinition |R^n/epsilon-Gitter/Gittermaß/Definition|| }} {{ inputbild |Georges Seurat - Un dimanche après-midi à l'île de la Grande Jatte|jpg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Georges_Seurat_-_Un_dimanche_apres-midi_a_lile_de_la_Grande-Jatte |Text=[[w:Pointillismus|Pointillismus]]: Der Flächeninhalt {{ Zusatz/Klammer |text=auf dem Bild| |ISZ=|ESZ= }} der hellgrünen Rasenfläche entspricht in etwa der Anzahl der hellgrünen Farbtupfer, der Anzahl der hellgrünen Pixels und der Anzahl der hellgrünen Synapsen. |Autor=Georges Seurat |Benutzer=Oxag |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{Zwischenüberschrift|term=Ausschöpfungseigenschaften}} {{:Messräume/Prämaß/Ausschöpfungseigenschaften/Textabschnitt|zusatz1=|zusatz2=Fußnote|zusatz3=Fußnote}} {{:Endliche und sigma-endliche Prämaße/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Eindeutigkeitssatz für Maße}} Der folgende Satz ist der {{Stichwort|Eindeutigkeitssatz für Maße|SZ=.}} Im Wesentlichen besagt er, dass unter gewissen Bedingungen ein Maß auf einem Erzeugendensystem der {{math|term= \sigma |SZ=-}}Algebra schon eindeutig bestimmt ist. {{ inputfaktbeweis |Maß/Eindeutigkeitssatz/Durchschnittsstabiles Erzeugendensystem und Ausschöpfung/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Bildmaße}} {{:Messbare Abbildung/Bildmaß/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Produkt von topologischen Räumen}} {{ inputbild |Cylinder (PSF)|png| 160px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Cylinder_(PSF) |Text=Eine Zylinderoberfläche ist der Produkt{{latextrenn}}raum aus einer Kreislinie und einem Intervall. |Autor= |Benutzer=Pearson Scott Foresman |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Endlich/Produktraum/Definition|| }} {{Fußnotenliste|}} }} pnp9j7f16a87sbpnxix2g06bqnr63j9 106 74863 746249 728713 2022-07-27T14:14:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|64| Es ist eine naheliegende Idee, den Flächeninhalt einer beliebigen Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| \R^2 || || || |SZ= }} als das Infimum über alle Summen von Rechtecksinhalten anzusetzen, die die Menge überdecken {{ Zusatz/Klammer |text=oder überpflastern| |ISZ=|ESZ=. }} So geht man auch beim Riemannschen Integral vor, wenn man Oberintegrale betrachtet. Mit diesem Ansatz kann man zwar jeder Teilmenge eine Zahl zuordnen, dies ist aber kein Maß. Wichtig sind vielmehr diejenigen Teilmengen, auf denen diese Festlegung zu einem Maß führt. {{Zwischenüberschrift|term=Fortsetzung von äußeren Maßen}} {{ inputbild |Caratheodory constantin|jpg| 160px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Caratheodory_constantin |Text=[[w:Constantin Carathéodory|Constantin Carathéodory (1873-1950)]]. Auf ihn geht der Fortsetzungssatz für Maße zurück. |Autor= |Benutzer=Gernheim |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{:Fortsetzung von Prämaßen/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Existenzsätze für Maße}} {{ inputfaktbeweis |Maßtheorie/Fortsetzungssatz/Präring/Fakt|Satz|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Produkt-Messräume}} In den nächsten Vorlesungen wollen wir Produkte von Maßräumen definieren und insbesondere auf dem {{math|term= \R^n |SZ=}} ein Maß definieren. {{:Produkt-Messräume/Einführung/Textabschnitt}} }} 51slhcxbvnebllcad8zypr02drfxdpc 106 74864 746260 728714 2022-07-27T14:25:39Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|65| Es ist unser Ziel zu zeigen, dass auf der Produktmenge von Maßräumen unter recht allgemeinen Voraussetzungen ein Maß definiert ist, das durch die Produktwerte auf den Quadern festgelegt ist. Dafür gehen wir den Weg über den Produkt-Präring. {{Zwischenüberschrift|term=Produkt-Präringe}} {{ inputdefinition |Produktmenge/Endlich/Produkt-Präring/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Produktmenge/Endlich/Quaderbeschreibung des Produkt-Präringes/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputbild |Simple set1|png| 250px {{!}} left {{!}} |epsname=Simple_set1 |Text= |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbild |Simple set2|png| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Simple_set2 |Text= |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Der obige Beweis beinhaltet insbesondere, dass man jede endliche Vereinigung von Quadern als eine endliche disjunkte Vereinigung schreiben kann. {{Zwischenüberschrift|term=Produktprämaße}} {{:Maßtheorie/Produktmaß/Einführung/Textabschnitt}} }} ab1gnjxr789whrwoito6wfi22hm1snq 106 74865 746267 728715 2022-07-27T14:40:01Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|66| Wir haben jetzt alle Hilfsmittel zusammen, um auf den {{ Definitionslink |Borel-Mengen| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} des {{math|term= \R^n |SZ=}} ein Maß zu definieren, das für einen Quader, dessen Seiten reelle Intervalle sind, einfach das Produkt der Seitenlängen ist. Dieses Maß heißt {{Stichwort|Borel-Lebesgue-Maß|SZ=.}} Wir beginnen mit der eindimensionalen Situation. {{ inputbild |LebesgueH|gif| 160px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |Text=[[w:Henri Léon Lebesgue| Henri Léon Lebesgue (1875-1941)]] |Autor= |Benutzer=Skraemer |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung=http://colloques-irmar.univ-rennes1.fr/site_lebesgue/index.html }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Borel-Lebesgue-Maß auf {{math|term=\R|SZ=.}} }} {{:Borel-Lebesgue-Maß/R/Einführung/Textabschnitt|}} Für jede Borel-Menge {{ Ma:Vergleichskette | T |\subseteq| \R^n || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | \lambda(T) || {{op:inf| {{mengebed| \sum_{i \in I} (b_i-a_i) | T \subseteq \bigcup_{i \in I}[a_i,b_i[| I \text{ abzählbar} }} |}} || || || |SZ=. }} {{Zwischenüberschrift|term=Das Borel-Lebesgue-Maß auf {{math|term=\R^n|SZ=.}} }} {{:Borel-Lebesgue-Maß/R^n/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Die Translationsinvarianz des Borel-Lebesgue-Maßes}} {{ inputbild |TraslazioneOK|png| 250px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Toobaz |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 3.0 |Bemerkung= }} Für eine beliebige Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |T |\subseteq|V || || || |SZ= }} in einem Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} und einen Vektor {{ Ma:Vergleichskette |v |\in|V || || || |SZ= }} nennt man {{ Ma:Vergleichskette/disp |T+v || {{Mengebed|x+v|x \in T|}} || || || |SZ= }} die um {{math|term= v |SZ=}} {{Stichwort|verschobene Menge|SZ=.}} {{ inputdefinition |Reeller endlichdimensionaler Vektorraum/Translationsinvariantes Maß/Definition|| }} {{:Borel-Lebesgue-Maß/Translationsinvarianz/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} }} iosgs0p1w5ww3d3jh6x5qnodh8nrfsr 106 74866 746268 436904 2022-07-27T14:40:32Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|67| {{Zwischenüberschrift|term=Das Verhalten von Maßen bei linearen Abbildungen}} {{:Lineare Abbildung/Borel-Lebesgue-Maß/Textabschnitt}} {{ inputfaktbeweis |R^n/Isometrie/Volumentreu/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |R^2/Drehung/Flächentreu/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputbild |Ellipsoide|png| 250px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Anarkman |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputbeispiel |Ellipsoid/Volumen über lineare Verzerrung/Beispiel|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Volumina in euklidischen Räumen}} Auf jedem reellen {{math|term=n|SZ=-}}dimensionalen Vektorraum {{math|term= V |SZ=}} kann man ein sinnvolles Maß definieren, indem man eine Isomorphie {{ Ma:abbele/disp |name= | \R^n | V || |SZ= }} wählt und das Bildmaß zum Borel-Lebesgue-Maß nimmt. Dieses Maß ist allerdings abhängig von der gewählten Isomorphie, bei zwei verschiedenen Isomorphien unterscheiden sich die so gewonnenen Maße um einen skalaren positiven Faktor. Bei euklidischen Räumen kann man aber mit Hilfe von Orthonormalbasen ein kanonisches Borel-Lebesgue-Maß definieren. {{:Euklidischer Raum/Kanonisches Volumen/Textabschnitt}} }} q8x6pfysrh62jj9zhmuu1tz1xdkqrk0 106 74867 746269 437474 2022-07-27T14:41:19Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|68| Wir beginnen jetzt mit der allgemeinen Integrationstheorie, die auf der Maßtheorie aufbaut. Wie schon im Fall von stetigen Funktionen {{ Ma:abb/disp |name=f |[a,b]|\R || |SZ= }} geht es um den (Flächen-)Inhalt unterhalb des Graphen der Funktion. Jetzt wird allerdings der Definitionsbereich nicht mehr unbedingt ein Intervall sein, sondern ein beliebiger {{ Zusatz/Klammer |text=zumeist {{math|term=\sigma|SZ=-}}endlicher| |ISZ=|ESZ= }} Maßraum {{mathl|term= (M, {{mengensystem|A}}, \mu) |SZ=.}} Eine Funktion {{ Ma:abb/disp |name=f |M|\R || |SZ= }} definiert nach wie vor einen Graphen in {{mathl|term= M \times \R |SZ=}} und damit eine Teilmenge aus {{mathl|term= M \times \R |SZ=,}} die unterhalb des Graphen {{ Zusatz/Klammer |text=und innerhalb von {{mathlk|term= M \times \R_{\geq 0} |SZ=}}| |ISZ=|ESZ= }} liegt. Auf {{mathl|term= M \times \R |SZ=}} existiert unter gewissen schwachen Voraussetzungen das {{ Definitionslink |Produktmaß| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= \mu \otimes \lambda^1 |SZ=,}} und mit diesem Maß wird das Integral erklärt. Die Funktionen, die man sinnvoll integrieren kann, gehen weit über die stetigen Funktionen hinaus. Sie müssen allerdings mit den gegebenen Maßräumen verträglich sein, was zum Begriff der messbaren Funktion bzw. der numerischen Funktion führt. {{Zwischenüberschrift|term=Messbare numerische Funktionen}} {{:Numerischer Abschluss von R/Borel-Mengen/Bemerkung|}} {{:Messbare numerische Funktion/Einführung/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Einfache Funktionen}} Ein äußerst wichtiges Konzept für die Integrationstheorie ist es, dass sich beliebige messbare Funktionen durch besonders einfache Funktionen approximieren lassen, für die das Integral eine Summe ist. Auf diesem Konzept beruhte schon das Riemann-Integral, das wir im ersten Semesters entwickelt haben. Im Rahmen des Lebesgue-Integrals gibt es eine andere Art von Treppenfunktionen. Dabei wird nicht der Definitionsbereich in endlich viele einfache Stücke {{ Zusatz/Klammer |text=Intervalle| |ISZ=|ESZ= }} unterteilt, sondern die Bildmenge soll besonders einfach sein. {{:Messraum/Einfache und sigmaeinfache Funktionen/Approximation/Textabschnitt|}} }} 94dameoryf7fz6kniicsry83n98g1m7 106 74868 746272 728716 2022-07-27T14:47:04Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|69| {{Zwischenüberschrift|term=Integrierbare Funktionen}} {{ inputbild |Volume under surface|png| 230px {{!}} right {{!}} |epsname=Volume_under_surface |Text= |Autor= |Benutzer=Oleg Alexandrov |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Wir führen nun das {{Stichwort|Lebesgue-Integral|SZ=}} für messbare Funktionen auf einem Maßraum ein. Dieser Integralbegriff hat gegenüber dem Riemann-Integral folgende Vorteile. {{ Aufzählung7 |Der Integralbegriff bekommt ein maßtheoretisches Fundament. |Es kann über einer {{ Zusatz/Klammer |text=fast| |ISZ=|ESZ= }} beliebigen Menge integriert werden. |Es kann eine weit größere Funktionenklasse integriert werden. |Das Grenzwertverhalten von Funktionenfolgen ist einfacher. |Man kann Funktionen auf Nullmengen abändern, ohne das Integral zu verändern. |Uneigentliche Integrale werden direkt mitbehandelt. |Die Summe einer abzählbaren Familie reeller Zahlen ist ein Spezialfall. }} {{:Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Einführung/Textabschnitt|zusatz1=Fußnote}} Man kann den Subgraphen als {{ Ma:Vergleichskette/disp |S(f) ||{{op:Subgraph halboffen|f|}} \uplus \Gamma(f) || || || |SZ= }} schreiben, wobei {{ Ma:Vergleichskette | \Gamma(f) || {{mengebed|(x,y) \in M \times {{op:abschlussnum|\R|}} | y {{=|}} f(x) }} || || || |SZ= }} der Graph ist und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Subgraph halboffen|f|}} || {{mengebed|(x,y) \in M \times {{op:abschlussnum|\R|}}| 0 \leq y < f(x) }} || || || |SZ= }} gesetzt wird. Das folgende Lemma zeigt, dass der Graph eine Nullmenge ist und dass man somit den Subgraphen durch dieses {{mathl|term= {{op:Subgraph halboffen|f|}} |SZ=}} ersetzen kann. Dies ist für einige Ausschöpfungseigenschaften von Vorteil. {{ inputfaktbeweis |Messbare Funktion/Auf sigmaendlichem Maßraum/Graph hat Maß null/Fakt|Lemma|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Die Tschebyschow-Abschätzung}} {{:Tschebyschow-Abschätzung/Einführung/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Bildmaße und allgemeine Transformationsformel}} {{ inputfaktbeweis |Bildmaß/Allgemeine Transformationsformel/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbemerkung |Allgemeine Transformationsformel/Substitutionsregel/Bemerkung||zusatz1={{ Zusatz/Fußnote |text=Dichten werden wir in Vorlesung 73 einführen| |ISZ=.|ESZ= }} }} {{Fußnotenliste|}} }} lt9p79sxhfnqenffhgcc2y6mcua4ssp 106 74869 746275 728717 2022-07-27T14:48:36Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|70| {{Zwischenüberschrift|term=Ausschöpfungseigenschaften}} {{:Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Ausschöpfungssätze/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Lebesgue-Integral und Riemann-Integral}} {{ inputbild |Lebesgue and Riemann integration animation|gif| 250px {{!}} right {{!}} thumb {{!}} |epsname=Lebesgue_and_Riemann_integration_animation |Text=Diese Animation zeigt, wie der Flächeninhalt unter dem Graphen mit (äquidistanten) Treppenfunktionen (Riemann-Integral) und mit einfachen Funktionen (Lebesgue-Integral) approximiert wird. |Autor= |Benutzer=WarX |Domäne=pl. Wikipedia |Lizenz=CC-by-sa 2.5 |Bemerkung= }} {{:Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Zusammenhang zu Riemann-Integral/Textabschnitt|}} {{Zwischenüberschrift|term=Linearität des Integrals}} {{ inputfaktbeweis |Integral auf Maßraum/Linearität/Fakt|Satz|| }} {{Zwischenüberschrift|term=Weitere Konvergenzsätze}} Wir erinnern daran, dass ein {{ Definitionslink |Häufungspunkt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} einer Folge in einem metrischen Raum ein Punkt mit der Eigenschaft ist, dass es in jeder {{math|term= \epsilon |SZ=-}}Umgebung des Punktes unendlich viele Folgenglieder gibt. {{ inputdefinition |Reelle Folge/Limes superior/Limes inferior/Definition|| }} Für eine Folge von numerischen Funktionen wird der Limes inferior und der Limes superior punktweise definiert. Für messbare Funktionenfolgen sind dies wieder messbare Funktionen, siehe {{ Aufgabelink ||Aufgabeseitenname= Messbare Funktionenfolge/Limes inferior superior/Messbar/Aufgabe |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} {{:Integration auf Maßräumen/Konvergenzsätze/Fatou und Lebesgue/Textabschnitt}} }} toldayiri59r6q2p6nxuneqezafzxdw 106 74871 746276 728724 2022-07-27T14:50:43Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Vorlesungsgestaltung|72| {{ inputbild |Cavalieri 004|jpg|230px {{!}} right {{!}} |epsname=Cavalieri_004 |Text= |Autor= |Benutzer=HB |Domäne= |Lizenz=CC-by-sa 4.0 |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Cavalieri/Universelle Translationsinvarianz/Fakt|Korollar|| || }} {{Zwischenüberschrift|term=Einige Volumina}} {{:Volumina/Maßtheoretisch/Beispiele/Textabschnitt}} {{Zwischenüberschrift|term=Der Satz von Fubini}} {{Zwei sigmaendliche Maßräume/Messbare Funktion/Situation|SZ=.}} Der Satz von Fubini bringt das Integral {{mathl|term= {{op:Integralmaß|f|M \times N|(\mu \otimes \nu)}} |SZ=}} mit dem Integral über {{math|term= M |SZ=}} der Funktion {{ Ma:abbele/disp |name= |M| {{op:abschlussnum|\R|}} |x| {{op:Integralmaß|f(x,y)|N|\nu|var=y}} |SZ=, }} in Verbindung. Er erlaubt es, Integrale über einem höherdimensionalen Bereich auf eindimensionale Integrale zurückzuführen. Sein Beweis beruht auf dem Cavalieri-Prinzip, angewendet auf den Produktraum {{mathl|term= M \times N \times {{op:abschlussnum|\R|}} |SZ=,}} und ist prinzipiell nicht schwierig. Allerdings muss man bei einigen Details {{ Zusatz/Klammer |text=Nichtnegativität, Undefiniertheitsstellen, Nullmengen| |ISZ=|ESZ= }} doch präzise sein, so dass wir einige vorbereitende Lemmata anführen. {{:Maßraum/Nullmenge/Fast überall/Einführung/Bemerkung}} {{:Integration auf Produktraum/Fubini/Textabschnitt|}} }} 0x2ahh3ziqd1zcjsxaww4lkg2y0vp06 0 128943 746304 746097 2022-07-28T06:18:49Z Jeb 26942 /* 26.Juli */ wikitext text/x-wiki Dienstags, meist ab 8:30: https://meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam 2022 == 26. Juli == [[File:Leonard Nimoy Spock 1966.JPG|mini|hochkant|Faszinierend...sicher nicht nur für ihn...]] * [[C:Category:Bildnisse hervorragender Dresdner aus fünf Jahrhunderten (1908)]] * Christoph: Bürgersoldaten Heft 30 zu 80% fertig * Kriegsgräber: Potential bei Abgleich zwischen verschiedenen Datenquellen (Wikidata, https://kriegsgraeberstaetten.volksbund.de/friedhof, andere Listen....) * Jens: https://twitter.com/POPinvention und http://www.politicsofpatents.org/ * Tobias: Projekt für https://kriegsgraeberstaetten.volksbund.de/friedhof (gemeinsam mit Christian Erlinger), evtl. Mix'n'match * Matthias: [[File:Noto_Emoji_KitKat_1f36f.svg|20px]] https://twitter.com/DDHefte/status/1551622116369473537 -> LOST-Projekt zu Ancestry, [https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/343996/43 Totengedenkbuch], GLAM Maynooth * [[c:Category:Wikimedia+Libraries International Convention 2022]] == 19. Juli == [[Datei:Otto Richter Geschichte der Stadt Dresden Teil 1 Mittelalter.djvu|page=6|mini|WS-Stand proudly presents: OOOOtttoooo Riiichteeer hätte [[w:de:Michael Buffer|'''er''']] so angesagt.:)]] [[Datei:Wikimedia+Libraries Meetup (800 × 130 px).png|mini|Wikimedia+Libraries Meetup 2022]] Hands on: *Wie kann ich im Stadtwiki ein Bild einbinden? *Wie kann ich Links erzeugen?/Verlinkung zu Wikidata und Wikisource? [[flickrphoto:5982831568|test]] [[flickruser:milanboers|milanboers]] *Wie kann ich bei Wikidata die Zeiträume der Hefte erfassen? *Welche Hefte sind bei Wikidata noch zu erfassen, weil sie da noch nicht dabei sind? [https://w.wiki/5UMw Query "Fehlender Editor"] Einladung geschickt an den Dresdner Fechtclub, der seine Geschichte im Stadtwiki dokumentieren möchte und ebenfalls viele Bilder hat, die es einzupflegen gilt DienstagsDamen: * Stand der Nachforschungen zu [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Hanna_Kr%C3%BCger Hanna Krüger] Dresdner Geschichtsblätter * Die Dresdner Kirchenbücher [[d:Q113121076|Q113121076]], AW verzeichnet die gleichnamige Geschichtsblätterrubrik in Wikidata ggf. mit Verweis auf die Digitalisate. Frisch vom WS-Stand-Scanner: * Otto Richter: ''Geschichte der Stadt Dresden. Erster Theil: Dresden im Mittelalter.'' Dresden 1900, Baensch Bibliothek * Vergangene Woche: [[s:Max Eyth]], Franz Dotzauer [[d:Q111461862#P1343]], Palace Cinema Maastricht [[d:Q38238095]], ... * Sharon Mizota: ''[https://medium.com/metadata-learning-unlearning/words-matter-reconciling-museum-metadata-with-wikidata-61a75898bffb Words Matter: Reconciling museum metadata with Wikidata]'', 14. Juli 2022, medium.com * Jens Bemme: ''Kleine Editionen für Digital Humanities'', in: Public Humanities, 15. Juli 2022, https://publicdh.hypotheses.org/476 * Dominik Waßenhoven: ''Mit Wikipedia lehren: Ein Erfahrungsbericht'', 15. Juli 2022, https://gwd.hypotheses.org/540 == 12. Juli == [[Datei:LABA Kiep it real.jpg|mini|LABA Kiep it real]] Off topic: Der Fall "Monika", https://laba.de/der-fall-monika-krawcec/, Twitter: #LandeskundlicheProduktentwicklung, über: Urheberrecht, Persönlichkeitsrecht, Kunstfreiheit & LABA in Görlitz {{wikisource|Aus den Gedanken und Erinnerungen|Aus den „Gedanken und Erinnerungen“ von Otto Fürst von Bismarck, 1898}} * Was ist eine [[w:Digitale Edition]]? Gast: [[Benutzer:SchallenderRauch]], vgl. [[s:Zeitschrift für Sozialforschung]], [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)/Projekt ZfS-SchallenderRauch]] und Ausblick auf nächsten Dienstag * Hands on: editieren, fragen, editieren, ... == 8. Juli: #LNdWDD == [[Datei:Wikiversitätsstadt.png|mini|Wikiversitätsstadt Dresden]] Wir werden am Freitagabend voraussichtlich 21:00 und 22:00 für jeweils eine halbe Stunde(+) auf '''[https://meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam meet.slub-dresden.de/DatenlaubeJam]''' gemeinsam an Projekten des Dresdner Geschichtsvereins und des Citizen Science-Projekts ''[[DieDatenlaube]]'' arbeiten, zeigen, erklären und ''hacken''. Themenwünsche sind willkommen. Spezifischen Beratungsbedarf ggf. mit Wunschuhrzeit bitte hier auf der [[Diskussion:DieDatenlaube/Notizen]]-Seite notieren. * Items zu [[d:Q112939692|Langen Nacht der Wissenschaften]] [[:Kategorie:Dresden|Dresden]]: z.B. [[d:Special:WhatLinksHere/Q31837129|DRESDEN-concept]] Karte: [https://w.wiki/5R6i https://w.wiki/5R6i] Dresden * {{wikisource|Dresden}} * {{wikisource|Sachsen}} * {{wikisource|Dresdner Geschichtsverein}} :: {{wikisource|Dresdner Geschichtsblätter}} :: {{wikisource|Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens}} :: {{wikisource|Dresdner Hefte}} :::* [[Kurs:Dresdner Hefte zum Mitmachen]] :::* Bitte beim Korrigieren helfen: [[s:Index:Heft03VereinGeschichteDresden1880.pdf]], z.B. gelbe Seiten prüfen, korrigieren und speichern! * Totenschau: Wer ist wo begraben (ohne Bild der Grabstelle auf commons)? ** Alter Annenfriedhof: https://w.wiki/5QyY ** Trinitatisfriedhof: https://w.wiki/5Qya ** Johannisfriedhof: https://w.wiki/5Qyc ** ... Die Gartenlaube, https://diedatenlaube.github.io/ [[Datei:Die Gartenlaube (1896) b 0191.jpg|mini|''In einer Amalfitaner Maccaronifabrik'', in: ''[[s:An der Küste von Amalfi|An der Küste von Amalfi]]'', Die Gartenlaube, 1896]] * z.B. [[s:Die Gartenlaube (1898)]] oder ein anderer Jahrgang: [[s:Die_Gartenlaube#Sachregister_1853–1867]] oder einzelne Artikel: * {{wikisource|Der hundertjährige Kamelienbaum im Schloßgarten zu Pillnitz}} * {{wikisource|Ein Mondglobus für Schule und Haus}} * {{wikisource|Milchmarkt am Singel zu Amsterdam}} * {{wikisource|Verhütung der Nervosität}} * {{wikisource|Gebirgsbach}} * {{wikisource|Der Krieg um Cuba}} * {{wikisource|Die Bronze in der plastischen Kunst}} * {{wikisource|Der Straßenkampf in Frankfurt a. M. vor fünfzig Jahren}} * {{wikisource|Der hundertjährige Kamelienbaum im Schloßgarten zu Pillnitz}} * {{wikisource|Eine teure Fahrt durch den Suezkanal}} * {{wikisource|Die Ausstellung nationaler Frauenarbeiten im Haag}} * {{wikisource|Ein neues Verfahren zum Konservieren der Eier}} * {{wikisource|Die Wildkatze}} * {{wikisource|Die größten und kleinsten Goldmünzen}} * {{wikisource|Von der II. Münchener Kraft- und Arbeitsmaschinenausstellung}} * {{wikisource|Erdbeeren}} * ... <gallery> Stadtwiki_Dresdner_Geschichtsverein.JPG|[https://www.stadtwikidd.de/wiki/Kategorie:Geschichtsverein Stadtwiki Dresden] Wikidata_Dresdner_Hefte.jpg|[[s:Dresdner Hefte]] Wikisource_dresdner_geschichtsverein.JPG|[[s:Dresdner Geschichtsverein]] Github_ddhefte.JPG|[https://github.com/ddhefte github.com/ddhefte] Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|mini|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022) </gallery> == 5. Juli == [[Datei:Radfahrerinnenwissen Dresdner Heft 150.png|mini|Kauft! [https://www.dresdner-geschichtsverein.de/ Radfahrerinnenwissen] oder so [[s:Ein neues Kriegsfahrrad]]]] * Unser [[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|Artikel]] ist nun eingereicht. * Andreas und Jens sprechen am 3. September in [[w:de:Oelsnitz/Vogtl.