Wikiversity dewikiversity https://de.wikiversity.org/wiki/Hauptseite MediaWiki 1.47.0-wmf.1 first-letter Medium Spezial Diskussion Benutzer Benutzer Diskussion Wikiversity Wikiversity Diskussion Datei Datei Diskussion MediaWiki MediaWiki Diskussion Vorlage Vorlage Diskussion Hilfe Hilfe Diskussion Kategorie Kategorie Diskussion Kurs Kurs Diskussion Projekt Projekt Diskussion TimedText TimedText talk Modul Modul Diskussion Veranstaltung Veranstaltung Diskussion 106 12769 1078754 1078723 2026-05-06T08:46:16Z Bert Niehaus 20843 /* Dreiecksintegrale */ 1078754 wikitext text/x-wiki {{Fachbereich|Mathematik}} [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|146px|mini|Kurs enthält [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] Audio-Folien]] [[Datei:Mapping f z equal 1 over z.gif|mini|Bewegung von Bildpunkten einer Funktion <math>f</math>. Dabei ist <math>z</math> in blauer Farbe und <math>f(z)= \frac{1}{z}</math> in roter Farbe markiert. <math>z</math> bewegt sich auf der Spur von <math>\gamma(t)=t\cdot e^{it}</math>.]] [[File:Image of path 1 over z.webm|thumb|Bild einer Kurve in den komplexen Zahlen von der Funktion <math>f(z)=\frac{1}{z}</math>]] == Inhalte == In dem Kurs Funktionentheorie<ref>Fischer, W., & Lieb, I. (2013). Funktionentheorie. Springer-Verlag.</ref><ref>H. Leutwiler (1997) Skript zur Vorlesung Funktionentheorie, Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg - URL: https://www.math.fau.de/wp-content/uploads/2019/04/Leutwiler_funktionen.pdf</ref> werden folgende Themen behandelt. Die Themen sind jeweils mit Wikipediainhalten verlinkt und zusätzlich mit einem ''Wikibuch-Link'' versehen, mit dem man sich maßgeschneidert für das eigene Vorwissen ein Buch als PDF-Dateien zu dem Oberthema generieren kann. Als angemeldeter Benutzer kann man die Literaturzusammenstellung auch abspeichern und nach eigenem Lernfortschritt weiter anpassen. <math>(\ast)</math>-Kapitel sind optional. == Funktionentheorie - Teil 1 == === Grundlagen === * '''[[/Lernvoraussetzungen/|Lernvoraussetzungen aus der Analysis]]''' * [[Unterschiede - Konvergenzbegriffe]] * '''[[Komplexe Zahl|Komplexe Zahlen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Komplexe_Zahl&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** Wikiversity: [[Komplexe_Zahlen/Definition|Definition]] - [https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Spezial:Buch&bookcmd=book_creator&referer=Komplexe+Zahl Wikibuch] ** [[w:Satz von Heine-Borel|Kompaktheitssatz von Heine-Borel]] ** [[w:Komplexe_Zahl#Komplexe_Zahlenebene|geometrische Einführung]] ** [[w:de:Komplexe_Zahl#Rechenregeln|Operationen und Regeln]] ** [[w:Riemannsche_Zahlenkugel|Riemannsche Zahlenkugel]] - komplexe Zahlen <math>\mathbb{C}</math> auf einer Kugeloberfläche. ** [[w:Stereografische_Projektion|stereografische Projektion]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Komplexe Zahlen als Matrizen|Komplexe Zahlen als Matrizen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Komplexe%20Zahlen%20als%20Matrizen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Eulersche Formel|Eulersche Formel]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzen und Wurzeln|Potenzen und Wurzeln]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzen%20und%20Wurzeln&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzen%20und%20Wurzeln&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Graph einer Funktion|Graph einer Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Graph%20einer%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Graph%20einer%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Analysis I/Kapitel III: Die elementaren Funktionen|Elementare Funktionen]]''' auf den komplexen Zahlen * '''[[Weg-Zeit-Risikointegral|Weg-Zeit-Risikointegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Weg-Zeit-Risikointegral&author=%20%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie&coursetitle=%20%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] andere Formen von Wegintegralen * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS - Rechnen mit komplexen Zahlen]] === Topologische Grundlagen === * '''[[/Folgen und Reihen/|Konvergenz von Folgen und Reihen in den komplexen Zahlen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&shorttitle=Konvergenz_von_Folgen_und_Reihen&title=Kurs:Funktionentheorie/Folgen_und_Reihen&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe|Potenzreihe]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Potenzreihe&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Potenzreihe&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien/Topologische Algebra|Topologische Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Topologische%20Invertierbarkeitskriterien/Topologische%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Topologische%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Normen, Metriken, Topologie]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Normen%2C+Metriken%2C+Topologie&author=Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Normierter_Raum|Normierter Raum]] ** [[w:de:Metrischer_Raum|Metrischer Raum]] ** [[w:de:Topologischer_Raum|Topologischer Raum]] - Wikiversity: [[Topologie/Grundbegriffe/Topologie/Definition|Definition Topologie]] ** [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * '''[[/einfach zusammenhängend/]]''' * '''[[/Gebiet/]]''' === Komplexe Differenzierbarkeit === * '''[[Holomorphe Funktion|Holomorphe Funktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Holomorphe_Funktion|Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie]] ** [[/Partielle Ableitungen/]] * '''[[Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[/Anwendungen CR-DG/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Anwendungen_CR-DG&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalkül|Wirtinger-Kalkül]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wirtinger-Kalk%C3%BCl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wirtinger-Kalk%C3%BCl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Kurven und Wegintegrale === * '''[[Kurvenintegral|Kurvenintegral im <math> \mathbb{R}^n </math>]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurven|Kurven]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurven&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurven&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' * '''[[Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare Kurve|rektifizierbare Kurve]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/rektifizierbare%20Kurve&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=rektifizierbare%20Kurve&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Integralrechnung|Wikipedia: Integralrechnung]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Weg, Spur, Gebiet|Weg, Gebiet, geschlossener Weg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Weg,_Spur,_Gebiet&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Weg,%20Spur,%20Gebiet&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Wegintegral|Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Kurvenintegral#Kurvenintegrale|Wikpedia:Kurvenintegral allgemein]] ** [[w:de:stetige Funktion|Stetigkeit]] und [[w:de:Grenzwert_(Folge)|Grenzwerte]], ** [[Kurs:Funktionentheorie/Integration durch Substitution|Integration durch Substitution]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integration%20durch%20Substitution&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integration%20durch%20Substitution&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/reelle Integrale als Spezialfall von Wegintegralen/]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Spur, Graph]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Spur&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurve&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz für Wegintegrale|Mittelwertsatz für Wegintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Mittelwertsatz%20f%C3%BCr%20Wegintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Holomorphie === * '''[[Holomorphie|Holomorphie]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Holomorphie&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphie/Kriterien|Kriterien]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Holomorphie/Kriterien&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kriterien&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[w:de:Holomorphe_Funktion#.C3.84quivalente_Eigenschaften_holomorpher_Funktionen_einer_Variablen|Wikipedia: Holomorphiekriterien]] ** [[/Unterschiede zur reellen Differenzierbarkeit/]] ** [[w:Konforme_Abbildung|konforme Abbildungen]]<math>(\ast)</math>, * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen|Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral|Eigenschaften von Kurvenintegralen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kurvenintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kurvenintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg|Integrationsweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Integrationsweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Integrationsweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Stammfunktionen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/sternförmig|sternförmig]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/sternf%C3%B6rmig&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=sternf%C3%B6rmig&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/stetige Funktion mit Stammfunktion|stetige Funktion mit Stammfunktion]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=stetige%20Funktion%20mit%20Stammfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Wegunabhängigkeit|Wegunabhängigkeit]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Wegunabh%C3%A4ngigkeit&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Wegunabh%C3%A4ngigkeit&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion als Wegintegral|Stammfunktion als Wegintegral]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20als%20Wegintegral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20als%20Wegintegral&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma|Approximationslemma]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationslemma&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationslemma&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[ Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion - geschlossene Wege|Stammfunktion - geschlossene Wege]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=%20Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&author=%20Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20-%20geschlossene%20Wege&coursetitle=%20Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralformel CIF === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Goursat (Details)|Lemma von Goursat (Details)]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lemma%20von%20Goursat%20(Details)&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes|Goursat mit Ausnahme eines Punktes]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Goursat%20mit%20Ausnahme%20eines%20Punktes&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Goursat mit Ausnahme eines Punktes#Korrollar_von_Goursat|Goursat mit Ausnahme eines Punkte - Umkreis des Dreiecks]] * '''[[/Cauchy-Integralformel für Kreisscheiben/]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Cauchy-Integralformel%20für%20Kreisscheiben&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Lokale Entwicklung in Potenzreihen|Lokale Entwicklung in Potenzreihen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Lokale%20Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Abelsches Lemma/]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen|1/z und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiele%20f%C3%BCr%20Potenzreihenentwicklungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Entwicklung%20in%20Potenzreihen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus|Logarithmus]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Logarithmus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Logarithmus&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiele für Potenzreihenentwicklungen/Cauchy-Dichte|Cauchy-Dichte und lokale Entwicklung in Potenzreihen]] ** [[Fehlerfunktion|Fehlerfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Fehlerfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fehlerfunktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Satz über lokale Stammfunktionen/]] * '''[[Kurs: Funktionentheorie/Identitätssatz|Identitätssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:%20Funktionentheorie/Identit%C3%A4tssatz&author=Kurs:%20Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Differentialgleichung - Exponentialfunktion/|Differentialgleichung für Exponentialfunktion]] - Anwendung Identitätssatz ** [[Kurs:Stochastik/Normalverteilung#Funktionentheorie|Verteilungsfunktion der Normalverteilung]] - Anwendung Identitätssatz ** [[/Eindeutigkeitslemma für Logarithmuszweige/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz von Liouville|Satz von Liouville]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20von%20Liouville&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Liouville&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz der Algebra|Fundamentalsatz der Algebra]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fundamentalsatz%20der%20Algebra&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fundamentalsatz%20der%20Algebra&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Komplexe Nullstellen reeller Polynome/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen|Cauchy-Ungleichungen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Ungleichungen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Ungleichungen&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Maximumprinzip|Maximumprinzip]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Maximumprinzip&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Cauchy-Integralsatz CIS === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz|Cauchy-Integralsatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy-Integralsatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy-Integralsatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für konvexe Gebiete/]] ** [[/Cauchy-Integralsatz für sternförmige Gebiete/]] ** [[/einfach zusammenhängend/]] ** [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz für Zyklen]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Morera|Satz von Morera]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Morera&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Morera&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel für Zyklen]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Holomorphiekriterien]]''' == Funktionentheorie - Teil 2 == In diesem Teil der Lehrveranstaltung wird ein Zusammenhang zwischen Geometrie, Integrationstheorie mit messbaren Mengen hergestellt und die Verbindung zu Wegintegralen behandelt. <span id="Flaechenintegrale"></span> === Stammfunktionen und messbare Mengen === * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Satz über lokale Stammfunktionen|Satz über lokale Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Satz%20%C3%BCber%20lokale%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz für Stammfunktionen|Differenzsatz für Stammfunktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Differenzsatz%20f%C3%BCr%20Stammfunktionen&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Definition Flächenintegrale|Definition Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Definition%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Complex%20Analysis&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Stammfunktionen höherer Ordnung]] ** [[orientierte Fläche]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenstammfunktion|Flächenstammfunktion und Unterschied zur Stammfunktion]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenstammfunktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral über Real- und Imaginärteil|Doppelintegral über Real- und Imaginärteil]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Doppelintegral%20%C3%BCber%20Real-%20und%20Imagin%C3%A4rteil&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral und Flächenintegrale|Vergleich Wegintegrale und Flächenintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Wegintegral%20und%20Fl%C3%A4chenintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Rechteckintegrale=== * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegrale über Rechtecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Rechtecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Rechteckintegrale]] ** [[Lemma für Rechteckintegrale|Lemma - Rechteckintegrale über Flächenstammfunktionen]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Rechteckintegrale|Darstellungslemma für Rechteckintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Rechteckintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Dreiecksintegrale=== Nach dem [[Lemma von Goursat]] ist Wegintegral über den Dreiecksrand 0. Bei Flächenintegralen werden Randintegrale für den Dreieckrand betrachtet, die nicht geschlossen sind. * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Dreiecke|Flächenintegrale über Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Orientierung für Dreiecksintegrale]] ** [[Randwegintegral für Dreiecke]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz für Dreiecke|Flächenintegralsatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Fl%C3%A4chenintegralsatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar1|Korollar 1 - Invarianz Eckpunktwahl]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegralsatz_für_Dreiecke#Korollar2|Korollar 2 - Rechenregeln Randintegrale]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale|Rechteckzerlegungslemma in Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Rechteckzerlegungslemma%20in%20Dreiecksintegrale&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma für Dreiecksintegrale|Darstellungslemma für Dreiecksintegrale]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Darstellungslemma%20f%C3%BCr%20Dreiecksintegrale&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Kette von orientierten Flächen/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz für Dreiecke|Approximationssatz für Dreiecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Approximationssatz%20f%C3%BCr%20Dreiecke&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Polygone === In diesem Abschnitt werden Randintegrale über Vielecke zusammen mit der Berechnung behandelt. * [[/Flächenintegral über Vierecke/]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz für Polygone|Eckenreduktionssatz für Polygone]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Eckenreduktionssatz%20f%C3%BCr%20Polygone&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/alternierender Randweg|alternierender Randweg]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/alternierender%20Randweg&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=alternierender%20Randweg&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Flächenintegrale über Vielecke|Flächenintegrale über Vielecke]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Fl%C3%A4chenintegrale%20%C3%BCber%20Vielecke&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Integrale über Kreisscheiben und Ellipsen === * [[/holomophe Integrationswege/]] * [[/Flächenintegrale über Kreisscheiben/]] * [[/Flächenintegrale über Ellipsen/]] * [[/Flächenintegrale - berandete Wegintegrale/]] * [[/Fubini und Cavalierisches Prinzip/]] === Von Taylorreihen zu Laurentreihen und Residuen === * '''[[/Kette/|Kette von Wegen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Umlaufzahl&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Zyklus|Zyklus]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Zyklus&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Zyklus&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]], * '''[[Laurent-Reihe|Von Taylor-Reihen zu Laurent-Reihen]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Laurent-Reihe&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/kreisförmige Konvergenzbereiche|kreisförmige Konvergenzbereiche]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=kreisf%C3%B6rmige%20Konvergenzbereiche&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] - Abelsches Lemma * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion auf konvexen Gebieten|Stammfunktion auf konvexen Gebieten]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Stammfunktion%20auf%20konvexen%20Gebieten&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete|Cauchy Integralsatz für konvexe Gebiete]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Cauchy%20Integralsatz%20f%C3%BCr%20konvexe%20Gebiete&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Integralsatz von Cauchy|Cauchyscher Integralsatz]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralsatz_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Cauchy-Integralformel für Zyklen/]] * [[Integralformel von Cauchy|Cauchy Integralformel]] für Zyklen ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Integralformel_von_Cauchy&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispielrechnung mit Laurentreihen|Beispielrechnung mit Laurentreihen]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Satz von der Gebietstreue|Offenheitssatz/Satz von der Gebietstreue]] ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Satz_von_der_Gebietstreue&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[/Logarithmus/]] === Singularität und Residuen - Teil 3 === * '''[[/Singularitäten/]]''', ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs%3A+Funktionentheorie/Singularitäten&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Riemannscher Hebbarkeitssatz|Riemannscher Hebbarkeitssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannsche%20Hebbarkeitssatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Beispiel - exp(1/z)|Beispiel - exp(1/z) - wesentliche Singularität]] - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Beispiel_-_exp(1/z)&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuum|Residuum]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuum&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuum&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Laurententwicklung|Entwicklung in Laurentreihen]], * [[Kurs:Funktionentheorie/isolierte Singularität|isolierte Singularitäten]], * [[Kurs:Funktionentheorie/Zerlegungssatz|Zerlegungssatz]], * '''[[Satz von Casorati-Weierstraß|Satz von Casorati-Weierstraß]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Satz%20von%20Casorati-Weierstra%C3%9F&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz|Residuensatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Residuensatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Residuensatz&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Reelle Integrale mit Residuensatz|Reelle Integrale mit Residuensatz]], * '''[[/Null- und Polstellen zählendes Integral/]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Null-%20und%20Polstellen%20z%C3%A4hlendes%20Integral&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[Satz von Rouché]]''' ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Satz+von+Rouché&author=Kurs%3A+Funktionentheorie&audioslide=yes&language=de Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] * '''[[meromorphe Funktion|meromorphe Funktionen]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=meromorphe%20Funktion&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=meromorphe%20Funktion&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] === Riemannscher Abbildungssatz - Automorphismen === * '''[[Riemannscher Abbildungssatz|Riemannscher Abbildungssatz]]''' - ([https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Riemannscher%20Abbildungssatz&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Riemannscher%20Abbildungssatz&coursetitle= Foliensatz]) [[Datei:Wiki2Reveal Logo.png|35px]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Lemma von Schwarz|Lemma von Schwarz]] ** [[Kurs:Funktionentheorie/Automorphismen_der_Einheitskreisscheibe|<math>\mathrm{Aut}(\mathbb D)</math>]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Harmonische_Funktion|analytische und harmonische Funktionen]] * Lösung durch konforme Verpflanzung, Beispiele (ebene stationäre Strömungen in Flüssigkeiten, ebene elektrostatische Felder) * [[Kurs:Analysis III/Kapitel IV: Verallgemeinerte analytische Funktionen|Verallgemeinerte analytische Funktionen]] == Übungen == * Übungen zur [[Kurs:Funktionentheorie/Übungen|Einführung in die Funktionentheorie]] * [[/Quiz/|Beispiel für ein Quiz in der Funktionentheorie]] * [[Videokonferenz/Gruppenarbeit|Gruppenarbeit in Breakouträumen mit Videokonferenzen]] == Softwarenutzung == Ferner wird in Anlehnung an den [[v:en:Open Community Approach|Open Community Approach]] folgende Open Source verwendet: * [[Maxima CAS]] - ComputerAlgebraSystem * [[Maxima CAS/Komplexe Zahlen|komplexe Zahlen in Maxima CAS]] == Vorlesungsfolien aus Wikiversity-Inhalten == Mit [[PanDocElectron-Presentation|PanDocElectron]] kann man direkt aus Wikiversity-Inhalten Vorlesungsfolien erstellen, die man mit man einem Tablet auch annotieren kann. == Handschriftliche Notitzen == * Im Ausbildungskontext haben die individuellen handschriftlichen Annotation eine wesentliche Bedeutung, da der individuelle Erkenntnisgewinn oder auch aktuelle Probleme beim Verständnis der Beweislogik für eine weitere Betrachtung der mathematischen Theorie gekennzeichnet werden kann. Auch in [[Videokonferenz|Videokonferenzen]] kann das Arbeiten an gemeinsam entwickelten Skizzen oder die gemeinsame Annotation von PDF-Dokumenten eine wichtig Rolle für einen kollaborativen Lernprozess sein. Tablets oder Convertible mit Stifteingabe erlauben ** eine digitale Annotation von PDF-Dokumenten z.B. PDF-Export aus Wikiversity für das eigene Dokumentenportfolio zu einer Lehrveranstaltung oder ** die kollaborative Entwicklung von Beweisideen in OpenSource-Videokonferenzsystemen. ** Mit der [https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases OpenSource-Software Xournal]<ref>Xournal (2020) OpenSource digitale Schreibumgebung und Annotationssoftware für PDF-Dokumente - Github: https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases (retrieverd 2020/04/20) </ref> können Sie diese Annotation von PDF-Dokumenten unter Linux, Windows und MacOSX nutzen ([https://github.com/xournalpp/xournalpp/releases Download GitHub]) und ** für kollaboratives Arbeiten an Beweisideen kann z.B. auch in der [[w:de:BigBlueButton|Open-Source-Videokonferenzsoftware BigBlueButton]] einsetzen. == Siehe auch == * [[CAS4Wiki]] * [[Maxima CAS/Funktionentheorie|Maxima CAS]] * [[Hilfe:Quiz|Quiz für Vorlesungsinhalte]] * [[Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie|Quiz zur Topologie]] * [[Konvexkombination]] * [[Kurs:Funktionalanalysis/Hilbertraum|Hilbertraum]] * [[Videokonferenz/mündliche Prüfung]] === Kurse === * [[Kurs:Topologische Invertierbarkeitskriterien]] * [[Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen]] * [[Kurs:Funktionentheorie (Osnabrück 2023-2024)]] * [[Objektorientierte Mathematische Modellbildung]] * [[Kurs:Stochastik]] [[Kategorie:Mathematik]] == Literatur == [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis]]</noinclude> bwec7x59jqjshehr9q5kh8m8g1nxen8 2 36318 1078753 998055 2026-05-05T20:17:37Z Cethegus 2010 /* Sitzung vom 1.6.2011 */ 1078753 wikitext text/x-wiki '''[[Benutzer:Cethegus/Philosophie|Bisherige Sitzungen]]''' == Aktuelles == * [http://www.fr-online.de/kultur/bestsellerautor-richard-david-precht-will-keinen-smalltalk,1472786,16844644.html Philosophie und Politik] Interview mit Richard David Precht * [http://www.momo-berlin.de/Geschichte.html MomoBerlin] (ein alter Berliner Philosophenzirkel gerade entdeckt) ===Schulden=== David Graeber nennt als zentrale Fragestellung seines Buches »Schulden. Die ersten 5000 Jahre»<ref name="schulden">[Schulden. Die ersten 5000 Jahre. 1. Auflage. Klett-Cotta Verlag, Stuttgart 2012 (Originaltitel: Debt. The First 5000 Years), ISBN 978-3-608-94767-0.]</ref> : «Was heißt das genau, zu sagen, unser Gefühl für Moral und Gerechtigkeit werde auf die Sprache eines Geschäfts reduziert? Was bedeutet es, wenn wir moralische Verpflichtungen auf Schulden reduzieren? Was ändert sich, wenn das eine zum anderen wird? Und wie sprechen wir darüber, wenn unsere Sprache so sehr vom Markt bestimmt wurde? Auf einer Ebene ist der Unterschied zwischen Verpflichtung und Schuld einfach und offensichtlich. Eine Schuld ist eine Verpflichtung, eine bestimmte Geldsumme zu zahlen. Folglich lässt sich eine Schuld anders als jede andere Form der Verpflichtung genau quantifizieren. Dadurch werden Schulden einfach, kalt und unpersönlich - und das macht sie wiederum übertragbar. Wenn man jemandem einen Gefallen schuldet oder sein Leben verdankt, ist man dieser bestimmten Person verpflichtet.» <ref>a.a.O S. 19,6</ref> Graeber führt für seine Untersuchung basale Unterscheidungen ein: die Unterscheidung zwischen Verantwortung und Verschuldung, und die Unterscheidung zwischen Angehörigen und Fremden. Zwischen ''Angehörigen'' besteht ursprünglich eine Beziehung der Verantwortung und Verpflichtung: »Es herrscht die Annahme, von jedem, der nicht ausdrücklich Feind ist, könne man etwas erwarten nach dem Grundsatz »jeder nach seinen Fähigkeiten«, wenigstens bis zu einem gewissen Grad: ...» <ref>a.a.O S. 102,6</ref> Dagegen sind Fremde erst einmal Feinde, mit denen man friedfertigen Umgang erst aushandeln muss. Fremde werden verjagt, getötet oder versklavt. Zwischen den Angehörigen einer solchen ursprünglichen Gesellschaft entfaltet sich eine Ökonomie des Gebens und Nehmens, die Graeber als »humane Ökonomie« bezeichnet. Ich hätte hier den Begriff '''Verpflichtungsökonomie''' als weniger missverständlich empfunden. Zwischen den Angehörigen einer 'humanen Ökonomie' gibt es Kredit (man kann anschreiben lassen) und Geld (virtuelles Geld, eine Methode zu bestimmen: X entspricht sechsmal Y). In den 'humanen Ökonomien', « … [dient] Geld in erster Linie als soziales Zahlungsmittel [...], um Beziehungen zwischen Menschen zu schaffen, zu erhalten und zu trennen, und nicht dazu, Dinge zu kaufen.» <ref>a.a.O S. 166,1</ref> Tauschen findet gelegentlich statt, normalerweise mit Fremden; Tauschen ist ein Austauschen von Geschenken – mit viel Trickserei (Tauschen = Täuschen). Dieser Vorgang zwischen (wilden) Angehörigen ist gefährlich (jeder ist "nur einen Millimeter von der Kehle aller anderen entfernt")<ref>a.a.O. S. 39,4</ref>. Schon von daher verbietet sich die Annahme einer Tauschwirtschaft. Nachdem die Verpflichtungsökonomie allmählich zerstört und durch die kommerzielle Ökonomie verdrängt worden war, werden Verantwortung, Tausch Geld und Schenken neu definiert. «Der Tauschhandel hingegen war offenbar in erster Linie eine Art zufälliges Nebenprodukt der Verwendung von Münzen und Papiergeld: Historisch betrachtet fand Tauschhandel anscheinend immer dann statt, wenn Menschen, die Transaktionen mit Geld gewohnt waren, aus dem einen oder anderen Grund keinen Zugang zu geldlichen Zahlungsmitteln hatten.» <ref>a.a.O. S. 47,3</ref> Die kommerzielle Ökonomie bestimmt nun, was «...Staat und Markt, unseren grundlegenden Vorstellungen, was Freiheit, Moral und Zusammenleben in einer Gesellschaft bedeuten. All das wurde durch eine Geschichte voller Krieg, Eroberungen und Sklaverei geprägt in einer Weise, die wir nicht einmal mehr wahrnehmen, weil wir uns die Dinge gar nicht mehr anders vorstellen können.» <ref>a.a.O. S. 21,1</ref> Der größere Teil des Buches befasst sich mit den falschen Mythen der kommerziellen Ökonomik, zentral mit dem Mythos vom Tauschhandel. Wenn man beim Lesen von David Graebers Buch nicht sorgfältig den Sprachgebrauch der kommerziellen Ökonomik, also den Sprachgebrauch, der seit spätestens Adam Smith bei der Beschreibung und Rechtfertigung von Gesellschaft, Wirtschaft, Markt und Arbeit vorherrschend ist, unterscheidet von Graebers Sprachgebrauch, bekommt man schnell Verständnisprobleme. David Graeber stellt die Frage, warum der Tauschwirtschaftsmythos nicht verschwindet, obwohl er historisch nicht begründbar ist: «Anscheinend kann der Mythos vom Tausch nicht verschwinden, weil er für den gesamten Diskurs der Wirtschaftswissenschaften so entscheidend ist.» <ref>a.a.O. S. 49,6</ref> ====Kritik einzelner Thesen Graebers==== =====Freiheit===== Graeber behauptet, jedes Recht bestehe in den Verpflichtungen des anderen. "Mein Recht auf freie Meinungsäußerung ist die Verpflichtung eines anderen, mich nicht dafür zu bestrafen" <ref>a.a.O S. 216</ref> Wenn wir das Recht der Selbstbestimmung haben, bedeutet das, dass wir unsere Sklaven sind <ref>a.a.O S. 218 u. S.220</ref>. Jede entfremdete Arbeit bedeutet nach Graeber Sklaverei. Dass wir ihren Gewaltcharakter nicht erkennen, ist danach darauf zurückzuführen, "dass wir uns nicht mehr vorstellen können, wie eine Welt aussähe, die auf sozialen Vereinbarungen beruht, welche nicht die ständige Bedrohung durch Elektroschockwaffen und Überwachungskameras erfordern." <ref>a.a.O S. 221</ref> '''Kritik''' :Seit langem ist bei uns ''Freiheit'' als durch die Freiheit des anderen begrenzt angesehen. Das heißt, die Meinungsäußerung ist nur so weit frei, wie sie nicht beleidigend ist oder zu ungesetzlichen Handlungen aufruft (weil dieses beides Freiheiten anderer einschränken würde). Der Staat kann zum Schutz dieser Freiheit aufgerufen werden. :Dagegen haben andere das Recht, uns wegen unserer Meinungsäußerungen durch soziale Ausgrenzung zu sanktionieren, so lange diese Ausgrenzung nicht unsere unmittelbaren Persönlichkeitsrechte berührt. :Auch in unserer Welt gibt es Arbeit, die wir nicht für sinnvoll halten, die wir aber aufgrund von sozialen ausführen, ohne dass ein durch physische Gewalt abgesichertes Machtverhältnis besteht. :Kurz gesagt: Graeber vertritt ein philosophisches Konzept, das durchaus nicht schlüssig hergeleitet ist und andere bestehende Konzepte stillschweigend negiert. ''(Walter)'' '''Erwiderung''' :Um Graeber angemessen zu lesen muss man bereit sein, die 'gängige' Metaphysik (z.B. den mataphysischen Begriff 'Freiheit' wie Schiller ihn gebraucht in seinem Gedicht 'Drei Worte des Glaubens') zu dekonstruieren. Graeber: »Dass die Vorstellung von Ehre ohne die Möglichkeit der Entwürdigung keinen Sinn ergibt, zeigt eine Rekonstruktion dieser Geschichte, und das kann uns noch mehr Grund zur Beunruhigung bieten, wie stark unsere grundlegenden Konzepte von Freiheit und Moral durch Institutionen geformt wurden — vor allem, aber nicht ausschließlich durch die Sklaverei —, an die wir lieber nicht mehr erinnert werden möchten.« <ref>a.a.O S. 174</ref> =====Schuld, Kredit, Zins===== Nach Graeber gilt: "Eine Schuld ist definitionsgemäß eine schriftliche Aufzeichnung wie auch eine Vertrauensbeziehung." <ref>a.a.O S. 225</ref> '''Kritik''' ''Aber:'' "Die Ursprünge des Zinses [...] liegen vor der Schrift."<ref>a.a.O S. 227</ref> Er wurde für "Darlehen" erhoben. :Walter: ''Darlehen begründen doch offenkundig ein zahlenmäßig bestimmbare Schuld. Sonst könnte ja kein Zins berechnet werden. Was gilt also: Schriftform oder keine?'' Die Einführung von Darlehen bringt (nach G.) "einen grundlegenden Mangel an Vertrauen zum Ausdruck".<ref>a.a.O S. 227</ref> :Walter: ''Setzt eine Schuld also eine Vertrauensbeziehung voraus oder einen Mangel an Vertrauen?''. '''Erwiderung''' Der Kredit setzt immer eine Vertrauensbeziehung voraus; auf der Seite des Gläubigers mindestens das Vertrauen in die Verfügbarkeit von Mitteln, den Schuldner bei Fälligkeit zur Zahlung der Schuld zwingen zu können; auf der Seite des Schuldner das Vertrauen, bis zur Fälligkeit unbehelligt zu bleiben. Der Unterschied zwischen den den einzelnen Kreditverhältnissen besteht hauptsächlich darin, ob Gläubiger und Schuldner Nächste sind, oder Fremde. In dem Maße, in dem die Regeln der Kreditverbindungen sich an dem Usus der Fremdenkredite ausrichten reduzieren sich Menschen und Dinge zu Wertgegenständen, die einen Preis haben. Schuldner und Gläubiger sind nur noch wechselseitig am Besitz/Eigentum des Gegenübers interessiert. Graeber sieht Schulden als Indikator von gestörten Sozalbeziehungen: »Was sind Schulden denn überhaupt? Sie sind nichts weiter als die Perversion eines Versprechens, das von der Mathematik und der Gewalt verfälscht wurde. Wenn wirkliche Freiheit darin besteht, Freundschaften zu schließen, so umfasst sie zwangsläufig auch die Fähigkeit, wirkliche Versprechen abzugeben. Welche Art von Versprechen könnten wirklich freie Menschen einander geben? Heute sind wir nicht einmal in der Lage, diese Frage zu beantworten. Wir müssen erst einmal die Fähigkeit entwickeln, herauszufinden, wie solche Versprechen aussehen könnten.«<ref>a.a.O S. 410</ref> ====Medien==== [http://maybritillner.zdf.de/ZDF/zdfportal/web/ZDF.de/maybrit-illner/2942124/22716354/73ddea/Alle-pfeifen-auf-die-Schulden-.html David Graeber bei Maybrit Illner] == Mehr zu Geldtheorie == [[w:Currency-Theorie|Currency-Theorie]] - [[w:Joseph Huber (Soziologe)|Joseph Huber]] - [[w:Richard A. Werner|Richard Werner]] ====Anmerkungen==== <references /> == Kritik an der Vorstellung, es gebe einen Gott == [[w:Richard Dawkins|Richard Dawkins]]: [[w:Der Gotteswahn|Der Gotteswahn]] [[w:Der_Gotteswahn#Kap._5:_Die_Wurzeln_der_Religion|Dawkins Erklärung für das Vorhandensein von Religionen]] [http://www.giordano-bruno-stiftung.de/evolutionaerer-humanismus Evolutionärer Humanismus] == Gefühle und Sprache == ===Was sind Gefühle?=== *[[w:Emotion|Emotion]] *[[w:Gefühl|Gefühl]] *([[w:Angst|Angst]]) *[[w:Søren Kierkegaard|Søren Kierkegaard]] :„Wir wissen, was überall auf der Welt passiert, wir sind über alle möglichen Dinge und Undinge informiert, aber die Information berührt nicht unsere Existenz. Das Wissen bleibt abstrakt und äußerlich, es verändert uns nicht. Es ist bloßes Verstandeswissen. Was wir dagegen versäumen zu kultivieren, ist "existenzielles" Wissen, ein Wissen von uns selbst.“ :[http://www.3sat.de/dynamic/sitegen/bin/sitegen.php?query_string=Kierkegaard&days_published=365&scsrc=1 Existieren statt spekulieren] (über Kierkegard) '''Kurzdarstellung zu Kierkegaard an der Wikipedia orientiert:''' „was er zur Geltung bringen wollte, war gerade, dass Wahrheit nicht in Sätzen gelehrt werden könne, sondern eine Bewegung des Menschen in der Zeit sei.“ K. unterscheidet mehrere Stadien der menschlichen Entwicklung: Im ästhetischen Stadium ist er „mit sich selbst nicht im Reinen“ Im ethischen Stadium verhält der Mensch sich „vernünftig und erkennt seine Verantwortung vor sich selbst und der Welt. [...] Die Begründung seines Wesens als geistiges und insoweit nicht der Kausalität der Welt unterworfenes Selbst findet er nicht in sich selbst.“ Gas findet er erst im religiösen Stadium versucht der Mensch, „in ein existenzielles Verhältnis zu Gott zu treten. Dies kann allein im Glauben geschehen. Gott als der Absolute ist nicht der Kausalität der Welt unterworfen und entzieht sich daher als der Unbekannte dem menschlichen Verstand, er ist rational nicht erkennbar. Der Glauben fordert als Bedingung daher die „Kreuzigung des Verstandes“.[...] Da das sich zu Gott existenzielle Verhalten immer nur momenthaft geschehen kann und der Mensch immer wieder in seine eigene Existenz zurückfällt [...]“ muss er immer wieder den „Sprung in den Glauben“ wiederholen. ([[w:Søren Kierkegaard|Søren Kierkegaard]]) *([http://www.bpb.de/publikationen/HAXA0X,0,Demokratie_und_die_Macht_der_Gef%FChle.html Macht der Gefühle]) *([http://gffstream-1.vo.llnwd.net/c1/radio/philosophischesradio/wdr5_das_philosophische_radio_20100226_2100.mp3 Philosophie der Gefühle]) (Podcast mit Prof. Döring) ===Sprache=== [[w:Sprache|Sprache]] ([[w:Ludwig Wittgenstein|Ludwig Wittgenstein]] oder die Fliege aus dem Glas finden lassen) == Was soll ich tun? == *[http://download.br-online.de/imperia/md/audio/podcast/import/2010_02/2010_02_19_15_53_35_podcast_radiowissen_philosophi_a.mp3 Was soll ich tun] (Podcast) *Precht: ''Wer bin ich und wenn ja, wie viele?'', Kapitel 1-4 in Abschnitt ''Was soll ich tun?'', S.125-156 ===Altruismus=== [[w:Altruismus|Altruismus]] ==== Brauchen wir andere Menschen?