|Oelsnitz/Vogtl.]]: [[Kurs:Wikiversum für Ortschronisten (2022)]] * Außerdem wächst [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] * rund ums Torf: [[s:Eine Wanderung durch das oldenburgische Moorgebiet]] :: ARTE: [https://www.arte.tv/de/videos/100291-010-A/re-first-lady-of-whisky/ Re: First Lady of Whisky : Schottland auf neuen Wegen], 22. Dezember 2021 ([https://ncnean.com/ ncnean.com/]) Ausblick * Hackathon ist immer!? Lange Nacht der Wissenschaften in Dresden am 08. Juli 2022, 17–00 Uhr. Machen wir was und wann? Bitte fertigkorrigieren: * <s>[[s:de:Besprechungsprotokoll Wannseekonferenz]]</s>, Fertig: 6.7.2022 == 28. Juni == [[File:Knötel I, 5.jpg|thumb|Banner der freiwilligen Sachsen]] [[File:Dresdens Festungswerke im Jahre 1811.pdf|page=20|thumb|Dresdens Festungswerke 1811]] * taufrisch digitalisiert nach Hinweis im Artikel in den Dresdner Geschichtsblättern: ''Das Dresdner Landwehr-Bataillon'' 1813/14 von Paul Rachel (1892) [[d:Q111792485]]: ** Die '''<u>Dresdner Landwehr-Blätter (1813/14)</u>'''! [[d:Q111792515]] Auf WS bringen? ***Das ist Geschichte pur, eine echte Primärquelle. Vielen Dank an SLUB! * Totenschau: Kann in Wikidata eine Aussage: ''Todesanzeige'' im Datenobjekt der betreffende Person eingerichtet werden? {{ping|Mfchris84}} Ich würde gerne jpg's von Todesanzeigen hochladen. Als normales Bild wäre dies sicher unpassend, auch als themenverwandtes Bild. ** Beispiel: [[d:Q126171]], eingefügt unter Grabbild, nicht optimal. Einfügung als themenverwandtes Bild nicht möglich, da Porträt vorhanden. * weitere Themenseiten: z.B. als virtuelle Prunothek: [[s:Woher das Sprichwort: Hier ist nicht gut Kirschen essen?]] :Query: [https://w.wiki/5MtM Die Gartenlaube] zu irgendwas mit Früchten und Tieren ... * geplant: [[Kurs:Rostock und Die Datenlaube (2022)]] * Kannegießer (1811) Festungswerke Dresdnes, 1890 als Vereinsgabe ist bei google aufgetaucht, Andreas bindet die Bilder in Commens ein, eventuell Wikisource-Projekt, da wenig Text https://www.google.de/books/edition/_/5pJX-twRUXQC?hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjp9d3b8M_4AhVYSvEDHeIBDvYQ7_IDegQIFBAC == 21. Juni == Dresdner Hefte: 150. * [[Kurs:Dresdner Hefte zum Mitmachen]] * [[DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen|DDHefte-Ideen]] * Presskonferenz zu neuem Logo & 150. Dresdner Heft um 11 Uhr (im Anschluss) Juhu!! Damit verbunden, werde ich schön twittern und auf alles aufmerksam machen! Die Gartenlaube * [[s:Naturwissenschaftliche Wochenschrift]] (WikiCite!) 59. [[BibChatDE/Geschichtsvereine]] am 20. Juni * 18–19 Uhr auf Twitter: Geschichtsvereine & Bibliotheken: Was geht?, #BibChatDE, https://www.bibchat.de/geschichtsvereine-bibliotheken-was-geht/ Bitte am Projekt beteiligen * [[s:Index:Wannsee Protokoll januar 1942.pdf]] * Suche nach weiteren Artikeln von '''[[s:Theodor Heinrich Gampe]]''' (auch Autor in [https://de.wikisource.org/wiki/Die_Gartenlaube/Autoren#G Die Gartenlaube]), insbesondere zu den Steinbrechern mit Illustrationen von [[w:Robert Sterl|Robert Sterl]] == 14. Juni == [[Datei:Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022).pdf|mini|Als Wissenschaftliche Bibliothek im Wikiversum (2022)]] Besuch: Zentralbibliothek Zürich und aus Pankow Zentralgut, https://zentralgut.ch/ (Luzern) {{wikisource|Index:Kurze Lebens-Notizen zu der Portrait-Gallerie merkwürdiger Luzerner auf der Bürgerbibliothek in Luzern.pdf}} Dresdner Hefte+ ... Die Datenlaube*''live'' * {{wikisource|Die Gartenlaube (1898)}} * Bitte alle verschlagworten (main subject): https://w.wiki/43s :) * #1Lib1Nearby https://w.wiki/5HAM where is Stadtbibliothek Pankow ? * [https://www.ngzh.ch/publikationen/neujahrsblatt Neujahrsblätter Zürich ab 1799] * vgl. dazu auch Beiträge zur Pankower Heimatgeschichte / Freundeskreis der Chronik Pankow e.V * Probleme der oral history (Mehrfachbefragung etc.) * Seite fürs Ausprobieren (DD-Hefte): https://de.wikiversity.org/wiki/DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen * Idee aus Pankow: Kontakt zu ÖBs suchen, Netzwerke nutzen um Interessierte für Workshops im Bereich Wikiversum zu finden == 7. Juni == [[Datei:15482-Weixdorf-1913-Badende_im_Prinz_Hermannbad-Brück_&_Sohn_Kunstverlag.jpg|mini|Waldbad Weixdorf]] * [[s:Sommerfrische]]n, u.a. [[d:Q105046940|Sonntagsbesuche in der Sommerfrische]] :: Weixdorf: [[d:Q98804415|Waldbad Weixdorf (Q98804415), LfDS object ...]] * Beifang: Ludwig Blume-Siebert, u.a. bei [[s:Boetticher:Blume-Siebert,_Ludwig|Bötticher]] und Wikidata-Query: https://w.wiki/5FFT * {{wikisource|Zerlegbare Holzhäuser in Deutschland}} [[Projekt:Geschichtsvereine 2x|#Geschichtsvereine 22]] am Wochenende: * Programm: https://saechsische-landesgeschichte.de/event/workshop_geschichtsvereine22_220611/ * [[Projekt:Geschichtsvereine 2x/Wikisource, Wikidata und Commons]] ... 150 [[s:Dresdner Hefte]] ... neues Design, begleitende Wisskomm, ... All dies '''Dilettantinnen- und Dilettantenforschung'''! i.S.v. [[w:Dilettant]] == 31. Mai == Dresdner Hefte * [[DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen|Anleitungen]] <gallery> Stadtwiki_Dresdner_Geschichtsverein.JPG|[https://www.stadtwikidd.de/wiki/Kategorie:Geschichtsverein Stadtwiki Dresden] Wikidata_Dresdner_Hefte.jpg|[[s:Dresdner Hefte]] Wikisource_dresdner_geschichtsverein.JPG|[[s:Dresdner Geschichtsverein]] Github_ddhefte.JPG|[https://github.com/ddhefte github.com/ddhefte] </gallery> * Website für Überblick entweder bei https://www.dresdner-geschichtsverein.de (ist aber gerade im relaunchen, daher vielleicht im Wikiversum oder auch bei Github https://ddhefte.github.io/) * Übersicht Mitteilungen ist aufgeräumt, analog zu den Geschichtsblättern (Danke) https://de.wikisource.org/wiki/Mitteilungen_des_Vereins_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens * Bürgersoldaten läuft, Bilder freistellen als next step (Steffen fragt Matthias, wie es geht) * andere CitizienScience-Projekte an der SLUB (z.B. Ausschreibung https://www.citizenscience-wettbewerb.de) * neues "Futter" bei Steffen: W. Nagel: Die alte Dresdener Augustusbrücke, Verein für Geschichte Dresdens 1924 https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/695/12 Lauben''piepser'' * [[s:Frauen als Schrankenwärterinnen]] * [[s:Von der Kirgisen-Karawane]] * [[s:Weihnachtsfeier in einer Spreewaldschule]] * [[s:Neapolitanische Straßenhändler]] * [[s:Eisenbahnreformen]] == 24. Mai == [[Datei:Wikisource-Infostand-Dresden.jpg|mini|Wikisource Infostand SLUB]] * Zu Gast: [https://www.buergerschaffenwissen.de/ueber-uns Moritz Müller] mit dem Projekt ''[https://www.buergerschaffenwissen.de/projekt/hallische-heiratsgeschichten Hallische Heiratsgeschichten]'' * ''Hackathon ist immer'' beim [[Bibliothekskongress_2022#Hackathon_ist_immer|Bibliothekskongress 2022]] Geschichtsverein DD * Damen-Visuals: Tweets, Stadtwiki, Commons * Sachregister,[https://github.com/ddhefte/ddhefte/tree/main/register via sachregister.txt] * Queries * Schlagworte, Wartungslisten u.a. via [https://scholia.toolforge.org/topic/Q111475060/curation Heft 90 auf scholia] und [https://w.wiki/5CM4 Random-List "Gartenlaube"] (Limit hochzählen) * [[d:Q112031419|Todtenschau]], Query dazu [https://w.wiki/5CLs w.wiki/5CLs] ** ohne Stadtwiki-Artikel: https://w.wiki/5CM3 *** 1895, Nr. 3 ist online, mit Gottlieb Traugott Bienert: [[d:Q112119761]] * Mitmacherklärungen an mehreren Stellen bieten und bündeln: [[DieDatenlaube/Notizen/DDHefte-Ideen|Ideensammlung]] GLAM * [[w:de:Wikipedia:GLAM/Digitaltag 2022|Wikipedia:GLAM/Digitaltag 2022]] * Relaunch [https://www.slub-dresden.de/forschen/citizen-science/wikisource-beratung Wikisource-Beratung] im Juni, siehe [[s:Wikisource:Wikisource-Informationsstand_SLUB]] == 17. Mai == [[Datei:Wikimedia+Libraries Meetup (800 × 130 px).png|mini|Wikimedia+Libraries Meetup]] * [[m:Wikimedia+Libraries International Convention 2022]], 23-24 July 2022 | Maynooth ([[d:Q750265]]) - Ireland * Malerwerke des 19. Jh.: bis Buchstabe F jetzt bearbeitet [[s:de:Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts – Erster Band#F]] ** in Dresden geboren, gewirkt oder gestorben: https://w.wiki/5AUv ** Einträge ohne AKL-Online Eintrag [https://www.degruyter.com/database/akl/html]: https://w.wiki/5AUx Wer kann einen AKL-Eintrag schreiben? --> Caroline kümmert sich Geschichtsverein Dresden [[Datei:Heft30VereinGeschichteDresden1926.djvu|mini|Heft30VereinGeschichteDresden1926]] * NEU: '''[[s:Index:Heft30VereinGeschichteDresden1926.djvu|Heft 30: Dresdner Bürgersoldaten, 1926]]''' (Achtung: 10-Tage-Frist beachten bei Projekten über 50 Seiten!) * Cover, 1-50: bis 150 kommt noch: https://github.com/ddhefte :Ladies :* Maria Theresia Riedel: [[d:Q94992245#P1710]] :* https://www.stadtwikidd.de/wiki/Diskussion:Verein_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens :Auswertung * Matthias macht (un)sichtbare Frauen sichtbar mit SPARQL --> je mehr Daten wir vergeben, je mehr können wir auswerten Diskussion um Sachregister (ein Traum!)Kleines SPARQL-Tutorial: https://w.wiki/5Asd (K10+1774342774) vs. https://w.wiki/5Asg (K10+1774167077) :Transkription * Wikisource-Aufgaben für die ewig publizierenden @DDHefte Vorschlag Themenseiten und Dokumentenseiten zu bauen und für die Mitteilungen extra Seite mit Inhaltsverzeichnis zu bauen, siehe https://de.wikisource.org/wiki/Dresdner_Geschichtsbl%C3%A4tter, jetzt gibt es auch noch Festschriften (argghhh!!) https://twitter.com/AltesDresden/status/1524464384881434625/photo/1 Paper * [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GeNeMe 2022]-Einreichung: ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|DatenlaubeJam – Hackathon ist immer (dienstags)]]'', Vollversion bis 4. Juli, Aspekte: Hackathon ist immer, Digitaler Umbruch, ''regelmäßige und individuelle Werkstatt als ‘mentale Infrastruktur’ für Publikationen historischer Quellen, deren Edition und Datenpflege'' Die Gartenlaube * {{Wikisource|Der rheinische Karneval}} :* [[w:Rheinischer Karneval]], 1...9, [[d:Q2147804]] feat. ''#TrickleDownDatenlaube'' (vgl. Twitter) * {{Wikisource|Neues vom Spargel}} ''"Außerdem tritt er auch für das Dörren des Spargels ein. Da dieses einfacher ist als das Einmachen in Büchsen, so dürfte es von unseren Hausfrauen gern versucht werden."'' vs. Liebigs Fleischextrakt : ... vor 219 Jahren wurde der Chemiker Justus von Liebig geboren ... :: {{Wikisource|Schnelligkeitssauce}} :: Suche: ''Fleischextrakt'' und ''Fleischextract'' in der Gartenlaube > https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Spezial:Suche&search=liebig+fleischextract&fulltext=1&profile=default&ns0=1&ns102=1&ns104=1 == 10. Mai == [[Datei:Die Gartenlaube (1898) b 0661 1.jpg|mini|''[[s:Die Sehschärfe der Naturvölker und der Deutschen|Die Sehschärfe der Naturvölker und der Deutschen]]'', Die Gartenlaube, 1898, S. 661]] [[Datei:Wikisource-Broschüre.pdf|mini|Wikisource-Broschüre]] * Query '''[http://w.wiki/43s w.wiki/43s]''' für alle Gartenlaubeartikel ohne Verschlagwortung in den Wikidata-Items via [[s:Wikisource:Wikidata#Abfragen]] * [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GeNeMe 2022]-Einreichung: ''[[DieDatenlaube/Notizen/GeNeMe Abstrakt|DatenlaubeJam – Hackathon ist immer (dienstags)]]'', von Jens Bemme, Juliane Flade und Caroline Förster * #LinkedOpenStoryTelling '''[https://sites.google.com/view/ddhefte @ddhefte]''' * [https://twitter.com/hashtag/H%C3%BCgelkulturdaten?src=hashtag_click Hügelkulturdaten] * Malerwerke des 19. Jh.: Welche Frauen sind dabei? '''[https://w.wiki/59BN w.wiki/59BN]''' (Stand jetzt) ** davon Dresdnerinnen: '''[https://w.wiki/59Dj w.wiki/59Dj]''' * haben wir Bock auf Podcast oder doch [https://www.youtube.com/watch?v=W8r-tXRLazsVideo?_click Video?] ... und/oder doch druckbare PDFs? :* Vortrag über das Projekt 'Die Datenlaube' zur Pecha Kucha Night (online) in Weimar Die fabelhafte Welt der Digital Humanities am 25. Juni 2020, DOI [https://doi.org/10.5281/zenodo.3908534 10.5281/zenodo.3908534] :* vBIB20: ''[https://av.tib.eu/media/36438 Die Datenlaube: Neues Wissen und Daten aus alten Texten – Mit Wikisource, Wikidata und mit Commons]'' :* '''[[VBIB21/DatenlaubeCon]]''': ''[https://av.tib.eu/media/55578 Datenlauben(um)welten. Ökologien der Gartenlaube]'', ''[https://av.tib.eu/media/55590 Wikidata+Wikisource: Semantische Inhaltserschließung]'' * neues Dresdner Heft 150 [https://sites.google.com/view/ddhefte @ddhefte] ist Jubiläumsheft Thema "Mobilität", wer hat eine feine Idee für so ein [https://archiv.dresden.de/bild.aspx?VEID=352367&DEID=10 Titelbild?] Meine Vorschläge (Andreas): <gallery> Leporello HillgerNPG 1898 Bild 01 Brücke Photo.jpg|alte, schmale Augustus-Brücke (Fußgänger im Gänsemarsch) Leporello Dresden APD Bild 12 Postplatz Foto.jpg|mit Radfahrer und ohne Fahrradständer Leporello Hermann Poy 1900 Bild 07 Postplatz Photo.jpg|mit Handwagen 4x4 (4 Räder, 4 Leute) Leporello Dresden 1885 Bild 02 Terrassentreppe Photo.jpg|ruhender Verkehr, Parkscheinkontrolle (Suche in Krokotasche) </gallery> == 3. Mai == [[Datei:Bergbau bei Freiberg 1745.jpg|mini|Bergbau bei Freiberg, 1745]] [[Datei:Die Gartenlaube (1890) b 464.jpg|mini|''Helgoland'', Die Gartenlaube, 1890, S. 464]] Geschichtsverein DD * "Welches konkrete Forschungsinteresse wird seitens der SLUB mit diesem Projekt verfolgt?", wird im [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Diskussion:Verein_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens#Auflistung_der_weiblichen_Mitglieder_im_Jahr_1919 Stadtwiki DD] gefragt und: "Was ist der Hintergrund dieser Auflistung der weiblichen Mitglieder des Vereins im Jahr 1919?" (...) "Dieses und ähnliche Themen im Stadtwiki finde ich sehr elitär und weitesgehend unverständlich." * Ja nun ... * Auch hier gibt es Kritik: [[w:de:Wikipedia_Diskussion:Dresden#Neues_von_Wikisource]]. Sollten wir dabei bleiben, die Artikel über Wikidata zu verlinken oder temporär einen direkten Link zum Digitalisat einfügen? :Neu :* {{Wikisource|Dresdner Geschichtsblätter}} :* {{Wikisource|Geschichte des Dresdner Christmarkts|''Geschichte des Dresdner Christmarkts'', erschienen in: ''Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens. Achtes Heft'', 1888}} Die Gartenlaube * [https://twitter.com/LucasWerkmeistr/status/1520789808263708674 @LucasWerkmeistr], Lucas Werkmeister: "the Wikidata Image Positions tool (https://wd-image-positions.toolforge.org) now supports, in addition to “depicts”, the property “named place on map”, which can also have “relative position within image” qualifiers", {{Wikisource|Helgoland (Die Gartenlaube 1890/15)|Helgoland-Karte in: Die Gartenlaube, 1890/15}} *Tag der kulturArbeit, egalitär am 1. Mai für ''Die Gartenlaube'', 1898 :* {{Wikisource|Der Tod der Kaiserin von Oesterreich}} :* {{Wikisource|Kaiserin Elisabeth von Oesterreich}} :* {{Wikisource|Die schweizer Lieblingsplätze der Kaiserin Elisabeth}} :* {{Wikisource|Die Sehschärfe der Naturvölker und der Deutschen}} [https://tu-dresden.de/codip/ergebnisse-transfer/veranstaltungen/geneme GENEME Call], 9. Mai * DIGITALITÄT UND DIVERSITÄT : MIT DIGITALER TRANSFORMATION BARRIEREN ÜBERWINDEN!? Im Mittelpunkt der diesjährigen GeNeMe steht die Diskussion von Fragen der Inklusion und Diversität im Rahmen digitaler Innovationen. Dabei sollen insbesondere folgende Fragen reflektiert werden: An welcher Stelle konnte Digitalität während der Pandemie Barrieren abbauen, wo sind neue, vormals unbeachtete Barrieren entstanden? Welche Herausforderungen stellen sich in der Weiterentwicklung von Gemeinschaften in Neuen Medien? Welche Mittel und Wege für die Beförderung von mehr Diversität und Inklusion zeichnen sich bereits ab? == 26. April == [[Datei:Radlerin und Radler 1899, p317.jpg|mini|Radlerin und Radler 1899, S. 317. Vgl. [https://nfg.hypotheses.org/2340 ''Oster-Fernfahrt Dresden-Berlin, 1899'']]] Geschichtsverein DD * [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Anna_Regner Anna Regner] out of [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Diskussion:Verein_f%C3%BCr_Geschichte_Dresdens Mitgliederliste 1919 (Frauen)], +1 [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Clara_Reinheckel Clara Reinheckel] :* [[w:Liste sächsischer Hoflieferanten]] :* ... und in Dresden: [https://www.stadtwikidd.de/wiki/Liste_s%C3%A4chsischer_Hoflieferanten Liste sächsischer Hoflieferanten]?! * '''Neu''': [[s:Dresdner Geschichtsblätter]] Die Gartenlaube {{Wikisource|Tee}} {{Wikisource|Kaffee}} Wisskomm * ''[https://saxorum.hypotheses.org/7344 Neues aus dem Landesdigitalisierungsprogramm: Transkriptionen und Transliterationen]'', Saxorum, 26. April 2022 Titelseiten <gallery> Dresdner-Heft 001.jpg Dresdner-Heft 024.jpg </gallery> Idee * Digitale Mittagspause für Neumitglieder des Dresdner Geschichtsvereins == 19. April == [[Datei:Sächsische Radfahrer-Zeitung 1899-12-09, p486.jpg|mini|Sächsische Radfahrer-Zeitung, 2. Dezember 1899, S. 486.]] Geschichtsverein Dresden * neue Query-Sammlung: [[DieDatenlaube/Geschichtsverein Dresden (Wikidata)]] als Bausteine für einen zukünftigen Kurs Außerdem * meta: ''[https://saxorum.hypotheses.org/7216 „Neues vom Tourenbuche“ und von digitalen Editionen mit Hypotheses]'' – übers Bloggen mit Transkriptionen als digitale Editionen * Kartenausschnitt eines Tourenbuchs für Radfahrer: Fichtelberg und Umgebung: [[c:Sächsische Radfahrer-Zeitung 1899-11-11, p442.jpg|Sächsische Radfahrer-Zeitung 1899-11-11]] * ''[https://nfg.hypotheses.org/2296 Sächsische Radfahrer-Zeitung: Für die nächste Zeit dürfte es Arbeit genug geben]'' {{Wikisource|Die poetische Ukraine|Friedrich von Bodenstedt: ''Die poetische Ukraine : Eine Sammlung kleinrussischer Volkslieder, ins Deutsche übertragen'', 1845}} == 12. April == [[Datei:Die Gartenlaube (1861) 352.jpg|mini|[[s:Anzeige: Das Buch vom gesunden und kranken Menschen|Anzeige: Das Buch vom gesunden und kranken Menschen, in: Die Gartenlaube, 1861.]]]] Bocknetz+ * [[c:category:Bocknetz]] * Carl Ernst Bock: ''Das Buch vom gesunden und kranken Menschen'', [[d:Q111532082#P1343|(Q111532082)]] '''Neue alte [[s:Dresdner Hefte]]''' * [[d:User:Erfurth/Dresdner Hefte|#Wikidata-Wartungslisten]]: '''[https://scholia.toolforge.org/venue/Q14916674/curation Try it!]''', Ella Judenfeind-Hülße ([[d:Q111584386]]) :Exkurs [[d:Wikidata:Scholia/de]]: Datenkuration im Allgemeinen und von fehlenden Autoren und Mainsubjects in Scholia-Datenitems: Mehrere Aspekte von Scholia haben zugehörige Seiten, die dabei helfen, Lücken in Bezug auf das betreffende Profil zu kuratieren. Sie können in der Regel durch Hinzufügen von /curation zur URL des Profils aufgerufen werden. * Dank an AW! (Heft 20: Autor [[w:de:Ernst Sigismund|Ernst Sigismund]] wird erst 2024 gemeinfrei.) <gallery> Heft20VereinGeschichteDresden1907 Umschlag.jpg Heft21VereinGeschichteDresden1909.djvu Heft28VereinGeschichteDresden1920.djvu Heft30VereinGeschichteDresden1926.djvu </gallery> Diskussion * Begriffe: Wie erklären wir Funktionen & Community*ies von Wiki*source, *data; *pedia, *Commons, für #Geschichtsvereine22 + DDHefte-Leser:innen? == 5. April == * NGO in der Gartenlaube, vgl. [[DieDatenlaube/Notizen#15. Februar|15. Februar]] {{wikisource|Verein zum Schutz der Kinder vor Ausnutzung und Mißhandlung|''Verein zum Schutz der Kinder vor Ausnutzung und Mißhandlung'', 1899}} * [http://digital.slub-dresden.de/kollektionen/73/ Kollektion 73] | Fulltext-Search, name disambiguation und AQID -> vgl. [https://github.com/ddhefte/ddhefte/blob/main/howto/readme.md Mini-Howtos] == 28. März == [[Datei:Graphic Recording der Digitalen Mittagspause mit Jens Bemme zu Open Citizen Science.png|mini|Graphic Recording der Digitalen Mittagspause von ''[https://www.buergerschaffenwissen.de/citizen-science/veranstaltungen/online-format-mittagspause-mit-buerger-schaffen-wissen Bürger schaffen Wissen]'' mit Jens Bemme zu ''Open Citizen Science'']] Quarantäne*n :Infektionskrankheiten im 19. Jahrhundert: https://w.wiki/Kim :Sämtliche "Krankheiten", die in der Gartenlaube beschrieben wurden: https://w.wiki/Kiy 1899 {{wikisource|Die Gartenlaube (1899)}} * Wer möchte einen Projektbericht für [https://saxorum.hypotheses.org/ Saxorum] texten: [[s:Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919|''~ 1869–1919'']]? (Motivation, Beteiligte, Lerneffekte, nächste Pläne, Wikisource + Wikidata, ...) * ME baut (und zeigt) '''[[d:User:Erfurth/Dresdner Hefte]]''' neue LOST-Zusammenhänge, neues GitHub-Repositorium: https://github.com/ddhefte/ * Jens baut mit am 150. [[s:Dresdner Hefte|Dresdner Heft]]: [[Projekt:Radfahrerwissen in Dresden]] == 21. März == [[Datei:Coding da Vinci Nearby.svg|mini|Coding da Vinci ''[[d:Wikidata:1Lib1Nearby|Nearby]]]]'' * Fertig: [[s:Fünfzig Jahre Verein für Geschichte Dresdens 1869–1919]] * Coding da Vinci Ost*3: [[Kurs:CodingDaVinciOst3]], Ton|Bild dazu auf Youtube: [[d:Q111313655]] * ''Der Dresdner Pulverturm: Eine schwierige Spurensuche'', [[d:Q111328005#P50]] von und mit Prof. Alexander Kästner * Am Freitag, 12-13 Uhr: [[Kurs:Digitale Mittagspause (mitforschen 2022)]] * ... ''[[d:Wikidata:1Lib1Nearby|Nearby]]'' ... == 15. März == * [http://w.wiki/43s Abfrage] für alle Gartenlaube-Artikel ohne Verschlagwortung in den Wikidata-Items * Datenqualität verbessern: [https://w.wiki/4o2 Abfrage] für Artikel mit einem Schlagwort; geeignet, um Artikel zu finden, in denen Bilder und ''subtitle'' ergänzt werden können. * ME: [[d:Q56230405|Stadtwiki Dresden wird 2023 zwanzig Jahre alt]] * Neues Item für den Vorgänger-''Verein für Geschichte Dresdens'': [[d:Q111243259]] == 8. März == [[Datei:50JVereinGeschichteDresden1919.djvu|mini|50JVereinGeschichteDresden1919]] Wikisource-Einführung für und mit dem [[s:Dresdner Geschichtsverein]] : Projekt-Indexseite: [[s:Index:50JVereinGeschichteDresden1919.djvu]] : ME empfiehl Registerseiten :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/A]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/B]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/C]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/D]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/E]] :: [[s:Fünfzig_Jahre_Verein_für_Geschichte_Dresdens_1869–1919/F]] ... ME zeigte erste DD-Hefte-Beispieleinzelheftseite im Stadtwiki DD: https://www.stadtwikidd.de/wiki/Dresdner_Heft_62:_Caroline,_Berta,_Gret_und_die_anderen_-_Frauen_und_Frauenbewegung_in_Dresden {{Wikisource|Jahr und Tag|„Jahr und Tag.