==== *([[w:Rousseau|Rousseau]]) *Eigentum [[w:John_Locke#Eigentum|John Locke]] ==== Warum helfen wir anderen? ==== ([[w:Thomas Henry Huxley|Thomas Henry Huxley]]) ==== Warum soll ich gut sein? ==== *[[w:Kant|Kant]] *[http://gffstream-8.vo.llnwd.net/c1/radio/philosophischesradio/wdr5_das_philosophische_radio_20091211_2100.mp3 Philosophie der Moral] (Podcast) == Unterbewusstsein, Unbewusstes, Freud (23.6.) == ====Unterbewusstsein - Links zu Definitionen von Jutta neu herausgesucht ==== * '''[http://www.textlog.de/freud-psychoanalyse-bewusstsein-unbewusstes-psychologie.html Bewusstes und Unbewusstes]''' :'''Sigmund Freud''' in ''Das Ich und das Es'' (1923): Wenn das Unterbewusste von der Person wahrgenommen wird, ist es normal, dass "das vordem Unbemerkte jetzt nicht vom Bewußtsein erkannt wird, sondern oft genug ihm völlig fremd, gegensätzlich erscheint und von ihm schroff abgelehnt wird". * '''[http://www.sign-lang.uni-hamburg.de/projekte/plex/plex/lemmata/u-lemma/unbewuss.htm Unbewusstes, Vorbewusstes und Bewusstes]''' (Versuch einer systematischen Erfassung der Freudschen Kategorien) * '''[http://www.philolex.de/unbewust.htm Unbewusstes und Unterbewusstes]''' (verschiedene lexikalische Definitionen) =====Unterbewusstsein - alte Links ===== *[[w:Sigmund Freud|Freud]] *([http://download.br-online.de/imperia/md/audio/podcast/import/2008_05/2008_05_14_14_48_44_podcastiq_150508vollnarkose_a.mp3 Operation mit Bewusstsein]) Podcast ==== Woher weiß ich, wer ich bin? ==== Hirnforschung und philosophische Reaktion: [http://www.bpb.de/publikationen/M5ZBSV,0,Homo_neurobiologicus_ein_neues_Menschenbild.html Neues Menschenbild]; [[w:Thomas Metzinger|Thomas Metzinger:]] [http://www.perlentaucher.de/artikel/5634.html ''Ego-Tunnel'']; =====Gerhard Roth: ''Wie das Gehirn die Seele macht''''' 51. Lindauer Psychotherapiewochen 2001===== '''Thesen:''' *1) Das Unbewusste bestimmt weitgehend das Bewusstsein; *2) das Unbewusste entsteht ontogenetisch vor dem Bewusstsein; es legt sehr früh die Grundstrukturen der Weise fest, wie wir mit uns und unserer Umwelt umgehen; *3) das bewusste Ich hat keine oder eine nur geringe Einsicht in die unbewussten Determinanten des Erlebens und Handelns; *4) das emotionale Erfahrungsgedächtnis hat das erste und das letzte Wort, nämlich beim Entstehen unserer Wünsche und Handlungsabsichten und bei der Letztentscheidung über die Realisierung dieser Wünsche und Absichten. '''Gliederung''' *'''1. Was ist aus neurobiologischer Sicht Bewusstsein und was das Unbewusste?''' "'''Bewusstsein''' umfasst alle Zustände, die von einem Individuum erlebt werden, [...] Bewusstseinszustände treten entweder als ''Hintergrundbewusstsein'' auf, welches Ich-Identität, "Meinigkeit" und willentliche Kontrolle des Körpers, Verortung des Ich und des Körpers in Raum und Zeit und den Realitätscharakter des Erlebten betrifft, oder als schnell wechselndes ''Aktualbewusstsein'', welches sich aus den jeweiligen Sinneserlebnissen, den Emotionen, den kognitiven (Denken, Vorstellen, Erinnern) und exekutiven Zuständen (Handlungsplanung und Handlungskontrolle) zusammensetzt." Aus Sicht der Hirnforschung hat das '''Unbewusste''' folgende Inhalte: *"(1) Inhalte, die einmal bewusst waren, aber ins Unbewusste abgesunken sind und unter günstigen Bedingungen wieder bewusst gemacht ("erinnert") werden können (z. B. nicht-aktivierte Inhalte des deklarativen Gedächtnisses); *(2) vorbewusste Inhalte von Wahrnehmungsvorgängen, die nach hinreichender Aktivierung der assoziativen Großhirnrinde bewusst werden (die geschieht mit einer Verzögerung von durchschnittlich 300 bis 500 Millisekunden nach Reizbeginn); *(3) unterschwellige (subliminale) Wahrnehmungen; *(4) Vorgänge in Gehirnregionen außerhalb der assoziativen Großhirnrinde, die grundsätzlich unbewusst ablaufen; *(5) alle perzeptiven, kognitiven und emotionalen Prozesse, die im Gehirn des Fötus, des Säuglings und des Kleinkindes vor Ausreifung des assoziativen Cortex ablaufen. Man nimmt an, dass sich beim Menschen ''Ich-bezogene Bewusstseins- und Gedächtnisinhalte erst ab Ende des dritten Lebensjahres'' entwickeln; ''dies würde die Idee Freuds von einer infantilen Amnesie bestätigen''." *'''2. Wo und wie im Gehirn entstehen Affekte und Emotionen?''' ''(für uns weniger bedeutsam)'' *'''3. Wo im Gehirn existiert das Ich und wann und wie entsteht es?''' In Entsprechung zu den oben genannten Bewusstseinszuständen ist das Ich modular, d.h. aus funktional unterschiedlichen Untereinheiten aufgebaut. [...] Man unterscheidet diese verschiedenen Ich- und Bewusstseinszustände vor allem deshalb, weil sie'' "dissoziieren", d. h. ''unabhängig voneinander beeinträchtigt sein können.'' "Das Über-Ich Freuds lässt sich ohne große Schwierigkeiten im orbitofrontalen Cortex ansiedeln. Wie bereits geschildert, sind hier die in der Kindheit und Jugend erworbenen moralischen und ethischen Regeln niedergelegt." "'''Das Ich''' ist in seinen vielfältigen Ausprägungen also ein ontogenetisch spätes Produkt des Gehirns. Als autobiographisches, sprachlich vermitteltes und reflexives Ich bildet es sich nicht vor dem Ende des dritten Lebensjahres aus. Im Gegensatz hierzu beginnt das ''limbische System'' seine Arbeit bereits im Mutterleib und setzt sie verstärkt in den ersten Wochen, Monaten und Jahren unseres Lebens fort [...] Das bewusste Ich sieht sich ab dem vierten Lebensjahr in diese "limbische" Persönlichkeit sozusagen hineingestellt und von ihr getragen." *4. '''Hat das Ich Kenntnis von den Faktoren, die es determinieren, und in welchem Maße lenkt es oder das Unbewusste unser Handeln?''' "Unser bewusstes Ich erlebt sich sowohl als Quelle unserer Wünsche, Gedanken, Vorstellungen und Handlungspläne als auch als Verursacher des Handelns, [...] Dies ist der Kern des Gefühls der subjektiven Willensfreiheit." "Aus neurobiologischer Sicht ist Freud in diesem Zusammenhang Recht zu geben: Das unbewusste, limbische Erfahrungsgedächtnis lenkt unser Handeln stärker als unser bewusstes Ich." *5. '''Was sind aus neurobiologischer Sicht psychische Erkrankungen, und wie ist Psychotherapie möglich?''' "Ziel jeder Psychotherapie muss es entsprechend sein, die Psyche des Patienten dadurch zu verändern, dass die Fehlfunktionen subcorticaler limbischer Netzwerke behoben werden. Dies ist jedoch allein schon aus neurobiologischer Sicht mit erheblichen Schwierigkeiten verbunden. Man muss nämlich davon ausgehen, dass corticale und subcortical-limbische Netzwerke sich grundlegend in der Veränderbarkeit ihrer synaptischen Kontakte unterscheiden. Corticale Netzwerke sind schnell veränderbar, und zwar etwa im Sekundentakt, der auch der Takt des Bewusstseins ist. Diese Netzwerke können also in "Sekundenschnelle" Informationen aufnehmen, sie mit vorhandenen Informationen aus den verschiedensten funktionsspezifischen Gedächtnissen verbinden und so bereits bestehende Netzwerke verändern oder neue Netzwerke schaffen." "Wir müssen gleichzeitig davon ausgehen, dass es während der Individualentwicklung bei limbischen Lern- und Gedächtnisbildungsprozessen "sensible" Phasen gibt, wie sie aus der Verhaltensbiologie bei Prägungsprozessen bekannt sind. Hierbei werden Netzwerkstrukturen und -funktionen so verändert, dass sie gegen spätere Veränderungen relativ resistent sind. [...] Entsprechend bleiben bloße Appelle an die Einsicht wirkungslos [...] Der Psychotherapeut hingegen kann mit geeigneten therapeutischen Mitteln, insbesondere mithilfe der Erzeugung eines "emotionalen Aufruhrs", auf das Unbewusste des Patienten einwirken und damit Veränderungen subcorticaler limbischer Zentren bewirken. [...] Zweifellos gibt es [...] Fälle, in denen durch Therapiemaßnahmen die Quellen emotional-affektiver Störungen lediglich übertüncht, aber nicht beseitigt sind. In anderen Fällen kommt es indes doch zu einer langfristigen Veränderung in limbischen Netzwerken, so dass die Patienten sich der gefährlichen Situation aussetzen können, ohne einen Rückfall zu erleben." =====Links===== *[http://www.arte.tv/forum/showthread.php?t=15922 Diskussion über den Unterschied von Ich und Ego] (vgl. [[w:Eckhart_Tolle|Tolle]]) - anregend, auch wenn m.E. gelegentlich anspruchsvoller formuliert als nötig *[http://www.changex.de/Article/interview_weiss_achtsamkeit/NeVwnWdN60D9mPa291OZvFh0HR5ssj Achtsamkeit als die Fähigkeit, sich mit Abstand zu sehen] (im Unterschied zur naturwissenschaftlichen Sehrweise des Gehirns) *[http://www.persoenlichkeits-blog.de/article/2679/wie-das-achtsamkeitsbuch-von-halko-weiss-ihr-leben-veraendern-kann Halko Weiss: Achtsamkeit] * [http://www.michaelbach.de/ot/fcs_hollow-face/index-de.html Hohlgesichttäuschung]: Wir sehen, was unser Gehirn erwartet. Da kann unser Verstand sich dagegen wehren, wie er will. Das Gehirn setzt sich durch. - Das heißt aber auch: Unser Verstand/Geist ist mehr, als was das Gehirn produziert: Er kann erkennen, dass das Gehirn ihn täuscht (gilt für optische Täuschungen allgemein). ===Fragen=== Inwiefern ist das bewusste "Ich" in der Lage, Lebenskontexte zu entwerfen und zu realisieren, die dafür sorgen, dass die eigene Persönlichkeit gefördert wird? Es muss a) ein präzises und operationalisierbares Selbstkonzept entwickelt werden mit allen Dimensionen, (Persönlichkeitsmerkmale), die entweder verstärkt oder im Gegenteil unterdrückt werden sollen und b) müssen Lebensumfelder konstruiert werden, die entsprechende Wirkungen auf die eigene Persönlichkeit zeigen.--[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 13:09, 23. Jun. 2010 (CEST) :Kann das Selbstkonzept auf das limbische System einwirken? - Vermutlich ist gemeint, dass das Selbstkonzept Voraussetzung für die Konstruktion von Lebensumfeldern ist, die Erfahrungen zeitigen, die langfristig Charakter verändern. Oder? --[[Benutzer:Cethegus|Cethegus]] 14:20, 23. Jun. 2010 (CEST) == Freiheit und Gerechtigkeit (30.6.10) == ===Kann ich wollen, was ich will? === *[[w:Arthur Schopenhauer|Schopenhauer]] *[http://download.br-online.de/imperia/md/audio/podcast/import/2010_02/2010_02_25_13_46_38_podcast_radiowissen_schopenhau_a.mp3 Schopenhauer] Podcast ''(Jutta)'' Nach den abstrakten Konzepten von Hegel und Marx orientierte Arthur Schopenhauer sich wieder stärker an der Erfahrungswelt. Seine Ethik gründete er nicht wie Kant auf die Pflicht, dem kategorischen Imperativ zu folgen, sondern auf das Gefühl des Mitleids (ab hier Jutta) mit den Mitmenschen. Menschen sah er grundsätzlich als Leidende, weil sie von einem blinden, ziel-und sinnlosen Wollen angetrieben sind, dem sowohl der Verstand als auch die Vernunft untergeordnet sind um dessen Ziele in der kausalen Welt der Vorstellungen und Erscheinungen zu erreichen. Das Mitleid entspringt also einem grundsätzlichen Pessimismus über das unabänderlich Gegebene, dem unsichtbaren Urgrund Leben zu wollen. Jedoch fasst Schopenhauer das Mitleid als eine Erweiterung des Bewusstseins auf, indem es über sich selbst und das eigene Leid hinaus blickt und das allgemeine darin bei anderen erkennt und dort, wo es möglich ist, Unterstützung anbietet, schliesslich sogar zu Gelassenheit findet. Andererseits stellt Schopenhauer fest, dass je grösser der Gesichtskreis, umso grösser das Ausmass des Leids.- Schopenhauer schrieb viele Episoden wie die von den Stachelschweinen, die, weil es zu kalt ist nah aneinander rücken, sich so aber verletzen und dann zu einer Balance zwischen Nähe und Distanz finden, die getragen ist von Höflichkeit und guter Sitte. In seinen Schriften über "Die Welt als Wille" (2) und "die Welt als Vorstellung" (2) setzte sich Schopenhauer mit den Formen und Konsequenzen von einer Bejahung und Verneinung des "Willens" auseinander. Schopenhauer gesteht dem Menschen eine gewisse Selbstbestimmung zu, indem er sich gegen den Willen stellt, jedoch bleibt bei mir der Eindruck, dass dieser Wille als erstes und Urgrund aufgefasst gegenüber dieser stark dominiert. So zielt seine Philosophie auch nicht auf ein glückliches Leben sondern eines, in dem man das Schlimmste vermeiden lernen kann, einer defensiven Grundhaltung. Spannend finde ich jedoch das Resultat einer quasi Ich-losen Subjektivität. Damit setzt er sich gegenüber dem Buddhismus, von dem er deutlich beeinflusst wurde, sowie von Hegel mit seiner Unterordnung des Individuums unter das Allgemeinwohl, ab. (Quelle: Kleine Geschichte der Philosophie, Otfried Höffe) ===Freiheit=== =====Wille===== [[w:Epikur|Epikuros von Samos]]: „Wer behauptet, es geschehe alles mit Naturnotwendigkeit, hat kein Recht, den zu tadeln, der sagt, es geschehe nicht alles mit Naturnotwendigkeit; denn sonst gibt er zu, daß auch dies mit Naturnotwendigkeit geschieht“ Für die Philosopie geht es bei der Freiheit des Willens um die Sinnfrage des philosophischen Treibens: Weil Philosopie sich um die gute/richtige/wahre Argumentation bemüht macht sie für die Lebenspraxis nur dann Sinn, wenn ihre Argumente Handlungsrelevanz haben. Ist das Handeln der Menschen durch Argumente steuerbar? Der menschliche Wille wird von Aristoteles verstanden als ein vernunftgemäßes bzw. durch Gründe (nicht etwa Begehrungen) bestimmtes Streben. Aristoteles sieht dabei Überlegung und Entscheidung bei einer Handlung obwalten: Das nämlich, worüber auf Grund der Überlegung eine Vorwahl stattgefunden hat, bildet den Gegenstand der Entscheidung. »Denn jeder hört auf zu suchen, wie er handeln soll, sobald er das bewegende Prinzip auf sich selbst zurückgeführt hat, und zwar auf den Teil seiner Selbst, der die Führung hat: dieser Teil ist es, der die Entscheidung fällt.« (Nikomachische Ethik) [[w:John_Locke|John Locke]]: „Da der Geist . . . in den meisten Fällen die Kraft besitzt, bei der Verwirklichung und Befriedigung irgendeines Wunsches innezuhalten und mit allen andern [sic] Wünschen der Reihe nach ebenso zu verfahren, so hat er auch die Freiheit, ihre Objekte zu betrachten, sie von allen Seiten zu prüfen und gegen andere abzuwägen. Hierin besteht die Freiheit, die der Mensch besitzt“ (Locke, 1968, [Buch II, Kap. XXI, Nr. 47.]). Lockes Grundfrage lautet dabei aber nicht, ob der Wille, sondern ob der Mensch frei sei, mithin also, ob eine Handlungsfreiheit des Menschen vorliege. Der Mensch habe nicht die Freiheit etwas willkürlich zu wollen, doch bestimme nichtsdestotrotz der Geist das Wollen, wobei indes der Wille vom Begehren strikt zu trennen sei. Unbehagen, das auf den Geist einwirke, sei der Grund für das Wollen der Menschen, deren Ziel das Glücklichsein sei. Die gleiche Notwendigkeit, die uns zur Verfolgung des Glücks bestimme, ermögliche auch die Befähigung zur Suspendierung inadäquater Handlungen. [[w:Wittgenstein|Wittgenstein]]: (Untersuchungen §613). «In dem Sinne, in welchem ich überhaupt etwas herbeiführen kann (etwa Magenschmerzen durch Überessen) kann ich auch das Wollen herbeiführen. In diesem Sinne führe ich das Schwimmen-Wollen herbei, indem ich ins Wasser springe. Ich wollte wohl sagen: ich könnte das Wollen nicht wollen; d.h., es hat keinen Sinn, vom Wollen-Wollen zu sprechen. »Wollen« ist nicht der Name für eine Handlung und also auch für keine unwillkürliche. Und mein falscher Ausdruck kam daher, daß man sich das Wollen als ein unmittelbares, nichtkausales, Herbeiführen denken will. Dieser Idee aber liegt eine irreführende Analogie zu Grunde; der kausale Nexus erscheint durch einen Mechanismus hergestellt, der zwei Maschinenteile verbindet. ...» § 615 «Das Wollen, wenn es nicht eine Art Wünschen sein soll, muss das Handeln selber sein. Es darf nicht vor dem Handeln stehen bleiben.» Anhänger des [http://de.wikipedia.org/wiki/Epiph%C3%A4nomen Epiphänomenalismus] halten das Bewußtsein und den Willen für ein nutzloses Zusatzprodukt der Gehirnfunktionen. Auch Gerhard Roth sieht im Willensentschluss nicht den Auslöser für eine gewollte Handlung (‚Willensfreiheit im starken Sinne‘). Aber er nennt zwei Funktionen des ‚Freien Willens‘ (vergl. Roth, Aus Sicht des Gehirns, Suhrkamp 2003; S. 179f) * Das Gefühl des Wollens stärkt die Aktivitäten beim Überwinden von psychischen und dinglichen Widerständen. Gerade weil ich gar nicht weiß, durch was mein Wille verursacht ist, fühle ich mich subjektiv frei Hindernisse zu überwinden und Handlungsalternativen zu unterdrücken. * Das Gefühl des Wollen und Gewollt-Habens kennzeichnet meine Handlungen als ‚meine‘ Handlung und integriert sie in mein Erwartungsmodell. =====Freier Wille===== (das Thema ist in der Mischmaschine.[[Benutzer:Xaver|Xaver]] 12:21, 21. Jul. 2010 (CEST) =====Überlebenswille===== Bleibt die Frage, durch was meine gewollten Handlungen verursacht werden, wenn die Willensfreiheit nur ein subjektives Vertärkungsmoment ist. Wenn ich etwas will, dann handle ich mit einem Handlungsziel, ich will etwas verwirklichen, das in der Zukunft liegt, der Wille ist final und nicht kausal bestimmt. Oder besser: die Kausalität des Willens ist seine Finalität. [[w:Wolfgang_Deppert|W.Deppert]] sieht in der Evolutionstheorie eine Möglichkeit, kausale und finale Deutung des Willens zu versöhnen. «Der Wille kommt als Überlebenswille in Form von Systemattraktoren in die Welt! Dieser Überlebenswille ist der Ursprung aller später unterscheidbaren Willens- und Bewußtseinsformen. An dieser Stelle findet die Versöhnung von kausaler und finaler Weltbetrachtung wirklich statt; denn die Begegnung der Atome, die Bildung von Ionen und deren Verhalten ist noch ganz kausal zu verstehen, nicht aber die Tatsache, daß sich bestimmte Ionen bilden; denn das ist durch die systemcharakterisierenden Attraktoren festgelegt, welches eine finale Bestimmung darstellt. Die Attraktoreigenschaften eines Systems kann man auch als intrinsische Eigenschaften bezeichnen, da sie erst dann in Erscheinung treten, wenn die entsprechenden Umweltbedingungen vorliegen. Durch die intrinsischen Eigenschaften entsteht in dem Moment ein neues System, in dem die Umweltbedingungen dazu gegeben sind. Dann beginnt eine neue Ursachen-Wirkungskette, nach der Kant zur Begründung seiner Moralphilosophie im Rahmen der kausalen Naturnotwendigkeit vergeblich gesucht hat.» =====Freiheit===== «Die Fähigkeit des Improvisierens ist aber so charakteristisch für den Menschen, dass sie unter den Namen der Freiheit oder der Emanzipation von Naturzwängen sogar zu seinem Hauptmerkmal erhoben wurde.» ([[w:Karl_Eibl_(Germanist)|Karl Eibl]], Kultur als Zwischenwelt. edition unseld 2009, S.48) D.h. wir Menschen können von unseren (instiktiven) Verhaltensweisen abweichen, Handlungssequenzen entkoppeln und neu zusammensetzen. Dabei nutzen wir die hochpotente Methode der Beachtung von Geltungseinschränkungen. Was in diesem Fall angemessen ist, gilt in dem anderen Fall nicht. Das Wissen über die Fallunterscheidung ist kulturell (z.B. sprachlich) gespeichert und in den Archiven der Gesellschaften abgelegt. (Wird fortgesetzt von [[Benutzer:Xaver|Xaver]] 10:11, 30. Jun. 2010 (CEST)) *[[w:Freiheit|Freiheit]] *[[w:Libet-Experiment|Libet-Experiment]] *[http://www.bpb.de/publikationen/S6GLSF,0,Die_Illusion_des_freien_Willens_Essay.html Illusion des freien Willens] *[http://www.gkpn.de/Niemann_Propensities.pdf Über die Nichtdeterminiertheit der Zukunft] und die Wirkung der Zukunft auf die Gegenwart, erläutert an der Quantenmechanik ([http://web-philosophen.mixxt.info/networks/wiki/index.Niemann_%20Propensities%20die%20Steuerer%20des%20Zufalls Hier] eine von Walter für unsere Zwecke gekürzte Fassung) *[http://download.br-online.de/imperia/md/audio/podcast/import/2008_10/2008_10_28_14_55_34_podcast_radiowissen_entscheidu_a.mp3 Können wir frei entscheiden?] Podcast *[http://information-philosophie.de/?a=1&t=2814&n=2&y=5&c=29 Wolfgang Deppert: Problemlösung durch Versöhnung] *[http://www.bpb.de/publikationen/XWH031,0,0,Neuromarketing_und_Neuro%F6konomie.html#art0 Neuromarketing] ''(Xaver)'' =====Artikelserie zur Willensfreiheit===== [http://www.faz.net/s/RubCF3AEB154CE64960822FA5429A182360/Doc~E384DC40FFB99469F8C26751F979BFCBF~ATpl~Ecommon~Scontent.html Winfried Hassemer: Haltet den geborenen Dieb FAZ.net, 15.6.2010] [http://www.fr-online.de/in_und_ausland/kultur_und_medien/themen/?em_cnt=2788472& Gerhard Roth und Grischa Merkel: Haltet den Richter!, Frankfurter Rundschau (FR) 26.6.2010 (mit 60 Kommentaren)] [http://www.fr-online.de/top_news/?em_cnt=2814820& Michael Walter: Schuld und Wille, FR 5.7.2010] [http://www.fr-online.de/in_und_ausland/kultur_und_medien/feuilleton/?em_cnt=2837272& Peter Janich: Hingespinste, FR 12.7.2010] [http://www.fr-online.de/in_und_ausland/kultur_und_medien/feuilleton/?em_cnt=2860706& Klaus Lüderssen: Wer determiniert die Hirnforscher?, FR 19.7.2010] [http://www.fr-online.de/kultur/das-schuldprinzip-antasten--ohne-es-abzuschaffen/-/1472786/4504248/-/index.html Michael Pauen: Das Schuldprinzip antasten, ohne es abzuschaffen FR 26.7.2010] [http://www.fr-online.de/kultur/verantwortung-und-verdraengung/-/1472786/4522900/-/index.html Bormann: Verantwortung und Verdrängung FR 1.8.2010] [http://www.fr-online.de/kultur/an-der-realitaet-vorbei/-/1472786/4540406/-/index.html Lutz Wingert: An der Realität vorbei FR 8.8.2010] ===Freiheit im Existenzialismus (September '10)=== ====Materialien==== *[[w:Jean-Paul Sartre|Sartre]] '''Zitat aus: Jean Paul Sartre: Das Sein und das Nichts''' (Vierter Teil, erstes Kapitel, III): ''"So gibt es keine Zwischenfälle in einem Leben; ein gesellschaftliches Ereignis, das plötzlich ausbricht und mich mitreißt, kommt nicht von außen; wenn ich in einem Krieg eingezogen werde, ist dieser Krieg mein Krieg, er ist nach meinem Bild, und ich verdiene ihn. Ich verdiene ihn zunächst, weil ich mich ihm immer durch Selbstmord oder Fahnenflucht entziehen konnte: diese letzten Möglichkeiten müssen uns immer gegenwärtig sein, wenn es darum geht, eine Situation zu beurteilen. Da ich mich ihm nicht entzogen habe, habe ich ihn gewählt; das kann aus Schlaffheit, aus Feigheit gegenüber der öffentlichen Meinung sein, weil ich bestimmte Werte sogar der Kriegsdienstverweigerung vorziehe (die Achtung meiner Nächsten, die Ehre meiner Familie usw.). Jedenfalls handelt es sich um meine Wahl. Diese Wahl wird in der Folge bis zum Ende des Krieges fortgesetzt wiederholt werden; man muß also den Ausspruch von Jules Romains unterschreiben: "Im Krieg gibt es keine unschulidgen Opfer." Wenn ich also dem Tod oder der Entehrung den Krieg vorgezogen habe, dann geschieht alles so, als trüge ich die gesamte Verantwortung für diesen Krieg. Gewiß, andere haben ihn erklärt, und man wäre vielleicht versucht, mich als bloßen Komplizen zu betrachten. Aber dieser Begriff der Komplizenschaft hat nur einen juristischen Sinn; hier hält er nicht stand; denn es hat von mir abgehangen, daß für mich und durch mich dieser Krieg nicht existiert, und ich habe entschieden, daß er existiert."'' *[http://download.br-online.de/imperia/md/audio/podcast/import/2008_05/2008_05_14_09_53_32_podcast_radiowissen_existenzia_a.mp3 Der Mensch zur Freiheit verurteilt] '''Mitschriftnotizen zu diesem Podcast:''' Gerade das Terrorregime der Nazis ermöglichte durch Ablösung davon Freiheit. Jeder vom totalitären Regime losgelöste Gedanke war Freiheit. In jedem Fall bleibt die Möglichkeit, sich dem totalitären Zugriff durch Selbstmord zu entziehen. Existenzialismus prägte das Leben und die Mode. Heute bedeutet E. Ablehnung von Normen: Sartre, Beauvoir, Camus wichtige Vertreter. Deutscher Einfluss: Heidegger u. Jaspers Dänischer Ursprung: Kierkegaard Kierkegaard: Freiheit offenbart sich als Angst. Sartre: Menschliche Existenz ist Freiheit. Man wählt immer. Auch dann wenn man die Lebensangst nicht zulässt, weil man damit den äußeren Zwang, den totalitären Zugriff zulässt. Jeder muss seinen Sinn selbst schaffen, weil es keinen Sinn außerhalb des Einzelnen gibt. Sartre: Der Mensch beginnt als Leerstelle. Er ist nichts als das, wozu er sich macht. Dasein heißt immer, mit anderen zu leben. (Heidegger: Mitsein ist Wesen des Menschen.) Sartre: Meine Freiheit und die der anderen gehören zusammen. Existenzialisten waren notwendig politisch engagiert, auch im Totalitarismus. Der Existenzialismus akademisch nie sehr etabliert, er ist in konkreter Lebenspraxis verankert. So sind z.B. Zusammenleben ohne Trauschein, Patchworkfamilie und Sabbatjahr auf den Existenzialismus zurückzuführen. ====Kürzestdarstellung==== Der Existenzialismus - weit entfernt Hirnforschungsergebnisse als lebensrelevant anzuerkennen - geht davon aus, dass im totalitären Regime genauso wie in der Demokratie jeder für die Folgen seines Handelns verantwortlich sei. Er verwirft radikal die Vorstellung von "Befehlsnotstand", aber auch das sich Arrangieren mit den Verhältnissen im Sinne von "Man kann ja doch nichts machen" oder den "ohne mich"-Standpunkt in der Demokratie. Weil der Mensch im Ausgangspunkt frei sei, sei er auch für seine Unfreiheit verantwortlich. Damit verwirt er auch das "'s ist leider Krieg und ich begehre, nicht schuld daran zu sein" aus dem (Anti-)[http://www.musicanet.org/robokopp/Lieder/sistkrie.html Kriegslied] von Matthias Claudius. ''(Walter)'' ====Kommentare==== Ich selbst sehe einen unterschiedlichen Grad von Freiheit ''einerseits'' bei der Entscheidung, an diesem Philosophiekurs teilzunehmen (oder nicht) und unter den gegebenen Sicherheitsvorkehrungen die Loveparade in Duisburg zu genehmigen (oder nicht) und ''andererseits'' bei den Teilnehmern der Loveparade im Tunnel, die von Hunderten von hinten geschoben wurden, bei der Entscheidung vorwärts zu gehen oder mich rechtzeitig auf den Boden zu werfen, bevor ich auf einen Stürzenden treten kann. Wenn mir diese Differenzierung verwehrt wird, kann ich weder der Hirnforschung noch dem Existenzialismus folgen. (Walter) ===Gerechtigkeit=== *[[w:Gerechtigkeit|Gerechtigkeit]] *[[w:John Rawls|Rawls]]; [[w:Adam_Smith#Staatstheorie|Adam Smith]]; [[w:Utilitarismus|Utilitarismus]]; [[w:Kommunitarismus|Kommunitarismus]]; [[w:Triage|Triage]]; [[w:Libertatismus|Libertatismus]]; *[http://sites.google.com/site/philosophiepfad/Home Unterrichtsmaterial zu Gerechtigkeit] *[http://sites.google.com/site/philosophiepfad/Home/exkurs/rawls-verteilungsgerechtigkeit Lernpfad zu Rawls] *[http://www.bpb.de/publikationen/EY4D7B,0,Dimensionen_sozialer_Gerechtigkeit.html Dimensionen sozialer Gerechtigkeit] *[http://www.bpb.de/publikationen/H6LUPW,0,Soziale_Gerechtigkeit_ein_politischer_Kampfbegriff.html Gerechtigkeit oder Sozialneid?] Leistungsgerechtigkeit *[http://www.fr-online.de/in_und_ausland/kultur_und_medien/feuilleton/2814820_Schuld-und-Wille-Unzulaessige-ueberinterpretation.html Konzept der Willensfreiheit als Voraussetzung für Gerechtigkeit vor Gericht] FR v. 5.7.2010 ''(Walter)'' ====Darstellung==== '''Gerechtigkeit''' bezieht sich auf soziales Zusammenleben. Eine Ausnahme davon bildet nur die Vorstellung vom gerechten Gott, der jedem Einzelnen für sich ohne Vergleich mit anderen Gerechtigkeit widerfahren lässt. Außerdem finden sich im Sprachgebrauch die Wendungen ''historische Gerechtigkeit, jemandem gerecht werden, einer Sache gerecht werden'', die nicht auf einen sozialen Zusammenhang abstellen. "Die Gerechtigkeit ist die erste Tugend sozialer Institutionen, so wie die Wahrheit bei Gedankensystemen."<ref>Rawls: Eine Theorie der Gerechtigkeit, 1979, S.19</ref> Die unterschiedlichen Positionen zur Gerechtigkeit unterscheiden sich primär danach, wie sie den Anspruch des Einzelnen und den des Anderen und der Gesamtheit gewichten. "[[w:Libertatismus|Libertäre]] erkennen keine positiv definierten Rechte wie etwa das Recht auf Nahrung, Obdach oder Gesundheitsfürsorge an, sondern nur negativ definierte Freiheiten, wie die Freiheit, nicht angegriffen, missbraucht, beraubt oder zensiert zu werden. Soziales Handeln und Solidarität entstehen nicht mit juristischem Druck, sondern durch ethische Erwägungen. Libertäre halten staatlich erzeugte soziale Maßnahmen für kontraproduktiv und daher letztlich für unsozial." (Wikipedia:[[w:Libertatismus|Libertatismus]]) Die Gegenposition stellt der radikale [[w:Utilitarismus|Utilitarismus]] dar, wonach ebenfalls die Menschnrechte nicht gelten, diesmal aber, weil sie immer hinter dem Glück/Nutzen der größtmöglichen Zahl zurückstehen. In '''Notfällen''', wo mit knappen Mitteln in kürzester Zeit geholfen werden muss, wird allgemein das utilitaristische Prinzip der [[w:Triage|Triage]] angewandt. Kurz gesagt: Man verzichtet auf Hilfe bei denen, die sich selbst helfen können und bei denen, bei denen eine Rettung aussichtslos erscheint. Zu Differenzierungen sieh [[w:Triage|dort]]. Im '''gesellschaftlichen Alltag''' herrschen weniger radikale Positionen vor: Besonders stark die Einzelrechte betonen [[w:Adam_Smith#Staatstheorie|Adam Smith]] und ihm folgend der [[w:Manchesterliberalismus|Manchesterliberalismus]].<ref>Doch gewichtet Smith dabei auch die Rechte anderer Gemeinschaften recht stark und tritt gegen Sklaverei und Ausbeutung von Gold- und Silbervorkommen von Kolonien ein.</ref>, während der [[w:Liberalismus|Liberalismus]] sie etwas weniger radikal vertritt und etwa die Gemeinschaftsaufgabe der Verteidigung der individuellen Freiheit aller als Verpflichtung jedes einzelnen sieht. Der [[w:Kommunitarismus|Kommunitarismus]] sieht in der Betonung des Individualismus eine Gefahr und betont demgegenüber die Rechte der Gesamtheit, doch ebenso grenzt er sich vom [[w:Wohlfahrtsstaat|Wohlfahrtsstaat]] ab und fordert statt dessen Hilfe zur Selbsthilfe. Die sieht er am besten realisiert, wenn die mittlere Ebene zwischen Individuum und Gesamtgesellschaft, die Gemeinschaft, gestärkt wird. Zur Sicherung auch der sozialen Menschenrechte hat [[w:John Rawls|Rawls]] sein Konzept vom [[w:Schleier des Nichtwissens|Schleier des Nichtwissens]] entwickelt: Rechte und Ansprüche sollen so vergeben werden, wie man es in Unkenntnis der zukünftigen eigenen Position in der Gesellschaft für richtig hielte. Damit und mit seinem Vorrang der Freiheit vor dem sozialen Ausgleich grenzt er sich vom [[w:Kommunismus|Kommunismus]] ab, so weit er das Prinzip ''Jedem nach seinen Bedürfnissen''<ref>"Kommunismus als eine Gesellschaftsform, ''in der „jeder nach seinen Fähigkeiten“ tätig sein und „jedem nach seinen Bedürfnissen“ der produzierte Reichtum offen stehen solle'' (vgl. Wikipedia [[w:Kommunismus|Kommunismus]])</ref> vertritt. All diese Überlegungen werden aber, insofern sie sich auf Gerechtigkeit innnerhalb einer Gesellschaft beziehen, dem Gerechtigkeitsproblem unter den Bedingungen der [[w:Globalisierung|Globalisierung]] noch nicht gerecht, da zwischen Staaten noch weithin das Prinzip der [[w:Souveränität|Souveränität]] des Einzelstaates und damit der [[w:http://de.wikipedia.org/wiki/Konferenz_%C3%BCber_Sicherheit_und_Zusammenarbeit_in_Europa#Schlussakte_von_Helsinki|Nichteinmischung in die inneren Verhältnisse]] gilt. Ausnahme: Das von den westlichen Industriestaaten vertretene Prinzip der Intervention zum Schutz der Menschenrechte, das von asiatischer Seite weithin als Menschenrechtsimperialismus abgelehnt wird. Soziale Gerechtigkeit ist aber politisch sehr brisant, denn es gilt vemutlich das Wort von Carigiet: "Nur eine mehrheitlich als sozial gerecht empfundene Gesellschaft wird auf Dauer das notwendige Potenzial zur Konfliktregelung und gewaltlosen Streitschlichtung zur Verfügung stellen können."<ref>Erwin Carigiet u.a. (Hrsg.): Wohlstand durch Gerechtigkeit, Zürich 2006, S.396</ref> ====Kürzestdarstellung==== Menschliche Gerechtigkeit setzt einen sozialen Zusammenhang voraus. Der wird mittlerweile die Weltgesellschaft berücksichtigen, auch wenn es gegenwärtig keine einheitliche Werteskala gibt.<ref>Was sein Gerechtigkeitskonzept über das gerechte Verhältnis der Aufwendungen für das zweite Kind einer Hartz IV-Empfängerin und für einen pakistanischen Staatssekretär sagt, hat vermutlich noch kein Philosoph durchdacht.</ref> Das Konzept des [[w:Schleier des Nichtwissens|Schleiers des Nichtwissens]] von Rawls hat aber eine recht weite Anerkennung gefunden. Mit dem Zusammenbruch der Sowjetunion kam es weltweit zur Stärkung individualistischer Gerechtigkeitskonzepte, die [[w:Finanzkrise ab 2007|Finanzkrise ab 2007]] hat diese Tendenz wohl abgeschwächt. ====Kommentare==== * '''Ich widerrufe ... ein bisschen''' Mein hartnäckiges Festhalten an der These, dass Gerechtigkeit Gleichheit voraussetzt, muss ich bei näherer Betrachtung (und Lesen des Wikipedia-Artikels) doch revidieren: '''Nein''', Gerechtigkeit setzt nicht Gleichheit vorraus, sondern meint "einen angemessenen, unparteilichen und einforderbaren Ausgleich der Interessen und der Verteilung von Gütern und Chancen zwischen den beteiligten Personen oder Gruppen". Die Bezugsgröße der Angemessenheit kann variieren: * Ist es die Leistung, dann ist gerecht, wenn der Bessere (Schnellere, Stärkere, Fleißigere) mehr erhält. * Ist es die (Schutz)Bedürftigkeit, dann wird es gerecht empfunden, wenn der Schwächere von Lasten befreit wird (z.B. durch Arbeitsschutzgesetze) * Ist es die Gleichheit (Gleichberechtigung), dann verlangt Gerechtigkeit eine gleichmäßige Verteilung der Güter und Chancen (z.B. Wahlrecht für alle, gleicher Zugang zu Bildung) Und '''doch''': es muss laut Wikipedia-Artikel "als formales Grundprinzip die Gleichheit (Gleichberechtigung) der Menschen sichergestellt sein". Dies gilt meines Erachtens zumindest für unseren Gebrauch des Begriffes, denn wie sonst könnten wir begründen, dass etwa die Kastengesellschaft oder der unterschiedliche Reichtum der Völker dieser Erde ungerecht wären? Auch unser Grundgesetz und die Vereinten Nationen formulieren doch diesen Zusammenhang laut Wikipedia-Artikel :Die Gleichheit vor dem Gesetz ist eine der entscheidenden Grundlagen des juristischen Bemühens um die Gerechtigkeit. Sie gilt als Fundament des Rechtsstaates und ist Bestandteil der meisten Verfassungen. So legt Artikel 3 Absatz 1 des Grundgesetzes der Bundesrepublik Deutschland fest: „Alle Menschen sind vor dem Gesetz gleich.“ Darüber hinaus wird ausdrücklich auf die Gerechtigkeit Bezug genommen: „Das Deutsche Volk bekennt sich darum zu unverletzlichen und unveräußerlichen Menschenrechten als Grundlage jeder menschlichen Gemeinschaft, des Friedens und der Gerechtigkeit in der Welt.“ (Art. 1 Abs. 2 GG) :In der Allgemeinen Erklärung der Menschenrechte der Vereinten Nationen von 1948 heißt es: „Alle Menschen sind frei und gleich an Würde und Rechten geboren. [...] Jeder Mensch hat Anspruch auf die in dieser Erklärung verkündeten Rechte und Freiheiten ohne irgendeine Unterscheidung, wie etwa nach Rasse, Farbe, Geschlecht, Sprache, Religion, politischer oder sonstiger Überzeugung, nationaler oder sozialer Herkunft, nach Eigentum, Geburt oder sonstigen Umständen.“ Und last not least Gustav Radbruch: :"Die Gerechtigkeit enthält in sich eine unüberwindbare Spannung: Gleichheit ist ihr Wesen, Allgemeinheit ist deshalb ihre Form – und demnach wohnt ihr das Bestreben inne, dem Einzelfall und dem Einzelmenschen in ihrer Einzigartigkeit gerecht zu werden." [http://de.wikipedia.org/wiki/Gustav_Radbruch Gustav Radbruch], ''Vorschule der Rechtsphilosophie'', 2. Aufl., Göttingen 1959, S. 25}} Alles in Allem denke ich deshalb doch: Gerechtigkeit ohne Gleichheit ist für uns nicht vorstellbar. --[[Benutzer:Klaus.winterhude|Klaus.winterhude]] 10:10, 12. Sep. 2010 (CEST) ::''Einverstanden'': Gleichheit in den grundsätzlichen Anspruch auf Würde Art.1 GG und den entsprechenden Menschenrechten. Dementsprechend auch Anspruch auf Unterstützung beim Ausgleich fehlender Chancengleichheit. Schließlich eine Verlässlichkeit des Rechtsstaates mit allgemeinen Normen und verlässlichen Rechtswegen. Deshalb berührt das Buch von Reinhard Berkau: [http://fontanefan3.blogspot.com/2010/09/buchempfehlung.html%20Ich%20gegen%20Amerika Ich gegen Amerika] mit seiner Beschreibung von US-Justiz auch so sehr. --[[Benutzer:Cethegus|Cethegus]] 12:33, 12. Sep. 2010 (CEST) :::Allerdings bedeutet „Alle Menschen sind vor dem Gesetz gleich.“ dass alle Menschen den Anspruch haben, gleich behandelt zu werden. Friedrich A.Hayek beschreibt das so: "Eine notwendige und nur scheinbar paradoxe Schlussfolgerung, dass die formale Gleichheit vor dem Gesetz sich im Widerstreit befindet, ja unvereinbar ist mit einer Politik, die bewusst die materielle oder substantielle Gleichheit verschiedener Individuen anstrebt und dass irgendeine Politik, die sich direkt das substantielle Ideal der Verteilungsgerechtigkeit zum Ziel setzt, zur Zerstörung des Rechtsstaates führen muss. Wenn man verschiedene Individuen in dieselbe Lage bringen will, so muss man sie notwendigerweise verschieden behandeln." --[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 13:33, 12. Sep. 2010 (CEST) ::::[[w:Anatole France|Anatole France]] sagt dazu: „La majestueuse égalité des lois interdit aux riches comme aux pauvres de coucher sous les ponts, de mendier dans la rue et de voler du pain.“ ''(Das Gesetz in seiner erhabenen Gleichheit verbietet es Reichen wie Armen, unter den Brücken zu schlafen, auf den Straßen zu betteln und Brot zu stehlen.)'' (Le lys rouge, 1894) - Im 20. Jh. kam man aber auf so spinnerte Ideen wie die, dass Blinde subventionierte Braille-Bücher erhalten, und kostenlos Begleiter in der Bahn mitnehmen dürfen. Noch schrecklicher: In einzelnen Parteien gibt es Frauenquoten, was dazu geführt hat, dass wir - o Hayek hätte es verhindern sollen! - jetzt sogar eine Kanzlerin haben. Dass sie ''verteilungsgerecht'' nach Hartz IV bezahlt würde, hat sich freilich noch nicht durchgesetzt. --[[Benutzer:Cethegus|Cethegus]] 17:16, 12. Sep. 2010 (CEST) :::::Ich habe nicht meinen Standpunkt dargestellt, sondern die spezielle Interpretation, die Hayek von "Gerechtigkeit" liefert, auf die ich ohne unseren Workshop nicht gekommen wäre.--[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 18:37, 12. Sep. 2010 (CEST) ::::::Meine Äußerung, so polemisch sie klingen mag, war auch nicht gegen das Einstellen von Hayek gerichtet, sondern nur als Warnung für allzu gläubige Leser gedacht. Denn Hayek klingt ja so, als ob unterschiedliche Behandlung sogleich Ungleichheit vor dem Gesetz bedeutete. --[[Benutzer:Cethegus|Cethegus]] 00:27, 14. Sep. 2010 (CEST) In diesem Zusammenhang kann ich den Satz von Aristoteles "Die Schwachen beschäftigen sich stets mit der Frage der Gerechtigkeit und der Gleichheit. Die Starken kümmert es nicht." nicht wegdrängen. Diese Ansicht wurde im Laufe der Philosophiegeschichte immer wieder vertreten, ganz massiv durch Nietzsche. Den Satz erinnere ich vor allem dann mit Schmerz, wenn es mir nicht gut geht und ich mich "schwach" fühle. Auf diesem Hintergrund ist es auch interessant, die gegenwärtige Diskussion um Sarrazins Thesen zu verfolgen. Wie ich gestern hörte, findet Sarrazin Unterstützung bei Sloterdijk. Meine ganzen Vorurteile werden bestätigt (über Sloterdijk).--[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 08:58, 14. Sep. 2010 (CEST) * '''Ich ergänze ein bisschen ;-) (Jutta)''' Handel ist ja ebenfalls ein wichtiger Aspekt in der Diskussion um Gerechtigkeit, so werben seit einigen Jahren Firmen mit "[[w:Fairer Handel|Gerechtem Handel]]".- Ich finde diese Situation des Handelns eine interessante, weil sie eines der Paradoxe in unserem Leben darstellt. Denn, derjenige, der verkaufen will, will natürlich den höchsten Preis erzielen und der, der kaufen will, den geringsten.- In Gesellschaften, die noch etwas näher an Strukturen leben, die Tauschgeschäfte ermöglichen, werden diese Aushandlungsdialoge meiner Vermutung nach als etwas Vitalisierendes erlebt, ein grosszügiger Zeitrahmen, Rituale, Konversation spielen eine grosse Rolle. Es geht nicht nur um das Ergebnis, sondern auch um den Prozess. Und ich finde hier ein weiteres Beispiel dafür, wenn ich sage, "unserer Gesellschaft fehlt es an Magie". ====Gerechtigkeit in der funktionalen Argumentation (Juli 2011)==== Im Namen der Gerechtigkeit werden wehrlose Menschen getötet (z.B. durch die Todesstrafe), Schlachten geschlagen ('Gerechter Krieg'), Strafen vollstreckt, Eigentum weggenommen (Steuern) usw. Im Namen der Gerechtigkeit werden barrierefreie Verkehrsmittel eingesetzt, Betrüger bestraft, Schadensersatz durchgesetzt usw. 1980 stellt eine Umfrage bei (west)deutschen Bauern fest, dass 87% von ihnen sich 'allgemein benachteiligt und ungerecht behandelt' fühlten. Die jetztige Familienministerin Schröder schrieb in ihrer Doktorarbeit: «Insgesamt lassen sich die Ergebnisse des Instituts für Demoskopie Allensbach so zusammenfassen, dass offenbar eine knappe Hälfte der Bevölkerung Gerechtigkeit ''auch'' als Gleichheit interpretiert, daher eine Verringerung der Ungleichheit fordert und unter Umständen auch bereit ist, eine Nivellierung nach unten in Kauf zu nehmen. Ein Drittel scheint streng egalitären Positionen anzuhängen, also Gleichheit eine Priorität vor anderen Werten einzuräumen.»<ref>Köhler, Kristina: Gerechtigkeit als Gleichheit? Eine empirische Analyse der objektiven und subjektiven Responsivität von Bundestagsabgeordneten © VS Verlag für Sozialwissenschaften | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2010 ISBN 978-3-531-17053-4</ref> (Das kursive ''auch'' ist im Original durch Unterstreichung hervorgehoben.) Gerechtigkeitstheorien dienen dazu, reale gesellschaftliche Gewaltausübung ethisch zu problematisieren und dadurch den Gewaltanwendungen ein Qualitätssiegel zu verleihen: Diese Steuer (Strafe, Umweltzerstörung, Gesundheitsschutznorm, Durchführungsverordnung, AKW-Abschaltung, ...) ist ethisch einwandfrei! Die Argumentation mit der Gerechtigkeit ist hochgradig funktional, d.h. sie zielt auf Überzeugungen. Da jedermann weiß, dass Gerechtigkeit einen hohen Wert hat, ist es gut, sinnvoll oder nützlich, Gerechtigkeit durchzusetzen; Gerechtigkeit zu beanspruchen ist demgemäß richtig. Wenn es gelingt, einen Anspruch als gerecht darzustellen, liefert man eine Letztbegündung für diesen Anspruch, d.h. die Feststellung, ein Anspruch (auch ein nicht geäußerter) sei gerecht, beendet die Diskussion. :Meiner Meinung nach beginnt dort die Diskussion, wo ein solcher Gerechtigkeitsanspruch in Frage gestellt wird. Der Vorzug ist, dass Gerechtigkeit von beiden Seiten als (vorgebliches?) Ziel anerkannt wird und nicht Tradition, Macht o.ä. als Rechtfertigung der gegebenen Strukturen verwendet werden. --[[Benutzer:Cethegus|Cethegus]] 09:46, 25. Aug. 2011 (CEST) ====Sachbezogene Argumentation==== Funktioneller Gebrauch des Gerechtigkeitsbegriffes zeigt sich oft am Beispiel oder Modell. A. Krebs zeigt am Kuchenbeispiel, wie durch ein geschickt gewähltes Modell wesentliche Fragen gar nicht aufkommen. :„Die Verteilung eines Kuchens an Kinder ist eine unterkomplexe Situation, Kinder können im Unterschied zu Erwachsenen zum Beispiel wederselbst Kuchen backen noch kaufen. In realen komplexen Verhältnissendürfte die Gleichverteilungsoption so gut wie nie durchschlagen.Ferner lässt das Kuchenbeispiel den Suffizienz-Gedanken erst gar nichtaufkommen. Von Süßigkeiten können Kinder nie genug kriegen, und mankann dies ihnen, da sie noch Kinder sind, auch nicht verübeln.Schließlich fingiert das Kuchenbeispiel eine Tabula-rasa-Situation der Verteilung aller sozialen Güter und nicht die gewordenen Verhältnisse, indenen wir uns nun einmal mit unseren Gerechtigkeitsbestrebungen vorfinden.“<ref>Angelika Krebs: Gleichheit oder Gerechtigkeit? | [http://www.google.de/url?sa=t&source=web&cd=1&sqi=2&ved=0CBkQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.gap-im-netz.de%2Fgap4Konf%2FProceedings4%2Fpdf%2F6%2520Pol1%2520Krebs.pdf&rct=j&q=Gleichheit%20oder%20Gerechtigkeit.%20Die%20Kritik%20am%20Egalitarismus%20Angelika%20Krebs&ei=yhhjTri1KszTsgbHr7mDCg&usg=AFQjCNHhcj-qoF36kBwBdflFWVy_Fp7njg&cad=rja]</ref> Funktionale Argumente kann man mit sachbezogenen Argumenten kontrastieren. Sachbezogene Argumente berufen sich darauf, daß die jeweils zur Diskussion stehende Überzeugung unter inhaltlichen Gesichtspunkten begründet, vernünftig oder plausibel ist. (Zur Unterscheidung von funktionaler vs. sachbezogener Argumentation vgl. Birnbacher, Dieter: Funktionale Argumente in der ökologischen Ethik.)<ref>Birnbacher, Dieter: Funktionale Argumente in der ökologischen Ethik / aus: Aufklärung und Kritik 2/1997 (S. 66 ff.)