“}} ''Codex Dresdensis'' (1892) {{Wikisource|Neuestes zur altamerikanischen Kultur}} {{Wikisource|Altamerikanische Kulturbilder}} == 1. März == [[File:Using Wikipedia and Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers.pdf|thumb|Using Wikipedia and Wikimedia projects in school — Handbook for Ukrainian teachers]] * ME: die ersten 100 Dresdner Hefte-Kapitel als Sneak-Preview in Wikidata: https://w.wiki/4tsP, : Kapitelübersicht: https://w.wiki/4tsU : Karte: https://w.wiki/4tsX : Orgachart: https://w.wiki/4tsu : Vorschlag: Github-Repositorien für den Dresdner Geschichtsverein * {{wikisource|Butter und Margarine|''Butter und Margarine'' und Carl Adam Bischoff ... vgl. Diskussionsseite}} * [[d:Q2312961#P1343|Spottmüntzen]]! Sonstiges * [[c:Category:Images from the Deutsche Fotothek needing category review as of 1 October 2009]], oft muss nur die Reviewvorlage entfernt werden und Kategorien sind so okay * [[c:Category:Hep-Hep-Krawalle]], mit neuer aufwändiger Karte von Christoph Pallaske, [https://twitter.com/pallaske/status/1498558402280275969 gebaut] mit [[w:Paint.NET]] mit Farbscala von https://colorbrewer2.org/#type=sequential&scheme=BuGn&n=3 == 22. Februar == [[Datei:Die Gartenlaube (1892) b 601.jpg|mini|Kasperletheater, 1892]] * {{Wikisource|Kasperletheater|''Kasperletheater'', 1892}} * {{Wikisource|Zerlegbare Holzhäuser in Deutschland|Zerlegbare Holzhäuser in Deutschland'', 1892}} Dresdner Hefte * {{Wikisource|Dresdner Hefte|''Dresdner Hefte'' nun mit den verschiedenen historischen Heftreihen: rot, braun, blau, grün}} [[BibChatDE]] und openGLAMmodul * Bridges, Laurie M., Llebot, Clara: ''Librarians as Wikimedia Movement Organizers in Spain : An interpretive inquiry exploring activities and motivations'', 2021, https://ir.library.oregonstate.edu/concern/articles/df65vg455 Klexikon * [https://klexikon.zum.de/wiki/Sachsen Sachsen], [https://klexikon.zum.de/wiki/Dresden Dresden] Dresden: https://www.verschwundene-bauwerke.de/ == 15. Februar == [[Datei:Die Gartenlaube (1896) b 0432.jpg|mini|Bilder von der Berliner Gewerbe-Ausstellung. Nach der Natur gezeichnet von Willy Stöwer, (1896)]] * Willy Stöwer-Tage: https://w.wiki/4oRj : {{Wikisource|Sehenswürdigkeiten der Ausstellungen 1896}} * {{Wikisource|Eine klassische Pflanzstätte der Musik}} * {{Wikisource|Dresdner Hefte}} NGOs * {{Wikisource|Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger|Deutsche Gesellschaft zur Rettung Schiffbrüchiger}} * {{Wikisource|Internationale Rotkreuz- und Rothalbmond-Bewegung}} * {{Wikisource|Dresdner Geschichtsverein}} * {{Wikisource|Gesellschaft der Waisenfreunde (Die Gartenlaube)|Gesellschaft der Waisenfreunde}} * ... == 8. Februar == Vote! '''Community Wishlist Survey 2022''': [[m:Community_Wishlist_Survey_2022/Wikisource#Bibliographic_Structured_Data_on_Wikisource|Bibliographic Structured Data on Wikisource]] [[Datei:Die Gartenlaube (1892) b 597.jpg|mini|Am Schächenbach]] Zur gefl. Beachtung! * {{Wikisource|Allgemeines Handlungs-Adress-Handbuch für das Herzogthum Nassau|''Allgemeines Handlungs-Adress-Handbuch für das Herzogthum Nassau'', 1836}} * {{Wikisource|Herzogtum Nassau|Themenseite: Herzogtum Nassau}} * {{Wikisource|Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts – Erster Band|Friedrich von Boetticher: ''Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts'' – Erster Band}} 1lib1ref * {{Wikisource|Am Schächenbach}} * #1lib1nearby: https://www.wikidata.org/wiki/Special:Nearby#/coord/46.87241,8.65159, Schächen (UR) Skript (Hochschule der Medien) * [[Kurs:Open Government und Open Data (HdM 2022)]], Literatursammlung wächst (auch im Item), Anregungen sind willkommen! [[Datei:¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!.svg|mini|¡HASTA LA HISTORIA SIEMPRE!]] Bildergänzungen! ''Willy Stöwer''-Tage!! {{Wikisource|Sehenswürdigkeiten der Ausstellungen 1896}} {{Wikisource|Aus den Werkstätten des Vulkan}} {{Wikisource|Das neue Reichstagshaus}} Dresdner Geschichtsverein * Neues WS+WD-Projekt demnächst fürs Hefte-Jubiläum: Heft 27 (1918), ''[http://digital.slub-dresden.de/id402053923-19180400 50 Jahre Verein für Geschichte Dresdens, 1869–1919] : Im Auftrage des Vorstands verfaßt Dr. Gg. Hrm. Muller, Direktor des Ratsarchivs, Mitteilungen des Vereins für Geschichte Dresdens, Heft 27'' – Rechteklärung, Projektteam, Wisskomm- und Visualisierungskonzept im Frühjahr 2022! == 1. Februar == [[Datei:Die Gartenlaube (1895) 895.jpg|mini|"Gartenlaube-Walzer", Op. 461, Johann Strauß (Sohn), Piano, S. 1 von 6, ''Die Gartenlaube'', 1895]] * Community Wishlist Survey 2022: [[m:Community_Wishlist_Survey_2022/Wikisource#Bibliographic_Structured_Data_on_Wikisource|Bibliographic Structured Data on Wikisource]] * {{Wikisource|Giralda|Wer kennt die „Giralda“ von Eugene De Blaas?}} * {{Wikisource|Gartenlaube-Walzer|''Gartenlaube-Walzer'', 1895}} * {{Wikisource|Der „Gartenlaube-Walzer“ von Johann Strauß|''Der „Gartenlaube-Walzer“ von Johann Strauß'', 1895}} * '''Digitale Heimatforschung im Wiki*versum''': Das Projekt ''Kamptaler Sakrallandschaften''. Auf Basis einer klassichen Publikation, eines heimatkundlichen Inventars aller [[w:Bildstock|sakralen Kleindenkmäler (Bildstöcke, Marterl, Wegkreuze)]] im [[w:Niederösterreich|niederösterreichischen]] [[w:Kamptal|Kamptal]], werden sämtliche dort beschriebenen Denkmäler in Wikidata strukturiert erfasst und das Bildmaterial in Commons unter CC BY veröffentlicht. ** [https://kamptalersakrallandschaften.gitlab.io kamptalersakrallandschaften.gitlab.io] - Website des Projektfortschritts ** [[c:Category:Files uploaded by User:Mfchris84/Kamptaler Sakrallandschaften|Commons Kategorie des Projektes]] ** Das Projekt gilt auch als ''Horizonterweiterung'' zu Insellösungen wie dem durchaus berechtigten [https://www.marterl.at www.marterl.at] *** Denkmäler die auf materl.at erfasst sind und im Projekt beschrieben wurden, werden durch die Wikidata-Property [[d:P7866|marterl.at ID]] verlinkt. Daher keine Konkurrenz, sondern Vernetzung! ** Auf Basis der Erfassung können automatisiert Wiki-Tabellen wie [[regiowiki:Liste der sakralen Kleindenkmäler in Schönberg am Kamp]] im RegiowikiAT erstelt werden. == 25. Januar == [[Datei:Die Gartenlaube (1873) b 029.jpg|mini|"Plötzlich wurden die beobachteten Hamster unruhig, und husch! fuhr die ganze Sippe theils in die Schlupflöcher, theils in’s dichte Getreide."]] * ME: ''[https://saxorum.hypotheses.org/6568 Meine Nearbyprojekte – vom Open Data Camp 2021 ins neue Jahr der Bürgerwissenschaften]'', Saxorum, 20. Januar 2022 * Bewerbung, [https://doi.org/10.5281/zenodo.5894284 zenodo.5894284] * {{Wikisource|Republikanische Hofetiquette|''Republikanische Hofetiquette'': "Der Präsident ließ nämlich im sogenannten Ostzimmer den Neujahrsgratulanten einen großen Käse aufstellen von dem sich Jeder, so viel er wollte, herunterschneiden konnte, und von dem die Abfälle, wie die gesellschaftliche Chronik aus jener Zeit meldet, auf den kostbaren Teppichen zertreten wurden." Die Gartenlaube, 1881, Heft 21.}} :: Unser Neujahrsempfang? [[c:Category:Huschhalle|Huschhalle]], Nachtansicht ergänzen! :: {{Wikisource|Aus der Mappe eines Künstlers|husch! & Hamster, in: ''Aus der Mappe eines Künstlers'', Die Gartenlaube, 1873, Heft 2}} * [[DieDatenlaube/Lehre|Modul im Sommersemester]]: Intro texten! * See: [[c:User:Mfchris84/common.js|... quickpresets_settings.js]] == 18. Januar == [[Datei:Signatur_Moritz_Wilhelm_Drobisch.PNG|mini|Autograph von Drobisch, Brief aus Leipzig 1829, [https://digital.slub-dresden.de/werkansicht/dlf/254957/191 SLUB]]] * {{wikisource|Ein Senior der Wissenschaft - Moritz Wilhelm Drobisch}} -> [[s:de:Haan:Moritz Wilhelm Drobisch|Haan:Moritz Wilhelm Drobisch]] und [https://www.wikidata.org/wiki/Special:WhatLinksHere/Q67131 Wikidata: WhatLinksHere] Heinrich Nisle * [[c:Category:Heinrich Nisle]], noch fehlen seine Bilder in: * {{wikisource|Am Plansee}} * #1lib1ref: https://citationhunt.toolforge.org == 11. Januar == [[Datei:Die Gartenlaube (1892) b 264.jpg|mini|Die Gartenlaube (1892) b 264]] [https://de.wikisource.org/wiki/Sächsisches_Schriftsteller-Lexicon Sächsisches Schriftsteller-Lexicon] ist im Entstehen für die [[de:s:Benutzer:Erfurth/Gartenlaube x Schriftsteller-Lexicon|Forschungsfrage]]: :Wie sieht der Historiker [https://de.wikisource.org/wiki/Wilhelm_Haan Wilhelm Haan] (1801-1884) die Mitwirkung Sächsischer Schriftsteller an der Gartenlaube ? {{Wikisource|Dresdner Geschichtsverein|Der Dresdner Geschichtsverein ... und seine Vereinsgesschichte}} :* {{Wikisource|Dresdner Hefte}} :* {{Wikisource|Der Reisewitzische Garten in Plauen bei Dresden|Adolf Hantzsch: ''Der Reisewitzische Garten in Plauen bei Dresden''}} Vogelschutz am Kulturdatenhügel w/ :* {{Wikisource|Deutsche Singvögel als italienische Delikatesse|''Deutsche Singvögel als italienische Delikatesse'', 1892}} :* {{Wikisource|Gesetz, betreffend den Schutz von Vögeln|''Gesetz, betreffend den Schutz von Vögeln'', 1888}} Geschichtsvereine in Chemnitz https://chemnitzer-geschichtsverein.de, Leipzig http://leipziger-geschichtsverein.de, Dresden https://dresdner-geschichtsverein.de und Sachsen https://saechsische-landesgeschichte.de == 4. Januar == [[Datei:Die Gartenlaube (1892) p 001.jpg|mini|Die Gartenlaube (1892) p 001]] * {{Wikisource|Die Gartenlaube (1892)}} * Bearbeitungsstand in Vorlage einbauen: <s>https://de.wikisource.org/wiki/Vorlage:S%C3%A4chsisches_Schriftsteller-Lexicon</s> fertig. * PDF entfaltet sich nicht: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Handbuch_der_Politik_Band_3.pdf * https://pageviews.toolforge.org/?project=de.wikisource.org&platform=all-access&agent=user&redirects=0&range=latest-20&pages=Impfgesetz * Neues Projekt, Andreas Wagner: "Für jeden Künstler soll eine separate Seite angelegt werden, dazu wird eine Textbox usw. benötigt, mit Verlinkung nach Wikidata. Das wird eine größere Sache, aber für Kunsthistoriker ist das Werk ein Standard, dessen Bearbeitung bei uns aus meiner Sicht überfällig ist. Ich freu mich drauf und hoffe auf Unterstützung." {{Wikisource|Wikisource_Diskussion:Projekte#Friedrich_von_Boetticher:_Malerwerke_des_neunzehnten_Jahrhunderts|Friedrich von Boetticher: Malerwerke des neunzehnten Jahrhunderts}} == DatenlaubeJam '21 == Archiv '''[[DieDatenlaube/Notizen/2021|2021]]''' == Werkzeug== <gallery> Cover of Wikipedia and Academic Libraries (page 1 crop).jpg|[[s:en:Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project|Wikipedia and Academic Libraries: A Global Project, 2021]] </gallery> sxrkaidkiwtjw7j6xj0euvnn0bowjd8 106 130516 746360 741131 2022-07-28T09:09:16Z Bert Niehaus 20843 /* Veranschaulichung der Funktionenfolge */ wikitext text/x-wiki == Ursprung der Theorie == Arens konnte die permanent singulären Elemente (siehe Originalarbeit von Arens oder W. Zelasko, Banach algebras, S.59 ff.) in einer kommutativen, unitalen Banachalgebra <math display="inline">A\in {\mathcal{B}} ^k_e</math> mit Norm <math display="inline">\| \cdot\|</math> äquivalent charakterisieren. Permanent singuläre Element in Banachalgebren sind die topologischen Nullteiler von <math display="inline">A</math>. Ferner gilt umgekehrt, dass ein Element, das kein topologischen Nullteiler von <math display="inline">A</math> ist, in einer Algebraerweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math> invertierbar ist. == Aussage für Banachalgebren == :<math> \begin{array}{rcl} z \, {\mathcal{B}} ^k \mbox{-singulär } & \Leftrightarrow & z\in {\mathcal{TNT}} (A) \\ & \Leftrightarrow & \displaystyle \inf_{\| x\| =1} \{\| zx\| \} =0 \\ & \Leftrightarrow & \exists_{ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in A^{\mathbb{N}},\| x_n\| =1} : \lim \limits _{n\to \infty} \| z\cdot x_n \| = 0 \\ z \, {\mathcal{B}} ^k \mbox{-regulär } &\Leftrightarrow& \exists_{D>0} \forall_{x\in A} : \| x \| \leq D\cdot \| zx \| \end{array} </math> (siehe auch Arens 1959<ref>Arens, R. (1958). Inverse-producing extensions of normed algebras. Transactions of the American Mathematical Society, 88(2), 536-548.</ref>) == Ziel des Vorgehens == Ziel ist es, permanent singuläre Elemente für weitere Klassen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> topologischer Algebren zu charakterisieren. Alle in der Literatur bekannten bzw. entwickelten Regularitätskriterien sollen nun in den folgenden Kurseinheiten mit dem [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz_über_K-reguläre_Elemente|Haupsatz über <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-reguläre Elemente]] bewiesen werden. == Teilmengen K-singulärer Elemente == Bevor die zentrale Aussage Arens behandelt werden kann, steht die Untersuchung von Teilmengen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-singulärer Elemente im Vordergrund. D.h. es werden Elemente in der Algebra <math>A</math> untersucht, von denen man nachgeweisen kann, dass diese permanent singulär in jeder <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung. === Definition: Rechtsseitiger/linksseitiger Nullteiler === Ist die Algebra nicht kommuntativ kann man rechtsseitige und linksseitige Nullteiler unterscheiden. Sei <math display="inline">A</math> eine topologische Algebra, dann heißt <math display="inline">z\in A \setminus \{0_A\} </math> '''rechtsseitiger Nullteiler''' in <math display="inline">A</math> (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{NT}}_r (A)</math>), falls ein <math display="inline">0_A \not= x\in A</math> existiert mit <math display="inline">z\cdot x=0</math> bzw. '''linksseitiger Nullteiler''' (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{NT}}_l (A)</math>), falls es ein <math display="inline">0_A \not= x\in A</math> gibt mit <math display="inline">x\cdot z=0</math>. <math display="inline">z</math> heißt Nullteiler (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{NT}} (A)</math>) in <math display="inline">A</math>, wenn <math display="inline">z</math> ein rechtsseitiger oder ein linksseitiger Nullteiler in <math display="inline">A</math> ist. === Nullteiler permanent singulär === Rechtsseitige und linksseitige Nullteiler sind permanent singulär. Der Beweis ergibt sich aus Eigenschaft von invertierbaren Elementen sowohl durch die Multiplikation von rechts als auch von links mit dem inversen Element das neutrale Element der Multiplikation <math>e_A</math> zu liefern. <math>z\cdot z^{-1} = e_A = z^{-1} \cdot z</math>. Durch Multiplkation mit dem Nullteilers von rechts bzw. links ergibt sich der Widerspruch zur <math>\mathcal{K}</math>-Regularität in einer Algebraerweiterung. == Definition: Topologische Nullteiler == Sei <math display="inline">A</math> eine topologische Algebra. Da ein topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologische Nullteiler. === Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler === Man nennt <math display="inline">z\in A</math> einen ''rechtsseitgen topologischen Nullteiler'' in <math display="inline">A</math> (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} _r (A)</math>), falls es eine Nullumgebung <math display="inline">U_0\in \mathfrak{U} (0_A)</math> gibt, so dass gilt: :<math display="block">0_A \in \overline{z\cdot (A\setminus U_0)}</math> === Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler === <math display="inline">z\in A</math> heißt ''linksseitger topologischer Nullteiler'' in <math display="inline">A</math> (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} _l (A)</math>), falls ein <math display="inline"> U_0\in \mathfrak{U} (0_A)</math> existiert, so dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: :<math display="block">0_A \in \overline{(A\setminus U_0)\cdot z}</math> Dabei ist <math display="inline"> 0_A</math> der Nullvektor in der topologischen Algebra <math>A</math>. === Definition: topologische Nullteiler === <math display="inline">z\in A</math> ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: <math display="inline">z \in {\mathcal{TNT}} (A)</math>), falls <math display="inline">z</math> ein rechtseitiger '''oder''' ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist<ref>[[w:de:Wiezlaw_Zelazko|Zelazko, Wiezlaw]] (1985) Topological divisors of zero, their applications and generalization.Geometry seminars, (Italian) (Bologna, 1985), 175–191, Univ. Stud. Bologna, Bologna, 1986</ref>. == Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in {\mathcal{K}}</math>, dann ist <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}}_r(A)</math> (bzw. <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}}_l(A)</math>) genau dann, wenn es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> gibt mit, so dass für alle <math> \beta \in {\mathcal{A}}</math> gilt: :<math display="block"> \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \left\| z\cdot x \right\| _\beta =0 \, \mbox{ mit } \, z\in {\mathcal{TNT}}_r(A) \, \, \, \, (\ast) </math> bzw. :<math display="block"> \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \left\| x\cdot z \right\| _\beta = 0 \, \mbox{ mit } \, z\in {\mathcal{TNT}}_l(A) </math> == Beweis == siehe Beweis für das [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|Topologische-Nullteiler-Kriterium für Gaugefunktional]] == Beispiel: Topologischer Nullteiler == Man betrachtet die Algebra <math display="inline">{\cal C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> aller stetigen reellwertigen Funktionen <math display="inline">f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}</math> mit den Halbnormen :<math display="block"> \left\| f \right\| _m := \max_{|t|\leq m} |f(t)| \mbox{ mit } m\in \mathbb{N}. </math> === Topologisierung der Algebra === <math display="inline">A:={\cal C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist eine vollständig metrisierbare, lokalkonvexe Algebra über <math display="inline">\mathbb{R}</math> mit punktweiser Multiplikation und Einselement <math display="inline">e(t)=1</math> für alle <math display="inline">t\in \mathbb{R}</math>. Jedes singuläre Element <math display="inline">g\in {\cal C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> hat eine Nullstelle <math display="inline">t_o\in \mathbb{R}</math>. Betrachte die <math display="inline">\frac{1}{2}</math>-Kugel <math display="inline">U:=B^m_{1/2}(0)</math> der <math display="inline">m</math>-ten Halbnorm um <math display="inline">0_A</math> mit <math display="inline">m\geq |t_o|+1</math>. === Definition der Funktionenfolge === :<math display="block"> f_n(t):= \left\{ \begin{array}{ll} 1- n\cdot |t-t_o| & \ \mbox{ für } t\in \left[ t_o - \frac{1}{n}, t_o + \frac{1}{n} \right] \\ 0 & \mbox{ sonst } \\ \end{array} \right. </math> Für alle <math display="inline">n\in \mathbb{N}</math> und <math display="inline">m\geq |t_o|+1</math> gilt: <math display="inline">\left\| f_n \right\| _m=1 \Longrightarrow f_n\notin U</math> (siehe auch [https://www.geogebra.org/m/ea2z6v95 Geogebra Applet]<ref>Engelbert Niehaus (2021) Geogebra Applet - Topologischer Nullteiler - Definition der Funktionenfolge - Applet für Wikiversity Lernresource URL: https://www.geogebra.org/m/ea2z6v95 (Zugriff 2021/05/11)</ref>). === Veranschaulichung der Funktionenfolge === Die folgende Animation zeigt die Graphen der Abbildung <math>f_n</math> aus der vorherigen Definition der <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>. [[Datei:Functional analysis topological divisor of zero.gif|500px|Topologische Nullteiler - Definition der Funktionenfolge]] === Grenzwert der Funktionenfolge === <math> f_o(t)=1 \mbox{ für } t=t_o \mbox{ und } f_o(t)=0 \mbox{ sonst } </math> === Reguläre Elemente === Ein reguläres Element <math>f \in \mathcal{G}(A)</math> darf in dem Funktionenraum <math>A</math> keine Nullstellen besitzen, damit argumentweise man die multiplikativ inverse Funktion bilden kann :<math display="block"> \begin{array}{rrcl} g: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & g(x)=\frac{1}{f(x)} \end{array} </math> Mit <math>f \cdot g = g \cdot f = e_A </math>, wobei <math>e_A(x) = 1 </math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> die konstante Funktion mit Wert 1 ist. === Bemerkung: Umkehrfunktionen - multiplikativ invers === Mit der Notation <math>f^{-1}</math> meint man in der Regel die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung <math>f: \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math>. Ein multiplikativ inverse Funktion in <math>h \in A := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> muss aber nicht notwendigerweise bijektiv. Da im Allgemeinen bei der Bildung der Umkekrfunktion <math>f^{-1}: \mathbb{W} \to \mathbb{D} </math> Definition und Wertebereich nicht gleich sind, liegt eine Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> ggf. noch nicht einmal wieder in der gleichen Funktionenraum wie <math>A</math>. Aus diesem Grund wird multiplikativ inverse Funktionen die Notation <math>f^{-1}</math> hier nicht verwendet. === Singuläre Elemente - permanent singulär === Ist nun <math>f_0</math> ein singuläres Element, dann hat <math>f_0</math> eine Nullstelle in <math>\mathbb{R}</math>. Sei <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> die Nulltstelle von <math>f_0</math>. Dann definiert man die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> wie oben für die Nullstelle <math>t_0\in \mathbb{R}</math>. Mit :<math display="block"> \left\| f \right\| _m = \max_{|t|\leq m} |f(t)| \mbox{ mit } m\in \mathbb{N}. </math> gilt <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{m_1} \leq \left\| \cdot \right\| _{m_2}</math> für <math>m_1 \leq m_2</math>. === Abschätzung - topologische Nullteiler === Wegen <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{m_1} \leq \left\| \cdot \right\| _{m}</math> für <math>m_1 \leq m </math> wähle ohne Einschränkung <math>m \geq |t_0| + 1 </math>. :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| f_0 \cdot f_n \right\| _{m_1} & \leq & \left\| f_0 \cdot f_n \right\| _m \, \, = \, \, \displaystyle \max_{|t|\leq m} |f_{0}(t) \cdot f_n(t)| \\ & = & \max \left\{|f_{0}(t) \cdot f_n(t)| \, : \, |t - t_0 | \leq \frac{1}{n} \right\} \\ & = & \max \bigl\{|f_{0}(t)| \cdot \underbrace{|f_n(t)|}_{\leq 1} \, : \, |t - t_0 | \leq \frac{1}{n} \bigr\} \\ \\ & = & \max \left\{|f_{0}(t)| \, : \, | t - t_0 | \leq \frac{1}{n} \right\} \\ & \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} & 0 \, \, \, \mbox{ wegen } f_0(t_0) = 0 \mbox{ und } f_0 \mbox{ stetig in } t_0 \end{array} </math> === Konvergenz - Definition TNT === Mit geeignet gewählten Funktionenfolgen <math display="inline">(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist jedes singuläre Element ein topologischer Nullteiler in <math display="inline">A</math>, denn es gilt: :<math display="block"> f_0\cdot f_n {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle n\longrightarrow \infty}}} 0_A \Longrightarrow 0_A \in \overline{f_0 \cdot (A\setminus U)} </math> === Topologische Nullteiler in einem lokalkonvexen Raum === <math> \left\| \cdot \right\| _{\mathbb{N}} </math> ist eine Halbnormensystem auf <math> A := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}) </math>. Insgesamt ist jedes singuläre Element <math display="inline">f_0</math> mit Nullstelle nicht nur ein <math> \mathcal{LC} </math>-singuläres Element, sondern auch ein permanent singuläres Element in jeder Algebraerweiterung von <math>A</math>. == Lemma: TNT singulär == Ein topologischer Nullteiler <math display="inline">z\in A\in {\mathcal{K}}_e</math> ist in <math display="inline">A</math> nicht invertierbar. == Beweis 1 - über Topologie == '''Annahme:''' Sei <math display="inline">x\in A</math> invertierbar mit <math display="inline">z\cdot z^{-1}=e_A</math> mit <math>e_A</math> als Einselement der Multiplikation in <math>A</math>. Da <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} (A)</math> ein topologischer Nullteiler in <math display="inline">A</math> ist, gibt es ein Netz :<math display="block"> (y_{_{U}})_{_{U\in\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)}} \in (A\setminus V)^{\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)} \mbox{ mit } V\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A) \mbox{ und } w_{_{U}} := y_{_{U}}\cdot z \in U. </math> === Stetigkeit der Multiplikation === Aus der Stetigkeit der Multiplikation und <math display="inline"> w_{_{U}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)}}} 0 </math> folgt auch <math display="inline"> w_{_{U}}\cdot z^{-1} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)}}} 0 </math> und man erhält: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)} \exists_{\displaystyle U(V)\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)} : w_{_{U(V)}}\cdot z^{-1}\in V. </math> === Widerspruch === Dadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt: :<math display="block"> V \not \ni y_{_{U(V)}}= y_{_{U(V)}} \cdot (z\cdot z^{-1})= ( y_{_{U(V)}} \cdot z)\cdot z^{-1} \in V. </math> Der Widerspruch zeigt, dass <math display="inline">z</math> in <math display="inline">A</math> nicht invertierbar sein kann.<math> \Box </math> == Beweis 2 - über Gaugefunktionale == '''Annahme:''' Sei <math display="inline">z\in A</math> invertierbar mit <math display="inline">z\cdot z^{-1}=e_A</math> mit <math>e_A</math> als Einselement der Multiplikation in <math>A</math>. Da <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} (A)</math> ein topologischer Nullteiler in <math display="inline">A</math> ist, gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math>, sodass für alle <math>\beta \in \mathcal{A}</math> ::<math display="block"> \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \left\| z\cdot x \right\| _\beta =0 \, \mbox{ mit } \, z\in {\mathcal{TNT}}_r(A) </math> === Unital positives Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung sei das Gaugefunktionalsystem unital positiv, d.h. für alle <math>\beta \in \mathcal{A}</math> gilt <math>\|e_A\|_\beta > 0 </math>. Falls das Gaugefunktionalsystem nicht unital positiv ist, geht man zu einem äquivalenten Teilsystem über, das unital positiv ist. Damit gibt es für alle <math>\beta \in \mathcal{A}</math> ein <math>\gamma_\beta \in \mathcal{A}</math> mit: :<math> \| x_1 \cdot x_2 \|_\alpha \leq \| x_1 \|_{\gamma_\alpha} \cdot \|x_2 \|_{\gamma_\alpha} </math> === Stetigkeit der Multiplikation === Aus der Stetigkeit der Multiplikation erhält man für alle <math> x \in A</math> mit <math>\|x\|_\alpha = 1 </math>: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} 1 = \| x \|_\alpha & = & \| e_A \cdot x \|_\alpha = \| z\cdot z^{-1} \cdot x \|_\alpha \\ & \leq & \| z^{-1} \|_{\gamma_\alpha} \cdot \underbrace{ \|z \cdot x \|_{\gamma_\alpha} }_{\inf \to 0} \end{array} </math> === Bildung des Infimums === Durch Bildung des Infimums ergibt sich der Widerspruch wie folgt: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} 1 &= & \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \| x \|_\alpha = \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \| e_A \cdot x \|_\alpha \\ & = & \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \| z\cdot z^{-1} \cdot x \|_\alpha \\ & \leq & \| z^{-1} \|_{\gamma_\alpha} \cdot \displaystyle \underbrace{ \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \|z \cdot x \|_{\gamma_\alpha} }_{=0} = 0 \end{array} </math> === Widerspruch === Der Widerspruch zeigt, dass <math display="inline">x</math> in <math display="inline">A</math> nicht invertierbar sein kann.<math> \Box </math> == Korrollar: TNT permanent singulär == Sei <math display="inline">{\mathcal{K}}_e</math> eine Klasse von Algebren mit <math display="inline">A\in {\mathcal{K}}_e</math>, dann sind alle topologischen Nullteiler <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-singuläre Elemente. == Beweis == Annahme: <math>z \in A</math> ist ein topologischer Nullteiler in <math>A</math> und zugleich in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> invertierbar. === Homöomorphie === In dem Beweis wird die Homöomorphie <math>\tau : A \to A' \subset B </math> der Einbettung einer Algebra <math display="inline"> \left( A, \left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}} \right) </math> in die <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung <math display="inline"> \left( B, \left\| \! \left| \cdot \right| \! \right\| _{\widetilde{\mathcal{A}}} \right) </math> von <math display="inline">A</math> verwendet. === Topologischer Nullteiler - Gaugefunktionale === Da <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} (A)</math> ein topologischer Nullteiler in <math display="inline">A</math> ist, gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math>, sodass für alle <math>\beta \in \mathcal{A}</math> ::<math display="block"> \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \left\| z\cdot x \right\| _\beta =0 \, \mbox{ mit } \, z\in {\mathcal{TNT}}_r(A) </math> === Stetigkeit der Einbettung 1 === Mit der Stetigkeit der Einbettung <math>\tau : A \to A' \subset B </math> gibt es zu jedem <math>\beta \in \widetilde{\mathcal{A}} </math> eine Konstante <math>C_\beta > 0 </math> und <math> \gamma_\beta \in \mathcal{A} </math> mit :<math> \forall_{x \in A}: \, \, \, \left\|\! \left| x \right| \! \right\|_{\beta} \leq C_\beta \cdot \| x\|_{\gamma_\beta} </math> === Stetigkeit der Einbettung 2 === Mit der Stetigkeit der Umkehrabbildung <math>\tau^{-1} : A' \to A </math> gibt es zu jedem <math>\alpha \in \mathcal{A} </math> eine Konstante <math> C_\alpha > 0 </math> und <math> \delta_\alpha \in \widetilde{\mathcal{A}} </math> mit :<math> \forall_{x \in A}: \, \, \, \| x\|_{\alpha} \leq C_\alpha \cdot \left\|\! \left| x \right| \! \right\|_{\delta_\alpha} </math> === Topologischer Nullteiler in der Erweiterung === Wir zeigen nun, dass <math> \tau(z) \in B</math> auch ein topologische Nullteiler in <math display="inline">B</math> ist, denn für alle <math>\beta \in \widetilde{\mathcal{A}} </math> gilt die folgende Abschätzung. === Anschätzung Topologischer Nullteiler === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \inf_{\left\|\! \left| b \right| \! \right\| _{\delta_\alpha} = 1, \, \, \, b\in B} \left\|\! \left| z\cdot b \right| \! \right\|_{\beta} & = & \displaystyle \inf_{\left\|\! \left| b \right| \! \right\| _{\delta_\alpha} \geq 1, \, \, \, b\in B} \left\|\! \left| z\cdot b \right| \! \right\|_{\beta} \\ & = & \displaystyle \inf_{C_\alpha \cdot \left\|\! \left| b \right| \! \right\| _{\delta_\alpha} \geq 1, \, \, \, b\in B} \, \, \frac{1}{C_\alpha} \cdot \left\|\! \left| z\cdot b \right| \! \right\|_{\beta} \\ & \leq & \displaystyle \inf_{C_\alpha \cdot \left\|\! \left| \tau(x) \right| \! \right\| _{\delta_\alpha} \geq 1, \, \, \, x\in A } \, \, \frac{1}{C_\alpha} \cdot \left\|\! \left| z\cdot \tau (x) \right| \! \right\|_{\beta} \\ & \leq & \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha \geq 1, \, \, \, x\in A} \, \, \frac{1}{C_\alpha} \cdot \left\|\! \left| z\cdot x \right| \! \right\|_{\beta} \\ & \leq & \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha = 1} \frac{1}{C_\alpha} \cdot C_\beta \cdot \left\| z\cdot x \right\| _{\gamma_\beta} = 0 \end{array} </math> === TNT in Algebraerweiterung === Mit der obigen Abschätzung wurde gezeigt, dass <math> z \in A \subset B</math> auch in der Algebraerweiterung ein topologischer Nullteiler ist. Nach Lemma über TNT und Gaugefunktionale auch in <math display="inline">B</math> nicht invertierbar. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass <math>z\in A</math> in der Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> invertierbar ist. <math> \Box </math> == Lemma: Produkte von topologischen Nullteilern == Sei <math display="inline">A\in {\mathcal{T}}(\mathbb{K})</math> eine topologische Algebra über <math display="inline">\mathbb{K}</math>, dann gilt: :<math display="block"> A\cdot {\mathcal{TNT}}(A) \subset {\mathcal{TNT}}(A) \supset {\mathcal{TNT}}(A) \cdot A. </math> Bei unitalen Algebren gilt Mengengleichheit. == Beweis == Sei <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}}(A)</math> gegeben, dann gibt es zu einer Nullumgebung <math display="inline">V\in \mathfrak{U} (0)</math> ein Netz <math display="inline"> (x_{_{U}})_{_{U\in \mathfrak{U} (0)}} \in (A\backslash V)^{\mathfrak{U} (0)} </math> mit <math display="inline"> z\cdot x_{_{U}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle U\in \mathfrak{U} (0)}}} 0 </math>. Demzufolge konvergiert das Netz <math display="inline">(a\cdot z\cdot x_{_{U}} )_{_{U\in \mathfrak{U} (0)}}</math> auch für alle <math display="inline">a\in A</math> gegen <math display="inline">0</math>. Also ist <math display="inline">a\cdot z\in {\mathcal{TNT}}(A)</math> und man erhält insgesamt: :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\displaystyle z\in {\mathcal{TNT}}(A)} : A\cdot z\subset {\mathcal{TNT}}(A) \Longrightarrow A\cdot {\mathcal{TNT}}(A) \subset {\mathcal{TNT}}(A). \end{array} </math> Die Behauptung <math display="inline">{\mathcal{TNT}}(A) \supset {\mathcal{TNT}}(A) \cdot A</math> zeigt man analog. <math> \Box </math> == Augaben für Studierende == In den obigen Aussagen wurde immer die Definition der topologischen Nullteiler direkt verwendet ohne die Eigenschaften über Gaugefunktionale zu zeigen. Beweise die folgenden Aussagen über analog über die Verwendung von Gaugefunktionalen zusammen mit [[#Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] === Aufgabe 1 - TNT singulär === Zeigen Sie mit [[#Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]], dass ein topologischer Nullteiler <math display="inline">x\in A\in {\mathcal{K}}_e</math> in <math display="inline">A</math> nicht invertierbar ist. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|topologisch kleine Potenzen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktional]] * [[Multiplikative topologische Nullteiler]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale|MTNT-Kriterium für Gaugefunktional]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] --> [[Category:Wiki2Reveal]] ak5k9kgslwhn7cv7cc0kw8k2rgtl6fy 746361 746360 2022-07-28T09:11:44Z Bert Niehaus 20843 /* Grenzwert der Funktionenfolge */ wikitext text/x-wiki == Ursprung der Theorie == Arens konnte die permanent singulären Elemente (siehe Originalarbeit von Arens oder W. Zelasko, Banach algebras, S.59 ff.) in einer kommutativen, unitalen Banachalgebra <math display="inline">A\in {\mathcal{B}} ^k_e</math> mit Norm <math display="inline">\| \cdot\|</math> äquivalent charakterisieren. Permanent singuläre Element in Banachalgebren sind die topologischen Nullteiler von <math display="inline">A</math>. Ferner gilt umgekehrt, dass ein Element, das kein topologischen Nullteiler von <math display="inline">A</math> ist, in einer Algebraerweiterung <math display="inline">B</math> von <math display="inline">A</math> invertierbar ist. == Aussage für Banachalgebren == :<math> \begin{array}{rcl} z \, {\mathcal{B}} ^k \mbox{-singulär } & \Leftrightarrow & z\in {\mathcal{TNT}} (A) \\ & \Leftrightarrow & \displaystyle \inf_{\| x\| =1} \{\| zx\| \} =0 \\ & \Leftrightarrow & \exists_{ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}\in A^{\mathbb{N}},\| x_n\| =1} : \lim \limits _{n\to \infty} \| z\cdot x_n \| = 0 \\ z \, {\mathcal{B}} ^k \mbox{-regulär } &\Leftrightarrow& \exists_{D>0} \forall_{x\in A} : \| x \| \leq D\cdot \| zx \| \end{array} </math> (siehe auch Arens 1959<ref>Arens, R. (1958). Inverse-producing extensions of normed algebras. Transactions of the American Mathematical Society, 88(2), 536-548.</ref>) == Ziel des Vorgehens == Ziel ist es, permanent singuläre Elemente für weitere Klassen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math> topologischer Algebren zu charakterisieren. Alle in der Literatur bekannten bzw. entwickelten Regularitätskriterien sollen nun in den folgenden Kurseinheiten mit dem [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Hauptsatz_über_K-reguläre_Elemente|Haupsatz über <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-reguläre Elemente]] bewiesen werden. == Teilmengen K-singulärer Elemente == Bevor die zentrale Aussage Arens behandelt werden kann, steht die Untersuchung von Teilmengen <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-singulärer Elemente im Vordergrund. D.h. es werden Elemente in der Algebra <math>A</math> untersucht, von denen man nachgeweisen kann, dass diese permanent singulär in jeder <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung. === Definition: Rechtsseitiger/linksseitiger Nullteiler === Ist die Algebra nicht kommuntativ kann man rechtsseitige und linksseitige Nullteiler unterscheiden. Sei <math display="inline">A</math> eine topologische Algebra, dann heißt <math display="inline">z\in A \setminus \{0_A\} </math> '''rechtsseitiger Nullteiler''' in <math display="inline">A</math> (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{NT}}_r (A)</math>), falls ein <math display="inline">0_A \not= x\in A</math> existiert mit <math display="inline">z\cdot x=0</math> bzw. '''linksseitiger Nullteiler''' (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{NT}}_l (A)</math>), falls es ein <math display="inline">0_A \not= x\in A</math> gibt mit <math display="inline">x\cdot z=0</math>. <math display="inline">z</math> heißt Nullteiler (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{NT}} (A)</math>) in <math display="inline">A</math>, wenn <math display="inline">z</math> ein rechtsseitiger oder ein linksseitiger Nullteiler in <math display="inline">A</math> ist. === Nullteiler permanent singulär === Rechtsseitige und linksseitige Nullteiler sind permanent singulär. Der Beweis ergibt sich aus Eigenschaft von invertierbaren Elementen sowohl durch die Multiplikation von rechts als auch von links mit dem inversen Element das neutrale Element der Multiplikation <math>e_A</math> zu liefern. <math>z\cdot z^{-1} = e_A = z^{-1} \cdot z</math>. Durch Multiplkation mit dem Nullteilers von rechts bzw. links ergibt sich der Widerspruch zur <math>\mathcal{K}</math>-Regularität in einer Algebraerweiterung. == Definition: Topologische Nullteiler == Sei <math display="inline">A</math> eine topologische Algebra. Da ein topologische Algebra nicht notwendig kommutativ ist, unterscheidet man rechtseitige und linkseitige topologische Nullteiler. === Definition: Rechtsseitiger topologische Nullteiler === Man nennt <math display="inline">z\in A</math> einen ''rechtsseitgen topologischen Nullteiler'' in <math display="inline">A</math> (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} _r (A)</math>), falls es eine Nullumgebung <math display="inline">U_0\in \mathfrak{U} (0_A)</math> gibt, so dass gilt: :<math display="block">0_A \in \overline{z\cdot (A\setminus U_0)}</math> === Definition: Linksseitiger topologische Nullteiler === <math display="inline">z\in A</math> heißt ''linksseitger topologischer Nullteiler'' in <math display="inline">A</math> (Bezeichnung: <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} _l (A)</math>), falls ein <math display="inline"> U_0\in \mathfrak{U} (0_A)</math> existiert, so dass folgende Eigenschaft erfüllt ist: :<math display="block">0_A \in \overline{(A\setminus U_0)\cdot z}</math> Dabei ist <math display="inline"> 0_A</math> der Nullvektor in der topologischen Algebra <math>A</math>. === Definition: topologische Nullteiler === <math display="inline">z\in A</math> ist ein topologischer Nullteiler (Bezeichnung: <math display="inline">z \in {\mathcal{TNT}} (A)</math>), falls <math display="inline">z</math> ein rechtseitiger '''oder''' ein linkseitiger topologischer Nullteiler ist<ref>[[w:de:Wiezlaw_Zelazko|Zelazko, Wiezlaw]] (1985) Topological divisors of zero, their applications and generalization.Geometry seminars, (Italian) (Bologna, 1985), 175–191, Univ. Stud. Bologna, Bologna, 1986</ref>. == Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale == Sei <math display="inline">\left( A,\left\| \cdot \right\| _{\mathcal{A}} \right)\in {\mathcal{K}}</math>, dann ist <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}}_r(A)</math> (bzw. <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}}_l(A)</math>) genau dann, wenn es ein <math display="inline">\alpha\in {\mathcal{A}}</math> gibt mit, so dass für alle <math> \beta \in {\mathcal{A}}</math> gilt: :<math display="block"> \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \left\| z\cdot x \right\| _\beta =0 \, \mbox{ mit } \, z\in {\mathcal{TNT}}_r(A) \, \, \, \, (\ast) </math> bzw. :<math display="block"> \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \left\| x\cdot z \right\| _\beta = 0 \, \mbox{ mit } \, z\in {\mathcal{TNT}}_l(A) </math> == Beweis == siehe Beweis für das [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|Topologische-Nullteiler-Kriterium für Gaugefunktional]] == Beispiel: Topologischer Nullteiler == Man betrachtet die Algebra <math display="inline">{\cal C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> aller stetigen reellwertigen Funktionen <math display="inline">f:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}</math> mit den Halbnormen :<math display="block"> \left\| f \right\| _m := \max_{|t|\leq m} |f(t)| \mbox{ mit } m\in \mathbb{N}. </math> === Topologisierung der Algebra === <math display="inline">A:={\cal C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> ist eine vollständig metrisierbare, lokalkonvexe Algebra über <math display="inline">\mathbb{R}</math> mit punktweiser Multiplikation und Einselement <math display="inline">e(t)=1</math> für alle <math display="inline">t\in \mathbb{R}</math>. Jedes singuläre Element <math display="inline">g\in {\cal C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> hat eine Nullstelle <math display="inline">t_o\in \mathbb{R}</math>. Betrachte die <math display="inline">\frac{1}{2}</math>-Kugel <math display="inline">U:=B^m_{1/2}(0)</math> der <math display="inline">m</math>-ten Halbnorm um <math display="inline">0_A</math> mit <math display="inline">m\geq |t_o|+1</math>. === Definition der Funktionenfolge === :<math display="block"> f_n(t):= \left\{ \begin{array}{ll} 1- n\cdot |t-t_o| & \ \mbox{ für } t\in \left[ t_o - \frac{1}{n}, t_o + \frac{1}{n} \right] \\ 0 & \mbox{ sonst } \\ \end{array} \right. </math> Für alle <math display="inline">n\in \mathbb{N}</math> und <math display="inline">m\geq |t_o|+1</math> gilt: <math display="inline">\left\| f_n \right\| _m=1 \Longrightarrow f_n\notin U</math> (siehe auch [https://www.geogebra.org/m/ea2z6v95 Geogebra Applet]<ref>Engelbert Niehaus (2021) Geogebra Applet - Topologischer Nullteiler - Definition der Funktionenfolge - Applet für Wikiversity Lernresource URL: https://www.geogebra.org/m/ea2z6v95 (Zugriff 2021/05/11)</ref>). === Veranschaulichung der Funktionenfolge === Die folgende Animation zeigt die Graphen der Abbildung <math>f_n</math> aus der vorherigen Definition der <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math>. [[Datei:Functional analysis topological divisor of zero.gif|500px|Topologische Nullteiler - Definition der Funktionenfolge]] === Grenzwert der Funktionenfolge === Die folgende Grenzfunktion <math>f_o:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> ist nicht stetig und die Cauchy-Folge der Funktionen <math>(f_n)_{n \in\mathbb{N}}</math> konvergiert nicht. <math> f_o(t)=1 \mbox{ für } t=t_o \mbox{ und } f_o(t)=0 \mbox{ sonst } </math> === Reguläre Elemente === Ein reguläres Element <math>f \in \mathcal{G}(A)</math> darf in dem Funktionenraum <math>A</math> keine Nullstellen besitzen, damit argumentweise man die multiplikativ inverse Funktion bilden kann :<math display="block"> \begin{array}{rrcl} g: & \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \\ & x & \mapsto & g(x)=\frac{1}{f(x)} \end{array} </math> Mit <math>f \cdot g = g \cdot f = e_A </math>, wobei <math>e_A(x) = 1 </math> für alle <math>x \in \mathbb{R}</math> die konstante Funktion mit Wert 1 ist. === Bemerkung: Umkehrfunktionen - multiplikativ invers === Mit der Notation <math>f^{-1}</math> meint man in der Regel die Umkehrfunktion einer bijektiven Abbildung <math>f: \mathbb{D} \to \mathbb{W} </math>. Ein multiplikativ inverse Funktion in <math>h \in A := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R})</math> muss aber nicht notwendigerweise bijektiv. Da im Allgemeinen bei der Bildung der Umkekrfunktion <math>f^{-1}: \mathbb{W} \to \mathbb{D} </math> Definition und Wertebereich nicht gleich sind, liegt eine Umkehrfunktion <math>f^{-1}</math> ggf. noch nicht einmal wieder in der gleichen Funktionenraum wie <math>A</math>. Aus diesem Grund wird multiplikativ inverse Funktionen die Notation <math>f^{-1}</math> hier nicht verwendet. === Singuläre Elemente - permanent singulär === Ist nun <math>f_0</math> ein singuläres Element, dann hat <math>f_0</math> eine Nullstelle in <math>\mathbb{R}</math>. Sei <math>t_0 \in \mathbb{R}</math> die Nulltstelle von <math>f_0</math>. Dann definiert man die Funktionenfolge <math>(f_n)_{n\in \mathbb{N}}</math> wie oben für die Nullstelle <math>t_0\in \mathbb{R}</math>. Mit :<math display="block"> \left\| f \right\| _m = \max_{|t|\leq m} |f(t)| \mbox{ mit } m\in \mathbb{N}. </math> gilt <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{m_1} \leq \left\| \cdot \right\| _{m_2}</math> für <math>m_1 \leq m_2</math>. === Abschätzung - topologische Nullteiler === Wegen <math display="inline"> \left\| \cdot \right\| _{m_1} \leq \left\| \cdot \right\| _{m}</math> für <math>m_1 \leq m </math> wähle ohne Einschränkung <math>m \geq |t_0| + 1 </math>. :<math display="block"> \begin{array}{rcl} \left\| f_0 \cdot f_n \right\| _{m_1} & \leq & \left\| f_0 \cdot f_n \right\| _m \, \, = \, \, \displaystyle \max_{|t|\leq m} |f_{0}(t) \cdot f_n(t)| \\ & = & \max \left\{|f_{0}(t) \cdot f_n(t)| \, : \, |t - t_0 | \leq \frac{1}{n} \right\} \\ & = & \max \bigl\{|f_{0}(t)| \cdot \underbrace{|f_n(t)|}_{\leq 1} \, : \, |t - t_0 | \leq \frac{1}{n} \bigr\} \\ \\ & = & \max \left\{|f_{0}(t)| \, : \, | t - t_0 | \leq \frac{1}{n} \right\} \\ & \stackrel{n \to \infty}{\longrightarrow} & 0 \, \, \, \mbox{ wegen } f_0(t_0) = 0 \mbox{ und } f_0 \mbox{ stetig in } t_0 \end{array} </math> === Konvergenz - Definition TNT === Mit geeignet gewählten Funktionenfolgen <math display="inline">(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> ist jedes singuläre Element ein topologischer Nullteiler in <math display="inline">A</math>, denn es gilt: :<math display="block"> f_0\cdot f_n {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle n\longrightarrow \infty}}} 0_A \Longrightarrow 0_A \in \overline{f_0 \cdot (A\setminus U)} </math> === Topologische Nullteiler in einem lokalkonvexen Raum === <math> \left\| \cdot \right\| _{\mathbb{N}} </math> ist eine Halbnormensystem auf <math> A := \mathcal{C}(\mathbb{R},\mathbb{R}) </math>. Insgesamt ist jedes singuläre Element <math display="inline">f_0</math> mit Nullstelle nicht nur ein <math> \mathcal{LC} </math>-singuläres Element, sondern auch ein permanent singuläres Element in jeder Algebraerweiterung von <math>A</math>. == Lemma: TNT singulär == Ein topologischer Nullteiler <math display="inline">z\in A\in {\mathcal{K}}_e</math> ist in <math display="inline">A</math> nicht invertierbar. == Beweis 1 - über Topologie == '''Annahme:''' Sei <math display="inline">x\in A</math> invertierbar mit <math display="inline">z\cdot z^{-1}=e_A</math> mit <math>e_A</math> als Einselement der Multiplikation in <math>A</math>. Da <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} (A)</math> ein topologischer Nullteiler in <math display="inline">A</math> ist, gibt es ein Netz :<math display="block"> (y_{_{U}})_{_{U\in\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)}} \in (A\setminus V)^{\mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)} \mbox{ mit } V\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A) \mbox{ und } w_{_{U}} := y_{_{U}}\cdot z \in U. </math> === Stetigkeit der Multiplikation === Aus der Stetigkeit der Multiplikation und <math display="inline"> w_{_{U}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)}}} 0 </math> folgt auch <math display="inline"> w_{_{U}}\cdot z^{-1} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle U\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)}}} 0 </math> und man erhält: :<math display="block"> \forall_{\displaystyle V\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)} \exists_{\displaystyle U(V)\in \mathfrak{U}_{\mathcal{T}} (0_A)} : w_{_{U(V)}}\cdot z^{-1}\in V. </math> === Widerspruch === Dadurch ergibt sich ein Widerspruch wie folgt: :<math display="block"> V \not \ni y_{_{U(V)}}= y_{_{U(V)}} \cdot (z\cdot z^{-1})= ( y_{_{U(V)}} \cdot z)\cdot z^{-1} \in V. </math> Der Widerspruch zeigt, dass <math display="inline">z</math> in <math display="inline">A</math> nicht invertierbar sein kann.<math> \Box </math> == Beweis 2 - über Gaugefunktionale == '''Annahme:''' Sei <math display="inline">z\in A</math> invertierbar mit <math display="inline">z\cdot z^{-1}=e_A</math> mit <math>e_A</math> als Einselement der Multiplikation in <math>A</math>. Da <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} (A)</math> ein topologischer Nullteiler in <math display="inline">A</math> ist, gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math>, sodass für alle <math>\beta \in \mathcal{A}</math> ::<math display="block"> \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \left\| z\cdot x \right\| _\beta =0 \, \mbox{ mit } \, z\in {\mathcal{TNT}}_r(A) </math> === Unital positives Gaugefunktionalsystem === Ohne Einschränkung sei das Gaugefunktionalsystem unital positiv, d.h. für alle <math>\beta \in \mathcal{A}</math> gilt <math>\|e_A\|_\beta > 0 </math>. Falls das Gaugefunktionalsystem nicht unital positiv ist, geht man zu einem äquivalenten Teilsystem über, das unital positiv ist. Damit gibt es für alle <math>\beta \in \mathcal{A}</math> ein <math>\gamma_\beta \in \mathcal{A}</math> mit: :<math> \| x_1 \cdot x_2 \|_\alpha \leq \| x_1 \|_{\gamma_\alpha} \cdot \|x_2 \|_{\gamma_\alpha} </math> === Stetigkeit der Multiplikation === Aus der Stetigkeit der Multiplikation erhält man für alle <math> x \in A</math> mit <math>\|x\|_\alpha = 1 </math>: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} 1 = \| x \|_\alpha & = & \| e_A \cdot x \|_\alpha = \| z\cdot z^{-1} \cdot x \|_\alpha \\ & \leq & \| z^{-1} \|_{\gamma_\alpha} \cdot \underbrace{ \|z \cdot x \|_{\gamma_\alpha} }_{\inf \to 0} \end{array} </math> === Bildung des Infimums === Durch Bildung des Infimums ergibt sich der Widerspruch wie folgt: :<math display="block"> \begin{array}{rcl} 1 &= & \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \| x \|_\alpha = \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \| e_A \cdot x \|_\alpha \\ & = & \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \| z\cdot z^{-1} \cdot x \|_\alpha \\ & \leq & \| z^{-1} \|_{\gamma_\alpha} \cdot \displaystyle \underbrace{ \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \|z \cdot x \|_{\gamma_\alpha} }_{=0} = 0 \end{array} </math> === Widerspruch === Der Widerspruch zeigt, dass <math display="inline">x</math> in <math display="inline">A</math> nicht invertierbar sein kann.<math> \Box </math> == Korrollar: TNT permanent singulär == Sei <math display="inline">{\mathcal{K}}_e</math> eine Klasse von Algebren mit <math display="inline">A\in {\mathcal{K}}_e</math>, dann sind alle topologischen Nullteiler <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-singuläre Elemente. == Beweis == Annahme: <math>z \in A</math> ist ein topologischer Nullteiler in <math>A</math> und zugleich in einer Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> invertierbar. === Homöomorphie === In dem Beweis wird die Homöomorphie <math>\tau : A \to A' \subset B </math> der Einbettung einer Algebra <math display="inline"> \left( A, \left\| \cdot \right\|_{\mathcal{A}} \right) </math> in die <math display="inline">{\mathcal{K}}</math>-Erweiterung <math display="inline"> \left( B, \left\| \! \left| \cdot \right| \! \right\| _{\widetilde{\mathcal{A}}} \right) </math> von <math display="inline">A</math> verwendet. === Topologischer Nullteiler - Gaugefunktionale === Da <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}} (A)</math> ein topologischer Nullteiler in <math display="inline">A</math> ist, gibt es ein <math>\alpha \in \mathcal{A}</math>, sodass für alle <math>\beta \in \mathcal{A}</math> ::<math display="block"> \inf_{\left\| x \right\| _\alpha=1} \left\| z\cdot x \right\| _\beta =0 \, \mbox{ mit } \, z\in {\mathcal{TNT}}_r(A) </math> === Stetigkeit der Einbettung 1 === Mit der Stetigkeit der Einbettung <math>\tau : A \to A' \subset B </math> gibt es zu jedem <math>\beta \in \widetilde{\mathcal{A}} </math> eine Konstante <math>C_\beta > 0 </math> und <math> \gamma_\beta \in \mathcal{A} </math> mit :<math> \forall_{x \in A}: \, \, \, \left\|\! \left| x \right| \! \right\|_{\beta} \leq C_\beta \cdot \| x\|_{\gamma_\beta} </math> === Stetigkeit der Einbettung 2 === Mit der Stetigkeit der Umkehrabbildung <math>\tau^{-1} : A' \to A </math> gibt es zu jedem <math>\alpha \in \mathcal{A} </math> eine Konstante <math> C_\alpha > 0 </math> und <math> \delta_\alpha \in \widetilde{\mathcal{A}} </math> mit :<math> \forall_{x \in A}: \, \, \, \| x\|_{\alpha} \leq C_\alpha \cdot \left\|\! \left| x \right| \! \right\|_{\delta_\alpha} </math> === Topologischer Nullteiler in der Erweiterung === Wir zeigen nun, dass <math> \tau(z) \in B</math> auch ein topologische Nullteiler in <math display="inline">B</math> ist, denn für alle <math>\beta \in \widetilde{\mathcal{A}} </math> gilt die folgende Abschätzung. === Anschätzung Topologischer Nullteiler === :<math> \begin{array}{rcl} \displaystyle \inf_{\left\|\! \left| b \right| \! \right\| _{\delta_\alpha} = 1, \, \, \, b\in B} \left\|\! \left| z\cdot b \right| \! \right\|_{\beta} & = & \displaystyle \inf_{\left\|\! \left| b \right| \! \right\| _{\delta_\alpha} \geq 1, \, \, \, b\in B} \left\|\! \left| z\cdot b \right| \! \right\|_{\beta} \\ & = & \displaystyle \inf_{C_\alpha \cdot \left\|\! \left| b \right| \! \right\| _{\delta_\alpha} \geq 1, \, \, \, b\in B} \, \, \frac{1}{C_\alpha} \cdot \left\|\! \left| z\cdot b \right| \! \right\|_{\beta} \\ & \leq & \displaystyle \inf_{C_\alpha \cdot \left\|\! \left| \tau(x) \right| \! \right\| _{\delta_\alpha} \geq 1, \, \, \, x\in A } \, \, \frac{1}{C_\alpha} \cdot \left\|\! \left| z\cdot \tau (x) \right| \! \right\|_{\beta} \\ & \leq & \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha \geq 1, \, \, \, x\in A} \, \, \frac{1}{C_\alpha} \cdot \left\|\! \left| z\cdot x \right| \! \right\|_{\beta} \\ & \leq & \displaystyle \inf_{\left\| x \right\| _\alpha = 1} \frac{1}{C_\alpha} \cdot C_\beta \cdot \left\| z\cdot x \right\| _{\gamma_\beta} = 0 \end{array} </math> === TNT in Algebraerweiterung === Mit der obigen Abschätzung wurde gezeigt, dass <math> z \in A \subset B</math> auch in der Algebraerweiterung ein topologischer Nullteiler ist. Nach Lemma über TNT und Gaugefunktionale auch in <math display="inline">B</math> nicht invertierbar. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass <math>z\in A</math> in der Algebraerweiterung <math>B</math> von <math>A</math> invertierbar ist. <math> \Box </math> == Lemma: Produkte von topologischen Nullteilern == Sei <math display="inline">A\in {\mathcal{T}}(\mathbb{K})</math> eine topologische Algebra über <math display="inline">\mathbb{K}</math>, dann gilt: :<math display="block"> A\cdot {\mathcal{TNT}}(A) \subset {\mathcal{TNT}}(A) \supset {\mathcal{TNT}}(A) \cdot A. </math> Bei unitalen Algebren gilt Mengengleichheit. == Beweis == Sei <math display="inline">z\in {\mathcal{TNT}}(A)</math> gegeben, dann gibt es zu einer Nullumgebung <math display="inline">V\in \mathfrak{U} (0)</math> ein Netz <math display="inline"> (x_{_{U}})_{_{U\in \mathfrak{U} (0)}} \in (A\backslash V)^{\mathfrak{U} (0)} </math> mit <math display="inline"> z\cdot x_{_{U}} {_{\stackrel{\displaystyle \longrightarrow}{\scriptstyle U\in \mathfrak{U} (0)}}} 0 </math>. Demzufolge konvergiert das Netz <math display="inline">(a\cdot z\cdot x_{_{U}} )_{_{U\in \mathfrak{U} (0)}}</math> auch für alle <math display="inline">a\in A</math> gegen <math display="inline">0</math>. Also ist <math display="inline">a\cdot z\in {\mathcal{TNT}}(A)</math> und man erhält insgesamt: :<math> \begin{array}{rcl} \forall_{\displaystyle z\in {\mathcal{TNT}}(A)} : A\cdot z\subset {\mathcal{TNT}}(A) \Longrightarrow A\cdot {\mathcal{TNT}}(A) \subset {\mathcal{TNT}}(A). \end{array} </math> Die Behauptung <math display="inline">{\mathcal{TNT}}(A) \supset {\mathcal{TNT}}(A) \cdot A</math> zeigt man analog. <math> \Box </math> == Augaben für Studierende == In den obigen Aussagen wurde immer die Definition der topologischen Nullteiler direkt verwendet ohne die Eigenschaften über Gaugefunktionale zu zeigen. Beweise die folgenden Aussagen über analog über die Verwendung von Gaugefunktionalen zusammen mit [[#Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]] === Aufgabe 1 - TNT singulär === Zeigen Sie mit [[#Lemma - TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktionale]], dass ein topologischer Nullteiler <math display="inline">x\in A\in {\mathcal{K}}_e</math> in <math display="inline">A</math> nicht invertierbar ist. == Quellennachweis == <references/> == Siehe auch == * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Algebraische Eigenschaften - permament singulär|Algebraische Eigenschaften - permament singulär]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologisch kleine Potenzen|topologisch kleine Potenzen]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/B-Regularität|B-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/P-Regularität|P-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MLC-Regularität|MLC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MPC-Regularität|MPC-Regularität]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/TNT-Kriterium für Gaugefunktionale|TNT-Kriterium für Gaugefunktional]] * [[Multiplikative topologische Nullteiler]] * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/MTNT-Kriterium für Gaugefunktionale|MTNT-Kriterium für Gaugefunktional]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler&author=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien&language=de&audioslide=yes Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/_Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Nullteiler Die Seite] wurde als 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}} {{ inputaufgabe |Polynomring/1/Multiplikationseigenschaften/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Einsetzung/R nach C/2x^3-5x^2-4x+7/2-5i/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/K/Einsetzen von a aus K/Struktur/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Integritätsbereich/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Körper/Grad/Einfache Regeln/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Kubische Gleichung/Lösung/Überprüfe/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Einsetzen/iX-3+2i in X^3-2iX^2+4X-1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Verknüpfung/Polynom/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Quadratisches Polynom/R/Minimale Maximumsnorm/-1 bis 1/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Funktionen/R/Hintereinanderschaltung und Multiplikation/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/Umentwicklung/x^3+2x^2-3x+4/u ist x+2/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= 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Rest/Z/Fakt/Beweis/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Quotientenkörper/Körper/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktionen/Q/Rechnungsbeispiel/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktionen/Auswahl/Skizziere/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Verknüpfung/Rational/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Rationale Funktion/Verknüpfung/2x^2-4x+3 durch x-2 und x+1 durch x^2-4/Aufgabe|| |zusatz= |tipp= }} {{Zwischenüberschrift|term=Aufgaben zum Abgeben}} {{ inputaufgabe |Polynome/C/Brechne (4+i)X^3-iX^2+2X+(3+2i) mal (2-i)X^3+(3-5i)X^2+(2+i)X+(1+5i)/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Division mit Rest (Polynomring)/C/(5+i)x^4+ix^2+(3-2i)x-1/x^2+ix+3-i/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynome/Formel für X^ungerade+1/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynom/f(0) ist -1, f(1) ist 7,f(2) ist 21, f(-1) ist -3/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Angeordneter Körper/Positivität/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Polynomring/Angeordneter Körper/Anordnung auf Quotientenkörper/Nicht archimedisch angeordnet/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} In einer der Aufgaben wird folgender Begriff verwendet. {{:Reelle Zahl/Algebraisch und transzendent/Polynom/Definition}} Beispielsweise sind rationale Zahlen und Wurzeln aus rationalen Zahlen algebraisch, dagegen sind {{math|term=e}} und {{math|term=\pi}} transzendent {{ Zusatz/Klammer |text=das sind schwierige Sätze| |ISZ=|ESZ=. }} {{ inputaufgabe |Polynome mit rationalen Koeffizienten/Sind abzählbar/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} {{ inputaufgabe |Reelle Zahlen/Transzendent/Überabzählbar/Aufgabe|p| |zusatz= |tipp= }} }} 2qzh0pb6tagzib7e8ck27swqxixfopj 106 133813 746314 710892 2022-07-28T07:23:27Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|11|33|Kurs=|}} bswqdg4una4h2te4b4wqhvhrwegc3qm 106 133817 746313 710888 2022-07-28T07:23:15Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|11|20|Kurs=|}} jzookzgowkgl0fnmuhvn6jm869w8gnk 106 133829 746315 710893 2022-07-28T07:23:38Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{Nummer im Kurs{{{opt|}}}|Aufgabe|11|34|Kurs=|}} 93wa2ak0e0wo0foac54r19pvv273x3q 106 134900 746316 746088 2022-07-28T07:24:17Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Klausur17 |Polynom/(-2x^3+3x^2+3x-2)/2. Potenz/Aufgabe|p||| |Polynom/Quadrat/1/Aufgabe|p||| |Reelle Exponentialfunktion/Basis/Stetige Fortsetzung/Eigenschaften/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Fermat-Catalan/Berechne/3/Aufgabe|p||| |Fermat-Catalan/Berechne/2/Aufgabe|p||| |Lucy Sonnenschein/Fahrrad im Zug/1/Aufgabe|p||| |Topf/Deckel/Prädikatenlogisch/Aufgabe|p||| |Körper/Potenzgesetze/Positiv bekannt/Aufgabe|p||| |Potenzfunktion/Positive Basis/Reeller Exponent/Stetig/Aufgabe|p||| |Ganzzahlige Exponentialfunktion/Archimedisch angeordnet/Vergleich mit Potenzen/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Sinus und Kosinus/Reell/Additionstheoreme/Drehung/Fakt/Beweis/Aufgabe|p||| |Schnittpunkte von Kreis und Gerade/Koordinaten/(-2,3) Radius 4 und Gerade y-3x+1 ist 0/Aufgabe|p||| |Inverse trigonometrische Funktionen/Arkustangens/Inverses Argument/Konstant/Aufgabe|p||| |Dezimalsystem/Unendlich viele Ziffern/Richtung/Aufgabe|p||| |Integral/(x^2-1)^n/-1_bis_1/Rekursionsformel/Aufgabe|p||| |Quadratisches Polynom/R/Minimale Maximumsnorm/-1 bis 1/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |/Aufgabe|p||| |Textart=Klausur |Kategorie=Analysis in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Kurs= |Semester= |Institution= |Bereich= |Klausurtyp= |Klausurtitel= |Klausurnummer= |Dozent= |Datum= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |opt2={{{opt2|}}} |pdf=.pdf }} bmjqe1czzq3hczx0tugcue7cw177s67 0 135269 746306 713955 2022-07-28T06:55:25Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Die {{ Definitionswort |Prämath= |Diskriminante| |msw=Diskriminante (quadratisches Polynom) |SZ= }} eines quadratischen Polynoms {{ mathbed|term= aX^2+bX+c |mit|bedterm1= a \neq 0 ||bedterm2= |SZ=, }} ist {{mathl|term=b^2-4ac|SZ=.}} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der quadratischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Diskriminante (quadratisches Polynom) |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} dvtv1q4zudyhfwm9kijtbz1dspbo1mj 106 140629 746300 743275 2022-07-27T17:47:03Z Jeb 26942 ++ wikitext text/x-wiki {{in Arbeit}}{{Kurs Box | '''Rostock und Die Datenlaube''' i.w.S.| Webinar(-idee) mit der UB Rostock | '''Methoden''' | Impulse, Ausprobieren und Gespräch | '''Termin'''| 2022 (angedacht) | '''Autor''' | [[Projekt:Fellow-Programm Freies Wissen Einreichungen 2019/Europäische Heimatforschung mit Radfahrerwissen|Jens Bemme]], Scholia: [https://scholia.toolforge.org/author/Q56880673 (Q56880673), Open Data-Bibliografie] }} Die Webinaridee enstand im Umfeld der Langen Nacht der Wissenschaften. Ausgangpunkt sind die Quellen für Rostock (und MV) aus der Illustrierten ''[[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]]'' und dem Citizen Science-Projekt ''[[DieDatenlaube|Die Datenlaube]]''. Diese Kursseite bzw. die Diskussionsseite bei Bedarf bitte ergänzen. Möglicherweise entsteht hier ein gemeinsamer Kurs. == Rostock == [[Datei:Die Gartenlaube (1876) b 769.jpg|mini|Hinter dem Circus, in: ''[[s:Vom Rostocker Pfingstmarkt|Vom Rostocker Pfingstmarkt]]'', Die Gartenlaube, 1876]] {{wikisource|Rostock}} === Die Gartenlaube === * Moritz Wiggers: [[s:Gottfried Kinkel’s Befreiung]], 1863 * [[s:Erklärung (Die Gartenlaube 1864/43)|Erklärung]], 1864/43 * Richard Schmidt-Cabanis: [[s:Vom Rostocker Pfingstmarkt]], 1876/46 * [[s:Die Paroledame von Rostock]], 1891/23 Fritz Reuter: [[s:Fritz_Reuter#Sekundärliteratur|Sekundärliteratur]] == Rostocker Liederbücher == i.w.S. * [[w:Rostocker Liederbuch]], eine Sammlung spätmittelalterlicher Lieder in deutscher und lateinischer Sprache ... {{wikisource|Liederbuch des Gau 19 Rostock des Deutschen Radfahrer-Bundes}} * Jens Bemme: [https://nfg.hypotheses.org/2206 Editionsprojekt: Liederbuch für den Radfahr-Verein Stendal von 1884], Netzwerk Fahrad/Geschichte, 10. April 2022, [[d:Q111550379]] == Theater == * [[s:Rostocker Theaterzettel]], 1520 == Naturkunde == [[Datei:Die Gartenlaube (1874) b 120.jpg|mini|Die Gartenlaube (1874) b 120]] * Dr. K. Eberhard [[s:Die Fortpflanzung des Aales]], Die Gartenlaube, 1874, Heft=7, S. 120 * Schwaan in Mecklenburg: [[s:Die Fortpflanzung des Aales (Die Gartenlaube 1874/29)|Alternativtitel=Die Fortpflanzung des Aales]], Die Gartenlaube, 1874, Heft=29, S. 474 [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Rostock]] 6n2x8011qxdm10o1b4mix1dgef7rt6u 746301 746300 2022-07-27T18:56:16Z Jeb 26942 /* Naturkunde */ wikitext text/x-wiki {{in Arbeit}}{{Kurs Box | '''Rostock und Die Datenlaube''' i.w.S.