</ref> [[Benutzer:Xaver|Xaver]] 11:07, 4. Sep. 2011 (CEST) ====Literatur==== * apanat: [http://apanat.wordpress.com/tag/gerechtigkeit/ Blogartikel zu Gerechtigkeit], 2011 * Booshammer, Susanne: [http://www.perlentaucher.de/buch/16458.html Gruppen, Rechte, Gerechtigkeit. Die moralische Begründung der Rechte von Minderheiten] * Ebert, Thomas: Soziale Gerechtigkeit, 2010 * Rawls: Eine Theorie der Gerechtigkeit, 1979 * Sen, Amartya: Die Idee der Gerechtigkeit, 2010 * Sandel, Michael: [http://www.justiceharvard.org/watch/ Videos zum Thema Gerechtigkeit] * [http://www.spiegel.de/unispiegel/studium/0,1518,665896,00.html Bericht über Sandels Vorlesungen], 2010 ====Anmerkungen==== <references/> ==Liebe== *[[w:Liebe|Liebe]] *[[w:Liebe#Systemtheoretische_Ansätze|Liebe nach]] [[w:Niklas Luhmann|Luhmann]] *[http://www.dctp.tv/#/liebe-macht-hellsichtig/luhmann_liebe-als-passion/ Luhmann-Interview: Liebe als Passion] *[http://frischwasser.blogspot.com/2010/04/prof-dr-sabine-doring-uber-liebe-in-der.html Prof. Döring über Liebe] (Podcast) [[w:Solidarität]], [[w:Altruismus]], [[w:Gegenseitige Hilfe]], [[w:Gutmensch]], [[w:Helfersyndrom]], *[http://www.swr.de/swr2/programm/sendungen/wissen/-/id=6722222/property=download/nid=660374/6dherh/swr2-wissen-20100909.pdf Liebe als Gleichgewicht der Sterne] (D.H.Lawrence) * [http://fontanefan3.blogspot.com/2010/09/uber-die-liebe.html Zitate über die Liebe] aus Isabell Allende: [[w:Paula|Paula]] * [http://fontanefan3.blogspot.com/2010/09/sehnsucht-nach-liebe.html Noch liebte ich nicht und ich begehrte zu lieben] (Augustinus) ====Liebe nach [[w:Niklas Luhmann|Luhmann]]==== (Auszug aus Niklas Luhmann, Liebe als Passion stw1124 ISBN 987 3 518 28724) Vorwort Die hier vorgelegten '''Untersuchungen zur Semantik von »Liebe«''' kombinieren '''zwei verschiedene Theoriezusammenhänge'''. ... *Sie gehen von der These aus, daß der Umbau des Gesellschaftssystems von stratifikatorischer in funktionale Systemdifferenzierung tiefgreifende Veränderungen des Ideenguts der Semantik erzeugt, mit dem die Gesellschaft die Kontinuität ihrer eigenen Reproduktion, des Anschließens von Handlung an Handlung ermöglicht. Bei evolutionären Transformationen dieser Art mögen Wortkleider, Floskeln, Weisheiten und Erfahrungssätze durchtradiert werden; aber sie ändern ihren Sinn, ihre Selektivität, ihre Fähigkeit, Erfahrungen zu packen und neue Perspektiven zu eröffnen. Es verlagert sich der Schwerpunkt, von dem aus Sinnkomplexe Operationen steuern; und in dieser Weise kann Ideengut, wenn es nur reich genug ist, tiefgreifende Veränderungen in den Sozialstrukturen vorbereiten, begleiten und hinreichend rasch plausibilisieren. Dank dieser Hilfe können strukturelle Transformationen relativ rasch, oft geradezu revolutionsartig ablaufen, ohne alle ihre Voraussetzungen auf einmal erzeugen zu müssen. *Den zweiten Kontext gewinnen wir mit Ansätzen zu einer allgemeinen Theorie symbolisch generalisierter Kommunikationsmedien. Entsprechend wird Liebe hier nicht, oder nur abglanzweise, als Gefühl behandelt, sondern als symbolischer Code, der darüber informiert, wie man in Fällen, wo dies eher unwahrscheinlich ist, dennoch erfolgreich kommunizieren kann. Der Code ermutigt, entsprechende Gefühle zu bilden. Ohne ihn würden die meisten, meinte La Rochefoucauld, gar nicht zu solchen Gefühlen finden. Und Engländerinnen, die den prävictorianischen Romanen zu entsprechen suchen, müssen sogar auf sichtbare Zeichen ehebereiter Liebe warten, bevor sie bewußt entdecken dürfen, was Liebe ist. Es handelt sich also nicht um eine reine Erfindung soziologischer Theorie, sondern um einen in der Liebessemantik längst reflektier/9/ten Sachverhalt. Die Theorie fügt dem nur Abstraktionsgewinne hinzu, sie ermöglicht Vergleiche mit ganz andersartigen Sachverhalten, zum Beispiel mit Macht, mit Geld, mit Wahrheit; sie gewinnt dadurch zusätzliche Erkenntnisse und zeigt damit, daß Liebe nicht nur eine Anomalie ist, sondern eine ganz normale Unwahrscheinlichkeit. Die Steigerung der Wahrscheinlichkeit des Unwahrscheinlichen — das ist die Formel, die Gesellschaftstheorie, Evolutionstheorie und Theorie der Kommunikationsmedien verbindet. Die Normalisierung unwahrscheinlicherer Gesellschaftsstrukturen stellt höhere Ansprüche an die Kommunikationsmedien, sie spiegelt sich in ihrer Semantik, und Evolution ist das Konzept, das erklären soll, wie so etwas zustandekommt.... Kapitel 1 Gesellschaft und Individuum: Persönliche und unpersönliche Beziehungen Es ist sicher ein Fehlurteil, wenn man die moderne Gesellschaft als unpersönliche Massengesellschaft charakterisiert und es dabei beläßt. Eine solche Auffassung kommt teils durch zu enge theoretische Bestimmungen des Gesellschaftsbegriffs, teils durch optische Täuschungen zustande. Wer die Gesellschaft primär in ökonomischen Kategorien begreift, wer sie also von ihrem Wirtschaftssystem her auffaßt, kommt zwangsläufig zur Vorstellung einer Vorherrschaft unpersönlicher Beziehungen, denn für das Wirtschaftssystem gilt dies in der Tat. Aber die Wirtschaft ist nur ein Moment des gesellschaftlichen Lebens neben anderen. Auch wenn man den Standpunkt des Einzelnen einnimmt, gilt natürlich, daß er zu den meisten anderen nur unpersönliche Beziehungen herstellen kann. Insofern erscheint die Gesellschaft, wenn man darunter die Gesamtheit möglicher Beziehungen versteht, als vorwiegend unpersönlich. Zugleich gilt aber für jeden Einzelnenauch, daß er die Möglichkeit hat, in einigen Fällen persönliche Beziehungen zu intensivieren und viel von dem, was er als sein Eigenstes begreift, anderen mitzuteilen und in anderen bestätigt zu finden. Auch diese Möglichkeit ist, wenn man bedenkt, daß sie für jeden eine Möglichkeit ist und von vielen ergriffen und realisiert wird, massenhaft gegeben; und es gehört mit zu den Merkmalen der modernen Gesellschaft, daß sie frei zugänglich und mit wenig Rücksichten auf andere Beziehungen belastet ist. Wir gehen im folgenden deshalb davon aus, daß im Vergleich zu älteren Gesellschaftsformationen die moderne Gesellschaft sich durch eine Steigerung in doppelter Hinsicht auszeichnet: durch mehr Möglichkeiten zu unpersönlichen und durch intensivere persönliche Beziehungen. ... Wir wollen solche Beziehungen mit dem Begriff der zwischenmenschlichen '''Interpenetration''' kennzeichnen. Im gleichen Sinne kann man auch von '''Intimbeziehungen''' sprechen. ... ...beschränken uns auf eine in diesem Zusammenhang wichtige Teilfrage: die Frage nach der Entstehung eines '''symbolisch generalisierten Kommunikationsmediums''', dem die spezifische Aufgabe zugewiesen wird, kommunikative Behandlung von Individualität zu ermöglichen, zu pflegen, zu fördern. ... Zunächst kommt es im Übergang von stratifikatorischer zu funktionaler Gesellschaftsdifferenzierung zu einer stärkeren Differenzierung von personalen und sozialen Systemen (was genau genommen heißt: von System/Umwelt-Differenzen für personale bzw. soziale Systeme). Der Grund dafür ist: *daß bei funktionaler Differenzierung die Einzelperson nicht mehr in einem und nur einem Subsystem der Gesellschaft angesiedelt sein kann, sondern sozial ortlos vorausgesetzt werden muß4. *Das heißt nicht nur, daß die Personen selbst sich jetzt durch größere Verschiedenartigkeit ihrer Merkmale auszeichnen (was man sehr wohl auch bezweifeln könnte), sondern *daß für die Systemreferenz der personalen Systeme deren System/Umwelt- Verhältnisse sich stärker differenzieren, so daß es als Zufall (und nicht als Gattungsmerkmal) behandelt werden muß, wenn Personen trotzdem gleiche Merkmale aufweisen. *Dieser systemtheoretisch gut faßbare Differenzierungstrend bedeutet für die Einzelperson mehr und mehr Anlaß, die eigene Differenz zur Umwelt (und in der Zeit-Dimension: die Geschichte und die Zukunft dieser Differenz) auf die eigene Person zurück zuinterpretieren, wodurch das Ich zum Focus des Erlebens und die Umwelt relativ konturlos wird. *Für die Selbstidentifikation als Grundlage des eigenen Erlebens und Handelns reicht es nicht mehr aus, um die Existenz des eigenen Organismus zu wissen, einen Namen zu haben und durch allgemeine soziale Kategorien wie Alter, Geschlecht, sozialer Status, Beruf fixiert zu sein. *Vielmehr muß der Einzelne auf der Ebene seines Persönlichkeitssystems, und das heißt: in der Differenz zu seiner Umwelt und in der Art, wie er sie im Unterschied zu anderen handhabt, Bestätigung finden. *Zugleich werden die Gesellschaft und die durch sie konstituierten Weltmöglichkeiten sehr viel komplexer und undurchschaubarer. Daraus ergibt sich der Bedarf für eine noch verständliche, vertraute, heimische Nahwelt (übrigens annähernd der Sinn des altgriechischen philos), die man sich noch aneignen kann. ===== Liebe als symbolisch generalisiertes Kommunikationsmedium ===== Allgemein handelt es sich bei symbolisch generalisierten Kommunikationsmedien um semantische Einrichtungen, die es ermöglichen, an sich unwahrscheinlichen Kommunikationen trotzdem Erfolg zu verschaffen1. *»Erfolg verschaffen« heißt dabei: die Annahmebereitschaft für Kommunikationen so zu erhöhen, daß die Kommunikation gewagt werden kann und nicht von vornherein als hoffnungslos unterlassen wird. Das Überwinden dieser Unwahrscheinlichkeitsschwelle ist vor allem deshalb wichtig, weil es anders nicht zur Bildung sozialer Systeme kommen kann; denn soziale Systeme kommen nur durch Kommunikation zustande. Unwahrscheinlichkeiten markieren, mit anderen Worten, Entmutigungsschwellen und, in Bezug auf Evolution gesehen, Schwellen der Wiederausmerzung von Variationen. *Können diese Schwellen hinausgeschoben werden, erhöhen sich zunächst die Systembildungsmöglichkeiten im Gesellschaftssystem, erhöht sich zugleich die Zahl der kommunikationsfähigen Themen, steigen intern die Freiheitsgrade der Kommunikation und extern die Anpassungsfähigkeiten des Systems; und mit all dem nimmt die Wahrscheinlichkeit der Evolution zu2. *Für alle Kommunikationsmedien wird man unterstellen können, daß die Anforderungen im Laufe der gesellschaftlichen Evolution steigen. *Wenn das Gesellschaftssystem und die für es mögliche Umwelt komplexer werden, nimmt auch die Selektivität aller Festlegungen zu. *Was immer mitgeteilt werden muß, wird zur Auswahl aus mehr anderen Möglichkeiten. Dadurch wird die Motivation zur Übertragung und Annahme von Selektionsleistungen unwahrscheinlicher. Also wird es schwieriger, durch die Art der Selektion zur Annahme zu motivieren. Genau dies ist aber die Funktion der Kommunikationsmedien. ... ===== Höchstpersönliche Kommunikation ===== Jedes symbolisch generalisierte Kommunikationsmedium wird mit Bezug auf ein spezifisches Schwellenproblem ausdifferenziert. Für das Medium Liebe liegt dies Problem in der höchstpersönlichen Kommunikation selbst. *Unter höchstpersönlicher Kommunikation wollen wir eine Kommunikation verstehen, mit der der Sprecher sich von anderen Individuen zu unterscheiden sucht. Das kann dadurch geschehen, daß er sich selbst zum Thema macht, also über sich selbst spricht; aber auch dadurch, daß er bei Sachthemen seine Beziehung zur Sache zum Angelpunkt der Kommunikation macht. *Je individueller, idiosynkratischer, absonderlicher der eigene Standpunkt und die eigene Weltsicht, desto unwahrscheinlicher wird der Konsens und das Interesse bei anderen. Dabei geht es nicht nur um die Eigenschaften, die jemand als Individuum besitzt oder sich selbst zuschreibt; also nicht nur um Schönheit und Tugend der Person, die in der Liebesliteratur des 17. und 18. Jahrhunderts die ausschlaggebende Rolle spielen. *Persönliche Eigenschaften könnte man wie Fakten hinnehmen, bewundern oder doch tolerieren. Was darüber hinausgeht, und das wird erst gegen Ende des 18. Jahrhunderts klar, ist der Weltbezug des personalen Individuums. Wird dieser Weltbezug mitindividualisiert, ist es nicht mehr möglich, sich als Kommunikationspartner auf die Anerkennung eines erfreulichen, nützlichen, noch akzeptablen oder sonstwie bewerteten Faktums zurückzuziehen, das in der Person des anderen gegeben ist. *Gibt sich der andere als weltkonstituierende Individualität, ist jeder, der angesprochen wird, in dieser Welt immer schon untergebracht und damit unausweichlich vor die Alternative gestellt, den egozentrischen Weltentwurf des anderen zu bestätigen oder abzulehnen. *Diese Komplementärrolle des Weltbestätigers wird einem zugemutet, obwohl mitimpliziert ist, daß dieser Weltentwurf einzigartig, also eigenartig, also nicht konsensfähig ist. Das heißt auch: es wird einem ein Bestätigungsverhalten zugemutet, das nach außen nicht anschlußfähig ist, das man also anderswo nicht vertreten kann. So bedrängt, wird jeder vernünftige Adressat die Flucht ergreifen oder doch versuchen, die sich andeutenden personalen Bezüge der Kommunikation zu ignorieren und taktvoll ins Unpersönliche der »anonym« konstituierten Welt überzuleiten. ===== Es geht nicht um totale Kommunikation, sondern Universalität des Bezuges ===== *Somit geht es, auch wenn es den Liebenden am Anfang so erscheinen mag, in der Liebe nicht um »totale Kommunikation«7, nicht um thematische Konzentration möglichst aller Kommunikationen auf den Partner oder auf das Liebesverhältnis. Nicht Totalität, sondern Universalität des Bezuges wird erwartet im Sinne einer laufenden Mitbeachtung des Partners in allen Lebenslagen; man könnte auch sagen: einer laufenden Mitanreicherung des Informationsgehalts aller Kommunikationen durch den »für ihn«-Aspekt. In diesem Sinne ist nicht die thematische Ebene des Kommunikationsprozesses, sondern seine Codierung der Ansatzpunkt, von dem her Liebe zu begreifen und zu praktizieren ist. Ein besonderer »Code« für Liebe bildet sich, wenn alle Informationen dupliziert werden im Hinblick auf das, was sie in der allgemeinen, anonym konstituierten Welt, und das, was sie für Dich, für uns, für unsere Welt bedeuten. Die Differenz kann nicht so behandelt werden, daß eine Information eine bleibt und entweder in die eine oder in die andere Welt gehört; denn natürlich projiziert jede Privatwelt ihre eigenen Unendlichkeiten in den Totalhorizont der Welt, die für alle dieselbe ist. Sondern die Information muß dupliziert werden, um in beiden Welten (je nach aktuellem Bedarf) Prüftests bestehen und Geltung gewinnen zu können. Ähnlich also wie bei der Schrift wird für Sonderverwendung dupliziert, was nicht heißt, daß die zu Grunde liegende Einheit bestritten würde. *Daß erfolgreiche Kommunikation unter dieser Bedingung zunehmender Individualisierung der Weltverhältnisse bei Erhaltung der anonym konstituierten Welt zunehmend unwahrscheinlich wird, wird noch deutlicher, wenn man auf die Verortung der Zurechnung von Selektionen im Erleben und Handeln der Beteiligten achtet8. *Ein Individuum kann (sofern es nicht Fichte gelesen hat) sein Weltverhältnis nicht als eigene Handlung begreifen; es kann unmöglich alles, was es als Selektion erfährt, sich selbst als Handlung zurechnen. Es registriert die Masse der Selektionen, wie immer idiosynkratisch sie auf Erwartungen bezogen, gegen Differenzen profiliert und bewertet werden, als Selektionen der Welt selbst. *Ein anderer, der in die Rolle des Weltbestätigers gedrängt wird, hat dagegen zu handeln; denn er müßte sagen, weshalb er bestimmte Ansichten nicht teilt. Durch die Problemschwelle und Unwahrscheinlichkeit höchstpersönlicher Kommunikation wird die Verteilung der Zurechnung als asymmetrisch geordnet: Der Liebende, der idiosynkratische Selektionen bestätigen soll, muß handeln, weil er sich mit einer Wahl konfrontiert findet; der Geliebte hatte dagegen nurerlebt und Identifikation mit seinem Erleben erwartet. Der eine muß sich engagieren, der andere (der an seinen Weltentwurf immer schon gebunden ist) hatte nur projektiert. Der Informationsfluß, die Selektivitätsübertragung von Alter (Geliebter) auf Ego (Liebender) überträgt mithin Erleben auf Handeln. ===== Verstehen: Erleben mit Handeln zuvorkommen ===== *Das Besondere (und wenn man will: das Tragische) der Liebe liegt in dieser Asymmetrie, in der Notwendigkeit, auf Erleben mit Handeln zu antworten und auf Schongebundensein mit Sichbinden9. Andererseits ergeben sich in Liebesbeziehungen für den, der jeweils liebt (Ego ist),Handlungsanschlüsse nur, weil das Erleben des Geliebten Reduktionen vorgibt. Das in der Liebessemantik immer wieder auftauchende Unendlichkeitsthema hat auch den Sinn, daß es in der Erlebniswelt des anderen keine Grenzen für eigenes Handeln gibt; zumal für den nicht, der in diese Welt als ebenfalls geliebt eingeht. *Die Asymmetrie von Erleben und Handeln enthält dann die Chance des Zuvorkommens: Man kann sich nach dem Erleben des anderen richten, auch wenn er noch nicht entsprechend gehandelt hat, auch wenn er noch keinen Wunsch geäußert, noch keine Zurechnung auf sich selbst auf sich genommen hat. Das ist gemeint, wenn die Liebessemantik ein Hinausgehen über die Pflichten der Galanterie fordert oder wenn sie von »wortloser« Übereinstimmung spricht, und das wird erfahren, wenn Liebende keine Abstimmungsprozeduren brauchen, um Dritten gegenüber übereinstimmend handeln zu können. Mit der Feststellung, daß Liebe auf die Einzelperson, auf das »Individuum« gerichtet ist und den Geliebten ganz und unteilbar erfaßt, ist das Medium demnach nicht ausreichend charakterisiert. Damit ist der andere Mensch immer noch dinganalog begriffen, und das wird nur dementiert, nicht aber durch andere Vorstellungen ersetzt, wenn man ihn als »Subjekt« bezeichnet. *Erst durch Ineinanderfügen von Systemtheorie und Kommunikationstheorie kommt man über diese Forschungslage einen wesentlichen Schritt hinaus. *Was als »Erleben« bezeichnet ist, kann nämlich in zwei Richtungen weiter aufgeschlüsselt werden, und in beiden Richtungen ergeben sich sogleich extreme Anforderungen an Beobachtung und Korrespondenzhandeln. **Wir denken jetzt an Alter als an ein psychisches System. Erleben heißt, daß das System sich im Zurechnen von Tatbeständen und Ereignissen auf seineUmwelt bezieht. Für einen Beobachter ist es außerordentlich schwer, die Umwelt des beobachteten Systems mit in seine Beobachtung einzubeziehen; denn einerseits bedeutet dies, daß er das Erleben nicht als Faktum, sondern als selektive Relationierung eines anderen Systems auf dessen Umwelt erfassen muß (und Relationen lassen sich nicht beobachten, sondern nur erschließen); und außerdem ist er selbst (jedenfalls wenn es um Liebe geht) Teil und oft wichtiger Teil dieser Umwelt, er stößt also nicht nur an den eigenen Systemgrenzen, sondern sozusagen mitten in der Welt auf zwingende Selbstreferenzen zu sich selbst10. **Eine zweite Überlegung knüpft an den Begriff der Information an. Normalerweise kann man an anderen Systemen nur Input und Output beobachten. Man sieht, daß der andere zuhört, etwas sieht, etwas liest und darauf reagiert. Damit ist aber dessen Information und dessen Informationsverarbeitung noch nicht erfaßt. ***Information ist selektive Behandlung von Differenzen; sie besteht darin, daß der Erlebende Ereignisse gegen einen Horizont anderer Möglichkeiten projiziert und den eigenen Systemzustand durch die Erfahrung »dies und nichts anderes«, »dies und nicht das« festlegt. ***Welche anderen Möglichkeiten in welchem Moment beim anderen als Vergleichsschema fungieren, ist daher extern kaum feststellbar, und ohne Miterfassung dieses Selektionshorizontes ist Information nicht beobachtbar. Man müßte dessen selbstreferentielle Informationsverarbeitung mitvollziehen oder doch adäquat nachvollziehen können, um »verstehen« zu können, wie Input in ihm als Information wirkt und wie er seinen Output (das, was er sagt, zum Beispiel) an die eigene Informationsverarbeitung wieder anschließt. *Dies Unwahrscheinliche dann doch zu ermöglichen, ist Funktion des Kommunikationsmediums Liebe. Dies wird alltagssprachlich als '''»Verstehen«''' chiffriert, wird als Wunsch nach Verständnis zum Ausdruck gebracht, wird als Klage über mangelndes Verständnis über die Grenzen des technisch Möglichen hinausgetrieben. ===== Liebe als System der Interpenetration ===== So viel von Intimität, Intimbeziehungen und Ähnlichem gesprochen wird: Es gibt keinen theoretisch hinreichenden Begriff dafür. Am ehesten wird man das, was gemeint ist, als hohe zwischenmenschliche Interpenetration auffassen können7. Das heißt: Personen senken im Verhältnis zueinander die Relevanzschwelle mit der Folge, daß das, was für den einen relevant ist, fast immer auch für den anderen relevant ist. Entsprechend werden kommunikative Beziehungen verdichtet. Achtet man auf die Typik der Selektionsübernahme, die wir im Kapitel 2 behandelt haben, dann läßt sich Intimität dadurch charakterisieren, daß schon das (selektive) Erleben und nicht nur das Handeln des einen Partners für den anderen handlungsrelevant wird. Topoi der französische Klassik hierfür waren: Es gibt keine Bagatellen in der Liebe; Betonung der Pflichterfüllung ist mit Liebe unvereinbar; man muß nicht nur alles tun, was verlangt wird, man muß zuvorkommen. Der deutsche Idealismus hätte gesagt: sich das Weltverhältnis des anderen zu eigen machen, das heißt: es mitgenießen. Auch der hohe Grad an Verbalisierung der Liebesverhältnisse belegt diese These. Liebende können unermüdlich miteinander reden, weil alles Erlebte mitteilenswert ist und kommunikative Resonanz findet. Wie bei allen symbolisch generalisierten Kommunikationsmedien stellt sich die Frage: Ist die Ausdifferenzierung entsprechender Sozialsysteme möglich und mit welchen Konsequenzen? Können Intimbeziehungen zu autonomer Selbstregulierung freigegeben werden? Können sie sozial haltlos für sich bestehen, mit der Umwelt nur durch Prozesse verbunden, die nicht ihrem eigenen Wesen, nicht ihrem besonderen Modus der Informationsverarbeitung entsprechen? Und eine zweite Frage wäre gleich anzuschließen: Eignet sich eine Semantik wie amour passion, mit deren Hilfe die Ausdifferenzierung befördert und durchgesetzt worden ist, für die Behandlung der dadurch entstandenen Sachverhalte? Das Unwahrscheinliche zunächst einmal zu ermöglichen und zu plausibilisieren, ist eine Sache; es zu ertragen, eine andere. =====Kommentare===== ======Walters Kurzfassung der Textabschnitte====== In der modernen Gesellschaft werden Personenbeziehungen versachlicht. In Einzelfällen kann man aber versuchen, viel von dem, was man als sein Eigenstes begreift, anderen mitzuteilen und in anderen bestätigt zu finden. Das ist im Prinzip für jeden mit wenig Rücksichten auf andere Beziehungen möglich. Da die Welt komplexer und undurchschaubarer wird, wächst das Bedürnis nach einer durchschaubaren Nahwelt. Mit besserer Kommunikation erhöht sich die Anpassungsfähigkeiten des Systems. Unter höchstpersönlicher Kommunikation wollen wir eine Kommunikation verstehen, mit der der Sprecher sich von anderen Individuen zu unterscheiden sucht. Das kann dadurch geschehen, daß er sich selbst zum Thema macht, also über sich selbst spricht; aber auch dadurch, daß er bei Sachthemen seine Beziehung zur Sache zum Angelpunkt der Kommunikation macht. Je individueller der eigene Standpunkt und die eigene Weltsicht, desto unwahrscheinlicher wird der Konsens und das Interesse bei anderen. D.h. wird der Weltbezug individualisiert, wird Kommunikation schwieriger. Liebende versuchen den eigenen Weltbezug zu verdeutlichen und sich in den des anderen einzufühlen. Liebende versuchen dabei  »wortlose« Übereinstimmung. Personen senken im Verhältnis zueinander die Relevanzschwelle mit der Folge, daß das, was für den einen relevant ist, fast immer auch für den anderen relevant ist. Der deutsche Idealismus hätte gesagt: sich das Weltverhältnis des anderen zu eigen machen, das heißt: es mitgenießen. Auch der hohe Grad an Verbalisierung der Liebesverhältnisse belegt diese These. Liebende können unermüdlich miteinander reden, weil alles Erlebte mitteilenswert ist und kommunikative Resonanz findet. Das Unwahrscheinliche zunächst einmal zu ermöglichen und zu plausibilisieren, ist eine Sache; es zu ertragen, eine andere. ======Walters Kommentar====== Dass das Bedürfnis nach größerer Nähe Liebende zu verstärkter Kommunikation treibt und dass das Scheitern dieser Kommunikation besonders schmerzhaft erlebt wird, halte ich für treffend. Damit ist freilich nicht viel über Liebe gesagt, vielleicht aber etwas für die Verbindung von System- und Kommunikationstheorie geleistet. Freilich scheint der Begriff von [[w:Liebe|Liebe]] hier sehr stark an den der Verliebtheit angenähert. Von "[[w:Die_Kunst_des_Liebens#Mutterliebe|Liebe heißt loslassen können]]" ist hier gar nicht die Rede. Vielleicht lässt sich aus meiner Kurzfassung erschließen, was ich nicht verstanden habe und weshalb mir die Textabschnitte wenig gebracht haben. --Walter ======Xavers re====== Liebe '''als Passion'''. Liebe als Leidenschaft, als Exzess, Krankheit und Wahn, Plaisir, Amour - als beidseitig gekonnt/gekannte Trickserei. Nicht über Freundschaft und Nächstenliebe schreibt und redet Luhmann. [http://www.dctp.tv/#/liebe-macht-hellsichtig/luhmann_liebe-als-passion/ dctp.tv] :dann passt mein Ansatz "Liebe als Fixierung auf eine Quelle der Bedürfnisbefriedigung"[http://books.google.de/books?id=gGyy6TaFAIYC&printsec=frontcover&dq=vorschlag+eines+anthropologisch+begr%C3%BCndeten+curriculums+f%C3%BCr+den+fremdsprachenunterricht&source=bl&ots=y6DHNmFVbd&sig=C1dOd6wD95p77jvYmK2j92vot1g&hl=de&ei=ckqTTL_WOYmMswb3x_j4CQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBYQ6AEwAA#v=onepage&q=liebe&f=false] ganz gut. Die Fixierung kann Formen einer Manie und einer Sucht annehmen.--[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 11:25, 23. Sep. 2010 (CEST) =====Referat mit Einwürfen anderer:===== '''Stränge''' 1. System erhält sich selbst, indem es drinnen und draußen unterscheidet. System/Umwelt vgl. Schrödinger: Was ist Leben? Drinnen draußen. Haut als Grenze. System ist nicht das, was etwas braucht. Ich bilde mich, indem ich meine Umwelt abgrenze. 2. Liebe eng: Passion - Fall: galante franz. Literatur 17./18. Jh. Ich will nicht wissen, was die Leute denken, sondern was sie sagen. Mich interessiert die Sprache. 2a. Was muss sein, damit der Zugriff auf den anderen gelingt? Sie müssen sich gegenseitig ihrer Liebe versichern. Dafür müssen sie sich in den Partner einfühlen. Ihr Kode muss "Ich liebe dich" signalisieren. Gefahr: Es wird als Heuchelei verstanden. Ich brauche die Liebe. Beispiel: Beendigung des L-verhältnisses. Es muss von dem beendet werden, der noch liebt. Die Interpenetration hält an, auch wenn einer ausscheiden will. Jutta: sind ein gemeinsames System geworden, müssen aber erst wieder getrennt werden. Xaver: Der andere bleibt Umwelt, ist für Selbstkonstruktion nötig. Jutta: Therapeuten betonen: es gibt eine gemeinsame Identität. Sie wollen sich gemeinsam von der Umwelt abgrenzen. Frage: Warum braucht Luhmann die Bedürfnisse dafür nicht? Jean-Pol: Der Begriff Liebe ist gefährlich, weil sehr subjektiv. Er hat keinen Erklärungscharakter. Walter: Also kein philosophischer Begriff. Jutta: Für Luhmann ist Liebe kein Begriff, sondern ein Kode. Xaver: Sex: Spaß zum Zweck. (Diamond: "Wie würde ein Hund das Sexualleben des Menschen beschreiben?") Bedürfnis: Wenn es mein (ego) Bedürfnis ist, deinen (alter) Bedürfnissen entgegenzukommen, dann ist es nicht mehr klar, ob es dabei um mein (ego) oder dein (alter) Bedürfnis geht. Xaver: Geben nicht als Begriff, sondern Symbol: '''Luhmannzitat:"'''Soweit es überhaupt um »Geben« geht, besagt Liebe deshalb: dem anderen zu ermöglichen, etwas zu geben dadurch, daß er so ist, wie er ist. In der Semantik des Mediums Liebe findet man diese Funktion nicht formuliert, aber symbolisiert. Es wird nicht vorgeschrieben, daß man als Liebender eine Privatwelt gegen die öffentliche Meinung zu beglaubigen habe, aber die Liebe wird mit Symbolen beschrieben, die ausdrücken, daß dies geschieht, wenn man liebt. Das Leitsymbol, das die Themenstruktur des Mediums Liebe organisiert, heißt zunächst »Passion«, und Passion drückt aus, daß man etwas erleidet, woran man nichts ändern und wofür man keine Rechenschaft geben kann. Andere Bilder mit zum Teil sehr alter Tradition haben den gleichen Symbolwert — so wenn man sagt, Liebe sei eine Art Krankheit; Liebe sei Wahnsinn, folie à deux [...]" (Liebe als Passion, S.11) =====Liebe nach [[w:Erich Fromm|Fromm]]===== Erich Fromm: [[w:Die Kunst des Liebens|Die Kunst des Liebens]] Wichtig ist nicht das Glück, geliebt zu werden, sondern die Veränderung der Persönlichkeit, die es ihr erlaubt, zu lieben. ==== Liebe als Tugend ==== Unter Tugend versteht man die Fähigkeit und innere Haltung, das Gute mit innerer Neigung zu tun. Im allgemeineren Kontext bezeichnet man mit Tugend den Besitz einer positiven Eigenschaft. Der altgriechische Ausdruck „ἀρετή" (areté) ist ein Werturteil und bezeichnet eher die Tüchtigkeit und Tauglichkeit im Sinne eines Qualitätsmerkmals.<ref>Otto Friedrich Bollnow nennt als Beispiele für „areté“ etwa auch die Schnelligkeit eines Pferdes oder die Schärfe eines Messers (vgl. auch Platon, Politeia: Tugend von Pferden und Hunden).</ref> Der lateinische Begriff virtus leitet sich von „vir“ (Mann) ab. Der Mann, genauer: der Krieger, galt als Träger der Tugenden. virtus steht für Tüchtigkeit, Mannhaftigkeit, Kraft, Stärke, Tapferkeit, gute Eigenschaft, Tugendhaftigkeit, Sittlichkeit. Die''' Tugendlehre''' ist nach Schleiermacher einer der drei Zweige der Ethik neben der Güter- und der Pflichtenlehre. Es wird unterschieden zwischen natürlicher Tugend (in der klassischen Ethik), angeborener Tugend, erworbener Tugend (durch Übung, also oftmaliges Tun des Guten) und übernatürlicher Tugend (in der christlichen Theologie von Gott gegeben). Kardinaltugenden Als die vier klassischen Grundtugenden (Kardinaltugenden) gelten Klugheit (Weisheit), Gerechtigkeit, Tapferkeit und Mäßigung. Platons Theorie der Grundtugenden wurde für die ganze tugendethische Theorie richtungsweisend. Solidarität bezeichnet vor allem das Grundprinzip des menschlichen Zusammenlebens ein Gefühl von Individuen und Gruppen, zusammen zu gehören. Dies äußert sich in gegenseitiger Hilfe und dem Eintreten für einander. Solidarität kann sich von einer familiären Kleingruppe bis zu Staaten und Staatsgemeinschaften erstrecken. In der Arbeiterbewegung wurde „Solidarität“ als Tugend der Arbeiterklasse (s. a. Brüderlichkeit) hervorgehoben. Sie hat hier eine ähnliche Bedeutung wie das Wort „Kameradschaft“ beim Militär oder anderswo. Gelegentlich wird unterschieden zwischen *Solidarität der Gesinnung (Einheitsbewusstsein), *Solidarität des Handelns (gegenseitige Hilfsbereitschaft) und *Interessen-Solidarität (die durch Interessengleichheit in einer bestimmten Situation wirksam ist und nach dem Erreichen des gemeinsamen Zieles endet). Im Christentum wird die Solidarität zu jedem Menschen in Form von christlicher [[w:Nächstenliebe|Nächstenliebe]] gefordert. Dies stellt einen Unterschied zu abgrenzenden Solidaritätskonzepten dar, wo Solidarität z. B. auf Menschen mit gleichen Interessen oder einer Zusammengehörigkeit beschränkt wird. Die christlich begründete Solidarität soll sowohl im immateriellen, wie auch im materiellen Bereich gelten. So enthält die [[w:Bergpredigt|Bergpredigt]] von Jesus Christus folgende materielle Forderung: „Wer dich bittet, dem gib, und wer von dir borgen will, den weise nicht ab.“ Sie ist ursprünglich einer moralischen Art, d. h. als Selbstverpflichtung an das Individuum bzw. eine Verpflichtung vor Gott formuliert. Im modernen Recht hat sie auch institutionalisierte Formen angenommen, z. B. durch Gesetze, die [[w:unterlassene Hilfeleistung|unterlassene Hilfeleistung]] unter Strafe stellen. Solche Gesetze existieren in eingeschränkter Form auch im materiellen Bereich, z. B. durch eine [[w:Unterhaltspflicht|Unterhaltspflicht]] zwischen Ehegatten sowie zwischen Kindern und Eltern. Die Tugend der allgemeinen Menschenliebe ist zu unterscheiden von einem [[w:Helfersyndrom|Helfersyndrom]], wo der Helfer anderen helfen muss unabhängig davon, ob sie auf die Hilfe angewiesen sind und ob seine Kräfte dazu ausreichen, die angestrebte Hilfe zu erbringen. Allerdings werden nicht selten auch krasser Egoismus oder Rassismus damit gerechtfertigt, dass man jede andere Haltung als [[w:Gutmensch|Gutmenschentum]] oder Helfersyndrom abqualifiziert. =====Kürzestfassung===== Liebe als allgemeine Menschenliebe kann als Tugend, d.h. als positive Eigenschaft, verstanden werden, insofern sie dazu befähigt, leicht und mit Freude moralisch zu handeln. (vgl. [[Benutzer:Cethegus/Philosophie2#Altruismus|Altruismus]]) ====Ben-Ze'ev==== * [http://www.3sat.de/mediathek/?mode=play&obj=25717 Interview mit dem Philosophen Aaron Ben-Ze'ev über Liebe] ==== Anmerkungen ==== <references/> ===Glück=== *[[w:Glück|Glück]] *Precht: Wer bin ich ...?, Kap. 7-8 in Was darf ich hoffen?, S.347-367 *[http://wiki.zum.de/Gl%C3%BCck Allerlei Material zum Thema Glück] *[http://www.gkpn.de/AuK_So14_08.pdf Glück und Lebenskunst (Aufklärung und Kritik, Sonderheft 14)] * [http://www.spiegel.de/gesundheit/psychologie/lebenszufriedenheit-hilke-brockmann-erklaert-das-glueck-a-942693.html Lebenszufriedenheit: Das Glück ist ein U], Soziologin Hilke Brockmann über Glück, Spiegel online 26.1.14 ===Gott=== *[[w:Gott|Gott]] „Ramachandran treibt die Grenzen seiner Forschung tief in andere Disziplinen hinein. Vor allem seine Entdeckung eines "Gottesmoduls" im Gehirn sorgte für Aufsehen. Nun merkt der Leser bald, daß er nicht den Sitz Gottes im Hirn, sondern nur das Zentrum religiöser Empfindungen im Blick hat, doch die Provokation ist perfekt.“ S. Zerki in der FAZ zu Vilaynur S. Ramachandran / Sandra Blakeslee: [http://www.buecher.de/shop/buecher/die-blinde-frau-die-sehen-kann-/ramachandran-vilaynur-s-blakeslee-sandra/products_products/content/prod_id/08895967/ Die blinde Frau, die sehen kann]. *[http://download.br-online.de/imperia/md/audio/podcast/import/2010_03/2010_03_05_11_26_58_podcast_radiowissen_gott_10031_a.mp3 Atheismus] Podcast *[http://www.faz.net/s/RubC17179D529AB4E2BBEDB095D7C41F468/Doc~E66B973E4BAA448018C17DA0F3F049588~ATpl~Ecommon~Scontent.html Schöpfer überflüssig] „Will man sich der oft als heikel empfundenen Frage nicht entziehen, warum bei geistigen, altruistischen und kreativen Ausnahmeleistungen Juden fünfzig- bis hundertmal häufiger vertreten sind, als das ihrem Anteil an der Weltbevölkerung entspricht, so müsste man wohl antworten: Die auch für Kinder schon geltende Unterbindung kollektiv gebilligter, weil religiös abgesegneter Formen von Aggressionsabfuhr (Opfer etc.) und Schuldgefühlsverflüchtigung (Beichte etc.) nötigt den jüdischen Nachwuchs zu individualisierter Sublimierung der ihm wie jedem anderen Nachwuchs eigenen Aggression. Es sind nun einmal Sorge um andere, Wahrheitssuche und schöpferisches Handeln, die – neben der eher körperorientierten Selbstbeherrschung, die im östlichen Buddhismus wichtiger wird – die drei akzeptierten Umformungsergebnisse solcher Emotionen bieten.“ ([[w:Gunnar Heinsohn|G. Heinsohn]]: ''Die Erschaffung der Götter. Das Opfer als Ursprung der Religion'' S.138 f) :Gemeinhin nimmt man an, dass die frühe Beschäftigung mit dem Lernen einer Fremdsprache und mit der Diskussionskultur des [[w:Talmud |Talmud]] sowie die Verweigerung von Berufskarrieren als Bauern und Handwerker die Intellektualität der Juden gefördert habe und dass die Christen des Mittelalters einen Hass auf Geldverleiher hatten und sie als Sündenböcke für Seuchen und anderes Unglück gebrauchen konnten. - Die Erklärung aus der Bronzezeit hat den Vorzug, nicht widerlegt werden zu können. --[[Benutzer:Cethegus|Cethegus]] 19:31, 19. Dez. 2010 (CET) == Tod == "Es gibt keinerlei Grund, sich um seinen Nachruhm zu kümmern; denn die Toten wissen nicht, dass es sie je gegeben hat. Das ist eine der am häufigsten übersehenen Tatsachen des Lebens." [[w:Lars Gustafsson|Lars Gustafsson]]: ''Alles, was man braucht'', S.95 Es ist immer problematisch, vom Leben auf den Tod und vom Tod auf das Leben zu schließen. -- Walter »Bis zu einem bestimmten Zeitpunkt ist der Tod für uns etwas zu Fernes, als daß wir uns mit ihm beschäftigten. Er wird nicht gesehen, und er ist unsichtbar. Das ist die erste, glückliche Phase des Lebens. Dann aber sehen wir ihn plötzlich vor uns und können unsere Gedanken nicht von ihm lösen. Er ist bei uns. Und da die Unsterblichkeit sich an den Tod klammert wie Hardy an Laurel, können wir sagen, daß auch unsere Unsterblichkeit bei uns ist. Und von dem Moment an, da wir wissen, daß sie bei uns ist, fangen wir an, uns fieberhaft um sie zu kümmern. Wir lassen ihr einen Smoking scheidern und kaufen ihr eine Krawatte, weil wir Angst haben, daß andere uns vielleicht zuvorkommen und eine schlechte Wahl treffen könnten. Das ist der Moment, da Goethe beschließt, seine Memoiren zu schreiben, sein berühmtes Werk Dichtung und Wahrheit;« (S.93) [[w:Milan_Kundera|Milan Kundera]]: ''Die Unsterblichkeit. Fischer Taschenbuchverlag 1992 ISBN 3 596 10672 9'' ===Selbsttötung=== Für unser Anliegen, also für die Beschäftigung mit dem Thema aus philosophischer Sicht scheint mir [aus der Wikipedia] der Abschnitt über Verfassungsrecht am fruchtbarsten: [[w:Suizid#Verfassungsrecht|Verfassungsrecht]] Besonders zu vertiefen sind folgende Stellen: "Ihre Konkretisierung erfährt die Unantastbarkeit der Menschenwürde insbesondere im Recht auf freie Entfaltung der Persönlichkeit, soweit diese nicht Rechte anderer verletzt oder gegen die verfassungsmäßige Ordnung oder das Sittengesetz verstößt (Art. 2 GG). Dieses Grundrecht umfasst nach gegenwärtiger Ansicht die Freiheit, lebensverlängernde oder gesundheitserhaltende Maßnahmen abzulehnen. Uneinigkeit besteht, inwieweit die Ausübung dieses Freiheitsrechts gegen das Sittengesetz verstößt. Religiös fundierte Wertsetzungen können für die Klärung dieser Frage nicht maßgebend sein." "Entsprechendes gilt für Wertsetzungen, die aus philosophisch-weltanschaulichen Systemen abgeleitet sind, denn keines von ihnen kann beanspruchen, allgemeingültig zu sein. Der Philosophie Kants folgend, der der Begriff des Sittengesetzes entlehnt ist, verbinden sich denn auch damit keine bestimmten materiellen Bewertungen, sondern eine Prüfung der Frage, inwieweit das Handeln des Einzelnen Maßstab für eine allgemeine Gesetzgebung sein könnte (Kategorischer Imperativ)." - ''JP'' ====Ein paar Überlegungen==== # Meine Durchsicht der Wikipedia-Artikel über Suizid und Sterbehilfe offenbart, dass man als Akteur rechtlich vor einem Wirwarr an Deutungen steht, der Handeln sehr erschwert. Diesen Satz habe ich gefunden, konnte aber aus Zeitgründen nicht prüfen, ob er stimmt: "Der Suiziversuch ist in Deutschland als Ausdruck des Selbstbestimmungsrechts straffrei, ebenso die Teilnahme (Beihilfe und Anstiftung)". Allerdings: "Wer aufgrund einer Garantenpflicht verpflichtet ist (z.B. Angehörige, Ärzte etc.), eine Selbsttötung zu verhindern, kann wegen Totschlags (oder ggf. Mordes) durch Unterlassen bestraft werden, wenn er gebotene Rettungshandlungen unterlässt." # Die zentrale (philosophische) Frage bleibt, ob jemand das Recht zugesprochen werden kann, sich selbst das Leben zu nehmen oder einem anderen zu helfen, aus dem Leben zu scheiden. Hält man das Leben für ein Gut, das Gott geschenkt und nur Gott wieder entziehen kann, so sind Suizid und Sterbehilfe abzulehnen. Allerdings gibt es auch hier diverse Ausnahemklauseln. Die nächste Frage ist, inwiefern der Suizident mit vollem Bewusstsein seine Handlung ausführt oder von anderen auszuführen lassen möchte. Auch hier sind diverse Fälle denkbar: leidet jemand unter Depression, so wird ihm der Zustand des vollen Bewusstseins abgesprochen. # Unterschiedliche Rechtsgüter müssen gegeneinander abgewogen werden, dies meint der Satz: "Uneinigkeit besteht, inwieweit die Ausübung des Selbstbestimmungsrecht des Suizidenten gegen das Sittengesetz verstößt." Was ist dieses Sittengesetz? An dieser Stelle sollte aus meiner Sicht eine breite Diskussion einsetzen. Und argumentiert man hier universalistisch oder relativistisch? Daher hatte ich mich auch bemüht, die Position der Utilitaristen, der Deontologen und der Tugendethiker herauszuheben, mit der Frage, inwieweit aus deren Grundpositionen heraus Regeln zu formulieren wären. Dies allerdings unabhängig von ihren tatsächlichen Statements in Bezug auf Suizid und Sterbehilfe. So war Kant dezidiert gegen den Suizid, aus dem Kantschen Imperativ lässt sich diese seine Position aber nicht ableiten.--[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 18:22, 19. Jan. 2011 (CET) :Zu Kant: Es kommt darauf an, wie man die Maxime formuliert. Beim die Unwahrheit sagen, hat er unterstellt, die Alternative zu seiner Vorstellung wäre: Jedem ist es erlaubt, jederzeit die Unwahrhit zu sagen, wenn es ihm passt. - Wenn man als Alternative zum Verbot der Selbsttötung die Maxime formulierte: Jedem steht jederzeit frei, sich selbst zu töten, wenn er eine von ihm erwartete Handlung nicht ausführen will, könnte man die zum allgemeinen Gesetz erheben? :Da es unwahrscheinlich scheint, dass Menschen nach einer solchen Maxime leben, scheint sich die Frage zu erübrigen. Wie ist es aber zu bewerten, dass Verhandlungen zum Klimawandel nach der Devise geführt werden, wir sind bereit, unseren kollektiven Untergang in Kauf zu nehmen, wenn wir dafür heute nichts an unserem Verhalten ändern müssen? --Walter ====Nachgedanken==== Bis auf die einheitliche Begründung, dass man nicht zerstören darf, was Gott geschaffen hat, scheint es, dass es soviele Begründungen für oder gegen Suizid gibt wie Denker oder Philosophien. Hier drei Beispiele: #Kant a) bedient sich des Bildes, dass ein Mensch seinen Wachposten nicht verlassen darf. b) Dieser Philosoph findet den Suizid grundsätzlich verwerflich: „Das Subjekt der Sittlichkeit in seiner eigenen Person vernichten, ist eben so viel, als die Sittlichkeit selbst ihrer Existenz nach, so viel an ihm ist, aus der Welt zu schaffen.“ #David Hume ist dagegen der Meinung, dass die Selbsttötung ein der menschlichen Gesellschaft eingestiftetes Recht sei. Der christlichen Ansicht, dass das menschliche Leben heilig und einzigartig sei und alle Anstrengungen unternommen werden müssten, dieses zu schützen, entgegnet Hume, dass es in diesem Sinne für einen Christen auch falsch sein müsse, einen natürlichen Tod hinauszuzögern, da dies Gottes Wille widerspräche. #Arthur Schopenhauer, dessen philosophischisches System in seinem Hauptwerk Die Welt als Wille und Vorstellung in die „Verneinung des Willens zum Leben“ als ethisches Ziel mündet, verwarf gleichwohl den Suizid, weil dieser ihm zufolge keineswegs − wie die freiwillige Askese − eine Verneinung des Willens zum Leben zum Ausdruck bringe, sondern vielmehr „ein Phänomen starker Bejahung des Willens“ darstelle. Denn „die Verneinung [des Willens zum Leben] hat ihr Wesen nicht darin, daß man die Leiden, sondern dass man die Genüsse des Lebens verabscheuet. Der Selbstmörder will das Leben und ist bloß mit den Bedingungen unzufrieden, unter denen es ihm geworden.“--[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 18:22, 19. Jan. 2011 (CET) ===Sterbehilfe=== Alle Versuche, Würde zu bestimmen, knüpfen an die Vernunftbegabtheit, die Wahlfreiheit und die Selbstmächtigkeit (''Th.v.Aquin'') an. *''Kant:'' Würde ist die Autonomie, die Selbstgesetzlichkeit des Willens. *''Sartre:'' Würde ist die Fähigkeit, sich zu entwerfen. *Ontologische Begründung: Der Mensch nimmt im Ganzen des Seins eine herausragende Stellung aufgrund seiner Vernunftbestimmtheit und Freiheit. "Innherhalb des ontologischen Ansatzes wird der Begriff der Menschenwürde zumeist an den der Person gebunden. Person zeichnet sich im klassischen Sinne durch Eigenständigkeit, Einheit, Selbstbezüglichkeit und Handlungsmächtigkeit aus. Strittig ist zuweilen, ob Personsein an eine Aktualisierung bestimmter Eigenschaften gebunden ist und ob W. daher mit einer bestimmten 'Würdeleistung' verknüpft ist. *Nach der gängigen Verfassungsinterpretation beruht die Menschenwürde auf der Vernunftbegabtheit und dem freien Willen. Menschen, die für sich Sterbehilfe wünschen, können damit argumentieren, dass sie ihre eigene Würde nach der oben genannten Definition nicht mehr bewahrt sehen und sich daher - moralische und medizinische - Hilfe von der Gesellschaft wünschen, ein würdeloses Dasein zu beenden. ''J-P.'' :Der Unterschied zur [[w:Nationalsozialistische_Rassenhygiene#Rassenhygiene_durch_Vernichtung|Euthanasie]] unter der NS-Herrschaft läge also darin, dass das Individuum selbst die Bedingungen definiert hat, unter denen es von einem Verlust seiner Würde ausgeht. Man könnte des weiteren fordern, dass ein breiter gesellschaftlicher Konsens darüber besteht, dass ein Individuum unter solchen Bedingungen in der Tat seine Würde verloren hat und dass der Verlust der Würde nicht durch menschliches Eingreifen entstanden ist (vgl. [[w:Primo Levi|Primo Levi]]: ''[http://martinus-literatur.blogspot.com/2009/07/primo-levi-ist-das-ein-mensch.html Ist das ein Mensch?]''). Das scheinen mir notwendige Bedingungen für die Rechtfertigung von [[w:Sterbehilfe|Sterbehilfe]]. Es ist die Frage, ob sie hinreichend sind. --Walter ::Wenn man die Parameter "notwendig" und "hinreichend" heranzieht, kann man überlegen, ob die Abwesenheit eines einzigen Kriteriums (z.B. "Handlungsmächtigkeit") ausreicht, um die eigene Würde als nicht mehr gegeben zu betrachten und den entsprechenden Suizid-Wunsch zu äußern.--[[Benutzer:Jeanpol|Jeanpol]] 12:52, 24. Jan. 2011 (CET) ====Links==== *[http://www.bfg-bayern.de/ethik/Gymnasium/Sterbehilfe_Deutschland.htm Überblick von Gerhard Rampp] *[http://www.sterbehilfe-debatte.de/ sterbehilfe-Debatte.de] *[http://www.1000fragen.de/hintergruende/dossiers/dossier.php?did=7&simple=y&pn=1 1000fragen-Lexikon zum Thema] * [http://www.ethikrat.org/stellungnahmen/pdf/Stellungnahme_Patientenverfuegung.pdf Patientenverfügung - Stellungnahme (pdf) vom Ethikrat] * [http://www.hospiz-netzwerk-leipzig.de/ Hospiz-Netzwerk Leipzig] *[http://www.baerenherz-leipzig.de/ Bärenherz Leipzig: Kinderhospiz] * [http://www.dghs.de/typo3/index.php?id=4 Dt. Gesellschaft für humanes Sterben: Sterbebegleitung und -hilfe] *[http://www.spiegel.de/politik/deutschland/0,1518,563284,00.html SpON: Suizid-Debatte: Bundesländer streiten über Sterbehilfe-Gesetz (Juli 2008)] *[http://www.zeit.de/online/2008/28/sterbehilfe-bundesrat Der Arzt als Herr über Leben -und Tod?] (ZEIT-Online, Juli 2008) *[http://www.spiegel.de/panorama/gesellschaft/0,1518,702790,00.html Urteil des Bundesgerichtshofes vom 25.6.2010] *[http://www.lto.de/de/html/nachrichten/822/Interview-mit-Prof.-Saliger-zur-Sterbehilfeentscheidung-des-BGH/ Interview zum BGH-Urteil vom 25.6.2010] ==Sinn== «'''Sinn gibt es ausschließlich als Sinn der ihn benutzenden Operationen''', also auch nur in dem Moment, in dem er durch Operationen bestimmt wird, und weder vorher noch nachher. Sinn ist demnach ein Produkt der Operationen, die Sinn benutzen, und nicht etwa eine Weltqualität, die sich einer Schöpfung, einer Stiftung, einem Ursprung verdankt.⁴⁴ Es gibt demnach keine von der Realität des faktischen Erlebens und Kommunizierens abgehobene Idealität. Platon hatte zwar Recht, daß Ideen mit Gedächtnis zusammenhängen. Aber die Erinnerung führt nicht zurück zum eigentlichen, fast vergessenen Sinn des Seienden, seinen Wesensformen, den Ideen; sondern das Gedächtnis konstruiert Strukturen nur für momentanen Gebrauch zur Bewahrung von Selektivität und zur Einschränkung von Anschlußfähigkeit. Es ist eine Selbstillusionierung sinnkonstituierender Systeme, wenn sie meinen, zeitüberdauernde Identitäten habe es immer schon gegeben und werde es weiterhin geben und man könne sich daher auf sie wie auf Vorhandenes beziehen. Alle Orientierung ist Konstruktion, ist von Moment zu Moment reaktualisierte Unterscheidung.» ''N. Luhmann : Die Gesellschaft der Gesellschaft'' "Der Mensch ist ein so breites, buntes, mannigfaltiges Ding, dass die Definitionen alle ein wenig zu kurz geraten. Er hat zuviele Enden." ''M. Scheler, Zur Idee des Menschen, in: M.S., Vom Umsturz der Werte. Abhandlungen und Aufsätze, 2 Bde., Leipzig 1915, Bd. l, 324.'' ===Letzte Sinngebung geschieht stets durch Handlungen=== «Daß die Arbeit der Philosophie nicht in der Aufstellung von Sätzen besteht, daß also die Sinngebung von Aussagen nicht wiederum durch Aussagen geschehen kann, ist leicht einzusehen. Denn wenn ich etwa die Bedeutung meiner Worte durch Erläuterungssätze und Definitionen angebe, also mit Hilfe neuer Worte, so muß man weiter nach der Bedeutung dieser andern Worte fragen, und so fort. Dieser Prozeß kann nicht ins unendliche gehen, er findet sein Ende immer nur in tatsächlichen Aufweisungen, in Vorzeigungen des Gemeinten, in wirklichen Akten also; nur diese sind keiner weiteren Erläuterung fähig; und bedürftig; die letzte Sinngebung geschieht mithin stets durch Handlungen, sie machen die philosophische Tätigkeit. Es war einer der schwersten Irrtümer vergangener Zeiten, daß man glaubte, den eigentlichen Sinn und letzten Inhalt wiederum durch Aussagen zu formulieren, also '''in Erkenntnissen darstellen zu können: es war der Irrtum der „Metaphysik”'''. Das Streben der Metaphysiker war von jeher auf das widersinnige Ziel gerichtet (vgl. meinen Aufsatz „Erleben, Erkennen, Metaphysik”, Kantstudien, Bd. 31, S. 146), den Inhalt reiner Qualitäten (das „Wesen” der Dinge) durch Erkenntnisse auszudrücken, also das Unsagbare zu sagen; Qualitäten lassen sich nicht sagen, sondern nur im Erlebnis aufzeigen, Erkenntnis aber hat damit nichts zu schaffen. So fällt die Metaphysik dahin, nicht weil die Lösung ihrer Aufgabe ein Unterfangen wäre, dem die menschliche Vernunft nicht gewachsen ist (wie etwa Kant meinte), sondern weil es diese Aufgabe gar nicht gibt. Mit der Aufdeckung der falschen Fragestellung wird aber zugleich die Geschichte des metaphysischen Streites verständlich.» ''Die Wende der Philosophie, Moritz Schlick (Wien)'' ===Kann man die Dinge nicht einfach der Evolution überlassen?=== «Würde man die moderne Gesellschaft lediglich als eine Menge von autonomen Funktionssystemen beschreiben, die einander keine Rücksicht schulden, sondern den Reproduktionszwängen ihrer eigenen Autopoiesis folgen, ergäbe das ein höchst einseitiges Bild. Es wäre dann schwer zu verstehen, wieso diese Gesellschaft nicht binnen kurzem explodiert oder in sich zerfällt. Irgendwo und irgendwie müsse doch, so lautet ein naheliegender Einwand, für „Integration“ gesorgt werden. Spätestens der Umstand, daß diese Gesellschaft in erhebliche ökologische Schwierigkeiten geraten ist, die sich in absehbarer Zukunft zu ernsthaften Krisen auswachsen werden, dürfte die Notwendigkeit von Planung (und sei es nur Rahmenplanung) oder Steuerung (und sei es nur Kontextsteuerung¹²⁸⁸) plausibel machen. Ähnlich hatte man schon zur Zeit der weltweiten Hochflut faschistischer Bewegungen gemeint, man könne die Dinge nicht einfach der Evolution überlassen. Der gegenwärtige '''Ruf nach einer Ethik der Verantwortung''' gehört mit in diesen Zusammenhang.¹²⁹⁰ An diesen Rettungsversuchen fällt auf, daß alte Erfahrungen mit den neu ins Gespräch gebrachten Konzepten übergangen werden oder unter Inkaufnahme erheblicher Theorielasten eingebaut werden, so als ob das Problem eine überrollende Dringlichkeit besäße, die auch Verzweiflungskonzepte rechtfertigen würde. Integration angesichts fundamentaler Differenzen und Vorherrschaft differenztheoretischer Theorieansätze? Planung und Steuerung angesichts intransparenter Komplexität? Ethik angesichts bekannter Schwierigkeiten, auf die alle Ethiken beim Versuch der Begründung moralischer Urteile gestoßen sind? Und schließlich: Hoffnung auf das Kommunikationspotential einer Zivilgesellschaft — nicht nur gegenüber zerfallenden kommunistischen Regimes, sondern auch gegenüber den Folgeproblemen funktionaler Differenzierung? Könnte es sein, daß zu sehr mit rückwärtsgewandtem Blick gesucht wird und das man bei Konzepten, die die Geschichte schon widerlegt hat, nochmals Hoffnung tankt, weil Hoffnung anders nicht zu haben ist?» ''Luhmann: Die Gesellschaft der Gesellschaft (1997), ISBN 3-518-28960-8'' ===In unserer Umwelt hat alles Sinn und Bedeutung=== «Nur solange die Welt unsere Umwelt ist, hat alles in ihr Sinn und Bedeutung, denn alles, was in ihr ist, existiert nur dank seiner Beziehungen zu unseren Sinnesorganen. Die Sinnesorgane aber bilden einen Teil unseres zweckmäßig gebauten Körpers. Es umschließt dann eine zweckmäßige Welt unseren zweckmäßigen Körper. Wir können jedoch jeden zweckmäßig gebauten Körper an jeder beliebigen Stelle zerlegen und die Wirkung der einzelnen Teile aufeinander prüfen, ohne ihre Beziehung zum Ganzen zu beachten, dann zeigt es sich, daß diese Wirkungen immer kausaler Art sind. Alle Beziehungen in unserer Welt sind zweckmäßig, aber alle Wirkungen kausal.» ''[[w:Jakob_Johann_von_Uexküll|UEXKÜLL, Jakob von]]: Die Umwelt. In: Die neue Rundschau 21 (1910), Nr. 2, S. 646. – Heft 5 vom Mai 1910'' ===Gegenüberstellung der Sinnzusammenhänge „Musik“ und „Materie“=== «Solange man noch auf die Vorgänge der lebenden Natur voraussetzungslos lauschte, konnte man sein Ohr dem eigenartigen Rhythmus nicht verschließen, der alles lebendige Geschehen auszeichnet, und der seine Eigengesetzlichkeit ausmacht. Später war es damit vorbei, eine Autonomie des Lebens gab es nicht. Als Vergleich nehme ich an: Es sei zwei Forschern ein schwer leserliches Notenblatt zur Entzifferung übergeben; dann hätten sie in der vormateriellen Periode sich darüber streiten können, welche von den Zeichen als Noten und welche von ihnen bloß als zufällige Tintenkleckse anzusehen seien. In der materiellen Zeit, die keine Musik kennt, ist der Streit gegenstandslos – es gibt keine Noten mehr, nur Tintenkleckse. Wie es zweifellos richtig ist, daß jede geschriebene Note materiell ein Tintenklecks ist, so ist zweifellos jede Eigenschaft der Lebewesen etwas materiell Festgelegtes. In den Eigenschaften der Lebewesen aber nichts anderes wahrnehmen zu wollen als den Ausdruck irgendeines Atomgezappels, ist nicht Schwerhörigkeit, sondern prinzipielle Taubheit.» ''[[w:Jakob_Johann_von_Uexküll|UEXKÜLL, Jakob von]]: Theoretische Biologie. 2., gänzlich neu bearbeitete Auflage. Berlin : Springer, 1928. – 1. Auflage 1920 S. 166 f.'' === Handlungen sind bedeutungsvoll geregelt === «Grundsätzlich muss ich bedenken, daß es eine Irreführung ist, wenn man * 1. statt eines Kunsthistorikers einen Chemiker beauftragt, ein Bild zu beurteilen; * 2. wenn man statt einem Musiker einem Physiker die Beurteilung einer Symphonie anvertraut; * 3. wenn man, statt einen Biologen heranzuziehen, einem Mechaniker das Recht zugesteht, die Realität der Handlungen aller Lebewesen nur soweit anzuerkennen, als sie dem Gesetz der Erhaltung der Energie gehorchen. Die Handlungen sind keine bloßen Bewegungen oder Tropismen, sondern bestehen aus Merken und Wirken und sind nicht mechanisch, sondern bedeutungsvoll geregelt. Natürlich widerspricht diese Auffassung dem Gesetz der Denkökonomie, mit dem sich die Mechanisten das Forschen so leicht gemacht haben. Aber Probleme beiseite schieben, heißt nicht sie lösen. Betrachten wir die Fortschritte der Lebensforschung der letzten Jahrzehnte, soweit sie im Zeichen des „Behaviorismus“ und der „bedingten Reflexe“ gestanden haben, so kann man wohl sagen, daß das Experimentieren immer komplizierter, das Denken aber immer einfacher und billiger geworden ist. Billiges Denken wirkt wie eine ansteckende Krankheit und erstickt alle Ansätze einer selbständigen Weltanschauung im großen Publikum: „Gott ist Geist und Geist ist Nichts“ lautet die billige Weisheit, mit der sich der einfache Mann heutzutage zufrieden gibt. Diese Weisheit ist so billig, daß sie mit Recht eine kapitale Dummheit genannt werden kann.» ''[[w:Jakob_Johann_von_Uexküll|UEXKÜLL, Jakob von]]: Bedeutungslehre. Leipzig : Barth, 1940 S.2'' === Moderne Sinnsuche-Bewegung === «Gewiß: Interaktion ist hier wie überall unentbehrlich. Sie dient aber vor allem dazu, die Einheit und Größe der Bewegung zu demonstrieren. Deshalb das Interesse an, und die Focussierung der Aktivität auf, „Demonstrationen“ (wobei die Assoziation vonDemonstration und Demokratie ein hilfreicher linguistischer Zufall ist). Interaktion beweist Engagement; „kommt!“, lautet die Parole. Aber der Sinn des Zusammenseins liegt (wie in anderer Weise auch in Organisationen) außerhalb des Zusammenseins. Er setzt sich für die Teilnehmer aus höchst individuellen Problemen der „Sinnsuche“ und „Selbstverwirklichung“ zusammen, die sich durch soziale Focussierung nur auf stets prekäre Weise bündeln und ausbeuten lassen.¹⁴⁰⁵ Die sozialistische Bewegung des 19. Jahrhunderts hatte mit Hinweis auf Klassenlage und Fabrikorganisation eine relativ einheitliche, daher auch einheitlich ansprechbare Motivlage voraussetzen können. Oder zumindest hatte sie ihre Welt so konstruiert. Sie war deshalb auch organisations‐, ja sogar theoriefähig gewesen. Das ist für die heutigen „neuen“ sozialen Bewegungen anders. Sie haben es mit stärker individualisierten Individuen zu tun, und wie man gesagt hat: mit Individuen, die die Zumutungen ihrer Lebenslage als paradox empfinden¹⁴⁰⁶ und deshalb Externalisierungen, „Sinngebungen“, Unterscheidungen zur Entfaltung der Paradoxie benötigen. Sie vertreten den Anspruch (den jeder auf seine Weise auslegen kann), in den Aussichten auf selbstbestimmte Lebensführung nicht oder nur aus einsichtigen Gründen beeinträchtigen zu werden. Sie argumentieren als „Betroffene“ für „Betroffene“. Vor allem Jugendliche und Akademiker scheinen in dieser Weise selbstbezüglich paradoxieempfindlich zu sein. Das heißt aber auch, daß die neuen sozialen Bewegungen, die darauf ansprechen, ihre Teilnahmemotive in einem notorisch instabilen Publikum finden.» ''Luhmann: Die Gesellschaft der Gesellschaft (1997), ISBN 3-518-28960-8'' „Dem Lebensganzen […] denkend gegenüber zu stehen, ist etwas Anderes, als es im Einzelleben immer aufs neue sinnlos wiederholen zu müssen […]; - damit gewinnt die rein abstrakte Betrachtungsweise eine Richtung auf das Persönliche, und die philosophische Theorie wird in das empfindliche lebendige Fleisch hineingedrückt, gleich einem schmerzenden Sporn, der dazu antreiben soll, um jeden Preis eine neue Hoffnung, '''einen neuen Lebenssinn, ein neues Lebensziel zu schaffen'''.“ ''[[w:Andreas-Salomé|Andreas-Salomé, Lou]]: Friedrich Nietzsche in seinen Werken. 2. Aufl. Wien: Konegen 1911. S. 228'' ===Sinn des Lebens besteht in einer Rechtfertigung des Daseins aller Menschen=== «Zarathustra: „Was liegt an meinem Glücke! Es ist Armuth und Schmutz, und ein erbärmliches Behagen. Aber mein Glück sollte das Dasein selber rechtfertigen!“ (Z I, 15). „Gesetzt, wir sagen Ja zu einem einzigen Augenblick, so haben wir damit nicht nur zu uns selbst, sondern zu allem Dasein Ja gesagt“» ''Friedrich Nietzsche; Kritischen Studienausgabe (KSA) von Giorgio Colli und Mazzino Montinari XII, 7[38], 307f'' ===Vier Sinn-Dispositionen=== «Die These ist, daß sich '''vier Dispositionen''' zeigen lassen, die wohl in die spezifisch menschliche exzentrische Körpergegebenheit, aber nicht aufeinander zurückzuführen sind. Es sind vier Spannungsbögen aus der exzentrischen Leibposition heraus, in die Menschen jeweils zu sich, zur Welt und zum Anderen gestellt sind und die sie in ihrem eigentümlichen kulturellen und sozialen Tun und Lassen disponieren und dynamisieren: '''Vertrauen''', '''Begehren''', '''Beherrschen''', '''Vernunft'''.» «...der Mensch muss etwas aus sich selber machen mit seiner Natur in der Natur, aber der Sinn dieses Tuns treibt in vier entgegengesetzte Richtungen, je nachdem ob sich das '''Vertrauen''' auf die schöpferische Kraft der Natur einlässt, so wie sie sich gibt und wieder entzieht, oder ob das '''Begehren''' unaufhörlich ihren Stoff in neue Moden verwandelt und verzehrt; der '''Wille zur Macht''', der die Natur in ihren elementarsten Bedingungen zu fassen strebt, will etwas ganz anderes als die '''Vernunft''', die in begründeter Selbstbegrenzung bestimmte Bestände schont und die Finger davon lässt.» [http://www.fischer-joachim.org/Phil.%20Anth.%20Diag.%20Kraft.pdf ''Joachim Fischer:Philosophische Anthropologie. Zur Rekonstruktion ihrer diagnostischen Kraft''] [http://www.information-philosophie.de/?a=1&t=4847&n=2&y=4&c=87 Vertrauen als Voraussetzung für Erkenntnis] in: Eva-Maria Engelen: Was leisten Gefühle und Emotionen für das Denken? === Vernunft === [http://www.gavagai.de/philrezi/HHPRZ61.htm Schnädelbach: Vernunft] (schriftl.) = Philosophie und Wissenschaft = == Konstruktivismus == [[w:Konstruktivismus|Konstruktivisten]] nehmen an, dass ein erkannter Gegenstand vom Betrachter selbst durch den Vorgang des [[w:Erkenntnis|Erkennens]] konstruiert wird. «In der „Kritik der reinen Vernunft“ führt Immanuel Kant aus: „Ich kann also äußere Dinge eigentlich nicht wahrnehmen, sondern nur aus meiner inneren Wahrnehmung auf ihr Dasein schließen, indem ich diese als Wirkung ansehe, wozu etwas Äußeres die nächste Ursache ist.“» «Say: I am real, this is real, the world is real, and nobody laughs. But say: this is a simulacrum, you are only a simulacrum, this war is a simulacrum, and everybody bursts out laughing. With a condescending and yellow laughter, or perhaps a convulsive one, as if it was a childish joke or an obscene invitation. Anything which belongs to the order of simulacrum is obscene or forbidden, similar to that which belongs to sex or death. However, our belief in reality and evidence is far more obscene. Truth is what should be laughed at. One may dream of a culture where everyone bursts into laughter when someone says: this is true, this is real.» ''[[w:Jean_Baudrillard|Jean Baudrillard]] [http://www.egs.edu/faculty/jean-baudrillard/articles/radical-thought/ - Radical Thought Translated by Francois Debrix Sens & Tonka, eds., Collection Morsure, Paris, 1994''] «Man kann sich eine Gesellschaft, die den Körper leugnet, wie man in zunehmenden Maße die Seele geleugnet hat, schwer vorstellen, doch gerade auf eine solche Gesellschaft treiben wir zu.» ''[[w:Paul_Virilio|Paul Virilio]]: Der negative Horizont. Bewegung - Geschwindigkeit - Beschleunigung 1989 ISBN 978-3-446-15005-8 S.291'' ===Prosit!=== «Ernst genommener Konstruktivismus kann dabei nicht ohne Folgen für das Verständnis von Wissenschaft sein. Denn wenn es nicht mehr darum geht, der beobachterunabhängigen Struktur der Welt da draußen auf die Schliche zu kommen, dann bleibt (nur noch) das instrumentalistische Ziel, Wissenschaft solle helfen, anstehende Probleme zu lösen, indem sie unerwünschte Zustände zu beseitigen und erwünschte Zustände hervorzubringen hilft. Dies bedeutet nicht, dass man nicht buchhalterisch verstehen soll, was bisher geschah oder was gegenwärtig beobachtet werden kann. Diese Buchhaltung der Beobachtung scheint absolut notwendig, um mehr über die Zukunft zu erfahren. Aber es ist gerade diese Zukunft, die es in Prognosen zu fassen gilt, wenn Wissenschaft einer instrumentalistischen Zielvorgabe genügen will. Motto: Es möge nützen!» «Die alten Römer hätten für dieses instrumentalistische Verständnis von Wissenschaft mit "Prosit!" die richtige Losung zur Hand: Die bedeutet nicht nur "Wohl bekommt's", sondern auch "Es möge nutzen!" Berauschend kann diese Form von Wissenschaft allemal sein (auch ohne eine beobachterunabhängige Realität im Rücken.)» ''(in: Rathje, Dirk: Beobachtung, Information und Kommunikation. Von einem Minimum an Annahmen zu systemorientiert-konstruktivistischen Begriffsbestimmungen rund um die Beobachtungen Information und Kommunikation. DISS Hamburg 2008)'' ===Wahrnehmen - Erfinden - Erkennen=== „Anstatt die Umwelt mit einer Steigerung der Kapazität der Sinnesorgane immer exakter zu erfassen, hat das Gehirn in seiner Stammesgeschichte sozusagen die entgegengesetzte Richtung eingeschlagen, nämlich das interne Bewertungssystem ungeheuer zu steigern und wirksamer zu gestalten.“ ''[[w:Gerhard_Roth_(Biologe)|Roth, Gerhard]]: Erkenntnis und Realität. Das reale Gehirn und seine Wirklichkeit.'' „Die Umwelt, so wie wir sie wahrnehmen, ist unsere Erfindung.“ ''[[w:Heinz_von_Foerster|Foerster von, Heinz]]: Das Konstruieren einer Wirklichkeit. In: Watzlawick, Paul (Hrsg.), 2003: Die erfundene Wirklichkeit. Wie wissen wir, was wir zu wissen glauben? Beiträge zum Konstruktivismus. 16. Aufl. München., S. 40.'' * Erkennen → Errechnen von Beschreibungen einer Wirklichkeit * Erkennen → Errechnen von Beschreibungen * Erkennen → Errechnung einer Errechnung ''[[w:Heinz_von_Foerster|Foerster von, Heinz]]: Das Konstruieren einer Wirklichkeit. In: Watzlawick, 2003, S. 46.'' „Auch in der Naturwissenschaft ist also der Gegenstand der Forschung nicht mehr die Natur an sich, sondern die der menschlichen Fragestellung ausgesetzte Natur, und insofern begegnet der Mensch auch hier wieder sich selbst.“ ''[[w:Werner_Heisenberg|Heisenberg, Werner]], 1955: Das Naturbild der heutigen Physik'' "Es scheint, dass die menschliche Vernunft die Formen erst selbständig konstruieren muss, ehe wir sie in den Dingen nachweisen können. Aus Keplers wunderbarem Lebenswerk erkennen wir besonders schön, dass aus bloßer Empirie allein die Erkenntnis nicht erblühen kann, sondern nur aus dem Vergleich von Erdachtem mit dem Beobachteten." Seelig, Carl (Hrsg.): Albert Einstein. Mein Weltbild. Ullstein Taschenbücher Verlag GmbH, West-Berlin, 1959. S.151 (1934 Erstdruck) Vernunft konstruiert was wir empirisch nachweisen können.--Xaver ===Wissen=== * 1 (a) Wissen wird nicht passiv aufgenommen, weder durch die Sinnesorgane noch durch Kommunikation. * 1 (b) Wissen wird vom denkenden Subjekt aufgebaut. * 2 (a) Die Funktion der Kognition ist adaptiver Art,und zwar im biologischen Sinne des Wortes, und zielt auf Passung oder [[w:viabilität|Viabilität]]; * 2 (b) Kognition dient der Organisation der Erfahrungswelt des Subjektes und nicht der „Erkenntnis“ einer objektiven ontologischen Realität.“ ''[[w:Glasersfeld|Glasersfeld von, Ernst]], 1997: Radikaler Konstruktivismus. Ideen, Ergebnisse, Probleme. Frankfurt a. M., S. 96'' ===Konstruktivismus und Macht=== [[w:Macht|Macht]] ist einerseits die Fähigkeit, das Verhalten anderer im eigenen Sinn und Interesse – zu beeinflussen, andererseits die Fähigkeit, sich äußeren Ansprüchen nicht unterwerfen zu müssen ===Poststrukturalismus und Macht=== «[...] Mit der Entzauberung des Staates durch die weiterentwickelte Systemtheorie der70er und 80er Jahre lösten sich die Machtanalysen in Netzwerkanalysen auf. Der französische Poststrukturalismus hat theoretisch eine weitere Verflüssigung der Macht vorgenommen. In der französischen Tradition war die Macht vor allem negativ gesehen worden. Es ging darum, sie rechtlich zu begrenzen. Foucault (in: "Dispositive der Macht") ging einen Schritt weiter und versuchte, auch die technisch-positive Seite der Macht zu entlarven. Die Machtkritik der französischen Linken war auf das politische System als ganzes gerichtet. Für Foucault (vgl. ebd.) mußte eine zeitgemäße Machtkritik über die marxistische und antiautoritäre Machtkritik hinausgehen. Der Staat wurde nicht als Verkörperung der Macht angesehen. Der Staat konnte für Foucault nur auf der Grundlage vorher bestehender Machtverhältnisse funktionieren. Er war noch immer eine Art Überbau, aber nicht über der Ökonomie, sondern Überbau über eine ganze Reihe von Machtnetzen, die ihrerseits von einer Art Übermacht konditioniert wurden, die um Verbotfunktionen herum strukturiert gedacht wurde. Das zirkuläre Denken der Nachmoderne hatte damit auch die Machttheorie erreicht. Macht wurde nicht mehr in irgendeiner Institution entrückt gedacht, sondern in einer Kette netzförmiger Organisationen. Widerstand gegen Machtverhältnisse konnte nicht von einer großen Bewegung erwartet werden, die revolutionäre Gegenmacht einsetzt. Die relationale Machtkonzeption wurde konsequent durchgehalten: in jedem Machtverhältnis ist immer schon Widerstand mit eingebaut. Diese Theorie der Macht ist für die Politikwissenschaft bisher nicht operationalisierbar geworden. Dennoch ist sie ein wichtiger Beitrag zum Selbstverständnis vieler neuer sozialer Bewegungen, vor allem des Feminismus.» ''[[w:Klaus_von_Beyme|Beyme, Klaus von]]: Die politischen Theorien der Gegenwart. Eine Einführung. 7. A. Opladen: Westdeutscher Verlag, 1992. S. 142-143.'' ===Gängige Meinungen zu Macht und Herrschaft=== <big>Macht …</big> * … scheint so etwas wie ein Grundstoff zu sein, der alles politische Handeln begleitet. (Karl Rohe) * … bedeutet jede Chance, innerhalb einer sozialen Beziehung den eigenen Willen auch gegen Widerstreben durchzusetzen. (Max Weber) * … ist ein politisch-soziologischer Grundbegriff, der für Abhängigkeits- oder Überlegenheitsverhältnisse verwendet wird. /…/ Macht kann von Personen, Gruppen, Organisationen (Parteien, Verbänden, Behörden) bzw. dem Staat ausgeübt werden oder von gesellschaftlichen (wirtschaftlichen, technischen, rechtlichen, kulturell-religiös geprägten) Strukturen ausgehen. (Online-Lexikon) * … bezeichnet einen fundamentalen Aspekt, ohne den die soziale Wirklichkeit von Politik nicht zu verstehen ist. (Wolfgang Sander) * … entsteht in einem koordinierenden Zusammenschluss, in einem Prozess des „Miteinander- Redens-und-Handelns“. (Hannah Arendt) <big>Herrschaft …</big> * … ist ein politisch-soziologischer Grundbegriff, der ein Über- und Unterordnungsverhältnis zwischen Herrschenden und Beherrschten beschreibt. (Online-Lexikon) * … ist die Chance, für einen Befehl bestimmten Inhalts bei angebbaren Personen Gehorsam zu finden. (Max Weber) * … ist ein Spezialfall von Macht, die sich verdichtet, verfestigt und akkumuliert hat. (Peter Imbusch) * … bezeichnet eine asymmetrische soziale Beziehung, in der Macht dauerhaft, institutionalisiert und regelgebunden ausgeübt wird und für eine Befehlsgebung somit Gehorsam erwartet werden kann. (Wolfgang Bergem) Quellen in der Reihenfolge der Nennung: Rohe, Karl: Politik. Begriffe und Wirklichkeiten. Stuttgart 1994 (2., völlig überarb. Aufl.), S. 82 Weber, Max: Wirtschaft und Gesellschaft. 1922 Online-Lexikon der Bundeszentrale für Politische Bildung, siehe unter http://www.bpb.de/popup/popup_lemmata.html?guid=U1RMI7 (letzter Zugriff Nov. 2009) Sander, Wolfgang: idB, S. 5 Arendt, Hannah: Macht und Gewalt. 1970 (zit. aus: Kühn, Rainer: Macht/Gewalt, in: Weißeno, Georg/Richter, Dagmar (Hrsg.): Lexikon der politischen Bildung, Bd. 1, Didaktik und Schule. Schwalbach 1999, S. 151) Online-Lexikon der Bundeszentrale für Politische Bildung, siehe unter http://www.bpb.de/popup/popup_lemmata.html?guid=QZHZXQ (letzter Zugriff Nov. 2009) Weber, Max: Wirtschaft und Gesellschaft. Tübingen 1976, S. 28 Imbusch, Peter: Macht und Herrschaft, in: Korte, Hermann/Schäfers, Bernhard (Hrsg.): Einführung in Hauptbegriffe der Soziologie. Opladen 2002, S. 172 Bergem, Wolfgang: Herrschaft, in: Weißeno, Georg/Richter, Dagmar (Hrsg.): Lexikon der politischen Bildung, Bd. 1, Didaktik und Schule. Schwalbach 1999, S. 103 (aus: Informationen zur Politischen Bildung Nr. 31) ====Die Macht der Konstrukteure (1)==== «Was kann ein Künstler, ein Weltstar wie Sie bewegen? PAUL McCARTNEY: Im Grunde alles. Ich glaube, John Lennon hatte einen großen Anteil daran, daß der Vietnamkrieg beendet wurde. Eine Million Leute standen vor dem Weißen Haus und sangen Give Peace a Chance. Danach hat Richard Nixon den Truppenrückzug befohlen. Hätten sie nur gerufen Wir wollen Frieden, wäre die Wirkung geringer gewesen. Wenn ich mir die Weltgeschichte anschaue, sehe ich nur Beweise für die Macht der Musik. Sicher haben Symphonien auch die russische Revolution in Gang gebracht. SPIEGEL: Demzufolge hat die heutige Rockmusik Anteil am Zusammenbruch des Ostblocks? PAUL McCARTNEY: Natürlich.» Der Spiegel, 36/1991 ====Die Macht der Konstrukteure (2)==== "...Hör zu: was weißt du über dein Unbekanntes?" "Nichts, ich weiß nicht mal, ob es existiert." "Siehst du. Nun stell dir vor, so ein Wiener Spaßvogel hat sich, um seine Freunde zu unterhalten, aus Jux und Dollerei die ganze Geschichte mit dem Ich und dem Über-Ich ausgedacht, und das mit dem Ödipus, und Träume, die er nie geträumt hat, und dem kleinen Hans, den er nie gesehen hat... Na, und was ist dann passiert? Millionen von Menschen waren bereit, im Ernst neurotisch zu werden. Und tausende anderer bereit, sie auszubeuten." Eco, Umberto, Das Foucaultsche Pendel, München/Wien 1989, S. 625 ====Die Macht der Konstrukteure(3)==== «Powision: Sie halten also Phänomene, die von den Naturwissenschaften experimentell erzeugt wurden, nicht für soziale oder kommunikative Konstruktionen? Bruno Latour: Natürlich sind das Konstruktionen, das heißt aber noch lange nicht, dass sie nicht existieren. Klar, zu sagen, das Ozonloch sei unabhängig von diskursiven und instrumentellen Praktiken, ist absurd. Es macht keinen Sinn, das Ozonloch ohne seine Diskursivität zu beschreiben. Ihre Kaffeetasse können Sie genauso wenig wahrnehmen, ohne automatisch auf kommunikativ erzeugte Konstruktionen zurückzugreifen. Die Diskursivität ist also Teil des Phänomens. Idiotisch ist es zu sagen: Wenn es ein diskursives Phänomen ist, existiert es nicht. Diese alberne Frage wurde uns von der gegenwärtigen modernistischen Philosophie aufgezwungen. Es ist, als würden Sie mir sagen, das Gebäude, in dem wir uns gerade befinden, ist konstruiert, folglich ist es nicht da. Das ist absurd! Ja, es ist konstruiert, gerade deswegen ist es da. Das Andocken des Begriffs der Konstruktion an die große philosophische Frage, ob die Dinge existieren oder nicht, ist meiner Meinung nach philosophischer Schwachsinn, der größtenteils der Arroganz einer bestimmten positivistischen Erkenntnislehre geschuldet ist, die behauptet: Das Ozonloch existiert, weil wir es beschreiben und ausdrückenkönnen, also ist es ein unbestreitbares Faktum. Dann haben Sie einen Luhmann oder einen x-beliebigen Postmodernen der sagt: Nein, es existiert nicht, es ist diskursiv. Und umgekehrt: Wenn es diskursiv ist, ist es nicht wahr. Das sind Kämpfe. Wenn die Frage “Ist das Ozonloch konstruiert oder real?” eine große philosophische Frage ist, ist sie ohne Interesse. Denn dann ist es eine Frage, die lediglich Anti-Konstruktivisten, [[w:Sokal-Aff%C3%A4re|Sokalisten]] und ähnliche Leute interessiert.» http://www.uni-leipzig.de/~powision/wordpress/magazin/ausgabe_6/latour-bruno-kann-die-menschheit-ohne-thunfisch-noch-dieselbe-sein-ein-gesprach/ ====Die Macht der Konstrukteure(4)==== In der Marketingwirtschaft ist eine genaue Definition der Zielgruppe die wichtigste Grundlage für eine effektive Werbung. In der Zielgruppenbeschreibung wird genau festgelegt, welche Personen die Werbung ansprechen soll (Adressaten). Das kann auf verschiedene Arten geschehen, entweder durch einfache demografische Merkmale wie Alter, Familienstand, Haushaltseinkommen oder durch tiefergehende psychografische Merkmale wie Offenheit oder ästhetisches Empfinden. Eine weitere psychografische Methode ist die von der Firma TNS infratest für die Marktforschung entwickelte Methode [http://www.tns-infratest.com/marketing_tools/Semiometrie.asp Semiometrie(TM)]. Passend zum Profil der untersuchten Zielgruppe werden anschließend Empfehlungen zum Beispiel für die Mediaplanung, das Sponsoring, die Auswahl geeigneter Testimonials, das Cobranding oder das Direktmarketing abgeleitet. Medienanbieter (TV-Sender, Zeitschriften, Web-Portale entwickeln auf der Basis der für einen Werbespot/Anzeige notwendigen Werbeumgebung passende Unterhaltung, Information, Reportagen etc. Längst sucht sich nicht die Werbung einen geeigneten Platz im alltäglichen Unterhaltungsangebot, sondern die Medienanbieter planen und produzieren z.B. Sendungen, die für bestimmte Werbung geeignet sind. Das geschieht natürlich auf der Grundlage der Analyse von Werbeetatpotenzialen. [[Benutzer:Xaver|Xaver]] 16:02, 8. Feb. 2011 (CET) [[w:Niklas Luhmann|Luhmann]] ===Luhmann=== ====Luhmann(0): Macht als sanktionsvermittelter Einfluss==== «Nach allgemeinem Verständnis setzt der Machtbegriff voraus, daß Handeln auf Handeln einwirkt. Es geht also nicht um ein Medium, das Erlebenszusammenhänge zu ordnen versucht. Das unterscheidet Macht, wie hier nicht näher zu erläutern ist, von Medien wie Wahrheit oder Liebe, Kunst oder Geld. In einem extrem weiten Sinne könnte man jede Fähigkeit zu effektivem Handeln als Macht bezeichnen. Danach hätte man Macht, wenn man den Zustand der Welt (und sei es Lage oder Zustand des eigenen Körpers) nach eigenen Absichten verändern kann. Macht in diesem weitesten Sinne einer potestas in seipsum ist Voraussetzung jeder anderen Macht. Man kann auch sagen: Macht setzt Freiheit voraus. Diese Machtfreiheit allein ließe sich aber nicht als ein soziales System ausdifferenzieren. Sie wäre im übrigen geringe Macht - sich die Zähne zu putzen, seinen Wagen zu parken, ein Buch in den Abfalleimer zu werfen, oder einfach: etwas zu sagen. Zu einem engeren, und deshalb stärkeren, Machtbegriff kommt man, wenn man das Verhalten anderer einbezieht. Das kann über Sanktionen geschehen. Über Inaussichtstellen von Sanktionen kann man erreichen, daß andere etwas tun, was sie anderenfalls nicht tun würden. Auch dies ist zwar noch unmittelbare Macht: es geschieht nur, wenn die Möglichkeit besteht, es geschehen zu lassen. Aber die Einschränkung auf Bewirkung des Verhaltens anderer bedeutet einen Zugewinn an Macht. Wir wollen diese, ebenfalls noch sehr weite Form von Macht Einfluß nennen. Für jeden Sanktionsvermittelten Einfluß ist entscheidend, daß er über Kommunikation laufen muß, also eine Sozialform annehmen und vor allem verstanden werden muß. Das bindet ihn (in der Sprache Max Webers) an Typisierungen und schränkt ihn auch insoweit ein. Andererseits wird auf diese Weise eine gewisse Zeitpunktunabhängigkeit gewonnen. Die Mitteilung der gewünschten Handlung braucht nicht in dem Augenblick zu geschehen, in dem diese zu erfolgen hat. Und auch die Sanktion kann zeitpunktunabhängig in Aussicht stehen; ja es genügt oft (vor allem bei negativen Sanktionen) ihr bloßes Inaussichtstehen.» ''Luhmann: Die Politik der Gesellschaft, S. 38'' ====Luhmann(1): Macht beruht auf Selbstantizipation==== «Schon in der allgemeinen Kommunikationstheorie hat man im übrigen genau dasselbe Problem: daß Kommunikation entweder vom kommunikativen Handeln der Mitteilung her erklärt werden kann oder vom Verstehen des Sinns der Mitteilung. Im Ergebnis führt aber diese Doppelung der Zurechnungsmöglichkeiten (und es geht hier, wohlgemerkt, nicht um die Unterscheidung von Ursache und Wirkung, sondern um zwei verschiedene Möglichkeiten der Placierung der Ursache) nur dahin, daß man ein zirkuläres Verhältnis oder kybernetisch: eine Rückkopplungsschleife unterstellen muß, wodurch dann Zeitprobleme relevant werden. Macht beruht auf Antizipation von Gehorsam und auf Antizipation ihrer tatsächlichen Anwendung. Macht beruht, verkürzt gesagt, auf Selbstantizipation; also auf einem System, das sich in seinen rekursiven Operationen selbst voraussetzt. Die Frage, wie im System der Zirkel angeschnitten, gebrochen, re-asymmetrisiert wird, läßt sich dann als Frage nach dem Beobachter reformulieren. Dies hängt davon ab, welcher Beobachter die Zäsur setzt. Und damit ist zugleich gesagt, daß ein machtbasiertes System in gewissem Umfange unterschiedliche Beobachtungen ertragen, mit verschiedenen Zurechnungen kompatibel sein, trotz Zurechnungsdissens noch funktionieren kann, solange die Operationen erzeugt, solange im Medium Anweisungsformen gebildet werden können - solange die Autopoiesis des System fortgesetzt wird. ... Die Analyse befreit uns nur von einer ontologischen Unterstellung, daß es so etwas wie »Macht« erst einmal geben müsse, damit ein machtbasiertes System zustande gebracht werden könne. Das autopoietische System der Machtkonstitution und -benutzung erzeugt sich selbst und konstruiert dafür Annahmen über die Umwelt, etwa über Personen und ihre Absichten oder ihre Ressourcen.» ''Luhmann: Die Politik der Gesellschaft S.26f'' ====Luhmann(2): Macht verdoppelt die Handlungsmöglichkeiten==== «Macht erzeugt sich als Medium dadurch, daß sie die Handlungsmöglichkeiten verdoppelt. Dem von Alter gewünschten Verlauf wird ein anderer gegenübergestellt, den weder Alter noch Ego wünschen können, der aber für Alter weniger nachteilig ist als für Ego, nämlich das Verhängen von Sanktionen. Die Form der Macht ist nichts anderes als diese Differenz, die Differenz zwischen der Ausführung der Weisung und der zu vermeidenden Alternative. Wenn die Sanktionsmittel hinreichend generalisiert sind (wie zum Beispiel Anwendung physischer Gewalt oder Entlassung aus einem Arbeitsverhältnis), besteht im Medium ein Verhältnis loser Kopplung zwischen einer Vielzahl möglicher Machtziele und den Sanktionsmitteln, und die Benutzung von Macht legt dann die Form fest, in der das Medium vorübergehend strikt gekoppelt wird. Die Grenze der Macht liegt also dort, wo Ego beginnt, die Vermeidungsalternative zu bevorzugen und selbst die Macht in Anspruch nimmt, Alter zum Verzicht oder zur Verhängung der Sanktionen zu zwingen.» ''Luhmann, Niklas: Die Gesellschaft der Gesellschaft S.161'' ====Luhmann(3): Funktion von Macht ist Konfliktvermeidung==== «Sowohl Wahrheit als auch Geld neutralisieren die gefährliche, konfliktnahe Machtkommunikation, indem sie Ego nur Erleben zumuten, und Sozialutopien benutzen daher gern die Vorstellung, die Gesellschaft lasse sich allein durch Wahrheiten oder allein durch den Markt steuern. Das hieße jedoch auf wichtige Ordnungsmöglichkeiten verzichten, nämlich auf all das, was über konditionierte Willkür an langen Handlungsketten organisiert werden kann. Denn weder Wahrheit noch Geld können festlegen, was der Empfänger mit dem Empfangenem tut — und genau dies ist die Funktion von Macht.» ''Luhmann, Niklas: Die Gesellschaft der Gesellschaft S.176'' ====Luhmann(4): Macht macht berechenbar==== «Wenn Wahrheiten feststehen, kann man von ihnen ausgehen, ohne sie erneut prüfen zu müssen, und bei durchsetzungsfähiger Macht kann jeder damit rechnen, daß auch die anderen den Anforderungen folgen und er nicht allein der Dumme ist.» ''Luhmann, Niklas: Die Gesellschaft der Gesellschaft S.177'' ====Luhmann(5): Unsicherheit als Machtquelle==== So wird in der Organisationsforschung Unsicherheit als Machtquelle betont. Wer über die Möglichkeit verfügt, die Unsicherheit anderer zu beheben oder auch auszunutzen, »verdient« sozusagen Macht (was nicht heißen muß, daß er sie zu nutzen versteht).3 Das läßt jedoch unerklärt, woher die Unsicherheit kommt. Außerdem kann Macht, wenn einmal etabliert, als weitere Quelle von Unsicherheit gebraucht (manche würden vielleicht sagen: mißbraucht) werden; denn die unmittelbar nächste Frage ist dann ja: was wird der Machthaber, soweit er noch nicht festgelegt ist, verlangen. ''Die Politik der Gesellschaft, S. 19'' ====Luhmann(6): Macht braucht Information==== «Obwohl es hochgeneralisierte, für viele Zwecke einsetzbare Machtmittel (Drohpotentiale) gibt, zeichnen sich deutliche Grenzen der Anwendbarkeit ab. Die vielleicht wichtigste ist die Informationsabhängigkeit des Machthabers. Selbst wenn er bewirken kann, was er will, ist damit noch nicht ausgemacht, was er wollen wollen kann. Alle politischen Systeme, die sich vornehmen, die Wirtschaft über Produktionspläne und Preisfestsetzungen politisch zu steuern, haben zum Beispiel das Problem, daß sie sich keine von ihren eigenen Entscheidungen unabhängige Information über Wirtschaftlichkeit beschaffen können und sich daher zu einem riesigen Netzwerk interner Manipulationen entfalten, dessen wirtschaftliche Mißerfolge dann wieder zu einem politischen Problem werden. Anders gesagt: Macht ist — auf politischer Ebene, aber auch auf Organisationsebene — auf Ausdifferenzierungen und auf machtunabhängige Informationsquellen angewiesen, weil sich andernfalls alle Information in Macht verwandelt. Es genügt nicht, wenn sie sich nur selbstreferentiell, nur auf Grund des Schemas von Erfolg/Mißerfolg ihrer eigenen Pläne bzw. Befolgung/Nichtbefolgung ihrer Weisungen informiert. Es gibt mithin immanente Gründe des Mediums Macht, sich nicht zum Universalmedium der Gesellschaftsbeherrschung aufzuschwingen, sondern auf Spezifikation der eigenen Universalkompetenz zu bestehen.» ''Luhmann, Niklas: Die Gesellschaft der Gesellschaft S.162'' ===Psychlogischer Konstruktivismus: Interpretation und Macht=== Interpretation des Konstruktivismus von [[w:Paul Watzlawik|Watzlawik]] in unserem Zusammenhang Wähle die Interpretation der Wirklichkeit so, wie sie dich am glücklichsten macht. Wenn das für alle gelten soll, folgt: Lass dem anderen die Freiheit, das seinerseits zu tun. Die Begriffe Sinn und Handlung mit eingebracht: Eine Interpretation der Wirklichkeit ergibt dann Sinn, wenn sie Handeln ermöglcht, nie eine Situation auswegslos erscheinen lässt. Auf Macht bezogen: Eine Handlungsoptionen eröffnende Interpretation von Wirklichkeit gibt dem einzelnen Macht. Macht muss immer so kontrolliert werden, dass sie die Interpretationsfreiheit des einzelnen nicht stärker einschränkt, als es für die Interpretationsfreiheit der anderen erforderlich ist. -- Walter Bei der Interpretationsfreiheit muss man unterscheiden # die zwischen Partnern, Gruppen ohne Machtgefälle (einseitige Abhängigkeiten) # die zwischen Kommunikationspartnern mit unterschiedlichen Abhängigkeiten. ''Beispiel zu 1'' Nehmen wir ein Ehepaar. Beide haben ihr eigenes gutes Einkommen, Kinder keine. Jedoch aus welchen Gründen auch immer: sie schuldigen sich gegenseitig an, nicht vertrauenswürdig und wert genug zu sein. Die angeblichen Insuffizienzen werden täglich anhand von "Beweisen" aufs Butterbrot geschmiert. Das bleibt jedoch ohne weitere Konsequenzen ausser dass sie selbst bis auf weiteres unglücklich sind. ''Beispiel zu 2'' Eine Regierung behauptet, Arbeitslose seien deshalb arbeitslos, weil sie im Grunde garnicht arbeiten wollen. Damit sie nicht allzu verwöhnt werden, müssten sie finanziell und auch in Sachen Anerkennung kurz gehalten werden. Die betroffene Gruppe kann ihre eigene Selbstdefinition natürlich entgegen halten, jedoch: das wird das Loch im Portmonee nicht füllen. Es besteht eine objektive Abhängigkeit, nicht nur materiell. -- Jutta ===Gedächtnisforschung und Konstruktivisms=== nicht ein Gedächtnis, sondern viele Schichten von Gedächtnis: Erinnerung und Trauma / Ortrun Hopf, Gerhard Unterthurner / 16.09.2000 (http://bacchus.univie.ac.at/audiothek/index.php?id=4&entrypage=9&search_q=erinnerung%20trauma&no_cache=1&tx_relecture_pi1[pointer]=0&tx_relecture_pi1[showUid]=1188) == Fragestellungen (Sitzung 23.3.2011) == Für mich waren in unserem Gespräch folgende Unterscheidungen wichtig: *- Wissenschaften mit Anspruch auf Vorraussagen *- Wissenschaften ohne Anspruch auf Vorraussagen *- Wissenschaften mit Empfehlungen (Geschichte) ? *- Interdisziplinäre Wissenschaftsarbeit (eklektisch ?) *- Theoretische Philosophie (Marxismus?) *- Angewandte/Praktische Philosophie (Marxismus?) (eklektisch? ) *- Funktionalisierbare, willkürliche Philosophie (Marxismus?) ===Foucault=== Walters und Klaus´ Komplexitätsreduktion aus Klaus' Zusammenstellung: [[w:Foucault|Foucault]] will [[w:Strukturalismus|Strukturalismus]] (nicht-subjektbezogene Sehweise) mit historischer Sicht (Großepochen, die Erkenntnisstrukturen bedingen: [[w:Épistémologie|Episteme]]) verknüpfen. Innerhalb dieser geschichtlich wandelbaren Verstehensrahmen entwickelt sich das Spiel der [[w:Diskurs|Diskurse]] und entscheidet über das Denkbare und die Fundamente möglichen Wissens. Ein späterer Fokus liegt auf der Verschlingung von Macht und Wissen, das er als "unumgänglich [[w:Kontingenz (Philosophie)|kontingentes]] Ergebnis von Kräfteverhältnissen und in sich selbst machthaltiger Zugriff auf die Welt" sieht. ''Zitat:'' "Philosophie ist eine Bewegung, mit deren Hilfe man sich frei macht von dem, was für wahr gilt." ''Probleme bei Foucault:'' * Übergänge zwischen den Epistemen/Epochen * zeitlich parallele Strömungen mit unterschiedlichem Epistem, die aber miteinander kommunizieren * [[w:Eurozentrismus|Eurozentrismus]] (wie ordnet er asiatische, afrikanische und amerikanische Denkweisen den Epstemen zu?) * [[w:Reflexion (Philosophie)|Reflexivitätsproblem]] (wie kann er den Verstehensrahmen analysieren, in dem er selbst steckt?) === Dewey === „Zu häufig vergessen wir, dass [[w:John_Dewey|John Dewey]] ein Radikaler war.“ meint [[w:Hilary_Putnam|Hilary Putnam]]<ref name="Putnam">Putnam, Hilary: Deweys Politikbegriff – eine Neubewertung; in Hilary Putnam: Für eine Erneuerung der Philosophie; Stuttgart 1997; S. 251</ref>. Und [[w:Richard_Rorty|Richard Rorty]] bezeichnet ihn als einen der ”drei bedeutendsten Philosophen” des letzten Jahrhunderts neben Wittgenstein und Heidegger. Als Alternative zum herrschenden Liberalismus seiner Zeit entwirft Dewey eine demokratische Praxis mit einer neuen Form der Individualisierung. „Die Vorstellung einer von Haus aus bestehenden Harmonie zwischen dem jetzigen sogenannten kapitalistischen Regime und der Demokratie ist die absurdeste metaphysische Spekulation, die der Mensch im Laufe seiner Geschichte angestellt hat.“<ref name="Dewey1">Dewey, John: Freiheit und Kultur (1939); Zürich 2003, S. 58</ref> "Wir sind ausserstande zu zeigen, dass die Ideale, Werte und Bedeutungen, welche die Philosophie, der wir nominell anhängen, in eine andere Welt verlagert, geeignet sind, die Welt, in der wir leben, die Welt unserer wirklichen Erfahrung, konkret mit einem gewissen Mass an Sicherheit zu charakterisieren.“ <ref name="dewey2">(Dewey, John (1929 / 1998), Die Suche nach Gewissheit, Frankfurt a.M., 80)</ref>. Also müssen wir uns an dem sich ständig verändernden Erfahrungsbestand der Experimentalwissenschaften orientieren. John Dewey stellt wie Foucault eine demokratische Lebenspraxis einer in der Moderne vorherrschenden Form der Individualisierung entgegen. Nicht die Zentrierung auf das Selbst, sondern die Öffnung in der Kommunikation erzeugt die erkenntniserzeugende erschütternde Intersubjektivität.<ref name="joas1"> Joas, Hans: Die Entstehung der Werte, Frankfurt am Main: Suhrkamp 1997; zweite Auflage 1999. ISBN 3-518-58254-2</ref> »Kommunikation ist die wunderbarste Sache der Welt. Daß Dinge von der Ebene äußerlichen Stoßens und Ziehens auf eine Ebene übergehen können, auf der sie sich dem Menschen und dadurch sich selbst enthüllen; und daß die Frucht der Kommunikation Teilnahme, Teilhabe ist, ist ein Wunder, neben dem das Wunder der Transsubstantiation verblaßt.« <ref name="dewey3">Dewey, Erfahrung und Natur (1929), Frankfurt am Main 1995.., S. 167</ref> Aufgabe der Philosophie ist die Lösung der Probleme, die aus den Belastungen und Anspannungen innerhalb einer Gemeinschaft hervorgehen.<ref name="dewey4">vergl. Dewey, John: Die Erneuerung der Philosophie (1920) (Mit einer neuen Einleitung von 1948, S. 9-45); Hamburg 1989, S. 9/10</ref> So ist die die Philosophie Deweys "...gar keine »philosoph. Anschauung«, sondern eine kognitionsbiologische Hypothese, die auch den Wahrheitsbegriff einem empirischen, realwissenschaftlichen Zugriff darbietet." <ref name="eibl1">Eibl, Karl: Zwischenwelt: Wahrheitsdefinitionen: Instrumentalismus</ref> <references /> ===Ist Philosophie Dichtung?=== Das Studium der Philosophiegeschichte birgt die Gefahr, ahistorische und situationsunabhängige philosophischen Probleme – wiederkehrende philosophische Themen - für wirklich zu halten. Für John Dewey sind diese Themen eher Ausdruck der Wiederkehr von ähnlichen Situationen. Denn er sieht die Aufgabe der Philosophie darin, immer wieder eine vernünftige und umfassende Antwort auf die Widersprüche und Spannungen der individuellen und gemeinsamen Lebensführung unter der Berücksichtigung der besonderen historischen Bedingungen zu geben. Philosophisches Denken ist der Ausdruck des Bedürfnisses nach Veränderung der gemeinsamen Denk - und Handlungsweisen. „Wir kritisieren nicht um der Kritik willen, sondern um dauerhaftere und umfassendere Werte zu erreichen und zu fixieren.“<ref>Dewey, John: Erfahrung und Natur (1925); Frankfurt am Main 1995, S. 377 </ref> Dewey beschreibt die Entstehung der Philosophie prozessual instrumental. In alten Zeiten entstanden Erzählungen und Dichtungen als emotionales Band zwischen den verschiedenen Mitgliedern einer Gemeinschaft. Der jeweilige Sinn der Erzählungen entwickelte sich zum tradierbaren Mythos und damit verbunden zur Schöpfung von gemeinsamen Symbolen, die die alltäglichen Vorstellungen bestimmten und Rituale begründeten. „Gewisse Traditionsgewebe entstehen; die Erzählung wird zum gesellschaftlichen Erbe und Besitz; die Pantomime entwickelt sich zum festen Ritual.“<ref>Dewey, John: Die Erneuerung der Philosophie (1920); Hamburg 1989, S. 56</ref> Dann kommt irgendwann die Philosophie auf als Mytheninterpretation. „Um es mit einem Wort zu sagen: Das, was auf Brauch beruhte, sollte so wiederhergestellt werden, dass es nicht mehr auf den Gewohnheiten der Vergangenheit beruht, sondern auf der Metaphysik des Seins und des Universums.“<ref>aaO. S. 65</ref> „An die Stelle einer Erlösung durch Ritus und Kultus setzte sie die Befreiung durch die Vernunft.“<ref>Dewey, John: Die Suche nach Gewissheit (1929); Frankfurt am Main 1998, S. 21</ref> Die befreiende Funktion der antiken abendländischen ('alteuropäisch' würde Luhmann sagen) Philosophie richtet sich gegen die emotionale Wirkungsabsicht der Dichtung. Man erinnere sich an Platons Ausfälle gegen die Sänger und Schauspieler. Auch die sich ständig ändernden Bedingungen des praktischen Alltagslebens, die Wechselhaftigkeit der Techniken und Moden werden durch die Philosophie abgewertet, sie bilden eine schattenhafte Zufallswelt. Die Philosophen folgen nun der Vorstellung vom der ewigen Ideenwelt. „Was ist, im vollen und prägnanten Sinne des Wortes, ist immer, ewig. Es ist ein Widerspruch in sich, wenn sich das, was ist, ändert.“<ref>Dewey 1998, S.23</ref> Also nicht die Beobachtung und Analyse der realen Welt, sondern Kontemplation. Philosophie bedeutet „…daß Erkennen mit der Enthüllung der Eigenschaften schon immer bestehender, der Erkenntnis vorgängiger Existenzen und Essenzen befasst ist und daß die Werteigenschaften, die sich darin finden, die autoritativen Maßstäbe für die Lebensführung bereitstellen.“<ref>Dewey 1998, S. 75</ref> <references /> --[[Benutzer:Xaver|Xaver]] 06:23, 9. Mai 2011 (CEST) ===Ist Philosophie Kunst?