| Webinar(-idee) mit der UB Rostock | '''Methoden''' | Impulse, Ausprobieren und Gespräch | '''Termin'''| 2022 (angedacht) | '''Autor''' | [[Projekt:Fellow-Programm Freies Wissen Einreichungen 2019/Europäische Heimatforschung mit Radfahrerwissen|Jens Bemme]], Scholia: [https://scholia.toolforge.org/author/Q56880673 (Q56880673), Open Data-Bibliografie] }} Die Webinaridee enstand im Umfeld der Langen Nacht der Wissenschaften. Ausgangpunkt sind die Quellen für Rostock (und MV) aus der Illustrierten ''[[s:Die Gartenlaube|Die Gartenlaube]]'' und dem Citizen Science-Projekt ''[[DieDatenlaube|Die Datenlaube]]''. Diese Kursseite bzw. die Diskussionsseite bei Bedarf bitte ergänzen. Möglicherweise entsteht hier ein gemeinsamer Kurs. == Rostock == [[Datei:Die Gartenlaube (1876) b 769.jpg|mini|Hinter dem Circus, in: ''[[s:Vom Rostocker Pfingstmarkt|Vom Rostocker Pfingstmarkt]]'', Die Gartenlaube, 1876]] {{wikisource|Rostock}} === Die Gartenlaube === * Moritz Wiggers: [[s:Gottfried Kinkel’s Befreiung]], 1863 * [[s:Erklärung (Die Gartenlaube 1864/43)|Erklärung]], 1864/43 * Richard Schmidt-Cabanis: [[s:Vom Rostocker Pfingstmarkt]], 1876/46 * [[s:Die Paroledame von Rostock]], 1891/23 Fritz Reuter: [[s:Fritz_Reuter#Sekundärliteratur|Sekundärliteratur]] == Rostocker Liederbücher == i.w.S. * [[w:Rostocker Liederbuch]], eine Sammlung spätmittelalterlicher Lieder in deutscher und lateinischer Sprache ... {{wikisource|Liederbuch des Gau 19 Rostock des Deutschen Radfahrer-Bundes}} * Jens Bemme: [https://nfg.hypotheses.org/2206 Editionsprojekt: Liederbuch für den Radfahr-Verein Stendal von 1884], Netzwerk Fahrad/Geschichte, 10. April 2022, [[d:Q111550379]] == Theater == * [[s:Rostocker Theaterzettel]], 1520 == Naturkunde == [[Datei:Die Gartenlaube (1874) b 120.jpg|mini|Die Gartenlaube (1874) b 120]] * Dr. K. Eberhard [[s:Die Fortpflanzung des Aales]], Die Gartenlaube, 1874, Heft 7, S. 120 * Schwaan in Mecklenburg: [[s:Die Fortpflanzung des Aales (Die Gartenlaube 1874/29)|Die Fortpflanzung des Aales]], Die Gartenlaube, 1874, Heft 29, S. 474 [[Kategorie:Citizen Science]] [[Kategorie:Heimatforschung]] [[Kategorie:Rostock]] mwtip9gv8dguuar9s8mlg511w3r3lze 2 141068 746287 746207 2022-07-27T16:12:56Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ inputdefinition |Vektorraum/K/Halbnorm/Definition|| }} [[Metrischer Raum/Kompakt/Charakterisierung/Textabschnitt]] [[Normierter Raum/Abzählbare Topologie/Separabilität/Einführung/Textabschnitt]] [[Normierter Raum/Banachraum/Summierbarkeit/Einführung/Textabschnitt]] [[Banachraum/Kompakter Operator/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Einführung/Textabschnitt]] [[Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Orthonormalsystem/Einführung/Textabschnitt]] [[Hilbertraum/Kompakter 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im Scratch-Wiki == Medien aus der Bücherei == * [[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Tüfteltipps zum Ausleihen]] [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] hkzpnotgaipugow6qhvzve6c9fosuc6 746366 746365 2022-07-28T09:23:56Z ChristianSW 15793 korr. wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] |LAUFZEIT=seit 2021 |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG=Wir tüfteln mit Scratch, Klemmbausteinen und Elektronik. |BILD=Tüftlerclub 26.07.2022.jpg }} {{Fachbereich|Informatik}} == Unsere Themen == === Arduino === * [[Arduino]] * YouTube: [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4dxj1rGc3b29m2h3-0wUUTNVDoM5MmnJ Der Hobbyelektroniker: Arduino Einführungskurs] === Scratch === * [[Scratch]] * ''[https://www.de.scratch-wiki.info/wiki/Scratch_in_Schneverdingen/T%C3%BCftlerclub unsere Seite]'' im Scratch-Wiki == Medien aus der Bücherei == * [[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Tüfteltipps zum Ausleihen]] [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] 2kr0r35faocgqww87ij9vj569x54oup 746367 746366 2022-07-28T09:24:14Z ChristianSW 15793 korr. wikitext text/x-wiki {{Projektdaten| PROJEKTTITEL=Tüftlerclub |ANSPRECHPARTNER=[[Benutzer:ChristianSW|ChristianSW]] |LAUFZEIT=seit 2021 |ZUSAMMENARBEIT= |KURZBESCHREIBUNG=Wir tüfteln mit Scratch, Klemmbausteinen und Elektronik. |BILD=Tüftlerclub 26.07.2022.jpg }} {{Fachbereich|Informatik}} == Unsere Themen == === Arduino === * [[Arduino]] * YouTube: [https://www.youtube.com/playlist?list=PL4dxj1rGc3b29m2h3-0wUUTNVDoM5MmnJ Der Hobbyelektroniker: Arduino Einführungskurs] === Scratch === * [[Scratch]] * '''[https://www.de.scratch-wiki.info/wiki/Scratch_in_Schneverdingen/T%C3%BCftlerclub unsere Seite]''' im Scratch-Wiki == Medien aus der Bücherei == * [[Projekt:Tüftlerclub/Medien|Tüfteltipps zum Ausleihen]] [[Kategorie:Fachbereich Informatik/Projekte|Tueftlerclub]] hkzpnotgaipugow6qhvzve6c9fosuc6 106 141266 746318 746116 2022-07-28T07:36:02Z Luca Roth 29503 /* Strömungsprinzipien für Reinräume */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == 1rw1fttpov4aalx0q09ubmm4op4h384 746320 746318 2022-07-28T07:42:25Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|thumb|]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == q58sw0vmswgvy3uzkpjzjujfha5a6z2 746322 746320 2022-07-28T07:48:05Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|center|thumb|]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == blp29nbqfwobxfrla7bzmxrva6er6ux 746323 746322 2022-07-28T07:48:17Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|left|thumb|]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == 36bhv8pakozcmbbpwnwngffjprik6i0 746324 746323 2022-07-28T07:48:44Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === [[File:Modellaufbau Reinraum.png|left|thumb|]]Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == qidjsws7o0fum3v63xexih1afk3ujpp 746325 746324 2022-07-28T07:48:58Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == [[File:Modellaufbau Reinraum.png|left|thumb|]=== Das Modell === ]Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == 5z93ixuqzk73haqzkjk5lwyk8ivztdx 746326 746325 2022-07-28T07:49:14Z Luca Roth 29503 /* Modellierungsablauf */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == [[File:Modellaufbau Reinraum.png|left|thumb|]] === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == del3ehgqunwe5mc721co9a09ju25t24 746327 746326 2022-07-28T07:49:58Z Luca Roth 29503 /* Modellierungsablauf */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|left|thumb|]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == 6yitz19ddhcw2mtcilv65ya75h86grn 746328 746327 2022-07-28T07:50:17Z Luca Roth 29503 /* Modellierungsablauf */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|rigth|thumb|]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == kfn42w95qjhfb4xaht0es62m21c1wi9 746329 746328 2022-07-28T07:51:32Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|rigth|thumb|Modell]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == 6wxhbce409ngx9kvk7kr7xet3j10lqe 746330 746329 2022-07-28T07:51:55Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|rigth|thumb|Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == 004h3uq4ehjw93bboipa83bqgk2oqvy 746331 746330 2022-07-28T07:52:11Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist. "BILD EINFÜGEN" Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == cccu0tpirhzdpkpap3kwlskoivrecwt 746332 746331 2022-07-28T07:52:36Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb. 1) Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == p5dk8lug3jxfuw3idoankq1qggz21xw 746333 746332 2022-07-28T07:52:48Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == tfemfpden0unzry2y8bpdezikwshsxk 746334 746333 2022-07-28T07:53:02Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == kxq17anay8zzl3ov7zqdsoli6suihsv 746336 746334 2022-07-28T07:53:55Z Luca Roth 29503 /* Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) === Ergebnis Modellieurngszyklus 1=== === Ergebnis Modellieurngszyklus 2=== == Ergebnis == 6v6u14896ylnaqd8tetwkkp3qos7aam 746337 746336 2022-07-28T07:55:09Z Luca Roth 29503 /* Ergebnis Modellieurngszyklus 1 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) === Ergebnis Modellieurngszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellieurngszyklus 2=== == Ergebnis == m0npb1tt1v4rtb9z6bfr5s8b0rhayli 746338 746337 2022-07-28T07:55:25Z Luca Roth 29503 /* Ergebnis */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) === Ergebnis Modellieurngszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellieurngszyklus 2=== e19hyi7irapbzaavxsxy5lgawakb8gy 746339 746338 2022-07-28T07:55:42Z Luca Roth 29503 /* Ergebnis Modellieurngszyklus 1 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == === Ergebnis Modellieurngszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellieurngszyklus 2=== fo5futs7kxfdxo9e3b292hozgeswgsy 746340 746339 2022-07-28T07:55:57Z Luca Roth 29503 /* Ergebnis Modellieurngszyklus 2 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == === Ergebnis Modellieurngszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellieurngszyklus 2=== == Literaturverzeichnis == t5n35j0wcce1c04ov57lloyjayj8hjd 746341 746340 2022-07-28T07:56:05Z Luca Roth 29503 /* Ergebnis Modellieurngszyklus 2 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == === Ergebnis Modellieurngszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellierungszyklus 2=== == Literaturverzeichnis == fgqajjswwx2wlne1kuv0tw462xl93g4 746342 746341 2022-07-28T07:56:25Z Luca Roth 29503 /* Ergebnis Modellieurngszyklus 1 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == === Ergebnis Modellierungszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellierungszyklus 2=== == Literaturverzeichnis == lpk56xne82rmhjwhuenwhizu07zshd2 746343 746342 2022-07-28T07:57:42Z Luca Roth 29503 /* Untersuchungsgegenstand */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) == Ergebnis == === Ergebnis Modellierungszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellierungszyklus 2=== == Literaturverzeichnis == 5r1ho2ah3s5ctg3drzfqfsm5treegap 746344 746343 2022-07-28T07:58:10Z Luca Roth 29503 /* Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) ==Modellierungszyklus 1== === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer == Ergebnis == === Ergebnis Modellierungszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellierungszyklus 2=== == Literaturverzeichnis == alw4u8io0i7bzoqpfxp1dlrax3tnazm 746345 746344 2022-07-28T07:58:18Z Luca Roth 29503 /* Rahmenbedingungen */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) ==Modellierungszyklus 1== === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer == Ergebnis == === Ergebnis Modellierungszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellierungszyklus 2=== == Literaturverzeichnis == s6k6lkk338j3h77pgt9b22v1a241rrx 746346 746345 2022-07-28T08:00:28Z Luca Roth 29503 /* Das Modell */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) ==Modellierungszyklus 1== === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer == Ergebnis == === Ergebnis Modellierungszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1]] === Ergebnis Modellierungszyklus 2=== == Literaturverzeichnis == st8tw22uet2rm86gytdt69w60fcqnyo 746347 746346 2022-07-28T08:00:46Z Luca Roth 29503 /* Ergebnis Modellierungszyklus 1 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) ==Modellierungszyklus 1== === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer == Ergebnis == === Ergebnis Modellierungszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1 erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Ergebnis Modellierungszyklus 2=== == Literaturverzeichnis == 8q0bsbfsc8siguau0f4awhsxdvql2q6 746351 746347 2022-07-28T08:08:58Z Luca Roth 29503 /* Ergebnis Modellierungszyklus 2 */ wikitext text/x-wiki == Cleanroom <ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum</ref> == Ein Rein- oder Cleanroom ist ein Raum, in dem die Konzentration luftgetragener Teilchen sehr gering gehalten wird. Reinräume werden für spezielle Fertigungsverfahren – vor allem in der Halbleiterfertigung – benötigt, wo in gewöhnlicher Umgebungsluft befindliche Partikel die Strukturierung integrierter Schaltkreise im Bereich von Bruchteilen eines Mikrometers stören würden. Weitere Anwendungen von Reinräumen oder Reinraumtechnik finden sich in der Optik- und Lasertechnologie, der Luft- und Raumfahrttechnik, den Biowissenschaften und der medizinischen Forschung und Behandlung, der Forschung und keimfreien Produktion von Lebensmitteln und Arzneimitteln und in der Nanotechnologie. === Funktionsweise<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Funktionsweise</ref> === Ein Reinraum wird so konstruiert, dass die Anzahl luftgetragener Teilchen, die in den Raum eingebracht werden oder dort entstehen, so gering wie möglich ist. Je nach Verwendung wird nur die Partikelanzahl oder auch die Anzahl der Keime überwacht, wie dies beispielsweise bei der Herstellung pharmazeutischer Produkte nötig ist. Andere Parameter wie Temperatur, Luftfeuchtigkeit und Druck werden in der Regel ebenfalls konstant gehalten, um jederzeit vergleichbare Bedingungen zu schaffen. Um die geforderten Bedingungen herzustellen, werden diverse Verfahren angewendet, um zu verhindern, dass unerwünschte Partikel in die Luft gelangen können und um bereits in der Luft befindliche Partikel wieder zu entfernen. Da in der Regel der Mensch die größte Quelle für Partikel und andere Verschmutzungen ist, helfen eine angepasste Arbeitskleidung, spezielle Arbeitsmittel und Werkzeuge, sowie die entsprechende Arbeitstechnik, die spezifizierte Reinraumklasse einzuhalten. So gibt es beispielsweise spezielles fusselfreies Reinraumpapier, Reinraumkleidung, Kopfhauben und Überzieher für die Schuhe. Materialien, die in Reinräumen eingesetzt werden, müssen über abriebfeste Oberflächen verfügen. Aufgestellte Anlagen und Geräte dürfen die laminare Luftströmung nur minimal stören. Teile und Maschinen, die in den Reinraum gebracht werden sollen, müssen vorher gereinigt werden. Ein Reinraum wird im Regelfall mit Überdruck (Überdruckbelüftung) betrieben. Auch sogenannte Laminar-Flow-Einheiten können bedingt staub- und partikelarme Arbeitsplätze schaffen, in denen ein gereinigter, vertikaler oder horizontaler Luftstrom sowie Vorhänge dafür sorgen, dass die Partikelkonzentrationen in der Luft und damit die Partikelablagerungen auf dem Produkt reduziert werden. Die verwendeten Verfahren und Anlagenarten der Klimatechnik sollen sicherstellen, dass Verunreinigungen sofort aus der Luft entfernt werden. Dazu wird eine turbulenzarme Verdrängungsströmung (Laminarströmung, engl. laminar flow) genutzt. Zusammen mit einer in der Regel mehrstufigen Filterung und großem Luftdurchsatz soll die Reinheit der Luft sichergestellt werden. == Strömungsprinzipien<ref>https://de.wikipedia.org/wiki/Reinraum#Str%C3%B6mungsprinzipien_f%C3%BCr_Reinr%C3%A4ume</ref> für Reinräume == Es wird grundsätzlich zwischen einer turbulenten Verdünnungsströmung und einer turbulenzarmen Verdrängungsströmung unterschieden: * Bei der '''turbulenten Verdünnungs- oder Mischströmung''' wird die gefilterte Reinluft turbulent (verwirbelnd) in den Reinraum eingeführt und erzeugt eine stetige Verdünnung der Partikelkonzentration. Die geforderte Reinraumklasse wird dann bei reinraumgerechtem Verhalten des Personals aufrechterhalten. Hier ist besonders darauf zu achten, dass Partikel erzeugende Objekte und Vorgänge im Reinraum minimiert werden. * Bei der '''turbulenzarmen Verdrängungsströmung''', die auch „lamianr flow genannt wird, strömt die Reinluft turbulenzarm und in der Regel vertikal abwärts in den Reinraum und bewirkt, dass die sensiblen Arbeitsbereiche und Maschinen möglichst gering kontaminiert werden. Die Luft entweicht dann auf der gegenüberliegenden Fläche, in der Regel durch den perforierten Doppelboden, aus dem Raum und wird zur wiederholten Filterung zum Umluftgerät zurückgeführt. {| class="centered" |- style="vertical-align:top" |[[Datei:Turbulenter Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „turbulenter Reinraum“]] |[[Datei:Laminar Flow Reinraum.png|mini|ohne|Strömungsprinzip „Laminarströmungs-Reinraum“]] |} {{Anker|Reinraumklassen}} == Modellierungsablauf == === Das Modell === Hier wird ein Reinraum modelliert, der als Arbeitsfläche bzw. Werkbank dienen soll. Dabei handelt es sich um einen etwa 2m x 1m großen Glaskasten (Hier: Vereinfachung in 2D als Querschnitt), der mit drei Röhren an der Decke, die zur Lufteinströmung dienen, ausgestattet ist (siehe Abb.1). Daneben sind in den unteren Ecken die beiden Ausflüsse abgebildet. In der Mitte der Aparatur, wird ein Objekt (Hier: Erlenmayerkolben) simuliert, aus welchem ein Gas austritt. [[File:Modellaufbau Reinraum.png|right|thumb|Abb.1 Modellaufbau Reinraum erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Rahmenbedingungen === * Reservoir als Einstromquelle der Luft mit ..., wobei die drei Röhren die Luft mit ... beschleuinigen * Geschlossenes Gebiet mit No-Slip-Boundaries am äußeren Rand des Gebiets und am inneren Rand des Kolbens * Laminare Strömung * Ausströmendes Gas am oberen Rand des Kolbens mit ... * Ausstrom ohne festgelegte Bedingungen (kein Rückfluss, keine äußeren Einwirkungen) === Wirkende Kräfte und Beziehungen im Modell === Zunächst ist zu beobachten, dass die Strömungsgeschwindigkeit anwächst, wenn beispielsweise eine Verengung stattfindet (siehe 3 Röhren oder im Ausfluss). === Unterschiedliche Anwendungssituationen und die Anpassung des Modells === * Anpassen der Einströmungsgeschwindigkeit der Luft * Anpassung der Strömungsquellen (auch horizontale Strömungen) ==Modellierungszyklus 1== === Untersuchungsgegenstand === * Teilchenfluss und mögliche Verwirbelung: Können auch Teilchen aus dem Kolben nach oben und damit nicht zum Ausstrom gelangen? (Verwirbelung, turbulente Strömung) * Diffusion des giftigen oder explosiven Gases innerhalb der Kammer == Ergebnis == === Ergebnis Modellierungszyklus 1=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 1.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 1 erstellt mit COMSOL Multiphysics]] === Ergebnis Modellierungszyklus 2=== [[File:Ergebnis Modellierungszyklus 2 erstellt mit COMSOL Multiphysics.png|thumb|Ergebnis Modellierungszyklus 2 erstellt mit COMSOL Multiphysics]] == Literaturverzeichnis == tv09hb9t957rst9nw4rdlnyxl6xjg8f 0 141358 746231 746225 2022-07-27T12:49:57Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Kompakt/Vollständig/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputdefinition |Metrischer Raum/Total beschränkt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} Wir betrachten einen kompakten topologischen Raum {{math|term= X |SZ=}} und darauf den {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= C(X, {{KRC|}} ) |SZ=}} der stetigen Funktionen von {{math|term= X |SZ=}} nach {{math|term= {{KRC|}} |SZ=.}} Auf diesem Raum ist die Maximumsnorm wohldefiniert und eine Norm. Die Konvergenz ist die gleichmäßige Konvergenz und der Raum ist vollständig mit dieser Norm, siehe {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsraum/Abgeschlossene beschränkte Menge/Maximumsnorm/Euklidisch/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} für eine kompakte Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | X |\subseteq| \R^k || || || |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Abbildungsfolge/Gleichmäßig konvergent/Stetig/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Wir möchten verstehen, wann eine gegebene Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette/disp | T |\subseteq| C(X, {{KRC|}} ) || || || |SZ= }} kompakt ist. Dies wird durch den Satz von Arzelà-Ascoli beantwortet. {{ inputdefinition |Topologischer Raum/Metrischer Raum/Abbildungsmenge/Gleichgradig stetig/Definition|| }} Eine einzelne Abbildung ist genau dann gleichgradig stetig in {{math|term= x |SZ=,}} wenn sie stetig in {{math|term= x |SZ=}} ist. {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Charakterisierung/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der kompakten metrischen Räume |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} ju2gic7rmimuay38ludmxa7tfmp23ix 0 141365 746232 746227 2022-07-27T12:50:50Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es sei zuerst {{math|term= T |SZ=}} kompakt. Die Eigenschaft (1) folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Hausdorffraum/Kompakte Teilmenge/Abgeschlossen/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Die Eigenschaft (3) folgt wegen der Stetigkeit der Auswertung {{ Ma:abbele/disp |name= |C(X,{{KRC}})| {{KRC|}} |f| f(x) |SZ=, }} aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stetige Abbildung/Bild eines kompakten Raumes/Kompakt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kompaktheit/Satz von Heine-Borel/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Zum Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit sei ein Punkt {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| X || || || |SZ= }} und ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} fixiert. Aufgrund der totalen Beschränktheit von {{math|term= T |SZ=}} gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} gibt es endlich viele Funktionen {{math|term= f_1 {{kommadots|}} f_n |SZ=}} derart, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | T |\subseteq| \bigcup_{i {{=}} 1}^n {{op:Offener Ball|f_i| {{op:Bruch|\epsilon|3}} }} || || || |SZ= }} ist. Für diese endlich vielen Funktionen {{math|term= f_i |SZ=}} finden wir eine gemeinsame offene Umgebung {{ Ma:Vergleichskette | x |\in| U |\subseteq| X || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Abstand|f_i(x)|f_i(x')}} |\leq| {{op:Bruch|\epsilon|3}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | x' |\in|U || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette | i || 1 {{kommadots|}} n || || || |SZ=. }} Für ein beliebiges {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| T || || || |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette | f |\in| {{op:Offener Ball|f_i| {{op:Bruch|\epsilon|3}} }} || || || |SZ= }} für ein {{math|term= i |SZ=}} und daher ist {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | {{op:Abstand|f(x)|f(x')}} |\leq | {{op:Abstand|f(x)|f_i(x)}} + {{op:Abstand|f_i(x)|f_i(x')}} + {{op:Abstand|f_i(x')|f(x')}} | \leq| {{op:Bruch|\epsilon|3}} + {{op:Bruch|\epsilon|3}} + {{op:Bruch|\epsilon|3}} || \epsilon || |SZ=. }} Es seien nun umgekehrt die drei Bedingungen erfüllt, wir zeigen die Kompaktheit gemäß {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Metrischer Raum/Kompaktheit/Charakterisierung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Nach {{ Aufgabelink |Präwort=||Aufgabeseitenname= Vollständiger metrischer Raum/Teilmenge abgeschlossen gdw vollständig/Aufgabe |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist wegen der Abgeschlossenheit auch {{math|term= T |SZ=}} vollständig und nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Kompakt/Funktionenmenge/Arcela-Ascoli/Total beschränkt/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{math|term= T |SZ=}} {{ Definitionslink |Prämath= |total beschränkt| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} lwlmbtfucjiy2is85wn58iwy4vs8ewq 108 141368 746233 2022-07-27T13:52:54Z ChristianSW 15793 neu wikitext text/x-wiki = Medien aus der Stadtbücherei = Tüfteltipps aus der Bücherei! Die Links führen direkt in den Büchereikatalog. Dort könnt Ihr schauen, ob die Bücher verfügbar oder entliehen sind. * Alles auf einem Blick: Suche nach '''[https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/start.aspx?qs=makerspace "Makerspace"]''' im Katalog == Basteln & Tüfteln == * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00010848 Elektronik kinderleicht!] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=EA-00008925 Elektronik für KIDS] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=EA-00015238 Gemeinsam tüfteln statt einsam glotzen] ** auch über: Makey Makey, ScratchJr, Scratch * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011128 Roboter selbst bauen] ** auch über: Micro:bit * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=EA-00010915 3D-Druck] == Python == * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00014205 Eigene Spiele programmieren - Python lernen] == [[Scratch]] == * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00014204 Gamedesign für Dummies Junior] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011125 Programmieren für Kids] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=EA-00013206 Programmieren lernen mit der Maus] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011130 Let's code Scratch!] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00012694 Programmieren supereasy] ** auch über: Python * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00012695 Spiele Programmieren supereasy] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00013031 So lernst Du Programmieren] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=EA-00015668 Coole Spiele mit Scratch 3] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00014172 Programmieren lernen mit Scratch] == [[Klemmbausteine]] == * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011127 Lego-Filme selbst drehen ] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011146 Lego-Boost-Roboter] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011144 Die Lego-Boost-Werkstatt] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011145 Das Lego-Boost-Ideenbuch] == [[Calliope mini]] & [[BBC micro:bit|Micro:bit]] == * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011126 Calliope mini] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011391 Das Calliope-Buch] * [https://bibkataloge.de/schneverdingen/webopac/rc.aspx?id=KA-00011623 Computational Thinking mit BBC micro:bit] (Online-Ressource) blh117yav95qh62lnwxso9829fgly21 0 141369 746236 2022-07-27T14:01:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei zunächst die Familie {{ Definitionslink |summierbar| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Summe {{math|term= s |SZ=,}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Zu {{mathl|term= \epsilon/2 |SZ=}} gibt es eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |E_0 |\subseteq| I || || || |SZ= }} derart, dass für alle endlichen Mengen {{ Ma:Vergleichskette |E |\subseteq| I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |E_0 |\subseteq| E || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|a_E-s|}} |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ= }} gilt. Für jede zu {{math|term= E_0 |SZ=}} {{ Definitionslink |disjunkte| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} endliche Teilmenge {{math|term=D|SZ=}} gilt dann {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| a_D |}} || {{op:Norm| a_D +a_{E_0} -s -a_{E_0} +s |}} |\leq| {{op:Norm| a_D +a_{E_0} - s}} + {{op:Norm| a_{E_0} - s |}} || {{op:Norm| a_ {E_0 \cup D} - s}} + {{op:Norm| a_{E_0} - s |}} |\leq| \epsilon/2 + \epsilon/2 || \epsilon |SZ=, }} so dass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei nun {{ mathbed|term= a_i |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Familie| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} gibt es eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | E_n |\subseteq |I || || || |SZ= }} derart, dass für jede endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |D |\subseteq|I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | E_n \cap D || \emptyset || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|a_D|}} |\leq | 1/n || || || || |SZ= }} gilt. Wir können annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette | E_n |\subseteq| E_{n+1} || || || |SZ= }} für alle {{math|term=n|SZ=}} gilt. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n | {{defeq|}} |a_{E_n} || \sum_{i \in E_n} a_i || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|m |\geq|n || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm|x_k-x_m|}} || {{op:Norm|\sum_{i \in E_k} a_i - \sum_{i \in E_m} a_i |}} || {{op:Norm| a_{E_k \setminus E_m} |}} |\leq| 1/m |\leq| 1/n || |SZ=, }} da die Menge {{mathl|term= E_k \setminus E_m |SZ=}} disjunkt zu {{math|term= E_m |SZ=}} ist. Daher ist {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit wegen der {{ Definitionslink |Vollständigkeit| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= {{CC}} |SZ=}} {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen ein {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| V || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Zwischenbehauptung |Behauptung= Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe {{math|term=s|SZ=}} |SZ0=. |Beweis= Sei dazu ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Es gibt {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | 1/n |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ=. }} Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|x_n-s|2 }} |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ=. }} Für jedes endliche {{ Ma:Vergleichskette |E |\supseteq| E_n || || || |SZ= }} schreiben wir {{ mathbed|term= E= E_n \cup D |mit|bedterm1= E_n \cap D = \emptyset ||bedterm2= |SZ=. }} Damit gelten die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| a_E -s |}} || {{op:Norm| a_{E_n} +a_D -s |}} |\leq| {{op:Norm| a_{E_n} -s }} + {{op:Norm| a_D |}} |\leq| \epsilon/2 + \epsilon/2 || \epsilon |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} je5pc0f0g1mdvoytv8z0gg8jnasjnva 746237 746236 2022-07-27T14:03:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei zunächst die Familie {{ Definitionslink |summierbar| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Summe {{math|term= s |SZ=,}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Zu {{mathl|term= \epsilon/2 |SZ=}} gibt es eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |E_0 |\subseteq| I || || || |SZ= }} derart, dass für alle endlichen Mengen {{ Ma:Vergleichskette |E |\subseteq| I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |E_0 |\subseteq| E || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v_E-s|}} |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ= }} gilt. Für jede zu {{math|term= E_0 |SZ=}} {{ Definitionslink |disjunkte| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} endliche Teilmenge {{math|term=D|SZ=}} gilt dann {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| v_D |}} || {{op:Norm| v_D +a_{E_0} -s -v_{E_0} +s |}} |\leq| {{op:Norm| a_D +v_{E_0} - s}} + {{op:Norm| v_{E_0} - s |}} || {{op:Norm| v_ {E_0 \cup D} - s}} + {{op:Norm| v_{E_0} - s |}} |\leq| \epsilon/2 + \epsilon/2 || \epsilon |SZ=, }} so dass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei nun {{ mathbed|term= v_i |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Familie| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} gibt es eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | E_n |\subseteq |I || || || |SZ= }} derart, dass für jede endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |D |\subseteq|I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | E_n \cap D || \emptyset || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v_D|}} |\leq | 1/n || || || || |SZ= }} gilt. Wir können annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette | E_n |\subseteq| E_{n+1} || || || |SZ= }} für alle {{math|term=n|SZ=}} gilt. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n | {{defeq|}} |v_{E_n} || \sum_{i \in E_n} v_i || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|m |\geq|n || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| x_k-x_m |}} || {{op:Norm| \sum_{i \in E_k} v_i - \sum_{i \in E_m} v_i |}} || {{op:Norm| v_{E_k \setminus E_m} |}} |\leq| 1/m |\leq| 1/n || |SZ=, }} da die Menge {{mathl|term= E_k \setminus E_m |SZ=}} disjunkt zu {{math|term= E_m |SZ=}} ist. Daher ist {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit wegen der {{ Definitionslink |Vollständigkeit| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=}} {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen ein {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| V || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Zwischenbehauptung |Behauptung= Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe {{math|term=s|SZ=}} |SZ0=. |Beweis= Sei dazu ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Es gibt {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | 1/n |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ=. }} Dann ist wegen der Folgenkonvergenz und der Abschätzung von eben {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|x_n-s|2 }} |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ=. }} Für jedes endliche {{ Ma:Vergleichskette |E |\supseteq| E_n || || || |SZ= }} schreiben wir {{ mathbed|term= E= E_n \cup D |mit|bedterm1= E_n \cap D = \emptyset ||bedterm2= |SZ=. }} Damit gelten die Abschätzungen {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| v_E -s |}} || {{op:Norm| v_{E_n} +v_D -s |}} |\leq| {{op:Norm| v_{E_n} -s }} + {{op:Norm| v_D |}} |\leq| \epsilon/2 + \epsilon/2 || \epsilon |SZ=. }} }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} bgk0hmdb3jj3tlgbdgcspp490jyq2k8 746239 746237 2022-07-27T14:04:05Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei zunächst die Familie {{ Definitionslink |summierbar| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit der Summe {{math|term= s |SZ=,}} und sei {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>| 0 || || || |SZ= }} vorgegeben. Zu {{mathl|term= \epsilon/2 |SZ=}} gibt es eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |E_0 |\subseteq| I || || || |SZ= }} derart, dass für alle endlichen Mengen {{ Ma:Vergleichskette |E |\subseteq| I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette |E_0 |\subseteq| E || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v_E-s|}} |\leq| \epsilon/2 || || || || |SZ= }} gilt. Für jede zu {{math|term= E_0 |SZ=}} {{ Definitionslink |disjunkte| |Kontext=Menge| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} endliche Teilmenge {{math|term=D|SZ=}} gilt dann {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:Norm| v_D |}} || {{op:Norm| v_D +v_{E_0} -s -v_{E_0} +s |}} |\leq| {{op:Norm| v_D +v_{E_0} - s}} + {{op:Norm| v_{E_0} - s |}} || {{op:Norm| v_{E_0 \cup D} - s}} + {{op:Norm| v_{E_0} - s |}} |\leq| \epsilon/2 + \epsilon/2 || \epsilon |SZ=, }} so dass die Cauchy-Bedingung erfüllt ist. |Teilabschluss= }} {{ Teilbeweis |Teilziel=|Teilstrategie= |Teilbeweis= Sei nun {{ mathbed|term= v_i |,|bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Familie| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} Wir brauchen zunächst einen Kandidaten für die Summe. Für jedes {{ Ma:Vergleichskette |n |\in| \N_+ || || || |SZ= }} gibt es eine endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette | E_n |\subseteq |I || || || |SZ= }} derart, dass für jede endliche Teilmenge {{ Ma:Vergleichskette |D |\subseteq|I || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | E_n \cap D || \emptyset || || || |SZ= }} die Abschätzung {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Norm|v_D|}} |\leq | 1/n || || || || |SZ= }} gilt. Wir können annehmen, dass {{ Ma:Vergleichskette | E_n |\subseteq| E_{n+1} || || || |SZ= }} für alle {{math|term=n|SZ=}} gilt. Wir setzen {{ Ma:Vergleichskette/disp | x_n | {{defeq|}} |v_{E_n} || \sum_{i \in E_n} v_i || || |SZ=. }} Für {{ Ma:Vergleichskette |k |\geq|m |\geq|n || || |SZ= }} gilt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Norm| x_k-x_m |}} || {{op:Norm| \sum_{i \in E_k} v_i - \sum_{i \in E_m} v_i |}} || {{op:Norm| v_{E_k \setminus E_m} |}} |\leq| 1/m |\leq| 1/n || |SZ=, }} da die Menge {{mathl|term= E_k \setminus E_m |SZ=}} disjunkt zu {{math|term= E_m |SZ=}} ist. Daher ist {{mathl|term= {{Op:Folge|x}} |SZ=}} eine {{ Definitionslink |Cauchy-Folge| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} und somit wegen der {{ Definitionslink |Vollständigkeit| |Kontext=vr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} von {{math|term= V |SZ=}} {{ Definitionslink |konvergent| |Kontext=mr| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gegen ein {{ Ma:Vergleichskette |s |\in| V || || || |SZ=. }} |Teilabschluss= }} {{ Zwischenbehauptung |Behauptung= Wir behaupten, dass die Familie summierbar ist mit der Summe {{math|term=s|SZ=}} |SZ0=. |Beweis= Sei dazu ein {{ Ma:Vergleichskette | \epsilon |>|0 || || || |SZ= }} vorgegeben. 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Man kann den Beweis von solchen Aussagen sehr häufig durch eine einfache Induktion auf den Fall von zwei Faktoren zurückführen, so dass wir uns zumeist auf diesen Fall beschränken werden. {{ inputfaktbeweis |Produkt von Messräumen/Messbarkeit von Querschnitten/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweisaufgabe |Messbare Abbildungen/Endlich/Abbildung ins Produkt/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie= |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} 2ru3pqshwprqm4m3nnwqbrv9azdn8q1 746251 746250 2022-07-27T14:15:12Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Produktmenge/Endlich/Produkt-Sigmaalgebra/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Produktsigmaalgebra/Projektionen sind messbar/Fakt|Lemma|| || }} Diese Aussage gilt natürlich auch für beliebige endliche Produkte. 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Den Quotienten {{ Ma:Vergleichskette |h ||{{op:Bruch| \int_M f d \mu |\mu(M)}} || || || |SZ= }} nennt man den {{Stichwort|Durchschnittswert}} oder {{Stichwort|Mittelwert}} der Funktion {{math|term=f|SZ=,}} da ja {{mathl|term= \int_M f d \mu |SZ=}} den gleichen Wert hat wie das Integral {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_M h d \mu || h \cdot \mu(M) || || || |SZ= }} zur konstanten Funktion {{math|term=h|SZ=.}} {{ inputbild |Chebyshev|jpg| 200px {{!}} right {{!}} |Text=[[w:Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow|Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow (1821-1894)]] |Autor= |Benutzer=Maksim |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} Die folgende Aussage nennt man {{Stichwort|Tschebyschow-Abschätzung|SZ=}} oder {{Stichwort|Tschebyschow-Ungleichung|SZ=.}} {{ inputfaktbeweis |Messbare Funktion/Tschebyschow-Abschätzung/Fakt|Lemma|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Die Tschebyschow-Abschätzung |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} kvw40lah3a8rb6fixgjy9j1m9wz6yln 14 141377 746274 2022-07-27T14:47:49Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Textabschnitts-Kategorie unter |Die Tschebyschow-Abschätzung| ||}} e9gesmjwi07pyqz3ltojvwij4penm8b 0 141378 746277 2022-07-27T14:51:00Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition|| }} {{ inputbild |Integral apl rot objem3|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Integral_apl_rot_objem3 |Text= |Autor= |Benutzer=Pajs |Domäne=cs Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt|Satz|| || }} Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer {{ Zusatz/Klammer |text=differenzierbaren| |ISZ=|ESZ= }} Funktion werden wir in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Rotationsfläche zu ebener 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2022-07-27T14:51:29Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= {{ inputdefinition |Ebene Teilmenge/Zugehörige Rotationsmenge/Definition|| }} {{ inputbild |Integral apl rot objem3|svg| 250px {{!}} right {{!}} |epsname=Integral_apl_rot_objem3 |Text= |Autor= |Benutzer=Pajs |Domäne=cs Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt|Satz|| || }} Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer {{ Zusatz/Klammer |text=differenzierbaren| |ISZ=|ESZ= }} Funktion werden wir in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Rotationsfläche zu ebener Kurve/Flächenberechnung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} berechnen. {{ inputbeispiel |Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel|| }} Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert {{math|term= \pi |SZ=,}} für das Volumen der Einheitskugel der Wert {{mathl|term= {{op:Bruch|4|3}} \pi |SZ=}} und für das 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Wikipedia |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputfaktbeweis |Subgraph/Zugehörige Rotationsmenge/Volumen/Fakt|Satz|| || }} Den Oberflächeninhalt eines Rotationskörpers zu einer {{ Zusatz/Klammer |text=differenzierbaren| |ISZ=|ESZ= }} Funktion werden wir in {{ Faktlink ||Faktseitenname= Rotationsfläche zu ebener Kurve/Flächenberechnung/Fakt |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} berechnen. {{ inputbeispiel |Allgemeines Kugelvolumen/Mit Cavalieri-Prinzip/Beispiel|| }} Speziell ergibt sich für die Fläche des Einheitskreises der Wert {{math|term= \pi |SZ=,}} für das Volumen der Einheitskugel der Wert {{mathl|term= {{op:Bruch|4|3}} \pi |SZ=}} und für das vierdimensionale Volumen der vierdimensionalen Standardkugel der Wert {{mathl|term= {{op:Bruch|\pi^2|2}} |SZ=.}} {{ inputbild |Coneirr3|svg| 250px {{!}} right {{!}} |Text= |Autor= |Benutzer=Mpfiz |Domäne= |Lizenz=PD |Bemerkung= }} {{ inputdefinition |Kegel/Verbindungsstrecke zu Basisobjekt/Definition|| }} {{ inputfaktbeweis |Kegel/Über messbarer Basis/Maßformel/Fakt|Satz|| || }} {{ inputbeispiel |Kugeloberfläche/Falsche Berechnung/Pseudo-Cavalieri-Prinzip/Beispiel|| }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Das Cavalieri-Prinzip |Kategorie2=Theorie der Rotationsmengen |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} qkrjub87rpgfaqkvdzy4hw0vaze1zbs 0 141379 746285 2022-07-27T16:12:09Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten das Intervall {{mathl|term= [-1,1] |SZ=}} als Maßraum mit dem Maß, das durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Dichte| |Kontext=Maßraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|1| \sqrt{ 1-t^2} }} |SZ=}} bezüglich dem Lebesgue-Maß gegeben ist. 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Die ersten Tschebyschow-Polynome lauten. {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_0 (t) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_1(t) || t || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_2(t) || 2 t^2 - 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_3(t) || 4 t^3 - 3 t || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_4(t) || 8 t^4 - 8 t^2 + 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_5(t) || 16 t^5 - 20 t^3 + 5 t || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_6(t) || 32 t^6 - 48 t^4 + 18 t^2 - 1 || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt|Satz|| || }} Für reelles {{math|term= t |SZ=}} zwischen {{math|term= -1 |SZ=}} und {{math|term= 1 |SZ=}} ist der Kosinus {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bijektiv und es gibt ein eindeutiges {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| [0, \pi] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | t || {{op:cos|z|}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette | z || {{op:arccos|t|}} || || || |SZ=. }} Somit kann man auf diesen reellen Intervallen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch also {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_n(t) || T_n( {{op:cos|z|}} ) || {{op:cos(|nz|}} || {{op:cos(|n {{op:arccos|t|}} |}} || |SZ= }} schreiben. {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Nullstellen/Maxima/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Normiertes Polynom/R/Betragsmaximum auf -1 bis 1/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} j7dvmeg9ljw4ygfiy4xoyfqudqnwi33 746369 746354 2022-07-28T10:04:23Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Textabschnitt{{{opt|}}} |Inhalt= Wir betrachten das Intervall {{mathl|term= [-1,1] |SZ=}} als Maßraum mit dem Maß, das durch die {{ Definitionslink |Prämath= |Dichte| |Kontext=Maßraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Bruch|1| \sqrt{ 1-t^2} }} |SZ=}} bezüglich dem Lebesgue-Maß gegeben ist. 