=== <references /> --[[Benutzer:Xaver|Xaver]] 20:52, 14. Mai 2011 (CEST) ===Markus Gabriel: Neo-Existezialismus=== 16.3.'''2025''': [https://de.wikipedia.org/wiki/Markus_Gabriel Markus Gabriel] Neurealismus  Spekulativen Realismus Neo-Existenzialismus 2.1 Neurealismus 2.2 Anti-Neurozentrismus 2.3Anti-Physikalismus 2.4Moralischer Realismus Der Schein ist Sein Träume sind wirklich Weltbild reparieren Gehirn ist Empfänger der Wirklichkeit, aber nicht die Herstellung, es listet nur einen Ausschnitt der Wirklichkeit Ontologie Was existiert nicht? Weihnachtsmänner als Gegenstand menschliche Erfahrung Wie kann ich von etwas Nicht-existierenden sagen, dass es nicht existiert. ====Sinnfeldontologie==== Gabriels Sinnfeldontologie betrachtet die Welt als Fraktal, das als nach außen hin fortlaufend beschrieben wird, ohne Ursubstanz oder einheitliche Ordnung, die alles bestimmt. Welche Konsequenzen hat diese Betrachtung für Raum und Zeit? Aus der Unmöglichkeit einer Ursubstanz folgt nämlich auch, dass Fraktale nach innen genauso gegeben sein müssen. Zusätzlich sind Sinnfelder der Kontingenz und der Zeit notwendig, weil ohne sie ebenfalls ein starres System entstünde, das keinen Hintergrund hätte. Die Gleichsetzung der Realität mit dem Unendlichen der Mathematik Georg Cantors hat bisher zu Paradoxien geführt, welche aber, wenn der Blick hin zu anderen Bereichen der Mathematik gewendet wird, aufgelöst werden können. Dabei handelt es sich um die Verbindung des aktual Unendlichen Cantors mit dem Infinitesimalen und dem linearen Kontinuum. Daraus ergibt sich die Aufhebung der noch von Cantor geforderten Trennung zwischen aktual Unendlichem der Welt, der Mathematik und des Absoluten in indefiniter, linearer, Unendlichkeit. Vor dem Hintergrund der Verbindung dieser verschiedenen mathematischen Bereiche können Gegenstände in ihren Sinnfeldern mathematisch beschrieben werden. ====Moral==== Moral ist realistisch. Moralische Tatsache Moralischer Universalismus. Moralischer Fortschritt z.B. über Geschlecht wird gelernt "Aufgrund komplizierter Einbettungen in nicht-moralische Zusammenhänge seien aber nicht alle moralischen Tatsachen leicht erkennbar. Deshalb müssten alle wissenschaftlichen Disziplinen kooperieren, um das moralisch Richtige zu finden." (Wikipedia: Markus Gabriel) Mit welchem Sinn erkennen wir moralische Tatsachen? Prinzip der Nachsicht Wissensanspruch, aber beim Gespräch Gespräch über Begründungen mit der von Gadamer formulierten Voraussetzung: Der andere 'könnte'' Recht haben. Gott als Konzept ist wirklich; aber nicht als außerhalb der Welt stehend ===Auswirkungen der Medientechnologie auf Philosophie=== <references /> --[[Benutzer:Xaver|Xaver]] 20:52, 14. Mai 2011 (CEST) == Einzelne Philosophen == * [[w:Jacques Derrida|Jacques Derrida]] * [[w:Gaston Bachelard|Gaston Bachelard]] == Sitzung vom 1.6.2011 == [[w:Martin Heidegger|Heidegger]]: Als lebendige Wesen sind wir von Not bedroht. Bewacht werden wir von Sorge (unser Lebensprinzip, Vitalität). Die Sorge erzeugt die Zeit, in der wir leben. Das Selbst ist die Antwort der Sorge auf das Problem der Zeitknappheit. Das Selbst grenzt sich vom Anderen (als "man" bezeichnet) ab. == Notizen 2026 == https://www.deutschlandfunkkultur.de/rebekka-endler-witches-bitches-it-girls-rezension-100.html == Diskussion == *[http://web-philosophen.mixxt.info/ Philosophiediskussion bei mixxt] *[http://www.arte.tv/forum/forumdisplay.php?f=186&langid=1 Philosophiediskussion bei arte] *[http://de.consenser.org/philosophisches_cafe Philosophisches Café] == Links == *[[w:Portal:Philosophie|Portal:Philosophie]] *[http://www.zeno.org/Philosophie Philosophische Texte bei Zeno] *[http://buecherei.philo.at/index.htm#Inhalt Internetressourcen zur Philosophie] *[http://www.information-philosophie.de/? Zeitschrift über Philosophie] *[http://www.pinselpark.org/philosophie/gesamt/index.html Texte aus Philosophie und Wissenschaft] *[http://www2.uni-jena.de/welsch/ Ein Weg durch die Philosophiegeschichte in Zitaten (Wolfgang Welsch)] unter: Teaching materials *[http://www.br-online.de/br-alpha/denker-des-abendlandes/index.xml Denker des Abendlandes (Rundfunk)] * [http://www.wdr.de/radio/home/podcasts/channelausspielung.phtml?channel=philosophischesradio Philosophisches Radio] Podcasts von WDR5 *[http://www.arte.tv/de/Willkommen/Die-Welt-verstehen/philosophie/2235124.html Philosophie bei arte] *[http://www.jochen-ebmeier.de/17.html Philosophische Wendeltreppe] *[http://www.thur.de/philo/asglied.htm#i Annettes Philosophenstübchen] *[http://wiki.zum.de/Ethik Ethik] *[http://wiki.zum.de/Diskussion:Ethik-Forum Ethik-Diskussion] *[http://tierethikblog.de/ Tierethikblog] *[http://download.br-online.de/imperia/md/audio/podcast/import/2008_07/2008_07_29_17_20_54_podcast_radiowissen_tiefenoeko_a.mp3 Tiefenökologie] (Podcast) *[http://download.br-online.de/imperia/md/audio/podcast/import/2010_03/2010_03_04_16_31_22_podcast_radiowissen_schelling__a.mp3 Schelling] (Podcast) *[[Benutzer:Cethegus/Philosophie/Systematischer Ansatz|Systematischer Ansatz]] *[http://www.focus.de/kultur/medien/kultur-was-philosophen-von-philosophen-halten_aid_229647.html Zu Philosophen der Gegenwart] *[http://www.thur.de/philo/asglied.htm#i Annettes Philosophenstübchen] [[Kategorie:Philosophie]] t23zxak5n103y143rah3cwu8cyyzw5s 106 71635 1078767 1062013 2026-05-06T10:13:13Z Falko Wilms 8588 1078767 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||350px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Sommersemester 2026</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''Einführung in das Geschäftsprozessmanagement'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms ''mit Anwesenheitspflicht'' </span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;"><big>'''Umgang mit KI'''</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:blue;">'''zum Einsatz von KI-Tools''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:blue;">'''Dialog mit einem Chatbot''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Chatbot_als_Tutor| <span style="color:blue;">'''Chatbot als pers. Tutor''']] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Tipps</big>'''</div> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|<span style="color:green;">'''<big>Anwesenheitspflicht</big>''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation]] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading Tipps zum schnellen Lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [http://www.falko-wilms.de/HL/s.pdf <span style="color:green;"><small>'''Studien-Basics''' (geschützt für m''ich'')</small>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''<span style="color:green;">Tipps für's Studieren</span>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Verständlichkeit|<span style="color:red;">Verständlich formulieren]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] '''|''' [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==Worum geht es bei der Thematik?== Geschäftsprozesse gehören zu den wichtigsten betrieblichen Vermögensgegenständen. Sie haben einen direkten Einfluss auf die Attraktivität von Produkten und Dienstleistungen. Sie haben ihrne Niederschlag in Kundenerfahrungen und im geschäftlichen Erfolg. Geschäftsprozessmanagement ist ein systematischer Ansatz zur Gestaltung, Steuerung, Überwachung und Optimierung von Geschäftsprozessen. Im Kern geht es darum, die Effizienz und Effektivität betrieblicher Wertschöpfungsprozesse zu verbessern einließlich der bewussten Gestaltung von Aufgaben, Arbeitsplätzen und Verantwortlichkeiten. Die Bedeutung von Geschäftsprozessen wird erst seit Ende des 20. Jahrhunderts gebührend gewürdigt und auf Vorstandsebene und in wichtigen Entscheidungsprozessen beachtet. Die wachsenden Herausforderungen der Globalisierung, Integration, Standardisierung, Innovation, Agilität und operative Effizienz einerseits und die neuen Möglichkeiten der Digitalisierung andererseits haben die Begierde geweckt, Prozesse nicht nur zu verbessern, sondern auch gänzlich neuartige Prozesse zu gestalten. ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Prozessmanagement" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">Ausgangspunkte== <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ebenso: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [[https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [[https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==<span style="color:grey;">Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#D9D9D9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blac;">'''Skripte''' zum asynchronen Lernen</div> * [https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EfA236TxfLpCk_kWc27eoeYBOWYLzfvuh2nE6Nz7NVzR9A?e=rXtbB3 <span style="color:grey;">Das Nugget-Chart] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EVUwGRf1-eNHnyiTkf9IYd0BQbaGdfKX3yG4-HutNCaKMw?e=cpQPdm <span style="color:grey;">St.Galler Management-Modell] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EQOExLN2mgpKi7ui6lhr-mYBNc1CnTHIhRs2SqV4bFrTBw?e=CxKgQx <span style="color:grey;">Geschäftsprozessmanagement] ------------ </div> <span style="color:grey;">Asynchrones Lernen meint, ohne Hilfe anderer (Lehr)Personen verfügbare Informations-Materialien zu nutzten, um sich eigenständig neues Wissen anzueignen. Dieser Kompetenzerwerb ist fester Bestandteil eines akademischen Studiums und bereitet auf das "Lebenslange Lernen" vor.<br><br> '''Bereitgestellte Materialien für die asynchrone Lehre:''' # <span style="color:grey;">ein traditioneller Foliensatz im PDF-Format # <span style="color:grey;">Lehrskripte zu verschiedenen Themen # <span style="color:grey;">ein elektronischer Semesterapparat mit eBooks # <span style="color:grey;">diese Wikiversity-Kursseite mit vielen links<br> <span style="color:grey;">'''Literatur:''' * <span style="color:grey;">Konrad, K. (2003): Wege zum selbstgesteuerten Lernen. Vom Konzept zur Umsetzung. In: Pädagogik 5/2003, S. 14 – 17. * <span style="color:grey;">Landwehr, N./Müller, E. (2006): Begleitetes Selbststudium, Bern. ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. ==<big>Themen</big>== geplante Themenfolge, von der nach Bedarf abgewichen derden kann: * <span style="color:blue;"> Einführung * <span style="color:blue;"> Prozessmanagement im Unternehmen * <span style="color:blue;"> Referenzmodelle | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=rGwM7ECpaFw Referenzmodelle] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozesse | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=3b-j3ZsLGKI Geschäftsprozesse] * <span style="color:blue;"> Business Process Management Life Cycle * <span style="color:blue;"> Gestaltung und Dokumentation von Geschäftsprozessen * <span style="color:blue;"> Prozesslandkarte | podcasts: Prozesslandkarte [https://www.youtube.com/watch?v=NerreGedHvA Prozesslandkarte], [https://www.youtube.com/watch?v=Ikuh4vwermQ Prozesslandkarte erstellen] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozessmodell * <span style="color:blue;"> Prozesscontrolling, Methoden der Prozessoptimierung * <span style="color:blue;"> Prozessführung: Performance Indicators<br><br> ==<span style="color:green;">Erforderliches Selbststudium== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#29B335;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:green;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:green;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:green;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:green;"> Template zur Verschriftlichung</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">Feedback-Bogen] -------------- </div> <span style="color:green;">Im Selbststudium übernehmen die Studierenden die individuelle Verantwortung für das Erringen von eigenen Lernfortschritte. Dies erfordert Disziplin und Selbstmotivation, die im Berufsalltag beim "lebenslangen Lernen" unbedingt benötigt werden. <span style="color:green;">Das in diesem Kurs erforderliche Selbststudiums durchläuft folgende Arbeitsphasen: * <span style="color:green;">die besprochenen Folien des Folienskriptes durcharbeiten * <span style="color:green;">in 5er-Gruppen ein gemeinsames Verständnis des Fachinhaltes erzielen * <span style="color:green;">in der Gruppe ein dazu passendes [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">'''Nugget-Chart'''</span>] <span style="color:green;"> </span> erstellen * <span style="color:green;">das erstellte Gruppen-Chart zum nächsten Treffen in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=764189 <span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] hochgeladen * <span style="color:green;">von jeder teilnehmenden Person des Kurses sind mindestesn 3 Gruppencharts hochzuladen. <br> <span style="color:green;">Wer darüber hinaus Vorarbeiten für seine eigene Seminararbeit ausführen möchte, tut erfahrungsgemäß gut daran * <span style="color:green;">das Gruppen-Chart in einem Text mit 5-Absätzen zu verschriftlichen * <span style="color:green;">abschließend(!) aus dem erstellten Text einen header zu entwicklen und ihn an den Textanfang zu platzieren * <span style="color:green;">die aktuielle Version des Textes mit dem [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">'''Feedback-Bogen'''] zu überarbeiten * <span style="color:green;">ein Feedback vom überarbeiteten Text einhzuholen ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#FF0000;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Unterlagen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Muster.pdf <span style="color:red;"> guter Text </span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|<span style="color:red;"> '''bessere Texte schreiben''']] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> Benotungskriterien</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">'''Template'''] -------------- </div> <span style="color:red;"> Zunächst üben die Studentinnen und Studenten * <span style="color:red;"> in Kleingruppen mehrmals(!) die Erstellung eines Nugget-Charts über das Thema des letzten Treffens * <span style="color:red;"> alleine mehrmals(!) das Verschriftlichen eines erstellten Nugget-Charts mit der Benutzung mindestens einer Eingabe (promt) in mindestens einem KI-Tool <span style="color:red;"> Dann verschriftlichen Studentinnen und Studenten in dem erforderlichen Template mit der Unterstütztung eines KI-Tools und legen ihre individuelle Prüfungsleistung in den ILIAs-Ordner '''Prüfungsleistungen''' ab * <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin: <big>18.06.2025 um 08:00 Uhr</big><br> <span style="color:red;">'''Voraussetzungen für die Benotung einer Prüfungsleistung:''' *<span style="color:red;"> Die Autorin/der Autor hat ein persönliches Kurslogbuch abgegebenen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit macht die benutzten KI-Tool und deren Promts in einer Liste kenntlich<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit ist rechtzeitig eingetroffen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit trägt im Kopf den Namen der Autorin bzw. des Autors<br> == Siehe auch == {|style="width:80%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozessmodellierung Geschäftsprozessmodellierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozess Prozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesskostenrechnung Prozesskostenrechnung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesslandkarte Prozesslandkarte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessoptimierung Prozessoptimierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessstruktur Prozessstruktur] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzmodell Referenzmodell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertsch%C3%B6pfungsprozess Wertschöpfungsprozess] |} == Empfohlene Fachliteratur == * [https://www.amazon.de/End-End-Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement-Organisationselement-Integrationsinstrument-Managementansatz/dp/370910839X Bergsmann, St. (2012): End-to-End-Geschäftsprozessmanagement, Organisationselement, Integrationsinstrument, Managementansatz, Springer: Wien/New York]; ISBN 978-3709108390 * [https://www.amazon.de/-/en/Marlon-Dumas/dp/3662587351/ref=sr_1_1?crid=3BYRBW6TRL7Z6&keywords=Grundlagen+des+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagements&qid=1674822625&s=books&sprefix=grundlagen+des+gesch%C3%A4ftsprozessmanagements%2Cstripbooks%2C101&sr=1-1 Dumas, M./La Rosa, M./Mendling, J./Reijers, H. A. (2021): Grundlagen des Geschäftsprozessmanagementsagel ]; ISBN 978-3662587355 * [https://www.amazon.de/Andreas-Gadatsch/dp/3658278110/ref=pd_rhf_d_se_s_pd_crcd_sccl_1_2/262-2030807-9113000?pd_rd_w=uCoNA&content-id=amzn1.sym.21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_p=21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_r=6HEM33MJ7GWNT1XCE3HX&pd_rd_wg=XKr1h&pd_rd_r=329d1a8b-acf2-4007-be57-ab0f801d3f2a&pd_rd_i=3658278110&psc=1 Gadatsch, A. (2020): Grundkurs Geschäftsprozess-Management. Analyse, Modellierung, Optimierung und Controlling von Prozessen, 9., akt. u. erw. Aufl., SpringerGabler: Wiesbaden]; ISBN 978-3658278113 * [https://www.amazon.de/-/en/Hermann-J-Schmelzer/dp/3446446257/ref=sr_1_1?crid=2X93WCJICAOG7&keywords=Schmelzer%2C+H.+J.%3B+Sesselmann%2C+W.+%282020%29%3A+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+Praxis.&qid=1674822854&s=books&sprefix=schmelzer+h.+j.+sesselmann+w.+2020+gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+praxis.+%2Cstripbooks%2C108&sr=1-1 Schmelzer, H. J.; Sesselmann, W. (2020): Geschäftsprozessmanagement in der Praxis. Kunden zufrieden stellen, Produktivität Steigern, Wert erhöhen, 9. vollst. überarb. Aufl., Hanser: München]; ISBN 978-3446446250 [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] qtir94u0sbm9mcolizm0wh1awgelwcd 1078768 1078767 2026-05-06T10:20:15Z Falko Wilms 8588 /* benotete Prüfungsleistung */ 1078768 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||350px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Sommersemester 2026</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''Einführung in das Geschäftsprozessmanagement'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms ''mit Anwesenheitspflicht'' </span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;"><big>'''Umgang mit KI'''</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:blue;">'''zum Einsatz von KI-Tools''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:blue;">'''Dialog mit einem Chatbot''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Chatbot_als_Tutor| <span style="color:blue;">'''Chatbot als pers. Tutor''']] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Tipps</big>'''</div> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|<span style="color:green;">'''<big>Anwesenheitspflicht</big>''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation]] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading Tipps zum schnellen Lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [http://www.falko-wilms.de/HL/s.pdf <span style="color:green;"><small>'''Studien-Basics''' (geschützt für m''ich'')</small>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''<span style="color:green;">Tipps für's Studieren</span>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Verständlichkeit|<span style="color:red;">Verständlich formulieren]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] '''|''' [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==Worum geht es bei der Thematik?== Geschäftsprozesse gehören zu den wichtigsten betrieblichen Vermögensgegenständen. Sie haben einen direkten Einfluss auf die Attraktivität von Produkten und Dienstleistungen. Sie haben ihrne Niederschlag in Kundenerfahrungen und im geschäftlichen Erfolg. Geschäftsprozessmanagement ist ein systematischer Ansatz zur Gestaltung, Steuerung, Überwachung und Optimierung von Geschäftsprozessen. Im Kern geht es darum, die Effizienz und Effektivität betrieblicher Wertschöpfungsprozesse zu verbessern einließlich der bewussten Gestaltung von Aufgaben, Arbeitsplätzen und Verantwortlichkeiten. Die Bedeutung von Geschäftsprozessen wird erst seit Ende des 20. Jahrhunderts gebührend gewürdigt und auf Vorstandsebene und in wichtigen Entscheidungsprozessen beachtet. Die wachsenden Herausforderungen der Globalisierung, Integration, Standardisierung, Innovation, Agilität und operative Effizienz einerseits und die neuen Möglichkeiten der Digitalisierung andererseits haben die Begierde geweckt, Prozesse nicht nur zu verbessern, sondern auch gänzlich neuartige Prozesse zu gestalten. ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Prozessmanagement" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">Ausgangspunkte== <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ebenso: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [[https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [[https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==<span style="color:grey;">Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#D9D9D9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blac;">'''Skripte''' zum asynchronen Lernen</div> * [https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EfA236TxfLpCk_kWc27eoeYBOWYLzfvuh2nE6Nz7NVzR9A?e=rXtbB3 <span style="color:grey;">Das Nugget-Chart] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EVUwGRf1-eNHnyiTkf9IYd0BQbaGdfKX3yG4-HutNCaKMw?e=cpQPdm <span style="color:grey;">St.Galler Management-Modell] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EQOExLN2mgpKi7ui6lhr-mYBNc1CnTHIhRs2SqV4bFrTBw?e=CxKgQx <span style="color:grey;">Geschäftsprozessmanagement] ------------ </div> <span style="color:grey;">Asynchrones Lernen meint, ohne Hilfe anderer (Lehr)Personen verfügbare Informations-Materialien zu nutzten, um sich eigenständig neues Wissen anzueignen. Dieser Kompetenzerwerb ist fester Bestandteil eines akademischen Studiums und bereitet auf das "Lebenslange Lernen" vor.<br><br> '''Bereitgestellte Materialien für die asynchrone Lehre:''' # <span style="color:grey;">ein traditioneller Foliensatz im PDF-Format # <span style="color:grey;">Lehrskripte zu verschiedenen Themen # <span style="color:grey;">ein elektronischer Semesterapparat mit eBooks # <span style="color:grey;">diese Wikiversity-Kursseite mit vielen links<br> <span style="color:grey;">'''Literatur:''' * <span style="color:grey;">Konrad, K. (2003): Wege zum selbstgesteuerten Lernen. Vom Konzept zur Umsetzung. In: Pädagogik 5/2003, S. 14 – 17. * <span style="color:grey;">Landwehr, N./Müller, E. (2006): Begleitetes Selbststudium, Bern. ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. ==<big>Themen</big>== geplante Themenfolge, von der nach Bedarf abgewichen derden kann: * <span style="color:blue;"> Einführung * <span style="color:blue;"> Prozessmanagement im Unternehmen * <span style="color:blue;"> Referenzmodelle | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=rGwM7ECpaFw Referenzmodelle] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozesse | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=3b-j3ZsLGKI Geschäftsprozesse] * <span style="color:blue;"> Business Process Management Life Cycle * <span style="color:blue;"> Gestaltung und Dokumentation von Geschäftsprozessen * <span style="color:blue;"> Prozesslandkarte | podcasts: Prozesslandkarte [https://www.youtube.com/watch?v=NerreGedHvA Prozesslandkarte], [https://www.youtube.com/watch?v=Ikuh4vwermQ Prozesslandkarte erstellen] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozessmodell * <span style="color:blue;"> Prozesscontrolling, Methoden der Prozessoptimierung * <span style="color:blue;"> Prozessführung: Performance Indicators<br><br> ==<span style="color:green;">Erforderliches Selbststudium== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#29B335;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:green;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:green;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:green;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:green;"> Template zur Verschriftlichung</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">Feedback-Bogen] -------------- </div> <span style="color:green;">Im Selbststudium übernehmen die Studierenden die individuelle Verantwortung für das Erringen von eigenen Lernfortschritte. Dies erfordert Disziplin und Selbstmotivation, die im Berufsalltag beim "lebenslangen Lernen" unbedingt benötigt werden. <span style="color:green;">Das in diesem Kurs erforderliche Selbststudiums durchläuft folgende Arbeitsphasen: * <span style="color:green;">die besprochenen Folien des Folienskriptes durcharbeiten * <span style="color:green;">in 5er-Gruppen ein gemeinsames Verständnis des Fachinhaltes erzielen * <span style="color:green;">in der Gruppe ein dazu passendes [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">'''Nugget-Chart'''</span>] <span style="color:green;"> </span> erstellen * <span style="color:green;">das erstellte Gruppen-Chart zum nächsten Treffen in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=764189 <span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] hochgeladen * <span style="color:green;">von jeder teilnehmenden Person des Kurses sind mindestesn 3 Gruppencharts hochzuladen. <br> <span style="color:green;">Wer darüber hinaus Vorarbeiten für seine eigene Seminararbeit ausführen möchte, tut erfahrungsgemäß gut daran * <span style="color:green;">das Gruppen-Chart in einem Text mit 5-Absätzen zu verschriftlichen * <span style="color:green;">abschließend(!) aus dem erstellten Text einen header zu entwicklen und ihn an den Textanfang zu platzieren * <span style="color:green;">die aktuielle Version des Textes mit dem [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">'''Feedback-Bogen'''] zu überarbeiten * <span style="color:green;">ein Feedback vom überarbeiteten Text einhzuholen ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#FF0000;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Unterlagen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Muster.pdf <span style="color:red;"> guter Text </span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|<span style="color:red;"> '''bessere Texte schreiben''']] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> Benotungskriterien</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">'''Template'''] -------------- </div> <span style="color:red;"> Zunächst üben die Studentinnen und Studenten * <span style="color:red;"> in Kleingruppen mehrmals(!) die Erstellung eines Nugget-Charts über das Thema des letzten Treffens * <span style="color:red;"> alleine mehrmals(!) das Verschriftlichen eines erstellten Nugget-Charts mit der Benutzung mindestens einer Eingabe (promt) in mindestens einem KI-Tool <span style="color:red;"> Dann verschriftlichen Studentinnen und Studenten in dem erforderlichen Template mit der Unterstütztung eines KI-Tools und legen ihre individuelle Prüfungsleistung in den ILIAs-Ordner '''Prüfungsleistungen''' ab * <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin: <big>23.06.2026 um 23:59 Uhr Uhr</big><br> <span style="color:red;">'''Voraussetzungen für die Benotung einer Prüfungsleistung:''' *<span style="color:red;"> Die Autorin/der Autor hat ein persönliches Kurslogbuch abgegebenen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit macht die benutzten KI-Tool und deren Promts in einer Liste kenntlich<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit ist rechtzeitig eingetroffen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit trägt im Kopf den Namen der Autorin bzw. des Autors<br> == Siehe auch == {|style="width:80%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozessmodellierung Geschäftsprozessmodellierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozess Prozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesskostenrechnung Prozesskostenrechnung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesslandkarte Prozesslandkarte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessoptimierung Prozessoptimierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessstruktur Prozessstruktur] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzmodell Referenzmodell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertsch%C3%B6pfungsprozess Wertschöpfungsprozess] |} == Empfohlene Fachliteratur == * [https://www.amazon.de/End-End-Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement-Organisationselement-Integrationsinstrument-Managementansatz/dp/370910839X Bergsmann, St. (2012): End-to-End-Geschäftsprozessmanagement, Organisationselement, Integrationsinstrument, Managementansatz, Springer: Wien/New York]; ISBN 978-3709108390 * [https://www.amazon.de/-/en/Marlon-Dumas/dp/3662587351/ref=sr_1_1?crid=3BYRBW6TRL7Z6&keywords=Grundlagen+des+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagements&qid=1674822625&s=books&sprefix=grundlagen+des+gesch%C3%A4ftsprozessmanagements%2Cstripbooks%2C101&sr=1-1 Dumas, M./La Rosa, M./Mendling, J./Reijers, H. A. (2021): Grundlagen des Geschäftsprozessmanagementsagel ]; ISBN 978-3662587355 * [https://www.amazon.de/Andreas-Gadatsch/dp/3658278110/ref=pd_rhf_d_se_s_pd_crcd_sccl_1_2/262-2030807-9113000?pd_rd_w=uCoNA&content-id=amzn1.sym.21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_p=21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_r=6HEM33MJ7GWNT1XCE3HX&pd_rd_wg=XKr1h&pd_rd_r=329d1a8b-acf2-4007-be57-ab0f801d3f2a&pd_rd_i=3658278110&psc=1 Gadatsch, A. (2020): Grundkurs Geschäftsprozess-Management. Analyse, Modellierung, Optimierung und Controlling von Prozessen, 9., akt. u. erw. Aufl., SpringerGabler: Wiesbaden]; ISBN 978-3658278113 * [https://www.amazon.de/-/en/Hermann-J-Schmelzer/dp/3446446257/ref=sr_1_1?crid=2X93WCJICAOG7&keywords=Schmelzer%2C+H.+J.%3B+Sesselmann%2C+W.+%282020%29%3A+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+Praxis.&qid=1674822854&s=books&sprefix=schmelzer+h.+j.+sesselmann+w.+2020+gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+praxis.+%2Cstripbooks%2C108&sr=1-1 Schmelzer, H. J.; Sesselmann, W. (2020): Geschäftsprozessmanagement in der Praxis. Kunden zufrieden stellen, Produktivität Steigern, Wert erhöhen, 9. vollst. überarb. Aufl., Hanser: München]; ISBN 978-3446446250 [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] 01kbr54jp8m55y5htcd8b827z2nip95 1078769 1078768 2026-05-06T10:26:57Z Falko Wilms 8588 /* Erforderliches Selbststudium */ 1078769 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||350px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Sommersemester 2026</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''Einführung in das Geschäftsprozessmanagement'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms ''mit Anwesenheitspflicht'' </span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;"><big>'''Umgang mit KI'''</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:blue;">'''zum Einsatz von KI-Tools''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:blue;">'''Dialog mit einem Chatbot''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Chatbot_als_Tutor| <span style="color:blue;">'''Chatbot als pers. Tutor''']] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Tipps</big>'''</div> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|<span style="color:green;">'''<big>Anwesenheitspflicht</big>''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation]] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading Tipps zum schnellen Lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [http://www.falko-wilms.de/HL/s.pdf <span style="color:green;"><small>'''Studien-Basics''' (geschützt für m''ich'')</small>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''<span style="color:green;">Tipps für's Studieren</span>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Verständlichkeit|<span style="color:red;">Verständlich formulieren]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] '''|''' [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==Worum geht es bei der Thematik?== Geschäftsprozesse gehören zu den wichtigsten betrieblichen Vermögensgegenständen. Sie haben einen direkten Einfluss auf die Attraktivität von Produkten und Dienstleistungen. Sie haben ihrne Niederschlag in Kundenerfahrungen und im geschäftlichen Erfolg. Geschäftsprozessmanagement ist ein systematischer Ansatz zur Gestaltung, Steuerung, Überwachung und Optimierung von Geschäftsprozessen. Im Kern geht es darum, die Effizienz und Effektivität betrieblicher Wertschöpfungsprozesse zu verbessern einließlich der bewussten Gestaltung von Aufgaben, Arbeitsplätzen und Verantwortlichkeiten. Die Bedeutung von Geschäftsprozessen wird erst seit Ende des 20. Jahrhunderts gebührend gewürdigt und auf Vorstandsebene und in wichtigen Entscheidungsprozessen beachtet. Die wachsenden Herausforderungen der Globalisierung, Integration, Standardisierung, Innovation, Agilität und operative Effizienz einerseits und die neuen Möglichkeiten der Digitalisierung andererseits haben die Begierde geweckt, Prozesse nicht nur zu verbessern, sondern auch gänzlich neuartige Prozesse zu gestalten. ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Prozessmanagement" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">Ausgangspunkte== <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ebenso: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [[https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [[https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==<span style="color:grey;">Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#D9D9D9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blac;">'''Skripte''' zum asynchronen Lernen</div> * [https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EfA236TxfLpCk_kWc27eoeYBOWYLzfvuh2nE6Nz7NVzR9A?e=rXtbB3 <span style="color:grey;">Das Nugget-Chart] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EVUwGRf1-eNHnyiTkf9IYd0BQbaGdfKX3yG4-HutNCaKMw?e=cpQPdm <span style="color:grey;">St.Galler Management-Modell] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EQOExLN2mgpKi7ui6lhr-mYBNc1CnTHIhRs2SqV4bFrTBw?e=CxKgQx <span style="color:grey;">Geschäftsprozessmanagement] ------------ </div> <span style="color:grey;">Asynchrones Lernen meint, ohne Hilfe anderer (Lehr)Personen verfügbare Informations-Materialien zu nutzten, um sich eigenständig neues Wissen anzueignen. Dieser Kompetenzerwerb ist fester Bestandteil eines akademischen Studiums und bereitet auf das "Lebenslange Lernen" vor.<br><br> '''Bereitgestellte Materialien für die asynchrone Lehre:''' # <span style="color:grey;">ein traditioneller Foliensatz im PDF-Format # <span style="color:grey;">Lehrskripte zu verschiedenen Themen # <span style="color:grey;">ein elektronischer Semesterapparat mit eBooks # <span style="color:grey;">diese Wikiversity-Kursseite mit vielen links<br> <span style="color:grey;">'''Literatur:''' * <span style="color:grey;">Konrad, K. (2003): Wege zum selbstgesteuerten Lernen. Vom Konzept zur Umsetzung. In: Pädagogik 5/2003, S. 14 – 17. * <span style="color:grey;">Landwehr, N./Müller, E. (2006): Begleitetes Selbststudium, Bern. ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. ==<big>Themen</big>== geplante Themenfolge, von der nach Bedarf abgewichen derden kann: * <span style="color:blue;"> Einführung * <span style="color:blue;"> Prozessmanagement im Unternehmen * <span style="color:blue;"> Referenzmodelle | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=rGwM7ECpaFw Referenzmodelle] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozesse | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=3b-j3ZsLGKI Geschäftsprozesse] * <span style="color:blue;"> Business Process Management Life Cycle * <span style="color:blue;"> Gestaltung und Dokumentation von Geschäftsprozessen * <span style="color:blue;"> Prozesslandkarte | podcasts: Prozesslandkarte [https://www.youtube.com/watch?v=NerreGedHvA Prozesslandkarte], [https://www.youtube.com/watch?v=Ikuh4vwermQ Prozesslandkarte erstellen] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozessmodell * <span style="color:blue;"> Prozesscontrolling, Methoden der Prozessoptimierung * <span style="color:blue;"> Prozessführung: Performance Indicators<br><br> ==<span style="color:green;">Selbststudium am 13.06.2026== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#29B335;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:green;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:green;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:green;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:green;"> Template zur Verschriftlichung</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">Feedback-Bogen] -------------- </div> <span style="color:green;">Im Selbststudium übernehmen die Studierenden die individuelle Verantwortung für das Erringen von eigenen Lernfortschritte. Dies erfordert Disziplin und Selbstmotivation, die im Berufsalltag beim "lebenslangen Lernen" unbedingt benötigt werden. <span style="color:green;">Das in diesem Kurs erforderliche Selbststudiums durchläuft folgende Arbeitsphasen: * <span style="color:green;">die besprochenen Folien des Folienskriptes durcharbeiten * <span style="color:green;">in 5er-Gruppen ein gemeinsames Verständnis des Fachinhaltes erzielen * <span style="color:green;">in der Gruppe ein dazu passendes [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">'''Nugget-Chart'''</span>] <span style="color:green;"> </span> erstellen * <span style="color:green;">das erstellte Gruppen-Chart zum nächsten Treffen in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=764189 <span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] hochgeladen * <span style="color:green;">von jeder teilnehmenden Person des Kurses sind mindestesn 3 Gruppencharts hochzuladen. <br> <span style="color:green;">Wer darüber hinaus Vorarbeiten für seine eigene Seminararbeit ausführen möchte, tut erfahrungsgemäß gut daran * <span style="color:green;">das Gruppen-Chart in einem Text mit 5-Absätzen zu verschriftlichen * <span style="color:green;">abschließend(!) aus dem erstellten Text einen header zu entwicklen und ihn an den Textanfang zu platzieren * <span style="color:green;">die aktuielle Version des Textes mit dem [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">'''Feedback-Bogen'''] zu überarbeiten * <span style="color:green;">ein Feedback vom überarbeiteten Text einhzuholen ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#FF0000;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Unterlagen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Muster.pdf <span style="color:red;"> guter Text </span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|<span style="color:red;"> '''bessere Texte schreiben''']] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> Benotungskriterien</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">'''Template'''] -------------- </div> <span style="color:red;"> Zunächst üben die Studentinnen und Studenten * <span style="color:red;"> in Kleingruppen mehrmals(!) die Erstellung eines Nugget-Charts über das Thema des letzten Treffens * <span style="color:red;"> alleine mehrmals(!) das Verschriftlichen eines erstellten Nugget-Charts mit der Benutzung mindestens einer Eingabe (promt) in mindestens einem KI-Tool <span style="color:red;"> Dann verschriftlichen Studentinnen und Studenten in dem erforderlichen Template mit der Unterstütztung eines KI-Tools und legen ihre individuelle Prüfungsleistung in den ILIAs-Ordner '''Prüfungsleistungen''' ab * <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin: <big>23.06.2026 um 23:59 Uhr Uhr</big><br> <span style="color:red;">'''Voraussetzungen für die Benotung einer Prüfungsleistung:''' *<span style="color:red;"> Die Autorin/der Autor hat ein persönliches Kurslogbuch abgegebenen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit macht die benutzten KI-Tool und deren Promts in einer Liste kenntlich<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit ist rechtzeitig eingetroffen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit trägt im Kopf den Namen der Autorin bzw. des Autors<br> == Siehe auch == {|style="width:80%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozessmodellierung Geschäftsprozessmodellierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozess Prozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesskostenrechnung Prozesskostenrechnung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesslandkarte Prozesslandkarte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessoptimierung Prozessoptimierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessstruktur Prozessstruktur] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzmodell Referenzmodell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertsch%C3%B6pfungsprozess Wertschöpfungsprozess] |} == Empfohlene Fachliteratur == * [https://www.amazon.de/End-End-Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement-Organisationselement-Integrationsinstrument-Managementansatz/dp/370910839X Bergsmann, St. (2012): End-to-End-Geschäftsprozessmanagement, Organisationselement, Integrationsinstrument, Managementansatz, Springer: Wien/New York]; ISBN 978-3709108390 * [https://www.amazon.de/-/en/Marlon-Dumas/dp/3662587351/ref=sr_1_1?crid=3BYRBW6TRL7Z6&keywords=Grundlagen+des+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagements&qid=1674822625&s=books&sprefix=grundlagen+des+gesch%C3%A4ftsprozessmanagements%2Cstripbooks%2C101&sr=1-1 Dumas, M./La Rosa, M./Mendling, J./Reijers, H. A. (2021): Grundlagen des Geschäftsprozessmanagementsagel ]; ISBN 978-3662587355 * [https://www.amazon.de/Andreas-Gadatsch/dp/3658278110/ref=pd_rhf_d_se_s_pd_crcd_sccl_1_2/262-2030807-9113000?pd_rd_w=uCoNA&content-id=amzn1.sym.21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_p=21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_r=6HEM33MJ7GWNT1XCE3HX&pd_rd_wg=XKr1h&pd_rd_r=329d1a8b-acf2-4007-be57-ab0f801d3f2a&pd_rd_i=3658278110&psc=1 Gadatsch, A. (2020): Grundkurs Geschäftsprozess-Management. Analyse, Modellierung, Optimierung und Controlling von Prozessen, 9., akt. u. erw. Aufl., SpringerGabler: Wiesbaden]; ISBN 978-3658278113 * [https://www.amazon.de/-/en/Hermann-J-Schmelzer/dp/3446446257/ref=sr_1_1?crid=2X93WCJICAOG7&keywords=Schmelzer%2C+H.+J.%3B+Sesselmann%2C+W.+%282020%29%3A+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+Praxis.&qid=1674822854&s=books&sprefix=schmelzer+h.+j.+sesselmann+w.+2020+gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+praxis.+%2Cstripbooks%2C108&sr=1-1 Schmelzer, H. J.; Sesselmann, W. (2020): Geschäftsprozessmanagement in der Praxis. Kunden zufrieden stellen, Produktivität Steigern, Wert erhöhen, 9. vollst. überarb. Aufl., Hanser: München]; ISBN 978-3446446250 [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] a6ctf30fnkdq127y56p8zec5l92503c 1078773 1078769 2026-05-06T11:04:26Z Falko Wilms 8588 /* Worum geht es bei der Thematik? */ 1078773 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||350px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Sommersemester 2026</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''Einführung in das Geschäftsprozessmanagement'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein akademisches Lehrangebot von Dr. Falko Wilms ''mit Anwesenheitspflicht'' </span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;"><big>'''Umgang mit KI'''</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:blue;">'''zum Einsatz von KI-Tools''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Dialog_mit_einem_Chatbot| <span style="color:blue;">'''Dialog mit einem Chatbot''']] * [[Benutzer:Falko_Wilms/Chatbot_als_Tutor| <span style="color:blue;">'''Chatbot als pers. Tutor''']] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Tipps</big>'''</div> *[[Benutzer:Falko Wilms/Anwesenheitspflicht|<span style="color:green;">'''<big>Anwesenheitspflicht</big>''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation]] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading Tipps zum schnellen Lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [http://www.falko-wilms.de/HL/s.pdf <span style="color:green;"><small>'''Studien-Basics''' (geschützt für m''ich'')</small>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''<span style="color:green;">Tipps für's Studieren</span>''']] * [[Benutzer:Falko Wilms/Verständlichkeit|<span style="color:red;">Verständlich formulieren]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''': * [http://www.ixquick.com IXQUICK] '''|''' [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- </div> __TOC__ ==Worum geht es bei der Thematik?== Insbesondere in der mittelständischen Wirtschaft sind vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk exzellente Geschäftsprozesse der zentrale Erfolgsfaktor. Geschäftsprozessmanagement (GPM) liefert hierfür das Instrumentarium, um arbeitsteilige Wertschöpfungsketten unter den organisationalen Bedingungen systematisch zu planen, zu steuern und zu optimieren. Ziel ist die Verbindung von Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. Angesichts von Fachkräftemangel und Digitalisierungsdruck ist immer wieder abteilungsübergreifend trotz konkurrierender Ziele (z. B. Kostensenkung und Qualitätserhöhung) gut argumentierbare Lösungen zu finden. Nur wer bei der methodischen Lösungsfindung alle Stakeholder einbindet und die organisatorischen Rahmenbedingungen passend gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort. ==Lehrender== '''Dr. Falko Wilms''' ([https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://teams.microsoft.com/l/meeting/new?subject=Anfrage&content=attendees=falko.wilms@fhv.at Terminwunsch in msTeams] <big><span style="color:red;">'''|'''</span></big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV])<br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende individuell pro Lehrveranstaltung durch die Lehrperson vorgeschrieben. Für den Kurs "Prozessmanagement" gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;">Ausgangspunkte== <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ein eindeutiges Ergebnis''': # <span style="color:blue;">Handschriftliche Notizenschreiber verwenden eher eigene Worte, machen weniger Notizen und können sich im Anschluss besser an das Geschriebene erinnern. # <span style="color:blue;">Notizenschreiber am Laptop schreiben eher wortwörtlich mit (selbst wenn man ihnen gesagt hat, dass nicht wortwörtlich mitschreiben sollen) und schneiden im anschließenden Test schlechter ab, selbst bei rein faktischen fragen. # <span style="color:blue;">eine farbige Gestaltung des selbst Geschriebenen wirkt sich positiv auf das Gedächtnis aus, weil Farbe die Aufmerksamkeit lenkt. Farbige Worte werden zu Schlagworten, schneller in den Aufzeichnungen erkannt und besser eingeprägt. Wenn allerdings alles bunt eingefärbt wird, kehrt sich dieser Effekt um. # <span style="color:blue;">Veranschaulichende Skizzen fördern das spätere Erinnern. </span><br> <span style="color:blue;">'''Empirische Studien zeigen ebenso: Am besten Präsenztreffen!''' # <span style="color:blue;">Eine neurophysiologische [[https://www.nature.com/articles/s41598-023-45374-y <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;">zeigte, dass Videokonferenzen und Online-Schulungen zu messbar stärkerer Erschöpfung führen als analoge Treffen! Demnach ist bei digitalen Meetings nach 30 Minuten eine Pause einzulegen. # <span style="color:blue;">Eine andere [[https://psycnet.apa.org/fulltext/2024-19786-001.html <span style="color:red;">Studie]] <span style="color:blue;"> ergab, das die Müdigkeit nach zehn Minuten einsetzt und ab 30 Minuten stark ansteigt. ::<span style="color:blue;">'''Also: Studieren Sie so wenig wie möglich in Online-Meetings und so viel wie möglich in Präsenztreffen! Das ist messbar besser für die Aufmerksamkeit.''' </span><br><br> ==<span style="color:grey;">Unterlagen für die asynchrone akademische Lehre== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#D9D9D9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blac;">'''Skripte''' zum asynchronen Lernen</div> * [https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EfA236TxfLpCk_kWc27eoeYBOWYLzfvuh2nE6Nz7NVzR9A?e=rXtbB3 <span style="color:grey;">Das Nugget-Chart] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EVUwGRf1-eNHnyiTkf9IYd0BQbaGdfKX3yG4-HutNCaKMw?e=cpQPdm <span style="color:grey;">St.Galler Management-Modell] * <span style="color:grey;">[https://fhvorarlberg-my.sharepoint.com/:b:/g/personal/wf_fhv_at/EQOExLN2mgpKi7ui6lhr-mYBNc1CnTHIhRs2SqV4bFrTBw?e=CxKgQx <span style="color:grey;">Geschäftsprozessmanagement] ------------ </div> <span style="color:grey;">Asynchrones Lernen meint, ohne Hilfe anderer (Lehr)Personen verfügbare Informations-Materialien zu nutzten, um sich eigenständig neues Wissen anzueignen. Dieser Kompetenzerwerb ist fester Bestandteil eines akademischen Studiums und bereitet auf das "Lebenslange Lernen" vor.<br><br> '''Bereitgestellte Materialien für die asynchrone Lehre:''' # <span style="color:grey;">ein traditioneller Foliensatz im PDF-Format # <span style="color:grey;">Lehrskripte zu verschiedenen Themen # <span style="color:grey;">ein elektronischer Semesterapparat mit eBooks # <span style="color:grey;">diese Wikiversity-Kursseite mit vielen links<br> <span style="color:grey;">'''Literatur:''' * <span style="color:grey;">Konrad, K. (2003): Wege zum selbstgesteuerten Lernen. Vom Konzept zur Umsetzung. In: Pädagogik 5/2003, S. 14 – 17. * <span style="color:grey;">Landwehr, N./Müller, E. (2006): Begleitetes Selbststudium, Bern. ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. ==<big>Themen</big>== geplante Themenfolge, von der nach Bedarf abgewichen derden kann: * <span style="color:blue;"> Einführung * <span style="color:blue;"> Prozessmanagement im Unternehmen * <span style="color:blue;"> Referenzmodelle | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=rGwM7ECpaFw Referenzmodelle] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozesse | podcast: [https://www.youtube.com/watch?v=3b-j3ZsLGKI Geschäftsprozesse] * <span style="color:blue;"> Business Process Management Life Cycle * <span style="color:blue;"> Gestaltung und Dokumentation von Geschäftsprozessen * <span style="color:blue;"> Prozesslandkarte | podcasts: Prozesslandkarte [https://www.youtube.com/watch?v=NerreGedHvA Prozesslandkarte], [https://www.youtube.com/watch?v=Ikuh4vwermQ Prozesslandkarte erstellen] * <span style="color:blue;"> Geschäftsprozessmodell * <span style="color:blue;"> Prozesscontrolling, Methoden der Prozessoptimierung * <span style="color:blue;"> Prozessführung: Performance Indicators<br><br> ==<span style="color:green;">Selbststudium am 13.06.2026== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#29B335;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:green;">richtig zitieren</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:green;"> Das Nugget-Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:green;">Arbeitsblatt zum Chart</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:green;"> Template zur Verschriftlichung</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">Feedback-Bogen] -------------- </div> <span style="color:green;">Im Selbststudium übernehmen die Studierenden die individuelle Verantwortung für das Erringen von eigenen Lernfortschritte. Dies erfordert Disziplin und Selbstmotivation, die im Berufsalltag beim "lebenslangen Lernen" unbedingt benötigt werden. <span style="color:green;">Das in diesem Kurs erforderliche Selbststudiums durchläuft folgende Arbeitsphasen: * <span style="color:green;">die besprochenen Folien des Folienskriptes durcharbeiten * <span style="color:green;">in 5er-Gruppen ein gemeinsames Verständnis des Fachinhaltes erzielen * <span style="color:green;">in der Gruppe ein dazu passendes [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:green;">'''Nugget-Chart'''</span>] <span style="color:green;"> </span> erstellen * <span style="color:green;">das erstellte Gruppen-Chart zum nächsten Treffen in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=764189 <span style="color:green;"> '''diesen Ordner'''] hochgeladen * <span style="color:green;">von jeder teilnehmenden Person des Kurses sind mindestesn 3 Gruppencharts hochzuladen. <br> <span style="color:green;">Wer darüber hinaus Vorarbeiten für seine eigene Seminararbeit ausführen möchte, tut erfahrungsgemäß gut daran * <span style="color:green;">das Gruppen-Chart in einem Text mit 5-Absätzen zu verschriftlichen * <span style="color:green;">abschließend(!) aus dem erstellten Text einen header zu entwicklen und ihn an den Textanfang zu platzieren * <span style="color:green;">die aktuielle Version des Textes mit dem [https://falko-wilms.de/HL/FB_Bogen.pdf <span style="color:green;">'''Feedback-Bogen'''] zu überarbeiten * <span style="color:green;">ein Feedback vom überarbeiteten Text einhzuholen ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#FF0000;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:white;">'''Unterlagen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/Muster.pdf <span style="color:red;"> guter Text </span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|<span style="color:red;"> '''bessere Texte schreiben''']] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> Benotungskriterien</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">'''Template'''] -------------- </div> <span style="color:red;"> Zunächst üben die Studentinnen und Studenten * <span style="color:red;"> in Kleingruppen mehrmals(!) die Erstellung eines Nugget-Charts über das Thema des letzten Treffens * <span style="color:red;"> alleine mehrmals(!) das Verschriftlichen eines erstellten Nugget-Charts mit der Benutzung mindestens einer Eingabe (promt) in mindestens einem KI-Tool <span style="color:red;"> Dann verschriftlichen Studentinnen und Studenten in dem erforderlichen Template mit der Unterstütztung eines KI-Tools und legen ihre individuelle Prüfungsleistung in den ILIAs-Ordner '''Prüfungsleistungen''' ab * <span style="color:red;"> Spätester Abgabetermin: <big>23.06.2026 um 23:59 Uhr Uhr</big><br> <span style="color:red;">'''Voraussetzungen für die Benotung einer Prüfungsleistung:''' *<span style="color:red;"> Die Autorin/der Autor hat ein persönliches Kurslogbuch abgegebenen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit macht die benutzten KI-Tool und deren Promts in einer Liste kenntlich<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit ist rechtzeitig eingetroffen<br> *<span style="color:red;">Die Arbeit trägt im Kopf den Namen der Autorin bzw. des Autors<br> == Siehe auch == {|style="width:80%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozessmodellierung Geschäftsprozessmodellierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozess Prozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesskostenrechnung Prozesskostenrechnung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozesslandkarte Prozesslandkarte] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessoptimierung Prozessoptimierung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessstruktur Prozessstruktur] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Referenzmodell Referenzmodell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertsch%C3%B6pfungsprozess Wertschöpfungsprozess] |} == Empfohlene Fachliteratur == * [https://www.amazon.de/End-End-Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement-Organisationselement-Integrationsinstrument-Managementansatz/dp/370910839X Bergsmann, St. (2012): End-to-End-Geschäftsprozessmanagement, Organisationselement, Integrationsinstrument, Managementansatz, Springer: Wien/New York]; ISBN 978-3709108390 * [https://www.amazon.de/-/en/Marlon-Dumas/dp/3662587351/ref=sr_1_1?crid=3BYRBW6TRL7Z6&keywords=Grundlagen+des+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagements&qid=1674822625&s=books&sprefix=grundlagen+des+gesch%C3%A4ftsprozessmanagements%2Cstripbooks%2C101&sr=1-1 Dumas, M./La Rosa, M./Mendling, J./Reijers, H. A. (2021): Grundlagen des Geschäftsprozessmanagementsagel ]; ISBN 978-3662587355 * [https://www.amazon.de/Andreas-Gadatsch/dp/3658278110/ref=pd_rhf_d_se_s_pd_crcd_sccl_1_2/262-2030807-9113000?pd_rd_w=uCoNA&content-id=amzn1.sym.21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_p=21519b8e-8c1c-443c-9054-a81f31cc7748&pf_rd_r=6HEM33MJ7GWNT1XCE3HX&pd_rd_wg=XKr1h&pd_rd_r=329d1a8b-acf2-4007-be57-ab0f801d3f2a&pd_rd_i=3658278110&psc=1 Gadatsch, A. (2020): Grundkurs Geschäftsprozess-Management. Analyse, Modellierung, Optimierung und Controlling von Prozessen, 9., akt. u. erw. Aufl., SpringerGabler: Wiesbaden]; ISBN 978-3658278113 * [https://www.amazon.de/-/en/Hermann-J-Schmelzer/dp/3446446257/ref=sr_1_1?crid=2X93WCJICAOG7&keywords=Schmelzer%2C+H.+J.%3B+Sesselmann%2C+W.+%282020%29%3A+Gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+Praxis.&qid=1674822854&s=books&sprefix=schmelzer+h.+j.+sesselmann+w.+2020+gesch%C3%A4ftsprozessmanagement+in+der+praxis.+%2Cstripbooks%2C108&sr=1-1 Schmelzer, H. J.; Sesselmann, W. (2020): Geschäftsprozessmanagement in der Praxis. Kunden zufrieden stellen, Produktivität Steigern, Wert erhöhen, 9. vollst. überarb. Aufl., Hanser: München]; ISBN 978-3446446250 [[Kategorie:Fachbereich Betriebswirtschaftslehre]] [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] 2svo1qhowp059igapw6iulsjlzrisi2 106 80515 1078778 1062016 2026-05-06T11:42:43Z Falko Wilms 8588 /* Worum geht es bei der Thematik? */ 1078778 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2025/26</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot "Einführung in die Betriebswirtschaftliche", zu dem dieses Lehrmodul gehört. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHE PODCASTS</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Richtig Lesen </big>'''</div> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> <big>[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV]</big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort >br> Das aktualisierte St. Galler Management-Modell wird auch deshalb in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet: * <span style="color:green;"> vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.<br> ==<span style="color:blue;"><big>'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''</big>== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> ==<big>Selbststudium für BB-Studierende</big>== Die wichtigste Brücke zwischen einem akademischen Studium und dem eigenen lebenslangen Lernen ist die Entwicklung von Selbstlernkompetenzen. Dies sind für das spätere Berufsleben und die persönliche Entwicklung unerlässlich, da das Wissen eine immer kürzere Halbwertszeit hat. Durch Selbststudiums-Zeiten werden die Studierenden zu kompetenten und autonomen Wissens''produzenten''. Neben dem fachinhaltlichen Lernen entwickeln Sie vor allem die Fähigkeit, auf welchem Wege sie selbst optimal lernen.<br><br> '''Die <big>''nebenberuflich''</big> Studierenden werden 2 Selbststudienzeiten durchlaufen''' * am 22.11.25 werden die Themen <span style="color:red;">'''Begriffe und Grundkonzepte''' </span> durchgearbeitet. * am 13.12.25 wird es um <span style="color:red;">'''Koordinationsmechanismen''' </span> gehen. <br> :* '''Aufgabenstellung in diesen Selbststudiums-Zeiten''' :: - Bilden Sie Kleingruppen von 3 - 5 Personen :: - Arbeiten Sie die zu den Themen gehörenden Folien und podcasts aktiv durch :: - Formulieren Sie in der Kleingruppe ein Nugget-Chart über das erarbeitete Themengebiet :::<small>=> Erfahrungsgemäß leisten das Arbeitsblatt und das Template für ein Nugget-Chart hilfreiche Dienste</small> :: - Schreiben Sie einen individuellen 2seitigen Kurslogbuch-Eintrag über jede erarbeitete Thematik :::<small>=> Benutzten Sie bitte das zur Verfügung gestellte Template dafür</small> :: - Laden Sie ein Foto Ihres Gruppen-Charts und die persönlichen Logbuch-Einträge als PDF-Datei in ILIAS hoch <br><br> :* '''Bereitgestellte Unterlagen''' :: 08.11.25: :: Thema "(mentale) Modelle", arbeiten Sie die Folien sowie den podcast "Bedeutung von Modellen" durch und schreiben Sie Ihren persönlichen Logbuch-Eintrag. Laden Sie Ihre Arbeiten bis zum 10.11.25 um 23:59 Uhr im bereitgestellten ILIAS-Ordner hoch. <br> :: 22.11.25: :: Thema "Begriffe und Grundkonzepte" arbeiten Sie die Folien sowie die podcasts "Aufbauorganisation, Ablauforganisation uns Prozessorganisation " durch und schreiben Sie Ihren persönlichen Logbuch-Eintrag. Laden Sie Ihre Arbeiten bis zum 24.11.25 um 23:59 Uhr im bereitgestellten ILIAS-Ordner hoch. <br> :: 13.12.25: :: Thema "Koordinationsmechanismen", arbeiten Sie die Folien sowie den podcast "Koordinationsmechanismen" durch und schreiben Sie Ihren persönlichen Logbuch-Eintrag. Laden Sie Ihre Arbeiten bis zum 15.12.25 23:59 Uhr im bereitgestellten ILIAS-Ordner hoch. <br> :<span style="color:red;"><big>'''UNBEDINGT zu beachten: Eine zu spät abgegebene Arbeit wird als "nicht <small>(pünktlich)</small> abgegeben" bewertet!!'''</big><br><br> ==<big><span style="color:grey;"><small>auf Wunsch der Studierenden:</small> '''Schneller Lesen können'''</big> am 12.12.== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] -------------- </div> Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn: # Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen. # Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind. # Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. # Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis. # Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich. # Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden. # Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen. In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen. '''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.''' Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen: * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI <span style="color:grey;">podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|<span style="color:grey;">besser lesen]] </span> <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie * <span style="color:blue;">die gestellten Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780547<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780540 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780548<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780541 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780550<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780543 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. ==Quellen== [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] fisvbfqqnf8t57x79gcgr0h0ro3sib4 1078779 1078778 2026-05-06T11:42:53Z Falko Wilms 8588 /* Worum geht es bei der Thematik? */ 1078779 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2025/26</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot "Einführung in die Betriebswirtschaftliche", zu dem dieses Lehrmodul gehört. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHE PODCASTS</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Richtig Lesen </big>'''</div> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> <big>[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV]</big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort <br> Das aktualisierte St. Galler Management-Modell wird auch deshalb in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet: * <span style="color:green;"> vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.<br> ==<span style="color:blue;"><big>'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''</big>== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> ==<big>Selbststudium für BB-Studierende</big>== Die wichtigste Brücke zwischen einem akademischen Studium und dem eigenen lebenslangen Lernen ist die Entwicklung von Selbstlernkompetenzen. Dies sind für das spätere Berufsleben und die persönliche Entwicklung unerlässlich, da das Wissen eine immer kürzere Halbwertszeit hat. Durch Selbststudiums-Zeiten werden die Studierenden zu kompetenten und autonomen Wissens''produzenten''. Neben dem fachinhaltlichen Lernen entwickeln Sie vor allem die Fähigkeit, auf welchem Wege sie selbst optimal lernen.<br><br> '''Die <big>''nebenberuflich''</big> Studierenden werden 2 Selbststudienzeiten durchlaufen''' * am 22.11.25 werden die Themen <span style="color:red;">'''Begriffe und Grundkonzepte''' </span> durchgearbeitet. * am 13.12.25 wird es um <span style="color:red;">'''Koordinationsmechanismen''' </span> gehen. <br> :* '''Aufgabenstellung in diesen Selbststudiums-Zeiten''' :: - Bilden Sie Kleingruppen von 3 - 5 Personen :: - Arbeiten Sie die zu den Themen gehörenden Folien und podcasts aktiv durch :: - Formulieren Sie in der Kleingruppe ein Nugget-Chart über das erarbeitete Themengebiet :::<small>=> Erfahrungsgemäß leisten das Arbeitsblatt und das Template für ein Nugget-Chart hilfreiche Dienste</small> :: - Schreiben Sie einen individuellen 2seitigen Kurslogbuch-Eintrag über jede erarbeitete Thematik :::<small>=> Benutzten Sie bitte das zur Verfügung gestellte Template dafür</small> :: - Laden Sie ein Foto Ihres Gruppen-Charts und die persönlichen Logbuch-Einträge als PDF-Datei in ILIAS hoch <br><br> :* '''Bereitgestellte Unterlagen''' :: 08.11.25: :: Thema "(mentale) Modelle", arbeiten Sie die Folien sowie den podcast "Bedeutung von Modellen" durch und schreiben Sie Ihren persönlichen Logbuch-Eintrag. Laden Sie Ihre Arbeiten bis zum 10.11.25 um 23:59 Uhr im bereitgestellten ILIAS-Ordner hoch. <br> :: 22.11.25: :: Thema "Begriffe und Grundkonzepte" arbeiten Sie die Folien sowie die podcasts "Aufbauorganisation, Ablauforganisation uns Prozessorganisation " durch und schreiben Sie Ihren persönlichen Logbuch-Eintrag. Laden Sie Ihre Arbeiten bis zum 24.11.25 um 23:59 Uhr im bereitgestellten ILIAS-Ordner hoch. <br> :: 13.12.25: :: Thema "Koordinationsmechanismen", arbeiten Sie die Folien sowie den podcast "Koordinationsmechanismen" durch und schreiben Sie Ihren persönlichen Logbuch-Eintrag. Laden Sie Ihre Arbeiten bis zum 15.12.25 23:59 Uhr im bereitgestellten ILIAS-Ordner hoch. <br> :<span style="color:red;"><big>'''UNBEDINGT zu beachten: Eine zu spät abgegebene Arbeit wird als "nicht <small>(pünktlich)</small> abgegeben" bewertet!!'''</big><br><br> ==<big><span style="color:grey;"><small>auf Wunsch der Studierenden:</small> '''Schneller Lesen können'''</big> am 12.12.== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] -------------- </div> Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn: # Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen. # Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind. # Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. # Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis. # Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich. # Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden. # Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen. In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen. '''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.''' Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen: * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI <span style="color:grey;">podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|<span style="color:grey;">besser lesen]] </span> <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie * <span style="color:blue;">die gestellten Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780547<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780540 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780548<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780541 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780550<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780543 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. ==Quellen== [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] s7g8qg0t1cnwst6oa32him1dtzzwgp3 1078780 1078779 2026-05-06T11:43:32Z Falko Wilms 8588 /* Worum geht es bei der Thematik? */ 1078780 wikitext text/x-wiki <div id="toc" style="width:100%;float:right;"> </div> </div><br><br><br><br> [[File:FHV-Fachhochschule Vorarlberg logo (2021–).svg|thumb||280px|<center>[http://www.fhv.at URL] '''I''' [http://www.youtube.com/fhvorarlberg youtube] '''I''' [http://www.facebook.com/fhvorarlberg facebook] '''I''' [http://twitter.com/#!/fhvorarlberg twitter]</center>]] </div> __NOTOC__ <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:130%;><span style="color:grey;">Wintersemester 2025/26</span><br><span style="font-size:180%;><span style="color:blue;">'''(systemorientierte) Organisationslehre'''</span></center> <center><span font-weight:bold; font-variant: small-caps; letter-spacing: 3px;"><span style="font-size:120%;><span style="color:grey;">Ein Lehrmodul innerhalb des Kurses "Einführung in die Betriebswirtschaftslehre"</span></center><br> -------------- <br clear="all";> <div id="toc" style="width:25%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Zielgruppe </big>'''</div> Studierende im Studienangebot "Einführung in die Betriebswirtschaftliche", zu dem dieses Lehrmodul gehört. <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> HILFREICHE PODCASTS</big>'''</div> * [http://www.falko-wilms.de/pod/wozu%20podcast_SD.mp4 '''Wozu podcasts?'''] * [https://media.fhv.at/PublicMedia/140310_falko_wikiversity.mp4 '''Podcasts in der FHV'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Hilfreiche Unterlagen </big>'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/quick.pdf Papier für '''Quick Write'''] * [https://falko-wilms.de/HL/quick30.pdf Unterlagen für '''Quick Write 30'''] * [[Falko Wilms/Abstract| '''Abstract''' schreiben]] * [https://falko-wilms.de/HL/Note.pdf '''Notizen'''] * [https://falko-wilms.de/HL/LB.pdf '''Lerntagebuch'''] * [https://falko-wilms.de/HL/Gold.pdf '''Goldkörnchen'''] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Selbststudium</big>'''</div> * [[Benutzer:Falko Wilms/Tipps|'''Tipps für das Studieren''']] * [https://homepages.fhv.at/wf/wissAb/wA.pdf '''wiss. Arbeiten an der FHV'''] * [[Falko_Wilms/wissenschaftliches_Arbeiten|Tipps zum wiss. Arbeiten]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Guidelines_for_Gadgets|<span style="color:red;">'''Einsatz von KI-Tools''']] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe Begriffe] * [[Benutzer:Falko Wilms/Gruppenarbeit|Tipps zur Gruppenarbeit]] * [[Benutzer:Falko Wilms/Flippchart beschriften|Chart lesbar beschriften]] * [[Benutzer:Falko_Wilms/L%C3%B6sungspr%C3%A4sentation|Tipps zur Präsentation einer Lösung]] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big> Richtig Lesen </big>'''</div> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Effektive_Reading effektives lesen] * [https://www.youtube.com/watch?v=G2nPOv4BoV4 häufige Lesefehler (Video)] * [https://www.youtube.com/watch?v=jXbYVHmxsHM effektiver lesen (Video)] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Lexika'''</div> * [http://wirtschaftslexikon.gabler.de/ Gabler Wirkschaftslexikon] * [http://www.wirtschaftslexikon24.net/ Wirtschaftslexikon 24] * [http://www.mein-wirtschaftslexikon.de/ mein Wirtschaftslexikon] * [https://inside.fhv.at/display/bwst/Begriffe FHV-Glossar] <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Suchmaschinen'''</div> '''Semantische Suchmaschinen''': * [http://www.semager.de/ SEMAGER] * [http://www.mnemo.org// MNEMOMAP] * [http://www.wolframalpha.com/ WOLFRAM ALPHA] * [http://www.yippy.com YIPPI] '''Pfadunabhängige Suchmaschinen''' * [http://www.ixquick.com IXQUICK] * [https://www.ecosia.org ECOSIA] -------------- <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<big>Vorsicht vor FAKE NEWS</big></div> *[[Benutzer:Falko_Wilms/Fake News|'''wiki-Seite zum Erkennen von fake news]]''' </div></div></div> __TOC__ <br><br> ==Lehrender== <big>'''Dr. Falko Wilms'''</big> <span style="color:red;"><big>'''|'''</big> <big>[https://www.fhv.at/mitarbeiter/prof-fh-dr-falko-e-p-wilms-13230 homepage] <big>'''|'''</big> [mailto:falko.wilms@fhv.at klick & mail] <big>'''|'''</big> [https://fhv.summon.serialssolutions.com/#!/search?ho=t&fvf=SourceType,Library%20Catalog,f&l=de-DE&q=%22Semesterapparat%2011%22 Semesterapparat an der FHV]</big> <br> ==Worum geht es bei der Thematik?== Auch in der mittelständischen Wirtschaft vom High-Tech-Maschinenbau bis zum Handwerk ist eine Organisation weit mehr als ein Organigramm. Sie ist eine arbeitsteilige Anordnung von Positionen und Schnittstellen und ergeben eine Architektur der (zeitlich/örtlich verteilten) Wertschöpfung. Das Design einer Organisation zielt ab auf eine Balance zwischen Effizienz (Ressourcenschonung) und Effektivität (Wirksamkeit) der Wertschöpfungsarchitektur durch die Gestaltung von Aufgaben und Verantwortlichkeiten. An keiner Stelle sind alle Informationen vereint. Es gelten immer zugleich unterschiedliche (Abteilungs)Logiken. Jede hergeleitete neue Maßnahme hat sich an bereits erfolgten Festlegungen zu orientieren. Deshalb erfolgen Entscheidungen in einer Organisation von Einzelpersonen und Gruppen organisationsweit verteilt. Die Kommunikation in und von Entscheidungen ist folglich der Kern von Organisationen. Wer sie nachvollziehbar gut gestaltet, sichert die Zukunftsfähigkeit am Standort <br> In diesem Zusammenhang wird das aktuelle St. Galler Management-Modell in diesem Lehrangebot benutz, weil es folgende Vorteile bietet: * <span style="color:green;"> vollzeitlich Studierenden wird eine Möglichkeit geboten, über aktuelle Erkenntnisse aus Forschung, Lehre und Praxis gemeinsamen nachzudenken * <span style="color:brown;"> nebenberuflich Studierenden wird es ermöglicht, aus dem eigenen Erfahrungsschatz heraus aktuelle/potentielle erfolgskritische Ereignisse, Entscheidungen und Entwicklungen mitsamt der sich daraus ergebenden Handlungsmöglichkeiten zu bedenken.<br> ==<span style="color:blue;"><big>'''<big>Erkenntnisse aus der Forschung</big>'''</big>== * <span style="color:blue;"> Die aktuelle [https://hochschulforumdigitalisierung.de/einfluss-von-smartphones-auf-aufmerksamkeit/ <span style="color:red;">'''Forschungslage'''] <span style="color:blue;"> bekräftigt, dass bereits die bloße Anwesenheit des Smartphones ablenken kann (Böttger et al., 2023). Auch speziell für Vorlesungssituationen liegen Studien vor, nach denen schon ein sichtbares Smartphone ablenkt, selbst wenn es ausgeschaltet ist (z.B. Mendoza et al., 2018). * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Vorteile von handschriftlichen Notizen: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://cpb-us-w2.wpmucdn.com/sites.udel.edu/dist/6/132/files/2010/11/Psychological-Science-2014-Mueller-0956797614524581-1u0h0yu.pdf <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bewirken handschriftliche Notizen bei gleichem „lernen“ weitaus mehr „verstehen“ als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://www.theatlantic.com/technology/archive/2014/05/to-remember-a-lecture-better-take-notes-by-hand/361478 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> bleiben handschriftliche Notizen inhaltlich länger im Gehirn abrufbar bleiben als digital getippte Dokumente! :* <span style="color:blue;">gemäß [https://psycnet.apa.org/record/2012-27380-001 <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Studie'''] <span style="color:blue;"> ist zu schlussfolgern, dass digital tippende Personen sich schlechter an die formulierten Inhalte erinnerten, weil sie die Hauptpunkte nicht aktiv zusammengefasst und mit eigenen Worten wiedergegeben haben!<br> * <span style="color:blue;">In wissenschaftlichen Studien nachgewiesene Nachteile des Nutzens von KI: :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://slejournal.springeropen.com/articles/10.1186/s40561-024-00316-7?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sinkt die Fähigkeit, eigene Gedankengänge zu entwickeln, kritisch zu prüfen und Probleme selbstständig zu lösen, wenn man sich zu stark auf KI verlässt :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2311.05629?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> sanken beim Erstellen von Texten mit KI die Genauigkeit und das Verständnis im Vergleich zur eigenständigen Texterstellung. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://link.springer.com/article/10.1186/s41239-024-00444-7?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> beeinträchtigt die häufige Nutzung von KI die Erinnerungsleistung. AUßerdem verleitet dies dazu, wichtigen Aufgaben aufzuschieben oder Aufgaben kurzfristig abzuschließen. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://www.livescience.com/technology/artificial-intelligence/ai-chatbots-oversimplify-scientific-studies-and-gloss-over-critical-details-the-newest-models-are-especially-guilty?utm_source=chatgpt.com<span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> ist KI keineswegs fehlerfrei. Daten sind oft fehlerhaft, „halluziniert“ und übersehen wesentliche Kontextdetails. :* <span style="color:blue;"> gemäß [https://arxiv.org/abs/2312.02422?utm_source=chatgpt.com <span style="color:blue;"> dieser <span style="color:red;"> '''Arbeit'''] <span style="color:blue;"> verliert man bei andauernder Nutzung von KI das Vertrauen in die eigenen Fähigkeiten und das Risiko steigt an, bei Nichtverfügbarkeit von KI unsicher zu sein. <br> <span style="color:blue;">'''Daraus folgt für das erfolgreiche Studieren:''' # <span style="color:blue;"> Beim Studieren sollte das Smartphone weggelegt werden und nicht mehr zu sehen sein. # <span style="color:blue;"> Das Erstellen von Notizen sollten möglichst handgeschrieben erstellt werden. # <span style="color:blue;"> KI kann einer wertvolle Hilfe sein, wenn die Eingaben detailliert sind und alle ausgaben kritisch überprüft werden. # <span style="color:blue;"> Lernen/Studieren ist und bleibt ein aktives Erschließen von bislang unbekannten Wissensbestandteilen. Wer dabei Anstregungen vermeidet, kann sich kaum tiefergehendes neues Wissen aneignen und wird auf dem jetzigen Stand des Wissens stehen bleiben. <br> ==Anwesenheitspflicht== Gemäß der ''Prüfungsordnung der Fachhochschule Vorarlberg'' kann die Anwesenheitspflicht für Studierende für einzelne Lehrveranstaltungen durch die Lehrperson vorgeschrieben werden. Für das Lehrmodul „Systemorientierte Organisationslehre“ gilt eine generelle Anwesenheitspflicht mit folgende Regelungen: * In begründeten Ausnahmefällen (z.B. Facharztbesuch, nötige Dienstreise … ) gilt die grundsätzliche Anwesenheitspflicht nicht. * Wird die Summe der Nichtanwesenheit von 20 % der Lehrveranstaltung überschritten, wird vom Kursleiter eine zu erbringende Zusatzleistung festgelegt. * Eine Anwesenheit von weniger als 50% führt in der Regel zu einer negativen Bewertung. <br> ==<span style="color:blue;"><big>'''bearbeitete Themen'''</big>== :<span style="color:blue;">'''Thematik''' <span style="color:grey;">'''=> podcast zum Thema''' * <span style="color:blue;">Einführung [https://www.youtube.com/watch?v=1eGRMZ90HGg <span style="color:grey;"> => Worum es geht] * <span style="color:blue;">Das Spiegelei der BWL [https://www.youtube.com/watch?v=Pm025p-du3E <span style="color:grey;"> => Was Wertschöpfung ist] * <span style="color:blue;">Bedeutung von Modellen [https://www.youtube.com/watch?v=CxHAYoi5ei0 <span style="color:grey;"> => Modelltheorie] * <span style="color:blue;">Das Nugget-Chart <span style="color:red;"><small> <= Vorbereitung auf die Prüfungsleistung</small></span> * <span style="color:blue;">Das Denken in Systemen [https://www.youtube.com/watch?v=wPcL84hKXEk <span style="color:grey;"> => Systemdenken] * <span style="color:blue;">Systemorientiertes Organisationsverständnis [https://www.youtube.com/watch?v=i46UK3XNSK4 <span style="color:grey;"> => Organisation aus Sicht des Systemdenkens] * <span style="color:blue;">Das St.Galler Management-Modell [https://www.youtube.com/watch?v=KmnbEK6YAT4 <span style="color:grey;">=> SGMM 20'''19'''] | [https://www.youtube.com/watch?v=nOSVKUSDuA0 <span style="color:grey;">SGMM 2017] | [https://www.youtube.com/watch?v=gtYXDuiXXqE <span style="color:grey;">SGMM 2015] * <span style="color:blue;">Zentrale Grundbegriffe [https://www.youtube.com/watch?v=YhnpONF8VAU <span style="color:grey;">=> Grundlegende Begriffe] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Aufbauorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=h_PuSDlZQY8 <span style="color:grey;">=> Aufbau-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Ablauforganisation [https://www.youtube.com/watch?v=X7ZwC0EdHeg <span style="color:grey;">=> Ablauf-Organisation] * <span style="color:blue;">Grundkonzepte: Prozessorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=wDRzg-NfKUM <span style="color:grey;">=> Prozess-Organisation] * <span style="color:blue;">Koordinationsmechanismen [https://www.youtube.com/watch?v=-HTasbv266Q <span style="color:grey;">=> grundlegende Logiken]</span> * <span style="color:blue;">Primär- und Sekundärorganisation [https://www.youtube.com/watch?v=9kaCG4QsNXs <span style="color:grey;"> => Primär- & Sekundär-Organisation] * <span style="color:blue;">Neue Organisationsmodelle [https://www.youtube.com/watch?v=Mkb96T2Ibm8 <span style="color:grey;">=> Neue Organisations-Modelle] <br> ==<big>Selbststudium für BB-Studierende</big>== Die wichtigste Brücke zwischen einem akademischen Studium und dem eigenen lebenslangen Lernen ist die Entwicklung von Selbstlernkompetenzen. Dies sind für das spätere Berufsleben und die persönliche Entwicklung unerlässlich, da das Wissen eine immer kürzere Halbwertszeit hat. Durch Selbststudiums-Zeiten werden die Studierenden zu kompetenten und autonomen Wissens''produzenten''. Neben dem fachinhaltlichen Lernen entwickeln Sie vor allem die Fähigkeit, auf welchem Wege sie selbst optimal lernen.<br><br> '''Die <big>''nebenberuflich''</big> Studierenden werden 2 Selbststudienzeiten durchlaufen''' * am 22.11.25 werden die Themen <span style="color:red;">'''Begriffe und Grundkonzepte''' </span> durchgearbeitet. * am 13.12.25 wird es um <span style="color:red;">'''Koordinationsmechanismen''' </span> gehen. <br> :* '''Aufgabenstellung in diesen Selbststudiums-Zeiten''' :: - Bilden Sie Kleingruppen von 3 - 5 Personen :: - Arbeiten Sie die zu den Themen gehörenden Folien und podcasts aktiv durch :: - Formulieren Sie in der Kleingruppe ein Nugget-Chart über das erarbeitete Themengebiet :::<small>=> Erfahrungsgemäß leisten das Arbeitsblatt und das Template für ein Nugget-Chart hilfreiche Dienste</small> :: - Schreiben Sie einen individuellen 2seitigen Kurslogbuch-Eintrag über jede erarbeitete Thematik :::<small>=> Benutzten Sie bitte das zur Verfügung gestellte Template dafür</small> :: - Laden Sie ein Foto Ihres Gruppen-Charts und die persönlichen Logbuch-Einträge als PDF-Datei in ILIAS hoch <br><br> :* '''Bereitgestellte Unterlagen''' :: 08.11.25: :: Thema "(mentale) Modelle", arbeiten Sie die Folien sowie den podcast "Bedeutung von Modellen" durch und schreiben Sie Ihren persönlichen Logbuch-Eintrag. Laden Sie Ihre Arbeiten bis zum 10.11.25 um 23:59 Uhr im bereitgestellten ILIAS-Ordner hoch. <br> :: 22.11.25: :: Thema "Begriffe und Grundkonzepte" arbeiten Sie die Folien sowie die podcasts "Aufbauorganisation, Ablauforganisation uns Prozessorganisation " durch und schreiben Sie Ihren persönlichen Logbuch-Eintrag. Laden Sie Ihre Arbeiten bis zum 24.11.25 um 23:59 Uhr im bereitgestellten ILIAS-Ordner hoch. <br> :: 13.12.25: :: Thema "Koordinationsmechanismen", arbeiten Sie die Folien sowie den podcast "Koordinationsmechanismen" durch und schreiben Sie Ihren persönlichen Logbuch-Eintrag. Laden Sie Ihre Arbeiten bis zum 15.12.25 23:59 Uhr im bereitgestellten ILIAS-Ordner hoch. <br> :<span style="color:red;"><big>'''UNBEDINGT zu beachten: Eine zu spät abgegebene Arbeit wird als "nicht <small>(pünktlich)</small> abgegeben" bewertet!!'''</big><br><br> ==<big><span style="color:grey;"><small>auf Wunsch der Studierenden:</small> '''Schneller Lesen können'''</big> am 12.12.== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">hilfreiches Material'''</div> * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|besser lesen]] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen1.pdf zum wiss. Texte lesen] * [https://falko-wilms.de/HL/lesen2.pdf zum wissenschaftliches Lesen] -------------- </div> Die Fähigkeit, Bücher und Textpassagen zu lesen und zu verstehen ist von zentraler Bedeutung für ein erfolgreiches Studieren, denn: # Um ein Fachgebiet zu erlernen sind oft anspruchsvolle Texte zu lesen. Geübtes Lesen ermöglicht ein besseres Verständnis von Texten sowie das schnellere Erkennen von wesentlichen Aussagen. # Um Informationen wirksam zu verarbeiten sind auch längere Texte mit größeren Mengen an Informationen zu erfassen und zu verarbeiten. Geübtes Lesen ermöglicht es zu erfassen, welche Teile eines Textes besonders bedeutsam sind. # Um die Logik und die Kernaussagen eines Textes zu erkennen ist zu unterscheiden zwischen gemessenen Daten, getätigten Annahmen und vertretenen Meinungen mit deren Begründung. Geübtes Lesen ermöglicht eine vertiefte Analyse von gelesenen Texten. # Geübtes Lesen ermöglicht es, in kurzer Zeit verschiedene Quellen aus unterschiedlichen Perspektiven zu verarbeiten. Dies fördert ein interdisziplinäres Verständnis. # Geübtes Lesen von längeren Texten ermöglicht ein schnelleres Lernen. Dies erleichtert das Bewältigen großer Mengen an Lernstoff erheblich. # Geübtes, schnelles Lesen erweitert erst den passiven und dann den aktiven Wortschatz. Dadurch können Ideen, Gedanken und Argumente klarer ausgedrückt und besser dokumentiert werden. # Um Prüfungen erfolgreich zu bestehen ist ein tiefes Verständnis von einem eingegrenzten Fachgebiet nötig. Geübtes, schnelles Lesen hilft, wesentliche Informationen eines Fachgebietes zu erkennen, das in Texten dokumentierte Wissen zu verinnerlichen. In Zeiten der digitalen Transformation von Wirtschaft und Gesellschaft wird die Fähigkeit zum selbstständigen lebenslangen Lernen immer wichtiger. Dazu ist die Suche, die Beschaffung und die Bewertung von geeigneten Informationen entscheidend. Geübtes Lesen hilft erheblich bei der Abschätzung der Glaubwürdigkeit und der Passgenauigkeit von gefundenen Informationen und ihren Quellen. '''In der Betriebswirtschaft ist es von entscheidender Bedeutung, sich ''schneller'' als die Konkurrenz in neue, bislang unvertraute Themen und Problemstellungen einzuarbeiten. Dazu sind zunehmend und größere Mengen an Informationen zu verarbeiten. Auch deshalb bereitet eine kurze Lehreinheit über das schnellere Lesen die Studierenden der BWL optimal auf diese Anforderung der Praxis vor.''' Grundlegende Inspationen zum geübten Lesen: * [https://www.youtube.com/watch?v=8DaWktih1aI <span style="color:grey;">podcast über schneller Lesen] * [[Benutzer:Falko Wilms/Effektive Reading|<span style="color:grey;">besser lesen]] </span> <br> == Siehe auch == {|style="width:90%" |-style="vertical-align:top;" | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Ablauforganisation Ablauforganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Abteilung_(Organisation) Abteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufbauorganisation Aufbauorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabenanalyse Aufgabenanalyse] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Aufgabensynthese Aufgabensynthese] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Betriebswirtschaftslehre Betriebswirtschaftslehre] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Business_Behaviour Business Behaviour] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Divisionale_Organisation Divisionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Entscheidung Entscheidung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Erfolg Erfolg] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Funktionale_Organisation Funktionale Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Gesch%C3%A4ftsprozess Geschäftsprozess] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Kultur Kultur] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Leitungsspanne Leitungsspanne] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Linienorganisation Linienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Matrixorganisation Matrixorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Modell Modell] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organigramm Organigramm] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisation_(Wirtschaft) Organisation (Wirtschaft)] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Emergentes_Organisations-Netzwerk Organisations-Netzwerk] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationstheorie Organisationstheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organizational_Behavior Organizational Behavior] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationsdiagnose Organisationsdiagnose] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Organisationseinheit Organisationseinheit] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Prozessorganisation Prozessorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Primärorganisation Primärorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sekundärorganisation Sekundärorganisation] | * [https://de.wikipedia.org/wiki/Sensemaking Sensemaking] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Soziales_System Soziales System] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stablinienorganisation Stablinienorganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsabteilung Stabsabteilung] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stabsstelle Stabsstelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stelle_(Organisation) Stelle] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Stellenplan Stellenplan] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemtheorie Systemtheorie] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Systemdenken_%28Systemtheorie%29 Systemdenken] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Team Team] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Tensororganisation Tensororganisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Virtuelle_Organisation Virtuelle Organisation] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wirtschaft Wirtschaft] * [https://de.wikipedia.org/wiki/Wertschöpfung Wertschöpfung] |} . ==Übungen zur eigenständigen Vertiefung des Wissens== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center"><span style="color:blue;">'''Selbsteinschätzung'''</div> <span style="color:blue;">Um die Lernfortschritte einschätzen zu können, sollten Sie * <span style="color:blue;">die gestellten Fragen bearbeiten * <span style="color:blue;">Ihre Antworten mit den Lösungen vergleichen * <span style="color:blue;">Ursachen für erkannte Verständnisschwächen erkunden -------- </span> </div> {| class="wikitable" |- |<center><big>'''Einzelne Themenstellungen'''</big></center>||<center><span style="color:red;"><big>'''Fragbogen'''</big></center>|| <center> <span style="color:green;"><big>'''Antwortbogen'''</big></center> |- |Worum geht es?||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/1_worum.pdf Fragen]</center>|| <center> [https://falko-wilms.de/HL/A/1_worum.pdf Antworten]</center> |- |Systemdenken||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/2_system.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/2_system.pdf Antworten]</center> |- |Das SGMM||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/3_SGMM.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/3_SGMM.pdf Antworten]</center> |- |Logiken von O.