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Die ersten Tschebyschow-Polynome lauten. {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_0 (t) || 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_1(t) || t || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_2(t) || 2 t^2 - 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_3(t) || 4 t^3 - 3 t || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_4(t) || 8 t^4 - 8 t^2 + 1 || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_5(t) || 16 t^5 - 20 t^3 + 5 t || || || |SZ=, }} {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_6(t) || 32 t^6 - 48 t^4 + 18 t^2 - 1 || || || |SZ=. }} {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt|Satz|| || }} Für reelles {{math|term= t |SZ=}} zwischen {{math|term= -1 |SZ=}} und {{math|term= 1 |SZ=}} ist der Kosinus {{ Faktlink |Präwort=nach||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} bijektiv und es gibt ein eindeutiges {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| [0, \pi] || || || |SZ= }} mit {{ Ma:Vergleichskette | t || {{op:cos|z|}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Ma:Vergleichskette | z || {{op:arccos|t|}} || || || |SZ=. }} Somit kann man auf diesen reellen Intervallen {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} auch also {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_n(t) || T_n( {{op:cos|z|}} ) || {{op:cos(|nz|}} || {{op:cos(|n {{op:arccos|t|}} |}} || |SZ= }} schreiben. {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Rekursionsformel/Fakt|Lemma|| || }} Aus dieser Rekursionsformel ergibt sich unmittelbar, dass der Leitkoeffizient von {{math|term= T_n |SZ=}} gleich {{math|term= 2^{n-1} |SZ=}} ist. Gelegentlich betrachtet man auch die normierten Tschebyschow-Polynome, bei denen man einfach durch {{math|term= 2^{n-1} |SZ=}} teilt. {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Nullstellen/Maxima/Fakt|Lemma|| || }} {{ inputfaktbeweis |Normiertes Polynom/R/Betragsmaximum auf -1 bis 1/Fakt|Korollar|| || }} {{ inputfaktbeweis |Tschebyschow-Polynom/Orthogonalsystem/Fakt|Satz|| || }} |Textart=Textabschnitt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= |pdf= }} oeiqlsrxgj39dk2smlxtg2wrmhhzkmb 14 141380 746286 2022-07-27T16:12:21Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Textabschnitts-Kategorie unter |Theorie der Tschebyschow-Polynome| ||}} 0f7gngutmr2vpqliqw3gt4gvmjkwb6o 14 141381 746288 2022-07-27T16:13:48Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Theorie-Kategorie unter{{{opt|}}} |Theorie des Polynomrings in einer Variablen über Q|Tschebyschow-Polynom |Theorie der Orthonormalsysteme|Tschebyschow-Polynom}} m6gqr8zoy4mpbldwsk4l00sgsk1acsb 0 141382 746290 2022-07-27T16:20:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Unter dem {{math|term= n |SZ=-}}ten {{ Definitionswort |Prämath= |Tschebyschow-Polynom| |msw= |SZ= }} versteht man das Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_n(t) || \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer|n/2|}} } {{op:Binomialkoeffizient|n|2k}} t^{n-2k} (t^2-1)^k || || || |SZ=. }} |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Tschebyschow-Polynom |Definitionswort2= |Stichwort= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 8luzc7ubuhxb7ncahml1gtpvsyuke49 14 141383 746291 2022-07-27T16:21:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Definitions-Kategorie unter |Theorie der Tschebyschow-Polynome| ||}} pdt59z1b85shxb6q0lou329vm7iv5g8 0 141384 746292 2022-07-27T16:24:22Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Für das {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Tschebyschow-Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_n( {{op:cos|\theta|}} ) || {{op:cos(| n \theta|}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ttcyj15hc29rpur6t01nq1gaujal1xc 746296 746292 2022-07-27T16:36:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Für das {{math|term= n |SZ=-}}te {{ Definitionslink |Prämath= |Tschebyschow-Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} gilt |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_n( {{op:cos|z|}} ) || {{op:cos(| n z|}} || || || |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| {{CC|}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 27pzev8xl9z541c8iakhu22z4aya1sx 14 141385 746293 2022-07-27T16:24:29Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Fakten-Kategorie unter |Theorie der Tschebyschow-Polynome| ||}} 4xys6kcck8nzy3fxhkm9qz4hngua9o5 0 141386 746294 2022-07-27T16:25:17Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Tschebyschow-Polynom|Anf=Ts| |Siehe= |Ziel=Tschebyschow-Polynom/Explizit/Definition }} sjms54nmbpplt9wmm9a1ly2g43r169s 14 141387 746295 2022-07-27T16:25:28Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki [[Kategorie:Mathematische Standardlinks]] aedcrjwxwiiq303ww8v5hs6zszsscyr 0 141388 746297 2022-07-27T16:46:39Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr=1 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Exponentialreihe/Komplex/Funktionalgleichung/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ist {{ Ma:Vergleichskette/disp/handlinks | {{op:cos(|n z|}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin(|n z|}} || e^{ {{imaginäre Einheit|}} n z } || {{makl| e^{ {{imaginäre Einheit|}}z} |}}^n || {{makl| {{op:cos(| z|}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin(| z|}} |}}^n || |SZ=. }} Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren erhalten wir mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Binomi/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum_{\ell {{=}} n} {{op:Binomialkoeffizient|n|\ell }} {{imaginäre Einheit|}}^\ell {{op:sin|z|pot= \ell }} {{op:cos|z|pot=n-\ell}} || \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer|n/2|}} } (-1)^k {{op:Binomialkoeffizient|n|2k}} {{op:sin|z|pot= 2k }} {{op:cos|z|pot=n- 2k }} + {{imaginäre Einheit|}} \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer|n/2|}} } (-1)^k {{op:Binomialkoeffizient|n|2k+1}} {{op:sin|z|pot= 2k+1 }} {{op:cos|z|pot=n- 2k -1 }} || || || |SZ=. }} Der Vergleich der Realteile und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt {{ Ma:Vergleichskette/align | {{op:cos|nz|}} || \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer|n/2|}} 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|| e^{ {{imaginäre Einheit|}} n z } || {{makl| e^{ {{imaginäre Einheit|}}z} |}}^n || {{makl| {{op:cos(| z|}} + {{imaginäre Einheit|}} {{op:sin(| z|}} |}}^n || |SZ=. }} Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren erhalten wir mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Körper/Binomi/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align/handlinks | \sum_{\ell {{=}} n} {{op:Binomialkoeffizient|n|\ell }} {{imaginäre Einheit|}}^\ell {{op:sin|z|pot= \ell }} {{op:cos|z|pot=n-\ell}} || \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer|n/2|}} } (-1)^k {{op:Binomialkoeffizient|n|2k}} {{op:sin|z|pot= 2k }} {{op:cos|z|pot=n- 2k }} + {{imaginäre Einheit|}} \sum_{k {{=}} 0}^{ {{op:Gaußklammer|n/2|}} } (-1)^k {{op:Binomialkoeffizient|n|2k+1}} {{op:sin|z|pot= 2k+1 }} {{op:cos|z|pot=n- 2k -1 }} || || || |SZ=. }} Der Vergleich der Realteile und {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr=6 |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt {{ 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{{Template:Welcome|realName=|name=ModestaVbz}} -- [[Benutzer:New user message|New user message]] ([[Benutzer Diskussion:New user message|Diskussion]]) 03:56, 28. Jul. 2022 (CEST) 1hk6f6b3p9loxj0jm26vyqy5ksojsib 14 141391 746307 2022-07-28T06:55:32Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Definitions-Kategorie unter |Theorie der quadratischen Polynome in einer Variablen| ||}} fcmr7fvxx4i7tuv87hbdvhrte7z1uxg 0 141392 746308 2022-07-28T07:01:26Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung2 |Zeige{{n Sie}}, dass das reelle Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || x^2- {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} die Eingenschaft besitzt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:max|{{op:Betrag |f(x) }}| -1 \leq x \leq 1}} || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass es außer dem Polynom aus Teil (1) kein weiteres normiertes reelles Polynom vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} gibt, das die dort beschriebene Eigenschaft erfüllt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=4 |p1=1 |p2=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} tgfmd7f8x591yaol29lzy21tfqdusbu 746310 746308 2022-07-28T07:07:31Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Aufgabe{{{opt|}}} |Text= Wir betrachten das reelle Polynom {{ Ma:Vergleichskette/disp | f(x) || x^2- {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} {{ Aufzählung3 |Skizziere{{n Sie}} {{math|term= {{op:Betrag|f(x)|}} |SZ=}} auf dem Intervall {{mathl|term= [-1, 1] |SZ=.}} |Zeige{{n Sie}}, dass {{math|term= f |SZ=}} die Eigenschaft besitzt, dass {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:max|{{op:Betrag |f(x) }}| -1 \leq x \leq 1}} || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} ist. |Zeige{{n Sie}}, dass es außer {{math|term= f |SZ=}} kein weiteres normiertes reelles Polynom vom Grad {{math|term= 2 |SZ=}} gibt, das die in Teil (2) beschriebene Eigenschaft erfüllt. }} |Textart=Aufgabe |Kategorie=Theorie der quadratischen Polynome in einer Variablen |Kategorie2=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Punkte=5 |p1=1 |p2=1 |p3=3 |Lösung= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} j3ep2brspb4bug8g6fbeynqjkol7ou5 14 141393 746309 2022-07-28T07:01:34Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Aufgaben-Kategorie unter |Theorie der Tschebyschow-Polynome| ||}} 9osgpnths25qdukk9lxu7qvlls7q7w8 0 141394 746311 2022-07-28T07:19:06Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Lösung{{{opt|}}} |Text= {{ Aufzählung3 |Skizze. |Das Minimum wird bei {{ Ma:Vergleichskette/disp | x || 0 || || || |SZ= }} mit dem Wert {{math|term= - {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} und das Maximum wird an den Rändern {{ Ma:Vergleichskette/disp | x || \pm 1 || || || |SZ= }} mit dem Wert {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=}} angenommen, das Maximum des Betrages auf dem Intervall ist also {{math|term= {{op:Bruch|1|2}} |SZ=.}} |Es sei {{ Ma:Vergleichskette/disp | g || x^2+ax+b || || || |SZ= }} gegeben, das die Bedingung {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:max|{{op:Betrag |g(x) }}| -1 \leq x \leq 1}} || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} erfülle. Es ist {{ Ma:Vergleichskette | g || f || || || |SZ= }} zu zeigen. Aus {{ Ma:Vergleichskette/disp | g(0) || b || || || |SZ= }} folgt {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|b|}} |\leq| {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ=, }} woraus sich {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1+b | \geq| {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} ergibt. An den Intervallrändern ergeben sich die Bedingungen {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|1+a+b|}} |\leq| {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Betrag|1-a+b|}} |\leq| {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ=. }} Daraus folgt zuerst {{ Ma:Vergleichskette/disp | a || 0 || || || |SZ=, }} daraus {{ Ma:Vergleichskette/disp | 1 +b || {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ= }} und somit {{ Ma:Vergleichskette/disp | b || - {{op:Bruch|1|2}} || || || |SZ=. }} }} |Textart=Lösung |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Aufgabe= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 27rkpvwgnnfrzcqz2n4thq9oyrvny6w 14 141395 746312 2022-07-28T07:19:15Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Lösungs-Kategorie unter |Theorie der Tschebyschow-Polynome| ||}} rkoq4kwf8363q1bc11h6f4io9nqgd4v 14 141396 746319 2022-07-28T07:41:44Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=T|Anf2=s|Anf3=c|Tschebyschow-Polynom (MSW)}} g814rfbier9jyhzt12aul4g4xcwr1ml 0 141397 746321 2022-07-28T07:42:39Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Dichte (Maßraum)|Anf=Di| |Siehe= |Ziel=Maß/Nichtnegative Dichte/Definition }} 15xa33zticfuyqrfv321int36lrzjcd 0 141398 746348 2022-07-28T08:03:01Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Tschebyschow-Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= T_n |SZ=}} erfüllen im Reellen die folgenden Eigenschaften. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Das Bild von {{math|term= [-1,1] |SZ=}} unter {{math|term= T_n |SZ=}} liegt in {{math|term= [-1,1] |SZ=.}} |{{math|term= T_n |SZ=}} besitzt die {{math|term= n |SZ=}} reellen Nullstellen {{ mathbed|term= {{op:cos(| {{op:Bruch|2k-1|2n}} \pi |}} ||bedterm1= k {{=}} 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} die alle in {{math|term= [-1,1] |SZ=}} liegen. |Die Extrema von {{math|term= T_n |SZ=}} auf {{math|term= [-1,1] |SZ=}} werden in den Punkten {{ mathbed|term= {{op:cos(| {{op:Bruch|k|n}} \pi |}} ||bedterm1= k {{=}} 0 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} mit den Werten {{math|term= (-1)^k |SZ=}} angenommen. Für {{ Ma:Vergleichskette | k || 1 {{kommadots|}} n-1 || || || |SZ= }} sind dies die lokalen Extrema von {{math|term= T_n |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} svkdtyfwszwwdmdr7cv4anhwjsw812r 746353 746348 2022-07-28T08:14:16Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Tschebyschow-Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= T_n |SZ=}} erfüllen im Reellen die folgenden Eigenschaften. |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Aufzählung3 |Das Bild von {{math|term= [-1,1] |SZ=}} unter {{math|term= T_n |SZ=}} liegt in {{math|term= [-1,1] |SZ=.}} |{{math|term= T_n |SZ=}} besitzt die {{math|term= n |SZ=}} reellen Nullstellen {{ mathbed|term= {{op:cos(| {{op:Bruch|2k-1|2n}} \pi |}} ||bedterm1= k {{=}} 1 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} die alle in {{math|term= [-1,1] |SZ=}} liegen. Diese Nullstellen sind einfach und {{math|term= T_n |SZ=}} besitzt {{ Zusatz/Klammer |text=auch in {{math|term= {{CC|}} |SZ=}} | |ISZ=|ESZ= }} keine weiteren Nullstellen. |Die Extrema von {{math|term= T_n |SZ=}} auf {{math|term= [-1,1] |SZ=}} werden in den Punkten {{ mathbed|term= {{op:cos(| {{op:Bruch|k|n}} \pi |}} ||bedterm1= k {{=}} 0 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ=, }} mit den Werten {{math|term= (-1)^k |SZ=}} angenommen. Für {{ Ma:Vergleichskette | k || 1 {{kommadots|}} n-1 || || || |SZ= }} sind dies die lokalen Extrema von {{math|term= T_n |SZ=.}} }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 57vzi59x9bzg6qktg4hnw0qvhvkop1d 0 141399 746349 2022-07-28T08:03:57Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Tschebyschow-Polynome|Anf=Ts| |Siehe=Tschebyschow-Polynom |Ziel=/Definition }} 79by33t6vyzstscx1eg9w3qi7dadsd0 0 141400 746352 2022-07-28T08:12:43Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir arbeiten für {{ Ma:Vergleichskette | t |\in| [-1,1] || || || |SZ= }} mit der Darstellung {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_n(t) || {{op:cos(|n {{op:arccos|t|}} |}} || |SZ=, }} die sich aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt. Die Aussagen folgen dann aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Monotonieeigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} Dass die Nullstellen einfach sind und dass es auch im Komplexen keine weiteren Nullstellen gibt folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=, }} da {{math|term= T_n |SZ=}} den Grad {{math|term= n |SZ=}} besitzt. Dass es nicht mehr lokale Extrema geben kann folgt aus {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Reelle Funktion/Lokales Extremum/Differenzierbar/Ableitung null/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ=. }} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6a0jv4vgremlflmsndd41j32yyl1gsg 0 141401 746356 2022-07-28T08:26:03Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Es sei {{math|term= P |SZ=}} ein reelles {{ Definitionslink |Prämath= |normiertes Polynom| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} vom Grad {{math|term= n |SZ=.}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= Dann ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Maximum| {{op:Betrag|P(t) |}} |-1 \leq t \leq 1}} |\geq| {{op:Bruch|1|2^{n-1}}} || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der reellen Polynomfunktionen |Kategorie2=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kfbyic0zqfea2q4ojb77y4cjdrqst92 0 141402 746357 2022-07-28T08:41:23Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Wir betrachten die normierten Tschebyschow-Polynome {{ Ma:Vergleichskette/disp | Q_n || {{op:Bruch|1|2^{n-1} }} T_n || || || |SZ=, }} die normiert sind und deren Bild von {{math|term= [-1,1] |SZ=}} nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tschebyschow-Polynom/Nullstellen/Maxima/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in {{mathl|term= [ -{{op:Bruch|1|2^{n-1} }} , {{op:Bruch|1|2^{n-1} }} ] |SZ=}} liegt, wobei die Maxima bzw. Minima in den {{math|term= n+1 |SZ=}} Punkten {{ mathbed|term= {{op:cos(| {{op:Bruch|k|n}} \pi |}} |mit|bedterm1= k {{=}} 0 {{kommadots|}} n ||bedterm2= |SZ= }} abwechselnd angenommen werden. Nehmen wir an, es gebe ein normiertes Polynom {{math|term= P(t) |SZ=,}} dessen Betrag auf {{math|term= [-1,1] |SZ=}} echt kleiner als {{math|term= {{op:Bruch|1|2^{n-1} }} |SZ=}} ist. Wir betrachten das Differenzpolynom {{ Ma:Vergleichskette | D(t) || Q(t)-P(t) || || || |SZ=. }} Dieses Polynom hat an den Stellen, wo {{math|term= Q(t) |SZ=}} den maximalen Wert {{math|term= {{op:Bruch|1|2^{n-1} }} |SZ=}} annimmt, einen positiven Wert, und an den Stellen, wo {{math|term= Q(t) |SZ=}} den minimalen Wert {{math|term= - {{op:Bruch|1|2^{n-1} }} |SZ=}} annimmt, einen negativen Wert. Da die Extrema von {{math|term= Q |SZ=}} sich abwechseln, besitzt {{math|term= D |SZ=}} zumindest {{math|term= n |SZ=}} Vorzeichenwechsel und somit nach {{ Faktlink |Präwort=dem|Zwischenwertsatz|Faktseitenname= Reelle Analysis/Zwischenwertsatz/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} zumindest {{math|term= n |SZ=}} Nullstellen. Da aber {{math|term= D |SZ=}} die Differenz von zwei normierten Polynomen vom Grad {{math|term= n |SZ=}} ist, besitzt {{math|term= D |SZ=}} höchstens den Grad {{math|term= n-1 |SZ=}} und kann nach {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Polynomring (Körper)/Nullstellen/Anzahl/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} höchstens {{math|term= n-1 |SZ=}} Nullstellen besitzen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} ckgtydxtqvh4vo6inqrlcxj9knvu35n 0 141403 746358 2022-07-28T08:48:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Tschebyschow-Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllen die Rekursionsbedingungen |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Ma:Vergleichskette | T_0 || 1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_{n+1} (t) || 2 t T_n/t(-T_{n-1}(t) || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 6ph3k4khkgqrwerduopz080gdhb55nr 746359 746358 2022-07-28T08:49:22Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Tschebyschow-Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} erfüllen die Rekursionsbedingungen |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= {{ Ma:Vergleichskette | T_0 || 1 || || || |SZ= }} und {{ Ma:Vergleichskette/disp | T_{n+1} (t) || 2 t T_n(t) -T_{n-1}(t) || || || |SZ=. }} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 3vvohqwfqkunhtvc6vklfv1t92jqot0 0 141404 746368 2022-07-28T10:01:10Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Eine doppelte Anwendung {{ Faktlink |Präwort=des|Additionstheorems für den Kosinus|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} ergibt mit {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} {{ Ma:Vergleichskette/align | T_{n+1}( {{op:cos|z|}} ) || {{op:cos(| (n+1) z|}} || {{op:cos(| n z|}} {{op:cos(| z|}} - {{op:sin(| n z|}} {{op:sin| z|}} || 2 {{op:cos(| n z|}} {{op:cos(| z|}} - {{op:cos(| n z|}} {{op:cos(| z|}} - {{op:sin(| n z|}} {{op:sin| z|}} || 2 {{op:cos|z|}} {{op:cos(|nz|}} - {{op:cos| (n-1) z|}} || 2 {{op:cos|z|}} \cdot T_n( {{op:cos|z|}} ) - T_{n-1} ( {{op:cos(|z|}} ) |SZ= }} für alle {{ Ma:Vergleichskette | z |\in| [0 ,\pi] || || || |SZ=. }} Daher muss überhaupt die behauptete polynomiale Identität vorliegen. |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 7i1sjkjr443qluqe228fo6cvw6ibwyn 0 141405 746370 2022-07-28T10:12:38Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Tschebyschow-Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= bilden ein {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalsystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= L^2[-1,1] |SZ=}} bezüglich des Maßes mit der Dichte {{math|term= {{op:Bruch|1| \sqrt{ 1-t^2} }} |SZ=.}} |Zusatz= }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2=Theorie der Orthonormalsysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} e54sn2o6fauhrqal5rcjiwz03iwmh2r 746375 746370 2022-07-28T11:17:45Z Bocardodarapti 2041 wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Fakt{{{opt|}}} |Text= {{ Faktstruktur|typ= |Situation= Die {{ Definitionslink |Prämath= |Tschebyschow-Polynome| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{math|term= T_n |SZ=}} |Voraussetzung= |Übergang= |Folgerung= bilden ein {{ Definitionslink |Prämath= |Orthogonalsystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} in {{math|term= L^2[-1,1] |SZ=}} bezüglich des Maßes mit der Dichte {{math|term= {{op:Bruch|1| \sqrt{ 1-t^2} }} |SZ=.}} |Zusatz=Die Familie {{ Ma:Vergleichskette | {{op:Bruch|T_0| \sqrt{\pi} |}} || {{op:Bruch|1| \sqrt{\pi} |}} || || || |SZ= }} und {{ mathbed|term= {{op:Bruch|\sqrt{2}T_n| \sqrt{\pi} |}} ||bedterm1= n \geq 1 ||bedterm2= |SZ= }} bilden ein {{ Definitionslink |Prämath= |vollständiges Orthonormalsystem| |Kontext=| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ=. }} }} |Textart=Fakt |Kategorie=Theorie der Tschebyschow-Polynome |Kategorie2=Theorie der Orthonormalsysteme |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Faktname= |Abfrage= |Variante= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} s9t1spejp5igk9z8paatpl358kwc5fz 0 141406 746371 2022-07-28T10:55:47Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Definition{{{opt|}}} |Text= Es sei {{math|term= V |SZ=}} ein {{ Definitionslink |Prämath= {{KRC|}} |Vektorraum| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} mit {{ Definitionslink |Prämath= |Skalarprodukt| |Definitionsseitenname= /Definition |SZ= }} {{mathl|term= {{op:Skalarprodukt|-|-}} |SZ=.}} Eine Familie von Vektoren {{ mathbed|term= v_i ||bedterm1= i \in I ||bedterm2= |SZ=, }} von {{math|term= V |SZ=}} heißt {{Definitionswort|Orthogonalsystem|msw=Orthogonalsystem|SZ=,}} wenn {{ math/disp|term= {{op:Skalarprodukt|v_i|v_i}} \neq 0 \text{ für alle } i \in I \text{ und } {{op:Skalarprodukt|v_i|v_j}}= 0 \text{ für } i \neq j |SZ= }} gilt. |Textart=Definition |Kategorie=Theorie der Orthonormalsysteme |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Definitionswort=Orthogonalsystem |Definitionswort2= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} 30ppbelrkiuq3qllqyebbnv5k8c0ugk 14 141407 746372 2022-07-28T10:55:55Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MSW|Anf1=O|Anf2=r|Anf3=t|Orthogonalsystem (MSW)}} j4rj46ohv60qxee6y6t4bkosp7dclv2 0 141408 746373 2022-07-28T10:56:13Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{MDLUL{{{opt|}}}|Start=Orthogonalsystem|Anf=Or| |Siehe= |Ziel=Vektorraum mit Skalarprodukt/Orthogonalsystem/Definition }} b9rhu8ju6fne4y1ymfk4mhxevh1bkg3 0 141409 746374 2022-07-28T11:15:13Z Bocardodarapti 2041 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. wikitext text/x-wiki {{ Mathematischer Text/Beweis{{{opt|}}} |Text= {{ Beweisstruktur |Strategie= |Notation= |Beweis= Es ist {{ Ma:Vergleichskette/disp | {{op:Skalarprodukt|T_n|T_m}} || \int_{-1}^1 T_n(t) T_m(t) {{op:Bruch|1|\sqrt{1-t^2} }} dt || || || |SZ=. }} Mit der Substitution {{ Zusatz/Klammer |text=vergleiche {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Stammfunktion/Rationale Funktion in x und quadratischem Polynom/Reduktion/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} | |ISZ=|ESZ= }} {{ Ma:Vergleichskette | t || {{op:cos|z|}} || || || |SZ= }} kann man dies unter Verwendung von {{ Faktlink |Präwort=||Faktseitenname= Tschebyschow-Polynom/Bezug zum Kosinus/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} überführen in {{ Ma:Vergleichskette/disp | \int_0^\pi T_n( {{op:cos|z|}} ) T_m({{op:cos|z|}} ) dz || \int_0^\pi {{op:cos(|nz|}} {{op:cos(|mz|}} dz || || || |SZ=. }} Mit {{ Faktlink |Präwort=dem|Additionstheorem für den Kosinus|Faktseitenname= Sinus und Kosinus/Komplex/Eigenschaften/Fakt |Nr= |Refname={{{ref|}}}|refb={{{refb|}}} |SZ= }} in der Form {{ Ma:Vergleichskette | {{op:cos(|x+y|}} + {{op:cos(|x-y|}} || 2 {{op:cos|x|}} {{op:cos|y|}} || || || |SZ= }} kann man dies schreiben als {{ math/disp|term= {{op:Bruch|1|2}} \int_0^\pi {{op:cos(|(n+m)z|}}+ {{op:Bruch|1|2}} \int_0^\pi {{op:cos(|(n-m)z|}} dz |SZ=. }} Beide Integral sind gleich {{math|term= 0 |SZ=,}} außer bei {{ Ma:Vergleichskette | n || m || || || |SZ=, }} in diesem Fall ist bei {{ Ma:Vergleichskette | n |\geq| 1 || || || |SZ= }} das Ergebnis {{math|term= \pi/2 |SZ=}} und bei {{ Ma:Vergleichskette | n || 0 || || || |SZ= }} gleich {{math|term= \pi |SZ=.}} |Abschluss= }} |Textart=Beweis |Kategorie=Siehe |Kategorie2= |Kategorie3= |Objektkategorie= |Stichwort= |Autor= |Bearbeitungsstand= }} kbyuuwku4pghbgcfqi5ywxdzb6eadj0