-Stukturend||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/7_OD3.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/7_OD3.pdf Antworten]</center> |- |Aufbauorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/9_Auf.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/9_Auf.pdf Antworten]</center> |- |Ablauforganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/10_Ab.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/10_Ab.pdf Antworten]</center> |- |Prozessorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/11_Proz.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/11_Proz.pdf Antworten]</center> |- |Primär- & Sekundärorganisation||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/12_PriSek.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/12_PriSek.pdf Antworten]</center> |- |Neue Ansätze||<center>[https://falko-wilms.de/HL/F/13_Neu.pdf Fragen]</center>|| <center> <span style="color:green;">[https://falko-wilms.de/HL/A/13_Neu.pdf Antworten]</center> |- |} ==Das persönliche Kurslogbuch== <div id="toc" style="width:28%;float:right;"> <div style="background-color:#8FAADC;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''<span style="color:white;">Persönliches Kurslogbuch'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/MeinLogbuch.pdf <span style="color:blue;">Das persönliche Kurslogbuch] * [https://falko-wilms.de/HL/BeispielSeite.pdf <span style="color:blue;">Beispielhafte Musterseite] ----- * [https://falko-wilms.de/HL/Logbuch.docx <span style="color:blue;">Template meines Kurslogbuchs] * [https://falko-wilms.de/HL/LogbuchSeite.docx <span style="color:blue;">Template eines Logbucheintrages] -------------- </div> Das bewusste [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Kurslogbuch <span style="color:blue;"> Führen eines Kurslogbuches</span>] ermöglicht ein tieferes Verständnis der im Kurs behandelten Themen, da regelmäßige Nachbereitungen und Reflexionen des Gelernten angeregt werden. Dies hilft, den Lernstoff auch tiefergehend zu verstehen und schließlich zu verinnerlichen. Ein Grund dafür ist das Erinnern und Wiederholen des Gelernten.<br> Das aktive Führen eines Logbuches ist daher eine Fähigkeit, die für das lebenslange Lernen erhebliche Vorteile bringt. Ob im (digital vermittelten) Selbststudium, in der erfolgreichen Teilnahme an akademischen Kursen, in der Vorbereitung von Abschlussprüfungen oder in im Rahmen von Praxisphasen in Weiterbildungen.<br> Damit die Studierenden ihr persönliches Kurslogbuch erstellen können, wird rechts das Logbuch als Lerninstrument vorgestellt und ein beispielhafter Eintrag gezeigt. Darüber hinaus ein WORD-Template bereitgestellt. Manche Studierende finden es sinnvoll, jeden Eintrag eine neue Datei zu schreiben und am Ende alle Einträge in das Template des Kurslogbuches zu kopieren. Hierfür liegt rechts auch das dazugehörige WORD-Template bereit. <big>'''Abgabetermin für die individuellen Kurslogbücher:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780547<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780540 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> ==<span style="color:blue;"><big> '''Was ist zu tun?'''</big>== <div id="toc" style="width:30%;float:right;"> <div style="background-color:#CBD7F9;border:1px solid #AAAAAA;text-align:center">'''Nugget-Charts erstellen'''</div> * [https://falko-wilms.de/HL/wA.pdf <span style="color:red;">'''richtig zitieren'''</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Falko_Wilms/Sinn_der_Nugget-Charts <span style="color:blue;">Sinn des Nugget-Charts</span>] * [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Verschriftlichung_eines_Nugget-Charts <span style="color:blue;"> '''Das Nugget-Chart'''</span>] * [[Benutzer:Falko Wilms/Texten|'''bessere Texte schreiben''']] * [https://falko-wilms.de/HL/notizBlatt.pdf <span style="color:blue;"> '''Arbeitsblatt zum Chart'''</span>] * [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:blue;"> '''Template zur Verschriftlichung'''</span>] -------------- </div> <span style="color:blue;">Die Studentinnen und Studenten werden in diesem Kurs: * <span style="color:blue;">5er-Gruppen bilden * <span style="color:blue;">jede Gruppe wird zu 5 Themen anhand der Folien und der bereitgestellten podcasts ein Nugget-Chart erstellen mit :* <span style="color:blue;">3 wesentlichen Kerninhalte, das Wichtigste zuerst! :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen bessere Zielerreichungsgrad/Effektivität der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;"> einen daraus abgeleiteten Handlungstipp für einen besseren Wirkungsgrad/Effizienz der Wertschöpfung :* <span style="color:blue;">ein ''Eye Catcher'', der KEINE Überschrift ist Die erstellen 5 Charts Papiere werden mit den Namen der Autorinnen und Autoren versehen. * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden spätestens am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780548<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden spätestens am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780541 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']<br> hineingelegt. Im Coaching können im Verlauf des Kurses die Arbeiten in der Gruppe und die damit erzielten Ergebnisse besprochen werden. <br> ==<span style="color:red;"><big> '''benotete Prüfungsleistung'''</big>== Die Studentinnen und Studenten verschriftlichen mit [https://falko-wilms.de/HL/TemplateX4.docx <span style="color:red;">diesem '''Template'''] </span> ein von ihnen selbst (mit)erstelltes Nugget-Chart und legen ihren individuellen Text in den dazu bereitgestellten ILIAs-Ordner ab. * Die Benotung einer Seminararbeit setzt voraus, dass ein individuelles Kurslogbuch rechtzeitig hochgeladen worden ist. * Die '''Kriterien zur Benotung''' der individuellen Texte sind [https://de.wikiversity.org/wiki/Benutzer:Falko_Wilms/Nugget-Chart#Benotungskriterien_für_ein_Nugget-Chart <span style="color:red;"> '''hier'''</span>] zu finden. * Hier eine wirklich gute [https://falko-wilms.de/HL/ohne.pdf <span style="color:red;">Verschritlichung eines Nugget-Charts]. </span><br>. <big>'''Spätester Abgabetermin der individuellen Seminararbeiten:'''</big> * <span style="color:green;"> für die vollzeitlich Studierenden am '''19.12.2025 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780550<span style="color:green;"> diesen '''ILIAS-Ordner'''] * <span style="color:brown;"> für die nebenberuflich Studierenden am '''22.01.2026 um 23:59 Uhr''' => in [https://ilias.fhv.at/ilias.php?baseClass=ilrepositorygui&ref_id=780543 <span style="color:blue;"> diesen '''ILIAS-Ordner''']. <br> == Fachliteratur == * International Institute of Business Analysis (2017): BABOK v3. Leitfaden zur Business-Analyse BABOK Guide 3.0, Gießen: Götz Schmidt * Rüegg-Stürm, J./Grand, S. (2019): Das St. Galler Management-Modell. Management in einer komplexen Welt, Bern: Haupt * Vahs, D. (2019): Organisation, 10. überarb. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl * Vahs, D./Schäfer-Kunz, J. (2015): Einführung in die Betriebswirtschaftslehre. 7. Aufl., Stuttgart: Schäffer-Poeschl Alle Titel sind in der Bibliothek der FH Vorarlberg vorhanden. ==Quellen== [[Kategorie:Benutzer:Falko Wilms]] [[Kategorie:Öffentliche Wissenschaftler|Wilms, Falko]] [[Kategorie:Fachhochschule Vorarlberg]] czx5xfwkiey5v5o261q3pvdlcsjn7gv 106 99563 1078759 1078585 2026-05-06T09:41:09Z Bert Niehaus 20843 /* Innen- und Außengebiet */ 1078759 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Kette ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Man benötigt für [[Wegintegral|Wegintegrale]] die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über * den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] über die Dreiecksseiten zusammen und * bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen. Daher benötigt man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aus den Begriff der Kette und des Zyklus. == Definition - Kette == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> Kurven in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math>. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\gamma_i</math> eine Kette in <math>\mathbb C</math>. Die Menge aller Ketten in <math>G</math>, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit <math>C(G)</math> bezeichnet. == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> ==Definition - Zykel/Zyklus == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>, mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> als Bildmenge von <math>\Gamma</math>, * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Wegintegral über Ketten/Zyklen == Das Wegintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Zyklus'' bzw. ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> stetig differenzierbare Wege <math>\gamma_k : [a_k,b_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der Wegintegrale wie folgt definiert. :<math> \int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \int_{\gamma_k} f(z) \, dz </math> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] hlz9rp63ao7f844ebd30esncadrs1ay 1078760 1078759 2026-05-06T09:42:26Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078760 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Eine Kette ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Man benötigt für [[Wegintegral|Wegintegrale]] die stetige Differenzierbarkeit des Weges. Integration über * den Rand eines Dreieck setzt man den Weg aus drei [[Konvexkombination|Konvexkombinationen]] über die Dreiecksseiten zusammen und * bei der Integration über den Rand eines Kreisringes aus zwei getrennten geschlossenen Wegen. Daher benötigt man in der [[Kurs:Funktionentheorie|Funktionentheorie]] aus den Begriff der Kette und des Zyklus. == Definition - Kette == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> Kurven in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math>. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\gamma_i</math> eine Kette in <math>\mathbb C</math>. Die Menge aller Ketten in <math>G</math>, die in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe ist, wird mit <math>C(G)</math> bezeichnet. == Definition - Spur eine Kette == Die ''Spur'' einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spuren der einzelnen Kurven <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Spur}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Spur}(\gamma_i) </math></center> ==Definition - Zykel/Zyklus == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>, mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> als Bildmenge von <math>\Gamma</math>, * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Wegintegral über Ketten/Zyklen == Das Wegintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Zyklus'' bzw. ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> stetig differenzierbare Wege <math>\gamma_k : [a_k,b_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der Wegintegrale wie folgt definiert. :<math> \int_\Gamma f(z) \, dz := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \int_{\gamma_k} f(z) \, dz </math> == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kurs:Funktionentheorie/Kette_von_orientierten_Flächen|Kette von orientierten Flächen]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie Kurs:Funktionentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Kette * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=Kurs:Funktionentheorie/Kette&author=Kurs:Funktionentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=Kette&coursetitle=Kurs:Funktionentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; [[Category:Wiki2Reveal]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] isfmvx27b6jswbc2p5x3nvpn02vvd6h 0 156412 1078761 934597 2026-05-06T09:45:01Z Bert Niehaus 20843 /* Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen */ 1078761 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|konvergent]] bezüglich des gewöhnlichen Absolutbetrags. === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_5 = 0{,}_5\!\overline{13} = 0{,}131313\dots_5 </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}_5\!\overline{13} = \tfrac13</math> und <math>\overline{4}_5\!{,}4 = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_5 = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math>\dotsb + 3\cdot 5^3 + 3\cdot 5^1 + 3\cdot 5^{-1} = \dotso 3030_5{,}3 = \overline{30}_5,\!3 = \overline{0_5,\!3} = -\frac{1}{40_\mathrm{dec}} .</math><ref name="komma" /> '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] agkd6q0o1o7a2qidhgp5nwquoqvb8er 1078762 1078761 2026-05-06T09:51:23Z Bert Niehaus 20843 /* Grenzwert der Reihe */ 1078762 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|a_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_5 = 0{,}_5\!\overline{13} = 0{,}131313\dots_5 </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}_5\!\overline{13} = \tfrac13</math> und <math>\overline{4}_5\!{,}4 = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_5 = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math>\dotsb + 3\cdot 5^3 + 3\cdot 5^1 + 3\cdot 5^{-1} = \dotso 3030_5{,}3 = \overline{30}_5,\!3 = \overline{0_5,\!3} = -\frac{1}{40_\mathrm{dec}} .</math><ref name="komma" /> '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 1fuxegq2alcrsdt6as1gb59h0hzhea4 1078763 1078762 2026-05-06T10:03:32Z Bert Niehaus 20843 /* Grenzwert der Reihe */ 1078763 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_5 = 0{,}_5\!\overline{13} = 0{,}131313\dots_5 </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}_5\!\overline{13} = \tfrac13</math> und <math>\overline{4}_5\!{,}4 = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_5 = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math>\dotsb + 3\cdot 5^3 + 3\cdot 5^1 + 3\cdot 5^{-1} = \dotso 3030_5{,}3 = \overline{30}_5,\!3 = \overline{0_5,\!3} = -\frac{1}{40_\mathrm{dec}} .</math><ref name="komma" /> '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] i61dclkqnuntbha5wuar0i2g1jelm4a 1078764 1078763 2026-05-06T10:06:16Z Bert Niehaus 20843 /* Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung */ 1078764 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_5 = 0{,}_5\!\overline{13} = 0{,}131313\dots_5 </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}_5\!\overline{13} = \tfrac13</math> und <math>\overline{4}_5\!{,}4 = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_5 = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math>\dotsb + 3\cdot 5^3 + 3\cdot 5^1 + 3\cdot 5^{-1} = \dotso 3030_5{,}3 = \overline{30}_5,\!3 = \overline{0_5,\!3} = -\frac{1}{40_\mathrm{dec}} .</math><ref name="komma" /> '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] ol15kstcfdxjaanrcbesys2a4iml6df 1078765 1078764 2026-05-06T10:11:57Z Bert Niehaus 20843 /* Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung */ 1078765 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x)^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{(p)} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_5 = 0{,}_5\!\overline{13} = 0{,}131313\dots_5 </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}_5\!\overline{13} = \tfrac13</math> und <math>\overline{4}_5\!{,}4 = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_5 = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math>\dotsb + 3\cdot 5^3 + 3\cdot 5^1 + 3\cdot 5^{-1} = \dotso 3030_5{,}3 = \overline{30}_5,\!3 = \overline{0_5,\!3} = -\frac{1}{40_\mathrm{dec}} .</math><ref name="komma" /> '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] qdbq42q8xlut7gwvyf8d60nmb81tvbq 1078766 1078765 2026-05-06T10:12:11Z Bert Niehaus 20843 /* Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung */ 1078766 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{(p)} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_5 = 0{,}_5\!\overline{13} = 0{,}131313\dots_5 </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}_5\!\overline{13} = \tfrac13</math> und <math>\overline{4}_5\!{,}4 = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_5 = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math>\dotsb + 3\cdot 5^3 + 3\cdot 5^1 + 3\cdot 5^{-1} = \dotso 3030_5{,}3 = \overline{30}_5,\!3 = \overline{0_5,\!3} = -\frac{1}{40_\mathrm{dec}} .</math><ref name="komma" /> '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] sap3ojhjp75my3mh0t04md2z7sn4fhf 1078770 1078766 2026-05-06T10:29:36Z Bert Niehaus 20843 /* Beispiel - periodische Zahlen */ 1078770 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{(p)} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{(3)} = 0,\overline{3}_{(10)} </math> am Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] mhg8h88ega5r9l994y9hs74k9go86s3 1078771 1078770 2026-05-06T10:32:51Z Bert Niehaus 20843 /* Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung */ 1078771 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math>3030{,}3_{(5)} = \dotsb + 0\cdot 3^4 + 3\cdot 5^3 + 3\cdot 5^1 + 3\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \dotso = -\frac{1}{40_{(10)}} .</math><ref name="komma" /> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{(p)} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{(3)} = 0,\overline{3}_{(10)} </math> am Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] h38nzfuwjvsyn2ubqj47bsop2izybeg 1078774 1078771 2026-05-06T11:11:38Z Bert Niehaus 20843 /* Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten */ 1078774 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math>3030{,}3_{(5)} = \dotsb + 0\cdot 3^4 + 3\cdot 5^3 + 3\cdot 5^1 + 3\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \dotso </math><ref name="komma" /> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{(p)} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{(3)} = 0,\overline{3}_{(10)} </math> am Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 5g3ylmea84diijhr9ou81jr4kf1yttm 1078775 1078774 2026-05-06T11:20:07Z Bert Niehaus 20843 /* Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten */ 1078775 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben: : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{(5)} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{(10)} \\ \end{array} </math><ref name="komma" /> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{(p)} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{(3)} = 0,\overline{3}_{(10)} </math> am Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] 3zynk3wjb87h80wiejeeli5tvzjru4o 1078776 1078775 2026-05-06T11:20:31Z Bert Niehaus 20843 /* Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten */ 1078776 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{(5)} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{(10)} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{(p)} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{(3)} = 0,\overline{3}_{(10)} </math> am Man kann aber auch einen Konvergenzbegriff definieren, bei dem die Summen am anderen Ende ins Unendliche verlängert werden, und so Reihen der Form :<math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> erzeugen, wobei <math>k</math> eine beliebige ganze Zahl ist. Auf diese Weise erhalten wir den Körper <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen (in Gegenüberstellung zu den (reellen) Zahlen, die in einem (gewöhnlichen) <math>b</math>-adischen Stellenwertsystem dargestellt sind). Diejenigen <math>p</math>-adischen Zahlen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt, heißen ''ganze <math>p</math>-adische Zahlen.'' '''Bemerkungen''' * (1) Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass endliche Symbolfolgen, die ja in beiden Fällen dieselbe Bedeutung haben, sich in der Notation nicht unterscheiden. * (2) Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\Z_{\{p\}}\; := \; \Z p^{\Z}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \Z\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\Z_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\Q</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\Q</math> wie in <math>\R</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\Z_{\{p\}}</math> approximieren. * (3) Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung '''(1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten).<ref>Konvergenz kann aber nur auf einer der beiden Seiten stattfinden, sodass die Entwicklung auf mindestens einer Seite endlich sein muss.</ref> Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] tt0ewyc9la2q8xpd9ljfkg3ci3zkogy 1078777 1078776 2026-05-06T11:33:58Z Bert Niehaus 20843 /* Periodische - endliche p-adische Entwicklung */ 1078777 wikitext text/x-wiki == Einführung == Für jede [[w:de:Primzahl|Primzahl]] <math>p</math> bilden die '''''p''-adischen Zahlen''' einen Erweiterungskörper <math>\Q_p</math> des [[w:de:Körper (Algebra)|Körpers]] <math>\Q</math> der [[w:de:Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]]; sie wurden 1897 erstmals von [[w:de:Kurt Hensel|Kurt Hensel]] beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der [[w:de:Zahlentheorie|Zahlentheorie]] zu lösen, oftmals unter Verwendung des [[w:de:Lokal-Global-Prinzip (Zahlentheorie)|Lokal-Global-Prinzips]] von [[w:de:Helmut Hasse|Helmut Hasse]], das –&nbsp;vereinfacht gesprochen&nbsp;– aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] <math>\R</math> und über allen <math>\Q_p</math> gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist <math>\Q_p</math> [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]] und erlaubt so die Entwicklung einer <math>p</math>-adischen Analysis analog zur reellen [[w:de:Analysis|Analysis]]. == Motivation == Ist <math>p</math> eine fest gewählte Primzahl, dann kann jede [[w:de:ganze Zahl|ganze Zahl]] in einer <math>p</math>''-adischen Entwicklung'' der Form : <math>\pm\sum_{i=0}^n z_i \cdot p^i</math> geschrieben werden. Man sagt, die Zahl wird zur Basis <math>p</math> in dem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] notiert. === Bezug zu einem Polynom === Der obige Ausdruck hat Ähnlichkeiten mit einem Polynom in <math> p </math>. Allerdings können die Koeffizienten nicht (wie bei einem Polynorm in <math>\mathbb{R}</math> beliebig gewählt werden, sondern nur aus einer Menge von Resten, bei der Division mit Rest durch <math> p </math> entstehen können. === p-Ziffern === Der Ziffernvorrat von einem <math>p</math>-adischen [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]] werden <math>p</math>-Ziffern genannt und die Ziffern <math>z_i</math> sind damit Elemente aus <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> sind. === Binäres Zahlsystem === So ist etwa die '''2-adische''' Entwicklung gerade die Binärdarstellung; zum Beispiel schreibt man: : <math>35 = 1\cdot 2^5 + 0\cdot 2^4 + 0\cdot 2^3 + 0\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 1\cdot 2^0 = 100011_2</math> === Nachkommastellen in p-adischen Zahlsystemen === Die bekannte Verallgemeinerung dieser Beschreibung auf größere Zahlmengen (rationale und reelle) ist die Verallgemeinerung von einer endlichen Summe auf unendliche Summen mit negativen Exponenten von <math>p</math>, d.&nbsp;h. in der folgenden Form: :<math>\pm\sum_{i=-\infty}^{-1} z_i \cdot p^i</math> === Grenzwert der Reihe === Diese Reihen sind [[w:de:Grenzwert (Folge)|absolut konvergent]], da die Ziffern <math>|z_i|</math> durch <math>p</math> nach oben beschränkt sind und mit <math>p > 1</math> auch <math>\tfrac{1}{p}<1 </math> gilt. Dadurch erhält man eine konvergente geometrische Reihe als Majorante der Reihe: === p-adische Zahldarstellungen und Laurent-Reihen === Die p-adischen Zahldarstellung kann man als ein Spezialfall der Auswertung von Laurentreihen betrachten, denn es gilt für eine [[Laurent-Reihe]] mit Entwicklungspunkt <math>x_o</math> folgende Darstellung: :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{+\infty} a_i \cdot (x-x_0)^i </math> Für p-adische Zahldarstellung setzt man für <math>x</math> die Bündelungseinheit ein (z.B. <math>x:=p=10</math> für das Dezimalsystem und <math>x:=p=7</math> für das 7er-System). ==== Entwicklungspunkt der Laurentdarstellung ==== Auch bezogen auf den Entwicklungspunkt ist die p-adische Zahldarstellung ein Spezialfall der [[Laurent-Reihe]], denn als Entwicklungspunkt <math>x_0</math> der Laurentdarstellung wählt man <math>x_0=0</math>. ==== Fortsetzung der Reihe für positive Exponenten ==== Analog zur gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklung oder Polynomen, die man als Potenzreihen umschreibt, kann man diese Reihen als (nach links unendlich fortgesetzte) Ziffernfolge schreiben:<ref name="komma" /> : <math> \begin{array}{rcl} 30{,}4_{(5)} &=& \ldots + 0\cdot 5^2 + 3\cdot 5^1 + 0\cdot 5^0 \underbrace{\,\,\, + \,\,\,}_{,} 4\cdot 5^{-1} + 0\cdot 5^{-2} \ldots\\ &=& 15 + \frac{4}{5} = 15 + \frac{8}{10} = 15,8_{(10)} \\ \end{array} </math> ==== Ganzzahliger Anteil der p-adischen Darstellung ==== Da der ganzzahligen Anteil (d.h. <math>i\geq 0</math>) endlich ist und <math>a_i\in \{0,1,\ldots , p-1\}</math> liegt, müssen ab einer Indexschranke <math>n\in \mathbb{N}_0</math> alle <math>a_i=0</math> sein, sonst liefert die Laurent-Darstellung über <math>f</math> keinen endlichen Wert. :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> ==== Notation - p-adischer Zahlen ==== Mit der Laurententwicklung mit <math>x_0=0</math> und den Ziffern <math>a_i</math> erhält man bzgl. <math>x=p</math> und :<math> f(x) = \sum_{i=-\infty}^{n} a_i \cdot x^i </math> die folgenden Zifferndarstellung :<math> a_n\ldots a_1a_0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots_{(p)} = f(p) </math> === Beispiel - periodische Zahlen === Zum Beispiel ist <math>0{,}\overline{13}_{(5)} = 0{,}\!\overline{13}_{(5)} = 0{,}131313\dots_{(5)} </math><ref name="komma">Es gibt Autoren, die bei periodischen Darstellungen die Basis direkt neben das [[w:de:Trennzeichen|Komma]] auf diejenige Seite setzen, auf der sich die Reihe ins Unendliche fortsetzt, also: <math>0{,}\overline{13} = \tfrac13_{(5)}</math> und <math>\overline{4}{,}4_{(5)} = -\tfrac15 </math> bzw. <math>\overline{4}_{(5)} = -1 </math>.</ref> die 5-adische Darstellung von <math>\tfrac 13</math> zur Basis <math>5</math>. In diesem System sind die ganzen Zahlen genau diejenigen, für die <math>a_i=0</math> für alle <math>i<0</math> gilt. === Endliche p-adische Nachkommastellen === Im Dezimalsystem unterscheidet man folgende Dezimalbruchentwicklungen: * '''endliche''' Dezimalbruchentwicklung, wie z.B. <math>1,59</math> * '''unendliche periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>0,\overline{13}=\tfrac{13}{99}</math> und * '''unendliche nicht-periodische''' Dezimalbruchentwicklungen wie z.B. <math>\pi = 3,141\ldots </math> und ==== Periodische - endliche p-adische Entwicklung ==== Ob in einem <math>p</math>-adischen Zahlsystem eine Zifferndarstellung periodisch oder endlich ist, hängt von dem <math>p</math>. Eine Zahl <math>x</math> kann in einem Zahlsystem eine endliche Zahldarstellungen bzgl. der Nachkommastellen besitzen und einem anderen Zahlsystem hat <math>x</math> eine periodische Zahldarstellung. Beispiel: :<math> \tfrac{1}{3} = 0,1_{(3)} = 0,\overline{3}_{(10)} </math> === Bemerkungen - p-adische System=== Bei den Zahlsystemen hat die Darstellung als eine unendliche Reihe für positive und negative Exponenten hat folgende Vorteile ==== (PAS1) unendliche Laurentdarstellung ==== Die Konvention, die Auslassungspünktchen auf die linke Seite zu setzen, spiegelt zwar die Leserichtung, hat aber den Vorteil, dass bei endliche Symbol- bzw. Ziffernfolgen nicht umständlich immer der höchste Exponent berücksichtigt werden muss, sondern zwei Laurent-Darstellung (unendliche Reihendarstellung für positive und negative Exponenten), sondern zwei p-adische Zahldarstellung einfach komponentenweise addiert werden können. ==== (PAS2) Symbolfolgen als Ring ==== Die endlichen Symbolfolgen bilden einen [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]], und zwar den [[w:de:Stellenwertsystem#endlDarst|Unterring]] <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}\; := \; \mathbb{Z} p^{\mathbb{Z}}</math> von <math>\Q .</math> (Dazu muss <math>p</math> nicht Primzahl sein, es genügt, dass <math>p \in \mathbb{Z}\setminus\{-1,0,1\}</math> ist.)<br /><math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> liegt (wie <math>\mathbb{Q}</math> selbst) [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] sowohl in <math>\mathbb{Q}</math> wie in <math>\mathbb{R}</math>, d.&nbsp;h. eine jede reelle Zahl lässt sich beliebig genau durch Zahlen aus <math>\mathbb{Z}_{\{p\}}</math> approximieren. ==== (PAS3) Zahldarstellung dicht in reellen Zahlen ==== Wird von <math>p</math>-adischen Zahlen oder von einer <math>p</math>-adischen Entwicklung gesprochen, so ist sehr häufig eine Entwicklung im Sinne von '''(PSA1)''' gemeint.<ref name="vdW" /> Gelegentlich wird dies auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis als Suffix (kleines Subskript) ''links'' vom Komma oder am Ende der Zahldarstellung eingefügt wird (so in diesem Artikel);<ref name="komma" /> mit derselben Bedeutung bei fehlendem Komma das Suffix am rechten Ende der Darstellung.<br />Wird dagegen von einer <math>b</math>-adischen Entwicklung gesprochen, ist allermeist (so auch in diesem Artikel) eine Entwicklung '''(0)''' nach dem (gewöhnlichen) Stellenwertsystem gemeint. Häufig wird die Basis direkt benannt, so bei <math>b=10</math> als [[w:de:Dezimalsystem|dek-adisch]], bei <math>b=3</math> als [[w:de:Ternärsystem|tri-adisch]], bei <math>b=2</math> als [[w:de:Dyadisch|dy-adisch]]. Dies wird gelegentlich auch dadurch ausgedrückt, dass die Basis <math>b</math> als Suffix (Index) irgendwo ''rechts'' vom Komma angegeben wird. Die gewöhnliche <math>b</math>-adische Entwicklung besteht also aus Summen, die sich nach rechts hin fortsetzen mit immer kleineren Potenzen (mit negativen Exponenten) von <math>b</math>, und die <math>p</math>-adischen Zahlen haben Entwicklungen, die sich nach links hin fortsetzen mit immer größeren <math>p</math>-Potenzen (mit positiven Exponenten). Mit diesen formalen [[w:de:Laurent-Reihe|Laurent-Reihe]]n in <math>p</math> kann man rechnen wie mit den gewöhnlichen <math>p</math>-adischen Entwicklungen reeller Zahlen: Addition von rechts nach links mit Übertrag, [[w:de:Multiplikation|Multiplikation]] nach Schulmethode. Beachten muss man nur, dass sich Überträge ins Unendliche fortsetzen können, beispielsweise ergibt die Addition von <math>\overline{4}_5 = \dotso 44444_5</math> und <math>1_5</math> die Zahl <math>0_5</math>. Ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] wird nicht gebraucht, da auch alle [[w:de:Inverses Element#Additiv Inverses|additiv Inversen]] –&nbsp;[[w:de:#negativ|negative Zahlen gibt es nicht]]&nbsp;– eine <math>p</math>-adische Darstellung '''(1)''' haben. Des Weiteren lässt sich die [[w:de:Subtraktion|Subtraktion]] nach Schulmethode von rechts nach links durchführen, unter Umständen mit einem unendlich oft auftretenden Rückübertrag (man versuche es bei :<math>0_5-1_5=\dots444_5 = \overline{4}_5</math> Die Division dagegen wird im Gegensatz zur Schulmethode auch von rechts nach links durchgeführt, dadurch wird das Ergebnis nach links fortgesetzt, falls die Division nicht aufgeht. Es bleibt die Frage, ob diese Reihen überhaupt sinnvoll sind, d.&nbsp;h. ob sie in irgendeinem Sinne konvergieren. Zwei Lösungen dafür werden nun vorgestellt. == Konstruktion == === Analytische Konstruktion === Die reellen Zahlen können als [[w:de:Vollständiger Raum|Vervollständigung]] der rationalen Zahlen konstruiert werden, wobei sie als [[w:de:Äquivalenzklasse|Äquivalenzklasse]]n rationaler [[w:de:Cauchy-Folge|Cauchy-Folge]]n aufgefasst werden. Das erlaubt uns zum Beispiel, die Zahl <math>1</math> als <math>1{,}00\dotso</math> oder als <math>0{,}99\dotso</math> zu schreiben, da <math>0{,}\overline 9 = 1</math> in <math>\R</math> gilt. Jedoch hängt bereits die Definition einer Cauchy-Folge von der verwendeten [[w:de:Metrischer Raum|Metrik]] ab, und für eine andere als die übliche euklidische ([[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedische]]) Metrik, die vom Absolutbetrag erzeugt wird, ergeben sich andere Vervollständigungen anstelle der reellen Zahlen. ==== ''p''-adischer Betrag ==== Für eine fest vorgegebene Primzahl <math>p</math> definiert man den '''''p''-adischen Betrag''' auf <math>\Q</math>: Jede rationale Zahl <math>x \neq 0</math> lässt sich in der Form <math>x=\pm \tfrac{a}{b} \; p^n</math> schreiben mit einer eindeutig bestimmten ganzen Zahl <math>n</math> und zwei natürlichen Zahlen <math>a</math> und <math>b</math>, die beide nicht durch <math>p</math> teilbar sind. Der <math>p</math>-adische Betrag wird dann definiert als : <math>|x|_p \,:=p^{-n}</math> und <math>|0|_p\,:=0</math>. Dies ist ein [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|nichtarchimedischer Betrag]]. Zum Beispiel gilt für <math>x=\tfrac{63}{550}=2^{-1}\cdot 3^2\cdot 5^{-2}\cdot 7\cdot 11^{-1}</math>: : <math>|x|_2=2, |x|_3=\tfrac{1}{9}, |x|_5=25, |x|_7=\tfrac{1}{7}, |x|_{11}=11</math> : <math>|x|_p=1</math> für jede andere Primzahl <math>p</math> Im Sinne dieses Betrags <math>|x|_p</math> sind große Potenzen von <math>p</math> betragsmäßig klein. Damit wird auf den <math>p</math>-adischen Zahlen ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]] definiert. ==== Exponentenbewertung ==== Es ist häufig zweckmäßig (und in der Literatur üblich), für nichtarchimedische Bewertungen eine andere Bezeichnungsweise einzuführen. Anstelle des Betragswertes <math>|x|_p</math> wählt man den ''Exponenten'' <math>w(x) := -\log |x|_p</math>. Die Definitionsrelationen der Bewertung lauten in den Exponenten so: # <math>w(x) \in \R</math> für <math>x \in \Q^\times</math>. # <math>w(0) = \infty</math>.<ref>Da jede Potenz von <math>p </math> die 0 teilt, ist wie üblich <math>\infty > r</math> für alle <math>r \in \R </math>.</ref> # <math>w(x\cdot y) = w(x) + w(y)</math>. # <math>w(x+y) \ge \min(w(x),w(y)) </math> . Man spricht von einer ''Exponentenbewertung'', manchmal auch ''[[w:de:Bewertungstheorie#p-Bewertung|''p''-Bewertung]]'', und von einem ''exponentiell bewerteten'' Ring oder Körper. Der Übergang zu den Exponenten wird durch den Umstand ermöglicht, dass wegen der [[w:de:Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper|verschärften Dreiecksungleichung]] eine Addition der Werte <math>|x|_p</math> nicht ausgeführt zu werden braucht. Die Logarithmenbildung kehrt die Anordnung um und verwandelt die Multiplikation in eine Addition.<ref name="vdW">{{Literatur |Autor=[[w:de:Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] |Titel=[[w:de:Algebra|Algebra]], Zweiter Teil |Verlag=Springer-Verlag |Datum=1967 |Kapitel=Bewertete Körper |Seiten=204f}}</ref> Häufig normiert man so, dass <math>w(p) = 1</math> ist für das Primelement <math>p</math>.<ref>So normiert entspricht die Exponentenbewertung der [[w:de:Formale Potenzreihe#Ordnung|Ordnung]] einer [[w:de:Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihe in <math>X </math>]] mit der [[w:de:Unbestimmte|Unbestimmte]]n <math>X </math> als Primelement.</ref> ==== ''p''-adische Metrik ==== Die '''''p''-adische Metrik''' <math>d_p</math> auf <math>\Q</math> definiert man über den Betrag:<ref>[[w:de:#Leutbecher|Leutbecher, 1996]], S. 118 f.</ref> : <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> Damit ist beispielsweise die Folge <math>(1, 5, 5^2, 5^3, 5^4, \dotsc)</math> in <math>\Q</math> bezüglich der 5-adischen Metrik eine Nullfolge, wohingegen die Folge <math>(1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{8}, \dotsc)</math> zwar beschränkt, aber keine Cauchy-Folge, ist, denn für jedes <math>n</math> gilt: : <math>d_5\left(\tfrac{1}{2^n}, \tfrac{1}{2^{n+1}}\right)=\left|\tfrac{1}{2^{n+1}}\right|_5 = 1</math> Die Vervollständigung des metrischen Raums <math>(\Q,d_p)</math> ist der metrische Raum <math>\Q_p</math> der <math>p</math>-adischen Zahlen. Er besteht aus Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen, wobei zwei Cauchy-Folgen äquivalent seien, wenn die Folge ihrer punktweisen <math>p</math>-adischen Abstände eine [[w:de:Nullfolge|Nullfolge]] ist. Auf diese Weise erhält man einen vollständigen metrischen Raum, der außerdem (durch die wohldefinierten komponentenweisen Verknüpfungen der Cauchy-Folgen-Äquivalenzklassen) ein Körper ist, in dem <math>\Q</math> enthalten ist. Da die so definierte Metrik eine [[w:de:Ultrametrik|Ultrametrik]] ist, konvergieren Reihen bereits dann, wenn die Summanden eine Nullfolge bilden. In diesem Körper sind also die oben erwähnten Reihen der Form : <math>\sum_{i=k}^\infty a_i \cdot p^i</math> sofort als konvergent zu erkennen, falls <math>k</math> eine ganze Zahl ist und die <math>a_i</math> in <math>\{0, 1, \dotsc, p-1\}</math> liegen. Man kann zeigen, dass sich jedes Element von <math>\Q_p^*</math> als Grenzwert genau einer solchen Reihe (mit <math>a_k\ne 0</math>) darstellen lässt. === Algebraische Konstruktion === Hier wird zuerst der [[w:de:Ring (Algebra)|Ring]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen definiert, und danach dessen [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] :<math>\Q_p</math>. Wir definieren <math>\Z_p</math> als [[w:de:Limes (Kategorientheorie)|projektiven Limes]] : <math>\Z_p=\varprojlim_{n\in\N} \Z/p^n\Z</math> der [[w:de:Restklassenring|Restklassenring]]e <math>\Z/p^n\Z</math>: Eine ganze <math>p</math>-adische Zahl ist eine Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> von Restklassen aus <math>\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math>, die die ''Verträglichkeitsbedingung'' (des projektiven Limes) : <math>m \ge n \ge 1 \; \Rightarrow \; b_m \equiv b_n \bmod p^n </math> erfüllen. Für jede ganze Zahl <math>m\in\Z</math> ist die (stationäre) Folge <math>\textstyle \left(m+p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> ein Element von <math>\Z_p</math>.<ref>Leutbecher, 1996, S. 117 f.</ref> Wird <math>\Z</math> auf diese Weise in <math>\Z_p</math> [[w:de:Einbettung (Mathematik)|eingebettet]], dann liegt <math>\mathbb{Z}</math> [[w:de:Dichte Teilmenge|dicht]] in <math>\mathbb{Z}_p</math>. Die komponentenweise definierte Addition und Multiplikation sind [[w:de:Wohldefiniertheit|wohldefiniert]], da Addition und Multiplikation ganzer Zahlen mit der Restklassenbildung vertauschbar sind. Damit hat jede <math>p</math>-adische ganze Zahl <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> die additive Inverse <math>\left(-b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>; und jede Zahl, deren erste Komponente <math>b_1+ p\mathbb{Z}</math> &nbsp; nicht &nbsp; <math>0 + p\mathbb{Z}</math> ist, hat eine multiplikative Inverse, denn in dem Fall sind alle <math>b_n</math> zu <math>p^n</math> [[w:de:Teilerfremdheit|teilerfremd]], haben also ein Inverses <math>c_n</math> modulo <math>p^n</math>, und die Folge <math>\textstyle \left(c_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> (welche außerdem die Verträglichkeitsbedingung des projektiven Limes erfüllt) ist dann die Inverse zu <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math>. Jede <math>p</math>-adische Zahl kann auch als Reihe der oben beschriebenen Form '''(1)''' dargestellt werden, dann werden die Komponenten der Folge <math>\textstyle \left(b_n+ p^n\mathbb{Z}\right)_{n\in\N}</math> mithilfe der [[w:de:Partialsumme|Partialsumme]]n : <math>b_n := \sum_{0 \le i < n} a_i \cdot p^i </math> gebildet. Zum Beispiel kann man die <math>3</math>-adische Folge <math>(2, 8, 8, 35, 35, 35, \dotsc)</math> auch als : <math>2+2\cdot 3+0\cdot 3^2+1\cdot 3^3+0\cdot 3^4+0 \cdot 3^5 + \dotsb = \dotso 001022_3 = \overline{0}1022_3</math> schreiben oder in der verkürzten Schreibweise als <math>1022_3</math>. Der Ring <math>\mathbb{Z}_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist [[w:de:nullteiler|nullteilerfrei]], deshalb können wir den [[w:de:Quotientenkörper|Quotientenkörper]] bilden und erhalten <math>\mathbb{Q}_p,</math> den Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen. Jedes von <math>0</math> verschiedene Element dieses Körpers kann man in der Form <math>u p^n</math> darstellen, wobei <math>n</math> eine ganze Zahl und <math>u</math> eine [[Einheit (Mathematik)#Spezialfall: Einheiten in unitären Ringen|Einheit]] in <math>\Z_p</math> ist. Diese Darstellung ist [[w:de:Eineindeutig|(ein)eindeutig]]. Ferner gilt <math>\Q_p = \mathbb{Z}_p \cdot \left\{p^{-n} \mid n\in \mathbb{N} \right\} = \mathbb{Z}_p \cdot p^{-\mathbb{N}} = \mathbb{Z}_p \cdot \mathbb{Q} = \mathbb{Z}_p + \mathbb{Q}.</math> ==== Einheiten ==== Die Menge der Einheiten wird häufig mit : <math>U_p:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid \, |u|_p = 1\} \quad = \quad \mathbb{Z}_p \, \setminus \; p\mathbb{Z}_p </math> bezeichnet und die Menge der ''Einseinheiten'' mit : <math>U_{p,1}:=\{u \in \mathbb{Z}_p \mid u \equiv 1 \text{ mod } p\}= 1+p\mathbb{Z}_p.</math> Beides sind multiplikative Gruppen und es gilt : <math>U_p\cong \mathbb{F}_{\!p}^{\,*} \times U_{p,1}</math> mit <math>\mathbb{F}_{\!p} </math> als dem Zeichen für den [[w:de:Endlicher Körper|endlichen Körper mit <math>p </math> Elementen]] (Restklassenkörper) und <math>\times </math> als dem Zeichen für das [[w:de:Direktes Produkt|direkte Produkt]]. == Eigenschaften == * Die Menge <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen (und damit die Menge <math>\Q_p</math> der {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen) ist [[w:de:überabzählbar|überabzählbar]]. Das bedeutet, dass es nicht-rationale und nicht-algebraische, also [[w:de:transzendente Zahl|transzendente Zahl]]en in <math>\Z_p</math> gibt. * Die einzigen rationalen Zahlen <math>\in \Q</math>, die ganze <math>p</math>-adische Zahlen <math>\in \Z_p</math> für jede Primzahl <math>p</math> sind, sind die ganzen Zahlen <math>\in \Z</math>. * <math>\Q_p</math> ist ein [[w:de:vollständiger Körper|vollständiger Körper]]. * Der Körper der <math>p</math>-adischen Zahlen <math>\Q_p</math> enthält <math>\Q</math> und hat deshalb [[w:de:Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]]&nbsp;<math>0</math>, kann aber nicht [[w:de:Geordneter Körper|angeordnet]] werden. * Der [[w:de:Topologischer Raum|topologische Raum]] <math>\Z_p</math> der ganzen <math>p</math>-adischen Zahlen ist ein [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]]er [[w:de:kompakter Raum|kompakter Raum]], der Raum aller {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen ist [[w:de:Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] und total unzusammenhängend. Als metrische Räume sind beide [[w:de:Vollständiger Raum|vollständig]]. * Die [[w:de:Primelement|Primelement]]e von <math>\Z_p</math> sind genau die zur Zahl <math>p</math> [[w:de:Assoziierte Elemente|assoziierten Elemente]]. Dies sind auch genau die Elemente, deren Betrag gleich <math>|p| = 1/p</math> ist; dieser Betrag ist der größte in <math>\Q_p</math> vorkommende Betrag, der kleiner als <math>1</math> ist. Die Primelemente von [[w:de:Körpererweiterung|endlichen Erweiterungen]] von <math>\Q_p</math> sind Teiler von <math>p</math>. * <math>\Z_p</math> ist ein [[w:de:lokaler Ring|lokaler Ring]], genauer ein [[w:de:diskreter Bewertungsring|diskreter Bewertungsring]]. Sein [[w:de:maximales Ideal|maximales Ideal]] <math>\mathfrak{m} = p\Z_p</math> wird von <math>p</math> (oder einem beliebigen anderen Primelement) erzeugt. * Der [[w:de:Restklassenkörper|Restklassenkörper]] von <math>\Z_p</math> ist <math>\Z_p/\mathfrak{m} = \Z/p\Z=\mathbb{F}_p,</math> der [[w:de:Endlicher Körper|endliche Körper]] mit <math>p</math> Elementen. * <math>\Q_p</math> (und <math>\Z_p</math>) enthält die {{nowrap|<math>(p-1)</math>-ten}} [[w:de:Einheitswurzel|Einheitswurzel]]n (s. [[w:de:henselsches Lemma|henselsches Lemma]]). Für <math>p>2</math> sind das alle Einheitswurzeln; ihre Gruppe ist isomorph zu <math>\mathbb{F}_p^*.</math> Für <math>p=2</math> kommt noch die Einheitswurzel <math>-1\in\Z_2</math> hinzu. * Ist <math>\zeta</math> eine primitive {{nowrap|<math>(p-1)</math>-te}} Einheitswurzel in <math>\Z_p,</math> dann ist <math>F:=\{\zeta^\nu \mid \nu\in\Z \wedge 0\le \nu < p-1\} \cup \{0\}</math> ein [[w:de:Monoid|Monoid]] und für <math>p>2</math> als Ziffernsystem eine Alternative zu dem in '''(1)''' verwendeten System <math>\{a\in\Z \mid 0\le a < p\}.</math> Zu jedem <math>x\in\Q_p^*</math> gibt es <math>k\in\Z</math> und <math>\epsilon_i\in F</math> mit <math>\epsilon_k \ne 0</math> und *: <math>x=\sum_{i=k}^\infty \epsilon_i\cdot p^i</math>. : Alle Ergebnisse sind eindeutig, <math>k</math> ist dasselbe wie in '''(1)'''.<br /><math>F</math> wird das System der [[w:de:Oswald Teichmüller|Teichmüller-Repräsentanten]] genannt. * Die [[w:de:Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] haben nur eine einzige echte algebraische Erweiterung, den Körper der [[w:de:Komplexe Zahlen|komplexen Zahlen]], der bereits durch [[w:de:Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]] einer [[w:de:Quadratwurzel|Quadratwurzel]] (<math>\sqrt {-1}</math>) entsteht und [[w:de:algebraisch abgeschlossen|algebraisch abgeschlossen]] ist. Im Gegensatz dazu hat der [[w:de:Algebraischer Abschluss|algebraische Abschluss]] von <math>\Q_p</math> einen unendlichen Erweiterungsgrad. <math>\Q_p</math> hat also unendlich viele inäquivalente algebraische Erweiterungen. * Die Metrik auf <math>\Q_p</math> lässt sich zu einer Metrik auf dem algebraischen Abschluss fortsetzen, allerdings ist diese dann nicht mehr vollständig. Die Vervollständigung des algebraischen Abschlusses bezüglich dieser Metrik führt zum Körper <math>\Complex_p,</math> der bezüglich seiner Analysis etwa den komplexen Zahlen entspricht. Der Körper <math>\Complex_p</math> ist nun sowohl algebraisch abgeschlossen als auch vollständig. Er ist sogar algebraisch mit Hilfe des [[w:de:Auswahlaxiom|Auswahlaxiom]]s isomorph zu den komplexen Zahlen. Dieser Isomorphismus respektiert natürlich nicht die Metrik. == Unterschiede zu den archimedischen Systemen == Abgesehen von der anderen Konvergenz der <math>p</math>-adischen Metrik gegenüber der unter „[[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]“ beschriebenen [[w:de:Betragsfunktion#nichtarchimedisch|archimedischen]] Metrik gibt es weitere (daraus folgende) Unterschiede: * Basen *# Die Basen der <math>p</math>-adischen Darstellung '''(1)''' sind allermeist [[w:de:Primzahl|Primzahl]]en oder wenigstens [[w:de:Primelement|Primelement]]e. Bei zusammengesetzten ganzen Zahlen als Basen gibt es Nullteiler.<ref>Ein Beispiel ist in [[w:de:Proendliche Zahl#10-adische Zahlen|Proendliche Zahl#10-adische Zahlen]] angegeben.<br />Aber genau genommen muss man auch im nicht-archimedischen Fall zwischen der Basis <math>p</math> der Expansion '''(1)''' und der den Ring <math>\Z_p</math> definierenden Primzahl <math>p</math> unterscheiden. So kann bspw. im Ring <math>\Z_2</math> die Zahl <math>10</math> als Basis und die Menge <math>\{0,5\}</math> als Ziffernvorrat genommen werden. (Man beachte dabei, dass <math>5</math> eine Einheit in <math>\Z_2</math> ist, also sowohl das Primelement <math>10 = 2\cdot 5</math> als Basis wie <math>5</math> als von <math>0</math> verschiedene Ziffer zulässig ist.) Dann ist :<math>x := \sum_{i=0}^\infty a_i 10^i</math> mit <math> a_0=0, a_1=5, a_2=0, a_3=0, a_4=5, a_5=0, a_6=0, a_7=5, a_8=0, a_9=0, ..., </math> also :<math>x = \ldots 55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_{10}</math> eine in <math>\Z_2</math> konvergente proendliche Zahl mit dem Grenzwert 2. Nicht besonders schwer zu verifizieren ist, dass :<math>(50050050_\mathrm{dec}-2) = 2^{10}\cdot 48877_\mathrm{dec}</math> oder :<math>(55050005005505005050000055555050505505550505550050005550050050050_\mathrm{dec}-2)</math> :<math>=2^{66}\cdot 746066687778830249429827248988364569764533207_\mathrm{dec}</math> ist.</ref> Um nicht die Assoziation eines Körpers zu wecken, wird die Schreibweise <math>\Q_{10}</math> vermieden und stattdessen <math>\Q_2 \!\! \times \! \Q_5</math> verwendet. Gleichwohl ist <math>\Z_{10} = \Z_2 \!\! \times \! \Z_5</math> ein Ring, wenn auch nicht ein [[w:de:Integritätsbereich|Integritätsbereich]].<br />Sind <math>p \ne q</math> zwei verschiedene Primzahlen, dann ist <math>\Q_p \ne \Q_q</math>, obwohl <math>\Q \subset \Q_p \cap \Q_q</math>.<ref>Ferner können irrational-algebraische Zahlen in den Körpern völlig verschieden aussehen. Beispielsweise ist <math>\sqrt{41} \not\in \Q_3</math>, aber <math>\Q_2 \ni \sqrt{41} \in \Q_5</math> und die 2-adische Entwicklung ist<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{101001_2} \; \underset{\Q_2}= \; \ldots 11001101_2 = (1, 5, 13, 17, 205, \ldots)_\mathrm{dec}</math>,<br />wogegen die 5-adische<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} = \sqrt{131_5}\; \; \; \; \; \; \underset{\Q_5}= \; \ldots 32434204_5 = (4, 54, 554, 2429, \ldots)_\mathrm{dec}</math><br />ist. Die zwei Entwicklungen lassen sich (wie immer) mit dem [[w:de:Chinesischer Restsatz|chinesischen Restsatz]] zu<br />&nbsp; &nbsp; <math>\sqrt{41} \; \underset{\Z_{10}}= \; \ldots 26452429_\mathrm{dec}</math><br />vereinigen. Weitere Primzahlen mit <math>\sqrt{41} \in \Q_p</math> sind <math>p=23, 31, 37, 43, 59, \ldots</math> (siehe auch [http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#root Gérard P. Michon: Solving algebraic equations]).</ref> *# Dagegen kann bei den reellen Zahlen jede ganze Zahl <math>b\in\Z \setminus \{-1,0,1\}</math> die Rolle der Basis spielen, und es gibt Algorithmen zur Umwandlung der Darstellung einer reellen Zahl von einer Basis in die jeder anderen zulässigen Basis. * Eindeutigkeit *# Die (kanonische) {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Darstellung einer Zahl in <math>\Q_p</math> als unendliche Summe '''(1)''' ist eineindeutig. *# Dagegen gibt es zu jeder Basis eines [[w:de:Stellenwertsystem|Stellenwertsystem]]s der reellen Zahlen [[w:de:Rationale Zahlen|Brüche]], für die es [[w:de:Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung|zwei Darstellungen]] als unendliche Summe gibt, wie beim dezimalen<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>1 =0{,}999\dotso =0{,}\overline 9</math><br /> oder beim [[w:de:Ternärsystem#Balanciert|balanciert ternären]]<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>\tfrac12 = 0{,}111\dotso_{\mathrm{bal}3} = 0{,}\overline{1}_{\mathrm{bal}3}= 1{,}\mathrm{TTT}\dotso_{\mathrm{bal}3} = 1{,}\overline{\mathrm{T}}_{\mathrm{bal}3}</math>.<ref>[http://www.maths.gla.ac.uk/~ajb/dvi-ps/padicnotes.pdf maths.gla.ac.uk] (PDF) S. 26</ref> * Die Darstellung von <math>-1</math> im kanonischen Format '''(1)''' ist<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>-1 = \sum_{i=0}^\infty (p-1) \cdot p^i = \overline {p-1}_p</math>. * Da für alle Primzahlen <math>p</math> die Zahl <math>-1</math> in <math>\Q_p</math> als [[w:de:Henselsches Lemma#Beispiele|Summe von Quadraten]] dargestellt werden kann, kann <math>\Q_p</math> nicht [[w:de:Geordneter Körper#Eigenschaften|angeordnet]] werden.<br />{{Anker|negativ}}Demzufolge gibt es auch keine „negativen“ {{nowrap|<math>p</math>-adischen}} Zahlen, und ein [[w:de:Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] zur Kennzeichnung negativer Zahlkonstanten wie bei den reellen Zahlen wird nicht benötigt. {| class="wikitable" |+ Beispiele für die ersten 11 Primzahlen |- ! <math>p</math> !! Radikand !! Quadratwurzel <math>p</math>-adisch !! Quadratsumme |- | 2 || −7 || <math>\sqrt{-7} = 1 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^4 + \dotsm </math> || <math>1^2 + 1^2 +</math><br /><math>2^2 + \sqrt{-7}^2 = -1 </math> |- | 3 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 1 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 5 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 2 + 1\cdot 5 + 2\cdot 5^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 7 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 3 + 2\cdot 7 + 6\cdot 7^2 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math> 2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 11 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 3 + 9\cdot 11 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 13 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 5 + 5\cdot 13 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 17 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 4 + 2\cdot 17 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 19 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 6 + 3\cdot 19 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 23 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 8 + 7\cdot 23 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 29 || −1 || <math>\sqrt{-1} = 12 + 1\cdot 29 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>\sqrt{-1}^2 = -1 </math> |- | 31 || −26 || <math>\sqrt{-26} = 6 + 5\cdot 31 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>5^2 + \sqrt{-26}^2 = -1 </math> |- | <math>\vdots</math> || || || |- | 47 || −5 || <math>\sqrt{-5} = 18 + 22\cdot 47 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>2^2 + \sqrt{-5}^2 = -1 </math> |- | 59 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 23 + 37\cdot 59 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 67 || −2 || <math>\sqrt{-2} = 20 + 30\cdot 67 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>1^2 + \sqrt{-2}^2 = -1 </math> |- | 71 || −65 || <math>\sqrt{-65} = 19 + 26\cdot 71 + \dotsm </math> ||style="text-align:right;"| <math>8^2 + \sqrt{-65}^2 = -1 </math> |} : Bemerkungen: :# Bei dieser Vorgehensweise müssen die Quadrate der Wurzeln <math>\in \Q_{<0}</math> sein. Dann können die Wurzeln selbst nicht <math>\in \Q</math> sein – und keine periodische <math>p</math>-adische Entwicklung haben. :# Für <math>p \equiv 1 \bmod 4</math> ist <math>\sqrt{-1} \in \Z_p .</math> :# Bei den Primzahlen <math>p \equiv -1 \bmod 4</math> kommt man mit 2 Summanden aus. * Grundrechenarten *# Die [[w:de:Algorithmus|Algorithmen]] z.&nbsp;B. für die [[w:de:Grundrechenart|Grundrechenart]]en (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) laufen alle vom Endlichen (rechts) ins potentiell Unendliche (links). [[w:de:Übertrag|Überträge]] wirken in dieselbe (aufsteigende) Richtung zur linken Nachbarstelle.<br />Wird die Rechnung abgebrochen, kann man sofort die Größe des Fehlers angeben.<br />Der Divisionsalgorithmus ist etwas einfacher als im archimedischen Fall, denn die nächste Stelle des Quotienten lässt sich durch eine Multiplikation gewinnen.<ref>[http://www.numericana.com/answer/p-adic.htm#division Gérard P. Michon: Dividing two p-adic numbers]</ref> *# Bei Addition, Subtraktion und Multiplikation in den reellen Stellenwertsystemen kann man bei abbrechenden Darstellungen ebenfalls bei den niedrigen Potenzen beginnen und zu höheren Potenzen fortschreitend die Überträge einarbeiten.<br />Will man jedoch (bspw. bei [[w:de:Irrationale Zahl|irrationalen Zahlen]]) im Endlichen (links bei den hohen Potenzen) beginnen und zu kleinen Potenzen (d.&nbsp;h. zu großer Genauigkeit) fortschreiten, dann wirken die Überträge in die Gegenrichtung und es ist eine Fehlerabschätzung für das Sicherstellen der Richtigkeit der auszuwerfenden Ziffer erforderlich. * Bewertungsring *# Eine nichtarchimedische Metrik <math>d_p</math> definiert zu jedem <math>\varepsilon \in \R^+</math> eine Äquivalenzrelation<br /> &nbsp; &nbsp; &nbsp; <math>x \sim y \quad :\Longleftrightarrow \quad d_p(x,y) \leq \varepsilon</math>.<br />Für <math>\varepsilon = 1</math> und <math>y=0</math> erhält man so einen [[w:de:Bewertungstheorie|Bewertungsring]], wie <math>\Z_p</math> einer ist, der für <math>x\neq 0</math> immer wenigstens eines, <math>x</math> oder <math>x^{-1}</math>, enthält, aber nicht den ganzen Körper darstellt. *# Bei den archimedischen Systemen gibt es nichts Vergleichbares. * Topologie *# Topologisch sind die <math>\Z_p</math> [[w:de:Kompakter Raum|kompakt]] und [[w:de:total unzusammenhängend|total unzusammenhängend]], die <math>\Q_p</math> [[w:de:lokal kompakt|lokal kompakt]] und total unzusammenhängend. *# <math>\R</math> ist lokal kompakt und [[w:de:einfach zusammenhängend|einfach zusammenhängend]]. == ''p''-adische Funktionentheorie == Die [[w:de:Potenzreihe|Potenzreihe]] : <math>\exp(x) := \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}</math> der [[w:de:Exponentialfunktion#Konvergenz der Reihe, Stetigkeit|''Exponentialfunktion'']] hat ihre Koeffizienten in <math>\Q_p</math>. Sie konvergiert für alle <math>x\in\Q_p</math> mit <math>|x|_p<p^{ \frac{-1}{p-1} }</math>.<ref name="4.33">[[w:de:#Baker|Baker, 2007]], Theorem 4.33.</ref> Dieser [[w:de:Konvergenzradius|Konvergenzradius]] gilt für alle algebraischen Erweiterungen von <math>\Q_p</math> und deren Vervollständigungen, einschließlich <math>\Complex_p.</math> Damit liegt <math>\exp(p)</math> in <math>\Q_p</math> für alle <math>p>2</math>; in <math>\Q_2</math> liegt <math>\exp(4)</math>. Es gibt algebraische Erweiterungen von <math>\Q_p</math>, in denen die <math>p</math>-te Wurzel von <math>\exp(p)</math> bzw. die vierte Wurzel von <math>\exp(4)</math> liegt; diese Wurzeln könnte man als {{nowrap|<math>p</math>-adische}} Entsprechungen der [[w:de:Eulersche Zahl|Eulerschen Zahl]] auffassen. Diese Zahlen haben aber mit der reellen Eulerschen Zahl <math>e = \exp(1) = 2{,}718\ldots</math> wenig zu tun. Die Potenzreihe : <math>\log(1+y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} y^n}{n}</math> für den [[w:de:Logarithmus#Als Potenzreihe|''Logarithmus'']] konvergiert für <math>|y|_p<1 </math>.<ref name="4.33" /> In den Konvergenzgebieten gilt : <math>\log\circ\exp = \text{id}</math> und : <math>\exp\circ\log = \text{id}</math>. Dort gelten auch die aus der reellen und [[w:de:Funktionentheorie|komplexen Analysis]] bekannten [[w:de:Funktionalgleichung|Funktionalgleichung]]en.<ref name="4.33" /> Funktionen von <math>\R</math> nach <math>\R</math> mit [[w:de:Differentialrechnung|Ableitung]] <math>0</math> sind konstant. Für Funktionen von <math>\Q_p</math> nach <math>\Q_p</math> gilt dieser Satz nicht; zum Beispiel hat die Funktion : <math>f\colon \Q_p\to\Q_p, \; x\mapsto \left( \frac{1}{|x|_p} \right)^2</math> für <math>x\neq 0</math>, <math>f(0) = 0</math> auf ganz <math>\Q_p</math> die Ableitung <math>0</math>, ist aber nicht einmal [[w:de:Lokal konstante Funktion|lokal konstant]] in <math>0</math>. Dabei ist die Ableitung analog zum reellen Fall über den Grenzwert der Differenzenquotienten definiert, und die Ableitung in <math>0</math> ist : <math>\lim_{h\to 0}\left|\frac{1}{h} \left( \frac{1}{|h|_p} \right)^2\right|_p = \lim_{h\to 0}|h|_p = 0</math>. == Approximationssatz == Sind <math>r_\infty, r_2, r_3, r_5, r_7, \dotsc</math> Elemente von <math>\Q_\infty (:=\R), \Q_2, \Q_3, \Q_5, \Q_7, \dotsc</math>, dann gibt es eine Folge <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q</math>, sodass für jedes <math>p</math> (einschließlich <math>\infty</math>) <math>r_p</math> der Grenzwert von <math>(x_{\nu})</math> in <math>\Q_p</math> unter <math>|\cdot|_p</math> ist. (Diese Aussage wird manchmal Näherungssatz oder Approximationssatz genannt.) == Siehe auch == * [[w:de:Proendliche Zahl|Proendliche Zahl]] * [[w:de:Volkenborn-Integral|Volkenborn-Integral]] == Literatur == * {{Anker|Leutbecher}}Armin Leutbecher: ''Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.'' Springer, Berlin u.&nbsp;a. 1996, ISBN 3-540-58791-8, S.&nbsp;116–130. * {{Anker|Baker}}Andrew Baker: [http://tomlr.free.fr/Math%E9matiques/Math%20Complete/Analysis/Introduction%20To%20p-adic%20Numbers%20and%20p-adic%20Analysis%20-%20A.%20Baker.pdf ''An Introduction to ''p''-adic Numbers and ''p''-adic Analysis''.] (PDF; 0,3&nbsp;MB) Online-Vorlesung, 2007. == Weblinks == {{Wikibooks|Beweisarchiv: Zahlentheorie: Elementare Zahlentheorie: Vollständige Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung|Beweis der Vollständigen Multiplikativität der p-adischen Exponentenbewertung}} * Jörn Steuding: [https://www.uni-marburg.de/de/fb12/fachbereich/profil/geschichte-des-fachbereichs/biographisches/hensel_p_adischen_zahlen.pdf ''Die p-adischen Zahlen''.] (PDF; 1,8&nbsp;MB) == Einzelnachweise und Anmerkungen == <references /> [[Kategorie:Algebraische Zahlentheorie]] == Seiteninformation == Diese Lernresource können Sie als '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Foliensatz]''' darstellen. === Wiki2Reveal === Dieser '''[https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/wiki2reveal.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal Foliensatz]''' wurde für den Lerneinheit '''[https://de.wikiversity.org/wiki/Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Einführung - Zahlentheorie]'''' erstellt der Link für die [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal-Folien]] wurde mit dem [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/ Wiki2Reveal-Linkgenerator] erstellt. <!-- * Die Inhalte der Seite basieren auf den folgenden Inhalten: ** [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme] --> * [https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme Die Seite] wurde als Dokumententyp [https://de.wikiversity.org/wiki/PanDocElectron-Presentation PanDocElectron-SLIDE] erstellt. * Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/p-adische%20Zahlsysteme * siehe auch weitere Informationen zu [[v:en:Wiki2Reveal|Wiki2Reveal]] und unter [https://niebert.github.io/Wiki2Reveal/index.html?domain=wikiversity&title=p-adische%20Zahlsysteme&author=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie&language=de&audioslide=yes&shorttitle=p-adische%20Zahlsysteme&coursetitle=Einf%C3%BChrung%20-%20Zahlentheorie Wiki2Reveal-Linkgenerator]. <!-- * Nächster Inhalt des Kurses ist [[]] -->; === Wikipedia2Wikiversity === Diese Seite wurde auf Basis der folgenden [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl Wikipedia-Quelle] erstellt: * [https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl p-adische Zahl] https://de.wikipedia.org/wiki/p-adische%20Zahl * Datum: 26.1.2024 * [https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity Wikipedia2Wikiversity-Konverter]: https://niebert.github.com/Wikipedia2Wikiversity [[Category:Wiki2Reveal]] ks92lmq2tjxuc6tfq1dht5ow4f79zzz 0 170299 1078748 1078636 2026-05-05T13:27:02Z Bocardodarapti 2041 1078748 wikitext text/x-wiki {{ Relationskette/display | x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| y+1 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 y || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. Bei {{ Relationskette | v || 0 || || || |SZ= }} muss {{ Relationskette/display | x || 0, \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} sein. Da ist die zweite Gleichung automatisch erfüllt. Die dritte Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| -x^2 +3 |}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || 0 || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || 3 || || || |SZ=, }} also {{ Relationskette/display | w || \pm \sqrt{3} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x || \pm \sqrt{2} || || || |SZ= }} wird dies zu {{ Relationskette/display | w^2 || \pm \sqrt{2} w + 1 || || || |SZ=, }} mit zwei Lösungen. Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. Bei {{ Relationskette | x || 0,1 || || || |SZ= }} wird III direkt zu {{ Relationskette/display | w^2 || 0 || || || |SZ= }} und II ist erfüllt. Die erste Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | -3 || y^3 + 6y^2 + 9 y || || || |SZ=, }} was den drei Urbildpunkten entspricht. Mit {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || w {{op:Bruch|- w + x {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w^3 || 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w + x {{makl| x^2-1 |}}^3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2 - {{op:Bruch| w^3 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^3 +6 w^2 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 +9 w {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}} {{makl| x^2-1 |}}^4 | {{makl| x^2-1 |}}^6 }} || || || |SZ=. }} Oder Schreibe {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} || || || |SZ=. }} Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch(| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1) | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch| x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1)^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 (y+1)^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 y^2 +2x^2y +x^2 -x^4y+x^2y^2 +4x^2y-x^4 +3x^2 + x^4y +y^3 + 9y -2x^2y^2 -6 x^2y + 6y^2|}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| 4x^2 -x^4 +y^3 + 6y^2+ 9y |}} |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 III || {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^4 - 4x^2 -y^3 - 6y^2- 9y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 I |SZ=. }} Man erhält eine Matrixgleichung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| II | I }} || {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch|vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Spaltenvektor| II | III }} || || || |SZ=. }} Die Matrix kann man als {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch|vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || {{op:Matrix22| 1|0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Matrix22| 1|0| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | - v^2 }} || || || |SZ= }} schreiben. {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 |0| 0| - v^2 }} {{op:Matrix22| 1 |0| - {{op:Bruch|vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv|v^2|}} | 1 }} {{op:Matrix22| 1 |0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || || || || |SZ= }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch|1|X^iY^j}} | 0 | 1 }} || {{op:Matrix22| 0 | {{op:Bruch|1|X^i}} | - X^i | Y^j }} {{op:Matrix22|Y^j | 0 | X^i| {{op:Bruch|1|Y^j}} |}} || {{op:Matrix22| 0 | {{op:Bruch|1|Y^j}} | - Y^j | X^i }} {{op:Matrix22| X^i | 0 | Y^j | {{op:Bruch|1|X^i}} |}} || || |SZ=. }} eht9z7x5uxafl47l3j87hee1nj4zt43 1078772 1078748 2026-05-06T10:37:15Z Bocardodarapti 2041 1078772 wikitext text/x-wiki {{ Relationskette/display | x^4-4x^2- y^3 -6 y^2 -9 y || 0 || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x-1 |}} {{makl| x+1 |}} x {{makl| y+1 |}} || || || |SZ=, }} {{ Relationskette/display | w^2 || {{makl| x^2-1 |}} xw - {{makl| x^2-1 |}}^2 y || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | v | \neq | 0 || || || |SZ= }} bestimmen die beiden ersten Gleichungen die Kurve, da dies für die ebene Kurve gilt und da man nach {{math|term= w |SZ=}} auflösen kann. 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Betrachten wir die Sache auf {{mathl|term= D {{makl| x^2-1 |}} |SZ=.}} Dort ist unter Verwendung der dritten Gleichung {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} + {{op:Bruch|xw| {{makl| x^2-1 |}} }} || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || || |SZ=. }} Die glatte Gleichung schreiben wir als {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 - y - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x (y+1) || || || |SZ=. }} Einsetzen ergibt {{ Relationskette/display | {{makl| x^2 -{{op:Bruch| -w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} - 3 |}} w || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| {{op:Bruch|-w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }}+1 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 w + w^3 -xw^2 {{makl| x^2-1 |}} || {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| -w^2 + xw{{makl| x^2-1 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 |}} || || || |SZ= }} bzw. {{ Relationskette/display | w^3 + {{makl| {{makl| x^2-3 |}} {{makl| x^2-1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 |}} w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || w^3 -3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w - x {{makl| x^2-1 |}}^3 || 0 || || |SZ=. }} Dies wird bestätigt durch Division mit {{mathl|term= {{makl| x^2-1 |}}^3 |SZ=}} und der Darstellung {{ Relationskette/display | t || {{op:Bruch|w|x^2-1}} || || || |SZ=. }} Bei {{ Relationskette | x |\neq| \pm 1 || || || |SZ= }} ist nach {{ Beispiellink |Beispielseitenname= Ebene Knotenkurve/Gleichung/xw/Beispiel |Nr= |SZ= }} die {{mathl|term= x,w |SZ=-}}Kurve glatt und {{math|term= y |SZ=}} durch die Gleichungen eindeutig beschrieben. Bei {{ Relationskette | x || 0,1 || || || |SZ= }} wird III direkt zu {{ Relationskette/display | w^2 || 0 || || || |SZ= }} und II ist erfüllt. Die erste Gleichung wird zu {{ Relationskette/display | -3 || y^3 + 6y^2 + 9 y || || || |SZ=, }} was den drei Urbildpunkten entspricht. Mit {{ Relationskette/display | y || {{op:Bruch|- w^2 + xw {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || w {{op:Bruch|- w + x {{makl| x^2-1 |}} | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} || || |SZ= }} und {{ Relationskette/display | w^3 || 3 {{makl| x^2-1 |}}^2 w + x {{makl| x^2-1 |}}^3 || || || |SZ= }} ergibt sich {{ Relationskette/align | x^4-4x^2-y^3-6y^2-9y || x^4-4x^2 - {{op:Bruch| w^3 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^3 +6 w^2 {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 +9 w {{makl| - w + x {{makl| x^2-1 |}} |}} {{makl| x^2-1 |}}^4 | {{makl| x^2-1 |}}^6 }} || || || |SZ=. }} Oder Schreibe {{ Relationskette/display | w || {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} || || || |SZ=. }} Einsetzen in die dritte Gleichung ergibt {{ Relationskette/align | w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch(| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1) | x^2-y-3 }}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{op:Bruch| x {{makl| x^2-1 |}} (y+1)|x^2-y-3}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{op:Bruch| x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1)^2 - x^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + {{makl| x^2-1 |}}^2 y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 (y+1)^2 - x^2 (y+1) {{makl| x^2-y-3 |}} + y {{makl| x^2-y-3 |}}^2 |}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl|x^2 y^2 +2x^2y +x^2 -x^4y+x^2y^2 +4x^2y-x^4 +3x^2 + x^4y +y^3 + 9y -2x^2y^2 -6 x^2y + 6y^2|}} || {{op:Bruch| {{makl| x^2-1 |}}^2 | {{makl| x^2-y-3 |}}^2 }} {{makl| 4x^2 -x^4 +y^3 + 6y^2+ 9y |}} |SZ=. }} {{ Relationskette/align/netzlinks | {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} II - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 III || {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}} |}} {{makl| {{makl| x^2-y-3 |}} w - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| y+1 |}} |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| w^2- {{makl| x^2-1 |}} xw + {{makl| x^2-1 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 - {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w^2 + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-y-3 |}}^2 w - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || - {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + {{makl| x^2-1 |}}^2 x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 {{makl| x^2-1 |}}^2 y || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| - x^2 {{makl| y+1 |}}^2 + x^2 {{makl| y+1 |}} {{makl| x^2-y-3 |}} - {{makl| x^2-y-3 |}}^2 y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 {{makl| x^4 - 4x^2 -y^3 - 6y^2- 9y |}} || {{makl| x^2-1 |}}^2 I |SZ=. }} Man erhält eine Matrixgleichung {{ Relationskette/display | {{op:Spaltenvektor| II | I }} || {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Spaltenvektor| II | III }} || || || |SZ=. }} Die Matrix kann man als {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1|0| {{op:Bruch| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | {{makl| x^2-1 |}}^2 }} | - {{op:Bruch|v^2| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || {{op:Matrix22| 1|0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} {{op:Matrix22| 1|0| vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2|}} - {{makl| x^2-1 |}}xv | - v^2 }} || || || |SZ= }} schreiben. {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 |0| 0| - v^2 }} {{op:Matrix22| 1 |0| - {{op:Bruch|vw + {{makl| x^2-1 |}} x {{makl| x^2-v-2 |}} - {{makl| x^2-1 |}}xv|v^2|}} | 1 }} {{op:Matrix22| 1 |0| 0| {{op:Bruch|1| {{makl| x^2-1 |}}^2 }} }} || || || || |SZ= }} Es ist {{ Relationskette/display | {{op:Matrix22| 1 | {{op:Bruch|1|X^iY^j}} | 0 | 1 }} || {{op:Matrix22| 0 | {{op:Bruch|1|X^i}} | - X^i | Y^j }} {{op:Matrix22|Y^j | 0 | X^i| {{op:Bruch|1|Y^j}} |}} || {{op:Matrix22| 0 | {{op:Bruch|1|Y^j}} | - Y^j | X^i }} {{op:Matrix22| X^i | 0 | Y^j | {{op:Bruch|1|X^i}} |}} || || |SZ=. }} 1bjwsmewajo91r12369f0dqh8spin0k 106 170301 1078749 1078727 2026-05-05T17:13:58Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078749 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] k4w37rl0ewwcjpx9py884pp0gf2pey9 1078750 1078749 2026-05-05T17:27:26Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078750 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 \cdot (1- t_2) + (z_3-z_4) \cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Die Eckpunkten <math>z_1,z_2,z_3,z_4\in G</math> sind als <math>z_1 := a_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_2 := b_1 + i\cdot a_2</math>, <math>z_3 := a_1 + i\cdot b_2</math>, und <math>z_4 := a_2 + i\cdot b_2</math> festgelegt. Für das Flächenintegral über das orientierte Rechteck <math>\gamma_{_R}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_R}} f(z) \, d^2\!z = F_\Box(z_4)-F_\Box(z_3)-F_\Box(z_2)+F_\Box(z_1) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Die Vorzeichen für [[Flächenstammfunktion]] für Rechtecke als messbare Mengen kann wie folgt veranschaulicht werden. Die Erläuterung, warum diese Vorzeichen so definiert werden wird in den folgenden Abschnitten in Abbildung erläutert. Der komplexe Flächeninhalt des Rechtecks wird insgesamt als Summe der Werte der Flächenstammfunktionen in den Eckpunkten berechnet. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] 62ea8r2tnni2j3htib9fu9qfzpt6cix 1078751 1078750 2026-05-05T17:35:41Z Bert Niehaus 20843 /* Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen */ 1078751 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 \cdot (1- t_2) + (z_3-z_4) \cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] nub3bra42mrhaq026ohj6vyqq4thfsz 1078752 1078751 2026-05-05T17:40:59Z Bert Niehaus 20843 /* Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion */ 1078752 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Bei der Behandlung von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] hängt der Wert des Integrals analog zum [[Wegintegral]] nur von den Ecken der orientierten Fläche ab. Dies zeigt auch die folgende Behandlung von beliebigen Vierecken im Vergleich zum [[Flächenintegrale über Rechtecke|Flächenintegral über ein Rechteck]]. === Veranschaulichung - orientierte Fläche - Viereck === [[File:Viereck v01.gif|300px|center|Animation oriented surface for arbitray polygon]] == Lemma - Viereckintegral über Flächenstammfunktionen == Sei <math>f:G\to \mathbb{C}</math> eine [[holomorphe Funktion]] mit der [[Flächenstammfunktion]] <math>F_\Box</math>. Das Viereck <math>V:=\mathcal{V}(z_1,z_2,z_3,z_4)</math> mit <math>Conv(\{z_1,z_2,z_3,z_4\})\subset G</math> wird durch die [[orientierte Fläche]] <math>\gamma_{_{V}} : [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{C}</math> mit <math>\gamma_{_V}(t_1,t_2):=z_1 + (z_2-z_1) \cdot t_1 \cdot (1- t_2) + (z_3-z_4) \cdot t_1 \cdot t_2 </math> definiert. Für das Flächenintegral über das orientierte Viereck <math>\gamma_{_V}</math> gilt dann: :<math> \iint_{\gamma_{_V}} f(z) \, d^2\!z = \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_\Box(z_k) </math> === Bemerkung - Vorzeichen vor der Flächenstammfunktion=== Mit dem Vorzeichenwechsel für die [[Flächenstammfunktion]] in Abhängigkeit von dem Index <math>k</math> von <math>z_k</math> erhält man eine alternierende Summe <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot\ldots </math> analog zum Rechteck. Die Markierung der Eckpunkte <math>z_k</math> mit <math>\oplus</math> und <math>\ominus</math> in der obigen Animation kennzeichnet, das Vorzeichen der Flächenstammfunktion in dem Punkt. === Alternierender Randweg === Ferner lässt sich für ein beliebiges Viereck als messbare Menge das [[orientierte Fläche|orientierte Flächenintegral]] als einen Integral über eine [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] bzgl. der Stammfunktion beschreiben. Das alternierende Vorzeichen <math> \sum_{k=1}^4 (-1)^{k+1} \cdot F_{_\Box}(z_k) </math> aus dem Lemma führt zu einem wechselnder Orientiertung der Darstellung als Integral über alternierenden Randweg. == Siehe auch == * [[Flächenintegrale über Rechtecke]] 0c6gr61ez46gyopbnlqtm2vkjpv3dug 106 170305 1078755 2026-05-06T09:15:35Z Bert Niehaus 20843 Automatische Zusammenfassung: Die Seite wurde neu angelegt. 1078755 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Integrationsweg kann mit der Eigenschaft der stückweisen stetigen Differenzierbarkeit aus mehreren Wegen zusammengesetzt werden (z.B. [[Lemma von Goursat]] bei der Integration über den Dreiecksrand). Eine solche [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] von Integrationswegen ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Diese Grundidee wir nun auf orientierte Flächen übertragen. === Kette von orientierten Flächen === Man benötigt == Definition - Kette von orientierten Flächen == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \times [c_i, d_i] \to G</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> ist eine Vielfachheit, wie oft über eine orientierte Fläche integriert wird. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine Kette von orientierten Flächen in <math>G\subset \mathbb{C}</math>. == Definition - Spurfläche einer Kette == Die ''Spurfläche'' <math>Area(\gamma_i)</math> von einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math> ist das Bild <math>\gamma_i \big( [a_i, b_i] \times [c_i, d_i]\big) \subseteq G</math> in <math>G</math>. Die Spurfläche einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spurflächen der einzelnen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Area}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Area}(\gamma_i) </math></center> === Spurflächen und orientierte Flächen === Die Spurflächen können von zwei orientierten Flächen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> können gleich sein, aber daraus kann man nicht <math>\gamma_1 = \gamma_2</math> folgern. ==Definition - Randintegral == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i \in C(G)</math> mit <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \to G</math> heißt Zykel oder Zyklus, wenn jeder Punkt von <math>G</math> gleich oft als Anfangs- und Endpunkt von Kurven in <math>G</math> auftritt, d. h. wenn <center><math> \sum_{i=1}^n n_i |\{i: \gamma_i(a_i) = z \}| = \sum_{i=1}^n n_i|\{i: \gamma_i(b_i) = z\}| </math></center> für jedes <math>z \in G</math> gilt. ===Innen- und Außengebiet=== Sei <math>\Gamma</math> ein Zykel in <math>\mathbb C</math>, mit Hilfe der [[Kurs:Funktionentheorie/Umlaufzahl|Umlaufzahl]] kann man eine durch <math>\Gamma</math> bestimmte Zerlegung von <math>\mathbb C</math> in drei Teile betrachten, nämlich: * Die Bildmenge der <math>\mathrm{Spur}(\Gamma)</math> * Das ''Außengebiet'', diejenigen Punkte, die nicht von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> A_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) = 0\}</math></center> * Das ''Innengebiet'' sind diejenigen Punkte, die von <math>\Gamma</math> umlaufen werden, also <center><math> I_\Gamma := \{z \in \mathbb C \setminus \mathrm{Spur}(\Gamma) : n(\Gamma, z) \ne 0\}</math></center> == Flächenintegral über Ketten == Das orientiertes Flächenintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> mit <math>\gamma_k : [a_k,b_k]\times [c_k,d_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der orientierten Flächenintegrale wie folgt definiert. :<math> \iint_\Gamma f(z) \, d^2\!z := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \iint_{\gamma_k} f(z) \, d^2\!z </math> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain of oriented surfaces]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] 0kdi14rrxy6hwbadq4z9toy0j40c1q2 1078756 1078755 2026-05-06T09:17:05Z Bert Niehaus 20843 /* Definition - Randintegral */ 1078756 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Integrationsweg kann mit der Eigenschaft der stückweisen stetigen Differenzierbarkeit aus mehreren Wegen zusammengesetzt werden (z.B. [[Lemma von Goursat]] bei der Integration über den Dreiecksrand). Eine solche [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] von Integrationswegen ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Diese Grundidee wir nun auf orientierte Flächen übertragen. === Kette von orientierten Flächen === Man benötigt == Definition - Kette von orientierten Flächen == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \times [c_i, d_i] \to G</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> ist eine Vielfachheit, wie oft über eine orientierte Fläche integriert wird. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine Kette von orientierten Flächen in <math>G\subset \mathbb{C}</math>. == Definition - Spurfläche einer Kette == Die ''Spurfläche'' <math>Area(\gamma_i)</math> von einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math> ist das Bild <math>\gamma_i \big( [a_i, b_i] \times [c_i, d_i]\big) \subseteq G</math> in <math>G</math>. Die Spurfläche einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spurflächen der einzelnen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Area}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Area}(\gamma_i) </math></center> === Spurflächen und orientierte Flächen === Die Spurflächen können von zwei orientierten Flächen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> können gleich sein, aber daraus kann man nicht <math>\gamma_1 = \gamma_2</math> folgern. == Flächenintegral über Ketten == Das orientiertes Flächenintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> mit <math>\gamma_k : [a_k,b_k]\times [c_k,d_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der orientierten Flächenintegrale wie folgt definiert. :<math> \iint_\Gamma f(z) \, d^2\!z := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \iint_{\gamma_k} f(z) \, d^2\!z </math> == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain of oriented surfaces]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] telv5i7u563mmts4iicmdxl5ri2yegm 1078757 1078756 2026-05-06T09:39:37Z Bert Niehaus 20843 /* Flächenintegral über Ketten */ 1078757 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Integrationsweg kann mit der Eigenschaft der stückweisen stetigen Differenzierbarkeit aus mehreren Wegen zusammengesetzt werden (z.B. [[Lemma von Goursat]] bei der Integration über den Dreiecksrand). Eine solche [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] von Integrationswegen ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Diese Grundidee wir nun auf orientierte Flächen übertragen. === Kette von orientierten Flächen === Man benötigt == Definition - Kette von orientierten Flächen == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \times [c_i, d_i] \to G</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> ist eine Vielfachheit, wie oft über eine orientierte Fläche integriert wird. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine Kette von orientierten Flächen in <math>G\subset \mathbb{C}</math>. == Definition - Spurfläche einer Kette == Die ''Spurfläche'' <math>Area(\gamma_i)</math> von einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math> ist das Bild <math>\gamma_i \big( [a_i, b_i] \times [c_i, d_i]\big) \subseteq G</math> in <math>G</math>. Die Spurfläche einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spurflächen der einzelnen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Area}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Area}(\gamma_i) </math></center> === Spurflächen und orientierte Flächen === Die Spurflächen können von zwei orientierten Flächen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> können gleich sein, aber daraus kann man nicht <math>\gamma_1 = \gamma_2</math> folgern. == Flächenintegral über Ketten == Das orientiertes Flächenintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> mit <math>\gamma_k : [a_k,b_k]\times [c_k,d_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der orientierten Flächenintegrale wie folgt definiert. :<math> \iint_\Gamma f(z) \, d^2\!z := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \iint_{\gamma_k} f(z) \, d^2\!z </math> ==Definition - randintegrabel == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i </math> von orientierten Flächen <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i]\times [c_i,d_i] \to G</math> heißt randintegrabel, wenn * Spurfläche <math>Area(\Gamma)</math> zusammenhängend ist und * das Flächenintegral über die Kette <math>\Gamma</math> der orientierte Flächen <math>\gamma_i</math> für beliebige holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> durch ein [[Wegintegral]] über <math>\gamma</math> bzgl. einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>auf <math>G</math> ausgedrückt werden kann. === Bemerkung - Randweg === Der Randweg kann bei Polygonen zu einem [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] reduziert werden (siehe auch [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]]). [[Flächenintegrale über Rechtecke]] lassen sich durch alternierende Wegintegrale über eine Stammfunktion ausdrücken. Wenn sich alle Weg im Inneren der Spurflächen <math>Area(\Gamma)</math> durch Wege auf dem Rand von anderen orientierten Flächen durch umgekehrte Laufrichtung annulieren, lässt sich das Flächenintegral auf ein Randintegral der Flächen über eine Stammfunktion reduzieren. == Siehe auch == * [[orientierte Fläche]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain of oriented surfaces]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] qh7p12zap5aefwxg6l02f8ku9vah9v6 1078758 1078757 2026-05-06T09:40:18Z Bert Niehaus 20843 /* Siehe auch */ 1078758 wikitext text/x-wiki == Einleitung == Ein Integrationsweg kann mit der Eigenschaft der stückweisen stetigen Differenzierbarkeit aus mehreren Wegen zusammengesetzt werden (z.B. [[Lemma von Goursat]] bei der Integration über den Dreiecksrand). Eine solche [[Kurs:Funktionentheorie/Kette|Kette]] von Integrationswegen ist eine formale Linearkombination von [[Kurs:Funktionentheorie/Kurve|Kurven]]. Diese Grundidee wir nun auf orientierte Flächen übertragen. === Kette von orientierten Flächen === Man benötigt == Definition - Kette von orientierten Flächen == Sei <math>G \subseteq \mathbb C</math>, sei <math>n \in \mathbb N</math> und seien <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i] \times [c_i, d_i] \to G</math> [[orientierte Fläche|orientierte Flächen]] in <math>G</math> und <math>n_i\in \mathbb Z</math> ist eine Vielfachheit, wie oft über eine orientierte Fläche integriert wird. Dann heißt die [[formale Linearkombination]] <math>\sum_{i=1}^n n_i\cdot \gamma_i</math> eine Kette von orientierten Flächen in <math>G\subset \mathbb{C}</math>. == Definition - Spurfläche einer Kette == Die ''Spurfläche'' <math>Area(\gamma_i)</math> von einer [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math> ist das Bild <math>\gamma_i \big( [a_i, b_i] \times [c_i, d_i]\big) \subseteq G</math> in <math>G</math>. Die Spurfläche einer Kette <math> \Gamma </math> ist die Vereinigung der Spurflächen der einzelnen [[orientierte Fläche|orientierten Fläche]] <math>\gamma_i</math>, also <center><math> \mathrm{Area}(\Gamma) := \bigcup_{i=1}^n \mathrm{Area}(\gamma_i) </math></center> === Spurflächen und orientierte Flächen === Die Spurflächen können von zwei orientierten Flächen <math>\gamma_1</math> und <math>\gamma_2</math> können gleich sein, aber daraus kann man nicht <math>\gamma_1 = \gamma_2</math> folgern. == Flächenintegral über Ketten == Das orientiertes Flächenintegral der Funktion <math>f:G\to \mathbb{C}</math> über einen ''Kette'' <math>\Gamma:= \sum_{k=1}^n n_k\cdot \gamma_k </math> von [[orientierte Fläche|orientierten Flächen]] bzgl. <math>n\in \mathbb{N}</math> mit <math>\gamma_k : [a_k,b_k]\times [c_k,d_k] \to G</math> und Vielfachheiten <math>n_k\in \mathbb{Z}</math> wird als über die Summe der orientierten Flächenintegrale wie folgt definiert. :<math> \iint_\Gamma f(z) \, d^2\!z := \sum_{k=1}^n n_k\cdot \iint_{\gamma_k} f(z) \, d^2\!z </math> ==Definition - randintegrabel == Eine Kette <math>\Gamma = \sum_{i=1}^n n_i \gamma_i </math> von orientierten Flächen <math>\gamma_i \colon[a_i, b_i]\times [c_i,d_i] \to G</math> heißt randintegrabel, wenn * Spurfläche <math>Area(\Gamma)</math> zusammenhängend ist und * das Flächenintegral über die Kette <math>\Gamma</math> der orientierte Flächen <math>\gamma_i</math> für beliebige holomorphe Funktionen <math>f:G\to \mathbb{C}</math> durch ein [[Wegintegral]] über <math>\gamma</math> bzgl. einer Stammfunktion <math>F</math> von <math>f</math>auf <math>G</math> ausgedrückt werden kann. === Bemerkung - Randweg === Der Randweg kann bei Polygonen zu einem [[alternierender Randweg|alternierenden Randweg]] reduziert werden (siehe auch [[Eckenreduktionssatz für Polygonintegrale]]). [[Flächenintegrale über Rechtecke]] lassen sich durch alternierende Wegintegrale über eine Stammfunktion ausdrücken. Wenn sich alle Weg im Inneren der Spurflächen <math>Area(\Gamma)</math> durch Wege auf dem Rand von anderen orientierten Flächen durch umgekehrte Laufrichtung annulieren, lässt sich das Flächenintegral auf ein Randintegral der Flächen über eine Stammfunktion reduzieren. == Siehe auch == * [[alternierender Randweg]] * [[Flächenintegrale in der Funktionentheorie]] * [[Kette (Mathematik)]] * [[orientierte Fläche]] * [[Wegintegral und Flächenintegral]] <noinclude>[[en:Complex Analysis/Chain of oriented surfaces]]</noinclude> [[Kategorie:Funktionentheorie]] [[Kategorie:Mathematik]] 6kpn5kgzf9v8tbjhd6e6c5qphiwg3d5